Punctul 6 de la Evaluarea Naţională

Acest ÔÇťtitlu bomb─âÔÇŁ poate oferi posibilitatea pentru o frumoas─â analiz─â despre cum a evoluat societatea rom├óneasc─â ┼či nivelul nostru de g├óndire de la Revolu┼úie p├ón─â acum (ce mult ├«mi place cum sun─â un sfert de secol!). Au fost multe titluri frumoase zilele acestea despre scandalul iscat din senin, legat de ├«ntrebarea cu graficul bucluca┼č de la Examenul de evaluare Na┼úional─â. Undeva ap─ârea titlul ─é╚Ötia de clasa a 8-a sunt ├«n grafic, iar Cristian Tudor Popescu inventa termenul Graxit, combin├ónd dup─â modelul cunoscut cuvintele Grafic ÔÇô Exit.

To┼úi cei care g├óndesc c├ót de c├ót, au s─ârit ├«n ap─ârarea g├óndirii, explic├ónd de ce citirea graficului invers este gre┼čit─â, sau coment├ónd cu alte exemple nivelul infantil al unor subiecte. Cel mai frumos comentariu g─âsit este cuprins ├«ntr-o ├«ntrebare ┼či o poz─â (mul┼úumim doamnei Ana-Maria Dumitrescu). Cum au citit invers, a┼ča?

Altcineva remarca faptul c─â oricum, Subiectul I de la examen, incluz├ónd exact bucluca┼čul punct 6, era cunoscut na┼úiunii de anul trecut, din varianta 7 pentru EN. Din postarea de pe NetBusters din 30 Iunie 2016 am re┼úinut dou─â g├ónduri: Este un grafic simplu de interpretat pentru un elev care nu are nicio problem─â s─â utilizeze la capacitate maxim─â un dispozitiv tehnologic avansat precum un smartphone sau o tablet─â. (…) Dac─â insist─âm c─â examenele trebuie s─â cuprind─â ├«ntreb─âri ca ÔÇť├Än ce an a avut loc R─âscoala de la 1907?ÔÇŁ ├«ncuraj─âm prostia. Punctul a) de la (teoretic) cea mai grea problem─â a acestui examen sun─â cam a┼ča: – Triunghiul ABC este echilateral. Latura AB are 10 cm. Demonstra┼úi c─â perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Dac─â copilul t─âu ├«┼úi vine cu o not─â proast─â la examenul ─âsta are o problem─â mai grav─â dec├ót interpretarea gre┼čit─â a unui grafic (…).

Cristian Tudor Popescu, ├«n comentariul de pe Republica, exprima ceva similar: P─ârin┼úii ┼či-au luat copiii de m├ón─â ┼či s-au dus s─â protesteze ├«n fa┼úa Ministerului Educa┼úiei. De ce? Pentru c─â punctul 6, subiectul I al Evalu─ârii Na┼úionale la matematic─â, le-a solicitat elevilor ceva nepermis, revolt─âtor: s─â g├óndeasc─â! Astfel, pentru unii nu este neap─ârat logic s─â avem un num─âr de elevi care iau o anume not─â; se poate ┼či varianta o not─â care ia ni┼čte elevi! (…)

Multe ar mai fi de comentat legat de aceast─â ├«ntrebare, dar ┼či despre altele din acest examen. De exemplu, apuc─âtura natural─â a tinerilor la pubertate de a face totul exact pe dos, obi┼čnui┼úi de aceast─â societate modern─â cu replica: da ce, a┼ča nu se poate? Acest thinking outside the box cu tot dinadinsul, cred c─â le-a jucat de data asta o mic─â fest─â multor elevi.

Apoi, lipsa antrenamentului ├«n g├óndirea intuitiv─â folosit─â ├«n matematica proces, dar absent─â ├«n predarea matematicii rezultat (denumiri preluate de la Eugen Rusu, Psihologia activit─â┼úii matematice, 1969), aceast─â lips─â a g├óndirii intuitive ar putea fi considerat─â un motiv de baz─â pentru gre┼čeala multora dintre elevi.

Nou─â personal, aceast─â ├«nt├ómplare ne aduce aminte de o alta, pe care merit─â s─â o evoc─âm ├«n acest moment, ┼či care ar putea primi titlul: c├ó┼úi din┼úi are un biscuite pe col┼ú? ├Än 2000 am dat la Concursul de matematic─â PENTAGONIA problema cu biscuitele, f─âr─â s─â precizez c─â biscuitele are ÔÇô natural – un singur dinte pe col┼ú, acesta f─âc├ónd deci parte din ambele laturi care converg ├«n acel col┼ú. Pur ┼či simplu, a┼č fi distrus farmecul problemei. Deci: Un biscuite are pe lungime 12 din┼úi iar pe l─â┼úime 8 din┼úi. C├ó┼úi din┼úi are biscuitele? Desigur c─â unii elevi au gre┼čit atunci, iar profesorii acestora au insistat s─â punct─âm ┼či r─âspunsul ├«n care un elev f─âcea perimetrul f─âr─â s─â g├óndeasc─â. C├ónd ne-am ├«nt├ólnit ulterior, au recunoscut r├óz├ónd, ÔÇťprintre r├ónduriÔÇŁ, c─â au stricat o problem─â frumoas─â, dar faptul fusese consumat.

