Bucuria rezultatului frumos

De curând a avut loc pe facebook un schimb de replici între profesori de matematică, despre rezultatul discriminantului. Ca persoană atentă la trăirile elevilor, am rezonat desigur cu următoarea afirmaţie: În școală, cea mai mare satisfacție o aveam când îmi dădea Δ-pătrat perfect (din câte am reţinut, afirmaţia îi aparţine d-lui Cristinel Mortici).

M-a bucurat această afirmaţie pentru că reprezenta o amintire pură venită din sufletul unui elev, o amintire despre o stare pe care cu toţii am trăit-o: ca elevi ne bucuram atunci când ne dădea pătrat perfect la delta. Cine nu recunoaşrte această stare trăită în timpul liceului, acela de fapt şi-a pierdut definitiv copilul din el. Copilul se bucură din oficiu pentru un rezultat frumos, îl resimte ca pe o confirmare a faptului că a lucrat corect.

Mă încântă deosebit astfel de afirmaţii rămase în sufletul unora ca amintiri de nezdruncinat; adulţi matematicieni (sau nematematicieni) care ne pot aduce trăiri din viaţa lor de elev, trăiri ce aduc astfel de amintiri ca într-o bulă nedistorsionată de anii vieţii (facultate, maturizarea deplină, şuişurile şi coborâşurile inerente).

Un elev care merge înainte când discriminantul nu dă pătrat perfect, fără măcar să verifice încă o dată, acela dă dovadă de o atitudine nesănătoasă. Între comentariile din acel moment chiar a apărut ideea: În liceu am avut doar 10 la mate, cu excepţia unei singure note de 8, pe care am încasat-o la un extemporal  în clasa a IX-a pe trimestrul III, fiindcă nu mi-a dat DELTA pătrat perfect! Greşisem la calcule, evident (afirmaţie a d-lui Marcel Ţena, dacă nu am greşit la salvarea setului de comentarii).

Aceste observaţii, despre bucuria unui rezultat frumos, le cunoştea desigur şi profesorul Grigore Gheba: şi acum elevii se bucură atunci când obţin acele rezultate frumoase din exerciţiile sale, fie la cele cu fracţii etajate, fie la cele cu fracţii algebrice.

Nu vreau să reiau în această postare toate comentariile de atunci, ci prefer să închei cu o afirmaţie gen banc (din câte am reţinut, postat de către dl Costel Balcau): Ne păcălești, cum să fie triunghiul ăla pătrat? Titus Grigorovici, un veşnic copil

P.S. Această postare se doreşte o atenţionare la adresa celor care susţin de obicei că orice rezultat este unul bun, cu alte cuvinte susţinând “egalitatea de drepturi” a rezultatelor frumoase cu a rezultatelor urâte. Tehnic o fi aşa, dar în sufletul elevilor rezultatele frumoase îi atrag spre exersarea matematicii, pe când cele urâte nu. O persoană, profesor la clasă sau autor, care-şi bombardează elevii cu rezultate “indiferente”, de fapt îi îndepărtează de bucuria adusă de rezultatele frumoase. Într-o astfel de atmosferă, unii învăţăcei reuşesc să stea cu sufletul către matematică, alţii nu. În sine, această situaţie nu ar fi o mare problemă (“de fapt nu toată lumea trebuie să ştie matematică!”, s-ar putea spune) dar problema mare iese la iveală atunci când conştientizăm legătura indisolubilă între matematică şi formarea gândirii raţionale, respectiv lipsa acesteia din urmă la mult prea mulţi români.

Bucuria rezultatului frumos apare şi la teorema lui Pitagora, atunci când ai de extras radicalul în final: oricine se bucură dacă găseşte în acel moment un număr pătrat. Dacă este vorba de calcule cu numere mai mare, atunci la acel moment intervine speranţa că acel număr este pătrat. Eu folosesc acest moment dându-le elevilor probleme cu triplete pitagoreice mai mari, altele decât clasicele (3,4,5) sau (5,12,13), sau amplificări lor. Iar când a treia latură este un număr prim mai mare, lucrurile devin de-a dreptul palpitante. Oricum, la calcule lucrurile sunt simple şi clare: elevul se bucură atunci când într-un exerciţiu obţine un rezultat frumos.

Pe de altă parte, se poate pune întrebarea despre ce ar reprezenta ideea de rezultat frumos în cadrul proprietăţilor geometrice. De pildă, teorema lui Pitagora este oare într-adevăr un rezultat frumos, aşa cum gândeau egiptenii antici, care considerau egalitatea respectivă drept o adunare divină? Sau, faptul că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu un unghi alungit (mult mai elegant decât numărul 180o), respectiv suma unghiurilor unui patrulater este egală cu măsura unei rotaţii complete, şi asta indiferent dacă patrulaterul este convex sau concav? Dar, mai ales, cum facem ca în momentul predării unor astfel de proprietăţi, să reuşim să le transmitem elevilor ideea de rezultat frumos?

π – da’ unde este π?

Legat de subiectul lui pi – erupt cu aşa o magnitudine în noiembrie – ţin să vă povestesc o scurtă întâmplare din urmă cu câţiva ani. Un vecin de cca. 80 de ani – să-i spunem Unchiu’ Marinică – a venit într-o zi la noi la masa de sub nuc, cu un teanc de foi într-un dosar, întrebându-ne dacă se poate sfătui cu noi legat de o problemă căreia nu-i dădea de capăt. Despre ce era vorba?

Unchiu’ Marinică angajase nişte zugravi să-i tencuiască (gletuiască, zugrăvească etc.) intrarea la casă unde avea printre altele şi o coloană circulară  de beton (cam de 25 cm diametru) care susţinea colţul unui balcon. Trebuie să precizez că Unchiu’ Marinică este foarte scrupulos şi în nici un caz nu s-ar lăsa fraierit de nişte muncitori. Îi întrebase clar cu cât lucrau metrul pătrat şi verificase şi el calculele. Nu-i problemă, îi ieşeau calculele, dar ceva tot nu-i plăcea, un gând ciudat nu-i dădea pace.

Aşa că a trebuit să-l ascultăm pe Marinică explicându-ne în detaliu toate calculele şi gândurile sale: totul părea corect. Mai întâi ne-a întrebat dacă formulele ştiute de el pentru lungimea şi pentru aria cercului erau corecte, inclusiv dacă pi este 3,14. Apoi ne-a explicat cum au măsurat muncitorii pas cu pas, iar el ulterior a verificat la cm fiecare dimensiune. De pildă, la coloana cilindrică cu pricina fusese măsurată înălţimea şi circumferinţa, iar apoi înmulţite pentru a afla suprafaţa ce urma a fi zugrăvită (aici şi el, dar şi muncitorii se înşelau, pentru că cu fiecare strat nou suprafaţa creştea, puţin, dar creştea). Totul era destul de corect, iar Unchiu’ Marinică era de acord cu rezultatul. Şi atunci, care era problema (nu înţelegeam nici noi)? Aşa că – cu o privire ciudată pe faţă – ne-a mărturisit: Şi pi, unde este pi? Că dânsul ştie din şcoală că la cerc este neapărat cu pi! Unde este pi în calcule? De ce n-a trebuit să înmulţească cu 3,14?

Ne-am distrat de minune atunci, am încercat să-i explicăm cât ne-am priceput de bine de ce nu era nevoie de pi. În zilele următoare am mai povestit la vreo două persoane despre întâmplarea respectivă, apoi încet aceasta s-a pierdut în uitare. Până la momentul cu implicarea lui π în alegerile prezidenţiale, iar povestea a revenit cu claritate în memorie. Unchiu’ Marinică ştia sigur de pi! Bravo! (Şi când mă gândesc că nu are facultate; cred că a fost doar maistru mecanic). Titus, depănând amintiri sub nuc

P.S. În urma alegerilor pentru schimbarea D-nei Dăncilă din 26 noiembrie, noul secretar general al PSD, senatorul Paul Stănescu, a declarat după şedinţa Comitetului Executiv Naţional, că partidul aşteaptă tineri şi intelectuali. Cu tinerii este clar (e uşor de stabilit dacă sunt destul de tineri, cu CNP-ul). Cum se va proceda însă cu intelectualii? Adică, de unde se stabileşte dacă un doritor este destul de intelectual? Am o propunere: un scurt test cu întrebări de EN şi BAC ar putea aduce anumite clarificări eliminatorii. De pildă, s-ar putea începe cu „aria cercului”. Unchiu’ Marinică nu mai este de mult tânăr (deşi urcă drumul de 2,5 km la deal pe jos şi tot pe jos merge şi înapoi, dacă nu-l ia careva cu maşina), dar oare este destul de ‘telectual? Că pe tanti Viorica a depăşit-o!

Steaua Domnului – o poveste geometrică de Crăciun

Ca un fel de final la seria cu Impresii din Germania vă prezint o cărticică de copii pentru Crăciun pe baze geometrice evidente. Cărticica se numeşte Emmi şi Jonas – copiii cu steluţă (în original Emmi und Jonas als Sternekinder; se citeşte Ionas, cu I nu cu J; de acolo şi încurcătura din numele preşedintelui: pe familia sa îi cheamă Johannis, pe el când l-a înscris l-a trecut Iohannis, pronunţia fiind identică pentru nevorbitorul de germană). Cărticica este apărută în 2017 sub egida Cornelius-Buchhandlung GmbH în colaborare cu Herrnhuter Sterne GmbH. Textul este semnat de Margit Lessing, iar imaginile şi aranjamentul realizate de Juliane Wedlich. În continuare reiau povestea în rezumat, prezentând înclinat doar pasajele preluate identic.

Povestea este despre o întâmplare a doi fraţi, Emmi – surioara, şi Jonas – fratele, care merg în vizită la bunici, pe vremea târgurilor de Crăciun. Povestea începe cu cei doi aflaţi în tren: sunt îmbrăcaţi bine, cu căciuliţe, fulare şi mănuşi, ţinând fiecare în braţe un rucsăcel. Călătoria nu este lungă, dar pentru că au fost trimişi singuri, teama începe să se arate la Jonas. Sora sa este puţin mai raţională, amintindu-i că la sosire îi aşteaptă bunicul în staţie. Doar că în staţia de sosire a micului târg e mare aglomeraţie şi bunicul nu-i de găsit. Lângă gară nimeresc într-un frumos târg de Crăciun unde zăbovesc uitându-se la toate cele. Acolo găsesc amenajată şi o scenă cu Naşterea Domnului, Maria şi Iosif lângă Pruncul sfânt în iesle; în spate un rege şi alături câteva oiţe.

