Criteriul psihologic al intui┼úiei ├«n selectarea teoremelor de demonstrat ÔÇô (II)

├Än eseul de fa┼ú─â continuu seria de g├ónduri despre predarea intuitiv─â a lec┼úiilor de geometrie din clasa a VI-a, cu privire spre a VII-a, pornind de la o recomandare din noua program─â de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a ├«ncep├ónd din anul ┼čcolar 2018-2019): La tema Triunghiul, caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úilor geometrice se vor eviden┼úia prin observare direct─â, ├«n sensul unei abord─âri c─ât mai naturale ┼či intuitive.

Voi continua acest demers pe baza experien┼úei personale din ultimii 20 de ani de predare ├«n sensul acestei recomand─âri, apel├ónd ├«ns─â c├ót mai des la ajutorul profesorului Eugen Rusu, ├«ntr-o ├«ncercare de colaborare peste ani, pe baza unor citate din lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Astfel, eseul de fa┼ú─â a devenit totodat─â ┼či o ocazie de ÔÇťprezentare de carteÔÇŁ a acestei lucr─âri care, conform titlului pare o carte lejer─â de istoria matematicii. Totu┼či, ├«n realitate ÔÇô mai mult printre r├ónduri ÔÇô cartea este un profund curs de metodic─â a pred─ârii matematicii, dar ┼či o camuflat─â critic─â la adresa viitoarelor schimb─âri ce se pl─ânuiau deja de la sf├ór┼čitul anilor ÔÇÖ60, schimb─âri ce au fost impuse ├«n matematica ┼čcolar─â gimnazial─â odat─â cu manualele de la ├«nceputul anilor ÔÇÖ80. De precizat c─â Eugen Rusu este autorul manualelor de aritmetic─â dup─â care a ├«nv─â┼úat genera┼úia mea ├«n clasele V-VI (sf├ór┼čitul anilor ÔÇÖ70).

Privit─â ├«n linii mari, predarea matematicii ┼čcolare este supus─â unor trei mari obiective: 1) cerin┼úele de rigurozitate specifice ┼čtiin┼úei (R, de la rigurozitate); 2) ├«nclina┼úia spre performan┼ú─â a rezolvitorilor (s─â zicem O, de la olimpici); 3) aspectele psihologice, adic─â posibilit─â┼úile ┼či nevoile fiec─ârei v├órste ┼čcolare (s─â le not─âm cu P, de la psihologie). Matematica ┼čcolar─â ar trebui s─â se situeze ├«ntr-un echilibru natural undeva ├«n zona central─â ├«n interiorul ÔÇťtriunghiuluiÔÇŁ determinat de cele trei mari obiective.

Cercet├ónd programele, manualele ┼či nivelul exerci┼úiilor ┼či al problemelor practicat ├«n anii ÔÇÖ60-ÔÇÖ70, inclusiv a problemelor din Gazeta Matematic─â, se poate observa acest echilibru pl─âcut ┼či natural. Ca urmare, privind ├«n sensul geometriei ┼čcolare, to┼úi cei de peste 50 de ani, cei care au ├«nv─â┼úat matematica gimnazial─â ├«naintea reformei din 1980, vorbesc ├«n sens pozitiv despre geometrie: ÔÇťcu geometria din ┼čcoal─â totul era bine, ne pl─âcea, nu era nici o problem─âÔÇŁ.

Din p─âcate, suntem spre finalul celui de-al patrulea deceniu de orientare a matematicii ┼čcolare ├«n majoritatea situa┼úiilor spre ÔÇťlatura [RO]ÔÇŁ a acestui ÔÇťtriunghiÔÇŁ, cu neglijarea total─â a aspectelor reprezentate de ÔÇťv├órful PÔÇŁ. Este u┼čor de ├«n┼úeles c─â aceast─â orientare st─â la baza faptului c─â la persoanele mai tinere de 50 de ani g─âse┼čti u┼čor indivizi care ÔÇťn-au prea ├«n┼úeles geometriaÔÇŁ. Probabil c─â schimbarea respectiv─â (reforma ÔÇťuitat─âÔÇŁdin 1980) se discuta de mult ├«n cercurile influente, a┼ča ├«nc├ót Eugen Rusu a l─âsat ├«n lucr─ârile sale multe avertismente c─â noua linie nu este bun─â, nu este s─ân─âtoas─â, ar─ât├ónd principiile pedagogice pentru care linia de orientare a pred─ârii nu trebuia schimbat─â. ├Än cartea sus-amintit─â, ├«ncep├ónd chiar din primul capitol, profesorul Rusu ÔÇťimpuneÔÇŁ astfel un criteriu esen┼úial (tot textul scris ├«n continuare italic, adic─â ├«nclinat, este compus din citate din aceast─â lucrare).

