Category: Distractiv

Rezultat corect prin cumularea greşelilor – un exemplu de la simularea EN 2025

Suntem obişnuiţi să aflăm din “perlele” candidaţilor la examenele de limba şi literatura română, presa centrală de Bucureşti oferindu-ne de obicei o scurtă selecţie în acest sens. Perle din zona matematică nu prea ajung publice, greşelile de gândire sau de calcul fiind foarte greu vizibile la nivelul corectării lucrărilor, dar şi destul de seci în sensul “gustării” de către publicul larg (după principiul că “nu toată lumea e obligată să ştie matematică” sau “poţi trăi bine şi fără matematică”).

Anul acesta am avut norocul de un elev foarte cinstit, care mi-a prezentat plin de entuziasm rezolvarea sa de la exerxiţiul 5 din Sub. I, de la simularea naţională a EN. Iată pe scurt rezolvarea exerciţiului, aşa cum mi-a fost prezentată cu mare avânt de către respectivul elev (cu mare avânt, pentru că ştia deja că a ales răspunsul corect):

Nu aţi înţeles? Nici eu n-am înţeles din prima, aşa că l-am oprit şi am cerut explicaţii mai lente, pas cu pas, ca să înţeleg şi eu ceva. Iată şi pentru dvs. paşii separaţi, din care puteţi deduce greşeleile individuale. Astfel, îmi spuse elevul următoarele:

– La început am zis că e supra 2, că-s două numere a şi b; dar apoi am văzut că de fapt sunt patru numere, aşa că am scris supra 4.

– Astea două se duc (minus radical din 2 cu plus radical din 2).

– La fel şi astea două (4 – 4 = 0).

– Deci rezultatul este 4.

Ultima concluzie este o cumulare a mai multor greşeli, pe care merită să le analizăm separat. În primul rând, mulţi elevi “începători în ale matematicii” nu înţeleg diferenţa între simplificare, unde ‘nimic” înseamnă 1, şi respectiv reducerea termenilor opuşi într-o sumă, unde “nimic” înseamnă 0; la ambele avem situaţia cu o tăiere lângă care nu mai scriem nimic. Această greşeală s-a combinat aici cu o a doua: nimic (interpretat ca 1) supra 4 a fost încurcat în mintiuca acestui elev cu 4 supra 1. Elevul respectiv ţinea minte că una din acestea dă 4, numărul 1 dispărând. Aşa că a bifat rezultatul 4, care era printre variantele posibile. Super! Eu personal nu am mai văzut o astfel de combinaţie de 5 greşeli în cascadă, care să ducă la rezultatul corect (desigur, cu sprijinul total dezinteresat al sistemului de testare în grilă).

La mulţi ani de ziua lui π – Cercul înscris în triunghiul dreptunghic

Mie îmi place să colecţionez. Orice tip de item frumos ce îmi apare în 2-3 exemplare care se potrivesc împreună poate reprezenta baza unei noi colecţi. N-am ce face: sunt profund atras de frumos în toate formele posibile. Fie că sunt cutii de cafea din tablă sau pahare de vin de un anumit fel, nimic nu-mi scapă impulsului nestăvilit de colecţionar de frumos. Şi nici problemele de matematică frumoase nu fac excepţie de la acest impuls. În acest sens se încadrează şi micro-colecţia de faţă.

Problema centrală, în jurul căreia este construită această colecţie, o aveam de mult timp, de prin 2005, din perioada când am strâns probleme pentru culegerea publicată la editura Humanitas Educaţional, iar în toţi aceşti ani am tot apelat la aceasta ca un foarte bun exemplu de aplicaţie al teoremei “ciocului de cioară”. Dar aceasta se şi poate aplica – ca atare sau doar ca idee de lucru – şi în alte probleme ale acestui grup, astfel încât am cadorisit-o pentru moment cu titlul de “teoremă” pentru unele din probleme ce i s-au alăturat în colecţie.

Colecţia însă s-a declanşat vara  2023, cu “o ridicare de sprânceană”, la apariţia problemei cu cercul de arie π din triunghiul egiptean cu laturile de (3, 4, 5), care este cu adevărat o problemă uimitoare (putem spune liniştiţi că reprezintă “problema vedetă” a setului). Aceasta se poate numi o problemă frumoasă. Odată declanşat interesul, setul de faţă a fost colecţionat în anul şcolar următor, toate problemele fiind preluate de pe grupuri de facebook din străinătate (orientativ din Asia de sud), arătând o ciudată efervescenţă, gen brain storming între profesori de la distanţă, între diferite persoane active pe acele grupuri în acea perioadă, a căror imaginaţie se activa la vederea problemelor precedente (sau, pe care poate le aveau dinainte).

