(Alte) Două tipuri de matematică (2)

Profesorul Eugen Rusu vorbea în anii ’60-’70 despre două tipuri de matematică, matematica proces şi matematica rezultat. Le-am analizat din nou în prima parte a acestei miniserii. Totuşi, ţin minte că într-un moment a menţionat şi un al treilea tip, referindu-se la acesta drept matematica sportivă. Să analizăm la ce s-ar fi putut referi.

Activitatea matematică şcolară are tradiţional două componente, două nivele. În primul rând avem noile conţinuturi, care compun tradiţional aşa-numita “Lecţie”, conţinând noile noţiuni (eventual definiţiile) cât şi proprietăţile legate de acestea, aduse ca teoreme sau formule. Apoi avem partea de aplicaţii, exerciţiile, dar mai ales problemele. În mod obişnuit exerciţiile reprezintă aplicaţiile simple de exersare a noilor tipuri de rezolvări, pe când partea de probleme aduce aplicaţiile mai complexe, … da, aplicaţiile mai “problematice”, cele care nu sunt atât de evidente şi repetitive, care sunt compuse din mai mulţi paşi logici a căror depistare şi asamblare reprezintă de obicei o adevărată provocare.

Este evident că cele două tipuri de matematică despre care am vorbit în prima parte, matematica proces şi matematica rezultat, se referă la partea de “Lecţie”, adică la componenta de prezentare, de cunoaştere a noilor conţinuturi. Partea de aplicaţii în probleme, mai ales în formele sale extreme, este evident cea la care se referea Eugen Rusu când vorbea de matematica sportivă. Desigur că şi aici, la fel ca la orice sport, putem vorbi despre “sportul pentru mase” (temele suplimentare de la clasă), dar şi de “sportul de excelenţă” (munca suplimentară personală de nivel tot mai ridicat). Putem gândi şi următoarea analogie: exerciţiile corespund oarecum părţii de încălzire, pe când problemele corespund părţii de sport concrete. Analogia se termină însă aici. Pe când la sport trebuie început la fiecare nouă şedinţă cu exerciţii de încălzire, pentru a nu face o întindere musculară, la matematica sportivă exerciţiile apar doar la introducerea temei. Odată trecut elevul la nivelul problemelor, nu va mai avea nevoie pe viitor de “încălzire”. Astfel, putem spune că, spre deosebire de muşchi, o minte antrenată nu are nevoie de încălzire; o minte formată e întotdeauna încălzită şi de-abia aşteaptă noi provocări!

Din vremuri străvechi matematicienii s-au ocupat cu astfel de provocări. Mai recent apoi, Gazeta Matematică şi Olimpiadele şcolare au reprezentat tradiţional terenul de practicare a matematicii sportive, iar cu timpul au apărut tot mai multe concursuri pentru diferitele grupuri şi nivele de sportivi în ale rezolvării problemelor de matematică. Deseori profesorii implicaţi intens în acest domeniu erau numiţi “problemişti”, sau mai încoace spre vremurile noastre “olimpişti”, folosirea denumirii “de excelenţă” fiind una de dată mai recentă.

Pe de altă parte, trebuie să ne fie clar un aspect: când vorbim despre matematica proces sau despre matematica rezultat, de obicei vorbim despre predarea materiei noi pe una din cele două căi. Spre deosebire de acestea, matematica sportivă este despre aplicaţii şi mai ales diferite probleme ce pot fi aduse ca provocări, practic de matematică pentru concursuri. Deşi, ca atitudine, se poate aduce în faţa elevilor şi o problemă sub formă de matematică rezultat, ceva de genul “tu nu trebuie să te gândeşti; stai că-ţi arăt eu cum se face!”; astfel, elevul este informat, îi este adus la cunoştinţă cum se face, sau dimpotrivă, sub formă de matematică proces, de pildă prin îndrumarea elevului cu întrebări ajutătoare; astfel, elevul este împins spre, dar şi învăţat a face singur paşi de gândire. Ca o paranteză privind, este evidentă aici asemănarea cu pilda despre deosebirea dintre a-i da unui om un peşte, pe care îl poate mânca şi gata, dar mâine iar va fi flămând, sau varianta de a-l învăţa să pescuiască, astfel încât să devină autonom şi să aibă de mâncat tot timpul.

Un alt aspect important al matematicii şcolare îl reprezintă evaluarea, îndeosebi evaluarea finală sub formă de examen, ca mod de confirmare a ciclului absolvit, dar mai ales pentru filtrarea candidaţilor doritori la accederea în forma ulterioară de învăţământ.

Din câte am înţeles, pe vremuri examenul de bacalaureat conţinea şi o probă orală, iar la aceasta tinerii erau verificaţi inclusiv din zona noţiunilor teoretice. Odată cu desfiinţarea acestor probe orale, au dispărul din examene şi verificarea directă a teoriei, aceasta având loc mai departe doar indirect, în cadrul rezolvărilor diferitelor probleme. Adică, de cca. jumătate de secol, elevul nu mai este pus să dea o definiţie a triunghiului isoscel sau să prezinte Teorema lui Pitagora, sau să prezinte formulele de calcul cu logaritmi etc., ci este suficient doar să le folosească corect, în cel mai bun caz să facă trimitere la acestea în cadrul unei rezolvări.

Ca urmare, nefiind verificate de decenii întregi, partea de teorie a lecţiei de matematică şi-a pierdut masiv din importanţa ce i se dă. După zeci de ani în care prezentarea teoretică a lecţiei a rămas totuşi pilonul principal al orei de matematică, de la o vreme lumea le-a abandonat. Cine mai pierde vremea acum cu lecţii ordonate şi lungi, cu detalierea în teoreme numerotate, în teoreme directe şi teoreme reciproce, în demonstrarea unor formule etc.? Pentru ce? Ar fi clar “doar o pierdere de vreme”! Deoarece examenele sunt numai din aplicaţii, din exerciţii şi probleme, încununate cu probleme grele pentru a-i departaja pe elevii buni, cei aducători de “rezultate” cu care să ne mândrim, este normal că de la o vreme forma lecţiei să se adapteze la aceste nevoi.

Cu alte cuvinte, matematica în integritatea ei nu mai este un obiectiv, nici al elevilor în învăţarea acestei materii, nici al profesorillor în predarea la clasă. Rămâne ca obiectiv şi toată lumea se concentrează doar pe învăţarea a acelor elemente care au şanse de a fi verificate la examen. Acest lucru îl susţine de fapt şi aşa numita “Legea lui Campbell“, despre care am mai scris (prima dată în https://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/ )

Această lege a acţionat în ultimii ani, la noi în România, pe două paliere: în primul rând, cum am discutat deja, a acţionat prin “eliminarea” părţii de prezentare a lecţiei teoretice în mod riguros de matematică rezultat, sau în mod mai pedagogic de matematică proces. La un al doilea nivel, Legea lui Campbell a acţionat ca filtru de selecţie a exerciţiilor şi problemelor care se fac la clasă sau la temă, în funcţie de ce probleme sunt posibile de a fi date la examen. Toată lumea poate observa că există probleme care sunt “la modă”, la fel ca şi probleme despre care putem spune cu mâna pe inimă că “aşa ceva nu se mai dă”. Imediat ce se dă o anumită problemă de un tip nou la examen, toată lumea se apucă să facă şi să propună probleme similare, eventual să dezvolte ideea respectivă în variante tot mai alambicate. Sursa de apariţie a acestora o reprezintă de obicei concursurile şcolare, dar şi culegerile diferiţilor autori (pe vremuri sursa principală o reprezenta Gazeta Matematică). Drept urmare, toată lumea ajunge să facă probleme de acel tip, la clasă sau la orele private, având loc efectiv un proces de dresură a elevilor în acel sens. Astfel, elevilor nu le mai este prezentată neapărat întreaga plajă de aplicaţii posibile, mai degrabă toată lumea concentrându-se pe problemele “la modă”.

Am putea spune că astfel sunt abandonate diferite tipuri de probleme şi tehnici de rezolvare, acelea care s-a dovedit că “nu se mai dau” la examene. Vom gândi în acest fel mai ales dacă vedem elevul ca un “calculator” sau un “smartphone” în care noi profesorii trebuie “să descărcam aplicaţii”, adică diferite tipuri şi tehnici de rezolvări, iar elevul la rândul său trebuie să le înveţe pentru a le putea reda la examen dacă se dă o astfel de aplicaţie. Putem folosi desigur şi comparaţia mai veche, privind elevul ca “un sac” în care noi trebuie să băgăm, să îndesăm diferitele tehnici de rezolvare..

Merită să atragem atenţia însă şi asupra unui alt aspect, anume a faptului că plaja diferitelor tipuri de probleme teoretic posibile este absolut uriaşă, cvasinemărginită. Ca urmare, tehnic, chiar nu este posibil să facem cu elevii toate felurile de probleme. Şi atunci, ce-i de făcut?

Să privim lucrurile şi invers: oare noi, rezolvitorii experimentaţi, cum acţionăm atunci când ne confruntăm cu o problemă din afara spaţiului nostru de rezolvări cunoscute? Şi aici se pot observa două categorii: pe de-o parte sunt cei care se blochează, pe de cealaltă parte, sunt cei care încep să gândească, să devină creativi şi inventivi, descurcându-se până la urmă şi în situaţii pe care nu le cunoşteau înainte. Dar, cum reuşesc aceştia să se descurce pe situaţii aprioric necunoscute, de unde şi cum au dobândit ei aceste abilităţi surprinzătoare de a se descurca pe o situaţie necunoscută dinainte? Păi, exact datorită faptului că au lucrat foarte mult pe aplicaţii din afara zonei de reţetare clară. Nu mă interesează să analizez şi o a treia categorie, anume a acelora care încep să caute o rezolvare în diferite surse, inclusiv pe net. După părerea mea, aceştia pot fi asimilaţi primei categorii.

Putem explica fenomenul şi astfel: într-o primă fază, ca elevi, învăţăm o serie de rezolvări, pe care apoi le extindem prin diferite combinări ale “figurilor de dans” matematic, lărgind astfel “paleta” tehnicilor de rezolvări. Am putea spune şi că extindem acel “ceva” pe care l-am putea denumi şi “zona de comfort rezolvatorist” în sensul combinării metodelor de rezolvare. Da, iar de la un anumit moment încolo, mintea rezolvitorului începe să poată face singură astfel de extinderi surprinzătoare, chiar şi în situaţii absolut noi pentru sine, în situaţii ce nu i-au fost prezentate anterior de către “un maestru”.

Fenomenul se poate analiza şi în alţi termeni, anume din punct de vedere al gândirii. De pildă, cum reuşeşte să decidă un părinte ce-i de făcut într-o problemă din culegerea actuală a copilului său, în condiţiile în care astfel de probleme nu se făceau şi nu apăreau în cărţi cu un sfert de secol în urmă (atunci când părintele a fost el elev). Ce-i spune lui ce şi cum să facă? Singurul răspuns este “Gândirea”. Părintele a învăţat matematica până la nivel de gândire; acum, chiar dacă a uitat elementele respective sau nu a văzut niciodată astfel de probleme, el are în continuare gândirea la dispoziţie; gândirea nu dispare (de obicei). Cred că, în mod similar, la nivelul nostru, cei care avem forţa să abordăm o problemă provenită total din afara zonei noastre de confort, probabil că o facem pe bază de “Gândire”.

Astfel, unii dintre noi reuşim să-i învăţăm pe elevi doar reţete, alţii reuşim să-i învăţăm şi să gândească. Totul depinde de felul nostru de a privi matematica, dar şi de felul elevilor de a privi matematica, sau chiar de dispoziţia lor de a învăţa (mai nou chiar şi de a se lăsa sau nu în a le fi educat felul de învăţare).

Apoi, vin diferitele concursuri sau examene, în care se verifică elevii cum şi-au dezvoltat abilităţile de rezolvare, dar şi aceste abilităţi de a lucra în afara zonei de confort. Cam aşa înţeleg eu ideea de matematică sportivă de masă. Desigur că există în paralel şi matematica sportivă de excelenţă. Despre aceasta nici nu are loc să vorbesc aici, neavând o legătură directă cu subiectul nostru (de la unele nivele de “olimpism” putem trece chiar la folosirea termenul de matematica sportivă “profesionistă”).

Oricum, pentru dezvoltarea cât mai bună a acestor abilităţi de rezolvare, este însă nevoie de cât mai mult timp de lucru. Ori, de vreme ce de zeci de ani nu se mai cer la examen elemente de teorie, s-a ajuns în mod natural la ideea de a reduce la cât mai puţin partea de lecţie teoretică, pentru a face loc cât mai mult aplicaţiilor. Astfel, până la urmă s-a întâmplat inevitabilul: lecţiile in componenta lor teoretică au scăzut masiv, până când, la ora actuală s-a ajuns de multe ori la înlocuirea directă a lecţiilor cu nişte simple rezumate. Să analizăm cum de s-a putut ajunge la aşa o ciudăţenie.

Nu mi-am propus să fac în acest sens un studiu exhaustiv, dar pot prezenta câteva surse ale acestui fenomen. În primul rând, după cum am prezentat până acum, avem dorinţa profesorilor de a elibera cât mai mult din timpul orei de matematică pentru partea de aplicaţii. Asta este clar, şi cred că asta este cauza principală. Dar mai există şi altele.

O cauză de care n-am auzit a se vorbi defel este mentalitatea multora de a-şi trimite copilul la şcoală cu lecţia deja cunoscută, ca “să ştie dacă este întrebat”. Această mentalitate oferă părinţilor practicanţi o falsă siguranţă, ei neconştientizând că altfel elimină cu totul gândirea din mintea copilului, confundând-o şi deci înlocuind-o cu simplele cunoştinţe.

Această mentalitate a ajuns să fie potenţată cu timpul şi de către profesorii particulari. Deoarece aceştia sunt plătiţi direct de către părinţi, mulţi ajung la ideea de a prezenta elevilor lecţiile în avans, astfel încât colaborarea respectivă să fie rapid vizibilă într-o creştere a notelor de la clasă. Rezultatul observabil în toate şcolile sau clasele cu pretenţii elitiste este că lecţiile nu mai trebuie prezentate la oră defel, pentru că elevii le ştiu deja de acasă.

Însă, nici măcar la o oră particulară profesorul nu va sta să predea detaliat şi “in-extenso” noile cunoştinţe în avans. El o va face desigur în format de rezumat, adică “pe scurt”, arătând apoi elevului imediat şi câteva aplicaţii (adică “la ce foloseşte” chestia asta).

