Cubul – Prima lecţie din clasa a VIII-a

Programa actuală pentru clasa a VIII-a prevede un început intuitiv pentru geometria în spaţiu, prin prezentarea câtorva corpuri la început, pentru a putea fi folosite în problemele din lecţiile următoare. Aceasta este însă doar o jumătate de pas înspre accesibilizarea materiei, pentru că lecţiile merg în continuare tot în forma riguros – demonstrativă, accesibilă intelectual doar unui număr extrem de restrâns de elevi. Toţi ceilalţi, marea masă a elevilor de a VIII-a, urmează a se chinui încă mult, până când în sfârşit vor apărea formulele de arie şi volum şi vor putea face şi ei liniştiţi o problemă de geometrie, fără să tremure că iar nu ştiu.

Ne-am propus, pentru această postare, să arătăm cum am făcut anul acesta prezentarea primului corp – a cubului – într-o formă care să le ofere elevilor o alunecare cât mai lină în noua geometrie.

Pentru început am făcut un exerciţiu de vizualizare în spaţiu a unor „corpuri” formate din beţe (eu am avut acces la o grămadă de cozi de mătură). Puteţi vedea pe Youtube ceva similar în postarea colegilor de la Şcoala liberă Waldorf din Bucureşti (Studiul matematicii in gimnaziu – Scoala Libera Waldorf).

Apoi am trecut la tablă, respectiv elevii în caiete, şi am încercat diferite reprezentări 2D ale cubului, reprezentări care trebuie să păcălească ochiul şi creierul pentru a percepe vizual un cub care este un corp 3D (ca să folosesc limbajul preferat de elevi). Primele două sunt destul de surprinzătoare, pentru că sunt generate din construcţia hexagonului regulat cu rigla şi compasul (vezi prima imagine). Următoarele două figuri sunt mai obişnuite; găsiţi pe a doua imagine detaliile de construcţie.

În continuare am făcut trei exerciţii deosebite, pentru dezvoltarea imaginaţiei în spaţiu, legate de desfăşurările cubului. Trebuie să precizez că eu nu sunt de acord cu cuvântul „desfăşurare”: acesta presupune cubul deja existent, pe care apoi îl desfăşurăm. Or, noi vorbim aici de procesul invers: elevul va trebui să deseneze „desfăşurarea”, pentru ca apoi să asambleze din aceasta un cub. Nici cuvântul din limba germană nu este prea strălucit, ei folosind cuvântul Netz, care înseamnă reţea, plasă (echivalentul cuvântului net din engleză). Cu această prealabilă „strâmbătură din nas”, să trecem la cele trei exerciţii, pe care le vedeţi în a doua imagine.

  • Care din următoarele figuri reprezintă cu adevărat desfăşurări corecte ale unui cub?
  • Presupunând că vrem să construim un zar, elevii trebuie să aşeze pe desfăşurările corecte numerele conform regulii de 7 a zarului.
  • Pentru a putea asambla un cub este nevoie de urechiuşe de lipire. Elevii trebuie să ataşeze aceste urechiuşe desfăşurărilor corecte.

Toate cele trei exerciţii forţează imaginaţia elevilor în spaţiu, fiind extrem de savurate de către toţi elevii. Tema a fost, apoi, să confecţioneze un cub din carton. A doua zi, la discuţia despre cuburile din carton aduse de elevii harnici, a apărut următoarea obsevaţie: se pare că la toate variantele de desfăşurări corecte, elevul trebuie să proiecteze exact 7 urechiuşe de lipire. Este o proprietate interesantă ce poate fi uşor verificată şi chiar explicată, trezind totuşi uimirea: iarăşi numărul 7? Despre explicaţie, aceasta vine simplu: trebuie făcute 7 lipituri pentru că la fiecare desfăşurare corectă sunt exact cinci îndoituri pe muchii (7 + 5 = 12 muchii ale cubului).

În afară de discuţia de la „verificarea temei”, ora următoare am avut o activitate mult mai tradiţională: figură + prezentarea tuturor formulelor pentru arie, volum (dictate de către elevi – cei care gândesc le pot genera singuri) şi pentru diagonala cubului. La demonstrarea ultimeia se aplică teorema lui Pitagora în ΔD’DB care este dreptunghic dintr-un motiv extrem de simplu: latura [BD] este orizontală, fiind inclusă în baza cubului, pe când latura [D’D] verticală, deci cele două sunt perpendiculare una pe cealaltă (intuitiv, nu-i aşa?). În final am făcut exerciţii de calcul în toate formele şi pentru toate categoriile de elevi. Considerăm că o astfel de abordare i-ar ajuta pe cei mai mulţi elevi să aibă o legătură ceva mai prietenoasă cu ora de matematică.

3 oct. 2016

Titus & Mariana Grigorovici

Matematica zarului (2)

În postarea precedentă am vorbit despre proprietatea de 7 a zarului, anume că la orice zar (corect construit) suma feţelor opuse este întotdeauna 7 (feţele opuse 1 + 6; 2 + 5 respectiv 3 + 4). Această proprietate, prezentă încă de la începuturile antice ale zarului, o folosesc în diverse situaţii, cum ar fi în cazul primei lecţii despre cub. Pentru postarea de faţă doresc să vă prezint aplicaţii ale acesteia în două probleme de matematică distractivă.

Prima este preluată din Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery, Ed.Dover Pub. 1956 (eu am un exemplar în limba germană, Matematische Zaubereien, Ed. DuMont, 2004, pag. 61). Este vorba de fapt de o scamatorie matematică cu trei zaruri, pe care o descriu în continuare.

Îi dau unui elev voluntar din clasă cele trei zaruri, rugându-l să urmeze întocmai instrucţiunile mele, în timp ce eu voi sta cu spatele către masa unde el execută cerinţele (ceilalţi elevi pot sta în jur pentru a vedea „spectacolul”). Odată întors îi cer elevului să efectueze o aruncare cu cele trei zaruri şi să adune cele trei numere obţinute (valorile de pe feţele de deasupra). Într-un al doilea pas îl rog pe elev să întoarcă la alegere unul din zaruri, astfel încât faţa de jos să ajungă deasupra, iar apoi să adune şi acest nou număr la suma iniţială (celelalte două zaruri rămân aşa cum au căzut la început). În al treilea pas elevul trebuie să ia zarul pe care l-a întors deja şi să-l mai arunce numai pe acesta încă o dată, iar numărul obţinut să-l adune la suma existentă pănă atunci. În tot timpul cât stau cu spatele elevul nu îmi spune nici unul din numerele cu care lucrează, şi nici suma finală.

Chiar şi aşa, în acest moment eu mă întorc şi fără să ştiu care din cele trei zaruri a fost cel întors de mai multe ori, spun totuşi suma finală calculată de elev în minte. Cum fac? Simplu: adun 7 la suma care o văd în acel moment pe masă. Problemuţa se iveşte de la sine: cum face profu’?, şi este foarte frumoasă pentru că oferă destul de repede o primă aplicaţie uşoară a folosirii literelor în calcul. Astfel, după încă una-două „reprezentaţii”, putem să ne gândim să demonstrăm scamatoria. Iată o variantă posibilă: notez cu x, y, z cele trei numere iniţiale, şi presupunem că elevul s-a hotărât să întoarcă zarul cu numărul y. Atunci suma totală va fi:

+ y + z + yopus + y’ = x + z + y’ + 7

Am notat cu yopus faţa opusă lui y, iar cu y’ numărul obţinut pe zarul ţinut pe zarul y la a doua aruncare. Ca tehnică de inducere în eroare – magicienii aşa fac – până fac suma x + z + y’ şi apoi adun 7, pot să atrag atenţia auditoriului că eu nu am de unde să ştiu care din cele trei zaruri a fost întors de două ori şi care sunt cele două zaruri care au rămas pe loc după prima aruncare.

A doua scamatorie, tot cu trei zaruri, este de fapt o variaţiune a problemei cu zece zaruri din postarea precedentă şi este preluată din Michael Holt, Math Puzzles and Games, Ed. Walker Pub. 1977 (eu am preluat-o din varianta în limba germană, Neue mathematische Rätsel, Ed. DuMont, 2005, pag. 83).

Daţi zarurile „elevului voluntar” cu recomandarea ca, în timp ce dvs. staţi cu spatele întors, el să aranjeze cum doreşte un turnuleţ din cele trei zaruri. În timp ce le aranjează, trebuie doar să adune toate feţele care nu se vor putea vedea în final din nici o parte (numerele de pe acestea). După ce a terminat, şi aceste feţe nu se mai pot vedea, dvs. vă întoarceţi şi puteţi foarte repede să-i spuneţi ce sumă a obţinut. Cum procedaţi? Pur şi simplu observaţi numărul arătat de zarul din vârf şi îl scădeţi din 21.

