Rezumat al matematicii şcolare (după 6 luni de pauză)

După aceste 6 luni “sabatice” pe pentagonia.ro încerc o revenire. V-aş putea întreba politicos “ce-aţi făcut dvs.?” în tot acest timp; sau v-aş putea povesti “câte şi mai câte” am făcut eu. Haideţi să încercăm însă o abordare mai obiectivă şi să enumerăm – doar în linii mari – principalele evenimente din matematica şcolară din această perioadă, desigur fără pretenţia unei prezentări exhaustive.

Eu mi-am pornit anul şcolar observând cum unele “Colegii” au început cu mare avânt pregătirea claselor a 5-a pentru viitoarea admitere de peste 4 ani, stabilită prin noua lege a educaţiei (pentru Colegiile Naţionale). De pildă prin opţionale ce n-au nici cea mai mică conexiune cu programa oficială, ţintite cu obiectivul spus pe faţă de la început: elemente de “excelenţă” mult peste nivelul normal al vârstei respective; “te iei de cap” ce fac ei acolo şi ce probleme abordează. Ca să facă faţă, majoritatea celor mici sunt nevoiţi să aibă meditaţii particulare. Este un fel de “autonomie preuniversitară” orientată obsesiv spre excelenţă, care este însă accesată şi obţinută “pe banii părinţilor”, părinţi care sunt nevoiţi să plătească pentru ca puiuţii lor să fie într-o şcoală de elită. Pentru cei dinafara şcolilor respective, desigur că nu va fi nici cea mai mică şansă de a putea ajunge la o clasă de liceu a unui astfel de Colegiu fără nişte părinţi potenţi care să pompeze din greu cu meditaţii, cu şansele cele mai mari desigur chiar la profesorii care vor avea dreptul să stabilească subiectele la acele examene de admitere. Vă las pe dvs. să decideţi cum ar trebui numită toată tărăşenia asta.

Diametral opus, am avut în decembrie 2023 rezultatele la ultimul Studiu PISA. Singura diferenţă majoră faţă de situaţia de cu 4 ani în urmă (în dec. 2019, chiar înaintea declanşării pandemiei de Covid, la noi în martie 2020) a fost creşterea nivelului de analfabetism funcţional matematic de la 47% la 49% (deci, peste patru ani sigur că vom fi depăşit pragul psihologic de 50%, putându-ne declara oficial o naţiune predominant analfabetă funcţional! URAAA! Măreaţă realizare!).

În rest, totul cam la fel ca şi cu patru ani în urmă: multă inflamare în mass-media, ministrul învăţământului care ia cuvântul, spunându-ne că “nu-i aşa bai mare”, inflamare urmată destul de repede de marginalizarea subiectului, care a fost nevoit să lase locul “în faţă” altor subiecte (aşa funcţionează mass-media, umblând cu disperare după senzaţional ca modalitate sigură de a capta atenţia unui procent cât mai mare din populaţie, ca audienţă).

Am vrut la vremea respectivă să mă reapuc de scris, dar după o pagină-două mi-am dat seama că tind să reiau toate cele scrise cu patru ani în urmă, aşa că m-am oprit (poate voi posta totuşi cândva acele rânduri în sensul unui studiu mai profund despre analfabetismul funcţional matematic). Am şi descărcat în iarnă câteva articole în acest sens; iată adresele pentru cei care nu le-au remarcat:

Sfaturile directorului PISA Andreas Schleicher către părinți: „Limitați smartphone-urile, fiți din nou aproape de copii” https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-26753740-interviu-sfaturile-directorului-pisa-catre-parinti-limitati-smartphone-urile-fiti-din-nou-aproape-copii.htm

Interviu cu ministrul Educației din Estonia, țară aflată pe primul loc în UE la testele PISA: Atitudinea noastră este că fiecare copil trebuie să aibă oportunitatea de a se dezvolta, absolut fiecare copil https://republica.ro/cum-de-la-ei-se-poate-interviu-cu-ministrul-educatiei-din-estonia-tara-aflata-pe-primul-loc-in-ue-la-testele

Terapia de șoc propusă de Cătălin Ciupală, profesor de matematică, după dezastrul testelor PISA: „Chiar de la anul, ar trebui realizate niște subiecte pentru EN care să zguduie un pic sistemul și să-l pună pe șine. Nu trebuie să ne dăm în lături de la niște note mai mici” https://republica.ro/terapia-de-soc-propusa-de-catalin-ciupala-profesor-de-matematica-dupa-dezastrul-testelor-pisa-zchiar-de

Din februarie am avut apoi simulări oficiale “de la Minister” la examenele naţionale (EN şi BAC) într-un format nou, anume cu corectare pe internet pe lucrări repartizate “random” din toată ţara (cu avantajele şi dezavantajele corespunzătoare). Nu mi-am propus să fac aici o analiză a acestora – avantajele şi dezavantajele, dar doresc să atrag aţenţia asupra unui fapt surprinzător: ce legătură este între faptul că la EN am avut o clară creştere a dificultăţii subiectelor din zona notelor mari – pe de-o parte – şi propunerea din ultimul articol mai sus menţionat a d-lui Cătălin Ciupală- pe de cealaltă parte? (între “elevii buni” au făcut “ravagii” mai ales problemele 5b şi 6b de la Subiectul III, care au redus masiv numărul lucrărilor “de 10”; mai ales 6b-ul ar merita o discuţie separată) Ciudat! Dacă într-adevăr gândurile din acel articol au fost luate în seamă, asta este un aspect foarte bun. Asta ar însemna că totuşi cei care “scriu din afară” încep să fie luaţi în seamă la Minister.

Legat de subiectele de la simularea EN, mass-media a urlat din nou “sus şi tare” despre dificultatea  acestora, iar mulţi au fost cei care generalizând au preluat ideea că “s-a dat foarte greu!“. Pentru toţi aceştia am câteva gânduri, pe care am fost nevoit să le exprim în mod repetat în această perioadă. Amintiţi-vă cum în toiul pandemiei de Covid, pentru a duce cumva viaţa şcolară înainte, Ministerul din acea vreme au scăzut masiv nivelul şi dificultatea itemilor ceruţi la examen (anunţând asta pe toate canalele – pentru cine avea “urechi de auzit şi ochi de văzut”, inclusiv prin intermediul acelor renumite “teste de antrenament”). Eu am în acest sens exemplele de tipul: … piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 4 cm …. a) Arătaţi că aria petrulaterului ABCD este egală cu 16 cm2… Apoi, în anii ce-au urmat dificultatea subiectelor a mai fost ridicată câte puţin, dar per ansamblu totuşi a rămas mult prea scăzută. Cu alte cuvinte, nivelul acesta avea tendinţa de a se stabiliza, de a deveni un reper fix, o nouă “normalitate”, cu urmarea clară că elevii pentru acest nivel se pregăteau, că societatea la acest reper se raporta. Da, dar nu era normal aşa. Elevii post-pandemici nu sunt neapărat “mai proşti” ca cei dinainte (deşi au clar anumite nevoi speciale în funcţie de faza educativă pe care au pierdut-o în cei doi ani de neşcoală sau şcoală online), dar sigur “societatea” are o voce mult mai puternică, mai agresivă. Autorităţile au însă datoria să regleze aceste aspecte într-un mod cât mai obiectiv (uneori reuşesc, alteori nu prea).

Nici nivelul acela turbat de excelenţă preconizat pentru admiterea la colegiile naţionale peste patru ani nu ar fi sănătos, dar nici nivelul la care tindea să se stabilizeze subiectele de EN în anii de după pandemie nu era în regulă. Asta este adevărul: noi nu reuşim ca învăţământ să ne găsim o linie normală, fiind bombardaţi cu pretenţi extreme din toate părţile, iar starea matematicii şcolare româneşti este trasă în mod bolnăvicios ba în sus (mult prea sus), ba în jos (mult prea jos). Legat de această stare dilematic-conflictuală, stau aşa şi mă gândesc: oare chiar nu reuşim să găsim totuşi o linie de mijloc sănătoasă, noi ca întreg?

