Reclamă la octaedrul regulat

Matematica şcolară românească este orientată şi preocupată obsesiv doar spre acele teme care oferă clar aplicaţii ulterioare. Lipsesc însă preocupările şi cunoştinţele despre subiectele frumoase, dar care nu oferă aplicaţii variate în zona problemelor de concursuri. În general lipsesc cu desăvârşire diverse subiecte matematice care din diferite motive au fost excluse din programa şcolară de-a lungul timpului. Astfel de subiecte lipsesc de obicei şi din cultura generală a profesorilor de matematică, deşi ele apar în diferite situaţii “din afara matematicii şcolare”; ca urmare deci, acestea lipsesc şi din cultura generală a întregii populaţii culte. Cel mai flagrant exemplu în acest sens a fost momentul apariţiei romanului Codul lui DaVinci în începutul căruia autorul Dan Brown a inclus Şirul lui Fibonacci. Toţi oamenii din jurul meu, care citeau cărţi mă căutau la vremea respectivă să le explic ce-i acela Şirul lui Fibonacci.

Unul din subiectele ce mă preocupă este felul în care eu să ofer elevilor de clasa a 8-a cunoştinţe minime, elementare despre octaedrul regulat. Folosesc prezenta postare pentru a trage un semnal de atenţionare la adresa colegilor profesori, pornind de la o apariţie surprinzătoare a acestui corp într-o reclamă difuzată la televiziune, reclamă în care octaedrul apare ca vedetă într-un rol extrem de dureros, încercând să simuleze vizual durerea cauzată de hemoroizi “ştiţi voi unde”. Pentru a înţelege despre ce vorbesc, vă rog să căutaţi reclama la medicamentul Procto Glyvenol la adresa https://www.youtube.com/watch?v=5LRAVsjKq0I .

Aşa, după ce m-am străduit puţin să vă stârnesc un minim zâmbet în colţul gurii, pe baza vizualizării corpului respectiv, aş dori să vă provoc în continuare la a-l cunoaşte cât de cât, astfel încât să înţelegeţi ce spun cănd mă plâng că astfel de cunoştinţe nu sunt defel incluse în materia predată în şcoli. În acest sens voi încerca o minimă prezentare a unor informaţii legate de octaedru. Nu doresc însă să mă lansez într-o prezentare exhaustivă, ci mai degrabă într-o prezentare minimalistă a aspectelor de bază, cu rol de stârnire a curiozităţii cititorului, pe baza căruia să înceapă un proces de căutare pe internet. Astfel, deşi este vorba de o temă de geometrie, a cerei prezentare ar necesita multe imagini, eu mă voi rezuma la a vă prezenta doar în text paşi acestei minimaliste cunoaşteri, urmând ca cei cărora le voi fi stârnit suficient curiozitatea să parcurgă fiecare pentru sine drumul respectiv.

Există cinci corpuri perfecte, aşa numitele poliedre regulate, denumite după numărul de feţe exprimat original de către învăţaţii greci: tetraedrul (4 feţe triunghiuri echilaterale), hexaedrul (adică cubul, având 6 feţe pătrate), octaedrul (8 feţe triunghiuri echilaterale, “prietenul nostru cauzator de hemoroizi”), dodecaedrul (12 feţe pentagoane regulate) şi icosaedrul (20 feţe triunghiuri echilaterale). Toate ar merita extinderea denumirii de “regulate”, dar din motive practice de utilizare sunt denumite simplu, după numărul feţelor. Primele două sunt prezente în programa şcolară românească; ultimele două sunt destul de complicate, desenarea lor fiind o provocare în sine (despre care nu mi-am propus să vorbesc acum). Octaedrul nu e inclus defel în programă, deşi este destul de accesibil, fiind cu totul la nivelul materiei şcolare de clasa a 8-a din România.

Astfel, octaedrul regulat ne apare ca un corp compus din două piramide cu baza comună. Este vorba aici despre renumitele şi foarte des întâlnitele piramide patrulatere cu feţele laterale triunghiuri echilaterale, ştiţi, cele care au câte două feţe laterale opuse perpendiculare. Ca urmare, pentru orice elev binevoitor, chiar şi determinarea formulelor de arie totală şi volum reprezintă nişte sarcini deosebit de accesibile (calcul în funcţie de lungimea muchiei).

Dar, cum se desenează un astfel de corp? Cea mai practică reprezentare grafică este următoarea: desenaţi un cub şi trasaţi diagonalele fiecărei feţe. Apoi uniţi în mod corespunzător centrele astfel obţinute ale feţelor cubului. Desenul implică foarte foarte multe linii, riscând să devină total de neînţeles, aşa că recomand cu căldură ca diagonalele feţelor cubului să fie trasate cât mai fin cu putinţă, doar cât să se poată vedea punctele de intersecţie de pe fiecare faţă. Apoi uniţi cu linie continuă muchiile “din faţă” ale octaedrului, respectiv cu linie întreruptă muchiile “din spate”. Dacă luaţi un creion colorat (sau un alt instrument cu linie fină) şi trasaţi încă o dată octaedrul (de exemplu un roşu ca să semene cu cel din reclamă), atunci se va înţelege foarte bine cum arată acest corp.

Desigur că puteţi să porniţi şi de la un desen clasic al unei piramide patrulatere, construind încă una simetrică “în jos”, dar această metodă nu vă garantează o figură foarte clară, existând pericolul ca octaedrul dvs. să fie prea ţuguiat (şi de pildă să nu îndeplinească perpendicularitatea de care am vorbit, pentru că cei mai mulţi nu dau atenţie unor astfel de detalii când desenează o piramidă – din păcate).

Revenind la cele cinci corpuri perfecte, inclusiv demonstrarea faptului că există doar acestea cinci este o sarcină de nivel gimnazial: faceţi un tabel având pe capul orizontal unghiurile corespunzătoare poligoanelor regulate până la hexagon – 60o, 90o, 108o, eventual şi 120o – iar apoi analizaţi pe verticală posibilităţile numărului de feţe dintr-un colţ, plecând de la faptul că suma unghiurilor plane din jurul unui vârf de corp nu poate atinge valoarea de 360o.

Găsiţi elemente la care m-am referit în această postare intrând pe site-ul pentagonia.ro la Revista Pentagonia 1998-2002 şi deschizând pdf-ul cu caietul nr.2 pentru prezentarea octaedrului şi a unor desene legate de acesta, respectiv pdf-ul cu caietul nr.3 pentru tabelul de demonstrare a existenţei doar a celor cinci corpuri perfecte. În caietul nr.4 găsiţi şi ultima parte a seriei despre aceste corpuri.

Dar ce puteţi face cu aceste informaţii? Cel mai simplu ar fi includerea acestora în ore din săptămâna “Şcoala altfel”, sau în diverse alte momente când din diferite motive nu prea se lucrează la ore (de pildă în ultima oră înainte de vacanţă). Desigur că problematizarea reprezintă cea mai raţională cale de a-i implica pe elevi în cunoaşterea acestui corp, astfel încât lecţia respectivă să reprezinte de fapt o ocazie eficient folosită înspre activarea gândirii elevilor (gândire care este folositoare şi la examen!). Ca urmare este evident că nu sunt de părere, dar  defel, ca profesorul să-i dea elevului direct formulele respective.

Lecţia respectivă poate fi studiată şi ca temă, de pildă dând elevului un proiect pentru o notă suplimentară. Cel mai bine ar fi ca în acest caz elevul să primească o minimă listă cu ce ar trebui să includă în “lecţia” respectivă, aşa încât acesta să nu “dea direct pe net” şi să caute ca disperatul, sau dimpotrivă să descarce de-a gata un referat făcut de altcineva (deşi nu cred că există, pentru că nu e în programă).

Dacă aţi apucat să vă obişnuiţi cu acest corp, veţi recunoaşte desigur că acesta este unul foarte frumos, probabil unul dintre cele mai frumoase. Evident că puteţi să abordaţi şi construcţia sa din carton, sau din beţe (de pildă din paie de băut, sau din beţişoare de curăţat urechile, de la care s-a îndepărtat vata, legate cu aţă trecută prin ele). Confecţionat dintr-un carton roşu, octaedrul este deosebit de decorativ în bradul de Crăciun. Pentru o persoană cu dexterităţi migăloase, ar fi o idee de a confecţiona unul mic, cu muchia de 1 cm, pe post de mărţişor (poate unul dintr-un carton fin alb, măcar 120g/mp). Pentru început, însă, vă doresc spor la studiu! CTG

Algebra şi curajul de a ieşi la tablă (Analiza unui banc – 2)

Spuneam în postarea precedentă că bancul de la început, cel despre geometrie, a umblat de curând pe platforme de socializare. Cam în aceeaşi perioadă am găsit şi bancul de mai sus, unul legat aparent de algebră. De fapt, algebra arată în acest banc destul de pozitiv, într-o comparaţie ipotetică cu geometria. Deci, personajul respectiv a avut măcar acel curaj de a ridica mâna la algebră, că la geometrie nici vorbă (sunt conştient că această observaţie este parţial “trasă de păr”).

Bancul acesta trimite insă foarte clar la atmosfera de la ora de matematică, aşa cum aceasta este percepută de o mare parte dintre elevi. Este vorba despre o stare de frică, uneori de o adevărată teroare, în care trăiesc elevii şi de care este legată relaţia cu această materie. Şi, trebuie clar să precizez, această stare apare peste tot în lume, nu doar la noi. Poate doar că la noi această stare este mult mai dură. Din câte ştiu însă, procentajele sunt orientativ similare. Atât la noi, cât şi înafară, undeva la jumătate din populaţie au o stare de teamă faţă de matematică. Singura diferenţă clară este legată de faptul că această parte a populaţiei, ce nu beneficiază de factorul formativ al gândirii, educat de către matematică la orele din şcoală, această parte a populaţiei îşi formează o gândire după modelul societăţii în care trăieşte: familia, anturajul de prieteni sau de colegi îşi pune amprenta asupra felului în care aceşti oameni judecă. De pildă, la noi, cei care au frica de matematică sunt ceva mai vulnerabili de a fi manipulaţi de către alţii, din anturajul restrâns sau din mass media, de pildă de către politicieni (ca vorbitor de germană, eu urmăresc desigur şi societatea nemţească, şi văd astfel de exemple dar la o scară mai mică; situaţia cu cancelarul austriac şi cu refuzarea accesului nostru în Schengen a fost un contraexemplu ciudat de iraţionalitate în spaţiul ţărilor germane – deşi, cine sunt eu să judec? – te miri ce aspecte noi vor apărea cu timpul, care să justifice atitudinea respectivă).

Revenind la orele de matematică şi la atmosfera din timpul acestora, stau şi mă gândesc că aceasta este una din sursele de bază legate de frica faţă de matematică. Bancul de mai sus exact asta spune: am avut curaj, adică mi-am înfruntat frica faţă de matematică. Pentru a putea produce dorita stare de performanţă în matematică, majoritatea profesorilor ajung să-şi conducă ora cu o atitudine generatoare de frică. Aceasta este însă “doar o faţă a monedei”. Cealaltă sursă a stress-ului este legată de faptul că gândirea matematicii nu este uşoară, mulţi dintre elevi preferând pur şi simplu să o evite. Dimpotrivă, confruntaţi cu o atmosferă blândă la orele de matematică, astfel de elevi nu vor face matematică defel, nu-şi vor face temele, nu-şi vor învăţa lecţiile, iar apoi oricum vor căuta justificarea pentru eşecul lor în explicaţii de felul “toţi profesorii de matematică sunt la fel, chinuie copiii” sau “eu am discalculie” etc., toate sub genericul “cea mai bună matematică este matematica defel!”.

D-na profesoară Birte Vestergaard, despre care am scris în câteva rânduri, are ca unul dintre obiectivele principale exact recuperarea acestor elevi înspăimântaţi de ora de matematică. Ca argument pentru eficienţa metodei sale, dânsa ne-a arătat câteva pasaje din interviuri, în care foşti elevi slabi la matematică îşi prezentau evoluţia sentimentelor, de la frica totală de matematică – cu accent pe frica de a se face de râs în faţa colegilor – şi până la nivelul în care au ajuns să gândească şi să lucreze matematică fără nici cea mai mică problemă. Metoda respectivă este bună deaorece îi ajută şi pe cei buni să empatizeze cu cei slabi şi să conştientizeze zdroaba acestora în cadrul activităţii matematice.

Eu personal mă străduiesc constant să generez o atmosferă în care şi elevii speriaţi de matematică să ajungă la o stare dezinhibată cu matematica. Din păcate unii înţeleg aceasta ca o permisivitate către a face orice altceva în oră. La alţii totuşi funcţionează, adică îmi reuşeşte să-i aduc în starea de atenţie şi participare la oră, desigur în momentele care prezintă matematică accesibilă pentru nivelul lor. Mă gândesc de exemplu la un elev care de fiecare dată când suntem în pasaje mai uşoare, el automat devine activ, ridică mâna nesilit şi răspunde de fiecare dată corect. Acel elev, deşi nu este un mare matematician, îşi cunoaşte foarte bine nivelul, dar de fiecare dată când poate îmi arată de fapt că nu-i este frică de matematică.

Unul dintre exemplele cele mai sugestive despre starea de frică faţă de matematică şi faţă de inaccesibilitatea acesteia, l-am trăit în urmă cu câţiva ani. Aveam prima oră la o nouă clasa de liceu (a 9-a de uman), în care erau elevi de la foarte buni (dar care doreau să rămână în Waldorf) şi până la nivelul cel mai slab posibil. M-am gândit să nu-i speriu din prima cu cine ştie ce complicaţiune, aşa că m-am dus la ei cu o chestie ce nu implică defel cunoştinţe anterioare, desigur în afară de simpla adunare până la zece. Le-am dus un zar pe care îl puneam în faţa lor pe masă şi îi întrebam ce faţă este dedesupt (îl ţinem cu două degete lateral, aşa încât să nu funcţioneze prin excludere). Pentru cine nu ştie poanta, suma feţelor opuse la un zar este întotdeauna 7 (de pildă 2 şi 5 sunt pe feţe opuse). Întrebarea desigur se adresa celor noi în clasă (cei ce veneau din clasa a 8-a o ştiau deja). Imaginaţi-vă cum mergeam de la un elev nou la altul şi îi întrebam, iar aceştia încercau să gândească, pentru că era evident că nu se lega de nimic din ce învăţaseră până atunci. Unii se prindeau pe când alţii nu.

În această stare am ajuns la o elevă foarte speriată, care nu se prindea de poantă şi gata. Eu totuşi îi arătam răbdare, dar ea nu şi nu. Până la urmă unul dintre colegi i-a spus că trebuie să dea împreună 7. Eleva a făcut ochii mari, eu i-am mai pus o dată întrebarea (de fiecare dată întorceam zarul), iar ea s-a concentrat şi a răspuns corect. I-am arătat dosul zarului spre confirmare, iar ea s-a ridicat în picioare şi a început să fugă în cerc strigând “Da! Ştiu matematică!!!”. Am realizat atunci că am de-a face cu un caz deosebit de dificil şi, într-adevăr, tot liceul a cam trebuit să-i dau 5-ul “din burtă”.

Surpriza a venit la sfârşitul clasei a 12-a când elevii “îşi împărţeau profesorii”, care la care să dea clasicul buchet de flori, la festivitatea de încheiere. Această elevă a insistat ca ea să-mi dea mie flori. Doar pentru acel moment de la începutul clasei a 9-a (şi poate pentru faptul că am avut grijă tot liceul să nu se simtă înjosită pentru că nu putea mare lucru la matematică). Să nu credeţi însă că “nu am făcut matematică” cu acea clasă. Dimpotrivă, de multe ori depăşeam nivelul programei, pentru cei care puteau, dar întotdeauna cu respect faţă de cei slabi. Concluzionând, cum bine spunea Dl Profesor Radu Gologan, matematica şcolară trebuie să devină mai umană. Titus Grigorovici

Figurile geometriei (Analiza unui banc – 1)

“Scrierea” de mai sus, ce provine de pe o platformă de socializare, se doreşte a fi un banc (adică ceva de râs). Doar că aceasta punctează ceva ce este mai degrabă de plâns: dispariţia – lentă dar sigură – a figurilor din anturajul geometriei, ca materie, atât în cadrul lecţiilor, cât mai nou şi în cadrul problemelor, atât din ideea de necesitate în structura mentalului unor profesori, cât şi – ca urmare – din mentalul unor elevi.

Deja în urmă cu cca. 15 ani am ajuns să întâlnesc elevi care să-mi spună că “figurile nu contează”, citat reluat desigur de la adulţi din anturajul lor, de obicei chiar de la profesorul de la clasă. Ţin minte că mă chinuiam cu un copil la care toate triunghiurile desenate erau isoscele, ce-mi spunea cu un aer de siguranţă că “oricum, figurile nu contează!”.

Actualmente lucrurile au luat-o razna rău de tot: am început să întâlnesc lecţii sau probleme de geometrie fără figură! Şi mă refer aici nu la situaţii din acelea relativ simple, la care putem considera că figura geometrică poate fi uşor imaginată în cap, pentru rezolvarea problemei. Vă dau câteva exemple întâlnite în această toamnă.

1) Să vorbim pentru început despre o lecţie, una cunoscută, anume lecţia care trebuie să facă prezentarea conexiunilor între unghiurile ce se întâlnesc în cazul a două drepte paralele tăiate de o secantă. De foarte mult timp ştiu că există ideea de a desprinde din această lecţie, ca un soi de fază pregătitoare, o primă etapă în care să fie prezentate perechile respective de unghiuri (alterne interne, corespondente, etc.) pe o figură “generalizată”, adică pe o figură cu două drepte neparalele tăiate de o secantă. Nu ştiu unde, când sau la cine a apărut această idee, dar este una deosebit de dăunătoare, chiar nocivă pentru dezvoltarea gândirii, aş putea zice chiar nocivă pentru apariţia gândirii. Chiar şi privit doar superficial putem susţine această afirmaţie deoarece figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde.

Afirmaţia se susţine şi dacă privim mai profund: în această situaţie încercarea de înţelegere a copilului este forţată să se dezvolte “sprijinindu-se” pe mult mai puţine elemente logice, eliminate fiind cele mai uşoare, mai intuitive, şi lăsate doar de cele mai grele. Ce vreau să spun aici? Studiate pe o figură cu drepte paralele, elevii pot vedea respectivele “perechi de unghiuri” sprijiniţi de evidenţa congruenţei, care se vede clar. Mă refer aici desigur la unghiurile corespondente, dar şi la cele alterne interne. Datorită congruenţei, elevul înţelege mult mai clar alegerea unor anumite perechi de unghiuri şi logica aranjării acestora în figura respectivă (de exemplu, “alterne” pentru că alternează de-o parte şi de cealaltă a secantei, la fel ca şi casele numerotate alternativ de-o parte şi de alta a străzii, respectiv “interne” pentru că sunt în spaţiul acela interior delimitat de cele două paralele); la celelalte perechi de unghiuri studiate gândirea şi înţelegerea se poate sprijini deja pe structurile mai complicate de aranjare ce au fost reliefate la primele două categorii.

Pe figura cu două drepte paralele, acestea – cele două drepte paralele – se evidenţiază minţii în formare a elevului ca o pereche clară, dreapta secantă evidenţiindu-se separat, cu un alt rol logic în această structură. Dimpotrivă, la figura “generalizată”, cea cu perechea celor două drepte neparalele, tăiate de o a treia, pe post de secantă, aici mintea elevului nu va vedea la fel de uşor faptul că primele două acţionează împreună într-un fel, pe când a treia în alt mod. Personal, eu nu mai ţin minte foarte clar, dar cred totuşi că am predat o dată, în primul an la catedră pornind de la această figură (anul şcolar 1990-1991), după care am abandonat ideea (am în amintire o impresie vagă că elevii n-au înţeles nimic; ceva de genul că-mi lipsea privirea aia de “aha, am priceput!” de pe feţele lor; altfel spus, am simţit empatic că elevii n-au înţeles nimic din acea figură). Deci, practic, de 30 de ani nu am mai folosit această figură premergătoare, însă doar acum am ajuns să fac “teoria chibritului” pe seama acesteia (veţi vedea în curând de ce).

Mai zăbovesc un pic la prima idee, anuma la faptul clar că figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde. Eu am o teorie, anume faptul că la geometrie elevii trebuie să ţină minte nişte FIGURI TIP, pe care să le aibă imprimate bine în minte pentru a le putea recunoaşta ulterior în diferite structuri mai complicate, adică de obicei în figurile diferitelor probleme. Pentru a mă face înţeles, dau aici câteva exemple de figuri tip: două drepte secante (“Crucea Sf. Anton”) pentru unghiuri opuse la vârf, un triunghi oarecare secţionat de o paralelă mai jos sau mai sus de linia mijlocie, pentru situaţii de proporţionalitate (teorema lui Thales sau teorema findamentală a asemănării), şi exemplele pot continua mult şi bine (există figuri tip chiar şi la zona de algebră, de pildă “Crucea Sf. Anton” pe elementele unei proporţii, în timp ce spui în minte că “produsul mezilor este egal cu produsul extremilor”).

Desigur că figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă este o figură tip! Imprimarea ei pe mentalul elevilor este deosebit de importantă şi datorită faptului că aceasta nu apare de obicei întreagă în figurile diferitelor probleme, aşa încât elevul trebuie să fie capabil să completeze în minte figura astfel încât să recunoască figura tip şi să poată vedea apariţia a două unghiuri congruente (să zicem unele alterne interne, de exemplu).

Astfel, se înţelege că este extrem de important ca această figură să “se imprime” cât mai repede şi cât mai bine pe mentalul elevilor, iar aceasta se poate face cel mai bine printr-o prezentare repetată. Eu, de pildă, refac figura tip cu două paralele tăiate de o secantă la fiecare fel de pereche de unghiuri studiate în această lecţie, adică măcar de 3-4 ori. Astfel, o fac prima dată la unghiurile corespondente (pe acestea le fac primele pentru că “stau la fel”, astfel încât congruenţa poate fi justificată, “demonstrată”, prin translatarea unuia de-a lungul secantei până în celălalt). Apoi refac figura a doua oară pentru unghiurile alterne interne (ce poate fi justificată pe baza primeia împreună cu deja cunoscuta situaţie a unghiurilor opuse la vârf). Cu această ocazie elevii încep să priceapă că această figură este una importantă. Uneori o fac şi pentru unghiurile alterne externe, dar asta doar de dragul teoriei, cât şi a elevilor care întreabă după a doua categorie “dar, există şi unghiuri alterne externe?”, precizându-le insă clar că acestea nu se folosesc defel. Apoi vine figura obligatorie în cazul unghiurilor interne de aceeaşi parte a secantei, care se dovedesc suplementare (şi aceasta poate fi justificată pentru înţelegerea elevilor, apropos de faptul că unii colegi au ajuns doar să prezinte elementele unei lecţii, fără a mai explica defel de unde vin acestea). Situaţia perechii de unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sigur n-o mai fac, eventual o amintesc dacă întreabă un copil (din logica denumirii acestora), dar atunci cu precizarea clară că nici acestea nu se folosesc nicăieri.

Am făcut această prezentare extinsă a importanţei figurilor din lecţia despre unghiurile ce apar la două paralele tăiate de o secantă pentru a scoate în evidenţă cât mai bine stupiditatea următoarei situaţii. Astfel, de curând mi-a fost dat să văd această lecţie predată doar cu prima figură, acea cu două drepte neparalele tăiate de o secantă, în care erau prezentate extins, în text, pe baza numerotării celor opt unghiuri vizate, a tuturor perechilor respective. Urma apoi un fel de teoremă în care erau precizate faptul că dacă dreptele acelea sunt paralele, atunci “următoarele unghiuri sunt …..”. În lecţia respectivă nu apărea defel figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă. Cu alte cuvinte, profesorul respectiv prezentase doar figura nefolositoare, pe când cea deosebit de importantă nici nu era prezentă în lecţie (decât doar în text).

