Repetarea calendarului (2)

├Äntr-un an scurt, cu 365 zile, sunt 52 de s─âpt─âm├óni ┼či ├«nc─â o zi (365┬á:┬á7┬á=┬á52┬árest┬á1). Dac─â ne g├óndim, de pild─â la data de 1 ianuarie care poate s─â fie ├«ntr-una din cele ┼čapte zile ale s─âpt─âm├ónii, observ─âm c─â exist─â exact ┼čapte variante de calendar scurt. Astfel, datorit─â faptului c─â avem o zi ├«n plus fa┼ú─â de cele 52 de s─âpt─âm├óni exacte, ├«ntr-o succesiune de 2-3 ani scur┼úi ziua de 1 ianuarie va evolua ├«n 2-3 zile ale s─âpt─âm├ónii succesive.

Dac─â am avea numai ani scur┼úi de 365 zile, atunci am avea doar ┼čapte forme de calendar care s-ar rula la r├ónd, dup─â care ar lua-o de la cap─ât, astfel ├«nc├ót prima zi din an s-ar plimba la r├ónd prin zilele s─âpt─âm├ónii (L, Ma, Mi, J, V, S, D).

├Äntr-un an bisect, pe l├óng─â cele 52 de s─âpt─âm├óni ├«ntregi mai r─âm├ón 2 zile rest. Astfel, deducem ┼či ├«n acest caz dou─â concluzii: 1) exist─â exact ┼čapte calendare posibile de ani bisec┼úi; 2) dac─â am avea doi ani bisec┼úi ├«n ani succesivi, atunci o zi din calendar, de pild─â 1 ianuarie, s-ar muta ├«n s─âpt─âm├ón─â peste dou─â zile.

Dac─â am avea dimpotriv─â numai ani bisec┼úi de 366 zile, atunci am avea iar─â┼či doar ┼čapte forme de calendar care s-ar rula la r├ónd, dar ├«n acest caz prima zi din an s-ar plimba la prin zilele s─âpt─âm├ónii s─ârind peste c├óte una (L, Mi, V, D, Ma, J, S).

├Än realitate,dup─â cum se ┼čtie, pe un interval lung de timp avem c├óte trei ani scur┼úi intercalati cu unul bisect. ├Än concluzie, prima zi din an se plimb─â prin schema s─âpt─âm├ónii dup─â un model de tipul (L, Ma, Mi, V, S, D, Ma, Mi, J, S etc.), caracterizabil ca num─âr de pa┼či ┼či prin modelul de periodicitate (1, 1, 1, 2).

Astfel, concluzion─âm c─â exist─â ┼čapte calendare posibile de ani scur┼úi (cu 365 zile) ┼či ┼čapte calendare de ani bisec┼úi (cu 366 zile), ani ce trebuie s─â umple un interval de periodicitate de 28 de ani, despre care am amintit ├«n prima parte a acestui eseu. ├Äntrebarea este: cum se umple un interval de 28 de ani cu doar 7┬á+┬á7┬á=┬á14 modele de calendar? Pentru a u┼čura munca eu am notat cele 14 variante de calendar astfel: a, b, c, d, e, f, g ┬ápentru cei ┼čapte ani simpli (de 365 zile) posibili, respectiv A, B, C, D, E, F, G pentru cei ┼čapte ani bisec┼úi posibili, nota┼úi ├«n ordinea ├«n care acestea s-ar succede dac─â ar fi doar calendare simple, respectiv doar calendare bisecte. Astfel, calendarele a ┼či A ├«ncep lunea, calendarul b ├«ncepe mar┼úi, dar calendarul B ├«ncepe miercuri; calendarul c ├«ncepe miercuri, dar calendarul C ├«ncepe vineri etc.

Singurul lucru ce mai r─âm├óne de f─âcut este de a aranja ├«ntr-o succesiune de 28 de ani cele 14 modele de calendar, urm├ónd ca la al 29-lea an s─â constat─âm repetarea primului calendar ( piece of cake, cum zice englezuÔÇÖ). Dac─â nu v-am ame┼úit de tot ┼či a┼úi reu┼čit s─â ├«n┼úelegeti ce am vrut s─â spun, atunci v─â doresc spor la lucru ┼či succes ├«n g─âsirea rezolv─ârii. Dac─â ├«ns─â nu v─â descurca┼úi, v─â rog s─â nu dispera┼úi; peste dou─â s─âpt─âm├óni revin cu rezolvarea complet─â, a┼ča cum am g─âsit-o eu.

C.Titus Grigorovici

 

Pi-day?

Anul acesta nu a prea fost timp prin ┼čcoli de s─ârb─âtorit ziua lui pi, pentru c─â toat─â lumea era ocupat─â cu simul─âri (cum ar fi dac─â ministerul ar planifica ni┼čte activit─â┼úi din acestea obligatorii pentru toat─â lumea de ziua lui Eminescu, atunci c├ónd to┼úi colegii de Rom├ón─â fac activit─â┼úi speciale?).

Totu┼či, noi i-am c├óntat num─ârului pi ├«n 14 martie la ora opt Happy birthday to pi! Apoi le-am propus problemu┼úa cu mutatul unui chibrit (vezi postarea de anul trecut). Amintesc c─â noi am ├«nv─â┼úat anul acesta despre lungimea ┼či aria cercului ├«n semestrul I, a┼ča c─â elevii aveau deja o rela┼úie bun─â cu acest num─âr. V─â ofer momentul respectiv prin poza tablei dup─â acel moment (problema este ├«n partea dreapt─â, propunerile lor dedesupt, iar rezolvarea ├«n st├ónga). Pentru cei care nu cunosc, precizez c─â aproximarea 22/7 ├«i apar┼úine lui Arhimede ┼či a fost aproximarea practic─â dominant─â p─ân─â la apari┼úia frac┼úiilor zecimale.

Pi-fesorul de mate

În memoriam Solomon Marcus

La un an de la plecarea nea┼čteptat─â a academicianului Solomon Marcus dintre noi, postul na┼úional de televiziune a difuzat ├«n 7 martie pe canalul TVR3 ├«nregistrarea emisiunii Garantat 100% din 2008, ├«n care C─ât─âlin ┼×tef─ânescu l-a avut ca invitat pe cunoscutul matematician. Anumite p─âr┼úi din emisiune cap─ât─â valen┼úe surprinz─âtoare prin prisma evenimentelor despre matematica ┼čcolar─â din ultimii ani. ├Än grab─â am apucat s─â notez c├óteva citate, pe care doresc s─â le reiau ┼či s─â le comentez.

Singura educa┼úie eficient─â este aceea care se prevaleaz─â de joc, nu numai la copii, ci ┼či la adul┼úi. Pentru cei care n-au citit partea 3-a a eseului despre predarea numerelor prime, postat─â la sf├ór┼čitul lui ianuarie, v─â recomand s─â citi┼úi ├«n acest sens pledoaria mea ├«n favoarea includerii unor secven┼úe de joc ├«n procesul de predare (http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ).

├Änv─â┼ú─âtura trebuie ├«nso┼úit─â de o stare de pl─âcere; aici ┼čcoala noastr─â e┼čueaz─â. ┼×i despre aceast─â stare de bucurie, de pl─âcere am scris ├«n nenum─ârate r├ónduri, ├«ncerc├ónd s─â combat atitudinea prezent─â la mul┼úi profesori, de tipul ÔÇťmatematica este o treab─â serioas─â; chinuiala este un lucru obi┼čnuit ├«n matematic─âÔÇŁ.

Matematica ┼čcolar─â a pierdut nara┼úiunea. Legat de aceasta, regretatul Solomon Marcus amintea un manual de trigonometrie al lui Traian Lalescu, ├«n care varia┼úia func┼úiei sinus era prezentat─â narativ ca o adev─ârat─â poveste. Reamintesc ├«n acest sens citatul din Algebra lui Euler despre despre numerele prime ┼či descompunerea celorlalte numere ├«n factori primi. C├ót de frumos era prezentat─â narativ teoria la Euler! (de g─âsit tot ├«n articolul mai sus men┼úionat)

Iat─â ├«n final ┼či un citat redat de c─âtre Solomon Marcus din marele Einstein: At├óta vreme c├ót matematica se aplic─â ├«n realitate, ea nu este corect─â. Atunci c├ónd matematica este corect─â, ea nu se mai aplic─â ├«n realitate. Acest citat m-a uns pe suflet ├«n sensul c─â, subliniaz─â corectitudinea deciziei personale de a ├«mp─âr┼úi predarea numerelor ira┼úionale ├«n clasa a VII-a ├«n dou─â p─âr┼úi separate: ├«n semestrul I numerele ira┼úionale ├«n form─â aproximativ─â, dar folosibil─â ├«n calcule cu aplicabilitate ├«n realitatea practic─â, respectiv ├«n semestrul al II-lea numerele ira┼úionale ├«n forma lor exact─â, algebric─â, dar neaplicabil─â ├«n calcule din aplica┼úii practice (vezi prezentarea din analiza proiectului de program─â din februarie http://pentagonia.ro/analiza-proiectului-pentru-programa-de-matematica-din-gimnaziu-1-analiza-continuturilor/ ).

