Planimetria şi Stereometria – (2) Primii paşi în clasa a 5-a

În prima parte a acestui eseu am luat în discuţie planimetria şi sterometria, dar am încercat şi să pregătesc contextul mai larg legat de problema diferenţelor majore între domeniul acestora şi domeniul demonstraţiei geometrice. Să reluăm pentru început ce-i cu aceste denumiri ciudate, rar folosite în România.

Planimetria se referă la toate acele componente ce se referă la măsurarea (în general metric) a figurilor geometrice plane. Concret, este vorba de determinarea lungimilor în vederea calculului de perimetre şi arii (2D). Stereometria, în mod similar, se referă la măsurarea spaţiului, adică la determinarea ariilor şi volumelor diferitelor corpuri geometrice (3D).

Atât planimetria cât şi sterometria apar clar începând de la sfârşitul clasei a 5-a, prin unităţile de măsură corespunzătoare, motorul preocupaţional reprezentându-l aplicaţiile la fracţiile zecimale. În acest moment se simte clar cât este de greu a porni o nouă materie, dacă ai pretenţia de a preda cât de cât riguros. La unităţile pentru arie trebuie să te bazezi pe faptul că elevii ştiu din clasele mici ce-i acela un pătrat, dar acesta nu a fost predate riguros axiomatic, ci a fost cunoscut doar în mod intuitiv (nu intru aici în procesul prin care un copil poate înţelege ce-i acela un pătrat sau un dreptunghi, dar strădania din clasa a 5-a în noile manual nu este deosebit de reuşită)). La cub lucrurile stau similar, cu diferenţa că spre deosebire de pătrat ce poate fi schiţat, desenat intuitiv, cubul este mult mai greu de prezentat în desen de către copil.

Astfel, este absolut normal ca preocuparea principală să cadă pe arii, volumul fiind abordat intuitiv, în mod similar cu aria (mutatul virgulei în sistem zecimal), şi căutată cât de repede conexiunea cu capacitatea (legăturile dintre litraj şi cubaj). Figura de bază la arie o reprezintă dreptunghiul şi, în mod similar, corpul de bază la volum îl reprezintă paralelipipedul dreptunghic. Pătratul apare la arii în două poziţii diferite, la început ca unitate de măsură, iar apoi din nou ca un caz particular de dreptunghi. Repet şi precizez: principiul de bază pentru formulele de arie îl reprezintă dreptunghiul (de exemplu, eu consider de fiecare dată un hol la care se pun patru rânduri de câte şapte plăci de gresie, deci sunt necesare cu totul  de plăci); formula de arie a pătratului reprezintă doar un caz particular al celei a dreptunghiului. Lumea profesorilor nu este cu adevărat conştientă de această duplicitate a pătratului (se vede acest fapt din felul cum se predă fizic sau în cărţi). Acelaşi fenomen îl întâlnim şi la volum, în “jocul” dintre cub şi paralelipipedul dreptunghic.

Înainte de a merge mai departe în eseul despre importanţa planimetriei şi a stereometriei în şcoli, îmi permit să mai zăbovesc puţin “pe aici”, fiind prea aproape de câteva idei metodico-didactice, încât să îmi permit să le ratez.

*

Legat de momentul introducerii ariei şi a volumului, respectiv a analogiei dintre modul de a gândi în cele două situaţii, în primul rând ar fi de atenţionat asupra faptului că amândouă măsoară mărimea interiorului, aria = interiorul unei figure plane (adică în 2D), pe când volumul = interiorul unui corp în spaţiu (adică în 3D). Acest aspect a fost observat în urmă cu mulţi ani (mai exact în toamna lui 2003) de către un elev dintre cei mai slabi la matematică în clasa respectivă, care a ridicat brusc mâna în timpul orei despre cub în clasa a 8-a, în momentul când lămurisem formula pentru aria totală: dar aria aia dinăuntru când o facem? Nefiind un elev tare pasionat de matematică, acesta a uitat că în clasa a 5-a vorbisem deja de volum; fiind însă un om foarte practic, acesta a sesizat imediat că în spaţiu mai este ceva similar cu situaţia ariei din plan. Am cuprins această idee în următoarea lecţie de prezentare generală a celor trei cuvinte “de calculat” la clasa a 5-a , perimetru, arie şi volum.

Un al doilea aspect ce merită evidenţiat aici se referă la folosirea cuvintelor pătrat respectiv cub pentru puterile a doua şi a treia. Eu studiez cu elevii în semestrul I al clasei a 5-a numerele figurate pe bază de punctuleţe (în plan, respective cu biluţe în spaţiu) şi lămuresc acolo de unde vine denumirea de “trei la pătrat” pentru 32 (la început chiar folosesc o scriere de felul 3□ pentru numere pătrate, iar prin analogie 3Δ pentru numere triunghiulare). Dacă nu intraţi în acest subiect în semestrul I, în apropierea momentului când predaţi puterile, atunci este neapărat necesar de a puncta sursa acestor denumiri ciudate atunci când studiaţi în finalul clasei a 5-a aria pătratului, respectiv volumul cubului.

