Author: admin

În postarea precedentă am vorbit despre proprietatea de 7 a zarului, anume că la orice zar (corect construit) suma feţelor opuse este întotdeauna 7 (feţele opuse 1 + 6; 2 + 5 respectiv 3 + 4). Această proprietate, prezentă încă de la începuturile antice ale zarului, o folosesc în diverse situaţii, cum ar fi în cazul primei lecţii despre cub. Pentru postarea de faţă doresc să vă prezint aplicaţii ale acesteia în două probleme de matematică distractivă.

Prima este preluată din Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery, Ed.Dover Pub. 1956 (eu am un exemplar în limba germană, Matematische Zaubereien, Ed. DuMont, 2004, pag. 61). Este vorba de fapt de o scamatorie matematică cu trei zaruri, pe care o descriu în continuare.

Îi dau unui elev voluntar din clasă cele trei zaruri, rugându-l să urmeze întocmai instrucţiunile mele, în timp ce eu voi sta cu spatele către masa unde el execută cerinţele (ceilalţi elevi pot sta în jur pentru a vedea „spectacolul”). Odată întors îi cer elevului să efectueze o aruncare cu cele trei zaruri şi să adune cele trei numere obţinute (valorile de pe feţele de deasupra). Într-un al doilea pas îl rog pe elev să întoarcă la alegere unul din zaruri, astfel încât faţa de jos să ajungă deasupra, iar apoi să adune şi acest nou număr la suma iniţială (celelalte două zaruri rămân aşa cum au căzut la început). În al treilea pas elevul trebuie să ia zarul pe care l-a întors deja şi să-l mai arunce numai pe acesta încă o dată, iar numărul obţinut să-l adune la suma existentă pănă atunci. În tot timpul cât stau cu spatele elevul nu îmi spune nici unul din numerele cu care lucrează, şi nici suma finală.

Chiar şi aşa, în acest moment eu mă întorc şi fără să ştiu care din cele trei zaruri a fost cel întors de mai multe ori, spun totuşi suma finală calculată de elev în minte. Cum fac? Simplu: adun 7 la suma care o văd în acel moment pe masă. Problemuţa se iveşte de la sine: cum face profu’?, şi este foarte frumoasă pentru că oferă destul de repede o primă aplicaţie uşoară a folosirii literelor în calcul. Astfel, după încă una-două „reprezentaţii”, putem să ne gândim să demonstrăm scamatoria. Iată o variantă posibilă: notez cu x, y, z cele trei numere iniţiale, şi presupunem că elevul s-a hotărât să întoarcă zarul cu numărul y. Atunci suma totală va fi:

x ₊ y + z + y_opus + y’ = x + z + y’ + 7

Am notat cu y_opus faţa opusă lui y, iar cu y’ numărul obţinut pe zarul ţinut pe zarul y la a doua aruncare. Ca tehnică de inducere în eroare – magicienii aşa fac – până fac suma x + z + y’ şi apoi adun 7, pot să atrag atenţia auditoriului că eu nu am de unde să ştiu care din cele trei zaruri a fost întors de două ori şi care sunt cele două zaruri care au rămas pe loc după prima aruncare.

A doua scamatorie, tot cu trei zaruri, este de fapt o variaţiune a problemei cu zece zaruri din postarea precedentă şi este preluată din Michael Holt, Math Puzzles and Games, Ed. Walker Pub. 1977 (eu am preluat-o din varianta în limba germană, Neue mathematische Rätsel, Ed. DuMont, 2005, pag. 83).

Daţi zarurile „elevului voluntar” cu recomandarea ca, în timp ce dvs. staţi cu spatele întors, el să aranjeze cum doreşte un turnuleţ din cele trei zaruri. În timp ce le aranjează, trebuie doar să adune toate feţele care nu se vor putea vedea în final din nici o parte (numerele de pe acestea). După ce a terminat, şi aceste feţe nu se mai pot vedea, dvs. vă întoarceţi şi puteţi foarte repede să-i spuneţi ce sumă a obţinut. Cum procedaţi? Pur şi simplu observaţi numărul arătat de zarul din vârf şi îl scădeţi din 21.

Titus Grigorovici

De obicei, când ne gândim la acest subiect, ca profesori de matematică, ne vin în minte în primul rând probabilităţile. Acest aspect este subliniat foarte bine în limba germană, unde zarul se numeşte Würfel (se poate traduce ca “aruncăreaţă”); încă ceva interesant, anume nemţii folosesc acelaşi cuvânt şi pentru cub. Apropos, ştiaţi de unde provine cuvântul zar? Din arabă, unde cuvântul se pronunţă la fel: zhar (complet: Al-zhar). Evident că de aici vine şi cuvântul hazard (cu trimitere la probabilitate), dar pentru seria pornită cu această ocazie doresc să tratăm şi alte aspecte ale zarului, decât doar cele legate “abilităţile zarului de a oferii numere la întâmplare”.

Zarurile sunt cunoscute în forma actuală din Antichitate. De pildă, în ruinele oraşului minier Berenice Pancrisia din Egiptul antic s-a găsit un zar de bronz având exact structura celor de azi (din Enzo Bernardini, Atlas de arheologie – Marile descoperiri ale civilizaţiilor antichităţii, Ed.Aquila, 2006, pag. 63), numerele de pe feţe fiind reprezentate cu punctuleţe (mici găurele), exact aşa cum le ştim actualmente.

Proprietatea de bază a aranjării numerelor pe feţele zarului este, pe cât de surprinzătoare, pe atât de logică: la orice zar construit corect suma feţelor opuse este întotdeauna 7. Simplu, clar, deşi puţină lume are cunoştinţă de această proprietate.

