Matematica naivă

De curând am avut o discuţie cu un profesor de la Chişinău, de formaţie din partea mai artistică a spectrului educaţional. Tocmai îi arătasem ultima mea “operă” de la un curs de desen pe tablă la care participam, când dânsul se grăbi, ca “specialist în ale artei”, să-mi clasifice rezultatul drept pictură naivă. În acel moment am avut o revelaţie: da, cu acelaşi aer de superioritate cu care pictorii culţi îi clasifică pe începători drept pictori naivi, cu acelaşi aer de superioritate ne-au impus matematicienii universitari să facem în liceu matematica aşa cum o gândesc ei, chiar mai mult, să facem şi în gimnaziu o copie ieftină a matematicii riguroase gândită de ei iniţial pentru liceu. Cineva însă, ar trebui să se lupte pentru dreptul elevilor la o matematică naivă, adaptată nivelului de percepţie şi de gândire al diferitelor vârste şcolare. Pentru că, este pe zi ce trece tot mai clar, matematica impusă după modelul gândirii liceale este greu digerabilă pentru majoritatea elevilor de clasele V-VII. De-abia în clasa a VIII-a, după împlinirea vârstei de 14 ani, observăm că majoritatea elevilor încep să poată face conexiuni specifice matematicii serioase.

Să încercăm să lămurim ce ar însemna această matematică naivă şi cu ce s-ar diferenţia aceasta de mult mai matura sa rudă, cu care suntem obişnuiţi şi pe care o voi numi generic matematica riguroasă. De fapt, această frază este profund greşită: nu există două tipuri de matematică, una naivă şi cealaltă riguroasă, aşa cum nu există două specii de oameni, unii adulţi şi alţii copii. Matematica naivă este pur şi simplu matematica adaptată vârstelor copilăriei. Aceasta nu se supune aceloraşi criterii de rigurozitate a gândirii ca şi matematica completă a “oamenilor mari”, cum nici de la copii nu cerem să gândească precum adulţii. În matematica naivă sunt dominante intuiţia, imaginaţia şi bucuria simplă de a gândi.

Matematica este la început complet naivă, dar odată cu trecerea anilor aceasta devine tot mai serioasă, mai riguroasă, mai matură, ajungând în forma sa adultă în partea a doua a liceului (secţiile reale) şi în forma completă de-abia la facultatea de matematică. Matematica până în clasa a V-a trebuie să fie profund naivă, iar apoi gradul de naivitate să scadă încet, treptat, până spre finalul liceului. Jumătatea drumului între cele două extreme ar fi probabil undeva în jurul vârstei de 14 ani. Nerespectarea nivelului de naivitate necesar în clasele gimnaziale şi forţarea elevilor la o rigurozitate peste nivelul de posibilitate al vârstei îi duce pe mulţi elevi la repulsia faţă de matematică ce poate fi constatată la ora actuală la aceştia.

Pe lângă caracterul naiv al matematicii copilăriei putem vorbi şi de caracterul naiv al matematicii adulte în cazul începutului unei teorii matematice. În antichitate doar Euclid a reuşit să “scuture” parţial matematica de profunda naivitate ce o caracteriza. Matematica a rămas dominant naivă şi în timpul Renaşterii. De-abia în secolele XVIII-XIX matematicienii au început să aibă o preocupare clară de eliminare a naivităţii din teoriile matematice.

Revenind la şcoală, mai exact în liceu, chiar şi aici toate lecţiile ar trebui tratate cu un grad corespunzător de naivitate. Manualele din anii ’60-’70 o făceau într-un mod foarte accesibil pentru elevi. Chiar şi Analiza matematică ar trebui tratată în clasele de final de liceu cu un serios grad de naivitate, în mod similar cum au generat-o de fapt cei doi părinţi ai acesteia, Newton şi Leibnitz. Dacă cei doi titani ai matematicii au avut voie să o genereze intuitiv, naiv, deşi erau la vârstă adultă matematic, atunci de ce elevul de 18 ani nu ar avea voie să o cunoască în mod similar? Cei ce studiază cu adevărat cum au apărut istoric diferitele noţiuni şi domenii matematice, aceştia vor putea confirma că toate au apărut iniţial în minţile creatorilor lor în forme naïve. Gradul de naivitate a scăzut apoi, odată cu publicarea, iar ulterior a fost eliminat în diferite etape de către profesorii urmaşi care includeau aceste teme în cursurile lor. De-abia aceştia, profesorii universitari, au început să elimine partea intuitivă naivă din matematică (cam de pe la 1900), absolutizând “Sfânta treime a matematicii, axioma-demonstraţia-teorema” (citat din Apostolos Doxiadis, Unchiul Petros şi conjectura lui Goldbach, Ed. Humanitas, 2003, pag.112).

Acest aspect este susţinut şi de către Eugen Rusu în prefaţa lucrării sale Psihologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969, pag. 8): Şi în matematică (…) deşi este vorba de ştiinţa căreia caracterul “rigoare” îi aparţine prin excelenţă, apar teorii în care noţiunile nu sunt bine definite şi demonstraţiile nu sunt perfect riguroase, în special în comparaţie cu teoriile ulterioare care le perfecţionează (geometria preeuclidiană faţă de cea a lui Euclid, aceasta faţă de axiomatică; analiza “clasică” faţă de cea modernă etc.). Aceste teorii “imperfecte” au avut un dublu rol, deosebit de important: pe de o parte au avut o mare eficienţă în aplicaţii, pe de altă parte au servit ca punct de plecare, ca bază – omeneşte, dacă nu şi teoretic, necesară – pentru eleborarea teoriilor riguroase.

Pentru ca un elev să ajungă să savureze matematica riguroasă, el trebuie să se fi bucurat mai întâi în copilărie de matematica naivă, să fi trăit mai întâi satisfacţiile micilor victorii oferite de aceasta. Nu poţi aştepta de la un copil naiv „să încaseze cu bucurie” duritatea matematicii riguroase în gimnaziu, iar mai târziu să o iubească în liceu. Nu o va iubi! Din contra, o va urî! De ce? Pentru că pur şi simplu i se adresează într-o limbă pe care elevul din clasele gimnaziale nu o înţelege, iar pentru asta el are de suferit prin note. Mă refer desigur la majoritatea elevilor, cei din corpul central din Clopotul lui Gauss, nu la micii Einsteini care mai răsar din când în când prin câte o clasă. Situaţia este magistral prezentată de către Eugen Rusu în primul capitol al lucrării sale Psihologia activităţii matematice (citat integral, pag.11-13 ):

Ne-am adresat unui matematician – autor al mai multor lucrări ştiinţifice, originale, apreciate – cu următoarea întrebare: Care este descoperirea dv. matematică cea mai impresionantă? Vă rugăm să descrieţi în special aspectele ei psihologice. Redăm mai jos, pe larg, răspunsul:

„Eram prin clasa a IV-a primară când un băiat mai mare a venit la mine să-mi arate ce ştie el. Alege-ţi un număr, mi-a spus. Nu mi-l arăta, scrieţi-l pe hîrtie. Îţi împrumută Popescu încă pe-atăt. Socoteşte cît face. Îţi mai dau eu 126. Socoteşte. Îţi fură hoţii pe jumătate; vezi cu cît ai rămas. Îi dai lui Popescu împrumutul înapoi. Calculează. Este că ţi-a rămas 63? spuse el triumfător la sfîrşit. Este, răspunsei uimit.

Mai hai o dată; şi îmi alesei acum un număr “mai greu”, cu cifre multe şi cu zecimale. Dar el ghici şi de astă dată. Am repetat de nu ştiu cîte ori experienta. El nu-mi dădea mereu acelaşi număr; îl schimba la fiecare probă nouă, dar de fiecare dată ghicea.

Caut să reconstitui retrospectiv. De ce aram atât de surprins şi de intrigat? Fondul obişnuinţei mele matematice era altul: ştiam că dîndu-mi-se nişte numere pot să operez cu ele – adunări, înmulţiri etc. – şi să obţin un rezultat, că acest rezultat depinde de numerele cu care am lucrat, poate fi cunoscut numai cînd cunosc numerele cu care am operat. Şi acum, cineva îmi spunea rezultatul exact, deşi nu cunoştea ce număr “mi-am ales”.

Eram, cum spuneam, foarte intrigat. M-am rugat mult de el să-mi spună cum face. S-a lăsat greu. Am sacrificat toţi nasturii (galbeni, de metal, lucitori) pe care îi aveam – era atunci la modă jocul cu nasturii la perete – ca să-mi dezvăluie taina. Mi-a spus-o şi era surprinzător de simplă. Numărul pe care îl dai tu – cum a fost mai sus, 126 – îl împarţi la 2. Atîta îi rămîne; asta-i tot.

