Matematica la vreme de corona virus (1)

(ca să parafrazăm titlul unui roman renumit) Ce mai fac profesorii de matematică prin lumea largă? L-am felicitat scurt de ziua lui pe prietenul nostru de lângă Stokholm; ştiţi, cel care împlinise în urmă cu câţiva ani 100 de ani în baza opt; acum se îndreaptă încet spre 70 de ani (în baza zece). Este pensionat şi face oricum multă matematică; printre altele ţine cursul anual al profesorilor de matematică din şcolile Waldorf suedeze. În 2015 l-am cunoscut pe colegul care l-a înlocuit la catedră şi ne-am distrat bine împreună povestindu-ne experienţele cu acesta. Iată ce mi-a răspuns acum:

Hello, and thank you! It is a new experience for me; I have not been this old before …. Because of the corona virus I have plenty of time for reading, and experimenting. I am looking for interesting number sequences. Real fun! Take care! Warm regards, Kjell

Aşa că spor la matematică, fraţilor. De mult n-am mai beneficiat de o astfel de ocazie de „vacanţă forţată în casă”, numai bună pentru activităţi de autoperfecţionare. Coronelul Titus

Matematica şcolară şi comportamentul în faţa extinderii Corona virusului

De multe ori m-am plâns de stilul destul de generalizat de “stat poliţienesc” prezent în orele de matematică din şcolile româneşti. Forţarea elevilor spre învăţătură printr-o astfel de atmosferă, pe lângă o asociere a fricii cu matematică, generază şi o atitudine de nerespectare a regulilor. Elevii se obişnuiesc cu timpul să copieze temele, să copieze la lucrări scrise şi să mintă. Nu doar matematica contribuie la această stare, ci şi alte materii, mai ales cele cu profund substrat teoretic. Prin Cluj sunt renumite câteva situaţii de profesoare de chimie care terorizează şcoli întregi, sunt foarte pretenţioase şi lasă în urma lor mulţi corigenţi (asta ca să dau doar un exemplu). Dar matematica a fost de la început conducătorul de pluton în această “cursă nebună”.

În numele unei stupide creşteri a nivelului predării şi a rezultatelor la examene şi concursuri, presiunea asupra elevilor a crescut cu timpul prin câteva direcţii clare. Să le enumerăm pe scurt pe cele mai importante: 1) creşterea cantităţii de materie; 2) creşterea nivelului ştiinţific (complexitate, teoreticitate şi rigurozitate); 3) coborârea materiei spre clase mai mici; 4) creşterea nivelului de dificultate a aplicaţiilor (în numele rezultatelor la olimpiade şi alte concursuri, aşa-numita “matematică sportivă” a cucerit mare parte din orele de matematică).

“Startul” spre această direcţia s-a dat în cadrul reformei din 1980. Eu i-am spus “reforma uitată” pentru că puţini mai sunt aceia care mai cunosc cum era matematica şcolară înainte de perioada de reformă petrecută orientativ din 1978 până prin 1982 (din câte ştiu).Cu alte cuvinte, populaţia României de până în 50 de ani a fost educată clar în spiritul acestei reforme, a cărei componentă clară este şi stilul de “stat poliţienesc”. Generaţii întregi s-au obişnuit să copieze la teste, să-şi copieze tema de la alt coleg, să şoptească, în general să lupte pe toate căile posibile împotriva autorităţii profesorilor, totul sub justificarea naturală că “ne cere prea mult, prea greu, prea stupid”. Generaţii întregi s-au obişnuit “să se descurce” în faţa unei dominaţii de teroare căreia nu-i vedeau sensul.

În vara când s-au introdus camerele de filmat în clasele de examen la BAC (2011?), mai mulţi oameni au simţit nevoia să-mi comenteze situaţia, iar toate aceste comentarii respectau inconştient un anumit model: Pasul 1) Extraordinar, la ce nivel s-a ajuns cu copiatul! Pasul 2) Şi pe vremea noastră se copia, dar nu în aşa hal! Pasul 3) De exemplu, când am dat eu Bacul … şi urma un exemplu memorabil de copiat, de obicei în grup, organizat uneori chiar de supraveghetori, exemplu care de fapt infirma afirmaţia de la pasul 2. Era de obicei în aceste poveşti un ton de mândrie în urma unui act ce era perceput ca un fel de eroism în sfidarea autorităţii. Pentru mine cel mai memorabil a fost exemplul unui poliţist care a ţinut şi el – aflând că sunt profesor – să-mi povestească cum s-a copiat când a dat el Bacul.

