admin – Page 2 – Pentagonia

Discuţii pe baza unui interviu (2) – O concluzie cel puţin unilaterală

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are la ora actuală ca invitat în fiecare duminică pe dl. Lorand Balint. În prezenta a doua postare inspirată din respectivele emisiuni, mi-am propus să reiau alte câteva gânduri din acel prim episod difuzat duminică, în 11 sept. 2022 (îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu), gânduri cu care m-am confruntat lucrând la prima parte, la cea despre câte feluri de profesori există.

În prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească, deşi dintr-o parte a celor spuse în acel prim episod parca se înţelege altceva. Astfel, despre situaţia de la acel moment din învăţământ (septembrie 2022, în plină dezbatere – una foarte dură – între societate şi Ministrul Educaţiei, pe diverse teme, printre care şi introducerea dreptului Colegiilor Naţionale de a-şi organiza propriile examene separate de admitere), în acel moment Lorand Balint spunea:

LB: Partea bună este că există dezbatere, că în România se încearcă o schimbare sau măcar se discută despre o schimbare, pentru că realitatea în care trăim este că pe întreaga planetă au loc discuţii similare la o scară mai mică sau mai mare. Toată lumea trăieşte într-o nouă realitate. Lumea a devenit mult mai fluidă. Schimbările sunt la ordinea zilei. Un an nu mai seamănă cu anul următor şi nu vorbim despre efectele pandemiei sau a unei crize punctuale, ci este vorba de o realitate deja de zeci de ani de zile, iar sistemele de învăţământ din toată lumea sunt construite pentru o realitate trecută. Şi atunci, ceea ce trăim noi în România, dezbaterile şi conversaţiile sunt la ordinea zilei şi în alte ţări ale lumii. Asta este partea foarte bună, că dezbatem, că discutăm (…) şi este unul din beneficiile apartenenţei la lumea occidentală (faptul că putem să vorbim, faptul că putem să dezbatem, faptul că putem să ne contrazicem, să avem păreri diferite, …).

Într-adevăr, este foarte bine că există dezbatere şi este foarte bine că am ajuns ca societatea să aibă un cuvânt hotărâtor de spus în marile decizii ale guvernanţilor. Am văzut până la urmă cum s-au decis lucrurile, ajungându-se la demisia d-lui Sorin Cîmpeanu.

Legat de ideea existenţei unei noi realităţi cu care se confruntă sistemele de învăţământ, şi cu această idee sunt într-u totul de acord. Aş da aici şi un exemplu, unul deosebit de îndepărtat, atât temporal cât şi preocupaţional, care să ajute la înţelegerea magnitudinii acestor gânduri. Într-un “top” al celor mai tari şi influente jucării sau jocuri ale anilor ’80, difuzat de posturile National Geographic (desigur centrat pe SUA), pe locul 1 este Cubul Rubik. În prezentarea făcută apar două idei deosebit de interesante. În primul rând că firma cu care se discuta pentru producere nu a dorit la început să intre în această afacere pentru că “De ce ai produce o jucărie pe care nu o poţi rezolva???”. Cu alte cuvinte, se considera ca minimă, chiar neglijabilă, forţa copiilor de a rezolva o situaţie ce părea de nerezolvat pentru adulţii aflaţi în posturile de decizie. Realitatea este însă că tinerii, copiii chiar, au alte moduri de a ataca o situaţie nouă, moduri încă neînţelese pe deplin de lumea adultă, moduri cu care ei pot rezolva în mod neaşteptat probleme cu care se confruntă, cu o singură condiţie: să vrea. Deci problema se reduce la a găsi subiecţii care să vrea, pentru că putere au destulă (există în acest sens şi multe alte exemple; aş amini doar că pasul decisiv în descifrarea scrierilor maiaşe a fost făcut de copilul unui cercetător care lucra la acest subiect). Or, sistemul de învăţământ oficial pleacă întotdeauna de la premisa că elevii trebuie învăţaţi de către adulţi cum se face ceva nou. De obicei nu este inclusă în politica educaţională ideea că un copil ar putea găsi singur o soluţie. Aici unii – mai ales pe la noi – s-au obişnuit să scurtcircuiteze brutal sistemul natural al minţii copilului, instituind modelul de a parcurge lecţiile înainte, fie de către un membru al familiei, fie de către profesorul particular, încercând să dea astfel impresia unui copil care gândeşte. Revenind la cuburile Rubik, la ora actuală nu mai se mai poate manifesta această creativitate, pentru că orice copil atras de jucăria respectivă are posibilitatea să caute direct pe youtube, manifestându-şi şi modelându-şi forţa minţii înspre a prelua ceva gata făcut, nu înspre a genera ceva nou.

Este evident că sistemul de excelenţă în matematică practicat în şcolile româneşti este oricum foarte asemănător cu ce am scris anterior: pentru a avea o eficienţă bună în atingerea nivelului ridicat, elevii primesc de-a gata diferite şmecherii, fără ca ei de fapt să le descopere singuri. A lăsa copiii să descopere singuri reprezintă un proces de învăţare foarte lent şi total nesigur; dimpotrivă, a-i arăta o şmecherie, a-i arăta cum se face este mult mai eficient. Copilul ajunge să ştie multe într-un timp relativ scurt, dar el dezvoltă doar abilităţi de stocare şi de manevrare a celor primite. Aceşti elevi sigur nu dezvoltă abilităţi de a genera singuri elemente noi (măcar noi pentru ei, chiar dacă acestea nu sunt noi pentru alţii).

În al doilea rând (evenind la reportajul despre cubul Rubik) odată ajuns pe piaţă, după ce generase acea totală preocupare în lumea copiilor şi a tinerilor, preocupare de-a dreptul obsesivă, copiii “se jucau” tot timpul cu acest cub, găsind rezolvări şi în scurt timp ajungând desigur să concureze între ei, care îl face mai repede. S-a ajuns astfel şi la concursuri şi la consemnarea primelor recorduri. Şi – Atenţie! – totul se întâmpla fără prezenţa internetului; cu alte cuvinte, în primul rând putem fi siguri că soluţiile au apărut de undeva, dintr-o minte, posibil de fapt din mai multe minţi separate de distanţe uriaşe, iar apoi de la aceştia rezolvările se învăţau “prin viu grai”, transmise de la unul la altul (eu de pildă aşa am ajuns să rezolv partea finală, ultimul strat al cubului, preluând nişte scheme de la alţi elevi, prin ’83-’84).

Mie mi-a atras atenţia faptul – nespus în emisiune – că totul se întâmpla “underground”, adică oarecum neoficial, neinclus în procesul oficial de învăţământ. Adică, elevii învăţau matematică brută, grea, gândită iniţal de către profesorul Ernö Rubik pentru studenţi, şi o făceu singuri, fără ghidajul profesorilor. Să ne imaginăm deci profesorii cu materiile lor învechite pe de-o parte, la ore, iar pe de altă parte elevii învăţând ceva nou, intrigant, dar fascinant, venit din exteriorul şcolii, lucrând cu înverşunare în pauze, în ore sub bancă, înainte sau după ore, fiecare singur sau cu prietenii, lucrând la ceva neinclus în sistemul şcolar oficial, dar având clar efecte pozitive asupra propriei dezvoltări intelectuale (vedere şi orientare în spaţiu, educarea voinţei pentru căutarea soluţiei etc.), în ultimă instanţă asupra propriei educaţii. Pentru prima dată elevii se educau singuri, total pe lângă sistemul oficial de educaţie, iar sistemul putea doar să privească uluit la fenomenul respectiv. Desigur că au fost probabil şi minţi deschise printre profesori, care în mod spontan să fi pornit şi ei pe acest drum, atât ca rezolvitori individuali, cât şi ca profesori, încercând unele prime includeri a cubului Rubik în cadrul orelor de matematică, dar îmi permit să cred că aceştia au fost doar câţiva, fenomenul neputând fi ridicat la nivelul de masă, aşa cum avea loc în rândul elevilor (nici chiar într-o ţară ce se pretinde deschisă la nou cum sunt SUA).

Revenind pe plaiuri mioritice, nici până acum sistemul nostru şcolar nu are o strategie de a integra în vre-un fel această jucărie în cadrul preocupărilor oficiale. Oare, o astfel de includere ar trebui să vină de sus sau să fie făcută la nivel local, opţional, individual, punctual în diferite lecţii deja existente? Păi, veţi spune, de vreme ce nu este la examen, de ce să o facem? Dar – voi răspunde – oare noi doar pentru examene lucrăm? Asta este însă o altă dezbatere. Vorbind despre “ce ar fi de făcut” la nivel naţional, adică într-o ţară cu un sistem centralizat de stat, Lorand Balint dădea următorul exemplu:

LB: Mă refer acum … la ceea ce au făcut englezii în ultimii zece ani, când şi-au dat seama că realitatea s-a schimbat, că trebuie să-şi adapteze şi sistemul de educaţie de stat. Ei aveau două scenarii, unul care să le vină de la guvern, de sus, să zică “aşa faceţi!” – şi istoric aşa s-au întâmplat lucrurile – doar că şi-au dat seama că nu prea ştiu exact “cum să facă”; sunt atâtea de multe variabile, atâta de multe realităţi. Atunci decizia lor a fost să meargă pe scenariul 2 în care au dat o mare autonomie şcolilor din sistemul de stat, să se comporte aproape la fel ca şi şcolile din sistemul privat, să poată să ia decizii local, să poată să-şi asume lucruri care diferă de restul şcolilor din sistemul de stat, urmând ca după o perioadă să măsoare, să observe care sunt lucrurile care au funcţionat mai bine şi care au funcţionat mai prost, şi să tragă învăţăturile de la toate, să lase şcolile să inoveze, să caute soluţii şi apoi să le extrapoleze la nivelul sistemului.

Imediat în urma acestui exemplu, fără să ne fi prezentat clasificarea profesorilor (de care noi am discutat deja în prima parte), Lorand Balint trage următoarea concluzie:

În România, dacă este să ne uităm, dacă e să avem inovaţie, dacă este să avem transformări, cel mai probabil colegiile naţionale sunt principalul candidat. Ele sunt cele mai îndreptăţite să caute soluţii şi să inoveze (…).

Ulterior, spre finalul discuţiei, adică după prezentarea celor cinci categorii de profesori, Lorand Balint ajunge să justifice părerea exprimată mai devreme, anume că colegiile naţionale ar fi principalele puncte de unde ar apărea o evoluţie:

LB: …. La colegiile naţionale ponderea profesorilor din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea” este mult mai mare decât în restul instituţiilor şi atunci din această perspectivă este mai probabil ca de la ei să vină inovaţia şi să schimbe lucrurile. (…) Creşte probabilitatea ca (în câţiva ani) să apară un model care să poată fi replicat …. .

Un prim răspuns la această afirmaţie ar fi pe o lungime de undă a pamfletelor: Aşa, am înţeles, deci de la Colegiile Naţionale este de aşteptat să apară o soluţie pentru marea masă de elevi analfabeţi funcţionali din mediul rural! Da, bine.

Pe o lungime de undă apropiată, aşputea începe discuţia acestor citate cu o concluzie finală (din punctul meu de vedere): modelul nu ar apărea în câţiva ani, modelul deja există (!), anume la diferite facultăţi (unde, desigur că nu te pui cu autonomia universitară!) Practic, Lorand Balint sugerează aici instituirea discriminantă a unei autonomii preuniversitare, însă doar la nivelul Colegiilor Naţionale.

Să vedem câteva aspecte ale funcţionării autonomiei la nivel universitar, astfel încât să ne putem închipui cum ar funcţiona la nivel preuniversitar. De pildă, dacă doreşti să intri la o anume facultate (la care admiterea are loc pe baza unor examene concrete), atunci cel mai sigur este să iei meditaţii de la profesori din acea facultate, altfel rişti cel puţin ca să intri la “taxă”. Oricum, pentru anumite facultăţi există desigur şi culegerile aferente, pe care trebuie să le cumperi şi după care trebuie să lucrezi, pentru că acestea îţi dau “lungimea de undă” a subiectelor ce le vei primi la examenul de admitere. Iar modalitatea orelor online desigur că nu putea fi ratată în urma extinderii modelului din pandemie. Vă daţi seama ce oportunităţi financiare suplimentare ar apărea pentru cadrele didactice din diferitele colegii, dacă s-ar permite examene separate la acestea? Totul se reduce până la urmă la bani şi la forţa financiară a familiilor care “pun ochii” pe o anumită instituţie pentru nivelul următor de educaţie. Nu că acum n-ar exista fenomenul meditaţiilor în masă, dar o admitere separată la diferitele colegii ar fi ridicat fenomenul la un cu totul alt nivel. Am prezentat pentru început gândurile din acest aliniat, doar aşa ca să înţelegem cum ne situăm faţă de cele susţinute în respectiva emisiune. Pentru că de fapt, despre asta a fost vorba în primul rând în respectiva schimbare faţă de care toată lumea era indignată prin vară, atunci când dl. Cîmpeanu venise cu această propunere, pe care dorea să o impună cu orice preţ.

Permiteţi-mi să trec însă la lucruri mai serioase, anume la analiza punctului de vedere al lui Lorand Balint, anume că plecând de la premisa că la Colegiile Naţionale este desigur o “densitate” mai mare din categoriile dezirabile de profesori, atunci desigur că de acolo ar fi de aşteptat să apară şi idei novatoare bune pentru reformarea învăţământului românesc. Eu sunt doar parţial de acord cu aceasta concluzie.

Totul pleacă de la faptul că linia ghidantă a Colegiilor Naţionale este una orientată mai tot timpul spre excelenţă, spre performanţă în cele două direcţii arhicunoscute: concursurile şcolare, respectiv examenele de final de ciclu şi admiterea la formele şcolare ulterioare. Or, aceste rezultate se obţin exclusiv pe baza elevilor de vârf, cu grijă selectaţi dinainte, dar şi pe baza unei presiuni dure a materiei (cu accent pe cantitatea mare, dar şi pe nivelul ridicat, chiar foarte ridicat), presiune exercitată prin intermediul notelor, presiune ce are de obicei ca urmare faptul că cei mai mulţi elevi au nevoie de meditaţii particulare la materiile pentru care se doreşte performanţa. Or, cum cei mai mulţi profesori de la aceste instituţii lucrează în acest stil, căutând cu înverşunare nivelul foarte inalt (să ne limităm aici doar la matematică, unde cunoaştem bine tabloul), este de aşteptat ca modelele ce ar reieşi dintr-o astfel de căutare novatoare în cadrul Colegiilor Naţionale – sugerată de Lorand Balint – să fie una potrivită doar acestui segment al societăţii, anume elevilor de vârf, respectiv familiilor cu forţă financiară pentru meditaţii.

Cu mare probabilitate putem spune că modelele reformatoare ce ar reieşi din aceste instituţii de învăţământ ar fi potrivite doar şcolilor sau claselor “de elită”, croite după acelaşi model. Nu trebuie să fi “mare filozof” în cunoaşterea învăţământului românesc ca să îţi dai seama că aceste modele nu ar fi aplicabile în clasele sau în şcolile cu elevi “mai de rând”, din oraşe sau din mediul rural, aceştia rămânând din nou “pe de lângă”.

Ce-i de făcut? Păi frâiele unei posibile reforme sunt încă tot “în mâinile” Ministerului. Dar Ministerul, ca instituţie (chiar dacă erau cu totul alţi oameni atunci, pe vremuri), Ministerul ne-a adus în această situaţie în care toate forţele creative ale profesorimii sunt îndreptate doar către elevii cei mai buni ai societăţii, cel mult înspre copiii familiilor celor mai potente financiar. Mă refer aici desigur la continuarea şi la exacerbarea în anii ’90 şi mai departe a politicilor lui Ceauşescu spre excelenţă. După părerea mea, ca urmare tot Ministerul – chiar dacă cel de acum – trebuie să descâlcească această situaţie, are datoria să o facă (deşi se cam codeşte).

Mudificând puţin puctul din care privim subiectul nostru, nu se poate ca acum Ministerul să pretindă că lasă frâiele în mâinile celor mai bine poziţionaţi (cu cei mai mulţi “profesori dezirabili”), de vreme ce aceştia sunt setaţi tot pe vechile obiceiuri şi direcţii. Ministerul este cel care trebuie să reseteze cumva mai întâi tot sistemul pe nişte coordonate mai sănătoase pentru întreaga societate, nu doar pe nişte lungimi de undă favorabile numai elitelor, şi doar apoi, după ce sa dovedit că resetarea a avut loc în mod real, doar apoi Ministerul poate lăsa frâiele din mână.

Iar acest proces de lăsare a frâielor din mână trebuie făcut cinstit, accesibil pentru toată lumea, astfel încât şi dascălii implicaţi în şcolirea celorlalte categorii de elevi să aibă posibilitatea să “renoveze” zona lor de activitate. De pildă, ca să dăm doar un singur exemplu, sunt atâtea persoane (fizice sau juridice) care se implică intens în recuperarea păturilor de elevi oropsiţi de soartă, în prevenirea apariţiei analfabetismului sau a analfabetismului funcţional. De ce aceştia ar fi excluşi (pentru că este evident că profesorii din Colegiile Naţionale nu se întâlnesc cu astfel de situaţii, deci nici nu intră în raza lor de preocupare)?

Conştient fiind că această resetare nu ar putea de fapt avea loc, pentru că societatea este în mare parte calcifiată, osificată în modele vechi, unilaterale, greşite pentru mare parte a elevilor, putem să ne gândim şi la o altă abordare (nu am inventat-o eu, ci am aflat-o de la alţii). De pildă în Norvegia profesorii şi şcolile sunt obligate să treacă la un sistem de predare “prin descoperire”. Adică profesorii nu mai au voie să predea prin “prelegere”, prin prezentare a itemilor.

O formă mai simplistă de căutare a soluţiilor, similară cu cea britanică prezentată de Lorand Balint a avut loc în jurul lui 1980 în Suedia, deci soluţii există, doar să se dorească găsirea lor, doar că interpretarea acestor modele să se facă cinstit, nu deformator, ca în cazul de faţă.

Vreau să spun că Ministerul ar trebui să genereze un cadru de referinţă a învăţământului mai sănătos, în conformitate cu pretenţiile şi cu cerinţele unui învăţământ modern echitabil pentru toţi cetăţenii săi, un model similar cu cele folosite la nivel mondial, şi doar apoi să dea libertatea profesorilor şi şcolilor să caute soluţii în acest cadru. Deşi, şi aici am masive rezerve despre ce modele ar găsi unii sau alţii (văd destule exemple negative în jurul meu).

Atâta vreme cât suntem ancoraţi în obiceiurile şi în formele trecutului, atâta vreme cât inclusiv profesorii de la care s-ar aştepta acţiuni reformatoare pozitive sunt selectaţi tot pe baza criteriilor trecutului, sigur nu se vor putea găsi forme noi de şcoală şi de şcolire care să fie eliberate de tarele trecutului. Revenind la emisiunea analizată, spre final mai are loc o bucăţică de “discuţie discutabilă”:

CS: E important să ai o elită consolidată sau o masă mare de elevi absolvenţi în România care ştiu să lucreze la nivel mediu?

LB: Mie-mi place “şi-ul” (şi o să mai apară în discuţiile noastre); eu mă feresc de “sau”. Eu cred că poţi să ai şi o elită şi o masă mare de elevi care să fie oameni foarte bine educaţi, cu un viitor foarte bun. Dar este loc de “şi”, adică şi de o elită şi România are nevoie de o elită, de oameni educaţi, de oameni care să împingă lucrurile, de oameni care să fie pasionaţi, să aibă un mediu în care să se dezvolte.

Deci, d-lui Lorand Balint îi place “şi-ul”, dar iată ce ne transmite dânsul de fapt în ultima frază a emisiunii: ne spune că trebuie să ne preocupăm atât de elită (şi GATA!).

Simţiţi că ceva este greşit la fraza de mai sus? Poate corect ar fi fost să scriu: trebuie să ne preocupăm atât de elită, cât şi de ceilalţi (alegeţi dvs. eventual o altă formă de frază care să vi se potrivească, dar să aibă şi sens). Dar, din păcate, în argumentaţia din fraza finală a lui Lorand Balint lipseşte cu desăvârşire referirea la marea masă a absolvenţilor care să ştie să lucreze onorabil la un nivel mediu (apare doar în penultima frază). Poate că dânsul a vrut să o zică, poate că a subânţeles-o, poate s-a luat cu vorba, vrând să spună cât mai multe (vorbeşte foarte repede şi foarte mult), dar de spus n-a spus-o în final; nici măcar un cuvinţel! Chiar dacă susţine că este un adept al lui “şi” în loc de “sau”, se pare că Lorand Balint cam înclină spre zona elitelor (la fel ca mai toate persoanele ajunse în poziţii decizionale în ultimii 30-40 de ani în România).

Îmi pare rău, dar în urma acestei ultime pledoarii din finalul emisiunii respective, din partea mea dl. Lorand Balint primeşte doar un foarte apăsat semn cu pumnul strâns şi cu degetul mare în jos! Pentru mine persoanele care nu se gândesc şi la marea masă a elevilor, la corpul principal din “Clopotul lui Gauss”, pentru mine aceştia sigur nu contează în a emite păreri despre cum ar trebui să arate viitorul şcolii româneşti. Este absolut natural să ne procupăm de elite (să dăm Cezarului ce-i a Cezarului), o merită din plin, dar suntem obligaţi să ne preocupăm cel puţin la fel de mult şi de ceilalţi. Iar, ţinând cont că principalul curent de preocupare a fost în ultimii 30-40 de ani doar înspre elite, înseamnă că ar fi vremea să lăsăm ceva timp şi preocupării pentru restul populaţiei şcolare.

De fiecare dată când se naşte o discuţie despre ce ar trebui să facem cu restul populaţiei şcolare (de pildă pe baza procentelor răvăşitoare de analfabetism funcţional dovedite de Studiul PISA), repede sare cineva în sus “dar elitele noastre?”. Cu elitele trebuie să se lucreze mai departe conform nevoilor lor (iar despre acestea nu-mi fac griji, sigur preocuparea va continua pe lina deja cunoscută, şi este ok aşa), dar marea discuţie este despre ceilalţi, despre cei ce nu pot face parte din rândul elitelor. Despre aceştia discuţia trebuie lăsată să aibă loc, trebuie lăsată să se dezvolte, ca apoi să ajungă să se genereze soluţii, iar pentru asta trebuie încurajată şi mai ales statutată la nivel naţional oficial.

Ca o părere personală, din păcate se pare că procesul de “a lăsa frâiele din mâini” din partea Ministerului a cam pornit, fără să fie clar anunţat şi nici bine organizat. Iar mişcarea respectivă cu intenţia de a da Colegiilor Naţionale dreptul să-şi organizeze propriile examene de admitere făcea parte din acest proces, ca un fel de start furat (cum ar fi la Formula 1 înaintea unui restart, dacă nu s-ar anunţa decât unii şoferi că Safetycar-ul se va retrage). CTG

P.S. După cum am scris, în prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească. Da, pe mine dânsul m-a făcut să gândesc, dar sigur nu în direcţia în care şi-a dorit-o. Dar, lăsaţi-mă pe mine la o parte. Să încercăm să ne imaginăm cum ar ajunge să gândească marea masă a elevilor acestei ţări într-un viitor organizat după modelul previzionat conform acestui interviu? Păi, simplu: la fel cum gândesc şi marea masă a actualilor adulţi (foştii elevi de ieri), deoarece condiţiile de formare ar fi identice. Exact la fel, atât cu bune, cât şi cu rele, dar sigur cu nimic în plus, cu nimic mai presus.

P.P.S. Mai recent, într-o emisiune din 13 noiembrie, Lorand Balint se arăta mult mai raţional. Astfel, în emisiunea în care discutau fenomenul doritorilor de carnet de conducere auto, care sunt însă analfabeţi, dânsul spunea ceva de genul: trebuie să înţelegem realitatea în care trăim şi să ne-o asumăm, sugerând găsirea unor soluţii Out of the box. Într-adevăr, cu aşa ceva sunt într-u totul de acord. Dar, oare când va începe şi în organizarea învăţământului românesc, în particular a învăţământului matematic, un proces de găsire a unor soluţii Out of the box? Haideţi să luăm această recomandare şi să o aplicăm şi asupra situaţiei matematicii şcolare din România. Cât mai mulţi dintre noi! (cu scuzele de rigoare pentru critica efervescentă, dar şi cu mulţumirile corespunzătoare pentru gândurile exprimate de dl. Lorand Balint în emisiunile respective)

Discuţii pe baza unui interviu (1) – Tu, ce fel de profesor eşti? (o clasificare interesantă a profesorilor)

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are invitat pe dl. Lorand Balint. Acesta este un om care crede cu putere în puterea educaţiei, ca să-l citez pe Cătălin Striblea din prezentarea făcută la început. Seria Out of the box a pornit cu câteva discuţii despre educaţie, după care s-a distanţat de acest subiect (în episodul al doilea au vorbit despre motivele din cauza cărora elevii îşi scot scutire la Educaţie fizică).

În prezenta primă postare redactată cu mare întârziere faţă de difuzarea respectivei emisiuni, mi-am propus să reiau câteva gânduri din primul episod, gânduri la care tot cuget de atunci (episodul a fost difuzat duminică, în 11 sept. 2022; îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu).

CS: Ştiu că tu ai un tip de studiu făcut prin munca ta, despre profesorii din România, că sunt mai multe categorii de profesori. Poţi să ne spui despre asta?

