Agresivitatea prin rigurozitate excesivă – analiza unui comentariu

La începutul anului a apărut pe blogul nostru un comentariu, la un articol mai vechi, din 21.08.2018. Postarea respectivă merge pe două nivele de idei: prima este faptul că suma unghiurilor exterioare se păstrează constant indiferent de numărul laturilor unui poligon (triunghi, patrulater, pentagon etc.), rezultatul fiind întotdeauna 360o (în suma respectivă se ia desigur măsura unghiului exterior din fiecare vârf o singură dată, de pildă la triunghi Ae + Be + Ce). Acest rezultat dă şi titlul postării respective. Un al doilea nivel al articolului îl reprezintă o scurtă exemplificare pe această situaţie a felului diferit cum evoluează gândirea elevilor şi a faptului mult mai important că noi la matematică acţionăm la vârstele gimnaziale pe o zonă de graniţă între două tipuri de gândire diferite; astfel, noi ne putem trezi deseori în situaţia că unii elevi sunt încă în gândirea specifică copilăriei, pe când alţii sunt deja trecuţi în forma de gândire adultă. Pentru a înţelege subiectul prezentei postări, merită să citiţi sau să recitiţi articolul respectiv la adresa http://pentagonia.ro/suma-unghiurilor-exterioare/ . Iată aici şi comentariul cu pricina (ce a apărut la sfârşitul postării pe data de 1 ian. 2023):

Părerea mea este că la triunghi avem 6 unghiuri exterioare (2 câte 2 congruente), la patrulater la fel. Când calculăm suma unghiurilor exterioare, nu le luam pe toate?

Ba da, “stimate” coleg, desigur că le luăm pe toate dacă ne dorim să omorîm frumuseţea unui rezultat. Sau, vom accepta rezultatul frumos, dar numai cu preţul încărcării textului, aşa încât rezultatul respectiv să fie accesibil cât mai puţinor elevi. De ce? D-aia! Pentru că putem!

Din cauză de astfel de “scormoneli” de dragu’ scormonitului a ajuns matematica noastră şcolară atât de inumană. De dragul unei rigurozităţi excesive omorîm un rezultat frumos cu care am putea impresiona elevii. Precizez aici – a nu ştiu câta oară – că matematica şcolară este pentru elevi, şi nu pentru profesori. Când ne întâlnim între noi, ca profesori, putem discuta orice, dar aici este vorba despre predarea unor cunoştinţe elevilor; aici vorbim despre arta predării matematicii! (ce lipseşte din păcate multor colegi, anume o atitudine empatică la adresa ELEVILOR, a cât mai multora dintre ei, nu doar vârfurilor). Iar în strădania de a-i impresiona pe elevi şi a le câştiga interesul, noi avem la ora actuală rivali de temut, cum ar fi jocurile pe calculator, facebook-ul sau Tik-Tok-ul. Nu complicând-o, ci prezentând-o cât mai simplu avem şanse să le câştigăm sufletul.

Astfel, 360o este un rezultat foarte frumos prin faptul că reprezintă exact suma unghiurilor în jurul unui punct, (rămânând însă în spectrul obişnuit de preocupare al elevilor de clasa a 6-a şi început de a 7-a). Desigur că acesta se impune şi prin faptul surprinzător că rămâne constant, în comparaţie cu suma unghiurilor interioare, care creşte cu numărul de laturi. Dimpotrivă, 720o nu mai este un rezultat frumos din punct de vedere al elevului mediu (elevul mijlociu, cum cu mare drag şi empatie îi numea Hollinger). Orice trece peste 360o este perceput de către elevul obişnuit ca ceva dificil. Dar, ce să zic, fiecare profesor are dreptul să le prezinte elevilor matematică predată cât de complicat consideră. Părerea mea!

Iniţial, când am văzut comentariul de mai sus am fost foarte supărat. Impulsul a fost să pun imediat în continuarea comentariului o replică. Cele două-trei aliniate de mai sus reprezintă manifestarea în fizic a acestui impuls de replică. Cu cât mă descărcam mai tare, cu atât îmi dădeam seama însă că acest comentariu reprezintă o oportunitate extraordinară de a lămuri nişte aspecte deosebit de importante în predarea matematicii, iar pentru această ocazie deosebită nu pot de fapt decât să-i mulţumesc colegului care l-a făcut. Cine doreşte să afle aceste multe precizări, poate citi în continuare următoarele subiecte.

*

Subiectul 1) Revenind la legătura fenomenologică dintre suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi sau patrulater (în general un poligon convex) cu măsurarea rotaţiei în jurul unui punct, aceasta se poate scoate în evidenţă printr-o metodă practică deosebit de interesantă. Desenând la tablă un patrulater convex ABCD trebuie să-i prelungim laturile doar într-un capăt (să zicem chiar în sensul rotaţiei parcurs de notarea vârfurilor). Am evidenţiat astfel câte un unghi exterior în fiecare vârf. Luăm apoi un creion şi îl folosim aidoma unui vector astfel: îl postăm de-a lungul laturii [AB] cu capătul în vârful A şi cu vârful îndreptat înspre B; apoi îl glisăm de-a lungul laturii până când capătul creionului ajunge în B, restul creionului fiind situat pe prelungirea laturii [AB]; apoi îl rotim în jurul vârfului B până când creionul se poziţionează pe latura [BC]. În continuare vom reface paşii văzuţi la latura [AB] la fel şi la următoarele trei laturi, pentru ca în final creionul să ajungă în poziţia iniţială, în urma rotaţiei din unghiul exterior lui A (care – săracu’ – a ajuns ultimul, da nu-i bai!). Analizănd succesiunea de mişcări observăm că creionul nostru a efectuat în fiecare unghi o serie de rotaţii (în acelaşi sens), care cumulate compun o rotaţie completă, deci 360o.

Metoda exemplificată aici este una pur geometrică bazată pe mişcare, deosebit de clară pentru elevi (dar care nu poate fi redactată într-un mod accesibil în scris). Dimpotrivă, metodele statice, bazate pe scriere şi descriere algebrică a fenomenului sunt însoţite de dificultatea “citirii textului într-o limbă” pentru unii elevi încă străină (vorbesc aici de limbajul codificat matematic), care încă nu face parte din “zona lor de confort”; pentru unii nu va face parte nicicând, aşa încât o metoda ca cea de mai sus reprezintă o uimitoare ocazie de a le accesa unor astfel de elevi gândirea fără a folosii tare mult limbajul matematic abstract.

Această metodă poate fi desigur folosită şi la determinarea sumei unghiurilor interioare. La triunghi creionul va fi în final cu vârful în sens opus, arătând o rotaţie de 180o, pe când la patrulater creionul va fi în poziţia de plecare. Deoarece însă în mişcarea în jurul patrulaterului a avut loc o rotaţie, se poate vedea că de fapt a avut loc o rotaţie completă, suma (unghiurilor interioare) fiind deci de 360o.

Părerea mea este că această metodă este potrivită doar la triunghiuri sau patrulatere; de la poligoane cu mai multe laturi ar trebui să ne putem baza totuşi în gândirea copiilor pe metodele mai abstracte (atât din punct de vedere al scrierii, cât şi al gândirii: cea apărută la patrulatere cu împărţirea acestuia în n – 2 triunghiuri, sau una nouă de împărţire în n triunghiuri, atâtea câte laturi, cu vârfurile într-un punct interior poligonului).

Pentru cei pasionaţi de experimente în afara programei oficiale, desigur că şmecheria de mai sus funcţionează şi în cazul unui patrulater concav, doar că în “vârful” concav rotaţia trebuie să fie mai mult de 180o. Mult mai “excentric”, ar fi să studiem ce se întâmplă cu “suma unghiurilor exterioare” în cazul unui patrulater concav, doar că în “vârful” concav rotaţia este de aşteptat să se desfăşoare în sens invers decât la celelalte vârfuri??? (cred; n-am făcut-o, dar o propun spre “cercetare” colegilor). Asta ne-ar putea ajuta să înţelegem ce ar fi acela unghiul exterior în cazul unui vârf concav!?!?

Subiectul 2) Legat de acel impuls psihologic-social al unor profesori de a-i corecta pe alţi colegi imediat ce-i găsesc o minimă posibilitate de a le interpreta exprimarea greşit, aş dori totuşi să mai evidenţiez câteva aspecte (am mai vorbit de acest obicei urât). Societatea noastră este masiv impregnată de acest obicei. Şefii îşi permit să-ţi facă observaţii cu orice ocazie, doar cu motivul nespus de a te înjosi şi a-ţi arăta “cine este şeful” (am aflat şi de exemple din SUA; se pare că apare peste tot acolo unde o persoană se simte frustrată, mai prejos de ceilalţi şi încearcă să “se ridice mai sus”, înjosindu-i pe ceilalţi). Dacă ceva nu funcţionează bine din vina lor, mulţi şefi tot ţie îţi vor face observaţii; tot tu eşti de vină. Acelaşi fenomen i s-a întâmplat fiului meu (în trefic, la viteză mică, în oraş): un ofiţer de poliţie i-a “sărit” în faţa maşinii, uitându-se în partea cealaltă. Fiul meu a frânat brusc, poliţaiu’ s-a speriat şi tot el s-a răstit la fiu-meu “să fie mai atent” când conduce. Ăsta a rămas “mască”, cu replica nespusă în gând: “păi, dacă nu eram atent, erau deja sub dubiţă!”.

În general, în relaţionarea din orice grup apare extrem de puternic fenomenul de bullying, de agresare – măcar verbală – a celuilalt, ca o componentă esenţială în lupta sălbatică de zi cu zi de poziţionare cât mai sus pe scara socială a grupului. Este ca într-o haită de lupi, unde cel mai agresiv ajunge lupul alfa. Aceste agresiuni gratuite se iau ca exemplu şi se transmit mai departe în societate. Din diferite surse mi-a fost dat să aud de la persoane care s-au reîntors în ţară după mulţi ani petrecuţi prin alte ţări, că în România au resimţit – atât ei, cât mai ales şi copiii lor –mult mai profund această stare de bullying, această constantă stare de agresiune înjositoare la adresa noilor veniţi în grup.

Obiceiul este desigur prezent şi în zona comentariilor de pe internet, oriunde în lume, dar la noi parcă mai avântat ca în alte părţi. La orice articol, după primul, cel mult după al doilea al treilea comentariu, încep să apară atacuri la adresa celor care şi-au expus un punct de vedere asupra articolului de bază. De obicei, aceste atacuri sunt foarte dure, multe dintre ele legându-se de chichiţe de scrire folosite ca dovadă sau aluzie la “incultura” celui care a scris înainte, cu trimiteri la BAC-ul respectivului etc. În “străinezia” a apărut în acest sens denumirea de grammar Nazis.

Subiectul 3) Dar, de unde vine asta? Părerea mea este că – cel puţin la noi – de mulţi ani elevii se simt gratuit şi fără motiv întemeiat agresaţi de către profesori, atât datoriltă subiectivităţii elevilor (“are ceva cu mine!”), cât şi datorită stilului de predare excesiv de autoritar al multor profesori (“că altfel nu învaţă nimic”). Bănuiesc că acest fenomen se întâmplă din vremuri foarte vechi, iar faptul că la noi încă dăinuieşte este o dovadă importantă a “in-evoluţiei” sociale a sistemului nostru educaţional. Este evident că, odată ajunşi adulţi, foştii elevi vor aplica aceleaşi metode asupra celor din jur, inclusiv asupra copiilor (alteori, dimpotrivă, conştientizând superficial aceste aspecte, ei se vor transforma în nişte excesivi protectori, dar acesta este alt subiect). Astfel, acest fenomen a ajuns să se generalizeze la nivelul marii părţi a populaţiei, mai ales datorită faptului că nu a fost luat în seamă de către autorităţi şi organizatori ai “şcolii româneşti”, astfel încât să se pună ca obiectiv naţional anihilarea sa.

Fenomenul acestor agresiuni mai are o faţetă, anume cea a “datului mare”: dacă-i faci cuiva observaţie, scoţîndu-i în evidenţă o “greşeală”, atunci te dovedeşti mai presus decât el. Impulsul de corectare pe baza rigurozităţii excesive a apărut se pare în şcoala românească odată cu reforma din 1980 (când schimbarea exprimării într-o formă mai profund ştiinţifică, mai riguroasă, a devenit un obiectiv oficial) şi, după cum se vede, unii încă nu s-au gândit să se descotorosească de acest urât obicei. Astfel, încă mai are loc acest concurs de “care se dă mai deştept”, ca un fel de bullying între profesori.

Subiectul 4) Revenind la fenomenul cerinţei excesive de exprimare riguroasă, acesta se manifesta încă în urmă cu 10-20 de ani şi îmi permit să dau aici un exemplu tipic în acest sens. Astfel, orice profesor risca să fie corectat şi automat penalizat în faţa tuturor celor prezenţi dacă nu respecta cutumele de rigurozitate a limbajului impuse cu ocazia reformei din 1980. Iată în continuare exemplul “vedetă” la care mă refer.

Pe vremuri exista prin manuale precizarea despre cuvântul rază, cum că acesta trebuie înţeles în funcţie de context, fie ca un segment (în acest caz cercul are “o infinitate de raze”), fie ca lungimea acestor segmente (în acest caz cercul are “o rază”). Din păcate însă principiul nu era respectat şi la alte segmente care au şi un nume special. Astfel a ajuns să fie obligatoriu a folosi cuvântul lungime la diferite segmente speciale, cum ar fi la lungimea înălţimii unui triunghi sau la lungimea catetelor în teorema lui Pitagora (am mai vorbit despre încărcarea gratuită a textului respectivei teoreme cu acest cuvânt inutil). Ca norocu’ că bunul simţ a prevalat, astfel încât nu am fost nevoiţi să ajungem la lungimea lăţimii unui dreptunghi, sau mai rău la lungimea lungimii unui dreptunghi (asta ar fi fost culmea culmilor!).

În comparaţie cu acest exemplu, observaţia de la început a d-lui profesor este de-a dreptul justificată: într-adevăr, în orice vârf există două unghiuri exterioare. Problema este de atitudine: ambele au aceeaşi măsură (sunt egale sau congruente, cum preferaţi), iar în proprietatea cu pricina eu m-am referit la măsura respectivă ca număr, adică la singular. De fapt la singular vorbeşte şi titlul lecţiei oficiale: Unghiul exterior unui triunghi, şi nu Unghiurile exterioare (aici trebuie să vă imaginaţi zâmbetul meu până “după urechi”!). În acest context, mă miră extrem lejeritatea cu care am scăpat de m-ul de la măsura unghiului, sau de alte astfel de elemente de scriere riguroasă (sigur voi reveni cândva în acest sens).

Există şi în alte părţi ale matematicii astfel de momente, când noi trebuie să înţelegem din context exact ce este nevoie, eventual ajutat de o scurtă explicaţie orală (orice dăm în scris elevilor devine automat material suplimentar de copiat, îngreunând textul, fără să mai discutăm de impulsul ulterior de a învăţa totul pe de rost). Iată un exemplu sugestiv în acest sens. În matematica şcolară românească există clar delimitarea între divizorii proprii şi divizorii improprii ai unui număr. Pe de altă parte, în istoria matematicii există acea situaţie fabuloasă a numerelor perfecte, respectiv a numerelor prietene. O prezint foarte pe scurt: se numeşte număr perfect un număr care este egal cu suma divizorilor săi. Se înţelege automat – aproape intuitiv – că această egalitate nu poate avea loc dacă includem în această sumă a divizorilor şi numărul însuşi. Pe de altă parte, divizorul 1 este inclus (deci nu putem folosi terminologia uzuală). Astfel, avem următoarele prime numere perfecte: 6; 28; 496 etc. De pildă 6 = 1 + 2 + 3. Acelaşi fenomen apare şi la numerele prietene, cum ar fi 220 şi 284, fiecare fiind egal cu suma divizorilor celuilalt, desigur fără numărul însuşi (căutaţi şi edificaţi-vă pe internet; aceste numere provin de la Pitagora). Situaţia evocată reprezintă un exemplu magistral în care cineva ar putea desigur să complice lucrurile numai aşa de dragul de “a se da deştept” (cum? păi, de pildă, numărul 28 este un număr perfect pentru că reprezintă exact jumătate din suma divizorilor săi – a tuturor divizorilor). Părerea mea!

Subiect 5) Un alt aspect deosebit de important al întâmplării îl reprezintă ideea rezultatului frumos evocată de curând. O foarte mare parte din elevi trăiesc într-o atmosferă impregnată puternic de emoţii, iar pentru aceştia orice rezultat frumos are efectul de a-i atrage – chiar şi măcar puţin – înspre această lume seacă şi rece a matematicii. Este evident că – dimpotrivă – orice ratare a unei ocazii implicând un rezultat frumos reprezintă o ocazie ratată în a-i atrage pe astfel de copii înspre matematică (şi vorbesc aici de majoritatea elevilor, cum îi mai spuneam uneori, despre corpul central al Clopotului lui Gauss). Oare, există profesori care să considere drept o normalitate în a face selecţia elevilor buni alungându-i pe cei indecişi dinspre matematică, şi oare, tocmai am asistat la o manifestare a unui astfel de caz?

Cum am spus mai sus, 360o ar reprezenta în acest caz un rezultat frumos. Această afirmaţie are aici mai multe paliere. În primul rând că elevul mediu este deja obişnuit cu 360o – intră în zona sa de confort, deci nu va reprezenta pentru el un şoc. Singura surpriză este faptul că această sumă a unghiurilor exterioare reprezintă exact o rotaţie completă. Dimpotrivă, 720o nu este încă în acest moment un rezultat frumos, i-ar speria. De-abia la suma unghiurilor interioare a unui poligon cu mai multe laturi elevii vor ajunge să înţeleagă pe mintea lor sume de unghiuri peste 360o. Din păcate, aici am ajuns din nou într-o zonă de “teren interzis” la ora actuală, deoarece noua programă nu mai prevede suma unghiurilor unui poligon în general (acesta este însă un alt subiect, dar totuşi, care a fost logica pentru această excludere?).

Astfel, frumuseţea rezultatului se relevă şi la un nivel mai înalt, atunci când elevul ar constata – odată cu creşterea numărului de laturi – că suma unghiurilor exterioare rămâne constantă, necrescând odată cu înmulţirea laturilor, aşa cum se întâmplă la suma unghiurilor interioare.

În plus, aici, la unghiurile interioare, apare şi o altă nuanţă interesantă: de la triunghi la patrulater suma unghiurilor a crescut, astfel încât oricine se aşteaptă ca la creşterea numărului de laturi să crească şi suma acestora. Singura întrebare ce rămâne în acel moment este dacă creşterea a fost de adăugare a 180o sau de dublare (recomand să zăboviţi puţin la acest aspect ce ţine de dilema cognitivă, reprezentând poate chiar un adevărat conflict cognitiv). Stabilind care este situaţia la pentagon, la hexagon etc. se lămureşte şi respectiva dilemă. Ce păcat că au fost scoase, elevii nemai având ocazia de a parcurge acest proces de gândire.

Subiectul 6) În altă ordine de idei, merită să evoc aici şi un alt aspect, anume atitudinea în care sunt scrise multe din postările mele. Am mai spus-o şi cu alte ocazii: nu am nici cel mai mic venit din acest demers. Lucrez “pro-bono” şi nu mă plâng, fiindcă că o fac cu mare bucurie (pentru fiecare nou articol a trebuit mai întâi să mă edific eu foarte bine, iar acesta reprezintă pentru mine cel mai mare câştig posibil). Dacă cineva simte că eu “mă dau mare” prin aceste articole, atunci cred că se află la adresa greşită. Tot fenomenul pentagonia a pornit în 1997 după un an de stat în Şcoala Waldorf, din bucuria minunilor găsite şi din constatarea uimitoare că cele mai multe din aceste lucruri au fost cândva şi în şcoala românească, dar au fost pierdute pe drum. Fenomenul pentagonia a reprezentat de fapt bucuria şi strădania de a împărtăşi cu colegii profesori de matematică toate aceste elemente noi pentru mine la vremea respectivă. Apoi, cu timpul, pentagonia s-a transformat într-o strădanie de a ajuta la “repararea” predării matematicii, strigătele de ajutor în acest sens înmulţindu-se cu trecerea anilor din toate părţile.

În acest proces eu lucrez foarte mult. O pagină A4 ia lejer 1-2 ore de lucru (sau chiar mai multe), iar la un articol, pentru a fi într-o formă cât mai civilizată, lucrez câteva săptămâni (în cazul de faţă, aproape o lună). Unele serii de articole se apropie de magnitudinea unei lucrări de gradul I (majoritatea materialului fiind generat de către mine, nu preluat din alte părţi). În general lucrez la mai multe articole în acelaşi timp.

Legat de la felul cum scriu eu aceste articole, şi aici merită petrecut câteva rânduri. Există articole în care încerc să tratez cât mai complet subiectul propus. În altele îmi permit însă doar să evoc anumite aspecte, lăsând apoi “în sarcina” onor cititorilor să mai studieze şi să se edifice cu subiectul respectiv. Acest tip de articole are şi avantajul că lasă cititorului bucuria descoperirii şi nu-i dă totul “mură-n gură, pe tavă”. De multe ori apelez la acest stil şi datorită faptului că doresc să atenţionez asupra cât mai multor alte aspecte implicate intrinsec sau întâmplător în subiectul principal. De pildă, aspectele psihologice evocate prin exemplele de la sfârşitul articolului despre suma unghiurilor exterioare, aceste aspecte nu au nimic direct de-a face cu subiectul din titlu; ele s-au nimerit din întâmplare “în acelaşi loc” prin tema din caietele elevilor.

Există aici şi un alt aspect: de obicei mă străduiesc să prevăd diferitele comentarii ce ar putea apărea în mintea unui cititor, iar când reuşesc, atunci încerc să şi dau o replică unui astfel de gând, aşa încât eseul respectiv să fie cât mai complet şi mai edificator. Alteori, desigur, nu am cum să prevăd ce ar putea gîndi un anume cititor, fie că pur şi simplu nu mi-ar trece prin minte aşa ceva, fie că sunt prea puternic preocupat de alte aspecte şi îmi scapă posibilitatea unui anumit gând. Revenind însă la exemplul comentariului ce a cauzat prezenta postare, de când predau această teoremă a sumei unghiurilor exterioare, nici măcar o dată nu m-am întâlnit cu impulsul de a aduna în respectiva sumă ambele unghiuri exterioare din fiecare vârf. Poate “om fi noi mai superficiali”, atât eu ca profesor, cât şi toţi elevii mei. Părerea mea!

Subiectul 7) La toate aceste articole mă străduiesc să fiu cât mai neagresiv posibil (un articol la care lucrez acum în paralel, mi-a ieşit prea agresiv din prima încercare, aşa că planul este să-l reiau, să-l rup în mai multe părţi şi să caut o linie mai obiectivă şi mai liniştită; acelaşi lucru s-a întâmplat şi cu eseul de faţă, la care am păstrat doar aliniatele de început din starea de supărare iniţială).

Din multele întâlniri cu profesori din străinătate, ce ne-au vizitat de-a lungul anilor şcoala, asistând la orele cadrelor didactice, deoarece eram nevoit să particip ca traducător la cei care nu ştiau nici engleză suficient de bine, de la aceşti musafiri din vestul Europei am învăţat că la orice critică vrei să i-o faci cuiva, trebuie automat să-i spui şi o laudă, ceva bun, şi oricum într-o discuţie de analiză nu ai voie să-i spui mai mult de două puncte negative. Paul Olteanu spune chiar că la orice observaţie negativă, psihicul nostru are nevoie de trei observaţii pozitive pentru a se echilibra; aşadar, zice Paul Olteanu, la scorul de 1:1, îi eşti dator celuilalt cu încă două pozitive, cu două laude, pentru a nu se simţi agresat. UAU! Apropos: la mulţi elevi de gimnaziu de la ora actuală se pare că raportul se îndreaptă către 1:5.

Acestea sunt aspecte ce nu se studiază în pedagogia matematică românească (cel puţin nu cât am apucat eu să văd), iar aici avem o cauză evidentă a faptului că mulţi elevi urăsc matematica, anume datorită felului în care profesorii de matematică, fiind de obicei “mai avântaţi” decât ceilalţi datorită presiunii examenelor sau a olimpiadelor, preferă doar să critice şi să scoată în evidenţă nerealizările unui elev (nu discut aici despre aspecte de genul că la matematică trebuie să corectezi greşelile de calcul, pentru că altfel ajungi “pe arătură” cu fenomenul studiat); cel puţin unii dintre profesori procedează prea critic şi nu e de mirare că mulţi elevi ajung să le fie frică sau chiar să urască matematica (dar şi tot mai mulţi elevi sunt mult prea sensibili la ora actuală, îngreunând astfel procesul de conectare matematică).

Sugerez în acest sens lectura mai atentă a pasajului din romanul Măsurarea lumii despre învăţătorul elevului Gauss, la adresa http://pentagonia.ro/suma-lui-gauss-2-povestea-sumei-de-la-1-la-100/ . În urmă cu 200 de ani severitatea dascălilor se măsura în bătăi; acum am mai evoluat, aşa că severitatea unui profesor se măsoară în critici, cel puţin măcar în corectarea elevului în chiciţe de exprimare riguroasă. Iar unii fac aici transferul acestei atitudini şi la adresa altor colegi, cu orice preţ şi de multe ori gratuit. Părerea mea!

De pildă, legat de atitudinea cu care a fost scris comentariul respectiv, doresc să evoc aici şi o întâmplare extremă în acest sens. Începând din 2020 am organizat în fiecare iarnă un curs de trei zile de predare a matematicii în şcolile Waldorf. Iniţial s-a putut lăsă “liber” şi pentru participarea unor colegi din alte şcoli, aşa încât am avut atunci şi doi colegi neimplicaţi în Waldorf. De fapt unul era chiar pensionar. Atmosfera cursului era aşa că eu mă străduiam să le transmit participanţilor cât mai multe din aspectele specifice acestei pedagogii, diferite de cele din pedagogia tradiţională, dar totuşi păstrând o aparentă stare de convivialitate, de “masă rotundă”. Desigur că pentru unii dintre participanţi aceste informaţii erau surprinzătoare, aşa încât mai puneau întrebări. Alţii cu ani de experienţă luau cuvântul şi confirmau cele spuse din cazurile apărute la ei la clase. Colegul pensionar a făcut un pas mai departe, intrând la un moment în polemică deschisă cu mine. Am încercat să aplanez vizibilul “conflict” iar în pauză m-am dus la dânsul şi i-am spus că trebuie să-şi ţină pentru el diferitele păreri legate de anumite puncte în discuţie, că aici ne-am strâns să studiem aspecte legate de Waldorf şi că în acest sens am un parcurs bine stabilit, că nu îmi pot pierde prea mult timp cu altele ce nu au legătură cu linia stabilită conformă cu această pedagogie. Răspunsul său a fost bulversant: eu am crezut că am venit într-un loc liber la “dezbateri”, fiind evident că înţelegea prin dezbateri chiar şi polemici, fiecare “cu părerea lui” şi luptându-se aprig pentru aceasta. Oare comentariul ce a cauzat această postare este reprezintă tot un exemplu din această linie a unor polemici gratuite, de genul “care pe care”? Se prea poate. Din păcate, de obicei însă, aceste polemici nu prea se pot menţine într-o zonă elegantă şi neagresivă. Mai ales atunci când cineva vine cu afirmaţii prezentate ca “evidente” (dimpotrivă, o întrebare lămuritoare ar fi reprezentat în cazul de faţă un comentariu neagresiv, la care aş fi răspuns simplu şi pe scurt). Părerea mea!

Aici este vorba mai degrabă de o anumită mentalitate nocivă, acea de “a căuta nod în papură” cu orice ocazie. Ţin minte un exemplu în acest sens în urmă cu cca. 20 de ani. Eram foarte bucuros de o problemuţă compusă în care datele din text erau “frumoase”: un trapez în care se dădeau înălţimea de 12 şi trei laturi consecutive de 13, 14 (baza de sus) şi 15, cerându-se perimetrul şi aria. Pentru elevul mijlociu aceasta era o situaţie suficient de grea, pentru că o dădeam în perioada de învăţare şi exersare a teoremei lui Pitagora, iar seria respectivă de numere mai îmblânzea oarecum percepţia. Apoi, am primit o observaţie, că există de fapt mai multe posibilităţi de soluţie, deşi elevii vedeau întotdeauna doar forma tradiţională de trapez (cu baza 14 de sus cea mică şi cu baza mare jos, care trebuia calculată; parcă dă 28). Apoi, când am inclus problema în 2006 în culegerea de geometrie, încercând să includ toate variantele, dar şi cu implicarea fără de voie a redactorului de la editură, din problema respectivă a ieşit un dezastru. Pentru că, de obicei, la asta se ajunge când începe careva să scormonească şi să caute “nod în papură”. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Încă o dată, mulţumiri colegului pentru acel comentariu, ce mi-a oferit ocazia unei astfel de analize exhaustive a fenomenului (sper că n-am scăpat cine ştie ce aspecte importante).

