Fracţiile algebrice şi “experimentele” pe diferite generaţii (Programa de examen şi urmările acesteia)

La începutul anului 2022 reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant; au făcut-o alţii probabil mult mai bine decât aş face-o eu. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă (pentru cine s-ar face că nu ştie), precizez deci că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a, luată ca atare, este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau la clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere (adică la televiziune), numărul variantei ce se va da; deci numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Haideţi să vedem însă care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca. 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum.

Unii s-au apucat de învăţat cinstit şi cum trebuie. Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru cele 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu partea de răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare sau demonstraţie. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100 de copiuţe, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru a-ţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Ca o paranteză fiind spus, faptul că prin această mişcare nu s-a rezolvat problema furtului la examene, ci doar s-a mutat la un alt nivel şi la o cu totul altă scară, acest fapt avea să fie recunoscut în următorii ani, astfel încât peste 5 ani aveau să se introducă camerele şi înregistrările pentru supravegherea examenelor. Nici acest mod de oprire a copiatului nu a funcţionat din prima, următorii ani aducând un proces de adaptare şi creştere a performanţei de supraveghere. La ora actuală, din punct de vedere a furtului la examene, lucrurile sunt cât de cât sub control. Dar să revenim la momentul celor 100 de variante.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvara lui 2007. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. În acest timp un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev, cât şi situaţia în faţa căreia eram puşi noi, profesorii de acest fel de raţionament.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a putut, pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze (numai Tudor Chirilă a copiat şi la mate şi la sport!).

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine (pentru şcoală). Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată astfel încât materia pentru teza unică era masiv redusă faţă de ce ar fi fost normal. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Pentru că, desigur, urmarea ar fi putut fi prevăzută de către orice minte raţională, chiar din toamnă, de la “negocierea” materiei pentru prima teză a anului.  Doi ani la rând capitolul despre cerc de la sfârşitul clasei a 7-a, dar şi corpurile rotunde din finalul clasei a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Şi ce se întâmpla în aceste condiţii? Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?), desigur nici lecţiile despre corpuri rotunde.

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era elevă, însă poate că perioada să coincidă cu vestitele ei meditaţii la matematică despre care s-a lăudat că le dădea. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii deosebit de importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi “s-a uitat în altă parte”.

În altă ordine de idei (ca o paranteză fie spus), înţelegeţi aici de ce am spus de curând că eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie), în contextul schimbărilor pentru anul şcolar 2022-2023.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel; tocmai fusesem numit director, iar situaţia respectivă mă speria extrem). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec de peste Prut, nedifuzabil la radio).

În noile condiţii, care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea pandemică a programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba (aplicându-se acelaşi principiu ca la Lb. Română, materia D-nei Ministru din acel moment). În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice (de ce a fost exclusă această temă de parcurs în noiembrie?).

D-na Ministru a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, subiect cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe această temă. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (2021-2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că şi fracţiile algebrice sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru aceste în felul cum am făcut-o pentru ariile şi volumele corpurilor. Însă cu elevii mei le-am parcurs scurt, prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, în acest sens ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă. Unii profesori doar se vor mira “tâmp” de aceste generaţii care “sunt mult mai slabe ca înainte de pandemie”, negândind că de fapt este vina sistemului (autorităţile care au pierdut subiectul pe drum + profesorii care n-au avut conştienţa că trebuie să acţioneze ca o plasă de siguranţă pentru sistemul de cunoştinţe şi de gândire a elevilor).

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, pentru a fi incluse în materia de examen măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru respectivul demers, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022.

În concluzie, despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului în şcoli. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. De pildă, nimeni nu pune în discuţie chinuirea elevilor prin forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bézout), ca actualmente polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC. Pentru mine aceste gânduri poartă o durere adâncă. Rămâne de văzut dacă se poate gândi un sistem de programă care să prevină pe viitor posibilitatea apariţiilor de astfel de situaţii (acest subiect însă cu altă ocazie). CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

Şi în contextul copiatului la examene avem experienţe interesante. La BAC de pildă, întrebat fiind fiiul nostru de ce s-a înscris la proba de psihologie, pentru că “noi suntem fiinţe raţionale”, nu suntem buni la tocit, răsunsul său a fost elocvent: lasă Mamă, că am calculat şi oricum voi fi în faţa sau în spatele Mariei, şi ea le ştie bine (adică ea are capacitatea de tocit; am schimbat desigur numele colegei). Da, şi aşa a fost. Apoi, anul următor s-au introdus camerele de supraveghere.

Ministrul Educaţiei, geometria vectorială şi renunţarea la semestre

Domnii din Deşteptarea la Europa FMVlad Petreanu, George Zafiu şi Luca Pastia – au luat spre analiză – cândva, prin februarie – spusele D-lui Ministru despre materia mult prea încărcată, pe exemplul geometriei vectoriale, dar şi despre “reintroducerea trimestrelor”. Merită să-i ascultaţi pe podcast la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ . Căutaţi emisiunea din 16 februarie 2022, porniţi înregisrarea la minutul 8:30 şi ascultaţi câteva minute despre vectori, dar urmăriţi apoi emisiunea până la min. 23:00, ascultând şi pasajul despre trimestre vs. semestre.

Prima parte este despre vectori şi în general despre materii care nu le-au plăcut ascultătorilor când erau elevi. A doua parte (cam după minutul 16), conţine o “analiză” a situaţiei de după introducerea semestrelor şi “revenirea la trimestre”, care “e mai multe” (3 > 2). Emisiunea este din februarie, dinaintea deşteptării din hibernare a marelui urs (de când pregătisem şi postarea, în forma de atunci). Între timp am aflat că nu vom reveni de la 2 la 3, ci vom trece chiar la 5. Aha! Deci aşa vom creşte calitatea şcolii româneşti! Acum am înţeles! Da, da! Pentru că 5 > 3 > 2. Evident! g.e.d.

Ştiţi ce problemă m-a “chinuit” pe mine chiar din timpul şcolii, dar şi mai târziu: oare, de ce le spunea trimestre? Pentru că erau 3? Adică pentru că anul şcolar era împărţit în trei părţi (fapt susţinut de ideea de semestru, de la semi, adică jumătate)? Sau pentru că erau de cca. 3 luni (cel puţin primul)? Pentru că în economie anul calendaristic era împărţit în patru trimestre, fiecare de câte trei luni. Oare cum trebuie deci înţeles cuvântul trimestru?

Oricum – vorbesc serios acum, renunţând la tonul de pamflet – eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie). Acesta este însă un alt subiect, pe care-l voi trata cu o altă ocazie. Acelaşi lucru mă gândesc să-l fac şi cu subiectul celor 5 “pentamestre” în care va fi împărţit anul şcolar de la toamnă (în linii mari sunt de acord şi cu această mişcare, dar să vedem concret cum se va întâmpla; îmi este frică de un gol de directive, ca apoi să vezi ce le va mai trece unora prin cap!). Titus Pentatonicus

Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (1)

De curând am atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, în care era prezentată o altă demonstraţie – una mult mai vizuală – dintr-un manual nemţesc. Am pus atunci doar link-ul articolului, cu scurte comentarii, pentru că eram în mare criză de timp (voi explica mai jos de ce). Iată din nou link-ul respectiv https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ , însă acest articol este de fapt reluat de pe blogul CEAE https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ . Specialiştilor de la CEAE Centrul de evaluare şi analize educaţionale trebuie să le mulţumim pentru acest articol minunat, ce pune degetul pe o rană veche şi profundă a şcolii gimnaziale româneşti. În schimb portalul edupedu.ro l-a mediatizat şi a adunat câteva comentarii sugestive despre atitudinea breslei noastre. În acest eseu aş vrea să prezint câteva aspecte legate de subiectul respectiv, într-o gamă largă, dar înainte doresc să fac o scurtă prezentare a celor găsite în comentariile la articolul respectiv, sub forma unui:

A.S. (ante scriptum) Am publicat postarea respectivă în mare grabă, nevrând să intru în alte detalii, dar gândul mi-a rămar la câteva comentarii pline de îngâmfare, cu accente de răutate, chiar belicoase, în câteva puncte cu tente de-a dreptul naţionaliste, de care avem tot mai des parte pe plaiurile mioritice. Reiau aici comentariile la articolul respectiv acumulate în zilele ce-au urmat:

C1) (31,03.2022) E foarte bine cum se face in Romania si in conformitate cu cunoștințele precedente. Restul demonstratilor sunt bune ca proiect dar sa nu le exageram rolul.
Este specific învățământului german sa impresioneze elevul cu aplicatii ale chestiunilor pe care urmeaza sa le invete dar sa nu exageram rolul acestora in efortul de a intelege si aplica teoria. Entuziasmul initial se pierde la fel de repede si la noi si la ei. Diferenta principala cu care sunt doar partial de acord este selectarea elevilor de mici dupa posibilitățile cognitive.

C2) (31.03.2022) Articolul pare cam… ridicol. Există și la noi astfel de demonstrații… Hai să fim serioși! Să nu credem că numai ce este nemțesc e bun! Așa ne-am păcălit la alegeri…

C2′) (2.04.2022) Aveți dreptate, dar cred că, la alegerea lui Ioanis a avut un rol important și aplicarea metodei Clotilde Armand.

C3) (4.04.2022) Această demonstrație o aveam, când eram elev, in clasa a7a în manual. Cât despre nemți, încă mai au mult de învățat de la noi, la toate capitolele metodice școlare. Aici chiar stăm foarte bine!

Oare, chiar ar merita să analizăm en-detail afirmaţiile din aceste comentarii? Unele au în conţinut şi elemente metodico-didactice (în primul comentariu e o idee interesantă, dar şi în al treilea). Din păcate, însă, predomină pasajele cu tentă îngâmfat-răutăcioasă, de tipul “du-te mă, că nici la nemţi nu umblă câinii cu colaci în coadă” sau “învăţământul nostru este cel-mai-cel din toată lumea!”. Nu doresc să vin cu replici la acelaşi nivel (deşi îmi stau pe limbă câteva). Psihologia întâmplării merită totuşi comentată şi tratată, dar pe un plan ceva mai ridicat al discuţiilor.

Din start trebuie să precizez că sunt într-u totul de acord cu linia articoluluide pe CEAE, dar totodată trebuie să precizez un aspect: finalul titlului – o comparaţie cu România – este într-adevăr provocator pentru profesorii care consideră învăţământul matematic românesc ca deosebit de performant. Astfel de observaţii sunt foarte bune, absolut justificate, dar ar trebuie aduse cu mai multă precauţie, pentru a nu stârni reacţii de felul celor citate mai sus.

*

Să trecem la lucruri mai serioase, cu tentă pedagogică, deşi trebuie să recunosc, că cele ce urmează se doresc a fi un fel de răspuns la comentariile redate mai sus. În paralel, veţi vedea cum întâmplarea cu acest articol se leagă în mod ciudat cu evenimentele din viaţa mea din aceste zile. Aşadar, să purcedem la analiza oportunităţii studierii altor demonstraţii la teorema lui Pitagora şi a alegerii acestora într-un mod cât mai potrivit posibilităţilor şi nevoilor elevilor.

Pentru început doresc să evoc o întâmplare ce mi-a fost povestită de o colegă ce a participat cu ani în urmă la o întâlnire de profesori din toată Europa de est (parcă era vorba de Riga). Cu ocazia respectivă s-au organizat şi nişte grupe de lucru, iar la grupa de matematică profesorul care conducea activitatea (iar un neamţ, dar staţi liniştiţi, îndată apar şi americanii), acesta a venit cu următoarea întrebare: “Cine ştie o altă demonstraţie la teorema lui Pitagora?”. Şi nimeni n-a ştiut vreuna. Este evident că avem de-a face cu o problemă generală: există o cale aleasă cândva ca “cea mai bună” (aia prin teorema catetei) şi de-atunci toată lumea merge docil pe aceasta; la ora actuală o mare parte dintre profesori nici nu mai cunosc alte demonstraţii.

Părerea mea este că cel târziu la cursurile de metodică din facultăţile de matematică lucrarea lui Mihu Cerchez ar trebui inclusă ca bibliografie obligatorie (Mihu Cerchez – Pitagora, Ed. Academiei, 1986, azi 12,60 lei la o simplă căutare pe net). Actualmente nu o am la îndemână, dar ţin minte că ar avea ceva de genul 55 de demonstraţii la teorema lui Pitagora (afirmaţie neverificată). În culegerea de geometrie ce am scris-o (Ed. Humanitas Educaţional, 2006, staţi liniştiţi, nu se mai găseşte pe piaţă) am inclus în final 12 demonstraţii, două dintre acestea care nu sunt la Mihu Cerchez.

