Ministrul Educaţiei, geometria vectorială şi renunţarea la semestre

Domnii din Deşteptarea la Europa FMVlad Petreanu, George Zafiu şi Luca Pastia – au luat spre analiză – cândva, prin februarie – spusele D-lui Ministru despre materia mult prea încărcată, pe exemplul geometriei vectoriale, dar şi despre “reintroducerea trimestrelor”. Merită să-i ascultaţi pe podcast la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ . Căutaţi emisiunea din 16 februarie 2022, porniţi înregisrarea la minutul 8:30 şi ascultaţi câteva minute despre vectori, dar urmăriţi apoi emisiunea până la min. 23:00, ascultând şi pasajul despre trimestre vs. semestre.

Prima parte este despre vectori şi în general despre materii care nu le-au plăcut ascultătorilor când erau elevi. A doua parte (cam după minutul 16), conţine o “analiză” a situaţiei de după introducerea semestrelor şi “revenirea la trimestre”, care “e mai multe” (3 > 2). Emisiunea este din februarie, dinaintea deşteptării din hibernare a marelui urs (de când pregătisem şi postarea, în forma de atunci). Între timp am aflat că nu vom reveni de la 2 la 3, ci vom trece chiar la 5. Aha! Deci aşa vom creşte calitatea şcolii româneşti! Acum am înţeles! Da, da! Pentru că 5 > 3 > 2. Evident! g.e.d.

Ştiţi ce problemă m-a “chinuit” pe mine chiar din timpul şcolii, dar şi mai târziu: oare, de ce le spunea trimestre? Pentru că erau 3? Adică pentru că anul şcolar era împărţit în trei părţi (fapt susţinut de ideea de semestru, de la semi, adică jumătate)? Sau pentru că erau de cca. 3 luni (cel puţin primul)? Pentru că în economie anul calendaristic era împărţit în patru trimestre, fiecare de câte trei luni. Oare cum trebuie deci înţeles cuvântul trimestru?

Oricum – vorbesc serios acum, renunţând la tonul de pamflet – eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie). Acesta este însă un alt subiect, pe care-l voi trata cu o altă ocazie. Acelaşi lucru mă gândesc să-l fac şi cu subiectul celor 5 “pentamestre” în care va fi împărţit anul şcolar de la toamnă (în linii mari sunt de acord şi cu această mişcare, dar să vedem concret cum se va întâmpla; îmi este frică de un gol de directive, ca apoi să vezi ce le va mai trece unora prin cap!). Titus Pentatonicus

Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (2)

La începutul lunii aprilie am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro; doar în urma unei scurte priviri asupra acestuia (mai puţin decât o lectură “pe diagonală”); mi-am dat însă atunci seama despre ce este vorba şi, considerându-l valoros, m-am grăbit să-i fac publicitate. Fiind foarte ocupat, nu am apucat să-l citesc în detaliu, decât peste o săptămână, după intrarea în vacanţa de Paşte. Toate ideile cuprinse în precedentul eseu – O analiză (1) – reprezintă gânduri stârnite doar de această primă şi scurtă privire asupra articolului respectic, mai mult însă a indignării în urma comentariilor văzute în final (când mai aveam scurte momente libere mintea îmi fugea tot la aceste aspecte). Precedenta primă parte a analizei se bazează pe acele gânduri. Păstrând spectrul ideilor, înainte de a trece la a doua parte, doresc să vă ofer următorul:

A.S. (ante scriptum) În paralel cu munca la această dublă analiză mă mai gândeam şi la o continuare a seriei (brusc întrerupte) despre ideile găsite în prefaţa culegerii din 1982 a Profesorului A. Hollinger, când – Surpriză! – spre finalul acelui text găsesc o trimitere la un mic set de trei demonstraţii prin arii la teorema lui Pitagora (în cadrul paragrafului 10.4 Demonstraţii bazate pe arii, pag. 95). Prima din cele trei “probleme” este următoarea:

10.4.4. Fie b şi c catetele şi a ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Se construiesc un pătrat cu latura b + c şi patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 61. Apoi se construiesc patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 62. Să se calculeze aria părţii din pătrat care rămâne neacoperită de triunghiuri şi să se compare rezultatele. Ce teoremă se obţine? (din motive tehnice am aşezat poza culcat)

Acest exemplu vine “la ţanc” pentru cei care ar considera disputa iscată de articolul iniţial ca fiind una între “matematica lor, a celor din vest” şi “matematica noastră”. Nici vorbă de aşa ceva. Textul şi pozele de mai sus sunt luate din culegerea profesorului A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982. Nu am la îndemână manualele dânsului, însă bănuiesc că demonstraţia respectivă se găseşte şi acolo.

Dar să revenim la analiza noastră. Pe când începusem să lucrez la redactarea acesteia am văzut că de fapt articolul era preluat de pe blogul CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale (iată adresa articolului iniţial: https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ ). Lecturându-l cu mai apăsată atenţie, am găsit multe aspecte noi ce ar merita discutate. În acest sens permiteţi-mi să reiau integral articolul respectiv, dar să-l întrerup din când în când cu comentariile şi accentuările mele personale (citatele din articolul CEAE sunt scrise înclinat, iar comentariile mele intercalate neînclinat).

*

Cum este demonstrată Teorema lui Pitagora într-un manual german de matematică. O comparație cu România

Îmi exprimam părerea în prima parte a analizei că ar fi de evitat astfel de comparaţii (chiar din titlu), care pot stârni ego-ul în sufletul unor colegi. Din acest motiv, discuţia ar trebui să se mute din zona “nemţii au cele mai bune maşini şi cele mai tari autostrăzi, dar noi avem cea mai tare matematică din lume”, într-o zonă mai pragmatică pentru noi, anume în zona argumentelor psihopedagogice, în zona nevoilor şi a posibilităţilor fiecărei vârste şcolare, de fapt într-o zonă metodico-didactică realistă. Pura întâmplare m-a ajutat să pot face repede divagaţia spre americani, dar de fapt noi ar trebui să ieşim din starea de a lua lucrurile de-a gata de la străini (alteori ne apucă cu finlandezi sau cu britanicii etc.), şi să începem să decidem raţional ce este nevoie cu adevărat pentru a vindeca predarea matematicii în şcolile româneşti (mai ales în ciclul gimnazial, unde materia este obligatorie pentru toţi elevii, neselectaţi oficial; astfel, noi ar trebui să punem un mai mare accent pe satisfacerea în mod echilibrat a nevoilor tuturor categoriilor de elevi). Asta nu înseamnă să nu ne uităm la ce fac ceilalţi, pentru că şi de acolo ne pot veni idei bune: ne uităm şi la unii şi la alţii, analizăm, judecăm, dezbatem, iar după o vreme poate reuşim să luăm decizii mai bune. Importante sunt criteriile pe baza cărora decidem (în anii ’80 criteriile au fost de performanţă pentru olimpiade şi rigurozitate teoretică, iar acestea nu au fost clar şi oficial abandonate nici în ziua de azi; prima categorie s-a transformat doar cu numele, în excelenţă, pe când a doua a suferit o serie de amputări, actualmente ajungându-se într-o ciudată degringoladă). Dar să revenim la articolul nostru:

Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Așa sună una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, pe care mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu: a² + b² = c².

Trebuie să apreciez în această intervenţie textul teoremei, adică enunţarea relaţiei fără folosirea cuvântului “lungimea”. Despre acest aspect am scris pendelete în postarea din 22 februarie 2019, de la adresa http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ (cu atenţionarea că de fapt sunt trei articole în cascadă). Eseul respectiv conţine inclusiv elemente evocate mai jos. Să continuăm cu articolul CEAE:

Teorema lui Pitagora a primit de-a lungul timpului numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice, foarte frumoase. Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte, cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă, iar în eventualitatea în care o uită au la îndemână o cale rapidă pentru a o determina din nou.

Autorul articolului precizează clar (numai să avem “ochi să vedem şi urechi să auzim”): el ne vorbeşte despre numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice (aha, deci există demonstraţii geometrice şi demonstraţii algebrice!), acestea foarte frumoase (adică atractive pentru sufletul şi mintea elevului). Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte (aici, afirmaţia aproape se atinge cu cele spuse de Profesorul Hollinger în prefaţa ultimei sale culegeri), cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă,(…)

Da, socrul meu avea prin anii ’90 un elev care ştia să turuie textul teoremei lui Pitagora cu o viteză de invidiat, dar habar nu avea despre cum să o folosească în calculele din probleme: “Măi, păi ştii sau nu teorema lui Pitagora?”. “Ba da!” răspundea acesta şi începea să o turuie de la capăt. În primul aliniat chiar este folosită expresia “mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu”. În acest sens trebuie să precizez că eu nu le cer elevilor să ştie pe de rost textul teoremei. Revenim la citatele articolului CEAE:

Există pe YouTube o serie de animații și de experimente filmate, în care copiii pot vedea imediat cum suma ariilor pătratelor care au ca laturi catetele a și b este egală cu aria pătratului care are ca latură ipotenuza c. Acest lucru poate fi făcut, de exemplu, împărțind pătratele în pătrate mai mici, colorate, egale ca dimensiune. Copiii le pot număra și pot constata ei înșiși relația de egalitate.

Apreciez şi savurez din plin faptul că autorul/autorii articolului au trecut textul teoremei din zona numerică (pătratul lungimii ipotenuzei) în zona fenomenologică a ariilor (aria pătratului ipotenuzei), mult mai “vizibilă” pentru ochiul ne-experimentat al elevului mediu. Trec astfel peste faptul că au încărcat textul cu alte cuvinte (“aria pătratului care are ca latură ipotenuza c” în loc de “aria pătratului pe ipotenuza c, sau chiar “aria pătratului ipotenuzei c), punând acest gest pe faptul că au vrut să accentueze clar la adresa cititorilor mutarea de accent. Elevilor putem să le dăm desigur o variantă cât mai simplă, cât mai scurtă deci, pentru că oricum vor fi mulţi înclinaţi (sau puşi de către părinţi) să înveţe textul pe de rost. Şi dacă ei învaţă textul ca o poezie, noi trebuie să venim în întâmpinarea lor, astfel încât mintea lor să poată face cât mai uşor conexiunea cu cele văzute. În acest sens, cuvintele ne-esenţiale trebuie reduse la maximum. Să revenim la articolul analizat, unde găsim un magistral exemplu de predare prin problematizare:

Într-un experiment de pe YouTube, vedem o dovadă experimentală că Teorema lui Pitagora este adevărată. Ea este făcută cu ajutorul apei și ea poate reprezenta un bun punct de plecare al unei lecții despre Teorema lui Pitagora, pe care profesorul o poate începe cu o întrebare. De ce credeți că se întâmplă asta? Ceea ce văd elevii că se petrece în experiment îi nedumerește/ contrariază și îi face curioși să afle de ce se întâmplă așa lucrurile. Mai mult, își vor reaminti cu plăcere experimentul și peste 10-20 de ani. (aici este ataşat filmuleţul  de pe youtube, de la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o )

Să lămurim deci această sugestie: dacă împărţirea pătratelor construite pe laturile triunghiului în pătrăţele egale (de pildă cum am făcut eu cu pătrăţele de ciocolată) ne sugerează egalitatea din teorema lui Pitagora pentru lungimi întregi, varianta din filmuleţul cu apă ce echivalează pătratul ipotenuzei cu pătratele catetelor se eliberează de spectrul lungimilor numere întregi (adică a tripletelor pitagorice) şi deschide poarta pentru un pas intuitiv spre orice lungimi la laturile triunghiului dreptunghic. Chiar dacă nu-şi dau seama pe loc de acest pas, se prea poate ca unii din elevi să realizeze ulterior ce s-a întâmplat. Aici ariile nu mai sunt împărţite în pătrăţele, ca un fel de unităţi de măsură, ci “curg” în mod continuu între cele două situaţii echivalente (apa din pătratele catetelor curge efectiv în pătratul ipotenuzei). Situaţia rămâne însă în spectrul vizualizării simple, fără a avea pretenţia unei demonstraţii adevărate.

Pe vremuri am avut tentativa de a construi pe o planşă pătratele din exteriorul unui triunghi dreptunghic, mărginite cu o bordură de carton mai gros, de cca. 1-2 mm. Apoi puneam cât mai dens un strat de boabe de orez în interiorul pătratelor catetelor. În final luam toată această cantitate de orez şi o rearanjam în pătratul ipotenuzei, justificând astfel în mod vizual practic afirmaţia din teorema lui Pitagora (merge şi altfel: umplem toate pătratele, iar apoi comparăm cantităţile, fie numărând boabele, fie cântărindu-le). Boabele mele de orez reprezentau astfel o trecere de la pătrăţelele în care sunt descompuse cele trei mari pătrate (reprezentând numerele întregi), către forma lichidă (reprezentând chiar şi mărimile iraţionale). Nu pot să susţin că am fost foarte entuziasmat de experimentul respectiv (consumă foarte mult timp), dar acum acesta capătă o relevanţă interesantă. Să revenim însă la articolul CEAE:

Urmează pasul 2 – demonstrarea Teoremei lui Pitagora. Un exemplu interesant de demonstrație este cel găsit într-un manual german de matematică de clasa a IX-a, publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg.