LB: În momentul în care am avut de făcut o serie de proiecte despre profesorii din România am petrecut foarte mult timp să-i înţelegem, pentru că nu există acest lucru “Profesorul român”. Avem profesori diferiţi şi tipologii diferite şi sunt implicări diferite. Am identificat cinci tipologii diferite de profesori.

1) Prima categorie sunt profesorii blazaţi, sunt cei care au ieşit deja la pensie, chiar dacă au 25 de ani, 30 de ani sau 60 de ani, vârsta este mai puţin importantă; pentru ei totul e greşit, orice s-ar face bifează şi se duc, eventual intră la oră; trece ora, au rezolvat-o, vine salariul, îşi văd mai departe ….. . Ăsta este un segment care de multe ori blochează iniţiativele, pentru că “nimic nu-i bun, nimic nu se poate face, totul e greşit, sistemul e greşit, oamenii sunt greşiţi, copiii sunt greşiţi”; totul e greşit pentru ei.

2) Al doilea segment sunt profesorii de şcoală veche. Sunt oameni foarte faini, foarte implicaţi în educaţie, care cred în educaţie, dar care sunt ancoraţi într-o lume un pic depăşită, adică au metodele care le aveau în trecut. Principala lor plângere este că elevul din ziua de azi nu mai este “cum era odată” şi atunci au dificultăţi în a se înţelege cu ei, deşi sunt implicaţi, deşi sunt profesori din pasiune.

3) Al treilea segment – profesorii “tip-top” le-am zis noi, sunt cei care sunt şi implicaţi şi fac lucrurile, caută pe internet, interacţionează cu copiii, încearcă să-i înţeleagă, încearcă să-şi dea seama care sunt metodele noi de predare şi de interacţiune.

4) Al patrulea segment ar fi segmentul profesorilor “băi, dac-aş avea!”: “dac-aş avea şi eu 15 copii la sala de clasa în loc de 30, dacă aş avea şi io un proiector şi-un lap-top şi internet care să funcţioneze permanent, dac-aş avea nişte resurse, aş faaace. Practic sunt oameni care poate, la un moment dat au fost “tip-top”, au avut energia, dar după aia a venit o inspecţie, a venit poate reacţii de la nişte părinţi care n-au fost încântaţi că au încercat lucruri un pic diferite, şi au început să fie mai “dac-aş avea, dac-ar fi, dacă …”.

5) Ultimul segment (şi cel mai mare segment) sunt profesorii: “dacă mi se spune, asta voi face”. Acesta este cea mai mare parte, da! Sunt cadrele didactica care sunt cadre didactice pentru că acolo i-a adus viaţa. Adică nu sunt neapărat implicate, neapărat să-şi dorească să fie profesori, dar sunt acolo. Iar ei respectă: dacă programa zice, dacă vine inspectorul şi zice “asta trebuie să faceţi”, ei o să facă ceea ce li se spune, disciplinat; inspecţia a ieşit bine, şamd .

Deci să le recapitulăm: (1) profesorul blazat, (2) profesorul de şcoală veche, (3) profesorul “tip-top”, (4) profesorul “dac-aş avea” şi (5) profesorul “băi, dacă mi se spune fac”.

Mie mi-a plăcut foarte mult această idee, a clasificării atitudinii şi comportamentului profesional al breslei noastre. M-am gândit foarte mult de la acea emisiune la faptul că – uite – şi altcineva a observat că ne comportăm diferit în viaţa de zi cu zi în şcoală. Chiar şi categoriile depistate îmi plac ca idee. Pe unele le-am observat şi eu, pe altele poate creierul meu a refuzat “să le vadă”; dacă Lorand Balint şi colegii săi au lucrat cu grupuri mai mari de dascăli, atunci însă nu le-au mai putut ocoli cu privirea.

Pe de altă parte, într-o şcoală alternativă deosebit de complexă cum este sistemul Waldorf, eu am avut ocazia să mai observ şi alte “patern-uri” (modele) comportamentale, care ţin de felul cum se oamenii comportă puşi brusc şi nepregătiţi suficient într-o comunitate construită liber şi neierarhic. Unele se regăsesc şi la Lorand Balint, altele apar în plus în aceste condiţii noi.

Da, iar acum vine marea întrebare: dvs., stimaţi cititori, din care categorie faceţi parte? Se poate să alegeţi o categorie clară, sau se prea poate să fiţi un mix între două categorii de mai sus, poate o categorie dominantă şi una secundară. Dacă ar fi să mă încadrez forţat în categoriile mai sus prezentate, eu personal m-aş vedea ca un mix între categoriile 2 şi 3, undeva între profesorul de şcoală veche şi profesorul tip-top; cel puţin în parte, pentru că mă văd totuşi şi având diferenţe majore faţă de descrierile tipologice făcute în respectiva emisiune (poate ar mai trebui să studiez pe tema acestora).

Revenind la categoriile de mai sus, nu mă pot abţine să nu observ relativa dezordine în care acestea ne-au fost prezentate, atât felul în care ne-a fost prezentată fiecare individual (eu m-am străduit să redau discursul cât mai fidel), cât şi ordinea acestora. Legat de ordine, singurul lucru la care mă duce mintea ar fi că acestea ne-ar fi fost prezentate în ordine crescătoare (dată fiind precizarea că ultima categorie este cea mai consistentă numeric).

Tot în această emisiune Lorand Balint aduce în discuţie ideea că o parte dintre profesori ar putea fi folosită ca bază reformatoare a învăţământului, adică într-o reformă “de jos în sus”, în pofida existenţei celorlalţi care acţionează oarecum ca o piatră de moară legată de “gâtul învăţământului românesc” (comparaţia îmi aparţine). Astfel dânsul evidenţiază ca aducătoare de speranţă reformatoare profesorii din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea”. O astfel de ordonare, pornind de la cei mai demni de încredere la cei mai indezirabili ar fi mai interesantă pentru un studiu despre ce-i de făcut cu şcoala românească. Desigur că aici ar fi importantă şi proporţia în care a fost regăsită fiecare categorie în studiile efectuate.

Adăugând acestei structuri o a treia axă, anume o axă a dezirabilităţii – care categorie ar fi mai de dorit – putem simţi în ordonarea lui Lorand Balint o structură asemănătoare cu Clopotul lui Gauss, cu probabil cea mai deschisă spre acţiuni novatoare în centru şi cele mai retrograde la extreme (retrograde din punct de vedere a implicării în starea calitativă a învăţământui).

Revenind la “poziţionarea” mea în sistemul acestor cinci categorii, eu văd şi o altă nuanţă, anume că categoria “tip-top” sunt de multe ori persoane ce se aruncă cu mare avânt în metode noi, fără ca neapărat să şi aibă certitudinea solidităţii acestor acţiuni, lăudându-se însă masiv cât sunt ei de novatori. De astfel de tendinţe eu mă distanţez. Ţin minte exemplele ce le primeam în mass-media prin aprilie-mai 2020 despre profesorii care aveau deja pusă la punct o formă de predare online cu elevii la diferite licee din ţară (chiar dinaintea pandemiei), profesori care ne erau prezentaţi drept exemple de bună practică. Realitatea ulterioară a arătat însă că acest model de predare, extins la scară generală şi pe durată, s-a dovedit extrem de dăunător la anumite vârste şi peste un anumit prag de folosire. Am dat acest exemplu ca să înţelegem că “nu tot ce zboară se şi mănâncă”.

Am şi un exemplu opus. Doar pentru că pedagogia Waldorf este relativ nouă în sistemul românesc de învăţământ, mulţi aveau tendinţa să spună despre mine şi colegii mei că “folosim metode noi”. Poate erau “noi” pentru ei, inclusiv pentru ei inspectorii, doar că eu regăseam multe metode preluate din sistemul Waldorf din vest şi în manualele sau în culegerile româneşti din anii ’60-’70. A fost o vreme când mă străduiam să le explic că eu nu folosesc metode “noi” ci că folosesc metode “săntoase”, dar după câţiva ani m-am săturat şi m-am retras din astfel de discuţii (din păcate însă, în România încă nu a avut loc o dezbatere reală despre ce ar însemna – de pildă la matematică – o predare sănătoasă).

Închei cu un exemplu despre prima categorie, respectiv despre ultima, adică despre cele două oarecum cele mai retrograde din punct de vedere al ideii de auto-reformare a activităţii noastre (aşadar, două categorii într-un exemplu). Despre auto-reformare vom vorbi mai multe în a doua parte a acestei discuţii.

Fiind oarecum rupt de detaliile din programa gimnazială (dinainte de 2017), în urmă cu câţiva ani am întrebat un coleg de la o altă şcoală dacă se face în clasa a 6-a reducerea termenilor opuşi într-o sumă de numere. Răspunsul a fost că nu se fac, pentru că nu sunt în manuale, în programă etc., că se fac doar în clasa a 7-a. Pe mine m-a mirat mult, pentru că acest pas matematic mi se pare unul de bun simţ, accesibil gândirii copilului din acel moment, uşor de înţeles şi aducător de multă bucurie în viaţa matematică a elevilor (este aşa o bucurie mare în clasă atunci când elevii văd cum o astfel de sumă de multe numere pozitive şi negative se “auto-anulează” măcar parţial, scurtându-se fără nici cel mai mic efort calculaţionar). Făcându-se doar în clasa a 7-a la calcule cu litere sau cu numere iraţionale există clar pericolul ca elevii să priceapă că doar acolo se pot face reduceri de termeni opuşi. Ţin minte cum m-a şocat starea de completă platitudine ce se simţea din acel răspuns. Înţeleg acum că ce am simţit atunci a fost un mix (năucitor pentru mine) între profesorul “blazat” şi profesorul “dacă mi se spune fac”. Apropos de starea de “deja pensionat” mental, despre care vorbea Lorand Balint la început, menţionez că acest coleg acum chiar se pensionează de-adevăratelea. CTG

P.S. Am redactat acest articol cu trei săptămâni în urmă şi de atunci observ aproape involuntar atât diferiţi colegi, care în ce categorie s-ar integra prin atitudinea sa, cât şi pe mine cum manifest în diferite situaţii una sau alta dintre apucăturile celor câteva categorii ale lui Lorand Balint. Nu ştiu dacă aceasta ar fi cea mai bună clasificare, dar ideea acestei clasificări se poate dovedi deosebit de bună în studierea fenomenului învăţământului, mai ales în vederea luării deciziilor realist cele mai potrivite pentru viitor (desigur cu conexiune înspre toate categoriile implicate în procesul şcolar, atât cele implicate direct, despre care am vorbit deja în vacanţă, cât şi despre cele de care încă n-am apucat, dar de-abia aştept să o fac, cu toate calităţile fiecăreia, dar mai ales şi cu toate tarele, deficienţele şi lipsurile fiecăreia).

Mile pătrate contra kilometri pătraţi (o scurtă vizită la castelele din Scoţia)

De curând am urmărit pe postul National Geographic o emisiune numită Europa văzută de sus, anume episodul ce prezenta Scoţia. Într-un moment, naraţiunea ajungând la clanurile locale şi la renumitele lor castele, vocea care prezenta a spus (citat orientativ în traducere personală): se estimează că în Scoţia la fiecare 100 de mile pătrate este un castel.

Traducătorii acestor emisiuni au, printre altele, sarcina de a prezenta telespectatorului român traducerea în unităţi de măsură folosite oficial în ţara noastră, aşa încât pe ecrane a apărut o traducere de genul: se estimează că în Scoţia la fiecare 160 de kilometri pătraţi este un castel (din nou, citatul este aproximativ, din memorie, dar pentru prezentul articol ne interesează doar partea matematică). Mie personal, în momentul acela mi-a ieşit pe gură un “sunet” indescifrabil, undeva între uimire, râs şi renumitul UAU!.

Pentru cei care nu urmăresc astfel de emisiuni, sau poate nu dau atenţie unor astfel de detalii, daţi-mi voie să explic puţin. De obicei datele din aceste emisiuni sunt oricum orientative, aşa încât milele se traduc (se convertesc) la 1,6 km. Pe de altă parte, este evident că la ora actuală se apelează la traducători profesionişti; profesionişti în engleză, desigur, dar nu şi în matematică. În acest context ne putem imagina foarte bine cum au funcţionat conexiunile neuronale ale respectivei echipe de traducători (mă gândesc că nu este doar unul, ci că traducătorul principal o fi având cu cine se sfătui). Sau poate traducătorul a fost prea sigur pe el şi s-a gândit că-i simplu, aplicând un fel de regula de trei simplă.

În acest context putem fi chiar îngăduitori: probabil că lecţia despre pătrate perfecte nu pare de o importanţă aşa de mare, astfel încât se uită destul de uşor. Putem privi lucrurile şi altfel: am întâlnit destule cazuri când mi-a fost dat să văd o predare extrem de superficială a noţiunilor de bază, doar pentru că la începutul acestor lecţii nu se pot face aplicaţii destul de dificile (aşa, ca pentru cei cu pretenţii de excelenţă). Inclusiv, am văzut situaţie când profesorul a vorbit despre numere cuburi (inclusiv aplicaţii voioase), dar a omis să prezinte înainte numerele pătratele (deşi le amintise în titlu!!!). O altă sursă posibilă a scăpării respective ar fi “ruperea” între prezentarea aritmetică a fenomenului numărului pătrat de prezentarea geometrică a noţiunii de arie a pătratului. Cei mai mulţi profesori nu se obosesc să le prezinte elevilor (la apariţia denumirilor respective, la oparaţia de putere, în toamna clasei a 5-a) de ce acelor numere le spune “pătrate” (la fel şi la numerele “cuburi”).

Desigur că ne putem gândi şi la fenomenul hiperspecializării din sistemul nostru şcolar, sistem ce duce la cunoscuta întrebare “da’ de ce trebuie să mai avem matematică la uman?”. Da, şi desigur, pornind pe această linie putem ajunge la cunoscuta dezbatere despre ce se face la orele de matematică. Aici, în şcolile noastre profesorii pendulează de obicei între cele două linii arhicunoscute: (1) “pentru examen”; (2) “pentru olimpiadă”. Uneori se mai ia în considerare şi o a treia linie: (3) “vă trebuie aproape la orice facultate” (ca justificare la clasele liceale de orientare socio-umană), sau chiar o a patra linie de justificare: (4) “pentru a te descurca în viaţă”. Rar de tot mi-a fost dat să aud – aproape defel! – faptul că matematica ne-ar folosi: (5) “pentru formarea gândirii”. Oricum, această ultimă direcţie este sabotată atât de către programele în vigoare (adică de către “autorităţile matematice”), cât şi de către felul de predare (adică de către profesorii obişnuiţi), dar şi de către felul de a învăţa superficial, pe de rost, pentru test sau “pentru că mă ascultă” (vină împărţită în mod egal, atât de către elevi, cât şi de către părinţii care-i direcţionează pe copii acasă în clasele primare sau gimnaziale, cât şi de unii profesori, care – chiar şî în liceu – le sugerează elevilor învăţatul pe de rost).

Este interesant faptul că în ultima săptămână am întrebat de câteva ori diferiţi elevi şi de fiecare dată am primit răspunsul de 160 km², fapt care ne arată că aşa merg neuronii în mod general în această situaţie. Oricum, după această vizită scurtă la castelele din Scoţia, rămânem cu o problemă deosebit de frumoasă prin profunzimea ei. Iată o variantă posibilă:

Ştiind că o milă se aproximează la 1,6 km, atunci 100 de mile pătrate se aproximează orientativ la: (A) 60 km²; (B) 160 km²; (C) 260 km²; (D) 360 km². Titus MacMiles

P.S. Desigur că răspunsul (C) reprezintă cea mai bună aproximare a lui 256 = 16² (din cele patru variante oferite). Dacă luăm conversia prin adaos, mult mai exactă, că 1 milă = 1,61 km, atunci obţinem pentru 100 mile pătrate valoarea de 259 km², foarte aproape de 260 km² (pe Metric Conversions am găsit că 1 mi = 1.609344 km).

P.P.S. Pentru cine este tentat să creadă că situaţia mai sus prezentată reprezintă un caz izolat, iată şi o altă situaţie: tot pe National Geographic, într-o emisiune despre Construcţii gigantice (la care am pornit televizorul pe la mijlocul emisiunii) era prezentată situaţia ridicării parcului de distracţii cu ocazia Oktoberfest din München (Bavaria, Germania), emisiune în care ne era prezentată – printre altele – ridicarea şi pregătirea cortului de la fabrica de bere locală Hofbräu. La un moment dat prezentatorul ne spunea că constructorii trebuie să poziţioneze mesele pentru cei 10000 de clienţi (?) with centimeter precizion (deci cu precizie centimetrică). Doar că traducerea apărută pe ecran a fost că mesele respective trebuie aranjate cu precizie milimetrică. Uau! De ce n-au tradus cu precizie micronică (?), ca să corespundă imaginii noastre despre obsesia nemţească pentru exactitate; parcă-i şi vedeam pe bavarezii ăia ciudaţi aranjând mesele cu şublerul, dacă nu la micrometru, dar măcar la zecime de milimetru. Multe s-ar putea spune şi despre această traducere, despre tentaţia unora de a exagera sau despre libertatea traducătorilor de a aranja textul cât mai potrivit, dar prefer chiar să mă opresc aici.

Omagiu lui Grigore Gheba (2)

Introducerea operaţiilor cu fracţii algebrice

În vara anului 2000 am publicat o mică culegere sub denumirea P3NT4GON1A (mică dar foarte înghesuită). Multe lucruri bune am inclus acolo, dar şi multe de valoare discutabilă. Dintre cele de valuare bună, majoritatea le-am mai reluat în diferite forme, desigur la fiecare transformate cât mai bine. O singură temă a rămas nereluată, pentru că s-a dovedit din start suficient de bună şi în plus încăpea foarte bine copiată pe o pagină A4, aşa cum era acolo, schimbările necesare fiind minore, aşa încât le puteam face direct în clasă. Este vorba de o colecţie de exerciţii cu toate operaţiile cu fracţii algebrice, inspirată în mare parte de exerciţiile din vechiile culegeri ale profesorului Grigore Gheba din anii ’60-’70.

Atât eu cât şi soţia mea avem acasă câte un exemplar al culegerii Gheba, cel original al familiei, din care am lucrat atât noi, cât şi fraţii noştri. Ambele exemplare (al soţiei pe română, al meu pe germană) prezintă o stare deosebit de “rufoasă” în prima parte, cea care conţine exerciţiile acelea cu fracţii supraetajate (operaţii cu numere raţionale), dar şi în zona de operaţii cu fracţii algebrice. După zona respectivă, ce include şi alte teme valoroase, cum ar fi expresiile polinomiale sau sistemele de ecuaţii, urmează zona cu probleme diverse, atât pe bază algebrică, cât şi apoi de geometrie. În ambele culegeri zona cu probleme de text nu mai este nici pe departe atât de folosită, rufoasă cum am spus, arătând clar că nu a fost nici pe departe la fel de folosită ca începutul.

Despre partea cu operaţii cu fracţii am publicat o reluare prezentată în postarea cu acelaşi titlu pe care o puteţi găsi la adresa http://pentagonia.ro/omagiu-lui-grigore-gheba-1/ postată în iunie 2016. Fişa de lucru respectivă are 4 pagini şi încape deci pe două coli A4 faţă-verso.

De atunci îmi doream să fac şi o a doua fişă, cuprinzând operaţiile cu fracţii algebrice (aşa le spunea Gheba, iar eu sunt perfect de acord cu respectiva denumire, mult mai bună decât actuala). În lockdown-ul din 2020 i-a venit vremea, dar cumva nu a ajuns la publicare (oare pentru că nici măcar n-au fost incluse în materia de EN?). Acum vremea este în sfârşit pregătiră pentru apariţia acestei fişe. De data asta fişa conţine o singură pagină A4, cuprinzând doar introducerea în acest domeniu. În culegerea din 2000 materialul era de două ori mai lung, dar realitatea următorilor 20 de ani mi-a arătat că doar această parte merită cu adevărat. Partea asta am parcurs-o din 2000 cu fiecare generaţie, chiar şi cu clasa a 8-a din anul şcolar 2020-2021. Nici un alt material de lucru nu s-a dovedit atât de vrednic în viaţa mea de profesor, încât să pot spune că l-am parcurs atâta vreme cu toţi elevii.

Fişa conţine trei seturi de exerciţii: seturile 2 şi 3 sunt în mare parte inspirate din culegerile lui Grigore Gheba, dar cu unele modificări. Primul set de exerciţii conţine o mică colecţie de intrare în această temă, colecţie adunată în anii ’90 şi în primii ani după 2000 (Gheba nu avea exerciţii atât de uşoare). Am păstrat de la dânsul prezentarea în paralel, în partea dreaptă, a răspunsurilor, stil ce le aduce mare bucurie elevilor, atunci când îşi recunosc dintr-o privire răspunsul obţinut.

La vremea redactării acelei culegeri în 2000 nu ştiam prea multe despre felul cum se poate prelua dintr-o altă lucrare o anumită parte. În respectiva lucrare am pus culegerea lui Grigore Gheba la bibliografie, dar oricum îmi era frică, aşa că – pe post de ultimă măsură de precauţie – am schimbat toate exerciţiile preluate în sensul că le modificam perechea de litere folosită (de exemplu din a şi b în x şi y). La vremea pornirii acestui blog m-am interesat despre cum se preia, aşa încât acum îmi pare cel mult hazlie schimbarea de litere din 2000, dar atunci aşa am considerat. Acum, la prezenta fişa, am hotărât să le las respectivele exerciţii în forma publicate de noi în 2000 (aşa încât nu are rost să le căutaţi “ad-literam” la Gheba). Oricum, chiar dacă materialul acestei fişe de lucru nu este preluat integral şi ad-literam din culegerile profesorului Grigore Gheba, fişa este cu totul dedicată memoriei sale, fiind ca un fel de “reluare remixată” după un material vechi şi pe care cei mai mulţi elevi nu mai au ocazia să-l parcurgă la ora actuală.

Merită să vă povestesc puţin despre cum folosesc eu acest material de lucru. Fişa se poate parcurge într-o oră, cel mult în două la clase mai slabe (prima oră ex. 1 şi 2, iar a doua oră verificarea şi ex. 3 – încape şi în jumătate de oră; trebuie văzut cum merge de la o clasă la alta). Eu le dau fişa la începutul orei elevilor, scriem titlu pe tablă, iar apoi începem munca la tablă, direct cu elevi. Nu le explic nimic. Primul set de exerciţii porneşte de aşa de jos, încât un elev mediu spre bun îl poate aborda din prima (depinde ce înţelege fiecare prin elev mediu spre bun; eu m-am referit la situaţia unei clase obişnuite).

La clasă parcurgem din această fişă la fiecare set câte două-trei, cel mult patru exerciţii, urmând ca restul să rămână de efectuat acastă, ca temă. Din primul set, cel de încălzire, eu fac de obicei cu elevii exerciţiile b), f) şi g). Dintre cele rămase, doar exerciţiul c) mai aduce ceva nou.

Al doilea exerciţiu aduce o folosire mult mai activă a formulei (a + b) (a – b) = a² – b², cunoscută şi ca produsul sumei cu diferenţa. Din acest al doilea set, parcurgem de obicei exerciţiile a), e) şi g).

Aparent, exerciţiile din al treilea set nu aduc nimic nou faţă de cele din setul 2); eu chiar obişnuiesc să-i întreb pe elevi “de ce acestea apar într-un set nou de exerciţii?”. În unele clase se prinde cineva de noutate, în alte clase pur şi simplu nu observă nimeni modificarea. Din astfel de situaţii eu pot să stabilesc cât este de “tare” clasa respectivă. Deci, în al treilea set apare doar nevoia înmulţirii sau a amplificării cu un “minus”, eventual a unui factor comun un “minus”.

Pornind de la exerciţiile profesorului Gheba, acest set completează încă o deficienţă a formelor actuale de predare, anume dorinţa de respectare a formei expresiilor cu o singură nedeterminată (de obicei x), adică de prezentare a acestei lecţii în forma E(x) = … . Din dualitatea formulelor de calcul prescurtat pe cei doi termeni (daţi de obicei cu a şi b sau cu x şi y) reiese însă importanţa prezentării calculelor cu fracţii algebrice şi în forma cu două litere (sau chiar cu trei, la situaţiile “triunghiulare”). De fapt, în fişa de faţă am oferit exerciţii în ambele variante, atât cu două litere, cât şi cu o singură literă (rolul partenerului acesteia fiind preluat de un număr).

Odată parcursă această fişă, elevii au prins mişcarea, astfel încât orice noutate are în ce se integra. De pildă, pe vremea lui Gheba aceste exerciţii nu conţineau descompuneri de tipul x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3), dar elevii reuşesc să integreze această nouă mişcare foarte uşor odată înţelese exerciţiile de pe fişă noastră. Prin aceasta eu am reuşit să respect un principiu pedagogic de multe ori încălcat în lecţiile actuale, anume să păstrez lecţia într-un număr restrâns de itemi noi, astfel încât elevii să nu fie năuciţi de prea multe aspecte noi simultane. După acest set “sky is limit”.

La republicarea acestui material după 22 de ani (dar cu 2 ani prea târziu) merită discutate şi o altă serie de aspecte, anume care este poziţionarea actualilor elevi de liceu faţă de tema fracţiilor. Liceele din România sunt la ora actuală pline de elevi care nu au habar despre aceste fracţii şi cum se calculează cu ele. Cei din clasa a 9-a şi a 10-a sigur, pentru că nu-mi pot imagină prea multe situaţii în care profesorii să fi parcurs totuşi lecţia, deşi aceasta nu era inclusă în materia de examen. Cât despre cei din clasa a 11-a, aceştia probabil le-au făcut în toamna lui 2019, dar sigur nu le-au mai recapitulat singuri acasă în lockdown, de pe testele de antrenament din primăvara lui 2020.

