Trigonometria în vremea solstiţiului de vară

Zilele acestea (în 24, 06 2023), dl. profesor Florin Nechiţi ne-a prezentat pe Comunitatea profesorilor de matematică faptul că trigonometria are ceva de basm! Astfel, dânsul observă că:

S├«nziana ÔÇô SINUS,
Cos├«nziana – COSINUS.

Iat─â ┼či c├óteva comentarii la respectiv postare:
– Mai exist─â ┼či tanziana ┼či cotanziana.
┼×i mai trag ┼či cu arcul unele … Sunt violoniste?
– Periodice, unduitoare, dar m─ârginite la infinit …
– M─ârginite, dar de neatins dac─â nu e┼čti F─ât-Frumos.
– Nu ┼čtiu ce sunt, dar se unduiesc de te bag─â’n boal─â …
O fi av├ónd leg─âtur─â cu faptul c─â ├«n febra BAC-ului preg─âtirea matematic─â din mintea unora se amestec─â cu preg─âtirea la Rom├ón─â? (comentariile apar┼úin d-lor: Octavian Vajoi, Lauren┼úiu Daniel, Dumitrescu Costel ┼či Adrian Dranga, iar ├«n final din nou Florin Nechi┼úi)

Prea devreme! ÔÇô (5) Teme la interferen┼úa cu fizica

Elevii sunt confrunta┼úi deseori cu elemente de matematic─â nepotrivite pentru momentul pred─ârii, de obicei mult prea repede pentru capacit─â┼úile naturale de ├«n┼úelegere ┼či pentru faza de dezvoltare a g├óndirii ├«n care se afl─â. Ca s─â fie clar c─â exist─â multe astfel de situa┼úii, am decis s─â extind “trilogia” din prim─âvar─â cu ├«nc─â dou─â episoade despre elemente care “se ├«nghesuie agresiv ├«n fa┼ú─â” ├«n via┼úa elevilor. Ca o curiozitate, ambele, at├ót elementele de trigonometrie c├ót ┼či subiectul prezentului eseu se desf─â┼čoar─â ├«ntr-o zon─â comun─â de preocupare a matematicii numerelor cu matematica formelor (a aritmetico-algebrei cu geometria). Oare, unde au loc acest tip de activit─â┼úi pe creierul nostru, deci care parte a creierului este afectat─â de gre┼čelile respective?

Ne vom uita acum la o categorie mai special─â, anume la zona de interferen┼ú─â a matematicii cu┬á fizica, unde lucrurile sunt gr─âbite doar din ambi┼úii exterioare procesului de ├«nv─â┼ú─âm├ónt matematic. Primul exemplu ├«l reprezint─â teorema lui Pitagora ├«n finalul clasei a 6-a, pus─â acolo doar ca s─â o prezinte matematica prima, pentru c─â altfel o f─âceau de obicei olimpi┼čtii de fizic─â prin toamna clasei a 7-a. Al doilea ar fi apari┼úia vectorilor ├«n clasa a 9-a, care dau buzna peste starea aia de savurare a geometriei sintetic─â ce s-a instalat ├«n clasa a 8-a (odat─â cu stabilizarea materiei de clasele 6-7 ├«n procesul de preg─âtire a examenului de EN), vectorii ├«ntrerup├ónd-o brutal cu un “alt fel de geometrie”, care nici m─âcar nu prea arat─â a geometrie. A┼čadar, s─â pornim cu subiectele eseului de fa┼ú─â, reunite sub ideea c─â, urmare a interferen┼úei cu fizica, matematica a decis s─â parcurg─â anumite con┼úinuturi mai devreme, ceva cam prea devreme (c─â sigur nu ne-au obligat fizicienii s─â le facem mai devreme!).

(1) De mul┼úi ani copiii care alegeau s─â se preg─âteasc─â pentru olimpiad─â la fizic─â ├«n clasa a 7-a ├«nv─â┼úau cu profesorii respectivi “pe repede ├«nainte” diferite cuno┼čtin┼úe de geometrie, f─âr─â nici cea mai mic─â aten┼úie pentru rigurozitatea matematic─â (sau o f─âceau cu toat─â clasa?). Astfel, te trezeai c─â elevii respectivi ┼čtiau brusc teorema lui Pitagora ┼či rapoartele trigonometrice (superficial, doar aplicativ), iar asta devenea deranjant ├«n diferite momente ale procesului educativ matematic (elevii respectivi nu mai erau aten┼úi la lec┼úia respectiv─â de la matematic─â, c─â “doar o ┼čtiu”, sau profesorii se bazau c─â o ┼čtiu, pe c├ónd ├«n mintea acestor elevi lucrurile nu erau clare, iar cei care nu participaser─â la orele respective la fizic─â oricum r─âm├óneau “pe de l├óng─â”; ani la r├ónd am putut observa astfel de fenomene). Asta f─âr─â s─â mai amintim ┼či de partea de orgoliu a profesorilor de matematic─â: cea mai important─â lec┼úie a geometriei ne era “subtilizat─â” fiind divulgat─â ├«nainte ├«ntr-un mod destul de neglijent. Iar asta ac┼úiona ├«njositor la adresa noastr─â (se sim┼úea ca ┼či cum cei de fizic─â ar da “spoil” la filmul matematic ÔÇô ├«n limba englez─â cuv├óntul este folosit des ca ┼či cum ai strica o surpriz─â, divulg├ónd secretul dinainte, de pild─â povestind cuiva cum se va termina un film).

