A.S. (ante scriptum) La câteva zile după publicarea părţii a doua e eseului despre necesitatea reintroducerii geometriei sintetice în clasele de liceu http://pentagonia.ro/geometria-sintetica-in-clasa-a-9-a-2-cateva-argumente/, am primit un comentariu deosebit, atât de extins şi dens încât trecea cu mult dincolo de nivelul unui simplu şi obişnuit comentariu. Concret, gândurile primite reprezintă de fapt aproape un nou articol, aşa încât m-am pus pe treabă, l-am aranjat puţin, încercând şi o traducere cât de cât orientativă (mare parte acest comentariu sunt citate în limba engleză); în final mi-am permis şi eu câteva gânduri de completare. Rândurile primite reprezintă una dintre cele mai frumoase şi clare etalări a ideii, a descrierii despre ce reprezintă de fapt activitatea matematică; nu activitatea matematicienilor, ci activitatea matematică în general. Este vorba despre cum ar trebui să arate educaţia matematică, cel puţin de undeva din clasa a 3-a şi până spre final la BAC. Iar dacă urmărim cu atenţie ideile exprimate în aceste rânduri şi le permitem un proces “de digerare, de rumegare” în mintea noastră, atunci s-ar prea putea să înceapă să ne vină idei noi despre cum ar fi potrivit să ne conducem activitatea de predare a matematicii în clasele noastre, pentru a o face într-un mod cât mai atractiv elevilor.
Apropos de aceste ultime gânduri exprimate aici: nu vă puneţi sub presiune ca “repede să vă vină idei fabuloase”; citiţi încă o dată şi încă o dată, şi lăsaţi minţii voastre timp “să digere” aceste aspecte. S-ar putea ca numai după mult timp să observaţi că încep să vă vină impulsuri de schimbare (vorbesc aici de luni sau chiar ani), dar important este să porniţi procesul.
Este foarte curios cum acest comentariu primit se conectează în mod deosebit cu articolul http://pentagonia.ro/puterea-numerelor-negative-marele-roman-al-matematicii-si-arta-predarii/, postat însă doar ulterior pe acest blog. Asta înseamnă un singur lucru, anume că “ideea pluteşte în aer”, sau cu alte cuvinte că, de fapt am reuşit cu adevărat să ne apropiem de acel ceva ce reprezintă esenţa activităţii matematice, iar asta am făcut-o pur şi simplu din mai multe direcţii. Iată deci gândurile primite de la dl. Raul Prisăcariu, fiecare aliniat în engleză fiind urmat de traducerea acestuia (toată scrisoarea-comentariu este prezentată înclinat, pe când gândurile şi traducerea mea apar cu litere drepte):
*
Când e vorba de educatia matematica, eu am fost influenţat de ideiile din cartea “A Mathematician’s Lament” de Paul Lockhart (“Plângerea, lamentarea unui matematician”, într-o traducere simplistă; chiar aşa, nu se oferă o editură să traducă această carte? – notă de traducător CTG). Cartea are câteva pasaje citabile cum ar fi:
“By removing the creative process and leaving only the results of that process, you virtually guarantee that no one will have any real engagement with the subject.”
Prin eliminarea procesului creativ şi lăsând doar rezultatele acestui proces, garantezi, cu mare certitudine, te asiguri că nimeni nu-şi va crea o legătură reală cu acel subiect (acea lecţie, acele cunoştinţe)
“By concentrating on what, and leaving out why, mathematics is reduced to an empty shell. The art is not in the “truth” but in the explanation, the argument. It is the argument itself that gives the truth its context, and determines what is really being said and meant. Mathematics is the art of explanation. If you deny the students the opportunity to engage in this activity – to pose their own problems, to make their own conjectures and discoveries, to be wrong, to be creatively frustrated, to have an inspiration, and to cobble together their own explanations and proofs – you deny them mathematics itself. ”
Concentrându-ne pe CE, şi lăsând de-o parte DE CE, matematica este redusă la un ambalaj gol. Arta (numită matematică) nu constă în “adevăr” (în a prezenta “adevărul” studiat), ci în explicaţie, în argument. Argumentarea în sine este cea care îi dă adevărului prezentat contextul său şi lămureşte ce anume s-a dorit a fi spus, care a fost intenţia ce s-a dorit a fi transmisă. Matematica reprezintă arta explicaţiei (matematica devine vizibilă pentru elev, pentru novice, prin ARTA “PREDĂRII”, adică prin arta însoţirii elevului pe drumul cunoaşterii matematicii şi a gândirii specifice). Dacă le refuzi, le interzici elevilor ocazia de a se angaja în acest proces, în această activitate, – să ajungă în situaţia de a-şi genera singuri întrebări, de a găsi singuri propriile conjecturi (potriveli, bănuieli, posibile răspunsuri) şi propriile descoperiri, chiar de a greşi (în părerea expusă), de a vieţui frustrarea în procesul creativităţii, de a avea o inspiraţie, şi de a o împărtăşi, a aduce împreună, laolaltă cu ceilalţi, propriile explicaţii şi demonstraţii – atunci le negi matematica însăşi (le negi de fapt accesul la activitatea matematică).