Demonstraţia principală evocată în articolul CEAE/edupedu.ro (cea cu patru triunghiuri rearanjate în cadrul unui pătrat) este şi în cartea lui Mihu Cherchez, fiind una dintre cele mai cunoscute şi mai “vizuale”, mai accesibile copilului cu cunoştinţe elementare; o vezi şi o înţelegi imediat fără să fie nevoie de cine-ştie ce explicaţii complicate, de pildă pe bază de alte teoreme mai abstracte (desigur că ulterior poate fi şi aceasta redactată frumos ca demonstraţie). Împreună cu soţia mea o numim “demonstraţie cu şerveţele”.

Atât demonstraţia din manualul nemţesc, cât şi filmuleţul de pe youtube, prezentate în articolul CEAE/edupedu.ro au avantajul că se bazează în principal doar pe arii, adică nu folosesc elemente prea intelectuale, mai greu accesibile elevului de rând (teorema catetei, respectiv asemănarea triunghiurilor necesară pe drumul de demonstrare a teoremei catetei; nici factorul comun nu le este cu adevărat clar multor elevi; chiar dacă aparent îl ştiu aplica, mulţi elevi îl fac ca un element de dresură, iar pasul din demonstraţia tradiţională le apare ca un număr de magie total neînţeles, bun doar de copiat în caiet, că “de aia am venit la şcoală”). Or, ariile – atât a pătratului şi a dreptunghiului – reprezintă fenomene deosebit de accesibile înţelegerii intuitive a copilului mediu, fiind cunoscute oricum din clasa a 5-a. Pentu elevi o astfel de demonstraţie este deosebit de accesibilă, chiar atrăgătoare (appealing ar zice americanul).

În plus, după cum am scos în evidenţă în articolele paralele din această perioadă, cele despre inspiraţia din culegerea Prof. A. Hollinger, pentru elevi sunt mult mai clare şi mai accesibile demonstraţiile vizuale, cele vizibile chiar la nivel oral într-o figură ataşată alăturat, demosnstraţii care ulterior se redactează şi în scris. Dimpotrivă, demonstraţia uzuală în manualele din România, dar mai ales în mentalul majorităţii profesorilor (la care se pare că unii ţin cu mare îndârjire şi – nu ştiu de unde – cu mult patriotism, împănat cu profunde înclinaţii naţionaliste), această demonstraţie este una mult mai teoretică, cu tente clare de calcul, adică nevizibile pe figură fără a face calculul. Despre demonstraţia prin teorema catetei putem spune cel puţin că este o demonstraţie greu “vizibilă” pentru foarte mulţi elevi. Apropos, cunoaşteţi reprezentarea prin arii a teoremei catetei şi legătura acesteia cu vizualizarea  demonstraţiei teoremei lui Pitagora tot prin arii? E simplă: pătratul construit în exteriorul triunghiului dreptunghic pe ipotenuză este tăiat în două părţi inegale prin prelungirea înălţimii; pătratul unei catete este astfel echivalent cu dreptunghiul parte a pătratului ipotenuzei corespunzător.

Chiar dacă poate nu-i neapărat întotdeauna adevărat, merită să scot aici în evidenţă cum se văd lucrurile legat de îndârjirea cu care mulţi profesori români ţin la demonstraţia la care se ajunge doar pe drumul “asemănarea triunghiurilor + teorema catetei”, aparent refuzând demonstraţiile pe bază de arii. Arată ca şi cum se doreşte ca demonstraţia teoremei lui Pitagora să fie accesibilă doar celor mai buni elevi, nici într-un caz elevilor de rând. Cum am mai spus, această demonstraţie este resimţită de mulţi elevi ca un fel de “număr de magie matematică”, cărora nu le înţeleg nici măcar “poanta”, darămite să înţeleagă şi cum, şi ce s-a întâmplat în aceasta, sau ce rol are ea (adică faptul că relaţia din teorema lui Pitagora s-ar cere demonstrată; mai ales după ce au văzut că în clasa a 6-a le-a fost dată pur şi simplu, adică fără demonstraţie. “De ce? pentru ce?” ar întreba mulţi elevi; “da’ ce-are dacă n-o facem?“; “la ce-i bună?“). Or, magia matematică devine educativă, are sens adică, doar dacă ulterior o poţi şi înţelege, adică o poţi desluşi, ai mai înţeles o bucăţică de matematică. Pentru asta ea trebuie însă să fie măcar ca rezultat atractivă şi intrigantă; ceea ce nici măcar atât nu este pentru majoritatea copiilor (majoritatea profesorilor prezintă textul teoremei cât mai încărcat, încă folosind şi cuvântul “lungime”, ţinând cu dinţii de poziţionarea teoremei în zona numnerică: “pătratele lungimilor catetelor” în loc de “pătratele catetelor”, care ar lăsa deschisă portiţa spre înţelegerea ca “ariile pătratelor catetelor”). Cei mai mulţi elevi nici măcar nu-şi dau seama că s-a întâmplat ceva cu totul special (unul dintre momentele cele mai speciale din toată istoria ştiinţei universale); ei doar au copiat demonstraţia de pe tablă cu “poziţia ghiocel” în suflet. Singurul lucru bine şi profund înţeles de către majoritatea elevilor este că ei nu pot pricepe materia asta, că ei sunt de fapt proşti! Dar să revenim la multitudinea de demonstraţii ale celei mai cunoscute teoreme din toate timpurile.

Tocmai când apăruse articolul respectiv pe edupedu.ro eu urma să-mi încep participarea la un curs de împrospătare pentru profesorii din şcolile Waldorf, organizat la Kassel în Germania (Refresher Course); de aici şi foarte scurta trimitere către articol. De fapt au fost două cursuri paralele: cel în limba germană, organizat fizic la Kassel, cât şi cel online în limba engleză, organizat în urma entuziasmului la nivel mondial în urma ediţiei din 2021 (atunci au fost tot două cursuri paralele, unul în germană iar celălalt în engleză, dar ambele online; până în 2019 se organizau în săptămâna de la Kassel diferite cursuri într-una sau în cealaltă din limbi, iar conferinţele comune se traduceau oricum în cealaltă limbă). Tema principală a cursului de anul acesta a fost clasa a 9-a (ca vârstă potrivindu-se mai degrabă cu clasa a 8-a de la noi).

La una din conferinţe ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik din America. Şi “ghici ciupercă” despre ce ne-a vorbit dânsa? Despre demonstraţii la teorema lui Pitagora! Da! Mai exact, despre diferitele demonstraţii ale acestei teoreme şi despre folosirea lor la clasă, despre uimirea ce poate fi trezită în sufletul elevilor prin acestea. Pentru cei interesaţi de subiect, dânsa ne-a vorbit despre cartea din perioada interbelică The Pythagorean Proposition, avându-l ca autor pe Elisha S. Looms, carte ce conţine sute de demonstraţii, cât şi alte curiozităţi legate de teorema lui Pitagora. Pentru doritori, lucrarea se găseşte pe net scanată în format pdf (eu mi-am salvat-o deja din ziua conferinţei, într-o ediţie din 1940).

Ce-i mai interesant însă de-abia acum vine: d-na Plotnik ne-a vorbit că dânsa le dă elevilor (în grupe de câte 2) câte o astfel de demonstraţie doar cu construcţiile iniţiale, lăsându-i pe elevi să caute, să “sape” (poate 2-3 zile la rând), să cerceteze ce găsesc în acea figură şi ce se poate deduce de acolo, în ultimă instanţă cum se poate obţine afirmaţia din teorema lui Pitagora pe baza celor din acea figură. Vedem cum aici lucrurile se întâlnesc cu cele sugerate de către autorul primului comentariu la articolul de pe edupedu.ro (Restul demonstratilor sunt bune ca proiect).

Cât despre exagerarea rolului acestora (ca replică respectivului coleg), n-am înţeles cine a exagerat ceva: doar vorbind despre ele argumentat reprezintă deja o exagerare? Doar evidenţiind clare avantaje metodico-didactice ale acestora înseamnă că se exagerează? Într-un singur articol? În afara articolelor mele rebele, de “lup singuratic”, cine a mai vorbit despre aceste aspecte, astfel încât să se poată susţine ideea de exagerare?

Atitudinea respectivă le este cunoscută celor mai în vârstă din vremurile comuniste, mai ales din anii ’80, când orice sau oricine călca “pe de lângă” faţă de linia oficială era automat privit ca mare trădare şi contra-atacat cu multă îndârjire, uneori “în haită”, de către cei care erau responsabili de păstrarea canoanelor vremii, sau de cei care se simţeau bine în acestea (în mod similar, pe vremuri biserica catolică îi clasifica pe unii ca eretici). Cred că exagerarea vine mai degrabă în sens opus, din partea celor care refuză cu totul o mare “felie” din cultura matematicii mondiale. Pentru că da, multitudinea şi varietatea demonstraţiilor teoremei lui Pitagora poate fi clar catalogată drept o “bună felie” de matematică, deosebit de potrivită pentru a fi folosită în scop şcolar, pedagogic, conţinând variate şi surprinzătoare aplicaţii. Lasă că exagerez eu acum, analizându-le de-a fir-a-păr, făcându-le chiar “teoria chibritului”.

Dar, de fapt, ce spunea d-na Plotnik? Spunea că dintre acestea se pot alege suficiente exemple, pe baza cărora elevii să vieţuiască varietatea aproape nemărginită a demonstraţiei matematice, dar şi a gândirii umane (în condiţiile de faţă, nici nu mă gândesc să vă spun cât de mult timp, mai exact câte ore îşi alocă dânsa pentru aceste “proiecte”). Iar lucrarea respectivă, cu câte demonstraţii are, sigur oferă şi exemple vizuale şi accesibile, pentru elevii mai “începători” în ale raţionamentului matematic, dar şi demonstraţii dificile, ca provocări pentru elevii mai buni la matematică, pentru cei care au înţeles şi lecţiile mai grele.

Îmi permit să redau aici exemplul prezentat de d-na Plotnik în timpul conferinţei de marţi 12 aprilie (cu notaţiile puţin schimbate faţă de cele din antologia sus menţionată). Deci, considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A şi algem pe drepta BC punctele E şi F astfel încât BE = BA = BF, să zicem E în exteriorul ipotenuzei [BC] iar F pe ipotenuză. Demonstraţi pe baza acestor date relaţia din teorema lui Pitagora (cam aşa am înţeles că le dă dânsa elevilor sarcina de lucru). Pentru fluenţa citirii acestui articol dau imediat şi o figură (aşa cum sugera chiar Profesorul Hollinger):

Nu dau şi demonstraţia, ci vă las dvs. bucuria de a o găsi (dacă nu cumva o cunoaşteţi deja sau tocmai aţi găsit-o). Precizez însă că demonstraţia conţine o frumoasă varietate de elemente: primul pas se bazează pe faptul că un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic (reciproca “medianei pe ipotenuză”, sau “Cercul lui Thales” cum este cunoscut de către unii prin spaţiul german, chiar şi până mai aproape, prin Ungaria, aceasta fiind prima teoremă demonstrată de un om “ever” – merită să revin în curând la acest subiect). În continuare vine un raţionament interesant cu unghiuri, apoi o foarte ascunsă asemănare de triunghiuri (pe baza cazului UU), iar în final o surprinzătoare aplicaţie a unei formule de calcul prescurtat.

Văzând demonstraţia din acea carte veche, prezentată nouă de către d-na Plotnik, am simţit în suflet o stare apropiată de veneraţie faţă de mintea care a avut ideea construcţiei respective. Cam aşa ceva trebuie că simţeau vechii greci, astfel încât atunci când demonstrau câte una din primele lor teoreme, se duceau apoi la templu şi aduceau o jertfă zeilor pentru inspiraţia cu care fuseseră “ajutaţi”. De pildă, chiar despre marele Pitagora se spune că – după ce a demonstrat propoziţia respectivă – a sacrificat pe altarul zeilor un număr impresionant de boi, iar de atunci toţi boi tremură când aud de teorema lui Pitagora. Şi despre Thales se spune că ar fi sacrificat cel mai mare şi mai frumos bou al său la templu, după ce a demonstrat teorema cu triunghiul înscris in semicerc.

