Chiar dacă nu într-o formă completă, extremă, academică, specifică facultăţilor, rigurozitatea axiomatică în matematica poate fi introdusă deja din clasele liceale. Aceasta însă cu o singură condiţie: să fie abordate din punct de vedere riguros axiomatic teme deja cunoscute de către elevi, teme cu care aceştia s-au familiarizat înainte pe calea naturală intuitiv-naivă. În acest sens revenim scurt în gimnaziu unde, în linii mari, sunt studiate trei mari teme: aritmetica, algebra şi geometria tradiţională moştenită de la Euclid. Elemente din aceste trei mari domenii ar putea fi tratate mai riguros axiomatic la o a doua mare trecere în clasele liceale, şi chiar aşa şi erau acestea prezentate în manualele de clasa a IX-a începând din 1978.
Toate bune şi frumoase, cu o singură “mică” problemă: două dintre cele trei mari teme gimnaziale au fost scoase din materia de liceu la schimbările din învăţământ pe care le denumim ad-hoc “reforma din 1997”. Nici aritmetica, nici geometria euclidiană tradiţională nu se mai regăsesc printre capitolele de studiu din programele de liceu ce au urmat. Ca o mică divagaţie trebuie menţionat aici că acesta este motivul pentru care elevii privesc cât-de-cât pozitiv temele care amintesc de ceva cunoscut din Gimnaziu, adică unele teme de algebră. Dimpotrivă, scurta incursiune gimnazială în trigonometrie nu poate fi privită ca temă deja cunoscută în liceu, pentru că în afara celor cinci cuvinte de vocabular comune (trigonometrie, sinus, cosinus, tangentă şi cotangentă :-), nimic din lecţia orientată geometric în Gimnaziu nu reapare în trigonometria de liceu.
Aş da un exemplu în acest sens, al importanţei aşa-numitei predări în spirală: pe vremuri am avut o elevă foarte slabă la matematică, care primea “cinci-ul” doar de milă, pentru că mai mult nu putea. Totuşi, printr-o minune, cu multă strădanie, a reuşit să-şi ia nota de trecere la examenul de capacitate, aşa că a ajuns la liceu. Fiind clasă de profil uman (ce denumire sugestivă!), colegii nici nu protestau că ea primea nota 5 cam nejustificat, o acceptau ca atare. La începutul clasei a XI am introdus câteva ore de “sisteme de trei ecuaţii cu trei necunoscute cu rezolvări elementare prin substituţie şi reducere” (vechile sisteme din culegerile lui Grigore Gheba, cu materie de clasa a VIII-a). Surpriza de proportii a apărut la lucrarea de control, unde eleva noastră a scos nota 9, având rezolvări profund diferite faţă de colega ei de bancă (elevă de 9-10), de la care de obicei copia pentru a scoate cumva “cinci-ul”. Ceilalţi din clasă s-au indignat, dar au înţeles când le-am explicat că rezolvările sunt total diferite. Întrebată cum şi de ce, eleva noastră a spus simplu: semănau cu ceva ce mai făcusem, aşa că le-am înţeles (semănau cu sistemele de două ecuaţii cu două necunoscute, care atunci erau încă în clasa a VII-a). Interesant este faptul că ulterior, la lecţiile total noi ce au mai urmat, a scăzut din nou, dar de la acea întâmplare s-a stabilizat undeva între 5 şi 6, adică nu a mai fost nevoie să o trec “de milă”. Elevii “tari” la matematică sunt mai rezistenţi la fenomen lecţiilor total noi, dar pe durată se uzează şi ei emoţional faţă de această materie care “îi ţine tot timpul în lecţii şi teme total noi”.
Revenind la subiectul eseului de faţă, temele noi de studiu ce apar în liceu – adică majoritatea – au nevoie de o introducere mai naivă, altfel profesorul “vorbeşte cu pereţii” (iar dacă nu-şi dă seama că “vorbeşte cu pereţii” înseamnă că are deficienţe mari în zona percepţiei empatice a elevilor, în general a clasei). Chiar dacă elevii de liceu sunt deja selectaţi pe real şi uman, noi vorbind aici de elevii de la profilul real, totuşi la aceste vârste marea majoritate au nevoie de o introducere cu un grad de naivitate destul de ridicat a noilor teme de studiu (la orice ştiinţă, nu doar la matematică). Altfel, cei cu posibilităţi financiare fug toţi să-şi ia profesor de ajutor în particular.
De-abia la facultate, şi doar cei care au făcut pasul conştient spre matematică, doar aici tinerii sunt de obicei capabili a aborda o temă direct, din prima, riguros axiomatic. Pentru aceasta ei trebuie însă să se fi exersat înainte în tratarea axiomatică a unei teme matematice. Dar cele mai bune exersări sunt cele pe teme deja cunoscute dinainte în mod intuitiv naiv. Din păcate însă acestea au cam fost scoase din materie. Cunoaşterea metodelor de introducere a unei teme riguros axiomatic la lecţii total noi este percepută de către elevii de liceu ca suferinţă intelecuală, fiind profund neatractivă şi făcând din matematică o materie total neiubită. Acesta este motivul pentru care, începând de prin 2000, profesorii din facultăţile de matematică resimt tot mai puternic nepregătirea studenţilor pentru activitatea la acel nivel.
Ce ar trebui făcut în aceste condiţii? Concluziile despre corecturile ce ar trebui aplicate sistemului se trag de la sine.
Titus Grigorovici
La începutul anului şcolar 2016-2017
Matematica naivă
Matematica naivă, exemple (1)
Matematica naivă, exemple (2)