Pentru un al treilea aspect, ce merită aici evidenţiat, trebuie să vă pregătiţi de o nouă critică dură la adresa matematicii şcolare din România. Figurile de bază în planimetrie (2D) sunt pătratul şi dreptunghiul, denumirile acestora fiind amândouă uşor de folosit şi în afara matematicii (putem vorbi liniştit despre o masă pătrată sau un teren dreptunghiular etc.). Corpurile de bază în stereometrie (adică în spaţiu, deci în 3D) sunt cubul şi paralelipipedul dreptunghic. Sesizaţi problema?

Dacă ne este uşor să vorbim despre cubuleţe de zahăr (care de obicei nici nu prea sunt chiar cuburi), ne va fi greu să vorbim despre o cutie paralelipiped-dreptunghică!!! Uau! Cei aia? Aici, în strădania de a găsi un echilibru între corectitudinea teoretică şi o exprimare cât de cât folosibilă din punct de vedere practic, mulţi vorbesc despre o cutie paralelipipedică. Este clar însă că această exprimare este greşită, chiar şi numai dacă ne gândim că, făcând drumul analogiei invers, ar trebui să vorbim despre o masă paralelogramică!!! Şi în geometrie poate fi făcută această analogie: astfel, în geometria plană ar trebui să vorbim despre un paralelogram dreptunghic!!!, nu despre un dreptunghi (la fel cum vorbim despre un triunghi dreptunghic sau despre un trapez dreptunghic). Făcând din nou drumul analogiei de la 2D la 3D, de vreme ce vorbim de un teren dreptunghiular, ar trebui să putem vorbi de o cutie dreptunghipedică!!!

Simţim aici că suntem împinşi într-o situaţie de blocaj: matematicienii folosesc pentru corpul care este cel mai des întâlnit la ora actuală o denumire total nefolosibilă din punct de vedere practic, forţându-ne la exprimări incorecte de tipul: 99,99% din tot ce se ambalează vine ambalat într-o cutie “dreptunghiulară”. Eu am sesizat acest aspect pentru că în limba germană cunosc o denumire mult mai lesne de folosit. Astfel, nemţii au în 2D denumirile Quadrat (pătrat) şi Rechteck (dreptunghi), iar în 3D denumirile Würfel (pentru cub), respectiv Quader (pentru paralelipipedul dreptunghic). Este evident că denumirea nemţească este mai uşor de folosit şi în situaţii practice, în afara matematicii, fiind mult mai scurtă decât cea prezentată în şcolile româneşti.

Pentru cei care vor susţine că asta e, n-ai ce-i face, rigurozitatea în matematică primează, acestora le-aş răspunde că există aici şi o clară doză de răutate, un soi de “bullying ştiinţific”. Cum îmi susţin un astfel de punct de vedere? Păi, fenomenul continuă prin seturile de probleme, din manuale sau culegeri, dar şi în prin alte exemple. Apar tot mai des exprimări de felul: “o prismă dreaptă cu baza pătrat” în loc de oficiala “o prismă patrulateră regulată”, sau “o piramidă triunghiulară regulată cu muchia laterală egală cu muchia bazei” în loc de “tetraedrul regulat”. Una din cele mai mari răutăţi întâlnite în ultimii ani a fost expresia “cubul PIRAMIDĂ”.

Dar să ne rezumăm doar la exemplul cu prisma dreaptă. Pentru ca elevii să înţeleagă ce-i aia o prismă dreaptă, ar trebui să le explicăm cum este o prismă care nu e dreaptă, adică să le povestim de prisma oblică, dar şi să le dăm exemple de prismă dreaptă dar neregulată. Toate acestea sunt însă abuzuri la adresa elevului de rând, care este constant înjosit că nu ştie cutare sau cutare lucru. Aceste abuzuri ar trebui interzise de către organizatorii materiei de predate, de vreme ce profesorimea, prin redactorii de manual sau auxiliare, nu se poate stăpâni să nu facă tot timpul acest bullying ştiinţific la adresa elevilor de rând.

Revenind la exemple mai paşnice, am observant de-a lungul anilor că doar noi românii folosim “tetraedru regulat”, toată lumea folosind simplul “tetraedru” pentru corpul perfect regulat; tot felul de alte tetraedre nu se studiază în materia pentru oameni obişnuiţi în şcolile din vest (pentru situaţiile special, adică la studierea unor tetraedre care nu sunt regulate, mă gândesc că ei le descriu concret în situaţia respectivă).

