Criteriul psihologic al intui┼úiei ├«n selectarea teoremelor de demonstrat ÔÇô (I)

├Än eseul de fa┼ú─â am adunat o serie de g├ónduri despre predarea intuitiv─â a lec┼úiilor de geometrie din clasa a VI-a, prin prisma propriei experien┼úe, pe baza unor citate ale profesorului Eugen Rusu ┼či pornind de la o recomandare din noua program─â de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a ├«ncep├ónd din anul ┼čcolar 2018-2019): La tema Triunghiul caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úilor geometrice se vor eviden┼úia prin observare direct─â, ├«n sensul unei abord─âri c─ât mai naturale ┼či intuitive.

Acest ÔÇťcitatÔÇŁ este compilat din noua program─â de matematic─â pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice (pag. 32) g─âsim urm─âtoarele sfaturi: ÔÇŽCaracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice vor fi eviden┼úiate prin observare direct─â, experiment, m─âsurare, ├«n sensul unei abord─âri c─ât mai naturale ┼či intuitive. ÔÇŽ La tema Triunghiul caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úiilor geometrice se vor eviden┼úia prin observare direct─â, experiment, m─âsurare, urm├ónd ca dup─â formarea deprinderilor de baz─â s─â se utilizeze ra┼úionamente simple ┼či instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. ÔÇŽ

Iat─â, ├«n continuare, care este experien┼úa mea ├«n acest sens. ├Än vara anului 1996 (adic─â ├«n urm─â cu peste 21 de ani), ├«ncerc├ónd s─â ├«n┼úeleg ce facem gre┼čit ├«n predarea geometriei, am avut o discu┼úie remarcabil─â cu un profesor de la o ┼čcoal─â de l├óng─â Bremen, Germania. ├Äl rugasem pentru o ÔÇťaudien┼ú─âÔÇŁ, iar d├ónsul m-a poftit ├«n sal─â de lectur─â a bibliotecii. Am luat loc la o mas─â iar eu am scos h├órtie ┼či creion ┼či m-am apucat s─â-i ar─ât plin de zel un exemlu de demonstra┼úie geometric─â de la noi din Rom├ónia. Ce mi-a trecut prin minte ├«n acel moment? S─â-i ar─ât cum demonstr─âm noi c─â cele dou─â diagonale ├«ntr-un dreptunghi sunt congruente. Nu ┼čtiu de ce, dar asta m-am g├óndit atunci. Zis ┼či f─âcut: m-am apucat frumos de demonstrat, ├«ntrerup├óndu-m─â dup─â fiecare pas f─âcut ┼či ├«ntreb├óndu-l dac─â ├«n┼úelege ce scriu. De fiecare dat─â el ├«mi r─âspundea c─â da, pricepe ce scriu (tot dialogul era desigur ├«n german─â). ├Än final l-am ├«ntrebat ce p─ârere are despre ce i-am scris acolo, iar el mi-a r─âspuns cu o contra-├«ntrebare: de ce trebuie s─â demonstrezi c─â diagonalele ├«n dreptunghi sunt congruente?

Am r─âmas ÔÇťmasc─âÔÇŁ. Imi sim┼úeam roti┼úele ├«nv├órtindu-se nebune┼čte ├«n cap, ├«n timp ce ├«ncercam s─â ÔÇťtraducÔÇŁ c├ót de c├ót coerent r─âspunsul s─âu. Ce vroia s─â zic─â? Veneam dintr-o lume total diferit─â de a lui. ├Än discu┼úia respectiv─â nu am reu┼čit s─â ob┼úin l─âmuriri suplimentare. Eu eram bulversat de r─âspunsul lui ┼či total nepreg─âtit cum s─â cer l─âmuriri la un astfel de r─âspuns. De partea cealalt─â, el nu pricepea ce vreau eu, desigur necunosc├ónd preocuparea profesorilor rom├óni pentru rigurozitate, preocupare aflat─â la cote de-a dreptul obsesive ├«n acele vremuri.