“Uite!” strigă Jonas în timp ce se apropie. Deasupra tuturor luminează o stea portocalie mare. “Are multe raze!”, se miră el şi începe să le numere: “… 23, 24, 25, …!”

Se tot gândesc dacă să-l mai aştepte pe bunic, dar Emmi îl asigură pe Jonas că cunoaşte drumul, aşa că cei doi o iau spre casa bunicilor. Doar că totul arată acum altfel: s-a întunecat mult mai devreme şi străzile sunt goale. Cei doi merg pe strada principală pe lângă magazine închise. Unele case sunt împodobite cu luminiţe. Aproape de ieşirea din orăşel o iau pe o srăduţă, iar Jonas exclamă: “Uite Emmi! Acolo, la casa din capăt luceşte o steluţă. Acolo trebuie să fie!” Fug către casa cu steluţa atârnată deasupra intrării, deschid portiţa şi bat nerăbdători la uşă. Bunica le deschide şi toţi trei răsuflă uşuraţi.

După ce beau un lapte cald cu cacao, Emmi fuge la cufărul cu haine vechi ale bunicii, în care îi place să cotrobăie. “Am o idee!” strigă ea. “Buni, poţi să-mi coşi un costum din acest material frumos? Un costum de steluţă. Te rog, te rog!” Apoi îi povesteşte bunicii despre serbarea de Crăciun în care cei doi vor fi copiii cu steluţă, doar care nu au costum pentru că nu i-au spus nimic mamei, dorind să-i facă o surpriză. Aşa că bunica se apucă să croiască două costumaşe. Între timp apare şi bunicul, după ce i-a căutat prin toată gara şi prin tot târgul.

Jonas îl roagă pe bunic să-l ajute să lipească câte o steluţă aurie pe două baghete, explicându-i şi bunicului despre jocul de Crăciun în care cei doi vor fi copiii cu steluţă. Bunicul îl ajută, după care le arată ce le-a cumpărat de la târg: două seturi de asamblat Steaua Domnului (în original Herrnhuter Stern, Herr – Domn, Stern – stea; vezi în final o traducere mai clară). Cei doi iau curioşi cutiuţele albastre şi le desfac, analizând multele bucăţele: bucăţi de plastic cu colţuri şi găuri şi multe piese ascuţite galbene. “Vai, bunicule!” se vaietă Jonas, “Da’  e foarte greu. Ne arăţi cum se face?”

“Întâi asamblezi corpul de bază. Apoi pui lipici şi lipeşti o rază. Pui iar lipici şi mai pui o rază. Fiecare stea are nevoie de 25 de raze lipite în jurul corpului de bază”, răspunde bunicul. “Nu-i greu!”

Emmi wrea să ştie ce este acela un corp de bază. “Asta este  scurt şi uşor de explicat!”, zice bunicul.  “Închipuie-ţi un cub. Dacă ai tăia de la un cub toate colţurile şi toate muchiile, atunci ai obţine un corp cu mult mai multe feţe decât şase, care este structura de bază pentru Steaua Domnului. – Dacă vreţi, ne şi apucăm să lipim o steluţă!”

Cu avânt lipesc cei doi rază după rază (vârf după vârf, ţep după ţep, piramidă după piramidă; alegeţi voi care variantă vă place, pentru că nu găsesc corespondent în română la Sternzacke nach Sternzacke). Şaptesprezece raze patrulatere şi opt raze triunghiulare mai mici. Una după cealaltă, roată împrejur. Vârful fiecărei raze se îndreaptă în altă direcţie. Doar într-o parte rămâne o gaură patrulateră liberă, pentru că acolo vrea bunicu să monteze un mic beculeţ.

“Gata!”, strigă bunicu. “Acum mai lipseşte doar luminiţa!”

Jonas admiră mica steluţă. Jenat se uită apoi la mica stea plată de pe bagheta sa, dezlipimd-o hotărât: “Vreau o steluţă rotundă pe bagheta mea!”

Între timp bunica a terminat de cusut cele două cămăşuţe pentru copiii cu steluţă, iar cei doi le probează plini de bucurie. Până la cină sunt apoi montate şi steluţele cu beculeţi şi cu baterie pe cele două baghete. În timpul mesei stabilesc că şi bunicii trebuie să primească o invitaţie la serbare. La culcare, cei doi primesc şi o poveste spusă de bunica, în timp ce bunicul se aşează comod în fotoliul de alături.

“Vreţi să ascultaţi o anumită poveste?”, întreabă bunica. “Da!”, strigă cei doi. “Povesteşte-ne cine a inventat această steluţă frumoasă!”, în timp ce mişcă cu grijă în semiîntuneric baghetele cu steluţe minunat luminate.

“Eu cunosc această Steaua Domnului încă din copilărie”, începe Bunica. “Străbunicul vostru păstra vârfurile acelei steluţe şi clemele de prindere într-o cutie de carton lunguiaţă. În prima zi de Advent (Postul Crăciunului) ne aşezam cu toată familia la masă, la fel ca şi azi, şi asamblam steaua. Îi dădeam tatălui la mână vârfurile potrivite şi ţineam apoi de scară până tata fixa steaua de tavan.”

“Bunică, dar cineva trebuie că a inventat această stea?”, întreabă curios Jonas. “Întrebaţi-l pe bunicul vostru!” Emmi şi Jonas se uită curioşi înspre Bunicu, dar acesta are ochii închişi şi scoate doar un sunet fin de sforăit. Jonas îl îmbrânceşte scurt pe Bunicu: “Ăă, N-am dormit! Am găsit căsuţa unde se vând steluţele!” “Ba ai dormit!” îi răspunde Jonas. “Bunica zice că tu şti cine a inventat steluţa asta.”

“Oh, da, da. Dar asta este o poveste lungă. A fost aşa. Timp de câţiva ani am fost elev în internatul Unităţii-Frăţiei. Toţi băieţii de acolo ştiau să construiască această stea unică. Se zicea că, în urmă cu un secol un profesor de matematică a avut o idee genială, pentru a le face elevilor din internat cursul de geometrie mai accesibil (mai plăcut, în original mai gustos). Pentru că era tocmai vremea dinaintea Crăciunului, i-a încurajat să gândească şi să construiască diferite corpuri stelare. Din timpul şcolii mai am undeva în pod notiţe despre această stea, într-un geamentan vechi de piele.”

A doua zi dimineaţa, totul era acoperit de nea proaspătă. După micul dejun, cei doi îl ajută pe Bunic la curăţatul zăpezii de pe trotuar. Apoi fac un om de zăpadă şi trag o mică bulgăreală. Între timp sosesc şi părinţii. După servitul cafelei pleacă toţi la o plimbare până la târgul de Crăciun. Peste tot se aud colinde şi se simt mirosuri de Crăciun.

Bunicul le arată standul manufacturii ce vinde Steaua Domnului. “Aşa de multe stele!” se miră Emmi. “Şi aşa de frumoase!” se miră şi Jonas. “Bunicule, de aici ai cumpărat steluţele noastre?” Bunicul dă din cap afirmativ în timp ce-i zâmbeşte vânzătoarei. Apoi merg mai departe şi Jonas vrea să le arate tuturor marea Stea a Domnului ce este agăţată deasupra ieslei cu Naşterea Domnului.

Odată ajunşi cu părinţii acasă, cei doi le dezvăliue şi acestora surpriza cu serbarea de Crăciun, cu costumaşele şi cu baghetele cu Steaua Domnului. Desigur că la serbare au fost prezenţi şi Bunicii. Această cărticică mai are şi o continuare: Emmi şi Jonas şi Povestea de Crăciun (în original Emmi und Jonas und die Weihnachtsgeschichte).

Evident că am fost curios şi am pornit la căutat HERRNHUTER pe net, găsind imediat site-ul firmei. La adresa https://www.herrnhuter-sterne.de/de/ găsiţi istoricul acestor stele, ce se fabrică în oraşul saxon Herrnhut (traductibil Adăpostul Domnului, de unde am tradus Steaua Domnului pentru  Steaua din Adăpostului Domnului).

Cât despre “corpul de bază” al steluţei, acesta este un Rombicuboctaedron, de găsit pe Wikipedia la adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombicuboctahedron, unde găsiţi şi o transformare frumoasă a acestuia în cub sau în octaedru. CTG

Coperţile cărţilor de matematică

Profesorul de matematică este deseori un personaj având aparent tente autiste faţă de preocupările şi percepţiile celor din jur. El este ocupat întotdeauna de lucruri mult mai serioase decât cei din jurul său. Profesorul de matematică nu se interesează atât de mult de lucrurile exteriore, considerându-le superficiale: el face parte din cei care sunt preocupaţi de subiecte de profunzime intelectuală inaccesibile majorităţii.

Autorul unei căriţi de matematică are toate gândurile sale îndreptate asupra conţinuturilor.

Coperta cărţii, design-ul acesteia şi imaginea ce se doreşte cât mai eficientă din punct de vedere comercial, transmiţând un mesaj care să ducă la vânzări cât mai bune de către editură, toate aceste aspecte nu intră în preocuparea autorului. De acestea se ocupă editura, care de obicei are un designer specializat, responsabil de realizarea coperţilor. Ce ştie acesta despre matematică? De obicei nimic! Dacă cineva de specialitate matematică interferează în acest proces, poate se obţine ceva mai coerent, dacă nu … Ce coperţi primesc cărţile dacă nu se uită şi un matematician responsabil? Dumnezeu cu mila!

Pentru prima dată am remarcat acest aspect în urmă cu câţiva ani când o editură vindea nişte cărţi pentru vacanţă, aşa-numitele “caiete de vacanţă”, pentru clasa a VI-a, având pe copertă desenaţi câţiva copilaşi în costume de baie (desenaţi ca proporţii cam de clase primare), care desenau aidoma lui Arhimede geometrie pe nisipul plajei. Iar desenele erau despre cercul trigonometric, adică de liceu. Făcând o medie aritmetică între vârsta plauzibilă a acelor copilaşi şi vârsta materiei desenate, se cam obţinea clasa a 6-a (aceasta a fost o glumă).

