Şase ani cu pentagonia.ro

Trăim nişte vremuri cu totul ieşite din comun, iar noi, profesorii, suntem supuşi unor provocări uriaşe. În aceste condiţii este foarte greu să mai ajungi în situaţia de a trăi satisfacţia muncii bine făcute. În această situaţie am ajuns probabil toţi, indiferent de obiectivele pe care ni le-am pus (unii mai spre excelenţă, alţii mai spre predarea teoretică, alţii mai spre ajutorarea celor slabi şi oropsiţi etc.). Într-o astfel de stare eram şi eu în septembrie trecut când concluzionam despre viitorul pentagonia.ro: Care ar fi scenariul cel mai optimist pentru perioada următoare (anul şcolar 2020-2021): probabil menținerea funcționării site-ului cu o frecvență de publicare redusă. Imediat am primit şi incurajări, dar şi eu a trebuit să “lucrez” la starea mea (stare ce nu era defel optimistă). Probabil că a contat mult şi faptul că nu m-am lăsat dus de valul de auto-amăgire care cuprinsese mare parte din populaţie, că “nu ne mai trimit acasă” după lockdown-ul din primăvara lui 2020: Tu chiar crezi că ne mai închide? mă întrebau colegii, iar eu îi contra-întrebam: Tu ai vreun argument pentru care nu se va întâmpla din nou?

Sub spectrul unor astfel de discuţii stupide am pornit anul trecut şcolar, iar faptul că eu cred că am fost destul de realist şi m-am pregătit din start pentru treansmiterea lecţiilor live, în online, din prima zi de şcoală, mi-a dat o încredere şi o satisfacţie ce m-au făcut să reuşesc să merg emoţional la un nivel mulţumitor pentru toată lumea, atât pentru mine, cât şi pentru beneficiarii muncii mele, elevii şi părinţii (am fost informat din start de 2-3 elevi ce nu vor veni din motive medicale foarte serioase; acestora li se adăugau zilnic alţii care nu veneau din cauză de răceală sau pe care îi trimitea asistenta şcolii acasă că se plângeau de durere în gât sau de altele). A fost important ca mai ales părinţii să fie realist mulţumiţi despre ce ofeream ei ca profesor. Cu timpul au văzut că sunt în general pregătit pentru fiecare pas şi ofeream un “învăţământ” mulţumitor faţă de alte situaţii din oraş (fie că au realizat că am pornit din prima zi, fie că au aflat ulterior că alţi profesori ofereau o calitate mult mai slabă).

Având astfel o cât-de-câtă linişte din partea muncii “la clasă”, am putut să dau atenţie şi gândurilor “pentagonia”. Uriaşa serie despre planimetrie şi stereometrie a reprezentat momenteul revenirii în forţă, iar spre marea mea bucurie efectele s-au văzut: în noua programă de avarie pentru EN 2021 am avut şi arii şi volume, oferind astfel elevilor o cât-de-câtă normalitate. Asta a reprezentat o mare bucurie, mai ales că eu eram oarecum implicat emoţional peste medie, fiind diriginte la clasa a 8-a (cei cu care pornisem cu trei ani în urmă cu acea lecţie deschisă despre divizorii unui număr: http://pentagonia.ro/divizorii-unui-numar-prezentarea-unei-ore-deschise/ ).

Nu am mai apucat să scriu o serie similară despre importanţa covârşitoare (dar totuşi “pe locul 2”) a lecţiei despre fracţii algebrice. Aceasta rămâne pentru mine ca temă restantă pentru toamna ce stă să vină. Până una alta, elevii mei au înţeles că este vorba despre ceva foarte important pentru ansamblu, aşa că au acceptat senin ideea de a o parcurge în format scurt (2 ore) şi fără obligativitatea temei (fişa de lucru a fost dată, dar stabilită ca fiind la nivel de recomandare benevolă ce nu se va verifica; au făcut-o cei care învăţau oricum).

O altă noutate a acestui an a fost prezentarea unor scrisori către părinţii clasei a 8-a, prin care am dorit să arăt cum consider eu să susţin această colaborare în condiţiile în care nu ne puteam întâlni (tăcerea nu mai era pentru mine o opţiune, pentru că atunci fiecare îşi face în mintea sa propriul scenariu, iar de obicei aceste scenarii nu-mi erau favorabile: părinţii foarte uşor alunecă în a da vina pe profesor!).

Revenind la acest blog, trebuie precizat că de obicei numărul accesărilor zilnice pendulează în jurul lui 100, ceea ce este minunat, pentru că dvs., cititorii v-aţi obişnuit la orientativa frecvenţă a postărilor de material noi, şi le apreciaţi ca atare (altfel nu v-aţi mai întoarce). Concluzia generală este simplă: dacă te mai uiţi pe pentagonia.ro odată la săptămână, odată la doua-trei săptămâni, este suficient. Ca urmare, putem considera că vorbim de câteva sute de cititori care îmi citesc aceste eseuri. Pentru mine asta este minunat şi din start vă mulţumesc din tot sufletul că îmi apreciaţi munca (voluntară, precizez din nou pentru cei care poate nu au prins acest aspect deosebit de important; munca voluntară îmi dă un grad foarte ridicat de libertate de a spune multe lucruri, uneori deosebit de deranjante pentru forma obişnuită de predare la ora actuală).