Desigur că această politică de predare este susţinută şi de către majoritatea elevilor, sub gândul general “spuneţi-ne pe scurt despre ce-i vorba”, că oricum nu ne interesează prea multe aspecte (cu întrebări tupeiste de genul “da’ se dă la examen aşa ceva?”). Cunoscuta părere susţinută de diferiţi “atotştiutori” care-şi prezintă opinia cum că “toate se găsesc oricum pe net, la un clic distanţă”, deci de ce-ar mai trebui aprofundate la clasă în detaliu, această părere alimentează şi mai mult refuzul elevilor de a accepta lecţii mai detaliate.

Ciudat este că acestui “Cor” al celor care prezintă lecţiile noi direct în rezumat, cum spuneam, ceva de genul “stai că-ţi arăt eu pe scurt despre ce-i vorba”, s-au raliat şi conducătorii procesului matematic şcolar, atunci când au impus prin programa din 2017 Teorema lui Pitagora la sfârşitul clasei a 6-a direct ca reţetă, fără nici cea mai mică componentă justificativă.

Dar, practic ce se întâmplă atunci când înlocuim prezentarea unei lecţii complete şi coerente direct cu rezumatul acesteia? Cel mai important aspect este că lecţia nu mai contribuie la formarea gândirii matematice, elevii fiind doar “informaţi pe scurt” despre ce este vorba în această lecţie. Se mai formează însă în acest mod de predare măcar un fel de “Gândire”? Sau, altfel spus, ce fel de “Gândire” se formează astfel? Consider că este destul de important să găsim un răspuns clar la această întrebare, deoarece aceasta ne poate lămuri despre felul cum va raţiona în curând marea masă a populaţiei României (de fapt, cum deja se cam raţionează).

În primul rând însă, trebuie să înţelegem că avem de introdus “oficial” în acest moment o nouă categorie de predare a matematicii, faţă de cele două despre care am discutat deja. Deci, pe lângă predarea prin matematica proces şi predarea prin matematica rezultat, mai nou putem vorbi şi de predarea prin matematica rezumat, care a fost introdusă direct în predarea iniţială din motive de eficientizare temporală, ca să facă loc în oră pentru cât mai multă matematică sportivă, aia care se cere de fapt la examene.

Îmi permit să analizez puţin “istoricul” procesul apariţiei acesteia, a matematicii rezumat, aşa cum l-am trăit eu personal. Primele elemente de matematică ce ar putea fi denumite drept matematică rezumat le-am avut în carneţelul meu de formule din clasele 9-10 (pe care şi acum îl am pe undeva). Conţinea formulele pe care eu m-am gândit să le scriu acolo, fie considerându-le “foarte importante pentru matematică” (de pildă formulele de calcul prescurtat), fie că aveam nevoie de ele dar le tot uitam, acestea fiind importante în acest sens, anume ca să le pot repeta eficient, să nu le am de căutat în multe locuri. Ce nu am considerat să trec în acel carneţel de fapt mie nu-mi trebuia defel; le ştiam şi gata. Am constatat că până departe în facultate, diferitele informaţii îmi apăreau în memorie din acest carneţel (exact în locul din pagină unde le trecusem eu); ce şi cum era trecut în acest carneţel făcut de mine, exact la fel era şi în mintea mea, dar şi în sufletul meu.

În timpul liceului, profesoara noastră (mai exact mama mea, profesoara Maria Grigorovici) a practicat următoarea politică de consultaţii: în clasa a 11-a ne aducea după-amiaza la consultaţii, în care de fapt ne recapitula teoria lecţiilor din clasele 9-10. Aveam un carneţel mai hotărât şi mai gros, cu coperţi îmbrăcate (la ambele am avut grijă să fie cu pătrăţele, dar erau nişte pătrăţele mai mici, cam de 4 mm). În clasa a 12-a am continuat cu aceste consultaţii în acelaşi carnet cu recapitularea lecţiilor de a 11-a şi în final a 12-a. Aceste lecţii erau desigur mult mai complete; de obicei ştiam de acolo cam totul şi doar vedeam o recapitulare completă “profesionistă”. În mintea mea însă nu mi-au rămas imagini din acest carnet; pe acesta doar l-am copiat de la tablă cuminte şi atât. Singura imagine ce o mai am (relativ) este coperta. Nici pe acesta însă nu l-am aruncat, considerându-l prea valoros. În acest sens, am informaţii despre diferiţi foşti elevi care, emigrând în străinătate care pe unde, şi-au luat cu ei şi acest carnet copiat în anii liceului cu toată matematica şcolară. Cineva chiar povestea cum a trebuit să dea un concurs din matematică, pentru un job undeva în Caraibe, a recapitulat toată matematica din acest carnet şi a luat postul.

Personal, ca profesor, nu consider deosebit de eficiente carneţelele oferite de diferitele edituri, dacă elevul nu are chef să înveţe. Dimpotrivă, un carnet făcut de către elev personal are o mult mai bună energie fixatoare decât cele găsite pe piaţă, chiar dacă acelea sunt desigur mult mai complete. Iar dacă elevul îşi face mai multe forme de recapitulare de formule, atunci eficienţa memorării creşte masiv. De pildă, pe lângă carneţelul de formule ce poate fi luat în ghiozdan la şcoală sau la orele privat, elevul poate face şi un “afiş” lipit pe dulap alături de biroul unde invaţă; am văzut elevi care îşi notau în grabă tot ce nu ştiau la începutul culegerii cu teste. Important este că ce scrie elevul cu mânuţa lui, sunt şanse mult mai mari să le şi ţină minte. Dimpotrivă, dacă afişul recapitulativ respectiv este făcut de altcineva, de pildă de către un părinte, copilul nu va ţine minte aşa de bine ce-i acolo; pur şi simplu nu are o legătură emoţională cu acestea, nu sunt “ale lui”.

Vedem din aceste exemple cum o matematică rezumat pregătită de către altcineva nu oferă o conexiune eficientă a minţii elevului cu respectivele cunoştinţe. Asta pentru că nu construieşte o conexiune de gândire eficientă şi de raţiune, dar nici nu oferă o reală conexiune sufletesc-emoţională. Se pare că de obicei mintea elevului le trece în modul “asta trebuie tocit, învăţat pe de rost”, ca să le ştiu până la examen. Pentru aceştia însă mai există o şansă de a face o legătură de gândire, chiar şi emoţională, anume în urma aplicării elementelor respective în exerciţii şi probleme. Pe asta se şi bazează cei care folosesc predarea prin matematica rezumat, anume că, dacă elevul lucrează apoi intens la aplicaţii din elementele respective, se vor conecta totuşi cu acestea. Da, se întâmplă aşa, însă doar în cazul unei munci serioase pe aplicaţii. Ar trebui însă să vedem ce fel de conexiune se produce în mintea şi în sufletul elevilor care învaţă matematica în acest fel.

E clar pentru oricine că matematica dezvoltă în mintea elevului gândirea. Ce fel de gândire produc şi dezvoltă însă cele trei feluri de predare a matematicii? Nu cred că trebuie cugetat mult într-o astfel de analiză, ca să ajungem la următoarea listă orientativă:

Matematica proces dezvoltă şi antrenează o gândire descoperitoare, inovatoare, iscoditoare. Elevul practicant este provocat să gândească el pe un subiect nou, despre care habar nu are şi pe care trebuie să-l lumineze prin propria gândire. Ok, nu de unul singur, ci împreună cu colegii săi şi conduşi de către profesor. Dar oricum, încet dar sigur se obişnuieşte să se confrunte cu situaţii noi, pe care să le înţeleagă în profunzimea lor, iar asta îl va ajuta mult în viaţă. De fiecare dată când se va confrunta cu o situaţie nouă, el va ştii să “apuce taurul de coarne”, să observe şi să înţeleagă. Confruntat cu orice situaţie nouă ce-i va apărea în viaţa profesională sau privată, se va lupta să fie el stăpânul situaţiei şi nu invers.

Desigur că acestea nu se aplică automat şi celor care stau pasivi la o astfel de lecţie, cei care nu se implică în procesul respectiv, ci doar copiază de la tablă dezinteresaţi. Sunt şanse mari ca aceştia să nu dezvolte gândirea despre care vorbeam mai sus, nici cine ştie ce înţelegere a fenomenelor învăţate. Totuşi, dimpotrivă, ultima afirmaţie nu se referă şi la elevii introvertiţi, care aparent doar copiază de pe tablă, dar care în sufletul lor sunt deosebit de implicaţi.

Da, iar apoi, prin învăţarea matematicii în proces “alături de un maestru” elevul dobândeşte şi gândirea deductivă, care este probabil cea mai valoroasă formă de gândire în viaţa de zi cu zi. Prin predarea matematicii proces, elevii formează o gândire deductivă generalizată; gândirea deductivă se formează desigur şi în cadrul problemelor, deci prin matematica sportivă, doar că acolo se dezvoltă doar o gândire deductivă cu aspecte concrete, de multe ori doar pe câteva exemple concrete, aceasta dezvoltându-se apoi rapid într-o “inteligenţă imitativă”.

Matematica rezultat cizelează mai degrabă o gândire de perfecţionare, o gândire aranjatoare, “arta” de a ordona cât mai coerent şi mai complet lucrurile. Dar asta se întâmplă doar cu condiţia ca elevul să se implice “din tot sufletul” în procesul de preluare a matematicii rezultat. Dacă nu o face, de exemplu dacă preluarea lecţiei este făcută prin simpla copiere dezinteresată de pe tablă în caiet, după care apare gândul de a învăţa lecţia acasă, de pildă dacă este apoi verificat din cunoştinţele respective, atunci elevul va tinde automat spre învăţare mecanică, direcţie care favorizează printre altele şi apariţia analfabetismului funcţional matematic (AFM). Doar la cei foarte rari, care pot pune cu adevărat suflet în preluarea lecţiei, predarea direct prin matematica rezultat poate dezvolta şi gândire deductivă. De fapt acei elevi foarte rari pot învăţa matematica pe această cale exact datorită faptului că ei au deja o proto-gândire deductivă, care apoi se dezvoltă natural în gândire deductivă, prin simpla imitaţie. La cei care nu au apriori această proto-gândire deductivă, dezvoltarea unei gândiri deductive sănătoase nu se poate face prin matematică rezultat.

Matematica rezumat, care se foloseşte evident la pachet împreună cu matematica sportivă, dezvoltă foarte bine o gândire aplicatoare. Pe elev nu-l interesează de unde vin acele elemente de lecţie, care-i logica lor “la sursă”; această formă de predare nu dezvoltă gândirea lui “De ce? De ce se întâmplă aşa?”, ci doar gândirea lui “Cum? Deci, cum trebuie să fac?”. Această formă de predare educă doar nişte mici “roboţei” aplicatori ai celor gândite de către alţii, după principiul: “Tu nu trebuie să gândeşti, tu trebuie doar să execuţi! Iar aceasta uite-aşa se face!”. În cadrul prezentării matematicii rezumat, de fapt nu se produce nici măcar un pic de gândire, ci eventual cel mult o inteligenţă de preluare. Noroc că aceasta este urmată apoi imediat de matematica sportivă, care are şanse de a recupera în formarea unor elemente de gândire, de pildă de gândire deductivă (cu precizările de mai sus, anume că aceasta este o gândire deductivă punctuală, deci ceva mai slabă, care trece uşor în spectrul imitativ). Şi da, practicarea puternică şi dedicată a matematicii sportive pe aplicaţii cât mai variate poate compensa cel puţin formele de gândire necesare şi verificate la examene (prin exerciţii şi probleme de toate nivelurile).

O observaţie specială a reieşit în discuţii pe această temă, anume că predarea prin matematică rezumat, însoţită apoi imediat de aplicaţii, îl obişnuieşte pe elev pentru ceea ce va veni înspre el în procesul de învăţare continuă ca adult, la cursurile la care va participa în formarea în viitoarea profesie, cursuri la care de obicei se practică tot acest fel de predare, anume direct în rezumat. La acestea se prezintă pe scurt cum stau lucrurile, ce au fost dezvoltate de către alţii (specialiştii, cei puţini care gândesc şi au participat la procesul de creare), iar el va trebui doar să-şi însuşească procedura de lucru. Nu trebuie să gândească ci doar să-şi însuşească noile proceduri. Fără “De ce?”, doar “Cum?”.

Recapitulând în concluzie, ordinea sănătoasă de predare a matematicii ar fi în următoarea succesiune: matematică proces – matematică rezultat – matematică rezumat! Cel mai sănătos ar fi ca cele trei forme să fie aduse în faţa elevilor chiar şi în zile consecutive, dar se pot face concesii în funcţie de situaţia concretă. Astfel, o predare perfectă ar trebui să respecte următorii paşi:

Pasul 1). Prezentarea subiectului şi cucerirea acestuia prin problematizare, adică prin gândire personală, în formă de matematică proces; în această primă parte elevul se leagă emoţional cu subiectul, îi înţelege logica, participă la “cucerirea” acestuia şi învaţă să pătrundă în general un subiect nou (abilitate folositoare “pe viaţa”).

Pasul 2). Ordonarea şi structurarea noilor informaţii într-o formă cât mai corectă de matematică rezultat; deoarece are subiectul “la suflet” din prima parte, în această a doua parte elevul învaţă de la sine să ofere rezultatul muncii sale într-o formă de o calitate cât mai bună (din nou, obicei general foarte sănătos “pe viaţa”).

Pasul 3). Recapitularea noilor informaţii ca matematică rezumat în forme cât mai eficiente pentru o memorare bună; dacă primele două părţi au fost parcurse sănătos, atunci această a treia parte va avea un efect de cristalizare în mintea elevului, acesta ajungând să stăpânească profund subiectul, să-l aibă “la degetul mic” (iarăşi, un obicei deosebit de sănătos în general “pe viaţă”).

Aducerea în faţa elevilor a aplicaţiilor (exerciţii şi probleme), în toate formele de matematică sportivă, ar trebuie să se întâmple intercalat cu paşii de predare, într-un mod crescendo corespunzător, de la cele mai simple până la cele mai complexe. Intercalarea acestora cu paşii de predare rămâne la latitudinea şi în funcţie de talentul şi simţul pedagogic al profesorului; dar şi desigur depinzând mult de empatia profesorului faţă de dezvoltarea şi evoluţia gândirii elevului, în opoziţie cu ambiţiile sale personale spre forme cât mai avansate ale matematicii sportive. C.Titus Grigorovici

Două tipuri de matematică (1)

Profesorul Eugen Rusu vorbea în anii ’70 despre două tipuri de matematică, matematica proces şi matematica rezultat. Îmi permit să detaliez puţin opoziţia dintre acestea.

