Arta de a nu face ore – o completare “scurtă”

În urmă cu trei ani, pe 7 mai 2023, postam un articol pe această temă, cu vaga speranţă că, poate, odată spuse aceste lucruri, poate poate, vom vedea nişte schimbări în acest sens. Nişte schimbări în bine, desigur; doar că n-am lămurit ce înseamnă “bine” (adică “bine” pentru o educaţie înspre o atitudine de muncă cinstită şi sănătoasă, sau dimpotrivă “bine” pentru continuarea, chiar accentuarea stării de “dolce far niente” în această ţară). Dar să nu mai filozofăm. Înainte de a continua, pentru cei care n-aţi lecturat articolul din 2023, vă învit să o faceţi acum. Iată şi link-ul direct: https://pentagonia.ro/arta-de-a-nu-face-ore/

Dar, ce m-a apucat încât să reiau o temă deja tratată? Păi simplu, încet dar sigur, se acumulează noi şi noi aspecte în sensul subiectului tratat. Încerc să păstrez aceeaşi tonalitate a articolului original, poate doar “condimentă” cu unele nuanţe de “stand-up comedy”.

Anul acesta am două clase paralele de a 6-a. Cu una dintre ele am o oră lunea şi o oră vinerea; cu cealaltă nu am nici luni nici vineri. Doar în luna aprilie a acestui an şcolar la clasa cu ore luni şi vineri am pierdut trei ore faţă de cealaltă clasă. Nici nu mai stau să socotesc câte ore am piedut în tot anul la această clasă faţă de cealaltă. La anu’, sigur nu se va mai întâmpla această situaţie de dezechilibru; voi avea grijă.

Dacă apărea însă doar acest aspect nou, sigur că nu m-aş fi obosit să revin la tema nefăcutului de ore. Dar nu, în plus faţă de cele scrise în urmă cu trei ani, au mai apărut diverse altele. Şi – colac peste pupăză – am fost puşi anul acesta să facem şi mai multe ore. Noi, cei de la materiile de examen le şi facem, pe când, de obicei, dar mai ales în perioadele vulnerabile la chiulit, multe alte ore nu se prea fac (ca să mă exprim civilizat).

Sunt zile în unele şcoli, când elevii vin la şcoală doar pentru orele de mate (sau pentru diferite alte materii de examen). O fostă elevă, spre finalul clasei a 12-a (din alt liceu), îmi spunea în primăvara lui 2025 că merg la şcoală doar pentru istorie, că acolo “profu-i fain”. E dureros! Lumea află desigur de aceste aspecte, iar starea de dezaprobare şi lipsa de respect generată se răsfrânge asupra întregului sistem, adică şi asupra celor care-şi fac datoria. Cel puţin uneori (de multe ori lumea conştientizează totuşi că proful ăla sau profa aia îşi face datoria).

În plus, noi, cei cu vechime mare am primit, de fapt, 4 ore în plus pe săptămână, pe care le şi facem (noi, cei de mate, sigur, că oricum toţi sunt cu ochii pe noi), pe când masiv alte ore nu se fac, fie din cauza elevilor, fie şi cu complicitatea diferiţilor dascăli.

Dar ce alte forme şi motive de nefăcut ore au mai apărut între timp? Nu sunt neapărat “noutăţi” mari, doar că de unele am uitat în urmă cu trei ani. Păi, de prima mi-am adus aminte imediat după postarea primului articol, anume testările de aptitudini la clasele a 8-a pentru admiterea la licee care cer aşa ceva (limbi străine sau vocaţionale). Cel puţin o săptămână din luna mai este bulversată total la elevii de a 8-a. Am scris despre acestea şi le-am anexat într-un comentariu la articolul iniţial.

Dar nu-i singura modalitate de nefăcut ore în modulul 5 la clasele a 8-a. Nu ştiu cum e în alte părţi, dar în municipiu Cluj-Napoca se organizează Târgul Liceelor, o acţiune minunată în care toate liceele îşi organizează un stand de prezentare. Aşa că eu azi (când scriu aceste rânduri) nu am făcut oră cu clasa a 8-a, pentru că au mers la acest târg. În mod similar, săptămâna trecută clasele de liceu au mers la Târgul Gaudeamus (un minunat târg de cărţi, CD-uri şi alte cele în general educative), care “ca din întâmplare” nu se întâmplă exact în săptămâna Şcoala Altfel sau Verde a diferitelor şcoli. Revin cu întrebarea retorică: de ce suntem obligaţi să facem aceste activităţi “altfel” sau “verde” în mod compact, ca săptămână plină de 5 zile (ce reprezintă de fapt săptămâni de nefăcut ore), când oricum toată lumea face diverse activităţi educative de tip “altfel” izolat în alte momente, atunci când se iveşte ocazia? Răspunsul e simplu: “d’-aia!”, fiind susţinut cu îndârjire de un sistem birocratic retrograd.

Sigur, în ultima vreme în contextul celui de-al doilea război pornit în această primăvară, tot mai multă lume sesizează chiar contradicţia stupidă între ideea de “Şcoală Verde”, adică educaţie pentru un mediu mai curat, pe de-o parte, şi pe de cealaltă parte, diversele exemple de poluare şi distrugere a mediului cauzate de aceste războaie. Pe lângă poluarea şi distrugerile din Iran şi Strâmtoarea Urmuz, putem da şi un exemplu mai apropiat: drama tăcută trăită de speciile de delfin din Marea Neagră, ajunse destul de aproape de pragul de extincţie, datorită războiului din vecini. Dar, despre ce vorbim aici, când şi la noi în ţară găsim deseori exemple în sensul poluării.

Dar să revenim la nefăcutul orelor la nivel naţional. La vremea articolului iniţial se dădea doar o simulare, anume simularea naţională, care bulversează viaţa şi orele liceelor timp de una sau două săptămâni (EN şi Bac). Între timp însă am ajuns să avem şi simulări judeţene, acestea dublând numărul de ore de haos şi relativ nefăcut de ore. Iar tot mai mulţii elevi cu CES (Cerinţe Educative Speciale), care trebuie să dea examenul separat, deci şi simulările din timpul şcolii separat, accentuează situaţia de penurie de profesori şi săli de clasă în acele zile în şcoli. Păi, ce facem cu restul elevilor (să zicem cca. 90%) în timpul ăsta? Le dăm programul peste cap cum se poate mai bine (pentru că ne trebuie săli şi supraveghetori pentru simulare). Ultima reacţie de care am auzit este de “ore asincron”, adică elevii rămân acasă în acele zile şi “cică” primesc să facă proiecte. Eu nu ştiu cât să cred în aşa ceva şi cât acestea sunt doar mascarea de fapt a unor noi situaţii de nefăcut ore.

În acest sens, sigur este că eu am grijă să-mi cam termin materia de predat la clasa a 8-a cândva pe parcursul lunii martie, cel târziu până la sfârşitul lunii, pentru că de la o vreme nu mai ai cu cine sau când să mai faci ore serioase legate coerent. Oare aici ar fi potrivit de amintit şi exemplul profesorilor care nu-şi fac anumite lecţii, ci le dau ca temă elevilor (sau le subînţeleg ca atare)? Mă refer, de exemplu, la “minunea auzită de curând, că elevii să-şi conspecteze formulele de arie şi volum la corpuri, că “la clasă nu mai avem timp să le facem”. O astfel de atitudine se sprijină desigur pe “complicitatea autorităţilor”, prin faptul că aceste formule nu se mai apar defel pe subiectele de simulare sau examene.

Un aspect interesant evocat în articolul iniţial era despre excursiile organizate de către unele familii în timpul şcolii. În acest sens, pot spune doar că s-au înmulţit şi s-au diversificat situaţiile în care aceştia îşi învoiesc copiii de la şcoală pe diferite motive. Lipsitul motivat de părinte a ajuns să devină o normalitate nu doar în vecinătatea vacanţelor sau zilelor libere oficiale, ci şi oricând în timpul şcolii.

Astfel, suntem regulat confruntaţi cu situaţii din cele mai ciudate. Iată un exemplu recent de care am auzit. Un elev lipseşte pentru că a fost plecat într-o ţară din Asia de sud-est (în vacanţa de Paşte, cu prelungire desigur). Dar lipsitul se prelungeşte, iar când în sfârşit apare la şcoală, vine cu motivare de enterocolită, că “mâncarea a fost groaznică pe-acolo”.

Mai dau încă un exemplu proaspăt (fizic temporal sub 60 min. faţă de momentul când adaug aceste rânduri!). Mă întreabă o elevă în timpul orei “Ce am făcut în ora precedentă?”. La care eu îi răspund că era de datoria ei să îşi facă rost de lecţie dacă a lipsit. Iar ea mă întreabă dacă am auzit de Dresda, că ea a fost acolo şi a băut bere (clasa a 7-a). Fără comentarii!

Ca noutăţi clare faţă de acum trei ani, am ajuns să aud tot mai des de situaţii de tipul unor stagii de mai multe săptămâni (chiar luni la rând) în pregătiri pentru sporturi de iarnă, pregătiri ce au loc de obicei în Italia sau Austria. Această atitudine s-a extins, poate şi pe fondul situaţiei că un astfel de caz din şcoala noastră a ajuns se materializeze în participarea la Olimpiada de iarnă Milano-Cortina.

Iată în final şi un exemplu “mai neobişnuit” de justificare a nefăcutului de ore, întâmplat în urma ninsorii puternice şi total neaşteptate din ianuarie de la Cluj. Astfel, o cunoştinţă îmi povesteşte cum şi-a luat dimineaţa fiica de a 8-a (drumurile fiind puţin cam blocate) şi s-au dus pe jos ca pe vremuri, una după cealată pe cărarea dintre nămeţi, pentru că avea mate de la prima oră. Eleva a ajuns la timp, dar profesoara a decis să nu facă oră “pentru că au venit doar 8 elevi”. Şi nu a făcut nimic în acea oră.

Deci, cu alte cuvinte, toate-s vechi şi nouă-s toate!

***

Şi totuşi, nu pot încheia aici. Nu pot lăsa subiectul în această notă de “stand-up comedy”. Mai ales că – pare-se – oricum autorităţile nu văd această problemă. La nivelul autorităţilor, fiecare cu priorităţile sale, pe când priorităţile “fiinţei” numită generic “poporul român” rămân ca de obicei pe ultimul loc.

Mai presus de orice exemplu concret de oră la clasă sau zi de şcoală neţinută, se ridică întrebări de genul: Ce educaţie dăm noi aici? Cum ne educăm noi viitoarele generaţii? Ce nivel de conştiinciozitate construim noi în sufletele actualilor elevi?

Sau, poate, de fapt asta şi se doreşte: pe lângă educarea şcolară de calitate (din multe şcoli sau clase izolate), să creştem totodată generaţii de şmecheri, generaţii de descurcăreţi. Este clar că atât în politică, dar şi în alte domenii, cum ar fi zona afacerilor mari sau zona “lunecoasă” a acelor multor posturi bine plătite din sistemul bugetar, peste tot înfloresc “şmecherii” şi “descurcăreţii”.

Iar dacă ne gândim bine, mulţi dintre noi ducem de fapt “în suflet” o viaţă dublă, cumva pe de-o parte harnici şi muncitori cât ne dictează coştiinţa, dar în paralel şmecheri şi fentând sistemul, la fel cât ne dictează conştiinţa; facem asta “forţaţi”, de pe vremea fanarioţilor sau a comuniştilor, fără să ne dăm seama că aceia nu mai sunt prin zonă. Starea este surprinsă în mod briliant într-o reclamă la vopsea de pereţi (care este redată din nou în zilele acestea printre spoturile publicitare de la televizor). Iată textul acesteia integral:

Danke! prezintă: Schmeckermeister [Şmechermaistăr] -Acea senzaţie că-n interiorul tău se află doi lupi ai zugrăvitului, unul şmecher, celălalt meşter. -Vă rog, unul dintre lupi să poftească la masă! Danke! Vopseşte nemţeşte.