Da, iar apoi, în primăvară (de Sf. Constantin şi Elena), a “picat total din senin”, absolut surprinzător, postarea D-lui Profesor Gologan pe pagina dânsului de facebook, o postare de recomandare a articolelor metodice de pe pentagonia.ro, recomandare care a ridicat în acele zile numărul cititorilor către 300 pe zi. În perioada următoare am reuşit să intru şi în “Comunitatea profesorilor de matematică“, pentru a putea anunţa şi pe această cale postările mele, măcar cele pe care le consider “mai valoroase” (D-l Profesor Gologan mi-a recomandat direct acest lucru).

Trebuie aici precizat că până în acest moment nu mi-am făcut deloc reclamă pe nici o cale; nimic; deloc. Eu am început să postez în septembrie 2015 şi singura cale de “reclamă” pentru a ajunge la cititori au fost alegerea unor titluri cu cuvinte cheie bune, astfel încât motoarele de căutare să mă împingă în faţă atunci când cineva căuta o anumită temă (prima dovadă că cineva citeşte aceste postări şi că metoda funcţionează a şi venit imediat, la începutul lui octombrie 2015 în forma unui comentariu). Astfel m-aţi găsit măcar unii dintre dvs., dar astfel mai găsit şi mulţi părinţi sau chiar şi cititori din străinătate. A fost o creştere lină dar sănătoasă. Un nou cititor care accesează acum pentagonia.ro găseşte brusc o cantitate covârşitoare de material care este în mare parte actual şi în prezent. În acest sens este interesant cum apar în mod neaşteptat comentarii la articole vechi, chiar şi după 3-4 ani, pentru că cineva acum le-a citit (sistemul WordPress ne informează automat).

După recomandarea D-lui Profesor Gologan am fost pus brusc în situaţia de a ieşi “în lumina rampei”, presiunea asupra mea crescând desigur puternic. Am aşteptat până când “a apărut” în sfârşit un articol destul de bun cu care “să-mi fac intrarea”, adică să postez pe pagina de facebook “Comunitatea profesorilor de matematică“. Până acum am postat de două ori, şi în ambele ocazii numărul cititorilor a urcat în acele zile în jurul lui 200/zi.

Vă mulţumesc din suflet pentru încredere, dvs. cititorilor, dar mai ales D-lui Profesor Radu Gologan pentru doza de încredere ce mi-a acordat-o prin recomandarea din luna mai (un adevărat boost de energie!). Este tot ce mi-am putut dori, aceasta reprezentând o confirmare a muncii mele de aproape un sfert de secol (la primul număr al caietelor P3NT4GON1A am început să lucrez în toamna lui 1997).

Încotro ne îndreptăm pe viitor? Vom vedea. Cu pentagonia.ro mergem liniştit dar hotărât mai departe. Cred că aşa este cel mai bine, mai ales că îmi lasă loc astfel şi de alte proiecte de care neapărat trebuie să mă ocup (şi pe care le voi prezenta la vremea lor). C. T. Grigorovici

Conferinţă Birte Vestergaard (P.S.) – O analiză comparativă a metodelor de predare

În conferinţa sa, d-na Birte Vestergaard şi-a prezentat metoda dezvoltată pornind de la analiza formei tradiţionale de predare, pe care a “transformat-o” în paşi rapizi, ajungând la forma propusă, pe baza analizei relaţionării dintre profesor şi elevi. Consider că merită reluată ideea şi analizată ceva mai detaliat, în funcţie de gradul de implicare a elevilor, analiza devenind un drum metodic ce ne duce de la starea de elev pasiv la cea de elev activ. Acelaşi proces de transformare poate fi privit şi “din partea cealaltă a clasei”, respectiv în funcţie de capacitatea profesorul de “a descărca” din implicarea sa către implicarea elevilor.

Pentru început, să numim “predare prin prelegere” forma cea mai egocentristă de predare a unei materii, acea formă în care profesorul vorbeşte singur la tablă expunându-şi materia de predat. Aceasta este o formă de sorginte academică şi a ajuns din păcate să fie masiv practicată şi în preuniversitarul românesc. Această formă de predare ajunge cel mai puţin la elev, foarte puţini fiind cei care reuşesc să înveţe cu adevărat din aceste ore. Probabil că asta este şi una din sursele pentru care în România, cadrele didactice din preuniversitar se numesc “profesor”. În Germania de pildă, până în clasa a 12-a se numesc tot învăţători; am înţeles că şi în Moldova ar fi la fel.

O formă mai blândă, care cel puţin îşi propune să mimeze interacţiunea cu elevii, este “prelegerea cu mimare a dialogului“.  În aceasta, profesorul se adresează elevilor, dar în realitate nu are loc un adevărat dialog. Profesorul pune aparent întrebări, dar imediat tot el şi răspunde. Această metodă poate avea o oarecare eficienţă în cazul elevilor buni la acea materie, care pot să-şi activeze curiozitatea şi gândirea instantaneu, atunci când profesorul pune întrebarea sa, gândind în fracţiunile de secundă până când profesorul şi dă răspunsul. Cred că sunt foarte puţini cei care reuşesc asta.