Ce-i de făcut? O posibilitate ar fi reintroducerea obligatorie, atât prin programa naţională cât şi prin manualele oficiale, a unei vechi denumiri, anume cea de cuboid. Desigur că mulţi ar sări în sus “ca o bombă americană” la aşa o inepţie. S-a mai încercat acest lucru, dar destul de timid spre sfârşitul anilor ’90, pe vremea introducerii primului Examen de Capacitate, dar mişcarea a fost destul de firavă şi a murit în faşă. O variantă de compromis între cele două extreme (rigurozitatea teoretică şi accesibilitatea practică a denumirii) am găsit-o la străini: astfel, nemţii folosesc uneori în predare, când vorbesc despre cub, concomitent două denumiri sinonime “Würfel oder Cubus” (”zar sau cub”; cuvântul Würfel este folosit atât pentru cub cât şi pentru zar; nemţii folosesc mai rar şi denumirea Cubus preluată din cultura renascentistă care s-a desfăşurat iniţial preponderent în latină).

În acelaşi fel nemţii mai folosesc deseori două denumiri sinonime împreună şi când vorbesc despre congruenţă: astfel, de multe ori profesorii germani folosesc expresia dublată “congruent sau egal prin suprapunere” (în germană:”congruent oder deckungsgleich”). Ei folosesc dubla denumire la început, până când se asigură că auditoriul şi-a amintit de denumirea teoretică, după care le folosesc liniştit alternativ, când pe una, când pe cealaltă. La fel am putea preda şi noi despre “paralelipipedul dreptunghic sau cuboidul”. Dacă apoi am folosi în probleme alternativ cele două denumiri, când una când cealaltă, sau uneori împreună, am putea da drumul oficial şi folosirii în viaţa extra-matematică a unei denumiri mai practice, astfel aceasta fiind recunoscută drept corectă teoretic. Atenţionez că aici vorbesc oricum de un proces de lungă durată (10-20 ani).

Desigur că există şi o altă variantă, anume acea a inventării unui nou cuvânt pentru acest corp atât de răspândit în lumea actuală. De pildă, am putea introduce denumirea de “dreptunghioid”. Expresia “o cutie dreptunghioidă” nu ar fi cu nimic mai complicată decât expresia “o cutie paralelipipedică”. Se pot găsi însă şi alte denumiri, dar problema este ca să fie acceptată existenţa acestei gafe de proporţii între lumea matematică şi lumea de zi cu zi, cât şi să se caute soluţii de rezolvare din partea oficialităţilor.

Doresc însă să scot în evidenţă şi un alt aspect al acestei stupide situaţii, anume ruptura dură existentă în societatea românească între poporul de rând şi specialiştii dintr-un domeniu. Aceştia din urmă s-au obişnuit să-şi impună un limbaj de specialitate îngâmfat, “cu nasul pe sus”, forţând plebea la o stare de înjosire lingvistică prin care să se simtă incapabili. La rândul lor, oameni de rând învaţă din această stare de îngâmfare teoreticistă a specialiştilor doar să nu-i respecte, să nu-i creadă, creându-şi o lume separată a lor, la nivelul lor de incultură. Ne-am mirat apoi, în perioada din urmă, de ce mare parte a poporului român nu-i crede, nu-i înţelege şi nu-i ia în seamă pe specialişti, atunci când aceştia ne vorbesc despre pericolul reprezentat de Covid 19 şi “se dau de ceasul morţii” rugându-ne să păstrăm distanţarea fizică şi socială. Glumind şi parafrazându-l pe Cornel Udrea (efectul razelor de lună asupra galoşilor de gumă), am putea vorbi aici sub titlul “paralelipipedul dreptunghic şi pandemia de Coronavirus la români”. Constantin Titus Grigorovici

Planimetria şi Stereometria – (1) Introducere şi context general

Geometria are două componente clar diferenţiate. Pe de o parte sunt elementele de măsurare şi calcul al diferitelor mărimi (de obicei lungimi şi determinarea unor perimetre, arii sau volume, dar uneori sunt implicate aici şi determinări de unghiuri). Calculele de perimetre şi arii ale figurilor plane sunt reunite în general sub denumirea de planimetrie, pe când calculele de arii şi volume ale corpurilor poartă denumirea generică de steriometrie. Pe de cealaltă parte sunt elementele de studiere a proprietăţilor diferitelor situaţii (figuri sau corpuri), proprietăţi ce trebuie dovedite prin demonstraţii. Celor două componente să le spunem pe scurt calcule geometrice şi demonstraţii geometrice. Aceste două vaste domenii de activitate a geometriei sunt destul de bine delimitate, deşi ele interferează în multe zone intens.