Oricine poate găsi în jurul său exemple în acest sens, exemple a faptului cât de înrădăcinate în “mentalul general” sunt aceste impulsuri de şmecherie şi “fentat sistemul”, în detrimentul ideii de a-ţi face datoria şi de a o face bine, nu de mântuială. Iar chiulitul elevilor reprezintă dovada centrală a acestui fenomen cancerigen din societatea noastră. Prin gimnaziu se începe, dar în liceu, începând chiar din clasa a 9-a fenomenul devine “statutar”. De pildă, eu mă gândesc acum doar la ziua de joi 2 aprilie 2026, când la noi în şcoală, “Săptămâna Altfel” fiind, majoritatea elevilor clasei a 9-a (uman) n-au mai venit la matematică de la ora 11. Şi să vedeţi ce supăraţi sunt şi ce bullying fac la adresa celor care au fost la oră! Dar, de ce mă mir când la nivel naţional vedem acelaşi fenomen? Titus Chiulus Liberus

P.S. Iar dacă vă gândiţi că de data asta chiar am epuizat subiectul, vă anunţ că vă înşelaţi. Chiar când să mă pregăteam de postare, aflu următoarea situaţie interesantă de neparticipat la ore. Este vremea pentru diferite excursii şcolare, de exemplu excursii de o zi (care nu implică necesitatea unei cazări); dar desigur nu vinerea, când lumea are “program” (şi sigur nu în Săptămânile “Şcoala Altfel sau Verde”, care se pot întâmpla doar în anumite momente din anul şcolar, când pe cale de consecinţă “este înghesuială” şi se găsesc mai greu autocare). Iar uneori aceste excursii sunt cu întoarcerea pe seară. În astfel de cazuri, mulţi elevi se consideră îndreptăţiţi să nu vină a doua zi la şcoală. Că-s obosiţi, d’-aia! Iar părinţii motivează absenţele. De ce? De ce nu? Pe când, profesorii organizatori vin desigur a doua zi la şcoală, că pentru ei n-a fost greu, pentru ei nu a fost o zi plină de muncă.

Măcar, în această situaţie elevii cu pricina au avut chiar ei o activitate care poate duce la nefăcutul unor ore. Se poate întâmpla însă şi din motive total externe. De pildă, într-o şcoală care nu are spaţii libere, în cazul unei activităţi extraordinare, cum ar fi probele de aptitudini pentru candidaţii la clasa a 9-a. În acest caz, anumite clase se pot “trezi” cu anunţul că în zilele cu pricina nu fac ore de la … (situaţie şi mai proaspăt întâmplată).

Cine are “urechi să audă şi ochi să vadă”, poate afla şi de alte exemple. Trebuie doar observate şi notate. De exemplu, când un profesor pleacă la o activitate perfect justificată cu o clasă şi îşi aranjează orele pentru suplinire, dar procesul respectiv se cumulează cu altul, de pildă suplinirea unui alt coleg în concediu medical, atunci se prea poate să pornească prin şcoală un anumit “efect de domino” de nefăcut ore, efect ce loveşte la întâmplare cine ştie ce altă clasă. Şi în cazuri în care “necuratu-şi bagă bine coada” se poate întâmpla ca o clasă să fie ţinută la şcoală artificial ore la rând. Iar când copiii nu mai rezistă şi chiar pleacă de la şcoală, tot ei sunt certaţi că au chiulit.

Iată şi una de la soţia mea, una ceva mai complicată, de-a dreptul abstractă: de la ora 8 întârzie unii, datorită traficului, “că-i prima oră”; de la 9, la altă clasă, întârzie unii, datorită traficului, “că-i prima oră”; de la 10, la altă clasă, întârzie unii, datorită traficului, “că-i prima oră”; băi fraţilor, cum vine asta!? Las onorat cititorul să găsească o explicaţie la “minunea” asta. Şi ne putem da seama, în continuare, câte astfel de exemple nici măcar nu ne ajung la cunoştinţă, dar ele există, apar şi se întâmplă.

Vedem astfel că lista situaţiilor care pot duce la nefăcutul de ore se poate prelungi practic la nesfârşit. Doar acest P.S. pornit de la dorinţa de a adăuga un mic exemplu, s-a lungit la încă o pagină. Asta pentru că în mentalul general “s-a deschis această portiţă”, s-a creat această posibilitate ca fiind perfect în regulă de a nu face ore, de a nu ne face până la urmă datoria de zi cu zi, pur şi simplu pentru că există un motiv! Ceva de forma “relax, nu-i stres!”.

Singurul stres real apare doar în perioadele când nu “se mai întâmplă” astfel de situaţii de nefăcut ore, când nu mai apare nici cel mai mic motiv, şi suntem forţaţi să ne facem datoria conform orarului. Am ajuns să ne simţim inconfortabil atunci când trebuie să facem câteva săptămâni la rând ore ordonat şi complet. Atunci încep să se plângă toţi cât le este de greu. Pentru că asta facem noi de fapt la ora actuală, o educaţie pentru nemuncă! De fapt, de foarte multe ori asta am ajuns să facem noi în şcoala românească, o educaţie pentru fentat activitatea de zi cu zi. De foarte multe ori, unii mai mult, alţii mai puţin, doar ne facem că facem; pentru că trăim în teoria “formelor fără fond”, iar fondul din sufletul multora este doar înspre nemuncă. Iar asta s-a întins prin şcoala românească la toate nivelele aidoma unui cancer. E groaznic! Pentru un om doritor de a-şi face datoria, ce se întâmplă în jur e dureros!

Atenţia şi arta de a crea amintiri la ora de matematică

În urmă cu doi ani citeam o carte: Meik Wiking  Arta de a-ţi crea amintiri, Ed. Litera, 2019, cu subtitlul Cum să colecţionezi şi să-ţi aminteşti momente fericite. Pe copertă, sub numele autorului, apare precizarea: Institutul de Cercetare a Fericirii, Copenhaga. Ca un gând colateral, putem întreba: câţi elevi sunt fericiţi de obicei la orele de matematică? Citez în continuare dintre rândurile de prezentare de pe spatele cărţii:

Fiecare an are un număr fix de zile. Unele zile trec fără să lase nicio urmă. De alte zile ne amintim o viaţă. (…) Folosind cercetările despre fericire, Meik Wiking explorează modul în care putem învăţa să creăm amintiri fericite şi cum să le păstrăm mai bine. (…) Arta de a-ţi crea amintiri va analiza modul în care putem crea momente perfecte. Momente pe care ni le amintim pentru totdeauna. Momente care ne vor forma ca persoană.

Da, iar la un moment dat, în timpul lecturării acestei cărţi, în mintea mea s-a ivit impulsul de “a citi” acele rânduri prin prisma “Artei de a preda pentru a crea amintiri pozitive la ora de matematică”. Din acel moment lectura s-a desfăşurat cu un mare entuziasm, fiecare pagină fiind parcursă cu atenţia de a identifica acele pasaje care puteau fi înţelese, dincolo de sensul lor direct, în raport cu arta predării matematicii. Astfel, putem întreba din nou: câţi profesori pot afirma că reuşesc, fie şi numai din când în când, să creeze la ora de matematică momente desăvârsite, momente pe care elevii, sau foştii elevi, să şi le amintească întotdeauna, momente care îi vor fi format ca persoane?

În articolul de faţă doresc a vă oferi citate exemplare în acest sens, din cartea ce v-o recomand din tot sufletul, atât “în original”, cât şi în stilul “traducerii mele”, anume despre cum ar trebui să procedăm la ore, astfel încât acestea să conţină cât mai multă matematică “vie” din punct de vedere al impresiilor asupra elevilor. Visez de doi ani la acest articol, iar în tot acest timp gândurile mi-au revenit adesea la ideile respective, idei pe care le-am aplicat chiar din primele clipe, putându-le apoi observa eficienţa. În acest sens trebuie să conştientizăm că elevii actuali trăiesc tot mai mult într-o stare de emoţie constantă, iar mulţi dintre ei pot fi “câştigaţi” de partea matematicii prin tehnicile prezentate în această carte. O pot spune “cu mâna pe inimă”: predarea mea a evoluat mult în urma înţelegerii acestor nuanţe (din păcate, există şi mulţi elevi care trăiesc într-o emoţie negativă profundă, extrem de hotărâtă împotriva matematicii; pe aceştia nu-i convinge nimic).

Practic, această “trecere” neobişnuită de la lecturarea textului propriu-zis al cărţii, la “lecturarea printre rânduri” despre predarea matematicii, s-a produs în Capitolul III: INVESTIŢI ATENŢIE. Concret, la pagina 97 apare următorul pasaj: (…) atenţia noastră este o monedă. Este finită, o resursă limitată pe care o putem aloca. Investim atenţie în ceva. Atenţia noastră este o piaţă râvnită şi profitabilă. Iar în prezent, se pare că cea mai de preţ proprietate o reprezintă ochii noştri. În timp ce Netflix declară că somnul este adversarul lor cel mai de temut, agenţiile de marketing sunt în căutarea ultimei fărâmiţe din atenţia noastră încă nerecoltată.

Ca un comentariu personal, precizez că după apariţia acestei cărţi a venit peste noi pandemia, care prin izolarea forţată a oficializat folosirea generală a smartphone-urilor, a tabletelor şi a calculatoarelor, acestea la rândul lor “cucerind” şi ultimele resturi de atenţie a elevilor. Pe baza nivelului de atenţie efectiv disponibil în rândul majorităţii elevilor, putem pune întrebarea: în ce măsură mai poate fi predată eficient matematica, o disciplină complexă, a cărei înţelegere şi asimilare presupun un efort susţinut şi multă atenţie? Pe baza cărei “urme de atenţie rămasă disponibilă” în sufletul elevilor să mai predăm noi matematică? Chiar şi în absenţa utilizării telefoanelor în timpul orelor, se constată că atenţia, memoria şi procesele de gândire ale multor elevi rămân influenţate de stimulii digitali şi de conţinutul accesibil online, ceeea ce afectează capacitatea lor de implicare autentică în procesul de învăţare. Mai direct spus, chiar şi în absenţa telefoanelor, mintea multora le stă tot la atracţiile de pe net accesibile prin intermediul acestor aparate omniprezente.

Îmi permit aici un exemplu prin analogie: la începutul anilor ’80 muzica înregistrată a cucerit şi ultimele fărâme din timpul oamenilor petrecut pe stradă, în parcuri, la jogging, în mijloacele de transport în comun etc., adică pe scurt în afara încăperilor (unde oricum existau deja aparate de redare a muzicii: radiouri, casetofoane, magnetofoane sau pickupuri). Această cucerire a timpului personal de către muzica comercială s-a întâmplat odată cu extinderea folosirii casetofoanelor portabile de mici dimensiuni, care redau muzica doar în căşti (primul astfel de aparat, Walkmen de la Sony a apărut în 1980). Asta s-a întâmplat cel puţin ca posibilitate la tineri, mai ales în SUA, Japonia sau în vestul Europei. Dar odată cu extinderea audiţiei muzicii doar în căşti, la mare parte din populaţie nivelul auzului a scăzut vertiginos (într-un studiu din jurul anului 2000 citisem despre o scădere cu 40%). Putem observa acest nivel al auzului mult mai scăzut decât al “oamenilor obişnuiţi”, atunci când participăm la diferite petreceri (nunţi, botezuri şi alte banchete) unde pur şi simplu suntem terorizaţi de DJ-ul angajat, care ne chinuie cu un nivel insuportabil de ridicat al muzicii. Asta se întâmplă pentru că el are un nivel mult scăzut al auzului şi percepţia sa consideră că aşa este tocmai bine. Sub agresiunea acelui nivel de sonorizare, de pildă, nu poţi purta un simplu dialog cu vecinii de masă (la persoanele răguşite vara, la întrebarea dacă a băut apă rece de la frigider, deseori primesc răspunsul: Nu, am fost la o nuntă şi am “vorbit” cu vecinii de masă!). Ţin minte un moment de la un banchet recent de absolvire, când toţi profesorii studiau telefonul, pentru că ne era absolut imposibil să vorbim între noi. Singurii care nu erau “pe telefon” erau colegii care ieşiseră afară pe terasă “la fumat” (deşi nu fumau!).

În articolul unde am găsit informaţiile respective se vorbea inclusiv despre dispariţia cântatului cu toată clasa în excursiile şcolare, de pildă în autocar. Cu cât apăreau mai multe aparate de ascultat muzică în căşti, cu atât scădea disponibilitatea şi motivaţia pentru cântat. Pur şi simplu Michael Jackson şi Madonna erau mai cool. Pentru noi, ultima cântare într-un autobuz plin de elev a fost în toamna lui 1989, în judeţul Constanţa unde ne-am început cariera de profesori. După 1990 au început şi la noi să apară acele casetofoane de buzunar. Baterii să ai cât era nevoie.