Ca observaţie marginală, trebuie totuşi scos în evidenţă felul în care autorităţile consideră a face şi se pricep să comunice cu populaţia şcolară: pe de o parte ne-am putea plânge de faptul că “ne-au pus în faţa faptului împlinit” fără să ne anunţe defel despre intenţia de ridicare a subiectelor la un nivel mai corect; pe de altă parte trebuie să apreciem că au făcut-o în cadrul simulării la EN şi nu la examenul din vară.

Mişcarea respectivă aduce după sine două gânduri: 1) să sperăm că în urma criticilor oportuniste din mass-media, cei din Minister nu vor da înapoi, aşa încât la examenul din vară să ne trezim din nou cu subiecte prea “accesibile”; ar fi păcat, pentru că totuşi matematica românească merită mai mult! 2) totuşi, printre elevi “s-a diseminat” masiv ideea, percepţia că subiectele au fost prea grele şi deci, “ei elevii nu au nici cea mai mică vină”, iar acest gând sigur nu va duce la acea stare de dorit în care elevul să se simtă “cu musca pe căciulă”, pornind astfel să înveţe serios pentru a recupera până la examen, conform posibilităţilor şi a aşteptărilor sale sau a familiei.

În acest “punct psihologic” subiectele de la EN au cam clacat (mişcarea de la subiectele III 5b şi 6b fiind totuşi prea dură): nişte subiecte cu adevărat bune sunt acelea în urma cărora elevul trage concluzia că de fapt subiectele au fost ok, dar el personal nu a fost pregătit corespunzător; dimpotrivă, dacă subiectele sunt prea dificile iar elevii trag concluzia că nu ei sunt de vină, ci că “s-a dat prea greu”, atunci rolul educativ de a-i provoca să tragă mai tare este mult diluat (observaţia este valabilă din păcate şi la nivelul unor părinţi). Pe de altă parte este evident că la nivelul unei clase sau al unei şcoli (simulări pe şcoală) acest lucru este realizabil, pe când la nivel naţional este extrem de greu realizabil, am putea spune chiar cvasi-imposibil (atât datorită diferenţelor majore reale dintre nivelele de şcolire existente la nivel naţional, dar şi mulţumită “ajutorului de nepreţuit” al mass-mediei, avidă constant după “spectacol”, după “circ de dragul circului”; deja la nivelul unui judeţ acest “target” este greu de realizat, dar aici măcar nu ai “presa în cârcă”).

Pe de altă parte, trebuie să recunoaştem realitatea la nivel naţional (îmi permit să o fac luând ca eşantion familia noastră: eu am corectat la EN iar soţia mea la BAC, deci avem împreună o imagine destul de completă): în timpul acestor corectări online am ajuns să vedem nişte tălâmbişenii extreme cu ocazia faptului că în acest an am corectat lucrări din toată ţara, nu numai din şcoala noastră. “Doamne fereşte”, ce ne-a fost dat să vedem! Nu ne-am apucat să le notăm, dar multe ar fi făcut concurenţă serioasă renumitelor exemple ce apar în mass-media în urma examenelor de la Limba şi literatura română. C.Titus Grigorovici

P.S. Era să uit de minunea birocratică numită Plan remedial pe care trebuie să o facă profesorii în cazul elevilor care au luat sub nota 7 la aceste simulări. O fi de bine, o fi degeaba? Acolo unde elevul vrea să înveţe va fi cu rost; acolo unde elevul nu are chef sau pur şi simplu nu-l duce minte, poţi face 10 planuri remediale “în paralel şi perpendicular”. Pe de altă parte, acolo unde profesorul are profundă şi cronică “durere-n cot”, la ce ajută planul remedial? Umblă planurile remediale de la un profesor la altul, de se-ncinge netu’, că “trebuie să fie”, doar ca toată lumea să fie “acoperită” de încă o “hârtie” inventată de birocraţii “de sus”, ca omul de rănd să o aibă “la dosar”. Doamnelor şi domnilor de-acolo “de sus”, n-aţi priceput încă: cine-şi face treaba şi-o face oricum; cine nu vrea să-şi facă treaba, va continua pe această linie şi cu şi fără “hârtiile voastre”. Hârţogării!

P.P.S. Ultima minune – la închiderea ediţiei: zic gurile rele cum că de aia s-a dat la simularea de BAC mai uşor decât la simularea de EN, pentru că cei de-a 12-a votează anul acesta şi să nu-i supere, pe când cei mici de-a 8-a …

Exemplu de activitate de “ziua lui π”

În repertoriul meu de activităţi – lecţii formale sau “altfel” – s-au strâns de-a lungul timpului o multitudine de “idei faine”. Unele dintre ele – relativ puţine (~ 10%) – sunt idei personale, total noi; marea majoritate însă sunt colecţionate din diferite surse, iar apoi adaptate nevoilor şi posibilităţilor mele, îmbunătăţite de-a lungul timpului astfel încât efectul lor să fie cât mai bun la clasă.

Un astfel de exemplu îl reprezintă ideea din precedenta postare, idee ce “a stat la dospit” în subconştientul meu cam doi ani, după care a ieşit la suprafaţă sub o formă adaptată. Anul acesta am două clase paralele de a 7-a, aşa încât preocupările mele pentru această clasă sunt duble faţă de anii trecuţi. În aceste condiţii am pus în practică ideea de a aduce numărul π cu multele sale zecimale la propriu pe treptele ce urcă în şcoala noastră spre clasele 7-8, vârste la care avem clar interesul ca elevii să se împrietenească cât mai bine cu acest număr.

Concret, pentru ziua lui π proiectul din acest an a fost următorul: am imprimat pe hârtie A4 autocolantă numărul π cu 50 de zecimale (atâţia elevi sunt în cele două clase); elevii le-au decupat, iar apoi joi, pe 14 martie, le-am lipit pe treptele de la casa scării pe unde urcă elevii de la a 7-a şi cei de la clasele mai mari (până la a 12-a). În plus, “am invitat la petrecere” şi pe cei “doi prieteni” ai lui π, anume pe şi pe , importanţi pentru elevii de gimnaziu, fiecare cu câte 10 cifre zecimale, imprimate pe treptele ce urcă de la etajul 1 la 2.

Pentru imprimare am ales o hârtie autocolantă mai lucioasă, cu speranţa ca cifrele respective să reziste acolo măcar o săptămână (şi, da, după o săptămână sunt tot acolo, deşi treptele au fost spălate zilnic şi jumătate de şcoală “le-a călcat în picioare”). La decupare am avut grijă să rămână la fiecare cifră integru şi restul colii corespunzătoare (partea dreptunghiulară din exteriorul suprafeţei cifrei, sau, cum i-am spus noi, “negativul”, inclusiv interiorul cifrelor 0, 4, 6, 8, 9), astfel încât tehnic am obţinut două seturi de astfel de “abţibilduri”, unul pentru anul acesta şi încă unul pentru viitor. Mai mult, pentru a îmi uşura păstrarea, cât şi pentru a le aduce “pe picior de egalitate”, am decis ca la cifrele cu găuri să folosesc anul acesta mai mult “negativul” şi să păstrez pentru viitor cifra în sine (în afara unor excepţii). Am obţinut astfel un model jucăuş, mult mai atractiv decât o simplă succesiune de cifre.

În plus, faţă de o simplă şi monotonă succesiune de cifre, dar şi pentru eficienţă financiară a acţiunii, am imprimat primele cifre pe o anumită mărime, iar apoi pe mărimi tot mai mici (deci tot mai multe pe o coală A4). Astfel, pentru tot proiectul am avut nevoie de doar 21 de coli imprimate (pentru care am plătit cca. 26 de lei la firma Colorama din Cluj). Ca să nu încurc cifrele în procesul de imprimare şi decupare cu diferiţi elevi, a trebuit să-mi fac un sistem de poziţionare a fiecărei cifre (deşi am oarece dubii că totul este corect, pentru că am rămas cu un 8 în plus; asta e!).

