Churchill ┼či matematica

├Än ziarul magazin nr. 22 (3050) din 2 iunie 2016 g─âsim la pag. 4, ├«n scurtul comentariu Churchill ┼či Kaiserul, urm─âtoarele: ÔÇťÔÇŽ proasp─âtul┬á maior Winston Churchill (26 de ani pe atunci ÔÇô ├«n 1906). Viitorul prim-ministru al Marii Britanii activa ├«n escadronul regal de husari din Oxfordshire. Churchill preferase s─â intre la cavalerie pentru c─â nu trebuia s─â ├«nve┼úe matematic─â, disciplin─â pe care nu o agrea. ÔÇŽÔÇŁ┬á ┼×i c├ónd ne g├óndim c─â Churchill a c├ó┼čtigat al doilea R─âzboi Mondial cu ajutorul unui matematician ÔÇô Alan Turing, cel care a descifrat mesajele ma┼činii de criptat naziste Enigma – , ├«ntrega situa┼úie cap─ât─â aspecte dea dreptul hilare.

Dac─â tot am deschis ziarul magazin, ├«n acela┼či num─âr, la pag. 15 g─âsim urm─âtorul banc:

Tat─âl controleaz─â caietul feciorului:

De ce scrii c├órligele astea a┼ča de alungite?
Astea nu sunt cârlige, tată, sunt integrale.

Andrei Pleșu despre Neagu Djuvara la 100 de ani

Editura HUMANITAS a tip─ârit de cur├ónd o foaie volant─â despre proasp─âta lucrare 444 de fragmente memorabile ale lui NEAGU DJUVARA. ├Än aceast─â foaie g─âsim urm─âtorul punct de vedere al lui┬á Andrei Ple┼ču despre abordarea istoriei de c─âtre Neagu Djuvara:

ÔÇť Dup─â decenii ├«ntregi ├«n care istoria a trebuit s─â se strecoare, ca disciplin─â, printre nenum─ârate cli┼čee ideologice, s─â navigheze printre adev─âruri camuflate, desfigurate sau ocolite, s─â accepte o ├«ndelungat─â ascez─â, care risc─â s─â produc─â standardizarea ireparabil─â a discursului istoric, Neagu Djuvara a readus la ramp─â istoria vie, istoria ca istorisire, istoria colocvial─â, prietenoas─â, seduc─âtoare, liber─â de ┼čtaif catedratic ┼či de exigen┼úe conjuncturale. Lucr─ârile sale au, de aceea, un efect terapeutic, purificator: ele cur─â┼ú─â, f─âr─â dureri, pl─âm├ónii neoxigena┼úi ai cititorului autohton ┼či convertesc normativitatea solemn─â a istoriei de cabinet ├«n poft─â vital─â de cunoa┼čtere, ├«n obiect al curiozit─â┼úii tinere┼čti ┼či al bucuriei.ÔÇŁ

Haide┼úi s─â facem un exerci┼úiu de analiz─â ┼či s─â-l parafraz─âm pe Andrei Ple┼ču, ÔÇťtraduc├óndÔÇŁ aceste g├ónduri despre abordarea istoriei de c─âtre Neagu Djuvara, ├«n unele similare despre o abordare posibil─â a matematicii.

Astfel, din p─âcate, noi matematicienii nu ne-am putut bucura dup─â Revolu┼úie de o apari┼úie ca cea a lui Neagu Djuvara pentru istorici. Ce-i drept, s─â fim cinsti┼úi, istoria noastr─â avea nevoie la acel moment mult mai mult de aceast─â apari┼úie vindec─âtoare dec├ót ar fi┬á avut-o matematica. Totu┼či, ultimul an a ar─âtat-o din plin: ┼či predarea matematicii ├«n ┼čcoli a ajuns tot mai mult ├«ntr-o stare de incompatibilitate profund─â cu a┼čtept─ârile societ─â┼úii. Realitatea a ie┼čit ├«ns─â ├«ncet la iveal─â, necesit├ónd pentru acest proces un sfert de secol. Deci, hai s─â relu─âm g├óndurile lui Andrei Ple┼ču schimb├ónd doar cuv├óntul istorie cu matematic─â, av├ónd ├«ns─â mai ales ├«n vedere ceea ce ne intereseaz─â pe noi mai mult, anume predarea matematicii la ├«ntreaga popula┼úie ┼čcolar─â, nu doar la elitele olimpice.