Fără figura cu două drepte paralele elevul este “împins” să înţeleagă această lecţie doar în mod “intelectual”, eliminându-se posibilitatea înţelegerii vizuale directe. Pentru a înţelege, elevul este obligat să facă doi paşi logici, anume să urmărească situaţia şi afirmaţiile textului şi să-şi închipuie figura conform noilor condiţii (două drepte paralele), ca apoi să le conecteze în minte pe cele două. Este evident că această cale este mult mai dificilă, chiar inaccesibilă pentru cei mai mulţi dintre elevii actuali.

Cum să înţeleagă acei elevi lecţia respectivă??? Mintea mea nu înţelege aşa ceva decât alegând din una dintre următoarele două situaţii: fie este vorba despre o “prostire” profesională a unor dascăli, fie o răutate cronică faţă de elevi. Oricum este evident faptul că elevii sunt împinşi, fie în braţele sistemului de meditaţii particulare, fie înspre pierderea contactului cu matematica, cu gândirea.

Foarte aproape de această stare se situează şi variantă întâlnită prin anumite lucrări, care prezintă ce-i drept figurile cu două drepte paralele, însă mici şî înghesuite, astfel încât elevii să le perceapă foarte greu.

2) Un al doilea exemplu de geometrie fără figuri este întâlnit mult mai des, anume în lecţiile rezumative din diferite “auxiliare”, ce prezintă teoria fără nici măcar o singură figura geometrică (vorbesc de partea teoretică poziţionată înaintea multitudinii de probleme pentru acea lecţie). Am de pildă în minte situaţia unei culegeri de la o editură renumită (de vârf pe piaţă): de exemplu, la fiecare din seturile de probleme despre patrulaterele speciale apar enumerate toate proprietăţile, fără ca autorii să fi considerat ca importantă prezentarea figurii tip a acelui patrulater (paralelogram, dreptunghi etc.). Vă daţi seama că elevii sunt astfel tentaţi să vadă lucrurile din geometrie de felul că “astea trebuie învăţate pe de rost, în nici un caz şi înţelese”.

3) În urma unor astfel de situaţii cu care se confruntă elevii, nici nu ne mai miră apariţia unor situaţii în care elevii vin cu rezolvări, chiar cu demonstraţii ale unor probleme, fără ca acestea să fie însoţite de o figură geometrică. Elevii ajung să nu-i mai vadă necesitatea prezenţei unei figuri geometrice la o problemă. Fie că o copiază din carte, fie că o preiau de la un coleg, care poate şi el o are făcută de altcineva, elevii nu mai au conexiunea mentală a legăturii indivizibile între figură şi rezolvarea sau demonstraţia corespunzătoare. Faptul că nici aplicaţiile de pe telefoanele prea deştepte cu care toţi sunt dotaţi, se pare că nu dau rezolvări însoţite de figuri, asta doar accentuează profunzimea şi dramatismul situaţiei despre care vorbesc aici.

Din păcate însă, toate acestea se integrează perfect cu noua politică a examenului de Evaluare Naţională, în forma cea nouă, aplicată din 2021 (odată cu generaţia care a început prima dată cu clasa pregătitoare). Subiectele sunt pline de figuri geometrice, însă doar cu scop de a fi “citite”, însă pentru eficientizarea testării, acest nou tip de subiecte nu mai are în conţinutul său sarcini la care elevii să fie puşi să facă o figură geometrică.

Deja din ultimii ani ai formatului vechi de examinare (cel folosit până în anul de graţie 2020), deseori unii elevi nu mai refăceau figurile de pe foaia cu subiecte, cele din subiectul III (atât la figura de geometrie plană, de la problema 1, cât şi la figura de geometrie în spaţiu, de la problema 2), ci trasau şi notau pe foaia lor de subiecte câte o linie suplimentară de care aveau nevoie. În aceste condiţii te puteai trezi cu câte o rezolvare în care trebuia să-ţi imaginezi ce a desenat elevul respectiv, fără a avea însă o certitudine în acest sens. Dar oricum, majoritatea făceau totuşi respectivele figuri, inclusiv unele figuri ajutătoare, iar toţi elevii desenau desigur şi figura de la începutul Subiectului II. Deci, până în 2020 elevii trebuiau să facă figuri geometrice şi la examen.

Acum, pe formatul nou de EN elevii nu mai trebuie să deseneze figuri geometrice complete, fiind nevoiţi să traseze cel mult câte o nouă linie pe figurile pre-gătite pe foaia de examinare (am pus intenţionat liniuţa de despărţire pentru a evidenţia asemănarea cu fenomene similare de pildă din zona de alimentaţie, acolo unde la ora actuală se poate cumpăra o varietate tot mai mare de mâncare pre-gătită, funcţia de bucătăreasă fiind deseori redusă la funcţia de încălzitoare a mâncării pre-gătit cumpărate). Cum va arăta viitorul, respectiv cum vor evolua sau – mai bine zis – cum vor involua abilităţile elevilor de a face o figură geometrică corectă, asta este uşor de imaginat. Aşadar – în concluzie, până nu e prea târziu – cum a fost spus de la început, daţi geometriei figurile înapoi! Titus Grigorovici

Fracţiile zecimale periodice (3) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În primele două părţi ale prezentului eseu am prezentat momentul “întâlnirii” elevilor cu fenomenul periodicităţii zecimale, cât şi mai ales toate gândurile pregătitoare necesare unui dascăl, astfel încât acest moment să fie unul de un impact cât mai puternic, dar totuşi cât mai pozitiv, accesibil şi nefrustrant pentru cât mai mulţi elevi.

Din păcate, în astfel de momente foarte mulţi profesori greşesc. Mentalul nostru general, cel puţin în România, după atâţia ani de zdroabă, împinşi fiind spre olimpiade şi excelenţă, mentalul nostru este focusat pe zona de aplicaţii cât mai complexe ale fiecărei lecţii. Majoritatea profesorilor “cu rezultate” neglijează inconştient începutul lecţiilor. Introducerea noilor noţiuni, itemi, lecţii este total neglijată. Unii “uită” să le facă, alţii le dau să fie copiate acasă din culegere sau mai rar din manual (şi acesta este un fenomen interesant ce ar merita discutat cu o ocazie); alţii îi pun în clasă să copieze lecţia dintr-o carte (cică metode noi – dacă a mers în pandemie, de ce n-ar merge şi acum?, iar profesoara are timp să stea puţin pe telefon). Alţii nu le predau, nu le dau nici ca temă, dar dacă copilul nu stă cuminte la oră este ridicat în picioare şi întrebat din noţiuni nepredate, la care desigur nu ştie şi deci primeşte un 2 (ca să se înveţe minte!).

Chiar şi în afară de astfel de forme extreme, totuşi, în general noi nu mai avem o cultură a introducerii noţiunilor noi la clasă. Fenomenul poate fi explicat şi astfel: tu, ca profesor, ai mai făcut lecţia asta de n-şpe ori; între timp, de la ultima trecere, eventual de anul trecut, ai găsit noi probleme şi de-abia aştepţi să le dai la clasă. Pe tine începutul lecţiei te plictiseşte profund. Doar că, în entuziasmul tău, tu uiţi cumva că aceştia sunt alţi elevi, că aceştia habar nu au despre lecţia respectivă (cel puţin cei cu care nu a parcurs nimeni lecţia în avans acasă! Acesta este un alt aspect ce ar merita tratat separat şi analizat pendelete.).

Da, într-adevăr, majoritatea profesorilor nu se concentrează pe o introducere “organică” a lecţiilor. Desigur că la acest fenomen a contribuit şi moda introducerilor definiţioniste a lecţiilor din anii ’80 ai secolului trecut, modă care nu a fost niciodată luată în discuţie şi în analiză la nivel naţional. Profesorul are impresia că odată date definiţia şi regulile, elevii le ştiu în mod natural şi înţeleg instant toată lecţia. Nimic mai greşit. În plus, profesorii au impresia că, odată prezentate principalele aspecte ale unei lecţii, elevii ştiu automat şi toate aspectele despre care nu s-a vorbit încă în lecţie.

Despre felul în care putem evita astfel de “gafe pedagogice” am încercat să vorbesc “printre rânduri” în primele două părţi ale eseului de faţă. Astfel, am încercat să arăt cum putem veni “din înaltul cerului nostru matematic” în întâmpinarea elevilor novice, cât mai jos, acolo unde se află aceştia înaintea predării lecţiei (încă o dată: asta dacă nu le-a arătat cineva cum stă treaba, dând astfel “spoil” la “filmul” ce urmează a fi vizionat).

Eu, ca profesor, trebuie “să mă cobor acolo jos unde este elevul” (elevul mijlociu), adică să pornesc lecţia mea de la lucruri pe care majoritatea elevilor le ştiu deja bine şi să urc pe o pantă destul de lină, adaptată majorităţii, astfel încât să am siguranţa că “nu pierd pe drum prea mulţi puiuţi”. Lecţia astfel ar trebui structurată încât orice elev binevoitor să meargă cu lucrurile înţelese acasă (bine înţelese şi deja parţial fixate). Aşa se preda pe vremuri (până prin anii ’70) şi până la un anumit nivel al lecţiilor majoritatea elevilor de la toate nivelele nu aveau nevoie de explicaţii suplimentare acasă, nici vorbă de meditaţii regulate (cel puţin nu cei de la mediu în sus, cel puţin nu la o astfel de lecţie cu abilităţi de bază cum este algoritmul împărţirii). Tema de casă trebuie apoi să repete măcar parţial cele întâmplate la oră, astfel încât aceste abilităţi şi cunoştinţe să se fixeze bine.

Nu vreau să susţin că lecţiile de introducere ar trebui să dureze foarte mult, dar nici prea puţin sau defel. Profesorul trebuie să le adapteze la nivelul clasei. La o clasă bună, selectată, lecţia precedentă ar putea să dureze cel mult 15 min. Dimpotrivă, la o clasă ce are şi copii mai slabi la matematică, acestora trebuie să li se acorde mai mult timp pentru digerarea noilor situaţii.

Setul de exemple de împărţiri prezentat în prima parte este suficient de bogat în diversitatea formelor rezultatelor, acesta trebuind repetat şi la temă (desigur cu alte exemple, poate mai multe exerciţii, dar şi eventual amestecate cu câteva fracţii zecimale finite). În altă ordine de idei, sper că s-a observat faptul că setul propus spre parcurgere la clasă este totuşi destul de scurt (cum am spus, la elevii buni probabil până în 10-15 min.). Revin, precizând că acest aspect a fost intenţionat gândit ca atare: pentru elevii slabi o astfel de lecţie este suficientă pentru o oră (la aceştia munca va dura mult mai mult decât la cei buni), putând fi eventual pornită la clasă şi tema pentru casă (aşa sunt de fericiţi când au ocazia să pornească tema la clasă! Cei mai mulţi nu apucă să facă tare mult în ultimele 3-5 minute, dar sunt atât de recunoscători de ideea că tema a scăzut, încât pleacă toţi fericiţi de la ora de mate). Pentru elevii buni, desigur că o astfel de lecţie scurtă lasă loc şi pentru aplicaţii mai grele, atât la începutul orei (deci din lecţiile precedente), cât şi după (deci din lecţia de faţă).

Să revenim însă la fracţiile noastre periodice: mai avem de studiat şi drumul invers, adică transformarea fracţiilor zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare. Elevii cunosc cumva ideea de la fracţiile zecimale finite, unde au cunoscut deja ambele direcţii de transformare şi unde am accentuat asupra faptului că fracţiile au două forme de manifestare, două “limbi de exprimare” şi că noi putem să transformăm o anumită fracţie şi într-o direcţie şi în cealaltă.

Apropos de fracţiile zecimale finite: aici apare un fenomen foarte ciudat din punct de vedere a felului în care văd profesorii o noţiune, o lecţie, un fenomen matematic, pe de-o parte, şi felul în care acesta este văzut de elevii aflaţi în procesul cunoaşterii. Daţi-mi voie să evidenţiez acest fenomen pe exemplul fracţiilor zecimale finite, deşi fenomenul este prezent şi în multe alte locuri.

Fracţiile zecimale apar de la împărţirea numerelor şi nu este normal să îi confruntăm “din prima” pe elevi cu situaţia periodicităţii (aici toată lumea este cumva de acord). Incluzând însă în titlu cuvântul finite, putem genera una din următoarele două situaţii: fie îi derutăm pur şi simplu pe cei mai mulţi, fie dăm “spoil” la ce urmează, adică stricăm surpriza lecţiei următoare, eventual cauzând la elevii mai curioşi impulsul să studieze în avans (pe internet sau întrebând un părinte). Părerea mea este că cel mai des se va întâmpla prima situaţie (că dacă s-ar întâmpla prea destul des a doua situaţie, măcar am ştii că le-am stârnit curiozitatea şi asta tot ar fi bine). Rămânând la prima variantă, uneori chiar am impresia că profesorii asta îşi şi doresc: să-i bulverseze pe elevi (şi de aici am putea să divagăm spre un fenomen ce a ajuns să se manifeste la nivel naţional).

Vorbim aici deci de fenomenul folosirii unor cuvinte sau expresii pe care elevii încă nu au de unde să le ştie, dar pe care programa oficială le impune la un anumit moment. Dar unde mai apare acest fenomen? Păi. să vă dau nişte exemple la întâmplare. Folosirea termenului de număr raţional pozitiv înaintea cunoaşterii numerelor negative va trezi în orice minte ageră curiozitatea despe ce şi cum. Dimpotrivă, folosirea termenului coplanare în definiţia dreptelor paralele din clasa a 6-a va bulversa masiv înţelegerea copilului obişnuit. Mai sus, în a 8-a sau a 9-a, apare un astfel de moment când discriminantul unei ecuaţii de gradul II este negativ şi nu spunem pur şi simplu că ecuaţia nu are soluţii în acest caz, ci ne simţim toţi datori să le precizăm că nu are soluţii reale. Întotdeauna de aici se iscă întrebarea: dar există şi alte numere pe lângă cele reale?

Există şi un exemplu de folosire a unei expresii legată de “ceva” ce însă nu va veni nici pe viitor, conform programei, iar asta o pot descrie ca “răutatea supremă”. Vorbesc aici despre folosirea denumirii de prismă dreaptă cu baza pătrat, ce se întâlneşte foarte des prin cărţi. Descriu asta drept o răutat pentru că elevii nu învaţă dualitatea prismă dreaptă – prismă oblică, dar nici măcar ideea de prismă dreaptă, care ar necesita desigur măcar un exemplu (de pildă o prismă dreaptă cu baza un romb, pe care calculele sunt foarte uşoare). Este evident că dacă ar fi incluse şi acestea în programă. s-ar năpusti toţi olimpiştii în acea zonă. Acestea au fost exluse din materie la începutul anilor ’90, aşa că nici expresii ce ţin de ele nu ar avea voie să apară prin cărţi.

De ce trebuie să le facem asta constant elevilor noştri, această înjosire constantă, prin care să le arătăm sistematic că ei nu ştiu destul? Haideţi să facem un experiment cu dvs., profesori de matematică ce aveţi pretenţia că ştiţi desigur totul despre matematica preuniversitară. Cum vă simţiţi la următoarea afirmaţie: numerele iraţionale de tipul radical din 2 sau radical din 3 etc. au o formă infinită neperiodică, dar asta doar în sistemul de scriere zecimal. Cum adică? Există o altă formă de scriere a acestor numere care este infinită dar periodică?, veţi întreba. Iar eu voi răspunde că Da!, există, doar că dvs. încă n-aţi învăţat-o. Iar acum schimb subiectul, pentru că nu ne-am propus să vorbim aici despre fracţiile continue.

Revenind la fracţiile zecimale finite, după părerea mea acestea pot fi denumite oficial de-abia după cunoaşterea fracţiilor periodice. În acest sens putem face o scurtă sistematizare la sfârşitul orei respective (dacă mai este timp suficient), sau putem să o aducem ca o formă de reactualizare la începutul orei următoare (aşa este poate chiar mai bine). Ca o paranteză pentru pedanţi, experienţa îmi arată că nu apar întrebări de genul: dar există şi fracţii infinite neperiodice? Totuşi, dacă ar apărea această întrebare, le-aş răspunde calm că da, sunt radicalii (de care elevii au cam auzit, că-i văd pe calculatoarele de pe telefoane), doar că despre aceştia vom învăţa prin clasa a 7-a pentru că sunt ceva mai complicaţi.

Înainte de a vorbi despre transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare mai trebuie să prezint un scurt aspect ce ţine de didactica predării. Eu personal mă străduiesc cât se poate de mult să le aduc elevilor noile cunoştinţe în forme pe care ei să le înţeleagă de unde vin. Când predau prin întrebări (prin problematizare etc.) este evident că elevul care dă răspunsul corect a intuit de unde vine ideea. Chiar şi acolo unde nu pot să-i îndrum pe elevi pe o cale de descoperire, le explic eu cum se face, dar mă străduiesc să le-o prezint astfel încât să le generez o cât mai clară senzaţie de înţelegere a raţionamentului sursă al fenomenului respectiv. Înţelegând raţionamentul care duce la o nouă situaţie, elevul îşi formează totodată şi gândirea. Predând cât mai des astfel încât elevii să înţeleagă sursa logică a noţiunilor, eu am certitudinea şi bucuria că pot contribui constant la formarea unei gândiri raţionale la elevi.

Totuşi, există situaţii când uneori chiar nu le putem explica nicicum de unde vine ideea, cel puţin nu la nivelul la care sunt elevii în acel moment (algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate este o astfel de situaţie; chiar aşa, ştiţi cum se justifică acesta? Întrebarea asta a venit în contextul în care am vorbit de înjosirea celorlalţi; Scuze că folosesc asta pe dvs.).

Pentru că elevii trăiesc constant strădania mea de a-i face să înţeleagă, într-un asfel de moment beneficiez de un soi de “clemenţă” din partea lor atunci când le spun: aici nu am cum să vă explic de unde vine; aici pot doar să vă arăt cum se face. Aici pot să fac doar ca toţi ceilalţi din breasla mea; dacă-mi aduceţi aminte peste doi ani, atunci vă voi putea explica de ce se face aşa. Un astfel de moment este şi la transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare.

Faptul că transformarea se face într-o fracţie cu numitorul format din atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă, acesta este un fapt ce are un efect tranchilizant, de anestezie totală asupra gândirii învăţăcelului. De unde 99 la o fracţie de tipul 0,(37)? Regula se înţelege destul de uşor; de pild la 0,(375) vom scrie automat numitorul 999. Dar de ce? DE CE?

Trecând peste acest moment de neînţelegere “că de ce se face aşa?”, elevii nu au mari probleme în a aplica noua regulă în cazurile simple. Cumva ţine însă de arta profesorului “să le facem viaţa cât mai uşoară” şi să le prelungim cât mai mult starea de “cazuri simple”, adică să nu-i trecem prea repede la “cazuri complicate”.

Pentru a prelungi starea de “caz simplu”, eu le dau forma de fracţii zecimale periodice simple supraunitare prin trecere în scriere cu întregi ca fracţie ordinară. Concret, odată ce a înţeles primele cazuri (cele de mai sus, pe câteva exemple), eu le dau modele de felul 3,(45) = 3 întregi şi 45/99 (scuzaţi scrierea, vreau să am garanţia că se poate citi de orice aparat). Astfel şi acest caz este unul simplu, aducând doar combinaţia noii reguli cu forma mai veche, uşor de reamintit, ce necesită apoi doar introducerea întregilor în fracţie (o bună ocazie de reactualizare).

De-abia la forma fracţiilor periodice mixte vin cu varianta ce implică scădere, simultan cu numitorul ca o combinaţie de 9 şi de 0. De pildă 0,4(25) = (425 – 4)/990. De ce se întâmplă aşa, asta este din nou o mare enigmă pe care nu le-o putem explica acum elevilor. Ce putem însă este ca la forma din aliniatul precedent să nu le-o băgăm încă (aşa cum din păcate s-a stabilizat la ora actuală în toate manualele şî auxiliarele). Evident că lecţia urmează să primească cât mai multe exerciţii, dar aici eu nu mai continui pentru că acestea se găsesc peste tot în cantităţi suficiente.

Legat de exerciţii, am un singur “contra-exemplu”, anume o hiper-capcană pentru elevi găsită într-o culegere (seria condusă de dl. profesor Artur Bălăucă, la ed. Taida). Fracţia zecimală periodică mixtă 1,0(6) este cuprinsă într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, inclusiv paranteze (direct paranteze drepte, pentru că cele rotunde sunt rezervate pentru perioade). De ce este acesta o hiper-capcană? Pentru că elevul a fost împins pe calea unei rezolvări care permite apoi o capcană. Rezolvarea cu scrierea întregilor, sugerată mai sus, nu ar împinge elevul spre această greşeală. Despre ce este vorba? Aplicând rezolvarea propovăduită actualmente de toată lumea, elevul va avea tendinţa să neglijeze acel zero şi să scrie 106 – 1 la numărător, şi nu 106 – 10. Pe această capcană o mai putem numi şi “mină anti-elev”.

O altă problemă ce implică aspectele metodico-didactice ale acestei lecţii o reprezintă forma în care le dăm aceste reguli elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor şi majoritatea cărţilor prezintă aceste reguli într-o formă scrisă cu litere în loc de cifre, având astfel pretenţia că devine generală. Din păcate marea majoritate a elevilor nu înţeleg NIMIC din aceste scrieri, dar NIMIC-NIMIC! Realitatea acestei predări e ca şi cum acele sfaturi din startul Programei de gimnaziu din 2017 despre o predare cât mai întuitivă, cel puţin la clasele gimnaziale mici, sunt de fapt aplicate exact pe dos. Aici o predare intuitivă înseamnă să-i dai câteva exemple cât mai sugestive, iar elevul prin simpla imitaţie să facă mai departe alte şi alte exerciţii similare în acelaşî fel. Atâta tot! Cei mai mulţi le vor înţelege imediat, iar cei care nu le înţeleg nici aşa, “asta e!”. Cei mai slabi oricum nu le vor înţelege nici din forma generală dată prin litere. Dând însă aceste reguli prin exemple, creştem considerabil numărul elevilor ce le vor înţelege şi le vor putea face fără ajutor de acasă.

Din forma cu litere însă, “marea mare” majoritate nu vor înţelege nimic şi vor avea deci nevoie de explicaţii reluate acasă. Iar acasă, fie un părinte, fie un meditator plătit le va prezenta câteva exemple şi gata: elevul va înţelege.

E aşa de simplu cu exemple. Dar de ce să le prezinte profesorii lucrurile simplu elevilor, când pot să le facă viaţa grea şi amară la orele de matematică? Această atitudine mi se pare stupidă, chiar profund încărcată de o adevărată răutate. Îmi pare rău pentru agresivitatea acestor rânduri, dar aşa se văd lucrurile din punctul meu de vedere.

După părerea mea şase exemple lămuresc cu totul situţiile de aici. Gândind acum, eu le-aş aranja astfel: pe coloana din stânga trei exemple subunitare cu perioadă de una, doua respectiv trei cifre, măcar una sau două care să se simplifice, iar pe coloana din dreapta o fracţie supraunitară dar cu partea zecimală simplu periodică, apoi una subunitară mixtă (deci fără întregi), cât şi una supraunitară mixtă (deci cu întregi). La ultimele două trebuie să aleg diferit numărul de cifre din perioadă şi cel de cifre dintre virgulă şi perioadă, pentru a da impresia de situaţie generală.