În acest fel de predare, profesorul chiar are impresia unui dialog, pentru că mulţi elevi “joacă teatru”, afişând o mutră interesată, chiar oferind o mimică implicată. Uneori astfel de profesori chiar adresează întrebări către clasă, dar oferă imediat şi un parţial răspuns, astfel încât elevii care mimau interesul chiar finalizează ei răspunsul. Ţin minte un exemplu de când eram directur şi tocmai asistam la o oră de istorie. Profesorul întreabă: Cine a unit pentru prima dată cele trei provincii româneşti? Şi tot el porneşte şi răspunsul: Mihai …, la care elevii răspund în cor: Viteazu! Este evident că acest stil de predare îi împinge şi pe elevi într-o stare de “mimare a învăţării, a atenţiei şi a gândirii“. Iar asta este desigur foarte dăunător. La asta duce o psihologie prost înţeleasă de încurajare gratuită a elevilor. Este o încurajare necinstită, iar elevii se obişnuiesc cu timpul să fie necinstiţi, aceasta devenind pentru  ei oarecum o a doua natură.

Oricum, impresia ce o are profesorul – falsă, desigur –  cum că ar avea loc un dialog, îi permite acestuia să urce oricât de sus cu nivelul lecţiei, pentru că – nu-i aşa? – elevii înţeleg; este clar că înţeleg pentru că, evident, participă. Este însă o participare falsă, doar aparentă. În realitate clasa este de mult ruptă în mare parte de subiectul lecţiei, singura lor preocupare fiind cea de a vâna cuvintele care să dea aparenţa înţelegerii. În exemplul de mai sus, i-am întrebat ora următoare pe elevii respectivi (erau în clasa a 7-a) despre cât au înţeles şi mi-au confirmat: la orele de istorie înţelegeau şi participau doar doi elevi. Unul, cel mai bun din clasă, era un elev cu adevărat briliant, matur mult peste vârsta clasei, iar celălalt avea mama arheolog, deci era oricum familiarizat de acasă cu fenomenul istoric.

Se pot întâmpla astfel de fenomene şi în cazul unei lecţii cu un dialog adevărat. În urmă cu câţiva ani am avut un astfel de caz. Am avut o clasă cu un grup de elevi foarte buni, adevăraţi “ardei iuţi”, care-i dominau pe restul masiv.Câţiva dintre cei buni se simţeau între ei într-un un aparent concurs de “cine dă mai repede răspunsul”. În acest context, un elev cu potenţial bun ajunsese din păcate să perceapă ora de matematică doar ca acest concurs de “cine dă mai repede răspunsul”. Situaţia era de aşa natură încât nu învăţa deloc la matematică, dar se gândise el cum să fie şi el între şmecherii clasei care ştiau la ora de mate. El nu era atent la dialogul orei (deci nici la ce spuneam eu sau întrebam), ci doar la colegii lui. Chiar stătea întors puţin la stânga ca să-i poată percepe mai bine. Iar când unul “trăgea” un răspuns, viteazul nostru striga şi el cuvântul respectiv cu o întârziere minimă. Uneori reuşea performanţa să “tragă” şi el cu jumătate de cuvânt întârziere.

Nu-mi venea a crede! El făcea cu colegii lui (în care avea încredere că răspund corect) exact ceea ce făcea în urmă cu patru ani fratele său la orele de istorie cu profesorul (erau patru ani între cei doi fraţi). Desigur că i-am atras atenţia după ce l-am urmărit că făcea asta ordonat şi conştient, fără ca de fapt să urmărească dialogul matematic al orei (el de fapt nu învăţa nimic). Şi vă daţi seama ce tărăboi am avut din partea mamei ulterior, pentru că mândrul nostru s-a dus acasă şi s-a plâns că “l-am înjosit”, că doar el răspundea corect.

Totuşi, după o vreme s-a apucat să înveţe, iar după o jumătate de an, când a început să dea răspunsuri corecte înaintea celorlalţi, l-am lăudat, m-am uitat fix în ochii lui şi l-am întrebat: acum înţelegi ce-ai făcut? S-a uitat şi el fix la mine, iar apoi, în timp ce lăsa ochii în jos a zis Da!, cu un gest absolut sugestiv al capului.

Dar să revenim la analiza noastră şi la profesorul care girează chiar el un doar aparent dialog. Această formă de predare este la fel de falsă ca şi prima, dovadă fiind că o astfel de lecţie ar putea fi prezentată şi în scris, într-o carte: autorul întreabă şi imediat el şi dă răspunsul. Într-un astfel de caz elevul cititor nu şi-ar simţi forţată atenţia, gândirea sau cunoştinţele, deoarece răspunsul va veni oricum imediat.

Revenind în clasă, se poate vedea că elevii sunt obişnuiţi să citească pe faţa profesorului dacă răspunsul lor este corect sau nu, iar asta ajung să o facă mulţi conştient, chiar din prima parte a răspunsului. Dacă profesorul afişează o figură luminoasă, entuziasmată, afirmativă, atunci elevul îşi duce răspunsul la bun sfârşit. Dacă în timpul răspunsului elevul “vede” pe faţa profesorului că nu e de bine (aici este vorba de fracţiuni de secundă), atunci afişează o răzgândire, ca şi cum ar fi cugetat mai bine şi şi-ar fi dat seama că nu e bine. De fapt însă, reacţia de întoarcere a fost doar pe baza feţei profesorului.

