Pentagonia

Suntem deja la al 8-lea episod din această serie despre situaţia AFM în şcolile româneşti, serie a cărei generare a fost impulsionată de Raportul naţional de alfabetizare matematică lansat de Dl. Ministru Daniel David în februarie 2025. După cum am spus însă, eu gândesc şi lucrez în sensul înţelegerii şi combaterii fenomenelor “gen AFM” de mulţi ani. Una din direcţiile de preocupare au reprezentat-o renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor, situaţie despre care am vorbit detaliat in precedentul episod. Acesta a fost însă un studiu ce caracter mai mult distructiv, oricum “negativ”, unii probabil rămânând cu “un gust amar” după lecturarea acelui text cu “aer” profund criticist.

Încheiam episodul precedent cu precizarea că situaţia problemelor reţetate cu rezolvările “tip” învăţate pe de rost, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată însă nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun în cazul metodelor aritmetice de rezolvare (măcar a unora). Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus doar excluderea parţială a acestor metode, la reintroducerea lor într-o nouă formă, respectând de fapt un anumit principiu. Despre acesta aş dori să vorbesc pentru început, fiind aplicat ca atare şi în situaţia pe care o voi prezenta în introducerea problemelor de geometrie.

Spuneam spre finalul episodului precedent că în clasele mici problemele de aritmetică (de text) ar trebui să fie cât mai puţin reţetate, rămânând cât mai mult în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând. Explicam această cerinţă prin faptul că mintea copilului trebuie să aibă timp a se obişnui şi adapta cu două activităţi majore noi în viaţa sa, anume cu lecturarea şi înţelegerea unui text, respectiv cu gândirea pe situaţii numerico matematice.

Încălcarea primeia şi grăbirea procesului peste viteza cu care se poate forma elevul duce la analfabetism funcţional în general. În loc să formeze înţelegere a textului şi gândire a conţinutului, concomitent cu dezvoltarea abilităţii de citire, elevul o perfecţionează doar pe aceasta: ştie să citească un text, dar fără să-l înţeleagă, iar aceasta ajunge să o facă chiar foarte bine, până la nivel de turuială. Turuiala la citirea unui text (-citeşte problema! iar copilul începe să o turuie) este chiar dovada sonoră că creierul său se concentrează doar pe viteza cititului şi defel pe înţelegere,  pe gândire (şi nu mai vreau să intru în polemici despre cine este de vină aici, pentru că răspunsul este evident).

Încălcarea celei de-a doua activităţi majore – gândirea – şi grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce la AFM; în loc să înveţe să gândească, elevul învaţă să înveţe pe de rost un raţionament impus de alţii. Iar apoi, atunci când este confruntat cu o situaţie nouă, la rezolvarea căreia trebuie luate decizii, desigur prin gândire, creierul lui nu ştie ce să facă, decât eventual să redea o rezolvare pentru care a fost dresat şi s-a autodresat, indiferent dacă aceasta se potriveşte sau nu. El nu este în stare să vadă de obicei nici dacă aceasta se potriveşte sau nu, pentru că el nici rezolvarea cunoscută nu a înţeles-o de fapt. Grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce de fapt la neglijarea formării gândirii şi a înţelegerii unui fenomen, deci şi la imersarea elevului într-o situaţie nouă în care să ia decizii corecte (a se vedea în conexiune şi nivelul periculos de mare al populaţiei uşor manipulabile în condiţii de influenţare a votului).

Este evident că mai ales a doua activitate este foarte importantă pentru discuţia noastră: copilului îi trebuie lăsat timp pentru ca mintea sa în dezvoltare să se trezească şi să se obişnuiască cu noul tip de sarcini. În acest sens trebuie petrecut suficient timp şi multă răbdare pentru a permite cât mai multor elevi să-şi trezească şi să-şi stabilizeze gândirea logică pe un domeniu totuşi foarte abstract, cum sunt numerele.

Principiul de predare despre care vorbesc ar fi deci de a porni orice drum nou, într-o nouă parte de materie, în general de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic.

Am spus “suficient de mult timp” şi avertizez a nu se înţelege “excesiv de mult timp” (am întâlnit din păcate şi astfel de cazuri), dar acest “suficient timp” trebuie setat atât la nivel naţional prin programă, cât şi la nivel local de către cadrul didactic, astfel încât elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, anume toţi la care ar exista disponibilitatea de învăţare, să şi aibă timp să parcurgă drumul respectiv de formare de gândire şi de abilităţi.

Este un principiu absolut logic din punct de vedere psihologic, dar care implică un crescut consum de timp. În lipsa aplicării acestui principiu avem însă un nivel atât de crescut de AFM. Iar asta se întâmplă atât datorită încărcării excesive a materiei cu lecţii multe şi aplicaţii complicate (despre care suntem aşa de mândri când ne comparăm cu alte ţări), dar şi datorită altor cauze (le-am studiat în episoadele precedente).

Merită făcută aici o scurtă dar profundă observaţie. Acest principiu trebuie respectat peste tot unde se introduce un nou tip de matematică, atât la însuşirea celor patru operaţii, sau la problemele cu text, dar şi mai târziu, de pildă la problemele de geometrie sau la primii paşi de algebră (nici nu mai are rost să amintim aici excesiv de ciudata şi abstracta situaţie a rapoartelor trigonometrice, faţă de care elevii de rând sunt absolut sideraţi). Materia începând din clasele gimnaziale fiind mai încărcată, fără să mai vorbim de ambiţiile unor profesori spre cât mai greu, acestea duc la o încălcare crasă a principiului mai sus prezentat, decât în cazul învăţătoarelor. Iar această stare generală ar putea duce la situaţia amintită în episodul 6, anume că starea de AFM creşte mult începând din clasa a 5-a.

Dau aici un scurt exemplu în sensul acestui principiu, aşa cum l-am găsit eu aplicat în clasele primare din Şcoala Waldorf, un exemplu de la “începutul matematicii”. Astfel, colegele învăţătoare petrec foarte mult timp cu copiii în construirea simţului pentru operaţia de înmulţire. Tehnic, dânsele fac foarte multe “jocuri” în care bat din palme şi tropăie cu toată clasa simultan, pe anumite modele repetitive, în timp ce toţi numără în gura mare (de multe ori stau în cerc în faţa clasei, inclusiv învăţătoarea, pentru ca copiii să se poată percepe şi coordona şi vizual). Astfel, elevii vor observa cum o aceeaşi bătaie se repetă după un anumit număr de mişcări, şi că numerele pe care se întâmplă respectiva bătaie sunt de pildă din “şirul lui 5” (mai târziu noi le spunem şirul multiplilor lui 5). Aceste jocuri pe diferite forme, subliniind diferitele “şiruri de numere”, ajung apoi cu timpul să devină baza pentru învăţarea tablei înmulţirii. Deci, copiii nu primesc direct de învăţat “pe de rost” tabla înmulţirii, fără să o înţeleagă şi fără să se conecteze cu acele numere, ci mai întâi se preocupă cu ele practic, “în joc”, doar apoi venind şi pasul învăţării pe de rost (deci a trecerii în reţetă şi în automat).

Nici nu mai vorbesc aici despre tâmpenia ce am auzit-o cândva, despre unele învăţătoare care le dau familiilor ca temă peste vacanţa mare să înveţe cu puiuţii tabla înmulţirii în avans, -că la anu’ le va trebui să o ştie. Păi, de ce mai merg la şcoală, dacă părinţii sunt puşi să facă treaba ciudată, părinţii care oricum nu se pricep, că ei nu-s de meserie. Iar apoi, tot noi comentăm împotriva părinţilor, atunci când aceştia îşi retrag copiii din şcoală şi îi înscriu în diferite forme de “home schooling”. Dar să revenim la ale noastre.

Problemele de geometrie reprezintă fără discuţie un nou tip de matematică în viaţa copiilor, iar apropierea de acestea şi pornirea pe “drumul lor” trebuie făcută cu mult tact pedagogic, fapt care nu se prea intâmplă. Atât de înrădăcinat este modul “tradiţional” de introducere şi de parcurgere a acestora, încât eu nici nu mi-am dat seama că se poate şi altfel, şi de fapt “anume cum?”. Pentru mine personal, conştientizarea existenţei acestui drum a reprezentat o sarcină de ani buni, suprapusă oarecum cu perioada de “căutări mute” pentru salvarea gândirii elevului după 2005 evocată în episodul precedent. De-abia în urmă cu trei ani s-a luminat încet situaţia şi am conştientizat încotro trebuie să meargă căutările.

Dar, înainte de a prezenta situaţia, mai trebuie să fac o remarcă importantă. Una din preocupările mele adiacente a fost ideea că elevii nu trebuie puşi la “salturi noi multiple” în momentul începerii unui domeniu nou. Ori, odată cu apariţia geometriei exact asta erau puşi să facă, şi “repede, dacă nu-i cu supărare!”. Concret, la începerea geometriei elevul trebuie să facă salturi “de la zero la ….” în mai multe direcţii simultan: pe lângă noile noţiuni şi interconexiuni (teoreme), elevii trebuie să facă figuri geometrice, cu multiple instrumente geometrice (fiecare cu noutăţile sale), cu atenţie înspre exactitate, dar şi să înveţe noul tip de raţionamente. Poate că pe vremuri elevii reuşeau să aibă atenţie distributivă în cele trei direcţii majore (conţinuturi teoretice, construcţia formelor geometrice şi dezvoltarea raţionamentului), dar la ora actuală foarte puţini mai pot face această “triplă jonglerie”. Iar ca “să scape” cumva din această situaţie, majoritatea învaţă pe de rost. Pentru a-i ajuta pe copii şî a veni în întâmpinarea nevoilor lor, o soluţie ar fi despărţirea celor trei direcţii de acţiune. Astfel, ar trebui măcar una dintre cele trei de fapt “ruptă din pachet” şi parcursă separat, deci înainte de restul.

Drept urmare, plecând de la indicaţiile şi principiile găsite în Şcoala Waldorf, eu organizez în clasa a 5-a un curs opţional de desen geometric prealabil, în care facem “desene frumoase” cu instrumente geometrice (vorbesc pentru prima dată şi doar acum despre acest curs, care mi-a luat multă energie şi timp, mai ales în ultimul an, pentru că s-a adunat “o mare materie”, care se cere publicată într-o carte; din acest motiv nu o voi prezenta înainte pe pentagonia.ro). Oricum, desprindem de aici ideea că elevii mei ştiu foarte bine a mânui atât compasul şi liniarul, apoi şi raportorul, înainte de a a intra în cursul oficial de geometrie gimnazială (cu noţiuni teoretice şî cu raţionamente demonstrative). Când începem geometria cu segmente, mijloace, unghiuri etc., toţi elevii meu sunt deja alfabetizaţi în sensul construcţilor geometrice, toţi cei doritori chiar avansaţi în ceea ce priveşte folosirea instrumentelor geometrice. Astfel, odată cu începutul geometriei oficiale, noi punem din start mult accent pe realizarea unor figuri geometrice exacte şi corecte.

Da, iar acum să ajungem la demonstraţii (după aproape trei pagini de explicaţii lămuritoare).

O primă idee în acest sens am avut-o la începutul anilor 2000, când am realizat că problemele cu unghiuri sunt mult mai potrivite formării gândirii la geometrie, decât problemele cu segmente, fără să mai discutăm că ambele sunt oricum mult mai accesibile decât super-reţetata metodă a triunghiurilor congruente. Practic, pe drumul înţelegerii demonstraţiei argumentativ logice, metoda triunghiurilor congruente este pe departe cea mai inaccesibilă minţii elevului începător. Primul pas în acest sens a reprezentat pentru mine ordonarea primelor trei capitole în culegerea publicată la Ed. Humanitas Educaţional în 2006: Cap.I: Unghiuri; Cap.II: Linia mijlocie şi mediana pe ipotenuză (deci despre segmente) şi doar apoi: Cap.III: Congruenţa triunghiurilor.

În anii ce-au urmat, m-am îmbăiat în succesul acestei publicări şi am lucrat doar din această carte, observându-i astfel multele avantaje (doar o croisem pe mintea mea), dar tot mai des şi defectele inerente (unele iniţiale, altele apărute ca “defecte” prin modificarea structurii minţii elevilor de-a lungul anilor). Iar cu timpul, în toţi aceşti ani, odată cu schimbarea gândirii copiilor, am abandonat tot mai multe bucăţi din această carte. La generaţia care a terminat în vara asta clasa a 8-a am văzut şi alte noi “defecte”, astfel încât am decis să nu o mai folosesc defel în această formă.

Rămânem din această experienţă cu o primă idee clară, anume că metoda triunghiurilor congruente nu e bună în introducerea demonstraţilor geometrice în clasa a 6-a. Dar, de ce nu e bună? Iar, apoi, dacă nu cu aceasta, atunci cum ar trebui să introducem demonstraţiile geometrice în viaţa copiilor? Să le luăm pe rând.

Cum adică? Dar de ce nu e bună? Cu ce greşeşte aceasta? Păi, acum, la redactarea acestui articol eu am impresia că e simplu, doar să ştiţi că mi-a luat câţiva ani buni să înţeleg acest lucru, darămite să-l aplic la clase, pe un sistem nou de fişe. Fac aici o paranteză absolut specială ca să întelegeţi cum lucrez eu şi care ar fi motivaţia pentru munca uriaşă depusă, de pildă la aceste eseuri. Eu înţeleg cu adevărat lucrurile doar acum, în timp ce încerc să le explic cât mai clar pentru dvs. Prin această preocupare lucrurile se lămuresc cu adevărat şi pentru mine. Dar să revenim.

Metoda triunghiurilor congruente este o metodă “tip” foarte clar reţetată, super-evoluată, dar şi super-abstractă. Raţionamentul ei este foarte depărtat de gândirea simplă intuitivă a elevului începător. Punând-o “la început” şi dându-i o atenţie sporită, exagerat de crescută, profesorii îi împing practic pe elevi să o înveţe pe de rost, fără a o înţelege în profunzime, neglijându-se astfel formarea gândirii native a elevilor.

Ca să fie foarte clar: nici nu se pune în discuţie a recurge la un gest extrem (de excluziune, ca la metodele aritmetice), dar este evident că metoda triunghiurilor congruente este o metodă din a doua parte a introducerii demonstraţiilor geometrice, de-abia după ce gândirea elevilor pe geometrie s-a pornit şi s-a stabilizat pe probleme mai simple, cu un grad mare de accesibilitate şi intuitivitate. Metoda triunghiurilor congruente este abstractă pentru copilul de rând, şi ca atare, introdusă “din prima” şi în mod “agresiv” aceasta este un mare formator de AFM. Părerea mea este că, alături de metodele aritmetice de rezolvare, metoda triunghiurilor congruente reprezintă una din sursele principale ale nivelului extrem de ridicat de AFM din ţara noastră.

Aşa cum, în cazul problemelor de text din primele clase, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului, trecându-se cât de repede la situaţii foarte complicate, ce necesită predarea unor metode sofisticate, tot mai sofisticate şi deci tot mai inaccesibile minţii proaspete a copiilor, ei bine, la fel şi în cazul demonstraţilor din geometrie şi a raţionamentelor specifice, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului începător, trecându-se mult prea repede la situaţii mai complicate, care necesită predarea şi învăţarea acestei metode super-sofisticate, dar inaccesibile gândirii marii majorităţi a elevilor. Uau, ce frază! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest aliniat, pentru că am reuşit să explic care-i logica comună a acestor două episoade cu exemple, ce le uneşte de fapt.

Astfel, în amândouă situaţii este vorba despre metode prea abstracte pentru gândirea elementară a majorităţii copiilor, pentru “rezolvarea” acestora în contextul generării de AFM, fiind de fapt nevoie de revenirea “la origini”, adică de introducerea înaintea acestora a unor probleme cu raţionamente simple, de bază, accesibile în mod firesc gândirii intuitive a copiilor. De-abia după ce la majoritatea copiilor s-a pornit şi s-a stabilizat gândirea elementară, de-abia apoi se poate trece la “chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată.

Precizez aici că aceste”chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată, sunt de obicei rodul gândirii unor adulţi (de-a lungul procesului istoric de descoperire a matematicii), sau a unor “momente de geniu” la diferiţi copii sclipitori, cunoscuţi sau anonimi. Dinte cei cunoscuţi putem aminti, de pildă, momentul cu Suma lui Gauss din copilăria sa.

Dintre cei anonimi, are de pildă George Pólya un exemplu în Descoperirea în matematică, la pag. 38 (Ed. Ştiinţifică, 1971), unde acesta concluzionează: Rezolvarea aceasta (…) necesită o foarte clară înţelegere intuitivă a situaţiei, un grăunte de ingeniozitate, o sclipire – felicitările mele puştiului de 14 ani care a descoperit-o singur. Iată şi ideea “genială”, respectiv începutul rezolvării cu pricina la o problemă arhicunoscută cu găini şi iepuri, cu atâtea capete şi atâtea picioare: -Să ne închipuim că fermierul îşi surprinde animalele într-o poziţie cu totul insolită: fiecare găină stă într-un singur picior, iar fiecare iepure – pe labele din spate. În această situaţie neobişnuită, animalele îşi folosesc exact jumătate din picioarele lor … (aţi remarcat? un puşti de 14 ani, deci sigur nu de primar sau de a 5-a).

Dar, să revenim la problemele noastre de geometrie. Deci, avem nevoie de o zonă consistentă de probleme simple, elementare, accesibile gândirii elevilor obişnuiţi, pe baza cărora aceştia să-şi activeze şi să-şi stabilizeze gândirea logico-deductivă necesară în argumentaţia din geometrie, mod de gândire pentru formarea căruia de fapt studiem geometria în clasele gimnaziale (şi o facem în mod obligatoriu pentru toţi copiii).

Pentru a înţelege cum am reuşit să găsesc această zonă de probleme, respectând totodată şi o cât de elementară rigurozitate în deducţia succesivă a cunoştinţelor necesare, pentru asta trebuie să facem o nouă incursiune în istoricul evoluţiei predării acestei zone a gemetriei în ultima jumătate de secol în România.

După “reforma uitată” din finalul anilor ’70 şi începutul anilor ’80, când am început eu să mă preocup de acest subiect (adică pe la jumătatea anilor ’90), ordinea normală era următoarea: o primă parte a capitolului despre triunghi prezenta diferite elemente, dar fără suma unghiurilor în triunghi; apoi se studia foarte abstract şi greoi metoda triunghiurilor congruente (unul din cazuri privit ca axiomă); după aceasta se întrerupea capitolul şi se studiau dreptele paralele tăiate de o secantă, demonstrându-se prin reducere la absurd congruenţa unghiurilor alterne interne; apoi, pe baza acestora, se revenea la triunghiuri şi se demonstra suma unghiurilor; de la început, metoda triunghiurilor congruente era folosită obsesiv de riguros în demonstrarea tuturor situaţilor de congruenţă la triunghiul isoscel, inclusiv a celor legate de liniile importante (apoi, ulterior şi la demonstrarea tuturor proprietăţilor din diferitele patrulatere speciale). Această formă de predare devenise un adevărat “nod gordian” în introducerea geometriei, generat de preocuparea obsesivă din partea matematicienilor universitari pentru o predare riguros axiomatică, dar mai ales pentru introducerea acestei forme în manualele din licee (~1978), dar destul de repede şi în şcoala generală (~1981).

Între timp lucrurile au evoluat masiv, folosindu-se intuiţia elevului pentru a descâlci acel “nod gordian” şi a accesibiliza materia pentru cât mai mulţi copii, cel puţin pentru început: studiul paralelelor tăiate de o secantă şi congruenţa unghiurilor alterne interne sau corespondente se predă intuitiv înainte de triunghiuri; suma unghiurilor în triunghi se predă din prima lecţie (putând fi chiar demonstrată aici); ultimul moment de “predare intuitivă” îl reprezintă lecţia despre construcţia triunghiurilor oarecare, pe diferitele cazuri, care devine apoi bază de justificare pentru cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Din păcate, la studiul proprietăţilor triunghiului isoscel, dar şi la situaţile speciale ale linilor importante în acestea, se foloseşte deja oficial şi masiv metoda triunghiurilor congruente (desigur că şi în diferitele multe probleme imaginabile).

Ca o paranteză, observăm aici din nou o situaţie de reformare a predării pentru accesibilizarea materiei, însă făcută doar cu jumătate de măsură. Dar să vedem cum am ajuns să predau eu în acest sens triunghiul. Într-o primă parte apar lecţile de cunoaştere a triunghiului şi a proprietăţilor acestuia ce pot fi observate intuitiv de către elevi (chiar dacă uneori eu conduc “observarea”): triunghiul cu elementele sale, cu perimetrul şi suma unghiurilor (prima teoremă, cu demonstraţie), unghiul exterior, cazurile de construcţie a triunghiurilor (pentru obişnuirea elevilor spre a le desena corect), apoi doar clasificarea triunghiurilor, cu observarea intuitivă a congruenţei celor două unghiuri ale triunghiului isoscel, inclusiv ca reciprocă, iar în final, pe scurt liniile importante în triunghi (doar introduse ca atare). Recomand în acest sens să studiaţi şi vechile postări din seria Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat, de la începutul lui 2018, prima la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ .

Da, iar, la acest nivel eu am ajuns să dezvolt o “lume întreagă” de problemuţe uşoare, de aplicaţii cât mai accesibile intuiţiei elementare a elevului de rând, pe baza căreia elevii să se obişnuiască cu figurile geometrice, cu proprietăţile acestora, cu folosirea sau cu justificarea diferitelor situaţii. Acestea preiau mintea începătoare a elevilor de la “nivelul 0+” şi o însoţesc cu multă răbdare şi înţelegere, în paşi mici şi accesibili, până la un nivel acceptabil de gândire şi raţionament justificativ, nivel care subînţelege deci prezenţa gândirii demonstrative, înaintea apariţiei problemelor reţetate cu rezolvări “tip”, prin cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Astfel, după parcurgerea unui set destul de consistent de situaţii cu probleme super-simple, elevii încep să se le perceapă ca fiind în “zona lor de confort”. Până la finalul acestui “moment educaţional”, elevii ajung să dezvolte o bună gândire raţională, să se simtă “acasă” în figurile geometrice şi în acest tip de gândire, al raţionamentului deductiv specific demonstraţiei argumentative din geometrie.

Ca să finalizez prezentarea începută mai sus, de-abia după această parte consistenţă de “problemuţe” eu le predau elevilor noile lecţii cu cunoştiinţe mai evoluate, inaccesibile gândirii intuitive iniţiale. Eu fac acest “pas în sus”, acest pas spre o treaptă superioară de raţionament, sub forma a două “pachete” separate. În primul rând le predau un pachet conţinând teorema (neobişnuită la noi) “Cercul lui Thales” (un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic, teoremă ce poate fi aici demonstrată elementar prin triunghiul isoscel), cât şi reciproca acesteia, adică teorema despre “mediana pe ipotenuză” (dedusă prin simpla observare intuitivă, după precedenta), dar şi “cateta opusă unghiului de 30^o (ce se poate deduce destul de uşor tot din prima). Desigur că şi acestea au o mică fişă de aplicaţii. Da, şi doar apoi, eu le predau metoda triunghiurilor congruente.

Deci, să revenim la setul de probleme uşoare despre care v-am vorbit, set care se interferează ca “o pauză prelungă” între lecţiile de nivel “bazic” despre triunghi pe de-o parte, şi lecţiile implicând teoreme şi metode “mai evoluate” pe de cealaltă parte. Despre acest tip de probleme doresc de fapt să vă vorbesc în episodul de faţă. Prin acestea eu lupt pentru formarea gândirii la elevi, prin acestea eu de fapt lupt împotriva AFM.

Nu vreau să o mai lungesc cu procesul prin care eu am ajuns la forma în care s-a materializat această categorie de probleme pe parcursul ultimilor trei ani (un proces de gândire “pe bâjbâite” specific procesului de găsire a “ceva nou”, ceva ce nu poţi căuta în cărţi sau pe net). Astfel, vă prezint în continuare direct principiile găsite în acest proces, principii după care sunt structurate de fapt problemele respective, cât şi forma luată, pe câteva “sub-trepte” evolutive, gândite în urma înţelegerii minţii copilului, dar şi înspre sprijinirea acesteia pentru deprinderea gândirii geometrice.

Precizez că toate următoarele principii sunt gândite pentru elevul începător în ale raţionamentului geometric din zilele noastre: elevul din primele clase gimnaziale (elevul situat în general la trecerea dintre stadiul operaţional concret şi stadiul operaţional formal, din teoria lui Piaget); elevul cu o obişnuinţă nativă pentru imagini concrete (obţinută duă atâţia ani de “stat pe telefon”), deci cu capacitate slabă de imaginare după text (o urmare evidentă a folosirii de la primele vârste a ecranului, de pildă cu filmuleţe gen TikTok), uneori având deja chiar analfabetism funcţional de text (în diferite faze); elevul cu o capacitate scăzută de atenţie (cauzată la fel de folosirea excesivă a ecranului), etc.

Înainte de a merge mai departe să revenim la un principiu general enunţat la începutul acestui episod, anume că orice drum nou, într-o nouă parte de materie, trebuie pornit de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic. La acestea ar fi de adăugat că la vârstele şcolare trebuie neapărat mers de la ceva deja cunoscut către cunoştinţele noi, deci pe scurt de la cunoscut la nou! Astfel, noile cunoştinţe şi abilităţi se construiesc pornind de la cele deja existente. O construcţie axiomatic euclidiană, plecând din start de la nişte abstracţiuni, se prezintă în mintea elevului ca o construcţie “plutind în aer”, oricum fără nici cea mai mică urmă de fundaţie de ordin psihologic (o fundaţie ştiinţifică, axiomatic euclidiană, reprezintă pentru mintea în formare a elevului de rând o abstracţiune fără efect).

Dar, oare care ar fi aspectele deja cunoscute pe care să se poată sprijini primele probleme de geometrie, ca pe “o fundaţie” solidă pentru judecata în formare a elevilor? Păi, problemele de calcul a diferitelor mărimi de unghiuri conectează ca idee de raţionament cu vechile probleme în text din clasele primare, doar că acelea erau prezentate pe diferite situaţii din viaţa de zi cu zi, pe când acestea sunt prezentate pe situaţiile din figurile geometrice. La fel ca la problemele de aritmetică, şi aici se lucrează tot cu numere (reprezentând nou învăţatele grade) şi folosind raţionamente cantitative de acelaşi fel (cu suma cunoscută etc.). Cu alte cuvinte, aici putem ajuta elevul în noua situaţie a figurilor geometrice, punându-l să facă oarecum acelaşi tip de raţionamente, cunoscute deja lui, doar că pe noile forme de cunoştiinţe.

Este clar că prin această “mişcare”, noile probleme geometrice sunt rupte de raţionamentul justificativ demonstrativ, care este adus doar ulterior, adică într-o a treia etapă. Rezumând deci gândurile de până acum în paşi de lucru, iniţierea elevului în geometrie se poate face în trei etape separate astfel: (I) însuşirea folosirii instrumentelor geometrice separat, pe desene premergătoare; (II) cunoaşterea pachetului de noţiuni noi şi legături dintre acestea, şi stabilizarea acestora, prin folosirea însă doar în raţionamente de tip aritmetico numeric, adică de calcul (deci doar cu măsuri de unghiuri); (III) de la probleme elementare de calcul numeric, la care justificările sunt colaterale, se face apoi trecerea la probleme de raţionament demonstrativ, adică la probleme în care justificarea preia locul central.

Iată în continuare şi principiile detaliate pe care le-am găsit în strădania mea de lămurire a acestei noi forme de abordare înspre problemele de geometrie.

Principiul 1): elevii înţeleg mai bine să răspundă unei probleme finalizată cu întrebarea CÂT? decât unei probleme finalizate cu întrebarea DE CE?. Altfel spus, elevii sunt deja obişnuiţi să abordeze probleme în care trebuie să calculeze ceva, finalizate cu un răspuns numeric. Problemele de demonstrat le sunt astfel total străine la începutul studiului pe figurile geometrice. Acestea trebuie deci lăsate pentru mai târziu! Ca urmare, primele fişe de lucru ar trebui să conţină doar întrebări de calcul a unui unghi, la paşii cărora elevii să fie obligaţi să scrie argumentarea, justificarea posibilităţii calculului respectiv. De-abia după ce gândirea argumentativă pe aceste figuri se stabilizează, de-abia apoi se pot cere şi demonstrări ale unor proprietăţi. În această direcţie, pentru început eu le dau ca “cerinţa b)” o întrebare de genul: -stabiliţi dacă …, întrebare deschisă, deci cu ambele răspunsuri posibile (Da!, respectiv NU!) alternând de la o problemă la alta. Doar apoi încep să le dau cerinţe gen: -demonstraţi că …

Principiul 2): elevilor le sunt accesibile problemele de calcul a unghiurilor, pe baza celor câteva proprietăţi deja învăţate (suma unghiurilor în triunghi, unghiurile în triunghiurile speciale, respectiv unghiurile de la bisectoare sau înălţime, la care se mai poate adăuga şi unghiul exterior, plus cele cunoscute dinainte, cum ar fi cele de la drepte paralele tăiate de o secantă etc.). Cu alte cuvinte, ca întrebări numerice, implicând un mic calcul (corespunzător problemelor de bază, cu text, din clasele mici, premergătoare celor cu metode evoluate), în acest moment sunt posibile doar problemele cu măsuri de unghiuri (problemele cu lungimi de laturi sunt mult mai grele, implicând de obicei algoritmi mult mai sofidsticaţi de lucru, gen teoremei lui Pitagora etc.).

Principiul 3): atenţia elevilor trebuie îndreptată direct şi total înspre figura geometrică, fără filtrul unui text, ei fiind obişnuiţi de la “telefoane” să primească informaţia preponderent ca imagine. Cu alte cuvinte, atenţia elevilor nu trebuie împrăştiată în mai multe direcţii, cum ar fi de pildă înspre un text în paralel cu figura geometrică: pe majoritatea elevilor textul îi sperie! Nici nu mai vorbim aici de sarcina suplimentară de a face ei o figură conform textului (sarcină care pe vremuri era de la sine înţeleasă), şi fără să mai discutăm de situaţiile când un elev are deja AF general, pe text. Astfel, cel puţin pentru început, problemele ar trebuie date elevilor fără text, doar sub formă de figură, pe care sunt trecute informaţiile date cât şi cerinţa (unghiul de calculat însemnat cu un semn de întrebare sau un x^o; eu le folosesc ambele, prima fiind mai intuitivă, a doua deschizându-mi porţi de evoluţie pentru viitor). Apoi, după câteva fişe şi după ce situaţiile se mai complică, figurile încep să fie însoţite de anumite adnotări, care prezintă şi alăturat informaţiile din figură, ceva gen lista cunoscută de la redactarea ipotezei şi a concluziei. Doar într-o a treia etapă evolutivă elevii ar trebui să primească probleme sub formă de text însoţit de figură. Apoi, în final pot să apară în fişele de lucru şi probleme neînsoţite de figură, la care deci elevii să fie nevoiţi să le facă un desen. După cum am atras atenţia şi în episodul precedent, acest principiu vine puternic în sprijinul copiilor cu AF, la care textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită.

Principiul 4): pentru început elevii primesc probleme doar pe baza câtorva proprietăţi, desigur cele mai simple, plaja acestora fiind apoi extinsă treptat. La început apar doar probleme cu suma unghiurilor in triunghi şi cu unghiurile diferitelor categorii de triunghiuri. În schimb, pentru a nu rămâne blocat în situaţii de clară banalitate, deci pentru a putea porni activarea gândirii, problemele trebuie să fie compuse din două triunghiuri cu latură comună, ca atare, sau ca un triunghi cu o linie interioară, sau cu un unghi exterior etc. Apoi pot apărea şi bisectoarea sau înălţimea, dar şi alte situaţii, cum ar fi o paralelă la o latură a triunghiului. În unele momente eu aş asemui acest principiu cu “legarea maionezei” (am putea să-l denumim chiar aşa: principiul maionezei).

Merită să dau aici şi câteva detalii suplimentare. În primul rând, trebuie clar precizat că la momentul când încep să dau şi cerinţe cu -demonstraţi că …, deja trebuie să fi introdus măcar forma cu lista laterală gen Ipoteză&Concluzie. Apoi, este evident că la studiul patrulaterelor pot include pentru început şi astfel de probleme. Oricum, de fapt multe dintre acestea se găsesc la EN8 incluse în Sub.II (de aici mi-a şi venit o parte din confirmare pentru această direcţie de lucru). Apropos: o altă sursă de inspiraţie o reprezintă multele postări de pe diferitele conturi de Facebook ale unor profesori din lumea largă; multe astfel de probleme prezintă doar o figură geometrică însoţită de un laconic -Find x^o (găsiţi x^o).

Nu am lămurit mai sus un anumit aspect, aşa încât trebuie să o fac acum. Triunghiul isoscel are pentru elevul începător, pentru gândirea sa intuitivă, două laturi congruente şi două unghiuri congruente. Aceste două proprietăţi trebuie delimitate clar cu interpunerea între ele a informaţiei de triunghi isoscel, şi trebuie să facem asta ca o “piesă de bază” în componenţa raţionamentului justificativ de format în gândirea elevilor. Astfel, eu le dau o “schemă logică” pe care le-o şi înrămez, cu cele trei componente: ‘două laturi egale’ ↔ ‘triunghi isoscel’ ↔ ‘două unghiuri egale’, explicându-le că trecerea de la ‘două laturi egale’ la ‘două unghiuri egale’, sau invers, se poate face doar trecând prin precizarea că este vorba de ‘triunghi isoscel’. Experienţa din aceşti ani îmi arată că aici trebuie insistant mai mult, momentul sfidând intens intuiţia lor (ei neînţelegând de ce trebuie să explice ceva evident).

Această observaţie este foarte importantă, teorema respectivă, care acţionează ca o clepsidră în ambele sensuri (oservată intuitiv), deschizându-ne astfel posibilitatea de a cere să demonstrăm o congruenţă de segmente lucrând însă doar în probleme cu calcule de unghiuri, însă la un nivel destul de accesibil gândirii elementare (operaţional concrete, cum îi spunea Piaget). Cu alte cuvinte, această dublă “teoremă” (ce frumos se vede, directă şi reciprocă) ne permite să obişnuim elevul la un nivel accesibil, intuitiv, dar totuşi riguros, cu ideea de “demonstraţie geometrică”, idee care apoi reapare la un nivel mult mai abstract în metoda triunghiurilor congruente (ca gândire operaţional formal, deci mai abstractă).

Un alt aspect important, legat de redactare, este următorul. Eu folosesc în continuare ambele forme de scriere, respectiv ambele cuvinte, atât EGAL cât şi CONGRUENT, alternativ când unul, când celălalt (totuşi preponderent semnul de “egal”). Fac asta din două motive combinate: în primul rând pentru a nu le cauza un stress în plus, combinat însă şi cu ideea de a-i obişnui totuşi de la început cu ideea de congruenţă. Apoi, rămâne la alegerea lor cum scriu fiecare; eu însă le folosesc alternativ pe amândouă, astfel încât ei să le cunoască pe amândouă (oricum nu ştiu de o decizie oficială pentru renunţareea la ideea de congruenţă).

