Teorema lui Pitagora ┼či faian┼úa din baie

Dac─â v-a┼úi ├«ntrebat unde am disp─ârut ├«n ultimele s─âpt─âm├óni, v─â informez c─â am fost ocupat cu pusul faian┼úei ├«n noua noastr─â baie. Muncitorii m-au refuzat la modelul imaginat de mine, a┼ča c─â a trebuit s─â ├«nv─â┼ú s─â o lipesc singur pe perete. ├Ämi explicau c─â nu se pot pune amestecate pl─âci de faian┼ú─â de m─ârimi diferite. Eu le explicam c─â se poate dac─â folosesc pl─âci de m─ârimi multipli de 5 cm. Desigur c─â vorbeam unul pe l├óng─â cel─âlalt: ei nu m─â prea ├«n┼úelegeau pe mine cu matematica mea iar eu nu-i ├«n┼úelegeam dec├ót aproximativ pe ei c├ónd vorbeau de erori ce se acumuleaz─â sau de grosimi diferite ale diferitelor pl─âci. ├Än plus, aveam ┼či pl─âci reliefate ┼či mai doream s─â integrez ├«n minunata mea oper─â ┼či anumite pl─âci pu┼úine la num─âr sau chiar unice, reprezent├ónd diferite mici amintiri. Iat─â ce a ie┼čit:

Pe l├óng─â modelul ie┼čit din comun, mi-am propus s─â introduc ┼či mai mult─â matematic─â, ├«ntr-o form─â ceva mai ÔÇťagresiv─âÔÇŁ. Normal ar fi fost s─â aleg reprezentarea geometric─â a formulei p─âtratului unei sume (┼čti┼úi desigur reprezentarea cu dou─â p─âtrate diferite ┼či dou─â dreptunghiuri identice, form├ónd un mare p─âtrat). Dar ar fi fost prea banal; s-ar fi pierdut ├«n haosul de pl─âci diferite. A┼ča c─â am decis s─â fac ├«ntr-un col┼ú figura teoremei lui Pitagora pentru triunghiul egiptean. Pe aceasta se vede clar cum 32┬á+┬á42┬á=┬á52. Cei care a┼úi citit amintirile mele din copil─ârie, vede┼úi cum ac┼úioneaz─â acestea asupra omului? (palmierul pictat pe peretele de pe vremuri va reveni sub forma unor plante at├órn├ónd de deasupra)

Cred cu sinceritate c─â a ie┼čit o baie deosebit─â. Desigur c─â finalizarea ultimelor elemente ┼či rostuirea le-au f─âcut muncitorii (dup─â dou─â s─âpt─âm├óni, dup─â ce s-au obi┼čnuit cu ideea ┼či le-a trecut uimirea). Datorit─â grosimilor diferite ale rosturilor, aceast─â faian┼úare a ├«nghi┼úit cam de 3-4 ori mai mult material dec├ót un model normal. Dar, la ce a ie┼čit, asta cu rosturile chiar nu mai conteaz─â. CTG

Didactica matematicii 2018

Profesorii Facult─â╚Ťii de matematic─â de la Universitatea Babe╚Ö-Bolyai din Cluj organizeaz─â din anii ÔÇÖ80 o sesiune de comunic─âri ╚Ötiintifice sub titlul Didactica matematicii. Manifestarea are loc de obicei ├«n perioda de prim─âvar─â t├órzie ╚Öi este g─âzduit─â ├«n fiecare an ├«n alt─â loca╚Ťie din Cluj sau din Ardeal. Anul acesta Didactica matematicii are loc la Cavnic ├«n data de 19 mai: http://www.math.ubbcluj.ro/~didactica/.

Personal, am participat pentru prima dat─â la aceast─â sesiune de comunic─âri stiin╚Ťifice ├«n anul 1992, iar de atunci de mai multe ori, pierz├ónd num─âr─âtoarea particip─ârilor. Lucrarea mea pentru aceast─â edi╚Ťie a Didacticii matematicii are titlul Criteriul psihologic al intui╚Ťiei ├«n selectarea teoremelor de demonstrat ├«n gimnaziu, fiind un subiect la care am lucrat ├«ncep├ónd din ianuarie. Pentru cei care n-au citit p─ârtile acestui eseu la momentul apari╚Ťiei v─â ofer un scurt rezumat al principalelor aspecte analizate:

Constantin Titus Grigorovici, profesor Liceul Waldorf Cluj-Napoca

Criteriul psihologic al intui┼úiei ├«n selectarea teoremelor de demonstrat ÔÇô (PS)

S-ar putea crede c─â un eseu at├ót de lung ar fi trebuit s─â epuizeze definitiv subiectul propus (PS-ul de fa┼ú─â a fost redactat dup─â partea a III-a a eseului, fiind un scurt apendice al acesteia; scuze pentru ├«nt├órzierea public─ârii). Aplec├óndu-ne cu r─âbdare ┼či meticulozitate asupra subiectului, st├órnit de g├óndurile cu t├ólc expuse de profesorului Eugen Rusu ├«n lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), am g─âsit o sumedenie de idei legate de nivelul eviden┼úei drept un criteriu psihologic legat de folosirea intui┼úiei ├«n selectarea itemilor de parcurs la geometria gimnazial─â. Totu┼či, odat─â ce am p─âr─âsit redactarea textului ┼či subiectul ├«n sine, lu├ónd distan┼ú─â ┼či admir├ónd ├«ntregul de la dep─ârtare, se pot vedea ┼či alte aspecte ce nu au fost atinse.

