Numărul cercului (1) – Deducerea practică a lui π din perimetru

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor pe toate nivelurile de complexitate, iar arta predării înseamnă a găsi acele căi de parcurs la clasă care să le fie accesibile elevilor şi să-i stârnească în procesul gândirii, căi din care să înţeleagă fenomenul şi pe baza cărora să poată apoi lucra independent sarcinile primite ca temă.

Pare simplu şi totuşi de multe ori o dăm în bară. Eu, de pildă, am dat-o “pe de lângă” destul de urâţel în noiembrie 2019 chiar cu ocazia unei lecţii deschise la care – culmea – eu m-am înscris să o ţin. Pe scurt, am dorit să introduc acest număr, dar am făcut greşeala de a încărca lecţia mult prea tare cu diferite elemente, astfel încât lecţia pregătită şi clasa respectivă au avut foarte puţine momente în comun. Pentru ce am greşit eu mi-am luat timp şi am încercat să analizez cât mai obiectiv, după principiul “greşelile sunt bune dacă înveţi din ele”. Seria începută acum reprezintă de fapt gestul de corectură pentru respectiva oră deschisă.

Oricum, cu clasa a 7-a am petrecut şi următoarele două ore din program cu lămurirea subiectului respectiv. Elevii, în general cei buni desigur, aveau foarte multe întrebări, multe nelămurite de către cei de acasă. Pe lângă aceştia mai era şi o parte foarte consistentă a clasei care avea aerul “de parcă trecuse trenul peste ei”. Apropos, aici am atins un aspect de care noi profesorii de matematică nu prea suntem conştienţi: cei mai mulţi elevi nu înţeleg o lecţie “din prima”, aşa încât ar fi nevoie de un sistem de lecţii în care să reluăm cunoştinţele predate câteva ore, desigur tot în altă formă (până “le intră în cap”). Noi, profesorii, greşim aici pentru că avem impresia că “dacă le-am predat o chestie, ei şi trebuie să o ştie”. Nu-i deloc aşa; o vor şti eventual vârfurile clasei, cât şi cei care au acasă pe cineva care să e explice imediat ce s-a întâmplat. Mai există şi cei puţini care au forţa de a se duce acasă şi a se lupta cu noua situaţie până o înţeleg. Cei mai mulţi însă se prind despre ce-i vorba doar în următoarele ore (în cazul în care aceste ore reiau subiectul). În cazul de faţă, apariţia acestui număr ciudat, notat cu o literă necunoscută (de unde-i?, grecească? de ce? ce vrea să însemne ăsta?), această apariţie oricum îi bulversează puternic pe majoritatea (acelaşi fenomen l-am observat la apariţia ciudatei acolade de la sistemele de ecuaţii). În general, orice nouă apariţie care nu seamănă cu cele deja cunoscute, se pare că îi sperie pe foarte mulţi. În primul rând, aceste situaţii ar trebui contabilizate şi conştientizate de către profesorime, iar în cazul acestora ar trebui acţionat cu mare precauţie la introducerea respectivei noţiuni, pentru a ne asigura că ducem cu noi “în plutonul celor care au înţeles” cât mai mulţi elevi ai clasei (mă refer aici măcar la cei din corpul central al clasicului “clopot al lui Gauss”).

Stimaţi colegi, noi nu am fost formaţi să avem grijă la astfel de aspecte de ordin psihologic, dar se pare că elevii actuali sunt foarte sensibili în acest sens. Ca o scurtă paranteză, trebuie să precizez că respectiva clasă o luase oricum cam puternic pe o pantă descendentă în ceea ce priveşte învăţatul, fenomenul accentuându-se în săptămânile următoare. Astfel, am fost nevoit să iau măsuri mai hotărâte (blânde desigur, dar hotărâte) astfel încât situaţia să se redreseze pe o pantă pozitivă.

Revenind la introducerea cunoştinţelor despre măsurarea cercului şi la studiul numărului π, părerea mea actuală este că această lecţie ar trebui să se desfăşoare pe parcursul mai multor ore, într-un proces având punctul de pornire la un nivel cât mai simplu (nivel la care să se conecteze tot colectivul) şi care să urce treptat pănă la nivelul maxim al elevilor cei mai buni din clasă (deci nu doar la acest nivel, aşa cum procedează mulţi colegi cu pretenţii de excelenţă), parcursul desfăşurându-se pe două căi importante în paralel: exemple din procesul istoric de găsire a numărului π, pe de-o parte, cât şi exemple aplicative de calcul a lungimii şi a ariei cercului. Lecţia ar trebui să se desfăşoare într-o formă care să respecte cât mai mult atât aspectele psihologice (tot mai mulţi elevi trăiesc într-o “supă psihologică” greu de imaginat pentru noi matematicienii), cât şi aspectele istorice de descoperire a elementelor de măsurare a cercului (aspecte deseori profund diferite de formele de predare de sorginte academică, dragi sufletului de profesor format în ultimii 30-40 de ani).

Prin actuala serie de postări mi-am propus să prezint orientativ forma la care am ajuns pe parcursul ultimilor ani, desigur şi pe baza experienţei (ceva cam greu de digerat) din toamnă, de la actuala clasă a 7-a. Materialul ce urmează reprezintă rodul un proces de acumulare de lungă durată şi din multe surse (multe pe care din păcate nu le-am notat la vremea respectivă ca posibilă sursă bibliografică), dar şi cu mult adaos personal, fie pe bază de gândire anticipativă, fie pe bază de experinţă cumulativă.