Matematica rezultat este o matematică foarte clară din punct de vedere logic raţional, având acest aspect ca obiectiv principal, anume să fie “teoretic cât mai clară”. Cel puţin ca intenţie, aceasta se doreşte a fi o matematică într-o formă finalizată, teoretic cât mai bine închegată.

Modelul acesteia îl reprezintă Elementele lui Euclid. De la Euclid încoace toate cursurile de matematică au năzuit înspre starea exprimată de cursul acestuia, spre o structură perfect ordonată, cu un minim număr de axiome postulate la început, după care tot conţinutul ulterior fiind dedus logic, raţional, prin demonstraţie din axiome sau din rezultatele deja deduse (teoreme). Singurele ce pot adăuga informaţii noi în acest proces sunt definiţiile, dar şi acestea sunt de obicei construite cât mai “spartan” în exprimare, oferind elemente minimale. Rigurozitatea teoretică şi utilizarea cu “sfinţenie” doar a tripletei axiome – definiţii – demonstraţie, la care sunt cooptate ca punct central al acestei structuri teoremele deja demonstrate, acestea reprezintă idealul oricărei teorii matematice.

Matematica rezultat este construită doar pe bază de gândire pură, Elementele lui Euclid fiind un model pentru observarea, înţelegerea şi desigur, apoi, însuşirea gândirii specifice de construcţie a unei teorii matematice. Această proprietate, de a fi un model de ordonare raţională deductivă pură, a fost urmărită tot mai tare de către toate cursurile universitare din ultimul secol, dar şi tot mai mult de către unele manuale.

Toate cursurile universitare au această formă ca ideal existenţial. Aşa este structurată gândirea noastră de matematicieni. Această formă de ordonare a matematicii nu este însă potrivită pentru cunoaşterea acestei discipline de către elevi. Rigurozitatea extremă o face greu accesibilă minţii novice a elevului. Doar elevii cu o capacitate de concentrare şi abstractizare puternice sunt în stare să priceapă matematica pe această cale. Pentru marea majoritate a elevilor, o formă excesiv de riguroasă şi teoretică dă matematicii o prezentare “extraterestră” în faţa elevului începător.

Astfel, este evident că la o primă parcurgere, elevilor trebuie să le oferim o matematică corectă pedagogic, o matematică respectând criteriile de accesibilitate şi înţelegere necesare diverselor vârste, dar şi în general adaptate gândirii omeneşti normale, gândire ce cuprinde doar treptat lucrurile noi, şi mai ales lucrurile abstracte. Dacă nu se respectă aceste criterii de adaptare a matematicii la momentul introducerii, majoritatea elevilor cu o inteligenţă bună ratează totuşi conectarea cu această disciplină.

Dar, elevii au şi “un as în mânecă” în procesul de învăţare a matematicii, anume intuiţia. Folosită cu discernământ, intuiţia poate compensa lipsurile elevului începător în procesul înţelegerii teoriilor matematice. Astfel, la vârstele şcolare, matematica trebuie să le fie prezentată elevilor într-o formă intuitivă mai accesibilă, formă pe baza căreia gândirea elevilor duce la formarea sinapselor necesare înţelegerii matematicii în forme ulterior tot mai riguroase.

Însă intuiţia naturală umană nu are voie să participe oficial într-un curs de matematică pură, idee decisă undeva în jurul anului 1900. La această concluzie s-a ajuns în urma evoluţiei geometriei în secolul XIX, anume a luptei matematicienilor cu “demonstrarea” postulatul paralelelor, luptă pierdută, din care au apărut geometriile neeuclidiene, geometrii ce contestă acest postulat. Astfel, încet dar sigur în redactarea matematicii rezultat, adică a diferitelor cursuri în tentativa autorilor spre o ordonare cât mai pură, matematicienii teoreticieni s-au dezis de intuiţie, anume chiar de proprietatea gândirii care a hrănit iniţial apariţia tuturor elementelor matematicii.

Matematica proces, dimpotrivă, este mai dezordonată, obiectivul acesteia fiind drumul până la matematica rezultat. Vorbim aici de drumul de descoperire, de construcţie şi de înţelegere a matematicii, drum adaptat minţii care vine pentru prima dată în contact cu respectivele cunoştinţe.

Pentru început trebuie observat că în cazul matematicii proces lucrurile nu mai sunt atât de clare, asta chiar şi în sensul folosirii acestei denumiri. Astfel, pe de-o parte putem vorbi de procesul de descoperire adevărată a diferitelor elemente de matematică, şi este cunoscut că acest drum nu e unul corespunzător criteriilor de ordonare a matematicii rezultat. Această situaţie se întâmplă însă foarte rar, anume doar atunci când un matematician descoperă cu adevărat, adică în premieră, un fenomen matematic nou, negăsit din alte surse. Astfel, matematicianul care se aventurează pe un “drum virgin” foloseşte masiv intuiţia, păşeşte de multe ori “un pas în gol”, ca apoi imediat să facă “al doilea pas pe teren clar”, la început bâjbâie, dar cu timpul teoria se clarifică şi încet totul se lămureşte. Aici vorbim de o categorie foarte rară de matematică proces, pe care am putea-o denumi matematica proces de descoperire iniţială, ce are loc atunci când este vorba de descoperirea unor elemente necunoscute de către omenire până la acel moment (sau măcar neprezente în orice sursă disponibilă matematicianului respectiv la acel moment, cum se pare că s-a întâmplat în repetate rânduri în cazul lui Srinivasa Ramanujan).

Pe de altă parte, mai avem şi matematica proces de descoperire individuală, anume calea pe care un învăţăcel o parcurge în drumul său personal de descoperire, a matematicii deja cunoscută de către alţii. Acest fenomen apare mult mai des şi la acesta ne referim în mod obişnuit când vorbim despre matematica proces. Astfel, pentru claritate am putea denumi această variantă şi matematica proces pedagogic, pentru că ordonarea prezentării şi a cunoaşterii diferitelor elemente trebuie realizată de către dascăl, de către cel care pregăteşte (pre-găteşte!) traseul “de descoperire” în funcţie de criteriile pedagogice, criterii care diferă substanţial faţă de cele de ordonare puristă din matematica rezultat. Mai mult, ordonarea şi construcţia matematicii în procesul pedagogic se bazează pe existenţa apriorică a intuiţiei în mintea elevilor (chiar şi în cazul adulţilor, al studenţilor), aceasta fiind singurul aliat clar al dascălului (al maestrului) în pornirea gândirii matematice a elevului, respectiv în procesul de cucerire a noilor informaţii, de obicei foarte abstracte din matematică.

Aici avem prima diferenţă majoră dintre cele două tipuri de matematică, anume că matematica rezultat pură refuză folosirea intuiţiei, pe când matematica proces o foloseşte intens.

Revenind la gândirea matematică, chiar şi din punctul de vedere al acesteia avem o mare diferenţă între cele două matematici. Pe de-o parte, matematica rezultat prezintă gândirea în forma ei pură, dar oarecum “expusă spre admirare”. Astfel, manualul apare în faţa învăţăcelului aidoma unei vitrine în care pot fi privite gândirea şi raţionamentele pure matematice (uneori chiar “admirate”). Dar acestea sunt accesibile doar celor cu adevărat pasionaţi de această prezentare, sau desigur specialiştilor, adică celor deja cunoscători ai fenomenelor respective, care admiră mai ales ordonarea elementelor prezentate şi redactarea cât mai spartană a acestora.

Elevul de rând nu are de obicei forţa de a depune efortul necesar pentru a înţelege şi a prelua gândirea dintr-un manual structurat ca un curs matematic. Dimpotrivă, matematica proces conduce învăţăcelul pe o cale în care să-şi formeze, să-şi structureze şi să-şi exerseze gândirea, pornind de la gândirea sa iniţială neşcolită abstract prin matematică, să-i zicem “proto-gândirea” sa iniţială, şi urcând pe acest drum spre o gândire ordonată şi educată.

Astfel, din punct de vedere al învăţăcelului, pot accesa la nivelul de gândire şcolită matematic două tipuri de oameni. În primul rând sunt cei foarte foarte puţini, adevăratele talente matematice, anume cei care pot accesa natural gândirea, chiar şi cea prezentă în matematica rezultat, făcând-o natural, aparent fără mari eforturi. Revin însă cu precizarea că aceştia sunt extrem de rari. Apoi, există cei cu o predispoziţie mai mare sau mai mică spre o astfel de gândire, doar că aceştia au nevoie de un ajutor suplimentar, ei putând învăţa matematica doar dacă le este prezentată corespunzător. Aceştia sunt însă cei foarte mulţi şi spre ei trebuie să se îndrepte atenţia pedagogică a dascălilor, a profesorilor de matematică preuniversitari.

Dar, cum anume trebuie făcută această prezentare? Tehnic este simplu, deşi parcă toată lumea ratează ideea: elevul trebuie implicat într-un proces de reconstrucţie şi de redescoperire a matematicii, respectându-i nivelul şi posibilităţile intuitive de gândire şi de implicare intelectuală din acel moment. Însă, pe cât de simplu a fost să redactez această frază, pe atât este de complicat de pus în practică.

Nu este obiectivul acestui eseu să analizez cum s-ar putea face asta, dar sfatul general este ca drumul de studiu să fie unul oarecum similar cu cel pe care s-a mers atunci când au fost descoperite elementele respective de matematică, desigur inclusiv prin implicarea serioasă a intuiţiei. De obicei, noi nu ştim însă cum a gândit cel care a descoperit pentru prima dată acele elemente matematice, aşa încât obiectivul realist ar fi să gândim un traseu de descoperire “cât mai posibil” de a fi reprezentat traseul iniţial de descoperire. Tehnic, din partea dascălului acest proces trebuie să conţină cât mai puţine explicaţii şi cât mai multe întrebări, cel mai bine întrebări în paşi cât mai mici, prin care să se obţină implicarea gândirii elevului. Cu cât întrebările sunt mai bine alese, cu atât elevul va reuşi să răspundă prin propria implicare mai bine şi cu atât satisfacţia acestuia va fi mai mare. Şi cu cât satisfacţia internă va fi mai mare la elev, cu atât acesta îşi va dori şi mai mult să înveţe matematică.

Aşadar, putem spune pe scurt că învăţarea matemaicii din matematica rezultat este accesibilă doar celor foarte foarte puţini, elevilor cu un talent şi o înclinaţie profundă spre matematică. Dimpotrivă, învăţarea matemaiticii în urma parcurgerii matematicii proces este accesibilă marii mase a elevilor dotaţi cu o gândire obişnuită (corpul principal din “Clopotul lui Gauss”). La aceştia problema este doar în găsirea căii de a-i atrage în acest proces.

Dacă am identifica profesorul cu matematica practicată şi predată de către acesta, atunci am putea observa că profesorul ce alege să prezinte doar matematica rezultat, preocupat doar de perfecţiunea predării (uitaţi cât de bine o stăpânesc!), acesta se prezintă în faţa clasei ca un matematician egocentrist, în afară de sine şi de “matematica sa” dedicat cel mult doar elevilor de vârf (mai “sus” nu poate preda pentru că nu l-ar mai înţelege nimeni şi şi-ar anula astfel starea de profesor, rămânând fără auditoriu în faţa căruia să-şi etaleze cunoştiinţele, deseori cu mare mândrie). Dimpotrivă, profesorul ce alege să prezinte mai mult matematica proces, acesta se prezintă în faţa clasei ca un umil matematician altruist, dedicat fiind marii mase a elevilor (arătându-le celor mulţi că “pot şi ei gândi”, măcar şi doar la pasajele mai uşoare ale matematicii). Aceste aspecte sunt desigur valabile la orice materie şcolară.

Rămânem aşadar cu următoarea idee: matematica rezultat oferă un model cât mai apropiat de perfecţiunea gândirii matematice, dar care este extrem de inaccesibil elevului de rând în procesul de învăţare a matematicii. Acest aspect este foarte important, arătându-ne cât de mult “gafează” cei care se prezintă în faţa unei clase şi încearcă să predea ca şi cum ar reda un curs despre acel subiect (da, a reda, aidoma unei înregistrări, ceva de genul “vedeţi cât de bine-l ştiu?”), conţinuturile fiind aranjate cât mai riguros matematic, dar neimplicând elevii în procesul de dezvoltare a gândirii specifice. Dimpotrivă, matematica proces conduce elevii pe drumul cunoaşterii matematice, cu respect faţă de gândirea în dezvoltare a acestora. Profesorii care aleg astfel de căi corecte pedagogic formează mai degrabă viitori oameni cu o gândire raţională coerentă.

Un aspect colateral îl reprezintă faptul că implicarea elevilor în procesul de dezvoltare a gândirii specifice mergând prin matematica proces ia mult mai mult timp decât simpla predare a matematicii rezultat, adică decât prelegerea unei lecţii (în care profesorul prezintă şi elevul copiază în caiet, înţelegerea şi învăţarea rămânându-i de obicei elevului ca sarcină pentru acasă). Mă repet: matematica proces ia mult mai mult timp decât matematica rezultat! Aici apare desigur vina evidentă a încărcării de-a lungul timpului a materiei prin tot mai multe şi tot mai profunde cunoştinţe, atât teoretic, cât şi ca nivel de dificultate a aplicaţiilor, astfel încât eficientizarea temporală a necesitat abandonarea matematicii proces în detrimentul matematicii rezultat.

Aşadar, matematica proces formează gândirea, elevul înţelegând fiecare pas şi logica sa, pe când formarea gândirii din matematica rezultat este mult mai puţin accesibilă elevilor de rând, aceasta formând mult mai greu gândirea (adică la foarte puţini elevi). Şi atunci ce fac elevii de rând dacă sunt forţaţi de către sistem să înveţe matematica dintr-o astfel de sursă, adică dintr-un manual structurat ca matematică rezultat? Păi simplu, încep să înveţe pe de rost, deoarece nu reuşesc să formeze o legătură de gândire cu acele cunoştiinţe. Da, şi aşa a apărut ideea că matematica trebuie învăţată pe de rost (adică “tocită”, sau, cum se mai zice, “învăţată mecanic”), în loc să fie învăţată prin înţelegere (deci prin gândire). Apariţia analfabetismului funcţional matematic (AFM) vine aici natural ca următorul pas evolutiv. Mai exact: impunerea matematicii rezultat ca model de învăţare împinge în mod natural mintea elevului spre învăţarea pe de rost şi spre preluarea “ad litteram” a unor conţinuturi, indiferent dacă acestea sunt înţelese sau nu (abordare ce “garantează” dezvoltarea AFM).