Mulţi profesori din licee se plâng de acest aspect, sesizând pe bună dreptate deficienţele ce se văd aproape zinic legate de faptul că elevii nu ştiu lucra cu fracţii. Ca urmare, fişa de faţă poate fi foarte bine folosită şi ca bază pentru o introducere sau o recapitulare rapidă a acestora şi la clasele de liceu. Pentru aceştia “lungimea de undă” a fişei este atât de simplă, încât poate fi dată şi pur şi simplu ca temă. Ceva mai controlat totuşi (deci, pentru cei care pun suflet şi nu vor doar să “se spele pe mâini”, pasând recuperarea fracţiilor “acasă”), aceasta poate fi desigur folosită şi într-o oră de clasă “altfel”, ca fişă pe grupe, în stilul fişelor de lucru prin descoperire (stilul d-nei Birte Vestergaard, despre care am tot scris). Oricând şi oricum aţi face-o, vă doresc spor la lucru! CTG

Omagiu-Gheba-2-Fractii-algebrice-1.pdf

Fracţiile zecimale periodice (3) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În primele două părţi ale prezentului eseu am prezentat momentul “întâlnirii” elevilor cu fenomenul periodicităţii zecimale, cât şi mai ales toate gândurile pregătitoare necesare unui dascăl, astfel încât acest moment să fie unul de un impact cât mai puternic, dar totuşi cât mai pozitiv, accesibil şi nefrustrant pentru cât mai mulţi elevi.

Din păcate, în astfel de momente foarte mulţi profesori greşesc. Mentalul nostru general, cel puţin în România, după atâţia ani de zdroabă, împinşi fiind spre olimpiade şi excelenţă, mentalul nostru este focusat pe zona de aplicaţii cât mai complexe ale fiecărei lecţii. Majoritatea profesorilor “cu rezultate” neglijează inconştient începutul lecţiilor. Introducerea noilor noţiuni, itemi, lecţii este total neglijată. Unii “uită” să le facă, alţii le dau să fie copiate acasă din culegere sau mai rar din manual (şi acesta este un fenomen interesant ce ar merita discutat cu o ocazie); alţii îi pun în clasă să copieze lecţia dintr-o carte (cică metode noi – dacă a mers în pandemie, de ce n-ar merge şi acum?, iar profesoara are timp să stea puţin pe telefon). Alţii nu le predau, nu le dau nici ca temă, dar dacă copilul nu stă cuminte la oră este ridicat în picioare şi întrebat din noţiuni nepredate, la care desigur nu ştie şi deci primeşte un 2 (ca să se înveţe minte!).

Chiar şi în afară de astfel de forme extreme, totuşi, în general noi nu mai avem o cultură a introducerii noţiunilor noi la clasă. Fenomenul poate fi explicat şi astfel: tu, ca profesor, ai mai făcut lecţia asta de n-şpe ori; între timp, de la ultima trecere, eventual de anul trecut, ai găsit noi probleme şi de-abia aştepţi să le dai la clasă. Pe tine începutul lecţiei te plictiseşte profund. Doar că, în entuziasmul tău, tu uiţi cumva că aceştia sunt alţi elevi, că aceştia habar nu au despre lecţia respectivă (cel puţin cei cu care nu a parcurs nimeni lecţia în avans acasă! Acesta este un alt aspect ce ar merita tratat separat şi analizat pendelete.).

Da, într-adevăr, majoritatea profesorilor nu se concentrează pe o introducere “organică” a lecţiilor. Desigur că la acest fenomen a contribuit şi moda introducerilor definiţioniste a lecţiilor din anii ’80 ai secolului trecut, modă care nu a fost niciodată luată în discuţie şi în analiză la nivel naţional. Profesorul are impresia că odată date definiţia şi regulile, elevii le ştiu în mod natural şi înţeleg instant toată lecţia. Nimic mai greşit. În plus, profesorii au impresia că, odată prezentate principalele aspecte ale unei lecţii, elevii ştiu automat şi toate aspectele despre care nu s-a vorbit încă în lecţie.

Despre felul în care putem evita astfel de “gafe pedagogice” am încercat să vorbesc “printre rânduri” în primele două părţi ale eseului de faţă. Astfel, am încercat să arăt cum putem veni “din înaltul cerului nostru matematic” în întâmpinarea elevilor novice, cât mai jos, acolo unde se află aceştia înaintea predării lecţiei (încă o dată: asta dacă nu le-a arătat cineva cum stă treaba, dând astfel “spoil” la “filmul” ce urmează a fi vizionat).

Eu, ca profesor, trebuie “să mă cobor acolo jos unde este elevul” (elevul mijlociu), adică să pornesc lecţia mea de la lucruri pe care majoritatea elevilor le ştiu deja bine şi să urc pe o pantă destul de lină, adaptată majorităţii, astfel încât să am siguranţa că “nu pierd pe drum prea mulţi puiuţi”. Lecţia astfel ar trebui structurată încât orice elev binevoitor să meargă cu lucrurile înţelese acasă (bine înţelese şi deja parţial fixate). Aşa se preda pe vremuri (până prin anii ’70) şi până la un anumit nivel al lecţiilor majoritatea elevilor de la toate nivelele nu aveau nevoie de explicaţii suplimentare acasă, nici vorbă de meditaţii regulate (cel puţin nu cei de la mediu în sus, cel puţin nu la o astfel de lecţie cu abilităţi de bază cum este algoritmul împărţirii). Tema de casă trebuie apoi să repete măcar parţial cele întâmplate la oră, astfel încât aceste abilităţi şi cunoştinţe să se fixeze bine.

Nu vreau să susţin că lecţiile de introducere ar trebui să dureze foarte mult, dar nici prea puţin sau defel. Profesorul trebuie să le adapteze la nivelul clasei. La o clasă bună, selectată, lecţia precedentă ar putea să dureze cel mult 15 min. Dimpotrivă, la o clasă ce are şi copii mai slabi la matematică, acestora trebuie să li se acorde mai mult timp pentru digerarea noilor situaţii.

Setul de exemple de împărţiri prezentat în prima parte este suficient de bogat în diversitatea formelor rezultatelor, acesta trebuind repetat şi la temă (desigur cu alte exemple, poate mai multe exerciţii, dar şi eventual amestecate cu câteva fracţii zecimale finite). În altă ordine de idei, sper că s-a observat faptul că setul propus spre parcurgere la clasă este totuşi destul de scurt (cum am spus, la elevii buni probabil până în 10-15 min.). Revin, precizând că acest aspect a fost intenţionat gândit ca atare: pentru elevii slabi o astfel de lecţie este suficientă pentru o oră (la aceştia munca va dura mult mai mult decât la cei buni), putând fi eventual pornită la clasă şi tema pentru casă (aşa sunt de fericiţi când au ocazia să pornească tema la clasă! Cei mai mulţi nu apucă să facă tare mult în ultimele 3-5 minute, dar sunt atât de recunoscători de ideea că tema a scăzut, încât pleacă toţi fericiţi de la ora de mate). Pentru elevii buni, desigur că o astfel de lecţie scurtă lasă loc şi pentru aplicaţii mai grele, atât la începutul orei (deci din lecţiile precedente), cât şi după (deci din lecţia de faţă).

Să revenim însă la fracţiile noastre periodice: mai avem de studiat şi drumul invers, adică transformarea fracţiilor zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare. Elevii cunosc cumva ideea de la fracţiile zecimale finite, unde au cunoscut deja ambele direcţii de transformare şi unde am accentuat asupra faptului că fracţiile au două forme de manifestare, două “limbi de exprimare” şi că noi putem să transformăm o anumită fracţie şi într-o direcţie şi în cealaltă.

Apropos de fracţiile zecimale finite: aici apare un fenomen foarte ciudat din punct de vedere a felului în care văd profesorii o noţiune, o lecţie, un fenomen matematic, pe de-o parte, şi felul în care acesta este văzut de elevii aflaţi în procesul cunoaşterii. Daţi-mi voie să evidenţiez acest fenomen pe exemplul fracţiilor zecimale finite, deşi fenomenul este prezent şi în multe alte locuri.

Fracţiile zecimale apar de la împărţirea numerelor şi nu este normal să îi confruntăm “din prima” pe elevi cu situaţia periodicităţii (aici toată lumea este cumva de acord). Incluzând însă în titlu cuvântul finite, putem genera una din următoarele două situaţii: fie îi derutăm pur şi simplu pe cei mai mulţi, fie dăm “spoil” la ce urmează, adică stricăm surpriza lecţiei următoare, eventual cauzând la elevii mai curioşi impulsul să studieze în avans (pe internet sau întrebând un părinte). Părerea mea este că cel mai des se va întâmpla prima situaţie (că dacă s-ar întâmpla prea destul des a doua situaţie, măcar am ştii că le-am stârnit curiozitatea şi asta tot ar fi bine). Rămânând la prima variantă, uneori chiar am impresia că profesorii asta îşi şi doresc: să-i bulverseze pe elevi (şi de aici am putea să divagăm spre un fenomen ce a ajuns să se manifeste la nivel naţional).

Vorbim aici deci de fenomenul folosirii unor cuvinte sau expresii pe care elevii încă nu au de unde să le ştie, dar pe care programa oficială le impune la un anumit moment. Dar unde mai apare acest fenomen? Păi. să vă dau nişte exemple la întâmplare. Folosirea termenului de număr raţional pozitiv înaintea cunoaşterii numerelor negative va trezi în orice minte ageră curiozitatea despe ce şi cum. Dimpotrivă, folosirea termenului coplanare în definiţia dreptelor paralele din clasa a 6-a va bulversa masiv înţelegerea copilului obişnuit. Mai sus, în a 8-a sau a 9-a, apare un astfel de moment când discriminantul unei ecuaţii de gradul II este negativ şi nu spunem pur şi simplu că ecuaţia nu are soluţii în acest caz, ci ne simţim toţi datori să le precizăm că nu are soluţii reale. Întotdeauna de aici se iscă întrebarea: dar există şi alte numere pe lângă cele reale?

Există şi un exemplu de folosire a unei expresii legată de “ceva” ce însă nu va veni nici pe viitor, conform programei, iar asta o pot descrie ca “răutatea supremă”. Vorbesc aici despre folosirea denumirii de prismă dreaptă cu baza pătrat, ce se întâlneşte foarte des prin cărţi. Descriu asta drept o răutat pentru că elevii nu învaţă dualitatea prismă dreaptă – prismă oblică, dar nici măcar ideea de prismă dreaptă, care ar necesita desigur măcar un exemplu (de pildă o prismă dreaptă cu baza un romb, pe care calculele sunt foarte uşoare). Este evident că dacă ar fi incluse şi acestea în programă. s-ar năpusti toţi olimpiştii în acea zonă. Acestea au fost exluse din materie la începutul anilor ’90, aşa că nici expresii ce ţin de ele nu ar avea voie să apară prin cărţi.

De ce trebuie să le facem asta constant elevilor noştri, această înjosire constantă, prin care să le arătăm sistematic că ei nu ştiu destul? Haideţi să facem un experiment cu dvs., profesori de matematică ce aveţi pretenţia că ştiţi desigur totul despre matematica preuniversitară. Cum vă simţiţi la următoarea afirmaţie: numerele iraţionale de tipul radical din 2 sau radical din 3 etc. au o formă infinită neperiodică, dar asta doar în sistemul de scriere zecimal. Cum adică? Există o altă formă de scriere a acestor numere care este infinită dar periodică?, veţi întreba. Iar eu voi răspunde că Da!, există, doar că dvs. încă n-aţi învăţat-o. Iar acum schimb subiectul, pentru că nu ne-am propus să vorbim aici despre fracţiile continue.

Revenind la fracţiile zecimale finite, după părerea mea acestea pot fi denumite oficial de-abia după cunoaşterea fracţiilor periodice. În acest sens putem face o scurtă sistematizare la sfârşitul orei respective (dacă mai este timp suficient), sau putem să o aducem ca o formă de reactualizare la începutul orei următoare (aşa este poate chiar mai bine). Ca o paranteză pentru pedanţi, experienţa îmi arată că nu apar întrebări de genul: dar există şi fracţii infinite neperiodice? Totuşi, dacă ar apărea această întrebare, le-aş răspunde calm că da, sunt radicalii (de care elevii au cam auzit, că-i văd pe calculatoarele de pe telefoane), doar că despre aceştia vom învăţa prin clasa a 7-a pentru că sunt ceva mai complicaţi.

Înainte de a vorbi despre transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare mai trebuie să prezint un scurt aspect ce ţine de didactica predării. Eu personal mă străduiesc cât se poate de mult să le aduc elevilor noile cunoştinţe în forme pe care ei să le înţeleagă de unde vin. Când predau prin întrebări (prin problematizare etc.) este evident că elevul care dă răspunsul corect a intuit de unde vine ideea. Chiar şi acolo unde nu pot să-i îndrum pe elevi pe o cale de descoperire, le explic eu cum se face, dar mă străduiesc să le-o prezint astfel încât să le generez o cât mai clară senzaţie de înţelegere a raţionamentului sursă al fenomenului respectiv. Înţelegând raţionamentul care duce la o nouă situaţie, elevul îşi formează totodată şi gândirea. Predând cât mai des astfel încât elevii să înţeleagă sursa logică a noţiunilor, eu am certitudinea şi bucuria că pot contribui constant la formarea unei gândiri raţionale la elevi.

Totuşi, există situaţii când uneori chiar nu le putem explica nicicum de unde vine ideea, cel puţin nu la nivelul la care sunt elevii în acel moment (algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate este o astfel de situaţie; chiar aşa, ştiţi cum se justifică acesta? Întrebarea asta a venit în contextul în care am vorbit de înjosirea celorlalţi; Scuze că folosesc asta pe dvs.).

Pentru că elevii trăiesc constant strădania mea de a-i face să înţeleagă, într-un asfel de moment beneficiez de un soi de “clemenţă” din partea lor atunci când le spun: aici nu am cum să vă explic de unde vine; aici pot doar să vă arăt cum se face. Aici pot să fac doar ca toţi ceilalţi din breasla mea; dacă-mi aduceţi aminte peste doi ani, atunci vă voi putea explica de ce se face aşa. Un astfel de moment este şi la transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare.

Faptul că transformarea se face într-o fracţie cu numitorul format din atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă, acesta este un fapt ce are un efect tranchilizant, de anestezie totală asupra gândirii învăţăcelului. De unde 99 la o fracţie de tipul 0,(37)? Regula se înţelege destul de uşor; de pild la 0,(375) vom scrie automat numitorul 999. Dar de ce? DE CE?

Trecând peste acest moment de neînţelegere “că de ce se face aşa?”, elevii nu au mari probleme în a aplica noua regulă în cazurile simple. Cumva ţine însă de arta profesorului “să le facem viaţa cât mai uşoară” şi să le prelungim cât mai mult starea de “cazuri simple”, adică să nu-i trecem prea repede la “cazuri complicate”.

Pentru a prelungi starea de “caz simplu”, eu le dau forma de fracţii zecimale periodice simple supraunitare prin trecere în scriere cu întregi ca fracţie ordinară. Concret, odată ce a înţeles primele cazuri (cele de mai sus, pe câteva exemple), eu le dau modele de felul 3,(45) = 3 întregi şi 45/99 (scuzaţi scrierea, vreau să am garanţia că se poate citi de orice aparat). Astfel şi acest caz este unul simplu, aducând doar combinaţia noii reguli cu forma mai veche, uşor de reamintit, ce necesită apoi doar introducerea întregilor în fracţie (o bună ocazie de reactualizare).

De-abia la forma fracţiilor periodice mixte vin cu varianta ce implică scădere, simultan cu numitorul ca o combinaţie de 9 şi de 0. De pildă 0,4(25) = (425 – 4)/990. De ce se întâmplă aşa, asta este din nou o mare enigmă pe care nu le-o putem explica acum elevilor. Ce putem însă este ca la forma din aliniatul precedent să nu le-o băgăm încă (aşa cum din păcate s-a stabilizat la ora actuală în toate manualele şî auxiliarele). Evident că lecţia urmează să primească cât mai multe exerciţii, dar aici eu nu mai continui pentru că acestea se găsesc peste tot în cantităţi suficiente.

Legat de exerciţii, am un singur “contra-exemplu”, anume o hiper-capcană pentru elevi găsită într-o culegere (seria condusă de dl. profesor Artur Bălăucă, la ed. Taida). Fracţia zecimală periodică mixtă 1,0(6) este cuprinsă într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, inclusiv paranteze (direct paranteze drepte, pentru că cele rotunde sunt rezervate pentru perioade). De ce este acesta o hiper-capcană? Pentru că elevul a fost împins pe calea unei rezolvări care permite apoi o capcană. Rezolvarea cu scrierea întregilor, sugerată mai sus, nu ar împinge elevul spre această greşeală. Despre ce este vorba? Aplicând rezolvarea propovăduită actualmente de toată lumea, elevul va avea tendinţa să neglijeze acel zero şi să scrie 106 – 1 la numărător, şi nu 106 – 10. Pe această capcană o mai putem numi şi “mină anti-elev”.

O altă problemă ce implică aspectele metodico-didactice ale acestei lecţii o reprezintă forma în care le dăm aceste reguli elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor şi majoritatea cărţilor prezintă aceste reguli într-o formă scrisă cu litere în loc de cifre, având astfel pretenţia că devine generală. Din păcate marea majoritate a elevilor nu înţeleg NIMIC din aceste scrieri, dar NIMIC-NIMIC! Realitatea acestei predări e ca şi cum acele sfaturi din startul Programei de gimnaziu din 2017 despre o predare cât mai întuitivă, cel puţin la clasele gimnaziale mici, sunt de fapt aplicate exact pe dos. Aici o predare intuitivă înseamnă să-i dai câteva exemple cât mai sugestive, iar elevul prin simpla imitaţie să facă mai departe alte şi alte exerciţii similare în acelaşî fel. Atâta tot! Cei mai mulţi le vor înţelege imediat, iar cei care nu le înţeleg nici aşa, “asta e!”. Cei mai slabi oricum nu le vor înţelege nici din forma generală dată prin litere. Dând însă aceste reguli prin exemple, creştem considerabil numărul elevilor ce le vor înţelege şi le vor putea face fără ajutor de acasă.

Din forma cu litere însă, “marea mare” majoritate nu vor înţelege nimic şi vor avea deci nevoie de explicaţii reluate acasă. Iar acasă, fie un părinte, fie un meditator plătit le va prezenta câteva exemple şi gata: elevul va înţelege.

E aşa de simplu cu exemple. Dar de ce să le prezinte profesorii lucrurile simplu elevilor, când pot să le facă viaţa grea şi amară la orele de matematică? Această atitudine mi se pare stupidă, chiar profund încărcată de o adevărată răutate. Îmi pare rău pentru agresivitatea acestor rânduri, dar aşa se văd lucrurile din punctul meu de vedere.

După părerea mea şase exemple lămuresc cu totul situţiile de aici. Gândind acum, eu le-aş aranja astfel: pe coloana din stânga trei exemple subunitare cu perioadă de una, doua respectiv trei cifre, măcar una sau două care să se simplifice, iar pe coloana din dreapta o fracţie supraunitară dar cu partea zecimală simplu periodică, apoi una subunitară mixtă (deci fără întregi), cât şi una supraunitară mixtă (deci cu întregi). La ultimele două trebuie să aleg diferit numărul de cifre din perioadă şi cel de cifre dintre virgulă şi perioadă, pentru a da impresia de situaţie generală.

Ajută la aceste exemple dacă folosim puţină culoare pentru a conecta vizual de pildă numărul de cifre din perioadă cu numărul de 9 de la numitor. Desigur că merită adăugate înaintea acestui set şi unul-două exemple de transformare de fracţii zecimale finite, care implică un 1 şi atâia de 0 la numitor câte cifre erau în partea zecimală. Două culori diferite vor ajuta elevii să conecteze exact aşa cum trebuie cele întâmplate.

Am convingerea că un set bine ales de astfel de exemple este mult mai clar pentru oricine decât nişte forme artificiale de reguli cu litere, sau o descriere în text (atunci când, pe lângă linia de fracţie, mai apare şi bara de deasupra, pentru scrierea în baza 10, cei mai mulţi elevi “cad pe spate, ca gândacii” şi “dau neajutoraţi din mâini şi din picioare!”). Îmi cer încă o dată scuze, dar chiar nu se gândeşte nimeni la aspectele acestea?

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă pozitivă: deci, cum se poate demonstra la nivelul unor elevi de clasa a 7-a să zicem, sau a 8-a, de ce are loc transformarea în fracţie ordinară cu numitorul atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă? Şi ca să fiu cât se poate de clar, vă voi face prezentarea exact în formatul unui exemplu numeric, situaţie ce acţionează deosebit de intuitiv la orice om, şi la noi, la profesori, dar şi la elevi.

Să alegem de pildă numărul 0,(375) pe care îl şi notăm cu a = 0, (375). Să înmulţim această egalitate cu 1000 şi obţinem 1000a = 375,(375). Scăzând prima egalitate din a doua obţinem 999a = 375 de unde deducem imediat că a = 375/999 (scrieţi dvs. pe hârtie varianta obişnuită, cu linie de fracţie). Asta a fost. E simplu pentu un elv de a 7-a, a 8-a. Poate ar merge şi în a 6-a, dar sigur marea majoritate nu o vor înţelege în finalul clasei a 5-a. Eu am găsit această “demonstraţie” într-o culegere veche din 1970 de pregătire a examenului de admitere în licee, deci pentru recapitularea din clasa a 8-a a materiei de clasele 5-8. Nu mai găsesc culegerea respectivă (cine ştie în ce cutie am pus-o), dar ştiu că pe copertă era ca nume dominant Ivanca Olivotto (m-a surprins pentru că la vremea respectivă, profesor tânăr fiind, nu-i ştiam istoricul şi cunoşteam doar culegerea de aritmetică cu acest nume).

Precizez un aspect important: chiar dacă un profesor ar avea impresia că aceste artificii de calcul într-adevăr pot fi înţelese de către elevi şi s-ar gândi să le arate elevilor în clasa a 5-a, realitatea ar avea şanse mari să fie una opusă. Haideţi să analizăm puţin lucrurile din punct de vedere a fenomenului dilemei cognitive. Elevii tocmai ce au fost confruntaţi cu o puternică dilemă cognitivă. În aceste condiţii lămurirea şi justificarea respectivei dileme cognitive ar trebui să aibă loc pe o cale cognitivă care face deja parte din uzualul elevilor, din “zona lor de confort” intelectual. Or, astfel de artificii sigur încă nu fac parte din zona de confort calculaţionist al elevilor obişnuiţi în clasa a 5-a. Făcând această “demonstraţie” la clasă, pentru cei 2-3 vârfuri ai colectivului, asta îi va bulversa şi mai mult pe toţi ceilalţi, împingându-i din nou spre învăţat pe de rost şi spre meditaţii private. Dimpotrivă, la o grupă de excelenţă, acolo s-ar putea face liniştit.

Tot în acea lucrare am găsit şi o “demonstraţie” foarte accesibilă a criteriului de divizibilitate cu 9, fapt ce întăreşte ideea că la clasele mici le putem da anumite reguli nejustificate, dar că odată ce elevii evoluează pe scara gândirii, noi ar trebui să venim cu o reluare mai matură în timpul căreia să aducem şi astfel de completări. Din păcate, nici în a 7-a şi sigur nici în a 8-a nu are nimeni timp pentru astfel de “filozofii”, acolo toată lumea fiind focusată pe “doparea” elevilor cu problemele şi situaţiile specifice verificate în examen (nimeni nu te întreabă la EN dacă cunoşti de ce se scrie cu 999 la numitor).

Da, cam astfel de gânduri ar trebui să avem noi atunci când venim cu “o lecţie banală” în clasă. Pentru mine gândurile pregătioare urmăresc un astfel de evantai de aspecte diverse, dar profund interconectate între ele. Nu poţi doar să turui o lecţie cât mai teoretic şi scurt, iar apoi să te plângi că elevii “n-au învăţat acasă”. Într-o lecţie de matematică trebuie pus mult suflet. Eu. doar aşa ştiu să fac. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din anul şcolar precedent, din care se poate obţine o oarecare impresie despre aspectele prezentate. C.Titus Grigorovici

P.S. Starea de îngâmfare, acea renumită stare de “eu ŞTIU!” este foarte periculoasă. Noi trebuie să fim conştienţi de acest aspect şi constant treji împotriva ei. De pildă, acum în final, recitind tot articolul şi aruncând o ultimă privire asupra celor două poze, mi-am dat seama de o mică gafă. În ultimele pagini am propovăduit calea transformării fracţiilor zecimale supraunitare în fracţii ordinare cu întregii scrişi separat, dar în pozele respective eu n-am dat nici măcar un exemplu similar în cazul fracţiilor zecimale finite. De pildă, la recapitularea dinaintea transformării fracţiilor periodice eu ar trebui să dau măcar un exemplu de transformare de felul: 3,65 = 3 întregi şi 65/100 care apoi să fie transformat prin introducerea întregilor în fracţie în (3 · 100 + 65)/100 = 365/100. Da, da! Cât trăim învăţăm.

Fracţiile zecimale periodice (2) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În prima parte a prezentului eseu “am ajuns cu elevii” până la momentul când aceştia au descoperit existenţa şi fenomenul fracţiilor zecimale periodice, pe baza câtorva exemple la clasă, dar şi la temă.