Ca să-i nu dau aceste informaţii vizuale, eu m-am învăţat ca în timpul răspunsului unui elev să nu afişez nimic, să aştept finalizarea răspunsului şi doar apoi să dau verdictul, dacă e bine sau nu. Observ validitatea acestei metode, anume că îi forţez pe elevi să gândească cu adevărat, atunci când vine într-o clasă un elev nou, iar eu îl forţez să iasă din starea cu care s-a obişnuit de la celălalt profesor, de a “mima gândirea”. Concret, atunci când porneşte şi el să răspundă (ca să se afirme în noul colectiv), dar eu afişez acest poker-face (faţă de pocăr), elevul derutat se opreşte din răspuns, mimând o răzgândire, pentru că el era obişnuit să poată vedea pe faţa profesorului confirmarea că răspunsul său este pe calea cea bună. El se opreşte din răspuns, chiar dacă răspunsul său este bun, pentru că eu nu afişez pe faţa mea acest lucru. Partea comică a situaţiei este că elevii vechi din clasă înţeleg foarte bine mecanismul folosit de mine, chiar şi motivul pentru care o fac. Chiar sunt conştienţi şi de rolul lor de a nu răspunde acum, pentru a-l sprijini pe noul coleg în strădaniile sale de integrare. Iar acum, în mod neaşteptat şi total nejustificat, acesta se opreşte. De ce s-a oprit, pentru că răspunsul era pe linia corectă? De două ori s-a întâmplat până acum ca într-o astfel de situaţie, cu un coleg nou care se întrerupe, un elev mai vechi din clasă să-i precizeze clar, în gura mare, fără nici cea mai mică jenă: stai liniştit (simţind sperietura celui nou), spune răspunsul până al capăt; aşa face profu’ ăsta.

Mergând pe această scară a implicării elevilor în ora de matematică, putem desigur să ajungem şi la situaţia când dialogul din oră chiar există şi este într-o formă cinstită. Să numim această formă “predare frontală deschisă (cu dialog)” Aceasta ar fi forma ideală de oră de matematică tradiţională, îmbinând eficienţa temporală a prelegerii cu prezenţa dialogului ca o dovadă clară a implicării elevilor în subiectul dezbătut. Din păcate însă, chiar şi în cele mai bune cazuri, implicarea elevilor este limitată doar la cei mai buni (şi deci mai curajoşi în ale matematicii), dar este limitată şi din punct de vedere a iniţiativei gândirii, firul roşu al lecţiei fiind condus exclusiv de către profesor (am putea spune “cu mână fermă”, eventualele deviaţii la iniţiativa unui elev fiind totuşi nedorite şi deci refuzate politicos de către profesor: nu “ne-am” propus să desbatem această întrebare, sau nu avem timp de asta acum etc.).

Facem un pas înainte şi ajungem la “predarea prin problematizare frontală“, la care profesorul nu mai dă cunoştinţele de predat, ci pune doar întrebări, expune mici sau mari dileme, iar elevii sunt nevoiţi să dea răspunsuri, pentru că altfel nu se avansează în lecţie. Profesorul problematizează o situaţie, gândită şi dorită de el, dar lecţia este descoperită pas cu pas de către elevi. Poate să fie o mare situaţie de problematizare, sau dimpotrivă, procesul poate fi compus dintr-o serie de întrebări în paşi mici, cu răspunsurile aferente din partea elevilor. În general, profesorul îşi va seta magnitudinea întrebărilor în funcţie de experienţa cu clasa respectivă, dar şi în funcţie de multe alte aspecte. De pildă, la o lecţie deschisă, eu voi pune desigur întrebări în paşi mai mici, ca să fiu sigur că elevii pot răspunde (evident că aşa dă bine în faţa invitaţiilor). Dacă nu-mi reglez bine întrebările, atunci elevii nu vor şti răspunde, iar asta arată urât în faţa invitaţilor. Dacă nu avem invitaţi la oră, ca profesor mă pot regla din mers. Inclusiv, dacă văd că ritmul propus este prea rapid şi doar puţini elevi participă de fapt la proces, voi decide spontan să merg în paşi mai mici, deci mai încet, lăsând o parte din lecţia propusă pe ora viitoare. O astfel de decizie este ajutată şi de situaţia că un elev bunicel îţi semnalizează cumva că nu pricepe ce se întâmplă în procesul lecţiei. Depinde de la un caz la altul cât de tare cobor în acest proces de reglare în funcţie de cât de buni sau de slabi sunt elevii care îmi semnalizează că nu înţeleg.

Este evident că aici sunt posibile diverse devieri ale lecţiei faţă de cea gândită apriorii de către profesor: se prea poate ca un elev sau altul să vină cu idei de rezolvare surprinzătoare. Toate acestea pot costa timp suplimentar şi cer o deschidere mult mai mare din partea profesorului.

Predarea prin problematizare îi implică mult mai mult pe elevi, dar sigur nu pe toţi. Într-o clasă obişnuită ne putem aştepta că mai mult de jumătate dintre elevi se vor complace într-o stare de simpli copişti (elevii care doar copiază de pe tablă). Singura lor iniţiativă, la care vor ridica mâna, va fi să întrebe ce am scris acolo (de aici se vede clar pe unde sunt ei cu copiatul de pe tablă). Această metodă este mult mai bună pentru elevii buni sau curajoşi, chiar şi pentru cei timizi dar atenţi, dar merge total “pe de lângă” faţă de elevii slabi. Aceştia se rezumă la o poziţie de “copiator” de pe tablă iar în rest stau speriaţi, fiind retraşi total în “cochilia” lor. Iar apoi, de obicei, în vederea testelor pregătesc cel mult diferite strategii de fraudare a testului, pentru că ei de fapt n-au înţeles nimic din lecţiile parcurse.