Asta-i tot? Şi m-am apucat să experimentez. M-am dus şi eu la colegi de-ai mei, provocîndu-i alegeţi un număr …etc. Îmi fixam cît dau eu, împărţeam la 2, şi aşteptam nerăbdător să se termine calculul ca să trîntesc rezultatul. În adevăr, metoda nu a dat, niciodată, greş.

Avusese o mare satisfacţie în a afla cum face. Dar ea nu era completă. O doză de mister rămăsese încă: o umbră de nelinişte îşi făcu loc şi crescu mereu pe măsură ce mă gîndeam la problemă. Ştiam cum face; misterul părea clarificat şi asta îmi dădea momentan satisfacţia cunoaşterii. Dar rămînea ceva misterios şi neliniştitor: de ce oare? De ce orice număr îţi alegi, rămîne întotdeauna exact jumătate din ce îţi dă el? De ce?

În mintea mea de-acum rămăsese o frîntură din Anatole France: « ceea ce nu-mi explic, mă nelinişteşte». E aici o trăsătură caracteristică, profund umană. E a omului matur dar e, cum se vede, şi a copilului în formaţie.

Neliniştea, uimirea, curiozitatea în legătură cu problema de mai sus m-au stăpînit multă vreme. Am ajuns într-a patra de liceu (clasa a VIII-a, corespunzătoare ca vârstă cu actuala clasă a VII-a; completare CTG). Problema stăruia în mine dar în surdină, estompată, umbrită de alte preocupări mai actuale cărora trebuia să le fac faţă. Aparent o uitasem. Dar ea ţîşni dintr-o dată la suprafaţă. Învăţînd calculul algebric, îmi veni în gînd – nu mai pot reconstitui în detaliu prin ce joc de asociaţii – să tratez vechea problemă prin algebră. Am notat cu x numărul ales şi cu a pe cel – cunoscut – care mi-l dă el. Am transcris şirul de operaţii

Sigur! Evident! O identitate simplă, în care x se reduce. Misterul era clarificat. Complet şi definitiv clarificat. Ce sentiment am avut în această etapă? Desigur, în primul moment, sentimentul care s-a concretizat în semnele de exclamare de mai sus: Sigur! Evident! E clar! Sentimentul de satisfacţie pe care ţi-l dă în mod natural clarificarea unui mister, satisfacţie cu atît mai mare cu cît acest mister te-a urmărit şi te-a neliniştit mai mult.

Dar, în timp ce misterul însuşi poate stărui un timp îndelungat, satisfacţia clarificării e pe cît de spontană şi ascuţită, tot pe-atît de puţin durabilă. Revii a doua zi asupra soluţiei. Nu mai spui: Sigur! Evident! Clar! ci spui, liniştit: da, aşa este. Revii după o săptămînă sau după o lună şi spui: în fond, e o banalitate. Te-ai « răcit». Cauţi să-ţi aminteşti sentimentele pe care le-ai avut înainte de a fi cîştigat soluţia; dar sentimentele se « memorează» şi se reconstituie mai greu. Şi în fond nici nu vrei să le recunoşti: m-am frămîntat şi m-am entuziasmat pentru o banalitate? Începi să regreţi căi, să le treci sub tăcere, ba chiar să nu le recunoşti că au fost aşa cum au fost. Puţin dacă eram mai atent, ar fi trebuit să găsesc de la început soluţia. Nu era nevoie să ajung la calculul algebric; puteam să lucrez cu numere, aritmetic, numai să las calculele neefectuate. Este adevărat că el îmi spunea la fiecare etapă: socoteşte, vezi cît face, provocîndu-mă oarecum să efectuez. Dar, cel puţin după ce am ştiut metoda, puteam să mă gîndesc să lucrez cu sume neefectuate.

Atît rămîne din efervescenţa căutărilor; regretul că o banalitate ţi-a dat de gîndit, regretul că nu ai demascat-o de îndată. E la fel ca într-o iubire consumată. Aceasta-i femeia pe care am iubit-o? Pentru ea îmi bătea inima cînd îi vedeam, prin perdele, silueta? Pentru ea am pierdut o sesiune de examene? Aceasta e femeia pe care am iubit-o şi ea nu a meritat, îţi spui cu regret şi cu decepţie.

Dar nu ai dreptate (ce-o fi însemnînd, aici, dreptate?) nici cu problema rezolvată, nici cu dragostea încheiată. Sentimentele au rostul să creeze o tensiune, un impuls şi un motor al acţiunii. Cînd şi-au îndeplinit rolul şi faptul este consumat, este normal ca ele să nu mai rămînă aceleaşi …”

Încheiem aici citatul în care Eugen Rusu prezintă amintirea din copilărie a acestui matematician, rămas din păcate anonim. Merită însă făcute câteva observaţii pe marginea evocării de mai sus. Este evidentă naivitatea foarte bine scoasă în evidenţă cu care a trăit respectivul copil problema cu pricina. Dacă i s-ar fi dat şi explicaţie de ce se întâmplă aşa, probabil că trăirea ar fi fost mult mai puţin intensă şi persistentă. Ridicarea voalului de mister de la început ar fi redus din start probleme la o banalitate ce nu merita prea multă atenţie. Aşa, problema s-a păstrat în mintea sa pănă când gradul de naivitate a scăzut, lăsând loc unei gândiri mai mature, cea algebrică.

Evocarea lui Eugen Rusu prezintă în detaliu o mică victorie naivă – de a găsii singur explicaţia, demonstraţia problemei – victorie pe care, însă, matematicianul respectiv o evocă drept cea mai impresionantă descoperire matematică a sa. După această “mică victorie”, probabil între multe altele, care i-au oferit suficiente satisfacţii în matematica naivă, tănărul respectiv a ales cu bucurie calea spre matematica riguroasă, chiar spre cea mai riguroasă.

Dar mulţi adulţi rămân oricum la un grad de naivitate foarte scăzut în ceea ce priveşte gândirea matematică. Trebuie însă făcută clar diferenţa între o persoană cu gândire matematică naivă, dar bună, şi o persoană cu frică de matematică, o persoană avariată matematic. Cu cât un elev a fost forţat mai de timpuriu să părăsească matematica naivă, prezentându-i-se o matematică prea înaltă pentru vârsta sa, cu atât acesta a ajuns mai avariat matematic. Foarte mulţi adulţi au o relaţie foarte distantă faţă de matematică datorită forţării de către profesorul din primele clase gimnaziale într-o matematică prea depărtată de naivitatea în care acesta se afla încă la vremea respectivă. Păcat! Păcat pentru toţi cei pierduţi pentru matematică datorită nerespectării unui principiu cu caracter psiho-pedagogic evident.

30 iulie 2016

Prof. C. Titus Grigorovici

Punctul 6 de la Evaluarea Naţională

Acest “titlu bombă” poate oferi posibilitatea pentru o frumoasă analiză despre cum a evoluat societatea românească şi nivelul nostru de gândire de la Revoluţie până acum (ce mult îmi place cum sună un sfert de secol!). Au fost multe titluri frumoase zilele acestea despre scandalul iscat din senin, legat de întrebarea cu graficul buclucaş de la Examenul de evaluare Naţională. Undeva apărea titlul Ăștia de clasa a 8-a sunt în grafic, iar Cristian Tudor Popescu inventa termenul Graxit, combinând după modelul cunoscut cuvintele Grafic – Exit.

Toţi cei care gândesc cât de cât, au sărit în apărarea gândirii, explicând de ce citirea graficului invers este greşită, sau comentând cu alte exemple nivelul infantil al unor subiecte. Cel mai frumos comentariu găsit este cuprins într-o întrebare şi o poză (mulţumim doamnei Ana-Maria Dumitrescu). Cum au citit invers, aşa?

Altcineva remarca faptul că oricum, Subiectul I de la examen, incluzând exact buclucaşul punct 6, era cunoscut naţiunii de anul trecut, din varianta 7 pentru EN. Din postarea de pe NetBusters din 30 Iunie 2016 am reţinut două gânduri: Este un grafic simplu de interpretat pentru un elev care nu are nicio problemă să utilizeze la capacitate maximă un dispozitiv tehnologic avansat precum un smartphone sau o tabletă. (…) Dacă insistăm că examenele trebuie să cuprindă întrebări ca “În ce an a avut loc Răscoala de la 1907?” încurajăm prostia. Punctul a) de la (teoretic) cea mai grea problemă a acestui examen sună cam aşa: – Triunghiul ABC este echilateral. Latura AB are 10 cm. Demonstraţi că perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Dacă copilul tău îţi vine cu o notă proastă la examenul ăsta are o problemă mai gravă decât interpretarea greşită a unui grafic (…).

