Puterea numerelor negative –Marele roman al matematicii şi arta predării

De curând am prezentat cartea Marele roman al matematicii (Editura TREI, 2021), de Mickaël Launay. În următoarele rânduri doresc să vă prezint un citat din această carte, cât şi felul în care acesta mi-a influenţat o lecţie de clasa a 6-a, ajutându-mă să-mi îmbunătăţesc cu încă un pas arta predării matematicii (puteţi accesa prezentarea precedentă direct la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-marele-roman-al-matematicii-mickael-launay/). Iată pentru început pasajul respectiv (pag. 177-179), în descrierea autorului Mickaël Launay:

*

Unul dintre exemplele cele mai izbitoare mi s-a revelat într-o zi în care animam atelierul de cercetare împreună cu clasa a doua de la o şcoală (notă explicativă: în Franţa copiii merg la şcoală după împlinirea vârstei de 5 ani). Copiii, în jur de 7 ani, aveau ca sarcină să lucreze cu triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri, pentagoane, hexagoane şi multe alte forme, pe care trebuiau să le trieze conform unor criterii liber alese. S-a observat că pentru fiecare dintre aceste figuri putem să numărăm câte laturi şi câte vârfuri există. Triunghiurile au 3 laturi şi 3 vârfuri, pătratele sau dreptunghiurile au 4 laturi şi 4 vârfuri şi aşa mai departe. Realizând această listă, copiii au formulat rapid o teoremă. Un poligon are întotdeauna tot atâtea laturi câte vârfuri.

Săptămâna următoare, pentru a-i provoca, am adus în discuţie figurile neregulate, dintre care una avea forma următoare: (aici este reprezentat în carte un patrulater concav)

Se pune, aşadar, întrebarea: câte laturi şi câte vârfuri există aici? Şi iată că majoritatea clasei răspunde: 4 laturi şi 3 vârfuri. Acest unghi inversat din josul figurii nu are o formă de vârf, adică nu este ascuţit (unghiul supraobtuz, adică cel având măsura mai mare de 180o). Nu se poate rostogoli figura peste el. Este mai degrabă o scobitură decât o umflătură a figurii. Pe scurt, acest unghi care intră în figură nu făcea parte din ideea prealabilă pe care copiii şi-o făcuseră despre ce este acela un vârf. Dacă le-aş fi cerut să numească acest punct “vârf”ar fi însemnat că le cer să dea acelaşi nume unor lucruri diferite. Ce idee stranie! Discuţiile s-au încins. Niciun copil nu este de acord cu statutul acestui nou punct. Ar trebui să-i dăm, oare, un alt nume, ar trebui să-l ignorăm complet? Există argumente pro şi contra, dar, în general, niciunul nu părea să convingă pe majoritatea dintre ei.

Apoi, dintr-odată, un copil şi-a adus aminte de teoremă. Dacă acesta nu este vârf, nu mai putem spune că orice poligon are tot atâtea laturi câte vârfuri. Spre marea mea uimire, acest argument a fost cel care într-o clipă a făcut ca întreaga clasă să-şi schimbe părerea. În câteva secunde toată lumea era de acord: trebuia ca acest punct să capete numele de vârf. Trebuia să fie salvată teorema, chiar cu preţul prejudecăţilor noastre. Ar fi fost păcat ca acest enunţ atât de simplu şi limpede să fi avut excepţii. Iată cea mai precoce manifestare a eleganţei matematicii la care am putut fi martor.

“Excepţiile” nu sunt frumoase. Ele ne rănesc sentimentele. Cu cât un enunţ este mai simplu şi aplicabilitatea sa mai mare, cu atât ne dă impresia că putem să atingem cu degetul ceva cu adevărat profund. Frumuseţea în matematică poate căpăta diverse forme, care se manifestă prin acest raport tulburător al complexităţii obiectelor studiate cu ajutorul formulărilor cât mai simple. O teorie frumoasă este o teorie economă, fără resturi, fără excepţii arbitrare şi deosebiri inutile. Este o teorie care spune multe cu puţine vorbe, care fixează esenţialul în câteva cuvinte, care merge direct la ţintă.

Dacă exemplul poligoanelor rămâne elementar, această impresie de eleganţă nu face nimic altceva decât să crească, pe măsură ce teoriile se dezvoltă, păstrând în acelaşi timp o ordine care se reduce la câteva reguli simple. (…) Este atât de frumoasă situaţia prezentată, atât de calde cuvintele la adresa matematicii, încât aici se simte pur şi simplu nevoia unei pauze scurte pentru savurarea acestui pasaj.

*

Despre această carte susţineam că ne poate influenţa pozitiv predarea, în sensul că ne-ar stimula înspre a le trezi elevilor bucuria de a face matematică. Spuneam că mi-o păstrez ca lectură de vacanţă, dar s-a apucat soţia să o citescă, iar când găsea ceva interesant îmi citea repede şi mie. Având în minte povestirea prezentată mai sus, peste două zile aceste idei m-au influenţat semnificativ în cadru unei lecţii, transformându-i finalul într-unul deosebit de captivant pentru elevi.

Clasa a 6-a s-a întors fizic în şcoală la Cluj spre finalul lunii Mai 2021. Aveam cam toate lecţiile importante parcurse, mai puţin cele despre introducerea noţiunii de numere pozitive respectiv negative. Lecţiile oficiale ne vorbesc despre Numere întregi, dar esenţa lucrurilor este despre apariţia în viaţa elevilor a numerelor negative, cât şi despre felul cum acestea se relaţionează cu cele vechi, care se numesc de acum încolo numere pozitive. M-am străduit să parcurg lecţiile la un nivel cât mai “basic” posibil, conştient fiind de faptul că elevii erau foarte bucuroşi de revenirea fizică în clasă, dar totodată aveau acumulată şi o cantitate uriaşă de frustrare generală împotriva matematicii, în urma celor cca. şase luni de izolare în online, de obicei singuri acasă, în care nu reuşiseră să se concentreze suficient pentru a primi mesajul matematic. Nu vroiam să le stric bucuria revenirii la şcoală cu o lecţie prea grea sau prea abstractă; de obicei mă străduiesc în acest sens, dar acum eram şi mai atent.

După lămurirea operaţiilor de ordinul I (adunarea şi scăderea) şi II (înmulţirea şi împărţirea), acum eram la ultima lecţie, cea despre puterea numerelor întregi (pentru pedanţi, mă refer desigur la puterea numerelor întregi negative cu exponent natural). Vroiam să o parcurg cu răbdare ca să o înţeleagă din prima cât mai mulţi elevi ai clasei, dar totodată doream să o termin repede (în cel mult 30 min.), pentru ca în ultimul sfert de oră să discutăm măcar puţin şi despre ordinea operaţiilor (mai aveam apoi încă o oră de geometrie şi o ultimă oră rezervată algebrei în care vroiam să dăm în sfârşit şi un mic test fizic în clasă; era în săptămâna dinainte de EN8, când urma să fim exilaţi din nou în online şi oricum trebuiau să fie încheiate mediile).

Trebuie desigur să precizez aici şi faptul că nici vorbă să mă gândesc să le turui lecţia; pentru mine nu intră în discuţie decât varianta de predare prin problematizare În pasajul următor vă prezint orientativ dialogul de “cucerire” a acestei lecţii cu elevii, pe care o putem denumi şi predare prin întrebări. Precizez că numerotarea întrebărilor este doar tehnică, folosită pentru claritatea acestui eseu; cu elevii, pe tablă nu le-am notat.

Întrebarea 1): Cât este (–5)3? Dezbatere, discuţii, păreri … . Până la urmă am ajuns la scrierea (–5)·(–5)·(–5). Primii doi de “minus” înmulţiţi dau “plus”, iar apoi, cu al treilea “minus” dă în total “minus”. Buuun! (trec peste “perlele” despre cât ar fi 53)

Întrebarea 2): Cât este (–3)4? Iarăşi puţină dezbatere, dar mult mai repede am ajuns din nou la scrierea (–3)·(–3)·(–3)·(–3). Aici elevii nici nu au imediat impulsul să grupeze primii doi de (–) într-un (+) şi, separat, ceilalţi doi de (–) într-un alt (+), ca apoi să concluzioneze că (+) ori (+) dă (+). NU, ei au impulsul să găsească semnul rezultatului altfel: primii doi de (–) cuplaţi dau un (+), apoi acesta împreună cu următorul (–) dau un (–), iar în final acesta cu ultimul (–) dă un (+); (apropos, şi la înmulţirea 3·3·3·3 gândesc la fel, adică 3·3 = 9, apoi 9·3 = 27, iar în final se blochează la 27·3; de fiecare dată trebuie să le tot repet că 3·3·3·3 = 9·9 care trimite mult mai uşor către 81). Oricum, până la urmă ajungem la acelaşi rezultat: (+). Interesaaant!

Întrebarea 3): Cât este (–2)5? Treaba merge deja mult mai rapid. Eu chiar îi temporizez pe cei care “s-au prins de mişcare” (încercând să am grijă astfel încât să-i duc pe cât mai mulţi elevi împreună cu noi în acest raţionament), aşa încât introduc din nou scrierea (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2), pe care putem însemna cu nişte acolade sub acest rând, îmbrăţişând tot câte două “minusuri” care dau un “plus”, în final rămânându-ne ultimul “minus”, care devine semnul rezultatului (aceleaşi acolade fuseseră folosite şi la primele două întrebări).

Întrebarea 4): Cât este (–2)6? Este evident că aici mulţi aveau răspunsul, dar pentru lămurirea definitivă a tuturor elevilor încă mai scriem (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2). După reluarea acoladelor pentru a stabili semnul rezultatului, vine desigur şi întrebarea despre o regulă.

Întrebarea 5): Aşadar, care ar fi regula semnului la puterile cu baza negativă? Destul de repede elevii cei mai sprinţari spun că “minus la putere pară dă plus” şi “minus la putere impară dă minus” (aşa o spun ei, apoi eu le-o repet într-un limbaj mai tehnic, spunând-o încă o dată folosind cuvântul “exponent”).

Aceste puteri, corespunzând primelor cinci întrebări, le-am scris pe rânduri succesive, pornind “din mijloc”, adică lăsând câteva rânduri goale deasupra (elevii fuseseră  avertizaţi să fie atenţi la dialogul de la tablă şi să nu scrie, pentru că eu voi scrie şi în jos şi în sus). După obţinerea acestei reguli, (pentru început exprimată doar oral) am continuat să scriu deasupra puterii a treia un nou rând cu puterea a doua: aşadar (–7)2 = (–7)·(–7). Acest rând apare doar ca o confirmare a teoriei proaspăt generate, în corelare cu mai vechea (–)·(–) = (+) Apoi am trecut la rândul gol de deasupra, cu următoarea situaţie.

Întrebarea 6): Cât este (–2)1? Din nou avem puţină dezbatere, dar repede ajungem la concluzia că (–2)1 = (–2) = –2. Aha, deci “minus doi” la puterea 1 dă semnul “minus” pentru că este o singură dată. Dar putem să zicem şi că avem “minus la o putere impară” care dă desigur “minus”. Această ultimă observaţie a fost făcută şi la puterea a doua, cele două împreună reconfirmând faptul că regula mai sus exprimată este corectă şi la puteri cu exponent mai mic (nu doar la puteri cu exponente tot mai mari). Acum vine ultima şi cea mai ciudată întrebare (scrisă din nou pe rândul liber de deasupra).

Întrebarea 7): Cât este (–2)0? Vă puteţi imagina desigur răspunsurile de tipul “minus zero!” sau “minus unu” (bazat pe amintirea că “ceva la puterea zero dă unu”). Aşadar cât dă? Desigur, cunoaştem din clasa a 5-a că “un număr la puterea zero dă unu”, dar asta era valabil la numerele naturale, adică pozitive, la “numerele fără minus”. Oare la numerele negative se păstrează regula că va da 1, sau aici va da –1? Că de zero ne-am lămurit repede că nu-i cazu’.

Aici s-a întâmplat ciudăţenia cu care nu ţin minte să mă mai fi confruntat în anii precedenţi: câţiva elevi nu erau în stare “să renunţe în sufletul lor” la acel “minus” de la bază. Baza acestei puteri are “minus”. Ei au înţeles că mai mulţi de “minus” dau “plus” (dacă se pot grupa câte două şi alte două etc.). Dar aici nu poate deveni “plus” pentru că nu avem “mai multe de minus”. Eu nu voiam să-mi argumentez răspunsul pe baza formulei din clasa a 5-a (şi eventual pe baza autorităţii mele), respectând faptul că într-adevăr, aici aveam nişte “numere noi” (este de bun simţ matematic că nu avem certitudinea păstrării regulii vechi la o situaţie nouă). Doi băieţi erau mai înverşunaţi în acest sens şi nu le venea a crede că acel “minus” dispare şi datorită faptului că în explicitarea lui (–2)0 de fapt nu mai avem nici un zero. Mulţi alţii erau derutaţi pentru că nu puteau citi pe faţa mea un verdict clar înspre varianta cu +1 (eu folosesc deseori în lecţie un fel de “poker-face” pentru a le forţa gândirea).

În acest moment eu am început să simt similitudinea deosebită cu povestea egalităţii numărului de laturi şi de colţuri din cartea lui Mickaël Launay, respectiv cu forţa “teoremei” găsite de către elevi. Aşa că le-am pus următoarea întrebare ajutătoare: păi. exponentul lui (–2)0 cum este, par sau impar? Brusc s-a făcut linişte în clasă, ochişorii de deasupra măştilor s-au mărit a uimire şi au apărut explicaţii de genul: zero este par, deci e clar că rezultatul este + 1, adică tot 1.

Bucuria s-a simţit prin toată clasa, mai ales la elevi pentru că, după suspansul creat, se găsise răspunsul fără echivoc. Dar bucuria era şi în sufletul meu, pentru că vedeam pe concret cum funcţionează mecanismul logic prezentat de Mickaël Launay, mecanism de trezire a bucuriei matematice în sufletul copiilor. Aşadar şi “teorema” din clasa a 5-a se păstrează, fiind salvată: orice număr la puterea zero ne dă tot unu, indiferent dacă numărul de la bază este pozitiv sau negativ. Imediat toţi au fost de acord cu acest răspuns şi nimeni nu mai vedea la (–2)0 un semn de minus la rezultat.

Legat de paritatea lui 0 (zero), trebuie precizat că acest aspect nu este evident pentru elevi. Doar întrebat direct, elevul, ajungând să se gândească, va decide că zero este par, iar asta mai mult pe baza faptului că stă vecin cu 1 (care este mai uşor de priceput că este impar) sau că este la două unităţi depărtare de numărul 2. Gândindu-se la această întrebare, de fapt nici cei mai mulţi adulţii nu realizează din start că zero este par (vorbesc aici de nematematicieni).

Iată, pentru claritatea eseului, poza de final a tablei, dar precizez încă o dată că eu le-am scris de la rândul din mijloc în jos, apoi de la rândul al treilea în sus, puterea cu exponentul 0 fiind ultima scrisă. În final am adăugat alături şi regula (“teorema”).

Evident că, după lămurirea lucrurilor şi ţinând cont că elevii au trebuit să fie atenţi şi să nu copieze de pe tablă (din cauză că eu scriam ba în jos ba în sus), elevii au primit câteva minute să-şi completeze în caiet întreaga schemă cu cele 7 rânduri de puteri (scrisă desigur de la puterea zero la puterea a 6-a), plus regulile aferente. Eu nu văd aceste minute ca o pierdere de timp, ci mai degrabă ca o scurtă şi rapidă recapitulare pentru fixarea noii situaţii, aşa încât momentul este profund benefic. Ca o ultimă idee, precizez că eu nu fac în clasă şi exemple cu puterea unui număr pozitiv. Consider că în urma unei înţelegeri bune a acestei lecţii, elevii trebuie să-şi dea singuri seama despre cum funcţionează puterea în cazul unei baze pozitive (apare la temă şi la test).

*

Putem în acest moment să ne aventurăm într-o scurtă analiză a fenomenului, astfel încât să înţelegem ce s-a întâmplat, să interiorizăm mecanismul psihologic ce are loc, ca apoi să fim în stare să folosim şi cu alte ocazii apariţia acestui fenomen în cadrul altor lecţii.

Eu puteam să le “turui” lecţia şi probabil o terminam mult mai repede. Puteam chiar să le dau eu noile reguli, eventual chiar sub forma clasicelor formule: (–1)2k = +1, respectiv (–1)2k+1 = –1, caz în care i-aş fi speriat pe cei mai mulţi dintre elevi (caz în care totodată şi pasam clar sarcina înţelegerii fenomenului acasă, la părinţi, eventual profesoriulor din particular). Mergând însă pe calea problematizării şi folosind o scriere cât mai accesibilă (şi un limbaj la fel de accesibil), în procesul de înţelegere a fenomenului şi de descoperire a “teoremei”, elevii s-au legat emoţional de aceasta, astfel încât în momentul când şi-au dat seama că “teorema lor” acţionează şi în noua, dar ciudata situaţie cu exponentul zero, în acest moment toată clasa a fost de acord că rezultatul este tot 1 (unu), această conştientizare fiind totodată însoţită şi de o mare satisfacţie.

O astfel de lecţie le aduce elevilor o stare de bucurie “liniştită”, o senzaţie că ei înţeleg lumea din jurul lor şi că “totul este în bună ordine”. Nu în ultimul rând, mintea lor a făcut un pas hotărâtor spre a-şi spori încrederea în gândirea matematică, controlând abstractizarea ei, pentru că acest pas a fost făcut pe baza înţelegerii şi a gândirii personale.