Titus Grigorovici

Matematica zarului (1)

De obicei, când ne gândim la acest subiect, ca profesori de matematică, ne vin în minte în primul rând probabilităţile. Acest aspect este subliniat foarte bine în limba germană, unde zarul se numeşte Würfel (se poate traduce ca “aruncăreaţă”); încă ceva interesant, anume nemţii folosesc acelaşi cuvânt şi pentru cub. Apropos, ştiaţi de unde provine cuvântul zar? Din arabă, unde cuvântul se pronunţă la fel: zhar (complet: Al-zhar). Evident că de aici vine şi cuvântul hazard (cu trimitere la probabilitate), dar pentru seria pornită cu această ocazie doresc să tratăm şi alte aspecte ale zarului, decât doar cele legate “abilităţile zarului de a oferii numere la întâmplare”.

Zarurile sunt cunoscute în forma actuală din Antichitate. De pildă, în ruinele oraşului minier Berenice Pancrisia din Egiptul antic s-a găsit un zar de bronz având exact structura celor de azi (din Enzo Bernardini, Atlas de arheologie – Marile descoperiri ale civilizaţiilor antichităţii, Ed.Aquila, 2006, pag. 63), numerele de pe feţe fiind reprezentate cu punctuleţe (mici găurele), exact aşa cum le ştim actualmente.

Proprietatea de bază a aranjării numerelor pe feţele zarului este, pe cât de surprinzătoare, pe atât de logică: la orice zar construit corect suma feţelor opuse este întotdeauna 7. Simplu, clar, deşi puţină lume are cunoştinţă de această proprietate.

Elevilor le-o putem oferii ca atare, sec, sau putem face din apariţia ei o mare bucurie. De pildă, eu o folosesc pentru a înlătura “spaima” din ochii copiilor de clasa a IV-a, ţinând o lectie distractivă, atunci când merg prima dată în vizită la ei ca să ne cunoaştem. Astfel, iau un zar şi merg pe rând pe la toţi elevii, ţinând zarul între două degete, aşezat pe masă, cu întrebarea: ce număr este pe faţa de jos? Ei ghicesc, iar apoi eu ridic zarul infirmând, mai rar confirmând, răspunsul. Desigur că zarul este învârtit în mod spectaculos, chiar ostentativ, la trecerea de la un elev la următorul. După câţiva elevi mă opresc şi mă adresez clasei frontal: oare ce şmecherie o fi aici? Apoi, mai continui de la un elev la celălalt. Şi iarăşi acţionez frontal. Totul până când un elev are o idee ajutătoare. Dacă apare o idee bună, ajut şi eu în elucidarea enigmei, dar ideea iniţială trebuie să vină de la elev. Eventual, scot din pungă mai multe zaruri adunate de-a lungul timpului (multe zaruri frumos colorate le am din magazine second-hand, achiziţionate la preţuri derizorii), şi le dau câte un zar la fiecare bancă să le analizeze. Ultima dată am găsit regula până la parcurgerea a jumătate de clasă. Apoi, în starea de bucurie a descoperirii acestei reguli noi, am mai făcut exersări cu alţi elevi pentru a stârnii satisfacţia elevilor.

Pasul următor de gândire l-am făcut apoi cu o problemă la care am verificat capacitatea de a aplica cunoştinţele nou învăţate: Construim un turn din zece zaruri, despre care ştim că numărul arătat de ultima faţă de sus este trei. Căt este suma tuturor feţelor orizontale ale celor zece zaruri, care nu pot fi văzute (chiar dacă ne-am învârti în jurul turnului)? (Aceasta este o problemă foarte veche, din categoria matematică distractivă; se pare că cea mai recentă apariţie a acesteia este în lucrarea lui Armand Martinov, Matematica…o plăcere, Ed. Sigma, 2003, pag.18)

Ultima oară chiar am construit un astfel de turn din zece zaruri, dar nu i-am lăsat pe elevi să vină să se învârtă în jurul acestuia, pur şi simplu pentru a nu-l dărâma în înghesuiala posibilă. De fapt, cu această problemă dată ca temă am şi încheiat ora. Este greu de descris bucuria elevilor a doua zi de dimineaţă, când veneau la mine să mă anunţe cum au rezolvat ei problema. Desigur că nu au scăpat aşa de uşor: la următoarea oră, cei care au avut răspuns corect au trebuit să explice clar în faţa colegilor cum au gândit (aici ies la iveală şi cazurile când n-au gândit elevii, ci părinţii).

Titus Grigorovici

 

Churchill şi matematica

În ziarul magazin nr. 22 (3050) din 2 iunie 2016 găsim la pag. 4, în scurtul comentariu Churchill şi Kaiserul, următoarele: “… proaspătul  maior Winston Churchill (26 de ani pe atunci – în 1906). Viitorul prim-ministru al Marii Britanii activa în escadronul regal de husari din Oxfordshire. Churchill preferase să intre la cavalerie pentru că nu trebuia să înveţe matematică, disciplină pe care nu o agrea. …”  Şi când ne gândim că Churchill a câştigat al doilea Război Mondial cu ajutorul unui matematician – Alan Turing, cel care a descifrat mesajele maşinii de criptat naziste Enigma – , întrega situaţie capătă aspecte dea dreptul hilare.

Dacă tot am deschis ziarul magazin, în acelaşi număr, la pag. 15 găsim următorul banc:

Tatăl controlează caietul feciorului:

De ce scrii cârligele astea aşa de alungite?
Astea nu sunt cârlige, tată, sunt integrale.

Andrei Pleșu despre Neagu Djuvara la 100 de ani

Editura HUMANITAS a tipărit de curând o foaie volantă despre proaspăta lucrare 444 de fragmente memorabile ale lui NEAGU DJUVARA. În această foaie găsim următorul punct de vedere al lui  Andrei Pleşu despre abordarea istoriei de către Neagu Djuvara:

“ După decenii întregi în care istoria a trebuit să se strecoare, ca disciplină, printre nenumărate clişee ideologice, să navigheze printre adevăruri camuflate, desfigurate sau ocolite, să accepte o îndelungată asceză, care riscă să producă standardizarea ireparabilă a discursului istoric, Neagu Djuvara a readus la rampă istoria vie, istoria ca istorisire, istoria colocvială, prietenoasă, seducătoare, liberă de ştaif catedratic şi de exigenţe conjuncturale. Lucrările sale au, de aceea, un efect terapeutic, purificator: ele curăţă, fără dureri, plămânii neoxigenaţi ai cititorului autohton şi convertesc normativitatea solemnă a istoriei de cabinet în poftă vitală de cunoaştere, în obiect al curiozităţii tinereşti şi al bucuriei.”

Haideţi să facem un exerciţiu de analiză şi să-l parafrazăm pe Andrei Pleşu, “traducând” aceste gânduri despre abordarea istoriei de către Neagu Djuvara, în unele similare despre o abordare posibilă a matematicii.

Astfel, din păcate, noi matematicienii nu ne-am putut bucura după Revoluţie de o apariţie ca cea a lui Neagu Djuvara pentru istorici. Ce-i drept, să fim cinstiţi, istoria noastră avea nevoie la acel moment mult mai mult de această apariţie vindecătoare decât ar fi  avut-o matematica. Totuşi, ultimul an a arătat-o din plin: şi predarea matematicii în şcoli a ajuns tot mai mult într-o stare de incompatibilitate profundă cu aşteptările societăţii. Realitatea a ieşit însă încet la iveală, necesitând pentru acest proces un sfert de secol. Deci, hai să reluăm gândurile lui Andrei Pleşu schimbând doar cuvântul istorie cu matematică, având însă mai ales în vedere ceea ce ne interesează pe noi mai mult, anume predarea matematicii la întreaga populaţie şcolară, nu doar la elitele olimpice.

După decenii întregi în care predarea matematicii a trebuit să se strecoare, ca disciplină, printre nenumărate clişee ideologice, să navigheze printre adevăruri camuflate, desfigurate sau ocolite, să accepte o îndelungată asceză, care riscă să producă standardizarea ireparabilă a demersului dascălului la ora de matematică, nu a apărut încă nici o personalitate marcantă care să readucă la rampă matematica vie, matematica ca istorisire, matematica colocvială, prietenoasă, seducătoare, liberă de ştaif catedratic şi de exigenţe conjuncturale. Aşteptăm încă lucrări care să aibă, de aceea, un efect terapeutic, purificator: ele să cureţe, fără dureri, gândirea neoxigenată a elevului autohton – şi a profesorilor din şcoli – şi să convertească normativitatea solemnă a matematicii riguros-axiomatice de cabinet în poftă vitală de cunoaştere, în obiect al curiozităţii tinereşti şi al bucuriei. (nu am îngroşat nimic în acest nou aliniat, din simplul motiv că ar fi trebuit îngroşat totul, atât de bine se potrivesc gândurile lui Andrei Pleşu la situaţia actuală a predării matematicii).