Titus Grigorovici

Analiza proiectului pentru programa de matematic─â din gimnaziu, (2) ÔÇô analiza metodicii

O analiz─â a proiectului de program─â de matematic─â pentru gimnaziu (ian. 2017), cu privire asupra aspectelor metodico-didactice sugerate, sau nesugerate dar necesare, ├«┼či mai are rostul (acum, ├«n martie) dec├ót ├«n sensul boem, de amorul artei, pentru c─â, la nici dou─â s─âpt─âm├óni de la ├«nchiderea aplica┼úiei pentru str├óngerea p─ârerilor profesorilor, comisia de la minister a ┼či publicat forma final─â a programei de matematic─â pentru gimnaziu.

Astfel, ├«n data de 22 feb. echipa ISE ne-a transmis mul┼úumiri pentru implicare ├«n consultare, invit├óndu-ne s─â vizit─âm aplica┼úia cu rezultatele procesului de consultare la adresa http://www.ise.ro/proiectele-de-programe-scolare-pentru-gimnaziu-in-consultarea-specialistilor-si-a-practicienilor . La adresa respectiv─â am aflat c─â mai puteam trimite propuneri p├ón─â ├«n 24 (dar oamenii mai ┼či lucreaz─â: o mic─â simulare planificat─â la a VIII-a ┼či nu mai ai timp de altceva o vreme). Tot aici am aflat printre altele c─â profesorii nu s-au prea implicat, cu excep┼úia celor din Bucure┼čti, Suceava ┼či Ia┼či. Oare de ce? Totodat─â, la aceast─â adres─â se g─âse┼čte ┼či programa ÔÇ×revizuit─âÔÇŁ, dar la care nu am g─âsit ulterior nici m─âcar o singur─â schimbare semnificativ─â (de g─âsit la http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Programa_mate_clasa_V_VIII_21_02_2017-fg.pdf ).

Totu┼či, sunt de p─ârere c─â trebuie s─â fim pozitivi ┼či s─â privim partea plin─â a paharului, anume c├ót de multe aspecte pozitive noi a adus aceast─â propunere, ┼či s─â analiz─âm totu┼či c├óteva din aspectele metodico-didactice sugerate de c─âtre autori, sau dimpotriv─â nesugerate dar necesare de a fi luate ├«n seam─â de c─âtre profesori. Astfel, multe din g├óndurile exprimate ├«n acest proiect ├«nspre schimbarea metodicii pred─ârii matematicii ├«n gimnaziu sunt at├ót de novatoare ├«n matematica ultimilor peste 30 de ani ├«n Rom├ónia, ├«nc├ót m─â simt nevoit s─â le reiau ├«n citate (prezentate ├«nclinat) ┼či s─â le comentez separat, ad─âug├ónd ┼či unele explica┼úii suplimentare.

1) Analiza sugestiilor metodologice din proiectul de program─â: ├Än procesul de predare-├«nv─â┼úare-evaluare se creeaz─â oportunit─â┼úi pentru ca elevii s─â fie condu┼či spre conexiuni ├«ntre diferite teme, ├«ntre abstract ┼či practicÔÇŽ(pag 30) Sarcinile de ├«nv─â┼úare vor fi e┼čalonate dup─â gradul lor de dificultate, ├«nsemn─ând c─â acestea trebuie s─â fie e┼čalonate ┼či dup─â gradul lor de abstractizare. De pild─â, la introducerea opera┼úiei de putere, la studiul numerelor naturale din clasa a V-a, dup─â cum am ar─âtat ├«n prima parte, e┼čalonarea trebuie s─â fie clar─â pe baza nivelului de abstractizare. Astfel, ├«n prima parte se trateaz─â opera┼úia din punct de vedere aritmetic, respect├ónd ordinea opera┼úiilor. Apoi ÔÇô sugeram la analiza con┼úinuturilor ca aceasta s─â se ├«nt├ómple peste cca. o s─âpt─âm├ón─â ÔÇô ├«n a doua parte s─â se treac─â la propriet─â┼úile opera┼úiei de putere, acestea fiind de sorginte algebric─â, ele deschiz├ónd posibilit─â┼úi evidente de ├«nc─âlcare a ordinii opera┼úiilor.

S─â analiz─âm ┼či alte astfel de exemple. ├Än propunerea comisiei apare e┼čalonat studiul geometriei, ├«ntr-o prim─â faz─â cunoa┼čterea elementelor geometrice mai ales prin intermediul construc┼úiilor cu instrumente geometrice, ├«ntr-o a doua faz─â mai accentuat prin intermediul ra┼úionamentului demonstrativ. ├Än acela┼či sens am propus la analiza con┼úinuturilor, e┼čalonarea cunoa┼čterii numerelor reale din clasa a VII-a ├«n dou─â p─âr┼úi: ├«n semestrul I o abordare din punct de vedere aritmetic prin calcularea m─ârimilor ├«n form─â practic─â aproximativ─â (3,14 pentru ¤Ç sau 1,73 pentru r─âd─âcina lui trei etc.), iar ├«n semestrul al II-lea abordarea algebric─â a numerelor ira┼úionale, cu folosirea rezultatelor exacte (practicat─â la ora actual─â).

Conform sugestiilor metodologice din acest proiect introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de con┼úinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea ├«nconjur─âtoareÔÇŽ(pag. 30). Sunt ├«ntr-u totul de acord cu aceast─â sugestie; urmez acest principiu de foarte mul┼úi ani. De exemplu, pentru necesitatea aducerii frac┼úiilor la acela┼či numitor ├«n vederea adun─ârii acestora, de 25 de ani foloseam urm─âtoarea ├«ntrebare ca pornire a procesului de g├óndire: ÔÇťc├ót face o jum─âtate de p├óine cu un sfert de p├óine?ÔÇŁ ├Äntotdeauna primeam r─âspunsul ÔÇťtrei sferturi de p├óineÔÇŁ, din care apoi deduceam lec┼úia. ├Än urm─â cu 8-9 ani am ├«nt├ólnit primul copil care nu a ┼čtiut s─â-mi r─âspund─â la aceast─â ├«ntrebare (la o cercetare mai am─ânun┼úit─â am constatat c─â ├«n toat─â via┼úa lui v─âzuse doar p├óine gata feliat─â ├«n pung─â de la supermarchet, p├óine feliat─â ├«n stilul ÔÇťcozonacÔÇŁ).

Ideea este c─â observ─âm cum, ├«ncet dar sigur, exemplele din realitatea ├«nconjur─âtoare se restr├óng. Cam tot de prin 2010 nu mai g─âsesc la clasa a VIII-a elevi care s─â-mi r─âspund─â spontan la ├«ntrebarea ÔÇťc├óte fe┼úe are un zar?ÔÇŁ Am nevoie de aceast─â informa┼úie ├«n cadrul lec┼úiei despre cub unde consider c─â formula de arie total─â trebuie s─â o dea elevii pe baz─â de g├óndire simpl─â (┼čtiu aria unui p─âtrat; zarul e un cub ┼či are 6 fe┼úe, deci aria total─â a cubului este 6a2). La aceast─â ├«ntrebare elevii unei clase se ├«mpart la ora actual─â ├«n dou─â mari categorii: cei care se vede clar c─â nici m─âcar nu se g├óndesc ┼či cei care ├«ncep s─â numere fe┼úele unui cub imaginar, gest ├«nso┼úit chiar de o mi┼čcare fizic─â a capului. Mai de mult nu era a┼ča; ├«i ├«ntrebam ┼či primeam spontan r─âspunsul 6, apoi imediat ┼či 6a2. De unde aceast─â situa┼úie? Simplu! Ce copil se mai joac─â la ora actual─â jocuri de mutat piese la care se arunc─â cu zarul?

Iat─â ┼či un exemplu mai vechi: la ├«nceputul anilor ÔÇÖ90 to┼úi elevii ┼čtiau s─â socoteasc─â cu 25 ┼či cu vecinii s─âi, datorit─â folosirii zilnice a monedelor de 25 bani ┼či a bancnonetor de 25 de lei. De pild─â, orice elev ┼čtia c─â din 100 lei po┼úi cump─âra patru ciocolate de 24 lei. La fel, orice elev la descompunerea lui 75 ┼čtia s─â ├«mpart─â la 3. Acum nu mai ┼čtiu. La descompunerea lui 75 v─âd doar divizibilitatea cu 5.

Nu mi-am propus s─â citez toat─â partea de sugestii metodologice din prezenta propunere de program─â, dar trebuie s─â scot ├«n eviden┼ú─â faptul c─â magicul cuv├ónt intui┼úie a fost folosit ├«n diferite variante de 19 de ori ├«n aceast─â parte. Acest cuv├ónt mai apare ┼či ├«n nota de prezentare, dar ┼či ├«n prezentarea con┼úinuturilor. ├Äntr-adev─âr cuv├óntul magic intui┼úie este una din cheile de baz─â ├«n descuierea g├óndirii ┼či trezirea interesului elevilor pentru matematic─â. ├Än acest sens s─â reiau un citat prezentat de Eugen Rusu ├«n lucrarea Problematizare ┼či probleme ├«n matematica ┼čcolar─â (Ed. Didactic─â ┼či pedagogic─â, 1978), la pagina 37: ÔÇťCu intui┼úia descoperi, cu logica stabile┼čtiÔÇŁ. (J. Hadamard)

├Äncep├ónd de la reforma uitat─â din 1980, profesorii au fost v├óna┼úi la propriu, cu ocazia inspec┼úiilor, s─â nu mai foloseasc─â intui┼úia ├«n predare, aceasta nefiind compatibil─â cu nou-sl─âvita predare axiomatic─â. R─âm├óne de v─âzut cum vor reu┼či profesorii s─â-┼či seteze predarea pe noua linie, respectiv cum vor fi sprijini┼úi prin structurile de formare ┼či formare continu─â ├«n acest sens. Pentru c─â acum ne putem doar ├«ntreba: oare, c├ó┼úi profesori mai ┼čtiu s─â foloseasc─â intui┼úia ├«n predare?