Un ultim argument în favoarea acestei forme îl reprezintă un manual pentru clasa a 10-a (!) din Germania (bănuiesc că acest manual prezintă oricum matereia în a nuştiu-câta reluare). Este un manual pentru Gimnazii, adică pentru şcolile teoretice de la ei, echivalentul liceelor noastre într-o medie a nivelelor matematice (ei nu au despărţirea pe evantaiul filierelor uman până la real). Editura Ernst Klett Verlag are baze în toată Germania, dar acest manual (repet, pentru Gimnazium, adică pentru şcolile cele mai bune, pentru elevii din care se vor selecta cei ce vor merge şi la facultăţi) este pentru Land-ul Baden-Württenberg (Coordonatorul echipei de autori este August Schmid, iar manualul avizat din 1996). Capitolul despre măsurarea cercului este între paginile 74-91 (fiecare lecţie de 2 sau 3 pagini) şi are următoarele titluri: 1. Numărul cercului π; 2. Calculul ariei cercului (conţinutul cercului – Kreisinhalt); 3. Calculul lungimii cercului (perimetrului cercului – Kreisumfang); 4. Părţi de cerc (cu referire la sectorul cercului cu unghiul la centru, dar şi la desfăşurarea conului şi la elemente de astronomie şi geografia globului terestru); 5. Căi de apropiere de π (atât metoda egipteană, cât şi calcul modern adaptat calculatoarelor (aici am găsit anumite greşeli – uau! Şi calculatoarele pot greşi, iar o dată cu “ele” oamenii care lasă garda jos, având încredere că “a făcut calculatorul”); 6. Probleme combinate, aspecte istorice legate de calculul prin serii, cât şi elemente de cvadratura cercului. Cel puţin ¾ din material se încadrează liniştit sub nivelul practicat de matematica gimnazială din România (asta elitistă, cu care ne mândrim atâta). Explicaţia din lecţii este de obicei clară, la un nivel accesibil majorităţii, într-o combinaţie accesibilă de intuitiv şi teoretic. Noi avem acest manual în casă de la începutul anilor 2000. Dau aici poza unei părţi de pagină din acest manual pentru a vă face o imagine despre ce vorbesc (în traducere orientativă: cu cât împărţim un disc în mai multe părţi, cu atât mai tare reasamblarea acestor părţi se apropie de forma unui dreptunghi cu lungimea ½ P şi lăţimea r; deoarece aria rămâne tot timpul π r2, înseamnă că ½ P ∙ r = π r2 şi deci = 2 π r, fapt care se consemnează apoi ca teoremă (U pentru Umfang, adică perimetru, iar Satz reprezintă teoremă).

Mai am două ultime observaţii generale legate de materialul în care încerc să mă lansez cu atâta precauţie. În primul rând, este evident că întregul conţinut reprezintă de fapt un amestec între nevoile reale ale unui elev de clasa a 7-a şi posibilităţile medii ale elevului de clasa a 9-a (care reprezintă totodată vârsta elevilor de a 10-a din Germania; ei nu au clasa pregătitoare). Cu alte cuvinte, materialul ce urmează reprezintă o încercare cam “înghesuită” în nivelul clasei a 7-a, atâta vreme cât în România de peste 20 de ani nu se mai face geometrie clasică în licee. Materialul ar funcţiona mult mai bine în două parcurgeri clare, una în clasa a 7-a (fără aere elitste, cât mai accesibilă majorităţii) iar a doua, recapitulativă şi cu completări, în clasa a 9-a. În condiţiile actuale profesorii trebuie să decidă cât anume şi mai ales în ce formă să prezinte materialul la clasă, în funcţie de nivelul elevilor din colectivul respectiv.

În al doilea rând, este la fel de evident că profesorul cititor trebuie să-şi ia timpul necesar pentru “digerarea” acestui material, care este în general profund diferit faţă de forma actuală de predare. În cazul meu, această formă de predare reprezintă rezultatul unui proces lung de peste 20 de ani. Prin această serie eu îmi pun la dispoziţie toată experienţa acumulată în tema respectivă.

Varianta ce o voi prezenta reprezintă o formă de lecţie, cu cunoştinţele date “de-a gata”, care nu respectă principiile predării prin problematizare, dar experienţa arată că foarte puţini elevi pot descoperi prin problematizare cunoştinţele despre măsurarea cercului, iar aceştia de fapt au aflat de mult de numărul π, aşa că demersul şi stradania în acest sens nu-şi găsesc rostul. Ca atare este mult mai bine să parcurgem cu elevii cunoştinţele într-un format oarcum clasic, organizat orientativ în următoarele trei etape: 1) Lecţia introductivă cu prezentarea cunoştinţelor pe scurt; 2) Exerciţii şi probleme; 3) Diverse căi de obţinere a formulelor (pe post de demonstraţie).

Astfel, în prima oră ar trebui să parcurgem etapa 1), primele exerciţii din etapa 2) şi eventual o primă deducere aproximativă a numărului π, ca element din etapa 3). În orele următoare vom lucra la fixarea cunoştinţelor, la extinderea nivelului de exerciţii, probleme şi aplicaţii, cât şi la alte câteva variante de deducere a numărului π accesibile nivelului clasei. Am convingerea că această formă de ordonare a cunoştinţelor este folositoare tuturor elevilor, dar mai ales elevului mediu, care primeşte “din prima” cunoştinţele de învăţat cât şi felul cum se aplică acestea. Pe acest elev nu-l interesează de unde vin aceste cunoştinţe, cum au fost ele găsite şi de ce este totul aşa cum este. Poate îl va interesa mai încolo, după ce ajunge să se împrietenească cu aceste noi cunoştinţe. Poate, după o oră-două, vom reuşi să-i trezim interesul pentru felul cum au ajuns matematicienii să-l găsească pe acest ciudat 3,14.

Există şi un alt aspect: elevul asimilează numai ceea ce înţelege, nu tot ce i se prezintă. În acest sens există oarecum două tipuri de înţelegere: cea care acoperă plaja de la intuitiv la raţional, adică mai mult sau mai puţin intelectuală, specifică elevilor buni, cât şi un substituent al acesteia, anume înţelegerea prin exersarea celor de asimilat, care este singura valabilă şi în cazul elevilor care nu înţeleg matematica. Această a doua formă de înţelegere apare însă la un elev doar dacă exersarea este făcută la un nivel accesibil capacităţii intelectuale a acestuia. Cu alte cuvinte, etapa a 2-a, cea de exerciţii şi probleme, trebuie să cuprindă din start, imediat după etapa de prezentare a cunoştinţelor, un calup consistent de exerciţii şi aplicaţii accesibile tuturor elevilor. Acestea trebuie să reprezinte “un cap de pod” în noua lecţie de cucerit, accesibil tuturor elevilor din clasă. Pe baza acestuia şi includerii sale în “zona de confort” matematic a fiecărui elev, toţi elevii vor putea în continuare să spere la înţelegerea elementelor de dificultate sporită ce vor veni. Chiar, am putea spune că exerciţiile din acest prim calup de aplicaţii ar trebui să fie de fapt la nivelul celor mai slabi elevi din clasă. Aplicaţiile de dificultate sporită, pentru elevii buni, pot veni doar ulterior acestora (după ce elevii slabi s-au liniştit, înţelegând ce se întâmplă), sau poate, chiar mai bine, doar ora următoare.

Aici avem şi o problemă de percepţie a profesorilor legată de “hrana spirituală” pentru elevii buni şi foarte buni (categoria cunoscută sub titlul de “excelenţă”). Pentru aceşti elevi trebuie să dăm aplicaţii cât mai dificile şi complicate, dar tot ei vor fi şi principalii beneficiari ai confruntării cu diferitele căi de obţinere a aproximărilor numărului π, adică a demonstrării formulelor de lungime şi arie a cercului. Ar fi absurd să considerăm că aceştia pot fi beneficiarii unei matematici provocatoare doar prin supunerea constantă la un tir de probleme dificile. Partea practică a matematicii şi de problematizarea în cazul cercetării demonstrative le poate fi la fel de folositoare, lărgindu-le puternic tabloul despre această disciplină.

