Sticla lui Klein la RENVERSANT în Bordeaux

De banda lui Moebius (August Ferdinand M├Âbius, 1790-1868) ┼či de sticla lui Klein (Christian Felix Klein, 1849-1925) am cam auzit cu to┼úii. Aceste curiozit─â┼úi inventate de cei doi matematicieni germani reprezint─â oarecum exemple ale unuia ┼či acela┼či fenomen, prima ├«n 2D, iar a doua ├«n 3D. Pe prima o putem confec┼úiona u┼čor ┼či prezenta la clas─â ca o curiozitate, ca o n─âscocire special─â a min┼úii omene┼čti (s─â vede┼úi ce ferici┼úi ÔÇťse joac─âÔÇÖ elevi cu h├órtie, lipici ┼či foarfec─â, realiz├ónd astfel de benzi ┼či apoi t─âindu-le ├«n jum─âtate sau pe o treime, sau lipindu-le dublu r─âsucit!).

Cea de a doua ├«ns─â nu poate fi at├ót de u┼čor confec┼úionat─â. Pe internet se g─âsesc adrese de unde poate fi achizi┼úionat─â (pre┼úul este destul de ridicat). O imagine imprimat─â cu o astfel de ÔÇťsticl─âÔÇŁ poate fi ├«ns─â la fel de bine folosit─â ├«n prezentarea la clas─â. Interesant este aspectul deosebit de decorativ al sticlei lui Klein, fapt care ├«ncepe s─â-i creasc─â ├«n valoare, ridic├ónd-o la nivelul operelor de art─â de expus ├«n propria locuin┼ú─â, sau ├«n alte loca┼úii, cum ar fi un cabinet de matematic─â. Urm─âtoarele poze sunt culese la o scurt─â c─âutare pe internet; le pute┼úi g─âsi ┼či dvs., pe acestea ┼či multe altele.

Un exemplar mai special va fi expus la Bordeaux ├«n Fran┼úa, ├«n cadrul unei expozi┼úii numit─â Renversant g─âzduit─â ├«n La Cit├ę du Vin ├«ntre 15 martie ÔÇô 30 iunie 2019. Dac─â sunte┼úi pasiona┼úi de arta modern─â, ave┼úi drum pe acolo ┼či ÔÇť┼čti┼úi un pic de matematic─âÔÇŁ, atunci merit─â s─â vizita┼úi stabilimentul respectiv (├«n poze arat─â uluitor) ┼či expozi┼úia cu pricina. Urm─âtoarele imagini sunt preluate de pe https://www.laciteduvin.com/en/do/temporary-exhibitions/mind-blowing-when-art-and-design-take-glass ┬áTitus Micu-Klein

Teorema lui Pitagora ┼či tripletele de numere pitagoreice ├«n clasa a 6-a

├Än precedentele post─âri despre figura cu p─âtratele construite ├«n exteriorul triunghiului dreptunghic ne-am concentrat asupra ideii de arie a acestora, sco┼ú├ónd ├«n eviden┼ú─â descompunerea acestor p─âtrate ├«n p─âtr─â┼úele, adic─â ├«n unit─â┼úi de baz─â. La acestea rela┼úia din teorem─â se eviden┼úiaz─â adun├ónd con┼úinuturile celor dou─â p─âtrate ale catetelor pentru a ob┼úine p─âtratul ipotenuzei. ├Än acest sens reamintesc traducerea ad-literam a cuv├óntului german pentru arie: Fl├Ącheninhalt = con┼úinutul suprafe┼úei.

Despre acest subiect am mai vorbit ┼či cu alte ocazii, de pild─â ├«n postarea din toamna lui 2018 http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-un-simbol-denaturat/ . Desigur c─â ├«n exterior, pe laturile triunghiului dreptunghic se pot desena orice poligoane, cu condi┼úia s─â fie toate trei asemenea ├«ntre ele (trei dreptunghiuri asemenea, trei triunghiuri echilaterale, trei pentagoane regulate etc.). Aceste construc┼úii ar fi ├«ns─â potrivite, doar ca ni┼čte curiozit─â┼úi, de prezentat mult dup─â ├«nv─â┼úarea teoremei lui Pitagora.

Mai am o poz─â g─âsit─â pe net ├«n care ├«nsumarea p─âtratelor catetelor apare nu doar la nivel numeric, ci ┼či la nivel geometric al suprafe┼úelor (figura are o mic─â gre┼čeal─â: ├«i lipse┼čte o linie ├«n p─âtratul din st├ónga, dar sper c─â se ├«n┼úelege).