În prezentul eseu doresc să evidenţiez un anumit fenomen la care m-am referit de curând în “strigătul de indignare” http://pentagonia.ro/reforma-de-avarie-1/ despre “Reforma de avarie” declanşată în minister la sfârşitul lunii octombrie, când a devenit evident magnitudinea celui de-al doilea val al pandemiei. M-am mai referit la acest subiect şi într-un “strigăt de indignare” mai vechi, prin finalul lunii iunie 2020, în postarea de la adresa http://pentagonia.ro/en-2020-in-forma-de-avarie-si-excluderea-geometriei-aritmetice/ . Fenomenul despre care doresc să scriu a ajunns în cea mai dură actualitate pentru cei care “au ochi să să vadă”, dar pentru foarte mulţi acesta este încă invizibil. Din păcate însă, atunci când fenomenul va fi vizibil pentru toată lumea, va fi mult prea târziu, aşa cum se întâmplă de obicei în cazul majorităţii greşelilor educaţionale. De pildă, îmi şi imaginez cum “se vor cânta” toţi prin mass-media la următoarele teste PISA.

Pentru înţelegerea acestui fenomen este important ca cititorul să înţeleagă un câmp mai larg de aspecte ce influenţează predarea geometriei (pentru o lămurire cât mai bună rog cititorul să lectureze cu răbdare următoarele rânduri, acordându-mi creditul necesar, chiar dacă va părea o “teoria chibritului”, un “bla-bla”, un “bătut câmpii” fără un sens imediat)). Acest fenomen, despre care doresc să vorbesc, se află la concurenţa a trei axe de preocupare, ce trebuie lămurite în prealabil. Prima axă de preocupare este cea evidenţiată mai sus, anume axa de preocupare având într-o parte demonstraţia geometrică iar în cealaltă parte calculul diferitelor mărimi.

În studiul nostru, o a doua axă de discuţii o reprezintă parcurgerea materiei de la geometria plană la geometria în spaţiu (de la 2D la 3D, dacă este să folosim limbajul cu care sunt obişnuiţi mulţi copii), ordine faţă de care nimeni nu are obiecţii: de când lumea şi pământul studiul geometriei a plecat de la geometria plană spre geometria în spaţiu, deşi dacă ne gândim puţin, vom conştientiza că oamenii s-au confruntat de la începuturi în egală măsură cu geometria plană cât şi cu cea în spaţiu. Totuşi, dacă ne-am propune să analizăm ceva mai profund, eu cred chiar că în realitate oamenii au început să conştientizeze geometria prin construcţii, adică în 3D, dar au realizat imediat că aceasta se bazează pe proprietăţi ale geometriei plane, pe care au studiat-o mai clar, fiind mai accesibilă.

Există însă şi un exemplu unde din motive practice cunoaşterea a avut loc sigur datorită unor situaţii în 2D: mă refer aici la nevoia de măsurare a terenurilor – de unde vine chiar denumirea geometriei – şi vorbesc aici despre situaţia cu care se confruntau oamenii în Egiptul antic, chiar de la începuturile culturii apărută în valea Nilului, înconjurată de deşert, anume de necesitatea trasării urgente a parcelelor ţăranilor pe terenurile de pe care tocmai se retrăseseră apele Nilului după inundaţiile anuale. Acel teren mocirlos trebuia repede şi eficient delimitat celor ce urmau să-l lucreze pentru ca aceştia să-l poată însămânţa şi să pornească germinaţia. De la acest process au preluat grecii denumirea de geo-metria.

O a treia axă de interes pentru subiectul nostru o reprezintă axa ce uneşte cele două extreme preocupaţinale ale matematicii: predarea matematicii în şcoli şi matematica ca ştiinţă riguroasă (chiar prima ştiinţă ce s-a confruntat cu necesitatea unei rigurozităţi extreme). Este “la mintea cocoşului” că ordinea în care aceste două domenii pot apărea în viaţa unui om este cea prezentată aici: întâi îi este predată matematica elevului şi doar ulterior acesta, fostul elev, poate eventual ajunge ca matematician să practice ştiinţa matematică. Doar că “Nea Euclid”, în strădania sa de a organiza cât mai bine predarea, le-a cam amestecat cele două părţi. Restul “amestecăturii” şi inversarea ordinii naturale a acestor două etape l-au făcut ulterior urmaşii lui Euclid, acest proces de inversare a ordinii ajungând în secolul XX la un nivel obsesiv.

Astfel, pe de o parte avem impulsul natural din punct de vedere ştiinţific, anume strădania de ordonare teoretică riguroasă, pornind de la axiome şi construind pe baza definiţiilor şi a teoremelor toată geometria; acest sistem este cunoscut pe scurt ca sistem axiomatic sau euclidian, după numele celui care l-a introdus prima dată. Cel puţin în ultimele câteva secole toţi matematicienii s-au străduit să-l imite şi să-i perfecţioneze sistemul.