Dacă aţi ratat momentul vă atenţionez eu acum: demonstraţia respectivă apare într-un manual pentru clasa a 9-a. Aha! Numai puţin, să ne lămurim: Ei numără clasele începând de la prima (noi avem mai întâi clasa pregătitoare), adică de la intrarea la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani, cum ar fi şi normal. Aşadar, clasa lor a 9-a corespunde ca vârstă clasei noastre a 8-a, cu deosebirea că ei nu au după acest an examen. Astfel, înţelegem că diferenţa este de doar un an, adică noi facem teorema lui Pitagora doar cu un an mai repede (dacă nu luăm în considerare experimentul ciudat din finalul clasei a 6-a). Dar oare, acest manual nu reia doar teorema lui Pitagora? Ei mai fac uneori recapitulări din anii precedenţi.

Mai există însă un aspect de care ar trebui să ţinem cont: după încheierea ciclului primar, ei au două tipuri de şcoli: Gymnasium (şcoli pentru elevii mai buni, din care se vor selecta cei care vor merge şi la facultăţi, cuprinzând clasele 5-12) şi Realschule (şcoli pentru elevii mai puţin înclinaţi spre învăţătură, din care se va forma viitoarea “clasă muncitoare”, încep tot în a 5-a, dar nu ştiu clar când se termină; este interesant că la ei cuvântul real reprezintă faptul că şcoala este mai apropiată de realitatea vieţii cotidiene, pentru elevii mai practici, dar neînclinaţi spre învăţarea teoretică; la noi cuvântul real înseamnă cu totul altceva).

Ca o paranteză la discuţia noastră, selecţia pentru cele două “filiere” se face la finalul clasei a 4-a, exclusiv pe baza caracterizărilor făcute de către învăţători, caracterizări deosebit de obiective, profesionist organizate pe itemi clari, cuprinzând o analiză detaliată şi verificabilă a multor aspecte din evoluţia şi din capacităţile dovedite de fiecare elev în parte. Familiile elevilor nu au nici cel mai mic cuvânt de spus în această selecţie: copilul este repartizat în urma studiului obiectiv şi gata.

Pe baza informaţiilor oferite, noi nu ştim în acest moment pentru care tip de şcoală este manualul din care sunt preluate imaginile din articolul CEAE. La o analiză serioasă a subiectului, aceste aspecte ar putea avea o oarecare relevanţă. Poate că în manualele pentru Gymnasium teorema lui Pitagora se face în clasa lor a 8-a, pe când la Realschule de abia în a 9-a. Este clar că o comisie care ar face o astfel de analiză cum vorbeam mai sus, ar trebui să ia în calcul toate aceste aspecte.

Pe de altă parte, de vreme ce discuţia alegerii unei demonstraţii la teorema lui Pitagora ne interesează oricum pentru clasa a 7-a, aspectul filierei manualului din Germania îşi pierde importanţa: în clasa a 7-a noi încă nu am selectaţi elevii, aşa încât trebuie să venim cu o demonstraţie cât mai accesibilă majorităţii (elevului mediu, cum spunea Hollinger). Dar, să revenim la articolul CEAE:

Se construiește un pătrat cu latura de lungime a + b și se desenează apoi patru triunghiuri dreptunghice, cu catetele a și b ca în figura din mijloc. Plecând de la această imagine, copii sunt puși să se gândească cum ar putea demonstra Teorema lui Pitagora mutând poziția triunghiurilor; desigur, nu li se arată imaginea din dreapta când li se cere acest lucru.

Mai întâi, ei observa că spațiul alb care rămâne în figura din mijloc este reprezentat de un patrulater cu laturile egale, de lungime c. Arătăm că este vorba despre un pătrat, demonstrând că are un unghi de 90 de grade – este vorba despre unghiul δ. Astfel, scădem din unghiul de 180 de grade suma unghiurilor α și β, despre care știm (pe baza proprietăților triunghiului dreptunghic) că este de 90 de grade. Se pot face demonstrații similare și pentru celelalte 3 unghiuri ale patrulaterului cu latura c. Prin urmare, acesta este un pătrat, iar suprafața sa este c².

Ulterior, elevii trebuie să se gândească cum ar putea să mute triunghiurile a.î. să rezulte două pătrate de laturi a și b. După ce se translatează trei din cele patru triunghiuri dreptunghice, ele vor ajunge în pozițiile pe care le vedem în cea de-a treia figură. Vom obține astfel două pătrate mai mici, având ca laturi cateta a, respectiv b. Suprafața totală a spațiului alb rămâne aceeași ca în figura din mijloc. De această dată nu vom mai avea însă un singur pătrat, ci două, cu suprafețe mai mici. Există și alte moduri de translatare a triunghiurilor a.î. să se obțină cele două pătrate de laturi a și b.

Așadar suma suprafețelor celor două pătrate, a² + b², este egală cu suprafața pătratului mare, c². Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor.

Intervin aici întrerupând articolul CEAE cu o scurtă idee practică: cred că îmi voi construi din carton o astfel de machetă pe care elevii să poată translata cu adevărat triunghiurile; mai exact, cred că voi face mai multe seturi, astfel încât să-i pun să lucreze pe grupe.

În altă ordine de idei – pentru cei care-mi lecturează constant articolele – mai ţineţi minte afirmaţia d-ne Birte Vestergaard? Elevii buni la matematică vor avea bucuria că “eu am descoperit asta!”, pe când cei slabi se vor bucura că “eu am înţeles asta!”. Elevilor buni trebuie să le oferim ocazia să descopere demonstraţia (iar pentru asta trebuie să-i pui să cerceteze, adică să predai prin problematizare; iar dacă o faci pe grupe, mai mulţi elevi vor avea ocazia de a se implica, de a descoperi chiar ei), iar în final elevilor mai slabi trebuie să le-o explicăm, oferindu-le şi lor ocazia să înţeleagă demonstraţia (Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor).

Uau! Vedeţi? Nu trebuie neapărat să preluăm idei doar din “străinezia”; şi la noi sunt oameni care spun lucruri de valoare; trebuie doar să avem aplecarea să-i ascultăm cu atenţie. Dar dacă auzim aceleaşi lucruri spuse şi de unii şi de alţii, atunci este cu atât mai convingător. Să revenim la studiul nostru:

În Germania, lecția despre Teorema lui Pitagora este predată conform paradigmei constructiviste. Pentru a o demonstra, elevii pleacă de la ceea ce știau de dinainte – cum se determină aria pătratului. Astfel, ei nu vor trebui să memoreze că a² + b² = c², fără să o înțeleagă (cum se întâmplă în cazul unora dintre ei – dintre elevii noştrii). Dacă vor uita formula peste ani de zile, vor putea să ajungă într-un mod logic și intuitiv la ea.

Da! Da! Da! De curând m-am uitat într-un “manual auxiliar” pentru clasa a 6-a (deci nu într-un manual oficial). Ideea de a demonstra (aşadar primele demonstraţii), de a justifica măcar superficial un rezultat cuprins ca teoremă (mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, sau reciprocele), această idee lipseşte cu desăvârşire acolo (unele nu au nici măcar figură alăturată pentru a susţine înţelegerea elevilor). Acea “lecţie” despre triunghiul dreptunghic (din finalul clasei, deci care ar fi putut conţine anumite justificări în loc de demonstraţii), aceasta este doar o colecţie de texte de învăţat pe de rost, fără orice urmă de înţelegere pentru elevi. Lecţia respectivă se încheie cu teorema lui Pitagora, ce le este dată elevilor exact cum este spus mai sus: în orice triunghi dreptunghic, avem a² + b² = c²! Atât, nimic mai mult!

“Care-i problema?”, veţi spune, fiind vorba despre un auxiliar. Când însă manualul folosit de clasa respectivă este şi mai slab, existând recomandarea explicită a profesoarei de la clasă de a nu-l folosi (dar, am verificat şi eu pe concret, şi chiar e de toată jena!), atunci auxiliarul capătă o importanţă mult mai mare şi ar trebui să acţioneze ca “o plasă de siguranţă” pentru formarea gândirii elevului (mai ales că profesoara respectivă obişnuieşte a-i pune pe elevi să copieze lecţia din carte!).

Simt aici un fenomen ciudat: pe de-o parte, ca autori de manuale, unii colegi se simt obligaţi să dea demonstraţii cât mai elevate, cât mai sofisticate, în ultimă instanţă cât mai grele, accesibile câtor mai puţini elevi; pe de altă parte considerăm demonstraţiile total nerelevante (pentru lecţia de zi-cu-zi, de pildă în pregătirea evaluărilor, a examenelor etc.), aşa încât, dacă avem libertatea, cum ar fi în cazul redactării unor auxiliare, atunci eliminăm cu totul ideea de a demonstra un rezultat important (“trebuie să-i înveţe textul, că doar am scris că-i teoremă”). Oare, o variantă de mijloc nu ar fi mai sănătoasă? Să revenim la articol. Aşadar:

Cum este abordată Teorema lui Pitagora în România?

Imaginea folosită în manualul de matematică, de clasa a VII-a, publicat de Intuitext, are legătură cu viața reală – o scară sprijinită de o casă, pe care niște copii trebuie să se urce pentru a ajunge la un cuib de păsări. Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Sara reușește să calculeze rapid lungimea scării, folosind formula făcută în clasa a VI-a (c² = a² + b²). În acest manual, se face și demonstrația teoremei – pentru aceasta se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate (adică avem de-a face tot cu calcul algebric).

Acest aliniat – analiza situaţiei din manualul Intuitext – are mai multe aspecte ce merită analizate. Ideea de a porni de la o situaţie practică este deosebit de bună, dându-i elevului o oarecare justificare a utilităţii elementelor de învăţat. Aparent şi aceasta este o altfel de situaţie, doar că nimeni nu va calcula ce lungime trebuie să aibă scara, cu un rezultat de   m. În situaţia respectivă, cu înălţimea până la streaşină de 5 m, era evident că este nevoie de o scară mai lungă de atât. Şi cât mai lungă? Păi, nu-ţi face nimeni o scară pe măsura nevoilor de moment. Cum arată şi desenul, probabil că este nevoie de o scară de 6 m (care trece puţin de straşină). Aşadar, punerea problemei se vrea practică, dar se vede că autorii nu prea au experienţă despre ce înseamnă practică pentru omul de rând.

Însă, oricum, Sara – deşteapta clasei – nu se împiedică de astfel de aspecte. Eu mă întreb, oare câte eleve cu numele de Sara au fost luate la mişto de către colegi în urma acestei situaţii în diverse clase din ţară? Oare, nu-i dă nimeni în judecată pe aceşti autori, sau pe alţii pentru posibila generare de situaţii favorizante de bullying? N-am nimic cu folosirea numelor, dar Sara asta “se cam dă deşteaptă” în faţa colegilor săi. Imaginaţi-vă diverse scenarii posibile într-o clasă, în care o oarecare Sara mai bună la învăţătură este catalogată drept tocilară.

În altă ordine de idei, aliniatul respectiv cred că are şi o greşeală din partea autorilor de la CEAE, anume afirmaţia că la demonstrare se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a. Nu trebuie să şi-o amintească din clasa a 6-a, pentru că nu se face atunci. Trebuie să şi-o amintească doar din lecţia precedentă. Greşeala este totuşi insignifiantă la nivelul întregului articol.

Toate acestea sunt însă detalii; un aspect mai important ce ar trebui discutat este afirmaţia ce am îngroşat-o, anume că Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare ce a vrut să spună autorul articolului de la CEAE? În altă ordine de idei, despre abordarea intuitivă a materiei am vorbit cu diferite alte ocazii. Punctez doar faptul că şi aici este amintită: Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate.

Finalul aliniatului respectiv – adică avem de-a face tot cu calcul algebric – aduce însă, chiar şi în paranteză, un aspect total neglijat în România ultimilor 40 de ani, anume că la noi matematica este trasă tot mai mult în zona algebrică a gândirii, în detrimentul gândirii geometrice (gândirea numerică, algoritmică faţă de gândirea spaţială, pe bază de forme).  Ce vrea să spună această afirmaţie? “Doar, aici facem geometrie!”, veţi spune.

Nu-i chiar aşa de simplu. Acesta este un subiect mult prea vast pentru a-l aborda acum, dar pot să dau aici un indiciu: în lucrarea americană evocată în prima parte a analizei, demonstraţia despre care ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik este demonstraţia cu numărul 82 din capitolul cu demonstraţii algebrice! Da, demonstraţia respectivă este privită ca demonstraţie algebrică. După ce “digeraţi” acest fapt, puteţi să recitiţi întregul articol CEAE. Păi, dacă acea demonstraţie a fost considerată “algebrică”, atunci demonstraţia folosind factorul comun şi teorema catetei (cea uzuală la noi), cu atât mai mult este una algebrică.