Elevilor le-o putem oferii ca atare, sec, sau putem face din apariţia ei o mare bucurie. De pildă, eu o folosesc pentru a înlătura “spaima” din ochii copiilor de clasa a IV-a, ţinând o lectie distractivă, atunci când merg prima dată în vizită la ei ca să ne cunoaştem. Astfel, iau un zar şi merg pe rând pe la toţi elevii, ţinând zarul între două degete, aşezat pe masă, cu întrebarea: ce număr este pe faţa de jos? Ei ghicesc, iar apoi eu ridic zarul infirmând, mai rar confirmând, răspunsul. Desigur că zarul este învârtit în mod spectaculos, chiar ostentativ, la trecerea de la un elev la următorul. După câţiva elevi mă opresc şi mă adresez clasei frontal: oare ce şmecherie o fi aici? Apoi, mai continui de la un elev la celălalt. Şi iarăşi acţionez frontal. Totul până când un elev are o idee ajutătoare. Dacă apare o idee bună, ajut şi eu în elucidarea enigmei, dar ideea iniţială trebuie să vină de la elev. Eventual, scot din pungă mai multe zaruri adunate de-a lungul timpului (multe zaruri frumos colorate le am din magazine second-hand, achiziţionate la preţuri derizorii), şi le dau câte un zar la fiecare bancă să le analizeze. Ultima dată am găsit regula până la parcurgerea a jumătate de clasă. Apoi, în starea de bucurie a descoperirii acestei reguli noi, am mai făcut exersări cu alţi elevi pentru a stârnii satisfacţia elevilor.

Pasul următor de gândire l-am făcut apoi cu o problemă la care am verificat capacitatea de a aplica cunoştinţele nou învăţate: Construim un turn din zece zaruri, despre care ştim că numărul arătat de ultima faţă de sus este trei. Căt este suma tuturor feţelor orizontale ale celor zece zaruri, care nu pot fi văzute (chiar dacă ne-am învârti în jurul turnului)? (Aceasta este o problemă foarte veche, din categoria matematică distractivă; se pare că cea mai recentă apariţie a acesteia este în lucrarea lui Armand Martinov, Matematica…o plăcere, Ed. Sigma, 2003, pag.18)

Ultima oară chiar am construit un astfel de turn din zece zaruri, dar nu i-am lăsat pe elevi să vină să se învârtă în jurul acestuia, pur şi simplu pentru a nu-l dărâma în înghesuiala posibilă. De fapt, cu această problemă dată ca temă am şi încheiat ora. Este greu de descris bucuria elevilor a doua zi de dimineaţă, când veneau la mine să mă anunţe cum au rezolvat ei problema. Desigur că nu au scăpat aşa de uşor: la următoarea oră, cei care au avut răspuns corect au trebuit să explice clar în faţa colegilor cum au gândit (aici ies la iveală şi cazurile când n-au gândit elevii, ci părinţii).

Titus Grigorovici

 

Exemplul 7: Adunarea fracţiilor

Exemplul 8: Sisteme de ecuaţii

Despre subiectul matematicii naive cred că am spus destul de multe încât să se înţeleagă despre ce este vorba. Totuşi, revin cu încă o tură de exemple, datorită unui comentariu din data de 02.06.2016, făcut de către un domn profesor pe site-ul didactic.ro la zona de dezbatere a noilor programe. Dânsul zice acolo: Eu cred ca scoaterea c.m.m.m.c. de la clasa a V-a. Aflarea numitorului comun prin ghiciri şi încercări, pentru a putea aduna două fracţii, nu mai seamănă a matematică.

Aici este evidentă neînţelegerea la nivelul profesorilor a adaptării predării la nivelul vârstei, cauzată de faptul că “programă din 2009” nu a fost însoţită şi de indicaţii metodico-didactice în care să se explice “noua linie de predare”. Iată cum am înţeles eu predarea la adunarea fracţiilor în contextul acestui subiect şi al acestei programe (când mă refer la adunare, subînţeleg desigur şi scăderea).

Într-o primă etapă, în clasa a IV-a, elevii învaţă cu doamnele învăţătoare adunarea fracţiilor cu acelaşi numitor (pe germană se spune gleichnamig, adică cele cu acelaşi nume). În a doua etapă, în clasa a V-a, se aduc fracţiile la acelaşi numitor în mod intuitiv, în forme de la simplu la tot mai complicate. În final, pentru cazurile cele mai dificile, unde intuiţia nu mai face faţă, parcurgem în clasa a VI-a găsirea c.m.m.m.c., cu care aflăm numitorul comun în format “automatizat”.

Este clar că, în comentariul de pe didactic.ro, e vorba despre etapa a doua. În această etapă elevii nu găsesc numitorul comun prin ghiciri şi încercări, ci prin pură înţelegere matematică intuitivă a numerelor, a fenomenului fracţiilor, aplicând proaspăt învăţata amplificare. Problema este însă, cum privim copilul? Îl privim ca pe un sac gol în care noi, profesorii trebuie să turnăm cunoştinţe, sau îl privim ca pe un om care gândeşte singur şi noi trebuie doar prin natura sarcinilor şi a provocărilor să-i cauzăm, să-i pornim gândirea? Îi dăm noi cunoştinţele respective, sau îl ajutăm pe el să le genereze? Îi dăm în fiecare zi un peşte, sau îl învăţăm să pescuiască? Aici am ajuns din nou la opoziţia dintre matematica rezultat, oferită elevului sub forma unei scurte prelegeri (la adunarea fracţiilor se procedează astfel: …), pe de-o parte, şi matematica proces, în care elevul este atras să o descopere singur prin problematizare (oare ce-ar trebui să face aici ca să putem aduna aceste fracţii?), pe de cealaltă parte.

Sigur, aici ajută un pic de explicaţii grafice: de pildă, a reprezenta o jumătate sub forma unui semidisc care, împărţit în trei părţi egale, arată cum se ajunge la 3/6. Alegerea primelor exemple este însă determinantă în procesul de înţelegere al elevilor. În acest sens eu practic o predare prin descoperire, în care elevii găsesc singuri cum să rezolve exerciţiile propuse, în timp ce eu ridic treptat ştacheta dificultăţii. Iată o posibilitate de ordonare a primelor exerciţii pe nivele de modele:

Modelul 0: recapitulare din clasa a IV-a;

Modelul 1: eventual  etc.

Modelul 2: eventual, până la situaţii “extreme”  etc.

Modelul 3: etc.