├Än anii urm─âtori m-am tot g├óndit la discu┼úia respectiv─â ┼či cu timpul am ├«nceput s─â-mi traduc tot mai clar r─âspunsul acelui profesor. Concluzia la care am ajuns cu timpul este urm─âtoarea: trebuie s─â demonstr─âm doar lucrurile neevidente pentru ochiul elevului. Toate afirma┼úiile care se v─âd ca evidente nu trebuie s─â ajung─â subiectul unei cerin┼úe de demonstrat (teorem─â sau problem─â, de pild─â, situa┼úiile de simetrie, cum ar fi faptul c─â medianele duse pe laturile congruente ale unui triunghi sunt congruente).

Activ├ónd acest criteriu de selec┼úie, se elimin─â ├«ns─â multe probleme, printre ele ┼či o mare parte din aplica┼úiile metodei triunghiurilor congruente (marile perdante sunt cazurile ULU ┼či LLL). Un caz interesant de problem─â ce r─âm├óne totu┼či, de┼či deseori uitat─â, este cerin┼úa de a demonstra c─â ├«ntr-o piramid─â patrulater─â regulat─â VABCD cu toate muchiile congruente, dou─â muchii laterale opuse sunt ├«ntotdeauna perpendiculare. Demonstra┼úia la care m─â refer se bazeaz─â pe congruen┼úa triunghiurilor VBD ┼či ABD ├«n virtutea cazului de congruen┼ú─â LLL. Cel de-al doilea triunghi fiind dreptunghic ├«n A, rezult─â c─â ┼či primul este dreptunghic ├«n V. ├Än figura ce se face pentru aceast─â problem─â cele dou─â triunghiuri nu arat─â la fel, cerin┼úa fiind ca atare total neevident─â.

De cur├ónd am r─âsfoit din nou ├«ntr-una din c─âr┼úile unui fost mare profesor metodist al anilor ÔÇÖ60-ÔÇÖ70 ┼či am reg─âsit c├óteva citate deosebit de interesante ├«n acest sens. ├Än lucrarea sa┬á De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), Eugen Rusu ┼či-a pus problema despre ÔÇŽ mobilul psihologic care l-a ├«mpins pe Euclid spre rigurozitate. D├ónsul d─â imediat ┼či principalul r─âspuns: Aceast─â tendin┼ú─â spre riguros se na┼čte ┼či se accentueaz─â din ├«ns─â┼či activitatea geometric─â.

Important este s─â se pun─â problema de a c─âuta s─â descoperi lucruri noi, prin ra┼úionament deductiv. Aceasta este destul ca, ├«n cadrul acestei activit─â┼úi, s─â se pun─â de la sine, ├«n mod din ce ├«n ce mai acut, ┼či chestiunea rigurozit─â┼úii. Este interesant s─â ne oprim aten┼úia asupra acestui fenomen psihologic.

C├«nd, pentru prima oar─â, ne sim┼úim ├«ndemna┼úi s─â afl─âm un adev─âr nou, altfel dec├ót prin experien┼ú─â direct─â, deci prin deduc┼úie logic─â, aceasta nu se poate ├«nt├«mpla pentru ceva care este ÔÇťevidentÔÇŁ prin intui┼úie; aceasta se ├«nt├«mpl─â cu o chestiune despre care sim┼úurile nu ne dau informa┼úii precise ┼či sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experien┼ú─â senzorial─â. Atunci cu adev─ârat ne vom sim┼úi ├«ndemna┼úi s─â o ÔÇťdeducemÔÇŁ din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu urm─âtoarea observa┼úie: fa┼ú─â de obi┼čnuita demonstra┼úie bazat─â pe propor┼úionalit─â┼úi din asem─ânare (prin teorema catetei), demonstra┼úiile prin arii transform─â, apropie, d─â perceperii teoremei lui Pitagora o clar─â not─â de experien┼ú─â senzorial─â. Acest fapt sus┼úine o prim─â abordare ┼či demonstrare a acestei teoreme prin arii.