Chiar şi în aliniatul următor este reluată ideea, fapt ce dovedeşte cumva înclinaţia noastră spre algebrizarea oricărei demonstraţii. La noi, o demonstraţie este cu adevărat de băgat în seamă doar dacă este redactată într-un limbaj cât mai algebric. La noi doar limbajul algebric este considerat cel adevărat matematic. Dar să continuăm cu articolul CEAE:

În manualul de la Editura Litera, sunt folosite figuri asemănătoare cu cele din manualul german, prezentate mai sus, copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Mai mult, raționamentul este complicat și se merge tot pe calcul algebric. Pașii raționamentului sunt făcuți acum în sens invers, începând cu triunghiurile deja translatate (a se vedea imaginea din dreapta din manualul german). Dacă elevii urmăresc calculul din filmulețul de la pagina 201 a manualului, există riscul pentru o bună parte dintre ei să piardă cu ușurință firul explicației.

Time out! Trebuie să intervin din nou. Părerea mea este că autorul articolului CEAE a fost deosebit de politicos, abordând un ton extrem de conciliant. Uitaţi-vă, vă rog, din nou la demonstraţia din manualul acestei edituri şi analizaţi-vă gândurile, anume ce efort trebuie să faceţi ca să înţelegeţi mersul lucrurilor. Uitaţi-vă apoi la imaginile demonstraţiei prezentată din “manualul nemţesc”. Apoi, după ce aţi citit cu atenţie, vă las pe dvs., onoraţii cititori, să judecaţi. De ce trebuie transformată într-o formă atât de complicată, cu calcule algebrice, o demonstraţie geometrică vizuală (pur geometrică!!!), care este deosebit de intuitivă? De ce?

Ce ne facem cu acest impuls năucitor din mintea unor colegi, de a complica lucrurile atât de mult, cât mai mult dacă se poate? Asta înseamnă a face matematică? În momente ca acesta apare absolut natural impresia că “se doreşte” a se complica lecţiile cât mai mult, doar-doar vor fi cât de puţin elevi care să înţeleagă matematica (oculta pseudo-ştiinţifică mioritică?). Eu personal recunosc aici: nici nu am avut răbdare la început să analizez demonstraţia respectivă în cele mai mici detalii. Păi atunci, cum ar avea răbdare un elev să o facă? Elevul ar trebui să o poată înţelege de unul singur, că de aia este făcut manualul, nu ca să vină în paralel cineva acasă şi să-i explice ce scrie acolo.

Acest aliniat mai are un pasaj important: copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Acest aspect este de o fineţe deosebită din punct de vedere metodico-didactic. Noi trebuie astfel să predăm încât mintea elevului să “aibă loc să mişte” relativ liber. Doar aşa elevul se va obişnui încet, tot mai mult să gândească. Doar atunci elevul va avea sentimentul că gândurile respective sunt şi “ale sale”. Dacă nu-i lăsăm defel “spaţiu de mişcare”, ci îl obligăm să înveţe o demonstraţie mot-a-mot (cuvânt cu cuvânt), atunci elevul va resimţi gândurile respective ca străine şi automat va fi înclinat să le refuze. Sau dimpotrivă, un alt elev poate se va obişnui doar să înveţe pe de rost o teorie, nedezvoltând însă abilităţi de proprie judecată şi gândire (cu ambele alternative ne întâlnim des, deşi este clar că acestea nu duc la situaţii dezirabile). Dar, să terminăm “de lecturat” articolul de pe blogul CEAE:

Remarcăm în ultima vreme efortul mai multor autori de manuale de matematică din România de a pleca de la situații din viața reală sau de a se raporta la acestea, însă adeseori demersurile au loc la un nivel formal. Acest lucru se întâmplă pentru că nu s-au făcut suficienți pași pentru a schimba semnificativ paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu (în loc să devină inductive, cum se întâmplă în tot mai multe țări europene, abordările la noi sunt încă preponderent deductive și calculul algebric are în continuare o pondere importantă). Prin urmare, pentru un procent semnificativ dintre elevi, matematica înseamnă memorarea și reproducerea formulelor de calcul și aplicarea algoritmilor de rezolvare de probleme. Or, matematica ar putea să contribuie mai mult în a le dezvolta copiilor o gândire structurată și logică.

Pentru cine a ratat momentul de la început, precizez din nou cum trebuie citite afirmaţiile din paranteză: paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu ar trebui să devină una inductivă, nu pentru că aşa se întâmplă în tot mai multe țări europene, ci pentru că aşa este potrivit psihologiei vârstelor gimnaziale (pentru o întreagă populaţie şcolară, până la 14-15 ani), dar şi mai târziu. Legat de afirmaţiile din ultimele două fraze nici nu mă gândesc să le analizez acum. Acestea sunt atât de valoroase încât merită fiecare câte un eseu separat de discuţii şi analize.

Dar, cine trebuia să facă paşii pentru schimbarea paradigmei utilizate în predarea matematicii gimnaziale? Profesorii, fiecare pentru el? Nu prea cred. Nişte oameni care în ultimele câteva zeci de ani au trăit doar într-o paradigmă şi într-o stare generală de executanţi ai politicilor educaţionale venite “de sus”, aceştia sigur nu vor fi în stare să contribuie în mod sănătos la o schimbare de paradigmă ca cea evocată în ultimul aliniat. Scurtele indicaţii (foarte valoroase de altfel) din programa 2017 nu au forţa de a duce la o schimbare de paradigmă.

Merită să scot în evidenţă aici un aspect relativ nou: geometria sintetică a fost scoasă din licee prin 1997 (orientativ). Ca urmare, avem deja prin şcoli colegi profesori care au cam încheiat-o cu geometria după clasa a 8-a. Aceştia nu au mai apucat să reia şi să aprofundeze geometria (atât cea plană, cât şi cea în spaţiu) la un nivel mai matur. Iar în facultate sigur nu au mai reluat aceste aspecte. Aceşti colegi mai tineri cunosc doar forma deductivă şi algebrizată până în “măduva oaselor”. Cum să-şi schimbe aceştia predarea? În general, cea mai mare parte a profesorilor sub 45-50 de anu nu au prins predarea inductivă nici ca elevi. Pe baza a ce să poată ei acum face o schimbare de paradigmă?

Eu mă lupt de 25 de ani să înţeleg aceste lucruri, să îmi modific propria paradigmă de predare şi văd cât este de greu (eu, cel care vreau să mă schimb, în luptă cu mine, cel ce vine cu apucăturile profesionale vechi). Pentru o adevărată conştientizare, părţi din acest ultim aliniat citat ar trebui să devină obligatoriu de lecturat zilnic, de către toţi profesorii. Totuşi, la fel ca autorii articolului din CEAE, nici eu nu-mi permit să dau sfaturi despre cine ar trebui să se ocupe de această modificare de paradigmă (pentru ca lucrurile să se şi întâmple cu adevărat şi în mod sănătos), dar sigur treaba asta nu poate fi lăsată pe seama profesorilor de la clasă.

*

Acesta a fost articolul apărut pe blogul CEAE, însoţit şi întrerupt de câteva “scurte” comentarii personale. Dacă în prima parte a analizei mi-am spus punctele de vedere mai mult stârnite de comentariile la reluarea articolului pe edupedu.ro, în această a doua parte a analizei mi-am exprimat punctele de vedere direct la afirmaţiile din articolul iniţial.

Da, acum chiar cred că mă opresc cu analiza (la cât de lungă a ieşit, chiar poate fi clasificată ca exagerare – cu totul sunt aproape 16 pagini A4 doar text, scris cu 12), dar vreau să aduc aici şi o mică propunere: demonstraţia din manualul nemţesc ar putea fi folosită clar pentru includerea teoremei lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a, statutând astfel totodată şi folosirea acestei teoreme în calculele pentru determinarea segmentelor necesare la arii sau perimetre. În ultimii ani am putut observa cum foarte mulţi profesori se feresc încă a folosi teorema lui Pitagora în acest capitol, deşi la ora actuală este cunoscută de la sfârşitul clasei a 6-a, cel puţin ca aplicaţie încă nedemonstrată. Atunci, de ce mulţi profesori încep să o folosească în probleme de-abia în primăvară după ce teorema apare şi cu demonstraţie (după asemănarea triunghiurilor şi teorema catetei). Poate, dacă ar şi avea-o de demonstrat prin arii, colegii s-ar “aventura” să o şi folosească la clasă chiar din capitolul despre arii. Sau, poate, un “ordin de sus” în acest sens ar rezolva mai eficient situaţia. Fără teorema lui Pitagora, capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a este sec, doar cu aplicaţii grele, potrivit elevilor mai buni, în continuare înjositor pentru elevii de rând.

Revenind la demonstraţia cu cele patru triunghiuri în interiorul unui pătrat, trebuie să mai precizez ceva: dacă undeva înaintea acesteia, într-o oră precedentă de aplicaţii la patrulatere, s-ar face problema care cere demonstrarea faptului că figura cuprinsă între cele patru triunghiuri este tot un pătrat (adică un romb – congruenţa triunghiurilor, dar cu cel puţin un unghi drept, deci pătrat), atunci demonstraţia respectivă la teorema lui Pitagora devine chiar una doar orală, având drept urmare un nivel de accesibilitate deosebit de bun la toţi elevii.

Schimbând puţin linia discuţiei, merită precizat că aici nu este vorba despre “care demonstraţie o facem pentru teorema lui Pitagora?”. În mod excepţional teorema lui Pitagora ar trebui eliberată de paradigma generală a “cursului euclidian” (fiecare teoremă cu demonstraţia ei, ca urmare deci la fiecare teoremă doar o singură demonstraţie), permiţând profesorilor să predea – iar elevilor să cunoască – diferite şi diverse demonstraţii. Cea evocată din manualul nemţesc ar merita să fie prima din clasa a 7-a, dar sunt multe altele ce pot veni în continuare ca aplicaţii la noile lecţii. În această categorie s-ar încadra şi demonstraţia pe baza teoremei catetei, dar şi multe altele.

Am rămas însă cu o datorie legată de comentariile la articolul de pe blogul CEAE: oare ce a vrut să transmită autorul în aliniatul în care comenta situaţia din manualul Intuitext, când a spus cu referire la felul în care decurge raţionamentul: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului.

Ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv? Eu m-aş încumeta să încerc un răspuns (chiar îmi stă pe limbă), dar nu am nici cea mai mică garanţie că aşa este. Prefer de data asta să tac şi cel mult să relansez întrebarea, cel mai bine către autorul articolului: stimate coleg, ce aţi vrut să spuneţi aici? Pentru că, dacă este aşa cum simt eu, atunci acest gând ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii. Dacă nu vom primi în următoarea perioadă un răspuns, atunci poate totuşi mă voi încumeta eu să dau o explicaţie. Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. În ambele părţi ale acestei analize m-am lovit în anumite momente de situaţii în care am impresia că profesori de matematică din ţara noastră doresc cu cea mai mare hotărâre să aducă în faţa elevilor o materie cât mai complicată, cât mai inaccesibilă. Dacă vă sună ca exagerată această afirmaţie, dacă o consideraţi drept o “acuză nefondată”, atunci vă mai dau un exemplu: gândiţi-vă cât de repede apar direct aplicaţii cu numere iraţionale la teorema lui Pitagora (după ce aceasta a fost în sfârşit predată, fie şi prin teorema catetei). În acel moment, adică la prima lecţie, la cei mai mulţi profesori apar rapid şi exemplele cu numere iraţionale, la unii chiar din prima (vedeţi exemplul cu Sara şi lungimea scării), dar oricum cel târziu de la a doua sau a treia aplicaţie. N-am prea întâlnit profesori care să stea în prima oră doar la nivelul tripletelor pitagoreice, adică în zona de comfort a tuturor elevilor, respectând astfel capacitatea uneori lentă de adaptare a elevului mediu la un algoritm nou. Elevul mediu ar avea nevoie de o oră la clasă, cu exemple cât mai multe, plus o tema corespunzătoare, pe care să o şi înţeleagă şi să o poată face singur, fără  ajutor din partea altcuiva. La algoritmul nou din aplicarea teoremei lui Pitagora, elevul mediu are nevoie să rămână măcar o oră în zona sa de comfort numeric, ca să se poată concentra la aspectele noi ce ţin de calculul specific. Doar apoi acesta va putea face pasul fără spaime în zona iraţională.

Am atins aici un subiect ciudat: cei mai mulţi profesori nici nu prea cunosc tare multe triplete pitagoreice (triplete de numere naturale care să verifice relaţia teoremei lui Pitagora). Majoritatea cunosc aparent doar tripletul (3; 4; 5), cu primele amplificări şi eventual încă tripletul (5; 12; 13). În acest sens, eu folosesc toată plaja de triplete pitagoreice cu lungimi până la 100 (deşi am fost acuzat că astfel terorizez copiii; ar fi de discutat cum îi terorizăm mai tare pe elevi, cu radicali din pătrate perfecte de cel mult patru cifre sau dându-le din prima numere iraţionale, care sunt destul de neînţelese? Mă refer aici la faptul că majoritatea elevilor se blochează când sunt întrebaţi despre lungimea aproximativă a unor numere iraţionale de forma ; la numere de forma  aproximarea este ceva mai accesibilă).

Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (1)

De curând am atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, în care era prezentată o altă demonstraţie – una mult mai vizuală – dintr-un manual nemţesc. Am pus atunci doar link-ul articolului, cu scurte comentarii, pentru că eram în mare criză de timp (voi explica mai jos de ce). Iată din nou link-ul respectiv https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ , însă acest articol este de fapt reluat de pe blogul CEAE https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ . Specialiştilor de la CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale trebuie să le mulţumim pentru acest articol minunat, ce pune degetul pe o rană veche şi profundă a şcolii gimnaziale româneşti. În schimb portalul edupedu.ro l-a mediatizat şi a adunat câteva comentarii sugestive despre atitudinea breslei noastre. În acest eseu aş vrea să prezint câteva aspecte legate de subiectul respectiv, într-o gamă largă, dar înainte doresc să fac o scurtă prezentare a celor găsite în comentariile la articolul respectiv, sub forma unui:

A.S. (ante scriptum) Am publicat postarea respectivă în mare grabă, nevrând să intru în alte detalii, dar gândul mi-a rămar la câteva comentarii pline de îngâmfare, cu accente de răutate, chiar belicoase, în câteva puncte cu tente de-a dreptul naţionaliste, de care avem tot mai des parte pe plaiurile mioritice. Reiau aici comentariile la articolul respectiv acumulate în zilele ce-au urmat:

C1) (31,03.2022) E foarte bine cum se face in Romania si in conformitate cu cunoștințele precedente. Restul demonstratilor sunt bune ca proiect dar sa nu le exageram rolul.
Este specific învățământului german sa impresioneze elevul cu aplicatii ale chestiunilor pe care urmeaza sa le invete dar sa nu exageram rolul acestora in efortul de a intelege si aplica teoria. Entuziasmul initial se pierde la fel de repede si la noi si la ei. Diferenta principala cu care sunt doar partial de acord este selectarea elevilor de mici dupa posibilitățile cognitive.

C2) (31.03.2022) Articolul pare cam… ridicol. Există și la noi astfel de demonstrații… Hai să fim serioși! Să nu credem că numai ce este nemțesc e bun! Așa ne-am păcălit la alegeri…

C2′) (2.04.2022) Aveți dreptate, dar cred că, la alegerea lui Ioanis a avut un rol important și aplicarea metodei Clotilde Armand.

C3) (4.04.2022) Această demonstrație o aveam, când eram elev, in clasa a7a în manual. Cât despre nemți, încă mai au mult de învățat de la noi, la toate capitolele metodice școlare. Aici chiar stăm foarte bine!

Oare, chiar ar merita să analizăm en-detail afirmaţiile din aceste comentarii? Unele au în conţinut şi elemente metodico-didactice (în primul comentariu e o idee interesantă, dar şi în al treilea). Din păcate, însă, predomină pasajele cu tentă îngâmfat-răutăcioasă, de tipul “du-te mă, că nici la nemţi nu umblă câinii cu colaci în coadă” sau “învăţământul nostru este cel-mai-cel din toată lumea!”. Nu doresc să vin cu replici la acelaşi nivel (deşi îmi stau pe limbă câteva). Psihologia întâmplării merită totuşi comentată şi tratată, dar pe un plan ceva mai ridicat al discuţiilor.

Din start trebuie să precizez că sunt într-u totul de acord cu linia articoluluide pe CEAE, dar totodată trebuie să precizez un aspect: finalul titlului – o comparaţie cu România – este într-adevăr provocator pentru profesorii care consideră învăţământul matematic românesc ca deosebit de performant. Astfel de observaţii sunt foarte bune, absolut justificate, dar ar trebuie aduse cu mai multă precauţie, pentru a nu stârni reacţii de felul celor citate mai sus.

*

Să trecem la lucruri mai serioase, cu tentă pedagogică, deşi trebuie să recunosc, că cele ce urmează se doresc a fi un fel de răspuns la comentariile redate mai sus. În paralel, veţi vedea cum întâmplarea cu acest articol se leagă în mod ciudat cu evenimentele din viaţa mea din aceste zile. Aşadar, să purcedem la analiza oportunităţii studierii altor demonstraţii la teorema lui Pitagora şi a alegerii acestora într-un mod cât mai potrivit posibilităţilor şi nevoilor elevilor.

Pentru început doresc să evoc o întâmplare ce mi-a fost povestită de o colegă ce a participat cu ani în urmă la o întâlnire de profesori din toată Europa de est (parcă era vorba de Riga). Cu ocazia respectivă s-au organizat şi nişte grupe de lucru, iar la grupa de matematică profesorul care conducea activitatea (iar un neamţ, dar staţi liniştiţi, îndată apar şi americanii), acesta a venit cu următoarea întrebare: “Cine ştie o altă demonstraţie la teorema lui Pitagora?”. Şi nimeni n-a ştiut vreuna. Este evident că avem de-a face cu o problemă generală: există o cale aleasă cândva ca “cea mai bună” (aia prin teorema catetei) şi de-atunci toată lumea merge docil pe aceasta; la ora actuală o mare parte dintre profesori nici nu mai cunosc alte demonstraţii.

Părerea mea este că cel târziu la cursurile de metodică din facultăţile de matematică lucrarea lui Mihu Cerchez ar trebui inclusă ca bibliografie obligatorie (Mihu Cerchez – Pitagora, Ed. Academiei, 1986, azi 12,60 lei la o simplă căutare pe net). Actualmente nu o am la îndemână, dar ţin minte că ar avea ceva de genul 55 de demonstraţii la teorema lui Pitagora (afirmaţie neverificată). În culegerea de geometrie ce am scris-o (Ed. Humanitas Educaţional, 2006, staţi liniştiţi, nu se mai găseşte pe piaţă) am inclus în final 12 demonstraţii, două dintre acestea care nu sunt la Mihu Cerchez.

Demonstraţia principală evocată în articolul CEAE/edupedu.ro (cea cu patru triunghiuri rearanjate în cadrul unui pătrat) este şi în cartea lui Mihu Cherchez, fiind una dintre cele mai cunoscute şi mai “vizuale”, mai accesibile copilului cu cunoştinţe elementare; o vezi şi o înţelegi imediat fără să fie nevoie de cine-ştie ce explicaţii complicate, de pildă pe bază de alte teoreme mai abstracte (desigur că ulterior poate fi şi aceasta redactată frumos ca demonstraţie). Împreună cu soţia mea o numim “demonstraţie cu şerveţele”.

Atât demonstraţia din manualul nemţesc, cât şi filmuleţul de pe youtube, prezentate în articolul CEAE/edupedu.ro au avantajul că se bazează în principal doar pe arii, adică nu folosesc elemente prea intelectuale, mai greu accesibile elevului de rând (teorema catetei, respectiv asemănarea triunghiurilor necesară pe drumul de demonstrare a teoremei catetei; nici factorul comun nu le este cu adevărat clar multor elevi; chiar dacă aparent îl ştiu aplica, mulţi elevi îl fac ca un element de dresură, iar pasul din demonstraţia tradiţională le apare ca un număr de magie total neînţeles, bun doar de copiat în caiet, că “de aia am venit la şcoală”). Or, ariile – atât a pătratului şi a dreptunghiului – reprezintă fenomene deosebit de accesibile înţelegerii intuitive a copilului mediu, fiind cunoscute oricum din clasa a 5-a. Pentu elevi o astfel de demonstraţie este deosebit de accesibilă, chiar atrăgătoare (appealing ar zice americanul).

În plus, după cum am scos în evidenţă în articolele paralele din această perioadă, cele despre inspiraţia din culegerea Prof. A. Hollinger, pentru elevi sunt mult mai clare şi mai accesibile demonstraţiile vizuale, cele vizibile chiar la nivel oral într-o figură ataşată alăturat, demosnstraţii care ulterior se redactează şi în scris. Dimpotrivă, demonstraţia uzuală în manualele din România, dar mai ales în mentalul majorităţii profesorilor (la care se pare că unii ţin cu mare îndârjire şi – nu ştiu de unde – cu mult patriotism, împănat cu profunde înclinaţii naţionaliste), această demonstraţie este una mult mai teoretică, cu tente clare de calcul, adică nevizibile pe figură fără a face calculul. Despre demonstraţia prin teorema catetei putem spune cel puţin că este o demonstraţie greu “vizibilă” pentru foarte mulţi elevi. Apropos, cunoaşteţi reprezentarea prin arii a teoremei catetei şi legătura acesteia cu vizualizarea  demonstraţiei teoremei lui Pitagora tot prin arii? E simplă: pătratul construit în exteriorul triunghiului dreptunghic pe ipotenuză este tăiat în două părţi inegale prin prelungirea înălţimii; pătratul unei catete este astfel echivalent cu dreptunghiul parte a pătratului ipotenuzei corespunzător.

Chiar dacă poate nu-i neapărat întotdeauna adevărat, merită să scot aici în evidenţă cum se văd lucrurile legat de îndârjirea cu care mulţi profesori români ţin la demonstraţia la care se ajunge doar pe drumul “asemănarea triunghiurilor + teorema catetei”, aparent refuzând demonstraţiile pe bază de arii. Arată ca şi cum se doreşte ca demonstraţia teoremei lui Pitagora să fie accesibilă doar celor mai buni elevi, nici într-un caz elevilor de rând. Cum am mai spus, această demonstraţie este resimţită de mulţi elevi ca un fel de “număr de magie matematică”, cărora nu le înţeleg nici măcar “poanta”, darămite să înţeleagă şi cum, şi ce s-a întâmplat în aceasta, sau ce rol are ea (adică faptul că relaţia din teorema lui Pitagora s-ar cere demonstrată; mai ales după ce au văzut că în clasa a 6-a le-a fost dată pur şi simplu, adică fără demonstraţie. “De ce? pentru ce?” ar întreba mulţi elevi; “da’ ce-are dacă n-o facem?“; “la ce-i bună?“). Or, magia matematică devine educativă, are sens adică, doar dacă ulterior o poţi şi înţelege, adică o poţi desluşi, ai mai înţeles o bucăţică de matematică. Pentru asta ea trebuie însă să fie măcar ca rezultat atractivă şi intrigantă; ceea ce nici măcar atât nu este pentru majoritatea copiilor (majoritatea profesorilor prezintă textul teoremei cât mai încărcat, încă folosind şi cuvântul “lungime”, ţinând cu dinţii de poziţionarea teoremei în zona numnerică: “pătratele lungimilor catetelor” în loc de “pătratele catetelor”, care ar lăsa deschisă portiţa spre înţelegerea ca “ariile pătratelor catetelor”). Cei mai mulţi elevi nici măcar nu-şi dau seama că s-a întâmplat ceva cu totul special (unul dintre momentele cele mai speciale din toată istoria ştiinţei universale); ei doar au copiat demonstraţia de pe tablă cu “poziţia ghiocel” în suflet. Singurul lucru bine şi profund înţeles de către majoritatea elevilor este că ei nu pot pricepe materia asta, că ei sunt de fapt proşti! Dar să revenim la multitudinea de demonstraţii ale celei mai cunoscute teoreme din toate timpurile.

Tocmai când apăruse articolul respectiv pe edupedu.ro eu urma să-mi încep participarea la un curs de împrospătare pentru profesorii din şcolile Waldorf, organizat la Kassel în Germania (Refresher Course); de aici şi foarte scurta trimitere către articol. De fapt au fost două cursuri paralele: cel în limba germană, organizat fizic la Kassel, cât şi cel online în limba engleză, organizat în urma entuziasmului la nivel mondial în urma ediţiei din 2021 (atunci au fost tot două cursuri paralele, unul în germană iar celălalt în engleză, dar ambele online; până în 2019 se organizau în săptămâna de la Kassel diferite cursuri într-una sau în cealaltă din limbi, iar conferinţele comune se traduceau oricum în cealaltă limbă). Tema principală a cursului de anul acesta a fost clasa a 9-a (ca vârstă potrivindu-se mai degrabă cu clasa a 8-a de la noi).

La una din conferinţe ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik din America. Şi “ghici ciupercă” despre ce ne-a vorbit dânsa? Despre demonstraţii la teorema lui Pitagora! Da! Mai exact, despre diferitele demonstraţii ale acestei teoreme şi despre folosirea lor la clasă, despre uimirea ce poate fi trezită în sufletul elevilor prin acestea. Pentru cei interesaţi de subiect, dânsa ne-a vorbit despre cartea din perioada interbelică The Pythagorean Proposition, avându-l ca autor pe Elisha S. Looms, carte ce conţine sute de demonstraţii, cât şi alte curiozităţi legate de teorema lui Pitagora. Pentru doritori, lucrarea se găseşte pe net scanată în format pdf (eu mi-am salvat-o deja din ziua conferinţei, într-o ediţie din 1940).

Ce-i mai interesant însă de-abia acum vine: d-na Plotnik ne-a vorbit că dânsa le dă elevilor (în grupe de câte 2) câte o astfel de demonstraţie doar cu construcţiile iniţiale, lăsându-i pe elevi să caute, să “sape” (poate 2-3 zile la rând), să cerceteze ce găsesc în acea figură şi ce se poate deduce de acolo, în ultimă instanţă cum se poate obţine afirmaţia din teorema lui Pitagora pe baza celor din acea figură. Vedem cum aici lucrurile se întâlnesc cu cele sugerate de către autorul primului comentariu la articolul de pe edupedu.ro (Restul demonstratilor sunt bune ca proiect).

