Happy 55th anniversary to me

├Än lucrarea Bazele spirituale ale numerelor de Ernst Bindel (Die geistigen Grundlagen der Zahlen; Ed. Freies Geistesleben, Stuttgart, edi┼úia a 5-a 1998), ├«n primul capitol Despre om ┼či primele zece numere, la pagina 20 autorul ├«l cita pe Sf. Martin, care cuprindea totalitatea primelor zece numere ├«ntr-o singur─â sum─â: 1 + 2 + 3 + … + 10 = 55. Acest fel de adunare este numit─â o adunare ├«n sensul ├«n┼úelepciunii divine. Num─ârul zece apare ┼či ├«n rezultat sub forma celor doi de 5 al─âtura┼úi.

Despre importan┼úa deosebit─â acordat─â sumelor Gauss de c─âtre spiritualitatea cre┼čtin─â am mai vorbit. Ca intelectual cu baze profund ┼čtiin┼úifice, la ├«mplinirea v├órstei de 55 ani, astfel de g├ónduri ar trebui s─â-mi cauzeze cel mult o ridicare de spr├óncean─â ┼či un z├ómbet fin ├«n col┼úul gurii. Mult mai interesant─â pare ├«ns─â discu┼úia dac─â observ─âm c─â num─ârul 55 apare ┼či ├«n ┼čirul lui Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 55, … Da,da! ┼×i ghici pe ce pozi┼úie apare 55 acolo? Uau! Poate, totu┼či este ceva special cu v├órsta asta de 55 de ani.

Ministrul Educa┼úiei, geometria vectorial─â ┼či renun┼úarea la semestre

Domnii din De┼čteptarea la Europa FM ÔÇô Vlad Petreanu, George Zafiu ┼či Luca Pastia ÔÇô au luat spre analiz─â ÔÇô c├óndva, prin februarie ÔÇô spusele D-lui Ministru despre materia mult prea ├«nc─ârcat─â, pe exemplul geometriei vectoriale, dar ┼či despre “reintroducerea trimestrelor”. Merit─â s─â-i asculta┼úi pe podcast la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ . C─âuta┼úi emisiunea din 16 februarie 2022, porni┼úi ├«nregisrarea la minutul 8:30 ┼či asculta┼úi c├óteva minute despre vectori, dar urm─âri┼úi apoi emisiunea p├ón─â la min. 23:00, ascult├ónd ┼či pasajul despre trimestre vs. semestre.

Prima parte este despre vectori ┼či ├«n general despre materii care nu le-au pl─âcut ascult─âtorilor c├ónd erau elevi. A doua parte (cam dup─â minutul 16), con┼úine o “analiz─â” a situa┼úiei de dup─â introducerea semestrelor ┼či “revenirea la trimestre”, care “e mai multe” (3┬á>┬á2). Emisiunea este din februarie, dinaintea de┼čtept─ârii din hibernare a marelui urs (de c├ónd preg─âtisem ┼či postarea, ├«n forma de atunci). ├Äntre timp am aflat c─â nu vom reveni de la 2 la 3, ci vom trece chiar la 5. Aha! Deci a┼ča vom cre┼čte calitatea ┼čcolii rom├óne┼čti! Acum am ├«n┼úeles! Da, da! Pentru c─â 5┬á>┬á3┬á>┬á2. Evident! g.e.d.

┼×ti┼úi ce problem─â m-a “chinuit” pe mine chiar din timpul ┼čcolii, dar ┼či mai t├órziu: oare, de ce le spunea trimestre? Pentru c─â erau 3? Adic─â pentru c─â anul ┼čcolar era ├«mp─âr┼úit ├«n trei p─âr┼úi (fapt sus┼úinut de ideea de semestru, de la semi, adic─â jum─âtate)? Sau pentru c─â erau de cca. 3 luni (cel pu┼úin primul)? Pentru c─â ├«n economie anul calendaristic era ├«mp─âr┼úit ├«n patru trimestre, fiecare de c├óte trei luni. Oare cum trebuie deci ├«n┼úeles cuv├óntul trimestru?

Oricum ÔÇô vorbesc serios acum, renun┼ú├ónd la tonul de pamflet ÔÇô eu m─â bucur de renun┼úarea la teze, pentru c─â mult circ ┼či zdroab─â am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai ├«n pandemie). Acesta este ├«ns─â un alt subiect, pe care-l voi trata cu o alt─â ocazie. Acela┼či lucru m─â g├óndesc s─â-l fac ┼či cu subiectul celor 5 “pentamestre” ├«n care va fi ├«mp─âr┼úit anul ┼čcolar de la toamn─â (├«n linii mari sunt de acord ┼či cu aceast─â mi┼čcare, dar s─â vedem concret cum se va ├«nt├ómpla; ├«mi este fric─â de un gol de directive, ca apoi s─â vezi ce le va mai trece unora prin cap!). Titus Pentatonicus

Despre alegerea demonstra┼úiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu ÔÇô O analiz─â (2)

La ├«nceputul lunii aprilie am fost aten┼úionat asupra unui articol de pe edupedu.ro; doar ├«n urma unei scurte priviri asupra acestuia (mai pu┼úin dec├ót o lectur─â “pe diagonal─â”); mi-am dat ├«ns─â atunci seama despre ce este vorba ┼či, consider├óndu-l valoros, m-am gr─âbit s─â-i fac publicitate. Fiind foarte ocupat, nu am apucat s─â-l citesc ├«n detaliu, dec├ót peste o s─âpt─âm├ón─â, dup─â intrarea ├«n vacan┼úa de Pa┼čte. Toate ideile cuprinse ├«n precedentul eseu ÔÇô O analiz─â (1) ÔÇô reprezint─â g├ónduri st├órnite doar de aceast─â prim─â ┼či scurt─â privire asupra articolului respectic, mai mult ├«ns─â a indign─ârii ├«n urma comentariilor v─âzute ├«n final (c├ónd mai aveam scurte momente libere mintea ├«mi fugea tot la aceste aspecte). Precedenta prim─â parte a analizei se bazeaz─â pe acele g├ónduri. P─âstr├ónd spectrul ideilor, ├«nainte de a trece la a doua parte, doresc s─â v─â ofer urm─âtorul:

A.S. (ante scriptum) ├Än paralel cu munca la aceast─â dubl─â analiz─â m─â mai g├óndeam ┼či la o continuare a seriei (brusc ├«ntrerupte) despre ideile g─âsite ├«n prefa┼úa culegerii din 1982 a Profesorului A. Hollinger, c├ónd ÔÇô Surpriz─â! ÔÇô spre finalul acelui text g─âsesc o trimitere la un mic set de trei demonstra┼úii prin arii la teorema lui Pitagora (├«n cadrul paragrafului 10.4 Demonstra┼úii bazate pe arii, pag. 95). Prima din cele trei “probleme” este urm─âtoarea:

10.4.4. Fie b ┼či c catetele ┼či a ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Se construiesc un p─âtrat cu latura b┬á+┬ác ┼či patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, a┼čezate ca ├«n figura 61. Apoi se construiesc patru triunghiuri congruente cu triunghiul dat, a┼čezate ca ├«n figura 62. S─â se calculeze aria p─âr┼úii din p─âtrat care r─âm├óne neacoperit─â de triunghiuri ┼či s─â se compare rezultatele. Ce teorem─â se ob┼úine? (din motive tehnice am a┼čezat poza culcat)

Acest exemplu vine “la ┼úanc” pentru cei care ar considera disputa iscat─â de articolul ini┼úial ca fiind una ├«ntre “matematica lor, a celor din vest” ┼či “matematica noastr─â”. Nici vorb─â de a┼ča ceva. Textul ┼či pozele de mai sus sunt luate din culegerea profesorului A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactic─â ┼či Pedagogic─â, 1982. Nu am la ├«ndem├ón─â manualele d├ónsului, ├«ns─â b─ânuiesc c─â demonstra┼úia respectiv─â se g─âse┼čte ┼či acolo.

Dar s─â revenim la analiza noastr─â. Pe c├ónd ├«ncepusem s─â lucrez la redactarea acesteia am v─âzut c─â de fapt articolul era preluat de pe blogul CEAE ÔÇô Centrul de evaluare ┼či analize educa┼úionale (iat─â adresa articolului ini┼úial: https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ ). Lectur├óndu-l cu mai ap─âsat─â aten┼úie, am g─âsit multe aspecte noi ce ar merita discutate. ├Än acest sens permite┼úi-mi s─â reiau integral articolul respectiv, dar s─â-l ├«ntrerup din c├ónd ├«n c├ónd cu comentariile ┼či accentu─ârile mele personale (citatele din articolul CEAE sunt scrise ├«nclinat, iar comentariile mele intercalate ne├«nclinat).

*

Cum este demonstrat─â Teorema lui Pitagora ├«ntr-un manual german de matematic─â. O compara╚Ťie cu Rom├ónia

├Ämi exprimam p─ârerea ├«n prima parte a analizei c─â ar fi de evitat astfel de compara┼úii (chiar din titlu), care pot st├órni ego-ul ├«n sufletul unor colegi. Din acest motiv, discu┼úia ar trebui s─â se mute din zona “nem┼úii au cele mai bune ma┼čini ┼či cele mai tari autostr─âzi, dar noi avem cea mai tare matematic─â din lume”, ├«ntr-o zon─â mai pragmatic─â pentru noi, anume ├«n zona argumentelor psihopedagogice, ├«n zona nevoilor ┼či a posibilit─â┼úilor fiec─ârei v├órste ┼čcolare, de fapt ├«ntr-o zon─â metodico-didactic─â realist─â. Pura ├«nt├ómplare m-a ajutat s─â pot face repede divaga┼úia spre americani, dar de fapt noi ar trebui s─â ie┼čim din starea de a lua lucrurile de-a gata de la str─âini (alteori ne apuc─â cu finlandezi sau cu britanicii etc.), ┼či s─â ├«ncepem s─â decidem ra┼úional ce este nevoie cu adev─ârat pentru a vindeca predarea matematicii ├«n ┼čcolile rom├óne┼čti (mai ales ├«n ciclul gimnazial, unde materia este obligatorie pentru to┼úi elevii, neselecta┼úi oficial; astfel, noi ar trebui s─â punem un mai mare accent pe satisfacerea ├«n mod echilibrat a nevoilor tuturor categoriilor de elevi). Asta nu ├«nseamn─â s─â nu ne uit─âm la ce fac ceilal┼úi, pentru c─â ┼či de acolo ne pot veni idei bune: ne uit─âm ┼či la unii ┼či la al┼úii, analiz─âm, judec─âm, dezbatem, iar dup─â o vreme poate reu┼čim s─â lu─âm decizii mai bune. Importante sunt criteriile pe baza c─ârora decidem (├«n anii ’80 criteriile au fost de performan┼ú─â pentru olimpiade ┼či rigurozitate teoretic─â, iar acestea nu au fost clar ┼či oficial abandonate nici ├«n ziua de azi; prima categorie s-a transformat doar cu numele, ├«n excelen┼ú─â, pe c├ónd a doua a suferit o serie de amput─âri, actualmente ajung├óndu-se ├«ntr-o ciudat─â degringolad─â). Dar s─â revenim la articolul nostru:

Suma p─âtratelor catetelor este egal─â cu p─âtratul ipotenuzei. A╚Öa sun─â una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidian─â, pe care mul╚Ťi am ├«nv─â╚Ťat-o ca pe o poezie ├«n gimnaziu: a┬▓ +┬áb┬▓┬á=┬ác┬▓.