Declan┼čarea ├«nclina┼úiei spre ra┼úionament deductiv nu poate ├«ncepe cu chestiuni despre care nu ne ├«ndoim, cum ar fi, de exemplu, c─â laturile unui dreptunghi s├«nt egale, fapt pe care ├«nsu┼či Tales ├«l considera ca dat. Abia dup─â ce mintea a fost stimulat─â ┼či antrenat─â la ra┼úionament deductiv pentru descoperirea adev─ârurilor ÔÇťneevidenteÔÇŁ, din ce ├«n ce mai multe enun┼úuri ÔÇô considerate la ├«nceput evidente ÔÇô s├«nt puse sub semnul dubiului ┼či trecute sub proba deduc┼úiilor. Astfel se na┼čte ├«n interiorul activit─â┼úii geometrice ├«nclina┼úia spre demonstra┼úii din ce ├«n ce mai riguroase ┼či, totodat─â, posibilitatea de a le aborda.

Din punct de vedere logic, este clar c─â trebuie ├«nceput prin stabilirea teoremelor de baz─â ┼či apoi cl─âdit, treptat, pe ele. Din punct de vedere psihologic ├«ns─â, trebuie ├«nceput ÔÇťde la mijlocÔÇŁ, de acolo de unde lucrurile nu s├«nt evidente, ci ├«ndoielnice, efectiv dubioase. Abia dup─â ce s-a tr─âit experien┼úa vie a deduc┼úiei ┼či s-au prins unele obi┼čnuin┼úe, se va putea face o critic─â rodnic─â asupra lucrurilor pe care le-am considerat ÔÇťevidenteÔÇŁ; numai prin prisma acestei experien┼úe, eviden┼úele necontrolate pot fi zduncinate ┼či transformate ├«n probleme propriu-zise. (pag. 65-66)

Un exemplu ├«n acest sens ├«l d─â Eugen Rusu la ├«nceputul c─ârtii, c├ónd vorbe┼čte despre spiritul euristic, lu├ónd cazul teoremei care sus┼úine c─â orice punct de pe un semicerc formeaz─â cu capetele diametrului un triunghi dreptunghic. S─â vedem cum explic─â autorul demonstrarea acestei teoreme pe o figur─â cu B ┼či C capetele diametrului ┼či A un punct oarecare pe semicercul centrat ├«n O (├«n citatul urm─âtor am ├«nlocuit desemnarea unghiului cu ÔÇťacoperi┼čÔÇŁ cu desemnarea unghiului prin semnul actual obi┼čnuit pentru unghi, din motive tehnice; acolo unde nu este semn pentru unghi ├«nseamn─â c─â nu era nici ├«n textul original).

S─â examin─âm propozi┼úia respectiv─â. Ast─âzi o demonstr─âm imediat cu ajutorul m─âsurii unghiurilor (Eugen Rusu se refer─â desigur la teorema ce ne d─â m─âsura unghiurilor ├«nscrise ├«n cerc); cum va fi g├«ndit Tales, care nu cuno┼čtea aceast─â teorem─â preg─âtitoare? Deoarece OA┬á=┬áOB┬á=┬áOC, se formeaz─â dou─â triunghiuri isoscele. Ele au unghiurile de la baz─â egale; deci ÔłóA1┬á=┬áB; ÔłóA2┬á=┬áC. Suma unghiurilor triunghiului ABC este deci 2A1┬á+┬á2A2┬á=┬á2ÔłóBAC; rezult─â c─â ÔłóBAC este drept. Proprietatea ├«n sine este destul de ascuns─â; din defini┼úia cercului, deci din faptul c─â OA┬á=┬áOB┬á=┬áOC, se deduce c─â unghiul BAC este drept.