Algebra şi curajul de a ieşi la tablă (Analiza unui banc – 2)

Spuneam în postarea precedentă că bancul de la început, cel despre geometrie, a umblat de curând pe platforme de socializare. Cam în aceeaşi perioadă am găsit şi bancul de mai sus, unul legat aparent de algebră. De fapt, algebra arată în acest banc destul de pozitiv, într-o comparaţie ipotetică cu geometria. Deci, personajul respectiv a avut măcar acel curaj de a ridica mâna la algebră, că la geometrie nici vorbă (sunt conştient că această observaţie este parţial “trasă de păr”).

Bancul acesta trimite insă foarte clar la atmosfera de la ora de matematică, aşa cum aceasta este percepută de o mare parte dintre elevi. Este vorba despre o stare de frică, uneori de o adevărată teroare, în care trăiesc elevii şi de care este legată relaţia cu această materie. Şi, trebuie clar să precizez, această stare apare peste tot în lume, nu doar la noi. Poate doar că la noi această stare este mult mai dură. Din câte ştiu însă, procentajele sunt orientativ similare. Atât la noi, cât şi înafară, undeva la jumătate din populaţie au o stare de teamă faţă de matematică. Singura diferenţă clară este legată de faptul că această parte a populaţiei, ce nu beneficiază de factorul formativ al gândirii, educat de către matematică la orele din şcoală, această parte a populaţiei îşi formează o gândire după modelul societăţii în care trăieşte: familia, anturajul de prieteni sau de colegi îşi pune amprenta asupra felului în care aceşti oameni judecă. De pildă, la noi, cei care au frica de matematică sunt ceva mai vulnerabili de a fi manipulaţi de către alţii, din anturajul restrâns sau din mass media, de pildă de către politicieni (ca vorbitor de germană, eu urmăresc desigur şi societatea nemţească, şi văd astfel de exemple dar la o scară mai mică; situaţia cu cancelarul austriac şi cu refuzarea accesului nostru în Schengen a fost un contraexemplu ciudat de iraţionalitate în spaţiul ţărilor germane – deşi, cine sunt eu să judec? – te miri ce aspecte noi vor apărea cu timpul, care să justifice atitudinea respectivă).

Revenind la orele de matematică şi la atmosfera din timpul acestora, stau şi mă gândesc că aceasta este una din sursele de bază legate de frica faţă de matematică. Bancul de mai sus exact asta spune: am avut curaj, adică mi-am înfruntat frica faţă de matematică. Pentru a putea produce dorita stare de performanţă în matematică, majoritatea profesorilor ajung să-şi conducă ora cu o atitudine generatoare de frică. Aceasta este însă “doar o faţă a monedei”. Cealaltă sursă a stress-ului este legată de faptul că gândirea matematicii nu este uşoară, mulţi dintre elevi preferând pur şi simplu să o evite. Dimpotrivă, confruntaţi cu o atmosferă blândă la orele de matematică, astfel de elevi nu vor face matematică defel, nu-şi vor face temele, nu-şi vor învăţa lecţiile, iar apoi oricum vor căuta justificarea pentru eşecul lor în explicaţii de felul “toţi profesorii de matematică sunt la fel, chinuie copiii” sau “eu am discalculie” etc., toate sub genericul “cea mai bună matematică este matematica defel!”.

D-na profesoară Birte Vestergaard, despre care am scris în câteva rânduri, are ca unul dintre obiectivele principale exact recuperarea acestor elevi înspăimântaţi de ora de matematică. Ca argument pentru eficienţa metodei sale, dânsa ne-a arătat câteva pasaje din interviuri, în care foşti elevi slabi la matematică îşi prezentau evoluţia sentimentelor, de la frica totală de matematică – cu accent pe frica de a se face de râs în faţa colegilor – şi până la nivelul în care au ajuns să gândească şi să lucreze matematică fără nici cea mai mică problemă. Metoda respectivă este bună deaorece îi ajută şi pe cei buni să empatizeze cu cei slabi şi să conştientizeze zdroaba acestora în cadrul activităţii matematice.

Eu personal mă străduiesc constant să generez o atmosferă în care şi elevii speriaţi de matematică să ajungă la o stare dezinhibată cu matematica. Din păcate unii înţeleg aceasta ca o permisivitate către a face orice altceva în oră. La alţii totuşi funcţionează, adică îmi reuşeşte să-i aduc în starea de atenţie şi participare la oră, desigur în momentele care prezintă matematică accesibilă pentru nivelul lor. Mă gândesc de exemplu la un elev care de fiecare dată când suntem în pasaje mai uşoare, el automat devine activ, ridică mâna nesilit şi răspunde de fiecare dată corect. Acel elev, deşi nu este un mare matematician, îşi cunoaşte foarte bine nivelul, dar de fiecare dată când poate îmi arată de fapt că nu-i este frică de matematică.

Unul dintre exemplele cele mai sugestive despre starea de frică faţă de matematică şi faţă de inaccesibilitatea acesteia, l-am trăit în urmă cu câţiva ani. Aveam prima oră la o nouă clasa de liceu (a 9-a de uman), în care erau elevi de la foarte buni (dar care doreau să rămână în Waldorf) şi până la nivelul cel mai slab posibil. M-am gândit să nu-i speriu din prima cu cine ştie ce complicaţiune, aşa că m-am dus la ei cu o chestie ce nu implică defel cunoştinţe anterioare, desigur în afară de simpla adunare până la zece. Le-am dus un zar pe care îl puneam în faţa lor pe masă şi îi întrebam ce faţă este dedesupt (îl ţinem cu două degete lateral, aşa încât să nu funcţioneze prin excludere). Pentru cine nu ştie poanta, suma feţelor opuse la un zar este întotdeauna 7 (de pildă 2 şi 5 sunt pe feţe opuse). Întrebarea desigur se adresa celor noi în clasă (cei ce veneau din clasa a 8-a o ştiau deja). Imaginaţi-vă cum mergeam de la un elev nou la altul şi îi întrebam, iar aceştia încercau să gândească, pentru că era evident că nu se lega de nimic din ce învăţaseră până atunci. Unii se prindeau pe când alţii nu.

În această stare am ajuns la o elevă foarte speriată, care nu se prindea de poantă şi gata. Eu totuşi îi arătam răbdare, dar ea nu şi nu. Până la urmă unul dintre colegi i-a spus că trebuie să dea împreună 7. Eleva a făcut ochii mari, eu i-am mai pus o dată întrebarea (de fiecare dată întorceam zarul), iar ea s-a concentrat şi a răspuns corect. I-am arătat dosul zarului spre confirmare, iar ea s-a ridicat în picioare şi a început să fugă în cerc strigând “Da! Ştiu matematică!!!”. Am realizat atunci că am de-a face cu un caz deosebit de dificil şi, într-adevăr, tot liceul a cam trebuit să-i dau 5-ul “din burtă”.

Surpriza a venit la sfârşitul clasei a 12-a când elevii “îşi împărţeau profesorii”, care la care să dea clasicul buchet de flori, la festivitatea de încheiere. Această elevă a insistat ca ea să-mi dea mie flori. Doar pentru acel moment de la începutul clasei a 9-a (şi poate pentru faptul că am avut grijă tot liceul să nu se simtă înjosită pentru că nu putea mare lucru la matematică). Să nu credeţi însă că “nu am făcut matematică” cu acea clasă. Dimpotrivă, de multe ori depăşeam nivelul programei, pentru cei care puteau, dar întotdeauna cu respect faţă de cei slabi. Concluzionând, cum bine spunea Dl Profesor Radu Gologan, matematica şcolară trebuie să devină mai umană. Titus Grigorovici

Figurile geometriei (Analiza unui banc – 1)

“Scrierea” de mai sus, ce provine de pe o platformă de socializare, se doreşte a fi un banc (adică ceva de râs). Doar că aceasta punctează ceva ce este mai degrabă de plâns: dispariţia – lentă dar sigură – a figurilor din anturajul geometriei, ca materie, atât în cadrul lecţiilor, cât mai nou şi în cadrul problemelor, atât din ideea de necesitate în structura mentalului unor profesori, cât şi – ca urmare – din mentalul unor elevi.

Deja în urmă cu cca. 15 ani am ajuns să întâlnesc elevi care să-mi spună că “figurile nu contează”, citat reluat desigur de la adulţi din anturajul lor, de obicei chiar de la profesorul de la clasă. Ţin minte că mă chinuiam cu un copil la care toate triunghiurile desenate erau isoscele, ce-mi spunea cu un aer de siguranţă că “oricum, figurile nu contează!”.

Actualmente lucrurile au luat-o razna rău de tot: am început să întâlnesc lecţii sau probleme de geometrie fără figură! Şi mă refer aici nu la situaţii din acelea relativ simple, la care putem considera că figura geometrică poate fi uşor imaginată în cap, pentru rezolvarea problemei. Vă dau câteva exemple întâlnite în această toamnă.

1) Să vorbim pentru început despre o lecţie, una cunoscută, anume lecţia care trebuie să facă prezentarea conexiunilor între unghiurile ce se întâlnesc în cazul a două drepte paralele tăiate de o secantă. De foarte mult timp ştiu că există ideea de a desprinde din această lecţie, ca un soi de fază pregătitoare, o primă etapă în care să fie prezentate perechile respective de unghiuri (alterne interne, corespondente, etc.) pe o figură “generalizată”, adică pe o figură cu două drepte neparalele tăiate de o secantă. Nu ştiu unde, când sau la cine a apărut această idee, dar este una deosebit de dăunătoare, chiar nocivă pentru dezvoltarea gândirii, aş putea zice chiar nocivă pentru apariţia gândirii. Chiar şi privit doar superficial putem susţine această afirmaţie deoarece figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde.

Afirmaţia se susţine şi dacă privim mai profund: în această situaţie încercarea de înţelegere a copilului este forţată să se dezvolte “sprijinindu-se” pe mult mai puţine elemente logice, eliminate fiind cele mai uşoare, mai intuitive, şi lăsate doar de cele mai grele. Ce vreau să spun aici? Studiate pe o figură cu drepte paralele, elevii pot vedea respectivele “perechi de unghiuri” sprijiniţi de evidenţa congruenţei, care se vede clar. Mă refer aici desigur la unghiurile corespondente, dar şi la cele alterne interne. Datorită congruenţei, elevul înţelege mult mai clar alegerea unor anumite perechi de unghiuri şi logica aranjării acestora în figura respectivă (de exemplu, “alterne” pentru că alternează de-o parte şi de cealaltă a secantei, la fel ca şi casele numerotate alternativ de-o parte şi de alta a străzii, respectiv “interne” pentru că sunt în spaţiul acela interior delimitat de cele două paralele); la celelalte perechi de unghiuri studiate gândirea şi înţelegerea se poate sprijini deja pe structurile mai complicate de aranjare ce au fost reliefate la primele două categorii.

Pe figura cu două drepte paralele, acestea – cele două drepte paralele – se evidenţiază minţii în formare a elevului ca o pereche clară, dreapta secantă evidenţiindu-se separat, cu un alt rol logic în această structură. Dimpotrivă, la figura “generalizată”, cea cu perechea celor două drepte neparalele, tăiate de o a treia, pe post de secantă, aici mintea elevului nu va vedea la fel de uşor faptul că primele două acţionează împreună într-un fel, pe când a treia în alt mod. Personal, eu nu mai ţin minte foarte clar, dar cred totuşi că am predat o dată, în primul an la catedră pornind de la această figură (anul şcolar 1990-1991), după care am abandonat ideea (am în amintire o impresie vagă că elevii n-au înţeles nimic; ceva de genul că-mi lipsea privirea aia de “aha, am priceput!” de pe feţele lor; altfel spus, am simţit empatic că elevii n-au înţeles nimic din acea figură). Deci, practic, de 30 de ani nu am mai folosit această figură premergătoare, însă doar acum am ajuns să fac “teoria chibritului” pe seama acesteia (veţi vedea în curând de ce).

Mai zăbovesc un pic la prima idee, anuma la faptul clar că figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde. Eu am o teorie, anume faptul că la geometrie elevii trebuie să ţină minte nişte FIGURI TIP, pe care să le aibă imprimate bine în minte pentru a le putea recunoaşta ulterior în diferite structuri mai complicate, adică de obicei în figurile diferitelor probleme. Pentru a mă face înţeles, dau aici câteva exemple de figuri tip: două drepte secante (“Crucea Sf. Anton”) pentru unghiuri opuse la vârf, un triunghi oarecare secţionat de o paralelă mai jos sau mai sus de linia mijlocie, pentru situaţii de proporţionalitate (teorema lui Thales sau teorema findamentală a asemănării), şi exemplele pot continua mult şi bine (există figuri tip chiar şi la zona de algebră, de pildă “Crucea Sf. Anton” pe elementele unei proporţii, în timp ce spui în minte că “produsul mezilor este egal cu produsul extremilor”).

Desigur că figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă este o figură tip! Imprimarea ei pe mentalul elevilor este deosebit de importantă şi datorită faptului că aceasta nu apare de obicei întreagă în figurile diferitelor probleme, aşa încât elevul trebuie să fie capabil să completeze în minte figura astfel încât să recunoască figura tip şi să poată vedea apariţia a două unghiuri congruente (să zicem unele alterne interne, de exemplu).

Astfel, se înţelege că este extrem de important ca această figură să “se imprime” cât mai repede şi cât mai bine pe mentalul elevilor, iar aceasta se poate face cel mai bine printr-o prezentare repetată. Eu, de pildă, refac figura tip cu două paralele tăiate de o secantă la fiecare fel de pereche de unghiuri studiate în această lecţie, adică măcar de 3-4 ori. Astfel, o fac prima dată la unghiurile corespondente (pe acestea le fac primele pentru că “stau la fel”, astfel încât congruenţa poate fi justificată, “demonstrată”, prin translatarea unuia de-a lungul secantei până în celălalt). Apoi refac figura a doua oară pentru unghiurile alterne interne (ce poate fi justificată pe baza primeia împreună cu deja cunoscuta situaţie a unghiurilor opuse la vârf). Cu această ocazie elevii încep să priceapă că această figură este una importantă. Uneori o fac şi pentru unghiurile alterne externe, dar asta doar de dragul teoriei, cât şi a elevilor care întreabă după a doua categorie “dar, există şi unghiuri alterne externe?”, precizându-le insă clar că acestea nu se folosesc defel. Apoi vine figura obligatorie în cazul unghiurilor interne de aceeaşi parte a secantei, care se dovedesc suplementare (şi aceasta poate fi justificată pentru înţelegerea elevilor, apropos de faptul că unii colegi au ajuns doar să prezinte elementele unei lecţii, fără a mai explica defel de unde vin acestea). Situaţia perechii de unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sigur n-o mai fac, eventual o amintesc dacă întreabă un copil (din logica denumirii acestora), dar atunci cu precizarea clară că nici acestea nu se folosesc nicăieri.

Am făcut această prezentare extinsă a importanţei figurilor din lecţia despre unghiurile ce apar la două paralele tăiate de o secantă pentru a scoate în evidenţă cât mai bine stupiditatea următoarei situaţii. Astfel, de curând mi-a fost dat să văd această lecţie predată doar cu prima figură, acea cu două drepte neparalele tăiate de o secantă, în care erau prezentate extins, în text, pe baza numerotării celor opt unghiuri vizate, a tuturor perechilor respective. Urma apoi un fel de teoremă în care erau precizate faptul că dacă dreptele acelea sunt paralele, atunci “următoarele unghiuri sunt …..”. În lecţia respectivă nu apărea defel figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă. Cu alte cuvinte, profesorul respectiv prezentase doar figura nefolositoare, pe când cea deosebit de importantă nici nu era prezentă în lecţie (decât doar în text).

Fără figura cu două drepte paralele elevul este “împins” să înţeleagă această lecţie doar în mod “intelectual”, eliminându-se posibilitatea înţelegerii vizuale directe. Pentru a înţelege, elevul este obligat să facă doi paşi logici, anume să urmărească situaţia şi afirmaţiile textului şi să-şi închipuie figura conform noilor condiţii (două drepte paralele), ca apoi să le conecteze în minte pe cele două. Este evident că această cale este mult mai dificilă, chiar inaccesibilă pentru cei mai mulţi dintre elevii actuali.

Cum să înţeleagă acei elevi lecţia respectivă??? Mintea mea nu înţelege aşa ceva decât alegând din una dintre următoarele două situaţii: fie este vorba despre o “prostire” profesională a unor dascăli, fie o răutate cronică faţă de elevi. Oricum este evident faptul că elevii sunt împinşi, fie în braţele sistemului de meditaţii particulare, fie înspre pierderea contactului cu matematica, cu gândirea.

Foarte aproape de această stare se situează şi variantă întâlnită prin anumite lucrări, care prezintă ce-i drept figurile cu două drepte paralele, însă mici şî înghesuite, astfel încât elevii să le perceapă foarte greu.

2) Un al doilea exemplu de geometrie fără figuri este întâlnit mult mai des, anume în lecţiile rezumative din diferite “auxiliare”, ce prezintă teoria fără nici măcar o singură figura geometrică (vorbesc de partea teoretică poziţionată înaintea multitudinii de probleme pentru acea lecţie). Am de pildă în minte situaţia unei culegeri de la o editură renumită (de vârf pe piaţă): de exemplu, la fiecare din seturile de probleme despre patrulaterele speciale apar enumerate toate proprietăţile, fără ca autorii să fi considerat ca importantă prezentarea figurii tip a acelui patrulater (paralelogram, dreptunghi etc.). Vă daţi seama că elevii sunt astfel tentaţi să vadă lucrurile din geometrie de felul că “astea trebuie învăţate pe de rost, în nici un caz şi înţelese”.

3) În urma unor astfel de situaţii cu care se confruntă elevii, nici nu ne mai miră apariţia unor situaţii în care elevii vin cu rezolvări, chiar cu demonstraţii ale unor probleme, fără ca acestea să fie însoţite de o figură geometrică. Elevii ajung să nu-i mai vadă necesitatea prezenţei unei figuri geometrice la o problemă. Fie că o copiază din carte, fie că o preiau de la un coleg, care poate şi el o are făcută de altcineva, elevii nu mai au conexiunea mentală a legăturii indivizibile între figură şi rezolvarea sau demonstraţia corespunzătoare. Faptul că nici aplicaţiile de pe telefoanele prea deştepte cu care toţi sunt dotaţi, se pare că nu dau rezolvări însoţite de figuri, asta doar accentuează profunzimea şi dramatismul situaţiei despre care vorbesc aici.

Din păcate însă, toate acestea se integrează perfect cu noua politică a examenului de Evaluare Naţională, în forma cea nouă, aplicată din 2021 (odată cu generaţia care a început prima dată cu clasa pregătitoare). Subiectele sunt pline de figuri geometrice, însă doar cu scop de a fi “citite”, însă pentru eficientizarea testării, acest nou tip de subiecte nu mai are în conţinutul său sarcini la care elevii să fie puşi să facă o figură geometrică.

Deja din ultimii ani ai formatului vechi de examinare (cel folosit până în anul de graţie 2020), deseori unii elevi nu mai refăceau figurile de pe foaia cu subiecte, cele din subiectul III (atât la figura de geometrie plană, de la problema 1, cât şi la figura de geometrie în spaţiu, de la problema 2), ci trasau şi notau pe foaia lor de subiecte câte o linie suplimentară de care aveau nevoie. În aceste condiţii te puteai trezi cu câte o rezolvare în care trebuia să-ţi imaginezi ce a desenat elevul respectiv, fără a avea însă o certitudine în acest sens. Dar oricum, majoritatea făceau totuşi respectivele figuri, inclusiv unele figuri ajutătoare, iar toţi elevii desenau desigur şi figura de la începutul Subiectului II. Deci, până în 2020 elevii trebuiau să facă figuri geometrice şi la examen.

Acum, pe formatul nou de EN elevii nu mai trebuie să deseneze figuri geometrice complete, fiind nevoiţi să traseze cel mult câte o nouă linie pe figurile pre-gătite pe foaia de examinare (am pus intenţionat liniuţa de despărţire pentru a evidenţia asemănarea cu fenomene similare de pildă din zona de alimentaţie, acolo unde la ora actuală se poate cumpăra o varietate tot mai mare de mâncare pre-gătită, funcţia de bucătăreasă fiind deseori redusă la funcţia de încălzitoare a mâncării pre-gătit cumpărate). Cum va arăta viitorul, respectiv cum vor evolua sau – mai bine zis – cum vor involua abilităţile elevilor de a face o figură geometrică corectă, asta este uşor de imaginat. Aşadar – în concluzie, până nu e prea târziu – cum a fost spus de la început, daţi geometriei figurile înapoi! Titus Grigorovici

Un interviu memorabil cu Prof. Radu Gologan, 10 ian.2022

În urmă cu aproape un an (10 ian. 2022, de ziua matematicii) dl. Profesor Radu Gologan dădea un interviu d-nei Iulia Roşca pe HotNews.ro. Afirmaţiile din acest interviu mi-au atras atenţia puternic, aşa că l-am salvat în întregime în ideea de a-l relua într-o analiză riguroasă. Altele au fost însă aspectele ce ne-au preocupat în vremurile ce-au urmat, aşa încât tot timpul am fost nevoit să fug după alte subiecte decât interviul d-lui Gologan. Totuşi, documentul salvat atunci îmi tot revenea în atenţie, prin valoarea gândurilor exprimate, cât şi prin “densitatea” acestora.

Acum, către lăsarea iernii, “la gura sobei”, cred că interviul respectiv poate fi recitit în linişte (sau citit pentru prima dată), spre luare aminte şi spre aprofundare. Peste 80% din gândurile exprimate (orientativ) ating predarea matematicii. În această postare doresc să prezint şi să analizez părţile respective. Ca să nu reiau apoi diferite aspecte pentru a le comenta, îmi permit să-mi inserez gândurile şi comentariile pe parcursul interviului, ca un fel de o a treia persoană în discuţie.

IR: Cum ați evalua modul în care se predă astăzi matematica și se asimilează cunoștințele în școală?

RG: Se fac eforturi mari pentru umanizarea, să zicem, a învățământului matematic și evident direct transformarea lui într-o disciplină care să placă tuturor și să aducă fiecăruia ceea ce trebuie.

CTG: Într-adevăr, predarea matematicii trebuie umanizată, astfel încât să devină accesibilă şi să aducă satisfacţie tuturor elevilor, nu doar celor de vârf; ora de matematică trebuie să aducă tuturor nivelelor de elevi beneficii pozitive (pe care aceştia să le şi simtă, astfel încât să nu mai urască această disciplină şcolară).

RG: Inclusiv Societatea de Științe Matematice din România în ultimii ani a mers pe ideea de a induce în societate faptul că matematica nu se învață în primul rând pentru aplicațiile sale ci pentru modul în care ea modelează gândirea și face ca omul să poată raționa în situații diferite cu argumente asemănătoare. Asta este de fapt matematica.

CTG: Într-adevăr, în România încă nu este luată în seamă importanţa activităţii din cadrul matematicii ca activitate dezvoltatoare de gândire raţională şi logică. Ca urmare. sunt neglijate complet activităţi matematice deosebite, care sunt dezvoltatoare de gândire, dar nu se dau la examen (sau la diferite concursuri şcolare). Iată câteva exemple din clasele mici gimnaziale: 1) Provocarea neplanificată, deci nepregătită de acasă, de a găsi următorul termen dintr-un şir, ce se dovedeşte apoi a fi Şirul lui Fibonacci, sau a următorului rând dintr-un tabel ciudat de numere aranjate în mod triunghiular, ce se dovedeşte a fi Triunghiul lui Pascal (oricând începând din clasa a 5-a); 2) Preocuparea de realizare cât mai exactă a figurilor geometrice, folosind tot arsenalul de instrumente şi tehnici. Astfel de aspecte nu se dau nici la examene, nici la alte concursuri, aşa că nimeni nu se ocupă de acestea. Dacă exemplele numerice date ar avea doar o influenţă colaterală asupra activităţii matematicii, lipsa construcţiilor geometrice influenţează hotărâtor neînţelegerea gândirii geometrice. Revenind la interviu, citim mai departe:

RG: Exercițiile pe care copiii le fac ca temă să zicem la școală sau în clasă analizând un anumit aspect al matematicii nu înseamnă neapărat că ele se aplică în viața de zi cu zi ca atare, ci ele sunt un exercițiu să zicem ca cel de pian când faci digitație ca să îți înveți mișcările.

Există peste tot dorința de a face matematica aplicabilă. Aplicabilitatea nu înseamnă neapărat în școală, nu înseamnă ca trebuie să facem probleme numai cu terenuri agricole, tractoare și procente, cum era pe vremuri, ci ca exercițiu pentru viitor. Această tendință a existat și când a fost realizat noul format al examenului de evaluare naţională, cu exemple din viața de zi cu zi.

Nu cred că se înțelege bine care este demersul, din păcate. Adică ideea a fost oarecum forțată, venită din diverse părți, a unor oameni care nu sunt experți în matematică. Nu se învață matematica pentru aplicabilitate. Dacă la examenele naționale avem probleme despre cum punem faianță pe un perete asta nu înseamnă că am transformat matematica în ceva uman, ceva pe care copilul o înțelege mai repede.

Matematica suferă – și la noi în special a suferit mulți ani – de o abstractizare exagerată, care vine din folosirea unor notații și noțiuni abstracte. Am insistat foarte tare și foarte multă lume, chiar dascăli, s-au supărat când am insistat ca teoria mulțimilor să nu fie predată din clasele mici pentru că acest domeniu al matematicii nu înseamnă decât o notație și o simplificare a vorbirii abstracte. Nu este nevoie de asta. Copilul mic trebuie să înțeleagă raționamentele. Nu trebuie să fie pedepsit dacă nu știe să noteze anumite mulțimi de numere cu anumite litere.

Deci matematica trebuie să fie umanizată. În țările anglo-saxone, de exemplu, aceste notații nu există, totul este notat (exprimat) în cuvinte. Nu știu dacă rezultatele sunt mai bune, pentru că în țările anglo-saxone rezultatele la matematică nu sunt mai bune ca ale noastre, poate că la nivelul de jos, la nivelul minimal, acolo stăm noi mai prost.

CTG: Da, într-adevăr, în jumătatea din stânga a blocului principal al Clopotului lui Gauss stăm foarte prost; în acea zonă se generează mare parte din situaţiile de analfabetism funcţional şi discalculie, în general ceea ce Peter Gallin din Elveţia denumea “persoane avariate matematic” (vezi perezentare din http://pentagonia.ro/conferinta-peter-gallin/ ), cei care se evidenţiaţi negativ în studiile PISA.

Revenind la excesele scrierilor abstracte, într-adevăr acestea au îndepărtat matematica de posibilităţile elevilor. Iar cu cât elevii stăteau mai mult în faţa ecranelor (televizor, calculator, smartphone), de-a lungul anilor ’90 şi apoi tot mai mult după 2000, cu atât rigurozitatea abstractă a limbajului matematic era tot mai departe de disponibilităţile şi capacităţile elevilor de a le înţelege şi a le cuprinde.

Fără să mai discutăm şi de faptul că şi în ultimii ani procesul de îngreunare a limbajului este continuat pe alocuri (reamintesc aici doar definiţia din ultimii ani a două drepte paralele din clasa a 6-a, care începe cu “două drepte necoplanare …”, deşi ideea de drepte necoplanare ţine ca înţelegere de clasa a 8-a). Să revenim la interviu:

IR: Și cum facem, pentru că la nivel de performanță mereu avem rezultate, dar în rest…

RG: Aici trebuie să înțelegem că este falsă acea idee că nu se poate să nu facem un anumit domeniu al matematicii în nu știu ce clasă. Trebuie să ne adaptăm ca dascăli la ceea ce pot copiii să învețe și să facă. Dacă nu se poate înțelege funcția de gradul al doilea la clasa a noua, atunci nu o facem. Mai degrabă insistăm pe lucruri care îl fac pe copil să înțeleagă lumea mai bine, să raționeze mai bine, să știe să se adapteze mai bine în situații concrete.

CTG: Aici sunt într-u totul de acord şi totuşi nu sunt de acord. Da, ar fi minunat ca profesorii de matematică să poată decide dacă se poate parcurge o anumită lecţie la momentul stabilit de programă sau nu. Din păcate, realitatea este cu totul alta: profesorii trăiesc tot timpul cu “sabia lui Damocles” deasupra capului; oricând un profesor poate fi luat la control dacă şi-a parcurs materia sau nu, la inspecţii de diferite nivele.

Pe de altă parte nici nu putem afirma că toţi profesorii sunt suficient de conştiincioşi încât să poată acţiona în mod responsabil cu o astfel de libertate “în buzunar”. Am întâlnit situaţii ciudate în acest sens, de pildă când am fost contactat pentru un sfat, persoana respectivă dându-şi seama în clasa a 8-a că uitase să parcurgă teorema lui Pitagora în a 7-a. Sau, şi mai rău, aflu de situaţii când lecţiile nu se predau, dar apoi se cer la teste, aşteptarea fiind că s-au parcurs acasă, cu profesorul particular.