De pild─â, se poate pune ├«n discu┼úie diferen┼úa dintre nivelele eviden┼úei la fenomenele geometrice fa┼ú─â de fenomenele numerice. Am atins scurt acest subiect atunci c├ónd am afirmat c─â demonstra┼úiile pe baz─â de arii ale teoremei lui Pitagora au un nivel de eviden┼ú─â net superior demonstra┼úiei pe baz─â de rapoarte, demonstra┼úie ce are un profund caracter algebric. Asfel, demonstra┼úia tradi┼úional─â din manuale, pe baza teoremei catetei, are un ciudat caracter de ÔÇťHocus-Pocus!ÔÇŁ: majoritatea elevilor nici nu prind clar ce s-a ├«nt├ómplat, ┼či nici nu ├«n┼úeleg clar rezultatul la care s-a ajuns. Ei pricep c─â s-a ajuns la faimoasa teorem─â a lui Pitagora, dar r─âm├ón doar cu o stare dilematic─â general─â: ÔÇťtotu┼či, despre ce-i vorba aici?ÔÇŁ. Iar aceast─â stare este foarte ├«ngrijor─âtoare pentru c─â prin ea elevul se ├«nva┼ú─â s─â nu g├óndeasc─â, situa┼úia fiind generalizat─â at├ót la mul┼úi elevi inteligen┼úi ├«n ceea ce prive┼čte majoritatea lec┼úiilor, c├ót ┼či generalizat─â ├«n sensul unei majorit─â┼úi a elevilor, av├ónd deja un caracter de pandemie.

Revenind la compararea nivelelor de eviden┼ú─â a diferitelor demonstra┼úii, a diferitelor c─âi de a explica un anumit rezultat matematic, trebuie con┼čtientizat clar c─â exist─â c─âi mai vizuale ┼či c─âi bazate mai mult pe tehnicile de calcul. Un bun exemplu ├«n acest sens ├«l reprezint─â formula numit─â p─âtratul sumei, (a┬á+┬áb)2┬á=┬áa2┬á+┬á2ab┬á+┬áb2, la care avem cele dou─â c─âi cunoscute de ob┼úinere, de justificare: calea tradi┼úional─â prin calcul algebric, care oarcum justific─â supratitlul de formule de calcul prescurtat, ┼či calea geometric─â la fel de cunoscut─â, dar deseori neglijat─â, ├«n care formula respectiv─â este privit─â drept aria unui p─âtrat mare descompus─â ├«ntr-o sum─â de dou─â arii de p─âtrate diferite ┼či dou─â arii de dreptunghiuri congruente. De obicei profesorii fac la clas─â prima rezolvare ├«n urma c─âreia elevii v─âd c─â iar─â┼či profesorul se agit─â ┼či ├«nr─âmeaz─â ceva ca fiind foarte important, dar la care ei r─âm├ón cu un mare semn de ├«ntrebare, asem─ân─âtor cu o stare de ÔÇťcea┼ú─â pe creierÔÇŁ. Dac─â imediat dup─â aceasta profesorul aduce ┼či a doua justificare, cea geometric─â cu arii, atunci aceasta are de obicei efectul unui v├ónticel proasp─ât de prim─âvar─â care alung─â cea┼úa de pe g├óndirea elevilor: ÔÇťAha, este evident. Da, a┼ča-i! Se vede.ÔÇŁ

Aici nu putem spune ├«ns─â c─â una dintre rezolv─âri ar fi mai important─â dec├ót cealalt─â, d├óndu-i c─â┼čtig de cauz─â ┼či ├«nt├óietate, elimin├ónd-o pe cea mai pu┼úin important─â, ┼či asta dintr-un motiv foarte simplu: exist─â copii de diferite feluri, unii av├ónd o g├óndire cu afinit─â┼úi mai apropiate de lumea numerelor, al┼úii cu o g├óndire mai abil─â ├«n lumea imaginilor, potrivit─â mai degrab─â c─âilor geometrice. Cum am mai spus: pozi┼úionarea unor itemi pe treptele sc─ârii eviden┼úei are un profund caracter subiectiv din punct de vedere psihologic. Al─âturarea celor dou─â c─âi de ob┼úinere a formulei ofer─â siguran┼úa unui rezultat mai bun al ├«n┼úelegerii, at├ót la nivelul clasei, c├ót ┼či la nivelul fiec─ârui individ. Altfel, o predare unilateral─â are mari ┼čanse de a-i neglija pe unii dintre elevii, care sunt capabili ┼či inteligen┼úi, dar dota┼úi cu g├óndirea unilateral─â mai potrivit─â celeilalte dintre cele dou─â direc┼úii.

Aceste idei sunt sus┼úinute ┼či de c─âtre g├óndurile din lucrarea profesorului Eugen Rusu, combin├ónd cele dou─â pasaje deja cunoscute: ├Äntruc├«t grecii nu erau familiariza┼úi cu calculul algebric, ei vedeau ├«n a2 o arie, nu un num─âr-m─âsur─â ridicat la p─âtrat (privit ca opera┼úie de ordinul III; pag.38) ┼či: evolu┼úia matematic─â a unui individ este, cu prescurt─âri, asem─ân─âtoare cu evolu┼úia istoric─â a umanit─â┼úii (pag.4). Cu alte cuvinte: la fel ca la primii ├«nv─â┼úa┼úi greci, g├óndirea algebric─â ├«n curs de formare s-ar putea s─â nu-i ofere elevului ├«nc─â o siguran┼ú─â deplin─â, pe c├ónd ra┼úionamentele legate de arii (m─âsura suprafe┼úei) s─â-i asigure o claritate ┼či o certitudine mai evident─â, cu acestea elevul ocup├óndu-se deja aritmetic ┼či geometric ├«nc─â din clasa a V-a

CTG 01.02.2018

Criteriul psihologic al intui┼úiei ├«n selectarea teoremelor de demonstrat ÔÇô (VI)