Aşadar, să “purcedem la drum”.

*

1) – Lungimea şi aria cercului (lecţia introductivă) Această lecţie are rolul de a le prezenta elevilor pe scurt materialul ce urmează a fi studiat, făcându-le direct cunoştinţă cu elementele de bază ale lecţiei. De fapt aceasta reprezintă orientativ lecţia pe care o cam fac toţi profesorii. “Lecţia” ar trebui să fie scurtă, dar recomand să nu ne grăbim, poate să fie lejer undeva către 10-15 minute, la care mai adăugăm apoi şi partea de exemple.

În primul rând trebuie să le dăm aici o figură cu un cerc în care să evidenţiem cât mai clar centrul,  raza şi diametrul cercului (cu notaţia acestora), iar alăturat cele două formule şi valoarea aproximativă general cunoscută a lui π, după principiul: “matematicienii au stabilit că: …”. Vom da formulele mai întâi în format aritmetic aproximativ, de felul Pcerc ≈ d ∙ 3,14 = 2 r ∙ 3,14  şi Acerc  r2∙3,14. Apoi, vom explica notaţia lui π (litera grecească pentru P, de la periferie, perimetru) şi vom scrie π ≈ 3,14, explicând totodată scurt, fără multe detalii, că acest număr este un număr iraţional pentru care oamenii folosesc uzual această aproximare. Tot în acest pacheţel de formule vom da în final şi formulele exacte: Pcerc = π r  şi Acerc = π r2. Eu obişnuiesc să înrămez individual aceste cinci formule pentru a accentua importanţa lor. Mesajul este clar: acestea trebuie ştiute pe de rost!

Întrerup aici parcursul acestei lecţii iniţiale cu precizarea următoare: în perioada interbelică, atunci când erau oarecum obligatorii patru clase (bunica din partea mamei avea 4 clase, bunicul însă nu), la sfârşitul clasei a 4-a elevii primeau informaţii despre măsurarea cercului (lungimea şi aria) în format aritmetic aproximativ, doar cu valoarea 3,14 (fără notaţia cu π). Această lecţie avea atunci câteva aplicaţii scurte legate de butoaie şi roţi de căruţă. Acest pas nu se mai face la ora actuală şi înţelegerea sa practică le lipseşte multor elevi (cei din categoria mai “ne-matematicieni”), aşa că recomand includerea sa aici. Desigur că această parte aritmetică aproximativă s-ar putea introduce şi în finalul clasei a 5-a, undeva printre unităţile de măsură şi elementele de măsurare a pătratului şi a cercului.

2) – Exemple de calcul În finalul acestei lecţii iniţiale introductive vom face câteva exemple de calcul pentru lungimea şi aria unor cercuri, în vederea lămuririi tuturor elevilor despre scopul acestor formule. Revin cu atenţionarea că mulţi elevi le vor primi foarte speriaţi, iar noi trebuie să avem grijă să nu le perceapă ca “picate din cer”, aproape ce ceva extraterestru (aşa cum se întâmplă de obicei, iar copiii “fug acasă” la primul adult să ceară lămuriri, să ceară ajutor, despre ce s-a întâmplat). Cu alte cuvinte: ne asumăm că lecţia tot îi sperie – oricât de scurtă şi oricât de clară (de aia o şi facem cât mai scurtă, ca să nu lungim agonia sperieturii), iar imediat în continuare facem câteva exerciţii uşoare prin care să-i destresăm, prin care elevii să vadă că nu-i aşa de greu, să vadă că este de fapt un model de rezolvare în paşi puţini şi accesibili, care se repetă la fiecare exerciţiu, deci că-i uşor! Asta ar trebui să facem noi în clasă, nu să-i lăsăm să meargă acasă speriaţi şi să-i lămurească acolo cineva (dacă au cine să-i lămurească acasă; cei care n-au pe nimeni să-i lămurească sunt condamnaţi la neînţelegerea matematicii, la frica de matematică şi la analfabetism matematic).

În contextul unei predări liniştite şi ca să mă asigur că au înţeles toţi elevii, eu aş da aici sigur trei exemple cu raza şi două exemple cu diametrul dat, toate cele cinci cazuri cu dimensiunea iniţială număr întreg (de pildă: r = 5 cm; r = 8 cm; d = 12 cm; r = 11 m; d = 20 m). La toate voi cere calculul lungimii şi a ariei, în paralel prin cele două tipuri de formule, atât cu rezultate exacte teoretic (de tipul L = 16 π cm şi A = 64 π cm2), cât şi cu rezultate aproximative, dar mult mai clare pentru înţelegerea dimensiunii respective (L ≈ 50,24 cm şi A ≈ 200,96 cm 201 cm2). Insist aici asupra acestui fapt, amintind principiul psihologic: atunci când introduci ceva nou, cu şanse mari de sperietură prin dificultatea sa inerentă de item nou, nemaiîntâlnit şi care nici nu seamănă cu nimic din ce cunoaşte elevul, atunci vom evita să introducem din prima în datele problemei şi alte elemente suplimentare de dificultate, neesenţiale pentru înţelegerea noului subiect (nu facem “sport matematic” din prima lecţie; avem timp pentru aşa ceva mai târziu).

Fişa de lucru ar putea apoi conţine şi câteva exemple cu date fracţionare, dar aş recomanda evitarea strictă pentru prima oră a unor exemple de date iraţionale; acestea pot fi introduse în orele următoare dacă neapărat dorim. Acelaşi lucru este valabil şi pentru exemple de tipul: se dă aria şi se cere lungimea, sau invers (ştiu că pe mulţi colegi “îi arde tare” să dea din prima şi tot felul de giumbuşlucuri, dar trebuie înţeles aspectul psihologic răvăşitor la adresa unor elevi; şi să nu-mi spună cineva că el are doar elevi brilianţi în clasă, ştiu sigur că sunt peste tot din cei care se blochează, chiar şi în clasele din colegiile cele mai de vârf). În schimb, fişa de lucru ar trebui să conţină şi cel puţin încă pe atâtea exerciţii de acelaşi fel pentru temă. În partea a doua a acestei ore vom putea să ne ocupăm de deducerea formulei pentru lungimea cercului, respectiv de deducerea unei prime valori aproximative pentru numărul π (matematicienii s-au ocupat cu acest subiect sute de ani; noi putem să-i acordăm măcar un sfert de oră, din când în când).