Eu nu ştiu pentru ce clase au fost gândite aceste probleme de către profesorii respectivi “de peste mări şi ţări”, dar putem desigur să ne gândim unde ne-ar fi bune nouă. Ţinând cont că în unele rezolvări sunt necesare formulele de calcul prescurtat (pătratul sumei, la nivel elementar), dar şi rezolvarea ecuaţiei de gradul II, eu consider că în semestrul 2 din clasa a 8-a ar fi momentul cel mai bun de abordare a acestei fişe ca întreg (ar fi păcat să le despărţim, deşi s-ar putea şi aşa, ţinând cont că baza geometrică este cunoscută din clasa a 7-a). Astfel, putem prezenta acest set elevilor de a 8-a sub titlu recapitulativ (eu exact aşa l-am şi gândit: pentru elevii dragi din cele două clase de-a 8-a din acest an, ca un cadou matematic de activare a conexiunilor de gândire între diverşii itemi învăţaţi în clasa a 7-a şi a 8-a*).

Cele şase probleme colecţionate gravitează – la propriu şi la figurat – în jurul “teoremei” centrale, folosind elemente din aceasta sau din demonstraţia acesteia, aidoma unui grup de şase balerine în jurul prim-balerinei într-un moment de balet al gândirii geometrice împletită cu cea algebrică. Atenţionez că figurile sunt doar orientative, fiind construite “după ochi”, doar cu o monedă de 50 de bani şi o riglă negradată. Precizez încă o dată că aceste probleme nu sunt creaţia mea, doar colecţia fiind meritul meu (şi al soţiei). Totodată atrag atenţia că am încercat pe cât posibil să păstrez stilul de prezentare din postările originale, adică probleme cu un text minim, uneori doar cu date şi semne de întrebare pe figură, forţând astfel activarea gândirii rezolvitorului (cui nu-i convine acest stil, asta e!). Desigur că s-ar putea gândi şi alte variaţiuni şi “complicaţiuni” pe această linie, dar eu am încercat să mă rezum la colecţia respectivă, aşa cum a venit această către noi dinspre Oceanul Indian, inclusiv în sensul că acestea erau postate fără unităţi de măsură (puteţi ataşa cm sau cm2 pe fişa ataşată şi în pdf în final).

PS: *Cele două clase a 8-a la care predau au muncit în această perioadă la un proiect, fiecare elev redactând în orice formă o prezentare a unei pasiuni personale (unii au făcut-o în scris, alţii au făcut un panou de poze, alţii au adus o prezentare în PowerPoint, făcând-o singuri sau poate ajutaţi de acasă, fiecare după puterile sale). Din respect pentru colega ce a condus această acţiune, dar şi pentru elevii care au pus suflet în acest proiect, le dedic această micro-colecţie, ce poate fi privită şi sub titlul de participare din partea mea alături de ei la proiect: da, colecţionarea unor seturi de probleme pe o anumită temă reprezintă clar o pasiune de-a mea. Şi ce ocazie mai bună puteam să găsesc pentru prezentarea acestei colecţie decât ziua lui π! Cu şi pentru elevii respectivi am făcut anul trecut lipirea lui π pe treptele şcolii, iar anul acesta vom parcurge această fişă. Titus Grigorovici

PPS: Săptămâna asta, pe 10 martie s-au împlinit 5 ani de când am fost trimişi acasă “probabil pentru două săptămâni” din cauza Covid 19. Restul “poveştii” îl cunoaşteţi fiecare. Soţia mea evoca deseori titlul lui Jules Verne “Doi ani de vacanţă”. Mie îmi tot venea în minte refrenul de la REM: “It’s the end of the world, as we know it, and I feel fine.” Acum, discutăm din când în când, atunci când vedem la diferite clase urmările acelor ani. De pildă, cei din clasa a 10-a stau prost cu proporţiile, pentru că în anul acela de online 2020-2021 erau în clasa a 6-a. Cine zice că s-a putut învăţa eficient, acela … Eu studiez actualmente pe cei din clasa a 5-a, pe care pandemia i-a prins în clasa pregătitoare, cu scris-cititul încă neînvăţat, la fel şi cu socotitul. Depinde ce-au reuşit să facă părinţii pe acasă, sub îndrumarea învăţătoarei. Ar merita să discutăm cândva mai în amănunt aceste aspecte.