Pe viitor, când voi decide să folosesc al doilea set, pentru că nu va mai fi nevoie de decupat, elevii respectivi vor putea primi alte “sarcini” de implicare, de pildă să coloreze cifrele (sarcină “dificilă” din punct de vedere matematic; americanii fac faze din acestea, reuşind să implice în activitatea matematică şi elevii non-matematicieni; de pildă să aducă cu ocazia acestei zile “pi-scuiţi”, adică biscuiţi neapărat rotunzi etc.). Apropos: a fost foarte interesant faptul că un elev cu CES s-a implicat foarte intens în dezlipirea foliei de pe spatele cifrelor şi apoi lipirea acestora pe ciment; era clar că odată ce-a prins mişcarea îi plăcea respectiva activitate repetitivă; eu am fost bucuros că în sfârşit am reuşit să cobor până la nivelul lui “în ora de matematică”, în afară de simpla copiere de pe tablă a lecţiei de zi cu zi. Acum am un argument în plus în faţa clasei că “îl trec”, că îi dau 5-ul.

Pe lângă această activitate, în funcţie de disponibilităţi se poat face şi altele (proiecte individuale de afişat pe pereţi etc. Pentru cei ce doriţi să preluaţi ideea, ataşez prezentei postări şi documentele pe baza cărora s-au imprimat respectivele cifre, cu cele 21 de pagini A4 (atenţie că cei doi radicali au cifrele “combinate” pe mărimi şi trebuie separate corect). CTG   P.S. În weekend-ul următor am avut acasă şi un tort de ziua lui π.

Zipped-PiRad2.3.zip

La mulţi ani! de ziua lui π 2024

Da! Cineva s-a gândit să facă un mărţişor cu π, iar apoi cineva şi-a pus mintea să-l şi vândă, după care cineva s-a gândit că i-ar face o bucurie deosebită d-nei profesoare de matematică. Şi da, surpriza a fost una absolut specială.

*

În 2021 – pandemia ne făcea încă mari probleme – a fost publicată la Editura TREI lucrarea lui MICKAËL LAUNAYMARELE ROMAN AL MATEMATICII din preistorie în zilele noastre (am făcut la vremea respectivă şi o scurtă prezentare de carte). Doresc să vă prezint în postarea de faţă un pasaj interesant din această carte, anume începutul capitolului 6: De la π la şi mai şi (pag. 92-94). Iată în continuare cele trei pagini:

Pe 14 martie 2015 am mers la Palais de Découverte. Era o zi de mare sărbătoare.

La începutul anilor 1930, fizicianul francez care a câştigat Premiul Nobel, Jean Perrin, îşi imaginează proiectul unui centru ştiinţific destinat trezirii interesului marelui public pentru descoperirile şi cercetările din toate domeniile ştiinţei. Palais de Découverte îşi deschide porţile în 1937, la doi paşi de Champs-Élysées, unde se amenajează în acest sens întreaga aripă vestică a marelui palat pe douăzeci şi cinci de mii de metri pătraţi. Expoziţiile, care nu ar fi trebuit să dureze decât şase luni, au cunoscut un asemenea succes încât, începând cu 1938, temporarul se trensformă în permanent. La optzeci de ani după deschiderea acestuia, clădirea primeşte în fiecare an multe sute de mii de vizitatori.

Ieşind de la metrou, merg pe şoseaua Franklin-D.-Roosevelt spre intrarea palatului. Ajung la treptele de pe trotuar şi un detaliu îmi atrage atenţia: 4, 2, 0, 1, 9, 8, 9. Este o stranie procesiune de cifre imprimate, care se ondulează pe sol şi urcă scările, părând că se strecoară până în interiorul clădirii. Iată un lucru neobişnuit! Ultima oară când am trecut pe aici, cifrele acestea nu erau. Urmez calea lor: 1, 3, 0, 0, 1, 9. Intru în palat. Şirul continuă şi aici: 1, 7, 1, 2, 2, 6. Acestea traversează rotonda centrală şi o iau spre scara principală: 7, 6, 6, 9, 1, 4. Urc scările patru câte patru, trec prin faţa intrării de la Planetariu şi o iau la stânga: 5, 0, 2, 4, 4, 5. Cifrele mă conduc drept spre departamentul de matematică. Le văd înfăşurându-se, părăsind solul şi urcând de-a lungul zidului: 5, 1, 8, 7, 0, 7. În sfârşit, iată-le ajunse la punctul lor de plecare. Mă aflu în inima unei mari încăperi circulare, unde cifrele roşii şi negre au crescut, de asemenea, în mărime, aflându-se într-un vârtej care se înalţă din ce în ce mai sus. În sfârşit, privirea îmi este captată de începutul seriei: 3, 1, 4, 1, 5 … Mă găsesc în inima unuia dintre locurile emblematice ale palatului. Este vorba de sala π.

Fără nicio îndoială că numărul π este celebru şi cel mai fascinant dintre constantele matematice. Forma circulară a sălii îmi aduce aminte că valoarea lui este strâns legată de geometria cercului; este vorba de numărul prin care trebuie să multiplicăm diametrul unui cerc pentru a-i găsi perimetrul. Litera π (se citeşte pi) este de altfel cea de-a şaisprezecea literă aalfabetului grecesc, echivalentul “p”-ului din alfabetul latin şi iniţiala cuvântului perimetru. Numărul π nu este foarte mare, abia dacă depăşeşte puţin cifra 3, dar suita sa de zecimale este infinită: 3,14159265358979…

În mod obişnuit, doar primele 704 zecimale ale numărului sunt văzute de vizitatori înfăşurându-se pe pereţii rotunjiţi ai sălii π. Dar astăzi, cifrele au părăsit sala, au invadat Parisul şi se etalează în stradă. Acum vedem mai mult de 1000 de zecimale. Trebuie să spunem că data este memorabilă; adică 14 martie 2015 este ziua π a secolului.

Prima ediţie a lui “π Day” a avut loc pe 14 martie 1988 la Exploratorium, ruda americană a lui Palais de Découverte, aflată în inima oraşului San Francisco. A paisprezecea zi a celei de-a treia luni, adică 3/14 (în notaţia americană luna precede ziua), era o dată bine aleasă pentru a-l celebra pe π, a cărui valoare 3,14 este aproximarea obişnuită, cu două cifre după virgulă. De atrunci iniţiativa a căpătat adepţi, iar numeroşi pasionaţi din întreaga lume se întâlnesc în fiecare an pentru a sărbătorii constanta şi, prin ea, întreaga matematică. Sărbătoarea a ajuns la o atât de mare amploare în 2009, încât “π Day” a fost recunoscută oficial de Camera Reprezentanţilor din Statele Unite.

În acest an, 2015, aficionados (fani) ai lui π au aşteptat ziua cu o şi mai mare nerăbdare. Suntem la data de 3/14/15, adică se adaugă încă două cifre la coincidenţa datei şi a constantei. Această ediţie trebuie să fie măreaţă! Cu această ocazie, întreaga echipă de matematicieni de la Palais de Découverte se află pe pod. Iată de ce mă aflu şi eu aici: împreună cu alţi câţiva matematicieni, am venit să ne aducem contribuţia la o zi bogată în experienţe matematice.(…)

Înrudit cu acest subiect, pe pentagonia puteţi lectura şi articolele din 2020, mai ales ultimul:

Numărul cercului (1) – Deducerea practică a lui π din perimetru/

Numărul cercului (2) – Deducerea practică a lui π din arie

Numărul cercului (3) – Bonus: câte zecimale pentru π?

Două milioane cinci sute de mii şi un leu

Săptămana trecută am auzit această expresie (sfârşit de februarie 2024). Eram într-o parcare de supermarket şi mă îndreptam către maşină când am auzit cum o femeie îi spunea celui cu care mergea în urma mea: mai am două milioane cinci sute de mii şi un leu. Primul gând a fost: cât e aia? Apoi am râs şi am tot râs (de unul singur, până am ajuns în maşină), după care am început să repet minunea, ca să nu o uit. De atunci mă tot gândesc, picând oarecum “pe gânduri ca baba-ntre scânduri”: reforma monetară a avut loc în vara lui 2005 şi totuşi există o mare parte a populaţiei care vorbeşte despre preţuri şi bancnote tot cu denumirile vechi.