3) – O primă deducere a numărului π se poate face prin perimetrul cercului. Pentru o înţelegere raţională a lumii (formarea unei înţelegeri nemistice, cât şi obişnuinţa de a înţelege cele ce ne înconjoară), elevii trebuie în continuare să priceapă (cât mai bine posibil, la nivelul fiecăruia) de unde vine această valoare aproximativă de 3,14 în măsurarea cercului (reamintesc părerea că nu predăm matematica doar pentru examene şi concursuri, ci şi pentru formarea unei gândiri raţionale logice la elevi; lipsa acestei gândiri s-a văzut masiv în reacţia oamenilor legată de toate situaţiile cu care s-au confruntat cu ocazia pandemiei Covit19).

Alegerea de a porni în căutarea numărului π de la perimetrul cercului nu este una uşoară, eu am încercat de-a lungul anilor şi varianta de pornire de la aria cercului (în manualul nemţesc mai sus amintit se găseşte mai întâi aria şi din aceasta se deduce perimetrul, după cum se vede în argumentaţia din poza respectivă). Cred totuşi că pornirea de la lungime este mai accesibilă majorităţii elevilor şi din punct de vedere logic, lungimea (1D), adică măsurarea de pildă în cm şi mm fiind directă, pe când aria (2D) se stabileşte indirect. Pe de altă parte, pornirea de la arie este în schimb mult mai “vizibilă” pentru elevii care şi-au format în mod sănătos şi solid simţul pentru arie, adică pentru “conţinutul suprafeţei”, aşa cum zice neamţul (Flächeninhalt). Aria cercului se vede mai bine decât lungimea acestuia, elevii fiind obişnuiţi să vadă lungimi drepte şi nu lungimi “roată”, adică circulare. Ce-i drept că ei cunosc perimetrul, iar din acest motiv ar fi mult mai sănătos dacă am vorbi despre perimetrul cercului, nu despre lungimea cercului. Pentru asta noi ar trebui însă să facem “pace cu trecutul” şi să acceptăm folosirea cuvântului cerc şi împreună cu interiorul său, adică în loc de disc (sau bulină), la fel ca la toate figurile geometrice poligonale. Astfel, în acest material eu voi vorbi în general despre perimetrul şi aria cercului, dar pentru o înţelegere generală liberă, îm rezerv dreptul de a folosi din când în când (în mod aleatoriu) şi expresiile lungimea cercului respectiv aria discului (aşa fac şi la clasă pentru că elevii mei trebuie să înţeleagă şi limbajul folosit de ceilalţi profesori). Din nou atenţionez, luaţi-vă timp să digeraţi această scurtă “filozofie” de genul “teoria chibritului” (tot ce scriu aici este rezultatul încercărilor şi al gândurilor de mulţi ani).

Începutul acestei lecţii ar trebui să fie făcut be baza unei simple observaţii la una dintre cele mai cunoscute figuri geometrice: hexagonul regulat înscris în cerc (dedus din împărţirea cercului cu compasul în şase părţi egale, desen echivalent ca proprieţăţi cu foarte cunoscuta figură mistică “floarea vieţii”), hexagon compus din şase triunghiuri echilaterale. Pe baza cunoaşterii anterioare a acestei figuri se poate observa că perimetrul hexagonului regulat este egal cu 6r, fiind deci triplul diametrului: Phexagon = 3∙d.  Putem aici să folosim pe desen trei culori diferite cu care să trasăm tot câte două laturi consecutive ale hexagonului cu aceeaşi culoare, evidenţiind astfel trei diametre pe perimetrul hexagonului. Analizând figura cu hexagonul regulat înscris în cerc, putem deduce că Pcerc > Phexagon  şi deci că Pcerc > 3d. Scopul acestei lecţii scurte este de a afla orientativ cu cât depăşeşte perimetrul cercului triplul diametrului.

De multe ori oamenii de rând reproşează matematicienilor că nu fac nimic practic, şi în general chiar au dreptate. În acest sens, eu propun aici o scurtă lecţie practică (o lecţie de tip “laborator de matematică”) de măsurare a perimetrului cercului şi comparare a acestuia cu diametrul. Pentru asta ne trebuie câteva recipiente rotunde şi un metru de croitorie. Elevii trebuie să măsoare diametrul recipientului şi circumferinţa acestuia, iar în final să facă o împărţire. În funcţie de acurateţea măsurărilor, rezultatul se apropie mai mult sau mai puţin de 3,14. Pentru rezultate cât mai bune trebuie însă să avem grijă la câteva aspecte.

În primul rând, recomand metrul de croitorie şi nu o ruletă, pentru că ruleta flambează şi ca urmare denaturează măsurarea, deci şi rezultatul final. Metrul de croitorie este singurul instrument menit să măsoare şi “roată împrejur”; ruleta nu se potriveşte bine la aşa ceva, exact datorită faptului că tehnic a fost gândită să se susţină singură dreaptă pe anumite lungimi.

În al doilea rând, trebuie avut mare grijă ce recipiente rotunde alegem. Din start trebuie avertizat că oalele nu sunt bune pentru că au o teşitură rotunjută pe circumferinţa bazei, aşa că nu permit o măsurare exactă a diametrului. Altele nu au această teşitură, dar nici nu sunt cilindrice ci mai mult tronconice în apropierea bazei, încurcând astfel măsurarea circumferinţei. Nouă ne-ar trebui obiecte cilindrice cu muchia bazei cât mai clară. Diverse ţevi de PVC s-ar potrivi foarte bine pentru aşa ceva (trebuie unele cu tăietură, pentru că din fabrică vin cu teşitură, iar aceasta denaturează măsurătoarea; capacul de PVC din poză are teşitură, dar are trecut şi diametrul pe etichetă, fiind făcut standard de 12,5 cm, deci teoretic nu mai trebuie măsurat diametrul, pentru că este dat. Pentru măsurarea ambelor dimensiuni, eu am folosit în ultima vreme câteva recipiente din plastic pentru diferite produse lactate (muchie destul de clară şi suprafaţă laterală aproape cilindrică, în plus legate direct de realitatea înconjurătoare a elevilor, spre deosebire de ţevile PVC care dau o tentă tehnică întregului proces, bună şi aceasta de fapt). Şi rolele de bandă adezivă sunt foarte potrivite scopului propus aici.

Conservele de tablă dimpotrivă, nu sunt prea bune pentru că au acea buză de asamblare, care introduce automat eroare. Eventual o doză mare din tablă, cum ar fi cele ce apar ocazional cu panetone, ar da o eroare mai mică din cauza faptului că influenţa buzei scade cu cât avem un diametru mai mare. În general trebuie deci să alegem obiecte care să permită o măsurare cât mai exactă a diametrului şi a circumferinţei pe acel diametru. În lipsa unui metru de croitorie, sigur că putem căuta şi alte metode de a măsura circumferinţa, de pildă prin rostogolirea unei conserve pe o coală de hârtie (astfel am putea măsura diametrul şi circumferinţa buzei conservei; vă las pe dvs. să lămuriţi metoda), sau prin înfăşurarea unei aţe ne-elastice şi măsurarea acesteia cu liniarul.