PDF

Din ’89 până în 2025

După cum am văzut, numărulul acestui an ne oferă multe surprize aritmetico-algebrice. Cei pasionaţi de ciudate “potriveli” istorico-numerice desigur că “vor ridica o sprânceană” la următoarea potriveală:  1 + 3 + 5 + … + 89 = 2025.

Adică, pornind de la momentul ruperii oficiale de dictatura lui Ceauşescu, din finalul lui 1989, ce trimitere ciudată face această sumă având rezultatul 2025? Ce vrea să prezică?

Oricum – revenind cu picioarele pe pământ – această potriveală reprezintă o ocazie minunată să-i mai uluim un pic pe cei din jurul nostru, pe cei mai puţin dotaţi matematic desigur. Cât despre elevi, acest exemplu reprezintă o bună ocazie de a le mai oferi la oră o uimire cu ceva gen “magie matematică” (mă refer aici la elevii cam de la orice clasă începând din a 5-a, efectul de uimire fiind similar la orice vârstă, depinzând de fapt doar de nivelul de profunzime al gândirii matematice dezvoltate).

Tabla înmulţirii în 2025

Chiar aşa, ştiaţi că pe vremuri îi spunea Tabla lui Pitagora? Asta, cumva rămasă din Grecia antică, unde numerele se scriau cu litere şi era foarte greu să se ţină minte, aşa că probabil Pitagora venise cu ideea de a le include într-un tabel. Probabil că de acolo la ora actuală în regulamentele de EN pentru copiii cu CES se precizează că au voie cu “tabele pitagoreice” (cam aşa ceva), înţelegând prin acestea orice tabele ajutătoare la matematică.

Dar să revenim la tabla înmulţirii: în contextul acestui an absolut fascinant a apărut provocarea de a aduna toate numerele din tabla înmulţirii până la 9×9 = 81 (deci suma tuturor rezultatelor de la 1×1, însă doar până la 9×9, adică nu şi rezultatele înmulţirilor cu 10 – precizare pentru umanişti). Chiar şi la clasa a 5-a este un exerciţiu foarte bun de aplicare a proaspăt învăţatului factor comun.

Diagonala unui “aproape cub” în 2025

N-am înţeles nici în ruptul capului ce era chestia aia cu “pătrat perfect” (de ce nu le spunea de la început “numere pătrate”?). Adică, există şi numere “aproape pătrate” (sau “pătrate imperfecte”)? Păi, atunci există şi numere “aproape cuburi”, nu? De pildă un paralelipiped dreptunghic “aproape cub” ar putea avea laturile de 1155, 1158 respectiv 1194 (alegeţi singuri unitatea). Acesta este desigur un “aproape cub” pentru că, văzut de la orice distanţă, nimeni nu va putea observa că nu este “cub perfect” (geometric vorbind, că dacă-l iei ca număr, poate vezi ceva ne-la-locul-lui). Dar să trecem la subiectul acestei scurte postări: vă rog să calculaţi diagonala acestui “aproape cub” (merge şi cu smartphone-ul).

La Mulţi Ani! 2025

Pentru elevii de clasa a 5-a, care încă n-au învăţat fracţii, putem desigur scrie şi fără; astfel:

2025 = [(2 : 2 + 2)2 · (2 : 2 + 22)]2.

În diferite mesaje din ultima vreme despre numărul 2025, autorii s-a concentrat asupra faptului că acesta este un număr pătrat (pătrat perfect, pe vechea denumire). Ultimul an număr pătrat a fost în 1936 (soacră-mea la prins şi pe acela), iar următorul va fi în 2116. Trageţi singuri concluziile. Calculul de mai sus este de producţie personală (mi-a reuşit foarte interesant calculul 32 · 5 doar cu 2, integrând astfel în schemă şi puterile a doua).

Dintre cele ce au circulat pe net zilele acestea, am ales trei care au aerul de a genera o uimire deosebită, uimire care în cazul celor “mai puţin stabili matematic” poate fi uşor “împănată” cu note mistice. Astfel, foarte interesantă ca scriere este proprietatea că (20 + 25)2 = 2025.