Dup─â decenii ├«ntregi ├«n care predarea matematicii a trebuit s─â se strecoare, ca disciplin─â, printre nenum─ârate cli┼čee ideologice, s─â navigheze printre adev─âruri camuflate, desfigurate sau ocolite, s─â accepte o ├«ndelungat─â ascez─â, care risc─â s─â produc─â standardizarea ireparabil─â a demersului dasc─âlului la ora de matematic─â, nu a ap─ârut ├«nc─â nici o personalitate marcant─â care s─â readuc─â la ramp─â matematica vie, matematica ca istorisire, matematica colocvial─â, prietenoas─â, seduc─âtoare, liber─â de ┼čtaif catedratic ┼či de exigen┼úe conjuncturale. A┼čtept─âm ├«nc─â lucr─âri care s─â aib─â, de aceea, un efect terapeutic, purificator: ele s─â cure┼úe, f─âr─â dureri, g├óndirea neoxigenat─â a elevului autohton ÔÇô ┼či a profesorilor din ┼čcoli ÔÇô ┼či s─â converteasc─â normativitatea solemn─â a matematicii riguros-axiomatice de cabinet ├«n poft─â vital─â de cunoa┼čtere, ├«n obiect al curiozit─â┼úii tinere┼čti ┼či al bucuriei. (nu am ├«ngro┼čat nimic ├«n acest nou aliniat, din simplul motiv c─â ar fi trebuit ├«ngro┼čat totul, at├ót de bine se potrivesc g├óndurile lui Andrei Ple┼ču la situa┼úia actual─â a pred─ârii matematicii).

Ce-i drept, au ├«ncercat-o cu bune rezultate diferite edituri traduc├ónd valoroase lucr─âri ├«n acest sens, ale unor mari matematicieni str─âini cum ar fi Ian Stewart, Simon Singh sau Mario Livio (despre lucr─ârile c─ârora am scris ├«n postarea Prezentare de carte: Anii de aur ai c─âr┼úilor despre matematic─â dec. 2015), dar acestea, at├ót ca informa┼úii stricte, c├ót ┼či ca atitudine general─â, ├«nc─â nu au ajuns nici la stilul de predare al profesorului de r├ónd, nici la marea mas─â a elevilor. Sigur, poate cineva argumenta aici, nici in zona istoriei nu cunoa┼čtem cu exactitate efectul lui Neagu Djuvara la nivelul pred─ârii ├«n clas─â; dar m─âcar la v├órful istoriei repara┼úia a fost pornit─â, iar elevii au acces la lucr─âri dedicate exact lor de c─âtre Profesorul Djuvara.

Mai exist─â o diferen┼ú─â major─â ├«ntre situa┼úia istoriei ┼či cea a pred─ârii matematicii. Dac─â la momentul 1990 majoritatea erau de acord despre starea jalnic─â a prezent─ârii istoriei, ├«n cazul pred─ârii matematicii nici acum, dup─â un sfert de veac de la ÔÇťeliberareaÔÇŁ de comunism, lumea nu realizeaz─â starea jalnic─â a pred─ârii matematicii ├«n ┼čcoli. Ultimul an a adus primele voci ├«n acest sens, dar, ├«n afara regretatului Solomon Marcus, nimeni din sistem nu s-a referit direct la predarea matematicii, aceasta fiind mai degrab─â ÔÇťpierdut─â ├«n plutonÔÇŁ, cei mai mul┼úi integr├ónd-o ├«n marea mas─â a materiilor ┼či vorbind ├«n general de predarea ├«n ┼čcoli. Asta arat─â c├ót este de acut─â situa┼úia: nimeni nici m─âcar nu realizeaz─â c├ót este de jalnic─â predarea matematicii ├«n general. Desigur c─â exist─â foarte mul┼úi profesori care simt c─â ceva nu e ├«n regul─â ┼či se str─âduiesc din r─âsputeri, ┼či chiar le ofer─â elevilor o predare mai bun─â, dar excep┼úiile nu pot infirma situa┼úia general─â de fapt. Iar aceasta ├«n primul r├ónd dintr-un motiv elementar: profesorii de matematic─â nici nu prea au voie s─â se ├«ndep─ârteze de forma oficial─â a programei. Ca urmare, schimb─ârile/ ├«mbun─ât─â┼úirile posibile sunt doar la un nivel de suprafa┼ú─â (ca s─â nu zic superficial).