Probabil că la primul exerciţiu de la modelul 1 trebuie ajutată clasa s[ facă primul pas, “traducând” elevilor împărţirea de mai sus a jumătăţii în trei şesimi, într-o amplificare. La următoarele elevii intră în joc imediat şi ştiu ce să facă în continuare.

La modelul 3 se poate urca atâta cât “duc” elevii, oricum rămânănd în zona de numere accesibile calculului în cap. Pe această cale, elevii învaţă adunarea/ scăderea fracţiilor ca fenomen în clasa a V-a pe exemple accesibile, urmând ca formele complicate, cazurile grele, să le parcurgă în clasa a VI-a, după învăţarea găsirii c.m.m.m.c. prin reţeta oficială. Astfel, cunoaştem fenomenul în forma sa naivă, apoi îl aprofundăm în forma riguroasă la o a doua trecere (predarea în spirală).

Revenirea la subiectul matematicii naive, pe exemplul adunării fracţiilor din clasa a V-a, această revenire îmi oferă ocazia de a aborda încă o temă mult dezbătută în întâlnirile informale dintre profesori: mutarea lecţiei despre sisteme de ecuaţii 2X2 din finalul clasei a VII-a în finalul clasei a VIII-a. Am mai vorbit despre această temă, dar subiectul este prea grav ca să îl considerăm încheiat.

Pentru a înţelege fenomenul trebuie să aruncăm o privire în trecut. Cele două forme tradiţionale de rezolvare a sistemelor de ecuaţii sunt metoda substituţiei (a înlocuirii), o metodă mai “manufacturieră” ce prinde foarte bine la unii elevi mai slabi, şi metoda reducerii, o metodă mai “turbo”, cu atracţie mai ales la elevii buni. Tradiţional acestea se parcurgeau “la pachet”, dezvoltând în gândirea elevilor abilităţi de calcul absolut necesare în învăţarea algebrei. Acestea sunt nişte metode cu un grad puternic de naivitate şi, pe vremuri, ele erau stabilizate prin trecerea la sistemele de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute, în care de multe ori se aplică în cadrul unei rezolvări ambele metode (vezi sistemele din culegerea lui Gheba). Pentru detalii vezi anexa din final.

Începând din anii ’80, lecţiei i-a fost adăugată o nouă metodă, cea grafică, metodă ce a primit întâietate la predare, fiind prima care apărea în viaţa elevilor. Este evident că accentul s-a mutat cu această ocazie spre zona mai riguroasă a funcţiilor, a geometriei analitice, prin prezentarea ecuaţiilor ca ecuaţii a unei drepte. Mişcarea a avut câteva urmări didactice pe care le voi discuta în continuare.

În primul rând, noua linie nu a putut fi continuată şi la sistemele 3×3, cu reprezentare grafică în spaţiul 3D (evident de ce!), motiv pentru care, cu timpul, acestea au fost eliminate din programă (abandonându-se după 1990). Când eram elevi, nouă ne plăceau foarte mult sistemele 3×3; aici erau adevăratele provocări, nu ca la cele plictisitoare de 2×2, şi este mare păcat că acestea au fost abandonate. În acest moment se naşte o nouă problemă, colaterală, de înţelegere a matematicii de către elevi: înseamnă că sistemele cu mai multe ecuaţii şi necunoscute se pot aborda doar prin metodele complicate din clasa a XI-a?! Se poate gândi astfel, nu-i aşa? (Apropos, prin anii ’90 într-o culegere renumită, existau două pagini înghesuite cu sisteme 2×2 la care toate dădeau răspunsul (1;1), în afară de un singur exerciţiu, care avea altă soluţie; dacă tocmai nu-l găseau pe acela, elevii puteau înţelege că orice sistem are soluţia x = 1 şi y = 1)

În al doilea rând, elevii înţeleg mult mai greu metoda grafică decât pe celelalte. Or, aceasta venind prima, impresia creată se extinde automat asupra întregii lecţii despre sisteme de ecuaţii (am făcut sisteme de ecuaţii, este o lecţie foarte grea!). Până la începutul anilor 2000, elevii fiind destul de docili, lecţia a rezistat în programa de a VII-a, după care a fost exilată la sfârşitul clasei a VIII-a în 2009, sub pretextul că lecţia este prea grea. Din păcate, lecţia a fost mutată tot în această ordine (metoda grafică înaintea celor tradiţionale), aşa că problema tot nu s-a rezolvat: prima impresie asupra elevilor este tot cea veche, că este o lecţie grea L.

Este evident că toată lumea suferă, dar mai ales elevii, care se trezesc brusc în cine-ştie-ce problemă cu o situaţie de sistem de ecuaţii, înainte de a face lecţia la clasă oficial.

Cum am rezolvat personal această situaţie problematică? Am mai prezentat-o, dar o reiau şi acum, anume prin mutarea lecţiei cu cele două metode tradiţionale la începutul clasei a VIII-a (forma naivă a lecţiei) şi parcurgerea separată a metodei grafice, ulterior, în cadrul capitolului despre funcţii (forma riguroasă a lecţiei, la o a doua tratare). Astfel, în cadrul primului capitol parcurg următoarele lecţii:

Lecţia 0: Ecuaţii cu două necunoscute, cărora le putem găsii oricâte soluţii (nu ne interesează aici reprezentarea grafică a acestora şi faptul că acestea sunt situate pe o dreaptă, ci rămânem la forma elementer algebrică, de exemplu x = 3 şi y = 5).

Lectia 1: Două ecuaţii cu două necunoscute prin metoda substituţiei (înlocuirii); ataşând unei ecuaţii de la lecţia precedentă o a doua ecuaţie, se obţine doar o soluţie bună pentru amândouă. Pentru ca elevii să se poată concentra toţi asupra lecţiei, le ofer doar exemple de sisteme în care măcar una din ecuaţii are una din necunoscute “fără coeficient” (cu coeficientul +1 sau –1), evitând astfel exprimarea acesteia printr-o fracţie care i-ar speria pe foarte mulţi elevi.