Anul ăsta parcă este inflaţie în acest sens: o carte de pregătire a Evaluării Naţionale la clasa a 6-a pe a cărei copertă vedem ecuaţii complexe şi relaţii trigonometrice cu funcţii exprimate în radiani; un manual de clasa a 7-a având pe copertă plin de elemente scrise haotic din matematica de liceu. Pentru a nu intra într-un conflict oficial cu editurile respective prefer să nu postez imaginea acestor coperţi sau să amintesc numele editurilor, dar onoraţii colegi vor putea fi atenţi şi vor găsi astfel de exemple, confirmând spusele mele.

Există şi exemple pozitive în acest sens: o culegere cu teste de pregătire a examenului de EN de la sfârşitul clasei a 8-a, pe a cărei copertă este imaginea cu rezolvarea unui exerciţiu chiar de clasa a 8-a (unii îl fac în clasa a 7-a). Perfect, sau cum ar zice cineva: “exact pe felie” (editura care are acest exemplu se regăseşte şi la categoria contra-exemple).

Închei cu un exemplu din domeniul caietelor: de curând am găsit într-un magazin un caiet al unei firme străine producătoare renumite (caietul este al filialei din România) pe a cărui copertă este imprimată o imagine cu elemente de matematică parcă scrise pe o tablă haotic, pentru a da impresia de geniu în focul creaţiei (algebră şi geometrie, dar şi de chimie), având însă precizat chiar pe copertă cuvântul geometrie. Clar, nu? Îl deschid ca să văd dacă este cu pătrăţele sau cu foaie velină, şi ce-mi văd ochii? Foi cu linii pentru text! Vă daţi seama că am cumpărat caietul respectiv cu 2 lei: oricui îl arăt râde ca la cel mai bun banc (primul a fost un domn în faţa noastră la casă, care se uita puţin nedumerit de ce râdem: i-am arătat caietul, mai întâi coperta 2-3 secunde, apoi interiorul). Nu poţi să te abţi; te pufneşte râsul instant. Made in Romania

P.S. În urmă cu 14 ani tratam cu editura Humanitas-Educaţional pentru publicarea unei culegeri de probleme de geometrie plană. Visam să punem pe copertă imaginea unei picturi abstracte ale pictorului Wassily Kandinsky. Există câteva foarte potrivite pentru aşa ceva, cu triunghiuri, cercuri şi diferite drepte. De ce să te chinui, când poţi lua de la cel mai bun? Dar de la editură mi-au explicat că ar fi foarte scump şi că ei au un designer angajat, care – să stau liniştit – ne va “designa” o copertă foarte bună. Şi într-adevăr, aşa a fost: nu am ce să-i reproşez. Aşa pretenţios cum sunt, trebuie să recunosc că a fost o copertă ok. De, vorbim totuşi de personal angajat al unei edituri cu atenţie şi asupra aspectelor de sentiment, de simţire. A trebuit însă să mai aştept jumătate de an ca să răsuflu uşurat: cartea a apărut în mai 2006, de ziua mea, şi de-abia atunci am văzut coperta. Titus G.

Profesorul ideal

Luni 11 feb. 2019 în emisiunea Deşteptarea, înainte de ora 8, domnii Vlad Petreanu & Co. + câţiva ascultători intraţi în direct au discutat despre profesorul ideal.

Avem nevoie de educaţie în ţara asta …Avem nevoie de profesori foarte buni … Cum arată profesorul ideal? …Aţi cunoscut vreo dată un astfel de profesor?
– Profesorul meu ideal era d-na profesoară de geografie … care înainte de 1990 ne explica că e o singură Germanie şi chiar dacă ea ni le aranjează pe hartă aşa cum erau atunci, s-ar puta ca peste câteva luni … habar nu am dacă … dar a avut curajul să ne explice nişte lucruri înainte …
– Deci pentru tine profesorul bun este ăla care spune adevărul în ciuda ideii generale …
– Avea şi alte calităţi: nu ne punea să învăţăm mot-a-mot nişte lucruri, spunându-ne că nu acelea sunt importante …
– Mi-am adus aminte de un profesor de chimie din gimnaziu; muream să mergem la orele lui. … l-am iubit foarte mult, nu doar eu, toată clasa. … experimente din alea chimice, spectaculoase. Ei, cu asta ne-a cucerit; aproape la fiecare oră făcea câte un experiment. Dădeam pe spate! Toţi învăţam pe rupte la ora lui. Eram înebuniţi după materia lui spectaculoasă. Era pontos, făcea glume cu noi. Mai am şi acum un extemporal de la el pe care scrie 10 cu felicitări. Domnu respectiv, adică tovarăşu respectiv a emigrat în America, sau în Australia, a plecat din ţară, şi a venit o altă profesoară de chimie care era pe modelul “să dictăm mult”. S-a terminat cu experimentele şi la mine a fost nenorocire cel puţin; impactul a fost devastator. De la 10 cu felicitări am ajuns la corigenţă într-un trimestru. Pentru că nu mai era nici un fel de interes. Deci profesorul ideal este cel care te face să simţi că înveţi ceva şi participi la descoperirea a ceva, care ştie să facă spectacol din ora lui. Şi nu e vorba doar de chimie, am avut şi la istorie o profesoară grozavă care ştia să facă spectacol; la geografie am avut vreo doi ani aşa ceva. Depinde enorm de felul în care ştie să trezească interesul copilului.
– Am avut şi eu o profesoară de istorie, ne trezea interesul imediat: când nu ştiam îşi scotea pantoful şi arunca cu el după noi prin clasă …
– Cel mai mult am învăţat de la profesorii pe care i-am respectat. Asta nu cred că se-nţelege: un respect câstigat. … trebuie să fi foarte corect, din toate punctele de vedere ….
– Copilul trebuie să vadă în profesor şi un model de viaţă …Vrea copilul să fie ca el? Îi este model?
– Un profesor care la început ne-a scris pe tablă întrebările DE CE? şi CUM? şi ne-a spus că el cu acestea predă. …
– La facultate aveam vinerea şi nu lipsea nimeni, cu un profesor un curs de şase ore, care treceau parcă erau 10 minute, pentru stilul în care preda, avea darul de a te ţine concentrat şase ore, ceea ce eu n-am mai văzut la nimeni, prin exemple, deşi preda o materie de coşmar pentru facultatea aceea (rezistenţa materialelor). …
Da, se poate pune, pe bună dreptate, întrebarea: cum ar arăta o astfel de oră de matematică (ca cea de chimie descrisă de Vlad Petreanu). Cum ar trebui să predăm astfel încât, după şcoală foştii elevi să spună despre noi că i-am vrăjit, că orele de mate erau frumoase etc.? La această întrebare mă străduiesc de ani buni să găsesc răspunsuri şi reţete posibile. Uneori îmi reuşeşte, alteori nu. La unele lecţii merge, la altele nu. Dar şi când nu iese o oră prea bună, elevii sunt înţelegători, pentru că văd că mă străduiesc şi de atâte alte ori mi-au ieşit ore frumoase. Apropos, cum văd dacă mi-a ieşit o oră frumoasă. Simplu: se vede pe ochii copiilor.
Îmi permit să vă prezint în acest sens un mesaj primit în prima săptămână după vacanţă de la mama unei eleve: Vă mulţumesc din inimă că faceţi în aşa fel, cu atâta profesionalism şi drag pentru copii, ca matematica să fie ceva frumos şi nu o povară!! O zi faină! Mulţumesc şi eu, stimată doamnă; chiar uneori vine bine câte o încurajare; îţi dă o mică doză de bucurie să mergi mai departe.
Domn’Profesor

Jurnalul unei eleve de altădată

În această primăvară a ajuns în şcoala noastră, împreună cu o donaţie de cărţi, un carneţel misterios. Este îmbrăcat frumos în două rânduri de hârtie (cea exterioară e clasica hârtie de pachete albastru liliachiu ce se mai folosea încă prin anii ’80), iar pe prima pagină are titlul Albumul copilăriei scris cu o grafie foarte îngrijită, numele unei fete şi cl V L.C. (bănuiesc că e vorba de o fată din clasa a V-a de liceu). Ulterior se pare că acest carneţel a fost “preluat” de către un băiat cu acelaşi nume de familie (poate fratele ei). Carneţelul este plin cu “de toate”: cca. 40 de pagini cu Souveniruri (scurte catrene) semnate, apoi Horacolul meu completat de câţiva prieteni, iar intimităţile şi curiozităţile vârstei continuă inclusiv cu zile de naştere şi adrese. Tare s-au mai distrat fetele din şcoala noastră când l-au putut lectura în limbajul aşa de vechi, în album fiind date de completare de la începutul anilor ’40 (primele însemnări din 12-X-1940, iar ultima dată trecută 22.Iunie 1945)

Pe la jumătatea carneţelului apare “un capitol nou” despre Jocuri sociale, în care apar şi problemuţe cu caracter matematic (urmează apoi o parte cu Cântece şi ultima cu Epigrame, epitafe şi hore). Dintre problemuţe am ales câteva ca exemple cu distracţii intelectuale din vremurile de mult apuse. Desigur, unele erau mai serioase, altele mai … neserioase. Le redau cât se poate de fidel, inclusiv cu răspunsurile în finalul fiecăruia.

  1. Câţi soldaţi au fost? Cu ocazia recrutării, la un regiment s-au prezentat mai mulţi soldaţi. Ca să-I ducă la baie plutonierul i-a aşezat în rând câte doi însă a rămas unul stingher în flancul stâng, atunci i-a aşezat în rând câte trei însă a rămas iarăşi unul stingher. I-a pus atunci în rând de câte patru însă iarăşi rămase unul stingher, atunci îi puse câte 5 însă rămase din nou unul stingher, cu 6 la fel rămase unul. În sfârşit când îi pune câte 7 a aflat că nu a mai rămas nici un recrut în flancul stâng. Câţi soldaţi au fost? (Răspuns: 301)

Urmează diverse alte întrebări ce nu merită reluate, fie prea cunoscute (de exemplul cea cu melcul care urcă ziua şi alunecă noaptea), fie nu chiar de matematică (de pildă jocuri cu chibrite aranjate sau cu cărţi de joc). Există şi altele ce le cunosc din cărţi vechi de matematică distractivă sau magie matematică, pe care le voi prezenta cu alte ocazii.

