Predarea prin imagini

Luni 18 ian 2021, la Europa fm, în emisiunea Piaţa Victoriei, d-na Adriana Nedelea şi dl. Cristian Tudor Popescu au vorbit printre altele despre imaginile din mass-media cu vaccinarea dl-ui Preşedinte Iohannis şi a d-lui Prim-ministru Cîţu, cât şi despre efectul  acestora asupra dorinţei de a se vaccina la români, ce a crescut spectaculos faţă de aşteptările iniţale (înregistrarea se poate urmării la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/). Din această emisiune mi-a atras atenţia pasajul în care dl. Popescu vorbeşte despre  prezentarea prin imagini a unei idei, a unui gând, tehnică ce poate fi folosită cu deosebit succes şi în predare. În următorul text am ales pasajele edificatoare. Primul aliniat prezintă o selecţie a dialogului celor doi realizatori începând de la minutul 7:15 al înregistrării de pe PODCAST-ul Europa fm; al doilea aliniat reprezintă aproape tot discursul d-lui Popescu, de la minutul 16:45 până la momentul 19:20.

CTP: Ştiţi ce-i cu dl. Cîţu? Vă zic eu. L-aţi văzut la vaccinare? Eee, dl. Cîţu nu e chiar ca dl. Iohannis de “fitt”, aşa, la biceps şi triceps, dar nu e nici de lepădat! Surpriza a fost mai mare la Cîţu decât la Iohannis. După părerea mea, a avut un efect pozitiv forma fizică deosebită artătată de dl. Iohannis în momentul vaccinării, care a dus la creşterea numărului de persoane care au dorit să se vaccineze. AN: Ăsta e criteriul? Chiar credeţi? CTP: Da, da! Nu ce-a zis dl. Iohannis după aia, nu doare, n-a mai contat ce-a declarat, a contat numai “brandul”: când s-a văzut “aşa”, cred că mulţi au spus (…) că e de bine. În public aşa se produc circuitele aste mentale, nu pe cale raţională. Te chinui de multe ori să-i explici, cum am făcut şi eu, cu vaccinu cutare, cu ARN-ul, cu mesagerul, (…), şi vine dl. Preşedinte, “aşa” şi se vaccinează lumea. Dl. Cîţu în tricou arată mult mai bine decât în costumul ăla de premier. Surprinzător! Adică e lucrat bine şi asta spune într-un fel câte ceva şi despre el (…) După ce (…) a apărut Iohannis, cu “brandul”, s-au vaccinat mulţi, sunt deja sute de mii (…) Acum lumea o ia invers (…)E mai bine aşa. Mă bucur s-aud că nu mai sunt locuri la programare, că s-au umplut locurile în Bucureşti şi-n alte oraşe. Asta e bine. AN: Credeţi că ce s-a întâmplat în momentul vaccinării preşedintelui a fost un moment bine gândit, o mişcare de imagine bună, convingătoare?

CTP: Da, da, sigur că da. Este o imagine care rămâne. Rămâne imaginea. Vedeţi ce forţă are imaginea? Cuvintele …? Poţi să spui 1000 de cuvinte: “domne, nu e periculos, e o substanţă chimică, nu este o bucată de virus acolo, ca să vă temeţi că aţi putea să vă-mbolnăviţi ( …). Au fost tot felul de din-astea. Nu. O imagine! Imediat! Ai înfipt în (…) Oamenii, în general, acum gândesc în imagini şi când le spui cuvinte, trebuie să le transmiţi de fapt imagini, prin acele cuvinte. Dacă cuvintele nu poartă în ele, nu reuşesc să transmită o imagine, ai vorbit degeaba. Oricât de logic, oricât de corect gramatical şi de documentat ai vorbi, dacă nu transmiţi o imagine … . Tot aici în emisiune, în sezonul trecut, am fabricat o astfel de imagine, cea a momelii artificiale la pescuit (…). N-am mai insistat pe structura ARN-mesager, pe cum sunt în general vaccinurile, şi spuneam: peştele poate fi prins cu râmă, sau cu muscă, sau poate fi prins cu muscă de plastic; aceste două vaccinuri (…) sunt cu muscă de plastic. Nu au bucăţi de virus în vaccin. Prin urmare, nu aveţi a vă teme din punctul ăsta de vedere. Ele nu fac altceva, aceste vaccinuri, decât aidoma momelii artificiale de la pescuit, ele păcălesc organismul, astfel încât el să emită anticorpi, să aibă răspuns imunitar, până să vină Covidul. Când vine Covidul, el găseşte porţile închise, cu soldaţii cu arma în poziţie de tragere. Asta face acest vaccin. Deci trebuie să găseşti o imagine. Altfel, cu “cuvinte” e greu! Preşedintele Iohannis a găsit o imagine bună, şi repet, a contat mult surpriza aspectului fizic.

