Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (2)

La începutul lunii aprilie am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro; doar în urma unei scurte priviri asupra acestuia (mai puţin decât o lectură “pe diagonală”); mi-am dat însă atunci seama despre ce este vorba şi, considerându-l valoros, m-am grăbit să-i fac publicitate. Fiind foarte ocupat, nu am apucat să-l citesc în detaliu, decât peste o săptămână, după intrarea în vacanţa de Paşte. Toate ideile cuprinse în precedentul eseu – O analiză (1) – reprezintă gânduri stârnite doar de această primă şi scurtă privire asupra articolului respectic, mai mult însă a indignării în urma comentariilor văzute în final (când mai aveam scurte momente libere mintea îmi fugea tot la aceste aspecte). Precedenta primă parte a analizei se bazează pe acele gânduri. Păstrând spectrul ideilor, înainte de a trece la a doua parte, doresc să vă ofer următorul:

A.S. (ante scriptum) În paralel cu munca la această dublă analiză mă mai gândeam şi la o continuare a seriei (brusc întrerupte) despre ideile găsite în prefaţa culegerii din 1982 a Profesorului A. Hollinger, când – Surpriză! – spre finalul acelui text găsesc o trimitere la un mic set de trei demonstraţii prin arii la teorema lui Pitagora (în cadrul paragrafului 10.4 Demonstraţii bazate pe arii, pag. 95). Prima din cele trei “probleme” este următoarea:

10.4.4. Fie b şi c catetele şi a ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Se construiesc un pătrat cu latura b + c şi patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 61. Apoi se construiesc patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 62. Să se calculeze aria părţii din pătrat care rămâne neacoperită de triunghiuri şi să se compare rezultatele. Ce teoremă se obţine? (din motive tehnice am aşezat poza culcat)

Acest exemplu vine “la ţanc” pentru cei care ar considera disputa iscată de articolul iniţial ca fiind una între “matematica lor, a celor din vest” şi “matematica noastră”. Nici vorbă de aşa ceva. Textul şi pozele de mai sus sunt luate din culegerea profesorului A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982. Nu am la îndemână manualele dânsului, însă bănuiesc că demonstraţia respectivă se găseşte şi acolo.

Dar să revenim la analiza noastră. Pe când începusem să lucrez la redactarea acesteia am văzut că de fapt articolul era preluat de pe blogul CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale (iată adresa articolului iniţial: https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ ). Lecturându-l cu mai apăsată atenţie, am găsit multe aspecte noi ce ar merita discutate. În acest sens permiteţi-mi să reiau integral articolul respectiv, dar să-l întrerup din când în când cu comentariile şi accentuările mele personale (citatele din articolul CEAE sunt scrise înclinat, iar comentariile mele intercalate neînclinat).

*

Cum este demonstrată Teorema lui Pitagora într-un manual german de matematică. O comparație cu România

Îmi exprimam părerea în prima parte a analizei că ar fi de evitat astfel de comparaţii (chiar din titlu), care pot stârni ego-ul în sufletul unor colegi. Din acest motiv, discuţia ar trebui să se mute din zona “nemţii au cele mai bune maşini şi cele mai tari autostrăzi, dar noi avem cea mai tare matematică din lume”, într-o zonă mai pragmatică pentru noi, anume în zona argumentelor psihopedagogice, în zona nevoilor şi a posibilităţilor fiecărei vârste şcolare, de fapt într-o zonă metodico-didactică realistă. Pura întâmplare m-a ajutat să pot face repede divagaţia spre americani, dar de fapt noi ar trebui să ieşim din starea de a lua lucrurile de-a gata de la străini (alteori ne apucă cu finlandezi sau cu britanicii etc.), şi să începem să decidem raţional ce este nevoie cu adevărat pentru a vindeca predarea matematicii în şcolile româneşti (mai ales în ciclul gimnazial, unde materia este obligatorie pentru toţi elevii, neselectaţi oficial; astfel, noi ar trebui să punem un mai mare accent pe satisfacerea în mod echilibrat a nevoilor tuturor categoriilor de elevi). Asta nu înseamnă să nu ne uităm la ce fac ceilalţi, pentru că şi de acolo ne pot veni idei bune: ne uităm şi la unii şi la alţii, analizăm, judecăm, dezbatem, iar după o vreme poate reuşim să luăm decizii mai bune. Importante sunt criteriile pe baza cărora decidem (în anii ’80 criteriile au fost de performanţă pentru olimpiade şi rigurozitate teoretică, iar acestea nu au fost clar şi oficial abandonate nici în ziua de azi; prima categorie s-a transformat doar cu numele, în excelenţă, pe când a doua a suferit o serie de amputări, actualmente ajungându-se într-o ciudată degringoladă). Dar să revenim la articolul nostru:

Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Așa sună una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, pe care mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu: a² + b² = c².

Trebuie să apreciez în această intervenţie textul teoremei, adică enunţarea relaţiei fără folosirea cuvântului “lungimea”. Despre acest aspect am scris pendelete în postarea din 22 februarie 2019, de la adresa http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ (cu atenţionarea că de fapt sunt trei articole în cascadă). Eseul respectiv conţine inclusiv elemente evocate mai jos. Să continuăm cu articolul CEAE:

Teorema lui Pitagora a primit de-a lungul timpului numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice, foarte frumoase. Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte, cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă, iar în eventualitatea în care o uită au la îndemână o cale rapidă pentru a o determina din nou.

Autorul articolului precizează clar (numai să avem “ochi să vedem şi urechi să auzim”): el ne vorbeşte despre numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice (aha, deci există demonstraţii geometrice şi demonstraţii algebrice!), acestea foarte frumoase (adică atractive pentru sufletul şi mintea elevului). Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte (aici, afirmaţia aproape se atinge cu cele spuse de Profesorul Hollinger în prefaţa ultimei sale culegeri), cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă,(…)

Da, socrul meu avea prin anii ’90 un elev care ştia să turuie textul teoremei lui Pitagora cu o viteză de invidiat, dar habar nu avea despre cum să o folosească în calculele din probleme: “Măi, păi ştii sau nu teorema lui Pitagora?”. “Ba da!” răspundea acesta şi începea să o turuie de la capăt. În primul aliniat chiar este folosită expresia “mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu”. În acest sens trebuie să precizez că eu nu le cer elevilor să ştie pe de rost textul teoremei. Revenim la citatele articolului CEAE:

Există pe YouTube o serie de animații și de experimente filmate, în care copiii pot vedea imediat cum suma ariilor pătratelor care au ca laturi catetele a și b este egală cu aria pătratului care are ca latură ipotenuza c. Acest lucru poate fi făcut, de exemplu, împărțind pătratele în pătrate mai mici, colorate, egale ca dimensiune. Copiii le pot număra și pot constata ei înșiși relația de egalitate.

Apreciez şi savurez din plin faptul că autorul/autorii articolului au trecut textul teoremei din zona numerică (pătratul lungimii ipotenuzei) în zona fenomenologică a ariilor (aria pătratului ipotenuzei), mult mai “vizibilă” pentru ochiul ne-experimentat al elevului mediu. Trec astfel peste faptul că au încărcat textul cu alte cuvinte (“aria pătratului care are ca latură ipotenuza c” în loc de “aria pătratului pe ipotenuza c, sau chiar “aria pătratului ipotenuzei c), punând acest gest pe faptul că au vrut să accentueze clar la adresa cititorilor mutarea de accent. Elevilor putem să le dăm desigur o variantă cât mai simplă, cât mai scurtă deci, pentru că oricum vor fi mulţi înclinaţi (sau puşi de către părinţi) să înveţe textul pe de rost. Şi dacă ei învaţă textul ca o poezie, noi trebuie să venim în întâmpinarea lor, astfel încât mintea lor să poată face cât mai uşor conexiunea cu cele văzute. În acest sens, cuvintele ne-esenţiale trebuie reduse la maximum. Să revenim la articolul analizat, unde găsim un magistral exemplu de predare prin problematizare:

Într-un experiment de pe YouTube, vedem o dovadă experimentală că Teorema lui Pitagora este adevărată. Ea este făcută cu ajutorul apei și ea poate reprezenta un bun punct de plecare al unei lecții despre Teorema lui Pitagora, pe care profesorul o poate începe cu o întrebare. De ce credeți că se întâmplă asta? Ceea ce văd elevii că se petrece în experiment îi nedumerește/ contrariază și îi face curioși să afle de ce se întâmplă așa lucrurile. Mai mult, își vor reaminti cu plăcere experimentul și peste 10-20 de ani. (aici este ataşat filmuleţul  de pe youtube, de la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o )

Să lămurim deci această sugestie: dacă împărţirea pătratelor construite pe laturile triunghiului în pătrăţele egale (de pildă cum am făcut eu cu pătrăţele de ciocolată) ne sugerează egalitatea din teorema lui Pitagora pentru lungimi întregi, varianta din filmuleţul cu apă ce echivalează pătratul ipotenuzei cu pătratele catetelor se eliberează de spectrul lungimilor numere întregi (adică a tripletelor pitagorice) şi deschide poarta pentru un pas intuitiv spre orice lungimi la laturile triunghiului dreptunghic. Chiar dacă nu-şi dau seama pe loc de acest pas, se prea poate ca unii din elevi să realizeze ulterior ce s-a întâmplat. Aici ariile nu mai sunt împărţite în pătrăţele, ca un fel de unităţi de măsură, ci “curg” în mod continuu între cele două situaţii echivalente (apa din pătratele catetelor curge efectiv în pătratul ipotenuzei). Situaţia rămâne însă în spectrul vizualizării simple, fără a avea pretenţia unei demonstraţii adevărate.

Pe vremuri am avut tentativa de a construi pe o planşă pătratele din exteriorul unui triunghi dreptunghic, mărginite cu o bordură de carton mai gros, de cca. 1-2 mm. Apoi puneam cât mai dens un strat de boabe de orez în interiorul pătratelor catetelor. În final luam toată această cantitate de orez şi o rearanjam în pătratul ipotenuzei, justificând astfel în mod vizual practic afirmaţia din teorema lui Pitagora (merge şi altfel: umplem toate pătratele, iar apoi comparăm cantităţile, fie numărând boabele, fie cântărindu-le). Boabele mele de orez reprezentau astfel o trecere de la pătrăţelele în care sunt descompuse cele trei mari pătrate (reprezentând numerele întregi), către forma lichidă (reprezentând chiar şi mărimile iraţionale). Nu pot să susţin că am fost foarte entuziasmat de experimentul respectiv (consumă foarte mult timp), dar acum acesta capătă o relevanţă interesantă. Să revenim însă la articolul CEAE:

Urmează pasul 2 – demonstrarea Teoremei lui Pitagora. Un exemplu interesant de demonstrație este cel găsit într-un manual german de matematică de clasa a IX-a, publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg.

Dacă aţi ratat momentul vă atenţionez eu acum: demonstraţia respectivă apare într-un manual pentru clasa a 9-a. Aha! Numai puţin, să ne lămurim: Ei numără clasele începând de la prima (noi avem mai întâi clasa pregătitoare), adică de la intrarea la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani, cum ar fi şi normal. Aşadar, clasa lor a 9-a corespunde ca vârstă clasei noastre a 8-a, cu deosebirea că ei nu au după acest an examen. Astfel, înţelegem că diferenţa este de doar un an, adică noi facem teorema lui Pitagora doar cu un an mai repede (dacă nu luăm în considerare experimentul ciudat din finalul clasei a 6-a). Dar oare, acest manual nu reia doar teorema lui Pitagora? Ei mai fac uneori recapitulări din anii precedenţi.

Mai există însă un aspect de care ar trebui să ţinem cont: după încheierea ciclului primar, ei au două tipuri de şcoli: Gymnasium (şcoli pentru elevii mai buni, din care se vor selecta cei care vor merge şi la facultăţi, cuprinzând clasele 5-12) şi Realschule (şcoli pentru elevii mai puţin înclinaţi spre învăţătură, din care se va forma viitoarea “clasă muncitoare”, încep tot în a 5-a, dar nu ştiu clar când se termină; este interesant că la ei cuvântul real reprezintă faptul că şcoala este mai apropiată de realitatea vieţii cotidiene, pentru elevii mai practici, dar neînclinaţi spre învăţarea teoretică; la noi cuvântul real înseamnă cu totul altceva).

Ca o paranteză la discuţia noastră, selecţia pentru cele două “filiere” se face la finalul clasei a 4-a, exclusiv pe baza caracterizărilor făcute de către învăţători, caracterizări deosebit de obiective, profesionist organizate pe itemi clari, cuprinzând o analiză detaliată şi verificabilă a multor aspecte din evoluţia şi din capacităţile dovedite de fiecare elev în parte. Familiile elevilor nu au nici cel mai mic cuvânt de spus în această selecţie: copilul este repartizat în urma studiului obiectiv şi gata.

Pe baza informaţiilor oferite, noi nu ştim în acest moment pentru care tip de şcoală este manualul din care sunt preluate imaginile din articolul CEAE. La o analiză serioasă a subiectului, aceste aspecte ar putea avea o oarecare relevanţă. Poate că în manualele pentru Gymnasium teorema lui Pitagora se face în clasa lor a 8-a, pe când la Realschule de abia în a 9-a. Este clar că o comisie care ar face o astfel de analiză cum vorbeam mai sus, ar trebui să ia în calcul toate aceste aspecte.

Pe de altă parte, de vreme ce discuţia alegerii unei demonstraţii la teorema lui Pitagora ne interesează oricum pentru clasa a 7-a, aspectul filierei manualului din Germania îşi pierde importanţa: în clasa a 7-a noi încă nu am selectaţi elevii, aşa încât trebuie să venim cu o demonstraţie cât mai accesibilă majorităţii (elevului mediu, cum spunea Hollinger). Dar, să revenim la articolul CEAE:

Se construiește un pătrat cu latura de lungime a + b și se desenează apoi patru triunghiuri dreptunghice, cu catetele a și b ca în figura din mijloc. Plecând de la această imagine, copii sunt puși să se gândească cum ar putea demonstra Teorema lui Pitagora mutând poziția triunghiurilor; desigur, nu li se arată imaginea din dreapta când li se cere acest lucru.

Mai întâi, ei observa că spațiul alb care rămâne în figura din mijloc este reprezentat de un patrulater cu laturile egale, de lungime c. Arătăm că este vorba despre un pătrat, demonstrând că are un unghi de 90 de grade – este vorba despre unghiul δ. Astfel, scădem din unghiul de 180 de grade suma unghiurilor α și β, despre care știm (pe baza proprietăților triunghiului dreptunghic) că este de 90 de grade. Se pot face demonstrații similare și pentru celelalte 3 unghiuri ale patrulaterului cu latura c. Prin urmare, acesta este un pătrat, iar suprafața sa este c².

Ulterior, elevii trebuie să se gândească cum ar putea să mute triunghiurile a.î. să rezulte două pătrate de laturi a și b. După ce se translatează trei din cele patru triunghiuri dreptunghice, ele vor ajunge în pozițiile pe care le vedem în cea de-a treia figură. Vom obține astfel două pătrate mai mici, având ca laturi cateta a, respectiv b. Suprafața totală a spațiului alb rămâne aceeași ca în figura din mijloc. De această dată nu vom mai avea însă un singur pătrat, ci două, cu suprafețe mai mici. Există și alte moduri de translatare a triunghiurilor a.î. să se obțină cele două pătrate de laturi a și b.

Așadar suma suprafețelor celor două pătrate, a² + b², este egală cu suprafața pătratului mare, c². Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor.

Intervin aici întrerupând articolul CEAE cu o scurtă idee practică: cred că îmi voi construi din carton o astfel de machetă pe care elevii să poată translata cu adevărat triunghiurile; mai exact, cred că voi face mai multe seturi, astfel încât să-i pun să lucreze pe grupe.

În altă ordine de idei – pentru cei care-mi lecturează constant articolele – mai ţineţi minte afirmaţia d-ne Birte Vestergaard? Elevii buni la matematică vor avea bucuria că “eu am descoperit asta!”, pe când cei slabi se vor bucura că “eu am înţeles asta!”. Elevilor buni trebuie să le oferim ocazia să descopere demonstraţia (iar pentru asta trebuie să-i pui să cerceteze, adică să predai prin problematizare; iar dacă o faci pe grupe, mai mulţi elevi vor avea ocazia de a se implica, de a descoperi chiar ei), iar în final elevilor mai slabi trebuie să le-o explicăm, oferindu-le şi lor ocazia să înţeleagă demonstraţia (Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor).

Uau! Vedeţi? Nu trebuie neapărat să preluăm idei doar din “străinezia”; şi la noi sunt oameni care spun lucruri de valoare; trebuie doar să avem aplecarea să-i ascultăm cu atenţie. Dar dacă auzim aceleaşi lucruri spuse şi de unii şi de alţii, atunci este cu atât mai convingător. Să revenim la studiul nostru:

În Germania, lecția despre Teorema lui Pitagora este predată conform paradigmei constructiviste. Pentru a o demonstra, elevii pleacă de la ceea ce știau de dinainte – cum se determină aria pătratului. Astfel, ei nu vor trebui să memoreze că a² + b² = c², fără să o înțeleagă (cum se întâmplă în cazul unora dintre ei – dintre elevii noştrii). Dacă vor uita formula peste ani de zile, vor putea să ajungă într-un mod logic și intuitiv la ea.

Da! Da! Da! De curând m-am uitat într-un “manual auxiliar” pentru clasa a 6-a (deci nu într-un manual oficial). Ideea de a demonstra (aşadar primele demonstraţii), de a justifica măcar superficial un rezultat cuprins ca teoremă (mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, sau reciprocele), această idee lipseşte cu desăvârşire acolo (unele nu au nici măcar figură alăturată pentru a susţine înţelegerea elevilor). Acea “lecţie” despre triunghiul dreptunghic (din finalul clasei, deci care ar fi putut conţine anumite justificări în loc de demonstraţii), aceasta este doar o colecţie de texte de învăţat pe de rost, fără orice urmă de înţelegere pentru elevi. Lecţia respectivă se încheie cu teorema lui Pitagora, ce le este dată elevilor exact cum este spus mai sus: în orice triunghi dreptunghic, avem a² + b² = c²! Atât, nimic mai mult!

“Care-i problema?”, veţi spune, fiind vorba despre un auxiliar. Când însă manualul folosit de clasa respectivă este şi mai slab, existând recomandarea explicită a profesoarei de la clasă de a nu-l folosi (dar, am verificat şi eu pe concret, şi chiar e de toată jena!), atunci auxiliarul capătă o importanţă mult mai mare şi ar trebui să acţioneze ca “o plasă de siguranţă” pentru formarea gândirii elevului (mai ales că profesoara respectivă obişnuieşte a-i pune pe elevi să copieze lecţia din carte!).

Simt aici un fenomen ciudat: pe de-o parte, ca autori de manuale, unii colegi se simt obligaţi să dea demonstraţii cât mai elevate, cât mai sofisticate, în ultimă instanţă cât mai grele, accesibile câtor mai puţini elevi; pe de altă parte considerăm demonstraţiile total nerelevante (pentru lecţia de zi-cu-zi, de pildă în pregătirea evaluărilor, a examenelor etc.), aşa încât, dacă avem libertatea, cum ar fi în cazul redactării unor auxiliare, atunci eliminăm cu totul ideea de a demonstra un rezultat important (“trebuie să-i înveţe textul, că doar am scris că-i teoremă”). Oare, o variantă de mijloc nu ar fi mai sănătoasă? Să revenim la articol. Aşadar:

Cum este abordată Teorema lui Pitagora în România?

Imaginea folosită în manualul de matematică, de clasa a VII-a, publicat de Intuitext, are legătură cu viața reală – o scară sprijinită de o casă, pe care niște copii trebuie să se urce pentru a ajunge la un cuib de păsări. Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Sara reușește să calculeze rapid lungimea scării, folosind formula făcută în clasa a VI-a (c² = a² + b²). În acest manual, se face și demonstrația teoremei – pentru aceasta se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate (adică avem de-a face tot cu calcul algebric).

Acest aliniat – analiza situaţiei din manualul Intuitext – are mai multe aspecte ce merită analizate. Ideea de a porni de la o situaţie practică este deosebit de bună, dându-i elevului o oarecare justificare a utilităţii elementelor de învăţat. Aparent şi aceasta este o altfel de situaţie, doar că nimeni nu va calcula ce lungime trebuie să aibă scara, cu un rezultat de   m. În situaţia respectivă, cu înălţimea până la streaşină de 5 m, era evident că este nevoie de o scară mai lungă de atât. Şi cât mai lungă? Păi, nu-ţi face nimeni o scară pe măsura nevoilor de moment. Cum arată şi desenul, probabil că este nevoie de o scară de 6 m (care trece puţin de straşină). Aşadar, punerea problemei se vrea practică, dar se vede că autorii nu prea au experienţă despre ce înseamnă practică pentru omul de rând.

Însă, oricum, Sara – deşteapta clasei – nu se împiedică de astfel de aspecte. Eu mă întreb, oare câte eleve cu numele de Sara au fost luate la mişto de către colegi în urma acestei situaţii în diverse clase din ţară? Oare, nu-i dă nimeni în judecată pe aceşti autori, sau pe alţii pentru posibila generare de situaţii favorizante de bullying? N-am nimic cu folosirea numelor, dar Sara asta “se cam dă deşteaptă” în faţa colegilor săi. Imaginaţi-vă diverse scenarii posibile într-o clasă, în care o oarecare Sara mai bună la învăţătură este catalogată drept tocilară.

În altă ordine de idei, aliniatul respectiv cred că are şi o greşeală din partea autorilor de la CEAE, anume afirmaţia că la demonstrare se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a. Nu trebuie să şi-o amintească din clasa a 6-a, pentru că nu se face atunci. Trebuie să şi-o amintească doar din lecţia precedentă. Greşeala este totuşi insignifiantă la nivelul întregului articol.

Toate acestea sunt însă detalii; un aspect mai important ce ar trebui discutat este afirmaţia ce am îngroşat-o, anume că Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare ce a vrut să spună autorul articolului de la CEAE? În altă ordine de idei, despre abordarea intuitivă a materiei am vorbit cu diferite alte ocazii. Punctez doar faptul că şi aici este amintită: Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate.

Finalul aliniatului respectiv – adică avem de-a face tot cu calcul algebric – aduce însă, chiar şi în paranteză, un aspect total neglijat în România ultimilor 40 de ani, anume că la noi matematica este trasă tot mai mult în zona algebrică a gândirii, în detrimentul gândirii geometrice (gândirea numerică, algoritmică faţă de gândirea spaţială, pe bază de forme).  Ce vrea să spună această afirmaţie? “Doar, aici facem geometrie!”, veţi spune.

Nu-i chiar aşa de simplu. Acesta este un subiect mult prea vast pentru a-l aborda acum, dar pot să dau aici un indiciu: în lucrarea americană evocată în prima parte a analizei, demonstraţia despre care ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik este demonstraţia cu numărul 82 din capitolul cu demonstraţii algebrice! Da, demonstraţia respectivă este privită ca demonstraţie algebrică. După ce “digeraţi” acest fapt, puteţi să recitiţi întregul articol CEAE. Păi, dacă acea demonstraţie a fost considerată “algebrică”, atunci demonstraţia folosind factorul comun şi teorema catetei (cea uzuală la noi), cu atât mai mult este una algebrică.

Chiar şi în aliniatul următor este reluată ideea, fapt ce dovedeşte cumva înclinaţia noastră spre algebrizarea oricărei demonstraţii. La noi, o demonstraţie este cu adevărat de băgat în seamă doar dacă este redactată într-un limbaj cât mai algebric. La noi doar limbajul algebric este considerat cel adevărat matematic. Dar să continuăm cu articolul CEAE:

În manualul de la Editura Litera, sunt folosite figuri asemănătoare cu cele din manualul german, prezentate mai sus, copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Mai mult, raționamentul este complicat și se merge tot pe calcul algebric. Pașii raționamentului sunt făcuți acum în sens invers, începând cu triunghiurile deja translatate (a se vedea imaginea din dreapta din manualul german). Dacă elevii urmăresc calculul din filmulețul de la pagina 201 a manualului, există riscul pentru o bună parte dintre ei să piardă cu ușurință firul explicației.

Time out! Trebuie să intervin din nou. Părerea mea este că autorul articolului CEAE a fost deosebit de politicos, abordând un ton extrem de conciliant. Uitaţi-vă, vă rog, din nou la demonstraţia din manualul acestei edituri şi analizaţi-vă gândurile, anume ce efort trebuie să faceţi ca să înţelegeţi mersul lucrurilor. Uitaţi-vă apoi la imaginile demonstraţiei prezentată din “manualul nemţesc”. Apoi, după ce aţi citit cu atenţie, vă las pe dvs., onoraţii cititori, să judecaţi. De ce trebuie transformată într-o formă atât de complicată, cu calcule algebrice, o demonstraţie geometrică vizuală (pur geometrică!!!), care este deosebit de intuitivă? De ce?

Ce ne facem cu acest impuls năucitor din mintea unor colegi, de a complica lucrurile atât de mult, cât mai mult dacă se poate? Asta înseamnă a face matematică? În momente ca acesta apare absolut natural impresia că “se doreşte” a se complica lecţiile cât mai mult, doar-doar vor fi cât de puţin elevi care să înţeleagă matematica (oculta pseudo-ştiinţifică mioritică?). Eu personal recunosc aici: nici nu am avut răbdare la început să analizez demonstraţia respectivă în cele mai mici detalii. Păi atunci, cum ar avea răbdare un elev să o facă? Elevul ar trebui să o poată înţelege de unul singur, că de aia este făcut manualul, nu ca să vină în paralel cineva acasă şi să-i explice ce scrie acolo.