Bun! Şi acum să revenim în vremurile noastre. Vă rog să priviţi prin prisma acestor fapte felul în care românii din străinătate sau din ţară au înţeles să respecte, sau mai degrabă să nu respecte cerinţele autorităţilor legate de paza împotriva răspândirii corona virusului. Au rămas antologice exemplele celor veniţi cu autocarul din Europa de vest prin Ucraina sau a celor care au venit din Italia trecând cu feribotul în Grecia şi încercând să intre în ţară pe la Giurgiu, ca să ascundă faptul că veneau din zone ce i-ar fi “condamnat” la izolare sau carantină timp de două săptămâni. Au fost multe exemple auzite în mass-media de români care minţeau cu sânge rece autorităţile, pentru că de fapt – în perioada de formare a mentalităţilor, adică în şcoală – aceştia s-au format cu obişnuinţa de a fenta autoritatea pentru a se descurca şi a-şi atinge scopul.

Aş putea să analizez aproape la nesfârşit exemple prin care să conectez felul în care se vede în aceste zile cum s-au format obiceiurile de fentare a autorităţii în şcoală, dar prefer să vă las pe dvs. să preluaţi ideea şi să gândiţi la această legătură. Apoi, cei care veţi putea, cei care aveţi forţa, să vă analizaţi activitatea şi felul de a fi la clasă, astfel încât să dezvoltaţi un fel de a fi care să nu mai generaze atât de multă justificare spre sfidare a autorităţii. Pentru că un lucru pot să spun sigur: copiii nu sunt aşa când vin la şcoală, nici măcar când vin în clasa a 5-a. Obiceiurile de sfidare se formează în viaţa de elev alături de profesori (cu doamnele învăţătoare dobândesc alte “belele”, dar nu asta). CTG

La Mulţi Ani! de ziua lui π

Chiar dacă totul este dereglat şi am ratat termenul (am ţinut un curs cu profesori despre predarea matematicii la şcolile Waldorf), merită să ne amintim de una din zilele importante pentru „matematica lejeră”. De curând am avut o discuţie cu un elev (bunicel) de clasa a VIII-a:

CTG: Şi aria cercului cât e?

Elevul: ?

CTG: ??

Elevul: Dapoi, nu mi-am recapitulat formulele!

CTG: Mă, dacă nu ştii formula asta, eşti bun de intrat în PSD!

Elevul (absolut spontan): pi-er-pătrat!

Despre “idioţenia” numită ARIA DISCULUI

De curând pe Comunitatea pofesorilor de matematică am găsit următoarele rânduri: Doresc să ştiu când se va reveni asupra idioţeniei numită „aria discului”. În majoritatea ţărilor se spune aria cercului (vezi Canada, SUA etc.) numai la noi cercul nu are arie aşa cum a avut mai bine de 2000 de ani. De ce triunghiul (…) are arie, patrulaterul (…) are arie, poligonul (…) are arie, dar cercul nu mai are arie? De ce trebuie să înghiţim orice idioţenie chiar dacă este ea debitată de un profesor universitar? Postarea, care este din 1 feb ’20, îi aparţine d-lui profesor Roşu Ion (de pe blogul dânsului reiese că predă de prin 1972, fiind deci printre puţinii care înţeleg bine când vorbesc despre matematica dinaintea reformei uitate din 1980, despre manualele lui A. Hollinger sau Eugen Rusu, cât şi despre metodica corespunzătoare).