Dar, la ce le trebuia fizicienilor teorema lui Pitagora ┼či trigonometria a┼ča de repede? B─ânuiesc c─â la situa┼úiile acelea cu compunerea de for┼úe, de pild─â la studiul deplas─ârii pe plan ├«nclinat, for┼úe ce se compun sau se descompun pe ni┼čte triunghiuri, de multe ori dreptunghice. Aici este vorba clar o necorelare cras─â ├«ntre programele celor dou─â materii. Pe de-o parte aveam o ├«nt├órziere agresiv─â a pred─ârii teoremei lui Pitagora datorit─â programei de matematic─â, exist├ónd ambi┼úia de a demonstra aceast─â teorem─â doar prin teorema catetei, care la r├óndul ei avea acceptat─â doar demonstra┼úia prin asem─ânare (ce-i drept cea mai scurt─â, dar ┼či cea mai ne-vizibil─â pentru copilul de r├ónd, dar ┼či bazat─â pe unul dintre cele mai grele ┼či inaccesibile capitole pentru elevul mediu ÔÇô la asem─ânare m-am referit). Asta ├«n condi┼úiile ├«n care exist─â ┼či o gr─âmad─â de demonstra┼úii pe baz─â de arii (spre deosebire de propor┼úionalitate ┼či asem─ânare, aria “se vede” ceva mai bine, ├«n afara unor excep┼úii notabile desigur). Dar aici ne confrunt─âm din nou cu mo┼čtenirea ambi┼úiei celor care au trasat linia programei de la ├«nceputul anilor ’80, de a rupe teorema lui Pitagora de fenomenul ariilor ┼či nimeni nu a mai ├«ndr─âznit de atunci s─â reanalizeze situa┼úia. Pe de cealalt─â parte avem necesitatea for┼úat─â din punct de vedere a materiei pentru olimpiada de fizic─â, de a putea folosi acele elemente practice de geometrie a triunghiului dreptunghic. Este evident c─â avem aici o lupt─â ├«ntre orgolii la nivelul cel mai ├«nalt (pe seama cui?). Apropos, astfel de fenomene de necorelare exist─â desigur ┼či ├«ntre alte materii, cum ar fi ├«ntre cerin┼úele de cuno┼čtin┼úe de gramatic─â la limbi str─âine, cuno┼čtin┼úe care ├«ns─â nu s-au parcurs ├«nc─â la limba rom├ón─â.

Aceasta era situa┼úia ├«n momentul c├ónd s-a organizat redactarea unei noi programe gimnaziale. Nu cunosc cum s-a ajuns la decizia respectiv─â, dar e clar c─â teorema lui Pitagora a ajuns s─â fie pozi┼úionat─â total artificial ├«n finalul clasei a 6-a (├«n plus exilat─â de-a dreptul ├«ntr-un final de an ┼čcolar, atunci c├ónd de fapt nu prea se mai face mare lucru! ÔÇô ┼čtim asta din alte ocazii). Am tratat acest subiect din punct de vedere al posibilit─â┼úilor de integrare a lec┼úiei ├«n acel moment, pe baze de predare intuitiv─â ├«ntr-o serie de post─âri, d├ónd astfel posibilitatea unei prezent─âri decente ├«n fa┼úa elevilor (http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/, http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/).

Realitatea crud─â este ├«ns─â c─â profesorii nu au fost defel preg─âti┼úi pentru aceast─â mutare, nici mental, nici practic, aceasta haotiz├ónd parcursul lec┼úiilor, chiar erod├ónd astfel autoritatea profesorilor ├«n procesul pred─ârii. Mai mult, profesorii nu au fost ├«n stare nici m─âcar s─â trag─â anumite foloase din aceast─â mutare intempestiv─â: nici acum nu g─âse┼čti clar o integrare a cuno┼čtin┼úelor ┼či tehnicilor de lucru legate de teorema lui Pitagora ├«n capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a. (C─â, dac─â tot este cunoscut─â, s─â ┼či fie folosit─â. Sau, o facem de fapt doar pentru cei de fizic─â? Dar m─âcar, atunci s─â o facem mai bine, nu la fel de superficial. C─â, ei m─âcar o f─âceau doar colateral, pentru “v├órfurile” lor; noi ar trebui s─â le-o cerem tuturor). Autorii de manuale nu au integrat-o, dar nici profesorii. Deloc&Defel! (ok, cu unele rare excep┼úii) Am ├«nt├ólnit chiar situa┼úii ├«n care profesorii “le-au interzis” elevilor s─â o foloseasc─â: “de┼či o ┼čtim, ├«ncerc─âm s─â facem o rezolvare f─âr─â teorema lui Pitagora“. De ce? DE CE?

Aceast─â stare de prohibi┼úie a ap─ârut ├«n mentalul profesorilor deoarece tot parcursul de probleme pentru clasa a 7-a era setat pe vechea program─â f─âr─â folosirea teoremei lui Pitagora p├ón─â ├«n prim─âvar─â, c├ónd aceasta urma s─â fie predat─â (pe programa veche). Acum ├«ns─â fiind disponibil─â teorema lui Pitagora, totu┼či nimeni nu s-a str─âduit s─â rearanjeze parcursul ┼či felul problemelor, de pild─â la capitolul despre arii, acolo unde ├«n sf├ór┼čit elevul mediu ar fi putut primi ┼či el o sarcin─â de lucru pe m─âsura sa (calcule de arii ┼či perimetre cu determinarea elementelor prin teorema lui Pitagora). Dar nu, se pare c─â str─âdaniile de integrare au fost minimale, de obicei inexistente, a┼ča ├«nc├ót singurul lucru reu┼čit clar a fost instalarea acestei st─âri generale de nefolosire dec├ót ├«n cazuri absolut excep┼úionale a teoremei lui Pitagora.