Trebuie s─â apreciez ├«n aceast─â interven┼úie textul teoremei, adic─â enun┼úarea rela┼úiei f─âr─â folosirea cuv├óntului “lungimea”. Despre acest aspect am scris pendelete ├«n postarea din 22 februarie 2019, de la adresa http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ (cu aten┼úionarea c─â de fapt sunt trei articole ├«n cascad─â). Eseul respectiv con┼úine inclusiv elemente evocate mai jos. S─â continu─âm cu articolul CEAE:

Teorema lui Pitagora a primit de-a lungul timpului numeroase demonstra╚Ťii, dintre care unele geometrice, foarte frumoase. Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprim─â u╚Öor ├«n minte, c├ót mai ales de a putea fi f─âcute chiar de ei pe baza cuno╚Ötin╚Ťelor elementare pe care le de╚Ťin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoi╚Ťi s─â memoreze formula f─âr─â s─â o ├«n╚Ťeleag─â, iar ├«n eventualitatea ├«n care o uit─â au la ├«ndem├ón─â o cale rapid─â pentru a o determina din nou.

Autorul articolului precizeaz─â clar (numai s─â avem “ochi s─â vedem ┼či urechi s─â auzim”): el ne vorbe┼čte despre numeroase demonstra╚Ťii, dintre care unele geometrice (aha, deci exist─â demonstra┼úii geometrice ┼či demonstra┼úii algebrice!), acestea foarte frumoase (adic─â atractive pentru sufletul ┼či mintea elevului). Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprim─â u╚Öor ├«n minte (aici, afirma┼úia aproape se atinge cu cele spuse de Profesorul Hollinger ├«n prefa┼úa ultimei sale culegeri), c├ót mai ales de a putea fi f─âcute chiar de ei pe baza cuno╚Ötin╚Ťelor elementare pe care le de╚Ťin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoi╚Ťi s─â memoreze formula f─âr─â s─â o ├«n╚Ťeleag─â,(…)

Da, socrul meu avea prin anii ’90 un elev care ┼čtia s─â turuie textul teoremei lui Pitagora cu o vitez─â de invidiat, dar habar nu avea despre cum s─â o foloseasc─â ├«n calculele din probleme: “M─âi, p─âi ┼čtii sau nu teorema lui Pitagora?”. “Ba da!” r─âspundea acesta ┼či ├«ncepea s─â o turuie de la cap─ât. ├Än primul aliniat chiar este folosit─â expresia “mul╚Ťi am ├«nv─â╚Ťat-o ca pe o poezie ├«n gimnaziu”. ├Än acest sens trebuie s─â precizez c─â eu nu le cer elevilor s─â ┼čtie pe de rost textul teoremei. Revenim la citatele articolului CEAE:

Exist─â pe YouTube o serie de anima╚Ťii ╚Öi de experimente filmate, ├«n care copiii pot vedea imediat cum suma ariilor p─âtratelor care au ca laturi catetele a┬á╚Öi┬áb este egal─â cu aria p─âtratului care are ca latur─â ipotenuza┬ác. Acest lucru poate fi f─âcut, de exemplu, ├«mp─âr╚Ťind p─âtratele ├«n p─âtrate mai mici, colorate, egale ca dimensiune. Copiii le pot num─âra ╚Öi pot constata ei ├«n╚Öi╚Öi rela╚Ťia de egalitate.

Apreciez ┼či savurez din plin faptul c─â autorul/autorii articolului au trecut textul teoremei din zona numeric─â (p─âtratul lungimii ipotenuzei) ├«n zona fenomenologic─â a ariilor (aria p─âtratului ipotenuzei), mult mai “vizibil─â” pentru ochiul ne-experimentat al elevului mediu. Trec astfel peste faptul c─â au ├«nc─ârcat textul cu alte cuvinte (“aria p─âtratului care are ca latur─â ipotenuza┬ác” ├«n loc de “aria p─âtratului pe ipotenuza┬ác, sau chiar “aria p─âtratului ipotenuzei┬ác), pun├ónd acest gest pe faptul c─â au vrut s─â accentueze clar la adresa cititorilor mutarea de accent. Elevilor putem s─â le d─âm desigur o variant─â c├ót mai simpl─â, c├ót mai scurt─â deci, pentru c─â oricum vor fi mul┼úi ├«nclina┼úi (sau pu┼či de c─âtre p─ârin┼úi) s─â ├«nve┼úe textul pe de rost. ┼×i dac─â ei ├«nva┼ú─â textul ca o poezie, noi trebuie s─â venim ├«n ├«nt├ómpinarea lor, astfel ├«nc├ót mintea lor s─â poat─â face c├ót mai u┼čor conexiunea cu cele v─âzute. ├Än acest sens, cuvintele ne-esen┼úiale trebuie reduse la maximum. S─â revenim la articolul analizat, unde g─âsim un magistral exemplu de predare prin problematizare:

├Äntr-un experiment de pe YouTube, vedem o dovad─â experimental─â c─â Teorema lui Pitagora este adev─ârat─â. Ea este f─âcut─â cu ajutorul apei ╚Öi ea poate reprezenta un bun punct de plecare al unei lec╚Ťii despre Teorema lui Pitagora, pe care profesorul o poate ├«ncepe cu o ├«ntrebare. De ce crede╚Ťi c─â se ├«nt├ómpl─â asta? Ceea ce v─âd elevii c─â se petrece ├«n experiment ├«i nedumere╚Öte/ contrariaz─â ╚Öi ├«i face curio╚Öi s─â afle de ce se ├«nt├ómpl─â a╚Öa lucrurile. Mai mult, ├«╚Öi vor reaminti cu pl─âcere experimentul ╚Öi peste 10-20 de ani. (aici este ata┼čat filmule┼úul┬á de pe youtube, de la urm─âtoarea adres─â https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o )

S─â l─âmurim deci aceast─â sugestie: dac─â ├«mp─âr┼úirea p─âtratelor construite pe laturile triunghiului ├«n p─âtr─â┼úele egale (de pild─â cum am f─âcut eu cu p─âtr─â┼úele de ciocolat─â) ne sugereaz─â egalitatea din teorema lui Pitagora pentru lungimi ├«ntregi, varianta din filmule┼úul cu ap─â ce echivaleaz─â p─âtratul ipotenuzei cu p─âtratele catetelor se elibereaz─â de spectrul lungimilor numere ├«ntregi (adic─â a tripletelor pitagorice) ┼či deschide poarta pentru un pas intuitiv spre orice lungimi la laturile triunghiului dreptunghic. Chiar dac─â nu-┼či dau seama pe loc de acest pas, se prea poate ca unii din elevi s─â realizeze ulterior ce s-a ├«nt├ómplat. Aici ariile nu mai sunt ├«mp─âr┼úite ├«n p─âtr─â┼úele, ca un fel de unit─â┼úi de m─âsur─â, ci “curg” ├«n mod continuu ├«ntre cele dou─â situa┼úii echivalente (apa din p─âtratele catetelor curge efectiv ├«n p─âtratul ipotenuzei). Situa┼úia r─âm├óne ├«ns─â ├«n spectrul vizualiz─ârii simple, f─âr─â a avea preten┼úia unei demonstra┼úii adev─ârate.

Pe vremuri am avut tentativa de a construi pe o plan┼č─â p─âtratele din exteriorul unui triunghi dreptunghic, m─ârginite cu o bordur─â de carton mai gros, de cca. 1-2┬ámm. Apoi puneam c├ót mai dens un strat de boabe de orez ├«n interiorul p─âtratelor catetelor. ├Än final luam toat─â aceast─â cantitate de orez ┼či o rearanjam ├«n p─âtratul ipotenuzei, justific├ónd astfel ├«n mod vizual practic afirma┼úia din teorema lui Pitagora (merge ┼či altfel: umplem toate p─âtratele, iar apoi compar─âm cantit─â┼úile, fie num─âr├ónd boabele, fie c├ónt─ârindu-le). Boabele mele de orez reprezentau astfel o trecere de la p─âtr─â┼úelele ├«n care sunt descompuse cele trei mari p─âtrate (reprezent├ónd numerele ├«ntregi), c─âtre forma lichid─â (reprezent├ónd chiar ┼či m─ârimile ira┼úionale). Nu pot s─â sus┼úin c─â am fost foarte entuziasmat de experimentul respectiv (consum─â foarte mult timp), dar acum acesta cap─ât─â o relevan┼ú─â interesant─â. S─â revenim ├«ns─â la articolul CEAE:

Urmeaz─â pasul 2 ÔÇô demonstrarea┬áTeoremei lui Pitagora. Un exemplu interesant de demonstra╚Ťie este cel g─âsit ├«ntr-un manual german de matematic─â de clasa a IX-a, publicat de Ernst Klett Verlag ╚Öi utilizat ├«n landul Baden-W├╝rttemberg.

Dac─â a┼úi ratat momentul v─â aten┼úionez eu acum: demonstra┼úia respectiv─â apare ├«ntr-un manual pentru clasa a 9-a. Aha! Numai pu┼úin, s─â ne l─âmurim: Ei num─âr─â clasele ├«ncep├ónd de la prima (noi avem mai ├«nt├ói clasa preg─âtitoare), adic─â de la intrarea la ┼čcoal─â dup─â ├«mplinirea v├órstei de 6 ani, cum ar fi ┼či normal. A┼čadar, clasa lor a 9-a corespunde ca v├órst─â clasei noastre a 8-a, cu deosebirea c─â ei nu au dup─â acest an examen. Astfel, ├«n┼úelegem c─â diferen┼úa este de doar un an, adic─â noi facem teorema lui Pitagora doar cu un an mai repede (dac─â nu lu─âm ├«n considerare experimentul ciudat din finalul clasei a 6-a). Dar oare, acest manual nu reia doar teorema lui Pitagora? Ei mai fac uneori recapitul─âri din anii preceden┼úi.

Mai exist─â ├«ns─â un aspect de care ar trebui s─â ┼úinem cont: dup─â ├«ncheierea ciclului primar, ei au dou─â tipuri de ┼čcoli: Gymnasium (┼čcoli pentru elevii mai buni, din care se vor selecta cei care vor merge ┼či la facult─â┼úi, cuprinz├ónd clasele 5-12) ┼či Realschule (┼čcoli pentru elevii mai pu┼úin ├«nclina┼úi spre ├«nv─â┼ú─âtur─â, din care se va forma viitoarea “clas─â muncitoare”, ├«ncep tot ├«n a 5-a, dar nu ┼čtiu clar c├ónd se termin─â; este interesant c─â la ei cuv├óntul real reprezint─â faptul c─â ┼čcoala este mai apropiat─â de realitatea vie┼úii cotidiene, pentru elevii mai practici, dar ne├«nclina┼úi spre ├«nv─â┼úarea teoretic─â; la noi cuv├óntul real ├«nseamn─â cu totul altceva).

Ca o parantez─â la discu┼úia noastr─â, selec┼úia pentru cele dou─â “filiere” se face la finalul clasei a 4-a, exclusiv pe baza caracteriz─ârilor f─âcute de c─âtre ├«nv─â┼ú─âtori, caracteriz─âri deosebit de obiective, profesionist organizate pe itemi clari, cuprinz├ónd o analiz─â detaliat─â ┼či verificabil─â a multor aspecte din evolu┼úia ┼či din capacit─â┼úile dovedite de fiecare elev ├«n parte. Familiile elevilor nu au nici cel mai mic cuv├ónt de spus ├«n aceast─â selec┼úie: copilul este repartizat ├«n urma studiului obiectiv ┼či gata.

Pe baza informa┼úiilor oferite, noi nu ┼čtim ├«n acest moment pentru care tip de ┼čcoal─â este manualul din care sunt preluate imaginile din articolul CEAE. La o analiz─â serioas─â a subiectului, aceste aspecte ar putea avea o oarecare relevan┼ú─â. Poate c─â ├«n manualele pentru Gymnasium teorema lui Pitagora se face ├«n clasa lor a 8-a, pe c├ónd la Realschule de abia ├«n a 9-a. Este clar c─â o comisie care ar face o astfel de analiz─â cum vorbeam mai sus, ar trebui s─â ia ├«n calcul toate aceste aspecte.