Legat de subiecte ├«n general, pot spune c─â acestea au fost ├«n principiu OK! Este bine c─â au avut ┼či probleme grele, ca s─â nu avem o aglomerare a notelor de 10, ca ├«n 2013. Este bine ┼či c─â am avut exerci┼úii u┼čoare destule, astfel ├«nc├ót ┼či elevii slabi s─â poat─â ajunge la nota 5: contabiliz├ónd ├«ntreb─ârile lejere, ajungi chiar la 5,50, l─âs├ónd elevului slab chiar posibilitatea unei gre┼čeli, pentru a ajunge la pragul psihologic de 5 (lasÔÇÖ c─â nu sunt chiar a┼ča de slab!). Ce-i drept c─â ultima ├«ntrebare u┼čoar─â, cea cu perimetrul triunghiului echilateral, era cam ascuns─â pentru elevul slab, dar foarte stresat de at├óta matematic─â.

Dou─â obiec┼úii avem: ├«n primul r├ónd, repetarea ├«ntreb─ârii cu perimetrul, at├ót la p─âtrat c├ót ┼či la triunghi, o consider─âm jenant─â; chiar nu mai exist─â alte ├«ntreb─âri u┼čoare? De exemplu, la p─âtrat putea fi pus─â ├«ntrebarea invers─â: perimetrul at├óta, c├ót este latura? Dar cel mai ├«njositor pentru un profesor este s─â vad─â un exerci┼úiu banal cu dou─â opera┼úii supersimple de ordinul I ┼či ordinul II, ├«n care acestea sunt a┼čezate chiar ├«n ordinea din ordinea opera┼úiilor. Pentru ce ne mai zdrobim at├óta, noi ├«nv─â┼ú─âtorii ┼či profesorii, dac─â nici asta nu mai trebuie s─â ┼čtie un elev? Punctul 1. de la subiectul I ├«l consider─âm ru┼činos!

Revenind ├«n final la graficul bucluca┼č, ar mai fi o ├«ntrebare nel─âmurit─â: oare din cauza acestui grafic la unele ┼čcoli calculatoarele nu au putut printa subiectele de pe aplica┼úia ministerului? Nu ia nimeni ├«n discu┼úie aceast─â situa┼úie ┼či stresul enorm cauzat la nivelul comisiilor, ┼či la nivelul elevilor, datorit─â ├«nt├órzierilor iminente? Noi avem cuno┼čtiin┼ú─â de dou─â astfel de situa┼úii, dar sigur nu au fost doar acestea ├«n toat─â ┼úara.

Mariana ┼či Titus Grigorovici

Conferinţă Detlef Hardorp

Kassel-8 din 20 martie 2016

Matematica ├«ncepe la pragul c─âtre lumea spiritual─â (Mathematik beginnt an der Schwelle zur geistigen Welt – Mathematics Begins at the Threshold of the Spiritual World)

├Än perioada 18 ÔÇô 24 martie 2016 a avut loc la Kassel, ├«n centrul Germaniei, al optulea curs de formare pentru profesorii de liceu din ┼čcolile Waldorf. ├Än fiecare an acest curs se concentreaz─â asupra unei clase, anul acesta aten┼úia principal─â fiind ├«ndreptat─â spre diferitele materii ale clasei a IX-a. Conferin┼úa celei de-a treia zi a fost despre matematic─â, fiind ┼úinut─â de c─âtre dl. Detlef Hardorp, german av├ónd ┼či cet─â┼úenie american─â, un personaj deosebit cu un PhD. la Princeton. ├Än r├óndurile urm─âtoare voi ├«ncerca s─â prezint c├óteva idei din discursul foarte ├«nc─ârcat ┼či rapid al d-lui Hardorp.

Prelegerea a ├«nceput cu o iluzie optic─â, o imagine iluzorie care ne convingea s─â vedem un triunghi, de┼či pe ecran erau poiectate doar mai multe forme ce ├«ncadrau o zon─â triunghiular─â; astfel, eu privesc ├«n lume ┼či exist─â diferite feluri de a privi. Noi figur─âm, ne imagin─âm spa┼úiul (We figure the space): cu ochii ÔÇťpip─âimÔÇŁ mediul ├«nconjur─âtor. Jean Piaget vorbea de percep┼úia spa┼úial─â a copilului, care ar trebui s─â se fi dezvoltat p├ón─â la 13 ani. Percep┼úia spa┼úial─â este una imaginar─â: noi ÔÇťstr─âlucim/radiem plasticitateÔÇŁ ├«n spa┼úiu, pentru c─â voin┼úa intervine ├«n vedere. Piaget amintea c─â ├«n┼úelegerea nodurilor are loc pe la 13 ani.