Pentru mine este foarte important ca în acest moment elevii să vieţuiască în mod sănătos diversitatea fracţiilor periodice. Atenţionez că procesul trebuie să se întâmple într-un ritm accesibil majorităţii elevilor, astfel încât aceştia chiar să şi înţeleagă ce se petrece. Această recomandare vine desigur în opoziţie cu impulsurile spre o viteză cât mai mare de parcurgere a lecţiei, conducând la o cantitate tot mai mare de informaţii, viteză spre care au fost împinşi profesorii în anii ’80-’90. Gândul acestei recomandări ţinteşte spre o accesibilizare a vitezei şi a cantităţii de lucru la nivelul majorităţii elevilor (mă refer aici mai ales la clasele cu colective eterogene). Din această temperare a impulsurilor mele elitiste de profesor face parte şi ideea de a relua la începutul orei următoare cele întâmplate şi descoperite pănă acum, aşa ca o mică recapitulare. În acest sens am văzut în pozele de tablă de la sfârşitul primei părţi unele tentative de sistematizare pe scurt a celor deja descoperite până în acel moment.

În setul de exerciţii sugerat în prima parte a prezentării am inclus şi impărţiri cu două cifre în perioadă, dar şi cu patru sau şase cifre în perioadă (împărţirea la 101 respectiv la 7). Tehnic, am putea renunţa pentru prima zi la împărţirea la 7 (adică la perioada de 6 cifre), lăsând-o ca “surpriză” pentru a doua oră a temei fracţiilor zecimale periodice (eu de multe ori aşa am făcut şi este de-a dreptul interesant când eu mă contrazic pe mine faţă de ce-am spus în prima parte; de fapt vreau să vă arăt diferite variaţiuni posibile ale lecţiei).

În această a doua prte a eseului de faţă va fi activ un principiu despre care încă n-am vorbit, aşa că o fac acum. Este sănătos pentru predare ca noi să ştim mai mult decât le aducem elevilor în clasă. Elevii capătă cu timpul o siguranţă în profesor dacă simt, chiar nearătat, că acesta ştie mult mai mult decât le arată lor. Este penibil dacă elevii te surprind prea des cu întrabări la care nu ai răspuns şi faţă de care te eschivezi (gen: acum n-avem timp pentru asta). Pe de altă parte, dacă uneori, rar, chiar se întâmplă, atunci eu prefer să fiu cinstit şi să spun că nu ştiu; asta mă umanizează în faţa lor. Dar, desigur, trebuie să nu se întâmple prea des.

Revenind, îÎn plus, din acea zonă vastă de cunoştinţe suplimentare profesorul poate scoate din când în când câte o idee, dacă consideră că este sănătos pentru clasă (de fapt asta fac toţi colegii în sistemul olimpic, elitist, dar o fac doar în zona problemelor). În cazul de faţă ajută dacă noi cunoaştem de unde se obţin perioade cu 2, cu 3, cu 4, cu 5 sau 6 cifre. Elevilor nu le explicăm de unde “le scoatem”, decât eventual în finalul capitolului.

Deci, de unde obţinem o împărţire cu trei cifre în perioadă? Repet: acum vorbesc pentru profesori (!!!); elevii nu au de unde să ştie a răspunde la această întrebare. Sau, la ce trebuie să împart astfel încât să obţin o perioadă de patru cifre? Cu această mega-întrebare ar trebui să ne ocupăm în continuare. Eu mi-am pus-o de câţiva ani buni şi iată cum am raţionat.

Pentru început ar trebui să recapitulăm ce cunoaşte sigur orice profesor (adică ce cred eu că este cunoscut). impărţirile la 2, la 5, la puteri ale acestora sau la numere compuse doar din factori de 2 şi 5, dau un număr finit de zecimale (în plus faţă de deîmpărţit), egal cu exponentul cel mai mare al împărţitorului scris ca produs de puteri de factori primi (astfel de exprimări “ne ies pe gură” dacă ne punem în cap să vorbim cât mai riguros; cam ce-aţi simţit dvs. la citirea acestei fraze, cam asta simt elevii când “îi duduim” cu câte o exprimare de-a noastră prea riguroasă). Fraza de deasupra este valabilă dacă nu are loc o simplificare prin 2 sau 5; atunci lucrurile trebuie reanalizate după simplificare (oare cum ar fi sunat fraza cea complicată dacă aş fi inclus şi ultimul aspect în ea?).

Un al doilea aspect pe care cam toţi profesorii îl ştiu este că împărţirea la 3, la 6 şi la 9 dă perioadă de o cifră. De unde vin atunci perioadele de mai multe cifre? Păi, de la alte numere! Dar, de la care? Unii profesori cunosc că împărţirea la 11 dă perioadă de două cifre. Dar, de ce? Poate unii au observat că o împărţire de felul 37 : 22 va da o perioadă de două cifre precedată de o cifră zecimală izolată (adică o fracţie zecimală periodică mixtă). Este destul de clar că acea cifră izolată provine de la factorul 2, iar perioada de două cifre de la factorul 11. Un bun exemplu aici ar fi o împărţire la 88 = 2³ · 11, care va da o fracţie periodică mixtă cu … (aţi înţeles, da?).

Un al treilea aspect cunoscut nouă, profesorilor, dar elevilor încă nu, este felul în care se transformă fracţiile zecimale periodice în fracţii ordinare, adică renumitele scrieri cu atâţia de 9 la numitor câte cifre în perioadă (numitorii de felul 9. 99. 999, 9999, ….) la care se adaugă şi combinaţii de tipul 990, 900, etc.

La toate acestea se mai adaugă un aspect de obicei necunoscut, dar pe care eu îl ştiam, anume descompunerea numărului 1001 = 7 · 11 · 13. Precizez că 1001 se compune multiplicativ exact din “următoarele trei numere prime”, adică exact cele ce urmează după primele trei numere prime (2, 3, 5), care sunt cunoscute şi uzate de obicei. Această descompunere apare folosită magistral într-un număr vechi de magie matematică. Iată-l pe scurt: magicianul îi cere subiectului (unui voluntar din audienţă, unuia care ştie bine socoti) să scrie la alegere un număr de trei cifre diferite (magicianul nu vede numărul respectiv). Apoi subiectul magiei este rugat să scrie în continuarea numărului încă o dată cele trei cifre, obţinând un număr de şase cifre (de pildă, la numărul 735 se va obţine numărul 735735). Apoi, acest număr trebuie împărţit la 7 (împărţirea se face exact); apoi, rezultatul va trebui împărţit la 11 (din nou iese împărţire exactă, adică fără rest). În final ultimul rezultat trebuie împărţit la 13 (desigur că se divide şi la 13). Magia este că după cele trei împărţiri, rezultatul final este exact numărul iniţial ales (adică exact 735).

Eu fac acest număr de magie trecând calculele de la un elev la altul, implicând astfel mai mulţi elevi. Surpriza va fi şi mai mare când ultimul elev îi poate spune primului elev numărul ales (pe care doar el şi următoarul îl ştiau). După efectuarea numărului de magie îi provoc pe elevi să-l descifrăm, adică să vedem cum de s-a întâmplat chiar aşa. Problema are două aspecte: primul ar fi că alipirea unui număr de trei cifre după acesta înseamnă de fapt o înmulţire cu 1001 (adică 735 · 1001 = 735735). Aici trebuie pur şi simplu făcută această înmulţire pentru a vizualiza ce se întâmplă; al doilea aspect este chiar descompunerea numărului 1001. S-ar putea ca un elev să se prindă de legătura cu cele trei numere ce apar ca împărţitori succesivi, sau se prea poate să fie nevoie ca profesorul să le spună acest fapt. Acest număr de magie mi-a fost foarte de folos la studiul periodicităţii ce apare la împărţirea la 7. Să revenim deci la studiul ce l-am propus.

Cercetarea noastră poate începe de la perioada de două cifre, care este legată de numărul 99 = 9 · 11. Numărul 9 apare prima dată ca factor chiar la numitorul 9, al perioadelor de o cifră. Doar numărul 11 apare prima dată ca factor la 99, deci la numitorul perioadei de două cifre (dacă aveţi comentarii legate de exprimarea neriguroasă, să ştiţi că o fac intenţionat ca să fie mai accesibilă). De aici apare întrebarea, conexiunea absolut legitimă: ce numere apar noi ca factori în acest proces, ca divizori ai numerelor cu cifre doar de 9, în studiul de creştere a numărului de cifre de 9? Adică, ce factori noi apar la 999, sau la 9999, sau la 99999? Sau invers: de vreme ce am văzut că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre, înseamnă că factorul prim 7 apare prima dată ca divizor al numărului 999.999, respectiv mai exact la numărul 111.111?

Oare, aţi prins ideea de unde am dedus toate cele? Dacă da, atunci opriţi-vă din citit, luaţi hârtie şi creion şi studiaţi singuri mai departe. Dacă nu v-aţi prins ce vreau să sugerez, atunci puteţi lectura prezentarea în continuare.

Numărul 111.111 este de tipul celor de la numărul de magie matematică de mai sus. Ca urmare deducem că 111.111 = 111 · 1001, având astfel ca divizor pe 7. Deoarece numărul 111.111 este primul de tipul 11…1 care se divide la 7, rezultă că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre. Doar de curând “mi-a picat fisa” că desigur şi la împărţirea cu 13 vom obţine o perioadă tot de şase cifre. Evident!

După ce am înţeles acestea merită să ne întoarcem şi să o luăm sistematic. 11 este el însuşi număr prim. Primul unde putem pune în discuţie ce am observat la 7, este numărul 111, care este divizibil cu 3. Aşadar 999 = 3³ · 37. Deducem că la împărţirea cu numărul prim 37 se obţine perioadă de trei cifre. Asta o ştiam mai de mult timp. dar prin primăvară mi-am dat seama că avem perioadă de trei cifre şi la împărţirea cu 27, care însă nu este prim. Totuşi, ca divizor el apare prima dată la numitorul 999, asta însemnând că şi el generează perioade de trei cifre (ce bun e calculatorul de pe telefon ca să verifici repede astfel de afirmaţii!).

Următoarea întrebare la rând este despre descompunerea lui 1111. În mod similar cu fenomenul de la şase de 1, preluat de la magia de mai sus, vom putea spune şi aici că 1111 = 11 · 101. Numărul 101 fiind număr prim, iar 11 apărând deja ca divizor la 99, deducem că factorul 101 este cel mai mic număr care generează perioadă de patru cifre.

Oare, care este cel mai mic divizor al lui 11.111? Aici m-a ajutat nevastă-mea, care din plictiseală (în timpul unei şedinţe) a abordat problema din altă parte. Astfel, ea lua numere ciudate şi le studia cu ce ar trebui să le înmulţească astfel încât să obţină produse numere scrise doar cu cifra 9, adică de tipul 99…9. Pe această cale la găsit ea pe 41 ca divizor al lui 99.999 (mai exact 11.111 = 41 · 271). În poza următoare găsiţi exemplificarea metodei chiar pentru 41. Am încercat să fac separat fiecare pas într-o imagine nouă, evidenţiind pasul nou cu roşu. Prima cifră cu care începe un pas este cea roşie din mijloc, stabilită astfel încât să completeze suma pe coloana respectivă la 9; în funcţie de aceasta se stabileşte şi cifra din acel pas de la înmulţitor, iar apoi se revine în mijloc şi se completează produsul pasului respectiv. Finalul procesului este atunci când obţinem direct o sumă de 9, nemai fiind nevoie să o completăm cu nimic; această sumă directă de 9 este prezentată în forma finală cu albastru. Interesant, ce se mai poate face în timpul unor şedinţe prea lungi!

Rezumând, vom obţine perioadă de două cifre la 11, perioadă de trei cifre la împărţirea cu 27 sau 37, perioadă de patru cifre la împărţirea cu 101, perioadă de 5 cifre la împărţirea cu 41 şi perioadă de şase cifre la împărţirea cu 7 sau cu 13. Asta cu împărţitori cât de cât accesibili; pe 271 nu l-am băgat în seamă pentru că sigur nu vreau să îl folosesc, nici la clasă cu elevii, nici eu singur acasă (dar se poate verifica cu telefonul, de la 11.111 = 41 · 271).

Repet, desigur că toate aceste gânduri nu sunt menite să ajungă la elevi, nu sunt pentru ei. Acest studiu, ca o mică cercetare, a fost menit doar să ne ajute pe noi să găsim exemple diverse pentru elevi, cu împărţiri având la rezultat perioade mai lungi de o cifră, aşa încât elevii să priceapă din start acest aspect: că pot exista perioade de diferite lungimi, iar asta nu doar pe bază de încredere (doar aşa, că le spunem noi, iar ei ne cred “pe cuvânt”), ci chiar vieţuind asta, adică prin efectuarea unor împărţiri. Este important acest aspect, pentru ca elevii să nu se uite “ca mâţa-n calendar” la lecţia următoare, atunci când îi vom învăţa să transforme fracţiile zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare, şi unde acolo avem cu mare conştiinciozitate exemple cu perioade de diferite lungimi. Elevii nu trebuie să ştie mare lucru din studiu de mai sus. Ei trebuie doar să primească atât la clasă, cât şi la temă, câteva exemple cu perioade de alte lungimi, nu doar exemple cu perioade de o cifră. Dar, vedeţi câtă nebunie de gânduri stă în spatele celor câteva exemple din lista de exerciţii dată ca sugestie în finalul primei părţi.

Vedeţi acum şi de ce în prima parte a eseului am făcut acea ciudată delimitare pe categorii de dificultate a împărţirilor din primul semestru. Avem pentru început împărţirile la numere de o cifră la care se mai adaugă împărţirile foarte uşoare la 10 şi la 11. Aha, la 11! Deci, pe lângă perioadele de o cifră, le putem oferi împărţiri destul de accesibile cu perioada de două sau şase cifre. Apoi, am spus atunci şi deîmpărţiri cu şirul multiplilor accesibil sau parţial accesibil, aici intrând 15 sau 12 (care dau fracţie periodică mixtă) sau 13 (care dă fracţie periodică de şase cifre). Apoi vorbeam la început şi de împărţiri care s-ar mai putea face relativ uşor, cum sunt împărţirile la 101 (patru cifre la perioadă) sau la 41 (cu cinci cifre la perioadă). Cele mai greuţe mi se par împărţirile la 27 sau la 37 (care amândouă generează o perioadă de 3 cifre).

În cadrul acestui pasaj de împărţiri ce dau ca rezultat fracţii zecimale periodice, eu am pentru elevi şi două momente speciale. Primul ar fi cel ce l-am numit “poarta lui 7” cu două forme uluitor de asemănătoare: “poarta perioadei împărţirii la 7”, respectiv “poarta resturilor intermediare ale împărţirii la 7”. Am vorbit despre acest fenomen ciudat în postarea din 2020 de la adresa http://pentagonia.ro/poarta-impartirii-lui-7-studiul-grafic-pe-cercul-de-9-cifre/ şi vă rog să-l studiaţi în acest moment, ca să nu mai reiau acele idei. În pozele de tablă de la sfârşitul acestei a doua părţi vor apărea din nou exemple în acest sens.

Suplimentar la cele spuse atunci sau la cele ce apar în poze, vă propun şi un exerciţiu de cercetare descoperit personal la începutul acestei săptămâni în care scriu rândurile de faţă. De vreme ce la numărul 111.111 apar pentru prima dată ca divizori noi ai numerelor de tipul 11…1 numerele prime 7 şi 13 (11 apăruse înainte, ca divizor al lui 99), iar la împărţirea cu 7 avem perioada de şase cifre, deducem două informaţii: şi la împărţirea la 13 vom avea perioadă de şase cifre (am mai spus asta şi este foarte uşor de verificat cu telefonul), dar şi că la împărţirea cu 13 ar trebui să apară o reprezentare grafică similară cu poarta lui 7, un fel de “poarta lui 13”. Vă las pe dvs. să studiaţi şi să savuraţi veridicitatea acestor supoziţii. Atenţionez totodată că această asemănare absolut surprinzătoare între comportamentul împărţirii la 7 şi al împărţirii la 13 nu are decât cel mult o legătură de tip misticist cu faptul că 7 + 13 = 20, care reprezintă exact numărul degetelor unui om.

Un al doilea moment special ar fi cel doar amintit în eseul despre conflictul cognitiv. Pe acesta aş vrea să-l detaliez în următoarele rânduri. Astfel, elevilor le-am adus următoarea întrebare, ca dilemă cognitivă: dacă împărţim un număr (desigur impar) la 2 (adică la 2¹), vom obţine un cât cu o cifră zecimală; dacă împărţim un număr impar la 4 (adică la 2²), vom obţine un cât cu două cifre zecimale; dacă împărţim un număr impar la 8 (adică la 2³), vom obţine un cât cu trei cifre zecimale şi tot aşa mai departe (nici n-am mai precizat denumirea de fracţii zecimale finite). Acelaşi lucru se întâmplă la împărţirea cu puteri ale lui 5. Dimpotrivă, dacă împărţim un număr la 3 (desigur, unul nedivizibil cu 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică cu o cifră în perioadă; dacă însă împărţim un număr la 9 (desigur, la fel, unul nedivizibil la 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică tot cu perioadă de o cifră; oare ce se va întâmpla la împărţirea unui număr la 3³ = 27? Vom avea tot perioadă de o cifră sau vom avea perioadă de trei cifre? Sau poate o altă situaţie?

Această întrebare, evident destul de îmbârligată, ce necesită o concentrare bună, această întrebare clasele în ansamblu au înţeles-o. Aici a fost momentul când un elev a exclamat: “E aşa de palpitant că eu nu mai pot; vreau să aflu cum se întâmplă” (sau ceva de genul acesta, că desigur nu m-am oprit să-i notez vorbele). Prima parte a afirmaţiei era de mult lămurită; împărţirile la 3 şi la 9 erau proaspete (de ora trecută), aşa că nu aveam decât să facem o împărţire la 27.

Legat de afirmaţia de mai sus, despre cât ar trebui să cunoaştem noi ca profesori în plus faţă de ce le aducem elevilor, la una din clase s-a ivit întrebarea despre ce se întâmplă la împărţirea la 3⁴ = 81. Vă las pe dvs. să studiaţi ce se întâmplă aici.

Nu am pretenţia că am lămurit subiectul cu totul, dar vedeţi câte gânduri se află în spatele unei banale lecţii, dacă vrei să respecţi mintea curioasă şi gândirea vie a elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor vin la lecţia respectivă cu împărţiri generând doar perioade de o cifră, cel mult două, prin aceasta contribuind din nou la înceţoşarea gândirii elevilor. Chiar şi dacă un elev ar întreba aici – mânat de o curiozitate naturală, dintr-o gândire trează – dacă profesorul nu ştie ce să-i răspundă, momentul este ratat (ca să nu mai spun că profesorul respectiv “s-a făcut de …”).

Pe de altă parte, nu cred că am exagerat în studiul meu, de vreme ce m-am dus doar până la perioade de şase cifre, corespunzând împărţirii accesibile la 7 (care e un număr de o cifră). Ce se întâmplă mai încolo chiar nu mă mai interesează.

Vedem însă cum această a doua parte a studiului despre predarea fracţiilor zecimale periodice se adresează în mare parte doar înţelegerii fenomenului de către profesor, astfel încât acesta “să-şi umple tolba” cu o varietate sănătoasă de exemple. Această a doua parte a studiului despre fracţiile zecimale periodice este adresată doar profesorului. De-abia cândva după ora următoare am putea “la o adică” să-i provocăm pe elevii cei mai buni (doar pe aceştia) cu o întrebare despre sursa diferitelor lungimi ale perioadelor. Poate fi o discuţie de câteva minute, care doar să atingă subiectul şi să sugereze de unde vin acestea, sau poate să vină ca un studiu de o oră extra, în cazul unei clase foarte bune, după parcurgerea materiei, cândva în ultimele ore înainte de vacanţa mare.

Închei aici cu un nou pachet de poze de tablă din lecţiile ultimului an, în care puteţi regăsi anumite aspecte discutate aici (nu neapărat exact în forma descrisă acum). Precizez că lecţiile respective s-au desfăşurat în regim de “eu la tablă iar elevii pe caietul lor”. De pildă, uneori scriam eu în faţă, apoi elevii trebuiau să meargă singuri înainte, fiecare în caietul său, iar apoi – după ce destul de mulţi terminaseră – făceam şi eu calculele pe tablă, atât ca verificare pentru cei care au făcut, cât şi pentru completarea notiţelor celor care nu s-au priceput. În partea a treia a prezentului studiu vom analiza lecţia inversă, anume transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare. C.Titus Grigorovici

Fracţiile zecimale periodice (1) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. Stimulat de strădania intensă, m-am preocupat totodată şi mai aprofundat despre ce se întâmplă în afara vieţii mele metodico-didactice, adică la alte şcoli.

Înţelegerea fenomenului fracţiilor zecimale periodice este profund legată de două teme premergătoare: algoritmul împărţirii numerelor naturale (de reluat cândva la începutul clasei a 5-a) şi înţelegerea fracţiilor zecimale finite (imediat precedentă, cu care face practic pereche în predare). La acestea s-ar mai adăuga una “de paranteză”, anume simplificarea fracţiilor. Toate vor apărea la momentul potrivit, aşa încât acestea trebuie bine lămurite înainte, atunci când le este vremea. Să le luăm pe rând.

În principiu, fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Fracţia ordinară echivalând de fapt câtul unei împărţiri, este foarte important ca elevii să stăpânească algoritmul împărţirii. Cum am mai spus, chiar dacă elevii le învaţă deja în clasele primare, este foarte bine să ne asigurăm cândva la începutul clasei a 5-a că toată lumea le şi ştie cum trebuie (unele învăţătoare “nu le chiar stăpânesc” cum trebuie). În acest context merită acordat măcar două ore pentru recapitularea, fixarea şi fluentizarea algoritmului de împărţire, la vremea respectivă încă sub forma împărţirii cu rest.

Important este să nu-i năucim atunci pe elevi cu împărţiri foarte grele, adică cu împărţiri la numere “tare complicate” (pentru cine n-a înţeles, precizez: lecţia trebuie să fie neapărat una pentru toată lumea, nu doar pentru cei mai buni din clasă). În acest sens, eu am următoarele categorii de împărţitori: (1) împărţiri la numerele de o cifră, la care putem presupune că elevii le cunosc “tabla înmulţirii”, adică şirurile de multipli (împărţiri la toate numerele de o cifră!); la acestea se pot alătura natural şi împărţirile la 10 sau la 11, care au cele mai uşoare şiruri de multipli, elevul având astfel oportunitatea să exerseze şi să conştientizeze primele împărţiri la numere de două cifre (dacă nu le-a făcut până acum, în clasa a 5-a); (2) împărţiri la numere ceva mai mari, ale căror şiruri de multipli se pot găsi destul de uşor, cum ar fi 15, 20; 25, 30, 40, 50; după exersarea acestora se poate trece şi la anumite extensii, anume înspre (3) împărţiri la numere ale căror şiruri de multiplii sunt parţial intuitive (12, 13) sau relativ uşor de generat (75; 125), sau altele aproximabile la unele deja cunoscute (14 < 15, 23 şi 24 < 25 etc.). Dacă elevii fac destule exerciţii cu împărţitori de două cifre, atunci vor fi suficiente doar câteva (două-trei) exemple cu împărţitori de trei cifre la clasă şi câteva acasă, încât algoritmul de împărţire să fie stabilizat şi bine înţeles.

O faţetă specială a acestei lecţii o reprezintă şi capacitatea de trecere de la împărţirea în scris la împărţirea în minte; despre asta am scris în articolul http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ . Pe lângă aplicabilitatea la descompunerea în factori a numerelor, abilitatea de a face împărţiri în minte le dă elevilor şi o mai mare siguranţă la împărţirile în scris, ce la va fi de mare folos la zona de împărţiri din semestrul II, la studiul fracţiilor zecimale. Atunci vom fi nevoiţi să luăm şi împărţiri mai urâte, iar o “relaţie caldă” cu algoritmul împărţirii ajută mult la buna concentrare pe fenomenul fracţiilor zecimale. Oricum, de la prima lecţie despre împărţiri împreună cu noua clasă, eu le spun elevilor că trebuie să o ia foarte în serios, pentru că împărţirea va fi unul dintre “firele roşii”, una dintre temele cele mai folosite de-a lungul întregii clase a 5-a. În acest sens facem un târg: eu nu le dau împărţiri grele, decât atâta cât e nevoie cu adevărat, iar ei în schimb fac toate împărţirile serios şi conştiincios.

Spuneam că fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Să discutăm puţin înainte despre “ce şi cum”, deşi această discuţie eu nu aş face-o apriori complet cu clasa (încă o dată: asta nu se discută înainte cu elevii, ci doar după).

Tehnic, dacă această împărţire are rezultat exact (adică dă fără rest, cum spun copiii), atunci fracţia respectivă este de fapt un număr natural. Dacă la finalizarea împărţirii întregi avem rest, atunci în continuare se poate întâmpla una din următoarele două variante: fie fie apar un număr finit de zecimale, după care împărţirea se termină, fie apare un număr de cifre care încep să se repete grupat, obţinând perioada. Desigur că există şi forma mixtă între cele două. Pentru a înţelege fenomenul, trebuie să vedem când se întâmplă fiecare din cele două variante, fracţia zecimală finită, respectiv fracţia zecimală periodică.