Aceast─â imagine sugereaz─â o nou─â direc┼úie de g├óndire ├«n tema noastr─â de studiu, anume c─â dac─â unui p─âtrat (celui roz, cu 16┬á=┬á42 unit─â┼úi) ├«i putem ad─âuga o l─ârgire cu un r├ónd ├«n ambele direc┼úii, iar aceast─â l─ârgire (care este reprezentat─â de un num─âr impar) este totodat─â p─âtrat perfect, atunci ob┼úinem un triplet de numere care respect─â Teorema lui Pitagora. Se ├«n┼úelege? Cam ├«mb├órligat, ┼čtiu. Haide┼úi s─â o lu─âm c─âtinel.

Suma primelor numere impare este studiat─â ├«n mod algebric ├«n clasa a X-a, fiind cunoscut─â ├«n forma: 1┬á+┬á3┬á+┬á5┬á+┬áÔÇŽ┬á+┬á(2n┬áÔÇô┬á1)┬á=┬án2, demonstrat─â fiind prin induc┼úie matematic─â. Exist─â ┼či situa┼úii c├ónd suma primelor numere impare este inclus─â ├«n exerci┼úii din zona de excelen┼ú─â ┼či olimpiad─â la clasele mici gimnaziale, dar subiectul nu este oficial inclus ├«n materie, fiind considerat inaccesibil pentru majoritatea elevilor. Exist─â ├«ns─â o form─â ceva mai accesibil─â de a ajunge ├«n zona acestui subiect. Haide┼úi s─â o vedem.

Pentru a ├«n┼úelege ce urmeaz─â trebuie ├«ns─â s─â schimb─âm pu┼úin forma de a privi numerele p─âtrate. P├ón─â acum le-am reprezentat sub forma unor figuri geometrice, anume ni┼čte p─âtrate ├«mpreun─â interiorul acestora ├«mp─âr┼úit ├«n p─âtr─â┼úele ca unit─â┼úi de arie. Totu┼či ├«n postarea precedent─â am avut dou─â imagini care f─âceau aluzie la o alt─â abordare.

├Än primul r├ónd a fost imaginea cu piesele tip ÔÇťLEGOÔÇŁ, imagine cu p─âtrate al c─âror con┼úinut erau acei ÔÇťbumbiÔÇŁ specifici, ca ni┼čte buline, aproximante ale unor puncte. Bulinele respective erau ordonate ÔÇť├«n p─âtratÔÇŁ de trei ori trei ┼č.a.m.d. Apoi, ├«n imaginea urm─âtoare a avut loc o distan┼úare ┼či mai puternic─â fa┼ú─â de figura p─âtratului ├«mp─âr┼úit─â ├«n p─âtr─â┼úele. Astfel, ├«n figura cu ro┼čiile aranjate ├«n ÔÇťform─â de p─âtratÔÇŁ, figura geometric─â numit─â p─âtrat a ajuns doar orientativ─â. ÔÇťP─âtrateleÔÇŁ din aceast─â imagine nu mai sunt de mult p─âtrate ├«n sensul geometric, dar totu┼či rolul acestora ├«n Teorema lui Pitagora este clar ┼či evident. Aici ro┼čiile acelea micu┼úe joac─â rolul de buline sau punctule┼úe ├«n reprezentarea numerelor p─âtrate.

Reprezentarea numerelor prin punctule┼úe a ap─ârut ├«n Grecia Antic─â, ├«nv─â┼úa┼úii din acea vreme folosind pietricele (sau orice altceva, obiecte c├ót de c├ót punctiforme, cum ar fi s├ómburi) pentru a reprezenta vizual anumite propriet─â┼úi ale numerelor (numerele prime, numerele p─âtrate sau numerele triunghiulare). Astfel. ├«n diferite lucr─âri numerele p─âtrate sau numerele triunghiulare (la fel ca ┼či altele de inspira┼úie geometric─â) sunt denumite numere figurate. Faptul c─â suma primelor n numere impare este egal─â cu p─âtratul lui n, de exemplu 1┬á+┬á3┬á+┬á5┬á+┬á7┬á+┬á9┬á+┬á11┬á=┬á36┬á=┬á62, poate fi reprezentat─â prin punctule┼úe foarte clar astfel:

Vede┼úi ├«n aceast─â imagine cum, ├«n afar─â de 1, orice num─âr poate fi reprezentat ├«n forma unui ÔÇťecher de t├ómplarÔÇŁ isoscel (ni┼čte L-uri isoscele, numite ├«n antichitate gnomon), ├«nsumarea acestora gener├ónd o form─â de ÔÇťp─âtratÔÇŁ. Astfel, fiecare nou echer, reprezent├ónd un nou num─âr impar, m─âre┼čte p─âtratul deja existent la urm─âtorul num─âr p─âtrat. De pild─â, dac─â la suma 1┬á+┬á3┬á+┬á5┬á+┬á7┬á+┬á9┬á+┬á11┬á+┬á13 = 49┬á=┬á72 adun─âm urm─âtorul num─âr impar, adic─â 15, ob┼úinem (1┬á+┬á3┬á+┬á5┬á+┬á7┬á+┬á9┬á+┬á11┬á+┬á13)┬á+┬á15 =┬á72┬á+┬á15┬á= 64┬á=┬á82.