Ce-i drept, au încercat-o cu bune rezultate diferite edituri traducând valoroase lucrări în acest sens, ale unor mari matematicieni străini cum ar fi Ian Stewart, Simon Singh sau Mario Livio (despre lucrările cărora am scris în postarea Prezentare de carte: Anii de aur ai cărţilor despre matematică dec. 2015), dar acestea, atât ca informaţii stricte, cât şi ca atitudine generală, încă nu au ajuns nici la stilul de predare al profesorului de rând, nici la marea masă a elevilor. Sigur, poate cineva argumenta aici, nici in zona istoriei nu cunoaştem cu exactitate efectul lui Neagu Djuvara la nivelul predării în clasă; dar măcar la vârful istoriei reparaţia a fost pornită, iar elevii au acces la lucrări dedicate exact lor de către Profesorul Djuvara.

Mai există o diferenţă majoră între situaţia istoriei şi cea a predării matematicii. Dacă la momentul 1990 majoritatea erau de acord despre starea jalnică a prezentării istoriei, în cazul predării matematicii nici acum, după un sfert de veac de la “eliberarea” de comunism, lumea nu realizează starea jalnică a predării matematicii în şcoli. Ultimul an a adus primele voci în acest sens, dar, în afara regretatului Solomon Marcus, nimeni din sistem nu s-a referit direct la predarea matematicii, aceasta fiind mai degrabă “pierdută în pluton”, cei mai mulţi integrând-o în marea masă a materiilor şi vorbind în general de predarea în şcoli. Asta arată cât este de acută situaţia: nimeni nici măcar nu realizează cât este de jalnică predarea matematicii în general. Desigur că există foarte mulţi profesori care simt că ceva nu e în regulă şi se străduiesc din răsputeri, şi chiar le oferă elevilor o predare mai bună, dar excepţiile nu pot infirma situaţia generală de fapt. Iar aceasta în primul rând dintr-un motiv elementar: profesorii de matematică nici nu prea au voie să se îndepărteze de forma oficială a programei. Ca urmare, schimbările/ îmbunătăţirile posibile sunt doar la un nivel de suprafaţă (ca să nu zic superficial).

Nu reiau aici şi citatele din Neagu Djuvara despre cărţile domniei sale, din foaia editurii HUMANITAS; las cititorul să le caute şi să le traducă în exprimări posibile despre matematică, aşa cum am făcut eu mai sus cu rândurile deosebit de inspirate ale lui Andrei Pleşu.

Titus Grigorovici

1 Oct. 2016

Mathematikerfest

(că tot e vremea de Oktoberfest 🙂

Zice că o infinitate de profesori de matematică merg odată la o terasă. Primul comandă o bere; al doilea comandă o jumătate; al treilea cere un sfert de bere; al patrulea comandă o optime şamd. La care barmanului îi sare muştaru’ şi zice:

– Măi dragilor, nu puteţi comanda şi voi simplu două beri?

Matematica naivă în gimnaziu, exemple (4)

Exemplul 7: Adunarea fracţiilor

Exemplul 8: Sisteme de ecuaţii

Despre subiectul matematicii naive cred că am spus destul de multe încât să se înţeleagă despre ce este vorba. Totuşi, revin cu încă o tură de exemple, datorită unui comentariu din data de 02.06.2016, făcut de către un domn profesor pe site-ul didactic.ro la zona de dezbatere a noilor programe. Dânsul zice acolo: Eu cred ca scoaterea c.m.m.m.c. de la clasa a V-a. Aflarea numitorului comun prin ghiciri şi încercări, pentru a putea aduna două fracţii, nu mai seamănă a matematică.

Aici este evidentă neînţelegerea la nivelul profesorilor a adaptării predării la nivelul vârstei, cauzată de faptul că “programă din 2009” nu a fost însoţită şi de indicaţii metodico-didactice în care să se explice “noua linie de predare”. Iată cum am înţeles eu predarea la adunarea fracţiilor în contextul acestui subiect şi al acestei programe (când mă refer la adunare, subînţeleg desigur şi scăderea).

Într-o primă etapă, în clasa a IV-a, elevii învaţă cu doamnele învăţătoare adunarea fracţiilor cu acelaşi numitor (pe germană se spune gleichnamig, adică cele cu acelaşi nume). În a doua etapă, în clasa a V-a, se aduc fracţiile la acelaşi numitor în mod intuitiv, în forme de la simplu la tot mai complicate. În final, pentru cazurile cele mai dificile, unde intuiţia nu mai face faţă, parcurgem în clasa a VI-a găsirea c.m.m.m.c., cu care aflăm numitorul comun în format “automatizat”.

Este clar că, în comentariul de pe didactic.ro, e vorba despre etapa a doua. În această etapă elevii nu găsesc numitorul comun prin ghiciri şi încercări, ci prin pură înţelegere matematică intuitivă a numerelor, a fenomenului fracţiilor, aplicând proaspăt învăţata amplificare. Problema este însă, cum privim copilul? Îl privim ca pe un sac gol în care noi, profesorii trebuie să turnăm cunoştinţe, sau îl privim ca pe un om care gândeşte singur şi noi trebuie doar prin natura sarcinilor şi a provocărilor să-i cauzăm, să-i pornim gândirea? Îi dăm noi cunoştinţele respective, sau îl ajutăm pe el să le genereze? Îi dăm în fiecare zi un peşte, sau îl învăţăm să pescuiască? Aici am ajuns din nou la opoziţia dintre matematica rezultat, oferită elevului sub forma unei scurte prelegeri (la adunarea fracţiilor se procedează astfel: …), pe de-o parte, şi matematica proces, în care elevul este atras să o descopere singur prin problematizare (oare ce-ar trebui să face aici ca să putem aduna aceste fracţii?), pe de cealaltă parte.

Sigur, aici ajută un pic de explicaţii grafice: de pildă, a reprezenta o jumătate sub forma unui semidisc care, împărţit în trei părţi egale, arată cum se ajunge la 3/6. Alegerea primelor exemple este însă determinantă în procesul de înţelegere al elevilor. În acest sens eu practic o predare prin descoperire, în care elevii găsesc singuri cum să rezolve exerciţiile propuse, în timp ce eu ridic treptat ştacheta dificultăţii. Iată o posibilitate de ordonare a primelor exerciţii pe nivele de modele:

Modelul 0: recapitulare din clasa a IV-a;

Modelul 1: eventual  etc.

Modelul 2: eventual, până la situaţii “extreme”  etc.

Modelul 3: etc.

Probabil că la primul exerciţiu de la modelul 1 trebuie ajutată clasa s[ facă primul pas, “traducând” elevilor împărţirea de mai sus a jumătăţii în trei şesimi, într-o amplificare. La următoarele elevii intră în joc imediat şi ştiu ce să facă în continuare.

La modelul 3 se poate urca atâta cât “duc” elevii, oricum rămânănd în zona de numere accesibile calculului în cap. Pe această cale, elevii învaţă adunarea/ scăderea fracţiilor ca fenomen în clasa a V-a pe exemple accesibile, urmând ca formele complicate, cazurile grele, să le parcurgă în clasa a VI-a, după învăţarea găsirii c.m.m.m.c. prin reţeta oficială. Astfel, cunoaştem fenomenul în forma sa naivă, apoi îl aprofundăm în forma riguroasă la o a doua trecere (predarea în spirală).

Revenirea la subiectul matematicii naive, pe exemplul adunării fracţiilor din clasa a V-a, această revenire îmi oferă ocazia de a aborda încă o temă mult dezbătută în întâlnirile informale dintre profesori: mutarea lecţiei despre sisteme de ecuaţii 2X2 din finalul clasei a VII-a în finalul clasei a VIII-a. Am mai vorbit despre această temă, dar subiectul este prea grav ca să îl considerăm încheiat.

Pentru a înţelege fenomenul trebuie să aruncăm o privire în trecut. Cele două forme tradiţionale de rezolvare a sistemelor de ecuaţii sunt metoda substituţiei (a înlocuirii), o metodă mai “manufacturieră” ce prinde foarte bine la unii elevi mai slabi, şi metoda reducerii, o metodă mai “turbo”, cu atracţie mai ales la elevii buni. Tradiţional acestea se parcurgeau “la pachet”, dezvoltând în gândirea elevilor abilităţi de calcul absolut necesare în învăţarea algebrei. Acestea sunt nişte metode cu un grad puternic de naivitate şi, pe vremuri, ele erau stabilizate prin trecerea la sistemele de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute, în care de multe ori se aplică în cadrul unei rezolvări ambele metode (vezi sistemele din culegerea lui Gheba). Pentru detalii vezi anexa din final.