Pe scurt, dacă împărţitorul (numitorul fracţiei ordinare) este o putere a lui 2 sau o putere a lui 5 sau este compus doar din factori de 2 şi 5, atunci rezultatul va fi o fracţie zecimală finită. numărul de zecimale fiind egal cu exponentul puterii respective (sau cu cel mai mare dintre exponenţii celor două puteri, în cazul unui număr compus din 2 şi 5). La orice alt factor prim ce apare în structura împărţitorului (în format ireductibil desigur), fracţia zecimală va intra în periodicitate. Dar, vorba unui prieten, “dacă n-am spus, atunci mă repet!”: aceste aspecte nu le discut iniţial cu elevii; cu ei le vom descoperi pas cu pas, savurând procesul enigmatic ca pe un film, şi doar în final le vom sistematiza şi le vom repeta de câteva ori.

Să vedem cum funcţionează concret această abordare. Pentru început ar fi bine ca în prima zi să facem cu elevii (şi să le dăm ca temă) doar împărţiri la numere din prima categorie: 2, 4, 5, 8, 16; 20, 25, 50, 125, 200, 250, 500, 2000 (asta în cazul când deja am făcut împărţiri la 10, 100, 1000, văzând cum “se mută virgula”). În această primă etapă elevii învaţă noua “mişcare” doar în forma simplă, anume că lângă restul împărţirii întregi să coboare un zero de după “virgula” deîmpărţitului întreg, să mai facă o împărţire parţială, apoi încă un zero ş.a.m.d. până ce se termină. Pentru că aici “lucrurile se termină”: copilul învaţă o nouă “mişcare”, dar în rest totul rămâne în zona lui de siguranţă. Cu alte cuvinte, introducem un item nou de cunoaştere, dar în rest îl lăsăm în zona sa de confort din punct de vedere a cunoaşterii. E bine şi sănătos aşa; prea mulţi itemi noi îi bulversează pe cei mai mulţi.

Elevii s-ar prinde dacă le-am da doar împărţiri cu aceşti împărţitori, aşa încât putem apela aici şi la o şmecherie (nici pe asta încă nu le-o explicăm). Le putem da şi situaţii la care împărţitorul are şi alţi factori, de pildă 3, dar la care fracţia ordinară corespunzătoare ar fi reductibilă cu 3. Astfel, factorul 3, care este unul generator de perioadă nu-şi poate face acest efect. Se pot obţine astfel împărţiri de tipul 21 : 6, care este de fapt echivalentă cu 7 : 2., sau 18 : 15 echivalentă cu 6 : 5, sau ceva mai complicatul 91 : 14 reductibil prin 7 la 13 : 2. Încă o dată, aceste aspecte le ţinem pentru moment secrete; elevii primesc doar exerciţiile şi se bucură că le pot face, savurând astfel procesul matematic.

Pentru a mai diversifica exerciţiile, putem să le dăm şi în forma de “transformaţi fracţiile ordinare în fracţii zecimale” şi în forma de “efectuaţi împărţirile”. Astfel de succesiuni de exerciţii pot ajuta şi la fixarea ideii că fracţia ordinară reprezintă de fapt o împărţire.

Prin această lecţie elevii trebuie să se obişnuiască pe noul tip de împărţire, diferit de împărţirea cu rest, iar pentru asta au nevoie măcar de o zi, adică de un set de oră la clasă plus temă singur acasă (desigur cu încă câteva repetări în orele următoare). Probabil că foarte mulţi profesori nu-şi iau acest timp, astfel încât în mentalul elevilor nu se înţelege profund şi nu se fixează definitiv noua formă de împărţire. Dovada palpabilă şi clar vizibilă a acestei “fuşăreli” apare peste o bucată bună de vreme, când intervine uitarea şi mulţi elevi fac împărţirea cu rest iar apoi pun restul “după virgulă”.

Ei, da, iar acum, odată aceste lucruri fiind lămurite, putem să venim într-o bună dimineaţă cu o nouă împărţire, având aerul că “mai facem două-trei exerciţii, aşa pentru încălzire”. De fapt, însă, vom veni cu o primă împărţire cu perioadă. Elevii încă nu ştiu ce urmează, va fi o surpriză destul de puternică, iar pentru asta nici măcar nu vom scrie titlul pe tablă; putem, ca “din greşeală” să lăsăm loc sau, mai bine, putem rezerva locul pentru titlu printr-o subliniere “goală”, astfel încât şi în caiete să le arate frumos, noi adăugând titlul la momentul când ne vom fi lămurit despre ce este vorba (Fracţii periodice).

Atrag atenţia asupra faptului că trebuie gestionat cu mare grijă primul contact cu aceste noi “bestii matematice”. Eu spun că lecţia precedentă se desfăşoară “pe marginea prăpastiei” şi de aia a fost aşa de important ca la acel moment elevii să nu se împiedice de o situaţie cu perioadă. Acolo, încă în lumea lor totul este “în bună regulă”; în curând însă se va dezlănţui o “furtună intelectuală” nebănuită. Este important ca aceasta să se petreacă în timpul orei de matematică şi nu acasă, astfel încât lucrurile să fie gestionate cu mână sigură de către profesor (din acest motiv am spus să luăm noua împărţire la începutul orei, ca să apucăm să lămurim existenţa acestor noi fenomene în timpul orei respective, adică şocul şi lămuririle să se întâmple sub supravegherea noastră). Putem privi lucrurile şi astfel: e bine ca lucrurile să se desfăşoare la clasă, regizate fiind pentru un cât mai mare impact emoţional sub strictul control al profesorului.

Ar fi o prostie să le dăm la sfârşitul orei sau să se ajungă încât să fie “descoperite” acasă, poate neintenţionat, adică elevul să se “împiedice” de o astfel de împărţire când nu este cu profesorul. Părinţii le-ar arăta direct cum se întâmplă, eventual bucuroşi fiind că-şi mai aduc aminte, dar de fapt spulberându-le elevilor bucuria descoperirii, emoţia procesului de întrare în contact cu această “civilizaţie extraterestră”, total nouă pentru ei. Pentru a preveni un astfel de scenariu ar fi bine ca tema de la lecţia cu fracţiile finite să fie destul de consistentă, încât să nu apară vre-un părinte cu ideea “hai s-ţi mai dau eu câteva” iar acolo să dea din greşeală şi o împărţire cu perioadă (măcar să minimalizăm pe cât se poate acest risc).

Nici culegerile sau manualele nu ne ajută neapărat în sensul respectiv, pentru că cele două lecţii – aşa cum le văd eu ca separate – sunt de obicei unite într-una. Degeaba eu mă opresc înainte de a apărea fracţiile periodice, că există oricând pericolul ca vre-un părinte mai ambiţios să zică “numai atâta ai avut temă?; hai, fă-le şi pe următoarele din carte!”, următoarele fiind deja cu rezultate periodice (vorbesc din experienţă).

Dar să revenim la detaliile trecerii la fracţiile periodice. Alegerea primelor noi împărţiri este foarte importantă. Confruntaţi cu o noutate, elevii au deseori obiceiul de a “vedea” diferite reguli ce nici măcar nu există. De pildă, dacă vom face doar împărţiri având perioada de o cifră, este absolut natural ca elevii să creadă că există doar astfel de rezultate. În acest context, trebuie neapărat să apară suficiente exemple cu perioadă de două cifre, cât şi măcar două-trei cu perioade mai lungi de două cifre.

Apoi trebuie să evităm pentru început să dăm prea multe exemple în care deîmpărţitul sau împărţitorul se regăsesc şi ca atare în perioadă [de felul 1 : 3 = 0,(3) sau 7 : 9 = 0,(7)]; pot să apară şi din acestea izolat, dar nu între primele pentru că se vor găsi unii elevi care să vadă aceste apariţii ca regul de scurtătură.

Sau, dacă vom da doar rezultate cu parte inteagă nenulă, elevii se vor speria când vor avea o împărţire corespunzătoare unei fracţii subunitare, de tipul zero virgulă ceva. Această ultimă observaţie este la fel de importantă şi în cazul lecţiei precedente, cu fracţii zecimale finite (această situaţie nu se putea rezolva natural la recapitularea împărţirii cu rest din semestrul I, ci îşi are locul mai potrivit doar la fracţiile zecimale finite). De fapt situaţia trebuia deja acolo clarificată prin sufieciente exemple la clasă şi la temă, astfel încât să nu mai reprezinte pentru nimeni o neclaritate acum, când ne pregătim să dăm faţa cu fenomenul periodicităţii (repet pentru ultima dată, elevii încă habar nu au despre ce vine spre ei, despre ce ciudăţenie urmează să se întâmple la începutul acestei ore, sub atitudinea plată şi inofensivă “hai să mai facem două-trei exerciţii (aşa doar de încălzire – această ultimă parte o las doar să se simtă)”.

Analizând lucrurile, pentru un impact maxim al introducerii acestei dileme cognitive, eu recomand aici exemplul: 17/3 = 17 : 3 (care este de fapt 5 întregi şi 2/3) = 5,(6), exemplul fiind cu numere mici şi totuşi toate diferite). Momentul când începe să se vadă că se tot repetă noi şi noi cifre de 6 la partea zecimală a câtului, acela este un moment foarte important. Elevii trebuie lăsaţi să repete şi să scrie pasul de suficiente ori astfel încât să vieţuiască clar şi convingător ce se întâmplă. Ei trebuie lăsaţi să trăiască din plin surpriza de proporţii în urma acestei noi situaţii, nemaiîntâlnite până acum. La început, rezultatul îl vom scrie de felul 5,6666… De-abia după câteva exemple, inclusiv măcar unul cu perioadă de două cifre, ne vom întoarce şi vom scrie sub acest tip de rezultat şi cele oficiale, de felul 5,(6).

Este evident că acest tip de surpriză, acest tip de moment de “Uau!” este stricat în cazul când părintele unui copil, sau mai degrabă profesorul particular îi arată înainte lecţia, pentru ca “elevul să ştie la clasă”. Din păcate foarte mulţi astfel de meditatori procedează în acest fel, habar ne-având ce pagube produc lecţiei de la clasă (cel puţin din punctul de vedere a unei astfel de abordări “artistice”, lecţia derulându-se cu suspans, ca un adevărat film).

Revenind la desfăşurarea lecţiei, după primul exemplu ce a prudus atâta uimire, chiar bulversare, se cer date imediat noi exemple (“mai aveţi dinastea?”, s-ar putea să întrebe unii elevi, plini de entuziasm). Acestea au menirea de a prelungii trăirea acestei uimiri spre o certitudine, dar şi menirea de a aduce ocazii ca elevul să vadă cât mai repede tot felul de astfel de ciudăţenii şi de a se obişnui cu existenţa lor. Pentru lămurirea cât mai rapidă a acestei dileme cognitive, eu recomand aici următoarele exerciţii, exact în această ordine:

23/9 = 23 : 9 = 2,(5)

295/9 295 : 9 = 32,(7)

2/3 = 2 : 3 = 0,(6)

22/3 = 22 : 3 = 7,(3)

4/9 = 4 : 9 = 0,(4)

13/6 = 13 : 6 = 2,1(6)

19/11 = 19 : 11 = 1,(72)

173/22 = 173 : 22 = 7,8(63)

7/12 = 7 : 12 = 0,58(3)

379/101 = 379 : 101 = 3,(7524)

18/7 = 18 : 7 = 2,(571428)

Exerciţiile le-am dat şi cu rezultate astfel încât să puteţi vedea dintr-o privire care-i logica alegerii acestora. Elevii nu le vor primi desigur aşa, ci doar a doua, eventual împreună primele două forme; în continuarea împărţirii vor aplica algoritmul şi vor scrie rezultatul în final (am explicat deja cum apare scris rezultatul şi cum le dau ulterior forma oficială). Important este să alegem în primul set de exerciţii o varietate destul de largă de rezultate, astfel încât la finalul acestei ore elevii să aibă o vedere destul de clară, completă şi realistă despre formele fracţiilor zecimale periodice.

Foarte important este să oferim elevilor pe lângă exemple cu o cifră în perioadă şi exemple cu perioadă de două cifre sau mai multe. Se pare că majoritatea profesorilor nu respectă această cerinţă, astfel încât elevii văd la oră multe fracţii periodice cu o cifră în perioadă, eventual printre acestea rătăcită ca din greşeală o situaţie cu două cifre în perioadă şi atât. Desigur că astfel elevii nici nu-şi vor putea imagina clar cum există situaţii cu mai multe cifre în perioadă (poate profesorul le spune că există, dar nu-i suficient). Cum înţeleg aceştia matematica atunci când profesorul vine cu partea de lecţie opusă, cea de transformare a fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare şi le vorbeşte despre situaţii de pildă cu trei cifre în perioadă şi un numitor de 999? Fie nu vor înţelege iar în mintea lor vor crede că sunt proşti, fie le va explica cineva ulterior cum stă treaba iar atunci vor înţelege că profesorul este slab, dezinteresat etc. (acum iar am fost răutăcios, dar să ştiţi că acesta a fost unul din motivele principale care m-au determinat să scriu prezentarea de faţă).

La sfârşitul orei, sau poate chiar la începutul orei viitoare, le putem prezenta denumirile de fracţie periodică simplă, respectiv fracţia periodică mixtă. Oricum, ora viitoare “se cere” o analiză a situaţiilor întâlnite (la clasă sau la temă), inclusiv despre apariţia fracţiilor periodice mixte, dar şi despre eventuala sursă a diferitelor lungimi ale perioadelor. Pentru elevii care calculează destul de rapid, sau poate ca temă, vă mai ofer câteva situaţii interesante:

257/88 = 257 : 88 = 2,920(45) având o perioadă de două cifre pornită de-abia după trei zecimale neperiodice (înţelegeţi acum clasificarea meticuloasă a împărţirilor de la început);

349/101 = 349 : 101 = 3,455445544…, care sugerează două scrieri diferite, atât ca 3,(4554) cu cei doi de 4 din perioadă despărţiti, cât şi ca 3,4(5544);

953/41 = 953 : 41 = 23,(24390) cu o perioadă de cinci cifre.

Mă opresc aici cu această primă parte a prezentării predării fracţiilor zecimale periodice, lăsându-vă să analizaţi şi să gândiţi toate aspectele deja evocate. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din acest an, pe baza cărora să vă puteţi face o imagine a unor aspecte evocate până acum, dar precizez că predarea din aceste poze nu a fost exact pe tipicul prezentat în eseul de faţă. Primele trei poze sunt de la o clasă, următoarele două de la cealaltă. C.Titus Grigorovici

7 ani de pentagonia.ro – cine-ar fi crezut!?

Îmi vine greu să mă laud, dar chiar sunt surprins. Iniţial am gândit demersul de a susţine un blog despre arta predării matematicii pentru 2-3 ani (pentru atâta aveam idei la început). Exista în subconştient şi visul de a reuşi să public 5 ani (suna frumos: pentagonia – 5 ani). Atâta rezistasem la precedenta încercare, cea cu Caietele de matematică P3NT4GON1A (1998 – 2002). Fiecare an trecut peste acest prag de cinci reprezintă pentru mine o mare realizare în sine. În ultimii doi ani, pe care putem să-i privim ca un bonus, a scăzut frecvenţa postărilor, dar în schimb a crescut considerabil lungimea textelor publicate.

La acest moment aniversar aş dori să evoc un aspect interesant din munca la articolele scrise. Se întâmplă uneori să mă apuc de lucru, încercând să explic un fenomen pe care-l simt eu sau pe care-l găsesc evocat în diferite surse, dar neclar lămurit. Încep să scriu articolul, străduindu-mă să explic ce-ar trebui înţeles acolo, şi din senin îmi apare o idee lămuritoare, sub forma unei expresii ce clarifică foarte bine totul. Restul este apoi doar muncă de detaliu şi de folosire la maxim a noii expresii proaspăt generate (pentru a se fixa cât mai bine în conştienţa cititorului, dar şi pentru a extrage maximum din aceasta).

Ca exemplu cel mai recent, vara asta am avut din nou un moment de inspiraţie în acest sens, generând noţiunea de “Dilemă cognitivă“, ce mi s-a părut mult mai potrivită în folosirea de zi cu zi la clasă, decât poate prea durul “Conflict cognitiv”. Acesta este doar ultimul dintr-un şir ciudat de momente inspiraţionale apărute “din senin” în procesul de explicare a diferitelor aspecte pe care iniţial doar le intuiesc, doar “le simt” mai mult sau mai puţin conştient (dar pe care cu mare avânt mă apuc să le explic colegilor, pentru că simt că trebuie să o fac).

Prima dată s-a întâmplat acest fenomen pe la începuturi, în momentul când am realizat că “Gândirea aritmetică” este profund diferită faţă de “gândirea algebrică“. Apoi am avut un moment interesant când am generat noţiunea de “Matematică naivă“. Altă dată, prin toamna lui 2017, răsfoiam o carte veche a lui Eugen Rusu şi eram entuziasmat de nuanţele nou înţelese la această lectură, când brusc s-a cristalizat ideea că eu folosesc de fapt “Criteriul psihologic al intuiţiei” în selectarea teoremelor pe care le selectam spre demonstrare la clasă. Cu altă ocazie, încercând să explic ce lecţii de geometrie se potrivesc căror elevi, am început să scriu din senin despre “Geometria aritmetică” (geometria de calcul, accesibilă elevilor slabi în opoziţie cu “geometria demonstrativă“, căreia îi fac faţă cu succes doar elevii mai buni). “Predarea prin descoperire” este o altă denumire generată personal, deşi sunt convins că ar trebui să fie de găsit pe undeva în marea şi larga bibliografie pedagogică.

Deşi nu-mi aparţine, sunt foarte bucuros de atenţionarea la adresa comunităţii matematice şcolare româneşti a fenomenului denumit generic drept “Legea lui Campbell” (oare când vom vedea şi efecte în acest sens, în politica educaţională naţională?). La fel de tare m-am bucurat şi de orice alte elemente adusă în faţa dvs. din diferite colţuri ale lumii sau din diferite epoci, elemente ce ar putea contribui la îmbunătăţirea artei predării matematicii.

Dar, pe departe cea mai mare bucurie în uurma acestor articole o reprezintă propria evoluţie ce are loc cu aproape fiecare articol metodico-didactic nou scris. Străduindu-mă la fiecare astfel de eseu să explic fenomenul respectiv cât mai bine, cât mai clar, din toate punctele de vedere, în final mă asigură că eu le-am înţeles foarte bine. Este ca şi cum aş da de fiecare dată un examen în faţa dvs., a cititorilor în mare parte necunoscuţi, mulţi deosebit de pretenţioşi, poate unii în disacord cu mine, aşa încât trebuie din start să fiu cât mai convingător, să aduc argumente cât mai solide, pentru a fi sigur că – odată publicat – trec “examenul”.

În acest sens – din tot acest proces de desluşire a fineţurilor artei predării matematicii – este evident că cel mai câştigat sunt eu, iar acesta este probabil unul din motoarele principale ale continuării blogului pentagonia.ro. Eu muncesc masiv la aceste articole, dar tot eu sunt şi foarte câştigat în final, în sens profesional. Satisfacţia trăită în urma finalizării unui astfel de articol este deosebită, iar asta îmi dă o energie ce mă încarcă puternic în viaţa profesională (fără să mai discut despre calitatea muncii mele, care tot creşte).

Totuşi, sper că măcar frânturi din tot ce scriu eu aici să vă ajute şi pe dvs., cel puţin din când în când. Oricum, stimaţi cititori, ţin să vă mulţumesc din suflet pentru timpul acordat prin lecturarea acestor esuri. Dvs. reprezentaţi desigur celălalt motiv principal al demersului acestui blog. Cu tot respectul, din Pentagonia, al dvs. Constantin Titus Grigorovici

Conflictul cognitiv (dilema cognitivă) – O paradigmă diferită în predarea matematicii

În primăvară am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, preluat de pe blogul CEAE. Scurt apoi am reuşit să postez o analiză a acestuia, în două părţi; dacă aţi ratat momentul, iată aici link-urile: http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-1/ şi respectiv http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-2/ .

Chiar dacă aparent, cel puţin pentru unii, părea că a fost un demers fără sens, gen “teoria chibritului”, de fapt în această analiză intenţionat am “despicat firul în patru” pe subiectul respectiv, studiind în detaliu fiecare gând exprimat acolo. O singură afirmaţie am refuzat să o discut la momentul respectiv, aşteptând confirmări şi eventuale lămuriri din partea autorilor. Da, şi bine am făcut, pentru că pe lângă confirmarea direcţiei generale pe care o intuiam, am primit şi lămuriri şi argumente suplimentare edificatoare. Dar despre ce este vorba?

Spre finalul părţii a doua a acelei analize, mă întrebam mai mult retoric, oare ce a vrut să spună autorul când explica astfel: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

După cum am intuit, lămurirea acestui subiect ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii, o schimbare despre care încă nu m-am simţit până acum în stare a vorbi la un nivel acceptabil (am atins subiectul, mai exact m-am apropiat de acesta de câteva ori, însă doar punctual şi superficial, prin câteva exemple izolate, în cu totul alte contexte). Acum cred că a venit vremea să “iau şi acest taur de coarne”. Aşadar, să pornim!

Una din acuzele dese la adresa matematicii (ca materie şcolară, aşadar la adresa predării matematicii) este faptul că orele de matematică nu sunt atractive. Mulţi alătură această acuză unei alteia, anume că matematica este mult prea grea. Ca urmare, unii încearcă să vină cu strădania de corectare a primei acuze, printr-o formă de remediere în sensul celei de a doua, coborând nivelul matematicii într-o zonă de aplicaţii banale. Şi de unde le iau pe acestea? Păi, “din lumea reală”, având în acest sens două tipuri de impulsuri.

Pe de-o parte ar fi impulsul de a imita subiectele date la studiile PISA (acolo este însă verificată capacitatea de modelare, pe când în problemele imitative din zona gimnazială românească acestea oferă deja modelul). Pe de altă parte, mai există şi nemulţumirea că elevii nu ştiu aplica în viaţa de zi cu zi toată învăţătura matematică primită la şcoală “cu tolceriu” (adică turnată cu pâlnia în căpşoarele lor). Această deficienţă a fost exprimată într-un eseu foarte clar de către Dl. Sorin Borodi (în urmă cu câţiva ani). Aşadar – concluzionează unii – ar trebui să venim în întâmpinarea elevilor cu o linie de aplicaţii banale “din viaţa de zi cu zi”.

Aici însă, profesorii obişnuiţi cu matematica “înaltă” (adică prea grea şi prea riguroasă – vezi în acest sens principalii vectori de schimbare din timpul reformei uitate” din 1980), aceştia au mari dificultăţi în a simţi cât să coboare pentru a accesibiliza materia; de obicei coboară mult prea jos, până la un nivel banal, care şi acesta acţionează plictisitor asupra marii majorităţi a elevilor (alteori o fac într-un fel lipsit total de sens realist; amintesc astfel de tortul în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos, din urmă cu câţiva ani; cum a putut gândi cineva aşa o chestie?).

Într-un astfel de demers am putea spune că matematica acceptă să coboară mult prea înjositor în lumea elevilor, în loc să-i atragă pe aceştia înspre lumea matematică, acolo unde ea – matematica – are cele mai frumoase lucruri de oferit. Practic, noi profesorii ne mulţumim să ne adresăm elevilor în demersul matematic doar pe cele două extreme posibile: fie prin intermediul matematicii seci, riguroase, de nivel prea înalt, cu care suntem obişnuiţi “de o viaţă” (adică din anii ’80 când a fost introdusă agresiv), fie “ne coborâm la nivelul lor”, înţelegând prin asta să îi plictisim cu evidenţe “fără sare şi piper”, cu elemente care nu pot trezi entuziasmul pentru activitatea matematicii (mă refer aici desigur la marea majoritate a elevilor de nivel mediu).

Tehnic, nici una, nici cealaltă dintre variante nu este sortită succesului dacă se omite un aspect important, despre care cei mai mulţi nici nu se gândesc. Către elevi matematica trebuie să vină cu elementele ei cele mai atractive, cele mai fascinante, cu cele mai frumoase aspecte cu care îi poate “vrăji” profesorul pe elevi în acel moment.

Revenind la cele două variante de abordare exprimate mai sus, trebuie să observăm aici un aspect absolut fascinant: ambele se adresează doar extremelor din Clopotul lui Gauss. Pe când predarea teoreticistă riguroasă şi de înalt nivel al aplicaţiilor este de înţeles doar de către cei mai buni elevi (singurii care se pot ridica la acest nivel), elementele de exemplificare banale pot aduce oarece satisfacţie doar elevilor foarte slabi (bucuroşi că în sfârşit înţeleg şi ei ceva). Şi iarăşi ajungem la Profesorul Hollinger: dar de elevul mijlociu când ne ocupăm? Cu alte cuvinte, cum ar trebui să arate predarea matematicii şcolare pentru elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss? (să-i aproximăm la cca 80% din populaţia şcolară generală)

Aici cred că se adresează “cerinţa” despre care vorbesc din articolul respectiv de la CEAE, ce ne apare acolo sub forma acelei acuze: Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Acum începem să intuim câte puţin sensul întrebărilor ce le-am sugerat atunci: Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

Revenind la subiectul nostru, noţiunea de conflict cognitiv vine din zona de psihologie pedagogică. Vă las dvs., stimaţi cititori, bucuria de a căuta net-ul in lung şi în lat despre acest subiect (de pildă, profesorii de fizică il folosesc foarte mult). În eseul de faţă eu îmi permit să vă prezint gândurile mele personale, desigur cu accent pe predarea matematicii, aşa cum intuiesc eu acest subiect. Experienţele mele personale şi preocupările de atragere a elevilor obişnuiţi înspre matematică, cât şi multele cursuri cu docenţi din străinătate, dar şi bogata literatură studiată despre predarea matematicii, toate acestea îmi dau curajul să mă apuc de acest subiect, deşi tehnic nu l-am întâlnit niciunde până acum. Multe se adună însă “ca un buchet” în jurul acestei idei. Dau un singur exemplu aici: impresionant şi intrigant mi-a răspuns colegul Kjell Sammuelson din Suedia, în 2020 când i-am trimis poza cu lampa icosaedrică descoperită, rezumând extrem de bine chiar subiectul nostru de acum (vedeţi al doilea abajur din postarea http://pentagonia.ro/matematica-la-vreme-de-corona-virus-2-abajur-icosaedru-nou/ ; primul este destul de cunoscut în sistemul şcolar Waldorf)

Aşadar, permiteţi-mi să încep. Din câte exprimă pe scurt denumirea, conflictul cognitiv aduce o contradicţie între elementele ce-i sunt cunoscute cuiva într-un moment al procesului de cunoaştere. Dacă profesorul introduce o informaţie nouă, o metodă nouă pe baza unei contradicţii în înţelegere şi reuşeşte să-l implice pe elev în acţiunea de lămurire, atunci el de fapt stârneşte curiozitatea elevului. Acesta va ieşi din “văgăuna lui de indiferenţă”, motivat de o curiozitate pe care şi-o doreşte lămurită; situaţia problematică îi devine acum una personală şi se va implica, se va lupta să şi-o lămurească. Pus în faţa unui conflict cognitiv (practic predare prin problematizare!), cresc vertiginos şansele ca elevul să iasă din starea sa de indiferenţă, de “platitudine” emoţional-intelectuală, şi să se implice în desluşirea “misterului” apărut. Prezentând noile elemente ale unei lecţii printr-un conflict cognitiv, profesorul are şanse crescute să-i stimuleze pe elevi în a se implica în înţelegerea acesteia.