Ajută la aceste exemple dacă folosim puţină culoare pentru a conecta vizual de pildă numărul de cifre din perioadă cu numărul de 9 de la numitor. Desigur că merită adăugate înaintea acestui set şi unul-două exemple de transformare de fracţii zecimale finite, care implică un 1 şi atâia de 0 la numitor câte cifre erau în partea zecimală. Două culori diferite vor ajuta elevii să conecteze exact aşa cum trebuie cele întâmplate.

Am convingerea că un set bine ales de astfel de exemple este mult mai clar pentru oricine decât nişte forme artificiale de reguli cu litere, sau o descriere în text (atunci când, pe lângă linia de fracţie, mai apare şi bara de deasupra, pentru scrierea în baza 10, cei mai mulţi elevi “cad pe spate, ca gândacii” şi “dau neajutoraţi din mâini şi din picioare!”). Îmi cer încă o dată scuze, dar chiar nu se gândeşte nimeni la aspectele acestea?

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă pozitivă: deci, cum se poate demonstra la nivelul unor elevi de clasa a 7-a să zicem, sau a 8-a, de ce are loc transformarea în fracţie ordinară cu numitorul atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă? Şi ca să fiu cât se poate de clar, vă voi face prezentarea exact în formatul unui exemplu numeric, situaţie ce acţionează deosebit de intuitiv la orice om, şi la noi, la profesori, dar şi la elevi.

Să alegem de pildă numărul 0,(375) pe care îl şi notăm cu a = 0, (375). Să înmulţim această egalitate cu 1000 şi obţinem 1000a = 375,(375). Scăzând prima egalitate din a doua obţinem 999a = 375 de unde deducem imediat că a = 375/999 (scrieţi dvs. pe hârtie varianta obişnuită, cu linie de fracţie). Asta a fost. E simplu pentu un elv de a 7-a, a 8-a. Poate ar merge şi în a 6-a, dar sigur marea majoritate nu o vor înţelege în finalul clasei a 5-a. Eu am găsit această “demonstraţie” într-o culegere veche din 1970 de pregătire a examenului de admitere în licee, deci pentru recapitularea din clasa a 8-a a materiei de clasele 5-8. Nu mai găsesc culegerea respectivă (cine ştie în ce cutie am pus-o), dar ştiu că pe copertă era ca nume dominant Ivanca Olivotto (m-a surprins pentru că la vremea respectivă, profesor tânăr fiind, nu-i ştiam istoricul şi cunoşteam doar culegerea de aritmetică cu acest nume).

Precizez un aspect important: chiar dacă un profesor ar avea impresia că aceste artificii de calcul într-adevăr pot fi înţelese de către elevi şi s-ar gândi să le arate elevilor în clasa a 5-a, realitatea ar avea şanse mari să fie una opusă. Haideţi să analizăm puţin lucrurile din punct de vedere a fenomenului dilemei cognitive. Elevii tocmai ce au fost confruntaţi cu o puternică dilemă cognitivă. În aceste condiţii lămurirea şi justificarea respectivei dileme cognitive ar trebui să aibă loc pe o cale cognitivă care face deja parte din uzualul elevilor, din “zona lor de confort” intelectual. Or, astfel de artificii sigur încă nu fac parte din zona de confort calculaţionist al elevilor obişnuiţi în clasa a 5-a. Făcând această “demonstraţie” la clasă, pentru cei 2-3 vârfuri ai colectivului, asta îi va bulversa şi mai mult pe toţi ceilalţi, împingându-i din nou spre învăţat pe de rost şi spre meditaţii private. Dimpotrivă, la o grupă de excelenţă, acolo s-ar putea face liniştit.

Tot în acea lucrare am găsit şi o “demonstraţie” foarte accesibilă a criteriului de divizibilitate cu 9, fapt ce întăreşte ideea că la clasele mici le putem da anumite reguli nejustificate, dar că odată ce elevii evoluează pe scara gândirii, noi ar trebui să venim cu o reluare mai matură în timpul căreia să aducem şi astfel de completări. Din păcate, nici în a 7-a şi sigur nici în a 8-a nu are nimeni timp pentru astfel de “filozofii”, acolo toată lumea fiind focusată pe “doparea” elevilor cu problemele şi situaţiile specifice verificate în examen (nimeni nu te întreabă la EN dacă cunoşti de ce se scrie cu 999 la numitor).

Da, cam astfel de gânduri ar trebui să avem noi atunci când venim cu “o lecţie banală” în clasă. Pentru mine gândurile pregătioare urmăresc un astfel de evantai de aspecte diverse, dar profund interconectate între ele. Nu poţi doar să turui o lecţie cât mai teoretic şi scurt, iar apoi să te plângi că elevii “n-au învăţat acasă”. Într-o lecţie de matematică trebuie pus mult suflet. Eu. doar aşa ştiu să fac. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din anul şcolar precedent, din care se poate obţine o oarecare impresie despre aspectele prezentate. C.Titus Grigorovici


P.S. Starea de îngâmfare, acea renumită stare de “eu ŞTIU!” este foarte periculoasă. Noi trebuie să fim conştienţi de acest aspect şi constant treji împotriva ei. De pildă, acum în final, recitind tot articolul şi aruncând o ultimă privire asupra celor două poze, mi-am dat seama de o mică gafă. În ultimele pagini am propovăduit calea transformării fracţiilor zecimale supraunitare în fracţii ordinare cu întregii scrişi separat, dar în pozele respective eu n-am dat nici măcar un exemplu similar în cazul fracţiilor zecimale finite. De pildă, la recapitularea dinaintea transformării fracţiilor periodice eu ar trebui să dau măcar un exemplu de transformare de felul: 3,65 = 3 întregi şi 65/100 care apoi să fie transformat prin introducerea întregilor în fracţie în (3 · 100 + 65)/100 = 365/100. Da, da! Cât trăim învăţăm.

Fracţiile zecimale periodice (2) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În prima parte a prezentului eseu “am ajuns cu elevii” până la momentul când aceştia au descoperit existenţa şi fenomenul fracţiilor zecimale periodice, pe baza câtorva exemple la clasă, dar şi la temă.

Pentru mine este foarte important ca în acest moment elevii să vieţuiască în mod sănătos diversitatea fracţiilor periodice. Atenţionez că procesul trebuie să se întâmple într-un ritm accesibil majorităţii elevilor, astfel încât aceştia chiar să şi înţeleagă ce se petrece. Această recomandare vine desigur în opoziţie cu impulsurile spre o viteză cât mai mare de parcurgere a lecţiei, conducând la o cantitate tot mai mare de informaţii, viteză spre care au fost împinşi profesorii în anii ’80-’90. Gândul acestei recomandări ţinteşte spre o accesibilizare a vitezei şi a cantităţii de lucru la nivelul majorităţii elevilor (mă refer aici mai ales la clasele cu colective eterogene). Din această temperare a impulsurilor mele elitiste de profesor face parte şi ideea de a relua la începutul orei următoare cele întâmplate şi descoperite pănă acum, aşa ca o mică recapitulare. În acest sens am văzut în pozele de tablă de la sfârşitul primei părţi unele tentative de sistematizare pe scurt a celor deja descoperite până în acel moment.

În setul de exerciţii sugerat în prima parte a prezentării am inclus şi impărţiri cu două cifre în perioadă, dar şi cu patru sau şase cifre în perioadă (împărţirea la 101 respectiv la 7). Tehnic, am putea renunţa pentru prima zi la împărţirea la 7 (adică la perioada de 6 cifre), lăsând-o ca “surpriză” pentru a doua oră a temei fracţiilor zecimale periodice (eu de multe ori aşa am făcut şi este de-a dreptul interesant când eu mă contrazic pe mine faţă de ce-am spus în prima parte; de fapt vreau să vă arăt diferite variaţiuni posibile ale lecţiei).

În această a doua prte a eseului de faţă va fi activ un principiu despre care încă n-am vorbit, aşa că o fac acum. Este sănătos pentru predare ca noi să ştim mai mult decât le aducem elevilor în clasă. Elevii capătă cu timpul o siguranţă în profesor dacă simt, chiar nearătat, că acesta ştie mult mai mult decât le arată lor. Este penibil dacă elevii te surprind prea des cu întrabări la care nu ai răspuns şi faţă de care te eschivezi (gen: acum n-avem timp pentru asta). Pe de altă parte, dacă uneori, rar, chiar se întâmplă, atunci eu prefer să fiu cinstit şi să spun că nu ştiu; asta mă umanizează în faţa lor. Dar, desigur, trebuie să nu se întâmple prea des.

Revenind, îÎn plus, din acea zonă vastă de cunoştinţe suplimentare profesorul poate scoate din când în când câte o idee, dacă consideră că este sănătos pentru clasă (de fapt asta fac toţi colegii în sistemul olimpic, elitist, dar o fac doar în zona problemelor). În cazul de faţă ajută dacă noi cunoaştem de unde se obţin perioade cu 2, cu 3, cu 4, cu 5 sau 6 cifre. Elevilor nu le explicăm de unde “le scoatem”, decât eventual în finalul capitolului.

*

Deci, de unde obţinem o împărţire cu trei cifre în perioadă? Repet: acum vorbesc pentru profesori (!!!); elevii nu au de unde să ştie a răspunde la această întrebare. Sau, la ce trebuie să împart astfel încât să obţin o perioadă de patru cifre? Cu această mega-întrebare ar trebui să ne ocupăm în continuare. Eu mi-am pus-o de câţiva ani buni şi iată cum am raţionat.

Pentru început ar trebui să recapitulăm ce cunoaşte sigur orice profesor (adică ce cred eu că este cunoscut). impărţirile la 2, la 5, la puteri ale acestora sau la numere compuse doar din factori de 2 şi 5, dau un număr finit de zecimale (în plus faţă de deîmpărţit), egal cu exponentul cel mai mare al împărţitorului scris ca produs de puteri de factori primi (astfel de exprimări “ne ies pe gură” dacă ne punem în cap să vorbim cât mai riguros; cam ce-aţi simţit dvs. la citirea acestei fraze, cam asta simt elevii când “îi duduim” cu câte o exprimare de-a noastră prea riguroasă). Fraza de deasupra este valabilă dacă nu are loc o simplificare prin 2 sau 5; atunci lucrurile trebuie reanalizate după simplificare (oare cum ar fi sunat fraza cea complicată dacă aş fi inclus şi ultimul aspect în ea?).

Un al doilea aspect pe care cam toţi profesorii îl ştiu este că împărţirea la 3, la 6 şi la 9 dă perioadă de o cifră. De unde vin atunci perioadele de mai multe cifre? Păi, de la alte numere! Dar, de la care? Unii profesori cunosc că împărţirea la 11 dă perioadă de două cifre. Dar, de ce? Poate unii au observat că o împărţire de felul 37 : 22 va da o perioadă de două cifre precedată de o cifră zecimală izolată (adică o fracţie zecimală periodică mixtă). Este destul de clar că acea cifră izolată provine de la factorul 2, iar perioada de două cifre de la factorul 11. Un bun exemplu aici ar fi o împărţire la 88 = 23 · 11, care va da o fracţie periodică mixtă cu … (aţi înţeles, da?).

Un al treilea aspect cunoscut nouă, profesorilor, dar elevilor încă nu, este felul în care se transformă fracţiile zecimale periodice în fracţii ordinare, adică renumitele scrieri cu atâţia de 9 la numitor câte cifre în perioadă (numitorii de felul 9. 99. 999, 9999, ….) la care se adaugă şi combinaţii de tipul 990, 900, etc.

La toate acestea se mai adaugă un aspect de obicei necunoscut, dar pe care eu îl ştiam, anume descompunerea numărului 1001 = 7 · 11 · 13. Precizez că 1001 se compune multiplicativ exact din “următoarele trei numere prime”, adică exact cele ce urmează după primele trei numere prime (2, 3, 5), care sunt cunoscute şi uzate de obicei. Această descompunere apare folosită magistral într-un număr vechi de magie matematică. Iată-l pe scurt: magicianul îi cere subiectului (unui voluntar din audienţă, unuia care ştie bine socoti) să scrie la alegere un număr de trei cifre diferite (magicianul nu vede numărul respectiv). Apoi subiectul magiei este rugat să scrie în continuarea numărului încă o dată cele trei cifre, obţinând un număr de şase cifre (de pildă, la numărul 735 se va obţine numărul 735735). Apoi, acest număr trebuie împărţit la 7 (împărţirea se face exact); apoi, rezultatul va trebui împărţit la 11 (din nou iese împărţire exactă, adică fără rest). În final ultimul rezultat trebuie împărţit la 13 (desigur că se divide şi la 13). Magia este că după cele trei împărţiri, rezultatul final este exact numărul iniţial ales (adică exact 735).

Eu fac acest număr de magie trecând calculele de la un elev la altul, implicând astfel mai mulţi elevi. Surpriza va fi şi mai mare când ultimul elev îi poate spune primului elev numărul ales (pe care doar el şi următoarul îl ştiau). După efectuarea numărului de magie îi provoc pe elevi să-l descifrăm, adică să vedem cum de s-a întâmplat chiar aşa. Problema are două aspecte: primul ar fi că alipirea unui număr de trei cifre după acesta înseamnă de fapt o înmulţire cu 1001 (adică 735 · 1001 = 735735). Aici trebuie pur şi simplu făcută această înmulţire pentru a vizualiza ce se întâmplă; al doilea aspect este chiar descompunerea numărului 1001. S-ar putea ca un elev să se prindă de legătura cu cele trei numere ce apar ca împărţitori succesivi, sau se prea poate să fie nevoie ca profesorul să le spună acest fapt. Acest număr de magie mi-a fost foarte de folos la studiul periodicităţii ce apare la împărţirea la 7. Să revenim deci la studiul ce l-am propus.

Cercetarea noastră poate începe de la perioada de două cifre, care este legată de numărul 99 = 9 · 11. Numărul 9 apare prima dată ca factor chiar la numitorul 9, al perioadelor de o cifră. Doar numărul 11 apare prima dată ca factor la 99, deci la numitorul perioadei de două cifre (dacă aveţi comentarii legate de exprimarea neriguroasă, să ştiţi că o fac intenţionat ca să fie mai accesibilă). De aici apare întrebarea, conexiunea absolut legitimă: ce numere apar noi ca factori în acest proces, ca divizori ai numerelor cu cifre doar de 9, în studiul de creştere a numărului de cifre de 9? Adică, ce factori noi apar la 999, sau la 9999, sau la 99999? Sau invers: de vreme ce am văzut că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre, înseamnă că factorul prim 7 apare prima dată ca divizor al numărului 999.999, respectiv mai exact la numărul 111.111?

Oare, aţi prins ideea de unde am dedus toate cele? Dacă da, atunci opriţi-vă din citit, luaţi hârtie şi creion şi studiaţi singuri mai departe. Dacă nu v-aţi prins ce vreau să sugerez, atunci puteţi lectura prezentarea în continuare.

Numărul 111.111 este de tipul celor de la numărul de magie matematică de mai sus. Ca urmare deducem că 111.111 = 111 · 1001, având astfel ca divizor pe 7. Deoarece numărul 111.111 este primul de tipul 11…1 care se divide la 7, rezultă că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre. Doar de curând “mi-a picat fisa” că desigur şi la împărţirea cu 13 vom obţine o perioadă tot de şase cifre. Evident!

După ce am înţeles acestea merită să ne întoarcem şi să o luăm sistematic. 11 este el însuşi număr prim. Primul unde putem pune în discuţie ce am observat la 7, este numărul 111, care este divizibil cu 3. Aşadar 999 = 33 · 37. Deducem că la împărţirea cu numărul prim 37 se obţine perioadă de trei cifre. Asta o ştiam mai de mult timp. dar prin primăvară mi-am dat seama că avem perioadă de trei cifre şi la împărţirea cu 27, care însă nu este prim. Totuşi, ca divizor el apare prima dată la numitorul 999, asta însemnând că şi el generează perioade de trei cifre (ce bun e calculatorul de pe telefon ca să verifici repede astfel de afirmaţii!).

Următoarea întrebare la rând este despre descompunerea lui 1111. În mod similar cu fenomenul de la şase de 1, preluat de la magia de mai sus, vom putea spune şi aici că 1111 = 11 · 101. Numărul 101 fiind număr prim, iar 11 apărând deja ca divizor la 99, deducem că factorul 101 este cel mai mic număr care generează perioadă de patru cifre.

Oare, care este cel mai mic divizor al lui 11.111? Aici m-a ajutat nevastă-mea, care din plictiseală (în timpul unei şedinţe) a abordat problema din altă parte. Astfel, ea lua numere ciudate şi le studia cu ce ar trebui să le înmulţească astfel încât să obţină produse numere scrise doar cu cifra 9, adică de tipul 99…9. Pe această cale la găsit ea pe 41 ca divizor al lui 99.999 (mai exact 11.111 = 41 · 271). În poza următoare găsiţi exemplificarea metodei chiar pentru 41. Am încercat să fac separat fiecare pas într-o imagine nouă, evidenţiind pasul nou cu roşu.  Prima cifră cu care începe un pas este cea roşie din mijloc, stabilită astfel încât să completeze suma pe coloana respectivă la 9; în funcţie de aceasta se stabileşte şi cifra din acel pas de la înmulţitor, iar apoi se revine în mijloc şi se completează produsul pasului respectiv. Finalul procesului este atunci când obţinem direct o sumă de 9, nemai fiind nevoie să o completăm cu nimic; această sumă directă de 9 este prezentată în forma finală cu albastru. Interesant, ce se mai poate face în timpul unor şedinţe prea lungi!

Rezumând, vom obţine perioadă de două cifre la 11, perioadă de trei cifre la împărţirea cu 27 sau 37, perioadă de patru cifre la împărţirea cu 101, perioadă de 5 cifre la împărţirea cu 41 şi perioadă de şase cifre la împărţirea cu 7 sau cu 13. Asta cu împărţitori cât de cât accesibili; pe 271 nu l-am băgat în seamă pentru că sigur nu vreau să îl folosesc, nici la clasă cu elevii, nici eu singur acasă (dar se poate verifica cu telefonul, de la 11.111 = 41 · 271).

Repet, desigur că toate aceste gânduri nu sunt menite să ajungă la elevi, nu sunt pentru ei. Acest studiu, ca o mică cercetare, a fost menit doar să ne ajute pe noi să găsim exemple diverse pentru elevi, cu împărţiri având la rezultat perioade mai lungi de o cifră, aşa încât elevii să priceapă din start acest aspect: că pot exista perioade de diferite lungimi, iar asta nu doar pe bază de încredere (doar aşa, că le spunem noi, iar ei ne cred “pe cuvânt”), ci chiar vieţuind asta, adică prin efectuarea unor împărţiri. Este important acest aspect, pentru ca elevii să nu se uite “ca mâţa-n calendar” la lecţia următoare, atunci când îi vom învăţa să transforme fracţiile zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare, şi unde acolo avem cu mare conştiinciozitate exemple cu perioade de diferite lungimi. Elevii nu trebuie să ştie mare lucru din studiu de mai sus. Ei trebuie doar să primească atât la clasă, cât şi la temă, câteva exemple cu perioade de alte lungimi, nu doar exemple cu perioade de o cifră. Dar, vedeţi câtă nebunie de gânduri stă în spatele celor câteva exemple din lista de exerciţii dată ca sugestie în finalul primei părţi.

Vedeţi acum şi de ce în prima parte a eseului am făcut acea ciudată delimitare pe categorii de dificultate a împărţirilor din primul semestru. Avem pentru început împărţirile la numere de o cifră la care se mai adaugă împărţirile foarte uşoare la 10 şi la 11. Aha, la 11! Deci, pe lângă perioadele de o cifră, le putem oferi împărţiri destul de accesibile cu perioada de două sau şase cifre. Apoi, am spus atunci şi deîmpărţiri cu şirul multiplilor accesibil sau parţial accesibil, aici intrând 15 sau 12 (care dau fracţie periodică mixtă) sau 13 (care dă fracţie periodică de şase cifre). Apoi vorbeam la început şi de împărţiri care s-ar mai putea face relativ uşor, cum sunt împărţirile la 101 (patru cifre la perioadă) sau la 41 (cu cinci cifre la perioadă). Cele mai greuţe mi se par împărţirile la 27 sau la 37 (care amândouă generează o perioadă de 3 cifre).

*

În cadrul acestui pasaj de împărţiri ce dau ca rezultat fracţii zecimale periodice, eu am pentru elevi şi două momente speciale. Primul ar fi cel ce l-am numit “poarta lui 7” cu două forme uluitor de asemănătoare: “poarta perioadei împărţirii la 7”, respectiv “poarta resturilor intermediare ale împărţirii la 7”. Am vorbit despre acest fenomen ciudat în postarea din 2020 de la adresa http://pentagonia.ro/poarta-impartirii-lui-7-studiul-grafic-pe-cercul-de-9-cifre/ şi vă rog să-l studiaţi în acest moment, ca să nu mai reiau acele idei. În pozele de tablă de la sfârşitul acestei a doua părţi vor apărea din nou exemple în acest sens.

Suplimentar la cele spuse atunci sau la cele ce apar în poze, vă propun şi un exerciţiu de cercetare descoperit personal la începutul acestei săptămâni în care scriu rândurile de faţă. De vreme ce la numărul 111.111 apar pentru prima dată ca divizori noi ai numerelor de tipul 11…1 numerele prime 7 şi 13 (11 apăruse înainte, ca divizor al lui 99), iar la împărţirea cu 7 avem perioada de şase cifre, deducem două informaţii: şi la împărţirea la 13 vom avea perioadă de şase cifre (am mai spus asta şi este foarte uşor de verificat cu telefonul), dar şi că la împărţirea cu 13 ar trebui să apară o reprezentare grafică similară cu poarta lui 7, un fel de “poarta lui 13”. Vă las pe dvs. să studiaţi şi să savuraţi veridicitatea acestor supoziţii. Atenţionez totodată că această asemănare absolut surprinzătoare între comportamentul împărţirii la 7 şi al împărţirii la 13 nu are decât cel mult o legătură de tip misticist cu faptul că 7 + 13 = 20, care reprezintă exact numărul degetelor unui om.

Un al doilea moment special ar fi cel doar amintit în eseul despre conflictul cognitiv. Pe acesta aş vrea să-l detaliez în următoarele rânduri. Astfel, elevilor le-am adus următoarea întrebare, ca dilemă cognitivă: dacă împărţim un număr (desigur impar) la 2 (adică la 21), vom obţine un cât cu o cifră zecimală; dacă împărţim un număr impar la 4 (adică la 22), vom obţine un cât cu două cifre zecimale; dacă împărţim un număr impar la 8 (adică la 23), vom obţine un cât cu trei cifre zecimale şi tot aşa mai departe (nici n-am mai precizat denumirea de fracţii zecimale finite). Acelaşi lucru se întâmplă la împărţirea cu puteri ale lui 5. Dimpotrivă, dacă împărţim un număr la 3 (desigur, unul nedivizibil cu 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică cu o cifră în perioadă; dacă însă împărţim un număr la 9 (desigur, la fel, unul nedivizibil la 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică tot cu perioadă de  o cifră; oare ce se va întâmpla la împărţirea unui număr la 33 = 27? Vom avea tot perioadă de o cifră sau vom avea perioadă de trei cifre? Sau poate o altă situaţie?