Sugestiile metodologice cuprinse ├«n proiectul de fa┼ú─â reprezint─â din acest punct de vedere documentul cel mai important despre predarea matematicii ├«n gimnaziu emis ├«n ultimul sfert de secol. Reactivarea rolului ┼či folosirea intui┼úiei vine s─â repare distrugerile de neimaginat din mentalul profesorimii cauzate de implementarea dur─â a pred─ârii riguroase pe baze axiomatice introdus─â ├«n ┼čcoli odat─â cu reforma din 1980 (vezi postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ ). Prin reintroducerea folosirii intui┼úiei ├«n predare, distan┼ú├óndu-se astfel de canoanele academice, matematica ┼čcolar─â rom├óneasc─â ├«┼či ├«ntoarce din nou fa┼úa c─âtre copil (cel pu┼úin la nivel declarativ).

Iat─â, ├«n continuare, c├óteva complet─âri la ideile exprimate ├«n leg─âtur─â cu intui┼úia. Predarea intuitiv─â reprezint─â foarte mult pentru elevii claselor V-VI, dar aceasta nu dispare ├«n clasele VII-VIII, a┼ča cum se poate u┼čor ├«n┼úelege din textul de la pag.31. De fapt intui┼úia r─âm├óne o component─â major─â a ├«n┼úelegerii matematicii chiar ┼či ├«n liceu. Astfel, textul ar trebui s─â arate mai degrab─â a┼ča: Programele ┼čcolare de matematic─â pentru clasele a VII-a ┼či a VIII-a realizeaz─â trecerea treptat─â de la metodele predominant intuitive, abordate ├«n clasele anterioare, la unele mai mature din punct de vedere matematic, cum ar fi definirea unor noi concepte, demonstrarea unor propriet─â┼úi ┼či aplicarea unor algoritmi de calcul; r─âm├óne ├«ns─â ├«ntotdeauna ┼či partea intuitiv─â ├«n clasele superioare gimnaziale. Astfel, a┼ča cum spre finalul clasei a VI-a, a┼čtept─ârile sunt ca elevul s─â poat─â deja dezvolta ra┼úionamente deductive simple, ├«n mod simetric ├«n clasa a VII-a metodele intuitive fac un mic pas ├«napoi, dar nu dispar cu totul din ora de matematic─â.

Legat de ultima fraz─â de la sugestiile metodologice pentru clasa a V-a, eu a┼č ├«ncheia-o astfel: … stimularea ┼či men┼úinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii ┬áse poate face uneori ┼či prin matematic─â distractiv─â (M. Gardner, B.A.Kordemsky, I. Perelman, B.Iosub etc.).

├Änchei eviden┼úierea unor puncte pozitive din aceast─â propunere cu c├óteva alte scurte exemple. De pild─â, un mare DA! principiului de trecere lent─â ├«n clasa a V-a dinspre primar spre gimnaziu. Acesta trece ├«ntr-un ┼či mai mare DA! ├«n principiul evolu┼úiei treptate a unei no┼úiuni prin predarea ├«n spiral─â, principiu ÔÇ×citit printre r├ónduriÔÇŁ ├«n paginile acestui proiect. La fel, un DA! hot─âr├ót principiului ├«nv─â┼ú─ârii prin vizualizare a unor fenomene, pe l├óng─â ├«nv─â┼úarea intelectualizat─â ┼či prin memorare pur─â.

Legat de acest ultim principiu doresc s─â ofer un exemplu sugestiv dintr-o veche carte. La pozi┼úia relativ─â a dou─â cercuri, lec┼úie propus─â pentru clasele V-VI, aceasta se poate studia deosebit de intuitiv ┼či practic desen├ónd cele dou─â cercuri cu ajutorul a dou─â monede diferite (merge bine cu 5 ┼či cu 50 bani). Eu prefer aceast─â lec┼úie totu┼či ├«n clasa a VII-a, c├ónd le pot cere elevilor o sarcin─â mai complex─â, anume s─â traseze totodat─â ┼či tangentele comune, studiind cum evolueaz─â num─ârul de tangente comune de la o pozi┼úie relativ─â la cealalt─â. Elevii g─âsesc cu mare bucurie ideea c─â ├«n spatele fenomenelor matematice se ascunde deseori un model aritmetic (g─âsirea principiului ascuns: find the pattern behind it!).

Indiferent dacă sunt principii mici sau mari, aceste principii de bun simţ sunt valoroase prin faptul că au reapărut în programa de gimnaziu după atâţia ani în care au fost neglijate (lista de mai sus nu are în nici un caz pretenţia de a fi exhaustivă).

2) Alte sugestii metodologice de inclus ├«n program─â: Am scris foarte mult ├«n acest sens (folosirea inui┼úiei de c─âtre toat─â lumea era una din dorin┼úele la care visam constant), dar voi ├«ncerca o scurt─â trecere ├«n revist─â a celor mai importante aspecte ┼či metode de predare ce nu le-am g─âsit enumerate ├«n acest proiect pentru a fi reintroduse ├«n predarea matematicii gimnaziale.

Elevii trebuie din nou s─â ├«nve┼úe s─â g├óndeasc─â, chiar s─â g├óndeasc─â liber. Ora de matematic─â nu mai trebuie s─â fie doar o dresur─â de ├«nv─â┼úare (de fric─â) a diferitelor exerci┼úii ┼či probleme cu metodele de rezolvare pre-oferite de c─âtre profesor (pre-date, pre-g─âtite; ce frumos sun─â dac─â le citim astfel!).

Cel mai important cuv├ónt absent din acest proiect de program─â este problematizarea. Oficial se nume┼čte predare prin problematizare, dar eu prefer denumirea predare prin descoperire (o form─â extrem─â a primeia). Reintroducerea acestei metode ar fi de lung─â durat─â, majoritatea profesorilor fiind actualmente seta┼úi s─â le turuie pur ┼či simplu lec┼úia elevilor. Foarte mul┼úi dintre elevi, pe de alt─â parte sunt obi┼čnui┼úi, sunt dresa┼úi deja, ├«ntr-o stare de pasivitate: ÔÇ×De ce m─â ├«ntreab─â pe mine? De unde s─â ┼čtiu eu cum se face? S─â zic─â ─âia buni; s─â zic─â el, c─â el e profesorÔÇŁ. Dar pot depune m─ârturie: dac─â ├«┼úi dore┼čti ┼či ├«┼úi propui cu adev─ârat, ├«n c├ó┼úiva ani reu┼če┼čti, iar satisfac┼úiile ulterioare sunt uria┼če atunci c├ónd ├«ncepe s─â-┼úi reu┼čeasc─â predarea prin descoperire. Lucrarea mai sus amintit─â a profesorului ┬áEugen Rusu reprezint─â ├«n acest sens o lucrare de c─âp─ât├ói ce ar trebui republicat─â ┼či studiat─â ├«n toate facult─â┼úile ce preg─âtesc viitori profesori de matematic─â, respectiv ar trebui parcurs─â la toate cursurile de formare ┼či reformare obligatorii la ora actual─â.

Desigur, c├ónd vorbesc de predarea prin problematizare nu m─â refer la acei mul┼úi profesori care pe parcursul discursului de predare ofer─â de multe ori pseudo-├«ntreb─âri: ei ├«ntreab─â ┼či tot ei r─âspund, av├ónd astfel preten┼úia c─â lec┼úia respectiv─â este interactiv─â, baz├óndu-se pe un dialog. Nu, dragi colegi, un astfel de pseudo-dialog nu poate fi considerat predare prin problematizare, deoarece elevii sunt ├«ntr-o profund─â stare de pasivitate. Cele mai comice sunt situa┼úiile c├ónd profesorul ├«ntreab─â ÔÇ×ce teorem─â folosim aici?ÔÇŁ, iar apoi tot el d─â un semi-r─âspuns: ÔÇ×teorema lui Pi…?ÔÇŁ iar elevii continu─â ÔÇ×tagora!ÔÇŁ. ├Äntr-un astfel de caz elevii nu sunt aten┼úi la or─â; ei doar ├«ncearc─â s─â mimeze aten┼úia ┼či activitatea matematic─â. Chiar ┼či cazul c├ónd profesorul poart─â un dialog real, ├«ns─â constant doar cu 1-2 elevi cei mai buni din clas─â, ├«i reduce pe restul la starea de pasivitate. Este bine dac─â activitatea orei se bazeaz─â pe un proces real de problematizare, dar este foarte important ca profesorul s─â se str─âduiasc─â s─â atrag─â c├ót mai mul┼úi elevi ├«n acest proces. Personal, la unele clase acest deziderat ├«mi reu┼če┼čte mai bine, la altele mai pu┼úin, dar str─âdania este prezent─â tot timpul.