Cel mai potrivit ar fi să organizăm această scurtă lecţie pe grupe de lucru, fiecare grupă primind un obiect rotund de măsurat (desigur, de diametre diferite) şi un metru de croitorie (eventual un metru la două grupe). Se explică sarcina şi fiecare îşi face treaba. Între timp profesorul construieşte pe tablă un tabel cu patru coloane (grupa, diametrul, circumferinţa şi rezultatul împărţirii) şi linii pentru toate grupele. Reprezentanţii fiecărei grupe vin apoi şi îşi trec rezultatele în tabel. În final se analizează rezultatele şi toată lumea îşi trece tot tabelul în caiet. Eu mă gândesc că ar fi suficiente 4-6 grupe de lucru cu diametre clar diferite, dacă vrem ca tabelul să nu crească prea tare şi să fie nevoie de prea mult timp pentru copierea sa (plus că pot apărea erori de copiere în caiet la tabele cu prea multe linii). Este evident că ne vom bucura de orice rezultat între 3,1 şi 3,2,

Aceasta ar fi o metodă practică de obţinere a unei aproximări onorabile pentru numărul cercului, adică pentru 3,14 drept “raportul dintre circumferinţa şi diametrul cercului” (observaţi că am folosit denumirea de raport pentru π, la fel cum folosesc acest cuvânt şi la “rapoartele trigonometrice” în gimnaziu, în loc de “funcţii trigonometrice” specifice trigonometriei din liceu) Ca o scurtă observaţie, în contextul ideii de raport, consider că sunt absurde exerciţiile în care elevii primesc o lungime egală cu π cm. Desigur că această lungime există, de pildă la cercul cu diametrul sau cu raza unitate, dar în clasele gimnaziale nu ar trebui să practicăm astfel de giumbuşlucuri de “matematică sportivă” potrivite mai degrabă maturităţii matematice din liceu, eventual materiei din jurul şi de după studiul cercului trigonometric.

Închei această primă parte a lecţiilor cu o scurtă întâmplare anecdotică. În urmă cu mulţi ani, am predat la cerc doar lecţia de bază, cu explicaţiile de rigoare că 3,14 este o valoare aproximativă şi că numărul π are o infinitate de zecimale, care apar neperiodic, etc. În ora următoare un elev a ridicat mâna şi mi-a zis că verişorul lui, care este în liceu, i-a spus că numărul π  este exact 3,14! Da, da! Nu are rost să mă pun eu cu verişorii ăştia mari, că ştiu ei mai bine. CTG

P.S. Având ceva mai mult timp cu ocazia acestei “vacanţe forţate” de PDV (pandemia de Corona virus), m-am uitat în câteva cutii cu cărţi la care n-am umblat de mult şi surpriză! Să vezi şi să nu crezi ce-am găsit: un manual de clasa a 7-a din Austria din 1977 (Rinderer Leo, Laub, Josef, şa, Mathematik 3.Kl. Ed. Hölder-Pichler-Tempsky, Viena, cam pentru vârsta elevilor din clasele noastre de a 6-a). Răsfoiesc eu prin manual în căutarea unor lecţii interesante şi aşa ajung şi la lecţiile despre măsurarea cercului. Aici prima lecţie este despre lungimea cercului şi, în principiu spune cam ce am zis şi eu mai sus, anume îi pune pe elevi să măsoare circumferinţa şi diametrul unui obiect cilindric. Interesant este felul în care sunt îndrumaţi elevii să măsoare circumferinţa cercului, anume să înfăşoare o aţă ne-elastică (precizat clar) de 10 ori în jurul cilindrului, să măsoare exact acea aţă şi să ia pentru circumferinţă a zecea parte din rezultat (?). Oare astfel se evită mai bine greşeli de măsurare? Se prea poate (pag. 209).

Câteva pagini mai încolo, la lecţia despre aria cercului, apare din nou descompunerea discului recompusă în formă de dreptunghi, prezentată la începutul acestui eseu, într-o variantă puţin diferită, folosită de data asta pentru trecerea de la perimetrul cercului către aria sa. Interesante sunt aici apariţia a două noi formule pentru arie în funcţie de diametru: formula exactă A = d2 π / 4 şi formula aproximativă A = 0,785 ∙ d2.

Conţinutul acestei imagini poate fi folosit uşor ca bază pentru o primă încercare în  deducerea ariei cercului. Fie la finalul primei ore descrisă mai sus, fie ca temă inclusă în finalul fişei de lucru din prima oră, fie în următoarea oră se poate face următoarea lucrare practică: elevii vor trebui să construiască pe hârtie colorată şi să le decupeze cele două figuri echivalente în paralel, discul împărţit în 8 părţi egale şi alăturat reasamblarea pieselor în formă “dreptunghiulară” (cei curajoşi primesc desigur recomandarea să facă împărţirea în 16 părţi egale). Vedeţi că această ultimă imagine are un mic pas în plus faţă de reasamblarea din prima imagine, anume că aici o optime a fost tăiată în jumătăţi, fiecare din acestea fiind lipită la câte un capăt al şirului celorlalte şapte optimi, astfel încât figura compusă seamănă şi mai bine cu un dreptunghi decât cu un paralelogram (având lăţimea perpendiculară pe “lungime”).

Vedeţi în imagine că oricum această lucrare practică este recomandată prin forfecuţa reprezentată la început lângă nr. 1155 (în colţul din stânga sus). Autorii recomandă în text o rază de 6 cm, dar mult mai interesant, ne recomandă să decupăm discurile şi să obţinem împărţirea în opt părţi egale prin împăturiri succesive a acestora: prima împăturire în jumătăţi, a doua în sferturi, iar a treia în optimi. Unul dintre aceste sectoare de cerc trebuie împărţit încă în două de-a lungul axei sale de simetrie; aceste două bucăţi sunt cele care se vor pune la capete.

Dacă alegem această cale şi dorim să mergem până la şaisprăzecimi, atunci va trebui să ne pregătim cu hârtie cât mai subţire, pentru că hârtia normală de copiator nu se lasă împăturită cu exactitate de prea multe ori. Puteţi lucra totuşi şi pe hârtie de copiator, dar după fiecare pliere faceţi direct tăierea sau ruperea celor două jumătăţi. Aici desigur că le vom povesti că această transformare este doar o imagine intuitivă, practică, orientativă pentru fenomenul studiat; este evident că forma obţinută nu este un dreptunghi pentru că are lungimile ondulate, dar acestea vor deveni tot mai drepte cu cât vom descompune discul în tot mai multe sectoare de disc.