Da, şi după ce elevii s-au obişnit pe această cale cu problemele de geometrie, cu raţionamentul de justificare, cu folosirea diferitelor proprietăţi (din definţii sau teoreme), concret cu faptul că ei trebuie să decidă ce astfel de proprietate trebuie folosită (asta înseamnă de fapt gândirea), trecând de la cerinţe de calcul la cerinţe de demonstrat, obişnuindu-se încet cu textul acestor probleme redactate într-un limbaj de-a dreptul abstract la început, obişnuindu-se în paralel cu privira duală text ↔ figură, respectiv numeric ↔. imagine, trecere ce implică conexiunea între emisferele cerebrale, după toate acestea elevii pot face pasul la demonstraţii mai abstracte, mai întâi la probleme bazate pe ceva mai accesibilele “mediana pe ipotenuză” şi respectiv “cateta opusă unghiului de 30^o, şi doar apoi la probleme prin metoda triunghiurilor congruente, probleme care nu se pot demonstra prin precedentele.

Aici, la introducerea metodei triunghiurilor congruente trebuie să mai prezint un principiu suplimentar (despre care am mai vorbit cu alte ocazii): dacă dorim să respectăm în continuare gândirea intuitivă a elevului mediu, totuşi începător (şi de ce n-am face-o?), atunci trebuie să oferim spre rezolvare cât mai multe probleme pe figuri NESIMETRICE, probleme care nu se încadrează în zona lui “SE VEDE” prin simetrie. Ca urmare, eu mă străduiesc măcar să echilibrez zona problemelor EVIDENTE (cu diferite simetrii clare) cu cât mai multe probleme NE-EVIDENTE. Primele sunt ceva mai uşoare, celelalte sunt ceva mai grele, având congruenţe mai greu vizibile pentru elevi.

Spuneam la începutul acestui text că lupta cu excesele înspre rezolvările reţetate de probleme, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun aparent în cazul metodelor aritmetice de rezolvare, măcar parţial, ci şi altfel, anume printr-o preîntâmpinare cu probleme mult mai accesibile, rezolvabile nereţetat, doar prin gândire. Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus introducerea în avans de problemele reţetate a unei părţi consistente de probleme accesibile gândirii elementare a elevului, respectând astfel un alt principiu important. Celor pedanţi le sugerez să adauge acest principiu la lista mai sus enunţată în introducerea problemelor de geometrie, anume principiul de creştere a dificultăţii problemelor de la banal la complicat, de la intuitiv accesibil la reţetat abstract, permiţând astfel marii majorităţi a elevilor să facă măcar câţiva paşi pe această scară a problemelor.

Desigur că totul în matematică este construit pe baza gândirii, doar că noi am ajuns să prezentăm la clasă de multe ori doar paşii superior de gândire, poziţionaţi mai sus pe această scară. Iar aici greşeşte masiv şcoala românească în cursa ei nebună după performanţă: îi neglijează total pe cei care nu pot urca din start pe acele trepte prea înalte (din diferite motive). Mai ales la problemele de geometrie plană, care sunt cele mai bune formatoare de gândire în general, noi trebuie să reintroducem pe această scară treptele iniţiale, trepte care probabil s-au pierdut de-a lungul timpului, copiii forţaţi fiind să sară direct la nişte trepte superioare (aceasta devenind actuala normalitate).

Nimeni nu poate propune excluderea rezolvărilor prin metoda triunghiurilor congruente, care este una riguros reţetată (deşi cunosc şi astfel de situaţii în lumea largă), dar putem introduce în schimb o parte consistentă de probleme rezolvabile pe bază de gândire intuitivă, cât mai puţin reţetată (deşi sunt de acord că vor fi oricum şi elevi care le vor învăţa ca pe nişte reţete). De fapt, despre asta este vorba în episodul de faţă. Iar apoi, începând din clasa a 7-a, cu răbdare şi tact, mai mulţi elevi vor putea învăţa restul de tipuri de probleme din geometrie, pentru că deja au stabilizate şi formate la un nivel de bază conexiunile sinaptice şi traseele neuronale de judecată pentru calcule şi demonstraţii pe diferitele figuri geometrice.

Autorităţile care organizează şi coordonează procesul educativ al matematicii şcolare trebuie să conştientizeze pagubele iremediabile produse de încălcarea principilor mai sus enunţate în mentalul general al populaţiei României. Îndrumând şi permiţând, chiar împingând profesorimea pe un drum al predării care nu respectă aceste principii, autorităţile se fac responsabile principale în acest proces care duce spre aceste procentaje năucitoare de AFM, ajunse la cote ce pun în pericol chiar securitatea naţională.

Nu pot încheia acest eseu fără a adresa câteva gânduri calde elevilor din clasele la care am predat aceste lecţii în ultimii trei ani şcolari. Mă gândesc acum mai ales la cei care mi-au transmis cu diferite ocazii că au înţeles, că au priceput la problemele respective, atât în cazul celor făcute la clasă, cât şi a celor date ca temă, încurajându-mă astfel cu feedback-ul lor (desigur inconştient). Şi, să fie clar, se încadrează aici atât elevi din vârful clasei, în cazul situaţiilor mai grele, dar mai ales copiii din plutonul central, cât uneori chiar şi elevi de la coada clasei (elevi care, cu ocazia acestor probleme, au urcat din categoria “dar eu nu pot matematică deloc” în categoria “dacă eram puţin mai atent luam 7 în loc de 6”).

Da, şi acum, “să începem şcoala” cu boicoturi, greve şi oricum cu câte cel puţin 20 de ore săptămânal. Va urma (sper, cât de curând)! CTG, (6 sept. 2025)

P.S. Înainte de postare doresc să îmi cer scuze pentru micul haos din acest ultim episod (dintre cele iniţial planificate). Pur şi simplu aşa arată gândurile mele în această fază; probabil că peste un an vor fi deja mult mai ordonate şi mai clarificate, dar nu am mai vrut să aştept, conştient fiind că orice situaţie îmbunătăţită pe baza acestor idei este mult mai valoroasă decât o prezentare bine pusă la punct. Deja la prima şedinţă cu părinţii din clasa a 6-a din această seară (10 sept. 2025), lucrurile arătau ceva mai clar. Închei această serie cu speranţă să fi reuşit a aduce câteva gânduri din preocuparea personală, care să ajute sau măcar să trezească preocupări similare la alţi colegi, pentru îmbunătăţirea situaţiei legată de AFM în ţara noastră.

Cu mai mult de zece ani în urmă am citit într-un articol (din păcate nepăstrat) despre situaţia dată la o testare naţională pe mai multe vârste în Elveţia (?), pe care o redau aici din amintiri (am redat-o de nenumărate ori, astfel încât este posibil să se fi denaturat intens de-a lungul anilor; sper totuşi să fi păstrat măcar un sâmbure de adevăr).

Problemă: Un cioban are 17 oi şi 6 capre. Ce vârstă are ciobanul? Neştiind ce să facă şi fiind total neobişnuiţi cu o astfel de situaţie, foarte mulţi elevi au adunat cele două numere, dând ca răspuns 23 ani (în clasele mici mai puţin, în clasele mai mari mai mulţi!, toţi concentrându-se să nu greşească la adunarea peste 20). Scandal mare, cu reproşul din partea învăţătoarelor că: -noi nu avem aşa ceva în programă, noi nu i-am pregătit pe elevi pentru aşa ceva! Povestea am auzit-o apoi relatată mai detaliat în 2015, de către dl. Peter Gallin (parcă unul din membrii comisiei care au dat minunata problemă), într-o conferinţă la care am participat în Elveţia, cu tema despre persoane “avariate matematic” (cum le spunea dânsul atunci; doar ulterior am aflat despre noţiunea de AFM, dar cele două se cam suprapun).

Apoi, peste un an sau doi (?) de la prima problemă, s-a dat următoarea variantă: Un cioban de 20 de ani are 17 oi şi 6 capre. Ce vârstă are ciobanul? Şi, din nou, dezastru naţional cu scandalul aferent: mulţi elevi, lucrând în viteză şi fiind obişnuiţi să socotească cu toate numerele din problemă, au dat răspunsul de 43 de ani, adunând direct cele trei numere. Din partea comisiei, doar “un simplu zâmbet” de genul q.e.d. (numerele sunt redate aici la întâmplare; nu am căutat situaţia pentru un citat oficial).

Este clar că autorii celor două “probleme” au vizat ideea de analfabetism funcţional în general, ţintind însă o manifestare a acestui fenomen în domeniul “problemelor matematice” pentru copiii de rând, adică al înţelegerii unui text cu întrebare de temă “matematică”. Pentru mine amintirea acelui articol, urmată de întâlnirea cu Peter Gallin peste câţiva ani, au constituit “momentul zero” în conştientizarea faptului că “aici există ceva”, ceva care a devenit ulterior în uzanţa generală termenul de analfabetism funcţional matematic.

În episoadele precedente am încercat să analizez fenomenul analfabetismului funcţional matematic, aşa cum “a venit” acesta către mine pe diferitele “canale de informaţie” (în anii ce au urmat “momentului zero” cu vârsta ciobanului. După cum am povestit deja, pentru mine s-au adunat ani buni de când încerc să înţeleg şi să caut rezolvări acestui fenomen, aşa încât tabloul “pictat” aici este mult mai complex decât forma găsită în diferitele articole de presă de pe net, care se rezumă la situaţia AFM scoasă în evidenţă prin Studiul PISA.

Astfel, am explicat că de fapt există două forme de manifestare a AFM. Pe de-o parte există incapacitatea unora de a aplica gândirea tipică matematicii, cât şi cunoştinţele aferente acesteia, în situaţii din afara matematicii, cum sunt de pildă unele probleme propuse spre rezolvare în testele PISA. Eu am denumit această formă drept analfabetism funcţional matematic exterior (AFM-ext).

Pe de cealaltă parte, eu am observat incapacitatea multor elevi de a aplica într-o situaţie matematică nouă, “nebătătorită”, de a aplica gândirea raţională în general, cât şi cunoştinţele aferente învăţate în alte situaţii, în alte lecţii sau capitole ale matematicii. Aceste situaţii sunt mult mai des întâlnite în viaţa matematicii şcolare. Eu am denumit această formă drept analfabetism funcţional matematic interior (AFM-int).

În ambele situaţii este însă vorba despre deficienţe majore în capacitatea de gândire pe situaţii noi, nemaiîntâlnite, cât şi de transfer a cunoştinţelor şi abilităţilor anterior dobândite, înspre folosirea acestora într-o situaţie nouă,  într-o situaţie nemaiîntâlnită. Ideea cheie, “numitorul comun” ar fi de fapt incapacitatea de a face faţă cu succes într-o situaţie nouă, nemaiîntâlnită.

Astfel, am explicat că aceste două forme de AFM reprezintă de fapt doar două faţete ale aceluiaş fenomen, anume concentrarea exclusivă pe învăţarea unor rezolvări “tip” prin dresură automaticistă, dar de fapt neînsoţită de înţelegerea profundă a situaţiei respective. Astfel, de obicei se pune accentul pe “a şti să faci”, nu pe “a înţelege ce faci” în profunzime, cu adevărat, neglijându-se astfel învăţarea şi obişnuirea creierului pentru pătrunderea situaţiei pe care o are de rezolvat.

Fenomenul are loc datorită faptului că durează mult mai mult să-i faci pe toţi elevii să le înţeleagă – mai ales în zona problemelor grele, preferându-se varianta mai rapidă de a le arăta rezolvarea şi a-i pune “să o înveţe”. Iar de aici, fiecare cu ce-l duce mintea că înseamnă “să o înveţe” (pe elev sau pe cei din anturajul său), de obicei această sarcină traducându-se în “să o înveţe pe de rost”. Cât despre ce înseamnă probleme “grele”, aici am avea o lungă şi detaliată discuţie (pentru care nu am prevăzut spaţiu). Mă rezum însă acum la a preciza că “probleme grele” vrea să însemne aici orice nivel peste cel de intuiţie elementară accesibile oricărui elev, anume orice trebuie deja explicat elevului de rând, pentru că altfel nu ştie ce să facă.

Aceste rezolvări “tip” se fac la clasă, acestea se dau la temă şi acestea sunt apoi incluse în evaluare, ducând astfel – ca efect colateral – la situaţia că persoana care a învăţat în acest fel nu va fi în stare să rezolve o situaţie nouă, o situaţie de altă formă decât cele de tipul învăţat, indiferent dacă această situaţie nouă este din afara matematicii şcolare, sau numai din afara lecţiei sau capitolului studiat, sau în genaral din afara plajei de probleme şi situaţii pregătite.

Ca urmare, am explicat că putem lupta împotriva AFM, putem preveni sau chiar vindeca AFM mai uşor în interiorul al matematicii, adică în cadrul orelor şi a programei oficiale îndreptându-ne atenţia spre AFM-int, acolo unde “ne pricepem” mai bine, decât încercând să luptăm ţintit cu AFM-ext, care este clar în afara “zonei noastre de confort” profesional.

În episoadele 3 şi 4 am arătat cum putem lupta cu formarea AFM-int în cadrul momentelor de predare a noilor conţinuturi, dar mai ales în partea foarte mare de exerciţii şi probleme (de la clasă sau de la teme). În acest sens am arătat că ne întâlnim cu două tipuri de abordări. Pe de-o parte sunt cei care consideră şi antrenează doar formele de rezolvări reţetate. Pe de cealaltă parte, sunt cei care consideră că este sănătos un mix just între cele două tipuri de rezolvare (rezolvările reţetate antrenate până la nivel de automatism, dar şi combinate cu momentele de gândire pe situaţii nepregătite anterior); eu mă număr printre aceştia.

Dacă judecăm drept, în orice capitol sau parte a matematicii ar trebui de fapt amânate pe cât posibil introducerea situaţilor reţetate, dând prioritate clară situaţilor de rezolvat prin simpla gândire, prin activarea şi folosirea gândirii logice a majorităţii elevilor. Am spus “amânate“, conştient fiind că nu merge lucrat doar pe bază de gândire pură; e clar că de la o vreme multe forme de rezolvare ajung să fie reţetate, întrând pe filiera învăţării pe de rost automaticiste. De fapt obiectivul predării noastre ar trebui să fie găsirea unei forme care să îmbine “cu drepturi egale” cele două forme de rezolvare, cele gândite şi cele reţetate.

O altă direcţie de discuţie a fost întrebarea despre cine se face mai vinovat de împingerea elevilor înspre o formă excesivă de învăţare pe de rost a reţetelor de rezolvare? Să fie programa oficială, sau dascălii prea ambiţioşi, să fie învăţătoarele până în a 4-a sau profesorii de matematică începând din a 5-a? Sau poate au o vină serioasă în acest sens chiar şi părinţii în mod individual sau societatea şi tradiţia noastră în general? Realitatea este că am întâlnit argumente serioase în toate direcţiile, şi nu mi-am propus un clasament al acestora.

Undeva la zona de interferenţă între aceste surse de influenţă se află renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor (să le prescurtăm pentru eficienţa textului cu MAR). Legat de acestea aş dori să vă prezint cum a evoluat gândirea mea în ultimii zece ani, trecând prin toate stările posibile în strădania mea de a înţelege “cum ar trebui făcute lucrurile”. Şi le voi oferi în mod cât mai “telegrafic”, prezentând însă ideile în ordinea în care au apărut în viaţa mea (deci cât de cât cronologic), dar rupte una de cealaltă (aşa cum s-au şi întâmplat). Să purcedem deci la depănarea acestor amintiri.

În manualul de clasa a 5-a din anii ’80, valabile şi la începutul anilor ’90, atunci când mi-am pornit munca de profesor, MAR erau prezente, dar eu, în îngâmfarea mea de tânăr absolvent nu le dădeam mare atenţie, fiind convins de superioritatea punerii în ecuaţe. Cred că mulţi cunoaşteţi fenomenul.

Apoi, probabil odată cu manualele alternative, MAR au dispărut din materie, deci nu au mai fost în zona mea de acţiune, rămânând “o chestiune pentru învăţătoare”. către care eu doar mă uitam cu “superioritatea” specialistului în ale matematicii: noi, profesorii puneam în ecuaţie!

Spre finalul anilor ’90 “mi-au căzut în mână” nişte manuale vechi din Germania şi din Austria (din finalul anilor ’80), ajunse aici pe filiera “ajutoarelor” de diferite feluri din primii ani după schimbarea din 1990. În acestea am găsit o sumedenie de probleme frumoase “de pus în ecuaţie”, confirmând părerea mea, unele dintre ele dintr-o zonă necunoscută mie, anume a “problemelor istorice”, probleme vechi, unele chiar cu dată de origine (a cărţii originale de unde erau culese). Erau amestecate, unele de pus în ecuaţie (deci cu o necunoscută), altele de pus în sistem (de obicei cu două necunoscute). Am strâns în acea perioadă o colecţie consistentă cu astfel de probleme, descoperind cu această ocazie latura mea de colecţionar înfocat.

Fenomenul a fost atât de “avântat”, încât am început să compun şi eu probleme, unele cu un adevărat farmec. Dau aici un singur exemplu în acest sens: Bulă are cu 27 ani mai mult decât fiul său Bulănel şi cu 32 mai puţin decât tatăl său Bulău. Suma vârstelor celor trei este 14 ani. Aflaţi vârsta fiecăruia. Colecţia respectivă a fost inclusă într-o mică “culegere” din 2000, supliment la Caietele de matematică P3NT4GON1A din acea vreme.

În primăvara lui 2005 am avut o întâmplare edificatoare (pe care nu o prezint aici, ieşind cu totul din context şi fiind prea lungă), ocazie cu care am concluzionat că s-a întâmplat “ceva în ultimii 5 ani”, că elevii nu mai gândesc (aşa am şi verbalizat eu atunci fenomenul). Iar acest “ceva” s-a întâmplat simultan pentru majoritatea, în sensul că i-a prins pe fiecare generaţie la o altă vârstă (deci s-a întâmplat într-o perioadă scurtă pentru toţi). Nici până în ziua de azi nu ştiu sigur ce a reprezentat acel “ceva” (fenomen despre care nu am citit niciunde; se pare că sunt singurul care l-am observat), dar bănuiesc că e vorba despre “ceva” din zona efectelor ecranului (TV la acea vreme), respectiv a televiziunilor comerciale asupra copiilor. Cunosc în acest sens o teorie conform căreia la cca. 15 ani de la introducerea televiziunilor comerciale într-o ţară apar efecte ciudate asupra întregii populaţii de copii/ tineri (iarăşi, îmi cer scuze că nu o prezint aici nici pe aceasta, fiind prea îndepărtată de subiectul nostru). Pentru mine următorii zece ani au fost caracterizaţi din acest punct de vedere de o mută căutare înspre înţelegerea fenomenului, “căutare” care aducea însă mai degrabă a “orbecăială”.

Între timp, odată cu trecerea anilor puteam observa doar că fenomenul se accentua. Poate şi odată cu conferinţa “deschizătoare de ochi” a lui Peter Gallin din toamna lui 2015, încet dar sigur în sufletul meu a apărut gândul că “trebuie să fac ceva” pentru a recupera gândirea elevilor, că trebuie să întreprind acţiuni concrete formatoare de gândire, de vreme ce aceasta nu mai este prezentă “de la sine” la noile generaţii. Astfel, în anul şcolar 2015-2016 am început să cochetez concret cu vechile MAR, sperând că de la acestea să vină un ajutor de formare a gândirii. Da, eu care râdeam pe vremuri de cei care le practicau, mă întorceam acum plin de speranţă către acele metode vechi de rezolvare, pe care le-am (re)-introdus în predarea mea din anul 2016-2017 într-o primă formă experimentală (reamintesc că lucrez la o şcoală alternativă – Liceul Waldorf – şi am o oarecare libertate de acţiune, dar şi o clară datorie în sensul unei predări sănătoase). Nu am prea multe impresii din acel an, despre eficienţa acestora ca metodă formatoare de gândire. Doar adunam experienţă, fiind însă convins că sunt “pe drumul bun”. Oricum, aveam satisfacţia că în sfârşit “fac ceva”.

În aceste condiţii, nu mică mi-a fost surpriza când le-am văzut incluse în noua programă din februarie 2017. Pur şi simplu am fost foarte bucuros de situaţie, chiar mândru de inspiraţia mea premergătoare.

Să analizăm puţin şi care a fost contextul mai larg, mai exact cum au fost repoziţionate “forţele de lucru” în noua programă, în contextul acestei introduceri. Mă refer aici desigur la mutarea în paralel a lecţiei de introducere a ecuaţiilor din clasa a 5-a la începutul clasei a 6-a. Era evidentă indicaţia ca aceste probleme aritmetice să nu se facă prin punere în ecuaţie, ci doar prin MAR. Nu a existat o explicaţie oficială, dar mă pot gândi la ceva similar cum a evoluat mişcarea făcută de mine, ceva de genul “formarea gândirii”. Vom analiza puţin mai jos cum a fost preluată această “politică”, respectiv de fapt cum a fost sau nu respectată.

Am şi o amintire ciudată din finalul acelui an şcolar, o discuţie “în pauză” la Consfătuirea Didactica Matematicii (cândva în mai-iunie 2017), cu un coleg profesor, despre reintroducerea MAR în clasa a 5-a din toamna următoare. Astfel, dânsul se plângea intens despre noua introducere, spunând că: -la fiecare trebuie o oră în care să introduci metoda, plus exemple şi aplicaţii …. numai de astea nu aveam timp.

Am încercat puţin să-l contrazic, pe baza experienţei din toamna trecută, când “furasem startul” involuntar, dar m-am lăsat repede păgubaş. Era clar că eu vedeam totul relaxat, prin prisma predării prin problematizare, pe când dânsul se gândea că trebuie să le explice ad-literam fiecare metodă în format teoretic. Poate eram şi mai subiectiv, pe ascuns fiind desigur implicat şi entuziasmul meu în urma ideii, ca o premoniţie, avute faţă de introducerea acestor MAR înaintea programei (despre apariţia căreia habar nu am avut cu un an în urmă).

Astfel, în anul şcolar 2017-2018, când toţi profesorii începeau să-şi actualizeze amintirile despre acestea, eu eram deja “încălzit” în sensul lor. Lucram intens şi “băgam din greu” cu copiii din noua clasă a 5-a astfel de probleme (cam abandonasem preocuparea principală, ideea de punere în ecuaţie în clasele 6-7). Pe lângă probleme din vechea colecţie, adăugasem şi altele noi, din cărţi în limba română. De pildă, făcusem o fişă cu o problemă cu găini şi iepuri (cu capete şi picioare) din Descoperirea în Matematică, a lui din George Pólya, dar şi o fişă cu problema cu gânsacul şi cocostârcul din Matematica Distractivă a lui B.A. Kordemsky, foarte frumos povestită şi prezentată, ambele de dat acasă ca ghidare. Desigur că şi prin vechile cărţi ale doamnei Ivanca Olivotto mi-am petrecut căutările.

Totodată, ţin minte că am reuşit să reactivez atunci din amintiri o veche problemă găsită prin 1996 în Germania (şi despre care pierdusem unde am notat-o), ceva cu jumătăţi de cai, şi făceam spectacol cu aceasta: se părea că rezolvarea prin metoda mersului invers era mai sigură decât punerea în ecuaţie. O redau aici: Câţi cai sunt în alaiul împăratului ştiind că la caleaşca sa sunt jumătate din numărul total de cai şi încă jumătate de cal, la caleaşca împărătesei jumătate din caii rămaşi şi încă jumătate de cal, iar la caleaşca servitorilor jumătate din restul cailor şi încă jumătate de cal, şi mai e încă un cal la conducătorul de alai? Şi D-na Olivotto avea aşa ceva, însă cu jumătăţi de pâne, ceea ce era mult mai puţin spectaculos. Multă senzaţie am făcut în acei ani cu problema respectivă, dar, după cum am aflat mai târziu, şi multe pagube în sufletul copiilor (o elevă care a dat EN vara asta, cu destul de bune rezultate la matematică, mi-a povestit cum “a marcat-o” negativ acea problemă, pentru că ea iubeşte poneii, şi foarte greu a mai refăcut legătura cu matematica).

În 2018-2019 nu am avut clasa a 5-a, dar am reluat preocupările în toamna lui 2019 cu o nouă clasă. Astfel, deja destul de repede au început să apară primele observaţii care îmi arătau că lucrurile nu sunt chiar în regulă. Concret, observam efecte negative neaşteptate; situaţia nu se ridica la nivelul aşteptărilor (în puţinii ani cât am avut până la neaşteptata pandemie). Deci, ce observam? Elevii toceau – care cât şi cum putea – diferitele metode, atmosfera din clasă era plină de stress, fiind caracterizată de o creştere puternică a fricii şi spaimei de matematică, şi asta chiar din startul activităţii împreună, adică de la începutul clasei a 5-a când de-abia ne cunoşteam. Şi cel mai rău: EU, ca profesor de matematică eram cel care le aduceam această “teroare”, eventual chiar le confirmam părerea că matematica e de neînţeles, e grea şi de fapt nu poate fi făcută, că matematica e “naşpa!” şi îi poţi supravieţui doar prin pură “toceală” şi învăţare pe de rost.

Da, iar apoi a venit pandemia şi am fost trimişi acasă într-o ciudată zi de 10 martie 2020 (parcă era într-o marţi; da’ ce contează?). Am stat eu aşa o săptămână, chiar două, savurând neaşteptata vacanţă, dar apoi m-am gândit să folosesc la ceva această perioadă. Şi, printre multe alte proiecte, m-am apucat iar de lecturat vechile manuale din Germania şi Austria (la care se mai adăugaseră între timp şi altele, inclusiv din Elveţia, deci toate în germană, eu fiind fluent în această limbă). Da, iar la colecţia respectivă se adăugase cândva înainte de 2019 şi Algebra lui Leonard Euler (secolul XVIII, dar într-o re-editare de pe vremea lui Hitler, deci în scriere gotică adevărată), carte care de fapt a stat la baza punerii în ecuaţii.

Doar că de data asta, pe lângă noi probleme pentru colecţia mea, căutam ţintit dacă “nemţii ăştia ciudaţi” fac aceste probleme şi prin metode aritmetice, sau numai prin punere în ecuaţie. Da, şi rezultatul a fost foarte clar: în manualele nemţeşti totul se făcea doar prin ecuaţii. Astfel, în clasa a 6-a apăreau ecuaţiile, iar începând din clasa a 7-a peste tot probleme de pus în ecuaţie sau în sisteme de ecuaţii. Precizez aici că aceste vârste corespund vârstelor de a 5-a respectiv a 6-a din sistemul actual românesc (care mai are şi clasa pregătitoare la început).

M-am uitat şi în puţinele cărţi nemţeşti găsite pentru clase mai mici şi peste tot apăreau doar probleme cu text ce puteau fi făcute prin simpla gândire elementară a elevului de vârsta respectivă, Nici cea mai mică urmă de “metodă” de rezolvare (nici vorbă de îmbârligături gen metoda falsei ipoteze sau altele de felul ăsta). Doar probleme în care elevul rezolvitor să poată decide el singur ce are de făcut (mă gândesc acum că şi în aceste condiţii tot apăreau şi la ei sincope de genul cu vârstele ciobanului, dovadă că şi în aceste condiţii tot apare impulsul de a nu gândi, ci de a face automat, la fel ca la clasă).

În paralel, în toţi aceşti ani (înainte, dar şi după pandemie) am început să observ şi situaţia învăţătoarelor din acest punct de vedere: multe dintre dânsele neînţelegând de fapt fenomenul şi făcându-le de formă şi de obligaţie (că sunt în programă, că se dau la EN4 etc.). Am început să mă uit şi “în sus”, adică la ce şi cum se făceau în facultăţi (PIPP – Profesor de învăţământ primar şi preşcolar). Nici acolo nu vedeam altceva decât stress şi învăţat pe de rost a diverselor rezolvări pentru examene. Privind acum în urmă, pot să spun că totul se încadrează în direcţia generării de AFM la elevi (începând chiar şi din facultate la viitoarele învăţătoare). Cât despre culegeri şi alte auxiliare, nu are rost să mai vorbim: doar surse de generare a AFM în toate părţile. Am primit în acest sens odată o problemă de la un părinte, dată de învăţătoare dintr-o culegere, o problemă de nicicum n-am putut-o face fără ecuaţie (eu ca profesor). Păi, ce să facă copiii la aşa ceva?

Iată şi o observaţie din ultimii doi ani. În cazul copiilor cu AF (analfabetism funcţional în general), problemele date în text reprezintă evident o “barieră de netrecut”, o provocare prea grea pentru ei, care-i împiedică să-şi dovedească capacităţile de gândire matematică. Astfel, ţin minte o discuţie cu mama unui elev, care a observat că copilul ei poate rezolva toate aceste probleme, cu condiţia să i le citească ea (nu trebuia să i le explice, ci doar să i le citească). În acel moment mi-am adus aminte şi despre o situaţie relatată de învăţătoarea fiicei mele, care povestea despre o fetiţă cum ştia să rezolve imediat ce-i citea altcineva textul. Şi aceasta este o observaţie importantă, anume faptul că uneori – mai ales la copiii cu AF – textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită. În episodul următor voi vorbi intens despre acest aspect.

Dar, să revenim la situaţia MAR din şcolile româneşti şi să analizăm puţin care este de fapt forma practicată mai ales în şcolile “de excelenţă”. Pentru că ce se întâmplă în aceste şcoli, sau chiar şi în unele auxiliarele, nu prea seamănă cu ce ar trebui să fie, cel puţin în mod oficial cuprins în programă. Practic, din prima oră a clasei a 5-a elevii rezolvă diversele probleme prin punere în ecuaţie, şi o fac fără mari probleme, pentru că de fapt lucrează prin ecuaţii chiar din clasele primare. Interesant este că o fac printr-o formă care seamănă cu cea căreia eu îi spun “metoda balanţei” (cea cu bara verticală la sfârşitul ecuaţiei şi aplicarea unei operaţii la alegere pe ambii membri ai ecuaţiei). De-abia mai târziu încep să mute “în partea cealaltă cu semn schimbat”, deşi elevii nu ştiu clar ce înseamnă asta. Acest stil de rezolvare nu este însoţit de o lecţie despre ecuaţii, dar metoda este de fapt prin ecuaţii.

Chiar mai mult, de la o vreme apar şi probleme cu două necunoscute, ce ar implica un sistem de ecuaţii, dar rezolvările oferite ocolesc cu abilitate ideea de două necunoscute, elevii făcând fără să-şi dea seama o substituţie “din mers”. Da, şi să nu-mi spună cineva că situaţia nu este cunoscută la nivel superior. Se pare că numai profesorii din clasele de rând respectă ordinea şi metodele din programă.

Dar, haideţi să analizăm puţin aceste metode aritmetice de rezolvare (MAR) individual (să facem această analiză pe baza listei oficiale din programă, pentru că în alte surse am găsit şi alte metode). Mai exact, eu de la început am făcut diferenţa între respectivele metode, clasificându-le pe nivele diferite de aplicabilitate la diferitele nivele de elevi, practic în funcţie de nivelul de intuitibilitate al fiecăreia, deci cât de accesibile sunt acestea gândirii iniţiale a elevului. Şi precizez că preocuparea pentru această clasificare a apărut de fapt cam de la începutul reluării, deci pentru mine de prin 2016. Mai exact, această clasificare m-a însoţit pe toată durata procesului descris mai sus. Cu o singură diferenţă: eu din start nu am inclus în lecţii metoda comparaţiei, pentru că de fapt aceasta reprezintă metoda reducerii de la sistemele de ecuaţii, prezentată camuflată într-o MAR, fiind pentru elevii de rând clar mult prea îmbârligată.

În rest, ordinea gândită de mine este identică cu cea din programă. Practic, metoda reducerii la unitate pare cea mai intuitivă. Deja metoda figurativă este ceva mai abstractă, necesitând o reprezentare “grafică” a mărimii cantităţilor din problemă, cerând din partea elevului rezolvitor realizarea unui transfer din zona numerică într-o imagine corespunzătoare, deci reprezentarea mărimilor sub forma unor segmente a căror lungime relativă să reflecte situaţia numerică din problemă. Legat de această metodă, mi-a ajuns cândva “la urechi” următoarea situaţie. O doamnă medic a fost întrebată dacă are amintiri negative din matematica şcolară. Răspunsul a implicat două momente, primul fiind din clasele primare, de la acele probleme ciudate la care trebuia să deseneze segmente. Pot traduce aici că (cel puţin la acea vreme) eleva respectivă nu reuşea încă să facă conexiuni bune între emisferele cerebrale, fiind deja setată pe învăţarea unor reţete numerice şi de paşi, amintirea respectivă vorbindu-ne despre frustrarea imensă provocată de dificultatea aplicării noului tip de gândire. Concret, aici nu mai putea învăţa “pe de rost” pentru că la fiecare problemă situaţia este diferită, fiind nevoie de gândire în stabilirea formei segmentelor respective. Iar eleva respectivă încă nu gândea când au apărut problemele cu pricina.

O metodă destul de logică per ansamblu, dar mult mai dubioasă pentru elevul de rând o reprezintă metoda mersului invers. Experienţa îmi arată că puţini elevi reuşesc să o urmărească până la capăt, astfel încăt să o şi pătrundă cu adevărat cu gândirea lor; pur şi simplu nu au atenţia necesară pentru aşa ceva, fără să mai discutăm cât de tare le mai îmbârligăm noi, profesorii. Metoda falsei ipoteze este din acest punct de vedere clar cea mai abstractă pentru elevii obişnuiţi, deşi elevii de vârf o cuprind destul de bine (elevii conducători dintr-o clasă eterogenă). Eu aici fac cel puţin pe 2-3 exemple cu câte două rezolvări cu falsă ipoteză (în jos sau în sus), povestindu-le elevilor că mă joc aici “de-a Dumnezeu” care le repartizează animalelor picioare, la început tuturor câte două, iar apoi … Am dubii despre eficienţa metodei, pentru că oricum sunt doar puţini care mă mai înţeleg.

În general, la ora actuală elevii nu au curiozitatea şi interesul de a pătrunde aceste probleme; ca atare nu au nici dorinţa de a se conecta cu raţionamentul acestor rezolvări, care este mult prea complicat pentru disponibilitatea lor. Drept urmare logică, pentru situaţile când nu pot refuza aceste rezolvări, de obicei apare impulsul de a le învăţa pe de rost, fapt ce duce clar spre AFM. Fenomenul este mai scăzut la prima metodă, întrebarea “cât costă un caiet?” fiind mult mai naturală decât întrebările de la celelalte. Cu cât urcăm apoi pe această listă, cu atât “punerea problemei” este tot mai abstractă, tot mai îndepărtată de zona de raţionament uzual al marii majorităţi a copiilor. Ca urmare, cu cât avansăm pe această listă de rezolvări, cu atât avem un grad mai mare de formare a  AFM.