Acest aliniat mai are un pasaj important: copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Acest aspect este de o fineţe deosebită din punct de vedere metodico-didactic. Noi trebuie astfel să predăm încât mintea elevului să “aibă loc să mişte” relativ liber. Doar aşa elevul se va obişnui încet, tot mai mult să gândească. Doar atunci elevul va avea sentimentul că gândurile respective sunt şi “ale sale”. Dacă nu-i lăsăm defel “spaţiu de mişcare”, ci îl obligăm să înveţe o demonstraţie mot-a-mot (cuvânt cu cuvânt), atunci elevul va resimţi gândurile respective ca străine şi automat va fi înclinat să le refuze. Sau dimpotrivă, un alt elev poate se va obişnui doar să înveţe pe de rost o teorie, nedezvoltând însă abilităţi de proprie judecată şi gândire (cu ambele alternative ne întâlnim des, deşi este clar că acestea nu duc la situaţii dezirabile). Dar, să terminăm “de lecturat” articolul de pe blogul CEAE:

Remarcăm în ultima vreme efortul mai multor autori de manuale de matematică din România de a pleca de la situații din viața reală sau de a se raporta la acestea, însă adeseori demersurile au loc la un nivel formal. Acest lucru se întâmplă pentru că nu s-au făcut suficienți pași pentru a schimba semnificativ paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu (în loc să devină inductive, cum se întâmplă în tot mai multe țări europene, abordările la noi sunt încă preponderent deductive și calculul algebric are în continuare o pondere importantă). Prin urmare, pentru un procent semnificativ dintre elevi, matematica înseamnă memorarea și reproducerea formulelor de calcul și aplicarea algoritmilor de rezolvare de probleme. Or, matematica ar putea să contribuie mai mult în a le dezvolta copiilor o gândire structurată și logică.

Pentru cine a ratat momentul de la început, precizez din nou cum trebuie citite afirmaţiile din paranteză: paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu ar trebui să devină una inductivă, nu pentru că aşa se întâmplă în tot mai multe țări europene, ci pentru că aşa este potrivit psihologiei vârstelor gimnaziale (pentru o întreagă populaţie şcolară, până la 14-15 ani), dar şi mai târziu. Legat de afirmaţiile din ultimele două fraze nici nu mă gândesc să le analizez acum. Acestea sunt atât de valoroase încât merită fiecare câte un eseu separat de discuţii şi analize.

Dar, cine trebuia să facă paşii pentru schimbarea paradigmei utilizate în predarea matematicii gimnaziale? Profesorii, fiecare pentru el? Nu prea cred. Nişte oameni care în ultimele câteva zeci de ani au trăit doar într-o paradigmă şi într-o stare generală de executanţi ai politicilor educaţionale venite “de sus”, aceştia sigur nu vor fi în stare să contribuie în mod sănătos la o schimbare de paradigmă ca cea evocată în ultimul aliniat. Scurtele indicaţii (foarte valoroase de altfel) din programa 2017 nu au forţa de a duce la o schimbare de paradigmă.

Merită să scot în evidenţă aici un aspect relativ nou: geometria sintetică a fost scoasă din licee prin 1997 (orientativ). Ca urmare, avem deja prin şcoli colegi profesori care au cam încheiat-o cu geometria după clasa a 8-a. Aceştia nu au mai apucat să reia şi să aprofundeze geometria (atât cea plană, cât şi cea în spaţiu) la un nivel mai matur. Iar în facultate sigur nu au mai reluat aceste aspecte. Aceşti colegi mai tineri cunosc doar forma deductivă şi algebrizată până în “măduva oaselor”. Cum să-şi schimbe aceştia predarea? În general, cea mai mare parte a profesorilor sub 45-50 de anu nu au prins predarea inductivă nici ca elevi. Pe baza a ce să poată ei acum face o schimbare de paradigmă?

Eu mă lupt de 25 de ani să înţeleg aceste lucruri, să îmi modific propria paradigmă de predare şi văd cât este de greu (eu, cel care vreau să mă schimb, în luptă cu mine, cel ce vine cu apucăturile profesionale vechi). Pentru o adevărată conştientizare, părţi din acest ultim aliniat citat ar trebui să devină obligatoriu de lecturat zilnic, de către toţi profesorii. Totuşi, la fel ca autorii articolului din CEAE, nici eu nu-mi permit să dau sfaturi despre cine ar trebui să se ocupe de această modificare de paradigmă (pentru ca lucrurile să se şi întâmple cu adevărat şi în mod sănătos), dar sigur treaba asta nu poate fi lăsată pe seama profesorilor de la clasă.

*

Acesta a fost articolul apărut pe blogul CEAE, însoţit şi întrerupt de câteva “scurte” comentarii personale. Dacă în prima parte a analizei mi-am spus punctele de vedere mai mult stârnite de comentariile la reluarea articolului pe edupedu.ro, în această a doua parte a analizei mi-am exprimat punctele de vedere direct la afirmaţiile din articolul iniţial.

Da, acum chiar cred că mă opresc cu analiza (la cât de lungă a ieşit, chiar poate fi clasificată ca exagerare – cu totul sunt aproape 16 pagini A4 doar text, scris cu 12), dar vreau să aduc aici şi o mică propunere: demonstraţia din manualul nemţesc ar putea fi folosită clar pentru includerea teoremei lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a, statutând astfel totodată şi folosirea acestei teoreme în calculele pentru determinarea segmentelor necesare la arii sau perimetre. În ultimii ani am putut observa cum foarte mulţi profesori se feresc încă a folosi teorema lui Pitagora în acest capitol, deşi la ora actuală este cunoscută de la sfârşitul clasei a 6-a, cel puţin ca aplicaţie încă nedemonstrată. Atunci, de ce mulţi profesori încep să o folosească în probleme de-abia în primăvară după ce teorema apare şi cu demonstraţie (după asemănarea triunghiurilor şi teorema catetei). Poate, dacă ar şi avea-o de demonstrat prin arii, colegii s-ar “aventura” să o şi folosească la clasă chiar din capitolul despre arii. Sau, poate, un “ordin de sus” în acest sens ar rezolva mai eficient situaţia. Fără teorema lui Pitagora, capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a este sec, doar cu aplicaţii grele, potrivit elevilor mai buni, în continuare înjositor pentru elevii de rând.

Revenind la demonstraţia cu cele patru triunghiuri în interiorul unui pătrat, trebuie să mai precizez ceva: dacă undeva înaintea acesteia, într-o oră precedentă de aplicaţii la patrulatere, s-ar face problema care cere demonstrarea faptului că figura cuprinsă între cele patru triunghiuri este tot un pătrat (adică un romb – congruenţa triunghiurilor, dar cu cel puţin un unghi drept, deci pătrat), atunci demonstraţia respectivă la teorema lui Pitagora devine chiar una doar orală, având drept urmare un nivel de accesibilitate deosebit de bun la toţi elevii.

Schimbând puţin linia discuţiei, merită precizat că aici nu este vorba despre “care demonstraţie o facem pentru teorema lui Pitagora?”. În mod excepţional teorema lui Pitagora ar trebui eliberată de paradigma generală a “cursului euclidian” (fiecare teoremă cu demonstraţia ei, ca urmare deci la fiecare teoremă doar o singură demonstraţie), permiţând profesorilor să predea – iar elevilor să cunoască – diferite şi diverse demonstraţii. Cea evocată din manualul nemţesc ar merita să fie prima din clasa a 7-a, dar sunt multe altele ce pot veni în continuare ca aplicaţii la noile lecţii. În această categorie s-ar încadra şi demonstraţia pe baza teoremei catetei, dar şi multe altele.

Am rămas însă cu o datorie legată de comentariile la articolul de pe blogul CEAE: oare ce a vrut să transmită autorul în aliniatul în care comenta situaţia din manualul Intuitext, când a spus cu referire la felul în care decurge raţionamentul: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului.

Ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv? Eu m-aş încumeta să încerc un răspuns (chiar îmi stă pe limbă), dar nu am nici cea mai mică garanţie că aşa este. Prefer de data asta să tac şi cel mult să relansez întrebarea, cel mai bine către autorul articolului: stimate coleg, ce aţi vrut să spuneţi aici? Pentru că, dacă este aşa cum simt eu, atunci acest gând ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii. Dacă nu vom primi în următoarea perioadă un răspuns, atunci poate totuşi mă voi încumeta eu să dau o explicaţie. Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. În ambele părţi ale acestei analize m-am lovit în anumite momente de situaţii în care am impresia că profesori de matematică din ţara noastră doresc cu cea mai mare hotărâre să aducă în faţa elevilor o materie cât mai complicată, cât mai inaccesibilă. Dacă vă sună ca exagerată această afirmaţie, dacă o consideraţi drept o “acuză nefondată”, atunci vă mai dau un exemplu: gândiţi-vă cât de repede apar direct aplicaţii cu numere iraţionale la teorema lui Pitagora (după ce aceasta a fost în sfârşit predată, fie şi prin teorema catetei). În acel moment, adică la prima lecţie, la cei mai mulţi profesori apar rapid şi exemplele cu numere iraţionale, la unii chiar din prima (vedeţi exemplul cu Sara şi lungimea scării), dar oricum cel târziu de la a doua sau a treia aplicaţie. N-am prea întâlnit profesori care să stea în prima oră doar la nivelul tripletelor pitagoreice, adică în zona de comfort a tuturor elevilor, respectând astfel capacitatea uneori lentă de adaptare a elevului mediu la un algoritm nou. Elevul mediu ar avea nevoie de o oră la clasă, cu exemple cât mai multe, plus o tema corespunzătoare, pe care să o şi înţeleagă şi să o poată face singur, fără  ajutor din partea altcuiva. La algoritmul nou din aplicarea teoremei lui Pitagora, elevul mediu are nevoie să rămână măcar o oră în zona sa de comfort numeric, ca să se poată concentra la aspectele noi ce ţin de calculul specific. Doar apoi acesta va putea face pasul fără spaime în zona iraţională.

Am atins aici un subiect ciudat: cei mai mulţi profesori nici nu prea cunosc tare multe triplete pitagoreice (triplete de numere naturale care să verifice relaţia teoremei lui Pitagora). Majoritatea cunosc aparent doar tripletul (3; 4; 5), cu primele amplificări şi eventual încă tripletul (5; 12; 13). În acest sens, eu folosesc toată plaja de triplete pitagoreice cu lungimi până la 100 (deşi am fost acuzat că astfel terorizez copiii; ar fi de discutat cum îi terorizăm mai tare pe elevi, cu radicali din pătrate perfecte de cel mult patru cifre sau dându-le din prima numere iraţionale, care sunt destul de neînţelese? Mă refer aici la faptul că majoritatea elevilor se blochează când sunt întrebaţi despre lungimea aproximativă a unor numere iraţionale de forma ; la numere de forma  aproximarea este ceva mai accesibilă).

Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (1)

De curând am atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, în care era prezentată o altă demonstraţie – una mult mai vizuală – dintr-un manual nemţesc. Am pus atunci doar link-ul articolului, cu scurte comentarii, pentru că eram în mare criză de timp (voi explica mai jos de ce). Iată din nou link-ul respectiv https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ , însă acest articol este de fapt reluat de pe blogul CEAE https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ . Specialiştilor de la CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale trebuie să le mulţumim pentru acest articol minunat, ce pune degetul pe o rană veche şi profundă a şcolii gimnaziale româneşti. În schimb portalul edupedu.ro l-a mediatizat şi a adunat câteva comentarii sugestive despre atitudinea breslei noastre. În acest eseu aş vrea să prezint câteva aspecte legate de subiectul respectiv, într-o gamă largă, dar înainte doresc să fac o scurtă prezentare a celor găsite în comentariile la articolul respectiv, sub forma unui:

A.S. (ante scriptum) Am publicat postarea respectivă în mare grabă, nevrând să intru în alte detalii, dar gândul mi-a rămar la câteva comentarii pline de îngâmfare, cu accente de răutate, chiar belicoase, în câteva puncte cu tente de-a dreptul naţionaliste, de care avem tot mai des parte pe plaiurile mioritice. Reiau aici comentariile la articolul respectiv acumulate în zilele ce-au urmat:

C1) (31,03.2022) E foarte bine cum se face in Romania si in conformitate cu cunoștințele precedente. Restul demonstratilor sunt bune ca proiect dar sa nu le exageram rolul.
Este specific învățământului german sa impresioneze elevul cu aplicatii ale chestiunilor pe care urmeaza sa le invete dar sa nu exageram rolul acestora in efortul de a intelege si aplica teoria. Entuziasmul initial se pierde la fel de repede si la noi si la ei. Diferenta principala cu care sunt doar partial de acord este selectarea elevilor de mici dupa posibilitățile cognitive.

C2) (31.03.2022) Articolul pare cam… ridicol. Există și la noi astfel de demonstrații… Hai să fim serioși! Să nu credem că numai ce este nemțesc e bun! Așa ne-am păcălit la alegeri…

C2′) (2.04.2022) Aveți dreptate, dar cred că, la alegerea lui Ioanis a avut un rol important și aplicarea metodei Clotilde Armand.

C3) (4.04.2022) Această demonstrație o aveam, când eram elev, in clasa a7a în manual. Cât despre nemți, încă mai au mult de învățat de la noi, la toate capitolele metodice școlare. Aici chiar stăm foarte bine!

Oare, chiar ar merita să analizăm en-detail afirmaţiile din aceste comentarii? Unele au în conţinut şi elemente metodico-didactice (în primul comentariu e o idee interesantă, dar şi în al treilea). Din păcate, însă, predomină pasajele cu tentă îngâmfat-răutăcioasă, de tipul “du-te mă, că nici la nemţi nu umblă câinii cu colaci în coadă” sau “învăţământul nostru este cel-mai-cel din toată lumea!”. Nu doresc să vin cu replici la acelaşi nivel (deşi îmi stau pe limbă câteva). Psihologia întâmplării merită totuşi comentată şi tratată, dar pe un plan ceva mai ridicat al discuţiilor.

Din start trebuie să precizez că sunt într-u totul de acord cu linia articoluluide pe CEAE, dar totodată trebuie să precizez un aspect: finalul titlului – o comparaţie cu România – este într-adevăr provocator pentru profesorii care consideră învăţământul matematic românesc ca deosebit de performant. Astfel de observaţii sunt foarte bune, absolut justificate, dar ar trebuie aduse cu mai multă precauţie, pentru a nu stârni reacţii de felul celor citate mai sus.

*

Să trecem la lucruri mai serioase, cu tentă pedagogică, deşi trebuie să recunosc, că cele ce urmează se doresc a fi un fel de răspuns la comentariile redate mai sus. În paralel, veţi vedea cum întâmplarea cu acest articol se leagă în mod ciudat cu evenimentele din viaţa mea din aceste zile. Aşadar, să purcedem la analiza oportunităţii studierii altor demonstraţii la teorema lui Pitagora şi a alegerii acestora într-un mod cât mai potrivit posibilităţilor şi nevoilor elevilor.

Pentru început doresc să evoc o întâmplare ce mi-a fost povestită de o colegă ce a participat cu ani în urmă la o întâlnire de profesori din toată Europa de est (parcă era vorba de Riga). Cu ocazia respectivă s-au organizat şi nişte grupe de lucru, iar la grupa de matematică profesorul care conducea activitatea (iar un neamţ, dar staţi liniştiţi, îndată apar şi americanii), acesta a venit cu următoarea întrebare: “Cine ştie o altă demonstraţie la teorema lui Pitagora?”. Şi nimeni n-a ştiut vreuna. Este evident că avem de-a face cu o problemă generală: există o cale aleasă cândva ca “cea mai bună” (aia prin teorema catetei) şi de-atunci toată lumea merge docil pe aceasta; la ora actuală o mare parte dintre profesori nici nu mai cunosc alte demonstraţii.

Părerea mea este că cel târziu la cursurile de metodică din facultăţile de matematică lucrarea lui Mihu Cerchez ar trebui inclusă ca bibliografie obligatorie (Mihu Cerchez – Pitagora, Ed. Academiei, 1986, azi 12,60 lei la o simplă căutare pe net). Actualmente nu o am la îndemână, dar ţin minte că ar avea ceva de genul 55 de demonstraţii la teorema lui Pitagora (afirmaţie neverificată). În culegerea de geometrie ce am scris-o (Ed. Humanitas Educaţional, 2006, staţi liniştiţi, nu se mai găseşte pe piaţă) am inclus în final 12 demonstraţii, două dintre acestea care nu sunt la Mihu Cerchez.

Demonstraţia principală evocată în articolul CEAE/edupedu.ro (cea cu patru triunghiuri rearanjate în cadrul unui pătrat) este şi în cartea lui Mihu Cherchez, fiind una dintre cele mai cunoscute şi mai “vizuale”, mai accesibile copilului cu cunoştinţe elementare; o vezi şi o înţelegi imediat fără să fie nevoie de cine-ştie ce explicaţii complicate, de pildă pe bază de alte teoreme mai abstracte (desigur că ulterior poate fi şi aceasta redactată frumos ca demonstraţie). Împreună cu soţia mea o numim “demonstraţie cu şerveţele”.

Atât demonstraţia din manualul nemţesc, cât şi filmuleţul de pe youtube, prezentate în articolul CEAE/edupedu.ro au avantajul că se bazează în principal doar pe arii, adică nu folosesc elemente prea intelectuale, mai greu accesibile elevului de rând (teorema catetei, respectiv asemănarea triunghiurilor necesară pe drumul de demonstrare a teoremei catetei; nici factorul comun nu le este cu adevărat clar multor elevi; chiar dacă aparent îl ştiu aplica, mulţi elevi îl fac ca un element de dresură, iar pasul din demonstraţia tradiţională le apare ca un număr de magie total neînţeles, bun doar de copiat în caiet, că “de aia am venit la şcoală”). Or, ariile – atât a pătratului şi a dreptunghiului – reprezintă fenomene deosebit de accesibile înţelegerii intuitive a copilului mediu, fiind cunoscute oricum din clasa a 5-a. Pentu elevi o astfel de demonstraţie este deosebit de accesibilă, chiar atrăgătoare (appealing ar zice americanul).

În plus, după cum am scos în evidenţă în articolele paralele din această perioadă, cele despre inspiraţia din culegerea Prof. A. Hollinger, pentru elevi sunt mult mai clare şi mai accesibile demonstraţiile vizuale, cele vizibile chiar la nivel oral într-o figură ataşată alăturat, demosnstraţii care ulterior se redactează şi în scris. Dimpotrivă, demonstraţia uzuală în manualele din România, dar mai ales în mentalul majorităţii profesorilor (la care se pare că unii ţin cu mare îndârjire şi – nu ştiu de unde – cu mult patriotism, împănat cu profunde înclinaţii naţionaliste), această demonstraţie este una mult mai teoretică, cu tente clare de calcul, adică nevizibile pe figură fără a face calculul. Despre demonstraţia prin teorema catetei putem spune cel puţin că este o demonstraţie greu “vizibilă” pentru foarte mulţi elevi. Apropos, cunoaşteţi reprezentarea prin arii a teoremei catetei şi legătura acesteia cu vizualizarea  demonstraţiei teoremei lui Pitagora tot prin arii? E simplă: pătratul construit în exteriorul triunghiului dreptunghic pe ipotenuză este tăiat în două părţi inegale prin prelungirea înălţimii; pătratul unei catete este astfel echivalent cu dreptunghiul parte a pătratului ipotenuzei corespunzător.

Chiar dacă poate nu-i neapărat întotdeauna adevărat, merită să scot aici în evidenţă cum se văd lucrurile legat de îndârjirea cu care mulţi profesori români ţin la demonstraţia la care se ajunge doar pe drumul “asemănarea triunghiurilor + teorema catetei”, aparent refuzând demonstraţiile pe bază de arii. Arată ca şi cum se doreşte ca demonstraţia teoremei lui Pitagora să fie accesibilă doar celor mai buni elevi, nici într-un caz elevilor de rând. Cum am mai spus, această demonstraţie este resimţită de mulţi elevi ca un fel de “număr de magie matematică”, cărora nu le înţeleg nici măcar “poanta”, darămite să înţeleagă şi cum, şi ce s-a întâmplat în aceasta, sau ce rol are ea (adică faptul că relaţia din teorema lui Pitagora s-ar cere demonstrată; mai ales după ce au văzut că în clasa a 6-a le-a fost dată pur şi simplu, adică fără demonstraţie. “De ce? pentru ce?” ar întreba mulţi elevi; “da’ ce-are dacă n-o facem?“; “la ce-i bună?“). Or, magia matematică devine educativă, are sens adică, doar dacă ulterior o poţi şi înţelege, adică o poţi desluşi, ai mai înţeles o bucăţică de matematică. Pentru asta ea trebuie însă să fie măcar ca rezultat atractivă şi intrigantă; ceea ce nici măcar atât nu este pentru majoritatea copiilor (majoritatea profesorilor prezintă textul teoremei cât mai încărcat, încă folosind şi cuvântul “lungime”, ţinând cu dinţii de poziţionarea teoremei în zona numnerică: “pătratele lungimilor catetelor” în loc de “pătratele catetelor”, care ar lăsa deschisă portiţa spre înţelegerea ca “ariile pătratelor catetelor”). Cei mai mulţi elevi nici măcar nu-şi dau seama că s-a întâmplat ceva cu totul special (unul dintre momentele cele mai speciale din toată istoria ştiinţei universale); ei doar au copiat demonstraţia de pe tablă cu “poziţia ghiocel” în suflet. Singurul lucru bine şi profund înţeles de către majoritatea elevilor este că ei nu pot pricepe materia asta, că ei sunt de fapt proşti! Dar să revenim la multitudinea de demonstraţii ale celei mai cunoscute teoreme din toate timpurile.

Tocmai când apăruse articolul respectiv pe edupedu.ro eu urma să-mi încep participarea la un curs de împrospătare pentru profesorii din şcolile Waldorf, organizat la Kassel în Germania (Refresher Course); de aici şi foarte scurta trimitere către articol. De fapt au fost două cursuri paralele: cel în limba germană, organizat fizic la Kassel, cât şi cel online în limba engleză, organizat în urma entuziasmului la nivel mondial în urma ediţiei din 2021 (atunci au fost tot două cursuri paralele, unul în germană iar celălalt în engleză, dar ambele online; până în 2019 se organizau în săptămâna de la Kassel diferite cursuri într-una sau în cealaltă din limbi, iar conferinţele comune se traduceau oricum în cealaltă limbă). Tema principală a cursului de anul acesta a fost clasa a 9-a (ca vârstă potrivindu-se mai degrabă cu clasa a 8-a de la noi).

La una din conferinţe ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik din America. Şi “ghici ciupercă” despre ce ne-a vorbit dânsa? Despre demonstraţii la teorema lui Pitagora! Da! Mai exact, despre diferitele demonstraţii ale acestei teoreme şi despre folosirea lor la clasă, despre uimirea ce poate fi trezită în sufletul elevilor prin acestea. Pentru cei interesaţi de subiect, dânsa ne-a vorbit despre cartea din perioada interbelică The Pythagorean Proposition, avându-l ca autor pe Elisha S. Looms, carte ce conţine sute de demonstraţii, cât şi alte curiozităţi legate de teorema lui Pitagora. Pentru doritori, lucrarea se găseşte pe net scanată în format pdf (eu mi-am salvat-o deja din ziua conferinţei, într-o ediţie din 1940).

Ce-i mai interesant însă de-abia acum vine: d-na Plotnik ne-a vorbit că dânsa le dă elevilor (în grupe de câte 2) câte o astfel de demonstraţie doar cu construcţiile iniţiale, lăsându-i pe elevi să caute, să “sape” (poate 2-3 zile la rând), să cerceteze ce găsesc în acea figură şi ce se poate deduce de acolo, în ultimă instanţă cum se poate obţine afirmaţia din teorema lui Pitagora pe baza celor din acea figură. Vedem cum aici lucrurile se întâlnesc cu cele sugerate de către autorul primului comentariu la articolul de pe edupedu.ro (Restul demonstratilor sunt bune ca proiect).

Cât despre exagerarea rolului acestora (ca replică respectivului coleg), n-am înţeles cine a exagerat ceva: doar vorbind despre ele argumentat reprezintă deja o exagerare? Doar evidenţiind clare avantaje metodico-didactice ale acestora înseamnă că se exagerează? Într-un singur articol? În afara articolelor mele rebele, de “lup singuratic”, cine a mai vorbit despre aceste aspecte, astfel încât să se poată susţine ideea de exagerare?

Atitudinea respectivă le este cunoscută celor mai în vârstă din vremurile comuniste, mai ales din anii ’80, când orice sau oricine călca “pe de lângă” faţă de linia oficială era automat privit ca mare trădare şi contra-atacat cu multă îndârjire, uneori “în haită”, de către cei care erau responsabili de păstrarea canoanelor vremii, sau de cei care se simţeau bine în acestea (în mod similar, pe vremuri biserica catolică îi clasifica pe unii ca eretici). Cred că exagerarea vine mai degrabă în sens opus, din partea celor care refuză cu totul o mare “felie” din cultura matematicii mondiale. Pentru că da, multitudinea şi varietatea demonstraţiilor teoremei lui Pitagora poate fi clar catalogată drept o “bună felie” de matematică, deosebit de potrivită pentru a fi folosită în scop şcolar, pedagogic, conţinând variate şi surprinzătoare aplicaţii. Lasă că exagerez eu acum, analizându-le de-a fir-a-păr, făcându-le chiar “teoria chibritului”.