Cât despre exagerarea rolului acestora (ca replică respectivului coleg), n-am înţeles cine a exagerat ceva: doar vorbind despre ele argumentat reprezintă deja o exagerare? Doar evidenţiind clare avantaje metodico-didactice ale acestora înseamnă că se exagerează? Într-un singur articol? În afara articolelor mele rebele, de “lup singuratic”, cine a mai vorbit despre aceste aspecte, astfel încât să se poată susţine ideea de exagerare?

Atitudinea respectivă le este cunoscută celor mai în vârstă din vremurile comuniste, mai ales din anii ’80, când orice sau oricine călca “pe de lângă” faţă de linia oficială era automat privit ca mare trădare şi contra-atacat cu multă îndârjire, uneori “în haită”, de către cei care erau responsabili de păstrarea canoanelor vremii, sau de cei care se simţeau bine în acestea (în mod similar, pe vremuri biserica catolică îi clasifica pe unii ca eretici). Cred că exagerarea vine mai degrabă în sens opus, din partea celor care refuză cu totul o mare “felie” din cultura matematicii mondiale. Pentru că da, multitudinea şi varietatea demonstraţiilor teoremei lui Pitagora poate fi clar catalogată drept o “bună felie” de matematică, deosebit de potrivită pentru a fi folosită în scop şcolar, pedagogic, conţinând variate şi surprinzătoare aplicaţii. Lasă că exagerez eu acum, analizându-le de-a fir-a-păr, făcându-le chiar “teoria chibritului”.

Dar, de fapt, ce spunea d-na Plotnik? Spunea că dintre acestea se pot alege suficiente exemple, pe baza cărora elevii să vieţuiască varietatea aproape nemărginită a demonstraţiei matematice, dar şi a gândirii umane (în condiţiile de faţă, nici nu mă gândesc să vă spun cât de mult timp, mai exact câte ore îşi alocă dânsa pentru aceste “proiecte”). Iar lucrarea respectivă, cu câte demonstraţii are, sigur oferă şi exemple vizuale şi accesibile, pentru elevii mai “începători” în ale raţionamentului matematic, dar şi demonstraţii dificile, ca provocări pentru elevii mai buni la matematică, pentru cei care au înţeles şi lecţiile mai grele.

Îmi permit să redau aici exemplul prezentat de d-na Plotnik în timpul conferinţei de marţi 12 aprilie (cu notaţiile puţin schimbate faţă de cele din antologia sus menţionată). Deci, considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A şi algem pe drepta BC punctele E şi F astfel încât BE = BA = BF, să zicem E în exteriorul ipotenuzei [BC] iar F pe ipotenuză. Demonstraţi pe baza acestor date relaţia din teorema lui Pitagora (cam aşa am înţeles că le dă dânsa elevilor sarcina de lucru). Pentru fluenţa citirii acestui articol dau imediat şi o figură (aşa cum sugera chiar Profesorul Hollinger):

Nu dau şi demonstraţia, ci vă las dvs. bucuria de a o găsi (dacă nu cumva o cunoaşteţi deja sau tocmai aţi găsit-o). Precizez însă că demonstraţia conţine o frumoasă varietate de elemente: primul pas se bazează pe faptul că un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic (reciproca “medianei pe ipotenuză”, sau “Cercul lui Thales” cum este cunoscut de către unii prin spaţiul german, chiar şi până mai aproape, prin Ungaria, aceasta fiind prima teoremă demonstrată de un om “ever” – merită să revin în curând la acest subiect). În continuare vine un raţionament interesant cu unghiuri, apoi o foarte ascunsă asemănare de triunghiuri (pe baza cazului UU), iar în final o surprinzătoare aplicaţie a unei formule de calcul prescurtat.

Văzând demonstraţia din acea carte veche, prezentată nouă de către d-na Plotnik, am simţit în suflet o stare apropiată de veneraţie faţă de mintea care a avut ideea construcţiei respective. Cam aşa ceva trebuie că simţeau vechii greci, astfel încât atunci când demonstrau câte una din primele lor teoreme, se duceau apoi la templu şi aduceau o jertfă zeilor pentru inspiraţia cu care fuseseră “ajutaţi”. De pildă, chiar despre marele Pitagora se spune că – după ce a demonstrat propoziţia respectivă – a sacrificat pe altarul zeilor un număr impresionant de boi, iar de atunci toţi boi tremură când aud de teorema lui Pitagora. Şi despre Thales se spune că ar fi sacrificat cel mai mare şi mai frumos bou al său la templu, după ce a demonstrat teorema cu triunghiul înscris in semicerc.

Revenind la demonstraţia de mai sus, trebuie să recunosc sentimentul iniţial cum că mie nu mi-ar fi trecut prin cap aşa ceva. Simţeam toată stima şi tot respectul pentru acea minte umană care a gândit aşa ceva (autorul este pierdut prin vechiile cărţi). În comparaţie cu această minte strălucită, eu am impresia că la ora actuală capacităţile noastre creative în domeniul demonstraţilor pe bază de construcţii ajutătoare sunt mult mai reduse.

Probabil că găsirea acetei demonstraţii n-a fost chiar atât de ieşită din comun, însă asta am simţit eu în zilele de după ce am văzut-o: o curată admiraţie (uneori, probabil că aşa ceva simt şi elevii atunci când noi “le trântim” câte o construcţie sau o demonstraţie ciudată; aceasta se va întâmpla însă doar dacă drumul a fost pregătit lin în sufletul lor; dimpotrivă, dacă-i luăm prea repede, se vor simţi doar covârşiţi, înjosiţi). Revenind cu picioarele pe pământ, probabil că persoana respectivă lucra la cine-ştie-ce problemă şi a observat că figura respectivă duce spre rezultatul din teorema lui Pitagora. Sau, poate a fost altfel? Cine ştie?!

Şi eu am avut o astfel de întâmplare, dar am fost destul de neatent încât să nu-mi dau seama că tocmai ce m-am împiedicat de o demonstraţie la teorema lui Pitagora; ulterior, când am început să studiez acest subiect am regăsit-o: este cea care apare prin cărţi ca descoperită de către fostul preşedinte american Abraham Garfield (1831-1881).

În acest sens, demonstraţia d-nei Plotnik mi-a adus aminte de o alta dintr-un manual românesc de la începutul anilor ’80 (din păcate nu-l am la îndemână), o demonstraţie prin puterea punctului faţă de cerc. Ştiu că aceasta nu mai este în programă, dar poate fi evitată elegant, oferind elevilor mai răsăriţi o demonstraţie interesantă, cu elemente din materia actuală (începutul clasei a 8-a din cauza mutării calculului prescurtat din a 7-a). Iar până la urmă vom constata că aceasta este de fapt aceeaşi demonstraţie ca cea din exemplul d-nei Plotnik, doar că abordată din altă parte (mutând pornirea din zona construcţiilor ajutătoare şi a “cercului lui Thales” în zona unghiurilor înscrise în cerc). Aşadar: Considerăm un cerc de centru O şi un punct exterior P. Prin punctul P trasăm o tangentă la cerc, notând cu T punctul de tangenţă, cât şi o secantă dusă chiar prin centrul cercului, notând cu L şi cu K punctele în care aceasta taie cercul. a) Demonstraţi că PT reprezintă media proporţională între lungimile PL şi PK (adică PT2 = PL · PK); b) Folosind relaţia precedentă, demonstraţi egalitatea din teorema lui Pitagora în triunghiul POT.

Da, cam atâta am avut de spus legat de felul în care merită să privim diversele demonstraţii ale teoremei lui Pitagora şi a modului în care ne raportăm ca profesori la acestea. Demult îmi doream să abordez acest subiect şi să evoc diversele aspecte ce le implică, dar acum gândurile au ajuns ceva mai coapte, fiind în paralel şi stârnite de comentariile prezentate la început. Desigur că sunt conştient că oricând s-ar putea găsi aspecte noi, dar eu mă cam opresc aici în această primă analiză a subiectului. În a doua parte mă voi apleca în detaliu asupra celor spuse în articolul de pe blogul CEAE.

*

Înainte de a încheia acest articol doresc să evoc însă câteva aspecte despre atitudinea cu care “mergem prin viaţă”, respectiv pe ce poziţie ne situăm pe axa modestie-îngâmfare. Pe scurt doresc să prezinte felul în care mă raportez eu personal la tot ce găsesc nou în lumea largă – ar putea spune unii că le caut “cu lumânarea”, oricum cu multă îndârjire şi perseverenţă – în comparaţie cu felul cum blochează alţii orice ajunge nou în faţa lor, orice este diferit de ceea ce reprezintă zona lor de comfort. Pentru că da, multe vin din această poziţionare.

Care multe? Păi, de pildă felul în care învăţământul matematic românesc nu reuşeşte să se debaraseze de vechile paradigme şi să evolueze înspre o pedagogie adaptată şi potrivită secolului XXI. Dacă aşa reacţionăm – precum autorii comentariilor redate la începutul acestui eseu – dacă aşa reacţionăm la orice propunere de schimbare, de îmbunătăţire, de a aduce predarea matematicii din şcolile noastre într-o formă mai potrivită nevoilor şi posibilităţilor actualilor elevi, atunci – iaca – avem pe tavă un dintre cauzele elocvente peantru care şcoala noastră nu reuşeşte să se schimbe, rămânând închistată în tarele trecutului.

Mai exact, aş dori să accentuez asupra felului în care mă raportez eu faţă de matematica cu care mă întâlnesc în contactele ce le am din când în când cu străinii (cursuri sau alte întâlniri cu profesori, dar şi cărţi, actuale sau demult traduse în română). Era o vorbă veche, ceva de genul: dacă nu deschizi o carte cu o profundă stare de veneraţie, atunci nu vei găsi nimic special în aceasta (sau, cam aşa ceva). Nu mai ştiu dacă era vorba despre cărţi în general, sau despre cărţi de matematică, dar sigur dacă nu eşti dotat – fie de la mama natură, fie conştient – cu acea stare de modestie elementară, atunci la orice contact cu matematica străină se vor declanşa în sufletul tău nişte mecanisme de mândrie naţională exagerată (avându-şi originea în implantările făcute de Ceauşescu din anii ’80 “pe creierele românilor”), mecanisme ce te vor împiedica să percepi aspecte noi, ce nu sunt prezente în România.

Anul acesta, la cursul de la Kassel, de pildă, m-am înscris la două cursuri de matematică (fiecare de câte 5 şedinţe a 1,5 ore); în plus a fost acea conferinţă de care am vorbit (1 oră). Ca o paranteză, cursul fiindu-mi plătit din Germania, m-am înscris la tot programul, aşa încât am urmărit de fapt încă cinci conferinţe ce nu aveau treabă cu matematică, dar şi un curs de geografie-geologie de 12 şedinţe a 1,5 ore (ajungând deci doxă în acest subiect). Dar să ştiţi că şi în acest curs de geografie am găsit destule elemente ce le voi putea transborda în predarea mea la matematică.

Desigur că multe lucruri îmi erau cunoscute din cele prezentate (la cursurile de mate), dar m-am bucurat de fiecare aspect nou primit (nou pentru mine). De pildă, la cursul d-lui Robert Neumann despre construcţiile curbelor conice (secţiunile conice, adică parabola, elipsa şi hiperbola, construite cu rigla şi compasul) cunoşteam cca. 60%. Nu-i nimic, m-am bucurat şi-aşa, chiar m-am entuziasmat pentru celelalte 40% idei şi aspecte noi pentru mine. Şi chiar dacă ar fi fost doar 10% material nou, tot mi-ar fi meritat. Desigur că şi la cursul d-nei Birte Vestergaard despre fişele de lucru prin descoperire ştiam foarte multe (din precedentele întâlniri). Nu-i bai, şi aici m-am bucurat de orice nou aspect; şi au fost suficiente.

O singură dată la o participare în “Străinezia” am părăsit un curs, deoarece simţeam că profesorul respectiv chiar “o lălăie” peste nivelul meu de suportabilitate şi nu-mi oferă nimic, dar şi deoarece în pauză văzusem la un curs paralel anumite aspecte fascinante pe nişte planşe rămase atârnate de perete; aşa că am trecut de a doua zi la celălalt curs (l-am anunţat pe acest nou profesor că vreau să vin la dânsul şi gata).

Aşadar, a nu se înţelege însă că mă duc la aceste întâlniri internaţionale “cu capul plecat”. Nici vorbă! Merg demn şi civilizat, cu o stare de echilibru între modestie şi totuşi conştienţa că ştiu foarte multe (că vin dintr-o şcoală matematică bună şi dintr-o familie de matematicieni); particip însă realist, conştient fiind că nu pot să ştiu totul. Nu mă dau mare, dar nici nu-mi este frică să spun ce gândesc, însă îmi caut cu grijă cuvintele pentru a nu jigni; încerc întotdeauna să înţeleg contextul de unde vine un vorbitor (la orice nivel, fie cel care ţine prelegerea, fie un eventual coleg cu care ajung pentru scurt timp într-o grupă de lucru). Ei nu-mi cunosc lumea mea matematică; singurul care poate creea o punte – mie folositoare – sunt chiar eu, aşa încât sunt “cu ochii-n patru” astfel încât să prind orice aspect nou.