Numărul 2025 nu este doar un simplu număr pătrat, ci este chiar pătratul unui număr triunghiular! Numerele triunghiulare sunt numerele gen “Suma lui Gauss”, adică sume de la 1 până la un anumit număr natural (puteţi căuta pe net; am scris şi eu despre acestea: se pot “desena” foarte frumos cu punctuleţe). Doar că “şcoala matematică românească” se concentrează în exerciţiile de excelenţă pe sume Gauss foarte mari, neglijându-le de obicei pe cele mici. De pildă 1 + 2 + 3 + … + 10 = 55 sau, în cazul nostru: 1 + 2 + 3 + … 9 = 45; putem scrie desigur şi puţin mai spectaculos: 0 + 1 + 2 + 3 + … 9 = 45 (apariţia lui zero într-un calcul dă întotdeauna un aer “mai sofisticat”). Aşadar, este extrem de spectaculoasă, chiar unică, proprietatea că 2025 este pătratul sumei tuturor cifrelor din baza 10 (fapt absolut unic, repet), adică:  (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2 = 2025

Pentru cei care n-au trecut încă prin liceu, sau l-au trecut mai superficial, următoarea proprietate pare şi mai năucitoare, deşi este strict legată de precedenta, anume că 2025 este suma cuburilor tuturor cifrelor, adică:  03 + 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2025

P.S.1 În prima oră din ianuarie voi face desigur cu clasa a 5-a aceste sume interesante, în condiţiile în care eu le-am predat în modulul II pe lângă numerele pătrate şi numerele triunghiulare. Când mai prind eu “o ocazie aşa de faină”?

P.S.2 Oare ce ne rezervă nouă acest an, cu o astfel de prezentare matematică unică? Dacă n-aţi înţeles ce vreau să spun, vă sugerez să cercetaţi puţin pe următoarea linie de calcul: numărul 8 triunghiular este 36, care este totodată şi 6 pătrat. Mai mult însă: verificaţi ce ne dă 36 triunghiular (dacă nu ştiaţi deja, iar de aici chiar pornesc gândurile mistice; nici n-am curajul să scriu întreaga analogie care iese de aici).

P.S.3 Să încheiem totuşi cu un gând mai simpatic:   .

Minunatele numere de zi cu zi

Despre relaţia “românului de rând” cu numerele am scris chiar de curând, atunci când am evocat citirea preţurilor în http://pentagonia.ro/doua-milioane-cinci-sute-de-mii-si-un-leu/ . De curând am găsit pe contul unei foste colege de muzică – Maria Petrescu – ce s-a mutat înapoi la Bucureşti, următoarea scurtă postare:

Seară, Armenească, urc într-un troleu pe care nu scrie nimic. Venea dinspre Universitate. Direcția măcar e ce-mi trebuie, îmi zic eu, și întreb destinația. 

– Apăi, domnișoară… îmi răspunde un domn ușor abțiguit. Ăsta-i 63, care era 336, de-i zice acum 61, și merge pe la Universitate  toooocmai până-n Militari la Apusului.

Veneam de la un workshop de impro și jur că pentru a o secundă  am crezut că-s într-un loop de-ăla blestemat, prinsă pe vecie în scene cu oameni beți și premise absurde.

Exemplu de activitate de “ziua lui π”

În repertoriul meu de activităţi – lecţii formale sau “altfel” – s-au strâns de-a lungul timpului o multitudine de “idei faine”. Unele dintre ele – relativ puţine (~ 10%) – sunt idei personale, total noi; marea majoritate însă sunt colecţionate din diferite surse, iar apoi adaptate nevoilor şi posibilităţilor mele, îmbunătăţite de-a lungul timpului astfel încât efectul lor să fie cât mai bun la clasă.

Un astfel de exemplu îl reprezintă ideea din precedenta postare, idee ce “a stat la dospit” în subconştientul meu cam doi ani, după care a ieşit la suprafaţă sub o formă adaptată. Anul acesta am două clase paralele de a 7-a, aşa încât preocupările mele pentru această clasă sunt duble faţă de anii trecuţi. În aceste condiţii am pus în practică ideea de a aduce numărul π cu multele sale zecimale la propriu pe treptele ce urcă în şcoala noastră spre clasele 7-8, vârste la care avem clar interesul ca elevii să se împrietenească cât mai bine cu acest număr.

Concret, pentru ziua lui π proiectul din acest an a fost următorul: am imprimat pe hârtie A4 autocolantă numărul π cu 50 de zecimale (atâţia elevi sunt în cele două clase); elevii le-au decupat, iar apoi joi, pe 14 martie, le-am lipit pe treptele de la casa scării pe unde urcă elevii de la a 7-a şi cei de la clasele mai mari (până la a 12-a). În plus, “am invitat la petrecere” şi pe cei “doi prieteni” ai lui π, anume pe şi pe , importanţi pentru elevii de gimnaziu, fiecare cu câte 10 cifre zecimale, imprimate pe treptele ce urcă de la etajul 1 la 2.