Prin analogie, în acelaşi fel trăim actualmente “cucerirea”, din punct de vedere vizual, a ultimelor fărâme din timpul oamenilor petrecut în afara clădirilor (adică departe de ecranele fixe). În mijloacele de transport în comun, dar şi când aşteaptă un autobuz în staţie, majoritatea oamenilor stau acum “pe telefon”. Doar cei în vârstă fac de obicei excepţie, aceştia fiind obişnuiţi să stea şi să nu facă nimic, eventual doar să observe ce se întâmplă în jurul lor. Tehnic, telefoanele cu ecran şi muzică, adevărate “televizoare sau calculatoare la purtător”, oferind muzică şi filmuleţe oricât de multe, dar şi texte (chiar şi probleme de matematică), aceste aparate cu acces nelimitat la internet ne “consumă” şi ultimele fărâme de atenţie. Aplicând aici o simplă analogie, am putea spune că, aşa cum apariţia muzicii în căşti în anii ’80-’90 a dus la scăderea aproape la jumătate a nivelului de auz, tot aşa extinderea agresivă a smartphone-urilor din ultimii ani duce la o scădere cel puţin la jumătate a nivelului de atenţie disponibilă din partea majorităţii oamenilor. Iar apoi, în aceste condiţii noi să mai avem pretenţia ca elevii să fie atenţi la orele de matematică! Serios?

Revenind la textul studiat al lui Meik Wiking, găsim la pagina 100: Deci ce se întâmplă cu memoria când suntem atacaţi cu toate aceste arme de distragere a atenţiei în masă (…)? Iar la sfârşitul paginii 101, după ce a abordat puţin tema sarcinilor multiple şi a multitaskerilor, autorul concluzionează: (…) probabilitatea să ţinem minte – sau măcar să fim atenţi – este mai mică în era armelor de distragere a atenţiei în masă.

Foarte multe ar mai fi de citat din acele pagini, chiar pagini întregi. Mă voi rezuma însă doar la cele mai edificatoare dintre acestea, împreună cu comentariile mele scrise în vâltoarea lecturii. Astfel, chiar lângă titlul capitolului eu am notat următoarea frază: În clasele mici elevul trebuie obişnuit să investească atenţie, apoi să se bucure de rezultatele investiţiei făcute. Comentez eu acum, când redactez acest articol: când apoi să se bucure de obişnuinţa şi de capacitatea de a investi atenţie? Păi în gimnaziu şi în liceu, odată cu instalarea pubertăţii, când se porneşte la totala sa intensitate atacul smartphone-ului ca principală armă de distragere a atenţiei în masă, chiar de distrugere a atenţiei în masă.

În continuarea lecturii, tot mai des mintea îmi “deraia” din nou şi din nou, alunecând de la lectura propriu-zisă a cărţii, la “lecturarea printre rânduri” despre predarea matematicii. Această trecere s-a stabilizat şi s-a decis definitiv la pagina 115, unde găsim următoarele: Acordaţi atenţie! “Adevărata artă a memoriei”, scria Samuel Johnson, scriitorul britanic care a compilat Dicţionarul limbii engleze în secolul al XVIII-lea, “este arta atenţiei”. În josul paginii este reluată ideea: Adevărata artă a memoriei este arta atenţiei! La precizarea de la începutul paginii – Acordaţi atenţie! – eu am şi notat alături: Pay Attention! Precizez aici că expresia engleză “pay attention”, pentru “acordaţi atenţie, daţi atenţie”, tradusă mot-à-mot ca “plăteşte atenţie!“, exprimă fabulos însuşirea atenţiei ca act ce implică un cost real: ea nu este pasivă, ci presupune o alocare deliberată dintr-o resursă limitată. A înţelege ceea ce se desfăşoară înaintea noastră înseamnă, astfel, a consimţii să oferim din propria noastră atenţie, recunoscută implicit ca fiind valoroasă şi finită. Citeam eu desigur toate astea cu referire la atenţia pe care elevii trebuie să o dea în ora de matematică pentru a înţelege ce se predă.

Pagina analizată aici este ultima din acel capitol. Prima pagină din CAPITOLUL IV: CREAŢI MOMENTE CU SENS, (pag. 118) chiar din primele rânduri, ne precizează astfel: Ne amintim când suntem atenţi – şi suntem atenţi când suntem prezenţi, implicaţi, dedicaţi, când ceea ce vedem şi procesăm are sens pentru noi. Aşa cum am văzut în capitolul anterior, a fi doar expuşi la ceva nu înseamnă că ne vom şi aminti de acel lucru. Dacă nu este important – dacă este irelevant pentru noi –, probabil că nu îl vom observa, procesa, codifica, păstra. Reiau accentuat: dacă un lucru nu este important pentru noi, dacă este irelevant pentru noi, atunci de fapt nu îl vom păstra în memorie. Dar şi invers putem privi lucrurile: dacă ceea ce ne este prezentat la o oră nu are sens pentru noi, poate pentru că ne este prezentat ceva prea abstract de pildă, atunci sigur nu îl vom păstra în memorie. Iată şi schiţa pe care am făcut-o imediat după citirea acestor două pagini:

Mai exact: datoria mea ca profesor este să aduc în ora de matematică lucruri interesante şi fascinante, dar accesibile elevilor, pe când elevii trebuie să aducă ATENŢIE; doar atât, ATENŢIE! Într-o discuţie la o clasă de a 7-a din acea primăvară, au mai apărut şi alte aspecte în sarcina elevilor, însă acestea se refereau la munca de acasă (de pildă tema). Dar în ora de matematică elevii trebuie să aducă doar atenţia lor.

Iată şi un detaliu interesant al acelei lecturi din 2024: după ce am ajuns cu cititul la finalul cărţii, am luat-o de la capăt în acest stil, aşa încât am “contabilizat” toate pasajele ce ar avea o legătură cu predarea matematicii. În continuare încerc să vă prezint o scurtă selecţie a altor diverse pasaje, dintre cele mai edificatoare, din această ciudată lectură.

Începem la pag. 10: În cadrul unui studiu despre amintiri fericite, ca cea mai puternică sursă a amintirilor, cel mai important ingredient s-a dovedit a fi Atenţia, cu 100%, urmată de Multisenzorial cu 62% şi Emoţii cu 56% (destul de departe de 100%). În afara podiumului, dar cu procentaje demne de băgat în seamă, s-au mai clasat categoriile Semnificativ cu 37% şi Povestiri cu 36%. Într-o recapitulare de la pag. 14 autorul precizează: Acordă atenţie. Tratează-ţi momentele fericite ca pe o persoană iubită. Acordă-le atenţie! În acelaşi mod am putea spune: Ca profesor, generează momente deosebite în predare, conştient că acestea au o adevărată însemnătate pentru formarea elevilor. Nu te grăbi, ci frânează din goana nebună prin materie şi probleme; încetineşte ritmul, trăiţi împreună experienţa minunată a învăţării şi savuraţi momentul.

La pag. 21 citim: memoria episodică este foarte complexă şi se dezvoltă mai târziu în copilărie decât memoria semantică. Afli lucruri despre lume înainte să îţi poţi aminti propriile experienţe pe termen lung. Aici eu am desenat alături o steluţă în cinci colţuri şi am scris alături MATE, iar deasupra: când demonstrăm; explicaţii demonstrative, cu referire desigur la întrebarea despre când ar trebui să începem demonstraţiile, în contextul faptului că acestea au fost extrem de abuzate în clasele gimnaziale pentru un sfert de secol începând din 1981, iar apoi, actualmente au căzut într-o neglijare totală (un subiect ce ar merita tratat într-un articol separat).

La pag. 22 găsim indicii despre metoda “loci” (care utilizează vizualizarea şi memoria spaţială) pentru a-i ajuta să invoce amintiri fericite mai uşor. Precizez aici că acest termen “loci” este folosit în vest şi pentru ceea ce noi numic “locuri geometrice”. Cu alte cuvinte, pentru noi este important să înţelegem că anumite fenomene se pot înţelege şi ţine minte mai bine dacă sunt prezentate în conexiune cu o imagine, cu “un loc vizual”, dar şi într-un fel de mişcare vizuală a tuturor situaţiilor similare.

La pag. 27 autorul explică despre memorarea situaţiei printr-o imagine mentală a situaţiei în care se află personajele. Este mult mai eficient dacă personajele fac ceva (…). Aici eu am pus trei semne de exclamaţie şi am scris: Mate! Personajele (numerele) fac ceva, cu referire la felul în care predau eu cunoştinţele despre numere naturale din începutul clasei a 5-a, sub titlul “Magia numerelor naturale” (Suma Gauss, comutativitatea, puterea, numerele prime, divizorii etc.).

La pag. 55 găsim o enumerare ciudată: Balenă, cal, pisică, vultur, vacă, curcan, prăjitură cu brânză, elefant, după care următoarea precizare: Noi ţinem minte lucrurile extraordinare, lucrurile care ies în evidenţă. Fenomenul este cunoscut drept izolare sau efectul von Restorff (…). Din nou eu am scris alături MATE şi abuzarea sa în România! (deci abuzarea acestui fenomen în matematica şcolară românească). Las onorat cititorul să traducă acest gând. Eu aş da aici doar un exemplu conştientizat anul acesta, anume faptul că imediat după prezentarea piramidelor patrulatere regulate în clasa a 8-a noi ne aruncăm direct la cea mai specială, anume la piramida cu toate muchiile egale, care are o seamă de proprietăţi speciale. Astfel, prin ianuarie am conştientizat cu stupefacţie că mulţi dintre elevi înţeleg că este vorba despre acest corp atunci când se dă o piramidă patrulateră regulată.

La pag. 68: Ne amintim lucruri prin asociere (…). Fără alte comentarii! E bine să folosim orice oportunitate să prezentăm cunoştinţele matematice prin asociere. Aşa se ţin minte mai bine. Această afirmaţie este repetată la pag. 106: Noi ne amintim lucruri prin asocieri.

La pag. 87: (…) memoria noastră fotografică este superioară memoriei verbale. Completez eu: mai ales la actualele generaţii postpandemice, prezentarea informaţiilor prin imagini (figuri geometrice) este mult mai eficientă decât tradiţionalele definiţii sau teoreme cu texte pompoase. Oricum, la fenomenele geometrice prezentarea unor informaţii scrise fără figura asociată ar trebui interzisă prin lege şi sancţionată ca atare (dacă am trăi într-o societate responsabilă). Apoi, mai jos găsim: Cu cât imaginile sunt mai bizare (…) cu atât sunt mai memorabile. Iar alături eu am scris Mate! Ciocul de cioară! Într-adevăr, aflu de la elevi cum şi peste un an, în cadrul pregătirii din a 8-a, aceştia recunosc vizual teorema, o caută în caietul de a 7-a şi îi revăd cu bucurie chiar şi demonstraţia, apreciind-o ca frumoasă.

La pag. 109: Dacă vedeţi ceva fără să îi acordaţi atenţie, şansele să vă amintiţi acel lucru sunt mai mici. Din nou am notat alături Mate! Acest rând este urmat de o imagine conţinând scrise cu majuscule cuvintele: DETOXIFIERE DIGITALĂ. Aş scrie doar: q.e.d.

La pag. 121 jos găsim precizat: Persoanele pe care le iubim par a fi acelea de care ne amintim cel mai bine şi căutăm să păstrăm amintiri fericite cu ele. Şi aici am scris alături Mate! cu precizarea: relaţia pozitivă cu elevii generând o stare pozitivă la ora de mate. A se citi această afirmaţie în contextul în care mulţi colegi întreţin natural o stare de învăţare a matematicii pe bază de frică, dar şi mulţi părinţi îi ameninţă pe elevi cu matematica, aceasta fiind prezentată ca un fel de “bau-bau” în viaţa elevilor. Fără să mai discutăm de elevii care urăsc matematică pentru că nu-i lasă să-şi vadă fericiţi de preocupările lor online şi îi chinuie.

La pag. 128: Când citeşti amintirile oamenilor, le simţi mândria. (…) auzi ecoul triumfurilor lor. Această afirmaţie apare în legătură cu un studiu despre amintiri, iar eu am notat din nou MATE, cu referire desigur la momentele de realizări deosebite din activitatea matematică a elevilor, ce rămân fixate în memoria lor pentru totdeauna, indiferent dacă vorbim despre un elev sclipitor sau dacă este vorba despre un elev de nivel mediu, dar care a reuşit să facă în sfârşit singurul din clasă o anumită problemă.

La pag. 130, sub semnul întrebării Ce înseamnă sensul vieţii?, găsim în final următoarea precizare: Pentru mine, o viaţă bună (…) este o viaţă plină de scopuri şi bucurii. Este atunci când viaţa îţi oferă o satisfacţie a prezentului, speranţe (pentru viitor) şi o împăcare cu trecutul. Fericirea nu este o mâncare cu un singur ingredient. Oare de ce am notat aici din nou MATE lângă sublinierile respective? Gândiţi-vă doar câtă bucurie oferă de obicei orele de matematică şi activitatea temelor elevilor actuali din ţara noastră (întrebare retorică, cu ghilimelele de rigoare). Câtă satisfacţie a prezentului, speranţe pentru viitor sau împăcare cu trecutul le oferim noi elevilor? Profesorul de matematică care îşi asumă în mod conştient răspunderea de a-şi reconfigura întreaga predare, astfel încât să nu urmărească doar rezultatele exterioare şi măsurabile, ci şi cele sufleteşti, acesta depăşeşte simpla condiţie de dascăl. Profesorul care îşi propune să cultive în elevi capacitatea de gândire adevărată, de judecată riguroasă, concomitent cu conştientizarea propriilor procese de gândire, dar şi a celor sufleteşti, acesta ar fi UN ADEVĂRAT PROFESOR DE MATEMATICĂ!