Dimpotrivă, lipsa unui conflict cognitiv în prezentarea unor itemi noi lasă elevul în acea stare cunoscută de neimplicare emoţională, de “participare plată” la lecţie, de plictiseală şi indiferenţă (“o nouă lecţie pe care profu’ o turuie, iar noi va trebui să o tocim; pentru moment singura mea datorie este cel mult să copiez lecţia”). Pe durată, acest tip de predare oboseşte (chiar adoarme la propriu), aduce ură faţă de materia respectivă şi, în predarea matematicii, în nici un caz nu produce dezvoltarea gândirii; dimpotrivă!

Probabil că nu se poate preda orice lecţie pe baza generării unui conflict cognitiv (acesta este un alt subiect de discuţie), dar asta nu este o scuză să nu folosim defel această abordare. Pigmentarea procesului de predare de câte ori este posibil cu momente generatoare de conflict cognitiv (chiar de diferite nivele, mai mari sau mai mici) înviorează puternic ora de matematică. Elevii încep să povestească plini de apreciere (în urma acelei ore), iar părinţii nu mai înţeleg nimic: brusc, matematica nu mai este acea materie “bau-bau”. Chiar şi elevii foarte slabi povestesc acasă în spectru pozitiv despre “profu’ ăsta de mate”, pentru că starea de entuziasm despre subiectele discutate se generalizează în clasă, fiind simţită de către toţi elevii, chiar şi de către cei slabi (care deseori totuşi nu pot participa direct la dezbatere).

Pe baza inserării în lecţii a unor momente de conflict cognitiv, predarea şi învăţarea matematicii capătă accente de roman, de film, devine pe alocuri chiar palpitantă; elevii se bucură când vine ora de mate. Ţin minte exprimarea unui copilaş de a 5-a prin primăvară, la fracţiile zecimale periodice: “eu nu mai suport, aşa-i de palpitant; vreau să aflu odată ce-i aici!”. Cred că atunci mi-a reuşit bine generarea şi gestionarea unui conflict cognitiv de succes (voi reveni în curând cu acest exemplu).

În matematică, o predare ce implică inserarea anumitor momente de conflict cognitiv generează o atitudine de o oarecare stare de secret; aparent, profesorul “nu joacă cu cărţile pe faţă”, cel puţin nu total. Or, este cunoscut că secretele stârnesc dorinţa de a le afla. La fel şi în predarea matematicii: într-o atitudine ceva mai enigmatică de predare a lecţiei, prezentarea materiei împachetată în ciudate secrete stârneşte dorinţa de cunoaştere a elevilor.

Părerea mea este că în matematică rareori ajungem cu adevărat la un nivel ce poate fi clasificat drept “conflict” cognitiv. Această expresie ar fi potrivită a se folosi atunci când apare cu adevărat un conflict, adică atunci când există două poziţii, două păreri sau două dorinţe opuse. Conflictul apare de obicei în ştiinţe, legat de diferitele explicaţii ce pot fi date unui anumit fenomen; da, acolo putem vorbi cu adevărat de un conflict.

În matematică, “conflictul cognitiv” nu poate apărea ca atare (ca un conflict între două puncte de vedere opuse) decât absolut excepţional. În matematică singurul conflict posibil este între matematician cercetător şi subiectul încă nelămurit, nedemonstrat, cu care acesta se ocupă. În mod similar, în predarea matematicii singura situaţie conflictuală poate fi evidenţiată între elevul care încă nu înţelege şi situaţia enigmatică ce îi este adusă de către profesor. Este greu însă să extrapolezi aici situaţia la un “conflict” între două persoane. Mai degrabă, în predarea matematicii eu aş folosi expresia “Dilemă cognitivă“. Din câte înţeleg eu, simt că ar fi vorba de obicei doar despre o dilemă cognitivă, pe care eu ca dascăl o aduc în faţa elevilor şi o folosesc ca să le stârnesc curiozitatea şi să le captez atenţia.

În acest context, ideea apare de pildă pe net astfel: Predarea matematicii … lansând elevilor o întrebare problemă provocatoare (“conflict cognitiv”), (numele lucrării şi autorii la adresa https://www.academia.edu/36969914/Lucrare_mate_Conversie ).

Aplicată pe durată, această tehnică stârneşte dorinţa de cunoaştere la elevi. Iar asta face parte clar din “Arta predării matematicii“. Zonele de materie în care îmi reuşeşte să aduc la fiecare lecţie măcar o dilemă cognitivă, ca profesor, pe acestea le consider cele mai reuşite; elevii participă cu tot avântul la generarea lecţiei şi “toată lumea e fericită”. Nu trebuie să fie de fiecare dată dileme foarte mari; pot fi elemente destul de banale, dar aduse cu dibăcie, fără a le da elevilor totul “mură-n gură” (în acest context, ca un exemplu extrem de banal, puteţi relua începutul articolului despre divizorii unui număr, din urmă cu aproape 5 ani, la adresa http://pentagonia.ro/divizorii-unui-numar-prezentarea-unei-ore-deschise/ ).

Tehnica este foarte simplă: trebuie doar să reuşeşti să stârneşti curiozitatea elevilor. Despre asta este vorba de fapt, despre un repertoriu cât mai vast (din partea profesorului) prin care să se stârnească curiozitatea elevilor (a cât mai multora, că la toată clasă oricum nu cred că se prea poate). Iar curiozitatea elevilor se stârneşte printr-o dilemă cognitivă accesibilă, care le captează atenţia (elevii trebuie să înţeleagă situaţia enigmatică, ca apoi să-şi dorească a o desluşi). Evident că o dilemă cognitivă prea profundă, prea grea, nu rezolvă obiectivul atragerii elevilor, fiind inaccesibilă majorităţii acestora. Dilema cognitivă trebuie să fie accesibilă majorităţii elevilor din blocul central al “Clopotului lui Gauss”. Rezum ideea: “dilemă cognitivă” (adică nu banală!), dar “accesibilă” (adică nu foarte grea!). E simplu! Sau?

În ianuarie 2018 m-am apropiat foarte mult de acest subiect în seria despre Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat (inserez aici link-ul primei părţi din acea serie http://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ , pe restul le găsiţi în arhivă). Din această primă parte reiau un pasaj interesant pentru subiectul nostru actual:

De curând am răsfoit din nou într-una din cărţile unui fost mare profesor metodist al anilor ’60-’70 şi am regăsit câteva citate deosebit de interesante în acest sens. În lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros, 1971), Eugen Rusu şi-a pus problema despre … mobilul psihologic care l-a împins pe Euclid spre rigurozitate. Dânsul dă imediat şi principalul răspuns: Această tendinţă spre riguros se naşte şi se accentuează din însăşi activitatea geometrică.

Important este să se pună problema de a căuta să descoperi lucruri noi, prin raţionament deductiv. Aceasta este destul ca, în cadrul acestei activităţi, să se pună de la sine, în mod din ce în ce mai acut, şi chestiunea rigurozităţii. Este interesant să ne oprim atenţia asupra acestui fenomen psihologic.

Cînd, pentru prima oară, ne simţim îndemnaţi să aflăm un adevăr nou, altfel decât prin experienţă directă, deci prin deducţie logică, aceasta nu se poate întîmpla pentru ceva care este “evident” prin intuiţie; aceasta se întîmplă cu o chestiune despre care simţurile nu ne dau informaţii precise şi sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experienţă senzorială. Atunci cu adevărat ne vom simţi îndemnaţi să o “deducem” din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu următoarea observaţie: faţă de obişnuita demonstraţie bazată pe proporţionalităţi din asemănare (prin teorema catetei), demonstraţiile prin arii transformă, apropie, dă perceperii teoremei lui Pitagora o clară notă de experienţă senzorială. Acest fapt susţine o primă abordare şi demonstrare a acestei teoreme prin arii.

Închei aici citatul din vechiul articol; se vede cum am atins atunci foarte fin aspectul ce ne preocupă acum. Să clarificăm fenomenul: nici nu are rost să încercăm să demonstrăm un aspect ce este evident pentru intuiţia elevului, dar nici nu are rost să venim în faţa elevilor cu dileme cognitive prea grele, pentru că acestea nu le vor fi defel accesibile. În procesul predării, noi trebuie să ţintim calea de mijloc, adică trebuie să venim în faţa clasei cu o dilemă cognitivă accesibilă. Nu are rost să le cerem să demonstrăm ceva evident pentru intuiţia lor, pentru că atunci nu avem o dilemă! Dar nici dacă venim cu o dilemă prea profundă “nu rezolvăm mare scofală”, pentru că majoritatea elevilor nu vor înţelege nimic.

Se pare că Teorema lui Pitagora reprezintă în acest context un exemplu magistral (şi aici bănuiesc eu motivaţia articolului CEAE). Demonstraţia tradiţională prin rapoarte, venind dinspre teorema catetei, este pentru marea majoritate a elevilor un soi de “hocus-pocus” inaccesibil gândirii lor (la acel moment marea majoritate a elevilor încă nu are o gândire “foarte dibace” din punct de vedere a “jongleriilor algebrice”, care aici sunt în plus redactate în limbaj geometric). Demonstraţia tradiţională a teoremei lui Pitagora prin rapoarte aduce în faţa elevilor o dilemă cognitivă inaccesibilă marii majorităţi a elevilor, ţintind astfel mult prea sus faţă de posibilităţile “elevului mijlociu”. Această abordare reprezintă practic o ocazie irosită de a atrage elevii către matematică, de a le construi gândire logică în ultimă instanţă.

Abordarea demonstrării dinspre arii accesibilizează procesul, venind dinspre o direcţie totuşi mai senzorială. Eugen Rusu avertiza că nu trebuie să demonstrăm proprietăţi evidente din punct de vedere senzorial, dar nici să tragem orice demonstraţie într-o zonă cât mai abstractă nu este normal. Repet: o cale de mijloc este cea mai sănătoasă. Teorema lui Pitagora reprezintă o dilemă cognitivă destul de abstractă, aceasta putând însă a fi accesibilizată prin prezentarea ei cu ajutorul ariilor, într-o formă mai senzorială pentru o primă demonstraţie. Cu alte cuvinte, demonstrarea prin arii aduce în faţa elevilor o dilemă cognitivă, însă una accesibilă majorităţii elevilor, abordându-i printr-o “clară notă de experienţă senzorială“.

Eu cred că la aceste aspecte s-au referit colegii de la CEAE în observaţia din articolul la care am făcut referire la început (articolul reluat imediat şi pe edupedu.ro). Practic, forma actuală de introducere a Teoremei lui Pitagora “sare de la o extremă la cealaltă”: la sfârşitul clasei a 6-a trebuie introdusă “şmecheria” fără nici cea mai mică justificare, doar ca o reţetă “picată din cer”, evitând astfel total dilema cognitivă, iar apoi în clasa a 7-a, de-abia în semestrul al doilea (sau cum îi va mai zice de-acum, prin module), cunoaşterea Teoremei lui Pitagora este condusă pe o cale demonstrativă bazată pe o dilemă cognitivă inaccesibilă majorităţii elevilor. După părerea mea, acesta este de fapt “reproşul” din articolul CEAE la adresa autorilor manualului respectiv: simţind că demonstraţia tradiţională este inaccesibilă majorităţii elevilor, în încercarea de a le arăta că “nu-i aşa de greu”, aceştia sar în extrema cealaltă şi “îi pun” pe cei doi copii (cele două personaje din manual) să arate rezolvarea pe care elevii ar trebui să o ştie de la sfârşitul clasei a 6-a (de fapt un algoritm, o reţetă de învăţat pe de rost). Asta spune însă de fapt ceva groaznic: “Voi, majoritatea elevilor, nici nu trebuie să participaţi la înţelegerea matematică; este suficient dacă ştiţi să aplicaţi calculul respectiv. Nu-i nevoie ca să gândiţi; ne mulţumim să vă dresăm să puteţi face automat o rezolvare”.

Dar de ce face Teorema lui Pitagora aşa cum face, asta oricum marea majoritate a elevilor tot nu vor înţelege, predarea celor mai mulţi profesori (inclusiv din manualul respectiv) ratând momentul cu “mare brio”. Şi, uite-aşa profesorimea mai ratează un moment în care ar putea să-i facă pe elevi să gândească, mulţumindu-se să-i dreseze doar să înveţe o nouă reţetă (necesară pentru a face faţă la teste, la examene sau la fizică).

Fac aici o paranteză la prezentul eseu şi vă povestesc puţin despre viaţa mea la acest moment în contextul încercării altruiste de a ajuta la repararea predării matematicii în România. Am ajuns să mă preocup înspre multe direcţii (cam multe), aşa încât acest aspect se reflectă şi în apariţia postărilor pe blog. Totuşi, vedeţi cum se leagă în mod curios, foarte interesant, subiecte din ultima perioadă (de pildă, preocuparea despre prefaţa culegerii lui Hollinger cu articolul CEAE despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora). Există şi un alt subiect mai vechi, despre care nu am scris în ultima vreme (pentru că pur şi simplu n-am apucat), deşi au apărut elemente noi în preocuparea mea: munca de înţelegere a fişelor de descoperire a matematicii generate de D-na Birte Vestergaard din Norvegia. La cursul seminarului de la Kassel de anul acesta m-am înscris pentru a participa exact la cursul de 5 întâlniri ţinute de dânsa (la restul am participat din decenţă faţă de cei care mi-au plătit cursul întreg). Permiteţi-mi să vă divulg deja una din noutăţile auzite acolo. Astfel, dânsa a început să ne vorbească despre un aşa-numit “Sudoku-effect“, înţelegând prin acesta acea stare atractivă de rezolvare a unor situaţii enigmatice pe care ” TU trebuie să le rezolvi”, care nu-ţi dau pace “până nu le dai de capăt”.

Cred că toţi cunoaşteţi acea stare (de-a dreptul obsesivă uneori) când nu poţi abandona un subiect până nu afli cum funcţionează; în această zonă ar trebui atraşi elevii în momentul demonstraţiei Teoremei lui Pitagora. Mai mult: la această cea mai cunoscută teoremă din toate timpurile, procesul poate fi repetat chiar de mai multe ori. Dilema cognitivă are “o energie” atât de mare încât procesul demonstrării poate fi reluat de mai multe ori, din diferite direcţii de materie (varianta dinspre Teorema catetei fiind doar una dintre acestea). Asta făcea de fapt “again and again” (din nou şi din nou) acea profesoară din America, d-na Marisha Plotnik punându-i pe elevi să descifreze alte şi alte demonstraţii ale Teoremei lui Pitagora.

Am dat “Sudoku-effect” pe Google, mi-a apărut instant (se pare că-i destul de cunoscută expresia) şi am ales din lista oferită “sudoku effects on brain” (efectul sudoku asupra creierului); iată prima informaţie apărută acolo: People who do puzzles have brain function equivalent to 10 years younger than their age, according to the study tests. On short-term memory tests, puzzle takers had brain function equivalent to eight years younger. (oamenii care se ocupă cu rezolvarea puzzle-urilor, în general a situaţiilor enigmatice, a jocurilor enigmatice, au funcţii ale creierului corespunzătoare unei vârste cu 10 ani mai tineri, conform studiilor. La testele de memorie pe termen scurt, “puzzel-iştii” au funcţiuni ale creierului echivalente unora cu 8 ani mai tineri) Mai pun totuşi încă una: Sudoku May Keep Your Brain Younger! Uaaau! (Sudoku îţi ţine creierul mai tânăr) Cu scuzele de rigoare evidenţiez aici dificultatea traducerii cuvântului “puzzle”, care include la americani orice tip de “joc enigmatic” (nu numai cele din multe piese mici de carton ce urmează a fi reasamblate într-o imagine, aşa cum este folosit în română), deci desigur şi jocurile numerice tip Sudoku, dar şi multe probleme matematice, mai ales cele clasificabile drept “matematică distractivă”. La problemele lui Martin Gardner este folosit de pildă constant termenul “puzzle”.

Aceste gânduri ne arată că practic “destinatarul” unei predări ce foloseşte acest Sudoku-effect, adică elevul “simte” chiar şi organic (deci pe creier) un nivel de stimulare extraordinar, însoţit probabil de generarea unor anumite neurochimicale, ce produc o stare de bucurie şi satisfacţie, întregul proces fiind astfel resimţit ca atractiv (Paul Olteanu ar explica mai bine asta). Revenind la matematica noastră, o predare ce foloseşte acest Sudoku-effect – generând un conflict cognitiv – va duce la o stare de atractivitate crescută faţă de matematică. Iar asta se va întâmpla la tot mai mulţi elevi, cu cât reuşeşte profesorul să atragă cât mai mulţi elevi în discuţia acestui conflict cognitiv. Aşadar, se pare că şi aici – în teoria Sudoku-effect – este implicată clar noţiunea de conflict cognitiv. Interesant! Închid paranteza.

Pricepând-o tot mai clar, observăm că această nouă cerinţă asupra predării – de a genera şi de a folosi un conflict cognitiv, o dilemă cognitivă în predare – intră brutal în contradicţie, în opoziţie cu o altă cerinţă asupra predării matematicii, una apărută în lumea matematicii şcolare chiar prin reforma uitată din 1980, anume cerinţa predării cât mai riguroase, după modelul cursurilor universitare: super-detaliat, prevenind astfel orice discuţie divergentă despre o oarecare neclaritate sau nesiguranţă, totul însă într-o atitudine “plată”, fără nici cea mai mică emoţie, tinzând spre o stare de evidenţă absolută, care “să anestezieze” orice fel de comentariu de contestare a discursului şî a concluziilor.

Problema este că acest tip de predare este unul deosebit de egocentrist (profesorul este concentrat doar pe discursul său, care în forma ideală trebuie să fie “absolut”). Dar, acest tip de predare este şi deosebit de plictisitor, de-a dreptul “adormitor” pentru auditoriu (modelul profesorului universitar care vorbeşte “de unul singur” la tablă, din “înaltul” matematicii sale). În afara celor pasionaţi de subiectul respectiv (de obicei foarte puţini), oricine ascultă un astfel de discurs, o astfel de lecţie, ajunge să piardă destul de repede contactul cu cel care ţine prelegerea. Practicată pe durată în şcolile de masă, acest tip de predare duce la efectele despre care toată lumea vorbeşte acuzator legat matematica şcolară. Care este reacţia multor profesori, sesizând acest aspect? Aceştia încep să transforme lecţia de matematică într-un simplu pachet de reţete, pe care elevii nu e nevoie să le înţeleagă, ci doar să le stăpânească şi să le poată aplica corect. Uau! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest ultim aliniat.

Durerea cea mare este că mentalul multor profesori s-a transformat atât de mult, încât aceştia predau astfel ca elevii nu că nu e nevoie să înţeleagă dar, cel mai bine nici măcar nu trebuie să şi înţeleagă lecţia (nu ştiu dacă se simte diferenţa de nuanţă din ultimul rând): aparent, în cazul unor profesori pare că neînţelegerea elevilor este rezultatul unei atitudini intenţionate; “eu profesorul, nici nu vreau să înţelegi, fac chiar tot ce pot ca să nu înţelegi, prezentându-ţi lucrurile cât mai alambicat (ca să vezi tot timpul cât sunt eu de deştept şi cât eşti tu de …); eu doresc doar să te dresez să le poţi aplica automat, ca să le poţi reda la examen” (faptul că elevul trebuie să simtă zilnic cât îi este profesorul de superior, aceasta este o altă latură urâtă a stilului de predare universitar din România, ce a fost preluată cu mare entuziasm de unii profesori din licee, ajungând şi în clasele gimnaziale, fiind confundată în mentalul multor profesori preuniversitari cu ideea de “predare super-riguroasă”).

Să revenim în final încă o dată la subiectul nostru, anume la conflictul cognitiv (sau să-i spun mai degrabă “dilemă cognitivă”? Că parcă se potriveşte mai bine în contextul predării matematicii). Aş dori să evidenţiez câteva direcţii despre care n-am vorbit şi nici nu intenţionez să vorbersc cu această ocazie (le enumăr însă, oarecum ca temă pentru cititori).

Pentru profesorul care a auzit doar acum de acest termen, un subiect deosebit de interesant ar fi următorul: oare, care sunt lecţiile predispuse spre introducerea prin dilemă cognitivă sau la care se poate folosi acesta? Nu-mi propun acum o astfel de analiză, mare consumatoare de timp şi spaţiu. Până la o eventuală astfel de prezentare (?) las tema în suspans, cum am spus deja, eventual ca temă de reflexie la adresa cititorului doritor.

Următoarea temă ar fi de interes doar pentru cei ce ajung în postura de a scrie cărţi de matematică pentru elevi, în principal manuale. Oare cum se pot introduce în lecţiile din manuale pasaje pe bază de dileme cognitive? Trebuie să recunosc că mă preocup cu această întrebare de câţiva ani, dar încă nu am ajuns la un răspuns clar (o linie de reţete eficiente în acest sens). Deci, cum poţi purta “un dialog” cu cititorul?

Pentru cine doreşte să aprofundeze subiectul, ar fi de un real interes să afle cum se practică această abordare, a scoaterii în evidenţă a dilemei cognitive, în predarea altor materii. Cum se face la fizică; cum s-ar putea folosi la istorie ? etc. Ar fi de evidenţiat şi alte aspecte, dar mă opresc aici, încheind cu un citat din Albert Einstein, citat ce subliniază importanţa formării gândirii: Nu port toate aceste informaţii în memorie, de vreme ce sunt disponibile în cărţi. Valoarea unei bune educaţii nu constă în învăţarea multor informaţii, ci în antrenarea minţii să gândească. Iar pentru acest scop, folosirea în predare a conflictului cognitiv, mai exact la matematică a dilemelor cognitive, are o valoare deosebită. C. Titus Grigorovici

P.S. Cum am mai spus, poate că denumirea de “Conflict cognitiv” nu este cea mai reuşită eu sugerând denumirea de “Dilemă cognitivă” (poate există şi o altă denumire, mai edificatoare). Important este să întelegem când considerăm că apare aceasta: în eseul de faţă m-am referit la situaţii în care ne confruntăm cu elemente noi în viaţa noastră, despre care la început nu înţelegem cum se situează faţă de restul aspectelor, a celor deja cunoscute. De obicei în procesul de învăţare a matematicii, noţiunea de dilemă cognitivă descrie de fapt situaţia în care învăţăcelul se confruntă cu o informaţie nouă ce nu este încă în acord cu cele anterioare, organizate deja, până în acel moment, ca sistem coerent. Legat de acest moment cunosc un citat interesant din Rudolf Steiner, filozoful fondator al Şcolii Waldorf (este chiar citatul meu preferat). Iată pasajele la care mă refer:

Toate gândurile izolate sunt părţi ale unui mare întreg pe care-l numim lumea noastră de noţiuni. Dacă în conştienţă se iveşte un oarecare gând izolat, eu nu-mi găsesc odihna până când el nu este pus în acord cu restul gândirii mele. O asemenea noţiune separată, despărţită de restul lumii mele spirituale, îmi este cu totul insuportabilă. Căci eu am conştiinţa faptului că există o armonie lăuntric întemeiată a tuturor gândurilor, că lumea gândurilor este una unitară. De aceea, pentru noi orice asemenea separare este ceva nenatural, un neadevăr. Când am ajuns până acolo (ca gândul cel nou să fie pus în acord cu restul gândirii mele), că întreaga noastră lume de gânduri poartă caracterul unui acord lăuntric desăvârşit, atunci avem parte de acea mulţumire după care tinde spiritul nostru. Atunci ne simţim în posesia adevărului.(din Rudolf Steiner, Linii fundamentale ale unei teorii a cunoaşterii în concepţia goetheaniană despre lume, Ed. Triade, 1996. Pag. 35-36)

P.P.S. Dacă nu aţi creat deja o alergie la “manualele germane”, pe baza articolului iniţial CEAE despre alegerea demonstraţiei pentru Teorema lui Pitagora, vă prezint încă două astfel de articole (din 2019, respectiv 2021) în care se vede cum se pot introduce noţiuni noi de geometrie prin problematizare, adică pe baza unei dileme cognitive. Iată link-urile acestora: https://ceae.ro/cum-sa-i-ajuti-pe-copii-sa-gandeasca-nu-sa-toceasca-la-matematica-solutia-prezentata-de-un-manual-german-de-clasa-a-vi-a/ , respectiv https://ceae.ro/cand-predai-matematica-trebuie-sa-i-inveti-pe-copii-sa-gaseasca-solutii-la-probleme-noi-nu-sa-memoreze-proceduri/ Eu nu mă apuc de noi analize, ci vă las dvs., stimaţi cititori plăcerea şi provocarea de a aprofunda individual fiecare idee exprimată în acestea. Sunt două articole deosebit de valoroase, înţelegerea lor putând creşte vizibil “arta predării matematicii”.