Cristian Tudor Popescu, în comentariul de pe Republica, exprima ceva similar: Părinţii şi-au luat copiii de mână şi s-au dus să protesteze în faţa Ministerului Educaţiei. De ce? Pentru că punctul 6, subiectul I al Evaluării Naţionale la matematică, le-a solicitat elevilor ceva nepermis, revoltător: să gândească! Astfel, pentru unii nu este neapărat logic să avem un număr de elevi care iau o anume notă; se poate şi varianta o notă care ia nişte elevi! (…)

Multe ar mai fi de comentat legat de această întrebare, dar şi despre altele din acest examen. De exemplu, apucătura naturală a tinerilor la pubertate de a face totul exact pe dos, obişnuiţi de această societate modernă cu replica: da ce, aşa nu se poate? Acest thinking outside the box cu tot dinadinsul, cred că le-a jucat de data asta o mică festă multor elevi.

Apoi, lipsa antrenamentului în gândirea intuitivă folosită în matematica proces, dar absentă în predarea matematicii rezultat (denumiri preluate de la Eugen Rusu, Psihologia activităţii matematice, 1969), această lipsă a gândirii intuitive ar putea fi considerată un motiv de bază pentru greşeala multora dintre elevi.

Nouă personal, această întâmplare ne aduce aminte de o alta, pe care merită să o evocăm în acest moment, şi care ar putea primi titlul: câţi dinţi are un biscuite pe colţ? În 2000 am dat la Concursul de matematică PENTAGONIA problema cu biscuitele, fără să precizez că biscuitele are – natural – un singur dinte pe colţ, acesta făcând deci parte din ambele laturi care converg în acel colţ. Pur şi simplu, aş fi distrus farmecul problemei. Deci: Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele? Desigur că unii elevi au greşit atunci, iar profesorii acestora au insistat să punctăm şi răspunsul în care un elev făcea perimetrul fără să gândească. Când ne-am întâlnit ulterior, au recunoscut râzând, “printre rânduri”, că au stricat o problemă frumoasă, dar faptul fusese consumat.

Legat de subiecte în general, pot spune că acestea au fost în principiu OK! Este bine că au avut şi probleme grele, ca să nu avem o aglomerare a notelor de 10, ca în 2013. Este bine şi că am avut exerciţii uşoare destule, astfel încât şi elevii slabi să poată ajunge la nota 5: contabilizând întrebările lejere, ajungi chiar la 5,50, lăsând elevului slab chiar posibilitatea unei greşeli, pentru a ajunge la pragul psihologic de 5 (las’ că nu sunt chiar aşa de slab!). Ce-i drept că ultima întrebare uşoară, cea cu perimetrul triunghiului echilateral, era cam ascunsă pentru elevul slab, dar foarte stresat de atâta matematică.

Două obiecţii avem: în primul rând, repetarea întrebării cu perimetrul, atât la pătrat cât şi la triunghi, o considerăm jenantă; chiar nu mai există alte întrebări uşoare? De exemplu, la pătrat putea fi pusă întrebarea inversă: perimetrul atâta, cât este latura? Dar cel mai înjositor pentru un profesor este să vadă un exerciţiu banal cu două operaţii supersimple de ordinul I şi ordinul II, în care acestea sunt aşezate chiar în ordinea din ordinea operaţiilor. Pentru ce ne mai zdrobim atâta, noi învăţătorii şi profesorii, dacă nici asta nu mai trebuie să ştie un elev? Punctul 1. de la subiectul I îl considerăm ruşinos!

Revenind în final la graficul buclucaş, ar mai fi o întrebare nelămurită: oare din cauza acestui grafic la unele şcoli calculatoarele nu au putut printa subiectele de pe aplicaţia ministerului? Nu ia nimeni în discuţie această situaţie şi stresul enorm cauzat la nivelul comisiilor, şi la nivelul elevilor, datorită întârzierilor iminente? Noi avem cunoştiinţă de două astfel de situaţii, dar sigur nu au fost doar acestea în toată ţara.

Mariana şi Titus Grigorovici

Oana Moraru – Mașina de creat slugi

Analiza unei postări pe REPUBLICA, din 18 Iunie 2016  

Situaţia şcolii româneşti este analizată pe toate feţele cu orice ocazie şi toată lumea îşi dă cu părerea. Unii o fac chiar foarte bine şi au curajul să spună lucrurilor pe nume. Doamna Oana Moraru este o astfel de persoană şi în articolul său din 18 iunie postat pe site-ul REPUBLICA a spus chiar multe lucruri deosebite. Îmi permit să reiau anumite pasaje din acest articol şi să le comentez. Motivul principal nu îl reprezintă comentariile mele, ci faptul că aceste gânduri exprimate de Oana Moraru ar trebui să ajungă în cât mai multe colţuri ale conştienţei publice; şi dacă va fi doar o persoană în plus căreia să-i fi atras atenţia asupra acestui articol, şi tot a meritat efortul.

Am ales pentru aceasta cinci alineate din articolul original, pe care le redau înclinat. Comentariile mele sunt intercalate drept.

*

Trei sferturi şi mai bine din potenţialul de inteligenţă al României e pierdut din primii ani de şcoală. Principalul vinovat este cultura noastră discriminatorie şi aparent concurenţiala. De aici, profesori mediocri şi practici distructive. Copiii care nu ţin pasul sunt dispreţuiţi sau învinovăţiţi. Nu există programe recuperatorii şi personal auxiliar relevant în şcoli; şi chiar dacă ar exista, ar fi subminate de credinţa noastră limitată că lumea se împarte între proşti şi deştepţi. România nu şi-a diversificat încă modelele de reuşită şi lucrul acesta merge mână în mână perfect cu o economie disfuncțională, care nu are nevoie de paliere diferite de expertiză sau deprinderi profesionale. Nu mai avem şcoli profesionale; pentru că meseriile nu mai sunt respectate, nici tinerii care ar putea să le practice nu ies cu frunţile sus din trenul şcolirii atunci când ar fi momentul s-o facă.

Această formă extremă, dar cu totul realistă, prezentată de Oana Moraru este rezultatul politicii de 30 de ani pentru rezultate la olimpiade şi concursuri. Un învăţământ în care preocuparea principală a autorităţilor (timp de un sfert de secol!!!) a fost să se dueleze care are mai mulţi şi mai buni olimpici, ajungând să neglijeze toţi elevii care nu contau în această cursă, un astfel de învăţământ nu avea unde să ajungă decât în situaţia descrisă mai sus. Suntem nemulţumiţi, de pildă, de felul cum joacă Naţionala noastră de fotbal, parcă în adins pregătită pentru eşec; îi admirăm pe nemţi cu Manschaft-ul lor colorat, cât sunt de profesionişti, toţi nemţi neaoşi (mai ales Mesut Özil, Mario Gomez şi Jérôme Boateng), dar nu realizăm că aceştia sunt rezultatul unui sistem şcolar care nu-i înjoseşte pe copii. Da, acest sistem de total respect pentru om şi pentru muncă reuşeşte să producă deja la prima, a doua generaţie oameni de cea mai bună calitate.

Pe de altă parte, dincolo de problemele sociale, avem mulţi copii care eşuează pentru că programele şi evaluările sunt alcătuite supradimensionat, peste puterile medii ale vârstelor şcolare. Copiii români învaţă, foarte de mici, gustul neputinţei şi al ratării. Avem un sistem şcolar gândit parcă anume să trezească, de timpuriu, mari complexe de inferioritate şi sentimentul că nimeni nu e suficient de bun.

Nu cred că cineva a fost atât de diabolic încât să pună la cale intenţionat aşa ceva. Cred mai degrabă că situaţia este urmarea schimbărilor de programă agresive din cadrul reformei uitate din 1980, atunci când noile programe au fost croite în special pentru vârfuri, având ca obiectiv final obţinerea unor olimpici mai performanţi la nivel internaţional, pentru a hrăni astfel orgoliul nemărginit al lui Ceauşescu. Totuşi, studiind manualele din anii ’80 se vede că încă exista un respect solid faţă de elevul ne-olimpic, adică faţă de marea masă a elevilor care nu sunt de elită, dar care urmează să devină marea masă a societăţii. De neînţeles este faptul că nimeni nu a realizat după Revoluţie ce se întâmplă, astfel încât la reforma din 1997 chiar s-a plusat în direcţia elitismului, manualele alternative de matematică devenind mult mai încărcate de probleme grele, exerciţiile uşoare dispărând aproape de tot. Astfel, marea masă a elevilor au început să adune frustrare. Iar diferitele decizii “reparatorii” punctuale nu au putut schimba nimic din impresia generală.