Simţind oarecem acest adevăr, în aceşti ani eu de fapt m-am concentrat la clasele avute doar pe primele două metode pentru toţi elevii, urcând apoi doar pentru cei mai buni la următoarele două. În ultima vreme metoda falsei ipoteze doar am predat-o, dar nu am dat-o şi la teste. În schimb, chiar din 2017 am inclus, înainte de acest pachet de patru metode din programa oficială, un pachet de probleme pur intuitive, cărora nu le dau defel reţetă, organizate pe număr de paşi de efectuat (probleme cu un pas; apoi cu doi paşi şi în final cu trei paşi de rezolvare). La acestea trebuie ca elevii să stabilească ce au de făcut, eu străduindu-mă în prealabil doar să le aleg în forme cât mai diferite. În perioada de după pandemie acest pachet de probleme prealabile a căpătat o tot mai mare importanţă, eu preferând să-i pun astfel să gândească, decât să trecem direct la reţete.

Legat de interferenţa cu părinţii, merită să amintesc aici şi o întâmplare ciudată din urmă cu patru ani, de la una din clasele care au terminat acum clasa a 8-a (ca să înţelegeţi de ce sunt uneori atât de vehement împotriva dânşilor). Una din mămicile acelei clase îmi era şi colegă (profesoară de biologie). Într-o zi vine şi îmi spune: -nu-ţi poţi închipui ce e pe grupul părinţilor (de WhatsApp): nimeni nu ştie cum se fac, ca să-i ajute, iar careva a postat o rezolvare, iar acum toţi îi învaţă pe copii rezolvarea aia. Încercând să înţeleg despre ce era vorba, am priceput că de fapt acel părinte postase o rezolvare prin regula de trei simplă, pentru problemele gândite a fi rezolvate prin reducerea la unitate. Reacţia mea a fost pe măsură: nu am spus nimic, dar nu le-am mai dat test din acest capitolaş. Mult mai târziu am evocat doar întâmplarea la o şedinţă.

Haideţi SĂ REZUMĂM la un nivel ceva mai obiectiv această ciudată înşiruire de întâmplări, de gânduri şi de paşi evolutivi ai poziţiei mele faţă de aceste metode aritmetice de rezolvare a problemelor, prescurtate aici ca MAR.

0) Precizez aici impulsul meu “mut” de a folosi pentru acestea denumirea din germană, anume: Textaufgaben, deci “probleme în/ cu text”, aspect care ne duce la prima concluzie: aceste probleme sunt din start inaccesibile elevilor cu analfabetism funcţional general, deci pe text, chiar dacă aceştia de fapt gândesc sănătos matematic.

1) Revenind la gândirea matematică, aceste MAR sunt puternic formatoare de AFM într-un grad mai mic sau mai mare (de obicei foarte mare), nivelul evoluând de la una la alta, dar şi în funcţie de capacitatea diferiţilor elevi de “a se imersa” într-un raţionament adus artificial de către profesor (de fapt de “incapacitatea” de a fi atenţi prea mult pentru un raţionament prea complicat). Obiectivul MAR de a forma gândire raţională prin prezentarea şi însuşirea unor modele de raţionament, este total eclipsat de către impulsul general de învăţare pe de rost a rezolvărilor, cu un efect răvăşitor de formare a AFM la scară generală. Concret, eu nu ştiu nici măcar o persoană adultă care să le fi adus laude, care să afirme că l-au ajutat în formarea gândirii logice. Pentru cei curioşi sunt bune ca exemple de raţionament, dar ridicate la statut de obligativitate generală, MAR produc pagube uriaşe la nivelul marii mase a populaţiei. Analizând realist situaţia, putem afirma că acestea formează AFM la mult peste jumătate din populaţia şcolară. Situaţia se mai redresează doar prin “efectul reparator” al diferitelor alte lecţii, dar şi al apariţiei ulterioare a metodei punerii în ecuaţie, pe care cumva mulţi elevi şi-o însuşesc în conexiune cu pregătirea examenului de EN.

2) Legat de aceste gânduri avem şi următoarele: MAR nu sunt obligatorii la examen, deoarece până acolo se învaţă mult mai accesibila rezolvare de punere în ecuaţie. Ca urmare cade şi argumentul că “ar fi necesare la examen” (chiar şî la EN). La problemele din această zonă, toţi elevii care le pot face, le cam fac prin ecuaţii; foarte puţini le mai fac prin “tot felul de raţionamente ad-hoc”; de când corectez la examen eu nu am întâlnit rezolvări prin metoda falsei ipoteze sau metoda mersului invers, sau metoda comparaţiei. Or fi apărând, dar eu nu ţin minte să le fi întâlnit. Cât despre metoda reducerii la unitate sau metoda figurativă, aici nu pot fi atât de sigur, dar nici nu am amintiri în acest sens.

3) Acolo unde pot, unde şi-au găsit “scăpare” şi “protecţie locală”, profesorii le refuză, înlocuindu-le din start cu punerea în ecuaţie (poate pe baza că o fac într-o primă fază colegele învăţătoare). Precizez aici că metoda punerii în ecuaţie nu este generatoare de AFM dacă este aplicată corect, adică pe multe probleme la început accesibile tuturor elevilor (las ca temă de gândire această afirmaţie).

4) Eu nu aş avea tupeul să aduc aici mica mea cercetare pe cele câteva manuale din ţările nemţeşti la nivel de argument, dar la nivel de Minister ar trebui să se ocupe cineva de acest aspect. Oare astfel de rezolvări se mai fac undeva in lumea largă? Iar dacă nu, totuşi de ce sunt ceilalţi de obicei mai avansaţi ca noi în mai toate domeniile pozitive ale vieţii? De pildă, de ce au nemţii “aşa maşini şi aşa autostrăzi”, dacă nu fac MAR la şcoală?

OK! Şi, ce facem în aceste condiţii? Dacă vă este frică de concluziile prea drastice ce le voi exprima, mai citiţi încă o dată toate cele povestite până aici. Spun asta pentru că concluziile pot merge doar într-o direcţie, anume a eliminării acestora din viaţa matematicii şcolare româneşti, cel puţin a eliminării parţiale şi a înlocuirii cu rezolvările prin ecuaţii.

Şi, precizez aici: în momentele când diferite persoane cer descongestinarea materiei la matematică prin scoaterea unor lecţii, eu de obicei mă opun, considerând că materia poate fi accesibilizată celor mulţi prin alte căi, cum ar fi o predare mai adaptată, probleme şi aplicaţii pe măsura majorităţii, dar şi o ordine mai potrivită a lecţiilor. Aici însă, argumentele împotriva MAR sunt răvăşitoare! Singura întrebare care se poate pune în discuţie este în ce format să se facă această excludere?

Părerea mea este că, privite în bloc, MAR trebuie excluse din materia obligatorie, atât din gimnaziu, cât şi din clasele primare. Apoi – odată “date afară din materie”, însă momentan scoase doar “pe coridor” – putem analiza politica educaţională în ceea ce le priveşte, putând apoi reveni la o repoziţionare a acestora, însă doar individuală, nici vorbă “la pachet”. Să analizăm deci o posibilă astfel de repoziţionare individuală a acestora în materia şcolară.

În clasele mici problemele de aritmetică ar trebui să fie cât mai puţin reţetate (deci problemele în text), rămânând în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând, pentru a da timp minţii în formare să se adapteze cu combinarea celor două mari sarcini: înţelegerea textului şi gândirea pe un raţionament. În acest sens atenţionez că presiunea materiei este şi aceasta un mare şi puternic cauzator de AFM. Deci, în clasele mici problemele ar trebui să fie începute clar într-o zonă de pură gândire, fără reţete, zonă în care elevii ar trebui să petreacă cel puţin un an întreg. Şi să ştiţi că am întâlnit culegeri care lucrează în acest sens.

Doar apoi s-ar putea merge înspre anumite reţete, însă doar cu conştienţa faptului că trebuie să venim cu forme accesibile majorităţii elevilor. Astfel, în acest sens ar putea intra metoda reducerii la unitate, metoda figurativă şi eventual metoda mersului invers, la toate însă cu adaptarea nivelului de probleme în formate accesibile elevilor din clasele concrete. Practica problemelor grele, de vârf, date ca temă întregii clase, ar trebui interzisă (nu se gândeşte nimeni să se instituie o “poliţie a matematicii şcolare”?). Metoda comparaţiei şi metoda falsei ipoteze nu ar avea ce căuta aici, dar nici ca atare în gimnaziu, fiind ambele adresate problemelor cu două sau mai multe necunoscute (şi la metoda figurativă apar două necunoscute, dar acolo situaţia este “sub control”, fiind măcar mult mai “vizuală”, mai “desenabilă”). Problemele corespunzătoare vor trebui să aştepte până când se vor putea rezolva prin ecuaţii, respectiv prin sisteme de ecuaţii.

Astfel, chiar din modulul I din clasa a 5-a ar trebui introduse ecuaţiile pentru toţi copiii (dar într-un format accesibil majorităţii), urmate imediat ca aplicaţii şi de probleme cu text. Problemele respective ar trebui apoi să însoţească materia tot timpul în continuare, desigur adaptat posibilităţilor elevilor, individual sau pe clasă. De pildă, ar trebui văzut când şi în ce măsură să se introducă şi problemele ce implică două necunoscute, rezolvate fără sau cu sisteme de ecuaţii; astfel, chiar şi repoziţionarea sistemelor ar putea fi pusă în discuţie (însă doar în format de ecuaţii, ca Substituţie şi apoi Reducere, deci fără aplicaţii în sistemul ortogonal de axe).

Metoda falsei ipoteze ar putea fi totuşi “invitată la clasă” în format special, extra şi neobligatoriu (cândva în gimnaziu), de pildă ca “matematică distractivă”, la ore dinaintea vacanţei, în săptămâna Şcoala Altfel, sau la cursuri opţionale, sub “titlul”: -haideţi să vedem cum am putea rezolva aceste probleme fără punere în ecuaţie. “Părerea mea!” (ca să mai citez câte “un personaj legendar”).

Încă o dată precizez: nu îmi stă în fire să propun excluderea unor întregi lecţii din materie, şi îmi cer scuze pentru acest gest, dar argumentele împotriva MAR sunt absolut de necontestat (deşi sunt sigur că unii totuşi le vor contesta). În episodul următor doresc să mă revanşez, venind cu o propunere de cu totul altă factură în rezolvarea şi prevenirea AFM. Astfel, putem lupta împotriva reţetării excesive şi neînţelese, care este probabil principalul cauzator de AFM, putem deci lupta şi altfel decât prin excludere. Cu gândul la elevii dragi ce au absolvit vara asta clasa a 8-a, de-abia aştept să vă prezint în acest sens munca mea din ultimii trei ani în predarea geometriei. Va urma! CTG

Ţinând cont de activitatea foarte slabă din ultimii doi ani şcolari, îmi este foarte greu să susţin că avem în urma noastră cu adevărat 10 ani cu pentagonia.ro, deşi temporal aşa este. Dacă aş fi cu adevărat exigent, eu aş vorbi despre o corigenţă; de acolo şi acest selfie cu nota 4 în frunte. Totuşi, hai să fim înţelegători şi să apreciem că au fost câteva postări valoroase şi în aceşti ani, aşa încât putem să considerăm că avem totuşi o situaţie de promovare la limită; ceva gen … cum de atâtea ori îi ajutăm şi pe diferiţi elevi … (chiar şi în vara asta am trecut doi elevi cam “din burtă”).

Apropos de doi ani cam “subţiri” şi cu multe scăpări, printre altele am ratat în această perioadă inclusiv să sărbătorim ideea de 25 de ani de când “s-a născut” P3NT4GON1A: într-o zi de toamnă din 1997, cu primul număr oficial din Caietele de matematică P3NT4GON1A în ianuarie 1998.

Da, şi haideţi să încercăm să încheiem cu bucurie această vacanţă de vară, aşa cum am început-o, sub semnul lui π, care mi-a adus un nou cadou matematic (deşi acum chiar nu mai este defel ziua lui π). Nu ştim ce vremuri ne aşteaptă, dar dacă doriţi şi dvs. un cadou cu bucurie pentru acest moment, vă sugerez să lecturaţi din nou primul articol matematic din urmă cu 10 ani l adresa https://pentagonia.ro/sirul-lui-fibonacci-in-gimnaziu/, articol ce aduce în final o proprietate fascinantă a Şirului lui Fibonacci, anume că suma oricăror zece termeni consecutivi ai acestui şir faimos este întotdeauna divizibilă cu 11. Eu oricum o iau ca un adevărat cadou de fiecare dată când ajung să fac această problemă cu elevii: atâta de absurd inaccesibilă în apariţia ei, şi totuşi atât de accesibilă deja unui elev absolvent de clasa a 7-a. Şi totuşi, cum se face? Banal de simplu: notaţi doi termeni consecutivi din Şirul lui Fibonacci cu a şi b, iar apoi constuiţi pe baza acestora şi următorii opt termeni (deci 10 cu totul); după ce-i însumaţi daţi factor comun pe 11. Poţi s-o faci şi în a 5-a, dar parcă merită ca elevii să fie măcar “cu buletin”.

Haideţi însă să încheiem cu o glumă; cel puţin eu aşa am considerat-o, deşi puţin cam sarcastică (dar să privim partea plină a paharului), atunci când la consiliul profesoral de luni 1 sept. o colegă mi-a urat din senin “La Mulţi Ani!” Titus, la început de an şcolar. Ce, nu înţelegeţi? Păi staţi să vă explic: dacă te gândeşti că la întâlnirile de 40 de ani de la absolvirea liceului avute în această vară (atât eu cât şi nevastă-mea), subiectul principal era despre: care s-a pensionat şi care cât mai are, în aceste condiţii să-i urezi unui coleg “La Mulţi Ani!” la începutul unui nou an şcolar, sună puţin a sarcasm!

Aşa că, nu uitaţi de suma celor zece termeni divizibilă cu 11, şi un an bun să aveţi! CTG

În episodul precedent am încercat să analizez câteva cauze posibile ale AFM, dintre cele ce se pot vedea de la nivelul meu de “specialist mediocru”. Sunt ferm convins că există desigur şi alte cauze, alte aspect încă neatinse; despre unele aştept o să scriu cu alte ocazii, dar sunt sigur că există şi altele care încă îmi sunt necunoscute. Specialiştii ar fi de aşteptat însă să le poată cuprinde pe toate şi să ne îndrume în rezolvarea situaţiei ca atare. Hmmm???

În prezenta serie de postări am încercat să-mi lămuresc mie, dar şi să prezint aceste gânduri pentru dvs., despre “care e faza” cu analfabetismul funcţional matematic. În cazul meu, preocuparea este una veche, dar pentru România am putut observa o trezire mai serioasă în acest sens doar la începutul anului 2025 (deci – interesant – pe vremea guvernului interimar, deci după alegerile prezidenţiale eşuate!). Tot ce am scris în prezenta serie este redactat acum, în vară, conţinând doar gânduri personale – mai vechi sau mai noi, unele de mult gândite şi “lucrate”, altele generate în timpul redactări acestui mega-eseu. Dar, în acest sens nu v-am prezentat până acum defel texte mai vechi pentru că nu am avut timp de scris pe acest subiect, deşi mi-o doream demult (anul trecut am avut 22 de ore săptămânal, plus cea de dirigenţie, din motive personale; îmi pregătisem catedra pentru anul acesta la fix 16 ore şi fără dirigenţie; oare cum mă voi descurca cu scrisul anul acesta la 20-21 ore???).

Acum, în această fază, m-am gândit să mă uit “prin calculator”, pentru că ţineam minte vag că am un fişier în care am salvat “diverse chestii”. Haideţi să aruncăm împreună o privire asupra acestora, salvate prin iarnă, pe când mă preocupan doar de “fugăreala” cu clasele a 8-a, cu simularea judeţeană şi pregătirea celei naţionale la EN. Deci, să luăm la analizat respectivele documente, salvate majoritatea din februarie 2025.

Primul care “a tras un semnal de alarmă” serios a fost Domnul Ministru Daniel David, care la începutul lunii februarie anunţa o preocupare intensă în acest sens, odată cu lansarea raportului naţional de alfabetizare matematică din România. Sună foarte interesant această denumire în contextul părerii generale despre cât este de avansat nivelul matematicii şcolare româneşti. Acest titlu dă de gândit oricărei persoane “dispuse să gândească”, subânţelegând că sub această impresie “de suprafaţă”, starea unei mari părţi a populaţiei şcolare ca fiind de fapt jalnică, necesitând urgent o alfabetizare matematică de bază. Dar, oare, la ce ar avea nevoie această mare parte a populaţie de “atâta matematică” (cum des întreabă unii în mod agresiv răutăcios), de ce ar avea nevoie aşa de mulţi de o alfabetizare matematică? (asta a fost doar o întrebare retorică, “miştocăristă”, de răspuns).

La această lansare, Dl. Ministru Daniel David relua pentru a doua oară în timp de două săptămâni faptul că: analfabetismul funcţional a ajuns să devină o problemă de securitate naţională, cu trimitere evidentă la felul cum o mare parte a populaţiei votante a fost atât de uşor manipulată în timpul procesului electoral din noiembrie-decembrie 2024. Momentul poate fi rememorat de pildă în articolul https://www.edupedu.ro/analfabetismul-functional-devine-o-problema-de-securitate-nationala-spune-ministrul-educatiei-si-cercetarii-voi-prezenta-in-mai-un-raport-daca-cineva-isi-va-asuma-politicile-educationale-voi-mai-f/

Fiindu-i cerută părerea, Dl. Profesor Radu Gologan spunea a doua zi că: principala problemă cu Matematica în clasele mai mari provine din felul în care sunt organizate examenele. Subiectele de la EN şi de la BAC verifică nişte reţete. Mai exact, Subiectele acestor examene, în loc să trezească sau să verifice intuiţia şi cultura matematică a copiilor, verifică nişte reţete. Citatele sunt din articolul https://www.edupedu.ro/radu-gologan-principala-problema-cu-matematica-in-clasele-mai-mari-provine-din-felul-in-care-sunt-organizate-examenele-nationale-subiectele-acestor-examene-verifica-niste-retete/

Potrivit raportului respectiv, pentru elevii care la probele de la EN de a 4-a din 2015 (deci la finalul ciclului primar) au rezolvat corect peste 50% dintre itemi, dar la examenul de EN de a 8-a din 2019 au obținut o medie sub 5, declinul s-a produs între clasele a IV-a și a VI-a și nu a mai fost recuperat până la finalul clasei a VIII-a; în această situație au fost 18.731 elevi dintre cei 105.495 elevi pentru care există înregistrate rezultatele în ambele baze de date, deci puţin sub 20% (aceste date sunt dinaintea pandemiei; este destul de probabil ca în perioada actuală, după pandemie, procentul să fi crescut, ajungând deci la peste 20%).

Această statistică confirmă ideea că, “sub oblăduirea” profesorilor de matematică creşte procentajul de elevilor care au nevoie de “alfabetizare matematică”. Cât este aici vina societăţii, a familiilor, a sistemului, a profesorilor în particular, asta este o altă discuţie, care diferă probabil de la un caz la altul; dar haideţi să nu mai căutăm aici vina doar la învăţătoare! Cu alte cuvinte, una din sursele clare ale AFM o reprezintă felul de predare al matematicii chiar din clasa a 5-a. C-o fi vina profesorilor, sau a programei, sau a preocupării excesive pentru excelenţă, sau poate un mix otrăvitor între acestea, nu reiese de aici.

Eu nu aş exclude nici familiile, în primul rând faptul că în această perioadă majoritatea copiilor începeau să fie deja “dotaţi” cu smartphone la acele vârste (familia le cumpără smartphone). Faţă de această ultimă idee, ştiu foarte bine cum ne-am luptat cam în acei ani cu faptul că nu vroiam să-i cumpărăm fetei noastre “internet la purtător”, dar toţi colegii aveau deja; noi i-am luat de-abia la jumătatea clasei a 6-a un BlackBerry (acces pe texte, dar nu şi pe imagini), iar primul smartphone adevărat l-a primit doar după examenul de EN, deci la 14,5 ani!.

Revenind la articolele salvate în iarnă, merită să aruncăm o privire şi asupra unui articol care spune pe scurt că analfabetismul numeric (…) creşte constant de la nivelul școlii primare la nivelul elevilor de liceu, ajungând la o dublare: https://www.edupedu.ro/analfabetismul-numeric-aproape-se-dubleaza-in-liceu-comparativ-cu-scoala-primara-in-randul-elevilor-participanti-la-o-testare-specializata-romaneasca-36-dintre-acestia-au-rezultate-specifice-anal/. Merită să studiaţi puţin diversele grafice din acest articol, organizate pe gen, vârstă, mediu (defalcat pe rural, urban mic, metropolitan, urban mare etc.), care toate ne “pictează” acelaşi tablou sumbru.

Ceva mai târziu, la finalul lunii aprilie, Dl. Ministru Daniel David spunea că: e foarte greu să înveți tabla înmulțirii fiind fericit; fericirea reprezintă un context al învățării, nu un scop în sine, atrăgând astfel atenţia şi asupra falsităţii ideilor dinspre o parte a societăţii, care visează la o matematică “îmbăiată” într-o continuă stare de fericire (se referea aici desigur la partea cu o bunăstare crescută a societăţii, din urbanul mai dezvoltat). Citatele sunt preluate din articolul https://www.edupedu.ro/ministrul-educatiei-e-foarte-greu-sa-inveti-tabla-inmultirii-fiind-fericit-la-un-moment-dat-trebuie-sa-fii-stresat-sa-inveti-acele-lucruri-scoala-n-a-fost-gandita-ca-institutie-a-fericirii/. Afirmaţiile respective fac clar trimitere şi înspre partea de vinovăţie a familiilor, susţinând afirmaţiile mele despre realitatea unui complex de vinovăţii.

Mie îmi place următoarea afirmaţie a D-lui Ministru: ca urmare a acestei filozofii, am ajuns să nu mai avem toleranță la frustrare (…) Dânsul continuă în direcţia frustrării la eşec şi revenirea din această stare, dar eu m-aş uita inclusiv la frustrarea constantă a elevilor, de pildă în faţa dificultăţii învăţării matematicii, zi de zi sau mai ales în procesul de recuperare pentru examene, în condiţiile în care multe dintre familii, chiar societatea în ansamblu, au aşteptări tot mai generalizate ca şcoala să se desfăşoare doar sub spectrul fericirii, să se transforme într-o constantă sursă de fericire, într-un fel de entertaining-school (şcoală de distracţie, înspre distracţie, prin distracţie).

Amintesc aici observaţiile pline de indignare ale unor colege învăţătoare (din şcoala noastră), despre momente de “la revedere” ale unor mămici adresate puiuţilor, dimineaţa în faţa clasei, la despărţire: să ai distracţie plăcută! (la noi în şcoală părinţii din primar îşi însoţesc puiuţii până la uşa clasei – am ajuns din păcate o adevărată “şcoală de fiţe”, dar asta ne permite să auzim şi astfel de ciudăţenii).

Realitatea este că mulţi părinţi din societatea noastră modernă au pretenţii exagerate înspre fericire “la locul de muncă” al elevilor, trezindu-se apoi la realitate, undeva înaintea examenului, când încep să pompeze cu meditaţii în elevi, ajungându-se apoi la situaţii extreme de până la 4-5 meditaţii săptămânale, sau cu 2 meditatori în paralel. Sau, oare cum credeţi că se obţin rezultatele fabuloase la EN, cu care se laudă apoi diversele şcoli de vârf?

Revenind la discursul dânsului, precizează Dl. Ministru: Cumva în școală, treptat, am început să punem un preț foarte mare pe a fi fericit. Școala n-a fost gândită ca instituție a fericirii. Adică societățile noastre n-au creat școala spunând: creăm niște instituții unde trimitem copiii să fie fericiți. Școala a fost gândită ca o instituție care transferă competențe, un loc în care ne ducem copiii astfel încât să asimileze acele competențe utile pentru viață.

Ţin să precizez aici clar: aşadar, scopul şcolii nu este fericirea copiilor cu orice preţ; dar nici să nu considerăm că copilul trebuie chinuit în şcoală. Mai exact, tabloul ideal este următorul: copilul trebuie să muncească intens, uneori din greu, pentru a atinge sarcinile, obiectivele ce le are de îndeplinit, competenţele ce le are de dobândit, iar apoi, acestea îndeplinite fiind, să ajungă la acea senzaţie de mulţumire a simţului datoriei împlinit, la fericirea ce o trăieşti când ai învins un obstacol greu, acea mândrie când de fapt ţi-ai dovedit ţie că poţi. Da, acest tip de fericire este de dorit, dar acesta vine doar ca rezultat al efortului şi al muncii bine făcute. Aşadar, trebuie evitată “fericirea” facilă, dar trebuie căutată “fericirea muncită”.

Problema mare este aici că în faţa acestei direcţii sănătoase de educaţie se interpune deja formata expectanţă a copiilor înspre fericire, cu care elevii vin deja setaţi de mici: dacă vă treziţi curiozitatea  şi vă formaţi obiceiul de a observa, veţi vedea astfel de momente – de pildă prin magazine – cum chiar părinţii copiilor mici fac tot ce le stă în putinţă pentru a atinge “fericirea” copilului (am imaginea aia cu un copil mic de sub 2 ani în coşul de cumpărături la supermarchet, iar părintele îl întreabă ce mezeluri să cumpere; ce ştie copilul la vârsta aia?). Iar acest tip de educaţie este susţinut şi chiar potenţat în următorii ani, obişnuind copilul cu creşterea nivelului de fericire aidoma unui “drog”. Apoi, când copilul trebuie să performeze la matematică, avem “o mare problemă”. E interesant cum familiile nu se gândesc defel înspre ce duce forma lor de “educaţie prin fericire”.

Citind în zona de comentarii la acest articol, am găsit un pasaj minunat semnat Ara: Corect!!!
Evoluția se face prin efort. În cazul de faţă efortul intelectual. Efortul doare. E ca și cum vrei să faci muschi, te duci la sală și pe urmă te plângi că ai febra musculară. Da’ vrei muschi. Şi atunci s-au inventat proteinele la borcan. Ca să nu mai facă panseluțele febră musculară. La fel și cu educatia. Vrei skill-uri intelectuale, te strofoci, dar te doare capul și nu mai ai timp de tiktok. Atunci s-a inventat AI-ul: răspunsuri gratuite, rapide și fără efort. Dar și fără efect. În sfârșit a ieșit la interval psihologul David! Să-l ascultăm!

Revenind scurt la afirmaţiile D-lui. Ministru Daniel David, cu acea ocazie dânsul a vorbit şi despre toleranţa la frustrare, care în multe cazuri a ajuns foarte scăzută (datorită diferiţilor factori educativi din viaţa copiilor). Vedem cum problematica învăţării matematicii balează dintr-o parte in cealaltă, cu multiple vinovăţii.

Din păcate atenţia şi preocuparea D-lui Ministru, odată cu urgenţele legate de situaţia economică dezastroasă a ţări, s-au îndreptat în cu totul alte direcţii (economii cu tot preţul la buget, de pildă prin creşterea normei cadrelor didactice), aşa încât problema analfabetismului funcţional matematic, respectiv a necesarei alfabetizări matematice (cum a denumit-o dânsul în iarnă), au căzut din nou de pe ordinea de zi. Reamintesc în acest sens o mai veche teorie, cea a ferestrelor de oportunitate temporale, care apar în momente de “zguduire” puternică a socieţăţii. Matematica şcolară românească a ratat o astfel de fereastră de oportunitate în urma pandemiei, predarea şi evaluarea luând-o în alte direcţii. Acum, când se simţea clar o nouă astfel de fereastră de oportunitate, Dl. Ministru arătând explicit înspre aceasta în iarnă, acum problemele economice (pe care nu le contest), ne ocupă tot timpul şi toate preocupările, ducându-ne din nou spre ratarea şi a acestei noi ocazii. Păcat! Mare păcat! După finalizarea alegerilor prezidenţiale, la sfârşitul anului şcolar, marea majoritate a dăscălimii, dar şi a părinţilor erau de acord că este nevoie de o reformă profundă a învăţământului înspre corectarea AFM (s-o spunem direct), însă acum, lumea nu mai este la fel de deschisă.

Dar să revenim la subiectul nostru, anume la analfabetismul funcţional matematic. De la finalizarea precedentului episod m-am tot gândit la un aspect de fineţe. Din startul discuţiei, noi trebuie să facem diferenţa între cele două stări asemănătoare, anume dacă un elev ştie sau nu a rezolva o problemă, respectiv dacă ar fi trebuit să o ştie sau nu. Mai exact, dacă el nu ştie face o problemă pentru că îi lipsesc elemente necesare acelei rezolvări (noţiuni, teoreme sau diferite “şmecherii”, fie că încă nu le-a parcurs, ori poate că le-a uitat), pe de-o parte, sau dacă nu ştie să facă o problemă deşi are totul la dispoziţie “în căpşor”. Şi aici putem “despica firul în două”, analizând dacă elevul nu ştie face problema pentru că raţionamentul este foarte complicat, fiind o problemă prea grea, sau el nu ştie face problema deşi aceasta este uşoară, dar “în afara zonei sale de confort, de obişnuinţă şi toceală”. Doar în acest caz vom vorbi despre AFM. Nici nu mai discutăm aici de situaţia în care copilul respectiv pur şi simplu nu poate, adică are un coeficient de inteligenţă mai redus.

La fel, trebuie să putem face diferenţa între următoarele două situaţii: dacă un elev nu înţelege o lecţie, pentru că aceasta este prost ori inaccesibil predată (ori defel predată, deci doar primită spre conspectare), sau respectiv dacă, deşi aceasta este predată accesibil şi intuitiv, el nu o înţelege pentru că nu este obişnuit să fie atent şî să gândească, sau chiar refuză să gândească, aşteptând doar reţete “pe tavă”. Din nou, doar are această situaţie poate arăta înspre AFM.

Revenind la subiectul remedierii sau al prevenţiei, am văzut în precedentele postări cum chiar dascălii şi predarea lor reprezintă una din cauzele posibile. Este evident că schimbarea obiceiurilor de care am vorbit va duce la îmbunătăţirea situaţiei. Dar, oare, câţi dascăli ar fi în stare să ia iniţiativa de unii singuri şi să pornească pe drumul de schimbare? Răspunsul este evident. Cu alte cuvinte, tot în mâna autorităţilor stau soluţile; dar nu aşa cum au făcut-o până acum, în scurte şi total nesemnificative iniţiative, de care apoi, după jumătate de an nici nu s-a mai auzit nimic (similar cu iniţiativa din iarnă înspre alfabetizarea matematică).

Mai ţineţi minte cum după un astfel de moment – parcă era după scrisoarea metodică – am fost obligaţi să scriem un raport cu măsuri corespunzătoare, pe care să-l trimitem la un inspector, acesta centralizând toate ideile, şi trimiţându-le apoi “mai sus” etc. Ce s-a întâmplat cu toate alea? Nimic! În acest sens doresc să atenţionez aici asupra unui aspect deosebit.

Predarea matematicii în România a fost schimbată cu forţa (forţa autorităţii statului comunist opresiv) în anii ’80 (proces început odată cu manualele de liceu din 1977). Vorbim deci de o presiune de peste 10 ani exercitată asupra profesorimii, până când s-a schimbat cu adevărat atitudinea şi predarea. O reîntoarcere spre mai sănătos, deci eventual “cu 180^o“, sigur nu se poate face prin scurte iniţiative (gen indicaţii metodice la programă, sau scrisoare metodică, sau mai noul program de alfabetizare matematică). Nu, schimbarea generală înspre o formă mai sănătoasă se poate face doar printr-un program de lungă durată (ani buni), implicând coordonarea tuturor forţelor şi a factorilor implicaţi în educaţie, iar asta pe durată. Altfel, “doar praf în ochi”!

Îmi cer scuze că iar “am luat-o” pe panta istoriei predării matematicii, dar nu se pot face corecturi fără a înţelege ce trebuie corectat, fără a înţelege “forţele” ce trebuie schimbate. Aşa încât, oricum trebuie să deschidem din nou “cursul” de istoria predării matematicii din ultimii 50 de ani. Gândind intens la acest subiect (o fac de de decenii), eu pot evidenţia acum câteva modalităţi în care s-a schimbat predarea profesorilor de matematică din România. Iată-le pe scurt.

O primă mare schimbare a avut loc când eram elev; am văzut-o “din bancă” lă părinţii mei, atât cât am putut-o vedea, şi am înţeles-o ulterior ca profesor înteresat de subiect. Astfel în finalul anilor ’70 şi pe parcursul anilor ’80 s-a schimbat programa, mai exact manualele, iar predarea odată cu acestea, profesorii fiind vânaţi efectiv să facă conform liniei noi şi nu în stilul vechi. Am scris ceva mai dataliat despre acest subiect mai 2016 în articolul https://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ , dar şi mai extins în articolele https://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-i/ respectiv https://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-a-ii-a/; diverse aspecte apar şi în articolele despre Aminiri matematice din copilărie pornite în https://pentagonia.ro/amintiri-din-copilarie-partea/ .

O a doua modificare a avut loc în anii ’90, atunci când – sub entuziasmul gândirii de genul “noi şi olimpicii noştri” – predarea şi aplicaţiile au alunecat tot mai mult în zona “de olimpiade şi concursuri”, redenumită ulterior tot mai clar “de excelenţă”. Învăţarea matematicii a început în acei ani să subînţeleagă tot mai clar şi munca în particular a elevilor. Cerinţele au tot crescut, astfel încât nivelul putea fi păstrat de obicei doar cu sprijinul de acasă al unui părinte, al unei rude sau cunoştinţe, în general al unui profesor în particular. În acest sens lucrurile au rămas de atunci tot aşa.

O a treia modificare am putut-o observa tot mai clar după 2010 (orientativ), când în dorinţa de eficientizare a muncii în sensul precedentei modificări, tot mai mulţi profesori au început să nu mai predea “lecţiile uşoare”, ci să le dea ca temă de conspectat, sau pur şi simplu să le ceară a fi ştiute. Formulele de arii şi volum ale corpurilor în clasa a 8-a au reprezentat “vârful de lance” în acest sens. După pandemie obiceiul a ajuns extrem de extins.

Putem analiza cele trei exemple şi pe o scară verticală a autorităţii. Astfel, schimbarea din anii ’70-’80 s-a făcut de sus, prin forţă de către întregul sistem autoritar. Schimbarea de preocupare excesivă spre excelenţă s-a făcut evolutiv începând din anii ’90 şi de sus şi de jos, deci la iniţiativa profesorilor setaţi pe această cale, dar cei drept încurajaţi oficial şi intens de către autorităţi. Aceasta a dus însă, ca urmare, într-o a treia etapă, făcută de jos, adică doar de către profesori (doar de către unii, clar, însă clar că de către tot mai mulţi). Aceasta a dus la abandonarea mentală a restului elevilor (a celor care nu erau de excelenţă), inclusiv a exerciţilor sau a lecţilor uşoare (dar de care gândirea acestora are o dependenţă vitală), ajungându-se de multe ori la o abandonare “animalică”, de tip “junglă”, gen “selecţie naturală”.