Pentru că am făcut subtile referiri şi la alte materii, probabil cel mai bine se poate surprinde ideea de conflict cognitiv la fizică, atunci când confrunţi pentru început mintea elevului cu un experiment surprinzător, cu o situaţie uluitoare, intrigantă. Uimirea apărută instant la vederea acelui experiment acţionează ca un imbold natural, trezind dorinţa de a cerceta şi de a înţelege noul fenomen. Observaţi în acest sens următoarele filmuleţe (youtube-ul dă şi altele): https://www.youtube.com/watch?v=XAbEeE6eCZw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=yYWXyHgupjw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=JRPA5Wk5PTw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=7

Din păcate, mulţi înţeleg pe baza unor astfel de exemple că metoda conflictului cognitiv este potrivită doar fizicii (unde într-adevăr aceasta funcţionează “ca peştele în apă”), susţinând că în predarea matematicii această metodă nu-şi are locul. Nimic mai greşit! Conflictul cognitiv poate fi folosit cu succes, ca dilemă cognitivă, şi în predarea matematii preuniversitare, de obicei sub forma predării prin problematizare, în forme extreme chiar ca predare prin descoperire.

Dacă tot am ajuns să vorbesc şi despre fizică, îmi permit un gând personal. Ideea de conflict cognitiv poate fi desigur înţeleasă ca atare în momente istorice precum situaţia de explicare a fenomenului luminii: conflictul dintre teoria de undă şi teoria corpusculară (există şi alte conflicte nelămurite, unele chiar la bazele fizicii). Dar în procesul de predare a fizicii la clasă avem de obicei doar dileme cognitive, în urma prezentării unui experiment uimitor. Cel mult, în procesul de încercare de găsire a unei explicaţii pot apărea situaţii conflictuale între doi elevi, între două grupuri (poate chiar trei), care vin cu explicaţii diferite, iar apoi îşi susţin cu ardoare punctul de vedere. Cu alte cuvinte, cred că folosirea cuvântului “conflict” este de obicei exagerată, denumirea de “dilemă” cognitivă fiind de obicei mult mai potrivită.

De data asta chiar închei, dorind să aduc mulţumiri sincere d-lui Cristian Hatu de la CEAE, pentru sugestiile lămuritoare şi materialul trimis în acest sens (adresele din acest P.P.S.).

Starea matematicii şcolare (3) – Autorităţile naţionale şi politica şcolară matematică

În această serie mi-am propus să scot în evidenţă faptul că la ora actuală “toată lumea” greşeşte în procesul educaţional, anume că degeaba scoatem constant la lumină greşelile altor participanţi, că tot nu se rezolvă mare lucru atâta vreme cât nu ne uităm “în propria ogradă”, atâta vreme cât nu ne facem autoanaliză şi nu începem un proces de autocorectare.

Până acum am vorbit despre elevi (dar mai ales despre părinţii acestora) şi despre profesori, în două mega-eseuri (cele mai lungi de până acum pe pentagonia.ro, fiecare câte 9 pagini). Eseul despre deficienţele activităţii profesorilor a reprezentat totodată pentru mine şi cel mai greu text de scris. M-am simţit extrem de dificil în această stare similară cu o bârfă, în care mi-am criticat pe faţă diferiţi colegi, dar simţeam totodată că trebuie să fac acest lucru pentru valoarea întregii serii: cineva trebuia să spună unor astfel de lucruri pe faţă, astfel încât să nu mai vorbim doar pe ocolite, în jurul subiectului (nici eu nu am reuşit să o fac foarte direct, dar m-am străduit; sper că Gigel să fi fost mulţumit!), sau să fim din când în când puşi în situaţia de a-i auzi pe alţii cum vorbesc în mod critic despre noi. Totodată, nutresc totuşi speranţa că diferiţi colegi care fac astfel de lucruri (sau altele despre care nici n-am vorbit) vor “cădea pe gânduri” şi vor intra într-un proces de autocorectare.

Acum ar trebui să ne uităm la următorul nivel principal al învăţământului şcolar matematic românesc, anume la nivelul autorităţilor naţionale responsabile de politica predării în şcoli a matematicii. Este foarte important să o facem, deoarece “Ei” sunt generatorii întregii “atmosfere” din sistemul şcolar, a tuturor condiţiilor în care profesorii şi elevii trebuie să îşi desfăşoare activitatea (poate nu neapărat “Ei” cei de acum, se prea poate să fie vorba mai degrabă de “Ei” cei de altădată, dar cei de acum sunt datori să facă corecturile necesare şi să îşi asume existenţa erorilor celorlalţi din trecut). Faptul că – mai ales în cazul matematicii şcolare – elevii şi profesorii sunt într-o permanentă “dispută”, într-un perpetuu conflict (de interese, de comportament, de activitate, unii împotriva celorlalţi, fiecare pentru sine, cu interese divergente, egocentriste), acest fapt se datorează în primul rând autorităţilor centrale care generează, conduc şi coordonează întreaga activitate a “jucătorilor de la nivelul de bază” (întotdeauna, la tot ce scriu există desigur şi excepţile corespunzătoare).

Pentru eficienţa şi fluenţa textului să convenim a numi toate autorităţile centrale cu mult mai simpla titulatură de “Ministerul”, înţelegând prin acesta toate persoanele şi toate structurile ce se ocupă de destinele matematicii şcolare româneşti în cadrul Ministerului Educaţiei (sau cum so mai fi numind de la un ministru la altul). În unele momente s-ar putea să fie implicată în discuţie şi Societatea de Ştiinţe Matematice din România (eu din copilărie o ştiu ca SSM, părinţii mei având legături puternice cu aceasta – fondaseră o subfilială SSM în Or. Victoria; sub tutela SSM au organizat într-un deceniu trei simpozioane naţionale pe tema Laboratorului de matematică, ultimul în 1987 la scurt timp după revolta muncitorilor din Braşov).

În această mare categorie nu intră şi inspectoratele şcolare judeţene, aceştia fiind doar responsabili cu implementarea politicilor educaţionale “venite de sus”. Rareori când inspectoratele şcolare reuşesc să genereze anumite “mişcări” locale de îmbunătăţire a situaţiei, care să nu fie direcţionate “de la centru”. Am avut un astfel de caz în urmă cu cca. 10 ani, când Inspectoratul şcolar judeţean Cluj a instituit un sistem de simulări a examenelor de final de ciclu (EN şi BAC), format din două ture de simulări, una în jur de 1 Dec,, iar cealaltă înainte de Paşte (sau după? nu mai ţin minte clar). Logica era următoarea: mai ales pentru elevii care tot amânau a se apuca serios de învăţat, prima tură de simulări acţiona ca un sistem de alarmare deosebit de eficient; măcar în vacanţa de iarnă aceştia se apucau de lucru. Iar învăţatul funcţiona foarte serios pe baza acestei “sperieturi”, astfel încât în primăvară avea loc “o adevărată simulare”, una în cunoştiinţă de cauză, una pentru care elevii chiar se pregătiseră serios (măcar începând din iarnă). Rezultatele erau desigur mai bune, începea să acţioneze încurajarea pozitivă, elevii vedeau că pot şi trăgeau mai tare ca să urce cât mai mult pentru examen. Rezultatele acelui an au fost spectaculoase, “Clujul” situânduse muuult deasupra celorlalte judeţe (ţin minte un grafic edificator din acel an). Şi ce a făcut în aceste condiţii Ministerul? Au spus că preia ideea la nivel naţional, dar o modifică niţeluş, aşa doar prin părţile esenţiale: s-a instituit simulare obligatorie la nivel naţional, însă doar într-o singură sesiune, poziţionată undeva între cele două din modelul clujean (imediat după 8 Martie). Este evident pentru oricine că mecanismul acestei noi forme nu mai acţiona la fel ca primul model gândit la Cluj, mai ales nu mai acţiona la fel de eficient. Care au fost rezultatele noului sistem? La nivel naţional au crescut desigur substanţial, dar la nivelul judeţului Cluj acestea au scăzut faţă de anul precedent (din câte ştiu eu, din câte am auzit).

Acest exemplu este unul minor la nivel general, dar absolut edificator pentru subiectul prezentului eseul în sine, anume despre nivelul hotărâtor al influenţei politicilor educaţionale centrale asupra activităţii celor de la baza sistemului de învăţământ, respectiv edificator în sensul evidenţierii posibilităţilor limitate a autorităţilor locale în a se implica într-o remediere a situaţiei învăţământului. Dar să revenim la autorităţile centrale. Pentru a înţelege “toate cele”, cât şi linia lor logică, a celor ce le voi avea de “reproşat” ministerului, ar trebui să facem o incursiune în istoria politicilor predării matematice în ultima jumătate de secol. În rândurile următoare voi încerca o variantă cât mai scurtă a unei astfel de prezentări.

În relativa dezgheţare de după 1965, cu moştenirea din anii postbelici, învăţământul şcolar românesc pornise pe o linie destul de sănătoasă. Nume ca Ivanca Olivotto, Eugen Rusu sau A. Hollinger (ca să enumăr doar câteva personalităţi de marcă) organizau refacerea învăţământului matematic românesc, având în vedere tot spectrul de nevoi, de la nevoile marii populaţii şcolare, la satisfacerea nevoilor şi posibilităţilor deosebite ale elitelor intelectuale. Matematica şcolară era de o calitate foarte bună; multe elemente studiate în timpul şcolii (generală sau liceu) le-am regăsit în aceeaşi formă şi în conferinţele sau cursurile la care am participat în ultimul sfert de secol cu docenţi din străinătate. Era o matematică deschisă la minte, ce folosea şi cultiva gândirea intuitivă, construcţiile geometrice, cu o preocupare pentru cei buni, totodată însă o matematică cu o linie umană, accesibilă pe scară largă cât mai multor elevi. Exemplul amintit mai sus, al părinţilor mei ce se ocupau intens de subiectul Laboratorului de matematică este edificator: dezvoltarea sistemului respectiv (se pare de inspiraţie americană) era susţinută intens de SSM, la simpozioanele evocate participând profesori cu preocupări în acest sens din toată ţara. Însuşi Preşedintele SSM din acei ani, Acad. Nicolae Teodorescu ne-a vizitat în acele vremuri (am amintiri cu dânsul, împreună cu părinţii mei, elev în clasa a 6-a fiind).

Finalul anilor ’70 aduceau însă schimbarea către un învăţământ şcolar matematic mai dur, orientat spre performanţă (am putea zice “cu orice preţ”), al cărui formă avea să rămână cvasi-neschimbată până în zilele noastre, ajungând astfel să fie “încarnată” în mentalul marii majorităţi profesorilor români. Să analizăm cât mai pe scurt această reformă, pe care eu am denumit-o “Reforma uitată din ’80” (de fapt de prin 1977 până prin 1982, urmată în continuare de impunerea forţată a noii linii de predare; voi explica ulterior această denumire).

Reformarea a pornit cu manualele noi din 1978 (?) pentru licee şi s-a încheiat oficial cu introducerea unor manuale noi în 1981 pentru gimnaziu, pe alocuri chiar mai dure decât cele de liceu. Modificările au fost structurate pe următorul “evantai” compus din vectori de schimbare: 1) o mult mai mare rigurozitate a teoriei matematice, atât în forma inclusă în manuale cât şi în forma orală; predarea axiomatică, cu definiţii şi teoreme riguros ordonate a ajuns la ordinea zilei, preocuparea oficială în acest sens lăsând de-o parte faptul că cei mai mulţi elevi nu mai înţelegeau mare lucru; 2) “coborârea” multor elemente sau lecţii întregi înspre clase mai mici, introducerea multor teme noi ducând desigur şi la o puternică “îndesare” a materiei (aceasta ajungând după acea reformă la o încărcare foarte greu de dus de către elevul de rând); 3) ridicarea puternică a ştachetei dificultăţii problemelor la toate nivelele de şcolarizare.

Nivelul exagerat al aplicării acestor trei vectori de schimbare era “justificat” după principiul de nimeni rostit ca atare, dar de toţi subînţeles că dacă există 2-3 elevi care înţeleg ceva anume şi îi fac faţă, atunci acel ceva se poate face cu toată clasa, totul în numele creşterii rezultatelor la examene şi concursuri. Alăturarea constantă a celor două tipuri de testări, “picurată” zilnic în mentalul public avea menirea să sublinieze preocuparea “conducerii de partid şi de stat”, a “tătucului” însuşi (Ceauşescu, adică) pentru binele fiecăruia.

Aceste direcţii de preocupare erau menite de fapt să crească rezultatele la olimpiadele şcolare, tinzând spre redobândirea statutului de putere mondială la Olimpiadele internaţionale de matematică. În acest sens matematica şcolară se alinia, alături de politica spre performanţă în sport, în preocupările obsesive ale lui Ceauşescu de dovedire a “superiorităţii noii societăţi multilateral dezvoltate şi de formare a omului nou” (în anii ’80 deveniserăm imuni la cât am auzit acest slogan). Conectând preocuparea pentru rezultate cât mai bune la examenele (cvasi-obligatorii) cu preocupare pentru olimpiade (care era totuşi doar pentru vârfuri), cel puţin la nivel declarativ, s-a obţinut identificarea omului de rând cu “rezultatele olimpicilor noştri”, generând astfel un nivel de mândrie naţională exagerată (construit meticulos în anii ’80 prin tot ce se publica sau se putea auzi la TV).

Revenind la predare, anii ’80 au reprezentat o perioadă în care profesorii au fost forţaţi să treacă la noul tip de predare, chiar dacă simţeau că nu e bine aşa. Ca reacţie la noua politică, deşi se schimbaseră manualele şi linia oficială de predare a diferitelor lecţii, profesorii continuau pe ascuns, din convingere, să predea aşa cum ştiau ei mai bine, în vechiile forme de predare. Nu aveau clare argumente pentru asta, dar aşa simţeau. Cărţile marelui metodist Eugen Rusu, care avertizase despre ce urma să vină din deceniul precedent erau “departe” şi oricum nu le aveau toţi la îndemână (de la Psihologia activităţii matematice în 1969 şi până la Problematizare şi probleme în matematica şcolară în 1978 – ce titlu subversiv reuşit!). Culegerea cu probleme de geometrie a lui A. Hollinger (din 1982) era ce-i drept peste tot, o puteau folosi toţi, dar nici aceasta nu a putut împiedica şirul evenimentelor. Presaţi pe toate căile oficiale, la orice inspecţie, cu timpul majoritatea profesorilor “s-au tras pe brazdă”, acceptând noile forme de predare şi de lecţii. Rigurozitatea predării, parcurgerea integrală a materiei prea încărcate, cât şi ridicarea nivelului aplicaţiilor erau la ordinea zilei. Formarea gândirii prin problematizare şi folosirea intuiţiei elevilor erau de domeniul trecutului.

Cam aceasta era starea învăţământului şcolar matematic în România la momentul revoluţiei din dec. 1989. Însă, deşi iniţiatorul acestor profunde schimbări fusese eliminat, marea parte a societăţii ajunsese să fie convinsă de superioritatea sportului românesc, cât şi a matematicii şcolare româneşti. Toată lumea ajunsese să identifice mental rezultatele la olimpiadele şcolare până la internaţionale cu nivelul activităţii matematice zilnice din şcoli. Argumente scoţându-i în faţă pe “olimpicii noştri” se auzeau peste tot cu mare mândrie, împiedicând orice analiză realistă a situaţiei. Astfel, linia stabilită de Ceauşescu s-a păstrat în continuare cu mândrie şi avânt pe mare parte a anilor ’90.

Acela – în 1990 (cel mult 1991) – ar fi fost primul moment bun de analiză liberă şi corectare a modului de predare a matematicii în şcolile româneşti, dar nimeni nu privea atunci lucrurile prin prisma existenţei nevoii unor corecturi. Dimpotrivă, pe atunci toată lumea considera că “matematica noastră – Uau!” şi deci totul este foarte bine aşa (mai ţineţi minte desigur atmosfera din 1990 cu Mondialul de fotbal din Italia şi generaţia de aur la fotbal, sau nenumăratele medalii la toate celelalte sporturi şi competiţii). “Săracu’ Ceauşescu”, n-a mai apucat să le vadă şi să se bucure de ele.

Este profund regretabilă ratarea acelui moment, deoarece la vremea respectivă erau încă în activitate foarte mulţi profesori care predaseră în stilul vechi, cel mai puţin riguros, mai empatic şi care dezvolta şi inteligenţa intuitivă la elevi. Atunci s-ar fi putut obţine într-o reformă scurtă şi liniştită de doar 2-3 ani, o formă mai umană de predare a matematicii şcolare care să îmbine în mod armonios calităţile celor două forme de predare – cea din anii ’70 şi cea din anii ’80 (da, chiar şi cea nouă din anii ’80 avea calităţi, cum şi cea din anii ’70 avea deficienţe).

Actualmente nu prea mai există profesori în activitate care să stăpânească stilul de predare dinaintea reformei din 1980; din acest motiv i-am spus “Reforma uitată din 1980”; la ora actuală nici măcar nu prea mai găseşti oameni care să aibă cunoştinţă despre existenţa acelei reforme (în toamna lui 2015 am cunoscut un domn din conducerea SSM care a avut o tresărire plină de nostalgie: “Da, eu mai ţin minte de lucrurile astea de care vorbeşti tu!”). Cred că în timpul pandemiei s-au cam pensionat “ultimii mohicani” care mai prinseseră în activitatea lor ani de predare în forma veche. Acum putem vorbi mai degrabă de ultimii profesori care au mai prins ca elevi acel stil de predare şi la care s-ar putea activa conştient, în mod teoretic dar şi pe baza revitalizării unor amintiri din copilărie, a unor impulsuri de imitaţie a profesorului de matematică din timpul şcolii sau a liceului.

Asupra acestor aspecte am atras atenţia de mult, încă din primul an pentagonia.ro, de pildă în postarea din 2016: http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ , (sau altele două iniţiale, pe care le puteţi lectura separat în funcţie de timpul dvs.)

A urmat o tură nouă de manuale – aşa-zis eliberate de “dogmele” comunismului, dar de fapt mult mai puternic orientate exclusiv spre performanţă şi excelenţă (chiar pe linia impusă de Ceauşescu cu aproape 20 de ani în urmă). S-a întâmplat aşa pentru că toată lumea care “avea un cuvânt de spus” în vremea respectivă ajunsese să creadă în această linie (dar şi pentru că nimeni nu se mai gândea să pună această dogmă în discuţie).

Manualele respective neglijau însă masiv elevii de rând (“elevul mijlociu”, cum le spunea Hollinger). Acestea nu mai ofereau obişnuitul “set de exerciţii de bază” la fiecare lecţie, acele exerciţii prin care marea masă a elevilor pricepeau despre ce este vorba şi cum funcţiona lecţia respectivă la nivel practic, exerciţii prin care şi elevii mai puţin dotaţi îşi fixau mişcările tipice ale noii lecţii. Vorbesc despre acele exerciţii de care elevul de rând are nevoie să facă măcar zece bucăţi de un fel, apoi încă zece de felul următor etc. pentru a înţelege şi a-şi însuşi lecţia respectivă. În acele manuale mai găseai doar câte unu, cel mult două exerciţii dintr-un fel, după care se trecea direct la aplicaţii mai complexe, destinate elevilor de nivel bun şi foarte bun, menite doar a netezi calea spre nivelul competiţional, cel de excelenţă.

La vremea respectivă ţin minte un sfat “underground” de a duce la clasă fişe copiate cu seturi de exerciţii de bază din manualele ce tocmai fuseseră înlocuite, cele din anii ’80, în care încă eleviilor de rând li se acordase atenţia cuvenită (în anii comunişti nu şi-ar fi permis autorii respectivi să neglijeze marea masă a copiilor clasei muncitoare). Mi-a rămas în amintire exemplul unei pagini întregi de ecuaţii în formele cele mai simple pentru clasa a 6-a; mulţi ani la rând le-am tot dus la clasă, pentru că din manuale elevii nu puteau învăţa mişcările tipice rezolvării unei ecuaţii.

Părerea mea este că în acele manuale alternative “s-a descărcat” toată tradiţia şi experienţa acumulată prin Gazeta Matematică şi prin Olimpiadele şcolare. Reamintesc că vorbim aici de acei ani de “capitalism sălbatic” din anii ’90, în care totul se întâmpla în numele unei libertăţi încă neînţelese şi eronat aplicate de către marea majoritate a populaţiei (nu că acum situaţia ar fi mult mai bună). În manualele alternative din 1997 nici un colectiv de autori nu-şi mai permitea să nu dea toată atenţia doar aplicaţiilor complexe şi grele, nimeni nu-şi mai permitea să “irosească hârtie valoroasă” cu exerciţii de bază pentru elevul de rând. E ca şi cum România se umpluse brusc doar cu elevi olimpici, unu mai briliant decât celălalt. În realitate însă, fenomenul a avut caracteristici clare de genocid intelectual matematic la adresa marii populaţii a elevilor mediocri.

Chiar mai mult, în fuga lor plină de avânt după aplicaţii cât mai variate şi mai complexe înspre zona de matematică competiţională profesorii păstrau pentru temă seturile de probleme din manualul ales la clasă (majoritatea totuşi aplicaţii grele şi cât mai complicate, după cum se pricepuse fiecare echipă de autori), în timp ce la ore făceau probleme din manualele paralele. Chiar din partea inspectoratului am auzit cândva spre sfârşitul anilor ‘2000 exprimată această cerinţă ca pe o normalitate: “sper că toată lumea face aşa!”. O ţară întreagă se antrena doar pentru competiţiile matematice.

În plus, în licee a fost introdusă o nouă programă profund dezechilibrată între algebră şi geometrie, adică între nevoile celor două emisfere cerebrale (reforma din 1997). Acesta este însă un alt subiect, despre care am mai scris (de exemplu, despre ce părere are la ora actuală societatea faţă de introducerea vectorilor în clasa a 9-a în locul geometriei sintetice).

Faptul că linia pe care se mergea nu era bună, acest fapt a început să se vadă însă în curând; probabil că la “Minister” curgeau reclamaţiile, dar corecturile se făceau “ca nuca-n perete”, total anapoda. De pildă, deşi iniţial patrulaterele erau cuprinse în finalul clasei a 6-a (la fel ca înainte), manualele fiind astfel elaborate şi aprobate în 1997, foarte curând (1998-99?) patrulaterele au fost mutate la începutul clasei a 7-a, dovadă că începeau să apară reclamaţii la adresa matematicii (că ar fi prea grea). Exemplul mutării patrulaterelor este năucitor: timp de 20 de ani acestea au fost cuprinse în manualele de a 6-a, dar erau parcurse în clasa a 7-a (unde nu apăreau în manuale), pentru că alte manuale nu s-au mai aprobat. Repet: 20 de ani!!! Oricum, în ultimii 25 de ani au mai fost şi alte mutări (în sus sau în jos), arătând clar o stare debusolată de căutare bâjbâită pentru remedierea situaţiei.

Astfel, cândva la începutul anilor 2000 ar fi fost clar un nou moment de a supune forma învăţământului şcolar românesc matematic unei discuţii profunde. Din păcate societatea românească nu era încă pregătită spre o dezbatere realistă, iar în mintea conducătorilor de la toate nivelele domneau încă principiile performanţei şi excelenţei (din câte ştiu, cam atunci a început să fie folosită şi cuvântul “excelenţă”). Acestea împiedicau mintea marii majorităţi a profesorilor de matematică să vadă realist situaţia, nevoile reale ale elevilor, totul fiind privit doar prin prisma criteriilor impuse la sfârşitul anilor ’70 de reforma uitată (rigurozitate excesivă în predare, preocupare pentru aplicaţii cât mai complexe etc.). Iar dacă ceva nu mergea bine, “elevii erau de vină”!

Exemplul evocat mai sus, al mutării patrulaterelor din a 6-a în a 7-a este sugestiv în acest sens: patrulaterele în sine nu sunt grele, dar în schimb îi năuceşte pe elevi concentrarea preocupării pe demonstrarea tuturor proprietăţilor, atât directe, cât şi reciproce, totul prin metoda triunghiurilor congruente. Degeaba s-au scos patrulaterele, dacă s-au păstrat metodele de lucru grele, demonstraţiile inaccesibile minţii elevului de-a 6-a. Scoţându-se din a 6-a capitolul cu patrulatere şi, ca urmare multele aplicaţii din cadrul acestora, atât prin metoda triunghiurilor congruente, cât şi prin alte raţionamente folosite în demonstraţia geometrică, în mod neaşteptat a îngreunat de fapt materia, a făcut-o şi mai inaccesibilă. Profesorii se concentrează mai mult pe un număr mai restrâns de probleme, tabloul general al demonstraţiei geometrice fiind astfel mai neclar. Ce-i drept că fenomenul s-a cumulat cu un nivel tot mai scăzut de învăţare din partea elevilor, fenomen apărut brutal, dar neobservat cândva imediat după 2000. Părerea mea este că parcă şi elevii sunt tot mai proşti de la o perioadă la alta, asta în principal datorită utilizării pe scară tot mai largă (scăpată de sub control) a ecranelor în variatele lor forme; acest aspect ar trebui să-l discutăm la o analiză a influenţei societăţii asupra învăţării matematicii.