Nu facem lucrurile încet, simplu şi sistematic, nu punem întâi bazele, ca mai apoi, odată cu vârsta, să diversificăm şi să adâncim. Programele şcolare şi pedagogiile de la clasă nu respectă principii de bază ale învăţării: de la simplu, la complex, de la concret, la abstract. Lucrurile sunt grăbite, aglomerate, juxtapuse haotic, cu presiune emoţională, împovărare şi silă. Nu reuşim să cultivăm suficiente momente de triumf; ţinem, cu orice preţ, să le arătăm copiilor noştri că sunt insuficienţi, iar cartea se face pe burtă, târâş, cu transpiraţie şi greaţă tradiţională. 

Fără comentari! Totuşi aş pune o întrebare: cine ar trebui să vină cu o schimbare de paradigmă care să rezolve toate cele prezentate aici de Oana Moraru? Profesorii de rând prin “propuneri inovative de programă”? Desigur, această întrebare este retorică, dar experinţa din primăvara lui 2016 ne arată că structurile de conducere a învăţământului românesc ori nu sunt capabile, ori nu vor să taie acest nod gordian.

Sigur că elevii români fac matematică pe pâine-cu doi ani înaintea colegilor din alte ţări. Nu există postac naţionalist care să nu fi folosit fraza asta obsesiv, în apărarea şcolii româneşti. Asta ne aduce aşa mândrie naţională, că uităm complet dacă este oportun – de pildă – să-i învăţam pe cei de 7-8 ani deja ecuaţii sau sisteme de ecuaţii. În condiţiile în care mulţi nu înţeleg fenomene simple din lumea vie. Învăţătorii trec la predarea metodelor algebrice cu mult înainte de aşezarea logică a conceptelor numerice în capul celor mici. Știu copii de clasă a III-a care fac pe bandă probleme prin metoda grafică – una care presupune reprezentarea numerelor prin segmente – dar o fac mimetic, fără nici cele mai necesare salturi întru abstractizarea relaţiei număr/segment. Foarte multă matematică de care, poate, mulţi sunteţi mândri se bagă pe gât copiilor, ca reflex mecanic. Mulţi o execută, puţini o înţeleg. Acelaşi lucru se întâmplă şi la celelalte discipline.

Aceasta este probabil cauza principală pentru care, undeva în gimnaziu, mulţi urăsc deja matematica, mare parte dintre elevi au dificultăţi la învăţat, iar oricum, ca adulţi vor avea o gândire care numai decizii logice şi obiective nu va putea lua.

Conţinuturi prezentate sec şi anost, evaluări cu pretenţii elitiste, asmuţirea copiilor unul împotriva celuilalt, în falsă concurenţă – toate duc la abandon şcolar – dacă nu unul fizic, cel puţin unul emoţional. Avem în şcoli mulţi copii dezangajaţi, absenţi sufleteşte de la propria creştere, pentru care şcoala e aproape un viol.

Da, aşa este, şi cu greu mă abţin să nu subliniez cele de mai sus. Orice persoană cu un nivel de empatie sănătos simte asta. Doar că mulţi profesori, pentru autoprotecţia lor emoţională, s-au călit şi nu mai bagă în seamă suferinţa zilnică a elevilor, iar această stare de lucruri a devenit o normalitate. Unii însă o simt şi se străduiesc, fiecare după puterile şi imaginaţia sa, să le facă elevilor viaţa mai frumoasă, mai uşoară, mai suportabilă. Nu-i normal să vii zilnic la şcoală urând ceea ce faci! Aşa se învaţă românii să nu iubească munca. Două întrebări se nasc aici. Dascălii care încearcă să schimbe ceva se lovesc deseori de “zidul urii” din partea elevilor şi a colegilor, generat de întregul sistem. Cum pot cere unii ziarişti ca profesorii individuali să “ia lupta pe cont propriu”? Da, sună frumos, nişte izolaţi “Ioana d’Arc”, dar cât timp rezişti ca om într-o astfel de luptă? Până la urmă tot abandonezi. Apoi, vine a doua întrebare: profesorii au în fişa postului sarcina de a reforma sistemul? Profesorii au fost lăsaţi până acum să reformeze sistemul? Un sistem agresiv care oricum îi obligă zilnic să meargă în direcţia sa? Profesorii sunt şcoliţi pentru aşa ceva? Ca să nu mai întreb şi de remuneraţie. Pentru că o astfel de activitate înseamnă muncă multă; muncă mult peste capacităţile profesorului de rând, care mai are şi viaţă particulară, familie etc.

Oricum, mulţumesc din suflet Oanei Moraru pentru exprimarea în scris a acestor gânduri; o excelentă radiografie a învăţământului actual în cadrul societăţii prezente.

Găsiţi întregul articol la adresa http://republica.ro/masina-de-creat-slugi. Recomand cu această ocazie şi articolul dânsei: Cum am ajuns un profesor prost, dar bun! din 23 Nov. 2015 de la adresa http://republica.ro/cum-am-ajuns-un-profesor-prost-dar-bun. Iată un scurt citat din acest articol: Privirile lor – ale elevilor – şi intenţiile mele sunt două lumi în ciocnire ridicolă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Evaluarea naţională şi rolul matematicii

Acum, în timp ce scriu aceste rânduri, elevii mei absolvenţi ai clasei a VIII-a, încep să intre în sala de examen pentru proba de matematică. Este ora 8.03, miercuri 29 Iunie 2016. La fel ca mulţi alţi profesori de matematică, mă gândesc la elevi, fiecare cu problemele sale, cu aspiraţii şi cu frici. Dragii de ei! Au emoţii. Îi îmbrăţişez în gând. Pot doar să sper că i-am ajutat să înveţe cât mai bine. În această dimineaţă lucram la nişte articole despre starea învăţământului şi am găsit un citat fabulos:

“Rolul matematicii e de-a face un om demn”, a spus Mihai Maci prin primăvară, la lansarea cărţii sale “Anatomia unei imposturi. O şcoală incapabilă să înveţe”.

Acum, când elevii se pregătesc să intre în examen, mă gândesc dacă am reuşit. Dacă am reuşit să-i pregătesc suficient, dar şi dacă am reuşit să le trezesc demnitate prin matematica mea. La unii am reuşit, la alţii am sincer îndoieli.

Oricum, nu cred că suntem mulţi care să ne fi gândit la acest rol al matematicii, despre care ne atrage atenţia Mihai Maci. Autorităţile diriguitoare într-ale matematicii sigur nu s-au gândit, cel puţin nu în ultimii 35 de ani.

Între timp, conform procedurilor, elevii cred că au intrat toţi în sală – este 8.29. Toţi sunt aşezaţi în bănci, unii tac stresaţi, alţii încearcă să alunge stresul cu o glumă. Now it’s show time! Vă ţin pumnii, dragilor! Profu’ Titus

Propuneri inovative de programă

Din ciclul Oamenii care ne conduc şi cuvintele lor memorabile

Ideea de a propune profesorilor să găsească ei idei inovative de programe este aparent una foarte deschisă şi democratică. Doar aparent! Dacă ne gândim însă mai profund, anume că profesorii actuali sunt rezultatul unei formări de un anumit tip, formare ce a fost urmărită cu hotărâre, chiar cu agresivitate, din 1980 încoace, atunci mă întreb de unde ar putea să iasă o propunere profund diferită în modul de predare şi în organizarea programei. Profesorii sunt “dresaţi” de zeci de ani să predea conform unor principii, cele mai importante fiind predarea riguroasă, în modul de aducere a materiei în faţa elevilor, şi pregătirea pentru olimpiade şi concursuri, în ceeace priveşte nivelul aplicaţiilor (numit şi excelenţă). Un alt principiu ce nu trebuie neglijat este folosiea notelor, a evaluării, drept arme de îmblânzit copiii, rezultatul fiind de multe ori total opus. Cei mai mulţi elevi fug de matematică, o urăsc!