Revenind la demonstraţia de mai sus, trebuie să recunosc sentimentul iniţial cum că mie nu mi-ar fi trecut prin cap aşa ceva. Simţeam toată stima şi tot respectul pentru acea minte umană care a gândit aşa ceva (autorul este pierdut prin vechiile cărţi). În comparaţie cu această minte strălucită, eu am impresia că la ora actuală capacităţile noastre creative în domeniul demonstraţilor pe bază de construcţii ajutătoare sunt mult mai reduse.

Probabil că găsirea acetei demonstraţii n-a fost chiar atât de ieşită din comun, însă asta am simţit eu în zilele de după ce am văzut-o: o curată admiraţie (uneori, probabil că aşa ceva simt şi elevii atunci când noi “le trântim” câte o construcţie sau o demonstraţie ciudată; aceasta se va întâmpla însă doar dacă drumul a fost pregătit lin în sufletul lor; dimpotrivă, dacă-i luăm prea repede, se vor simţi doar covârşiţi, înjosiţi). Revenind cu picioarele pe pământ, probabil că persoana respectivă lucra la cine-ştie-ce problemă şi a observat că figura respectivă duce spre rezultatul din teorema lui Pitagora. Sau, poate a fost altfel? Cine ştie?!

Şi eu am avut o astfel de întâmplare, dar am fost destul de neatent încât să nu-mi dau seama că tocmai ce m-am împiedicat de o demonstraţie la teorema lui Pitagora; ulterior, când am început să studiez acest subiect am regăsit-o: este cea care apare prin cărţi ca descoperită de către fostul preşedinte american Abraham Garfield (1831-1881).

În acest sens, demonstraţia d-nei Plotnik mi-a adus aminte de o alta dintr-un manual românesc de la începutul anilor ’80 (din păcate nu-l am la îndemână), o demonstraţie prin puterea punctului faţă de cerc. Ştiu că aceasta nu mai este în programă, dar poate fi evitată elegant, oferind elevilor mai răsăriţi o demonstraţie interesantă, cu elemente din materia actuală (începutul clasei a 8-a din cauza mutării calculului prescurtat din a 7-a). Iar până la urmă vom constata că aceasta este de fapt aceeaşi demonstraţie ca cea din exemplul d-nei Plotnik, doar că abordată din altă parte (mutând pornirea din zona construcţiilor ajutătoare şi a “cercului lui Thales” în zona unghiurilor înscrise în cerc). Aşadar: Considerăm un cerc de centru O şi un punct exterior P. Prin punctul P trasăm o tangentă la cerc, notând cu T punctul de tangenţă, cât şi o secantă dusă chiar prin centrul cercului, notând cu L şi cu K punctele în care aceasta taie cercul. a) Demonstraţi că PT reprezintă media proporţională între lungimile PL şi PK (adică PT2 = PL · PK); b) Folosind relaţia precedentă, demonstraţi egalitatea din teorema lui Pitagora în triunghiul POT.

Da, cam atâta am avut de spus legat de felul în care merită să privim diversele demonstraţii ale teoremei lui Pitagora şi a modului în care ne raportăm ca profesori la acestea. Demult îmi doream să abordez acest subiect şi să evoc diversele aspecte ce le implică, dar acum gândurile au ajuns ceva mai coapte, fiind în paralel şi stârnite de comentariile prezentate la început. Desigur că sunt conştient că oricând s-ar putea găsi aspecte noi, dar eu mă cam opresc aici în această primă analiză a subiectului. În a doua parte mă voi apleca în detaliu asupra celor spuse în articolul de pe blogul CEAE.

*

Înainte de a încheia acest articol doresc să evoc însă câteva aspecte despre atitudinea cu care “mergem prin viaţă”, respectiv pe ce poziţie ne situăm pe axa modestie-îngâmfare. Pe scurt doresc să prezinte felul în care mă raportez eu personal la tot ce găsesc nou în lumea largă – ar putea spune unii că le caut “cu lumânarea”, oricum cu multă îndârjire şi perseverenţă – în comparaţie cu felul cum blochează alţii orice ajunge nou în faţa lor, orice este diferit de ceea ce reprezintă zona lor de comfort. Pentru că da, multe vin din această poziţionare.

Care multe? Păi, de pildă felul în care învăţământul matematic românesc nu reuşeşte să se debaraseze de vechile paradigme şi să evolueze înspre o pedagogie adaptată şi potrivită secolului XXI. Dacă aşa reacţionăm – precum autorii comentariilor redate la începutul acestui eseu – dacă aşa reacţionăm la orice propunere de schimbare, de îmbunătăţire, de a aduce predarea matematicii din şcolile noastre într-o formă mai potrivită nevoilor şi posibilităţilor actualilor elevi, atunci – iaca – avem pe tavă un dintre cauzele elocvente peantru care şcoala noastră nu reuşeşte să se schimbe, rămânând închistată în tarele trecutului.

Mai exact, aş dori să accentuez asupra felului în care mă raportez eu faţă de matematica cu care mă întâlnesc în contactele ce le am din când în când cu străinii (cursuri sau alte întâlniri cu profesori, dar şi cărţi, actuale sau demult traduse în română). Era o vorbă veche, ceva de genul: dacă nu deschizi o carte cu o profundă stare de veneraţie, atunci nu vei găsi nimic special în aceasta (sau, cam aşa ceva). Nu mai ştiu dacă era vorba despre cărţi în general, sau despre cărţi de matematică, dar sigur dacă nu eşti dotat – fie de la mama natură, fie conştient – cu acea stare de modestie elementară, atunci la orice contact cu matematica străină se vor declanşa în sufletul tău nişte mecanisme de mândrie naţională exagerată (avându-şi originea în implantările făcute de Ceauşescu din anii ’80 “pe creierele românilor”), mecanisme ce te vor împiedica să percepi aspecte noi, ce nu sunt prezente în România.

Anul acesta, la cursul de la Kassel, de pildă, m-am înscris la două cursuri de matematică (fiecare de câte 5 şedinţe a 1,5 ore); în plus a fost acea conferinţă de care am vorbit (1 oră). Ca o paranteză, cursul fiindu-mi plătit din Germania, m-am înscris la tot programul, aşa încât am urmărit de fapt încă cinci conferinţe ce nu aveau treabă cu matematică, dar şi un curs de geografie-geologie de 12 şedinţe a 1,5 ore (ajungând deci doxă în acest subiect). Dar să ştiţi că şi în acest curs de geografie am găsit destule elemente ce le voi putea transborda în predarea mea la matematică.

Desigur că multe lucruri îmi erau cunoscute din cele prezentate (la cursurile de mate), dar m-am bucurat de fiecare aspect nou primit (nou pentru mine). De pildă, la cursul d-lui Robert Neumann despre construcţiile curbelor conice (secţiunile conice, adică parabola, elipsa şi hiperbola, construite cu rigla şi compasul) cunoşteam cca. 60%. Nu-i nimic, m-am bucurat şi-aşa, chiar m-am entuziasmat pentru celelalte 40% idei şi aspecte noi pentru mine. Şi chiar dacă ar fi fost doar 10% material nou, tot mi-ar fi meritat. Desigur că şi la cursul d-nei Birte Vestergaard despre fişele de lucru prin descoperire ştiam foarte multe (din precedentele întâlniri). Nu-i bai, şi aici m-am bucurat de orice nou aspect; şi au fost suficiente.

O singură dată la o participare în “Străinezia” am părăsit un curs, deoarece simţeam că profesorul respectiv chiar “o lălăie” peste nivelul meu de suportabilitate şi nu-mi oferă nimic, dar şi deoarece în pauză văzusem la un curs paralel anumite aspecte fascinante pe nişte planşe rămase atârnate de perete; aşa că am trecut de a doua zi la celălalt curs (l-am anunţat pe acest nou profesor că vreau să vin la dânsul şi gata).

Aşadar, a nu se înţelege însă că mă duc la aceste întâlniri internaţionale “cu capul plecat”. Nici vorbă! Merg demn şi civilizat, cu o stare de echilibru între modestie şi totuşi conştienţa că ştiu foarte multe (că vin dintr-o şcoală matematică bună şi dintr-o familie de matematicieni); particip însă realist, conştient fiind că nu pot să ştiu totul. Nu mă dau mare, dar nici nu-mi este frică să spun ce gândesc, însă îmi caut cu grijă cuvintele pentru a nu jigni; încerc întotdeauna să înţeleg contextul de unde vine un vorbitor (la orice nivel, fie cel care ţine prelegerea, fie un eventual coleg cu care ajung pentru scurt timp într-o grupă de lucru). Ei nu-mi cunosc lumea mea matematică; singurul care poate creea o punte – mie folositoare – sunt chiar eu, aşa încât sunt “cu ochii-n patru” astfel încât să prind orice aspect nou.

Iar după ce le-am înţeles lumea lor, fiţi siguri că am şi eu cu ce “să mă dau mare”, măcar puţin, chiar “pe limba lor”. Fac asta însă doar dacă ajungem să ne împrietenim; eu le spun “cadouri”, pentru că după câte am primit de la ei, trebuie să le ofer şi eu ceva, nu-i aşa?

În acest context, al “cadourilor” am trăit experienţe de toate felurile, de la bune la eşecuri. În astfel de situaţii unii au avut reacţii cu totul speciale: un domn a venit o dată cu cartea scrisă chiar de dânsul, sigilată, spunându-mi că el nu are ceva de aşa mare valoare cum i-am dat eu lui, dar că îmi oferă în gest de apreciere cartea scrisă de dânsul; altă dată un profesor mi-a adus a doua zi o carte (tot sigilată, deci nou cumpărată), un mega curs de matematică al unui mare profesor din sistemul Waldorf. Am avut desigur şi întâmplări opuse, când prietenul respectiv cunoştea tot ce-i arătam eu (drept “cadou”); încă şi plusa cu aspecte noi; în cazul acestui prieten a trebuit să “muncesc” mult ca să-i pot da ceva necunoscut lui (ştia totul, din orice carte, aşa încât l-am putut surprinde doar cu “cadouri” descoperite de mine). Dar oricum, în astfel de cazuri totul se petrece cu o modestie civilizată, fără orice urmă de îngâmfare. Va urma! Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. (post scriptum) Dar, totuşi, că mă tot râcâie ideea: ce treabă are Iohannis cu cine-ştie ce manual din Germania???. Că doar el este profesor de fizică. Apropos, se scrie Iohannis, nu Ioanis. Dacă al doilea “n” ţine de capacitatea de atenţie şi memorare la un nivel elementar pentru orice intelectual ce se respectă (că doar nu vorbesc toţi germana), litera “h” chiar se aude la fiecare pronunţare la televizor sau radio. Mă gândesc cât de dramatică ar fi fost situaţia scrierii numelui său, dacă n-ar fi fost greşeala ofiţerului care i-a scris certificatul de naştere cu litera “i” la început, ci i-ar fi trecut numele corect, ca la taică-su, adică Johannis, deci cu “j”. L-ar fi pronunţat toţi cu “j”, chiar dacă pe germană această literă se citeşte tot un fel de “i” (aşadar, în spaţiul public numele preşedintelui se pronunţă corect; la fel s-ar fi pronunţat şi dacă se scria cu “j”). Oricum, trebuie apreciat că măcar pe d-na Clotilde Armand n-au stâlcit-o. Chiar aşa, însă, dânsa cum a ajuns în această discuţie? Ce treabă are dânsa cu manualul nemţesc? Respectiva divagaţie către zona politică este specifică unei categorii consistente de “internauţi” mioritici şi spune multe despre capacitatea lor de a se concentra pe un anumit subiect dat (mai exact incapacitatea).