Dar, de fapt, ce spunea d-na Plotnik? Spunea că dintre acestea se pot alege suficiente exemple, pe baza cărora elevii să vieţuiască varietatea aproape nemărginită a demonstraţiei matematice, dar şi a gândirii umane (în condiţiile de faţă, nici nu mă gândesc să vă spun cât de mult timp, mai exact câte ore îşi alocă dânsa pentru aceste “proiecte”). Iar lucrarea respectivă, cu câte demonstraţii are, sigur oferă şi exemple vizuale şi accesibile, pentru elevii mai “începători” în ale raţionamentului matematic, dar şi demonstraţii dificile, ca provocări pentru elevii mai buni la matematică, pentru cei care au înţeles şi lecţiile mai grele.

Îmi permit să redau aici exemplul prezentat de d-na Plotnik în timpul conferinţei de marţi 12 aprilie (cu notaţiile puţin schimbate faţă de cele din antologia sus menţionată). Deci, considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A şi algem pe drepta BC punctele E şi F astfel încât BE = BA = BF, să zicem E în exteriorul ipotenuzei [BC] iar F pe ipotenuză. Demonstraţi pe baza acestor date relaţia din teorema lui Pitagora (cam aşa am înţeles că le dă dânsa elevilor sarcina de lucru). Pentru fluenţa citirii acestui articol dau imediat şi o figură (aşa cum sugera chiar Profesorul Hollinger):

Nu dau şi demonstraţia, ci vă las dvs. bucuria de a o găsi (dacă nu cumva o cunoaşteţi deja sau tocmai aţi găsit-o). Precizez însă că demonstraţia conţine o frumoasă varietate de elemente: primul pas se bazează pe faptul că un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic (reciproca “medianei pe ipotenuză”, sau “Cercul lui Thales” cum este cunoscut de către unii prin spaţiul german, chiar şi până mai aproape, prin Ungaria, aceasta fiind prima teoremă demonstrată de un om “ever” – merită să revin în curând la acest subiect). În continuare vine un raţionament interesant cu unghiuri, apoi o foarte ascunsă asemănare de triunghiuri (pe baza cazului UU), iar în final o surprinzătoare aplicaţie a unei formule de calcul prescurtat.

Văzând demonstraţia din acea carte veche, prezentată nouă de către d-na Plotnik, am simţit în suflet o stare apropiată de veneraţie faţă de mintea care a avut ideea construcţiei respective. Cam aşa ceva trebuie că simţeau vechii greci, astfel încât atunci când demonstrau câte una din primele lor teoreme, se duceau apoi la templu şi aduceau o jertfă zeilor pentru inspiraţia cu care fuseseră “ajutaţi”. De pildă, chiar despre marele Pitagora se spune că – după ce a demonstrat propoziţia respectivă – a sacrificat pe altarul zeilor un număr impresionant de boi, iar de atunci toţi boi tremură când aud de teorema lui Pitagora. Şi despre Thales se spune că ar fi sacrificat cel mai mare şi mai frumos bou al său la templu, după ce a demonstrat teorema cu triunghiul înscris in semicerc.

Revenind la demonstraţia de mai sus, trebuie să recunosc sentimentul iniţial cum că mie nu mi-ar fi trecut prin cap aşa ceva. Simţeam toată stima şi tot respectul pentru acea minte umană care a gândit aşa ceva (autorul este pierdut prin vechiile cărţi). În comparaţie cu această minte strălucită, eu am impresia că la ora actuală capacităţile noastre creative în domeniul demonstraţilor pe bază de construcţii ajutătoare sunt mult mai reduse.

Probabil că găsirea acetei demonstraţii n-a fost chiar atât de ieşită din comun, însă asta am simţit eu în zilele de după ce am văzut-o: o curată admiraţie (uneori, probabil că aşa ceva simt şi elevii atunci când noi “le trântim” câte o construcţie sau o demonstraţie ciudată; aceasta se va întâmpla însă doar dacă drumul a fost pregătit lin în sufletul lor; dimpotrivă, dacă-i luăm prea repede, se vor simţi doar covârşiţi, înjosiţi). Revenind cu picioarele pe pământ, probabil că persoana respectivă lucra la cine-ştie-ce problemă şi a observat că figura respectivă duce spre rezultatul din teorema lui Pitagora. Sau, poate a fost altfel? Cine ştie?!

Şi eu am avut o astfel de întâmplare, dar am fost destul de neatent încât să nu-mi dau seama că tocmai ce m-am împiedicat de o demonstraţie la teorema lui Pitagora; ulterior, când am început să studiez acest subiect am regăsit-o: este cea care apare prin cărţi ca descoperită de către fostul preşedinte american Abraham Garfield (1831-1881).

În acest sens, demonstraţia d-nei Plotnik mi-a adus aminte de o alta dintr-un manual românesc de la începutul anilor ’80 (din păcate nu-l am la îndemână), o demonstraţie prin puterea punctului faţă de cerc. Ştiu că aceasta nu mai este în programă, dar poate fi evitată elegant, oferind elevilor mai răsăriţi o demonstraţie interesantă, cu elemente din materia actuală (începutul clasei a 8-a din cauza mutării calculului prescurtat din a 7-a). Iar până la urmă vom constata că aceasta este de fapt aceeaşi demonstraţie ca cea din exemplul d-nei Plotnik, doar că abordată din altă parte (mutând pornirea din zona construcţiilor ajutătoare şi a “cercului lui Thales” în zona unghiurilor înscrise în cerc). Aşadar: Considerăm un cerc de centru O şi un punct exterior P. Prin punctul P trasăm o tangentă la cerc, notând cu T punctul de tangenţă, cât şi o secantă dusă chiar prin centrul cercului, notând cu L şi cu K punctele în care aceasta taie cercul. a) Demonstraţi că PT reprezintă media proporţională între lungimile PL şi PK (adică PT2 = PL · PK); b) Folosind relaţia precedentă, demonstraţi egalitatea din teorema lui Pitagora în triunghiul POT.

Da, cam atâta am avut de spus legat de felul în care merită să privim diversele demonstraţii ale teoremei lui Pitagora şi a modului în care ne raportăm ca profesori la acestea. Demult îmi doream să abordez acest subiect şi să evoc diversele aspecte ce le implică, dar acum gândurile au ajuns ceva mai coapte, fiind în paralel şi stârnite de comentariile prezentate la început. Desigur că sunt conştient că oricând s-ar putea găsi aspecte noi, dar eu mă cam opresc aici în această primă analiză a subiectului. În a doua parte mă voi apleca în detaliu asupra celor spuse în articolul de pe blogul CEAE.

*

Înainte de a încheia acest articol doresc să evoc însă câteva aspecte despre atitudinea cu care “mergem prin viaţă”, respectiv pe ce poziţie ne situăm pe axa modestie-îngâmfare. Pe scurt doresc să prezinte felul în care mă raportez eu personal la tot ce găsesc nou în lumea largă – ar putea spune unii că le caut “cu lumânarea”, oricum cu multă îndârjire şi perseverenţă – în comparaţie cu felul cum blochează alţii orice ajunge nou în faţa lor, orice este diferit de ceea ce reprezintă zona lor de comfort. Pentru că da, multe vin din această poziţionare.

Care multe? Păi, de pildă felul în care învăţământul matematic românesc nu reuşeşte să se debaraseze de vechile paradigme şi să evolueze înspre o pedagogie adaptată şi potrivită secolului XXI. Dacă aşa reacţionăm – precum autorii comentariilor redate la începutul acestui eseu – dacă aşa reacţionăm la orice propunere de schimbare, de îmbunătăţire, de a aduce predarea matematicii din şcolile noastre într-o formă mai potrivită nevoilor şi posibilităţilor actualilor elevi, atunci – iaca – avem pe tavă un dintre cauzele elocvente peantru care şcoala noastră nu reuşeşte să se schimbe, rămânând închistată în tarele trecutului.

Mai exact, aş dori să accentuez asupra felului în care mă raportez eu faţă de matematica cu care mă întâlnesc în contactele ce le am din când în când cu străinii (cursuri sau alte întâlniri cu profesori, dar şi cărţi, actuale sau demult traduse în română). Era o vorbă veche, ceva de genul: dacă nu deschizi o carte cu o profundă stare de veneraţie, atunci nu vei găsi nimic special în aceasta (sau, cam aşa ceva). Nu mai ştiu dacă era vorba despre cărţi în general, sau despre cărţi de matematică, dar sigur dacă nu eşti dotat – fie de la mama natură, fie conştient – cu acea stare de modestie elementară, atunci la orice contact cu matematica străină se vor declanşa în sufletul tău nişte mecanisme de mândrie naţională exagerată (avându-şi originea în implantările făcute de Ceauşescu din anii ’80 “pe creierele românilor”), mecanisme ce te vor împiedica să percepi aspecte noi, ce nu sunt prezente în România.

Anul acesta, la cursul de la Kassel, de pildă, m-am înscris la două cursuri de matematică (fiecare de câte 5 şedinţe a 1,5 ore); în plus a fost acea conferinţă de care am vorbit (1 oră). Ca o paranteză, cursul fiindu-mi plătit din Germania, m-am înscris la tot programul, aşa încât am urmărit de fapt încă cinci conferinţe ce nu aveau treabă cu matematică, dar şi un curs de geografie-geologie de 12 şedinţe a 1,5 ore (ajungând deci doxă în acest subiect). Dar să ştiţi că şi în acest curs de geografie am găsit destule elemente ce le voi putea transborda în predarea mea la matematică.

Desigur că multe lucruri îmi erau cunoscute din cele prezentate (la cursurile de mate), dar m-am bucurat de fiecare aspect nou primit (nou pentru mine). De pildă, la cursul d-lui Robert Neumann despre construcţiile curbelor conice (secţiunile conice, adică parabola, elipsa şi hiperbola, construite cu rigla şi compasul) cunoşteam cca. 60%. Nu-i nimic, m-am bucurat şi-aşa, chiar m-am entuziasmat pentru celelalte 40% idei şi aspecte noi pentru mine. Şi chiar dacă ar fi fost doar 10% material nou, tot mi-ar fi meritat. Desigur că şi la cursul d-nei Birte Vestergaard despre fişele de lucru prin descoperire ştiam foarte multe (din precedentele întâlniri). Nu-i bai, şi aici m-am bucurat de orice nou aspect; şi au fost suficiente.

O singură dată la o participare în “Străinezia” am părăsit un curs, deoarece simţeam că profesorul respectiv chiar “o lălăie” peste nivelul meu de suportabilitate şi nu-mi oferă nimic, dar şi deoarece în pauză văzusem la un curs paralel anumite aspecte fascinante pe nişte planşe rămase atârnate de perete; aşa că am trecut de a doua zi la celălalt curs (l-am anunţat pe acest nou profesor că vreau să vin la dânsul şi gata).

Aşadar, a nu se înţelege însă că mă duc la aceste întâlniri internaţionale “cu capul plecat”. Nici vorbă! Merg demn şi civilizat, cu o stare de echilibru între modestie şi totuşi conştienţa că ştiu foarte multe (că vin dintr-o şcoală matematică bună şi dintr-o familie de matematicieni); particip însă realist, conştient fiind că nu pot să ştiu totul. Nu mă dau mare, dar nici nu-mi este frică să spun ce gândesc, însă îmi caut cu grijă cuvintele pentru a nu jigni; încerc întotdeauna să înţeleg contextul de unde vine un vorbitor (la orice nivel, fie cel care ţine prelegerea, fie un eventual coleg cu care ajung pentru scurt timp într-o grupă de lucru). Ei nu-mi cunosc lumea mea matematică; singurul care poate creea o punte – mie folositoare – sunt chiar eu, aşa încât sunt “cu ochii-n patru” astfel încât să prind orice aspect nou.

Iar după ce le-am înţeles lumea lor, fiţi siguri că am şi eu cu ce “să mă dau mare”, măcar puţin, chiar “pe limba lor”. Fac asta însă doar dacă ajungem să ne împrietenim; eu le spun “cadouri”, pentru că după câte am primit de la ei, trebuie să le ofer şi eu ceva, nu-i aşa?

În acest context, al “cadourilor” am trăit experienţe de toate felurile, de la bune la eşecuri. În astfel de situaţii unii au avut reacţii cu totul speciale: un domn a venit o dată cu cartea scrisă chiar de dânsul, sigilată, spunându-mi că el nu are ceva de aşa mare valoare cum i-am dat eu lui, dar că îmi oferă în gest de apreciere cartea scrisă de dânsul; altă dată un profesor mi-a adus a doua zi o carte (tot sigilată, deci nou cumpărată), un mega curs de matematică al unui mare profesor din sistemul Waldorf. Am avut desigur şi întâmplări opuse, când prietenul respectiv cunoştea tot ce-i arătam eu (drept “cadou”); încă şi plusa cu aspecte noi; în cazul acestui prieten a trebuit să “muncesc” mult ca să-i pot da ceva necunoscut lui (ştia totul, din orice carte, aşa încât l-am putut surprinde doar cu “cadouri” descoperite de mine). Dar oricum, în astfel de cazuri totul se petrece cu o modestie civilizată, fără orice urmă de îngâmfare. Va urma! Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. (post scriptum) Dar, totuşi, că mă tot râcâie ideea: ce treabă are Iohannis cu cine-ştie ce manual din Germania???. Că doar el este profesor de fizică. Apropos, se scrie Iohannis, nu Ioanis. Dacă al doilea “n” ţine de capacitatea de atenţie şi memorare la un nivel elementar pentru orice intelectual ce se respectă (că doar nu vorbesc toţi germana), litera “h” chiar se aude la fiecare pronunţare la televizor sau radio. Mă gândesc cât de dramatică ar fi fost situaţia scrierii numelui său, dacă n-ar fi fost greşeala ofiţerului care i-a scris certificatul de naştere cu litera “i” la început, ci i-ar fi trecut numele corect, ca la taică-su, adică Johannis, deci cu “j”. L-ar fi pronunţat toţi cu “j”, chiar dacă pe germană această literă se citeşte tot un fel de “i” (aşadar, în spaţiul public numele preşedintelui se pronunţă corect; la fel s-ar fi pronunţat şi dacă se scria cu “j”). Oricum, trebuie apreciat că măcar pe d-na Clotilde Armand n-au stâlcit-o. Chiar aşa, însă, dânsa cum a ajuns în această discuţie? Ce treabă are dânsa cu manualul nemţesc? Respectiva divagaţie către zona politică este specifică unei categorii consistente de “internauţi” mioritici şi spune multe despre capacitatea lor de a se concentra pe un anumit subiect dat (mai exact incapacitatea).

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (2) – Fracţiunile

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. În prefaţa acestei cărţi există un paragraf fascinant, din care putem înţelege şi citi printre rânduri foarte multe aspecte importante. În postarea precedentă am prezentat acest paragraf pentru a putea inţelege gândurile profesorului Hollinger în integralitatea lor, aşa cum a considerat dânsul a le exprima în contextul finalului de perioadă metodico-didactică a anilor ’60 -’70.

Reiau încă o dată anumite pasaje din acel citat, lărgind însă pasajul şi completându-l cu anumite cuvinte cheie pentru a accentua anumite aspecte. Astfel, gândurile şi preocuparea dânsului erau îndreptate în special către elevul mijlociu (!) care trebuie să îşi însuşească cel puţin un minim de cunoştinţe şi să fie capabil să le aplice (…). Ideea de lucru a fost de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale (la vremea respectivă).Iată cum ne explică dânsul: Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii noi (…) Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. Pentru a da muncii elevului un ritm mai viu, am dat de cele mai multe ori şi figura, ca elevul să poată trece imediat la rezolvare; ele sînt gândite ca un fel de exerciţii orale. (…) Aceste probleme se găsesc la începutul fiecărui paragraf. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3-4).

Culegerea respectivă este una de geometrie; profesorul Hollinger se plânge că la geometrie saltul de la introducerea noilor noţiuni la aplicaţii este prea mare în comparaţie cu situaţia de la aritmetică sau algebră. Părerea mea este că în anii ’80 (deci contemporan, dar şi după culegerea respectivă) acest decalaj a fost rezolvat, dar nu în sens pozitiv, ci în sens negativ: la ora actuală nici la aritmetică, nici la algebră intrarea într-o temă nouă nu mai este de obicei accesibilă. La ora actuală toate domeniile de studiu matematic preuniversitar sunt extrem de abstracte, cu trepte de intrare mult prea înalte pentru elevul mijlociu, puse de la început – aparent – ca o piedică insurmontabilă pentru majoritatea elevilor.

Eu studiez din anii ’90 această culegere, iar pasajul respectiv îmi sună de fiecare dată proaspăt şi logic: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. Mai ales atunci când mare parte din preocupările organizatorilor învăţământului matematic – oficiali sau neoficiali – sunt îndreptate cu predilecţie către elevii de vârf şi activităţile matematice ale acestora (aşa-zisa excelenţă), mai ales atunci consider că este de datoria mea să mă străduiesc mai mult şi să vin şi mai hotărât în întâmpinarea elevului obişnuit cu lecţiile mele.

În continuarea primului aliniat din prefaţa acestei culegeri Hollinger ne spune că el s-a preocupat de fapt în a genera, a compune, a poziţiona nişte trepte suplimentare mai mici la începutul fiecărei teme (lecţie, capitol), sub forma unor exerciţii ce pot fi rezolvate oral, însoţite de figuri menite de a ajuta vizualizarea fenomenului nou de către mintea şi imaginaţia încă nepornită, neîncălzită, neexperimentată a elevului novice în acea temă de studiu. Aceşti paşi trebuie făcuţi la începutul fiecărei teme noi, pentru a asigura, a garanta accesibilitatea acesteia pentru toţi elevii (la începutul fiecărui capitol, dar şi oriunde apare ceva cu adevărat nou). Dânsul a făcut acestea la geometrie, pentru că în anii ’60 -’70 acolo a simţit nevoia de aşa ceva. Actualmente această nevoie este la fel de prezentă şi la algebra gimnazială, chiar şi la primele lecţii de aritmetică din clasa a 5-a.

*

În prima postare pe această temă am vorbit despre introducerea unei trepte suplimentare pregătitoare în sensul efectuării împărţirii în cap, necesară apoi la descompunerea numerelor în factori primi. Încheiam această primă postare cu ideea că mai am şi alte exemple. Aş dori să vă prezint în acest sens gestul de inserare a noţiunii de fracţiune înaintea studiului despre fracţii ordinare, aşa cum îl înţeleg eu acum, după câţiva ani de preocupare în acest sens.

Elevii fac cunoştinţă cu fracţiile (cele ordinare) în timpul petrecut cu d-na învăţătoare. La reluarea acestora în clasa a 5-a este oricum binevenită o recapitulare. Nici nu iau în discuţie posibilitatea ca învăţătoarea unui elev să nu fi lucrat foarte bine fracţiile pentru că nu se pricepe (acest subiect oricum nu mă priveşte în mod direct). La fel, nu iau în discuţie situaţii de tipul că în clasa a 4-a au fost în anul trecut cazuri de predare online exact la fracţii, iar copilul pur şi simplu n-a prins ideea. Aş porni însă discuţia de la faptul că poate avem o clasă cu copii provenind de la mai multe învăţătoare, iar aceştia ar trebui aduşi la un acelaşî nivel de cunoştinţe de bază. Totodată pot să iau in calcul şi ideea unui copil care s-a mai maturizat între timp şi, poate acum, la o a doua trecere, cu răbdare, dar şi cu mai mult profesionalism matematic, elevul reuşeşte să le înţeleagă mai bine. Da, şi neapărat trebuie pornită discuţia de la faptul că vorbim despre majoritatea elevilor, nu despre vârfuri, adică despre “elevul mijlociu”, cum spunea Hollinger

Traduc această afirmaţie: cu alte cuvinte, este de datoria mea să-i luminez pe majoritatea elevilor (blocul principal din Clopitul lui Gauss), să-i fac să plece acasă cu lucrurile înţelese; nici nu vreau să evoc acele – din păcate mu-u-u-ulte – cazuri când lectia este atât de abstract predată, încât elevul are nevoie acasă de o nouă predare, de explicaţii individuale care să-l scoată “din ceaţă”. Dacă se mai pricepe un părinte, încă treaba mai merge cumva; din păcate,  în ultimă instanţă de fapt este nevoie tot mai des de ore particulare pentru a putea duce matematica de la clasă (asta întâmplându-se tot mai des chiar din clasa a 5-a). Apropos: apogeul acestui fenomen deplorabil se atinge atunci când apare la o şcoală particulară unde părinţii plătesc oricum bani grei, iar apoi toţi elevii au nevoie de ore private pentru a face faţă matematicii de la şcoală! (A se înţelege ad-literam! Şi da, avem la Cluj şi aşa ceva! Desigur că şi copiii sunt tot mai sensibili, dar acesta este alt subiect, la care îmi propun să vin cât de repede)

Predarea fracţiilor ordinare trebuie să pornească neapărat de la multe exemple de vizualizare a diferitelor cantităţi reprezentate prin fracţii. Cele mai bune par a fi cele în formă de cerc (măr, lipie, pizza etc.), dar este bine ca elevii să primească şi alte exemple: ca pătrat (ce merge împărţit clar în 2, 4, 8 părţi egale), ca dreptunghi (similar cu pătratul), ca dreptunghi similar cu o pâine dreptunghiulară feliată, eventual chiar ca dreptunghi împărţit şi pe lungime şi pe lăţime (ducând spre ideea de arie a dreptunghiului; de exemplu un dreptunghi de 2 pe 5 pătrăţele pentru zecimi). La fiecare dintre acestea vom colora o parte dintre bucăţele, evidenţiind astfel o fracţie dintr-un întreg. Toate noţiunile iniţale (fracţii subunitare, supraunitare, echivalente, compararea lor etc.) pot fi apoi deduse, explicate, justificate şi înţelese prin reprezentarea în imagini ce se desenează foarte uşor. Toate regulile se deduc în urma unei analize iniţiale pe unul-două exemple desenate, vizualizate, reprezentate grafic aşadar.

Un exemplu deosebit de bun în acest sens (nu vreau să spun că singurul) îl reprezintă Manualul pentru clasa a V-a de Matematică din 2002 (?) de la Editura Sigma, cu o echipă de autori condusă probabil de D-na Mihaela Singer. Întreaga parte despre fracţii ordinare este înţesată de reprezentări grafice ale fracţiilor alese ca exemple, evidenţiindu-se astfel vizual fenomenele studiate în fiecare moment (nu cunosc situaţia actuală a implicării acestei edituri la nivelul clasei a 5-a, aşa încât mă opresc aici cu acest comentariu).

Cam acesta ar fi nivelul la care s-ar putea gândi profesorul de matematică în sensul strădaniei de a explica lecţia de matematică în mod cât mai accesibil şi clar elevilor, de a veni cu nivelul începutului lecţiei cât mai jos spre nivelul real al multor elevi, pentru a avea garanţia că îi ia pe cât mai mulţi în noua temă. Faţă de acest nivel de strădanie, “zeii matematicii” mi-au îndrumat gândurile şi ideile spre un pas suplimentar, pe care cu timpul am ajuns să-l înţeleg ca fiind de făcut înaintea lecţiei de introducere a fracţiilor ordinare. Încerc să detaliez situaţia cunoscută de către toată lumea, pentru a prezenta apoi pasul despre care doresc să vă vorbesc.

Oricum ai aborda noţiunea de fracţie, trebuie de fapt să le aduci elevilor în conştienţă clară rolul celor două numere implicate de obicei în scrierea unei fracţii – numitorul şi numărătorul – pentru ca aceştia să înţeleagă ce face fiecare din cele două numere (nici nu amintesc aici încă despre al treilea număr, anume despre scoaterea întregilor din fracţie). Fie că le dă exemple, fie că le dă o definiţie seacă pe bază de litere, profesorul ar trebui să le explice ce face fiecare dintre ele. Din păcate tot mai des întâlnesc situaţii în care se pare că nici măcar atât nu se străduiesc unii colegi.

Ca o divagaţie înalt filozofică despre didactica introducerii noilor numere, observ aici din păcate că modelul impus la introducerea / predarea numerelor complexe, în programa din manualele de liceu apărute la sfârşitul anilor ’70, spre deosebire de forma precedentă, acest model s-a generalizat în mod bolnav până la nivelul clasei a 5-a. Să detaliez puţin: cum era modelul precedent, valabil până în 1978? Numerele complexe se construiau de la notarea rădăcinii pătrate din numărul –1, notată pentru comoditate cu “i” (de unde i2 = –1), din care apoi se deduceau toate proprietăţile acestuia (puterile lui i) şî toate proprietăţile de operare cu numerele complexe z = a + bi (în principal adunarea şî înmulţirea etc.). Prin manualele din 1978 numerele numerele complexe se introduc axiomatic, sub forma stupidă a unor perechi ordonate ale căror operaţii respectă renumitele proprietăţi pentru sumă şi produs, proprietăţi ce apar în faţa elevului în mod total artificial, fără nici cea mai mică logică pentru mintea elevului. În mod similar, după 40 de ani, la ora actuală există deja profesori care nici nu se mai gândesc să le explice elevilor de a 5-a în mod clar ce face numitorul şi ce face numărătorul (scuze că nu intru în explicarea acestor afirmaţii; am făcut-o cu alte ocazii).

