Reclam─â la octaedrul regulat

Matematica ┼čcolar─â rom├óneasc─â este orientat─â ┼či preocupat─â obsesiv doar spre acele teme care ofer─â clar aplica┼úii ulterioare. Lipsesc ├«ns─â preocup─ârile ┼či cuno┼čtin┼úele despre subiectele frumoase, dar care nu ofer─â aplica┼úii variate ├«n zona problemelor de concursuri. ├Än general lipsesc cu des─âv├ór┼čire diverse subiecte matematice care din diferite motive au fost excluse din programa ┼čcolar─â de-a lungul timpului. Astfel de subiecte lipsesc de obicei ┼či din cultura general─â a profesorilor de matematic─â, de┼či ele apar ├«n diferite situa┼úii “din afara matematicii ┼čcolare”; ca urmare deci, acestea lipsesc ┼či din cultura general─â a ├«ntregii popula┼úii culte. Cel mai flagrant exemplu ├«n acest sens a fost momentul apari┼úiei romanului Codul lui DaVinci ├«n ├«nceputul c─âruia autorul Dan Brown a inclus ┼×irul lui Fibonacci. To┼úi oamenii din jurul meu, care citeau c─âr┼úi m─â c─âutau la vremea respectiv─â s─â le explic ce-i acela ┼×irul lui Fibonacci.

Unul din subiectele ce m─â preocup─â este felul ├«n care eu s─â ofer elevilor de clasa a 8-a cuno┼čtin┼úe minime, elementare despre octaedrul regulat. Folosesc prezenta postare pentru a trage un semnal de aten┼úionare la adresa colegilor profesori, pornind de la o apari┼úie surprinz─âtoare a acestui corp ├«ntr-o reclam─â difuzat─â la televiziune, reclam─â ├«n care octaedrul apare ca vedet─â ├«ntr-un rol extrem de dureros, ├«ncerc├ónd s─â simuleze vizual durerea cauzat─â de hemoroizi “┼čti┼úi voi unde”. Pentru a ├«n┼úelege despre ce vorbesc, v─â rog s─â c─âuta┼úi reclama la medicamentul Procto Glyvenol la adresa https://www.youtube.com/watch?v=5LRAVsjKq0I .

A┼ča, dup─â ce m-am str─âduit pu┼úin s─â v─â st├órnesc un minim z├ómbet ├«n col┼úul gurii, pe baza vizualiz─ârii corpului respectiv, a┼č dori s─â v─â provoc ├«n continuare la a-l cunoa┼čte c├ót de c├ót, astfel ├«nc├ót s─â ├«n┼úelege┼úi ce spun c─ând m─â pl├óng c─â astfel de cuno┼čtin┼úe nu sunt defel incluse ├«n materia predat─â ├«n ┼čcoli. ├Än acest sens voi ├«ncerca o minim─â prezentare a unor informa┼úii legate de octaedru. Nu doresc ├«ns─â s─â m─â lansez ├«ntr-o prezentare exhaustiv─â, ci mai degrab─â ├«ntr-o prezentare minimalist─â a aspectelor de baz─â, cu rol de st├órnire a curiozit─â┼úii cititorului, pe baza c─âruia s─â ├«nceap─â un proces de c─âutare pe internet. Astfel, de┼či este vorba de o tem─â de geometrie, a cerei prezentare ar necesita multe imagini, eu m─â voi rezuma la a v─â prezenta doar ├«n text pa┼či acestei minimaliste cunoa┼čteri, urm├ónd ca cei c─ârora le voi fi st├órnit suficient curiozitatea s─â parcurg─â fiecare pentru sine drumul respectiv.

Exist─â cinci corpuri perfecte, a┼ča numitele poliedre regulate, denumite dup─â num─ârul de fe┼úe exprimat original de c─âtre ├«nv─â┼úa┼úii greci: tetraedrul (4 fe┼úe triunghiuri echilaterale), hexaedrul (adic─â cubul, av├ónd 6 fe┼úe p─âtrate), octaedrul (8 fe┼úe triunghiuri echilaterale, “prietenul nostru cauzator de hemoroizi”), dodecaedrul (12 fe┼úe pentagoane regulate) ┼či icosaedrul (20 fe┼úe triunghiuri echilaterale). Toate ar merita extinderea denumirii de “regulate”, dar din motive practice de utilizare sunt denumite simplu, dup─â num─ârul fe┼úelor. Primele dou─â sunt prezente ├«n programa ┼čcolar─â rom├óneasc─â; ultimele dou─â sunt destul de complicate, desenarea lor fiind o provocare ├«n sine (despre care nu mi-am propus s─â vorbesc acum). Octaedrul nu e inclus defel ├«n program─â, de┼či este destul de accesibil, fiind cu totul la nivelul materiei ┼čcolare de clasa a 8-a din Rom├ónia.

Astfel, octaedrul regulat ne apare ca un corp compus din dou─â piramide cu baza comun─â. Este vorba aici despre renumitele ┼či foarte des ├«nt├ólnitele piramide patrulatere cu fe┼úele laterale triunghiuri echilaterale, ┼čti┼úi, cele care au c├óte dou─â fe┼úe laterale opuse perpendiculare. Ca urmare, pentru orice elev binevoitor, chiar ┼či determinarea formulelor de arie total─â ┼či volum reprezint─â ni┼čte sarcini deosebit de accesibile (calcul ├«n func┼úie de lungimea muchiei).