Această întrebare, evident destul de îmbârligată, ce necesită o concentrare bună, această întrebare clasele în ansamblu au înţeles-o. Aici a fost momentul când un elev a exclamat: “E aşa de palpitant că eu nu mai pot; vreau să aflu cum se întâmplă” (sau ceva de genul acesta, că desigur nu m-am oprit să-i notez vorbele). Prima parte a afirmaţiei era de mult lămurită; împărţirile la 3 şi la 9 erau proaspete (de ora trecută), aşa că nu aveam decât să facem o împărţire la 27.

Legat de afirmaţia de mai sus, despre cât ar trebui să cunoaştem noi ca profesori în plus faţă de ce le aducem elevilor, la una din clase s-a ivit întrebarea despre ce se întâmplă la împărţirea la 34 = 81. Vă las pe dvs. să studiaţi ce se întâmplă aici.

Nu am pretenţia că am lămurit subiectul cu totul, dar vedeţi câte gânduri se află în spatele unei banale lecţii, dacă vrei să respecţi mintea curioasă şi gândirea vie a elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor vin la lecţia respectivă cu împărţiri generând doar perioade de o cifră, cel mult două, prin aceasta contribuind din nou la înceţoşarea gândirii elevilor. Chiar şi dacă un elev ar întreba aici – mânat de o curiozitate naturală, dintr-o gândire trează – dacă profesorul nu ştie ce să-i răspundă, momentul este ratat (ca să nu mai spun că profesorul respectiv “s-a făcut de …”).

Pe de altă parte, nu cred că am exagerat în studiul meu, de vreme ce m-am dus doar până la perioade de şase cifre, corespunzând împărţirii accesibile la 7 (care e un număr de o cifră). Ce se întâmplă mai încolo chiar nu mă mai interesează.

Vedem însă cum această a doua parte a studiului despre predarea fracţiilor zecimale periodice se adresează în mare parte doar înţelegerii fenomenului de către profesor, astfel încât acesta “să-şi umple tolba” cu o varietate sănătoasă de exemple. Această a doua parte a studiului despre fracţiile zecimale periodice este adresată doar profesorului. De-abia cândva după ora următoare am putea “la o adică” să-i provocăm pe elevii cei mai buni (doar pe aceştia) cu o întrebare despre sursa diferitelor lungimi ale perioadelor. Poate fi o discuţie de câteva minute, care doar să atingă subiectul şi să sugereze de unde vin acestea, sau poate să vină ca un studiu de o oră extra, în cazul unei clase foarte bune, după parcurgerea materiei, cândva în ultimele ore înainte de vacanţa mare.

Închei aici cu un nou pachet de poze de tablă din lecţiile ultimului an, în care puteţi regăsi anumite aspecte discutate aici (nu neapărat exact în forma descrisă acum). Precizez că lecţiile respective s-au desfăşurat în regim de “eu la tablă iar elevii pe caietul lor”. De pildă, uneori scriam eu în faţă, apoi elevii trebuiau să meargă singuri înainte, fiecare în caietul său, iar apoi – după ce destul de mulţi terminaseră – făceam şi eu calculele pe tablă, atât ca verificare pentru cei care au făcut, cât şi pentru completarea notiţelor celor care nu s-au priceput. În partea a treia a prezentului studiu vom analiza lecţia inversă, anume transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare. C.Titus Grigorovici



Fracţiile zecimale periodice (1) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. Stimulat de strădania intensă, m-am preocupat totodată şi mai aprofundat despre ce se întâmplă în afara vieţii mele metodico-didactice, adică la alte şcoli.

Înţelegerea fenomenului fracţiilor zecimale periodice este profund legată de două teme premergătoare: algoritmul împărţirii numerelor naturale (de reluat cândva la începutul clasei a 5-a) şi înţelegerea fracţiilor zecimale finite (imediat precedentă, cu care face practic pereche în predare). La acestea s-ar mai adăuga una “de paranteză”, anume simplificarea fracţiilor. Toate vor apărea la momentul potrivit, aşa încât acestea trebuie bine lămurite înainte, atunci când le este vremea. Să le luăm pe rând.

În principiu, fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Fracţia ordinară echivalând de fapt câtul unei împărţiri, este foarte important ca elevii să stăpânească algoritmul împărţirii. Cum am mai spus, chiar dacă elevii le învaţă deja în clasele primare, este foarte bine să ne asigurăm cândva la începutul clasei a 5-a că toată lumea le şi ştie cum trebuie (unele învăţătoare “nu le chiar stăpânesc” cum trebuie). În acest context merită acordat măcar două ore pentru recapitularea, fixarea şi fluentizarea algoritmului de împărţire, la vremea respectivă încă sub forma împărţirii cu rest.

Important este să nu-i năucim atunci pe elevi cu împărţiri foarte grele, adică cu împărţiri la numere “tare complicate” (pentru cine n-a înţeles, precizez: lecţia trebuie să fie neapărat una pentru toată lumea, nu doar pentru cei mai buni din clasă). În acest sens, eu am următoarele categorii de împărţitori: (1) împărţiri la numerele de o cifră, la care putem presupune că elevii le cunosc “tabla înmulţirii”, adică şirurile de multipli (împărţiri la toate numerele de o cifră!); la acestea se pot alătura natural şi împărţirile la 10 sau la 11, care au cele mai uşoare şiruri de multipli, elevul având astfel oportunitatea să exerseze şi să conştientizeze primele împărţiri la numere de două cifre (dacă nu le-a făcut până acum, în clasa a 5-a); (2) împărţiri la numere ceva mai mari, ale căror şiruri de multipli se pot găsi destul de uşor, cum ar fi 15, 20; 25, 30, 40, 50; după exersarea acestora se poate trece şi la anumite extensii, anume înspre (3) împărţiri la numere ale căror şiruri de multiplii sunt parţial intuitive (12, 13) sau relativ uşor de generat (75; 125), sau altele aproximabile la unele deja cunoscute (14 < 15, 23 şi 24 < 25 etc.). Dacă elevii fac destule exerciţii cu împărţitori de două cifre, atunci vor fi suficiente doar câteva (două-trei) exemple cu împărţitori de trei cifre la clasă şi câteva acasă, încât algoritmul de împărţire să fie stabilizat şi bine înţeles.

O faţetă specială a acestei lecţii o reprezintă şi capacitatea de trecere de la împărţirea în scris la împărţirea în minte; despre asta am scris în articolul http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ . Pe lângă aplicabilitatea la descompunerea în factori a numerelor, abilitatea de a face împărţiri în minte le dă elevilor şi o mai mare siguranţă la împărţirile în scris, ce la va fi de mare folos la zona de împărţiri din semestrul II, la studiul fracţiilor zecimale. Atunci vom fi nevoiţi să luăm şi împărţiri mai urâte, iar o “relaţie caldă” cu algoritmul împărţirii ajută mult la buna concentrare pe fenomenul fracţiilor zecimale. Oricum, de la prima lecţie despre împărţiri împreună cu noua clasă, eu le spun elevilor că trebuie să o ia foarte în serios, pentru că împărţirea va fi unul dintre “firele roşii”, una dintre temele cele mai folosite de-a lungul întregii clase a 5-a. În acest sens facem un târg: eu nu le dau împărţiri grele, decât atâta cât e nevoie cu adevărat, iar ei în schimb fac toate împărţirile serios şi conştiincios.

Spuneam că fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Să discutăm puţin înainte despre “ce şi cum”, deşi această discuţie eu nu aş face-o apriori complet cu clasa (încă o dată: asta nu se discută înainte cu elevii, ci doar după).

Tehnic, dacă această împărţire are rezultat exact (adică dă fără rest, cum spun copiii), atunci fracţia respectivă este de fapt un număr natural. Dacă la finalizarea împărţirii întregi avem rest, atunci în continuare se poate întâmpla una din următoarele două variante: fie fie apar un număr finit de zecimale, după care împărţirea se termină, fie apare un număr de cifre care încep să se repete grupat, obţinând perioada. Desigur că există şi forma mixtă între cele două. Pentru a înţelege fenomenul, trebuie să vedem când se întâmplă fiecare din cele două variante, fracţia zecimală finită, respectiv fracţia zecimală periodică.

Pe scurt, dacă împărţitorul (numitorul fracţiei ordinare) este o putere a lui 2 sau o putere a lui 5 sau este compus doar din factori de 2 şi 5, atunci rezultatul va fi o fracţie zecimală finită. numărul de zecimale fiind egal cu exponentul puterii respective (sau cu cel mai mare dintre exponenţii celor două puteri, în cazul unui număr compus din 2 şi 5). La orice alt factor prim ce apare în structura împărţitorului (în format ireductibil desigur), fracţia zecimală va intra în periodicitate. Dar, vorba unui prieten, “dacă n-am spus, atunci mă repet!”: aceste aspecte nu le discut iniţial cu elevii; cu ei le vom descoperi pas cu pas, savurând procesul enigmatic ca pe un film, şi doar în final le vom sistematiza şi le vom repeta de câteva ori.

Să vedem cum funcţionează concret această abordare. Pentru început ar fi bine ca în prima zi să facem cu elevii (şi să le dăm ca temă) doar împărţiri la numere din prima categorie: 2, 4, 5, 8, 16; 20, 25, 50, 125, 200, 250, 500, 2000 (asta în cazul când deja am făcut împărţiri la 10, 100, 1000, văzând cum “se mută virgula”). În această primă etapă elevii învaţă noua “mişcare” doar în forma simplă, anume că lângă restul împărţirii întregi să coboare un zero  de după “virgula” deîmpărţitului întreg, să mai facă o împărţire parţială, apoi încă un zero ş.a.m.d. până ce se termină. Pentru că aici “lucrurile se termină”: copilul învaţă o nouă “mişcare”, dar în rest totul rămâne în zona lui de siguranţă. Cu alte cuvinte, introducem un item nou de cunoaştere, dar în rest îl lăsăm în zona sa de confort din punct de vedere a cunoaşterii. E bine şi sănătos aşa; prea mulţi itemi noi îi bulversează pe cei mai mulţi.

Elevii s-ar prinde dacă le-am da doar împărţiri cu aceşti împărţitori, aşa încât putem apela aici şi la o şmecherie (nici pe asta încă nu le-o explicăm). Le putem da şi situaţii la care împărţitorul are şi alţi factori, de pildă 3, dar la care fracţia ordinară corespunzătoare ar fi reductibilă cu 3. Astfel, factorul 3, care este unul generator de perioadă nu-şi poate face acest efect. Se pot obţine astfel împărţiri de tipul 21 : 6, care este de fapt echivalentă cu 7 : 2., sau 18 : 15 echivalentă cu 6 : 5, sau ceva mai complicatul 91 : 14 reductibil prin 7 la 13 : 2. Încă o dată, aceste aspecte le ţinem pentru moment secrete; elevii primesc doar exerciţiile şi se bucură că le pot face, savurând astfel procesul matematic.

Pentru a mai diversifica exerciţiile, putem să le dăm şi în forma de “transformaţi fracţiile ordinare în fracţii zecimale” şi în forma de “efectuaţi împărţirile”. Astfel de succesiuni de exerciţii pot ajuta şi la fixarea ideii că fracţia ordinară reprezintă de fapt o împărţire.

Prin această lecţie elevii trebuie să se obişnuiască pe noul tip de împărţire, diferit de împărţirea cu rest, iar pentru asta au nevoie măcar de o zi, adică de un set de oră la clasă plus temă singur acasă (desigur cu încă câteva repetări în orele următoare). Probabil că foarte mulţi profesori nu-şi iau acest timp, astfel încât în mentalul elevilor nu se înţelege profund şi nu se fixează definitiv noua formă de împărţire. Dovada palpabilă şi clar vizibilă a acestei “fuşăreli” apare peste o bucată bună de vreme, când intervine uitarea şi mulţi elevi fac împărţirea cu rest iar apoi pun restul “după virgulă”.

Ei, da, iar acum, odată aceste lucruri fiind lămurite, putem să venim într-o bună dimineaţă cu o nouă împărţire, având aerul că “mai facem două-trei exerciţii, aşa pentru încălzire”. De fapt, însă, vom veni cu o primă împărţire cu perioadă. Elevii încă nu ştiu ce urmează, va fi o surpriză destul de puternică, iar pentru asta nici măcar nu vom scrie titlul pe tablă; putem, ca “din greşeală” să lăsăm loc sau, mai bine, putem rezerva locul pentru titlu printr-o subliniere “goală”, astfel încât şi în caiete să le arate frumos, noi adăugând titlul la momentul când ne vom fi lămurit despre ce este vorba (Fracţii periodice).

Atrag atenţia asupra faptului că trebuie gestionat cu mare grijă primul contact cu aceste noi “bestii matematice”. Eu spun că lecţia precedentă se desfăşoară “pe marginea prăpastiei” şi de aia a fost aşa de important ca la acel moment elevii să nu se împiedice de o situaţie cu perioadă. Acolo, încă în lumea lor totul este “în bună regulă”; în curând însă se va dezlănţui o “furtună intelectuală” nebănuită. Este important ca aceasta să se petreacă în timpul orei de matematică şi nu acasă, astfel încât lucrurile să fie gestionate cu mână sigură de către profesor (din acest motiv am spus să luăm noua împărţire la începutul orei, ca să apucăm să lămurim existenţa acestor noi fenomene în timpul orei respective, adică şocul şi lămuririle să se întâmple sub supravegherea noastră). Putem privi lucrurile şi astfel: e bine ca lucrurile să se desfăşoare la clasă, regizate fiind pentru un cât mai mare impact emoţional sub strictul control al profesorului.

Ar fi o prostie să le dăm la sfârşitul orei sau să se ajungă încât să fie “descoperite” acasă, poate neintenţionat, adică elevul să se “împiedice” de o astfel de împărţire când nu este cu profesorul. Părinţii le-ar arăta direct cum se întâmplă, eventual bucuroşi fiind că-şi mai aduc aminte, dar de fapt spulberându-le elevilor bucuria descoperirii, emoţia procesului de întrare în contact cu această “civilizaţie extraterestră”, total nouă pentru ei. Pentru a preveni un astfel de scenariu ar fi bine ca tema de la lecţia cu fracţiile finite să fie destul de consistentă, încât să nu apară vre-un părinte cu ideea “hai s-ţi mai dau eu câteva” iar acolo să dea din greşeală şi o împărţire cu perioadă (măcar să minimalizăm pe cât se poate acest risc).

Nici culegerile sau manualele nu ne ajută neapărat în sensul respectiv, pentru că cele două lecţii – aşa cum le văd eu ca separate – sunt de obicei unite într-una. Degeaba eu mă opresc înainte de a apărea fracţiile periodice, că există oricând pericolul ca vre-un părinte mai ambiţios să zică “numai atâta ai avut temă?; hai, fă-le şi pe următoarele din carte!”, următoarele fiind deja cu rezultate periodice (vorbesc din experienţă).

Dar să revenim la detaliile trecerii la fracţiile periodice. Alegerea primelor noi împărţiri este foarte importantă. Confruntaţi cu o noutate, elevii au deseori obiceiul de a “vedea” diferite reguli ce nici măcar nu există. De pildă, dacă vom face doar împărţiri având perioada de o cifră, este absolut natural ca elevii să creadă că există doar astfel de rezultate. În acest context, trebuie neapărat să apară suficiente exemple cu perioadă de două cifre, cât şi măcar două-trei cu perioade mai lungi de două cifre.

Apoi trebuie să evităm pentru început să dăm prea multe exemple în care deîmpărţitul sau împărţitorul se regăsesc şi ca atare în perioadă [de felul 1 : 3 = 0,(3) sau 7 : 9 = 0,(7)]; pot să apară şi din acestea izolat, dar nu între primele pentru că se vor găsi unii elevi care să vadă aceste apariţii ca regul de scurtătură.

Sau, dacă vom da doar rezultate cu parte inteagă nenulă, elevii se vor speria când vor avea o împărţire corespunzătoare unei fracţii subunitare, de tipul zero virgulă ceva. Această ultimă observaţie este la fel de importantă şi în cazul lecţiei precedente, cu fracţii zecimale finite (această situaţie nu se putea rezolva natural la recapitularea împărţirii cu rest din semestrul I, ci îşi are locul mai potrivit doar la fracţiile zecimale finite). De fapt situaţia trebuia deja acolo clarificată prin sufieciente exemple la clasă şi la temă, astfel încât să nu mai reprezinte pentru nimeni o neclaritate acum, când ne pregătim să dăm faţa cu fenomenul periodicităţii (repet pentru ultima dată, elevii încă habar nu au despre ce vine spre ei, despre ce ciudăţenie urmează să se întâmple la începutul acestei ore, sub atitudinea plată şi inofensivă “hai să mai facem două-trei exerciţii (aşa doar de încălzire – această ultimă parte o las doar să se simtă)”.

Analizând lucrurile, pentru un impact maxim al introducerii acestei dileme cognitive, eu recomand aici exemplul: 17/3 = 17 : 3 (care este de fapt 5 întregi şi 2/3) = 5,(6), exemplul fiind cu numere mici şi totuşi toate diferite). Momentul când începe să se vadă că se tot repetă noi şi noi cifre de 6 la partea zecimală a câtului, acela este un moment foarte important. Elevii trebuie lăsaţi să repete şi să scrie pasul de suficiente ori astfel încât să vieţuiască clar şi convingător ce se întâmplă. Ei trebuie lăsaţi să trăiască din plin surpriza de proporţii în urma acestei noi situaţii, nemaiîntâlnite până acum. La început, rezultatul îl vom scrie de felul 5,6666… De-abia după câteva exemple, inclusiv măcar unul cu perioadă de două cifre, ne vom întoarce şi vom scrie sub acest tip de rezultat şi cele oficiale, de felul 5,(6).

Este evident că acest tip de surpriză, acest tip de moment de “Uau!” este stricat în cazul când părintele unui copil, sau mai degrabă profesorul particular îi arată înainte lecţia, pentru ca “elevul să ştie la clasă”. Din păcate foarte mulţi astfel de meditatori procedează în acest fel, habar ne-având ce pagube produc lecţiei de la clasă (cel puţin din punctul de vedere a unei astfel de abordări “artistice”, lecţia derulându-se cu suspans, ca un adevărat film).

Revenind la desfăşurarea lecţiei, după primul exemplu ce a prudus atâta uimire, chiar bulversare, se cer date imediat noi exemple (“mai aveţi dinastea?”, s-ar putea să întrebe unii elevi, plini de entuziasm). Acestea au menirea de a prelungii trăirea acestei uimiri spre o certitudine, dar şi menirea de a aduce ocazii ca elevul să vadă cât mai repede tot felul de astfel de ciudăţenii şi de a se obişnui cu existenţa lor. Pentru lămurirea cât mai rapidă a acestei dileme cognitive, eu recomand aici următoarele exerciţii, exact în această ordine:

23/9 = 23 : 9 = 2,(5)

295/9 295 : 9 = 32,(7)

2/3 = 2 : 3 = 0,(6)

22/3 = 22 : 3 = 7,(3)

4/9 = 4 : 9 = 0,(4)

13/6 = 13 : 6 = 2,1(6)

19/11 = 19 : 11 = 1,(72)

173/22 = 173 : 22 = 7,8(63)

7/12 = 7 : 12 = 0,58(3)

379/101 = 379 : 101 = 3,(7524)

18/7 = 18 : 7 = 2,(571428)

Exerciţiile le-am dat şi cu rezultate astfel încât să puteţi vedea dintr-o privire care-i logica alegerii acestora. Elevii nu le vor primi desigur aşa, ci doar a doua, eventual împreună primele două forme; în continuarea împărţirii vor aplica algoritmul şi vor scrie rezultatul în final (am explicat deja cum apare scris rezultatul şi cum le dau ulterior forma oficială). Important este să alegem în primul set de exerciţii o varietate destul de largă de rezultate, astfel încât la finalul acestei ore elevii să aibă o vedere destul de clară, completă şi realistă despre formele fracţiilor zecimale periodice.

Foarte important este să oferim elevilor pe lângă exemple cu o cifră în perioadă şi exemple cu perioadă de două cifre sau mai multe. Se pare că majoritatea profesorilor nu respectă această cerinţă, astfel încât elevii văd la oră multe fracţii periodice cu o cifră în perioadă, eventual printre acestea rătăcită ca din greşeală o situaţie cu două cifre în perioadă şi atât. Desigur că astfel elevii nici nu-şi vor putea imagina clar cum există situaţii cu mai multe cifre în perioadă (poate profesorul le spune că există, dar nu-i suficient). Cum înţeleg aceştia matematica atunci când profesorul vine cu partea de lecţie opusă, cea de transformare a fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare şi le vorbeşte despre situaţii de pildă cu trei cifre în perioadă şi un numitor de 999? Fie nu vor înţelege iar în mintea lor vor crede că sunt proşti, fie le va explica cineva ulterior cum stă treaba iar atunci vor înţelege că profesorul este slab, dezinteresat etc. (acum iar am fost răutăcios, dar să ştiţi că acesta a fost unul din motivele principale care m-au determinat să scriu prezentarea de faţă).

La sfârşitul orei, sau poate chiar la începutul orei viitoare, le putem prezenta denumirile de fracţie periodică simplă, respectiv fracţia periodică mixtă. Oricum, ora viitoare “se cere” o analiză a situaţiilor întâlnite (la clasă sau la temă), inclusiv despre apariţia fracţiilor periodice mixte, dar şi despre eventuala sursă a diferitelor lungimi ale perioadelor. Pentru elevii care calculează destul de rapid, sau poate ca temă, vă mai ofer câteva situaţii interesante:

257/88 = 257 : 88 = 2,920(45) având o perioadă de două cifre pornită de-abia după trei zecimale neperiodice (înţelegeţi acum clasificarea meticuloasă a împărţirilor de la început);

349/101 = 349 : 101 = 3,455445544…, care sugerează două scrieri diferite, atât ca 3,(4554) cu cei doi de 4 din perioadă despărţiti, cât şi ca 3,4(5544);

953/41 = 953 : 41 = 23,(24390) cu o perioadă de cinci cifre.

Mă opresc aici cu această primă parte a prezentării predării fracţiilor zecimale periodice, lăsându-vă să analizaţi şi să gândiţi toate aspectele deja evocate. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din acest an, pe baza cărora să vă puteţi face o imagine a unor aspecte evocate până acum, dar precizez că predarea din aceste poze nu a fost exact pe tipicul prezentat în eseul de faţă. Primele trei poze sunt de la o clasă, următoarele două de la cealaltă. C.Titus Grigorovici





Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (2)

La începutul lunii aprilie am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro; doar în urma unei scurte priviri asupra acestuia (mai puţin decât o lectură “pe diagonală”); mi-am dat însă atunci seama despre ce este vorba şi, considerându-l valoros, m-am grăbit să-i fac publicitate. Fiind foarte ocupat, nu am apucat să-l citesc în detaliu, decât peste o săptămână, după intrarea în vacanţa de Paşte. Toate ideile cuprinse în precedentul eseu – O analiză (1) – reprezintă gânduri stârnite doar de această primă şi scurtă privire asupra articolului respectic, mai mult însă a indignării în urma comentariilor văzute în final (când mai aveam scurte momente libere mintea îmi fugea tot la aceste aspecte). Precedenta primă parte a analizei se bazează pe acele gânduri. Păstrând spectrul ideilor, înainte de a trece la a doua parte, doresc să vă ofer următorul:

A.S. (ante scriptum) În paralel cu munca la această dublă analiză mă mai gândeam şi la o continuare a seriei (brusc întrerupte) despre ideile găsite în prefaţa culegerii din 1982 a Profesorului A. Hollinger, când – Surpriză! – spre finalul acelui text găsesc o trimitere la un mic set de trei demonstraţii prin arii la teorema lui Pitagora (în cadrul paragrafului 10.4 Demonstraţii bazate pe arii, pag. 95). Prima din cele trei “probleme” este următoarea:

10.4.4. Fie b şi c catetele şi a ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Se construiesc un pătrat cu latura b + c şi patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 61. Apoi se construiesc patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, aşezate ca în figura 62. Să se calculeze aria părţii din pătrat care rămâne neacoperită de triunghiuri şi să se compare rezultatele. Ce teoremă se obţine? (din motive tehnice am aşezat poza culcat)

Acest exemplu vine “la ţanc” pentru cei care ar considera disputa iscată de articolul iniţial ca fiind una între “matematica lor, a celor din vest” şi “matematica noastră”. Nici vorbă de aşa ceva. Textul şi pozele de mai sus sunt luate din culegerea profesorului A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982. Nu am la îndemână manualele dânsului, însă bănuiesc că demonstraţia respectivă se găseşte şi acolo.

