Matematica naivă în liceu, exemple (3)

MATEMATICA NAIVĂ

Exemplul 5: NUMERE COMPLEXE

Exemplul 6: COMBINATORICĂ

Plecând de la denumirea de matematică naivă, am putea uşor crede că aceasta se aplică doar elevilor mici, celor de gimnaziu, pe când “noi, în liceu, facem treabă serioasă”. Nimic mai greşit. Desigur că în liceu avem în faţa noastră elevi ce au fost deja selectaţi şi au făcut dovada că “pot duce mai multă matematică”. Dar, “mai multă matematică” nu înseamnă să-i îneci într-o matematică mult prea înaltă, prezentată după modelul universitar, doar pe baza faptului că vârfurile clasei chiar fac faţă (deseori doar aparent fac faţă, pentru că de multe ori există acolo un ajutor constant privat). Am explicat deja că matematica naivă nu ţine doar de primii paşi în matematică – adică la clasele mici –, ci ţine în general de primii paşi într-un domeniu nou al matematicii. Matematica se scutură încet, încet de naivitatea sa la următoarele abordări, la următoarele treceri prin subiectele respective. Astfel, temele de studiu ce apar pentru prima dată în liceu – adică majoritatea – trebuie prezentate fără discuţie la un nivel serios de naivitate, corespunzătoare unei prime abordări a subiectului nou. Primii paşi sunt extrem de importanţi: elevul trebuie să apuce în primul rând să înţeleagă de unde a apărut noua temă, iar aceasta nu apare din voinţa, din definiţia dată de un profesor atotputernic, care se crede Dumnezeu în lumea matematică a acelui elev.

De pildă, chiar şi ultimul elev dintr-o clasă de real trebuie să priceapă de unde apar numerele complexe! Acestea nu răsar din senin. Abordarea introdusă la reforma din 1980, de tipul “considerăm perechile ordonate (a;b), cu a,b∈ℝ cărora le definim următoarele operaţii….; acestea se numesc numere complexe; mulţimea numerelor complexe se notează cu ”, această abordare este percepută de majoritatea covârşitoare a elevilor ca inumană, extraterestră, total de neînţeles! Toţi elevii care vor să înveţe, odată ajunşi acasă după această lecţie, cer ajutorul cuiva să afle despre ce este vorba. Iar acesta (de obicei profesorul din particular) îi va povesti elevului imediat despre numărul i ca o convenţie pentru absurda rădăcină pătrată a lui –1, iar apoi imediat îi va arăta cum se aplică această nouă şmecherie la soluţiile nereale ale ecuaţiei de gradul II.  Este probabil exemplul cel mai reprezentativ în care o abordare cu un anume grad de naivitate va lumina instant faţa şi mintea  elevilor.

Pentru orice profesor cu o empatie funcţională faţă de mintea elevilor este clar că introducerea numerelor complexe axiomatic, definindu-le ca perechi ordonate de numere reale, cu operaţiile anexate, este total abstractă şi nepotrivită din punct de vedere pedagogic. Definirea înmulţirii a două astfel de perechi, (a; b)∙(c; d) = (ac–bd; ad+bc), este total absurdă pentru orice persoană aflată la primul contact cu ideea de număr complex: “de ce să definesc astfel înmulţirea?, nu are sens!, nu înţeleg nimic!”, aceasta va fi reacţia oricărei persoane normale la cap. Dar oare, cine a inventat această ciudăţenie şi cum ne-am pricopsit cu ea în şcoli?

Pentru a răspunde primei întrebări, recomand oricui să studieze istoria evoluţiei şi cristalizării teoriei despre numere complexe, mai ales cea legată strict de acestea, din secolele XVIII-XIX. De pildă, faptele sunt prezentate magistral în lucrarea despre care am mai vorbit şi cu alte ocazii: Paul J. Nahin, O poveste imaginară, istorea numărului radical din –1, Ed. Theta, Bucureşti, 2000. Următorul aliniat este preluat din această lucrare, cu citatul strict prezentat înclinat:

Introducerea numerelor complexe ca perechi ordonate cu operaţiile anexate a fost prezentată pentru prima dată de matematicianul irlandez William Rowan Hamilton în 1835, într-o lucrare despre cupluri algebrice (aşa le-a numit el iniţial), în faţa Academiei irlandeze. Cele două operaţii sunt parte a unei “definiţii şi, în consecinţă, nu au nevoie de alte explicaţii. În teoria lucrării respective ele pică deci din senin dar, este clar că Hamilton era motivat de modul cum funcţionează numerele complexe. Cu alte cuvinte, cuplurile pure şi abstracte (a, b) nu sunt altceva decât un alt mod de a scrie a + ib. Hamilton credea totuşi că această notaţie este preferabilă pentru că evită folosirea absurdului radical din –1. El are chiar un comentariu comic despre această alegere: Cei care vor citi cu atenţie remarcile la această teorie … vor vedea că aceste notaţii nu sunt arbitrar alese.” (citat de la pag. 71).

Deci chiar şi Hamilton recunoştea la acel moment că totul este doar un joc, o aparentă nouă teorie care dă impresia că elimină din proces înţelegerea intuitivă a fenomenului numerelor complexe. Cum s-a ajuns însă ca o lucrare pur ştiinţifică să aterizeze după 150 de ani în manualele şcolare pentru elevi de 15 ani (eu atâta aveam în 1982 când am învăţat lecţia în clasa a IX-a), aceasta este un alt subiect, despre care am încercat unele lămuriri în eseul în care am prezentat Reforma uitată din 1978-1981, la pag. 4-9, din Reforma uitată (partea I).

Dar, presupunând că şi-ar propune schimbarea stilului de predare din riguros axiomatic într-unul naiv intuitiv, corect pedagogic, cum ar putea un profesor să predea în acest fel? (plecând de la premiza că îşi doreşte o predare din care elevii săi să şi înţeleagă mai mult). Căutările mele mi-au arătat (cu vârf şi-ndesat) că la majoritatea lecţiilor de liceu se găsesc forme destul de bune în manualele româneşti oficiale din anii ’60-’70. După 2-3 ture de căutări şi încercări (ca să nu spun experimentări, că imediat sare careva că “experimentezi pe elevi”), orice profesor deschis la minte va începe şi el să-şi găsească o formă mai bună de predare a unui capitol. De vreme ce ministerul, împreună cu toate structurile sale de organizare a predării în şcoli, nu sunt în stare a ne oferii astfel de modele, este evident că profesorul trebuie să devină el însuşi un căutător.