Dar, cum se deseneaz─â un astfel de corp? Cea mai practic─â reprezentare grafic─â este urm─âtoarea: desena┼úi un cub ┼či trasa┼úi diagonalele fiec─ârei fe┼úe. Apoi uni┼úi ├«n mod corespunz─âtor centrele astfel ob┼úinute ale fe┼úelor cubului. Desenul implic─â foarte foarte multe linii, risc├ónd s─â devin─â total de ne├«n┼úeles, a┼ča c─â recomand cu c─âldur─â ca diagonalele fe┼úelor cubului s─â fie trasate c├ót mai fin cu putin┼ú─â, doar c├ót s─â se poat─â vedea punctele de intersec┼úie de pe fiecare fa┼ú─â. Apoi uni┼úi cu linie continu─â muchiile “din fa┼ú─â” ale octaedrului, respectiv cu linie ├«ntrerupt─â muchiile “din spate”. Dac─â lua┼úi un creion colorat (sau un alt instrument cu linie fin─â) ┼či trasa┼úi ├«nc─â o dat─â octaedrul (de exemplu un ro┼ču ca s─â semene cu cel din reclam─â), atunci se va ├«n┼úelege foarte bine cum arat─â acest corp.

Desigur c─â pute┼úi s─â porni┼úi ┼či de la un desen clasic al unei piramide patrulatere, construind ├«nc─â una simetric─â “├«n jos”, dar aceast─â metod─â nu v─â garanteaz─â o figur─â foarte clar─â, exist├ónd pericolul ca octaedrul dvs. s─â fie prea ┼úuguiat (┼či de pild─â s─â nu ├«ndeplineasc─â perpendicularitatea de care am vorbit, pentru c─â cei mai mul┼úi nu dau aten┼úie unor astfel de detalii c├ónd deseneaz─â o piramid─â ÔÇô din p─âcate).

Revenind la cele cinci corpuri perfecte, inclusiv demonstrarea faptului c─â exist─â doar acestea cinci este o sarcin─â de nivel gimnazial: face┼úi un tabel av├ónd pe capul orizontal unghiurile corespunz─âtoare poligoanelor regulate p├ón─â la hexagon ÔÇô 60o, 90o, 108o, eventual ┼či 120o ÔÇô iar apoi analiza┼úi pe vertical─â posibilit─â┼úile num─ârului de fe┼úe dintr-un col┼ú, plec├ónd de la faptul c─â suma unghiurilor plane din jurul unui v├órf de corp nu poate atinge valoarea de 360o.

G─âsi┼úi elemente la care m-am referit ├«n aceast─â postare intr├ónd pe site-ul pentagonia.ro la Revista Pentagonia 1998-2002 ┼či deschiz├ónd pdf-ul cu caietul nr.2 pentru prezentarea octaedrului ┼či a unor desene legate de acesta, respectiv pdf-ul cu caietul nr.3 pentru tabelul de demonstrare a existen┼úei doar a celor cinci corpuri perfecte. ├Än caietul nr.4 g─âsi┼úi ┼či ultima parte a seriei despre aceste corpuri.

Dar ce pute┼úi face cu aceste informa┼úii? Cel mai simplu ar fi includerea acestora ├«n ore din s─âpt─âm├óna “┼×coala altfel”, sau ├«n diverse alte momente c├ónd din diferite motive nu prea se lucreaz─â la ore (de pild─â ├«n ultima or─â ├«nainte de vacan┼ú─â). Desigur c─â problematizarea reprezint─â cea mai ra┼úional─â cale de a-i implica pe elevi ├«n cunoa┼čterea acestui corp, astfel ├«nc├ót lec┼úia respectiv─â s─â reprezinte de fapt o ocazie eficient folosit─â ├«nspre activarea g├óndirii elevilor (g├óndire care este folositoare ┼či la examen!). Ca urmare este evident c─â nu sunt de p─ârere, dar ┬ádefel, ca profesorul s─â-i dea elevului direct formulele respective.

Lec┼úia respectiv─â poate fi studiat─â ┼či ca tem─â, de pild─â d├ónd elevului un proiect pentru o not─â suplimentar─â. Cel mai bine ar fi ca ├«n acest caz elevul s─â primeasc─â o minim─â list─â cu ce ar trebui s─â includ─â ├«n “lec┼úia” respectiv─â, a┼ča ├«nc├ót acesta s─â nu “dea direct pe net” ┼či s─â caute ca disperatul, sau dimpotriv─â s─â descarce de-a gata un referat f─âcut de altcineva (de┼či nu cred c─â exist─â, pentru c─â nu e ├«n program─â).

Dac─â a┼úi apucat s─â v─â obi┼čnui┼úi cu acest corp, ve┼úi recunoa┼čte desigur c─â acesta este unul foarte frumos, probabil unul dintre cele mai frumoase. Evident c─â pute┼úi s─â aborda┼úi ┼či construc┼úia sa din carton, sau din be┼úe (de pild─â din paie de b─âut, sau din be┼úi┼čoare de cur─â┼úat urechile, de la care s-a ├«ndep─ârtat vata, legate cu a┼ú─â trecut─â prin ele). Confec┼úionat dintr-un carton ro┼ču, octaedrul este deosebit de decorativ ├«n bradul de Cr─âciun. Pentru o persoan─â cu dexterit─â┼úi mig─âloase, ar fi o idee de a confec┼úiona unul mic, cu muchia de 1┬ácm, pe post de m─âr┼úi┼čor (poate unul dintr-un carton fin alb, m─âcar 120g/mp). Pentru ├«nceput, ├«ns─â, v─â doresc spor la studiu! CTG

Bucuria rezultatului frumos

De cur├ónd a avut loc pe facebook un schimb de replici ├«ntre profesori de matematic─â, despre rezultatul discriminantului. Ca persoan─â atent─â la tr─âirile elevilor, am rezonat desigur cu urm─âtoarea afirma┼úie: ├Än ╚Öcoal─â, cea mai mare satisfac╚Ťie o aveam c├ónd ├«mi d─âdea ╬ö-p─âtrat perfect (din c├óte am re┼úinut, afirma┼úia ├«i apar┼úine d-lui Cristinel Mortici).

M-a bucurat aceast─â afirma┼úie pentru c─â reprezenta o amintire pur─â venit─â din sufletul unui elev, o amintire despre o stare pe care cu to┼úii am tr─âit-o: ca elevi ne bucuram atunci c├ónd ne d─âdea p─âtrat perfect la delta. Cine nu recunoa┼črte aceast─â stare tr─âit─â ├«n timpul liceului, acela de fapt ┼či-a pierdut definitiv copilul din el. Copilul se bucur─â din oficiu pentru un rezultat frumos, ├«l resimte ca pe o confirmare a faptului c─â a lucrat corect.

M─â ├«nc├ónt─â deosebit astfel de afirma┼úii r─âmase ├«n sufletul unora ca amintiri de nezdruncinat; adul┼úi matematicieni (sau nematematicieni) care ne pot aduce tr─âiri din via┼úa lor de elev, tr─âiri ce aduc astfel de amintiri ca ├«ntr-o bul─â nedistorsionat─â de anii vie┼úii (facultate, maturizarea deplin─â, ┼čui┼čurile ┼či cobor├ó┼čurile inerente).

Un elev care merge ├«nainte c├ónd discriminantul nu d─â p─âtrat perfect, f─âr─â m─âcar s─â verifice ├«nc─â o dat─â, acela d─â dovad─â de o atitudine nes─ân─âtoas─â. ├Äntre comentariile din acel moment chiar a ap─ârut ideea: ├Än liceu am avut doar 10 la mate, cu excep┼úia unei singure note de 8, pe care am ├«ncasat-o la un extemporal┬á ├«n clasa a IX-a pe trimestrul III, fiindc─â nu mi-a dat DELTA p─âtrat perfect! Gre┼čisem la calcule, evident (afirma┼úie a d-lui Marcel ┼óena, dac─â nu am gre┼čit la salvarea setului de comentarii).

Aceste observa┼úii, despre bucuria unui rezultat frumos, le cuno┼čtea desigur ┼či profesorul Grigore Gheba: ┼či acum elevii se bucur─â atunci c├ónd ob┼úin acele rezultate frumoase din exerci┼úiile sale, fie la cele cu frac┼úii etajate, fie la cele cu frac┼úii algebrice.

Nu vreau s─â reiau ├«n aceast─â postare toate comentariile de atunci, ci prefer s─â ├«nchei cu o afirma┼úie gen banc (din c├óte am re┼úinut, postat de c─âtre dl Costel Balcau): Ne p─âc─âle╚Öti, cum s─â fie triunghiul ─âla p─âtrat? Titus Grigorovici, un ve┼čnic copil

P.S. Aceast─â postare se dore┼čte o aten┼úionare la adresa celor care sus┼úin de obicei c─â orice rezultat este unul bun, cu alte cuvinte sus┼úin├ónd “egalitatea de drepturi” a rezultatelor frumoase cu a rezultatelor ur├óte. Tehnic o fi a┼ča, dar ├«n sufletul elevilor rezultatele frumoase ├«i atrag spre exersarea matematicii, pe c├ónd cele ur├óte nu. O persoan─â, profesor la clas─â sau autor, care-┼či bombardeaz─â elevii cu rezultate “indiferente”, de fapt ├«i ├«ndep─ârteaz─â de bucuria adus─â de rezultatele frumoase. ├Äntr-o astfel de atmosfer─â, unii ├«nv─â┼ú─âcei reu┼česc s─â stea cu sufletul c─âtre matematic─â, al┼úii nu. ├Än sine, aceast─â situa┼úie nu ar fi o mare problem─â (“de fapt nu toat─â lumea trebuie s─â ┼čtie matematic─â!”, s-ar putea spune) dar problema mare iese la iveal─â atunci c├ónd con┼čtientiz─âm leg─âtura indisolubil─â ├«ntre matematic─â ┼či formarea g├óndirii ra┼úionale, respectiv lipsa acesteia din urm─â la mult prea mul┼úi rom├óni.

Bucuria rezultatului frumos apare ┼či la teorema lui Pitagora, atunci c├ónd ai de extras radicalul ├«n final: oricine se bucur─â dac─â g─âse┼čte ├«n acel moment un num─âr p─âtrat. Dac─â este vorba de calcule cu numere mai mare, atunci la acel moment intervine speran┼úa c─â acel num─âr este p─âtrat. Eu folosesc acest moment d├óndu-le elevilor probleme cu triplete pitagoreice mai mari, altele dec├ót clasicele (3,4,5) sau (5,12,13), sau amplific─âri lor. Iar c├ónd a treia latur─â este un num─âr prim mai mare, lucrurile devin de-a dreptul palpitante. Oricum, la calcule lucrurile sunt simple ┼či clare: elevul se bucur─â atunci c├ónd ├«ntr-un exerci┼úiu ob┼úine un rezultat frumos.

Pe de alt─â parte, se poate pune ├«ntrebarea despre ce ar reprezenta ideea de rezultat frumos ├«n cadrul propriet─â┼úilor geometrice. De pild─â, teorema lui Pitagora este oare ├«ntr-adev─âr un rezultat frumos, a┼ča cum g├óndeau egiptenii antici, care considerau egalitatea respectiv─â drept o adunare divin─â? Sau, faptul c─â suma unghiurilor unui triunghi este egal─â cu un unghi alungit (mult mai elegant dec├ót num─ârul 180o), respectiv suma unghiurilor unui patrulater este egal─â cu m─âsura unei rota┼úii complete, ┼či asta indiferent dac─â patrulaterul este convex sau concav? Dar, mai ales, cum facem ca ├«n momentul pred─ârii unor astfel de propriet─â┼úi, s─â reu┼čim s─â le transmitem elevilor ideea de rezultat frumos?

Algebra ┼či curajul de a ie┼či la tabl─â (Analiza unui banc ÔÇô 2)

Spuneam ├«n postarea precedent─â c─â bancul de la ├«nceput, cel despre geometrie, a umblat de cur├ónd pe platforme de socializare. Cam ├«n aceea┼či perioad─â am g─âsit ┼či bancul de mai sus, unul legat aparent de algebr─â. De fapt, algebra arat─â ├«n acest banc destul de pozitiv, ├«ntr-o compara┼úie ipotetic─â cu geometria. Deci, personajul respectiv a avut m─âcar acel curaj de a ridica m├óna la algebr─â, c─â la geometrie nici vorb─â (sunt con┼čtient c─â aceast─â observa┼úie este par┼úial “tras─â de p─âr”).

Bancul acesta trimite ins─â foarte clar la atmosfera de la ora de matematic─â, a┼ča cum aceasta este perceput─â de o mare parte dintre elevi. Este vorba despre o stare de fric─â, uneori de o adev─ârat─â teroare, ├«n care tr─âiesc elevii ┼či de care este legat─â rela┼úia cu aceast─â materie. ┼×i, trebuie clar s─â precizez, aceast─â stare apare peste tot ├«n lume, nu doar la noi. Poate doar c─â la noi aceast─â stare este mult mai dur─â. Din c├óte ┼čtiu ├«ns─â, procentajele sunt orientativ similare. At├ót la noi, c├ót ┼či ├«nafar─â, undeva la jum─âtate din popula┼úie au o stare de team─â fa┼ú─â de matematic─â. Singura diferen┼ú─â clar─â este legat─â de faptul c─â aceast─â parte a popula┼úiei, ce nu beneficiaz─â de factorul formativ al g├óndirii, educat de c─âtre matematic─â la orele din ┼čcoal─â, aceast─â parte a popula┼úiei ├«┼či formeaz─â o g├óndire dup─â modelul societ─â┼úii ├«n care tr─âie┼čte: familia, anturajul de prieteni sau de colegi ├«┼či pune amprenta asupra felului ├«n care ace┼čti oameni judec─â. De pild─â, la noi, cei care au frica de matematic─â sunt ceva mai vulnerabili de a fi manipula┼úi de c─âtre al┼úii, din anturajul restr├óns sau din mass media, de pild─â de c─âtre politicieni (ca vorbitor de german─â, eu urm─âresc desigur ┼či societatea nem┼úeasc─â, ┼či v─âd astfel de exemple dar la o scar─â mai mic─â; situa┼úia cu cancelarul austriac ┼či cu refuzarea accesului nostru ├«n Schengen a fost un contraexemplu ciudat de ira┼úionalitate ├«n spa┼úiul ┼ú─ârilor germane ÔÇô de┼či, cine sunt eu s─â judec? ÔÇô te miri ce aspecte noi vor ap─ârea cu timpul, care s─â justifice atitudinea respectiv─â).

Revenind la orele de matematic─â ┼či la atmosfera din timpul acestora, stau ┼či m─â g├óndesc c─â aceasta este una din sursele de baz─â legate de frica fa┼ú─â de matematic─â. Bancul de mai sus exact asta spune: am avut curaj, adic─â mi-am ├«nfruntat frica fa┼ú─â de matematic─â. Pentru a putea produce dorita stare de performan┼ú─â ├«n matematic─â, majoritatea profesorilor ajung s─â-┼či conduc─â ora cu o atitudine generatoare de fric─â. Aceasta este ├«ns─â “doar o fa┼ú─â a monedei”. Cealalt─â surs─â a stress-ului este legat─â de faptul c─â g├óndirea matematicii nu este u┼čoar─â, mul┼úi dintre elevi prefer├ónd pur ┼či simplu s─â o evite. Dimpotriv─â, confrunta┼úi cu o atmosfer─â bl├ónd─â la orele de matematic─â, astfel de elevi nu vor face matematic─â defel, nu-┼či vor face temele, nu-┼či vor ├«nv─â┼úa lec┼úiile, iar apoi oricum vor c─âuta justificarea pentru e┼čecul lor ├«n explica┼úii de felul “to┼úi profesorii de matematic─â sunt la fel, chinuie copiii” sau “eu am discalculie” etc., toate sub genericul “cea mai bun─â matematic─â este matematica defel!”.

D-na profesoar─â Birte Vestergaard, despre care am scris ├«n c├óteva r├ónduri, are ca unul dintre obiectivele principale exact recuperarea acestor elevi ├«nsp─âim├ónta┼úi de ora de matematic─â. Ca argument pentru eficien┼úa metodei sale, d├ónsa ne-a ar─âtat c├óteva pasaje din interviuri, ├«n care fo┼čti elevi slabi la matematic─â ├«┼či prezentau evolu┼úia sentimentelor, de la frica total─â de matematic─â ÔÇô cu accent pe frica de a se face de r├ós ├«n fa┼úa colegilor ÔÇô ┼či p├ón─â la nivelul ├«n care au ajuns s─â g├óndeasc─â ┼či s─â lucreze matematic─â f─âr─â nici cea mai mic─â problem─â. Metoda respectiv─â este bun─â deaorece ├«i ajut─â ┼či pe cei buni s─â empatizeze cu cei slabi ┼či s─â con┼čtientizeze zdroaba acestora ├«n cadrul activit─â┼úii matematice.

Eu personal m─â str─âduiesc constant s─â generez o atmosfer─â ├«n care ┼či elevii speria┼úi de matematic─â s─â ajung─â la o stare dezinhibat─â cu matematica. Din p─âcate unii ├«n┼úeleg aceasta ca o permisivitate c─âtre a face orice altceva ├«n or─â. La al┼úii totu┼či func┼úioneaz─â, adic─â ├«mi reu┼če┼čte s─â-i aduc ├«n starea de aten┼úie ┼či participare la or─â, desigur ├«n momentele care prezint─â matematic─â accesibil─â pentru nivelul lor. M─â g├óndesc de exemplu la un elev care de fiecare dat─â c├ónd suntem ├«n pasaje mai u┼čoare, el automat devine activ, ridic─â m├óna nesilit ┼či r─âspunde de fiecare dat─â corect. Acel elev, de┼či nu este un mare matematician, ├«┼či cunoa┼čte foarte bine nivelul, dar de fiecare dat─â c├ónd poate ├«mi arat─â de fapt c─â nu-i este fric─â de matematic─â.

Unul dintre exemplele cele mai sugestive despre starea de fric─â fa┼ú─â de matematic─â ┼či fa┼ú─â de inaccesibilitatea acesteia, l-am tr─âit ├«n urm─â cu c├ó┼úiva ani. Aveam prima or─â la o nou─â clasa de liceu (a 9-a de uman), ├«n care erau elevi de la foarte buni (dar care doreau s─â r─âm├ón─â ├«n Waldorf) ┼či p├ón─â la nivelul cel mai slab posibil. M-am g├óndit s─â nu-i speriu din prima cu cine ┼čtie ce complica┼úiune, a┼ča c─â m-am dus la ei cu o chestie ce nu implic─â defel cuno┼čtin┼úe anterioare, desigur ├«n afar─â de simpla adunare p├ón─â la zece. Le-am dus un zar pe care ├«l puneam ├«n fa┼úa lor pe mas─â ┼či ├«i ├«ntrebam ce fa┼ú─â este dedesupt (├«l ┼úinem cu dou─â degete lateral, a┼ča ├«nc├ót s─â nu func┼úioneze prin excludere). Pentru cine nu ┼čtie poanta, suma fe┼úelor opuse la un zar este ├«ntotdeauna 7 (de pild─â 2 ┼či 5 sunt pe fe┼úe opuse). ├Äntrebarea desigur se adresa celor noi ├«n clas─â (cei ce veneau din clasa a 8-a o ┼čtiau deja). Imagina┼úi-v─â cum mergeam de la un elev nou la altul ┼či ├«i ├«ntrebam, iar ace┼čtia ├«ncercau s─â g├óndeasc─â, pentru c─â era evident c─â nu se lega de nimic din ce ├«nv─â┼úaser─â p├ón─â atunci. Unii se prindeau pe c├ónd al┼úii nu.

├Än aceast─â stare am ajuns la o elev─â foarte speriat─â, care nu se prindea de poant─â ┼či gata. Eu totu┼či ├«i ar─âtam r─âbdare, dar ea nu ┼či nu. P├ón─â la urm─â unul dintre colegi i-a spus c─â trebuie s─â dea ├«mpreun─â 7. Eleva a f─âcut ochii mari, eu i-am mai pus o dat─â ├«ntrebarea (de fiecare dat─â ├«ntorceam zarul), iar ea s-a concentrat ┼či a r─âspuns corect. I-am ar─âtat dosul zarului spre confirmare, iar ea s-a ridicat ├«n picioare ┼či a ├«nceput s─â fug─â ├«n cerc strig├ónd “Da! ┼×tiu matematic─â!!!”. Am realizat atunci c─â am de-a face cu un caz deosebit de dificil ┼či, ├«ntr-adev─âr, tot liceul a cam trebuit s─â-i dau 5-ul “din burt─â”.

Surpriza a venit la sf├ór┼čitul clasei a 12-a c├ónd elevii “├«┼či ├«mp─âr┼úeau profesorii”, care la care s─â dea clasicul buchet de flori, la festivitatea de ├«ncheiere. Aceast─â elev─â a insistat ca ea s─â-mi dea mie flori. Doar pentru acel moment de la ├«nceputul clasei a 9-a (┼či poate pentru faptul c─â am avut grij─â tot liceul s─â nu se simt─â ├«njosit─â pentru c─â nu putea mare lucru la matematic─â). S─â nu crede┼úi ├«ns─â c─â “nu am f─âcut matematic─â” cu acea clas─â. Dimpotriv─â, de multe ori dep─â┼čeam nivelul programei, pentru cei care puteau, dar ├«ntotdeauna cu respect fa┼ú─â de cei slabi. Concluzion├ónd, cum bine spunea Dl Profesor Radu Gologan, matematica ┼čcolar─â trebuie s─â devin─â mai uman─â. Titus Grigorovici

Figurile geometriei (Analiza unui banc ÔÇô 1)

“Scrierea” de mai sus, ce provine de pe o platform─â de socializare, se dore┼čte a fi un banc (adic─â ceva de r├ós). Doar c─â aceasta puncteaz─â ceva ce este mai degrab─â de pl├óns: dispari┼úia ÔÇô lent─â dar sigur─â ÔÇô a figurilor din anturajul geometriei, ca materie, at├ót ├«n cadrul lec┼úiilor, c├ót mai nou ┼či ├«n cadrul problemelor, at├ót din ideea de necesitate ├«n structura mentalului unor profesori, c├ót ┼či ÔÇô ca urmare ÔÇô din mentalul unor elevi.

Deja ├«n urm─â cu cca. 15 ani am ajuns s─â ├«nt├ólnesc elevi care s─â-mi spun─â c─â “figurile nu conteaz─â”, citat reluat desigur de la adul┼úi din anturajul lor, de obicei chiar de la profesorul de la clas─â. ┼óin minte c─â m─â chinuiam cu un copil la care toate triunghiurile desenate erau isoscele, ce-mi spunea cu un aer de siguran┼ú─â c─â “oricum, figurile nu conteaz─â!”.

Actualmente lucrurile au luat-o razna r─âu de tot: am ├«nceput s─â ├«nt├ólnesc lec┼úii sau probleme de geometrie f─âr─â figur─â! ┼×i m─â refer aici nu la situa┼úii din acelea relativ simple, la care putem considera c─â figura geometric─â poate fi u┼čor imaginat─â ├«n cap, pentru rezolvarea problemei. V─â dau c├óteva exemple ├«nt├ólnite ├«n aceast─â toamn─â.

1) S─â vorbim pentru ├«nceput despre o lec┼úie, una cunoscut─â, anume lec┼úia care trebuie s─â fac─â prezentarea conexiunilor ├«ntre unghiurile ce se ├«nt├ólnesc ├«n cazul a dou─â drepte paralele t─âiate de o secant─â. De foarte mult timp ┼čtiu c─â exist─â ideea de a desprinde din aceast─â lec┼úie, ca un soi de faz─â preg─âtitoare, o prim─â etap─â ├«n care s─â fie prezentate perechile respective de unghiuri (alterne interne, corespondente, etc.) pe o figur─â “generalizat─â”, adic─â pe o figur─â cu dou─â drepte neparalele t─âiate de o secant─â. Nu ┼čtiu unde, c├ónd sau la cine a ap─ârut aceast─â idee, dar este una deosebit de d─âun─âtoare, chiar nociv─â pentru dezvoltarea g├óndirii, a┼č putea zice chiar nociv─â pentru apari┼úia g├óndirii. Chiar ┼či privit doar superficial putem sus┼úine aceast─â afirma┼úie deoarece figura respectiv─â ÔÇô cu cele dou─â drepte neparalele ÔÇô confrunt─â mintea elevului ├«ncep─âtor cu o situa┼úie ce nu se va ├«nt├ólni niciunde.

Afirma┼úia se sus┼úine ┼či dac─â privim mai profund: ├«n aceast─â situa┼úie ├«ncercarea de ├«n┼úelegere a copilului este for┼úat─â s─â se dezvolte “sprijinindu-se” pe mult mai pu┼úine elemente logice, eliminate fiind cele mai u┼čoare, mai intuitive, ┼či l─âsate doar de cele mai grele. Ce vreau s─â spun aici? Studiate pe o figur─â cu drepte paralele, elevii pot vedea respectivele “perechi de unghiuri” sprijini┼úi de eviden┼úa congruen┼úei, care se vede clar. M─â refer aici desigur la unghiurile corespondente, dar ┼či la cele alterne interne. Datorit─â congruen┼úei, elevul ├«n┼úelege mult mai clar alegerea unor anumite perechi de unghiuri ┼či logica aranj─ârii acestora ├«n figura respectiv─â (de exemplu, “alterne” pentru c─â alterneaz─â de-o parte ┼či de cealalt─â a secantei, la fel ca ┼či casele numerotate alternativ de-o parte ┼či de alta a str─âzii, respectiv “interne” pentru c─â sunt ├«n spa┼úiul acela interior delimitat de cele dou─â paralele); la celelalte perechi de unghiuri studiate g├óndirea ┼či ├«n┼úelegerea se poate sprijini deja pe structurile mai complicate de aranjare ce au fost reliefate la primele dou─â categorii.

Pe figura cu dou─â drepte paralele, acestea ÔÇô cele dou─â drepte paralele ÔÇô se eviden┼úiaz─â min┼úii ├«n formare a elevului ca o pereche clar─â, dreapta secant─â eviden┼úiindu-se separat, cu un alt rol logic ├«n aceast─â structur─â. Dimpotriv─â, la figura “generalizat─â”, cea cu perechea celor dou─â drepte neparalele, t─âiate de o a treia, pe post de secant─â, aici mintea elevului nu va vedea la fel de u┼čor faptul c─â primele dou─â ac┼úioneaz─â ├«mpreun─â ├«ntr-un fel, pe c├ónd a treia ├«n alt mod. Personal, eu nu mai ┼úin minte foarte clar, dar cred totu┼či c─â am predat o dat─â, ├«n primul an la catedr─â pornind de la aceast─â figur─â (anul ┼čcolar 1990-1991), dup─â care am abandonat ideea (am ├«n amintire o impresie vag─â c─â elevii n-au ├«n┼úeles nimic; ceva de genul c─â-mi lipsea privirea aia de “aha, am priceput!” de pe fe┼úele lor; altfel spus, am sim┼úit empatic c─â elevii n-au ├«n┼úeles nimic din acea figur─â). Deci, practic, de 30 de ani nu am mai folosit aceast─â figur─â premerg─âtoare, ├«ns─â doar acum am ajuns s─â fac “teoria chibritului” pe seama acesteia (ve┼úi vedea ├«n cur├ónd de ce).

Mai z─âbovesc un pic la prima idee, anuma la faptul clar c─â figura respectiv─â ÔÇô cu cele dou─â drepte neparalele ÔÇô confrunt─â mintea elevului ├«ncep─âtor cu o situa┼úie ce nu se va ├«nt├ólni niciunde. Eu am o teorie, anume faptul c─â la geometrie elevii trebuie s─â ┼úin─â minte ni┼čte FIGURI TIP, pe care s─â le aib─â imprimate bine ├«n minte pentru a le putea recunoa┼čta ulterior ├«n diferite structuri mai complicate, adic─â de obicei ├«n figurile diferitelor probleme. Pentru a m─â face ├«n┼úeles, dau aici c├óteva exemple de figuri tip: dou─â drepte secante (“Crucea Sf. Anton”) pentru unghiuri opuse la v├órf, un triunghi oarecare sec┼úionat de o paralel─â mai jos sau mai sus de linia mijlocie, pentru situa┼úii de propor┼úionalitate (teorema lui Thales sau teorema findamental─â a asem─ân─ârii), ┼či exemplele pot continua mult ┼či bine (exist─â figuri tip chiar ┼či la zona de algebr─â, de pild─â “Crucea Sf. Anton” pe elementele unei propor┼úii, ├«n timp ce spui ├«n minte c─â “produsul mezilor este egal cu produsul extremilor”).

Desigur c─â figura cu dou─â drepte paralele t─âiate de o secant─â este o figur─â tip! Imprimarea ei pe mentalul elevilor este deosebit de important─â ┼či datorit─â faptului c─â aceasta nu apare de obicei ├«ntreag─â ├«n figurile diferitelor probleme, a┼ča ├«nc├ót elevul trebuie s─â fie capabil s─â completeze ├«n minte figura astfel ├«nc├ót s─â recunoasc─â figura tip ┼či s─â poat─â vedea apari┼úia a dou─â unghiuri congruente (s─â zicem unele alterne interne, de exemplu).

Astfel, se ├«n┼úelege c─â este extrem de important ca aceast─â figur─â s─â “se imprime” c├ót mai repede ┼či c├ót mai bine pe mentalul elevilor, iar aceasta se poate face cel mai bine printr-o prezentare repetat─â. Eu, de pild─â, refac figura tip cu dou─â paralele t─âiate de o secant─â la fiecare fel de pereche de unghiuri studiate ├«n aceast─â lec┼úie, adic─â m─âcar de 3-4 ori. Astfel, o fac prima dat─â la unghiurile corespondente (pe acestea le fac primele pentru c─â “stau la fel”, astfel ├«nc├ót congruen┼úa poate fi justificat─â, “demonstrat─â”, prin translatarea unuia de-a lungul secantei p├ón─â ├«n cel─âlalt). Apoi refac figura a doua oar─â pentru unghiurile alterne interne (ce poate fi justificat─â pe baza primeia ├«mpreun─â cu deja cunoscuta situa┼úie a unghiurilor opuse la v├órf). Cu aceast─â ocazie elevii ├«ncep s─â priceap─â c─â aceast─â figur─â este una important─â. Uneori o fac ┼či pentru unghiurile alterne externe, dar asta doar de dragul teoriei, c├ót ┼či a elevilor care ├«ntreab─â dup─â a doua categorie “dar, exist─â ┼či unghiuri alterne externe?”, preciz├óndu-le ins─â clar c─â acestea nu se folosesc defel. Apoi vine figura obligatorie ├«n cazul unghiurilor interne de aceea┼či parte a secantei, care se dovedesc suplementare (┼či aceasta poate fi justificat─â pentru ├«n┼úelegerea elevilor, apropos de faptul c─â unii colegi au ajuns doar s─â prezinte elementele unei lec┼úii, f─âr─â a mai explica defel de unde vin acestea). Situa┼úia perechii de unghiuri externe de aceea┼či parte a secantei sigur n-o mai fac, eventual o amintesc dac─â ├«ntreab─â un copil (din logica denumirii acestora), dar atunci cu precizarea clar─â c─â nici acestea nu se folosesc nic─âieri.

Am f─âcut aceast─â prezentare extins─â a importan┼úei figurilor din lec┼úia despre unghiurile ce apar la dou─â paralele t─âiate de o secant─â pentru a scoate ├«n eviden┼ú─â c├ót mai bine stupiditatea urm─âtoarei situa┼úii. Astfel, de cur├ónd mi-a fost dat s─â v─âd aceast─â lec┼úie predat─â doar cu prima figur─â, acea cu dou─â drepte neparalele t─âiate de o secant─â, ├«n care erau prezentate extins, ├«n text, pe baza numerot─ârii celor opt unghiuri vizate, a tuturor perechilor respective. Urma apoi un fel de teorem─â ├«n care erau precizate faptul c─â dac─â dreptele acelea sunt paralele, atunci “urm─âtoarele unghiuri sunt …..”. ├Än lec┼úia respectiv─â nu ap─ârea defel figura cu dou─â drepte paralele t─âiate de o secant─â. Cu alte cuvinte, profesorul respectiv prezentase doar figura nefolositoare, pe c├ónd cea deosebit de important─â nici nu era prezent─â ├«n lec┼úie (dec├ót doar ├«n text).

F─âr─â figura cu dou─â drepte paralele elevul este “├«mpins” s─â ├«n┼úeleag─â aceast─â lec┼úie doar ├«n mod “intelectual”, elimin├óndu-se posibilitatea ├«n┼úelegerii vizuale directe. Pentru a ├«n┼úelege, elevul este obligat s─â fac─â doi pa┼či logici, anume s─â urm─âreasc─â situa┼úia ┼či afirma┼úiile textului ┼či s─â-┼či ├«nchipuie figura conform noilor condi┼úii (dou─â drepte paralele), ca apoi s─â le conecteze ├«n minte pe cele dou─â. Este evident c─â aceast─â cale este mult mai dificil─â, chiar inaccesibil─â pentru cei mai mul┼úi dintre elevii actuali.

Cum s─â ├«n┼úeleag─â acei elevi lec┼úia respectiv─â??? Mintea mea nu ├«n┼úelege a┼ča ceva dec├ót aleg├ónd din una dintre urm─âtoarele dou─â situa┼úii: fie este vorba despre o “prostire” profesional─â a unor dasc─âli, fie o r─âutate cronic─â fa┼ú─â de elevi. Oricum este evident faptul c─â elevii sunt ├«mpin┼či, fie ├«n bra┼úele sistemului de medita┼úii particulare, fie ├«nspre pierderea contactului cu matematica, cu g├óndirea.

Foarte aproape de aceast─â stare se situeaz─â ┼či variant─â ├«nt├ólnit─â prin anumite lucr─âri, care prezint─â ce-i drept figurile cu dou─â drepte paralele, ├«ns─â mici ┼č├« ├«nghesuite, astfel ├«nc├ót elevii s─â le perceap─â foarte greu.

2) Un al doilea exemplu de geometrie f─âr─â figuri este ├«nt├ólnit mult mai des, anume ├«n lec┼úiile rezumative din diferite “auxiliare”, ce prezint─â teoria f─âr─â nici m─âcar o singur─â figura geometric─â (vorbesc de partea teoretic─â pozi┼úionat─â ├«naintea multitudinii de probleme pentru acea lec┼úie). Am de pild─â ├«n minte situa┼úia unei culegeri de la o editur─â renumit─â (de v├órf pe pia┼ú─â): de exemplu, la fiecare din seturile de probleme despre patrulaterele speciale apar enumerate toate propriet─â┼úile, f─âr─â ca autorii s─â fi considerat ca important─â prezentarea figurii tip a acelui patrulater (paralelogram, dreptunghi etc.). V─â da┼úi seama c─â elevii sunt astfel tenta┼úi s─â vad─â lucrurile din geometrie de felul c─â “astea trebuie ├«nv─â┼úate pe de rost, ├«n nici un caz ┼či ├«n┼úelese”.

3) ├Än urma unor astfel de situa┼úii cu care se confrunt─â elevii, nici nu ne mai mir─â apari┼úia unor situa┼úii ├«n care elevii vin cu rezolv─âri, chiar cu demonstra┼úii ale unor probleme, f─âr─â ca acestea s─â fie ├«nso┼úite de o figur─â geometric─â. Elevii ajung s─â nu-i mai vad─â necesitatea prezen┼úei unei figuri geometrice la o problem─â. Fie c─â o copiaz─â din carte, fie c─â o preiau de la un coleg, care poate ┼či el o are f─âcut─â de altcineva, elevii nu mai au conexiunea mental─â a leg─âturii indivizibile ├«ntre figur─â ┼či rezolvarea sau demonstra┼úia corespunz─âtoare. Faptul c─â nici aplica┼úiile de pe telefoanele prea de┼čtepte cu care to┼úi sunt dota┼úi, se pare c─â nu dau rezolv─âri ├«nso┼úite de figuri, asta doar accentueaz─â profunzimea ┼či dramatismul situa┼úiei despre care vorbesc aici.

Din p─âcate ├«ns─â, toate acestea se integreaz─â perfect cu noua politic─â a examenului de Evaluare Na┼úional─â, ├«n forma cea nou─â, aplicat─â din 2021 (odat─â cu genera┼úia care a ├«nceput prima dat─â cu clasa preg─âtitoare). Subiectele sunt pline de figuri geometrice, ├«ns─â doar cu scop de a fi “citite”, ├«ns─â pentru eficientizarea test─ârii, acest nou tip de subiecte nu mai are ├«n con┼úinutul s─âu sarcini la care elevii s─â fie pu┼či s─â fac─â o figur─â geometric─â.

Deja din ultimii ani ai formatului vechi de examinare (cel folosit p├ón─â ├«n anul de gra┼úie 2020), deseori unii elevi nu mai ref─âceau figurile de pe foaia cu subiecte, cele din subiectul III (at├ót la figura de geometrie plan─â, de la problema┬á1, c├ót ┼či la figura de geometrie ├«n spa┼úiu, de la problema┬á2), ci trasau ┼či notau pe foaia lor de subiecte c├óte o linie suplimentar─â de care aveau nevoie. ├Än aceste condi┼úii te puteai trezi cu c├óte o rezolvare ├«n care trebuia s─â-┼úi imaginezi ce a desenat elevul respectiv, f─âr─â a avea ├«ns─â o certitudine ├«n acest sens. Dar oricum, majoritatea f─âceau totu┼či respectivele figuri, inclusiv unele figuri ajut─âtoare, iar to┼úi elevii desenau desigur ┼či figura de la ├«nceputul Subiectului II. Deci, p├ón─â ├«n 2020 elevii trebuiau s─â fac─â figuri geometrice ┼či la examen.

Acum, pe formatul nou de EN elevii nu mai trebuie s─â deseneze figuri geometrice complete, fiind nevoi┼úi s─â traseze cel mult c├óte o nou─â linie pe figurile pre-g─âtite pe foaia de examinare (am pus inten┼úionat liniu┼úa de desp─âr┼úire pentru a eviden┼úia asem─ânarea cu fenomene similare de pild─â din zona de alimenta┼úie, acolo unde la ora actual─â se poate cump─âra o varietate tot mai mare de m├óncare pre-g─âtit─â, func┼úia de buc─ât─âreas─â fiind deseori redus─â la func┼úia de ├«nc─âlzitoare a m├ónc─ârii pre-g─âtit cump─ârate). Cum va ar─âta viitorul, respectiv cum vor evolua sau ÔÇô mai bine zis ÔÇô cum vor involua abilit─â┼úile elevilor de a face o figur─â geometric─â corect─â, asta este u┼čor de imaginat. A┼čadar ÔÇô ├«n concluzie, p├ón─â nu e prea t├órziu ÔÇô cum a fost spus de la ├«nceput, da┼úi geometriei figurile ├«napoi! Titus Grigorovici