Eseul de fa┼ú─â a pornit ca o analiz─â a modului de predare a geometriei, plec├ónd de la noua program─â de matematic─â pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice de la pagina 30 citim: Programele de matematic─â pentru clasele a V-a ┼či a VI-a se axeaz─â pe introducerea intuitiv─â a conceptelor matematice, f─âr─â utilizarea excesiv─â a formalismului specific matematicii (nota┼úii, teorie prezentat─â in extenso, demonstra┼úii exhaustive)ÔÇŽ Programele ┼čcolare de matematic─â pentru clasele a VII-a ┼či a VIII-a realizeaz─â trecerea de la modelele predominant intuitive, abordate ├«n clasele anterioare, la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor propriet─â┼úi ÔÇŽLa pagina 32 g─âsim urm─âtoarele sfaturi: ÔÇŽCaracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice vor fi eviden┼úiate prin observare direct─â, experiment, m─âsurare, ├«n sensul unei abord─âri c├ót mai naturale ┼či intuitive. ÔÇŽ La tema Triunghiul, caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice se vor eviden┼úia prin observare direct─â, experiment, m─âsurare, urm├ónd ca dup─â formarea deprinderilor de baz─â s─â se utilizeze ra┼úionamente simple ┼či instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. ÔÇŽ

Legat de formalismului specific matematicii, la pagina 9 a programei, la finalul clasei a V-a, autorii chiar au avut curajul s─â cuprind─â urm─âtoarea observa┼úie: 2Nota┼úia ÔłóAOB reprezint─â at├ót unghiul AOB, c├ót ┼či m─âsura unghiului AOB, ├«n func┼úie de context. ┼×i c├ónd m─â g├óndesc c─â eu am auzit de m─âsura unghiului, adic─â de scrierea m(ÔłóAOB) deabia ├«n clasa a IX-a!

├Än paralel cu analiza diferitelor citate din program─â, am apelat la o lectur─â atent─â, chiar meticulos de atent─â, ÔÇťprintre r├ónduriÔÇŁ a lucr─ârii profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), cu accent pe primele capitole corespunz─âtoare geometriei Greciei antice. Iat─â, ├«n acest sens, un ultim citat legat de perceperea acestei mo┼čteniri de c─âtre urma┼čii lor. Astfel, ├«n Capitolul V al c─âr┼úii, ├Äntre matematica antic─â ┼či cea din epoca modern─â, Eugen Rusu face o analiz─â a trecerii cunoa┼čterii prin evul mediu. ├Än al doilea subtitlu Se p─âstreaz─â Elementele lui Euclid afl─âm c─â se p─âstreaz─â cartea de geometrie, dar se pierde spiritul geometric. ├Än general, ├«n aceast─â perioad─â, cultura ├«nseamn─â mai mult prosternare ├«n fa┼úa unor texte considerate ca autoritate ├«n materie, cel mult comentarea literei lor, cu efortul de a le ├«n┼úelege, ┼či mai pu┼úin sau de loc activitatea axat─â pe descoperirea adev─ârului. Atitudinea fa┼ú─â de Cartea sf├«nt─â ÔÇô pentru unii Biblia, pentru al┼úii Coranul sau Talmudul ÔÇô ├«n esen┼ú─â, axat─â pe crede ┼či nu cerceta ┼či pe venera┼úia fa┼ú─â de autori, Carte care d─â ├«nv─â┼ú─âturi, nu invita┼úii la g├«ndire, este imitat─â, de la sine, ┼či fa┼ú─â de c─âr┼úi ÔÇťprofaneÔÇŁ. Biserica, ├«ncep├«nd din secolul al XIII-lea, ├«l recunoa┼čte pe Aristot, ┼či-l apropie. De ce? (ÔÇŽ) tocmai adopt├«nd pe Aristot ca autoritate indiscutabil─â, Biserica ├«n─âbu┼čea spiritul cercet─ârii libere.

├Äntr-un astfel de climat, la ce serve┼čte Euclid? Cel mult s─â-l ├«nve┼úi, respect├«ndu-l. Un fapt semnificativ: ├«nc─â de la ├«nceputul secolului al VI-lea, Boetius d─â o carte de geometrie, ├«n care s├«nt puse numai enun┼úuri de teoreme din Euclid. Demonstra┼úii d─â numai la primele trei teoreme, ├«n anex─â, ca s─â vad─â cititorul c─â poate avea ├«ncredere ├«n autor. Pentru ei enun┼úul ÔÇô un fel de ÔÇť├«nv─â┼ú─âtur─âÔÇŁ ÔÇô e important. O carte de geometrie f─âr─â demonstra┼úii! Bazat─â pe ÔÇť├«ncredereÔÇŁ, pe prestigiul autorului! (pag 99-100)

Dac─â pe vremea respectiv─â oamenii erau ┼úinu┼úi departe de procesul g├óndirii ├«n acest fel, dimpotriv─â, ├«n ultimii peste 30 de ani majoritatea elevilor, to┼úi cei care nu reprezentau chiar v├órfurile claselor, adic─â ÔÇťne-olimpiciiÔÇŁ, au fost ┼úinu┼úi departe de procesul g├óndirii printr-un nivel prohibitiv al rigurozit─â┼úii ┼či formalismului matematicii, combinat cu un nivel foarte ridicat de dificultate al aplica┼úiilor parcurse la clas─â sau oferite ca tem─â, un nivel la fel de prohibitiv pentru majoritatea elevilor.

Totu┼či, chiar dac─â sistemul s-a prezentat ├«n fa┼úa elevilor ca av├ónd preten┼úia s─â se demonstreze TOTUL, de fapt a ajuns a decide c─â unele lucruri nu trebuie demonstrate, iar lista acestor teoremelor care nu se demonstreaz─â a crescut de la un an la altul pentru a face loc ├«n ora de matematic─â c├ót mai multor aplica┼úii.

├Än aceast─â ultim─â parte a eseului de fa┼ú─â doresc s─â trag anumite concluzii, despre cum ar trebui abordat─â geometria din punct de vedere a folosirii intui┼úiei. Oricum, este de apreciat apari┼úia cuv├óntului intui┼úie ├«n noua program─â de matematic─â valabil─â ├«ncep├ónd din 2017 (cuv├óntul respectiv apare ├«n diferite forme de peste 20 de ori ├«n aceast─â program─â). Din p─âcate, impresia l─âsat─â este c─â se cere o predare intuitiv─â doar ├«n clasele a V-a ┼či a VI-a, dup─â care ÔÇťGATA!ÔÇŁ, din a VII-a o lu─âm din nou a┼ča cum ne pricepem mai bine. Analiz├ónd toate cele spuse ┼či scrise ├«n primele cinci p─âr┼úi ale acestui eseu, putem trage ├«ns─â c├óteva concluzii destul de diferite de impresia respectiv─â.