Cu ce ne ajut─â asta la Teorema lui Pitagora? P─âi, a┼ča-numitul triunghi egiptean, adic─â suma divin─â 42┬á+┬á32┬á=┬á52 se ob┼úine ca 42┬á+┬á9┬á=┬á52 din urm─âtoarea figur─â:

Asta se ├«nt├ómpl─â datorit─â faptului c─â 9 este primul num─âr impar p─âtrat diferit de 1. Ne punem, pe bun─â dreptate, ├«ntrebarea dac─â ┼či c├ónd ne mai ├«nt├ólnim cu o astfel de situa┼úie. P─âi, desigur la ad─âugarea gnomonului (a ÔÇťecheruluiÔÇŁ) num─ârului 25, care este urm─âtorul num─âr impar totodat─â ┼či p─âtrat. ├Än acest caz suma numerelor impare p├ón─â la 23, adic─â primele 12 impare d─â 122┬á=┬á144, la care dac─â ad─âug─âm 25, ob┼úinem 132┬á=┬á169. Avem ├«n acest caz tripletul pitagoreic 122┬á+┬á52┬á=┬á132. Astfel putem g─âsi ┼či alte triplete care ├«ndeplinesc ciudata ├«nsumare din Teorema lui Pitagora, urm─âtorul fiind de pild─â ├«n dreptul num─ârului impar p─âtrat 49 (g─âsirea acestuia elevii o pot primi ca tem─â op┼úional─â).

Se b─ânuie┼čte c─â Pitagora ┼čtia de aceste lucruri, cunoscute de pe vremea civiliza┼úiei babiloniene. Desigur c─â Pitagora cuno┼čtea ┼či ob┼úinerea unor astfel de triplete prin amplificarea celor deja g─âsite, cum ar fi (6, 8, 10) sau (9, 12, 15) prin amplificare din cel egiptean.. Pe l├óng─â aceste metode exist─â ┼či alte c─âi de a g─âsi triplete pitagoreice, astfel c─â se g─âsesc cu totul 11 triplete cu p─âtratele de cel mult trei cifre (adic─â p├ón─â la 1000). Acestea sunt urm─âtoarele: (3, 4, 5) ┼či amplific─ârile sale (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15; 20; 25); (18, 24, 30); apoi avem (5, 12, 13) ┼či amplificarea (10, 24, 26); ├«n final ├«nc─â trei triplete (7, 24, 25); (8, 15, 17); (20, 21, 29) ale c─âror amplific─âri dep─â┼česc ├«ns─â la p─âtrat limita de 1000.

Aici v-am ar─âtat calea ÔÇťbabilonean─âÔÇŁde a g─âsi astfel de triplete, prin figurarea numerelor p─âtrate, dar ┼či lista complet─â p├ón─â la un anumit nivel de m─ârime, pentru a le putea folosi ├«n exemple de calcul. Totu┼či, eu nu cred c─â ar trebui s─â le ar─ât─âm elevilor aceast─â list─â complet─â. Ei vor trebui s─â ├«nve┼úe algoritmul de calcul ┼či aplicarea acestuia, nu s─â ├«nve┼úe pe de rost o serie de rezultate. Astfel, eu la clas─â m─â concentrez cu elevii mai mult asupra proceselor accesibile de deducere a astfel de triplete ┼či mai pu┼úin asupra g─âsirii c├ót mai multora ┼či a memor─ârii acestora. Titus ┼či babiloniile sale

P.S. Vrem ÔÇô nu vrem, oricum ajungem aici ┼či la subiectul numit ÔÇťr─âd─âcina p─âtrat─âÔÇŁ: ├«n finalul clasei a VI-a va trebui s─â le pred─âm elevilor aplicarea teoremei lui Pitagora dar, prin program─â nu avem de studiat p├ón─â la acel moment finalul calculului, care se face prin r─âd─âcina p─âtrat─â (eu am tot c─âutat-o, dar nu e trecut─â nici ├«n a V-a, nici ├«n a VI-a). A┼čadar, cum s─â pred─âm Pitagora f─âr─â radicali? Zice nevast─â-mea s-o facem ca Pitagora, c─â nici el n-avea radicalii!!! Logic, nu? Dac─â m-ambi┼úionez, o fac ┼či a┼ča, dar nu cred c─â are sens, pentru c─â oricum imediat dup─â vacan┼úa de var─â trebuie s─â le explic cum vine treaba cu r─âd─âcina p─âtrat─â. A┼čadar, undeva, ├«nainte de lec┼úia despre Pitagora ar trebui introdus─â r─âd─âcina p─âtrat─â. Dar cum ┼či unde?