Sunt câteva aspecte legate de această chestie. Eu personal sunt un om care se străduieşte să facă bine şi corect lucrurile, aşa încât şi trecerea la noile valori (în Ron) le-am făcut destul de conştient la vremea lor. Aş putea să observ în acest sens o lipsă de voinţă din parta multor conaţionali legat de această trecere. Această “lipsă de voinţă” poate fi însă interpretată şi prin prisma faptului că şcoala românească – în lupta ei continuă pentru performanţă în sensul elevilor buni – şcoala românească are o crasă stare de nepreocupare patologică pentru “matematica celor slabi”, a celor mulţi. Ce “învaţă” aceştia? Ei trec prin şcoală pe lângă lecţii, de multe ori fraudând, copiind în toate formele, ajungând de fapt într-o stare de mândrie că au reuşit să fenteze sistemul. Eu simt la toţi aceştia şi o latură profundă de “sfidare a sistemului”. Cei care vorbesc astfel au de cele mai multe ori o atitudine clară împotriva respectării regulilor sistemului, de multe ori o adevărată mândrie în acest sens. Şi în acest sens ei se descurcă “bine-mersi”, deşi de multe ori au de făcut operaţii suplimentare, cu numere mult mai mari. Aşa gândesc eu; dar ei “gândesc altfel”.

Pe de altă parte, ţin minte că încă de atunci, din 2005, am prevăzut o situaţie încâlcită pentru reuşita acestui transfer de valori monetare, iar asta din cauza faptului că la vremea respectivă schimbarea s-a făcut prin “tăierea a patru zero-urui”, fapt ce nu corespundea obişnuinţei de împărţire a sistemului de scriere zecimal cu trei poziţii fixe (SZU – sute-zeci-unităţi), ce se repetă apoi şi la pachetul miilor, apoi la cel al milioanelor etc. Dacă reforma monetară s-ar fi făcut cu tăierea doar a trei zero-uri, utilizatorului obişnuit i-ar fi fost mult mai uşor: ar fi trebuit doar să treacă “milioanele” în “mii”. Da, dar politicienii probabil că nu au fost de acord cu această valoare pentru că ar fi sunat umilitor, leul nostru apărând într-o poziţie înjositoare la comparaţia paritară de pildă cu euro; astfel, acum am fi avut 1euro = 50ron (aproximativ).

Un alt aspect al situaţiei actuale îl reprezintă aspectul emoţional subiectiv. Foarte multă lume pendulează între cele două sisteme după cum are chef, adică după ce doreşte să exprime. Astfel, una şi aceeaşi sumă va fi exprimată în “două milioane cinci sute de mii” dacă vorbitorul doreşte să arate cât de scump este un anumit produs, respectiv “două sute cinci zeci” dacă va dori să susţină cât a fost de ieftin, fapt ce se potriveşte “ca o mănuşă” pe spiritul emoţional dominat de subiectivitate al poporului român.

Desigur că “a ajutat” la această stare şi faptul că s-au păstrat culorile şi design-ul bancnotelor; astfel, mulţi oameni când vorbesc de o anumită sumă, ei nu spun “numere” corespunzătoare ci “cuvinte” corespunzătoare. Mă gândesc că acestora le-a fost greu să schimbe denumirea unei bancnote, mai defel schimbată (la care dispăruseră doar câteva cerculeţe, patru zero-uri).

Mai am aici un gând, mai mult o întrebare, dar o întrebare cu profund caracter retoric: oare ce procentaj al populaţiei foloseşte încă sistemul vechi în paralel cu cel nou, şi cum stă acesta faţă de alte renumite procentaje, de pildă cel de 49% al analfabeţilor funcţionali matematic deduşi de ultimul studiu PISA? Sunt sigur că mulţi îl folosesc pur şi simplu pentru că îl folosesc cei din anturajul său, dar totuşi suntem la aproape 20 de ani de când a avut loc schimbarea. Interesant este că am auzit de sume de bani exprimate în sistemul vechi şi de către persoane care s-au născut după acea reformă.

Ştim că şi în alte părţi mai loc schimbări; şi în alte părţi apare o oarecare reticienţă din partea unora; de pildă în Marea Britanie, unde sistemul vechi nu era pe baze zecimale (deşi am încercat, îmi este tare greu să-l înţeleg şi să-l lămuresc cu totul). Şi alţii au trecut la alte monede, de pildă ţările din zona euro, dar nu au avut o astfel de inerţie mentală ca la noi. Poate chiar faptul că modificarea a fost cu păstrarea multor aspecte (denumirea de Leu, culorile bancnotelor) a împiedicat mult un transfer eficient.

Şi totuşi, gândiţi-vă ce aţi simţit şi ce aţi înţeles când aţi citit titlul acestei postări: două milioane cinci sute de mii şi un leu pentru 251 lei. Eu l-am spus în acele zile multora din anturajul meu. distrându-mă de reacţia lor. Şocant este faptul că exprimarea respectivă combină într-un mod “a la Divertis” sistemul vechi cu cel nou. Adică, persoana respectivă nu a fost nici măcar consecventă în a folosi sistemul vechi până la capăt: sigur nu vorbea de 2.500.001 lei. CTG

Reduceri de Black Friday

Ţin minte în urmă cu mulţi ani când un elev de a 7-a a venit la şcoală a doua zi după ce le predasem despre numărul π şi le spusesem printre altele că acesta este iraţional, adică are un număr infinit de zecimale ce apar  neperiodic, dar că noi îl aproximăm de obicei la 3,14 – cu precizarea clară că aceasta este doar o aproximare uzuală. Aşadar, mă trezesc cu un elev ridicând mâna la începutul orei următoare şi spunându-mi că verişorul lui care era pe clasa a 11-a i-a spus că π este EXACT 3,14 şi gata!

Apoi au venit anii când din cauza tezelor unice capitolul  despre cerc din a 7-a şi respectiv lecţiile despre corpurile rotunde din a 8-a nefiind incluse în materia pentru teza din semestrul II nu mai erau predate de mulţi profesori. În acea perioadă un elev destul de bun – când l-am întrebat despre numărul π – mi-a răspuns cu un ton de întrebare în glas: 1,46?

În aceste condiţii nici nu mai ştiu dacă să râd sau să plâng la următoarea ofertă găsită toamna asta:

Discuţii metodice despre predarea prin problematizare pe baza cărţii lui Eugen Rusu

De curând a revenit în preocupările mele lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară a Profesorului Eugen Rusu (Editura didactică şi pedagogică, 1978). În noiembrie 2015, fiind într-un context special, am şi scris o scurtă prezentare de carte despre aceasta; articolul poate fi găsit la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-eugen-rusu-problematizare-si-probleme-in-matematica-scolara/. Cartea este una dintre preferatele mele, eu personal având de mult preocupări în sensul “predării prin descoperire”, cum numeam eu acest tip de predare. Din primii ani de predare am simţit că aceasta este calea cea mai sănătoasă de a introduce o nouă temă de studiu în viaţa elevilor, că prin această modalitate îi pot conecta cel mai bine, atât emoţional cât şi intelectual, de noul subiect.

În toamna asta am început să o recitesc (după mai mult de zece ani) şi redescopăr cu bucurie gânduri şi idei la care am lucrat intens tot timpul la clasă, dar şi “idei noi”, aspecte ce nu le-am remarcat la precedentele lecturi. Însă, cel mai important este că observ interconectarea uluitoare a aspectelor găsite în această carte cu realitatea actuală din clasele mele (septembrie-octombrie 2023).

În prezentul eseu aş dori să discutăm câteva astfel de aspecte. De pildă, la pag.5, vorbind despre trecerea de la şcoala informativă la cea formativă, Eugen Rusu ne spune următoarele: Pentru a-şi îndeplini rolul de formare a omului, şcoala nu trebuie să pună pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, gata sistematizate; trebuie să-l stimuleze să gîndească şi să lucreze prin eforturi personale. Eforturi personale stimulate şi organizate prin problematizare: în loc de a da soluţii, a-l pune pe elev în situaţia de a le descoperi.

La pag.24 autorul reia ideea. Problematizare tocmai asta înseamnă: să nu avem în vedere numai rolul informativ, să nu ne mărginim la a furniza elevului nişte enunţuri şi nişte judecăţi gata aranjate. Să-l provocăm să le descopere. (…) Până le învaţă, toate chestiunile de matematică aplicată sînt probleme de cercetare, probleme euristice. (…) Elevul însă pînă stabileşte acele formule şi pînă ce transformă nişte activităţi în deprinderi, nu lucrează automat (…).