În comentariile la postarea respectivă am mai găsit câteva rânduri în acest sens: Noi am învăţat despre „aria dreptunghiului”, „aria pătratului”, „aria triunghiului”, „aria cercului” etc. Iată fragmentul din manualul de clasa a VII-a (…), în care se vorbeşte de aria cercului. Îţi dădeai seama că aria se referă la suprafată, nu la linii frânte sau curbe. Nu-mi aduc aminte când s-a venit la noi cu un exces de „rigoare”. Cred că am învăţat după Hollinger, A. Geometrie: manual pentru clasa a VII-a.- Bucureşti : Editura didactică şi pedagogică, 1964. Este pe undeva în format digital? (Da, ar fi o idee interesantă să apară acele manuale scanate, ca să le poată studia doritorii; sau poate se gândeşte Editura didactică şi pedagogică să le republice şi să poată fi cumpărate spre autoperfecţionare) Comentariul îi aparţine d-lui Puşcaşu Constantin, care a anexat şi o imagine din manualul respectiv:

În toată discuţia, pe lângă „aria discului”, îmi permit şi eu să mai adaug două puncte nevralgice. 1) Dar despre „volumul bilei” în loc de „volumul sferei”, despre acestea de ce să nu vorbim? Doar pentru că aici „isteria rigurozităţii” nu este atât de pronunţată? Apoi: 2) De ce vorbim despre „lungimea cercului”, pe când la toate celelalte figuri cerem perimetrul? De ce nu se spune „perimetrul cercului”, ca la celelalte figuri închise (perimetrul pătratului etc.), ci se spune lungimea cercului? Sau invers, de ce nu spunem lungimea hexagonului??? (că, de ce nu spunem lungimea dreptunghiului, asta înţeleg!) Revenind la „perimetrul cercului”, se pare că de acolo a venit propunerea către Leonhard Euler cu notarea acelui număr specific cercului, propunerea de a se nota cu literea grecească pentru P, de la „periferia cercului”, numărul π reprezentând de câte ori intră diametrul cercului (adică lăţimea acestuia) „roată în jur pe periferia cercului (π de la periferie sau perimetru).

Subiectul deschis de Dl. Roşu Ion este deosebit de interesant şi oferă pe tavă oprtunitatea perfectă pentru o discuţie despre rigurozitatea excesivă a limbajului profesorilor vizavi de nevoia unui limbaj accesibil şi inteligibil din partea elevilor. Deci, „să purcedem” la treabă şi să analizăm pentru început „datele problemei”:

Rotundul” este singura figură geometrică ce are două cuvinte separate, unul pentru linia geometrică, iar altul pentru suprafaţa delimitată de această linie (Cercul, respectiv Discul). Discul reprezintă suprafaţa delimitată de cerc, pe când cercul poate fi descris drept conturul unui disc. Cu alte cuvinte, putem vorbi de disc drept interiorul cercului (vedeţi că mă abţin de a intra într-un limbaj teoreticist riguros steril). Celelalte figuri geometrice nu au „această onoare”, astfel că, dacă suntem nevoiţi, trebuie să apelăm la denumiri descriptive de genul „suprafaţa delimitată de pătrat” sau mult mai uzualul „interiorul triunghiului”.

Aceasta este situaţia în cazul figurilor plane (mai modernul 2D). În spaţiu (actualmente denumit 3D) situaţia este aceeaşi: doar corpul rotund beneficiază de două denumiri diferite, una pentru suprafaţa corpului, iar alta pentru interiorul corpului. Eu le explic elevilor că Sfera reprezintă o minge, care este deci goală pe interior (minge de fotbal, de baschet etc.), pe când Bila este plină în interior (bilă de la rulment, bilă de popice sau de biliard etc.; oare cuvântul biliard nu vine de la bilă?). Celelalte corpuri beneficiază în general de o singură denumire şi oricum nu se face prin denumire referire la interior sau la suprafaţa corpului. Singura excepţie relativă ar fi cuvântul Solids folosit în engleză pentru „corpuri”, care face prin cuvântul însuşi referire la ideea de „corp plin”.

Să analizăm puţin din punct de vedere istoric subiectul nostru. „Rotundul” a beneficiat din vremuri străvechi de un statut special şi de o admiraţie corespunzătoare faţă de restul figurilor geometrice. De la Stonehenge la iurtele mongole şi de la „Cavalerii mesei rotunde” la „Masa tăcerii” a lui Brâncuşi (de fapt Iisus cu cei 12 apostoli), peste tot de-a lungul istoriei şi de-a latul lumii apar ca speciale elemente rotunde, fiind de multe ori privite cu o încărcătură de spiritualitate. Doar dreptunghiul a mai beneficiat de a atenţie similară, atât din motive practice, cât şi ca formă potrivită pentru structurile arhitecturale ce trebuiau să exprime autoritate.