Cum? Cel mai simplu ar fi de a introduce r─âd─âcina p─âtrat─â doar din numerele p─âtrate, drept opera┼úie ÔÇťde prob─âÔÇŁ a ridic─ârii la p─âtrat a numerelor naturale. Unde? Cel mai bun loc ├«n materie cred c─â ar fi fost ├«n capitolul despre numere naturale din semestrul I al clasei a V-a, ├«n continuarea lec┼úiei despre numere p─âtrate. Cei care au fost prev─âz─âtori, poate chiar au f─âcut-o acolo, sau o vor face la urm─âtoarele clase de a V-a. Dac─â ├«ns─â nu a fost studiat─â ├«nc─â r─âd─âcina p─âtrat─â, atunci cred c─â cel mai bine ar fi s─â o introducem chiar ├«nainte de Teorema lui Pitagora, ├«n ora precedent─â. Ca r─âd─âcin─â doar din numerele p─âtrate ajunge chiar ┼či jum─âtate dintr-o or─â. Sunt suficiente doar c├óteva exerci┼úii de ÔÇťextragereÔÇŁ pe baza tablei numerelor p─âtrate. Pentru asta trebuie ├«ns─â prezentat─â tabla numerelor p─âtrate p├ón─â la 302 (vezi ├«n acest scop primele exerci┼úii de pe fi┼ča publicat─â ├«n postarea http://pentagonia.ro/radacina-patrata-faza-aritmetica-prin-predare-intuitiva/).

Ziua lui pi ÔÇô 14 martie 2019

Prim─âvara acesta profesorii de matematic─â ├«n ┼čcolile din toat─â ┼úara au primit un minunat cadou de ziua lui Pi: vor avea de corectat ┼či simul─âri la clasa a VII-a, s─ârb─âtorind astfel prin munc─â ├«nver┼čunat─â, ├«n profund stil comunist, aceast─â minunat─â s─ârb─âtoare. Pi – ÔÇŽ ÔÇŽ de treab─â!

PS Ce-ar fi ca la anuÔÇÖ s─â d─âm simul─ârile pu┼úin ├«nainte de 15 ianuarie, c─â s─â aib─â ┼či colegii de la limba rom├ón─â o astfel de bucurie?

Hypo-tenuza

Dac─â tot am vorbit mai mult ├«n ultima vreme despre triunghiul dreptunghic, despre Pitagora ┼či despre cum sunt v─âzute aceste lec┼úii ├«n occident, haide┼úi s─â privim un pic ┼či caricaturizarea umoristic─â ce se g─âse┼čte pe net ├«n leg─âtur─â cu acest subiect. Totul porne┼čte probabil de la faptul c─â ├«n limbile respective cuv├óntul ciudat pentru ipotenuz─â aminte┼čte de hipopotam, dar ┼či de alte ciud─â┼úenii (pentru asta trebuie s─â ┼čti┼úi un pic de englez─â, cele mai multe fiind greu traductibile). Cineva a ├«ncercat totu┼či s─â genereze ┼či o variant─â rom├óneasc─â (g─âsit─â imprimat─â pe o saco┼č─â, o plas─â neagr─â de cump─âr─âturi, primit─â cadou de Cr─âciun).




Situa┼úia este surprins─â ┼či ├«ntr-o caricatur─â pe care o traduc ├«n continuare: Probabil c─â ai dreptate Pitagora, dar to┼úi vor r├óde dac─â o vei denumi ÔÇťhipotenuz─âÔÇŁ. Pythytus

Teorema lui Pitagora ┼či p─âtratele acesteia ├«n clasa a 6-a

De c├ónd am pornit acest blog am scris de c├óteva ori despre figura geometric─â cu trei p─âtrate construite pe laturile unui triunghi dreptunghic ┼či despre faptul c─â aceasta prezint─â ├«ntr-o form─â deosebit de intuitiv─â Teorema lui Pitagora. De pild─â, ├«n luna mai 2018, ├«n postarea despre cum mi-am pus faian┼úa ├«n baie, am ar─âtat cum am ├«ncercat s─â evoc ├«n propria-mi cas─â amintirea din copil─ârie despre figura geometric─â cu cele trei p─âtrate, figur─â ce era zugr─âvit─â pe un perete al holului de intrare ├«n apartamentul unde am locuit p├ón─â ├«n clasa a VI-a, acas─â ├«n Ora┼čul Victoria. Foarte interesant, c├ót de preg─âtit eram eu de pe atunci pentru Teorema lui Pitagora ├«n clasa a VI-a.