  1. Cât face 1000 grame şi 100 centimetrii? Răspuns: 1 kilometru.
  2. Luaţi 9 bilete cu numerele de la 1 la 9 şi aşezai-le astfel încât totalul punctelor să dea 100. Răspuns: 15 + 36 + 47 + 2 = 100.
  3. Marcaţi numărul 100 prin patru cifre; dar prin 6 cifre. Răspuns: 99 şi 3/3; 99 şi 30/30 (scrieţi răspunsul ca fracţie mixtă cu întregi şi parte “fracţionară”)
  4. Alta cu 1: Se cere ca 111111 = 12, cum? Răspuns: 11 + 11/11 = 12
  5. Cifre: Din numărul 12345678 adunaţi aşa fel ca să obţineţi 9999. Răspuns: 1234 + 8765 = 9999.
  6. Alta cu cifre: Avem la dispoziţie cifrele 123456789. Cu ele trebuie să obţinem 100 fără fracţii. Cum? Răspuns: 9 x 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100.
  7. Alte sute: 1 + (2 x 3) + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100. Formaţi o sută din utilizarea în ordine a cifrelor 1,2,3,4,5,6,7,8,9 prin alte două metode. Răspuns: (1 x 2) + 34 + 56 + 7 – 8 + 9 = 100, sau 1 + (2 x 3) + (4 x 5) – 6 + 7 + (8 x 9) = 100.
  8. Jocul paharelor: Aşezaţi 3 pahare pe masă în linie dreaptă astfel: cele de la margine cu gura în jos, iar cel din mijloc cu gura în sus. E vorba să se ia mereu câte 2 pahare şi să fie răsturnate. După trei astfel de răsturnări, cele trei pahare trebuie să se afle toate cu gura în sus. Răspuns: singurul fel da a reuşi este următorul (plus varianta simetrică).

Prima mişcare: răsturnaţi paharul din mijloc şi cel din stânga;

A doua mişcare: răsturnaţi cele două pahare dela margine;

A treia mişcare: răsturnaţi pe cel din mijloc şi pe cel din stânga.

  1. Picioare: Cineva s-a întâlnit cu o femeie care ducea într-un coş 4 raţe, 3 gâşte şi doi iepuri de casă la târg de vânzare. Câte picioare mergeau în total la târg? Răspuns: numai două, căci restul erau duse de femeie la târg.

Un elev de altădată

Îmi meditez copilul – Karinthy Frigyes

Regula de trei compusă: lectură la început de vacanţă pentru descreţit frunţile

Dacă nouă sobe în cinci zile şi jumătate consumă doisprezece metri cubi de lemne de fag, în cîte zile consumă douăsprezece sobe nouă metri cubi de lemne de fag?
Dacă nouă sobe …

Stau la birou citind un articol oarecare, dar mi-e imposibil să-l urmăresc cu atenţie. Din camera vecină aud pentru a treizeci şi cincea oară aceeaşi frază.

Ce dracu o fi cu lemnele acelea de fag? Trebuie să ies, să văd.

Gabi stă ghemuit, cu coatele pe masă şi îşi roade tocul. Mă prefac că am ieşit din odaia mea pentru alte motive. Cotrobăiesc, preocupat, în dulapul de cărţi. Gabi se uită la mine pe furiş. Mă încrunt ca un om copleşit de gânduri, căruia nici prin minte nu-i trece să ia cunoştinţă de prezenţa lui. Simt că Gabi tocmai la aşa ceva se gândeşte şi repet cu încăpăţânare în sinea mea: “Dacă nouă fagi … doisprezece metri cubi … atunci în cîte sobe …” Ei drăcie! Cum vine asta?

Trec, distrat, prin faţa băiatului. Deodată mă opresc, parcă numai în clipa aceea l-aş fi observat:

Ei, dragul tatii, merge, merge?

Gabi îşi lasă buzele în jos.

Tăticule …
Ce este?
Nu pricep chestia asta aici …
Nu pricepi?! … Bine, Gabi, cum poţi spune aşa ceva? … Nu ţi s-a explicat la şcoală?
Ba da, dar …

Îmi dreg vocea, apoi îi vorbesc aspru şi contrariat.

Eh, ia să vedem, ce nu pricepi?

Gabi începe să turuie repede, cu lăcomie şi uşurat, ca omul căruia i s-a luat o povară de pe umeri.

Uite ce-i tăticule … Dacă nouă sobe consumă timp de cinci zile şi jumătate doisprezece metri cubi de lemne de fag …

Intervin furios:

Tara-tara, tara-tara … Nu mai turui! Aşa nu se poate gândi logic. Hai, spune încă o dată, de la început, frumos şi liniştit: să vezi cum ai să înţelegi. Fă-mi puţin loc.

Gabi se dă sprinten şi fericit la o parte. E ferm convins că în clipa aceasta toată grija problemei a trecut-o în cîrca mea şi crede că eu nu-mi dau seama de acest lucru. El nu ştie, n-are de unde să ştie că această scenă s-a petrecut aidoma, acum douăzeci şi ceva de ani, atît numai că atunci cel care se dădea la o parte – tot aşa de fericit şi de uşurat – eram eu, iar cel care se aşeza lîngă mine, tot aşa de important şi de înciudat cum sînt eu acum, era tatăl meu. Dar, ceea ce e şi mai înfiorător, e că, în clipa aceasta îmi dau limpede seama că şi atunci, ca şi acum, era vorba de exact aceeaşi problemă! … Da, da … aşa e, fără nici o îndoială … lemnele de fag şi soba! … Sfinte Dumnezeule … atunci eram cît pe ce să o înţeleg, dar acum iată că am uitat-o! …

Trecutul de douăzeci şi cîţiva de ani se cufundă într-o singură clipită în neant. Cum a şi fost?

Uite ce-i, Gabi – îi spun eu plin de răbdare – omul nu se gîndeşte cu gura, ci cu mintea. Spune-mi, ce nu pricepi?! … Totul e doar simplu şi clar, ca lumina zilei; chestiile astea le pricepe chiar şi un elev de clasa întîi primară, dacă bine-înţeles, e atent. Uite dragul meu: va să zică, aici e vorba de nouă sobe care consumă, în răstimp de cinci zile şi jumătate, atîtea şi atîtea lemne de fag. Ei? Ce nu pricepi aici?
Tăticule, asta o pricep … dar nu ştiu dacă prima proporţie e inversă şi a doua e directă sau prima este directă şi a doua inversă, sau amîndouă sînt directe sau amîndouă inverse.

La rădăcina părului, prin pielea capului încep să mă săgeteze fiori reci. Ce tot îi dă zor băiatul ăsta, alandala, cu proporţiile? Ce-or mai fi şi afurisitele alea de proporţii? … Cum aş putea să le dau de rost la iuţeală?

De data aceasta mă răstesc aspru la el:

Gabi! … Iar a început să-ţi meargă gura ca o moară! Cum vrei să înţelegi aşa ceva? … Omul cu gura se gîn … vrau să zic … în definitiv … ce-i aia inverse şi directe, directe şi inverse, tara-tara, tara-tara, parcă ai bate darabana pe perete!

Gabi rîde. Eu ţip:

Nu rîde! De asta crezi tu că te port la şcoală şi mă zbat pentru tine?! … Uite unde ajungi, dacă nu eşti atent la lecţii! Păi tu nu ştii nici măcar … (Mă uit la el uimit, mă prefac că mi-a trecut prin minte o bănuială înfiorătoare.) Tu nu ştii nici măcar ce este o proporţie?! …
Vai de mine, tăticule … proporţia este …proporţia … proporţia este … raportul dintre doi termeni în care cîtul termenilor interni … respectiv produsul termenilor externi …

Plesnesc din palme:

Ei, ce spuneam eu? Cogeamite flăcău de paisprezece ani şi nu ştie ce este o proporţie!

Gabi îşi lasă buza în jos.

Bine, dar ce este?
Ce este! Ei bine, păcătosule, să-ţi iei numaidecît cartea şi să repeţi definiţia de treizeci de ori … Altfel …

Gabi, intimidat, răsfoieşte manualul, apoi începe să turuie:

Proporţia este acea valoare în care cei doi termeni interni se raportează la alte două valori … ca … da, tăticule, dar care sînt aici termenii interni? Cantitatea lemnelor de fag şi numărul zilelor? Sau numărul sobelor şi volumul lemnelor de fag?
Iar ai început să turui?! Ia’ dă cartea încoace.

De data aceasta încep să vorbesc extrem de grav.

Ia uită-te aici şi nu fi prost. Totul e doar clar ca lumina zilei. Uite ce simplu e. Ei! Fii atent! Va să zică dacă nouă sobe consumă, în atâtea zile, atîtea şi atîtea lemne de fag, deci, dacă atîtea şi atîtea lemne de fag se consumă în nouă zile, e clar, nu-i aşa, că în douăsprezece zile nu se vor mai consuma numai atîtea şi atîtea , ci …
Da, tăticule, pînă aici înţeleg şi eu, dar proporţia …

De data asta mă înfurii de-a binelea.

Taci din gură şi nu mă mai tot întrerupe, aşa nu pot înţe … vreau să zic că aşa nu poţi înţelege nimic … Fi atent! Dacă în nouă zile … atîtea şi atîtea, atunci în douăsprezece zile să zicem că tot atîtea, plus cu atîtea mai mult. Dar în schimb … nu, pardon … totuşi, nu se consumă mai mult, fiindcă nu e vorba de nouă sobe, ci de douăsprezece, deci cu atîtea va fi mai puţin, adică cu atîtea mai mult, decît dacă ar fi fost mai puţin cu tot atîtea, decît cu cît a fost mai mult … Fiindcă vezi tu, proporţia … da, da, proporţia …

… Deodată mi se face lumină în cap. Marea cunoaştere mă străbate ca o lovitură de trăsnet. Douăzeci şi cîţiva de ani a trăit mocnită, ascunsă în mine – da, da, şi acum, abia acum am descoperit-o. Da, nu-i nici o îndoială că atunci, acolo …e evident da, da e absolut evident, că nici tatăl meu n-a înţeles această problemă

Mă uit pe furiş la Gabi. Băiatul, între timp a deschis pe neobservate, cartea de istorie şi, topimdu-se de plăcere, se uită cu un ochi la ilustraţia care îl înfăţişează pe Paul Chinezu1 burduşind doi turci.