Pe de alt─â parte, datorit─â mi┼čc─ârilor de materie prin noua program─â, aceast─â teorem─â (├«mpreun─â cu prietenele ei premerg─âtoare, teorema catetei ┼či teorema ├«n─âl┼úimii) au ajuns ┼či mai t├órziu, ├«n lec┼úiile profesorilor, deseori dup─â vacan┼úa de Pa┼čte. Cunosc o situa┼úie de la o ┼čcoal─â cu preten┼úii din Cluj, unde ├«n a doua jum─âtate a lunii Mai ├«nc─â nu a fost parcurs─â oficial, ┼či deci nici integrat─â ├«n materia folosit─â la clas─â (a ap─ârut ├«ns─â ├«n forma specific─â geometriei analitice la lec┼úia de prezentare a sistemului de coordonate carteziene prin calculul lungimii unui segment ├«n func┼úie de coordonatele punctelor, desigur c─â f─âr─â nici cea mai elementar─â preocupare c─â “de unde provine” minunea asta de formul─â).

Astfel, aceast─â cea mai important─â teorem─â a omenirii a ajuns s─â fie ├«ntr-un fel de-a dreptul prohibit─â, pe parcursul marii p─âr┼úi a clasei a 7-a. A fost ca o conspira┼úie total─â ├«mpotriva folosirii ├«n orice fel a acestei teoreme. Nu zic c─â aceast─â “conspira┼úie” a fost clar inten┼úionat─â, voit─â, dar asta s-a ├«nt├ómplat ┼či desigur c─â nici folosirea denumirii nu este acceptat─â. Elevii slabi nu au siguran┼ú─â ├«n aplicarea ei, doar pe baza pu┼úinelor exerci┼úii din finalul clasei a 6-a (atunci c├ónd cine ┼čtie c├ót de serios a fost f─âcut─â ┼či ├«nv─â┼úat─â), pe c├ónd elevii buni nu au fost ├«nv─â┼úa┼úi s─â o ia ├«n serios. Curat minunat!!! Dac─â m─â g├óndesc bine, am impresia c─â acum elevii o ┼čtiu cumva, ├«ns─â doar ├«ntr-o form─â neglijent calcula┼úionist─â, pe care probabil au dob├óndit-o de la fizic─â sau din foarte rarele ocazii c├ónd totu┼či aceast─â teorem─â “s-a ├«nt├ómplat” ┼či ├«n orele de matematic─â. Cu alte cuvinte, lucrurile arat─â ca ┼či cum matematica ar fi abandonat, m─âcar par┼úial, aceast─â teorem─â ├«n zona de autoritate a fizicii (e doar o p─ârere personal─â neverificat─â, dar a┼ča pare s─â arate situa┼úia).

Acest fenomen se ├«nt├ómpl─â ┼či datorit─â altuia, care s-a accentuat ├«n ultimii ani. Teorema lui Pitagora este cuprins─â tot mai pu┼úin ├«n zona de interes a olimpi┼čtilor, preocup─ârile acestora evolu├ónd clar ├«n alte direc┼úii de materie (asta ┼či pentru c─â de zeci de ani teorema lui Pitagora ap─ârea oricum dup─â olimpiadele locale, chiar jude┼úene).

Pe de alt─â parte, mul┼úi profesori care “dau tonul” ├«n societatea noastr─â nu sunt preocupa┼úi defel de matematica pentru cei slabi (se poate observa c├ót de pu┼úine exemple elementare se g─âsesc la ├«nceputul lec┼úiilor ├«n diferite manuale sau culegeri; toat─â preocuparea autorilor este ├«ndreptat─â c─âtre zonele mai ├«nalte ale aplica┼úiilor). Ori, de vreme ce a fost prezentat─â deja pe scurt ├«n clasa a 6-a, mul┼úi profesori consider─â c─â au f─âcut destul pentru partea de aplica┼úii elementare ale teoremei lui Pitagora.

Care este ├«ns─â marele perdant al acestei situa┼úii? P─âi, desigur abilitatea elevului mediu (80% din popula┼úia ┼čcolar─â) de a se descurca ÔÇô f─âr─â medita┼úii ÔÇô ├«n calculul ariilor ┼či al perimetrelor ├«n figurile de baz─â (romb, triunghi isoscel, trapez etc.). Capitolul de arii din toamna clasei a 7-a nu le-a integrat, fiind ├«n continuare un capitol doar cu aplica┼úii ale propriet─â┼úilor ariilor (de pild─â proprietatea de arie a medianei sau chiar generaliz─âri ulterioare ale acesteia).

Rog onora┼úii cititori s─â nu a┼čtepte ├«n acest moment o propunere salvatoare din partea mea. Nu c─â n-a┼č putea ├«ncerca a┼ča ceva, dar asta ar deschide discu┼úia mult prea larg pentru spa┼úiul unui eseu ├«n direc┼úia coordon─ârii materiei. Pot doar s─â spun c─â solu┼úia ar fi undeva ├«ntre o pozi┼úionare a teoremei lui Pitagora c├ót mai la ├«nceputul clasei a 7-a (demonstratbil─â cu arii), coordonat─â cu o ac┼úiune concentrat─â din partea autorit─â┼úilor pentru implementarea acesteia p├ón─â ├«n structura problemelor ce se fac de c─âtre profesori ┼či se propun de c─âtre autori, desigur cu integrarea clar─â ┼či a elevilor medii ├«n procesul de predare ┼či de aplica┼úii.