De unde provine oare această ciudată diferenţiere, anume faptul că doar „rotundul” beneficiază de două cuvinte separate, atât în plan cât şi în spaţiu? Un gând ar fi că ideea s-a impus odată cu una din primele „globalizări”, anume de pe vremea Imperiului Roman şi a impunerii prin acesta a limbii latine (discobolul grecilor, alături de cerc). Spun aceasta pentru că de pildă în germană nu prea apare o diferenţiere în limbajul teoretic matematic. În ambele situaţii se foloseşte cuvântul „Kugel” (a se citi cugăl), atât pentru arie, cât şi pentru volum. La minge au cuvântul „Ball”, dar acest cuvânt nu se foloseşte în matematică. Persoanele culte cunosc şi latinescul „Sphaere”, dar nici acesta nu este folosit în geometrie. În schimb însă, în plan se mai întâlneşte şi în matematică cuvântul „Discus”, deşi în general tot „Kreis” se foloseşte şi la perimetru şi la arie (şi ca cerc şi ca disc).

Fenomene de genul acesta se întâlnesc în matematică peste tot şi în diferite limbi. De pildă, faptul sesizat mai sus că la toate figurile închise plane folosim cuvântul „perimetru”, pe când la cerc spunem „lungimea cercului”. Dar nu numai atât: noi folosim cuvântul „perimetru” cu sensul de „lungimea conturului unei suprafeţe”, dar în viaţa de zi cu zi acest cuvânt este folosit pentru a desemna „limita, conturul unei suprafeţe”. Apoi, mai există şi expresia „în perimetrul” (ex. „este interzis fumatul în perimetrul unei instituţii”) cu sensul de interiorul acelui „perimetru”, adică pe „suprafaţa delimitată de acel perimetru”. Mai rezistaţi?

Vedem că limba vorbită este foarte permisivă, iar interzicerea acestei permisivităţi intuitive în cadrul unui domeniu de activitate, cum ar fi la orele de matematică, este resimţită ca deosebit de agresivă. Pe de altă parte, chiar matematicienii încalcă în anumite momente această rigurozitate autoimpusă: dacă ar fi să fim „ortodoxi habotnici” până la capăt, atunci ar trebui să spunem „perimetrul cercului” şi nu „lungimea cercului”. Sau, dacă ne hotărâm că „perimetrul” este obiectul, iar măsura sa este „lungimea”, atunci ar trebui să aplicăm această decizie la toate celelalte figuri, astfel că ar trebui să vorbim despre „lungimea triunghiului”, „lungimea pătratului” sau „lungimea rombului” cu referire la perimetrul acestora. Este evidentă problema: ce vom înţelege când vom spune „lungimea dreptunghiului”??? Vedem deci, din aceste exemple că nici noi profesorii nu suntem într-adevăr riguroşi, aşa cum avem pretenţia. Aceasta este situaţia între obiect şi măsura sa în cazul 1D, adică al lungimii.

Un fenomen similar se întâmplă şi în cazul perechii de cuvinte „suprafaţă” şi „arie” (2D). Obiectul este suprafaţa, pe când măsura acestuia este considerată „aria”. Dar nici la noi situaţia nu este atât de riguroasă şi clară (să zicem „unanim acceptată”) pe cât şi-ar dori unii (sau pe cât susţin aceştia). De pildă, de ce încă mai există profesori care notează aria cu S (de exemplu la aria totală a unei piramide cu ST)??? Şi în acest caz, imediat ce ieşi din matematica de la clasă încep să apară confuzii, repectiv folosiri amastecate de noţiuni. Acestea reprezintă însă confuzii doar pentru răutăcioşii habotnici. Oricine (chiar şi un astfel de răutăcios de la catedră) va înţelege întrebarea „ce suprafaţă are curtea ta?”. Arie sau Suprafaţă? Mare scofală! În loc să ne bucurăm când un elev gândeşte, ieşind astfel din zona de analfabetism funcţional, atât matematic cât şi literal, îl agresăm cu orice ocazie când „o scapă pe de lângă”.