Pe de alt─â parte, de vreme ce discu┼úia alegerii unei demonstra┼úii la teorema lui Pitagora ne intereseaz─â oricum pentru clasa a 7-a, aspectul filierei manualului din Germania ├«┼či pierde importan┼úa: ├«n clasa a 7-a noi ├«nc─â nu am selecta┼úi elevii, a┼ča ├«nc├ót trebuie s─â venim cu o demonstra┼úie c├ót mai accesibil─â majorit─â┼úii (elevului mediu, cum spunea Hollinger). Dar, s─â revenim la articolul CEAE:

Se construie╚Öte un p─âtrat cu latura de lungime a┬á+┬áb ╚Öi se deseneaz─â apoi patru triunghiuri dreptunghice, cu catetele a ╚Öi b ca ├«n figura din mijloc. Plec├ónd de la aceast─â imagine, copii sunt pu╚Öi s─â se g├óndeasc─â cum ar putea demonstra Teorema lui Pitagora mut├ónd pozi╚Ťia triunghiurilor; desigur, nu li se arat─â imaginea din dreapta c├ónd li se cere acest lucru.

Mai ├«nt├ói, ei observa c─â spa╚Ťiul alb care r─âm├óne ├«n figura din mijloc este reprezentat de un patrulater cu laturile egale, de lungime c. Ar─ât─âm c─â este vorba despre un p─âtrat, demonstr├ónd c─â are un unghi de 90 de grade ÔÇô este vorba despre unghiul ╬┤. Astfel, sc─âdem din unghiul de 180 de grade suma unghiurilor ╬▒ ╚Öi ╬▓, despre care ╚Ötim (pe baza propriet─â╚Ťilor triunghiului dreptunghic) c─â este de 90 de grade. Se pot face demonstra╚Ťii similare ╚Öi pentru celelalte 3 unghiuri ale patrulaterului cu latura c. Prin urmare, acesta este un p─âtrat, iar suprafa╚Ťa sa este c┬▓.

Ulterior, elevii trebuie s─â se g├óndeasc─â cum ar putea s─â mute triunghiurile a.├«. s─â rezulte dou─â p─âtrate de laturi a ╚Öi b. Dup─â ce se translateaz─â trei din cele patru triunghiuri dreptunghice, ele vor ajunge ├«n pozi╚Ťiile pe care le vedem ├«n cea de-a treia figur─â. Vom ob╚Ťine astfel dou─â p─âtrate mai mici, av├ónd ca laturi cateta a, respectiv b. Suprafa╚Ťa total─â a spa╚Ťiului alb r─âm├óne aceea╚Öi ca ├«n figura din mijloc. De aceast─â dat─â nu vom mai avea ├«ns─â un singur p─âtrat, ci dou─â, cu suprafe╚Ťe mai mici. Exist─â ╚Öi alte moduri de translatare a triunghiurilor a.├«. s─â se ob╚Ťin─â cele dou─â p─âtrate de laturi a ╚Öi b.

A╚Öadar suma suprafe╚Ťelor celor dou─â p─âtrate, a┬▓┬á+┬áb┬▓, este egal─â cu suprafa╚Ťa p─âtratului mare, c┬▓. Chiar dac─â unii elevi nu vor reu╚Öi s─â g─âseasc─â singuri solu╚Ťia, ei o vor ├«n╚Ťelege c├ónd le va fi prezentat─â de profesor.

Intervin aici întrerupând articolul CEAE cu o scurtă idee practică: cred că îmi voi construi din carton o astfel de machetă pe care elevii să poată translata cu adevărat triunghiurile; mai exact, cred că voi face mai multe seturi, astfel încât să-i pun să lucreze pe grupe.

├Än alt─â ordine de idei ÔÇô pentru cei care-mi lectureaz─â constant articolele ÔÇô mai ┼úine┼úi minte afirma┼úia d-ne Birte Vestergaard? Elevii buni la matematic─â vor avea bucuria c─â “eu am descoperit asta!”, pe c├ónd cei slabi se vor bucura c─â “eu am ├«n┼úeles asta!”. Elevilor buni trebuie s─â le oferim ocazia s─â descopere demonstra┼úia (iar pentru asta trebuie s─â-i pui s─â cerceteze, adic─â s─â predai prin problematizare; iar dac─â o faci pe grupe, mai mul┼úi elevi vor avea ocazia de a se implica, de a descoperi chiar ei), iar ├«n final elevilor mai slabi trebuie s─â le-o explic─âm, oferindu-le ┼či lor ocazia s─â ├«n┼úeleag─â demonstra┼úia (Chiar dac─â unii elevi nu vor reu╚Öi s─â g─âseasc─â singuri solu╚Ťia, ei o vor ├«n╚Ťelege c├ónd le va fi prezentat─â de profesor).

Uau! Vede┼úi? Nu trebuie neap─ârat s─â prelu─âm idei doar din “str─âinezia”; ┼či la noi sunt oameni care spun lucruri de valoare; trebuie doar s─â avem aplecarea s─â-i ascult─âm cu aten┼úie. Dar dac─â auzim acelea┼či lucruri spuse ┼či de unii ┼či de al┼úii, atunci este cu at├ót mai conving─âtor. S─â revenim la studiul nostru:

├Än Germania, lec╚Ťia despre Teorema lui Pitagora este predat─â conform paradigmei constructiviste. Pentru a o demonstra, elevii pleac─â de la ceea ce ╚Ötiau de dinainte ÔÇô cum se determin─â aria p─âtratului. Astfel, ei nu vor trebui s─â memoreze c─â a┬▓┬á+┬áb┬▓┬á=┬ác┬▓, f─âr─â s─â o ├«n╚Ťeleag─â (cum se ├«nt├ómpl─â ├«n cazul unora dintre ei ÔÇô dintre elevii no┼čtrii). Dac─â vor uita formula peste ani de zile, vor putea s─â ajung─â ├«ntr-un mod logic ╚Öi intuitiv la ea.

Da! Da! Da! De cur├ónd m-am uitat ├«ntr-un “manual auxiliar” pentru clasa a 6-a (deci nu ├«ntr-un manual oficial). Ideea de a demonstra (a┼čadar primele demonstra┼úii), de a justifica m─âcar superficial un rezultat cuprins ca teorem─â (mediana pe ipotenuz─â, cateta opus─â unghiului de 30o, sau reciprocele), aceast─â idee lipse┼čte cu des─âv├ór┼čire acolo (unele nu au nici m─âcar figur─â al─âturat─â pentru a sus┼úine ├«n┼úelegerea elevilor). Acea “lec┼úie” despre triunghiul dreptunghic (din finalul clasei, deci care ar fi putut con┼úine anumite justific─âri ├«n loc de demonstra┼úii), aceasta este doar o colec┼úie de texte de ├«nv─â┼úat pe de rost, f─âr─â orice urm─â de ├«n┼úelegere pentru elevi. Lec┼úia respectiv─â se ├«ncheie cu teorema lui Pitagora, ce le este dat─â elevilor exact cum este spus mai sus: ├«n orice triunghi dreptunghic, avem a┬▓┬á+┬áb┬▓┬á=┬ác┬▓! At├ót, nimic mai mult!

“Care-i problema?”, ve┼úi spune, fiind vorba despre un auxiliar. C├ónd ├«ns─â manualul folosit de clasa respectiv─â este ┼či mai slab, exist├ónd recomandarea explicit─â a profesoarei de la clas─â de a nu-l folosi (dar, am verificat ┼či eu pe concret, ┼či chiar e de toat─â jena!), atunci auxiliarul cap─ât─â o importan┼ú─â mult mai mare ┼či ar trebui s─â ac┼úioneze ca “o plas─â de siguran┼ú─â” pentru formarea g├óndirii elevului (mai ales c─â profesoara respectiv─â obi┼čnuie┼čte a-i pune pe elevi s─â copieze lec┼úia din carte!).

Simt aici un fenomen ciudat: pe de-o parte, ca autori de manuale, unii colegi se simt obliga┼úi s─â dea demonstra┼úii c├ót mai elevate, c├ót mai sofisticate, ├«n ultim─â instan┼ú─â c├ót mai grele, accesibile c├ótor mai pu┼úini elevi; pe de alt─â parte consider─âm demonstra┼úiile total nerelevante (pentru lec┼úia de zi-cu-zi, de pild─â ├«n preg─âtirea evalu─ârilor, a examenelor etc.), a┼ča ├«nc├ót, dac─â avem libertatea, cum ar fi ├«n cazul redact─ârii unor auxiliare, atunci elimin─âm cu totul ideea de a demonstra un rezultat important (“trebuie s─â-i ├«nve┼úe textul, c─â doar am scris c─â-i teorem─â”). Oare, o variant─â de mijloc nu ar fi mai s─ân─âtoas─â? S─â revenim la articol. A┼čadar:

Cum este abordată Teorema lui Pitagora în România?

Imaginea folosit─â ├«n manualul de matematic─â, de clasa a VII-a, publicat de Intuitext, are leg─âtur─â cu via╚Ťa real─â ÔÇô o scar─â sprijinit─â de o cas─â, pe care ni╚Öte copii trebuie s─â se urce pentru a ajunge la un cuib de p─âs─âri. Elevii sunt pu╚Öi s─â afle lungimea sc─ârii (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) ╚Ötiind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu genereaz─â ├«ns─â un conflict cognitiv ├«n mintea elevului. Sara reu╚Öe╚Öte s─â calculeze rapid lungimea sc─ârii, folosind formula f─âcut─â ├«n clasa a VI-a (c┬▓┬á=┬áa┬▓┬á+┬áb┬▓). ├Än acest manual, se face ╚Öi demonstra╚Ťia teoremei ÔÇô pentru aceasta se porne╚Öte de la teorema catetei pe care copiii trebuie s─â ╚Öi-o aminteasc─â din clasa a VI-a: ├«ntr-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometric─â dintre lungimea proiec╚Ťiei sale pe ipotenuz─â ╚Öi lungimea ipotenuzei. Acest mod de a face demonstra╚Ťia nu este unul intuitiv pentru copii ╚Öi se bazeaz─â din nou pe aplicarea unei formule memorate (adic─â avem de-a face tot cu calcul algebric).

Acest aliniat ÔÇô analiza situa┼úiei din manualul Intuitext ÔÇô are mai multe aspecte ce merit─â analizate. Ideea de a porni de la o situa┼úie practic─â este deosebit de bun─â, d├óndu-i elevului o oarecare justificare a utilit─â┼úii elementelor de ├«nv─â┼úat. Aparent ┼či aceasta este o altfel de situa┼úie, doar c─â nimeni nu va calcula ce lungime trebuie s─â aib─â scara, cu un rezultat de ┬á┬ám. ├Än situa┼úia respectiv─â, cu ├«n─âl┼úimea p├ón─â la strea┼čin─â de 5┬ám, era evident c─â este nevoie de o scar─â mai lung─â de at├ót. ┼×i c├ót mai lung─â? P─âi, nu-┼úi face nimeni o scar─â pe m─âsura nevoilor de moment. Cum arat─â ┼či desenul, probabil c─â este nevoie de o scar─â de 6┬ám (care trece pu┼úin de stra┼čin─â). A┼čadar, punerea problemei se vrea practic─â, dar se vede c─â autorii nu prea au experien┼ú─â despre ce ├«nseamn─â practic─â pentru omul de r├ónd.