Prin strategii de fraudare înţeleg aici desigur şi strădaniile totuşi cinstite de a învăţa pe de rost rezolvările parcurse la clasă. A învăţa ocazional o anumită rezolvare mai deosebită, asta cumva o mai pot înţelege. Dar, un elev care se obişnuieşte să înveţe pe de rost toate rezolvările, acela sigur nu are nimic în comun cu fenomenul matematic, respectiv cu gândirea matematică. Nici nu are rost să analizez aici cazul unui profesor care asta le şi cere elevilor săi de liceu, anume să înveţe pe de rost rezolvările. Câte rezolvări poate ţine minte un elev pe de rost? Este evident că şi asta poate fi încadrată liniştit la categoria de reală “fraudare a matematicii”. Dovada că este aşa vine cel târziu, în clasa a 12-a când elevul (obişnuit până acum cu nota 10, obţinută însă pe învăţarea pe de rost a tuturor rezolvărilor), acest elev  clachează pentru că nu mai poate face faţă cantităţii uriaşe de rezolvări din materia de BAC. Am cunoscut un astfel de caz, când elevul respectiv obişnuit cu 9-10 a căzut la vremea simulării de primăvară la 5-6, căzând într-o depresie dură, familia ajungând să se teamă chiar şi de un gest nesăbuit.

Dar, să revenim la enumerarea noastră a tipurilor de lecţie, evident realizată în funcţie de gradul de implicare al elevilor. Ultimul pas pe această linie, după câte ştiu eu, ar fi “predarea pe baza fişelor de descoperire” prezentată în conferinţa sa de d-na Birte Vestergaard. Aici sunt atraşi în lecţie şi elevii slabi. Cu alte cuvinte chiar, obiectivul declarat al acestei d-ne profesoare este de a nu lăsa “pe lângă căruţă” nici măcar un elev. Toţi elevii clasei ajung să fie implicaţi 100% în parcurgerea şi înţelegerea lecţiei, iar pentru asta dânsa a gândit anumiţi paşi foarte clari (pe care i-am prezentat în primele postări). Desigur că viteza de parcurgere a lecţiei mai scade, dar am tratat şi acest aspect.

În acest stil de lecţie profesorul este în primul rând un foarte bun scenarist (prin redactarea fişelor respective), apoi trece într-o poziţie colaterală lecţiei, poziţie care implică câte puţin din următoarele meserii: psiholog; regizor; arbitru de fotbal; dirijor; profesor enigmatic etc.

Schimbând aparent total spectrul prezentării, doresc să fac aici o scurtă paranteză şi să vă aduc un citat deosebit din reperele metodologice însoţitoare la noua programă pentru clasa a IX-a, valabilă din anul şcolar 2021-2022. Următoarea sugestie, găsită în Repere metodologice – Cap III.4. la pag. 67, scrie ad literam următoarele:

Proiectarea didactică trebuie să aibă în vedere stiluri și ritmuri de învățare diferite și trebuie să aibă adresabilitate atât către elevii cu dificultăți în învățare, cât și către elevii capabili de performanță. În clase eterogene, atenția profesorului trebuie să fie echitabil repartizată diferitelor grupuri, implicând strategii de învățare diferențiată. Accentul nu trebuie pus pe separarea continuă a activităților pe grupuri de nivel (omogene), ci pe subgrupuri eterogene, facilitând o învățare colegială, prin cooperare.

Aliniatul este fabulos şi ar fi meritat îngroşat complet. Pentru cine n-a înţeles ce se cere în această sugestie metodologică, eu cred că prezentarea formei de lucru propusă de D-na Vestergaard aduce lămuriri arhisuficiente. Dar să revenim la enumerarea noastră

La toate formele expuse până aici, lecţia decurge totuşi în linii mari pe “traseul matematic” gândit şi planificat de către profesor. Am cunoştinţă şi despre o altă formă de predare, mult, mult mai extremă, anume “predarea dialogică” a lui Peter Gallin profesor în Elveţia. Pe scurt, dânsul dă o temă de lucru pentru acasă, pe care elevii o lucrează pentru a doua zi. În general, sunt teme cât mai deschise ca răspuns. Ei au organizat în spatele clasei un raft în care elevii îşi aduc caietele cu tratarea temei respective. Profesorul le ia când ar timp (o fereastră sau la sfârşitul programului său), le analizează rapid şi decide pe loc care să fie următoarea întrebare, sarcină de studiu, temă de lucru pe ziua următoare. Oricum, aduce caietele înapoi în raftul cu pricina înainte de terminarea orelor de către elevi. La plecare elevii le iau acasă, găsesc în caiet noua întrebare şi ciclul se reia.

Profesorul decide destul de spontan următoarea temă de lucru în funcţie de varii aspecte. Poate că mulţi elevi au făcut o anume greşeală, care se cere lămurită; poate că un elev sau o elevă a dat o rezolvare surprinzătoare la tema precedentă, iar această idee se merită exploatată, sau cine ştie ce alte criterii de decizie ar putea apărea. Aşadar, “per ansamblu” această “predare” are loc într-un dialog permanent, dialog care nu se ştie neapărat unde va duce. Nici chiar profesorul nu ştie de la început care va fi drumul parcurs de aceste întrebări pe durată. Profesorul ştie sigur doar prima întrebare; poate el are un parcurs în minte, pe care va dori să-l ţină în mare, dar îşi va permite divagaţii mai mici sau mai mari, sau poate va permite un parcurs total neplanificat. Totul depinde foarte mult şi de cât este de deschis la minte profesorul, dar şi de cât de implicaţi sunt elevii. Se poate ca la început parcursul să fie mai stabil, mai planificabil dar, odată cu trecerea timpului şi “dezgheţarea atmosferei”, elevii să aibă iniţiative mai intense şi lucrurile să devină mai “volatile”. Am nişte materiale pe această temă şi sper ca într-o bună zi să pot face o prezentare mai detaliată a acestei metode (foarte potrivită pentru o activitate suplimentară la liceu, dacă se doreşte).