În această stare de fapt, sună de-a dreptul comic oferta adresată prin aprilie profesorilor care doresc să se implice, de a genera „peste noapte” o propunere inovativă de programă. Mie îmi sună ceva de genu următor: Dragilor, noi de la minister şi din diverse alte structuri centrale de învăţământ v-am obligat în ultimi 35 de ani să mergeţi pe o cale ce s-a dovedit un eşec. Acum sunteţi nemulţumiţi. Hai să vă facem voia şi să schimbăm linia, dar veniţi voi cu propuneri, că noi nu ştim altfel decât cum am fost setaţi la reforma lui Ceauşescu din 1980. Vedeţi ce democratici suntem? Dar de măsurat, vă măsurăm tot după metoda noastră (a se vedea criteriile de evaluare unde ideea inovativă în sine era sub 50% din punctaj).

Chiar nu s-a gândit nimeni să aşeze la baza acestor propuneri nişte principii mai sănătoase, cum ar fi: adaptarea materiei la nivelul de dezvoltare mediu al copiilor; dezvoltarea prin materia de urmat a unor abilităţi importante cum ar fi intuiţia, simţul practic, inteligenta socială, gândirea logică, empatia etc. Nu, se pare că nimeni nu s-a gândit că matematica ar folosi la altceva decât la promovarea examenelor. Astfel de principii trebuia să fie date la început, odată cu anunţul postat pe site-ul edu.ro şi trimis în şcoli şi de către Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei.

Iar în Aprilie, val-vârtej, în timp ce trebuiau să facă tot felul de dosare pentru Săptămâna Şcoala altfel – să fi mai bun, mai inteligent, mai performant etc., dar şi în vacanţa de Paşte + 1Mai (când se plictiseau profund), profesorii trebuiau să scuture din mânecă o propunere inovativă de programă. Să nu spună vreun profesor că nu a avut ocazia să se implice.

Aşa s-a pornit această nouă reformă, aşa va fi şi rezultatul!!!

Prof. C. Titus Grigorovici

P.S. În aceste condiţii, privind retroactiv, ne dăm seama cum am fost duşi de nas cu renumita comisie pentru reformarea învăţământului, care s-a străduit prin iarnă să reformeze cu adevărat ceva în şcolile noastre. Degeaba a avut Domnul Ministru curaj şi viziune să înfiinţeze comisia, dacă nu a avut curaj şi putere să înfrunte în continuare structurile care se opuneau schimbărilor (nomenclaturiştii din linia a II-a).

Legea pentru inocenţa copilăriei

Din ciclul Oamenii care ne conduc şi cuvintele lor memorabile
Ideea de a propune o lege pe tema inocenţei sexuale a copiilor este discutabilă şi a fost discutată o vreme de către presa românească. Din păcate nu am auzit pe nimeni să se plângă despre abuzarea inocenţei intelectuale a copiilor, practicată în România de peste 30 de ani. Oare domnul deputat Ninel Peia, ca ortodox hotărât, va depune în proiectul de lege intenţionat şi măsuri pentru abuzarea inocenţei intelectuale a copiilor prin materia de biologie din programa claselor V-VI?
Pe mine însă mă interesează în mod direct abuzarea intelectuală a elevilor datorită programei obligatorii şi prin însăşi metodica practicată de către profesorii de matematică, metodică ce au fost forţaţi să o aplice începând cu reforma din 1980. Nimeni de la conducerea Ministerului sau a altor structuri (de pildă Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei) nu-i ajută pe profesori să schimbe abordarea; astfel, metodica oficială actuală este în continuare una abuzivă, de care suferă mulţi copii.
Nimeni din lumea mare a matematicienilor nu face clar legătura între forma de predare a acestei materii şi starea dezastoasă în care se află din punct de vedere matematic peste 50% din elevi. Ca urmare, toţi aceşti elevi se simt abuzaţi de către matematică. Mă întreb, de pildă, când va apărea o lege pentru protejarea inocenţei matematice în copilărie?

Prof. C. Titus Grigorovici

P.S. Legea ar fi menită a-i apăra pe copii de “abuzurile” cadrelor didactice, dar de ce nu se vorbeşte despre “dreptul constituţional” al familiilor de a-şi distuge proprii copii, prin oferirea accesului la internet (acasă sau pe smartphone), ştiut fiind cât de grav este abuzat copilul care stă/navighează zilnic şi liber pe internet.

Reforma uitată
(o scurtă descriere)

La începutul anilor ’80 a avut loc o amplă reformă a predării matematicii în România, cu efecte negative asupra capacităţii elevilor de a înţelege şi folosi noţiunile predate. Din dorinţa de a ridica nivelul performanţei olimpice, sistemul şi-a confruntat elevii cu un mod de predare a matematicii mult peste puterea de înţelegere vărstei. Ca urmare, tot mai mulţi elevi au absolvit şcoala cu deficienţe serioase în înţelegerea noţiunilor de bază din matematică, dar şi de gândire în general. A urmat un lung şir de încercări de remediere a situaţiei, prin noi reforme şi noi programe. Acestea însă nu rezolvă cu nimic problema de fond, deoarece nu pornesc de la înţelegerea profundă a situaţiei.

După publicarea în februarie a eseului despre reforma uitată din 1980 am primit unele observaţii, mai ales legat de necesitatea unei variante mai scurte şi mai accesibile publicului larg. Pentru accesibilizarea ideilor la prima lectură, vă prezentăm o nouă variantă mai “comercială” a eseului despre aceasta reformă şi despre modificările care au îmbolnăvit matematica şcolară românească ulterioară.

*

Suntem obişnuiţi să considerăm matematica o activitate doar pentru cei aleşi de soartă, deşi este obligatorie şi are alocat, alături de limba română, cel mai mare număr de ore până la clasa a VIII-a. Toţi ceilalţi se chinuie prin şcoală la orele de matematică, sunt traumatizaţi de matematică şi în nici un caz nu apucă să beneficieze de aspectele formatoare ale matematicii. Ce înseamnă cei aleşi şi ce înseamnă toţi ceilalţi? Las cititorului dreptul de a trage o linie relativă de demarcaţie în graficul cunoscut ca Clopotul lui Gauss. Părerea mea este că doar o parte prea mică a ramurii din dreapta face faţă onorabil matematicii din şcolile româneşti, iar asta se întâmplă de foarte mult timp. Ultimii 20-30 de ani au fost clar marcaţi de acest dezechilibru înjositor cu urmări grele la nivelul majorităţii elevilor.

Pentru toţi ceilalţi, adică pentru marea masă a populaţiei şcolare, matematica este o constantă sursă de frustrare, de frică generatoare de ură şi mai ales o cauză a non-gândirii. Demarcaţia nu este de-a lungul unei linii clare; există desigur o zonă largă gri, a celor care înţeleg părţi din matematică, dar au şi parte de zone de neclaritate şi frustrare. Pentru cei aleşi de soartă matematica rămâne o amintire plăcută şi o activitate la care revin oricând cu bucurie după perioada şcolară. Pentru toţi ceilalţi viaţa de după matematica şcolară este doar o perioadă extinsă de convalescenţă psihică în care încearcă să-şi refacă cumva respectul şi încrederea de sine. În aceste condiţii orice reîntâlnire, cât de mică, cu matematica reprezintă o nouă zgârietură pe vechile răni cicatrizate ale sufletului.

Dacă faceţi parte, în oarecare măsură, din toţi ceilalţi, daţi-mi voie să vă spun că lucrurile nu au stat întotdeauna aşa în România. Permiteţi-mi să vă prezint pe scurt situaţia din punct de vedere istoric, o istorie, din păcate uitată şi neconsemnată.

 

Anii ’60-‘70

Analizând manualele şi culegerile româneşti din anii ’60 şi ’70, se simte clar cum matematica şcolară românească prezenta o formă deosebit de echilibrată între cele două direcţii principale: pe de-o parte preocuparea pentru formarea gândirii logice la marea masă a populaţiei şcolare, la corpul de bază al clopotului lui Gauss; pe de cealaltă parte, Gazeta matematică şi olimpiadele şcolare ofereau o foarte bună preocupare pentru excelenţă, adică pentru elevii din ramura din dreapta a clopotului lui Gauss. Din clasele gimnaziale, acolo unde se pun bazele sănătoase ale gândirii logico-matematice, merită amintite manualele lui Eugen Rusu şi ale lui A. Hollinger, dar şi culegerile lui Grigore Gheba şi ale lui Ivanca Olivotto, de care foarte multă lume îşi aduce aminte cu mare bucurie şi stimă. Şi la liceu atmosfera era la fel de sănătoasă. Selectarea numelor autorilor de la acest nivel ar fi şi mai grea; erau cu toţii autori care se formaseră în perioada interbelică şi care aduceau, alături de sănătoasa matematică tradiţională românească, tot ce era mai bun din matematica Europei de vest dar şi din matematică rusească, pe care o cunoscuserăm din plin în anii stalinizării forţate.