├Äns─â, oricum, Sara ÔÇô de┼čteapta clasei ÔÇô nu se ├«mpiedic─â de astfel de aspecte. Eu m─â ├«ntreb, oare c├óte eleve cu numele de Sara au fost luate la mi┼čto de c─âtre colegi ├«n urma acestei situa┼úii ├«n diverse clase din ┼úar─â? Oare, nu-i d─â nimeni ├«n judecat─â pe ace┼čti autori, sau pe al┼úii pentru posibila generare de situa┼úii favorizante de bullying? N-am nimic cu folosirea numelor, dar Sara asta “se cam d─â de┼čteapt─â” ├«n fa┼úa colegilor s─âi. Imagina┼úi-v─â diverse scenarii posibile ├«ntr-o clas─â, ├«n care o oarecare Sara mai bun─â la ├«nv─â┼ú─âtur─â este catalogat─â drept tocilar─â.

├Än alt─â ordine de idei, aliniatul respectiv cred c─â are ┼či o gre┼čeal─â din partea autorilor de la CEAE, anume afirma┼úia c─â la demonstrare se porne╚Öte de la teorema catetei pe care copiii trebuie s─â ╚Öi-o aminteasc─â din clasa a VI-a. Nu trebuie s─â ┼či-o aminteasc─â din clasa a 6-a, pentru c─â nu se face atunci. Trebuie s─â ┼či-o aminteasc─â doar din lec┼úia precedent─â. Gre┼čeala este totu┼či insignifiant─â la nivelul ├«ntregului articol.

Toate acestea sunt ├«ns─â detalii; un aspect mai important ce ar trebui discutat este afirma┼úia ce am ├«ngro┼čat-o, anume c─â Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu genereaz─â ├«ns─â un conflict cognitiv ├«n mintea elevului. Oare ce a vrut s─â spun─â autorul articolului de la CEAE? ├Än alt─â ordine de idei, despre abordarea intuitiv─â a materiei am vorbit cu diferite alte ocazii. Punctez doar faptul c─â ┼či aici este amintit─â: Acest mod de a face demonstra╚Ťia nu este unul intuitiv pentru copii ╚Öi se bazeaz─â din nou pe aplicarea unei formule memorate.

Finalul aliniatului respectiv ÔÇô adic─â avem de-a face tot cu calcul algebric ÔÇô aduce ├«ns─â, chiar ┼či ├«n parantez─â, un aspect total neglijat ├«n Rom├ónia ultimilor 40 de ani, anume c─â la noi matematica este tras─â tot mai mult ├«n zona algebric─â a g├óndirii, ├«n detrimentul g├óndirii geometrice (g├óndirea numeric─â, algoritmic─â fa┼ú─â de g├óndirea spa┼úial─â, pe baz─â de forme). ┬áCe vrea s─â spun─â aceast─â afirma┼úie? “Doar, aici facem geometrie!”, ve┼úi spune.

Nu-i chiar a┼ča de simplu. Acesta este un subiect mult prea vast pentru a-l aborda acum, dar pot s─â dau aici un indiciu: ├«n lucrarea american─â evocat─â ├«n prima parte a analizei, demonstra┼úia despre care ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik este demonstra┼úia cu num─ârul 82 din capitolul cu demonstra┼úii algebrice! Da, demonstra┼úia respectiv─â este privit─â ca demonstra┼úie algebric─â. Dup─â ce “digera┼úi” acest fapt, pute┼úi s─â reciti┼úi ├«ntregul articol CEAE. P─âi, dac─â acea demonstra┼úie a fost considerat─â “algebric─â”, atunci demonstra┼úia folosind factorul comun ┼či teorema catetei (cea uzual─â la noi), cu at├ót mai mult este una algebric─â.

Chiar ┼či ├«n aliniatul urm─âtor este reluat─â ideea, fapt ce dovede┼čte cumva ├«nclina┼úia noastr─â spre algebrizarea oric─ârei demonstra┼úii. La noi, o demonstra┼úie este cu adev─ârat de b─âgat ├«n seam─â doar dac─â este redactat─â ├«ntr-un limbaj c├ót mai algebric. La noi doar limbajul algebric este considerat cel adev─ârat matematic. Dar s─â continu─âm cu articolul CEAE:

├Än┬ámanualul de la Editura Litera, sunt folosite figuri asem─ân─âtoare cu cele din manualul german, prezentate mai sus, copiilor le este l─âsat pu╚Ťin spa╚Ťiu pentru a ra╚Ťiona individual. Mai mult, ra╚Ťionamentul este complicat ╚Öi se merge tot pe calcul algebric. Pa╚Öii ra╚Ťionamentului sunt f─âcu╚Ťi acum ├«n sens invers, ├«ncep├ónd cu triunghiurile deja translatate (a se vedea imaginea din dreapta din manualul german). Dac─â elevii urm─âresc calculul din filmule╚Ťul de la pagina 201 a manualului, exist─â riscul pentru o bun─â parte dintre ei s─â piard─â cu u╚Öurin╚Ť─â firul explica╚Ťiei.

Time out! Trebuie s─â intervin din nou. P─ârerea mea este c─â autorul articolului CEAE a fost deosebit de politicos, abord├ónd un ton extrem de conciliant. Uita┼úi-v─â, v─â rog, din nou la demonstra┼úia din manualul acestei edituri ┼či analiza┼úi-v─â g├óndurile, anume ce efort trebuie s─â face┼úi ca s─â ├«n┼úelege┼úi mersul lucrurilor. Uita┼úi-v─â apoi la imaginile demonstra┼úiei prezentat─â din “manualul nem┼úesc”. Apoi, dup─â ce a┼úi citit cu aten┼úie, v─â las pe dvs., onora┼úii cititori, s─â judeca┼úi. De ce trebuie transformat─â ├«ntr-o form─â at├ót de complicat─â, cu calcule algebrice, o demonstra┼úie geometric─â vizual─â (pur geometric─â!!!), care este deosebit de intuitiv─â? De ce?

Ce ne facem cu acest impuls n─âucitor din mintea unor colegi, de a complica lucrurile at├ót de mult, c├ót mai mult dac─â se poate? Asta ├«nseamn─â a face matematic─â? ├Än momente ca acesta apare absolut natural impresia c─â “se dore┼čte” a se complica lec┼úiile c├ót mai mult, doar-doar vor fi c├ót de pu┼úin elevi care s─â ├«n┼úeleag─â matematica (oculta pseudo-┼čtiin┼úific─â mioritic─â?). Eu personal recunosc aici: nici nu am avut r─âbdare la ├«nceput s─â analizez demonstra┼úia respectiv─â ├«n cele mai mici detalii. P─âi atunci, cum ar avea r─âbdare un elev s─â o fac─â? Elevul ar trebui s─â o poat─â ├«n┼úelege de unul singur, c─â de aia este f─âcut manualul, nu ca s─â vin─â ├«n paralel cineva acas─â ┼či s─â-i explice ce scrie acolo.

Acest aliniat mai are un pasaj important: copiilor le este l─âsat pu╚Ťin spa╚Ťiu pentru a ra╚Ťiona individual. Acest aspect este de o fine┼úe deosebit─â din punct de vedere metodico-didactic. Noi trebuie astfel s─â pred─âm ├«nc├ót mintea elevului s─â “aib─â loc s─â mi┼čte” relativ liber. Doar a┼ča elevul se va obi┼čnui ├«ncet, tot mai mult s─â g├óndeasc─â. Doar atunci elevul va avea sentimentul c─â g├óndurile respective sunt ┼či “ale sale”. Dac─â nu-i l─âs─âm defel “spa┼úiu de mi┼čcare”, ci ├«l oblig─âm s─â ├«nve┼úe o demonstra┼úie mot-a-mot (cuv├ónt cu cuv├ónt), atunci elevul va resim┼úi g├óndurile respective ca str─âine ┼či automat va fi ├«nclinat s─â le refuze. Sau dimpotriv─â, un alt elev poate se va obi┼čnui doar s─â ├«nve┼úe pe de rost o teorie, nedezvolt├ónd ├«ns─â abilit─â┼úi de proprie judecat─â ┼či g├óndire (cu ambele alternative ne ├«nt├ólnim des, de┼či este clar c─â acestea nu duc la situa┼úii dezirabile). Dar, s─â termin─âm “de lecturat” articolul de pe blogul CEAE:

Remarc─âm ├«n ultima vreme efortul mai multor autori de manuale de matematic─â din Rom├ónia de a pleca de la situa╚Ťii din via╚Ťa real─â sau de a se raporta la acestea, ├«ns─â adeseori demersurile au loc la un nivel formal. Acest lucru se ├«nt├ómpl─â pentru c─â nu s-au f─âcut suficien╚Ťi pa╚Öi pentru a schimba semnificativ paradigma utilizat─â ├«n predarea matematicii ├«n gimnaziu (├«n loc s─â devin─â inductive, cum se ├«nt├ómpl─â ├«n tot mai multe ╚Ť─âri europene, abord─ârile la noi sunt ├«nc─â preponderent deductive ╚Öi calculul algebric are ├«n continuare o pondere important─â). Prin urmare, pentru un procent semnificativ dintre elevi, matematica ├«nseamn─â memorarea ╚Öi reproducerea formulelor de calcul ╚Öi aplicarea algoritmilor de rezolvare de probleme. Or, matematica ar putea s─â contribuie mai mult ├«n a le dezvolta copiilor o g├óndire structurat─â ╚Öi logic─â.

Pentru cine a ratat momentul de la ├«nceput, precizez din nou cum trebuie citite afirma┼úiile din parantez─â: paradigma utilizat─â ├«n predarea matematicii ├«n gimnaziu ar trebui s─â devin─â una inductiv─â, nu pentru c─â a┼ča se ├«nt├ómpl─â ├«n tot mai multe ╚Ť─âri europene, ci pentru c─â a┼ča este potrivit psihologiei v├órstelor gimnaziale (pentru o ├«ntreag─â popula┼úie ┼čcolar─â, p├ón─â la 14-15 ani), dar ┼či mai t├órziu. Legat de afirma┼úiile din ultimele dou─â fraze nici nu m─â g├óndesc s─â le analizez acum. Acestea sunt at├ót de valoroase ├«nc├ót merit─â fiecare c├óte un eseu separat de discu┼úii ┼či analize.

Dar, cine trebuia s─â fac─â pa┼čii pentru schimbarea paradigmei utilizate ├«n predarea matematicii gimnaziale? Profesorii, fiecare pentru el? Nu prea cred. Ni┼čte oameni care ├«n ultimele c├óteva zeci de ani au tr─âit doar ├«ntr-o paradigm─â ┼či ├«ntr-o stare general─â de executan┼úi ai politicilor educa┼úionale venite “de sus”, ace┼čtia sigur nu vor fi ├«n stare s─â contribuie ├«n mod s─ân─âtos la o schimbare de paradigm─â ca cea evocat─â ├«n ultimul aliniat. Scurtele indica┼úii (foarte valoroase de altfel) din programa 2017 nu au for┼úa de a duce la o schimbare de paradigm─â.

Merit─â s─â scot ├«n eviden┼ú─â aici un aspect relativ nou: geometria sintetic─â a fost scoas─â din licee prin 1997 (orientativ). Ca urmare, avem deja prin ┼čcoli colegi profesori care au cam ├«ncheiat-o cu geometria dup─â clasa a 8-a. Ace┼čtia nu au mai apucat s─â reia ┼či s─â aprofundeze geometria (at├ót cea plan─â, c├ót ┼či cea ├«n spa┼úiu) la un nivel mai matur. Iar ├«n facultate sigur nu au mai reluat aceste aspecte. Ace┼čti colegi mai tineri cunosc doar forma deductiv─â ┼či algebrizat─â p├ón─â ├«n “m─âduva oaselor”. Cum s─â-┼či schimbe ace┼čtia predarea? ├Än general, cea mai mare parte a profesorilor sub 45-50 de anu nu au prins predarea inductiv─â nici ca elevi. Pe baza a ce s─â poat─â ei acum face o schimbare de paradigm─â?

