Motto: Cu rigla, raportorul şi compasul spre înţelegere, gândire şi învăţare (adaptare după o vorbă nemţească: “mit Kleber und Schere, durch Forschung und Lehre”, pe româneşte: “cu foarfecă şi lipici spre cercetare şi învăţătură”).
În mega-eseul despre planimetrie şi stereometrie, în partea a 3-a, scriam despre un ciudat embargou “pus” asupra planimetriei în clasa a 6-a pentru că de fapt nu am avea ce să calculăm până nu cunoaştem figurile geometrice, în principal triunghiurile, patrulaterele sau cercurile. Aşa-i: nu putem să ne ocupăm de perimetre şi de arii până nu cunoaştem serios figurile geometrice “închise”, cărora vrem să le calculăm perimetrele şi ariile (studiul ideii de perimetru sau arie pentru câteva figuri în clasa a 5-a implică o abordare extrem de intuitivă a acestora, abordare care însă este posibilă doar în cazul câtorva, în principal pătratul şi dreptunghiul). Există însă un mare DAR,… , anume că planimetria nu constă doar în calcule de perimetre şi arii.
Ariile reprezintă măsura suprafeţelor (pe germană Flächeninhalt, însemnând “conţinutul suprafeţei”) a unor figuri bidimensionale (2D) şi se calculează conform unor formule (reţete) complexe, ce au făcut obiectul unei “cercetări” preliminare (asta într-un caz normal, în care profesorul doreşte să-i înveţe pe elevi să şi gândească, nu doar să rezolve papagaliceşte nişte exerciţii; dacă însă profesorul sau un părinte îi dă elevului direct formula, atunci elevul va acumula şi cu această ocazie frustrare faţă de incapacitatea sa de gândire, făcând astfel încă un pas spre “analfabetismul funcţional” matematic).
Dimpotrivă, deşi se referă la figuri bidimensionale, perimetrele reprezintă o mărime unidimensională (1D). Procedeul de calcul al perimetrelor este însă unul mult mai simplu, anume de însumare a lungimilor tuturor laturilor. O persoană cu un minim nivel de gândire nu are nevoie de reţetă în cazul unui perimetru (dacă un elev nu reuşeşte să gândească singur un perimetru, dă clare dovezi de “analfabetism funcţional” matematic; un adult care împinge elevul spre învăţarea pe de rost a unor reţete de perimetru la diferitele figuri geometrice, acesta dă dovadă de o inconştienţă crasă, în multe cazuri împingând de fapt elevul şi mai mult înspre mocirla nongândirii, numită “analfabetism funcţional” matematic-AFM; dimpotrivă, dacă un elev îşi deduce singur anumite formule de calcul a perimetrului, aceasta este o clară dovadă de gândire, dar numai dacă o face el, nu şi dacă i-o dă adultul de lângă el; de pildă, un elev care tot adună laturi şi la romb, fără să-şi dea seama că poate înmulţi latura cu 4, acesta are clar un început de AFM, adică de “analfabetism funcţional” matematic).
Încercând să facem un pas şi mai jos faţă de arii şi faţă de perimetre, vedem că înaintea acestora se află simpla preocupare pentru lungimea unor laturi, adică lungimea unor segmente. De aici începe de fapt planimetria, iar clasa a 6-a are din belşug ocazii de a exersa elemente de bază în planimetria iniţială, adică ocazii de lucrat cu măsurile elementelor unor figuri, segmente şi unghiuri.
Cu alte cuvinte, planimetria începe prin exerciţii simple de măsurare a unor “obiecte geometrice” deja existente, cât şi de construcţii ale unor “obiecte geometrice” cu anumite dimensiuni cerute, în principal segmente, adică lungimi, dar apoi repede fiind incluse în acest joc şi unghiurile. Aceste exerciţii existau în toate manualele vechi (ele dispăruseră direct, dar erau subînţelese chiar şi în vremea ultimelor manuale comuniste, cele din anii ’80-’90), dar au fost cu totul abandonate în forma manualelor alternative din 1997, deoarece acestea cât şi preocuparea profesorilor au ajuns să fie setate total spre matematica de performanţă; or, măsuratul cu liniarul şi alte activităţi de acest gen chiar nu fac parte din preocupările concursurilor de excelenţă.