O situaţie specială au trăit-o câteva generaţii, anume cei care au trecut din gimnaziu în liceu între 1978 şi 1981, care au învăţat geometria plană la o primă trecere, în gimnaziu, în format specific matematicii proces, ca apoi să o reia într-o a doua trecere în clasele de liceu în format specific matematicii rezultat. În această formă desigur că a funcţionat. Dar generaţiile următoare au fost forţate să cunoască geometria direct în forma de matematică rezultat (începând din 1981), iar pe această cale învăţarea a mers mult mai greu.

Orice persoană cu un raţionament de bun simţ înţelege că introducerea într-o temă trebuie să fie făcută în formatul matematicii proces, iar apoi, la vârste mai avansate, la o a doua trecere, aceasta poate fi reluată, sintetizată şi structurată în formatul matematicii rezultat. Prima aduce înţelegerea şi formarea gândirii specifice, a doua aduce ordonarea şi modelul ideal de gândire a matematicii. În prima formă se conduce elevul pe o cale similară cu cea pe care trebuie să fi mers cei care au descoperit acele cunoştinţe; în a doua formă elevul primeşte o formă finală evolutiv a acestora, anume ştiinţa.

Aceasta este ordinea naturală de cunoaştere. Modelul de predare a matematicii impus prin reforma începută în 1978 pe primele manuale de liceu şi finalizată prin manualele din 1981 pentru gimnaziu, a făcut exact opusul, anume a încercat predarea pe baza unor manuale redactate în format de matematică rezultat, eliminând masiv matematica proces. Înlocuirea manualelor pe bază de matematică proces cu unele structurate ca matematică rezultat a reprezentat cea mai mare gafă pedagogică de la sfârşitul secolului XX în şcoala românească. Despre asta avertiza Profesorul Eugen Rusu în cărţile sale din anii ’60-’70.

Pentru o înţelegere corectă trebuie făcută o precizare de clarificare: când vorbim despre matematica rezultat, respectiv despre matematica proces, vorbim de fapt despre două forme extreme şi mai exact despre idealul reprezentat de aceste două forme. Atunci când se redactează un manual, linia de lucru şi abordarea materiei se poziţionează de fapt “undeva” între cele două extreme. Nimeni nu poate “vinde” unei ţări întregi un manual redactat într-o formă pură de matematică rezultat, cum, tot aşa, nimeni nu va putea “aduce” un manual redactat într-o formă pură de matematică proces. Din punct de vedere al manualelor de matematică, problema tratată în eseul de faţă este despre poziţionarea acestora pe “plaja” dintre cele două extreme (am putea spune pe “evantaiul” cuprins între cele două forme extreme de predare), anume despre echilibrul just dintre cele două tendinţe, matematica proces şi respectiv matematica rezultat.

Din câte am putut observa, manualele româneşti din anii ’60 –’70 prezentau matematica într-o formă echilibrată între cele două forme extreme. Apoi, prin reforma de la sfârşitul anilor ’70 abordarea a fost dezechilibrată, fiind dusă mult mai înspre o formă direct de matematică rezultat, eliminându-se masiv componentele de matematică proces. La început, această transformare a fost impusă doar prin manualele de liceu (deci la elevi mai maturi), dar apoi respectiva linie de abordare a predării, adică a introducerii materiei, a fost impusă şi în manualele gimnaziale. Mai ales geometria gimnazială (la primul contact cu materia) a avut masiv de suferit în urma acestei modificări de politică a predării, de unde prin extensie – încet dar sigur – a avut de suferit întregul proces de formare a gândirii la următoarele generaţii. Şi apoi ne mirăm despre nivelul uluitor de analfabetism funcţional matematic din România (cca. 50%), vizibil de fapt şi în modul cum votează actualmente românii la diferitele alegeri!

Într-o exprimare vulgară am putea spune că la reforma respectivă, de mult uitată, s-a cam pus “carul în faţa boilor”! Iar faptul că această politică educaţională a fost păstrată şi după 1990, nefiind pusă nicicând în discuţie publică, a adus mari prejudicii matematicii şcolare româneşti, prin extensie şi asupra felului cum “gândesc” românii. Aceste aspecte ale predării nu s-au discutat, nu s-au lămurit, astfel încât majoritatea profesorilor nici măcar nu ştiu despre existenţa lor. Astfel, “lucrurile” au rămas într-o dulce perpetuare, un fel de “dolce far niente” în sensul unei lipse reale a îmbunătăţirii stilului de predare.

Să ne gândim doar că actualmente avem deja profesori de matematică la care nici măcar profesorii lor nu au cunoscut matematica proces când erau elevi. Profesorii tineri cu greu pot înţelege chiar şi prezentul eseu. Ei nici măcar nu au de unde visa că predarea lor nu este pe o linie sănătoasă. În acest sens, uneori mă simt ca şi cum aş vorbi despre ceva din altă lume.

Singurul “apropos fin” înspre o rezolvare a acestei situaţii a apărut la programa din 2017, când în sugestiile metodologice se făcea destul de puternic trimitere la revenirea la o predare mai intuitivă. Dar câţi au înţeles şi au luat în seamă acea recomandare? C.Titus Grigorovici

Şcoala, spațiu al devenirii, nu al dovedirii

Nu aș putea aborda în mod riguros problema finalității educației fără a porni de la o examinare critică a condiției actuale a școlii românești. Orice reflecție normativă asupra a ceea ce educația ar trebui să fie riscă să rămână suspendată într-un plan pur abstract dacă nu este confruntată cu realitatea concretă a instituțiilor educative. Înainte de a formula idealuri, este necesară înțelegerea lucidă a situației existente.

Una dintre caracteristicile cele mai evidente ale sistemului educațional contemporan constă în tendința sa de a funcționa mai degrabă ca mecanism de legitimare a valorii individuale decât ca proces autentic de formare a persoanei. Cu alte cuvinte, accentul pare să se deplaseze progresiv de la devenire către validare, de la cultivarea potențialului uman către demonstrarea performanței sale.

Această distincție nu este una terminologică, ci exprimă două concepții antropologice profund diferite. În paradigma formativă, elevul este înțeles ca subiect aflat într-un proces continuu de constituire intelectuală și morală. Educația urmărește dezvoltarea capacităților sale de judecată, consolidarea autonomiei sale spirituale și maturizarea raportării sale la adevăr. În paradigma validării, elevul este perceput în principal prin prisma rezultatelor pe care le poate produce și a indicatorilor prin care acestea pot fi cuantificate. Ceea ce primează nu mai este procesul devenirii sale, ci capacitatea sa de a furniza dovezi ale propriei competențe.

Această transformare reprezintă una dintre mutațiile axiologice fundamentale ale educației contemporane. În locul unei orientări privilegiate către adevăr, se afirmă tot mai puternic o orientare către performanță. În locul formării caracterului, accentul cade asupra acumulării de avantaje competitive. În locul aprofundării înțelegerii, este favorizată eficiența obținerii rezultatului măsurabil. Nu este întâmplător faptul că evaluarea succesului școlar se realizează predominant prin indicatori cantitativi, în timp ce procesele de reflecție, discernământ și interiorizare a cunoașterii rămân dificil de surprins în mecanismele instituționale de evaluare.

În acest context se conturează una dintre confuziile conceptuale recurente ale culturii educaționale actuale: identificarea cunoașterii cu inteligența.

Cunoașterea desemnează ansamblul conținuturilor intelectuale pe care individul le posedă. Inteligența desemnează facultatea prin care aceste conținuturi sunt organizate, interpretate și integrate într-o viziune coerentă asupra realității. Prima se referă la ceea ce omul știe; cea de-a doua la modul în care omul înțelege. Cunoașterea poate fi transmisă prin instruire. Inteligența nu poate fi transferată, ci doar cultivată prin exercițiul gândirii.

Dificultatea fundamentală a sistemelor educaționale moderne derivă din preferința lor structurală pentru ceea ce poate fi cuantificat. Cantitatea informației reținute poate fi evaluată cu relativă ușurință. Profunzimea înțelegerii, calitatea discernământului sau maturitatea intelectuală sunt însă realități mult mai greu de măsurat. În consecință, instituția școlară tinde să privilegieze acumularea în detrimentul reflecției și reproducerea în detrimentul judecății.

Totuși, valoarea intelectuală a unei persoane nu este determinată în mod direct de volumul informațiilor pe care le posedă. Ea depinde de capacitatea de a transforma informația în înțelegere, înțelegerea în judecată, iar judecata în orientare existențială. Simplul fapt al acumulării cognitive nu garantează nici profunzimea gândirii, nici maturitatea conștiinței. O memorie excepțională nu este echivalentă cu o inteligență autentică, după cum erudiția nu coincide în mod necesar cu înțelepciunea.

Consecințele acestei orientări depășesc însă sfera intelectuală și ating dimensiunea morală a formării umane. În momentul în care performanța devine criteriul suprem de evaluare, adevărul încetează să mai constituie valoarea fundamentală a actului educativ. Mijloacele tind să fie subordonate rezultatului, iar exigențele integrității sunt relativizate în funcție de avantajele obținute. Astfel, frauda academică nu mai apare exclusiv ca abatere individuală, ci și ca simptom al unei dezordini axiologice mai profunde.

Problema fraudei nu constă doar în falsificarea unor rezultate punctuale. Semnificația sa este mult mai profundă, întrucât ea contribuie la formarea unor dispoziții interioare incompatibile cu raportarea autentică la adevăr. Repetată și tolerată, falsificarea realității riscă să se transforme din excepție în normă și din abatere în obișnuință morală.

Or, procesele formative care se desfășoară în interiorul școlii nu rămân niciodată limitate la spațiul instituțional al educației. Structurile politice, economice, administrative și culturale ale unei societăți reprezintă expresia modului în care au fost formate conștiințele celor care le alcătuiesc. Corupția instituțională nu apare spontan; ea presupune existența unor dispoziții morale prealabil constituite. Iar constituirea acestora este inseparabilă de procesul educativ.

Din această perspectivă, criza fundamentală a școlii românești nu poate fi redusă la probleme curriculare, administrative sau financiare. Ea este, înainte de toate, o criză a finalității educației. Problema esențială nu privește exclusiv metodele prin care educăm, ci mai ales tipul de om pe care intenționăm să îl formăm.

Dacă scopul ultim al educației este performanța măsurabilă, atunci numeroasele disfuncționalități ale prezentului apar ca efecte firești ale logicii sistemului. Dacă însă educația urmărește formarea unei conștiințe capabile de autonomie intelectuală, integritate morală și fidelitate față de adevăr, atunci întregul cadru instituțional trebuie reconsiderat în funcție de această finalitate.

În ultimă instanță, întrebarea fundamentală a educației nu este cât cunoaște omul, ci ce devine prin intermediul cunoașterii. De răspunsul oferit acestei întrebări depinde nu doar destinul școlii, ci și configurarea morală și culturală a întregii societăți. Nicio comunitate politică nu poate depăși în mod durabil modelul de umanitate pe care propriul sistem educațional îl consideră vrednic de a fi format. Zara Hola, 15.06.2026

Arta de a nu face ore – o completare “scurtă”

În urmă cu trei ani, pe 7 mai 2023, postam un articol pe această temă, cu vaga speranţă că, poate, odată spuse aceste lucruri, poate poate, vom vedea nişte schimbări în acest sens. Nişte schimbări în bine, desigur; doar că n-am lămurit ce înseamnă “bine” (adică “bine” pentru o educaţie înspre o atitudine de muncă cinstită şi sănătoasă, sau dimpotrivă “bine” pentru continuarea, chiar accentuarea stării de “dolce far niente” în această ţară). Dar să nu mai filozofăm. Înainte de a continua, pentru cei care n-aţi lecturat articolul din 2023, vă învit să o faceţi acum. Iată şi link-ul direct: https://pentagonia.ro/arta-de-a-nu-face-ore/

Dar, ce m-a apucat încât să reiau o temă deja tratată? Păi simplu, încet dar sigur, se acumulează noi şi noi aspecte în sensul subiectului tratat. Încerc să păstrez aceeaşi tonalitate a articolului original, poate doar “condimentă” cu unele nuanţe de “stand-up comedy”.

Anul acesta am două clase paralele de a 6-a. Cu una dintre ele am o oră lunea şi o oră vinerea; cu cealaltă nu am nici luni nici vineri. Doar în luna aprilie a acestui an şcolar la clasa cu ore luni şi vineri am pierdut trei ore faţă de cealaltă clasă. Nici nu mai stau să socotesc câte ore am piedut în tot anul la această clasă faţă de cealaltă. La anu’, sigur nu se va mai întâmpla această situaţie de dezechilibru; voi avea grijă.

Dacă apărea însă doar acest aspect nou, sigur că nu m-aş fi obosit să revin la tema nefăcutului de ore. Dar nu, în plus faţă de cele scrise în urmă cu trei ani, au mai apărut diverse altele. Şi – colac peste pupăză – am fost puşi anul acesta să facem şi mai multe ore. Noi, cei de la materiile de examen le şi facem, pe când, de obicei, dar mai ales în perioadele vulnerabile la chiulit, multe alte ore nu se prea fac (ca să mă exprim civilizat).

Sunt zile în unele şcoli, când elevii vin la şcoală doar pentru orele de mate (sau pentru diferite alte materii de examen). O fostă elevă, spre finalul clasei a 12-a (din alt liceu), îmi spunea în primăvara lui 2025 că merg la şcoală doar pentru istorie, că acolo “profu-i fain”. E dureros! Lumea află desigur de aceste aspecte, iar starea de dezaprobare şi lipsa de respect generată se răsfrânge asupra întregului sistem, adică şi asupra celor care-şi fac datoria. Cel puţin uneori (de multe ori lumea conştientizează totuşi că proful ăla sau profa aia îşi face datoria).

În plus, noi, cei cu vechime mare am primit, de fapt, 4 ore în plus pe săptămână, pe care le şi facem (noi, cei de mate, sigur, că oricum toţi sunt cu ochii pe noi), pe când masiv alte ore nu se fac, fie din cauza elevilor, fie şi cu complicitatea diferiţilor dascăli.

Dar ce alte forme şi motive de nefăcut ore au mai apărut între timp? Nu sunt neapărat “noutăţi” mari, doar că de unele am uitat în urmă cu trei ani. Păi, de prima mi-am adus aminte imediat după postarea primului articol, anume testările de aptitudini la clasele a 8-a pentru admiterea la licee care cer aşa ceva (limbi străine sau vocaţionale). Cel puţin o săptămână din luna mai este bulversată total la elevii de a 8-a. Am scris despre acestea şi le-am anexat într-un comentariu la articolul iniţial.