*

Procedeul prezentării prin imagine este folosit cu această ocazie în mod briliant de Dl. Preşedinte cu adresare directă la “subliminalul” diferitelor segmente de populaţie. Dl. Popescu scoate în evidenţă, în cuvântul său, mesajul la adresa părţii de populaţie care are muşchii drept una din principalele preocupări ale vieţii, atât cei fizici (în cazul de faţă), cât şi prin extensie cei “de sub capotă” (preferabil a unui BMW, chiar şi dacă acesta este eventual de mâna a doua). Imaginea vaccinării D-lui Preşedinte a avut un impact mult mai puternic în strădania de convingere a populaţiei să se vaccineze, mult mai puternic decât toate argumentele ştiinţifice, teoretice, prezentate în cuvinte.

În al doilea aliniat dl. Popescu avansează în subiect: Dl. Preşedinte Iohannis s-a prezentat în imagine pe toate ecranele televizoarelor, în imagine “fizică” vreau să zic. Oricine l-a putut vedea cum se vaccina. Apropos: eu am auzit doar la radio de întâmplare; după trei zile am căutat pe net şi m-am uitat şi eu la “marea minune” despre care se tot vorbea.

Pentru oamenii cu o minimă capacitate de imaginare există însă şi modalitatea aducerii “în faţa auditoriului” a unor “imagini prezentate în cuvinte” (de pildă la radio): Oamenii, în general, acum gândesc în imagini şi chiar şi când le spui cuvinte, trebuie de fapt să le transmiţi imagini, prin acele cuvinte.

Despre acest aspect aş dori să scriu în continuare. Este unul dintre cele mai fine subiecte ale artei predării în general; eu l-am întâlnit doar în discursurile docenţilor de la cursurile de pedagogie Waldorf, unde este numită generic “predare prin imagini“. În general l-am întâlnit la colegi germani, dar unul dintre cele mai fascinante exemple l-am auzit de la un profesor francez (ce-i drept, care predă în Germania). Ca atare m-am ferit a vorbi pe pentagonia.ro despre acesta, pentru că nu consideram că aş avea argumente solide în aducerea acestui subiect în faţa profesorilor din şcolile obişnuite. Cuvântul d-lui Popescu scoate însă respectiva tehnică din zona “subiectivităţii” unei pedagogii aparte, cum este Waldorf-ul, poziţionând astfel tehnica “predării prin imagini” în zona unei pedagogii obiective, pentru toată lumea (bazată pe psihologia naturală), în zona artei predării aplicabilă la nivelul oricărei şcoli şi deci a oricărui profesor, de orice materie. Haideţi să analizăm acest subiect din punct de vedere al predării matematicii.

Suntem obişnuiţi ca într-un manual, să zicem de geografie, să întâlnim o sumedenie de poze care sunt puse acolo ca bază de imaginare a elevilor. Acelaşi lucru îl întâlnim şi în manualele de geometrie: de obicei găsim o figură geometrică lângă orice definiţie, chiar şi lângă teoreme. Trebuie să citeşti textul şi să te uiţi la figura de alături ca să apară în mintea ta înţelegerea. Aşa merge învăţarea geometriei. Pentru început, elevii nu au capacităţi deosebite de a-şi imagina o figură sau de a construi o figură după un text de problemă sau de teoremă. Acest proces este unul anevoios şi trebuie să avem răbdare cu elevii să-şi formeze capacitatea de generare a figurii.