Permi┼ú├óndu-mi o glum─â mai acid─â, a┼č avea ├«n final o singur─â dilem─â: dac─â a fost mutat─â teorema lui Pitagora ├«n finalul clasei a 6-a ca s─â fim siguri c─â o facem primii noi, matematicienii, de ce nu a fost adus─â ├«n finalul clasei a 6-a ┼či trigonometria? Pentru c─â elevii ├«nc─â nu ┼čtiu radicalii? P─âi, se poate rezolva u┼čor ┼či asta! Adic─â ÔÇô acum serios vorbind ÔÇô mut├óndu-se teorema lui Pitagora s-a rezolvat doar jum─âtate de problem─â, pentru c─â cei de fizic─â oricum fac trigonometria ├«naintea noastr─â. Oare, de asta este prezentat─â trigonometria de c─âtre unii profesori a┼ča de “├«n sc├órb─â”?

(2) Al doilea exemplu de haotizare a procesului educativ matematic la zona de interferen┼ú─â cu fizica, unul mult mai vechi, ar fi introducerea prea devreme a capitolului de geometrie vectorial─â ├«n clasa a 9-a. Eu personal nu am fost nevoit s─â predau aceast─â tem─â ├«n integralitatea sa, a┼ča ├«nc├ót pot vorbi doar “din tribun─â” (a┼ča cum ┼či la televizor vorbesc foarte mul┼úi “speciali┼čti” despre fotbal). Totu┼či, ca profesor din famile de profesori de matematic─â, dar ┼či ca preocupat intens de fenomenul pred─ârii s─ân─âtoase (de peste un sfert de secol), cred c─â pot prezenta c├óteva idei valabile. Asta ├«n condi┼úiile ├«n care discu┼úii pe acest subiect exist─â oricum ┼či la nivelele cele mai ├«nalte (mai ┼úine┼úi minte exprimarea p─ârerii respective de c─âtre dl. Ministru C├ómpeanu ÔÇô ├«nceput de 2022 ÔÇô despre ne-importan┼úa vectorilor ├«n clasa a 9-a; este evident c─â d├ónsul o preluase de undeva, de la unii mai speciali┼čti dec├ót el; parc─â ┼či Dl. Prof. Radu Gologan se exprimase c├óndva ├«n acest sens). A┼čadar, s─â analiz─âm pu┼úin c├ónd, cum ┼či oare de ce au ajuns vectorii la ├«nceputul liceului ├«n locul geometriei sintetice.

Trebuie l─âmurit ├«nc─â de la ├«nceput un aspect foarte important, anume c─â vectorii reprezint─â f─âr─â discu┼úie un subiect de origine fizic─â. Vectorii sunt ├«n primul r├ónd ai fizicii! Vectorii sunt forma ├«n care oamenii au reu┼čit cel mai bine s─â reprezinte grafic (vizual) for┼úele ├«mpreun─â cu m─ârimile ┼či direc┼úiile acestora de ac┼úiune. Orice includere a vectorilor ├«ntre lec┼úiile de matematic─â trebuie pornit─â de la acest adev─âr ┼či de la faptul c─â la ├«nceput au fost observa┼úiile fizice. Doar apoi, cu timpul, teoreticienii matematicieni au stabilit o form─â teoretic─â axiomatic defini┼úionist─â de introducere a ideii de vector ca ├«nceput pentru o teorie ce integreaz─â multe propriet─â┼úi ale vectorilor de natur─â matematic─â, sau care se dovedesc c─â au aplicabilit─â┼úi matematice, at├ót geometrice c├ót ┼či algebrice. Mie de exemplu ├«mi plac foarte mult suprapunerile de propriet─â┼úi ale numerelor complexe cu vectorii, de pild─â rotirea unui vector cu 90o prin ├«nmul┼úirea num─ârului complex corespunz─âtor cu i.

Teoria matematic─â a vectorilor a reprezentat un experiment ┼či o provocare extraordinar─â pentru matematicieni, de a aranja pe bazele rigurozit─â┼úii matematice un set uria┼č de cuno┼čtin┼úe acumulate pe aceast─â tem─â. La fel ca ┼či teoria extrem axiomatic─â a geometriei euclidiene, acest experiment al geometriei vectoriale ┼či-au avut originea ├«n cercetarea de nivel universitar, dar aducerea lor ├«n zona de liceu trebuie f─âcut─â cu mare precau┼úie. Orice exagerare, at├ót din punct de vedere al cantit─â┼úii, c├ót mai ales ┼či din punct de vedere al v├órstei poate produce pagube inimaginabile ├«n percep┼úia ┼či mentalul marii mase a elevilor. Astfel, ├«n forma (├«n cantitatea) ┼či la v├órsta (clasa a 9-a) ├«n care a fost introdus─â prin reforma din 1997, studiul geometriei vectoriale s-a dovedit total neproductiv─â, d─âun─âtoare p├ón─â “├«n m─âduva oaselor” la adresa celor mai mul┼úi elevi.

├Än geometria vectorial─â vedem c─â algebra ÔÇô ├«ntr-o form─â ciudat─â, nou─â ÔÇô c├ó┼čtig─â teren ├«n detrimentul ├«n┼úelegerii clare a fenomenului geometric. Re┼úete automate dar ne├«n┼úelese, aplicate orbe┼čte, ajung s─â domine peisajul, astfel ├«nc├ót marea mas─â a elevilor ├«nva┼ú─â materia doar ca un fel de dresaj intelectual, ├«nspre rezolvarea unor modele de probleme. Formarea g├óndirii practice este redus─â dramatic fa┼ú─â de varianta de g├óndire dob├óndit─â pe baza studiului geometriei sintetice, iar explica┼úia pentru acest fenomen este absolut elementar─â: geometria sintetic─â lucreaz─â cu ni┼čte “obiecte ini┼úiale” mult mai “vizibile” ├«n lumea ├«nconjur─âtoare, dec├ót geometria vectorial─â. Segmentele, unghiurile, planele, apoi dreptunghiurile, cercurile, corpurile geometrice, toate acestea sunt mult mai “vizibile” dec├ót vectorii, chiar ┼či studia┼úi sub forma lor fizic─â de for┼úe, dar─âmite sub forma abstract─â matematic─â.