Oricum, afirmaţia d-lui Profesor Gologan implică ideea că trebuie parcurse lecţiile măcar până la examen, acestea neputând fi desigur amânate mult prea mult. Exemplul cu funcţia de gradul II poate fi trecut mai degrabă la categoria despre lecţii ce s-ar putea parcurge cu o predare mai umană; la alte lecţii însă principiul se potriveşte mult mai bine (Oh, iar aici prefer să nu deschid lista, pentru că atunci sigur nu mă mai pot opri uşor). Să revenim însă la afirmaţiile d-lui Gologan, unde vedem că de fapt dânsul se referea – se pare – mai mult la situaţia predării în pandemie (interviul avea loc la scurt timp după acea forţat impusă şi controversată vacanţă de toamnă neaşteptată din oct.-noi. 2021).

RG: Această idee care parvine în general de la conducătorii politici, că vai de mine ce se întâmplă dacă pierdem o săptămâna de școală după părerea mea este falsă, și în matematică este falsă. Dacă facem puțin dar bine este mult mai sănătos decât dacă facem tot însă prost, fără să fie înțeles ca lumea. În educația matematică acest proverb “puțin și bine decât mult și prost” se potrivește foarte bine.

IR: Argumentul de multe ori este acela al examenelor – evaluarea națională și bacalaureatul. Trebuie să se bifeze materia.

RG: Acolo este o altă problemă. Din păcate, tot datorită factorului politic, dorința de a demonstra că examenele naționale sunt un panaceu și toată lumea să treacă, să ne lăudăm în fiecare an cu procentele, a transformat examenele în ceva formal. Se uită de acel capitol al matematicii care este educația gândirii. Veți vedea peste tot cărți, teste de același fel de bacalaureat în care nu există mari deosebiri. Și dacă un elev va da peste un alt fel de raționament, nu va ști să îl explice.

Și părinții nu mai vor ca un profesor să explice fundamentul și dedesubturile și frumusețea matematicii ci vor să se facă cât mai bine, să învețe acele trucuri care se dau la examen. Care sunt într-un număr redus. Aici este marea problemă, care a început să devină universală, nu este doar la noi.

CTG: Cu aceste afirmaţii sunt într-u totul de acord. Referirile la legea lui Campbell sunt evidente în aceste afirmaţii (dacă aţi ratat articolul, sau pentru împrospătare, vă recomand postarea http://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/ ). În altă ordine de idei, va trebui clar să mai reluăm într-o discuţie separată acest obiectiv puţin băgat în seamă, anume de formare a gândirii obiective raţional-logice în orele de matematică, aspect din păcate tot mai neglijat de către tot mai mulţi colegi, fără să mai discutăm de cum sunt acestea privite de către părinţi sau politicieni, în societate în general, deci de la o vreme chiar şi de către elevii de liceu (“asta la ce ne trebuie?”).

IR: Dar pentru a se ajunge la ce spuneți dumneavoastră, matematica să ajungă la mai mulți copii, este nevoie de o modificare substanțială a materiei, a programei?

RG: Nu cred că este nevoie de o modificare, pentru că de peste 150 de ani în mare programa a rămas ca aceeași și s-a dovedit că este utilă pentru că altfel nu se ajungea la rezultatele excepționale pe care le-a realizat mintea umană – calculator, mijloace de transmitere a informațiilor și așa mai departe. Toate au pornit de la o educație matematică serioasă.

Modul de predare și de abordare trebuie să fie schimbat. Trebuie eliminat de exemplu aceste standarde finite de examinare și de evaluare ale copiilor.

IR: Este nevoie ca disciplinele STEM să fie studiate interdisciplinar? Mai mulți elevi cu rezultate în aceste domenii au vorbit despre asta.

RG: Este corect, iar ei v-au răspuns asta pentru că au dat astfel de teste, testele standardizate americane – SAT, GRE. Ele sunt făcute de agenții naționale private, cu tradiție, și au privire de ansamblu. Probabil că lucrurile acestea trebuie făcute, eu nu sunt adeptul acestei idei de a face școala așa încât matematica să fie automat implicată în fizică, chimie și să nu mai faci separat fizică, chimie. Acest lucru merge foarte bine la clasele primare și poate la până la vârsta de 10-11 ani, apoi modul de gândire la fiecare materie este altul. Poate că pilotat un an, doi, zece, în câteva școli. Trebuie văzută și asta, este o experiență care trebuie făcută.

CTG: Aş mai zăbovi puţin la întrebarea despre ce ar trebui modificată, programa sau predarea? Pentru că această întrebare nu poate fi tranşată atât de simplu. Dl. Radu Gologan accentuează aici asupra accesibilizării predării, pentru că aceasta a ajuns să fie total neglijată, fiind de fapt mult mai importantă decât programa în sine. Exact din acest motiv ţin de fapt acest blog pentagonia.ro – Arta predării matematicii.

Acest subiect merită în sine un articol şi o analiză separată, pentru care însă acum nu este loc (dar mă gândesc foarte serios să mă apuc de lucru cât mai repede de aşa ceva). Îmi permit totuşi o scurtă prezentare a unor metehne ce le observ la ora actuală în predarea matematicii şcolare (fără a emite pretenţia că la acestea s-a referit dl. Gologan). Există în principiu cristalizate două direcţii nepotrivite de evoluţie a predării, care au ajuns să monopolizeze mare parte din orele de matematică:

1) Într-o extremă avem o predare intenţionat teoreticistă cu multe elemente prezentate general deosebit de abstract, mult peste nivelul tuturor elevilor; confruntat astfel de lecţii orice elev are nevoie de explicaţii lămuritoare (de la părinţi sau fraţi mai mari, sau desigur de la profesori particulari). Este evident că acest stil de predare se trage din predarea excesiv de riguros, teoreticistă practicată în anii ’80-’90 în şcolile româneşti. Mă feresc a suspecta o acţiune intenţionată în sensul că elevii să nu înţeleagă nimic, astfel încât să vină la meditaţii, aşa încât rămâne doar o explicaţie de tipul unei preocupări egocentriste a respectivilor colegi înspre o exprimare super-teoreticistă, o exprimare ce sfidează orice empatie, scoţând în evidenţă cel mult o stare patologică la acei profesori.

2) În cealaltă extremă avem o predare rezumativă a principalelor idei dintr-o lecţie, fără nici cea mai vagă explicaţie sau implicare a gândirii. Este vorba de profesori ce consideră că elevii trebuie să primească cât mai pe scurt principalele elemente ale lecţiei, pentru a se putea trece apoi rapid la aplicaţii. Nici urmă de explicaţii care să lămurească elevii de ce sau de unde sunt scoase aceste afirmaţii. În acest sens am ajuns să privim cu mulţumire când unii profesori practică o astfel de predare şi aduc totuşi şi anumite explicaţii lămuritoare. Multe culegeri (“auxiliare”) prezintă astfel de rezumate la fiecare lecţie, în format cât mai scurt (fără nicio explicaţie, la geometrie de obicei chiar fără figurile lămuritoare), iar mulţi colegi profesori preferă să-i pună pe elevi să copieze lecţia din aceste culegeri. Gafa pedagogică este însă că aceste rezumate au fost gândite ca rezumate “a-posteriori” predării lecţiei, nu ca forme de introducere a unor noi cunoştinţe.

Problema mare este că nici una, nici cealaltă din aceste două forme de “predare” nu construiesc gândirea în mintea elevilor, amândouă fiind la fel de păguboase, amândouă necesitând de fapt explicaţii şi muncă ulterioară acasă. Faptul că cele două forme de predare devin tot mai generalizate este şi mai dramatic.

Totuşi – ca să fim cinstiţi, nici modificarea programei nu poate fi complet neglijată. Îmi permit aici să dau un singur exemplu. După ce ne-am luptat atâţia ani ca sistemele de ecuaţii să fie readuse în clasa a 7-a, dar într-o formă mai accesibilă, acum trebuie să sesizăm faptul că apariţia formulelor de calcul prescurtat prima dată doar în clasa a 8-a pune elevii în faţa unei “trepte de gândire” mult prea dificile, prea înalte, oarecum dublă ca înălţime faţă de ce pot cei mai mulţi dintre ei cuprinde, supunându-i pe elevi la o presiune foarte mare în toamna clasei a 8-a. O formă mult mai lesne de cuprins pentru elevul mijlociu ar fi fost ca formulele să apară în primăvara clasei a 7-a, însă doar ca metodă de calcul – aşa se şi numesc: “formule de calcul prescurtat”, urmând ca folosirea lor în mod invers, ca metode de descompunere în factori să apară doar în a 8-a. Revenind la interviul analizat, acesta evoluează în continuare într-o cu totul altă direcţie:

IR: Până la urmă, matematica se poate studia online?

RG: Da, matematica are avantajul că se poate adapta la studiul online, spre deosebire de alte discipline. Sigur că și aici lucrurile sunt un pic mai delicate, în sensul în care s-a văzut, copiii buni și dornici progresează mai bine online, din păcate sub medie lucrurile stau mai prost. Deci nu putem face un învățământ de masă numai online, dar cu vârfurile putem lucra online poate mai bine decât altfel. (…)

CTG: Susţin cu totul acest punct de vedere, pe care doresc doar să-l extind: cu elevul mijlociu şi pe durată lungă învăţământul online nu este defel sustenabil. În plus, afirmaţia d-lui Radu Gologan functionează doar de la anumite vârste în sus. Deja am început să vedem urmările năucitoare ale celor doi ani de predare online (pe scară largă, vreau să zic, pentru că toţi avem desigur şi exemple de cazuri în care online-ul a funcţionat); mult vom mai avea de studiat şi de tras în acest sens. Revenind la interviu, după câteva scurte idei despre ziua matematicii, discuţia revine spre predare:

RG: În 2010, Societatea de Științe Matematice a numit anul acela anul matematicii în Școala Românească și a avut tot felul de manifestări legate mai ales despre ce spuneam la început, schimbarea paradigmei despre matematica în școalănu se face în primul rând ca să înveți să folosești ci se face pentru o gândire corectă. Am folosit un citat din Moisil atunci: „Tot ce e gândire corectă este matematică”.

IR: Dar ați simțit că acest demers de care vorbiți, acest mesaj este primi cu ostilitate, reticență? Pentru că lumea întreabă „la ce îmi folosește mie să învăț integralele?”…

RG: Exact. Am avut discuțiile acestea chiar cu oameni care au avut o carieră apropiată de matematică, care sunt ingineri informaticieni de vârsta mea, care spun că au învățat integrale și „unde mi-au folosit?” Da, dar fără să îți dai seama, acele exerciții ți-au folosit ca să ai niște judecăți formate în creier pe care le aplici în altă parte. Exercițiul matematic, cu integrale, cu ce o fi cât de complicat, nu este făcut ca să le folosești, mai ales acum când calculator îți poate da rezultatul. Problema este raționamentul pe care îl faci. Nu poți să fii inginer de calculatoare dacă tu nu înțelegi niște noțiuni abstracte de matematică.

Inclusiv pentru copii, joaca asta cu tabla înmulțirii, pe care trebuie să o învețe pe dinafară, este utilă. Plăcerea de a se juca cu numerele este primul semn de talent spre un domeniu în care folosești matematica.

Interviul se încheie cu câteva gânduri despre organizarea olimpiadelor şcolare, şi poate fi citit în întregime la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-25289414-interviu-ziua-matematicii-profesorul-radu-gologan-matematica-nu-invata-pentru-aplicatiile-sale-pentru-modul-care-modeleaza-gandirea-nu-cred-trebuie-modifice-programa-modul-predare.htm Închei cu scuzele de rigoare pentru îndrăzneala de a mă fi inserat cu păreri personale în acest interviu, dar şi pentru mega-întârzierea de aproape un an a acestei prezentări faţă de momentul interviului. Titus Grigorovici

Discuţii pe baza unui interviu (2) – O concluzie cel puţin unilaterală

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are la ora actuală ca invitat în fiecare duminică pe dl. Lorand Balint. În prezenta a doua postare inspirată din respectivele emisiuni, mi-am propus să reiau alte câteva gânduri din acel prim episod difuzat duminică, în 11 sept. 2022 (îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu), gânduri cu care m-am confruntat lucrând la prima parte, la cea despre câte feluri de profesori există.

În prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească, deşi dintr-o parte a celor spuse în acel prim episod parca se înţelege altceva. Astfel, despre situaţia de la acel moment din învăţământ (septembrie 2022, în plină dezbatere – una foarte dură – între societate şi Ministrul Educaţiei, pe diverse teme, printre care şi introducerea dreptului Colegiilor Naţionale de a-şi organiza propriile examene separate de admitere), în acel moment Lorand Balint spunea:

LB: Partea bună este că există dezbatere, că în România se încearcă o schimbare sau măcar se discută despre o schimbare, pentru că realitatea în care trăim este că pe întreaga planetă au loc discuţii similare la o scară mai mică sau mai mare. Toată lumea trăieşte într-o nouă realitate. Lumea a devenit mult mai fluidă. Schimbările sunt la ordinea zilei. Un an nu mai seamănă cu anul următor şi nu vorbim despre efectele pandemiei sau a unei crize punctuale, ci este vorba de o realitate deja de zeci de ani de zile, iar sistemele de învăţământ din toată lumea sunt construite pentru o realitate trecută. Şi atunci, ceea ce trăim noi în România, dezbaterile şi conversaţiile sunt la ordinea zilei şi în alte ţări ale lumii. Asta este partea foarte bună, că dezbatem, că discutăm (…) şi este unul din beneficiile apartenenţei la lumea occidentală (faptul că putem să vorbim, faptul că putem să dezbatem, faptul că putem să ne contrazicem, să avem păreri diferite, …).

Într-adevăr, este foarte bine că există dezbatere şi este foarte bine că am ajuns ca societatea să aibă un cuvânt hotărâtor de spus în marile decizii ale guvernanţilor. Am văzut până la urmă cum s-au decis lucrurile, ajungându-se la demisia d-lui Sorin Cîmpeanu.

Legat de ideea existenţei unei noi realităţi cu care se confruntă sistemele de învăţământ, şi cu această idee sunt într-u totul de acord. Aş da aici şi un exemplu, unul deosebit de îndepărtat, atât temporal cât şi preocupaţional, care să ajute la înţelegerea magnitudinii acestor gânduri. Într-un “top” al celor mai tari şi influente jucării sau jocuri ale anilor ’80, difuzat de posturile National Geographic (desigur centrat pe SUA), pe locul 1 este Cubul Rubik. În prezentarea făcută apar două idei deosebit de interesante. În primul rând că firma cu care se discuta pentru producere nu a dorit la început să intre în această afacere pentru că “De ce ai produce o jucărie pe care nu o poţi rezolva???”. Cu alte cuvinte, se considera ca minimă, chiar neglijabilă, forţa copiilor de a rezolva o situaţie ce părea de nerezolvat pentru adulţii aflaţi în posturile de decizie. Realitatea este însă că tinerii, copiii chiar, au alte moduri de a ataca o situaţie nouă, moduri încă neînţelese pe deplin de lumea adultă, moduri cu care ei pot rezolva în mod neaşteptat probleme cu care se confruntă, cu o singură condiţie: să vrea. Deci problema se reduce la a găsi subiecţii care să vrea, pentru că putere au destulă (există în acest sens şi multe alte exemple; aş amini doar că pasul decisiv în descifrarea scrierilor maiaşe a fost făcut de copilul unui cercetător care lucra la acest subiect). Or, sistemul de învăţământ oficial pleacă întotdeauna de la premisa că elevii trebuie învăţaţi de către adulţi cum se face ceva nou. De obicei nu este inclusă în politica educaţională ideea că un copil ar putea găsi singur o soluţie. Aici unii – mai ales pe la noi – s-au obişnuit să scurtcircuiteze brutal sistemul natural al minţii copilului, instituind modelul de a parcurge lecţiile înainte, fie de către un membru al familiei, fie de către profesorul particular, încercând să dea astfel impresia unui copil care gândeşte. Revenind la cuburile Rubik, la ora actuală nu mai se mai poate manifesta această creativitate, pentru că orice copil atras de jucăria respectivă are posibilitatea să caute direct pe youtube, manifestându-şi şi modelându-şi forţa minţii înspre a prelua ceva gata făcut, nu înspre a genera ceva nou.

Este evident că sistemul de excelenţă în matematică practicat în şcolile româneşti este oricum foarte asemănător cu ce am scris anterior: pentru a avea o eficienţă bună în atingerea nivelului ridicat, elevii primesc de-a gata diferite şmecherii, fără ca ei de fapt să le descopere singuri. A lăsa copiii să descopere singuri reprezintă un proces de învăţare foarte lent şi total nesigur; dimpotrivă, a-i arăta o şmecherie, a-i arăta cum se face este mult mai eficient. Copilul ajunge să ştie multe într-un timp relativ scurt, dar el dezvoltă doar abilităţi de stocare şi de manevrare a celor primite. Aceşti elevi sigur nu dezvoltă abilităţi de a genera singuri elemente noi (măcar noi pentru ei, chiar dacă acestea nu sunt noi pentru alţii).

În al doilea rând (evenind la reportajul despre cubul Rubik) odată ajuns pe piaţă, după ce generase acea totală preocupare în lumea copiilor şi a tinerilor, preocupare de-a dreptul obsesivă, copiii “se jucau” tot timpul cu acest cub, găsind rezolvări şi în scurt timp ajungând desigur să concureze între ei, care îl face mai repede. S-a ajuns astfel şi la concursuri şi la consemnarea primelor recorduri. Şi – Atenţie! – totul se întâmpla fără prezenţa internetului; cu alte cuvinte, în primul rând putem fi siguri că soluţiile au apărut de undeva, dintr-o minte, posibil de fapt din mai multe minţi separate de distanţe uriaşe, iar apoi de la aceştia rezolvările se învăţau “prin viu grai”, transmise de la unul la altul (eu de pildă aşa am ajuns să rezolv partea finală, ultimul strat al cubului, preluând nişte scheme de la alţi elevi, prin ’83-’84).

Mie mi-a atras atenţia faptul – nespus în emisiune – că totul se întâmpla “underground”, adică oarecum neoficial, neinclus în procesul oficial de învăţământ. Adică, elevii învăţau matematică brută, grea, gândită iniţal de către profesorul Ernö Rubik pentru studenţi, şi o făceu singuri, fără ghidajul profesorilor. Să ne imaginăm deci profesorii cu materiile lor învechite pe de-o parte, la ore, iar pe de altă parte elevii învăţând ceva nou, intrigant, dar fascinant, venit din exteriorul şcolii, lucrând cu înverşunare în pauze, în ore sub bancă, înainte sau după ore, fiecare singur sau cu prietenii, lucrând la ceva neinclus în sistemul şcolar oficial, dar având clar efecte pozitive asupra propriei dezvoltări intelectuale (vedere şi orientare în spaţiu, educarea voinţei pentru căutarea soluţiei etc.), în ultimă instanţă asupra propriei educaţii. Pentru prima dată elevii se educau singuri, total pe lângă sistemul oficial de educaţie, iar sistemul putea doar să privească uluit la fenomenul respectiv. Desigur că au fost probabil şi minţi deschise printre profesori, care în mod spontan să fi pornit şi ei pe acest drum, atât ca rezolvitori individuali, cât şi ca profesori, încercând unele prime includeri a cubului Rubik în cadrul orelor de matematică, dar îmi permit să cred că aceştia au fost doar câţiva, fenomenul neputând fi ridicat la nivelul de masă, aşa cum avea loc în rândul elevilor (nici chiar într-o ţară ce se pretinde deschisă la nou cum sunt SUA).

Revenind pe plaiuri mioritice, nici până acum sistemul nostru şcolar nu are o strategie de a integra în vre-un fel această jucărie în cadrul preocupărilor oficiale. Oare, o astfel de includere ar trebui să vină de sus sau să fie făcută la nivel local, opţional, individual, punctual în diferite lecţii deja existente? Păi, veţi spune, de vreme ce nu este la examen, de ce să o facem? Dar – voi răspunde – oare noi doar pentru examene lucrăm? Asta este însă o altă dezbatere. Vorbind despre “ce ar fi de făcut” la nivel naţional, adică într-o ţară cu un sistem centralizat de stat, Lorand Balint dădea următorul exemplu:

LB: Mă refer acum … la ceea ce au făcut englezii în ultimii zece ani, când şi-au dat seama că realitatea s-a schimbat, că trebuie să-şi adapteze şi sistemul de educaţie de stat. Ei aveau două scenarii, unul care să le vină de la guvern, de sus, să zică “aşa faceţi!” – şi istoric aşa s-au întâmplat lucrurile – doar că şi-au dat seama că nu prea ştiu exact “cum să facă”; sunt atâtea de multe variabile, atâta de multe realităţi. Atunci decizia lor a fost să meargă pe scenariul 2 în care au dat o mare autonomie şcolilor din sistemul de stat, să se comporte aproape la fel ca şi şcolile din sistemul privat, să poată să ia decizii local, să poată să-şi asume lucruri care diferă de restul şcolilor din sistemul de stat, urmând ca după o perioadă să măsoare, să observe care sunt lucrurile care au funcţionat mai bine şi care au funcţionat mai prost, şi să tragă învăţăturile de la toate, să lase şcolile să inoveze, să caute soluţii şi apoi să le extrapoleze la nivelul sistemului.

Imediat în urma acestui exemplu, fără să ne fi prezentat clasificarea profesorilor (de care noi am discutat deja în prima parte), Lorand Balint trage următoarea concluzie:

În România, dacă este să ne uităm, dacă e să avem inovaţie, dacă este să avem transformări, cel mai probabil colegiile naţionale sunt principalul candidat. Ele sunt cele mai îndreptăţite să caute soluţii şi să inoveze (…).

Ulterior, spre finalul discuţiei, adică după prezentarea celor cinci categorii de profesori, Lorand Balint ajunge să justifice părerea exprimată mai devreme, anume că colegiile naţionale ar fi principalele puncte de unde ar apărea o evoluţie:

LB: …. La colegiile naţionale ponderea profesorilor din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea” este mult mai mare decât în restul instituţiilor şi atunci din această perspectivă este mai probabil ca de la ei să vină inovaţia şi să schimbe lucrurile. (…) Creşte probabilitatea ca (în câţiva ani) să apară un model care să poată fi replicat …. .

Un prim răspuns la această afirmaţie ar fi pe o lungime de undă a pamfletelor: Aşa, am înţeles, deci de la Colegiile Naţionale este de aşteptat să apară o soluţie pentru marea masă de elevi analfabeţi funcţionali din mediul rural! Da, bine.

Pe o lungime de undă apropiată, aşputea începe discuţia acestor citate cu o concluzie finală (din punctul meu de vedere): modelul nu ar apărea în câţiva ani, modelul deja există (!), anume la diferite facultăţi (unde, desigur că nu te pui cu autonomia universitară!) Practic, Lorand Balint sugerează aici instituirea discriminantă a unei autonomii preuniversitare, însă doar la nivelul Colegiilor Naţionale.

Să vedem câteva aspecte ale funcţionării autonomiei la nivel universitar, astfel încât să ne putem închipui cum ar funcţiona la nivel preuniversitar. De pildă, dacă doreşti să intri la o anume facultate (la care admiterea are loc pe baza unor examene concrete), atunci cel mai sigur este să iei meditaţii de la profesori din acea facultate, altfel rişti cel puţin ca să intri la “taxă”. Oricum, pentru anumite facultăţi există desigur şi culegerile aferente, pe care trebuie să le cumperi şi după care trebuie să lucrezi, pentru că acestea îţi dau “lungimea de undă” a subiectelor ce le vei primi la examenul de admitere. Iar modalitatea orelor online desigur că nu putea fi ratată în urma extinderii modelului din pandemie. Vă daţi seama ce oportunităţi financiare suplimentare ar apărea pentru cadrele didactice din diferitele colegii, dacă s-ar permite examene separate la acestea? Totul se reduce până la urmă la bani şi la forţa financiară a familiilor care “pun ochii” pe o anumită instituţie pentru nivelul următor de educaţie. Nu că acum n-ar exista fenomenul meditaţiilor în masă, dar o admitere separată la diferitele colegii ar fi ridicat fenomenul la un cu totul alt nivel. Am prezentat pentru început gândurile din acest aliniat, doar aşa ca să înţelegem cum ne situăm faţă de cele susţinute în respectiva emisiune. Pentru că de fapt, despre asta a fost vorba în primul rând în respectiva schimbare faţă de care toată lumea era indignată prin vară, atunci când dl. Cîmpeanu venise cu această propunere, pe care dorea să o impună cu orice preţ.

Permiteţi-mi să trec însă la lucruri mai serioase, anume la analiza punctului de vedere al lui Lorand Balint, anume că plecând de la premisa că la Colegiile Naţionale este desigur o “densitate” mai mare din categoriile dezirabile de profesori, atunci desigur că de acolo ar fi de aşteptat să apară şi idei novatoare bune pentru reformarea învăţământului românesc. Eu sunt doar parţial de acord cu aceasta concluzie.

Totul pleacă de la faptul că linia ghidantă a Colegiilor Naţionale este una orientată mai tot timpul spre excelenţă, spre performanţă în cele două direcţii arhicunoscute: concursurile şcolare, respectiv examenele de final de ciclu şi admiterea la formele şcolare ulterioare. Or, aceste rezultate se obţin exclusiv pe baza elevilor de vârf, cu grijă selectaţi dinainte, dar şi pe baza unei presiuni dure a materiei (cu accent pe cantitatea mare, dar şi pe nivelul ridicat, chiar foarte ridicat), presiune exercitată prin intermediul notelor, presiune ce are de obicei ca urmare faptul că cei mai mulţi elevi au nevoie de meditaţii particulare la materiile pentru care se doreşte performanţa. Or, cum cei mai mulţi profesori de la aceste instituţii lucrează în acest stil, căutând cu înverşunare nivelul foarte inalt (să ne limităm aici doar la matematică, unde cunoaştem bine tabloul), este de aşteptat ca modelele ce ar reieşi dintr-o astfel de căutare novatoare în cadrul Colegiilor Naţionale – sugerată de Lorand Balint – să fie una potrivită doar acestui segment al societăţii, anume elevilor de vârf, respectiv familiilor cu forţă financiară pentru meditaţii.

Cu mare probabilitate putem spune că modelele reformatoare ce ar reieşi din aceste instituţii de învăţământ ar fi potrivite doar şcolilor sau claselor “de elită”, croite după acelaşi model. Nu trebuie să fi “mare filozof” în cunoaşterea învăţământului românesc ca să îţi dai seama că aceste modele nu ar fi aplicabile în clasele sau în şcolile cu elevi “mai de rând”, din oraşe sau din mediul rural, aceştia rămânând din nou “pe de lângă”.

Ce-i de făcut? Păi frâiele unei posibile reforme sunt încă tot “în mâinile” Ministerului. Dar Ministerul, ca instituţie (chiar dacă erau cu totul alţi oameni atunci, pe vremuri), Ministerul ne-a adus în această situaţie în care toate forţele creative ale profesorimii sunt îndreptate doar către elevii cei mai buni ai societăţii, cel mult înspre copiii familiilor celor mai potente financiar. Mă refer aici desigur la continuarea şi la exacerbarea în anii ’90 şi mai departe a politicilor lui Ceauşescu spre excelenţă. După părerea mea, ca urmare tot Ministerul – chiar dacă cel de acum – trebuie să descâlcească această situaţie, are datoria să o facă (deşi se cam codeşte).

Mudificând puţin puctul din care privim subiectul nostru, nu se poate ca acum Ministerul să pretindă că lasă frâiele în mâinile celor mai bine poziţionaţi (cu cei mai mulţi “profesori dezirabili”), de vreme ce aceştia sunt setaţi tot pe vechile obiceiuri şi direcţii. Ministerul este cel care trebuie să reseteze cumva mai întâi tot sistemul pe nişte coordonate mai sănătoase pentru întreaga societate, nu doar pe nişte lungimi de undă favorabile numai elitelor, şi doar apoi, după ce sa dovedit că resetarea a avut loc în mod real, doar apoi Ministerul poate lăsa frâiele din mână.

Iar acest proces de lăsare a frâielor din mână trebuie făcut cinstit, accesibil pentru toată lumea, astfel încât şi dascălii implicaţi în şcolirea celorlalte categorii de elevi să aibă posibilitatea să “renoveze” zona lor de activitate. De pildă, ca să dăm doar un singur exemplu, sunt atâtea persoane (fizice sau juridice) care se implică intens în recuperarea păturilor de elevi oropsiţi de soartă, în prevenirea apariţiei analfabetismului sau a analfabetismului funcţional. De ce aceştia ar fi excluşi (pentru că este evident că profesorii din Colegiile Naţionale nu se întâlnesc cu astfel de situaţii, deci nici nu intră în raza lor de preocupare)?

Conştient fiind că această resetare nu ar putea de fapt avea loc, pentru că societatea este în mare parte calcifiată, osificată în modele vechi, unilaterale, greşite pentru mare parte a elevilor, putem să ne gândim şi la o altă abordare (nu am inventat-o eu, ci am aflat-o de la alţii). De pildă în Norvegia profesorii şi şcolile sunt obligate să treacă la un sistem de predare “prin descoperire”. Adică profesorii nu mai au voie să predea prin “prelegere”, prin prezentare a itemilor.