Teorema lui Pitagora – despre demonstrarea acesteia pe edupedu.ro

Dragi cititori si iubitori de pentagonia.ro, azi este o zi mare: au început şi alţii să atragă atenţia asupra unuia dintre marile baiuri din predarea matematicii în şcolile româneşti. Dacă încă nu l-aţi citit, făceţi-vă măcar acum timp pentru următorul articol: https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/

Eu m-am preocupat în câteva rânduri de acest subiect, de pildă în seria din primăvara lui 2019 (iată direct adresele: http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , apoi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/ şi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/  în final). După multele strădanii în acest sens, în urma cărora aveam uneori impresia că vorbesc de unul singur, acum pot doar să le mulţumesc colegilor de la edupedu.ro. Apropos, elevii care mi-au arătat prima dată filmuleţul acela de pe youtube când erau în clasa a 7-a, acum sunt în anul doi de facultate. Da, copiii sunt uneori mai treji decât noi, profesorii. Titus pitagoreanul

P.S. Nu vă amăgiţi, acesta nu este nici pe departe singurul bai mare în predarea românească. De pildă în continuare mulţi profesori nu folosesc teorema lui Pitagora în semestrul I din clasa a 7-a, deşi ea este acum cunoscută de către elevi, pentru că “pe creierele” acestor colegi respectiva teoremă apare doar în semestrul al II-lea. Dar dacă tot s-a ivit ocazia vă mai spun unul: azi (!) am vizitat expoziţia despre geniul lui Leonardo da Vinci de la Casa de cultură a studenţilor din Cluj. Într-una din fişele expuse cu imagini din notiţele acestuia ce văd eu? Două-trei desene cu Cercul lui Thales, acea primă teoremă de geometrie dată de un om, aia care spune că un triunghi înscris într-un semicerc este automat dreptunghic, şi care din programa şi din manualele noastre lipseşte de zeci de ani, dar care începe să primească tot mai des aplicaţii în culegerile pregătitoare pentru examenul de EN8 (bănuiesc că privită ca reciprocă a medianei pe ipotenuză, sau ca un caz particular la unghiul înscris în cerc).

Cea mai lungă pauză

Cu o lună în urmă eram entuziasmat de bancul cu pitonul. Mă pregăteam pentru al treilea curs pentru profesorii de matematică din şcolile Waldorf, ce urma a se desfăşura în zilele de 24-25-26 februarie 2022. Eram bucuros de acea postare şi mă gândeam că următoarea va fi peste două săptămâni, imediat după curs, printr-un scurt raport la cele discutate.

Miercuri seara ne-am întâlnit cu colegii la o scurtă conectare pe Meet, pentru ca a doua zi să nu avem surprize la orele de asistenţă de la 8:00. Da, şi cum ştiţi, a doua zi toţi am aflat de brusca trezire din hibernare a marelui urs. Nimeni nu credea cu adevărat că se va întâmpla aşa ceva, dar – după decenii întregi – marele urs s-a trezit brusc, şocând o planetă întreagă. Cu greu v-aş putea explica cum m-am putut concentra ca să-mi ţin cursul. Însă, după curs, nici vorbă să mă pot apuca de scris. Pur şi simplu n-am mai putut scrie. Simţeam că problemele prezentate pe pentagonia.ro nu mai au nici cea mai mică relevanţă şi rost pe lângă suferinţa ce se declanşase în jurul nostru.

Peste două săptămâni, miercuri pe 9 martie, panica a lovit din nou, de data asta sub forma isteriei scumpirii benzinei. Nu puteam crede că se va întâmpla scumpirea de care se vorbea (de la 7 la 12 lei). Raţiunea şi datele acumulate până în acel moment nu mă lăsau să cred aşa ceva. Aşa că am venit acasă liniştit. Ce-i drept aveam şi un avantaj: îmi lipsea din rezervor mai puţin de un sfert. Iar când ministrul energiei a început să iasă pe ecrane şi la microfoane pentru calmarea isteriei, am sunat-o pe mama mea şi i-am mulţumit că m-au învăţat să gândesc.

Da, cam aşa am ajuns la cea mai lungă pauză între două postări de când am pornit acest blog. Dacă reuşim mâine să postăm, vom avea exact o lună de la ultima postare, cea cu pitonul. Încerc să-mi revin şi să încep din nou să scriu, convins fiind că numai aşa pot contribui la creşterea gândirii raţional-empatice în această lume nebună. CTG

Fracţiile algebrice şi experimentele pe diferite generaţii (Programa de examen şi urmările acesteia)

De curând reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere, numărul variantei ce se va da; numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Dar haideţi să vedem care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum. Unii au învăţat cum trebuie.

Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru aţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvară. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. Un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze.

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine. Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată că materia pentru teza unică era masiv redusă. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Doi ani la rând capitolul despre cerc din clasa a 7-a, dar şi corpurile rotunde din clasa a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?).

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era în elevă, dar poate că perioada coincide cu vestitele ei meditaţii despre care s-a lăudat că le dădea la matematică. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi s-a uitat în altă parte.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec nedifuzabil la radio).

Care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba. În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice.

D-na Ministru din acea vreme a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe acest subiect. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (EN 2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru fracţiile algebrice. Însă cu elevii mei le-am făcut scurt prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă.

Despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. Nimeni nu pune în discuţie forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bezout), ca acum polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC.

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru asta, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022. CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

Intraductibilul π

În spaţiu anglofon există o adevărată preocupare la limita dintre termenii folosiţi în matematică şi alte cuvinte. Iată două exemple legate de prietenul nostru π, care tehnic nu pot fi traduse în limba română. Eu le prezint în engleză, după care îmi încerc talentele într-un soi de “traducere” (la primul, pentru că la al doilea chiar nu se poate traduce).

  1. An opinion without 3.14159 is just an onion. (o opinie fără 3,14159 este doar o “onie”, adică, de fapt o ceapă). O traducere mai liberă ar suna astfel: o opinie neargumentată cu date clare valorează cât o ceapă degerată. Pe comentariile din locul respectiv apărea şi un “strigăt” disperat: Guys, this is’nt even funny. Please stop. (Asta nu-i deloc comic. Vă rog opriţi-vă.).
  2. A pig without 14 is 9.8 (Un “porc” fără 3,14 este 9,8). Vă rog, nu mă puneţi să explic acest banc. CTG

Efectul ecranului asupra capacităţii de învăţare, cu scurte priviri asupra matematicii

În articolul despre importanţa atenţiei în procesul de învăţare ne-am lovit de faptul că folosirea ecranului de la vârste tot mai timpurii şi pe durate tot mai mari duce la o degradare puternică a capacităţii de atenţie şi de imaginaţie a elevilor, dar mai ales la o scurtare a duratei în care aceştia sunt capabili să acorde atenţie unei prezentări discursive. Mi-am propus cu această ocazie să abordez în mod separat subiectul, pentru a clarifica aspectele ce la momentul respectiv le-am prezentat neexplicate, doar “pe încredere”.

În articolul respectiv am vorbit despre capacitatea elevului, a elevilor de a acorda atenţie unui subiect extern, un subiect care nu face parte dintre subiectelelor preferate, dar şi despre durata medie a elevilor de a acorda atenţie într-o lecţie. Spuneam că despre acest aspect am auzit în urmă cu peste zece ani, atunci când o prietenă bună s-a întors din Statele Unite după câţiva ani de predat acolo. Ea ne-a povestit atunci despre attention span şi despre faptul că acolo, în “state”, acest interval de atenţie era considerat a fi cam de cca. 6 minute. Cu alte cuvinte, ca profesor n-ai voie să le turui elemente noi de lecţie mai mult de 5-6 minute “dintr-o bucată”, după care trebuie să te opreşti. Pur şi simplu trebuie să te opreşti. În schimb, recomandarea era să le dai imediat exerciţii aplicative (până nu uită ce i-ai învăţat şi ca să le fixeze). Aşadar, elevii sunt în stare să acorde profesorului atenţie pentru un anumit interval de timp, după care “s-a dus cu atenţia” faţă de acel subiect.

Astfel de aspecte nu ne-au fost prezentate la cursurile din facultate, dar nu se discută sistematic, ordonat şi ţintit nici la ora actuală (cel puţin mie nu mi-a fost dat să aud astfel de idei spuse oficial în învăţământul românesc). Este însă posibil ca uneori, mai nou, să apară astfel de idei ca aspecte colaterale, în cadrul diferitelor cursuri (din facultăţi sau de formare continuă).

Dar, de unde s-a ajuns ca în “lumea civilizată” – din care cu multă mândrie începem să facem şi noi parte tot mai mult – cum s-a ajuns ca elevii să aibă o capacitate atât de scurtă de atenţie? Cum spuneam, asta este o întrebare foarte importantă pentru că şi noi ne îndreptăm încet, dar sigur spre acea stare de lucruri. Din câte cunosc, capacitatea de atenţie a copiilor suferă puternic cu cât aceştia petrec mai mult timp în faţa ecranului (în acest domeniu sunt un mic specialist; am parcurs 7 module de câte o săptămână cu dl. Heinz Buddemeier, Profesor la Universitatea din Bremen, Germania, specializat în efectele ecranului asupra oamenilor). Să analizăm acest fenomen. Pentru uşurarea lecturii am fragmentat textul cu o serie de titluri orientative.

ISTORIC AL FOLOSIRII ECRANELOR ÎN ROMÂNIA  La începutul anilor ’90 elevii români aveau în medie un nivel foarte bun de atenţie, deoarece în copilăria lor (înainte de 1990) aceştia nu petrecuseră decât foarte puţin timp în faţa ecranelor. Către finele anilor ’90 şi în primii ani după 2000, atenţia începea să scadă slab, dar vizibil pentru un ochi avizat, deoarece în copilăria elevilor din acei ani îşi făcuseră deja apariţia multiplele canale de televiziune străine difuzate non-stop prin cablu (pe baza cărora mulţi învăţau diferitele limbi străine), dar şi televiziunile comerciale româneşti.

“Vârful de lance” în procesul de împiedicare a dezvoltării sănătoase a copiilor au reprezentat-o desigur canalele de desene animate. La începuturi “intrau” în casele românilor 1-2 canale de desene animate, iar acestea erau de obicei în limbile de unde erau preluate canalele respectivă, aşa încât statul la televizor era însoţit de faptul că micuţul se dovedea că prindea foarte bine limba respectivă. Cu alte cuvinte, se părea că statul la televizor este ceva chiar folositor şi nimeni nu simţea ce se întâmplă pe ascuns în spatele acestui proces.

Părinţii îi lăsau tot mai liniştiţi pe puiuţii lor în faţa televizoarelor, pentru că – e evident – desenele animate nu sunt violente precum filmele pentru adulţi. Astfel, nivelul de atenţie şi capacitatea de a înţelege noile lecţii au scăzut în continuare de-a lungul anilor, odată cu multiplicarea numărului de canale de desene animate (la care, cum am mai spus, părinţii nu vedeau nici cea mai mică problemă, pentru că – nu-i aşa? – sunt făcute pentru copii).

Desigur că şi celelalte canale de televiziune, de muzică, de filme sau de sport, toate având un puternic rol distractiv, cu acel efect atractiv de care nu te prea poţi apăra, toate au contribuit la scăderea capacităţilor generale de învăţare a elevilor. Ca profesor, eu am verbalizat la începutul lui 2005 că percepeam o rupere a capacităţii de atenţie şi de învăţare a elevilor, o surpare a învăţării, ce – simţeam eu că – s-ar fi petrecut cândva între 2000 şi 2004. Simţeam că aceasta s-a petrecut la toate generaţiile deopotrivă, prinzându-i pe fiecare într-o anumită fază de dezvoltare (vezi întâmplarea evocată în P.S.1.). Mă ţin minte că am început să o spun astfel: s-a întâmplat ceva în ultimii 4-5 ani pentru că văd că a scăzut brutal capacitatea şi disponibilitatea de învăţare, la toate vârstele (eu vedeam asta la gimnaziu şi la liceu).

Personal, după ce ne-am dat seama despre fenomen, la al doilea copil al nostru născut în ianuarie 2004, prin vara acelui an (deci pe la vârsta de cca. 6 luni a fetiţei) am luat telecomanda şi am scos în mod manual din memoria televizorului toate canalele de desene animate (din ambele televizoare din casă, atât cel al nostru, cât şi cel din camera soacră-mi). La fiecare rearanjare a posturilor de către compania de distribuţie prin cablu reluam procedura de eliminare a canalelor “pentru copii” din televizoare, conştient că acestea au menirea ascunsă de a creea dependenţa de ecran la copii (distrugerea atenţiei şi a capacităţii de imaginare sunt efecte colaterale).