S├«nt ┼či ast─âzi elevi ÔÇô ├«n clasele mici ÔÇô interesa┼úi ┼či absorbi┼úi exclusiv de cum se face, f─âr─â o curiozitate activ─â pentru de ce se face a┼ča. C├«nd ├«nva┼ú─â de pild─â regula de calcul a r─âd─âcinii p─âtrate (cobor├«m grupa urm─âtoare, dubl─âm rezultatul, vedem de c├«te ori etc.), s├«nt foarte satisf─âcu┼úi aplic├«nd-o ┼či satisfac┼úia se vede ├«n special c├«nd face proba ┼či exclam─â: ÔÇťmi-a ie┼čit!ÔÇŁ La problema de a justifica ra┼úional acest procedeu, mai pu┼úini elevi ÔÇô repet─âm, dintre cei mici ÔÇô manifest─â curiozitate; de vreme ce ┼čtiu cum se face, nu-i destul? ÔÇô aceasta pare a fi ├«ntrebarea ce o cite┼čti pe figura lor, pu┼úin mirat─â, pu┼úin decep┼úionat─â. S─â nu surprind─â aceast─â apropiere ├«ntre un fenomen pedagogic ┼či unul istoric; ┼či ├«n matematic─â exist─â un fel de ÔÇťontogenia repet─â filogeniaÔÇŁ, ├«n ├«n┼úelesul: evolu┼úia matematic─â a unui individ este, cu prescurt─âri, asem─ân─âtoare cu evolu┼úia istoric─â a umanit─â┼úii. (pag. 4)

Dac─â ├«n acest moment lucrurile ├«nc─â nu sunt clare, ├«n sensul c─â nu ├«n┼úelegem ÔÇťunde bateÔÇŁ Eugen Rusu, mai ├«ncolo ├«n carte, d├ónsul ├«ncepe s─â spun─â lucrurilor ÔÇťpe numeÔÇŁ, atunci c├ónd abordeaz─â subiectul despre Suma unghiurilor ├«n triunghi, astfel:

Ghicesc reac┼úia cititorului ├«n fa┼úa acestui titlu: Iar? Cine nu ┼čtie? 180 de grade. Ce s-ar mai putea discuta despre acest subiect? Subiectul r─âm├«ne deschis ├«n dou─â direc┼úii: din punct de vedere matematic ┼či psihologic.(ÔÇŽ) Aici privim chestiunea din punct de vedere psihologic ┼či anume nu ├«n etapa de aprofundare a ei, ci ├«n etapa de descoperire.

├Än primul r├«nd, s─â facem efortul de a ne da seama c─â enun┼úul ├«nsu┼či nu este banal. C├«nd am predat o dat─â ├«n clasa a ┼časea aceast─â teorem─â, am ├«nceput cu enun┼úul: ├«n orice triunghi suma unghiurilor este 180o. Un pu┼čti vioi, care era obi┼čnuit s─â priveasc─â lucrurile critic ┼či s─â-┼či m─ârturiseas─â sincer ├«ndoielile, s-a ar─âtat pe dat─â foarte nedumerit. ÔÇô Ierta┼úi-m─â, nu-mi vine a crede. ├Äntr-un triunghi echilateral, parc─â da. Dar dac─â e a┼ča? ÔÇô ┼či el desen─â un triunghi obtuzunghic; dar la ─âsta? ÔÇô ┼či desen─â un alt triunghi, unul scalen, privind figurile lung ┼či ne├«ncrez─âtor.