Folosirea intui┼úiei ├«n ├«n┼úelegerea ┼či justificarea afirma┼úiilor geometrice porne┼čte de la un nivel ridicat ┼či coboar─â cu timpul la nivele tot mai sc─âzute, f─âr─â ├«ns─â s─â dispar─â total nici ├«n clasele mari. Dimpotriv─â, demonstrarea riguroas─â porne┼čte cu pa┼či timizi ├«n clasa a VI-a ┼či doar la afirma┼úiile cu un nivel al eviden┼úei sc─âzut. Acest criteriu r─âm├óne valabil de-a lungul ├«ntregului ciclu gimnazial, dar cre┼čte num─ârul de situa┼úii care primesc demonstra┼úie. Un exemplu ar fi Teorema lui Thales care nu prea se demonstreaz─â. ├Än schimb, teorema bisectoarei permite demonstra┼úii foarte frumoase ce se pot face ca exemple de rezolv─âri. Este p─âcat a da aceast─â teorem─â ┼či a s─âri direct la aplica┼úii, f─âr─â a-i prezenta o demonstra┼úie (nivelul de eviden┼ú─â al acestei teoreme este foarte neclar). O situa┼úie similar─â avem la teorema despre pozi┼úia centrului de greutate al unui triunghi, la care merit─â prezentate chiar dou─â demonstra┼úii (cu linie mijlocie, respectiv cu teorema fundamental─â a asem─ân─ârii).

Un alt exemplu ciudat se g─âse┼čte ├«n finalul clasei a VII-a unde, la capitolul despre cerc se fac c├óteva teoreme plictisitoare (coarde congruente la arce congruente; arce congruente ├«ntre coarde paralele etc.), al c─âror singur obiectiv real ar fi s─â duc─â spre teorema ÔÇťtangenta perpendicular─â pe raza ├«n punctul de contactÔÇŁ, teorem─â care ├«ns─â nu se mai demonstreaz─â. Atunci, pentru ce s-au f─âcut primele, care sunt destul de evidente ┼či nu sunt folositoare ├«n probleme?

Revenind la folosirea intui┼úiei vizuale ├«n compara┼úie cu folosirea demonstra┼úiilor teoretice pentru justificarea afirma┼úiilor din cadrul lec┼úiilor, consider c─â cele dou─â fenomene ar putea fi reprezentate grafic oarecum similar cu cele dou─â curbe ale func┼úiilor exponen┼úiale (1/2)x ┼či 2x, una descresc─âtoare dar nedisp─âr├ónd oric├ót de mult am merge la dreapta, cealalt─â cresc─âtoare, ele intersect├óndu-se undeva la trecerea din clasa a VI-a ├«n a VII-a.

Faptul c─â, aplic├ónd aceste principii, ├«n clasa a VI-a nu ar trebui s─â ne propunem a demonstra afirma┼úii evidente, acest fapt ne conduce la urm─âtorul g├ónd: ├«n clasa a VI-a, ├«n procesul de cunoa┼čtere al figurilor geometrice studiate, ar trebui s─â ne concentr─âm mai degrab─â pe procesul de construire al acestor figuri dec├ót pe demonstrarea unor propriet─â┼úi evidente ale acestora. Aici exist─â o lume neb─ânuit de bogat─â din care elevii pot cunoa┼čte mult mai bine ┼či mai profund spiritul fiec─ârei figuri ┼či toate secretele sale, ├«ntr-o form─â mai potrivit─â v├órstei. Astfel, pe l├óng─â exemplele de baz─â pentru construirea triunghiurilor, elevii pot primii ┼či sarcini la care sunt nevoi┼úi s─â fac─â anumite calcule ┼či explica┼úii preliminare. Iat─â c├óteva exemple ├«n acest sens (preluate din ultima lucrare de control dat─â la clasa a VI-a la sf├ór┼čitul lui martie):

Ex.1) Construi┼úi triunghiul GHI dreptunghic ├«n ÔłóH, cu HI┬á=┬á6┬ácm ┼či m(ÔłóG)┬á=┬á70o. (stabilind mai ├«nt├ói m─âsura unghiului I, complementul lui G, putem construi triunghiul pe baza cazului de construc┼úie ULU)

Ex. 2) Construi┼úi triunghiul isoscel ABC cu [AB]┬áÔëí┬á[AC], av├ónd baza BC┬á=┬á4┬ácm ┼či m(ÔłóA)┬á=┬á50o, iar apoi trasa┼úi ┼či bisectoarea unghiului ÔłóB. (trebuie s─â stabilim mai ├«nt├ói m─âsurile unghiurilor B ┼či C prin ra┼úionament logic, sc─âz├ónd din 180o ┼či ├«mp─âr┼úind la 2)

Ex. 3) Construi┼úi triunghiul DEF dreptunghic ├«n ÔłóD cu cateta DE┬á=┬á3┬ácm ┼či mediana DM┬á=┬á4┬ácm. (informa┼úia despre lungimea medianei pe ipotenuz─â trebuie mai ├«nt├ói transformat─â ├«n lungimea ipotenuzei; apoi se construie┼čte triunghiul cu baza cateta DE ┼či verticala ridicat─â ├«n D)

Se vede clar pe aceste probleme cum elevul este ├«mpins s─â g├óndeasc─â ├«n pa┼či mici accesibili momentului s─âu de dezvoltare, nefiind dresat s─â ├«nve┼úe ni┼čte demonstra┼úii pe de rost. Astfel, mai logic ar fi ca elevul s─â ├«nve┼úe ├«n clasa a VI-a ÔÇťCazurile de construc┼úie a triunghiurilorÔÇŁ (renumitele LLL, LUL, ULU) ┼či doar ├«n clasa a VII-a la o reluare a materiei s─â priveasc─â fenomenul drept ÔÇťCazurile de congruen┼ú─â a triunghiurilorÔÇŁ folosibile ├«n demonstrarea unor afirma┼úii mai pu┼úin evidente.