Sisteme de ecuaţii – introducerea noţiunii în clasa a 7-a

De foarte mult timp, cam de 10 ani, îmi doresc să redactez o fişă de lucru pentru lecţia de introducere a sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (2 ecuaţii cu 2 necunoscute). Această fişă trebuia să aibă clar două părţi: I) Sisteme rezolvabile mai uşor prin metoda substituţiei, şi II) Sisteme rezolvabile mai bine prin metoda reducerii. În plus, sistemele trebuiau să îndeplinească condiţia de accesibilitate pentru cât mai mulţi elevi, pentru a nu-i respinge din start. Revenirea lecţiei în finalul clasei a 7-a, odată cu abandonarea stupidei metode grafice (în ultimii 10 ani camuflată prin poziţionarea sistemelor după funcţii), reprezintă pentru mine o mare bucurie (prietenii ştiu de ce!), ocazie ce merită sărbătorită cu un articol explicativ extins şi cu o fişă de lucru completă în acest scop.

Vedeta incontestabilă a acestui articol este fişa de lucru şi mă voi concentra pentru început pe prezentarea acesteia. De-abia apoi voi dezbate detaliat metodica predării şi toate gândurile şi argumentele legate de aceasta. Fişa de lucru este plină de sisteme simple la fiecare pas parcurs. Ideea de cuplare a două ecuaţii este oricum o sperietoare la adresa majorităţii elevilor, aşa că am păstrat nivelul cât mai scăzut. După această fişă, elevii capabili de mai mult vor putea urca pe scara dificultăţii cât vor dori (ei sau profesorul lor). Nivelul de bază însă, este foarte subţire reprezentat în marea parte a culegerilor sau a manualelor (o boală apărută odată cu apariţia primelor manuale alternative în 1997).

Pe lângă cele două părţi I) metoda substituţiei şi II) metoda reducerii, am mai mers încă un pas cu III) completări. Cele trei părţi sunt doar orientative, ele nefiind evidenţiate concret pe fişă. Am lăsat astfel libertatea fiecărui profesor de a parcurge fişa în ritmul în care doreşte (la clasele mele parcurg fişa în trei lecţii, dar pot să-mi imaginez clase unde să fie nevoie de mai multe ore, sau clase unde profesorul să parcurgă ideile de bază pe câteva exemple în jumătate de oră, după care să urce la exemple mai grele, iar fişa să rămână doar ca temă). Eu parcurg această temă în trei ore astfel:

Prima oră: aceasta începe cu scrierea titlului de capitol şi prezentarea noţiunii de sistem de ecuaţii pe cazul Ex.1) care este profund intuitiv (“ce vedeţi?”, “ce-am putea face?” etc.). Apoi vine Ex.2), care conţine deja amândouă necunoscutele în ambele ecuaţii. Dacă nu-şi du seama ce-i de făcut, atunci trebuie să le arătăm pentru început “mişcarea”. În a doua parte a acestei prime ore apare metoda substituţiei, care este prezentată în doi paşi. La Ex.3) le vom arăta elevilor cum se face substituţia (dacă nu are careva ideea, desigur). Apoi luăm şi Ex.4) cu întrebarea “cum am putea şi aici să facem substituţia?”. După părerea mea valabilitatea practică metodei substituţiei, pentru elevii de rând, se limitează la cazurile când este posibilă exprimarea unei necunoscute fără fracţie din cealaltă; dacă apare o exprimare fracţională, atunci mai bine aplici metoda reducerii.

A doua oră: aceasta aduce metoda reducerii parcursă în paşi mici, odată cu evoluţia amplificărilor pe ecuaţii. Această metodă preia încet, la un alt nivel, gândirea dezvoltată deja la adunarea şi scăderea fracţiilor prin aducerea la numitor comun, în fiecare caz printr-o amplificare cât mai redusă, cu un efort cât mai mic. În a doua oră parcurgem Ex.5)-8). Desigur că şi aici va trebui să le arătăm la început măcar pe unu-două exerciţii cum funcţionează metoda. Apoi trebuie să avem răbdare ca elevii să descopere restul lecţiei odată cu complicarea exerciţiilor

A treia oră: aceasta este doar o oră de exersare şi combinare a celor două metode principale, cât şi de extindere în câteva direcţii a nivelului de complexitate. Cea mai bună cale de combinare a celor două metode ar reprezenta-o situaţia sistemelor de trei ecuaţii cu trei necunoscute, dar aceasta sigur nu este o sarcină de făcut în a treia oră din clasa a 7-a. Oricum, această a treia oră duce elevii până la nivelul de nota 7-8 la examenul de Evaluare Naţională.

Fiecare pas de învăţare prezintă 5 exerciţii. Acestea sunt gândite astfel încât să fie parcurse două exerciţii de cunoaşterere şi înţelegere a pasului respectiv la clasă, iar restul ca temă de casă. Astfel, la exerciţiile 1-8, cât şi la 10 şi 11 am ales pentru a fi parcurse la clasă exemplele a) şi b), pe când celelalte trei să rămână ca temă. Punctele centrale ale fişei, exerciţiile 4 şi 5, conţinând aplicaţiile de bază din cele două metode principale sunt reprezentate de pachete cu câte 10 exerciţii. Aici vom putea insista mai mult, de pildă făcând primele patru la clasă şi lăsând restul ca temă, păstrând astfel raportul clasă la temă egal cu 2 la 3..

În structurarea fişei am făcut o detaliere meticuloasă a drumului de parcurs (poate pentru unii excesivă) din motive foarte clare, anume pentru că mulţi elevi au nevoie de câteva exerciţii de fixare la fiecare pas logic. În afara claselor selectate, în cele mai multe clase numărul celor care au nevoie de o astfel de viteză de avansare prin materie (uşor clasificabilă ca “lentă” sau chiar “extrm de lentă”), numărul acestora ajunge sau chiar trece de 50% (viitorii analfabeţi funcţionali matamatic, dacă nu încercăm cumva să preîntâmpinăm fenomenul şi să vorbim la ore şi pe mintea lor).

Majoritatea sistemelor de ecuaţii întâlnite sunt cu necunoscutele x şi y dar, pentru a nu genera o dependenţă de nesurmontat faţă de acestea, am inserat în fişă unele sisteme de ecuaţii cu alte perechi de necunoscute. Aspectul este important şi prin prisma folosirii ulterioare la rezolvarea unor probleme ce pot fi puse în sistem (a fiind suma de bani a lui Andrei iar b suma de bani ai lui Bogdan, de pildă). Undeva, pe la sfârşit, chiar am scăpat şi un sistem cu una dintre soluţii 0(zero).