Cum a ajuns cineva s─â se ├«ntrebe c├«t este suma unghiurilor unui triunghi ÔÇô ├«ntrebare care presupune b─ânuiala c─â ea este aceea┼či ├«n toate triunghiurile? S─â privim ├«n jurul nostru sau mai bine ├«n ÔÇťjurulÔÇŁ vechilor greci. ├Än natur─â (copaci, st├«nci, ┼ú─ârmul m─ârii etc.) nu ├«nt├«lnim forme geometrice; ├«nt├«lnim astfel de forme printre obiectele construite de om. Cea mai r─âsp├«ndit─â, cea mai familiar─â deci, este desigur dreptunghiul. Nimeni nu s-a ├«ndoit ├«nainte de apari┼úia geometriei c─â dreptunghiul are 4 unghiuri drepte (no┼úiunea de unghi drept fiind natural─â: o dreapt─â care nu e ├«nclinat─â nici ├«ntr-o parte nici ├«n cealalt─â fa┼ú─â de o alta).

Triunghiul este o form─â mult mai pu┼úin r─âsp├«ndit─â. Tales va fi v─âzut aceast─â form─â pe fe┼úele piramidelor din Egipt, pe unele pietre de pavaj ale templelor ÔÇô va fi v─âzut mai ales triunghiuri echilaterale sau isoscele. Triunghiul dreptunghic va fi ap─ârut ca o jum─âtate dintr-un dreptunghi (format─â prin ducerea unei diagonale). Egalitatea celor dou─â triunghiuri astfel formate ├«i va fi ap─ârut ca de la sine ├«n┼úeleas─â; de vreme ce suma unghiurilor unui dreptunghi este de 4 unghiuri drepte, la unul din triunghiurile dreptunghice formate va fi de 2 unghiuri drepte. (ÔÇŽ)

Din faptul c─â suma unghiurilor la un triunghi dreptunghic este de 2 unghiuri drepte, se poate deduce propozi┼úia pentru un triunghi oarecare; ├«i ducem o ├«n─âl┼úime (de pild─â triunghiul ABC cu ├«n─âl┼úimea interioar─â AD), prin care se formeaz─â dou─â triunghiuri dreptunghice ┼či din suma unghiurilor lor (4 u. dr.), trebuie s─â sc─âdem cele dou─â unghiuri din D (2 u. dr.). (pag. 13-15)

Din anii ÔÇÖ90, de c├ónd am citit aceast─â carte, m─â tot g├óndesc la pasajul de mai sus. Este logic, este chiar foarte logic, dar s─â folose┼čti unghiurile dreptunghiului la demonstrarea sumei unghiurilor ├«ntr-un triunghi oarecare, asta-i prea de tot. Cred c─â nici prof. Univ. Eugen Rusu nu se g├óndea s─â ne sugereze a┼ča ceva. Dar atunci ce a vrut cu acest pasaj? P─ârerea mea este c─â trebuie s─â privim ├«mpreun─â ultimele dou─â pasaje citate, cel cu evolu┼úia matematic─â a unui individ este, pe scurt, asem─ân─âtoare cu evolu┼úia istoric─â a matematicii, ┼či respectiv cel cu Suma unghiurilor ├«n triunghi folosind unghiurile drepte ale dreptunghiului. Aceste dou─â pasaje constituie ├«mpreun─â un imbold de a privi cu respect ┼či empatie, din punct de vedere psihologic, elevul din clasele mici, ├«nv─â┼ú─âcel ├«ncep─âtor aflat la primii pa┼či ├«n descifrarea tainelor geometriei.