Eu m─â lupt de 25 de ani s─â ├«n┼úeleg aceste lucruri, s─â ├«mi modific propria paradigm─â de predare ┼či v─âd c├ót este de greu (eu, cel care vreau s─â m─â schimb, ├«n lupt─â cu mine, cel ce vine cu apuc─âturile profesionale vechi). Pentru o adev─ârat─â con┼čtientizare, p─âr┼úi din acest ultim aliniat citat ar trebui s─â devin─â obligatoriu de lecturat zilnic, de c─âtre to┼úi profesorii. Totu┼či, la fel ca autorii articolului din CEAE, nici eu nu-mi permit s─â dau sfaturi despre cine ar trebui s─â se ocupe de aceast─â modificare de paradigm─â (pentru ca lucrurile s─â se ┼či ├«nt├ómple cu adev─ârat ┼či ├«n mod s─ân─âtos), dar sigur treaba asta nu poate fi l─âsat─â pe seama profesorilor de la clas─â.

*

Acesta a fost articolul ap─ârut pe blogul CEAE, ├«nso┼úit ┼či ├«ntrerupt de c├óteva “scurte” comentarii personale. Dac─â ├«n prima parte a analizei mi-am spus punctele de vedere mai mult st├órnite de comentariile la reluarea articolului pe edupedu.ro, ├«n aceast─â a doua parte a analizei mi-am exprimat punctele de vedere direct la afirma┼úiile din articolul ini┼úial.

Da, acum chiar cred c─â m─â opresc cu analiza (la c├ót de lung─â a ie┼čit, chiar poate fi clasificat─â ca exagerare ÔÇô cu totul sunt aproape 16 pagini A4 doar text, scris cu 12), dar vreau s─â aduc aici ┼či o mic─â propunere: demonstra┼úia din manualul nem┼úesc ar putea fi folosit─â clar pentru includerea teoremei lui Pitagora ├«n capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a, statut├ónd astfel totodat─â ┼či folosirea acestei teoreme ├«n calculele pentru determinarea segmentelor necesare la arii sau perimetre. ├Än ultimii ani am putut observa cum foarte mul┼úi profesori se feresc ├«nc─â a folosi teorema lui Pitagora ├«n acest capitol, de┼či la ora actual─â este cunoscut─â de la sf├ór┼čitul clasei a 6-a, cel pu┼úin ca aplica┼úie ├«nc─â nedemonstrat─â. Atunci, de ce mul┼úi profesori ├«ncep s─â o foloseasc─â ├«n probleme de-abia ├«n prim─âvar─â dup─â ce teorema apare ┼či cu demonstra┼úie (dup─â asem─ânarea triunghiurilor ┼či teorema catetei). Poate, dac─â ar ┼či avea-o de demonstrat prin arii, colegii s-ar “aventura” s─â o ┼či foloseasc─â la clas─â chiar din capitolul despre arii. Sau, poate, un “ordin de sus” ├«n acest sens ar rezolva mai eficient situa┼úia. F─âr─â teorema lui Pitagora, capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a este sec, doar cu aplica┼úii grele, potrivit elevilor mai buni, ├«n continuare ├«njositor pentru elevii de r├ónd.

Revenind la demonstra┼úia cu cele patru triunghiuri ├«n interiorul unui p─âtrat, trebuie s─â mai precizez ceva: dac─â undeva ├«naintea acesteia, ├«ntr-o or─â precedent─â de aplica┼úii la patrulatere, s-ar face problema care cere demonstrarea faptului c─â figura cuprins─â ├«ntre cele patru triunghiuri este tot un p─âtrat (adic─â un romb ÔÇô congruen┼úa triunghiurilor, dar cu cel pu┼úin un unghi drept, deci p─âtrat), atunci demonstra┼úia respectiv─â la teorema lui Pitagora devine chiar una doar oral─â, av├ónd drept urmare un nivel de accesibilitate deosebit de bun la to┼úi elevii.

Schimb├ónd pu┼úin linia discu┼úiei, merit─â precizat c─â aici nu este vorba despre “care demonstra┼úie o facem pentru teorema lui Pitagora?”. ├Än mod excep┼úional teorema lui Pitagora ar trebui eliberat─â de paradigma general─â a “cursului euclidian” (fiecare teorem─â cu demonstra┼úia ei, ca urmare deci la fiecare teorem─â doar o singur─â demonstra┼úie), permi┼ú├ónd profesorilor s─â predea ÔÇô iar elevilor s─â cunoasc─â ÔÇô diferite ┼či diverse demonstra┼úii. Cea evocat─â din manualul nem┼úesc ar merita s─â fie prima din clasa a 7-a, dar sunt multe altele ce pot veni ├«n continuare ca aplica┼úii la noile lec┼úii. ├Än aceast─â categorie s-ar ├«ncadra ┼či demonstra┼úia pe baza teoremei catetei, dar ┼či multe altele.

Am rămas însă cu o datorie legată de comentariile la articolul de pe blogul CEAE: oare ce a vrut să transmită autorul în aliniatul în care comenta situaţia din manualul Intuitext, când a spus cu referire la felul în care decurge raţionamentul: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului.

Ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a ├«n┼úelege o demonstra┼úie? Este bine sau nu s─â apar─â un conflict gognitiv? Eu m-a┼č ├«ncumeta s─â ├«ncerc un r─âspuns (chiar ├«mi st─â pe limb─â), dar nu am nici cea mai mic─â garan┼úie c─â a┼ča este. Prefer de data asta s─â tac ┼či cel mult s─â relansez ├«ntrebarea, cel mai bine c─âtre autorul articolului: stimate coleg, ce a┼úi vrut s─â spune┼úi aici? Pentru c─â, dac─â este a┼ča cum simt eu, atunci acest g├ónd ar deschide poarta spre o alt─â mare schimbare ├«n predarea matematicii. Dac─â nu vom primi ├«n urm─âtoarea perioad─â un r─âspuns, atunci poate totu┼či m─â voi ├«ncumeta eu s─â dau o explica┼úie. Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. ├Än ambele p─âr┼úi ale acestei analize m-am lovit ├«n anumite momente de situa┼úii ├«n care am impresia c─â profesori de matematic─â din ┼úara noastr─â doresc cu cea mai mare hot─âr├óre s─â aduc─â ├«n fa┼úa elevilor o materie c├ót mai complicat─â, c├ót mai inaccesibil─â. Dac─â v─â sun─â ca exagerat─â aceast─â afirma┼úie, dac─â o considera┼úi drept o “acuz─â nefondat─â”, atunci v─â mai dau un exemplu: g├óndi┼úi-v─â c├ót de repede apar direct aplica┼úii cu numere ira┼úionale la teorema lui Pitagora (dup─â ce aceasta a fost ├«n sf├ór┼čit predat─â, fie ┼či prin teorema catetei). ├Än acel moment, adic─â la prima lec┼úie, la cei mai mul┼úi profesori apar rapid ┼či exemplele cu numere ira┼úionale, la unii chiar din prima (vede┼úi exemplul cu Sara ┼či lungimea sc─ârii), dar oricum cel t├órziu de la a doua sau a treia aplica┼úie. N-am prea ├«nt├ólnit profesori care s─â stea ├«n prima or─â doar la nivelul tripletelor pitagoreice, adic─â ├«n zona de comfort a tuturor elevilor, respect├ónd astfel capacitatea uneori lent─â de adaptare a elevului mediu la un algoritm nou. Elevul mediu ar avea nevoie de o or─â la clas─â, cu exemple c├ót mai multe, plus o tema corespunz─âtoare, pe care s─â o ┼či ├«n┼úeleag─â ┼či s─â o poat─â face singur, f─âr─â ┬áajutor din partea altcuiva. La algoritmul nou din aplicarea teoremei lui Pitagora, elevul mediu are nevoie s─â r─âm├ón─â m─âcar o or─â ├«n zona sa de comfort numeric, ca s─â se poat─â concentra la aspectele noi ce ┼úin de calculul specific. Doar apoi acesta va putea face pasul f─âr─â spaime ├«n zona ira┼úional─â.

Am atins aici un subiect ciudat: cei mai mul┼úi profesori nici nu prea cunosc tare multe triplete pitagoreice (triplete de numere naturale care s─â verifice rela┼úia teoremei lui Pitagora). Majoritatea cunosc aparent doar tripletul (3;┬á4;┬á5), cu primele amplific─âri ┼či eventual ├«nc─â tripletul (5;┬á12;┬á13). ├Än acest sens, eu folosesc toat─â plaja de triplete pitagoreice cu lungimi p├ón─â la 100 (de┼či am fost acuzat c─â astfel terorizez copiii; ar fi de discutat cum ├«i teroriz─âm mai tare pe elevi, cu radicali din p─âtrate perfecte de cel mult patru cifre sau d├óndu-le din prima numere ira┼úionale, care sunt destul de ne├«n┼úelese? M─â refer aici la faptul c─â majoritatea elevilor se blocheaz─â c├ónd sunt ├«ntreba┼úi despre lungimea aproximativ─â a unor numere ira┼úionale de forma ; la numere de forma ┬áaproximarea este ceva mai accesibil─â).

Despre alegerea demonstra┼úiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu ÔÇô O analiz─â (1)

De cur├ónd am aten┼úionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, ├«n care era prezentat─â o alt─â demonstra┼úie ÔÇô una mult mai vizual─â ÔÇô dintr-un manual nem┼úesc. Am pus atunci doar link-ul articolului, cu scurte comentarii, pentru c─â eram ├«n mare criz─â de timp (voi explica mai jos de ce). Iat─â din nou link-ul respectiv https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ , ├«ns─â acest articol este de fapt reluat de pe blogul CEAE https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ . Speciali┼čtilor de la CEAE ÔÇô Centrul de evaluare ┼či analize educa┼úionale trebuie s─â le mul┼úumim pentru acest articol minunat, ce pune degetul pe o ran─â veche ┼či profund─â a ┼čcolii gimnaziale rom├óne┼čti. ├Än schimb portalul edupedu.ro l-a mediatizat ┼či a adunat c├óteva comentarii sugestive despre atitudinea breslei noastre. ├Än acest eseu a┼č vrea s─â prezint c├óteva aspecte legate de subiectul respectiv, ├«ntr-o gam─â larg─â, dar ├«nainte doresc s─â fac o scurt─â prezentare a celor g─âsite ├«n comentariile la articolul respectiv, sub forma unui:

A.S. (ante scriptum) Am publicat postarea respectivă în mare grabă, nevrând să intru în alte detalii, dar gândul mi-a rămar la câteva comentarii pline de îngâmfare, cu accente de răutate, chiar belicoase, în câteva puncte cu tente de-a dreptul naţionaliste, de care avem tot mai des parte pe plaiurile mioritice. Reiau aici comentariile la articolul respectiv acumulate în zilele ce-au urmat:

C1) (31,03.2022) E foarte bine cum se face in Romania si in conformitate cu cuno╚Ötin╚Ťele precedente. Restul demonstratilor sunt bune ca proiect dar sa nu le exageram rolul.
Este specific ├«nv─â╚Ť─âm├óntului german sa impresioneze elevul cu aplicatii ale chestiunilor pe care urmeaza sa le invete dar sa nu exageram rolul acestora in efortul de a intelege si aplica teoria. Entuziasmul initial se pierde la fel de repede si la noi si la ei. Diferenta principala cu care sunt doar partial de acord este selectarea elevilor de mici dupa posibilit─â╚Ťile cognitive.

C2) (31.03.2022) Articolul pare camÔÇŽ ridicol. Exist─â ╚Öi la noi astfel de demonstra╚ŤiiÔÇŽ Hai s─â fim serio╚Öi! S─â nu credem c─â numai ce este nem╚Ťesc e bun! A╚Öa ne-am p─âc─âlit la alegeriÔÇŽ

C2′) (2.04.2022) Ave╚Ťi dreptate, dar cred c─â, la alegerea lui Ioanis a avut un rol important ╚Öi aplicarea metodei Clotilde Armand.