Eu nu le-am pus în faţă nişte rezultate neînţelese, ci i-am îndrumat pe o cale prin care ei să le descopere şi să înţeleagă fenomenul studiat. Faptul că ei au generat rezultatul le-a întărit şi mai mult încrederea şi convingerea în acest rezultat, în această “teoremă” descoperită chiar de către ei (la clasă nu i-am spus “teoremă”, dar folosesc aici acest cuvânt prin analogie cu “teorema” lui Mickaël Launay.

În cadrul lecţiei respective, ca o schelă de susţinere a gândirii, “teorema” lor le-a dat încrederea şi siguranţa în a face următorul pas, un pas ciudat, într-o zonă oarecum obscură şi greu de înţeles pentru mulţi elevi. Faptul că ei au descoperit-o le-a dat mult mai multă încredere în acest rezultat decât dacă le-aş fi dat eu “teorema”. Dacă le dădeam eu “teorema”, aceasta le-ar fi fost străină, dar aşa, descoperind-o ei, gândirea lor “o avea în suflet”, înţelegând deci imediat şi acceptând de la sine noul pas. Chiar dacă descoperirea a fost făcută sub îndrumarea întrebărilor mele (folosind predare prin întrebări), aceasta acţionează asupra elevilor care s-au implicat în mod emoţional: ei au găsit-o, au înţeles-o şi le este dragă, o respectă şi nu ar accepta un rezultat care să o contrazică.

Probabil că acest fenomen este unul dintre principalele cauze pentru care elevii din clasele mele povestesc acasă că le place la matematică, şi în general îi refuză pe părinţi atunci când aceştia se implică şi vor să le predea un anumit subiect înainte acasă. E clar că vorbesc aici de elevii care sunt dispuşi şi reuşesc să se implice regulat în procesul de generare a lecţiilor, atunci când fac predare prin problematizare. Aceştia nu mai au ulterior nevoie de a învăţa acasă lecţia cu pricina, pentru că au prins noile idei în mod sănătos din clasă.

Metoda funcţionează chiar şi la elevii mai timizi, cei care nu au curajul să se exprime oral, dar care în sinea lor urmăresc fiecare pas al lecţiei, au de obicei răspunsul “pe limbă” dar, timizi fiind, aşteaptă să-l dea altcineva. Eu îi văd clar şi pe aceştia, le văd “lumina din ochi” şi am astfel certitudinea că “sunt cu noi”, cu cei care purtăm dialogul de generare a lecţiei (ei cumva “stau în spatele” celor care participă cu curaj la datul benevol al răspunsurilor).

Chiar mai mult, şi ei la rândul lor se simt clar percepuţi, văzând cum îi urmăresc în scurtele momente de contact vizual. În timiditatea lor introvertită, acestora le este suficient şi le dă o siguranţă blândă. Asta se întâmplă atunci când suntem fizic în clasă. Din păcate în online mi-a fost mult mai greu să-i percep. În online, contactul vizual nu mai există. Mulţi dintre aceşti elevi simţindu-se în sufletul lor neglijaţi, de la o vreme au început să decadă.

Revenind la predarea fizic în clasă, desigur că cei care se mulţumesc doar la a copia de pe tablă, a căror implicare în ora de matematică se rezumă doar la copierea lecţiei, rămânând de multe ori şi în urmă, aceştia nu ajung să se lege emoţional de noile cunoştinţe. Pentru ei predarea prin problematizare nu are efectele scontate. Uneori îmi este ciudă pe aceştia şi pe indolenţa lor. Atunci îmi închipui cum părintele îi spune unui astfel de copil la plecarea de acasă să fie cuminte şi să scrie totul de pe tablă. Îmi închipui cum nu-i cere să fie atent sau să fie activ la ora de mate. Probabil că îi spune doar să scrie totul de pe tablă, aşa încât el/ea se rezumă la a scrie totul de pe tablă. Pentru aceşti elevi şi eleve este nevoie de alte abordări, dar despre ei voi discuta cu o altă ocazie (promit că în curând).

Încercând să finalizez, eu consider că în acest spectru ar trebui citit Marele roman al matematicii al lui Mickaël Launay, dar şi multe altele dintre cărţile despre bucuria palpitantă a matematicii. Găsiţi o listă orientativă a acestora în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ . Titus Grigorovici

Geometria sintetica în clasa a 9-a – (3) Utilitatea practică a geometriei

Săptămânile trecute am început să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale. Sunt conştient că tema este oarecum fără de sfârşit şi în nici un caz nu-mi propun o tratare exhaustivă a acestui subiect. Doresc totuşi să abordez pe scurt şi o urmare practică a necontinuării studiului geometriei sintetice în licee.

Mai exact, vreau să vă prezint două întâmplări care vorbesc despre utilitatea geometriei, respectiv despre urmările neglijării geometriei în liceu.. Prima mi-a fost evocată chiar azi (21.06, când am început să scriu prezentele rânduri) de către noua administratoare a şcolii noastre. Anul trecut, la fostul loc de muncă, la o firmă care se ocupa de instalaţii de apă, doi colegi aveau o discuţie pe care dânsa a auzit-o: un inginer tânăr, ce lucra de câţiva ani în firmă, îi explica altui inginer şi mai tânăr, pare-se proaspăt absolvent, că ţevile alea două sunt paralele. Cel mai tânăr a întrebat că “ce-i aia?”, la care doamna (actuala mea colegă) s-a întors şi a izbucnit, luându-l la rost cum de nu ştie ce-s alea drepte paralele.

În acest sens am atanţionat în primele părţi asupra faptului că geometria se uită puternic dacă nu este parcursă o a două oară. Bănuiesc că orice materie este supusă unui astfel de fenomen, dar mai ales cunoştinţele învăţate pe de rost, pentru a fi ştiute până la test, acestea se uită lejer în următorii ani. Între altele, se pare că foarte mulţi, atât elevi, cât şi profesorii sau părinţii, sunt tentaţi să folosească simpla învăţare pe de rost la învăţarea geometriei în gimnaziu. Aceasta este o urmare directă a cantităţii mari şi a nivelului ridicat al materiei, dar şi a bombardării copiilor în privat cu mult mai mulţi stimuli extraşcolari (filme, jocuri pe calculator, site-uri şi platforme de socializare, accesibilizate masiv de către posesia smartphone-urilor). Învăţarea pe de rost este aparent mult mai eficientă la însuşirea unui material, cel puţin pe scurtă durată, până la test, dar nu conferă o durabilitate a cunoştinţelor.

Dimpotrivă, învăţarea intuitivă, bazată pe scurte explicaţii, care apoi sunt direct aplicate în construcţii practice, urmată de folosirea practică repetată în diferite situaţii la un nivel accesibil (sigur nu de performanţă, cel puţin nu la început, când trebuie evitate derapajele spre nivelul de excelenţă), acestea oferă o soliditate mult mai bună a cunoştinţelor.

Învăţarea intuitiv-practică, cu multă repetare, este însă puternic limitată în ceea ce priveşte cantitatea cunoştinţelor şi viteza de însuşire a acestora. Repetarea în diferite situaţii mai are un avantaj: pentru cei care nu au înţeles din prima, aceştia o vor face de obicei la viitoarele repetări şi folosiri, ajungând până la urmă să-şi fixeze ideea. Probabil că viitorii adulţi nu vor putea reda peste ani definiţia dreptelor paralele, dar vor putea explică ce sunt acestea (aşa, arătând cu mâinile, sau “ca şinele de cale ferată”).

Rezumând aceste gânduri, este clar că cunoştinţele geometrice predate în sistemul actual în România sunt deosebit de vulnerabile la fenomenul uitării totale. La o a doua trecere prin geometrie însă, elevii vor învăţa geometria într-o formă mult mai profund pătrunsă (adică mai puţin pe de rost, ci mai gândită), astfel încât noţiunile de bază – cum este şi cea de paralelism – se vor stabiliza definitiv, fixându-se astfel în zona de limbaj uzual, ce nu se vor mai uita (spre deosebire de învăţarea pe de rost, care este una superficială).

Un al doilea exemplu vine din primul an de facultate al fiului meu (Design industrial la TCM în Universitatea Tehnică din Cluj; cu 10 ani în urmă). Prin toamnă ne-a spus că la un anumit curs nu se oboseşte să meargă şi chiar eram tare nemulţumiţi de acest fapt, dar el insista că nu este important (era încă în perioada de rebeliune a pubertăţii târzii). Înainte de vacanţa de iarnă a apărut acasă cu nişte xero-copii după notiţele unui coleg care frecventase cursul respectiv şi atunci am înţeles de ce nu-l considera demn de atenţie. Era un curs în care studenţii erau iniţiaţi în arta construcţiilor geometrice cu rigla şi compasul. Pe bune: acolo erau elemente pe care eu le-am învăţat în gimnaziu; actualmente le parcurg cu elevii în clasele 5-7. Fiul meu le cunoştea pentru că le făcuse şi el în gimnaziu petrecut la Liceul de arte plastice “Romulus Ladea” din Cluj.

Din păcate însă, majoritatea absovenţilor de liceu habar nu aveau despre acestea, aşa încât profesorii de la facultatea respectivă erau nevoiţi să pună în primul semestru un astfel de curs, pentru că multe din elementele de proiectare din alte cursuri se bazau pe noţiuni de construcţii geometrice. Deci pe scurt, În primul semestru din anul I la Politehnică se prezentau noţiuni de gimnaziu, pentru că la ora actuală în România, elevii învăţau doar teoretic toată geometria, şi o parcurgeau oricum doar în gimnaziu. Chiar aşa, cum ar fi aia să înveţi geometria practic, fără multă teorie şi fără interminabila listă de probleme de demonstrat? Dar, hai să lăsăm gluma de-o parte şi să analizăm câteva vorbe ale D-lui Prof. Radu Gologan, exprimate prin februarie, într-o emisiune la radio Europa fm.

Este vorba de emisiunea din seria Deşteptarea României cu Cătălin Striblea din 26 feb. 2021 (eu am reascultate-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ ; am mai citat din acea emisiune când am vorbit despre birocraţie), în care invitat a fost Dl. Gologan. În aer plutea întrebarea “ce aţi schimba de urgenţă în şcoala românească?”. Iată un pasaj interesant al discuţiei de atunci:

O ascultătoare: La matematică există o programă încărcată; profesorul îşi face “norma” pentru că trebuie să o facă: astăzi predă vectori, mâine n-avem timp de aplicaţii pentru că trebuie să predăm altceva … . Copilul vine acasă, şi tot aşa: azi un capitol, mâine un capitol, n-avem timp să facem aplicaţii pe exerciţii, pe ce s-a predat. Şi atunci noi (părinţii) suntem obligaţi să punem meditatori. Azi aşa, mâine aşa, … . Lucrurile trebuiesc schimbate; noi vorbim de mulţi ani. Cine-i “sistemul” ăsta, care nu ne lasă? De cel puţin şase ani de când vorbim de această programă.

Radu Gologan: Lucrurile ăstea le spun: există o mentalitate în sistemul de învăţământ, că aceste mari programe, curriculum se numesc ele la fiecare materie, trebuie să păstreze o anumită formă, datorită unei tradiţii şi datorită acestei idei prost înţelese, că un copil trebuie neapărat pentru viitorul lui să înveţe ASTA, ASTA şi ASTA; “Cum o să iasă din şcoală fără să ştie vectori?”, de exemplu. Eu vă spun, ca matematician: NU SE ÎNTÂMPLĂ NIMIC, cu un viitor intelectual, dacă în clasa a 9-a nu învaţă vectori, ci învaţă o geometrie sintetică, simplificată, care să-i placă, să înveţe să deseneze figurile bine pe calculator, să înveţe să sistematizeze, să înveţe să gândească singur cam ce teoreme ar fi nevoie. Acesta ar fi învăţământul matematic de care este nevoie în şcoală.

Sunt cu totul de acord cu acest punct de vedere şi, încurajat de aceste gânduri mi-am luat curajul să redactez prezentul eseu. O singură întrebare am aici: cum vor reuşi elevii de clasa a 9-a să deseneze figurile pe calculator, când ei nu au formată arta desenării figurilor pe hârtie, ei nu au în mintea lor principiile construcţiilor geometrice? (exactitate, trasarea liniilor drepte, măsurarea lungimii sau a unghiurilor, mişcarea compasului etc.) Întreb asta pentru că eu ştiu cât de puţin lucrează profesorii din gimnaziu în direcţia construcţiilor exacte a figurilor geometrice. Mă refer aici la practicarea acestui “meşteşug” zilnic la clasă, inclusiv profesorii cu instrumentele pe tablă, ca model în faţa elevilor, pentru a se creea anumite mişcări ale gândurilor în momentul efectuării construcţiei. Fără să mai discutăm că elevii nu au deloc experienţă în marile probleme ale construcţiilor geometrice (de pildă, găsirea centrului unui cerc anterior trasat, de exemplu cu un pahar).

Pentru cei care ar avea impulsul să mă contrazică despre afirmaţia că profesorii nu prea se obosesc să folosească instrumentele geometrice la tablă, astfel încât elevii să aibă un model despre cum se fac construcţiile, pentru aceşti cititori am un exemplu proaspăt. Întrebând recent un elev în final de clasa a 6-a de la un liceu de centru din Cluj despre cum a decurs predarea online la geometrie în acest an şcolar (cu aproape şase luni de online pentru ei), acesta mi-a spus că profesoara scria pe o tabletă. Nici vorbă de folosirea instrumentelor pentru figuri exacte. Bine, l-am întrebat, dar în cele cinci săptămâni din toamnă sau acum la revenirea fizică în clasă, de la jumătatea lunii Mai, a folosit instrumente geometrice la tablă? Răspunsul a fost fără echivoc: niciodată nu a văzut-o făcând o figură geometrică altfel decât cu mâna liberă. Eu intuiam răspunsul, pentru că întrebându-l despre cum ar desena un triunghi isoscel cu baza de 4 cm şi laturile congruente de 6 cm, acesta mi-a răspuns “cu liniarul”. Habar nu avea de folosirea compasului la acest desen.

M-am gândit în acel moment despre cât m-am agitat eu ca să le pot prezenta elevilor transmisiunea directă cu tabla (inclusiv cu mine fără mască), astfel încât elevii să vadă fiecare pas al construcţiilor cu instrumentele geometrice. Eu oricum nu eram mulţumit nici aşa, pentru că nu-i puteam verifica în timp real ce şi cum fac ei, fiecare pe caietul personal, şi nici nu-i puteam ajuta individual, pe caietul personal, dacă vedeam că nu înţeleg. Dar, oricum, eu le-am arătat mult-mult mai mult decât acest mare NIMIC despre care mi-a povestit respectivul elev.

Doresc să revin totuşi foarte scurt la vectori. Dacă nu vor fi făcuţi de către profesorii de matematică, atunci vectorii vor rămâne pe seama profesorilor de fizică, iar acest fapt va fi unul deosebit de benefic. Vectorii reprezintă un fenomen cu origini clare în fizică (în primul rând forţele), iar introducerea lor axiomatic abstractă, pe baza unei definiţii date de către profesorul de matematică este una dintre cele mai mari gafe ale matematicii şcolare. Aşa cum m-am exprimat în câteva rânduri că Teorema lui Pitagora este în primul rând un fenomen matematic, iar profesorilor de fizică ar trebui să li se interzică ferm folosirea acesteia înainte ca cei de matematică să o introducă, tot aşa profesorii de matematică nu ar trebui puşi în situaţia de a introduce definiţionist abstract vectorii (ca segmente orientate).

Mult mai cu sens ar fi ca profesorii să ia într-o clasă mai mare (a 10-a sau a 11-a) vectorii într-o abordare matematică. Atunci se va putea chiar porni de la o definiţie de segment orientat (deşi merge şi fără aceasta), spunând în paralel cu definiţia ceva de genul: ştim că vectorii sunt nişte reprezentări ale unor forţe, iar tot ce vom învăţa acum este de fapt de inspiraţie din fizică, dar haideţi să încercăm o abordare matematică şi să vedeţi voi câte lucruri interesante putem noi rezolva prin aceşti vectori. Dar haideţi să lăsăm vectorii în pace, pentru că altul este subiectul eseului de faţă.

Mă cândesc să mă opresc aici cu aceste rânduri, nu de alta dar, cum am mai spus, este un subiect pe care se poate continua la nesfârşit şi nu asta mi-am propus. Închei doar reluând încă o dată o idee dintre cele de mai sus exprimate de Dl. Profesor Gologan: să înveţe să gândească singur în clasa a 9-a. DAAA, iar asta s-ar putea face mult mai bine pe baza geometriei sintetice. C. Titus Grigorovici

P.S. Trebuie totuşi să evoc o întâmplare ce leagă ultimele rânduri scrise de un pasaj din partea a doua a acestui eseu, anume despre întâmplarea cu eleva care era tentată să înveţe reţetele de rezolvare pe de rost şi pe care eu mă străduiam să o fac să şi gândească. Este elevul tipic ce scotea înainte de teste un caiet impecabil cu toate formulele şi teoremele bine sistematizate şi le mai repeta încă o dată. Pe de altă parte, la simulările date în clasă se stresa intens; la fel a făcut şi la simularea oficială din martie, doar mult mai tare. Iată ce mi-a povestit la ieşirea de la examenul de EN, extraordinar de entuziasmată, de suna curtea de vocea ei: Domnule Diriginte, am uitat formula de volum a cubului! M-am stresat şi nu mi-o mai aduceam aminte! Şi ştiţi ce-am făcut? Am început să o iau pe numere – cum ne-aţi învăţat – şi să văd câte cubuleţe sunt de fiecare dată, şi mi-am refăcut formula gândind.