S─â demonstr─âm suma unghiurilor ├«n triunghi folosind dreptunghiul ar ├«nsemna s─â ne batem joc de convingerile noastre de profesori, dar ┼či s─â ne propunem s─â demonstr─âm la lec┼úia despre dreptunghi toate propriet─â┼úile sale evidente, doar pentru c─â le spune teoreme, ┼či aceasta este o agresiune la adresa g├óndirii de ├«ncep─âtor ├«n ale demonstra┼úiei geometrice la elevi. Chiar Eugen Rusu revine (pag. 19): ├Än etapa de dezvoltare a geometriei, spiritul ┼či aten┼úia cercet─âtorilor este ├«ndreptat─â ├«ntr-o alt─â direc┼úie, nu c─âtre una critic─â ci c─âtre una constructiv─â: descoperirea propriet─â┼úilor geometrice. Prin analogie, ├«n prima etap─â de cunoa┼čtere a geometriei, aten┼úia elevilor trebuie ├«ndreptat─â spre descoperirea propriet─â┼úilor geometrice deosebite, nu spre demonstrarea tuturor propriet─â┼úilor evidente, observabile intuitiv de c─âtre orice copil. Peste dou─â pagini Eugen Rusu completeaz─â: Spiritul euristic este o tr─âs─âtur─â specific─â omului. (pag. 21) Da, iar acest spirit euristic trebuie trezit cu respect ┼či dezvoltat cu bl├ónde┼úe ├«n mintea elevului aflat la ├«nceput de drum. Nu for┼úarea demonstr─ârii unor cerin┼úe evidente, c─ârora elevii nu le v─âd sensul, dar importante din punct de vedere al ordinii euclidiene a geometriei, trebuie s─â fie obiectivul profesorului de gimnaziu, ci atragerea elevilor ├«n demonstrarea unor afirma┼úii c├ót mai surprinz─âtoare, de necrezut pentru mintea superficial─â, ├«ncep─âtoare, novice ├«n ale geometriei. Cu c├ót proprietatea de demonstrat este mai interesant─â, mai surprinz─âtoare, mai emo┼úionant─â, cu at├ót surprinderea ei ┼či demonstra┼úia sunt mai pasionante. (pag. 39)

Citind din cartea lui Eugen Rusu am fost inspirat spre urm─âtoarele g├ónduri (notate pe marginea paginii, la fel ca pe vremuri Fermat): abord├ónd geometria de ├«nceput ├«n format riguros euclidian (axiome, demonstrarea teoremelor cu concluzii evidente etc.), profesorii de matematic─â ├«i alung─â pe elevii de mijloc, cei indeci┼či ├«ntre ┼čtiin┼úele reale ┼či cele umane, ├«i ├«mping ├«n bra┼úele umani┼čtilor. ├Än loc s─â-i atrag─â, s─â se lupte pentru c├ó┼čtigarea lor de partea matematicii, ├«i alung─â c├ót de departe, ÔÇťc├ót v─âd cu ochiiÔÇŁ. Mare p─âcat!

Pe de alt─â parte ÔÇô ca s─â revenim la g├ónduri mai pozitive ÔÇô pe aceea┼či pagin─â am mai notat un g├ónd: Eugen Rusu vorbe┼čte ├«n capitolul II al acestei c─âr┼úi despre Tales, dar nu despre Tales cel din ÔÇťteorema lui TalesÔÇŁ, ci despre Tales, primul om care a f─âcut demonstra┼úii ├«n matematic─â (capitolul II se nume┼čte Matematica ÔÇô Art─â; Geometria preeuclidian─â 600-300 ├«.e.n.). G├óndul de a explica un fenomen pe baza unor cauze ce nu implic─â zeii, g├ónd necesar ├«n demonstra┼úia matematic─â, acest g├ónd a ap─ârut prima dat─â la oameni chiar ├«n cetatea Milet ┼či din acest motiv este bine s─â-l denumim Tales din Milet. Dou─â g├ónduri recurg de aici. ├Än primul r├ónd, faptul c─â este absolut corect─â strategia lui Eugen Rusu de a-l prezenta pe Tales ca prototip de g├óndire pentru elevul ├«ncep─âtor, elev ce ajunge s─â fac─â primii pa┼či ├«n demonstra┼úii. ├Än al doilea r├ónd, este evident c─â demonstra┼úia matematic─â a ap─ârut mai ├«nt├ói sub forma demonstra┼úiei ├«n geometrie, fiind doar mai t├órziu urmat─â de demonstra┼úiile din domeniul numeric (vezi Elementele lui Euclid). R─âm├óne ca ecou al acestei remarci o ├«ntrebare: la ce ne poate ajuta aceast─â observa┼úie secundar─â ├«ntr-o structurare c├ót mai s─ân─âtoas─â a materiei ┼čcolare de gimnaziu?