Reluarea temei cu ajutorul ciocol─â┼úilor p─âtrate Ritter Sport nu reprezint─â ├«n acest sens o simpl─â fixa┼úie, o ciud─â┼úenie personal─â, ci r─âspunde unei necesit─â┼úi de moment ├«n sensul sprijinirii profesorilor ce vor avea de predat ├«n finalul clasei a VI-a Teorema lui Pitagora ├«ncep├ónd de anul acesta. Acolo este stabilit─â prin program─â, explic├óndu-ni-se c─â trebuie s─â o pred─âm f─âr─â demonstra┼úie, explicat─â prin verific─âri de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a putea ajunge c├ót mai repede la determinarea lungimii folosind p─âtrate perfecte (din nou citatele sunt preluate ├«nclinat din programa de matematic─â ÔÇô clasele V ÔÇô VIII, pag. 16). Trebuie (!) s─â facem acest lucru pentru a ne asigura c─â le-o pred─âm elevilor NOI, PROFESORII DE MATEMATIC─é, cea mai important─â teorem─â din gimnaziu, probabil chiar cea mai renumit─â din toate timpurile, astfel ├«nc├ót s─â nu apuce s─â le-o arate elevilor colegii profesori de fizic─â, doar pentru c─â lor le-o trebuie ├«n toamna clasei a VII-a.

OK, foarte bine a┼ča, dar care-i diferen┼úa? C─â le-o arat─â ei superficial sau le-o ar─ât─âm noi superficial ├«naintea lor, tot superficial se nume┼čte. Am ar─âtat ├«n prima parte cum putem ├«ns─â aduce aceast─â teorem─â ├«ntr-o form─â de minim─â ÔÇťdemonstrareÔÇŁ, o form─â de justificare intuitiv─â, sco┼ú├ónd-o astfel din starea de HOCUS-POCUS de ne├«n┼úeles spre care ne direc┼úioneaz─â noua program─â.

Dup─â cum am mai spus, sunt foarte mul┼úi cei care nu cunosc figura cu triunghiul dreptunghic ┼či p─âtratele construite ├«n exterior pe laturile sale, care nu o asociaz─â cu Teorema lui Pitagora. Se ├«nt├ómpl─â asta pentru c─â respectiva figur─â a fost exilat─â din manuale ├«ncep├ónd cu reforma din 1980, demonstrarea teoremei f─âc├óndu-se doar pe baza teoremei catetei ob┼úinut─â prin asem─ânarea triunghiurilor, respectiv datorit─â faptului c─â ├«n textul teoremei s-a pus accentul doar pe aspectul de putere a doua a lungimii unei laturi, elimin├óndu-se din discu┼úie ideea de arie a unui p─âtrat. Interesant este aici urm─âtorul aspect: dac─â, ├«n justific─ârile cu p─âtratele construite pe laturile triunghiului, leg─âtura dintre unghiul drept ┼či rela┼úia ├«ntre cele trei p─âtrate este destul de evident─â pentru ÔÇťochiul ├«ncep─âtorÔÇŁ al elevilor, ├«n demonstra┼úiile care folosesc doar lungimile laturilor, adic─â numerele la puterea a doua, leg─âtura dintre cele dou─â p─âr┼úi ale Teoremei lui Pitagora se pierde pentru cei mai mul┼úi elevi.

S-a mers astfel în ultimii aproape 40 de ani doar pe abordarea aritmetică, eliminându-se cu totul forma geometrică, formă care aducea o foarte vizibilă reprezentare grafică a fenomenului numeric pe care se bazează Teorema lui Pitagora. Oare ce se întâmplă în alte părţi legat de aspectele discutate? În plimbările mele pe internet am găsit diferite poze care aduc în discuţie situaţia cu pătratul ipotenuzei care este cât suma pătratelor catetelor, exemplificată pe cazul triunghiului de laturi (3, 4, 5). Iată două mai interesante dintre acestea, poze care arată cât de cunoscută este de fapt imaginea respectivă:

La ce sunt bune toate acestea ÔÇô ve┼úi ├«ntreba ÔÇô de vreme ce autorii noii programe nu au acordat nici m─âcar o minim─â aten┼úie ideii de ÔÇťdemonstra┼úieÔÇŁ a teoremei. Noi de ce s─â ne stres─âm c├ónd ei tocmai au deschis cutia Pandorei, spun├ónd lejer c─â se poate ÔÇťf─âr─â demonstra┼úieÔÇŁ la cea mai mare teorem─â din toate timpurile?! (conform programei, a doua trecere pe la Teorema lui Pitagora, de data asta cu demonstra┼úie, se face de abia peste un an, undeva ├«n finalul clasei a VII-a).