Trebuie să precizez că nu am pretenţia ca această analiză să fi fost exhaustivă, dar cam aşa văd eu lucrurile la ora actuală. Oricum, în sensul preocupărilor mele evidente de implicare a cât mai multor elevi în lecţie, folosind cât mai des predarea prin problematizare, sper să fi oferit doritorilor noi argumente înspre părăsirea predării prin prelegere, în care din păcate mulţi au ajuns să se blocheze, dând doar vina pe elevi pentru lipsa rezultatelor.  CTG.

P.S. La forma de predare pe care am numit-o “prelegerea cu mimare a dialogului” am exprimat părerea că această formă de predare este la fel de falsă ca şi prima (“predarea prin prelegere”), dovadă fiind că o astfel de lecţie ar putea fi prezentată şi în scris, într-o carte. Astfel, într-o carte autorul întreabă şi imediat tot el şi dă răspunsul. Într-un astfel de caz elevul cititor nu şi-ar simţi forţată atenţia, gândirea sau cunoştinţele, deoarece răspunsul va veni oricum imediat.

O formă mai voalată şi ceva mai reuşită din punct de vedere al implicării cititorului estea cea prezentă în Drăcuşorul numerelor de Hans Magnus Enzensberger (tradusă în română ca Drăcuşorul cifrelor la editura Pandora, grupul editorial TREI în 2015; vezi prezentarea  http://pentagonia.ro/dracusorul-cifrelor-o-prezentare-de-carte/ ).

Aici drăcuşorul întreabă, iar apoi, pe parcursul textului apare şi răspunsul, fie de la drăcuşor, fie găsit de personajul principal, un băieţel căruia drăcuşorul îi apare în vise succesive. Putem desigur să ne “indignăm”. Adică, ce? Ideile matematice vin eventual dintr-o lume “diabolică” a viselor? Gândirea provocărilor matematice este resimţită deci de mulţi ca o activitate obscură, ezoterico-mistică? Revenind cu “picioarele pe pământ”, trebuie desigur să apreciem strădania autorului de a redacta o formă în care se străduieşte să-l atragă pe cititor în procesul de gândire a fenomenelor matematice. Pentru că, de obicei, cărţile de matematică sunt redactate astfel încât se citesc pasiv din punct de vedere al gândirii. Asta dacă nu sunt culegeri de probleme, unde se dau numai provocări, la care eventual se prezintă răspunsurile în final.

Actualmente lucrez la o carte prin care îmi doresc să atrag elevul în activitatea matematică de pas cu pas. Voi pune întrebări, însă nu vreau să ofer imediat şi răspunsurile, aidoma unui curs universitar, pentru a forţa cititorul să şi gândească. Totuşi, nici nu-mi pot permite să pun doar întrebări, fără a avea o minimă garanţie că elevul care citeşte cartea mă şi însoţeşte pe drumul matematic expus (dacă la un moment dat se pierde de firul poveştii va abandona lectura, simplu). Ce fac dacă elevul nu a ştiut să răspundă la o anumită întrebare? Rămâne de văzut ce soluţie voi găsi. Oricum, mi-a dat de gândit ce am găsit de curând în Marele Roman al matematicii de Michaël Launay (prezentat în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-marele-roman-al-matematicii-mickael-launay/). În capitolul 7 Nimic şi mai puţin decât nimic, tratând fenomenul matematicii indiene, la paginile 109-101găsim următorul pasaj:

De-a lungul secolelor, indienii fac o matematică despre care, din păcate, nu ştim mare lucru. Cauza acestei necunoaşteri este foarte simplă: oamenii lor de ştiinţă au dezvoltat încă de la începuturile epocii vedice un ideal de transmitere orală a cunoştinţelor care respinge în principiu punerea lor în scris. Cunoştinţele trebuie să fie asimilate prin viu grai, din generaţie în generaţie, de la maestru la discipol. (…)

Citind acest pasaj am avut impresia unei decizii naturale: matematica se poate învăţa cu adevărat prin procesul întrebare – răspuns, ca dialog al perechii maestru – discipol. Desigur că, în acest dialog, dacă discipolul nu găseşte răspunsul, atunci maestrul compensează (dacă consideră că discipolul merită efortul). Dacă discipolul se arată interesat şi pune o întrebare, maestrul îi va da o contra întrebare sau poate un răspuns care să-l pună şi mai tare pe gânduri. Oricum, învăţarea matematicii are loc într-un dialog, iar asta se face în timp. Realitatea e că matematica nu se învaţă de-adevăratelea după ce scrie în cărţi. Matematica trebuie învăţată activ, pe când din cărţi aceasta se poate prelua simplu, în mod pasiv. Nu cred că acesta ar fi fost argumentul de bază al vechilor indieni, dar pentru mine este important acest aspect. Pentru primii matematicieni indieni cred că mai important era aspectul mistic, ezoteric: matematica era o artă ce trebuia îngrijită şi tratată cu un respect aproape sfânt.

Forma indiană de transmitere a matematicii este opusă formei cuprinsă în Elementele lui Euclid. Forma euclidiană aduce idealul de a avea matematica într-o formă fixă. Cunoaşterea indiană, deci şi matematica, exista iniţial într-o formă vie, mobilă, în funcţie de cel care o practica. Din păcate şi la forma indiană a apărut natural impulsul de fixare, chiar dacă exista tradiţia de a nu se fixa în scris. Cunoştinţele matematice nu puteau fi periclitate, lăsându-le la bunul plac al unora sau altora, spre a fi pierdute sau eronat deformate. De pildă, acumulându-se într-o cantitate ce tot creştea, exista pericolul ca unele dintre ele să se piardă. În continuarea aliniatului de mai sus găsim următoarele rânduri: Textele sunt învăţate pe de rost, sub formă de poeme sau însoţite de artificii mnemotehnice, apoi recitate şi repetate de câte ori este nevoie până la a fi perfect stăpânite. Găsim când şi când câteva excepţii de la regulă, adică fragmente scrise care ne-au parvenit, deşi recolta este foarte slabă.

Cu toate acestea, ei fac matematică! Cum am putea altfel să explicăm bogăţia de concepte pe care ne-o vor oferi începând cu secolul al V-lea,, când ei decid, în sfârşit, să pună în scris cunoştinţele acumulate oral de-a lungul secolelor? India va cunoaşte de acum încolo o epocă de aur a ştiinţei care în curând se va răspândi în întreaga lume.

Vedem deci cum în învăţarea matematicii este mai important dialogul, pe când în transmiterea şi deci evoluţia matematicii este mai importantă prezentarea scrisă. Indienii porniseră de la ideea transmiterii prin dialog, dar absolutizând acest aspect au ajuns să le înveţe pe de rost, pentru că refuzau cu îndârjire consemnarea în text scris. După Euclid, mai ales după Evul Mediu european a ajuns să fie absolutizată forma scrisă. Cred că, de fapt, arta predării matematicii constă în păstrarea unui balans sănătos între cele două forme extreme de transmitere a cunoştinţelor, cea orală şi cea scrisă.

Conferinţă Birte Vestergaard (3) – O încercare de punere în practică

Fişe de descoperire a matematicii: auto-învăţarea în grupuri mici; matematica – o călătorie de descoperire (Discovery sheets: Self-learning in small groups; Mathematics as a journey to discovery)

De multă vreme îmi doream să abordez anumite aspecte ale predării noastre, mai ales aspecte legate de urmările predării matematicii în format tradiţional obişnuit asupra multor elevi, care acumulează o frustrare masivă datorită înjosirilor repetate trăite la orele de matematică. Conferinţa d-nei Birte Vestergaard şi grupul de lucru la care am participat ulterior cu dânsa, acestea mi-au ghicit de fapt unele gânduri ascunse, intrând în acest subiect mult mai profund decât aş fi putut-o eu face.

Iată un exemplu din timpul acelor întâlniri în grupul respectiv de lucru. La un moment dat colegii discutau despre fişe de lucru pe tema “procente” (fişe pentru nivelul de liceu!). Ascult eu ce ascult şi mă trezesc să iau cuvântul, spunând că la noi procentele se fac în clasa a 6-a, la care unul dintre colegi îmi răspunde prompt: şi la noi, dar câţi le mai ştiu în liceu? N-am mai zis nimic pentru că avea dreptate. La noi liceul este plin de matematică superavansată, dar când apar rezultatele Studiului PISA se miră toată ţara de procentul uriaş de analfabeţi funcţionali. Dar, de ce le-ar trebui procentele în liceu? Păi, simplu: ei fac în liceu şi matematica financiară elementară pentru a înţelege viaţia de zi cu zi a unui cetăţean în raport cu sistemul bancar (aspecte cărora un elev de clasa a şasea sigur nu le poate da mare atenţie). În plus, procesul de dobândă are aspecte importante în zona limitelor de şiruri. Iar, pentru ce-i care nu s-au convins de necesitatea procentelor în liceu, aduc şi argumentul suprem: la ei se dau procente la BAC.

În altă ordine de idei, mă cam enervez de câte ori întâlnesc expresia “măsuri remediale” în diferite momente, legat de ideea că anumiţi elevi trebuie “recuperaţi” la matematică. Această necesitate apare de multe ori ca urmare a unor acţiuni eronate în educaţia matematică (cel puţin, la acestea mă refer eu aici, aceasta fiind de obicei subînţeleasă ca o acuză la adresa profesorului; sunt conştient că există şi nevoi remediale legate de cauze sau întâmplări ce nu ţin de predare, dar acestea reprezintă un alt subiect). De vreme ce se vorbeşte atât de mult despre nevoia unor “măsuri remediale” (acestea acţionând înspre trecut), înseamnă că politica educaţională aplicată are deseori erori (din politeţe am folosit cuvântul “deseori”; realist ar fi fost să folosesc cuvântul “masiv”). În acest sens mă gândesc: oare, de ce să nu căutăm “măsuri preventive”, care acţionează înspre viitor (chiar dacă sunt gândite pe baza experienţelor acumulate în trecut). Oare, cum ar fi să privim metoda d-nei Vestergaard din acest punct de vedere?

Dar să revenim la tema propusă şi să vă prezint pe scurt cum mi-au influenţat predarea mea cele auzite de la dânsa, cel puţin în scurta perioadă avută fizic în sala de clasă într-o lună de zile (la Cluj de la jumătatea lui mai până la jumătatea lui iunie).