├Äntr-o lucrare precedent─â a aceluia┼či profesor, Psuhologia activit─â┼úii matematice (Ed. ┼×tiin┼úific─â, 1969) Eugen Rusu laud─â foarte mult matematica proces ┬á├«n compara┼úie cu matematica rezultat. Ce sunt acestea? O scurt─â explica┼úie ar fi c─â matematica proces este atunci c├ónd elevul este parte activ─â a procesului de creare a lec┼úiei ce tocmai se ├«nva┼ú─â, el compun├ónd lec┼úa de studiat sub ├«ndrumarea profesorului, pe c├ónd matematica rezultat este atunci c├ónd profesorul o prezint─â pe tabl─â, ca ├«ntr-o prelegere, elevul av├ónd doar sarcina s─â o copieze pe caiet ┼či, ├«n cel mai bun caz, s─â r─âspund─â la ├«ntreb─âri izolate puse de c─âtre profesor. Astfel, de multe ori explica┼úiile sunt date, dar ┼či ├«n┼úelese doar de c─âtre profesor, elevul fiind ├«ntr-o situa┼úie similar─â cu dictarea de c─âtre cineva a unui manual. Conect├ónd ultimele dou─â metode active de predare, am putea spune c─â matematica proces reu┼če┼čte cel mai bine atunci c├ónd ├«n procesul de predare se implic─â tot mai mult ┼či predarea prin problematizare.

Eugen Rusu vorbe┼čte uneori ┼či de matematica vie. Este minunat c├ónd elevii ajut─â la crearea lec┼úiei, observ─â anumite lucruri ┼či ├«i dau o form─â unic─â ┼či de nerepetat. S─â vede┼úi ce interesant este c├ónd elevi activi reu┼česc s─â-┼úi deturneze lec┼úia de la planul ini┼úial ┼či te treze┼čti ├«n final c─â a ie┼čit cu totul altceva (nu ├«n sens r─âu). Aia da lec┼úie vie! ┼×i aceast─â carte a lui Eugen Rusu ar trebui inclus─â al─âturi de cealalt─â ├«n studiul ┼či lectura obligatorie a oric─ârui profesor de matematic─â.

Un alt principiu pe care l-am experimentat intens este parcurgerea alternativ─â a celor doua materii algebr─â /geometrie (alternativ un capitol de algebr─â, apoi unul de geometrie). Elevii se concentreaz─â mai bine pe o tem─â, au patru ore pe s─âpt─âm├ón─â pentru a o ├«n┼úelege. Se potrive┼čte aici argumentul acela vechi: dvs., c├óte c─âr┼úi citi┼úi deodat─â? Dac─â a┼úi avea de citit aidoma elevilor c├óte 8-10 c─âr┼úi deodat─â (vorbesc aici doar de manuale), cred c─â v-a┼úi bucura dac─â una dintre acestea ar lua pauz─â uneori.

Includerea ideii de parcurgere a unei p─âr┼úi de matematic─â ├«n dou─â etape de studiu, una mai elementar─â, mai intuitiv─â, cu aplica┼úii mai simple, ┼či a doua mai riguroas─â, mai ├«nalt─â teoretic ┼či cu aplica┼úii mai superioare, este o idee de mare importan┼ú─â pedagogic─â, cuprins─â ├«n general sub denumirea de predare ├«n spiral─â. Acest principiu foarte valoros nu trebuie ├«ns─â limitat doar la nivelul unei clase sau la nivelul unor clase ├«nvecinate dar din acela┼či ciclu ┼čcolar. ┼óin aici s─â amintesc desigur parcurgerea geometriei elementare ├«n dou─â etape la conectarea gimnaziului cu liceul: prima, la un nivel elementar intuitiv, pe parcursul claselor gimnaziale VI-VIII, iar a doua, mai matur─â, cu aplica┼úii mai profunde, pe parcursul primelor clase liceale IX-X. Aceasta s-ar putea face desigur prin reintroducerea geometriei elementare ├«n clasele IX-X de liceu, pentru c─â reducerea nivelului geometriei gimnaziale la un nivel elementar intuitiv a fost f─âcut─â ├«n mai mul┼úi pa┼či ├«n anii 2000, prezentul proiect reprezent├ónd ├«n acest sens doar recunoa┼čterea ┼či organizarea acestui demers pe principii psihologic s─ân─âtoase. Eugen Rusu are ┼či ├«n leg─âtur─â cu acest subiect unele referiri ├«n lucrarea despre problematizare (de exemplu, la pag. 23: geometria ├«n etapa a doua de studiu, adic─â ├«n clasele de liceu, ┼či aten┼úie, nu vorbea aici de geometria analitic─â).

Exemplul de mai sus se refer─â la geometrie, adic─â la o foarte mare parte de materie. Se pot da aici ├«ns─â ┼či exemple mai mici. De pild─â, analiz├ónd situa┼úia de c├ó┼úiva ani buni, ├«n cazul studiului ecua┼úiei de gradul II, am convingerea c─â ar fi benefic─â urm─âtoarea e┼čalonare a lec┼úiei. ├Än clasa a VII-a s─â apar─â prima oar─â ideea de ecua┼úie cu dou─â necunoscute pe cazuri simple, de tipul x2┬á=┬á9 etc. p├ón─â la (x┬áÔÇô┬á5)2┬á=┬á9. ├Än clasa a VIII-a ar ap─ârea diverse cazuri de rezolv─âri particulare, de pild─â x2┬áÔÇô┬á10x┬á+┬á16┬á=┬á0┬á/┬á+9, care duce prin cea de sus la dubla ecua┼úie x┬áÔÇô┬á5┬á=┬á┬▒┬á3, de unde x1┬á= 2 ┼či x2┬á=┬á8. Rezolvarea ├«n cazul general, cea cu ╬ö, ar veni astfel de-abia ├«n clasa a IX-a.

├Än general, pentru dezvoltarea paletei de metode naturale de predare a matematicii, profesorii ar trebui sprijini┼úi cu reeditarea marilor c─âr┼úi din domeniu. Pe l├óng─â lucr─ârile lui Eugen Rusu, trebuie m─âcar amintite ┼či c─âr┼úile lui George P├│lya pe care to┼úi profesorii ar trebui s─â le aib─â ├«n bibliotec─â ┼či s─â le reia odat─â la c├ó┼úiva ani. Sunt c─âr┼úi pe care oric├ónd le recite┼čti, mai ai ceva de ├«nv─â┼úat.

Încerc să închei aici acest eseu fără pretenţia de a fi epuizat nici pe departe subiectul, exprimându-mi încă o dată starea de bucurie generată de această nouă programă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Repetarea calendarului (1)

Se poate explica foarte u┼čor c─â orice calendar se repet─â o dat─â la 28 de ani. Dup─â cum am mai spus, anul acesta ÔÇô 2017 ÔÇô func┼úioneaz─â pe calendarul din anul de gra┼úie 1989! O explica┼úie banal─â ar fi c─â 7┬áÔłÖ┬á4┬á=┬á28, unde 7 ar reprezenta un ciclu de repetare al calendarelor dac─â to┼úi anii ar fi de 365 zile, iar 4 reprezint─â periodicitatea anilor bisec┼úi.

Aceast─â explica┼úie superficial─â nu ne spune ├«ns─â de ce anul acesta ÔÇô 2017 ÔÇô func┼úioneaz─â ┼či pe calendarul din 2006! Dac─â din 1989 nu prea cred c─â mai are cineva acas─â vreun calendar, ┼čansele cresc ├«ns─â s─â mai g─âsim un calendar din 2006. Eu am g─âsit unul acas─â ┼či altul la un prieten.

Sper c─â am reu┼čit s─â v─â trezesc curiozitatea pentru problema repet─ârii calendarului. Deci, ce se ├«nt├ómpl─â acolo, cum se repet─â calendarele ┼či de ce? Dup─â ce algoritm secret se repet─â calendarul dintr-un an? Aceasta a fost ├«ntrebarea ce am purtat-o dup─â mine din 2001, c├ónd mi-am dat seama cu p─ârere de r─âu c─â prosopul cu un calendar din 1972 imprimat pe el, ce ├«l folosea maic─â-mea la buc─ât─ârie, primit din Germania, tocmai fusese valabil ├«n 2000 (mai ┼úine┼úi minte, Millenium?). Dar ├«ntrebarea avea un clenci: sim┼úul matematic ├«mi spunea c─â nu exist─â 28 de calendare diferite, ci c─â ├«ntr-un interval de 28 de ani mai au loc ┼či alte repet─âri, mai ciudate. Mai mult n-am f─âcut pentru c─â nici nu prea ┼čtiam de unde s─â apuc problema. P├ón─â ├«n ultima vacan┼ú─â de iarn─â c├ónd, ├«n primele zile ale lui 2017 s-a dezl─ân┼úuit furtuna ├«n g├óndire ┼či, brusc, am rezolvat problema. Pe l├óng─â bucuria rezolv─ârii, am g─âsit ┼či o utilitate deosebit─â pentru noi, profesorii. Problema aceasta nu seam─ân─â cu nimic din ce facem la clas─â, din ce avem ├«n program─â sau ├«n culegeri pentru olimpiade sau examene, la nici un nivel. Cu alte cuvinte, nu avem o re┼úet─â pentru rezolvarea acesteia, ┼či ne afl─âm astfel ├«n pozi┼úia elevului ce a primit de la profesor o problem─â f─âr─â s─â i se fi dat ├«n prealabil o re┼úet─â de rezolvare.