Dar nu-i singura modalitate de nefăcut ore în modulul 5 la clasele a 8-a. Nu ştiu cum e în alte părţi, dar în municipiu Cluj-Napoca se organizează Târgul Liceelor, o acţiune minunată în care toate liceele îşi organizează un stand de prezentare. Aşa că eu azi (când scriu aceste rânduri) nu am făcut oră cu clasa a 8-a, pentru că au mers la acest târg. În mod similar, săptămâna trecută clasele de liceu au mers la Târgul Gaudeamus (un minunat târg de cărţi, CD-uri şi alte cele în general educative), care “ca din întâmplare” nu se întâmplă exact în săptămâna Şcoala Altfel sau Verde a diferitelor şcoli. Revin cu întrebarea retorică: de ce suntem obligaţi să facem aceste activităţi “altfel” sau “verde” în mod compact, ca săptămână plină de 5 zile (ce reprezintă de fapt săptămâni de nefăcut ore), când oricum toată lumea face diverse activităţi educative de tip “altfel” izolat în alte momente, atunci când se iveşte ocazia? Răspunsul e simplu: “d’-aia!”, fiind susţinut cu îndârjire de un sistem birocratic retrograd.

Sigur, în ultima vreme în contextul celui de-al doilea război pornit în această primăvară, tot mai multă lume sesizează chiar contradicţia stupidă între ideea de “Şcoală Verde”, adică educaţie pentru un mediu mai curat, pe de-o parte, şi pe de cealaltă parte, diversele exemple de poluare şi distrugere a mediului cauzate de aceste războaie. Pe lângă poluarea şi distrugerile din Iran şi Strâmtoarea Urmuz, putem da şi un exemplu mai apropiat: drama tăcută trăită de speciile de delfin din Marea Neagră, ajunse destul de aproape de pragul de extincţie, datorită războiului din vecini. Dar, despre ce vorbim aici, când şi la noi în ţară găsim deseori exemple în sensul poluării.

Dar să revenim la nefăcutul orelor la nivel naţional. La vremea articolului iniţial se dădea doar o simulare, anume simularea naţională, care bulversează viaţa şi orele liceelor timp de una sau două săptămâni (EN şi Bac). Între timp însă am ajuns să avem şi simulări judeţene, acestea dublând numărul de ore de haos şi relativ nefăcut de ore. Iar tot mai mulţii elevi cu CES (Cerinţe Educative Speciale), care trebuie să dea examenul separat, deci şi simulările din timpul şcolii separat, accentuează situaţia de penurie de profesori şi săli de clasă în acele zile în şcoli. Păi, ce facem cu restul elevilor (să zicem cca. 90%) în timpul ăsta? Le dăm programul peste cap cum se poate mai bine (pentru că ne trebuie săli şi supraveghetori pentru simulare). Ultima reacţie de care am auzit este de “ore asincron”, adică elevii rămân acasă în acele zile şi “cică” primesc să facă proiecte. Eu nu ştiu cât să cred în aşa ceva şi cât acestea sunt doar mascarea de fapt a unor noi situaţii de nefăcut ore.

În acest sens, sigur este că eu am grijă să-mi cam termin materia de predat la clasa a 8-a cândva pe parcursul lunii martie, cel târziu până la sfârşitul lunii, pentru că de la o vreme nu mai ai cu cine sau când să mai faci ore serioase legate coerent. Oare aici ar fi potrivit de amintit şi exemplul profesorilor care nu-şi fac anumite lecţii, ci le dau ca temă elevilor (sau le subînţeleg ca atare)? Mă refer, de exemplu, la “minunea auzită de curând, că elevii să-şi conspecteze formulele de arie şi volum la corpuri, că “la clasă nu mai avem timp să le facem”. O astfel de atitudine se sprijină desigur pe “complicitatea autorităţilor”, prin faptul că aceste formule nu se mai apar defel pe subiectele de simulare sau examene.

Un aspect interesant evocat în articolul iniţial era despre excursiile organizate de către unele familii în timpul şcolii. În acest sens, pot spune doar că s-au înmulţit şi s-au diversificat situaţiile în care aceştia îşi învoiesc copiii de la şcoală pe diferite motive. Lipsitul motivat de părinte a ajuns să devină o normalitate nu doar în vecinătatea vacanţelor sau zilelor libere oficiale, ci şi oricând în timpul şcolii.

Astfel, suntem regulat confruntaţi cu situaţii din cele mai ciudate. Iată un exemplu recent de care am auzit. Un elev lipseşte pentru că a fost plecat într-o ţară din Asia de sud-est (în vacanţa de Paşte, cu prelungire desigur). Dar lipsitul se prelungeşte, iar când în sfârşit apare la şcoală, vine cu motivare de enterocolită, că “mâncarea a fost groaznică pe-acolo”.

Mai dau încă un exemplu proaspăt (fizic temporal sub 60 min. faţă de momentul când adaug aceste rânduri!). Mă întreabă o elevă în timpul orei “Ce am făcut în ora precedentă?”. La care eu îi răspund că era de datoria ei să îşi facă rost de lecţie dacă a lipsit. Iar ea mă întreabă dacă am auzit de Dresda, că ea a fost acolo şi a băut bere (clasa a 7-a). Fără comentarii!

Ca noutăţi clare faţă de acum trei ani, am ajuns să aud tot mai des de situaţii de tipul unor stagii de mai multe săptămâni (chiar luni la rând) în pregătiri pentru sporturi de iarnă, pregătiri ce au loc de obicei în Italia sau Austria. Această atitudine s-a extins, poate şi pe fondul situaţiei că un astfel de caz din şcoala noastră a ajuns se materializeze în participarea la Olimpiada de iarnă Milano-Cortina.

Iată în final şi un exemplu “mai neobişnuit” de justificare a nefăcutului de ore, întâmplat în urma ninsorii puternice şi total neaşteptate din ianuarie de la Cluj. Astfel, o cunoştinţă îmi povesteşte cum şi-a luat dimineaţa fiica de a 8-a (drumurile fiind puţin cam blocate) şi s-au dus pe jos ca pe vremuri, una după cealată pe cărarea dintre nămeţi, pentru că avea mate de la prima oră. Eleva a ajuns la timp, dar profesoara a decis să nu facă oră “pentru că au venit doar 8 elevi”. Şi nu a făcut nimic în acea oră.

Deci, cu alte cuvinte, toate-s vechi şi nouă-s toate!

***

Şi totuşi, nu pot încheia aici. Nu pot lăsa subiectul în această notă de “stand-up comedy”. Mai ales că – pare-se – oricum autorităţile nu văd această problemă. La nivelul autorităţilor, fiecare cu priorităţile sale, pe când priorităţile “fiinţei” numită generic “poporul român” rămân ca de obicei pe ultimul loc.

Mai presus de orice exemplu concret de oră la clasă sau zi de şcoală neţinută, se ridică întrebări de genul: Ce educaţie dăm noi aici? Cum ne educăm noi viitoarele generaţii? Ce nivel de conştiinciozitate construim noi în sufletele actualilor elevi?

Sau, poate, de fapt asta şi se doreşte: pe lângă educarea şcolară de calitate (din multe şcoli sau clase izolate), să creştem totodată generaţii de şmecheri, generaţii de descurcăreţi. Este clar că atât în politică, dar şi în alte domenii, cum ar fi zona afacerilor mari sau zona “lunecoasă” a acelor multor posturi bine plătite din sistemul bugetar, peste tot înfloresc “şmecherii” şi “descurcăreţii”.

Iar dacă ne gândim bine, mulţi dintre noi ducem de fapt “în suflet” o viaţă dublă, cumva pe de-o parte harnici şi muncitori cât ne dictează coştiinţa, dar în paralel şmecheri şi fentând sistemul, la fel cât ne dictează conştiinţa; facem asta “forţaţi”, de pe vremea fanarioţilor sau a comuniştilor, fără să ne dăm seama că aceia nu mai sunt prin zonă. Starea este surprinsă în mod briliant într-o reclamă la vopsea de pereţi (care este redată din nou în zilele acestea printre spoturile publicitare de la televizor). Iată textul acesteia integral:

Danke! prezintă: Schmeckermeister [Şmechermaistăr] -Acea senzaţie că-n interiorul tău se află doi lupi ai zugrăvitului, unul şmecher, celălalt meşter. -Vă rog, unul dintre lupi să poftească la masă! Danke! Vopseşte nemţeşte.

Oricine poate găsi în jurul său exemple în acest sens, exemple a faptului cât de înrădăcinate în “mentalul general” sunt aceste impulsuri de şmecherie şi “fentat sistemul”, în detrimentul ideii de a-ţi face datoria şi de a o face bine, nu de mântuială. Iar chiulitul elevilor reprezintă dovada centrală a acestui fenomen cancerigen din societatea noastră. Prin gimnaziu se începe, dar în liceu, începând chiar din clasa a 9-a fenomenul devine “statutar”. De pildă, eu mă gândesc acum doar la ziua de joi 2 aprilie 2026, când la noi în şcoală, “Săptămâna Altfel” fiind, majoritatea elevilor clasei a 9-a (uman) n-au mai venit la matematică de la ora 11. Şi să vedeţi ce supăraţi sunt şi ce bullying fac la adresa celor care au fost la oră! Dar, de ce mă mir când la nivel naţional vedem acelaşi fenomen? Titus Chiulus Liberus

P.S. Iar dacă vă gândiţi că de data asta chiar am epuizat subiectul, vă anunţ că vă înşelaţi. Chiar când să mă pregăteam de postare, aflu următoarea situaţie interesantă de neparticipat la ore. Este vremea pentru diferite excursii şcolare, de exemplu excursii de o zi (care nu implică necesitatea unei cazări); dar desigur nu vinerea, când lumea are “program” (şi sigur nu în Săptămânile “Şcoala Altfel sau Verde”, care se pot întâmpla doar în anumite momente din anul şcolar, când pe cale de consecinţă “este înghesuială” şi se găsesc mai greu autocare). Iar uneori aceste excursii sunt cu întoarcerea pe seară. În astfel de cazuri, mulţi elevi se consideră îndreptăţiţi să nu vină a doua zi la şcoală. Că-s obosiţi, d’-aia! Iar părinţii motivează absenţele. De ce? De ce nu? Pe când, profesorii organizatori vin desigur a doua zi la şcoală, că pentru ei n-a fost greu, pentru ei nu a fost o zi plină de muncă.

Măcar, în această situaţie elevii cu pricina au avut chiar ei o activitate care poate duce la nefăcutul unor ore. Se poate întâmpla însă şi din motive total externe. De pildă, într-o şcoală care nu are spaţii libere, în cazul unei activităţi extraordinare, cum ar fi probele de aptitudini pentru candidaţii la clasa a 9-a. În acest caz, anumite clase se pot “trezi” cu anunţul că în zilele cu pricina nu fac ore de la … (situaţie şi mai proaspăt întâmplată).

Cine are “urechi să audă şi ochi să vadă”, poate afla şi de alte exemple. Trebuie doar observate şi notate. De exemplu, când un profesor pleacă la o activitate perfect justificată cu o clasă şi îşi aranjează orele pentru suplinire, dar procesul respectiv se cumulează cu altul, de pildă suplinirea unui alt coleg în concediu medical, atunci se prea poate să pornească prin şcoală un anumit “efect de domino” de nefăcut ore, efect ce loveşte la întâmplare cine ştie ce altă clasă. Şi în cazuri în care “necuratu-şi bagă bine coada” se poate întâmpla ca o clasă să fie ţinută la şcoală artificial ore la rând. Iar când copiii nu mai rezistă şi chiar pleacă de la şcoală, tot ei sunt certaţi că au chiulit.

Iată şi una de la soţia mea, una ceva mai complicată, de-a dreptul abstractă: de la ora 8 întârzie unii, datorită traficului, “că-i prima oră”; de la 9, la altă clasă, întârzie unii, datorită traficului, “că-i prima oră”; de la 10, la altă clasă, întârzie unii, datorită traficului, “că-i prima oră”; băi fraţilor, cum vine asta!? Las onorat cititorul să găsească o explicaţie la “minunea” asta. Şi ne putem da seama, în continuare, câte astfel de exemple nici măcar nu ne ajung la cunoştinţă, dar ele există, apar şi se întâmplă.

Vedem astfel că lista situaţiilor care pot duce la nefăcutul de ore se poate prelungi practic la nesfârşit. Doar acest P.S. pornit de la dorinţa de a adăuga un mic exemplu, s-a lungit la încă o pagină. Asta pentru că în mentalul general “s-a deschis această portiţă”, s-a creat această posibilitate ca fiind perfect în regulă de a nu face ore, de a nu ne face până la urmă datoria de zi cu zi, pur şi simplu pentru că există un motiv! Ceva de forma “relax, nu-i stres!”.

Singurul stres real apare doar în perioadele când nu “se mai întâmplă” astfel de situaţii de nefăcut ore, când nu mai apare nici cel mai mic motiv, şi suntem forţaţi să ne facem datoria conform orarului. Am ajuns să ne simţim inconfortabil atunci când trebuie să facem câteva săptămâni la rând ore ordonat şi complet. Atunci încep să se plângă toţi cât le este de greu. Pentru că asta facem noi de fapt la ora actuală, o educaţie pentru nemuncă! De fapt, de foarte multe ori asta am ajuns să facem noi în şcoala românească, o educaţie pentru fentat activitatea de zi cu zi. De foarte multe ori, unii mai mult, alţii mai puţin, doar ne facem că facem; pentru că trăim în teoria “formelor fără fond”, iar fondul din sufletul multora este doar înspre nemuncă. Iar asta s-a întins prin şcoala românească la toate nivelele aidoma unui cancer. E groaznic! Pentru un om doritor de a-şi face datoria, ce se întâmplă în jur e dureros!

Atenţia şi arta de a crea amintiri la ora de matematică

În urmă cu doi ani citeam o carte: Meik Wiking  Arta de a-ţi crea amintiri, Ed. Litera, 2019, cu subtitlul Cum să colecţionezi şi să-ţi aminteşti momente fericite. Pe copertă, sub numele autorului, apare precizarea: Institutul de Cercetare a Fericirii, Copenhaga. Ca un gând colateral, putem întreba: câţi elevi sunt fericiţi de obicei la orele de matematică? Citez în continuare dintre rândurile de prezentare de pe spatele cărţii:

Fiecare an are un număr fix de zile. Unele zile trec fără să lase nicio urmă. De alte zile ne amintim o viaţă. (…) Folosind cercetările despre fericire, Meik Wiking explorează modul în care putem învăţa să creăm amintiri fericite şi cum să le păstrăm mai bine. (…) Arta de a-ţi crea amintiri va analiza modul în care putem crea momente perfecte. Momente pe care ni le amintim pentru totdeauna. Momente care ne vor forma ca persoană.