Se vede a┼čadar ÔÇô pentru orice matematician responsabil ÔÇô c─â discu┼úia despre prezentarea Teoremei lui Pitagora ├«n finalul clasei a VI-a este una important─â, mai ales prin prisma justific─ârii accesibile a acesteia pe baza ├«nsum─ârii ariei p─âtratelor catetelor pentru a ob┼úine echivalarea ariei p─âtratului ipotenuzei. P├ón─â acum am discutat despre prezentarea unor situa┼úii sub form─â concret─â (cine mai g─âse┼čte ┼či altele ├«n afar─â de ciocolat─â, ÔÇťLEGOÔÇŁ sau ro┼čii?) sau de imagini aduse ca poze ori prezentate digital, imagini care ar trebui desigur s─â se concretizeze ┼či ca figuri geometrice pe tabl─â (profesorul de mate trebuie s─â fie con┼čtient de importan┼úa unui astfel de demers). Cu alte cuvinte, am discutat doar despre ce ar trebui s─â fac─â profesorul ├«n fa┼úa clasei pentru a prezenta aceast─â teorem─â c├ót mai just.

Cred c─â ar fi cazul s─â ne ├«ndrept─âm aten┼úia ┼či asupra felului despre cum ajung aceste desene ├«n caietele elevilor? (aspecte despre care desigur c─â programa cea nou─â nu ne vorbe┼čte). Nu trebuie f─âcute multe desene. Cum am precizat ├«n finalul post─ârii despre folosirea ciocolatei, este vorba de pu┼úine figuri geometrice, dar acestea ar trebui s─â fie c├ót de c├ót coerent ┼či corect realizate ├«n caiete. Indiferent de c├ót─â experien┼ú─â are o clas─â ├«n realizarea figurilor geometrice (din c├óte v─âd ├«n jurul meu, nu prea se lucreaz─â ├«n acest sens), sunt ┼čanse mari ca mul┼úi elevi s─â nu reu┼čeasc─â acest desen, pentru c─â este vorba de construirea unuia sau a dou─â p─âtrate pozi┼úionate oblic fa┼ú─â de aliniamentul ┼či liniatura caietului de matematic─â. ┼×i atunci ce facem?

Eu cred c─â exist─â dou─â direc┼úii de ac┼úiune. Prima ar fi ca elevii s─â decupeze p─âtratele (anterior colorate) de pe o alt─â coal─â de h├órtie (tot cu p─âtr─â┼úele) ┼či s─â le lipeasc─â corect asamblate ├«n caietul de clas─â la locul potrivit ├«n cadrul lec┼úiei. Aceasta ar fi varianta u┼čoar─â, pentru c─â nu implic─â construc┼úii geometrice foarte abile. Dar pentru asta trebuie s─â fim dispu┼či la transformarea unui sfert de or─â de matematic─â ├«ntr-o parte manufacturier─â, pentru care elevii trebuie s─â aib─â la ei lipici ┼či foarfec─â. Desigur, le-o putem da ┼či ca tem─â, dar ├«n acest caz eu nu garantez pentru ce se va g─âsi ├«n unele caiete.

O a doua direc┼úie de reprezentare ar fi desenarea figurii geometrice cu instrumente pe caiet. ├Än acest moment apare ideea de a alege ├«ntre cele dou─â posibile variante de pozi┼úionare a triunghiului dreptunghic: cu ipotenuza drept baz─â (a┼ča cum am prezentat-o ├«n imaginile cu ciocolata sau cu faian┼úa) sau cu o catet─â drept baz─â (a┼ča cum apare ├«n pozele cu piesele ÔÇťLEGOÔÇŁ sau cu ro┼čiile cherry). ├Än varianta cu ipotenuza ca baz─â vom avea de construit dou─â p─âtrate ├«nclinate pe laturile oblice, pe c├ónd ├«n varianta cu o catet─â ca baz─â (s─â alegem cateta cea mare) vom avea de construit doar un p─âtrat pe o latur─â oblic─â (cel de pe ipotenuz─â). Este evident c─â a doua variant─â este preferabil─â din acest punct de vedere.

Un aspect mai trebuie eviden┼úiat aici, anume c─â la triunghiul (3, 4, 5) figura cu p─âtr─â┼úele este destul de mic─â, dar poate fi u┼čor dublat─â prin trecerea la alt─â unitate de m─âsur─â, anume la cm2. Dimpotriv─â, la triunghiurile (6, 8, 10) sau (5, 12, 13) figurile ├«n p─âtr─â┼úele sunt clar preferabile pentru a ├«nc─âpea pe pagina de caiet. Dac─â vrem s─â le punem pe toate trei triunghiurile al─âturat, pentru a exemplifica (bio)diversitatea acestora, atunci vom alege desigur p─âtr─â┼úelul caietului de matematic─â drept unitate de m─âsur─â.

Dac─â ├«ncerc─âm s─â analiz─âm ┼či mai profund aceste dou─â variante de realizare a figurii ÔÇô pozi┼úion├ónd ipotenuza sau o catet─â drept baz─â ÔÇô atunci ajungem s─â descoperim aspecte de-a dreptul surprinz─âtoare.