Descoperirea unei propriet─â┼úi ascunse produce o anumit─â bucurie specific uman─â. Se spune c─â Tales a fost at├«t de entuziasmat de aceast─â descoperire ÔÇô considerat─â cea mai frumoas─â dintre descoperirile sale ÔÇô ├«nc├«t, drept mul┼úumit─â, a sacrificat pe altarul zeilor un bou. Am men┼úionat printre teoremele lui Tales ┼či pe aceea care afirm─â c─â unghiurile de la baza triunghiului isoscel s├«nt egale (├«n lucrare la pag.12). Aceasta ÔÇô s├«nt sigur ÔÇô nu l-a entuziasmat, pentru c─â nu era o proprietate ascuns─â, era aproape evident─â. A enun┼úat-o numai pentru c─â i-a trebuit, a folosit-o ├«n demonstra┼úia teoremei principale; probabil, pentru ea, nu a sacrificat zeilor nici m─âcar o g├«sc─â. (pag. 19-20)

Merit─â s─â ├«ntrerupem aici ┼čirul citatelor ┼či s─â analiz─âm un pic ce vrea s─â ne spun─â Eugen Rusu (┼či ├«n citatul de la pag. 66, dar ┼či ├«n ultimul aliniat), anume faptul c─â la o prim─â cunoa┼čtere a materiei, la o prim─â trecere prin geometrie, cum este cazul materiei gimnaziale, exist─â ├«n principiu dou─â tipuri de propriet─â┼úi:

1) teoremele reprezentând proprietăţi ascunse, neevidente, surprinzătoare (cum spun americanii, cu acel efect de UAU!); aceste teoreme trebuie dovedite pentru a fi crezute, ele meritând cu adevărat demonstrate împreună cu elevii.

2) teoremele reprezent├ónd propriet─â┼úi evidente, con┼úin├ónd afirma┼úii despre care nu ne ├«ndoim, (vulgar spus: ÔÇťla mintea coco┼čuluiÔÇŁ); aceste propriet─â┼úi sunt de enun┼úat doar pentru c─â ne trebuie ulterior la demonstrarea celor din prima categorie; demonstrarea lor este d─âun─âtoare, plictisindu-i pe elevii de gimnaziu, abuzarea ├«n acest sens provoc├óndu-le elevilor chiar o repulsie fa┼ú─â de geometrie.

Trec├ónd la Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu continu─â, pun├ónd ÔÇťpunctul pe iÔÇŁ. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune ├«n m├«na studen┼úilor un material sistematizat. Din nou, inten┼úia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ┼čtiin┼ú─â, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a r─âmas un lamentabil pedagog. Prima parte a acestui enun┼ú este unanim aceptat─â ┼či chiar Eugen Rusu se ocup─â de aceast─â parte pe larg ├«n lucrarea sa. S─â vedem ├«ns─â ce are de spus legat de a doua parte.

Principala critic─â ce se aduce Elementelor ca manual didactic se refer─â tocmai la forma de expunere. De┼či fiecare demonstra┼úie este absolut corect─â din punct de vedere logic ┼či ├«n general este cea mai simpl─â care se poate da, de┼či ordinea ├«n care se a┼čeaz─â propozi┼úiile este de asemenea cea mai natural─â, totu┼či, prin faptul c─â se folosesc demonstra┼úii sintetice, cititorul nu prime┼čte nici o indica┼úie asupra felului cum s-a descoperit demonstra┼úia respectiv─â, el nu e pus ├«n situa┼úia de a-┼či forma o metod─â, de a-┼či educa g├óndirea creatoare. Pe de alt─â parte, un ├«ncep─âtor ├«n studiul geometriei nu are ├«nc─â educat sim┼úul rigorii, nu simte ├«nc─â nevoia unor demonstra┼úii pentru lucruri care i se par evidente.

Euclid prezint─â matematica-rezultat. Pentru un om viu (adic─â pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesant─â este ├«ns─â matematica-proces. Nu s─â ├«nve┼úe geometrie, ci s─â fac─â geometrie. Comentaiul de mai sus este c├ót se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impus─â ├«n gimnaziu prin programa din 1981 (pe a c─ârei linie au mers ┼či programele din ultimul sfert de secol), aceast─â abordare este una total nepotrivit─â elevilor plini de via┼ú─â din ciclul gimnazial for┼ú├óndu-i pe ace┼čtia ├«n cunoa┼čterea unei geometrii moarte. Felul ├«n care mare parte dintre elevi refuz─â aceast─â disciplin─â, critic├ónd orele de geometrie, este o consecin┼ú─â absolut natural─â a prezent─ârii materiei la clas─â ├«n acest fel.