Fără această fază iniţială a geometriei există însă clar posibilitatea ca unii elevi (şi nu puţini) nici măcar să nu priceapă despre ce este vorba în problemele cu arii şi perimetre, acestea prezentându-li-se din start deja mult prea sofisticat şi “teoreticist”. Înainte de a lucra “calculatorist” cu nişte dimensiuni, elevul trebuie să le fi folosit “măsurătorist”, altfel pot apărea disfuncţionalităţi puternice la copiii instabili din acest punct de vedere (AFM).
De pildă, există copii care nu ştiu ce şi cum se măsoară cu liniarul, existând unii care au impulsul să înceapă cu măsurătoarea de la 1, nu de la 0. Nici nu mai are rost în acest context să vorbim despre măsurarea unghiurilor cu raportorul. Acesta este oricum un instrument mult mai complicat decât liniarul, profesorul trebuind să petreacă cu elevii mult mai mult timp la măsurarea unghiurilor, dacât la lungimi. Procentul elevilor care nu pricep din prima ce se întâmplă cu raportorul este muuult mai mare decât în cazul liniarului, iar aceştia au nevoie să lucreze câteva zile pe acest subiect până se fixează şi în mintea lor “ce şi cum”.
Cu alte cuvinte, embargo-ul din clasa a 6-a împotriva planimetriei poate apărea doar în mintea profesorilor care gândesc numai la nivelul demonstraţiilor şi a calculelor sofisticate, în general a gândirii mult prea înalte pentru o mare parte a elevilor.
Ca o paranteză, desigur că cititorul va căuta partea întâi (1) a acestei serii, dar nu o va găsi. Motivul este următorul: am decis să expun acest subiect, al construcţiilor geometrice, în ordinea în care mintea mea l-a cucerit, nu în ordinea în care părţile acestui eseu apar în viaţa elevului. Numerotarea însă se referă la ordinea naturală în predare, iar onor cititorii vor trebui să-şi lămurească această dualitate de abordare (staţi liniştiţi: urmează cât de repede şi partea întâi). Să vedem deci cum am “cucerit” eu acest subiect în ultimul deceniu.
De mulţi ani în mintea mea a început să crească – încetu’ cu-ncetu’ – vechea temă din manuale de demult despre construcţii de triunghiuri cu instrumente geometrice (începând din secolul XIX şi până în anii ’90, când o făceau încă foarte mulţi profesori). În manualele vechi elementele erau desenate separat mai întâi; doar apoi erau desenate asamblat într-un triunghi.
Cu timpul mi-am dat seama că aceasta reprezintă o minunată oportunitate de cunoaştere practică a triunghiurilor, deosebit de bună de aplicat înaintea problemelor cu demonstraţii în triunghiuri; elevii sunt astfel îndrumaţi iniţial spre o cunoaştere practică a acestora, înaintea abordării problemelor “intelectuale”. Pe acest drum de refacere a căii vechi de cunoaştere, de la un an la altu’ fişa mea de lucru a crescut încet-încet; la început a fost scrisă de mână, apoi a ajuns redactată în calculator, evoluând în variante tot mai cizelate şi mai complete. La ora actuală acest material de lucru pentru elevii se prezintă sub forma a două fişe: Fişa 1) Construcţii de triunghiuri (generale sau speciale) şi Fişa 2) Construcţii de triunghiuri cu linii importante. Acestea pot fi imprimate faţă-verso pe o coală A4. Este evident că a doua fişă ajută şi la o primă cunoaştere practică a liniilor importante în triunghi.