Începând din anii ’80, lecţiei i-a fost adăugată o nouă metodă, cea grafică, metodă ce a primit întâietate la predare, fiind prima care apărea în viaţa elevilor. Este evident că accentul s-a mutat cu această ocazie spre zona mai riguroasă a funcţiilor, a geometriei analitice, prin prezentarea ecuaţiilor ca ecuaţii a unei drepte. Mişcarea a avut câteva urmări didactice pe care le voi discuta în continuare.

În primul rând, noua linie nu a putut fi continuată şi la sistemele 3×3, cu reprezentare grafică în spaţiul 3D (evident de ce!), motiv pentru care, cu timpul, acestea au fost eliminate din programă (abandonându-se după 1990). Când eram elevi, nouă ne plăceau foarte mult sistemele 3×3; aici erau adevăratele provocări, nu ca la cele plictisitoare de 2×2, şi este mare păcat că acestea au fost abandonate. În acest moment se naşte o nouă problemă, colaterală, de înţelegere a matematicii de către elevi: înseamnă că sistemele cu mai multe ecuaţii şi necunoscute se pot aborda doar prin metodele complicate din clasa a XI-a?! Se poate gândi astfel, nu-i aşa? (Apropos, prin anii ’90 într-o culegere renumită, existau două pagini înghesuite cu sisteme 2×2 la care toate dădeau răspunsul (1;1), în afară de un singur exerciţiu, care avea altă soluţie; dacă tocmai nu-l găseau pe acela, elevii puteau înţelege că orice sistem are soluţia x = 1 şi y = 1)

În al doilea rând, elevii înţeleg mult mai greu metoda grafică decât pe celelalte. Or, aceasta venind prima, impresia creată se extinde automat asupra întregii lecţii despre sisteme de ecuaţii (am făcut sisteme de ecuaţii, este o lecţie foarte grea!). Până la începutul anilor 2000, elevii fiind destul de docili, lecţia a rezistat în programa de a VII-a, după care a fost exilată la sfârşitul clasei a VIII-a în 2009, sub pretextul că lecţia este prea grea. Din păcate, lecţia a fost mutată tot în această ordine (metoda grafică înaintea celor tradiţionale), aşa că problema tot nu s-a rezolvat: prima impresie asupra elevilor este tot cea veche, că este o lecţie grea L.

Este evident că toată lumea suferă, dar mai ales elevii, care se trezesc brusc în cine-ştie-ce problemă cu o situaţie de sistem de ecuaţii, înainte de a face lecţia la clasă oficial.

Cum am rezolvat personal această situaţie problematică? Am mai prezentat-o, dar o reiau şi acum, anume prin mutarea lecţiei cu cele două metode tradiţionale la începutul clasei a VIII-a (forma naivă a lecţiei) şi parcurgerea separată a metodei grafice, ulterior, în cadrul capitolului despre funcţii (forma riguroasă a lecţiei, la o a doua tratare). Astfel, în cadrul primului capitol parcurg următoarele lecţii:

Lecţia 0: Ecuaţii cu două necunoscute, cărora le putem găsii oricâte soluţii (nu ne interesează aici reprezentarea grafică a acestora şi faptul că acestea sunt situate pe o dreaptă, ci rămânem la forma elementer algebrică, de exemplu x = 3 şi y = 5).

Lectia 1: Două ecuaţii cu două necunoscute prin metoda substituţiei (înlocuirii); ataşând unei ecuaţii de la lecţia precedentă o a doua ecuaţie, se obţine doar o soluţie bună pentru amândouă. Pentru ca elevii să se poată concentra toţi asupra lecţiei, le ofer doar exemple de sisteme în care măcar una din ecuaţii are una din necunoscute “fără coeficient” (cu coeficientul +1 sau –1), evitând astfel exprimarea acesteia printr-o fracţie care i-ar speria pe foarte mulţi elevi.

Lecţia 2: Două ecuaţii cu două necunoscute prin metoda reducerii; această metodă mult mai rapidă vine ca o salvare la sistemele unde metoda substituţiei ne-ar duce la calcule cu fracţii. Mulţi elevi observă asemănarea acestei metode cu amplificarea pentru aducere la acelaşi numitor la adunarea fracţiilor. Şi în cazul acestei metode trebuie lucrat crescător. Astfel, la primul exemplu dau un sistem unde reducerea se face “din prima”, nefiind necesară o amplificare prealabilă. Doar apoi apare amplificarea unei ecuaţii pentru a cauza reducerea., apoi amplificarea simultană a ambelor ecuaţii. În mod similar cu paşi de la adunarea fracţiilor, şi aici trebuie să creştem la amplificări tot mai complicate cu fiecare nou sistem oferit spre rezolvare.

Pentru început, ca o regulă grosieră la ambele metode, le ofer elevilor garanţia că le dau sisteme cu soluţii numere întregi (până prind schema de lucru). De-abia din orele următoare luăm şi cazuri la întâmplare, cu soluţii fracţionale. După lecţia 1 trebuie avertizaţi elevii că mai vine o metodă, dar să nu-i lase pe “cei de-acasă” să le strice surpriza, ci să lucreze doar pe metoda substituţiei. Un elev m-a avertizat la începutul lecţiei 2 că a aflat cum merge “şmecheria” mai simplu, aşa că am decis ca el să tacă în procesul de descoperire a metodei reducerii.

În lecţiile următoare parcurgem câteva sisteme de 3×3 (le plac foarte mult elevilor), cât şi probleme ce se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuaţii. Trebuie precizat că în această fază de rezolvare, cel puţin la început, scriem soluţia algebric, de pildă x = 3 şi y = –1, eventual aranjate sub forma unui mic sistem. De-abia în semestrul II, după reprezentarea punctelor în plan, începem să scriem soluţiile ca mulţime de puncte. Iar când mă întreabă elevii, la sistemele 3×3 cum scriem soluţia ca punct, le arăt că o scriem ca punct 3D J.

O observaţie specială ar fi necesară aici în legătură cu alte metode elementare de rezolvare a sistemelor. De exemplu, în manuale din Germania am găsit multe sisteme de forma: x = 2y + 1 şi x = –y + 5, ce se rezolvă cel mai bine cu o metodă ce poate fi numită metoda tranzitivităţii, ducând direct la ecuaţia 2y + 1 = –y + 5. Este evident că această metodă este mult mai rapidă în cazul intersecţiei graficelor a două funcţii. Din păcate am întâlnit elevi care la acest sistem mai întâi mută toate necunoscutele în membrul stâng, după care rezolvă prin metodele tradiţionale.

Tot în manuale din Germania am găsit şi sisteme formate dintr-o ecuaţie cu două necunoscute şi o ecuaţie cu o necunoscută. Consider că acestea nu merită o atenţie prea mre; cel mult merită folosite ca trecere de la lecţia 0 la lecţia 1 sau, eventual, intercalate ca o banalitate, printre alte exerciţii.

ANEXĂ:

După ce am scris prezentul eseu, am luat la verificat “arhiva” personală. Permiteţi-mi să vă prezint ce am găsit despre programa şi manualele din anii ’70, respectiv ’80.

În anii ’70 sistemele de ecuaţii (2×2 şi 3×3) erau în cadrul capitolului despre ecuaţii din clasa a VIII-a. Precizez că la vremea respectivă toţi împlineam 14 ani în clasa a VIII-a (mergeam în clasa I cu şase ani şi făceam buletin la sfârşitul şcolii generale). Iată câteva exemple.

Programa de matematică pt. clasele V-X ale şcolii generale (Bucureşti 1972): Clasa a VIII-a, Cap. III, Ecuaţii de gradul I,

  1. Rezolvarea ecuaţiilor de gradul I cu coeficienţi numerici şi literari (recapitulare Cl. a VII-a) Sisteme de două (trei) ecuaţii de gradul I cu două (trei) necunoscute cu coeficienţi numerici şi literari. Rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor de ecuaţii.
  2. Rezolvarea grafică a unui sistem de gradul I de două ecuaţii cu două necunoscute. Discuţia sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute de gradul I, cu ajutorul graficului.

O situaţie similară, dar mai detaliată, se găseşte în Programa de matematică din 1977.