Legat de aceasta, am două exemple. În primul rând, eu le sugerez elevilor de clasele 6-7 să fie atenţi atunci când cer acasă ajutorul unei rude care ştie geometrie, să observe cum acesta se uită undeva “în gol”, atunci când citeşte o problemă de geometrie. Acesta se va uita spre o zonă de perete, tavan sau perdea, undeva unde nu sunt detalii perturbatoare, pentru a-şi imagina “cu ochii interiori” structura figurii acelei probleme. Ei, elevii încă nu au această capacitate, dar şi-o vor forma cu timpul, dar asta doanumair lucrând multe probleme şi făcând cât mai atent, de fiecare dată o figură corectă aferentă problemei.

Al doilea exemplu ţine de culegerea de geometrie ce am scris-o în 2005 (De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica; 2006, Ed. Humanitas Educaţional): cartea are cca. 550 de probleme şi cca. 450 de figuri geometrice alăturate textelor sau rezolvărilor. Practic, toate paginile culegerii sunt împărţite într-o bandă lată de 8 cm (la cotor) cu titluri şi texte, cât şi, în paralel cu aceasta, o bandă de 5 cm (la exteriorul paginii) cu figuri geometrice corespunzătoare. Intenţia a fost clară: să-i ajut pe elevi în faza iniţială, când încă nu au bine dezvoltată capacitatea de generare a unei figuri (şi a ttrebuit să mă lupt cu cei de la editură ca să accepte o astfel de aranjare nemaivăzută). Putem privi şi altfel: mulţi elevi ar fi abandonat o problemă, nefiind capabili să-şi imagineze ce le spune textul; aşa însă, cu figura alături, cresc puternic şansele ca elevul să înţeleagă despre ce este vorba şi poate chiar să rezolve problema respectivă.

Din păcate există şi contraexemple în acest sens, cazuri în care diferiţi profesori consideră că textul matematic este suficient ca elevul să înţeleagă despre ce este vorba. Vorbesc aici de situaţii de profesori, atât în cazul autorilor de manuale, cât şi în cazul predării la clasă. Mi-a fost dat să văd chiar cazul unei lecţii despre teorema lui Pitagora la clasa a 6-a, care nu avea deloc desenat un triunghi dreptunghic. Repet: întreaga lecţie (cât o fi ea de scurtă cu Pitagora în finalul clasei a 6-a) nu avea deloc desenat nici măcar un triunghi dreptunghic; lecţia consta doar în teorema scrisă şi în exemple în care apăreau situaţii exclusiv scrise şi cu calculele aferente. Lecţia întreagă, fără nici măcar un triunghi dreptunghic desenat, era tratată doar teoreticist aritmetico-algebric, adică fără nici cea mai mică imagine! GROAZNIC!

Nici nu mai are rost să intre aici în discuţie aspectul despre care am vorbit în trecut, anume faptul că mutarea accentului dintr-unul echilibrat “arie + puterea a doua” pentru cuvântul “pătrat din teorema lui Pitagora (abordare echilibrată geometrică şi algebrică), înspre abordarea unilaterală “doar puterea a doua” impusă odată cu reforma din 1980 şi prezentă în manuale de atunci, această mişcare impiedică prezentarea renumitei imagini cu pătratele construite pe laturile triunghiului dreptunghic, făcând astfel imposibilă vizualizarea într-o imagine a fenomenului unic din teorema lui Pitagora (pentru o reactualizare vezi postările mai vechi pe tema acestei imagini la adresele: http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/, http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/ şi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/ ).

Apropos: trebuie să recunosc că manualul folosit anul trecut la clasa a 7-a a reluat vechea imagine pentru teorema lui Pitagora, aducând-o chiar pe coperta principală. Nu ştiu însă cât de conştienţi au fost colegii profesori care au ales acel manual, încât să o şi folosească eficient.