O formă mai simplistă de căutare a soluţiilor, similară cu cea britanică prezentată de Lorand Balint a avut loc în jurul lui 1980 în Suedia, deci soluţii există, doar să se dorească găsirea lor, doar că interpretarea acestor modele să se facă cinstit, nu deformator, ca în cazul de faţă.

Vreau să spun că Ministerul ar trebui să genereze un cadru de referinţă a învăţământului mai sănătos, în conformitate cu pretenţiile şi cu cerinţele unui învăţământ modern echitabil pentru toţi cetăţenii săi, un model similar cu cele folosite la nivel mondial, şi doar apoi să dea libertatea profesorilor şi şcolilor să caute soluţii în acest cadru. Deşi, şi aici am masive rezerve despre ce modele ar găsi unii sau alţii (văd destule exemple negative în jurul meu).

Atâta vreme cât suntem ancoraţi în obiceiurile şi în formele trecutului, atâta vreme cât inclusiv profesorii de la care s-ar aştepta acţiuni reformatoare pozitive sunt selectaţi tot pe baza criteriilor trecutului, sigur nu se vor putea găsi forme noi de şcoală şi de şcolire care să fie eliberate de tarele trecutului. Revenind la emisiunea analizată, spre final mai are loc o bucăţică de “discuţie discutabilă”:

CS: E important să ai o elită consolidată sau o masă mare de elevi absolvenţi în România care ştiu să lucreze la nivel mediu?

LB: Mie-mi place “şi-ul” (şi o să mai apară în discuţiile noastre); eu mă feresc de “sau”. Eu cred că poţi să ai şi o elită şi o masă mare de elevi care să fie oameni foarte bine educaţi, cu un viitor foarte bun. Dar este loc de “şi”, adică şi de o elită şi România are nevoie de o elită, de oameni educaţi, de oameni care să împingă lucrurile, de oameni care să fie pasionaţi, să aibă un mediu în care să se dezvolte.

Deci, d-lui Lorand Balint îi place “şi-ul”, dar iată ce ne transmite dânsul de fapt în ultima frază a emisiunii: ne spune că trebuie să ne preocupăm atât de elită (şi GATA!).

Simţiţi că ceva este greşit la fraza de mai sus? Poate corect ar fi fost să scriu: trebuie să ne preocupăm atât de elită, cât şi de ceilalţi (alegeţi dvs. eventual o altă formă de frază care să vi se potrivească, dar să aibă şi sens). Dar, din păcate, în argumentaţia din fraza finală a lui Lorand Balint lipseşte cu desăvârşire referirea la marea masă a absolvenţilor care să ştie să lucreze onorabil la un nivel mediu (apare doar în penultima frază). Poate că dânsul a vrut să o zică, poate că a subânţeles-o, poate s-a luat cu vorba, vrând să spună cât mai multe (vorbeşte foarte repede şi foarte mult), dar de spus n-a spus-o în final; nici măcar un cuvinţel! Chiar dacă susţine că este un adept al lui “şi” în loc de “sau”, se pare că Lorand Balint cam înclină spre zona elitelor (la fel ca mai toate persoanele ajunse în poziţii decizionale în ultimii 30-40 de ani în România).

Îmi pare rău, dar în urma acestei ultime pledoarii din finalul emisiunii respective, din partea mea dl. Lorand Balint primeşte doar un foarte apăsat semn cu pumnul strâns şi cu degetul mare în jos! Pentru mine persoanele care nu se gândesc şi la marea masă a elevilor, la corpul principal din “Clopotul lui Gauss”, pentru mine aceştia sigur nu contează în a emite păreri despre cum ar trebui să arate viitorul şcolii româneşti. Este absolut natural să ne procupăm de elite (să dăm Cezarului ce-i a Cezarului), o merită din plin, dar suntem obligaţi să ne preocupăm cel puţin la fel de mult şi de ceilalţi. Iar, ţinând cont că principalul curent de preocupare a fost în ultimii 30-40 de ani doar înspre elite, înseamnă că ar fi vremea să lăsăm ceva timp şi preocupării pentru restul populaţiei şcolare.

De fiecare dată când se naşte o discuţie despre ce ar trebui să facem cu restul populaţiei şcolare (de pildă pe baza procentelor răvăşitoare de analfabetism funcţional dovedite de Studiul PISA), repede sare cineva în sus “dar elitele noastre?”. Cu elitele trebuie să se lucreze mai departe conform nevoilor lor (iar despre acestea nu-mi fac griji, sigur preocuparea va continua pe lina deja cunoscută, şi este ok aşa), dar marea discuţie este despre ceilalţi, despre cei ce nu pot face parte din rândul elitelor. Despre aceştia discuţia trebuie lăsată să aibă loc, trebuie lăsată să se dezvolte, ca apoi să ajungă să se genereze soluţii, iar pentru asta trebuie încurajată şi mai ales statutată la nivel naţional oficial.

Ca o părere personală, din păcate se pare că procesul de “a lăsa frâiele din mâini” din partea Ministerului a cam pornit, fără să fie clar anunţat şi nici bine organizat. Iar mişcarea respectivă cu intenţia de a da Colegiilor Naţionale dreptul să-şi organizeze propriile examene de admitere făcea parte din acest proces, ca un fel de start furat (cum ar fi la Formula 1 înaintea unui restart, dacă nu s-ar anunţa decât unii şoferi că Safetycar-ul se va retrage). CTG

P.S. După cum am scris, în prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească. Da, pe mine dânsul m-a făcut să gândesc, dar sigur nu în direcţia în care şi-a dorit-o. Dar, lăsaţi-mă pe mine la o parte. Să încercăm să ne imaginăm cum ar ajunge să gândească marea masă a elevilor acestei ţări într-un viitor organizat după modelul previzionat conform acestui interviu? Păi, simplu: la fel cum gândesc şi marea masă a actualilor adulţi (foştii elevi de ieri), deoarece condiţiile de formare ar fi identice. Exact la fel, atât cu bune, cât şi cu rele, dar sigur cu nimic în plus, cu nimic mai presus.

P.P.S. Mai recent, într-o emisiune din 13 noiembrie, Lorand Balint se arăta mult mai raţional. Astfel, în emisiunea în care discutau fenomenul doritorilor de carnet de conducere auto, care sunt însă analfabeţi, dânsul spunea ceva de genul: trebuie să înţelegem realitatea în care trăim şi să ne-o asumăm, sugerând găsirea unor soluţii Out of the box. Într-adevăr, cu aşa ceva sunt într-u totul de acord. Dar, oare când va începe şi în organizarea învăţământului românesc, în particular a învăţământului matematic, un proces de găsire a unor soluţii Out of the box? Haideţi să luăm această recomandare şi să o aplicăm şi asupra situaţiei matematicii şcolare din România. Cât mai mulţi dintre noi! (cu scuzele de rigoare pentru critica efervescentă, dar şi cu mulţumirile corespunzătoare pentru gândurile exprimate de dl. Lorand Balint în emisiunile respective)

Discuţii pe baza unui interviu (1) – Tu, ce fel de profesor eşti? (o clasificare interesantă a profesorilor)

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are invitat pe dl. Lorand Balint. Acesta este un om care crede cu putere în puterea educaţiei, ca să-l citez pe Cătălin Striblea din prezentarea făcută la început. Seria Out of the box a pornit cu câteva discuţii despre educaţie, după care s-a distanţat de acest subiect (în episodul al doilea au vorbit despre motivele din cauza cărora elevii îşi scot scutire la Educaţie fizică).

În prezenta primă postare redactată cu mare întârziere faţă de difuzarea respectivei emisiuni, mi-am propus să reiau câteva gânduri din primul episod, gânduri la care tot cuget de atunci (episodul a fost difuzat duminică, în 11 sept. 2022; îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu).

CS: Ştiu că tu ai un tip de studiu făcut prin munca ta, despre profesorii din România, că sunt mai multe categorii de profesori. Poţi să ne spui despre asta?

LB: În momentul în care am avut de făcut o serie de proiecte despre profesorii din România am petrecut foarte mult timp să-i înţelegem, pentru că nu există acest lucru “Profesorul român”. Avem profesori diferiţi şi tipologii diferite şi sunt implicări diferite. Am identificat cinci tipologii diferite de profesori.

1) Prima categorie sunt profesorii blazaţi, sunt cei care au ieşit deja la pensie, chiar dacă au 25 de ani, 30 de ani sau 60 de ani, vârsta este mai puţin importantă; pentru ei totul e greşit, orice s-ar face bifează şi se duc, eventual intră la oră; trece ora, au rezolvat-o, vine salariul, îşi văd mai departe ….. . Ăsta este un segment care de multe ori blochează iniţiativele, pentru că “nimic nu-i bun, nimic nu se poate face, totul e greşit, sistemul e greşit, oamenii sunt greşiţi, copiii sunt greşiţi”; totul e greşit pentru ei.

2) Al doilea segment sunt profesorii de şcoală veche. Sunt oameni foarte faini, foarte implicaţi în educaţie, care cred în educaţie, dar care sunt ancoraţi într-o lume un pic depăşită, adică au metodele care le aveau în trecut. Principala lor plângere este că elevul din ziua de azi nu mai este “cum era odată” şi atunci au dificultăţi în a se înţelege cu ei, deşi sunt implicaţi, deşi sunt profesori din pasiune.

3) Al treilea segment – profesorii “tip-top” le-am zis noi, sunt cei care sunt şi implicaţi şi fac lucrurile, caută pe internet, interacţionează cu copiii, încearcă să-i înţeleagă, încearcă să-şi dea seama care sunt metodele noi de predare şi de interacţiune.

4) Al patrulea segment ar fi segmentul profesorilor “băi, dac-aş avea!”: “dac-aş avea şi eu 15 copii la sala de clasa în loc de 30, dacă aş avea şi io un proiector şi-un lap-top şi internet care să funcţioneze permanent, dac-aş avea nişte resurse, aş faaace. Practic sunt oameni care poate, la un moment dat au fost “tip-top”, au avut energia, dar după aia a venit o inspecţie, a venit poate reacţii de la nişte părinţi care n-au fost încântaţi că au încercat lucruri un pic diferite, şi au început să fie mai “dac-aş avea, dac-ar fi, dacă …”.

5) Ultimul segment (şi cel mai mare segment) sunt profesorii: “dacă mi se spune, asta voi face”. Acesta este cea mai mare parte, da! Sunt cadrele didactica care sunt cadre didactice pentru că acolo i-a adus viaţa. Adică nu sunt neapărat implicate, neapărat să-şi dorească să fie profesori, dar sunt acolo. Iar ei respectă: dacă programa zice, dacă vine inspectorul şi zice “asta trebuie să faceţi”, ei o să facă ceea ce li se spune, disciplinat; inspecţia a ieşit bine, şamd .

Deci să le recapitulăm: (1) profesorul blazat, (2) profesorul de şcoală veche, (3) profesorul “tip-top”, (4) profesorul “dac-aş avea” şi (5) profesorul “băi, dacă mi se spune fac”.

Mie mi-a plăcut foarte mult această idee, a clasificării atitudinii şi comportamentului profesional al breslei noastre. M-am gândit foarte mult de la acea emisiune la faptul că – uite – şi altcineva a observat că ne comportăm diferit în viaţa de zi cu zi în şcoală. Chiar şi categoriile depistate îmi plac ca idee. Pe unele le-am observat şi eu, pe altele poate creierul meu a refuzat “să le vadă”; dacă Lorand Balint şi colegii săi au lucrat cu grupuri mai mari de dascăli, atunci însă nu le-au mai putut ocoli cu privirea.

Pe de altă parte, într-o şcoală alternativă deosebit de complexă cum este sistemul Waldorf, eu am avut ocazia să mai observ şi alte “patern-uri” (modele) comportamentale, care ţin de felul cum se oamenii comportă puşi brusc şi nepregătiţi suficient într-o comunitate construită liber şi neierarhic. Unele se regăsesc şi la Lorand Balint, altele apar în plus în aceste condiţii noi.

Da, iar acum vine marea întrebare: dvs., stimaţi cititori, din care categorie faceţi parte? Se poate să alegeţi o categorie clară, sau se prea poate să fiţi un mix între două categorii de mai sus, poate o categorie dominantă şi una secundară. Dacă ar fi să mă încadrez forţat în categoriile mai sus prezentate, eu personal m-aş vedea ca un mix între categoriile 2 şi 3, undeva între profesorul de şcoală veche şi profesorul tip-top; cel puţin în parte, pentru că mă văd totuşi şi având diferenţe majore faţă de descrierile tipologice făcute în respectiva emisiune (poate ar mai trebui să studiez pe tema acestora).

Revenind la categoriile de mai sus, nu mă pot abţine să nu observ relativa dezordine în care acestea ne-au fost prezentate, atât felul în care ne-a fost prezentată fiecare individual (eu m-am străduit să redau discursul cât mai fidel), cât şi ordinea acestora. Legat de ordine, singurul lucru la care mă duce mintea ar fi că acestea ne-ar fi fost prezentate în ordine crescătoare (dată fiind precizarea că ultima categorie este cea mai consistentă numeric).

Tot în această emisiune Lorand Balint aduce în discuţie ideea că o parte dintre profesori ar putea fi folosită ca bază reformatoare a învăţământului, adică într-o reformă “de jos în sus”, în pofida existenţei celorlalţi care acţionează oarecum ca o piatră de moară legată de “gâtul învăţământului românesc” (comparaţia îmi aparţine). Astfel dânsul evidenţiază ca aducătoare de speranţă reformatoare profesorii din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea”. O astfel de ordonare, pornind de la cei mai demni de încredere la cei mai indezirabili ar fi mai interesantă pentru un studiu despre ce-i de făcut cu şcoala românească. Desigur că aici ar fi importantă şi proporţia în care a fost regăsită fiecare categorie în studiile efectuate.

Adăugând acestei structuri o a treia axă, anume o axă a dezirabilităţii – care categorie ar fi mai de dorit – putem simţi în ordonarea lui Lorand Balint o structură asemănătoare cu Clopotul lui Gauss, cu probabil cea mai deschisă spre acţiuni novatoare în centru şi cele mai retrograde la extreme (retrograde din punct de vedere a implicării în starea calitativă a învăţământui).

Revenind la “poziţionarea” mea în sistemul acestor cinci categorii, eu văd şi o altă nuanţă, anume că categoria “tip-top” sunt de multe ori persoane ce se aruncă cu mare avânt în metode noi, fără ca neapărat să şi aibă certitudinea solidităţii acestor acţiuni, lăudându-se însă masiv cât sunt ei de novatori. De astfel de tendinţe eu mă distanţez. Ţin minte exemplele ce le primeam în mass-media prin aprilie-mai 2020 despre profesorii care aveau deja pusă la punct o formă de predare online cu elevii la diferite licee din ţară (chiar dinaintea pandemiei), profesori care ne erau prezentaţi drept exemple de bună practică. Realitatea ulterioară a arătat însă că acest model de predare, extins la scară generală şi pe durată, s-a dovedit extrem de dăunător la anumite vârste şi peste un anumit prag de folosire. Am dat acest exemplu ca să înţelegem că “nu tot ce zboară se şi mănâncă”.

Am şi un exemplu opus. Doar pentru că pedagogia Waldorf este relativ nouă în sistemul românesc de învăţământ, mulţi aveau tendinţa să spună despre mine şi colegii mei că “folosim metode noi”. Poate erau “noi” pentru ei, inclusiv pentru ei inspectorii, doar că eu regăseam multe metode preluate din sistemul Waldorf din vest şi în manualele sau în culegerile româneşti din anii ’60-’70. A fost o vreme când mă străduiam să le explic că eu nu folosesc metode “noi” ci că folosesc metode “săntoase”, dar după câţiva ani m-am săturat şi m-am retras din astfel de discuţii (din păcate însă, în România încă nu a avut loc o dezbatere reală despre ce ar însemna – de pildă la matematică – o predare sănătoasă).

Închei cu un exemplu despre prima categorie, respectiv despre ultima, adică despre cele două oarecum cele mai retrograde din punct de vedere al ideii de auto-reformare a activităţii noastre (aşadar, două categorii într-un exemplu). Despre auto-reformare vom vorbi mai multe în a doua parte a acestei discuţii.

Fiind oarecum rupt de detaliile din programa gimnazială (dinainte de 2017), în urmă cu câţiva ani am întrebat un coleg de la o altă şcoală dacă se face în clasa a 6-a reducerea termenilor opuşi într-o sumă de numere. Răspunsul a fost că nu se fac, pentru că nu sunt în manuale, în programă etc., că se fac doar în clasa a 7-a. Pe mine m-a mirat mult, pentru că acest pas matematic mi se pare unul de bun simţ, accesibil gândirii copilului din acel moment, uşor de înţeles şi aducător de multă bucurie în viaţa matematică a elevilor (este aşa o bucurie mare în clasă atunci când elevii văd cum o astfel de sumă de multe numere pozitive şi negative se “auto-anulează” măcar parţial, scurtându-se fără nici cel mai mic efort calculaţionar). Făcându-se doar în clasa a 7-a la calcule cu litere sau cu numere iraţionale există clar pericolul ca elevii să priceapă că doar acolo se pot face reduceri de termeni opuşi. Ţin minte cum m-a şocat starea de completă platitudine ce se simţea din acel răspuns. Înţeleg acum că ce am simţit atunci a fost un mix (năucitor pentru mine) între profesorul “blazat” şi profesorul “dacă mi se spune fac”. Apropos de starea de “deja pensionat” mental, despre care vorbea Lorand Balint la început, menţionez că acest coleg acum chiar se pensionează de-adevăratelea. CTG

P.S. Am redactat acest articol cu trei săptămâni în urmă şi de atunci observ aproape involuntar atât diferiţi colegi, care în ce categorie s-ar integra prin atitudinea sa, cât şi pe mine cum manifest în diferite situaţii una sau alta dintre apucăturile celor câteva categorii ale lui Lorand Balint. Nu ştiu dacă aceasta ar fi cea mai bună clasificare, dar ideea acestei clasificări se poate dovedi deosebit de bună în studierea fenomenului învăţământului, mai ales în vederea luării deciziilor realist cele mai potrivite pentru viitor (desigur cu conexiune înspre toate categoriile implicate în procesul şcolar, atât cele implicate direct, despre care am vorbit deja în vacanţă, cât şi despre cele de care încă n-am apucat, dar de-abia aştept să o fac, cu toate calităţile fiecăreia, dar mai ales şi cu toate tarele, deficienţele şi lipsurile fiecăreia).

7 ani de pentagonia.ro – cine-ar fi crezut!?

Îmi vine greu să mă laud, dar chiar sunt surprins. Iniţial am gândit demersul de a susţine un blog despre arta predării matematicii pentru 2-3 ani (pentru atâta aveam idei la început). Exista în subconştient şi visul de a reuşi să public 5 ani (suna frumos: pentagonia – 5 ani). Atâta rezistasem la precedenta încercare, cea cu Caietele de matematică P3NT4GON1A (1998 – 2002). Fiecare an trecut peste acest prag de cinci reprezintă pentru mine o mare realizare în sine. În ultimii doi ani, pe care putem să-i privim ca un bonus, a scăzut frecvenţa postărilor, dar în schimb a crescut considerabil lungimea textelor publicate.

La acest moment aniversar aş dori să evoc un aspect interesant din munca la articolele scrise. Se întâmplă uneori să mă apuc de lucru, încercând să explic un fenomen pe care-l simt eu sau pe care-l găsesc evocat în diferite surse, dar neclar lămurit. Încep să scriu articolul, străduindu-mă să explic ce-ar trebui înţeles acolo, şi din senin îmi apare o idee lămuritoare, sub forma unei expresii ce clarifică foarte bine totul. Restul este apoi doar muncă de detaliu şi de folosire la maxim a noii expresii proaspăt generate (pentru a se fixa cât mai bine în conştienţa cititorului, dar şi pentru a extrage maximum din aceasta).

Ca exemplu cel mai recent, vara asta am avut din nou un moment de inspiraţie în acest sens, generând noţiunea de “Dilemă cognitivă“, ce mi s-a părut mult mai potrivită în folosirea de zi cu zi la clasă, decât poate prea durul “Conflict cognitiv”. Acesta este doar ultimul dintr-un şir ciudat de momente inspiraţionale apărute “din senin” în procesul de explicare a diferitelor aspecte pe care iniţial doar le intuiesc, doar “le simt” mai mult sau mai puţin conştient (dar pe care cu mare avânt mă apuc să le explic colegilor, pentru că simt că trebuie să o fac).

Prima dată s-a întâmplat acest fenomen pe la începuturi, în momentul când am realizat că “Gândirea aritmetică” este profund diferită faţă de “gândirea algebrică“. Apoi am avut un moment interesant când am generat noţiunea de “Matematică naivă“. Altă dată, prin toamna lui 2017, răsfoiam o carte veche a lui Eugen Rusu şi eram entuziasmat de nuanţele nou înţelese la această lectură, când brusc s-a cristalizat ideea că eu folosesc de fapt “Criteriul psihologic al intuiţiei” în selectarea teoremelor pe care le selectam spre demonstrare la clasă. Cu altă ocazie, încercând să explic ce lecţii de geometrie se potrivesc căror elevi, am început să scriu din senin despre “Geometria aritmetică” (geometria de calcul, accesibilă elevilor slabi în opoziţie cu “geometria demonstrativă“, căreia îi fac faţă cu succes doar elevii mai buni). “Predarea prin descoperire” este o altă denumire generată personal, deşi sunt convins că ar trebui să fie de găsit pe undeva în marea şi larga bibliografie pedagogică.

Deşi nu-mi aparţine, sunt foarte bucuros de atenţionarea la adresa comunităţii matematice şcolare româneşti a fenomenului denumit generic drept “Legea lui Campbell” (oare când vom vedea şi efecte în acest sens, în politica educaţională naţională?). La fel de tare m-am bucurat şi de orice alte elemente adusă în faţa dvs. din diferite colţuri ale lumii sau din diferite epoci, elemente ce ar putea contribui la îmbunătăţirea artei predării matematicii.

Dar, pe departe cea mai mare bucurie în uurma acestor articole o reprezintă propria evoluţie ce are loc cu aproape fiecare articol metodico-didactic nou scris. Străduindu-mă la fiecare astfel de eseu să explic fenomenul respectiv cât mai bine, cât mai clar, din toate punctele de vedere, în final mă asigură că eu le-am înţeles foarte bine. Este ca şi cum aş da de fiecare dată un examen în faţa dvs., a cititorilor în mare parte necunoscuţi, mulţi deosebit de pretenţioşi, poate unii în disacord cu mine, aşa încât trebuie din start să fiu cât mai convingător, să aduc argumente cât mai solide, pentru a fi sigur că – odată publicat – trec “examenul”.

În acest sens – din tot acest proces de desluşire a fineţurilor artei predării matematicii – este evident că cel mai câştigat sunt eu, iar acesta este probabil unul din motoarele principale ale continuării blogului pentagonia.ro. Eu muncesc masiv la aceste articole, dar tot eu sunt şi foarte câştigat în final, în sens profesional. Satisfacţia trăită în urma finalizării unui astfel de articol este deosebită, iar asta îmi dă o energie ce mă încarcă puternic în viaţa profesională (fără să mai discut despre calitatea muncii mele, care tot creşte).

Totuşi, sper că măcar frânturi din tot ce scriu eu aici să vă ajute şi pe dvs., cel puţin din când în când. Oricum, stimaţi cititori, ţin să vă mulţumesc din suflet pentru timpul acordat prin lecturarea acestor esuri. Dvs. reprezentaţi desigur celălalt motiv principal al demersului acestui blog. Cu tot respectul, din Pentagonia, al dvs. Constantin Titus Grigorovici

Conflictul cognitiv (dilema cognitivă) – O paradigmă diferită în predarea matematicii

În primăvară am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, preluat de pe blogul CEAE. Scurt apoi am reuşit să postez o analiză a acestuia, în două părţi; dacă aţi ratat momentul, iată aici link-urile: http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-1/ şi respectiv http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-2/ .

Chiar dacă aparent, cel puţin pentru unii, părea că a fost un demers fără sens, gen “teoria chibritului”, de fapt în această analiză intenţionat am “despicat firul în patru” pe subiectul respectiv, studiind în detaliu fiecare gând exprimat acolo. O singură afirmaţie am refuzat să o discut la momentul respectiv, aşteptând confirmări şi eventuale lămuriri din partea autorilor. Da, şi bine am făcut, pentru că pe lângă confirmarea direcţiei generale pe care o intuiam, am primit şi lămuriri şi argumente suplimentare edificatoare. Dar despre ce este vorba?

Spre finalul părţii a doua a acelei analize, mă întrebam mai mult retoric, oare ce a vrut să spună autorul când explica astfel: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

După cum am intuit, lămurirea acestui subiect ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii, o schimbare despre care încă nu m-am simţit până acum în stare a vorbi la un nivel acceptabil (am atins subiectul, mai exact m-am apropiat de acesta de câteva ori, însă doar punctual şi superficial, prin câteva exemple izolate, în cu totul alte contexte). Acum cred că a venit vremea să “iau şi acest taur de coarne”. Aşadar, să pornim!

*

Una din acuzele dese la adresa matematicii (ca materie şcolară, aşadar la adresa predării matematicii) este faptul că orele de matematică nu sunt atractive. Mulţi alătură această acuză unei alteia, anume că matematica este mult prea grea. Ca urmare, unii încearcă să vină cu strădania de corectare a primei acuze, printr-o formă de remediere în sensul celei de a doua, coborând nivelul matematicii într-o zonă de aplicaţii banale. Şi de unde le iau pe acestea? Păi, “din lumea reală”, având în acest sens două tipuri de impulsuri.

Pe de-o parte ar fi impulsul de a imita subiectele date la studiile PISA (acolo este însă verificată capacitatea de modelare, pe când în problemele imitative din zona gimnazială românească acestea oferă deja modelul). Pe de altă parte, mai există şi nemulţumirea că elevii nu ştiu aplica în viaţa de zi cu zi toată învăţătura matematică primită la şcoală “cu tolceriu” (adică turnată cu pâlnia în căpşoarele lor). Această deficienţă a fost exprimată într-un eseu foarte clar de către Dl. Sorin Borodi (în urmă cu câţiva ani). Aşadar – concluzionează unii – ar trebui să venim în întâmpinarea elevilor cu o linie de aplicaţii banale “din viaţa de zi cu zi”.

Aici însă, profesorii obişnuiţi cu matematica “înaltă” (adică prea grea şi prea riguroasă – vezi în acest sens principalii vectori de schimbare din timpul reformei uitate” din 1980), aceştia au mari dificultăţi în a simţi cât să coboare pentru a accesibiliza materia; de obicei coboară mult prea jos, până la un nivel banal, care şi acesta acţionează plictisitor asupra marii majorităţi a elevilor (alteori o fac într-un fel lipsit total de sens realist; amintesc astfel de tortul în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos, din urmă cu câţiva ani; cum a putut gândi cineva aşa o chestie?).

Într-un astfel de demers am putea spune că matematica acceptă să coboară mult prea înjositor în lumea elevilor, în loc să-i atragă pe aceştia înspre lumea matematică, acolo unde ea – matematica – are cele mai frumoase lucruri de oferit. Practic, noi profesorii ne mulţumim să ne adresăm elevilor în demersul matematic doar pe cele două extreme posibile: fie prin intermediul matematicii seci, riguroase, de nivel prea înalt, cu care suntem obişnuiţi “de o viaţă” (adică din anii ’80 când a fost introdusă agresiv), fie “ne coborâm la nivelul lor”, înţelegând prin asta să îi plictisim cu evidenţe “fără sare şi piper”, cu elemente care nu pot trezi entuziasmul pentru activitatea matematicii (mă refer aici desigur la marea majoritate a elevilor de nivel mediu).

Tehnic, nici una, nici cealaltă dintre variante nu este sortită succesului dacă se omite un aspect important, despre care cei mai mulţi nici nu se gândesc. Către elevi matematica trebuie să vină cu elementele ei cele mai atractive, cele mai fascinante, cu cele mai frumoase aspecte cu care îi poate “vrăji” profesorul pe elevi în acel moment.