În manualul de Algebră pentru clasa a VIII-a (Ivanca Olivotto, Constantin Ionescu-Bujor, Ion Giurgiu, 1980), apar următoarele lecţii legate de subiectul eseului de faţă:

  1. Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
  2. Sisteme de ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
  3. Rezolvarea sistemelor… Metoda substituţiei
  4. Rezolvarea sistemelor … Metoda reducerii
  5. Sisteme cu coeficienţi literari
  6. Sisteme de trei ecuaţii de gradul I cu trei necunoscute
  7. Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de ecuaţii de gradul I

Analizând manualele din anii ’80-’90, găsim sistemele de ecuaţii cu un an mai devreme (ce-i drept, prin şcoli erau deja copii trimişi în clasa I la 7 ani, deci cu buletin în a 7-a). De pildă, în manualul de Algebră pentru clasa a VII-a (Tiberiu Spircu, Ioan Crăciunel, Lucia Chişu, 1989) avem următoarele lecţii:

  1. Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute (unde apare dreapta soluţiilor reprezentată în sistemul cartezian de axe);
  2. Echivalenţa ecuaţiilor de gradul I cu două necunoscute;
  3. Noţiunea de sistem de ecuaţii (unde soluţia se găseşte la intersecţia celor două drepte ale ecuaţiilor, actala metodă grafică);
  4. Rezolvarea sistemelor prin metoda substituţiei;
  5. Sisteme echivalente;
  6. Metoda reducerii;
  7. Rezolvarea unor probleme cu ajutorul sistemelor de ecuaţii;

Sistemele 3×3 nu mai apar în acele manuale, dar profesorii le mai făceau la începutul anilor ‘90. Menţionez că în clasa a VIII-a studiam la vremea respectivă deja polinoame.

Titus Grigorovici

29 sept. 2016

Matematica naivă în liceu, exemple (3)

MATEMATICA NAIVĂ

Exemplul 5: NUMERE COMPLEXE

Exemplul 6: COMBINATORICĂ

Plecând de la denumirea de matematică naivă, am putea uşor crede că aceasta se aplică doar elevilor mici, celor de gimnaziu, pe când “noi, în liceu, facem treabă serioasă”. Nimic mai greşit. Desigur că în liceu avem în faţa noastră elevi ce au fost deja selectaţi şi au făcut dovada că “pot duce mai multă matematică”. Dar, “mai multă matematică” nu înseamnă să-i îneci într-o matematică mult prea înaltă, prezentată după modelul universitar, doar pe baza faptului că vârfurile clasei chiar fac faţă (deseori doar aparent fac faţă, pentru că de multe ori există acolo un ajutor constant privat). Am explicat deja că matematica naivă nu ţine doar de primii paşi în matematică – adică la clasele mici –, ci ţine în general de primii paşi într-un domeniu nou al matematicii. Matematica se scutură încet, încet de naivitatea sa la următoarele abordări, la următoarele treceri prin subiectele respective. Astfel, temele de studiu ce apar pentru prima dată în liceu – adică majoritatea – trebuie prezentate fără discuţie la un nivel serios de naivitate, corespunzătoare unei prime abordări a subiectului nou. Primii paşi sunt extrem de importanţi: elevul trebuie să apuce în primul rând să înţeleagă de unde a apărut noua temă, iar aceasta nu apare din voinţa, din definiţia dată de un profesor atotputernic, care se crede Dumnezeu în lumea matematică a acelui elev.

De pildă, chiar şi ultimul elev dintr-o clasă de real trebuie să priceapă de unde apar numerele complexe! Acestea nu răsar din senin. Abordarea introdusă la reforma din 1980, de tipul “considerăm perechile ordonate (a;b), cu a,b∈ℝ cărora le definim următoarele operaţii….; acestea se numesc numere complexe; mulţimea numerelor complexe se notează cu ”, această abordare este percepută de majoritatea covârşitoare a elevilor ca inumană, extraterestră, total de neînţeles! Toţi elevii care vor să înveţe, odată ajunşi acasă după această lecţie, cer ajutorul cuiva să afle despre ce este vorba. Iar acesta (de obicei profesorul din particular) îi va povesti elevului imediat despre numărul i ca o convenţie pentru absurda rădăcină pătrată a lui –1, iar apoi imediat îi va arăta cum se aplică această nouă şmecherie la soluţiile nereale ale ecuaţiei de gradul II.  Este probabil exemplul cel mai reprezentativ în care o abordare cu un anume grad de naivitate va lumina instant faţa şi mintea  elevilor.

Pentru orice profesor cu o empatie funcţională faţă de mintea elevilor este clar că introducerea numerelor complexe axiomatic, definindu-le ca perechi ordonate de numere reale, cu operaţiile anexate, este total abstractă şi nepotrivită din punct de vedere pedagogic. Definirea înmulţirii a două astfel de perechi, (a; b)∙(c; d) = (ac–bd; ad+bc), este total absurdă pentru orice persoană aflată la primul contact cu ideea de număr complex: “de ce să definesc astfel înmulţirea?, nu are sens!, nu înţeleg nimic!”, aceasta va fi reacţia oricărei persoane normale la cap. Dar oare, cine a inventat această ciudăţenie şi cum ne-am pricopsit cu ea în şcoli?

Pentru a răspunde primei întrebări, recomand oricui să studieze istoria evoluţiei şi cristalizării teoriei despre numere complexe, mai ales cea legată strict de acestea, din secolele XVIII-XIX. De pildă, faptele sunt prezentate magistral în lucrarea despre care am mai vorbit şi cu alte ocazii: Paul J. Nahin, O poveste imaginară, istorea numărului radical din –1, Ed. Theta, Bucureşti, 2000. Următorul aliniat este preluat din această lucrare, cu citatul strict prezentat înclinat:

Introducerea numerelor complexe ca perechi ordonate cu operaţiile anexate a fost prezentată pentru prima dată de matematicianul irlandez William Rowan Hamilton în 1835, într-o lucrare despre cupluri algebrice (aşa le-a numit el iniţial), în faţa Academiei irlandeze. Cele două operaţii sunt parte a unei “definiţii şi, în consecinţă, nu au nevoie de alte explicaţii. În teoria lucrării respective ele pică deci din senin dar, este clar că Hamilton era motivat de modul cum funcţionează numerele complexe. Cu alte cuvinte, cuplurile pure şi abstracte (a, b) nu sunt altceva decât un alt mod de a scrie a + ib. Hamilton credea totuşi că această notaţie este preferabilă pentru că evită folosirea absurdului radical din –1. El are chiar un comentariu comic despre această alegere: Cei care vor citi cu atenţie remarcile la această teorie … vor vedea că aceste notaţii nu sunt arbitrar alese.” (citat de la pag. 71).

Deci chiar şi Hamilton recunoştea la acel moment că totul este doar un joc, o aparentă nouă teorie care dă impresia că elimină din proces înţelegerea intuitivă a fenomenului numerelor complexe. Cum s-a ajuns însă ca o lucrare pur ştiinţifică să aterizeze după 150 de ani în manualele şcolare pentru elevi de 15 ani (eu atâta aveam în 1982 când am învăţat lecţia în clasa a IX-a), aceasta este un alt subiect, despre care am încercat unele lămuriri în eseul în care am prezentat Reforma uitată din 1978-1981, la pag. 4-9, din Reforma uitată (partea I).

Dar, presupunând că şi-ar propune schimbarea stilului de predare din riguros axiomatic într-unul naiv intuitiv, corect pedagogic, cum ar putea un profesor să predea în acest fel? (plecând de la premiza că îşi doreşte o predare din care elevii săi să şi înţeleagă mai mult). Căutările mele mi-au arătat (cu vârf şi-ndesat) că la majoritatea lecţiilor de liceu se găsesc forme destul de bune în manualele româneşti oficiale din anii ’60-’70. După 2-3 ture de căutări şi încercări (ca să nu spun experimentări, că imediat sare careva că “experimentezi pe elevi”), orice profesor deschis la minte va începe şi el să-şi găsească o formă mai bună de predare a unui capitol. De vreme ce ministerul, împreună cu toate structurile sale de organizare a predării în şcoli, nu sunt în stare a ne oferii astfel de modele, este evident că profesorul trebuie să devină el însuşi un căutător.