La pag. 28, autorul revine stăruind asupra exercitării regulate a gândirii creatoare, axată pe probleme în care raţionamentul nu este dat ci trebuie găsit, iar găsirea lui nu se face prin simpla aplicare a unor metode învăţate (…).

Cu alte cuvinte, noi nu ar trebui să le dăm elevilor din startul lecţiei un set de cunoştinţe sau reţete gata aranjate, căzute oarecum “din cer”, aidoma unor porunci din partea zeilor (profesorul jucând desigur rolul de “preot” al zeilor matematicii :). Dimpotrivă, noi ar trebui să-i îndrumăm pe elevi pe un drum de “descoperire” a noilor cunoştinţe, desigur în mod intuitiv pentru început, un drum de discuţie şi dezbatere, în acest fel elevii ajungând la o conectare mult mai intimă cu respectivele cunoştinţe, la o înţelegere reală însoţită de o convingere profundă a celor descoperite în final. Mai presus însă de învăţarea fiecărei lecţii, elevii învaţă astfel să gândească matematica, nu doar să reproducă nişte cunoştinţe sau să aplice orbeşte nişte reţete sau formule.

Pentru că în cazul matematicii negândite personal, ci pur şi simplu preluate (şi scrise în caiet) de la o prelegere simplă a profesorului de matematică sau dintr-o prezentare pe scurt dintr-o carte, ambele – atât cunoştinţele cât şi reţetele şi formulele – sunt de obicei neînţelese în profunzime Marea majoritate a elevilor nu au capacitatea de a prelua prin înţelegere cunoştinţele dintr-un text, fie acesta scris sau chiar şi vorbit (pentru că – da! – mulţi profesori predau de fapt în “texte vorbite”).

Aşadar, odată cu faptul că elevul învaţă să gândească matematica datorită activităţii de problematizare, prin extensie, ora de matematică îşi îndeplineşte totodată şi rolul cel mai înalt, anume să-l înveţe pe viitorul adult SĂ GÂNDEASCĂ! În acest sens Eugen Rusu ne dă din start un citat edificator: Mai degrabă un cap bine construit decît unul plin. Montagne (pag.3)

De abia după descoperirea respectivelor cunoştinţe profesorul trebuie să facă o rezumare a acestora (cel mai sănătos ar fi să o facă ora următoare, oarecum ca un fel de recapitulare). Odată făcută aceasta, elevii trebuie apoi îndrumaţi pe o cale de “automatizare” a aplicării respectivelor cunoştinţe, reţete, formule. Deci nu ar trebui să înlocuim “reţetarea” (practicată la ora actuală de majoritatea profesorilor), să o înlocuim cu “gândirea”, ci să le facem cu elevii pe amândouă, desigur în ordinea naturală: mai întâi cunoaşterea prin gândire, apoi generarea de deprinderi pe baza reţetelor deduse. Matematica este compusă din ambele aceste două faţete, atât gândirea brută, cât şi apoi aplicarea automată a unui reţetar de cunoştinţe.

În plus faţă de ce ne spune Profesorul Rusu, noi personal, în familie, am conştientizat toamna aceasta că există unii elevi – uneori chiar din cei buni la matematică – care înţeleg să se bazeze doar pe gândire şi refuză să facă şi al doilea pas, cel de exersare intensă pentru formarea automatismelor (poate din comoditate, din lene?).

În discuţia de faţă doresc să vă prezint cum aplic eu aceste idei – cu accent pe prima parte, neglijată la ora actuală – în predarea formulelor de arie ale principalelor figuri poligonale (triunghiuri şi patrulatere) în cadrul unei lecţii din toamna clasei a 7-a. Menţionez că lecţia respectivă o predau în acest mod încă din anul 2000!

*

Astfel, pentru a nu-l pune pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, ceea ce foarte multe cărţi sau profesori fac, dându-le formulele de arie în forma lor finală, gata “pre-gătite”, numai bune de aplicat, eu dezvolt împreună cu elevii un drum de cercetare pe parcursul căruia îi provoc cât mai mult să gândească şi le descopere singuri. Precizez că tot ce urmează se întâmplă într-o singură oră (mult mai relaxat în două ore, dar atunci neapărat legate, adică nu de pe o zi pe alta), deci neavertizat dinainte, astfel încât să eliminăm din start posibilitatea ca un elev să le cunoască de acasă şi desigur să “trântească” formula în faţa clasei, anulând astfel starea de “cercetare”, adică forţarea gândirii în căutarea soluţiei de către colegii săi. Dacă totuşi se întâmplă ca un elev să ştie o formulă, chiar şi aşa – redusă ca intensitate – faza de cercetare poate rămâne sub forma simplificată: Ok, şi cum putem demonstra această formulă? (poate cineva “a avut grijă” să-i arate aceste chestiuni “din timp”, sau poate chiar elevul respectiv a avut un puseu de curiozitate şi le-a căutat pe net; mizez pe ideea că nu le caută în timpul orei pe telefon – la noi telefoanele se strâng la începutul zilei şi stau într-o cutie).

După cum veţi vedea, pentru a veni în întâmpinarea nevoilor naturale ale predării prin problematizare, trebuie desigur să stabilim o altă ordine de parcurgere a elementelor din lecţie, decât cele ce se găsesc programă, în manuale sau în diferite auxiliare (de pildă mai întâi triunghiurile, apoi patrulaterele). Întotdeauna lucrurile au fost descoperite în altă ordine decât sunt acestea ulterior sistematizat prezentate în manuale, iar noi trebuie să ţinem cont de acest fapt atunci când îi îndrumăm pe elevi pe “un drum de cercetare”; cele două categorii pur şi simplu nu pot fi suprapuse în aceeaşi ordine.

Lecţia porneşte cu reactualizarea celor două formule cunoscute din clasa a 5-a, inclusiv a principiilor pe care acestea se bazează (se şi poate pune un subtitlu de felul formulele de arii “iniţiale”; chiar şi acestea vin împreună cu raţionamentul de deducere). Această reactualizare o fac eu personal, ca să mă asigur că imprim lecţiei “o linie şi o viteză” de parcurgere corespunzătoare, la care apoi elevii se aliniază, intrând ulterior şi ei în mersul lecţiei, formând astfel un dialog de generare a celorlalte formule. Astfel, începem cu: 1) Dreptunghiul. La acesta pornesc prin prezentarea unui hol dreptunghiular în care se pune gresie şi în care încap 7 plăci pe lungime şi 4 plăci pe lăţime (în caiete elevii desenează un dreptunghi de 7 pe 4 pătrăţele). Din start elevii se implică cu rezultatul de 28 de pătrăţele, iar eu scriu liniştit totul pe tablă, consemnând mai întâi aria de 7·4 = 28, în timp ce oral spun că avem “patru rânduri de câte şapte plăci”. Apoi, dedesupt scriu generalizarea, adică formula A□ = L·l (lângă litera mare A de mână semnificând aria pun jos un dreptunghi pentru o fixare cât mai vizuală). Urmează 2) Pătratul. Faptul că acesta este al doilea se bazează clar pe observaţia că pătratul este un caz particular de dreptunghi. Totuşi, chiar dinainte de a cunoaşte oficial aria dreptunghiului în finalul clasei a 5-a, elevii au apucat să cunoască numerele pătrate, acolo unde eu le-am desenat aceste numere în structuri pătrate de punctuleţe, astfel încât să înţeleagă de ce la puterea a doua pronunţăm “la pătrat”. Cu alte cuvinte, formula de arie a pătratului se deduce atât ca un caz particular al formulei dreptunghiului, cât şi oarecum separat de la numerele pătrate. Din start am desenat un pătrat cu latura de 5 (elevii pe caiete un pătrat cu 5 pătrăţele pe latură), după care scriem atât în cazul particular, cât şi general, cu latura notată cu a, astfel: A = a2 (lângă A mai jos un pătrăţel).