Nu reiau aici ┼či citatele din Neagu Djuvara despre c─âr┼úile domniei sale, din foaia editurii HUMANITAS; las cititorul s─â le caute ┼či s─â le traduc─â ├«n exprim─âri posibile despre matematic─â, a┼ča cum am f─âcut eu mai sus cu r├óndurile deosebit de inspirate ale lui Andrei Ple┼ču.

Titus Grigorovici

1 Oct. 2016

Mathematikerfest

(c─â tot e vremea de Oktoberfest ­čÖé

Zice c─â o infinitate de profesori de matematic─â merg odat─â la o teras─â. Primul comand─â o bere; al doilea comand─â o jum─âtate; al treilea cere un sfert de bere; al patrulea comand─â o optime ┼čamd. La care barmanului ├«i sare mu┼čtaruÔÇÖ ┼či zice:

– M─âi dragilor, nu pute┼úi comanda ┼či voi simplu dou─â beri?

Matematica naivă în gimnaziu, exemple (4)

Exemplul 7: Adunarea fracţiilor

Exemplul 8: Sisteme de ecuaţii

Despre subiectul matematicii naive cred c─â am spus destul de multe ├«nc├ót s─â se ├«n┼úeleag─â despre ce este vorba. Totu┼či, revin cu ├«nc─â o tur─â de exemple, datorit─â unui comentariu din data de 02.06.2016, f─âcut de c─âtre un domn profesor pe site-ul didactic.ro la zona de dezbatere a noilor programe. D├ónsul zice acolo: Eu cred ca scoaterea c.m.m.m.c. de la clasa a V-a. Aflarea numitorului comun prin ghiciri ┼či ├«ncerc─âri, pentru a putea aduna dou─â frac┼úii, nu mai seam─ân─â a matematic─â.

Aici este evident─â ne├«n┼úelegerea la nivelul profesorilor a adapt─ârii pred─ârii la nivelul v├órstei, cauzat─â de faptul c─â ÔÇťprogram─â din 2009ÔÇŁ nu a fost ├«nso┼úit─â ┼či de indica┼úii metodico-didactice ├«n care s─â se explice ÔÇťnoua linie de predareÔÇŁ. Iat─â cum am ├«n┼úeles eu predarea la adunarea frac┼úiilor ├«n contextul acestui subiect ┼či al acestei programe (c├ónd m─â refer la adunare, sub├«n┼úeleg desigur ┼či sc─âderea).

├Äntr-o prim─â etap─â, ├«n clasa a IV-a, elevii ├«nva┼ú─â cu doamnele ├«nv─â┼ú─âtoare adunarea frac┼úiilor cu acela┼či numitor (pe german─â se spune gleichnamig, adic─â cele cu acela┼či nume). ├Än a doua etap─â, ├«n clasa a V-a, se aduc frac┼úiile la acela┼či numitor ├«n mod intuitiv, ├«n forme de la simplu la tot mai complicate. ├Än final, pentru cazurile cele mai dificile, unde intui┼úia nu mai face fa┼ú─â, parcurgem ├«n clasa a VI-a g─âsirea c.m.m.m.c., cu care afl─âm numitorul comun ├«n format ÔÇťautomatizatÔÇŁ.

Este clar c─â, ├«n comentariul de pe didactic.ro, e vorba despre etapa a doua. ├Än aceast─â etap─â elevii nu g─âsesc numitorul comun prin ghiciri ┼či ├«ncerc─âri, ci prin pur─â ├«n┼úelegere matematic─â intuitiv─â a numerelor, a fenomenului frac┼úiilor, aplic├ónd proasp─ât ├«nv─â┼úata amplificare. Problema este ├«ns─â, cum privim copilul? ├Äl privim ca pe un sac gol ├«n care noi, profesorii trebuie s─â turn─âm cuno┼čtin┼úe, sau ├«l privim ca pe un om care g├ónde┼čte singur ┼či noi trebuie doar prin natura sarcinilor ┼či a provoc─ârilor s─â-i cauz─âm, s─â-i pornim g├óndirea? ├Äi d─âm noi cuno┼čtin┼úele respective, sau ├«l ajut─âm pe el s─â le genereze? ├Äi d─âm ├«n fiecare zi un pe┼čte, sau ├«l ├«nv─â┼ú─âm s─â pescuiasc─â? Aici am ajuns din nou la opozi┼úia dintre matematica rezultat, oferit─â elevului sub forma unei scurte prelegeri (la adunarea frac┼úiilor se procedeaz─â astfel: ÔÇŽ), pe de-o parte, ┼či matematica proces, ├«n care elevul este atras s─â o descopere singur prin problematizare (oare ce-ar trebui s─â face aici ca s─â putem aduna aceste frac┼úii?), pe de cealalt─â parte.