Îl plesnesc peste căpăţînă, de răsună odaia.

Na! … Crezi că-s nebun să mă căznesc cu tine cînd mintea ta colindă în altă parte?

Gabi urlă, ca cei doi turci împreună.

Iar eu mă ridic uşurat. Prin ceaţa trecutului o faţă de om prinde a se desluşi: a tatălui meu, în clipa cînd m-a plesnit peste cap, vesel şi uşurat, spunîndu-mi parcă: dă-o mai departe copilului tău, mie mi-a fost de ajuns! Şi pornind apoi, fără grijă, fluierînd, cu mîinile în buzunar, spre mormînt, unde este cu totul indiferent în cîte zile se consumă nouă metri cubi de lemne de fag şi … şaizeci-şaptezeci de ani de viaţă …

1 Paul Chinezu – Luptător împotriva turcilor, de o forţă legendară. A trăit în sec. XV.

*

Schiţa de mai sus este preluată din Karinthy Frigues, Daţi-mi voie, domnule profesor…, Ed. Facla, 1977, pag.129-135, în traducerea lui Aurel Buteanu, apărută iniţial în româneşte la Ed. Tineretului, 1961. Nu voi cădea în capcana de a începe să comentez, analizănd din diferite puncte de vedere situaţia prezentată în mod briliant de autorul maghiar. Chiar dacă tratează o temă din afara programei, pentru starea prezentă a învăţământulul românesc textul este de o actualitate năucitoare, şi nu mă pot abţine să îmi imaginez un cerc de dascăli, învăţători, profesori de diferite materii şi psihologi şcolari, poate chiar şi reprezentanţi ai părinţilor, în cadrul unui proces de brain-storming, dezbătând multitudinea de aspecte ce pot fi deduse din această schiţă. Aşa că vă las pe dvs., stimaţi colegi, să încercaţi să faceţi acest lucru, fiecare după gândurile, preocupările şi imaginaţia sa.

Dar, dacă tot am deschis cutia prăfuită “dusă de mulţi ani în podu’ casei”, cutia cu regula de trei compusă, haideţi să vă mai propun o problemă cu iz de îmbârligătură de limbă, problemă ce o port cu mine cam de 20 de ani. Aceasta sună astfel: La o fermă avicolă, specialişti au stabilit că, în medie, o găină şi jumătate depune într-o zi şi jumătate un ou şi jumătate. Câte ouă depun nouă găini în nouă zile? Să nu cumva să vă repeziţi şi să daţi răspunsul nouă ouă. Luaţi-o încet şi gândiţi bine problema, iar dacă faceţi parte dintre cei ce nu stăpânesc o metodă mai directă pentru regula de trei compusă (metodele de stil vechi), luaţi-o băbeşte şi faceţi reducerea la unitate. Distracţie plăcută! CTG

Matematica în Biblie – Suma lui Gauss (1)

Numărul 17 este la mare cinste în Sfânta Scriptură: spre finalul Evangheliei după Ioan, 21, citim despre a treia oară când Isus S-a arătat ucenicilor Săi, după ce înviase din morţi, la marea Tiberiadei.

  1. Simon Petru le-a zis [celorlalţi]: “Mă duc să prind peşte.” “Mergem şi noi cu tine,” i-au zis ei. Au ieşit, şi au intrat într’o corabie; şi n’au prins nimic în noaptea aceea.
  2. 4. Dimineaţa, Isus stătea pe ţărm: dar ucenicii nu ştiau că este Isus.
  3. “Copii,” le-a zis Isus, “aveţi ceva de mîncare?” Ei I-au răspuns: “Nu.”
  4. El le-a zis: “Aruncaţi mreaja în partea dreaptă a corăbiei, şi veţi găsi.” Au aruncat-o deci, şi n’o mai puteau trage de mulţimea peştilor.
  5. Atunci ucenicul, pe care-l iubea Isus, a zis lui Petru: “Este Domnul!” Cînd a auzit Simon Petru că este Domnul şi-a pus haina pe el, şi s’a încins, căci era dezbrăcat, şi s’a aruncat în mare.
  6. Ceilalţi ucenici au venit cu corăbioara, trăgând mreaja cu peşti, pentru că nu erau departe de ţărm decît ca la două sute de coţi.
  7. Cînd s’au pogorît pe ţărm au văzut acolo jăratic de cărbuni, peşte pus deasupra şi pîine.
  8. Isus le-a zis: “Aduceţi din peştii, pe cari i-aţi prins acum.”
  9. Simon Petru s’a suit în corăbioară, şi a tras mreaja la ţărm, plină cu o sută cincizeci şi trei de peşti mari; şi, măcar că erau atîţia, nu s’a rupt mreaja.
  10. “Veniţi de prînziţi,” le-a zis Isus. Şi nici unul dintre ucenici nu cuteza să-L întrebe: “Cine eşti?” căci ştiau că este Domnul.

Pentru a încerca să înţelegeţi ce vreau să spun, vă rog să calculaţi Suma lui Gauss până la 17, aducă suma S17 = 1 + 2 + 3 + … + 17. Şi, da, răspunsul este 153. Desigur că nu mi-am propus să mă lansez într-o încercare de explicare, ci doar să vă informez despre acest fapt, care este evident de sorginte matematică.

O observaţie metodico-didactică merită totuşi făcută. Consider că tema este potrivită elevilor de clasa a VIII-a. Astfel, putem merge la clasă cândva prin luna mai, după Sărbătoarea Paştilor, să le citim pasajul respectiv şi să-i întrebăm dacă nu cumva acesta ar fi rezultatul unei Sume Gauss. Unii vor rezolva dilema prin încercări succesive, dar îi putem provoca să găsească soluţia folosind ecuaţia de gradul II. Egalând formula sumei primilor n numere naturale cu 153 se obţine rezultatul, care le apare elevilor ca o mare surpriză. Dacă aveţi curajul (să vă puneţi cu gura lumii) şi simţiţi că “elevii duc”, puteţi relua întrebarea cu numărul 666 din Apocalipsă. Surpriză? Simţiţi cum întrebarea despre “numărul bestiei” capătă cu totul noi valenţe? Ce reprezintă de fapt bestia? Cunoaşterea? Eu nu ştiu, dar sigur nu poate să fie o simplă coincidenţă. Oricum, ideea de a face ecuaţii de gradul II din Biblie este o idee ieşită din comun, iar elevii o vor purta în amintire toată viaţa.

CTG

Amintiri din copilărie – Partea a III-a

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Vă invit să finalizăm depănarea amintirilor mele matematice de învăţăcel cu anii de facultate petrecuţi la Cluj, completate şi cu alte amintiri matematice din copilărie.

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

Facultatea

La examenul de admitere la facultatea clujeană am constatat în mod dureros că aveam nevoie de ochelari. Fusesem repartizat cam la jumătatea amfiteatrului unde s-a desfăşurat examenul, fiind astfel destul de departe de tablă. Până atunci, de prin clasa a VI-a ocupasem întotdeauna unul din locurile laterale din prima bancă (lângă uşă sau lângă geam, pentru a nu încurca colegii). Trebuie precizat că la vremea respectivă subiectele erau scrise de către profesor pe tablă, iar noi trebuia mai întăi să le copiem. Ei bine, la examenul de analiză matematică, la o funcţie, în loc de x2 am copiat xx, dându-mi peste cap toate calculele din acea problemă.

Primul lucru interesant legat de facultatea de matematică este faptul că ne-am găsit patru colegi ai căror părinţi fuseseră şi ei colegi ai acestei facultăţi, absolvenţi în 1965. La trei dintre cei patru chiar ambi părinţi fuseseră colegi în respectiva promoţie. Cu doi dintre colegii mei s-a format chiar o relaţie asemănătoare cu cea de rude: ne simţeam ca un fel de verişori, când ne întâlneam cu părinţii vre-unuia discutam de cei absenţi şi se transmiteau salutări; părinţii tocmai avuseră întâlnirea de 20 de ani de la terminarea faculţăţii. Şi acum suntem cu aceştia la fel de apropiaţi ca şi cu rudele adevărate.

Din timpul facultăţii nu am nici o amintire legată de subiectul prezentului eseu, demnă de a fi prezentată aici. Matematica din facultate nu semăna deloc cu ce văzusem eu şi nu prea m-a atras. Totuşi, au fost destule momente deosebite. De pildă, renumita formulă a lui Euler ce a apărut din senin într-un curs: e = –1 şi care nouă ne plăcea mai mult în forma e + 1 = 0, pentru că aşa conţinea într-adevăr toate numerele remarcabile din matematică. De curând am aflat dintr-o carte a Profesorului Ian Stewart că, din când în când se fac sondaje printre matematicieni despre care ar fi cea mai frumoasă formulă matematică – ne vine sau nu să credem, dar există şi aşa ceva, dânsul ne asigură că n-a inventat acest fapt – şi că de obicei câştigă renumita formulă a lui Euler (Professor Stewarts Mathematisches  Sammelsurium, Ed. Rewohlt T. Verlag, 2011, pag.230). În rest, din timpul facultăţii am rămas în suflet cu multe imagini model ale profesorilor, imagini care mi-au oferit o linie ghidantă sănătoasă în viaţă.

De-abia la sfârşitul facultăţii s-a petrecut din nou ceva cu adevărat deosebit: în timpul unei ore când nu se întâmpla nimic special (doar ceva analiză complexă cu legendarul Profesor Petru Mocanu), m-am gândit că n-am mai descoperit nimic de vreo şapte ani. Mama prezenta în continuare formula mea de arie a triunghiurilor în fiecare an, şi atâta vreme cât în liceu mai erau generaţii care ne cunoşteau, pe mine sau pe fratele meu, din când în când apărea în câte o demonstraţie la teză sau la o lucrare scrisă: „folosind teorema lui Titus …”. Mama era foarte mândră şi mă mai anunţa şi pe mine când se întâmpla aşa ceva. Din păcate nu am păstrat nici măcar una din acele probleme sau demonstraţii.

Dacă vroiam să mai descopăr ceva, aveam nevoie înainte de toate de o întrebare pe care n-a mai pus-o nimeni până atunci. În acea oră de mai, în cca. 10-15 minute am avut întrebarea; în două ore am găsit răspunsul; peste patru ani aveam o demonstraţie credibilă şi prezentam rezultatul la sesiunea de comunicări ştiinţifice pentru profesori Didactica Matematicii (exact în ziua în care soţia mea a venit acasă cu fiul nostru de la maternitate :-). Peste încă opt ani, în urma impulsului dat de către un alt fost profesor din facultate, reuşeam să găsesc continuarea într-un întreg complet. Toată teoria este prezentată în cele două articole în serie din Caietele Pentagonia Nr. 7 şi 8 – Reprezentarea conicelor în spaţiu complex (de găsit pe site-ul pentagonia.roArta predării matematicii). Reuşisem să merg din nou cu mintea pe unde n-a mai „călcat” gând de om. Dar de data aceasta nu din întâmplare, în urma unor stimulări conjuncturale, ci din proprie inţiativă, iar apoi chiar la o cerere venită din exterior.

Viaţa de profesor şi reactivarea unor amintiri matematice

Deşi am terminat facultatea în 1989, datorită armatei de 6 luni am început să predau la clasă doar în primăvara lui 1990. Toate cele prezentate până aici sunt amintiri matematice ce nu s-au şters şi cu care am ajuns în viaţa de adult. Unele poate s-ar fi şters dacă nu aş fi ajuns profesor, aşa cum se întâmplă la cei mai mulţi oameni.

Mai există însă o categorie specială de amintiri matematice din timpul şcolii, anume cele care s-au şters, dar au fost reactivate, readuse din uitarea în care s-au scurs cu timpul, ele neînsemnând la momentul respectiv nimic special, nefiind legate de vre-o întâmplare deosebită, ci intrând în cursul natural al lecţiilor care se uită pentru că vin tot altele peste ele. În cazul meu astfel de amintiri, adică anumite cunoştinţe matematice, au fost reactivate prin însemnătatea lor în procesul de predare, observându-le necesitatea în educarea matematică a generaţiilor de elevi.

Probabil cel mai bun exemplu în acest sens îl reprezintă forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor. La triunghiuri această denumire înseamnă faptul că aria unui triunghi nu se modifică dacă vârful său este translatat paralel cu baza, adică dacă un vârf alunecă pe o dreaptă paralelă cu latura opusă, obţinându-se astfel un triunghi de altă formă faţă de cel iniţial, dar echivalent cu acesta. Aceaşi proprietate se regăseşte la paralelograme dacă translatăm o latură pe dreapta sa suport.

Cu aceste proprietăţi se pot rezolva anumite probleme într-un mod foarte elegant, realizănd cu figurile geometrice un proces de mişcare ce aminteşte de un balet deosebit şi care transformă figurile într-un mod foarte sculptural, amintind uneori de picturile lui Kandinski (cu puţină imaginaţie s-ar putea ajunge la compararea acestora cu stilul de mişcări de scenă dezvoltat de Michael Jackson). Pentru noi, soţia mea şi cu mine, ele reprezentau însă o normalitate şi le scoteam din recuzita de metode atunci când aveam nevoie de ele şi atât.

Aceste proprietăţi reprezintă însă un punct de mare interes în metodica predării matematicii în pedagogia Waldorf, prin faptul că ne oferă un proces în mişcare. Or, în pedagogia Waldorf se recunoaşte şi se respectă faptul că elevul înţelege şi învaţă mult mai bine matematica prin mişcare – atât mişcare exterioară, fizică, în clasele mici, cât şi mişcare interioară, imaginativă, în clasele mari. Cu forfecarea paralelogramelor se poate demonstra Teorema lui Pitagora, aceasta fiind demonstraţia folosită de obicei în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată însă şi cu forfecarea triunghiurilor, drumul fiind asemănător (o forfecare de triunghi, urmată de o rotaţie, iar apoi din nou o forfecare). Figura acestei demonstraţii o văd regulat pe coperta la Culegerea cu Teste grilă de matematică pentru Admiterea din 2013 de la Universitatea Tehnică din Cluj (Editura UTPRESS, o carte fără pic de geometrie sintetică, dar plină de geometrie analitică, matrici, funcţii, limite şi tot soiu’ de integrale de chinuit doritorii), deci mă gândesc că este privită ca o figură clasică a matematicii.

Din păcate însă, această figură nu se mai face în şcoli; în cursurile de pedagogie Waldorf am avut neplăcuta surpriză să văd că profesorii colegi mai tineri nu cunosc această demonstraţie, în general nu cunosc demonstraţiile în mişcare prin forfecare, deci nici problemele corespunzătoare. Doi dintre ei mi-au povestit cum, odată la un curs desfăşurat în străinătate, profesorul care ţinea cursul i-a încuiat pe toţi participanţii cerându-le să dea măcar două-trei demonstraţii la Teorema lui Pitagora. De ce n-am fost eu acolo să le povestesc despre pictura murală a lui tata din copilărie?

Aceste amintiri din copilărie mi-au fost readuse în actualitate de către profesorii docenţi la ale căror cursuri am participat ca profesor în şcoala Waldorf, în România respectivele lecţii fiind de mult uitate. Există însă şi amintiri din copilărie ce au revenit într-un mod misterios şi enigmatic, fără a fi ajutate de către cineva. De pildă, în 2000 am avut un moment de inspiraţie şi am organizat lecţia despre arii din clasa a VII-a într-un anumit fel. Peste câţiva ani am constatat cu surprindere că lecţia respectivă avea exact forma găsită de mine şi în manualul de clasa a V-a al profesorului Eugen Rusu, după care am învăţat eu în copilărie, regăsit “în lada de cărţi vechi” la părinţii mei.

Alt set de amintiri matematice din copilărie

O sumedenie din amintirile ce le am din perioada şcolară le-am regăsit şi la soţia mea, Mariana, fapt ce îmi dă convingerea că multă lume are astfel de amintiri, într-un mod similar. De pildă, atât eu din Victoria, cât şi ea din Cluj, ne amintim din copilărie cum stabileau vânzătoarele preţul, la Alimentara. Ne trimiteau mama fiecăruia să cumpărăm “200 g” de salam: vânzătoarea tăia o bucată aproximatovă din salamul cerut, îl punea pe o hârtie pe cântar, care arăta să zicem 220 g, iar vânzătoarea calcula imediat preţul în cap. Când eram copii eram uimiţi de rapiditatea de calcul a vânzătoarelor. Până acasă tot calculam şî de fiecare dată constatam că avusese dreptate. După ’90 am fost uimiţi cum breasla vânzătorilor a uitat încet această abilitate.

Amândoi avem din copilărie câte o culegere Gheba, a mea pe germană ,a ei pe română, care arată acum ciudat de asemănător: culegerile groase cam de 2 cm prezintă o distrugere pronunţată a primelor cca. 30 de pagini, a mea fiind folosită intens de doi fraţi, a ei şi mai distrusă fiind folosită de trei fraţi. În acest sens se vede că din culegerile Gheba se lucra intens doar partea de exerciţii de aritmetică şi de algebră; partea de geometrie nu se arată la nici una dintre culegeri prea folosită.

Evident că şi amintirile despre Gazeta Matematică sunt asemănătoare. Am lucrat amândoi după aceleaşi manuale, preţuim la fel de mult construcţiile geometrice cu rigla şi compasul etc.

Desigur că există şi multe amintiri diferite. Să începem cu profesorii. În clasele V-VI Mariana a făcut matematică cu o persoană legendară în Cluj, profesorul Dumitru Bota. Legat de acesta, pe lângă admiraţia cu care vorbea soţia mea despre el, există două amintiri speciale.

Profesori fiind, la o discuţie despre ce şi cum să facem cu elevii, soţia mea şi-a amintit că la Bota scria foarte mult la teme şi nu ne puteam închipui ce anume scria atâta. Aşa că l-a întrebat pe tatăl ei; iată şi răspunsul dat de socrul meu: trebuia să copieze fiecare lecţie de la clasă în caietul de teme şi de-abia apoi făcea şi tema propriuzisă.

O a doua amintire vine din clasa a VI-a, de la geometrie. Povesteşte soţia mea că Bota desena nişte cercuri impecabile cu mâna liberă, şi ei elevii erau de fiecare dată uimiţi. La un moment dat profesorul şi-a rupt mâna dreaptă, cu care scria. Când a venit la şcoală, cu mâna în ghips, a ţinut lecţia scriind cu mâna stângă pe tablă. Iar când a fost nevoie de un cerc, Bota pur şi simplu a trasat cu stânga un cerc aproape perfect, lăsându-i pe toţi cu gura căscată. Şi de la alte persoane am auzit poveşti pline de admiraţie despre acest profesor.

Din păcate în clasa a VII-a s-a schimbat profesorul, venind o doamnă despre care soţia mea nu are deloc amintiri plăcute. Se pare că nu stăpânea prea bine predarea, iar Mariana o tot corecta, aşa că prin a VIII-a a dat-o afară de la ore, cerându-i să nu mai vină la mate.

În clasa a VIII-a a mers la olimpiadă până la faza judeţeană, care era cea mai înaltă posibil în acele vremuri. Aici a greşit, uitând că cel mai mic multiplu al unui număr este zero, ratând astfel un exerciţiu, fapt pentru care nu a ieşit pe locul 1 pe judeţul Cluj.

În liceu a avut o altă legendă la mate, pe profesorul Ambrozie Lelijak. Sunt multe amintiri din aceşti ani de la orele de matematică. De pildă felul în care acesta dădea tezele sau cum îsi notau “dumele” sale în caiet atunci când făcea haz de vre-un coleg care nu învăţase; caietele tuturor colegilor erau pline la spate cu citate din Lelijak.

Amintiri din copilăria matematică a părinţilor

Discutând mult despre matematică şi cum ar trebui predată aceasta, ajung uneori şi părinţii noştri să-şi amintească scene din copilărie legată de acest subiect. De pildă mama mea şi-a amintit odată cum a lăudat-o directorul şcolii din sat. Acesta era soţul învăţătoarei şi îi plăcea să vină în asistenţe la ore. Cu astfel de ocazii a remarcat-o cât de bine ştia ea la problemele de aritmetică, chiar din acelea aduse de el, cele “mai tari” şi cum le făcea pur şi simplu fără să-i fi dat vreo explicaţie preliminară. Prin 2000, era şi mama deja pensionată, s-a întâlnit cu directorul din copilărie şi acesta şi-a amintit cum dădea ea cele mai neobişnuite rezolvări, cu care ajungea însă la răspunsul corect.