Lecţia 2: Două ecuaţii cu două necunoscute prin metoda reducerii; această metodă mult mai rapidă vine ca o salvare la sistemele unde metoda substituţiei ne-ar duce la calcule cu fracţii. Mulţi elevi observă asemănarea acestei metode cu amplificarea pentru aducere la acelaşi numitor la adunarea fracţiilor. Şi în cazul acestei metode trebuie lucrat crescător. Astfel, la primul exemplu dau un sistem unde reducerea se face “din prima”, nefiind necesară o amplificare prealabilă. Doar apoi apare amplificarea unei ecuaţii pentru a cauza reducerea., apoi amplificarea simultană a ambelor ecuaţii. În mod similar cu paşi de la adunarea fracţiilor, şi aici trebuie să creştem la amplificări tot mai complicate cu fiecare nou sistem oferit spre rezolvare.

Pentru început, ca o regulă grosieră la ambele metode, le ofer elevilor garanţia că le dau sisteme cu soluţii numere întregi (până prind schema de lucru). De-abia din orele următoare luăm şi cazuri la întâmplare, cu soluţii fracţionale. După lecţia 1 trebuie avertizaţi elevii că mai vine o metodă, dar să nu-i lase pe “cei de-acasă” să le strice surpriza, ci să lucreze doar pe metoda substituţiei. Un elev m-a avertizat la începutul lecţiei 2 că a aflat cum merge “şmecheria” mai simplu, aşa că am decis ca el să tacă în procesul de descoperire a metodei reducerii.

În lecţiile următoare parcurgem câteva sisteme de 3×3 (le plac foarte mult elevilor), cât şi probleme ce se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuaţii. Trebuie precizat că în această fază de rezolvare, cel puţin la început, scriem soluţia algebric, de pildă x = 3 şi y = –1, eventual aranjate sub forma unui mic sistem. De-abia în semestrul II, după reprezentarea punctelor în plan, începem să scriem soluţiile ca mulţime de puncte. Iar când mă întreabă elevii, la sistemele 3×3 cum scriem soluţia ca punct, le arăt că o scriem ca punct 3D J.

O observaţie specială ar fi necesară aici în legătură cu alte metode elementare de rezolvare a sistemelor. De exemplu, în manuale din Germania am găsit multe sisteme de forma: x = 2y + 1 şi x = –y + 5, ce se rezolvă cel mai bine cu o metodă ce poate fi numită metoda tranzitivităţii, ducând direct la ecuaţia 2y + 1 = –y + 5. Este evident că această metodă este mult mai rapidă în cazul intersecţiei graficelor a două funcţii. Din păcate am întâlnit elevi care la acest sistem mai întâi mută toate necunoscutele în membrul stâng, după care rezolvă prin metodele tradiţionale.

Tot în manuale din Germania am găsit şi sisteme formate dintr-o ecuaţie cu două necunoscute şi o ecuaţie cu o necunoscută. Consider că acestea nu merită o atenţie prea mre; cel mult merită folosite ca trecere de la lecţia 0 la lecţia 1 sau, eventual, intercalate ca o banalitate, printre alte exerciţii.

ANEXĂ:

După ce am scris prezentul eseu, am luat la verificat “arhiva” personală. Permiteţi-mi să vă prezint ce am găsit despre programa şi manualele din anii ’70, respectiv ’80.

În anii ’70 sistemele de ecuaţii (2×2 şi 3×3) erau în cadrul capitolului despre ecuaţii din clasa a VIII-a. Precizez că la vremea respectivă toţi împlineam 14 ani în clasa a VIII-a (mergeam în clasa I cu şase ani şi făceam buletin la sfârşitul şcolii generale). Iată câteva exemple.

Programa de matematică pt. clasele V-X ale şcolii generale (Bucureşti 1972): Clasa a VIII-a, Cap. III, Ecuaţii de gradul I,

1. Rezolvarea ecuaţiilor de gradul I cu coeficienţi numerici şi literari (recapitulare Cl. a VII-a) Sisteme de două (trei) ecuaţii de gradul I cu două (trei) necunoscute cu coeficienţi numerici şi literari. Rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor de ecuaţii.
2. Rezolvarea grafică a unui sistem de gradul I de două ecuaţii cu două necunoscute. Discuţia sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute de gradul I, cu ajutorul graficului.

O situaţie similară, dar mai detaliată, se găseşte în Programa de matematică din 1977.

În manualul de Algebră pentru clasa a VIII-a (Ivanca Olivotto, Constantin Ionescu-Bujor, Ion Giurgiu, 1980), apar următoarele lecţii legate de subiectul eseului de faţă:

4. Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
5. Sisteme de ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
6. Rezolvarea sistemelor… Metoda substituţiei
7. Rezolvarea sistemelor … Metoda reducerii
8. Sisteme cu coeficienţi literari
9. Sisteme de trei ecuaţii de gradul I cu trei necunoscute
10. Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de ecuaţii de gradul I

Analizând manualele din anii ’80-’90, găsim sistemele de ecuaţii cu un an mai devreme (ce-i drept, prin şcoli erau deja copii trimişi în clasa I la 7 ani, deci cu buletin în a 7-a). De pildă, în manualul de Algebră pentru clasa a VII-a (Tiberiu Spircu, Ioan Crăciunel, Lucia Chişu, 1989) avem următoarele lecţii:

45. Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute (unde apare dreapta soluţiilor reprezentată în sistemul cartezian de axe);
46. Echivalenţa ecuaţiilor de gradul I cu două necunoscute;
47. Noţiunea de sistem de ecuaţii (unde soluţia se găseşte la intersecţia celor două drepte ale ecuaţiilor, actala metodă grafică);
48. Rezolvarea sistemelor prin metoda substituţiei;
49. Sisteme echivalente;
50. Metoda reducerii;
51. Rezolvarea unor probleme cu ajutorul sistemelor de ecuaţii;

Sistemele 3×3 nu mai apar în acele manuale, dar profesorii le mai făceau la începutul anilor ‘90. Menţionez că în clasa a VIII-a studiam la vremea respectivă deja polinoame.