La pag. 132: Memoria este capacitatea noastră de a codifica, de a stoca şi de a recupera informaţii. Iar mai jos găsim: Toate aceste senzaţii sunt combinate de creier într-o singură experienţă şi analizate înainte ca acesta să decidă dacă informaţia trebuie transformată în memorie pe termen lung. (…) când suntem atenţi, cresc şansele să ţinem minte o anumită experienţă. (…) emoţia face experienţa mai intensă şi tinde să sporească gradul de atenţie acordată unei experienţe. O potenţială amintire începe în memoria pe termen scurt, (…) cunoscută şi drept memoria de lucru (…). În conexiune cu cele enumerate mai sus, este evident de ce am scris şi alături de acest pasaj cuvântul MATE!, desenând alături şi două steluţe frumoase.

La pag. 135 mai găsim o precizare importantă, lângă care am scris din nou MATE, desenând şi aici o stea frumoasă: Amintirile noastre sunt, în esenţă, sinapse între neuronii din creier. Pentru a păstra aceste sinapse intacte, ele trebuie exersate sau activate cu regularitate. Fără comentarii.

În Capitolul V: CONDIMENTAŢI TOTUL CU MULTĂ EMOŢIE, imediat la pag. 141 aflăm că (…) emoţiile acţionează precum un marker (…). Reacţiile emoţionale precum frica sau ruşinea sunt procesate în amigdala cerebrală (acea parte a creierului unde are loc şi reacţia luptă-sau-fugi), noi având astfel ocazia să învăţăm aspecte ale situaţiei care sunt relevante pentru emoţiile resimţite.(…) O reacţie emoţională va face experienţele şi momentele mai memorabile, aşa că arta colecţionării amintirilor înseamnă să pui la treabă markerul emoţional. Probabil că pentru mulţi colegi va fi mai greu de înţeles care este legătura acestor afirmaţii cu predarea materiei noastre şi de ce am scris şi aici Mate. Dar chiar despre asta este vorba: matematica este, prin definiţie, o disciplină pe bază de raţiune seacă, fiind prin esenţa ei o materie “rece”. Totuşi, “condimentarea predării”, introducerea unor elemente care stimulează emoţii pozitive în sufletele elevilor, poate creşte semnificativ interesul şi implicarea reală a acestora. O astfel de abordare este deosebit de eficientă pentru cei care, de obicei, manifestă reticienţă faţă de materia noastră, transformând experienţa de învăţare într-una mai pozitivă.

Astfel, la pag. 142 aflăm că: Zilele când suntem încărcaţi de emoţie (pozitivă) sunt, probabil, cele mai fericite din viaţa noastră (…). Apoi, la pag. 143 regăsim descrierea completă: Unele zile sunt fericite, altele, dimpotrivă triste – dar numitorul comun este că zilele pline de emoţie sunt cele pe care nu le uităm niciodată, indiferent la ce capăt al spectrului se află.

Multe aspecte uluitoare au apărut în această carte, aspecte ce mi-au accesat diverse amintiri din timpul predării. De pildă, povestind în urmă cu ani cu un fost elev (la vremea respectivă deja profesor de fizică), despre o întâmplare de când era în clasa a 6-a, acesta mi-a spus că nu mai ţine minte astfel de detalii, că nu mai ţine minte nimic concret din ore, dar ţine minte că era constant fascinat la matematică. În acest sens, iată ce am găsit la pag. 153: oamenii vor uita ce ai spus, oamenii vor uita ce ai făcut, dar oamenii nu vor uita niciodată cum i-ai făcut să se simtă. Vă daţi seama că alături am scris din nou Mate, cât şi numele acelui fost elev.

La pag. 158 Meik Wiking ajunge în sfârşit pe faţă la subiectul ce ne interesează pe noi: CUM CONDIMENTĂM EMOŢIONAL EVENIMENTELE LA ŞCOALĂ, cu precizarea Puterea aspectului emoţional când vine vorba de memorie este în prezent valorificată de şcoli care folosesc memoria episodică pentru a stimula memoria semantică a elevilor. Desigur că eu am văzut din nou o legătură cu materia noastră, notând alături Mate.

Apoi, la pag. 169 autorul ajunge şi la subiectul feedbackului: (…) Studiul sugerează că evaluările pot fi mai plăcute pentru elevi dacă se încheie cu cea mai bună parte a evaluării şi că ordinea feedbackului poate avea un impact asupra motivării, studiului şi relaţiilor dintre elevi. Din nou am pus precizarea Mate, la fel şi la pagina imediat următoare, de unde găsim din titlu următorul pont: ÎNCHEIAŢI APOTEOTIC, Păstraţi ce e mai bun pentru final. Pe mine m-au ajutat aceste pasaje să înţeleg şi mai bine starea de emotivitate profundă a celor din faţa mea, cât şi faptul cât de important este să mă adaptez acesteia în viaţa de zi cu zi.

Facem un salt la pag. 180, unde aflăm că: (…) influenţa aversiunii faţă de înfrângere – ideea că urâm să pierdem mai mult decât ne place să câştigăm. (…) dacă ne aşteptăm să pierdem şi apoi câştigăm, victoria va fi chiar şi mai dulce. Aici (pag. 181) găsim şi o precizare care aparent nu are de-a face cu predarea matematicii defel: (…) fanii fotbalului sunt iraţionali. Şi totuşi, la câţi băieţi fani de fotbal avem prin clase … Dar să fim clar înţeleşi: nu toţi băieţii fotbalişti sunt şi iraţionali; mă gândesc acum la câţiva foşti elevi din ultimiii ani, buni fotbalişti şi totuşi buni sau foarte buni matematicieni, care au reprezentat pentru mine unele din cele mai bune exemple de oameni raţionali şi cerebrali.

La pag. 187 începe Capitolul VII cu un titlu fabulos: ZĂDĂRNICIŢI UITAREA CU AJUTORUL POVEŞTILOR. Absolut fără comentarii din punctul meu de vedere legat de predarea matematicii. Eu folosesc acest sfat tare mult, “pigmentându-mi” orele cu diferite poveşti, în strădania de a ajuta la fixarea noilor cunoştinţe. Iar la pag. 189 găsim că: starea noastră de bine este influenţată de abilitatea de a crea o naraţiune pozitivă, din viaţa noastră. Aşadar, poveştile pozitive în cadrul orei de matematică nu doar pot preîntâmpina uitarea, ci pot contribui şi la starea de bine a elevilor în timpul activităţii matematice. Spre sfârşitul acestei pagini găsim un citat din Muriel Rukeyser, poet şi activist american, din The Speed of Darkness: “Universul este alcătuit din poveşti. Nu din atomi.” Parafrazând această afirmaţie, am putea spune că matematica este alcătuită şi din poveşti, nu numai din numere.

La pag. 195 autorul revine: Ceea ce fac marii povestitori este să aducă la viaţă poveştile. Poveştile bine spuse devin experienţe (…). În mod similar, profesorul de matematică ar trebui să aducă la viaţă cunoştinţele predate în ora sa. O lecţie bine povestită devine o experienţă memorabilă pentru elevi. E evident că şi alăturat acestor sublinieri am scris din nou Mate!

La pag. 200 primim următorul sfat: Luaţi-o înaintea curbei uitării!, unde aflăm că putem modifica panta uitării dacă repetăm informaţia învăţată la anumite intervale. (…) o variantă ar fi să vorbiţi despre ele atunci când au avut loc, dar şi a doua zi, apoi după o săptămână, o lună, trei luni, un an. Fără comentarii suplimentare! Doar o mică dilemă: oare de ce am notat eu alături T. Pitagora? Bănuiesc că datorită faptului că este masiv neglijată de cei preocupaţi numai de excelenţă, revenindu-se tot mai rar cu aplicaţii ale acesteia.

Ultima referire legată de Mate apare în cartea mea la pag 261, unde, sub titlul Fiţi atenţi la fericire, am zice noi acum: fiţi atenţi la bucuria adusă de matematică, cât o fi ea de puţină! Aici este reluată vechea idee: (…) memoria cere atenţie. Ne amintim lucrurile la care suntem atenţi. Da, vom ţine minte elementele din ora de matematică la care am fost atenţi! Însă pentru mine această afirmaţie poartă şi o încărcătură dureroasă: foarte mulţi dintre elevi de fapt nu sunt atenţi, deşi ei stau cuminţi în bancă şi chiar scriu totul de pe tablă. În realitate mulţi nu sunt atenţi. Nu sunt atenţi pentru că nu pot, nu sunt în stare, pentru că nu au chef, nu sunt atenţi pentru că sunt doar preocupaţi să copieze de pe tablă, rămânând în urmă, sau pentru că nu-i lasă prietenul/ prietena, deranjându-i constant ş.a.m.d. Dar nici în parte opusă lucrurile nu stau mai bine: foarte mulţi profesori predau matematica astfel încât elevii nu au posibilitatea de a fi atenţi, chiar dacă-şi doresc. Se predă prea repede, prea abstract, prea dificil etc. Acesta este crudul adevăr.

Pentru mine însă, cât şi pentru unii elevi tehnicile găsite în această carte funcţionează de minune. Până acolo că uneori, tot mai des, mie îmi reuşesc ore “de paradă”, pe când, chiar şi unor elevi “nematematicieni” momentele respective le rămân definitiv în suflet. Astfel, odată deprinse, aceste tehnici pot “însufleţi” orele de matematică într-un mod incredibil, efectiv ridicând predarea la nivel de artă. C. Titus Grigorovici

Tablou de ziua lui pi

În condiţiile de faţă este tot mai greu să-ţi faci datoria la un nivel de calitate cu adevărat mulţumitor. Soţia chiar spunea că vom ajunge cu timpul să ne dăm bătuţi în faţa cantităţii de muncă prea mari şi vom începe să facem compromisuri la calitate (nouă, profesorilor cu o vechime mai mare, ne-a fost crescută norma de predare cu 4 ore, practic cu o clasă în plus). Aşa că, până una alta, renunţăm la tot mai multe dintre activităţile care nu sunt absolut obligatorii.

În aceste condiţii am primit probabil cel mai frumos cadou: iniţiativa unor elevi de a face “ceva” de ziua lui pi, “orice, dar nu putem lăsa ziua asta să treacă doar aşa, ca o zi obişnuită”. N-a fost uşor, n-a ieşit cât şi-au propus, dar vineri la pauza mare eram aşteptaţi cu un frumos tablou la care au contribuit mai mulţi elevi. Un gest mic pentru matematică, dar un pas mare pentru cei implicaţi. În numele profesorilor de matematică, un foarte cald Mulţumim!!!

Ziua lui pi şi sărbătorile de primăvară

Ca să-l parafrazez pe marele Creangă, eu nu ştiu la alţii cum e, dar în viaţa noastră ziua lui pi  este inclusă tot mai clar în minunata serie a sărbătorilor de primăvară. După Valentine’s Day şi Dragobete, urmate îndeaproape de Ziua Mărţişorului şi de Ziua Mamei, tot mai tare se simte şi prezenţa Pi-Day în acest context.

Când s-a întors acasă pe 2 martie de la şcoală, soţia a deşertat o grămăjoară de mărţişoare pe masă, cu precizarea că “trei dintre acestea se evidenţiază în mod special”. Într-adevăr, nişte foarte potrivite mărţişoare pentru profa’ de mate’! Chiar aşa, se întâmplă ceva special în şcoala voastră de ziua lui pi?