Pe de cealaltă parte avem necesitatea pedagogică naturală de a prezenta elevilor cunoştinţele într-o formă pe care aceştia să o şi înţeleagă, să le fie adusă în mod accesibil minţii lor de începători în ale geometriei. Aici există o sumedenie de reţete şi principii de abordare ce ne pot ghida în acest proces şi pot fi susţinute inclusiv din punct de vedere al psihologiei. Enumăr doar câteva: în primul rând ar fi predarea intuitivă, apoi predarea de la întreg la componente, la fel aş putea aminti predarea de la superficial la studiul profund, ce poate fi aplicată uneori în forma de predare în spirală, iar exemplele pot continua mult şi bine. În eseul de faţă mă voi referi la toate acestea atunci când voi vorbi de folosirea intuiţiei în predare, ca reprezentant al tuturor acestor mecanisme corecte din punct de vedere psihologic în procesul de cunoaştere a lumii.

Eu consider că marea dramă a predării matematicii în general, respectiv a geometriei în particular, o reprezintă obsesia matematicienilor din ultimul secol înspre direcţia unei ordonări axiomatic-ştiinţifice, dar din păcate automat în detrimental nevoilor psihologice ale elevului începător în studiul acestei materii (am scris foarte mult în ultimii cinci ani despre acest subiect, a fost una dintre preocupările mele de bază).

Concret, eu consider că intrarea în lumea geometriei se poate face doar prin zona intuitivă cu conexiuni practice, forma perfect ordonată din punct de vedere euclidian fiind potrivită doar ultimului nivel de cunoaştere a geometriei, anume cel ştiinţific. Predarea în şcoli a geometriei la nivelul primei treceri, adică la clasele gimnaziale, trebuie să respecte în primul rând principiile psihologice, cum ar fi intuiţia, şi doar dacă acestea sunt îndeplinite, putem să ne gândim ca predarea să capete şi anumite accente de ordonare euclidiană. O predare, adică o introducere a geometriei având în primul rând şi în mod obsesiv preocuparea de ordonare axiomatic-euclidiană (obsesie ce le-a fost impusă profesorilor din şcoli prin reforma uitată din 1980), o astfel de predare şi-ar avea loc doar la facultăţile de matematică, ca un exerciţiu de ordonare a introducerii cunoştinţelor; cel mult o astfel de formă de predare s-ar putea face eventual în clasele de liceu, însă la acest nivel doar cu anumite concesii în direcţia unei ordonări obsedate a rigurozităţii (ceea ce s-a şi întâmplat în manualele din 1978, dar aceste gânduri oricum nu mai sunt de actualitate din 1997 încoace, de când oricum nu se mai predă geometria sintetică în liceu).

Să rezumăm: pentru a înţelege fenomenul studiat, am propus un context format din trei axe de preocupare: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă. Ordinea dintre predarea cunoştinţelor legate de calcule şi a celor legate de demonstraţii poate fi analizată realist doar ţinând cont şi de celelalte două axe de discuţie. Altfel spus, ordinea justă a aranjării în materia şcolară a calculelor şi a demonstraţilor geometrice se poate face doar în contextul înţelegerii depline a celorlalte două direcţii preocupaţionale ale geometriei. În următoarele părţi ale acestui eseu voi face des trimiteri la argumente legate de confluenţa acestor trei axe. Constantin Titus Grigorovici

Reforma de avarie (1)

În condiţiile în care în tot mai multe localităţi şcolile sunt trecute în scenariul 100% on-line, o veste umblă prin buletinele de ştiri din toată ţara: cică, după cum ne-a anunţat, D-na Ministru a dat ordin să se revadă programele şcolare în condiţiile revenirii pandemiei într-un al doilea val. Cu alte cuvinte, la sfârşitul lui octombrie 2020 s-au trezit în sfârşit autorităţile de învăţământ preuniversitar că programa este prea încărcată şi că ar trebui aerisită în condiţiile în care predarea on-line este plină de incertitudini de tot felul. Dar nu numai programa este în atenţie, ci chiar şi evaluarea, tezele fiind în pericol de a fi eliminate din şcoli. Uau!

Îmi cer scuze că sunt circumspect faţă de aceste mişcări, dar după tăierea brutală a materiei de sem.II din anul şcolar precedent, tăiere care a eliminate cu totul partea “aritmetică” a geometriei în spaţiu, lăsând 80% din populaţia de clasa a 8-a la un nivel tălâmb, infantil de calcul de clasa a 5-a (arii şi perimetre doar în pătrat şi dreptunghi, fără calculele preliminare, volumul lipsind cu desăvârşire), după acel pas îmi este cu adevărat frică de ce va ieşi din această nouă revizuire a programelor.