Efortul de a ├«nv─â┼úa geometrie, dup─â un manual scris ├«n stil euclidic, este penibil. ┼×i fiindc─â 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit ┼či ├«ndep─ârtat de geometrie multe genera┼úii de elevi. Un autor t├«rziu care ├«ncercase s─â fac─â o expunere mai atr─âg─âtoare i-a pus titlul: Euclid, f─âr─â lacrimi ÔÇô titlu semnificativ care arat─â c─â Euclidul original era cu lacrimi. (pag. 67-69)

Aceast─â idee, faptul c─â Elementele lui Euclid nu ar trebui s─â reprezinte un model pentru organizarea manualelor ┼čcolare, implicit ┼či a programei ┼čcolare, mai ales pentru clasele gimnaziale c├ónd elevii trebuie s─â ├«nve┼úe primii pa┼či ├«n g├óndirea logico-deductiv─â, aceast─â idee este reluat─â de Eugen Rusu ┼či ├«n lucrarea Problematizare ┼či probleme ├«n matematica ┼čcolar─â (Ed. didactic─â ┼či pedagogic─â, 1978):

┼×i aici, Euclid ÔÇô excelent logician, dar lamentabil pedagog ÔÇô a gre┼čit spun├ónd: nu exist─â un drum scurt, pentru regi. Nu putem ┼čti toate am─ânuntele ├«n toate domeniile, trebuie s─â existe un drum mai scurt dac─â ┼úintim ideile esen┼úiale. (pag. 25) La ce ÔÇťam─ânunteÔÇŁ se poate renun┼úa ├«ns─â? Eugen Rusu ne ofer─â ├«n prima lucrare amintit─â c├óteva criterii: este recomandabil s─â renun┼ú─âm la demonstrarea faptelor evidente din punct de vedere a intui┼úiei, materia trebuind organizat─â mai degrab─â artistic, ca o poveste, ca o pies─â de teatru, centrat─â pe scoaterea ├«n eviden┼ú─â a momentelor de suspans. Cele mai multe din cuno┼čtin┼úe trebuie enumerate, contabilizate, ele fiind ├«ns─â tratate mai superficial, doar ca simple unelte, singurul lor scop fiind de a fi preg─âtite la dispozi┼úia ┼či ├«n folosul marilor momente ce urmeaz─â, totul fiind organizat ┼či regizat ├«ntr-un proces cu veleit─â┼úi artistice ce treze┼čte sentimente de uimire, ├«n al c─ârui ductus ┼či pe ale c─ârui ÔÇťvaluriÔÇŁ se formeaz─â ├«ncetul cu ├«ncetul g├óndirea logico-matematic─â a elevilor. Dar, oare care sunt momentele de uimire ce trebuie sus┼úinute printr-o demonstra┼úie? Din materia de introducere a principalelor figuri geometrice, pot fi alese ca surprinz─âtoare urm─âtoarele teoreme:

  • suma unghiurilor ├«n triunghi este exact de 180o;
  • unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente;
  • suma unghiurilor exterioare unui triunghi este de 360o;
  • un triunghi isoscel cu un unghi de 60o este automat echilateral;
  • un triunghi cu v├órful pe semicercul cu baza ca diametru este triunghi dreptunghic;
  • mediana pe ipotenuz─â este jum─âtate din aceasta;
  • cateta opus─â unghiului de 30o este jum─âtate din ipotenuz─â;
  • suma unghiurilor ├«n orice patrulater (convex sau concav) este de 360o;
  • suma unghiurilor exterioare unui patrulater convex este tot de 360o.