Albert Einstein despre inteligenţă

Albert Einstein a fost întrebat odată despre cum am putea să-i facem pe copiii noştri mai inteligenţi. “Dacă vreţi să fie mai inteligenţi copiii voştri, a spus el, CITIŢI-LE POVEŞTI. Dacă vreţi ca ei să fie şi mai inteligenţi, citiţi-le MAI MULTE POVEŞTI” Neil Gaiman

P.S. Pentru cine nu a făcut conexiunea, îmi permit să explic puţin cum văd eu lucrurile. Atunci când îi citeşti unui copil o poveste, el trebuie să-şi imagineze acţiunea poveştii (acest fenomen nu are loc atunci când se uită la povestea respectivă sub formă de film, şi doar în mică măsură dacă-i citeşti benzi desenate). Faptul că creierul său este obligat să-şi imagineze aspectele respective, asta îi dezvoltă inteligenţa în general, creierul său obişnuindu-se “să vadă” imagini povestite, să-şi imagineze aspecte descrise în cuvinte, dar şi să facă conexiuni în general. Nu mi-am propus să dau aici o teorie completă în acest sens, dar cam aşa acţionează poveştile la creşterea nivelului de inteligenţă (cu alte ocazii am mai scris şi despre alte aspecte în acest sens).

O cafenea cu nuanţe algebrice

Deseori primesc atenţionări despre panoul stradal postat în faţa cafenelei Urania de la începutul străzii Horia din Cluj-Napoca. Nu o mai lungesc, ci vă prezint direct o poză cu acest panou, însoţită de felicitări sincere pentru creatorul textului, care are – evident – o relaţie absolut relaxată cu algebra: Doresc o cafea? a) Da; b) a; c) b; d) (a + b)2.

P.S. Dacă tot am deschis subiectul cafelei, vă mai oferim o imagine ce ne lămureşte despre un aspect nebănuit al cafelei (pozată undeva prin Málaga, Spania). Astfel, cafeaua reprezintă o substanţă magică întunecată ce te ajută să urăşti oamenii cu mai multă energie.

AFM-Bis (03.4) Principiul lui Pareto în formarea gândirii prin matematica-proces

 

Bucuria dascălului de a-şi vedea elevul egalându-l este una fără limite, greu de descris în cuvinte, aşa că voi trece direct peste acest moment. Textul ce urmează este redactat de către eleva Zara Hola, din clasa a 9-a, care tocmai ce a împlinit 16 ani.

Trebuie precizat că textul prezintă unele idei în continuarea celor din eseul de la adresa https://pentagonia.ro/invatarea-prin-investigatie-2-matematica-proces-si-matematica-rezultat/, aşa încât s-ar putea să simţiţi nevoia unei împrospătări. Da, şi încă ceva: atât sfatul meu, cât şi din partea soţiei este clar, anume că textul se cere recitit (pentru o înţelegere completă). Contribuţia mea la această postare se cam încheie aici. Lectură plăcută! CTG

**

Motto Adesea auzeam, la clasă, în orele de matematică, propoziția: ,,Aceasta este esențială, restul sunt de context.”.

La sfârșitul secolului al nouăsprezecelea, economistul Vilfredo Pareto a observat un fenomen aparent simplu, însă profund: în multe sisteme, o proporție relativ mică de cauze generează o proporție majoritară de efecte. Această regulă, cunoscută ca Regula 80/20 sau Principiul lui Pareto, a traversat secolele și domeniile, ajungând astăzi să fie invocată și în educație, nu ca dogmă, ci ca o lentilă prin care putem citi eficiența procesului de învățare și structurarea conținutului. În spațiul educațional, unele principii fundamentale nu se impun prin denumire sau teorie, ci prin efectul lor tăcut asupra celor care învață. Principiul lui Pareto, formulat inițial în afara pedagogiei, își găsește adesea expresia cea mai autentică tocmai în sala de clasă, acolo unde nu este numit, ci trăit. Această idee nu se reduce la un simplu raport 80/20 cuantificabil; ea se extinde la nivelul prioritizării: ceea ce contează cu adevărat are o pondere decisivă în înțelegere, iar ceea ce este secundar își găsește locul doar în extinderea și aprofundarea ulterioară. Esențialul oferă structura, iar restul completează sensul. O fracțiune a conținutului permite accesul la întreg.

În școala românească contemporană, matematica rămâne, adesea, o disciplină apăsătoare, în care volumul uriaș de formule și exerciții copleșește elevul, iar structura și ierarhizarea ideilor rămân neînsemnate. Rezultatul este cât se poate de frecvent: elevul reproduce, memorează, însă nu înțelege, iar gândirea rămâne neesențială. Astfel, se produc executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Volumul de conținut poate copleși ușor, iar elevul se poate pierde în detalii. Elevul se află între a ști și a înțelege, iar diferența între aceste două verbe este covârșitoare. Astfel, este produs fenomenul în care matematica devine un set de simboluri de memorat, mai degrabă decât un limbaj al gândirii. Sistemul de învățământ, din motive istorice și administrativ-didactice, favorizează acumularea de reguli și tehnici de aplicare, întrucât acestea sunt ușor de testat la examene.

Astfel, profesorii tind să pună accent pe formarea de „buni aplicatori” pentru rezultate rapide și măsurabile. Această abordare reducționistă alimentează percepția că matematica e un set abstract de formule, nu un limbaj cognitiv. De asemenea, elevii sunt adesea puși într-o poziție pasivă: ascultă prezentarea profesorului și apoi repetă mecanic metoda de rezolvare. În această situație, simbolurile devin obiective în sine, iar creierul se obișnuiește să răspundă prin aplicarea de reguli, nu prin înțelegerea lor.

Deoarece sistemul se concentrează pe partea ușor examinabilă a materiilor (rezultate, formule, algoritmi), se neglijează zona esențială de formare a gândirii (procesul, argumentul, explorarea), care la rândul ei, dacă ar fi dezvoltată, ar face ca cele 80 % din înțelegerea reală să apară şi la cei 60 % dintre elevii intermediari.

Matematica există simultan ca formă și ca gând. În școala tradițională, de multe ori ea apare sub forma matematicii-rezultat: totul precis și predefinit. Vizibilă, verificabilă, măsurabilă. Însă, această matematică nu devine un limbaj al rațiunii decât dacă este susținută de către matematica-proces: descompunerea și construirea. Procesul și rezultatul nu sunt doar complementare, ci unul dă sens iar celălalt stabilește repere. Aici intervine Principiul lui Pareto. Într-o clasă, o parte dintre elevi înțeleg fără efort, alții rămân în afara înțelegerii, iar majoritatea se află între acestea. În “limbaj Pareto” putem spune că 20% înțeleg procesul și gândesc, 20% se rezumă la rezultatele mecanice, iar 60% dintre elevi, cei  intermediari, se află între cele două extreme. Aici se poate observa adevărata forță a învățării, atât ca forţă de strădanie a elevului, cât şi ca artă de predare a profesorului. Acești elevi de mijloc nu au încă un înțeles deplin, dar nici nu repetă mecanic; la aceștia, procesul și rezultatul se întâlnesc, iar ghidajul atent poate transforma simbolurile într-un limbaj al rațiunii. În zona de mijloc se poate observa cel mai bine evoluţia clasei: puțin efort concentrat aici produce cea mai mare parte a înțelegerii, confirmând că adevărata matematică prinde viață acolo unde procesul și rezultatul se întrepătrund.

Aplicat pedagogic, Pareto ne arată că un efort concentrat asupra procesului poate genera cea mai mare parte a înțelegerii. Astfel, puținul esențial produce multul semnificativ: elevii care altfel ar fi doar aplicatori de simboluri ajung să înțeleagă relațiile, logica, sensul formulelor.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! Doar împreună acestea devin un limbaj viu. Matematica-rezultat fixează punctul final, dar sensul său derivă din proces. Fiecare formulă devine astfel expresia unui raționament construit, gândit.

Pareto evidențiază paradoxul: majoritatea înțelegerii nu provine din acumularea de exerciții și formule, ci din momentele esențiale în care elevul este provocat să gândească. Fiecare pas al procesului are un impact disproporționat asupra înțelegerii generale. Astfel, cele 20% de efort bine direcționat generează 80% din cunoaștere, transformând simbolurile în limbaj al gândirii. Această legătură rară și discretă dintre proces, rezultat și Principiul lui Pareto devine temelia unei pedagogii vii.

Prezentată în acest mod, matematica nu mai este doar un arsenal de reguli și formule de memorat, ci un loc în care gândirea se depășește pe sine și prinde contur. Procesul insuflă viață rezultatului: formulele nu mai sunt simple simboluri, ci răspunsuri care își trag sensul din pașii prin care au fost descoperite. Rezultatul, la rândul său, confirmă drumul parcurs, dând sens fiecărei întrebări, fiecărui calcul. Iar Principiul lui Pareto luminează exact unde trebuie să fie ațintit efortul: către acele momente esențiale de reflecție, descoperire și clarificare care produc cea mai mare parte a înțelegerii reale.

Astfel, predarea matematicii nu mai este un exercițiu de memorare, ci o cultivare a rațiunii. Elevul nu mai învață să reproducă, ci acesta învață să înțeleagă. Formula devine un instrument, iar fiecare reușită o confirmare a gândirii generate din proces, nu doar din execuție. Procesul modelează gândirea, rezultatul o concretizează, iar Principiul lui Pareto arată unde efortul generează cea mai mare înțelegere. Împreună, ele transformă matematica într-un limbaj viu al rațiunii.

În acest sens, experiența mea personală, ca elev, a reflectat o transformare treptată, profundă: ceea ce, la început, părea o succesiune de formule și tehnici fără legătură a devenit, treptat, un mod coerent de a observa conexiuni și de a construi raționamente. Matematica nu s-a simplificat; nici nu a fost redusă la o listă de reguli de memorat. Ea a devenit un spațiu al gândirii, în care prioritizarea ideilor esențiale îmi permitea să accesez rapid porțiuni largi ale conținutului și să înțeleg relațiile dintre concepte cu o logică neașteptată. Această experiență reflectă perfect logica Principiului lui Pareto: înțelegerea unui număr limitat de concepte fundamentale oferă acces la cea mai mare parte a problemei sau capitolului studiat, iar restul elementelor devin o completare, nu un obstacol.

Practic, la elev conștientizarea esenței reduce frica de eșec și consolidează încrederea în propria gândire. Matematica, atunci când este predată astfel, devine “o artă a discriminării” în favoarea esenței. Paradoxal, Principiul lui Pareto nu poate fi aplicat doar prin entuziasm sau bunăvoință, subiectiv; el cere o atenție critică, o obiectivitate, asupra ceea ce contează: un exercițiu de vedere clară în mijlocul unui volum aparent copleșitor de informații.

Totuși, nu este necesar ca elevii să cunoască explicit teoria Pareto pentru a beneficia de efectele sale. Esențial este ca predarea să fie orientată spre ceea ce contează: selecția conținutului, ritmul lecției, accentul pe conceptele fundamentale. Când această orientare există, fie explicit, fie implicit, fluxul învățării se transformă, iar elevii dobândesc acces la înțelegere, nu doar la memorare.

În forma sa autentică, matematica nu este un șir de operații mecanice, ci un mod de a structura și de a înțelege realitatea. Prioritizând ideile fundamentale, elevii pot accede la 80% din sensul unei lecții concentrându-se pe 20% din concepte. Atunci, procesul educațional depășește simpla acumulare și devine un act de gândire.

Lecția pe care am trăit-o în ultimii ani, fără a-i fi cunoscut numele principiului, fusese aceea că, esența, odată cunoscută, are capacitatea de a rândui complexitatea, transformând mulțimea detaliilor într-un cadru coerent, în care înțelegerea nu doar există, ci trăiește în gândurile și sufletele elevilor. Zara Hola

AFM-Bis (03.3) Principiul lui Pareto în stabilirea nivelului de predare

Am descoperit în ultimele postări această teorie absolut uimitoare a Principiului lui Pareto, cunoscut şi ca Regula 80/20, care ne spune că 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Astfel, în orice domeniu oamenii ar trebui să identifice “acei 20%” care contează cu adevărat şi să se concentreze cu prioritate asupra acestora, având siguranţa că astfel obţin 80% din rezultatele urmărite. De multe ori asta este suficient (raportul de eficienţă dintre rezultatele obţinute faţă de efortul alocat fiind până aici excelent, dar scăzând ulterior vertiginos). Doar apoi, în măsura în care mai există posibilităţi, timp şi interes, merită să se extindă preocupările.

Într-o primă parte am privit acest principiu din punct de vedere al populaţiei şcolare, acest studiu putând fi făcut atât la nivelul unei clase obişnuite, cât şi la nivelul unei localităţi sau al unui judeţ, dar şi la nivelul întregii populaţii şcolare, deci la nivel naţional. În a doua parte ne-am uitat la felul în care ar trebui să ţinem cont de acest principiu din punct de vedere al materiei studiate, dar şi din punct de vedere al aplicaţiilor alese, al exerciţiilor şi problemelor oferite spre muncă şi studiu elevilor noştri.