La toate clasele avuseserăm un an greu, dar la clasele de început situaţia a fost şi mai grea pentru că am avut de fapt doar câteva săptămâni ca să ne obişnuim unii cu ceilalţi. Mai ales la clasa a 9-a, unde era un colectiv parţial nou, situaţia a fost extremă (anul acesta n-am avut clasa a 5-a unde bănuiesc că a fost şi mai ciudat).

Deci, ne strânseserăm în sfârşit fizic la şcoală pe la jumătatea lui mai, iar eu aveam doar un gând în minte. Îi vedeam pe cei mai mulţi că sunt cu totul speriaţi la ora de matematică. Nu apucaserăm să ne apropiem sufleteşte în online; la orice întrebare vedeam “un strat plin de poziţia ghiocel” în faţa mea; doar o mână de elevi păreau să mă privească drept şi să înţeleagă despre ce vorbesc. Nu puteam să las lucrurile aşa. Era vorba despre o clasă de “uman”, dar în nici un caz nu asta trebuia să fie atitudinea lor faţă de matematică şi relaţia între noi. Ce era să fac?

Atunci mi-am dat seama că această generaţie nu a învăţat deloc sisteme de ecuaţii, pentru că în anul şcolar 2019-2020 se mergea încă pe programa veche, în care sistemele de ecuaţii erau spre final, în semestrul II, iar d-na Ministru de atunci binevoise să scoată din programa de examen toată materia de la un punct încolo. Eu făcusem sistemele la începutul clasei a 8-a, dar puţini din elevii rămaşi în clasă le şi ştiau cu adevărat (pentru că fuseseră lăsate de-o parte de noua programă de examen, aşa că nu le mai repetaseră).

Vroiam să trezesc matematica în mintea lor şi sentimente mai pozitive faţă de aceasta. Nu conta cu ce, ei oricum nu dau examen din matematică. Dar nici proşti sau bătuţi în cap nu sunt, aşa precum încercau cei mai mulţi să-mi explice pe post de scuze. Puteam să-i cataloghez cel mult ca speriaţi şi frustraţi în urma matematicii gimnaziale, care pe unde fuseseră.

Nu aveam timp şi energie să generez o fişă de lucru pe cine-ştie-ce temă, nici nu puteam în acest caz să iau o fişă gata gândită de la colegii din Norvegia sau Germania. Dar aveam o fişă făcută în paşi mici despre sistemele de ecuaţii (prezentată în lockdown, la începutul lui aprilie 2020, la adresa http://pentagonia.ro/sisteme-de-ecuatii-introducerea-notiunii-in-clasa-a-7-a/ ). Aşa că am scos fişa la imprimantă, i-am organizat pe elevi pe grupe (care nu s-au mai modificat de la o oră la alta) şi am început să lucrăm.

Am stat patru ore duble la primele 8 exerciţii de pe fişă. Nu am dat nimic ca temă (oricum, nu aveam garanţie că ar fi lucrat toţi); la astfel de elevi este de aşteptat ca pe cei mai mulţi tema să-i sperie, ori eu doream să obţin exact opusul. Trebuiau doar să lucreze cât mai mult în clasă. Puteau să întrebe, puteau să ceară ajutor, iar care înţelegea putea apoi să-l ajute pe un coleg care încă nu pricepea ce-i de făcut. I-am informat însă destul de repede că în a cincea zi avem lucrare din sisteme de ecuaţii. La acea lucrare am avut masiv note de la 7-8 în sus. Elevi care în clasa a 7-a erau la limita corigenţei acum aveau nota 10. Elevi pe care i-am trecut de milă în gimnaziu (pentru că păreau irecuperabili) acum au luat chiar şi 8.

Desigur că, celor câţiva elevi buni din clasă trebuia să le dau şi ceva pe măsura lor; nu puteam să-i ţin doar în postura de a le explica celor slabi. Elevilor buni le-am dat multe probleme de pus în sistem de ecuaţii, de la medii până la foarte grele (şi să ştiţi că am unele foarte foarte grele).

Vreau să vă spun că după acea repriză de sisteme de ecuaţii, când ne întâlneam în curte sau pe coridor toţi elevii mă priveau şi mă salutau luminoşi şi plini de bucurie. Cei care nu putuseră veni la test se rugau să le reprogramez şi lor testul. Chiar şi cei mai slabi şi mai speriaţi de matematică erau mândrii: reuşiseră să parcurgă cu succes o lecţie de matematică şi luaseră o notă bună la test (nimeni nu a luat sub 5). Iar asta conta mai mult decât orice temă neparcursă din programă.

Oricum, d-na fostă Ministru promisese oficial că lecţiile pierdute în lockdown vor fi recuperate. Nu ştiu cine a recuperat în liceu ceva din a 8-a şi oricum nu se poate recupera totul (eventual poate la meditaţiile particulare). Dar, după mai mult de jumătate din acest an şcolar plin de frustrări, în care trebuiau să urmărească şi să răspundă în online la matematică, acel calup de ore a acţionat ca un balsam pe sufletul acestor elevi. La sfârşit nu mai spunea nimeni că “nu poate matematică” (doar o elevă care a lipsit toată perioada respectivă nu a putut beneficia de acest efect vindecător).

Mulţumesc Birte Vestergaard că mi-ai dat ideea şi curajul să fac acest pas. CTG (va urma!)