“Worse, the perpetuation of this “pseudo-mathematics”, this emphasis on the accurate yet mindless manipulation of symbols, creates its own culture and its own set of values. Those who have become adept at it derive a great deal of self-esteem from their success. The last thing they want to hear is that math is really about raw creativity and aesthetic sensitivity.”
Mai rău, perpetuarea acestei “pseudo-matematici” încurajează la rândul său foarte exacta manipulare extremă a simbolurilor, la rândul ei totuşi lipsită de gândire; aceasta îşi crează cu timpul propria subcultură şi propriul set de valori. Cei care o folosesc îşi bazează mare parte din stima de sine pe succesul în această direcţie. Ultimul lucru pe care ei ar dori să-l audă este că matematica este cu adevărat despre creativitate brută şi sensibilitate estetică.”
“Math is not about following directions, it’s about making new directions.”
Matematica nu este despre urmarea şi păstrarea unor direcţii, ci este despre crearea unor noi direcţii (este mai degrabă despre exersarea capacităţilor de creare, de generare a unor noi direcţii).
“Mathematics is the music of reason. To do mathematics is to engage in an act of discovery and conjecture, intuition and inspiration; to be in a state of confusion – not because it makes no sense to you, but because you gave it sense and you still don’t understand what your creation is up to; to have a breakthrough idea; to be frustrated as an artist; to be awed and overwhelmed by an almost painful beauty; to be alive, damn it. Remove this from mathematics and you can have all the conferences you like; it won’t matter. Operate all you want, doctors: your patient is already dead.”
Matematica este muzica raţiunii. A face matematică înseamnă a te angaja într-o acţiune a descoperirii şi a presupunerii, a intuiţiei şi a inspiraţiei; a fi într-o stare de confuzie – nu pentru că ceea ce studiezi nu ar avea sens pentru tine – ci pentru că tu i-ai dat sens şi totuşi încă nu înţelegi cu adevărat de ce este în stare creaţia ta (unde va duce creaţia ta, ce urmări poate avea proaspăta ta creaţie); de a avea o idee care să penetreze “zidul”; să fi frustrat ca artist al gândurilor; să fi şi covârşit de frumuseţea aproape dureroasă a unei situaţii; de fapt este vorba despre a fi viu în activitatea matematică. Desfinţează toate acestea din matematică (scoate-le din procesul matematic) şi poţi să urmăreşti toate conferinţele ce-ţi ies în cale, că oricum nu mai contează. Operaţi oricât doriţi, voi doctori ai matematicii, că pacientul vostru a murit de mult.
Totuşi eu consider că Lockhart a fost influenţat un pic prea mult de idealismul matematic prezentat în celebrul eseu “A mathematician’s Apology” (O apologie a matematicianului) de G.H. Hardy. Şi el pune mult accent pe matematică ca o arta estetică, şi nu ca o artă care are şi beneficii practice. Pentru mine, unul din aspectele frumoase ale matematicii este faptul că poate avea aplicaţii practice. De aceea matematica este denumită ca fiind regina ştiintelor.
Eu zic că sunt 2 probleme mari în educatia matematică. O problema ţine de faptul că elevii nu sunt încurajaţi să intre în procesul acesta de gândire, de creare de ipoteze (conjectures) şi de experimentare matematică, pentru a vieţui plăcerea de a te juca cu aceste idei şi forme abstracte.
A doua problemă ţine de aplicaţii. Eu când vorbesc de aplicaţii, mă refer la aplicaţii care sunt interesante şi care pot arăta de ce matematica e folositoare în lumea reală. Este vorba despre aplicaţii care pot crea entuziasm în elevi, nu despre acele aplicaţii unde doar foloseşti nişte formule şi singura importaţă a lor este că apar la examene. Raul Prisăcariu
*
P.S. Gândul că “matematica este muzica raţiunii” m-a dus cu gândul la o altă idee deosebită (exprimată cu mult timp în urmă de către Rudolf Steiner, cel care a pus bazele sistemului şcolar Waldorf): “frumosul reprezintă umbra activităţii spirituale în fizic“, prin activitate spirituală înţelegând aici orice activitate a spiritului omenesc, inclusiv cea de gândire, mai exact inclusiv cea a activităţii “interioare” de gândire ce are loc în cadrul matematicii. Asocierea dintre muzică, drept o posibilă etalare a frumosului (manifestată într-o mişcare temporală a diverselor sunete şi tonalităţi), şi matematică, drept una dintre activităţile extreme alt spiritului omenesc (manifestându-se la rândul ei tot într-o mişcare temporală, prin succesiunea de etalare şi de conectare a ideilor şi a itemilor individuali de raţiune), această asociere dintre muzică şi matematică devine acum mult mai clară.