În timp ce lucram la a doua parte am conştientizat că de fapt putem să privim din punct de vedere al principiului lui Pareto şi asupra nivelului de accesibilitate, de dificultate, de abstractizare etc. al felului în care abordăm materia şi aplicaţiile. Astfel chiar şi una şi aceeaşi lecţie poate fi prezentată elevilor în mod accesibil sau dimpotrivă abstract. La fel şi o anumită problemă poate fi explicată mai accesibil sau mai abstract. Chiar şi în structura problemelor, alegerea situaţiilor numerice concrete poate oferi un nivel de accesibilitate mai larg sau dimpotrivă mai restrâns pentru marea parte a elevilor. Iar din acest punct de vedere, foarte mulţi profesori au o abordare extrem de indiferentă, chiar sfidătoare faţă de majoritatea elevilor, totul sub pretexte de felul că “şi acestea sunt numere (iar elevii trebuie să le cunoască)” sau că “matematica dintotdeauna a fost grea! (degeaba vă plângeţi)”.

Din acest punct de vedere autorităţile matematicii şcolare româneşti abordează o indiferenţă crasă faţă de marea masă a populaţiei şcolare (cei 80%), lăsând aceste aspecte cu totul la cheremul autorilor de manuale sau diverse auxiliare, respectiv la cheremul fiecărui profesor sau al autorităţilor locale.

În acest sens, ţin minte cum în urmă cu mai bine de un sfert de secol, la o şcoală obişnuită (deci nu “de centru”), o colegă mai experimentată ajunsese de fapt să parcurgă materia din gimnaziu tot timpul cu jumătate de an înainte, pentru ca elevii să se obişnuiască cu aceasta, să apuce să lucreze suficient, făcând aceasta ca singură soluţie găsită cu elevii obişnuiţi din clasele sale, pentru că directorul şcolii respective îi cerea să aducă şi ea “ceva rezultate la olimpiadă” pentru şcoală. Iar asta se întâmpla în situaţia în care materia din România era oricum trasă mult prea în jos ca vârste, exagerat de devreme faţă de posibilităţile şi nevoile reale ale marii mase a populaţiei şcolare.

Mult mai recent, cândva înainte de pandemie ţin minte că am oprit colaborarea cu o editură renumită din următorul motiv: alesesem manualele lor, acestea plăcându-mi din punct de vedere al abordării lecţiilor. Totuşi, ulterior am văzut că aplicaţiile iniţiale erau foarte puţine, trecându-se direct la cele grele şi foarte grele. Astfel, ţin minte că mi-au trimis drept mostră un exemplar din auxiliarul însoţitor, iar acesta avea suficiente exerciţii accesibile elevilor de rând. Concret, era vorba despre sistemele de ecuaţii: în manual era un singur exemplu simplu, după care se trecea la tot felul de complicaţiuni cu fracţii, cu coeficienţi iraţionali sau cu alte şmecherii. Culegerea însă avea pagini întregi de sisteme simple la ambele metode, astfel încât orice elev să poată exersa această lecţie obligatorie (cu condiţia să cumpere culegerea). Trageţi dvs. concluziile. Eu oricum am oprit orice colaborare cu editura respectivă şi mi-am îndreptat atenţia spre redactarea unei fişe de lucru accesibile majorităţii elevilor.

Toate clasele de gimnaziu “cu pretenţii” sunt vulnerabile la această “apucătură” specifică şcolii româneşti, obsedată “până în măduva oaselor” pentru ridicarea nivelului spre excelenţă. Acesta este de fapt mecanismul prin care se obţin rezultate: la clasă se instituie din start un nivel extrem de ridicat al aplicaţiilor, inaccesibil majorităţii, exprimate într-un nivel cât de abstract posibil pe care elevii nu-l pot înţelege cu adevărat (apărând învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări), nici nu-l pot duce pe durată, familiile fiind nevoite să apeleze de prea devreme la ore particulare de sprijinire a acestui nivel mult prea dificil şi abstract.

Ca o paranteză, putem observa aici că nu există la noi o “poliţie a învăţământului matematic”, dotată cu “un radar” de depistare a celor care “apasă prea tare pe acceleraţie”, a celor care “îi dau blană” constant, ca mod de a conduce “autocarul cu elevi” pe drumurile matematicii. Iar drama cea mai mare a acestei ţări este că în Uniunea Europeană nu apare această apucătură, deci nu există nici “ac de cojocul acestor indivizi”. Ca urmare, nici nu există şanse să ne fie impusă o remediere a situaţiei pe baza mecanismelor de supraveghere UE.

O astfel de “poliţie” a învăţământului matematic ar trebui să acţioneze adaptat la vârstă şi la situaţie pe toate cele patru paliere de şcolire, adică primar, gimnazial, liceal, respectiv chiar şi universitar (în sensul şcolirii viitorilor profesori), în lipsa evidentă a unui autocontrol al activităţii (personal şi instituţional), autocontrol de bun simţ care ar trebui să se activeze de la respectul reciproc şi abordarea empatică. Dar să revenim la subiectul nostru.

Aş da aici un exemplu tipic pe care îl pot observa atunci când am ocazia să arunc câte o privire în caiete ale elevilor de la alţi profesori, şi voi face acest lucru ţinând cont de faptul că am oferit de curând ca exemplu felul în care parcurg eu aplicaţiile din respectiva lecţie. Concret, este vorba despre aplicaţiile la Teorema lui Pitagora în sensul calculelor premergătoare pentru determinarea de arii şi perimetre în toamna clasei a 7-a.

Astfel, în toate situaţiile ce le-am putut observa, la marea majoritate a profesorilor, aplicaţiile încep de obicei cu 3-4-5; la cei mai cu pretenţii de calcul eventual cu 6-8-10; în cazurile celor mai atenţi la detalii chiar cu tripletul 5-12-13 (alte exemple nu prea se cunosc). După care, la majoritatea covârşitoare a colegilor profesori, apare imediat şi un exemplu cu rezultate iraţionale. “Noblesse oblige!” Trebuie să ne respectăm, nu-i aşa?

Nici vorbă de o preocupare pentru elevul de rând să apuce să “prindă mişcarea” pe mai multe exemple cu triplete pitagoreice, în zona sa de siguranţă numerică maximă (deci, inclusiv să ajungă să trăiască şi satisfacţia că poate şi el să rezolve o problemă cu mai mulţi paşi de lucru, din punctul lui de vedere de fapt o problemă “mai complexă”). Apoi, se trece cât mai repede la situaţii de calcul tot mai grele, cât mai grele posibil, adică cu numere iraţionale, chiar uneori şi cu numere necunoscute, fiecare în funcţie de “pretenţiile personale” sau de “ambiţiile şcolii”.

Pe lângă frustrarea generală, chiar obişnuirea marii mase a populaţiei şcolare cu ideea că ei de fapt “nu pot”, având din start nevoie de ajutor, elevii sunt astfel dresaţi spre o pasivitate profundă, în care ei vin la orele de matematică nu să gândească, ci doar să copieze de pe tablă fără nici cea mai mică implicare raţională. Generarea AFM în acest mod este evidentă.

Dar, cum fac eu? Păi, aţi putut vedea în partea finală a postării despre determinarea de arii şi perimetre, faptul că eu stau chiar câteva ore la rând în situaţii de “numere întregi” la calculele cu Teorema lui Pitagora (în paralel cu cunoaşterea diferitelor metode de calcul a rădăcinii pătrate doar din numere pătrate la început, sau eventual şi din numere nepătrate, cu calcul aproximativ pe baza algoritmului de extragere). De-abia după stabilizarea acestor calcule exemplificate suficient de mult în zona numerelor naturale, de-abia apoi trec la situaţii cu rezultate iraţionale. Aici mai petrec o vreme bună, şi doar ulterior, după stabilizarea în paralel a calculului cu numere iraţionale, doar apoi apar şi exemple cu calcule implicând din datele problemei şi mărimi iraţionale.

Ca o paranteză, s-ar putea crede că în acest fel obţin învăţarea sigură a acestor lecţii de bază de către majoritatea elevilor (cei 80%). Nici vorbă! Speranţe deşarte! Pentru că la foarte mulţi elevi acţionează diverşi alţi factori perturbatori, de la avarierea atenţiei prin folosirea excesivă a ecranului (superficialitate în gândire, timpi prea scurţi de capacitate a concentrării etc.), până la indiferenţă şi chiar lene în cel mai profund sens al cuvântului. Iar acolo unde părintele mai şi validează acest comportament (“Nici eu n-am fost bun la matematică” sau “Vai, vai, profesorii ăştia, că peste tot aud de astfel de situaţii!”), atunci, acel copil este ca şi “pierdut”, fiind foarte greu de pus “pe şine” spre o învăţare decentă a matematicii (direct de la clasă).

În acest sens observ tot mai des şi mai “pe faţă” o agresivitate clară din partea familiilor, fiecare cu pretenţia ca profesorul să facă aşa cum gândeşte şi–şi doreşte părintele. Din acest punct de vedere eu mă simt “tras în ambele părţi” de către elevii din clase, cât şi de către părinţii acestora. Pe de-o parte sunt cei cu pretenţii de excelenţă, faţă de care cu greu mă apăr, în condiţiile în care sistemul oficial nu îmi oferă nici cea mai mică protecţie, oricine putând emite în acest sens pretenţii şi acuzându-mă că nu fac suficient de mult, că “nu-mi parcurg materia” dacă nu ofer la clasă toate diversele elemente specifice preocupărilor din zona de excelenţă. Pe de cealaltă parte sunt cei mulţi care înţeleg şi îşi însuşesc materia mai greu, unii deşi se străduiesc, alţii din pură indiferenţă, chiar lene, prezentându-se însă “în gura mare” ca “victime ale sistemului”. Până acum am făcut faţă în mod onorabil, justificând la nevoie şi unora şi celorlalţi despre linia mea de predare centrată pe cei 60% din zona mediană. În ultima vreme însă, se simte tot mai clar scăderea disponibilităţii spre dialog la nivelul întregii populaţii, manifestată printr-o atitudine tot mai agresiv egocentristă, atât unii cât şi ceilalţi dintre părinţi arătându-se tot mai agresivi (pe ascuns sau chiar pe faţă).

Dar, să revenim la subiectul nostru principal, anume la nivelul de accesibilitate, respectiv de dificultate al predării. Profesorul poate acţiona greşit dând atenţie şi preocupare doar elevilor “de vârf” prin dificultatea prea mare a lecţiilor şi a aplicaţiilor, dar şi a timpului alocat de cca. 80% doar pentru materia de 20% “din vârf” (peste nota 8-9 de la examen). Dar, cel mai rău este atunci când de fapt această atitudine se reflectă şi în teme, dar mai ales în evaluare. Dacă e să privim doar asupra nivelului de complexitate al aplicaţiilor şi al sarcinilor date la teste, se vede cum la unii profesori lipsesc, uneori chiar total, exerciţii şi probleme din partea de 20% cele mai accesibile, acelea pe care Principiul lui Pareto le-ar susţine ca suficiente pentru însuşirea elementară a materiei respective.

Mă raportam aici la nota 8-9 de la examen, deşi sistemul elitist de excelenţă “trage masiv” spre nivele mult mai ridicate (respectând scara dificultăţii, să-i spunem peste nota 14, chiar către nota 20). Disputa despre admiterea suplimentară la Colegiile Naţionale despre asta a fost: concentrarea preocupaţională excesivă spre o dificultate şi complexitate tot mai mare, ceva de felul 99% din energie alocată pentru cei 1% “din vârf” (ca dificultate, dar şi ca populaţie şcolară generală). Iar oficializarea acestor admiteri speciale pentru vara lui 2026 spune totul despre atitudinea reală a autorităţilor matematicii şcolare din ţara noastră. Profesorii din aceste Colegii Naţionale exact aşa şi-au prezentat munca la începuturile clasei a 5-a în urmă cu doi ani: noi vom lucra aici doar pentru nivelul cel mai ridicat posibil, care se va da la admiterea din finalul clasei a 8-a!

Îmi permit aici o nouă paranteză. Spuneam mai sus că profesorii acţionează deseori greşit dând atenţie doar elevilor “de vârf” prin dificultatea prea mare a lecţiilor şi a aplicaţiilor, dar şi a timpului alocat de cca. 80% doar pentru materia de 20% “din vârf”, o linie de mijloc fiind mult mai sănătoasă pentru marea masă a populaţiei şcolare (mai ales în cazul claselor eterogene, cum sunt cele mai multe din ţară). Frica să nu fim cumva etichetaţi ca profesori “slabi” ne fereşte oricum să cădem în extrema cealaltă, anume să acordăm o prea mare parte a timpului şi a energiei celor 20% dintre elevii de la coadă. Să ştiţi însă că am trăit pe viu şi acest fenomen. Astfel, există persoane care, din păcate, interpretează în acest spectru sistemul Waldorf (sistem în care activez din ’96), înţelegând această alternativă educaţională ca un refugiu pentru cei slabi la învăţătură, fie că aceştia chiar nu pot (din diferite motive obiective), dar de obicei pentru că n-au chef, validându-le astfel acestora din urmă lenea (am folosit aici cuvântul “lene” pentru a descrie un spectru larg de motivaţii de a nu face ce trebuie; nu intru mai mult în detalii).