Rezultatul este ├«ndep─ârtarea, de-a dreptul “repulsionarea” f─âr─â precedent a elevilor fa┼ú─â de studiul matematicii, iar asta se ├«nt├ómpl─â chiar de la ├«nceputurile matematicii de liceu. Asta simte toat─â lumea. Faptul c─â are de suferit formarea general─â a g├óndirii, asta se vede mai greu, dar nu ├«nseamn─â c─â nu are loc. Cumva, p├ón─â la urm─â, to┼úi le ├«nva┼ú─â mai mult sau mai pu┼úin, dar urm─ârile negative dep─â┼česc clar eventualele beneficii teoretice sau c├ó┼čtiguri ├«n sensul unor metode de rezolvare mai eficiente (incontestabile, dar pu┼úine ┼či cu ce sacrificii enorme).

Apropos metode de rezolvare: ┼úin minte pe la ├«nceputul anilor ’90 un fel de Skanderbeg intelectual, o ├«nver┼čunat─â competi┼úie ├«ntre c├ó┼úiva pasiona┼úi de matematic─â ├«n sensul ambi┼úiei de a rezolva c├ót mai multe probleme de geometrie prin vectori. Da, a┼ča da, pentru pasiona┼úii de senza┼úii tari ├«n matematic─â, geometria vectorial─â era un teren competi┼úional deosebit de valoros. Dar de aici p├ón─â la generalizarea exclusiv─â a metodelor specifice de lucru pentru to┼úi elevii, mult prea devreme, la ├«nceputul liceului, c├ónd g├óndirea specific─â nu este ├«nc─â format─â ┼či antrenat─â ca atare, asta reprezint─â o cale mult prea lung─â. Astfel, privim la deja un sfert de secol de chinuial─â gratuit─â a g├óndirii elevilor pe baza unui experiment teoretic, ce-i drept foarte valoros din punct de vedere matematic, dar nu ┼či din punct de vedere pedagogic.

Putem scoate ├«n eviden┼ú─â anumite aspecte interesante dac─â alegem s─â privim ┼či precedentul experiment mult prea teoretic, cel al ├«ncerc─ârii introducerii geometriei axiomatice euclidiene ├«n licee, prin manualele din 1978. ├Än vremea acestora profesorii mai aveau cale de sc─âpare, m─âcar par┼úial─â din chingile teoretice, evad├ónd ├«n problemele clasice pentru formarea g├óndirii (experiment ce a durat cca. 20 de ani, l─âs├ónd ├«n urm─â o prelungire teoreticist─â ├«n geometria gimnazial─â, prelungire ce s-a atrofiat lent dar ciudat de atunci). Aici, ├«n geometria vectorial─â, profesorii au slabe ┼či rare ┼čanse de a mai evada cu elevii ├«n g├óndirea geometriei sintetice.

Analiz├ónd comparativ pozi┼úionarea ┼či natura geometriei vectoriale fa┼ú─â de geometria sintetic─â, putem observa un aspect mai profund. La o analiz─â serioas─â se poate observa cum ├«ncep├ónd din anii ’90 matematica ┼čcolar─â a fost supus─â tot mai mult unui proces de algebrizare. R─âd─âcinile acestui proces pot fi urm─ârite ├«n programele ┼čcolare p├ón─â ├«n anii ’70, dar prin reforma din 1997 fenomenul s-a accentuat puternic. Geometria vectorial─â este unul din locurile matematicii ├«n care g├óndirea spa┼úial─â intens ┼čcolit─â ├«n geometria sintetic─â face clar un pas mare ├«napoi ├«n detrimentul g├óndirii numeric-algebrice. ├Än geometria sintetic─â din manualele claselor 9-10 din anii 1978-1997 geometria ┼či algebra ajungeau s─â se ├«mbine ├«n diferite probleme aplicative, adev─ârate “simfonii matematice” (pe care le puteai compune doar dac─â ├«n┼úelegeai profund baza fiec─ârei componente). ├Än geometria vectorial─â, dimpotriv─â, se simte clar cum g├óndirea algebric─â, pe baz─â de formule (aplicabile orbe┼čte), d─â clar de-o parte g├óndirea spa┼úial─â geometric─â. De obicei, aici fenomenul geometric se consider─â deja cunoscut, fiind deci neglijat. Pe scurt, a┼č descrie astfel situa┼úia: pe c├ónd ├«n geometria sintetic─â din anii ’80-’90 algebra venea ├«n geometrie cu un rol de poten┼úare, ├«n geometria vectorial─â algebra vine c─âtre geometrie d├ónd-o afar─â din via┼úa elevilor.

Acela┼či lucru ├«l face desigur ┼či geometria analitic─â ce apare tot mai repede, mai nou deja din clasa a 7-a. Simt aici un impuls similar cu cel al puiului de cuc: cunoa┼čtem to┼úi cum se ├«nmul┼úesc aceste p─âs─âri, anume c─â femela depune oul ├«n cuibul altor p─âs─âri, acestea ├«l clocesc, iar dup─â eclozarea puilor, puiul de cuc are impulsul de a-i ├«mpinge afar─â din cuib pe fra┼úii s─âi vitregi, beneficiind astfel de toat─â aten┼úia de ├«ngrijire a p─ârin┼úilor adoptivi. Cam a┼ča a┼č putea descrie ┼či fenomenul de algebrizare for┼úat─â a matematicii de liceu ├«n ┼čcoala rom├óneasc─â a ultimului sfert de secol. Fenomenul este mult mai extins, un alt exemplu ├«n acest sens fiind de pild─â abandonarea cercului trigonometric ├«n procesul de trecere de la trigonometria geometric─â (pe baz─â de triunghi) din gimnaziu la trigonometria mult mai algebric─â din liceu.