Titus Grigorovici

29 sept. 2016

MATEMATICA NAIVĂ

Exemplul 5: NUMERE COMPLEXE

Exemplul 6: COMBINATORICĂ

Plecând de la denumirea de matematică naivă, am putea uşor crede că aceasta se aplică doar elevilor mici, celor de gimnaziu, pe când “noi, în liceu, facem treabă serioasă”. Nimic mai greşit. Desigur că în liceu avem în faţa noastră elevi ce au fost deja selectaţi şi au făcut dovada că “pot duce mai multă matematică”. Dar, “mai multă matematică” nu înseamnă să-i îneci într-o matematică mult prea înaltă, prezentată după modelul universitar, doar pe baza faptului că vârfurile clasei chiar fac faţă (deseori doar aparent fac faţă, pentru că de multe ori există acolo un ajutor constant privat). Am explicat deja că matematica naivă nu ţine doar de primii paşi în matematică – adică la clasele mici –, ci ţine în general de primii paşi într-un domeniu nou al matematicii. Matematica se scutură încet, încet de naivitatea sa la următoarele abordări, la următoarele treceri prin subiectele respective. Astfel, temele de studiu ce apar pentru prima dată în liceu – adică majoritatea – trebuie prezentate fără discuţie la un nivel serios de naivitate, corespunzătoare unei prime abordări a subiectului nou. Primii paşi sunt extrem de importanţi: elevul trebuie să apuce în primul rând să înţeleagă de unde a apărut noua temă, iar aceasta nu apare din voinţa, din definiţia dată de un profesor atotputernic, care se crede Dumnezeu în lumea matematică a acelui elev.

De pildă, chiar şi ultimul elev dintr-o clasă de real trebuie să priceapă de unde apar numerele complexe! Acestea nu răsar din senin. Abordarea introdusă la reforma din 1980, de tipul “considerăm perechile ordonate (a;b), cu a,b∈ℝ cărora le definim următoarele operaţii….; acestea se numesc numere complexe; mulţimea numerelor complexe se notează cu ℂ ”, această abordare este percepută de majoritatea covârşitoare a elevilor ca inumană, extraterestră, total de neînţeles! Toţi elevii care vor să înveţe, odată ajunşi acasă după această lecţie, cer ajutorul cuiva să afle despre ce este vorba. Iar acesta (de obicei profesorul din particular) îi va povesti elevului imediat despre numărul i ca o convenţie pentru absurda rădăcină pătrată a lui –1, iar apoi imediat îi va arăta cum se aplică această nouă şmecherie la soluţiile nereale ale ecuaţiei de gradul II.  Este probabil exemplul cel mai reprezentativ în care o abordare cu un anume grad de naivitate va lumina instant faţa şi mintea  elevilor.

Pentru orice profesor cu o empatie funcţională faţă de mintea elevilor este clar că introducerea numerelor complexe axiomatic, definindu-le ca perechi ordonate de numere reale, cu operaţiile anexate, este total abstractă şi nepotrivită din punct de vedere pedagogic. Definirea înmulţirii a două astfel de perechi, (a; b)∙(c; d) = (ac–bd; ad+bc), este total absurdă pentru orice persoană aflată la primul contact cu ideea de număr complex: “de ce să definesc astfel înmulţirea?, nu are sens!, nu înţeleg nimic!”, aceasta va fi reacţia oricărei persoane normale la cap. Dar oare, cine a inventat această ciudăţenie şi cum ne-am pricopsit cu ea în şcoli?

Pentru a răspunde primei întrebări, recomand oricui să studieze istoria evoluţiei şi cristalizării teoriei despre numere complexe, mai ales cea legată strict de acestea, din secolele XVIII-XIX. De pildă, faptele sunt prezentate magistral în lucrarea despre care am mai vorbit şi cu alte ocazii: Paul J. Nahin, O poveste imaginară, istorea numărului radical din –1, Ed. Theta, Bucureşti, 2000. Următorul aliniat este preluat din această lucrare, cu citatul strict prezentat înclinat:

Introducerea numerelor complexe ca perechi ordonate cu operaţiile anexate a fost prezentată pentru prima dată de matematicianul irlandez William Rowan Hamilton în 1835, într-o lucrare despre cupluri algebrice (aşa le-a numit el iniţial), în faţa Academiei irlandeze. Cele două operaţii sunt parte a unei “definiţii şi, în consecinţă, nu au nevoie de alte explicaţii. În teoria lucrării respective ele pică deci din senin dar, este clar că Hamilton era motivat de modul cum funcţionează numerele complexe. Cu alte cuvinte, cuplurile pure şi abstracte (a, b) nu sunt altceva decât un alt mod de a scrie a + ib. Hamilton credea totuşi că această notaţie este preferabilă pentru că evită folosirea absurdului radical din –1. El are chiar un comentariu comic despre această alegere: Cei care vor citi cu atenţie remarcile la această teorie … vor vedea că aceste notaţii nu sunt arbitrar alese.” (citat de la pag. 71).

Deci chiar şi Hamilton recunoştea la acel moment că totul este doar un joc, o aparentă nouă teorie care dă impresia că elimină din proces înţelegerea intuitivă a fenomenului numerelor complexe. Cum s-a ajuns însă ca o lucrare pur ştiinţifică să aterizeze după 150 de ani în manualele şcolare pentru elevi de 15 ani (eu atâta aveam în 1982 când am învăţat lecţia în clasa a IX-a), aceasta este un alt subiect, despre care am încercat unele lămuriri în eseul în care am prezentat Reforma uitată din 1978-1981, la pag. 4-9, din Reforma uitată (partea I).

Dar, presupunând că şi-ar propune schimbarea stilului de predare din riguros axiomatic într-unul naiv intuitiv, corect pedagogic, cum ar putea un profesor să predea în acest fel? (plecând de la premiza că îşi doreşte o predare din care elevii săi să şi înţeleagă mai mult). Căutările mele mi-au arătat (cu vârf şi-ndesat) că la majoritatea lecţiilor de liceu se găsesc forme destul de bune în manualele româneşti oficiale din anii ’60-’70. După 2-3 ture de căutări şi încercări (ca să nu spun experimentări, că imediat sare careva că “experimentezi pe elevi”), orice profesor deschis la minte va începe şi el să-şi găsească o formă mai bună de predare a unui capitol. De vreme ce ministerul, împreună cu toate structurile sale de organizare a predării în şcoli, nu sunt în stare a ne oferii astfel de modele, este evident că profesorul trebuie să devină el însuşi un căutător.