Dar să revenim la subiectul nostru, care mi-a fost sugerat de către soţia mea într-o scurtă discuţie de dimineaţă, pe drumul către şcoală. Deci, ea auzindu-mă că tot vorbesc de Principiul lui Pareto, a văzut acest aspect, anume a importanţei unei reprezentativităţi sănătos echilibrate a dificultăţii cerinţelor dintr-un test (nici să le dai prea uşor, dar nici “să-i rupi” tot timpul!). Dacă acest lucru se întâmplă, iar elevii încep să muncească singuri (deci nu discut aici de cei dopaţi prin meditaţii), atunci vor apărea şi rezultatele pozitive exprimate prin note bune, validând astfel comportamentul de muncă al elevilor. Încet, dar sigur vor începe să lucreze tot mai mulţi, singuri, fără meditaţii, acesta fiind drumul cel mai sănătos spre învăţarea matematicii (nu neapărat şi cel mai rapid). Această politică funcţionează însă pe clase cu copii selectaţi, orientativ pe acelaşi nivel (cum sunt cele începând din clasa a 9-a). La clasele eterogene, cum sunt cele obişnuite din gimnaziu, situaţia este mult mai complicată.

Cugetând la această observaţie a soţiei mele, de a privi Principiul lui Pareto şi din punct de vedere a organizării evaluării, gândesc că sigur alte minţi luminate şi implicate ar putea vedea şi alte aspecte ale unei aplicabilităţi sănătoase a acestuia în procesul de învăţare a matematicii din şcoli. Eu însă, mă opresc la aceste trei părţi, cu speranţa să fi reuşit a atrage atenţia şi asupra acestui aspect total neglijat de către orientarea matematicii şcolare româneşti.

Ca o ultimă observaţie legată de Principiul lui Pareto, eu am impresia că – în străfundurile sale – acesta este înrudit cu Principiul selecţiei naturale exprimat de Charles Darwin. Dacă privim aşa lucrurile, atunci mai putem face un pas în raţionamentul nostru, spunând că matematica şcolară românească, funcţionând încă pe criteriul stabilit de către Ceauşescu la finalul anilor ’70,   poate fi privită prin analogie cu “o junglă sălbatică” în care supravieţuiesc doar cei “mai tari”. Asta nu este însă o atitudine social sănătoasă, empatică la adresa întregii populaţii şcolare, frusrările şi pagubele emoţional comportamentale generate fiind uşor de observat la tot pasul.

Concluzionând, putem spune următoarele: la ora actuală şi la majoritatea profesorilor, atât din punct de vedere al nivelului lecţiilor de prezentare a materiei, cât şi din punct de vedere al aplicaţiilor, atât cele de făcut, cât şi a celor din cadrul procesului de evaluare, în general se acordă 80% din energia educaţională situaţiilor din zona de dificultate superioară, celor 20% din vârf (asta în cazurile cele mai bune, pentru că uneori procentajele acestea pot ajunge şi la situaţii extreme).

Dimpotrivă, un învăţământ sănătos ar cere exact opusul, anume concentrarea a 80% din energia educaţională a sistemului asupra celor 20% cele mai relevante aspecte, dar care oferă marii mase a populaţiei şcolare o percepţie sănătoasă asupra a 80% din materie, lăsând însă apoi timp, preocupare suplimentară şi energie creatoare pentru cei care doresc mai mult, atât ca profesori, cât şi ca elevi. Nu ştiu cum s-ar putea face această inversare a paradigmei educaţionale, dar vedem toţi ce urmări are forma actuală practicată de cca. 45 de ani în România (de aproape jumătate de secol!). C. Titus Grigorovici

Calendar dodecaedru 2026

La adresa următoare găsiţi de descărcat pentru confecţionat calendar dodecaedru. Puteţi alege între trei variante: de lipit total, doar de împachetat, sau de lipit aproape integral, doar cu o “uşiţă secretă”: https://www.ss42.com/pt/calendar/dodecahedron.html Merită imprimat pe o hârtie mai groasă decât obişnuitele A4; dacă vreţi să-l coloraţi după propriul gust şi talent, e bine să o faceţi înainte de lipire. La Mulţi Ani!

AFM-Bis (03.2) Principiul lui Pareto în alegerea matematicii de predat

Cum spuneam în postarea precedentă, de curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect destul de surprinzător, despre care habar nu aveam, anume despre Principiul lui Pareto. Deşi eram foarte ocupat prin toamnă şi nu apucam să lucrez defel înspre un articol, gândul îmi tot zbura la această ciudăţenie. Printre altele, i-am vorbit scurt despre preocuparea mea noului meu “ucenic”, o elevă de 16 ani, foarte pasionată de arta predării, dar şi super pasionată de scris (după cum se poate vedea). Iată ce text am primit peste câteva ore “ca răspuns”:

Ante Scriptum by Zara Hola

Am stat vreo oră și-am avut timp a citi. Deci, din câte am înțeles, în concluzie, Principiul lui Pareto demonstrează că matematica nu este doar știința numerelor, ci și o filozofie a eficienței și a prioritizării. Prin exprimarea proporționalității dintre cauze și efecte, acest principiu ne arată că în orice proces, inclusiv cel educațional, există un echilibru subtil între esențial și secundar. Din perspectivă matematică, el se bazează pe analiza distribuțiilor neuniforme și pe raționamentul proporțional, dar din perspectivă didactică, devine un ghid pentru structurarea inteligentă a conținutului și pentru dezvoltarea gândirii critice. Aplicat conștient, Principiul lui Pareto îi ajută pe profesori să predea mai eficient, pe elevi să învețe mai strategic și pe toți participanții la procesul educațional să valorifice la maximum resursele disponibile. În fond, adevărata lecție a acestui principiu este că progresul nu depinde de efortul nelimitat, ci de alegerea inteligentă a direcției în care acel efort este investit. El ne arată că, prin identificarea și valorificarea celor 20% de concepte, metode și eforturi care contează cu adevărat, putem obține 80% din progresul dorit.

Aşadar, 20% dintre conceptele unei materii oferă baza pentru 80% din înțelegerea generală. De exemplu, 20% dintre conceptele matematice fundamentale pot sta la baza înțelegerii a 80% dintre problemele și aplicațiile întâlnite ulterior. Într-o perspectivă didactică, acest lucru evidențiază nevoia de prioritizare și de învățare profundă, nu doar cantitativă. Din punct de vedere al politicilor educaționale, aplicarea Principiului lui Pareto ar putea orienta strategiile de curriculum și evaluare. Identificarea „nucleului de competențe esențiale”, acel 20% de cunoștințe fără de care procesul educațional nu poate progresa, ar permite o structurare mai logică și mai echilibrată a programelor școlare. Astfel, accentul s-ar muta de la cantitate la calitate și de la memorare la înțelegere. Ceea ce am scris eu aici nu-i mai concluzie, dar m-a apucat scrisul…

Da! Acesta a fost textul primit pe WhatsApp într-o seară de final de octombrie. Dacă aveţi nevoie de o recitire, puteţi să o faceţi. Noi oricum, atât eu cât şi soţia mea, am reluat textul de câteva ori. De-abia apoi, după ce mi-a trecut uimirea năucitoare am început să pot gândi din nou raţional, printre altele rearanjând, printre altele, eseul despre Pareto pe părţi separate.

Aşadar, un elev de clasa a 9-a, dotat cu un telefon cu conexiune la internet, a reuşit în câteva ore să încropească acest text. Pe când “ciurdă” de profesori şi de specialişti în ştiinţele educaţiei (din toate structurile Ministerului) nu reuşesc să facă mai nimic în a rezolva situaţia dezastruoasă a matematicii şcolare româneşti, permiţând în continuare profesorilor să se concentreze doar pe cei 20% din vârf (cei aducători de rezultate bune), şi lăsând de fapt într-o abandonare preocupaţională, aparent plină de indiferenţă, uneori chiar nesimţit de indiferentă, pe ceilalţi 80% dintre viitorii cetăţeni ai României.

Sau poate “nu se vrea!” Semnale din toate direcţiile nu sunt suficiente pentru a porni un proces de însănătoşire a matematicii şcolare, pentru a o aduce într-o formă viabilă pentru majoritatea elevilor. Statistici despre promovarea examenelor, studii care vorbesc despre analfabetism funcţional matematic la jumătate din populaţia şcolară, chiar şi situaţii de vulnerabilitate la manevrare “politică” până în pragul siguranţei naţionale, toate acestea nu sunt suficiente pentru ca autorităţile responsabile să prioritizeze preocuparea pentru marea masă a populaţiei şcolare, rămânând în continuare tributare curentului de gândire implementat de Ceauşescu în anii ’80, de preocupare excesivă doar pentru cei aducători de “rezultate”.

Când ne-am reîntâlnit la şcoală, i-am explicat elevei mele că, în primul rând tot acel text are nevoie de o bibliografie clară (o găsiţi anexată în final). Apoi, încetu’ cu-ncetu’ (după cum am mai precizat), am început să raţionez din nou, încercând să mă adaptez la noua situaţie şi resetând articolul despre Principiul lui Pareto pe episoade. Şi iată ce a ieşit.

Deşi n-am spus-o până acum, măcar aici trebuie să precizez că astfel de aspecte le intuiam de mult timp, le “simţeam”, şi că aveam chiar preocupări în acest sens, fără însă să ştiu că sunt deja “scrise”, chiar incluse într-o teorie oficială. Acestea îmi erau – mental vorbind – într-o zonă de conştienţă clară, dar nescrisă, într-o zonă a gândirii pe baza căreia încercam să dedic mai mult timp în orele mele pentru aspectele formatoare cele mai importante. Dar nu mă gândeam clar să şi scriu despre acest proces de preocupare. Acum însă a venit vremea.

Astfel, încă de la jumătatea anilor ’90 căutam o listă magică cu cel mult “100” de probleme de geometrie, pe care, dacă un elev le-ar învăţa, atunci ar fi capabil să rezolve orice altă problemă, ideea fiindu-mi sugerată de către socrul meu. Căutările respective trebuiau să aibă loc desigur în cadrul materiei oficiale, care atunci era însă mult mai extinsă (Mai ţineţi minte “cevienele”? Ce-s alea? Păi simplu, liniile din teorema lui Ceva. Asta era în materie sau nu? Că oricine se respecta, trebuia să o prezinte şi să o folosească în varii probleme. Dar acum mai e? Cineva vorbea întrebând despre aceasta ca Teorema lui “Something”:).

Am avut şi câteva tentative în sensul unei astfel de selecţii, de pildă colecţia din 1998 cu titlul 101 probleme de geometrie. Apoi a venit ideea unei culegeri complete de probleme de geometrie plană, iar pe mine m-a apucat intens impulsul de colecţionar, aşa încât acea culegere a ajuns la nivelul a cca. 550 de probleme (nu ştiu ca cineva să o fi parcurs cu totul). De-a lungul anilor am lucrat din acea culegere cu elevii mei, văzând clar că este mult prea mare, şi tot mai mult revin la gândurile din anii ’90, anume la întrebarea: care sunt acele probleme – cât mai puţine – care să ofere elevilor o idee cât mai completă despre fiecare lecţie? Aşadar, exprimat în limbajul Pareto, care sunt acele cel mult 20% dintre probleme, care să ne ofere cel puţin 80% din cuprinderea unei lecţii sau a unui capitol? Iar apoi, cel care doreşte mai mult, acela să lucreze în plus faţă de acestea (e interesant că se cam şi potrivesc procentele).

Cugetând în acest sens, mă gândesc acum la o culegere de probleme (sau manual) în care la începutul fiecărei lecţii să fie cuprinse acele “20%” dintre probleme, acelea care sunt cele mai eficiente pentru înţelegerea lecţiei respective, adică a cel puţin “80%” din contextul acestei lecţii, iar apoi, în completare, pentru cei care doresc mai mult, deci să aprofundeze, să mai fie prezentate şi alte probleme.