Am simţit că, în mintea ei, eu câştigasem “meciul”. Fata asta a înţeles că gândind va putea face mult mai mult decât doar învăţând pe de rost formule şi tocind rezolvări. Cum va fi însă de la toamnă? Pe ce linie va fi condusă această elevă? Profesorii din licee nu se vor putea schimba de azi pe mâine. Dar, poate, programa cea nouă va fi astfel concepută încât să-i împingă pe profesori spre o matematică mai “gândibilă”.

Situaţii numerice în cadrul teoremei lui Pitagora – o lecţie recapitulativă interesant structurată

În condiţiile din toamnă, după situaţia lockdown-ului din primăvara-vara lui 2020, în timpul unei probleme de calcul la geometrie mi-am dat seama de faptul că în mintea unor elevi de clasa a 8-a lucrurile erau anapoda fixate în legătură cu natura numerelor ce participă ca laturi la un triunghi dreptunghic. Eu nu consider că astfel de lucruri trebuie lăsate pe “profesorul de acasă”, ci că sunt oarecum de datoria mea, mai ales dacă observ că numărul celor ce n-au înţeles este “la plural”. Ca urmare, în mod spontan am organizat o lecţie recapitulativă pe această temă. Am scris foarte repede (cca. 10 min.), explicând de zor, dar completând numai trei dintre cele 6 spaţii şi lăsând celelalte trei ca temă pentru elevi.

Este evident că alegerea numerelor ar putea fi (poate) mai bună pe alocuri, dar pentru o lecţie spontană nici nu-i rău (mă cam râcâie acel radical din 21, care sare oarecum din modelul celorlalte numere iraţionale; pentru elevii slabi, acesta este derutant pentru că are altă formă decât celelalte numere iraţionale). În general, legat de numerele alese, dar şi de forma lecţiei (inventată spontan aşadar), am putea să facem următoarele observaţii de final: 1) Desigur că aceleaşi situaţii se pot întâlni şi în cazurile cu scădere în calculul din teorema lui Pitagora (asta am precizat-o oral); 2) Există şi situaţii cu fracţii, dar în structura de mai sus nu le-am inclus şi pe acestea pentru a menţine lecţia la un nivel de accesibilitate cât mai general (şi asta le-am spus-o, dar nu apare scris); 3) La radicalul final se poate întâmpla să nu iasă nimic de sub radical (dacă obţinem sub radical un număr prim sau un număr compus, dar cu toţi factorii diferiţi, cum este cazul acelui 21). Această ultimă observaţie poate fi însă inaccesibilă pentru mulţi elevi.

Eu am făcut-o cu elevii clasa a 8-a fizic în clasă (cândva în toamnă, prin sept.-oct.), dar este clar că lecţia este potrivită începând din clasa a 7-a (desigur pentru cine are empatia corespunzătoare faţă de copiii care n-au înţeles). Lecţia poate fi desigur organizată şi ca fişă de lucru independent şi dată spre studiu ca temă sau în contul unei ore online asincron. Ca o ultimă idee, mă bucur că am fotografiat-o, pentru că între timp am uitat-o şi am găsit-o din întâmplare prin foldere.  C. Titus Grigorovici

Planimetria şi Stereometria – (*) Un ecou cu mulţumiri

Am redactat mega-eseul despre planimetrie şi stereometrie din noiembrie-decembrie 2020 cu gândul direct la studiul ariilor şi al volumelor corpurilor geometrice din clasa a 8-a, indignat fiind de excluderea acestora din materia de EN în contextul opririi şcolilor în primăvara acestui an bulversant 2020 (de care cu dreg ne-am bucurat cu toţii să scăpăm), dar mai ales speriat fiind de posibilitatea repetării scenariului pentru generaţia 2020-2021a claselor a 8-a. Am lucrat cu înverşunare, chiar aproape cu disperare, sperând din tot sufletul ca gândurile mele să fie auzite “acolo sus” (adică la cei decidenţi în ale matematicii şcolare româneşti).

Şi da, nu mică mi-a fost bucuria când am văzut de curând ordinul de ministru nr.3237/05.02.2021 cu programa pentru EN, în care apar următoarele lecţii: Arii şi volume ale unor corpuri geometrice: piramida regulată (cu baza triunghi echilateral sau pătrat), prisma dreaptă (cu baza triunghi echilateral sau pătrat), paralelipiped dreptunghic, cub. Nu pot decât să strig din tot sufletul: MULŢUMESC!!! Mulţumesc în numele elevilor de rând, adică în numele majorităţii elevilor, alţii decât cei de vârf, cei din elitele fiecărei şcoli, elevi care vor putea astfel da un examen de Evaluare Naţională cu demnitate, confruntându-se şi cu subiecte pe nivelul lor, atât provocatoare la nivelul lor, cât şi accesibile nivelului lor. MULŢUMESC!

O mică îndoială, un mic ghimpe de suspiciune îmi strică puţin bucuria şi mă ţine “cu picioarele pe pământ”, anume frica de faptul că Dl Ministru Sorin Cîmpeanu  vorbea într-o vreme (pe la începutul lunii ianuarie?) despre revizuirea definitivă a programei pentru examen după ce se vor fi dat simulările oficiale (care sunt planificate în finalul lunii martie) şi se vor fi făcut analizele corespunzătoare. Dar, dacă atunci se trezeşte totuşi cineva să scoată ariile şi volumele respective? CTG

Construcţii geometrice în clasa a 6-a – (1) Elemente de bază

MottoCu rigla, raportorul şi compasul spre înţelegere, gândire şi învăţare (adaptare după o vorbă nemţească: “mit Kleber und Schere, durch Forschung und Lehre”, pe româneşte: “cu foarfecă şi lipici spre cercetare şi învăţătură”).

În mega-eseul despre planimetrie şi stereometrie, în partea a 3-a, scriam despre un ciudat embargou “pus” asupra planimetriei în clasa a 6-a pentru că de fapt nu am avea ce să calculăm până nu cunoaştem figurile geometrice, în principal triunghiurile, patrulaterele sau cercurile. Am explicat deja că această impresie este una falsă, superficială, şi că de fapt în clasa a 6-a elevii ar trebui să parcurgă o primă fază a planimetriei, constând în lucru efectiv cu instrumentele geometrice pentru măsurări sau construcţii ale unor diferite structuri plane, pentru a conecta înţelegerea fenomenelor de către mintea elevilor cu realitatea despre care se va vorbi ulterior.

Astfel, am explicat că planimetria ar trebui să înceapă prin exerciţii simple de măsurare a unor “obiecte geometrice” deja existente cât şi de construcţii ale unor “obiecte geometrice” cu anumite dimensiuni cerute. Fără această fază iniţială există clar posibilitatea de apariţie la unii elevi a unor elemente de analfabetism funcţional matematic (AFM), chiar şi în acest domeniu deosebit de “aritmetic” al geometriei. Din păcate însă, chiar aşa, cine se mai gândeşte în zilele noastre “să piardă timp” cu astfel de banalităţi?, cum ar fi măsurarea sau cunstrucţia unor elemente de anumite dimensiuni (asta a fost o întrebare retorică). În acest context trebuie să scot în evidenţă gafa metodică uriaşă a multor colegi care susţin la clasă că, dimpotrivă, chiar “figura nu contează” într-o problemă.

Revenind la subiectul de bază, cu alte cuvinte, embargo-ul din clasa a 6-a poate exista doar în mintea celor care privesc geometria numai la nivelul demonstraţiilor şi a calculelor mult prea evoluate, în general a gândirii mult prea înalte pentru o mare parte a elevilor (chiar pentru cea mai mare parte a elevilor!). Trebuie să recunosc că şi eu m-am numărat uneori printre aceştia; şi pentru mine drumul şi paşii de coborâre de la gândirea de profesor experimentat spre nivelul de gândire al copiilor a fost şi este în continuare unul anevoios, şi asta datorită paradigmelor de predare preexistente desigur şi în mintea mea, paradigme pe care deşi le respect, ca dascăl responsabil înţeleg că trebuie să le dau uneori de-o parte pentru a-mi deschide “ochii minţii” şi “a vedea” nevoile reale ale elevilor mei (nu doar nevoile matematicii mele înalte).

În această luptă, eu cu mine însumi, în urma articolului mai sus amintit (mega-eseul despre planimetrie şi stereometrie), dar şi în urma unor ciudate cercetări din timpul primului lockdown (aprilie 2020) în domeniul problemelor de aritmetică, s-a intărit ideea că în clasa a 6-a nu există un embargou asupra planimetriei, ci că la această etapă este vremea unei perioade clare de practică în domeniul măsurărilor şi ale construcţiilor geometrice, începând chiar de la primele elemente. Astfel, eu nu am voie să las însuşirea acestor elemente doar pe seama “învăţării definiţiilor”, ci trebuie să-i ofer elevului începător imediat şi ocazia învăţării acestora în mod practic, această cale susţinând evident şi însuşirea, dar şi fixarea teoretică a noţiunii respective.

După cum am spus deja, demult făceam asta la capitolul de triunghiuri (cu cele două fişe din postarea precedentă), dar acum, în acest început de 2021, mi-am dat seama că trebuie să-mi organizez un material de lucru corespunzător şi pentru primele cunoştinţe de bază ale geometriei: puncte şi drepte, segmente şi semidrepte, colinearitate şi concurenţă, unghiuri, ideea de congruenţă, paralelism şi perpendicularitate, mediatoare şi bisectoare etc. Spun că trebuie să-mi organizez un material de lucru corespunzător şi pentru primele cunoştinţe de bază ale geometriei, pentru că un astfel de material nu există de fapt; în nici o carte, fie ea manual sau auxiloiar, nu am găsit materiale de lucru pentru cunoaşterea elementelor de bază din geometrie prin măsurare şi construcţie, adică având ca obiectiv aceste două acţiuni. În cărţi vechi există probleme de construcţii geometrice, dar acestea sunt mult prea înalte din punct de vedere intelectual.

Noutatea este că acum am reuşit să cobor mult ştacheta gândirii mele, şi mai multca în trecut, spre nivelul minţii copiilor de rând, cât şi spre ideea de cunoaştere a materiei dinaintea triunghiurilor prin munca concretă cu instrumentele geometrice. Astfel, am reuşit să organizez un material cu sarcini absolut elementare, fără a fi plictisitor (sper!), cu sarcini la care trebuie folosite instrumentele geometrice de bază în orice trusă: ideea de riglă negradată pentru simpla trasare a dreptelor (la întâmplare sau cu exactitate prin anumite puncte), dar şi liniarul gradat pentru măsurarea diferitelor lungimi (în mod mai “neortodox” chiar şi liniarul ca instrument de trasare a două drepte paralele, de o parte şi de alta a acestuia); compasul ca instrument pentru trasarea de cercuri, dar şi ca instrument pentru “luarea unei distanţe” între două puncte (inclusiv ideea de congruenţă a unor segmente, mai presus de măsurarea lungimii acestora); raportorul ca instrument de măsurare, dar şi ca instrument de construcţie a unor unghiuri de o anumită măsură; echerul, atât ca instrument de verificare a perpendicularităţii, cât şi ca instrument de construcţie a acesteia, respectiv a unui unghi drept.

Elevii fac astfel cunoştinţă prin intermediul acestor patru instrumente geometrice cu “obiectele geometrice” studiate, măsurându-le sau construindu-le în diferite situaţii, adică lucrând practic cu acestea, nu doar învăţându-le definiţiile şi străduindu-se a le asimila ca noţiuni teoretice.

Problema este că noţiunile se învaţă mult mai bine prin folosirea lor practică (preferabil chiar în mod repetat) decât prin învăţarea unor definiţii teoretice în mod steril (chiar şi în mod repatat). De multe ori se poate observa că un elev care ştie să turuie definiţia, de fapt nu ştie deloc despre ce vorbeşte. Prin materialul din acest eseu încerc să readuc aplicarea acestui principiu natural de învăţare în viaţa elevilor noştri.

Astfel am organizat un set de exerciţii conţinând sarcini simple, cuprinse într-o fişă de lucru destul de generoasă, despre care însă nu am defel pretenţia de a fi perfectă (probabil că după primele folosiri la clasă voi avea tendinţa de a corecta sau completa diferite aspecte din aceasta). Cu alte cuvinte, nu am pretenţia de a vă prezenta un material deosebit de cizelat, dar în cazul de faţă ideea şi intenţia prevalează.

La fel ca în postarea precedentă, şi aici trebuie să fac observaţia asupra faptului că problemele de construcţie sunt poziţionate conform ordinii parcurgerii lecţiilor de către mine (conform principiilor pedagogiei Waldorf). Nu are rost să prezint toată această ordine, dar trebuie să precizez că eu parcurg destul de repede (mai exact în a doua lecţie) o prezentare a poziţiilor relative a două drepte, unde apar deja noţiunile de drepte paralele sau drepte perpendiculare, cu referire la poziţionările orizontale sau verticale şi analogii cu acestea. Cu alte cuvinte, noi învăţăm despre drepte perpendiculare înaintea studiului despre unghiuri; unghiurile apar în a doua jumătate a studiului elementelor de bază. Rog în acest context cititorii să treacă peste acest inconvenient şi să înţeleagă tema principală a prezentării de faţă; oricine poate apoi să-şi redacteze o fişă de lucru conform nevoilor personale.

Acest inconvenient dispare însă dacă fişa este folosită ulterior lecţiilor, ca material recapitulativ. Ca o observaţie personală, trebuie să precizez că această bruscă “iluminare” a mea pe subiectul de faţă are loc prea târziu chiar şi pentru actuala mea clasă a 6-a, astfel încât şi aceştia au primit-o în ultima săptămână a semestrului I ca temă recapitulativă, înaintea orelor despre triunghi. Cred că nu-i rău nici aşa, pe această cale putând merge şi alţi colegi, folosind fişa respectivă ca material suplimentar (după parcurgerea noţiunii de perpendicularitate, după unghiuri, conform ordinii oficiale din programă).

Un aspect colateral important al acestui prim set de exerciţii este şi formarea obişnuinţei elevilor cu textul (mai lung sau mai scurt) conţinând noţiuni geometrice, în general matematice, şi preîntâmpinarea astfel a apariţiei analfabetismului funcţional matematic, în acest domeniu, dar şi în general, deoarece majoritatea cerinţelor sunt la limita de jos a complexităţii. Anexez în final fişa de care am vorbit (patru coli A4). CTG

Fișă

Construcţii geometrice în clasa a 6-a – (2) Triunghiuri

Motto:  Cu rigla, raportorul şi compasul spre înţelegere, gândire şi învăţare (adaptare după o vorbă nemţească: “mit Kleber und Schere, durch Forschung und Lehre”, pe româneşte: “cu foarfecă şi lipici spre cercetare şi învăţătură”).

În mega-eseul despre planimetrie şi stereometrie, în partea a 3-a, scriam despre un ciudat embargou “pus” asupra planimetriei în clasa a 6-a pentru că de fapt nu am avea ce să calculăm până nu cunoaştem figurile geometrice, în principal triunghiurile, patrulaterele sau cercurile. Aşa-i: nu putem să ne ocupăm de perimetre şi de arii până nu cunoaştem serios figurile geometrice “închise”, cărora vrem să le calculăm perimetrele şi ariile (studiul ideii de perimetru sau arie pentru câteva figuri în clasa a 5-a implică o abordare extrem de intuitivă a acestora, abordare care însă este posibilă doar în cazul câtorva, în principal pătratul şi dreptunghiul). Există însă un mare DAR,… , anume că planimetria nu constă doar în calcule de perimetre şi arii.

Ariile reprezintă măsura suprafeţelor (pe germană Flächeninhalt, însemnând “conţinutul suprafeţei”) a unor figuri bidimensionale (2D) şi se calculează conform unor formule (reţete) complexe, ce au făcut obiectul unei “cercetări” preliminare (asta într-un caz normal, în care profesorul doreşte să-i înveţe pe elevi să şi gândească, nu doar să rezolve papagaliceşte nişte exerciţii; dacă însă profesorul sau un părinte îi dă elevului direct formula, atunci elevul va acumula şi cu această ocazie frustrare faţă de incapacitatea sa de gândire, făcând astfel încă un pas spre “analfabetismul funcţional” matematic).

Dimpotrivă, deşi se referă la figuri bidimensionale, perimetrele reprezintă o mărime unidimensională (1D). Procedeul de calcul al perimetrelor este însă unul mult mai simplu, anume de însumare a lungimilor tuturor laturilor. O persoană cu un minim nivel de gândire nu are nevoie de reţetă în cazul unui perimetru (dacă un elev nu reuşeşte să gândească singur un perimetru, dă clare dovezi de “analfabetism funcţional” matematic; un adult care împinge elevul spre învăţarea pe de rost a unor reţete de perimetru la diferitele figuri geometrice, acesta dă dovadă de o inconştienţă crasă, în multe cazuri împingând de fapt elevul şi mai mult înspre mocirla nongândirii, numită “analfabetism funcţional” matematic-AFM; dimpotrivă, dacă un elev îşi deduce singur anumite formule de calcul a perimetrului, aceasta este o clară dovadă de gândire, dar numai dacă o face el, nu şi dacă i-o dă adultul de lângă el; de pildă, un elev care tot adună laturi şi la romb, fără să-şi dea seama că poate înmulţi latura cu 4, acesta are clar un început de AFM, adică de “analfabetism funcţional” matematic).

Încercând să facem un pas şi mai jos faţă de arii şi faţă de perimetre, vedem că înaintea acestora se află simpla preocupare pentru lungimea unor laturi, adică lungimea unor segmente. De aici începe de fapt planimetria, iar clasa a 6-a are din belşug ocazii de a exersa elemente de bază în planimetria iniţială, adică ocazii de lucrat cu măsurile elementelor unor figuri, segmente şi unghiuri.