C3) (4.04.2022) Aceast─â demonstra╚Ťie o aveam, c├ónd eram elev, in clasa a7a ├«n manual. C├ót despre nem╚Ťi, ├«nc─â mai au mult de ├«nv─â╚Ťat de la noi, la toate capitolele metodice ╚Öcolare. Aici chiar st─âm foarte bine!

Oare, chiar ar merita s─â analiz─âm en-detail afirma┼úiile din aceste comentarii? Unele au ├«n con┼úinut ┼či elemente metodico-didactice (├«n primul comentariu e o idee interesant─â, dar ┼či ├«n al treilea). Din p─âcate, ├«ns─â, predomin─â pasajele cu tent─â ├«ng├ómfat-r─âut─âcioas─â, de tipul “du-te m─â, c─â nici la nem┼úi nu umbl─â c├óinii cu colaci ├«n coad─â” sau “├«nv─â┼ú─âm├óntul nostru este cel-mai-cel din toat─â lumea!”. Nu doresc s─â vin cu replici la acela┼či nivel (de┼či ├«mi stau pe limb─â c├óteva). Psihologia ├«nt├ómpl─ârii merit─â totu┼či comentat─â ┼či tratat─â, dar pe un plan ceva mai ridicat al discu┼úiilor.

Din start trebuie s─â precizez c─â sunt ├«ntr-u totul de acord cu linia articoluluide pe CEAE, dar totodat─â trebuie s─â precizez un aspect: finalul titlului ÔÇô o compara┼úie cu Rom├ónia ÔÇô este ├«ntr-adev─âr provocator pentru profesorii care consider─â ├«nv─â┼ú─âm├óntul matematic rom├ónesc ca deosebit de performant. Astfel de observa┼úii sunt foarte bune, absolut justificate, dar ar trebuie aduse cu mai mult─â precau┼úie, pentru a nu st├órni reac┼úii de felul celor citate mai sus.

*

S─â trecem la lucruri mai serioase, cu tent─â pedagogic─â, de┼či trebuie s─â recunosc, c─â cele ce urmeaz─â se doresc a fi un fel de r─âspuns la comentariile redate mai sus. ├Än paralel, ve┼úi vedea cum ├«nt├ómplarea cu acest articol se leag─â ├«n mod ciudat cu evenimentele din via┼úa mea din aceste zile. A┼čadar, s─â purcedem la analiza oportunit─â┼úii studierii altor demonstra┼úii la teorema lui Pitagora ┼či a alegerii acestora ├«ntr-un mod c├ót mai potrivit posibilit─â┼úilor ┼či nevoilor elevilor.

Pentru ├«nceput doresc s─â evoc o ├«nt├ómplare ce mi-a fost povestit─â de o coleg─â ce a participat cu ani ├«n urm─â la o ├«nt├ólnire de profesori din toat─â Europa de est (parc─â era vorba de Riga). Cu ocazia respectiv─â s-au organizat ┼či ni┼čte grupe de lucru, iar la grupa de matematic─â profesorul care conducea activitatea (iar un neam┼ú, dar sta┼úi lini┼čti┼úi, ├«ndat─â apar ┼či americanii), acesta a venit cu urm─âtoarea ├«ntrebare: “Cine ┼čtie o alt─â demonstra┼úie la teorema lui Pitagora?”. ┼×i nimeni n-a ┼čtiut vreuna. Este evident c─â avem de-a face cu o problem─â general─â: exist─â o cale aleas─â c├óndva ca “cea mai bun─â” (aia prin teorema catetei) ┼či de-atunci toat─â lumea merge docil pe aceasta; la ora actual─â o mare parte dintre profesori nici nu mai cunosc alte demonstra┼úii.

P─ârerea mea este c─â cel t├órziu la cursurile de metodic─â din facult─â┼úile de matematic─â lucrarea lui Mihu Cerchez ar trebui inclus─â ca bibliografie obligatorie (Mihu Cerchez ÔÇô Pitagora, Ed. Academiei, 1986, azi 12,60 lei la o simpl─â c─âutare pe net). Actualmente nu o am la ├«ndem├ón─â, dar ┼úin minte c─â ar avea ceva de genul 55 de demonstra┼úii la teorema lui Pitagora (afirma┼úie neverificat─â). ├Än culegerea de geometrie ce am scris-o (Ed. Humanitas Educa┼úional, 2006, sta┼úi lini┼čti┼úi, nu se mai g─âse┼čte pe pia┼ú─â) am inclus ├«n final 12 demonstra┼úii, dou─â dintre acestea care nu sunt la Mihu Cerchez.

Demonstra┼úia principal─â evocat─â ├«n articolul CEAE/edupedu.ro (cea cu patru triunghiuri rearanjate ├«n cadrul unui p─âtrat) este ┼či ├«n cartea lui Mihu Cherchez, fiind una dintre cele mai cunoscute ┼či mai “vizuale”, mai accesibile copilului cu cuno┼čtin┼úe elementare; o vezi ┼či o ├«n┼úelegi imediat f─âr─â s─â fie nevoie de cine-┼čtie ce explica┼úii complicate, de pild─â pe baz─â de alte teoreme mai abstracte (desigur c─â ulterior poate fi ┼či aceasta redactat─â frumos ca demonstra┼úie). ├Ämpreun─â cu so┼úia mea o numim “demonstra┼úie cu ┼červe┼úele”.

At├ót demonstra┼úia din manualul nem┼úesc, c├ót ┼či filmule┼úul de pe youtube, prezentate ├«n articolul CEAE/edupedu.ro au avantajul c─â se bazeaz─â ├«n principal doar pe arii, adic─â nu folosesc elemente prea intelectuale, mai greu accesibile elevului de r├ónd (teorema catetei, respectiv asem─ânarea triunghiurilor necesar─â pe drumul de demonstrare a teoremei catetei; nici factorul comun nu le este cu adev─ârat clar multor elevi; chiar dac─â aparent ├«l ┼čtiu aplica, mul┼úi elevi ├«l fac ca un element de dresur─â, iar pasul din demonstra┼úia tradi┼úional─â le apare ca un num─âr de magie total ne├«n┼úeles, bun doar de copiat ├«n caiet, c─â “de aia am venit la ┼čcoal─â”). Or, ariile – at├ót a p─âtratului ┼či a dreptunghiului ÔÇô reprezint─â fenomene deosebit de accesibile ├«n┼úelegerii intuitive a copilului mediu, fiind cunoscute oricum din clasa a 5-a. Pentu elevi o astfel de demonstra┼úie este deosebit de accesibil─â, chiar atr─âg─âtoare (appealing ar zice americanul).

├Än plus, dup─â cum am scos ├«n eviden┼ú─â ├«n articolele paralele din aceast─â perioad─â, cele despre inspira┼úia din culegerea Prof. A. Hollinger, pentru elevi sunt mult mai clare ┼či mai accesibile demonstra┼úiile vizuale, cele vizibile chiar la nivel oral ├«ntr-o figur─â ata┼čat─â al─âturat, demosnstra┼úii care ulterior se redacteaz─â ┼či ├«n scris. Dimpotriv─â, demonstra┼úia uzual─â ├«n manualele din Rom├ónia, dar mai ales ├«n mentalul majorit─â┼úii profesorilor (la care se pare c─â unii ┼úin cu mare ├«nd├órjire ┼či ÔÇô nu ┼čtiu de unde ÔÇô cu mult patriotism, ├«mp─ânat cu profunde ├«nclina┼úii na┼úionaliste), aceast─â demonstra┼úie este una mult mai teoretic─â, cu tente clare de calcul, adic─â nevizibile pe figur─â f─âr─â a face calculul. Despre demonstra┼úia prin teorema catetei putem spune cel pu┼úin c─â este o demonstra┼úie greu “vizibil─â” pentru foarte mul┼úi elevi. Apropos, cunoa┼čte┼úi reprezentarea prin arii a teoremei catetei ┼či leg─âtura acesteia cu vizualizarea┬á demonstra┼úiei teoremei lui Pitagora tot prin arii? E simpl─â: p─âtratul construit ├«n exteriorul triunghiului dreptunghic pe ipotenuz─â este t─âiat ├«n dou─â p─âr┼úi inegale prin prelungirea ├«n─âl┼úimii; p─âtratul unei catete este astfel echivalent cu dreptunghiul parte a p─âtratului ipotenuzei corespunz─âtor.

Chiar dac─â poate nu-i neap─ârat ├«ntotdeauna adev─ârat, merit─â s─â scot aici ├«n eviden┼ú─â cum se v─âd lucrurile legat de ├«nd├órjirea cu care mul┼úi profesori rom├óni ┼úin la demonstra┼úia la care se ajunge doar pe drumul “asem─ânarea triunghiurilor + teorema catetei”, aparent refuz├ónd demonstra┼úiile pe baz─â de arii. Arat─â ca ┼či cum se dore┼čte ca demonstra┼úia teoremei lui Pitagora s─â fie accesibil─â doar celor mai buni elevi, nici ├«ntr-un caz elevilor de r├ónd. Cum am mai spus, aceast─â demonstra┼úie este resim┼úit─â de mul┼úi elevi ca un fel de “num─âr de magie matematic─â”, c─ârora nu le ├«n┼úeleg nici m─âcar “poanta”, dar─âmite s─â ├«n┼úeleag─â ┼či cum, ┼či ce s-a ├«nt├ómplat ├«n aceasta, sau ce rol are ea (adic─â faptul c─â rela┼úia din teorema lui Pitagora s-ar cere demonstrat─â; mai ales dup─â ce au v─âzut c─â ├«n clasa a 6-a le-a fost dat─â pur ┼či simplu, adic─â f─âr─â demonstra┼úie. “De ce? pentru ce?” ar ├«ntreba mul┼úi elevi; “da’ ce-are dac─â n-o facem?“; “la ce-i bun─â?“). Or, magia matematic─â devine educativ─â, are sens adic─â, doar dac─â ulterior o po┼úi ┼či ├«n┼úelege, adic─â o po┼úi deslu┼či, ai mai ├«n┼úeles o buc─â┼úic─â de matematic─â. Pentru asta ea trebuie ├«ns─â s─â fie m─âcar ca rezultat atractiv─â ┼či intrigant─â; ceea ce nici m─âcar at├ót nu este pentru majoritatea copiilor (majoritatea profesorilor prezint─â textul teoremei c├ót mai ├«nc─ârcat, ├«nc─â folosind ┼či cuv├óntul “lungime”, ┼úin├ónd cu din┼úii de pozi┼úionarea teoremei ├«n zona numneric─â: “p─âtratele lungimilor catetelor” ├«n loc de “p─âtratele catetelor”, care ar l─âsa deschis─â porti┼úa spre ├«n┼úelegerea ca “ariile p─âtratelor catetelor”). Cei mai mul┼úi elevi nici m─âcar nu-┼či dau seama c─â s-a ├«nt├ómplat ceva cu totul special (unul dintre momentele cele mai speciale din toat─â istoria ┼čtiin┼úei universale); ei doar au copiat demonstra┼úia de pe tabl─â cu “pozi┼úia ghiocel” ├«n suflet. Singurul lucru bine ┼či profund ├«n┼úeles de c─âtre majoritatea elevilor este c─â ei nu pot pricepe materia asta, c─â ei sunt de fapt pro┼čti! Dar s─â revenim la multitudinea de demonstra┼úii ale celei mai cunoscute teoreme din toate timpurile.