Cu anii, fiica noastră vedea, când mergeam în vizită, că la alţi oameni în televizor există desene animate, se uita, dar nu era suficient pentru a creea dependenţă. La o anumită vârstă a şi întrebat, iar eu i-am explicat cinstit, dar pe mintea ei (cândva între grădiniţă şi şcoală) că noi nu vrem desene animate la care ea să stea să se “hoalbe” toată ziua (a se holba: eu mă holb, tu te holbi, el/ ea se hoalbă, noi ne holbăm etc.). I-am spus că este mult mai bine ca ea să se joace cât mai mult timp cu ce găseşte, iar noi să-i ctitim cât mai multe poveşti (în la vremea respectivă primea cam trei poveşti pe zi (spuse sau citite): una dimineaţa la grădiniţă sau la şcoală,, una după prânz înainte de somnul de după amiază şi una seara la culcare.

Ea a înţeles foarte bine, iar când a început, prin clasele 3-4 să se uite totuşi uneori la televizor pe canale de gen “teleenciclopedie” (Discovery, Animal Planet sau National Geografic), dacă avea loc o mutare de canale şi apărea pe o poziţie nouă un canal de desene animate, ea mă anunţa: vezi tată că au mutat iar posturile şi au apărut desene animate; trebuie să le scoţi.

Ţin minte, legat de desenele animate din diferitele vizite, unele întâmplări. În primul rând îmi aduc aminte când în televizorul unei prietene am numărat 8 canale pentru copii mari, la care puteam observa clar primele elemente de atragere şi ţinere a copilului “lipit de ecran”. În plus, acolo am conştientizat şi existenţa unuia pentru “începători”, cu destinaţia “canal pentru bebeluşi”. Cu o altă ocazie, într-o vizită la naşii noştri de cununie, Naşa a luat-o la începutul vizitei pe fiică-mea şi a dus-o în dormitor, i-a pornit televizorul pe desene animate şi i-a dat “un suculeţ” (probabil cea mai renumită băutură carbogazoasă, plină de cofeină, ştiţi voi care), precizând nonşalant: “ca să stea cuminte şi s-avem linişte”.

Revenind la procesul de extindere a folosirii ecranelor, printr-o tehnologizare tot mai accentuată şi mai extinsă a acestora în viaţa noastră de zi cu zi, trecem la următorul pas. De la o vreme, procesul s-a accentuat prin apariţia şi extinderea în casele românilor a jocurilor pe calculator, care au prelungit masiv timpul petrecut în faţa ecranelor de către copii de vârste tot mai fragede. Fenomenul jocurilor pe calculator s-a îndreptat mai ales către băieţi. Fetele au mai avut un răgaz de cca. 10 ani până la apariţia şi extinderea folosirii platformelor de socializare, care le-au cucerit masiv, astfel încât şi capacitatea lor de atenţie a ajuns la cote scăzute, la fel ca a băieţilor. Nu mi-am propus tratarea acestor două subiecte în eseul de faţă; ambele ar ocupa mult prea mult spaţiu şi nu au o legătură directă cu învăţarea matematicii.

Apariţia smartphone-urilor în marea majoritate a familiilor, iar de la o vreme – tot mai devreme ca vârstă – chiar şi ca aparate personale ale elevilor (trebuie să-l pot verifica ce face!), folosirea tot mai largă a “deşteptofoanelor” a extins timpul petrecut de către copii mult peste nivelul pe care-l  permiteau aparatele precedente, a căror funcţionare era dependentă de conectarea la priză (TV, calculatoare). Din acest moment copiii se puteau uita la un filmuleţ chiar şi în parc (în general oriunde şi oricât). Nici nu mai vreau să discut aici despre situaţiile în care părinţii achiziţionează maşini cu ecrane în tetiere, pe care pot prezenta copiilor din spate filmuleţe non-stop, în timpul călătoriei.

La generaţia la care am fost diriginte timp de patru ani în gimnaziu (au terminat clasa a 8-a în vara 2021) am conştientizat că ei, cu o aproximaţie destul de bună, sunt cam primii care au avut de când se ştiu ei la dispoziţie măcar un smartphone în familie. Astfel, ei s-au putut uita “dintotdeauna” la filmuleţe, cel puţin când erau împreună cu părinţii. Când le-am spus acest gând, nici măcar unul nu s-au gândit să mă contrazică şi să-mi spună că părinţii nu-i dădeau să se uite sau să se joace pe telefon. În clasa a 5-a mai erau câţiva cu telefoane cu butoane; la intrarea în pandemie toţi aveau deja smartphone-ul personal.

Ecranul a ajuns să fie folosit la ora actuală de către adulţi pentru a-i linişti pe copii, fiind folosit de multe ori ca un amestec între bonă şi sedativ; oricine poate observa destul de repede că, pus în faţa unui program atractiv, copilul nu mai este agitat, nu te mai deranjează, nu-i mai trebuie nimic; ecranul este folosit pe post de liniştitor, un calmant, un anestezic al personalităţii poate prea agitate a copilului. Din păcate însă, prin extinderea folosirii ecranului, copiii nu mai au ocazia să-şi dezvolte şi să-şi antreneze capacităţile de autocontrol şi de acordare a atenţiei (to pay attention!), fără ca atenţia să-i fie “absorbită”, aşa cum o face ecranul cu un filmuleţ atractiv. Cu alte cuvinte, cu cât stă mai mult în faţa ecranului, cu atât copilul devine tot mai dificil.

Folosirea ecranelor de la vârste tot mai fragede şi tot mai multe ore pe zi duce la scăderea capacităţii copiilor de a fi atenţi la un discurs oral, la explicaţii verbale, la lecturarea unui manual, în cazul nostru la o lecţie de matematică. Păi, cum poate concura lecţia unui profesor de matematică cu un filmuleţ gândit doar să producă distracţie instantanee (şi mă abţin aici să dau exemple de filmuleţe sau surse ale acestora).

Lovitura de graţie a fost dată desigur de trecerea forţată la învăţământul online, în care elevii au căpătat dreptul, chiar obligaţia de a petrece masiv timp în faţa ecranelor. Situaţiile în care elevii sunt atenţi şi colaborează la lecţie sunt cât de cât OK, dar toată lumea s-a confruntat cu situaţii de evaziune a atenţiei: câţi elevi fac în timpul lecţiilor cu totul altceva decât să fie cu adevărat în lecţia respectivă? Să nu-mi răspundă cineva că el/ea se descurcă ţinând elevii într-un ritm foarte alert şi sub un stress terorizant, ca nu cumva aceştia să-şi poată permite să facă altceva în timpul orei, pentru că această linie de comportament de fapt crează şi mai tare o impresie de teroare şi repulsie asociată matematicii. Apoi, pot să întreb: ce se întâmplă pe diferite grupuri sociale în pauzele dintre ore? Pentru că sigur nu toţi se duc în pauză la toaletă, iar apoi în bucătărie să bea un pahar de apă.

Pe când am intrat în lockdown în martie 2020, toţi elevii aveau deci în dotare smartphone-uri, calculatoare sau tablete, toate conectate la internet. Vă daţi seama cât timp petrec elevii la ora actuală în faţa ecranelor, cu alte activităţi decât cele legate de şcoală. Băieţii cu diversele jocuri, fetele cu postările pe diferitele reţele de socializare, toţi îşi distrug ordonat şi sistematic minimalele evoluţii de abilităţi necesare învăţării.

Legat de scăderea acestor capacităţi de-a lungul anilor, cred că mulţi profesori au deja experienţele lor. În P.S.2. evoc şi eu o astfel de experienţă. Cât despre petrecerea timpului în faţa ecranelor, de obicei în scop recreativ, mai vreau doar să precizez că atunci când scopul nu mai este unul recreativ, de distracţie, atunci timpul respectiv petrecut în faţa ecranului devine repede o corvoadă; acesta este de multe ori cazul în situaţia predării online.

IMPORTANŢA POVEŞTILOR SPUSE  Să analizăm oarcum comparativ cele două situaţii, pe de-o parte cea tradiţională, dinaintea folosirii masive a ecranului, şi pe de cealaltă parte cea actuală, caracterizată prin omniprezenţa ecranului în viaţa copiilor.

Atunci când un bunic sau un părinte îi spune copilului mic o poveste, sau i-o citeşte, copilul trebuie să fie atent, pentru că altfel cel care citeşte se opreşte automat. De pildă, dacă în timpul audierii poveştii un băieţel începe să se joace cu maşinuţa pe care iniţial doar o ţinea în mână în timp ce asculta povestea, ne putem imagina un dialog de felul următor: văd că nu mai vrei să-ţi citesc, preferi să te joci cu maşinuţa! Ne oprim şi continuăm mâine. Ba nu! răspunde copilul şi pune maşinuţa de-o parte, după care bunica continuă cu povestea. Prin astfel de întâmplări copilul învaţă de mic să dea atenţie pe un anumit interval de timp (cât durează povestea sau pasjul citit, poate 10-15 minute, sau chiar mai mult), să dea atenţie de fapt unui “discurs”. Într-adevăr, poveştile ascultate sunt primele discursuri audiate de copii, acestea fiind deosebit de importante în antrenarea copiilor pentru viitor, pentru periada şcolară.

Să facem însă o paranteză: cineva ar putea concluziona din cele spuse până acum – eu am tot atacat folosirea ecranului, prezentând-o ca dăunătoare – cineva ar putea concluziona însă că putem liniştiţi să-i punem copilului în cameră un CD-player şi să-i dăm CD-uri cu poveşti. Desigur: copilul învaţă repede să-şi pună un disc iar tu ca adult crezi că e OK; important e că el ascultă poveşti iar tu ai timp pentru tine. Total greşit însă.

Pe baza exemplului de dialog de mai sus putem să ne imaginăm un copil care ascultă în camera lui un CD cu poveşti şi în paralel se joacă liniştit cu maşinuţele, merge când vrea la baie, desigur fără să oprească povestea (să o pună pe pauză). O astfel de situaţie este cea mai bună modalitate de a obişnui viitorul elev să nu fie atent în timp ce aude în jurul lui pe cineva vorbind (vorbindu-i). Este clară efectul pe viitor, atunci când cineva (învăţătoarea, profesorul) îi prezintă un set de cunoştinţe, îi predă o lecţie.

Un copil având un astfel de aparat în cameră împreună cu o multitudine de CD-uri, pe care le şi foloseşte nesupravegheat, acesta are asigurat că pe viitor nu va fi capabil să urmărească o prezentare orală, vorbită. Capacitatea lui de a acorda atenţie unei expuneri exterioare va fi foarte redusă. Desigur că, dacă audierea unei poveşti se face sub stricta supraveghere a unui adult responsabil, atunci copilul va dezvolta capacitatea de atenţie şi de concentrare necesară (oprim povestea pentru că văd că vrei să te joci etc., dar acest gest trebuie să se întâmple atunci când copilul este încă, măcar parţial, atent la poveste; dacă el de mult nu mai este atent la poveste, atunci efectul opririi aparatului este insignifiant).

Practic, prin cititul poveştilor, familia întruchipează prima etapă de formare a abilităţilor de atenţie a unui copil. Odată cu mersul la grădiniţă, educatoarele ar trebui să se alăture acestui proces de formare, de antrenare şi extindere a capacităţilor de atenţie prin povestire. De fapt, procesul ar trebui continuat şi la nivelul învăţământului primar.

Trebuie să mai lămurim aici încă un aspect legat de atenţie. În Moldova există o vorbă: se zice că “se strânge lumea ca la urs” (cu referire la obiceul de a merge “cu ursul” în preajma Anului Nou şi a faptului că pe unde apare grupul care merge “cu ursul” se strâng mulţi curioşi; în alte părţi se zice că se uită lumea “ca la circ”, scoţând în evidenţă puterea de atracţie a unor astfel de situaţii). Realitatea este că există anumite lucruri sau întâmplări care au o forţă puternică de a atrage atenţia, mult mai mare decât altele. Dimpotrivă, alte situaţii se dovedesc absolut plictisitoare (parcă sunt gândite din adins ca să respingă atenţia cuiva). Prezentările discursive ale unor profesori au în mod deosebit acest defect.

Filmuleţele au o mare putere de a atrage atenţia; de fapt de asta şi sunt făcute, ca să-ţi prezinte de obicei ceva distractiv, ceva deosebit, astfel încât să stai cu privirea lipită de ecran (principalul ţel al televiziunilor comerciale); pe engleză se foloseşte cuvântul “entertaining”. Lăsând însă copilul de la o generaţie la alta tot mai mult în faţa ecranului, unde filmuleţele vizionate au această forţă mare de atracţie a atenţiei, de fapt copiii nu se mai obişnuiesc să dea ei atenţie, ci sunt atenţi doar dacă atenţia le este atrasă din afară, desigur prin ceva distractiv, oricum prin ceva deosebit.

