Impresii din Elveţia

În săptămâna 5-9 oct.2015 am participat la Dornach lângă Basel, în Elveţia, la prima întâlnire mondială a profesorilor de matematică din şcolile Waldorf. Din acest voiaj am adus o mulţime de cadouri matematice cu care ne vom preocupa în perioda următoare (poate tot anul). Înainte de a vă prezenta la rând conferinţele acestui congres, permiteţi-mi să vă ofer două scurte impresii, cu implicaţii matematice.

Prima mea surpriză în Elveţia a fost moneda de ½ Fr (de o jumătate de franc, pentru cine nu a înţeles). Da, aţi văzut bine, pe această monedă nu scrie 50 (Rappen se numesc subunităţile francului elveţian), ci scrie ½ . Elveţienilor nu le este frică să scrie pe o monedă foarte des folosită o fracţie! Asta arată că acestui popor nu îi este frică de matematică.

Să analizăm cum stăm noi faţă de acest subiect. Păi, un singur gând îmi trece în acest sens prin minte: felul în care Banca Naţională a renunţat la moneda de 25 bani, respectiv bancnota de 25 lei (Banca Naţională sau ce decident o fi fost atunci, la începutul anilor ’90, dar şi la introducerea leului tare cu renunţarea la patru zerouri de la reforma din 2005). Sistemul nostru monetar este construit pe operaţia 2 ∙ 5 = 10, care este una din cele mai simple operaţii (ştiţi, majoritatea avem două mâini cu câte cinci degete:). Sistemul vechi, din anii lui Ceauşescu, era construit pe operaţia 4 ∙ 25 = 100, care este o operaţie mai evoluată. Cea actuală necesită capacităţi de calcul până la 10, de nivel de grădiniţă, pe când la cea veche trebuia să te poţi descurca în mare până la 100. Calculul 25 ∙ 4 = 100 reprezintă o operaţie de puterea a doua (22 ∙ 52 = 102), pe când actuala necesită doar o gândire banală. Varianta actuală, cu valorile 1, 5, 10, 50, 100 etc. este practică pentru cei inculţi, dar nu permite decât foarte greu o simplă operaţie de împărţire la patru (împărţirea la patru este una din operaţiile de cultură elementară: oricine ştie să împartă un măr în patru sferturi – avem şi un cuvânt pentru aşa ceva, un sfert).
Care este unul dintre efectele vizibile a acestei schimbări a politicii monetare din România? De prin 1996 am început să observ la elevi un fenomen deranjant: aceştia nu mai ştiu de pildă de câte ori intră 23 în 100; elevii au mari dificultăţi la 3 x 25, dar mai ales la descompunerea lui 75 nu simt că se divide cu 3 şi încep descompunerea cu împărţirea la 5 (dar 75 : 5 = 15 se face mai greu decât 75 : 3 = 25). După ’90 orice puşti ştia că 750 : 3 = 250; acum aceasta este pentru mulţi o situaţie foarte dificilă (pe care eventual o fac cu calculatorul de pe telefon).
Da, concluzia este una singură, renunţarea la sistemul 25 ∙ 4 a contribuit şi aceasta, pe lângă multe altele, la creşterea fricii omului de rând faţă de matematică.
Revenind la francii elveţieni, nu m-am putut abţine să nu observ anul monedelor aflate încă în circulaţie (şi n-am stat tare mult să caut). Este chiar nevoie de o mică concentrare să calculezi ce vârstă are o monedă din 1971. Uau! Asta da stabilitate a unei ţări! Aşa mai înţeleg şi eu un articol găsit în ziarul Schweitz am Sonntag din 11 oct. 2015: un interviu cu directorul Comisiei federale pentru energie a Elveţiei, Dl Walter Steinmann, în care se vorbea despre planul de politică energetică a Elveţiei până în anul 2050 (iarăşi: Uau!). Da, o naţiune căreia nu-i este frică de fracţii, poate face planuri serioase pe 35 ani.
Este greu în acest moment să nu facem iar comparaţia cu situaţia de la noi şi cu actuala creştere promisă de 15% a salariilor cadrelor didactice din dec. 2015. Aţi observat desigur momentul (12 oct. 2015): cele două creşteri de 5% din cursul anului împreună cu aceasta de 15% nu dau împreună 25%, ci mai mult, peste 26%. Câţi au înţeles ce s-a întâmplat, care este fenomenul matematic conform căruia 10 + 15 nu dă 25? Un renumit om de presă comenta că şi politicienii care n-au înţeles sunt tot rezultatul acestei şcoli. Dacă de politicienii de la vârf nu trebuie să ne facem griji să înţeleagă, poate noi, profesorii de matematică ar trebui să ne ocupăm măcar ca dragii noştri colegi ne-matematicieni să priceapă “ce şi cum”, adică de ce 10% + 15% > 26%.