Construc┼úia figurii cu o catet─â drept baz─â ne ÔÇť├«ndrum─âÔÇŁ spre cazul de construc┼úie LUL ├«n varianta sa CC (catet─â-catet─â cu unghiul drept ├«ntre acestea). Putem s─â ne imagin─âm aici de pild─â cateta de 4 ca baz─â ┼či cateta de 3 ca ├«n─âl┼úime, p─âtratele acestora fiind desenate cu laturile orizontale sau verticale exact pe liniile de pe caietul de matematic─â. ├Än acest caz lungimea ipotenuzei de 5 apare ca ÔÇťprob─âÔÇŁ a construc┼úiei.

Dimpotriv─â, construc┼úia figurii cu ipotenuza drept baz─â ne ÔÇť├«ndrum─âÔÇŁ spre cazul de construc┼úie LLL: latura de 5 ca baz─â ┼či laturile de 3 ┼či 4 ca laturi oblice construite cu compasul. ├Än acest caz verificarea corectitudinii situa┼úiei se face cu un echer care va verifica unghiul drept.

Cu alte cuvinte, mai elevat spus, adic─â ├«ntr-un limbaj mai potrivit clasei a VII-a, ├«n cazul construc┼úiei triunghiului dreptunghic cu laturile de (3, 4, 5), varianta de construc┼úie cu cateta ca baz─â corespunde Teoremei directe a lui Pitagora; dimpotriv─â, varianta de construc┼úie cu ipotenuza ca baz─â ┼či catetele oblice, dar de lungimi date, corespunde mai degrab─â Teoremei reciproce a lui Pitagora.

├Än final ├«mi permit s─â v─â aduc ┼či o mic─â imagine din pedagogia alternativ─â Waldorf, care s─ârb─âtore┼čte anul acesta 100 de ani de la ├«nfiin┼úarea primei astfel de ┼čcoli la Stuttgart ├«n Germania (septembrie 1919). Rudolf Steiner, ├«ntemeietorul acestei ┼čcoli, a cuprins pentru clasa a V-a ┼či o materie numit─â Desen geometric cu m├óna liber─â, ├«n care elevii trebuiau s─â parcurg─â ├«n form─â de desen principalele figuri geometrice, ajung├ónd p├ón─â la Teorema lui Pitagora, cel pu┼úin ├«n cazul triunghiului dreptunghic isoscel. De-a lungul anilor, dasc─âlii Waldorf au ├«ncercat s─â g─âseasc─â c─âi de parcurgere a acestei materii. Pe caietul de matematic─â putem foarte u┼čor desena o astfel de figur─â pentru c─â laturile oblice sunt ├«n acest caz diagonale ale p─âtr─â┼úelelor, fiind ├«nclinate la 45o fa┼ú─â de liniatur─â. Dup─â ce construim figura, ├«mp─âr┼úim p─âtratele de pe catete cu c├óte o diagonal─â, iar p─âtratul ipotenuzei cu ambele diagonale, rela┼úia din Teorema lui Pitagora devenind astfel evident─â.

├Än acest sens v─â prezint ┼či o imagine cu o dubl─â caricatur─â din 1886, din Foaia volant─â de M├╝nchen, cu Pitagora ├«nainte ┼či dup─â descoperirea renumitei teoremei denumit─â dup─â el, ├«n cazul triunghiului dreptunghic isoscel. Nu cred c─â Steiner a avut a┼ča ceva ├«n g├ónd atunci c├ónd a spus cele de mai sus, dar aceast─â caricatur─â ne ofer─â m─âcar o oarecare imagine a spiritului acelor vremuri ├«n leg─âtur─â cu subiectul nostru. CTG

P.S. ÔÇťAmenin┼úareaÔÇŁ cu cutia Pandorei legat─â de lipsa unei demonstra┼úii a fost desigur o exagerare, mai degrab─â o ÔÇťfigur─â de stilÔÇŁ menit─â s─â dea un aer de opozi┼úie. Realitatea este c─â ├«n matematica gimnazial─â exist─â multe puncte unde nu prea le explic─âm elevilor de unde vin lucrurile ├«nv─â┼úate.

Jocul din copil─ârie ÔÇťde-a ho┼úii ┼či vardi┼čtiiÔÇŁ se nume┼čte ├«n matematica pur─â ÔÇťde-a axiomele ┼či teoremeleÔÇŁ. ├Äns─â ├«n matematica ┼čcolar─â mai apar ┼či al┼úi factori decisivi, ca doi arbitri pe care i-am putea denumi accesibilitate ┼či intuitivitate. Ace┼čtia interfereaz─â ├«n procesul de stabilire a materiei de predat, elimin├ónd din jocul pur ÔÇťde-a axiomele ┼či teoremeleÔÇŁ diferite pasaje, ca fiind prea ÔÇťviolenteÔÇŁ, adic─â inaccesibile min┼úii elevilor. Haide┼úi s─â trecem ├«n revist─â c├óteva astfel de momente, ├«n care demonstrarea pa┼čilor parcur┼či este ÔÇť├«mpins─â sub pre┼čÔÇŁ, omis─â sau doar mimat─â.