Iar după ce le-am înţeles lumea lor, fiţi siguri că am şi eu cu ce “să mă dau mare”, măcar puţin, chiar “pe limba lor”. Fac asta însă doar dacă ajungem să ne împrietenim; eu le spun “cadouri”, pentru că după câte am primit de la ei, trebuie să le ofer şi eu ceva, nu-i aşa?

În acest context, al “cadourilor” am trăit experienţe de toate felurile, de la bune la eşecuri. În astfel de situaţii unii au avut reacţii cu totul speciale: un domn a venit o dată cu cartea scrisă chiar de dânsul, sigilată, spunându-mi că el nu are ceva de aşa mare valoare cum i-am dat eu lui, dar că îmi oferă în gest de apreciere cartea scrisă de dânsul; altă dată un profesor mi-a adus a doua zi o carte (tot sigilată, deci nou cumpărată), un mega curs de matematică al unui mare profesor din sistemul Waldorf. Am avut desigur şi întâmplări opuse, când prietenul respectiv cunoştea tot ce-i arătam eu (drept “cadou”); încă şi plusa cu aspecte noi; în cazul acestui prieten a trebuit să “muncesc” mult ca să-i pot da ceva necunoscut lui (ştia totul, din orice carte, aşa încât l-am putut surprinde doar cu “cadouri” descoperite de mine). Dar oricum, în astfel de cazuri totul se petrece cu o modestie civilizată, fără orice urmă de îngâmfare. Va urma! Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. (post scriptum) Dar, totuşi, că mă tot râcâie ideea: ce treabă are Iohannis cu cine-ştie ce manual din Germania???. Că doar el este profesor de fizică. Apropos, se scrie Iohannis, nu Ioanis. Dacă al doilea “n” ţine de capacitatea de atenţie şi memorare la un nivel elementar pentru orice intelectual ce se respectă (că doar nu vorbesc toţi germana), litera “h” chiar se aude la fiecare pronunţare la televizor sau radio. Mă gândesc cât de dramatică ar fi fost situaţia scrierii numelui său, dacă n-ar fi fost greşeala ofiţerului care i-a scris certificatul de naştere cu litera “i” la început, ci i-ar fi trecut numele corect, ca la taică-su, adică Johannis, deci cu “j”. L-ar fi pronunţat toţi cu “j”, chiar dacă pe germană această literă se citeşte tot un fel de “i” (aşadar, în spaţiul public numele preşedintelui se pronunţă corect; la fel s-ar fi pronunţat şi dacă se scria cu “j”). Oricum, trebuie apreciat că măcar pe d-na Clotilde Armand n-au stâlcit-o. Chiar aşa, însă, dânsa cum a ajuns în această discuţie? Ce treabă are dânsa cu manualul nemţesc? Respectiva divagaţie către zona politică este specifică unei categorii consistente de “internauţi” mioritici şi spune multe despre capacitatea lor de a se concentra pe un anumit subiect dat (mai exact incapacitatea).

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (2) – Fracţiunile

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. În prefaţa acestei cărţi există un paragraf fascinant, din care putem înţelege şi citi printre rânduri foarte multe aspecte importante. În postarea precedentă am prezentat acest paragraf pentru a putea inţelege gândurile profesorului Hollinger în integralitatea lor, aşa cum a considerat dânsul a le exprima în contextul finalului de perioadă metodico-didactică a anilor ’60 -’70.

Reiau încă o dată anumite pasaje din acel citat, lărgind însă pasajul şi completându-l cu anumite cuvinte cheie pentru a accentua anumite aspecte. Astfel, gândurile şi preocuparea dânsului erau îndreptate în special către elevul mijlociu (!) care trebuie să îşi însuşească cel puţin un minim de cunoştinţe şi să fie capabil să le aplice (…). Ideea de lucru a fost de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale (la vremea respectivă).Iată cum ne explică dânsul: Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii noi (…) Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. Pentru a da muncii elevului un ritm mai viu, am dat de cele mai multe ori şi figura, ca elevul să poată trece imediat la rezolvare; ele sînt gândite ca un fel de exerciţii orale. (…) Aceste probleme se găsesc la începutul fiecărui paragraf. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3-4).

Culegerea respectivă este una de geometrie; profesorul Hollinger se plânge că la geometrie saltul de la introducerea noilor noţiuni la aplicaţii este prea mare în comparaţie cu situaţia de la aritmetică sau algebră. Părerea mea este că în anii ’80 (deci contemporan, dar şi după culegerea respectivă) acest decalaj a fost rezolvat, dar nu în sens pozitiv, ci în sens negativ: la ora actuală nici la aritmetică, nici la algebră intrarea într-o temă nouă nu mai este de obicei accesibilă. La ora actuală toate domeniile de studiu matematic preuniversitar sunt extrem de abstracte, cu trepte de intrare mult prea înalte pentru elevul mijlociu, puse de la început – aparent – ca o piedică insurmontabilă pentru majoritatea elevilor.

Eu studiez din anii ’90 această culegere, iar pasajul respectiv îmi sună de fiecare dată proaspăt şi logic: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. Mai ales atunci când mare parte din preocupările organizatorilor învăţământului matematic – oficiali sau neoficiali – sunt îndreptate cu predilecţie către elevii de vârf şi activităţile matematice ale acestora (aşa-zisa excelenţă), mai ales atunci consider că este de datoria mea să mă străduiesc mai mult şi să vin şi mai hotărât în întâmpinarea elevului obişnuit cu lecţiile mele.

În continuarea primului aliniat din prefaţa acestei culegeri Hollinger ne spune că el s-a preocupat de fapt în a genera, a compune, a poziţiona nişte trepte suplimentare mai mici la începutul fiecărei teme (lecţie, capitol), sub forma unor exerciţii ce pot fi rezolvate oral, însoţite de figuri menite de a ajuta vizualizarea fenomenului nou de către mintea şi imaginaţia încă nepornită, neîncălzită, neexperimentată a elevului novice în acea temă de studiu. Aceşti paşi trebuie făcuţi la începutul fiecărei teme noi, pentru a asigura, a garanta accesibilitatea acesteia pentru toţi elevii (la începutul fiecărui capitol, dar şi oriunde apare ceva cu adevărat nou). Dânsul a făcut acestea la geometrie, pentru că în anii ’60 -’70 acolo a simţit nevoia de aşa ceva. Actualmente această nevoie este la fel de prezentă şi la algebra gimnazială, chiar şi la primele lecţii de aritmetică din clasa a 5-a.

*

În prima postare pe această temă am vorbit despre introducerea unei trepte suplimentare pregătitoare în sensul efectuării împărţirii în cap, necesară apoi la descompunerea numerelor în factori primi. Încheiam această primă postare cu ideea că mai am şi alte exemple. Aş dori să vă prezint în acest sens gestul de inserare a noţiunii de fracţiune înaintea studiului despre fracţii ordinare, aşa cum îl înţeleg eu acum, după câţiva ani de preocupare în acest sens.

Elevii fac cunoştinţă cu fracţiile (cele ordinare) în timpul petrecut cu d-na învăţătoare. La reluarea acestora în clasa a 5-a este oricum binevenită o recapitulare. Nici nu iau în discuţie posibilitatea ca învăţătoarea unui elev să nu fi lucrat foarte bine fracţiile pentru că nu se pricepe (acest subiect oricum nu mă priveşte în mod direct). La fel, nu iau în discuţie situaţii de tipul că în clasa a 4-a au fost în anul trecut cazuri de predare online exact la fracţii, iar copilul pur şi simplu n-a prins ideea. Aş porni însă discuţia de la faptul că poate avem o clasă cu copii provenind de la mai multe învăţătoare, iar aceştia ar trebui aduşi la un acelaşî nivel de cunoştinţe de bază. Totodată pot să iau in calcul şi ideea unui copil care s-a mai maturizat între timp şi, poate acum, la o a doua trecere, cu răbdare, dar şi cu mai mult profesionalism matematic, elevul reuşeşte să le înţeleagă mai bine. Da, şi neapărat trebuie pornită discuţia de la faptul că vorbim despre majoritatea elevilor, nu despre vârfuri, adică despre “elevul mijlociu”, cum spunea Hollinger

Traduc această afirmaţie: cu alte cuvinte, este de datoria mea să-i luminez pe majoritatea elevilor (blocul principal din Clopitul lui Gauss), să-i fac să plece acasă cu lucrurile înţelese; nici nu vreau să evoc acele – din păcate mu-u-u-ulte – cazuri când lectia este atât de abstract predată, încât elevul are nevoie acasă de o nouă predare, de explicaţii individuale care să-l scoată “din ceaţă”. Dacă se mai pricepe un părinte, încă treaba mai merge cumva; din păcate,  în ultimă instanţă de fapt este nevoie tot mai des de ore particulare pentru a putea duce matematica de la clasă (asta întâmplându-se tot mai des chiar din clasa a 5-a). Apropos: apogeul acestui fenomen deplorabil se atinge atunci când apare la o şcoală particulară unde părinţii plătesc oricum bani grei, iar apoi toţi elevii au nevoie de ore private pentru a face faţă matematicii de la şcoală! (A se înţelege ad-literam! Şi da, avem la Cluj şi aşa ceva! Desigur că şi copiii sunt tot mai sensibili, dar acesta este alt subiect, la care îmi propun să vin cât de repede)

Predarea fracţiilor ordinare trebuie să pornească neapărat de la multe exemple de vizualizare a diferitelor cantităţi reprezentate prin fracţii. Cele mai bune par a fi cele în formă de cerc (măr, lipie, pizza etc.), dar este bine ca elevii să primească şi alte exemple: ca pătrat (ce merge împărţit clar în 2, 4, 8 părţi egale), ca dreptunghi (similar cu pătratul), ca dreptunghi similar cu o pâine dreptunghiulară feliată, eventual chiar ca dreptunghi împărţit şi pe lungime şi pe lăţime (ducând spre ideea de arie a dreptunghiului; de exemplu un dreptunghi de 2 pe 5 pătrăţele pentru zecimi). La fiecare dintre acestea vom colora o parte dintre bucăţele, evidenţiind astfel o fracţie dintr-un întreg. Toate noţiunile iniţale (fracţii subunitare, supraunitare, echivalente, compararea lor etc.) pot fi apoi deduse, explicate, justificate şi înţelese prin reprezentarea în imagini ce se desenează foarte uşor. Toate regulile se deduc în urma unei analize iniţiale pe unul-două exemple desenate, vizualizate, reprezentate grafic aşadar.

Un exemplu deosebit de bun în acest sens (nu vreau să spun că singurul) îl reprezintă Manualul pentru clasa a V-a de Matematică din 2002 (?) de la Editura Sigma, cu o echipă de autori condusă probabil de D-na Mihaela Singer. Întreaga parte despre fracţii ordinare este înţesată de reprezentări grafice ale fracţiilor alese ca exemple, evidenţiindu-se astfel vizual fenomenele studiate în fiecare moment (nu cunosc situaţia actuală a implicării acestei edituri la nivelul clasei a 5-a, aşa încât mă opresc aici cu acest comentariu).

Cam acesta ar fi nivelul la care s-ar putea gândi profesorul de matematică în sensul strădaniei de a explica lecţia de matematică în mod cât mai accesibil şi clar elevilor, de a veni cu nivelul începutului lecţiei cât mai jos spre nivelul real al multor elevi, pentru a avea garanţia că îi ia pe cât mai mulţi în noua temă. Faţă de acest nivel de strădanie, “zeii matematicii” mi-au îndrumat gândurile şi ideile spre un pas suplimentar, pe care cu timpul am ajuns să-l înţeleg ca fiind de făcut înaintea lecţiei de introducere a fracţiilor ordinare. Încerc să detaliez situaţia cunoscută de către toată lumea, pentru a prezenta apoi pasul despre care doresc să vă vorbesc.

Oricum ai aborda noţiunea de fracţie, trebuie de fapt să le aduci elevilor în conştienţă clară rolul celor două numere implicate de obicei în scrierea unei fracţii – numitorul şi numărătorul – pentru ca aceştia să înţeleagă ce face fiecare din cele două numere (nici nu amintesc aici încă despre al treilea număr, anume despre scoaterea întregilor din fracţie). Fie că le dă exemple, fie că le dă o definiţie seacă pe bază de litere, profesorul ar trebui să le explice ce face fiecare dintre ele. Din păcate tot mai des întâlnesc situaţii în care se pare că nici măcar atât nu se străduiesc unii colegi.

Ca o divagaţie înalt filozofică despre didactica introducerii noilor numere, observ aici din păcate că modelul impus la introducerea / predarea numerelor complexe, în programa din manualele de liceu apărute la sfârşitul anilor ’70, spre deosebire de forma precedentă, acest model s-a generalizat în mod bolnav până la nivelul clasei a 5-a. Să detaliez puţin: cum era modelul precedent, valabil până în 1978? Numerele complexe se construiau de la notarea rădăcinii pătrate din numărul –1, notată pentru comoditate cu “i” (de unde i2 = –1), din care apoi se deduceau toate proprietăţile acestuia (puterile lui i) şî toate proprietăţile de operare cu numerele complexe z = a + bi (în principal adunarea şî înmulţirea etc.). Prin manualele din 1978 numerele numerele complexe se introduc axiomatic, sub forma stupidă a unor perechi ordonate ale căror operaţii respectă renumitele proprietăţi pentru sumă şi produs, proprietăţi ce apar în faţa elevului în mod total artificial, fără nici cea mai mică logică pentru mintea elevului. În mod similar, după 40 de ani, la ora actuală există deja profesori care nici nu se mai gândesc să le explice elevilor de a 5-a în mod clar ce face numitorul şi ce face numărătorul (scuze că nu intru în explicarea acestor afirmaţii; am făcut-o cu alte ocazii).