Titus Grigorovici 22 oct. 2015

Editorial Pentagonia

Pe lângă prezentarea din primul număr, în caietele Pentagonia găsiţi următoarele eseuri-editoriale despre situaţia predării matematicii şcolare. În fiecare din acestea găsiţi păreri exprimate mai timid sau mai hotărât despre ce merge, dar mai ales despre ce nu merge bine în matematica de la clasă. Citindu-le după atâţia ani, cât sunt de valabile în continuare, considerăm că merită citite şi acum (unele integral, altele măcar parţial).

Prof. C.Titus Grigorovici

Arta predării matematicii

Prin artă înţelegem nu doar marea artă reprezentată de marile nume, cum ar fi Grigorescu sau Celibidache. Prin artă înţelegem şi mica artă reprezentată de anonimii – muzician sau olar – care ne încântă la colţul străzii sau în bazare; mă gândesc la croitorul care a cusut o rochie superbă sau la fierarul care a făcut elemente frumoase pentru o poartă, sau la sticlarul care a conceput o sticlă frumoasă din care ne vom încânta cu un vin deosebit; meşteşugarii cei mulţi, lăutarii sau artizanii populari în ceramica de la Horezu sau în porţile maramureşene, lista putând continua la nesfârşit. Aceşti meşteşugari reprezintă baza piramidei în vârful căreia au ajuns Porumbescu sau Brâncuşi. Mica artă poate fi denumită şi arta de zi cu zi. Cu marea artă te întâlneşti rar, dar cu mica artă te întâlneşti des.

Orice meserie îşi are artiştii săi, cei care o practică atât de bine încât rezultatul muncii lor să devină o încântare. Chiar şi predarea matematicii poate fi practicată ca o artă, făcută să încânte, iar beneficiarul acestei încântări va fi elevul. Predarea la ora de matematică trebuie să aducă bucurie elevilor: cât mai des şi cât mai multor elevi!

Se nasc aici două mari întrebări: De ce să facem astfel?, şi Cum să facem astfel?. În cazul ambelor întrebări se pot da multe răspunsuri şi oricine poate să-şi dea drumul imaginaţiei.

La prima întrebare aş încerca un răspuns cu implicaţii naţionale. Cu cât lecţia de matematică este mai atractivă pentru cât mai mulţi elevi, cu atât mai eficientă va fi această materie în formarea gândirii ordonate, logice. Cu cât mai multă matematică ajunge la sufletul copiilor, cu atât mai clar matematica îşi poate îndeplini rolul său formator de bază, anume formarea capacităţii de a lua decizii corecte, lipsite de subiectivitate. Matematica este una dintre cele mai obiective discipline de studiu în şcoală, şi ea este probabil principalul formator de obiectivitate în mintea elevilor. Or, la poporul nostru, şi latin şi balcanic totodată, deci plin de subiectivităţi în toate cele, este foarte important ca matematica să ajungă cât mai des şi la cât mai mulţi elevi în suflet, pentru a mai echilibra balanţa dintre obiectivitate şi subiectivitate.