Cum aş vedea eu o ieşire demnă şi echilibrată din această situaţie la matematică? (mai ales în cazul materiei în cazul celor de a 8-a) Eu visez la o formă de echilibru între cele două grupuri importante de elevi: pe de o parte cei 10-20% elevi buni la matematică (cei care oricum vor învăţa şi în condiţii de on-line la fel de bine), care reprezintă masa de lucru în zona olimpiadelor şcolare, şi pe de cealaltă parte, cei 80% reprezentând marea masă a elevilor, cei care în cel mai bun caz vor ajunge să dobândească şi să aibă nevoie în viaţă de noţiuni elementare despre cele mai uzuale corpuri geometrice, despre aria sau volumul acestora (paralelipipedul dreptunghic şi cubul, prismele şi cel mult piramida patrulateră regulată). Recitiţi vă rog această frază ca să înţelegeţi nivelul de bun simţ şi respect reciproc către care sper: eu cer de fapt doar o programă care să impună o atitudine echilibrată între preocuparea pentru vârfuri şi preocuparea pentru marea masă a elevilor. Dacă am vorbi într-o imagine, am spune că visez ca părintele (adică Ministerul) să dea atenţie egală atât copilului olimpic, cât şi celorlalţi 8 copii normali ai săi.

Concret, de pildă la geometria în spaţiu (acolo unde mă doare cel mai tare) aş vedea un compromis bun între cele două direcţii printr-o repartizare de felul următor. Din zona de geometrie a dreptelor şi planelor, lecţiile grele să rămână doar în materia pentru olimpiadă (adică teorema celor trei perpendiculare, unghiul diedru şi unghiul dintre o dreaptă şi un plan). În schimb, la zona de calcul în spaţiu să fie excluse din programa de EN trunchiurile de piramidă şi de con.

Despre o eventuală eliminare a piramidelor triunghiulare (împreună cu tetraedrul regulat) sau despre o eliminare a corpurilor rotunde pentru încă un an din material de EN (deci pentru încă o generaţie), despre aşa ceva nu aş discuta decât in extremis. Lucrurile trebuie analizate foarte serios, mai ales din punct de vedere a impactului asupra culturii generale tehnice a poporului, iar în acest sens existenţa la frâiele ministerului a unei personae de orientare profund filologică nu este deloc un fapt încurajator.

Rezumând pe scurt, sper că ceea ce va ieşi din această revizuire să nu ne ducă spre un al doilea an cu examen de EN fără ariile şi volumele corpurilor de bază.

În acest sens trebuie văzut ce s-a întâmplat cu promisiunile despre recuperarea materiei în cazul elevilor care au trecut în clasa a 9-a: care profesori de la liceu s-au gândit că ar trebui recuperată material scoasă printr-o simplă decizie anul trecut? Vorbesc aici de aria şi volumul diferitelor corpuri, pentru că funcţia de gradul I sunt sigur că o vor recupera cu toţii (mai cu grijă sau mai în fugă).

Aşa că revin la mirarea de la început: oare, nu era mai bine să aibă loc o astfel de analiză cu decizii pe măsură, încă din timpul verii, aşa încât să nu ne ia din nou prin surprindere pandemia? Experienţa îmi spune că o astfel de Reformă de avarie, făcută aparent pe un colţ de masă nu ne poate garanta nimic de încredere. Bunul Dumnezeu să ne ferească, pentru că de la cei care ne conduc nu e nici cea mai mică nădejde.

Mulţi dintre colegi se tot uitau la mine în săptămânile din urmă cum mă pregăteam de predarea on-line, deşi majoritatea elevilor erau în clasă. Tu chiar crezi că o să ne mai închidă?, mă întrebau ei, iar eu le răspundeam:  Tu ai vreun indiciu că n-o să ne închidă din nou?, la care mulţi îmi răspundeau: Ei, să fim optimişti!

Că aşa gândeau colegii având nivelul de responsabilitate doar asupra materiei şi asupra clasei lor, asta mai înţeleg. Dar că aşa s-a gândit la minister în această vară, asta neamţul din mine mai greu poate să înţeleagă. Mie îmi seamănă cu vorba veche, de pe vrema când în fiecare an prima zăpadă ne lua pe nepregătite prin noiembrie (“noroc” că acum am scăpat de zăpadă iarna). Îl mai ţineţi minte pe Băsescu, din vremea când era doar Ministrul Transporturilor, cu vorba sac ă “Iarna nu-i ca vara!”. Ei bine, “nici on-line-ul nu-i ca predatul în clasă!”, dar pe noi iarăşi ne-a luat prin surprindere pandemia (a doua oară, adică din nou); cel puţin pe unii (de exemplu, pe tanti de la Minister). Ar fi trebuit ca Herr Iohanis, ca fost profesor, să o pună să pornească din vară echipe de lucru, măcar la fiecare materie de examen, că doar e neamţ, şi te-ai fi aşteptat să fie mai prevăzător. CTG

Postări înrudite: http://pentagonia.ro/en-2020-in-forma-de-avarie-si-excluderea-geometriei-aritmetice/ din 24 iunie 2020; http://pentagonia.ro/orele-astrale-ale-scolii-romanesti-pandemia-2020/ din 1 iulie 2020

P.S. Am dat titlului acestor rânduri un număr (1) pentru că mă aştept să mai avem de analizat pe această temă, nu pentru că acum aş avea tare mult de spus în plus. Am însă în minte o temă înrudită ce ar fi urgent de pus în discuţie, anume cea de conştientizare de către profesorii de matematică a existenţei a două tipuri de geometrie: cea de calcul şi cea de demonstraţii, fiecare cu importanţa ei cât şi cu grupurile ei ţintă destul de clar şi bine delimitate. O astfel de temă ar fi important mai ales din punct de vedere al clasei a 8-a, aşa cum am arătat mai sus.