În materialul de faţă am abordat spre exemplificare două teme ce îmi sunt deosebit de dragi, numerele complexe şi combinatorica. Alegerea celor două subiecte a fost una subiectivă; oricare temă de studiu din liceu ar trebui prezentată în mod similar. Gradul de naivitate mai crescut se referă în primul rând la introducerea noilor concepte; odată ce elevii s-au obişnuit cu acestea (după 2-3 ore), predarea nu mai diferă foarte mult de ceea ce cunosc majoritatea profesorilor. Trebuie însă înţeles că la fiecare pas teoretic important ce se face în necunoscut, trebuie folosită o abordare intuitiv-naivă. Părerea mea personală este că o cale ce foloseşte cât mai des predarea prin problematizare, în care elevul să descopere singur paşii lecţiei, sub îndrumarea profesorului, în urma întrebărilor ajutătoare ale profesorului, aceasta este pe durată cea mai sănătoasă cale de a parcurge materia. Forma de lucru ar trebui să fie în principiu următoarea: noi, profesorii, îi îndrumăm pe elevi pe o cale de (re)descoperire a  temei studiate. Cine a făcut cercetare reală ştie cât de naiv gândeşte cel care se aventurează într-un teritoriu virgin, pe care nu l-a mai parcurs nimeni înaintea sa. Singurele sale repere de care se poate ajuta sunt lucrurile pe care deja le cunoaşte din urmă, cât şi logica bunului simţ. Într-un astfel de stil trebuie să “descopere” şi elevii noua temă. Cine a făcut cercetare adevărată, nu compilare din materiale deja existente (aş numi aceasta pseudo-cercetare, sau cercetare secundară), acela înţelege despre ce vorbesc aici. Descoperirea temei de către elev nu este însă una haotică, ci este îndrumată cât mai eficient de către profesor. Această formă eu o numesc predare prin întrebări sau, ceva mai pretenţios, predare prin descoperire, care este o formă extremă în predarea prin problematizare. Într-o astfel de formă de predare, la sfârşitul lecţiei, sau şi mai bine ora următoare, se organizează, se ordonează noile cunoştinţe, acestea căpătând forma unei lecţii de memorat. Elevii însă nu mai trebuie să le memoreze pentru că majoritatea dintre ei deja le-au înţeles. În schimb încep să dobândească şi aptitudini mai mature matematic, în sensul că învaţă pe viu cum să ordoneze din punct de vedere riguros matematic nişte cunoştinţe deja dobândite intuitiv. Şi oricum, aşa cum am precizat deja: marii matematicieni, monştri sacri Wessel şi Argant, Gauss şi Hamilton pe acest drum au mers. Hamilton cu teoria sa a fost ultimul, nu primul, pe drumul înţelegerii numerelor complexe. Nu înţeleg de ce elevii trebuie să parcurgă drumul invers, ca să nu spun “pe dos”.

Tema despre introducerea numerelor complexe nu o mai abordez in extenso în eseul de faţă; am prezentat-o pe larg în articolul Apariţia numerelor complexe din Caietul de matematică Pentagonia Nr. 2 din aprilie 1998 la pag. 14, într-o propunere personală, dar şi în articolul Reforma uitată la pag. 19-20, într-una din formele existente într-un manual dinaintea reformei de la sfârşitul anilor ’70.

Să analizăm în continuare introducerea principalelor elemente de combinatorică într-o formă mai inteligibilă pentru elevul care se întâlneşte prima dată cu acest subiect. Nu mă voi referi în cele ce urmează la întregul capitol, ci doar la tripleta permutări, combinări şi aranjamente. Să analizăm pentru început ordinea în care se pot parcurge acestea. În manualele din ţara noastră ordinea este P-A-C. Oare ce alte posibilităţi există (nu glumesc defel) şi care din acestea ar fi mai potrivită elevilor? În cele ce urmează mă voi referi la două dintre celelalte cinci variante, anume la P-C-A şi la C-A-P.

După părerea mea (preluată în urmă cu ani buni de la un coleg drag), ordinea P-C-A este cea mai logică din punct de vedere a fenomenelor studiate. Anume, permutările studiază un fenomen, cel mai simplu şi accesibil; combinările vin apoi studiază alt tip de fenomen, unul clar mai complicat; în final vin aranjamentele care studiază o situaţie ce combină cele două fenomene deja cunoscute. Ani de-a rândul am predat cele trei lecţii în această ordine şi pot să spun că predarea decurge foarte bine astfel.

De curând am participat în Germania, la Kassel, la un curs pentru profesori Waldorf de liceu, la o serie de discuţii despre predarea Combinatoricii, seminar în care profesorul Steffen Brasch a prezentat predarea într-o ordine ce ar putea fi sintetizată ca C-A-P. Mai exact, el se ocupa de cunoaşterea practică, pe exemple, a combinărilor, deducând de aici triunghiul lui Pascal, apoi, din exemple mai ciudate reiaşeau aranjamentele, iar permutările apăreau şi ele undeva ca exemple foarte simple. De-abia în final vorbea dânsul de o sintetizare teoretică, unde veneau şi clasicele formule (parcursul istoric acesta a fost). Nu am înţeles toate detaliile – timpul a fost foarte scurt – dar am luat notiţe pe care cândva le voi studia în amănunt. Se înţelege deci că nu am glumit deloc atunci când am întrebat câte posibilităţi există de a ordona  cele trei lecţii.

Dar cum ar trebui prezentate aceste trei lecţii conform principiilor matematicii naïve? Pentru că, este clar, vorbim despre primul contact al elevilor cu tema respectivă. Eu am plecat de fiecare dată de la probleme tip şi nu de la teorie. În cazul introducerii noţiunii de permutare, problema tip ce mi-a fost sugerată de tatăl meu este următoarea:

Problema trenului ROGVAIV: Un tren are şapte vagoane, vopsite fiecare într-una din culorile curcubeului (le notăm: R = roşu, O = orange, Ve = verde, etc.). În câte feluri poate fi aranjată garnitura acestui tren?

Formulele de calcul ar trebui să apară în viaţa elevilor drept teoreme – deduse intuitiv sau demonstrate riguros –  şi în nici un caz ca definiţii. În cazul permutărilor, în predarea prin problematizare, plecăm de la problema vagoanelor şi începem să cercetăm situaţia: dacă ar fi doar două vagoane, câte variante de ordonare a garniturii există? Două, RG şi GR. Dacă am avea trei vagoane, câte variante avem? Şi elevii încep să le caute. Şase, vine răspunsul. Dar dacă am avea patru vagoane?  Îi mai lăsăm să caute, depinde de nivelul elevilor din clasă, dar poate aici este momentul să intervenim şi să reluăm lucrurile ordonat, adică să-i învăţăm cum să-şi aranjeze ordonat toate variantele, pentru că altfel mulţi elevi le dau haotic, iar de la patru vagoane încep să piardă anumite variante. Când aştern ordonarea pe tablă, iau pentru început şi cazul particular cu un vagon. Urcăm pe acest drum până când cineva din clasă observă ce se întâmplă (desigur că aranjarea într-o schemă sugestivă a tuturor variantelor la trei, respectiv la patru vagoane, este hotărâtoare pentru înţelegerea fenomenului). În momentul în care apare ideea de rezolvare, elevii inteligenţi matematic o vor aplica imediat şi vor ajunge rapid la răspuns; ei au înţeles modelul logic după care funcţionează “jucăria” şi gata. Alţii însă, vor vrea să facă mai departe ordonările şi în cazurile cu mai multe vagoane. Putem să-i lăsăm să le scrie pe toate la 5 vagoane (poate acasă), dar vor trebui să înţeleagă că numărul creşte prea tare, ajungând în imposibilitatea de cuprindere în scris a tuturor variantelor. Aici poate îi ajutăm pe aceştia cu o formă de grupare a unor variante (acolade, încadrare într-un dreptunghi etc.) astfel încât să poată şi ei face saltul logic de la realizat practic cu creionul la văzut schemei doar în minte.

După rezolvarea problemei sintetizăm totul într-o teorie. Aici definim operaţia de factorial (eu îi pun pe elevi să facă şi tabla factorialului, cu rezultate calculate de către toţi elevii  până la 10!, pentru a simţi cât de explozivă este aceasta). Ordinea intuitivă ar cere chiar realizarea tablei factorialului mai întâi, apoi generalizarea într-o definiţie. Apropos, factorialul se poate defini în două variante: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n sau invers n! = n ∙ (n-1) ∙ (n-2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1; fiecare este uneori mai avantajoasă; depinde de situaţie. Apoi dăm definiţia permutărilor şi, cu titlul de teoremă, formula Pn = n! pentru calculul acestora. În continuare vin alte probleme aplicative ale premutărilor, pe care elevii sunt învăţaţi să le rezolve direct, prin formula deja dedusă, având însă în cap modelul celor şapte vagoane. De pildă, în câte feluri pot fi aranjaţi opte alergători pe cele opt culoare la proba de 100m plat? Sau: avem un set de trei ghivece diferit colorate; în câte feluri le putem aranja pe pervaz? etc. O astfel de temă este foarte simplă, pentru că în principiu trebuie doar luate rezultatele din tabla factorialului. Ora viitoare vom face şi exerciţii de calcul steril cu noua operaţie de factorial şi lecţia intră pe făgaşul cunoscut.

O observaţie specială vine aici în legătură cu aspectul psihologic al numerelor mari, cu care ne confruntăm din belşug la aceste probleme. Toată lumea a ajuns imună la aceste numere mari cu care ne bombardează societatea prezentului. Pentru a le înţelege cât sunt de mari, trebuie să le aducem într-un reper personal al vieţii de zi cu zi. De pildă, după prima oră, cu problema trenului ROGVAIV, le putem da elevilor ca temă următoarea suplimentare a acestei probleme:

Mecanicul trenului ROGVAIV: Un mecanic tânăr, aflat la început de carieră, primeşte în îngrijire trenul ROGVAIV şi îşi propune să aranjeze la fiecare cursă a trenului cele şapte vagoane în altă ordine. Trenul respectiv face în fiecare zi o cursă “dus” şi o cursă “întors”, iar mecanicul nostru, după cursa dus mută doar locomotiva şi schimbă plăcuţele de numerotare a vagoanelor, aşa încât poate bifa în fiecare zi câte două ordonări diferite. În câţi ani va reuşi să epuizeze toate ordonările posibile (fără a avea nici o singură zi liberă)? Dar dacă ar fi vorba de un tren cu opt vagoane? Faceţi problema şi observaţi ce efect are rezultatul asupra dvs. În acest moment matematica devine cu adevărat impresionantă.

Este evident că lecţia despre combinări este mult, mult mai grea decât cea despre permutări, şi nu mi-am propus pentru acest eseu o prezentare completă a acesteia (vezi Anexa din final). Aranjamentele, pe poziţia a treia, apar apoi foarte uşor, provocarea pentru elevi fiind doar în a observa că trebuie îmbinate cele două principii, de la permutări şi de la combinări.

Pentru eseul de faţă am urmărit doar exemplificarea pe cazul permutărilor a felului cum se poate introduce o noţiune nouă prin problematizare şi nu prin prelegere riguroasă. De la o astfel de oră elevii pleacă cu inima plină de bucurie şi cu mintea plină de gândire. Şi când spun asta, vorbesc de toţi elevii care au fost dispuşi să participe la jocul găsirii soluţiei. Ştiu că durează mai mult, dar efectul asupra elevilor este net superior.

Anexă  Problematica introducerii combinărilor presupune, pe lângă găsirea problemei tip cea mai potrivită, şi lămurirea următorilor paşi: abordarea problemei intuitiv, deci fără definiţie; corelarea cu formulele binomiale deduse elementar algebric, apariţia triunghiului lui Pascal; lecţia numită generic Binomul lui Newton; deducerea formulei de calcul a combinărilor; îmbinarea celor două tendinţe, calculul algebric, sec, riguros ştiinţific, pe de-o parte, şi problemele aplicative de o diversitate uluitoare, pe de altă parte, conştientizând că acest capitol este ultimul din viaţa elevilor în care apar probleme frumoase cu caracter de matematică distractivă.

Titus Grigorovici

19 sept. 2016

Matematica naivă în liceu

Chiar dacă nu într-o formă completă, extremă, academică, specifică facultăţilor, rigurozitatea axiomatică în matematica poate fi introdusă deja din clasele liceale. Aceasta însă cu o singură condiţie: să fie abordate din punct de vedere riguros axiomatic teme deja cunoscute de către elevi, teme cu care aceştia s-au familiarizat înainte pe calea naturală intuitiv-naivă. În acest sens revenim scurt în gimnaziu unde, în linii mari, sunt studiate trei mari teme: aritmetica, algebra şi geometria tradiţională moştenită de la Euclid. Elemente din aceste trei mari domenii ar putea fi tratate mai riguros axiomatic la o a doua mare trecere în clasele liceale, şi chiar aşa şi erau acestea prezentate în manualele de clasa a IX-a începând din 1978.

Toate bune şi frumoase, cu o singură “mică” problemă: două dintre cele trei mari teme gimnaziale au fost scoase din materia de liceu la schimbările din învăţământ pe care le denumim ad-hoc “reforma din 1997”. Nici aritmetica, nici geometria euclidiană tradiţională nu se mai regăsesc printre capitolele de studiu din programele de liceu ce au urmat. Ca o mică divagaţie trebuie menţionat aici că acesta este motivul pentru care elevii privesc cât-de-cât pozitiv temele care amintesc de ceva cunoscut din Gimnaziu, adică unele teme de algebră. Dimpotrivă, scurta incursiune gimnazială în trigonometrie nu poate fi privită ca temă deja cunoscută în liceu, pentru că în afara celor cinci cuvinte de vocabular comune (trigonometrie, sinus, cosinus, tangentă şi cotangentă :-), nimic din lecţia orientată geometric în Gimnaziu nu reapare în trigonometria de liceu.

Aş da un exemplu în acest sens, al importanţei aşa-numitei predări în spirală: pe vremuri am avut o elevă foarte slabă la matematică, care primea “cinci-ul” doar de milă, pentru că mai mult nu putea. Totuşi, printr-o minune, cu multă strădanie, a reuşit să-şi ia nota de trecere la examenul de capacitate, aşa că a ajuns la liceu. Fiind clasă de profil uman (ce denumire sugestivă!), colegii nici nu protestau că ea primea nota 5 cam nejustificat, o acceptau ca atare. La începutul clasei a XI am introdus câteva ore de “sisteme de trei ecuaţii cu trei necunoscute cu rezolvări elementare prin substituţie şi reducere” (vechile sisteme din culegerile lui Grigore Gheba, cu materie de clasa a VIII-a). Surpriza de proportii a apărut la lucrarea de control, unde eleva noastră a scos nota 9, având rezolvări profund diferite faţă de colega ei de bancă (elevă de 9-10), de la care de obicei copia pentru a scoate cumva “cinci-ul”. Ceilalţi din clasă s-au indignat, dar au înţeles când le-am explicat că rezolvările sunt total diferite. Întrebată cum şi de ce, eleva noastră a spus simplu: semănau cu ceva ce mai făcusem, aşa că le-am înţeles (semănau cu sistemele de două ecuaţii cu două necunoscute, care atunci erau încă în clasa a VII-a). Interesant este faptul că ulterior, la lecţiile total noi ce au mai urmat, a scăzut din nou, dar de la acea întâmplare s-a stabilizat undeva între 5 şi 6, adică nu a mai fost nevoie să o trec “de milă”. Elevii “tari” la matematică sunt mai rezistenţi la fenomen lecţiilor total noi, dar pe durată se uzează şi ei emoţional faţă de această materie care “îi ţine tot timpul în lecţii şi teme total noi”.

Revenind la subiectul eseului de faţă, temele noi de studiu ce apar în liceu – adică majoritatea – au nevoie de o introducere mai naivă, altfel profesorul “vorbeşte cu pereţii” (iar dacă nu-şi dă seama că “vorbeşte cu pereţii” înseamnă că are deficienţe mari în zona percepţiei empatice a elevilor, în general a clasei). Chiar dacă elevii de liceu sunt deja selectaţi pe real şi uman, noi vorbind aici de elevii de la profilul real, totuşi la aceste vârste marea majoritate au nevoie de o introducere cu un grad de naivitate destul de ridicat a noilor teme de studiu (la orice ştiinţă, nu doar la matematică). Altfel, cei cu posibilităţi financiare fug toţi să-şi ia profesor de ajutor în particular.

De-abia la facultate, şi doar cei care au făcut pasul conştient spre matematică, doar aici tinerii sunt de obicei capabili a aborda o temă direct, din prima, riguros axiomatic. Pentru aceasta ei trebuie însă să se fi exersat înainte în tratarea axiomatică a unei teme matematice. Dar cele mai bune exersări sunt cele pe teme deja cunoscute dinainte în mod intuitiv naiv. Din păcate însă acestea au cam fost scoase din materie. Cunoaşterea metodelor de introducere a unei teme riguros axiomatic la lecţii total noi este percepută de către elevii de liceu ca suferinţă intelecuală, fiind profund neatractivă şi făcând din matematică o materie total neiubită. Acesta este motivul pentru care, începând de prin 2000, profesorii din facultăţile de matematică resimt tot mai puternic nepregătirea studenţilor pentru activitatea la acel nivel.

Ce ar trebui făcut în aceste condiţii? Concluziile despre corecturile ce ar trebui aplicate sistemului se trag de la sine.

Titus Grigorovici

La începutul anului şcolar 2016-2017

Matematica naivă
Matematica naivă, exemple (1)
Matematica naivă, exemple (2)

Vindecarea predării matematicii

Eseul de faţă oferă un comentariu la articolul doamnei Oana Moraru – Tinerii noştri fragili şi inculţi, postat pe Republica în 20 iunie, unul dintre multele articole de o calitate deosebită, apărute în această vară, despre starea învăţământului. Lumea începe să spună tot mai clar lucrurilor pe nume. Este o dovadă a faptului că, în sfârşit, începem să ne debarasăm de starea de atmosferă comunistă a învăţământului, ce a supravieţuit lui Ceauşescu încă un sfert de secol.

Una dintre vocile cele mai realiste în acest sens este doamna Oana Moraru, care scrie pe site-ul Republica articole de o profunzime deosebită. Pe lângă articolele la care m-am referit deja cu alte ocazii, mi-au plăcut recentul Draga mea profesoară … din 25 Aug. 2016, dar şi mai vechiul Fă linişte, că deranjezi! din 15 Dec.2015.

Din start recomand oricui să ia şi să buchisească “din scoarţă-n scoarţă” articolul Tinerii noştri fragili şi inculţi, ceva cam lung (8 pagini A4), dar care merită fiecare  rânduleţ. În continuare voi relua înclinat (italic) anumite citate din acest articol, pe care le-am considerat mai relevante şi pe care apoi le voi comenta ulterior. Pentru coerenţa citirii am asamblat aceste citate într-un aparent nou text.

Revenind la matematică, trebuie să-mi precizez clar poziţia: matematica nu este bolnavă, deci nici nu are ce să fie supusă unui proces de vindecare. Predarea matematicii suferă însă de foarte multe deficienţe şi boli profunde, cel mai dur manifestându-se acestea în România în zona gimnazială. În acest sens îmi permit spre final să “traduc” în câteva rânduri articolul Oanei Moraru..

Astfel, dânsa vorbeşte despre o mare ambivalenţă a părinţilor de astăzi: pe de o parte, nevoia de a crea confort şi de a răspunde plăcerilor copiilor lor, pe de alta – ambiţia rezultatelor şcolare şi convingerea că şcoala trebuie făcută şi cu ceva durere. Familiile sunt prinse la intersecţia conflictuală a două culturi dominante: cea a marii culturi, în sens clasic, pentru care şcoala este un tren încet şi răbdător al iluminării şi cea a culturii „pop”, în care copiii noştri trebuie să trăiască fericiţi, liberi, să experimenteze, să îşi satisfacă plăcerile, preferinţele, nevoia de distracţie. De aceea, psihologic vorbind, în jurul vârstei şcolare, apare un fel de divorţ între familie şi copil: de la satisfacerea tuturor bucuriilor, la ameninţările despre cum la şcoală „se schimbă foaia” – un fel de dublă personalitate achiziţionată tacit: de la copilul care îşi urmăreşte plăcerea şi este servit, la cel, care, brusc, trebuie să devină luptător, angajat, tensionat pe un drum al achiziţiilor cognitive înalte.

Care sunt urmările acestui stil de educaţie? Pentru marea majoritate a elevilor s-au banalizat formele de cunoaştere riguroase, morga academică pur şi simplu nu mai este cool; dominantă este cultura cotidiană; marea cultură a rămas periferică şi de nişă. Cu mult mai puternică este cultura populară – una în perpetuă mişcare, integrată în viaţa de zi cu zi şi capabilă să schimbe fundamental felul în care se fac lucrurile.

Cel mai greu de acceptat pentru noi – ca profesori este sistemul de evaluare dărâmat de copiii noştri şi schimbat cu standardele subiective ale plăcerii sau ale neplăcerii. Toţi copiii de astăzi par să facă treaba de care ne cramponăm noi, adulţii, doar dacă ea produce atracţie, exaltare, intensitate, distracţie.

Cultura clasică a învățării se bazează pe rezilienţă, îndârjire, disconfort şi extenuare, pe ambiţie şi surmontarea obstacolelor cognitive. Copiii noştri au fost însă deja botezaţi în cultura populară a plăcerii, a confortului, a menajării şi a satisfacţiei imediate. Oana Moraru se întreabă oarecum retoric: Cât mai pot ei să cupleze, pe băncile şcolii, la modulul „atent-concentrat-rezistent-conştiincios.”?

Pe de o parte, şcoala are de operat cu nişte conţinuturi planificate, pe de alta, copiii de azi au tendinţa de a respinge toate conţinuturile resimţite ca neplăcute. Ca să restaurăm ordinea, nu mai avem nevoie de reguli în primul rând, ci avem nevoie de semnificaţii. Învăţarea este o experienţă uneori dureroasă şi neplăcută. Cum îi facem pe copii să nu se retragă în faţa ei?
Despre forma şcolii de astăzi Oana Moraru descrie destul de bine realitatea: un sistem care a dezvoltat deja interese proprii, dincolo de copii, nu se poate adapta nevoilor minţilor de astăzi. Aceasta în condiţiile în care cadrul în care creşte copilul este sursa reuşitei lui. Din păcate, în dezbaterile noastre de până acum, am ratat sensul împăcării între tradiţie și inovaţie. Suntem o societate aproape complet înghiţită de cultura „pop” a copiilor noştri, cu pretenţii ipocrite de exigenţă şi academism.
Ca să reformăm şcoala românească avem nevoie de inteligenţa unui raţionament care aşază în centrul practicilor profesorilor noştri cele două culturi: cea clasic-academică şi pe cea pop, de consum, cotidiană. Aceleaşi ”produse” ale gândirii pe care le sărbătoreau profesorii noştri severi sunt valabile şi astăzi. Gândirea de bună calitate rămâne mereu la modă. În trecut, ea se achiziţiona pe un fond de autocontrol emoţional, astăzi, trebuie obţinută, pe un fundal practic, explicit emoţional, al sărbătoririi alegerilor personale. Acum ar trebui urmărită formarea profesorilor în spiritul unor pedagogii care reaşază conţinuturile din manuale pe scheme care produc plăcere şi curiozitate copilului.
Dar cum putem noi, dascălii, intervenii vindecător în acest proces? Am încercat ani de-a rândul să acţionez “la sursă”, adică să conştientizez părinţii asupra fenomenului atât de bine explicat de Oana Moraru. Dar, credeţi-mă, nu ai sorţi de izbândă, şi asta din două mari motive. În primul rând că este vorba de a educa nişte adulţi, care vin cu atitudinea “de adult”, adică nu mai sunt docili ca în copilărie: ei “acuma ştiu mai bine”, au deja un sistem de valori creat, la care ţin uneori cu mare îndârjire. Apoi, şi dacă-i convingi de greşelile educaţionale pe care le-au făcut, acestea au fost deja făcute, adică elevii au fost deja setaţi greşit. Al doilea motiv este însă cel care m-a făcut să abandonez această cale: oricât te-ai strădui, şi oricâte mici sau mari succese ai avea în această luptă, de la un an la altul vin noi şi noi generaţii de părinţi cu care trebuie să o iei de la capăt. Este o luptă fără sorţi de izbândă. Şi atunci ce-i de făcut?
O vorbă veche spune că Singura persoană pe care poţi să o schimbi cu adevărat eşti tu însuţi! Da, singura soluţie viabilă de ieşire din criză este vindecarea predării matematicii, în sensul de renunţare la vechile repere de organizare a predării (dorite de matematicienii de vârf în urmă cu jumătate de secol şi introduse/impuse în mod aberant, radical la reforma din 1980). Despre faptul că matematica reprezintă un sistem care a dezvoltat deja interese proprii, dincolo de copii, despre acest subiect am prezentat argumente din plin în  articolele despre Reforma uitată. Da, într-adevăr, un sistem de predare bazat timp de un sfert de secol pe cei doi piloni – rigurozitatea axiomatică a predării matematicii (1) şi rezultate la olimpiade & concursuri (2) –, acest sistem a ajuns în mod natural să cam uite de copii, situaţia începând să iasă tot mai evident la suprafaţă în mass-media românească de după 2005.

Profesorii trebuie să renunţe la vechile repere, impuse în anii ’80 şi prea slăvite în anii ’90, şi să treacă la folosirea întregului arsenal de care matematica dispune într-u atragerea copiilor spre gândire şi spre matematică prin bucurie. Care ar fi elementele acestui arsenal? Nu mi-am propus în aceste rânduri o analiză completă a căilor de vindecare a predării matematicii, ci doar conştientizarea necesităţii, dar şi a posibilităţii acesteia. Oricum, expresii ca predarea prin problematizare, matematica proces sau adevărata matematică distractivă ar trebui să ajungă la ordinea zilei, atât în viaţa de zi cu zi a profesorilor, cât şi în  prea-înaltele preocupări ale instituţilor ce iau salarii bune pentru a trasa liniile educaţionale din şcolile româneşti. Profesorii trebuie să înveţe să dezvolte abilităţi cum ar fi empatia şi tactul, sau intuiţia faţă de mintea şi sufletul copilului

Pe părinţi nu-i poţi schimba (din motive politice nici nu-şi propune nimeni să-i schimbe), ca urmare vor veni în continuare în şcoli elevi cum sunt cei descrişi de Oana Moraru. Singurii care se pot schimba suntem noi, profesorii, prin introducerea de noi repere şi metode în predare, adaptate copiiilor prezentului.

9.09.2016

Prof. Titus Grigorovici

Temă, nu teamă în şcoli

Mulţi colegi profesori îşi conduc clasele folosindu-se de trezirea fricii. De curând au început să apară şi articole pe această temă. Iată două exemple:

Şi cei de la Lidl au sesizat problema în următorul afiş.

Matematica devreme

Exista persoane care ar dori să-i introducă pe elevi cât mai de timpuriu în învăţarea matematicii. Ca urmare apar oferte editoriale pe măsură. Vedeţi în poza alăturată oferta pentru aproape toate vârstele preşcolare. Eu nu înţeleg de ce sunt neglijaţi sugarii şi, poate ar trebui cineva să pornească în căutarea unor metode de învăţare a matematicii din perioada prenatală.

Gaşca cu pozaru’

Dialogul profesor – elev în rezolvarea unei probleme

Eugen Rusu şi Dilema cerşetorului

Dacă tot vorbirăm de curând despre cerşetori, cunoaşteţi Dilema cerşetorului, o problemă legată de mucurile de ţigară? Am auzit-o pe vremuri de la un prieten şi am publicat-o prima dată în caietul de matematică P3NT4GON1A nr 4 (mai 1999). Aceasta este una dintr-e cele mai frumoase probleme de matematică distractivă pe care le cunosc. Iar pe lângă partea de matematică distractivă, are şi un factor educativ foarte ridicat. Trebuie doar precizat – undeva, în timpul rezolvării problemei – că este vorba de mucuri de la ţigări fără filtru (elevii de-acum nu prea mai ştiu de-aşa ceva); iar aceasta creşte factorul de scârbire a elevilor faţă de fumat. Deci, iată problema:

Un cerşetor reuşeşte să facă o ţigară întregă din trei mucuri găsite aruncate pe stradă. Câte ţigări va fuma un cerşetor care a adunat zece mucuri?

Nu vă repeziţi să răspundeţi trei ţigări. Întrebarea este despre câte ţigări va fuma, nu despre câte va asambla din cele zece mucuri. Aici este prima capcană a acestei minunate probleme.

*

În acest moment, tocmai ne-am lovit de una din cele mai mari dileme ale publicării problemelor de matematică: Să dau răspunsul final, sau să vă las să savuraţi căutarea acestuia? Dacă vă dau răspunsul, atunci nu veţi parcurge minunatul drum de strădanie, plin de zbucium interior, care duce la descoperirea personală a soluţiei. Acest drum poate să dureze uneori chiar şi zile întregi, inclusiv nopţile dintre ele. În această căutare constă chiar farmecul principal al matematicii.

Când dau astfel de probleme elevilor, rezolvarea are loc într-un dialog. Elevul se gândeşte dar, în cazul în care nu găseşte soluţia corectă, eu îi mai pun o întrebare ajutătoare. Uneori, după întrebarea ajutătoare, îi las pe elevi din nou o zi-două. Apoi reluăm procesul. Aceasta se poate însă doar într-un dialog, chiar şi dacă dialogul este în scris, între două persoane aflate la distanţă. Dar trebuie să fie un dialog.

Pe vremuri, marii matematicieni se provocau astfel prin scrisori cu probleme sau rezolvări găsite personal. Cazul lui Fermat este arhicunoscut, dar şi Arhimede a practicat informarea prin scrisori asupra rezultatelor sale.

Autorii de cărţi cu matematică distractivă dau răspunsurile în partea a doua, la soluţii, mizând pe faptul că cititorul are voinţă şi nu se duce direct la răspuns. De fapt această metodă este folosită la majoritatea culegerilor de matematică. Actualmente, la unele culegeri partea de răspunsuri este atât de înghesuită încât căutarea soluţiei devine o adevărată provocare. Pe vremuri, Grigore Gheba punea răspunsurile chiar lângă exerciţiu, dar acolo provocarea era să nu greşeşti, nu cum se rezolvă, pentru că rezolvarea o ştiai teoretic de la clasă.

Martin Gardner, pe vremea când publica minunatele sale probleme în Scientific American, dădea soluţia de-abia în numărul următor, lăsând astfel cititorilor timp de o lună pentru căutarea soluţiei.

La publicarea unei cărţi, însă, acest dialog de care vorbim este imposibil. El poate fi eventual mimat de către autor prin cei doi paşi (punerea problemei, respectiv oferirea răspunsului), dar realitatea arată că cititorul fuge tot mai das direct la răspunsuri. În acest sens, Eugen Rusu în lucrarea Cum gîndim şi rezolvăm 200 de probleme (Ed. Albatros, 1972), pune chiar mai multe “filtre protectoare” în acest proces în care rezolvitorul este tentat să caute soluţia gratuit. Astfel, lucrarea sa are cinci părţi, concepute pentru a forţa rezolvitorul să caute el singur soluţia. Pentru a da un impuls unei astfel de preocupări, culegerea  nu are numai două părţi, ci patru:

1 ENUNŢURI,   2 CUM GÎNDIM,   3 IDEEA  şi   4 SOLUŢIA
Citește întreg articolul

Dobânda și cerșetorul

Într-o zi din anul şcolar trecut o elevă de clasa a VI-a m-a rugat la începutul orei, să facem o problemă din culegere, pentru că nu reuşiseră să-i dea de capăt onorabil acasă. O făcuseră împreună cu mama, dar ceva nu era clar. Aşa că am luat problema şi am dezbătut-o pe toate feţele, dând cu ajutorul celorlalţi elevi două-trei rezolvări şi găsind şi alte mici nestemate ascunse în aceasta (de pildă, verificarea cu puterile lui 11, care, până la puterea a 4-a au structura numerelor din triunghiul lui Pascal; ei cunoşteau acest triunghi aritmetic din clasa a V-a, primit sub forma unei probleme de matematică distractivă de tipul “scrieţi următorul rând”). Problema este despre dobânda compusă, numită în tremeni economici dobânda cu recapitalizare, lecţie care, tradusă din germană, poartă titlul de dobânda  dobânzii (Zinsenszins). Iată problema cu pricina:

Un cetăţean are la bancă suma de 1 000 000 lei. Anual primeşte dobânda de 10% cu recapitalizare. Ce sumă va avea după 5 ani? (citată din Artur Bălăucă, Cătălin Budeanu, Ana Apetrii, Aritmetică, Algebră, Geometrie clasa a VI-a, Editura Taida, 2014 problema 12, pag. 99)

După câteva săptămâni, citind o carte a unui autor de care sunt foarte interesat (a fost şi el profesor Waldorf), am dat peste o poveste care repeta problema noastră. Câteva săptămâni am purtat cartea în geantă, căutând un moment prielnic în care să întrerup şirul lecţiilor şi să le citesc pasajul respectiv.  Autorul se numeşte Michael Ende, iar povestea Lungul drum către Santa Cruz (în română cartea este apărută la Editura ALLFA, 2003) prezintă aventurile unui băiat de opt ani care, într-o zi, luându-se cu jucatul pe drumul spre şcoală, nu mai ajunge la ore, ci îşi crează propria aventură, constând în multe aventuri imaginate sau chiar reale. Michael Ende este mult mai cunoscut pentru cărţile Poveste fără de sfârşit (ecranizată ca Neverending story), Momo şi poveştile cu Jim Năsturel, prima tradusă şi în română. Iată, în continuare, pasajul cu pricina (pag. 42-45).

*

Într-un colţ stăteau îngrămădite mai multe sticle, unele încă în picioare, altele trântite şi gata să se rostogolească la primul bobârnac. Într-unele se mai aflau ceva resturi de vin roşu sau de bere, iar bătrânul se apucă să le dea pe gât la rând. În tot timpul ăsta, Hermann era cu ochii ţintă la el.
– Da’, de fapt, cum îţi zice? întrebă bătrânul.
– Pe mine mă cheamă Albert, da’ nu te obosi să bagi la cap aşa ceva. Fi’n’că mai toţi care mă ştiu nu-mi zic decât Einstein. N-ai decât să întrebi de Einstein, până şi pe poliţişti! Nu-i unu’ care să nu mă cunoască. Da’ ia zi, nu vrei şi tu un gât?

Hermann scutură îndărătnic din cap, în timp ce Einstein îl fixa din priviri prin sticlele ochelarilor.(…)

Einstein tuşi îndelung şî temenic.
– N-ai cumva o ţigăruşă pe la tine, frăţioare? Cârâi el.
Hermann scutură din cap.
– Ce, mai eşti şi nefumător pe deasupra? Se interesă Einstein. Adevăru-i că nici io nu fumez, da’ mai ales când dorm. Adică oi fi io nefumător, da’ numa-n somn. Ce-ţi ziceam adineauri? Totu-i relativ şi aşa-i şi omu’. Da’ ceva biştari ai la tine?
– Păi, doar banii mei de buzunar.

– Şi-s mulţi?
– Şase mărci, murmură Hermann.
– Las’ că-s buni şi ăştia, hotărî Einstein.
– Buni pentru ce? Întrebă Hermann.

Câteva clipe, Einstein îşi făcu oarece socoteli, după care explică:
– Vreau să spun că, adică, asta-i chiar o mică avuţie. Şi nini io n-aş rămâne mai prejos la o adică. Şi de fapt, ce tot spun eu numa’ de mine, când amândoi am putea s ne-mbogăţim. Rămâne numa’, bineînţeles, să vrei şi tu.
– Cum să ne îmbogăţim cu şase mărci? Se miră Hermann, cu glas tare. Asta numiţi dumneavoastră bogăţie? Adăugă el cu neîncredere.
– Vezi tu, şi asta-i tot relativ, spuse Einstein. Cu şase mărci faci rost de-o mulţime de parale. O mulţime, nu al’ceva, Hermann. E vorba de sute, poate chiar mii. (…) Ai auzit până acu’ de dobânzi, frăţioare?

Hermann dădu din cap, în semn că nu auzise. De auzit, mai auzise el cuvântul ăsta, ba chiar destul de des. Numai că de înţeles, nu înţelesese niciodată ce putea să însemne.

Einstein îşi văzu mai departe de vorba lui:
– Stai aşa, Hermann, că te fac io să pricepi imediat. Să ai dobânzi înseamnă că, odată având ceva bani la început, să nu mai trebuiască să mişti un deget. Banii se-nmulţesc de capu’ lor. Şi se fac tot mai mulţi şi tot mai mulţi. Ca să zic aşa, aproape din numic. Nu-i aşa că-ţi pare c-ar fi fo mişcare de scamator? Păi, cam asta şi e, numa’ că-i una din alea care chiar funcţionează. Ţi-aş arăta ioacum, numa’ că tocma’ ieri a trebuit să-mi cheltuiesc tot capitalu’. Şi, sincer să fiu, chiar fără o leţcaie la-nceput, nu merge deloc.
– Cum adică se-nmulţesc? Întrebă Hermann. Cum merge chestia asta?

Înainte de a răspunde, Einstein îşi săltă ochelarii de pe nas, proptindu-şi-i pe frunte.