Pe lângă acestea trebuie amintite multele lucrări de metodică şi didactică traduse, atât din direcţia rusească, cât şi din Europa de vest şi de peste ocean. Aş aminti aici doar trei autori: rusul Boris Kordemsky şi americanul Martin Gardner în domeniul matematicii distractive, şi legendarul George Polya, maghiar naturalizat în SUA, cel mai mare didactician din lume în domeniul matematicii şcolare.

În paralel cu preocupările şi strădaniile metodico-didactice din acea perioadă, este obligatoriu să amintim aici două curente de preocupare “tangente” matematicii şcolare de masă, acestea fiind de o importanţă covârşitoare în înţelegerea situaţiei actuale.

 

Presiunea rigurozităţii ştiinţifice

În primul rând, trebuie evocată presiunea apărută din direcţia universitară pentru adaptarea matematicii predată în şcoli la cerinţele de rigurozitate pe care tot mai mulţi universitari le considerau absolut obligatorii. Astfel, acei ani au fost marcaţi de lupta dintre modernizatorii universitari, adepţi ai axiomatizării, a rigurozităţii teoretice şi a introducerii teoriei mulţimilor în matematica preuniversitară, pe de-o parte, şi tradiţionaliştii adepţi ai predării metodice şi didactice sănătoase, adaptată fiecărei vârste, folosind în gimnaziu predarea intuitivă formatoare de imaginaţie şi trecând treptat către o matematică mai riguroasă pănă la finalul liceului.

Să analizăm pe scurt istoricul situaţiei. După rezolvarea marii dileme a axiomei paralelelor prin Lobacevski şi Bolyai, sub binecuvântarea marelui Gauss, şi după epuizarea tuturor noilor posibilităţi deschise de acestea, concretizate sub titlul generos al Geometriilor neeuclidiene, după tumultuosul secol XIX deci, matematicienii s-au întors încă o dată la Geometria euclidiană. De data asta au făcut-o ordonat, axiomatic, extrem de riguros, cu lecţia învăţată de pe urma posibilităţilor năucitoare ce fuseseră găsite sub formă de fisuri între multele intuiţii şi evidenţe cu care era construită geometria clasică. Germanul David Hilbert a fost vârful de lance al grupului ce a acţionat la cumpăna dintre secole în acest sens. Lucrarea Bazele geometriei a lui Hilbert a influenţat mare parte din matematicienii care l-au urmat.

După primul război mondial se cristalizaseră în lumea matematicii două grupuri ale căror luări de cuvânt pot fi urmărite chiar şi în literatura tradusă la noi. Primul grup a fost acela al matematicienilor universitari de înaltă clasă care considerau că geometria riguros axiomatică trebuie să fie aşezată la baza matematicii şcolare, iar luările de cuvânt erau exrem de dure. Dau un singur exemplu: lucrarea publicată în 1927 la Londra Fundamentele geometriei euclidiene – H. G. Forder (Ed. Ştiinţifică, 1970).

Ca reacţie la “vociferările” primilor, s-a ridicat un al doilea grup care considera că matematica şcolară trebuie să-şi păstreze caracterul intuitiv, adaptarea pedagogică a fiecărei vârste şcolare fiind vitală pentru formarea gândirii matematice sănătoase.

Curentul reformator universitar a prins, de pildă, foarte puternic în Franţa anilor ’50 –’60. Ţinând cont de faptul că România comunistă şi-a redeschis în anii ’60 legăturile cu Franţa condusă de un guvern socialist, mare parte din zbuciumul reformelor matematice franceze curgea şi înspre noi. Astfel, anii ’60-’70 au fost martorii unor lupte tot mai active între reprezentanţii celor două grupuri din ţara noastră. Cele mai clare luări de cuvânt ale grupului ce apăra valorile pedagogice la noi îi aparţin lui Eugen Rusu în Psihologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969) şi în Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. Did. şi pedagogică, 1978).

 

Olimpiada de matematică

Din punct de vedere al matematicii şcolare de excelenţă trebuie totodată precizat că în 1959 România organiza prima ediţie a Olimpiadei internaţionale de matematică. Tot în România a fost organizată şi a doua ediţie. Următoarele ţări organizatoare au fost Ungaria în 1961, Cehoslovacia în 1962, Polonia în 1963, U.R.S.S. în 1964, R.D.G. în 1965, Bulgaria în 1966, Iugoslavia în 1967, a zecea ediţie iar în U.R.S.S. în 1968, din nou în România în 1969, Ungaria în 1970, Cehoslovacia în 1971, Polonia în 1972, U.R.S.S. în 1973, R.D.G. în 1974, Bulgaria în 1975.

La primele patru ediţii au participat elevi din Bulgaria, Cehoslovacia, Republica Democrată a Germaniei, Polonia, România, Ungaria, U.R.S.S. şi Vietnam. Apoi au mai apărut Iugoslavia şi Mongolia, şi o participare ciudată la a şaptea ediţie a Finlandei. Cu excepţia amintită, la primele opt ediţii au participat doar ţări din blocul comunist. Pentru cine nu a înţeles, merită totuşi accentuat: Olimpiada internaţională de matematică este o invenţie românească şi primele opt ediţii au fost de fapt o afacere internă a blocului comunist. De-abia a XVIII-a ediţie a fost organizată de o ţară necomunistă (Austria în 1976). Primele ţări capitaliste participante au fost Anglia, Franţa, Italia şi Suedia la ediţia din 1967 organizată de Iugoslavia. Statele Unite ale Americii s-au înscris prima dată în 1974.

La primele două ediţii locul întâi a fost obţinut de elevi din România, Cehoslovacia şi Ungaria. De la a treia ediţie ţara noastră s-a mai găsit sporadic între fruntaşi, la ediţiile V, VIII, IX, X, XIV, XVI, XX (date extrase din lucrarea Olimpiadele Internaţionale de MatematicăE. A.Morozova, I. S. Petrakov, V. A. Skvorţov, Ed. Tehnică, 1978).

La sfârşitul anilor ’70 bătălia de la olimpiadele internaţionale de matematică se dădea între ruşi şi americani, ajungând, la fel ca în olimpiadele sportive, la nivelul războiului rece. Era evident că România pierduse de mult supremaţia în domeniu. Conducerea de Partid şi de Stat dorea cu orice preţ din nou rezultate constante la vârful olimpiadelor internaţionale de matematică. Trebuia făcut ceva! Astfel, la indicaţiile venite de sus de tot, s-a hotărât creşterea nivelului matematicii din şcolile noastre. Iar asta s-a văzut dureros în schimbările pornite la finalul anilor ’70.

 

Reforma “din 1980”

Acesta a fost momentul când “olimpiştii” s-au aliat cu “modernişti universitari” preluând puterea în matematica şcolară românească. Aceştia şi-au împărţit pur şi simplu în mod prietenesc timpul orelor de matematică, dând încet la o parte tradiţia de predare naturală şi sănătoasă prin problematizare pe care o stăpâneau majoritatea profesorilor. Iar asta se întâmpla cu binecuvântarea conducerii din vremea respectivă, ce era avidă de noi premii cu care să poată demonstra superioritatea orânduirii socialiste, mai ales a modelului socialismului românesc al lui Ceauşescu.

Saltul de dificultate teoretică şi al problemelor se poate verifica de către oricine pe noile manualele apărute în acei ani. Unii autori au fost mai zeloşi, alţii s-au străduit să găsească o linie de compromis. Nu s-au schimbat doar manualele, ci şi modul de abordare a lecţiilor. Tratarea axiomatică a materiei a făcut ravagii în matematică. La examenele profesorilor (definitivat, gradul II, etc.) se dădeau obsesiv elemente din introducerea axiomatică a geometriei. Autorităţile nu au mai fost interesate dacă profesorii ştiu să predea o lecţie astfel încât elevii să o înţeleagă, ci dacă profesorii o stăpânesc din punct de vedere axiomatic şi o predau teoretic ca atare. Predarea de până atunci, specifică şi adaptată în decurs de zeci de ani fiecărei vârste şcolare, era înlocuită cu o predarea de sorginte academică. Dacă până în anii ’70 profesorul creea lecţia împreună cu elevii, existănd la oră un permanent dialog şi o reglare a nivelului lecţiei, în noua predare profesorul trebuia pur şi simplu să turuie lecţia căt mai riguros, ca la carte, chiar dacă simţea că elevii nu înţeleg elementele prezentate.