Revenind la subiectul nostru, dl. Popescu “pune degetul” pe o rană adâncă a predării în şcolile româneşti, la toate materiile cu pretenţie ştiinţifică, predare ce se vrea de inspiraţie academică, în formă de prelegere, stil ce a coborât în ultima jumătate de secol, din facultăţi, tot mai jos faţă de nivelul vârstelor, mai întâi în licee, iar apoi – încet, dar sigur – şi la nivelul gimnazial. Faptul că mulţi profesori consideră că o predare ideală constă în turuirea lecţiei, cât mai corect teoretic şi doar în cuvinte şi limbaj de specialitate, aceasta este una dintre cele mai grave urmări ale goanei după excelenţă ştiinţifică înainte de nivelul universitar (curent de predare începând din anii ’80 şi atingând apogeul în anii ’90), ducând la scăderea masivă a înţelegerii materiei predate de către marea masă a elevilor, ducând în consecinţă inclusiv la nevoia uriaşă de ajutor prin ore particulare, ajungându-se chiar la considerarea acestei stări drept “normalitate”. Una din caracteristicile clare ale acestui stil de predare o reprezintă înclinaţia profesorilor spre neglijarea figurilor geometrice şi a imaginilor în general. Pentru mulţi profesori, imaginile în general, dar mai ales procuparea pentru exactitatea acestora, sunt considerate neimportante, puerile, triviale, dovezi ale unei gândiri şi abordări mediocre; dimpotrivă, definiţiile şi teoremele pline de cuvinte de specialitate sunt considerate adevăratele repere ale unei predări de nivel înalt.

Dar nu-i adevărat şi dl. Popescu ne precizează foarte clar: trebuie să găseşti o imagine. Altfel, cu “cuvinte” e greu! Cuvintele …? Poţi să spui 1000 de cuvinte… Oamenii, în general, acum gândesc în imagini şi când le spui cuvinte, trebuie să le transmiţi de fapt imagini, prin acele cuvinte. Dacă cuvintele nu poartă în ele, nu reuşesc să transmită o imagine, ai vorbit degeaba. Oricât de logic, oricât de corect gramatical şi de documentat ai vorbi, dacă nu transmiţi o imagine … . (vezi o scurtă observaţie în P.S)

Doar învăţătoarele sunt imune la acest “curent de predare” şi nu se “infectează cu acest virus al prelegerilor”. Prin comparaţie cu dânsele, odată cu predarea specializată doar pe o materie, începând din clasa a 5-a, cadrele didactice se numesc – cu îngâmfată mândrie – “Profesori”, dorind astfel să sublinieze cât sunt de superiori faţă de “amărâtele de învăţătoare”. În marea majoritate a ţărilor însă, de la începutul şcolii şi până în finalul liceului cadrele didactice se numesc Teacher (zona engleză), Lehrer (ţările germane) etc.; chiar şi în Republica Moldova toţi se numesc învăţători. Cam peste tot, doar profesorii universitari se numesc profesori.

Revenind la matematică, este vident faptul că geometria are avantajul de a putea oferi imagini pentru teoriile sale, imagini ce pot astfel sprijini înţelegerea fenomenelor studiate, cu condiţia de a fi folosite corect şi eficient. Abordând astfel subiectul nostru, putem deduce în mod simplist că algebra nu are acest avantaj şi că “asta e!”, elevii trebuind să se descurce fără imagini în înţelegerea fenomenelor studiate la algebră. Nimic mai greşit!

Profesorul are datoria de a căuta şi în cazul fenomenelor aritmetico-algebrice imagini potrivite care să susţină înţelegerea respectivelor lecţii. Acestea pot să apară sub forma unor figuri geometrice sau sub forma unor scheme evolutive ale numerelor; important este să se creeze o imagine care să sprijine înţelegerea pe cât mai multe canale mentale, nu doar pe cel teoretic oral. În nici un caz nu mi-am propus să prezint acum şi aici astfel de exemple (materialul de faţă ar scăpa total de sub control, ca dimensiuni vorbind), dar merită să atenţionez asupra acestui aspect: şi fenomenele aritmetico-algebrice se pot prezenta în imagini, iar asta chiar de la început, adică mult înaintea reprezentării grafice a funcţiilor.