Urmează formulele noi pe care trebuie să le deducem împreună (eu chiar scriu un astfel de titlu intermediar de felul Formule deduse). Traseul de parcurgere al acestora este stabilit în funcţie de uşurinţa de deducere a acestora, într-un proces de creştere a dificultăţii intuitive vizuale. O caracteristică interesantă este faptul că, faţă de primele două figuri formate doar din laturi orizontale şi verticale, toate cele care urmează au şi laturi oblice (dar asta nu le-o spun copiilor; cel mult o putem observa în final). Astfel, drumul nostru continuă cu 3) Triunghiul dreptunghic. Aici eu desenez pe tablă un triunghi cu cateta orizontală de 7 şi cea verticală de 4 (este evidentă strădania de a-i ajuta pe cât mai mulţi să observe pasul ce trebuie făcut) şi îl colorez fin cu latul cretei, dându-i o “textură de carton”, pentru ca elevii “să simtă” cât mai bine forma acestei figuri, cât şi noţiunea de arie.

Fac aici o pauză în descrierea lecţiei. Încă din clasa a 5-a eu îi obişnuiesc pe elevi cu acest tip de predare, în care eu spun ce spun şi brusc mă opresc sub forma unei întrebări: “aici cum merge mai departe”. Ca urmare, în clasa a 7-a elevii sunt deja obişnuiţi şi primii se şi oferă să zică, ridicând mâna şi anunţându-mă vocal că “ştiu!”. Îi ţin puţin în aşteptare astfel încât să apuce şi alţii să se concentreze şi să vadă ce-i de făcut, apoi aleg un elev care să spună. Este clar că acesta este jumătate din dreptunghiul de mai sus. Eu completez figura cu încă un triunghi trasat cu linie întreruptă (de fapt doar catetele acestuia) ca să vedem toţi acest fapt, după care putem scrie şi forma din cazul particular (cu rezultatul 14), cât şi forma generală. Aici, înainte să scriu formula precizez că lungimea şi lăţimea de la dreptunghi îşi schimbă denumirile în cateta1 şi respectiv cateta2.

Următoarea figură aleasă în acest parcurs este: 4) Paralelogramul. Pe acesta îl desenez cu baza de 7 pătrăţele şi înălţimea de 4, dar decalată cu 2 pătrăţele “la dreapta” (şi îmi iau timp să le explic clar elevilor, astfel încât să aibă şi ei figuri clare în caiete). “Oare, aici cum procedăm?” (uneori nu spun nimic, ci mă întorc cu un gest sugestiv şi cu ochii mari către clasă). Poate aici este prea devreme, sau poate mişcarea necesară este încă surprinzătoare la acest moment, dar uneori totuşi cineva “vede” ce-i de făcut şi mă cheamă timid la bancă să-mi arate ce idee a avut. În final prezint eu oricum mişcarea la tablă: trebuie să “decupăm” triunghiul din stânga determinat de înălţime şi de latura oblică (cu cele două pătrăţele din bază) şi să-l alipim în partea dreaptă a paralelogramului, formând astfel un dreptunghi ca cel de mai sus, deci cu aria de 28 (aici, fie haşurez întregul paralelogram şi las “imaginaţia” elevilor “să-l vadă” transformat în dreptunghi, fie haşurez doar triunghiul mic şi “îl direcţionez” cu o săgeată în noua poziţie, trasată desigur cu linie întreruptă). Deducem de aici formula cu denumirile adeptate noi figuri: B·h (de obicei deducerea o fac eu la tablă, dar am convingerea că cei mai mulţi au înţeles, datorită feţelor luminoase şi pline de entuziasmul descoperirii).

Figura următoare este 5) Triunghiul oarecare. Aici entuziasmul creşte pentru că se întrevede repetarea mişcării de la triunghiul dreptunghic (cu greu îi mai pot opri pe cei care observă aceasta). Respectăm totuşi “protocolul lecţiei” şi trasăm cu linie întreruptă partea a doua a paralelogramului din care suprafaţa triunghiului nostru reprezintă doar jumătate. Aici nu se mai schimbă notaţiile, aşa că figura îmi este de obicei dictată de către un elev (eu trbuie să fiu doar atent la elevi şi să-l aleg pe unul care n-a răspuns până acum; se vede clar pe ochii lor cei care au înţeles şi ştiu ce urmează să scriem). Apropos de “protocolul” instituit de la început, de obicei la acest moment elevii abandonează ideea efectuării mai întâi a calculelor pe cazul particular şi doar apoi a formulei generale, dictând direct formula (iar eu nu-i opresc).

Deducerea următoarelor două este tot mai grea, dar ne putem totodată baza şi pe faptul că elevii au acumulat “oarece experienţă”. Aşadar, trecem la 6) Rombul. Aici construim mai întâi centralizat toată clasa un romb în “poziţia balerină”, adică în jurul crucii formată de o diagonală verticală (cea mai lungă) şi o diagonală orizontală (cea mai scurtă), trasate cu linie întreruptă şi înjumătăţindu-se una pe cealaltă (poate unii elevi au chiar nevoie să li se spună câte pătrăţele fiecare). Cel mai bine să şi haşurăm suprafaţa rombului finuţ. Apoi urmează căutarea formulei prin procedeul problematizării: “oare cum o fi aici?”. La această figură elevii pot deveni creativi pentru că au deaja experienţe în domeniu. Unii iau două triunghiuleţe din jumătatea de jos a rombului şi le alipesc lângă jumătatea de sus, generând un dreptunghi cu baza cât diagonala orizontală şi înălţimea cât jumătate din diagonala verticală. Alţii fac acelaşi lucru dar din stânga în dreapta. Mai şunt apoi şi cei care văd că rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi cu lăţimea orizontală şi lungimea verticală, care se formează prin adăugarea în exteriorul rombului a încă patru triunghiuri congruente cu cele patru sferturi ale rombului. Oricum o iei, toate duc până la urmă la aceeaşi formulă, deşi cei care au văzut ultima variantă se pare că reuşesc cel mai des – la vârsta asta, cu experienţă algebrică redusă – să verbalizeze clar formula: A = d1·d/2, chiar dacă de fapt iniţial sub forma L·l /2 , aşa că trebuie din mers să-i rugăm să o dicteze cu elemente ale rombului, nu ale dreptunghiului. Desigur, oricând pot apărea şi alte explicaţii: anul acesta un elev a decupat jumătatea de jos a rombului şi a alipit-o alături de cea de sus, transformând suprafaţa într-un paralelogram (merge şi aşa; ce frumos!).

Finalul formuleleor mai dificile îl reprezintă 7) Trapezul. Deja este clar demersul, astfel că elevii se pot apuca de lucru imediat ce avem toţi câte o figură “bună” în caiet: un trapez “scalen” înalt de patru rânduri (pătrăţele) şi la care ambele laturi oblice să aibă mijlocul în câte un nod al grilei de pătrăţele de pe foaia de matematică ( eu recomand baza mare de 9 pătrăţele, latura oblică din stânga cu piciorul înălţimii la două pătrăţele înspre dreapta, ca la paralelogramul de mai sus, iar baza mică de trei pătrăţele; astfel latura oblică din dreapta are o înclinaţie de 45o, ambele laturi oblice având mijlocul într-un nod de pătrăţele). Pe o astfel de figură se pot observa trei deduceri diferite ale formulei de arie (pe care – repet – elevii nici nu o cunosc de fapt, ei “bâjbâind” în înturneric ca într-o adevărată cercetare!). O variantă este cea de a dubla aria similar cu procedeele de la dreptunghi sau paralalogram, dublare făcută printr-un al doilea trapez congruent cu primul, ataşat în partea dreaptă cu “capul în jos”, obţinând astfel un paralalogram cu baza cât cele două baze ale trapezului însumate. Celelalte două variante se obţin pe baza mijloacelor laturilor oblice şi a liniei mijlocii, prin procedeul decupării unor triunghiuri din suprafaţa trapezului şi alipirea lor într-o altă poziţie. De pildă, se poate face o astfel de mişcare de două ori, în stânga respectiv în dreapta figurii, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie; în mod similar se poate aplica doar o singură astfel de mişcare, transformând trapezul într-un paralelogram cu baza cât linia mijlocie. În unele clase apar doar două astfel de propuneri, în altele toate trei. Dacă apare doar una, atunci le mai prezint eu încă una pentru a le arăta clar ideea că întotdeauna pot apărea mai multe variante de gândire.