În materialul de faţă am abordat spre exemplificare două teme ce îmi sunt deosebit de dragi, numerele complexe şi combinatorica. Alegerea celor două subiecte a fost una subiectivă; oricare temă de studiu din liceu ar trebui prezentată în mod similar. Gradul de naivitate mai crescut se referă în primul rând la introducerea noilor concepte; odată ce elevii s-au obişnuit cu acestea (după 2-3 ore), predarea nu mai diferă foarte mult de ceea ce cunosc majoritatea profesorilor. Trebuie însă înţeles că la fiecare pas teoretic important ce se face în necunoscut, trebuie folosită o abordare intuitiv-naivă. Părerea mea personală este că o cale ce foloseşte cât mai des predarea prin problematizare, în care elevul să descopere singur paşii lecţiei, sub îndrumarea profesorului, în urma întrebărilor ajutătoare ale profesorului, aceasta este pe durată cea mai sănătoasă cale de a parcurge materia. Forma de lucru ar trebui să fie în principiu următoarea: noi, profesorii, îi îndrumăm pe elevi pe o cale de (re)descoperire a  temei studiate. Cine a făcut cercetare reală ştie cât de naiv gândeşte cel care se aventurează într-un teritoriu virgin, pe care nu l-a mai parcurs nimeni înaintea sa. Singurele sale repere de care se poate ajuta sunt lucrurile pe care deja le cunoaşte din urmă, cât şi logica bunului simţ. Într-un astfel de stil trebuie să “descopere” şi elevii noua temă. Cine a făcut cercetare adevărată, nu compilare din materiale deja existente (aş numi aceasta pseudo-cercetare, sau cercetare secundară), acela înţelege despre ce vorbesc aici. Descoperirea temei de către elev nu este însă una haotică, ci este îndrumată cât mai eficient de către profesor. Această formă eu o numesc predare prin întrebări sau, ceva mai pretenţios, predare prin descoperire, care este o formă extremă în predarea prin problematizare. Într-o astfel de formă de predare, la sfârşitul lecţiei, sau şi mai bine ora următoare, se organizează, se ordonează noile cunoştinţe, acestea căpătând forma unei lecţii de memorat. Elevii însă nu mai trebuie să le memoreze pentru că majoritatea dintre ei deja le-au înţeles. În schimb încep să dobândească şi aptitudini mai mature matematic, în sensul că învaţă pe viu cum să ordoneze din punct de vedere riguros matematic nişte cunoştinţe deja dobândite intuitiv. Şi oricum, aşa cum am precizat deja: marii matematicieni, monştri sacri Wessel şi Argant, Gauss şi Hamilton pe acest drum au mers. Hamilton cu teoria sa a fost ultimul, nu primul, pe drumul înţelegerii numerelor complexe. Nu înţeleg de ce elevii trebuie să parcurgă drumul invers, ca să nu spun “pe dos”.

Tema despre introducerea numerelor complexe nu o mai abordez in extenso în eseul de faţă; am prezentat-o pe larg în articolul Apariţia numerelor complexe din Caietul de matematică Pentagonia Nr. 2 din aprilie 1998 la pag. 14, într-o propunere personală, dar şi în articolul Reforma uitată la pag. 19-20, într-una din formele existente într-un manual dinaintea reformei de la sfârşitul anilor ’70.

Să analizăm în continuare introducerea principalelor elemente de combinatorică într-o formă mai inteligibilă pentru elevul care se întâlneşte prima dată cu acest subiect. Nu mă voi referi în cele ce urmează la întregul capitol, ci doar la tripleta permutări, combinări şi aranjamente. Să analizăm pentru început ordinea în care se pot parcurge acestea. În manualele din ţara noastră ordinea este P-A-C. Oare ce alte posibilităţi există (nu glumesc defel) şi care din acestea ar fi mai potrivită elevilor? În cele ce urmează mă voi referi la două dintre celelalte cinci variante, anume la P-C-A şi la C-A-P.

După părerea mea (preluată în urmă cu ani buni de la un coleg drag), ordinea P-C-A este cea mai logică din punct de vedere a fenomenelor studiate. Anume, permutările studiază un fenomen, cel mai simplu şi accesibil; combinările vin apoi studiază alt tip de fenomen, unul clar mai complicat; în final vin aranjamentele care studiază o situaţie ce combină cele două fenomene deja cunoscute. Ani de-a rândul am predat cele trei lecţii în această ordine şi pot să spun că predarea decurge foarte bine astfel.

De curând am participat în Germania, la Kassel, la un curs pentru profesori Waldorf de liceu, la o serie de discuţii despre predarea Combinatoricii, seminar în care profesorul Steffen Brasch a prezentat predarea într-o ordine ce ar putea fi sintetizată ca C-A-P. Mai exact, el se ocupa de cunoaşterea practică, pe exemple, a combinărilor, deducând de aici triunghiul lui Pascal, apoi, din exemple mai ciudate reiaşeau aranjamentele, iar permutările apăreau şi ele undeva ca exemple foarte simple. De-abia în final vorbea dânsul de o sintetizare teoretică, unde veneau şi clasicele formule (parcursul istoric acesta a fost). Nu am înţeles toate detaliile – timpul a fost foarte scurt – dar am luat notiţe pe care cândva le voi studia în amănunt. Se înţelege deci că nu am glumit deloc atunci când am întrebat câte posibilităţi există de a ordona  cele trei lecţii.

Dar cum ar trebui prezentate aceste trei lecţii conform principiilor matematicii naïve? Pentru că, este clar, vorbim despre primul contact al elevilor cu tema respectivă. Eu am plecat de fiecare dată de la probleme tip şi nu de la teorie. În cazul introducerii noţiunii de permutare, problema tip ce mi-a fost sugerată de tatăl meu este următoarea:

Problema trenului ROGVAIV: Un tren are şapte vagoane, vopsite fiecare într-una din culorile curcubeului (le notăm: R = roşu, O = orange, Ve = verde, etc.). În câte feluri poate fi aranjată garnitura acestui tren?