P.P.S. În acelaşi context de idei, deaoarece încă nu am apucat să postăm aceste rânduri (finalizate de redactat în 30 oct. 2020), vin cu încă două aspecte apărute ulterior. La începutul lunii noiembrie a început să bântuie prin ţară întrebare dacă mai are rost să dăm teze. Mai tare, concret pe 2 noiembrie am fost anunţaţi că anul acesta se suspendă olimpiadele şcolare. UAU!!! (asta sub titlul “ai grijă ce-ţi doreşti, pentru că dorinţele se îndeplinesc”). Cândva, în viitor, voi lua spre discuţie şi acest subiect. Oricum, eu nu mi-am dorit un astfel de deznodământ şi consider că este o mare pierdere pentru şcoala  matematică românească. Pe durată îmi exprim speranţa sinceră să nu fie un pas definitiv. Pentru acest an îmi exprim speranţa ca colegii activi în domeniul olimpiadelor şcolare să găsească forme de desfăşurare a unor “olimpiade on-line ad-hoc”, la mica înţelegere, pe plan local sau semi-larg, pe grupuri de şcoli (oraşe, judeţe), în care să fie lăsate de o parte ambiţiile profesorilor, având ca singur obiectiv păstrarea “flăcării învăţării matematicii” pentru copiii de vârf, copii pe care nu-i putem abandona pentru un an de zile, sub nici un pretext (cum ar fi de exemplu pandemia sau “echitatea” la nivel naţional şi la nivelul tuturor materiilor).

Predarea on-line “a la pentagonia” (4) – Păreri despre înregistrarea orelor în cazul predării prin problematizare în dialogul profesor-elev

Decizia celor din Minister de instituire a acelei declaraţii că nimeni nu înregistrează orele on-line a cauzat un nou tsunami de păreri critice, fiecare explicând că “ce şi cum”. Eu nu mă voi lansa într-o recapitulare sau într-o analiză a acestora, ci doresc să vă expun gândurile mele legate de acest subiect, gânduri mai vechi decât actuala “dezbatere”.

Imediat ce am pus la punct sistemul de transmitere video live cu elevii de acasă au apărut şi primele gânduri despre realizarea unor înregistrări a orelor. Ideea vine natural în contextual în care eu lucrez de ani buni în direcţia unei predări printr-un dialog cât mai viu cu elevii, dialog prin care ia naştere lecţia. Să recapitulez pe scurt.

Respectiva abordare este o formă de predare profund diferită de cea practicată de mulţi colegi (să zic oare “de majoritatea colegilor”?). Am încercat cu diferite ocazii să prezint această formă de predare, pe care în principiu o numesc “predare prin problematizare” pentru că materialul lecţiei este de obicei introdus prin întrebări la care răspund elevii, generând singuri bucăţele din noua lecţie pe baza vechiilor cunoştinţe şi a gândirii. Această formă de predare foloseşte şi activează gândirea elevilor participanţi la dialog, prin folosierea ei zilnică formând la elevi o gândire matematică sănătoasă.

De ce este important această gândire, în condiţiile în care mulţi oameni, din păcate chiar şi mulţi profesori de matematică, consideăr că matematica este doar o colecţie de reţete ce trebuie învăţate? Nu mă voi lansa aici într-o explicaţie a importanţei formării gândirii la elevi, ci mă rezum doar la “a postula” că gândirea matematică se bazează pe cei doi piloni, cu importanţe egale: însuşirea reţetelor de rezolvare (cât mai bine însuşite) şi formarea gândirii spontane (de folosit acolo unde încă nu avem o reţetă stabilită).

Confruntaţi cu o situaţie nemaiîntâlnită, un elev care ce s-a obişnuit doar cu învăţarea de reţete se va bloca, neştiind ce să facă. Dimpotrivă, un elev obişnuit să se confrunte zilnic şi cu situaţii noi, acesta va începe să gândească şi există şanse să poată găsi o cale spre soluţie.