Dar să revenim la analiza noastră. Pe când începusem să lucrez la redactarea acesteia am văzut că de fapt articolul era preluat de pe blogul CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale (iată adresa articolului iniţial: https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ ). Lecturându-l cu mai apăsată atenţie, am găsit multe aspecte noi ce ar merita discutate. În acest sens permiteţi-mi să reiau integral articolul respectiv, dar să-l întrerup din când în când cu comentariile şi accentuările mele personale (citatele din articolul CEAE sunt scrise înclinat, iar comentariile mele intercalate neînclinat).

*

Cum este demonstrată Teorema lui Pitagora într-un manual german de matematică. O comparație cu România

Îmi exprimam părerea în prima parte a analizei că ar fi de evitat astfel de comparaţii (chiar din titlu), care pot stârni ego-ul în sufletul unor colegi. Din acest motiv, discuţia ar trebui să se mute din zona “nemţii au cele mai bune maşini şi cele mai tari autostrăzi, dar noi avem cea mai tare matematică din lume”, într-o zonă mai pragmatică pentru noi, anume în zona argumentelor psihopedagogice, în zona nevoilor şi a posibilităţilor fiecărei vârste şcolare, de fapt într-o zonă metodico-didactică realistă. Pura întâmplare m-a ajutat să pot face repede divagaţia spre americani, dar de fapt noi ar trebui să ieşim din starea de a lua lucrurile de-a gata de la străini (alteori ne apucă cu finlandezi sau cu britanicii etc.), şi să începem să decidem raţional ce este nevoie cu adevărat pentru a vindeca predarea matematicii în şcolile româneşti (mai ales în ciclul gimnazial, unde materia este obligatorie pentru toţi elevii, neselectaţi oficial; astfel, noi ar trebui să punem un mai mare accent pe satisfacerea în mod echilibrat a nevoilor tuturor categoriilor de elevi). Asta nu înseamnă să nu ne uităm la ce fac ceilalţi, pentru că şi de acolo ne pot veni idei bune: ne uităm şi la unii şi la alţii, analizăm, judecăm, dezbatem, iar după o vreme poate reuşim să luăm decizii mai bune. Importante sunt criteriile pe baza cărora decidem (în anii ’80 criteriile au fost de performanţă pentru olimpiade şi rigurozitate teoretică, iar acestea nu au fost clar şi oficial abandonate nici în ziua de azi; prima categorie s-a transformat doar cu numele, în excelenţă, pe când a doua a suferit o serie de amputări, actualmente ajungându-se într-o ciudată degringoladă). Dar să revenim la articolul nostru:

Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Așa sună una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, pe care mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu: a² + b² = c².

Trebuie să apreciez în această intervenţie textul teoremei, adică enunţarea relaţiei fără folosirea cuvântului “lungimea”. Despre acest aspect am scris pendelete în postarea din 22 februarie 2019, de la adresa http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ (cu atenţionarea că de fapt sunt trei articole în cascadă). Eseul respectiv conţine inclusiv elemente evocate mai jos. Să continuăm cu articolul CEAE:

Teorema lui Pitagora a primit de-a lungul timpului numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice, foarte frumoase. Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte, cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă, iar în eventualitatea în care o uită au la îndemână o cale rapidă pentru a o determina din nou.

Autorul articolului precizează clar (numai să avem “ochi să vedem şi urechi să auzim”): el ne vorbeşte despre numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice (aha, deci există demonstraţii geometrice şi demonstraţii algebrice!), acestea foarte frumoase (adică atractive pentru sufletul şi mintea elevului). Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte (aici, afirmaţia aproape se atinge cu cele spuse de Profesorul Hollinger în prefaţa ultimei sale culegeri), cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă,(…)

Da, socrul meu avea prin anii ’90 un elev care ştia să turuie textul teoremei lui Pitagora cu o viteză de invidiat, dar habar nu avea despre cum să o folosească în calculele din probleme: “Măi, păi ştii sau nu teorema lui Pitagora?”. “Ba da!” răspundea acesta şi începea să o turuie de la capăt. În primul aliniat chiar este folosită expresia “mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu”. În acest sens trebuie să precizez că eu nu le cer elevilor să ştie pe de rost textul teoremei. Revenim la citatele articolului CEAE:

Există pe YouTube o serie de animații și de experimente filmate, în care copiii pot vedea imediat cum suma ariilor pătratelor care au ca laturi catetele a și b este egală cu aria pătratului care are ca latură ipotenuza c. Acest lucru poate fi făcut, de exemplu, împărțind pătratele în pătrate mai mici, colorate, egale ca dimensiune. Copiii le pot număra și pot constata ei înșiși relația de egalitate.

Apreciez şi savurez din plin faptul că autorul/autorii articolului au trecut textul teoremei din zona numerică (pătratul lungimii ipotenuzei) în zona fenomenologică a ariilor (aria pătratului ipotenuzei), mult mai “vizibilă” pentru ochiul ne-experimentat al elevului mediu. Trec astfel peste faptul că au încărcat textul cu alte cuvinte (“aria pătratului care are ca latură ipotenuza c” în loc de “aria pătratului pe ipotenuza c, sau chiar “aria pătratului ipotenuzei c), punând acest gest pe faptul că au vrut să accentueze clar la adresa cititorilor mutarea de accent. Elevilor putem să le dăm desigur o variantă cât mai simplă, cât mai scurtă deci, pentru că oricum vor fi mulţi înclinaţi (sau puşi de către părinţi) să înveţe textul pe de rost. Şi dacă ei învaţă textul ca o poezie, noi trebuie să venim în întâmpinarea lor, astfel încât mintea lor să poată face cât mai uşor conexiunea cu cele văzute. În acest sens, cuvintele ne-esenţiale trebuie reduse la maximum. Să revenim la articolul analizat, unde găsim un magistral exemplu de predare prin problematizare:

Într-un experiment de pe YouTube, vedem o dovadă experimentală că Teorema lui Pitagora este adevărată. Ea este făcută cu ajutorul apei și ea poate reprezenta un bun punct de plecare al unei lecții despre Teorema lui Pitagora, pe care profesorul o poate începe cu o întrebare. De ce credeți că se întâmplă asta? Ceea ce văd elevii că se petrece în experiment îi nedumerește/ contrariază și îi face curioși să afle de ce se întâmplă așa lucrurile. Mai mult, își vor reaminti cu plăcere experimentul și peste 10-20 de ani. (aici este ataşat filmuleţul  de pe youtube, de la următoarea adresă https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o )

Să lămurim deci această sugestie: dacă împărţirea pătratelor construite pe laturile triunghiului în pătrăţele egale (de pildă cum am făcut eu cu pătrăţele de ciocolată) ne sugerează egalitatea din teorema lui Pitagora pentru lungimi întregi, varianta din filmuleţul cu apă ce echivalează pătratul ipotenuzei cu pătratele catetelor se eliberează de spectrul lungimilor numere întregi (adică a tripletelor pitagorice) şi deschide poarta pentru un pas intuitiv spre orice lungimi la laturile triunghiului dreptunghic. Chiar dacă nu-şi dau seama pe loc de acest pas, se prea poate ca unii din elevi să realizeze ulterior ce s-a întâmplat. Aici ariile nu mai sunt împărţite în pătrăţele, ca un fel de unităţi de măsură, ci “curg” în mod continuu între cele două situaţii echivalente (apa din pătratele catetelor curge efectiv în pătratul ipotenuzei). Situaţia rămâne însă în spectrul vizualizării simple, fără a avea pretenţia unei demonstraţii adevărate.

Pe vremuri am avut tentativa de a construi pe o planşă pătratele din exteriorul unui triunghi dreptunghic, mărginite cu o bordură de carton mai gros, de cca. 1-2 mm. Apoi puneam cât mai dens un strat de boabe de orez în interiorul pătratelor catetelor. În final luam toată această cantitate de orez şi o rearanjam în pătratul ipotenuzei, justificând astfel în mod vizual practic afirmaţia din teorema lui Pitagora (merge şi altfel: umplem toate pătratele, iar apoi comparăm cantităţile, fie numărând boabele, fie cântărindu-le). Boabele mele de orez reprezentau astfel o trecere de la pătrăţelele în care sunt descompuse cele trei mari pătrate (reprezentând numerele întregi), către forma lichidă (reprezentând chiar şi mărimile iraţionale). Nu pot să susţin că am fost foarte entuziasmat de experimentul respectiv (consumă foarte mult timp), dar acum acesta capătă o relevanţă interesantă. Să revenim însă la articolul CEAE:

Urmează pasul 2 – demonstrarea Teoremei lui Pitagora. Un exemplu interesant de demonstrație este cel găsit într-un manual german de matematică de clasa a IX-a, publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg.

Dacă aţi ratat momentul vă atenţionez eu acum: demonstraţia respectivă apare într-un manual pentru clasa a 9-a. Aha! Numai puţin, să ne lămurim: Ei numără clasele începând de la prima (noi avem mai întâi clasa pregătitoare), adică de la intrarea la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani, cum ar fi şi normal. Aşadar, clasa lor a 9-a corespunde ca vârstă clasei noastre a 8-a, cu deosebirea că ei nu au după acest an examen. Astfel, înţelegem că diferenţa este de doar un an, adică noi facem teorema lui Pitagora doar cu un an mai repede (dacă nu luăm în considerare experimentul ciudat din finalul clasei a 6-a). Dar oare, acest manual nu reia doar teorema lui Pitagora? Ei mai fac uneori recapitulări din anii precedenţi.

Mai există însă un aspect de care ar trebui să ţinem cont: după încheierea ciclului primar, ei au două tipuri de şcoli: Gymnasium (şcoli pentru elevii mai buni, din care se vor selecta cei care vor merge şi la facultăţi, cuprinzând clasele 5-12) şi Realschule (şcoli pentru elevii mai puţin înclinaţi spre învăţătură, din care se va forma viitoarea “clasă muncitoare”, încep tot în a 5-a, dar nu ştiu clar când se termină; este interesant că la ei cuvântul real reprezintă faptul că şcoala este mai apropiată de realitatea vieţii cotidiene, pentru elevii mai practici, dar neînclinaţi spre învăţarea teoretică; la noi cuvântul real înseamnă cu totul altceva).

Ca o paranteză la discuţia noastră, selecţia pentru cele două “filiere” se face la finalul clasei a 4-a, exclusiv pe baza caracterizărilor făcute de către învăţători, caracterizări deosebit de obiective, profesionist organizate pe itemi clari, cuprinzând o analiză detaliată şi verificabilă a multor aspecte din evoluţia şi din capacităţile dovedite de fiecare elev în parte. Familiile elevilor nu au nici cel mai mic cuvânt de spus în această selecţie: copilul este repartizat în urma studiului obiectiv şi gata.

Pe baza informaţiilor oferite, noi nu ştim în acest moment pentru care tip de şcoală este manualul din care sunt preluate imaginile din articolul CEAE. La o analiză serioasă a subiectului, aceste aspecte ar putea avea o oarecare relevanţă. Poate că în manualele pentru Gymnasium teorema lui Pitagora se face în clasa lor a 8-a, pe când la Realschule de abia în a 9-a. Este clar că o comisie care ar face o astfel de analiză cum vorbeam mai sus, ar trebui să ia în calcul toate aceste aspecte.

Pe de altă parte, de vreme ce discuţia alegerii unei demonstraţii la teorema lui Pitagora ne interesează oricum pentru clasa a 7-a, aspectul filierei manualului din Germania îşi pierde importanţa: în clasa a 7-a noi încă nu am selectaţi elevii, aşa încât trebuie să venim cu o demonstraţie cât mai accesibilă majorităţii (elevului mediu, cum spunea Hollinger). Dar, să revenim la articolul CEAE:

Se construiește un pătrat cu latura de lungime a + b și se desenează apoi patru triunghiuri dreptunghice, cu catetele a și b ca în figura din mijloc. Plecând de la această imagine, copii sunt puși să se gândească cum ar putea demonstra Teorema lui Pitagora mutând poziția triunghiurilor; desigur, nu li se arată imaginea din dreapta când li se cere acest lucru.

Mai întâi, ei observa că spațiul alb care rămâne în figura din mijloc este reprezentat de un patrulater cu laturile egale, de lungime c. Arătăm că este vorba despre un pătrat, demonstrând că are un unghi de 90 de grade – este vorba despre unghiul δ. Astfel, scădem din unghiul de 180 de grade suma unghiurilor α și β, despre care știm (pe baza proprietăților triunghiului dreptunghic) că este de 90 de grade. Se pot face demonstrații similare și pentru celelalte 3 unghiuri ale patrulaterului cu latura c. Prin urmare, acesta este un pătrat, iar suprafața sa este c².

Ulterior, elevii trebuie să se gândească cum ar putea să mute triunghiurile a.î. să rezulte două pătrate de laturi a și b. După ce se translatează trei din cele patru triunghiuri dreptunghice, ele vor ajunge în pozițiile pe care le vedem în cea de-a treia figură. Vom obține astfel două pătrate mai mici, având ca laturi cateta a, respectiv b. Suprafața totală a spațiului alb rămâne aceeași ca în figura din mijloc. De această dată nu vom mai avea însă un singur pătrat, ci două, cu suprafețe mai mici. Există și alte moduri de translatare a triunghiurilor a.î. să se obțină cele două pătrate de laturi a și b.

Așadar suma suprafețelor celor două pătrate, a² + b², este egală cu suprafața pătratului mare, c². Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor.

Intervin aici întrerupând articolul CEAE cu o scurtă idee practică: cred că îmi voi construi din carton o astfel de machetă pe care elevii să poată translata cu adevărat triunghiurile; mai exact, cred că voi face mai multe seturi, astfel încât să-i pun să lucreze pe grupe.

În altă ordine de idei – pentru cei care-mi lecturează constant articolele – mai ţineţi minte afirmaţia d-ne Birte Vestergaard? Elevii buni la matematică vor avea bucuria că “eu am descoperit asta!”, pe când cei slabi se vor bucura că “eu am înţeles asta!”. Elevilor buni trebuie să le oferim ocazia să descopere demonstraţia (iar pentru asta trebuie să-i pui să cerceteze, adică să predai prin problematizare; iar dacă o faci pe grupe, mai mulţi elevi vor avea ocazia de a se implica, de a descoperi chiar ei), iar în final elevilor mai slabi trebuie să le-o explicăm, oferindu-le şi lor ocazia să înţeleagă demonstraţia (Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor).

Uau! Vedeţi? Nu trebuie neapărat să preluăm idei doar din “străinezia”; şi la noi sunt oameni care spun lucruri de valoare; trebuie doar să avem aplecarea să-i ascultăm cu atenţie. Dar dacă auzim aceleaşi lucruri spuse şi de unii şi de alţii, atunci este cu atât mai convingător. Să revenim la studiul nostru:

În Germania, lecția despre Teorema lui Pitagora este predată conform paradigmei constructiviste. Pentru a o demonstra, elevii pleacă de la ceea ce știau de dinainte – cum se determină aria pătratului. Astfel, ei nu vor trebui să memoreze că a² + b² = c², fără să o înțeleagă (cum se întâmplă în cazul unora dintre ei – dintre elevii noştrii). Dacă vor uita formula peste ani de zile, vor putea să ajungă într-un mod logic și intuitiv la ea.

Da! Da! Da! De curând m-am uitat într-un “manual auxiliar” pentru clasa a 6-a (deci nu într-un manual oficial). Ideea de a demonstra (aşadar primele demonstraţii), de a justifica măcar superficial un rezultat cuprins ca teoremă (mediana pe ipotenuză, cateta opusă unghiului de 30o, sau reciprocele), această idee lipseşte cu desăvârşire acolo (unele nu au nici măcar figură alăturată pentru a susţine înţelegerea elevilor). Acea “lecţie” despre triunghiul dreptunghic (din finalul clasei, deci care ar fi putut conţine anumite justificări în loc de demonstraţii), aceasta este doar o colecţie de texte de învăţat pe de rost, fără orice urmă de înţelegere pentru elevi. Lecţia respectivă se încheie cu teorema lui Pitagora, ce le este dată elevilor exact cum este spus mai sus: în orice triunghi dreptunghic, avem a² + b² = c²! Atât, nimic mai mult!

“Care-i problema?”, veţi spune, fiind vorba despre un auxiliar. Când însă manualul folosit de clasa respectivă este şi mai slab, existând recomandarea explicită a profesoarei de la clasă de a nu-l folosi (dar, am verificat şi eu pe concret, şi chiar e de toată jena!), atunci auxiliarul capătă o importanţă mult mai mare şi ar trebui să acţioneze ca “o plasă de siguranţă” pentru formarea gândirii elevului (mai ales că profesoara respectivă obişnuieşte a-i pune pe elevi să copieze lecţia din carte!).

Simt aici un fenomen ciudat: pe de-o parte, ca autori de manuale, unii colegi se simt obligaţi să dea demonstraţii cât mai elevate, cât mai sofisticate, în ultimă instanţă cât mai grele, accesibile câtor mai puţini elevi; pe de altă parte considerăm demonstraţiile total nerelevante (pentru lecţia de zi-cu-zi, de pildă în pregătirea evaluărilor, a examenelor etc.), aşa încât, dacă avem libertatea, cum ar fi în cazul redactării unor auxiliare, atunci eliminăm cu totul ideea de a demonstra un rezultat important (“trebuie să-i înveţe textul, că doar am scris că-i teoremă”). Oare, o variantă de mijloc nu ar fi mai sănătoasă? Să revenim la articol. Aşadar:

Cum este abordată Teorema lui Pitagora în România?

Imaginea folosită în manualul de matematică, de clasa a VII-a, publicat de Intuitext, are legătură cu viața reală – o scară sprijinită de o casă, pe care niște copii trebuie să se urce pentru a ajunge la un cuib de păsări. Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Sara reușește să calculeze rapid lungimea scării, folosind formula făcută în clasa a VI-a (c² = a² + b²). În acest manual, se face și demonstrația teoremei – pentru aceasta se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate (adică avem de-a face tot cu calcul algebric).

Acest aliniat – analiza situaţiei din manualul Intuitext – are mai multe aspecte ce merită analizate. Ideea de a porni de la o situaţie practică este deosebit de bună, dându-i elevului o oarecare justificare a utilităţii elementelor de învăţat. Aparent şi aceasta este o altfel de situaţie, doar că nimeni nu va calcula ce lungime trebuie să aibă scara, cu un rezultat de   m. În situaţia respectivă, cu înălţimea până la streaşină de 5 m, era evident că este nevoie de o scară mai lungă de atât. Şi cât mai lungă? Păi, nu-ţi face nimeni o scară pe măsura nevoilor de moment. Cum arată şi desenul, probabil că este nevoie de o scară de 6 m (care trece puţin de straşină). Aşadar, punerea problemei se vrea practică, dar se vede că autorii nu prea au experienţă despre ce înseamnă practică pentru omul de rând.

Însă, oricum, Sara – deşteapta clasei – nu se împiedică de astfel de aspecte. Eu mă întreb, oare câte eleve cu numele de Sara au fost luate la mişto de către colegi în urma acestei situaţii în diverse clase din ţară? Oare, nu-i dă nimeni în judecată pe aceşti autori, sau pe alţii pentru posibila generare de situaţii favorizante de bullying? N-am nimic cu folosirea numelor, dar Sara asta “se cam dă deşteaptă” în faţa colegilor săi. Imaginaţi-vă diverse scenarii posibile într-o clasă, în care o oarecare Sara mai bună la învăţătură este catalogată drept tocilară.

În altă ordine de idei, aliniatul respectiv cred că are şi o greşeală din partea autorilor de la CEAE, anume afirmaţia că la demonstrare se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a. Nu trebuie să şi-o amintească din clasa a 6-a, pentru că nu se face atunci. Trebuie să şi-o amintească doar din lecţia precedentă. Greşeala este totuşi insignifiantă la nivelul întregului articol.

Toate acestea sunt însă detalii; un aspect mai important ce ar trebui discutat este afirmaţia ce am îngroşat-o, anume că Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare ce a vrut să spună autorul articolului de la CEAE? În altă ordine de idei, despre abordarea intuitivă a materiei am vorbit cu diferite alte ocazii. Punctez doar faptul că şi aici este amintită: Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate.

Finalul aliniatului respectiv – adică avem de-a face tot cu calcul algebric – aduce însă, chiar şi în paranteză, un aspect total neglijat în România ultimilor 40 de ani, anume că la noi matematica este trasă tot mai mult în zona algebrică a gândirii, în detrimentul gândirii geometrice (gândirea numerică, algoritmică faţă de gândirea spaţială, pe bază de forme).  Ce vrea să spună această afirmaţie? “Doar, aici facem geometrie!”, veţi spune.

Nu-i chiar aşa de simplu. Acesta este un subiect mult prea vast pentru a-l aborda acum, dar pot să dau aici un indiciu: în lucrarea americană evocată în prima parte a analizei, demonstraţia despre care ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik este demonstraţia cu numărul 82 din capitolul cu demonstraţii algebrice! Da, demonstraţia respectivă este privită ca demonstraţie algebrică. După ce “digeraţi” acest fapt, puteţi să recitiţi întregul articol CEAE. Păi, dacă acea demonstraţie a fost considerată “algebrică”, atunci demonstraţia folosind factorul comun şi teorema catetei (cea uzuală la noi), cu atât mai mult este una algebrică.

Chiar şi în aliniatul următor este reluată ideea, fapt ce dovedeşte cumva înclinaţia noastră spre algebrizarea oricărei demonstraţii. La noi, o demonstraţie este cu adevărat de băgat în seamă doar dacă este redactată într-un limbaj cât mai algebric. La noi doar limbajul algebric este considerat cel adevărat matematic. Dar să continuăm cu articolul CEAE:

În manualul de la Editura Litera, sunt folosite figuri asemănătoare cu cele din manualul german, prezentate mai sus, copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Mai mult, raționamentul este complicat și se merge tot pe calcul algebric. Pașii raționamentului sunt făcuți acum în sens invers, începând cu triunghiurile deja translatate (a se vedea imaginea din dreapta din manualul german). Dacă elevii urmăresc calculul din filmulețul de la pagina 201 a manualului, există riscul pentru o bună parte dintre ei să piardă cu ușurință firul explicației.

Time out! Trebuie să intervin din nou. Părerea mea este că autorul articolului CEAE a fost deosebit de politicos, abordând un ton extrem de conciliant. Uitaţi-vă, vă rog, din nou la demonstraţia din manualul acestei edituri şi analizaţi-vă gândurile, anume ce efort trebuie să faceţi ca să înţelegeţi mersul lucrurilor. Uitaţi-vă apoi la imaginile demonstraţiei prezentată din “manualul nemţesc”. Apoi, după ce aţi citit cu atenţie, vă las pe dvs., onoraţii cititori, să judecaţi. De ce trebuie transformată într-o formă atât de complicată, cu calcule algebrice, o demonstraţie geometrică vizuală (pur geometrică!!!), care este deosebit de intuitivă? De ce?