Dar s─â revenim: oare de unde a ap─ârut impulsul introducerii geometriei vectoriale ├«n clasa a 9-a? La aceast─â ├«ntrebare ar trebui s─â r─âspund─â cei implica┼úi atunci, ├«n mi┼čc─ârile de materie ale reformei din 1997. Noi acum putem s─â ne d─âm doar cu p─ârerea. Eu personal suspectez un puseu puternic de orgoliu axiomatist-defini┼úionist din partea matematicienilor (a unor profesori universitari), puseu ├«nc─ârcat de un dispre┼ú teoreticist fa┼ú─â de “fizicienii ─âia” care nu sunt ├«n stare s─â fac─â o ┼čtiin┼ú─â pur─â, teoretic─â, ei fiind capabil doar s─â porneasc─â de la concret, de la observa┼úii. Ceva de felul: “Ei nu sunt interesa┼úi s─â a┼čeze lucrurile pe baze teoretice abstracte, a┼ča c─â haide┼úi s─â v─â ar─ât─âm noi cum se face!

Eu, ├«n anii ’80 f─âcusem ├«n clasa a 11-a ceva elemente c├ót de c├ót ordonate de geometrie vectorial─â, dar acestea plecau de la modelul compunerii for┼úelor (regula paralelogramului), nu de la un model abstract de adunare a vectorilor (regula triunghiului; aceasta ap─ârea ├«ns─â imediat dup─â prima, generaliz├óndu-se apoi ├«n regula poligonului). ├Än aceste condi┼úii, la fel ca ├«n cazul precedent al geometriei axiomatice euclidiene, trebuie c─â s-au sesizat anumi┼úi profesori universitari ├«n leg─âtur─â cu “amatorismul demersului”, implic├óndu-se ┼či sesiz├óndu-se “din oficiu” ca s─â ne arate nou─â, profesorilor din preuniversitar “cum se face treaba” serios.

Închei cu precizarea clară că acest eseu este redactat doar pe baza unor supoziţii, dar unele verificate clar prin lungi observaţii de-a lungul anilor. C.Titus Grigorovici

P.S. Dac─â tot am analizat zone de interferen┼ú─â a matematicii cu fizica, a┼č dori ├«ns─â s─â ne uit─âm pu┼úin ┼či ├«n clasa a 5-a unde programa din 2017 ne ofer─â o alt─â surpriz─â ciudat─â, a┼č spune total nepl─âcut─â. Concret: unde ┼či de ce au disp─ârut din programa de matematic─â unit─â┼úile de m─âsur─â pentru capacitate (litraj) ┼či pentru mas─â (a┼ča-zisa “greutate” dup─â cum este numit─â ├«n limbajul uzual, de zi cu zi)? ┼×i chiar a┼ča, o fi r─âu c─â au fost scoase? De ce? Pentru c─â ÔÇô ar putea zice cineva ÔÇô s-a mai descongestionat materia, sau? S─â analiz─âm mai profund situa┼úia.

Cele dou─â, capacitatea ┼či masa formau, ├«mpreun─â cu lungimea, o “triad─â” de m─ârimi ale c─âror sisteme de unit─â┼úi ┼či sub/supraunit─â┼úi sunt construite pe acela┼či model intelectual, schimbarea unit─â┼úii ├«ntr-alta mai mare sau mai mic─â f─âc├óndu-se la toate trei dup─â acelea┼či “pattern”-uri comportamentale ale numerelor (cu mica diferen┼ú─â a prelungirii sistemului de la mas─â p├ón─â la tone). Astfel, elevii aveau posibilitatea s─â fac─â transferul de cuno┼čtin┼úe ┼či de competen┼úe de la una la cealalt─â, fix├ónd astfel modelele de calcul mult mai bine. Iar modelele respective de calcul fac parte f─âr─â discu┼úie din matematic─â. Astfel, prin eliminarea acestora din program─â a fost v─âduvit─â matematica, ┼či mai exact chiar partea cea mai practic─â a matematicii, pentru lipsa c─âreia materia noastr─â este constant criticat─â la nivelul societ─â┼úii.

Pe de alt─â parte, r─âm├ón├ónd ├«n┼úelegerea ┼či ├«nv─â┼úarea modului de func┼úionare a modelului doar pe baza unit─â┼úilor de m─âsur─â a lungimii, adic─â pe un singur exemplu fenomenologic, este evident c─â ├«nv─â┼úarea elevilor va fi mai slab─â, dar totodat─â va avea loc ┼či la mai pu┼úini dintre ace┼čtia. Orice ├«nv─â┼úare pe un singur exemplu (unidirec┼úinal─â) este mai slab─â dec├ót o ├«nv─â┼úare cu o oarecare diversitate ├«n exemplele de aplicat (├«ntr-un evantai controlabil de direc┼úii); prin for┼úarea transferului de cuno┼čtin┼úe se ├«nt─âre┼čte ┼či ├«n┼úelegerea ┼či ├«nv─â┼úarea. Dimpotriv─â, nefiind necesar un transfer de g├óndire, ├«nv─â┼úarea este mai slab─â.