Sigur, aici ajut─â un pic de explica┼úii grafice: de pild─â, a reprezenta o jum─âtate sub forma unui semidisc care, ├«mp─âr┼úit ├«n trei p─âr┼úi egale, arat─â cum se ajunge la 3/6. Alegerea primelor exemple este ├«ns─â determinant─â ├«n procesul de ├«n┼úelegere al elevilor. ├Än acest sens eu practic o predare prin descoperire, ├«n care elevii g─âsesc singuri cum s─â rezolve exerci┼úiile propuse, ├«n timp ce eu ridic treptat ┼čtacheta dificult─â┼úii. Iat─â o posibilitate de ordonare a primelor exerci┼úii pe nivele de modele:

Modelul 0: recapitulare din clasa a IV-a;

Modelul 1: eventual  etc.

Modelul 2: eventual, p├ón─â la situa┼úii ÔÇťextremeÔÇŁ ┬áetc.

Modelul 3: etc.

Probabil c─â la primul exerci┼úiu de la modelul 1 trebuie ajutat─â clasa s[ fac─â primul pas, ÔÇťtraduc├óndÔÇŁ elevilor ├«mp─âr┼úirea de mai sus a jum─ât─â┼úii ├«n trei ┼česimi, ├«ntr-o amplificare. La urm─âtoarele elevii intr─â ├«n joc imediat ┼či ┼čtiu ce s─â fac─â ├«n continuare.

La modelul 3 se poate urca at├óta c├ót ÔÇťducÔÇŁ elevii, oricum r─âm├ón─ând ├«n zona de numere accesibile calculului ├«n cap. Pe aceast─â cale, elevii ├«nva┼ú─â adunarea/ sc─âderea frac┼úiilor ca fenomen ├«n clasa a V-a pe exemple accesibile, urm├ónd ca formele complicate, cazurile grele, s─â le parcurg─â ├«n clasa a VI-a, dup─â ├«nv─â┼úarea g─âsirii c.m.m.m.c. prin re┼úeta oficial─â. Astfel, cunoa┼čtem fenomenul ├«n forma sa naiv─â, apoi ├«l aprofund─âm ├«n forma riguroas─â la o a doua trecere (predarea ├«n spiral─â).

Revenirea la subiectul matematicii naive, pe exemplul adunării fracţiilor din clasa a V-a, această revenire îmi oferă ocazia de a aborda încă o temă mult dezbătută în întâlnirile informale dintre profesori: mutarea lecţiei despre sisteme de ecuaţii 2X2 din finalul clasei a VII-a în finalul clasei a VIII-a. Am mai vorbit despre această temă, dar subiectul este prea grav ca să îl considerăm încheiat.

Pentru a ├«n┼úelege fenomenul trebuie s─â arunc─âm o privire ├«n trecut. Cele dou─â forme tradi┼úionale de rezolvare a sistemelor de ecua┼úii sunt metoda substitu┼úiei (a ├«nlocuirii), o metod─â mai ÔÇťmanufacturier─âÔÇŁ ce prinde foarte bine la unii elevi mai slabi, ┼či metoda reducerii, o metod─â mai ÔÇťturboÔÇŁ, cu atrac┼úie mai ales la elevii buni. Tradi┼úional acestea se parcurgeau ÔÇťla pachetÔÇŁ, dezvolt├ónd ├«n g├óndirea elevilor abilit─â┼úi de calcul absolut necesare ├«n ├«nv─â┼úarea algebrei. Acestea sunt ni┼čte metode cu un grad puternic de naivitate ┼či, pe vremuri, ele erau stabilizate prin trecerea la sistemele de 3 ecua┼úii cu 3 necunoscute, ├«n care de multe ori se aplic─â ├«n cadrul unei rezolv─âri ambele metode (vezi sistemele din culegerea lui Gheba). Pentru detalii vezi anexa din final.