Ce ne facem cu acest impuls năucitor din mintea unor colegi, de a complica lucrurile atât de mult, cât mai mult dacă se poate? Asta înseamnă a face matematică? În momente ca acesta apare absolut natural impresia că “se doreşte” a se complica lecţiile cât mai mult, doar-doar vor fi cât de puţin elevi care să înţeleagă matematica (oculta pseudo-ştiinţifică mioritică?). Eu personal recunosc aici: nici nu am avut răbdare la început să analizez demonstraţia respectivă în cele mai mici detalii. Păi atunci, cum ar avea răbdare un elev să o facă? Elevul ar trebui să o poată înţelege de unul singur, că de aia este făcut manualul, nu ca să vină în paralel cineva acasă şi să-i explice ce scrie acolo.

Acest aliniat mai are un pasaj important: copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Acest aspect este de o fineţe deosebită din punct de vedere metodico-didactic. Noi trebuie astfel să predăm încât mintea elevului să “aibă loc să mişte” relativ liber. Doar aşa elevul se va obişnui încet, tot mai mult să gândească. Doar atunci elevul va avea sentimentul că gândurile respective sunt şi “ale sale”. Dacă nu-i lăsăm defel “spaţiu de mişcare”, ci îl obligăm să înveţe o demonstraţie mot-a-mot (cuvânt cu cuvânt), atunci elevul va resimţi gândurile respective ca străine şi automat va fi înclinat să le refuze. Sau dimpotrivă, un alt elev poate se va obişnui doar să înveţe pe de rost o teorie, nedezvoltând însă abilităţi de proprie judecată şi gândire (cu ambele alternative ne întâlnim des, deşi este clar că acestea nu duc la situaţii dezirabile). Dar, să terminăm “de lecturat” articolul de pe blogul CEAE:

Remarcăm în ultima vreme efortul mai multor autori de manuale de matematică din România de a pleca de la situații din viața reală sau de a se raporta la acestea, însă adeseori demersurile au loc la un nivel formal. Acest lucru se întâmplă pentru că nu s-au făcut suficienți pași pentru a schimba semnificativ paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu (în loc să devină inductive, cum se întâmplă în tot mai multe țări europene, abordările la noi sunt încă preponderent deductive și calculul algebric are în continuare o pondere importantă). Prin urmare, pentru un procent semnificativ dintre elevi, matematica înseamnă memorarea și reproducerea formulelor de calcul și aplicarea algoritmilor de rezolvare de probleme. Or, matematica ar putea să contribuie mai mult în a le dezvolta copiilor o gândire structurată și logică.

Pentru cine a ratat momentul de la început, precizez din nou cum trebuie citite afirmaţiile din paranteză: paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu ar trebui să devină una inductivă, nu pentru că aşa se întâmplă în tot mai multe țări europene, ci pentru că aşa este potrivit psihologiei vârstelor gimnaziale (pentru o întreagă populaţie şcolară, până la 14-15 ani), dar şi mai târziu. Legat de afirmaţiile din ultimele două fraze nici nu mă gândesc să le analizez acum. Acestea sunt atât de valoroase încât merită fiecare câte un eseu separat de discuţii şi analize.

Dar, cine trebuia să facă paşii pentru schimbarea paradigmei utilizate în predarea matematicii gimnaziale? Profesorii, fiecare pentru el? Nu prea cred. Nişte oameni care în ultimele câteva zeci de ani au trăit doar într-o paradigmă şi într-o stare generală de executanţi ai politicilor educaţionale venite “de sus”, aceştia sigur nu vor fi în stare să contribuie în mod sănătos la o schimbare de paradigmă ca cea evocată în ultimul aliniat. Scurtele indicaţii (foarte valoroase de altfel) din programa 2017 nu au forţa de a duce la o schimbare de paradigmă.

Merită să scot în evidenţă aici un aspect relativ nou: geometria sintetică a fost scoasă din licee prin 1997 (orientativ). Ca urmare, avem deja prin şcoli colegi profesori care au cam încheiat-o cu geometria după clasa a 8-a. Aceştia nu au mai apucat să reia şi să aprofundeze geometria (atât cea plană, cât şi cea în spaţiu) la un nivel mai matur. Iar în facultate sigur nu au mai reluat aceste aspecte. Aceşti colegi mai tineri cunosc doar forma deductivă şi algebrizată până în “măduva oaselor”. Cum să-şi schimbe aceştia predarea? În general, cea mai mare parte a profesorilor sub 45-50 de anu nu au prins predarea inductivă nici ca elevi. Pe baza a ce să poată ei acum face o schimbare de paradigmă?

Eu mă lupt de 25 de ani să înţeleg aceste lucruri, să îmi modific propria paradigmă de predare şi văd cât este de greu (eu, cel care vreau să mă schimb, în luptă cu mine, cel ce vine cu apucăturile profesionale vechi). Pentru o adevărată conştientizare, părţi din acest ultim aliniat citat ar trebui să devină obligatoriu de lecturat zilnic, de către toţi profesorii. Totuşi, la fel ca autorii articolului din CEAE, nici eu nu-mi permit să dau sfaturi despre cine ar trebui să se ocupe de această modificare de paradigmă (pentru ca lucrurile să se şi întâmple cu adevărat şi în mod sănătos), dar sigur treaba asta nu poate fi lăsată pe seama profesorilor de la clasă.

*

Acesta a fost articolul apărut pe blogul CEAE, însoţit şi întrerupt de câteva “scurte” comentarii personale. Dacă în prima parte a analizei mi-am spus punctele de vedere mai mult stârnite de comentariile la reluarea articolului pe edupedu.ro, în această a doua parte a analizei mi-am exprimat punctele de vedere direct la afirmaţiile din articolul iniţial.

Da, acum chiar cred că mă opresc cu analiza (la cât de lungă a ieşit, chiar poate fi clasificată ca exagerare – cu totul sunt aproape 16 pagini A4 doar text, scris cu 12), dar vreau să aduc aici şi o mică propunere: demonstraţia din manualul nemţesc ar putea fi folosită clar pentru includerea teoremei lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a, statutând astfel totodată şi folosirea acestei teoreme în calculele pentru determinarea segmentelor necesare la arii sau perimetre. În ultimii ani am putut observa cum foarte mulţi profesori se feresc încă a folosi teorema lui Pitagora în acest capitol, deşi la ora actuală este cunoscută de la sfârşitul clasei a 6-a, cel puţin ca aplicaţie încă nedemonstrată. Atunci, de ce mulţi profesori încep să o folosească în probleme de-abia în primăvară după ce teorema apare şi cu demonstraţie (după asemănarea triunghiurilor şi teorema catetei). Poate, dacă ar şi avea-o de demonstrat prin arii, colegii s-ar “aventura” să o şi folosească la clasă chiar din capitolul despre arii. Sau, poate, un “ordin de sus” în acest sens ar rezolva mai eficient situaţia. Fără teorema lui Pitagora, capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a este sec, doar cu aplicaţii grele, potrivit elevilor mai buni, în continuare înjositor pentru elevii de rând.

Revenind la demonstraţia cu cele patru triunghiuri în interiorul unui pătrat, trebuie să mai precizez ceva: dacă undeva înaintea acesteia, într-o oră precedentă de aplicaţii la patrulatere, s-ar face problema care cere demonstrarea faptului că figura cuprinsă între cele patru triunghiuri este tot un pătrat (adică un romb – congruenţa triunghiurilor, dar cu cel puţin un unghi drept, deci pătrat), atunci demonstraţia respectivă la teorema lui Pitagora devine chiar una doar orală, având drept urmare un nivel de accesibilitate deosebit de bun la toţi elevii.

Schimbând puţin linia discuţiei, merită precizat că aici nu este vorba despre “care demonstraţie o facem pentru teorema lui Pitagora?”. În mod excepţional teorema lui Pitagora ar trebui eliberată de paradigma generală a “cursului euclidian” (fiecare teoremă cu demonstraţia ei, ca urmare deci la fiecare teoremă doar o singură demonstraţie), permiţând profesorilor să predea – iar elevilor să cunoască – diferite şi diverse demonstraţii. Cea evocată din manualul nemţesc ar merita să fie prima din clasa a 7-a, dar sunt multe altele ce pot veni în continuare ca aplicaţii la noile lecţii. În această categorie s-ar încadra şi demonstraţia pe baza teoremei catetei, dar şi multe altele.

Am rămas însă cu o datorie legată de comentariile la articolul de pe blogul CEAE: oare ce a vrut să transmită autorul în aliniatul în care comenta situaţia din manualul Intuitext, când a spus cu referire la felul în care decurge raţionamentul: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului.

Ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv? Eu m-aş încumeta să încerc un răspuns (chiar îmi stă pe limbă), dar nu am nici cea mai mică garanţie că aşa este. Prefer de data asta să tac şi cel mult să relansez întrebarea, cel mai bine către autorul articolului: stimate coleg, ce aţi vrut să spuneţi aici? Pentru că, dacă este aşa cum simt eu, atunci acest gând ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii. Dacă nu vom primi în următoarea perioadă un răspuns, atunci poate totuşi mă voi încumeta eu să dau o explicaţie. Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. În ambele părţi ale acestei analize m-am lovit în anumite momente de situaţii în care am impresia că profesori de matematică din ţara noastră doresc cu cea mai mare hotărâre să aducă în faţa elevilor o materie cât mai complicată, cât mai inaccesibilă. Dacă vă sună ca exagerată această afirmaţie, dacă o consideraţi drept o “acuză nefondată”, atunci vă mai dau un exemplu: gândiţi-vă cât de repede apar direct aplicaţii cu numere iraţionale la teorema lui Pitagora (după ce aceasta a fost în sfârşit predată, fie şi prin teorema catetei). În acel moment, adică la prima lecţie, la cei mai mulţi profesori apar rapid şi exemplele cu numere iraţionale, la unii chiar din prima (vedeţi exemplul cu Sara şi lungimea scării), dar oricum cel târziu de la a doua sau a treia aplicaţie. N-am prea întâlnit profesori care să stea în prima oră doar la nivelul tripletelor pitagoreice, adică în zona de comfort a tuturor elevilor, respectând astfel capacitatea uneori lentă de adaptare a elevului mediu la un algoritm nou. Elevul mediu ar avea nevoie de o oră la clasă, cu exemple cât mai multe, plus o tema corespunzătoare, pe care să o şi înţeleagă şi să o poată face singur, fără  ajutor din partea altcuiva. La algoritmul nou din aplicarea teoremei lui Pitagora, elevul mediu are nevoie să rămână măcar o oră în zona sa de comfort numeric, ca să se poată concentra la aspectele noi ce ţin de calculul specific. Doar apoi acesta va putea face pasul fără spaime în zona iraţională.

Am atins aici un subiect ciudat: cei mai mulţi profesori nici nu prea cunosc tare multe triplete pitagoreice (triplete de numere naturale care să verifice relaţia teoremei lui Pitagora). Majoritatea cunosc aparent doar tripletul (3; 4; 5), cu primele amplificări şi eventual încă tripletul (5; 12; 13). În acest sens, eu folosesc toată plaja de triplete pitagoreice cu lungimi până la 100 (deşi am fost acuzat că astfel terorizez copiii; ar fi de discutat cum îi terorizăm mai tare pe elevi, cu radicali din pătrate perfecte de cel mult patru cifre sau dându-le din prima numere iraţionale, care sunt destul de neînţelese? Mă refer aici la faptul că majoritatea elevilor se blochează când sunt întrebaţi despre lungimea aproximativă a unor numere iraţionale de forma ; la numere de forma  aproximarea este ceva mai accesibilă).

Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (1)

De curând am atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, în care era prezentată o altă demonstraţie – una mult mai vizuală – dintr-un manual nemţesc. Am pus atunci doar link-ul articolului, cu scurte comentarii, pentru că eram în mare criză de timp (voi explica mai jos de ce). Iată din nou link-ul respectiv https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ , însă acest articol este de fapt reluat de pe blogul CEAE https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ . Specialiştilor de la CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale trebuie să le mulţumim pentru acest articol minunat, ce pune degetul pe o rană veche şi profundă a şcolii gimnaziale româneşti. În schimb portalul edupedu.ro l-a mediatizat şi a adunat câteva comentarii sugestive despre atitudinea breslei noastre. În acest eseu aş vrea să prezint câteva aspecte legate de subiectul respectiv, într-o gamă largă, dar înainte doresc să fac o scurtă prezentare a celor găsite în comentariile la articolul respectiv, sub forma unui:

A.S. (ante scriptum) Am publicat postarea respectivă în mare grabă, nevrând să intru în alte detalii, dar gândul mi-a rămar la câteva comentarii pline de îngâmfare, cu accente de răutate, chiar belicoase, în câteva puncte cu tente de-a dreptul naţionaliste, de care avem tot mai des parte pe plaiurile mioritice. Reiau aici comentariile la articolul respectiv acumulate în zilele ce-au urmat:

C1) (31,03.2022) E foarte bine cum se face in Romania si in conformitate cu cunoștințele precedente. Restul demonstratilor sunt bune ca proiect dar sa nu le exageram rolul.
Este specific învățământului german sa impresioneze elevul cu aplicatii ale chestiunilor pe care urmeaza sa le invete dar sa nu exageram rolul acestora in efortul de a intelege si aplica teoria. Entuziasmul initial se pierde la fel de repede si la noi si la ei. Diferenta principala cu care sunt doar partial de acord este selectarea elevilor de mici dupa posibilitățile cognitive.

C2) (31.03.2022) Articolul pare cam… ridicol. Există și la noi astfel de demonstrații… Hai să fim serioși! Să nu credem că numai ce este nemțesc e bun! Așa ne-am păcălit la alegeri…

C2′) (2.04.2022) Aveți dreptate, dar cred că, la alegerea lui Ioanis a avut un rol important și aplicarea metodei Clotilde Armand.

C3) (4.04.2022) Această demonstrație o aveam, când eram elev, in clasa a7a în manual. Cât despre nemți, încă mai au mult de învățat de la noi, la toate capitolele metodice școlare. Aici chiar stăm foarte bine!

Oare, chiar ar merita să analizăm en-detail afirmaţiile din aceste comentarii? Unele au în conţinut şi elemente metodico-didactice (în primul comentariu e o idee interesantă, dar şi în al treilea). Din păcate, însă, predomină pasajele cu tentă îngâmfat-răutăcioasă, de tipul “du-te mă, că nici la nemţi nu umblă câinii cu colaci în coadă” sau “învăţământul nostru este cel-mai-cel din toată lumea!”. Nu doresc să vin cu replici la acelaşi nivel (deşi îmi stau pe limbă câteva). Psihologia întâmplării merită totuşi comentată şi tratată, dar pe un plan ceva mai ridicat al discuţiilor.

Din start trebuie să precizez că sunt într-u totul de acord cu linia articoluluide pe CEAE, dar totodată trebuie să precizez un aspect: finalul titlului – o comparaţie cu România – este într-adevăr provocator pentru profesorii care consideră învăţământul matematic românesc ca deosebit de performant. Astfel de observaţii sunt foarte bune, absolut justificate, dar ar trebuie aduse cu mai multă precauţie, pentru a nu stârni reacţii de felul celor citate mai sus.

*

Să trecem la lucruri mai serioase, cu tentă pedagogică, deşi trebuie să recunosc, că cele ce urmează se doresc a fi un fel de răspuns la comentariile redate mai sus. În paralel, veţi vedea cum întâmplarea cu acest articol se leagă în mod ciudat cu evenimentele din viaţa mea din aceste zile. Aşadar, să purcedem la analiza oportunităţii studierii altor demonstraţii la teorema lui Pitagora şi a alegerii acestora într-un mod cât mai potrivit posibilităţilor şi nevoilor elevilor.

Pentru început doresc să evoc o întâmplare ce mi-a fost povestită de o colegă ce a participat cu ani în urmă la o întâlnire de profesori din toată Europa de est (parcă era vorba de Riga). Cu ocazia respectivă s-au organizat şi nişte grupe de lucru, iar la grupa de matematică profesorul care conducea activitatea (iar un neamţ, dar staţi liniştiţi, îndată apar şi americanii), acesta a venit cu următoarea întrebare: “Cine ştie o altă demonstraţie la teorema lui Pitagora?”. Şi nimeni n-a ştiut vreuna. Este evident că avem de-a face cu o problemă generală: există o cale aleasă cândva ca “cea mai bună” (aia prin teorema catetei) şi de-atunci toată lumea merge docil pe aceasta; la ora actuală o mare parte dintre profesori nici nu mai cunosc alte demonstraţii.

Părerea mea este că cel târziu la cursurile de metodică din facultăţile de matematică lucrarea lui Mihu Cerchez ar trebui inclusă ca bibliografie obligatorie (Mihu Cerchez – Pitagora, Ed. Academiei, 1986, azi 12,60 lei la o simplă căutare pe net). Actualmente nu o am la îndemână, dar ţin minte că ar avea ceva de genul 55 de demonstraţii la teorema lui Pitagora (afirmaţie neverificată). În culegerea de geometrie ce am scris-o (Ed. Humanitas Educaţional, 2006, staţi liniştiţi, nu se mai găseşte pe piaţă) am inclus în final 12 demonstraţii, două dintre acestea care nu sunt la Mihu Cerchez.

Demonstraţia principală evocată în articolul CEAE/edupedu.ro (cea cu patru triunghiuri rearanjate în cadrul unui pătrat) este şi în cartea lui Mihu Cherchez, fiind una dintre cele mai cunoscute şi mai “vizuale”, mai accesibile copilului cu cunoştinţe elementare; o vezi şi o înţelegi imediat fără să fie nevoie de cine-ştie ce explicaţii complicate, de pildă pe bază de alte teoreme mai abstracte (desigur că ulterior poate fi şi aceasta redactată frumos ca demonstraţie). Împreună cu soţia mea o numim “demonstraţie cu şerveţele”.

Atât demonstraţia din manualul nemţesc, cât şi filmuleţul de pe youtube, prezentate în articolul CEAE/edupedu.ro au avantajul că se bazează în principal doar pe arii, adică nu folosesc elemente prea intelectuale, mai greu accesibile elevului de rând (teorema catetei, respectiv asemănarea triunghiurilor necesară pe drumul de demonstrare a teoremei catetei; nici factorul comun nu le este cu adevărat clar multor elevi; chiar dacă aparent îl ştiu aplica, mulţi elevi îl fac ca un element de dresură, iar pasul din demonstraţia tradiţională le apare ca un număr de magie total neînţeles, bun doar de copiat în caiet, că “de aia am venit la şcoală”). Or, ariile – atât a pătratului şi a dreptunghiului – reprezintă fenomene deosebit de accesibile înţelegerii intuitive a copilului mediu, fiind cunoscute oricum din clasa a 5-a. Pentu elevi o astfel de demonstraţie este deosebit de accesibilă, chiar atrăgătoare (appealing ar zice americanul).

În plus, după cum am scos în evidenţă în articolele paralele din această perioadă, cele despre inspiraţia din culegerea Prof. A. Hollinger, pentru elevi sunt mult mai clare şi mai accesibile demonstraţiile vizuale, cele vizibile chiar la nivel oral într-o figură ataşată alăturat, demosnstraţii care ulterior se redactează şi în scris. Dimpotrivă, demonstraţia uzuală în manualele din România, dar mai ales în mentalul majorităţii profesorilor (la care se pare că unii ţin cu mare îndârjire şi – nu ştiu de unde – cu mult patriotism, împănat cu profunde înclinaţii naţionaliste), această demonstraţie este una mult mai teoretică, cu tente clare de calcul, adică nevizibile pe figură fără a face calculul. Despre demonstraţia prin teorema catetei putem spune cel puţin că este o demonstraţie greu “vizibilă” pentru foarte mulţi elevi. Apropos, cunoaşteţi reprezentarea prin arii a teoremei catetei şi legătura acesteia cu vizualizarea  demonstraţiei teoremei lui Pitagora tot prin arii? E simplă: pătratul construit în exteriorul triunghiului dreptunghic pe ipotenuză este tăiat în două părţi inegale prin prelungirea înălţimii; pătratul unei catete este astfel echivalent cu dreptunghiul parte a pătratului ipotenuzei corespunzător.

Chiar dacă poate nu-i neapărat întotdeauna adevărat, merită să scot aici în evidenţă cum se văd lucrurile legat de îndârjirea cu care mulţi profesori români ţin la demonstraţia la care se ajunge doar pe drumul “asemănarea triunghiurilor + teorema catetei”, aparent refuzând demonstraţiile pe bază de arii. Arată ca şi cum se doreşte ca demonstraţia teoremei lui Pitagora să fie accesibilă doar celor mai buni elevi, nici într-un caz elevilor de rând. Cum am mai spus, această demonstraţie este resimţită de mulţi elevi ca un fel de “număr de magie matematică”, cărora nu le înţeleg nici măcar “poanta”, darămite să înţeleagă şi cum, şi ce s-a întâmplat în aceasta, sau ce rol are ea (adică faptul că relaţia din teorema lui Pitagora s-ar cere demonstrată; mai ales după ce au văzut că în clasa a 6-a le-a fost dată pur şi simplu, adică fără demonstraţie. “De ce? pentru ce?” ar întreba mulţi elevi; “da’ ce-are dacă n-o facem?“; “la ce-i bună?“). Or, magia matematică devine educativă, are sens adică, doar dacă ulterior o poţi şi înţelege, adică o poţi desluşi, ai mai înţeles o bucăţică de matematică. Pentru asta ea trebuie însă să fie măcar ca rezultat atractivă şi intrigantă; ceea ce nici măcar atât nu este pentru majoritatea copiilor (majoritatea profesorilor prezintă textul teoremei cât mai încărcat, încă folosind şi cuvântul “lungime”, ţinând cu dinţii de poziţionarea teoremei în zona numnerică: “pătratele lungimilor catetelor” în loc de “pătratele catetelor”, care ar lăsa deschisă portiţa spre înţelegerea ca “ariile pătratelor catetelor”). Cei mai mulţi elevi nici măcar nu-şi dau seama că s-a întâmplat ceva cu totul special (unul dintre momentele cele mai speciale din toată istoria ştiinţei universale); ei doar au copiat demonstraţia de pe tablă cu “poziţia ghiocel” în suflet. Singurul lucru bine şi profund înţeles de către majoritatea elevilor este că ei nu pot pricepe materia asta, că ei sunt de fapt proşti! Dar să revenim la multitudinea de demonstraţii ale celei mai cunoscute teoreme din toate timpurile.

Tocmai când apăruse articolul respectiv pe edupedu.ro eu urma să-mi încep participarea la un curs de împrospătare pentru profesorii din şcolile Waldorf, organizat la Kassel în Germania (Refresher Course); de aici şi foarte scurta trimitere către articol. De fapt au fost două cursuri paralele: cel în limba germană, organizat fizic la Kassel, cât şi cel online în limba engleză, organizat în urma entuziasmului la nivel mondial în urma ediţiei din 2021 (atunci au fost tot două cursuri paralele, unul în germană iar celălalt în engleză, dar ambele online; până în 2019 se organizau în săptămâna de la Kassel diferite cursuri într-una sau în cealaltă din limbi, iar conferinţele comune se traduceau oricum în cealaltă limbă). Tema principală a cursului de anul acesta a fost clasa a 9-a (ca vârstă potrivindu-se mai degrabă cu clasa a 8-a de la noi).