Acest aspect l-au sesizat ulterior la ea şi profesori de matematică din şcoală şi din liceu. Aceştia o îndrăgeau şi o ajutau cum se putea în acei ani cu colectivizare forţată, mama provenind dintr-o familie simplă de la ţară; de pildă, mi-a povestit că primea gratuit abonament la Gazeta Matematică. Peste ani, când a intrat la facultate, bunicul ei a vândut un viţel pentru a-i da bani să aibă la şcoală la Cluj.

Tata era dintr-o familie intelectuală, bunicul terminând două facultăţi: Ştiinţele naturii la Cernăuţi şi, în timpul războiului, Dreptul la Iaşi. Tata îşi aduce aminte de profesorul de matematică din liceu, dl. Lungu Nicolae, absolvent de facultate la Iasi, cum acesta le dădea la începutul orei câte trei probleme cu care “să-şi bată creierii”, până le verifica dânsul temele. Apoi, pe parcursul lecţiei noi, elevii observau cu uimire că problemele iniţiale se rezolvau uşor cu lucrurile nou învăţate şi mare le era bucuria despre cele descoperite. Asta da modalitate de predare prin problematizare dusă la extrem!

De la tata mai există o poveste cu final dureros. Prietenul său cel mai bun Cojocaru Dragos, cu care au fost colegi şi în facultate, s-a calificat în liceu, la prima Olimpiadă Naţională organizată la matematică, pe locul I din partea judeţului Suceava. După o vreme şi-au dat seama că a fost înlocuit şi Dragoş nu a mai fost convocat la faza finală. Peste ani, în 1984 eram împreună cu tata într-o tabără de matematică la Câmpulung Moldovenesc, tata fiind însoţitorul grupului de olimpici (rezerve) din judeţul Braşov. Cu această ocazie tatăl meu s-a interesat de la colegii organizatori suceveni despre profesorul lui din liceu şi a aflat că acesta este la cel mi bun liceu din Suceava, că este deosebit de apreciat, dar că – nimeni nu înţelege de ce – nu participă nici o dată la olimpiade.

Şi de la tatăl soţiei, inginerul Dodul Eugen (se pronunţă Dodu’) avem câteva amintiri depănate de-a lungul anilor. Născut în 1929 la Chişinău, a fost refugiat cu familia în timpul războiului la Bucureşti, unde până la urmă au şi rămas. La început, la şcoală nimeni nu-l înţelegea, având o pronunţie mult diferită faţă de ceilalţi colegi. Astfel, şi-a salvat onarea în faţa colegilor la orele de limba franceză, pe care o ştia de acasă, şi în matematică la care era foarte bun.

Anii au trecut şi în liceu ajunsese un fervent rezolvitor la Gazeta matematică. La sfârşitul şcolii ajunsese pe locul doi pe ţară la punctajul concursului rezolvitorilor din GM, primul fiind prietenul său. Ne putem închipui supărarea trăită atunci când colecţia sa de Gazete Matematice a fost atacată de carii, astfel încât valoroasele caiete au trebuit arse. Peste ani a găsit printr-un anticariat câteva gazete vechi din anii liceului: le-a legat pe toate opt exemplarele într-un mic volum în care se găsesc câteva semne în dreptul paginilor pe care este trecut numele său, din clasele VI-VII de liceu (Gazeta Matematică, Supliment de exerciţii, Anul XII-XIII, 1946).

La admiterea în facultate a ratat ultimul examen din trei prin neprezentare, datorită faptului că a stat toată noaptea şi a citit Anna Karenina. Nici nu s-a dus apoi să vadă rezultatul, convins fiind că nu a intrat, dar a aflat în toamnă de la un coleg al său că este student şi că profesorii îl trec regulat absent.

Mai târziu, inginer constructor fiind, peste tot pe unde umbla pe şantierele ţării, medita la matematică copii colegilor de servici. Când am cunoscut-o pe Mariana, tatăl ei avea săptămânal ore private cu 30 de elevi; atâţia erau că nu le putea ţine socoteala la toţi, aşa că îşi făcuse catalog unde nota cum îşi fac aceştia temele şi cum progresează.

Amintiri din copilărie – Partea a II-a

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Vă invit să continuăm cu depănarea amintirilor mele matematice din anii de liceu, petrecuţi în Or. Victoria, la Liceul de chimie industrială (singurul existent le vremea respectivă în Victoria).

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

Anii de liceu

Liceul l-am început în anul 1981. Până atunci, în gimnaziu, ascultasem mai ales ABBA şi Boney M (ulterior am aflat că acestea erau preferatele Elenei Ceauşescu, de aia erau difuzate cu predilecţie), dar în clasa a VIII-a apăruse şi năucitorul The Wall de la Pink Floyd, în care Roger Waters povestea de Another Brick in the Wall. Atunci încă nu înţelegeam de ce we don’t need no education, we don’t need no thought control şi nici de ce Hey! Teachers! Leave them kids alone! Pentru noi şcoala era OK; o acceptam aşa cum era; nu ne puneam astfel de probleme.

După cum am spus, în liceu am avut-o ca profesoară de matematică pe mama mea. Iar tatăl meu – tot profesor de matematică – ne era diriginte (cu el făceam ceva ce azi s-ar numii curs opţional). Cred că sunt unicat în acest sens. Fratele meu a scăpat ceva mai uşor, avănd-o doar pe mama atât profesoară cât şi dirigintă.

La lucrarea de testare iniţială din clasa a noua am luat scurt un 4, după care a început liceul. Eram la o clasă de Mate-Fizică şi aveam câţiva colegi foarte buni la matematică.

Prea multe amintiri din clasa a IX-a demne de a fi evocate nu prea am. Ţin doar minte că îmi plăceau inecuaţiile care se rezolvau prin tabele de variaţie a semnelor. Cu cât era tabelul mai mare, cu mai multe etaje, cu atât era mai bine. Trăiam acolo o mare satisfacţie. Şi numerele complexe de la sfârşitul clasei a IX-a mi le amintesc cu păcere (aceasta însă poate şi datorită unor întâmplări ciudate din următorii ani).

La faza judeţeană a olimpiadei nu m-am calificat (eram la prima încercare după ciudăţenia din clasa a cincea), dar oricum am înţeles şi am făcut câte ceva din subiectele respective. În schimb am fost la sesiunea de comunicări ştiinţifice a elevilor. Tata mi-a dat ceva cărţi şi m-a pus să redactez o lucrare despre Secţiunea de Aur. Nici din această experienţă nu am amintiri speciale, dar, după cum veţi vedea în curând, urmările au fost spectaculoase. Cu această ocazie s-a deschis în mintea mea o ciudată poartă spre ceva ce s-ar putea numi simplu Cercetare şi Descoperire.

Pentru a înţelege cele ce vor veni trebuie să facem o pauză şi să ne amintim care era stuctura programei pentru clasele a noua şi a zecea în anii 80. La matematică aveam două manuale, unul de algebră şi unul de geometrie. Cel de geometrie relua materia din gimnaziu, desigur la un nivel superior şi mult mai riguros (axiomatic era cuvântul la modă atunci), cu completările de rigoare, la care se adăugau capitole de trigonometrie specifice vârstei. Cu alte cuvinte, ce nu prindeai în clasele mici la geometrie, apucai să înţelegi în liceu. Mai ales datorită acestui aspect mulţi îşi aduc aminte cu plăcere de geometria din şcoală. Clasa a noua era cu geometria plană, iar a zecea cu cea în spaţiu. În acest context a venit peste mine clasa a zecea, probabil cel mai frumos an din viaţa mea de şcoler.

Deşi toamna toată suflarea şcolară era pe ogoarele patriei la cules, mama găsea de obicei căi de a convinge autorităţile să o lase să facă ore cu clasele la care merita făcută mai multă carte. Într-o astfel de zi frumoasă de toamnă eram noi la şcoală şi făceam probleme cu proprietăţi ale unor segmente sau arii din trapeze oarecare. La un moment dat a venit o problemă care m-a speriat: trebuia demonstrat că paralela la baze dusă prin intersecţia diagonalelor este înjumătăţită de către aceasta (tot parcursul acelei ore este prezentat, aşa cum l-am trăit eu, în articolul Istoria unei decoperiri postat pe site-ul personal pentagonia.roArta predării matematicii). Demonstrarea prin asemănarea triunghiurilor este foarte anevoioasă, dar mintea mea a observat anumite corelaţii ciudate între această problemă şi precedentele două (mai există o rezolvare accesibilă prin repoarte, pe cae eu însă “nu am văzut-o” în acea oră). Pe scurt, până ce s-a rezolvat problema la tablă, eu am demonstrat o nouă formulă pentru aria unui triunghi, după care folosind acest nou rezultat am demonstrat foarte uşor problema cerută. Vă închipuiţi cum am stat, ca pe ghimpi, până s-a terminat problema şi a sunat de ieşire, ca să-i pot arăta mamei noua mea rezolvare. Pe parcursul anului mi-am redactat cât m-am priceput de matur lucrarea, iar în primăvară m-am prezentat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice cu propria descoperire. Chiar dacă alţi colegi au luat premii (cu lucrări făcute/oferite de profesori la alte materii), tot menţiunea câştigată de mine a fost cea mai valoroasă. Eram în al nouălea cer! Umblasem cu gândul pentru câteva minute acolo unde nu mai fusese nici o minte de om!!!

Este de la sine înţeles că nimic din ce s-a mai întâmplat în acel an nu s-a putut ridica la nivelul acestei întâmplări, deşi per ansamblu despre materia de clasa a zecea am cele mai plăcute amintiri dintre toţi anii de liceu. Tot în clasa a zecea m-am calificat prima dată la faza judeţeană a olimpiadei de matematică. Mai departe n-am mers, dar am repetat figura în următorii doi ani.

Din clasa a unsprăzecea, amintirea care mi-a influenţat probabil cel mai mult parcursul de profesor este discuţia cu mama mea din după-amiaza zilei în care şi-a susţinut inspecţia pentru Gradul I. Tata era plecat din localitate, aşa că după inspecţie mama nu putea discuta decât cu mine despre ce se întâmplase. Iată povestea pe scurt.