Da, iar la un moment dat, în timpul lecturării acestei cărţi, în mintea mea s-a ivit impulsul de “a citi” acele rânduri prin prisma “Artei de a preda pentru a crea amintiri pozitive la ora de matematică”. Din acel moment lectura s-a desfăşurat cu un mare entuziasm, fiecare pagină fiind parcursă cu atenţia de a identifica acele pasaje care puteau fi înţelese, dincolo de sensul lor direct, în raport cu arta predării matematicii. Astfel, putem întreba din nou: câţi profesori pot afirma că reuşesc, fie şi numai din când în când, să creeze la ora de matematică momente desăvârsite, momente pe care elevii, sau foştii elevi, să şi le amintească întotdeauna, momente care îi vor fi format ca persoane?

În articolul de faţă doresc a vă oferi citate exemplare în acest sens, din cartea ce v-o recomand din tot sufletul, atât “în original”, cât şi în stilul “traducerii mele”, anume despre cum ar trebui să procedăm la ore, astfel încât acestea să conţină cât mai multă matematică “vie” din punct de vedere al impresiilor asupra elevilor. Visez de doi ani la acest articol, iar în tot acest timp gândurile mi-au revenit adesea la ideile respective, idei pe care le-am aplicat chiar din primele clipe, putându-le apoi observa eficienţa. În acest sens trebuie să conştientizăm că elevii actuali trăiesc tot mai mult într-o stare de emoţie constantă, iar mulţi dintre ei pot fi “câştigaţi” de partea matematicii prin tehnicile prezentate în această carte. O pot spune “cu mâna pe inimă”: predarea mea a evoluat mult în urma înţelegerii acestor nuanţe (din păcate, există şi mulţi elevi care trăiesc într-o emoţie negativă profundă, extrem de hotărâtă împotriva matematicii; pe aceştia nu-i convinge nimic).

Practic, această “trecere” neobişnuită de la lecturarea textului propriu-zis al cărţii, la “lecturarea printre rânduri” despre predarea matematicii, s-a produs în Capitolul III: INVESTIŢI ATENŢIE. Concret, la pagina 97 apare următorul pasaj: (…) atenţia noastră este o monedă. Este finită, o resursă limitată pe care o putem aloca. Investim atenţie în ceva. Atenţia noastră este o piaţă râvnită şi profitabilă. Iar în prezent, se pare că cea mai de preţ proprietate o reprezintă ochii noştri. În timp ce Netflix declară că somnul este adversarul lor cel mai de temut, agenţiile de marketing sunt în căutarea ultimei fărâmiţe din atenţia noastră încă nerecoltată.

Ca un comentariu personal, precizez că după apariţia acestei cărţi a venit peste noi pandemia, care prin izolarea forţată a oficializat folosirea generală a smartphone-urilor, a tabletelor şi a calculatoarelor, acestea la rândul lor “cucerind” şi ultimele resturi de atenţie a elevilor. Pe baza nivelului de atenţie efectiv disponibil în rândul majorităţii elevilor, putem pune întrebarea: în ce măsură mai poate fi predată eficient matematica, o disciplină complexă, a cărei înţelegere şi asimilare presupun un efort susţinut şi multă atenţie? Pe baza cărei “urme de atenţie rămasă disponibilă” în sufletul elevilor să mai predăm noi matematică? Chiar şi în absenţa utilizării telefoanelor în timpul orelor, se constată că atenţia, memoria şi procesele de gândire ale multor elevi rămân influenţate de stimulii digitali şi de conţinutul accesibil online, ceeea ce afectează capacitatea lor de implicare autentică în procesul de învăţare. Mai direct spus, chiar şi în absenţa telefoanelor, mintea multora le stă tot la atracţiile de pe net accesibile prin intermediul acestor aparate omniprezente.

Îmi permit aici un exemplu prin analogie: la începutul anilor ’80 muzica înregistrată a cucerit şi ultimele fărâme din timpul oamenilor petrecut pe stradă, în parcuri, la jogging, în mijloacele de transport în comun etc., adică pe scurt în afara încăperilor (unde oricum existau deja aparate de redare a muzicii: radiouri, casetofoane, magnetofoane sau pickupuri). Această cucerire a timpului personal de către muzica comercială s-a întâmplat odată cu extinderea folosirii casetofoanelor portabile de mici dimensiuni, care redau muzica doar în căşti (primul astfel de aparat, Walkmen de la Sony a apărut în 1980). Asta s-a întâmplat cel puţin ca posibilitate la tineri, mai ales în SUA, Japonia sau în vestul Europei. Dar odată cu extinderea audiţiei muzicii doar în căşti, la mare parte din populaţie nivelul auzului a scăzut vertiginos (într-un studiu din jurul anului 2000 citisem despre o scădere cu 40%). Putem observa acest nivel al auzului mult mai scăzut decât al “oamenilor obişnuiţi”, atunci când participăm la diferite petreceri (nunţi, botezuri şi alte banchete) unde pur şi simplu suntem terorizaţi de DJ-ul angajat, care ne chinuie cu un nivel insuportabil de ridicat al muzicii. Asta se întâmplă pentru că el are un nivel mult scăzut al auzului şi percepţia sa consideră că aşa este tocmai bine. Sub agresiunea acelui nivel de sonorizare, de pildă, nu poţi purta un simplu dialog cu vecinii de masă (la persoanele răguşite vara, la întrebarea dacă a băut apă rece de la frigider, deseori primesc răspunsul: Nu, am fost la o nuntă şi am “vorbit” cu vecinii de masă!). Ţin minte un moment de la un banchet recent de absolvire, când toţi profesorii studiau telefonul, pentru că ne era absolut imposibil să vorbim între noi. Singurii care nu erau “pe telefon” erau colegii care ieşiseră afară pe terasă “la fumat” (deşi nu fumau!).

În articolul unde am găsit informaţiile respective se vorbea inclusiv despre dispariţia cântatului cu toată clasa în excursiile şcolare, de pildă în autocar. Cu cât apăreau mai multe aparate de ascultat muzică în căşti, cu atât scădea disponibilitatea şi motivaţia pentru cântat. Pur şi simplu Michael Jackson şi Madonna erau mai cool. Pentru noi, ultima cântare într-un autobuz plin de elev a fost în toamna lui 1989, în judeţul Constanţa unde ne-am început cariera de profesori. După 1990 au început şi la noi să apară acele casetofoane de buzunar. Baterii să ai cât era nevoie.

Prin analogie, în acelaşi fel trăim actualmente “cucerirea”, din punct de vedere vizual, a ultimelor fărâme din timpul oamenilor petrecut în afara clădirilor (adică departe de ecranele fixe). În mijloacele de transport în comun, dar şi când aşteaptă un autobuz în staţie, majoritatea oamenilor stau acum “pe telefon”. Doar cei în vârstă fac de obicei excepţie, aceştia fiind obişnuiţi să stea şi să nu facă nimic, eventual doar să observe ce se întâmplă în jurul lor. Tehnic, telefoanele cu ecran şi muzică, adevărate “televizoare sau calculatoare la purtător”, oferind muzică şi filmuleţe oricât de multe, dar şi texte (chiar şi probleme de matematică), aceste aparate cu acces nelimitat la internet ne “consumă” şi ultimele fărâme de atenţie. Aplicând aici o simplă analogie, am putea spune că, aşa cum apariţia muzicii în căşti în anii ’80-’90 a dus la scăderea aproape la jumătate a nivelului de auz, tot aşa extinderea agresivă a smartphone-urilor din ultimii ani duce la o scădere cel puţin la jumătate a nivelului de atenţie disponibilă din partea majorităţii oamenilor. Iar apoi, în aceste condiţii noi să mai avem pretenţia ca elevii să fie atenţi la orele de matematică! Serios?

Revenind la textul studiat al lui Meik Wiking, găsim la pagina 100: Deci ce se întâmplă cu memoria când suntem atacaţi cu toate aceste arme de distragere a atenţiei în masă (…)? Iar la sfârşitul paginii 101, după ce a abordat puţin tema sarcinilor multiple şi a multitaskerilor, autorul concluzionează: (…) probabilitatea să ţinem minte – sau măcar să fim atenţi – este mai mică în era armelor de distragere a atenţiei în masă.

Foarte multe ar mai fi de citat din acele pagini, chiar pagini întregi. Mă voi rezuma însă doar la cele mai edificatoare dintre acestea, împreună cu comentariile mele scrise în vâltoarea lecturii. Astfel, chiar lângă titlul capitolului eu am notat următoarea frază: În clasele mici elevul trebuie obişnuit să investească atenţie, apoi să se bucure de rezultatele investiţiei făcute. Comentez eu acum, când redactez acest articol: când apoi să se bucure de obişnuinţa şi de capacitatea de a investi atenţie? Păi în gimnaziu şi în liceu, odată cu instalarea pubertăţii, când se porneşte la totala sa intensitate atacul smartphone-ului ca principală armă de distragere a atenţiei în masă, chiar de distrugere a atenţiei în masă.

În continuarea lecturii, tot mai des mintea îmi “deraia” din nou şi din nou, alunecând de la lectura propriu-zisă a cărţii, la “lecturarea printre rânduri” despre predarea matematicii. Această trecere s-a stabilizat şi s-a decis definitiv la pagina 115, unde găsim următoarele: Acordaţi atenţie! “Adevărata artă a memoriei”, scria Samuel Johnson, scriitorul britanic care a compilat Dicţionarul limbii engleze în secolul al XVIII-lea, “este arta atenţiei”. În josul paginii este reluată ideea: Adevărata artă a memoriei este arta atenţiei! La precizarea de la începutul paginii – Acordaţi atenţie! – eu am şi notat alături: Pay Attention! Precizez aici că expresia engleză “pay attention”, pentru “acordaţi atenţie, daţi atenţie”, tradusă mot-à-mot ca “plăteşte atenţie!“, exprimă fabulos însuşirea atenţiei ca act ce implică un cost real: ea nu este pasivă, ci presupune o alocare deliberată dintr-o resursă limitată. A înţelege ceea ce se desfăşoară înaintea noastră înseamnă, astfel, a consimţii să oferim din propria noastră atenţie, recunoscută implicit ca fiind valoroasă şi finită. Citeam eu desigur toate astea cu referire la atenţia pe care elevii trebuie să o dea în ora de matematică pentru a înţelege ce se predă.

Pagina analizată aici este ultima din acel capitol. Prima pagină din CAPITOLUL IV: CREAŢI MOMENTE CU SENS, (pag. 118) chiar din primele rânduri, ne precizează astfel: Ne amintim când suntem atenţi – şi suntem atenţi când suntem prezenţi, implicaţi, dedicaţi, când ceea ce vedem şi procesăm are sens pentru noi. Aşa cum am văzut în capitolul anterior, a fi doar expuşi la ceva nu înseamnă că ne vom şi aminti de acel lucru. Dacă nu este important – dacă este irelevant pentru noi –, probabil că nu îl vom observa, procesa, codifica, păstra. Reiau accentuat: dacă un lucru nu este important pentru noi, dacă este irelevant pentru noi, atunci de fapt nu îl vom păstra în memorie. Dar şi invers putem privi lucrurile: dacă ceea ce ne este prezentat la o oră nu are sens pentru noi, poate pentru că ne este prezentat ceva prea abstract de pildă, atunci sigur nu îl vom păstra în memorie. Iată şi schiţa pe care am făcut-o imediat după citirea acestor două pagini:

Mai exact: datoria mea ca profesor este să aduc în ora de matematică lucruri interesante şi fascinante, dar accesibile elevilor, pe când elevii trebuie să aducă ATENŢIE; doar atât, ATENŢIE! Într-o discuţie la o clasă de a 7-a din acea primăvară, au mai apărut şi alte aspecte în sarcina elevilor, însă acestea se refereau la munca de acasă (de pildă tema). Dar în ora de matematică elevii trebuie să aducă doar atenţia lor.

Iată şi un detaliu interesant al acelei lecturi din 2024: după ce am ajuns cu cititul la finalul cărţii, am luat-o de la capăt în acest stil, aşa încât am “contabilizat” toate pasajele ce ar avea o legătură cu predarea matematicii. În continuare încerc să vă prezint o scurtă selecţie a altor diverse pasaje, dintre cele mai edificatoare, din această ciudată lectură.

Începem la pag. 10: În cadrul unui studiu despre amintiri fericite, ca cea mai puternică sursă a amintirilor, cel mai important ingredient s-a dovedit a fi Atenţia, cu 100%, urmată de Multisenzorial cu 62% şi Emoţii cu 56% (destul de departe de 100%). În afara podiumului, dar cu procentaje demne de băgat în seamă, s-au mai clasat categoriile Semnificativ cu 37% şi Povestiri cu 36%. Într-o recapitulare de la pag. 14 autorul precizează: Acordă atenţie. Tratează-ţi momentele fericite ca pe o persoană iubită. Acordă-le atenţie! În acelaşi mod am putea spune: Ca profesor, generează momente deosebite în predare, conştient că acestea au o adevărată însemnătate pentru formarea elevilor. Nu te grăbi, ci frânează din goana nebună prin materie şi probleme; încetineşte ritmul, trăiţi împreună experienţa minunată a învăţării şi savuraţi momentul.

La pag. 21 citim: memoria episodică este foarte complexă şi se dezvoltă mai târziu în copilărie decât memoria semantică. Afli lucruri despre lume înainte să îţi poţi aminti propriile experienţe pe termen lung. Aici eu am desenat alături o steluţă în cinci colţuri şi am scris alături MATE, iar deasupra: când demonstrăm; explicaţii demonstrative, cu referire desigur la întrebarea despre când ar trebui să începem demonstraţiile, în contextul faptului că acestea au fost extrem de abuzate în clasele gimnaziale pentru un sfert de secol începând din 1981, iar apoi, actualmente au căzut într-o neglijare totală (un subiect ce ar merita tratat într-un articol separat).