├Än alt─â ordine de idei, fenomenul intui┼úiei poate avea o importan┼ú─â deosebit─â chiar ┼či ├«n ordinea parcurgerii unui set de lec┼úii. S─â lu─âm spre exemplificare setul de trei lec┼úii compus din ÔÇťTeorema lui ThalesÔÇŁ, ÔÇťAsem─ânarea triunghiurilorÔÇŁ ┼či respectiv ÔÇťTeorema fundamental─â a asem─ân─âriiÔÇŁ. Astfel, ├«n lec┼úia introductiv─â la capitolul despre propor┼úionalitate, eu le prezint un ÔÇťdrum de transformare intuitiv─âÔÇŁ a cuno┼čtin┼úelor din clasa a VI-a de la regula de trei simpl─â spre triunghiuri asemenea, TFA cu final la Teorema lui Thales (pentru detalii sau reamintire vezi postarea http://pentagonia.ro/proportionalitate-si-asemanare-prima-lectie/ ). Ordinea teoretic corect─â ar fi ├«ns─â ÔÇťTeorema lui ThalesÔÇŁ, ÔÇťAsem─ânarea triunghiurilorÔÇŁ ┼či ├«n final ÔÇťTeorema fundamental─â a asem─ân─âriiÔÇŁ. Din punct de vedere al elevului ┼či al parcursului s─âu prin exerci┼úii ┼či probleme, ordinea pedagogic corect─â ar fi ├«ns─â: ÔÇťTeorema lui ThalesÔÇŁ, ÔÇťTeorema fundamental─â a asem─ân─âriiÔÇŁ, ambele av├ónd puternice exerci┼úii cu aplica┼úii numerice (ambele pe aceea┼či figur─â tip), ┼či doar apoi ÔÇťAsem─ânarea triunghiurilorÔÇŁ cu diferitele probleme la cazurile de asem─ânare.

├Än finalul acestui mega-eseu permite┼úi-mi o ├«ncercare de caracterizare a acestui drum de la justificarea intuitiv─â la demonstra┼úia riguroas─â, organizat─â pe semestre, ├«ncep├ónd de la primii pa┼či prin construc┼úii geometrice cu instrumente ┼či merg├ónd p├ón─â la nivelul de abordare axiomatic─â cu demonstrarea prin reducere la absurd a punctelor cele mai nevralgice din materie. Astfel:

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi ├«nceput─â ├«n mod atractiv pentru micile min┼úi cu o serie de construc┼úii cu rigla ┼či compasul, pornind de la marea minune numit─â Floarea vie┼úii, o reprezentare cu tente profund artistice a ├«mp─âr┼úirii cercului ├«n exact ┼čase p─âr┼úi egale cu compasul. Steaua lui David ┼či tot felul de combina┼úii dintre acestea dau ├«nceputului de geometrie o tent─â istorico mistic─â venit─â din vechime, oferind ├«nceputului de geometrie o atmosfer─â de poveste cu aspecte de manualitate ┼či mult─â ├«n┼úelegere intuitiv─â ├«ntr-o form─â de g├óndire primitiv─â a fenomenului geometric. Acest capitol va con┼úine ├«n continuare ├«mp─âr┼úirea cercului ├«n 4 p─âr┼úi egale, apoi ├«n 8 ┼či ├«n 12, toate realizate doar cu rigla ┼či compasul. La ├«mp─âr┼úirea cercului ├«n patru p─âr┼úi apare metoda ce va sta ulterior la baza tras─ârii mediatoarei unui segment; acum vrem doar s─â tras─âm o vertical─â perfect─â pe un diametru. ├Än mod similar, la ├«mp─âr┼úirea cercului ├«n opt p─âr┼úi vom avea nevoie de mi┼čcarea ce se va dovedi ulterior baza pentru construc┼úia bisectoarei unui unghi. Acestea vor veni doar ├«n clasa a VI-a, dar acum apar doar ca ÔÇť┼čmecheriiÔÇŁ interesante, ap─ârute ├«n urma problematiz─ârii, fie din imagina┼úia intuitiv─â a unui elev, fie ar─âtate de profesor.

Pentru ├«mp─âr┼úirea cercului ├«n cinci p─âr┼úi egale se va introduce no┼úiunea de grad, plec├ónd de la ideea ├«mp─âr┼úirii cercului ├«n 360 de p─âr┼úi (analogie cu anul de 365 de zile, idee ap─ârut─â ├«n vechime). Pe baza acestor g├ónduri se poate ├«mp─âr┼úi cercul cu raportorul centrat ├«n centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu aceast─â metod─â se pot face ├«mp─âr┼úiri ale cercului ┼či ├«n 10 sau 9 p─âr┼úi egale. Astfel, no┼úiunea de unghi apare natural, ini┼úial ├«n forma unghiului la centrul cercului. ├Än finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stel─âri, elevii primind s─â m─âsoare ┼či unghiurile din v├órful stel─ârilor, trebuind s─â caute diferite ÔÇťlegit─â┼úiÔÇŁ ce apar ├«n aceste situa┼úii. Astfel unghiurile se elibereaz─â de centrul cercului, elevul form├ónd astfel ├«n mintea sa aceast─â no┼úiune dificil─â ├«ntr-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor l─âsa pe anul viitor, ├«n clasa a V-a ap─âr├ónd doar titluri ┼či mici comentarii pe l├óng─â desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construc┼úiilor. ├Än aceast─â parte va fi introdus ┼či echerul, ├«ns─â doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunit─â┼úile gradului merit─â introduse aici imediat dup─â lec┼úia despre unit─â┼úile ┼či subunit─â┼úile pentru m─âsurarea timpului.