Este un fenomen uimitor aici: aducând mai mult sentiment pozitiv (adică ceva subiectiv) în ora de matematică, elevii se apropie mai mult de această disciplină şi dobândesc în final capacitatea unor decizii mai obiective. Dimpotrivă, predarea mult prea riguroasă, de inspiraţie a prelegerilor universitare, deci foarte obiectivă, este accesibilă foarte puţinor elevi, restul nebeneficiind de caracterul formator al matematicii şi trăind mai tot timpul paralel cu aceasta. Care este rezultatul a zeci de ani de astfel de predare, mult prea seacă, a matematicii? În jurul nostru, la toate nivelele, putem observa generaţii întregi de adulţi la care singurul mod de decizie este cel subiectiv; generaţii întregi care nu pot lua şi nu pot accepta decizii obiective; generaţii care nu reuşesc să discearnă datele obiective ale unei situaţii, de părerile şi impresiile lor subiective. Cât de sănătoasă este o astfel de politică şcolară matematică, trebuie alţii să decidă; eu doar observ.

Despre cea de-a doua întrebare, Cum?, revenind la arta predării matematicii şi la profesorul de la clasă, acesta trebuie să fie pe deplin conştient de menirea sa, atât pentru viitorul elevului, cât şi pentru viitorul naţiunii. Deci, ce educăm? Educăm elevi buni, sau educăm oameni pregătiţi sănătos pentru viaţă? Eu înclin spre cea de-a doua variantă (care în mod ciudat o include şi pe prima).

Dar cum se face asta? Nu cred că se pot da reţete clare. Putem încerca doar să dăm cât mai multe exemple de bună practică (cât de abuzată este această expresie, oricum foarte subiectivă!), exemple care pe noi ne-au ajutat să trezim lumina în ochii elevilor la ora de matematică, după cum exclama un elev în urmă cu ceva ani, în astfel de momente: MINUNE DUMNEZEIASCĂ!

Prof. C.Titus Grigorovici, aug.2015

De ce Pentagonia?

Pentru că Pentagonia este un tărâm de vis în care toţi oamenii iubesc matematica, admirându-i zilnic minunăţiile nesfârşite.

Aici au trăit şi au gândit Pitagora sau Thales, dar şi Leonardo da Vinci, Carl Friedrich Gauss sau János Bólyai. Toţi aceştia, dar şi mulţi alţii rămaşi anonimi, au cunoscut imensa satisfacţie ce te cuprinde atunci când reuşeşti să rezolvi o problemă considerată de nerezolvat, pe care ai învins-o cu puterea minţii tale; sau bucuria neţărmuită din momentul în care ai descoperit un colţişor de matematică necălcat până atunci de nimeni.

Cei mai mulţi profesori de matematică au fost în Pentagonia şi povestesc cu drag despre frumuseţile întâlnite acolo. Chiar şi unii elevi au ajuns să cunoască această lume minunată.

Revista de faţă îşi propune să-i ajute pe profesori în predarea matematicii, astfel încât numărul elevilor ce ajung să iubească matematica să fie cât mai mare cu putinţă. Pot fi tratate subiecte total necunoscute, dar şi subiecte demult uitate, poveşti matematice, dar şi teme de actualitate pentru pregătirea examenelor, culegeri de probleme pe o anumită temă sau probleme izolate cu un farmec deosebit, rezolvări seci de calcul, dar şi rezolvări inedite (de exemplu cu ajutorul foarfecii şi al hârtiei împăturite), probleme diferite care se rezolvă cu aceeaşi metodă, dar şi mai multe metode de rezolvare pentru o aceeaşi problemă; în fine, cât mai multe din minunăţiile ce pot fi întâlnite în Pentagonia.

C.Titus Grigorovici

Cluj-Napoca, dec.1997

PS

Caietele Pentagonia îşi propun să ofere o matematică atractivă şi accesibilă cât mai multor elevi, să prezinte într-un mod liber şi elemente din matematică neincluse în programa şcolară, iar pentru pregătirea în vederea examenelor şcolare să ofere profesorilor şi elevilor seturi de probleme pe diferite teme de interes, dar şi probleme recapitulative începând chiar din clasa a VII-a.

Pentagonia se doreşte o publicaţie despre frumuseţea matematicii, despre bucuria ce trăieşte în matematică, în şcoală aceste sentimente fiind constant neglijate, alungate uneori de o matematică mult prea riguroasă, alteori de o ordine a lecţiilor contrară normalului.

Editorialul şi coperta IV

Caietul PENTAGONIA No.1, ian.1998