La pag. 22 găsim indicii despre metoda “loci” (care utilizează vizualizarea şi memoria spaţială) pentru a-i ajuta să invoce amintiri fericite mai uşor. Precizez aici că acest termen “loci” este folosit în vest şi pentru ceea ce noi numic “locuri geometrice”. Cu alte cuvinte, pentru noi este important să înţelegem că anumite fenomene se pot înţelege şi ţine minte mai bine dacă sunt prezentate în conexiune cu o imagine, cu “un loc vizual”, dar şi într-un fel de mişcare vizuală a tuturor situaţiilor similare.

La pag. 27 autorul explică despre memorarea situaţiei printr-o imagine mentală a situaţiei în care se află personajele. Este mult mai eficient dacă personajele fac ceva (…). Aici eu am pus trei semne de exclamaţie şi am scris: Mate! Personajele (numerele) fac ceva, cu referire la felul în care predau eu cunoştinţele despre numere naturale din începutul clasei a 5-a, sub titlul “Magia numerelor naturale” (Suma Gauss, comutativitatea, puterea, numerele prime, divizorii etc.).

La pag. 55 găsim o enumerare ciudată: Balenă, cal, pisică, vultur, vacă, curcan, prăjitură cu brânză, elefant, după care următoarea precizare: Noi ţinem minte lucrurile extraordinare, lucrurile care ies în evidenţă. Fenomenul este cunoscut drept izolare sau efectul von Restorff (…). Din nou eu am scris alături MATE şi abuzarea sa în România! (deci abuzarea acestui fenomen în matematica şcolară românească). Las onorat cititorul să traducă acest gând. Eu aş da aici doar un exemplu conştientizat anul acesta, anume faptul că imediat după prezentarea piramidelor patrulatere regulate în clasa a 8-a noi ne aruncăm direct la cea mai specială, anume la piramida cu toate muchiile egale, care are o seamă de proprietăţi speciale. Astfel, prin ianuarie am conştientizat cu stupefacţie că mulţi dintre elevi înţeleg că este vorba despre acest corp atunci când se dă o piramidă patrulateră regulată.

La pag. 68: Ne amintim lucruri prin asociere (…). Fără alte comentarii! E bine să folosim orice oportunitate să prezentăm cunoştinţele matematice prin asociere. Aşa se ţin minte mai bine. Această afirmaţie este repetată la pag. 106: Noi ne amintim lucruri prin asocieri.

La pag. 87: (…) memoria noastră fotografică este superioară memoriei verbale. Completez eu: mai ales la actualele generaţii postpandemice, prezentarea informaţiilor prin imagini (figuri geometrice) este mult mai eficientă decât tradiţionalele definiţii sau teoreme cu texte pompoase. Oricum, la fenomenele geometrice prezentarea unor informaţii scrise fără figura asociată ar trebui interzisă prin lege şi sancţionată ca atare (dacă am trăi într-o societate responsabilă). Apoi, mai jos găsim: Cu cât imaginile sunt mai bizare (…) cu atât sunt mai memorabile. Iar alături eu am scris Mate! Ciocul de cioară! Într-adevăr, aflu de la elevi cum şi peste un an, în cadrul pregătirii din a 8-a, aceştia recunosc vizual teorema, o caută în caietul de a 7-a şi îi revăd cu bucurie chiar şi demonstraţia, apreciind-o ca frumoasă.

La pag. 109: Dacă vedeţi ceva fără să îi acordaţi atenţie, şansele să vă amintiţi acel lucru sunt mai mici. Din nou am notat alături Mate! Acest rând este urmat de o imagine conţinând scrise cu majuscule cuvintele: DETOXIFIERE DIGITALĂ. Aş scrie doar: q.e.d.

La pag. 121 jos găsim precizat: Persoanele pe care le iubim par a fi acelea de care ne amintim cel mai bine şi căutăm să păstrăm amintiri fericite cu ele. Şi aici am scris alături Mate! cu precizarea: relaţia pozitivă cu elevii generând o stare pozitivă la ora de mate. A se citi această afirmaţie în contextul în care mulţi colegi întreţin natural o stare de învăţare a matematicii pe bază de frică, dar şi mulţi părinţi îi ameninţă pe elevi cu matematica, aceasta fiind prezentată ca un fel de “bau-bau” în viaţa elevilor. Fără să mai discutăm de elevii care urăsc matematică pentru că nu-i lasă să-şi vadă fericiţi de preocupările lor online şi îi chinuie.

La pag. 128: Când citeşti amintirile oamenilor, le simţi mândria. (…) auzi ecoul triumfurilor lor. Această afirmaţie apare în legătură cu un studiu despre amintiri, iar eu am notat din nou MATE, cu referire desigur la momentele de realizări deosebite din activitatea matematică a elevilor, ce rămân fixate în memoria lor pentru totdeauna, indiferent dacă vorbim despre un elev sclipitor sau dacă este vorba despre un elev de nivel mediu, dar care a reuşit să facă în sfârşit singurul din clasă o anumită problemă.

La pag. 130, sub semnul întrebării Ce înseamnă sensul vieţii?, găsim în final următoarea precizare: Pentru mine, o viaţă bună (…) este o viaţă plină de scopuri şi bucurii. Este atunci când viaţa îţi oferă o satisfacţie a prezentului, speranţe (pentru viitor) şi o împăcare cu trecutul. Fericirea nu este o mâncare cu un singur ingredient. Oare de ce am notat aici din nou MATE lângă sublinierile respective? Gândiţi-vă doar câtă bucurie oferă de obicei orele de matematică şi activitatea temelor elevilor actuali din ţara noastră (întrebare retorică, cu ghilimelele de rigoare). Câtă satisfacţie a prezentului, speranţe pentru viitor sau împăcare cu trecutul le oferim noi elevilor? Profesorul de matematică care îşi asumă în mod conştient răspunderea de a-şi reconfigura întreaga predare, astfel încât să nu urmărească doar rezultatele exterioare şi măsurabile, ci şi cele sufleteşti, acesta depăşeşte simpla condiţie de dascăl. Profesorul care îşi propune să cultive în elevi capacitatea de gândire adevărată, de judecată riguroasă, concomitent cu conştientizarea propriilor procese de gândire, dar şi a celor sufleteşti, acesta ar fi UN ADEVĂRAT PROFESOR DE MATEMATICĂ!

La pag. 132: Memoria este capacitatea noastră de a codifica, de a stoca şi de a recupera informaţii. Iar mai jos găsim: Toate aceste senzaţii sunt combinate de creier într-o singură experienţă şi analizate înainte ca acesta să decidă dacă informaţia trebuie transformată în memorie pe termen lung. (…) când suntem atenţi, cresc şansele să ţinem minte o anumită experienţă. (…) emoţia face experienţa mai intensă şi tinde să sporească gradul de atenţie acordată unei experienţe. O potenţială amintire începe în memoria pe termen scurt, (…) cunoscută şi drept memoria de lucru (…). În conexiune cu cele enumerate mai sus, este evident de ce am scris şi alături de acest pasaj cuvântul MATE!, desenând alături şi două steluţe frumoase.

La pag. 135 mai găsim o precizare importantă, lângă care am scris din nou MATE, desenând şi aici o stea frumoasă: Amintirile noastre sunt, în esenţă, sinapse între neuronii din creier. Pentru a păstra aceste sinapse intacte, ele trebuie exersate sau activate cu regularitate. Fără comentarii.

În Capitolul V: CONDIMENTAŢI TOTUL CU MULTĂ EMOŢIE, imediat la pag. 141 aflăm că (…) emoţiile acţionează precum un marker (…). Reacţiile emoţionale precum frica sau ruşinea sunt procesate în amigdala cerebrală (acea parte a creierului unde are loc şi reacţia luptă-sau-fugi), noi având astfel ocazia să învăţăm aspecte ale situaţiei care sunt relevante pentru emoţiile resimţite.(…) O reacţie emoţională va face experienţele şi momentele mai memorabile, aşa că arta colecţionării amintirilor înseamnă să pui la treabă markerul emoţional. Probabil că pentru mulţi colegi va fi mai greu de înţeles care este legătura acestor afirmaţii cu predarea materiei noastre şi de ce am scris şi aici Mate. Dar chiar despre asta este vorba: matematica este, prin definiţie, o disciplină pe bază de raţiune seacă, fiind prin esenţa ei o materie “rece”. Totuşi, “condimentarea predării”, introducerea unor elemente care stimulează emoţii pozitive în sufletele elevilor, poate creşte semnificativ interesul şi implicarea reală a acestora. O astfel de abordare este deosebit de eficientă pentru cei care, de obicei, manifestă reticienţă faţă de materia noastră, transformând experienţa de învăţare într-una mai pozitivă.

Astfel, la pag. 142 aflăm că: Zilele când suntem încărcaţi de emoţie (pozitivă) sunt, probabil, cele mai fericite din viaţa noastră (…). Apoi, la pag. 143 regăsim descrierea completă: Unele zile sunt fericite, altele, dimpotrivă triste – dar numitorul comun este că zilele pline de emoţie sunt cele pe care nu le uităm niciodată, indiferent la ce capăt al spectrului se află.

Multe aspecte uluitoare au apărut în această carte, aspecte ce mi-au accesat diverse amintiri din timpul predării. De pildă, povestind în urmă cu ani cu un fost elev (la vremea respectivă deja profesor de fizică), despre o întâmplare de când era în clasa a 6-a, acesta mi-a spus că nu mai ţine minte astfel de detalii, că nu mai ţine minte nimic concret din ore, dar ţine minte că era constant fascinat la matematică. În acest sens, iată ce am găsit la pag. 153: oamenii vor uita ce ai spus, oamenii vor uita ce ai făcut, dar oamenii nu vor uita niciodată cum i-ai făcut să se simtă. Vă daţi seama că alături am scris din nou Mate, cât şi numele acelui fost elev.

La pag. 158 Meik Wiking ajunge în sfârşit pe faţă la subiectul ce ne interesează pe noi: CUM CONDIMENTĂM EMOŢIONAL EVENIMENTELE LA ŞCOALĂ, cu precizarea Puterea aspectului emoţional când vine vorba de memorie este în prezent valorificată de şcoli care folosesc memoria episodică pentru a stimula memoria semantică a elevilor. Desigur că eu am văzut din nou o legătură cu materia noastră, notând alături Mate.

Apoi, la pag. 169 autorul ajunge şi la subiectul feedbackului: (…) Studiul sugerează că evaluările pot fi mai plăcute pentru elevi dacă se încheie cu cea mai bună parte a evaluării şi că ordinea feedbackului poate avea un impact asupra motivării, studiului şi relaţiilor dintre elevi. Din nou am pus precizarea Mate, la fel şi la pagina imediat următoare, de unde găsim din titlu următorul pont: ÎNCHEIAŢI APOTEOTIC, Păstraţi ce e mai bun pentru final. Pe mine m-au ajutat aceste pasaje să înţeleg şi mai bine starea de emotivitate profundă a celor din faţa mea, cât şi faptul cât de important este să mă adaptez acesteia în viaţa de zi cu zi.

Facem un salt la pag. 180, unde aflăm că: (…) influenţa aversiunii faţă de înfrângere – ideea că urâm să pierdem mai mult decât ne place să câştigăm. (…) dacă ne aşteptăm să pierdem şi apoi câştigăm, victoria va fi chiar şi mai dulce. Aici (pag. 181) găsim şi o precizare care aparent nu are de-a face cu predarea matematicii defel: (…) fanii fotbalului sunt iraţionali. Şi totuşi, la câţi băieţi fani de fotbal avem prin clase … Dar să fim clar înţeleşi: nu toţi băieţii fotbalişti sunt şi iraţionali; mă gândesc acum la câţiva foşti elevi din ultimiii ani, buni fotbalişti şi totuşi buni sau foarte buni matematicieni, care au reprezentat pentru mine unele din cele mai bune exemple de oameni raţionali şi cerebrali.

La pag. 187 începe Capitolul VII cu un titlu fabulos: ZĂDĂRNICIŢI UITAREA CU AJUTORUL POVEŞTILOR. Absolut fără comentarii din punctul meu de vedere legat de predarea matematicii. Eu folosesc acest sfat tare mult, “pigmentându-mi” orele cu diferite poveşti, în strădania de a ajuta la fixarea noilor cunoştinţe. Iar la pag. 189 găsim că: starea noastră de bine este influenţată de abilitatea de a crea o naraţiune pozitivă, din viaţa noastră. Aşadar, poveştile pozitive în cadrul orei de matematică nu doar pot preîntâmpina uitarea, ci pot contribui şi la starea de bine a elevilor în timpul activităţii matematice. Spre sfârşitul acestei pagini găsim un citat din Muriel Rukeyser, poet şi activist american, din The Speed of Darkness: “Universul este alcătuit din poveşti. Nu din atomi.” Parafrazând această afirmaţie, am putea spune că matematica este alcătuită şi din poveşti, nu numai din numere.

La pag. 195 autorul revine: Ceea ce fac marii povestitori este să aducă la viaţă poveştile. Poveştile bine spuse devin experienţe (…). În mod similar, profesorul de matematică ar trebui să aducă la viaţă cunoştinţele predate în ora sa. O lecţie bine povestită devine o experienţă memorabilă pentru elevi. E evident că şi alăturat acestor sublinieri am scris din nou Mate!

La pag. 200 primim următorul sfat: Luaţi-o înaintea curbei uitării!, unde aflăm că putem modifica panta uitării dacă repetăm informaţia învăţată la anumite intervale. (…) o variantă ar fi să vorbiţi despre ele atunci când au avut loc, dar şi a doua zi, apoi după o săptămână, o lună, trei luni, un an. Fără comentarii suplimentare! Doar o mică dilemă: oare de ce am notat eu alături T. Pitagora? Bănuiesc că datorită faptului că este masiv neglijată de cei preocupaţi numai de excelenţă, revenindu-se tot mai rar cu aplicaţii ale acesteia.

Ultima referire legată de Mate apare în cartea mea la pag 261, unde, sub titlul Fiţi atenţi la fericire, am zice noi acum: fiţi atenţi la bucuria adusă de matematică, cât o fi ea de puţină! Aici este reluată vechea idee: (…) memoria cere atenţie. Ne amintim lucrurile la care suntem atenţi. Da, vom ţine minte elementele din ora de matematică la care am fost atenţi! Însă pentru mine această afirmaţie poartă şi o încărcătură dureroasă: foarte mulţi dintre elevi de fapt nu sunt atenţi, deşi ei stau cuminţi în bancă şi chiar scriu totul de pe tablă. În realitate mulţi nu sunt atenţi. Nu sunt atenţi pentru că nu pot, nu sunt în stare, pentru că nu au chef, nu sunt atenţi pentru că sunt doar preocupaţi să copieze de pe tablă, rămânând în urmă, sau pentru că nu-i lasă prietenul/ prietena, deranjându-i constant ş.a.m.d. Dar nici în parte opusă lucrurile nu stau mai bine: foarte mulţi profesori predau matematica astfel încât elevii nu au posibilitatea de a fi atenţi, chiar dacă-şi doresc. Se predă prea repede, prea abstract, prea dificil etc. Acesta este crudul adevăr.