În paralel a început să acţioneze în viaţa mea tot mai mult ceea ce puteam observa în sistemul Waldorf “de la el de acasă”, adică din vestul Europei (ţările germane, Olanda, ţările scandinave, dar şi peste ocean): anume că materia este mult mai redusă decât la noi, cu un nivel mult redus al dificultăţii aplicaţiilor, dar cu un mult mai profund nivel al înţelegerii şi al gândirii, decât eram obişnuit la noi. Şi totul coroborat cu observaţiile despre diferiţi absolvenţi de Waldorf din lumea largă, care au realizat câte ceva în viaţă, în varii domenii, de la artistic (mi-a fost dat să-l cunosc pe învăţătorul Sandrei Bullock) până la ştiinţific înalt (Premiul Nobel).

Acum, văzând forma gândurilor adunate de eleva mea în textul de mai sus, sunt surprins să observ o clară similaritate între principiul lui Pareto, înterpretat în acest sens, pe de-o parte, şi ceea ce am putut observa, pe de altă parte, încă din primii ani ai încercărilor mele de a pricepe cum este organizată predarea matematicii în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Ca o paranteză, trebuie să amintesc aici şi despre gândul de a vorbi şi colegilor din celelalte şcoli despre minunile găsite în sistemul Waldorf. Proiectul P3NT4GON1A exact asta a şi reprezentat: o încercare de diseminare a diferitelor aspecte găsite în căutările mele, aspecte care, pe mine, m-au ajutat înspre o predare mai bună pentru majoritatea elevilor.

Dar să revenim la preocupările despre prioritizarea unora dintre lecţii. Cu alte cuvinte, în ultimul sfert de secol am început să caut tot mai mult, anume pe care lecţii să pun mai mult accent la clasă, pentru toţi copiii, şi pe care lecţii să le tratez mai moderat, pentru că nu au un rol esenţial în înţelegerea generală a materiei.

Desigur că criteriul principal în acest sens, reperul şi aliatul meu cel mai de nădejde, a fost în acest proces probabilitatea ca ceva să fie dat la examen sau nu (la examenul de EN, unde activez eu mai mult). Ca o paranteză, trebuie spus că acelaşi reper îl folosesc desigur şi la selectarea aplicaţiilor din cadrul lecţiilor, iar aici exemplele sunt “fără număr”! Cu greu mă abţin aici să dau câteva exemple tipice; atunci când “toată lumea” face un tip de exerciţii mult prea dificile, care-i obligă pe elevi la o “toceală” dincolo de capacitatea lor de înţelegere, sau când “toată lumea” face o lecţie din care nu se dă la examen, atunci eu stau “de-o parte”, iar dacă sunt întrebat de ce nu le fac (sugerat fiind astfel că “nu-mi fac datoria”), răspund sec: nu se dă aşa ceva la examen. Privind lucrurlile “în sistem Pareto”, am putea zice că cel târziu la examen, colegii responsabili de la Comisia Naţională sunt obligaţi totuşi să ţină cont de cei 80%, nu doar de cei 20%.

Totuşi, concret, în condiţiile unei liste obligatorii de lecţii din programă, eu nu-mi pot permite să nu fac o lecţie, dar pot desigur să-i aloc mai puţin timp, acesteia cât şi diferitelor exerciţii prea complicate şi cu şansă mică (spre zero) de a veni la examen. În plus, sigur pot să refuz a prezenta claselor de gimnaziu forme ale lecţiilor din liceu (la trigonometrie, de pildă, le vorbesc despre rapoarte trigonometrice, nu despre funcţii trigonometrice, şi sigur nu le dau tabelul cu valori pentru 0o sau pentru 90o). Şi desigur, îmi permit să urc spre excelenţă (pentru cei câţiva elevi mai răsăriţi din clasă, cei 20% ai lui Pareto) doar după ce mi-am făcut treaba pentru cei mulţi (nu pentru toţi ceilalţi, adică cei 80%, că în acest sens “cu unii” nu mai termini, ci doar pentru cei intermediari, cei 60%).

Şi mai apare aici un aspect interesant: sunt multe lecţii care sunt greu accesibile celor 60% în clasele mici (5-6), dar care devin accesibile odată cu maturizarea elevilor pe la 14 ani. Cu alte cuvinte, unii elevi le vor înţelege mai uşor la o a doua trecere, la reluarea legată de pregătirea examenului de EN din finalul clasei a 8-a (fapt care nu se întâmplă în cazul EN-6).

Aici mai există un aspect clar: trebuie să ţinem cont în predarea noastră de acest proces de maturizare a gândirii diferită de la un elev la altul, anume că unii se maturizează mai târziu. Dar, sub umbrela acestei scuze, trebuie totuşi să conştientizăm şi faptul că mulţi “o lălăie” prin clasele mici fără să înveţe serios, ca apoi să se bazeze pe orele de pregătire privată din clasele mari, părinţii având astfel clar posibilitatea să şi dea vina pe profesori pentru că “puiuţul lor” (“prinţişorul” sau “prinţesa” lor) nu a asimilat mai nimic în clasele mici. Acelaşi fenomen se întâmplă apoi accentuat şi în liceu (că dacă a funcţionat “mişcarea” în gimnaziu, atunci este luată ca reţetă de comportament şi în liceu).

Revenind la subiectul nostru, mai mult însă, eu nu pot să fac, ca profesor de rând. De aici încolo rezolvarea situaţiei intră în responsabilitatea autorităţilor competente. De la Minister ar trebui să existe o selecţie mai eficientă în sensul stabilirii materiei obligatorii pentru toţi, şi a materiei suplimentare pentru cei “de vârf”. Şi nu m-aş lega aici strict de nivelul de 20% din Principiul lui Pareto, aşa frumos exprimat şi în microeseul elevei mele. Desigur că orice scădere semnificativă a materiei obligatorii pentru elevii “de rând” ar fi benefică.

Dacă ar fi să revin la subiectul din ultimele luni, al analfabetismului funcţional matematic (AFM), vedem că – evident – aici este una din direcţiile în care se poate lucra pentru a obţine o îmbunătăţire a situaţiei la nivel naţional. Vorbesc despre aceste aspecte şi în contextul faptului că mulţi îşi pun întrebarea despre cum ar trebui “aerisită programa” de matematică. De pildă dl. Cătălin prin întrebarea: Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore credeți ca e nevoie săptămânal pentru matematică?, din comentariul la un articol din 1 aug. 2025.  Eu nu cred că ar trebui mai mult de 4-5 ore săptămânale; totodată nu-mi pot exprima acum clar gânduri despre care lecţie să rămână şi care să fie scoasă din programă. Dar pot sigur spune că gândurile enunţate aici trebuie să stea la baza unei astfel de selecţii, că acestea pot fi luate ca un criteriu de bază într-un proces de “aerisire” a programei de matematică.

Astfel, un sistem cu trei nivele de obligativitate al lecţiilor ar fi probabil cel mai potrivit: nivelul de bază obligatoriu pentru promovarea clasei, apoi lecţiile de nivel mediu şi în final nivelul lecţiilor de vârf, cu care să se poată urca peste nota 8 sau 9 la examen. Un astfel de sistem ar veni în sprijinul colegilor care predau în şcolile din zone defavorizare, care n-ar mai trebui să fugă prin materie cu lecţii inutile pentru elevii lor. Ar fi o idee.

Şi totuşi, pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne marea întrebare: oare, colegii din minister nu ştiu despre aceste aspecte? Sau ştiu, dar nu vor să ţină cont de acestea? Sau poate vor, dar nu sunt lăsaţi să ţină cont de acest principiu? De către cine nu sunt lăsaţi? Ce forţe “oculte” nu-i lasă să ţină cont de aceste aspecte?

Pentru că, între timp, pe acest fond de neacţionare, profesorii de rând, în preocuparea lor egocentristă pentru rezultate cât mai bune la examene, fac exact opusul, anume încet dar sigur încarcă tot mai mult materia. Şi fac asta atât cei cu preocupări înspre excelenţă, dar se pare că şi cei din particular, considerând asta drept calitate, anume a îndopa elevii cu cât mai multe noi şi noi aspecte (am mai scris despre acel exemplu cu care mi-a venit la clasă o elevă, o “teoremă” primită de la orele în particular pe final de clasa a 8-a: este cunoscut că înălţimea într-un trapez dreptunghic ortodiagonal este medie proporţională a bazelor, cât şi despre efectul bulversant al acesteia asupra celorlalţi elevi din clasă; între timp pot să vă spun că am avut chiar şi o reclamaţie la ISJ în care se preciza că “nu îmi fac materia!“. Păi, da, recunosc că acea “teoremă” n-o făcusem la clasă).

Cel puţin în cadrul matematicii cu examen, este clară vulnerabilitatea unui dascăl care încearcă cât de cât să selecteze materia de predat, pentru a veni în întâmpinarea marii mase a elevilor care sunt covârşiţi de cantitatea uriaşă a cunoştinţelor. Astfel, doar colegii din minister au posibilitatea – şi autoritatea – de a pune nişte praguri eficiente în încărcarea activităţii noastre (să visăm oare spunând şi “în aerisirea” activităţii noastre?).

Şi nu mă refer aici la excluderea totală din materie a diferitelor teme de studiu grele (cum s-a întâmplat în trecut, de pildă cu unghiurile înscrise în cerc şi cu patrulaterele inscriptibile), sau amânarea cu prea mult a altora (de pildă a formulelor de calcul prescurtat la ora actuală). Mă refer mai degrabă, cum am mai spus, la o eşalonare a materiei pe nivele de dificultate corelate cu nivele de note (de pildă geometria aritmetică de a 7-a, adică teorema lui Pitagora cu numere întregi şi calculul de arii şi perimetre, obligatorii pentru toţi elevii pentru nota 6 la examen, pe când asemănarea triunghiurilor doar pentru cei care vor şi pot să treacă de nota 8 etc.).

Practic, noi suntem aici de zeci de ani într-o “luptă mută”, în care prioritizarea excesivă, totală a preocupărilor pentru excelenţă “urlă” constant în “gura mare” pe un ton de genul “doar nu vreţi să transformăm şcoala românească de matematică într-o şcoală pentru mediocri?”, în această “luptă mută” tentative de prioritizare a matematicii pentru elevii de rând (pentru cei 60%) fiind foarte firave, fiind mai tot timpul dominate de cei cu preocupări spre partea de vârf..

În acest sens, precizez a nu ştiu câta oară că nu ar trebui să se acţioneze într-o paradigmă de tipul “ori aia, ori cealaltă”, care produce masiv frustrare, ci mai degrabă ar trebui căutată alegerea unei paradigme de tipul “şi aia, şi cealaltă”, una alături de cealaltă, într-o formă de respect reciproc empatic. Va urma! CTG

P.S.  Pentru cei care încă nu aţi prins cu adevărat această surprinzătoare teorie, plecând de la ideea că recapitulările dese sunt “mama învăţăturii”, o reiau aici într-o formă concentrată: Principiul lui Pareto (Regula 80/20): 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Identifică acel 20% care contează cu adevărat şi concentrează-te acolo. Restul rămâne doar zgomot mascat de preocuparea excesivă înspre “productivitate”.

Cu alte cuvinte, şcoala matematică românească generală se preocupă cel puţin în 80% din timp pentru conţinuturi ce nu sunt esenţiale pentru cel puţin 80% din populaţia şcolară (într-un mare “zgomot general” mascat de preocuparea excesivă înspre “excelenţă”). Iar apoi ne mirăm de nivelul bulversant de AFM, sau de felul cum votează populaţia adultă.

Putem desigur conecta aceste aspecte cu cele din prima parte a acestui studiu, privind fenomenul din punct de vedere al capacităţii de atenţie a elevilor (în engleză “attention span”). Doar cei cca. 20% din elevi, cei de vârf, au capacitatea de atenţie suficient de bună încât să ne urmărească câte o oră întreagă. La ceilalţi pur şi simplu la un moment dat se rupe atenţia. Majoritate (să vorbim doar de cei 60%) au o capacitate de atenţie destul de redusă, de doar câteva minute. O prietenă bună a venit din SUA cu informaţia că acest interval temporal în care elevii sunt capabili să dea atenţie ar fi doar de cca. 6 minute (putem să ne observăm elevii; nu ţin la acest interval în mod fix). Dar, dacă cu adevărat există acest “attention span” (despre care la noi n-am auzit să se vorbească), atunci noi ar trebui să ne concentrăm atenţia clar pe includerea în acest interval de atenţie a celor mai importante informaţii din lecţia respectivă, deci asupra celor 20%, care oferă o cât mai bună înţelegere a părţii principale a lecţiei, adică a 80% din lecţia respectivă.

În final, ofer aici adresa articolului de unde a scos eleva mea ideile prezentate la început: https://www.researchgate.net/publication/341026786_Teach_Smarter_Not_Harder_The_Pareto_Principle_in_the_ELT_Classroom