Poveştile spuse au o putere de atracţie mult mai mică decât poveştile prezentate sub formă de film pe ecran. Un copil care nu a fost obişnuit să “dea atenţie” chiar şi unui nivel scăzut de putere de atracţie (cum este o poveste spusă, adică povestită), fiind obişnuit doar să-i fie “smulsă, suptă” atenţia, un astfel de copil nu va fi în stare să urmărească şi să înţeleagă o prezentare orală dintr-o lecţie. Legat de acest efect îmi vine în minte un cuvânt din germană pentru televizor – “Flimmerkiste” – care ar însemna ceva de genul “cutia pâlpâietoare”, dar se înţelege o pâlpâiere atractivă, sclipitoare, similară cu magia artificiilor, ceva care-ţi atrage automat privirea.

IMAGINAŢIA ŞI FILMUL INTERIOR ASOCIAT UNEI POVEŞTI  Pe lângă distrugerea capacităţii de atenţie de către folosirea pe scară largă a ecranului, am promis din start să ne ocupăm şi de o altă consecinţă negativă a privitului la ecran, anume scăderea capacităţii de a-ţi imagina ceva. Ar trebui aici să folosesc termenul “imaginaţie“, dar trebuie să precizez clar că acestui cuvânt îi este pervertitit sensul în mod uzual. De obicei, când cineva spune că “acest copil are o imaginaţie debordantă” se referă la câte idei îi mai trec prin cap, câte chestii mai “scoate pe gură”, câte năzbâtii mai face etc. În general este vorba însă de lucruri sau gesturi care au intrat în copil înainte, iar în momentul respectiv acesta doar face uz de ele (a văzut diferite filmuleţe pe net sau între colegi, a auzit diferite lucruri de la cei din jur etc.; de la o vreme însă începe şi copilul să devină creativ, plusând faţă de elementele respective). De multe ori este vorba de acţiuni sau idei deranjante (dar şi noi, câte prostii am făcut în copilărie!), dar desigur că pot fi şi elemente clasificabile ca pozitive. Eu însă nu despre această “imaginaţie” vorbesc aici, ci despre capacitatea unui om, respectiv a unui copil, de a-şi imagina ceva, fără ca acest ceva să-i fie prezentat vizual. În principal, mă gândesc la capacitatea copiilor de a-şi imagina în mintea lor ce le este prezentat doar auditiv, adică povestit.

Mai târziu, prezentarea prin viu grai începe să fie înlocuită cu prezentări în scris (într-un proces lung ce se întinde din clasele primare până cândva în clasele gimnaziale, diferind de la un elev la altul). În clasele gimnaziale ne aşteptăm astfel ca elevul, atunci când citeşte un text (o problemă sau un element de teorie), să-şi imagineze în minte situaţia descrisă acolo. Anumite elemente, cum ar fi redactarea ipotezei şi a concluziei, ajută în acest proces de imaginare; alte elemente doar îi îngreunează copilului sarcina de a-şi imagina situaţia prezentată prin textul respectiv (de pildă, încărcarea textului prin diferitele cuvinte introduse suplimentar din motive teoretice, dar care îngreunează înţelegerea, împiedicând imaginarea situaţiei de către copil; de-a lungul timpului am dat diverse astfel de contra-exemple, cum ar fi folosirea cuvântului “coplanare” în definirea dreptelor paralele în clasa a 6-a, sau introducerea cuvântului “lungimea/lungimile” în textul teoremei lui Pitagora).

Deci, despre această imaginaţie vorbesc eu, despre capacitatea de a-şi creea imagini interioare atunci când copilul primeşte o descriere orală a unei situaţii, a unui loc, a unei acţiuni sau a unui obiect. Noi oamenii, comunicăm oral, iar atunci când îi spui ceva celuilalt te şi aştepţi ca acesta să înţeleagă. Iar din înţelegere, pe lângă cuvintele în sinte, din înţelegere face parte şi faptul că celălalt trebuie în anumite momente “să vadă” ce i-am spus.

Când copilului i se spune o poveste, sau când mai târziu el citeşte o poveste, în mintea lui se produce un film; eu îl numesc filmul interior. De fapt, copilul îşi imaginează acest film interior. Dimpotrivă, atunci când elevul vede pe un ecran un film, el nu mai este nevoit să-şi imagineze filmul interior, deoarece îl primeşte gata făcut. Privitul de mic copil la ecran, în paralel cu ne-ascultarea unor poveşti, are ca consecinţă faptul că elevul nu-şi dezvoltă capacitatea de a-şi imagina cele auzite verbal. Ca urmare, elevul nu-şi poate imagina ce aude sau ce citeşte, pentru că mintea sa nu şi-a deszvoltat capacitatea de a produce imagini interioare, respectiv filmul interior în cazul unei situaţii ce prezintă o acţiune, o succesiune de imagini. El ştie doar să primească imagini gata făcute, prezentate de obicei prin intermediul ecranului.

Aşadar, pe lângă simpla atenţie, când îi spunem sau îi citim o poveste, mai dezvoltăm în copil încă o capacitate importantă: puterea de imaginaţie. Practic, când copilul ascultă o poveste el îşi imaginează întâmplările şi acţiunile din poveste. De fapt imaginaţia copilului vede un film interior corespunzător celor auzite. Cu cât ascultă mai multe poveşti, câ atât imaginaţia copilului devine mai abilă în formarea filmului interior. În mod obişnuit spunem că poveştile spuse dezvoltă capacitatea de imaginare a copilului. Dimpotrivă, poveştile prezentate sub formă de film nu au această capacitate pentru că mintea copilului nu mai trebuie să-şi imagineze ceva în plus; filmul vine în imagini, aşa încât mintea copilului nu mai este nevoită să-şi imagineze.

Apoi ulterior,când copilul învaţă să citească, filmul interior ataşat poveştii devine un motiv puternic ca să citească, deoarece copilul a învăţat să savureze filmul interior. El “vede” povestea şi îi place, şi de asta mai vrea să citească. Este evident că această capacitate de a-ţi imagina cele ascultate – capacitatea de a genera filmul interior – aceasta este ulterior deosebit de importantă mai târziu, pentru imaginarea unei situaţii descrisă într-o problemă de matematică. Dimpotrivă, un copil care a stat de mic tot timpul la ecran, un copil căruia nu i s-a citit de mic, un astfel de copil va întâmpina dificultăţi reale şi profunde în a înţelege mai târziu un text (chiar şi un text scurt, cum ar fi un text matematic).

Practic, dacă privim astfel lucrurile, atunci căpătăm o cu totul nouă înţelegere asupra situaţiilor denumite generic de “analfabetism funcţional”, acele situaţii când vedem că elevul ştie să citească un text scris, dar de fapt nu înţelege mesajul acelui text.

RAPORTUL DINTRE TEXT ŞI IMAGINE Revenind la poveşti, merită să mai precizez aici un aspect interesant legat de poveştile însoţite de imagini. Din punct de vedere al raportului dintre text şi imagine putem vedea “o plajă largă de variante” de cărţi, plecând de la textul neînsoţit de imagine (la care copilul trebuie să-şi imagineze totul), trecând pe la poveştile care au câteva imagini rare, gândite doar pentru impulsionarea imaginaţiei (de pildă cunoscutele romane ale lui Jules Verne), apoi pe la cărticelele cu imagini pe fiecare pagină alături de un text mai mult sau mai puţin generos şi ajungând la benzile desenate în care domină clar imaginile, textul fiind extrem de redus, de obicei doar la elementele de dialog.

Dacă privim această plajă de situaţii din punct de vedere a formării filmului interior ataşat poveştii, atunci înţelegem imediat că, cu cât avem mai multe imagini însoţitoare unei poveşti, cu atât această carte forţează mai puţin mintea copilului să-şi imagineze despre ce este vorba. Invers, cu cât sunt mai puţine imagini, cu atât mai bine din punct de vedere al dezvoltării capacităţilor de imaginare. Practic, benzile desenate nu ajută cu nimic antrenarea imaginaţiei; cărţile cu imagini mari şi puţin text sunt bune doar pentru începutul procesului de învăţare a cititului. Apoi, cât se poate de repede elevii ar trebui să pornească cu cititul cărţilor în care rar apar imagini, acestea doar pentru stimularea imaginaţiei, urmând ca ulterior să poată face cât mai repede trecerea la cărţile fără imagini. Evident că acestea – cărţile fără imagini – antrenează cel mai intens capacitatea de generare a filmului interior.

Aş putea merge mult şi bine pe această linie descriptivă, dar prefer totuşi să mă opresc aici. Oricum avem cel mai lung eseu prezentat dintr-o bucată pe pentagonia.ro (peste 8 pagini A4 pe Times New Roman de 12). Nutresc însă speranţa că am putut oferi o imagine destul de edificatoare despre cum influenţează folosirea ecranului capacităţile necesare copiilor in procesul de învăţare, analizând mai ales efectele asupra capacităţii de atenţie şi de imaginare, de înţelegere – ambele atât în cazul unui discurs cât şi în cazul unui text scris.

RECOMANDĂRI PENTRU STUDIU ULTERIOR Nu vreau să închei însă, înainte de a face câteva recomandări bibliografice. Eu personal nu am urmărit neapărat subiectul acesta în literatura publicată în limba română, dar doresc să prezint totuşi câteva lucrări întâlnite în această direcţie. Tehnic, doresc să evoc trei lucrări scrise de dl. Virgiliu Gheorghe la începutul anilor 2000: Efectele televiziunii asupra minţii umane şi despre creşterea copiilor în lumea de azi (Ed. Evanghelismos, 2005, cu un total de 464 pag.), Revrăjirea lumii sau de ce nu mai vrem să ne desprindem de televizor (Ed. Prodomos,2006, cu un total de 288 pag.), prezentate ambele sub titlul general Faţa nevăzută a tele-viziunii, vol. I şi II, cât şi o lucrare mai accesibilă, de rezumare a celor două, Efectele micului ecran asupra minţii copilului (Ed. Prodomos, 2007, cu doar 127 pag.). Aceasta din urmă a fost tipărită şi distribuită gratuit în şcoli prin grija Asociaţiei pentru apărarea familiei şi a copilului.

Iată doar un citat din prefaţa primei lucrări aici prezentate, scrisă de Prof. Ilie Bădescu: Deficienţele de atenţie şi concentrare, slăbirea capacităţilor mentale, a puterii de judecată şi a motivaţiei sunt probleme care se află de câteva zeci de ani în atenţia cercetătorilor din lumea occidentală. În ultima vreme aceste afecţiuni au început să fie observate şi la mulţi dintre copiii şi tinerii din ţara noastră, sindromul anunţându-se a avea o largă răspândire în următorii 10 ani.

Da! Avea dreptate. Şi închei atrăgând atenţia că aceste rânduri au fost scrise cândva în 2004-2005, aşadar oricum înaintea apariţiei în familiile din România a smartphone-urilor şi a generalizării folosirii acestora de către copiii tot mai mici şi pentru intervale tot mai mari de timp, inclusiv în parcuri, în timpul cumpărăturilor etc., adică chiar şi acolo unde şi atunci când nu este disponibil un televizor (sau un calculator). Titus Grigorovici

P.S.1. A fost în acea primăvară – 2005 – o întâmplare extrem de ciudată, pe care doresc să o evoc aici. Noi ocupam la acea vreme o clădire foarte mică, fiind extrem de strâmtoraţi cu spaţiul (atât puţine săli, cât şi cele mai multe mici. Aveam o singură sală ceva mai mare. ISJ-ul (sau ministerul?) s-au trezit să facă o duplă simulare – simultană – la BAC (pentru noi era proba de istorie) şi la Capacitate (la matematică). Deoarece aveam săli de clasă foarte mici şî se cerea desigur că elevii să stea la această simulare câte unul în bancă, practic noi ar fi trebuit să anulăm marea majoritate a orelor din şcoală în acea zi, chiar dacă atunci aveam două clase de a 8-a şi a 12-a foarte mici numeric. Eu am venit atunci cu o propunere ciudată, care până la urmă a fost aleasă de colegi: să folosim doar sala de clasă mai mare Unde numărul băncilor duble era suficient pentru a pune câte un elev dintr-o clasă într-o bancă, dar să punem de fapt în fiecare bancă câte un elev de a 12-a şi unul de a 8-a.