Dar, de ce au fost scoase? Aici pot doar ÔÇô din nou ÔÇô s─â-mi dau cu p─ârerea. B─ânuiala mea este c─â unit─â┼úile de m─âsur─â pentru mas─â au fost scoase datorit─â pericolului real ca mul┼úi profesori de matematic─â s─â permit─â folosirea incorect ┼čtiin┼úific a cuv├óntului greutate (din limbajul vulgar) ├«n locul termenului teoretic corect de mas─â. P─âi ce s─â-i faci dac─â ├«n limba rom├ón─â cuv├óntul mas─â de care vorbim aici se suprapune identic cu cuv├óntul mas─â folosit pentru obiectul acela pe care ne punem farfuriile s─â m├ónc─âm sau caietele s─â scriem, sau pentru ├«nruditul cuv├ónt folosit pentru activitatea de m├óncat? (ai luat masa?)

De unde vine aceast─â suprapunere stupid─â? Nu am studiat foarte mult, pentru c─â eu personal am o explica┼úie simpl─â: cuv├óntul corespunz─âtor pentru m─âsur─â ├«n german─â este Mass, cuv├ónt ce a fost preluat la noi ca mas─â. Nem┼úii ├«ns─â nu au problema suprapunerii de la noi. ├Än german─â cuv├óntul pentru obiectul acela de mobilier, de obicei cu patru picioare este Tisch (pronun┼úat ti┼č). La ei e clar c─â Mass ├«n general este o m─âsur─â a ceva. ┼×tiin┼úific a fost fixat─â pentru m─ârimea folosit─â ┼či ├«n rom├ón─â, dar nem┼úii o mai folosesc ┼či pentru alte chestii. De pild─â bavarezii o folosesc absolut natural pentru c─ânile acelea mari de un litru din care beau bere (de pild─â la Oktoberfest). Ale noastre sunt pu┼úin mai mici (de jum─âtate de litru) ┼či se numesc halbe. ┼×ti┼úi de ce? Simplu, cuv├óntul vine de la jum─âtate ├«n german─â: halb (a ├«njum─ât─â┼úi: halbieren). L─âs├ónd tonul glume┼ú de-o parte, putem surprinde o nuan┼ú─â din plaja larg─â ce o are cuv├óntul ├«n limba german─â atunci c├ónd spunem “o mas─â de oameni”. L─âs├ónd gluma de-o parte, s─â ┼čti┼úi ├«ns─â c─â ┼či la nem┼úi exist─â preocuparea de aten┼úionare legat─â de folosirea incorect teoretic─â a cuv├óntului Gewicht (greutate) ├«n locul cuv├óntului Mass (mas─â).

Despre excluderea unit─â┼úilor de m─âsur─â pentru capacitate (denumit─â uneori “litraj”), aici nu am multe de comentat. Este evident c─â litrul ocup─â un rol central ├«n sistemul interna┼úional de unit─â┼úi de m─âsur─â (pe scurt, un litru de ap─â c├ónt─âre┼čte un kilogram), care este unul dintre domeniile clare, centrale ale fizicii elementare.

Aten┼úionez ├«ns─â c─â ┼či aici sistemul de unit─â┼úi al capacit─â┼úii este conectat ├«n mod evident din punct de vedere matematic cu sistemul de unit─â┼úi de m─âsur─â pentru volum, a┼ča ├«nc├ót excluderea primului din program─â sl─âbe┼čte profund studiul matematic al fenomenului, v─âduvind elevul de o nou─â situa┼úie unde s─â-┼či exerseze ┼či s─â-┼či dezvolte abilit─â┼úile ┼či competen┼úele corespunz─âtoare. Ce se ├«nt├ómpl─â astfel ├«n cazul tradi┼úionalelor probleme de felul urm─âtor? Un acvariu paralelipipedic cu dimensiunile de 40┬ácm pe 20┬ácm ┼či ├«nalt de 30┬ácm este umplut p├ón─â la o treime cu ap─â. C├ó┼úi litri de ap─â sunt necesari? Merit─â repetat aici faptul c─â aceast─â excludere ajunge s─â scoat─â din programa de matematic─â exact astfel de momente de care ar fi at├ót de mare nevoie pentru a oferi elevilor ┼či probleme cu aplicabilitate practic─â (cu sens), de lipsa c─ârora se pl├ónge a┼ča de mult─â lume. Asta f─âr─â s─â mai discut─âm de schizofrenia situa┼úiei ca ├«ntreg: deci la matematic─â elevul ├«nva┼ú─â de pild─â dm3, la fizic─â ├«nva┼ú─â despre litru, dar unde ├«nva┼ú─â s─â conecteze cele dou─â?

Este evident c─â la matematic─â se pune accent pe anumite aspecte ale fenomenului, pe c├ónd la fizic─â acestea se trateaz─â mai superficial, poate chiar defel uneori, aten┼úia profesorilor fiind concentrat─â ├«n alte direc┼úii ale fenomenului. Astfel, am ├«nt├ólnit elevi care ÔÇô de pild─â ÔÇô nu cuno┼čteau dal, hl sau kl. O fi de vin─â pandemia sau o fi de vin─â “profa’ de fizic─â”? Chiar nu m─â intereseaz─â. Permi┼ú├óndu-mi o scurt─â devia┼úie, a┼č ├«ntreba dac─â, oare, a┼ča a ├«nceput fenomenul ┼či ├«n Austria, acolo unde elevii nu fac dam sau hm, dar fac km?

Exist─â ├«ns─â aici ┼či un alt aspect care influen┼úeaz─â tot mai puternic subiectul nostru ├«n discu┼úie. Criza profesorilor de fizic─â este tot mai extins─â, a┼ča ├«nc├ót pentru orele de fizic─â se g─âsesc tot mai greu profesori responsabili ┼či “de calitate”. Astfel, fenomenul orelor ┼úinute “de m├óntuial─â” este mult mai r─âsp├óndit la fizic─â dec├ót la matematic─â (nu c─â la noi n-ar fi prezent). Oare, asta s─â fie cauza fenomenului sesizat ├«n alineatul precedent?