Cu alte cuvinte, planimetria începe prin exerciţii simple de măsurare a unor “obiecte geometrice” deja existente, cât şi de construcţii ale unor “obiecte geometrice” cu anumite dimensiuni cerute, în principal segmente, adică lungimi, dar apoi repede fiind incluse în acest joc şi unghiurile. Aceste exerciţii existau în toate manualele vechi (ele dispăruseră direct, dar erau subînţelese chiar şi în vremea ultimelor manuale comuniste, cele din anii ’80-’90), dar au fost cu totul abandonate în forma manualelor alternative din 1997, deoarece acestea cât şi preocuparea profesorilor au ajuns să fie setate total spre matematica de performanţă; or, măsuratul cu liniarul şi alte activităţi de acest gen chiar nu fac parte din preocupările concursurilor de excelenţă.

Fără această fază iniţială a geometriei există însă clar posibilitatea ca unii elevi (şi nu puţini) nici măcar să nu priceapă despre ce este vorba în problemele cu arii şi perimetre, acestea prezentându-li-se din start deja mult prea sofisticat şi “teoreticist”. Înainte de a lucra “calculatorist” cu nişte dimensiuni, elevul trebuie să le fi folosit “măsurătorist”, altfel pot apărea disfuncţionalităţi puternice la copiii instabili din acest punct de vedere (AFM).

De pildă, există copii care nu ştiu ce şi cum se măsoară cu liniarul, existând unii care au impulsul să înceapă cu măsurătoarea de la 1, nu de la 0. Nici nu mai are rost în acest context să vorbim despre măsurarea unghiurilor cu raportorul. Acesta este oricum un instrument mult mai complicat decât liniarul, profesorul trebuind să petreacă cu elevii mult mai mult timp la măsurarea unghiurilor, dacât la lungimi. Procentul elevilor care nu pricep din prima ce se întâmplă cu raportorul este muuult mai mare decât în cazul liniarului, iar aceştia au nevoie să lucreze câteva zile pe acest subiect până se fixează şi în mintea lor “ce şi cum”.

Cu alte cuvinte, embargo-ul din clasa a 6-a împotriva planimetriei poate apărea doar în mintea profesorilor care gândesc numai la nivelul demonstraţiilor şi a calculelor sofisticate, în general a gândirii mult prea înalte pentru o mare parte a elevilor.

Ca o paranteză, desigur că cititorul va căuta partea întâi (1) a acestei serii, dar nu o va găsi. Motivul este următorul: am decis să expun acest subiect, al construcţiilor geometrice, în ordinea în care mintea mea l-a cucerit, nu în ordinea în care părţile acestui eseu apar în viaţa elevului. Numerotarea însă se referă la ordinea naturală în predare, iar onor cititorii vor trebui să-şi lămurească această dualitate de abordare (staţi liniştiţi: urmează cât de repede şi partea întâi). Să vedem deci cum am “cucerit” eu acest subiect în ultimul deceniu.

De mulţi ani în mintea mea a început să crească – încetu’ cu-ncetu’ – vechea temă din manuale de demult despre construcţii de triunghiuri cu instrumente geometrice (începând din secolul XIX şi până în anii ’90, când o făceau încă foarte mulţi profesori). În manualele vechi elementele erau desenate separat mai întâi; doar apoi erau desenate asamblat într-un triunghi.

Cu timpul mi-am dat seama că aceasta reprezintă o minunată oportunitate de cunoaştere practică a triunghiurilor, deosebit de bună de aplicat înaintea problemelor cu demonstraţii în triunghiuri; elevii sunt astfel îndrumaţi iniţial spre o cunoaştere practică a acestora, înaintea abordării problemelor “intelectuale”. Pe acest drum de refacere a căii vechi de cunoaştere, de la un an la altu’ fişa mea de lucru a crescut încet-încet; la început a fost scrisă de mână, apoi a ajuns redactată în calculator, evoluând în variante tot mai cizelate şi mai complete. La ora actuală acest material de lucru pentru elevii se prezintă sub forma a două fişe: Fişa 1) Construcţii de triunghiuri (generale sau speciale) şi Fişa 2) Construcţii de triunghiuri cu linii importante. Acestea pot fi imprimate faţă-verso pe o coală A4. Este evident că a doua fişă ajută şi la o primă cunoaştere practică a liniilor importante în triunghi.

Materialul este adaptat formei în care predau eu acest capitol, anume în ordinea următoare: Lecţia 1) Triunghiul (elemente), Suma unghiurilor, unghiul exterior; Lecţia 2) Construcţia triunghiurilor, cazurile de construcţie (renumitele LLL, LUL şi ULU abordate iniţial astfel); Lecţia 3) Clasificarea triunghiurilor (tipuri de triunghiuri); Lecţia 4) Liniile importante în triunghi; Lecţia 5) Triunghiul dreptunghic (tipuri, proprietăţi şi teoreme).

Consider că abia după o cunoaştere practică prin construcţie a triunghiurilor cu instrumentele geometrice, abia apoi se poate trece la nivelul superior, anume la demonstraţii cu acestea. Partea de cunoaştere practică şi intuitivă lipseşte din forma de predare a majorităţii profesorilor, iar acesta este unul din motivele de bază pentru care elevii din toată ţara merg atât de slab la geometrie.

Din păcate, geo-metria (măsurarea terenurilor, cum a fost aceasta denumită de către grecii antici, după vizitele “de studii” în Ţara Nilului) a ajuns în ciudata situaţie de a se dezice de denumirea sa: la ora actuală în geo-metria de mult nu mai măsoară! Prin iniţiativa mea, eu am încercat să repun geo-metria pe făgaşul normal, punându-i pe elevi la început “să măsoare”.

Nu vreau să susţin că geo-metria ar trebui să revină la practicile de măsurare a terenului (de pildă cum se făcea după retragerea apelor Nilului în Egiptul Antic), dar consider că orice elev ar trebui să fie introdus în acest domeniu începând printr-o cunoaştere practică a elementelor geometrice, o cunoaştere care să fie adaptată vârstei şi nivelului mediu de gândire, să fie accesibilă, chiar cu vagi accente ludice, dar în primul rând să fie făcută prin intermediul manualităţii. Această cunoaştere practică nu o exclude pe cea teoretică. Cunoaşterea teoretică trebuie doar domolită şi adaptată nevoilor şi posibilităţilor generale ale vârstei de clasa a 6-a, folosirea ei în probleme de demonstrat trebuind însă să vină întotdeauna după cunoaşterea practică.

În acest context trebuie să recizez că materialul din aceste fişe urcă până la nivelul de dificultate în care rezolvitorul trebuie de fapt, este chiar nevoit, împins să facă primii paşi de raţionamente specifice demonstraţiilor, raţionamente pe care trebuie desigur să le justifice (am făcut aşa pentru că …).

Este evident că după etapa de cunoaştere a triunghiurilor prin construcţie, pe baza “cazurilor de construcţie” (LLL, LUL, ULU, dar şi după o scurtă analiză LUU), se poate trece apoi la probleme teoretice, unde ar trebui parcursă lecţia despre “cazurile de congruenţă” a triunghiurilor (la început a triunghiurilor oarecare, iar apoi şi a triunghiurilor dreptunghice). Este evident că înţelegerea acestor lecţii va fi mult mai solidă, gândirea elevilor având acum formate rădăcini adânci într-o înţelegere practică a fenomenelor. Cu alte cuvinte, este evident că o lecţie ancorată în profunzimea experienţei practice personale are şansa să fie mult mai solidă decât o cunstrucţie superficială, fără o fundaţie solidă.

Anexez în final PDF-uri cu cele două fişe, cu observaţia că materialul conţine inclusiv aplicaţii ale teoremei triunghiului dreptunghic înscris în semicerc (“Cercul lui Thales”, cum este aceasta cunoscută de la graniţa cu Ungaria încolo, adică în toate ţările de cultură germană), teoremă folosibilă în cazul de construcţie IC, cu ipotenuza ca bază a triunghiului. CTG

2A5 Constructii linii imp in tri 35ex-converted.pdf şi
2A5 Constructii Triunghiuri 41ex-converted.pdf

Planimetria şi Stereometria – (8) O privire mai profundă asupra ariilor din clasa a 7-a

Cred că onor cititorii şi-au dat seama că am redactat acest mega-eseu cu gândul direct la studiul ariilor şi al volumelor corpurilor geometrice din clasa a 8-a, indignat fiind de excluderea acestora din materia de EN în contextul opririi şcolilor în primăvara acestui an bulversant 2020, dar şi speriat fiind de posibilitatea repetării scenariului pentru următoarea generaţie. Dacă în anul şcolar 2019-2020 decizia se mai justifică cumva, pentru anul şcolar 2020-2021 nu mai există nici cea mai mică justificare, datorită faptului că lucrurile puteau fi pregătite din timp (adică din vara anului 2020).

Unul din motivrele plauzibile pentru care nu a fost pregătită, respectiv prevenită repetarea unei astfel de situaţii, este faptul că probabil în Minister atenţia majorităţii este îndreptată cu predilecţie spre vârfuri, spre matematica “de performanţă”; ori, mişcarea de excludere a stereometriei de la EN nu i-a afectat prea mult pe elevii de vârf (cei mai buni dintre ei au primit însă o lovitură “sub centură” prin toamnă, când d-na Ministru filolog a decis să elimine toate olimpiadele din activitatea acestui an, deci inclusiv “sfintele” olimpiade de matematică).

Se pare însă că pe diriguitorii matematicii româneşti nu-i prea interesează ce se întâmplă cu marea masă a celor “slabi la matematică”. Lor le-au dat câteva întrebări tălâmb de banale, astfel încât să nu existe proteste din partea acestora, dar şi pentru ca promovabilitatea pe ţară să fie OK din punct de vedere politic, astfel încât guvernanţii să aibă linişte măcar din acest punct de vedere într-un an electoral agitat cum nu a mai fost altul.

Aşadar, aceasta a fost motivaţia mea principală, pentru redactarea ideilor exprimate, cea din punct de vedere a afectării stereometriei. În cadrul acestui mega-eseu am folosit însă ocazia pentru a atinge şi alte aspecte colaterale, care însă sunt înrudite ca fenomenologie, respectiv ca atitudine a organizatorilor din Minister, a autorilor de manuale sau a marii majorităţi a profesorilor, care însă toate afectează la diferite vârste învăţarea matematicii şi formarea gândirii la marea masă a elevilor.

Unul din “punctele” respective îl reprezintă planimetria, mai ales studiul ariilor în clasa a 7-a, despre care am vorbit în diferite rânduri. În contextul studiului ariilor există multe aspecte implicate. Haideţi să analizăm mai atent două dintre acestea şi felul în care ele interacţionează. Precizez că este vorba de aspecte ale predării noastre ca profesori în România acestor ani, aspecte care însă nu sunt defel şi niciunde discutate: nici în materialul însoţitor al programei noi din 2017, nici în cursurile de formare, nici în manuale, niciunde!

Un prim aspect la care mă gândesc este faptul că planimetria capătă un sens evoluat, un sens cu adevărat matematic, doar odată cu posibilitatea calculului unor lungimi prin teorema lui Pitagora. Fără teorema lui Pitagora calculul ariilor şi a perimetrelor se rezumă la aplicarea unor reţete, adică a unor formule anterior dobândite (deduse prin gândire sau primite “de-a moaca”), şi a finalizării corecte a calculului din acestea (care se rezumă de obicei la aritmetică de clasa a 5-a, eventual la calcule cu proaspăt învăţatele numere iraţionale). De-abia prin teorema lui Pitagora calculul de arii şi perimetre devine MATEMATICĂ, devenind adică o situaţia de gândire, de forţare a individului în a decide singur ce paşi trebuie să facă, de a alege şi a combina diferite procedee anterior învăţate într-un întreg, care să parcurgă în mod coerent drumul de la ce se dă la ce se cere. De abia prin posibilitatea folosirii teoremei lui Pitagora planimetria urcă de la nivelul unui calcul banal la nivelul superior al problemelor de matematică. Cu alte cuvinte, folosirea teoremei lui Pitagora îl obligă pe elev să urce de la aplicarea “contabilicească” a unei formule, a unei reţete, la un nivel elevat în care el, elevul, trebuie să gândească, adică să ia decizii despre ce procedeu să aplice în fiecare moment.

De abia prin integrarea teoremei lui Pitagora în probleme planimetria urcă la un nivel de complexitate comparabil cu cealaltă mare parte a geometriei, anume cu demonstraţia geometrică. Totuşi, chiar dacă urcă de la nivelul de “exerciţii” (aplicarea şi exersarea unei simple reţete individuale) la nivelul de “problemă” (combinarea mai multor reţete individuale într-un întreg mai complex, combinare ce are loc, cum spuneam, în urma unor decizii ale rezolvitorului, ce reprezintă deja un proces de gândire), planimetria rămâne oricum la un nivel mai accesibil majorităţii elevilor pentru că răspunde la mult mai obişnuita întrebare “CÂT?”, pe când necesitatea demonstraţiei apare în urma întrebării “DE CE?”. Or, întrebarea “CÂT?” este mult mai prezentă în cotidianul majorităţii oamenilor, inclusiv a celor mai mulţi elevi, fiind ca atare mult mai accesibilă majorităţii indivizilor, decât întrebarea “DE CE?”, care este evident o întrebare mai profundă (vedeţi, asta numesc eu o adevărată psiho-pedagogie; şi când mă gândesc câţi ani m-am uitat cu dispreţ la cartea prof. Eugen Rusu despre Psihologia activităţii matematice).

Cu întrebarea “CÂT?” elevul se confruntă din clasele primare, aceasta reprezentând deci parte a zonei sale de confort intelectual matematic, chiar şi măcar datorită faptului că s-a confruntat cu astfel de situaţii de multe ori. Această întrebare este specifică gândirii infantile, anume a stadiului operaţional concret, aşa cum îl denumea Piaget, deşi problemele de calcul a ariilor şi a perimetrelor încep să folosească elemente ale gândirii adulte, din stadiul operaţional formal. Dimpotrivă, problemele de demonstraţie, cele care răspund la întrebarea “DE CE?”, lucrează predominant la nivelul gândirii adulte, adică în stadiul operaţional formal al raţionamentelor.

Vreau să spun aici că problemele de planimetrie reprezintă o cale de formare şi de exersare a gândirii mult mai accesibilă marii majorităţi a elevilor decât problemele de demonstraţie. Mai mult, toate problemele de demonstrat (inclusiv cele de calcul, dar care folosesc artificii algebrice sau de demonstraţie geometrică) reprezintă perioade ale orei de adresare şi educare exclusivă a elitelor, a elevilor de vârf (de obicei 2-3 în clasă). Dimpotrivă, problemele de calcul reprezintă perioade de adresare generală a întregii clase, adică şi a marii majorităţi a elevilor, din care însă înţeleg şi cei buni (şi, să ştiţi că nu li se usucă creierul de puţină “artimetică”).

Mai mult, în aceste perioade, elevii de vârf au ocazia să exerseze EMPATIA, dar şi o stare de respect plină de îngăduinţă faţă cei care le sunt inferiori din punct de vedere al gândirii. Dimpotrivă, toate acele perioade ale orei când se lucrează doar pentru vârfurile clasei, îi educă pe aceştia înspre o stare îngâmfată egoist-egocentristă, ce nu are nimic în comun cu educarea respectului mutual ce ar trebui să existe între membrii unei societăţi civilizate.

Cu alte cuvinte, prin problemele de planimetrie şi stereometrie profesorul de matematică are o ocazie mult mai accesibilă de a deveni un formator de gândire, decât prin intermediul demonstraţiilor geometrice. Marea majoritate a elevilor, cei cca. 70-80% care formează corpul de bază al “clopotului lui Gauss”, vor putea face pasul spre gândire prin intermediul problemelor de calcul de perimetre, arii sau volume, pe când în cazul problemelor de demonstrat aceştia vor fi tentaţi să înveţe pe de rost, mimând că gândesc, gândirea adevărată rămânând “de căruţă” (vezi şi P.S. din final, cu alte aspecte legate de acest important gând).

Până la programa din 2017 acest pas (introducerea teorema lui Pitagora în calculul ariilor) nu era posibil în cadrul capitolului din toamna clasei a 7-a, evident pentru că elevii încă nu aveau parcursă teorema lui Pitagora, aceasta fiind poziţionată în programă de abia în semestrul al II-lea, fixată fiind acolo de acceptarea doar a demonstraţei prin teorema catetei, care la rândul ei trebuia în prealabil demonstrată prin asemănarea triunghiurilor. Ca o paranteză fie spus, atenţionez că există şi demonstraţii prin arii la teorema lui Pitagora (încă multe chiar), demonstraţii ce ar permite includerea acestei teoreme în capitolul de arii (eu am ales una dintre ele, incluzând-o astfel de 20 de ani în studiul ariilor din toamna clasei a 7-a), dar acesta este un alt subiect şi nu vreau să intru în el acum.

Dimpotrivă, după programa din 2017, programă ce implică predarea “în gol”, adică fără demonstraţie, a teoremei lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, n-ar mai trebui să ne împiedice nimic în integrarea acestei teoreme în studiul ariilor din toamna clasei a 7-a. Orice demonstraţie la teorema lui Pitagora implică parcurgerea unor elemente dificile, din categoria demonstraţiilor, înainte de aplicarea banală a calculului în probleme de planimetrie (absolut ciudat, dar acest fenomen nu apare şi în stereometrie, unde se poate intra în mod intuitiv direct în calcule, fără a fi nevoie de demonstraţii prealabile). Dimpotrivă, situaţia ciudată creată de programa din 2017 ne scuteşte de acest aspect al rigurozităţii, dând “mână liberă” profesorului de a folosi din start teorema lui Pitagora la calculul de arii şi perimetre. Şi totuşi, în aceste condiţii “ideale” pentru profesor de a face un pas clar în favoarea majorităţii elevilor, cei mai mulţi profesori se fac că nu văd, ratând această oportunitate, unii chiar luptându-se împotriva acesteia.