În acea vreme elevii de a 12-a deveniseră foarte vocali împotriva profesorilor care le cereau să înveţe serios. Nu mai ştiu cât a ajutat acea simulare în pregătirea lor, dar ţin minte discuţia de la prima ora avută apoi cu clasa a 12-a. Atunci am aflat că cei de a 8-a îi tot bâzâiseră să le rezolve un sistem de ecuaţii, iar unul din elevii de a 12-a (foarte slab la învăţătură, dar deosebit de vocal) era de-a dreptul indignat “cât de proşti pot să fie cei de a 8-a” pentru că nu ştiu nici măcar un sistem de ecuaţii. În acel moment mi-am dat seama de fenomen şi le-am şi spus celor de a 12-a: voi aţi învăţat într-un fel cu 4 ani în urmă, dar acum nu mai sunteţi dispuşi să învăţaţi şi faceţi tărăboi; pe de altă parte, vedeţi cum cei mai mici nu au învăţat sistemele şi vi se pare mult prea puţin cât învăţaseră ei. De fapt, noi vedeam atunci elemente dinainte şî de după a acelui val de schimbare, mai exact de scădere a atenţiei şi a capacităţii de învăţare, cauzat de deceniul de folosire puternică a ecranului de către toţi copiii, de după intrarea televiziunilor prin cablu în apartamentele clujenilor.

În generaţia de peste 4 ani, în clasa noastră de liceu am avut o elevă venită dintr-un sat din Apuseni, o elevă care venea din condiţii modeste. Era harnică şi deosebit de bună la învăţătură (a şi ajuns avocată, fără nici cea mai mică urmă de meditaţii în particular). Ea nu avusese acasă televiziune prin cablu, aşa încât nu fusese distrusă de ecran în copilăria sa. Peste ani, prin generalizarea televiziunilor prin satelit, apoi în anii din urmă prin generalizarea folosirii smartphone-urilor, s-a generalizat şi la ţară “distrugerea” copiilor de către folosirea extinsă a ecranelor.

P.S.2. În aprilie 1998 am avut inspecţia de gradul II. Ţin foarte bine minte orele respective, pentru că le-am pregătit în mod deosebit. Mi-a rămas întipărită în minte mai ales ora de geometrie de la clasa a 6-a (o oră dublă), în care problemele se conectau şi se succedeau într-un mod deosebit de bun. Prima lecţie era despre linia mijlocie în trapez, iar a doua despre mediana pe ipotenuză. Lecţia a funcţionat foarte bine, arătând clar că era perfectă pentru acea clasă în acel moment (cel puţin pentru elevii care puteau “duce” demonstraţii geometrice).

La toate generaţiile următoare m-am străduit să le ofer acea lecţie deosebită, dar cu timpul am simţit că nu mai merge în clasa a 6-a. Lecţia mergea de la un an la altul tot mai greu. Undeva după 2010 am decis său parcurg în continuare patrulaterele în finalul clasei a 6-a, dar într-o formă observaţională, şi să acord o perioadă generoasă la începutul clasei a 7-a conexiunilor din cadrul demonstraţiilor geometrice. În anii ce au urmat lecţia respectivă (ajunsă acum în prima lună de a 7-a) a funcţionat cum trebuie. Actualmente simt din nou o scădere a capacităţii pentru această lecţie, deşi faţă de 1998 o fac cu jumătate de an mai târziu.

Oi fi eu “mare vrăjitor” în rearanjarea lecţiilor, dar mai mult nu mai pot amâna această lecţie (faţă de structura de vârstă unei generaţii). Oare voi fi nevoit peste câţiva ani să renunţ la ea, pentru că pur şi simplu nu voi mai avea “clienţi” cu care să o fac? Mă îngrozeşte un astfel de gând. Oricum concluzia este clară: ce am reuşit cu brio să fac în 1998 în primăvara clasei a 6-a, acum de-abia mai reuşesc în toamna clasei a 7-a. Cu alte cuvinte, din punct de vedere al capacităţilor de gândire, de atenţie, de imaginare, elevii de acum sunt – ca dezvoltare – cu peste 6 luni mai întârziaţi, mai slabi decât cei din urmă cu cca. un sfert de secol. Groaznic!

Cum învăţăm – Cele patru etape ale învăţării

În emisiunea Lumea Europa FM organizată de d-na Iulia Verbancu, de duminică 10 oct. 2021, s-a difuzat un interviu organizat de dl. Cătălin Striblea cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu, ca al patrulea episod dintr-o serie de discuţii despre cum funcţionează creierul omului. Puteţi asculta întreaga discuţie a episodului despre şcoală şi despre cum învăţăm la adresa https://www.europafm.ro/program/lumea-europa-fm/, pe podcastul Europa FM, în cadrul emisiunii din 10 oct. 2021, între minutele 22.20 – 33.00.

Elementele Mind Architect se regăsesc şi pe site-ul neuroştiinţalaclasă.ro, un site cu care profesorii se pot duce la clasă efectiv, fiind prezentate într-un mod concret în care aceste cunoştinţe să poată fi folosite de către profesori ca să predea exact ce se povesteşte aici, ajutându-i în procesul de învăţare şi de predare.

În rândurile ce urmează am selectat cea mai mare parte a discuţiei, ordonând-o puţin (pe alocuri cam se sărea de la una la alta; CS fiind Cătălin Striblea, iar PO fiind Paul Olteanu).

*

CS: Plecăm de lo o chestie care ni s-a întâmplat tuturor, cred. Am învăţat, am învăţat în nopţile dinainte de examen sau în cele dinainte de teză, am strâns tare, cum eram eu la chimie sau la fizică, şi se ştergea tot. Crede-mă, am învăţat pentru corigenţă, am învăţat efectul Compton – îi ţin minte numele, s-a lipit numele, dar după aproape 30 de an nu mai ştiu despre ce era vorba. Dar dacă mă trezeai zilele alea, puteam să ţi-l spun pe de rost, aşa de tare îl învăţasem, îl tocisem. Ce s-a întâmplat?

PO: Iată cum funcţionează memoria noastră. Învăţarea are patru etape; din perspectiva funcţionării creierului sunt patru etape mari şi late.

(1) Prima etapă se numeşte atenţia. Dacă n-ai atenţie, nu demarează procesul acesta (de învăţare). Când îţi focalizezi atenţia pe ceva, şi aici vorbim să reduci stimuli care-ţi pot deturna atenţia în altă parte, deci să fi 100% focalizat acolo, … Există cercetare care arată că şi dacă priveşti ce încerci să-nveţi fără să clipeşti, foarte concentrat, se eliberează în creier un hormon care se cheamă acetilcolină, care subliniază ce conexiuni sinaptice trebuie transferate în memoria pe termen lung. La tine, de pildă, asta s-a întâmplat cu numele efectului ăla, care “s-a lipit”.

(2) După atenţie, avem o componentă care se cheamă angajare activă, iar asta la şcoală de multe ori lipseşte, în care după ce mi-a fost predat un concept trebuie să fac ceva cu el. Trebuie să trăiesc cumva, trebuie să-l leg de ceva care deja contează pentru mine, ca să cresc probabilitatea ca acele conexiuni sinaptice să se păstreze. Angajarea activă este de pildă în sport; eu am făcut volei. La volei mai întâi trtebuia să fi atent la cum se execută o lovitură sau mişcare, după care să o facem, şi ne puneau, ne dădeau mingi şi ne puneau la perete şi loveam peretele cu mingea de sute sau de mii de ori. Aia-i angajarea activă.

(3) Componenta numărul trei, care este indispensabilă din punct de vedere neuroştiinţific pentru învăţare, se numeşte feedback generat de erori. Deci zic negru pe alb: în învăţare, la nivelul creierului, dacă nu greşeşti, nu înveţi! Punct! CS: Greşeala nu este admisă în România!

PO: Asta vreau să zic. Iar astea nu sunt opiniile mele; un neurocercetător francez pe care-l cheamă Stanislaz Dehaene a scris o carte ce se numeşte Cum învăţăm (How we learn) şi el vorbeşte despre cele patru etape. Deci, în momentul în care eu ies la tablă şi zic ceva sau rezolv o problemă sau încerc să fac o demonstraţie, când greşesc, ăsta-i motiv de sărbătoare nu de persecuţie. E bine să fiu corectat, dar e util să acceptăm greşeala ca parte integrată a procesului de învăţare, pentru că atunci când greşim se eliberează cortizol în creier, care-i un horman de stress, care face conexiunea sinaptică şi mai predispusă la a fi transferată în memorie pe termen lung, la a reţine adică.

CS: Îţi dau o experienţă personală. Eram la chimie, unde aparent am fost “lemn” în anii de şcoală; chimie organică, ţin minte … PO: eu nu mai ţin minte nimic … CS: se desenau pe tablă acele catene cu hexagoanele respective, şi aveau nişte picioruşe şi nişte numere care reprezentau diverse lucruri acolo, lucru pe care n-am reuşit să-l reţin niciodată. Dar, ceea ce am reuşit să reţin este următorul lucru: am greşit un 2 în loc de un 3 acolo în vârful unui picioruş din-ăla şi profesorul a zis: “Cum ai spus, 2? Doi este şi nota ta!“, şi m-a trecut la loc cu nota 2. Ce s-a întâmplat în momentul respectiv în creierul meu?

PO: în momentul în care trăim genul ăsta de experienţă, problema nu e că ai greşit, ci că ai fost pedepsit că ai greşit şi se produce o asociere: deci, într-o întâlnire trecută noi am vorbit că avem în creier două personaje (două părţi), “călăreţul“, care e mintea conştientă şi raţională, şi “elefantul“, care e mintea noastră emoţională, automată, care învaţă prin repetiţie şi asociere. În genul ăla de experienţă, aşa se instalează perfecţionismul în capul nostru. În momentul în care greşesc un lucru şi sunt trimis înapoi cu nota 2, ce învaţă elefantul, care coordonează 90% din procesele mentale? 90% din ce se întâmplă în capul nostru se întâplă înafara minţii conştiente, în background, în fundal, automat. Iar acolo se produce o conexiune care spune “n-ai voie să greşeşti!”. Creierul tău învaţă să anticipeze durere în momentul când apar greşeli, sau te face să deteşti chimia, să nu-ţi mai placă materia în sine.

La mine, de exemplu, în clasele 5-8, prima notă la matematică a fost 7, care era o notă mică, eu în clasele primare având note mari. Acesta a fost startul relaţiei mele dificile cu matematica. Nu pentru că mie nu mi-ar fi plăcut materia asta, ci pentru că prima experienţă emoţională într-un context nou a fost una negativă (context nou, pentru că m-au mutat părinţii din a 4-a într-a 5-a de la o şcoală de cartier la Colegiul din Ploieşti).

Deci avem atenţie (1), avem angajare activă (2), avem feedback generat de erori (3), şi dragilor, dacă sunteţi profesori, toleraţi şi încurajaţi greşeala cu corectare, pentru că este parte din felul în care învaţă creierul uman. A stigmatiza greşeli este exact lucrul care ne face să detestăm învăţarea în general; nimeni care a învăţa să se teamă nu are apetenţă la a se expune la riscul ulterior, şi ăsta e un lucru foarte toxic, pentru că fără greşeală nu există inovaţie. Dacă nu eşti dispus sau disponibil să greşeşti, măcar din când în când, n-ai cum să faci ceva original.

Să vedem şi ultima etapă, pentru că e importantă: consolidarea memoriei (4), iar aceasta se întâmplă exclusiv în timpul somnului. Deci, dacă nu dormi destul, degeaba înveţi, degeaba îngraşi porcul în ajun (sau cum se mai zicea când învăţam înainte de examene la facultate), dacă nu dormi destul nu se va transfera informaţia din memoria pe termen scurt, aia care-ţi permite să ţi minte asta o zi – două – trei, în memoria pe termen lung, aia care-ţi permite să-ţi aduci aminte, de pildă, când a domnit Ştefan cel mare şi peste 30 de ani de când ai învăţat asta.

CS: Serios? Nu m-am gândit niciodată la chestia asta, adică somnul …. PO: Mulţi oameni nu se gândesc, asta-i partea interesantă … CS: Atunci expresia aia că să pui cartea sub cap … PO: are altă însemnătate după descoperirea asta. Şi încă ceva, ce poate mulţi ascultători trăiesc pe propria piele: să fi învăţat înainte să adormi, să fi dormit, iar a doua zi dimineaţă informaţia “s-a lipit mult mai tare”, e mult mai puternic ancorată în memorie.