La una din conferinţe ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik din America. Şi “ghici ciupercă” despre ce ne-a vorbit dânsa? Despre demonstraţii la teorema lui Pitagora! Da! Mai exact, despre diferitele demonstraţii ale acestei teoreme şi despre folosirea lor la clasă, despre uimirea ce poate fi trezită în sufletul elevilor prin acestea. Pentru cei interesaţi de subiect, dânsa ne-a vorbit despre cartea din perioada interbelică The Pythagorean Proposition, avându-l ca autor pe Elisha S. Looms, carte ce conţine sute de demonstraţii, cât şi alte curiozităţi legate de teorema lui Pitagora. Pentru doritori, lucrarea se găseşte pe net scanată în format pdf (eu mi-am salvat-o deja din ziua conferinţei, într-o ediţie din 1940).

Ce-i mai interesant însă de-abia acum vine: d-na Plotnik ne-a vorbit că dânsa le dă elevilor (în grupe de câte 2) câte o astfel de demonstraţie doar cu construcţiile iniţiale, lăsându-i pe elevi să caute, să “sape” (poate 2-3 zile la rând), să cerceteze ce găsesc în acea figură şi ce se poate deduce de acolo, în ultimă instanţă cum se poate obţine afirmaţia din teorema lui Pitagora pe baza celor din acea figură. Vedem cum aici lucrurile se întâlnesc cu cele sugerate de către autorul primului comentariu la articolul de pe edupedu.ro (Restul demonstratilor sunt bune ca proiect).

Cât despre exagerarea rolului acestora (ca replică respectivului coleg), n-am înţeles cine a exagerat ceva: doar vorbind despre ele argumentat reprezintă deja o exagerare? Doar evidenţiind clare avantaje metodico-didactice ale acestora înseamnă că se exagerează? Într-un singur articol? În afara articolelor mele rebele, de “lup singuratic”, cine a mai vorbit despre aceste aspecte, astfel încât să se poată susţine ideea de exagerare?

Atitudinea respectivă le este cunoscută celor mai în vârstă din vremurile comuniste, mai ales din anii ’80, când orice sau oricine călca “pe de lângă” faţă de linia oficială era automat privit ca mare trădare şi contra-atacat cu multă îndârjire, uneori “în haită”, de către cei care erau responsabili de păstrarea canoanelor vremii, sau de cei care se simţeau bine în acestea (în mod similar, pe vremuri biserica catolică îi clasifica pe unii ca eretici). Cred că exagerarea vine mai degrabă în sens opus, din partea celor care refuză cu totul o mare “felie” din cultura matematicii mondiale. Pentru că da, multitudinea şi varietatea demonstraţiilor teoremei lui Pitagora poate fi clar catalogată drept o “bună felie” de matematică, deosebit de potrivită pentru a fi folosită în scop şcolar, pedagogic, conţinând variate şi surprinzătoare aplicaţii. Lasă că exagerez eu acum, analizându-le de-a fir-a-păr, făcându-le chiar “teoria chibritului”.

Dar, de fapt, ce spunea d-na Plotnik? Spunea că dintre acestea se pot alege suficiente exemple, pe baza cărora elevii să vieţuiască varietatea aproape nemărginită a demonstraţiei matematice, dar şi a gândirii umane (în condiţiile de faţă, nici nu mă gândesc să vă spun cât de mult timp, mai exact câte ore îşi alocă dânsa pentru aceste “proiecte”). Iar lucrarea respectivă, cu câte demonstraţii are, sigur oferă şi exemple vizuale şi accesibile, pentru elevii mai “începători” în ale raţionamentului matematic, dar şi demonstraţii dificile, ca provocări pentru elevii mai buni la matematică, pentru cei care au înţeles şi lecţiile mai grele.

Îmi permit să redau aici exemplul prezentat de d-na Plotnik în timpul conferinţei de marţi 12 aprilie (cu notaţiile puţin schimbate faţă de cele din antologia sus menţionată). Deci, considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A şi algem pe drepta BC punctele E şi F astfel încât BE = BA = BF, să zicem E în exteriorul ipotenuzei [BC] iar F pe ipotenuză. Demonstraţi pe baza acestor date relaţia din teorema lui Pitagora (cam aşa am înţeles că le dă dânsa elevilor sarcina de lucru). Pentru fluenţa citirii acestui articol dau imediat şi o figură (aşa cum sugera chiar Profesorul Hollinger):

Nu dau şi demonstraţia, ci vă las dvs. bucuria de a o găsi (dacă nu cumva o cunoaşteţi deja sau tocmai aţi găsit-o). Precizez însă că demonstraţia conţine o frumoasă varietate de elemente: primul pas se bazează pe faptul că un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic (reciproca “medianei pe ipotenuză”, sau “Cercul lui Thales” cum este cunoscut de către unii prin spaţiul german, chiar şi până mai aproape, prin Ungaria, aceasta fiind prima teoremă demonstrată de un om “ever” – merită să revin în curând la acest subiect). În continuare vine un raţionament interesant cu unghiuri, apoi o foarte ascunsă asemănare de triunghiuri (pe baza cazului UU), iar în final o surprinzătoare aplicaţie a unei formule de calcul prescurtat.

Văzând demonstraţia din acea carte veche, prezentată nouă de către d-na Plotnik, am simţit în suflet o stare apropiată de veneraţie faţă de mintea care a avut ideea construcţiei respective. Cam aşa ceva trebuie că simţeau vechii greci, astfel încât atunci când demonstrau câte una din primele lor teoreme, se duceau apoi la templu şi aduceau o jertfă zeilor pentru inspiraţia cu care fuseseră “ajutaţi”. De pildă, chiar despre marele Pitagora se spune că – după ce a demonstrat propoziţia respectivă – a sacrificat pe altarul zeilor un număr impresionant de boi, iar de atunci toţi boi tremură când aud de teorema lui Pitagora. Şi despre Thales se spune că ar fi sacrificat cel mai mare şi mai frumos bou al său la templu, după ce a demonstrat teorema cu triunghiul înscris in semicerc.

Revenind la demonstraţia de mai sus, trebuie să recunosc sentimentul iniţial cum că mie nu mi-ar fi trecut prin cap aşa ceva. Simţeam toată stima şi tot respectul pentru acea minte umană care a gândit aşa ceva (autorul este pierdut prin vechiile cărţi). În comparaţie cu această minte strălucită, eu am impresia că la ora actuală capacităţile noastre creative în domeniul demonstraţilor pe bază de construcţii ajutătoare sunt mult mai reduse.

Probabil că găsirea acetei demonstraţii n-a fost chiar atât de ieşită din comun, însă asta am simţit eu în zilele de după ce am văzut-o: o curată admiraţie (uneori, probabil că aşa ceva simt şi elevii atunci când noi “le trântim” câte o construcţie sau o demonstraţie ciudată; aceasta se va întâmpla însă doar dacă drumul a fost pregătit lin în sufletul lor; dimpotrivă, dacă-i luăm prea repede, se vor simţi doar covârşiţi, înjosiţi). Revenind cu picioarele pe pământ, probabil că persoana respectivă lucra la cine-ştie-ce problemă şi a observat că figura respectivă duce spre rezultatul din teorema lui Pitagora. Sau, poate a fost altfel? Cine ştie?!

Şi eu am avut o astfel de întâmplare, dar am fost destul de neatent încât să nu-mi dau seama că tocmai ce m-am împiedicat de o demonstraţie la teorema lui Pitagora; ulterior, când am început să studiez acest subiect am regăsit-o: este cea care apare prin cărţi ca descoperită de către fostul preşedinte american Abraham Garfield (1831-1881).

În acest sens, demonstraţia d-nei Plotnik mi-a adus aminte de o alta dintr-un manual românesc de la începutul anilor ’80 (din păcate nu-l am la îndemână), o demonstraţie prin puterea punctului faţă de cerc. Ştiu că aceasta nu mai este în programă, dar poate fi evitată elegant, oferind elevilor mai răsăriţi o demonstraţie interesantă, cu elemente din materia actuală (începutul clasei a 8-a din cauza mutării calculului prescurtat din a 7-a). Iar până la urmă vom constata că aceasta este de fapt aceeaşi demonstraţie ca cea din exemplul d-nei Plotnik, doar că abordată din altă parte (mutând pornirea din zona construcţiilor ajutătoare şi a “cercului lui Thales” în zona unghiurilor înscrise în cerc). Aşadar: Considerăm un cerc de centru O şi un punct exterior P. Prin punctul P trasăm o tangentă la cerc, notând cu T punctul de tangenţă, cât şi o secantă dusă chiar prin centrul cercului, notând cu L şi cu K punctele în care aceasta taie cercul. a) Demonstraţi că PT reprezintă media proporţională între lungimile PL şi PK (adică PT2 = PL · PK); b) Folosind relaţia precedentă, demonstraţi egalitatea din teorema lui Pitagora în triunghiul POT.

Da, cam atâta am avut de spus legat de felul în care merită să privim diversele demonstraţii ale teoremei lui Pitagora şi a modului în care ne raportăm ca profesori la acestea. Demult îmi doream să abordez acest subiect şi să evoc diversele aspecte ce le implică, dar acum gândurile au ajuns ceva mai coapte, fiind în paralel şi stârnite de comentariile prezentate la început. Desigur că sunt conştient că oricând s-ar putea găsi aspecte noi, dar eu mă cam opresc aici în această primă analiză a subiectului. În a doua parte mă voi apleca în detaliu asupra celor spuse în articolul de pe blogul CEAE.

*

Înainte de a încheia acest articol doresc să evoc însă câteva aspecte despre atitudinea cu care “mergem prin viaţă”, respectiv pe ce poziţie ne situăm pe axa modestie-îngâmfare. Pe scurt doresc să prezinte felul în care mă raportez eu personal la tot ce găsesc nou în lumea largă – ar putea spune unii că le caut “cu lumânarea”, oricum cu multă îndârjire şi perseverenţă – în comparaţie cu felul cum blochează alţii orice ajunge nou în faţa lor, orice este diferit de ceea ce reprezintă zona lor de comfort. Pentru că da, multe vin din această poziţionare.

Care multe? Păi, de pildă felul în care învăţământul matematic românesc nu reuşeşte să se debaraseze de vechile paradigme şi să evolueze înspre o pedagogie adaptată şi potrivită secolului XXI. Dacă aşa reacţionăm – precum autorii comentariilor redate la începutul acestui eseu – dacă aşa reacţionăm la orice propunere de schimbare, de îmbunătăţire, de a aduce predarea matematicii din şcolile noastre într-o formă mai potrivită nevoilor şi posibilităţilor actualilor elevi, atunci – iaca – avem pe tavă un dintre cauzele elocvente peantru care şcoala noastră nu reuşeşte să se schimbe, rămânând închistată în tarele trecutului.

Mai exact, aş dori să accentuez asupra felului în care mă raportez eu faţă de matematica cu care mă întâlnesc în contactele ce le am din când în când cu străinii (cursuri sau alte întâlniri cu profesori, dar şi cărţi, actuale sau demult traduse în română). Era o vorbă veche, ceva de genul: dacă nu deschizi o carte cu o profundă stare de veneraţie, atunci nu vei găsi nimic special în aceasta (sau, cam aşa ceva). Nu mai ştiu dacă era vorba despre cărţi în general, sau despre cărţi de matematică, dar sigur dacă nu eşti dotat – fie de la mama natură, fie conştient – cu acea stare de modestie elementară, atunci la orice contact cu matematica străină se vor declanşa în sufletul tău nişte mecanisme de mândrie naţională exagerată (avându-şi originea în implantările făcute de Ceauşescu din anii ’80 “pe creierele românilor”), mecanisme ce te vor împiedica să percepi aspecte noi, ce nu sunt prezente în România.

Anul acesta, la cursul de la Kassel, de pildă, m-am înscris la două cursuri de matematică (fiecare de câte 5 şedinţe a 1,5 ore); în plus a fost acea conferinţă de care am vorbit (1 oră). Ca o paranteză, cursul fiindu-mi plătit din Germania, m-am înscris la tot programul, aşa încât am urmărit de fapt încă cinci conferinţe ce nu aveau treabă cu matematică, dar şi un curs de geografie-geologie de 12 şedinţe a 1,5 ore (ajungând deci doxă în acest subiect). Dar să ştiţi că şi în acest curs de geografie am găsit destule elemente ce le voi putea transborda în predarea mea la matematică.

Desigur că multe lucruri îmi erau cunoscute din cele prezentate (la cursurile de mate), dar m-am bucurat de fiecare aspect nou primit (nou pentru mine). De pildă, la cursul d-lui Robert Neumann despre construcţiile curbelor conice (secţiunile conice, adică parabola, elipsa şi hiperbola, construite cu rigla şi compasul) cunoşteam cca. 60%. Nu-i nimic, m-am bucurat şi-aşa, chiar m-am entuziasmat pentru celelalte 40% idei şi aspecte noi pentru mine. Şi chiar dacă ar fi fost doar 10% material nou, tot mi-ar fi meritat. Desigur că şi la cursul d-nei Birte Vestergaard despre fişele de lucru prin descoperire ştiam foarte multe (din precedentele întâlniri). Nu-i bai, şi aici m-am bucurat de orice nou aspect; şi au fost suficiente.

O singură dată la o participare în “Străinezia” am părăsit un curs, deoarece simţeam că profesorul respectiv chiar “o lălăie” peste nivelul meu de suportabilitate şi nu-mi oferă nimic, dar şi deoarece în pauză văzusem la un curs paralel anumite aspecte fascinante pe nişte planşe rămase atârnate de perete; aşa că am trecut de a doua zi la celălalt curs (l-am anunţat pe acest nou profesor că vreau să vin la dânsul şi gata).

Aşadar, a nu se înţelege însă că mă duc la aceste întâlniri internaţionale “cu capul plecat”. Nici vorbă! Merg demn şi civilizat, cu o stare de echilibru între modestie şi totuşi conştienţa că ştiu foarte multe (că vin dintr-o şcoală matematică bună şi dintr-o familie de matematicieni); particip însă realist, conştient fiind că nu pot să ştiu totul. Nu mă dau mare, dar nici nu-mi este frică să spun ce gândesc, însă îmi caut cu grijă cuvintele pentru a nu jigni; încerc întotdeauna să înţeleg contextul de unde vine un vorbitor (la orice nivel, fie cel care ţine prelegerea, fie un eventual coleg cu care ajung pentru scurt timp într-o grupă de lucru). Ei nu-mi cunosc lumea mea matematică; singurul care poate creea o punte – mie folositoare – sunt chiar eu, aşa încât sunt “cu ochii-n patru” astfel încât să prind orice aspect nou.

Iar după ce le-am înţeles lumea lor, fiţi siguri că am şi eu cu ce “să mă dau mare”, măcar puţin, chiar “pe limba lor”. Fac asta însă doar dacă ajungem să ne împrietenim; eu le spun “cadouri”, pentru că după câte am primit de la ei, trebuie să le ofer şi eu ceva, nu-i aşa?

În acest context, al “cadourilor” am trăit experienţe de toate felurile, de la bune la eşecuri. În astfel de situaţii unii au avut reacţii cu totul speciale: un domn a venit o dată cu cartea scrisă chiar de dânsul, sigilată, spunându-mi că el nu are ceva de aşa mare valoare cum i-am dat eu lui, dar că îmi oferă în gest de apreciere cartea scrisă de dânsul; altă dată un profesor mi-a adus a doua zi o carte (tot sigilată, deci nou cumpărată), un mega curs de matematică al unui mare profesor din sistemul Waldorf. Am avut desigur şi întâmplări opuse, când prietenul respectiv cunoştea tot ce-i arătam eu (drept “cadou”); încă şi plusa cu aspecte noi; în cazul acestui prieten a trebuit să “muncesc” mult ca să-i pot da ceva necunoscut lui (ştia totul, din orice carte, aşa încât l-am putut surprinde doar cu “cadouri” descoperite de mine). Dar oricum, în astfel de cazuri totul se petrece cu o modestie civilizată, fără orice urmă de îngâmfare. Va urma! Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. (post scriptum) Dar, totuşi, că mă tot râcâie ideea: ce treabă are Iohannis cu cine-ştie ce manual din Germania???. Că doar el este profesor de fizică. Apropos, se scrie Iohannis, nu Ioanis. Dacă al doilea “n” ţine de capacitatea de atenţie şi memorare la un nivel elementar pentru orice intelectual ce se respectă (că doar nu vorbesc toţi germana), litera “h” chiar se aude la fiecare pronunţare la televizor sau radio. Mă gândesc cât de dramatică ar fi fost situaţia scrierii numelui său, dacă n-ar fi fost greşeala ofiţerului care i-a scris certificatul de naştere cu litera “i” la început, ci i-ar fi trecut numele corect, ca la taică-su, adică Johannis, deci cu “j”. L-ar fi pronunţat toţi cu “j”, chiar dacă pe germană această literă se citeşte tot un fel de “i” (aşadar, în spaţiul public numele preşedintelui se pronunţă corect; la fel s-ar fi pronunţat şi dacă se scria cu “j”). Oricum, trebuie apreciat că măcar pe d-na Clotilde Armand n-au stâlcit-o. Chiar aşa, însă, dânsa cum a ajuns în această discuţie? Ce treabă are dânsa cu manualul nemţesc? Respectiva divagaţie către zona politică este specifică unei categorii consistente de “internauţi” mioritici şi spune multe despre capacitatea lor de a se concentra pe un anumit subiect dat (mai exact incapacitatea).

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (2) – Fracţiunile

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. În prefaţa acestei cărţi există un paragraf fascinant, din care putem înţelege şi citi printre rânduri foarte multe aspecte importante. În postarea precedentă am prezentat acest paragraf pentru a putea inţelege gândurile profesorului Hollinger în integralitatea lor, aşa cum a considerat dânsul a le exprima în contextul finalului de perioadă metodico-didactică a anilor ’60 -’70.

Reiau încă o dată anumite pasaje din acel citat, lărgind însă pasajul şi completându-l cu anumite cuvinte cheie pentru a accentua anumite aspecte. Astfel, gândurile şi preocuparea dânsului erau îndreptate în special către elevul mijlociu (!) care trebuie să îşi însuşească cel puţin un minim de cunoştinţe şi să fie capabil să le aplice (…). Ideea de lucru a fost de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale (la vremea respectivă).Iată cum ne explică dânsul: Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii noi (…) Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. Pentru a da muncii elevului un ritm mai viu, am dat de cele mai multe ori şi figura, ca elevul să poată trece imediat la rezolvare; ele sînt gândite ca un fel de exerciţii orale. (…) Aceste probleme se găsesc la începutul fiecărui paragraf. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3-4).

Culegerea respectivă este una de geometrie; profesorul Hollinger se plânge că la geometrie saltul de la introducerea noilor noţiuni la aplicaţii este prea mare în comparaţie cu situaţia de la aritmetică sau algebră. Părerea mea este că în anii ’80 (deci contemporan, dar şi după culegerea respectivă) acest decalaj a fost rezolvat, dar nu în sens pozitiv, ci în sens negativ: la ora actuală nici la aritmetică, nici la algebră intrarea într-o temă nouă nu mai este de obicei accesibilă. La ora actuală toate domeniile de studiu matematic preuniversitar sunt extrem de abstracte, cu trepte de intrare mult prea înalte pentru elevul mijlociu, puse de la început – aparent – ca o piedică insurmontabilă pentru majoritatea elevilor.

Eu studiez din anii ’90 această culegere, iar pasajul respectiv îmi sună de fiecare dată proaspăt şi logic: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. Mai ales atunci când mare parte din preocupările organizatorilor învăţământului matematic – oficiali sau neoficiali – sunt îndreptate cu predilecţie către elevii de vârf şi activităţile matematice ale acestora (aşa-zisa excelenţă), mai ales atunci consider că este de datoria mea să mă străduiesc mai mult şi să vin şi mai hotărât în întâmpinarea elevului obişnuit cu lecţiile mele.

În continuarea primului aliniat din prefaţa acestei culegeri Hollinger ne spune că el s-a preocupat de fapt în a genera, a compune, a poziţiona nişte trepte suplimentare mai mici la începutul fiecărei teme (lecţie, capitol), sub forma unor exerciţii ce pot fi rezolvate oral, însoţite de figuri menite de a ajuta vizualizarea fenomenului nou de către mintea şi imaginaţia încă nepornită, neîncălzită, neexperimentată a elevului novice în acea temă de studiu. Aceşti paşi trebuie făcuţi la începutul fiecărei teme noi, pentru a asigura, a garanta accesibilitatea acesteia pentru toţi elevii (la începutul fiecărui capitol, dar şi oriunde apare ceva cu adevărat nou). Dânsul a făcut acestea la geometrie, pentru că în anii ’60 -’70 acolo a simţit nevoia de aşa ceva. Actualmente această nevoie este la fel de prezentă şi la algebra gimnazială, chiar şi la primele lecţii de aritmetică din clasa a 5-a.

*

În prima postare pe această temă am vorbit despre introducerea unei trepte suplimentare pregătitoare în sensul efectuării împărţirii în cap, necesară apoi la descompunerea numerelor în factori primi. Încheiam această primă postare cu ideea că mai am şi alte exemple. Aş dori să vă prezint în acest sens gestul de inserare a noţiunii de fracţiune înaintea studiului despre fracţii ordinare, aşa cum îl înţeleg eu acum, după câţiva ani de preocupare în acest sens.

Elevii fac cunoştinţă cu fracţiile (cele ordinare) în timpul petrecut cu d-na învăţătoare. La reluarea acestora în clasa a 5-a este oricum binevenită o recapitulare. Nici nu iau în discuţie posibilitatea ca învăţătoarea unui elev să nu fi lucrat foarte bine fracţiile pentru că nu se pricepe (acest subiect oricum nu mă priveşte în mod direct). La fel, nu iau în discuţie situaţii de tipul că în clasa a 4-a au fost în anul trecut cazuri de predare online exact la fracţii, iar copilul pur şi simplu n-a prins ideea. Aş porni însă discuţia de la faptul că poate avem o clasă cu copii provenind de la mai multe învăţătoare, iar aceştia ar trebui aduşi la un acelaşî nivel de cunoştinţe de bază. Totodată pot să iau in calcul şi ideea unui copil care s-a mai maturizat între timp şi, poate acum, la o a doua trecere, cu răbdare, dar şi cu mai mult profesionalism matematic, elevul reuşeşte să le înţeleagă mai bine. Da, şi neapărat trebuie pornită discuţia de la faptul că vorbim despre majoritatea elevilor, nu despre vârfuri, adică despre “elevul mijlociu”, cum spunea Hollinger

Traduc această afirmaţie: cu alte cuvinte, este de datoria mea să-i luminez pe majoritatea elevilor (blocul principal din Clopitul lui Gauss), să-i fac să plece acasă cu lucrurile înţelese; nici nu vreau să evoc acele – din păcate mu-u-u-ulte – cazuri când lectia este atât de abstract predată, încât elevul are nevoie acasă de o nouă predare, de explicaţii individuale care să-l scoată “din ceaţă”. Dacă se mai pricepe un părinte, încă treaba mai merge cumva; din păcate,  în ultimă instanţă de fapt este nevoie tot mai des de ore particulare pentru a putea duce matematica de la clasă (asta întâmplându-se tot mai des chiar din clasa a 5-a). Apropos: apogeul acestui fenomen deplorabil se atinge atunci când apare la o şcoală particulară unde părinţii plătesc oricum bani grei, iar apoi toţi elevii au nevoie de ore private pentru a face faţă matematicii de la şcoală! (A se înţelege ad-literam! Şi da, avem la Cluj şi aşa ceva! Desigur că şi copiii sunt tot mai sensibili, dar acesta este alt subiect, la care îmi propun să vin cât de repede)

Predarea fracţiilor ordinare trebuie să pornească neapărat de la multe exemple de vizualizare a diferitelor cantităţi reprezentate prin fracţii. Cele mai bune par a fi cele în formă de cerc (măr, lipie, pizza etc.), dar este bine ca elevii să primească şi alte exemple: ca pătrat (ce merge împărţit clar în 2, 4, 8 părţi egale), ca dreptunghi (similar cu pătratul), ca dreptunghi similar cu o pâine dreptunghiulară feliată, eventual chiar ca dreptunghi împărţit şi pe lungime şi pe lăţime (ducând spre ideea de arie a dreptunghiului; de exemplu un dreptunghi de 2 pe 5 pătrăţele pentru zecimi). La fiecare dintre acestea vom colora o parte dintre bucăţele, evidenţiind astfel o fracţie dintr-un întreg. Toate noţiunile iniţale (fracţii subunitare, supraunitare, echivalente, compararea lor etc.) pot fi apoi deduse, explicate, justificate şi înţelese prin reprezentarea în imagini ce se desenează foarte uşor. Toate regulile se deduc în urma unei analize iniţiale pe unul-două exemple desenate, vizualizate, reprezentate grafic aşadar.