Până la momentul alegerilor 2024-2025 nimeni nu s-a sesizat în acest sens. Abandonarea s-a produs pe două direcţii: la ţară prin lipsa cronică a frecventării şcolii, dar şi uneori a profesorilor sau a preocupării acestora, la care se adaugă şi lipsa forţei financiare de suplinire din partea familiiilor; la oraşe prin preocuparea pentru excelenţă şi abandonarea restului elevilor (să-i ajute eventual părinţii), dar şi printr-un conştient proces de delăsare, pentru ca elevii să vină apoi la meditaţii (un fenomen gen “baron local” în zona profesorului de matematică din micul târg). Oare ce se fac aceştia în contextul prezentei legi a interzicerii orelor private cu elevii de la clasă?

Am avut în acest sens un exemplu punctual antologic (cel puţin în oraşe): la grupele de excelenţă la fizică (din şcoli sau pe oraşe) se prezenta de mult teorema lui Pitagora deja la începutul clasei a 7-a (că le trebuie la ceva probleme). Ca urmare, când le venea vremea, conform programei dinaintea celei din 2017, profesorii de matematică nu se mai oboseau cu formarea reţetării la această lecţie: unii elevi deja o ştiau (dintre cei mai buni), deci “restul, treaba lor”. Este clar cum acest obicei duce intens spre formarea AFM la ceilalţi elevi. Probabil că în acest context a apărut şi “necesitatea” ca meditatorii din particular să predea lecţiile înaintea şcolii.

O situaţie similară se poate vedea la elementele de trigonometrie. Cu teorema lui Pitagora s-a mai rezolvat parţial situaţia, prin mutarea forţată a acesteia în finalul clasei a 6-a (dar cu trigonometria nu s-a putut). Din păcate, autorii de manuale şi auxiliare, deci şi profesorii nu prea colaboraează, în sensul că deşi la începutul clasei a 7-a este cunoscută, teorema lui Pitagora nu prea apare în probleme înainte de poziţia din programa veche, adică înainte de primăvară, deci înainte de “sem II”.

La o privire mai atentă putem vedea cum fiecare astfel de modificare duce la înrăutăţirea situaţiei, din fiecare modificare precedentă existând tendinţa păstrării a tot ce-i mai rău. Ce s-ar putea face? Ce ar putea face autorităţile? Că numai ei ar putea face ceva eficient! Sau situaţia este scăpată iremediabil de sub control? Mă gândesc aici – în toată bruma de optimism ce mi-a mai rămas – visez să se ajungă cel puţin la oprirea fenomenului de AFM la nivelul de 50%, dacă nu chiar la schimbarea trendului. Şi atenţie mare: nu mai avem mult timp la dispoziţie, “cronometrul ticăie”, mai sunt mai puţin de 4 ani până la următoarele alegeri!!! (când probabil balanţa se va mai înclina încă puţin în direcţia “cealaltă”). În acest sens eu nu cred în “politica struţului”. Încercând o concluzie în acest sens, eu mă gândesc la următoarele direcţii de acţiune, din păcate toate “în mâna” Ministerului.

Autorităţile trebuie să ţină cont de realitatea Clopotului lui Gauss sau de Legea lui Campbell (sau de alte astfel de principii naturale; voi mai aduce una în discuţie cât de curând) şi să impună cu forţa şi pe durată aplicarea decizilor luate în sens reparatoriu pentru majoritatea populaţiei şcolare. O preocupare doar în sensul elevilor de vârf, sau a celor care au în spate o forţă financiară a familiei, duce la neglijarea masivă a unei mari părţi a populaţiei şcolare, privând-o pe aceasta de fapt de factorul educativ al matematicii înspre formarea unei gândiri raţionale logice independente. Matematica românească trebuie să înceapă să se preocupe în principal înspre “blocului central” al Clopotului lui Gauss (actualmente preocuparea principală fiind înspre ramura subţire din dreapta, a celor de “excelenţă”; restul …., dacă se poate compensa cu forţă financiară a familiei, foarte bine, dacă nu “ghinion!”; sau cum se mai spune: “Dumnezeu cu mila!”).

Preocuparea pentru excelenţă trebuie clar limitată. Să nu fiu greşit înţeles: aceasta nu poate fi interzisă, şi nici nu ar fi sănătos să se desfiinţeze; de fapt, dacă ne gândim bine, nici nu poate fi interzisă. Autorităţile ar trebui însă să se preocupe de găsirea unor căi de limitare a acestui fenomen “scăpat cu totul de sub control”, ajuns din păcate a se manifesta “în forme animalice”. Acest fenomen trebuie clar restricţionat. Cum? Nu ştiu eu asta, dar trebuie făcut (poate voi reveni la acest subiect cândva).

În paralel, trebuie crescută masiv preocuparea pentru “elevul de rând” în toate direcţile şi la toate nivelele: programa generală trebuie adaptată în acest sens, predarea profesorilor trebuie asigurată şi accesibilizată, dar şi baza de aplicaţii adaptată şi extinsă (exerciţiile şi problemele corespunzătoare) pentru aceştia, ei reprezentând totuşi marea masă a populaţiei şcolare. Accentuez: exerciţiile şi problemele corespunzătoare “elevului de rând” trebuie a fi reprezentate în cantitate îndestulătoare în manualele gratuite. Doar aşa schimbarea poate ajunge şi la elevii cu forţă financiară redusă, oferind o bază de lucru sănătoasă profesorilor şi elevilor dispuşi a lucra “matematica de rând”. Mai aştept puţin cu extinderea explicaţiilor, dar aceste trei nivele de lucru ar trebui prioritizate la nivel naţional şi menţinute ca “prioritate zero” pentru cel puţin câţiva ani (măcar 10?).

Apropos: autorităţile ar avea clar obligaţia în acest sens deoarece şi familiile acestora cotizează la buget, deci au dreptul la o educaţie matematică eficientă a puiuţilor lor (situaţia este similară cu cea din zona sănătăţii: cotizez regulat, dar când am nevoie de un consult, pot face programare plătită prin CAS doar peste 6 luni).

Totodată, respectând principiile din ciudata Lege a lui Campbell, trebuie eliminate din sistemul de subiecte de la EN elementele care permit ca elevii “nematematicieni” să fenteze sistemul şi să nu înveţe elementele formatoare de gândire. Aici ar merita să zăbovim puţin, şi aş vrea să dau în acest sens două exemple care mi-au atras atenţia în ultima vreme (desigur că se pot găsi şi altele).

Întrebările grilă, în forma practicată la ora actuală la EN permit elevilor “un soi de ghiceală” care are foarte puţin de-a face cu gândirea matematică. Întrebarea este: asta se doreşte? Sau, cei din vârful ministerului habar nu au despre cum funcţionează şi cum se formează “gândirea” elevilor în urma antrenării pe astfel de teste? Deja s-au dat 5 ani astfel de teste; deja se vor vedea urmări pe “mentalul general” al populaţiei adulte (primii sunt cei care au intrat vara asta la facultăţi, deci care au avut deja şi drept de vot! Hmmm!!!).

Nici nu discut aici de felul în care se poate copia la EN pe aceste subiecte I şi II grilă, cu toate camerele şi toţi supraveghetorii funcţionali (este de ajuns ca un elev din sală să le ştie face, iar apoi se găsesc semne de nevăzut prin care se pot arăta răspunsurile). Eu vorbesc de gândirea pe bază de eliminare a răspunsurilor improbabile, proces după care în cazurile bune mai rămân două răspunsuri la care trebuie puţin “gândit”.

Încercând să contracarez acest aspect, la ultimul test “simulare” din finalul anului şcolar am dat la subiectele I şi II, în loc de patru răspunsuri la alegere, varianta din EN până în 2020, gen lungimea laturii AB este ….cm, adică la care ei trebuiau să găsească răspunsul prin procedee de calcul matematic. Vă imaginaţi ce revoltă am avut din partea multora! Dar este clar că notele au fost mult mai realiste, reflectând nivelul fiecăruia mult mai bine decât forma oficială. Notele respective au ajuns apoi şi în catalog.

Figurile geometrice reprezintă de ani buni o mare problemă a matematicii şcolare româneşti. Nu ştiu de unde a apărut ideea de a le fi prezentate în examinare toate figurile, dar la ora actuală elevii nu mai ştiu fac figuri geometrice (chiar refuză să le mai facă). Ca urmare nici nu le mai ştiu face. Puneţi elevii să facă figura unei probleme şi veţi vedea ce dificultăţi întâmpină. Chiar şi copierea unei figuri pe caiet reprezintă o mare provocare. Când lucrează după culegeri de antrenament, ei sunt în stare să facă în caiete rezolvări fără figuri: –da’ unde e figura? întreb eu, ştiind de fapt răspunsul: –în carte! Da’ ce, mai trebuia s-o fac şi în caiet??? Nu vreau să mă afund aici în această discuţie, dar pot doar sugera câteva direcţii în care apar urmări: deficitul de atenţie, care apar la nivelul întregii populaţii şcolare; reducerea cantităţii de conexiuni între emisferele cerebrale ar fi clar una dintre acestea; apoi, împingerea elevilor spre învăţarea reţetelor teoretice, neînţelese pe fond practic, are clar trimitere spre AFM, iar lista ar mai putea continua.

Părerea mea e că aceasta este una din cauzele majore ale procentajului în jurul lui 50% de analfabetism funcţional matematic exterior: puterea formatoare de gândire practică pe forme (nu pe numere) este masiv îngrădită prin neglijarea figurilor geometrice. Nici nu mai merită să discutăm aici despre neglijarea masivă a simţului pentru forme, cu urmări clare în zona estetică la nivel naţional. Cred totuşi că problematica neglijării figurilor geometrice depăşeşte nivelul acestui articol, aşa că mă opresc aici, exprimând speranţa că voi avea forţa să revin cândva cu un eseu mai ordonat şi mai complet în acest sens.

Merită să revin totuşi în finalul acestui episod la aliniatul de mai sus, în care am enunţat trei nivele de “TREBUIE” pe care ar fi nevoie să se concentreze politica Ministerului în direcţia matematicii şcolare, întru remedierea situaţiei generale. Astfel, am spus că trebuie crescută masiv preocuparea pentru “elevul de rând” în toate direcţile şi la toate nivelele. Precizez încă o dată: trebuie crescută preocupare în sens pozitiv pentru elevul de rând, nu doar redusă preocuparea pentru excelenţă. Nu-mi permit aici să încep cu sfaturi despre cum ar trebui ţinută sub un control decent expansiunea preocupării exagerate pentru matematica de excelenţă; aceasta este o sarcină ce depăşeşte nivelul eseului de faţă (deşi aş putea da şi aici câteva sfaturi din propria activitate). Să le luăm deci pe rând preocuparea pentru elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss.

1) Prima sarcină majoră ar fi ca programa generală să fie adaptată înspre nevoile şi posibilităţile elevilor de rând. Cum vine asta? Păi, în multe locuri programa este structurată teoreticist, forma fiind accesibilă cel mult elevilor de vârf. Cum ar trebui să fie? Păi, începutul oricărei părţi de materie trebuie să meargă către elevul de rând (intuitiv, accesibil, practicabil), iar apoi, doar după ce aceştia au primit conţinuturile pe nivelul lor, doar apoi să se urce la nivele mai ridicate. Aş da două exemple în acest sens, unul care s-a făcut, altul care s-a făcut pe jumătate (jumătatea “cea mică”) şi “aşteaptă” să fie aplicat complet.

Exemplul 1): Predarea sistemelor de ecuaţii a fost zeci de ani la rând introdusă prin metoda grafică, şi doar apoi apăreau mai accesibilele rezolvări prin substituţie, respectiv reducere. Forma era atât de dificilă încât la un moment dat sistemele de ecuaţii au fost mutate din clasa a 7-a în a 8-a (chiar spre sfârşitul clasei a 8-a). Apoi, prin programa din 2017 au fost aduse înapoi în clasa a 7-a în format accesibil majorităţii elevilor.

Exemplul 2): Începând din anii ’60 geometria în spaţiu se pornea cu un studiu al geometriei dreptelor şi planelor în spaţiu. Acest studiu a fost tot mai încărcat de-a lungul anilor, ajungându-se la nivele de dificultate accesibile în unele cazuri doar elevilor de excelenţă. Problemele aferente (se dă un plan şi se consideră o dreaptă care …) au un grad foarte mare de abstractizare, fiind accesibile puţinor elevi. Majoritatea care le făceau totuşi faţă o făceau pe bază de “dresură”, adică pe bază de învăţat pe de rost a unor rezolvări tip (cale clară spre AFM).

Apoi, cândva în anii 2000 (nu pot preciza exact momentul) s-au introdus la începutul clasei a 8-a prezentarea corpurilor geometrice, deschizând astfel calea spre aplicaţii ale acestora în structuri spaţiale mai închise, dar şi mai accesibile elevilor. De pildă, structura unui cub sau a unei prisme patrulatere regulate sau a unei piramide patrulatere regulate sunt mult mai intuitive, acţionând ca “schelă de sprijin” pentru gândirea în formare a elevului. Dau aici un argument de ordin psihologic în acest sens: şi acum când într-o problemă construcţiile cerute “ies în exteriorul” corpului iniţial, chiar şî elevii mai buni se sperie şi mulţi dintre aceştia se blochează.

Din păcate transformarea înspre accesibilizare prin folosirea intuiţiei native a elevilor s-a oprit aici. Pentru a fi cu adevărat eficient elevilor de rând, procesul de accesibilizare respectiv ar fi trebuit să includă şi partea de “geometrie aritmetică”, adică de socotit pe aceste corpuri, respectiv predarea ariilor şi a volumelor acestora. Precizez că munca matematică în acest sens implică atât forma geometrică, cât şi calculul numeric, generând astfel activitate intercerebrală, care duce la rândul ei la formarea gândirii şi prevenţia AFM. În acest fel elevul de rând ar avea “de lucru” şi de învăţat o materie pe nivelul său (inclusiv prin folosirea teoremei lui Pitagora). Un astfel de capitol ar umple actualul Modul I cu o materie cu sens pentru marea majoritate a populaţiei şcolare.

Pentru cei care v-aţi îngrijora în acest moment: –dar elevii buni??, vă liniştesc, spunându-vă că există o sumedenie de aplicaţii din materia claselor 6-7 care apar în mod surprinzător în corpurile geometrice, provocând vederea în spaţiu a elevilor (asta pe lângă multele şi tot mai grelele probleme de geometrie plană ce se pot face pe post de pregătire a examenului).

Apoi, după vacanţa de toamnă se poate trece la studiul dreptelor şi al planelor, parcurgerea acestora încadrându-se în termenii obişnuiţi (treaba merge mult mai uşor, pentru că în prima parte elevii s-au obişnuit cu structurile spaţiale). Noi predăm aşa de aproape 30 de ani şi pot confirma că merge foarte bine. Faţă de lecţiile despre drepte şi plane reacţile sunt de tipul: –dar, e foarte uşor! (desigur, la elevii care pot “duce” acele lecţii).

2) A doua sarcină majoră “în cârca Ministerului” ar fi legată de predarea profesorilor, care trebuie asigurată (la sate, dar şi la oraşe, în şcolile de rând, dar şi în cele de vârf, şi asta tot timpul!!!). Predarea trebuie însă şi accesibilizată, adică să aibă loc într-o formă care să permită marii mase a elevilor să o înţeleagă, astfel încât învăţarea să fie la cât mai mulţi elevi prin gândire, nu prin “pe de rost”. Acţiunea acestui “pe de rost” trebuie restrânsă doar la momentele când este cu adevărat necesar (formule etc.), şi doar după ce a avut loc momentul de înţelegere prin gândire. Chiar mai mult: elevii de rând trebuie reobişnuiţi cu timpul să înţeleagă, să fie atenţi şi să gândească cu adevărat pe un fenomen pus în discuţie (deci pe noua lecţie), nu doar “să gândească” improvizat la testele grilă care răspunsuri sunt mai improbabile. Multe ar fi de spus aici, dar nu am nici timpul, nici spaţiul pentru a o face; poate cu altă ocazie.

3) O a treia sarcină extrem de importantă la adresa Ministerului ar fi faptul că baza de aplicaţii – exerciţiile şi problemele pentru înţelegerea şi fixarea fiecărei lecţii – trebuie adaptată nevoilor şi nivelului elevilor de rând, dar şi extinsăşi accesibilizată pentru aceştia, ei reprezentând totuşi marea masă a populaţiei şcolare. Manualele trebuie să conţină în cea mai mare parte exerciţii şi probleme de iniţiere şi de însuşire proporţional cu numărul elevilor “de rând”, deci corespunzător blocului central din Clopotul lui Gauss (în curând voi include un articol în care voi putea preciza mai exact aceste date). Repet: fiind avizate şi plătite de către Minister, manualele trebuie să fie “croite” pe măsura şi pe nevoile elevilor de rând, a marii mase a elevilor, nu pe cele ale elevilor de vârf, în fuga lor ambiţioasă după excelenţă. În forma actuală manualele sunt puţin utilizabile de către marea masă a populaţiei şcolare, reprezentând astfel bani din bugetul central “aruncaţi pe fereastră”. Dacă ne gândim că oricum, în marile oraşe profesorii oricum le recomandă elevilor doar munca din auxiliarele folosite, afirmaţia de mai sus capătă şi mai mare putere.

Doar aşa cei din conducerea matematicii şcolare româneşti vor putea spune că au făcut “tot ce s-a putut” pentru preîntâmpinarea formării şi extinderii AFM la populaţia şcolară. Ştiu că asta va genera “mari probleme” cu editurile şi cu autorii, dar asta este. Trebuie înţeles că situaţia a scăpat de sub control, ajungând o problemă de securitate naţională.

Desigur că ar mai fi şi alte direcţii în care ar trebui făcute modificări înspre reducerea nivelului de AFM la nivel naţional, dar consider că măcar acestea trei ar trebui rezolvate: programa, predarea şi baza de aplicaţii trebuie adaptate elevilor de rând. Dacă acestea ar fi rezolvate şi “toată ţara s-ar alinia” înspre soluţionarea acestei probleme de securitate naţională, atunci am convingerea că şi restul surselor, restul cauzelor, vor intra într-un proces de susţinere. Dar, pentru asta lucrurile trebuie înţelese şi spuse clar, iar apoi implementate. Şi când spun implementate, mă refer la faptul că acestea trebuie impuse “de sus în jos” cu aceeaşi forţă şi determinare cu care au fost impuse şi modificările din sensul opus în anii ’80. Se pare că doar informând profesorii de rând şi cerându-le o vreme rapoarte, ca în precedentele acţiuni (gen “Scrisoarea metodică”),  asta nu va rezolva situaţia pe durată.

După umila mea părere, consider că fără aceste trei direcţii de acţiune serios activate şi hotărât susţinute, pe termen lung (de câţiva ani buni de zile), orice program naţional de alfabetizare matematică în România zilelor noastre este sortit eşecului (ori trebuia să folosesc termenul re-alfabetizare matematică, că parcă “pe vremuri” nu era aşa de rău).

Sau, ca să revenim la “momentul zero” din februarie 2025, de fapt ce a intenţionat Domnul Ministru Daniel David, prin lansarea raportului naţional de alfabetizare matematică din România? Acela a fost de fapt doar un raport, gen “somebody do something”, sau există şi intenţia unor acţiuni ulterioare pe baza acelui raport, a unor acţiuni de remediere a situaţiei înspre îndreptarea datelor dezastuos alarmante din jurul acelui raport?

Închei cu promisiunea viitoarelor două episoade, în care voi încerca prezentarea unor exemple punctuale prin care eu am încercat să lupt împotriva AFM, în forma în care eu am înţeles că acest fenomen se instalează, adică a AFM-int. Va urma! CTG

P.S. Pe când mă pregăteam să trimit acest episod spre publicare, am auzit la radio o ştire care m-a uluit. Ia uitaţi şi dvs. ce mândră ştire a apărut pe Edupedu.ro în 26 august: https://www.edupedu.ro/educatia-din-romania-luata-ca-reper-negativ-pentru-invatamantul-din-tara-galilor-intr-o-prognoza-a-unui-centru-de-analiza-conservator-daca-nimic-nu-se-schimba-pana-in-2040-tara-galilor-v/ În aceast articol se spune ad-litteram că: Dacă nimic nu se schimbă, până în 2040 Țara Galilor va ajunge la nivelul României, tară care are rezultate foarte slabe la studiile PISA, în ultima vreme ocupând penultimul loc în Uniunea Europeană, urmată doar de către Bulgaria.

Vă daţi seama cum ne văd ăia: la propriu “la coada Europei”! (ca să nu folosesc alte forme de caracterizare mai dure). Păi, eu ce mă chinui să vă explic aici de săptămâni întregi (lucrez la acest articol de exact o lună de zile)? Probabil că lecturând acest episod mulţi aţi avut gânduri contrare, de negare a celor afirmate sau cerute de către mine. Oare, acum ce mai spuneţi?

Atrag atenţia în acest sens că pentru bunăstarea unei ţări nu este suficient să te ocupi doar de elite. Principala preocupare trebuie să fie înspre şcolirea şi educarea populaţiei de rând. Nimeni nu se interesează cum stăm de bine cu olimpicii la diferite materii. Mai mult, cu ce ne ajută asta? De pildă, din grupul celor şapte olimpici internaţionali, din vremea respectivă, doar Dl. Nicuşor Dan s-a întors în ţară încercând să facă ceva aici, să ajute cu ceva, pe măsura capacităţilor sale deosebite. Ceilalţi şase sunt profesori la diferite universităţi de prestigiu “din Străinezia”. Cu ce beneficiază ţara noastră de pe urma acestora? Cu nimic!

Eu nu am mai citit integral acest ultim articol evocat; îmi ajunge. Dar dvs. ar trebui să-l citiţi. Iar apoi puteţi lua şi următoarele articole mai vechi, care apar ca recomandări (adică, nu-i cum că aceste lucruri nu s-au mai spus pe la noi, direct sau “printre rânduri”): https://www.edupedu.ro/romania-in-pisa-conservarea-mediocritatii/; https://www.edupedu.ro/rezultatele-pisa-2022-la-matematica-penultima-tara-din-uniunea-europeana-in-scadere-cu-2-puncte-fata-de-testarea-din-2018-si-al-treilea-cel-mai-slab-rezultat-din-istoria-testarii-internationale-stan/ ; https://www.edupedu.ro/rezultate-pisa-2022-aproape-un-sfert-din-elevii-din-romania-nu-asculta-ce-spune-profesorul-la-clasa/ . Puteţi lua spre lectură chiar şi articolul mai vechi, care pare să se fie opus celui actual, despre situaţia din Ţara Galilor: https://www.edupedu.ro/un-curriculum-de-secol-21-reteta-galeza-pentru-reforma-predarii-asa-incat-la-elevi-sa-ajunga-lucrurile-care-conteaza/ .

Înainte de a începe noul episod trebuie să fac o remarcă importantă legată de precedentele şi de felul cum sunt acestea scrise, despre “lungimea de undă” a predării la care fac eu referire. Faţă de colegii cărora eu le dau o impresie de “extraterestru” prin ceea ce spun aici, este nevoie să mă justific. Astfel, trebuie înţeles că eu am pornit-o pe un drum personal al reformei cu peste 30 de ani în urmă, parcurgând diverşi paşi, uneori de unul singur, alteori împreună cu soţia mea (uneori făceam eu paşi în faţă, alteori ea). Drumul acesta a avut diverse etape, implicând diverse trepte de urcat. Proiectul PENTAGONIA chiar asta a şi reprezentat de la început: o încercare de împărtăşire a aspectelor găsite pe acest drum de lămurire a felului cum ar trebui să predăm, devenind cu timpul o preocupare de corectare a predării matematicii (mă feresc să folosesc aici termenul de “diseminare”, ca orice cuvânt ajuns “la modă”, fiind şi acesta abuzat şi folosit doar să împresioneze).

Îmi dau seama că uneori aş putea fi perceput ca un “ciudat” în matematica şcolară românească, care “s-a rătăcit” pe căi neînţelese. Nu mă deranjează asta. Sunt convins că sunt chiar greu de înţeles multe din aspectele prezentate aici în scris; într-o prezentare orală eu mi-aş regla discursul în timp real în funcţie de reacţiile auditoriului, fie acestea chiar verbale sau doar mimice. Aşa, folosind transmiterea ideilor în scris, sarcina se împarte în două. Pe de-o parte să fiţi convinşi că eu port imaginea “dvs.” în suflet şi reiau aceste texte până la nivel de epuizare ca să preîntâmpin orice neînţelegere m-ar duce pe mine mintea. Pe de cealaltă parte, vă recomand clar să lecturaţi de mai multe ori aceste texte, lăsând între lecturi timp de cugetare şi de “aşezare” a gândurilor prezentate. În acest sens reiau aici o idee verbalizată de către un prieten cititor într-un mesaj privat legat de episodul precedent: –Acum am terminat de lecturat a doua oară mult așteptatul articol de pe Pentagonia. Nu mi-a fost o lectură tare ușoară, însă a fost frumoasă. Citind textul cu mare atenție, conținutul încă îmi răsună în minte, iar anumite fraze mi-au ajuns la suflet. Aș putea spune mult mai multe, însă, mai întâi de toate, mă simt dator să mai trec de câteva ori prin acest articol pentru a mă exprima.

Dar să mergem mai departe. Am văzut în ultimele postări cum chiar dascălii şi predarea lor reprezintă una din cauzele majore ale instalării analfabetismului funcţional matematic la elevi. Obsesia naţională, manifestată de aproape jumătate de secol, pentru aplicaţii tot mai grele, dar şi neglijarea tot mai puternică a unei predări sănătoase a noilor conţinuturi, acestea sunt unele din cauzele principare în apariţia AFM la generaţiile actuale de elevi.

M-am concentrat în precedentele postări pe aspectele respective pentru că acestea sunt cele în care eu pot influenţa procesul, acţionând preventiv în sensul apariţiei AFM la elevii mei. Până la un punct este “la alegerea mea” cum predau lecţiile şi ce fel de aplicaţii le dau elevilor, astfel încât să pot spune că am făcut tot ce mi-a stat în putinţă să ofer o matematică sănătoasă, încercând să mă lupt cât pot de mult ca elevii mei să dobândească o gândire sănătoasă. Asta nu înseamnă că şi reuşesc întotdeauna şi la toţi elevii. De multe ori trebuie să mă recunosc înfrânt, dar măcar “dorm liniştit”, convins fiind că am făcut tot ce m-am priceput, şi oricum “am făcut” mult mai mult decât majoritatea din jurul meu.

Dar, mai există şi alte cauze în apariţia AFM? Desigur, iar când afirm asta mă gândesc în primul rând la educaţia greşită în general primită de către copii. La ce mă refer însă când vorbesc de o educaţie greşită? Ca de obicei, este vorba de un complex de vinovăţii ce se pot manifesta din toate direcţiile în viaţa unui copil. Voi încerca să le prezint pe câteva într-un mod relativ ordonat, deşi sunt ferm convins că nu le pot cuprinde aici pe toate.

În primul rând ar fi familia. De la ceea ce numim generic “cei 7 ani de-acasă” (copilul preia prin pură imitaţie felul de “a gândi” de la cei din jur) şi până la faptul că familiile îşi “educă” tot mai mult copiii prin intermediul ecranului (preponderent smartphone-ul), ducând astfel la formarea unei crase incapacităţi de gândire, dar şi la o profundă incapacitate de a acorda atenţie unuia care vorbeşte, familiile aştern bazele perfecte pentru apariţia AFM.

Ca o paranteză, merită accentuat că în ultimii ani, mai ales începând din timpul pandemiei, mai toţi copiii au acces la smartphone – al unei rude sau personal. Chiar şi în ultimul bordei neconectat constant la reţeaua de curent se pot întâlni telefoane cu conexiune la internet, atâta vreme cât se poate găsi o modalitate regulată de încărcare. Cu alte cuvinte, putem spune clar că majoritatea copiilor sunt supuşi efectelor distructive ale smartphone-urilor în ceea ce priveşte distrugerea capacităţii de concentrare şi de atenţie înspre gândirea matematică, strict necesare în prevenţia apariţiei AFM. Ca urmare, altfel spus, pentru cei care consideră că o mare parte a adulţilor din România “nu gândesc”, de pildă din punct de vedere a exprimării votului, fiind extrem de manipulabili, atunci staţi să vedeţi când aceste generaţii postpandemice vor ajunge la maturitate, “ce dezastru vom avea”.

Dar, să mergem mai departe cu enumerarea aspectelor “negative”. În ultima vreme, în urma implicării masive volens-nolens a părinţilor în şcolirea copiilor din anii pandemiei, la mulţi copii apare mai accentuat ca în trecut şi un alt aspect, anume unul pe care îl consideram “rezervat” în principal dascălilor, a învăţătoarelor şi profesorilor, anume învăţarea rezolvărilor pe de rost. Mulţi părinţi au fost educaţi în acest fel, au în minte din anii de şcoală această formă de învăţare despre matematică, şi deci pe aceasta le-o impun şi copiilor lor în aceşti ani, când au ajuns să se implice aşa de mult în şcolirea puiuţilor lor.

În general, unii părinţi greşesc printr-o prea timpurie şi prea profundă implicare, cerând de la copil şi de la profesor “prea mult” şi “prea devreme”. Cel mai des însă apare următorul model pendulant comportamental: pe de-o parte părinţii oferă puiuţului lor tot luxul societăţii moderne (distracţii în toate felurile, toate cele ce şi-ar putea dori copilul, în primul rând desigur smartphone), pe care ei nu le-au avut, iar apoi, când copilului trăieşte doar în aceste “distracţii” şi rămâne în urmă faţă de aşteptările părintelui legate de şcoală, încep meditaţile în particular, tot mai des într-un regim inimaginabil, neîntâlnit în urmă cu câţiva ani.

Există şi alte forme în care părinţii se implică în mod negativ în educaţie (precizez: unii dintre părinţi): mă refer aici la situaţii când nu se implică defel (ca într-un fel de abandonare a copilului), “intrând în priză” doar când “arde”, de pildă la corigenţe sau în general în clasa a 8-a, în vederea EN. Iată, de pildă, un aspect observat tot mai clar în ultima vreme, anume validarea de către părinţi a comportamentului de neînvăţare, de genul: trei ani elevul nu se oboseşte cu învăţatul, apoi recuperează prin meditaţii în clasa a 8-a, pentru EN. Chiar zilele acestea ne-a spus mama unui elev la corigenţa din finalul clasei a 9-a, că: –“el poate”, l-am văzut cum a recuperat în a 8-a. Singura replică ar fi: –aşa deci, iar acum consideri că poate repeta strategia şi pe liceu? Mulţi cunoaştem astfel de abordări. La câteva zile după redactarea acestor rânduri, mama unei eleve absolvente de-a 8-a mi-a explicat cât este de mândră de nota fiicei: –am învăţat împreună cu ea ultimele trei săptămâni şi uite ce bine a ştiut. Dar să trecem la categoria următoare, a dascălilor.

Educaţia şcolară începe prin intermediul învăţătoarelor (scuze, dar tot mai puţin învăţători bărbaţi pot fi întâlniţi). Şi da, foarte rar vom găsi învăţătoare care au ales această profesie din dragoste pentru matematică. Astfel, multe învăţătoare pornesc din clasele mici o educaţie pregătitoare de AFM; pentru că atâta pot, asta înţelegând dânsele prin “matematică”; învăţătoarele au oricum un spectru foarte larg de educat la copii, aşa încât deficienţele la zona matematică le “sunt iertate” de celelalte multe aspecte pe care probabil le fac bine. În aceste condiţii, gândirea şi cunoştinţele matematice rămân în sarcina familiilor, acolo unde familia se poate ocupa direct, sau o face indirect, prin meditaţii timpurii. Acolo unde nu se poate: “ghinion!” (ca să-l mai cităm uneori pe Klaus-Werner), “asta e!”, copilul rămâne fără gândire la acest nivel. Precizez că nu am spus “toate învăţătoarele”. Desigur că există şi foarte multe învăţătoare care sunt minunate formatoare de gândire la clasele lor, dar acestea ies din discuţia de faţă, dânsele nefiind formatoare de copii cu AFM.

Ne-am aştepta însă că respectivele deficienţe din educaţia matematică primară să fie repede corectate şi compensate în primii ani de clase gimnaziale de către “profesionişti”, adică de către profesorii de matematică. Da de unde! La fel ca la învăţătoare, chiar şi la mulţi dintre profesori preocupările din cadrul activităţii acestora se îndreaptă în alte direcţii decât în corectarea şi prevenţia AFM (cum am prezentat deja, de pildă ca preocupări înspre aplicaţii de excelenţă, sau înspre o predare cât mai riguros teoretică etc.). În acest sens există studii care arată că AFM se accentuează masiv odată cu trecerea copiilor în gimnaziu, deci “vina principală” ar trebui căutată la predarea profesorilor de matematică, mai degrabă decât în învăţământul primar, prin “a aruncare mâţei moarte” peste gard, în curtea învăţătoarelor.

Bine, dar poate că autorităţile ar trebui să impună o linie de prevenţie şi de corectare în acest sens? Da de unde! Nici vorbă! Dânşi, de la înălţimea ministerului, ştiu cel mult să ne ceară nouă profesorilor rapoarte şi acţiuni remediale. Dar – trebuie să recunoaştem – au fost şi situaţii pozitive remarcabile în acest sens. Putem da ca exemple atenţionările spre o predare mai intuitivă din cadrul programei din 2017 sau cele din ciudata “scrisoare metodică” din 2019, dar la care nu am putut observa serioase ecouri (ce-i drept că în mai puţin de un an eram loviţi de pandemie). Din păcate, am impresia că profesorimea în general nu prea ştie cum să le interpreteze, acestea pierzându-se în vâltoarea activităţii de zi cu zi. Oricum, aceste exemple pot fi privite mai degrabă ca excepţii de la regula generală: de pildă, deja spre finalul pandemiei toată lumea vorbea despre admiterea specială la Colegiile Naţionale (şi a fost o mult mai mare “vânjoleală” în sensul de a le impune decât legat de “scrisoarea metodică”), cu atenţia înspre un cu totul alt tip de matematică (cea de excelenţă), lăsând din nou elevii din a doua jumătate a eşalonului naţional pradă dezinteresului general (sursă clară de AFM!).

De fapt, în general, autorităţile matematice româneşti încă nu s-au dezis de politica introdusă de Ceauşescu “pentru crearea omului nou”, în care acesta direcţionase şcoala matematică preuniversitară românească spre o preocupare excesivă pentru olimpiade. Reamintesc că preocuparea respectivă, cu scopul declarat de revenire a olimpicilor români în vârful OIM, a fost ridicată “în slăvi” şi impusă la nivel naţional de către Ceauşescu în a doua jumătate a anilor ’70 (ciudat de aproape după valul de mândrie manifestat la nivel mondial, ca urmare a succeselor uriaşe ale Nadiei Comăneci la Olimpiada de la Montreal).

Această preocupare s-a manifestat în două direcţii: probleme tot mai multe şi mai grele, pe de-o parte, şi o introducere mult mai riguroasă, teoreticistă, a materiei, incluzând aici şi o creştere a cunoştinţelor predate. Am prezentat aceste aspecte de pildă în eseul rezumativ ce poate fi găsit la adresa https://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ .

Nimeni nu a luat în discuţie aceste aspecte după îndepărtarea lui Ceauşescu, astfel încât această preocupare s-a transmormat încet dar sigur într-o obsesie naţională a matematicii şcolare româneşti. Nici acum nu are încă nimeni curajul să atragă atenţia că această preocupare obsesivă ar trebui eliminată, sau măcar i-ar trebui puse nişte limite clare, pentru că altfel aceasta duce spre o neglijare tot mai accentuată a gândirii restului elevilor, cu urmări care au ajuns deja să afecteze siguranţa naţională şi economică a României.

Oricum, ca toate preocupările ajunse la nivelul de politică de stat în anii ’70-’80 (de pildă şi toate programele de susţinere şi selectare a sportivilor), cu o susţinere masivă prin şcoli, s-au transformat încet în anii ’90-2000 printr-o decădere generalizată, aproape toată sarcina susţinerii ajungând actualmente “pe umerii familiilor” (atât sportiv cât şi înspre matematică). Aşa că trebuie să spunem şi aici clar: majoritatea  matematicii de excelenţă din România are loc la ora actuală oricum pe socoteala părinţilor. Şcolile sau clasele “de excelenţă” reprezintă doar “environment-ul” (ambientul) plin de cerinţe excesive şi practici matematice foarte înalte, spre care tind părinţii cu ambiţii ridicate şi cu putere financiară bună. Majoritatea rezultatelor din aceste “hub”-uri de excelenţă se bazează pe o muncă intensă privată, de obicei finanţată de către familii. Problemele practicate şi cerute fiind la nivelul elevilor de vârf (din clasă, din judeţ sau chiar naţional), toţi ceilalţi trebuie să tragă tare “să ţină pasul”, iar asta se face pe costul familiilor. Vârfurile acestei preocupări intense ajung apoi să beneficieze suplimentar de munca din centrele de excelenţă, iar laurii celor cu succese sunt preluaţi desigur şi de aceste centre (clase, profesori sau chiar şcoli întregi), care, pe lângă olimpiade şi alte concursuri, ajung să se laude desigur şi cu locurile fruntaşe la examenele naţionale. Nimeni nu se laudă însă cu rezultatele la examene din capătul celălalt al spectrului şcolar, anume de câţi elevi a reuşit să ridice peste nota 5 la EN, ca să intre la o şcoală “cât-de-cât”, “să iasă om din el”, sau câţi elevi a reuşit să vindece de AFM.

Încercând să revenim la nivelul conducerii învăţământului matematic românesc, observăm aici un fenomen ciudat. Programa este în continuare încărcată, cu dese defazări (în sensul de “prea devreme” sau “prea târziu”), dar şi cu neconcordanţe (de exemplu, ecuaţiile apar ca lecţie la începutul clasei a 6-a, dar se fac masiv din clasa a 3-a la multe şcoli sau clase cu pretenţie). Un aspect pe care nimeni nu-l sesizează este aranjarea materiei conform necesităţilor parcurgerii pentru olimpiadă, decât conform necesităţilor marii mase a populaţiei şcolare, a elevilor ce compun “blocul principal din Clopotul lui Gauss” (de exemplu, studiul complet al poziţiei dreptelor şi planelor în clasa a 8-a, accesibil doar celor puţini, ocupând întregul “semestru I”, înaintea geometriei “aritmetice” cu calcule de arii şi volume, care  reprezintă o matematică pentru “cei mulţi”).

În aceste condiţii există masiv cerinţe publice, “din partea societăţii”, de reducere a nivelului exagerat, iar autorităţile chiar fac din când în când anumite încercări în acest sens. Numai că, reacţia “olimpiştilor” de la nivelele locale, necontrolate de minister, sunt de profundă “durere în cot”. Nu cei “de la Minister” scriu de pildă în caietele elevilor de a 7-a sau a 8-a formulele “de vârf” pentru aria triunghiului, cea a lui Heron sau cea cu sinus, şi nu ei dau din greu probleme în acest sens prin culegeri.

Cauze ale apariţiei AFM la scară aşa de mare (în jur de 50% cum sugerează studiul PISA) sunt peste tot şi ţin de multe ori de forma societăţii noastre. Înghesuirea activităţii de excelenţă în oraşe şi mari centre, cu toate succesele lor la nivele înalte, acaparează toată atenţia şi preocuparea autorităţilor şi a specialiştilor, lăsând într-un con de umbră restul populaţiei şcolare, de la ţară sau din oraşele cu putere financiară scăzută. Oricum, tot ce am scris până acum în acest mega-eseu este mai mult din punct de vedere al profesorului dintr-un centru mare; rar când mai aflu câte ceva despre cum stau lucrurile şi în alte părţi ale ţării, mai neglijate de soartă.

Uneori mai auzim de diferite persoane grupate în jurul unor ONG-uri, persoane care luptă pentru salvarea copiilor “condamnaţi a fi înghiţiţi de acest vârtej al indiferenţei”, dar acestea sunt doar excepţii de la tabloul general. În aceeaşi categorie a excepţilor lăudabile s-ar încadra de pildă şi “Olimpiada Satelor”, dar şi acestea se ocupă de fapt tot de “vârfuri”, deci nu poate schimba tabloul general deplorabil al învăţământului preuniversitar matematic românesc: o distribuţie Gauss cu două vârfuri masive la distaţă mare unul de celălalt. Pe de-o parte sunt situaţile de succes de care tot auzim, pe de cealaltă parte – la fel de mulţi – sunt copiii abandonaţi de matematica şcolară, condamnaţi la un mare eşec în viaţă. Cât despre autorităţile naţionale, se pare că acestea nu vor sau nu pot, oricum sigur nu găsesc “ac de cojocul” acestei situaţii disonante.

Chiar şi despărţirea şi selectarea elevilor după clasa a 8-a în “cei buni şi cei slabi” la matematică, în “real sau uman“, aduce o parte mare a populaţiei şcolare din licee în stare de AFM la toate clasele care nu au în final examen de BAC la matematică, activitatea lor în sensul acestei materi, deci şi în sensul formării unei gândiri adevărate, fiind total “de formă”.

Ca o paranteză ciudată, eu aş considera inclusiv birocraţia sistemului printre sursele AFM din România, în măsura în care cantitatea tot mai crescută de acte cerute dascălilor sigur ia din timpul limitat de pregătire al acestora. Mai apare ascuns aici şi un alt principiu, anume cel al falsităţii profunde a vieţii noastre profesionale: timpul şi atenţia dascălilor sunt ocupate de tot felul de obiective de referinţă sau competenţe specifice, dar şi de multe multe alte găselniţe, invenţii şi “pitici de pe creierele unora”, acestea ocupând în plus şi atenţia şi preocuparea dascălilor, nelăsându-le acestora loc în gândire şi în preocupare pentru altceva, de pildă pentru elevii cu AFM. Chiar şi multele cursuri de perfecţionare nu fac nimic în a remedia această situaţie extinsă la nivel naţional.

Aş dori să ne îndreptăm atenţia puţin şi către sistemul de evaluare. Mai ales la materiile ştiinţifice evaluarea şi examinarea verifică mai mult memorarea şi prea puţin gândirea. La multe materii verificarea memorării este dominantă. La matematică, prin memorare simplă poţi ajunge la note mulţumitoare; de-abia de la nivelul de 8-9 începe să fie tot mai clar necesară gândirea, deşi şi în subiectele I şi II din modelul de EN al ultimilor ani se regăsesc multe elemente de gândire adaptate elevilor de rând. Din păcate, acestea n-au ajuns să fie reprezentate cu adevărat şi în manuale şi în auxiliare. Şi nu am aici pretenţia ca acestea să fie dominante, dar măcar să fie proporţional reprezentate, şi mai ales să fie din abundenţă prezente la începutul lecţilor, ca material de lucru pentru pornirea gândirii la elevii “din eşalonul secund”.

Da, şi dacă am vorbit puţin de sistemul de evaluare, trebuie să reamintim aici şi de sistemul de meditaţii. În episoadele (3) şi (4) am analizat cele două tipuri de probleme (reţetate, respectiv gândite) şi cele două tipuri de predare (pasivă “turuită”, respectiv implicativă). În ambele episoade a reieşit că există o cale mai rapidă, dar mai nesănătoasă, cauzatoare de AFM, dar şi o cale mai sănătoasă, bună în prevenţia AFM, dar “mare consumatoare de timp”. Necunoscând în profunzime fenomenul, este evident că de cele mai multe ori lumea preferă căile mai rapide, fără să ştie că acestea sunt distrugătoare la nivelul gândirii, în detrimentul celor sănătoase dar aparent mai lente. Am analizat în aceste discuţii activitatea profesorilor de la clasă, dar oare din care categorie fac parte meditatorii din particular? Uitându-mă cum stau lucrurile pe elevii de la clasă (anul acesta am avut două clase eterogene de a 8-a) pot spune că, din păcate, am putut observa multe cazuri în care meditatorii duceau la creşterea cantităţii de reţete ce trebuiau “îngurgitate” de către elevi.

Astfel chiar am putut observa o creştere năucitoare a diferitelor “teoreme” ce le erau prezentate elevilor la orele din particular. În mod spontan, eu le-am numit pe acestea “teoreme de periferie” şi chiar am făcut o lecţie la clasă în care le-am prezentat elevilor o mică colecţie de astfel de “teoreme” (de obicei nefolositoare la EN), pentru că altfel elevii (dar şi familiile acestora) puteau avea impresia că eu nu mi-am predat materia complet. Pe lângă cele care apar “cu nume” şi sunt tare “la modă” (deja amintitele Heron, aria cu sinus etc.) mai apar şi unele de genul: se ştie că înălţimea într-un trapez dreptunghic ortodiagonal este medie proporţională a bazelor (cu greu poţi găsi un exemplu mai bun în ceea ce priveşte “îndesarea” atât de eficientă şi bulversantă a cât mai multor termeni tehnici într-o “teoremă”).

Este vorba despre o întâmplare concretă în penultima săptămână de şcoală la a 8-a, când “ne munceam” cu perpendiculara dintr-un vârf al unui dreptunghi pe diagonala ce nu trece prin acel vârf …, iar o elevă a ridicat mâna şi a enunţat respectiva “teoremă”. După rezolvarea problemei pe această cale, am întrebat eleva care o spusese de unde o ştie (că eu sigur nu le-am dat-o, unei clase cu “un singur matematician” în finalul clasei a 7-a şi restul cam “speriaţi de bombe”). Răspunsul a fost cinstit: – din particular. Vă puteţi inchipui cum “s-au uitat” ceilalţi elevi în momentul când s-a auzit în clasă acea “teoremă”. Ca să o şi perceapă clar, am pus-o să o repete, după care am explicat-o şi eu imediat (la capacitatea de atenţie şi percepţie a elevilor din zilele noastre, eşti obligat să procedezi astfel). Oare câţi au gândit în acel moment ceva gen “profu’ nu ne-a dat-o pe asta!” sau “şi pe asta trebuie să o învăţ?”.

Dar, revenind la subiectul nostru principal, gândindu-mă acum, după aflarea rezultatelor la EN, văd cum toate aceastea pot duce la AFM chiar şi la elevi mai răsăriţi, în cazul în care aceştia parcurg un drum de recuperare prea abrupt în învăţarea cantităţii foarte mari de cunoştinţe “necesare” pentru EN. Şi da, eu am văzut în acel moment cum prezentarea unei astfel de “teoreme” absolut marginale unui singur elev în particular, poate bulversa apoi mulţi alţii la clasă, atunci când elevul cu pricina “scoate din joben” reţeta respectivă: – de ce ne chinuie profu’ cu asemănarea triunghiurilor, când cu “teorema” asta merge aşa de uşor? În acel moment am văzut pe câteva feţe din clasă sperietura specifică elevului cu AFM. Cum au făcut faţă şocului, asta a diferit de la unul la celălalt, dar sigur au fost urmări la cei care doar toceau şi mai puţin gândeau.

În concluzie, vedem astfel cum în general toate acţiunile celor din jurul elevilor se întrepătrund. Oricine lucrează într-un moment cu copiii are doar intenţii bune. Totuşi, pe lângă rezultatele pozitive vizate, de multe ori apar şi efecte negative colaterale, de multe ori la elevii din jur, care uneori depăşesc în amploare şi magnitudine rezultatele pozitive urmărite. Este un stil de muncă şi căutare a rezultatelor de vârf ce se dovedeşte extrem de egoist al adresa celorlalţi copii. Ca o concluzie, vedem cum în multe cazuri elevii sunt prinşi într-un cerc vicios, din care tot mai puţini pot scăpa sau pot fi scoşi.

Aş dori în final să ne uităm şi mai sus, anume la sistemul de organizare al învăţământului în general, anume la învăţământul care impune din când în când trepte de examinare şi selecţie. Am tratat acest subiect într-o postare publicată în februarie 2020, scurt înainte de declanşarea primului lockdown Covid. Este vorba despre ciudata, dar foarte naturala Legea lui Cambell. Puteţi citi/ reciti articolul respectiv la adresa https://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/.

Pe scurt, această “lege” (de soi similar cu “legea lui Murphy”, adică a fost “enunţată” într-o discuţie, ca o observaţie colaterală), legea lui Campbell susţine că orice sistem de evaluare a unui proces va ajunge să influenţeze şi să transforme procesul respectiv, în sensul că procesul se va adapta înspre aspectele verificate în acel sistem de evaluare. Cu alte cuvinte, orice formă de evaluare tinde cu timpul să dea o formă nouă, subiectivă, procesului pe care era menită a-l evalua, denaturându-i astfel menirea obiectivă iniţială.

Astfel, despre educaţie, Donald T. Campbell scria în 1976: “Testele de evaluare a  asimilării (*) pot fi foarte bine indicatori valoroşi despre nivelul atins şi despre asimilarea generală şcolară în condiţiile predării normale în direcţia competenţelor generale. Dar când REZULTATELE LA TESTE DEVIN SCOPUL PROCESULUI DE ÎNVĂŢĂMÂNT, testele îşi pierd valoarea de indicatori ai stadiului educaţional şi ajung să deformeze procesul educaţional în moduri de nedorit. (Efecte similare apar desigur la testele de final ale diverselor cursuri sau la examene de admitere.)”

Cu alte cuvinte şi adaptat subiectului nostru, profesorii nu fac cu elevii ce ar fi sănătos, ci cu precădere ceea ce se aşteaptă mai mult “să vină” la examen, fac tot ce pot pentru a avea rezultate cât mai bune la examene. Totuşi, pe lângă acestea, foarte mulţi profesori denaturează puţin afirmaţia de mai sus, în sensul că fac cu elevii cu precădere “ce se aşteaptă ei”, respectiv ce se gândesc ei că s-ar da la examen. Noroc că cei din comisia naţională de evaluare sunt conştienţi că trebuie să dea subiecte pentru elevi de toate nivelele, din toată ţara. Văzând acum citatul de mai sus, mă sperie în contextul discuţiei noastre ideea a doua din paranteza afirmaţiei lui Campbell: Efecte similare apar desigur (…) la examene de admitere, în contextul prefiguratelor examene suplimentare la Colegiile Naţionale de peste doi ani.

Un alt aspect legat de această foarte logică “lege a lui Campbell” îl reprezintă “zvârcoleala” din urmă cu cca. 10 ani, legată de probleme de “tip PISA” cu care ne-am cadorisit o vreme, atât ca recomandare dinspre autorităţile centrale, cât şi din culegerile cu teste pregătitoare.  S-a văzut clar că autorii români nu s-au prea priceput să găsească situaţii de verificare a AFM exterior compatibile cu ce se făcea în materia şcolară, dar şi cât de cât realiste. În plus, de vreme ce astfel de probleme nici nu apăreau în subiectele de la EN, cu timpul profesorii de matematică au cam abandonat “acest sport”. Îmi vine să concluzionez clar cu un sec q.e.d.

În acest sens, în zona plauzibilă de a veni la examen există clar o singură excepţia notabilă, anume a problemelor cu situaţii aritmetice, care sunt oricum tradiţionale în acest sens. Totuşi de multe ori şi acestea de fapt ne prezintă situaţii utopice, total neraliste. Eşecul la o astfel de problemă scoate în evidenţă mai degrabă AFM-int sau lipsa învăţării unei anumite reţete, decât AFM-ext, aşa cum o fac problemele din Studiul PISA. În rest, din zona de geometrie sau algebră, un mare nimic.

Discutând cu soţia acest subiect al forţei uriaşe a legii lui Cambell, a apărut ideea că ar trebui desfiinţate examenele din forma actuală şi repartizaţi elevii pe baza coeficientului de inteligenţă (IQ). Răspunsul meu a venit imediat: atunci vor începe meditaţii de pregătire pentru creşterea artificial-dopată a coeficientului de inteligenţă! Va urma, CTG

P.S. Vă prezint aici o amintire veche de când am auzit eu prima dată despre Studiul PISA. Traduceam odată la un conferenţiar din Germania când a povestit ceva despre acesta (ştiu că m-am şi fâstâcit la traducere, încurcat fiind de acest nume, crezând că vorbea despre oraşul omonim italian. Mult mai târziu am aflat că PISA era aici pentru Programme for International Student Assessment (programul pentru evaluarea internaţională a elevilor).

Cum am spus, traduceam într-o conferinţă, aşa încât nici nu luam notiţe. Totuşi, spusele din acea zi mi-au tot revenit în minte în toţi aceşti ani. Oricum, pentru mine a fost prima dată când am auzit de acest studiu, fiind cu câţiva ani înainte de perioada când a început să se vorbească şi în România de “probleme de tip PISA”.

Astfel, ţin minte că vorbitorul ne evoca o discuţie cu un reprezentant din sistemul Waldorf care participase la alegerea şi redactarea subiectelor (pentru prima ediţie, cred), şi care afirmase că: au încercat să dea probleme din care nu se făceau la şcoală (în diferitele sisteme de şcoli naţionale), probleme care ieşeau din tipologia uzuală, subiecte pentru care elevii nu erau pregătiţi, pentru a-i vedea cum gândesc pe situaţii noi. La noi în ţară nu am auzit vorbindu-se despre aceste aspecte, pur şi simplu pentru că noi nu vedem matematica în acest fel. Acum, stimaţi cititori, având în plus această informaţie ciudată, acum puteţi să o luaţi de la capăt cu cititul nu numai a acestui episod, ci şi a tuturor celorlalte. Îmi permit să vă sugerez asta pentru că amintirea respectivă, evocată aici, aruncă o cu totul altă lumină asupra tot ce am scris până acum.

Deci, de ce învăţăm matematica? Pot doar să vă precizez că, dacă vă trece prim minte un răspuns de genul “pentru studiul PISA?”, atunci încă nu aţi înţeles despre ce este vorba. Oricum, sper că voi reveni la aceste aspecte în episoadele suplimentare planificate (în măsura în care voi găsi timp după pregătirea celor 20 ore săptămânale din timpul şcolii).

În precedentele episoade îmi afirmam convingerea că analfabetismul funcţional matematic (AFM) are ca o principală cauză învăţarea pe de rost a diferitelor modele de rezolvări în paralel cu neglijarea confruntării elevilor cu situaţii noi, în care să fie nevoie de activarea gândirii. În plus faţă de cele analizate până acum, trebuie accentuat că analfabetismul funcţional matematic apare în general din lipsa confruntării elevilor cu provocări accesibile lor, cu probleme pe care să le poată rezolva chiar ei (chiar şi cei de nivel mediu), fără a le fi fost explicat în prealabil ce au de făcut pentru situaţia respectivă. În acest sens am putea “enunţa” aici un aşa-numit principiu al accesibilităţii provocărilor (l-am prevestit chiar in finalul episodului precedent).

Setarea provocărilor zilnice la nivelul vârfurilor clasei (la nivelul de excelenţă, privind în mare), duce la încalcarea acestui principiu pentru majoritatea elevilor, anulându-le acestora şansa de a-şi forma şi a-şi exersa gândirea. Astfel, pentru majoritatea elevilor din România, matematica nu îşi îndeplineşte principala menire, aceea de a fi formator de gândire raţională la viitorii cetăţeni. În acest sens, e evident că apariţia AFM este doar o manifestare particulară a unei stări mult mai vaste, stare care cuprinde printre altele inclusiv nivelul deosebit de crescut al manipulabilităţii populaţiei votante, despre care am vorbit cu ocazia alegerilor 2024-25 (ce surpriză, cum se leagă lucrurile!).

Revenind la problemele de matematică, cauza principală de apariţie a AFM în acest sens ar fi cantitatea mult prea mare de forme-modele de probleme practicate la clasă, dar şi nivelul tot mai ridicat de dificultate şi de complexitate a gândirii, la care s-a ajuns cu acestea. Atât de departe s-a ajuns în creşterea varietăţii şi a dificultăţii problemelor, stare în care totuşi se caută în continuare creşterea (desigur în numele excelenţei, greşit înţelese de către mulţi), încât s-au epuizat toate direcţiile posibile, şi deja de decenii bune nivelul este dopat cu materie mult peste pragul sănătos potrivit vârstelor elevilor.

Astfel, de multe ori probleme sau lecţii întregi sunt coborâte încet dar sigur din clase mai mari în clase mai mici. Procesul are loc de decenii bune, de prin anii ’70, dar ordonat şi sigur de prin 1980 (ne indreptăm către jumătate de secol în acest sens), atât prin programa oficială cât şi prin preocuparea pentru excelenţă, procesul fiind potenţat masiv după 1990. Principiul este simplu: pentru că unul sau altul poate, pentru că elevii “de excelenţă” pot, procedeul (lecţia, noul model de problemă etc.) este adus în clasă şi devine cu timpul normalitate, restul elevilor fiind astfel condamnaţi la învăţarea pe de rost şi deci la formarea AFM.

Până acum m-am focusat în acest sens doar pe partea de probleme date elevilor. Matematica are însă şi o altă parte importantă în care poate fi căutată activarea gândirii, anume în cadrul  predării noilor lecţii. Da, vorbesc aici de activarea gândirii prin predare. Predarea este în general deficitară în România, însă, dacă ne uităm din acest punct de vedere, predarea este chiar extrem de deficitară (desigur, cu excepţiile de rigoare).

Dar să aruncăm o privire în această direcţie a activităţii matematice, analizând puţin cum stau lucrurile din punct de vedere a formării şi antrenării gândirii prin provocări noi în cadrul predării matematicii. Părerea mea este următoarea: dacă la zona de probleme gândirea este neglijată, exacerbându-se importanţa învăţării pe de rost a unor cât mai multe rezolvări tip, concomitent cu neglijarea masivă a ocazilor accesibile de antrenare a gândirii, în cazul predării matematicii activarea gândirii, formarea şi exersarea gândirii pure sunt neglijate prin eliminarea cvasi-totală a pasajelor de gândire în detrimentul simplei “turuiri în mare viteză” a conţinuturilor lecţiilor, spre a fi rapid aduse la cunoştiinţă elevilor şi apoi imediat aplicate în probleme. Predarea are loc în acest mod datorită faptului că în România cantitatea de aplicaţii este absolut uriaşă, iar profesorii vor să treacă rapid la probleme, să prezinte claselor cât mai multe tipuri de aplicaţii (sunt chiar forţaţi “de sistem” în acest sens).

Colateral trebuie precizat că, în acest fel elevii sunt antrenaţi la un fel de “gândire aplicativă”, de învăţare rapidă a unor reţete nejudecate, în care folosesc noţiuni, formule, teoreme, care la rândul lor sunt neînţelese. Elevii sunt obişnuiţi să lucreze cu elemente total neînţelese. Nimeni nu se preocupă despre ce şi cât înţeleg elevii, ci doar despre ce ştiu rezolva. Chiar şi afirmaţia “am înţeles” este abuzată la ora actuală, fiind folosită cu sensul de “am cuprins cu atenţia paşii ce-i am de urmat, şi dacă am noroc chiar pot face şi eu o astfel de rezolvare”. Înţelegerea profundă a fenomenului matematic este înlocuită cu capacitatea de memorare a unor paşi de rezolvare; gândirea este înlocuită cu mimarea gândirii.

Mă tot învârt aici în jurul acestui subiect al manipulabilităţii “produsului final al şcolii româneşti. Da, “elevul român” este antrenat şi obişnuit în toată viaţa sa şcolară să execute sarcini neînţelese, folosind noţiuni şi reguli nepătrunse, datorită simplei autorităţi a dascălilor, care este de obicei o autoritate “temută”. Nimeni nu-i obişnuieşte să gândească, să treacă o informaţie nouă prin “filtrul propriei gândiri”, pentru că de fapt nimeni nu are între obiective formarea unei gândiri sănătoase la elevi. Astfel, elevii se obişnuiesc să preia orice informaţie ca atare, nejudecată, aceasta fiind starea lor obişnuită (altfel nici nu ştiu; ei de fapt au impresia că gândesc). Iar apoi vine un individ dubios şi le vorbeşte “mieros”, debitând inepţii “pe bandă”, iar oamenii cu drept de vot – foştii elevi – îl cred, iau “de bune” ce le spune acesta, precizând cu convingere că le place cum le vorbeşte.

Revenind la predarea lecţiilor, atât de neglijată este aducerea acestora în faţa elevilor (în general), încât tot mai des se întâmplă ca diferitele lecţii să le fie date elevilor spre conspectare (acasă ca temă, sau chiar în clasă). Forma extremă la această situaţie apare în cazurile când profesorul de la clasă îi pune pe elevi să conspecteze din rezumatul oferit în auxiliarul folosit, şi nu în manualul oficial, acolo unde lecţia este cât de cât explicată, pentru că în auxiliar este prezentată o variantă clar mai scurtă (aici uneori părinţii mai folosesc manualele pentru a se lămuri şi a-şi aduce aminte cum stau lucrurile, pentru că pe vremea lor lecţiile chiar “se înţelegeau”). Nici nu discut acum de situaţiile sub justificarea “pentru a economisi timp”, deşi în realitate profesorul foloseşte metoda doar “pentru a sta pe telefon” sau a face altceva în timpul orei. Să revenim deci la profesorii care chiar lucrează intens la ore.

Ca să fie clar până unde se poate ajunge, fac aici o paranteză, punând o întrebare retorică pe post de exemplu: oare, ce poate înţelege un elev din fenomenul formulelor de arie şi de volum, dacă primeşte ca temă să le “conspecteze” dintr-un auxiliar unde sunt date în forma lor generală, fără măcar să li se ofere alăturat şi o figură, respectiv un set de figuri (de pildă cu cele trei tipuri de prisme din programă)?

Astfel, putem spune că în România avem o matematică aflată sub dictatura problemelor (cu specificaţie clară: a problemelor de examen sau spre excelenţă). În condiţiile acestei presiuni uriaşe, puţine mai sunt cazurile în care profesorii să aloce timp şi răbdare antrenării gândirii elevilor cu ocazia predării, pe baza conţinuturilor lecţiilor, în condiţiile în care nici elevii nu se prea “dau în vânt” după multe explicaţii. Precizez aici că oricum durează luni, chiar ani, până se trezeşte o curiozitate sănătoasă la elevi, procesul depinzând de multe aspecte: inteligenţa, dar şi trecutul elevilor, numărul, dar şi interesul lor, timpul alocat în acest sens etc.

Dar, cum ar trebui să se întâmple lucrurile? Păi, să vedem: deci, cunoaşterea unei noi lecţii, are loc întotdeauna undeva pe o plajă cuprinsă între două forme extreme. Pe de-o parte este primirea lecţiei de la cineva, care are loc în forma sa extremă ca prelegere, adică simpla turuială a lecţiei. Aceasta sună aidoma citirii conţinuturilor dintr-o carte (astfel de forme se găsesc desigur şi pe net, cum se zice, “la un clic distanţă”). La această formă “docentul” este concentrat cu totul pe redarea cât mai completă a conţinutului; prelegerea este organizată doar în jurul conţinuturilor, a noţiunilor, oferite ca informaţii şi a formei de prezentare a acestora. Să-i spunem la această formă predarea prin prelegere, pentru că reprezintă forma ideală de predare în formatul academic, fiind deseori căutată şi în preuniversitar.

Pe de cealaltă parte ar fi o cunoaştere a conţinuturilor în care de fapt “maestrul” îl însoţeşte pe “discipol” pe acest drum, înspre descoperirea noilor conţinuturi. Maestrul nu i le dă, ci doar i le sugerează, îi transmite indicii despre existenţa acestora. La rândul său, discipolul, plin de curiozitate şi de dorinţa de cunoaştere, face apoi restul “muncii” prin propria căutare şi cercetare. Acest proces de descoperire îndrumată este centrat în jurul gândirii, noţiunile şi celelalte conţinuturi fiind doar rezultatul procesului de căutare făcut de gândirea elevului. Regulile sau noţiunile urmărite de către “maestru” apar în faţa elevilor ca un fel de “nestemate”, ca nişte mici “comori”, desoperirea acestora oferindu-i elevului o satisfacţie deosebită, ca un fel de “premiu”: EU am găsit asta! Astfel, energizata cu entuziasm, se formează şi se antrenează gândirea la elev, inspirată şi coordonată fiind de către scurtele sugestii şi indicaţii îndrumătoare ale profesorului. Să denumim această formă de cunoaştere predarea prin descoperire (complet ar fi predarea prin însoţirea descoperirii).

La prelegere docentul vorbeşte evident, cu un aer de superioritate studenţilor, aşteptând ca aceştia să se ridice la nivelul său, tratându-i însă ca “egali” ai săi doar din punct de vedere al maturizării şi al interesului. Dimpotrivă, la însoţirea descoperirii maestrul vorbeşte enigmatic, dar se coboară cât mai aproape de nivelul ucenicului pentru a-l însoţi cu întrebări ajutătoare, rămânându-i totuşi superior doar prin prisma faptului că el de fapt cunoaşte materialul nou, deşi se arată şi se comportă cât mai misterios posibil.

Prelegerea este o formă “rece” de predare: docentul se concentrează doar pe sine şi pe materia sa de predat (pe care o are cuprinsă în cap sau pe notiţe); întreaga sarcină înspre înţelegere şi însuşire cade în sarcina “studentului” (de aia îi şi zice aşa, că e “studios”). Dimpotrivă, îndrumarea spre descoperire este o formă “caldă” de predare, în care este esenţială conexiunea psihică între cei doi, “chimia” dintre “maestru” şi “discipol”; strădania înspre înţelegere şi însuşire este împărţită în mod egal între cei doi.

Prelegerea este eficientă temporal, deoarece nu implică un dialog, pe când, dimpotrivă, însoţirea pe drumul descoperirii este mare consumatoare de timp, implicând mult dialog şi mai ales timp la dispoziţia “învăţăcelului” ca acesta să facă singur paşii de descoperire; iar asta durează. La prelegere docentul turuie, iar studentul copiază; singura problemă este ca viteza de turuire să nu depăşească capacităţile maxime de scriere a elevilor, dar asta se regla în trecut prin faptul că profesorul scria pe tablă (pe vremuri exista şi “stenografia”, care reprezenta o scriere foarte rapidă, ce putea “ţine pasul” cu orice prezentare orală). Mai nou, când profesorii vin cu cursul în format electronic, studenţii nu mai au posibilitatea de a lua notiţe şi, deci, de a se implica măcar aşa în procesul de transfer al cunoştinţelor (lasă că primesc şi ei varianta electronică sau cumpără cartea şi au timp să studieze acasă, asta dacă mai ţin minte explicaţile de la curs). Dimpotrivă, la cunoaşterea materiei prin descoperire, ritmul trebuie să fie adaptat vitezei de gândire al elevului, profesorul fiind oblegat să respecte asta, având un repertoriu redus de metode pentru a accelera procesul.

Ca o mică paranteză, merită observat aici că marii oratori reuşesc să aducă la un acelaşi nivel cele două forme de predare: el îţi ţine aparent o prelegere, dar o face atât de clar şi accesibil încât în timpul audierii ai impresia că de fapt descoperi chiar tu – cu o fracţiune de secundă înainte – ce îţi va spune el. Gabor Maté este unul dintre aceştia, iar scurtele filmări de pe net cu diverse prezentări sunt de-a dreptul entuziasmante pentru un învăţăcel în ale educaţiei. Dar să revenim la prezentarea noastră..

Din punct de vedere al elevului, prelegerea reprezintă o predare pasivă, elevul trebuind oficial doar să-şi completeze notiţele. Desigur că el ar trebui să şi înţeleagă şi să înveţe, dar noi nu putem verifica foarte clar ce se întâmplă “în căpşorul” lui (decât a doua zi la ascultat, sau la test, dar până atunci mai apare tocitul sau profesorul din particular, iar asta “nu mai este treaba noastră”). Dimpotrivă, îndrumarea elevului spre descoperirea noilor conţinuturi reprezintă o predare implicativă. Nu există predare prin descoperire fără implicarea totală a elevului.

Transmiterea cunoştinţelor prin prelegere se poate face simultan unui auditoriu larg, de pildă unei clase întregi (putând fi folosit la învăţământul în masă; nu discutăm aici cât de atent şi cât de mult preia fiecare). Dimpotrivă, transmiterea cunoştinţelor prin îndrumarea descoperirii este un proces ce funcţionează de obicei doar cu puţini discipoli, cu cei foarte interesaţi (fiind de fapt o formă de învăţământ privat sau în grup restrâns; la clasă de fapt se cam aleg cei care participă la acest “joc”, restul alegând să rămână pasivi, mulţumindu-se doar să-şi completeze notiţele, cel mult).

Predarea prin prelegere se concentrează pe transmiterea cât mai multor cunoştinţe, neglijând formarea gândirii, pe când predarea prin descoperire se concentrează mai mult pe realizarea de conexiuni, fiind o mult mai bună formatoare de gândire.

În realitate, cu atât mai mult când există o planificare de respectat şi când trebuie predat unei clase întregi, profesorul responsabil, care ţine cont atât de materie cât şi de gândirea elevilor, va căuta un traseu de predare pendulant între cele două forme extreme, lecţia constând într-un amestec, un mix “sănătos” al celor două căi de predare.

În acest sens, eficienţa se măsoară desigur şi în funcţie de obiectivele propuse. Dacă profesorul trebuie să predea cât mai multă materie şi/sau în cât mai puţin timp, atunci predarea sa va aluneca în mod natural spre prelegere. Dimpotrivă, dacă obiectivul profesorului este ca elevii să pătrundă cu adevărat noţiunile noi, atunci el va aloca mai mult timp şi răbdare dialogului de atragere a gândirii şi a interesului elevului înspre subiectul de studiat.

Forma actuală a orelor din preuniversitar, cu rare momente de înţelegere a materiei, în detrimentul unei prelegeri cât mai eficiente temporal, această stare se datorează încărcării materiei (începută în 1980), cât şi încărcării învăţământului cu tot mai multe tipuri de probleme (proces scăpat de sub control după 1990 şi ajuns la forme extreme), ambele direcţii fiind de fapt girate de către autorităţile şcolare la toate nivelele.