În materialul de faţă am abordat spre exemplificare două teme ce îmi sunt deosebit de dragi, numerele complexe şi combinatorica. Alegerea celor două subiecte a fost una subiectivă; oricare temă de studiu din liceu ar trebui prezentată în mod similar. Gradul de naivitate mai crescut se referă în primul rând la introducerea noilor concepte; odată ce elevii s-au obişnuit cu acestea (după 2-3 ore), predarea nu mai diferă foarte mult de ceea ce cunosc majoritatea profesorilor. Trebuie însă înţeles că la fiecare pas teoretic important ce se face în necunoscut, trebuie folosită o abordare intuitiv-naivă. Părerea mea personală este că o cale ce foloseşte cât mai des predarea prin problematizare, în care elevul să descopere singur paşii lecţiei, sub îndrumarea profesorului, în urma întrebărilor ajutătoare ale profesorului, aceasta este pe durată cea mai sănătoasă cale de a parcurge materia. Forma de lucru ar trebui să fie în principiu următoarea: noi, profesorii, îi îndrumăm pe elevi pe o cale de (re)descoperire a  temei studiate. Cine a făcut cercetare reală ştie cât de naiv gândeşte cel care se aventurează într-un teritoriu virgin, pe care nu l-a mai parcurs nimeni înaintea sa. Singurele sale repere de care se poate ajuta sunt lucrurile pe care deja le cunoaşte din urmă, cât şi logica bunului simţ. Într-un astfel de stil trebuie să “descopere” şi elevii noua temă. Cine a făcut cercetare adevărată, nu compilare din materiale deja existente (aş numi aceasta pseudo-cercetare, sau cercetare secundară), acela înţelege despre ce vorbesc aici. Descoperirea temei de către elev nu este însă una haotică, ci este îndrumată cât mai eficient de către profesor. Această formă eu o numesc predare prin întrebări sau, ceva mai pretenţios, predare prin descoperire, care este o formă extremă în predarea prin problematizare. Într-o astfel de formă de predare, la sfârşitul lecţiei, sau şi mai bine ora următoare, se organizează, se ordonează noile cunoştinţe, acestea căpătând forma unei lecţii de memorat. Elevii însă nu mai trebuie să le memoreze pentru că majoritatea dintre ei deja le-au înţeles. În schimb încep să dobândească şi aptitudini mai mature matematic, în sensul că învaţă pe viu cum să ordoneze din punct de vedere riguros matematic nişte cunoştinţe deja dobândite intuitiv. Şi oricum, aşa cum am precizat deja: marii matematicieni, monştri sacri Wessel şi Argant, Gauss şi Hamilton pe acest drum au mers. Hamilton cu teoria sa a fost ultimul, nu primul, pe drumul înţelegerii numerelor complexe. Nu înţeleg de ce elevii trebuie să parcurgă drumul invers, ca să nu spun “pe dos”.

Tema despre introducerea numerelor complexe nu o mai abordez in extenso în eseul de faţă; am prezentat-o pe larg în articolul Apariţia numerelor complexe din Caietul de matematică Pentagonia Nr. 2 din aprilie 1998 la pag. 14, într-o propunere personală, dar şi în articolul Reforma uitată la pag. 19-20, într-una din formele existente într-un manual dinaintea reformei de la sfârşitul anilor ’70.

Să analizăm în continuare introducerea principalelor elemente de combinatorică într-o formă mai inteligibilă pentru elevul care se întâlneşte prima dată cu acest subiect. Nu mă voi referi în cele ce urmează la întregul capitol, ci doar la tripleta permutări, combinări şi aranjamente. Să analizăm pentru început ordinea în care se pot parcurge acestea. În manualele din ţara noastră ordinea este P-A-C. Oare ce alte posibilităţi există (nu glumesc defel) şi care din acestea ar fi mai potrivită elevilor? În cele ce urmează mă voi referi la două dintre celelalte cinci variante, anume la P-C-A şi la C-A-P.

După părerea mea (preluată în urmă cu ani buni de la un coleg drag), ordinea P-C-A este cea mai logică din punct de vedere a fenomenelor studiate. Anume, permutările studiază un fenomen, cel mai simplu şi accesibil; combinările vin apoi studiază alt tip de fenomen, unul clar mai complicat; în final vin aranjamentele care studiază o situaţie ce combină cele două fenomene deja cunoscute. Ani de-a rândul am predat cele trei lecţii în această ordine şi pot să spun că predarea decurge foarte bine astfel.

De curând am participat în Germania, la Kassel, la un curs pentru profesori Waldorf de liceu, la o serie de discuţii despre predarea Combinatoricii, seminar în care profesorul Steffen Brasch a prezentat predarea într-o ordine ce ar putea fi sintetizată ca C-A-P. Mai exact, el se ocupa de cunoaşterea practică, pe exemple, a combinărilor, deducând de aici triunghiul lui Pascal, apoi, din exemple mai ciudate reiaşeau aranjamentele, iar permutările apăreau şi ele undeva ca exemple foarte simple. De-abia în final vorbea dânsul de o sintetizare teoretică, unde veneau şi clasicele formule (parcursul istoric acesta a fost). Nu am înţeles toate detaliile – timpul a fost foarte scurt – dar am luat notiţe pe care cândva le voi studia în amănunt. Se înţelege deci că nu am glumit deloc atunci când am întrebat câte posibilităţi există de a ordona  cele trei lecţii.

Dar cum ar trebui prezentate aceste trei lecţii conform principiilor matematicii naïve? Pentru că, este clar, vorbim despre primul contact al elevilor cu tema respectivă. Eu am plecat de fiecare dată de la probleme tip şi nu de la teorie. În cazul introducerii noţiunii de permutare, problema tip ce mi-a fost sugerată de tatăl meu este următoarea:

Problema trenului ROGVAIV: Un tren are şapte vagoane, vopsite fiecare într-una din culorile curcubeului (le notăm: R = roşu, O = orange, Ve = verde, etc.). În câte feluri poate fi aranjată garnitura acestui tren?

Formulele de calcul ar trebui să apară în viaţa elevilor drept teoreme – deduse intuitiv sau demonstrate riguros –  şi în nici un caz ca definiţii. În cazul permutărilor, în predarea prin problematizare, plecăm de la problema vagoanelor şi începem să cercetăm situaţia: dacă ar fi doar două vagoane, câte variante de ordonare a garniturii există? Două, RG şi GR. Dacă am avea trei vagoane, câte variante avem? Şi elevii încep să le caute. Şase, vine răspunsul. Dar dacă am avea patru vagoane?  Îi mai lăsăm să caute, depinde de nivelul elevilor din clasă, dar poate aici este momentul să intervenim şi să reluăm lucrurile ordonat, adică să-i învăţăm cum să-şi aranjeze ordonat toate variantele, pentru că altfel mulţi elevi le dau haotic, iar de la patru vagoane încep să piardă anumite variante. Când aştern ordonarea pe tablă, iau pentru început şi cazul particular cu un vagon. Urcăm pe acest drum până când cineva din clasă observă ce se întâmplă (desigur că aranjarea într-o schemă sugestivă a tuturor variantelor la trei, respectiv la patru vagoane, este hotărâtoare pentru înţelegerea fenomenului). În momentul în care apare ideea de rezolvare, elevii inteligenţi matematic o vor aplica imediat şi vor ajunge rapid la răspuns; ei au înţeles modelul logic după care funcţionează “jucăria” şi gata. Alţii însă, vor vrea să facă mai departe ordonările şi în cazurile cu mai multe vagoane. Putem să-i lăsăm să le scrie pe toate la 5 vagoane (poate acasă), dar vor trebui să înţeleagă că numărul creşte prea tare, ajungând în imposibilitatea de cuprindere în scris a tuturor variantelor. Aici poate îi ajutăm pe aceştia cu o formă de grupare a unor variante (acolade, încadrare într-un dreptunghi etc.) astfel încât să poată şi ei face saltul logic de la realizat practic cu creionul la văzut schemei doar în minte.

După rezolvarea problemei sintetizăm totul într-o teorie. Aici definim operaţia de factorial (eu îi pun pe elevi să facă şi tabla factorialului, cu rezultate calculate de către toţi elevii  până la 10!, pentru a simţi cât de explozivă este aceasta). Ordinea intuitivă ar cere chiar realizarea tablei factorialului mai întâi, apoi generalizarea într-o definiţie. Apropos, factorialul se poate defini în două variante: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n sau invers n! = n ∙ (n-1) ∙ (n-2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1; fiecare este uneori mai avantajoasă; depinde de situaţie. Apoi dăm definiţia permutărilor şi, cu titlul de teoremă, formula Pn = n! pentru calculul acestora. În continuare vin alte probleme aplicative ale premutărilor, pe care elevii sunt învăţaţi să le rezolve direct, prin formula deja dedusă, având însă în cap modelul celor şapte vagoane. De pildă, în câte feluri pot fi aranjaţi opte alergători pe cele opt culoare la proba de 100m plat? Sau: avem un set de trei ghivece diferit colorate; în câte feluri le putem aranja pe pervaz? etc. O astfel de temă este foarte simplă, pentru că în principiu trebuie doar luate rezultatele din tabla factorialului. Ora viitoare vom face şi exerciţii de calcul steril cu noua operaţie de factorial şi lecţia intră pe făgaşul cunoscut.