Revenind la cele două variante de abordare exprimate mai sus, trebuie să observăm aici un aspect absolut fascinant: ambele se adresează doar extremelor din Clopotul lui Gauss. Pe când predarea teoreticistă riguroasă şi de înalt nivel al aplicaţiilor este de înţeles doar de către cei mai buni elevi (singurii care se pot ridica la acest nivel), elementele de exemplificare banale pot aduce oarece satisfacţie doar elevilor foarte slabi (bucuroşi că în sfârşit înţeleg şi ei ceva). Şi iarăşi ajungem la Profesorul Hollinger: dar de elevul mijlociu când ne ocupăm? Cu alte cuvinte, cum ar trebui să arate predarea matematicii şcolare pentru elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss? (să-i aproximăm la cca 80% din populaţia şcolară generală)

Aici cred că se adresează “cerinţa” despre care vorbesc din articolul respectiv de la CEAE, ce ne apare acolo sub forma acelei acuze: Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Acum începem să intuim câte puţin sensul întrebărilor ce le-am sugerat atunci: Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

*

Revenind la subiectul nostru, noţiunea de conflict cognitiv vine din zona de psihologie pedagogică. Vă las dvs., stimaţi cititori, bucuria de a căuta net-ul in lung şi în lat despre acest subiect (de pildă, profesorii de fizică il folosesc foarte mult). În eseul de faţă eu îmi permit să vă prezint gândurile mele personale, desigur cu accent pe predarea matematicii, aşa cum intuiesc eu acest subiect. Experienţele mele personale şi preocupările de atragere a elevilor obişnuiţi înspre matematică, cât şi multele cursuri cu docenţi din străinătate, dar şi bogata literatură studiată despre predarea matematicii, toate acestea îmi dau curajul să mă apuc de acest subiect, deşi tehnic nu l-am întâlnit niciunde până acum. Multe se adună însă “ca un buchet” în jurul acestei idei. Dau un singur exemplu aici: impresionant şi intrigant mi-a răspuns colegul Kjell Sammuelson din Suedia, în 2020 când i-am trimis poza cu lampa icosaedrică descoperită, rezumând extrem de bine chiar subiectul nostru de acum (vedeţi al doilea abajur din postarea http://pentagonia.ro/matematica-la-vreme-de-corona-virus-2-abajur-icosaedru-nou/ ; primul este destul de cunoscut în sistemul şcolar Waldorf)

Aşadar, permiteţi-mi să încep. Din câte exprimă pe scurt denumirea, conflictul cognitiv aduce o contradicţie între elementele ce-i sunt cunoscute cuiva într-un moment al procesului de cunoaştere. Dacă profesorul introduce o informaţie nouă, o metodă nouă pe baza unei contradicţii în înţelegere şi reuşeşte să-l implice pe elev în acţiunea de lămurire, atunci el de fapt stârneşte curiozitatea elevului. Acesta va ieşi din “văgăuna lui de indiferenţă”, motivat de o curiozitate pe care şi-o doreşte lămurită; situaţia problematică îi devine acum una personală şi se va implica, se va lupta să şi-o lămurească. Pus în faţa unui conflict cognitiv (practic predare prin problematizare!), cresc vertiginos şansele ca elevul să iasă din starea sa de indiferenţă, de “platitudine” emoţional-intelectuală, şi să se implice în desluşirea “misterului” apărut. Prezentând noile elemente ale unei lecţii printr-un conflict cognitiv, profesorul are şanse crescute să-i stimuleze pe elevi în a se implica în înţelegerea acesteia.

Dimpotrivă, lipsa unui conflict cognitiv în prezentarea unor itemi noi lasă elevul în acea stare cunoscută de neimplicare emoţională, de “participare plată” la lecţie, de plictiseală şi indiferenţă (“o nouă lecţie pe care profu’ o turuie, iar noi va trebui să o tocim; pentru moment singura mea datorie este cel mult să copiez lecţia”). Pe durată, acest tip de predare oboseşte (chiar adoarme la propriu), aduce ură faţă de materia respectivă şi, în predarea matematicii, în nici un caz nu produce dezvoltarea gândirii; dimpotrivă!

Probabil că nu se poate preda orice lecţie pe baza generării unui conflict cognitiv (acesta este un alt subiect de discuţie), dar asta nu este o scuză să nu folosim defel această abordare. Pigmentarea procesului de predare de câte ori este posibil cu momente generatoare de conflict cognitiv (chiar de diferite nivele, mai mari sau mai mici) înviorează puternic ora de matematică. Elevii încep să povestească plini de apreciere (în urma acelei ore), iar părinţii nu mai înţeleg nimic: brusc, matematica nu mai este acea materie “bau-bau”. Chiar şi elevii foarte slabi povestesc acasă în spectru pozitiv despre “profu’ ăsta de mate”, pentru că starea de entuziasm despre subiectele discutate se generalizează în clasă, fiind simţită de către toţi elevii, chiar şi de către cei slabi (care deseori totuşi nu pot participa direct la dezbatere).

Pe baza inserării în lecţii a unor momente de conflict cognitiv, predarea şi învăţarea matematicii capătă accente de roman, de film, devine pe alocuri chiar palpitantă; elevii se bucură când vine ora de mate. Ţin minte exprimarea unui copilaş de a 5-a prin primăvară, la fracţiile zecimale periodice: “eu nu mai suport, aşa-i de palpitant; vreau să aflu odată ce-i aici!”. Cred că atunci mi-a reuşit bine generarea şi gestionarea unui conflict cognitiv de succes (voi reveni în curând cu acest exemplu).

În matematică, o predare ce implică inserarea anumitor momente de conflict cognitiv generează o atitudine de o oarecare stare de secret; aparent, profesorul “nu joacă cu cărţile pe faţă”, cel puţin nu total. Or, este cunoscut că secretele stârnesc dorinţa de a le afla. La fel şi în predarea matematicii: într-o atitudine ceva mai enigmatică de predare a lecţiei, prezentarea materiei împachetată în ciudate secrete stârneşte dorinţa de cunoaştere a elevilor.

Părerea mea este că în matematică rareori ajungem cu adevărat la un nivel ce poate fi clasificat drept “conflict” cognitiv. Această expresie ar fi potrivită a se folosi atunci când apare cu adevărat un conflict, adică atunci când există două poziţii, două păreri sau două dorinţe opuse. Conflictul apare de obicei în ştiinţe, legat de diferitele explicaţii ce pot fi date unui anumit fenomen; da, acolo putem vorbi cu adevărat de un conflict.

În matematică, “conflictul cognitiv” nu poate apărea ca atare (ca un conflict între două puncte de vedere opuse) decât absolut excepţional. În matematică singurul conflict posibil este între matematician cercetător şi subiectul încă nelămurit, nedemonstrat, cu care acesta se ocupă. În mod similar, în predarea matematicii singura situaţie conflictuală poate fi evidenţiată între elevul care încă nu înţelege şi situaţia enigmatică ce îi este adusă de către profesor. Este greu însă să extrapolezi aici situaţia la un “conflict” între două persoane. Mai degrabă, în predarea matematicii eu aş folosi expresia “Dilemă cognitivă“. Din câte înţeleg eu, simt că ar fi vorba de obicei doar despre o dilemă cognitivă, pe care eu ca dascăl o aduc în faţa elevilor şi o folosesc ca să le stârnesc curiozitatea şi să le captez atenţia.

În acest context, ideea apare de pildă pe net astfel: Predarea matematicii … lansând elevilor o întrebare problemă provocatoare (“conflict cognitiv”), (numele lucrării şi autorii la adresa https://www.academia.edu/36969914/Lucrare_mate_Conversie ).

Aplicată pe durată, această tehnică stârneşte dorinţa de cunoaştere la elevi. Iar asta face parte clar din “Arta predării matematicii“. Zonele de materie în care îmi reuşeşte să aduc la fiecare lecţie măcar o dilemă cognitivă, ca profesor, pe acestea le consider cele mai reuşite; elevii participă cu tot avântul la generarea lecţiei şi “toată lumea e fericită”. Nu trebuie să fie de fiecare dată dileme foarte mari; pot fi elemente destul de banale, dar aduse cu dibăcie, fără a le da elevilor totul “mură-n gură” (în acest context, ca un exemplu extrem de banal, puteţi relua începutul articolului despre divizorii unui număr, din urmă cu aproape 5 ani, la adresa http://pentagonia.ro/divizorii-unui-numar-prezentarea-unei-ore-deschise/ ).

Tehnica este foarte simplă: trebuie doar să reuşeşti să stârneşti curiozitatea elevilor. Despre asta este vorba de fapt, despre un repertoriu cât mai vast (din partea profesorului) prin care să se stârnească curiozitatea elevilor (a cât mai multora, că la toată clasă oricum nu cred că se prea poate). Iar curiozitatea elevilor se stârneşte printr-o dilemă cognitivă accesibilă, care le captează atenţia (elevii trebuie să înţeleagă situaţia enigmatică, ca apoi să-şi dorească a o desluşi). Evident că o dilemă cognitivă prea profundă, prea grea, nu rezolvă obiectivul atragerii elevilor, fiind inaccesibilă majorităţii acestora. Dilema cognitivă trebuie să fie accesibilă majorităţii elevilor din blocul central al “Clopotului lui Gauss”. Rezum ideea: “dilemă cognitivă” (adică nu banală!), dar “accesibilă” (adică nu foarte grea!). E simplu! Sau?

În ianuarie 2018 m-am apropiat foarte mult de acest subiect în seria despre Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat (inserez aici link-ul primei părţi din acea serie http://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ , pe restul le găsiţi în arhivă). Din această primă parte reiau un pasaj interesant pentru subiectul nostru actual:

*

De curând am răsfoit din nou într-una din cărţile unui fost mare profesor metodist al anilor ’60-’70 şi am regăsit câteva citate deosebit de interesante în acest sens. În lucrarea sa  De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros, 1971), Eugen Rusu şi-a pus problema despre … mobilul psihologic care l-a împins pe Euclid spre rigurozitate. Dânsul dă imediat şi principalul răspuns: Această tendinţă spre riguros se naşte şi se accentuează din însăşi activitatea geometrică.

Important este să se pună problema de a căuta să descoperi lucruri noi, prin raţionament deductiv. Aceasta este destul ca, în cadrul acestei activităţi, să se pună de la sine, în mod din ce în ce mai acut, şi chestiunea rigurozităţii. Este interesant să ne oprim atenţia asupra acestui fenomen psihologic.

Cînd, pentru prima oară, ne simţim îndemnaţi să aflăm un adevăr nou, altfel decât prin experienţă directă, deci prin deducţie logică, aceasta nu se poate întîmpla pentru ceva care este “evident” prin intuiţie; aceasta se întîmplă cu o chestiune despre care simţurile nu ne dau informaţii precise şi sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experienţă senzorială. Atunci cu adevărat ne vom simţi îndemnaţi să o “deducem” din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu următoarea observaţie: faţă de obişnuita demonstraţie bazată pe proporţionalităţi din asemănare (prin teorema catetei), demonstraţiile prin arii transformă, apropie, dă perceperii teoremei lui Pitagora o clară notă de experienţă senzorială. Acest fapt susţine o primă abordare şi demonstrare a acestei teoreme prin arii.

*

Închei aici citatul din vechiul articol; se vede cum am atins atunci foarte fin aspectul ce ne preocupă acum. Să clarificăm fenomenul: nici nu are rost să încercăm să demonstrăm un aspect ce este evident pentru intuiţia elevului, dar nici nu are rost să venim în faţa elevilor cu dileme cognitive prea grele, pentru că acestea nu le vor fi defel accesibile. În procesul predării, noi trebuie să ţintim calea de mijloc, adică trebuie să venim în faţa clasei cu o dilemă cognitivă accesibilă. Nu are rost să le cerem să demonstrăm ceva evident pentru intuiţia lor, pentru că atunci nu avem o dilemă! Dar nici dacă venim cu o dilemă prea profundă “nu rezolvăm mare scofală”, pentru că majoritatea elevilor nu vor înţelege nimic.

Se pare că Teorema lui Pitagora reprezintă în acest context un exemplu magistral (şi aici bănuiesc eu motivaţia articolului CEAE). Demonstraţia tradiţională prin rapoarte, venind dinspre teorema catetei, este pentru marea majoritate a elevilor un soi de “hocus-pocus” inaccesibil gândirii lor (la acel moment marea majoritate a elevilor încă nu are o gândire “foarte dibace” din punct de vedere a “jongleriilor algebrice”, care aici sunt în plus redactate în limbaj geometric). Demonstraţia tradiţională a teoremei lui Pitagora prin rapoarte aduce în faţa elevilor o dilemă cognitivă inaccesibilă marii majorităţi a elevilor, ţintind astfel mult prea sus faţă de posibilităţile “elevului mijlociu”. Această abordare reprezintă practic o ocazie irosită de a atrage elevii către matematică, de a le construi gândire logică în ultimă instanţă.

Abordarea demonstrării dinspre arii accesibilizează procesul, venind dinspre o direcţie totuşi mai senzorială. Eugen Rusu avertiza că nu trebuie să demonstrăm proprietăţi evidente din punct de vedere senzorial, dar nici să tragem orice demonstraţie într-o zonă cât mai abstractă nu este normal. Repet: o cale de mijloc este cea mai sănătoasă. Teorema lui Pitagora reprezintă o dilemă cognitivă destul de abstractă, aceasta putând însă a fi accesibilizată prin prezentarea ei cu ajutorul ariilor, într-o formă mai senzorială pentru o primă demonstraţie. Cu alte cuvinte, demonstrarea prin arii aduce în faţa elevilor o dilemă cognitivă, însă una accesibilă majorităţii elevilor, abordându-i printr-o “clară notă de experienţă senzorială“.

Eu cred că la aceste aspecte s-au referit colegii de la CEAE în observaţia din articolul la care am făcut referire la început (articolul reluat imediat şi pe edupedu.ro). Practic, forma actuală de introducere a Teoremei lui Pitagora “sare de la o extremă la cealaltă”: la sfârşitul clasei a 6-a trebuie introdusă “şmecheria” fără nici cea mai mică justificare, doar ca o reţetă “picată din cer”, evitând astfel total dilema cognitivă, iar apoi în clasa a 7-a, de-abia în semestrul al doilea (sau cum îi va mai zice de-acum, prin module), cunoaşterea Teoremei lui Pitagora este condusă pe o cale demonstrativă bazată pe o dilemă cognitivă inaccesibilă majorităţii elevilor. După părerea mea, acesta este de fapt “reproşul” din articolul CEAE la adresa autorilor manualului respectiv: simţind că demonstraţia tradiţională este inaccesibilă majorităţii elevilor, în încercarea de a le arăta că “nu-i aşa de greu”, aceştia sar în extrema cealaltă şi “îi pun” pe cei doi copii (cele două personaje din manual) să arate rezolvarea pe care elevii ar trebui să o ştie de la sfârşitul clasei a 6-a (de fapt un algoritm, o reţetă de învăţat pe de rost). Asta spune însă de fapt ceva groaznic: “Voi, majoritatea elevilor, nici nu trebuie să participaţi la înţelegerea matematică; este suficient dacă ştiţi să aplicaţi calculul respectiv. Nu-i nevoie ca să gândiţi; ne mulţumim să vă dresăm să puteţi face automat o rezolvare”.

Dar de ce face Teorema lui Pitagora aşa cum face, asta oricum marea majoritate a elevilor tot nu vor înţelege, predarea celor mai mulţi profesori (inclusiv din manualul respectiv) ratând momentul cu “mare brio”. Şi, uite-aşa profesorimea mai ratează un moment în care ar putea să-i facă pe elevi să gândească, mulţumindu-se să-i dreseze doar să înveţe o nouă reţetă (necesară pentru a face faţă la teste, la examene sau la fizică).

*

Fac aici o paranteză la prezentul eseu şi vă povestesc puţin despre viaţa mea la acest moment în contextul încercării altruiste de a ajuta la repararea predării matematicii în România. Am ajuns să mă preocup înspre multe direcţii (cam multe), aşa încât acest aspect se reflectă şi în apariţia postărilor pe blog. Totuşi, vedeţi cum se leagă în mod curios, foarte interesant, subiecte din ultima perioadă (de pildă, preocuparea despre prefaţa culegerii lui Hollinger cu articolul CEAE despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora). Există şi un alt subiect mai vechi, despre care nu am scris în ultima vreme (pentru că pur şi simplu n-am apucat), deşi au apărut elemente noi în preocuparea mea: munca de înţelegere a fişelor de descoperire a matematicii generate de D-na Birte Vestergaard din Norvegia. La cursul seminarului de la Kassel de anul acesta m-am înscris pentru a participa exact la cursul de 5 întâlniri ţinute de dânsa (la restul am participat din decenţă faţă de cei care mi-au plătit cursul întreg). Permiteţi-mi să vă divulg deja una din noutăţile auzite acolo. Astfel, dânsa a început să ne vorbească despre un aşa-numit “Sudoku-effect“, înţelegând prin acesta acea stare atractivă de rezolvare a unor situaţii enigmatice pe care ” TU trebuie să le rezolvi”, care nu-ţi dau pace “până nu le dai de capăt”.

Cred că toţi cunoaşteţi acea stare (de-a dreptul obsesivă uneori) când nu poţi abandona un subiect până nu afli cum funcţionează; în această zonă ar trebui atraşi elevii în momentul demonstraţiei Teoremei lui Pitagora. Mai mult: la această cea mai cunoscută teoremă din toate timpurile, procesul poate fi repetat chiar de mai multe ori. Dilema cognitivă are “o energie” atât de mare încât procesul demonstrării poate fi reluat de mai multe ori, din diferite direcţii de materie (varianta dinspre Teorema catetei fiind doar una dintre acestea). Asta făcea de fapt “again and again” (din nou şi din nou) acea profesoară din America, d-na Marisha Plotnik punându-i pe elevi să descifreze alte şi alte demonstraţii ale Teoremei lui Pitagora.

Am dat “Sudoku-effect” pe Google, mi-a apărut instant (se pare că-i destul de cunoscută expresia) şi am ales din lista oferită “sudoku effects on brain” (efectul sudoku asupra creierului); iată prima informaţie apărută acolo: People who do puzzles have brain function equivalent to 10 years younger than their age, according to the study tests. On short-term memory tests, puzzle takers had brain function equivalent to eight years younger. (oamenii care se ocupă cu rezolvarea puzzle-urilor, în general a situaţiilor enigmatice, a jocurilor enigmatice, au funcţii ale creierului corespunzătoare unei vârste cu 10 ani mai tineri, conform studiilor. La testele de memorie pe termen scurt, “puzzel-iştii” au funcţiuni ale creierului echivalente unora cu 8 ani mai tineri) Mai pun totuşi încă una: Sudoku May Keep Your Brain Younger! Uaaau! (Sudoku îţi ţine creierul mai tânăr) Cu scuzele de rigoare evidenţiez aici dificultatea traducerii cuvântului “puzzle”, care include la americani orice tip de “joc enigmatic” (nu numai cele din multe piese mici de carton ce urmează a fi reasamblate într-o imagine, aşa cum este folosit în română), deci desigur şi jocurile numerice tip Sudoku, dar şi multe probleme matematice, mai ales cele clasificabile drept “matematică distractivă”. La problemele lui Martin Gardner este folosit de pildă constant termenul “puzzle”.

Aceste gânduri ne arată că practic “destinatarul” unei predări ce foloseşte acest Sudoku-effect, adică elevul “simte” chiar şi organic (deci pe creier) un nivel de stimulare extraordinar, însoţit probabil de generarea unor anumite neurochimicale, ce produc o stare de bucurie şi satisfacţie, întregul proces fiind astfel resimţit ca atractiv (Paul Olteanu ar explica mai bine asta). Revenind la matematica noastră, o predare ce foloseşte acest Sudoku-effect – generând un conflict cognitiv – va duce la o stare de atractivitate crescută faţă de matematică. Iar asta se va întâmpla la tot mai mulţi elevi, cu cât reuşeşte profesorul să atragă cât mai mulţi elevi în discuţia acestui conflict cognitiv. Aşadar, se pare că şi aici – în teoria Sudoku-effect – este implicată clar noţiunea de conflict cognitiv. Interesant! Închid paranteza.

*

Pricepând-o tot mai clar, observăm că această nouă cerinţă asupra predării – de a genera şi de a folosi un conflict cognitiv, o dilemă cognitivă în predare  – intră brutal în contradicţie, în opoziţie cu o altă cerinţă asupra predării matematicii, una apărută în lumea matematicii şcolare chiar prin reforma uitată din 1980, anume cerinţa predării cât mai riguroase, după modelul cursurilor universitare: super-detaliat, prevenind astfel orice discuţie divergentă despre o oarecare neclaritate sau nesiguranţă, totul însă într-o atitudine “plată”, fără nici cea mai mică emoţie, tinzând spre o stare de evidenţă absolută, care “să anestezieze” orice fel de comentariu de contestare a discursului şî a concluziilor.

Problema este că acest tip de predare este unul deosebit de egocentrist (profesorul este concentrat doar pe discursul său, care în forma ideală trebuie să fie “absolut”). Dar, acest tip de predare este şi deosebit de plictisitor, de-a dreptul “adormitor” pentru auditoriu (modelul profesorului universitar care vorbeşte “de unul singur” la tablă, din “înaltul” matematicii sale). În afara celor pasionaţi de subiectul respectiv (de obicei foarte puţini), oricine ascultă un astfel de discurs, o astfel de lecţie, ajunge să piardă destul de repede contactul cu cel care ţine prelegerea. Practicată pe durată în şcolile de masă, acest tip de predare duce la efectele despre care toată lumea vorbeşte acuzator legat matematica şcolară. Care este reacţia multor profesori, sesizând acest aspect? Aceştia încep să transforme lecţia de matematică într-un simplu pachet de reţete, pe care elevii nu e nevoie să le înţeleagă, ci doar să le stăpânească şi să le poată aplica corect. Uau! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest ultim aliniat.

Durerea cea mare este că mentalul multor profesori s-a transformat atât de mult, încât aceştia predau astfel ca elevii nu că nu e nevoie să înţeleagă dar, cel mai bine nici măcar nu trebuie să şi înţeleagă lecţia (nu ştiu dacă se simte diferenţa de nuanţă din ultimul rând): aparent, în cazul unor profesori pare că neînţelegerea elevilor este rezultatul unei atitudini intenţionate; “eu profesorul, nici nu vreau să înţelegi, fac chiar tot ce pot ca să nu înţelegi, prezentându-ţi lucrurile cât mai alambicat (ca să vezi tot timpul cât sunt eu de deştept şi cât eşti tu de …); eu doresc doar să te dresez să le poţi aplica automat, ca să le poţi reda la examen” (faptul că elevul trebuie să simtă zilnic cât îi este profesorul de superior, aceasta este o altă latură urâtă a stilului de predare universitar din România, ce a fost preluată cu mare entuziasm de unii profesori din licee, ajungând şi în clasele gimnaziale, fiind confundată în mentalul multor profesori preuniversitari cu ideea de “predare super-riguroasă”).

*

Să revenim în final încă o dată la subiectul nostru, anume la conflictul cognitiv (sau să-i spun mai degrabă “dilemă cognitivă”? Că parcă se potriveşte mai bine în contextul predării matematicii). Aş dori să evidenţiez câteva direcţii despre care n-am vorbit şi nici nu intenţionez să vorbersc cu această ocazie (le enumăr însă, oarecum ca temă pentru cititori).

Pentru profesorul care a auzit doar acum de acest termen, un subiect deosebit de interesant ar fi următorul: oare, care sunt lecţiile predispuse spre introducerea prin dilemă cognitivă sau la care se poate folosi acesta? Nu-mi propun acum o astfel de analiză, mare consumatoare de timp şi spaţiu. Până la o eventuală astfel de prezentare (?) las tema în suspans, cum am spus deja, eventual ca temă de reflexie la adresa cititorului doritor.

Următoarea temă ar fi de interes doar pentru cei ce ajung în postura de a scrie cărţi de matematică pentru elevi, în principal manuale. Oare cum se pot introduce în lecţiile din manuale pasaje pe bază de dileme cognitive? Trebuie să recunosc că mă preocup cu această întrebare de câţiva ani, dar încă nu am ajuns la un răspuns clar (o linie de reţete eficiente în acest sens). Deci, cum poţi purta “un dialog” cu cititorul?

Pentru cine doreşte să aprofundeze subiectul, ar fi de un real interes să afle cum se practică această abordare, a scoaterii în evidenţă a dilemei cognitive, în predarea altor materii. Cum se face la fizică; cum s-ar putea folosi la istorie ? etc. Ar fi de evidenţiat şi alte aspecte, dar mă opresc aici, încheind cu un citat din Albert Einstein, citat ce subliniază importanţa formării gândirii: Nu port toate aceste informaţii în memorie, de vreme ce sunt disponibile în cărţi. Valoarea unei bune educaţii nu constă în învăţarea multor informaţii, ci în antrenarea minţii să gândească. Iar pentru acest scop, folosirea în predare a conflictului cognitiv, mai exact la matematică a dilemelor cognitive, are o valoare deosebită. C. Titus Grigorovici

P.S. Cum am mai spus, poate că denumirea de “Conflict cognitiv” nu este cea mai reuşită eu sugerând denumirea de “Dilemă cognitivă” (poate există şi o altă denumire, mai edificatoare). Important este să întelegem când considerăm că apare aceasta: în eseul de faţă m-am referit la situaţii în care ne confruntăm cu elemente noi în viaţa noastră, despre care la început nu înţelegem cum se situează faţă de restul aspectelor, a celor deja cunoscute. De obicei în procesul de învăţare a matematicii, noţiunea de dilemă cognitivă descrie de fapt situaţia în care învăţăcelul se confruntă cu o informaţie nouă ce nu este încă în acord cu cele anterioare, organizate deja, până în acel moment, ca sistem coerent. Legat de acest moment cunosc un citat interesant din Rudolf Steiner, filozoful fondator al Şcolii Waldorf (este chiar citatul meu preferat). Iată pasajele la care mă refer:

Toate gândurile izolate sunt părţi ale unui mare întreg pe care-l numim lumea noastră de noţiuni. Dacă în conştienţă se iveşte un oarecare gând izolat, eu nu-mi găsesc odihna până când el nu este pus în acord cu restul gândirii mele. O asemenea noţiune separată, despărţită de restul lumii mele spirituale, îmi este cu totul insuportabilă. Căci eu am conştiinţa faptului că există o armonie lăuntric întemeiată a tuturor gândurilor, că lumea gândurilor este una unitară. De aceea, pentru noi orice asemenea separare este ceva nenatural, un neadevăr. Când am ajuns până acolo (ca gândul cel nou să fie pus în acord cu restul gândirii mele), că întreaga noastră lume de gânduri poartă caracterul unui acord lăuntric desăvârşit, atunci avem parte de acea mulţumire după care tinde spiritul nostru. Atunci ne simţim în posesia adevărului.(din Rudolf Steiner, Linii fundamentale ale unei teorii a cunoaşterii în concepţia goetheaniană despre lume, Ed. Triade, 1996. Pag. 35-36)

P.P.S. Dacă nu aţi creat deja o alergie la “manualele germane”, pe baza articolului iniţial CEAE despre alegerea demonstraţiei pentru Teorema lui Pitagora, vă prezint încă două astfel de articole (din 2019, respectiv 2021) în care se vede cum se pot introduce noţiuni noi de geometrie prin problematizare, adică pe baza unei dileme cognitive. Iată link-urile acestora: https://ceae.ro/cum-sa-i-ajuti-pe-copii-sa-gandeasca-nu-sa-toceasca-la-matematica-solutia-prezentata-de-un-manual-german-de-clasa-a-vi-a/ , respectiv https://ceae.ro/cand-predai-matematica-trebuie-sa-i-inveti-pe-copii-sa-gaseasca-solutii-la-probleme-noi-nu-sa-memoreze-proceduri/  Eu nu mă apuc de noi analize, ci vă las dvs., stimaţi cititori plăcerea şi provocarea de a aprofunda individual fiecare idee exprimată în acestea. Sunt două articole deosebit de valoroase, înţelegerea lor putând creşte vizibil “arta predării matematicii”.

Pentru că am făcut subtile referiri şi la alte materii, probabil cel mai bine se poate surprinde ideea de conflict cognitiv la fizică, atunci când confrunţi pentru început mintea elevului cu un experiment surprinzător, cu o situaţie uluitoare, intrigantă. Uimirea apărută instant la vederea acelui experiment acţionează ca un imbold natural, trezind dorinţa de a cerceta şi de a înţelege noul fenomen. Observaţi în acest sens următoarele filmuleţe (youtube-ul dă şi altele): https://www.youtube.com/watch?v=XAbEeE6eCZw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=yYWXyHgupjw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=JRPA5Wk5PTw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=7

Din păcate, mulţi înţeleg pe baza unor astfel de exemple că metoda conflictului cognitiv este potrivită doar fizicii (unde într-adevăr aceasta funcţionează “ca peştele în apă”), susţinând că în predarea matematicii această metodă nu-şi are locul. Nimic mai greşit! Conflictul cognitiv poate fi folosit cu succes, ca dilemă cognitivă, şi în predarea matematii preuniversitare, de obicei sub forma predării prin problematizare, în forme extreme chiar ca predare prin descoperire.

Dacă tot am ajuns să vorbesc şi despre fizică, îmi permit un gând personal. Ideea de conflict cognitiv poate fi desigur înţeleasă ca atare în momente istorice precum situaţia de explicare a fenomenului luminii: conflictul dintre teoria de undă şi teoria corpusculară (există şi alte conflicte nelămurite, unele chiar la bazele fizicii). Dar în procesul de predare a fizicii la clasă avem de obicei doar dileme cognitive, în urma prezentării unui experiment uimitor. Cel mult, în procesul de încercare de găsire a unei explicaţii pot apărea situaţii conflictuale între doi elevi, între două grupuri (poate chiar trei), care vin cu explicaţii diferite, iar apoi îşi susţin cu ardoare punctul de vedere. Cu alte cuvinte, cred că folosirea cuvântului “conflict” este de obicei exagerată, denumirea de “dilemă” cognitivă fiind de obicei mult mai potrivită.