Matematica nu există senzorial, ea este pur suprasenzorial. Astfel, Rudolf Steiner a explicat încă în 1920: Matematica este prima treaptă a privirii suprasenzoriale.

Num─ârul este un element ritmic. ├Än cartea sa Omul care ├«┼či confunda so┼úia cu o p─âl─ârie (├«n traducere ├«n rom├ón─â la Ed. Humanitas, 2011), Oliver Sacks vorbe┼čte despre dereglarea sim┼úului mi┼čc─ârii; cu sim┼úurile proiectate ├«n afar─â apare sentimentul matematic. Rudolf Steiner spunea c─â structurile matematice plutesc deasupra lumii senzoriale. Acestea se refer─â la elemente din lumea senzorial─â, dar nu sunt legate senzorial. Eu g├óndesc despre ceva senzorial, nu g├óndesc senzorial. Matematica este suprasenzorial─â, dar trebuie s─â ai un nivel dezvoltat de sim┼úire pentru a putea g├óndi adev─ârul matematic.

Cel mai ├«nalt caracter al matematicii este frumuse┼úea, care este dincolo de prag, ┼či care ne aduce sentimente de fericire. ├Än matematic─â apare libertatea de a g├óndi; po┼úi creea lumi noi. La matematic─â trebuie s─â ├«ncepi s─â g├ónde┼čti, chiar dac─â g├ónde┼čti gre┼čit; s─â g├ónde┼čti f─âr─â ru┼čine. Dac─â dezvol┼úi ru┼čine, atunci ai ├«ncheiat-o cu matematica (de exemplu, ├«nv─â┼ú├ónd doar calculul schematic). Oarecum, matematica aplicat─â doar ca un cumul de re┼úete este o adev─ârat─â otrav─â pentru g├óndire. De fapt, matematica nu poate fi explicat─â cu adev─ârat. Profesorii pot doar s─â le ofere elevilor oportunit─â┼úi de a avea tr─âiri de uimire, tr─âiri ÔÇťAHA!ÔÇŁ. ├Än acest sens, curriculumul este foarte important, dar metodica ┼či didactica sunt mult mai importante. Arta de predare a profesorului const─â ├«n a l─âsa activitatea elevului, mai ales ├«n predarea matematicii. Altfel ob┼úinem doar calcul schematizat, iar calculul schematizat ne├«n┼úeles reprezint─â otrav─â pentru g├óndire.

├Än continuare dl. Detlef Hardorp a explicat c─â avem nevoie de o pedagogie care lucreaz─â cu intui┼úia. Matematica cre┼čte doar dac─â procesul de g├óndire este voit. George Polya spunea c─â trebuie s─â ajungem cu elevii s─â fac─â gesturi plauzibile; de exemplu s─â construiasc─â ei combinatorica (├«n rom├óne┼čte avem pentru asta denumirea de problematizare, iar Eugen Rusu o denumea mai amplu matematica proces, spre deosebire de matematica rezultat reprezent├ónd doar predarea de re┼úete – comentariu CTG). Frumuse┼úea la combinatoric─â este c─â aceasta poate fi dezvoltat─â/cucerit─â prin g├óndire pur─â (o form─â total diferit─â de cea din manualele rom├óne┼čti – comentariu CTG). ┼óelul este ca fiecare elev s─â participe la procesul de g├óndire. Dac─â le ceri elevilor s─â aplice formule, s-ar putea ca s─â nu ┼čtie care formul─â s─â o aplice. Trebuie neap─ârat ┼úinut─â treaz─â g├óndirea, iar aceasta se poate face minunat la combinatoric─â.

├Än final, dl. Hardorp s-a referit ┼či la G├óndirea dialogic─â a lui Peter Gallin (vezi postarea din oct. 2015 – comentariu CTG), predare ├«n care acesta colecteaz─â feedback-ul g├óndirii elevilor, iar ├«n urma acestora aste decis urm─âtorul pas. Astfel, curriculumul vine de la elevi! (cine voia proiecte inovative de predare? ­čÖé – comentariu CTG). Astfel, Peter Gallin previne avarierea matematic─â a elevilor.

Producerea cuno┼čtiin┼úelor matematice este mai u┼čoar─â dec├ót reproducerea acestora, pentru c─â la receptare trebuie gestionate dou─â puncte de vedere (al profesorului care pred─â ┼či al elevului care preia). Din acest motiv ├«nv─â┼úarea trebuie ├«nceput─â cu producerea (un singur punct de vedere, cel al elevului care se str─âduie┼čte s─â produc─â – comentarii CTG). Calculul schematic poate fi folosit f─âr─â a d─âuna doar dac─â, ├«n prealabil, schemele ┼či formulele au fost produse de c─âtre elev prin propria g├óndire.

1 iulie 2016

Titus Grigorovici