O observaţie specială vine aici în legătură cu aspectul psihologic al numerelor mari, cu care ne confruntăm din belşug la aceste probleme. Toată lumea a ajuns imună la aceste numere mari cu care ne bombardează societatea prezentului. Pentru a le înţelege cât sunt de mari, trebuie să le aducem într-un reper personal al vieţii de zi cu zi. De pildă, după prima oră, cu problema trenului ROGVAIV, le putem da elevilor ca temă următoarea suplimentare a acestei probleme:

Mecanicul trenului ROGVAIV: Un mecanic tânăr, aflat la început de carieră, primeşte în îngrijire trenul ROGVAIV şi îşi propune să aranjeze la fiecare cursă a trenului cele şapte vagoane în altă ordine. Trenul respectiv face în fiecare zi o cursă “dus” şi o cursă “întors”, iar mecanicul nostru, după cursa dus mută doar locomotiva şi schimbă plăcuţele de numerotare a vagoanelor, aşa încât poate bifa în fiecare zi câte două ordonări diferite. În câţi ani va reuşi să epuizeze toate ordonările posibile (fără a avea nici o singură zi liberă)? Dar dacă ar fi vorba de un tren cu opt vagoane? Faceţi problema şi observaţi ce efect are rezultatul asupra dvs. În acest moment matematica devine cu adevărat impresionantă.

Este evident că lecţia despre combinări este mult, mult mai grea decât cea despre permutări, şi nu mi-am propus pentru acest eseu o prezentare completă a acesteia (vezi Anexa din final). Aranjamentele, pe poziţia a treia, apar apoi foarte uşor, provocarea pentru elevi fiind doar în a observa că trebuie îmbinate cele două principii, de la permutări şi de la combinări.

Pentru eseul de faţă am urmărit doar exemplificarea pe cazul permutărilor a felului cum se poate introduce o noţiune nouă prin problematizare şi nu prin prelegere riguroasă. De la o astfel de oră elevii pleacă cu inima plină de bucurie şi cu mintea plină de gândire. Şi când spun asta, vorbesc de toţi elevii care au fost dispuşi să participe la jocul găsirii soluţiei. Ştiu că durează mai mult, dar efectul asupra elevilor este net superior.

Anexă  Problematica introducerii combinărilor presupune, pe lângă găsirea problemei tip cea mai potrivită, şi lămurirea următorilor paşi: abordarea problemei intuitiv, deci fără definiţie; corelarea cu formulele binomiale deduse elementar algebric, apariţia triunghiului lui Pascal; lecţia numită generic Binomul lui Newton; deducerea formulei de calcul a combinărilor; îmbinarea celor două tendinţe, calculul algebric, sec, riguros ştiinţific, pe de-o parte, şi problemele aplicative de o diversitate uluitoare, pe de altă parte, conştientizând că acest capitol este ultimul din viaţa elevilor în care apar probleme frumoase cu caracter de matematică distractivă.

Titus Grigorovici

19 sept. 2016

Matematica naivă în liceu

Chiar dacă nu într-o formă completă, extremă, academică, specifică facultăţilor, rigurozitatea axiomatică în matematica poate fi introdusă deja din clasele liceale. Aceasta însă cu o singură condiţie: să fie abordate din punct de vedere riguros axiomatic teme deja cunoscute de către elevi, teme cu care aceştia s-au familiarizat înainte pe calea naturală intuitiv-naivă. În acest sens revenim scurt în gimnaziu unde, în linii mari, sunt studiate trei mari teme: aritmetica, algebra şi geometria tradiţională moştenită de la Euclid. Elemente din aceste trei mari domenii ar putea fi tratate mai riguros axiomatic la o a doua mare trecere în clasele liceale, şi chiar aşa şi erau acestea prezentate în manualele de clasa a IX-a începând din 1978.

Toate bune şi frumoase, cu o singură “mică” problemă: două dintre cele trei mari teme gimnaziale au fost scoase din materia de liceu la schimbările din învăţământ pe care le denumim ad-hoc “reforma din 1997”. Nici aritmetica, nici geometria euclidiană tradiţională nu se mai regăsesc printre capitolele de studiu din programele de liceu ce au urmat. Ca o mică divagaţie trebuie menţionat aici că acesta este motivul pentru care elevii privesc cât-de-cât pozitiv temele care amintesc de ceva cunoscut din Gimnaziu, adică unele teme de algebră. Dimpotrivă, scurta incursiune gimnazială în trigonometrie nu poate fi privită ca temă deja cunoscută în liceu, pentru că în afara celor cinci cuvinte de vocabular comune (trigonometrie, sinus, cosinus, tangentă şi cotangentă :-), nimic din lecţia orientată geometric în Gimnaziu nu reapare în trigonometria de liceu.

Aş da un exemplu în acest sens, al importanţei aşa-numitei predări în spirală: pe vremuri am avut o elevă foarte slabă la matematică, care primea “cinci-ul” doar de milă, pentru că mai mult nu putea. Totuşi, printr-o minune, cu multă strădanie, a reuşit să-şi ia nota de trecere la examenul de capacitate, aşa că a ajuns la liceu. Fiind clasă de profil uman (ce denumire sugestivă!), colegii nici nu protestau că ea primea nota 5 cam nejustificat, o acceptau ca atare. La începutul clasei a XI am introdus câteva ore de “sisteme de trei ecuaţii cu trei necunoscute cu rezolvări elementare prin substituţie şi reducere” (vechile sisteme din culegerile lui Grigore Gheba, cu materie de clasa a VIII-a). Surpriza de proportii a apărut la lucrarea de control, unde eleva noastră a scos nota 9, având rezolvări profund diferite faţă de colega ei de bancă (elevă de 9-10), de la care de obicei copia pentru a scoate cumva “cinci-ul”. Ceilalţi din clasă s-au indignat, dar au înţeles când le-am explicat că rezolvările sunt total diferite. Întrebată cum şi de ce, eleva noastră a spus simplu: semănau cu ceva ce mai făcusem, aşa că le-am înţeles (semănau cu sistemele de două ecuaţii cu două necunoscute, care atunci erau încă în clasa a VII-a). Interesant este faptul că ulterior, la lecţiile total noi ce au mai urmat, a scăzut din nou, dar de la acea întâmplare s-a stabilizat undeva între 5 şi 6, adică nu a mai fost nevoie să o trec “de milă”. Elevii “tari” la matematică sunt mai rezistenţi la fenomen lecţiilor total noi, dar pe durată se uzează şi ei emoţional faţă de această materie care “îi ţine tot timpul în lecţii şi teme total noi”.

Revenind la subiectul eseului de faţă, temele noi de studiu ce apar în liceu – adică majoritatea – au nevoie de o introducere mai naivă, altfel profesorul “vorbeşte cu pereţii” (iar dacă nu-şi dă seama că “vorbeşte cu pereţii” înseamnă că are deficienţe mari în zona percepţiei empatice a elevilor, în general a clasei). Chiar dacă elevii de liceu sunt deja selectaţi pe real şi uman, noi vorbind aici de elevii de la profilul real, totuşi la aceste vârste marea majoritate au nevoie de o introducere cu un grad de naivitate destul de ridicat a noilor teme de studiu (la orice ştiinţă, nu doar la matematică). Altfel, cei cu posibilităţi financiare fug toţi să-şi ia profesor de ajutor în particular.

De-abia la facultate, şi doar cei care au făcut pasul conştient spre matematică, doar aici tinerii sunt de obicei capabili a aborda o temă direct, din prima, riguros axiomatic. Pentru aceasta ei trebuie însă să se fi exersat înainte în tratarea axiomatică a unei teme matematice. Dar cele mai bune exersări sunt cele pe teme deja cunoscute dinainte în mod intuitiv naiv. Din păcate însă acestea au cam fost scoase din materie. Cunoaşterea metodelor de introducere a unei teme riguros axiomatic la lecţii total noi este percepută de către elevii de liceu ca suferinţă intelecuală, fiind profund neatractivă şi făcând din matematică o materie total neiubită. Acesta este motivul pentru care, începând de prin 2000, profesorii din facultăţile de matematică resimt tot mai puternic nepregătirea studenţilor pentru activitatea la acel nivel.

Ce ar trebui făcut în aceste condiţii? Concluziile despre corecturile ce ar trebui aplicate sistemului se trag de la sine.

Titus Grigorovici

La începutul anului şcolar 2016-2017

Matematica naivă
Matematica naivă, exemple (1)
Matematica naivă, exemple (2)

Vindecarea predării matematicii

Eseul de faţă oferă un comentariu la articolul doamnei Oana Moraru – Tinerii noştri fragili şi inculţi, postat pe Republica în 20 iunie, unul dintre multele articole de o calitate deosebită, apărute în această vară, despre starea învăţământului. Lumea începe să spună tot mai clar lucrurilor pe nume. Este o dovadă a faptului că, în sfârşit, începem să ne debarasăm de starea de atmosferă comunistă a învăţământului, ce a supravieţuit lui Ceauşescu încă un sfert de secol.