Dintre cele patru ore, cea de-a treia era la clasa a IX-a unde urma să introducă numerele complexe. Eram spre sfârşitul anului şcolar 1983/1984 iar forma de introducere a numerelor complexe se schimbase dramatic cu câţiva ani în urmă (în forma veche se pornea de la notarea lui = i, adică i2 = –1, pe când forma nouă pornea de la definirea numerelor complexe ca perechi ordonate cu anumite proprietăţi de operare). În primii ani după schimbare profesorii nu înţelegeau cum ar fi putut elevii pricepe numerele complexe din această nouă formă de predare, aşa că o ignorau şi predau aşa cum erau ei siguri că merge.

Neştiind ce persoană va veni în inspecţie, mama îşi pregătise ambele forme de lecţie, urmând să ia hotărârea înainte de ora respectivă. Văzând că inspectorul era un dur “cu ochelari de cal”, mama s-a hotărât pentru forma cea nouă, oficială – şi a fost felicitată pentru aceasta de către inspector. Seara, când mi-a povestit întâmplarea, mama zicea că, deşi lecţia a mers oficial bine, ea a simţit că elevii n-au înţeles nimic, dar nu-i nici o problemă, ora viitoare le va preda şi lecţia veche pentru a-i lămurii. Acesta a fost episodul nr.1 al unei poveşti care s-a întins surprinzător de mult.

În anii ‘90 eram deja profesor şi tare supărat pe „prostiile” din sistem. Într-o discuţie acasă – eram prin 1995 – am amintit ca argument întâmplarea din liceu cu introducerea numerelor complexe, la care mama mi-a replicat că ea n-a înţeles bine la început forma cea nouă, că între timp a priceput-o şi că aceasta este cea corectă (deja fusese aleasă printre profesorii metodişti şi mergea din când în când la rândul ei în inspecţii la profesori mai tineri). Eu am replicat că ea a înţeles lecţia în 10 ani, dar că elevii nu au atâţia ani la dispoziţie pentru a o pricepe, şi nu mult a lipsit să tragem o ceartă zdravănă, aşa ca între matematicieni înfocaţi.

Episodul nr.3 a venit la începutul anilor 2000 când Mama era deja pensionată, dar mai ajuta în particular diverşi elevi. Odată a redeschis ea vechiul subiect, mărturisindu-mi că eu am avut dreptate în vechea dispută. Elevii veneau cu lecţia despre numere complexe neînţeleasă de la şcoală, şi degeaba le-o explica încă o dată, că tot nu pricepeau nimic. Atunci le oferea forma veche a lecţiei, cea din anii ’70, iar aceştia înţelegeau imediat numerele complexe (q.e.d.).

Revenind la amintirile din timpul şcolii, trebuie menţionat că în clasa a XI-a am început să mă pregătesc regulat pentru admiterea la facultatea de matematică. Mergeam împreună cu un prieten o dată la trei luni la Timişoara la un profesor universitar – care a rămas pentru mine unul dintre modelele de viaţă – iar acesta ne verifica şi ne dădea teme pentru următoarele luni: cărţile cutare şi cutare etc. Prima temă a fost ciudată: pentru geometria plană nu trebuia să fac vreo culegere sau manual de liceu. Părinţii mei trebuiau să caute nişte noi manuale care aveau probleme mai grele decât cele oficiale de liceu. Deci pentru admiterea în facultatea de matematică, cele mai grele probleme de geometrie pe care să mă pregătesc eu erau în nişte manuale neoficiale. Întâmplarea ne arată cum, o parte din lumea matematică cerea tot mai mult, tot mai greu, pe când sistemul oficial comunist avea totuşi respect şi faţă de elevii medii.

Din clasa a XI-a doresc să mai amintesc doar reprezentarea grafică a funcţiilor. Pur şi simplu am iubit acest capitol.

Cred că tot în acest an au început şi la şcoală pregătirile ordonate pentru examene. Pentru asta aveam introdusă o oră suplimentară în care mama, pardon tovarăşa profesoară, ne prezenta rezumate ale fiecărei lecţii începând din clasa a IX-a, iar noi le treceam în aşa-numitul Carnet de formule. Acest carnet de formule profesionist, scris de mine dar redactat de profesor era al treilea carneţel de formule al meu; eu în decursul timpului îmi mai redactasem încă unul iniţial (cam mic), cât şi unul mai complet care îmi plăcea şi care era carneţelul meu de suflet. Când îmi aminteam o formulă, din acesta, cel creat de mine, vedeam imagini în minte. Aceste carnete de formule au jucat un rol foarte important în stabilizarea matematicii în mintea mea pentru examenele ce-au urmat (bac-ul şi admiterea la facultatea de matematică cu n candidaţi pe un loc). Toţi elevii din vremea respectivă beneficiam de astfel de carnete de formule la redactarea cărora lucram intens. A cumpăra actualmente unul gata făcut de către vreo editură nu are nici pe jumătate acelaşi efect ca redactarea unuia făcut cu trudă de mânuţa ta.

Recent, la o întâlnire de 20 de ani de la terminarea liceului, o fostă absolventă i-a povestit mamei mele următoarea întâmplare: era de mult în America când a aplicat pentru un job undeva în Caraibe (parcă era vorba chiar de Jamaica); pentru aceasta urma să dea un examen din matematică, iar ea avea acolo la dispoziţie doar carnetul cu formule (din care uitase desigur totul, dar îl avea cu ea în America!). Aşa că femeia s-a apucat în cele două săptămâni ce le avea la dispoziţie să parcurgă din nou toată matematica din acest carnet magic, şi desigur că şi-a luat examenul, fiind ea aleasă pentru jobul mult visat.

Tot din aceşti ani, bănuiesc că era vorba de clasele X-XI trebuie să mai povestesc ceva, care s-a dovedit a fi de o importanţă covârşitoare. Părinţii mei lucrau din anii ’70 la o activitate (ce s-ar numi astăzi extracurriculară) de după-amiază, anume Laboratorul de matematică. Până la mine adunaseră deja experienţă, mergeau la simpozioane prezentând lucrări ştiinţifice pe această temă şi organizaseră deja două simpozioane naţionale sub tutela SSM pe tema Laboratorului de matematică. Aşa că a venit şi rândul clasei mele, cei doritori desigur, să parcurgem seria de lucrări practice cu aplicaţii ale matematicii deja învăţate. Lucrarea care m-a impresionat cel mai mult a fost cea despre determinarea numărului π prin metoda Buffon, o metodă stohastică de tip Monte Carlo. Trebuia să aruncăm cu un chibrit (sau cu un ac) de 1000 de ori şi să notăm rezultatul; eu m-am gândit să eficientizez metoda, aşa că am aruncat împreună cu colegul meu, cu 10 chibrite de-odată şi asta doar de 100 de ori (unul arunca şi celălalt nota câte chibrite taie liniuţa). Nu ţin să vă povestesc cât de departe a fost rezultatul obţinut de noi faţă de 3,14, dar oricum lecţia a fost clară: când e vorba de probabilităţi, nu este bine să interferezi prea mult cu fenomenul pentru că lucrurile o iau razna (chibritele acelea se loveau între ele când le aruncam şi n-avea cum să iasă tare bine).

Pentru noi Laboratorul de matematică era parte din normalitatea vieţii. Acolo nu se dădeau note şi toţi elevii veneau cu bucurie, chiar şi cei mai slabi. Ulterior, ca adult am aflat de la părinţii mei cum au ajuns să fie hărţuiţi de către inspectorat pentru ce făceau: că de ce nu dau note, că de ce este o atmosferă atât de relaxată, că ce fac acolo de elevilor le place aşa de mult etc. Un singur lucru nu puteau: să-i ia la rost de ce munceau în plus, pentru că asta era chiar una din cerinţele vremii.

Chiar una dintre prezentările lor ştiinţifice a avut această temă: cum văd elevii activitatea şi de ce o apreciază. Astfel, am găsit printre materialele din acea perioadă primite de la tata un chestionar completat de către o elevă din clasa a XII-a din 1980 (ajunsă ulterior cadru universitar). Citez din acest chestionar: Nu sînt necesare note pt. că vin la laborator din plăcere şi cînd faci ceva din plăcere nu e nevoie de nici un stimulent, e suficientă mulţumirea sau nemulţumirea propriei cunoştinţe…Mult mai puţin efort decît îmi trebuie la materiile umaniste….

Consider că şi Laboratorul de matematică a contribuit puternic la formarea mea ca adult cu o gândire liberă şi ne-indoctrinabilă, gândire care m-a dus ulterior la Şcoala Waldorf. Aici am avut tot timpul conştienţa că eu am ceva în plus faţă de colegii mei, ceilalţi profesori, eu fiind singurul dascăl ce am beneficiat în copilărie de un dram de educaţie liberă desfăşurată ordonat şi oficial, dar totodată benevol.

Clasa a XII-a a continuat cu munca intensă inclusiv pregătirea bac-ului, muncă întreruptă de vizitele rare la Timişoara. În iarna acelui an am lucrat foarte mult ascultând albumul Thriller, acesta fixându-mi-se pe amintire ca un album de iarnă grea, cu foarte multă zăpadă.

Între timp eram câţiva colegi pasionaţi de rezolvarea cubului Rubik, îl rezolvam uşor dar nu puteam nicicum să coborâm sub pragul de 3 minute. În schimb reuşeam să rezolvăm şi alte astfel de jocuri cum ar fi tetraedrul regulat sau şarpele lui Rubik. Altele, cum ar fi Steaua lui Alexandru sau inelele lui Rubik rămâneau un mister. Cubului îi rezolvam în mod logic primele două rânduri, după care-l finalizam cu anumite reţete pe care le stăpâneam fără a le înţelege.

În bac, şi apoi la examenul de admitere am ajuns fără să-mi dau seama, şi uite-aşa m-am trezit student. Am fost amânat medical pentru armată, aşa că am mers direct în toamnă la facultate (aşa cum se face actualmente) cu colegele din anul respectiv, dar cu băieţii cu un an mai mare, care făcuseră între timp şi armata. Era anul 1985; de Crăciunul trecut George Michael tocmai lansase legendara Last Christmas; în primăvară Michael Jackson adunase spuma muzicii americane pentru We are the world, iar la noi în Europa pornea epoca Modern Talking. Acestea au fost subiectele mele preferate în facultate, dând pentru o vreme matematica la o parte.