De data asta chiar închei, dorind să aduc mulţumiri sincere d-lui Cristian Hatu de la CEAE, pentru sugestiile lămuritoare şi materialul trimis în acest sens (adresele din acest P.P.S.).

Starea matematicii şcolare (3) – Autorităţile naţionale şi politica şcolară matematică

În această serie mi-am propus să scot în evidenţă faptul că la ora actuală “toată lumea” greşeşte în procesul educaţional, anume că degeaba scoatem constant la lumină greşelile altor participanţi, că tot nu se rezolvă mare lucru atâta vreme cât nu ne uităm “în propria ogradă”, atâta vreme cât nu ne facem autoanaliză şi nu începem un proces de autocorectare.

Până acum am vorbit despre elevi (dar mai ales despre părinţii acestora) şi despre profesori, în două mega-eseuri (cele mai lungi de până acum pe pentagonia.ro, fiecare câte 9 pagini). Eseul despre deficienţele activităţii profesorilor a reprezentat totodată pentru mine şi cel mai greu text de scris. M-am simţit extrem de dificil în această stare similară cu o bârfă, în care mi-am criticat pe faţă diferiţi colegi, dar simţeam totodată că trebuie să fac acest lucru pentru valoarea întregii serii: cineva trebuia să spună unor astfel de lucruri pe faţă, astfel încât să nu mai vorbim doar pe ocolite, în jurul subiectului (nici eu nu am reuşit să o fac foarte direct, dar m-am străduit; sper că Gigel să fi fost mulţumit!), sau să fim din când în când puşi în situaţia de a-i auzi pe alţii cum vorbesc în mod critic despre noi. Totodată, nutresc totuşi speranţa că diferiţi colegi care fac astfel de lucruri (sau altele despre care nici n-am vorbit) vor “cădea pe gânduri” şi vor intra într-un proces de autocorectare.

Acum ar trebui să ne uităm la următorul nivel principal al învăţământului şcolar matematic românesc, anume la nivelul autorităţilor naţionale responsabile de politica predării în şcoli a matematicii. Este foarte important să o facem, deoarece “Ei” sunt generatorii întregii “atmosfere” din sistemul şcolar, a tuturor condiţiilor în care profesorii şi elevii trebuie să îşi desfăşoare activitatea (poate nu neapărat “Ei” cei de acum, se prea poate să fie vorba mai degrabă de “Ei” cei de altădată, dar cei de acum sunt datori să facă corecturile necesare şi să îşi asume existenţa erorilor celorlalţi din trecut). Faptul că – mai ales în cazul matematicii şcolare – elevii şi profesorii sunt într-o permanentă “dispută”, într-un perpetuu conflict (de interese, de comportament, de activitate, unii împotriva celorlalţi, fiecare pentru sine, cu interese divergente, egocentriste), acest fapt se datorează în primul rând autorităţilor centrale care generează, conduc şi coordonează întreaga activitate a “jucătorilor de la nivelul de bază” (întotdeauna, la tot ce scriu există desigur şi excepţile corespunzătoare).

Pentru eficienţa şi fluenţa textului să convenim a numi toate autorităţile centrale cu mult mai simpla titulatură de “Ministerul”, înţelegând prin acesta toate persoanele şi toate structurile ce se ocupă de destinele matematicii şcolare româneşti în cadrul Ministerului Educaţiei (sau cum so mai fi numind de la un ministru la altul). În unele momente s-ar putea să fie implicată în discuţie şi Societatea de Ştiinţe Matematice din România (eu din copilărie o ştiu ca SSM, părinţii mei având legături puternice cu aceasta – fondaseră o subfilială SSM în Or. Victoria; sub tutela SSM au organizat într-un deceniu trei simpozioane naţionale pe tema Laboratorului de matematică, ultimul în 1987 la scurt timp după revolta muncitorilor din Braşov).

În această mare categorie nu intră şi inspectoratele şcolare judeţene, aceştia fiind doar responsabili cu implementarea politicilor educaţionale “venite de sus”. Rareori când inspectoratele şcolare reuşesc să genereze anumite “mişcări” locale de îmbunătăţire a situaţiei, care să nu fie direcţionate “de la centru”. Am avut un astfel de caz în urmă cu cca. 10 ani, când Inspectoratul şcolar judeţean Cluj a instituit un sistem de simulări a examenelor de final de ciclu (EN şi BAC), format din două ture de simulări, una în jur de 1 Dec,, iar cealaltă înainte de Paşte (sau după? nu mai ţin minte clar). Logica era următoarea: mai ales pentru elevii care tot amânau a se apuca serios de învăţat, prima tură de simulări acţiona ca un sistem de alarmare deosebit de eficient; măcar în vacanţa de iarnă aceştia se apucau de lucru. Iar învăţatul funcţiona foarte serios pe baza acestei “sperieturi”, astfel încât în primăvară avea loc “o adevărată simulare”, una în cunoştiinţă de cauză, una pentru care elevii chiar se pregătiseră serios (măcar începând din iarnă). Rezultatele erau desigur mai bune, începea să acţioneze încurajarea pozitivă, elevii vedeau că pot şi trăgeau mai tare ca să urce cât mai mult pentru examen. Rezultatele acelui an au fost spectaculoase, “Clujul” situânduse muuult deasupra celorlalte judeţe (ţin minte un grafic edificator din acel an). Şi ce a făcut în aceste condiţii Ministerul? Au spus că preia ideea la nivel naţional, dar o modifică niţeluş, aşa doar prin părţile esenţiale: s-a instituit simulare obligatorie la nivel naţional, însă doar într-o singură sesiune, poziţionată undeva între cele două din modelul clujean (imediat după 8 Martie). Este evident pentru oricine că mecanismul acestei noi forme nu mai acţiona la fel ca primul model gândit la Cluj, mai ales nu mai acţiona la fel de eficient. Care au fost rezultatele noului sistem? La nivel naţional au crescut desigur substanţial, dar la nivelul judeţului Cluj acestea au scăzut faţă de anul precedent (din câte ştiu eu, din câte am auzit).

Acest exemplu este unul minor la nivel general, dar absolut edificator pentru subiectul prezentului eseul în sine, anume despre nivelul hotărâtor al influenţei politicilor educaţionale centrale asupra activităţii celor de la baza sistemului de învăţământ, respectiv edificator în sensul evidenţierii posibilităţilor limitate a autorităţilor locale în a se implica într-o remediere a situaţiei învăţământului. Dar să revenim la autorităţile centrale. Pentru a înţelege “toate cele”, cât şi linia lor logică, a celor ce le voi avea de “reproşat” ministerului, ar trebui să facem o incursiune în istoria politicilor predării matematice în ultima jumătate de secol. În rândurile următoare voi încerca o variantă cât mai scurtă a unei astfel de prezentări.

*

În relativa dezgheţare de după 1965, cu moştenirea din anii postbelici, învăţământul şcolar românesc pornise pe o linie destul de sănătoasă. Nume ca Ivanca Olivotto, Eugen Rusu sau A. Hollinger (ca să enumăr doar câteva personalităţi de marcă) organizau refacerea învăţământului matematic românesc, având în vedere tot spectrul de nevoi, de la nevoile marii populaţii şcolare, la satisfacerea nevoilor şi posibilităţilor deosebite ale elitelor intelectuale. Matematica şcolară era de o calitate foarte bună; multe elemente studiate în timpul şcolii (generală sau liceu) le-am regăsit în aceeaşi formă şi în conferinţele sau cursurile la care am participat în ultimul sfert de secol cu docenţi din străinătate. Era o matematică deschisă la minte, ce folosea şi cultiva gândirea intuitivă, construcţiile geometrice, cu o preocupare pentru cei buni, totodată însă o matematică cu o linie umană, accesibilă pe scară largă cât mai multor elevi. Exemplul amintit mai sus, al părinţilor mei ce se ocupau intens de subiectul Laboratorului de matematică este edificator: dezvoltarea sistemului respectiv (se pare de inspiraţie americană) era susţinută intens de SSM, la simpozioanele evocate participând profesori cu preocupări în acest sens din toată ţara. Însuşi Preşedintele SSM din acei ani, Acad. Nicolae Teodorescu ne-a vizitat în acele vremuri (am amintiri cu dânsul, împreună cu părinţii mei, elev în clasa a 6-a fiind).

Finalul anilor ’70 aduceau însă schimbarea către un învăţământ şcolar matematic mai dur, orientat spre performanţă (am putea zice “cu orice preţ”), al cărui formă avea să rămână cvasi-neschimbată până în zilele noastre, ajungând astfel să fie “încarnată” în mentalul marii majorităţi profesorilor români. Să analizăm cât mai pe scurt această reformă, pe care eu am denumit-o “Reforma uitată din ’80” (de fapt de prin 1977 până prin 1982, urmată în continuare de impunerea forţată a noii linii de predare; voi explica ulterior această denumire).

Reformarea a pornit cu manualele noi din 1978 (?) pentru licee şi s-a încheiat oficial cu introducerea unor manuale noi în 1981 pentru gimnaziu, pe alocuri chiar mai dure decât cele de liceu. Modificările au fost structurate pe următorul “evantai” compus din vectori de schimbare: 1) o mult mai mare rigurozitate a teoriei matematice, atât în forma inclusă în manuale cât şi în forma orală; predarea axiomatică, cu definiţii şi teoreme riguros ordonate a ajuns la ordinea zilei, preocuparea oficială în acest sens lăsând de-o parte faptul că cei mai mulţi elevi nu mai înţelegeau mare lucru; 2) “coborârea” multor elemente sau lecţii întregi înspre clase mai mici, introducerea multor teme noi ducând desigur şi la o puternică “îndesare” a materiei (aceasta ajungând după acea reformă la o încărcare foarte greu de dus de către elevul de rând); 3) ridicarea puternică a ştachetei dificultăţii problemelor la toate nivelele de şcolarizare.

Nivelul exagerat al aplicării acestor trei vectori de schimbare era “justificat” după principiul de nimeni rostit ca atare, dar de toţi subînţeles că dacă există 2-3 elevi care înţeleg ceva anume şi îi fac faţă, atunci acel ceva se poate face cu toată clasa, totul în numele creşterii rezultatelor la examene şi concursuri. Alăturarea constantă a celor două tipuri de testări, “picurată” zilnic în mentalul public avea menirea să sublinieze preocuparea “conducerii de partid şi de stat”, a “tătucului” însuşi (Ceauşescu, adică) pentru binele fiecăruia.

Aceste direcţii de preocupare erau menite de fapt să crească rezultatele la olimpiadele şcolare, tinzând spre redobândirea statutului de putere mondială la Olimpiadele internaţionale de matematică. În acest sens matematica şcolară se alinia, alături de politica spre performanţă în sport, în preocupările obsesive ale lui Ceauşescu de dovedire a “superiorităţii noii societăţi multilateral dezvoltate şi de formare a omului nou” (în anii ’80 deveniserăm imuni la cât am auzit acest slogan). Conectând preocuparea pentru rezultate cât mai bune la examenele (cvasi-obligatorii) cu preocupare pentru olimpiade (care era totuşi doar pentru vârfuri), cel puţin la nivel declarativ, s-a obţinut identificarea omului de rând cu “rezultatele olimpicilor noştri”, generând astfel un nivel de mândrie naţională exagerată (construit meticulos în anii ’80 prin tot ce se publica sau se putea auzi la TV).

Revenind la predare, anii ’80 au reprezentat o perioadă în care profesorii au fost forţaţi să treacă la noul tip de predare, chiar dacă simţeau că nu e bine aşa. Ca reacţie la noua politică, deşi se schimbaseră manualele şi linia oficială de predare a diferitelor lecţii, profesorii continuau pe ascuns, din convingere, să predea aşa cum ştiau ei mai bine, în vechiile forme de predare. Nu aveau clare argumente pentru asta, dar aşa simţeau. Cărţile marelui metodist Eugen Rusu, care avertizase despre ce urma să vină din deceniul precedent erau “departe”  şi oricum nu le aveau toţi la îndemână (de la Psihologia activităţii matematice în 1969 şi până la Problematizare şi probleme în matematica şcolară în 1978 – ce titlu subversiv reuşit!). Culegerea cu probleme de geometrie a lui A. Hollinger (din 1982) era ce-i drept peste tot, o puteau folosi toţi, dar nici aceasta nu a putut împiedica şirul evenimentelor. Presaţi pe toate căile oficiale, la orice inspecţie, cu timpul majoritatea profesorilor “s-au tras pe brazdă”, acceptând noile forme de predare şi de lecţii. Rigurozitatea predării, parcurgerea integrală a materiei prea încărcate, cât şi ridicarea nivelului aplicaţiilor erau la ordinea zilei. Formarea gândirii prin problematizare şi folosirea intuiţiei elevilor erau de domeniul trecutului.

Cam aceasta era starea învăţământului şcolar matematic în România la momentul revoluţiei din dec. 1989. Însă, deşi iniţiatorul acestor profunde schimbări fusese eliminat, marea parte a societăţii ajunsese să fie convinsă de superioritatea sportului românesc, cât şi a matematicii şcolare româneşti. Toată lumea ajunsese să identifice mental rezultatele la olimpiadele şcolare până la internaţionale cu nivelul activităţii matematice zilnice din şcoli. Argumente scoţându-i în faţă pe “olimpicii noştri” se auzeau peste tot cu mare mândrie, împiedicând orice analiză realistă a situaţiei. Astfel, linia stabilită de Ceauşescu s-a păstrat în continuare cu mândrie şi avânt pe mare parte a anilor ’90.

Acela – în 1990 (cel mult 1991) – ar fi fost primul moment bun de analiză liberă şi corectare a modului de predare a matematicii în şcolile româneşti, dar nimeni nu privea atunci lucrurile prin prisma existenţei nevoii unor corecturi. Dimpotrivă, pe atunci toată lumea considera că “matematica noastră – Uau!” şi deci totul este foarte bine aşa (mai ţineţi minte desigur atmosfera din 1990 cu Mondialul de fotbal din Italia şi generaţia de aur la fotbal, sau nenumăratele medalii la toate celelalte sporturi şi competiţii). “Săracu’ Ceauşescu”, n-a mai apucat să le vadă şi să se bucure de ele.

Este profund regretabilă ratarea acelui moment, deoarece la vremea respectivă erau încă în activitate foarte mulţi profesori care predaseră în stilul vechi, cel mai puţin riguros, mai empatic şi care dezvolta şi inteligenţa intuitivă la elevi. Atunci s-ar fi putut obţine într-o reformă scurtă şi liniştită de doar 2-3 ani, o formă mai umană de predare a matematicii şcolare care să îmbine în mod armonios calităţile celor două forme de predare – cea din anii ’70 şi cea din anii ’80 (da, chiar şi cea nouă din anii ’80 avea calităţi, cum şi cea din anii ’70 avea deficienţe).

Actualmente nu prea mai există profesori în activitate care să stăpânească stilul de predare dinaintea reformei din 1980; din acest motiv i-am spus “Reforma uitată din 1980”; la ora actuală nici măcar nu prea mai găseşti oameni care să aibă cunoştinţă despre existenţa acelei reforme (în toamna lui 2015 am cunoscut un domn din conducerea SSM care a avut o tresărire plină de nostalgie: “Da, eu mai ţin minte de lucrurile astea de care vorbeşti tu!”). Cred că în timpul pandemiei s-au cam pensionat “ultimii mohicani” care mai prinseseră în activitatea lor ani de predare în forma veche. Acum putem vorbi mai degrabă de ultimii profesori care au mai prins ca elevi acel stil de predare şi la care s-ar putea activa conştient, în mod teoretic dar şi pe baza revitalizării unor amintiri din copilărie, a unor impulsuri de imitaţie a profesorului de matematică din timpul şcolii sau a liceului.

Asupra acestor aspecte am atras atenţia de mult, încă din primul an pentagonia.ro, de pildă în postarea din 2016: http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ , (sau altele două iniţiale, pe care le puteţi lectura separat în funcţie de timpul dvs.)

*

A urmat o tură nouă de manuale – aşa-zis eliberate de “dogmele” comunismului, dar de fapt mult mai puternic orientate exclusiv spre performanţă şi excelenţă (chiar pe linia impusă de Ceauşescu cu aproape 20 de ani în urmă). S-a întâmplat aşa pentru că toată lumea care “avea un cuvânt de spus” în vremea respectivă ajunsese să creadă în această linie (dar şi pentru că nimeni nu se mai gândea să pună această dogmă în discuţie).

Manualele respective neglijau însă masiv elevii de rând (“elevul mijlociu”, cum le spunea Hollinger). Acestea nu mai ofereau obişnuitul “set de exerciţii de bază” la fiecare lecţie, acele exerciţii prin care marea masă a elevilor pricepeau despre ce este vorba şi cum funcţiona lecţia respectivă la nivel practic, exerciţii prin care şi elevii mai puţin dotaţi îşi fixau mişcările tipice ale noii lecţii. Vorbesc despre acele exerciţii de care elevul de rând are nevoie să facă măcar zece bucăţi de un fel, apoi încă zece de felul următor etc. pentru a înţelege şi a-şi însuşi lecţia respectivă. În acele manuale mai găseai doar câte unu, cel mult două exerciţii dintr-un fel, după care se trecea direct la aplicaţii mai complexe, destinate elevilor de nivel bun şi foarte bun, menite doar a netezi calea spre nivelul competiţional, cel de excelenţă.

La vremea respectivă ţin minte un sfat “underground” de a duce la clasă fişe copiate cu seturi de exerciţii de bază din manualele ce tocmai fuseseră înlocuite, cele din anii ’80, în care încă eleviilor de rând li se acordase atenţia cuvenită (în anii comunişti nu şi-ar fi permis autorii respectivi să neglijeze marea masă a copiilor clasei muncitoare). Mi-a rămas în amintire exemplul unei pagini întregi de ecuaţii în formele cele mai simple pentru clasa a 6-a; mulţi ani la rând le-am tot dus la clasă, pentru că din manuale elevii nu puteau învăţa mişcările tipice rezolvării unei ecuaţii.

Părerea mea este că în acele manuale alternative “s-a descărcat” toată tradiţia şi experienţa acumulată prin Gazeta Matematică şi prin Olimpiadele şcolare. Reamintesc că vorbim aici de acei ani de “capitalism sălbatic” din anii ’90, în care totul se întâmpla în numele unei libertăţi încă neînţelese şi eronat aplicate de către marea majoritate a populaţiei (nu că acum situaţia ar fi mult mai bună). În manualele alternative din 1997 nici un colectiv de autori nu-şi mai permitea să nu dea toată atenţia doar aplicaţiilor complexe şi grele, nimeni nu-şi mai permitea să “irosească hârtie valoroasă” cu exerciţii de bază pentru elevul de rând. E ca şi cum România se umpluse brusc doar cu elevi olimpici, unu mai briliant decât celălalt. În realitate însă, fenomenul a avut caracteristici clare de genocid intelectual matematic la adresa marii populaţii a elevilor mediocri.

Chiar mai mult, în fuga lor plină de avânt după aplicaţii cât mai variate şi mai complexe înspre zona de matematică competiţională profesorii păstrau pentru temă seturile de probleme din manualul ales la clasă (majoritatea totuşi aplicaţii grele şi cât mai complicate, după cum se pricepuse fiecare echipă de autori), în timp ce la ore făceau probleme din manualele paralele. Chiar din partea inspectoratului am auzit cândva spre sfârşitul anilor ‘2000 exprimată această cerinţă ca pe o normalitate: “sper că toată lumea face aşa!”. O ţară întreagă se antrena doar pentru competiţiile matematice.

În plus, în licee a fost introdusă o nouă programă profund dezechilibrată între algebră şi geometrie, adică între nevoile celor două emisfere cerebrale (reforma din 1997). Acesta este însă un alt subiect, despre care am mai scris (de exemplu, despre ce părere are la ora actuală societatea faţă de introducerea vectorilor în clasa a 9-a în locul geometriei sintetice).

Faptul că linia pe care se mergea nu era bună, acest fapt a început să se vadă însă în curând; probabil că la “Minister” curgeau reclamaţiile, dar corecturile se făceau “ca nuca-n perete”, total anapoda. De pildă, deşi iniţial patrulaterele erau cuprinse în finalul clasei a 6-a (la fel ca înainte), manualele fiind astfel elaborate şi aprobate în 1997, foarte curând (1998-99?) patrulaterele au fost mutate la începutul clasei a 7-a, dovadă că începeau să apară reclamaţii la adresa matematicii (că ar fi prea grea). Exemplul mutării patrulaterelor este năucitor: timp de 20 de ani acestea au fost cuprinse în manualele de a 6-a, dar erau parcurse în clasa a 7-a (unde nu apăreau în manuale), pentru că alte manuale nu s-au mai aprobat. Repet: 20 de ani!!! Oricum, în ultimii 25 de ani au mai fost şi alte mutări (în sus sau în jos), arătând clar o stare debusolată de căutare bâjbâită pentru remedierea situaţiei.

Astfel, cândva la începutul anilor 2000 ar fi fost clar un nou moment de a supune forma învăţământului şcolar românesc matematic unei discuţii profunde. Din păcate societatea românească nu era încă pregătită spre o dezbatere realistă, iar în mintea conducătorilor de la toate nivelele domneau încă principiile performanţei şi excelenţei (din câte ştiu, cam atunci a început să fie folosită şi cuvântul “excelenţă”). Acestea împiedicau mintea marii majorităţi a profesorilor de matematică să vadă realist situaţia, nevoile reale ale elevilor, totul fiind privit doar prin prisma criteriilor impuse la sfârşitul anilor ’70 de reforma uitată (rigurozitate excesivă în predare, preocupare pentru aplicaţii cât mai complexe etc.). Iar dacă ceva nu mergea bine, “elevii erau de vină”!

Exemplul evocat mai sus, al mutării patrulaterelor din a 6-a în a 7-a este sugestiv în acest sens: patrulaterele în sine nu sunt grele, dar în schimb îi năuceşte pe elevi concentrarea preocupării pe demonstrarea tuturor proprietăţilor, atât directe, cât şi reciproce, totul prin metoda triunghiurilor congruente. Degeaba s-au scos patrulaterele, dacă s-au păstrat metodele de lucru grele, demonstraţiile inaccesibile minţii elevului de-a 6-a. Scoţându-se din a 6-a capitolul cu patrulatere şi, ca urmare multele aplicaţii din cadrul acestora, atât prin metoda triunghiurilor congruente, cât şi prin alte raţionamente folosite în demonstraţia geometrică, în mod neaşteptat a îngreunat de fapt materia, a făcut-o şi mai inaccesibilă. Profesorii se concentrează mai mult pe un număr mai restrâns de probleme, tabloul general al demonstraţiei geometrice fiind astfel mai neclar. Ce-i drept că fenomenul s-a cumulat cu un nivel tot mai scăzut de învăţare din partea elevilor, fenomen apărut brutal, dar neobservat cândva imediat după 2000. Părerea mea este că parcă şi elevii sunt tot mai proşti de la o perioadă la alta, asta în principal datorită utilizării pe scară tot mai largă (scăpată de sub control) a ecranelor în variatele lor forme; acest aspect ar trebui să-l discutăm la o analiză a influenţei societăţii asupra învăţării matematicii.

Un studiu mai intuitiv al studiului iniţial al patrulaterelor, urmat de marea diversitate de demonstraţii mai uşoare ce le urmează, cu aplicaţii atât în triunghiuri cât şi în patrulatere, oferind o mult mai acesibilă dar mai largă paletă de aplicaţii, o astfel de politică de predare ar fi mult mai potrivită. Depinde însă din ce punct de vedere priveşti lucrurile: autorităţile au privit întregul fenomen ca pe un curs oficial cvasi-universitar de geometrie euclidiană (rigurozitatea mai presus de toate: nu mergem mai departe până nu ştim bine triunghiul şi metoda triunghiurilor congruente!); marea majoritate a elevilor ar fi avut însă nevoie de metode mai umane, mai intuitive, cum ar fi predarea în spirală sau predarea prin problematizare. Un alt exemplu în acest sens îl reprezintă politica de predare şi poziţionarea temporală a studiului sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (am vorbit cu altă ocazie despre acest subiect şi doresc să o mai fac şi altădată, aşa încât nu mai zăbovesc acum pe această linie).

*

Încet dar sigur nemulţumirile la adresa liniei oficiale s-au acumulat în anii ce-au urmat (20 de ani de “bâjbâială antididactică”, din 1997 în 2017), aşa încât undeva acolo “la nivel înalt” s-a ajuns la recunoaşterea faptului că “lucrurile nu mai pot continua pe această linie” (se auzeau tot mai des în mass-media argumente raţionale, care de fapt contraziceau linia ce se stabilizase după reforma uitată din ’80). Din câte am putut vedea în rândurile noii programe gimnaziale din 2017, dar şi “printre rânduri”, la nivelul comisiei care a redactat această programă a existat clar conştientizarea şi recunoaşterea acestei realităţi. Amintesc, de pildă, cum am numărat la vremea respectivă de câte ori apărea noţiunea de “predare intuitivă” în rândurile acelei programe.

Din păcate, “Ministerul” (comisia ce trebuia să implementeze această nouă linie) a eşuat lamentabil în explicarea până la nivelul de bază a noilor principii. Ţin minte marea amărăciune trăită în momentul când am realizat că nici măcar inspectorii şcolari nu fuseseră lămuriţi şi convinşi de ce trebuia de fapt făcut (la consfătuirile cu profesorii din acea toamnă). Se pare că avusese loc un fel de tabără de lucru cu toţi inspectorii şcolari, în care “inspectorii din minister” ar fi trebuit să le transmită principiile noii linii. În acea tabără (săptămână de lucru?) inspectorilor şcolari li se tot repetase că “este o cu totul nouă linie“, fără însă a li se şi lămuri în profunzime care era această nouă linie. Puteam vedea clar ce fel de “atmosferă” fusese în acea tabără de lucru: probabil câţiva (puţini) cei care trebuiau să transmită noua linie, acolo la tribună, vorbind “în gol”, în mod tipic românesc, iar în sală auditoriul inspectorilor şcolari, care nu înţelegeau nimic (setaţi fiind desigur pe linia veche şi convinşi de aceasta), chiar încurajându-se între ei în această stare, precum nişte elevi care nu înţeleg lecţia, refugiindu-se în a face mişto de superiori, repetând expresii goale de un conţinut real (pentru că – nu? – “este o cu totul nouă linie”). Ca urmare, desigur, nici inspectorii şcolari nu au putut transmite la rândul lor profesorilor noua linie. Singur aspect clar ce l-au putut transmite a fost că “acolo sus” se cere o nouă linie de predare, despre care însă nu se pricepe mai nimic.

Faptul că această nouă reformă a fost o nereuşită (ca să nu-i spun “un eşec”), acest fapt a început desigur să se simtă destul de repede şi “acolo sus, la minister” (“destul de repede” la nivel “istoric”, adică după doi ani!). Rezultatul a fost o nouă “convocare la Centru” a tuturor inspectorilor şcolar de matematică, într-o nouă săptămână de lucru, de data asta şi împreună cu reprezentanţii SSM, prin care s-a încercat fixarea “în scris” a noilor principii, acum abordate dintr-o linie mai largă. Rezultatul acelei întâlniri a fost rezumat în “vestita” Scrisoare metodică din ianuarie 2019, despre care am relatat intens la vremea respectivă. Cu acea ocazie s-a mai făcut totuşi încă un pas mic în plus: Inspectoratele au fost puse să ceară şcolilor un “plan operaţional” în acel sens. Ce s-a întâmplat de fapt? A fost desemnat câte un inspector, la fel în şcoli, la nivelul catedrelor a fost stabilit câte un coleg “respnsabil” pentru “noua hârtie” ce trebuia realizată. Ţin minte că măcar încă o dată aceştia am fost obligaţi să raportăm la inspectorat paşi făcuţi în implementarea noii linii; inspectorii respectivi au trebuit probabil să centralizeze şi să raporteze mai sus; acolo cineva a centralizat rapoartele judeţene şi … (bla-bla-bla: “teoria formelor fără fond”, sau mai clasicul “trăiască birocraţia!”). Apoi lucrurile au decăzut în uitare (în toamna lui 2019 n-am mai auzit nimic de subiectul respectiv, nemai trebuind să facem un alt raport); în martie 2020 a apărut pandemia şi “asta a fost”.