├Äncep├ónd din anii ÔÇÖ80, lec┼úiei i-a fost ad─âugat─â o nou─â metod─â, cea grafic─â, metod─â ce a primit ├«nt├óietate la predare, fiind prima care ap─ârea ├«n via┼úa elevilor. Este evident c─â accentul s-a mutat cu aceast─â ocazie spre zona mai riguroas─â a func┼úiilor, a geometriei analitice, prin prezentarea ecua┼úiilor ca ecua┼úii a unei drepte. Mi┼čcarea a avut c├óteva urm─âri didactice pe care le voi discuta ├«n continuare.

├Än primul r├ónd, noua linie nu a putut fi continuat─â ┼či la sistemele 3×3, cu reprezentare grafic─â ├«n spa┼úiul 3D (evident de ce!), motiv pentru care, cu timpul, acestea au fost eliminate din program─â (abandon├óndu-se dup─â 1990). C├ónd eram elevi, nou─â ne pl─âceau foarte mult sistemele 3×3; aici erau adev─âratele provoc─âri, nu ca la cele plictisitoare de 2×2, ┼či este mare p─âcat c─â acestea au fost abandonate. ├Än acest moment se na┼čte o nou─â problem─â, colateral─â, de ├«n┼úelegere a matematicii de c─âtre elevi: ├«nseamn─â c─â sistemele cu mai multe ecua┼úii ┼či necunoscute se pot aborda doar prin metodele complicate din clasa a XI-a?! Se poate g├óndi astfel, nu-i a┼ča? (Apropos, prin anii ÔÇÖ90 ├«ntr-o culegere renumit─â, existau dou─â pagini ├«nghesuite cu sisteme 2×2 la care toate d─âdeau r─âspunsul (1;1), ├«n afar─â de un singur exerci┼úiu, care avea alt─â solu┼úie; dac─â tocmai nu-l g─âseau pe acela, elevii puteau ├«n┼úelege c─â orice sistem are solu┼úia x┬á=┬á1 ┼či y┬á=┬á1)

├Än al doilea r├ónd, elevii ├«n┼úeleg mult mai greu metoda grafic─â dec├ót pe celelalte. Or, aceasta venind prima, impresia creat─â se extinde automat asupra ├«ntregii lec┼úii despre sisteme de ecua┼úii (am f─âcut sisteme de ecua┼úii, este o lec┼úie foarte grea!). P├ón─â la ├«nceputul anilor 2000, elevii fiind destul de docili, lec┼úia a rezistat ├«n programa de a VII-a, dup─â care a fost exilat─â la sf├ór┼čitul clasei a VIII-a ├«n 2009, sub pretextul c─â lec┼úia este prea grea. Din p─âcate, lec┼úia a fost mutat─â tot ├«n aceast─â ordine (metoda grafic─â ├«naintea celor tradi┼úionale), a┼ča c─â problema tot nu s-a rezolvat: prima impresie asupra elevilor este tot cea veche, c─â este o lec┼úie grea L.

Este evident c─â toat─â lumea sufer─â, dar mai ales elevii, care se trezesc brusc ├«n cine-┼čtie-ce problem─â cu o situa┼úie de sistem de ecua┼úii, ├«nainte de a face lec┼úia la clas─â oficial.

Cum am rezolvat personal aceast─â situa┼úie problematic─â? Am mai prezentat-o, dar o reiau ┼či acum, anume prin mutarea lec┼úiei cu cele dou─â metode tradi┼úionale la ├«nceputul clasei a VIII-a (forma naiv─â a lec┼úiei) ┼či parcurgerea separat─â a metodei grafice, ulterior, ├«n cadrul capitolului despre func┼úii (forma riguroas─â a lec┼úiei, la o a doua tratare). Astfel, ├«n cadrul primului capitol parcurg urm─âtoarele lec┼úii:

Lec┼úia 0: Ecua┼úii cu dou─â necunoscute, c─ârora le putem g─âsii oric├óte solu┼úii (nu ne intereseaz─â aici reprezentarea grafic─â a acestora ┼či faptul c─â acestea sunt situate pe o dreapt─â, ci r─âm├ónem la forma elementer algebric─â, de exemplu x┬á=┬á3 ┼či y┬á=┬á5).