Dintre cele mimate ├«mi vin acum ├«n minte dou─â momente. Primul ar fi Teorema lui Thales, care este oarecum preg─âtit─â prin Teorema paralelelor echidistante. Aceasta ├«ns─â poate duce la justificarea primeia doar ├«n cazul unui raport ra┼úional; situa┼úia ira┼úionalit─â┼úii r─âm├óne ÔÇť├«n aerÔÇŁ, fiind preluat─â ├«ns─â ├«n mod incon┼čtient de intui┼úia elevilor (a┼ča se ├«nt├ómpl─â ┼či pentru numere ira┼úionale). Un alt caz, chiar mai enervant, ├«l reprezint─â teorema care afirm─â c─â tangenta la un cerc este perpendicular─â pe raza dus─â ├«n punctul de contact. Aceasta nu prime┼čte o demonstra┼úie, dar elevii sunt plictisi┼úi de c─âtre to┼úi profesorii ┼či de c─âtre toate manualele cu c├óteva teoreme premerg─âtoare pe drumul unei demonstra┼úii: arce cuprinse ├«ntre coarde paralele etc. Acestea, la r├óndul lor, nu au mai deloc aplica┼úii (├«n mod similar cu teorema paralelelor echidistante), dar toat─â lumea le face.

Dintre cele prezentate f─âr─â demonstra┼úie m─â g├óndesc la urm─âtoarele. Primul exemplu ar fi metoda triunghiurilor congruente: dintre cele trei cazuri, unul era considerat axiom─â iar celelalte erau demonstrate din acesta. C├ónd am ├«nceput noi s─â pred─âm ┼či trebuia s─â ne d─âm definitivatul era ├«nc─â la mod─â acest subiect: care este axioma ┼či cum era demonstra┼úia aia prin reducere la absurd? Un alt exemplu ├«n acest sens, fa┼ú─â de care nimeni nu face ÔÇťmare cazÔÇŁ este formula pentru volumul piramidelor: de ce este acolo supra 3? Dac─â la aria triunghiului se poate u┼čor explica de ce este supra 2, la volum lucrurile stau mult mai greu. C├ót despre formulele sferei ├«n acest context, am vorbit cu alt─â ocazie. Mai dau ├«nc─â un exemplu, din aritmetico-algebr─â: de unde vine algoritmul de extragere a r─âd─âcinii p─âtrate? De ce se face ├«n acest mod?

Analiz├ónd ├«ns─â toate aceste exemple, vedem c─â ele au fost eliminate din predare sau nici m─âcar nu au fost introduse, deoarece demonstra┼úia respectiv─â a fost considerat─â (din start sau ulterior) mult prea dificil─â pentru mintea gimnazial─â a elevilor. Vedem deci c─â nu este nimic neobi┼čnuit ├«n a li se da elevilor o teorem─â f─âr─â justificare. Consider ├«ns─â c─â Teorema lui Pitagora poate fi justificat─â ├«ntr-un mod intuitiv accesibil prin ariile p─âtratelor celor trei laturi ale triunghiului dreptunghic, a┼ča c─â prezentarea acestei teoreme f─âr─â nici m─âcar o minim─â justificare poate fi lini┼čtit considerat─â drept o gaf─â de predare.

├Ämi permit aici ┼či o scurt─â observa┼úie nematematic─â de final: cu scuzele de rigoare vreau s─â precizez c─â sunt con┼čtient c─â folosesc un limbaj care pentru r─âg─â┼úeni ar putea suna ├«n anumite momente a regionalism, de pild─â ├«n cazul pluralului cuv├óntului ciocolat─â (ciocol─â┼úi ├«n loc de ciocolate). Prefer varianta ardeleneasc─â din dou─â motive: ├«n primul r├ónd consider c─â d─â textului o culoare specific─â Clujului, ora┼č unde ├«mi desf─â┼čor activitatea; ├«n al doilea r├ónd, folosind exprim─ârile uzuale din aceast─â zon─â, ├«mi permit s─â stau ├«n ÔÇťzona de confortÔÇŁ din punct de vedere lingvistic, fapt care m─â ajut─â s─â m─â concentrez mai bine asupra subiectelor propuse. Sper c─â cititorii pot trece peste aceste impedimente, reu┼čind la r├óndul lor s─â se concentreze asupra g├óndurilor exprimate ├«n aceste eseuri.