Pentru mine însă, cât şi pentru unii elevi tehnicile găsite în această carte funcţionează de minune. Până acolo că uneori, tot mai des, mie îmi reuşesc ore “de paradă”, pe când, chiar şi unor elevi “nematematicieni” momentele respective le rămân definitiv în suflet. Astfel, odată deprinse, aceste tehnici pot “însufleţi” orele de matematică într-un mod incredibil, efectiv ridicând predarea la nivel de artă. C. Titus Grigorovici

Tablou de ziua lui pi

În condiţiile de faţă este tot mai greu să-ţi faci datoria la un nivel de calitate cu adevărat mulţumitor. Soţia chiar spunea că vom ajunge cu timpul să ne dăm bătuţi în faţa cantităţii de muncă prea mari şi vom începe să facem compromisuri la calitate (nouă, profesorilor cu o vechime mai mare, ne-a fost crescută norma de predare cu 4 ore, practic cu o clasă în plus). Aşa că, până una alta, renunţăm la tot mai multe dintre activităţile care nu sunt absolut obligatorii.

În aceste condiţii am primit probabil cel mai frumos cadou: iniţiativa unor elevi de a face “ceva” de ziua lui pi, “orice, dar nu putem lăsa ziua asta să treacă doar aşa, ca o zi obişnuită”. N-a fost uşor, n-a ieşit cât şi-au propus, dar vineri la pauza mare eram aşteptaţi cu un frumos tablou la care au contribuit mai mulţi elevi. Un gest mic pentru matematică, dar un pas mare pentru cei implicaţi. În numele profesorilor de matematică, un foarte cald Mulţumim!!!

Ziua lui pi şi sărbătorile de primăvară

Ca să-l parafrazez pe marele Creangă, eu nu ştiu la alţii cum e, dar în viaţa noastră ziua lui pi  este inclusă tot mai clar în minunata serie a sărbătorilor de primăvară. După Valentine’s Day şi Dragobete, urmate îndeaproape de Ziua Mărţişorului şi de Ziua Mamei, tot mai tare se simte şi prezenţa Pi-Day în acest context.

Când s-a întors acasă pe 2 martie de la şcoală, soţia a deşertat o grămăjoară de mărţişoare pe masă, cu precizarea că “trei dintre acestea se evidenţiază în mod special”. Într-adevăr, nişte foarte potrivite mărţişoare pentru profa’ de mate’! Chiar aşa, se întâmplă ceva special în şcoala voastră de ziua lui pi?

Albert Einstein despre inteligenţă

Albert Einstein a fost întrebat odată despre cum am putea să-i facem pe copiii noştri mai inteligenţi. “Dacă vreţi să fie mai inteligenţi copiii voştri, a spus el, CITIŢI-LE POVEŞTI. Dacă vreţi ca ei să fie şi mai inteligenţi, citiţi-le MAI MULTE POVEŞTI” Neil Gaiman

P.S. Pentru cine nu a făcut conexiunea, îmi permit să explic puţin cum văd eu lucrurile. Atunci când îi citeşti unui copil o poveste, el trebuie să-şi imagineze acţiunea poveştii (acest fenomen nu are loc atunci când se uită la povestea respectivă sub formă de film, şi doar în mică măsură dacă-i citeşti benzi desenate). Faptul că creierul său este obligat să-şi imagineze aspectele respective, asta îi dezvoltă inteligenţa în general, creierul său obişnuindu-se “să vadă” imagini povestite, să-şi imagineze aspecte descrise în cuvinte, dar şi să facă conexiuni în general. Nu mi-am propus să dau aici o teorie completă în acest sens, dar cam aşa acţionează poveştile la creşterea nivelului de inteligenţă (cu alte ocazii am mai scris şi despre alte aspecte în acest sens).

O cafenea cu nuanţe algebrice

Deseori primesc atenţionări despre panoul stradal postat în faţa cafenelei Urania de la începutul străzii Horia din Cluj-Napoca. Nu o mai lungesc, ci vă prezint direct o poză cu acest panou, însoţită de felicitări sincere pentru creatorul textului, care are – evident – o relaţie absolut relaxată cu algebra: Doresc o cafea? a) Da; b) a; c) b; d) (a + b)2.

P.S. Dacă tot am deschis subiectul cafelei, vă mai oferim o imagine ce ne lămureşte despre un aspect nebănuit al cafelei (pozată undeva prin Málaga, Spania). Astfel, cafeaua reprezintă o substanţă magică întunecată ce te ajută să urăşti oamenii cu mai multă energie.

AFM-Bis (03.4) Principiul lui Pareto în formarea gândirii prin matematica-proces

 

Bucuria dascălului de a-şi vedea elevul egalându-l este una fără limite, greu de descris în cuvinte, aşa că voi trece direct peste acest moment. Textul ce urmează este redactat de către eleva Zara Hola, din clasa a 9-a, care tocmai ce a împlinit 16 ani.

Trebuie precizat că textul prezintă unele idei în continuarea celor din eseul de la adresa https://pentagonia.ro/invatarea-prin-investigatie-2-matematica-proces-si-matematica-rezultat/, aşa încât s-ar putea să simţiţi nevoia unei împrospătări. Da, şi încă ceva: atât sfatul meu, cât şi din partea soţiei este clar, anume că textul se cere recitit (pentru o înţelegere completă). Contribuţia mea la această postare se cam încheie aici. Lectură plăcută! CTG

**

Motto Adesea auzeam, la clasă, în orele de matematică, propoziția: ,,Aceasta este esențială, restul sunt de context.”.

La sfârșitul secolului al nouăsprezecelea, economistul Vilfredo Pareto a observat un fenomen aparent simplu, însă profund: în multe sisteme, o proporție relativ mică de cauze generează o proporție majoritară de efecte. Această regulă, cunoscută ca Regula 80/20 sau Principiul lui Pareto, a traversat secolele și domeniile, ajungând astăzi să fie invocată și în educație, nu ca dogmă, ci ca o lentilă prin care putem citi eficiența procesului de învățare și structurarea conținutului. În spațiul educațional, unele principii fundamentale nu se impun prin denumire sau teorie, ci prin efectul lor tăcut asupra celor care învață. Principiul lui Pareto, formulat inițial în afara pedagogiei, își găsește adesea expresia cea mai autentică tocmai în sala de clasă, acolo unde nu este numit, ci trăit. Această idee nu se reduce la un simplu raport 80/20 cuantificabil; ea se extinde la nivelul prioritizării: ceea ce contează cu adevărat are o pondere decisivă în înțelegere, iar ceea ce este secundar își găsește locul doar în extinderea și aprofundarea ulterioară. Esențialul oferă structura, iar restul completează sensul. O fracțiune a conținutului permite accesul la întreg.

În școala românească contemporană, matematica rămâne, adesea, o disciplină apăsătoare, în care volumul uriaș de formule și exerciții copleșește elevul, iar structura și ierarhizarea ideilor rămân neînsemnate. Rezultatul este cât se poate de frecvent: elevul reproduce, memorează, însă nu înțelege, iar gândirea rămâne neesențială. Astfel, se produc executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Volumul de conținut poate copleși ușor, iar elevul se poate pierde în detalii. Elevul se află între a ști și a înțelege, iar diferența între aceste două verbe este covârșitoare. Astfel, este produs fenomenul în care matematica devine un set de simboluri de memorat, mai degrabă decât un limbaj al gândirii. Sistemul de învățământ, din motive istorice și administrativ-didactice, favorizează acumularea de reguli și tehnici de aplicare, întrucât acestea sunt ușor de testat la examene.

Astfel, profesorii tind să pună accent pe formarea de „buni aplicatori” pentru rezultate rapide și măsurabile. Această abordare reducționistă alimentează percepția că matematica e un set abstract de formule, nu un limbaj cognitiv. De asemenea, elevii sunt adesea puși într-o poziție pasivă: ascultă prezentarea profesorului și apoi repetă mecanic metoda de rezolvare. În această situație, simbolurile devin obiective în sine, iar creierul se obișnuiește să răspundă prin aplicarea de reguli, nu prin înțelegerea lor.

Deoarece sistemul se concentrează pe partea ușor examinabilă a materiilor (rezultate, formule, algoritmi), se neglijează zona esențială de formare a gândirii (procesul, argumentul, explorarea), care la rândul ei, dacă ar fi dezvoltată, ar face ca cele 80 % din înțelegerea reală să apară şi la cei 60 % dintre elevii intermediari.

Matematica există simultan ca formă și ca gând. În școala tradițională, de multe ori ea apare sub forma matematicii-rezultat: totul precis și predefinit. Vizibilă, verificabilă, măsurabilă. Însă, această matematică nu devine un limbaj al rațiunii decât dacă este susținută de către matematica-proces: descompunerea și construirea. Procesul și rezultatul nu sunt doar complementare, ci unul dă sens iar celălalt stabilește repere. Aici intervine Principiul lui Pareto. Într-o clasă, o parte dintre elevi înțeleg fără efort, alții rămân în afara înțelegerii, iar majoritatea se află între acestea. În “limbaj Pareto” putem spune că 20% înțeleg procesul și gândesc, 20% se rezumă la rezultatele mecanice, iar 60% dintre elevi, cei  intermediari, se află între cele două extreme. Aici se poate observa adevărata forță a învățării, atât ca forţă de strădanie a elevului, cât şi ca artă de predare a profesorului. Acești elevi de mijloc nu au încă un înțeles deplin, dar nici nu repetă mecanic; la aceștia, procesul și rezultatul se întâlnesc, iar ghidajul atent poate transforma simbolurile într-un limbaj al rațiunii. În zona de mijloc se poate observa cel mai bine evoluţia clasei: puțin efort concentrat aici produce cea mai mare parte a înțelegerii, confirmând că adevărata matematică prinde viață acolo unde procesul și rezultatul se întrepătrund.

Aplicat pedagogic, Pareto ne arată că un efort concentrat asupra procesului poate genera cea mai mare parte a înțelegerii. Astfel, puținul esențial produce multul semnificativ: elevii care altfel ar fi doar aplicatori de simboluri ajung să înțeleagă relațiile, logica, sensul formulelor.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! Doar împreună acestea devin un limbaj viu. Matematica-rezultat fixează punctul final, dar sensul său derivă din proces. Fiecare formulă devine astfel expresia unui raționament construit, gândit.

Pareto evidențiază paradoxul: majoritatea înțelegerii nu provine din acumularea de exerciții și formule, ci din momentele esențiale în care elevul este provocat să gândească. Fiecare pas al procesului are un impact disproporționat asupra înțelegerii generale. Astfel, cele 20% de efort bine direcționat generează 80% din cunoaștere, transformând simbolurile în limbaj al gândirii. Această legătură rară și discretă dintre proces, rezultat și Principiul lui Pareto devine temelia unei pedagogii vii.

Prezentată în acest mod, matematica nu mai este doar un arsenal de reguli și formule de memorat, ci un loc în care gândirea se depășește pe sine și prinde contur. Procesul insuflă viață rezultatului: formulele nu mai sunt simple simboluri, ci răspunsuri care își trag sensul din pașii prin care au fost descoperite. Rezultatul, la rândul său, confirmă drumul parcurs, dând sens fiecărei întrebări, fiecărui calcul. Iar Principiul lui Pareto luminează exact unde trebuie să fie ațintit efortul: către acele momente esențiale de reflecție, descoperire și clarificare care produc cea mai mare parte a înțelegerii reale.

Astfel, predarea matematicii nu mai este un exercițiu de memorare, ci o cultivare a rațiunii. Elevul nu mai învață să reproducă, ci acesta învață să înțeleagă. Formula devine un instrument, iar fiecare reușită o confirmare a gândirii generate din proces, nu doar din execuție. Procesul modelează gândirea, rezultatul o concretizează, iar Principiul lui Pareto arată unde efortul generează cea mai mare înțelegere. Împreună, ele transformă matematica într-un limbaj viu al rațiunii.

În acest sens, experiența mea personală, ca elev, a reflectat o transformare treptată, profundă: ceea ce, la început, părea o succesiune de formule și tehnici fără legătură a devenit, treptat, un mod coerent de a observa conexiuni și de a construi raționamente. Matematica nu s-a simplificat; nici nu a fost redusă la o listă de reguli de memorat. Ea a devenit un spațiu al gândirii, în care prioritizarea ideilor esențiale îmi permitea să accesez rapid porțiuni largi ale conținutului și să înțeleg relațiile dintre concepte cu o logică neașteptată. Această experiență reflectă perfect logica Principiului lui Pareto: înțelegerea unui număr limitat de concepte fundamentale oferă acces la cea mai mare parte a problemei sau capitolului studiat, iar restul elementelor devin o completare, nu un obstacol.

Practic, la elev conștientizarea esenței reduce frica de eșec și consolidează încrederea în propria gândire. Matematica, atunci când este predată astfel, devine “o artă a discriminării” în favoarea esenței. Paradoxal, Principiul lui Pareto nu poate fi aplicat doar prin entuziasm sau bunăvoință, subiectiv; el cere o atenție critică, o obiectivitate, asupra ceea ce contează: un exercițiu de vedere clară în mijlocul unui volum aparent copleșitor de informații.

Totuși, nu este necesar ca elevii să cunoască explicit teoria Pareto pentru a beneficia de efectele sale. Esențial este ca predarea să fie orientată spre ceea ce contează: selecția conținutului, ritmul lecției, accentul pe conceptele fundamentale. Când această orientare există, fie explicit, fie implicit, fluxul învățării se transformă, iar elevii dobândesc acces la înțelegere, nu doar la memorare.

În forma sa autentică, matematica nu este un șir de operații mecanice, ci un mod de a structura și de a înțelege realitatea. Prioritizând ideile fundamentale, elevii pot accede la 80% din sensul unei lecții concentrându-se pe 20% din concepte. Atunci, procesul educațional depășește simpla acumulare și devine un act de gândire.

Lecția pe care am trăit-o în ultimii ani, fără a-i fi cunoscut numele principiului, fusese aceea că, esența, odată cunoscută, are capacitatea de a rândui complexitatea, transformând mulțimea detaliilor într-un cadru coerent, în care înțelegerea nu doar există, ci trăiește în gândurile și sufletele elevilor. Zara Hola