Lectia 1: Dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute prin metoda substitu┼úiei (├«nlocuirii); ata┼č├ónd unei ecua┼úii de la lec┼úia precedent─â o a doua ecua┼úie, se ob┼úine doar o solu┼úie bun─â pentru am├óndou─â. Pentru ca elevii s─â se poat─â concentra to┼úi asupra lec┼úiei, le ofer doar exemple de sisteme ├«n care m─âcar una din ecua┼úii are una din necunoscute ÔÇťf─âr─â coeficientÔÇŁ (cu coeficientul +1 sau ÔÇô1), evit├ónd astfel exprimarea acesteia printr-o frac┼úie care i-ar speria pe foarte mul┼úi elevi.

Lec┼úia 2: Dou─â ecua┼úii cu dou─â necunoscute prin metoda reducerii; aceast─â metod─â mult mai rapid─â vine ca o salvare la sistemele unde metoda substitu┼úiei ne-ar duce la calcule cu frac┼úii. Mul┼úi elevi observ─â asem─ânarea acestei metode cu amplificarea pentru aducere la acela┼či numitor la adunarea frac┼úiilor. ┼×i ├«n cazul acestei metode trebuie lucrat cresc─âtor. Astfel, la primul exemplu dau un sistem unde reducerea se face ÔÇťdin primaÔÇŁ, nefiind necesar─â o amplificare prealabil─â. Doar apoi apare amplificarea unei ecua┼úii pentru a cauza reducerea., apoi amplificarea simultan─â a ambelor ecua┼úii. ├Än mod similar cu pa┼či de la adunarea frac┼úiilor, ┼či aici trebuie s─â cre┼čtem la amplific─âri tot mai complicate cu fiecare nou sistem oferit spre rezolvare.

Pentru ├«nceput, ca o regul─â grosier─â la ambele metode, le ofer elevilor garan┼úia c─â le dau sisteme cu solu┼úii numere ├«ntregi (p├ón─â prind schema de lucru). De-abia din orele urm─âtoare lu─âm ┼či cazuri la ├«nt├ómplare, cu solu┼úii frac┼úionale. Dup─â lec┼úia 1 trebuie avertiza┼úi elevii c─â mai vine o metod─â, dar s─â nu-i lase pe ÔÇťcei de-acas─âÔÇŁ s─â le strice surpriza, ci s─â lucreze doar pe metoda substitu┼úiei. Un elev m-a avertizat la ├«nceputul lec┼úiei 2 c─â a aflat cum merge ÔÇť┼čmecheriaÔÇŁ mai simplu, a┼ča c─â am decis ca el s─â tac─â ├«n procesul de descoperire a metodei reducerii.

├Än lec┼úiile urm─âtoare parcurgem c├óteva sisteme de 3×3 (le plac foarte mult elevilor), c├ót ┼či probleme ce se rezolv─â cu ajutorul sistemelor de ecua┼úii. Trebuie precizat c─â ├«n aceast─â faz─â de rezolvare, cel pu┼úin la ├«nceput, scriem solu┼úia algebric, de pild─â x┬á=┬á3 ┼či y┬á=┬áÔÇô1, eventual aranjate sub forma unui mic sistem. De-abia ├«n semestrul II, dup─â reprezentarea punctelor ├«n plan, ├«ncepem s─â scriem solu┼úiile ca mul┼úime de puncte. Iar c├ónd m─â ├«ntreab─â elevii, la sistemele 3×3 cum scriem solu┼úia ca punct, le ar─ât c─â o scriem ca punct 3D J.

O observa┼úie special─â ar fi necesar─â aici ├«n leg─âtur─â cu alte metode elementare de rezolvare a sistemelor. De exemplu, ├«n manuale din Germania am g─âsit multe sisteme de forma: x┬á=┬á2y┬á+ 1 ┼či x┬á=┬áÔÇôy┬á+┬á5, ce se rezolv─â cel mai bine cu o metod─â ce poate fi numit─â metoda tranzitivit─â┼úii, duc├ónd direct la ecua┼úia 2y┬á+ 1┬á=┬áÔÇôy┬á+┬á5. Este evident c─â aceast─â metod─â este mult mai rapid─â ├«n cazul intersec┼úiei graficelor a dou─â func┼úii. Din p─âcate am ├«nt├ólnit elevi care la acest sistem mai ├«nt├ói mut─â toate necunoscutele ├«n membrul st├óng, dup─â care rezolv─â prin metodele tradi┼úionale.