Încercând să avansez, pot doar să recomand colegilor mei profesori: luaţi în gând această idee şi căutaţi cu timpul căi şi exemple de predare prin imagini. Şi nu vorbesc doar de predare folosind imagini concrete, din manual sau puse pe tablă în timpul lecţiei, ci şi “imagini” transmise elevilor, pe care aceştia să le creeze în imaginaţia lor. Dau aici un singur exemplu, anume prezentarea şi discutarea proprietăţilor geometrice pe “figuri în aer“.

Să explic ce vreau să spun: în engleză există o expresie, care tradusă s-ar numi “chitară de aer” (air-guitar; am întâlnit-o şi în germană ca Luftgitarre), care desemnează gesturile făcute de o persoană ce mimează cântatul la chitară, de obicei rock, “acompaniind” o melodie ce sună din difuzoare, deşi acesta nu are deloc o chitară în mâini. Cunoaştem aceste gesturi de la Freddie Mercury, ţinând în mâini renumitul său microfon, dar puteţi vedea şi un exemplu în filmuleţul de la adresa https://www.youtube.com/watch?v=R1dW8M4EqYY , un exemplu magistral cu Bradley Cooper (am dat căutare pe net şi am ales primul exemplu gasit pe youtube).

În mod similar, putem să vorbim despre o figură geometrică “de aer”, pe perimetrul căreia noi gesticulăm în timp ce explicăm ceva legat de aceasta. Apar aici două etape clar distincte. În primul rând elevii trebuie obişnuiţi cu aceasta şi cu faptul că atunci când profesorul “arată” pe o astfel de “figură de aer” (de fapt inexistentă, doar mimată), ei, elevii trebuie să şi-o imagineze. Elevii trebuie să înveţe să-şi imagineze figuri geometrice, iar această tehnică îi ajută foarte mult, forţându-le imaginaţia. Această fază se poate face desigur cel mai bine pe figuri plane clare, cum ar fi patrulaterele sau triunghiurile. Uneori eu mimez triunghiurile, isoscele sau scalene, cu braţele. Desigur că am doar două braţe, aşa că acestea vor arăta principalele două laturi, în funcţie de ce doresc să arăt. Dacă doresc să arăt isoscelitatea sau ne-isoscelitatea unui triunghi, atunci voi mima cu mâinile laturile oblice; alteori poate voi sugera cu o mână baza şi cu cealaltă una dintre laturile care urcă. Paralelogramele sau dreptunghiurile se mimează foarte uşor cu ajutorul palmelor sau a braţelor.

O a doua fază o reprezintă folosirea tehnicii respective la corpurile geometrice din clasa a 8-a. Rog cititorii să înceapă exerciţiile de imaginare a felului cum se poate descrie în aer un corp geometric, prin mişcări potrivite pe “suprafaţa” acestuia, acompaniate de o descriere verbală: un cub sau o piramidă (toţi copii au văzut poze făcute din aer cu piramidele din Egipt), un cilindru sau o sferă; o prismă dreaptă sau o prismă oblică etc. Eu folosesc această tehnică mai întâi pe corpuri presupus cunoscute dinainte, eventual deja şi desenate pe tablă. De-abia după ce elevii s-au obişnuit cu această tehnică îmi permit să o folosesc şi la corpuri necunoscute, dar întotdeauna cu referire la un alt corp cunoscut şi evidenţiind deosebirile.