Da, există profesori care le spun cum se numesc, iar apoi trec direct la lecţii noi, fără a se gândi că elevii trebuie să şi înţeleagă despre ce este vorba. Cred că totuşi majoritatea au impulsul de a le explica, doar că o fac numai oral, pe fugă, iar din aceste explicaţii nu rămâne nimic scris, nu apare nimic în lecţia din caiet, aceste explicaţii pierzându-se în general datorită nivelului slab de atenţie al elevilor, datorită faptului că unii vin la ora de matematică doar ca să copieze de pe tablă, mulţi fiind rămaşi în urmă în momentul respectiv, cu scrisul de pe tablă al titlului, cu ascuţitul creionului etc.

Părerea mea este că lecţiile de matematică ar trebui să conţină componente clare în sensul înţelegerii şi conştientizării de către elev a rolului fiecărui număr din componenţa unei fracţii. Primul pas în înţelegerea fenomenului de fracţie este conştientizarea de către profesor a ordinii logice a apariţiei celor două numere în procesul de naştere a unei fracţii. Deci, care din cele două numere apare primul? Este evident că numitorul, acesta reprezentând numărul părţilor egale în care se împarte întregul. De-abia apoi apare numărătorul, acesta spunându-ne câte astfel de părţi vor fi luate pentru a forma fracţia respectivă. Din păcate însă, chiar scrierea şi citirea fracţiilor este pe dos: se spune mai întâi câte părticele sunt şi doar apoi ce fel de părticele sunt (două treimi; trei cincimi; cinci pătrimi etc., aşa fiind structurată exprimarea în limbile uzuale). Or, pentru a evita o învăţare automată, pentru a genera o înţelegere clară şi o gândire sănătoasă, noi trebuie să ne străduim ca elevii să înteleagă cu adevărat “mesajul”, rolul fiecăruia din cele două numere componente ale unei fracţii.

Strădania de a reprezenta grafic cât mai multe fracţii la început este cu totul în acest sens. Dimpotrivă, este evident că un profesor care minimalizează rolul acestei etape, uneori până al neparcurgerea ei, îi împinge pe elevi spre neînţelegerea matematicii.

Cele spuse aici despre “ordinea” logică în care apar cele două numere – mai întâi numitorul şi doar apoi numărătorul -, această ordine se regăseşte chiar şi în ordinea apariţiei şi dezvoltării noţiunii de fracţie de-a lungul istoriei (cel puţin a istoriei matematicii, aşa cum este aceasta cunoscută din izvoarele existente).

Primul care a apărut este numitorul; mai exact primele apărute în acest sens sunt fracţiunile: jumătatea, treimea, sfertul, cincimea etc. Nu câte cincimi, ci doar noţiunea de cincime (fracţiile de tipul 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc., care mai sunt numite în mod prea-preţios fracţii alicote). Acestea au fost găsite pentru prima dată în papirusul Rhind, aflat în custodia British Museum la Londra.

Într-un proces de câţiva ani, în mintea mea s-a generat ideea introducerii fracţiunilor ca primă lecţie a acestui capitol. Introducând pentru început doar fracţiunile (1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc.) şi folosindu-le timp de cel puţin o oră, elevul are timp să se obişnuiască cu rolul numitorului, care este cel mai abstract dintre cele două numere (un 3 la numărător chiar reprezintă faptul că sunt 3 bucăţi, pe când un 3 la numitor îmi spune că este vorba despre treimi, cu implicaţii ciudate pe viitor: de pildă treimea este mai mare decât cincimea, deşi 3-ul este mai mic decât 5-ul).

Pentru a face cu adevărat acest pas, profesorul trebuie să evite simpla explicaţie; la aceasta vor reacţiona doar elevii cu o gândire mai raţională. Majoritatea elevilor vor înţelege însă doar dacă vor şi face cu adevărat paşi de fracţionalizare a unui întreg, iar asta se poate face concret doar prin desenele despre care am vorbit la început (acestea având şi avantajul că rămân în caiet, fiind vizualizabile şi ulterior). Mulţi colegi profesori vor vedea un astfel de demers ca pierdere de vreme, dar eu consider că este un timp investit cu rost în înţelegerea fenomenului de către majoritatea elevilor, iar cu timpul acesta se va transforma în timp câştigat pentru gândirea copiilor.

Odată introduse noile noţiuni, cunoscute de fapt parţial din clasa a 4-a (treimea, sfertul, şesimea, şeptimea, optimea, zecimea etc.), ar fi bine să facem ceva cu acestea, dar încă nu în sensul fracţiilor, adică al multiplicării fracţiunilor. Vorbeam de “zeii matematicii” şi iată ce soluţie am găsit eu în acest sens. În reportajul  The Story of Maths realizat şi prezentat de către profesorul Marcus du Sautoy de la Universitatea din Oxford şi produs de canalul BBC FOUR, acesta ne prezintă cum ar fi efectuat vechii egipteni împărţirea a 9 lipii la 10 oameni. Este un procedeu inedit pentru noi, care ne arată cum funcţiona gândirea vechilor egipteni în sensul fracţionalităţii (cel puţin încearcă acest lucru). Un al doilea punct de inspiraţie l-au reprezentat articolele profesorului Ernst Bindel din anii ’60 (autor cunoscut în matematica şcolilor Waldorf), dar am găsit referiri despre acestea şi la Florica T. Câmpan.

Merită să zăbovesc puţin la această problemă – împărţirea a 9 lipii la 10 oameni – , mai ales că eu fac la ora respectivă un adevărat spectacol. Concret, pentru a vizualiza cât mai clar fracţiunile şi felul în care acestea compun soluţia problemei, eu mă duc la ora de matematică dotat cu toate cele necesare: un pachet cu suficiente lipii, un ştergar, două funduri de lemn mari şi foarfeca din bucătărie. După ce am desenat la începutul orei fracţiunile (eu pe tablă şi elevii în caiete), facem un moment organizatoric. Îmi aranjez o bancă central în faţa clasei, astfel încât elevii să poată veni în semicerc în jurul meu, pe cel mult două rânduri, aşa încât să vadă fiecare de aproape ce voi face în continuare.

După ce îmi aranjez cele necesare încep: cum ar fi făcut vechii egipteni? Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Aici încep să tai lipii în jumătăţi cu foarfeca. Câte lipii trebuie să tai? întreb eu în timp ce tai, iar răspunsul vine imediat: cinci lipii. Aşa, deci acum am aici un teanc cu zece jumătăţi de lipie. Ce fac în continuare?Păi iau următoarele fracţiuni la rând, adică treimile … Mă opresc aici cu redarea dialogului, mizând pe faptul că vă veţi putea închipui şi dvs. restul pe baza pozelor tablei. După ce rezolv problema fizic, pe masă, tăind fracţiuni de lipie, elevii merg la locuri şi reluăm tot procesul în scris, eu pe tablă iar elevii în caiete.

Accentuez aici faptul că fac acest proces de două ori: o dată fizic, tăind lipii în faţa elevilor, iar a doua oară desenând cele întâmplate pe tablă. Astfel am convingerea că am făcut tot ce se putea omeneşte posibil şi într-un mod cât mai interesant, astfel încât elevii să înţeleagă şi să li se fixeze care este rostul numitorului, ce anume face acesta (numărătorul urmând să apară ulterior, adică cel mai devreme ora următoare, deci într-o altă zi).

Spre deosebire de alţi ani, iarna asta am avut o întâmplare inedită. La începutul dialogului evocat, la prima întrebare, până acum eu întrebam: cum ar fi făcut vechii egipteni? şi tot eu trebuia să şi răspund: Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Anul acesta însă, m-am trezit cu răspunsul potrivit de la un prichindel. Este vorba de un băieţel din părinţi sirieni. Am rămas mască: el nu ştia problema, dar cumva creierul său a funcţionat exact aşa cum îmi povestise Marcus du Sautoy că ar fi făcut vechii egipteni. Fabulos!

În imaginile cu tablă ataşate găsiţi lecţia despre fracţiuni, aşa cum am făcut-o eu anul acesta la una din clase. În acea oră am reprezentat pe lângă fracţiuni şi câteva fracţii (la clasa paralelă le-am prezentat cu totul separat).


Ataşez în continuare şi lecţia a doua (de la clasa paralelă, unde fracţiile au apărut doar în următoarea oră) pe baza căreia se vede cum am realizat transferul reprezentării grafice a fracţiilor, astfel încât fiecare elev să înţeleagă cu adevărat noţiunea de fracţie, ce anume reprezintă fiecare dintre cele două numere ce formează o fracţie. Se vede cum eu dau explicaţia teoretică în mod rezumativ, la finalul lecţiei, nu la început, aşa cum se obişnuieşte actualmente (copilul cunoaşte fracţiile intuitiv, iar apoi sintetizăm noţiunea).


Pentru cei care doriţi să aprofundaţi noţiunea de fracţii alicote (se pare că aşa s-ar numi ele oficial, deşi eu le-am spus fracţiuni, căutând o denumire mai accesibilă elevilor), ataşez şi un articol la care am lucrat intens prin 2013-2014, dar încă nepublicat. Nu pot susţine că actualmente mai sunt într-u totul de acord cu toate elementele din acel eseu, dar pentru eficienţa faţă de curiozitatea unora dintre dvs. merită să îl prezint chiar şi aşa cum a rămas în calculatorul meu, în varianta scurtă a muncii întreprinsă în acei ani (cu scuzele de rigoare am şi o amintire vagă că ar exista o greşeală la unul din exemple). Sunt sigur că cei care se vor entuziasma de subiect, vor putea găsi şi alte aspecte necuprinse în acest eseu. CTG

Fractiile-la-egipteni-VAR.SCURTA.pdf

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (1) – Împărţirea în cap

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. Manualele sale se pierd în negura timpului (avem unul chiar şi din perioada interbelică). A fost un metodist de excepţie, fiind acceptat ca autor şi în perioada comunismului sovietic. Pentru foarte mulţi Hollinger contează ca autor al manualelor de geometrie pentru clasele gimnaziale în anii ’60-’70. În 1981 manualele sale erau înlocuite cu unele pe o linie nouă, adaptată noilor “vremuri şi cerinţe”. Cumva însă a fost lăsat să mai “scrie” o culegere de probleme de geometrie, oarecum “testamentul său matematic”. Citez din prefaţa acestei cărţi:

Dacă la aritmetică şi algebră elevul mijlociu (!) îşi însuşeşte cel puţin un minim de cunoştinţe şi este capabil să le aplice, sînt foarte mulţi elevi care nu se aleg aproape cu nimic din tot ce li se predă la geometrie. Este adevărat că există o deosebire esenţială între formele de activitate care se cer elevilor la aceste două părţi ale matematicii: la prima predomină aspectul algoritmic, iar la a două raţionamentul. Totuşi consider că această inegalitate a rezultatelor se datoreşte şi modului de predare. La aritmetică şi algebră, ca elevul să-şi însuşească un lucru oarecare, el este pus să-l repete de foarte multe ori. De exemplu, ca să înveţe regula de trei simplă, elevul este pus să rezolve multe probleme care diferă doar prin semnificaţia concretă a numerelor; ca să înveţe să ridice un binom la pătrat, nu i se dă numai formula pentru (a + b)2, ci el este pus să facă multe exerciţii ca (2x + 1)2, (3a – 2b)2 etc. La geometrie, însă, după ce i se predă o teoremă sau un grup de teoreme, se trece imediat la probleme complexe în care elevul regăseşte cu greu situaţia simplă, schematică a figurii care s-a folosit atunci cînd s-a predat teorema respectivă. Ideea despre care am spus m-a determinat să alcătuiesc aceste Exerciţii este de a folosi în predarea geometriei o metodă asemănătoare cu cea folosită în aritmetică şi algebră, şi anume de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale. Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii şi urcă în pantă lină la problemele complexe. Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3).

Am citit de multe ori acest pasaj ce m-a impresionat. Există marile probleme ale geometriei, dar pentru a putea porni primii paşi în geometrie, elevii au nevoie de nişte aşa-zise “probleme” care să le fie accesibile, simple şi totuşi să le pună mintea în mişcare. Astfel de probleme nu existau, aşa încât dânsul a început să le compună. Putem să vedem aceste probleme ca pregătitoare pentru adevăratele probleme de geometrie. Culegerile lui Grigore Gheba aveau probleme de geometrie din acelea grele, complexe; cele ale lui Hollinger erau mai “pentru începători”. Acestea se regăsesc oricum şi în manualele pentru clasele VI-VIII din anii ’60-’70. De fapt Holiinger compusese aceste probleme pentru manuale, adică pentru elevul “mijlociu” (vă sună cunoscut, apropos de corpul central al Clopotului lui Gauss?).

Cum am mai zis, am citit de multe ori acest pasaj, iar cu timpul ideea a început să lucreze în mintea mea, generând în acest sens o nouă normalitate: este normal să fii atent la evoluţia elevilor şi la nevoile lor (mai ales a elevului “mijlociu”), iar dacă observi că învăţarea merge greu, atunci este normal să inserezi exerciţii sau paşi noi de predare (desigur mai mici) pentru pregătirea lecţiilor de bază.

Ce doresc eu să vă prezint acum nu este însă rezultatul unui proces conştient de imitare a lui Hollinger, ci mai degrabă o analiză ulterioară a drumului de generare a unei noi lecţii, cu exerciţiile aferente. Fără să-mi dau seama am făcut acelaşi lucru ca dânsul: văzând că lucrurile merg tare greu, am încercat să înteleg de ce, iar apoi am început să generez exerciţii pregătitoare (ordonate într-o lecţie, că aşa dă bine) pentru pregătirea unui pas necesar la o lecţie oficială. Despre ce este vorba?

În semestrul I din clasa a 5-a elevii învaţă să descompună numerele naturale în factori primi. Metoda folosită este cea “cu bară”, cunoscută de toată lumea şi considerată de toţi drept o banalitate. O fi aceasta o banalitate, doar că mulţi elevi (părerea mea că peste 50-70% din populaţia şcolară) nu o înţeleg din prima. Unii o mai înţeleg în perioada următoare, dar rămân oricum o parte importantă care apucă să o înţeleagă doar dacă îi ajută cineva (un membru al familiei sau un profesor angajat particular). Ultimii “mohicani” o înţeleg de-abia prin clasa a 7-a când se dumiresc, odată cu scoaterea factorilor de sub radical. Dar, de ce este atât de grea descompunerea pentru mulţi elevi? Simplu: aceasta se bazează pe împărţirea ce se cere automat făcută în cap (la numere mici, cele prime, cum ar fi 2, 3, 5, cel mult la 7 sau 11). Până în acel moment însă, nimeni nu le-a cerut elevilor să înveţe şi să-şi exerseze împărţirea în cap. Toţi ştiu să facă împărţiri scrise (chiar la numere mai mari), dar acum trebuie să le facă în cap şi asta repede (că n-avem timp de pierdut, să tot exersăm!). Bănuiesc că unii profesori nici măcar în timp ce-i învaţă descompunerea nu le atrag atenţia că ei, elevii, trebuie acolo să facă mai multe împărţiri în cap, toate într-o succesiune în cascadă la o singură descompunere.

Eu sigur nu am pretenţia să fiu atât de deştept încât să-mi fi dat seama că aici este nevoie de inserarea unui pas intermediar, dar “zeii matematicii” m-au ajutat şi mi-au trimis o sursă de inspiraţie: în urmă cu cca. 15 ani m-am ocupat o vreme cu un băieţel de a 6-a a cărui familie se mutase de la Vienna. La un moment dat am observat la acesta un mod ciudat de a face împărţirile; mi-a spus că aşa le învăţase în clasa a 5-a în Austria. Le-am reluat, le-am înţeles şi am văzut că acestea erau o modalitate de împărţire într-o formă intermediară între algoritmul complet şi împărţirea integral în cap.

Am început să le-o arăt elevilor ocazional, iar cu timpul s-a cristalizat o lecţie. Pentru ca descompunerea numerelor să meargă “şnur” era bine să inserez înainte, de pildă în perioada de recapitulare de la începutul clasei a 5-a, această nouă metodă, cât şi ulterior cerinţa de a ajunge să facem împărţiri în cap.

Este evident că toţi elevii ce parcurg exerciţiile din acest pas intermediar pot apoi să treacă uşor la împărţirile în cap. Iar, ulterior, când vine descompunerea numerelor în factori, toţi elevii care au învăţat împărţirile în cap, toţi aceştia vor înţelege din prima şi descompunerea. Este atât de simplu!

Concret, am generat o lecţie (ce se poate întinde lejer pe 2 ore), compusă din trei părţi. Partea întâi reprezintă o recapitulare simplă a algoritmului de impărţire scrisă. Fac aici o mică “paranteză”: pentru exersarea şi fixarea rapidă de către cât mai mulţi elevi a algoritmului împărţirii, eu consider că elevii trebuie să primească să exerseze situaţii cu deîmpărţit mai lung (pentru repetarea “algoritmică”), dar cu împărţitor relativ mic. Anume, pentru împărţitori trebuie alese numere cât mai mari, dar cu “tabla înmulţirii” accesibilă (cu şirul de multiplii lesne), cum ar fi de o cifră mai mare (7, 8, 9) sau de două cifre (11, 12, 15, 20; 25), eventual asimilabile cu acestea (tabla înmulţirii cu 24 are elementele puţin mai mici decât cea cu 25). Ar mai merge eventual împărţiri la 111 (dar nu ştiu care este câştigul); obiectivul nostru este ca elevii să ajungă să poată împărţi în cap la 2, 3, 5, cel mult 7 sau 11.

Partea a doua aduce împărţirea din Austria, pe care o denumesc la clasă “cu proba în cap” (aici denumesc totodată şi partea întâi ca împărţire “cu proba scrisă”). Apoi vine partea a treia, denumită simplu “împărţirea în cap”. Poza de mai sus (pe o tablă foarte curată) conţine pe scurt doar paşii noi pentru dvs. Mai am un set de poze, cu toţi cei trei paşi, dar pe o tablă execrabilă. Pentru înţelegere de ansamblu mai bună merită însă să le prezint şi pe acestea.


Pentru cei doritori de mai mult, lecţia poate primi şi o prelungire, anume înmulţirea în cap cu numerele 5; 2 sau 25 (care de fapt reprezintă o aplicaţie a împărţirii în cap la 2; 5 respectiv 4, cu ataşarea în final a unui zero, sau a doi de zero). Şmecheriile întotdeauna le plac elevilor şi îi atrag.

Pentru cei doritori ataşez în final şi fişa de lucru aferentă acestei lecţii. Este facută astfel încât să o imprimaţi pe ambele feţe, apoi să o tăiaţi în două, iar elevii să primească o fişă faţă-verso în format A5 (făcând astfel economie la hârtie). CTG

Fișă-Împărțiri-în-cap-1.pdf

P.S. Putem considera cele de mai sus ca un prim exemplu. În contextul celor spuse de prof. Hollinger, cu timpul am mai generat paşi pregătitori şi la alte lecţii, cum ar fi de pildă fractiunile ca pregătire a studiului fracţiilor ordinare, dar despre asta cu o altă ocazie.

Cum învăţăm – (PS) Dar predarea noilor cunoştinţe unde se încadrează?

În postarea http://pentagonia.ro/cum-invatam-cele-patru-etape-ale-invatarii/ am prezentat dialogul emisiunii de pe Europa FM despre cum învăţăm, cu dl. Paul Olteanu. ce poate fi urmărit şi pe youtube, la adresa https://www.youtube.com/watch?v=ZlyVTvbcrUk .

Am aflat din emisiunea respectivă că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) consolidarea memoriei prin somnul de după. Am discutat apoi fiecare dintre aceste patru etape ale unei învăţări sănătoase în câte o postare separată. pe baza prezentării d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza experienţelor personale acumulate în timp.

Rămâne “în aer” o mare dilemă, anume că pentru procesul de învăţare predarea noilor cunoştinţe nu este văzută ca o etapă obligatorie. Cel puţin, în această discuţie Paul Olteanu nu vorbeşte deloc despre predarea noilor cunoştinţe. Oare, nu este văzută predarea ca o parte a procesului de învăţare? Sau, poate se subînţelege că predarea trebuie integrată într-una sau în mai multe din cele patru etape prezentate (poate chiar în fiecare din cele patru etape). Şi dacă acesta este cazul, atunci cum ar trebui făcută aceasta? Putem pune şî altfel întrebarea: oare, ce înseamnă predarea? Şi mă refer aici la o predare sănătoasă, desigur, sănătoasă pentru copil.

Consider că am scris de multe ori despre aspecte ale unei predări sănătoase, ce ar putea da indicii sau chiar răspunsuri parţiale la această întrebare, aşa încât de data asta mă opresc aici şi las această dilemă ca temă de casă pentru cititorul pasionat. Spor vă doresc. CTG

P.S. (din nou P.S., adică P.S. la P.S.) Totuşi, mă gândesc să vă mai dau un indiciu suplimentar, despre care nu am scris până acum. Pe postul National Geografic se difuzează uneori un serial care în română este tradus Primitivi moderni. Este vorba despre diferite persoane care refuză traiul modern şi se străduiesc să ducă o viaţă cât mai primitivă, cât mai apropiată de natură şi desigur cu costuri minimale, cât mai autosustenabilă. “Decanul de vârstă” al acestora este Colbert, care îşi duce viaţa locuind şi vânând în mlaştinile din Georgia de sud. Într-un episod acesta a primit vizita unui nepot al său, care venise să guste şi să înveţe primii paşi în acest sens. Câteva zile i-a tot explicat Colbert ce şi cum, dar spre final la dus într-un loc îndepărtat cu cortul acestuia în bagaj şi l-a lăsat acolo să-şi petreacă noaptea în sălbăticie. Comentând despre gest Colbert a spus: Una este să-l înveţi şi alta este să-l laşi să-şi dea seama singur.

Cum învăţăm – (4) Consolidarea memoriei prin somnul de după

În postarea http://pentagonia.ro/cum-invatam-cele-patru-etape-ale-invatarii/ am prezentat dialogul complet al emisiunii din 10 octombrie 2021 de pe Europa FM despre cum învăţăm, o discuţie moderată de către dl. Cătălin Striblea ca gazdă cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu. Filmarea discuţiei este postată şi pe youtube, la adresa https://www.youtube.com/watch?v=ZlyVTvbcrUk .

Am aflat din emisiunea respectivă că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) consolidarea memoriei prin somnul de după.

*

În această serie de eseuri am analizat până acum primele trei etape ale unei învăţări sănătoase, pe baza prezentării d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza propriilor observaţii. Printre altele, am analizat cum respectă sau nu diferitele modele de predare parcurgerea acestora, dar ultima etapă (4) CONSOLIDAREA MEMORIEI PRIN SOMNUL DE DUPĂ putem spune că iese în evidenţă prin lipsa totală din orice preocupări sau teorii ale şcolii româneşti. Niciunde nu am auzit în toate etape formării mele oficiale ca profesor despre importanţa somnului de după. Nici în cursuri, nici în cărţi nu apare acest subiect. Şi atunci ce facem? Vă spun eu mintenaş ce facem (adică imediat), dar mai întâi să revedem scurt ce a avut de spus Paul Olteanu pe această temă:

PO: Să vedem şi ultima etapă, pentru că e importantă: consolidarea memoriei (4), iar aceasta se întâmplă exclusiv în timpul somnului. Deci, dacă nu dormi destul, degeaba înveţi, degeaba îngraşi porcul în ajun (sau cum se mai zicea când învăţam înainte de examene la facultate), dacă nu dormi destul nu se va transfera informaţia din memoria pe termen scurt, aia care-ţi permite să ţi minte asta o zi – două – trei, în memoria pe termen lung, aia care-ţi permite să-ţi aduci aminte, de pildă, când a domnit Ştefan cel mare şi peste 30 de ani de când ai învăţat asta.

CS: Serios? Nu m-am gândit niciodată la chestia asta, adică somnul …. PO: Mulţi oameni nu se gândesc, asta-i partea interesantă … CS: Atunci expresia aia că să pui cartea sub cap … PO: are altă însemnătate după descoperirea asta. Şi încă ceva, ce poate mulţi ascultători trăiesc pe propria piele: să fi învăţat înainte să adormi, să fi dormit, iar a doua zi dimineaţă informaţia “s-a lipit mult mai tare”, e mult mai puternic ancorată în memorie.

CS: Ce-ar trebui să facă un profesor în situaţia asta?

PO: pentru dezvoltarea cerebrală normală – ce spune cercetarea? Matthew Walker, cercetător britanic, în cartea sa De ce dormim, explică clar că somnul de după este esenţial pentru dezvoltarea cerebrală normală. Ca adult este nevoie de minim 7 ore de somn; dacă suntem adolescenţi vorbim de ceva între 10 şi 11 ore de somn necesare ca să ţi se dezvolte creierul normal, respectiv ca să apară consolidarea asta a memoriei de care vorbim.

Până acum mi-a fost frică să abordez acest subiect, ca nu cumva să fiu catalogat ca neserios, deplasat, “ce-are asta cu matematica?” etc. Dar, acum că avem şi un “cercetător britanic” care să ne confirme această teorie, acum pot aborda şi eu subiectul cu pricina. Pentru că da, eu cunosc despre importanţa somnului “de după” de aproape un sfert de secol, anume din pedagogia Waldorf. Încă din primii ani în această alternativă educaţională am aflat la cursuri că Waldorf-ul este (probabil) singura pedagogie care foloseşte conştient în procesul educativ somnul, dar până acum n-aş fi avut curajul să prezint acest aspect pe pentagonia.ro de frica reacţiilor de genul “de unde-ai mai scos şi tâmpenia asta?” sau “du-te mă, cu prostiile tale!”. Acum însă, că “există un cercetător britanic care a spus că …”, acum pot să scriu şi eu despre acest aspect ciudat al pedagogiei Waldorf. Dar nu vă fie frică: nici vorbă de a mă apuca acum să vă prezint o teorie exhaustivă a acestui fenomen; pot încerca cel mult o scurtă prezentare, aşa, doar pentru a stârni eventual curiozitatea celor deschişi la această tematică.

Somnul “de după” ajută atât la fixarea cunoştinţelor proaspăt dobândite, cât şi la “rezolvarea” unor probleme nerezolvate încă (deci până când se merge la culcare). Cred că Paul Olteanu s-a referit mai ales la prima parte. Pedagogia Waldorf şi-a pus problema de a folosi ambele aceste direcţii în procesul de învăţare, cea de-a doua mai ales în sensul îndrumării, a încurajării elevului spre a reuşi singur să rezolve o situaţie (adică de a-i “împinge” mintea spre a deveni activă în căutarea rezolvării, de a nu aştepta pasiv să primească rezolvarea “de-a gata” de la dascăl).

Legat de a doua direcţie de folosire a somnului se cunoaşte o aplicare specială: în armata germană exista o regulă clară în procedurile de lucru ale ofiţerilor, anume că aceştia nu aveau voie să ia decizii importante decât “a doua zi”. Adică, la apariţia unei probleme majore în evenimentele de luptă, dacă era posibil trebuia luată decizia de a alege ce-i de făcut doar după ce au dormit o noapte cu problema “pe cap”. Eu folosesc această tehnică la scrierea “minunatelor” mele articole. Chiar şi la eseul de fată, eu tot revin şi completez, corectez, rescriu. Alinatele dinainte, cât şi cele imediat următoare, de pildă, au fost adăugate ulterior, deşi articolul părea gata de o vreme.

Dar, revenind la învăţătură, lucrurile nu-s chiar aşa de simple. Nu ajută doar ca să te culci şi – gata – se şi produce vraja. Trebuie să “te legi” cu adevărat de subiectul cu pricina, fie de frică, fie în sens pozitiv, din suflet. Cu alte cuvinte, trebuie să fi implicat cu adevărat în subiect, iar asta se poate face în două feluri: fie vei fi implicat coercitiv, de frică (că vine testul sau vă vei fi ascultat etc.), fie vei fi implicat pasional, subiectul fiindu-ţi prezentat atât de atractiv încât mintea ta să rămână în continuare preocupată de acel subiect, de acele imagini, de acea dilemă primită. Din nou, şi în această analiză, cred că Paul Olteanu s-a referit mai ales la prima parte categorie.

Pe scurt, somnul “de după” ajută la fixarea celor învăţate fie când a depus mult suflet şi efort în învăţare (de obicei în cazul unui examen, al unui test sau măcar dacă este vorba de un individ conştincios care se pregăteşte cum se cade pentru orele de a doua zi), fie când profesorul reuşeşte o lecţie care-i fascinează pe elevi (sau pe studenţi), astfel încât atenţa acestora să fie suficient de intens captată înspre subiectul respectiv, ca aceştia să “meargă în somn” cu acele gânduri. Practic, la cursurile de pedagogie Waldorf se vorbeşte de multe ori despre cum ar trebui să predăm cât mai captivant lecţiile astfel încât acestea rămână în mintea lor şi să ajungă “să dospească” în subconştientul elevilor în timpul nopţii. Dacă se reuşeşte aşa ceva, atunci sunt şanse mari ca a doua zi elevii să fie mai bine “aliniaţi” pe lecţia studiată.

Ţin minte cum am venit odată cu o “problemă” foarte îmbârligată la o clasă de a 9-a, ceva despre care oricum elevii nu aveau unde căuta după rezolvare (o şmecherie distractivă care se poate explica doar prin trecerea în baza 2, sau oricum măcar prin scrierea numerelor ca puteri de 2; poate o dată îmi voi face timp să v-o prezint). Le-am vorbit elevilor de această situaţie într-o vineri; concret, le-am făcut respectivul număr de magie matematică (prin care i-am captivat pe toţii) iar apoi am venit cu întrebarea “oare cum s-ar putea explica de ce funcţionează aceasta?”, asta rămânând ca temă opţională pentru ora următoare.

Luni, cea mai bună elevă a clasei era cu mâna sus: “am găsit explicaţia”. Am discutat-o, am lămurit-o pentru toţi şi părea că totul este clar, când fata a ridicat mâna din nou: “dar ştiţi când am rezolvat-o?” Eu:???, după care veni răspunsul, ca din ţeavă: “sâmbătă dimineaţa, când m-am trezit am ştiut cum să o rezolv” mi-a spus ea. În acel moment am înţeles că (măcar în acea situaţie) am fost un profesor Waldorf bun. Dar să revenim la ale noastre.

Din punct de vedere al individului activ, tehnica este foarte bine cunoscută de către cei care cercetează în domenii noi, acolo unde nu se pot căuta răspunsuri în surse bibliografice (adevărata cercetare, nu munca de simplă documentare şi compilare). Toate invenţiile se bazează pe o astfel de preocupare, de obicei de lungă durată, deci trecută prin multe cicluri de trea-somn-treaz, pentru că reprezintă ceva total NOU. La nivenul comun, de bază, al omului de rând, elevii conştincioşi o folosesc dintotdeauna în pregătirea lecţiilor pentru a doua zi.

Din punct de vedere a influenţării elevilor spre aşa ceva de către profesor, există însă câteva impedimente. În primul rând, tehnica funcţionează atunci când există preocupare pentru un subiect în două zile consecutive, cu folosirea somnului din noaptea dintre ele (la eleva mai sus amintită a funcţionat de vineri spre sâmbătă pentru că ea punea mult suflet în matematică; un elev care a judecat că a venit weekendul şi are timp până luni, deci se va gândi la acest subiect eventual pe duminică seara, aceasta rata clar momentul; sunt ferm convins că mulţi dintre ceilalţi elevi buni ai clasei aşa s-au gândit). Profesorii de materii cu mai multe ore pot să  folosească această tehnică în situaţii cu ore în două zile consecutive; ceilalţi din păcate nu se pot folosi atât de bine de această şmecherie.

Un alt impediment major la ora actuală este faptul că cu greu mai poţi preda suficient de atractiv încât să activezi aceste mecanisme, deoarece elevii îşi petrec oricum toată seara cu activităţi mult mai captivante decât banalele şi plictisitoarele cunoştinţe de la şcoală. Seara fiind interpusă între şcoală şi somnul de noapte, înseamnă că acele preocupări supercaptivante şterg toate impresiile cu care elevul a venit eventual încărcat de la şcoală, sau care s-au adunat în perioada de învăţat de dupăamiază.

Ca urmare, rămâne speranţa doar în situaţia când elevul învaţă cu o seară înainte, iar apoi chiar acordă somnului atenţia cuvenită. Aici însă, în cele mai multe familii, părinţii nu sunt conştienţi cât de mult împiedică, chiar blochează consolidarea memoriei dacă elevul stă până seara târziu pe net (de la calculator la smartphone, toate-s dăunătoare).

Da, şi mai există un aspect foarte special de care trebuie ţinut cont: fenomenul respectiv poate fi “cauzat” de către profesor dacă elevul pleacă acasă cu “semne de întrebare”. O lecţie care a lămurit toate aspectele nu este în stare să trezească curiozitatea minţii elevului pentru a mai gândi pe acel subiect. Iarăşi, se vede că rămâne doar varianta când elevul învaţă de cu seara pentru a răspunde bine sau a face faţă a doua zi la test sau la examen.

Revenind la efectul ecranelor privite excesiv seara, înainte de culcare, mai trebuie să precizez un aspect: cunosc chiar teorii pe baza faptului că lumina LED este la origine una albastră, şi chiar dacă ea este apoi transformată în toate culorile pentru a ne oferii acele minunate şi clare imagini, creierul de fapt tot alb-albastră o percepe (cea numită generic “lumină albă”, pe care cei mai în vârstă o ştiu de la neoanele comuniste). Ori, când creierul percepe lumina albă, de zi, mesajul este că să stea treaz. Asta nu încurajează un somn profund şi sănătos. Dimpotrivă, pentru un somn mai sănătos creierul trebuie să primească mesaje în lumină mai caldă, specifică apusului, pentru a percepe că este vorba de culcare. Dacă cineva stă toată seara şi se uită într-un ecran, acela nu va avea un somn pozitiv potenţat. Cu alte cuvinte, efectul de consolidare a memoriei de care vorbeşte Paul Olteanu în niciun caz nu pot fi ajutat de folosirea ecranelor LED pe seară. Asta, fără să mai discutăm şi de efectele de agitare ale filmuleţelor vizionate sau ale jocurilor practicate la ceas târziu.

Dar, să revenim puţin la cuvintele folosite de către acesta: consolidarea memoriei prin somnul de după. Oare, la ce s-a referit Paul Olteanu când a spus “consolidarea memoriei“? S-a referit la întărirea memoriei în general sau, oare, la fixarea cât mai bună a celor tocmai învăţate (proaspăt “tocite”)? Eu cred că sunt valabile ambele variante. Mai ales prin prisma celor spuse mai sus, a faptului că tinerii la ora actuală au o foarte mare paletă de distracţii zilnice (în fuga nebunească după fericire), dar şi prin prisma celor spuse despre efectele negative ale folosirii excesive a ecranelor asupra profunzimii somnului, eu cred că ambele variante trebuie luate în seamă.

Chiar şi pe lungă durată există repercusiuni asupra memoriei şi a gândirii, datorită împiedicării unui somn eficient prin folosirea zilnică şi excesivă a ecranelor: în toată perioada şcolarizării, creierul este încă în formare, iar un somn mult mai scurt decât er fi nevoie (Paul Olteanu vorbeşte undeva de 10-11 ore pe noapte), în plus şi perturbat de adormirea după folosirea excesivă a ecranului, un astfel de somn numai sănătos nu poate fi denumit. Prin sănătos înţeleg aici şi privind efectele de scurtă durată, adică rezultatele la învăţătură dovedibile sau nu a doua zi, cât şi efectele de lungă durată, adică asupra rezultatelor la învăţătură pe viitor, dar mai ales şi asupra formării şi dezvoltării creierului cu efecte asupra nivelului de dezvoltare a inteligenţei tânărului, a viitorului adult. Iar, pentru cei care au ochi să vadă, rezultatele sunt vizibile în masă la actualii “copii ai pandemiei”.

Cu alte cuvinte, eu personal iau spusele lui Paul Olteanu şi ca un semnal de alarmă pentru salvarea somnului elevilor noştri. Iar acest semnal de alarmă trebuie transmis părinţilor, pentru că ei sunt de fapt gestionarii timpului de acasă, mai ales cel de seară, al elevilor. Acest semnal trebuie transmis cât mai urgent, atât părinţilor elevilor deja afectaţi de stat prea mult în faţa ecranelor (de multe ori până noaptea târziu), pentru a mai repara ce se poate, cât şi părinţilor copiilor mai mici, care poate încă nu au căzut în această capcană de atracţie a ecranului, de captivizare a minţii copilului în detrimentul somnului zilnic.

Aşadar, se descurcă fiecare cum poate. Oricum, eu sunt foarte bucuros de faptul că o persoană atât de recunoscută la ora actuală cum e Paul Olteanu a vorbit despre acest aspect al învăţării, somnul “de după”. Este un pas foarte mare şi merită toate mulţumirile. CTG

P.S. Vorbeam mai sus despre clasicele “neoane” din anii comunişti, folosite la noi şi la începutul anilor 2000. Acestea aveu o lumină albă cu efect de trezire (adică numai bună pentru spaţii în care se muncea sau se învăţa), dar aveau – prin starterele folosite – o frecvenţă destul de mică a descărcărilor luminoase, percepută de către ochiul uman, prin care se obţinea de fapt o oboseală a ochilor. Actualele tuburi luminoase au o frecvenţă de descărcare mult mai mare, trecând dincolo de nivelul perceptibil de către ochiul uman, astfel încât nu mai apare factorul de oboseală prin încălzire a ochilor. Actualele “lumini albe” au un efect mult mai bun de menţinere a stării de trezire. Singurul aspect încă deranjant al actualelor corpuri de iluminat este faptul că acestea încearcă să păcălească ochii în alt fel: ele nu oferă o lumină naturală pe spectru larg, aşa cum o făceau vechile becuri, ci oferă lumină concentrată doar pe căteva frecvenţe ale spectrului luminos (becurile cu lumină rece sunt concentrate pe puţine frecvenţe mai spre alb-albastru, becurile cu lumină caldă au câteva frecvenţe “punctuale” mai apropiate de roşu).

În altă ordine de idei, n-am prea vorbit mult de matematică în acest eseu. Oare, cum se poate folosi predarea matematicii de acest fenomen. Partea cu învăţarea – atât a teoriei, cât şi a exerciţiilor sau problemelor deja predate – este deja cuprinsă în acest eseu. Profesorii predau, le arată elevilor ce şi cum, iar aceştia trebuie apoi acasă să-şi însuşească cele predate. Aşa funcţionează lucrurile chiar şi la nivelul de excelenţă, la pregătirea elevilor pentru olimpiadă, la care participă elevi care îşi pot însuşi rezolvări mult peste nivelul mediu al clasei din care fac parte.

Din punct de vedere al antrenorilor, al profesorilor care se preocupă spre a avea rezultate cu elevii la olimiade, este mai eficient aşa: de fapt are loc un dopaj cu metode şi tehnici avansate. Meritul personal al elevilor se reduce doar la două aspecte: capacitatea de memorare a diferitelor tehnici (aş numi-o asta “matematică pasivă”), cât şi capacitatea de combinare surprinzătoare a diferitelor rezolvări pe problemele concrete primite (asta ar merita clasificarea drept “matematică activă”).

Din păcate însă, nu prea se foloseşte la clasă – la clasele de rând, mă refer – nu se prea foloseşte partea de “matematică activă”, adică confruntarea şi obişnuirea elevilor ne-olimpici cu fenomenul unei probleme captivante, lăsată până a doua zi, astfel încât şi aceşti elevi să se confrunte cu fenomenul “ducerii în somn” a unor dileme sau probleme. Dar, se face asta, veţi răspunde, toată lumea le dă elevilor probleme dificile pe ora următoare. Problema este însă că li se dau probleme mult prea grele, de mult prea devreme, astfel încât marea majoritate a elevilor cad iremediabil într-o resemnare acută, înţelegând doar că ei “nu pot matematică“, aşa încât nu se mai implică nici în cazul unei probleme cu adevărat accesibile, doar pentru că este de tip nou (adică n-au mai văzut aşa ceva). La asta a dus procesul de îngreunare a matematicii şcolare de după 1980, Atât prin creşterea nivelului de dificultate al aplicaţiilor, cât şi prin coborârea unor teme în jos în clase tot mai mici, matematica şcolară a devenit tot mai grea, iar acum elevii practic refuză să se implice în preocuparea pentru probleme nemaivăzute. Astfel, majoritatea elevilor nici măcar nu au şansa de a-şi exersa “folosirea somnului” în vânarea personală a unei posibile rezolvări.

Acest aspect mai are o urmare năucitoare: majoritatea elevilor nici nu înţeleg matematica prin prisma ei “activă”. Altfel spus, majoritatea elevilor consideră matematica doar o sumă uriaşă de reţete de rezolvare ce trebuie însuşite. Cei mai mulţi elevi nici nu-şi închipuie că ar putea gândi ei “activ” o rezolvare; pentru ei matematica este doar o pură “toceală”. Iar, din păcate, majoritatea profesorilor spre asta îi împing.

Un scurt aspect aş mai avea de amintit din pedagogia Waldorf: pe lângă folosirea somnului în fixarea cunoştinţelor, chiar şi în găsirea unor rezolvări pentru situaţii noi, această pedagogie alternativă foloseşte inclusiv uitarea în procesul de învăţământ. Cu alte cuvinte, după ce ai învăţat sau ai exersat ceva suficient de bine şi după că ai lăsat somnul să-şi facă treaba, se mai poate introduce şi o fază a uitării. Asta este mult mai greu de explicat. Exemplul unei colege muziciene poate ajuta: dânsa spunea că un concert (de pildă la pian) îl pregătea 3-4 zile la rând repetând şi exersând bucata respectivă până în penultima zi înainte de concert, când se oprea chiar dacă încă nu era mulţumită de cum îi ieşea interpretarea. Apoi, în ziua dinainte de concert făcea orice altceva, dar nimic legat de interpretarea concertului. Iar în final, în ziua “cea mare”, relua repetiţiile şi de fiecare dată observa că-i iese foarte bine. Despre acest aspect însă, al folosirii uitării în procesul de învăţare, nu intenţionez să scriu acum; am vrut doar să-i amintesc existenţa, fiind destul de apropiat de cel al folosirii somnului.

Cum învăţăm – (3) Feedback generat de erori

În postarea http://pentagonia.ro/cum-invatam-cele-patru-etape-ale-invatarii/ am prezentat dialogul complet al emisiunii din 10 octombrie 2021 de pe Europa FM despre cum învăţăm, o discuţie moderată de către dl. Cătălin Striblea ca gazdă cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu.

Discuţia de cca.12 min. (postată cu un titlu stupid: De ce nu este greșeala admisibilă în România) poate fi urmărită direct şi pe https://www.youtube.com/watch?v=ZlyVTvbcrUk . Am aflat din emisiunea respectivă că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) somnul de după. În această serie de eseuri mi-am propus să analizez fiecare din cele patru etape ale unei învăţări sănătoase, pe baza spuselor d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza propriilor observaţii asupra celor din jur, cât şi a căutărilor personale şi a experienţelor acumulate.

*

Să continuăm în eseul de faţă cu (3) FEEDBACK GENERAT DE ERORI. De obicei analizez cum respectă sau nu diferitele modele de predare parcurgerea acestor patru etape, dar în acest caz nici nu mai are rost să fac acest lucru: este evident felul în care s-a împământenit acordarea defectuasă, total distructivă a feedback-ului în cazul când elevul are o eroare în munca sa, mai ales la matematică. Întreaga ţară ne vorbeşte pe noi, profesorii de matematică, cât de distructiv acţionăm în aceste momente. Inclusiv titlul ales pentru postarea acestei discuţii pe youtubeDe ce nu este greșeala admisibilă în România – adresează în mod direct acest aspect: în pedagogia noastră feedback-ul în cazul unei erori este în mod tradiţional unul dur, educaţia fiind în mare parte identificată cu această atitudine de pedepsire.

În ultimii 30 de ani am auzit de toate: de la note mici acordate cu simţul responsabilităţii (de a-l forţa pe cel mic să nu mai greşească), până la stări de vădită răutate (Să se-nveţe minte!!) şi culminând cu gesturi incredibile pentru un om empatic, cum ar fi cerinţa la adresa celorlalţi elevi de a râde în cor de respectivul ghinionist. Adunând amintiri de-a lungul timpului legate de această atitudine, am clar impresia că unii colegi profesori nu au nici un pic de empatie, nu au suflet pentru “amăriţii aia”; parcă doar de aia vin la şcoală ca să vâneze elevi pe care să-i înjosească.

Care este rezultatul acestei atitudini devenită tradiţională? O mare parte dintre elevi vin la orele de matematică din start blocaţi, traumatizaţi la maxim la nivel psihic de toate “corecturile” primite personal sau văzute la alţi colegi. Fără să mai discutăm de cazurile extreme de acest fel. Mai ţineţi minte situaţia acelei invăţătoare din Cluj, pe care au reuşit părinţii să o înregistreze în urmă cu cca. 7 ani? Ce limbaj avea şi cum răcnea la copiii ăia! Ce mai poate să facă un copil din clasa ei după un astfel de “feedback generat de erori”? Este traumatizat pe viaţă! Şi credeţi-mă, ştiu foarte bine ce susţin aici, dar nu vreau să intru în amănunte.

Cât de distructivă este o astfel de situaţie, nu numai la adresa acelor copii în particular, cât şi la adresa societăţii în general, asta ne putem da seama dacă analizăm astfel lucrurile: oare câţi profesori care dădeau un feedback agresiv au concluzionat în urma mediatizării acelor înregistrări că el/ea personal “nu face chiar aşa” şi ca urmare că el/ea este un profesor bun şi că este OK cum procedează, oare câţi au gândit aşa? E clar că trebuie să fi fost şi situaţii în care unii s-au văzut “în oglindă” şi s-au decis să nu mai procedeze astfel, încercând în perioada ce a urmat să intre într-un proces de îmbunătăţire a atitudinii, dar e sigur că au fost şi persoane care au afişat în continuare o profundă atitudine de “durere în cot” faţă de acest subiect.

Dar, haideţi să revenim la emisiunea noastră şi să ne amintim ce avea de spus Paul Olteanu în acest sens: Componenta numărul trei, care este indispensabilă din punct de vedere neuroştiinţific pentru învăţare, se numeşte feedback generat de erori. Deci zic negru pe alb: în învăţare, la nivelul creierului, dacă nu greşeşti, nu înveţi! Punct! CS: Greşeala nu este admisă în România!

PO: Asta vreau să zic. Iar astea nu sunt opiniile mele; un neurocercetător francez pe care-l cheamă Stanislaz Dehaene a scris o carte ce se numeşte Cum învăţăm (How we learn) şi el vorbeşte despre cele patru etape. Deci, în momentul în care eu ies la tablă şi zic ceva sau rezolv o problemă sau încerc să fac o demonstraţie, când greşesc, ăsta-i motiv de sărbătoare nu de persecuţie. E bine să fiu corectat, dar e util să acceptăm greşeala ca parte integrată a procesului de învăţare, pentru că atunci când greşim se eliberează cortizol în creier, care-i un horman de stress, care face conexiunea sinaptică şi mai predispusă la a fi transferată în memorie pe termen lung, la a reţine adică.

Daţi-mi voie să accentuez: aşadar, e bine ca elevul să greşească, iar noi trebuie să-l corectăm dacă greşeşte. Problema este cum facem această corectură. Mai exact, corectura trebuie făcută cu empatie, cu căldură, pentru că pur şi simplu în acel moment copilul este vulnerabil din punct de vedere psihic. Da, şi totodată, în timp ce-l corectează pe elev, profesorul trebuie să aibă “un ochi” şi faţă de ce se întâmplă în clasă, astfel încât nici de acolo să nu apară râs, comentarii de superioritate, sau alte atitudini răutăcioase. D-na Birte Vestergaard spunea clar că profesorul are datoria de a garanta elevului care lucrează şi răspunde siguranţa că nu va fi înjosit dacă nu ştie sau dacă greşeşte, de a-i asigura în jurul său un mediu sigur în momentul în care se exteriorizează, astfel încât acesta, chiar dacă “o dă în bară”, să fie aibă certitudinea că nu va avea de suferit. Dânsa folosea expresia: a safe enviroment.

Dacă elevii nu au siguranţa că sunt protejaţi în cazul unei greşeli, atunci cu siguranţă ei nu vor avea iniţiativa de a intra vorbi în lecţie, de a-şi expune o părere, de a se deschide în dialogul orei, chiar şi numai de a spune ce nu au ştiut la temă. Care este rezultatul acestei situaţii? Cred că toţi îl cunosc: nişte ore seci, pline de frică din partea majorităţii elevilor, în care avem parte doar de un monolog al profesorului, eventual mascat în forma unui dialog al profesorului cu sine (profesorul “întreabă” şi tot el răspunde), în cel mai bun caz un dialog între profesor şi cei doi elevi cei mai buni din clasă. Dar să revenim la emisiune:

CS: Îţi dau o experienţă personală. Eram la chimie, unde aparent am fost “lemn” în anii de şcoală; chimie organică, ţin minte … PO: eu nu mai ţin minte nimic … CS: se desenau pe tablă acele catene cu hexagoanele respective, şi aveau nişte picioruşe şi nişte numere care reprezentau diverse lucruri acolo, lucru pe care n-am reuşit să-l reţin niciodată. Dar, ceea ce am reuşit să reţin este următorul lucru: am greşit un 2 în loc de un 3 acolo în vârful unui picioruş din-ăla şi profesorul a zis: “Cum ai spus, 2? Doi este şi nota ta!“, şi m-a trecut la loc cu nota 2. Ce s-a întâmplat în momentul respectiv în creierul meu?

PO: în momentul în care trăim genul ăsta de experienţă, problema nu e că ai greşit, ci că ai fost pedepsit că ai greşit şi se produce o asociere: deci, într-o întâlnire trecută noi am vorbit că avem în creier două personaje (două părţi), “călăreţul“, care e mintea conştientă şi raţională, şi “elefantul“, care e mintea noastră emoţională, automată, care învaţă prin repetiţie şi asociere. În genul ăla de experienţă, aşa se instalează perfecţionismul în capul nostru. În momentul în care greşesc un lucru şi sunt trimis înapoi cu nota 2, ce învaţă elefantul, care coordonează 90% din procesele mentale? 90% din ce se întâmplă în capul nostru se întâplă înafara minţii conştiente, în background, în fundal, automat. Iar acolo se produce o conexiune care spune “n-ai voie să greşeşti!”. Creierul tău învaţă să anticipeze durere în momentul când apar greşeli, sau te face să deteşti chimia, să nu-ţi mai placă materia în sine.

Aş adăuga: chiar să te facă să refuzi la a mai lucra în direcţia respectivă (adică a acelei materii). Iar dacă corecturile se petrec la mai multe materii, atunci în toate acele direcţii elevul va genera blocaje. Probabil (dau şi eu cu părerea) că asta este una din cauzele datorită căreia auizi despre unii elevii că “este bun doar la cutare materie”; probabil că la acea materie cadrul didactic nu a acţionat printr-un feedback distructiv, iar copilul în acea direcţie şi-a găsit “refugiul” în impulsul său natural de a învăţa şi de a avea rezultate bune şi satisfacţie la şcoală.

La mine, de exemplu, în clasele 5-8, prima notă la matematică a fost 7, care era o notă mică, eu în clasele primare având note mari. Acesta a fost startul relaţiei mele dificile cu matematica. Nu pentru că mie nu mi-ar fi plăcut materia asta, ci pentru că prima experienţă emoţională într-un context nou a fost una negativă (context nou, pentru că m-au mutat părinţii din a 4-a într-a 5-a de la o şcoală de cartier la Colegiul din Ploieşti).

Feedback generat de erori, unde, când greşim … – nu vorbim despre a celebra greşelile, vorbim despre a le tolera şi corecta, nu stigmatiza. Pentru că noi când stigmatizăm greşeala, fără să ne dăm seama noi nu învăţăm copilul doar că erau trei picioruşe sau trei în loc de două în vârful catenei, sau ce povesteai, ci învăţăm “elefantul”, creierul inconştient, partea asta primitivă din creier, să anticipeze durere la greşeală, respectiv să asocieze învăţarea şi şcoala (sau chimia, sau matematica etc.) cu ceva NASOL.

Legat de extrema cealaltă, de a celebra greşelile, de pildă de a-i da copilului un feedback de genul “foarte bine!” chiar dacă răspunsul este greşit, vă recomand să accesaţi filmuleţul https://www.youtube.com/watch?v=Zh3Yz3PiXZw (de care am vorbit şi într-o postare mai veche despre cât face 2 + 2).

Să revenim însă la Paul Olteanu: Cred că e mult mai înţelept şi important: ce reflexe emoţionale instalez eu în şcoală. Şi dau un exemplu foarte simplu, care ne afectează pe toţi: dacă eu în şcoală, atunci când mă ridic în picioare să-mi exprim nişte idei, anticipez şi respectiv trăiesc durere (sunt ruşinat, sunt criticat, sunt certat: “nesimţitule, ia loc, uitaţi-vă la Olteanu că e bătut în cap”, lucruri din astea), în creierul meu se produce o asociere inconştientă între a vorbi în faţa altora şi durere. De aia românii sunt paralizaţi când trebuie să vorbească în public, pentru că majoritatea experienţelor noastre şcolare erau din registrul “când vorbeşti în public trăieşti durere“. Nu prea te ridicai în picioare iar la finalul a ce spuneai să fi aplaudat sau îmbrăţişat. În acest context e mult mai important să înţelegem că noi când predăm (în actul aducaţional, în contextul şcolii), elevii reţin desigur şi informaţii pe care poate au noroc să le folosească în viaţa adultă, dar mult mai important este că scriem în creierul lor emoţional inconştient, mai exact formăm reflexe emoţionale. ( în acest sens merită să ascultaţi şi discuţiile https://www.youtube.com/watch?v=thxSoq7CqoQ sau https://www.youtube.com/watch?v=jsQ7gD7aRQ0 )

Chiar nu mai are rost de fapt să comentez foarte mult aceste rânduri deosebit de clare ale lui Paul Olteanu. Un profesor care nu este dotat cu un grad suficient de dezvoltat de EMPATIE, acela oricum nu va înţelege cât de mult distruge dacă îi înjoseşte pe copii atunci când trebuie doar să-i corecteze (şi sunt din păcate tare mulţi colegi în această situaţie; tare, tare mulţi!). Linia de discuţii din această toamnă la Europa FM conţine şi în acest sens o emisiune scurtă, ce poate fi uşor urmărită la adresa https://www.youtube.com/watch?v=laK2eXxj-_w .

Despre cum ar trebui să acordăm un feedback generat de greşeli într-un mod sănătos, nedistructiv, asta este o cu totul altă problemă: fiecare dascăl trebuie să intre în acest proces, în strădania de a acorda un feedback mai cald, mai empatic, dar totuşi realist, însă în nici un caz distructiv şi agresiv, fără efect de blocare la adresa elevului respectiv sau la adresa celorlalţi. Acest gând este cu atât mai important cu cât prin perioadele lungi de “Hausarrest” pe baza trecerii în online datorită pandemiei de Corona şi a valurilor sale, elevii interacţionează mult mai puţin social “live” adică fizic, faţă în faţă; sunt deci mai puţin rodaţi în contactul dintre ei, şi deci mult mai sensibili, aspect accentuat şi de faptul că prin intermediul ecranului durităţile între ei sau cu profesorul sunt percepute mult mai puternic.

Eu am început acest proces de “îmblânzire” a atitudinii mele la acordarea feedback-ului cu un sfert de secol în urmă, de unul singur, probabil doar pe baza faptului că am un nivel empatic mai ridicat decât media, dar şi prin impulsul de imitaţie a primilor colegi din şcoala Waldorf. Nu pot să spun însă că sunt un specialist în această direcţie şi că mi-aş putea permite să prezint aici un set de “reguli”. Consider mai degrabă că fiecare trebuie să înţeleagă situaţia atenţionată de către Paul Olteanu şi să înceapă un proces de căutare a modalităţilor de îmblânzire a propriului mod în care acordă feedback în momentul când elevul greşeşte. Pot da totuşi câteva exemple, aşa ca impulsionare pentru cei care au înţeles nevoia unei schimbări.

De pildă, eu de mulţi ani nu mai spun în faţa clasei nota primită de către copil la test (e treaba lui dacă o spune sau nu colegilor şi felul cum o face; prin aceasta nu eu sunt cel care îl pedepseşte; eu reprezint astfel doar un factor obiectiv; greşeala este a lui şi trebuie să şi-o asume). Pur şi simplu îi dau lucrarea.

O vreme îi chemam la catedră, dar am simţit cu timpul că inclusiv venitul până în faţa clasei este ca mersul către eşafod pentru unii (elevii buni se bucură când îşi văd nota; prin comparaţie, cei care au dat-o în bară automat sunt vizibili ca pe o scenă, pentru toată clasa, chiar şi prin întrebări de tipul “cât ai luat?”). Mult mai neagresiv este dacă le duc lucrările la bancă; de aici e problema lor. Pentru mine nu-i înjositor, deoarece oricum am cuplat această mişcare cu precedenta, anume cu faptul că eu strâng lucrările la sfârşitul testului, astfel încât să pot urmării exact dacă au apărut fenomene de copiere.

Iată şi un alt “moment” interesant: chiar şi în cazul lucrării scrise, eu încerc “să mă conectez cu elevul” într-un mod cât mai empatic, astfel încât, după ce-i văd strădaniile de a merge corect, atunci când apare o greşeală în rezolvare, impulsul meu este de a-i scrie un comentariu de tipul “Păcat!”. În plus, chiar şi la o notă mediocră, în funcţie desigur de nivelul copilului, sub notă mai concluzionez cu comentarii de tipul “Eşti pe calea cea bună, dar mai trebuie să lucrezi” sau “Cred că nu te-ai străduit destul, ce zici?” sau “Tu, ce părere ai?” etc. Prin comentarii de tipul ultimelor două îl atrag pe elev în starea de a fi co-făptaş la feedback-ul general al testului.

Vorbeam mai sus despre sensibilitatea excesivă a elevilor în societatea actuală, mai ales prin faptul că elevii stau mai puţin la şcoală (datorită întreruperilor de scurtă sau lungă durată cauzate de pandemia de Corona virus). Ca urmare ei stau deci mult mai mult acasă, influenţa familiei fiind ca urmare mult mai puternică. În acest sens merită audiată şi emisiunea despre întrebările părinţilor la apariţia unei note: https://www.youtube.com/watch?v=tKnO-I_qb1c .

Pe curând, CTG

P.S. Am analizat la începutul acestui eseu impulsul generalizat şi considerat corect de a-i corecta tot timpul pe elevi, cât şi despre duritatea acestui act, ajunsă o normalitate în România. Chiar mai mult, revenind la obiceiul de a corecta elevii când greşesc, pentru că – nu-i aşa? – asta este menirea noastră, iată şi o altă urmare a acestei atitudini generalizate.

Atât de obsesivă a devenit corectarea pe loc a elevilor la cea mai mică derapare faţă de forma ideală a răspunsului (nu doar la matematică), încât această apucătură a ajuns să fie preluată ca obicei naţional; fiecare consideră că are dreptul, chiar obligaţia de a-l corecta pe celălalt, arătându-i că el – cel care corectează – îi este ca urmare superior celui care tocmai a spus ceva. Atât de avansat a ajuns acest obicei încât întâlneşti situaţii din cele mai stupide. Dau aici două exemple: 1) Mi s-a întâmplat să-i explic cuiva ceva, iar acesta să-mi spună: Nu-i aşa! Stai că-ţi spun eu cum e …, după care să-mi explice aproape ad-literam ce-i spusesem eu înainte. 2) Cunoaşteţi reclama la radio, de curând (toamna târzie 2021) la librăriile Cărturăşti? Aparent auzim un dialog dintre o educatoare şi un micuţ, probabil în holul grădiniţei: Hai micuţule în grupă. Dar, ce ai acolo, o caracatiţă? Chiar, şti să-mi spui câte braţe are?, iar răspunsul vine năucitor: Ăh, nu sunt biaţe, sunt tentacuie! E clar că toată lumea îşi doreşte un astfel de copil “hiper-deştept”, care să aibă de mic un vocabular atât de elevat încât să o poată corecta şi pe doamna educatoare, să-i arate că el îi este deja superior.

Această stare de constantă competitivitate pe bază de cunoştinţe duce la faptul că elevii pot primi un feedback agresiv chiar şi din partea colegilor. Trăim într-o societate plină de răutăti, acestea manifestându-se şi la nivelul elevilor. Mulţi au prins ideea că dacă fac haz de greşeala celuilalt, fac mişto de acesta cu orice ocazie, îl atenţionează de greşeli sau numai i le vânează, taxându-l ulterior, poate în pauză, atunci ei personal au senzaţia că-i sunt superiori celuilalt. Ei văd asta la toate nivelurile societăţii; fiecare îl critică pe celălalt, aşa că prin simpla imitaţie fac şi ei acelaşi lucru. Eu trăiesc cu durere această stare, mai ales la clasele unde s-a pornit pubertatea şi unde cei mai mulţi nu au curajul să răspundă de frica de a nu se face de râs faţă de colegi. Chiar dacă eu îi tratez cu cea mai mare înţelegere, ţinând cont de condiţiile în care au făcut şcoală în ultimii doi ani, se trezeşte câte un “deştept” să-l atenţioneze sau poate doar să-i arunce un zâmbet răutăcios.

Apropos: este evident că această stare de generalizată corectare a celuilalt este potenţată de terminologia de specialitate ce şi-a făcut loc în toate materiile şcolare, tratate cu trecerea vremii într-un limbaj tot mai riguros. Pentru mine, care am învăţat geometria în limba germană, cu denumiri implicit explicative de tipul “înjumătăţitoarea unghiului” pentru bisectoare (Winkelhalbierende), “înjumătăţitoarea laturii” pentru mediană (Seitenhalbierende) sau “perpendiculara în mijloc” pentru mediatoare (Mittelsenkrechte), trecerea la denumirile din limba română a reprezentat un mic şoc. Doar “linia mijlocie” este din spectrul implicit explicativ pe care-l cunoşteam din germană (Mittellinie exact asta înseamnă: linie mijlocie). Din acea perioadă a rămas în familia mea antologică următoarea perlă de traducere din partea mea: “linie mijlocică” pentru mediană.

Dar să revenim în vremurile actuale: ştiţi ce-i aceea peneplenizare? Da, aţi citit bine: Pene-pleni-zare. Minunat cuvânt, nu-i aşa? Termenul folosit în geologie şi geografie, apare şi în atlasele şcolare editate pentru folosirea la clasă: unitate de relief peneplenizată. Uau!!! Gândiţi-vă care-i efectul psihologic al acestui cuvânt la adresa unui elev care tocmai ce l-a găsit în atlas. Fără să mai discutăm despre situaţia unei profesoare care-l aduce ca definiţie la clasă, poate chiar îl şi cere la test.

Da, şi în final merită să amintim aici cel mai cunoscut exemplu la nivel naţional despre acest efect de corectare înjositoare prin care au trecut cea mai mare parte a românilor în timpul şcolii. O mai ţineţi minte pe profesoara de matematică din filmele cu Liceenii? Oare de ce o porecleau acei elevi Isoscel? Cuvântul acesta derapează foarte uşor în limba română spre incorectul isoşcel (deci cu “ş”) şi ne-o putem închipui uşor pe acea tovarăşă profesoară, interpretată magistral de Tamara Bucuceanu, cum trebuie că se răstea la câte un elev care nu era atent la pronunţia cuvântului respectiv: ISOSCEL, nu isoşcel!. Ar fi interesant de aflat de unde au avut realizatorii filmului ideea acestei porecle.

Cum învăţăm – (2) Angajarea activă

Prezentam în postarea http://pentagonia.ro/cum-invatam-cele-patru-etape-ale-invatarii/ dialogul complet al emisiunii din 10 octombrie 2021 despre cum învăţăm, în cadrul orei Lumea Europa FM, un interviu de dl. Cătălin Striblea cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu. Am aflat din emisiunea respectivă (difuzată în serial în fiecare duminică la ora 10;45 pe Europa FM) că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) somnul de după. În această serie de eseuri mi-am propus să analizez fiecare din cele patru etape ale unei învăţări sănătoase, pe baza spuselor d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza propriilor experienţe, atât a experienţelor şi căutărilor personale, cât şi a experienţelor de observare asupra celor din jur. Mai ales însă, aş dori să analizez cum respectă sau nu diferitele modele de predare parcurgerea acestor patru etape.

Din start trebuie însă să precizez că intru cu această ocazie şi eu într-o zonă unde nu am siguranţă totală. Îmi dau seama că sunt mult mai avansat decât ce se practică în general, dar sunt totuşi conştient de multele lipsuri ce îmi caracterizează încă activitatea. De pildă, nu sunt mulţumit de materialele de lucru existente în manuale sau auxiliare, dar sunt departe de a avea peste tot fişe potrivite pentru activitatea la clasă sau ca temă.

*

Să continuăm în eseul de faţă cu (2) ANGAJAREA ACTIVĂ. Iată ce ne spunea Paul Olteanu în acest sens: După atenţie, avem o componentă care se cheamă angajare activă, iar asta la şcoală de multe ori lipseşte, în care după ce mi-a fost predat un concept trebuie să fac ceva cu el. Acest pasaj se potriveşte perfect cu ce spuneam în precedenta parte a acestei serii despre recomandările metodice cu care venise prietena noastră din America, anume că imediat după partea de prelegere, de prezentare a noilor conţinuturi (nu prea lungă), elevii trebuie puşi la lucru (după o fişă) pentru a deveni activi în sensul celor proaspăt primite. Ea nu ne-a explicat atunci de ce trebuia făcut aşa (puteam desigur intui), dar acum îmi este clar: elevii au nevoie de angajare activă pentru a se conecta cu adevărat de itemii respectivi.

Dar, ce elemente trebuie să conţină partea de angajare activă? Paul Olteanu ne dă şi un exemplu înspre ce ar trebui să ne îndreptăm căutările: angajarea activă este de pildă în sport; eu am făcut volei. La volei mai întâi trebuia să fi atent la cum se execută o lovitură sau mişcare, după care ne puneau să o facem, ne dădeau mingi şi ne puneau la perete şi loveam peretele cu mingea de sute sau de mii de ori. Aia-i angajarea activă.

Aşadar, după crearea unei conexiuni sinaptice noi, aceasta fiind deosebit de fragilă la început, am putea spune chiar de-a dreptul volatilă, această nouă sinapsă trebuie stabilizată prin exersare, ca să cresc probabilitatea ca acele conexiuni sinaptice să se păstreze. Cu alte cuvinte, această sinapsă tocmai formată, care contează pentru mine ca profesor (în orice domeniu), trebuie fixată şi solidificată prin exersare repetitivă.

Ce înseamnă exersare repetitivă, anume de câte ori trebuie repetat, asta depinde desigur de la un elev la altul. La sport trebuie repetat de sute de ori, chiar şi de o mie de ori zilnic, pentru că mişcarea respectivă trebuie să devină la fel de automată ca şi mersul, de pildă. La matematică lucrurile stau puţin altfel. Există “mişcări” ce trebuie să devină automatisme, cum ar fi diferitele calcule, sau rezolvarea unei ecuaţii, sau teorema lui Pitagora, sau formulele binomiale, sau derivarea etc., dar acestea se fixează după un număr mult mai mic de repetări. Există desigur şi multe “mişcări” care nu trebuie să devină automate, ci rămân în zona gândirii. Aici tot mai mulţi elevi slabi încep să aibă dificultăţi, iar saltul mult prea rapid la aplicaţii dificile, de excelenţă, în nici un caz nu-i ajută să-şi formeze paşii de gândire.

Revenind la un nou model de gândire şi la necesitatea angajării active imediate, elevii buni la matematică au prins “ideea” nou apărută după un exerciţiu şi pot trece la aplicaţii mai complexe. Majoritatea elevilor însă au nevoie de mai multe exerciţii pentru a prinde noua mişcare, măcar de câteva (2-3). Există desigur şi acei elevi cei mai slabi, pe care noi (împreună cu soţia mea) îi numim elevi de 10 exerciţii: dacă faci cu un astfel de elev – chiar şi faţă în faţă, adică 1 la 1 (profesor cu elev) – dacă faci cu el 5-6 astfel de exerciţii legate de o anumită mişcare matematică, atunci peste o săptămână, atunci când vei avea nevoie să aplici cele învăţate, vei avea surpriza neplăcută să vezi că nu o mai ştie. Dacă, dimpotrivă faci cu el cel puţin 10 exerciţii identice, doar cu alte numere, atunci şi peste o săptămână sau peste o lună acest elev îţi va putea aplica automat pasul respectiv, fixat solid pentru că a fost exersat suficient. Repet: aceste ultime experienţe sunt despre elevii dintre cei mai slabi la matematică; simţiţi desigur în acest aliniat o abordare de tip “Clopotul lui Gauss”.

Ok, aici nu trebuie exagerat nici într-o parte, nici în cealaltă. Am văzut culegeri nemţeşti cu pagini întregi de exerciţii de acelaşi fel, am spune noi “identice”, în afara faptului că erau tot cu alte numere. Pagini întregi cu unul şi acelaşi tip de exerciţiu: horor! Dar nici ce se întâmplă în manualele şi în culegerile din România nu este sănătos, anume că la exerciţiile de bază elevii primesc cel mult 1-2 exerciţii de un fel la nivelul de bază (refuz aici să mă apuc a da exemple concrete, chiar şi din manualele actuale oficiale de gimnaziu). Oare nu reuşim totuşi ca naţiune să găsim un echilibru între cele două tendinţe? Desigur că acest aliniat deschide o nouă problemă, anume acea a cantităţii de exerciţii şi aplicaţii dintr-un manual, fapt care poate duce discuţia spre stabilirea unei liste de exerciţii pe grade de obligativitate la fiecare lecţie, dar mă opresc în acest sens pentru că mă îndepărtez de subiectul de bază. Merită doar să precizez desigur că după exerciţiile de bază, materialul de lucru pentru angajarea activă trebuie neapărat să urce la aplicaţii tot mai ample şi mai dificile (iarăşi, în funcţie de nivelul şi aptitudinile subiecţilor de educat).

Cum putem creşte nivelul de lucru? Dacă urcăm în direcţii abstracte, atunci vom pierde destul de repede implicarea majorităţii elevilor. O altă direcţie, cu efecte mai pozitive, de creştere a dificultăţii şi a amplitudinii aplicaţiilor este de a venii cu aplicaţii atractive pentru elevi, aplicaţii care cumva să apeleze o conexiune cu emoţiile celor mai mulţi elevi. Spune Paul Olteanu: trebuie să-l leg de ceva! Angajarea activă înseamnă să legi ce prezinţi tu ce ceva ce ăluia îi pasă emoţional deja. De exemplu, eu îmi aduc aminte mult de Enigma Otiliei pentru că în perioada în care am citit-o şi mie îmi plăcea de o fată care plăcea de cineva mai mare decât mine, cum e cazul Otiliei cu Pascalopol de exemplu, şi mi s-a lipit în creier, pentru că am trăit angajarea activă cu asta.

Dar, despre ce le pasă elevilor la matematică? Greu de stabilit, însă ne putem da cu părerea (vorbesc aici în special de copilul nematematician de felul lui, pentru că la elevii cu adevărat pasionaţi de matematică, aceştia se activează “din oficiu”). Eu personal am adunat experienţe destul de bune aplicând predarea prin problematizare. Începutul unei astfel de lecţii este prin prezentarea unei situaţii noi – noile conţinuturi – finalizată cu întrebarea de tipul “oare cum ar fi aici?”, totul într-un mod cât mai interesant, captivant, care să atragă implicarea lor, atât intelectoală cât şi emoţională. Predarea prin problematizare atrage implicarea spre angajare activă în subiectul respectiv a mult mai multor elevi, dar desigur că şi aici rămân mulţi “pe de lângă”, adică nu fac pasul spre angajare activă, ci iau doar “o mutră interesată”, de gândire, dar în interiorul lor ei doar aşteaptă ca răspunsurile să apară pe tablă pentru a le copia în caiet.

O mult mai mare forţă de atracţie spre angajarea activă o au aşa-numitele probleme de matematică distractivă (cu apogeul acestora, “numerele” de magie matematică!), dar nu putem transforma orice lecţie în matematică distractivă. În plus se poate pune întrebarea: ce reprezintă cu adevărat matematica distractivă?

Nu putem începe orice oră cu matematică distractivă, dar sigur putem să ne străduim să aranjăm diferite probleme cu “acel ceva”, acel efect de atracţie psihologică specific matematicii distractive, care să trezească curiozitatea elevilor pentru a se implica emoţional înspre o angajare activă chiar şi în zona de gândire (aici nu vorbesc despre exerciţiile pentru formarea automatismelor, ci mai ales de categoria aplicaţiilor de gândire, a problemelor, deşi după faza de gândire poate veni uşor şi o fază de exersare).

Căutând prin diferite surse din străinătate (ultima carte răsfoită era din SUA), am găsit la probleme de geometrie (cunoscute mie din România) o “cerinţă” oarecum diferită, anume întrebarea “ce observi în această situaţie?” în loc de cerinţa conoscută pe la noi “demonstraţi că…!”. În eseurile din vară, despre doamna Birte Verstergaard, am prezentat idei asemănătoare: “ce părere ai, cum se va întâmpla aici?”. În mod similar, îmi aduc aminte şi din manualele şi culegerile din timpul şcolii (anii ’70), de astfel de puneri a problemei care duc spre o implicare a elevilor în subiectul respectiv. Iată, de pildă câteva exemple luate la întâmplare din ultima culegere a profesorului A. Hollinger: 1) Măsurile a două unghiuri adiacente u şi v sînt: (urmează mai multe cazuri). Care din ele au laturile necomune în prelungire? 2) Trebuie să măsurăm un unghi. Dar laturile lui sînt prea scurte, ele nu ajung pînă la gradaţia raportorului şi nu le putem prelungi, căci figura este la marginea caietului. Ce putem face? 3) Într-un cerc se duc doi diametri AB şi CD. Ce fel de patrulater este ACBD? (din A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi pedagogică, 1982).

“Acestea sunt poveşti!”, ar putea susţine cineva; noi avem lucruri serioase la matematică; eu îi scot la tablă, iar apoi să vezi implicare şi angajare activă “din tot sufletul”! Nu ştiu dacă am reuşit să prezint situaţia cât de cât realist, dar dacă se lucrează cu un elev la tablă, atunci angajarea activă are loc automat în cazul său. Deci, a scoate un elev la tablă înseamnă că – aproape sigur – îl trec pe acest elev în faza de angajare activă. Dar nu am defel certitudinea că ceilalti din clasă fac şi ei, cu toţii, pasul respectiv; mulţi elevi trec automat pe mod “elevul copiază cuminte de pe tablă”, renumita poziţie “ghiocel în bancă” (fericit că a mai scăpat încă o dată), dar nu sunt de fapt şi implicaţi în fenomenul exersat.

Desigur că pot să-i fac pe toţi să treacă în faza de angajare activă, în timp ce unul este la tablă, printr-o atmosferă de frică (prin diverse metode autoritariste, de pildă trimis neaşteptat elevul de la tablă înapoi în bancă şi scos altul etc.), dar pe durată această stare de teroare a orei de matematică în nici un caz nu va contribui la îndrăgirea matematicii, ci chiar dimpotrivă, va duce la frică şi ură faţă de această materie. Eu cred totuşi că noi, profesorii, ar trebui să căutăm căi şi metode diferite de cele dominatoare, de cele bazate pe frică, şi să-i putem implica pe copii într-un mod pozitiv în angajarea activă înspre cunoaşterea matematicii.

Revin la justificarea nevoii de angajare activă imediat după ce elevilor le-au fost transmise nişte informaţii, nişte cunoştinţe.  Informaţia proaspăt primită “este parcată în minte”, adică se află la început în memoria de scurtă durată, cunoscută şi ca “memorie superficială”. Dacă nu se întâmplă ceva cu respectiva informaţie, atunci aceasta se uită; memoria o abandonează. Fixarea are loc doar prin utilizarea acesteia; cu cât este utilizată mai mult, cu atât aceasta este fixată mai bine (iarăşi, variind de la un elev la altul). Aşadar, lipsa angajării active imediate duce cel mai probabil la uitare.

Dar de ce apare uitarea? Păi dacă nu am uita tot ce intră “în noi” prin intermediul diferitelor simţuri, atunci “am exploda” de la o vreme (din câte ştiu există şi o astfel de boală, există oameni la care nu funcţionează uitatul). În principiu, uitarea este foarte importantă, pentru că altfel nu ar putea intra “în cap” toate cele noi care vin peste individ. Da, şi înspre copii vin foarte multe informaţii şi impresii la ora actuală, în cascadă am putea spune, unele “importante”, alte “total neimportante” (depinde din ce punct de vedere priveşti importanţa). Cum am clasifica, de pildă, toate informaţiile ce intră în mintea copilului dinspre toate filmuleţele distractiv provocatoare (mai vechiul youtube sau mai noul TikTok etc.); cât de mult influenţează acestea capacitatea elevului de a recepţiona şi informaţii plictisitoare din cadrul lecţiilor? Legat de acest aspect, recomand cu căldură audierea emisiunii Mind Architect din 5 decembrie 2021 de la postul de radio Europa FM.

Dar şi în cadrul lecţiilor vin uneori mult prea multe informaţii înspre copil. Un coleg profesor de matematică, exasperat de orarul fiicei sale dintr-o anumită zi a săptămânii, prevalându-se de calitatea de inspector de matematică, a stat într-o astfel de zi la toate cele 7 ore în clasa respectivă (deci la toate materiile) şi a numărat itemii noi, ajungând la un număr de peste 140. Deci, elevii din acea clasă, în ziua respectivă au primit peste 140 de itemi noi! Păi, cum să nu mai şi uite?

Într-o astfel de situaţie ţine minte fiecare ce-l atrage mai mult şi desigur uită ce-l interesează mai puţin. Dacă se duce acasă, conştiincios fiind, şi le reia, s-ar putea să mai atenuieze din procesul de uitare. Dar nici pe asta nu ne putem baza neapărat: la câte teme primesc, câţi credeţi că îşi fac cu adevărat timp pentru reactualizare, ca apoi să intre în procesul de angajare activă?

Cineva din Germania mi-a spus: voi pasaţi învăţarea acasă, le pasaţi părinţilor fixarea noţiunilor! Da, iar dacă părinţii nu pot, sau nu au timp, iar copilul nu are forţa de a-şi reactualiza singur noţiunile, atunci ce se întâmplă? Fie are loc abandonul, fie pănă la urmă apare o meditaţie plătită de către familie.

Trebuie să mai revin la subiectul angajării active la clasă. Cum am spus deja, dacă îl scot pe un elev la tablă,la acesta apare automat angajarea activă, eventual mai apare şi la alţi elevi care reuşesc să se conecteze cu subiectul, dar este evident că mulţi rămân şi “pe de lângă”, devenind simpli copiatori (în cazul bun; cunoaştem şi situaţii în care nu tot ce se scrie pe tablă ajunge şi în caietul copilului). Aşadar, putem concluziona că într-o oră obişnuită mulţi elevi nu intră în faza de angajare activă, acesta fiind unul din motivele pentru care nici nu ajung să fixeze noile cunoştinţe. Urmare este evidentă: elevul rămâne în urmă, în timp ce dascălul nu se consideră cu nimic responsabil.

O alternativă mult mai eficientă ar reprezenta-o fişele de lucru cărora li se alocă şi un interval temporar corespunzător în timpul orei. Mă refer aici la nişte fişe (poate fi liniştit şi un set de exerciţii din culegere) la care lucrează fiecare elev la el în bancă, în mod similar cu faza de exersare descrisă de Paul Olteanu la volei. Problema este însă cum reuşeşti să-i activezi pe toţi conform nivelului fiecăruia (temă de gândire pentru cititor!). Oricum, o astfel de strategie nu permite o viteză prea mare a lecţiei, aşa cum şi-ar dori unii (iar în România, la clasele sau la şcolile “cu pretenţii” viteza de lucru este una foarte ridicată).

Undeva în zona asta, a fişelor de lucru pentru toţi, acţiona şi metoda d-nei Birte Vestergaard, doar că îi punea pe grupe de 3 elevi, având astfel o garanţie că grupa merge sigur înainte. În şcolile Waldorf din vestul Europei se practică ceva similar, cu un interval de lucru alocat fişei de cca. 30-50 minute, în zona centrală a unei ore duble, fără pauză. Această perioadă de “lucru în linişte” (Stillarbeit) este introdusă chiar din clasa I, la început mai scurtă, de cca. 10-15 minute, dar ajunge destul de repede să crească, iar prin clasa a 3-a ajunge deja la 40 minute. Copiii sunt atunci deja obişnuiţi să lucreze individual fără excepţie.

Obiectivul meu este de a ajunge să am astfel de fişe de lucru pentru toate lecţiile, inclusiv unele pentru cel mult 15-20 minute, adaptate orelor individuale, de 50 de minute. Revenind la colegii din vestul Europei, cu care am avut discuţii, ştiu de la ei că fişa este astfel redactată încât are spre final şi sarcini mai grele. Astfel, în funcţie de nivelul fiecăruia, elevii au de lucru zilnic această parte, la şcoală (repet şi accentuez: ZILNIC!). Dacă nu a apucat să facă tot ce ştie, atunci de la un caz la altul câte un elev mai are de lucrat acasă. Dar altă temă nu se primeşte, aşa încât de obicei majoritatea elevilor să nici nu au temă de casă (!). Aşadar, aceştia chiar fac angajare activă cu toată clasa.

Revenind la interviul iniţial, în final există o întrebare interesantă: CS: Spune-mi un ultim lucru: încurajezi învăţarea pe de rost a unor lucruri? Se întâmplă în şcoala din România şi probabil peste tot. PO: Cred că e mult mai înţelept şi important să învăţăm copiii să opereze cu informaţia pe care o primesc. Aici pot doar să comentez: copilul obişnuit să opereze uzual cu informaţiile primite, acesta va putea cu timpul să intre mult mai uşor în procesul de angajare activă. Dimpotrivă, cum se va putea implica activ, într-o problemă de gândire, un elev care a învăţat pe de rost, de pildă reţeta de găsire a cmmmc, dar nu a înţeles de fapt noţiunea? În formarea de automatisme ajută învăţatul pe de rost, dar elevul nu este astfel stimulat să facă şi pasul spre gândire. Iar fără gândire, asta nu mai este matematică. CTG

Cum învăţăm – (1) Atenţia

Prezentam în postarea precedentă despre cum învăţăm dialogul complet al emisiunii din 10 octombrie 2021 dintre Paul Olteanu şi Cătălin Striblea (din emisiunea Lumea Europa FM organizată de d-na Iulia Verbancu, un interviu de dl. Cătălin Striblea cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu).

În această serie de eseuri aş dori să analizez câte puţin fiecare din cele patru etape ale unei învăţări sănătoase, pe baza spuselor d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza propriilor experienţe, atât a experienţelor şi căutărilor personale, cât şi a experienţelor de observare asupra celor din jur. Mai ales însă, aş dori să analizez cum respectă sau nu diferitele modele de predare parcurgerea acestor patru etape. Putem desigur să analizăm şi cum respectă, sau mai degrabă cum sabotează viaţa actuală a elevilor parcurgerea sănătoasă a celor patru etape ale învăţării.

Să începem cu o recapitulare. Aşadar, am aflat din emisiunea respectivă (difuzată în serial în fiecare duminică la ora 10;45 pe Europa FM) că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) somnul de după.

*

Să începem deci cu (1) ATENŢIA, respectiv cu captarea atenţiei, aşa cum apare aceasta în limbajul metodico-didactic uzual, deşi poate ar trebui să vorbim şi despre păstrarea atenţiei pe parcursul orei. Paul Olteanu recomandă clar în timpul emisiunii respective: captarea atenţiei este esenţială, deci eu, dacă aş fi profesor, aş depune efort la începutul lecţiei să-i fac pe copii atenţi la ce urmează să le spun, să le captez atenţia. La nivelul creierului, atenţia e un dar pe care-l câştigi, nu e ceva pe care-l comanzi! Dacă n-ai atenţie, nu demarează procesul de învăţare.

La stabilirea titlului acestu eseu am gândit la un moment dat un titlu mai extins: Atenţia şi câţiva factori ce o influenţează. Într-adevăr, atenţia elevilor la oră depinde de o sumedenie de factori. Unul dintre aceştia ar fi abordarea dascălului şi cât timp acordă acesta captării atenţiei. Este foarte important să atingem şî aspectul următor: câte atenţie se poate capta la diferitele vârste cu o materie mult prea teoretică şi abstractă. Un alt factor ar fi desigur atmosfera din clasă. Trebuie neapărat vorbit şi despre capacitatea elevului, a elevilor de a acorda atenţie unui subiect extern, un subiect care nu face parte dintre subiectele lor preferate, dar şi despre durata medie a elevilor de a acorda atenţie într-o lecţie.

Se vede că subiectele se împart clar în două părţi, anume cele care ţin de responsabilitatea adulţilor participanţi la oră (profesorul, dar şi toţi cei care sunt în spatele său: realizatorii de manuale, de programe, profesorii metodişti din facultăţi sau formatorii de la diverse cursuri), cât şi cele care ţin de responsabilitatea elevilor (a lor, dar mai ales a celor care sunt în spatele lor: familie, prieteni, societate etc.). Să începen cu aspectele ce ţin de elevi şi vom începe chiar cu durata medie a capacităţii de acordare a atenţiei la elevi.

Despre acest ultim aspect am auzit în urmă cu peste zece ani, atunci când o prietenă bună s-a întors din Statele Unite după câţiva ani de predat acolo. Ea ne-a povestit atunci despre attention span (interval la care poate fi extinsă atenţia) şi despre faptul că acolo acest interval de atenţie era considerat a fi la elevii de liceu cam de cca. 6 minute (vezi P.S.). Cu alte cuvinte, n-aveai voie ca profesor să le “turui” elemente de lecţie mai mult de 5-6 minute, după care trebuia să le dai exerciţii aplicative (ceea ce Paul Olteanu numea angajare activă). Aşadar, elevii sunt în stare să acorde profesorului atenţie pentru un anumit interval de timp, după care GATA!, s-a dus cu atenţia în secvenţa respectivă de învăţare, segvenţă de prelegere, de audiere a unui discurs. În paralel, prietena mea vorbea despre recomandarea de a alterna activităţile de învăţare (cu accent înspre a nu ţine clasa într-o prea lungă etapă de prelegere, deoarece atenţia elevilor nu ţine prea mult).

Concluzionăm (din relatările ei) că învăţarea poate continua însă în mod sănătos dacă elevii sunt trecuţi rapid în faza de angajare activă, în care tu ca profesori “te pui pe stand by” (te pui “pe pauză”), aşteptând ca elevii să parcurgă aplicaţiile date (fişă; manual; culegere etc.). De fapt, după ce au terminat de lucrat aplicaţiile, ar trebui să vină imediat şi faza de verificare a rezolvărilor (dacă se lucrează individual în bancă, fiecare pe caietul său). Dacă s-a lucrat la tablă, atunci aceasta a avut deja loc prin verificarea şi eventual corectarea în timp real a celui scos la tablă, dar acesta este deja un alt subiect.

Dar, revenind la subiectul nostru, de unde s-a ajuns ca în “lumea civilizată” elevii să aibă o capacitate atât de scurtă de atenţie? Asta este o întrebare foarte importantă pentru că şi noi românii am ajuns “încet, dar sigur” spre acea stare de lucruri. Din câte cunosc, capacitatea de atenţie a copiilor suferă puternic cu cât aceştia petrec mai mult timp în faţa ecranului, iar în ultimii 30 de ani am recuperat şi noi puternic, ajungând în anumite domenii ale folosirii ecranului destul de sus “în topuri” (la acest subiect sunt un mic specialist; am parcurs 7 module de câte o săptămână cu dl. Heinz Buddemeier, Profesor la Universitatea din Bremen, Germania, specializat în efectele ecranului asupra oamenilor).

Folosirea ecranelor de la vârste tot mai fragede şi tot mai multe ore pe zi duce la scăderea capacităţii copiilor de a fi atenţi la un discurs oral, la explicaţii verbale, la lecturarea unui manual, în cazul nostru la o lecţie de matematică. Păi, să privim doar dintr-un singur punct de vedere: cum poate concura lecţia unui profesor de matematică cu orice filmuleţ gândit doar să producă distracţie instantanee? Şi mă abţin aici să dau exemple de filmuleţe sau de surse ale acestora.

Nu este momentul acum de a mă lansa într-o explicaţie exhaustivă a fenomenului, dar vă propun (pe încredere) să luăm ideea ca atare: atenţia şi capacitatea de învăţare a elevilor au scăzut masiv cu timpul, în paralel cu – mai exact cauzată de – creşterea perioadelor petrecute în faţa ecranelor (de obicei cu scop recreativ) de către diferitele generaţii. Concluzia rapidă este însă una singură: profesorul de matematică poate cu greu să concureze nivelului deosebit de ridicat de divertisment al ecranului.

Să ne lămurim: faptul că elevii noştri actuali folosesc masiv ecrane (deci în prezent), dar şi faptul că au stat în faţa ecranelor de la vârste tot mai fragede în comparaţie cu generaţiile precedente (deci în trecutul lor), aceste aspecte duc la faptul că actualii elevi nu pot da atenţie unui subiect pe o durată prea lungă, dar duc şi la o stare de fapt mult mai îngrijorătoare: ei nu prea mai pot da atenţie unui proces care nu are capacitatea de atragere a atenţiei similară cu cea a filmuleţelor cu care ei sunt obişnuiţi.

Este evident că, în paralel cu prezentul eseu, datorită nevoii logice de lămurire a efectelor ecranului asupra capacităţii de învăţare ulterioare a elevilor (capacitatea de atenţie sau de imaginare a noţiunilor prezentate), am pornit munca la o prezentare a acestor aspecte, prezentare ce va face tema unui articol separat (sper să fie publicabil în curând).

Să revenim însă la lecţia de matematică. Mă plângeam la sfârşitul prezentării emisiunii despre faptul că în teoria lui Paul Olteanu lipseşte PREDAREA lecţiei, a materialului nou. Părerea mea este că aceasta este inclusă în partea în care elevii trebuie să acorde atenţie, iar noi, profesorii avem posibilitatea de a prelungi intervalul de atenţie la care sunt capabili elevii prin prezentarea materialului de predat într-un mod cât mai atractiv şi captivant. Despre asta am scris foarte mult. ARTA PREDĂRII MATEMATICII despre asta vorbeşte. Mă rezum acum doar la aminti aici câteva cuvinte cheie din acest spectru: predarea prin problematizare, cu forma ei extremă predarea prin întrebări, elemente de magie matematică, diferite poveşti despre fenomenele studiate, folosirea diferitelor tehnici din domeniu psihologic în scopul atrageri atenţiei elevilor, etc.

După părerea mea, profesorul de matematică (nu numai) ar trebui să se străduiască tot timpul (sau, oricum, cât mai des) să obţină o transformare a lecţiei din zona de corvoadă înspre o zonă mai plăcută (deci mai atractivă); nu neapărat înspre o zonă de distracţie (entertainment pe engleză), dar măcar într-o zonă de implicare cât mai generalizată a elevilor. Cu alte cuvinte, profesorii ar trebui să se preocupe cât mai mult înspre obţinerea unei stări de atenţie pe bază de implicare benevolă a elevilor; o implicare cu aspecte emoţionale pozitive, cu o stare de blândeţe şi cu componente practice cât mai frecvente.

Un alt aspect important ar deriva din renumita fază de “captare a atenţiei”, despre care se spune că este situaţă la începutul lecţiei (aşa am învăţat toţi la cursul de metodică). Asta este o mare prostie: profesorul trebuie să se preocupe constant de captarea atenţiei, nu doar la începutul lecţiei. Punerea acestei faze, din punct de vedere al teoriei metodico-didactice la începutul orei de matematică, această poziţionare subînţelege faptul că la începutul orei trebuie să faci ceva (oare-ce? neclar-ce!), prin care să captezi atenţia, după care tu ca profesor, poţi să te concentrezi asupra lecţiei tale, poţi “să-ţi turui lecţia”, pentru că beneficiezi automat de atenţia pe care ai captat-o la început. Fals! Total fals!

În cursurile de metodică din facultate, peste această fază se trecea destul de repede, astfel încât ca studenţi am subînţeles că această fază nu-i tare importantă din punct de vedere al matematicii. Cel puţin în facultatea de matematică toată lumea înţelegea că peste această fază se trece repede, aceasta constând în general în povestirea pe scurt a lecţiei ce urma a fi predată.

Revenind la captarea atenţiei, tu, ca profesor, trebuie să simţi tot timpul clasa şi să percepi gradul de atenţie al elevilor: când acesta scade prea mult, tu de fapt ajungi să vorbeşti “cu pereţii” (da, în cel mai bun caz cu cei foarte puţini care încă reuşesc să te urmărească).

Aici ne apropiem puternic de un alt aspect interesant. În limba română se spune “fi atent”, pe când în limba engleză se spune “to pay attention”, adică “plăteşte atenţie” (poate mai bine “dă atenţie”, poate “investeşte atenţie”). Pe lângă celelalte, forma englezească aduce o nuanţă suplimentară: atenţia este ceva foarte valoros, este “o monedă” de care elevul dispune şi pe care ţi-o dă ţie, profesorul. Atenţia este o valoare, iar aceasta trebuie tratată ca atare, adică cu respect!

Toate aceste forme vorbesc despre un act conştient, intenţionat, din partea elevului, cu o consecinţă destul de ciudată în abordarea dascălului: dacă ceva nu mai funcţionează bine cu atenţia, înseamnă că elevul este de vină, deoarece atenţia este doar în sarcina elevului. O astfel de înţelegere este cu totul greşită: după cum am explicat mai sus, profesorul are datoria de a veni înspre elev cu o lecţie atractivă, prin care el să atragă automat atenţia elevului înspre subiectul studiat. Fenomenul atenţiei are clar doi actori; în conectarea dintre elev şi profesor prin intermediul atenţiei, cei doi ocupă roluri la fel de importante.

Astfel, profesorul trebuie să vină cu elemente de lecţie atractivă (în cazul ideal, acestea să-l aibă pe “acel vino-ncoa” faţă de atenţia elevului, tinzând spre fenomenul atractivităţii filmuleţelor cu care este obişnuit elevul); când vorbesc despre ARTA PREDĂRII, eu cam la aşa ceva mă gândesc. Teoretic, asta este suficient pentru ca lecţia să poată funcţiona bine, cu efecte mulţumitoare la nivelul tuturor actorilor procesului de predare (profesori, elevi, părinţi, chiar societate). De unde pot apărea perturbări ale procesului de atenţie, cu influenţe asupra nivelului învăţării?

Rareori când eu ajung să-i consider direct pe elevi de vină. De obicei, atunci când elevul nu este capabil să fie atent, aceasta se trage de la ceva greşit petrecut în trecutul său, de obicei acasă. Am abordat în acest sens faptul că folosirea tot mai extinsă a ecranului duce la o scădere tot mai accentuată a capacităţilor de atenţie (am avut cazuri de elevi ce fuseseră masiv “uitaţi parcaţi în faţa televizorului”, cu consecinţe năucitoare la adresa capacităţii de atenţie şi de imaginare, de interiorizare a elementelor din lecţie). Mă opresc însă aici cu această linie de discuţie. Desigur că există şi cazuri în care evenimentele cauzatoare au avut loc la şcoală; Paul Olteanu atinge şi astfel de situaţii în prezentările sale (pe care le recomand toate cu mare drag; înveţi din acestea muuult, mult mai mult decât într-un curs oficial, din acela cu puncte!).

Ce poate greşi însă profesorul de la clasă în atragerea atenţiei elevilor? În primul rând ar fi “turuirea lecţiei” (termen des întâlnit în acuzele aduse în public, profesorilor din România, aşa încât încep să-l folosesc şi eu ca atare). Apoi ar fi prezentarea unor lecţii mult prea teoreticiste, atât legat de încărcarea cu termeni foarte înalţi din punct de vedere ştiinţific, neaccesibili auditoriului (elevilor), cât şi legat de o ordonare deosebit de riguroasă ştiinţific, eludând intuiţia naturală. Aş reuni aceste elemente sub expresia “o materie foarte egocentristă” ştiinţific. Apare aici şi încărcarea de-a lungul timpului a materiei cu tot mai multe elemente (lumea face desigur constant comparaţie cu cantitatea de materie din străinătate), care printre altele duce şi la o viteza uneori exagerată de parcurgere a elementelor din ora de matematică. Desigur că nu putem omite aici nici nivelul mult prea crescut al dificultăţii aplicaţiilor făcute la clasă, sau date ca temă.

Toate aceste greşeli de predare au fost introduse forţat în orele de matematică din România odată cu reforma din 1980, ordonată de Ceauşescu la finele anilor ’70 (am numit-o “reforma uitată”), care a fost implementată cu forţa în anii ’80, inclusiv inocularea mândriei la nivel naţional legată de pretinsa superioritate a învăţământului românesc, dovedită de fiecare dată cu argumentul “olimpicii noştri” (la ora actuală şi acest argument a cam dispărut). Ce legătură au olimpicii cu nivelul masiv de analfabetism funcţional de la nivelul întregii populaţii şcolare, asta nimeni încă nu discută. Din păcate însă, toate acestea nu au fost luate în discuţie în 1990, aşa încât greşelile respective s-au generalizat şi s-au cimentat.

Desigur că ar mai fi multe de spus pe tema atenţiei, dar vă las şi pe dvs., stimaţi cititori să mai completaţi din experienţa personală această listă cu cauze ce duc la lipsa atenţiei. Paul Olteanu atinge razant unul dintre aceste aspecte, atunci când spune: Când îţi focalizezi atenţia pe ceva, şi aici vorbim să reduci stimuli care-ţi pot deturna atenţia în altă parte, deci să fi 100% focalizat acolo … . Ţin să amintesc în acest sens o întâmplare edificatoare petrecută în urmă cu cca. 10 ani.

Eram la o clasă a 6-a şi mă străduisem din răsputeri să le captez atenţia spre o discuţie pe baza unei demostraţii la geometrie. Simţeam cum “trăgeam din răsputeri de atenţia lor”, cum subiectul respectiv le era la limita capacităţii de atenţie, dar majoritatea erau “cu mine” în discuţia respectivă. La un moment, un elev cu capacităţi deosebit de slabe la matematică, plictisit fiind şi uitându-se pe geam, uitând că eram la ora de matematică, a exclamat: uitaţi-vă cum se mişcă norii! În acel moment toată clasa a fost cu ochii pe geam (inclusiv eu), văzând nişte nori mari şi pufoşi care într-adevăr se mişcau spectaculos de vizibil datorită unui vânt destul de puternic. Din păcate, odată cu această imagine minunată, atenţia elevilor a fost pur şi simplu spulberată, ca printr-o vrajă, şi mi-a luat mult timp ca să pot relua subiectul în mod mulţumitor, adică să reconstruiesc legăturile de atenţie cu elevii. Pur şi simplu nu se mai puteau concentra (nu merită să amintesc şi consecinţele la adresa vinovatului).

Cred că ne putem opri aici cu o simplă concluzie: noi nu putem influenţa trecutul elevilor (de pildă, cât de mult au petrecut aceştia timp în faţa ecranelor). Singura componentă importantă a procesului de atenţie la ora de matematică pe care o putem noi influenţa este felul în care predăm şi ne structurăm noi ora. Pentru că, dacă nu a fost atenţie la oră, s-a dus pe “valea sâmbetei” tot timpul petrecut cu tema respectivă. Titus Grigorovici

P.S. Attention span, tradus de către dicţionare ca interval sau durată de atenţie (eu i-aş spune interval de disponibilitate sau capacitate a atenţiei), reprezintă perioada de timp petrecută în mod concentrat înainte de a fi distras, adică înainte de a-ţi pierde concentrarea. Distragerea atenţiei apare atunci când aceasta este atrasă incontrolabil de o altă activitate sau senzaţie. Se consideră că antrenarea atenţiei reprezintă o parte a educaţiei, mai ales felul în care elevii sunt antrenaţi să rămână concentraţi pe un anumit subiect pentru perioade prelungite, dezvoltând abilităţi de ascultare şi analitice în acest proces (textul din acest P.S. este preluat şi tradus liber de pe https://en.wikipedia.org/wiki/Attention_span. Iată acest text şi în original: Attention span is the amount of time spent concentrating on a task before becoming distracted. Distractibility occurs when attention is uncontrollably diverted to another activity or sensation. Attention training is said to be part of education, particularly in the way students are trained to remain focused on a topic of observation or discussion for extended periods, developing listening and analytical skills in the process.

Conferinţă Birte Vestergaard (P.S.) – O analiză comparativă a metodelor de predare

În conferinţa sa, d-na Birte Vestergaard şi-a prezentat metoda dezvoltată pornind de la analiza formei tradiţionale de predare, pe care a “transformat-o” în paşi rapizi, ajungând la forma propusă, pe baza analizei relaţionării dintre profesor şi elevi. Consider că merită reluată ideea şi analizată ceva mai detaliat, în funcţie de gradul de implicare a elevilor, analiza devenind un drum metodic ce ne duce de la starea de elev pasiv la cea de elev activ. Acelaşi proces de transformare poate fi privit şi “din partea cealaltă a clasei”, respectiv în funcţie de capacitatea profesorul de “a descărca” din implicarea sa către implicarea elevilor.

Pentru început, să numim “predare prin prelegere” forma cea mai egocentristă de predare a unei materii, acea formă în care profesorul vorbeşte singur la tablă expunându-şi materia de predat. Aceasta este o formă de sorginte academică şi a ajuns din păcate să fie masiv practicată şi în preuniversitarul românesc. Această formă de predare ajunge cel mai puţin la elev, foarte puţini fiind cei care reuşesc să înveţe cu adevărat din aceste ore. Probabil că asta este şi una din sursele pentru care în România, cadrele didactice din preuniversitar se numesc “profesor”. În Germania de pildă, până în clasa a 12-a se numesc tot învăţători; am înţeles că şi în Moldova ar fi la fel.

O formă mai blândă, care cel puţin îşi propune să mimeze interacţiunea cu elevii, este “prelegerea cu mimare a dialogului“.  În aceasta, profesorul se adresează elevilor, dar în realitate nu are loc un adevărat dialog. Profesorul pune aparent întrebări, dar imediat tot el şi răspunde. Această metodă poate avea o oarecare eficienţă în cazul elevilor buni la acea materie, care pot să-şi activeze curiozitatea şi gândirea instantaneu, atunci când profesorul pune întrebarea sa, gândind în fracţiunile de secundă până când profesorul şi dă răspunsul. Cred că sunt foarte puţini cei care reuşesc asta.

În acest fel de predare, profesorul chiar are impresia unui dialog, pentru că mulţi elevi “joacă teatru”, afişând o mutră interesată, chiar oferind o mimică implicată. Uneori astfel de profesori chiar adresează întrebări către clasă, dar oferă imediat şi un parţial răspuns, astfel încât elevii care mimau interesul chiar finalizează ei răspunsul. Ţin minte un exemplu de când eram directur şi tocmai asistam la o oră de istorie. Profesorul întreabă: Cine a unit pentru prima dată cele trei provincii româneşti? Şi tot el porneşte şi răspunsul: Mihai …, la care elevii răspund în cor: Viteazu! Este evident că acest stil de predare îi împinge şi pe elevi într-o stare de “mimare a învăţării, a atenţiei şi a gândirii“. Iar asta este desigur foarte dăunător. La asta duce o psihologie prost înţeleasă de încurajare gratuită a elevilor. Este o încurajare necinstită, iar elevii se obişnuiesc cu timpul să fie necinstiţi, aceasta devenind pentru  ei oarecum o a doua natură.

Oricum, impresia ce o are profesorul – falsă, desigur –  cum că ar avea loc un dialog, îi permite acestuia să urce oricât de sus cu nivelul lecţiei, pentru că – nu-i aşa? – elevii înţeleg; este clar că înţeleg pentru că, evident, participă. Este însă o participare falsă, doar aparentă. În realitate clasa este de mult ruptă în mare parte de subiectul lecţiei, singura lor preocupare fiind cea de a vâna cuvintele care să dea aparenţa înţelegerii. În exemplul de mai sus, i-am întrebat ora următoare pe elevii respectivi (erau în clasa a 7-a) despre cât au înţeles şi mi-au confirmat: la orele de istorie înţelegeau şi participau doar doi elevi. Unul, cel mai bun din clasă, era un elev cu adevărat briliant, matur mult peste vârsta clasei, iar celălalt avea mama arheolog, deci era oricum familiarizat de acasă cu fenomenul istoric.

Se pot întâmpla astfel de fenomene şi în cazul unei lecţii cu un dialog adevărat. În urmă cu câţiva ani am avut un astfel de caz. Am avut o clasă cu un grup de elevi foarte buni, adevăraţi “ardei iuţi”, care-i dominau pe restul masiv.Câţiva dintre cei buni se simţeau între ei într-un un aparent concurs de “cine dă mai repede răspunsul”. În acest context, un elev cu potenţial bun ajunsese din păcate să perceapă ora de matematică doar ca acest concurs de “cine dă mai repede răspunsul”. Situaţia era de aşa natură încât nu învăţa deloc la matematică, dar se gândise el cum să fie şi el între şmecherii clasei care ştiau la ora de mate. El nu era atent la dialogul orei (deci nici la ce spuneam eu sau întrebam), ci doar la colegii lui. Chiar stătea întors puţin la stânga ca să-i poată percepe mai bine. Iar când unul “trăgea” un răspuns, viteazul nostru striga şi el cuvântul respectiv cu o întârziere minimă. Uneori reuşea performanţa să “tragă” şi el cu jumătate de cuvânt întârziere.

Nu-mi venea a crede! El făcea cu colegii lui (în care avea încredere că răspund corect) exact ceea ce făcea în urmă cu patru ani fratele său la orele de istorie cu profesorul (erau patru ani între cei doi fraţi). Desigur că i-am atras atenţia după ce l-am urmărit că făcea asta ordonat şi conştient, fără ca de fapt să urmărească dialogul matematic al orei (el de fapt nu învăţa nimic). Şi vă daţi seama ce tărăboi am avut din partea mamei ulterior, pentru că mândrul nostru s-a dus acasă şi s-a plâns că “l-am înjosit”, că doar el răspundea corect.

Totuşi, după o vreme s-a apucat să înveţe, iar după o jumătate de an, când a început să dea răspunsuri corecte înaintea celorlalţi, l-am lăudat, m-am uitat fix în ochii lui şi l-am întrebat: acum înţelegi ce-ai făcut? S-a uitat şi el fix la mine, iar apoi, în timp ce lăsa ochii în jos a zis Da!, cu un gest absolut sugestiv al capului.

Dar să revenim la analiza noastră şi la profesorul care girează chiar el un doar aparent dialog. Această formă de predare este la fel de falsă ca şi prima, dovadă fiind că o astfel de lecţie ar putea fi prezentată şi în scris, într-o carte: autorul întreabă şi imediat el şi dă răspunsul. Într-un astfel de caz elevul cititor nu şi-ar simţi forţată atenţia, gândirea sau cunoştinţele, deoarece răspunsul va veni oricum imediat.

Revenind în clasă, se poate vedea că elevii sunt obişnuiţi să citească pe faţa profesorului dacă răspunsul lor este corect sau nu, iar asta ajung să o facă mulţi conştient, chiar din prima parte a răspunsului. Dacă profesorul afişează o figură luminoasă, entuziasmată, afirmativă, atunci elevul îşi duce răspunsul la bun sfârşit. Dacă în timpul răspunsului elevul “vede” pe faţa profesorului că nu e de bine (aici este vorba de fracţiuni de secundă), atunci afişează o răzgândire, ca şi cum ar fi cugetat mai bine şi şi-ar fi dat seama că nu e bine. De fapt însă, reacţia de întoarcere a fost doar pe baza feţei profesorului.

Ca să-i nu dau aceste informaţii vizuale, eu m-am învăţat ca în timpul răspunsului unui elev să nu afişez nimic, să aştept finalizarea răspunsului şi doar apoi să dau verdictul, dacă e bine sau nu. Observ validitatea acestei metode, anume că îi forţez pe elevi să gândească cu adevărat, atunci când vine într-o clasă un elev nou, iar eu îl forţez să iasă din starea cu care s-a obişnuit de la celălalt profesor, de a “mima gândirea”. Concret, atunci când porneşte şi el să răspundă (ca să se afirme în noul colectiv), dar eu afişez acest poker-face (faţă de pocăr), elevul derutat se opreşte din răspuns, mimând o răzgândire, pentru că el era obişnuit să poată vedea pe faţa profesorului confirmarea că răspunsul său este pe calea cea bună. El se opreşte din răspuns, chiar dacă răspunsul său este bun, pentru că eu nu afişez pe faţa mea acest lucru. Partea comică a situaţiei este că elevii vechi din clasă înţeleg foarte bine mecanismul folosit de mine, chiar şi motivul pentru care o fac. Chiar sunt conştienţi şi de rolul lor de a nu răspunde acum, pentru a-l sprijini pe noul coleg în strădaniile sale de integrare. Iar acum, în mod neaşteptat şi total nejustificat, acesta se opreşte. De ce s-a oprit, pentru că răspunsul era pe linia corectă? De două ori s-a întâmplat până acum ca într-o astfel de situaţie, cu un coleg nou care se întrerupe, un elev mai vechi din clasă să-i precizeze clar, în gura mare, fără nici cea mai mică jenă: stai liniştit (simţind sperietura celui nou), spune răspunsul până al capăt; aşa face profu’ ăsta.

Mergând pe această scară a implicării elevilor în ora de matematică, putem desigur să ajungem şi la situaţia când dialogul din oră chiar există şi este într-o formă cinstită. Să numim această formă “predare frontală deschisă (cu dialog)” Aceasta ar fi forma ideală de oră de matematică tradiţională, îmbinând eficienţa temporală a prelegerii cu prezenţa dialogului ca o dovadă clară a implicării elevilor în subiectul dezbătut. Din păcate însă, chiar şi în cele mai bune cazuri, implicarea elevilor este limitată doar la cei mai buni (şi deci mai curajoşi în ale matematicii), dar este limitată şi din punct de vedere a iniţiativei gândirii, firul roşu al lecţiei fiind condus exclusiv de către profesor (am putea spune “cu mână fermă”, eventualele deviaţii la iniţiativa unui elev fiind totuşi nedorite şi deci refuzate politicos de către profesor: nu “ne-am” propus să desbatem această întrebare, sau nu avem timp de asta acum etc.).

Facem un pas înainte şi ajungem la “predarea prin problematizare frontală“, la care profesorul nu mai dă cunoştinţele de predat, ci pune doar întrebări, expune mici sau mari dileme, iar elevii sunt nevoiţi să dea răspunsuri, pentru că altfel nu se avansează în lecţie. Profesorul problematizează o situaţie, gândită şi dorită de el, dar lecţia este descoperită pas cu pas de către elevi. Poate să fie o mare situaţie de problematizare, sau dimpotrivă, procesul poate fi compus dintr-o serie de întrebări în paşi mici, cu răspunsurile aferente din partea elevilor. În general, profesorul îşi va seta magnitudinea întrebărilor în funcţie de experienţa cu clasa respectivă, dar şi în funcţie de multe alte aspecte. De pildă, la o lecţie deschisă, eu voi pune desigur întrebări în paşi mai mici, ca să fiu sigur că elevii pot răspunde (evident că aşa dă bine în faţa invitaţiilor). Dacă nu-mi reglez bine întrebările, atunci elevii nu vor şti răspunde, iar asta arată urât în faţa invitaţilor. Dacă nu avem invitaţi la oră, ca profesor mă pot regla din mers. Inclusiv, dacă văd că ritmul propus este prea rapid şi doar puţini elevi participă de fapt la proces, voi decide spontan să merg în paşi mai mici, deci mai încet, lăsând o parte din lecţia propusă pe ora viitoare. O astfel de decizie este ajutată şi de situaţia că un elev bunicel îţi semnalizează cumva că nu pricepe ce se întâmplă în procesul lecţiei. Depinde de la un caz la altul cât de tare cobor în acest proces de reglare în funcţie de cât de buni sau de slabi sunt elevii care îmi semnalizează că nu înţeleg.

Este evident că aici sunt posibile diverse devieri ale lecţiei faţă de cea gândită apriorii de către profesor: se prea poate ca un elev sau altul să vină cu idei de rezolvare surprinzătoare. Toate acestea pot costa timp suplimentar şi cer o deschidere mult mai mare din partea profesorului.

Predarea prin problematizare îi implică mult mai mult pe elevi, dar sigur nu pe toţi. Într-o clasă obişnuită ne putem aştepta că mai mult de jumătate dintre elevi se vor complace într-o stare de simpli copişti (elevii care doar copiază de pe tablă). Singura lor iniţiativă, la care vor ridica mâna, va fi să întrebe ce am scris acolo (de aici se vede clar pe unde sunt ei cu copiatul de pe tablă). Această metodă este mult mai bună pentru elevii buni sau curajoşi, chiar şi pentru cei timizi dar atenţi, dar merge total “pe de lângă” faţă de elevii slabi. Aceştia se rezumă la o poziţie de “copiator” de pe tablă iar în rest stau speriaţi, fiind retraşi total în “cochilia” lor. Iar apoi, de obicei, în vederea testelor pregătesc cel mult diferite strategii de fraudare a testului, pentru că ei de fapt n-au înţeles nimic din lecţiile parcurse.

Prin strategii de fraudare înţeleg aici desigur şi strădaniile totuşi cinstite de a învăţa pe de rost rezolvările parcurse la clasă. A învăţa ocazional o anumită rezolvare mai deosebită, asta cumva o mai pot înţelege. Dar, un elev care se obişnuieşte să înveţe pe de rost toate rezolvările, acela sigur nu are nimic în comun cu fenomenul matematic, respectiv cu gândirea matematică. Nici nu are rost să analizez aici cazul unui profesor care asta le şi cere elevilor săi de liceu, anume să înveţe pe de rost rezolvările. Câte rezolvări poate ţine minte un elev pe de rost? Este evident că şi asta poate fi încadrată liniştit la categoria de reală “fraudare a matematicii”. Dovada că este aşa vine cel târziu, în clasa a 12-a când elevul (obişnuit până acum cu nota 10, obţinută însă pe învăţarea pe de rost a tuturor rezolvărilor), acest elev  clachează pentru că nu mai poate face faţă cantităţii uriaşe de rezolvări din materia de BAC. Am cunoscut un astfel de caz, când elevul respectiv obişnuit cu 9-10 a căzut la vremea simulării de primăvară la 5-6, căzând într-o depresie dură, familia ajungând să se teamă chiar şi de un gest nesăbuit.

Dar, să revenim la enumerarea noastră a tipurilor de lecţie, evident realizată în funcţie de gradul de implicare al elevilor. Ultimul pas pe această linie, după câte ştiu eu, ar fi “predarea pe baza fişelor de descoperire” prezentată în conferinţa sa de d-na Birte Vestergaard. Aici sunt atraşi în lecţie şi elevii slabi. Cu alte cuvinte chiar, obiectivul declarat al acestei d-ne profesoare este de a nu lăsa “pe lângă căruţă” nici măcar un elev. Toţi elevii clasei ajung să fie implicaţi 100% în parcurgerea şi înţelegerea lecţiei, iar pentru asta dânsa a gândit anumiţi paşi foarte clari (pe care i-am prezentat în primele postări). Desigur că viteza de parcurgere a lecţiei mai scade, dar am tratat şi acest aspect.

În acest stil de lecţie profesorul este în primul rând un foarte bun scenarist (prin redactarea fişelor respective), apoi trece într-o poziţie colaterală lecţiei, poziţie care implică câte puţin din următoarele meserii: psiholog; regizor; arbitru de fotbal; dirijor; profesor enigmatic etc.

Schimbând aparent total spectrul prezentării, doresc să fac aici o scurtă paranteză şi să vă aduc un citat deosebit din reperele metodologice însoţitoare la noua programă pentru clasa a IX-a, valabilă din anul şcolar 2021-2022. Următoarea sugestie, găsită în Repere metodologice – Cap III.4. la pag. 67, scrie ad literam următoarele:

Proiectarea didactică trebuie să aibă în vedere stiluri și ritmuri de învățare diferite și trebuie să aibă adresabilitate atât către elevii cu dificultăți în învățare, cât și către elevii capabili de performanță. În clase eterogene, atenția profesorului trebuie să fie echitabil repartizată diferitelor grupuri, implicând strategii de învățare diferențiată. Accentul nu trebuie pus pe separarea continuă a activităților pe grupuri de nivel (omogene), ci pe subgrupuri eterogene, facilitând o învățare colegială, prin cooperare.

Aliniatul este fabulos şi ar fi meritat îngroşat complet. Pentru cine n-a înţeles ce se cere în această sugestie metodologică, eu cred că prezentarea formei de lucru propusă de D-na Vestergaard aduce lămuriri arhisuficiente. Dar să revenim la enumerarea noastră

La toate formele expuse până aici, lecţia decurge totuşi în linii mari pe “traseul matematic” gândit şi planificat de către profesor. Am cunoştinţă şi despre o altă formă de predare, mult, mult mai extremă, anume “predarea dialogică” a lui Peter Gallin profesor în Elveţia. Pe scurt, dânsul dă o temă de lucru pentru acasă, pe care elevii o lucrează pentru a doua zi. În general, sunt teme cât mai deschise ca răspuns. Ei au organizat în spatele clasei un raft în care elevii îşi aduc caietele cu tratarea temei respective. Profesorul le ia când ar timp (o fereastră sau la sfârşitul programului său), le analizează rapid şi decide pe loc care să fie următoarea întrebare, sarcină de studiu, temă de lucru pe ziua următoare. Oricum, aduce caietele înapoi în raftul cu pricina înainte de terminarea orelor de către elevi. La plecare elevii le iau acasă, găsesc în caiet noua întrebare şi ciclul se reia.

Profesorul decide destul de spontan următoarea temă de lucru în funcţie de varii aspecte. Poate că mulţi elevi au făcut o anume greşeală, care se cere lămurită; poate că un elev sau o elevă a dat o rezolvare surprinzătoare la tema precedentă, iar această idee se merită exploatată, sau cine ştie ce alte criterii de decizie ar putea apărea. Aşadar, “per ansamblu” această “predare” are loc într-un dialog permanent, dialog care nu se ştie neapărat unde va duce. Nici chiar profesorul nu ştie de la început care va fi drumul parcurs de aceste întrebări pe durată. Profesorul ştie sigur doar prima întrebare; poate el are un parcurs în minte, pe care va dori să-l ţină în mare, dar îşi va permite divagaţii mai mici sau mai mari, sau poate va permite un parcurs total neplanificat. Totul depinde foarte mult şi de cât este de deschis la minte profesorul, dar şi de cât de implicaţi sunt elevii. Se poate ca la început parcursul să fie mai stabil, mai planificabil dar, odată cu trecerea timpului şi “dezgheţarea atmosferei”, elevii să aibă iniţiative mai intense şi lucrurile să devină mai “volatile”. Am nişte materiale pe această temă şi sper ca într-o bună zi să pot face o prezentare mai detaliată a acestei metode (foarte potrivită pentru o activitate suplimentară la liceu, dacă se doreşte).

Trebuie să precizez că nu am pretenţia ca această analiză să fi fost exhaustivă, dar cam aşa văd eu lucrurile la ora actuală. Oricum, în sensul preocupărilor mele evidente de implicare a cât mai multor elevi în lecţie, folosind cât mai des predarea prin problematizare, sper să fi oferit doritorilor noi argumente înspre părăsirea predării prin prelegere, în care din păcate mulţi au ajuns să se blocheze, dând doar vina pe elevi pentru lipsa rezultatelor.  CTG.

P.S. La forma de predare pe care am numit-o “prelegerea cu mimare a dialogului” am exprimat părerea că această formă de predare este la fel de falsă ca şi prima (“predarea prin prelegere”), dovadă fiind că o astfel de lecţie ar putea fi prezentată şi în scris, într-o carte. Astfel, într-o carte autorul întreabă şi imediat tot el şi dă răspunsul. Într-un astfel de caz elevul cititor nu şi-ar simţi forţată atenţia, gândirea sau cunoştinţele, deoarece răspunsul va veni oricum imediat.

O formă mai voalată şi ceva mai reuşită din punct de vedere al implicării cititorului estea cea prezentă în Drăcuşorul numerelor de Hans Magnus Enzensberger (tradusă în română ca Drăcuşorul cifrelor la editura Pandora, grupul editorial TREI în 2015; vezi prezentarea  http://pentagonia.ro/dracusorul-cifrelor-o-prezentare-de-carte/ ).

Aici drăcuşorul întreabă, iar apoi, pe parcursul textului apare şi răspunsul, fie de la drăcuşor, fie găsit de personajul principal, un băieţel căruia drăcuşorul îi apare în vise succesive. Putem desigur să ne “indignăm”. Adică, ce? Ideile matematice vin eventual dintr-o lume “diabolică” a viselor? Gândirea provocărilor matematice este resimţită deci de mulţi ca o activitate obscură, ezoterico-mistică? Revenind cu “picioarele pe pământ”, trebuie desigur să apreciem strădania autorului de a redacta o formă în care se străduieşte să-l atragă pe cititor în procesul de gândire a fenomenelor matematice. Pentru că, de obicei, cărţile de matematică sunt redactate astfel încât se citesc pasiv din punct de vedere al gândirii. Asta dacă nu sunt culegeri de probleme, unde se dau numai provocări, la care eventual se prezintă răspunsurile în final.

Actualmente lucrez la o carte prin care îmi doresc să atrag elevul în activitatea matematică de pas cu pas. Voi pune întrebări, însă nu vreau să ofer imediat şi răspunsurile, aidoma unui curs universitar, pentru a forţa cititorul să şi gândească. Totuşi, nici nu-mi pot permite să pun doar întrebări, fără a avea o minimă garanţie că elevul care citeşte cartea mă şi însoţeşte pe drumul matematic expus (dacă la un moment dat se pierde de firul poveştii va abandona lectura, simplu). Ce fac dacă elevul nu a ştiut să răspundă la o anumită întrebare? Rămâne de văzut ce soluţie voi găsi. Oricum, mi-a dat de gândit ce am găsit de curând în Marele Roman al matematicii de Michaël Launay (prezentat în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-marele-roman-al-matematicii-mickael-launay/). În capitolul 7 Nimic şi mai puţin decât nimic, tratând fenomenul matematicii indiene, la paginile 109-101găsim următorul pasaj:

De-a lungul secolelor, indienii fac o matematică despre care, din păcate, nu ştim mare lucru. Cauza acestei necunoaşteri este foarte simplă: oamenii lor de ştiinţă au dezvoltat încă de la începuturile epocii vedice un ideal de transmitere orală a cunoştinţelor care respinge în principiu punerea lor în scris. Cunoştinţele trebuie să fie asimilate prin viu grai, din generaţie în generaţie, de la maestru la discipol. (…)

Citind acest pasaj am avut impresia unei decizii naturale: matematica se poate învăţa cu adevărat prin procesul întrebare – răspuns, ca dialog al perechii maestru – discipol. Desigur că, în acest dialog, dacă discipolul nu găseşte răspunsul, atunci maestrul compensează (dacă consideră că discipolul merită efortul). Dacă discipolul se arată interesat şi pune o întrebare, maestrul îi va da o contra întrebare sau poate un răspuns care să-l pună şi mai tare pe gânduri. Oricum, învăţarea matematicii are loc într-un dialog, iar asta se face în timp. Realitatea e că matematica nu se învaţă de-adevăratelea după ce scrie în cărţi. Matematica trebuie învăţată activ, pe când din cărţi aceasta se poate prelua simplu, în mod pasiv. Nu cred că acesta ar fi fost argumentul de bază al vechilor indieni, dar pentru mine este important acest aspect. Pentru primii matematicieni indieni cred că mai important era aspectul mistic, ezoteric: matematica era o artă ce trebuia îngrijită şi tratată cu un respect aproape sfânt.

Forma indiană de transmitere a matematicii este opusă formei cuprinsă în Elementele lui Euclid. Forma euclidiană aduce idealul de a avea matematica într-o formă fixă. Cunoaşterea indiană, deci şi matematica, exista iniţial într-o formă vie, mobilă, în funcţie de cel care o practica. Din păcate şi la forma indiană a apărut natural impulsul de fixare, chiar dacă exista tradiţia de a nu se fixa în scris. Cunoştinţele matematice nu puteau fi periclitate, lăsându-le la bunul plac al unora sau altora, spre a fi pierdute sau eronat deformate. De pildă, acumulându-se într-o cantitate ce tot creştea, exista pericolul ca unele dintre ele să se piardă. În continuarea aliniatului de mai sus găsim următoarele rânduri: Textele sunt învăţate pe de rost, sub formă de poeme sau însoţite de artificii mnemotehnice, apoi recitate şi repetate de câte ori este nevoie până la a fi perfect stăpânite. Găsim când şi când câteva excepţii de la regulă, adică fragmente scrise care ne-au parvenit, deşi recolta este foarte slabă.

Cu toate acestea, ei fac matematică! Cum am putea altfel să explicăm bogăţia de concepte pe care ne-o vor oferi începând cu secolul al V-lea,, când ei decid, în sfârşit, să pună în scris cunoştinţele acumulate oral de-a lungul secolelor? India va cunoaşte de acum încolo o epocă de aur a ştiinţei care în curând se va răspândi în întreaga lume.

Vedem deci cum în învăţarea matematicii este mai important dialogul, pe când în transmiterea şi deci evoluţia matematicii este mai importantă prezentarea scrisă. Indienii porniseră de la ideea transmiterii prin dialog, dar absolutizând acest aspect au ajuns să le înveţe pe de rost, pentru că refuzau cu îndârjire consemnarea în text scris. După Euclid, mai ales după Evul Mediu european a ajuns să fie absolutizată forma scrisă. Cred că, de fapt, arta predării matematicii constă în păstrarea unui balans sănătos între cele două forme extreme de transmitere a cunoştinţelor, cea orală şi cea scrisă.