Apropos: cuvântul „arie” este foarte scurt şi îi poate speria pe copii chiar prin aceasta. Apoi, acest cuvânt nu este folosit în limbajul cotidian, astfel încât elevii au nevoie de o perioadă de timp pentru a se obişnui cu acesta. După ce s-au împrietenit cu el, totul e în regulă. Odată un elev m-a întrebat spre sfârşitul clasei a 7-a, cu referire la o piramidă: când învăţăm „aria aia dinăuntru”? Am înţeles evident că întreabă despre volum, aşa cum am înţeles clar că el a priceput foarte bine că aria exprimă „mărimea suprafeţei”, adică „măsura interiorului unei figuri”, extrapolând această înţelegere din 2D în 3D.

Dacă tot am ajuns aici, la „măsura interiorului unei figuri”, mai fac o tură prin lumea largă. Pe germană cuvântul pentru „arie” este „Flächeninhalt”, a se citi flehăn-inhalt, însemnând „conţinutul suprafeţei”). Haideţi să aruncăm o privire şi la „prietenii de limbă engleză”, la care cuvântul „Area” reprezintă (pe lângă arie) şi o suprafaţă clar delimitată. Spun toate acestea la adresa pretenţioşilor în ale rigurozităţii extreme, care atacă cu mare satisfacţie pe oricine încalcă cât de puţin „sfânta linie de exprimare academică”, dovedind de fiecare dată un snobism extrem şi agresiv: stimaţi colegi „cu nasul pe sus”, nu cred că puteţi careva să susţineţi că matematica germană sau cea în limba engleză este inferioară celei în limba română, şi totuşi ei se descurcă bine-mersi fără această stupidă teoretizare extremă a limbajului.

Revenind la cuvântul „perimetru”, şi acesta îi sperie la început pe unii elevi, aceştia având nevoie de ceva timp pentru a se împrieteni cu el. De ce, atunci când în sfârşit s-au obişnuit cu el şi calculează uşor perimetrul diferitelor figuri poligonale, la perimetrul cercului ne facem că uităm şi schimbăm în „lungimea cercului”, şi o facem asta cu cea mai mare nesimţire, exact atunci când apare cel mai ciudat număr din viaţa lor matematică. Noi, profesorii de matematică avem astfel de mici răutăţi pe care le facem doar aşa, pentru că aşa s-a făcut dintotdeauna.

Cine s-a ocupat măcar puţin cu psihologia neuronală, acela realizează că elevul învaţă prin analogie, dar că schimbarea unui cuvânt îl încurcă pe elev în a reuşi un transfer uşor pentru analogie. Apoi, se face aici o gafă de proporţii prin faptul că mintea elevului este forţată să facă faţă la doi itemi noi de-o dată: schimbarea denumirii din „perimetru” în „lungime” concomitent cu apariţia unui număr care „ce înseamnă ăla?”, un număr pentru înţelegerea căruia omenirea a avut nevoie de peste 2000 de ani. Da, iar ca tabloul să fie cât mai bulversant, în aceeaşi lecţie schimbăm şi cuvântul „cerc” cu cuvântul „disc” şi cu asta „i-am rezolvat” pe cei mai mulţi din clasă.

În cazul de faţă (mai la începutul eseului) am folosit expresia rigurozitatea limbajului în sensul de folosire a unui vocabular, a unor cuvinte neuzuale (cel puţin în prima fază, până când elevii se obişnuiesc cu noul cuvânt) Este şi asta o abilitate deosebită, cea de a te obişnui cât mai repede cu folosirea unui cuvânt nou introdus. Mulţi profesori au impresia că dacă trântesc pe tablă definiţia unui nou cuvânt, atunci toţi elevii îl ştiu automat şi îl pot folosi. Nimic mai fals: această abilitate se dezvoltă doar cu timpul şi doar la unii.