Tocmai c├ónd ap─âruse articolul respectiv pe edupedu.ro eu urma s─â-mi ├«ncep participarea la un curs de ├«mprosp─âtare pentru profesorii din ┼čcolile Waldorf, organizat la Kassel ├«n Germania (Refresher Course); de aici ┼či foarte scurta trimitere c─âtre articol. De fapt au fost dou─â cursuri paralele: cel ├«n limba german─â, organizat fizic la Kassel, c├ót ┼či cel online ├«n limba englez─â, organizat ├«n urma entuziasmului la nivel mondial ├«n urma edi┼úiei din 2021 (atunci au fost tot dou─â cursuri paralele, unul ├«n german─â iar cel─âlalt ├«n englez─â, dar ambele online; p├ón─â ├«n 2019 se organizau ├«n s─âpt─âm├óna de la Kassel diferite cursuri ├«ntr-una sau ├«n cealalt─â din limbi, iar conferin┼úele comune se traduceau oricum ├«n cealalt─â limb─â). Tema principal─â a cursului de anul acesta a fost clasa a 9-a (ca v├órst─â potrivindu-se mai degrab─â cu clasa a 8-a de la noi).

La una din conferin┼úe ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik din America. ┼×i “ghici ciuperc─â” despre ce ne-a vorbit d├ónsa? Despre demonstra┼úii la teorema lui Pitagora! Da! Mai exact, despre diferitele demonstra┼úii ale acestei teoreme ┼či despre folosirea lor la clas─â, despre uimirea ce poate fi trezit─â ├«n sufletul elevilor prin acestea. Pentru cei interesa┼úi de subiect, d├ónsa ne-a vorbit despre cartea din perioada interbelic─â The Pythagorean Proposition, av├óndu-l ca autor pe Elisha S. Looms, carte ce con┼úine sute de demonstra┼úii, c├ót ┼či alte curiozit─â┼úi legate de teorema lui Pitagora. Pentru doritori, lucrarea se g─âse┼čte pe net scanat─â ├«n format pdf (eu mi-am salvat-o deja din ziua conferin┼úei, ├«ntr-o edi┼úie din 1940).

Ce-i mai interesant ├«ns─â de-abia acum vine: d-na Plotnik ne-a vorbit c─â d├ónsa le d─â elevilor (├«n grupe de c├óte 2) c├óte o astfel de demonstra┼úie doar cu construc┼úiile ini┼úiale, l─âs├óndu-i pe elevi s─â caute, s─â “sape” (poate 2-3 zile la r├ónd), s─â cerceteze ce g─âsesc ├«n acea figur─â ┼či ce se poate deduce de acolo, ├«n ultim─â instan┼ú─â cum se poate ob┼úine afirma┼úia din teorema lui Pitagora pe baza celor din acea figur─â. Vedem cum aici lucrurile se ├«nt├ólnesc cu cele sugerate de c─âtre autorul primului comentariu la articolul de pe edupedu.ro (Restul demonstratilor sunt bune ca proiect).

C├ót despre exagerarea rolului acestora (ca replic─â respectivului coleg), n-am ├«n┼úeles cine a exagerat ceva: doar vorbind despre ele argumentat reprezint─â deja o exagerare? Doar eviden┼úiind clare avantaje metodico-didactice ale acestora ├«nseamn─â c─â se exagereaz─â? ├Äntr-un singur articol? ├Än afara articolelor mele rebele, de “lup singuratic”, cine a mai vorbit despre aceste aspecte, astfel ├«nc├ót s─â se poat─â sus┼úine ideea de exagerare?

Atitudinea respectiv─â le este cunoscut─â celor mai ├«n v├órst─â din vremurile comuniste, mai ales din anii ’80, c├ónd orice sau oricine c─âlca “pe de l├óng─â” fa┼ú─â de linia oficial─â era automat privit ca mare tr─âdare ┼či contra-atacat cu mult─â ├«nd├órjire, uneori “├«n hait─â”, de c─âtre cei care erau responsabili de p─âstrarea canoanelor vremii, sau de cei care se sim┼úeau bine ├«n acestea (├«n mod similar, pe vremuri biserica catolic─â ├«i clasifica pe unii ca eretici). Cred c─â exagerarea vine mai degrab─â ├«n sens opus, din partea celor care refuz─â cu totul o mare “felie” din cultura matematicii mondiale. Pentru c─â da, multitudinea ┼či varietatea demonstra┼úiilor teoremei lui Pitagora poate fi clar catalogat─â drept o “bun─â felie” de matematic─â, deosebit de potrivit─â pentru a fi folosit─â ├«n scop ┼čcolar, pedagogic, con┼úin├ónd variate ┼či surprinz─âtoare aplica┼úii. Las─â c─â exagerez eu acum, analiz├óndu-le de-a fir-a-p─âr, f─âc├óndu-le chiar “teoria chibritului”.

Dar, de fapt, ce spunea d-na Plotnik? Spunea c─â dintre acestea se pot alege suficiente exemple, pe baza c─ârora elevii s─â vie┼úuiasc─â varietatea aproape nem─ârginit─â a demonstra┼úiei matematice, dar ┼či a g├óndirii umane (├«n condi┼úiile de fa┼ú─â, nici nu m─â g├óndesc s─â v─â spun c├ót de mult timp, mai exact c├óte ore ├«┼či aloc─â d├ónsa pentru aceste “proiecte”). Iar lucrarea respectiv─â, cu c├óte demonstra┼úii are, sigur ofer─â ┼či exemple vizuale ┼či accesibile, pentru elevii mai “├«ncep─âtori” ├«n ale ra┼úionamentului matematic, dar ┼či demonstra┼úii dificile, ca provoc─âri pentru elevii mai buni la matematic─â, pentru cei care au ├«n┼úeles ┼či lec┼úiile mai grele.

├Ämi permit s─â redau aici exemplul prezentat de d-na Plotnik ├«n timpul conferin┼úei de mar┼úi 12 aprilie (cu nota┼úiile pu┼úin schimbate fa┼ú─â de cele din antologia sus men┼úionat─â). Deci, consider─âm triunghiul ABC dreptunghic ├«n A ┼či algem pe drepta BC punctele E ┼či F astfel ├«nc├ót BE┬á=┬áBA┬á=┬áBF, s─â zicem E ├«n exteriorul ipotenuzei [BC] iar F pe ipotenuz─â. Demonstra┼úi pe baza acestor date rela┼úia din teorema lui Pitagora (cam a┼ča am ├«n┼úeles c─â le d─â d├ónsa elevilor sarcina de lucru). Pentru fluen┼úa citirii acestui articol dau imediat ┼či o figur─â (a┼ča cum sugera chiar Profesorul Hollinger):

Nu dau ┼či demonstra┼úia, ci v─â las dvs. bucuria de a o g─âsi (dac─â nu cumva o cunoa┼čte┼úi deja sau tocmai a┼úi g─âsit-o). Precizez ├«ns─â c─â demonstra┼úia con┼úine o frumoas─â varietate de elemente: primul pas se bazeaz─â pe faptul c─â un triunghi ├«nscris ├«n semicerc este dreptunghic (reciproca “medianei pe ipotenuz─â”, sau “Cercul lui Thales” cum este cunoscut de c─âtre unii prin spa┼úiul german, chiar ┼či p├ón─â mai aproape, prin Ungaria, aceasta fiind prima teorem─â demonstrat─â de un om “ever” ÔÇô merit─â s─â revin ├«n cur├ónd la acest subiect). ├Än continuare vine un ra┼úionament interesant cu unghiuri, apoi o foarte ascuns─â asem─ânare de triunghiuri (pe baza cazului UU), iar ├«n final o surprinz─âtoare aplica┼úie a unei formule de calcul prescurtat.

V─âz├ónd demonstra┼úia din acea carte veche, prezentat─â nou─â de c─âtre d-na Plotnik, am sim┼úit ├«n suflet o stare apropiat─â de venera┼úie fa┼ú─â de mintea care a avut ideea construc┼úiei respective. Cam a┼ča ceva trebuie c─â sim┼úeau vechii greci, astfel ├«nc├ót atunci c├ónd demonstrau c├óte una din primele lor teoreme, se duceau apoi la templu ┼či aduceau o jertf─â zeilor pentru inspira┼úia cu care fuseser─â “ajuta┼úi”. De pild─â, chiar despre marele Pitagora se spune c─â ÔÇô dup─â ce a demonstrat propozi┼úia respectiv─â ÔÇô a sacrificat pe altarul zeilor un num─âr impresionant de boi, iar de atunci to┼úi boi tremur─â c├ónd aud de teorema lui Pitagora. ┼×i despre Thales se spune c─â ar fi sacrificat cel mai mare ┼či mai frumos bou al s─âu la templu, dup─â ce a demonstrat teorema cu triunghiul ├«nscris in semicerc.

Revenind la demonstra┼úia de mai sus, trebuie s─â recunosc sentimentul ini┼úial cum c─â mie nu mi-ar fi trecut prin cap a┼ča ceva. Sim┼úeam toat─â stima ┼či tot respectul pentru acea minte uman─â care a g├óndit a┼ča ceva (autorul este pierdut prin vechiile c─âr┼úi). ├Än compara┼úie cu aceast─â minte str─âlucit─â, eu am impresia c─â la ora actual─â capacit─â┼úile noastre creative ├«n domeniul demonstra┼úilor pe baz─â de construc┼úii ajut─âtoare sunt mult mai reduse.

Probabil c─â g─âsirea acetei demonstra┼úii n-a fost chiar at├ót de ie┼čit─â din comun, ├«ns─â asta am sim┼úit eu ├«n zilele de dup─â ce am v─âzut-o: o curat─â admira┼úie (uneori, probabil c─â a┼ča ceva simt ┼či elevii atunci c├ónd noi “le tr├óntim” c├óte o construc┼úie sau o demonstra┼úie ciudat─â; aceasta se va ├«nt├ómpla ├«ns─â doar dac─â drumul a fost preg─âtit lin ├«n sufletul lor; dimpotriv─â, dac─â-i lu─âm prea repede, se vor sim┼úi doar cov├ór┼či┼úi, ├«njosi┼úi). Revenind cu picioarele pe p─âm├ónt, probabil c─â persoana respectiv─â lucra la cine-┼čtie-ce problem─â ┼či a observat c─â figura respectiv─â duce spre rezultatul din teorema lui Pitagora. Sau, poate a fost altfel? Cine ┼čtie?!

┼×i eu am avut o astfel de ├«nt├ómplare, dar am fost destul de neatent ├«nc├ót s─â nu-mi dau seama c─â tocmai ce m-am ├«mpiedicat de o demonstra┼úie la teorema lui Pitagora; ulterior, c├ónd am ├«nceput s─â studiez acest subiect am reg─âsit-o: este cea care apare prin c─âr┼úi ca descoperit─â de c─âtre fostul pre┼čedinte american Abraham Garfield (1831-1881).

├Än acest sens, demonstra┼úia d-nei Plotnik mi-a adus aminte de o alta dintr-un manual rom├ónesc de la ├«nceputul anilor ’80 (din p─âcate nu-l am la ├«ndem├ón─â), o demonstra┼úie prin puterea punctului fa┼ú─â de cerc. ┼×tiu c─â aceasta nu mai este ├«n program─â, dar poate fi evitat─â elegant, oferind elevilor mai r─âs─âri┼úi o demonstra┼úie interesant─â, cu elemente din materia actual─â (├«nceputul clasei a 8-a din cauza mut─ârii calculului prescurtat din a 7-a). Iar p├ón─â la urm─â vom constata c─â aceasta este de fapt aceea┼či demonstra┼úie ca cea din exemplul d-nei Plotnik, doar c─â abordat─â din alt─â parte (mut├ónd pornirea din zona construc┼úiilor ajut─âtoare ┼či a “cercului lui Thales” ├«n zona unghiurilor ├«nscrise ├«n cerc). A┼čadar: Consider─âm un cerc de centru O ┼či un punct exterior P. Prin punctul P tras─âm o tangent─â la cerc, not├ónd cu T punctul de tangen┼ú─â, c├ót ┼či o secant─â dus─â chiar prin centrul cercului, not├ónd cu L ┼či cu K punctele ├«n care aceasta taie cercul. a)┬áDemonstra┼úi c─â PT reprezint─â media propor┼úional─â ├«ntre lungimile PL ┼či PK (adic─â PT2┬á=┬áPL┬á┬Ě┬áPK); b)┬áFolosind rela┼úia precedent─â, demonstra┼úi egalitatea din teorema lui Pitagora ├«n triunghiul POT.