Dacă este să folosim muzica drept o parabolă a matematicii, atunci trebuie neapărat să precizăm un aspect deosebit de important. În finalul citatelor din Paul Lockhart referirea este la activitatea improvizaţiei de muzică, privită drept antecamera activităţii de compunere de muzică, şi nu activitatea de exersare şi redare a unei piese muzicale. În mod similar, aici se priveşte în mod critic simpla învăţare şi redare a unor elemente de matematică într-un mod cât mai eficient (inclusiv prin eficientizarea la maxim a folosirii simbolisticii corespunzătoare). Doar aceasta nu este cu adevărat matematică. Eşti cu adevărat angajat într-un proces matematic real doar dacă eşti lăsat, chiar eşti împins, a te implica în procesul de găsire a soluţiei, a rezolvării, a demonstraţiei, de unul singur!
Există şi o diferenţă majoră aici: dacă simplul interpret de muzică este denumit totuşi muzician, a practica cu elevii doar o redare a elementelor de matematică studiată este numită aici o “pseudo-matematică”. Citind acest articol, fiul nostru (29 ani) pe care l-am rugat să arunce o privire asupra traducerilor, a comentat astfel: Da, iar atunci când începe să ni se “servească” doar această “pseudo-matematică”, atunci începe să nu ne mai placă, chiar ne scârbeşte şi o urâm, pentru că nu mai suntem lăsaţi să ne implicăm în ea (adică în procesul de cucerire a matematicii şi de creare a noilor lecţii).
Datorită obiceiului tot mai răspândit din partea profesorilor de a prezenta matematica sub formă de prelegere (a “docentiza”, într-o traducere aproximativă a unui verb auzit la nemţi), datorită acestui aspect creşte aşa de mult numărul celor care detestă matematica; predarea prin problematizare este aici singura soluţie pentru a-i implica pe elevi în “cucerirea” lecţiilor din programă. Problema este că predarea prin problematizare consumă mult mai mult timp decât simpla prelegere. Concluziile se impun de la sine.
Matematica nu este doar o colecţie uriaşă de cunoştinţe (dobândite de-a lungul mileniilor de oameni) şi care are asupra elevilor un efect covârşitor, ci matematica este totodată un anumit tip de activitate care însă trebuie făcută de către învăţăcel în ritmul său. Mă refer aici la citatul pe care eu l-am tradus: Concentrându-ne pe CE, şi lăsând de-o parte DE CE, matematica este redusă la un ambalaj gol. În varianta engleză (mathematics is reduced to an empty shell) este folosit acest cuvânt shell, care în dicţionar (dicţionarul Englez Român al Academiei, Ed. Univers Enciclopedic 2004) dă o multitudine de variante: coajă, scoarţă, înveliş; mie cel mai mult îmi place traducerea “cochilie de scoică goală” pentru că aceasta implică şi lipsa existenţei conţinutului care este presupus viu. Animalul numit scoică este viu; cochilia scoicii este moartă (chiar dacă de multe ori foarte frumoasă, putând fi evident păstrată şi folosită decorativ în multe feluri).
În mod similar, “matematica rezultat” reprezintă doar partea moartă a matematicii (cea găsită de obicei în cărţi), pe când “matematica proces” este partea vie a matematicii. Aceasta din urmă nu poate fi păstrată fizic, ci poate fi doar trăită (aşadar păstrată numai în amintire, în suflet). Acum înţeleg ce vroia să spună un fost elev din prima generaţie de la Şcoala Waldorf din Cluj, care undeva pe la 30 de ani mi-a spus: nu mai ţin minte nimic din matematică; ţin minte doar că era foarte frumos şi ne plăcea ce făceam!!! O astfel de persoană se va putea apuca la nevoie oricând din nou de matematică şi nu o va face cu repulsie q.e.d. CTG
P.P.S. Dacă doriţi să extindeţi subiectul atins în final, vă recomand de pildă următoarea postare http://pentagonia.ro/dialogul-profesor-elev-rezolvarea-unei-probleme/ ; în eseul complet anexat postării am vorbit despre matematica activă vizavi de matematica pasivă.