Haide┼úi s─â facem acest experiment: lua┼úi problema at├ót c├ót v-am prezentat-o ┼či ├«ncerca┼úi s─â o rezolva┼úi, s─â deslu┼či┼úi dup─â ce principii pur matematice se repet─â calendarul. Este evident c─â ÔÇťnu se punÔÇŁ rezolv─âri g─âsite pe net (oricum, nu prea ve┼úi g─âsi; eu am c─âutat ├«n diferite limbi, dar nu am g─âsit altceva dec├ót tabele cu prezent─ârile repet─ârilor, f─âr─â nici o c├ót de superficial─â explica┼úie). Ce v─â pot asigura este c─â, ├«n afar─â de ├«mp─âr┼úirea cu rest nu ava┼úi de folosit nimic, doar o doz─â bun─â de g├óndire s─ân─âtoas─â (nu exclud ├«ns─â ca totu┼či cineva s─â g─âseasc─â vreo rezolvare ├«n Z7). Dar, dac─â ar fi s─â o fac la clas─â, nu a┼č cobor├« sub clasa a VIII-a dec├ót ├«n cazul unor elevi brilian┼úi.

Haide┼úi s─â facem acest experiment ┼či s─â studiem pe noi cum este s─â stai ├«n fa┼úa unei probleme pentru care nu ai o re┼úet─â de rezolvare. Poate asta ne va ajuta pe unii dintre noi s─â ne dezvolt─âm mai mult empatia fa┼ú─â de elevi. V─â propun acest experiment ca un preambul la o analiz─â a ├«mp─âr┼úirii problemelor de matematic─â ├«n dou─â mari categorii: cele pentru care rezolvitorul are la dispozi┼úie o re┼úet─â, un model, ┼či cele pentru care nu are drumul preg─âtit cu rezolv─âri deja ├«nv─â┼úate. Eu le numesc pe primele probleme re┼úetabile iar pe cele din a doua categorie probleme off-road (pentru c─â drumul rezolv─ârii nu este preg─âtit, nu este asfaltat).

Pentru cei care accept─â s─â intre ├«n acest joc, promit c─â voi reveni peste 2 s─âpt─âm├óni cu eventuale indica┼úii ajut─âtoare, iar peste ├«nc─â alte dou─â s─âpt─âm├óni cu o rezolvare complet─â, a┼ča cum am g─âsit-o eu.

C. Titus Grigorovici

Analiza proiectului pentru programa de matematic─â din gimnaziu, (1) ÔÇô analiza con┼úinuturilor

Prezentul eseu este g├óndit ca o scrisoare deschis─â adresat─â d-lui Radu Gologan, pre┼čedinte SSMR, ┼čeful Comisiei pentru elaborarea noilor programe de matematic─â pentru clasele gimnaziale, c├ót ┼či tuturor membrilor comisiei. Propunerea oferit─â spre dezbatere public─â la sf├ór┼čitul lunii ianuarie 2017 reprezint─â cea mai pl─âcut─â surpriz─â posibil─â, deschiz├ónd c─âi de vindecare ┼či evolu┼úie pozitiv─â a pred─ârii matematicii, c─âi de neimaginat p├ón─â ├«n urm─â cu pu┼úin─â vreme.

Aceast─â prim─â parte a eseului (de publicat ├«naintea termenului de 12 feb.) va fi direc┼úionat─â asupra con┼úinuturilor ┼či ordinii acestora, dar va con┼úine ├«n argument─âri ┼či elemente de metodic─â. ├Än cea de a doua parte (ce urmeaz─â c├ót de repede posibil) voi analiza mai ├«n am─ânunt metodica propus─â. Din aceast─â a doua parte eviden┼úiez acum doar un singur aspect: ├«ntoarcerea ├«n predarea matematicii a cuv├óntului intui┼úie. ├Än prezentul proiect, doar la nota de prezentare ┼či ├«n sugestiile metodologice, acesta apare ├«n diverse forme de 20 de ori (!!!), subliniindu-se astfel importan┼úa folosirii ┼či dezvolt─ârii intui┼úiei elevilor. A┼čadar:

Stimate D-le Radu Gologan, stimaţi colegi,

Ca profesor activ ├«n direc┼úia reform─ârii pred─ârii matematicii de peste 20 de ani, v─â felicit pentru acest proiect. ├Än ├«ncercarea de a fi c├ót mai obiectiv (un ideal greu de atins) am structurat prezenta analiz─â pe patru categorii de p─âreri, numite c├ót de sugestiv posibil: 1) Da, cu aplauze; 2) Da, cu amendament; 3) Nu, cu alternativ─â; 4) Nu, cu avertisment. Din punct de vedere personal, proiectul este unul foarte reu┼čit, dovad─â c─â primele trei categorii sunt ├«nc─ârcate, pe c├ónd ultima categorie este foarte ÔÇťsub┼úireÔÇŁ. Toate p─ârerile ┼či comentariile expuse se bazeaz─â pe experien┼úa personal─â; pe majoritatea cov├ór┼čitoare le cunosc foarte bine din aplicarea ├«n activitatea personal─â (a mea ┼či a so┼úiei) din ┼čcolile unde am predat. La toate aceste comentarii se poate face precizarea c─â opinia prezentat─â este ├«n favoarea elevului, c─â a┼ča este cel mai s─ân─âtos pentru parcursul matematic al elevului. ├Än┼úeleg prin s─ân─âtos orice argument de ordin psihologic, legat de posibilit─â┼úile ┼či nevoile fiec─ârei v├órste, dar ┼či a fiec─ârei categorii de elevi ├«n parte. Acolo unde nu am o p─ârere bazat─â pe experien┼ú─â direct─â, ci doar pe intui┼úia dat─â de experien┼úa de ansamblu, acolo voi preciza acest aspect.