Da, există profesori care le spun cum se numesc, iar apoi trec direct la lecţii noi, fără a se gândi că elevii trebuie să şi înţeleagă despre ce este vorba. Cred că totuşi majoritatea au impulsul de a le explica, doar că o fac numai oral, pe fugă, iar din aceste explicaţii nu rămâne nimic scris, nu apare nimic în lecţia din caiet, aceste explicaţii pierzându-se în general datorită nivelului slab de atenţie al elevilor, datorită faptului că unii vin la ora de matematică doar ca să copieze de pe tablă, mulţi fiind rămaşi în urmă în momentul respectiv, cu scrisul de pe tablă al titlului, cu ascuţitul creionului etc.

Părerea mea este că lecţiile de matematică ar trebui să conţină componente clare în sensul înţelegerii şi conştientizării de către elev a rolului fiecărui număr din componenţa unei fracţii. Primul pas în înţelegerea fenomenului de fracţie este conştientizarea de către profesor a ordinii logice a apariţiei celor două numere în procesul de naştere a unei fracţii. Deci, care din cele două numere apare primul? Este evident că numitorul, acesta reprezentând numărul părţilor egale în care se împarte întregul. De-abia apoi apare numărătorul, acesta spunându-ne câte astfel de părţi vor fi luate pentru a forma fracţia respectivă. Din păcate însă, chiar scrierea şi citirea fracţiilor este pe dos: se spune mai întâi câte părticele sunt şi doar apoi ce fel de părticele sunt (două treimi; trei cincimi; cinci pătrimi etc., aşa fiind structurată exprimarea în limbile uzuale). Or, pentru a evita o învăţare automată, pentru a genera o înţelegere clară şi o gândire sănătoasă, noi trebuie să ne străduim ca elevii să înteleagă cu adevărat “mesajul”, rolul fiecăruia din cele două numere componente ale unei fracţii.

Strădania de a reprezenta grafic cât mai multe fracţii la început este cu totul în acest sens. Dimpotrivă, este evident că un profesor care minimalizează rolul acestei etape, uneori până al neparcurgerea ei, îi împinge pe elevi spre neînţelegerea matematicii.

Cele spuse aici despre “ordinea” logică în care apar cele două numere – mai întâi numitorul şi doar apoi numărătorul -, această ordine se regăseşte chiar şi în ordinea apariţiei şi dezvoltării noţiunii de fracţie de-a lungul istoriei (cel puţin a istoriei matematicii, aşa cum este aceasta cunoscută din izvoarele existente).

Primul care a apărut este numitorul; mai exact primele apărute în acest sens sunt fracţiunile: jumătatea, treimea, sfertul, cincimea etc. Nu câte cincimi, ci doar noţiunea de cincime (fracţiile de tipul 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc., care mai sunt numite în mod prea-preţios fracţii alicote). Acestea au fost găsite pentru prima dată în papirusul Rhind, aflat în custodia British Museum la Londra.

Într-un proces de câţiva ani, în mintea mea s-a generat ideea introducerii fracţiunilor ca primă lecţie a acestui capitol. Introducând pentru început doar fracţiunile (1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc.) şi folosindu-le timp de cel puţin o oră, elevul are timp să se obişnuiască cu rolul numitorului, care este cel mai abstract dintre cele două numere (un 3 la numărător chiar reprezintă faptul că sunt 3 bucăţi, pe când un 3 la numitor îmi spune că este vorba despre treimi, cu implicaţii ciudate pe viitor: de pildă treimea este mai mare decât cincimea, deşi 3-ul este mai mic decât 5-ul).

Pentru a face cu adevărat acest pas, profesorul trebuie să evite simpla explicaţie; la aceasta vor reacţiona doar elevii cu o gândire mai raţională. Majoritatea elevilor vor înţelege însă doar dacă vor şi face cu adevărat paşi de fracţionalizare a unui întreg, iar asta se poate face concret doar prin desenele despre care am vorbit la început (acestea având şi avantajul că rămân în caiet, fiind vizualizabile şi ulterior). Mulţi colegi profesori vor vedea un astfel de demers ca pierdere de vreme, dar eu consider că este un timp investit cu rost în înţelegerea fenomenului de către majoritatea elevilor, iar cu timpul acesta se va transforma în timp câştigat pentru gândirea copiilor.

Odată introduse noile noţiuni, cunoscute de fapt parţial din clasa a 4-a (treimea, sfertul, şesimea, şeptimea, optimea, zecimea etc.), ar fi bine să facem ceva cu acestea, dar încă nu în sensul fracţiilor, adică al multiplicării fracţiunilor. Vorbeam de “zeii matematicii” şi iată ce soluţie am găsit eu în acest sens. În reportajul  The Story of Maths realizat şi prezentat de către profesorul Marcus du Sautoy de la Universitatea din Oxford şi produs de canalul BBC FOUR, acesta ne prezintă cum ar fi efectuat vechii egipteni împărţirea a 9 lipii la 10 oameni. Este un procedeu inedit pentru noi, care ne arată cum funcţiona gândirea vechilor egipteni în sensul fracţionalităţii (cel puţin încearcă acest lucru). Un al doilea punct de inspiraţie l-au reprezentat articolele profesorului Ernst Bindel din anii ’60 (autor cunoscut în matematica şcolilor Waldorf), dar am găsit referiri despre acestea şi la Florica T. Câmpan.

Merită să zăbovesc puţin la această problemă – împărţirea a 9 lipii la 10 oameni – , mai ales că eu fac la ora respectivă un adevărat spectacol. Concret, pentru a vizualiza cât mai clar fracţiunile şi felul în care acestea compun soluţia problemei, eu mă duc la ora de matematică dotat cu toate cele necesare: un pachet cu suficiente lipii, un ştergar, două funduri de lemn mari şi foarfeca din bucătărie. După ce am desenat la începutul orei fracţiunile (eu pe tablă şi elevii în caiete), facem un moment organizatoric. Îmi aranjez o bancă central în faţa clasei, astfel încât elevii să poată veni în semicerc în jurul meu, pe cel mult două rânduri, aşa încât să vadă fiecare de aproape ce voi face în continuare.

După ce îmi aranjez cele necesare încep: cum ar fi făcut vechii egipteni? Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Aici încep să tai lipii în jumătăţi cu foarfeca. Câte lipii trebuie să tai? întreb eu în timp ce tai, iar răspunsul vine imediat: cinci lipii. Aşa, deci acum am aici un teanc cu zece jumătăţi de lipie. Ce fac în continuare?Păi iau următoarele fracţiuni la rând, adică treimile … Mă opresc aici cu redarea dialogului, mizând pe faptul că vă veţi putea închipui şi dvs. restul pe baza pozelor tablei. După ce rezolv problema fizic, pe masă, tăind fracţiuni de lipie, elevii merg la locuri şi reluăm tot procesul în scris, eu pe tablă iar elevii în caiete.

Accentuez aici faptul că fac acest proces de două ori: o dată fizic, tăind lipii în faţa elevilor, iar a doua oară desenând cele întâmplate pe tablă. Astfel am convingerea că am făcut tot ce se putea omeneşte posibil şi într-un mod cât mai interesant, astfel încât elevii să înţeleagă şi să li se fixeze care este rostul numitorului, ce anume face acesta (numărătorul urmând să apară ulterior, adică cel mai devreme ora următoare, deci într-o altă zi).

Spre deosebire de alţi ani, iarna asta am avut o întâmplare inedită. La începutul dialogului evocat, la prima întrebare, până acum eu întrebam: cum ar fi făcut vechii egipteni? şi tot eu trebuia să şi răspund: Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Anul acesta însă, m-am trezit cu răspunsul potrivit de la un prichindel. Este vorba de un băieţel din părinţi sirieni. Am rămas mască: el nu ştia problema, dar cumva creierul său a funcţionat exact aşa cum îmi povestise Marcus du Sautoy că ar fi făcut vechii egipteni. Fabulos!

În imaginile cu tablă ataşate găsiţi lecţia despre fracţiuni, aşa cum am făcut-o eu anul acesta la una din clase. În acea oră am reprezentat pe lângă fracţiuni şi câteva fracţii (la clasa paralelă le-am prezentat cu totul separat).


Ataşez în continuare şi lecţia a doua (de la clasa paralelă, unde fracţiile au apărut doar în următoarea oră) pe baza căreia se vede cum am realizat transferul reprezentării grafice a fracţiilor, astfel încât fiecare elev să înţeleagă cu adevărat noţiunea de fracţie, ce anume reprezintă fiecare dintre cele două numere ce formează o fracţie. Se vede cum eu dau explicaţia teoretică în mod rezumativ, la finalul lecţiei, nu la început, aşa cum se obişnuieşte actualmente (copilul cunoaşte fracţiile intuitiv, iar apoi sintetizăm noţiunea).


Pentru cei care doriţi să aprofundaţi noţiunea de fracţii alicote (se pare că aşa s-ar numi ele oficial, deşi eu le-am spus fracţiuni, căutând o denumire mai accesibilă elevilor), ataşez şi un articol la care am lucrat intens prin 2013-2014, dar încă nepublicat. Nu pot susţine că actualmente mai sunt într-u totul de acord cu toate elementele din acel eseu, dar pentru eficienţa faţă de curiozitatea unora dintre dvs. merită să îl prezint chiar şi aşa cum a rămas în calculatorul meu, în varianta scurtă a muncii întreprinsă în acei ani (cu scuzele de rigoare am şi o amintire vagă că ar exista o greşeală la unul din exemple). Sunt sigur că cei care se vor entuziasma de subiect, vor putea găsi şi alte aspecte necuprinse în acest eseu. CTG

Fractiile-la-egipteni-VAR.SCURTA.pdf

Teorema lui Pitagora – despre demonstrarea acesteia pe edupedu.ro

Dragi cititori si iubitori de pentagonia.ro, azi este o zi mare: au început şi alţii să atragă atenţia asupra unuia dintre marile baiuri din predarea matematicii în şcolile româneşti. Dacă încă nu l-aţi citit, făceţi-vă măcar acum timp pentru următorul articol: https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/

Eu m-am preocupat în câteva rânduri de acest subiect, de pildă în seria din primăvara lui 2019 (iată direct adresele: http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , apoi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/ şi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/  în final). După multele strădanii în acest sens, în urma cărora aveam uneori impresia că vorbesc de unul singur, acum pot doar să le mulţumesc colegilor de la edupedu.ro. Apropos, elevii care mi-au arătat prima dată filmuleţul acela de pe youtube când erau în clasa a 7-a, acum sunt în anul doi de facultate. Da, copiii sunt uneori mai treji decât noi, profesorii. Titus pitagoreanul

P.S. Nu vă amăgiţi, acesta nu este nici pe departe singurul bai mare în predarea românească. De pildă în continuare mulţi profesori nu folosesc teorema lui Pitagora în semestrul I din clasa a 7-a, deşi ea este acum cunoscută de către elevi, pentru că “pe creierele” acestor colegi respectiva teoremă apare doar în semestrul al II-lea. Dar dacă tot s-a ivit ocazia vă mai spun unul: azi (!) am vizitat expoziţia despre geniul lui Leonardo da Vinci de la Casa de cultură a studenţilor din Cluj. Într-una din fişele expuse cu imagini din notiţele acestuia ce văd eu? Două-trei desene cu Cercul lui Thales, acea primă teoremă de geometrie dată de un om, aia care spune că un triunghi înscris într-un semicerc este automat dreptunghic, şi care din programa şi din manualele noastre lipseşte de zeci de ani, dar care începe să primească tot mai des aplicaţii în culegerile pregătitoare pentru examenul de EN8 (bănuiesc că privită ca reciprocă a medianei pe ipotenuză, sau ca un caz particular la unghiul înscris în cerc).