În concluzie, putem spune că şi demersul acelei scrisorii metodice a cam fost unul “în van” (“în gol”, adică degeaba). Să analizăm puţin de ce s-a întâmpla astfel, de ce această “nouă reformă” pornită cu programa gimnazială din 2017 nu a reuşit să rezolve lucrurile. Merită să analizăm acest “scor nul” pentru că, cel puţin teoretic, cele două documente au spus destul de clar lucrurilor pe nume: 1) Nota de prezentare a Programei şcolare pentru matematica gimnazială 2017 cerea clar o predare mai intuitivă; 2) Scrisoarea metodică cerea o atenţie echilibrată între preocuparea pentru vârfuri şi preocuparea pentru elevii de rând (profesorilor li se cerea clar o preocupare echilibrată între atenţia pentru performanţă de excelenţă, adică pentru “olimpici”, respectiv pentru strădania spre învăţarea matematicii de către marea masă a elevilor, adică pentru “elevul mediu”, cel neglijat de politica educaţională în ultimul sfert de secol şi mai mult).

Din păcate însă, aceste două demersuri au fost din start făcute doar “cu jumătate de măsură”. Predare intuitivă a fost sugerată, cerută doar până la clasa a 6-a. Cât despre împărţirea atenţiei în raport 1:1 (“fifty-fifty”) ce se cerea acordată performanţei vârfurilor, cât şi marii mase a elevilor, aceasta era din start dezechilibrată ca procentaj al populaţiei şcolare, pentru că vorbim aici de cel mult 10% “olimpici” faţă de măcar 80% “elevul mediu” (vezi repartizarea conform “Clopotului lui Gauss”).

Dar nici măcar în această formă cele două cerinţe nu au fost îndeplinite. Profesorii nu ştiu ce-i aia “predare intuitivă”, nu le-a explicat nimeni. De unde să o scoată brusc? Eu, personal, cred că am înţeles “cu ce se mănâncă”, dar oare este corect ce gândesc? Nimeni nu ne-a explicat, nici în facultate, nici la următoarele cursuri ce le-am mai făcut. Cât despre atenţia echilibrată în cele două direcţii (performanţă, respectiv nivel de masă), profesorii ce se doresc “buni” au în continuare o reţetă imbatabilă: ei lucrează la nivelul vârfurilor clasei, iar cine nu face faţă “să-şi ia meditaţii în particular!”.

Aici suntem la ora actuală, cu lipsa programei corespunzătoare la licee, pentru generaţia ce a pornit prima clasa pregătitoare (folosită ca pretext pentru o schimbare mai profundă). Întârzierea cauzată de pandemie este absolut logică şi profund justificată, dar mai presus de asta, de fapt “Ministerul” nu rezolvă lucrurile într-un mod eficient. De ce? Pentru că de fapt nimeni nu-şi asumă să scrie “negru pe alb”, “cu subiect şi predicat” că de fapt trebuie modificată forma greşită de predare în care am fost împinşi cu peste 40 de ani în urmă. Nimeni nu spune clar ce trebuie schimbat, nimeni nu ne explică de ce este greşit aşa cum facem actualmente şi, mai ales, nimeni nu urmăreşte ca schimbarea “sugerată” în diferite documente să şi aibă loc cu adevărat. Stimaţi responsabili din “Minister”: în anii ’80 schimbarea a fost făcută cu forţa. Acum credeţi că schimbarea se poate face doar sugerând fin nişte aspecte? Nu vreau să zic că ar fi nevoie de un nou val de forţă pentru o nouă schimbare. Dar paşii făcuţi în ultimii cinci ani şi forma lor plăpândă sunt absolut insuficienţi.

Poate ar fi nevoie de o carte în care să fie prezentată noua formă de metodică şi didactică ce se cere; poate ar trebui reeditate în masă vechile cărţi (Eugen Rusu, George Polya); poate ar trebui organizate cursuri clare în acest sens (şi numai în acest sens, timp de mai mult timp). În câţiva ani tot trebuie să reuşească înţelegerea acestor câteva linii de către toţi profesorii (Reforma uitată a reuşit schimbarea în 10 ani; pentru mişcarea inversă ar trebui insistat măcar 5 ani, “zic şi Io, dau şi Io cu părerea”). Fac şi alţii astfel de schimbări şi nici acolo nu se petrec lucrurile uşor. Am în acest sens două exemple.

Profesorii de fizică din România au reuşit să întoarcă paradigma de predare impusă în reforma din ’80 (în succesiunea: predarea legităţii, urmată de exemple unde poate fi observată, unde “se aplică”), înapoi la cea mult mai sănătoasă dinainte de 1980 (elevul urmăreşte un experiment, îl analizează, iar apoi se cristalizează legitatea corespunzătoare). Am înţeles că prietenii de la CEAE au avut un rol determinant în acest proces de întoarcere la o predare mai naturală a fizicii, dar şi că schimbarea s-a reuşit la nivelul întregii mase a profesorilor de fizică. Bravo lor! Ei au încercat să atragă într-un astfel de proces şi “profesorimea” de matematică, au fost trimişi chiar delegaţi în străinătate să vadă cum merge treaba, dar odată întorşi înapoi reticienţa s-a făcut stăpână pe proces, după principiul “la matematică nu merg lucrurile aşa”. Eu am tot spus că matematica a fost vârful de lance al reformei din ’80 şi că la matematică schimbările au fost cele mai dure, aşa că este de aşteptat ca şi schimbarea înapoi să fie la fel de grea.

Colegii de la CEAE au exemple numeroase din străinătate unde au loc astfel de procese de schimbare a predării matematicii spre o formă mai naturală şi mai sănătoasă pentru marea masă a populaţiei şcolare, dar reticienţa mioritică “nu şi nu!”. Am şi eu un astfel de exemplu, de la colega din Norvegia despre care am tot vorbit. Acolo li s-a cerut tuturor profesorilor, la toate materiile să predea prin descoperire. Toată Norvegia trebuie să treacă la predarea prin descoperire. Desigur că profesorii sunt bulversaţi pentru că nu ştiu cum se face asta, dar toţi caută variante de lucru.

La ora actuală cel mai tare mă tem de aceste schimbări “în doru’ Lelii”, care nici nu schimbă cu adevărat lucrurile în direcţia bună, dar nici nu le lasă într-o formă coerentă. Fiecare face “ce-i trece prin cap”, înţelegând că trebuie să schimbe ceva, iar rezultatele sunt de multe ori cel puţin discutabile. Spun asta în momentul când Ministrul Educaţiei ne-a aruncat înspre o nouă reformă, de data asta a organizării anului şcolar, şi să vezi ce “indicaţii clare” vom primi despre cum să facem cu notele şi cu toate celelalte în viitoarele cinci module.

*

Nu aş dori să închei însă înainte de a mai pune în discuţie alte două mari greşeli ale “Ministerului” legat de activitatea matematică la clasă. Până aici m-am concentrat asupra principalelor aspecte de “întoarcere” a reformei uitate în zona mai intuitivă a matematicii şi de predare prin problematizare, dar şi în direcţia de aducere a problemelor într-o zonă mai accesibilă majorităţii elevilor, însă desigur că mai există şi alte aspecte ce ar putea completa o listă cu reproşuri. Unul dintre acestea ar fi eşecul de a trage preocuparea matematicii şcolare înspre o mai bună capacitate de “descurcare în viaţa de zi cu zi” a elevilor. Aceste este şi unul dintre aspectele ce apare deseori ca reproş la adresa matematicii şcolare româneşti, iar testări internaţionale precum Studiul PISA exact asta urmăresc: cum se descurcă elevul în zone din afara matematicii obişnuite, “după şcoală”. Ştim cu toţii de încercările de a se introduce probleme “tip PISA” în testări, mai ales în cele gimnaziale, dar acestea au fost deseori false, extrem de plăpânde şi deosebit de superficiale. Lumea pur şi simplu nu le înţelege rostul.

În altă ordine de idei, mai vreau să vorbesc aici neapărat şi despre relaţia “Ministerului” cu manualele şcolare şi cu devenirea acestora. Eu înţeleg foarte bine renunţarea la manualele unice şi ideea introducerii manualelor alternative paralele de la diferite edituri (în reforma din 1997, dar şi acum). Din păcate însă criteriile de aprobare şi avizare a manualelor nu duc la nişte rezultate sănătoase. Acest subiect va trebui analizat pendelete într-un eseu despre activitatea editurilor în sensul manualelor şi a auxiliarelor şcolare, dar acum doresc să privim puţin fenomenul prin prisma avizării unor manuale cu defecte.

Pentru a înţelege despre ce este vorba, ar trebui însă să analizăm care este rolul manualelor la nivel naţional. “Pe vremea mea” manualele conţineau materia de bază complet, clar, coerent şi bine explicat, cât şi aplicaţii corespunzătoare, astfel încât manualul putea fi folosit ca sursă de învăţare, cât şi ca sursă de teme la nivelul de bază, cu o creştere relativă a nivelului pentru elevii buni. Pentru muncă suplimentară se apela la culegeri. Eu nu ştiu să se fi schimbat “definiţia” manualelor şcolare în ultimul sfert de secol, aşa încât atunci când iau un manual în mână mă aştept tot la aşa ceva. Din păcate, orice “întâlnire” de-a mea cu un manual se lasă cu mari şi profunde decepţii. Îmi permit să dau aici câteva exemple.

În noua programă şcolară pentru clasele gimnaziale apare următoarea lecţie: Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; rezolvarea prin metoda substituţiei şi/sau prin metoda reducerii. Autorii acestei programe nu au explicat la fiecare pas de ce au scris astfel, dar pentru orice predare sănătoasă a acestei lecţii, asta este ordinea corectă. Predarea metodei reducerii la începutul lecţiei nu ajută elevul să înţeleagă fenomenul sistemului de ecuaţii, ci îi dă doar o metodă foarte rapidă de rezolvare. Copilul se obişnuieşte să vadă că-i iese soluţia, dar nu se obişnuieşte şi să înteleagă ce se întâmplă acolo. Ulterior nici nu va mai fi dispus să facă efortul să înţeleagă cealaltă metodă, a substituţiei. De ce a primit aprobarea un astfel de manual din partea “Ministerului”? Conducătorul echipei care au redactat manualele de geometrie pentru clasele 9-10 în finalul anilor ’70, D-na Mariana Răduţiu îmi spunea că au fost chemaţi la Minister, li s-a spus că au ieşit câştigători ai concursului, dar că mai au de făcut următoarele corecturi (şi au primit o listă). Acum de ce nu se poate proceda la fel? Şi acest exemplu nu este singurul; în manualele actuale sunt nenumărate gafe.

De un alt exemplu m-am lovit la începutul clasei a 8-a, în septembrie 2020, când le-am sugerat elevilor să descarce un anumit manual, până când vor veni manualele fizice (pe hârtie). Încercând să mă adaptez şi eu cum puteam situaţiei pandemice, le-am sugerat să studieze lecţia despre intervale (ce pericol putea să fie?). A urmat o mică avalanşă de întrebări: ce-i semnul ? Unii se descurcaseră cumva, iar acum râdeau de cei care încă nu aflaseră că acest semn reprezintă “infinit”. Problema este că în manualul respectiv nu este scris niciunde cuvântul “infinit”. Cum s-ar descurca un copil izolat, singur, undeva la ţară cu această situaţie? Dacă un astfel de manual este deja avizat (poate nici comisia de avizare nu a văzut o astfel de greşeală), atunci ar trebui ca “Ministerul” să ceară ultimativ să-l corecteze şi să refacă plăcile de tipărire. Şi totuşi, nu face nimeni o verificare serioasă, cu adevărat responsabilă, a acestor manuale, înainte de avizare. Doar criteriul preţului este relevant pentru autorităţi (aşa cum se vehiculează în mass-media)?

Mă opresc cu exemple din zona de teorie, dar doresc să mai evidenţiez o deficienţă majoră pe care “Ministerul” o girează prin aprobarea unui manual, anume faptul că în manualele actuale, la majoritatea lecţiilor nu sunt suficiente exerciţii simple, de bază, pentru fixarea noii lecţii. Am folosit exprimarea “în majoritatea lecţiilor” din decenţă, poate că o fi şi contraexemple, dar eu nu le-am întâlnit. Manualele sunt de fapt conştient deficitare în acest sens, fiind conştient redactate astfel încât elevii să fie nevoiţi să achiziţioneze şi auxiliarul corespunzător, de la aceeaşi editură. Editurile o şi spun “pe faţă”, promovându-şi astfel auxiliarele, unde desigur se regăsesc suficiente exerciţii accesibile pentru fixarea noţiunii. Vă rog frumos să nu-mi cereţi exemple concrete, dar pot spune că ultima dată “mi-a sărit muştarul” rău de tot analizând oferta de sisteme de ecuaţii din auxiliarul trimis spre ademenire de către o renumită editură (din acest motiv m-am mobilizat şi am realizat fişa de lucru pentru sisteme de ecuaţii publicată în primăvara lui 2020).

La toate defectele de lecţii din manualele oficiale, teoretice sau de natură metodico-didactică, în zona de exerciţii şi probleme sau de orice altă factură, “Ministerul” este coresponsabil alături de editurile respective. Însă cea mai mare vină a autorităţilor matematice – pe departe! – o reprezintă nelămurirea politicii de predare, respectiv tergiversarea schimbărilor pentru necesitatea cărora există suficiente argumente la toate nivelele. ONG-urile, mass-media, specialiştii avertizează despre această necesitate, despre starea deplorabilă a mari procente din populaţia de elevi (de pildă, studiul PISA cu verdictul de 40% analfabetism funcţional matematic), dar “Ministerul” amână şi amână “să ia taurul de coarne”, îngăduind astfel ca noi generaţii de elevi să o ia pe acestă cale.

Da, cu aceste rânduri închei prima serie de eseuri despre cine este de vină pentru starea actuală a şcolii româneşti, din punct de vedere a matematicii şcolare. Mă rezum pentru moment la această “trilogie” cu cele trei nivele de actori principali, elevi – profesori – autorităţi, pentru că există şi alte teme importante de analizat în acest moment (dar mai ales pentru că am nevoie să mai scriu şi ceva cu tentă pozitivă, să mă mai încarc puţin). Sper că voi putea reveni ulterior şi la alţi actori secundari ai învăţământului şcolar matematic. Până atunci, stimaţi colegi care aţi lecturat aceste rânduri, vă mulţumesc pentru răbdare şi înţelegere şi vă doresc forţă suficientă şi calm, mult calm, pentru a putea începe un proces de autoanaliză şi de autocorectare a greşelilor pe care le veţi conştientiza la dvs. Vă avertizez că nu-i uşor; eu mă chinui de zeci de ani în acest sens, şi pot confirma că de la o vreme încep să apară şi anumite “succese”, pentru început în paşi mici, apoi revelaţii tot mai profunde, iar cu timpul o lămurire edificatoare. Spor, vă doresc, Constantin Titus Grigorovici

P.S. Totuşi, nu pot încheia ştiind că am lăsat mulţi cititori încă “în ceaţă”. În strădania de preocupare cu acest subiect, eu am ajuns să văd următoarea imagine a predării matematicii. Să ne închipuim o axă ce are la o extremă (să zicem în dreapta) o cunoaştere total riguroasă din punct de vedere euclidian, cu un sistem axiomatic perfect, cu definiţii ideale şi un sistem de teoreme riguros pus la punct, în care orice informaţie se deduce perfect din precedentele. Aceasta este jumătatea de axă în care se cere să se demonstreze totul. În cealaltă jumătate, cea din stânga, lucrurile sunt privite tot mai relaxat, mai intuitiv. Cu cât ne îndepărtăm de centru, cu atât rigoarea ştiinţifică se pierde tot mai mult, abordarea devenind tot mai “inginerească” (se vede că …). Aceasta este însă abordarea necesară intrării în studiul unei teme; întotdeauna introducerea iniţială într-o nouă temă trebuie să fie abordată intuitiv, iar apoi lucrurile se cer trase într-o formă mai riguroasă (“noblesse mathematique oblige!”). Pe această axă intuiţie-rigurozitate predarea şcolară ar trebui să penduleze undeva în zona centrală: la introducerea temelor în clasele mai mici, mai la stânga, apoi, la reluarea acestor teme în clase mai mari, mai la dreapta; aşa funcţiona, de pildă predarea geometriei, cu o a doua reluare în liceu (“pe vremuri”). Din păcate, în “Reforma uitată” profesorii au fost forţaţi să-şi poziţioneze predarea din start mult prea la dreapta, în zona riguros teoretică. O reformă reparatorie nu ar trebui să aducă predarea prea la stânga, în zone prea intuitive (aşa cum mulţi au eronat impresia), ci ar trebui poziţionată înapoi într-o zonă centrală potrivită procesului pedagogic sănătos.

În mod similar ar trebui să ne imaginăm încă o axă, anume axa dificultăţii matematice, având într-o extremă preocuparea pentru concursuri, iar în cealaltă o banalitate bolnăvicioasă (cum găsim în unele culegeri din “vest”, cu pagini întregi de exerciţii similare, de aceeaşi formă). Şi aici ar trebui căutat echilibrul între cele două extreme (e evident că pentru fiecare elev zona de echilibru accesibil este poziţionată în alt loc, dar totuşi există anumite nivele medii).

Până acum am descris două axe, dar desigur că putem gândi astfel de axe şi în alte direcţii ale predării: cantitatea de lucru pe care se bazează învăţarea; gândirea vs. reţetarea paşilor matematici; axa geometrie-algebră, vizualizabilă organic cu cele două emisfere cerebrale (cu o preocupare dezechilibrată înspre algebră începând de la reforma din 1997: da, geometria vectorială este de fapt o formă algebrică); o ciudată axă a poziţionării unor teme de studiu prea repede faţă de dezvoltarea majorităţii, sau dimpotrivă prea târziu faţă de nevoile teoriei matematice (a se vedea cazul polinoamelor); se poate imagina şi o axă a implicării elevilor în procesul de învăţare a matematicii, da la o prelegere 100% din partea profesorului (de model universitar) cu o urmărire “plată” din partea elevului, către o predare prin problematizare şi până la predarea prin descoperire, în care profesorul doar întreabă iar elevii descoperă singuri toate elementele noi ale lecţiei etc. Se obţine astfel o structură n-dimensională a procesului de predare a matematicii, faţă de care şcoala românească era foarte sănătos poziţionată în anii ’70 undeva în zona centrală.

Reforma uitată din 1980 (de prea mult timp şi de mai toată lumea uitată) a dezechilibrat procesul de predare în mod profund (reforma din 1997 doar a ajutat la fixare şi a extremizat anumite aspecte), iar învăţământul românesc nu-şi va găsi o linişte durabilă până nu se va opera o repoziţionare conştientă într-o zonă mai sănătoasă pentru marea majoritate a populaţiei şcolare. Aceasta se va putea face însă doar în urma unui proces de conştientizare, cunoaştere şi recunoaştere a greşelilor trecutului. Desigur că în acest proces fiecare va dori să tragă noua poziţionare în zona ce îi convine, dar aici trebuie să intervină o obiectivizare a întregului proces, condusă ferm “de la centru” şi explicată clar întregii profesorimi (iar apoi urmărită cu hotărâre aplicarea pe suficient de mulţi ani încât lucrurile să se stabilizeze în mod sănătos). La vremea reformei uitate schimbarea s-a făcut în stil autoritar comunist, cu forţa. Acum, schimbarea pentru repoziţionare se poate face doar prin explicaţie raţională, “cu toate cărţile pe faţă”, şi cu multă persistenţă. Alături de SSM, specialiştii din diferite ONG-uri sau alte organizaţii implicate în zona pedagogică ar putea aduce un grad mare de plusvaloare şi obiectivizare. Un aspect este însă foarte clar: profesorii nu vor reuşi o repoziţionare sănătoasă “de unii singuri”; acest proces trebuie condus de către “Minister”.

Da, şi iarăşi am bătut recordul personal de cel mai lung articol: peste 11,5 pagini A4 (vorba aia, “Să dăm Cesarului ce-i a Cesarului!”). Mulţumesc tuturor cititorilor pentru răbdare.

Starea matematicii şcolare (2) – Profesorii de matematică

Mi-am propus să scot în evidenţă în această serie faptul că la ora actuală “toată lumea” greşeşte, anume că degeaba scoatem constant la lumină greşelile altor participanţi în procesul educaţional, că nu se rezolvă mare lucru atâta vreme cât nu ne uităm “în propria ogradă”, atâta vreme cât nu ne facem autoanaliză şi nu începem un proces de autocorectare.

În prima parte am vorbit despre câteva aspecte negative în colaborarea părinţilor cu şcoala, anume unde aceştia interferează dăunător cu procesul de învăţare a matematicii. Am umplut peste 9 pagini (cea mai lungă postare de până acum), dar nici vorbă de pretenţia de a fi epuizat subiectul. În relaxarea ce apare după ce finalizez articolul, îmi mai apar din memorie şi alte exemple sau categorii. Nu are însă rost să mai continuăm; cred că orice persoană raţională a prins ideea şi va putea acţiona în consecinţă, fie că este părinte şi ar trebui să fie mai atent la faptele sale, fie că este profesor şi ar trebui să găsească energia şi tactul necesare pentru a ajunge la sufletul părinţilor şi a-i ghida spre cât mai bine.

În eseul precedent “l-am săpunit” bine de tot pe “Gigel”. Dar, cine este Gigel? Păi, Gigel este prototipul elevului care nu are de loc chef să înveţe, în general să-şi facă datoria, mai ales defel la matematică. Gigel copiază de câte ori are ocazia, fentează cum poate mai bine, dă răspunsuri “la plesneală”, fără să gândească, în general este foarte leneş în tot ce necesită matematica. Gigel întâmpină “probleme” mari la mate’,  având şi o scuză foarte serioasă în acest sens, anume că profesorul de la clasă este “total incorect”. În acest sens Gigel ştie să scoată în evidenţă – spre propria-i justificare – foarte multe defecte ale profesorului său de mate’ de la clasă, motive pentru care, prin cale de consecinţă, nici nu se poate învăţa. Aşadar, vina nu-i a lui; Profu’ este cel de vină! Realitatea este că Gigel împreună cu profesorul său îşi cam împart vina jumi-juma, “activitatea” lor desfăşurându-se într-o “simbioză negativă” năucitoare. În acest sens eseul de faţă poate fi privit şi ca “răzbunarea” lui Gigel.

Da, iar acum a venit vremea “să îndreptăm reflectoarele” atenţiei noastre spre activitatea profesorilor de matematică. Din start trebuie să precizez că eu “nu caut pricină” la colegii mei; toate exemplele despre care voi vorbi “au venit către mine” din afară cu diferite ocazii. Singurul lucru care are de-a face cu activitatea mea este faptul că – încet dar sigur – m-am îndepărtat în ultimii peste 25 de ani de obişnuinţele profesorimii, pornind de unul singur pe calea unei reforme a predării matematicii şcolare (astfel observând mult mai clar defectele din jurul meu). Iar în această cale, una din componentele importante a fost conştientizarea defectelor personale (de unul singur sau cu ajutorul altora), iar apoi corectarea acestora. Acest proces, care încă continuă (şi probabil va continua până la pensie) este unul de lungă durată, mare consumator de timp, dar şi de energie. Nu-i deloc plăcut să conştientizezi că într-un anumit moment ai greşit, că într-o anumită situaţie-tip greşeşti de obicei, dar altă cale spre corectură eu personal nu cunosc. Da, şi desigur, în urma unui astfel de proces îndelungat încep să văd şi mai tare greşeli ale colegilor. Şi cu cât mă străduiesc mai mult, cu atât am impresia că mă îndepărtez mai tare de ceilalţi colegi, respectiv de obiceiurile lor negative. Dar procesul are loc şi simetric: egocentrismul şi toate celelalte metehne ce se dezvoltă în societatea noastră îi îndepărtează tot mai mult pe colegi de o line decentă de comportament în această profesie.

Dar “vorba lungă – sărăcia omului”, haideţi “să apucăm taurul de coarne” şi să începem cu câteva exemple din ultimii ani, exemple ce ne-au ajuns la urechi şi despre care povestim acasă şi “ne crucim” (adică, contraexemple, despre cum n-ar trebui procedat). Pentru a da cât mai puţine indicii despre persoana în cauză, cum ar fi genul, voi folosi tot timpul denumirea de “profesor” sau “coleg” (sau “învăţător”, dacă este vorba de o situaţie din clasele primare). La cele mai multe exemple am în minte situaţii din Cluj, dar sunt câteva şi din afara Clujului; desigur că prin cele prezentate ar trebui să vedem situaţia ca pe un eşantion despre ce se întâmplă la nivel naţional.

1) Începem din nou cu un exemplu mai liniştit: mă gândesc aici la un profesor dreptaci (ca mai toţi) care scrie pe tablă stând constant în faţa a ceea ce a scris, aşa încât elevii nu pot vedea şi scrie ce este pe tablă, iar pe când ajunge să treacă mai la dreapta, din mare avânt muncitoresc şterge cu stânga, tocmai pe când elevii ar ajunge să şi copieze ceva de pe tablă. O fi acesta un exemplu “mai liniştit”, dar să ştiţi că pe durată poate produce multe pagube în procesul de învăţare a matematicii, mai ales dacă este cumulat cu alte defecte de predare.

Am precizat că vorbesc despre un coleg dreptaci, pentru că problema dispare cu totul la un profesor stângaci (gândiţi-vă un pic şi veţi înţelege de ce). Ca să compensez ca dreptaci, eu fac tot timpul un soi de dans în faţa clasei, scriind scurt şi trăgându-mă într-o parte, de obicei în stânga, dar merge şi în dreapta, pentru ca “mototolii” din clasă care nu ajung să scrie “la dictare”, să apuce şi ei să-şi completeze notiţele. Desigur că ar fi fost mult mai bine dacă ştiam să scriu şi cu mâna stângă. În 2015 am cunoscut un profesor din Tg. Mureş care, stângaci fiind, putea fi urmărit foarte uşor în discursul său în timp ce scria pe tablă, pentru că el nu stătea în faţa rândurilor pe care tocmai le scria. Nevastă-mea a avut în clasele 5-6 un profesor care ştia să scrie cu ambele mâini: au văzut asta când şi-a rupt mâna dreaptă, şi a venit la şcoală şi a ţinut lecţiile mai departe cu stânga, inclusiv desenarea perfectă a cercului fără compas.

2) Iată un alt exemplu, înrudit cu primul, din perioada de online: profesorul pornea laptop-ul pe catedră, dar stătea tot timpul în faţa camerei (între cameră şi tablă) astfel încât elevii din online nici nu vedeau ce scrie, dar nici nu prea auzeau clar pentru că profesorul stătea departe de microfonul laptopului, cu spatele în timp ce scria la tablă. Când se întorcea să vorbească cu clasa, spunând între timp altceva în discursul său, rămânea de obicei în acelaşi loc, astfel încât elevii din online tot nu-şi puteau completa notiţele. Asta se întâmpla desigur în perioadele unii dintre elevi erau în clasă, iar alţii acasă. Ca norocu’ că cei din clasă mai făceau poze tablei pentru cei de acasă.

Pe lângă faptul că de la început eu mi-am luat o cameră suplimentară, ce o poziţionam central faţă de tablă, am fost atent de la începutul perioadei de predare online unde şi cum să stau astfel încât elevii să vadă cât mai bine, atât ce este scris pe tablă cât şi pe mine cum explic.

3) Apropos pandemie şi urmările perioadelor lungi de online asupra predării unor colegi: dacă atunci s-a putut, de ce n-ar funcţiona şi acum aceleaşi metode! Ce să funcţioneze? De pildă să-i pui pe elevi să-şi copieze lecţia din carte! Da! De ce să te mai oboseşti să le-o predai, dacă merge şi aşa? E mult mai comod, ai timp “să mângâi” un telefon, să mai chat-uieşti, să mai citeşti un mesaj, două, poate să mai faci un comentariu pe facebook etc. Important este ca ulterior să nu uiţi să te plângi din greu cât de greu este şi cât de mic e salariu şi cum “nimica nu învaţă copii ăştia”. Oricum, merită “laude” colegul respectiv despre care vorbesc acum: a stabilit mai întâi că lecţiile din “culegere” (auxiliarul comandat de toată lumea) sunt mai bune, aşa încât elevii aveau la ei această carte şi din asta trebuiau să copieze lecţia. Şi într-adevăr avea dreptate, faţă de lecţia “de nota 4-5” din manualul oficial (acesta este un alt subiect; răbdare că vine în curând), “lecţia” din auxiliarul respectiv era clar de 6-7, deci “muuult” mai bună. D-apoi, ce să înţeleagă săracii elevi în astfel de condiţii?

Oricum, chiar şi când predau o lecţie, foarte mulţi colegi profesori o predau “plat”, fără nici cea mai mică implicare emoţională; rezultatul este că nici elevii nu se implică tare mult, în astfel de situaţii având impulsul doar de a copia de pe tablă, la fel cum ar face-o şi din carte (copiaţi totul ca să aveţi lecţia “completă” în caiet, pentru că atunci nimeni nu poate susţine că nu vi s-a predat lecţia respectivă; de aici încolo, dacă nu ştiţi este vina voastră, a elevilor, nu a mea a profesorului).