├Än alt─â ordine de idei, printre r├óndurile de p├ón─â aici ale acestui eseu se poate citi o observa┼úie dureroas─â la adresa programei gimnaziale de matematic─â, at├ót cea veche dar ├«nc─â valabil─â, c├ót ┼či cea nou─â ce va intra din toamna lui 2018 ├«n clasa a VI-a. Conform tuturor celor scrise ├«n acest eseu (at├ót partea I, c├ót ┼či partea a II-a), locul capitolului cuprinz├ónd primul studiu al patrulaterelor este ├«n clasa a VI-a, ├«n continuarea capitolului despre triunghiuri, adic─â ├«n zona de studiu predominant intuitiv al geometriei.

Conform aspectelor aduse ├«n fa┼úa noastr─â ├«n acest eseu, abord├ónd o analiz─â intuitiv─â a propriet─â┼úilor cu grad mare de eviden┼ú─â din capitolul despre patrulatere, observ─âm c─â majoritatea nu au nevoie de demonstra┼úii ├«n percep┼úia elevului ├«ncep─âtor ├«n ale geometriei. ├Än afar─â de suma unghiurilor ├«n patrulater, nu se prea g─âsesc propriet─â┼úi neevidente de demonstrat. Mai peste tot avem situa┼úii de simetrii axiale sau de simetrii centrale sau eventual alte situa┼úii l─âmurite anterior prin figuri evident vizualizabile (de pild─â situa┼úia cazului unghiurilor al─âturate unei laturi oblice ├«n trapez, ce sunt evident suplementare pe baza repet─ârii pe jum─âtate de trapez a figurii tip cu dou─â unghiuri interne de aceea┼či parte a secantei ├«ntre dou─â drepte paralele). ├Än acest stadiu ini┼úial de cunoa┼čtere a patrulaterelor este arhi-suficient─â o contabilizare rapid─â a propriet─â┼úilor observate intuitiv, urmat─â de c├óteva puneri de probleme cu t├ólc. De pild─â: un patrulater cu dou─â laturi opuse paralele ┼či congruente este paralelogram; un patrulater cu dou─â laturi opuse paralele iar celelalte dou─â laturi opuse congruente este ┼či acesta neap─ârat paralelogram?

O astfel de aranjare a capitolelor, ca a fost valabil─â p├ón─â prin 1998, ar avea ├«n contextul actual c├óteva avantaje substan┼úiale (din c├óte mai ┼úin minte, cam atunci au fost mutate patrulaterele din clasa a VI-a ├«n a VII-a, r─âm├ón├ónd ├«ns─â p├ón─â acum ├«n manualele alternative care nu s-au mai rearanjat). S─â analiz─âm dou─â dintre aceste avantaje. ├Än primul r├ónd ar l─âsa loc la ├«nceputul clasei a VII-a pentru o serioas─â ┼či general─â preocupare asupra demonstra┼úiei geometrice aplicat─â ├«n probleme. ├Än aceast─â parte elevii ÔÇô mai evolua┼úi cu c├óteva luni spre g├óndirea analitic-cauzal─â ÔÇô ar avea ocazia s─â fixeze ┼či s─â aprofundeze demonstra┼úiile cu unghiuri, cele cu segmente ┼či cele cu cazurile de congruen┼ú─â a triunghiurilor, aplicate dup─â nivele de complexitate, at├ót ├«n triunghiuri, c├ót ┼či ├«n patrulatere. Cei care s-au preocupat ┼čtiu c─â exist─â foarte multe probleme din patrulatere av├ónd rezolv─âri similare cu unele din triunghiuri. Or, exact aici ar fi avantajul mare: c├ónd elevul studiaz─â ┼či ├«n┼úelege o problem─â cu o anumit─â succesiune de pa┼či, ar putea s─â primeasc─â ├«n continuare m─âcar una, dou─â cu demonstra┼úii similare, dar ├«n contexte diferite, iar schimbarea contextului de la triunghi la patrulater ┼či ├«napoi l─ârge┼čte ┼či stabilizeaz─â foarte mult orizontul de g├óndire. ├Än al doilea r├ónd, o astfel de mutare ar umple cu o materie ÔÇťmai cu sensÔÇŁ clasa a VI-a. Actualmente parcurgerea a foarte multe probleme doar cu metoda congruen┼úei triunghiurilor fixeaz─â ├«n mentalul elevilor absolven┼úi de a VI-a ideea c─â aceast─â metod─â reprezint─â unica form─â de demonstra┼úie geometric─â.