Credeam că eu sunt un ciudat că procedez în acest fel, că folosesc o astfel de “metodă”, dar anul trecut, (februarie 2020, deci exact pe vremea asta) am primit la Cluj vizita unei doamne din conducerea sistemului Waldorf mondial, d-na Constanza Kaliks (de origine din Brasilia) care ne-a ţinut o conferinţă la începutul căreia a vorbit despre un octaedru regulat. Conferinţa a fost fără tablă sau planşă de vizualizare, marea majoritate a auditoriului fiind în plus şi nematematicieni (mai exact, doar eu eram matematician pe acolo, dar mai auziseră vreo trei persoane de octaedru), aşa încât dinsa a prezentat pentru început corpul respectiv descriindu-l oral şi sugerându-l în mod mimat cu mâinile: o piramidă cu vârful în sus şi încă una la fel cu vârful în jos, cele două cu aceeaşi bază, astfel încât toate cele opt triunghiuri să fie echilaterale. La fel a condus mai departe şi toată discuţia cu întrebările de rigoare, însoţind totul cu mişcări ale mâinilor, mimând acest corp, parcă mângâind un octaedru regulat “de aer”, astfel încât toată lumea putea vizualiza acel corp, cât şi aspectele şi întrebările puse, fără să fi cunoscut dinainte noţiunea de octaedru (fiind astfel într-o poziţie similară cu elevii la clasă) şi fără să vadă fizic o imagine cu acesta.

Pentru mine întâmplarea a adus revelaţia faptului că nu sunt eu “un ciudat”, ci că metoda este una obiectivă şi că aceasta are rădăcini mult mai adânci într-o psihologie a capacităţii de imaginare necesară unei înţelegeri bune a lumii înconjurătoare. Sper ca prin prezenta postare să fi reuşit a trezi interesul unor colegi pentru căutări în acest sens. Deşi nu ştiu dacă va ajunge să citească şi dânsul aceste rânduri, îi mulţumesc din suflet d-lui Cristian Tudor Popescu pentru imboldul oferit prin discursul respectiv din 18 ianuarie 2021. CTG

P.S. O singură observaţie aş avea la ce a spus dl. Popescu în pasajul evidenţiat: Oamenii, în general, acum gândesc în imagini şi când le spui cuvinte, trebuie să le transmiţi de fapt imagini, prin acele cuvinte. Dacă cuvintele nu poartă în ele, nu reuşesc să transmită o imagine, ai vorbit degeaba.

Vreau să precizez că nu doar acum, ci dintotdeauna a fost aşa. Nu doar acum au ajuns oamenii să gândească în imagini. Gândirea în imagini este o caracteristică profundă a oamenilor şi aceasta a existat la om dintotdeauna. Pot interpreta acest cuvânt al d-lui Popescu doar în sensul că populaţia care se implica în discuţii înalte “pe vremuri” era mai restrânsă, marea masă a “plebei” stând de-o parte la “problemele înalte” ale comunităţii; cei implicaţi, având o cultură mai ridicată, puteau dezbate diversele decizii “în cuvinte”, neavând nevoie de “imagini”. Acum, dimpotrivă, prin accesul nelimitat la mass-media (televiziune pentru cei vârstnici sau internet pentru cei care-l folosesc, şi unii şi ceilalţi având însă posibilitatea să-şi aleagă sursa în mod subiectiv, în funcţie de părerile proprii), acum se implică în “dezbaterea publică” toată lumea, toţi îşi dau cu părerea şi se pricep nevoie mare, inclusiv cei care nu sunt obişnuiţi a prelua un mesaj “prin cuvinte, prin text”.

Apropos, mai apare din păcate – încet, dar sigur – încă o categorie de cetăţeni care au nevoie de imagine, anume cei foarte tineri, cei crescuţi deja doar cu ecran în faţa lor, cei cărora nu li s-au spus poveşti când erau copii, poveşti la care să fi fost obligaţi să-şi imagineze şirul întâmplărilor, ci au fost puşi de mici la televizor. Ulterior, de multe ori aceştia nici nu au ajuns să savureze cititul, aşa încât nici nu sunt obişnuiţi să preia un mesaj cu o profundă încărcătură logico-argumentativă, într-un discurs prea lung (prea lung pentru ei). Aceştia sunt însă obişnuiţi să preia în mod superficial mesaje primite prin imagini ale ecranului, de la televizor până la deşteptofon. Cu elevii dintr-o veche clasă (Bac în 2008) aveam o replică: Ai citit cărţile cu Harry Potter? Nu, dar am văzut filmele!