În funcţie dacă ne rămâne timp, dacă nu atunci sigur în ora următoare, în finalul lecţiei mai putem adăuga încă două formule destul de des folosite, pentru a avea un tablou complet pentru faza aceasta a cunoaşterii: 8) Rombul-(2). Această formulă apare atunci când desenăm un romb în poziţia tipică unui paralelogram. De vreme ce i-am obişnuit pe elevi să le sugerăm desene de o anumită formă prin numărarea pătrăţelelor, fără a da multe explicaţii putem şi aici să îi îndrumăm spre un romb cu latura de 5 pătrăţele în care noi am integrat cu ajutorul unei înălţimi “triunghiul egiptean” (cel cu catetele de 3 şi 4 şi ipotenuza de 5; dacă elevii “se prind” pe baza scurtelor experienţe pitagoreice din finalul clasei a 6-a, bine, dacă nu e bine şi aşa, treaba rămânând într-o stare de “magie” pe care ei eventual vor dori să o verifice prin măsurare a laturii oblice, tot de 2,5 cm (adică de 5 pătrăţele); astfel, există două romburi diferite care se pot construi aici; eu îl recomand pe cel mai ascuţit, cel cu înălţimea de 3 pătrăţele, care arată mai clar ca figura rombului din mintea copiilor). Aici elevii observă destul de uşor că trebuie să preia formula de la paralelogram; noi trebuie să le spunem că preferăm să schimbăm denumirea bazei în latură.

În final luăm şi 9) Pătratul-(2). Aici vom desena un pătrat în poziţia tipică pentru romb, adică pornind de la o cruce a diagonalelor trasate cu linie întreruptă, una verticală şi cealaltă orizontală, ambele înjumătăţite, dar desigur şi egale. Elevii vor observa şi aici foarte uşor “mişcarea”, singura provocare pentru cei buni fiind rescrierea în forma d2/2; pentru cei mai slabi provocarea va fi chiar să înţeleagă diferenţa dinte faptul că la romb apăreau 1 şi 2 scrise mai jos, ca indici, pe când la pătrat apare acel 2 lângă litera d, dar mai sus iar asta înseamnă la puterea a doua şi nu o prescurtare.

*

După cum am mai spus, pe lângă uriaşele avantaje în sensul înţelegerii şi a formării de gândire, acest tip de lecţie prezintă şi anumite pericole. Atât elevii slabi, cât şi mulţi elevi buni vor înţelege că de fiecare dată la calculul unei arii ei trebuie să aplice “procedura” văzută în timpul lecţiei, adică de pildă, la romb să-l înscrie într-un dreptunghi etc. Cei slabi la matematică vor înţelege că aceasta este o lecţie foarte grea şi complicată, dificil de aplicat în exerciţii, pentru că trebuie memorate toate acele “mişcări”. Dimpotrivă, cei cu o gândire bună se vor simţi “în zona lor de confort”, pierzând de fiecare dată timp valoros cu rededucerea formulei.

Cu alte cuvinte, atât pentru cei cu o gândire superficială cât şi dimpotrivă, pentru cei cu o minte ageră, dar leneşi, va trebui să facem şi următorul pas, anume să rezumăm lecţia respectivă doar în forma ei seacă, adică la fiecare figură studiată să le evidenţiem cele trei componente de bază: denumirea figuri + o figură tip simplă în care sunt trasate doar elementele ce apar în formulă + formula în sine, înrămată pentru atenţionare că aceasta trebuie ştiută pe de rost.

Fie în timpul lecţiei, fie la această recapitulare eu le dau uneori elevilor şi alte formule “colaterale”. Una dintre acestea ar putea fi 10) Triunghiul isoscel. Pe aceasta o fac ca un fel de “glumă matematică”, dar din motive clar justificate: de-a lungul timpului am avut ocazia să întâlnesc situaţii în care câte un elev s-a blocat la cunoscutele exerciţii de aplicat teorema lui Pitagora pentru calculul ariei unui triunghi isoscel, pentru că în lista cu formulele de arie nu se regăsea şi o formulă pentru această figură (avem pentru triunghiul oarecare, adică cel scalen, avem pentru triunghiul dreptunghic, dar pentru cel isoscel nu avem; vorbesc de prima fază de aplicare, pe triplete pitagoreice, când oricum nu le dau triunghiuri echilaterale).

Tot aici putem desigur să mai adăugăm şi 11) Triunghiul dreptunghic-(2), de fapt adaptarea de la triunghiul oarecare, atunci când triunghiul dreptunghic este desenat cu ipotenuza ca bază şi mai avem cunoscută şi înălţimea pe ipotenuză. Alteori elevii îmi cer şi 12) Deltoidul (la capitolul cu patrulatere eu parcurg şi această figură, chiar dacă nu este în programa oficială; deşi fără folosirea denumirii apar din când în când probleme cu deltoid în diferite culegeri).

Când şi cum trebuie făcută această rezumare, asta este în sine o mare problemă. Dacă s-a parcurs lecţia principală într-o singură oră, atunci nu cred că mai este timp şi pentru rezumare (vorbesc aici de o parcurgere cinstită la o clasă obişnuită, nu de o turuială în viteză în care profesorul întreabă şi tot el răspunde imediat, pentru o eficienţă temporală – asta sigur nu poate fi numită problematizare). În acest caz rezumarea cunoştinţelor poate fi făcută doar ora următoare, dar pentru asta trebuie să ne asumăm că fie le dăm ca temă aplicaţii la care unii nu vor înţelege că trebuie doar să aplice rezultatele (chiar dacă am înrămat fiecare formulă din prima lecţie), fie ne asumăm că la prima lecţie, cea cu deducerea formulelor, încă nu le dăm temă din aceasta (fie ne bazăm cu indiferenţă că de fapt cineva le clarifică lucrurile acasă).

Eu personal prefer această a doua variantă pentru că aşa mă asigur că toţi elevii au priceput cum se aplică această lecţie şi că de fapt este una din cele mai uşoare lecţii. O fişă bună cu o grămăjoară responsabilă de exerciţii de aplicat după rezumare va ajuta mult în acest sens. Pentru a nu cădea într-o banalitate extremă, aceste exerciţii ar trebui să apară amestecate faţă de ordinea din lecţie (“dificultatea” temei constând în sarcina de a alege de fiecare dată formula corespunzătoare); la fiecare formulă vor apărea cel puţin câte trei-patru din fiecare cu diverse aplicaţii numerice (de pildă, la cele cu fracţie şi câte una la care nu se simplifică în final).

*

Spuneam că forma predării prin problematizare prezintă pericolul că anumiţi elevi vor înţelege că astfel trebuie procedat în cadrul aplicaţiilor de la temă sau de la teste, aşa încât în finalul lecţiei parcursă prin problematizare trebuie să le dăm un rezumat al cunoştinţelor ce vor fi transformate în reţete, în formule direct de aplicat. Şi atenţionez că trebuie să le precizăm clar că acestea trebuie să le înveţe şi să le aplice ca atare.

Dacă nu facem acest pas, se pare că mulţi elevi de azi înţeleg în mod “docil” că trebuie să aplice de fiecare dată forma cunoscută în faza de problematizare, pentru că aşa au fost obişnuiţi de către cei dinaintea noastră. De pildă, ne putem aştepta ca învăţătoarea clasei să nu fi folosit o astfel de tehnică de dezvoltare a gândirii, ci să le fi prezentat întotdeauna cunoştinţele noi ca un simplu “cod de reguli”, ca nişte reţete despre care nu ne interesează de unde vin, ci doar cum le aplicăm (pentru că de fapt în asta constă matematica verificată prin teste). Într-un astfel de caz elevii vor percepe că şi aici trebuie să facă la fiecare problemă “ca la clasă”. În mod similar, la o clasă de a 9-a ne putem aştepta ca elevii respectivi să fi primit toată matematică din gimnaziu direct în formatul de reţetă, pentru a fi aplicată cât mai repede în exerciţii şi probleme (că doar asta se dă la examen).