Dar, să revenim la tema noastră principală, cea legată de AFM, anume la cauzele apariţiei AFM, cât şi la modalităţile de prevenire a acestuia. Este evident că o formă de predare mai implicativă, în care elevul ajunge să simtă cu adevărat ce se întâmplă acolo, în care elevul dezvoltă şi gândire corespunzătoare, o astfel de formă de predare nu va cauza AFM, pentru că gândirea respectivă poate fi folosită ulterior şi în alte direcţii decât cele în care a fost iniţial formată (pe baza cărora a fost generată). Dimpotrivă, o formă de predare care reduce elevul la o stare mai pasivă, mult mai greu formatoare de gândire, o astfel de predare poate fi considerată clar cauzatoare de AFM, pentru că elevul primeşte cunoştinţe într-un domeniu, dar cu care însă nu se va putea descurca în alte domenii.

Atenţionez aici asupra unui obicei des întâlnit, anume aspra impulsului unor profesori de a începe să pună întrebări în timpul predării, ca apoi imediat să răspundă tot ei (fără să mai amintim aici şi de intrebările retorice dintr-o prezentare). Este clar că acestea sunt doar “întrebări de faţadă” care au rolul de a crea impresia de dialog, ei fiind concentraţi exclusiv pe prelegerea lor. Aceşti profesori nu urmăresc de fapt un dialog cu auditoriul, elevii rămânând clar într-un rol pasiv în tot procesul de predare.

Dacă în facultate, la această vârstă matură, s-ar putea ca studenţii să îşi şi activeze gândirea în astfel de cazuri, extinderea obiceiului la profesorii din preuniversitar duce clar la instalarea unei atitudini pasive, unui obicei de totală neimplicare ce “se încarnează” în mentalul elevilor; ca urmare aceştia se vor comporta ca atare şi ulterior, atunci când vor ajunge în facultate, etalând în continuare o puternică şi profundă “durere în cot” faţă de cursurile ce le sunt predate. Să nu ne mirăm apoi de AFM şi în aceste cazuri.

Zăbovind încă puţin la întrebările de faţadă, urmate imediat de răspunsul dat tot de către profesor, este evident că aici se încadrează şi varianta ceva mai cizelată în care profesorul doar porneşte răspunsul, oprind însă brusc şi făcând “o pauză întrebătoare”, elevii doar finalizând răspunsul, uneori chiar “în cor”. Aceasta este o falsă implicare a elevilor, o aparentă implicare cu nuanţe clare de teatralitate, dar fără nici cea mai mică formare de gândire sau verificare de cunoştinţe.

Merită amintit în acest sens şi încercările moderne de a redacta conţinuturile din manuale în sensul mimării unui dialog cu cititorul, eventual al prezentării unor “cazuri” comparative (trei elevi au rezolvat această problemă, Gigel a obţinut …, Măriuţa a obţinut …, Ionela … ). Este evident că şi astfel de încercări sunt de obicei sortite eşecului. Realitatea este că foarte greu se poate genera un dialog adevărat cu cititorul, darămite un dialog înspre descoperire.

La clasă, dimpotrivă, acest dialog este posibil de creat. Am prezentat în trecut o formă generată de o colegă din Norvegia, Birte Vestergaard (în august-septembrie 2021, în cadrul a patru articole; le găsiţi în arhiva pentagonia.ro). Prin acele “fişe de descoperire” elevii – aranjaţi în grupe de câte trei – chiar sunt împinşi să descopere noile elemente de matematică. Forma respectivă este însă extrem de mare consumatoare de timp, astfel încât nu se pretează la folosirea regulată şi constantă la clasă, mai ales atunci când ai multă materie de parcurs (de pildă la clasele cu examen). Cunoaşterea matematicii prin aceste fişe de descoperire reprezintă cu adevărat o predare implicativă prin descoperire. După cum ne-a prezentat autoarea, această formă este deosebit de bună în restabilirea încrederii elevilor în posibilităţile lor de gândire.

Dar, să revenim la subiectul discuţiei de faţă, anume la gânduri despre cum ar trebui să predăm încât să îmbinăm cât mai bine, deci cât mai eficient dar şi cât mai sănătos posibil cele două forme extreme de predare. Cum am mai spus, ARTA PREDĂRII MATEMATICII constă în găsirea unui drum “de mijloc” cât mai eficient în sensul că aceasta trebuie să îmbine cât mai multe din avantajele celor două forme extreme. Când vorbesc aici despre un drum de mijloc, un amestec just, mă gândesc la o predare care să parcurgă într-un mod cât mai viu drumul înspre noile cunoştinţe, alegându-se un traseu cât mai eficient pe plaja dintre cele două tipuri extreme de predare.

În acest sens, PREDAREA PRIN PROBLEMATIZARE reprezintă cea mai eficientă modalitate de prezentare a noilor conţinuturi, concomitent cu confruntarea elevilor cu “noul”, mai exact cu rezolvarea şi învingerea situaţilor noi. Această formă de predare îmbină de fapt pasaje de prelegere inerente procesului de predare eficient temporal cu pasaje de provocare a gândirii elevilor prin transformarea unor paşi ai lecţiei în “mici probleme”, pe care elevii sunt spontan provocaţi să le rezolve. În arta predării matematicii este vorba despre cizelarea acestui amestec, care să îmbine just prelegerea cu descoperirea, fiecare cu avantajele ei.

Fac aici o mică paranteză: pe lângă avantajele de eficienţă temporală, la prelegere aş mai aminti şi forma de model de exprimare şi redactare, modelatoare a rigurozităţii şi a ordinii în matematică. Totodată precizez că nici una, nici celaltă nu oferă garanţia de a acţiona la toţi elevii unei clase, în sensul că unii elevi găsesc oricum forme de eludare a influenţei acestora.

Problema dificilă, în sensul celor amintite mai sus, este că predarea prin problematizare este clar mai mare consumatoare de timp decât predarea prin prelegere. Eu tot precizez şi repet acest aspect: da, formarea gândirii este mare consumatoare de timp. Din cauza asta lumea o neglijează masiv în România, asta întâmplându-se tot mai profund de peste 40 de ani, fără ca la ora actuală să mai conştientizeze cineva că asta este o sursă clară de generare a AFM. Dar, de unde este această excesivă presiune a timpului? Păi simplu: cauza principală o reprezintă cantitatea uriaşă de aplicaţii în probleme, scăpată total de sub control, chiar încurajată de zeci de ani, cu nivele tot mai ridicate de la un an la altul.

Revenind la îmbinarea celor două extreme, un mic “secret de meserie” ar fi aici următorul: eu îmbin cele două direcţii într-un mod spontan. Astfel, pentru a menţine o viteză optimă a lecţiei, fac prezentare prin prelegere o vreme (nu prea mult), după care mă opresc brusc, cu “un semn mare de întrebare” pe faţă, iar elevii trebuie să continue. Doar cei care sunt atenţi şi profund conectaţi la discursul meu pot continua. Astfel, eu folosesc la maxim orice oportunitate îmi apare în cale de “moment de cât de mică posibilitate” de problematizare, totul înspre activarea gândirii elevilor. Apoi continui cu prelegerea, după care iar mă opresc cu un moment “de întrebare” etc. Arta predării constă în alegerea acestui slalom într-un mod cât mai impresionant pentru elevi (pentru cei care sunt dispuşi să participe la “acest joc”). Asta se face printr-o combinaţie interesantă de foarte bună regizare a momentului, de multă experienţă, dar şi de o doză imprevizibilă de spontaneitate.

Precizez însă că aceste momente de întrebare sunt adevărate: eu nu le sugerez elevilor imediat şi răspunsul, acestea nu sunt întrebări de faţadă, ci reale provocări; dacă nu primesc răspuns, eu nu merg mai departe, ci reiau procesul, lipsa unui răspuns fiind un semn clar că eu nu am procedat cum trebuie, că “m-am rupt” de elevii mei în acest discurs.

Legat de predarea prin problematizare, desigur că şi aici trebuie să ţinem cont de principiul enunţat la începutul acestui episod, anume de principiul accesibilităţii. Nu orice lecţie se pretează predării prin problematizare; şi oricum nu la clase întregi. Chiar şi acolo unde se poate aplica, deseori nu se poate preda prin problematizare o întreagă lecţie, ci doar părţi (de obicei începutul este mai accesibil). Astfel, în funcţie de nivelul elevilor şi al claselor, profesorii trebuie să fie într-o constantă şi vigilentă căutare a situaţilor unde noţiunile şi cunoştinţele matematice pot fi aduse în faţa elevilor prin problematizare. Nu zice nimeni că totul se poate preda în acest stil, dar în urma căutărilor de ani buni eu pot afirma cu certitudine că pot să o fac des, tot mai des; nu întotdeauna, dar tot mai des (ca să parafrazez o reclamă la bere fără alcool din Germania de prin 2000: Nicht immer, aber immer öfter!). Şi doar timpul fizic limitat la 24 ore pe zi mă împiedică să vă dau regulat astfel de exemple (n-ar ajunge doar poza tablei, pentru că trebuie explicat în text cum a avut loc dialogul de descoperire a noului într-o lecţie).

Totuşi, cu diferite ocazii am prezentat în postările mele situaţii de predare prin problematizare. Totul se rezumă la acea stare specifică a profesorului, una total opusă celei de tipul “hai să-ţi arăt eu cum se face, că sunt mai deştept!“. În predarea prin problematizare profesorul le prezintă elevilor obiectivul de atins şi “le cere părerea”, după modelul “cum credeţi că ….?“, cerându-le să-şi activeze şi să-şi implice gândirea. Apoi, dacă elevii nu ştiu ce să răspundă, profesorul recurge la întrebări ajutătoare şi pune din nou întrebarea. Este ca un joc. La început se implică cei mai curajoşi, dar cu timpul, după mai multe încercări, încep să se implice şi alţii (desigur că merge şi “între patru ochi”; atunci elevul “nu mai are scăpare”). Desigur că obţinerea unui răspuns depinde mult şi de accesibilitatea provocării.

Există aici o singură condiţie majoră, o cerinţă radicală: să fie excluse din acest “joc” situaţiile când un participant vine cu “lecţia învăţată de acasă”. Fie că nu au loc astfel de situaţii, fie că cei ce află lucrurile în avans sunt reduşi la tăcere din start, aceasta este o condiţie de bază a funcţionării cunoaşterii prin problematizare. În cazul apariţiei, eu o fac de obicei prin convenţie cu acei elevi: nu-i bai că ai aflat deja cum stau lucrurile, dar taci şi îi laşi pe ceilalţi să parcurgă un drum sănătos al cunoaşterii. Chiar şi aceşti elevi beneficiază apoi de predarea prin problematizare, pentru că de obicei ei au aflat în particular conţinuturile respective în avans tot prin simplă informare; chiar dacă le cunosc, ei nu ştiu de ce se întâmplă aşa.

Oricum, important este ca marea parte a elevilor să poată beneficia de ocazii cât mai dese de confruntare cu un “nou accesibil” pe baza căruia să-şi activeze şi antreneze gândirea (raţională, intuitivă, deductivă, prin analogie etc.). Am folosit expresia “marea parte a elevilor”, pentru că – aşa cum am mai precizat – sunt desigur şi elevi care nu pot, sau nu vor, sau le este lene să-şi activeze gândirea, să se implice în acest joc (mulţi din cauze de ordin psihic; te iei de cap cu ce sechele vin unii din trecut). Eu mă străduiesc să cresc “plaja” celor care gândesc, dar într-o clasă cu copii de toate felurile sigur nu pot elimina cu totul elevii care se îndreaptă clar spre AFM. Eu mă străduiesc să cresc procentajul celor care să ajungă a beneficia de predarea prin problematizare, dar în cazul celor care refuză sau a celor care chiar nu pot, în cazul acestora eu nu am ce face. Voi aprofunda acest subiect într-un episod separat.

Revenind la predarea prin problematizare, de multe ori eu pornesc lecţia cu prezentarea “situaţiei sursă” a lecţiei ce “stă să vină”, după care îi provoc pe elevi să-şi spună părerea. Dau aici două scurte exemple (alese încât să le pot prezenta cât mai uşor în text).

Clasa a 6-a, geometrie: Cunoaştem din lecţia precedentă situaţia unghiurilor în jurul punctului de intersecţie a două drepte. Cum sunt acestea? Cum se numesc ele? (activarea “pseudo-gândirii” pe baza unei scurte recapitulări). Precizez că elevii nu scriu asta în caiet; ei trebuie să fie doar atenţi “ochi şi urechi” la tablă, respectiv la mine. Nici titlul încă nu îl scriu pe tablă, pentru că s-ar putea să le pierd atenţia celor care “sunt harnici şi scriu”, că pentru asta “au fost trimişi la şcoală”, nu să fie atenţi şi să gândească. Şi desigur, nici schiţa pentru următoarea parte a discuţiei “de descoperire” nu o trec în caiet. Ei trebuie doar să fie atenţi, fără să scrie, eu subliniind acest aspect prin obiceiul de a scrie respectivele elemente suport ale discuţiei preliminare în dreapta tablei, lăsând astfel stânga tablei liberă pentru când voi scrie acolo lecţia completă, aşa cum elevii trebuie apoi să o copieze în caiete. Dar, să revenim la continuarea discuţiei preliminare de provocare a gândirii prin descoperirea noului în dialog.

OK! Să luăm acum o situaţie nouă, mai complexă: alegem două drepte paralele a şi b tăiate de o secantă d în punctele A respectiv B. E clar că în jurul lui A avem unghiuri opuse la vârf congruente; la fel şi la B. Ce putem spune însă despre unghiuri de la A şi de la B? De ce? Între timp am notat desigur pe a doua schiţă din dreapta tablei cele patru unghiuri din jurul fiecărui punct cu A₁ etc. Deoarece elevii încă nu trebuie să scrie, ei se năpustesc să zică, fiecare bucuros că vede o pereche de unghiuri congruente. La privirile mele “teatral uimite”, exprimând un ciudat “de ce?”, unii reuşesc să şi dea chiar şi câte o minimă justificare intuitivă pentru perechea observată; alţii nu, mulţumindu-se să spună şi ei o pereche corectă.

După câteva scurte dar foarte activeşi intense minute, în care s-au cam epuizat toate variantele posibile şi toţi elevii doritori au cam apucat să se implice, opresc discuţia lăudându-i, cu precizarea că acum preiau eu lecţia (“microfonul lecţiei”) şi le voi redacta lecţia pe tablă (acum în partea stângă), în mod ordonat, încăt să poată fi justificate clar, aducând totodată şi denumiri noi pentru fiecare situaţie în parte (deci, acum trecem a două oară prin noile cunoştinţe, de data asta ordonat şi complet, iar toţi elevii scriu frumos în caiete; amintesc că la prima trecere, cea a “brain-storming”-ului, totul s-a petrecut doar oral; schiţele iniţiale se vor şterge după ce au apărut în lecţie desenele curate).

Deci, după o primă parte implicativă, de descoperire exuberantă de către elevi a noilor cunoştinţe, o parte plină de emoţie caldă, de-a dreptul “latină”, după asta vine partea de prelegere, care este una pasivă, mai interiorizată, ceva mai rece şi mai gândită, uneori căpătând accente de atitudine mai “nordică”.

Desigur că şi aici, la exemplele de la fiecare situaţie, elevii se implică cu entuziasm în dictarea tuturor cazurilor (le-a plăcut prima parte şi mai vor “distracţie” în acest sens; de obicei eu mă transform aici în “nenea ăla de la tablă” care scrie frumos la dictare ce spun elevii, iar ei scriu desigur în paralel în caietele lor, având însă ca model lecţia de pe tablă). Este evident cum inclusiv gândirea şi scrierea ordonată se învaţă aici prin simpla imitaţie: ca profesor îi învăţ acestea “ducându-i de mânuţă” în redactarea noilor conţinuturi. După finalizarea lecţiei putem trece desigur la aplicaţii.

Un alt exemplu, în liceu, la apariţia numerelor complexe: La rezolvarea ecuaţiilor de gradul II ne-am confruntat des cu situaţia când discriminantul delta era negativ. Noi opream procesul rezolvării şi scriam că acea ecuaţie nu are soluţii; uneori “se spunea” că nu are soluţii reale, dar nu înţelegeam clar ce vrea să însemne (da’ ce? există şi alte numere?). De fapt se întâmpla aşa deoarece discriminantul fiind negativ, nu putea fi pus sub radical. Deci, un număr negativ nu poate fi pus sub radical; noi ştiam asta de mult. Sau poate fi pus? Adică, poate fi pus un număr negativ sub radical? Păi, cum ar fi asta?

După această introducere putem lua întrebarea despre cum ar trebui să arate un număr al cărui pătrat să fie negativ. Poate un număr cu “o jumătate de minus”, astfel încât două jumătăţi de minus să dea un minus complet; ceva de genul (-3)·(-3) = – 9. Haideţi să reducem situaţia la minim şi să-l eliminăm pe 3. Atunci vom avea (-1)·(-1) = – 1. Matematicienii au observat că acest -1 (deci cu un minus scurt) reprezintă factorul care “ar rezolva problema”, dar nu le plăcea să-l scrie ca atare (cum ar fi asta “un număr cu un minus mai scurt”, cu “o jumătate de minus”?),  aşa încât l-au notat cu altceva. Concret, matematicienii au notat cu i pe această unitate cu o jumătate de minus. Fixăm deci că  -1 = i, de unde deducem imediat că i² = –1 (deci cu minus complet).

La această introducere se implică deseori unii elevi, chiar dacă per ansamblu lecţia are acea nuanţă clară de “profesorul întreabă şi tot el şi răspunde”. Apoi se pot deduce puterile lui i, dar prin dezbatere deschisă cu clasa, dar şi ideea că numere de felul a + bi nu pot fi restrânse, adică nu pot fi “calculate mai mult”, acestea fiind denumite “Numere complexe” (de pildă prin analogie cu numerele iraţionale de forma 2+3√5). Astfel, cele două proprietăţi ale operaţiilor cu numere complexe (adunarea, respectiv înmulţirea) nu mai trebuie date “prin definiţie”, ci pot fi deduse prin gândirea elevilor, poate mai întâi pe exemple concrete, dar apoi sigur şi pe cazuri generale, de genul (a + bi)·(c + di) = …

Atrag atenţia că acesta a fost orientativ drumul prin care s-au descoperit aceste numere, adică notarea cu i a lui √-1. Dacă acesta a fost – istoric vorbind – drumul cel mai accesibil celor care au descoperit aceste aspecte la începutul secolului XIX, atunci desigur că acest drum este cel mai potrivit şi “redescoperirii” cu elevii la clasă, chiar dacă este vorba doar de o “redescoperire” îndrumată, “gândirea în formare” a elevului fiind “ţinută de mânuţă” în tot acest timp. Din păcate această formă de introducere a numerelor complexe a fost scoasă din manuale la finalul anilor ’70 (am scris mult şi despre acest aspect).

Pentru cei care ridicaţi în acest moment “o sprânceană”, cu gândul că numerele complexe nu se fac “la clasele cu puţină matematică”, acolo unde ne aşteptăm să apară situaţii de AFM, vă spun liniştit că DA!, există AFM şi la clasele “de real”.

Revenind la numerele complexe, pentru cei “convinşi de necesitatea turuirii unei lecţii în format rezumativ, vă anunţ că şi eu fac această prezentare rezumativă, doar că în ora următoare, sub forma unei recapitulări teoretice, de data asta mai întâi elementele teoretice, urmate fiecare de un exemplu. În funcţie de nivelul de dificultate sau abstractizare, voi mai face asta chiar şi încă o dată, cu completările de rigoare ale elementelor apărute între timp, de pildă cu puterile lui i. Dacă nu în prima oră, atunci cel târziu în a doua oră trebuie readusă în discuţie “situaţia sursă” folosită la început, adică exemple de rezolvare a ecuaţilor de gradul II cu delta negativ (la început cu răspunsuri cu coeficienţi întregi, şi doar apoi şi cu coeficienţi fracţionari sau iraţionali).

Încercând în final câteva observaţii generale legate de acest stil de predare, precizez că adaptarea predării şi însuşirea stilului de predare prin problematizare de către profesor reprezintă un proces de durată (de ani buni). Spun asta mai ales datorită faptului că mentalul majorităţii profesorilor este setat total opus, predarea fiind concentrată “pe sine” (deci pe lecţie şi pe rigurozitatea acesteia, dar foarte mult şi pe eficienţa temporală), neimplicând defel mintea elevului: de cele mai multe ori elevii sunt priviţi doar ca un auditoriu, starea de pasivitate sau de activitate interioară a gândirii elevilor fiind “problema lor”.

Astfel, majoritatea profesorilor înţeleg oricum prin predare o “turuire” a lecţiei cât mai rapidă, de parcă ar fi la un examen, dar o turuire cât mai riguroasă, de parcă ar face-o pentru “nişte camere de luat vederi” conectate la inspectorat, prin care oricând ar putea fi supravegheaţi şi verificaţi de către un critic dur. Singura urmă de gând înspre implicarea elevilor în lecţie apare astfel la unii profesori doar prin acel stupid “pseudo-dialog” în care profesorul “întreabă” şi tot el şi răspunde imediat; acei profesori nu conştientizează că elevii se prind repede de această mentalitate, gândirea lor rămânând în continuare total pasivă.

Astfel, predarea obişnuită în România le rezervă elevilor un rol pasiv, singura lor sarcină rămânând de a-şi însuşi cunoştinţele respective – treaba lor cum fac asta – şi de a le putea apoi reda sau aplica în diverse situaţii. Această atitudine îi împinge însă pe elevii de la toate nivelele înspre învăţarea reţetelor pe dinafară, stare care duce apoi clar spre AFM. Din punct de vedere al elevilor, am denumit acest stil de predare ca predare pasivă.

Dimpotrivă, o predare implicativă a elevilor, în cazul noilor conţinuturi, care să implice deci gândirea acestora în diferitele forme (inductivă, deductivă, prin analogie, raţională etc. prin activarea şi exersarea regulată a gândirii pe situaţiile noi întâlnite la prezentarea lecţiilor), acest stil de predare ar acţiona sănătos şi în sensul prevenirii instalării analfabetismului funcţional matematic. Va urma! CTG

În articolul precedent tema principală a reprezentat-o convingerea personală că există două direcţii de manifestare a AFM, anume înspre exteriorul matematicii, respectiv în interiorul matematicii, cu observaţia orientativă că acestea reprezintă faţete ale aceluiaşi fenomen, anume al lipsei de gândire spontană, gândirea fiind înlocuită cu mult mai lesnicoasa învăţare a reţetelor de rezolvare pentru probleme “tip”. În plus, în episodul precedent am atins scurt o nouă idee, anume opoziţia între situaţiile cu rezolvări reţetate, învăţate “pe pilot automat”, pe de-o parte, şi situaţiile “nemaivăzute”, la care trebuie să gândeşti, pe de cealaltă parte.

Le şi spun uneori elevilor, atunci când se întâmplă aşa ceva: – eu nu am mai întâlnit o astfel de problemă în viaţa mea; oare cum reuşesc să o rezolv? La care elevii îmi răspund de obicei: – păi, dvs. sunteţi profesor! Contra-răspunsul meu vine cam aşa: – eu gândesc, pe când tu doar cauţi în minte când ai mai făcut un astfel de exerciţiu. Sigur că eu am mai multă experienţă, sigur că şi eu caut în minte, dar şi tu trebuie să înveţi să gândeşti. Dar să revenim însă la cum funcţionează rezolvările în matematică.

Astfel, problemele cu care ne întâlnim se încadrează între două feluri extreme. De obicei ne întâlnim cu cele din categoria cărora le cunoaştem rezolvările pentru că ne-au fost prezentate cândva anterior, le-am învăţat deja, le-am exersat, ne-am “dresat” pe ele; la acestea singura grijă este să nu greşim cumva. Diametral opus sunt problemele de care nu am mai văzut şi cărora nu ştim ce să le facem pe baza experienţei deja dobândite; la acestea trebuie să gândim (ce-o fi însemnând asta încă nu discut aici). Cele din prima categorie eu le denumesc de fapt “exerciţii” (chiar şi atunci când sunt date în text); cele din a doua categorie le putem denumi în glumă ca “imposibile” sau “total necunoscute” (era un banc în care personajul exclama plin de uimire: aşa ceva nu se există!).

Marea majoritate a problemelor cu care ne întâlnim sunt de fapt poziţionate ca într-un evantai deschis între cele două extreme, putând fi denumite generic chiar aşa: “probleme”. Acestea sunt de fapt problemele la care elevul de obicei ştie reţetele componente ale rezolvării (să considerăm că el ştie toate rezolvările reţetate necesare învăţate dinainte). În aceste condiţii, GÂNDIREA constă în stabilirea, alegerea “rezolvărilor mici”, a paşilor care vor compune rezolvarea întreagă şi asamblarea lor corectă în marea rezolvare. Chiar şi osituaţie de aranjare neobişnuită şi deci neantrenată (dar implicând doar componente cunoscute) poate duce la starea de dificil, pentru unii chiar la starea de “imposibil”, pentru că ei de fapt nu gândesc.

Desigur că există şi unele probleme “mixate”, care conţin componente deja “reţetate”, dar care au şi unele părţi nemaivăzute (sau oricum necunoscute de către elev), la care trebuie să activezi spontan gândirea. Deseori apar în această categorie problemuţe din categoria găsirii unor numere date scris cu bară (în baza 10) şi la care trebuie găsite cifrele. Cândva denumeam cele două tipuri de componente astfel: cele gata pregătite ca “asfaltate” iar cele nepregătite, în care era nevoie de gândire ad-hoc cu decizie spontană ca “off-road”, făcând astfel analogia cu o plimbare cu ATV-ul în care mergi o vreme pe drumuri pregătite, dar apoi trebuie să o iei “pe căi nebătute” pentru a ajunge acolo unde ţi-ai propus.

Tehnic, ne întâlnim în acest sens cu două tipuri de abordări. Pe de-o parte sunt cei care consideră şi antrenează la elevi doar formele de rezolvări reţetate. Am impresia că aceştia sunt cei mai mulţi (majoritatea învăţătoarelor, dar şi între părinţi, din păcate chiar şi între profesori). Pe de cealaltă parte, sunt cei care consideră că este sănătos să oferim elevilor un amestec, un “mix just” între cele două tipuri de rezolvare (rezolvările reţetate antrenate până la nivel de automatism, combinate cu momentele de gândire pe situaţii nepregătite anterior); eu mă număr clar printre aceştia (las la libera înţelegere a fiecăruia ce-o fi acela un amestec “just”). Voi denumi aceste două tipuri de rezolvări ca 1): cele reţetate; respectiv 2): cele gândite (de fapt combinate: reţetă + gândire). Vedeţi că nu iau în calcul o a treia variantă, anume calea rezolvărilor bazate doar pe gândire, deoarece aceste abordări se întâlnesc extrem de rar (deci nici nu mai pierd vremea acum să vorbesc despre respectivele situaţii).

După cum am mai spus, problema este că antrenarea gândirii este mare consumatoare de timp, mai ales atunci când ne-am dori să o facem cu majoritatea clasei (aici mai apare o problemă: ce te faci cu cei care refuză?). Ca urmare, pe scurtă durată obţinem aparent rezultate mai bune şi mai rapide dacă ne concentrăm doar pe prezentarea reţetelor şi dresarea acestora: formarea şi antrenarea gândirii ia mult mai mult timp decât prezentarea directă a rezolvării, pe care apoi elevii au sarcina să “o înveţe” (atât individual, dar şi în grup).

În acest sens, modelul de abordare încetăţenit, obişnuit şi practicat de cei mai mulţi este: – hai că-ţi arăt eu cum se face! Iar tu trebuie doar să le înveţi! La clasă apare desigur şi varianta de numire a unui elev care deja ştie rezolvarea, ca să o prezinte el oral sau la tablă. Atât de vechi şi încetăţenit este acest obicei încât nici măcar nu ne mai dăm seama că ceva nu este în regulă cu acesta, mai exact cu abuzarea acestuia.

Fac aici o scurtă paranteză. Am amintit aici de vorba spusă deseori de către părinţi (chiar verbalizată ad literam) atunci când sunt confruntaţi acasă cu întrebarea puiuţului lor despre o anumită problemă: – hai că-ţi arăt eu cum se face! Acesta este un impuls natural; părintele este “sub presiune”; pe lângă presiunea timpului, el este de fapt confruntat cu situaţia că “oare îşi mai aduce aminte cum se fac astea”. În plus apare aici şi orgoliul personal în faţa copilului, un fel de “obligaţie” că el trebuie să ştie. Părintele nu conştientizează însă că pe durată un astfel de ajutor generează lene de gândire la copil, generează de fapt AFM. Din păcate această “apucătură” apare de multe ori şi la profesorii meditatori, care se simt obligaţi să livreze rapid o rezolvare, deoarece sunt chiar plătiţi pentru asta (iar elevii folosesc aceasta cu mare tupeu; în plus, după oră respectivele rezolvări sunt distribuite pe grupul de WhatsApp, astfel încât şi ceilalţi elevi – primind tema degeaba – să genereze AFM).

Revenind la părinţi, se observă de când cu “reţelele sociale” că şi dacă părinţii nu ştiu face tema, în loc să gândească şi să reprezinte astfel un bun exemplu, ei se apucă să caute pe net, gândirea copilului rămânând în continuare pasivă, acesta aşteptând ca părinţii “să-i de de capăt” problemei. Deci, nu-i cum că dacă le dai acasă diferite situaţii noi, elevii îşi vor bate capul cu acestea (acasă, deci în absenţa elevilor din vârful clasei). Mai mult, de la vârste tot mai fragede elevii învaţă “să caute” rezolvarea cu telefonul, mai întâi la colegi, apoi la diferite forme de AI. Acasă elevul este interesat să scape cât mai repede de făcutul temei pentru a se putea intoarce la ale sale plăceri (pe care familia i le-a oferit din plin: Smartphone, reţele sociale cu conturi sub vârsta oficial recomandată mai ales la fete; calculatoare pentru gaming, pentru jocuri, la băieţi, cu cheltuieli uriaşe, inclusiv în mobilier adecvat; aţi văzut acele scaune cu beculeţe şi prelungirile de ecrane?).

O formă interesantă de implicare a reuşit soţia mea în anii 2000, când le dădea elevilor de gimnaziu o “problemă de weekend”, la care era clar precizat că se poate implica toată familia, “tot blocul” etc. Problemele erau însă alese dintr-un spectru foarte larg, la care de obicei nici părintii nu ştiau din prima, astfel încât elevii puteau trăi pe viu străduiala familiei şi a prietenilor, învăţând gândirea prin imitaţie alături de aceştia. Precizez: în vremea respectivă încă nu era activat spectrul social online, astfel încât încă nu apăruse “căutatul pe net”.

Dar să revenim la obiceiul de a le arăta direct elevilor rezolvări, respectiv la obiceiul de a învăţa doar rezolvări gata reţetate, chiar la reducerea activităţii matematice doar la această formă de învăţare. Din păcate, absolutizarea acestui stil de lucru duce o foarte mare parte din elevi înspre AFM interior, adică înspre necunoaşterea şi neantrenarea gândirii pe situaţii noi.

Pe de altă parte şi scăderea capacităţii de atenţie şi de concentrare la tot mai mulţi elevi, în urma folosirii excesive şi de prea timpuriu a ecranelor (mai ales a smartphone-urilor, întâi ale părinţilor, dar apoi tot mai repede şi personale, de pildă dăruite cu mare dărnicie de către bunici), contribuie la neacceptarea de către elevi a situaţilor de gândire, preferând tot mai des mult mai lesnicioasa variantă de învăţare pe de rost şi puţină dresare a rezolvărilor “tip”. Până acolo s-a ajuns, încât există clar copii care, dacă nu le dai reţete (şi numai reţete), te refuză ca profesor. Efectiv, există deja elevi care refuză să înveţe şi forme de gândire, căutându-şi alternative la alţi profesori (căutări finanţate generos de către familie – situaţie întâlnită desigur în clasele “de fiţe”).

O situaţie interesantă se întâmplă însă odată cu pregătirea din clasa a 8-a, atunci când apare totuşi oricum un tip de gândire, chiar şi la elevii care au apucat-o clar doar pe linia rezolvărilor “reţetate şi tocite”. Datorită faptului că creşte vertiginos cantitatea de probleme de învăţat pe de rost, dar şi a combinaţiilor dintre acestea în rezolvări complexe, în mintea lor încep să se producă totuşi sinapse de conexiune specifice gândirii. Chiar dacă procesul de pornire al gândirii este dureros, gândirea începe să apară, cel puţin până la promovarea examenului. Văzând în foarte multe situaţii general diferite cum apar combinate componente identice cunoscute, creierul lor începe să facă conexiuni vii, şi astfel începe să apară gândirea. Da, în funcţie de cât de profund şi de extins este acest fenomen, se poate totuşi declanşa gândirea, în mai mare sau mai mică măsură. Totul depinde de implicarea copilului şi de durata practicării, dar desigur şi de flerul pedagogic al profesorului (de obicei a celui din particular, fie el profesor sau doar părinte, pentru că la clasă, cu toţi elevii – fiecare cu pretenţiile lui personale – este tot mai greu de făcut acest drum).

Dar, de pildă, dacă după examenul de EN elevul “trage gândirea iar pe dreapta” pentru o vreme, atunci este evident că se reinstalează AFM-int. În plus, dacă un elev are o capacitate foarte bună de memorat reţete, el se va baza tot pe aceasta în cadrul fiecărui capitol, neglijând astfel gândirea: elevul va “toci” tot ce trebuie, după care va uita totul, pentru a face loc următoarelor lucruri de memorat etc. În acest stil de lucru, se prea poate ca în final, în a 12-a un astfel de elev să ajungă să fie depăşit de cantitatea uriaşă de rezolvări (mult mai mare decât în a 8-a). Am întâlnit elevi care au clacat în acest fel înainte de BAC.

Deci, undeva în clasele 7-8, odată cu pornirea recuperării materiei neînvăţate serios în primele clase gimnaziale, ci doar tocite punctual până la test apoi uitate, dar şi odată cu creşterea “exponenţială” a combinaţilor de rezolvări componente în rezolvări mai mari, la mulţi elevi începe să apară şi să se formeze gândirea matematică. În funcţie de durata şi profunzimea acestui proces, la mulţi elevi se porneşte de fapt gândirea, aceştia scăpând astfel de pericolul AFM. Există însă şi elevi care nu apucă să facă acest pas, fie pentru că de fapt nici nu pornesc procesul de învăţare foarte serios, fie datorită faptului că în procesul de învăţare accentul este pus tot pe învăţarea pe de rost a diferitelor tipuri de probleme, deci şi de reţete (de multe ori poate fi vorba chiar de elevi “buni” la învăţătură, chiar pentru că au o capacitate de învăţare a reţetelor peste medie). Pe aceştia din urmă psihologii îi caracterizează simplu ca “elevi şablonaţi“, adică elevi care au “o gândire în şabloane”. Foarte interesant! E clar că aceştia au AFM-int, dar cu mare probabilitate şi AFM-ext.