Această reformă a lovit în toate clasele, dar cu precădere în gimnaziu. Mai ales în clasele V-VI schimbările au fost resimţite cel mai greu de către elevi, pentru că la această vârstă majoritatea elevilor pur şi simplu nu sunt dezvoltaţi pentru a primi matematică pentru elevi mari. Piaget explică foarte clar: gândirea copiilor, numită stadiul operaţional concret, este activă la copii până la 11-12 ani. Gândirea adultă, adică stadiul operaţional formal se generalizează pe la 12-13 ani. Or, această reformă i-a confruntat pe elevii de-a V-a cu o aritmetică tratată algebric şi pe cei de clasa a VI-a cu o geometrie excesiv de riguroasă, de inspiraţie axiomatică, abstractizarea lovindu-i pe elevi din plin. Ideea ghidantă a fost ca elevii să fie forţaţi a trece în stadiul de gândire adultă cât mai repede. De-abia la programa din 2009 s-au făcut ceva paşi timizi de corectare a unor elemente introduse în 1980 în clasa a V-a, dar şi azi sunt încă profesori, chiar autori de culegeri, care nu  înţeleg sensul acestora.

În anii ’80 profesorii erau bulversaţi şi nu înţelegeau cum să predea noile inepţii din manuale. Încet însă, de-a lungul anilor, cei mai mulţi profesori au fost disciplinaţi şi aduşi pe noua linie de predare. Iar în 1990, la zece ani de la această reformă, deja toată lumea era gata îndoctrinată, mândră de olimpicii noştri şi de cât suntem noi de tari la matematică. Astfel, după Revoluţie nimeni nu se mai gândea la abandonarea acestui sistem, care hrănea puternic orgoliul naţional.

 

Eliberarea de comunism?

În ceea ce priveşte problemele parcurse la clasă sau date ca temă, nivelul şi diversitatea acestora a urmat în continuare o pantă ascendentă, crescând de la un an la altul. Iar când nu se mai putea suporta presiunea apărută din cauza problemelor tot mai grele dintr-o lecţie, această lecţie se scotea pur şi simplu din programă, desfiinţând-o cu totul. A se vedea de pildă eliminarea patrulaterelor inscriptibile din clasa a VII-a după boom-ul de probleme pe această temă. În general, fenomenul de alunecare a materiei din facultate în liceu, din liceu în gimnaziu, din gimnaziu în ciclul primar şi desigur din primar în grădiniţă a reprezentat o constantă a şcolii noastre după 1980.

În 1997 treaba încă mergea minunat; copiii încă nu erau distruşi de stat toată ziua la televizor şi la calculator. Ca urmare a avut loc un nou salt în dificultate prin reformarea programei înspre mai greu şi prin introducerea manualelor alternative. Autorii acestora au scos aproape de tot exerciţiile şi problemele uşoare, de învăţare, din oferta de lucru. În schimb, am simţit ca şi cum toată tradiţia olimpiadelor a fost descărcată în aceste noi manuale. Tot sistemul şcolar matematic vorbea numai despre olimpiade şi centre de excelenţă, şi nimeni nu se mai gândea la toţi ceilalţi care, uitaţi fiind de sistem, au luat-o tot mai clar pe panta suferinţei accentuate din cauza matematicii.

Tot în manualele alternative au început să apară şi primele gafe dure din punct de vedere a corectitudinii matematice. De exemplu, atunci a apărut ideea de definire a ariei triunghiului. Însă oricine ştie că aria triunghiului este jumătate din aria unui paralelogram, iar aria acestuia se deduce uşor din aria unui dreptunghi.

Au urmat ani de mutare haotică a lecţiilor sau capitolelor în jos sau în sus, încât acum nimeni nu mai ştie clar care este logica lucrurilor. Preşedintele Iohannis a făcut aluzie de curând la această stare de continuă reformă, atenţionând: reformă, nu reformită. Iar urmarea acestor reforme în cascadă se vede la clasă, la toate nivelele: elevii primesc o matematică de multe ori fără nici un sens, fără nici o logică, ce trebuie pur şi simplu tocită, contrar oricărui sens şi bun-simţ matematic.

Iată câteva exemple concrete de îngreunare a limbajului matematic, urmare a reformei lui Ceauşescu din 1980. Să ne amintim de pildă cât de greu s-au dezobişnuit profesorii de unghiul plan corespunzător diedrului dintre planele…. De-abia după 2000 a început să fie acceptat unghiul diedru dintre planele…, şi exemplele în acest sens pot continua la nesfârşit. Oare cum de am priceput şi iubit geometria noi, cei care am învăţat înainte de 1980 din manualele profesorului Hollinger, atunci când scriam ∢A = 60˚ în loc de mult mai riguroasa scriere m(∢A) = 60˚? Noi nu am învăţat despre congruenţă, dar am înţeles geometria. La noi intersecţa a două drepte, de exemplu a diagonalelor unui trapez, se scria AC ∩ BD = O, pe când ca profesor, după 1990, nu aveam voie să scriu decât varianta AC ∩ BD = {O} corectă prin prisma teoriei mulţimilor. La copil nu se mai gândea nimeni, la faptul că el nu gândeşte prin prisma teoriei mulţimilor, ci el ştie că intersecţia a două drepte este un punct. Şi acum copiii sunt bulversaţi de scrierea divizibilităţii în forma universitară 3|12 în loc forma naturală 12⋮3.

Practic, la reforma din 1980 matematica a fost îngreunată pe două direcţii de bază: o teoretizare riguroasă excesivă în predare şi o creştere clară a dificultăţii problemelor. Ambele procese au continuat panta ascendentă până către anul 2000 şi chiar mai încoace, ducând la o inaccesibilizare extremă a matematicii şcolare. Cu cât nivelul creştea mai tare, cu atât aveam tot mai puţin elevi care puteau face faţă matematicii şcolare. O a treia direcţie de schimbare, cea metodico-didactică, a apărut în acest proces de îngreunare doar ca o consecinţă a introducerii primelor două: predarea naturală practicată înainte de 1980 era prea mare consumatoare de timp din ora de 50 de minute. Aceasta a trebuit să se retragă pentru a face loc marii teoretizări şi tot mai dificilelor şi bogatelor aplicaţii. Astfel, actualmente avem o matematică şcolară adresată şi aplicabilă unui procentaj din populaţia şcolară care evoluează, de la o temă la alta, undeva între 1% şi 10% din populaţia şcolară la nivel naţional. Iar asta dovedeşte o stare de inconştienţă şi iresponsabilitate crasă. Procentul de asimilare a materiei este apoi ridicat în anii de final de ciclu prin munca de recuperare a profesorilor de la clasă şi prin orele particulare plătite de părinţi.

Faptul că actualmente nimeni nu mai ştie de reforma din 1980 şi de liniile acesteia, explică de ce lumea matematicii şcolare româneşti bâjbâie în continuare într-o ceaţă totală şi nu ştie încotro să o apuce. Profesorii sunt blocaţi în paradigma acelei reforme şi nimeni nu ştie cum să iasă din această situaţie. Mai rău: nimeni nu ştie nici măcar că ar trebui să iasă din această paradigmă. În celălalt colţ al clasei (al ringului?), majoritatea elevilor suferă fiecare în felul lui. Părinţii, societatea, nu mai ştiu ce să facă cu repulsia odraslelor faţă de matematică, iar de pe băncile şcolilor pleacă în fiecare an tot mai puţini absolvenţi care înţeleg şi iubesc cu adevărat matematica.

Iar asta este o dramă! Este drama supremă a matematicii noastre şcolare.

 

Anexă de final

În data de 12 feb. 2016 am trimis D-lui Academician Solomon Marcus un e-mail cu materialul istoric complet din Reforma uitată (vezi articolul de 20 pagini cu toate detaliile: Istoria unei reforme uitate a matematicii şcolare româneşti, partea I, postat pe pentagonia.ro). În data de 13 feb. 2016 am primit de la dânsul următorul răspuns:

Drag Profesor Grigorovici,

Foarte interesnta povestea Dv, care-mi e si mie foarte cunoscuta. Am citit un prim fragment si voi continua lectura. Ramanem in legatura, voi reveni.