  1. DA, cu aplauze! Da, sunt cu totul de acord cu urm─âtoarele elemente:
    • Da! conect─ârii cmmdc ┼či cmmmc de simplificarea frac┼úiilor ordinare, respectiv de aducerea frac┼úiilor la numitor comun; a┼ča ├«n┼úelege orice elev la ce sunt bune acestea, le g─âse┼čte imediat un sens. Da ┼či introducerii acestora prin enumerare ┼či intuitiv, nu prin algoritm. A┼ča este s─ân─âtos!
    • Da! aducerii ├«nmul┼úirii ┼či ├«mp─âr┼úirii frac┼úiilor ordinare ├«napoi ├«n clasa a V-a, imediat dup─â adunare ┼či sc─âdere. Da ┼či limit─ârii pentru ├«nceput la exerci┼úii mai u┼čoare.
    • Da, pove┼čtii cu tabla de ┼čah (pag.7).
    • Da! mut─ârii no┼úiunii de mul┼úime din clasa a V-a la ├«nceputul clasei a VI-a. Atunci deja exist─â o zestre de cuno┼čtin┼úe matematice fixate ce pot fi folosite ├«n exerci┼úii cu mul┼úimi. Astfel, ├«n clasa a V-a aducem aspecte matematice noi, dar ├«n sistemul de scriere cunoscut.
    • Da, capitolului despre mul┼úimi ┼či structurare a cuno┼čtin┼úelor despre numere naturale deja dob├óndite de la ├«nceputul clasei a VI-a. Sim┼úeam c─â ├«n clasa a V-a mul┼úimile, prin scrierea lor nou─â, abstract─â, ├«ngreuneaz─â mult acomodarea elevilor la matematica de gimnaziu, dar nu aveam un g├ónd clar unde ar trebui puse. Experien┼úa general─â ├«mi spune c─â la ├«nceputul clasei a VI-a este foarte bine (dar nu le-am predat nici o dat─â astfel).
    • Da! (cu ropote de aplauze ┼či urale!) scoaterii m-ului de la m─âsura unui unghi (pag. 9); undeva prin clasele VI-VII poate fi introdus─â treptat, de┼či ├«n multe ra┼úionamente acest m cu parantezele sale ├«ncarc─â doar scrierea, devenind astfel pentru mul┼úi elevi o piedic─â, o ├«ngreunare ├«n ├«n┼úelegerea ra┼úionamentului expus.
    • Da introducerii ecua┼úiilor de-abia ├«n clasa a VI-a, dup─â ├«nv─â┼úarea semnului unui num─âr. At├ót unii profesori, c├ót ┼či p─ârin┼úii, nu se puteau ab┼úine s─â nu le zic─â elevilor ├«nc─â din clasa a V-a c─â ├«l mut─âm ├«n membrul cel─âlalt cu semn schimbat.
    • DAAA! (cu cea mai mare bucurie) parcurgerii paralelelor t─âiate de o secant─â, respectiv a unghiurilor alterne interne, ├«naintea lec┼úiei despre triunghiuri. Astfel se poate studia ÔÇô cu demonstra┼úie cu tot! ÔÇô suma unghiurilor ├«n triunghi din prima lec┼úie. Suma unghiurilor ├«n triunghi este o aplica┼úie cu pronun┼úat caracter aritmetic, accesibil─â tuturor elevilor, care ajut─â ├«n plus ┼či la stabilizarea ├«n┼úelegerii no┼úiunii de unghi. Se ├«ncheie astfel o lung─â perioad─â aflat─â sub domina┼úia pred─ârii riguros- axiomatice care impunea o ordine a lec┼úiilor ce sfida principiile natural-pedagogice (demonstra┼úia prin reducere la absurd, ce folosea congruen┼úa triunghiurilor, cu acel triunghi prelungit la infinit, nu se mai face de la Revolu┼úie; ca urmare nu mai este necesar─â de mult ordinea triunghiul Ôćĺ congruen┼úa triunghiurilor Ôćĺ unghiuri alterne interne Ôćĺ suma unghiurilor ├«n triunghi). Eu personal predau ├«n ordinea propus─â de prezentul proiect din anul ┼čcolar 1994-1995.
    • Da! (cu lungi ova┼úii!) reintroducerii cercului ├«n ÔÇťclubul no┼úiunilor fundamentaleÔÇŁ, ├«n primul capitol de geometrie din clasa a VI-a. Cred totu┼či c─â pozi┼úiile relative a dou─â cercuri pot fi l─âsate pentru clasa a VII-a (neesen┼úial).
    • Da! (cu mare bucurie!) reintroducerii accentului pe construc┼úii geometrice cu diferitele instrumente, at├ót ├«n clasa a V-a, c├ót mai ales ├«n clasa a VI-a (inclusiv construc┼úia intuitiv─â a paralelelor prin transla┼úie, care este de mare valoare ├«n formarea g├óndirii, dar care poate sta ┼či la baza explic─ârii congruen┼úei unghiurilor corespondente). Cunoa┼čterea figurilor geometrice prin construirea acestora ├«n diferite cazuri particulare este o cale deosebit de s─ân─âtoas─â de ├«nv─â┼úare. Acesta ar trebui aleas─â ca tema definitorie (!) pentru clasa a VI-a. Apoi, ├«n clasa a VII-a, c├ónd accentul se mut─â pe ra┼úionament, pe demonstra┼úie ┼či calcule complicate, elevii pot folosi la nevoie doar schi┼úe, pentru c─â ei au deja fixat─â ├«n minte figura corect─â construit─â cu mare aten┼úie ├«n clasa a VI-a.
    • Da, (├«n conexiune direct─â cu precedentul) lec┼úiei Cazurile de construc┼úie a triunghiurilor, cu precizarea c─â eu prefer ordinea LLL, LUL, ULU.
    • Da, la Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desf─â┼čur─âri ale acestora (pag.17), dar ┼či a triunghiurilor. Tocmai ce am propus un op┼úional de clasa a VII-a cu construc┼úii de corpuri geometrice din carton.
    • Da! (cu mii de mul┼úumiri!) readucerii sistemelor de ecua┼úii ├«n clasa a VII-a, mai ales c─â au fost aduse doar cu metodele specifice ecua┼úiilor (substitu┼úiei ┼či reducerii), r─âm├ón├ónd ├«n clasa a VIII-a metoda grafic─â (cea care a bulversat zeci de ani elevii la aceast─â lec┼úie).
    • Da! (cu mare bucurie) mut─ârii ├«n clasa a VII-a a capitolului despre cerc de la sf├ór┼čitul anului (c├ónd mul┼úi nu-l prea mai f─âceau) ├«n semestrul I. Anul acesta eu am predat Poligoane ├«nscrise ├«n cerc (construc┼úie, m─âsuri de unghiuri) ┼či Lungimea cercului ┼či aria discului ├«n semestrul I, ┼či pot depune m─ârturie c─â func┼úioneaz─â foarte bine. De pild─â, ├«ntre cele dou─â teme am calculat aria poligonului regulat cu 12 laturi ├«nscris ├«n cercul de raz─â r, care este exact 3r2, folosind doar determin─âri de unghiuri ┼či cateta opus─â unghiului de 30o. La lungimea cercului ┼či aria discului se pot folosi ┼či metode aproximative de tip ÔÇťlaboratorul de matematic─âÔÇŁ (mult sprijinit de dl. acad. Nicolae Teodorescu): determinarea lungimii cercului cu metrul de croitorie, apoi g─âsirea aproximativ─â a lui ¤Ç prin ├«mp─âr┼úire, respectiv determinarea ariei prin num─ârarea p─âtr─â┼úelelor din interiorul cercului pe caietul de matematic─â sau pe h├órtie milimetric─â ┼či apoi ├«mp─âr┼úirea ariei ob┼úinute la aria p─âtratului razei. Aceste metode sunt ├«n deplin─â armonie cu linia prezentului proiect.
    • Da! (un DA mare) aducerii inecua┼úiilor de la sf├ór┼čitul clasei a VIII-a la ├«nceput, ├«n primul capitol, imediat dup─â intervale.
    • Da! (cu evident─â bucurie) preciz─ârilor legate de rezolvarea ecua┼úiei de gradul II: prin aplicarea formulelor de calcul prescurtat (pag.26). Ce se ├«nt├ómpl─â cu formulele clasice de rezolvare (a,b,c,╬ö,x1,2)? Sunt interzise? Le facem ├«n semestrul II? R─âm├ón pentru clasa a IX-a? Trebuie s─â l─âmuri┼úi aceste aspecte, eventual ├«n note de subsol, la fel ca la scrierea m─âsurii unghiurilor. Eu a┼č fi mul┼úumit s─â r─âm├ón─â ├«n liceu, dar din respect pentru ceilal┼úi colegi cred c─â poate fi aleas─â varianta cu semestrul II. (ar fi binevenite mai multe astfel de note de subsol, unele dintre ele reparatorii, cum ar fi urm─âtoarea: reducerea termenilor opu┼či ├«ntr-o sum─â poate fi f─âcut─â ├«nc─â din clasa a VI-a, la numere ├«ntregi, nu doar ├«n clasa a VII-a, ca ├«n programa veche; dvs. nu a┼úi precizat unde se va face pe viitor)
  2. DA, cu amendament. Susţin aceste elemente de conţinut cu următoarele amendamente:
    • Da, readucerii ├«n clasa a V-a a metodelor de rezolvare aritmetic─â de probleme. ├Än general, doamnele ├«nv─â┼ú─âtoare nu prea le ┼čtiu. Am ├«ns─â ├«ndoieli c─â profesorii le vor parcurge c├ót de c├ót serios. ├Äntr-o lume dominat─â de punerea ├«n ecua┼úie, este nevoie de explica┼úii serioase, pentru a se ├«n┼úelege la ce folosesc rezolv─ârile aritmetice.
    • Da, readucerii ├«n clasa a V-a a propriet─â┼úilor opera┼úiei de putere, dar ├«ntr-o lec┼úie separat─â, urm─âtoare introducerii puterii. Elevii au nevoie de cel pu┼úin 2 ore (chiar o s─âpt─âm├ón─â) pentru acomodarea cu noua opera┼úie; ei trebuie proteja┼úi fa┼ú─â de profesorii care vin ┼či ÔÇťle toarn─âÔÇŁ totul din prima zi, f─âr─â ca ei, elevii s─â apuce s─â se dezmeticeasc─â despre ce este vorba. Urmare a acestei ÔÇťpolitici de predareÔÇŁ d─âun─âtoare, avem exemplele cu elevii care prin clasa a VII-a spun: puterea este un fel de ├«nmul┼úire, deci fac ├«nmul┼úire, adic─â 23=┬á6. Un alt argument este c─â introducerea propriet─â┼úilor puterii din prima lec┼úie saboteaz─â fixarea acestei noi opera┼úii ├«n contextul ordinii opera┼úiilor de ordinele I, II ┼či III. Ca urmare propun urm─âtoarea detaliere (eventual ca observa┼úie metodologic─â): Lec┼úia 1: introducerea opera┼úiei cu exemple, f─âr─â exponentul 0 sau 1, c├ót ┼či primele exerci┼úii simple de ordinea opera┼úiilor cu toate cele cinci opara┼úii. Lec┼úia 2: l─âmurirea no┼úiunii de putere, inclusiv puterea cu exponent 1 sau 0, conexiunea dintre exponent ┼či num─ârul zero-urilor la puterile lui 10, c├ót ┼či exerci┼úii de ordinea opera┼úiilor mai stufoase. Lec┼úia 3: Propriet─â┼úi ale opera┼úiei de putere, acestea aduc├ónd de obicei o ├«nc─âlcare a ordinii naturale a opera┼úiilor.