Formulele de calcul ar trebui să apară în viaţa elevilor drept teoreme – deduse intuitiv sau demonstrate riguros –  şi în nici un caz ca definiţii. În cazul permutărilor, în predarea prin problematizare, plecăm de la problema vagoanelor şi începem să cercetăm situaţia: dacă ar fi doar două vagoane, câte variante de ordonare a garniturii există? Două, RG şi GR. Dacă am avea trei vagoane, câte variante avem? Şi elevii încep să le caute. Şase, vine răspunsul. Dar dacă am avea patru vagoane?  Îi mai lăsăm să caute, depinde de nivelul elevilor din clasă, dar poate aici este momentul să intervenim şi să reluăm lucrurile ordonat, adică să-i învăţăm cum să-şi aranjeze ordonat toate variantele, pentru că altfel mulţi elevi le dau haotic, iar de la patru vagoane încep să piardă anumite variante. Când aştern ordonarea pe tablă, iau pentru început şi cazul particular cu un vagon. Urcăm pe acest drum până când cineva din clasă observă ce se întâmplă (desigur că aranjarea într-o schemă sugestivă a tuturor variantelor la trei, respectiv la patru vagoane, este hotărâtoare pentru înţelegerea fenomenului). În momentul în care apare ideea de rezolvare, elevii inteligenţi matematic o vor aplica imediat şi vor ajunge rapid la răspuns; ei au înţeles modelul logic după care funcţionează “jucăria” şi gata. Alţii însă, vor vrea să facă mai departe ordonările şi în cazurile cu mai multe vagoane. Putem să-i lăsăm să le scrie pe toate la 5 vagoane (poate acasă), dar vor trebui să înţeleagă că numărul creşte prea tare, ajungând în imposibilitatea de cuprindere în scris a tuturor variantelor. Aici poate îi ajutăm pe aceştia cu o formă de grupare a unor variante (acolade, încadrare într-un dreptunghi etc.) astfel încât să poată şi ei face saltul logic de la realizat practic cu creionul la văzut schemei doar în minte.

După rezolvarea problemei sintetizăm totul într-o teorie. Aici definim operaţia de factorial (eu îi pun pe elevi să facă şi tabla factorialului, cu rezultate calculate de către toţi elevii  până la 10!, pentru a simţi cât de explozivă este aceasta). Ordinea intuitivă ar cere chiar realizarea tablei factorialului mai întâi, apoi generalizarea într-o definiţie. Apropos, factorialul se poate defini în două variante: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n sau invers n! = n ∙ (n-1) ∙ (n-2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1; fiecare este uneori mai avantajoasă; depinde de situaţie. Apoi dăm definiţia permutărilor şi, cu titlul de teoremă, formula P_n = n! pentru calculul acestora. În continuare vin alte probleme aplicative ale premutărilor, pe care elevii sunt învăţaţi să le rezolve direct, prin formula deja dedusă, având însă în cap modelul celor şapte vagoane. De pildă, în câte feluri pot fi aranjaţi opte alergători pe cele opt culoare la proba de 100m plat? Sau: avem un set de trei ghivece diferit colorate; în câte feluri le putem aranja pe pervaz? etc. O astfel de temă este foarte simplă, pentru că în principiu trebuie doar luate rezultatele din tabla factorialului. Ora viitoare vom face şi exerciţii de calcul steril cu noua operaţie de factorial şi lecţia intră pe făgaşul cunoscut.

O observaţie specială vine aici în legătură cu aspectul psihologic al numerelor mari, cu care ne confruntăm din belşug la aceste probleme. Toată lumea a ajuns imună la aceste numere mari cu care ne bombardează societatea prezentului. Pentru a le înţelege cât sunt de mari, trebuie să le aducem într-un reper personal al vieţii de zi cu zi. De pildă, după prima oră, cu problema trenului ROGVAIV, le putem da elevilor ca temă următoarea suplimentare a acestei probleme:

Mecanicul trenului ROGVAIV: Un mecanic tânăr, aflat la început de carieră, primeşte în îngrijire trenul ROGVAIV şi îşi propune să aranjeze la fiecare cursă a trenului cele şapte vagoane în altă ordine. Trenul respectiv face în fiecare zi o cursă “dus” şi o cursă “întors”, iar mecanicul nostru, după cursa dus mută doar locomotiva şi schimbă plăcuţele de numerotare a vagoanelor, aşa încât poate bifa în fiecare zi câte două ordonări diferite. În câţi ani va reuşi să epuizeze toate ordonările posibile (fără a avea nici o singură zi liberă)? Dar dacă ar fi vorba de un tren cu opt vagoane? Faceţi problema şi observaţi ce efect are rezultatul asupra dvs. În acest moment matematica devine cu adevărat impresionantă.

Este evident că lecţia despre combinări este mult, mult mai grea decât cea despre permutări, şi nu mi-am propus pentru acest eseu o prezentare completă a acesteia (vezi Anexa din final). Aranjamentele, pe poziţia a treia, apar apoi foarte uşor, provocarea pentru elevi fiind doar în a observa că trebuie îmbinate cele două principii, de la permutări şi de la combinări.

Pentru eseul de faţă am urmărit doar exemplificarea pe cazul permutărilor a felului cum se poate introduce o noţiune nouă prin problematizare şi nu prin prelegere riguroasă. De la o astfel de oră elevii pleacă cu inima plină de bucurie şi cu mintea plină de gândire. Şi când spun asta, vorbesc de toţi elevii care au fost dispuşi să participe la jocul găsirii soluţiei. Ştiu că durează mai mult, dar efectul asupra elevilor este net superior.