În acest sens, poate fiecare să studieze cum arată situaţia în manualele sau în culegerile auxiliare însoţitoare alese; unii le-au integrat timid, alţii dimpotrivă nu s-au gândit la această posibilitate (eu personal nu am făcut un astfel de studiu cât de cât vast; vorbesc doar în urma întâlnirii unor câteva exemple din ambele categorii). Care este însă situaţia de la clasă în acest context? Păi, cam aceeaşi: profesorii nu se bagă, nu văd oportunitatea, le este “nu ştiu cum” să iasă din zona de confort a predării din ultimii zece ani.

În acest sens vreau să prezint un singur exemplu: chiar zilele acestea, după publicarea părţii (4) a acestui mega-eseu, m-am întâlnit din nou cu o situaţie absurdă şi am promis că o voi prezenta. Este vorba despre situaţia unei probleme din capitolul de arii din clasa a 7-a, în care, la propunerea unui elev de a rezolva cu teorema lui Pitagora, profesorul spune ad-literam: încercăm să evităm folosirea lui Pitagora (aproape că ai impresia că-l vezi pe acel profesor “scrâşnind printre dinţi” o înjurătură la adresa cui o fi decis introducerea acelei lecţii în finalul clasei a 6-a). Este NOAPTEA MINŢII să lucrezi întreg acest capitol fără teorema lui Pitagora, deşi de data asta elevii o cunosc, doar aşa, pentru că tu te-ai obişnuit să predai acele lecţii fără Pitagora şi îţi este greu să te schimbi. Analizând situaţia concret am putut vedea gândul mai profund al respectivului profesor, anume că el pregătise problema pentru o anumită rezolvare, care era mai scurtă, dar mai “algebrică” decât cea prin folosirea teoremei lui Pitagora (aceasta fiind însă din punct de vedere al elevilor mai accesibilă pentru că era mai “aritmetică”, chiar şi prin prisma celui mai bun elev din clasă, cel care venise cu propunerea). Da, “stimaţi” colegi, dar într-o astfel de situaţie suntem obligaţi să explicăm situaţia elevilor, nu doar să le refuzăm soluţia în mod schizofrenic, pentru că altfel lucrurile rămân în mentalul întregii clase la un nivel inerxplicabil mustind de subiectivitate: de ce să evităm folosirea lui Pitagora de vreme ce o cunoaştem? Vedeţi cum situaţia capătă aspecte conflictuale prin impulsul unei astfel de contra-întrebări retorice.

Cum s-ar fi putut evita astfel de situaţii? Păi simplu, dacă în textele însoţitoare ale programei din 2017 ar fi fost prevăzute şi incluse aceste aspecte, dacă ar fi fost clar precizate, atunci autorii de manuale le-ar fi integrat clar şi vizibil, iar profesorii s-ar fi adaptat evident. Aşa, după cum am mai spus, fiecare ocazie de reformă adevărată şi profundă este ratată în România cu mare stil şi eleganţă balcanică, astfel încât cei de la baza învăţământului, profesorii de rând şi orele lor în nici un caz nu au cum să evolueze în favoarea marii majorităţi a populaţiei şcolare.

Am precizat, mai ales la geometria în spaţiu din clasa a 8-a, că avem de fapt o formă de predare orientată după criteriile rigurozităţii matematicii, dar care sfidează criteriile pedagogice (înţelegeţi ce am vrut cu axele acelea ciudate din prima parte a eseului). Această formă este accesibilă vârfurilor populaţiei şcolare, dar se desfăşoară mult prea sus din punct de vedere intelectual pentru cea mai mare parte a elevilor. Probabil că mulţi dintre matematicieni nu înţeleg de ce “prostimea” nu face faţă geometriei, pentru că doar, măcar ariile şi volumele din clasa a 8-a “sunt simple”. Acelaşi fenomen se întâmplă însă şi cu un an înainte, în clasa a 7-a la studiul ariilor, din cauza a două aspecte, unul dintre ele fiind cel discutat mai sus.

Un al doilea aspect de analizat ar fi următorul: studiul ariilor are două părţi destul de bine delimitate, cu adresabilitate destul de diferită la nivelul elevilor. Pe de o parte avem calculul concret ar ariilor, ce se face cu diferite formule (majoritatea figurilor au mai multe formule, în funcţie de situaţia datelor, şî acestea cu adresabilitate diferită la nivelul elevilor, dar nu mai pornesc şi în acest sens o analiză specială). Pe de altă parte, avem studiul proprietăţilor ariilor, cu figuri echivalente (de obicei necongruente, dar cu aceeaşi arie), rapoarte de arii sau diferite relaţii între elementele unor figuri, relaţii demonstrabile cu ajutorul ariilor. De obicei, în această parte nu se cere calculul unei arii. Prin excelenţă, apogeul acestui domeniu matematic îl reprezintă chiar teorema lui Pitagora, anume că aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete (deşi în mentalul multor profesori din România pare că este prohibită).

Din a doua parte, cea mai accesibilă şi cunoscută este proprietatea de arie a medianei, anume că mediana împarte triunghiul în două triunghiuleţe cu ariile egale, deşi de obicei acestea nu sunt congruente. Şi lungimea înălţimii pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic poate fi demonstrată aici foarte uşor, prin egalarea a două formule de arie a acestuia. Anexez aici două din problemele mele preferate în această parte de geometrie.

Eu am scos în evidenţă existenţa celor două părţi destul de diferite încă din 2005, la redactarea culegerii de geometrie publicată în 2006 împreună cu soţia mea (De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, Probleme elementare de geometrie plană, Ed. Humanitas Educaţional). În această lucrare am cuprins două capitole separate cu arii: Cap. V – Calcule de arii şi perimetre, respectiv Cap. VI – Proprietăţile ariei (problemele de mai sus sunt primele două din acest capitol). Cap. V este adresat, cel puţin în prima sa parte, elevilor de rând, cuprinzând multe probleme de calcul elementar de arii şi perimetre ale figurilor de bază, pe când Cap.VI se adresează prin excelenţă doar elevilor buni la matematică.

Problemele de felul celor două (mai sus prezentate) sunt destul de şocante pentru cei mai mulţi elevi, pur şi simplu pentru faptul că sunt probleme de arii, dar în care elevul nu primeşte nici un număr cu care să calculeze. Arii, dar fără numere, cum vine asta??? Chiar şi cel mai bun elev este bulversat de această situaţie. Diferenţa dintre elevii de vârf şi cei de rând este că cei buni reuşesc să-şi revină din această bulversare, pe când cei de rând nu. Există desigur şi probleme “parşive” în acest sens, probleme în care rezolvitorul primeşte numere (de obicei un număr), dar problema nu este una tradiţională “de calculat”, ci una de comparare de arii. Iată un exemplu la repezeală în acest sens: Considerăm un triunghi oarecare ABC de arie 234 cm2 şi notăm cu M, N şi P mijloacele laturilor sale. Demonstraţi că patrulaterul AMNP este un paralelogram şi determinaţi aria acestuia. Problema are un număr, dar nu ai ce să calculezi mare lucru cu acesta. Putem explica şi astfel: la acel paralelogram, nu-i poţi calcula nici o latură, nici o înălţime (aşa cum art cere formula de bază).

Rezumând, putem spune că neconştientizarea existenţei acestei delimitări destul de clare între cele două domenii, alături de neimplicarea teoremei lui Pitagora în capitolul de arii din semestri I al clasei a 7-a, contribuie împreună la ratarea momentului acestui capitol înspre atragerea elevilor de rând către fenomenul matematic. Mulţi profesori bombardează clasele cu probleme din partea de proprietăţi a ariilor, accesibile doar vârfurilor, astfel încât toţi elevii de rând din aceste clase ratează oportunitatea conectării cu gândirea, chinuindu-se în cel mai bun caz să înveţe pe de rost rezolvările respectivelor probleme. Aceasta, împreună cu faptul că elevii nu primesc dreptul de a folosi teorema lui Pitagora în calcule, îi menţine pe cei mai mulţi într-o stare de profundă prostie matematică, tăindu-le posibilitatea accesării gândirii prin fereastra de oportunitate numită “arii”.

Avem şi aici un bun exemplu prin care profesorimea împinge elevii spre analfabetism funcţional matematic, aspect ce iese apoi la iveală în mod dureros la examenul de EN sau la studiile PISA, dar şi cu alte ocazii. Degeaba avem câteva vârfuri cu care ne tot mândrim, când în paralel avem o politică aparent gândită doar spre îndobitocirea maselor.

Dar nici măcar această parte despre proprietăţile ariilor nu este predată corect. De multe ori elevii primesc probleme din această parte, fără să aibă predate înainte elementele necesare (profesorul de mai sus s-a trezit după o săptămână că nu le-a dat proprietatea de arie a medianei, necesară într-o problemă de la temă). Eu văd însă un aspect negativ mult mai profund. Această parte de proprietăţi a ariilor se împarte şi ea în două subpărţi. Există aici foarte multe aplicaţii care sunt exprimabile uşor în limbaj algebric, spre care tind cei mai mulţi profesori, dar există aici şi aplicaţii cu un profund caracter vizual grafic. Cele cu caracter algebric sunt mai statice (de pildă faptul că produsul dintre o latură a unui triunghi şi înălţimnea corespunzătoare este acelaşi, indiferent de latura aleasă ca bază), pe când cele cu caracter mai vizual grafic sunt oarecum “în mişcare” (de pildă faptul că aria unui triunghi nu se modifică dacă “plimbăm” un vârf al acestuia paralel cu latura opusă). Această a doua parte, care dezvoltă o mobilitate mai bună în gândire, este cu totul neglijată în România, fiind abandonată total după reforma din 1997.

*

Încerc să mă opresc aici, deşi este evident pentru orice cititor că aş putea continua cu alte şi alte aspecte “mult şi bine”. Sunt sigur că acest mega-eseu are clar un aer destul de haotic, trecând uneori neaşteptat “de la una la alta”. Este evident că la o a doua reluare lucrurile ar fi mult mai ordonate, dar acest eseu a fost publicat în “timp real”. Iniţial am gândit 4, ba nu 5 părţi (una introductivă şi câte una pentru fiecare clasă gimnazială), iar apoi am spus că mai adaug şi una de concluzii, deci 6, pentru ca în final să ajung la 8 părţi.

Nutresc însă speranţa, că cititorul de bună credinţă a putut căpăta o idee solidă despre cum ar trebui integrate elementele de planimetrie şi de stereometrie în materia de gimnaziu, într-un mod cât mai just relativ la cele trei axe de referinţă prezentate iniţial: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă. Nutresc speranţa că am reuşit să atrag atenţia cititorilor asupra acestei problematici importante şi că aceştia şi-au făcut o idee cât mai sănătoasă despre “traseul” pe care noi profesorii ar trebui să-i conducem pe elevi prin “meandrele octantelor” apărute între aceste trei axe de referinţă ale predării geometriei gimnaziale (octantele reprezintă “optimile” în care este împărţit spaţiul de către trei axe de coordonate; octantele sunt similarele cadranelor în sistemul de două axe; cadranele reprezintă “colţuri 2D”, pe când octantele “colţuri 3D”; m-am referit aici la imaginea cu cele trei axe din prima parte a eseului).

Mai sunt doar câteva aspecte pe care nu le-am putut integra fluent în începutul acestui episod, aşa încât le-am păstrat pentru final, în următorul Post Scriptum. Sper să mă pot limita la 8 părţi pentru acest mega-eseu (8 este un număr foarte favorabil din punct de vedere Feng Shui), dar nu pot “băga mâna-n foc” că nu mă va mai apuca din nou scrisul pe acest subiect. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Spuneam mai sus că prin problemele de planimetrie şi stereometrie profesorul de matematică are o ocazie mult mai accesibilă de a deveni un formator de gândire pentru marea masă a elevilor, decât prin intermediul demonstraţiilor geometrice. Marea majoritate a elevilor, cei cca. 70-80% care formează corpul de bază al “clopotului lui Gauss”, vor putea face pasul spre gândire mult mai lesne prin intermediul problemelor de calcul de perimetre, arii sau volume, pe când în cazul problemelor de demonstrat aceştia vor fi tentaţi să înveţe pe de rost, gândirea adevărată rămânând “de căruţă”.

Acest aspect este susţinut şi de faptul că în calculul de arii şi perimetre elevul are de combinat calculele teoremei lui Pitagora cu formulele de arie specifice figurii respective, adică are de ales dintre decizia de aplicare între puţini “paşi logici” (la care se adaugă situaţiile banale din cazul perimetrelor), pe când în cazul demonstraţiilor elevul are de ales dintre mult mai mulţi paşi logici posibili (deja învăţaţi), pentru combinarea într-o demonstraţie corectă. Cu alte cuvinte, combinarea unei rezolvări de planimetrie este mult mai simplă decât majoritatea situaţiilor de combinare a unei probleme de demonstraţie.

Ca o scurtă paranteză, precizez că în nici un caz nu ar trebui să le dăm elevilor de învăţat “formule pentru perimetre”. Fenomenul perimetrelor este atât de simplu, încât profesorul ar trebui să le pună din start la baza ideii de gândire. Acolo unde profesorul observă că elevul are tendinţa să înveţe pe de rost “o formulă de perimetru”, acolo trebuie intervenit de urgenţă pentru a atrage mintea elevului înapoi pe linia de gândire. Una este ca elevul să fi dedus singur şi să ştie că perimetrul unui romb este 4a (de 4 ori latura) şi să o poată explica de unde vine,  iar alta este să vedem că elevul nu ştie de unde vine această “formulă”, dar a învăţat-o pe de rost, eventual şi-a şi notat-o într-o listă după care o repetă şi este ascultat acasă, de către un părinte binevoitor, dacă “o ştie”.

Merită făcută aici şi o altă scurtă observaţie metodică, în vederea oportunităţii de formare a gândirii, în sensul de antrenare a minţii elevului în a lua deciziile juste în fiecare caz în parte (vorbesc aici de situaţii din planimetrie, unde, cum am spus, procesul decizional este la un nivel mult mai accesibil). În general există două tipuri de rezolvări prin teorema lui Pitagora. Există pe de o parte cei care scriu relaţia întotdeauna în formă de sumă, urmând ca în cazul când necunoscuta este o catetă, aceasta să fie calculată în final prin procedee specifice ecuaţiilor (trecut în membrul celălalt cu semnul schimbat. Această rezolvare se bazează pe faptul că elevul ştie foarte bine să rezolve ecuaţii, dar în cazul unui elev care a cam ocolit învăţatul în ultimii ani, sau nu poate face lesne transferul de cunoştinţe dintr-un capitol în celălalt, învăţarea problemelor cu teorema lui Pitagora este subminată.

Dimpotrivă, există şi cei care aplică teorema lui Pitagora în două forme, de sumă, dacă ştim ambele catete şi avem de calculat ipotenuza, respectiv de diferenţă, dacă nu cunoaştem o catetă, pornind de fiecare dată cu latura necunoscută. Aparent, aici elevul are de învăţat două rezolvări în paralel (în loc de una) şi mai are de luat şi o decizie în plus, anume pe care dintre cele două să o folosească în fiecare caz. În această rezolvare, însă, elevul nu este dependent de abilităţile dintr-un capitol precedent de algebră, ci rezolvarea se resrânge doar la aplicaţii aritmetice. Apoi, această a doua rezolvare îl antrenează pe elev de a lua decizii încă într-un loc. Pe lângă faptul că-l învăţăm pe elev să aplice anumite reţete, anumiţi algoritmi, ca profesori, noi trebuie să-l învăţăm să şi gândească, măcar câtuşi de puţin şi pe elevul cel mai slab la matematică. Mie personal, această a doua variantă de rezolvare prin Pitagora îmi oferă o astfel de ocazie de formare a gândirii şi la cei mai “începători” la matematică.

Merită să adaug aici încă un aspect ciudat legat de învăţarea matematicii. În general, lumea trăieşte cu impresia că învăţatul matematicii este ca un tren al cărui traseu trebuie să îl parcurgi neapărat pornind de la prima staţie, pe rând prin toate celelalte. Eu sunt însă de altă părere, anume că pe lungul traseu al acestui tren există anumite staţii în care un elev se poate urca cu succes, fără însă să fi parcurs în prealabil toate celelalte dinainte. De ce nu le-ar fi parcurs? Păi, din lene, sau poate datorită unei predări mult prea elevate din partea profesorului, căreia elevul pur şi simplu nu i-a făcut faţă, sau din cine ştie ce alte motive.

Pentru astfel de elevi (care nu sunt deloc puţini), calculul de arii şi perimetre din clasa a 7-a, cu aplicarea teoremei lui Pitagora, reprezintă o astfel de oportunitate rară de a se urca în “trenul gândirii matematice” cu multă eficienţă şi succes, crescând puternic moralul şi dispoziţia unui astfel de elev în a învăţa matematica (creierul său crează cu această ocazie sinapse de gândire şi învaţă să le folosească, urmând ca aceste conexiuni să fie utilizate ulterior şi în alte situaţii). Apoi, odată pornită gândirea matematică, un astfel de elev reuşeşte cu timpul să recupereze şi multe alte elemente dintre cele pierdute înainte. Uneori o astfel de recuperare poate fi absolut spectaculoasă, ridicând elevul de la nivelul unui analfabetism funcţional matematic extrem (la începutul clasei a 7-a) până la nivelul de intrare la liceu într-o clasă de ştiinţe.