Dar să revenim la AFM-ul interior, fenomen care mă preocupă pe mine cel mai mult (repet: pentru că împotriva acestuia pot acţiona preventiv sau reparatoriu). Nici nu mai ştiu când s-a întâmplat, cu câţi ani în urmă, dar întâmplarea a fost următoarea (fiind definitorie pentru mine, “de manual” aş putea spune). Concret, am cunoscut cândva un elev nou la începutul clasei a 7-a şi i-am dat spre rezolvare următoarea problemă:

În triunghiul oarecare ABC bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D. Paralela la baza BC dusă prin D taie latura AB în E. Demonstraţi că BE = ED. Problema este una clară de gândire, în care rezolvitorul trebuie să combine proprietatea bisectoarei (care împarte unghiul B în două unghiuri congruente) cu o proprietate a dreptelor paralele (anume să recunoască două unghiuri alterne interne). Prin tranzitivitate se deduc astfel două unghiuri congruente, care stabilesc că triunghiul BED este isoscel, deci şi laturile sale BE = ED.

Şocul pentru mine a fost că acel elev a “rezolvat” problema cu metoda triunghiurilor congruente! Este evident pentru oricine că această problemă nu se poate rezolva cu triunghiuri congruente, pentru simplul motiv că nu există triunghiuri congruente în figura aceastei probleme. Dar acest “minor detaliu” nu la împiedicat pe noul meu prieten să redacteze o “rezolvare” care, privită de departe avea exact forma ce o au rezolvările cu metoda triunghiurilor congruente (evident că totul era greşit acolo, dar asta el oricum nu vedea).

Cum spuneam, pentru mine acest exemplu a rămas definitoriu, iar atunci când am început să aud de AFM, a fost evident că, pe lângă incapacitatea unora de a se descurca în situaţii din afara matematicii de examen (aşa cum sugerează Studiul PISA), există şi o altă manifestare a acestui fenomen, atunci când AFM se manifestă în matematică, dar înafara zonei în care un elev a fost “dresat” pentru un anumit tip de probleme, respectiv rezolvări. Deci, pe lângă AFM-ext, acel tip de AFM asupra căruia atrage atenţia Studiul PISA al OECD (Organization for Economic Co-operation and Development), pentru mine a fost clar că mai există şi AFM-int, un tip de AFM cu care ne confruntăm noi, profesorii de matematică, chiar în interiorul activităţii noastre.

Mulţi ani mi-am tot adus aminte de întâmplare, iar cu timpul am început să fiu tot mai atent asupra acestei apucături a multora, anume de a confunda matematica cu învăţarea pe de rost a unor probleme “tip”. Precizez desigur că aici vorbesc doar despre probleme ale căror rezolvări reţetate depăşesc clar nivelul general de înţelegere intuitivă al elevilor obişnuiţi de vârsta respectivă (adică elevii din “Corpul central” al Clopotului lui Gauss în general, deci excluzând elevii din vârful clasei, respectiv cei care au de obicei oricum pe cineva acasă care îi “dopează”, care face cu ei în privat în avans).

Este evident că nu putem desfiinţa cu totul învăţarea rezolvărilor problemelor “tip” pe de rost; de multe ori acestea fac clar parte integrantă din matematică (de pildă cele cu teorema lui Pitagora). Atunci, ce putem face? De-a lungul anilor am încercat tot felul de variante.

La ora actuală, eu mă concentrez pe două direcţii clare de lucru. Prima ar fi eliminarea – mai mult sau mai puţin – a situaţiilor care necesită dresarea unor reţete, desigur depinzând de importanţa reală a respectivelor rezolvări pentru diferitele categorii de elevi. Într-un episod viitor voi analiza o astfel de situaţie. O a doua direcţie de lucru ar fi precedarea zonelor ce conţin probleme care se rezolvă prin reţete clare, cu o parte de probleme “mai simple”, care pot fi oferite elevilor fără reţete, probleme pe care elevii ar trebui să le poată rezolva prin pură gândire, în care elevii pot decide singuri, prin raţionament simplu, care sunt paşii de lucru. Aşadar, mă refer aici la probleme în care elevii să fie obligaţi să activeze procesul de gândire înainte ca să apară şi procesul de dresare a unor “rezolvări tip” (în zona respectivă de matematică). Voi încerca să lămuresc şi această situaţie într-un viitor episod pe baza unei situaţii concrete (la care am lucrat foarte mult în ultimii doi ani). Până atunci mă mulţumesc să vă fi prezentat doar ideea în mare.

Revenind la primul din cele două tipuri de rezolvări, respectiv la persoanele care absolutizează folosirea doar a rezolvărilor reţetate, doresc să atenţionez asupra faptului că sunt multe persoane care consideră clar că matematica constă doar din învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări reţetate. De unde vine oare această mentalitate? Şi aici cred că este vorba despre un cumul de factori, de “o colaborare” de la distanţă şi în timp între diferite persoane, deseori dintre acestea la rândul lor incapabile de a înţelege importanţa gândirii, uneori chiar necunoscând clar matematica gândită. Dar, cum am mai spus, există şi posibilitatea ca “antrenorii” elevilor să fie doar setaţi spre excelenţă, înspre care se merge de obicei prin multe rezolvări învăţate pe de rost, respectivii dascăli neştiind că la elevii “din eşalonul secund” efectul acestui stil de predare are efecte dăunătoare, uneori ireparabile, ducând la formarea AFM.

În concluzie, din acest episod despre AFM rămânem cu următoarele idei. Suntem de acord că cea mai mare parte din activitatea matematică a elevilor este despre rezolvarea de probleme, înţelegând prin probleme orice situaţie pe care elevii o primesc spre rezolvare, inclusiv cele din zona de exerciţiilor de algebră (sau analiză matematică, sau trigonometrie etc.) sau a demonstraţiilor de geometrie. Legat de rezolvarea acestora există două tipuri majore de rezolvări (înţelegând prin rezolvări inclusiv demonstraţiile de orice fel).

În primul rând sunt rezolvările reţetate, optimizate şi prezentate elevilor spre învăţare şi însuşire “ca atare”; spre acestea sunt îndrumaţi în primul rând elevii, acestea fiind preluate ca adevărate “reţete”, fiind tocite “ad-literam” de către “oricine poate”, ca o adevărată “dresură” (în acest sens se şi face diferenţa între elevi la matematică). Până “la un punct” este şi foarte bine aşa, pentru că mare parte din matematică este compusă din astfel de rezolvări. Totuşi, plaja rezolvărilor reţetate este limitată, aşa încât această direcţie de lucru are clar limitările ei în ceea ce priveşte “succesul de rezolvitor” înspre probleme tot mai grele.

Pe de altă parte, există rezolvările gândite, care de fapt sunt rezolvări mixte compuse din părţi reţetate şi părţi gândite spontan de către rezolvitor (la decizia lui). De la un anumit nivel de complexitate, rezolvările sunt compuse tot mai abil din părţi reţetate, îmbinate între ele în diferite feluri, uneori surprinzător şi neaşteptat, ori chiar combinate cu părţi nemaiîntâlnite, sau oricum necunoscute de către rezolvitor. În această direcţie, a rezolvărilor compuse, la care este nevoie de gândire suplimentară, are loc de obicei extinderea diversităţii felurilor de probleme, care cu timpul se pot transforma tot mai mult în reale provocări.

Realitatea este însă că învăţarea rezolvărilor reţetate este mai eficientă, pe când obişnuirea elevilor cu rezolvările gândite este mult mai mare consumatoare de timp. Totuşi, limitarea problemelor la nivelul celor cu rezolvări “obişnuite”, pregătite, optimizate şi reţetate, învăţate pe de rost, duce clar la AFM-int (indiferent de nivelul acestora). Extinderea problemelor primite de către elevi dincolo de acest prag, anume înspre rezolvări surprinzătoare, nereţetate sau măcar parţial nereţetate, la care este nevoie de gândire, pregăteşte pe durată elevul spre a face faţă cu succes şi unor situaţii noi, ferindu-l astfel de AFM-int, probalil şi în general de AFM.

Nu mă pot abţine să închei aici cu o observaţie dură: problema mare în România este că provocarea elevilor spre situaţii noi sau măcar parţial noi – care duc înspre formarea gândirii – are loc preponderent prin extindere înspre zona de complexitate crescută, de dificultate tot mai mare, adică înspre zona de excelenţă, neglijându-se de fapt extinderea provocărilor înspre situaţii accesibile elevilor de rând. Culmea este că această extindere obsesivă spre excelenţă se face tot prin reţetare, concret prin adăugarea de noi şi noi reţete la repertoriul elevilor de vârf (“diferenţa” făcându-se după capacitatea de învăţare a noi şi noi reţete). Va urma, CTG

P.S. Am prezentat mai sus acea întâmplare cu elevul care venise din clasa a 6-a “dresat” doar spre rezolvări cu metoda triunghiurilor congruente. Foarte mult m-am gândit la acel exemplu şi aş dori să mai zăbovesc puţin în zonă, cu o extensie de discuţie la un nivel superior, concret la nivelul programei geometriei de clasa a 6-a, unde pe durata ultimelor decenii se poate observa un fenomen foarte interesant. Acest P.S. este deci de o importanţă majoră în ceea ce priveşte coordonarea activităţii matematicii şcolare prin programă, coordonare condusă de către cei aflaţi la conducere “de la minister”.

Pentru cei mai tineri, trebuie să facem aici un moment de “istoria predării geometriei de clasa a 6-a”. Voi face această prezentare începând din anii ’70, când eu am trecut prin clasele gimnaziale împreună cu generaţia mea. Clasa a 6-a cuprindea atunci noţiunile introductive în geometrie (puncte, drepte, segmente, unghiuri etc., inclusiv cercul), după care se studiau pe rând triunghiurile (elemente, clasificare, proprietăţi, inclusiv “metoda triunghiurilor egale”, cum se numeau atunci), dar şi patrulaterele (elemente, tipuri şi proprietăţi).

Trebuie aici să fac observaţia că în vremea respectivă mergeam la şcoală în clasa I după ce împlineam 6 ani, pe când în anii ’90 se mergea de obicei la şcoală după împlinirea vârstei de 7 ani (unii chiar mai târziu). Eu am împlinit 14 ani şi am primit buletin în clasa a 8-a; la ora actuală elevii împlinesc 14 ani şi fac buletin în clasa a 7-a. Cu alte cuvinte, vârsta la care eu am parcurs clasa a 6-a corespunde actualei vârste de clasa a 5-a.

Generaţia mea am fost ultimii care am învăţat din manualele profesorului A. Hollinger; generaţia de după noi au învăţat pe manuale noi, supuse unei reforme dure de încărcare a materiei, atât din punct de vedere al rigurozităţii teoretice, cât şi din punct de vedere a cantităţii şi a dificultăţii aplicaţilor (dar cu păstrarea “în mare” a conţinutului: elemente de bază, apoi triunghiuri şi patrulatere). Probabil că acesta a fost un aspect esenţial în procesul de întârziere al înscrierii copiilor la şcoală în clasa I, proces care a avut loc pe parcursul anilor ’80. Când am ajuns profesor în 1990, elevii din clasele mele fuseseră înscrişi la şcoală după 7 ani (bănuiesc că şi fenomenul “decreţeilor” juca un rol în acest sens).

În anii ’90 materia de geometrie a clasei a 6-a şi-a păstrat componenţa, folosindu-se până în anul şcolar 1996-97 manualele “comuniste” din anii ’80, apoi odată cu reforma din 1997 manualele noi deja alternative, adică de la diferite edituri în paralel. Mai exact, acele manuale noi de clasa a 6-a conţineau la geometrie aceleaşi trei părţi (pe scurt): noţiuni introductive, apoi triunghiuri şi în final patrulaterele (cercul cam “dispăruse” de la reforma din 1980).

Odată cu acele manuale alternative, nivelul materiei s-a îngreunat masiv. Problemele “de început” au fost reduse drastic, crescând masiv problemele grele, “de olimpiadă”, cum le mai spunem noi azi, “de excelenţă”. În plus, era de pildă “o normalitate” în acea vreme ca profesorii să ofere la clasă sau ca temă – pe lângă problemele din manualul ales al clasei – tot ce găseau în celelalte manuale alternative, fiind chiar oficial încurajaţi în acest sens. Pe fondul acestei obsesii pentru cât mai mult şi cât mai greu au putut apărea şi s-au generalizat tot mai puternic diferitele auxiliare.

Apoi s-a întâmplat ciudăţenia cea mare: în finalul anilor ’90 (din câte ţin minte, în 1998 sau 1999) s-a scos din finalul clasei a 6-a întregul capitol despre patrulatere, mutându-se după vacanţa mare, la începutul clasei a 7-a, înghesuite fiind alături de restul materiei (în condiţiile în care nimic din geometria de a 7-a nu a fost scos ca să le facă loc).

Ţin minte că la inspecţia de gradul II (în aprilie 1998) două ore au fost din geometrie despre linia mijlocie în trapez. Această inspecţie mi-am dat-o în Waldorf, fiind daja parţial “detaşat” de şcoala obişnuită, iar din acest motiv nu mai ţin minte exact în ce an au fost mutate patrulaterele în a 7-a, şcolile Waldorf având programă separată (eu până de curând le-am făcut mai departe în clasa a 6-a, dar în forme tot mai reduse).

Ca persoană care gândesc şi nu doar execut, eu am dus toţi aceşti ani întrebarea în suflet: de ce au mutat patrulaterele din a 6-a, la 1-2 ani după redactarea manualelor noi? Probabil datorită presiunilor diferitelor personale “sus-puse” manifestate la Minister despre cât de grea ajunsese materia în a 6-a pentru “puiuţii lor” (concomitent au fost mutate din a 6-a la începutul clasei a 7-a şi radicalii, calculul acestora alăturându-se calculul cu numere iraţionale; deci eu am învăţat să extrag radicalii la vârsta la care acum copiii sunt în a 5-a).

Prin expulzarea patrulaterelor din a 6-a, materia a devenit aparent foarte relaxată la geometrie. Aproape 20 de ani, până la programa nouă din 2017 capitolul cu patrulatere apărea în manualele de a 6-a, dar se studia la începutul clasei a 7-a, unde însă nici lecţiile, nici aplicaţiile nu erau în manuale (că erau în a 6-a). Am impresia că situaţia era “parţial incompetenţă” şi “parţial premeditare” (pentru a face “pârtie” auxiliarelor diferitelor edituri).

Totuşi, se pare că materia de clasa a 6-a fost în continuare şi tot mai mult percepută ca grea şi încărcată (dau cu presupusul; poate şi din cauza avarierii tot mai accentuate a elevilor, datorită extinderii folosirii ecranelor, distrugătoare de atenţie şi de gândire), aşa încât la reforma din 2017 o bună parte din zona de noţiuni introductive despre geometrie a fost mutată în finalul clasei a 5-a (o nouă expulzare de materie din clasa a 6-a), descongestionând astfel şi mai mult materia.

Orientativ, materia de geometrie de a 6-a reprezintă actualmente jumătate din cea din anii ’90. Şi tot e grea pentru mulţi, mai exact elevii tot învaţă pe de rost problemele. Pentru mine este clar că “hiba” este altundeva, nu în cantitatea materiei (hibă = defect, problemă, disfuncţionalitate “pe ardeleneşte”). După părerea mea problema rezidă în absolutizarea importanţei demonstraţilor prin metoda triunghiurilor congruente, combinată cu nivelul în continuare nestăpânit al dificultăţilor problemelor cu care sunt “bombardaţi” copiii, deşi sunt încă doar la începutul învăţării raţionamentului demonstrativ.

Mai mult, prin eliminarea patrulaterelor, s-a redus masiv plaja de aplicaţii, diversitate de feluri de demonstraţii din probleme care duceau la formarea gândirii, elevii tocind toată ziua probleme în principiu doar de un anumit fel, adică pe baza metodei triunghiurilor congruente. Nu vede nimeni însă că această metodă nu este potrivită formării gândirii specifice argumentative, fiind prea abstracă pentru elevii începători? Chiar nu vede nimeni asta?

Da, teoremele de la patrulatere se demonstrează cu această metodă, dar la ora actuală nu mai demonstrază nimeni teoremele la şcoală. Iar apoi, multe din problemele de la patrulatere sunt mult mai accesibile decât cele prin metoda triunghiurilor congruente. Dar nimeni nu vede asta. O ţară întreagă face doar dresură prin triunghiuri congruente; în loc ca elevii să înveţe argumentaţia demonstrativă pe situaţii mai accesibile începătorului, ei învaţă doar pe de rost acest “cel mai abstract tip de demonstraţii”. De ce? Pentru că aşa zice programa! Pentru că atâta înţeleg cei care diriguiesc programa, insistând pe acelaşi drum stupid de peste 40 de ani. Iar apoi ne mirăm că jumătate din populaţia şcolară are analfabetism funcţional matematic!

Aceasta este “în mare” situaţia, “tabloul” sub care se desfăşoară începutul formării gândirii la geometrie în clasa a 6-a. Despre ce soluţii de corectare a acestui proces am găsit eu în căutările mele voi vorbi într-un viitor episod.

Spuneam în prima parte că am o nemulţumire, legată de faptul că prezentările oferite de Google-AI au clar iz de Studiul PISA (fiind de fapt rezumate ale acestor rapoarte), studiu organizat la nivel mondial de OCDE cu intenţia declarată de a vedea cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Astfel, rezumatul Google AI este axat preponderent pe faptul că persoanele cu AFM (analfabetism funcţional matematic) nu vor putea folosii elementele sau gândire învăţate la orele de matematică din şcoală în viaţa de zi cu zi, fie în privat, fie profesional. Acest aspect se datorează probabil faptului că noţiunea de AFM este des folosită în rapoartele PISA, dar şi reluate “papagaliceşte” în articolele din România, care comentează “din greu” faptul că un procentaj mare din populaţia şcolară suferă de AFM.

Până la această întâlnire cu AI-ul (prezentată în prima parte), căutările mele personale în direcţia AFM mergeau însă în altă direcţie (atâta “m-a dus pe mine mintea”), anume înspre o analogie cu explicaţia tradiţională a analfabetismului funcţional. Astfel, eu consider că, dacă o persoană cu analfabetism funcţional (AF) nu înţelege ce i se spune într-un text sau nu înţelege ce i se cere într-o întrebare de la examen (în general nu pricepe ce vrea o cerinţă scrisă, având nevoie de explicaţii ajutătoare), deşi ştie să scrie şi să citească, atunci eu ar trebui “să citesc” în acelaşi spectru şi ideea de AFM.

Ca urmare, gândind prin analogie deci, eu înţeleg prin analfabetism funcţional matematic (AFM) faptul că o persoană nu pricepe punerea unei probleme de matematică şi nici nu este capabilă de a da o rezolvare la o situaţie care iese din schemele învăţate pe de rost până în acel moment. Cu alte cuvinte, AFM-ul văzut de mine este un AFM ce se manifestă în interiorul matematicii (să ne limităm la nivelul matematicii şcolare, obligatorie şi de verificat prin examenele de EN sau BAC), pe când AFM-ul din rezumatele AI-ului inspirat de rapoartele PISA, se vede preponderent în exteriorul matematicii, la aplicarea acesteia în viaţa de zi cu zi, particular sau profesional.

Care formă de AFM este însă mai importantă? Nu ştiu, dar cred că nici nu este relevant un astfel de răspuns, pentru că – părerea mea – probabil cele două sunt interconectate. Adică, dacă o persoană se descurcă pe o situaţie matematică nouă, nebătătorită la clasă, atunci este de aşteptat să se descurce şi într-o situaţie nouă din afara orelor de matematică, şi invers (deşi există desigur şi excepţii).

Care este însă diferenţa de abordare? Păi simplu, forma observată de mine aduce o abordare care îmi permite să lupt împotriva AFM în interiorul lecţiilor de matematică, şi nu cu aplicaţii din afara matematicii; deci, nu aşa cum – cu un iz de agresivitate prea-bine-ştiutoare – ne cere opinia publică, ceva de genul să facem mai mult o matematică aplicată în situaţii extra-matematice (din acest motiv este îndrăgită de pildă statistica de către nematematicieni, dându-le acestora senzaţia că “fac matematică”). Pentru aceştia din urmă, cea mai bună situaţie ar fi ca noi să ne concentrăm doar pe elemente de matematică direct aplicabile în afara ei, şi să facem toată ziua doar aplicaţii de acest gen.

Mie personal o astfel de cerinţă îmi sună foarte apropiat de cerinţa înrudită, de părerea unora şi mai agresivi împotriva matematicii, care întreabă cu orice ocazie în mod retoric: “la ce trebuie atâta matematică?” sau “la ce trebuie radicalii în viaţă?” etc. Fie că au studii superioare sau nu, pentru aceştia este clar că cea mai bună matematică este matematica defel! Eu nu mai îmi pun mintea cu astfel de persoane.

Revenind la cele două tipuri de AFM conştientizate cu ocazia redactării acestui eseu, le-am putea numii analfabetism funcţional matematic exterior, cel care se manifestă în exteriorul matematicii şcolare, respectiv analfabetism funcţional matematic interior, cel care poate fi observat manifestându-se în interiorul matematicii şcolare.

Legat de aceste AFM exterior respectiv AFM interior (putem prescurta AFM-ext respectiv AFM-int), aş vrea să ne gândim puţin care este sursa acestora şi de ce susţin eu că ele reprezintă doar două faţete ale unui aceluiaşi fenomen, a unei aceleiaşi dizabilităţi obţinute printr-o educaţie greşită. La ce mă refer când vorbesc de o educaţie greşită, voi încerca să lămuresc într-o parte viitoare a acestui eseu. Acum mă rezum la a afirma, ca de obicei, că este vorba de un complex de vinovăţii ce se pot manifesta din toate direcţiile în viaţa unui copil.

Dar, de ce susţin că aceste două tipuri de AFM reprezintă faţete ale aceluiaşi fenomen. Păi, să analizăm de unde provine de obicei AFM. Convingerea mea este că AFM provine din ne-antrenarea elevilor pentru situaţii noi. AFM-ul provine din dorinţa celor din jur de a le oferi elevilor direct rezolvări pre-aranjate, pre-gândite, pre-rumegate, am putea spune şi pre-gătite, pentru a creşte eficienţa învăţării, în sensul de cât mai repede, cât mai mult şi desigur cât mai uşor pentru învăţăcel. Ca urmare a acestei politici de primire a cunoştinţelor matematicii, elevii nu se obişnuiesc să se confrunte cu situaţii noi; ei ştiu doar să rezolve o situaţie de felul pentru care au fost pregătiţi sau antrenaţi (am putea folosi chiar termenul “dresaţi”).

Pentru că elevii nu sunt obişnuiţi să se confrunte cu situaţii noi, nemaiîntâlnite, cărora să le facă faţă fără “instrucţiuni” (care nu le-au fost explicate în prealabil), situaţii pentru care nu au primit reţete şi nu au fost “dresaţi” corespunzător,  aceştia nu se descurcă nici în situaţii extra-matematice (AFM ext), dar nici în situaţii matematice noi, necunoscute, nebătătorite, dar accesibile gândirii lor, pentru care au teoretic toate elementele studiate şi cunoscute (deci AFM int). Cu alte cuvinte, dacă vrem să ne asigurăm că un elev să nu aibă AFM (atât interior, cât şi exterior), noi va trebui să-l confruntăm din când în când cu situaţii nepregătite, neobişnuite, pentru care nu a fost “dresat”. Mintea lui trebuie să se obişnuiască a se confrunta şi cu situaţii noi, nemaiîntâlnite.

Desigur că există şi diferenţe între cele două tipuri de AFM. Probabil că AFM-ext are şanse de a se manifesta mai des la elevi de nivel submediu (dar nu neapărat), pe când AFM-int va apărea ca deranjant la elevii de nivel mediu şi mediu superior (la cei de nivel submediu oricum şi aşteptările sunt mai mici). Dar aceste aspecte ar trebui aprofundate şi lămurite de către specialişti. Ca urmare, predarea, dar şi materialele de lucru ar trebui să conţină atât elemente noi din spectrul prevenţiei AFM-ext (mai multe aplicaţii “extramatematice” adevărate), cât şi elemente noi din spectrul prevenţiei AFM-int (mai multe provocări matematice din afara zonei strict bătătorite pentru pregătirea lecţilor şi a examenelor).

Oricum, simţim aici că am ajuns din nou într-o situaţie de “multiple vinovăţii”: degeaba ar conţine manualele şî auxiliarele mai multe astfel de situaţii noi, că cerinţa din partea beneficiarilor ar fi imediat spre o ordonare a acestora pe categorii, alături de obişnuita reţetare (psihologii folosesc şi cuvântul de “şablonare”). Deci am începe să ne învârtim într-un nou cerc vicios, care ar duce doar la o nouă încărcare a materiei.

Revenind la cele două tipuri de AFM discutate mai sus, se simte că îmi vine greu să trag o linie clară între cele două situaţii. Cred că acestea mai degrabă sunt chiar parţial suprapuse, fapt pentru care am şi exprimat părerea că acestea ar reprezenta doar faţete ale unui aceluiaşi fenomen (măcar parţial).

Celor care “strâmbă din nas” la astfel de teorii, argumentând că eu, ca profesor, trebuie să-i pregătesc pentru ce se dă la examen şi atât, le răspund în felul următor: marea majoritate a elevilor nu reuşesc oricum să reţină toate reţetele “de învăţat” pentru examen; şi dacă careva reuşeşte să le înveţe “pe toate”, oricum la examen mai apare de obicei şi stress-ul, aşa încât sunt şanse mari ca un candidat să se confrunte cu situaţia că “nu ştie” să facă cutare problemă (fără să mai discutăm de situaţii în care elevul a uitat în examen o formulă necesara; de pildă a uitat tocmai formula de volum a cubului). Iar atunci, ce face? Păi, ar trebui să gândească! Afirm asta deoarece respectiva situaţie are pentru el clare caracteristici de “total nou” sau “nemaivăzut”, iar dintr-o astfel de situaţie nu poţi ieşi decât eventual gândind (iar în exemplul cu volumul cubului elevul respectiv exact asta a făcut: – am început să gândesc, aşa cum ne-aţi învăţat dvs.).

Problema mare cu aceste situaţii nemaiîntâlnite este că elevul de rând din şcoala noastră este confruntat de obicei cu “situaţii noi” mult prea grele pentru a le face faţă (mă refer desigur la cele din spectrul numit generic “de excelenţă”). În plus, şi în cazul situaţilor noi mai uşoare, mai accesibile gândirii elevulu mediu, deoarece în fiecare clasă sunt cel puţin 2-3 elevi care au fost deja setaţi pentru acestea şi ştiu deja răspunsul (de multe ori la aceştia are loc predare în avans în particular), elevul de rând nu are ocazia de a-şi porni gândirea.

Cu alte cuvinte, prezenţa elevilor de vârf într-o clasă şi preocuparea constantă a profesorului pentru excelenţa acestora, îi condamnă pe restul elevilor la AFM, aducându-i pe elevii de rând într-o stare de platitudine resemnată: oricum nu are rost ca ei să încerce se gândească; ei oricum nu pot să gândească aşa repede şi aşa complicat şi departe ca cei buni, ei oricum ajung să se mulţumească să copieze de pe tablă şi atât; gândul lor poate zbura în acest timp, scăzând astfel şi ultima brumă de implicare.

Vedem deci cum preocuparea mult apreciată pentru excelenţă, atât din partea profesorilor, cât şi din partea elevilor de vârf (şi a familiilor acestora), preocupare absolutizată în multe cazuri, duce direct la decăderea restului elevilor. Doar ca o paranteză, e clar că această decădere atrage apoi după sine necesitatea orelor în particular, pentru a contracara tendinţa, dar şi a orelor remediale, către care se îndreaptă din când în când atenţia autorităţilor, atunci când îşi aduc aminte de problema elevilor slabi (în diferite contexte).

Privind astfel fenomenul de apariţie a AFM, ne punem desigur întrebarea: cum am putea să confruntăm cât de des elevul de rând cu rezolvarea unor situaţii noi? Un lucru pot spune, anume că nu e uşor, mai ales că această cale este una mare consumatoare de timp (viteza de lucru şi parcurgere a unor situaţii noi este mult mai mică), starea generală căpătând astfel nuanţe de clară imposibilitate. Totuşi se pot găsi căi; alte ţări de ce pot? Eu le-am căutat şi le-am găsit; am vorbit deseori despre asta. Un “cuvânt magic”, dintre cele mai importante în acest sens, este predarea prin problematizare (despre care voi vorbi ulterior).

Putem privi lucrurile şi din partea opusă: cu cât ne propunem în educaţia matematică să “dresăm” cât mai multe reţete (în acelaşi timp desigur, că numai 4 ore pe săptămână avem disponibile la clasă), cu atât pregătim mai bine pentru o posibilă instalare de AFM-int la elevii care ar putea învăţa să gândească, dar le este greu (sau multora le este doar lene).

Revenind la cele două tipuri, această clasificare a AFM-ului, în AFM exterior şi AFM interior, îmi aparţine; mintea mea a localizat de-a lungul anilor acest AFM interior, spre deosebire de cel exterior. Astfel, atenţia mea s-a îndreptat clar înspre rezolvarea AFM-int, deşi am preocupări şi în cealaltă direcţie. Apropo de preocupări mai vechi, vă sugerez să citiţi (recitiţi) şi articolul din 2015, în care apare un pasaj despre “persoanele avariate matematic” (mathematically damaged person), la adresa: https://pentagonia.ro/conferinta-peter-gallin/

Problema cu AFM-ext este că noi ca profesori, cu obligaţia oficială de a le asigura pregătirea pentru examen, pentru aceste examene cu aceste subiecte (cele de la EN, respectiv BAC din România), noi degeaba ne-am propune să facem o matematică pentru dezvoltarea capacităţilor aplicative în afara matematicii, pentru că acestea tot nu sunt verificate apoi la examen, deci inclusiv elevii le refuză (dar şi părinţii de multe ori). Aşa, câte un picuţ, “cu pipeta”, le mai poţi da, dar nu prea mult, pentru că rişti o revoltă în clasă.

Să aruncăm o privire asupra AFM de felul celui prezentat pe net. De curând chiar am găsit de un exemplu interesant de observare a AFM-ext, într-o situaţie cu care ne-am întâlnit, desigur “în afara matematicii”. Este vorba despre acele dispozitive de alungat cârtiţele din grădină, care emit un tip de ultrasunete, acţionând deranjant pentru multe vieţuitoare din subteran. Căutând astfel de dispozitive, vedem că ele ne sunt prezentate prin suprafaţa acoperită. Destul de repede ne-am concentrat căutările pe dispozitive ce acţionează pe o suprafaţă de 700mp. Şi de aici începe “problema”, adică situaţia nouă: care este raza de acţiune a acestui dispozitiv? Cel puţin, aşa ne-am gândit noi; vă voi prezenta şi cum gândeşte un elev.

Pentru noi situaţia este simplă: egalăm formula de arie a cercului (scuze pentru pretenţioşi: a discului) cu 700 şi rezolvăm ecuaţia în r aproximând calculele orientativ, către un rezultat “gen 15m”.  Pentru a nu da indicaţii despre ce este de făcut şi cum trebuie gândit, eu am dat unui elev întrebarea astfel: – grădina mea are 20m pe 10m; îmi ajunge un astfel de dispozitiv?

Răspunsul a venit direct: – da, pentru că 20 · 10 = 200mp, care se încadrează în 700mp (copilul a răspuns de fapt mai “telegrafic”, varianta redată aici fiind “cosmetizată”). La acest răspuns am ştiut să dau doar o contra-întrebare: – dar dacă grădina vizată de mine ar avea dimensiunile de 40m pe 5m? La care răspunsul a fost evident: – da, pentru că dă tot 200mp.

În acest moment mi-am arătat nemulţumirea (pe care elevul cu greu a înţeles-o), povestindu-i că – la fel cum se întâmplă când arunci o piatră într-un lac iar undele se propagă circular – undele sonore ale dispozitivului respectiv se vor propaga tot circular şi, deci, ne interesează “raza” până la care acţionează deranjant pentru “prietena cârtiţă”. I-am şi mâzgălit pe foaia pe care schiţasem grădina nişte unde circulare în cercuri tot mai mari, oprindu-mă înainte de acoperirea întregului dreptunghi îngust şi lung, “transmiţându-i” astfel vizual nonverbal posibilitatea că se prea poate ca dispozitivul să nu ajungă până la capătul terenului.

Răspunsul a fost bulversant: – păi, ar trebui să căutăm un pătrat care să aibă în jur de 700mp. – de ce pătrat? l-am întrebat nedumerit, când undele merg circular! Nu mai lungesc povestea prin redarea întregului dialog. Pe scurt, după ce s-au cam epuizat întrebările ajutătoare a trebuit să-l îndrum explicit spre formulele cercului; aici doar la întrebarea directă şi după un moment de gândire elevul a ales formula de arie, după care a urmat “zdroaba” de rezolvare a ciudatei ecuaţii, din care nu mai văzuse, înţesată desigur cu ciudatele aproximări la împărţire şi la radical. Când i-am povestit întâmplarea, soţia mea s-a distrat, întrebându-se retoric cum ar reacţiona astfel de persoane dacă le-am pregăti o formulă directă, ceva cu un radical, o fracţie şi desigur o parte întreagă.

Dar, destul cu acest exemplu, în urma căruia rămânem doar cu o întrebare nelămurită: totuşi, care este raţionamentul psihologic conform căruia producătorii dau suprafaţa pe care acţionează respectivul dispozitiv, dar nu dau şi raza de acţiune? Să fie de ordin comercial-psihologic, ceva de genul că preferă să dea numărul mare al ariei, care este mai impresionant decât numărul mic al razei?

În sensul prevenirii AFM exterior vă ofer şi un mic exemplu de material de lucru, anume o fişă cu un set de “probleme” găsite într-un manual vechi austriac (din păcate am pierdut sursa bibligrafică), set ce îl dau ca temă după o primă lecţie în care le-am arătat elevilor că există două tipuri de numere, anume cele pozitive, cât şi cele negative (vezi anexa P.S. din final). Precizez clar că dau această fişă fără a pregăti defel elevii în sensul întrebărilor de acolo.

Mai exact, elevii primesc fişa la sfârşitul orei, după ce am analizat apariţia numerelor de două feluri, cele pozitive şi cele negative, pe o cu totul altă situaţie, anume pe baza “situaţiei financiare” a unei familii. Prin această abordare, elevii sunt obligaţi să se confrunte cu “situaţii noi”, deşi ei tocmai au primit deja “noţiunea”. Cu alte cuvinte, ei sunt puşi să facă “transferul de idee”, care este de fapt o formă de gândire (îi putem spune “prin analogie”).

Detaliez puţin, ca să înţelegeţi clar cum procedez aici: eu “le aduc” numerele negative şi cele pozitive (le-am putea spune şi “numere relative”) pe baza simulării unei situaţii financiare a familiei, “umplând” tabla cu două coloane: într-o parte banii care intră în casă (salarii, pensia bunicii, alocaţii, burse, chirie de la apartamentul bunicilor etc.), iar în partea cealaltă banii care ies (consumuri, mâncare, benzină, abonamente de toate felurile, alte cheltuieli etc.). Astfel, elevii conştientizează că există “două tipuri” de bani, cei “din buzunar” şi cei “datorie”. Precizez că, la acest prim contact cu cele două tipuri de numere, eu nu le dau defel “sarcini”, adică nu le dau nimic de făcut, nu le cer nimic; doar scriem pe cele două coloane diferite exemple, dezvoltând astfel simţul pentru noul tip de numere (deci şi fără definiţii!).