Aceste construc┼úii au rolul de a familiariza elevii cu folosirea c├ót mai exact─â a instrumentelor geometrice ├«n forma lor practic─â, constituind un fundament solid pe care se vor a┼čeza ulterior no┼úiunile geometrice ┼či apoi, la un nivel superior, demonstra┼úiile. Obiectivul structural al acestei abord─âri ├«l reprezint─â ├«nsu┼čirea folosirii ┼či formarea abilit─â┼úilor de lucru exact, cu ajutorul instrumentelor geometrice (dintr-un punct exact ├«n cel─âlalt punct, nu la 1-2 mm pe l├óng─â acesta) ┼či concentrarea elevilor asupra acestora. Astfel, elevii nu sunt pu┼či ├«n clasa a VI-a a se concentra asupra folosirii unor instrumente necunoscute ├«n acela┼či timp cu ├«nsu┼čirea multor no┼úiuni noi, fiecare foarte important─â. Se evit─â astfel introducerea simultan─â la clas─â a mai mul┼úi itemi noi pe diferite paliere de g├óndire ┼či abilit─â┼úi.

Clasa a VI-a, semestrul I: Dup─â un semestru de introducere ludic─â a primelor elemente de geometrie prin intermediul construc┼úiilor geometrice, a venit vremea unei sistematiz─âri a no┼úiunilor de baz─â: dreapt─â, segment, semidreapt─â, lungimea unui segment, paralelism ┼či perpendicularitate, congruen┼ú─â, mijloc, mediatoare, unghi, m─âsura unghiului, clasificarea unghiurilor, bisectoare, unghiuri opuse la v├órf, unghiuri formate de dou─â paralele cu o secant─â, simetria axial─â, unghiuri complementare sau suplementare etc. Toate acestea se vor introduce ├«ntr-o form─â mai riguroas─â, dar totu┼či pe baza unor observa┼úii intuitive, nefiind demonstrat nimic. ├Än schimb se va cere elevilor s─â fac─â toate construc┼úiile posibile exacte la fiecare lec┼úie studiat─â. De pild─â, la mediatoarea unui segment, se vor face at├ót construc┼úia cu rigla gradat─â ┼či echerul, c├ót ┼či construc┼úia cu rigla negradat─â ┼či compasul. La aceasta din urm─â elevii ├«┼či vor aduce aminte de ÔÇťmi┼čcareaÔÇŁ cunoscut─â ├«n clasa a V-a la ├«mp─âr┼úirea cercului ├«n patru p─âr┼úi egale. Tot aici elevii vor primi sarcina construirii perpendicularei pe o dreapt─â, at├ót: a) dintr-un punct exterior dreptei (cobor├órea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt─â), c├ót ┼či: b) ├«ntr-un punct al dreptei (ridicarea perpendicularei ├«ntr-un punct pe o dreapt─â).

Clasa a VI-a, semestrul II: Dup─â ce am construit un vocabular consistent de no┼úiuni cu care s─â putem lucra, a venit vremea s─â studiem principalele figuri geometrice ├«nchise, anume triunghiurile ┼či patrulaterele (cercul apare ├«n aceast─â form─â de predare de la ├«nceput, al─âturi de dreapt─â, ca una din cele dou─â figuri de baz─â ale geometriei).

├Än cele dou─â capitole, triunghiurile ┼či respectiv patrulaterele se vor studia ├«ntr-o form─â intuitiv─â, pe baza observa┼úiilor evidente pentru elevul de clasa a VI-a. Aici vor ap─ârea ├«ns─â primele demonstra┼úii ├«n situa┼úiile neevidente legate de unghiurile acestora (suma unghiurilor, unghiurile exterioare, triunghiul dreptunghic ├«nscris ├«n semicerc). Majoritatea propriet─â┼úilor, fiind ├«ns─â de natur─â evident─â, vor fi doar eviden┼úiate ┼či contabilizate pentru a fi preg─âtite la ├«ndem├ón─â ├«n vederea unei viitoare utiliz─âri.

Preocuparea principal─â r─âm├óne ├«ns─â construc┼úia figurilor geometrice cu diferitele instrumente, construc┼úii realizate ├«n toate formele posibile. De pild─â, la capitolul despre triunghiuri elevii vor studia Cazurile de construc┼úie a triunghiurilor (renumitele LLL, LUL, ULU etc.). Acestea vor deveni baza unei transform─âri ulterioare ├«n Metoda de demonstrare pe baza cazurilor de congruen┼ú─â a triunghiurilor. ┼×i la patrulatere se vor face c├ót mai multe construc┼úii concrete pe diferite situa┼úii. ├Än cadrul acestei etape apar la diferite probleme de construc┼úie primele elemente de aplica┼úii a teoremelor studiate ├«n vederea g─âsirii elementelor necesare pentru realizarea construc┼úiei.

├Än finalul clasei a VI-a elevii vor parcurge o zon─â aplicativ─â de geometrie ├«n spa┼úiu, trebuind s─â construiasc─â singuri cu instrumentele geometrice desf─â┼čurarea unor prime corpuri, s─â le decupeze, s─â le plieze corect ┼či s─â le asambleze din h├órtie mai groas─â, lipindu-le pentru a ob┼úine un cub, o prism─â (de preferin┼ú─â triunghiular─â), o piramid─â patrulater─â (de preferat cu fe┼úele laterale triunghiuri echilaterale), un tetraedru regulat etc. Acestea se prezint─â ca o prim─â vizit─â ├«n zona geometriei 3D, ca o prim─â trecere ├«n cadrul pred─ârii ├«n spiral─â pentru geometria ├«n spa┼úiu.