Tot ├«n manuale din Germania am g─âsit ┼či sisteme formate dintr-o ecua┼úie cu dou─â necunoscute ┼či o ecua┼úie cu o necunoscut─â. Consider c─â acestea nu merit─â o aten┼úie prea mre; cel mult merit─â folosite ca trecere de la lec┼úia 0 la lec┼úia 1 sau, eventual, intercalate ca o banalitate, printre alte exerci┼úii.

ANEX─é:

Dup─â ce am scris prezentul eseu, am luat la verificat ÔÇťarhivaÔÇŁ personal─â. Permite┼úi-mi s─â v─â prezint ce am g─âsit despre programa ┼či manualele din anii ÔÇÖ70, respectiv ÔÇÖ80.

├Än anii ÔÇÖ70 sistemele de ecua┼úii (2×2 ┼či 3×3) erau ├«n cadrul capitolului despre ecua┼úii din clasa a VIII-a. Precizez c─â la vremea respectiv─â to┼úi ├«mplineam 14 ani ├«n clasa a VIII-a (mergeam ├«n clasa I cu ┼čase ani ┼či f─âceam buletin la sf├ór┼čitul ┼čcolii generale). Iat─â c├óteva exemple.

Programa de matematic─â pt. clasele V-X ale ┼čcolii generale (Bucure┼čti 1972): Clasa a VIII-a, Cap. III, Ecua┼úii de gradul I,

  1. Rezolvarea ecua┼úiilor de gradul I cu coeficien┼úi numerici ┼či literari (recapitulare Cl. a VII-a) Sisteme de dou─â (trei) ecua┼úii de gradul I cu dou─â (trei) necunoscute cu coeficien┼úi numerici ┼či literari. Rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor de ecua┼úii.
  2. Rezolvarea grafică a unui sistem de gradul I de două ecuaţii cu două necunoscute. Discuţia sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute de gradul I, cu ajutorul graficului.

O situa┼úie similar─â, dar mai detaliat─â, se g─âse┼čte ├«n Programa de matematic─â din 1977.

În manualul de Algebră pentru clasa a VIII-a (Ivanca Olivotto, Constantin Ionescu-Bujor, Ion Giurgiu, 1980), apar următoarele lecţii legate de subiectul eseului de faţă:

  1. Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
  2. Sisteme de ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
  3. Rezolvarea sistemelorÔÇŽ Metoda substitu┼úiei
  4. Rezolvarea sistemelor ÔÇŽ Metoda reducerii
  5. Sisteme cu coeficienţi literari
  6. Sisteme de trei ecuaţii de gradul I cu trei necunoscute
  7. Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de ecuaţii de gradul I

Analiz├ónd manualele din anii ÔÇÖ80-ÔÇÖ90, g─âsim sistemele de ecua┼úii cu un an mai devreme (ce-i drept, prin ┼čcoli erau deja copii trimi┼či ├«n clasa I la 7 ani, deci cu buletin ├«n a 7-a). De pild─â, ├«n manualul de Algebr─â pentru clasa a VII-a (Tiberiu Spircu, Ioan Cr─âciunel, Lucia Chi┼ču, 1989) avem urm─âtoarele lec┼úii:

  1. Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute (unde apare dreapta soluţiilor reprezentată în sistemul cartezian de axe);
  2. Echivalenţa ecuaţiilor de gradul I cu două necunoscute;
  3. No┼úiunea de sistem de ecua┼úii (unde solu┼úia se g─âse┼čte la intersec┼úia celor dou─â drepte ale ecua┼úiilor, actala metod─â grafic─â);
  4. Rezolvarea sistemelor prin metoda substituţiei;
  5. Sisteme echivalente;
  6. Metoda reducerii;
  7. Rezolvarea unor probleme cu ajutorul sistemelor de ecuaţii;

Sistemele 3×3 nu mai apar ├«n acele manuale, dar profesorii le mai f─âceau la ├«nceputul anilor ÔÇś90. Men┼úionez c─â ├«n clasa a VIII-a studiam la vremea respectiv─â deja polinoame.

Titus Grigorovici

29 sept. 2016