Revenind la fişă, aceasta conţine practic alte situaţii cu numere relative (pozitive vs. negative), dar de data asta cu cerinţe (există o sarcină de îndeplinit), cerinţe însă absolut intuitive, doar că din alte domenii, diferite de cel iniţial prezentat (temperatură; istorie; altitudine sau latitudine geografică). Astfel elevii sunt obişnuiţi să se confrunte cu situaţii noi, nemaiîntâlnite, şi să le rezolve, având ca singur ajutor posibilitatea gândirii prin analogie. Chiar dacă în ora următoare tot trebuie să începem cu lecţile oficiale, am convingerea că şi atât ajută foarte mult, atât în antrenarea gândirii (subiectul nostru), cât şi în înţelegerea în general a noilor numere şi înspre funcţionarea calculelor cu acestea (o învăţare înţeleasă, nu o învăţare reţetată).

Pentru “purişti” îmi permit să accentuez aici un aspect: fiind un subiect la care lecţia poate folosi ca izvor, ca sursă de generare, situaţii din afara matematicii, eu folosesc ocazia pentru a conecta matematica de lumea exterioară şi în sens opus. Adică folosesc lumea din viaţa de zi cu zi, dar şi alte ştiinţe, pentru a genera lecţiile matematice. Deci o fac nu doar cum gândesc oamenii de obicei: să le dăm elevilor exemple de aplicaţii unde se pot folosi cunoştinţe seci de matematică. Observăm cum ating aici acea stare de îngâmfare supremă a matematicii, care consideră că ea generează “din nimic” diferitele situaţii, care apoi îşi găsesc aplicaţii în viaţa extramatematică. Actualmente aşa se întâmplă, dar istoric matematica a început invers, anume pornind de la situaţii din viaţa reală, cărora le-a găsit “o teorie” pe măsură. Un exemplu deosebit unde eu încep predarea tot din afara matematicii îl reprezintă vectorii. Predarea acestora definiţionist este absurdă; mult mai clar înţeleg elevii vectorii dacă porneşti de la câteva exemple de manifestare a compunerii a două forţe (de pildă gravitaţia şi vântul care acţionează asupra picurilor de ploaie, dar se pot găsi şi altele).

Acestea ar fi două exemple ce ar putea fi folosite înspre prevenirea apariţiei AFM exterior. Totuşi, materia noastră, incluzând aici şi evaluarea, examinarea din finalul ciclului (mă refer cu precădere la EN), nu lasă loc de prea mult spaţiu de intervenţie în acest sens.

Dimpotrivă, AFM interior poate fi mult mai uşor prevenit, combătut măcar parţial, prin diverse tertipuri, inclusiv printr-o justă planificare a lecţiilor, astfel încât situaţiile noi, din probleme sau din lecţii, bazate clar pe procesul spontan de gândire (o gândire cât mai accesibilă majorităţii elevilor) să fie cât mai des întâlnite, încât să antreneze regulat elevii pentru a face faţă situaţilor nepregătite. Pe lângă obişnuirea de a face astfel faţă unor situaţii noi, nepregătite, din lecţile noastre de matematică (dar atenţionez: situaţii bine regizate de către profesor), mizez aici şi pe ideea că un creier obişnuit să se confrunte cu situaţii noi (des şi cu succes), pe care să le rezolve prin propria gândire, acesta va putea ulterior să facă transferul de judecată şi de abordare, încât să rezolve situaţii noi chiar şi din afara matematicii (până la un anumit nivel de dificultate, desigur). În episoadele următoare mă voi concentra mai mult pe acesta, pe înţelegerea, dar şi pe prevenirea acestuia.

Oricum, elementele date la Studiul PISA, ce sunt “atipice matematicii din şcolile româneşti” şi care generază aşa de mari probleme copiilor cu AFM, deşi acestea sunt foarte aproape de matematică, ele sunt totuşi departe de matematica verificată la examene, (deci “în afara zonei de confort”, adică a matematicii şcolare obişnuite). Va urma! CTG

P.S.  Anexez aici, cum am promis, setul de probleme din diferite domenii, prin care elevii sunt confruntaţi cu situaţii nepregătite la orele de matematică, situaţii care implică însă gândirea pe numere relative, adică pozitive vs. negative.

PROBLEME NEMATEMATICE CU NUMERE POZITIVE ŞI NEGATIVE

1. Cât e de mare este diferenţa de temperatură dacă un avion decolează: a) la o temperatură de +12^oC; b) la o temperatură de –8^oC, şi urcă la o înălţime de zbor de 9700m, unde temperatura este de –51^oC?
2. Temperatura maximă de zi pe suprafaţa Lunii este de +127^o În timpul nopţii, puţin înaintea răsăritului Soarelui, temperatura minimă ajunge la –173^oC. Ce diferenţă de temperatură este pe Lună.
3. Temperatura pe planeta Venus oscilează între maximal 40^oC şi minimal –170^oC (ziua, respectiv noaptea). Cât de mare este diferenţa de temperatură pe Venus?
4. Stabileşte semnul temperaturii de 22^oC dacă este vorba despre a) un urs polar pe o banchiză; b) un urs brun mâncând miere dintr-un stup de albine.
5. În atlasul geografic pentru Groapa Marianelor este trecut următorul număr ▼11.038, iar pentru Muntele Everest ▲8.872. a) Ce înseamnă aceasta? b) Ce reprezintă în acest context punctul de referinţă 0(zero)? c) Care este diferenţa de nivel dintre cele două puncte?
6. Trasează o axă a timpului şi înseamnă următoarele evenimente istorice: construcţia piramidei lui Keops: cca 2500 î.Chr; fondarea Romei 753 î.Chr.; naşterea lui Christos; sfârşitul Imperiului Roman de Apus: 476 d.Chr. a) Cât timp a trecut de la întemeierea Romei prin Romulus şi Remus şi până la căderea Imperiului Roman de Apus? b) În ce an va putea Roma să serbeze al 3000- lea jubileu?
7. Ötzi, omul descoperit îngheţat într-un gheţar de pe muntele Similaun din Austria, are cca 5200 de ani vechime. a) Cam în ce perioadă a trăit acesta? b) Care este mai vechi şi cu cât, Ötzi sau piramida lui Keops?
8. Alexandru cel Mare (Macedon) a murit în 323 î.Chr la vârsta de 33 de ani. a) Când s-a născut? b) Ce vârstă avea când a pornit campania din Asia în anul 334 î.Chr.?
9. Iulius Cesar s-a născut în anul 100 î.Chr. şi a fost asasinat în 44 î.Chr. Câţi ani a trăit Iulius Cesar?

Motto: I do not use AI because I have the HI (eu nu folosesc inteligenţa artificială pentru că am inteligenţa umană)

Povesteam încă de anul trecut despre intenţia de a trata subiectul analfabetismului funcţional matematic, dar timpul şi energia mi-au lipsit. Am lucrat însă concret la acest subiect, la ore şi la teme, pe clase gimnaziale direct, dar şi indirect prin intermediul soţiei pe elevi de liceu la clase cu BAC la mate. Acum, pe seama observaţiilor, doresc să încep eseul cu pricina.

Într-unul din puţinele momente libere am apucat prin iarnă-primăvară să “dau pe Google” spre căutare subiectul nostru – analfabetism funcţional matematic, dar nu am primit sugestii decât despre analfabetism funcţional în general. Acum, în vară, (mai exact pe 1 iulie 2025), dorind să mă apuc în sfârşit de lucru, am mai încercat o dată cu “prietenul Google” şi – Surpriză! – ăştia se dotaseră cu un AI, aşa că am primit direct un scurt eseu (un rezumat adică) despre analfabetismul funcţional matematic (voi folosi în continuare prescurtarea AFM). Am aflat că “şmecheria” era introdusă de curând (având se pare chiar şi un nume: Gemini). Puteţi să-l provocaţi şi dvs. pe acest Google-AI să vă spună despre AFM ce şi cum (desigur că puteţi căuta şi pe alte AI-uri; fiică-mea zice că găseşte rezultate superioare pe unul chinezesc, care a ştiut să o informeze mai bine, de pildă când a căutat despre o anumită carte legată de arhitecura veche clujeană; se pare că are setări mai deştepte).

Legat de prezentarea făcută de acest AI, eu am o “oarece nemulţumire”, anume că prezentarea are clar un iz de Studiul PISA, care este făcut de OCDE (Organizaţia pentru cooperare şi dezvoltare economică) cu intenţia clară de a stabili cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Cu alte cuvinte, rezumatul Google AI se concentrează, scoate în evidenţă, mai ales faptul că persoanele “diagnosticate cu AFM” nu vor putea folosii în viaţa extra-matematică elementele învăţate la orele de matematică din şcoală (cunoştiinţe directe sau gândire specifică). Pentru a înţelege gândurile ce vor urma – dacă nu aveţi timp să-l provocaţi chiar dvs. acum – am anexat eu în final varianta primită pe 1 iulie 2025. Voi reveni la acest moment al eseului despre AFM, dar acum doresc să vă descriu  prima mea întâlnire cu AI-ul în contextul căutărilor pe această temă.

Încurajat deci de “noua găselniţă”, am plusat, pe baza faptului că într-un alt articol (parcă de pe wikipedia) apărea termenul de analfabetismul funcţional numeric, dând spre căutare şi această variantă. Şi da, şi aici AI-ul de la Google mi-a oferit un rezumat micuţ.

Prinzând curaj, am dat apoi “spre căutare” ideea de analfabetism funcţional geometric. În acest moment “noul meu prieten” s-a cam speriat şi a pornit prezentarea punând subiectul cerut de mine în ghilimele, explicând că nu este o expresie standard sau un concept recunoscut în domeniul educaţiei sau al matematicii (adică nu l-a folosit nimeni până acum, deci nu apare niciunde, în căutările sale, “pe câmpiile sau pe văile internetului”), după care s-a străduit totuşi să dea câteva explicaţii generale, dar şi câteva lăudabile încercări, adaptări la domeniul geometriei şcolare (dar nici mai prejos decât ar face-o o persoană reală ne nivel mediocru, obligată să scrie un eseu pe această temă).

Văzând că am reuşit deja “să-l prind”, am mers mai departe cu micul meu joc, dând spre căutare analfabetismul funcţional aritmetic. Şi aici am primit o sumedenie de explicaţii, în general toate în direcţia scoasă în evidenţă la început, adică a incapacităţii aplicării matematicii învăţate în viaţa de zi cu zi. Iată un exemplu din această a treia încercare: O persoană poate să rezolve o problemă de înmulţire pe hârtie, dar nu poate calcula câţi litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi un perete, ştiind doar dimensiunile acestuia. Deci, un exemplu tot din zona incapacităţii aplicării matematicii în viaţa extra-matematică.

În final m-am obrăznicit, dându-i spre căutare ideea de analfabetism funcţional algebric. Aici nici nu a mai avut curajul să înceapă cu această “denumire”, nici măcar în ghilimele, ci mi-a făcut o prezentare de un aliniat despre analfabetismul funcţional (în general, deci), după care a continuat: În context algebric, analfabetismul funcţional … De-abia la al treilea aliniat a avut curajul să înceapă fraza cu analfabetismul funcţional algebric …, dar informaţiile se cam repetau din cele precedente. În redactarea ce urmează voi presupune că măcar aţi citit textele respective salvate în P.S.-ul din final. Dar să revenim la eseul despre AFM.

Spuneam mai la început că eu am un fel de nemulţumire, legată de faptul că prezentarea oferită de AI are clar nuanţe de Studiul PISA, organizat de OCDE cu intenţia declarată de a vedea cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Astfel, rezumatul Google AI este axat preponderent pe faptul că persoanele cu AFM nu vor putea folosii elementele învăţate la orele de matematică din şcoală în viaţa de zi cu zi, fie în privat, fie profesional.

Până la această întâlnire cu AI-ul şi cu rezumatele sale, deci independent de acesta, căutările mele personale în direcţia AFM mergeau înspre o analogie cu explicaţia tradiţională a analfabetismului funcţional, de pildă prin faptul că o persoană cu AF nu înţelege ce i se spune într-un text sau nu înţelege ce i se cere într-o întrebare scrisă de la examen, nu înţelege care este sarcina sa, deşi ştie să scrie şi să citească; adică nu poate să facă transferul ne-explicat al acestor abilităţi într-o situaţie nouă. Ca urmare, gândind prin analogie deci, eu înţeleg prin AFM faptul că o persoană nu pricepe punerea unei probleme de matematică şi nici nu este capabilă de a da o rezolvare la o situaţie care iese din schemele învăţate pe de rost până în acel moment. Cu alte cuvinte, AFM-ul văzut de mine este un AFM ce se manifestă în interiorul matematicii (şcolare, să zicem, anume matematica de verificat prin examenele de EN sau BAC), pe când AFM-ul din rezumatele AI-ului se vede preponderent la aplicarea matematicii în viaţa de zi cu zi, particular sau profesional, adică în exteriorul matematicii.

Care din cele două este însă mai important? Nu ştiu, dar cred că nici nu este relevant un astfel de răspuns, pentru că, după părerea mea, probabil cele două sunt interconectate. Adică, dacă o persoană se descurcă pe o situaţie matematică nouă, nebătătorită la clasă, atunci este de aşteptat să se descurce şi într-o situaţie nouă din afara orelor de matematică, şi invers (într-o oarecare măsură, şi cu excepţiile de rigoare, desigur).

A nu se înţelege că eu consider AFM-ul manifestat în viaţa extra-matematică, de exemplu în piaţa muncii, mai puţin important decât AFM-ul intuit de către mine în cadrul orelor de matematică. Nici vorbă! Este evident că şcoala ar trebui să aibă ca principală preocupare pregătirea elevilor pentru viaţa post-şcoală (formarea gândirii logice). Faptul că mulţi profesori justifică predarea matematicii exclusiv prin examenele ce urmează să vină înspre accederea la următoarea fază de învăţământ, asta este una din marile metehne ale învăţământului şcolar românesc. Orientarea profesorilor, a întregului sistem, preponderent şi excesiv doar spre matematica în sine, spre problemele acesteia (ca un sport al minţii), sub justificarea pregătirii pentru examene, concomitent cu neglijarea totală a unor posibile aplicaţii extra-matematice, asta duce la faptul că întregul învăţământ “nu vede” AFM-ul descris în studiul PISA, şi nici nu înţelege “care-i problema”, că doar nu intră “în sarcina sa”. Dimpotrivă AFM-ul intuit de către mine, acesta poate fi observat de orice persoană responsabilă din sistem, cu condiţia să vrea, să fie puţin deschisă şi la lucruri nemai-auzite.

Deci, noi nu trebuie însă să alegem doar între eficienţa (respectiv ne-eficienţa) matematicii pentru sine şi eficienţa matematicii pentru viaţa profesională. În plus, eu consider că ar trebui să ridicăm preocuparea la un nivel mai general, incluzând în discuţie clar şi timpul (a patra dimensiune), în sensul că aş pune problema astfel: dacă noi îi învăţăm, îi pregătim şi îi examinăm după modelele din trecutul nostru, cum vor face ei faţă după terminarea şcolii într-o lume aflată într-o tot mai rapidă schimbare, într-o lume pentru care sigur nu i-am pregătit defel? Cât de greşit ştiu a decide fostele generaţii de elevi, odată ajunşi în viaţa de adult, am putut vedea de pildă cu ocazia alegerilor prezidenţiale 2024-25, când s-a putut observa o foarte ciudată suprapunere de procentaje între AFM dat de PISA şi alegătorii manipulabili.

Astfel, eu consider că, pe lângă evidenta pregătire pentru examenele de la sfârşit de ciclu, este clar de datoria mea să-i pregătesc pe elevi “pentru acel nu ştiu ce”, pentru acel “ceva” pe care eu nu-l cunosc, “ceva” ce eu nu îmi pot nici măcar închipui, dar cu care elevii se vor întâlni în viitor, după ce vor termina toate şcolile, atunci când “vor da piept” cu viaţa. Dar cum pot face eu chestia asta? Păi foarte simplu: obişnuindu-i de acum cu întrebări, cu sarcini, cu probleme pentru care nu i-am pregătit ad-literam, la care este nevoie de gândire şi imaginaţie. Făcând cu ei cât de des acest exerciţiu de a se confrunta cu necunoscutul, asta le va dezvoltă capacităţi care îi  vor putea scoate din impas în viitor.

Putem lua în acest sens chiar şi cazul meu în discuţie, mai exact al eseului de faţă, în care eu iau “problema” în minte şi în suflet, şi îi caut o soluţie. Eu nu vă prezint aici o colecţie, un rezumat al unor surse bibliografice, în format fizic sau online. Nu vă prezint un rezumat despre ce au spus unii sau alţii pe acest subiect. Eu am gândit asupra problemei şi am încercat să caut o rezolvare, deşi nu am fost pregătit prin studiile mele să fac asta (nu discut aici despre cât de bine reuşesc acest demers). Aşa mi-aş dori să fie şi foştii mei elevi: atunci când se vor ciocni de o problemă să o poată lua la rezolvat şi să fie capabili să-i dea de capăt, nu să aştepte să vină altcineva să rezolve situaţia.

Deci, să fim foarte clar înţeleşi: ceea ce voi scrie în acest “cel mai mare eseu” de care m-am apucat de când redactez blog-ul pentagonia.ro, este rodul observaţiilor şi al gândirii mele personale (în afara câtorva situaţii rare la care voi prezenta sursele de unde sunt preluate). Poate am sau poate nu am dreptate într-u totul. Poate sunteţi de acord cu afirmaţiile mele sau poate nu. Eu îmi fac datoria să le prezint, cu speranţa ca aceste gânduri să ajute totuşi şi pe alţii, profesori, părinţi sau indirect copii.

Merită să vedem lucrurile şi altfel: acest concept de AFM este unul nou, despre care autorităţile nu au făcut până acum paşi clari în a ne lămuri şi a ne şcoli despre ce şi cum. Presa reia “papagaliceşte” anumite idei prezentate în rapoartele la Studiul PISA, iar AI-ul ne oferă doar rezumate în acest sens din toate sursele unde se găseşte noţiunea la ora actuală pe net (pentru asta este de fapt conceput). Din partea autorităţilor competente nu am primit încă nimic concret lămuritor, pe scară largă, pentru toată profesorimea (măcar ceeva de genul “scrisorii metodice” din 2019).

În aceste condiţii, eu îmi propun să prezint gânduri personale, despre cum văd eu fenomenul. Desigur că aştept în schimb din partea colegilor cititori răbdare, înţelegere şi mai ales colaborare. Ar fi minunat dacă am putea porni o linie de preocupare în acest sens, cu implicare din partea cât mai multor persoane, cu respect pentru părerea fiecăruia, şi de ce nu – poate chiar cu completări din partea unor specialişti care nu şi-au spus încă părerea clar pe net, astfel încât AI-ul să le-o includă în rezumatele “sale” viitoare.

Preocupările mele mi-au dus gândurile în anumite direcţii, ce ţin de activitatea matematică a elevilor, dar şi de alte cauze care influenţează această activitate. Desigur că trebuie că există şi alte surse “de vină” care contribuie la AFM, pe care eu nu le voi aborda detaliat; despre acestea nu mi-am propus să vorbesc în eseul de faţă pentru simplul motiv că nu ţin direct de activitatea matematică. Dau aici câteva scurte exemple.

Una ar fi incapacitatea elevilor de a-şi imagina situaţiile necesare în înţelegerea profundă a matematicii. Această incapacitate de a-şi imagina diferite situaţii primite altfel decât prin imagini pe ecran vine exact din faptul că elevii au fost obişnuiţi de mici copii cu ecranul: atunci când primeşte o poveste sub formă de filmuleţ, copilul nu mai este nevoit “să îşi imagineze” povestea, deci nici nu dezvoltă abilităţi de imaginare (ulterior, atunci când primeşte o problemă nouă, elevul nu va fi în stare să îşi imagineze clar situaţia pentru a putea gândi singur şi a găsi o rezolvare pe măsură; el are nevoie să-i fie explicată). Dimpotrivă, copilul căruia i se citeşte de mic, deci care ascultă o poveste spusă sau citită, mintea lui este nevoită să îşi imagineze situaţiile prezentate, fiind forţată să producă “un film interior”, antrenându-se astfel să perceapă o situaţie şi altfel decât vizual, (şi altfel decât sub formă de filmuleţ), de exemplu o situaţie primită sub formă de text, adică o problemă. Aceasta este de pildă şi cauza pentru care la ora actuală la EN toate problemele de geometrie sunt însoţite de figură, elevii trebuind eventual doar să mai traseze câte un segment.

Un alt exemplu ar fi cultivarea, respectiv necultivarea capacităţii de atenţie prin intermediul diferitelor situaţii moderne care ajung să ocupe timpul copiilor mici, de multe ori “să-i educe” cu totul. Chiar şi în situaţia poveştilor înregistrate audio – deci fără ecran, lăsat singur cu CD-ul ce turuie o poveste, copilul se poate apuca să se joace cu o maşinuţă sau o păpuşă în timpul respectiv şi să nu mai fie atent la poveste, antrenându-şi astfel de mic lipsa de atenţie. Apoi, când profesorul de matematică vrea să explice o situaţie, este evident că mintea elevului respectiv fuge în altă parte, pentru că s-a obişnuit de mică să facă acest lucru.

Dar şi folosirea masivă a filmuleţelor gen “TikToc” care sunt de obicei foarte scurte şi extrem de active, le scurtează durata de atenţie cu care se obişnuiesc (cum să mai fie atenţi la o teorie prea lungă la şcoală?), dar le şi ridică nivelul de expectanţă stimulatoare la nivele pe care profesorul de matematică sigur nu le poate atinge (cum poate fi matematica la fel de spectaculoasă şi pasionantă ca un filmuleţ “de TikToc”?). Asta, fără să mai discutăm despre efectul de “magnet” pentru privire pe care îl au ecranele chiar şi în formele cele mai primitive, de TV, care duce la o lipsă de atenţie cronică atunci când cineva le spune ceva verbal (cum să fie apoi atent un elev la ce ar avea de transmis profesorul de matematică?).

Este evident că în ambele exemple oferite (cu subcategoriile prezentate), dar şi în alte situaţii posibile, mintea elevilor neputând sau fiindu-i lene să activeze procesul de gândire, apelează la mai uşoara “variantă de scurtătură”, învăţând pe de rost rezolvarea primită pentru acel model de probleme. Şi pentru că nu se antrenează astfel în rezolvarea unor situaţii noi prin propria gândire, elevul dezvoltă cu timpul AFM, adică Analfabetismul Funcţional Matematic. Teorii similare se pot redacta desigur şi în cazul celorlalte tipuri de analfabetism funcţional, cel numeric, sau cel geometric etc. Mai ales cel geometric ar merita un eseu separat, în contextul debalansării puternice a şcolii româneşti în favoarea algebrizării.

Desigur că şi un Analfabetism Funcţional clasic, adică pe text (cel cunoscut, despre care găsim informaţii suficiente pe net), şi acest AF poate duce la aparente manifestări de AFM, dar despre aceste aspecte nu mi-am propus să vorbesc în eseul de faţă.

Încercând un gând de rezumat în finalul acestei prime părţi, eu consider că AFM apare la pentru că elevi nu sunt obişnuiţi să fie confruntaţi cu situaţii noi, ci doar cu situaţii deja cunoscute sau explicate; elevilor nu le este antrenată şi verificată abilitatea de a face faţă la nou, ci doar “redarea”, deci memorarea unor situaţii anterior pre-gătite. Va urma! CTG

P.S. După cum am promis, dar şi pentru “fixarea momentului” peste ani (în vederea unor viitoare lecturări a prezentului eseu), anexez acestei prime părţi rezumatele oferite de AI-ul de la Google pe data de 1 iulie 2025 (precizez data deoarece bănuiesc că acestea vor suferi modificări de-a lungul timpului). Se prea poate ca pe viitor să merite analizate fraze şi exprimări din aceste rezumate pentru a scoate în evidenţă diferite aspecte legate de educaţie.

Iată deci rezumatele acestui AI-Google – amintesc că îl cheamă Gemini – descărcate cu această ocazie, citate în ordine: primul despre analfabetismul funcțional matematic, apoi despre analfabetismul funcțional numeric, apoi despre analfabetism funcțional geometric (cel cu ghilimele), apoi despre analfabetismul funcțional aritmetic, şi finalizând cu analfabetismul funcțional algebric (căruia nici nu a avut curajul în a-i “pronunţa” denumirea):

***

Analfabetismul funcțional matematic se referă la incapacitatea unei persoane de a înțelege, interpreta și utiliza concepte și informații matematice în contexte practice ale vieții de zi cu zi, chiar dacă aceasta poate avea cunoștințe teoretice despre matematică. Cu alte cuvinte, o persoană poate cunoaște formulele, dar nu le poate aplica corect pentru a rezolva probleme reale sau pentru a lua decizii informate bazate pe date numerice. 

Exemple: Nu înțelege o factură: Nu poate calcula corect suma de plată sau să identifice eventualele erori.

Nu poate interpreta date statistice: Nu poate înțelege sensul procentelor sau a altor indicatori statistici prezentați în media sau în alte contexte.

Nu poate face calcule simple: Nu poate estima corect cantitatea de materiale necesare pentru o reparație, sau să calculeze o reducere.

Nu poate interpreta grafice: Nu înțelege cum să citească și să interpreteze informațiile prezentate într-un grafic sau diagramă. 

Cauze: Predarea tradițională: Accentul pus pe memorare și pe rezolvarea mecanică a exercițiilor, fără a conecta matematica cu viața reală.

Lipsa de exercițiu în contexte practice: Elevii nu au oportunitatea de a aplica matematica în situații concrete, ceea ce duce la o slăbire a înțelegerii conceptelor.

Atitudinea negativă față de matematică: Unii elevi pot dezvolta aversiune față de matematică, ceea ce le afectează motivația și rezultatele.

Deficiențe în sistemul de învățământ: Lipsa de resurse, cadre didactice insuficient pregătite sau metode de predare inadecvate pot contribui la analfabetismul funcțional matematic. 

Consecințe: Dificultăți în viața profesională: Angajații pot avea probleme în îndeplinirea sarcinilor care implică utilizarea matematicii.

Dificultăți în gestionarea financiară: Persoanele cu analfabetism funcțional matematic pot avea dificultăți în a-și gestiona bugetul, a face economii sau a lua decizii financiare corecte.

Dificultăți în luarea deciziilor: Incapacitatea de a interpreta date și statistici poate afecta capacitatea de a lua decizii informate în diverse domenii ale vieții.

Scăderea încrederii în sine: Analfabetismul funcțional matematic poate duce la o scădere a încrederii în sine și la evitarea situațiilor care implică utilizarea matematicii. 

Soluții: Îmbunătățirea metodelor de predare: Accentul ar trebui pus pe înțelegerea conceptuală a matematicii și pe aplicarea acesteia în contexte reale.

Dezvoltarea unor programe educaționale: Aceste programe ar trebui să ofere oportunități de exersare a matematicii în situații practice.

Combaterea atitudinilor negative: Este important să se încurajeze o atitudine pozitivă față de matematică și să se demonstreze utilitatea acesteia în viața de zi cu zi.

Investiții în educație: Sistemul educațional ar trebui să fie dotat cu resursele necesare și să fie asigurat un personal didactic bine pregătit. 

***

Analfabetismul funcțional numeric se referă la incapacitatea unei persoane de a înțelege și utiliza concepte numerice de bază în viața de zi cu zi. Aceasta include dificultăți în efectuarea calculelor simple, interpretarea datelor numerice și aplicarea acestora în situații practice. Conform unui articol publicat pe Edupedu.ro și un altul de pe Q Magazine, un procent semnificativ din elevi, chiar și după ciclul primar, prezintă dificultăți în acest sens. Un studiu arată că în ciclul primar, procentul de analfabetism numeric este mai mare în mediul rural, comparativ cu mediul urban. 

Mai exact, analfabetismul funcțional numeric poate implica:

Dificultăți în calcule simple: Adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

Interpretarea datelor: Grafice, tabele, procentaje.

Aplicarea conceptelor numerice în situații reale: Calcularea restului, înțelegerea termenilor financiari, estimarea timpului sau distanței.

Această problemă poate avea consecințe asupra vieții de zi cu zi, afectând capacitatea de a gestiona bani, de a naviga în mediul urban sau de a lua decizii informate. Un raport indică faptul că un procent de 36% dintre elevi sunt afectați de analfabetism numeric, iar procentul este mai mare în rândul elevilor din mediul rural. 

***

“Analfabetism funcțional geometric” nu este o expresie standard sau un concept recunoscut în domeniul educației sau al matematicii. Cu toate acestea, putem deduce că se referă la o problemă de înțelegere a conceptelor geometrice, chiar dacă persoana respectivă este capabilă să recunoască și să manipuleze simboluri sau formule geometrice.

În esență, “analfabetism funcțional” se referă la incapacitatea de a înțelege și utiliza informațiile pe care le citești, chiar dacă le poți reproduce verbal sau în scris. În contextul geometriei, un analfabet funcțional geometric ar putea fi capabil să scrie formule pentru aria unui cerc sau să rezolve ecuații simple, dar nu ar înțelege cu adevărat ce înseamnă acele formule sau cum se aplică în situații practice sau în contexte mai ample. 

Această problemă ar putea decurge din:

Lipsa de înțelegere conceptuală: Deși poate cunoaște formulele, persoana nu înțelege de ce funcționează sau ce reprezintă în realitate.

Concentrarea pe memorare, nu pe înțelegere: Elevii se pot concentra pe memorarea informațiilor pentru teste, fără a înțelege cu adevărat concepte.

Instruire inadecvată: Uneori, modul de predare poate fi deficitar, nepermițând o înțelegere profundă a geometriei.

Probleme cu raționamentul spațial: Unii elevi pot avea dificultăți cu vizualizarea și manipularea obiectelor spațiale, ceea ce este esențial pentru geometrie.

În concluzie, “analfabetism funcțional geometric” ar indica o problemă de înțelegere profundă a geometriei, chiar dacă persoana poate reproduce formulele și simbolurile geometrice.

***

Analfabetismul funcțional aritmetic se referă la incapacitatea unei persoane de a utiliza concepte și abilități aritmetice de bază pentru a rezolva probleme din viața de zi cu zi, chiar dacă pot executa operații matematice simple. Cu alte cuvinte, o persoană poate să știe să adune, să scadă, să înmulțească și să împartă, dar nu poate aplica aceste cunoștințe pentru a, de exemplu, calcula restul la cumpărături sau pentru a înțelege o factură.

Exemple de analfabetism funcțional aritmetic:

O persoană poate să rezolve o problemă de înmulțire pe hârtie, dar nu poate calcula câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi un perete, știind doar dimensiunile acestuia; O persoană poate citi un grafic simplu, dar nu poate interpreta datele prezentate în acel grafic pentru a lua o decizie; O persoană poate calcula suma a două numere, dar nu poate compara costul a două produse pentru a vedea care este mai ieftin; O persoană poate înțelege un procent simplu (de exemplu, 20%), dar nu poate calcula o reducere de 20% dintr-un preț; O persoană poate citi un număr mare, dar nu poate înțelege semnificația acelui număr în contextul unui context mai larg (de exemplu, rata șomajului).

Cauze: Sistemul educațional care se concentrează mai mult pe memorare și mai puțin pe aplicarea practică a cunoștințelor matematice; O abordare tradițională a matematicii, care nu pune accent pe utilizarea ei în viața de zi cu zi; Lipsa de practică și exercițiu în aplicarea cunoștințelor matematice; Stresul și anxietatea față de matematică; Factori sociali și economici care pot afecta accesul la educație de calitate.

Implicații: Dificultăți în gestionarea finanțelor personale; Dificultăți în luarea deciziilor informate; Dificultăți în a înțelege și interpreta informațiile din diverse surse; Dificultăți în a concura pe piața muncii; Poate duce la marginalizare socială și economică.

Soluții: Îmbunătățirea sistemului de educație pentru a pune accent pe aplicarea matematicii în contexte reale; Încurajarea unei abordări practice a matematicii; Furnizarea de suport suplimentar elevilor care au dificultăți cu matematica; Promovarea unei atitudini pozitive față de matematică; Creșterea gradului de conștientizare a importanței analfabetismului funcțional aritmetic.

***

Analfabetismul funcțional se referă la incapacitatea unei persoane de a utiliza eficient abilitățile de citire, scriere și calcul în viața de zi cu zi, chiar dacă are cunoștințe de bază ale acestor abilități. Nu este vorba doar de a putea citi un text, ci de a-l înțelege și de a-l utiliza pentru a lua decizii sau a rezolva probleme. 

În contextul algebric, analfabetismul funcțional se manifestă prin incapacitatea de a aplica concepte și operații algebrice în situații reale, chiar dacă persoana poate repeta formule sau demonstra teoreme. De exemplu, un elev care a învățat formula pentru aria unui triunghi poate să nu fie capabil să calculeze aria unui teren de formă triunghiulară în viața reală, sau să înțeleagă cum poate folosi această formulă pentru a estima cantitatea de material necesară pentru acoperirea terenului. 

Analfabetismul funcțional algebric are consecințe importante, deoarece limitează capacitatea unei persoane de a participa activ la viața socială și economică. Persoanele analfabete funcțional pot avea dificultăți în găsirea unui loc de muncă, în gestionarea finanțelor personale, în înțelegerea regulilor și reglementărilor și în participarea la luarea deciziilor politice. 

Cauzele analfabetismului funcțional pot fi multiple, incluzând: 

Calitatea educației: Sistemele educaționale care pun accent pe memorare și repetiție, în detrimentul înțelegerii profunde și aplicării conceptelor, pot contribui la analfabetismul funcțional.

Diferențe socio-economice: Copiii din medii defavorizate pot avea mai puține oportunități de a dezvolta abilități de citire, scriere și calcul, ceea ce poate duce la analfabetism funcțional.

Lipsa de motivație: Persoanele care nu văd relevanța sau utilitatea abilităților de citire, scriere și calcul în viața lor pot dezvolta o atitudine negativă față de aceste abilități și pot ajunge să le evite.

Deficiențe în predare: Stilurile de predare inadecvate sau lipsa de pregătire a profesorilor pot contribui la analfabetismul funcțional.

Pentru a combate analfabetismul funcțional, este necesară o abordare integrată, care să includă: 

Îmbunătățirea calității educației: Introducerea unor metode de predare interactive și centrate pe elev, care să încurajeze înțelegerea profundă și aplicarea conceptelor.

Reducerea diferențelor socio-economice: Implementarea unor politici publice care să sprijine copiii și familiile din medii defavorizate.

Creșterea motivației: Explicarea importanței citirii, scrierii și calculului în viața de zi cu zi și promovarea unei atitudini pozitive față de aceste abilități.

Formarea continuă a profesorilor: Asigurarea unei pregătiri adecvate a cadrelor didactice, astfel încât să poată utiliza metode de predare eficiente și să ofere sprijin adecvat elevilor.