4) La precedentul exemplu era vorba despre ceva linii importante în triunghi, în clasa a 6-a. Am aflat de astfel de exemple – de nepredare – la tot felul de lecţii, la diferite nivele, dar se poate şi mai rău. Astfel, s-ar putea ca lumea să afle şi să-ţi meargă vestea că pierzi vremea (cum se şi vorbea despre colegul respectiv). Mult “mai bine” este să le dai acasă, ca temă, să copieze lecţia, iar tu să te ocupi ulterior la clasă doar de probleme. Eu bănuiam de mult că la liceele “de centru” din Cluj nu se predau anumite lecţii, că sunt lăsate pentru acasă (probabil cel mai bine să le facă “profu din privat”, că şi-aşa au toţi meditaţii). Anul acesta am aflat din nou de un astfel de exemplu: formulele de arii şi volume la corpurile din programa pentru examen. Elevii au primit să le copieze acasă – dar nu din manual, ci din nou din culegere (n-am înţeles de ce). Problema era că în auxiliarul respectiv formulele era trecute la începutul fiecărui calup de probleme despre un anumit corp, aşa încât elevii trebuiau să le adune din mai multe locuri, deci să facă o compilaţie din mai multe locuri, totul într-o singură lecţie în caiet, cuprinzând toate formulele. Problema mare era că în acel auxiliar erau trecute doar formulele, nu şi alăturat o figură cu corpul respectiv (autorii acestei culegeri s-au gândit că formulele au fost predate la clasă, sau oricum erau în manuale; astfel culegerea lor nu putea acţiona “ca o plasă de siguranţă eficientă” pentru nepredarea lecţiei de către profesor). Într-o atare situaţie copiii nu au nici cea mai mică şansă să înţeleagă ceva, acele formule fiind din start ceva neînţeles, obligatoriu de tocit.

5) Problemele nu sunt însă neapărat legate de situaţia specifică a lecţiilor din pandemie. Cunosc un exemplu despre un profesor care “are mămăligă în gură”: acesta vorbeşte foarte încet şi, deşi probabil că se străduieşte să predea cât de bine, elevii nu înţeleg nimic pentru că pur şi simplu nu-l aud (!). Dacă mai adăugăm şi un nivel foarte înalt de lecţii (aşa numitele lecţii “de excelenţă”, la care colegul respectiv “este la el acasă”), atunci înţelegem că acei elevi nu au nici cea mai mică şansă de a pricepe ceva.

În general, constatăm tot mai des la oameni un egocentrism feroce, cumulat cu lipsa totală de respect, de percepere a celorlalţi (mă refer în general, în societate). La clasă această atitudine duce de multe ori la o nerespectare generală a nevoilor elevilor de a-şi completa lecţia în caiet sau de a înţelege noile cunoştinţe predate. Astfel de colegi trăiesc “bine-mersi” cu impresia că dacă “lecţia a ieşit din ei” (le-a ieşit pe gură la propriu) atunci ei şi-au făcut datoria; ei nu se mai gândesc şi dacă “lecţia a ajuns la destinaţie”. Dacă copiii întâmpină dificultăţi, e vina lor!

Colegul despre care tocmai am vorbit îşi face lecţiile, dar degeaba, pentru că elevii nu-l prea aud. Cunosc însă un caz de profesor care lipseşte cu săptămânile (din diferite motive personale). Este evident că lecţiile de multe ori nu se fac defel, sau sunt făcute sumar, scurt, undeva în 5-10 minute la sfârşitul unei ore. Cu timpul părinţii nu mai suportă, aşa că încep să curgă reclamaţiile, direcţiunea sau inspectoratul îl mută, iar anul următor acelaşi om este în altă parte şi procedează la fel. În această categorie se încadrează prin extindere şi sitaţiile unor învăţătoare (de obicei tinere) care fac foarte puţină matematică (una făcea matematică doar prin semestrul al II-lea, câte ceva, nu tare mult, pentru că nu-i place).

Sunt sigur că există foarte mulţi profesori care se străduiesc şi îşi fac treaba, fiecare cum poate mai bine, dar nu despre ei este vorba în aceste mega-eseu, ci despre ceilalţi. Cât la sută reprezintă “ceilalţi”, cei cu deficienţe majore în activitatea lor, despre asta nu aş dori să mă exprim; nici nu am date concludente în acest sens. Aici analizez doar fenomenul, dorind să atrag atenţia asupra faptului că fiecare trebuie să intre într-un proces de autoanaliză şi chiar de autocorectare.

Este evident că aş putea continua la nesfârşit în acest registru. La deficienţele năucitoare întâlnite în general s-au adăugat desigur cele specifice pandemiei, care de multe ori doar a accentuat problemele. Un aspect interesant apare aici: în ultimul an, în urma pandemiei am văzut o reală acceptare a unor astfel de situaţii, ca şi cum acestea ar reprezenta o adevărată obiectivitate (noua “obiectivitate”). Totuşi mai trebuie să mă descarc de câteva gânduri care mă macină, despre situaţii urâte de care aflu.

Am auzit de cazuri în care elevii n-au învăţat nimic în anii de liceu cu colegul respectiv, iar despre această situaţie se plângeau toţi părinţii de la clasele acelui coleg. Toţi îşi acceptau soarta plătind meditaţii particulare. În situaţia pandemiei lucrurile au devenit extreme: în clasa a 9-a elevii încă n-au învăţat mare lucru pentru că “aşa-s ei leneşi după ce scapă de EN”. Prin a 10-a a venit pandemia, în a 11-a erau tot felul de explicaţii, iar anul acesta, în a 12-a toată lumea a constatat cu stupoare cruda realitate, anume că elevii nu ştiau nimic.

La polul opus sunt situaţii de colegi care ţin la clasă o ştachetă atât de ridicată încât elevii normali nu au nici cea mai mică şansă să ţină pasul cu lecţiile sau să ştie la teste, fiind constant ameninţaţi cu corigenţa până în ultima clipă înainte de vacanţa de vară. Halal metode de a păstra disciplina.

Atât în cazul când profesorul predă foarte slab, cât şi în cazul când profesorul de la clasă menţine un nivel mult prea ridicat (de excelenţă), copiii nu evoluează cum trebuie, iar de la o vreme părinţii simt asta. Singura soluţie pentru ei este să înceapă să dea meditaţii la greu; “meritele” în urma acestora le strânge desigur tot profesorul de la clasă, cel care n-a făcut mai nimic timp de patru ani, sau dimpotrivă a ţinut o ştachetă mult prea ridicată.

Fenomenul este de fapt “vechi de când lumea”. Cunosc exemplul unui inginer (!) care dădea meditaţii, despre care am aflat după ce “s-a pensionat” şi de la această activitate (un om pasionat de matematică, ce dădea în timpul liber ore particulare deosebit de eficiente). Toate rezultatele foarte bune de la Liceul de elită din localitate fuseseră de fapt meditaţii de-ale sale, deşi iniţial toată urbea se lupta să-i ajungă copilul la profesorul vedetă al zonei. Când inginerul s-a pensionat, n-au mai fost rezultate nici la clasele de vârf de la Colegiul respectiv.

În situaţiile cu şcoli unice într-o localitate, situaţiile pot ajunge în forme destul de urâte. Asta se întâmplă acolo unde câte un profesor reuşeşte să-şi constuiască o aură solidă de vedetă locală, de “profesor bun”, cerând la teste mult mai mult decât predă, desigur pe baza a ce face la orele particulare, asigurându-şi astfel şi venituri suplimentare. Din păcate, respectivii profesori nu simt conflictul logic din această situaţie: de obicei el este atât profesorul de la clasă, unde elevii nu înţeleg mare lucru şi tot el este şi “marele salvator”, profesorul bun de acasă, fără de care nu se poate. Despre oficialul “conflict de interese” nici nu mai are loc să vorbim aici. Pe de altă parte, comparaţia cu “baronii locali” politici este evidentă, ambele provenind din apucăturile perioadei fanariote ale trecutului nostru.

La ora actuală există masiv clase întregi, chiar şcoli întregi, la care meditaţiile sunt obligatorii cel puţin din clasa a 5-a. Cel mai ciudat este când asta se întâmplă chiar la şcoli private, la care părinţii oricum plătesc din greu taxele şcolare. Dar, să lăsăm meditaţiile şcolare de-o parte; la ora actuală toată lumea vorbeşte despre acestea; chiar şi fostul Ministru Daniel Funeriu le-a descris de curând ca o normalitate a societăţii noastre actuale.

Astfel de exemple flagrante – cum sunt cele prezentate mai sus – nici măcar nu mai lasă loc de discuţii despre metodica şi didactica în care ar trebui predate diferitele lecţii. În aceste situaţii nici măcar nu este vorba despre aşa ceva. La eseul precedent, cel despre elevi şi părinţi, după cele cinci exemple punctuale am încercat să prezint câteva catgorii de influenţări negative a procesului de învăţare (le-am spus atunci “modele educativ-comportamentale”). Aici, la profesori, este ciudat să pornesc un astfel de demers, deoarece asta fac tot timpul prin proiectul pentagonia.ro, doar că o fac cât mai rar la modul critic, în loc de critică directă preferând mai degrabă să arăt cum s-ar putea preda mai sănătos într-o anumită situaţie. Totuşi, aş vrea să prezint câteva categorii de defecte de predare ce-mi atrag regulat atenţia şi pe care le-am putut observa în jurul meu în ultimii anii (dinainte de pandemie, dar şi actuale). Aşadar, ar fi exemple din situaţii unde profesorul totuşi se străduieşte să predea lecţiile, dar o face într-un mod defectuos. Hai să le numim exemple generale de predare defectuoasă (prescurtat EGPD).

EGPD1 Prima categorie s-ar putea numi predarea egocentristă, profesorul fiind concentrat doar pe predarea lecţiei; este situaţia tipică în care profesorul vorbeşte singur în faţa clasei (cam vorbeşte “de unul singur”: chiar şi dacă mimează un dialog, respectivul profesor atunci când întreabă, tot el şi răspunde, totul într-un ritm uneori monoton, alteori poate prea rapid, oricum vorbind doar “el cu el”).

Chiar dacă în decursul lecţiei are loc un oarecare dialog între profesor şi elevi, acesta se desfăşoară de obicei doar cu elevii buni, pentru majoritatea clasei dialogul fiind la un nivel mult prea înalt, sau având loc într-o viteză mult prea mare. Nu că majoritatea elevilor tare “s-ar omorî” să urmărească acest dialog; unul din rezultatele acestui tip de predare estă chiar acesta, că cei mai mulţi elevi au abandonat de mult ideea de implicare, obişnuindu-se ca singura preocupare (în direcţia matematicii) la oră să fie copiatul lecţiei în caiet; ceva de genul dacă au reuşit să scrie totul, înseamnă că şi-au făcut datoria. Aceasta este de fapt şi poate cea mai grea consecinţă a acestui stil de predare, anume faptul că majoritatea elevilor nici nu mai au în minte ideea că ar putea fi activi la ora de matematică (activi şi pro-activi). Iar pasivitatea aceasta a lor le restrânge obiectivul activităţii la oră doar la a-şi completa notiţele. Restul urmează să se facă acasă (dacă se va face), iar acest “rest” constă doar în a învăţa pe de rost elementele lecţiei. Cei mai mulţi nu au forţa să înţeleagă singuri ulterior fenomenele, aşa încât învăţatul pe de rost rămâne cea mai bună soluţie disponibilă.

Deoarece n-a înţeles nimic la oră, copiatul temelor de la alt coleg este de obicei pasul următor (pe această linie urmează apoi copiatul la teste). Aici avem inclusiv situaţia când altcineva îi face tema de faţă cu el, iar copilul doar mimează în continuare că a înţeles, mimează o aparentă implicare într-un dialog din timpul rezolvării celuilalt. Copilul va proceda astfel şi “acasă” pentru că oricum s-a învăţat şi s-a antrenat masiv la şcoală să participe la un astfel de “aparent dialog” (să mimeze un astfel de aparent dialog) în faţa profesorului care este tare mulţumit în timp ce-şi turuie lecţia (copiii se pare că au mutre interesate şi se pare că înţeleg, dau din cap fin a “Da”, deci totul e ok iar eu pot să-i dau înainte cu lecţia mea!).

Revenind la profesori, de obicei aceşti colegi doar turuie lecţia învăţată de demult, putându-se observa lipsa cronică a strădaniei de adaptare la posibilităţile şi la nevoile majorităţii elevilor. Atenţia profesorului în direcţia elevilor se concentrează cel mult înspre cei 2-3 elevi buni la mate, aşa-numiţii “vârfurile clasei”, după principiul “dacă ei înţeleg, înseamnă că-i foarte bine cum predau”. Raţionamentul este tradus de la sine înţeles astfel: “de vreme ce elevii buni înţeleg, înseamnă că e vina celorlalţi că nu pricep nimic”, sau mult mai dura formă “nu-i vina mea că-s bătuţi în cap!”.

Din păcate de multe ori nici măcar cei buni nu pot duce pe durată acest stil de lecţii, doar că aceştia au acasă pe cineva care-i “dopează” cu matematică. În felul acesta, de multe ori lecţia de matematică ajunge să fie ca un fel de meci de tenis între doi adulţi – profesorul de la clasă, respectiv părintele de acasă (sau un profesor particular), ambi deosebit de ambiţioşi – elevul respectiv reprezentând oarecum mingea cu care are loc acest joc; ceilalţi elevi ai clasei pot fi imaginaţi în acest sens ca multe alte mingi ce stau pasive pe teren, fiecare pe unde s-a oprit (am cunoscut inclusiv situaţia când profesorul de la clasă n-ar participa la un astfel de meci, dar părintele mult prea ambiţios ridică singur ştacheta şi are pretenţii în consecinţă).

Uneori am impresia că mulţi colegi vorbesc ca şi cum în spatele clasei ar exista o cameră conectată tot timpul la biroul inspectorului de matematică. Astfel, fiecare se străduieşte să vorbească supercorect din punct de vedere teoretic, dar şi la nivel înalt din punct de vedere a performaţiei matematice. Această atitudine ne este “intrată în sânge” pe baza faptului că la orele deschise se oişnuia a-l corecta pe cel de la tablă (în discuţia de după). Şi eu am fost uneori agresat în acest fel şi de fiecare dată “mă cruceam” că găseau unii să comenteze, doar-doar se va înţelege cât de “superiori” sunt ei (eu m-am oferit de câteva ori să ţin lecţii deschise benevol, iar de fiecare dată lecţia conţinea elemente novatoare; totuşi am trăit şi situaţia că o persoană îngâmfată să vadă cine-ştie-ce chichiţă de care să se lege).

Vorbeam despre un nivel mult prea înalt pentru majoritatea elevilor. În acest sens merită să accentuez că mulţi profesori consideră că este sub demnitatea lor de “matematicieni” să coboare ştacheta dificultăţii teoretice, pentru a accesibiliza lecţiile (după cum am spus, nici elevii nu “se omoară” să fie mai atenţi, dar acesta este un alt subiect, despre care deja am vorbit). Mulţi profesori tineri nu au nici cea mai mică şansă de a ieşi din această stare, deoarece ei sunt a doua generaţie de profesori ce predau astfel: deja şi profesorii lor au predat aşa în anii ’90 şi începutul anilor ‘2000, iar tinerii colegi au în mintea lor doar acest model. Ei aşa ştiu şi doar aşa pot; orice altceva nu înţeleg.

EGPD2 Preocuparea epsilonică pentru formarea gândirii la elevi reprezintă o consecinţă firească a primei categorii de predare defectuoasă. Mă refer aici la concentrarea multor colegi doar asupra lecţiei lor, singurul pas înspre elevi fiind în direcţia cerinţei memorării informaţiilor şi a reţetelor de către aceştia, considerând că această cale este suficientă pentru obţinerea rezultatelor la examene. Cu alte cuvinte, vorbim de reducerea activităţii matematice a elevilor doar la jumătatea constând în reţete, neglijând total gândirea spontană. Se neglijează astfel unul din obiectivele educative universale ale matematicii, anume chiar formarea gândirii logice raţionale, ce ne învaţă şi ne antrenează capacitatea de analiză a unei situaţii noi şi deducerea paşilor de urmat pentru rezolvarea problemei şi atingerea scopului respectiv, nu numai în matematică, ci în în general în viaţa de zi cu zi, în situaţiile din viaţă ce trebuie rezolvate pentru a merge înainte.

Faptul că din partea profesorilor de matematică se simte o lipsa totală a preocupării pentru formarea gândirii la elevi, acest fapt îl poate percepe oricine, doar profesorii în cauză nu-l văd defel (majoritatea!). Ultima dată mi-a fost reclamat acest fapt în urmă cu câteva zile. Oricine este cât de cât detaşat faţă de sistemul şcolar oficial, dar suficient de implicat în ideea de matematică, poate vedea această realitate; doar profesorimea împreună cu tot aparatul ce o conduce nu sunt în stare să o perceapă, iar asta este o altă mare deficienţă a sistemului birocratic în care trăim, anume că nu se poate autodiagnostica în mod sănătos şi realist.

Dar cum s-ar forma gândirea logică la elevi? Acesta este un alt subiect, despre care nu mi-am propus să discut acum, însă simplul fapt că formarea gândirii în ansamblu nu se află printre obiectivele sistemului şcolar, asta spune multe despre situaţie. Cum gândesc colegii că apare gândirea logică la elevi, mai exact faptul că această întrebare nu se află printre preocupările profesorilor, aceasta reprezintă însă o mare durere (adică ar trebui să reprezinte o mare durere la nivel naţional, pentru cei care gândesc logic, ce-i drept o minoritate). Oare gândirea logică apare aşa, din întâmplare la copii? Poate că apare la unii în mod spontan (cum era micul Carl-Friedrich Gauss, atunci în clasa I, pe vremuri, spre finele secolului XVIII). Dar la cei mai mulţi copii gândirea logică apare condiţionat de ambienţa sa, fie prin imitaţie de la cei din jur (din familie, până la 7-9 ani, acolo unde acest tip de gândire există pentru a fi imitată) sau prin raţionare comună asupra unor subiecte, cu răbdare, prin formare de către învăţătoare (Câte se preocupă de asta? Că timp ar avea ceva mai mult decât profesorii!) sau de către profesori. Dar – vor răspunde toţi profesorii în cor – “Cine are timp pentru aşa ceva? Noi avem o programă de parcurs, noi avem probleme grele de rezolvat. Cine să aibă timp de formarea gândirii celor mici?”. Permiteţi-mi să abandonez acest subiect, aşa “în coadă de peşte”.

EGPD3 Neglijarea totală a construcţiilor geometrice exacte şi a legăturiilor acestora cu gândirea demonstraţiilor, cu fenomenul raţionării în geometrie, acesta este un al treilea exemplu despre care doresc să atrag atenţia (un exemplu ceva mai punctual, care la rândul său derivă desigur din precedentul exemplu discutat). Pentru cei care încă nu s-au interesat de subiect şi de profunzimea sa, este vorba practic de neglijarea formării şi întreţinerii conexiunilor între cele două emisfere cerebrale. Astfel, actualii elevi dresaţi doar în partea algebrică a matematicii nu sunt în ansamblu mai înteligenţi decât cei nematematicieni în activităţile practice; mai mult, punându-se accent doar pe partea de algoritm în toată şcoala, nici cei nematematicieni nu evoluează în sensul inteligenţelor practice. Per ansamblu, actualul tip de matematică (aflată pe val de zeci de ani, inclusiv pentru că aceasta se cere la examene) nu contribuie cu mare lucru la formarea unor oameni mai inteligenţi, de care să beneficieze ulterior societatea românească. Dar formarea inteligenţelor practice şi a conexiunilor acestora cu inteligenţele teoretice se află pe locul 1001 în lista preocupărilor matematicii şcolare din România. Însă şi formarea celorlalte inteligenţe suferă intens la orele de matematică, cum ar fi de pildă inteligenţa emoţională.

De peste zece ani aud de la diferiţi copii (ce au de a face şi cu alţi profesori) că desenul nu contează la geometrie (exactitatea acestuia, exemplul clasic fiind desenarea unui triunghi isoscel la orice problemă cu triunghiuri oarecare). Aceşti copii de fapt nu caută să înţeleagă o demonstraţie; pentru ei demonstraţia geometrică este doar o nouă “rezolvare stupidă” ce trebuie învăţată pe de rost “şi la ce ne mai trebuie desenul acela stupid?” Mulţi oricum nu văd legătura dintre desen şi demonstraţia scrisă alăturat. Trendul a ajuns să fie confirmat şi dinspre minister: în cadrul noii forme de teste pentru Evaluarea Naţională (valabilă din 2021) elevii nu mai trebuie să deseneze nimic (cel mult să traseze o linie, două, în plus pe o figură gata imprimată). Asta va încuraja şi mai mult profesorii să neglijeze la clasă realizarea corectă a figurilor geometrice, aducând pentru eficienţa de timp doar figuri gata imprimate la activitatea orei, cât şi a temei. Pseudo-abilitatea de a gândi geometria ce se cultivă astfel la elevi este similară cu “muzicalitatea” ce mi-am dezvoltat-o eu în ultimii 20 de ani ascultând foarte mult muzică de operă (Verdi, Puccini, Mozart, Donizetti, ştiţi, chestii din alea ca Nesun Dorma, Traviata, Nabucco etc.). Dar să nu mă pui să le şi cânt, că te iei de cap!

De fapt trendul este mult, mult mai vechi. Deja în urmă cu 10 ani fiul meu a avut la facultate (în cadrul Universităţii tehnice din Cluj), în anul I, în primul semestru un curs de construcţii geometrice cu rigla şi compasul, curs la care chiulea cu mare avânt. Luându-l la discuţii, ne-a adus nişte copii xerox după notiţele unui coleg: erau toate construcţiile şi tehnicile pe care noi le-am făcut în gimnaziu, în finalul anilor ’70. Fiul meu le cunoştea la rândul său, deoarece le făcuseră în cadrul liceului de Arte Plastice (unde a studiat clasele 5-12). Din păcate la alte şcoli profesorii neglijează cu totul acest domeniu (cred că deja din anii ’90), astfel încât profesorii de la facultate au fost nevoiţi să includă construcţiile geometrice la începutul facultăţii (având nevoie de ele în continuare).

Aceste trei categorii de predare defectuoasă mi-au atras mie atenţia în ultimii ani, deşi s-ar putea uşor găsi şi altele. Cred însă că prin acestea se poate obţine o imagine cât-de-cât coerentă asupra fenomenului predării defectuoase întâlnită la ora actuală la mulţi profesori. Totuşi aş aminti aici şi alte două acuze grave ce se pot aduce activităţii profesorilor.

În primul rând, aş dori să amintesc pe scurt situaţia foarte des întâlnită sesizată de dl. profesor Sorin Borodi din Dej cu referire la faptul că elevii nu sunt în stare să facă faţă unei situaţii cu baze clar matematice, dar din afara şcolii. Din câte ţin minte dânsul dădea exemplul unui copil de gimnaziu care nu reuşea să determine cantitatea de medicament de administrat pentru o anumita pisică în funcţie de greutatea acesteia (că doar n-o să spun “în funcţie de masa pisicii”). Ceva similar îmi spunea cu 18 ani în urmă un domn care venisă să-mi facă măsurătorile topografice la un tern proaspăt cumpărat: când terminau facultatea de profil, absolvenţii habar nu aveau despre ce trebuiau să facă practic. Acesta prefera să îi angajeze pe tineri din timpul facultăţii (măcar atunci nu veneau cu pretenţii salariale prea mari), iar el îi învăţa ce trebuie de fapt făcut.

Povestind despre acest articol, fiul nostru (30 ani) a plusat şi mai mult: de fapt foarte mulţi dintre absolvenţii sistemului şcolar obişnuit habar nu au ce vor să facă în continuare (am putea spune că sunt mai rău decât “dezorientaţi”), sunt incapabili să-şi ia viaţa în propriile mâini, aşteptând în continuare să vină cineva, “un adult” şi să le spună ce să facă mai departe (asta pentru că în toată viaţa lor cineva le spusese ce au de făcut, iar ei cel mult fuseseră nişte cuminţi executanţi). Oricum, sistemul nu-i îndrumase spre sinuasa preocupare de a-şi găsi calea potrivită, de a vedea la ce este bun. Sistemul le ceruse doar să tocească ca să ştie la test, apoi puteau să uite, chiar era recomandat să uite, pentru a face loc pentru următoarele toceli, iar drumul acesta culmina cu marea invăţare pentru examen, menită de a te înscrie la o nouă şcoală, acolo unde procesul se relua la un alt nivel ş.a.m.d. Astfel, când termină cu toate şcolile posibile, masterate şi alte doctorate, tânărul este eliberat din această ciudată “captivitate”, în care a trăit de când se ştie, trimis în viaţă să se descurce. Mulţi însă habar nu au ce să facă. Fiul meu a folosit expresia “copiii ăştia” iar când am întrebat “ce copii?”, răspunsul a fost edificator: “ăştia de vârsta mea” (adică de 20-30 ani). Da, avea dreptate, mulţi sunt la acel moment ca nişte copii neajutoraţi. Dar, a cui este vina? Întregul sistem de învăţământ duce spre aşa ceva şi nimeni nu face nimic în a sesiza măcar această situaţie la nivel naţional, darămite să încerce să o şi rezolve cumva, măcar parţial.

Spuneam în articolul iniţial (zero) că aş încadra la zona profesorilor şi inspectorii. Din păcate (sau din fericire?) trebuie să vă decepţionez aici. În aceste articole în care mi-am propus să scot în evidenţă deficienţele, adică să critic, nu am ce să spun foarte multe prin prisma inspectorilor de Cluj, despre a căror activitate mai ştiu câte ceva. Aş putea eventual să scormonesc oarece, poate aş găsi aspecte minore, dar care ar fi eficienţa? Cât despre inspectori la nivel naţional, ştiu şi mai puţine. Discuţia ar putea eventual degenera într-o direcţie regională (maramureşenii-s aşa, oltenii-s aşa etc.), fără relevanţă pentru subiectul nostru. Aşa că despre inspectori mai bine nimic (la fel şi despre directori). Rămâne să facă fiecare această analiză în mod particular, în funcţie de informaţiile deţinute personal.

Merită aici să fac totuşi referire la un reproş general despre care mai auzeam pe vremuri de la unii colegi profesori, care acţiona mai degrabă ca o scuză: ceva de genul “eu nu încerc forme noi de predare ca să nu am eventuale probleme la o inspecţie, că aş fi călcat pe lângă linia oficială”. Poate pe vremuri s-au mai întâmplat astfel de lucruri, dar eu de peste 10 ani n-am mai auzut de aşa ceva (poate se mai întâmplă, dar n-am auzit eu, mai ales că predau oricum într-o şcoală alternativă, unde numai cu aşa ceva ne ocupăm).

Deci să concluzionăm (“fără deci la începutul propoziţiei” se vor trezi unii să comenteze): ştiu că “mă arunc în gura lupului” cu acest articol (fiul meu a râs bine când a aflat de demers: “şi o să pui asta apoi pe facebook-ul profesorilor?” Da!), dar visez ca prin acesta să fi trezit în cât mai mulţi colegi impulsul de a-şi pune propria activitate sub semnul întrebării, de a se auto-analiza şi mai ales de a începe un proces de auto-corectare şi îmbunătăţire a predării. Nu vă mai uitaţi la defectele celorlalţi (în principal elevi şi Minister), găsind la aceştia scuze pentru propriile nereuşite. Încercaţi să găsiţi căi de îmbunătăţire în propria activitate, iar apoi, cu timpul, veţi vedea cum încep să apară şi rezultatele. Se pare că şi Jordan Peterson vorbeşte despre acest demers, de a nu mai găsi scuze în deficienţele celorlalţi, ci de a te concentra pe ce poţi tu să faci mai bine (îmi cer scuze că nu am să dau aici un link în acest sens).

Dar, de ce există astfel de deficienţe în predarea şi în comportamentul profesorilor de matematică? Sursele sunt multiple: de la cele de ordin istoric (“sistemul fanariot”, dar şi sistemul “comunist”), la cele de ordin politic al ultimilor 45 ani (general, dar şi matematic), până la deficienţele sistemice ale societăţii actuale. În articolele următoare voi ajunge şi la aceste aspecte. Înainte de încheiere aş dori să mai amintesc câteva idei găsite pe o fiţuică veche, notate la repezeală dintr-un interviu mai vechi cu d-na Cristina Tunegaru. Citez: De vină pentru calitatea slabă sunt profesorii (… o mare problemă sunt profesorii!). De multe ori profesorul nu răspunde pentru ce face în clasă…. Profesorii pun mai în faţă sarcinile birocratice, intră mai târziu la clasă etc. … Profesorul trebuie să-şi asume responsabilitatea pentru rezultatele slabe ale elevilor. (dintr-o emisiune la Europa FM, Piaţa Victoriei?)

În momentul audierii acelui articol eu am notat următoarea proprie replică: profesorilor li se cere prea mult (într-o paletă mult prea largă, de la elevi foarte buni la cei foarte slabi). Soţia mea a avut următoarea reacţie: mă enervează că suntem cercetaţi cu lupa de către alţii. De ce nu sunt cercetaţi şi politicienii (decidenţii în învăţământ)? Constantin Titus Grigorovici