Planimetria şi Stereometria – (7) Scurt istoric al studiului despre drepte şi plane

Am văzut în acest eseu-serial cum la geometria în spaţiu din clasa a 8-a avem de fapt o formă de predare orientată după criteriile rigurozităţii matematicii, dar care sfidează criteriile pedagogice. Această formă poate fi înţeleasă de către vârfurile populaţiei şcolare, dar se desfăşoară mult prea sus din punct de vedere intelectual pentru cea mai mare parte a populaţiei şcolare. Probabil că mulţi dintre matematicieni nu înţeleg de ce “prostimea” nu face faţă geometriei, pentru că doar, măcar ariile şi volumele “sunt simple”. Păi, DAAAA!, chiar şi lucrurile simple devin de neînţeles pentru mulţi dacă sunt prezentate în context complicat sau într-o formă fără sens! Iar după o vreme apare atât negarea şi refuzul, din punct de vedere psihologic, cât şi incapacitatea pură de a urmări şî a înţelege un conţinut, chiar dacă acesta este prezentat evident simplu, din punct de vedere al capacităţii intelectuale. Cu alte cuvinte, o predare mult prea elevată duce la îndobitocirea maselor!

Haideţi să vă prezint ce amintiri am eu despre clasa a 8-a în legătură cu acest subiect, al studiului poziţiei relative a dreptelor şi planelor şi a demonstraţiilor cu acestea înaintea elementelor de stereometrie. Nu ţin minte mai nimic, în afara faptului că după o anumită oră din clasa a 8-a m-am dus acasă şi mi-am construit o mică machetă pentru teorema celor trei perpendiculare (o machetă foarte mică, la care “planul” era reprezentat de un dreptunghi de la o cutie de chibrituri, care la vremea respectivă încă erau făcutedin plăcuţe foarte subţiri de lemn lipite împreună cu hârtie). Singura datare clară a momentului respectiv este că a fost cândva înainte de Crăciun, pentru că respectiva machetă a ajuns atârnată în bradul împodobit, şi a rămas mulţi ani printre podoabele pentru pom (chiar şi când eram prin facultate o mai găseam acasă la părinţii mei în bradul de Crăciun).

Nu am amintiri de geometrie în spaţiu dinaintea acestui moment, dar bănuiesc ca ceva am înţeles din acele ore, de vreme ce am priceput teorema respectivă, despre care ţin minte o stare de relativ entuziasm, după care am putut să fac corect macheta respectivă când am ajuns acasă. Precizez că am făcut-o din proprie iniţiativă; nu a fost temă. Următoarele amintiri le am despre formulele de arii şi volume, undeva prin primăvară.

Cu alte cuvinte, şi atunci, pe forma de manuale ale lui Hollinger, în ultimul an de valabilitate al acestora (1980-1981), toamna era ocupată de studiul relativ detaliat al dreptelor şi planelor, un studiu greu şi pentru elevii cu o vedere geometrică bună (nu am nici cea mai mică amintire despre probleme sau teste, dar probabil că nici nu făceam mare lucru; problemele adevărate în acest sens au venit la a doua trecere, în clasa a 10-a). Cât era acest studiu de detaliat, dar totuşi prezentat pe baze intuitive, se poate vedea din oricare manual din anii ’60-’70. Nu mi-am propus acum să vă prezint această formă într-un studiu detaliat (cea din timpul şcolii mele), dar este evident că respectivele manuale ar trebui studiate şi actualmente, atât de către autorii de programe, cât şi mai ales de către autorii de manuale.

Mai am însă o relatare despre acest subiect, una profund diferită şi totuşi pe aceeaşi linie, anume de la mama mea. Zilele acestea (după publicarea primelor patru părţi ale prezentului eseu) îi povesteam mamei mele despre acest subiect şi iată ce mi-a povestit (la telefon). Partea de studiu a dreptelor şi planelor i-a fost una dintre cele mai urâte părţi din matematică, vorbind aici cu referire la clasa a 10-a (Mama a predat toată cariera ei în liceu). De abia după ce apăreau corpurile şi apăreau cerinţe pe corpuri, de abia atunci simţea că elevii încep să înţeleagă respectivele situaţii (nu vorbea aici de arii şi volume, ci doar de studiul comportamental al dreptelor şi planelor în spaţiu). Cu alte cuvinte, nici măcar în clasa a 10-a, la o a doua trecere prin subiect) elevilor nu le erau accesibile problemele cu demonstraţii în spaţiu dar fără corpuri (vorbim aici de liceul din Or. Victoria, ca un eşantion destul de reprezentativ pentru toată ţara: cu reprezentanţi ai elevilor din toate nivelele, de la cei ce urmai să ajungă muncitori de rând, apoi mulţii viitori intelectuali, până la cei ce urmau să ajungă în cele mai înalte poziţii universitare, la nivel naţional sau internaţional, şi până la locul I la Olimpiadele naţionale de matematică).

Traduc eu: problemele pe structuri artificiale, de tipul celei date azi vară la EN-8, sunt mult mai greu de înţeles pentru elevi decât situaţiile prezentate în corpuri, care sunt nişte structuri mai uşor de înţeles. Corpurile acţionează aici ca un fel de “schelă” suport pentru înţelegerea şi gândirea elevului, pentru capacitatea sa de imaginaţie în spaţiu; desigur că în lipsa acestei schele elevul se descurcă mult mai greu. Acest aspect a fost recunoscut pe la sfârşitul anilor 2000, când s-a decis introducerea rapidă a corpurilor la începutul clasei a 8-a, într-o formă descriptiv intuitivă, astfel încât să se poată parcurge din start în mod echilibrat şi probleme “în corpuri”, nu doar pe structuri artificiale. Din păcate “onor ministerul” nu a explicat niciodată aceste aspecte, lăsând totul la bunil simţ al profesorilor.

Ordinea naturală ar fi dimpotrivă următoarea: De la început probleme cu drepte şi plane doar pe corpurile deja studiate, iar doar de la un anumit moment probleme pe structuri artificiale. Eu, de pildă, studiez mai întâi toate prismele şi piramidele; apoi studiez lecţiile uşoare despre drepte şi plane doar pe corpuri (unghiul dintre două drepte necoplanare, drepte necoplanare perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe plan, plane perpendiculare, drepte paralele, dreaptă paralelă cu un plan, cât şi planele paralele). La acestea elevii primesc o structură artificială teoretică urmată imediat de aplicaţii pe corpuri, transferul fiind ajutat de către folosirea cretelor colorate (întotdeauna aceleaşi culori şi pe structura teoretică şi în mod corespunzător pe corpul geometric din problemă). Structurile artificiale le introduc abia la teorema celor trei perpendiculare. Din acest moment apar apoi şi aplicaţii ale celorlalte în structuri artificiale.

Pentru cei care au uitat problema de azi vară şi nu înţeleg la ce mă refer când vorbesc de probleme pe structuri artificiale, o reiau pe scurt: În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 24 cm şi BC = 10 cm. Punctul O este intersecţia dreptelor AC şi BD, iar dreapta EO este perpendiculară pe planul (ABC). Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor AB, AD, respectiv AE etc.

Mama vorbea de elevii de a 10-a, la o a doua parcurgere; la cei de a 8-a, la primul contact cu situaţia respectivă, fenomenul este desigur şi mai dur. Atât de dur încât mulţi dintre elevii care poate ar învăţa geometria în spaţiu, după un astfel de prim contact se sperie atât de tare, încât cu greu mai pot fi recuperaţi. Iar după reforma din 1997, când s-a scos geometria sintetică din liceu, elevii nu mai au oricum o a doua şansă de a înţelege acest studiu.

Apare aici o situaţie de ordin filozofic: dacă studiul dreptelor şi planelor este atât de important din punct de vedere al matematicii, atunci de ce nu este reluat în liceu? Dimpotrivă, dacă acest studiu nu este totuşi atât de important, atunci de ce se insistă cu introducerea acestuia înainte de elementele de stereometrie, care sunt evident mult mai accesibile marii majorităţi a elevilor? Păi, sunt sau nu importante?

Revenind la amintirile mele, trebuie să precizez accentuat că efectiv nu am amintiri din clasa a 8-a înaintea teoremei celor trei perpendiculare. Din clasa a 10-a, când am reluat această materie, nu am astfel de “lipsusuri”, dar trebuie înţeles că eu am avut dintotdeauna o foarte bună vedere geometrică. Dimpotrivă, mulţi elevi nu au nativ o vedere geometrică bună. La aceştia profesorul trebuie să aibă mult tact pedagogic pentru a-i ajuta să-şi formeze minime capacităţi în acest sens (voi reveni cu o altă ocazie asupra acestui subiect).

Rezumând cele două amintiri, ale mele din clasa a 8-a, cât şi ale mamei mele de profesoară în liceu, putem spune că elevul obişnuit trăia o stare bulversantă în care reacţia naturală era cea de “ghiocel”: să stai cuminte, cu capul aplecat şi să speri că “azi nu o să te pună pe tine”. La aceste lecţii elevul de rând trăieşte o frică profundă, refugiindu-se în copierea lecţiei cuminte, iar apoi acasă, în copierea temei de la cineva care o ştie sau de la un coleg care o are (de la altcineva care o ştie) aceasta este o situaţie specifică sistemelor autoritare. Creştinismul Evului mediu a inventat-o prin vânătoarea de vrăjitoare, dar şi comunismul a practicat-o intens: să te simţi vinovat că nu îndeplineşti cerinţele cerute (renumitul plan de producţie), ca să stai “ghiocel” şi să nu emiţi pretenţii. Din păcate, această stare se păstrează în continuare şi azi (decembrie 2020), când la radio se aud evocări cu ocazia împlinirii a 31 de ani de la Revoluţia din decembrie 1989. Şi acum elevii trăiesc impulsul de a se refugia în această “stare de ghiocel” ca să nu atragă atenţia asupra lor iar profesorul să-i întrebe ceva din lecţie (la multe lecţii se întâmplă aste, chiar la multe materii, dar acesta este un alt subiect).

Haideţi să schimbăm punctul de vedere din cel particular într-unul cât mai general. Haideţi să aruncăm o privire în trecut, asupra respectivei părţi a geometriei în spaţiu, să vedem cum stăteau lucrurile la nivel naţional într-un trecut cât mai îndepărtat, cât mai “istoric” posibil. Ar fi minunat să putem afla de unde vine această ordonare a materiei. Sursele mele de informare sunt în acest punct deosebit de limitate, dar câte ceva tot am găsit (oare nu se apucă nimeni de o cercetare mai profundă a acestui subiect?).

În perioada interbelică şcoala (cât de cât) obligatorie era de 4 ani. Doar cei aleşi de soartă mergeau mai departe la liceu. Pentru aceste elite exista o materie mult mai intelectuală decât ar fi fost normal în cazul unei şcoli de masă. Odată cu extinderea învăţământului de masă de către autorităţile comuniste, mai întâi la 7 clase, apoi la 8, a fost nevoie de adaptarea materiei obişnuite din primele clase de liceu (actualele clase 5-8) la o formă cât de cât accesibilă întregii populaţii şcolare. Aici autorii de manuale s-au confruntat cu o mare dilemă, anume cum să adapteze o materie setată de ani buni doar pentru elite într-o formă folosibilă pentru “tot poporul”, cerută de către noile autorităţi, care puneau populaţia muncitoare deasupra elitelor intelectuale.

Mergând în urmă pe această “linie de studiu”, am avut norocul să-mi parvină un manual semnat A. Hollinger din 1957: GEOMETRIA Manual pentru clasa a VII-a, Ed. de Stat didactică şi pedagogică. Cartea este împărţită în două părţi: GEOMETRIE PLANĂ şi GEOMETRIE ÎN SPAŢIU. Prima parte are şase capitole: I. Figuri asemenea; II. Relaţii metrice într-un triunghi dreptunghic; III. Elemente de trigonometrie; IV. Poligoane regulate; V. Ariile poligoanelor; VI. Lungimea şi aria cercului. A doua parte are două capitole: VII. Introducere; VIII. Arii şi volume. Iată în detaliu cuprinsul părţii a doua:

Bănuiesc că acest manual este din anii când şcoala obligatorie din România fusese extinsă de la 4 ani la 7 ani, deci era manualul de geometrie pentru ultimul an de şcoală generală. Vedem cum şi atunci autorii de manuale considerau ca obligatoriu – din punct de vedere ştiinţific – un studiu preliminar despre drepte şi plane în spaţiu, studiu care să pregătească înţelegerea corpurilor. Pare o obsesie a matematicienilor, care oarecum nu ţine cont de existenţa intuiţiei naturale a elevului (intuiţie cu care însă lumea matematicienilor constatase că s-a păcălit rău de tot în cazul situaţiei sistemului geometric axiomatic, pe la începutul secolului al XIX-lea, aşa încât de-atunci a început “să sufle şi-n iaurt”, adică să ţină cont destul de obsesiv de aceasta chiar din şcoala elementară). Pe de altă parte putem vedea lucrurile şi astfel: în general, în perioada postbelică, corpurile geometrice erau mult mai puţin prezente în viaţa elevului de rând, decât sunt acum. De pildă, în prezent orice copil de şcoală primară a văzut cuburi Rubik sau poze şi filme cu piramidele din Egipt, pe când în anii postbelici “cultura generală” a elevilor despre corpuri geometrice trebuie că era mult mai redusă. Dar să revenim la manualul din 1957.

Capitolul VII. de introducere în geometria în spaţiu nici măcar nu are un titlu, dar nu are trecute la cuprins nici titlurile lecţiilor, deşi dacă răsfoim prin carte găsim nişte titluri (un fel de titluri de aliniat): 139. Planul; 140. Determinarea planului; 141. Poziţia unei drepte faţă de un plan; 142. Construcţia unei drepte paralele cu un plan; 143. Poziţia relativă a două drepte; 144. Drepte paralele; 145. Unghiul a două drepte; 146. Poziţia relativă a două plane; 147. Plane paralele; 148. Dreaptă perpendiculară pe un plan; 149. Condiţia ca o dreaptă să fie perpendiculară pe un plan; 150. Distanţa dintre două plane paralele; 151. Proiecţii; 152. Perpendiculare şi oblice; 153. Distanţa de la un punct la un plan; 154. Unghiul unei drepte cu un plan; 155. Unghi diedru; 156. Unghi plan corespunzător unui unghi diedru; 157. Reprezentarea corpurilor prin desen cotat (tipărită cu caractere mai mici); 158. Reprezentarea corpurilor în perspectivă; 159. Exemple (pătrat, triunghi echilateral, hexagon regulat reprezentate “culcat”).

Titlul 157. are o clară utilitate tehnică (eram în anii de foc ai comunismului, iar absolvenţii care aveau să intre după şcoală în câmpul muncii trebuiau să primească primele indicaţii pentru citirea unui desen tehnic în vederea confecţionării unei anumite piese). Tilurile 157 şi 158 sunt de fapt împreună şi prezintă instrucţiuni detaliate de reprezentare a figurilor şi corpurilor în spaţiu (din păcate, după titlul 158. mai aparte un exemplu de la titlul precedent). Lecţia cuprinsă în aceste două titluri este foarte bine explicată şi actuală oricând.

Este de bănuit ca acest capitol VII. introductiv în ale geometriei în spaţiu să fi fost oricum parcurs “pe repede înainte”, deoarece toată partea de geometrie în spaţiu ocupa cel mult jumătate din anul şcolar, mai probabil însă sub jumătate (poate că cele două capitole aveau alocat doar trimestrul III.). Pentru a înţelege diferenţa uriaşă existentă între acestă prezentare introductivă şi actuala formă a materiei din semestrul I al clasei a 8-a, am anexat în final în scanare acest capitol. Se vede clar cum prezentarea este setată totalmente pe o cunoaştere intuitivă, puţinele cazuri de “teoreme” primind această denumire doar ca “titlu ştiinţific-nobiliar”.

Putem privi importanţa dată celor două părţi ale geometriei în spaţiu şi analizând pur şi simplu numărul de pagini alocat fiecăriua: Cap VII. Introducere are 19 pagini, pe când Cap. VIII. Arii şi volume are 34 de pagini. Cei drept că apar ocazional şi corpuri neregulate (din punct de vedere a bazelor). Nu l-am studiat în detaliu, dar nu am văzut figuri cu corpuri înclinate. Ca o observaţie evidentă, actualmente raportul între cele două părţi este cu totul altul (cam invers).

Sare “în ochi” destul de repede faptul că nu apare teorema celor trei perpendiculare. Din păcate nu am în paralel spre analiză şi manualul pentru primul an de liceu (sau pentru al doilea), unde este de aşteptat să apară totuşî această vestită teoremă, dar faptul în sine ne arată că aceasta era privită ca un element de geometrie teoretică “înaltă”, doar pentru “cei aleşi” (cei capabili de aşşa ceva şi care intrau la liceu).

Desigur că mai trebuie să ţinem cont în analiza noastră şi de faptul că la vremea respectivă se mergea la şcoală cam de la 6 ani împliniţi, clasa I corespunzând actualei clase pregătitoare, astfel încât acest manual de clasa a 7-a corespunde ca vârstă adresată actualei clase a 6-a.

Revenind la capitolul analizat, putem compara situaţia de atunci cu situaţia actuală şi din punct de vedere al problemelor. Dacă veţi avea răbdare să le lecturaţi, veţi constata că sunt probleme pe bază de situaţii din lumea înconjurătoare, “probleme” ce scot în evidenţă situaţii din lumea reală bazate pe teoria studiată. Nici vorbă de problemele cu care suntem obişnuiţi la ora actuală, deşi se pot găsi anumite probleme ce ar merita făcute la clasă.