Una dintre vocile cele mai realiste în acest sens este doamna Oana Moraru, care scrie pe site-ul Republica articole de o profunzime deosebită. Pe lângă articolele la care m-am referit deja cu alte ocazii, mi-au plăcut recentul Draga mea profesoară … din 25 Aug. 2016, dar şi mai vechiul Fă linişte, că deranjezi! din 15 Dec.2015.

Din start recomand oricui să ia şi să buchisească “din scoarţă-n scoarţă” articolul Tinerii noştri fragili şi inculţi, ceva cam lung (8 pagini A4), dar care merită fiecare  rânduleţ. În continuare voi relua înclinat (italic) anumite citate din acest articol, pe care le-am considerat mai relevante şi pe care apoi le voi comenta ulterior. Pentru coerenţa citirii am asamblat aceste citate într-un aparent nou text.

Revenind la matematică, trebuie să-mi precizez clar poziţia: matematica nu este bolnavă, deci nici nu are ce să fie supusă unui proces de vindecare. Predarea matematicii suferă însă de foarte multe deficienţe şi boli profunde, cel mai dur manifestându-se acestea în România în zona gimnazială. În acest sens îmi permit spre final să “traduc” în câteva rânduri articolul Oanei Moraru..

Astfel, dânsa vorbeşte despre o mare ambivalenţă a părinţilor de astăzi: pe de o parte, nevoia de a crea confort şi de a răspunde plăcerilor copiilor lor, pe de alta – ambiţia rezultatelor şcolare şi convingerea că şcoala trebuie făcută şi cu ceva durere. Familiile sunt prinse la intersecţia conflictuală a două culturi dominante: cea a marii culturi, în sens clasic, pentru care şcoala este un tren încet şi răbdător al iluminării şi cea a culturii „pop”, în care copiii noştri trebuie să trăiască fericiţi, liberi, să experimenteze, să îşi satisfacă plăcerile, preferinţele, nevoia de distracţie. De aceea, psihologic vorbind, în jurul vârstei şcolare, apare un fel de divorţ între familie şi copil: de la satisfacerea tuturor bucuriilor, la ameninţările despre cum la şcoală „se schimbă foaia” – un fel de dublă personalitate achiziţionată tacit: de la copilul care îşi urmăreşte plăcerea şi este servit, la cel, care, brusc, trebuie să devină luptător, angajat, tensionat pe un drum al achiziţiilor cognitive înalte.

Care sunt urmările acestui stil de educaţie? Pentru marea majoritate a elevilor s-au banalizat formele de cunoaştere riguroase, morga academică pur şi simplu nu mai este cool; dominantă este cultura cotidiană; marea cultură a rămas periferică şi de nişă. Cu mult mai puternică este cultura populară – una în perpetuă mişcare, integrată în viaţa de zi cu zi şi capabilă să schimbe fundamental felul în care se fac lucrurile.

Cel mai greu de acceptat pentru noi – ca profesori este sistemul de evaluare dărâmat de copiii noştri şi schimbat cu standardele subiective ale plăcerii sau ale neplăcerii. Toţi copiii de astăzi par să facă treaba de care ne cramponăm noi, adulţii, doar dacă ea produce atracţie, exaltare, intensitate, distracţie.

Cultura clasică a învățării se bazează pe rezilienţă, îndârjire, disconfort şi extenuare, pe ambiţie şi surmontarea obstacolelor cognitive. Copiii noştri au fost însă deja botezaţi în cultura populară a plăcerii, a confortului, a menajării şi a satisfacţiei imediate. Oana Moraru se întreabă oarecum retoric: Cât mai pot ei să cupleze, pe băncile şcolii, la modulul „atent-concentrat-rezistent-conştiincios.”?

Pe de o parte, şcoala are de operat cu nişte conţinuturi planificate, pe de alta, copiii de azi au tendinţa de a respinge toate conţinuturile resimţite ca neplăcute. Ca să restaurăm ordinea, nu mai avem nevoie de reguli în primul rând, ci avem nevoie de semnificaţii. Învăţarea este o experienţă uneori dureroasă şi neplăcută. Cum îi facem pe copii să nu se retragă în faţa ei?
Despre forma şcolii de astăzi Oana Moraru descrie destul de bine realitatea: un sistem care a dezvoltat deja interese proprii, dincolo de copii, nu se poate adapta nevoilor minţilor de astăzi. Aceasta în condiţiile în care cadrul în care creşte copilul este sursa reuşitei lui. Din păcate, în dezbaterile noastre de până acum, am ratat sensul împăcării între tradiţie și inovaţie. Suntem o societate aproape complet înghiţită de cultura „pop” a copiilor noştri, cu pretenţii ipocrite de exigenţă şi academism.
Ca să reformăm şcoala românească avem nevoie de inteligenţa unui raţionament care aşază în centrul practicilor profesorilor noştri cele două culturi: cea clasic-academică şi pe cea pop, de consum, cotidiană. Aceleaşi ”produse” ale gândirii pe care le sărbătoreau profesorii noştri severi sunt valabile şi astăzi. Gândirea de bună calitate rămâne mereu la modă. În trecut, ea se achiziţiona pe un fond de autocontrol emoţional, astăzi, trebuie obţinută, pe un fundal practic, explicit emoţional, al sărbătoririi alegerilor personale. Acum ar trebui urmărită formarea profesorilor în spiritul unor pedagogii care reaşază conţinuturile din manuale pe scheme care produc plăcere şi curiozitate copilului.
Dar cum putem noi, dascălii, intervenii vindecător în acest proces? Am încercat ani de-a rândul să acţionez “la sursă”, adică să conştientizez părinţii asupra fenomenului atât de bine explicat de Oana Moraru. Dar, credeţi-mă, nu ai sorţi de izbândă, şi asta din două mari motive. În primul rând că este vorba de a educa nişte adulţi, care vin cu atitudinea “de adult”, adică nu mai sunt docili ca în copilărie: ei “acuma ştiu mai bine”, au deja un sistem de valori creat, la care ţin uneori cu mare îndârjire. Apoi, şi dacă-i convingi de greşelile educaţionale pe care le-au făcut, acestea au fost deja făcute, adică elevii au fost deja setaţi greşit. Al doilea motiv este însă cel care m-a făcut să abandonez această cale: oricât te-ai strădui, şi oricâte mici sau mari succese ai avea în această luptă, de la un an la altul vin noi şi noi generaţii de părinţi cu care trebuie să o iei de la capăt. Este o luptă fără sorţi de izbândă. Şi atunci ce-i de făcut?
O vorbă veche spune că Singura persoană pe care poţi să o schimbi cu adevărat eşti tu însuţi! Da, singura soluţie viabilă de ieşire din criză este vindecarea predării matematicii, în sensul de renunţare la vechile repere de organizare a predării (dorite de matematicienii de vârf în urmă cu jumătate de secol şi introduse/impuse în mod aberant, radical la reforma din 1980). Despre faptul că matematica reprezintă un sistem care a dezvoltat deja interese proprii, dincolo de copii, despre acest subiect am prezentat argumente din plin în  articolele despre Reforma uitată. Da, într-adevăr, un sistem de predare bazat timp de un sfert de secol pe cei doi piloni – rigurozitatea axiomatică a predării matematicii (1) şi rezultate la olimpiade & concursuri (2) –, acest sistem a ajuns în mod natural să cam uite de copii, situaţia începând să iasă tot mai evident la suprafaţă în mass-media românească de după 2005.

Profesorii trebuie să renunţe la vechile repere, impuse în anii ’80 şi prea slăvite în anii ’90, şi să treacă la folosirea întregului arsenal de care matematica dispune într-u atragerea copiilor spre gândire şi spre matematică prin bucurie. Care ar fi elementele acestui arsenal? Nu mi-am propus în aceste rânduri o analiză completă a căilor de vindecare a predării matematicii, ci doar conştientizarea necesităţii, dar şi a posibilităţii acesteia. Oricum, expresii ca predarea prin problematizare, matematica proces sau adevărata matematică distractivă ar trebui să ajungă la ordinea zilei, atât în viaţa de zi cu zi a profesorilor, cât şi în  prea-înaltele preocupări ale instituţilor ce iau salarii bune pentru a trasa liniile educaţionale din şcolile româneşti. Profesorii trebuie să înveţe să dezvolte abilităţi cum ar fi empatia şi tactul, sau intuiţia faţă de mintea şi sufletul copilului

Pe părinţi nu-i poţi schimba (din motive politice nici nu-şi propune nimeni să-i schimbe), ca urmare vor veni în continuare în şcoli elevi cum sunt cei descrişi de Oana Moraru. Singurii care se pot schimba suntem noi, profesorii, prin introducerea de noi repere şi metode în predare, adaptate copiiilor prezentului.

9.09.2016

Prof. Titus Grigorovici