Obiectivul structural principal, al─âturi de ├«nsu┼čirea tuturor noilor no┼úiuni de geometrie, ├«l reprezint─â formarea sim┼úului pentru exactitatea ├«n geometrie prin construirea c├ót mai exact─â a figurilor geometrice. G├óndirea elevilor este ├«nc─â ├«ntr-o faz─â incipient─â, concentrarea fiind pe o figur─â c├ót mai corect─â.

Clasa a VII-a, semestrul I: ├Äntreaga noastr─â aten┼úie se ├«ndreapt─â acum asupra g├óndirii (adic─â a demonstra┼úiilor), f─âc├ónd aceasta ├«n dou─â direc┼úii. Prima ar fi problemele de demonstrat ┼či ├«n acest sens cea mai bun─â pornire ar fi problemele av├ónd ca ÔÇťpersonaje principaleÔÇŁ unghiurile. Apoi se pot studia probleme ├«n care apar mai mult rela┼úii legate de segmente: linia mijlocie, mediana pe ipotenuz─â etc. ├Än acest moment elevii au ajuns la o maturitate de g├óndire suficient─â ├«nc├ót s─â se poat─â confrunta cu succes cu problemele de congruen┼úa triunghiurilor, care sunt de multe ori cele mai complexe.

Legat de figurile geometrice, acestea se vor face exact mai ales atunci când cerinţa problemei nu este evidentă; dimpotrivă, în cazul unor cerinţe evidente, putem apela la schiţe făcute cu mâna liberă care nu vor mai fi exacte, fiind astfel contestabile, abordând problema sub argumentul: demonstraţi că, în cazul unei figuri corecte, următoarele segmente sunt congruente.

A doua direc┼úie de lucru ar fi poligoanele cu mai multe laturi (continuare evident─â a parcurgerii ├«n anul precedent a triunghiurilor ┼či a patrulaterelor), at├ót ├«n forma oarecare (suma unghiurilor), c├ót ┼či ├«n forma regulat─â (m─âsurii unui unghi). Elevilor le place foarte mult aceast─â parte, fiind ├«n direct─â conexiune cu singurele demonstra┼úii parcurse ├«n clasa a VI-a. V─âz├ónd pentagonul sau octogonul regulat etc., elevii vor ├«n┼úelege acum argumenta┼úia situa┼úiei particulare de la Floarea vie┼úii, anume de ce se ├«nt├ómpl─â c─â acolo hexagonul regulat este compus exact din triunghiuri echilaterale. O astfel de abordare ne va permite ├«n capitolul despre arii o apropiere de situa┼úia cercului (aria dodecagonului regulat ÔÇô 12 laturi ÔÇô este egal─â cu 3┬ár2, apoi aria cercului ├«n format aproximativ etc.).

Pe l├óng─â studiul ariilor triunghiurilor (except├óndu-l pentru moment pe cel echilateral) ┼či a patrulaterelor particulare, la capitolul despre arii se poate demonstra ┼či teorema lui Pitagora (prin arii), av├ónd astfel din semestrul I material de lucru mult ┼či ├«n domeniul calculelor (at├ót pentru elevii slabi, c├ót ┼či pentru olimpicii de fizic─â care au nevoie repede de aceast─â teorem─â).

O observa┼úie este necesar─â aici ├«n leg─âtur─â cu organizarea algebrei: cel mai folositor este dac─â elevii nu ├«nva┼ú─â ├«n semestru I numerele ira┼úionale, ci aplic─â ├«n geometrie doar forma aproximativ─â a rezultatelor, at├ót ├«n cazul celor din teorema lui Pitagora, c├ót ┼či ├«n cazul celor de la aria ┼či lungimea cercului. Calculele aproximative ofer─â elevilor rezultate mult mai palpabile, mai pe ├«n┼úelesul omului de r├ónd. ├Än semestrul II se poate trece apoi la scrierea ira┼úional─â a unor segmente date sau a rezultatelor.

Clasa a VII-a, semestrul II: Pe l├óng─â schimbarea de paradigm─â ├«n privin┼úa scrierii lungimilor ira┼úionale, ├«n semestrul II se vor studia (cu o aparent─â ├«nt├órziere) ┼či elementele de geometrie a propor┼úionalit─â┼úii: teorema lui Thales, triunghiurile asemenea, teoremele lui Euclid (a catetei ┼či a ├«n─âl┼úimii) ┼či rapoartele trigonometrice. Tot aici se vor parcurge ┼či alte demonstra┼úii pentru teorema lui Pitagora (cel pu┼úin cea cu teorema catetei, dar ┼či una pe baza formulelor de calcul prescurtat).

Clasa a VII-a se poate termina cu o nou─â revenire prin zona cercului, cu teorema despre tangenta perpendicular─â pe raza ├«n punctul de contact ┼či cu un minim studiu al patrulaterelor inscriptibile sau circumscriptibile.

Clasa a VIII-a, semestrul I: Pornirea din zona intuitiv─â a materiei ┼či mersul ├«n ritm accesibil c─âtre zonele mai dificile, aceast─â abordare trebuie respectat─â ┼či ├«n cazul geometriei ├«n spa┼úiu (3D sau stereometrie). Din punct de vedere al folosirii intui┼úiei este evident c─â e mai s─ân─âtos s─â pornim cu studiul unui prim set de corpuri (cubul ┼či cuboidul ÔÇô paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele ┼či tetraedrul regulat) ce vor fi cunoscute din punct de vedere al tras─ârii figurilor, al construc┼úiei desf─â┼čur─ârilor ┼či al calculelor ariilor ┼či volumelor: nu doar o prezentare scurt─â a acestora ├«ntr-o lec┼úie ini┼úial─â, ci fiecare cu o lec┼úie complet─â cu probleme aplicative de calcul. Corpurile respective ac┼úioneaz─â astfel ca veritabile ÔÇťschele intuitiveÔÇŁ pentru sus┼úinerea s─ân─âtoas─â a g├óndirii elevilor ├«n timpul primilor pa┼či ├«n geometria 3D.