Anexă  Problematica introducerii combinărilor presupune, pe lângă găsirea problemei tip cea mai potrivită, şi lămurirea următorilor paşi: abordarea problemei intuitiv, deci fără definiţie; corelarea cu formulele binomiale deduse elementar algebric, apariţia triunghiului lui Pascal; lecţia numită generic Binomul lui Newton; deducerea formulei de calcul a combinărilor; îmbinarea celor două tendinţe, calculul algebric, sec, riguros ştiinţific, pe de-o parte, şi problemele aplicative de o diversitate uluitoare, pe de altă parte, conştientizând că acest capitol este ultimul din viaţa elevilor în care apar probleme frumoase cu caracter de matematică distractivă.

Titus Grigorovici

19 sept. 2016

Chiar dacă nu într-o formă completă, extremă, academică, specifică facultăţilor, rigurozitatea axiomatică în matematica poate fi introdusă deja din clasele liceale. Aceasta însă cu o singură condiţie: să fie abordate din punct de vedere riguros axiomatic teme deja cunoscute de către elevi, teme cu care aceştia s-au familiarizat înainte pe calea naturală intuitiv-naivă. În acest sens revenim scurt în gimnaziu unde, în linii mari, sunt studiate trei mari teme: aritmetica, algebra şi geometria tradiţională moştenită de la Euclid. Elemente din aceste trei mari domenii ar putea fi tratate mai riguros axiomatic la o a doua mare trecere în clasele liceale, şi chiar aşa şi erau acestea prezentate în manualele de clasa a IX-a începând din 1978.

Toate bune şi frumoase, cu o singură “mică” problemă: două dintre cele trei mari teme gimnaziale au fost scoase din materia de liceu la schimbările din învăţământ pe care le denumim ad-hoc “reforma din 1997”. Nici aritmetica, nici geometria euclidiană tradiţională nu se mai regăsesc printre capitolele de studiu din programele de liceu ce au urmat. Ca o mică divagaţie trebuie menţionat aici că acesta este motivul pentru care elevii privesc cât-de-cât pozitiv temele care amintesc de ceva cunoscut din Gimnaziu, adică unele teme de algebră. Dimpotrivă, scurta incursiune gimnazială în trigonometrie nu poate fi privită ca temă deja cunoscută în liceu, pentru că în afara celor cinci cuvinte de vocabular comune (trigonometrie, sinus, cosinus, tangentă şi cotangentă :-), nimic din lecţia orientată geometric în Gimnaziu nu reapare în trigonometria de liceu.

Aş da un exemplu în acest sens, al importanţei aşa-numitei predări în spirală: pe vremuri am avut o elevă foarte slabă la matematică, care primea “cinci-ul” doar de milă, pentru că mai mult nu putea. Totuşi, printr-o minune, cu multă strădanie, a reuşit să-şi ia nota de trecere la examenul de capacitate, aşa că a ajuns la liceu. Fiind clasă de profil uman (ce denumire sugestivă!), colegii nici nu protestau că ea primea nota 5 cam nejustificat, o acceptau ca atare. La începutul clasei a XI am introdus câteva ore de “sisteme de trei ecuaţii cu trei necunoscute cu rezolvări elementare prin substituţie şi reducere” (vechile sisteme din culegerile lui Grigore Gheba, cu materie de clasa a VIII-a). Surpriza de proportii a apărut la lucrarea de control, unde eleva noastră a scos nota 9, având rezolvări profund diferite faţă de colega ei de bancă (elevă de 9-10), de la care de obicei copia pentru a scoate cumva “cinci-ul”. Ceilalţi din clasă s-au indignat, dar au înţeles când le-am explicat că rezolvările sunt total diferite. Întrebată cum şi de ce, eleva noastră a spus simplu: semănau cu ceva ce mai făcusem, aşa că le-am înţeles (semănau cu sistemele de două ecuaţii cu două necunoscute, care atunci erau încă în clasa a VII-a). Interesant este faptul că ulterior, la lecţiile total noi ce au mai urmat, a scăzut din nou, dar de la acea întâmplare s-a stabilizat undeva între 5 şi 6, adică nu a mai fost nevoie să o trec “de milă”. Elevii “tari” la matematică sunt mai rezistenţi la fenomen lecţiilor total noi, dar pe durată se uzează şi ei emoţional faţă de această materie care “îi ţine tot timpul în lecţii şi teme total noi”.

Revenind la subiectul eseului de faţă, temele noi de studiu ce apar în liceu – adică majoritatea – au nevoie de o introducere mai naivă, altfel profesorul “vorbeşte cu pereţii” (iar dacă nu-şi dă seama că “vorbeşte cu pereţii” înseamnă că are deficienţe mari în zona percepţiei empatice a elevilor, în general a clasei). Chiar dacă elevii de liceu sunt deja selectaţi pe real şi uman, noi vorbind aici de elevii de la profilul real, totuşi la aceste vârste marea majoritate au nevoie de o introducere cu un grad de naivitate destul de ridicat a noilor teme de studiu (la orice ştiinţă, nu doar la matematică). Altfel, cei cu posibilităţi financiare fug toţi să-şi ia profesor de ajutor în particular.

De-abia la facultate, şi doar cei care au făcut pasul conştient spre matematică, doar aici tinerii sunt de obicei capabili a aborda o temă direct, din prima, riguros axiomatic. Pentru aceasta ei trebuie însă să se fi exersat înainte în tratarea axiomatică a unei teme matematice. Dar cele mai bune exersări sunt cele pe teme deja cunoscute dinainte în mod intuitiv naiv. Din păcate însă acestea au cam fost scoase din materie. Cunoaşterea metodelor de introducere a unei teme riguros axiomatic la lecţii total noi este percepută de către elevii de liceu ca suferinţă intelecuală, fiind profund neatractivă şi făcând din matematică o materie total neiubită. Acesta este motivul pentru care, începând de prin 2000, profesorii din facultăţile de matematică resimt tot mai puternic nepregătirea studenţilor pentru activitatea la acel nivel.

Ce ar trebui făcut în aceste condiţii? Concluziile despre corecturile ce ar trebui aplicate sistemului se trag de la sine.

Titus Grigorovici

La începutul anului şcolar 2016-2017

Matematica naivă
Matematica naivă, exemple (1)
Matematica naivă, exemple (2)