    • Da, mut─ârii criteriilor de divizibilitate cu 3 ┼či cu 9 ├«napoi ├«n clasa a V-a, cu amendamentul c─â ar trebui adus ┼či criteriul cu 25, care este foarte u┼čor. Criteriul cu 4 eu personal ├«l voi face oricum ca pereche al lui 25 (la fel cum criteriile cu 2 ┼či cu 5 sunt ├«n pereche; vezi predarea prin analogie a asem─ân─ârii triunghiurilor cu congruen┼úa triunghiurilor, la sugestii metodologice, clasa a VII-a).
    • Da studiului m─ârimilor direct propor┼úionale ┼či a celor invers propor┼úionale, cu urm─âtoarea precizare important─â: dac─â la propor┼úionalitate direct─â avem ┼čir de rapoarte egale, la propor┼úionalitatea invers─â avem ┼čir de produse egale. ├Än acest context v─â rog insistent s─â elimina┼úi defini┼úia cea veche (invers propor┼úionale ├«nseamn─â ┼čir de rapoarte egale cu inversele) care nu mai folose┼čte la nimic, doar la bulversat elevii.
    • Da construc┼úiilor geometrice de p─âtrate ┼či dreptunghiuri pe baza ┼čirului lui Fibonacci, dar cu amendamentul c─â va trebui explicat profesorilor ce s─â fac─â, altfel colegii vor citi peste acel r├ónd (pag.15). ├Än┼úeleg c─â vorbi┼úi de desenul de construc┼úie al spiralei lui Fibonacci; eu ├«l fac cu elevii, dar c├ó┼úi ├«l cunosc?
    • Da titlului No┼úiuni de trigonometrie, cu rug─âmintea de inserare a expresiei: rapoarte trigonometrice ├«naintea enumer─ârii acestora. Din p─âcate, mul┼úi profesori care coboar─â de la liceu la gimnaziu le denumesc func┼úii trigonometrice. Ce ├«n┼úeleg elevii din aceast─â denumire? Tot ace┼čti profesori le dau apoi elevilor ┼či valorile pentru 0o ┼či 90o. Ar trebui undeva ├«n program─â interzise aceste derapaje.
  3. NU, cu alternativă. În locul propunerii dvs. vin cu o alternativă care poate oferi atingerea obiectivului propus:
    • Scrierea ├«n baza 2 a numerelor ├«n clasa a V-a este prea gr─âbit─â, mai ales c─â majoritatea profesorilor vor face direct scrierea de tipul 1100101. Eu am f─âcut-o ├«n ultimii ani ├«n recapitularea de la ├«nceputul clasei a VI-a sub forma orice num─âr natural poate fi scris ca sum─â de puteri ale lui 2, prezentat─â ca joc ├«n care elevii trebuiau s─â g─âseasc─â puterile lui doi care compun un num─âr dat. De-abia apoi am dedus scrierea ├«n baza 2.
    • La clasa a V-a, ├«n lec┼úia ├Änmul┼úirea frac┼úiilor, puteri; ├«mp─âr┼úirea frac┼úiilor propun mutarea puterii dup─â ├«mp─âr┼úire, p─âstr├ónd ordinea natural─â a nivelului opera┼úiilor.
    • Este absurd s─â vorbim la clasa a V-a despre Numere ra┼úionale pozitive, c├ónd elevii ├«nc─â nu au ├«nv─â┼úat despre numere negative sau pozitive; sfideaz─â ordinea introducerii no┼úiunilor f─âr─â a avea o motiva┼úie concret─â. Propun s─â r─âm├ónem ├«n clasa a V-a la denumirea de frac┼úie, cu variantele de frac┼úie ordinar─â sau frac┼úie zecimal─â, acestea put├ónd fi transformate una ├«n cealalt─â, prin semnul de egalitate. Astfel, propun ca no┼úiunea de num─âr ra┼úional, c├ót ┼či mul┼úimea ÔäÜ a numerelor ra┼úionale, s─â fie introduse de-abia la capitolul din finalul clasei a VI-a, parte a procesului foarte bine descris ├«n Note definitorii ale acestei programe (pag. 3).
    • Scrierea unui num─âr natural de dou─â cifre ca produs de puteri de numere prime, poate fi inclus─â lini┼čtit ├«n primul capitol din clasa a V-a, mai ales c─â se precizeaz─â prin observare direct─â. Chiar ┼či algoritmul de descompunere a numerelor ├«n factori primi este accesibil majorit─â┼úii elevilor ├«n clasa a V-a. Acesta este profund conectat cu opera┼úia de ├«mp─âr┼úire (o tem─â de baz─â a sem.I din clasa a V-a), cu opera┼úia de putere ┼či cu criteriile de divizibilitate cu numerele 2, 5 ┼či 3, pentru care reprezint─â o bun─â aplica┼úie.
    • Elevii pricep foarte greu scrierea divizibilit─â┼úii cu bar─â vertical─â (ex. 3|51, la pag.15). Pentru divizibilitate ar trebui reintrodus oficial semnul care conecteaz─â ├«n mintea elevului cu semnul ├«mp─âr┼úirii (un punct ├«n plus ├«nseamn─â ├«mp─âr┼úire exact─â), dar r─âm├óne pe calapodul de g├óndire obi┼čnuit (num─ârul mare este divizibil cu num─ârul mic, evit├ónd inversarea cerut─â de scrierea cu bar─â).
    • Nu este precizat, a┼ča c─â ar trebui explicit interzis─â definirea tradi┼úional─â a interiorului unui unghi, cea prin intersec┼úia de semiplane. Profesorii trebuie doar s─â coloreze sau s─â ha┼čureze interiorul unghiului; exteriorul vine de la sine ├«n┼úeles, a┼ča c─â, folosind intui┼úia copilului, nici n-ar mai trebui prezentate; oricum, la ce folose┼čte exteriorul unghiului?
    • Folosirea, introducerea ideii de demonstra┼úie geometric─â doar pe cazul unei singure matode, anume a metodei triunghiurilor congruente, ├«n clasa a VI-a este periculoas─â pentru formarea g├óndirii elevului: mul┼úi elevi reac┼úioneaz─â ulterior la probleme ce necesit─â alt tip de argumenta┼úie, for┼ú├ónd pseudo-demonstra┼úii f─âr─â sens care au forma unicei demonstra┼úii ├«nv─â┼úate, cea cu congruen┼úa de triunghiuri; iar c├ónd le spui c─â au gre┼čit se uit─â n─âuci┼úi ┼či nu ├«n┼úeleg ce se ├«nt├ómpl─â. Elevii trebuie s─â cunoasc─â ┼či alte demonstra┼úii ├«n paralel. Eu m-am concentrat din start la c├óteva exemple de demonstra┼úii cu unghiuri.
    • Demonstra┼úiile prin metoda triunghiurilor congruente ├«n cazul figurilor axial-simetrice nu au sens ├«n mintea elevului ├«ncep─âtor, minte care vede intuitiv c─â cerin┼úa este ├«ndeplinit─â prin simetria figurii. Introduc├ónd criteriul ne-simetricit─â┼úii figurii, r─âm├ón foarte pu┼úine probleme pe care elevul s─â ├«nve┼úe aceast─â metod─â. Problemele cu congruen┼ú─â ├«n figuri cu cerc mai pot ajuta un pic, dar nu prea mult. De-abia c├ónd apar ┼či patrulaterele, cantitatea de aplica┼úii nesimetrice cre┼čte la un nivel mul┼úumitor.
    • P─âstrarea capitolului despre patrulatere ├«n clasa a VII-a are o serie de dezavantaje majore. Pe l├óng─â conexiunea cu precedentul aliniat, este evident c─â aplica┼úiile la primele tipuri de demonstra┼úii (inclusiv cele cu unghiuri) sunt foarte restr├ónse doar ├«n triunghiuri (triunghiul este o figur─â s─ârac─â ├«n aplica┼úii simple dar nesimetrice). Readucerea capitolului despre patrulatere ├«n clasa a VI-a ar rezolva toate cele expuse. Patrulaterele s-ar putea parcurge foarte u┼čor prin cunoa┼čterea intuitiv─â a propriet─â┼úilor acestora, prin construc┼úi detaliate ├«n diferite cazuri (o bog─â┼úie de exemple, aliniat cu principiul mai sus men┼úionat pentru clasa a VI-a), dar ┼či prin primele exemplific─âri ale conexiunilor demonstrabile ├«ntre propriet─â┼úile acestora (multitudinea de teoreme directe ┼či reciproce). ├Än plus, am sc─âpa astfel de schizofrenia manifestat─â actual c├ónd le d─âm elevilor o figur─â format─â din dou─â triunghiuri, dar ne facem c─â nu ┼čtim c─â acela este de fapt un patrulater. Dau aici exemplul trapezului de la EN Cl.a VI-a din urm─â cu trei ani, care era prezentat ca o combina┼úie de dou─â triunghiuri, ┼či la care copiii s-au chinuit foarte mult. Dac─â ar fi cunoscut trapezul dreptunghic, lucrurile ar fi fost mai clare. Mai dau un exemplu: no┼úiunile de unghiuri complementare, respectiv suplementare, se ├«n┼úeleg mult mai bine ├«ntr-o prezentare unitar─â, dup─â patrulatere, cu exemple clare din triunghiuri ┼či patrulatere. Anexez prezentei scrisori deschise scanarea noti┼úelor personale (din 2011) cu capitolul despre patrulatere pentru finalul clasei a VI-a, redactat conform principiilor pred─ârii intuitive specifice acestei clase. Precizez c─â tema liniilor mijlocii o las totu┼či pentru clasa a VII-a c├ónd, la ├«nceputul semestrului I, pe post de ÔÇťrecapitulare ┼či complet─âriÔÇŁ atac─âm serios diversele demonstra┼úii geometrice. Pentru elevii buni acestea devin una din temele principale de lucru ├«n clasa a VII-a.