Da, cam at├óta am avut de spus legat de felul ├«n care merit─â s─â privim diversele demonstra┼úii ale teoremei lui Pitagora ┼či a modului ├«n care ne raport─âm ca profesori la acestea. Demult ├«mi doream s─â abordez acest subiect ┼či s─â evoc diversele aspecte ce le implic─â, dar acum g├óndurile au ajuns ceva mai coapte, fiind ├«n paralel ┼či st├órnite de comentariile prezentate la ├«nceput. Desigur c─â sunt con┼čtient c─â oric├ónd s-ar putea g─âsi aspecte noi, dar eu m─â cam opresc aici ├«n aceast─â prim─â analiz─â a subiectului. ├Än a doua parte m─â voi apleca ├«n detaliu asupra celor spuse ├«n articolul de pe blogul CEAE.

*

├Änainte de a ├«ncheia acest articol doresc s─â evoc ├«ns─â c├óteva aspecte despre atitudinea cu care “mergem prin via┼ú─â”, respectiv pe ce pozi┼úie ne situ─âm pe axa modestie-├«ng├ómfare. Pe scurt doresc s─â prezinte felul ├«n care m─â raportez eu personal la tot ce g─âsesc nou ├«n lumea larg─â ÔÇô ar putea spune unii c─â le caut “cu lum├ónarea”, oricum cu mult─â ├«nd├órjire ┼či perseveren┼ú─â ÔÇô ├«n compara┼úie cu felul cum blocheaz─â al┼úii orice ajunge nou ├«n fa┼úa lor, orice este diferit de ceea ce reprezint─â zona lor de comfort. Pentru c─â da, multe vin din aceast─â pozi┼úionare.

Care multe? P─âi, de pild─â felul ├«n care ├«nv─â┼ú─âm├óntul matematic rom├ónesc nu reu┼če┼čte s─â se debaraseze de vechile paradigme ┼či s─â evolueze ├«nspre o pedagogie adaptat─â ┼či potrivit─â secolului XXI. Dac─â a┼ča reac┼úion─âm ÔÇô precum autorii comentariilor redate la ├«nceputul acestui eseu ÔÇô dac─â a┼ča reac┼úion─âm la orice propunere de schimbare, de ├«mbun─ât─â┼úire, de a aduce predarea matematicii din ┼čcolile noastre ├«ntr-o form─â mai potrivit─â nevoilor ┼či posibilit─â┼úilor actualilor elevi, atunci ÔÇô iaca ÔÇô avem pe tav─â un dintre cauzele elocvente peantru care ┼čcoala noastr─â nu reu┼če┼čte s─â se schimbe, r─âm├ón├ónd ├«nchistat─â ├«n tarele trecutului.

Mai exact, a┼č dori s─â accentuez asupra felului ├«n care m─â raportez eu fa┼ú─â de matematica cu care m─â ├«nt├ólnesc ├«n contactele ce le am din c├ónd ├«n c├ónd cu str─âinii (cursuri sau alte ├«nt├ólniri cu profesori, dar ┼či c─âr┼úi, actuale sau demult traduse ├«n rom├ón─â). Era o vorb─â veche, ceva de genul: dac─â nu deschizi o carte cu o profund─â stare de venera┼úie, atunci nu vei g─âsi nimic special ├«n aceasta (sau, cam a┼ča ceva). Nu mai ┼čtiu dac─â era vorba despre c─âr┼úi ├«n general, sau despre c─âr┼úi de matematic─â, dar sigur dac─â nu e┼čti dotat ÔÇô fie de la mama natur─â, fie con┼čtient ÔÇô cu acea stare de modestie elementar─â, atunci la orice contact cu matematica str─âin─â se vor declan┼ča ├«n sufletul t─âu ni┼čte mecanisme de m├óndrie na┼úional─â exagerat─â (av├óndu-┼či originea ├«n implant─ârile f─âcute de Ceau┼čescu din anii ’80 “pe creierele rom├ónilor”), mecanisme ce te vor ├«mpiedica s─â percepi aspecte noi, ce nu sunt prezente ├«n Rom├ónia.

Anul acesta, la cursul de la Kassel, de pild─â, m-am ├«nscris la dou─â cursuri de matematic─â (fiecare de c├óte 5 ┼čedin┼úe a 1,5 ore); ├«n plus a fost acea conferin┼ú─â de care am vorbit (1 or─â). Ca o parantez─â, cursul fiindu-mi pl─âtit din Germania, m-am ├«nscris la tot programul, a┼ča ├«nc├ót am urm─ârit de fapt ├«nc─â cinci conferin┼úe ce nu aveau treab─â cu matematic─â, dar ┼či un curs de geografie-geologie de 12 ┼čedin┼úe a 1,5 ore (ajung├ónd deci dox─â ├«n acest subiect). Dar s─â ┼čti┼úi c─â ┼či ├«n acest curs de geografie am g─âsit destule elemente ce le voi putea transborda ├«n predarea mea la matematic─â.

Desigur c─â multe lucruri ├«mi erau cunoscute din cele prezentate (la cursurile de mate), dar m-am bucurat de fiecare aspect nou primit (nou pentru mine). De pild─â, la cursul d-lui Robert Neumann despre construc┼úiile curbelor conice (sec┼úiunile conice, adic─â parabola, elipsa ┼či hiperbola, construite cu rigla ┼či compasul) cuno┼čteam cca. 60%. Nu-i nimic, m-am bucurat ┼či-a┼ča, chiar m-am entuziasmat pentru celelalte 40% idei ┼či aspecte noi pentru mine. ┼×i chiar dac─â ar fi fost doar 10% material nou, tot mi-ar fi meritat. Desigur c─â ┼či la cursul d-nei Birte Vestergaard despre fi┼čele de lucru prin descoperire ┼čtiam foarte multe (din precedentele ├«nt├ólniri). Nu-i bai, ┼či aici m-am bucurat de orice nou aspect; ┼či au fost suficiente.

O singur─â dat─â la o participare ├«n “Str─âinezia” am p─âr─âsit un curs, deoarece sim┼úeam c─â profesorul respectiv chiar “o l─âl─âie” peste nivelul meu de suportabilitate ┼či nu-mi ofer─â nimic, dar ┼či deoarece ├«n pauz─â v─âzusem la un curs paralel anumite aspecte fascinante pe ni┼čte plan┼če r─âmase at├órnate de perete; a┼ča c─â am trecut de a doua zi la cel─âlalt curs (l-am anun┼úat pe acest nou profesor c─â vreau s─â vin la d├ónsul ┼či gata).

A┼čadar, a nu se ├«n┼úelege ├«ns─â c─â m─â duc la aceste ├«nt├ólniri interna┼úionale “cu capul plecat”. Nici vorb─â! Merg demn ┼či civilizat, cu o stare de echilibru ├«ntre modestie ┼či totu┼či con┼čtien┼úa c─â ┼čtiu foarte multe (c─â vin dintr-o ┼čcoal─â matematic─â bun─â ┼či dintr-o familie de matematicieni); particip ├«ns─â realist, con┼čtient fiind c─â nu pot s─â ┼čtiu totul. Nu m─â dau mare, dar nici nu-mi este fric─â s─â spun ce g├óndesc, ├«ns─â ├«mi caut cu grij─â cuvintele pentru a nu jigni; ├«ncerc ├«ntotdeauna s─â ├«n┼úeleg contextul de unde vine un vorbitor (la orice nivel, fie cel care ┼úine prelegerea, fie un eventual coleg cu care ajung pentru scurt timp ├«ntr-o grup─â de lucru). Ei nu-mi cunosc lumea mea matematic─â; singurul care poate creea o punte ÔÇô mie folositoare ÔÇô sunt chiar eu, a┼ča ├«nc├ót sunt “cu ochii-n patru” astfel ├«nc├ót s─â prind orice aspect nou.

Iar dup─â ce le-am ├«n┼úeles lumea lor, fi┼úi siguri c─â am ┼či eu cu ce “s─â m─â dau mare”, m─âcar pu┼úin, chiar “pe limba lor”. Fac asta ├«ns─â doar dac─â ajungem s─â ne ├«mprietenim; eu le spun “cadouri”, pentru c─â dup─â c├óte am primit de la ei, trebuie s─â le ofer ┼či eu ceva, nu-i a┼ča?

├Än acest context, al “cadourilor” am tr─âit experien┼úe de toate felurile, de la bune la e┼čecuri. ├Än astfel de situa┼úii unii au avut reac┼úii cu totul speciale: un domn a venit o dat─â cu cartea scris─â chiar de d├ónsul, sigilat─â, spun├óndu-mi c─â el nu are ceva de a┼ča mare valoare cum i-am dat eu lui, dar c─â ├«mi ofer─â ├«n gest de apreciere cartea scris─â de d├ónsul; alt─â dat─â un profesor mi-a adus a doua zi o carte (tot sigilat─â, deci nou cump─ârat─â), un mega curs de matematic─â al unui mare profesor din sistemul Waldorf. Am avut desigur ┼či ├«nt├ómpl─âri opuse, c├ónd prietenul respectiv cuno┼čtea tot ce-i ar─âtam eu (drept “cadou”); ├«nc─â ┼či plusa cu aspecte noi; ├«n cazul acestui prieten a trebuit s─â “muncesc” mult ca s─â-i pot da ceva necunoscut lui (┼čtia totul, din orice carte, a┼ča ├«nc├ót l-am putut surprinde doar cu “cadouri” descoperite de mine). Dar oricum, ├«n astfel de cazuri totul se petrece cu o modestie civilizat─â, f─âr─â orice urm─â de ├«ng├ómfare. Va urma! Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. (post scriptum) Dar, totu┼či, c─â m─â tot r├óc├óie ideea: ce treab─â are Iohannis cu cine-┼čtie ce manual din Germania???. C─â doar el este profesor de fizic─â. Apropos, se scrie Iohannis, nu Ioanis. Dac─â al doilea “n” ┼úine de capacitatea de aten┼úie ┼či memorare la un nivel elementar pentru orice intelectual ce se respect─â (c─â doar nu vorbesc to┼úi germana), litera “h” chiar se aude la fiecare pronun┼úare la televizor sau radio. M─â g├óndesc c├ót de dramatic─â ar fi fost situa┼úia scrierii numelui s─âu, dac─â n-ar fi fost gre┼čeala ofi┼úerului care i-a scris certificatul de na┼čtere cu litera “i” la ├«nceput, ci i-ar fi trecut numele corect, ca la taic─â-su, adic─â Johannis, deci cu “j”. L-ar fi pronun┼úat to┼úi cu “j”, chiar dac─â pe german─â aceast─â liter─â se cite┼čte tot un fel de “i” (a┼čadar, ├«n spa┼úiul public numele pre┼čedintelui se pronun┼ú─â corect; la fel s-ar fi pronun┼úat ┼či dac─â se scria cu “j”). Oricum, trebuie apreciat c─â m─âcar pe d-na Clotilde Armand n-au st├ólcit-o. Chiar a┼ča, ├«ns─â, d├ónsa cum a ajuns ├«n aceast─â discu┼úie? Ce treab─â are d├ónsa cu manualul nem┼úesc? Respectiva divaga┼úie c─âtre zona politic─â este specific─â unei categorii consistente de “internau┼úi” mioritici ┼či spune multe despre capacitatea lor de a se concentra pe un anumit subiect dat (mai exact incapacitatea).