Cu drag,

              Solomon Marcus

Acesta a fost primul şi ultimul e-mail primit de la Dl. Solomon Marcus; din păcate nu a mai revenit. Peste o lună, în 17 martie, dânsul a plecat cu totul din această lume şi ne-a lăsat să luptăm aici mai departe. Îmi place să cred că a plecat dintre noi cu încrederea că vom reuşi totuşi să îndreptăm în curând lucrurile în matematica şcolară românească.

8 mai 2016

Prof. Constantin Titus Grigorovici

Reforma uitata (o scurta descriere).pdf

Impresii din Elveţia (2)

La vizita în Elveţia din octombrie 2015 am avut o mică dorinţă secretă: dacă tot ajung la Basel, ce bine ar fi să vizitez casa memorială Leonhard Euler; ştiţi, probabil cel mai mare matematician din toate timpurile. Nu m-am gândit mult în acest sens, nici măcar nu mi-a trecut prin cap să mă interesez din timp unde ar fi o astfel de casă memorială.

Ei, vreau să vă spun că n-am găsit-o, pentru că am căutat-o pe partea greşită a Rinului. Ulterior, am dibuit-o pe net şi am aflat unde este şi că de fapt are doar o placă memorială pusă pe casa în care a locuit în copilărie şi în tinereţe (căutaţi pe net Haus Euler Riehen).

În schimb am avut bucuria să găsim o clădire întreagă dedicată dinastiei Bernoulli, clădire numită Bernoullianum. Ne-am şi pozat cu aceasta, plini de mândrie pe unde-am reuşit să ajungem, deşi părerea unui student mai hâtru nu pare chiar elogioasă (căutaţi pe cineva care să vă traducă/explice din germană Uni für die Katz).

Odată ajuns acasă, am auzit de la un prieten despre Casa Bolyai din Cluj, casă în care s-a născut János Bolyai. Aflând unde este aceasta situată, m-am dus să văd dacă are placă de prezentare, dar n-am găsit-o. M-am mai interesat şi am aflat că totuşi are, chiar două plăci comemorative, dar puse la etaj, să le vadă eventual ciorile din zbor. Sunt două plăci, una neagră în maghiară şi una albă în română, de unde am dedus eu că o fi existând ciori de ambele etnii (găsiţi pe Wikipedia românească poze cu Casa Bolyai Cluj).

Lăsând gluma de-o parte, mă gândesc dacă n-ar fi vremea să se instaleze şi o placă cu accent turistic, pentru turul oraşului, scrisă pe mai multe limbi (pe lângă maghiară şi română, măcar şi în engleză, germană, franceză), amplasată astfel încât lumea să o şi poată vedea (placa de pe Casa Euler este poziţionată la înălţimea unui om). Oare, n-ar fi aceasta o sarcină de colaborare între UBB şi Primăria Municipiului Cluj-Napoca? Totuşi, modernizarea geometriei a pornit şi de la Cluj.

La Târgu Mureş lucrurile sunt mult mai clar lămurite. Acolo afli chiar şi ce legătură este între ideile lui Bolyai şi teoria relativităţii a lui Einstein. Poate şi la Cluj, pe această placă din centru s-ar putea scrie câteva rânduri despre contribuţia lui János Bolyai la dezvoltarea matematicii mondiale. Şi cred că edilii noştri ar putea găsi o soluţie de amplasare civilizată, chiar dacă actualmente chiar în faţa Casei Bolyai este situată statuia cu Lupa Capitolina.

Titus Grigorovici

Reforma uitată (partea a II-a)

Privire asupra psihologiei predării matematicii şcolare

De ce ar trebui să schimbăm forma actuală de învăţământ şi cum ar trebui să o schimbăm, aceasta este tema principală a prezentului. Toată lumea vede aspecte de care este deranjată şi vine cu propuneri de corectări pe măsură pentru mult aşteptata reformă de care se tot vorbeşte.

În partea a doua a eseului Reforma uitată am încercat o analiză a efectelor formei actuale a învăţământului matematic asupra copiilor, plecând de la analiza istorică a reformei din 1980 şi a componentelor acesteia.

Am tratat teme cum ar fi împovărarea materiei şi efectele acesteia, cultul pentru furt, incapacitatea organizatorică pe scară largă, slaba dezvoltare a comportamentului social, cultivarea non-calităţii, slaba dezvoltare a gândirii etc.

În continuare am încercat să dau soluţii pentru găsirea unor căi de reparaţie a acestor defecte întâlnite pe scară largă, căi ce pot fi alese la baza unei reforme sănătoase şi eficiente a predării matematice, reformă ce ar putea fi aplicată şi suportată atât de marea masă a dascălilor, cât şi de marea masă a elevilor români. Totodată am avertizat despre capcana ce ar reprezenta-o încercarea introducerii unor alte modele copiate din diferite ţări. Orice model străin ar trebui mai întâi verificat pe un eşantion românesc. Teoria prezentată se aplică majorităţii materiilor şcolare, având astfel un mare avantaj.

Ideile prezentate nu epuizează subiectul, dar deschid căi nediscutate până în prezent pentru un studiu complet al efectelor predării matematicii în şcoli.

Reforma uitată PII.pdf

Reforma uitată (partea I)

Istoria unei reforme uitate a matematicii şcolare româneşti

Poate a venit vremea să vedem cum s-au petrecut lucrurile la o altă reformă, pe vremea lui Ceauşescu, despre ce a fost vorba în reforma acestuia, impusă profesorilor cu forţa începând de prin 1980. De ce ne-ar interesa acum o reformă petrecută cu peste 35 de ani în urmă? Pentru simplu fapt că trebuie să înţelegem în sfârşit de unde provine actuala paradigmă a învăţământului, de unde provin toate acele apucături ale sistemului pe care actualmente le critică toată lumea.

Impresia personală estă că lumea “nu vede pădurea de atâţia copaci” (o traducere a unei vorbe din germană, preferată de-a profesorului meu de matematică din gimnaziu).

Trebuie să ne aducem aminte ce s-a întâmplat şi să recunoaştem într-un sfârşit cum am fost manevraţi de către Ceauşescu, cum, după un sfert de secol mergem în continuare după cum ne-a programat el. Din acest motiv am intitulat eseul de faţă Reforma uitată.

În studiul realizat am încercat să evidenţiez următoarele aspecte:

  1. Învăţământul matematic din România anilor ’60-’70 a fost unul de foarte bună calitate, având o profundă viziune psihologico-didactică, ce face faţă şi acum unei analize riguroase conform cerinţelor societăţii actuale. Acel învăţământ a fost prezentat magistral în lucrările profesorului Eugen Rusu şi poate fi regăsit în toate manualele şcolare din acei ani. Forme similare de curriculum erau valabile şi la celelalte ştiinţe (desigur cu excepţia istoriei).
  2. Din păcate acel învăţământ a fost înlăturat cu forţa în anii ’80 prin noile manuale şi inspectorii care ajungeau în clase. Degeaba profesorii s-au apărat, până la urmă rând pe rând toţi au cedat, iar cei veniţi noi erau înregimentaţi direct noii linii de predare. Această reformă se sprijinea pe doi piloni:
  3. În primul rând a fost valul de creştere a rigurozităţii în exprimare, a încărcării materiei şi a ordonării acesteia după principiile organizării axiomatice provenită din sistemul universitar. Acest val a devastat ca un adevărat tsunami mai ales geometria gimnazială, responsabilă cu formarea gândirii intuitive la elevi.
  4. Apoi a fost cerinţa din partea conducerii de stat şi de partid de a creşte masiv preocuparea pentru probleme tot mai grele, pentru olimpiade de matematică, ca un mod de dovedire a superiorităţii orânduirii socialiste, în varianta sa mioritică. Această preocupare a prins foarte bine datorită înclinaţiei native a matematicienilor români pentru matematica sportivă.
  5. Din păcate, după înlăturarea lui Ceauşescu nimeni nu a îndrăznit a încerca să corecteze gravele aberaţii ale acelei reforme, astfel încât după o vreme mulţi profesori s-au obişnuit până în măduva oaselor cu acest stil de şcoală, cu această paradigmă. Actualmente nimeni nu mai ştie să vindece această boală, pentru că nimeni nu mai ştie cum arată un învăţământ sănătos. Toată lumea critică învăţământul actual, dar nimeni nu are o alternativă viabilă clară. Eu mă străduiesc de 20 de ani să lucrez în paradigma prezentată de Eugen Rusu în lucrările sale şi pot depune oricând mărturie cât de bine funcţionează la aceşti elevi, la această materie, la aceste examene, la aceste cerinţe.

Reforma uitată PI.pdf