Cele discutate ├«n ultima parte pot fi sintetizate dup─â cum urmeaz─â: dintre cele dou─â capitole de baz─â despre figuri geometrice, triunghiurile respectiv patrulaterele, cele mai potrivite unei cunoa┼čteri intuitive sunt patrulaterele. Dimpotriv─â, cuno┼čtiin┼úele cele mai provocatoare la adresa g├óndirii ├«ncep─âtoare a elevului sunt aglomerate ├«n capitolul despre triunghiuri (vezi ┼či lista orientativ─â din prima parte a acestui eseu: 7 la 2 ├«n confruntarea dintre cele dou─â capitole). Astfel, p─âstrarea accentului preocup─ârii clasei a VI-a doar pe triunghiuri, cu ÔÇťexilareaÔÇŁ ├«n continuare a figurilor cele mai intuitive, a patrulaterelor ├«n clasa a VII-a contravine flagrant cu principiul impus ├«n noua program─â, ca la clasele mici (adic─â V-VI) s─â se practice o abordare intuitiv─â, ├«n care caracteristicile ┼či propriet─â┼úile configura┼úilor geometrice se vor eviden┼úia prin observare direct─â, ├«n sensul unei abord─âri c─ât mai naturale ┼či intuitive.

CTG 29.01.2018 Straja, Lupeni, HD.

Piaţa imobiliară clujeană 4D

Dac─â mergi la ┼čes, de pild─â la Timi┼čoara, terenurile sunt plate ┼či generoase, dar toate ├«n dou─â dimensiuni (lungime ┼či l─â┼úime), cu foarte slabe oscila┼úii pe ├«n─âl┼úime. Ca urmare te po┼úi plimba foarte bine ┼či u┼čor cu bicicleta. Dimpotriv─â, la Cluj parc─â am fi deja ├«ntr-o sta┼úiune montan─â, cu diferen┼úe de un nivel ├«ntre o parte ┼či cealalt─â a cl─âdirii. Putem spune lini┼čti┼úi c─â ├«n┼úelegem de ce v├ónz─ârile de teren ├«n Cluj au loc deja ├«n 3D, arhitec┼úii av├ónd ├«n aceaste situa┼úii de a face fa┼ú─â unor uimitoare provoc─âri. ┼×tim to┼úi c─â pia┼úa imobiliar─â clujean─â este una dintre cele mai dificile din ┼úar─â: cu greu mai g─âse┼čti un petic de teren pe care s─â mai construie┼čti ceva, chiar ┼či a┼ča ├«n pant─â. Iat─â ├«ns─â c─â a ap─ârut un agent imobiliar care s─â ├«ncerce un nou produs, anume un teren numai bun de construit ├«n 4D. Cump─âr─âtori se vor g─âsi, dar sunt curios ce arhitect va accepta provocarea pentru a se apuca de proiectul unei cl─âdiri m─âcar ├«n 4 dimensiuni, dac─â nu chiar ├«n 5, pentru acest teren.

L─âs├ónd gluma de-o parte, este evident c─â iar avem de-a face cu o persoan─â care nu a priceput clar totul la orele de matematic─â, acestea fiind prea teoretice. Astfel, ├«n mintea persoanei care a redactat acest anun┼ú este clar c─â ├«nc─â sun─â ecoul vocii profesoarei sau a profesorului de matematic─â din ┼čcoal─â, c├ónd acesta urla la elevi s─â pun─â p─âtratul la unit─â┼úile r─âspunsului de la arie. G├óndul ├«mi zboar─â desigur la profesoara din filmele Liceenii, pe care elevii o porecliser─â ÔÇťIsoscelÔÇŁ, ca aluzie la faptul c─â pronun┼úia ├«n limba rom├ón─â pune ├«n acest cuv├ónt ├«n mod natural un ÔÇť┼čÔÇŁ la al doilea s ├«n fa┼úa lui ÔÇťcelÔÇŁ. Este evident c─â prietenul cu anun┼úul clujean a vrut doar s─â fie sigur. Oricum, este cunoscut c─â marile descoperiri se fac de multe ori din gre┼čeal─â. (s─â mai ┼či z├ómbim!)