La o predare discursivă profesorul nu interacţionează cu elevii. El “le predă” iar ei scriu, aceasta putându-se întâmpla (în condiţiile unei transmisiuni bune pe net) fără nici cea mai mică intervenţie a elevilor. În acest fel ajung la elevi atât cunoştinţele teoretice, cât şi noile metode de rezolvare din acea lecţie. Aş putea caracteriza această predare drept o predare “în sens unic”. Într-o astfel de formă de lecţie elevul este redus tehnic la un simplu copist, care scrie la dictare, sau de pe tablă lecţia prezentată de către professor. Această formă de lecţie asigură transmiterea teoretică a cunoştinţelor, dar lasă la libera alegere a elevului cât şi cum se implică prin gândire în înţelegerea lecţiei. Este de apreciat aici elevul care nu se mulţumeşte doar cu preluarea cunoştinţelor în caiet, ci încearcă să le “digere”, chiar şi doar în cap, în timpul predării. Totuşi, mulţi profesori fac greşeala de a se amăgi că elevii fac toţi acest demers.

Cum am spus, din păcate aşa predau foarte mulţi profesori, mulţumindu-se să expună elevului o lecţie în care în cel mai bun caz ei, profesorii mimează un dialog, în sensul că încearcă să îndrepte atenţia spre ce urmează punând o întrebare (de tipul “oare cum facem asta?”), la care apoi imedit tot ei răspund (“păi, uite aşa:”).

Pentru a-i atrage pe colegii profesori spre o predare realist interactivă cu elevii, pot să tot explic “de ce şi cum” ar trebui făcut (am scris mult pe tema asta în anii trecuţi), dar tot mai bine se vede pe viu într-o oră la clasă. În acest sens am făcut în ultimii ani diferite ore deschise la care au participat diverşi colegi de la alte şcoli. Nu am pretenţia că orele mele sunt neapărat un model de predare, dar încerc să pornesc un current de preocupare în această direcţie pe care o consider deosebit de sănătoasă. Există desigur riscul ca lucrurile să nu meargă bine la o lecţie deschisă, aşa cum s-a întâmplat în urmă cu un an la lecţia organizată la clasa a 7-a, despre introducerea numărului π, dar asta este cum se zice: “riscul meseriei”.

În primăvară am organizat un curs despre predarea matematicii (de trei zile, de joi până sâmbătă) în care erea planificat ca joi şi vineri colegii participanţi să asiste la orele mele (4 ore în fiecare zi), iar apoi să aibă loc inclusiv discuţii despre cele văzute. Cursul ce a fost planificat în 12-14 martie, a avut loc, dar din păcate fără elevi (închiderea intempestivă a şcolilor, bat-o vina!), astfel încât colegii nu au putut să vadă ore cu clasa.

Înţelegeţi acum că idea înregistrării orelor a apărut în mod natural ca o modalitate de salvare a “filmului” unor ore reuşite, idee ce – apropos – mi-a înflorit în minte cu mult înainte de pandemia de Covid-19. Odată cu punerea la punct a sistemului de preluare video şi audio a unei ore, în această toamnă idea înregistrării orelor a revenit în actualitate, alături desigur şi de idea de a transmite astfel de ore live pe platformă şi pentru colegi profesori “invitaţi la oră”

Legat de eventualitatea înregistrării unor ore, m-am gândit din start la faptul că ar trebui să găsesc o formă de a proteja imaginea elevilor, dar n-am găsit o metodă clară, aşa că nu m-am mai ocupat tare mult în direcţia acestui gând (obiectivul meu actual a fost doar să pun la punct o formă de predare la distanţă prin care să pot continua dialogul cu elevii şi de la distanţă).

Oricum însă, odată cu tehnologizarea masivă a şcolilor pentru transmiterea orelor on-line, tot se va ajunge ca diferiţi profesori să-şi înregistreze ore, mai ales în cazul profesorilor care au pasaje consistente de predare tip monolog, caz în care nu-şi mai are sens idea protecţiei elevilor, chiar şi doar sonor (astfel de filmuleţe tip monolog există de fapt de mult pe youtube). Lovită actualmente este însă exact eventuala înregistrare a orelor desfăşurate în stilul în care lucrez eu, anume prin predarea în dialog profesor-elevi, unde se vede foarte bine felul în care profesorul îndrumă primii paşi ai gândirii elevului într-un domeniu nou, într-o lecţie nouă, îndrumare ce are loc prin întrebări.

În final am o singură întrebare (relativă şi ce-i drept, cu un anumite nuanţe retorice): cum se împacă acest demers de interzicere a înregistrării orelor, argumentat prin protecţia imaginii profesorului sau a elevilor, cu idea lecţiilor deschise practicată în trecut? Să înţeleg că vom putea face lecţii deschise on-line cu invitaţi, dar să nu se înregistreze? Sau, totuşi, le vom putea înregistra cu acordul “……..” (aşa cum scrie pe declaraţia rezervată cadrelor didactice)? Om trăi şi om vedea! CTG