├Äntre acestea se poate face desigur o posibil─â ierarhizare, anume care sunt cu adev─ârat surprinz─âtoare ┼či la care deducerea este totu┼či destul de ÔÇťtransparent─âÔÇŁ. Pe l├óng─â acestea mai exist─â desigur ┼či alte momente de uimire ce nu pot fi sus┼úinute de o demonstra┼úie ├«n prima faz─â. De pild─â, concuren┼úa liniilor importante de un anumit fel ├«n triunghi nu poate fi demonstrat─â ├«n prima faz─â, fiind mult prea dificil─â pentru elevii afla┼úi ├«n stadiul incipient de formare a artei demonstra┼úiilor. ├Än aceste situa┼úii elevii vor accepta f─âr─â probleme lipsa unei demonstra┼úii, v─âz├ónd cu ochiul liber c─â, dac─â desenul este bine f─âcut, liniile respective sunt concurente (oricum, obiectivul din clasa aVI-a al lec┼úiei despre liniile importante ├«n triunghi este cunoa┼čterea acestora ┼či nu epuizarea tuturor aspectelor legate de ele).

Observ─âm c─â cele mai multe teoreme din lista de mai sus sunt legate de unghiuri. Toate restul propriet─â┼úilor studiate (mai exact, contabilizate), toate acestea nu au rost a fi demonstrate ├«ntr-o prim─â faz─â de cunoa┼čtere a geometriei, scopurile lor fiind doar de a folosi ├«n demonstrarea unor afirma┼úii neevidente. Desigur c─â toate aceste aspecte sunt valabile ┼či ├«n ceea ce prive┼čte problemele alese. Vor fi evitate probleme a c─âror cerin┼ú─â este evident─â ┼či se vede ÔÇťcu ochiul liberÔÇŁ ├«n figur─â, c─âut├óndu-se constant probleme cu cerin┼ú─â neevident─â, surprinz─âtoare. La metoda triunghiurilor congruente, de pild─â, se vor evita problemele a c─âror figur─â are simetrie axial─â sau simetrie central─â (acestea merit─â f─âcute doar de dragul eviden┼úierii unor elemente congruente de un anumit tip).

Printre comentariile la citatele lui Eugen Rusu din acest eseu, am folosit uneori expresia ÔÇťla o prim─â trecere prin materieÔÇŁ, cu variante alternative de tipul ÔÇťla o prim─â cunoa┼čtereÔÇŁ etc., referindu-m─â la primul contact al elevilor cu geometria, contact care are loc ├«n clasele 6-8 gimnaziale. ├Än lucrarea despre Problematizare, d├ónsul scrie (la pag. 23) despre Matematica privit─â ca obiect de cultur─â general─â, anume c─â este un sistem logic deductiv, d├ónd ca exemplu geometria ├«n etapa a doua de studiu. Este vorba aici de geometria ce se f─âcea pe vremuri ├«n clasele 9-10 ├«ntr-o reluare de sistematizare, ce ├«i ajuta foarte mult pe elevi s─â-┼či stabilizeze no┼úiunile ┼či procesele de g├óndire deductiv─â matematic─â. Din p─âcate, aceast─â materie a fost eliminat─â din program─â la finele anilor ÔÇÖ90, dar acesta este un alt subiect de discu┼úie. C.Titus Grigorovici 10.01.2018

La mulţi ani! 2018

Calendarul acestui an este identic cu calendarul din 1990 (un ciclu complet de repetare de 28 de ani), dar repet─â ┼či calendarele din 2001 ┼či din 2007. Dac─â cumva ave┼úi p─âstrat un calendar drag din ace┼čti ani pute┼úi s─â-l folosi┼úi lini┼čti┼úi (eu, de pild─â, am scos de la naftalin─â un calendar din 2001, din vremea c├ónd doar visam s─â rezolv problema repet─ârii calendarului).

Pentru cei care dori┼úi s─â v─â confec┼úiona┼úi un calendar dodecaedric pentru 2018, pentru uz personal sau de confec┼úionat cu elevii la clas─â, pute┼úi desc─ârca modele pdf de la adresa http://craftmeister.marliescohen.com/2017-dodecahedron-cube-calendars-are-ready/dodecahedron-2018-bw/ unde se g─âsesc cu diferite variante de fundal. Iat─â ├«nc─â o adres─â posibil─â: https://www.apieceofrainbow.com/printable-calendar-template-2018-calendar-3d/, de unde am desc─ârcat ┼či urm─âtoarea poz─â.

M&TG