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (1) – Împărţirea în cap

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. Manualele sale se pierd în negura timpului (avem unul chiar şi din perioada interbelică). A fost un metodist de excepţie, fiind acceptat ca autor şi în perioada comunismului sovietic. Pentru foarte mulţi Hollinger contează ca autor al manualelor de geometrie pentru clasele gimnaziale în anii ’60-’70. În 1981 manualele sale erau înlocuite cu unele pe o linie nouă, adaptată noilor “vremuri şi cerinţe”. Cumva însă a fost lăsat să mai “scrie” o culegere de probleme de geometrie, oarecum “testamentul său matematic”. Citez din prefaţa acestei cărţi:

Dacă la aritmetică şi algebră elevul mijlociu (!) îşi însuşeşte cel puţin un minim de cunoştinţe şi este capabil să le aplice, sînt foarte mulţi elevi care nu se aleg aproape cu nimic din tot ce li se predă la geometrie. Este adevărat că există o deosebire esenţială între formele de activitate care se cer elevilor la aceste două părţi ale matematicii: la prima predomină aspectul algoritmic, iar la a două raţionamentul. Totuşi consider că această inegalitate a rezultatelor se datoreşte şi modului de predare. La aritmetică şi algebră, ca elevul să-şi însuşească un lucru oarecare, el este pus să-l repete de foarte multe ori. De exemplu, ca să înveţe regula de trei simplă, elevul este pus să rezolve multe probleme care diferă doar prin semnificaţia concretă a numerelor; ca să înveţe să ridice un binom la pătrat, nu i se dă numai formula pentru (a + b)2, ci el este pus să facă multe exerciţii ca (2x + 1)2, (3a – 2b)2 etc. La geometrie, însă, după ce i se predă o teoremă sau un grup de teoreme, se trece imediat la probleme complexe în care elevul regăseşte cu greu situaţia simplă, schematică a figurii care s-a folosit atunci cînd s-a predat teorema respectivă. Ideea despre care am spus m-a determinat să alcătuiesc aceste Exerciţii este de a folosi în predarea geometriei o metodă asemănătoare cu cea folosită în aritmetică şi algebră, şi anume de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale. Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii şi urcă în pantă lină la problemele complexe. Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3).

Am citit de multe ori acest pasaj ce m-a impresionat. Există marile probleme ale geometriei, dar pentru a putea porni primii paşi în geometrie, elevii au nevoie de nişte aşa-zise “probleme” care să le fie accesibile, simple şi totuşi să le pună mintea în mişcare. Astfel de probleme nu existau, aşa încât dânsul a început să le compună. Putem să vedem aceste probleme ca pregătitoare pentru adevăratele probleme de geometrie. Culegerile lui Grigore Gheba aveau probleme de geometrie din acelea grele, complexe; cele ale lui Hollinger erau mai “pentru începători”. Acestea se regăsesc oricum şi în manualele pentru clasele VI-VIII din anii ’60-’70. De fapt Holiinger compusese aceste probleme pentru manuale, adică pentru elevul “mijlociu” (vă sună cunoscut, apropos de corpul central al Clopotului lui Gauss?).

Cum am mai zis, am citit de multe ori acest pasaj, iar cu timpul ideea a început să lucreze în mintea mea, generând în acest sens o nouă normalitate: este normal să fii atent la evoluţia elevilor şi la nevoile lor (mai ales a elevului “mijlociu”), iar dacă observi că învăţarea merge greu, atunci este normal să inserezi exerciţii sau paşi noi de predare (desigur mai mici) pentru pregătirea lecţiilor de bază.

Ce doresc eu să vă prezint acum nu este însă rezultatul unui proces conştient de imitare a lui Hollinger, ci mai degrabă o analiză ulterioară a drumului de generare a unei noi lecţii, cu exerciţiile aferente. Fără să-mi dau seama am făcut acelaşi lucru ca dânsul: văzând că lucrurile merg tare greu, am încercat să înteleg de ce, iar apoi am început să generez exerciţii pregătitoare (ordonate într-o lecţie, că aşa dă bine) pentru pregătirea unui pas necesar la o lecţie oficială. Despre ce este vorba?

În semestrul I din clasa a 5-a elevii învaţă să descompună numerele naturale în factori primi. Metoda folosită este cea “cu bară”, cunoscută de toată lumea şi considerată de toţi drept o banalitate. O fi aceasta o banalitate, doar că mulţi elevi (părerea mea că peste 50-70% din populaţia şcolară) nu o înţeleg din prima. Unii o mai înţeleg în perioada următoare, dar rămân oricum o parte importantă care apucă să o înţeleagă doar dacă îi ajută cineva (un membru al familiei sau un profesor angajat particular). Ultimii “mohicani” o înţeleg de-abia prin clasa a 7-a când se dumiresc, odată cu scoaterea factorilor de sub radical. Dar, de ce este atât de grea descompunerea pentru mulţi elevi? Simplu: aceasta se bazează pe împărţirea ce se cere automat făcută în cap (la numere mici, cele prime, cum ar fi 2, 3, 5, cel mult la 7 sau 11). Până în acel moment însă, nimeni nu le-a cerut elevilor să înveţe şi să-şi exerseze împărţirea în cap. Toţi ştiu să facă împărţiri scrise (chiar la numere mai mari), dar acum trebuie să le facă în cap şi asta repede (că n-avem timp de pierdut, să tot exersăm!). Bănuiesc că unii profesori nici măcar în timp ce-i învaţă descompunerea nu le atrag atenţia că ei, elevii, trebuie acolo să facă mai multe împărţiri în cap, toate într-o succesiune în cascadă la o singură descompunere.

Eu sigur nu am pretenţia să fiu atât de deştept încât să-mi fi dat seama că aici este nevoie de inserarea unui pas intermediar, dar “zeii matematicii” m-au ajutat şi mi-au trimis o sursă de inspiraţie: în urmă cu cca. 15 ani m-am ocupat o vreme cu un băieţel de a 6-a a cărui familie se mutase de la Vienna. La un moment dat am observat la acesta un mod ciudat de a face împărţirile; mi-a spus că aşa le învăţase în clasa a 5-a în Austria. Le-am reluat, le-am înţeles şi am văzut că acestea erau o modalitate de împărţire într-o formă intermediară între algoritmul complet şi împărţirea integral în cap.

Am început să le-o arăt elevilor ocazional, iar cu timpul s-a cristalizat o lecţie. Pentru ca descompunerea numerelor să meargă “şnur” era bine să inserez înainte, de pildă în perioada de recapitulare de la începutul clasei a 5-a, această nouă metodă, cât şi ulterior cerinţa de a ajunge să facem împărţiri în cap.

Este evident că toţi elevii ce parcurg exerciţiile din acest pas intermediar pot apoi să treacă uşor la împărţirile în cap. Iar, ulterior, când vine descompunerea numerelor în factori, toţi elevii care au învăţat împărţirile în cap, toţi aceştia vor înţelege din prima şi descompunerea. Este atât de simplu!

Concret, am generat o lecţie (ce se poate întinde lejer pe 2 ore), compusă din trei părţi. Partea întâi reprezintă o recapitulare simplă a algoritmului de impărţire scrisă. Fac aici o mică “paranteză”: pentru exersarea şi fixarea rapidă de către cât mai mulţi elevi a algoritmului împărţirii, eu consider că elevii trebuie să primească să exerseze situaţii cu deîmpărţit mai lung (pentru repetarea “algoritmică”), dar cu împărţitor relativ mic. Anume, pentru împărţitori trebuie alese numere cât mai mari, dar cu “tabla înmulţirii” accesibilă (cu şirul de multiplii lesne), cum ar fi de o cifră mai mare (7, 8, 9) sau de două cifre (11, 12, 15, 20; 25), eventual asimilabile cu acestea (tabla înmulţirii cu 24 are elementele puţin mai mici decât cea cu 25). Ar mai merge eventual împărţiri la 111 (dar nu ştiu care este câştigul); obiectivul nostru este ca elevii să ajungă să poată împărţi în cap la 2, 3, 5, cel mult 7 sau 11.

Partea a doua aduce împărţirea din Austria, pe care o denumesc la clasă “cu proba în cap” (aici denumesc totodată şi partea întâi ca împărţire “cu proba scrisă”). Apoi vine partea a treia, denumită simplu “împărţirea în cap”. Poza de mai sus (pe o tablă foarte curată) conţine pe scurt doar paşii noi pentru dvs. Mai am un set de poze, cu toţi cei trei paşi, dar pe o tablă execrabilă. Pentru înţelegere de ansamblu mai bună merită însă să le prezint şi pe acestea.


Pentru cei doritori de mai mult, lecţia poate primi şi o prelungire, anume înmulţirea în cap cu numerele 5; 2 sau 25 (care de fapt reprezintă o aplicaţie a împărţirii în cap la 2; 5 respectiv 4, cu ataşarea în final a unui zero, sau a doi de zero). Şmecheriile întotdeauna le plac elevilor şi îi atrag.

Pentru cei doritori ataşez în final şi fişa de lucru aferentă acestei lecţii. Este facută astfel încât să o imprimaţi pe ambele feţe, apoi să o tăiaţi în două, iar elevii să primească o fişă faţă-verso în format A5 (făcând astfel economie la hârtie). CTG

Fișă-Împărțiri-în-cap-1.pdf

P.S. Putem considera cele de mai sus ca un prim exemplu. În contextul celor spuse de prof. Hollinger, cu timpul am mai generat paşi pregătitori şi la alte lecţii, cum ar fi de pildă fractiunile ca pregătire a studiului fracţiilor ordinare, dar despre asta cu o altă ocazie.

Cea mai lungă pauză

Cu o lună în urmă eram entuziasmat de bancul cu pitonul. Mă pregăteam pentru al treilea curs pentru profesorii de matematică din şcolile Waldorf, ce urma a se desfăşura în zilele de 24-25-26 februarie 2022. Eram bucuros de acea postare şi mă gândeam că următoarea va fi peste două săptămâni, imediat după curs, printr-un scurt raport la cele discutate.

Miercuri seara ne-am întâlnit cu colegii la o scurtă conectare pe Meet, pentru ca a doua zi să nu avem surprize la orele de asistenţă de la 8:00. Da, şi cum ştiţi, a doua zi toţi am aflat de brusca trezire din hibernare a marelui urs. Nimeni nu credea cu adevărat că se va întâmpla aşa ceva, dar – după decenii întregi – marele urs s-a trezit brusc, şocând o planetă întreagă. Cu greu v-aş putea explica cum m-am putut concentra ca să-mi ţin cursul. Însă, după curs, nici vorbă să mă pot apuca de scris. Pur şi simplu n-am mai putut scrie. Simţeam că problemele prezentate pe pentagonia.ro nu mai au nici cea mai mică relevanţă şi rost pe lângă suferinţa ce se declanşase în jurul nostru.

Peste două săptămâni, miercuri pe 9 martie, panica a lovit din nou, de data asta sub forma isteriei scumpirii benzinei. Nu puteam crede că se va întâmpla scumpirea de care se vorbea (de la 7 la 12 lei). Raţiunea şi datele acumulate până în acel moment nu mă lăsau să cred aşa ceva. Aşa că am venit acasă liniştit. Ce-i drept aveam şi un avantaj: îmi lipsea din rezervor mai puţin de un sfert. Iar când ministrul energiei a început să iasă pe ecrane şi la microfoane pentru calmarea isteriei, am sunat-o pe mama mea şi i-am mulţumit că m-au învăţat să gândesc.

Da, cam aşa am ajuns la cea mai lungă pauză între două postări de când am pornit acest blog. Dacă reuşim mâine să postăm, vom avea exact o lună de la ultima postare, cea cu pitonul. Încerc să-mi revin şi să încep din nou să scriu, convins fiind că numai aşa pot contribui la creşterea gândirii raţional-empatice în această lume nebună. CTG

La mulţi ani de ziua lui π


Desenul face referire la faptul că unul dintre cuvintele în engleză pentru flautist, fluierar, începe cu silaba pi, cât şi la vechea poveste culeasă de Fraţii Grimm, pe care o ştiu din copilărie (eu am ascultat-o atunci în germană şi am resimţit-o ca brutală), cu flautistul care a scăpat un oraş întreg de şobolani, dar apoi şi de toţi copiii.

Apropos: în acest an ne-am trezit că 14 martie ar fi şi ziua mâncatului de plăcinte. Oare, asta are legătură cu faptul că în şcolile americane se mănincă plăcinte de ziua lui π, plăcintele americane fiind în acest sens rotunde. Mie îmi miroase a plagiat, chestia asta cu ziua mâncatului de plăcinte suprapusă tocmai peste ziua lui π; sau poate este doar o greşeală de traducere/ intrpretare cu scoatere din context (cuvântul englezesc pentru plăcintă sună aproape identic cu pronunţia literei π, aşa încât de ziua lui π, după activităţile specifice elevii servesc împreună cu profesorii o plăcintă, neapărat rotundă, care poate ajunge chiar şi la înălţimea unui tort). Atunci când nevastă-mea organiza ziua lui π la Liceul Eugen Pora din Cluj, în pauză elevii serveau piscuiţi, care erau nişte simpli biscuiţi, dar neapărat rotunzi. Oricum, iată şi plăcinta făcută de nevastă-mea şi ornată de fiică-mea (jur că n-am nici cel mai mic amestec în iniţiativa cu pricina).

Calendar dodecaedru 2022

Pentru cei doritori dintre dvs. de a confecţiona cu elevii la clasă un calendar dodecaedric, iată adresa de unde mi-am descărcat şi eu. Alegeţi varianta care vă convine. Ar fi bine să-l imprimaţi pe hârtie ceva mai groasă (cel puţin 120 g/mp, dar la 160-180 stă cel mai bine). Dacă-l imprimaţi pe hârtie colorată, elevii îl vor avea gata colorat; dacă îl imprimaţi pe hârtie albă, atunci îl pot personaliza prin colorare înainte de a-l asambla. Iată adresa:  https://folk.uib.no/nmioa/kalender/