– Ei, vezi tu, unui ageamiu i-ar fi fost greu să-ţi explice. Norocu’ tău că io chiar mi-s specialist în privinţa asta. Şi-o s-o fac cât mai simplu cu putinţă. Nu-ţi rămâne decât s-asculţi cu atenţie şi să bagi bine la cap. Care va să zică aşa! Să zicem că io-s o bancă oarecare şi tu eşti tu. Acu’, tu-mi dai mie, să zicem, o sută de mărci. Îi laşi p’ormă un an întreg la bancă, adică la mine. După anul ăla, io-ţi dau înapoi suta ta de mărci şi încă zece pe deasupra. Acu’ îmi dai tu mie o sută zece mărci. După înc-un an, primeşti înapoi de la mine, adică de la bancă,încă unşpe mărci, pen’ cămi-ai lăsat mai mulţi bani decât data trecută. Şi uite că, după doi ani de lăsat banii la mine, adică la bancă, tu te-ai făcut cu un plus de douăzecişi unu de mărci. Şi trebşoara asta merge tot aşa mai departe. Din an în an, banii s-adună tot mai mulţi, numa’ din statu’ în bancă. Cam asta-i povestea dobânzii şi a dobânzii la dobândă. Nu că-i grozavă chestia?
– Mda, făcu Hermann, numai că ia ceva timp.

Einstein dădu din nou din cap, în felul său firoscos.

– Cam ai dreptate, fârtate. Tocma’ că asta-i buba. Iar ca să nu mai fie, m-am făcut şi io călător în timp, aşa cum ţi-am mai zis.
– Ce v-aţi făcut? Întrebă Hermann rămas tablou.
– Călător în timp, repetă Einstein. Ce, n-ai mai auzit păn-acu’ de aşa ceva? Ah, păi asta-i o meserie mai modernă. Se cheamă aşa de la naşu’ meu, profesoru’ ăla vestit. (…)

*

Vă las pe dvs. să vă închipuiţi cum l-a păcălit Einstein pe Hermann să-i dea cele şase mărci, pe care apoi le-a băut liniştit. Sau, poate găsiţi cartea, mai bine, şi citiţi toată povestea.

Iniţial, această postare trebuia să se termine aici. Am deschis însă, apoi, o carte şi am găsit un gând care descrie minunat starea spre care ar trebui să năzuim noi, profesorii de matematică, pentru a ne apropia mai mult de elevi, pentru a fi mai mult pe mintea lor, pentru a veni mai mult în întâmpinarea aşteptărilor lor. Plecăm aici de la premiza că orice copil vine la început la şcoală cu dorinţa de a afla lucruri noi, cu o curiozitate nativă trează şi cu impulsul de a învăţa jucându-se şi ascultând poveşti; pur şi simplu vine cu bucurie la şcoală. Repulsia faţă de şcoală în general, şi faţă de matematică în particular, o capătă ulterior, datorită nouă, a dascălilor şi a “politicii noastre educaţionale”.

Un exemplu sugestiv în acest sens am găsit de curând în nişte manuale vechi, din anii ’80, din Germania (ca să nu dau exemple de la noi). Manualele de clasa a 7-a şi a 8-a (corespunzătoare vârstelor noastre de a 6-a şi a 7-a) sunt mai intuitive şi pline de imagini şi povestioare. Manualul următor, cel de a 9-a (a 8-a la noi), este mai serios, mai plin de calcule abstracte. Situaţia a fost automat sesizată şi taxată de un fost utilizator al acestui manual, care, la pagina cu titlul interior Mathematik heute (matematica azi) a făcut o săgeată către cuvântul Mathematik sub care a scris so eine Scheiße (asa un rahat!, doar că pe germană sună ceva mai dur).

Chiar şi ca profesori de matematică, obsedaţi de importanţa covârşitoare a materiei noastre de bază, “vitală pentru promovarea examenului”, ar trebui totuşi să ne apropiem măcar uneori de copilărie, să ne permitem să fim din când în când mai copilăroşi, mai jucăuşi. Astfel, i-ai câştigat definitiv pe copii dacă îţi permiţi uneori să le faci un joc matematic sau să le spui o poveste cu substrat matematic (ce să mai spunem de bancuri matematice!).

Cartea de care vorbesc îl are ca autor pe Martin Gardner, unul dintre cele mai mari nume în direcţia popularizării matematici, specializat mai ales în matematica distractivă, profesor la care vom mai reveni în perioada următoare. În prefaţa lucrării Mathematics, Magic and Mystery (1956, Dover Publications, New York), pe care o am în ediţia germană: Mathematische Zaubereien (2004, DuMont Verlag, Köln), Martin Gardner, cu referire la activităţile sale ştiinţifice diverse, recunoaşte: Oricât mă străduiesc să mă comport de serios matematic, cumva tot rămâne prezent în mine băieţelul acela jucăuş (din prefaţa ediţiei iniţiale în limba germană, pag. 13, citat cules de Alexander Adrion).

Ideea apare şi în romanul Unchiul Petros şi conjectura lui Goldbach, a lui Apostolos Doxiadis, la pag. 158-159: Întâlnirile noastre erau un antidot la monotonia tot mai mare a lumii reale. Contactul cu el (cu unchiul Petros) mă ajuta să păstrez trează în mine acea parte pe care cei mai mulţi oameni o pierd sau de care uită odată ajunşi adulţi – numiţi-o Visătorul sau Hoinarul sau, mai simplu, Copilul din noi.

Nu ne învaţă niciunde la cursurile de metodică dar, ca profesori, trebuie să păstrăm viu copilul din noi. Prin aceasta ne rămâne deschisă cea mai importantă poartă spre sufletul elevilor noştri.

Titus Grigorovici

Cândva, spre sfârşitul vacanţei de vară, Aug. 2016

Oana Moraru – Mașina de creat slugi

Analiza unei postări pe REPUBLICA, din 18 Iunie 2016  

Situaţia şcolii româneşti este analizată pe toate feţele cu orice ocazie şi toată lumea îşi dă cu părerea. Unii o fac chiar foarte bine şi au curajul să spună lucrurilor pe nume. Doamna Oana Moraru este o astfel de persoană şi în articolul său din 18 iunie postat pe site-ul REPUBLICA a spus chiar multe lucruri deosebite. Îmi permit să reiau anumite pasaje din acest articol şi să le comentez. Motivul principal nu îl reprezintă comentariile mele, ci faptul că aceste gânduri exprimate de Oana Moraru ar trebui să ajungă în cât mai multe colţuri ale conştienţei publice; şi dacă va fi doar o persoană în plus căreia să-i fi atras atenţia asupra acestui articol, şi tot a meritat efortul.

Am ales pentru aceasta cinci alineate din articolul original, pe care le redau înclinat. Comentariile mele sunt intercalate drept.

*

Trei sferturi şi mai bine din potenţialul de inteligenţă al României e pierdut din primii ani de şcoală. Principalul vinovat este cultura noastră discriminatorie şi aparent concurenţiala. De aici, profesori mediocri şi practici distructive. Copiii care nu ţin pasul sunt dispreţuiţi sau învinovăţiţi. Nu există programe recuperatorii şi personal auxiliar relevant în şcoli; şi chiar dacă ar exista, ar fi subminate de credinţa noastră limitată că lumea se împarte între proşti şi deştepţi. România nu şi-a diversificat încă modelele de reuşită şi lucrul acesta merge mână în mână perfect cu o economie disfuncțională, care nu are nevoie de paliere diferite de expertiză sau deprinderi profesionale. Nu mai avem şcoli profesionale; pentru că meseriile nu mai sunt respectate, nici tinerii care ar putea să le practice nu ies cu frunţile sus din trenul şcolirii atunci când ar fi momentul s-o facă.
Această formă extremă, dar cu totul realistă, prezentată de Oana Moraru este rezultatul politicii de 30 de ani pentru rezultate la olimpiade şi concursuri. Un învăţământ în care preocuparea principală a autorităţilor (timp de un sfert de secol!!!) a fost să se dueleze care are mai mulţi şi mai buni olimpici, ajungând să neglijeze toţi elevii care nu contau în această cursă, un astfel de învăţământ nu avea unde să ajungă decât în situaţia descrisă mai sus. Suntem nemulţumiţi, de pildă, de felul cum joacă Naţionala noastră de fotbal, parcă în adins pregătită pentru eşec; îi admirăm pe nemţi cu Manschaft-ul lor colorat, cât sunt de profesionişti, toţi nemţi neaoşi (mai ales Mesut Özil, Mario Gomez şi Jérôme Boateng), dar nu realizăm că aceştia sunt rezultatul unui sistem şcolar care nu-i înjoseşte pe copii. Da, acest sistem de total respect pentru om şi pentru muncă reuşeşte să producă deja la prima, a doua generaţie oameni de cea mai bună calitate.
Pe de altă parte, dincolo de problemele sociale, avem mulţi copii care eşuează pentru că programele şi evaluările sunt alcătuite supradimensionat, peste puterile medii ale vârstelor şcolare. Copiii români învaţă, foarte de mici, gustul neputinţei şi al ratării. Avem un sistem şcolar gândit parcă anume să trezească, de timpuriu, mari complexe de inferioritate şi sentimentul că nimeni nu e suficient de bun.

Nu cred că cineva a fost atât de diabolic încât să pună la cale intenţionat aşa ceva. Cred mai degrabă că situaţia este urmarea schimbărilor de programă agresive din cadrul reformei uitate din 1980, atunci când noile programe au fost croite în special pentru vârfuri, având ca obiectiv final obţinerea unor olimpici mai performanţi la nivel internaţional, pentru a hrăni astfel orgoliul nemărginit al lui Ceauşescu. Totuşi, studiind manualele din anii ’80 se vede că încă exista un respect solid faţă de elevul ne-olimpic, adică faţă de marea masă a elevilor care nu sunt de elită, dar care urmează să devină marea masă a societăţii. De neînţeles este faptul că nimeni nu a realizat după Revoluţie ce se întâmplă, astfel încât la reforma din 1997 chiar s-a plusat în direcţia elitismului, manualele alternative de matematică devenind mult mai încărcate de probleme grele, exerciţiile uşoare dispărând aproape de tot. Astfel, marea masă a elevilor au început să adune frustrare. Iar diferitele decizii “reparatorii” punctuale nu au putut schimba nimic din impresia generală.

Nu facem lucrurile încet, simplu şi sistematic, nu punem întâi bazele, ca mai apoi, odată cu vârsta, să diversificăm şi să adâncim. Programele şcolare şi pedagogiile de la clasă nu respectă principii de bază ale învăţării: de la simplu, la complex, de la concret, la abstract. Lucrurile sunt grăbite, aglomerate, juxtapuse haotic, cu presiune emoţională, împovărare şi silă. Nu reuşim să cultivăm suficiente momente de triumf; ţinem, cu orice preţ, să le arătăm copiilor noştri că sunt insuficienţi, iar cartea se face pe burtă, târâş, cu transpiraţie şi greaţă tradiţională. 

Fără comentari! Totuşi aş pune o întrebare: cine ar trebui să vină cu o schimbare de paradigmă care să rezolve toate cele prezentate aici de Oana Moraru? Profesorii de rând prin “propuneri inovative de programă”? Desigur, această întrebare este retorică, dar experinţa din primăvara lui 2016 ne arată că structurile de conducere a învăţământului românesc ori nu sunt capabile, ori nu vor să taie acest nod gordian.

Sigur că elevii români fac matematică pe pâine-cu doi ani înaintea colegilor din alte ţări. Nu există postac naţionalist care să nu fi folosit fraza asta obsesiv, în apărarea şcolii româneşti. Asta ne aduce aşa mândrie naţională, că uităm complet dacă este oportun – de pildă – să-i învăţam pe cei de 7-8 ani deja ecuaţii sau sisteme de ecuaţii. În condiţiile în care mulţi nu înţeleg fenomene simple din lumea vie. Învăţătorii trec la predarea metodelor algebrice cu mult înainte de aşezarea logică a conceptelor numerice în capul celor mici. Știu copii de clasă a III-a care fac pe bandă probleme prin metoda grafică – una care presupune reprezentarea numerelor prin segmente – dar o fac mimetic, fără nici cele mai necesare salturi întru abstractizarea relaţiei număr/segment. Foarte multă matematică de care, poate, mulţi sunteţi mândri se bagă pe gât copiilor, ca reflex mecanic. Mulţi o execută, puţini o înţeleg. Acelaşi lucru se întâmplă şi la celelalte discipline.

Aceasta este probabil cauza principală pentru care, undeva în gimnaziu, mulţi urăsc deja matematica, mare parte dintre elevi au dificultăţi la învăţat, iar oricum, ca adulţi vor avea o gândire care numai decizii logice şi obiective nu va putea lua.

Conţinuturi prezentate sec şi anost, evaluări cu pretenţii elitiste, asmuţirea copiilor unul împotriva celuilalt, în falsă concurenţă – toate duc la abandon şcolar – dacă nu unul fizic, cel puţin unul emoţional. Avem în şcoli mulţi copii dezangajaţi, absenţi sufleteşte de la propria creştere, pentru care şcoala e aproape un viol.

Da, aşa este, şi cu greu mă abţin să nu subliniez cele de mai sus. Orice persoană cu un nivel de empatie sănătos simte asta. Doar că mulţi profesori, pentru autoprotecţia lor emoţională, s-au călit şi nu mai bagă în seamă suferinţa zilnică a elevilor, iar această stare de lucruri a devenit o normalitate. Unii însă o simt şi se străduiesc, fiecare după puterile şi imaginaţia sa, să le facă elevilor viaţa mai frumoasă, mai uşoară,, mai suportabilă. Nu-i normal să vi zilnic la şcoală urând ceeace faci! Aşa se învaţă românii să nu iubească munca. Două întrebări se nasc aici. Dascălii care încearcă să schimbe ceva se lovesc deseori de “zidul urii” din partea elevilor şi a colegilor, generat de întregul sistem. Cum pot cere unii ziarişti ca profesorii individuali să “ia lupta pe cont propriu”? Da, sună frumos, nişte izolaţi “Ioana d’Arc”, dar cât timp rezişti ca om într-o astfel de luptă? Până la urmă tot abandonezi. Apoi, vine a doua întrebare: profesorii au în fişa postului sarcina de a reforma sistemul? Profesorii au fost lăsaţi până acum să reformeze sistemul? Un sistem agresiv care oricum îi obligă zilnic să meargă în direcţia sa? Profesorii sunt şcoliţi pentru aşa ceva? Ca să nu mai întreb şi de remuneraţie. Pentru că o astfel de activitate înseamnă muncă multă; muncă mult peste capacităţile profesorului de rând, care mai are şi viaţă particulară, familie etc.

Oricum, mulţumesc din suflet Oanei Moraru pentru exprimarea în scris a acestor gânduri; o excelentă radiografie a învăţământului actual în cadrul societăţii prezente.

Găsiţi întregul articol aici. Recomand cu această ocazie şi articolul dânsei: Cum am ajuns un profesor prost, dar bun! din 23 Nov. 2015. Iată un scurt citat din acest articol: Privirile lor – ale elevilor – şi intenţiile mele sunt două lumi în ciocnire ridicolă.

Prof. C. Titus Grigorovici