Legat de capitolul despre corpuri, merită făcută o singură observaţie: vedeţi cum cilindrul este făcut imediat după prisme, fiind de fapt asimilat grupului prismelor; cilindrul este de fapt o prismă cu baza cerc, simplu, nu-i aşa? Dar, oare, ce-i acela un prismatoid? Nu vă bateţi capul, e o ciudăţenie, lecţia conţinând şi anumite elemente profund discutabile.

Haideţi să facem un salt în timp, tot cu A.Hollinger, dar alături de Carina Pârvulescu, la manualul de clasa a 8-a din 1971 (deja se introdusese de mult clasa a 8-a în şcoala generală, iar geometria în spaţiu avea la dispoziţie un an întreg din şcoala generală, cu materie cuprinsă în examenul de admitere la licee). Între timp capitolul ce ne interesează a primit şi un nume Drepte şi plane (e comic, dar acesta nu are şi un număr). Studiul despre corpuri, cu arii şi volume a fost despărţit în două, existând capitolul 2. Poliedre şi separat capitolul 3. Corpuri rotunde. În plus mai există şi un capitol ciudăţel cuprinzând Elemente de cosmografie (oamenii trebuiau să înţeleagă ce se petrecea în marea luptă de cucerire a spaţiului cosmic, între “minunea sovietică” şi capitaliştii ăia de americani).

Deşi se păstrează linia de prezentare intuitivă în capitolul despre drepte şi plane, între timp a apărut şi teorema celor trei perpendiculare, dar şi unele probleme de structuri artificiale constuite ad-hoc (de pildă: în figura 64 punctul M este exterior planului triunghiului ABC etc.). La acest capitol sunt cu totul 6 pagini de exerciţii scrise mai mărunt, incluzând însă şi 16 figuri generoase, cu multe întrebări din anii ’50 pentru aprofundarea fenomenelor studiate (apare din nou scăunelul cu trei picioare), dar şi probleme noi, atât dintre cele pe structuri artificiale, dar şi întrebări pe corpuri studiate (între timp capitolul foloseşte şi corpuri elementare, cuburi, prisme sau piramide).

Cum spuneam, astfel de analize ale formelor de predare din trecut ar trebui făcute în mod foarte serios, pentru că de acolo pot fi deduse idei deosebit de bune în rezolvarea problemelor cu care ne confruntăm în prezent. În general, orice programă şi orice manual vor corespunde cu adevărat nevoilor actuale doar dacă se bazează pe un studiu profund al trecutului, din punct de vedere al experienţelor de predare, apoi pe un studiu profund al prezentului, mai ales din punct de vedere al psihologiei elevului din zilele noastre, şi nu în ultimul rând un studiu profund al viitorului, din punct de vedere nevoilor generale ale viitorilor adulţi pe toate palierele profesionale posibile, adică pe tot evantaiul profesional, dem la cei de orientare reală la cei de orientare umanistă, de la cei de elită până la muncitorul de rând (care, şi acesta, ar trebui să înveţe să gândească la nivelul său de capacitate şi de nevoi).

Din păcate, fiecare pas făcut în reformarea predării matematicii, pas care nu ţine cont de aceste aspecte, trimite tot mai departe în viitor o posibilă vindecare a predării geometriei pentru generaţiile următoare. De pildă, analizând o culegere pregătitoare cu teste pentru noua formă de Evaluare Naţională în finalul clasei a 8-a (una renumită, “nu spui care”), observ că elementele de stereometrie sunt aproape eliminate, preluând de la sine înţeles (drept “cvasi-obligatorie”) ideea din anul trecut şcolar când aria şi volumul corpurilor au fost excluse din programa de examen. Oameni buni, ce facem aici? Distrugem generaţii după generaţii! Constantin Titus Grigorovici

P.S. Pe când erau gate părţile 7 şi 8 ale acestui mega-eseu, discutând pe aceste subiecte cu soţia mea, a reieşit un aspect special. Ea şi-a adus aminte cum în clasa a 8-a savura situaţii de tipul unor piramide neregulate, adică la care fie baza este un poligon neregulat (cel mai uzual exemplu este un romb) dar înălţimea cade în centrul acestuia, fie că înălţimea cade într-un punct necentral al bazei (eventual chiar într-un colţ al bazei), fie amândouă cumulate. La aceste corpuri trebuia să calculezi înălţimile feţelor laterale în mod special, acest calcul implicând de obicei şi aplicarea teoremei celor trei perpendiculare, această mare teoremă căpătând astfel un sens practic, pe mintea elevului de clasa a 8-a (care tot în scopul calculării găseşte o justificare mai pe mintea lui, decât în scopul demonstrării pure a unor situaţii – vorbesc aici de amintiri rămase de 40 de ani, însă în mintea unui profesor).

Bine, veţi spune, dar corpurile neregulate nu sunt actualmente în materie. Da, pentru că au fost scoase din materia clasei a 8-a cândva la începutul anilor ’90, exact ca să uşureze materia. Dar nu au uşurat-o, pentru că toate aceste aplicaţii ale teoremei celor trei perpendiculare au fost păstrate în probleme pe structuri artificiale: Pe planul rombului ABCD se ridică perpendiculara OM, O fiind punctul de intersecţie al diagonalelor rombului etc. Problema a rămas, dar a fost de fapt crescut nivelul de dificultate, deoarece elevul nu mai are corpul care să-i ofere acea “schelă” de susţinere a imaginaţiei şi a gândirii în spaţiu.

Ah, da, şi am omis un aspect: vorbesc aici de amintirile unui fost elev care în clasa a 8-a a ratat “la mustaţă” locul 1 la olimpiada judeţeană pe Cluj (pe-atunci acesta era apogeul, ne-existând şi fază naţională). Soţia mea povesteşte cum savura munca de a depista unde cade respectiva “apotemă”; teorema celor trei perpendiculare căpăta astfel “sens” în mintea sa. Şi eu am astfel de amintiri, puţine însă din clasa a 8-a (eu n-am umblat la olimpiade în a 8-a), dar multe din liceu (care evident predomină).

Reversul acestei situaţii, anume calculul ariei laterale a unor piramide regulate, ne atrage din nou atenţia asupra unui aspect special, anume asupra faptului că la apotema piramidei regulate nu este nevoie de T3P. Nu este nevoie, după mintea elevului de a 8-a, dar nu este nevoie nici din punct de vedere teoretic, feţele laterale ale piramidei fiind triunghiuri isoscele, în care înălţimea cade evident în mijlocul muchiei de bază, toate calculele putând fi efectuate cu cunoştiinţele de a 7-a. Cu alte cuvinte, reiese iarăşi aspectul de care am scris, anume că pentru aria laterală a unei piramide regulate (a piramidelor din programă) nu este nevoie de T3P, în general de  toată partea de teoreme în spaţiu.

Am alunecat din nou în această stare pe care unii ar putea-o interpreta drept agresiune la adresa rigurozităţii matematice. Nimic mai greşit! Problema este în cu totul altă direcţie: rigurozitatea matematică este foarte importantă, dar locul ei în forma pură este altundeva, anume în facultate, deci după o a doua selecţie a doritorilor de matematică (prima fiind la sfârşitul clasei a 8-a). După prima selecţie se poate trece la rigurozitate ridicată, dar nu absolută, aspectele de psihologia pedagogică trebuind să rămână activă în selecţia materiei (chiar dacă nu pe primul loc, ci doar pe al doilea, după rigurozitatea teoretică). Înainte de prima selecţie a populaţiei şcolare rigurozitatea matematică trebuie să fie însă pe al doilea loc, după criteriile psiho-pedagogice. Până la EN din clasa a 8-a, fiind o şcoală generală, matematica trebuie să aibă ca obiectiv principal formarea şi şcolirea capacităţii de a raţiona la cât mai mulţi elevi, nu doar la elite. Şcolirea gândirii trebuie adaptată la nivelul marii populaţii şcolare. O gândire prea ridicată în cadrul orelor de matematică îi lasă pe cei mai mulţi fără o gândire raţională (adică îi lasă proşti!).

Bine, dar cum facem cu rigurozitatea teoretică a geometriei, care este astfel condamnată “să rămână de căruţă”, pentru că geometria sintetică se mai face doar în clasele gimnaziale? Aici iese în evidenţă marea gafă petrecută la reforma din 1997 când a fost scoasă geometria sintetică din licee, după ce la reforma din 1980 se cam înghesuise oricum toată la un nivel foarte înalt în gimnaziu. Practic, după 1980 se făcea geometria sintetică de două ori, cam la fel (în cazul generaţiilor care au terminat clasa a 8-a înainte de 1981 geometria gimnazială era la un nivel mai scăzut decât cea din liceu). Astfel, în 1997 s-a considerat că de fapt nu-şi mai are loc o a doua reluare a geometriei sintetice în liceu, pentru că aceasta oricum se face în mod complet în gimnaziu. Aici este MAREA GREŞEALĂ, despre care nu ştiu cât este de clar sesizată la nivelul conducerii matematicii româneşti.

Acum ne pregătim pentru o nouă programă de liceu (generaţia ce a pornit prima clasa pregătitoare este în clasa a 8-a iar pentru ei trebuie făcut totul nou), dar pandemia ne ocupă tot timpul şi parcă văd că ratăm şi acest moment ce ar putea fi reparatoriu la adresa geometriei. Pentru mine este evident că acesta ar trebui să fie cât mai urgent subiectul unui viitor eseu (dacă nu m-am trezit prea târziu).

SCANARI Cap VII-Introducere

Planimetria şi Stereometria – (6) Concluzii, cu trimitere la reforma de avarie

Am ajuns la capătul unui drum explicativ deosebit delung, dar şi detaliat, de înţelegere a contextului în care se integrează “geometria de calculat” alături de “geometria de demonstrat” în şcolile noastre gimnaziale. În acest sens am explicat de la început că întregul fenomen trebuie înţeles în toată amplitudinea sa, din toate punctele de veddere, iar fenomenul trebuie adaptat în funcţie de diferitele situaţii întâlnite.

Situaţia actuală este rezultatul mai multor reforme, cea mai nocivă fiind pe departe reforma din 1980, cerută la vremea respectivă de Ceauşescu, numită de mine “reforma uitată” pentru că majoritatea profesorimii a uitat de aceasta şî despre cum arăta matematica şcolară până la finalul anilor ’70.

Actualmente, începând cu noua programă din 2017 s-au încercat paşi reparatorii destul de puternici, dar profesorii de matematică nu-i înţeleg. Din partea oficialităţilor nu s-a făcut destul încât să “se întoarcă căruţa” înspre o direcţie mai sănătoasă (nu am discutat despre cauzele acestei situaţii sau despre ce ar fi trebui făcut).

În acest sens reiau un singur exemplu din câte am discutat: chiar zilele acestea, după publicarea părţii (4) a acestui mega-eseu, m-am întâlnit din nou cu o situaţie absurdă şi am promis că o voi prezenta. Este vorba despre capitolul de arii din clasa a 7-a, în care, la propunerea unui elev de a rezolva cu teorema lui Pitagora, profesorul spune ad-literam: încercăm să evităm folosirea lui Pitagora. Este NOAPTEA MINŢII să lucrezi întreg acest capitol fără teorema lui Pitagora, deşi de data asta elevii o cunosc din finalul clasei a 6-a, doar aşa, pentru că tu te-ai obişnuit să-l predai fără Pitagora şi îţi este greu să te schimbi.

Poate onor cititorii au simţit, poate nu, dar merită să precizez un aspect important: am redactat întreg acest mega-eseu cu durerea în suflet că în România planimetria şi stereometria sunt neglijate, fiind clar pe un loc secund după geometria axiomatică, cu definiţii şi demonstraţii, cu multe multe demonstraţii, care însă sunt accesibile doar unei minorităţi a populaţiei şcolare. Am încercat să aduc argumente înspre alegerea unei căi de echilibru (nu vreau să pun “prostimea” în faţă, ci doar să avem un echilibru între atenţia dată elitelor şi atenţia acordată marii majorităţi a populaţiei şcolare).

Dar ce m-a apucat chiar acum? Totul a fost motivat de experienţa de anul trecut, experienţă ce pare să se repete în mod stupid, prin care – printr-un simplu ordin de ministru – a fost ştearsă din viaţa unei întregi generaţii toată stereometria din clasa a 8-a.

Să analizăm, deci, – din nou (a nu ştiu câta oară, poate mă şi aude totuşî cineva) – să analizăm ce s-a întâmplat după declanşarea pandemiei de Covid-19 din punctul de vedere al sterometriei. În primul rând să ne aducem aminte cum a fost tratată situaţia de către ministerul condus de D-na Anisie pentru generaţia clasei a 8-a din anul şolar 2019-2020. Păi, simplu: s-a decis, prin analogie cu materia de la Limba şi literatura română, să se taie materia de examen la finalul semestrului I (orientativ), astfel încât materia de arii şi volume a fost eliminată de la examen, lăsată pur şi simplu “pe din afară”. În paralel, şi-au dat ei seama că au o problemă mare cu cei care nu pot “duce” demonstraţii, aşa că au introdus acele cerinţe înjositoare, restrângând întrebările de planimetrie la nivelul clasei a 5-a, iar stereometria desfiinţată cu totul (cu excepţia determinări de lungimi bazate tot pe demonstraţii grele în spaţiu).

Nici nu mai are rost aici să discutăm că aceşti elevi, odată împrăştiaţi la diferitele forme de şcolarizare în clasa a 9-a nu vor mai relua niciodată stereometria, deşi D-na Ministru aşa a promis (că să stea liniştiţi părinţii, că materia se va relua la toamnă). Cu alte cuvinte, vom avea o generaţie care habar nu are de paşii minimali de calcul practic a ariilor sau a volumelor. Minunat! Bine însă că cei puţini care pot înţelege au parcurs liniştiţi mai toate formele de demonstraţii în spaţiu. Încă o dată precizez: “MINUNAT”!!!

Haideţi să vedem cum stau însă lucrurile pentru generaţia următoare (clasa a 8-a pe anul şcolar 2020-2021). Pentru că, ne-am fi aşteptat să se remedieze lucrurile măcar pentru aceştia, adică ne-am fi aşteptat ca responsabilii cu matematica să fi sesizat situaţia şi să fi încercat într-o formă sau alta să prevină repetarea acesteia la următorii elevi de a 8-a. Am avut totuşi o vară în care se puteau studia lucrurile, astfel încât la reîntoarcerea la şcoală să fim întâmpinaţi cu “o programă de pandemie” orientativă (un “plan B”, în caz că se întâmplă din nou să se închidă şcolile), măcar pentru clasele terminale (faceţi prioritar aia şi aia, lăsaţi mai la coadă acelea etc., în caz că vom trece iarăşi în online, că acum sunteţi pregătiţi cu calculatoare şi cu tablete …). Dar nu, nu s-a făcut nimic, totul sub premisa tâmpită: “hai să fim optimişti!”.

De-abia după o nouă închidere a şcolilor s-a trezit şi D-na Ministru şi a dat ordin să se facă “o programă de avarie”. Când va apărea aceasta? Pentru că, până una-alta, profesorii merg mai departe pe programa oficială şi bagă de zor poziţii relative ale dreptelor şi planelor. Iar vor rămâne pe de lângă calculele simple, dar neumilitoare de arii şi volume implicând şi teorema lui Pitagora? Ne putem aştepta. Mai sacrificăm o generaţie, pentru că oricum, din punctul de vedere al unui filolog “se face prea multă matematică în România”.

Putem pune şi altfel problema: cât poate dura să se facă o “programă de avarie”? Chiar nu s-a gândit nimeni până în toamnă la aceste aspecte şi la o astfel de posibilitate? Groaznic! Acum oricum se schimbă tot guvernul; cine ştie când se va face, dacă se va mai face o astfel de programă de “planul B”.

În aceste condiţii, cel mai bine ar fi să se lase aşa cum sunt, dar să se lase şi toată materia pentru examen. În aceste condiţii lucrurile vor putea fi reglate de la sine – fiecare va face cât poate de mult, ordonându-le după posibilităţile concrete – iar din partea ministerului vor veni noi teste de antrenament cuprinzând şi calcul de arii şî volume, măcar pe corpurile esenţiale, cele care apar şi în practică (incluzând şi corpurile rotunde simple). Deci, stimaţi conducători ai matematicii şcolare româneşti: nu mai scoateţi de la EN calculul de arii şi volume!

Apropos, în toamnă au fost sistate pentru acest an şcolar şi olimpiadele, aşa că oricum toată geometria demonstrativă din materia olimpiadelor este cam degeaba. Ba nu, veţi spune, rămâne totuşi pentru examen. Da, voi răspunde eu, este pentru examen, dar accesibilă doar unei minorităţi reduse. Cu restul ce facem??? Păi, vă zic eu ce facem: îngroşăm rândurile analfabeţilor funcţionali la următoarele studii PISA, iar de data asta o facem ordonat şi cu reluare; nu cu premeditare, dar din prostie şi cu indiferenţă. Constantin Titus Grigorovici

P.S. V-am obişnuit la părţile acestui eseu să am şi alte comentarii colaterale şi nici acum nu fac excepţie. Nu pot să nu mă gândesc la acţiunea mediatizată (dar, din păcate, prea puţin luată în seamă) a colegului Sorin Borodi din Dej, care prin 2019 s-a revoltat puternic pentru faptul că elevii nu ştiu să aplice matematica învăţată în situaţii din viaţa reală.