Astfel, povestind dimineaţa la cafeluţă cu soţia mea, citindu-i ideile din cartea despre problematizare a lui Eugen Rusu şi povestindu-i despre întâmplarea cu anumiţi elevi care înscriau rombul într-un dreptunghi pentru a-i calcula aria, soţia mi-a spus că şi ea a observat un fenomen similar la formulele de calcul de gradul trei, unde anumiţi elevi nu le aplicau ca atare în exerciţiile date la test, adică nu le aplicau ca “formule de calcul prescurtat”, ci refăceau de fiecare dată calculul aşa cum fusese dedusă formula prima dată la clasă (prin problematizare), după principiul: decât să mai învăţ o formulă nouă mai bine nu! (pentru că oricum “toate se găsesc la ora actuală pe internet”, cum zic unii, adică “la un clic distanţă”); mai bine o deduc de fiecare dată, că îmi este uşor (aşa se manifestă lenea la elevii inteligenţi matematic).

Probabil că la vremea când Eugen Rusu scria acele rânduri, învăţarea formulelor ca atare era de la sine înţeleasă, dar acum trebuie să ne asigurăm că elevii primesc acest mesaj şi apoi să includem în predare şi faza de fixare a acestora prin aplicaţii elementare, şi astfel transformarea acestora în deprinderi, pe baza cărora elevul să lucreze automat. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Căutând prin aparatul de fotografiat am găsit o poză cu tabla de la această lecţie din toamnă. Nu o consider neapărat o variantă perfectă, dar – împreună cu descrierea de mai sus – se poate forma o idee coerentă asupra predării prin problematizare la această lecţie (desigur că în poză nu apar toate acele momente de gândire şi de discuţie cu elevii, ci doar forma finală de pe tablă, ce se regăseşte şi în caietele elevilor).

Ataşez în continuare şi o variantă de tabel rezumativ cu formulele “curate”. Nici acesta nu este neapărat într-o formă perfectă, dar se poate înţelege despre ce am vorbit mai sus.

Legat de aceste poze trebuie să fac câteva precizări. În primul rând, este clar de ce formula triunghiului echilateral nu apare aici, ci vine mai târziu; la fel de pildă şi formula de arie a cercului sau alte formule cunoscute. Eu le şi spun elevilor că aceasta este doar o primă tranşă de formule, cele mai simple, şi că lista va continua.

O a doua idee este legată de linia mijlocie in trapez. Pe prima poză nu apare o demonstraţie la formula trapezului pe baza liniei mijloci, pentru că anul acesta am avut o parcurgere atipică, încercând să ajung rapid la anumite lecţii, dar neglijând altele (în toată starea de bulversare de pe urma grevei din vară). Astfel, atunci când am făcut lecţia cu arii, elevii încă nu cunoşteau linia mijlocie; am făcut-o ulterior, destul de repede, iar atunci am prezentat şi cum aceasta ajută la alte variante de deducere a formulei de arie a trapezului.

8 ani cu pentagonia.ro

Din punct de vedere Feng Shui cifra 8 este una deosebit de benefică. A se înţelege bine: 8 ani şi nu 8ani (adică nu legat, care seamănă a Bani, apropos de “vrăjile” din Feng Shui). Actualmente eu nu pot susţine că al 8-lea an de pentagonia.ro a fost unul clar benefic. Par să existe totuşi semne că da, însă nimic nu este sigur în lumea actuală. Oricum, formatul în care am început să lucrăm în 2015 se dovedeşte unul eficient. Cititorii pot accesa relativ uşor şi informaţii postate mai demult, dar care îşi păstrează prospeţimea şi actualitatea (ultimul exemplu a fost acum în vară în legătură cu un articol din toamna lui 2015).
Uneori sunt postări mai dese, alteori mai rare; uneori sunt postări superficiale, alteori îmi reuşesc articole mai profunde; unele postări sunt scurte, altele foarte lungi (anul acesta am avut din nou o cea mai lungă postare). Unele serii sunt atât de lungi şi de profunde încât ar putea reprezenta lejer baza pentru o lucrare mai vastă. Prin redactarea acestora, primul beneficiar sunt chiar eu, pentru că îmi lămuresc aspectele tratate, dar sunt convins că există şi cititori care reuşesc să intre profund în subiectul respectiv.
Din păcate evenimente legate de sănătate în familia lărgită ne ocupă timpul şi energia, aşa încât măcar pentru o vreme este de aşteptat o lipsă de activitate pe acest blog. Subiectele de tratat sunt multe şi stau ordonat “aşezate la rând”, dar din păcate vor mai trebui să aştepte. Dau un singur exemplu, care este în lucru de la începutul vacanţei de vară: după seria de articole reunite sub titlul “Prea devreme” urmează seria în oglindă sub titlul “Prea târziu”.
Există şi o veste foarte bună; nu-mi pot încă permite să v-o prezint, dar mă încumet să vorbesc de existenţa acesteia. Proiectul pentagonia.ro a apărut din dorinţa de a ajuta la însănătoşirea predării matematicii şcolare la nivel naţional (deja un gând mult prea ambiţios în sine). Sunt conştient însă că acest blog are o forţă limitată de influenţare, ceva de genul unui robinet care curge într-un lac de acumulare, adică 0,00?%. Totuşi, chiar şi aşa, persoana potrivită, de undeva din lumea largă, a găsit în vară un articol de la începuturile acestui blog, din toamna lui 2015, fapt ce pare să ducă spre pornirea unui proiect de o magnitudine mult mai mare. Pornirea acestui proiect îmi ocupă însă şi puţinele momente de timp ce mi-ar rămâne liber, aşa încât, măcar pentru o vreme postările pe blog vor trebui să se lase aşteptate.
Până la viitoare postări însă, puteţi “cotrobăi” prin arhiva acestui blog, după articole încă necitite sau care consideraţi că merită re-studiate şi aprofundate. Pentru că majoritatea rămân de actualitate şi la ani buni de la postare. Chiar şi eu am făcut la fel, în momentul când a apărut discuţia despre articolul de care am vorbit mai sus, pentru că sigur nu mai ştiam ce am scris atunci în 2015 (sunt totuşi 8 ani de atunci).
Mulţumesc cititorilor fideli care mă însoţesc pe acest drum şi nutresc speranţa că măcar din când în când reuşesc să le scot mintea din zona de confort de zi cu zi şi să-i influenţez înspre mai bine. Cu toate gândurile bune, prof. Titus Grigorovici

Durata percepută a zilelor săptămânii

Savuraţi fraţilor cât puteţi de mult vacanţa, pentru că după ce începe şcoala întrăm iar într-un model de percepţie temporală mai special. Astfel, în figura alăturată găsim faptul că durata percepută a zilelor săptămânii (în timpul serviciului, desigur) poate fi explicată foarte vizual cu ajutorul secţiunii de aur (pătratul roşu = luni etc.):

Alt banc din tren

A.S. (ante scriptum) Cineva şi-a pus în minte şi a redactat en-detail bancul acela vechi, cu hurducatu’ trenului. Hai să-l preluăm şi noi ca să fie disponibil pentru cei ce nu-l ştiu încă.

*

Gheo şi Ion mergeau cu trenul de la Cluj la Sibiu. Ion rupe tăcerea şi zice:

– Auzi, mă Gheo, tu ştii de ce ne hurducă trenu` aista?

– Nu ştiu. Tu ştii?

– Apă` hai să-ţi explic: trenu` aista are la început o locomotivă. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost.

– N-avem nici o treabă cu ea. Merje lin, fain de tăt. Mai departe, dupa locomotivă imediat este vagonu` cu poşta. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Da’ ne pasa nouă de vagonu’ cela?

– Nu ne pasă. După vagonul cu poşta este vagonul ăla pentru domni de la oraş, din ăia cu valize pătrate. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Spune mai departe.

– Nici de ăla nu ne pasă. După vagonul domnilor de la oraş este vagonul pentru pălmaşi, nevoiaşi aşa ca noi. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Spune mai departe. Avem vreo treabă cu el?

– Oleacă de răbdare. Vagonu` ăsta a’nost` are 2 osii: osia din faţă, cu care nu avem nici o treabă, şi osia din spate, asta pe care stă compartimentu` nost`. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Osia aiasta are vreo taina cu noi?

– Stai o ţâra. Osia are 2 roti: roata din stânga, care nu ne intereseaza, şi roata din dreapta, pe care stăm noi. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Ce-i cu roata de sub noi?

– Roata aiasta are aria = PI x R pătrat. Cu PI si cu R nu avem nici o treabă, pe noi pătratu` cela ne hurducă aşe.