Un studiu mai intuitiv al studiului iniţial al patrulaterelor, urmat de marea diversitate de demonstraţii mai uşoare ce le urmează, cu aplicaţii atât în triunghiuri cât şi în patrulatere, oferind o mult mai acesibilă dar mai largă paletă de aplicaţii, o astfel de politică de predare ar fi mult mai potrivită. Depinde însă din ce punct de vedere priveşti lucrurile: autorităţile au privit întregul fenomen ca pe un curs oficial cvasi-universitar de geometrie euclidiană (rigurozitatea mai presus de toate: nu mergem mai departe până nu ştim bine triunghiul şi metoda triunghiurilor congruente!); marea majoritate a elevilor ar fi avut însă nevoie de metode mai umane, mai intuitive, cum ar fi predarea în spirală sau predarea prin problematizare. Un alt exemplu în acest sens îl reprezintă politica de predare şi poziţionarea temporală a studiului sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (am vorbit cu altă ocazie despre acest subiect şi doresc să o mai fac şi altădată, aşa încât nu mai zăbovesc acum pe această linie).

Încet dar sigur nemulţumirile la adresa liniei oficiale s-au acumulat în anii ce-au urmat (20 de ani de “bâjbâială antididactică”, din 1997 în 2017), aşa încât undeva acolo “la nivel înalt” s-a ajuns la recunoaşterea faptului că “lucrurile nu mai pot continua pe această linie” (se auzeau tot mai des în mass-media argumente raţionale, care de fapt contraziceau linia ce se stabilizase după reforma uitată din ’80). Din câte am putut vedea în rândurile noii programe gimnaziale din 2017, dar şi “printre rânduri”, la nivelul comisiei care a redactat această programă a existat clar conştientizarea şi recunoaşterea acestei realităţi. Amintesc, de pildă, cum am numărat la vremea respectivă de câte ori apărea noţiunea de “predare intuitivă” în rândurile acelei programe.

Din păcate, “Ministerul” (comisia ce trebuia să implementeze această nouă linie) a eşuat lamentabil în explicarea până la nivelul de bază a noilor principii. Ţin minte marea amărăciune trăită în momentul când am realizat că nici măcar inspectorii şcolari nu fuseseră lămuriţi şi convinşi de ce trebuia de fapt făcut (la consfătuirile cu profesorii din acea toamnă). Se pare că avusese loc un fel de tabără de lucru cu toţi inspectorii şcolari, în care “inspectorii din minister” ar fi trebuit să le transmită principiile noii linii. În acea tabără (săptămână de lucru?) inspectorilor şcolari li se tot repetase că “este o cu totul nouă linie“, fără însă a li se şi lămuri în profunzime care era această nouă linie. Puteam vedea clar ce fel de “atmosferă” fusese în acea tabără de lucru: probabil câţiva (puţini) cei care trebuiau să transmită noua linie, acolo la tribună, vorbind “în gol”, în mod tipic românesc, iar în sală auditoriul inspectorilor şcolari, care nu înţelegeau nimic (setaţi fiind desigur pe linia veche şi convinşi de aceasta), chiar încurajându-se între ei în această stare, precum nişte elevi care nu înţeleg lecţia, refugiindu-se în a face mişto de superiori, repetând expresii goale de un conţinut real (pentru că – nu? – “este o cu totul nouă linie”). Ca urmare, desigur, nici inspectorii şcolari nu au putut transmite la rândul lor profesorilor noua linie. Singur aspect clar ce l-au putut transmite a fost că “acolo sus” se cere o nouă linie de predare, despre care însă nu se pricepe mai nimic.

Faptul că această nouă reformă a fost o nereuşită (ca să nu-i spun “un eşec”), acest fapt a început desigur să se simtă destul de repede şi “acolo sus, la minister” (“destul de repede” la nivel “istoric”, adică după doi ani!). Rezultatul a fost o nouă “convocare la Centru” a tuturor inspectorilor şcolar de matematică, într-o nouă săptămână de lucru, de data asta şi împreună cu reprezentanţii SSM, prin care s-a încercat fixarea “în scris” a noilor principii, acum abordate dintr-o linie mai largă. Rezultatul acelei întâlniri a fost rezumat în “vestita” Scrisoare metodică din ianuarie 2019, despre care am relatat intens la vremea respectivă. Cu acea ocazie s-a mai făcut totuşi încă un pas mic în plus: Inspectoratele au fost puse să ceară şcolilor un “plan operaţional” în acel sens. Ce s-a întâmplat de fapt? A fost desemnat câte un inspector, la fel în şcoli, la nivelul catedrelor a fost stabilit câte un coleg “respnsabil” pentru “noua hârtie” ce trebuia realizată. Ţin minte că măcar încă o dată aceştia am fost obligaţi să raportăm la inspectorat paşi făcuţi în implementarea noii linii; inspectorii respectivi au trebuit probabil să centralizeze şi să raporteze mai sus; acolo cineva a centralizat rapoartele judeţene şi … (bla-bla-bla: “teoria formelor fără fond”, sau mai clasicul “trăiască birocraţia!”). Apoi lucrurile au decăzut în uitare (în toamna lui 2019 n-am mai auzit nimic de subiectul respectiv, nemai trebuind să facem un alt raport); în martie 2020 a apărut pandemia şi “asta a fost”.

În concluzie, putem spune că şi demersul acelei scrisorii metodice a cam fost unul “în van” (“în gol”, adică degeaba). Să analizăm puţin de ce s-a întâmpla astfel, de ce această “nouă reformă” pornită cu programa gimnazială din 2017 nu a reuşit să rezolve lucrurile. Merită să analizăm acest “scor nul” pentru că, cel puţin teoretic, cele două documente au spus destul de clar lucrurilor pe nume: 1) Nota de prezentare a Programei şcolare pentru matematica gimnazială 2017 cerea clar o predare mai intuitivă; 2) Scrisoarea metodică cerea o atenţie echilibrată între preocuparea pentru vârfuri şi preocuparea pentru elevii de rând (profesorilor li se cerea clar o preocupare echilibrată între atenţia pentru performanţă de excelenţă, adică pentru “olimpici”, respectiv pentru strădania spre învăţarea matematicii de către marea masă a elevilor, adică pentru “elevul mediu”, cel neglijat de politica educaţională în ultimul sfert de secol şi mai mult).

Din păcate însă, aceste două demersuri au fost din start făcute doar “cu jumătate de măsură”. Predare intuitivă a fost sugerată, cerută doar până la clasa a 6-a. Cât despre împărţirea atenţiei în raport 1:1 (“fifty-fifty”) ce se cerea acordată performanţei vârfurilor, cât şi marii mase a elevilor, aceasta era din start dezechilibrată ca procentaj al populaţiei şcolare, pentru că vorbim aici de cel mult 10% “olimpici” faţă de măcar 80% “elevul mediu” (vezi repartizarea conform “Clopotului lui Gauss”).

Dar nici măcar în această formă cele două cerinţe nu au fost îndeplinite. Profesorii nu ştiu ce-i aia “predare intuitivă”, nu le-a explicat nimeni. De unde să o scoată brusc? Eu, personal, cred că am înţeles “cu ce se mănâncă”, dar oare este corect ce gândesc? Nimeni nu ne-a explicat, nici în facultate, nici la următoarele cursuri ce le-am mai făcut. Cât despre atenţia echilibrată în cele două direcţii (performanţă, respectiv nivel de masă), profesorii ce se doresc “buni” au în continuare o reţetă imbatabilă: ei lucrează la nivelul vârfurilor clasei, iar cine nu face faţă “să-şi ia meditaţii în particular!”.

Aici suntem la ora actuală, cu lipsa programei corespunzătoare la licee, pentru generaţia ce a pornit prima clasa pregătitoare (folosită ca pretext pentru o schimbare mai profundă). Întârzierea cauzată de pandemie este absolut logică şi profund justificată, dar mai presus de asta, de fapt “Ministerul” nu rezolvă lucrurile într-un mod eficient. De ce? Pentru că de fapt nimeni nu-şi asumă să scrie “negru pe alb”, “cu subiect şi predicat” că de fapt trebuie modificată forma greşită de predare în care am fost împinşi cu peste 40 de ani în urmă. Nimeni nu spune clar ce trebuie schimbat, nimeni nu ne explică de ce este greşit aşa cum facem actualmente şi, mai ales, nimeni nu urmăreşte ca schimbarea “sugerată” în diferite documente să şi aibă loc cu adevărat. Stimaţi responsabili din “Minister”: în anii ’80 schimbarea a fost făcută cu forţa. Acum credeţi că schimbarea se poate face doar sugerând fin nişte aspecte? Nu vreau să zic că ar fi nevoie de un nou val de forţă pentru o nouă schimbare. Dar paşii făcuţi în ultimii cinci ani şi forma lor plăpândă sunt absolut insuficienţi.

Poate ar fi nevoie de o carte în care să fie prezentată noua formă de metodică şi didactică ce se cere; poate ar trebui reeditate în masă vechile cărţi (Eugen Rusu, George Polya); poate ar trebui organizate cursuri clare în acest sens (şi numai în acest sens, timp de mai mult timp). În câţiva ani tot trebuie să reuşească înţelegerea acestor câteva linii de către toţi profesorii (Reforma uitată a reuşit schimbarea în 10 ani; pentru mişcarea inversă ar trebui insistat măcar 5 ani, “zic şi Io, dau şi Io cu părerea”). Fac şi alţii astfel de schimbări şi nici acolo nu se petrec lucrurile uşor. Am în acest sens două exemple.

Profesorii de fizică din România au reuşit să întoarcă paradigma de predare impusă în reforma din ’80 (în succesiunea: predarea legităţii, urmată de exemple unde poate fi observată, unde “se aplică”), înapoi la cea mult mai sănătoasă dinainte de 1980 (elevul urmăreşte un experiment, îl analizează, iar apoi se cristalizează legitatea corespunzătoare). Am înţeles că prietenii de la CEAE au avut un rol determinant în acest proces de întoarcere la o predare mai naturală a fizicii, dar şi că schimbarea s-a reuşit la nivelul întregii mase a profesorilor de fizică. Bravo lor! Ei au încercat să atragă într-un astfel de proces şi “profesorimea” de matematică, au fost trimişi chiar delegaţi în străinătate să vadă cum merge treaba, dar odată întorşi înapoi reticienţa s-a făcut stăpână pe proces, după principiul “la matematică nu merg lucrurile aşa”. Eu am tot spus că matematica a fost vârful de lance al reformei din ’80 şi că la matematică schimbările au fost cele mai dure, aşa că este de aşteptat ca şi schimbarea înapoi să fie la fel de grea.

Colegii de la CEAE au exemple numeroase din străinătate unde au loc astfel de procese de schimbare a predării matematicii spre o formă mai naturală şi mai sănătoasă pentru marea masă a populaţiei şcolare, dar reticienţa mioritică “nu şi nu!”. Am şi eu un astfel de exemplu, de la colega din Norvegia despre care am tot vorbit. Acolo li s-a cerut tuturor profesorilor, la toate materiile să predea prin descoperire. Toată Norvegia trebuie să treacă la predarea prin descoperire. Desigur că profesorii sunt bulversaţi pentru că nu ştiu cum se face asta, dar toţi caută variante de lucru.

La ora actuală cel mai tare mă tem de aceste schimbări “în doru’ Lelii”, care nici nu schimbă cu adevărat lucrurile în direcţia bună, dar nici nu le lasă într-o formă coerentă. Fiecare face “ce-i trece prin cap”, înţelegând că trebuie să schimbe ceva, iar rezultatele sunt de multe ori cel puţin discutabile. Spun asta în momentul când Ministrul Educaţiei ne-a aruncat înspre o nouă reformă, de data asta a organizării anului şcolar, şi să vezi ce “indicaţii clare” vom primi despre cum să facem cu notele şi cu toate celelalte în viitoarele cinci module.

Nu aş dori să închei însă înainte de a mai pune în discuţie alte două mari greşeli ale “Ministerului” legat de activitatea matematică la clasă. Până aici m-am concentrat asupra principalelor aspecte de “întoarcere” a reformei uitate în zona mai intuitivă a matematicii şi de predare prin problematizare, dar şi în direcţia de aducere a problemelor într-o zonă mai accesibilă majorităţii elevilor, însă desigur că mai există şi alte aspecte ce ar putea completa o listă cu reproşuri. Unul dintre acestea ar fi eşecul de a trage preocuparea matematicii şcolare înspre o mai bună capacitate de “descurcare în viaţa de zi cu zi” a elevilor. Aceste este şi unul dintre aspectele ce apare deseori ca reproş la adresa matematicii şcolare româneşti, iar testări internaţionale precum Studiul PISA exact asta urmăresc: cum se descurcă elevul în zone din afara matematicii obişnuite, “după şcoală”. Ştim cu toţii de încercările de a se introduce probleme “tip PISA” în testări, mai ales în cele gimnaziale, dar acestea au fost deseori false, extrem de plăpânde şi deosebit de superficiale. Lumea pur şi simplu nu le înţelege rostul.

În altă ordine de idei, mai vreau să vorbesc aici neapărat şi despre relaţia “Ministerului” cu manualele şcolare şi cu devenirea acestora. Eu înţeleg foarte bine renunţarea la manualele unice şi ideea introducerii manualelor alternative paralele de la diferite edituri (în reforma din 1997, dar şi acum). Din păcate însă criteriile de aprobare şi avizare a manualelor nu duc la nişte rezultate sănătoase. Acest subiect va trebui analizat pendelete într-un eseu despre activitatea editurilor în sensul manualelor şi a auxiliarelor şcolare, dar acum doresc să privim puţin fenomenul prin prisma avizării unor manuale cu defecte.

Pentru a înţelege despre ce este vorba, ar trebui însă să analizăm care este rolul manualelor la nivel naţional. “Pe vremea mea” manualele conţineau materia de bază complet, clar, coerent şi bine explicat, cât şi aplicaţii corespunzătoare, astfel încât manualul putea fi folosit ca sursă de învăţare, cât şi ca sursă de teme la nivelul de bază, cu o creştere relativă a nivelului pentru elevii buni. Pentru muncă suplimentară se apela la culegeri. Eu nu ştiu să se fi schimbat “definiţia” manualelor şcolare în ultimul sfert de secol, aşa încât atunci când iau un manual în mână mă aştept tot la aşa ceva. Din păcate, orice “întâlnire” de-a mea cu un manual se lasă cu mari şi profunde decepţii. Îmi permit să dau aici câteva exemple.

În noua programă şcolară pentru clasele gimnaziale apare următoarea lecţie: Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; rezolvarea prin metoda substituţiei şi/sau prin metoda reducerii. Autorii acestei programe nu au explicat la fiecare pas de ce au scris astfel, dar pentru orice predare sănătoasă a acestei lecţii, asta este ordinea corectă. Predarea metodei reducerii la începutul lecţiei nu ajută elevul să înţeleagă fenomenul sistemului de ecuaţii, ci îi dă doar o metodă foarte rapidă de rezolvare. Copilul se obişnuieşte să vadă că-i iese soluţia, dar nu se obişnuieşte şi să înteleagă ce se întâmplă acolo. Ulterior nici nu va mai fi dispus să facă efortul să înţeleagă cealaltă metodă, a substituţiei. De ce a primit aprobarea un astfel de manual din partea “Ministerului”? Conducătorul echipei care au redactat manualele de geometrie pentru clasele 9-10 în finalul anilor ’70, D-na Mariana Răduţiu îmi spunea că au fost chemaţi la Minister, li s-a spus că au ieşit câştigători ai concursului, dar că mai au de făcut următoarele corecturi (şi au primit o listă). Acum de ce nu se poate proceda la fel? Şi acest exemplu nu este singurul; în manualele actuale sunt nenumărate gafe.

De un alt exemplu m-am lovit la începutul clasei a 8-a, în septembrie 2020, când le-am sugerat elevilor să descarce un anumit manual, până când vor veni manualele fizice (pe hârtie). Încercând să mă adaptez şi eu cum puteam situaţiei pandemice, le-am sugerat să studieze lecţia despre intervale (ce pericol putea să fie?). A urmat o mică avalanşă de întrebări: ce-i semnul ∞? Unii se descurcaseră cumva, iar acum râdeau de cei care încă nu aflaseră că acest semn reprezintă “infinit”. Problema este că în manualul respectiv nu este scris niciunde cuvântul “infinit”. Cum s-ar descurca un copil izolat, singur, undeva la ţară cu această situaţie? Dacă un astfel de manual este deja avizat (poate nici comisia de avizare nu a văzut o astfel de greşeală), atunci ar trebui ca “Ministerul” să ceară ultimativ să-l corecteze şi să refacă plăcile de tipărire. Şi totuşi, nu face nimeni o verificare serioasă, cu adevărat responsabilă, a acestor manuale, înainte de avizare. Doar criteriul preţului este relevant pentru autorităţi (aşa cum se vehiculează în mass-media)?

Mă opresc cu exemple din zona de teorie, dar doresc să mai evidenţiez o deficienţă majoră pe care “Ministerul” o girează prin aprobarea unui manual, anume faptul că în manualele actuale, la majoritatea lecţiilor nu sunt suficiente exerciţii simple, de bază, pentru fixarea noii lecţii. Am folosit exprimarea “în majoritatea lecţiilor” din decenţă, poate că o fi şi contraexemple, dar eu nu le-am întâlnit. Manualele sunt de fapt conştient deficitare în acest sens, fiind conştient redactate astfel încât elevii să fie nevoiţi să achiziţioneze şi auxiliarul corespunzător, de la aceeaşi editură. Editurile o şi spun “pe faţă”, promovându-şi astfel auxiliarele, unde desigur se regăsesc suficiente exerciţii accesibile pentru fixarea noţiunii. Vă rog frumos să nu-mi cereţi exemple concrete, dar pot spune că ultima dată “mi-a sărit muştarul” rău de tot analizând oferta de sisteme de ecuaţii din auxiliarul trimis spre ademenire de către o renumită editură (din acest motiv m-am mobilizat şi am realizat fişa de lucru pentru sisteme de ecuaţii publicată în primăvara lui 2020).

La toate defectele de lecţii din manualele oficiale, teoretice sau de natură metodico-didactică, în zona de exerciţii şi probleme sau de orice altă factură, “Ministerul” este coresponsabil alături de editurile respective. Însă cea mai mare vină a autorităţilor matematice – pe departe! – o reprezintă nelămurirea politicii de predare, respectiv tergiversarea schimbărilor pentru necesitatea cărora există suficiente argumente la toate nivelele. ONG-urile, mass-media, specialiştii avertizează despre această necesitate, despre starea deplorabilă a mari procente din populaţia de elevi (de pildă, studiul PISA cu verdictul de 40% analfabetism funcţional matematic), dar “Ministerul” amână şi amână “să ia taurul de coarne”, îngăduind astfel ca noi generaţii de elevi să o ia pe acestă cale.

Da, cu aceste rânduri închei prima serie de eseuri despre cine este de vină pentru starea actuală a şcolii româneşti, din punct de vedere a matematicii şcolare. Mă rezum pentru moment la această “trilogie” cu cele trei nivele de actori principali, elevi – profesori – autorităţi, pentru că există şi alte teme importante de analizat în acest moment (dar mai ales pentru că am nevoie să mai scriu şi ceva cu tentă pozitivă, să mă mai încarc puţin). Sper că voi putea reveni ulterior şi la alţi actori secundari ai învăţământului şcolar matematic. Până atunci, stimaţi colegi care aţi lecturat aceste rânduri, vă mulţumesc pentru răbdare şi înţelegere şi vă doresc forţă suficientă şi calm, mult calm, pentru a putea începe un proces de autoanaliză şi de autocorectare a greşelilor pe care le veţi conştientiza la dvs. Vă avertizez că nu-i uşor; eu mă chinui de zeci de ani în acest sens, şi pot confirma că de la o vreme încep să apară şi anumite “succese”, pentru început în paşi mici, apoi revelaţii tot mai profunde, iar cu timpul o lămurire edificatoare. Spor, vă doresc, Constantin Titus Grigorovici

P.S. Totuşi, nu pot încheia ştiind că am lăsat mulţi cititori încă “în ceaţă”. În strădania de preocupare cu acest subiect, eu am ajuns să văd următoarea imagine a predării matematicii. Să ne închipuim o axă ce are la o extremă (să zicem în dreapta) o cunoaştere total riguroasă din punct de vedere euclidian, cu un sistem axiomatic perfect, cu definiţii ideale şi un sistem de teoreme riguros pus la punct, în care orice informaţie se deduce perfect din precedentele. Aceasta este jumătatea de axă în care se cere să se demonstreze totul. În cealaltă jumătate, cea din stânga, lucrurile sunt privite tot mai relaxat, mai intuitiv. Cu cât ne îndepărtăm de centru, cu atât rigoarea ştiinţifică se pierde tot mai mult, abordarea devenind tot mai “inginerească” (se vede că …). Aceasta este însă abordarea necesară intrării în studiul unei teme; întotdeauna introducerea iniţială într-o nouă temă trebuie să fie abordată intuitiv, iar apoi lucrurile se cer trase într-o formă mai riguroasă (“noblesse mathematique oblige!”). Pe această axă intuiţie-rigurozitate predarea şcolară ar trebui să penduleze undeva în zona centrală: la introducerea temelor în clasele mai mici, mai la stânga, apoi, la reluarea acestor teme în clase mai mari, mai la dreapta; aşa funcţiona, de pildă predarea geometriei, cu o a doua reluare în liceu (“pe vremuri”). Din păcate, în “Reforma uitată” profesorii au fost forţaţi să-şi poziţioneze predarea din start mult prea la dreapta, în zona riguros teoretică. O reformă reparatorie nu ar trebui să aducă predarea prea la stânga, în zone prea intuitive (aşa cum mulţi au eronat impresia), ci ar trebui poziţionată înapoi într-o zonă centrală potrivită procesului pedagogic sănătos.

În mod similar ar trebui să ne imaginăm încă o axă, anume axa dificultăţii matematice, având într-o extremă preocuparea pentru concursuri, iar în cealaltă o banalitate bolnăvicioasă (cum găsim în unele culegeri din “vest”, cu pagini întregi de exerciţii similare, de aceeaşi formă). Şi aici ar trebui căutat echilibrul între cele două extreme (e evident că pentru fiecare elev zona de echilibru accesibil este poziţionată în alt loc, dar totuşi există anumite nivele medii).

Până acum am descris două axe, dar desigur că putem gândi astfel de axe şi în alte direcţii ale predării: cantitatea de lucru pe care se bazează învăţarea; gândirea vs. reţetarea paşilor matematici; axa geometrie-algebră, vizualizabilă organic cu cele două emisfere cerebrale (cu o preocupare dezechilibrată înspre algebră începând de la reforma din 1997: da, geometria vectorială este de fapt o formă algebrică); o ciudată axă a poziţionării unor teme de studiu prea repede faţă de dezvoltarea majorităţii, sau dimpotrivă prea târziu faţă de nevoile teoriei matematice (a se vedea cazul polinoamelor); se poate imagina şi o axă a implicării elevilor în procesul de învăţare a matematicii, da la o prelegere 100% din partea profesorului (de model universitar) cu o urmărire “plată” din partea elevului, către o predare prin problematizare şi până la predarea prin descoperire, în care profesorul doar întreabă iar elevii descoperă singuri toate elementele noi ale lecţiei etc. Se obţine astfel o structură n-dimensională a procesului de predare a matematicii, faţă de care şcoala românească era foarte sănătos poziţionată în anii ’70 undeva în zona centrală.

Reforma uitată din 1980 (de prea mult timp şi de mai toată lumea uitată) a dezechilibrat procesul de predare în mod profund (reforma din 1997 doar a ajutat la fixare şi a extremizat anumite aspecte), iar învăţământul românesc nu-şi va găsi o linişte durabilă până nu se va opera o repoziţionare conştientă într-o zonă mai sănătoasă pentru marea majoritate a populaţiei şcolare. Aceasta se va putea face însă doar în urma unui proces de conştientizare, cunoaştere şi recunoaştere a greşelilor trecutului. Desigur că în acest proces fiecare va dori să tragă noua poziţionare în zona ce îi convine, dar aici trebuie să intervină o obiectivizare a întregului proces, condusă ferm “de la centru” şi explicată clar întregii profesorimi (iar apoi urmărită cu hotărâre aplicarea pe suficient de mulţi ani încât lucrurile să se stabilizeze în mod sănătos). La vremea reformei uitate schimbarea s-a făcut în stil autoritar comunist, cu forţa. Acum, schimbarea pentru repoziţionare se poate face doar prin explicaţie raţională, “cu toate cărţile pe faţă”, şi cu multă persistenţă. Alături de SSM, specialiştii din diferite ONG-uri sau alte organizaţii implicate în zona pedagogică ar putea aduce un grad mare de plusvaloare şi obiectivizare. Un aspect este însă foarte clar: profesorii nu vor reuşi o repoziţionare sănătoasă “de unii singuri”; acest proces trebuie condus de către “Minister”.

Da, şi iarăşi am bătut recordul personal de cel mai lung articol: peste 11,5 pagini A4 (vorba aia, “Să dăm Cesarului ce-i a Cesarului!”). Mulţumesc tuturor cititorilor pentru răbdare.