Forma aceasta de organizare a fişei mi-a apărut clar în minte în toamna lui 2019 la o oră de consultaţie cu clasa a 8-a (după două săptămâni de lucru la clasă şi o lucrare slabă la foarte mulţi elevi), când mi-am dat seama că trebuie să o iau de la capăt cu lecţia, ordonat cam în acest fel, dar mult mai detaliat pentru marea parte a elevilor, care erau doar bulversaţi la maxim de noua “arătare” de la ora de matematică. Mergând aşa, în paşi mici din punct de vedere logic, i-am văzut luminându-se la faţă şi începând să lucreze pe cont propriu, fără să mai copieze de pe tablă (uitându-se doar la sfârşit şi bucurându-se şi ei că le-a dat rezultatul de pe tablă).

Bine, bine, veţi spune, dar cu elevii buni ce facem? Ştim toţi ce facem cu elevi buni, cu vârfurile claselor, că de obicei numai de ei ne preocupăm şi numai de ei vorbim, pentru că ei sunt cei care ne oferă situaţia de a ne lăuda. Aşa am fost setaţi ca să vedem doar satisfacţia muncii legată de cei mai buni. Manualele şi culegerile sunt pline de material de lucru pentru aceştia. De data asta, la această fişă, cei buni primesc o altfel de provocare: să facă ei lecţia, adică să găsească ei cum să jongleze cu ecuaţiile alea, astfel încât să izoleze cumva câte o necunoscută pentru a o găsi. Predarea prin problematizare le vine cu totul în întâmpinare, dar nu într-un mod de dopare cu noi şi noi chestii grele, ci punându-i în situaţia de a se descurca pe baza gândirii lor pe situaţii nemaivăzute şi fără a le fi explicaţi – pe cât posibil – cum se fac respectivii paşi. Cei buni pot face la viteză, în timpul orei, încă un al treilea exerciţiu, rămânând cu mai puţină temă. Dar de data asta, fişa este în egală măsură şi pentru elevii medii şi mai ales şi pentru cei de la “coada plutonului”, cei care de obicei nu rămân cu nimic după ora de matematică. Şi ei merită un pic de atenţie; şi ei sunt elevii noştri. (Cu cât lucrăm mai mult la nivelul înalt al lecţiilor, neglijând masiv nivelul de bază al lecţiei, cu atât mai mult obţinem o creştere masivă a grupului care nu a înţeles nimic la lecţie şi rămâne “de căruţă”. Iar apoi ne mirăm de unde avem aşa de mulţi elevi cu rezultate slabe, de pildă la Studiul PISA. Elevii mai înceţi la matematică au şi ei nevoie de ore pe mintea lor.)

După cum am mai spus, paşii mici prin care evoluează exerciţiile de pe această fişă sunt deosebit de potriviţi pentru predarea lecţiei prin problematizare la care să se implice toţi elevii doritori. Predând în acest fel sunt sigur că elevii buni ai clasei vor vedea singuri ce pas trebuie făcut la fiecare nou exerciţiu, astfel încât profesorul să se limiteze doar la propunerea exerciţiilor şi la unele eventuale întrebări ajutătoare (eu aşa predau de aproape 10 ani şi merge de minune!). Singurele locuri unde probabil ar trebui intervenit de către profesor printr-o “hai să vă arăt cum se face:” vor fi la primele exerciţii din cele două metode de bază (pasul de substituire, respectiv reducerea prin reducere simplă). Deja la situaţii unde să fie nevoie de o amplificare pe una dintre ecuaţii s-ar putea ca un elev din clasă să sesizeze ce trebuie făcut (dacă nu, atunci le arătăm tot noi). Apoi elevii preiau din nou lecţia, profesorul trebuind doar să se rezume la formalităţi (acum trecem la nivelul următor etc.)

Fişa nu conţine exerciţii din lecţia premergătoare, anume despre ecuaţii cu două necunoscute. Eu fac scurt această lecţie, anume studiind 2-3 exemple de astfel de ecuaţii la care elevii să găsească câteva perechi de soluţii posibile, până se lămuresc că există un număr nesfârşit de astfel de perechi, însă nimic mai mult. Observ în mod ciudat cum unii colegi dau acestei lecţii la fel de mult timp cât dau apoi şi lecţiei despre sisteme; este o atitudine aberantă, atât din punct de vedere metodic, cât şi din punct de vedere al importanţei lecţiei. Este evidentă aici strădania inoculată în mentalul profesorilor şi ajunsă la nivel inconştient, de a te preocupa foarte mult de teme şi subiecte ce pot duce către aplicaţii specifice nivelului de olimpiade. Dimpotrivă, sisteme de ecuaţii nu se dau la concursuri, fiind o lecţie elementară, aşa că nu pierdem timpul cu aceasta (“avem lucruri mai importante de făcut”). Cum să faci o oră despre ecuaţii cu două necunoscute, cu tot felul de scrieri elaborate ca perechi ordonate de numere, iar apoi să faci sistemele de ecuaţii, ambele metode într-o oră? Fişa despre sisteme poate însă funcţiona foarte bine şi fără lecţia despre ecuaţii cu două necunoscute (eu nu ţin minte să fi făcut o astfel de lecţie în gimnaziu). Cât despre continuarea lucrului şi după finalizarea fişei, cu sisteme tot mai dificile (de pildă cu coeficienţi raţionali sau iraţionali), desigur că colegii profesori vor putea decide fiecare în funcţie situaţia concretă a elevilor strategia de creştere a dificultăţii sistemelor studiate, manualele şi alte auxiliare stându-ne desigur la dispoziţie.

Un gând deosebit am acordat alegerii soluţiilor acestor sisteme, anume strădaniei de a introduce această lecţie doar cu soluţii numere întregi. Această strategie se bazează pe următorul gând: atunci când introduci un item nou este bine să păstrezi “ambientul” la un nivel corespunzător “zonei de confort” a clientului tău educaţional. Pentru mulţi elevi noutatea lecţiei reprezintă un şoc în sine. Apariţia a două necunoscute simultan şi a unei a doua ecuaţii (plus acolada aia ciudată pe care mulţi o tot uită), toate acestea îl stresează pe elevul mediu, dar mai ales pe cel slab, punându-i un fel de “ceaţă pe creier”. Aici apare gândul de a nu-l stresa suplimentar prin diverse soluţii fracţionare, ci de a-i oferi un “ambient”, o situaţie numerică în care să se simtă mai în largul său. După ce ajunge să cunoască şi să stăpânească procedurile din cadrul lecţiei despre sisteme de ecuaţii, după aceasta poate fi confruntat şi cu soluţii fracţionare, mai ales dacă îl şi avertizăm (“ai grijă că acum am pus şi câteva cu fracţii”). Astfel, pentru a veni în întâmpinarea elevilor medii sau slabi la matematică, am decis de mult timp să rămân măcar în primele ore în zona numerelor întregi. Cei care pot face pasul la fracţii nu vor întimpina dificultăţi ulterior acestei fişe, pentru că au înţeles paşii de bază ai sistemelor. (Acelaşi principiu îl folosesc şi la teorema lui Pitagora: stau cel puţin 2-3 ore în zona de numere întregi (tripletele pitagorice, cu rădăcina dintr-un număr pătrat) şi îi las să cunoască utilitatea teoremei pe amalgamul de figuri şi calcule de arii şi perimetre. Doar apoi încep să- conduc pe elevi şi spre rezultate iraţionale sau spre utilizarea în teorema lui Pitagora a unor lungimi iraţionale.)