Atât planimetria, cât mai ales stereometria sunt domenii matematice care sunt potrivite “par excellence” ca domenii de aplicabilitate în viaţa de zi cu zi. Din clasa a 5-a se pot da elevilor probleme cu volumul şi aria unui acvariu sau a unei piscine paralelipipedice, iar în clasa a 8-a ar trebui să facem din nou şi aplicaţii pe diferite corpuri, cutii de carton sau alte obiecte cât de cât realiste.

Desigur că ultima precizare este esenţială, anume că trebuie să fie o situaţie realistă, iar elevii simt imediat o situaţie dacă aceasta este cu totul falsă. Mi-a rămas în memorie un contra-exemplu năucitor dintr-o culegere din urmă cu câţiva ani (citat orientativ din memorie): în figura alăturată este reprezentat un tort în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos … Pe bune? Ce a gândit acel coleg când a redactat respectiva problemă? Şi, nu s-a gândit nimeni să-l tragă niţel de mânecă?

Vă las pe dvs. să trageţi concluziile acestui Post Scriptum din punct de vedere al faptului că ministerul “se cam joacă” de-a scosul stereometriei din clasa a 8-a pentru al doilea an la rând. Adică, ce vreau să zic? Păi, nici măcar nu am avut vreun ordin care să ceară explicit profesorilor de la clasele de a 9-a să recupereze fiecare cum s-o pricepe, măcar pentru câteva ore, pe câteva exemple, partea de stereometrie din clasa a 8-a de anul trecut (proces care să fie finalizat cu un scurt test, pentru o minimă garanţie). În schimb, vedem cum “istoria” pare să se repete şi anul acesta şcolar, pentru următoarea generaţie.

Planimetria şi Stereometria – (5) Situaţia clasei a 8-a

Am parcurs acest drum explicativ deosebit de detaliat, dar şi lung, pentru a înţelege contextul în care se petrece “geometria de calculat” în şcolile gimnaziale din România. În acest sens am explicat de la început că întregul fenomen trebuie înţeles în toată amplitudinea sa, din toate punctele de vedere, prezentând în acest sens trei “axe de discuţie”, pe care le reiau aici pe scurt: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă.

Am văzut astfel în acest mega-eseu cum se alternează parcurgerea şi abordarea materiei, pendulând de-a lungul acestor axe într-un fel destul de discutabil, de multe ori deosebit de agresiv la adresa nevoilor şi a posibilităţilor elevilor la diferite vârste. Multe se mai pot înţelege cumva, dintre cele ce se întâmplă în clasele 5-7, dar agresivitatea sistemului la adresa elevilor de rând îşi atinge apogeul în geometria de clasa a 8-a. Vorbesc aici de ordinea total nepedagogică între partea de demonstraţii cu “teoreme în spaţiu” şi partea de stereometrie, adică de calcul a ariilor şi a volumelor diferitelor corpuri studiate. Să analizăm acest subiect.

Materia este aranjată după principiul rigurozităţii mtematice absolute al ordonării materiei, anume că un elev nu ar putea lucra pe corpuri până nu a studiat pe deplin toate situaţiile ce pot apărea între drepte şi plane în spaţiu. Această abordare neagă însă intuiţia elevilor (câtă o mai fi ea acolo, în mintea lor, după trei ani de predare care le-a îngrădit-o cu totul). Prin eseul de faţă, însă, susţin punctul de vedere opus, anume că se poate studia cea mai mare parte a stereometriei, adică a calculului de arii şi volume pe corpurile regulate de bază, înainte de a studia poziţiile şi “comportamentul” dreptelor şi a planelor în spaţiu.

Unele elemente din stereometria de clasa a 8-a se repetă din clasa a 5-a (când au fost predate intuitiv), iar ariile diferitelor figuri se cunosc bine din clasa a 7-a (plecăm de la premisa că elevii, cumva le-au învăţat totuşi până la intrarea în a 8-a). Calculul de arii şi volume reprezintă o parte de materie accesibilă marii majorităţi a elevilor, abordabilă intuitv şi prin analogie cu unele anterioare, pe când demonstraţiile în spaţiu nu sunt accesibile decât copiilor de vârf. Aranjarea materiei astfel încât pe întregul semestru I se parcurge o materie acesibilă doar elitelor, aceasta este o agresivitate năucitoare la adresa celor 80% dintre elevi care nu pot, sau nu au nevoie, sau nu-i ineresează demonstraţiile în spaţiu. Şi apoi ne mirăm că aceştia clachează masiv la diferite teste! Păi, dacă îi ţinem în şcoală cu o materie pe care nu o înţeleg, care se adresează altora ce să ne aşteptăm? Singurele urmări clare sunt cele de ordin psihologic, cum ar fi frustrarea, agresivitatea, refuzul matematicii de orice fel etc.

Parcurgerea în 3D a axei calcule – demonstraţii dinspre acestea din urmă un semestru întreg, ajungând la calcule de-abia în semestrul al II-lea, această ordine a materiei sfidează masiv cerinţele pedagogice, prin faptul că dă întâietate ştiinţei pe axa pedagogie-ştiinţă, deşi la vârstele gimnaziale prioritare ar trebui să fie principiile pedagogice (vezi P.S. în final).

Pot întreba aici şi altfel: cât la sută din populaţia şcolară va ajunge să facă ştiinţa matematică? Răspunsul l-a dat George Pólya: 0,1%, cu extindere la 1% pentru toţi cei care vor avea colateral nevoie de matematică ca ştiinţă. Ok, poate lucrurile au mai evoluat de pe vremea lui Pólya, dar oricum nu au cum să treacă de 10% din populaţia şcolară. Pentru aceşti 10%, în numele unei rigurozităţi ştiinţifice matematice stupide, noi îi sacrificăm pe restul populaţiei şcolare, iar apoi, ca să nu se vadă situaţia profund dezastroasă, le dăm să calculeze aria unui dreptunghi la examen (pe care le dăm şi “de-a moaca” 5 puncte, cerinţă la care le dăm şi răspunsul “pe faţă” (Arătaţi că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 240 cm2).

Se poate şi altfel? Oare se poate găsi o formă de geometrie care să nu-i lase “pe de lângă” pe cei mulţi? Se poate găsi o formă de predare şi o ordine a lecţiilor prin care să dăm mai întâi materia practică şi accesibilă celor mulţi, cei care au nevoie de mai mult timp ca să înţeleagă o lecţie (poate luni întregi), iar doar apoi să trecem la lecţiile mai grele, mai teoretice, pentru cei capabili a le înţelege, dintre care se aleg de fapt participanţii la concursurile şcolare de elită (iar aceştia să apuce să le înveţe până la olimpiadele din februarie-martie), se poate aşa ceva? Se poate preda geometria mergând de la uşor la greu, de la accesibil la dificil, respectând astfel unul dintre principalele principii psihopedagogice? Da! Se poate!

Iată cum predau eu de peste 20 de ani geometria clasei a 8-a, îmbinând cerinţele psihopedagogice elementare cu cerinţele minimale de rigurozitate a matematicii. În linii mari parcurg trei părţi pentru geometria în spaţiu de clasa a 8-a. Cap. 1): un prim calup de corpuri studiate pe rând (prismele şi piramidele), parcurse intuitiv îi dau elevului “o schelă de sprijin” pentru activitatea geometrică în spaţiu. Cu acest capitol încep geometria de clasa a 8-a, chiar în septembrie. Cap. 2): un studiu structurat al geometriei dreptelor şi planelor în spaţiu. Acest capitol ocupă partea a doua a semestrului I, terminându-se înainte de vacanţa de iarnă sau cândva în ianuarie. Cap. 3): un al doilea calup de corpuri studiate pe rând (trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde), parcurse pe formatul deja cunoscut, incluzând şi “marile demonstraţii” ale stereometriei (volumul trunchiului de piramidă, aria laterală a conului şi volumul şi aria sferei). M-am obişnuit să parcurg acest capitol pe cât posibil după simularea oficială din martie, dar îl termin obligatoriu până la vacanţa de Paşte, pentru ca elevii să aibă timp suficient a se pregăti pe teste generale. În continuare doresc să descriu pe rând pe fiecare din aceste trei capitole

Cap. 1): La fiecare corp facem desenul, descrierea elementelor (vârfuri, muchii, feţe) şi deducem raţional, prin problematizare, ariile şi volumul, cât şi diverse lungimi speciale. Când avem nevoie de teorema lui Pitagora, susţinem raţional perpendicularitatea pe baza faptului că un segment vertical din figură este perpendicular pe un segment orizontal pe care cade. De exemplu, muchia verticală DD’ a unui cub este evident perpendiculară pe diagonala BD a bazei, care este orizontală. Prin astfel de justificări elevul învaţă să vadă unghiurile drepte în spaţiu, deşi în reprezentările grafice are loc o deformare a acestora.

Iată încă un exemplu de unghi drept uşor de justificat fără nici cea mai mică teoremă în spaţiu: segmentul VM care uneşte vârful unei piramide patrulatere regulate cu mijlocul muchiei BC (adică o mediană) este perpendicular pe BC pentru că triunghiul VBC este isoscel (oricum, nici abordarea oficială nu este mai riguroasă). Teorema celor trei perpendiculare în cazul determinării apotemei îşi găseşte sensul doar în cazul unei piramide neregulate (de ex. o piramidă cu baza romb şi înălţimea ridicată în intersecţia diagonalelor acestuia), dar aceste oricum nu mai sunt în materie de peste un sfert de secol.

Ordinea în această primă parte este stabilită având criteriul accesibilităţii intuiţiei elevilor ca punct central, şi este următoarea: cubul; paralelipipedul dreptunghic; prisma patrulateră regulată şi prisma triunghiulară regulată predate în paralel, apoi piramida patrulateră regulată, iar în final, predate în paralel piramida triunghiulară regulată şi tetraedrul regulat. Alt criteriu ce susţine această ordine îl reprezintă accesibilitatea calculului; pe copii îi atragi de partea matematicii dacă le prezinţi la început elemente accesibile, crescând doar ulterior nivelul.

În această primă parte facem multe exerciţii de calcul cu teorema lui Pitagora, cu rezultate întregi sau iraţionale, dar şi multe desene colorate în care elevii au de trasat şi de colorat diferite secţiuni în corpuri. Mă refer aici în primul rând la secţiunile particulare în cub (secţiunile diagonale, cele paralele cu feţele, dar şi secţiunea triunghi echilatera), sau în piramida patrulateră regulată (secţiunile diagonale). Elevii au astfel ocazia, chiar sarcina, să deseneze multe astfel de corpuri cât mai corect şi să facă pe acestea multe calcule (adică stereometrie). În această fază geometria se desfăşoară doar în corpurile studiate, luate ca structuri întregi. Începând din acest capitol, elevii de rând au de lucru, urmând să acumuleze experienţă şi abilităţi sigure de desen şi calcul pentru lungimile, ariile şi volumele studiate aşa că ne putem ocupa de materia pentru cei buni.

Cap. 2): De-abia după ce elevii s-au obişnuit cu desenele şi cu vederea în spaţiu, de-abia apoi trecem la studiul dreptelor şi a planelor în spaţiu; acum putem trece la un studiu cât de cât pregătit al elementelor demonstrative. Primele 2-3 ore discutăm despre notaţii, convenţii de desen, determinarea planului, faptul că unghiurile par deformate în spaţiu, discutăm despre dreptele necoplanare şi despre multe alte aspecte ce trebuie acum conştientizate.

Din punct de vedere a sarcinilor de lucru ce pot fi întâlnite în probleme, facem o structurare a “teoremelor în spaţiu”, practic a reţetelor de demonstrare a diferitelor situaţii, organizate după două principii. În primul rând avem principiul poziţiei relative, care include trei poziţii relative: paralelismul; unghiul relativ, respectiv determinarea măsurii acestuia, şi situaţia de perpendicularitate relativă. În al doilea rând avem principiul obiectelor poziţionate: astfel, trebuie să studiem poziţia relativă a două drepte, apoi a unei drepte faţă de un plan, iar în final poziţia a două plane. Avem astfel 9 situaţii de studiu, plus teorema celor trei perpendiculare, pe care le enumăr în continuare în ordinea în care le parcurg cu elevii (de la cele mai accesibile la început, spre cele mai complicate în final): două drepte paralele; unghiul dintre două drepte necoplanare; perpendicularitatea a două drepte necoplanare; dreaptă perpendiculară pe plan; două plane perpendiculare; dreaptă paralelă cu plan; două plane paralele; teorema celor trei perpendiculare; unghiul dintre o dreaptă şi un plan; unghiul diedru. În măsura timpului şi a interesului, parcurg şi alte teoreme necuprinse în această listă.

La fiecare astfel de lecţie facem figura teoretică de bază (eventual cu folosirea culorilor pentru a evidenţia diferite aspecte importante) şi deducem prin problematizare reţeta de demonstrare, după care dăm de obicei exemple tot în corpurile studiate. Consider că este mai bine aşa pentru că fiecare lecţie nouă este aplicată într-o zonă de confort, anume în corpurile deja cunoscute. Astfel evit introducerea mai multor informaţii noi, pe lângă cea principală într-o lecţie. De abia la teorema celor trei perpendiculare încep şi cu probleme în structuri artificiale, de tipul: pe planul dreptunghiului ABCD se ridică perpendiculara AM etc. Pe aceste două “plane de lucru” ne concentrăm atenţia pentru o vreme, până spre primăvară. Elevii de rând exersează stereometria, cei capabili au de făcut şi demonstraţiile în spaţiu.

Cap. 3): În primăvara clasei a 8-a parcurgem şi al doilea calup de corpuri, acoperind toată gama acestora ce ar putea veni la examen conform programei. Ori înainte, ori acum integrez aici şi prisma şi piramida hexagonală regulată, dar în principal avem de studiat trunchiurile de piramidă şi corpurile rotunde. Cu asta se termină ca lecţii geometria de clasa a 8-a.

Simţiţi acum că o astfel de ordonare a materiei oferă elevilor studiul geometriei pe o pantă mai lină a dificultăţii, lăsând la nivelul fiecărui elev până la ce nivel de dificltate să urce fiecare, în funcţie de posibilităţi şi interes. O astfel de parcurgere nu-i înjoseşte pe elevii de nivel mediu, adică pe majoritatea popula tiei şcolare, ci îi lasă să urce fiecare după cât poate până în ultima clipă, înainte de examenul de Evaluare Naţională. Mă refer aici la elevii care vor putea urca mare parte din acest drum, doar că mai încet, pentru că nu sunt chiar olimpici. Aceştia au însă nevoie să pornească cu lucruri simple şi să urce într-un mod accesibil. Toţi aceştia stagnează de fapt primul semestru pe programa oficială, pentru că sunt confruntaţi cu o materie prea teoretică şi cu aplicaţii prea abstracte, ei întrând automat în stare defensivă şi de blocaj. Cei care au norocul de ore în particular întră cu profesorii de acasă într-un program de dresură, dar nu neapărat şi de înţelegere, frica şi repulsia de matematică rămânând la multi prezente.

Cam aşa arată situaţia aşa cum o percep eu în Cluj. Despre cum arată la ţară pot doar să-mi închipui (mă mai ajută diferitele reportaje ce le aud la radio – mulţumesc Europa fm!). Majoritatea elevilor de la sate vor ajunge în cel mai bun caz cel mult la un liceu tehnologic. De ce să-i ţinem blocaţi un semestru întreg în demonstraţii sterile de geometrie în spaţiu?

P.S. Am atins în această parte a eseului un aspect ce trebuie lămurit. Anume, în primul sfert al textului am scris că parcurgerea demonstraţiilor timp de un semestru întreg, înaintea calculelor de arii şi volume, care vin de-abia în semestrul al II-lea, această ordine a materiei sfidează masiv cerinţele pedagogice, prin faptul că dă întâietate ştiinţei pe axa pedagogie-ştiinţă, deşi la vârstele gimnaziale prioritare ar trebui să fie principiile pedagogice. Aici matematica din România ar trebui să ajungă la pace cu pedagogia, poziţia naturală şi normală trebuind să fie una de compromis, de echilibru pentru ambele părţi. Concret, după părerea mea, între cele trei nivele de învăţământ cu profesorii de matematică, priorităţile ar trebui să fie următoarele: în ciclul gimnazial dominante să fie principiile pedagogice; în liceele de ştiinţe şi mate-info principiile pedagogice să fie în echilibru cu principiile rigurozităţii matematice, iar în facultăţile de matematică principiile matematice să fie dominante.

S-ar putea chiar trage două grafice care să descrie importanţa (poate în procente) a fiecărui domeniu, plecând de la începutul clasei a 5-a până la finalul facultăţii. Astfel, o comisie paritară de specialişti din ambele părţi ar putea decide o politică reparatorie de felul următor: importanţa criteriilor pedagogice să scadă de la 75% la în clasa a 5-a către 25% în facultate, pe când importanţa criteriilor pur matematice să crească de la 25% în clasa a 5-a pană la 75% în facultate. Liceul ar fi desigur în zona de echilibru a acestor criterii. Desigur, aceasta este o simplă propunere, dată fără o mare şi profundă analiză, dar ideea contează.

Pentru cei care s-ar simţii “şocaţi” de o astfel de perspectivă, doresc să precizez că înaintea reformei din 1980 aşa era structurată materia. Se pot găsi multe exemple în acest sens în lucrările de specialitate despre predarea matematicii în diferitele clase şcolare sau liceale, dar am auzit (doar din relatări) şi de prezenţa criteriilor pedagogice în facultăţile de matematică din anii ’50 – ’70.

Important este că acest principiu ar trebui reintrodus în şcolile româneşti, desigur după o solidă analiză, adaptat situaţiei actuale, printr-un program naţional pe câţiva ani. Altfel, tot în starea jalnică din anii aceştia ne vom regăsi şi peste decenii.