Pentru imprimare am ales o hârtie autocolantă mai lucioasă, cu speranţa ca cifrele respective să reziste acolo măcar o săptămână (şi, da, după o săptămână sunt tot acolo, deşi treptele au fost spălate zilnic şi jumătate de şcoală “le-a călcat în picioare”). La decupare am avut grijă să rămână la fiecare cifră integru şi restul colii corespunzătoare (partea dreptunghiulară din exteriorul suprafeţei cifrei, sau, cum i-am spus noi, “negativul”, inclusiv interiorul cifrelor 0, 4, 6, 8, 9), astfel încât tehnic am obţinut două seturi de astfel de “abţibilduri”, unul pentru anul acesta şi încă unul pentru viitor. Mai mult, pentru a îmi uşura păstrarea, cât şi pentru a le aduce “pe picior de egalitate”, am decis ca la cifrele cu găuri să folosesc anul acesta mai mult “negativul” şi să păstrez pentru viitor cifra în sine (în afara unor excepţii). Am obţinut astfel un model jucăuş, mult mai atractiv decât o simplă succesiune de cifre.

În plus, faţă de o simplă şi monotonă succesiune de cifre, dar şi pentru eficienţă financiară a acţiunii, am imprimat primele cifre pe o anumită mărime, iar apoi pe mărimi tot mai mici (deci tot mai multe pe o coală A4). Astfel, pentru tot proiectul am avut nevoie de doar 21 de coli imprimate (pentru care am plătit cca. 26 de lei la firma Colorama din Cluj). Ca să nu încurc cifrele în procesul de imprimare şi decupare cu diferiţi elevi, a trebuit să-mi fac un sistem de poziţionare a fiecărei cifre (deşi am oarece dubii că totul este corect, pentru că am rămas cu un 8 în plus; asta e!).

Pe viitor, când voi decide să folosesc al doilea set, pentru că nu va mai fi nevoie de decupat, elevii respectivi vor putea primi alte “sarcini” de implicare, de pildă să coloreze cifrele (sarcină “dificilă” din punct de vedere matematic; americanii fac faze din acestea, reuşind să implice în activitatea matematică şi elevii non-matematicieni; de pildă să aducă cu ocazia acestei zile “pi-scuiţi”, adică biscuiţi neapărat rotunzi etc.). Apropos: a fost foarte interesant faptul că un elev cu CES s-a implicat foarte intens în dezlipirea foliei de pe spatele cifrelor şi apoi lipirea acestora pe ciment; era clar că odată ce-a prins mişcarea îi plăcea respectiva activitate repetitivă; eu am fost bucuros că în sfârşit am reuşit să cobor până la nivelul lui “în ora de matematică”, în afară de simpla copiere de pe tablă a lecţiei de zi cu zi. Acum am un argument în plus în faţa clasei că “îl trec”, că îi dau 5-ul.

Pe lângă această activitate, în funcţie de disponibilităţi se poat face şi altele (proiecte individuale de afişat pe pereţi etc. Pentru cei ce doriţi să preluaţi ideea, ataşez prezentei postări şi documentele pe baza cărora s-au imprimat respectivele cifre, cu cele 21 de pagini A4 (atenţie că cei doi radicali au cifrele “combinate” pe mărimi şi trebuie separate corect). CTG   P.S. În weekend-ul următor am avut acasă şi un tort de ziua lui π.

Zipped-PiRad2.3.zip

Reduceri de Black Friday

Ţin minte în urmă cu mulţi ani când un elev de a 7-a a venit la şcoală a doua zi după ce le predasem despre numărul π şi le spusesem printre altele că acesta este iraţional, adică are un număr infinit de zecimale ce apar  neperiodic, dar că noi îl aproximăm de obicei la 3,14 – cu precizarea clară că aceasta este doar o aproximare uzuală. Aşadar, mă trezesc cu un elev ridicând mâna la începutul orei următoare şi spunându-mi că verişorul lui care era pe clasa a 11-a i-a spus că π este EXACT 3,14 şi gata!

Apoi au venit anii când din cauza tezelor unice capitolul  despre cerc din a 7-a şi respectiv lecţiile despre corpurile rotunde din a 8-a nefiind incluse în materia pentru teza din semestrul II nu mai erau predate de mulţi profesori. În acea perioadă un elev destul de bun – când l-am întrebat despre numărul π – mi-a răspuns cu un ton de întrebare în glas: 1,46?

În aceste condiţii nici nu mai ştiu dacă să râd sau să plâng la următoarea ofertă găsită toamna asta: