Analiza proiectului pentru programa de matematic─â din gimnaziu, (1) ÔÇô analiza con┼úinuturilor

Prezentul eseu este g├óndit ca o scrisoare deschis─â adresat─â d-lui Radu Gologan, pre┼čedinte SSMR, ┼čeful Comisiei pentru elaborarea noilor programe de matematic─â pentru clasele gimnaziale, c├ót ┼či tuturor membrilor comisiei. Propunerea oferit─â spre dezbatere public─â la sf├ór┼čitul lunii ianuarie 2017 reprezint─â cea mai pl─âcut─â surpriz─â posibil─â, deschiz├ónd c─âi de vindecare ┼či evolu┼úie pozitiv─â a pred─ârii matematicii, c─âi de neimaginat p├ón─â ├«n urm─â cu pu┼úin─â vreme.

Aceast─â prim─â parte a eseului (de publicat ├«naintea termenului de 12 feb.) va fi direc┼úionat─â asupra con┼úinuturilor ┼či ordinii acestora, dar va con┼úine ├«n argument─âri ┼či elemente de metodic─â. ├Än cea de a doua parte (ce urmeaz─â c├ót de repede posibil) voi analiza mai ├«n am─ânunt metodica propus─â. Din aceast─â a doua parte eviden┼úiez acum doar un singur aspect: ├«ntoarcerea ├«n predarea matematicii a cuv├óntului intui┼úie. ├Än prezentul proiect, doar la nota de prezentare ┼či ├«n sugestiile metodologice, acesta apare ├«n diverse forme de 20 de ori (!!!), subliniindu-se astfel importan┼úa folosirii ┼či dezvolt─ârii intui┼úiei elevilor. A┼čadar:

Stimate D-le Radu Gologan, stimaţi colegi,

Ca profesor activ ├«n direc┼úia reform─ârii pred─ârii matematicii de peste 20 de ani, v─â felicit pentru acest proiect. ├Än ├«ncercarea de a fi c├ót mai obiectiv (un ideal greu de atins) am structurat prezenta analiz─â pe patru categorii de p─âreri, numite c├ót de sugestiv posibil: 1) Da, cu aplauze; 2) Da, cu amendament; 3) Nu, cu alternativ─â; 4) Nu, cu avertisment. Din punct de vedere personal, proiectul este unul foarte reu┼čit, dovad─â c─â primele trei categorii sunt ├«nc─ârcate, pe c├ónd ultima categorie este foarte ÔÇťsub┼úireÔÇŁ. Toate p─ârerile ┼či comentariile expuse se bazeaz─â pe experien┼úa personal─â; pe majoritatea cov├ór┼čitoare le cunosc foarte bine din aplicarea ├«n activitatea personal─â (a mea ┼či a so┼úiei) din ┼čcolile unde am predat. La toate aceste comentarii se poate face precizarea c─â opinia prezentat─â este ├«n favoarea elevului, c─â a┼ča este cel mai s─ân─âtos pentru parcursul matematic al elevului. ├Än┼úeleg prin s─ân─âtos orice argument de ordin psihologic, legat de posibilit─â┼úile ┼či nevoile fiec─ârei v├órste, dar ┼či a fiec─ârei categorii de elevi ├«n parte. Acolo unde nu am o p─ârere bazat─â pe experien┼ú─â direct─â, ci doar pe intui┼úia dat─â de experien┼úa de ansamblu, acolo voi preciza acest aspect.

  1. DA, cu aplauze! Da, sunt cu totul de acord cu urm─âtoarele elemente:
    • Da! conect─ârii cmmdc ┼či cmmmc de simplificarea frac┼úiilor ordinare, respectiv de aducerea frac┼úiilor la numitor comun; a┼ča ├«n┼úelege orice elev la ce sunt bune acestea, le g─âse┼čte imediat un sens. Da ┼či introducerii acestora prin enumerare ┼či intuitiv, nu prin algoritm. A┼ča este s─ân─âtos!
    • Da! aducerii ├«nmul┼úirii ┼či ├«mp─âr┼úirii frac┼úiilor ordinare ├«napoi ├«n clasa a V-a, imediat dup─â adunare ┼či sc─âdere. Da ┼či limit─ârii pentru ├«nceput la exerci┼úii mai u┼čoare.
    • Da, pove┼čtii cu tabla de ┼čah (pag.7).
    • Da! mut─ârii no┼úiunii de mul┼úime din clasa a V-a la ├«nceputul clasei a VI-a. Atunci deja exist─â o zestre de cuno┼čtin┼úe matematice fixate ce pot fi folosite ├«n exerci┼úii cu mul┼úimi. Astfel, ├«n clasa a V-a aducem aspecte matematice noi, dar ├«n sistemul de scriere cunoscut.
    • Da, capitolului despre mul┼úimi ┼či structurare a cuno┼čtin┼úelor despre numere naturale deja dob├óndite de la ├«nceputul clasei a VI-a. Sim┼úeam c─â ├«n clasa a V-a mul┼úimile, prin scrierea lor nou─â, abstract─â, ├«ngreuneaz─â mult acomodarea elevilor la matematica de gimnaziu, dar nu aveam un g├ónd clar unde ar trebui puse. Experien┼úa general─â ├«mi spune c─â la ├«nceputul clasei a VI-a este foarte bine (dar nu le-am predat nici o dat─â astfel).
    • Da! (cu ropote de aplauze ┼či urale!) scoaterii m-ului de la m─âsura unui unghi (pag. 9); undeva prin clasele VI-VII poate fi introdus─â treptat, de┼či ├«n multe ra┼úionamente acest m cu parantezele sale ├«ncarc─â doar scrierea, devenind astfel pentru mul┼úi elevi o piedic─â, o ├«ngreunare ├«n ├«n┼úelegerea ra┼úionamentului expus.
    • Da introducerii ecua┼úiilor de-abia ├«n clasa a VI-a, dup─â ├«nv─â┼úarea semnului unui num─âr. At├ót unii profesori, c├ót ┼či p─ârin┼úii, nu se puteau ab┼úine s─â nu le zic─â elevilor ├«nc─â din clasa a V-a c─â ├«l mut─âm ├«n membrul cel─âlalt cu semn schimbat.
    • DAAA! (cu cea mai mare bucurie) parcurgerii paralelelor t─âiate de o secant─â, respectiv a unghiurilor alterne interne, ├«naintea lec┼úiei despre triunghiuri. Astfel se poate studia ÔÇô cu demonstra┼úie cu tot! ÔÇô suma unghiurilor ├«n triunghi din prima lec┼úie. Suma unghiurilor ├«n triunghi este o aplica┼úie cu pronun┼úat caracter aritmetic, accesibil─â tuturor elevilor, care ajut─â ├«n plus ┼či la stabilizarea ├«n┼úelegerii no┼úiunii de unghi. Se ├«ncheie astfel o lung─â perioad─â aflat─â sub domina┼úia pred─ârii riguros- axiomatice care impunea o ordine a lec┼úiilor ce sfida principiile natural-pedagogice (demonstra┼úia prin reducere la absurd, ce folosea congruen┼úa triunghiurilor, cu acel triunghi prelungit la infinit, nu se mai face de la Revolu┼úie; ca urmare nu mai este necesar─â de mult ordinea triunghiul Ôćĺ congruen┼úa triunghiurilor Ôćĺ unghiuri alterne interne Ôćĺ suma unghiurilor ├«n triunghi). Eu personal predau ├«n ordinea propus─â de prezentul proiect din anul ┼čcolar 1994-1995.
    • Da! (cu lungi ova┼úii!) reintroducerii cercului ├«n ÔÇťclubul no┼úiunilor fundamentaleÔÇŁ, ├«n primul capitol de geometrie din clasa a VI-a. Cred totu┼či c─â pozi┼úiile relative a dou─â cercuri pot fi l─âsate pentru clasa a VII-a (neesen┼úial).
    • Da! (cu mare bucurie!) reintroducerii accentului pe construc┼úii geometrice cu diferitele instrumente, at├ót ├«n clasa a V-a, c├ót mai ales ├«n clasa a VI-a (inclusiv construc┼úia intuitiv─â a paralelelor prin transla┼úie, care este de mare valoare ├«n formarea g├óndirii, dar care poate sta ┼či la baza explic─ârii congruen┼úei unghiurilor corespondente). Cunoa┼čterea figurilor geometrice prin construirea acestora ├«n diferite cazuri particulare este o cale deosebit de s─ân─âtoas─â de ├«nv─â┼úare. Acesta ar trebui aleas─â ca tema definitorie (!) pentru clasa a VI-a. Apoi, ├«n clasa a VII-a, c├ónd accentul se mut─â pe ra┼úionament, pe demonstra┼úie ┼či calcule complicate, elevii pot folosi la nevoie doar schi┼úe, pentru c─â ei au deja fixat─â ├«n minte figura corect─â construit─â cu mare aten┼úie ├«n clasa a VI-a.
    • Da, (├«n conexiune direct─â cu precedentul) lec┼úiei Cazurile de construc┼úie a triunghiurilor, cu precizarea c─â eu prefer ordinea LLL, LUL, ULU.
    • Da, la Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desf─â┼čur─âri ale acestora (pag.17), dar ┼či a triunghiurilor. Tocmai ce am propus un op┼úional de clasa a VII-a cu construc┼úii de corpuri geometrice din carton.
    • Da! (cu mii de mul┼úumiri!) readucerii sistemelor de ecua┼úii ├«n clasa a VII-a, mai ales c─â au fost aduse doar cu metodele specifice ecua┼úiilor (substitu┼úiei ┼či reducerii), r─âm├ón├ónd ├«n clasa a VIII-a metoda grafic─â (cea care a bulversat zeci de ani elevii la aceast─â lec┼úie).
    • Da! (cu mare bucurie) mut─ârii ├«n clasa a VII-a a capitolului despre cerc de la sf├ór┼čitul anului (c├ónd mul┼úi nu-l prea mai f─âceau) ├«n semestrul I. Anul acesta eu am predat Poligoane ├«nscrise ├«n cerc (construc┼úie, m─âsuri de unghiuri) ┼či Lungimea cercului ┼či aria discului ├«n semestrul I, ┼či pot depune m─ârturie c─â func┼úioneaz─â foarte bine. De pild─â, ├«ntre cele dou─â teme am calculat aria poligonului regulat cu 12 laturi ├«nscris ├«n cercul de raz─â r, care este exact 3r2, folosind doar determin─âri de unghiuri ┼či cateta opus─â unghiului de 30o. La lungimea cercului ┼či aria discului se pot folosi ┼či metode aproximative de tip ÔÇťlaboratorul de matematic─âÔÇŁ (mult sprijinit de dl. acad. Nicolae Teodorescu): determinarea lungimii cercului cu metrul de croitorie, apoi g─âsirea aproximativ─â a lui ¤Ç prin ├«mp─âr┼úire, respectiv determinarea ariei prin num─ârarea p─âtr─â┼úelelor din interiorul cercului pe caietul de matematic─â sau pe h├órtie milimetric─â ┼či apoi ├«mp─âr┼úirea ariei ob┼úinute la aria p─âtratului razei. Aceste metode sunt ├«n deplin─â armonie cu linia prezentului proiect.
    • Da! (un DA mare) aducerii inecua┼úiilor de la sf├ór┼čitul clasei a VIII-a la ├«nceput, ├«n primul capitol, imediat dup─â intervale.
    • Da! (cu evident─â bucurie) preciz─ârilor legate de rezolvarea ecua┼úiei de gradul II: prin aplicarea formulelor de calcul prescurtat (pag.26). Ce se ├«nt├ómpl─â cu formulele clasice de rezolvare (a,b,c,╬ö,x1,2)? Sunt interzise? Le facem ├«n semestrul II? R─âm├ón pentru clasa a IX-a? Trebuie s─â l─âmuri┼úi aceste aspecte, eventual ├«n note de subsol, la fel ca la scrierea m─âsurii unghiurilor. Eu a┼č fi mul┼úumit s─â r─âm├ón─â ├«n liceu, dar din respect pentru ceilal┼úi colegi cred c─â poate fi aleas─â varianta cu semestrul II. (ar fi binevenite mai multe astfel de note de subsol, unele dintre ele reparatorii, cum ar fi urm─âtoarea: reducerea termenilor opu┼či ├«ntr-o sum─â poate fi f─âcut─â ├«nc─â din clasa a VI-a, la numere ├«ntregi, nu doar ├«n clasa a VII-a, ca ├«n programa veche; dvs. nu a┼úi precizat unde se va face pe viitor)
  2. DA, cu amendament. Susţin aceste elemente de conţinut cu următoarele amendamente:
    • Da, readucerii ├«n clasa a V-a a metodelor de rezolvare aritmetic─â de probleme. ├Än general, doamnele ├«nv─â┼ú─âtoare nu prea le ┼čtiu. Am ├«ns─â ├«ndoieli c─â profesorii le vor parcurge c├ót de c├ót serios. ├Äntr-o lume dominat─â de punerea ├«n ecua┼úie, este nevoie de explica┼úii serioase, pentru a se ├«n┼úelege la ce folosesc rezolv─ârile aritmetice.
    • Da, readucerii ├«n clasa a V-a a propriet─â┼úilor opera┼úiei de putere, dar ├«ntr-o lec┼úie separat─â, urm─âtoare introducerii puterii. Elevii au nevoie de cel pu┼úin 2 ore (chiar o s─âpt─âm├ón─â) pentru acomodarea cu noua opera┼úie; ei trebuie proteja┼úi fa┼ú─â de profesorii care vin ┼či ÔÇťle toarn─âÔÇŁ totul din prima zi, f─âr─â ca ei, elevii s─â apuce s─â se dezmeticeasc─â despre ce este vorba. Urmare a acestei ÔÇťpolitici de predareÔÇŁ d─âun─âtoare, avem exemplele cu elevii care prin clasa a VII-a spun: puterea este un fel de ├«nmul┼úire, deci fac ├«nmul┼úire, adic─â 23=┬á6. Un alt argument este c─â introducerea propriet─â┼úilor puterii din prima lec┼úie saboteaz─â fixarea acestei noi opera┼úii ├«n contextul ordinii opera┼úiilor de ordinele I, II ┼či III. Ca urmare propun urm─âtoarea detaliere (eventual ca observa┼úie metodologic─â): Lec┼úia 1: introducerea opera┼úiei cu exemple, f─âr─â exponentul 0 sau 1, c├ót ┼či primele exerci┼úii simple de ordinea opera┼úiilor cu toate cele cinci opara┼úii. Lec┼úia 2: l─âmurirea no┼úiunii de putere, inclusiv puterea cu exponent 1 sau 0, conexiunea dintre exponent ┼či num─ârul zero-urilor la puterile lui 10, c├ót ┼či exerci┼úii de ordinea opera┼úiilor mai stufoase. Lec┼úia 3: Propriet─â┼úi ale opera┼úiei de putere, acestea aduc├ónd de obicei o ├«nc─âlcare a ordinii naturale a opera┼úiilor.
    • Da, mut─ârii criteriilor de divizibilitate cu 3 ┼či cu 9 ├«napoi ├«n clasa a V-a, cu amendamentul c─â ar trebui adus ┼či criteriul cu 25, care este foarte u┼čor. Criteriul cu 4 eu personal ├«l voi face oricum ca pereche al lui 25 (la fel cum criteriile cu 2 ┼či cu 5 sunt ├«n pereche; vezi predarea prin analogie a asem─ân─ârii triunghiurilor cu congruen┼úa triunghiurilor, la sugestii metodologice, clasa a VII-a).
    • Da studiului m─ârimilor direct propor┼úionale ┼či a celor invers propor┼úionale, cu urm─âtoarea precizare important─â: dac─â la propor┼úionalitate direct─â avem ┼čir de rapoarte egale, la propor┼úionalitatea invers─â avem ┼čir de produse egale. ├Än acest context v─â rog insistent s─â elimina┼úi defini┼úia cea veche (invers propor┼úionale ├«nseamn─â ┼čir de rapoarte egale cu inversele) care nu mai folose┼čte la nimic, doar la bulversat elevii.
    • Da construc┼úiilor geometrice de p─âtrate ┼či dreptunghiuri pe baza ┼čirului lui Fibonacci, dar cu amendamentul c─â va trebui explicat profesorilor ce s─â fac─â, altfel colegii vor citi peste acel r├ónd (pag.15). ├Än┼úeleg c─â vorbi┼úi de desenul de construc┼úie al spiralei lui Fibonacci; eu ├«l fac cu elevii, dar c├ó┼úi ├«l cunosc?
    • Da titlului No┼úiuni de trigonometrie, cu rug─âmintea de inserare a expresiei: rapoarte trigonometrice ├«naintea enumer─ârii acestora. Din p─âcate, mul┼úi profesori care coboar─â de la liceu la gimnaziu le denumesc func┼úii trigonometrice. Ce ├«n┼úeleg elevii din aceast─â denumire? Tot ace┼čti profesori le dau apoi elevilor ┼či valorile pentru 0o ┼či 90o. Ar trebui undeva ├«n program─â interzise aceste derapaje.
  3. NU, cu alternativă. În locul propunerii dvs. vin cu o alternativă care poate oferi atingerea obiectivului propus:
    • Scrierea ├«n baza 2 a numerelor ├«n clasa a V-a este prea gr─âbit─â, mai ales c─â majoritatea profesorilor vor face direct scrierea de tipul 1100101. Eu am f─âcut-o ├«n ultimii ani ├«n recapitularea de la ├«nceputul clasei a VI-a sub forma orice num─âr natural poate fi scris ca sum─â de puteri ale lui 2, prezentat─â ca joc ├«n care elevii trebuiau s─â g─âseasc─â puterile lui doi care compun un num─âr dat. De-abia apoi am dedus scrierea ├«n baza 2.
    • La clasa a V-a, ├«n lec┼úia ├Änmul┼úirea frac┼úiilor, puteri; ├«mp─âr┼úirea frac┼úiilor propun mutarea puterii dup─â ├«mp─âr┼úire, p─âstr├ónd ordinea natural─â a nivelului opera┼úiilor.
    • Este absurd s─â vorbim la clasa a V-a despre Numere ra┼úionale pozitive, c├ónd elevii ├«nc─â nu au ├«nv─â┼úat despre numere negative sau pozitive; sfideaz─â ordinea introducerii no┼úiunilor f─âr─â a avea o motiva┼úie concret─â. Propun s─â r─âm├ónem ├«n clasa a V-a la denumirea de frac┼úie, cu variantele de frac┼úie ordinar─â sau frac┼úie zecimal─â, acestea put├ónd fi transformate una ├«n cealalt─â, prin semnul de egalitate. Astfel, propun ca no┼úiunea de num─âr ra┼úional, c├ót ┼či mul┼úimea ÔäÜ a numerelor ra┼úionale, s─â fie introduse de-abia la capitolul din finalul clasei a VI-a, parte a procesului foarte bine descris ├«n Note definitorii ale acestei programe (pag. 3).
    • Scrierea unui num─âr natural de dou─â cifre ca produs de puteri de numere prime, poate fi inclus─â lini┼čtit ├«n primul capitol din clasa a V-a, mai ales c─â se precizeaz─â prin observare direct─â. Chiar ┼či algoritmul de descompunere a numerelor ├«n factori primi este accesibil majorit─â┼úii elevilor ├«n clasa a V-a. Acesta este profund conectat cu opera┼úia de ├«mp─âr┼úire (o tem─â de baz─â a sem.I din clasa a V-a), cu opera┼úia de putere ┼či cu criteriile de divizibilitate cu numerele 2, 5 ┼či 3, pentru care reprezint─â o bun─â aplica┼úie.
    • Elevii pricep foarte greu scrierea divizibilit─â┼úii cu bar─â vertical─â (ex. 3|51, la pag.15). Pentru divizibilitate ar trebui reintrodus oficial semnul care conecteaz─â ├«n mintea elevului cu semnul ├«mp─âr┼úirii (un punct ├«n plus ├«nseamn─â ├«mp─âr┼úire exact─â), dar r─âm├óne pe calapodul de g├óndire obi┼čnuit (num─ârul mare este divizibil cu num─ârul mic, evit├ónd inversarea cerut─â de scrierea cu bar─â).
    • Nu este precizat, a┼ča c─â ar trebui explicit interzis─â definirea tradi┼úional─â a interiorului unui unghi, cea prin intersec┼úia de semiplane. Profesorii trebuie doar s─â coloreze sau s─â ha┼čureze interiorul unghiului; exteriorul vine de la sine ├«n┼úeles, a┼ča c─â, folosind intui┼úia copilului, nici n-ar mai trebui prezentate; oricum, la ce folose┼čte exteriorul unghiului?
    • Folosirea, introducerea ideii de demonstra┼úie geometric─â doar pe cazul unei singure matode, anume a metodei triunghiurilor congruente, ├«n clasa a VI-a este periculoas─â pentru formarea g├óndirii elevului: mul┼úi elevi reac┼úioneaz─â ulterior la probleme ce necesit─â alt tip de argumenta┼úie, for┼ú├ónd pseudo-demonstra┼úii f─âr─â sens care au forma unicei demonstra┼úii ├«nv─â┼úate, cea cu congruen┼úa de triunghiuri; iar c├ónd le spui c─â au gre┼čit se uit─â n─âuci┼úi ┼či nu ├«n┼úeleg ce se ├«nt├ómpl─â. Elevii trebuie s─â cunoasc─â ┼či alte demonstra┼úii ├«n paralel. Eu m-am concentrat din start la c├óteva exemple de demonstra┼úii cu unghiuri.
    • Demonstra┼úiile prin metoda triunghiurilor congruente ├«n cazul figurilor axial-simetrice nu au sens ├«n mintea elevului ├«ncep─âtor, minte care vede intuitiv c─â cerin┼úa este ├«ndeplinit─â prin simetria figurii. Introduc├ónd criteriul ne-simetricit─â┼úii figurii, r─âm├ón foarte pu┼úine probleme pe care elevul s─â ├«nve┼úe aceast─â metod─â. Problemele cu congruen┼ú─â ├«n figuri cu cerc mai pot ajuta un pic, dar nu prea mult. De-abia c├ónd apar ┼či patrulaterele, cantitatea de aplica┼úii nesimetrice cre┼čte la un nivel mul┼úumitor.
    • P─âstrarea capitolului despre patrulatere ├«n clasa a VII-a are o serie de dezavantaje majore. Pe l├óng─â conexiunea cu precedentul aliniat, este evident c─â aplica┼úiile la primele tipuri de demonstra┼úii (inclusiv cele cu unghiuri) sunt foarte restr├ónse doar ├«n triunghiuri (triunghiul este o figur─â s─ârac─â ├«n aplica┼úii simple dar nesimetrice). Readucerea capitolului despre patrulatere ├«n clasa a VI-a ar rezolva toate cele expuse. Patrulaterele s-ar putea parcurge foarte u┼čor prin cunoa┼čterea intuitiv─â a propriet─â┼úilor acestora, prin construc┼úi detaliate ├«n diferite cazuri (o bog─â┼úie de exemple, aliniat cu principiul mai sus men┼úionat pentru clasa a VI-a), dar ┼či prin primele exemplific─âri ale conexiunilor demonstrabile ├«ntre propriet─â┼úile acestora (multitudinea de teoreme directe ┼či reciproce). ├Än plus, am sc─âpa astfel de schizofrenia manifestat─â actual c├ónd le d─âm elevilor o figur─â format─â din dou─â triunghiuri, dar ne facem c─â nu ┼čtim c─â acela este de fapt un patrulater. Dau aici exemplul trapezului de la EN Cl.a VI-a din urm─â cu trei ani, care era prezentat ca o combina┼úie de dou─â triunghiuri, ┼či la care copiii s-au chinuit foarte mult. Dac─â ar fi cunoscut trapezul dreptunghic, lucrurile ar fi fost mai clare. Mai dau un exemplu: no┼úiunile de unghiuri complementare, respectiv suplementare, se ├«n┼úeleg mult mai bine ├«ntr-o prezentare unitar─â, dup─â patrulatere, cu exemple clare din triunghiuri ┼či patrulatere. Anexez prezentei scrisori deschise scanarea noti┼úelor personale (din 2011) cu capitolul despre patrulatere pentru finalul clasei a VI-a, redactat conform principiilor pred─ârii intuitive specifice acestei clase. Precizez c─â tema liniilor mijlocii o las totu┼či pentru clasa a VII-a c├ónd, la ├«nceputul semestrului I, pe post de ÔÇťrecapitulare ┼či complet─âriÔÇŁ atac─âm serios diversele demonstra┼úii geometrice. Pentru elevii buni acestea devin una din temele principale de lucru ├«n clasa a VII-a.
    • Nu, introducerii din primul capitol din clasa a VII-a a numerelor reale. Elevii au nevoie s─â petreac─â o vreme ├«n calculul aproximativ al diferitelor m─ârimi care nu au rezultat ├«ntreg. De pild─â, calculul ├«n─âl┼úimii ┼či a ariei unui triunghi echilateral, dar ┼či lungimea ┼či aria cercului, au o puternic─â component─â practic-aplicativ─â de aproximare. Nimeni nu ├«n┼úelege c├ót este lungimea unei borduri de 25¤Ç m din jurul unui sens giratoriu, a┼ča c─â apel─âm la calculul aproximativ 25┬áÔłÖ┬á3,14 Ôëů78,5m. Din c├óte ┼čtiu, ├«n vest numerele ira┼úionale ca atare apar doar ├«n liceu. Eu am ├«mp─âr┼úit clasa a VII-a astfel: ├«n semestrul I d─âm rezultate aproximative aritmetice (at├ót la cerc, c├ót ┼či teorema lui Pitagora ÔÇô vezi primul comentariu de la categoria 4), iar ├«n semestrul II trecem la calcul algebric, cu numere ira┼úionale, at├ót la algebr─â, c├ót ┼či la geometrie. Astfel ├«mp─âc─âm ambele direc┼úii de g├óndire matematic─â, studiind ├«n semestrul I doar r─âd─âcina p─âtrat─â, iar ├«n semestrul II no┼úiunea de num─âr real.
    • Nu! acelei lec┼úii stupide de la capitolul despre cerc din clasa a VII-a despre propriet─â┼úi: la arce congruente corespund coarde congruente ┼či reciproc, diametrul perpendicular pe o coard─â, arce cuprinse ├«ntre coarde paralele, coarde egal dep─ârtate de centru. Acestea reprezint─â doar drumul segmentat pentru demonstrarea faptului c─â tangenta la cerc este perpendicular─â pe raza ├«n punctul de contact. Dar aceast─â demonstra┼úie nu se pred─â ├«n ┼čcoli, deci nici teoremele preg─âtitoare nu-┼či au sensul. Acestea doar ├«i chinuie pe elevi, care nu pricep ce vrea profesorul. Nici profesorii nu prea au probleme aplicative cu sens la aceast─â lec┼úie. Peste aceste teoreme se poate s─âri simplu, trec├ónd direct la observarea perpendicularit─â┼úii tangentei pe raz─â. ├Än schimb, exist─â deosebite aplica┼úii la ÔÇťteorema ciocului de cioar─âÔÇŁ (cele dou─â tangente dintr-un punct la un cerc sunt congruente), bine apreciate de c─âtre elevii buni. Propun reintroducerea ├«n materie a acestei teoreme. Dac─â tot am ajuns la propuneri, permite┼úi-mi ├«nc─â una: ├«n contextul reintroducerii cercului ├«n clasa a VI-a, se poate demonstra direct la nivelul acestei clase c─â triunghiul ├«nscris ├«n semicerc este dreptunghic (├«n conexiune cu ÔÇťmediana pe ipotenuz─âÔÇŁ).
    • Nu (un Nu con┼čtient ┼či experimentat) p─âstr─ârii ordinii lec┼úiilor de geometrie din clasa a VIII-a. La aceast─â form─â s-a f─âcut doar ÔÇťo jum─âtateÔÇŁ de pas ├«n sensul folosirii intui┼úiei naturale a elevilor (intui┼úia este activ─â ├«n continuare; folosirea ei nu trebuie interzis─â cu avansarea ├«n v├órst─â; mai ales la elevii slabi intui┼úia r─âm├óne ├«n continuare principala cale de acces la cuno┼čtin┼úe). La ce ajut─â prezentarea corpurilor de la lec┼úia a doua, dac─â elevii nu fac apoi mai nimic cu aceste corpuri? ├Än tot semestrul I vin doar lec┼úii grele ┼či abstracte, nimic pentru elevii slabi care ar vrea ┼či ei s─â calculeze o arie, s─â aplice teorema lui Pitagora ┼či o formul─â. ├Än locul acestei ordini a lec┼úiilor v─â propun urm─âtoarea ordine, ├«n care predau cu rezultate foarte bune de aproape 20 de ani. Astfel: Capitolul I – Corpuri (I): Cubul, paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele ┼či tetraedrul, cu reprezentare, elemente, arii ┼či volum, totul pe baze intuitive (la apotem─â nu este nevoie de T3ÔŐą pentru c─â avem triunghiuri isoscele, iar ├«n─âl┼úimea se ├«n┼úelege foarte u┼čor). Capitolul II – Teoreme ├«n spa┼úiu: Paralelism, perpendicularitate, T3ÔŐą, unghi diedru . Capitolul III – Corpuri (II): Trunchiuri de piramid─â, corpuri rotunde, cu reprezentare, elemente, arii ┼či volum. Astfel, elevii slabi primesc din start material de lucru, iar elevii buni, cu o scurt─â ├«nt├órziere primesc ┼či ei ÔÇťhran─âÔÇŁ pe m─âsura lor. Nu mai intr─â T3ÔŐą p├ón─â la tez─â, dar p├ón─â la sf├ór┼čitul primului semestru, p├ón─â la olimpiad─â ┼či simulare sigur se termin─â tot capitolul II.
  4. NU, cu avertisment! Consider că introducerea acestor elemente prezintă un mare risc, pe care îl voi expune:
    • Mutarea teoremei lui Pitagora ├«n clasa a VI-a prezint─â un multiplu pericol major. Ar mai avea oarecare sens dac─â am parcurge o prim─â parte de r─âd─âcin─â p─âtrat─â la nivel intuitiv aritmetic (cum era prin anii ÔÇÖ90). Aceasta ├«ns─â lipse┼čte. M─â ├«ngrozesc de felul cum profesorii vor turna ├«n elevii de clasa a VI-a elemente din arsenalul cunoscut din clasa a VII-a legat de teorema lui Pitagora. Cum vor ar─âta subiectele de la EN a clasei a VI-a incluz├ónd numerele pitagoreice? ├Än plus, ├«n acest mod teorema lui Pitagora este cobor├ót─â la nivelul banal de observa┼úie, submin├ónd ideea unei demonstra┼úii pe viitor. Teorema cu cele mai multe demonstra┼úii din toate c├óte sunt, nu va mai avea nevoie de demonstra┼úie ├«n mintea elevilor. Cea mai important─â teorem─â din toate timpurile este redus─â la nivelul unei re┼úete. Totu┼či vin cu o propunere de remediere. ├Än ultimii 15 ani am predat teorema lui Pitagora ├«n semestrul I din clasa a VII-a, ├«ntr-un capitol complex, format din trei p─âr┼úi: 1) r─âd─âcina p─âtrat─â; 2) ariile patrulaterelor ┼či a triunghiurilor; 3) Teorema lui Pitagora (demonstrat─â prin arii; exist─â chiar dou─â demonstra┼úii, din care una folose┼čte ┼či congruen┼úa triunghiurilor), cu aplica┼úii ├«n calculul perimetrelor ┼či al ariilor. Mutarea respectiv─â este deosebit de benefic─â at├ót elevilor slabi, c├ót ┼či elevilor buni. ├Än plus rezolv─â ┼či o problem─â de fond a acestei mut─âri (neprecizat─â ├«n proiect dvs.), anume c─â parcurgerea acestei teoreme mai repede este cerut─â de profesorii de fizic─â, care altfel o explic─â ei elevilor ├«naintea noastr─â. Revenind la demonstrarea teoremei lui Pitagora, men┼úionez c─â eu parcurg cu elevii ├«n clasa a VII-a cel pu┼úin trei demonstra┼úii diferite, la lec┼úiile corespunz─âtoare (pe l├óng─â demonstra┼úia cu arii amintit─â ┼či demonstra┼úia cu teorema catetei arhicunoscut─â, mai aleg ┼či o demonstra┼úie pe baz─â de arii ┼či formule de calcul prescurtat (├«n conexiune cu urm─âtorul punct).
    • Neintroducerea formulelor de calcul prescurtat ├«n clasa a VII-a este o mutare inexplicabil─â, un deja v├║ ce aminte┼čte de conul de penumbr─â ├«n care au fost ├«nghesuite sistemele de ecua┼úii ├«n ultimii ani. Elevii au nevoie de o perioad─â de jum─âtate de an ├«n care s─â se obi┼čnuiasc─â cu noua mi┼čcare matematic─â, cu noul ra┼úionament specific calculului prescurtat, astfel ├«nc├ót s─â le poat─â folosi eficient ├«n semestrul I din clasa a VIII-a. Mutarea propus─â va bulversa din nou o mare parte din materia de studiat, la fel cum a f─âcut-o ┼či mutarea sistemelor din clasa a VII-a ├«n finalul clasei a VIII-a. Formulele de calcul trebuie s─â apar─â ├«n clasa a VII-a, chiar ┼či dac─â apar numai ├«ntr-un singur sens. Astfel, elevilor slabi eu le cer doar direc┼úia de explicitare, de tipul (3x┬á+┬á1)2=┬á9x2┬á+┬á6x┬á+┬á1, nu ┼či direc┼úia invers─â de transformare ├«n produs. Legat de acest subiect am ├«nc─â o propunere: personal, accept ideea unei ÔÇťfobiiÔÇŁ oficiale fa┼ú─â de cuv├óntul polinom (dezvoltat─â ├«n gimnaziu la ├«nceputul anilor ÔÇÖ90 pe vremea renumitelor probleme de divizibilitate cu teorema lui Bezout), dar nu le putem spune la nesf├ór┼čit Opera┼úii cu numere reale reprezentate prin litere (etc.). (clasa a VIII-a, pag.28) A┼ča cum la expresiile cu frac┼úii s-a acceptat no┼úiunea de Frac┼úii algebrice, tot a┼ča propun ca la fostele polinoame s─â folosim no┼úiunea de Sume algebrice.

Închei cu speranţa sinceră că se vor dovedi de folos cât mai multe din observaţiile făcute. Totodată, precizez că stau la dispoziţia dvs. pentru eventuale lămuriri pe care le-aţi considera necesare.

Titus Grigorovici

Profesor ┼×coala Waldorf Cluj-Napoca












Consultarea na┼úional─â a proiectului pentru programa ┼čcolar─â de matematic─â la clasele de gimaziu

Au ap─ârut proiectele de programe pentru clasele V-VIII. Proiectul pentru programa de matematic─â poate fi g─âsit la adresa http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Matematica.pdf

├Än anun┼úul MEN ┼či I┼×E se precizeaz─â c─â procesul de consultare se adreseaz─â cadrelor didactice, inspectorilor ╚Öcolari si altor categorii de speciali╚Öti care ar putea oferi un feedback relevant cu privire la proiectele de programe ╚Öcolare pentru clasele V-VIII. Pentru a colecta opiniile, comentariile si propunerile dvs., v─â rugam s─â parcurge╚Ťi pa╚Öii urm─âtori:

  • Pasul 1. Desc─ârca╚Ťi programa ╚Öcolar─â;
  • Pasul 2. Dup─â parcurgerea programei in integralitatea acesteia, accesa╚Ťi chestionarul de consultare;
  • Pasul 3. Completa╚Ťi chestionarul aleg├ónd variantele de r─âspuns care se potrivesc cel mai bine opiniei dvs. ╚Öi oferi╚Ťi, dac─â este cazul, propunerile si observa╚Ťiile dumneavoastr─â ├«n spa╚Ťiile dedicate ├«ntreb─ârilor deschise.

Chestionarul con╚Ťine ├«ntreb─âri punctuale cu privire la elementele constitutive ale programei: competen╚Ťe generale, competen╚Ťe specifice, exemple de activit─â╚Ťi de ├«nv─â╚Ťare, con╚Ťinuturi, sugestii metodologice. De aceea, lectura atent─â a proiectului de program─â ╚Öcolar─â este esen╚Ťial─â pentru a oferi un feedback relevant care s─â conduc─â ├«n mod direct la ├«mbun─ât─â╚Ťirea proiectelor de program─â ╚Öcolar─â.

Consultarea se va derula in perioada┬á27 ianuarie-13 februarie 2017. V─â mul╚Ťumim pentru interes ╚Öi pentru participarea dvs. la procesul de consultare!

Chestionarul on- line se g─âse┼čte la adresa https://www.surveymonkey.com/r/programe_gimnaziu

Ca urmare, stima┼úi colegi, v─â propunem ÔÇ×o mic─â vacan┼ú─âÔÇŁ, adic─â haide┼úi s─â studiem ├«n aceast─â vacan┼ú─â intersemestrial─â propunerile respective. La o prim─â privire aruncat─â peste acestea am v─âzut lucruri foarte interesante.

Spor la lucru!

Prof. Mariana ┼či Titus Grigorovici