    • Nu, introducerii din primul capitol din clasa a VII-a a numerelor reale. Elevii au nevoie s─â petreac─â o vreme ├«n calculul aproximativ al diferitelor m─ârimi care nu au rezultat ├«ntreg. De pild─â, calculul ├«n─âl┼úimii ┼či a ariei unui triunghi echilateral, dar ┼či lungimea ┼či aria cercului, au o puternic─â component─â practic-aplicativ─â de aproximare. Nimeni nu ├«n┼úelege c├ót este lungimea unei borduri de 25¤Ç m din jurul unui sens giratoriu, a┼ča c─â apel─âm la calculul aproximativ 25┬áÔłÖ┬á3,14 Ôëů78,5m. Din c├óte ┼čtiu, ├«n vest numerele ira┼úionale ca atare apar doar ├«n liceu. Eu am ├«mp─âr┼úit clasa a VII-a astfel: ├«n semestrul I d─âm rezultate aproximative aritmetice (at├ót la cerc, c├ót ┼či teorema lui Pitagora ÔÇô vezi primul comentariu de la categoria 4), iar ├«n semestrul II trecem la calcul algebric, cu numere ira┼úionale, at├ót la algebr─â, c├ót ┼či la geometrie. Astfel ├«mp─âc─âm ambele direc┼úii de g├óndire matematic─â, studiind ├«n semestrul I doar r─âd─âcina p─âtrat─â, iar ├«n semestrul II no┼úiunea de num─âr real.
    • Nu! acelei lec┼úii stupide de la capitolul despre cerc din clasa a VII-a despre propriet─â┼úi: la arce congruente corespund coarde congruente ┼či reciproc, diametrul perpendicular pe o coard─â, arce cuprinse ├«ntre coarde paralele, coarde egal dep─ârtate de centru. Acestea reprezint─â doar drumul segmentat pentru demonstrarea faptului c─â tangenta la cerc este perpendicular─â pe raza ├«n punctul de contact. Dar aceast─â demonstra┼úie nu se pred─â ├«n ┼čcoli, deci nici teoremele preg─âtitoare nu-┼či au sensul. Acestea doar ├«i chinuie pe elevi, care nu pricep ce vrea profesorul. Nici profesorii nu prea au probleme aplicative cu sens la aceast─â lec┼úie. Peste aceste teoreme se poate s─âri simplu, trec├ónd direct la observarea perpendicularit─â┼úii tangentei pe raz─â. ├Än schimb, exist─â deosebite aplica┼úii la ÔÇťteorema ciocului de cioar─âÔÇŁ (cele dou─â tangente dintr-un punct la un cerc sunt congruente), bine apreciate de c─âtre elevii buni. Propun reintroducerea ├«n materie a acestei teoreme. Dac─â tot am ajuns la propuneri, permite┼úi-mi ├«nc─â una: ├«n contextul reintroducerii cercului ├«n clasa a VI-a, se poate demonstra direct la nivelul acestei clase c─â triunghiul ├«nscris ├«n semicerc este dreptunghic (├«n conexiune cu ÔÇťmediana pe ipotenuz─âÔÇŁ).
    • Nu (un Nu con┼čtient ┼či experimentat) p─âstr─ârii ordinii lec┼úiilor de geometrie din clasa a VIII-a. La aceast─â form─â s-a f─âcut doar ÔÇťo jum─âtateÔÇŁ de pas ├«n sensul folosirii intui┼úiei naturale a elevilor (intui┼úia este activ─â ├«n continuare; folosirea ei nu trebuie interzis─â cu avansarea ├«n v├órst─â; mai ales la elevii slabi intui┼úia r─âm├óne ├«n continuare principala cale de acces la cuno┼čtin┼úe). La ce ajut─â prezentarea corpurilor de la lec┼úia a doua, dac─â elevii nu fac apoi mai nimic cu aceste corpuri? ├Än tot semestrul I vin doar lec┼úii grele ┼či abstracte, nimic pentru elevii slabi care ar vrea ┼či ei s─â calculeze o arie, s─â aplice teorema lui Pitagora ┼či o formul─â. ├Än locul acestei ordini a lec┼úiilor v─â propun urm─âtoarea ordine, ├«n care predau cu rezultate foarte bune de aproape 20 de ani. Astfel: Capitolul I – Corpuri (I): Cubul, paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele ┼či tetraedrul, cu reprezentare, elemente, arii ┼či volum, totul pe baze intuitive (la apotem─â nu este nevoie de T3ÔŐą pentru c─â avem triunghiuri isoscele, iar ├«n─âl┼úimea se ├«n┼úelege foarte u┼čor). Capitolul II – Teoreme ├«n spa┼úiu: Paralelism, perpendicularitate, T3ÔŐą, unghi diedru . Capitolul III – Corpuri (II): Trunchiuri de piramid─â, corpuri rotunde, cu reprezentare, elemente, arii ┼či volum. Astfel, elevii slabi primesc din start material de lucru, iar elevii buni, cu o scurt─â ├«nt├órziere primesc ┼či ei ÔÇťhran─âÔÇŁ pe m─âsura lor. Nu mai intr─â T3ÔŐą p├ón─â la tez─â, dar p├ón─â la sf├ór┼čitul primului semestru, p├ón─â la olimpiad─â ┼či simulare sigur se termin─â tot capitolul II.
  4. NU, cu avertisment! Consider că introducerea acestor elemente prezintă un mare risc, pe care îl voi expune:
    • Mutarea teoremei lui Pitagora ├«n clasa a VI-a prezint─â un multiplu pericol major. Ar mai avea oarecare sens dac─â am parcurge o prim─â parte de r─âd─âcin─â p─âtrat─â la nivel intuitiv aritmetic (cum era prin anii ÔÇÖ90). Aceasta ├«ns─â lipse┼čte. M─â ├«ngrozesc de felul cum profesorii vor turna ├«n elevii de clasa a VI-a elemente din arsenalul cunoscut din clasa a VII-a legat de teorema lui Pitagora. Cum vor ar─âta subiectele de la EN a clasei a VI-a incluz├ónd numerele pitagoreice? ├Än plus, ├«n acest mod teorema lui Pitagora este cobor├ót─â la nivelul banal de observa┼úie, submin├ónd ideea unei demonstra┼úii pe viitor. Teorema cu cele mai multe demonstra┼úii din toate c├óte sunt, nu va mai avea nevoie de demonstra┼úie ├«n mintea elevilor. Cea mai important─â teorem─â din toate timpurile este redus─â la nivelul unei re┼úete. Totu┼či vin cu o propunere de remediere. ├Än ultimii 15 ani am predat teorema lui Pitagora ├«n semestrul I din clasa a VII-a, ├«ntr-un capitol complex, format din trei p─âr┼úi: 1) r─âd─âcina p─âtrat─â; 2) ariile patrulaterelor ┼či a triunghiurilor; 3) Teorema lui Pitagora (demonstrat─â prin arii; exist─â chiar dou─â demonstra┼úii, din care una folose┼čte ┼či congruen┼úa triunghiurilor), cu aplica┼úii ├«n calculul perimetrelor ┼či al ariilor. Mutarea respectiv─â este deosebit de benefic─â at├ót elevilor slabi, c├ót ┼či elevilor buni. ├Än plus rezolv─â ┼či o problem─â de fond a acestei mut─âri (neprecizat─â ├«n proiect dvs.), anume c─â parcurgerea acestei teoreme mai repede este cerut─â de profesorii de fizic─â, care altfel o explic─â ei elevilor ├«naintea noastr─â. Revenind la demonstrarea teoremei lui Pitagora, men┼úionez c─â eu parcurg cu elevii ├«n clasa a VII-a cel pu┼úin trei demonstra┼úii diferite, la lec┼úiile corespunz─âtoare (pe l├óng─â demonstra┼úia cu arii amintit─â ┼či demonstra┼úia cu teorema catetei arhicunoscut─â, mai aleg ┼či o demonstra┼úie pe baz─â de arii ┼či formule de calcul prescurtat (├«n conexiune cu urm─âtorul punct).
    • Neintroducerea formulelor de calcul prescurtat ├«n clasa a VII-a este o mutare inexplicabil─â, un deja v├║ ce aminte┼čte de conul de penumbr─â ├«n care au fost ├«nghesuite sistemele de ecua┼úii ├«n ultimii ani. Elevii au nevoie de o perioad─â de jum─âtate de an ├«n care s─â se obi┼čnuiasc─â cu noua mi┼čcare matematic─â, cu noul ra┼úionament specific calculului prescurtat, astfel ├«nc├ót s─â le poat─â folosi eficient ├«n semestrul I din clasa a VIII-a. Mutarea propus─â va bulversa din nou o mare parte din materia de studiat, la fel cum a f─âcut-o ┼či mutarea sistemelor din clasa a VII-a ├«n finalul clasei a VIII-a. Formulele de calcul trebuie s─â apar─â ├«n clasa a VII-a, chiar ┼či dac─â apar numai ├«ntr-un singur sens. Astfel, elevilor slabi eu le cer doar direc┼úia de explicitare, de tipul (3x┬á+┬á1)2=┬á9x2┬á+┬á6x┬á+┬á1, nu ┼či direc┼úia invers─â de transformare ├«n produs. Legat de acest subiect am ├«nc─â o propunere: personal, accept ideea unei ÔÇťfobiiÔÇŁ oficiale fa┼ú─â de cuv├óntul polinom (dezvoltat─â ├«n gimnaziu la ├«nceputul anilor ÔÇÖ90 pe vremea renumitelor probleme de divizibilitate cu teorema lui Bezout), dar nu le putem spune la nesf├ór┼čit Opera┼úii cu numere reale reprezentate prin litere (etc.). (clasa a VIII-a, pag.28) A┼ča cum la expresiile cu frac┼úii s-a acceptat no┼úiunea de Frac┼úii algebrice, tot a┼ča propun ca la fostele polinoame s─â folosim no┼úiunea de Sume algebrice.

Închei cu speranţa sinceră că se vor dovedi de folos cât mai multe din observaţiile făcute. Totodată, precizez că stau la dispoziţia dvs. pentru eventuale lămuriri pe care le-aţi considera necesare.

Titus Grigorovici

Profesor ┼×coala Waldorf Cluj-Napoca