Consider că aceştia sunt cei mai vulnerabili, pentru că nu au deloc capacitatea de imaginare, capacitatea de a prelua o “imagine adusă prin cuvinte”, ei fiind total dependenţi de imaginile fizice oferite, prin intermediul ecranelor în viaţa de zi cu zi, sau prin intermediul tablei în timpul lecţiilor, eventual prin folosirea imaginilor din manual sau din alte surse bibliografice, inclusiv internetul. Pentru aceştia a fost deosebit de bună imaginea cu muşchii lui Iohannis în timp ce se vaccina.

One thought on “Predarea prin imagini”

  1. Si eu sunt un mare adept al matematicii vizuale. Am devenit interesat in matematica vizuala dupa ce am descoperit metoda lui Lill (Eduard Lill, un inginer austriac din secolul 19). Un alt lucru interesant pe care l-am descoperit a fost calculul integral visual inventat de Mamikon Mnatsakanian (in engleza e “visual calculus”). Toate astea le-am descoperit dupa ce am terminat facultatea de mate in SUA. De abia dupa facultate am aflat ca parabola are o subnormala constanta, si ca functiile exponentiale si functiile logaritmice au subtangenta constanta. La nici o clasa de mate nu am auzit de subtangente si subnormale. A trebuit sa citest carti ca “New Horizons in Geometry” de Mamikon si Tom Apostol. Conceptul de subtangenta si subnormala sunt importante din punct de vedere istoric. De exemplu Leibniz s-a folosit de ele. Una din intrebari din perioada lui Leibniz era “ce curba are subtangenta constanta”.

    Din pacate, multi inovatori in matematica vizuala au fost ignorati. De exemplu, in 1847 Oliver Byrne a publicat o editie a cartii Elementele lui Euclid care continea numai primele 6 carti (din 13). In aceasta editie, Byrne s-a folosit mult de diagrame colorate. Multe notatii geometrice din demontratie au fost inlocuite cu diagrame colorate. Chiar si multe cuvinte au fost inlocuite de diagrame. Puteti vedea o editie online care este interactiva la linkul asta https://www.c82.net/euclid/

    In afara de Byrne, Lill, Mamikon si Apostol as putea sa mentionez si David Dennis care are websitul http://quadrivium.info/ . David Dennis a facut experimente educationale cu mecanisme de desenat curbe geometrice (de exemplu elipsa). Persoane istorice ca Decartes s-a folosit de astfel de dispozitive mecanice de desenat curbe geometrice. Multe din aceste dispozitive ar fi usor de construit si probabil multi elevi ar invata mai usor despre diversele proprietati pe care le au curbele conice. Ar invata mai usor si ar ramane in minte cu mai multe si dupa ce ar termina scoala.

    Singurul mecanism care a fost folosit in scolile din SUA a fost liniarul de calcul (slide rule). Un profesor pe care l-am avut in liceu la ora de “calculus” a mentionat ca a folosit la scoala liniarul de calcul. Cred ca a fost folosit pana in anii 70. Eu zic ca liniarul de calcul ar trebui sa fie reintrodus ca instrument educativ. Acum e greu de gasit. Am cumparat de pe eBay un liniar de calcul din anii 70 (nici nu stiu daca sunt liniare de calcul de brand facute dupa anii 70, unii is fac ei singuri liniare de acet tip).

    Poate am vorbit cam mult, dar sunt pasionat de subiectul “matematica vizuala”. Ma bucura ca e cineva si in Romania care vorbeste de acest subiect important. Vizualizarea e chiar mai importanta in era asta cand se fac prezentari PowerPoint si chiar si animalele de casa se uita la dispozitive cu ecrane digitale.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
19 × 15 =