Elevii ajut─â chiar ┼či la formarea lec┼úiei: fiecare formul─â de arie poate fi dat─â prin judecat─â proprie de c─âtre elevi. Dup─â ├«n┼úelegerea principiilor de baz─â la volum, elevii vor ├«ncepe s─â dea ┼či formulele de volum.

Abia apoi merit─â abordate toate situa┼úiile de paralelism, perpendicularitate sau determinare de unghiuri ├«ntre drepte ┼či/sau plane (ÔÇťdrumulÔÇŁ p├ón─â la teorema celor trei perpendiculare ┼či unghiul diedru).

Clasa a VIII-a, semestrul II: Acesta va fi un semestru scurt, l─âs├ónd loc suficient parcurgerii testelor ├«n vederea preg─âtirii examenului. Elevii mai au de studiat doar trunchiurile de piramid─â ┼či corpurile rotunde. Aici se va atinge apogeul nivelului de complica┼úie a demonstra┼úiilor unor teoreme, prin demonstrarea la clas─â a formulelor de volum la trunchiul de piramid─â (trebuie s─â fi fost parcurs─â la algebr─â m─âcar informativ formula diferen┼úei cuburilor), aria lateral─â a conului ┼či a trunchiului de con, c├ót ┼či formula de volum a sferei, inclusiv transformarea acesteia ├«n formula de arie a sferei.

Nu poate lipsi din aceast─â abordare ce folose┼čte intui┼úia elevilor lec┼úia recapitulativ─â despre corpuri de rota┼úie, lec┼úie ce se bazeaz─â ├«n mod evident pe impulsul natural al omului pentru mi┼čcare (c├ónd vedem pentru prima dat─â un obiect nou, ├«l lu─âm ├«n m├ón─â ┼či ├«l studiem, adic─â ├«l rotim pe toate p─âr┼úile).

Clasele de liceu: orice persoan─â cu un bun sim┼ú legat de geometrie a ajuns ├«n ultimii 20 de ani s─â simt─â lipsa geometriei sintetice din clasele liceale. Aceste aspecte ┼či felul ├«n care s-ar putea lua m─âsuri reparatorii reprezint─â un subiect vast, pentru care acum ar merita trasate doar c├óteva direc┼úii de preocupare ┼či cugetare.

Exist─â cel pu┼úin dou─â situa┼úii majore unde lipsesc elementele de geometrie: la clasele de ┼čtiin┼úele naturii ┼či mate-info, respectiv la clasele cu profil tehnologic. S─â le analiz─âm pe r├ónd. Actualmente elevii de la primele categorii de clase amintite, adic─â ├«n principiu elita matematic─â a ┼ú─ârii, ace┼čtia nu mai apuc─â la ora actual─â s─â fac─â pasul spre o c├ót-de-c├ót ordonat─â tratare axiomatic─â a geometriei, fascinant─â prin ├«ngr─âdirile ce apar la tot pasul ├«n str─âdania de a demonstra c├ót de mult posibil (demonstra┼úiile prin reducere la absurd ┼či-ar g─âsi foarte bine locul aici). Pasul spre abandonarea aproape complet─â a g├óndirii intuitive ┼či exersarea profund─â a g├óndirii ra┼úionale pe baz─â de reguli, acestui pas i-ar veni vremea ├«n clasele de dup─â examenul de Evaluare na┼úional─â, ├«n urma c─âruia elevii au fost selecta┼úi. Acest pas nu este pentru to┼úi; de-abia acum ├«i vine vremea ┼či este un mare p─âcat c─â elevii talenta┼úi la matematic─â nu mai au ocazia s─â ├«l cunoasc─â.

Totodat─â, ace┼čtia nu apuc─â s─â mai fac─â to┼úi pa┼čii formatori de g├óndire complex─â prezen┼úi ├«n situa┼úiile dificile, abandonate ├«n ultimii ani din clasele gimnaziale, dar ┼či pe cele ce combin─â elemente de geometrie cu elemente din alte capitole noi ├«n liceu (trigonometria superioar─â, func┼úia de gradul II etc.). La reforma din 1997 au fost abandonate toate aceste elemente de g├óndire pur─â, vie, ├«n detrimentul elementelor re┼úetabile specifice g├óndirii algebrice (includ aici ┼či geometria vectorilor, care oricum vine mult prea repede ├«n clasa a IX-a). Organizatorii programelor ar trebui s─â ia ├«n seam─â ┼či aceste aspecte la vremea redact─ârii viitoarelor programe pentru liceu. Reamintesc ├«n acest sens expresiile profasorului Eugen Rusu, care vorbea despre geometria ├«n prima etap─â de studiu, adic─â ├«n gimnaziu, ┼či geometria ├«n etapa a doua de studiu, adic─â de reluarea acesteia ├«n liceu.

Pe de alt─â parte, elevii claselor cu profil tehnologic sunt cei care ar avea cea mai mare nevoie de elementele de calcul a corpurilor (stereometria), ┼či asta din motive pur practice. Ace┼čtia sunt ├«ns─â cei care ÔÇô ├«n general ÔÇô au luat note mai mici la examenul din finalul clasei a VIII-a, put├ónd presupune c─â mare parte dintre ei ├«nc─â nu st─âp├ónesc ├«nc─â zona respectiv─â. O continuare a preocup─ârilor pe baze intuitive ├«n direc┼úia calculelor, cu extinderi chiar ┼či ├«n domeniul corpurilor neregulate, ar fi de mare folos pentru viitorul lor profesional practic. Amintesc ├«n aceast─â direc┼úie doar un exemplu: proprietarul unei firme de m─âsur─âtori cadastrale care se pl├óngea c─â studen┼úii, ce urmau s─â fie absolven┼úi ├«n domeniu, habar nu aveau despre formula de arie a lui Heron, ├«n general de nici un fel de elemente matematice necesare ├«n domeniu (chiar dac─â la ora actual─â teodolitele oricum lucreaz─â prin GPS).

CTG, la finalul lunii aprilie 2018