Un exemplu deosebit de bun în acest sens (nu vreau să spun că singurul) îl reprezintă Manualul pentru clasa a V-a de Matematică din 2002 (?) de la Editura Sigma, cu o echipă de autori condusă probabil de D-na Mihaela Singer. Întreaga parte despre fracţii ordinare este înţesată de reprezentări grafice ale fracţiilor alese ca exemple, evidenţiindu-se astfel vizual fenomenele studiate în fiecare moment (nu cunosc situaţia actuală a implicării acestei edituri la nivelul clasei a 5-a, aşa încât mă opresc aici cu acest comentariu).

Cam acesta ar fi nivelul la care s-ar putea gândi profesorul de matematică în sensul strădaniei de a explica lecţia de matematică în mod cât mai accesibil şi clar elevilor, de a veni cu nivelul începutului lecţiei cât mai jos spre nivelul real al multor elevi, pentru a avea garanţia că îi ia pe cât mai mulţi în noua temă. Faţă de acest nivel de strădanie, “zeii matematicii” mi-au îndrumat gândurile şi ideile spre un pas suplimentar, pe care cu timpul am ajuns să-l înţeleg ca fiind de făcut înaintea lecţiei de introducere a fracţiilor ordinare. Încerc să detaliez situaţia cunoscută de către toată lumea, pentru a prezenta apoi pasul despre care doresc să vă vorbesc.

Oricum ai aborda noţiunea de fracţie, trebuie de fapt să le aduci elevilor în conştienţă clară rolul celor două numere implicate de obicei în scrierea unei fracţii – numitorul şi numărătorul – pentru ca aceştia să înţeleagă ce face fiecare din cele două numere (nici nu amintesc aici încă despre al treilea număr, anume despre scoaterea întregilor din fracţie). Fie că le dă exemple, fie că le dă o definiţie seacă pe bază de litere, profesorul ar trebui să le explice ce face fiecare dintre ele. Din păcate tot mai des întâlnesc situaţii în care se pare că nici măcar atât nu se străduiesc unii colegi.

Ca o divagaţie înalt filozofică despre didactica introducerii noilor numere, observ aici din păcate că modelul impus la introducerea / predarea numerelor complexe, în programa din manualele de liceu apărute la sfârşitul anilor ’70, spre deosebire de forma precedentă, acest model s-a generalizat în mod bolnav până la nivelul clasei a 5-a. Să detaliez puţin: cum era modelul precedent, valabil până în 1978? Numerele complexe se construiau de la notarea rădăcinii pătrate din numărul –1, notată pentru comoditate cu “i” (de unde i2 = –1), din care apoi se deduceau toate proprietăţile acestuia (puterile lui i) şî toate proprietăţile de operare cu numerele complexe z = a + bi (în principal adunarea şî înmulţirea etc.). Prin manualele din 1978 numerele numerele complexe se introduc axiomatic, sub forma stupidă a unor perechi ordonate ale căror operaţii respectă renumitele proprietăţi pentru sumă şi produs, proprietăţi ce apar în faţa elevului în mod total artificial, fără nici cea mai mică logică pentru mintea elevului. În mod similar, după 40 de ani, la ora actuală există deja profesori care nici nu se mai gândesc să le explice elevilor de a 5-a în mod clar ce face numitorul şi ce face numărătorul (scuze că nu intru în explicarea acestor afirmaţii; am făcut-o cu alte ocazii).

Da, există profesori care le spun cum se numesc, iar apoi trec direct la lecţii noi, fără a se gândi că elevii trebuie să şi înţeleagă despre ce este vorba. Cred că totuşi majoritatea au impulsul de a le explica, doar că o fac numai oral, pe fugă, iar din aceste explicaţii nu rămâne nimic scris, nu apare nimic în lecţia din caiet, aceste explicaţii pierzându-se în general datorită nivelului slab de atenţie al elevilor, datorită faptului că unii vin la ora de matematică doar ca să copieze de pe tablă, mulţi fiind rămaşi în urmă în momentul respectiv, cu scrisul de pe tablă al titlului, cu ascuţitul creionului etc.

Părerea mea este că lecţiile de matematică ar trebui să conţină componente clare în sensul înţelegerii şi conştientizării de către elev a rolului fiecărui număr din componenţa unei fracţii. Primul pas în înţelegerea fenomenului de fracţie este conştientizarea de către profesor a ordinii logice a apariţiei celor două numere în procesul de naştere a unei fracţii. Deci, care din cele două numere apare primul? Este evident că numitorul, acesta reprezentând numărul părţilor egale în care se împarte întregul. De-abia apoi apare numărătorul, acesta spunându-ne câte astfel de părţi vor fi luate pentru a forma fracţia respectivă. Din păcate însă, chiar scrierea şi citirea fracţiilor este pe dos: se spune mai întâi câte părticele sunt şi doar apoi ce fel de părticele sunt (două treimi; trei cincimi; cinci pătrimi etc., aşa fiind structurată exprimarea în limbile uzuale). Or, pentru a evita o învăţare automată, pentru a genera o înţelegere clară şi o gândire sănătoasă, noi trebuie să ne străduim ca elevii să înteleagă cu adevărat “mesajul”, rolul fiecăruia din cele două numere componente ale unei fracţii.

Strădania de a reprezenta grafic cât mai multe fracţii la început este cu totul în acest sens. Dimpotrivă, este evident că un profesor care minimalizează rolul acestei etape, uneori până al neparcurgerea ei, îi împinge pe elevi spre neînţelegerea matematicii.

Cele spuse aici despre “ordinea” logică în care apar cele două numere – mai întâi numitorul şi doar apoi numărătorul -, această ordine se regăseşte chiar şi în ordinea apariţiei şi dezvoltării noţiunii de fracţie de-a lungul istoriei (cel puţin a istoriei matematicii, aşa cum este aceasta cunoscută din izvoarele existente).

Primul care a apărut este numitorul; mai exact primele apărute în acest sens sunt fracţiunile: jumătatea, treimea, sfertul, cincimea etc. Nu câte cincimi, ci doar noţiunea de cincime (fracţiile de tipul 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc., care mai sunt numite în mod prea-preţios fracţii alicote). Acestea au fost găsite pentru prima dată în papirusul Rhind, aflat în custodia British Museum la Londra.

Într-un proces de câţiva ani, în mintea mea s-a generat ideea introducerii fracţiunilor ca primă lecţie a acestui capitol. Introducând pentru început doar fracţiunile (1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc.) şi folosindu-le timp de cel puţin o oră, elevul are timp să se obişnuiască cu rolul numitorului, care este cel mai abstract dintre cele două numere (un 3 la numărător chiar reprezintă faptul că sunt 3 bucăţi, pe când un 3 la numitor îmi spune că este vorba despre treimi, cu implicaţii ciudate pe viitor: de pildă treimea este mai mare decât cincimea, deşi 3-ul este mai mic decât 5-ul).

Pentru a face cu adevărat acest pas, profesorul trebuie să evite simpla explicaţie; la aceasta vor reacţiona doar elevii cu o gândire mai raţională. Majoritatea elevilor vor înţelege însă doar dacă vor şi face cu adevărat paşi de fracţionalizare a unui întreg, iar asta se poate face concret doar prin desenele despre care am vorbit la început (acestea având şi avantajul că rămân în caiet, fiind vizualizabile şi ulterior). Mulţi colegi profesori vor vedea un astfel de demers ca pierdere de vreme, dar eu consider că este un timp investit cu rost în înţelegerea fenomenului de către majoritatea elevilor, iar cu timpul acesta se va transforma în timp câştigat pentru gândirea copiilor.

Odată introduse noile noţiuni, cunoscute de fapt parţial din clasa a 4-a (treimea, sfertul, şesimea, şeptimea, optimea, zecimea etc.), ar fi bine să facem ceva cu acestea, dar încă nu în sensul fracţiilor, adică al multiplicării fracţiunilor. Vorbeam de “zeii matematicii” şi iată ce soluţie am găsit eu în acest sens. În reportajul  The Story of Maths realizat şi prezentat de către profesorul Marcus du Sautoy de la Universitatea din Oxford şi produs de canalul BBC FOUR, acesta ne prezintă cum ar fi efectuat vechii egipteni împărţirea a 9 lipii la 10 oameni. Este un procedeu inedit pentru noi, care ne arată cum funcţiona gândirea vechilor egipteni în sensul fracţionalităţii (cel puţin încearcă acest lucru). Un al doilea punct de inspiraţie l-au reprezentat articolele profesorului Ernst Bindel din anii ’60 (autor cunoscut în matematica şcolilor Waldorf), dar am găsit referiri despre acestea şi la Florica T. Câmpan.

Merită să zăbovesc puţin la această problemă – împărţirea a 9 lipii la 10 oameni – , mai ales că eu fac la ora respectivă un adevărat spectacol. Concret, pentru a vizualiza cât mai clar fracţiunile şi felul în care acestea compun soluţia problemei, eu mă duc la ora de matematică dotat cu toate cele necesare: un pachet cu suficiente lipii, un ştergar, două funduri de lemn mari şi foarfeca din bucătărie. După ce am desenat la începutul orei fracţiunile (eu pe tablă şi elevii în caiete), facem un moment organizatoric. Îmi aranjez o bancă central în faţa clasei, astfel încât elevii să poată veni în semicerc în jurul meu, pe cel mult două rânduri, aşa încât să vadă fiecare de aproape ce voi face în continuare.

După ce îmi aranjez cele necesare încep: cum ar fi făcut vechii egipteni? Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Aici încep să tai lipii în jumătăţi cu foarfeca. Câte lipii trebuie să tai? întreb eu în timp ce tai, iar răspunsul vine imediat: cinci lipii. Aşa, deci acum am aici un teanc cu zece jumătăţi de lipie. Ce fac în continuare?Păi iau următoarele fracţiuni la rând, adică treimile … Mă opresc aici cu redarea dialogului, mizând pe faptul că vă veţi putea închipui şi dvs. restul pe baza pozelor tablei. După ce rezolv problema fizic, pe masă, tăind fracţiuni de lipie, elevii merg la locuri şi reluăm tot procesul în scris, eu pe tablă iar elevii în caiete.

Accentuez aici faptul că fac acest proces de două ori: o dată fizic, tăind lipii în faţa elevilor, iar a doua oară desenând cele întâmplate pe tablă. Astfel am convingerea că am făcut tot ce se putea omeneşte posibil şi într-un mod cât mai interesant, astfel încât elevii să înţeleagă şi să li se fixeze care este rostul numitorului, ce anume face acesta (numărătorul urmând să apară ulterior, adică cel mai devreme ora următoare, deci într-o altă zi).

Spre deosebire de alţi ani, iarna asta am avut o întâmplare inedită. La începutul dialogului evocat, la prima întrebare, până acum eu întrebam: cum ar fi făcut vechii egipteni? şi tot eu trebuia să şi răspund: Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Anul acesta însă, m-am trezit cu răspunsul potrivit de la un prichindel. Este vorba de un băieţel din părinţi sirieni. Am rămas mască: el nu ştia problema, dar cumva creierul său a funcţionat exact aşa cum îmi povestise Marcus du Sautoy că ar fi făcut vechii egipteni. Fabulos!

În imaginile cu tablă ataşate găsiţi lecţia despre fracţiuni, aşa cum am făcut-o eu anul acesta la una din clase. În acea oră am reprezentat pe lângă fracţiuni şi câteva fracţii (la clasa paralelă le-am prezentat cu totul separat).


Ataşez în continuare şi lecţia a doua (de la clasa paralelă, unde fracţiile au apărut doar în următoarea oră) pe baza căreia se vede cum am realizat transferul reprezentării grafice a fracţiilor, astfel încât fiecare elev să înţeleagă cu adevărat noţiunea de fracţie, ce anume reprezintă fiecare dintre cele două numere ce formează o fracţie. Se vede cum eu dau explicaţia teoretică în mod rezumativ, la finalul lecţiei, nu la început, aşa cum se obişnuieşte actualmente (copilul cunoaşte fracţiile intuitiv, iar apoi sintetizăm noţiunea).


Pentru cei care doriţi să aprofundaţi noţiunea de fracţii alicote (se pare că aşa s-ar numi ele oficial, deşi eu le-am spus fracţiuni, căutând o denumire mai accesibilă elevilor), ataşez şi un articol la care am lucrat intens prin 2013-2014, dar încă nepublicat. Nu pot susţine că actualmente mai sunt într-u totul de acord cu toate elementele din acel eseu, dar pentru eficienţa faţă de curiozitatea unora dintre dvs. merită să îl prezint chiar şi aşa cum a rămas în calculatorul meu, în varianta scurtă a muncii întreprinsă în acei ani (cu scuzele de rigoare am şi o amintire vagă că ar exista o greşeală la unul din exemple). Sunt sigur că cei care se vor entuziasma de subiect, vor putea găsi şi alte aspecte necuprinse în acest eseu. CTG

Fractiile-la-egipteni-VAR.SCURTA.pdf

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (1) – Împărţirea în cap

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. Manualele sale se pierd în negura timpului (avem unul chiar şi din perioada interbelică). A fost un metodist de excepţie, fiind acceptat ca autor şi în perioada comunismului sovietic. Pentru foarte mulţi Hollinger contează ca autor al manualelor de geometrie pentru clasele gimnaziale în anii ’60-’70. În 1981 manualele sale erau înlocuite cu unele pe o linie nouă, adaptată noilor “vremuri şi cerinţe”. Cumva însă a fost lăsat să mai “scrie” o culegere de probleme de geometrie, oarecum “testamentul său matematic”. Citez din prefaţa acestei cărţi:

Dacă la aritmetică şi algebră elevul mijlociu (!) îşi însuşeşte cel puţin un minim de cunoştinţe şi este capabil să le aplice, sînt foarte mulţi elevi care nu se aleg aproape cu nimic din tot ce li se predă la geometrie. Este adevărat că există o deosebire esenţială între formele de activitate care se cer elevilor la aceste două părţi ale matematicii: la prima predomină aspectul algoritmic, iar la a două raţionamentul. Totuşi consider că această inegalitate a rezultatelor se datoreşte şi modului de predare. La aritmetică şi algebră, ca elevul să-şi însuşească un lucru oarecare, el este pus să-l repete de foarte multe ori. De exemplu, ca să înveţe regula de trei simplă, elevul este pus să rezolve multe probleme care diferă doar prin semnificaţia concretă a numerelor; ca să înveţe să ridice un binom la pătrat, nu i se dă numai formula pentru (a + b)2, ci el este pus să facă multe exerciţii ca (2x + 1)2, (3a – 2b)2 etc. La geometrie, însă, după ce i se predă o teoremă sau un grup de teoreme, se trece imediat la probleme complexe în care elevul regăseşte cu greu situaţia simplă, schematică a figurii care s-a folosit atunci cînd s-a predat teorema respectivă. Ideea despre care am spus m-a determinat să alcătuiesc aceste Exerciţii este de a folosi în predarea geometriei o metodă asemănătoare cu cea folosită în aritmetică şi algebră, şi anume de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale. Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii şi urcă în pantă lină la problemele complexe. Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3).

Am citit de multe ori acest pasaj ce m-a impresionat. Există marile probleme ale geometriei, dar pentru a putea porni primii paşi în geometrie, elevii au nevoie de nişte aşa-zise “probleme” care să le fie accesibile, simple şi totuşi să le pună mintea în mişcare. Astfel de probleme nu existau, aşa încât dânsul a început să le compună. Putem să vedem aceste probleme ca pregătitoare pentru adevăratele probleme de geometrie. Culegerile lui Grigore Gheba aveau probleme de geometrie din acelea grele, complexe; cele ale lui Hollinger erau mai “pentru începători”. Acestea se regăsesc oricum şi în manualele pentru clasele VI-VIII din anii ’60-’70. De fapt Holiinger compusese aceste probleme pentru manuale, adică pentru elevul “mijlociu” (vă sună cunoscut, apropos de corpul central al Clopotului lui Gauss?).

Cum am mai zis, am citit de multe ori acest pasaj, iar cu timpul ideea a început să lucreze în mintea mea, generând în acest sens o nouă normalitate: este normal să fii atent la evoluţia elevilor şi la nevoile lor (mai ales a elevului “mijlociu”), iar dacă observi că învăţarea merge greu, atunci este normal să inserezi exerciţii sau paşi noi de predare (desigur mai mici) pentru pregătirea lecţiilor de bază.

Ce doresc eu să vă prezint acum nu este însă rezultatul unui proces conştient de imitare a lui Hollinger, ci mai degrabă o analiză ulterioară a drumului de generare a unei noi lecţii, cu exerciţiile aferente. Fără să-mi dau seama am făcut acelaşi lucru ca dânsul: văzând că lucrurile merg tare greu, am încercat să înteleg de ce, iar apoi am început să generez exerciţii pregătitoare (ordonate într-o lecţie, că aşa dă bine) pentru pregătirea unui pas necesar la o lecţie oficială. Despre ce este vorba?

În semestrul I din clasa a 5-a elevii învaţă să descompună numerele naturale în factori primi. Metoda folosită este cea “cu bară”, cunoscută de toată lumea şi considerată de toţi drept o banalitate. O fi aceasta o banalitate, doar că mulţi elevi (părerea mea că peste 50-70% din populaţia şcolară) nu o înţeleg din prima. Unii o mai înţeleg în perioada următoare, dar rămân oricum o parte importantă care apucă să o înţeleagă doar dacă îi ajută cineva (un membru al familiei sau un profesor angajat particular). Ultimii “mohicani” o înţeleg de-abia prin clasa a 7-a când se dumiresc, odată cu scoaterea factorilor de sub radical. Dar, de ce este atât de grea descompunerea pentru mulţi elevi? Simplu: aceasta se bazează pe împărţirea ce se cere automat făcută în cap (la numere mici, cele prime, cum ar fi 2, 3, 5, cel mult la 7 sau 11). Până în acel moment însă, nimeni nu le-a cerut elevilor să înveţe şi să-şi exerseze împărţirea în cap. Toţi ştiu să facă împărţiri scrise (chiar la numere mai mari), dar acum trebuie să le facă în cap şi asta repede (că n-avem timp de pierdut, să tot exersăm!). Bănuiesc că unii profesori nici măcar în timp ce-i învaţă descompunerea nu le atrag atenţia că ei, elevii, trebuie acolo să facă mai multe împărţiri în cap, toate într-o succesiune în cascadă la o singură descompunere.

Eu sigur nu am pretenţia să fiu atât de deştept încât să-mi fi dat seama că aici este nevoie de inserarea unui pas intermediar, dar “zeii matematicii” m-au ajutat şi mi-au trimis o sursă de inspiraţie: în urmă cu cca. 15 ani m-am ocupat o vreme cu un băieţel de a 6-a a cărui familie se mutase de la Vienna. La un moment dat am observat la acesta un mod ciudat de a face împărţirile; mi-a spus că aşa le învăţase în clasa a 5-a în Austria. Le-am reluat, le-am înţeles şi am văzut că acestea erau o modalitate de împărţire într-o formă intermediară între algoritmul complet şi împărţirea integral în cap.

Am început să le-o arăt elevilor ocazional, iar cu timpul s-a cristalizat o lecţie. Pentru ca descompunerea numerelor să meargă “şnur” era bine să inserez înainte, de pildă în perioada de recapitulare de la începutul clasei a 5-a, această nouă metodă, cât şi ulterior cerinţa de a ajunge să facem împărţiri în cap.

Este evident că toţi elevii ce parcurg exerciţiile din acest pas intermediar pot apoi să treacă uşor la împărţirile în cap. Iar, ulterior, când vine descompunerea numerelor în factori, toţi elevii care au învăţat împărţirile în cap, toţi aceştia vor înţelege din prima şi descompunerea. Este atât de simplu!

Concret, am generat o lecţie (ce se poate întinde lejer pe 2 ore), compusă din trei părţi. Partea întâi reprezintă o recapitulare simplă a algoritmului de impărţire scrisă. Fac aici o mică “paranteză”: pentru exersarea şi fixarea rapidă de către cât mai mulţi elevi a algoritmului împărţirii, eu consider că elevii trebuie să primească să exerseze situaţii cu deîmpărţit mai lung (pentru repetarea “algoritmică”), dar cu împărţitor relativ mic. Anume, pentru împărţitori trebuie alese numere cât mai mari, dar cu “tabla înmulţirii” accesibilă (cu şirul de multiplii lesne), cum ar fi de o cifră mai mare (7, 8, 9) sau de două cifre (11, 12, 15, 20; 25), eventual asimilabile cu acestea (tabla înmulţirii cu 24 are elementele puţin mai mici decât cea cu 25). Ar mai merge eventual împărţiri la 111 (dar nu ştiu care este câştigul); obiectivul nostru este ca elevii să ajungă să poată împărţi în cap la 2, 3, 5, cel mult 7 sau 11.

Partea a doua aduce împărţirea din Austria, pe care o denumesc la clasă “cu proba în cap” (aici denumesc totodată şi partea întâi ca împărţire “cu proba scrisă”). Apoi vine partea a treia, denumită simplu “împărţirea în cap”. Poza de mai sus (pe o tablă foarte curată) conţine pe scurt doar paşii noi pentru dvs. Mai am un set de poze, cu toţi cei trei paşi, dar pe o tablă execrabilă. Pentru înţelegere de ansamblu mai bună merită însă să le prezint şi pe acestea.


Pentru cei doritori de mai mult, lecţia poate primi şi o prelungire, anume înmulţirea în cap cu numerele 5; 2 sau 25 (care de fapt reprezintă o aplicaţie a împărţirii în cap la 2; 5 respectiv 4, cu ataşarea în final a unui zero, sau a doi de zero). Şmecheriile întotdeauna le plac elevilor şi îi atrag.

Pentru cei doritori ataşez în final şi fişa de lucru aferentă acestei lecţii. Este facută astfel încât să o imprimaţi pe ambele feţe, apoi să o tăiaţi în două, iar elevii să primească o fişă faţă-verso în format A5 (făcând astfel economie la hârtie). CTG

Fișă-Împărțiri-în-cap-1.pdf

P.S. Putem considera cele de mai sus ca un prim exemplu. În contextul celor spuse de prof. Hollinger, cu timpul am mai generat paşi pregătitori şi la alte lecţii, cum ar fi de pildă fractiunile ca pregătire a studiului fracţiilor ordinare, dar despre asta cu o altă ocazie.