Mai există şi rigurozitatea limbajului prin încărcarea exprimărilor, astfel încât, cu cât vrem să fim mai exacţi, cu atât scăpăm mai mult de sub control lungimea frazelor, devenind astfel neinteligibili pentru tot mai mulţi elevi. Exemplul cu care m-am confruntat cel mai des a fost includerea în textele geometrice a cuvântului lungime, pentru a face diferenţa riguroasă între un segment şi lungimea acestuia. Pe lângă mult discutatul text al teoremei lui Pitagora, eu m-am confruntat în mod dureros cu „determinaţi lungimea înălţimii triunghiului” în loc de „determinaţi înălţimea triunghiului”. Aceasta în condiţiile în care la „raza cercului” se face clar precizarea că se înţelege din context dacă este vorba despre segment sau despre lungimea acestuia; la fel şi la „diametrul cercului”.

Cine se gândeşte că am încercat aici o tratare exhaustivă a subiectului, acela se înşală, pentru că nici nu mi-aş putea propune aşa ceva, subiectul fiind extrem de vast. Dau doar un exemplu în susţinerea acestui punct de vedere, anume un exemplu pozitiv în sensul accesibilizării limbajului în detrimentul unei exprimări riguros corecte. Aproape nu trece săptămână din semestrul doi al clasei a 8-a să nu mă bucur că avem voie să folosim „unghiul diedru” în loc de mult mai rigurosul „ unghiul plan corespunzător diedrului” (cam de 10 ani n-a mai comentat nimeni în acest sens şi încă n-am auzit să fi murit cineva din cauza asta). Desigur că există şi alte forme de rigurozitate a limbajului, care în general reuşesc doar o deosebit de eficientă agresare a elevilor, dar eu mă opresc aici cu această linie de discuţie.

Un singur aspect mai trebuie să precizez, legat de observaţia cu năduf a d-lui profesor Roşu Ion. Cei care veţi vizita din curiozitate postarea sa pe Comunitatea profesorilor de matematică, veţi putea vedea câteva comentarii de o agresivitate extremă, dovezi de bullying între adulţi colegi de breaslă, exprimări care îmi repugnă chiar şi numai a le aminti. Cu toţii suntem stresaţi de aceste posibile atacuri din partea unor „colegi” şi chiar dl Roşu, în speranţa de a nu fi atacabil, a luat-o „pe arătura” rigurozităţii extreme când a încercat să vorbească despre triunghiuri, patrulatere şi alte poligoane (eu am scos pasajele respective). Eseul de faţă reprezintă în sine o încercare de a vorbi despre acest subiect fără a cădea în „castronul de rigurozitate” în care se bălăcesc cu drag foarte mulţi. De foarte mult timp îmi doream să abordez această temă şi nu pot decât să-i mulţumesc d-lui Roşu.

Aria cercului sau aria discului? Eu le folosesc lejer pe amândouă, astfel încât elevii să înţeleagă subiectul şi nu mă cramponez de nici una ca fiind neapărat cea corectă. Le explic însă despre subiect, despre logica sa şi despre atitudinea mea. În clasa a 8-a la volumul sferei, pardon, la volumul bilei le mai explic încă o dată toată treaba şi gata!. Revenind în 2D, sigur este că încă nu am folosit niciodată expresia „perimetrul discului” (că ar fi şi asta o idee tare năstruşnică)! Asta vă propun şi dvs., stimaţi colegi: haideţi să lăsăm rigurozitatea extremă să se odihnească „în plata Domnului” şi să ne concentrăm asupra copiilor şi, mai ales, să ne bucurăm când copilul gândeşte şi face matematică cât poate el de bine.

Cred că învăţământul matematic şcolar românesc are actualmente cu totul alte probleme, majoritatea mult mai grave. Chiar mai mult, am convingerea că această preocupare pentru o exprimare exagerat riguroasă, cât şi vânătoare aferentă a scăpărilor de exprimare, reprezintă una din cauzele analfabetismului funcţional matematic scos în evidenţă de diversele ediţii ale Studiului PISA. Elevii se sperie când îl aud pe profesor debitând fraze superîncărcate, apoi se sperie când el sau un alt coleg este certat că nu s-a exprimat corect, iar blocajul gândirii este urmarea cea mai des întâlnită. Titus Grigorovici

P.S. V-am spus eu că sunt multe de discutat legat de aria cercului, atunci când toată ţara râdea de Doamna Viorica? Da, da!