A┼ča, cum le f─âceau profesorii de matematic─â, uneori “pe fug─â”, inclusiv cu gafele teoretice din punct de vedere al fizicii, totu┼či includerea respectivelor lec┼úii ┼či ├«n orele de matematic─â ├«┼či aducea aportul clar pozitiv la ├«nv─â┼úarea fenomenului ├«n ansamblu. Nu m─â pot ab┼úine s─â observ c├ót suntem de aproape ├«n discu┼úia de fa┼ú─â de momentul c├ónd facultatea de matematic─â-fizic─â (inclusiv preg─âtirea profesorilor ca profesori de matematic─â ┼či fizic─â) s-a rupt ├«n dou─â (la Cluj prin anii ’60). P─ârin┼úii mei au absolvit ca profesori cu dubl─â specializare. Fratele tat─âlui meu a trebuit s─â aleag─â ├«n timpul facult─â┼úii ├«n care parte r─âm├óne, el aleg├ónd fizica. ├Än clasele gimnaziale, ├«n finalul anilor ’70, eu am f─âcut fizica cu acela┼či profesor cu care f─âceam ┼či matematica.

Dar de ce au fost excluse cele dou─â lec┼úii din programa de matematic─â. O alt─â explica┼úie logic─â nu v─âd, dec├ót c─â asta s-a ├«nt├ómplat la presiunea fizicienilor. Poate n-a fost o presiune clar─â de a fi scoase, ci doar o cerin┼ú─â ferm─â de a rezolva situa┼úia folosirii termenilor de mas─â sau greutate. Nu ┼čtiu, dar cred c─â nici nu m─â intereseaz─â foarte mult detalii; eu v─âd doar rezultatul. Trebuie precizat aici, pentru cine nu ┼čtie, c─â breasla profesorilor de fizic─â este mult mai avansat─â pe calea refacerii pred─ârii pe principii s─ân─âtos pedagogice, pe c├ónd matematicienii p├ón─â la programa din 2017 au ┼úinut cu din┼úii de principiile rigurozit─â┼úii ┼čtiin┼úifice ale matematicii (sau de urm─ârile acestora, a┼ča cum au fost acestea creionate la bazele reformei din 1980), neglij├ónd masiv aspectele pedagogice (v├órst─â, prima cunoa┼čtere etc.). Putem s─â ne imagin─âm astfel c─â la momentul respectiv fizicienii au ┼čtiut mult mai bine “ce vreau” ┼či au fost mult mai fermi “pe pozi┼úie”. Da, ┼či astfel putem concluziona c─â ├«n acest moment matematica “a pierdut” pur ┼či simplu materie valoroas─â datorit─â fizicii.

Salariul cercet─âtorului ┼či aria cercului

Uita┼úi ce banc circul─â pe re┼úelele “sociale” taman ├«n plin─â grev─â ├«n ├«nv─â┼ú─âm├ónt:

*

Un cercet─âtor, observ├ónd c─â are ceva probleme cu chiuveta din buc─ât─ârie, a fost nevoit s─â cheme un instalator. ├Än urm─âtoarea zi, instalatorul a venit, a str├óns c├óteva ┼čuruburi, a ├«nfiletat c├óteva chestii, apoi totul a func┼úionat ca ├«nainte. Cercet─âtorul a fost mul┼úumit. Totu┼či, c├ónd instalatorul i-a dat nota de plat─â, acesta a fost ┼čocat:

– Asta ├«nseamn─â o treime din salariul meu lunar!!!

P─âna la urma, totusi a pl─âtit, iar instalatorul i-a zis:

– V─â ├«nteleg, s─â ┼čtiti. De ce nu veni┼úi la firma noastr─â, s─â depune╚Ťi dosarul pentru o slujba de instalator? Ve╚Ťi c├ó╚Ötiga de trei ori mai mult dec├ót o face┼úi acum. Dar nu uita┼úi, c├ónd depune┼úi dosarul, s─â le spune┼úi c─â a╚Ťi terminat doar 7 clase. Nu le plac oamenii educa╚Ťi.

Prin urmare, cercet─âtorul nostru ╚Öi-a luat o slujba de instalator, iar via╚Ťa lui a devenit mai u╚Öoar─â din punct de vedere financiar. Tot ce trebuia sa fac─â era s─â str─âng─â un ┼čurub-dou─â. ├Äntr-o zi, ╚Öeful companiei a hot─âr├ót c─â fiecare angajat trebuie s─â se duc─â la seral, pentru a-┼či termina ╚Öi clasa a 8-a. Omul nostru a trebuit s─â mearg─â, evident.

S-a ├«nt├ómplat ca primul curs s─â fie de matematic─â. Profesorul, vr├ónd s─â vad─â nivelul de cunoa╚Ötere al studen╚Ťilor, i-a ├«ntrebat formula ariei cercului. Cel pe care l-a numit a fost chiar cercet─âtorul. Ajungand la tabl─â, ╚Öi-a dat seama ca a uitat formula, a╚Öa c─â a ├«nceput s─â o deduc─â. A umplut tablele cu integrale, diferentiale etc.

La sf├ór┼čit, rezultatul pe care-l avea era “minus pi R p─âtrat”. Neconvenindu-i acel minus, s-a apucat iar─â╚Öi de calcule, de la ├«nceput. Nimic nu s-a schimbat, tot acela┼či rezultat… De fiecare dat─â a ob┼úinut aceea╚Öi chestie.

S-a uitat pu╚Ťin spre clas─â speriat, moment ├«n care a observat c─â to┼úi instalatorii ii ┼čopteau:

– Schimb─â m─â limitele de integrare!