Materialul este adaptat formei în care predau eu acest capitol, anume în ordinea următoare: Lecţia 1) Triunghiul (elemente), Suma unghiurilor, unghiul exterior; Lecţia 2) Construcţia triunghiurilor, cazurile de construcţie (renumitele LLL, LUL şi ULU abordate iniţial astfel); Lecţia 3) Clasificarea triunghiurilor (tipuri de triunghiuri); Lecţia 4) Liniile importante în triunghi; Lecţia 5) Triunghiul dreptunghic (tipuri, proprietăţi şi teoreme).
Consider că abia după o cunoaştere practică prin construcţie a triunghiurilor cu instrumentele geometrice, abia apoi se poate trece la nivelul superior, anume la demonstraţii cu acestea. Partea de cunoaştere practică şi intuitivă lipseşte din forma de predare a majorităţii profesorilor, iar acesta este unul din motivele de bază pentru care elevii din toată ţara merg atât de slab la geometrie.
Din păcate, geo-metria (măsurarea terenurilor, cum a fost aceasta denumită de către grecii antici, după vizitele “de studii” în Ţara Nilului) a ajuns în ciudata situaţie de a se dezice de denumirea sa: la ora actuală în geo-metria de mult nu mai măsoară! Prin iniţiativa mea, eu am încercat să repun geo-metria pe făgaşul normal, punându-i pe elevi la început “să măsoare”.
Nu vreau să susţin că geo-metria ar trebui să revină la practicile de măsurare a terenului (de pildă cum se făcea după retragerea apelor Nilului în Egiptul Antic), dar consider că orice elev ar trebui să fie introdus în acest domeniu începând printr-o cunoaştere practică a elementelor geometrice, o cunoaştere care să fie adaptată vârstei şi nivelului mediu de gândire, să fie accesibilă, chiar cu vagi accente ludice, dar în primul rând să fie făcută prin intermediul manualităţii. Această cunoaştere practică nu o exclude pe cea teoretică. Cunoaşterea teoretică trebuie doar domolită şi adaptată nevoilor şi posibilităţilor generale ale vârstei de clasa a 6-a, folosirea ei în probleme de demonstrat trebuind însă să vină întotdeauna după cunoaşterea practică.
În acest context trebuie să recizez că materialul din aceste fişe urcă până la nivelul de dificultate în care rezolvitorul trebuie de fapt, este chiar nevoit, împins să facă primii paşi de raţionamente specifice demonstraţiilor, raţionamente pe care trebuie desigur să le justifice (am făcut aşa pentru că …).
Este evident că după etapa de cunoaştere a triunghiurilor prin construcţie, pe baza “cazurilor de construcţie” (LLL, LUL, ULU, dar şi după o scurtă analiză LUU), se poate trece apoi la probleme teoretice, unde ar trebui parcursă lecţia despre “cazurile de congruenţă” a triunghiurilor (la început a triunghiurilor oarecare, iar apoi şi a triunghiurilor dreptunghice). Este evident că înţelegerea acestor lecţii va fi mult mai solidă, gândirea elevilor având acum formate rădăcini adânci într-o înţelegere practică a fenomenelor. Cu alte cuvinte, este evident că o lecţie ancorată în profunzimea experienţei practice personale are şansa să fie mult mai solidă decât o cunstrucţie superficială, fără o fundaţie solidă.
Anexez în final PDF-uri cu cele două fişe, cu observaţia că materialul conţine inclusiv aplicaţii ale teoremei triunghiului dreptunghic înscris în semicerc (“Cercul lui Thales”, cum este aceasta cunoscută de la graniţa cu Ungaria încolo, adică în toate ţările de cultură germană), teoremă folosibilă în cazul de construcţie IC, cu ipotenuza ca bază a triunghiului. CTG
2A5 Constructii linii imp in tri 35ex-converted.pdf şi
2A5 Constructii Triunghiuri 41ex-converted.pdf