CS: Ce-ar trebui să facă un profesor în situaţia asta?

PO: Astea ar fi etapele, iar în termeni de recomandări, ce ar fi util de înţeles pentru profesori şi pentru cei care au de trecut procese de învăţare prin activitatea lor cotidiană. (1): captarea atenţiei este esenţială, deci eu, dacă aş fi profesor, aş depune efort la începutul lecţiei să-i fac pe copii atenţi la ce urmează să le spun, să le captez atenţia. Atenţia e un dar pe care-l câştigi nu e ceva pe care-l comanzi (la nivelul creierului)!

(2): Angajarea activă înseamnă să legi ce prezinţi tu ce ceva ce ăluia îi pasă emoţional deja. De exemplu, eu îmi aduc aminte mult de Enigma Otiliei pentru că în perioada în care am citit-o şi mie îmi plăcea de o fată care plăcea de cineva mai mare decât mine, cum e cazul Otiliei cu Pascalopol de exemplu, şi mi s-a lipit în creier, pentrucă am trăit angajarea activă cu asta.

(3): Feedback generat de erori, unde, când greşim … – nu vorbim despre a celebra greşelile, vorbim despre a le tolera şi corecta, nu stigmatiza. Pentru că noi când stigmatizăm greşeala, fără să ne dăm seama noi nu învăţăm copilul doar că erau trei picioruşe sau trei în loc de două în vârful catenei, sau ce povesteai, ci învăţăm “elefantul”, creierul inconştient, partea asta primitivă din creier, să anticipeze durere la greşeală, respectiv să asocieze învăţarea şi şcoala (sau chimia, sau matematica etc.) cu ceva NASOL.

(4): pentru dezvoltarea cerebrală normală – ce spune cercetarea? Matthew Walker, cercetător britanic, în cartea sa De ce dormim, explică clar că somnul de după este esenţial pentru dezvoltarea cerebrală normală. Ca adult este nevoie de minim 7 ore de somn; dacă suntem adolescenţi vorbim de ceva între 10 şi 11 ore de somn necesare ca să ţi se dezvolte creierul normal, respectiv ca să apară consolidarea asta a memoriei de care vorbim.

CS: Am să duc la toţi adolescenţii episodul acesta. Spune-mi un ultim lucru: încurajezi învăţarea pe de rost a unor lucruri? Se întâmplă în şcoala din România şi probabil peste tot.

PO: Cred că e mult mai înţelept şi important să învăţăm copiii să opereze cu informaţia pe care o primesc, şi respectiv ce reflexe emoţionale instalez eu în şcoală. Şi dau un exemplu foarte simplu, care ne afectează pe toţi: dacă eu în şcoală, atunci când mă ridic în picioare să-mi exprim nişte idei, anticipez şi respectiv trăiesc durere (sunt ruşinat, sunt criticat, sunt certat: “nesimţitule, ia loc, uitaţi-vă la Olteanu că e bătut în cap”, lucruri din astea), în creierul meu se produce o asociere inconştientă între a vorbi în faţa altora şi durere. De aia românii sunt paralizaţi când trebuie să vorbească în public, pentru că majoritatea experienţelor noastre şcolare erau din registrul “când vorbeşti în public trăieşti durere“. Nu prea te ridicai în picioare iar la finalul a ce spuneai să fi aplaudat sau îmbrăţişat. În acest context e mult mai important să înţelegem că noi când predăm (în actul aducaţional, în contextul şcolii), elevii reţin desigur şi informaţii pe care poate au noroc să le folosească în viaţa adultă, dar mult mai important este că scriem în creierul lor emoţional inconştient, mai exact formăm reflexe emoţionale.

*

UAU! Superbe rânduri. Pe de altă parte, tocmai ce-am ascultat la Europa FM următorul episod din această serie (17 oct. 2021, de la 10:47 la 10: 55; acum ceasularată 10:57) şi iarăşi sunt încărcat cu noua temă propusă de cei doi domni: despre cum putem educa stima de sine la elevi, dar cum din cauza unor tradiţii înrădăcinate în mentalul nostru, de fapt educăm lipsa stimei de sine (ascultaţi emisiunea pe podcast şi veţi afla despre un fabulos raport de 3:1, chiar 4:1 între laude şi critică).

Revenind la discuţia despre etapele învăţării, voi face ceva ce n-am mai făcut până acum. În general, când veneam cu o serie pe o anumită temă, atunci când începeam să postez, la primul episod adică, atunci eu aveam de fapt toată seria scrisă, sau eram oricum măcar cu 3-4 episoade în faţă. Acum prefer să vă ofer direct doar întreaga emisiune, fără a avea lucrate următoarele episoade ale seriei. Vă pot spune doar ce anume plănuiesc.

Astfel, visez să iau la rând cele patru etape prezentate de către Paul Olteanu şi să le analizez. Îmi doresc de mult timp să analizez astfel de aspecte, dar până acum nu am găsit o formă ca să fac aceste analize, iar această emisiune mi-a pus cmva “lucrurile pe tavă”, pot spune că “mi-a ridicat mingea la fileu” într-un mod nesperat de bun.

Mă grăbesc însă să public aceste rânduri pentru ca şi cei care nu au ascultat emisiunea să aibă acces la ideile respective şi să înceapă procesul de a gândi asupra lor, de a le “digera” iar apoi de a le implementa încetul cu încetul în predarea proprie. În altă ordine de idei, desigur că mă grăbesc să public aceste rânduri şi pur şi simplu pentru a atrage atenţia asupra acestor interviuri deosebit de valoroase pentru felul nostru de a preda, de a acţiona la clasă. Chiar şi dacă doar un cititor va căuta şi va asculta aceste discuţii pe net, atât cele deja trecute, cât şi cele ce vor urma, şi tot a meritat lunga muncă de a “extrage” acest interviu în text, de a-l aranja şi a-l aduce în faţa dvs.

Închei cu o dilemă personală: Clasificarea prezentată de Paul Olteanu este fabuloasă, dar pe mine mă lasă puţin “în ceaţă”: unde este PREDAREA? Lumea noastră, a profesorilor de matematică, se bazează pe două mari componente: predarea noilor cunoştinţe şi aplicarea acestora în exerciţii şi probleme. Exerciţiile şi problemele am văzut unde se încadrează, dar unde se încadrează PREDAREA? Nu prea este clar. Pănă cât mai curând, Titus Grigorovici

Tot mai puțini oameni educați și tot mai puțini oameni educabili

Chef Adi Hădean a fost invitatul lui Cătălin Striblea la emisiunea Deşteptarea României de vineri 24 sept. 2021 la postul de radio Europa FM. Tema discuţiei a fost despre turismul din ţara noastră (detalii pe https://www.europafm.ro/adi-hadean-despre-turismul-din-tara-noastra-in-romania-sunt-tot-mai-putini-oameni-educati-si-sunt-tot-mai-putini-oameni-educabili/ ). Citatul “de paradă” al acestei emisiuni a fost următorul: În România sunt tot mai puțini oameni educați și tot mai puțini oameni educabili, Adi Hădean vorbind în acel moment despre cât de greu le este patronilor din HoReCa să găsească angajaţi pe care să se poată baza sau pe care să-i poată forma pentru anumite posturi; vorbea de pildă despre chelneri şi despre cât este de important ca aceştia să cunoască destul de repede tot meniul, cât şi detalii despre fiecare fel de mâncare, pentru că ei sunt de fapt “interfaţa” cu clienţii: clienţii pe ei îi întreabă şi de la ei trebuie să poată afla orice informaţie.

Dar, se plângea Adi Hădean, este greu – cvasi imposibil – să găseşti oameni educaţi în acest sens (asta o mai pot înţelege), dar este la fel de greu să găseşti oameni educabili în acest sens. Este greu să instruiești pe cineva să pună două pahare pe masă, nu să țină minte ce e la bucătărie sau ce gust are orezul. Anul trecut, am avut o brigadă de service, cu care, problema din ziua unu am avut-o și în ultima zi a sezonului, deși făceam traininguri zeci de ore, două luni nu-ți ajung să creezi o rutină corectă și până la capăt. Noi nu mai avem oameni educabili cu care să muncim, în România sunt tot mai puțini oameni educați și sunt tot mai puțini oameni educabili, în sensul muncii manuale, și asta este prima responsabiliate a statului român, nu a românului de rând.

Cu alte cuvinte, învăţământul românesc nu produce ca absolvenţi oameni educaţi, dar mai rău,  nu produce ca absolvenţi nici măcar oameni educabili. Ce înseamnă oare “oameni educabili”? După cum gândesc eu , oameni educabili ar trebui să însemne oameni ce pot fi educaţi într-un domeniu. Să fim bine înţeleşi: nu este vorba aici de a aştepta nişte persoane gata educate, gata şcolite într-un anumit domeniu (de pildă în domeniul chelnerilor, dar se poate alege orice alt domeniu ca exemplificare – voi mai reveni cu exemplul meu personal).

Asta este groaznic! Avem deci un învăţământ foarte egocentrist, îndreptat în general spre propria ştiinţă, şi care în preocuparea sa cât mai elitistă vorbeşte ani de-a rândul de fapt “peste elevi“. Repet: avem un învăţământ care “de la înaltul catedrei” vorbeşte ani după ani pe deasupra majorităţii elevilor,adresându-se în general doar celor mai buni din clasă, astfel încât cei mai mulţi nu beneficiază defel de factorul instructiv al materiilor şi al perioadei petrecute în şcoală.

Chiar mai mult: de vreme ce o mare parte a elevilor nu învaţă mare lucru an de an, înseamnă că ei nici măcar nu-şi dezvoltă abilităţile generale de a învăţa (de a învăţa practic, nu de a învăţa pe de rost pentru test). Eu cred că spre acest fenomen a vrut să atenţioneze Adi Hădean.

Ok, dar ce-are asta cu matematica? Păi, dacă ne gândim că matematica şcolară este “vârful de lance” al învăţământului românesc, stabilit ca politică de stat din 1980 încoace, reprezentând modelul spre care pot doar năzui celelalte materii, atunci vedem şi legătura. Avem un învăţământ cât mai teoretic şi elitist (la fel ca întreaga matematică şcolară), al cărui scop principal îl reprezintă examenele şi concursurile, în proporţie covârşitoare doar teoretice, pline de o încărcătură egoistă. După ce a urmat doar un învăţământ teoretic până “în măduva oaselor”, chiar şi la şcolile formatoare de meserii, atunci da, ca patron sigur nu vei reuşi într-o săptămână să-l educi pe un novice cum se pun tacâmurile (care-n stânga, care-n dreapta) sau cum se pun paharele. Unii absolvenţi se formează în anii de şcoală atât de ne-interesabili, încât nu vor pricepe ce au de făcut nici după o lună. Materiile practice au fost desfiinţate din şcolile generale încă din anii ’90, fiind transformate în “educaţie tehnologică”, adică într-o materie la care se stă în bancă, se scrie în caiete şi se dă test, dar nu se face nimic practic.

Nu ştiu dacă sunt suficient de coerent sau destul de clar în argumentaţia mea, dar când l-am auzit pe Adi Hădean vorbind despre lipsa oamenilor educabili, am avut o viziune de profundă claritate despre sursa acestei deficienţe majore generalizate: această situaţie vine din şcoală şi din felul în care şcoala este setată de un sfert de secol (mai exact de la reforma din 1997), iar felul în care se predă matematica îşi are vina sa aparte în această cauză. Aceleaşi fenomene sesizate de Adi Hădean pot fi prezentate în variantă similară şi despre matematică, doar că în acest moment ele se numesc “analfabetism funcţional” în matematică sau în gândire.

Cum ar trebui rezolvată această mare problemă a învăţământului românesc. Nimeni nu ştie, dar putem găsi un indiciu tot la Adi Hădean, care vorbind despre turismul românesc venea cu o propunere extremă: Turismul din România este în picaj, trebuie îngropat, trecut cu plugul și construit altul nou. Citiţi asta şi gândiţi-vă la ceva similar despre şcoala românească sau chiar despre matematica din şcolile româneşti şi veţi vedea că nici nu sună chiar atât de absurd. Chef Titus G.