Această strategie de introducere a unei lecţii noi, la început doar pe cazuri de numere întregi, trebuie făcută însă cu grijă, pentru a nu cădea în penibil. Pe la jumătatea anilor ’90 exista o culegere care avea două pagini pline de sisteme. Toate în, afară de un singur caz, aveau soluţia x = 1 şi y = 1. Este evident că şi elevii râdeau de profesorul care dădea o astfel de temă. Pentru actuala fişă m-am străduit să nu repet greşeala respectivă.

O ultimă observaţie mai am la adresa materialului din fişă, anume despre Ex.2) şi sistemele rezolvabile prin metoda tranzitivităţii. Am întâlnit pagini întregi din astfel de exerciţii într-o culegere veche nemţească şi de atunci le arătăm elevilor noştri şi astfel de sisteme, explicându-le metoda de lucru. Iar, pentru că totul la noi are de obicei şi o denumire, am denumit-o conform proprietăţii folosite. Eu folosesc această metodă ulterior la funcţii, la problemele cu determinarea intersecţiei graficelor a două funcţii (înlocuind f(x) şi g(x) cu y, obţinând ecuaţiile ataşate funcţiilor respective, obţinem un sistem ce se rezolvă banal cu această metodă; în aceste situaţii arată stupid când un elev începe să-şi ordoneze mai întâi sistemul pentru metoda reducerii). Dincolo de orice aplicabilitate însă, această metodă ne oferă în clasă o primă ocazie de a acţiona cu două ecuaţii cu câte două necunoscute simultan, fără însă a avea ceva foarte greu de înţeles Accentuez iarăşi: când introduc ceva nou, o fac într-un context cât mai paşnic, cât mai comod şi accesibil pentru majoritatea elevilor, astfel încât aceştia să nu se sperie de două lucruri noi simultan: atât apariţia ambelor necunoscute în amândouă ecuaţiile – chestie ce reprezintă un şoc în sine pentru cine nu s-a mai confruntat cu aşa ceva – cât şi cine ştie ce metodă prea complicată, din prea mulţi paşi, metodă care-i sperie “mintiuca lui stresată de matematică” (o elevă tare simpatică avea o vorbă pe vremuri: “staţi numai un pic, că neuronul meu nu mai poate”). În plus, trebie să înţelegem şi contextul momentului, adică să ne punem în locul elevului slab: el tocmai a primit o fişă plină de “nişte chestii” foarte dubioase şi se gândeşte doar “eu pe astea va trebui să le fac, pe toate?”. Revenind la metoda tranzitivităţii, sper că se vede că i-am dat acestei metode atenţia cuvenită, adică i-am dat atenţie, dar doar puţin, atâta cât merită şi nimic mai mult.

*

Părăsind fişa de lucru propusă, rămânem să mai analizăm alte câteva aspecte legate de metodica şi didactica predării sistemelor de ecuaţii în gimnaziu. Este nevoie de această parte pentru că tema respectivă a fost văduvită masiv de o stare de normalitate în şcolile româneşti timp de aproape 40 de ani! Pentru a înţelege despre ce este vorba, haideţi să analizăm puţin filozofia nivelelor de gândire legate de sistemele de ecuaţii.

Propun mai întâi o scurtă analiză faptică a evoluţiei acestei lecţii în ultima jumătate de secol (niţică istorie, că multă lume nici nu ştie despre ce-i vorba şi ce tot “mă cânt” aici).

Primul nivel al sistemelor de ecuaţi este cel corespunzător nivelului de rezolvare a ecuaţiilor de gradul I, cu gândirea specifică claselor 6-7 gimnaziale. Din acest punct de vedere metoda substituţiei este cea mai pură. Metoda reducerii are la bază o proprietate mai rar folosită în clasele gimnaziale (din a = b şi c = d rezultă a + c = b + d), fiind însă mult mai rapidă (uneori prea rapidă şi netransparentă pentru elevii mai “începători” în ale gânditului). Din acest punct de vedere este evident că ordinea naturală, potrivită elevilor, este cu metoda substituţiei prima, urmată de metoda reducerii. Din punct de vedere al raţiunii, metoda substituţiei este o metodă “mai băbească”, mai primitivă, şi din acest motiv se potriveşte a fi parcursă prima. Dimpotrivă, metoda reducerii este una mai evoluată din punct de vedere al gândirii, este o metodă “mai turbo” şi se prezintă ca o rezolvare mult mai eficientă decât cealaltă. Dar această comparaţie poate fi făcută doar dacă o cunoşti deja pe cealaltă (altfel, în mintea elevului, rezolvarea prin metoda reducerii rămâne doar una dintre multele chestii care se învaţă la orele de matematică).

Astfel, în cazul metodei reducerii predată prima, mulţi elevi nici nu-şi dau seama clar “ce s-a întâmplat”, metoda reducerii având pentru început un efect de “cutie neagră” asupra majorităţii elevilor (toţi înafară de cei foarte buni şi familiarizaţi în general cu raţionamentele matematice). În această ordine, cei mai mulţi elevi ratează clar valoarea de surpriză plăcută a metodei reducerii faţă de metoda substituţiei.

În plus, parcurgând mai întâi metoda reducerii, vom obţine evident o stare de opoziţie din partea elevilor la adresa metodei substituţiei: “de ce trebuie să mai învăţăm această metodă bleagă, de vreme ce ştim să rezolvăm sistemul mai uşor?”. În acest fel metoda substituţiei este evident condamnată la neînvăţare din partea majorităţii elevilor. De ce ar face cineva aşa ceva? Eu nu pot înţelege această mişcare, pentru că inversarea ordinii acestora duce în mod automat la posibile instabilităţi în formarea gândirii legate de sistemele de ecuaţii. Din păcate, acesta este şi cazul abordării în unele manuale (deşi în programă este dată ordinea naturală: metoda substituţiei, şi doar apoi metoda reducerii).

Care ar fi avantajul parcurgerii mai întâi a metodei reducerii? Unul foarte pragmatic, de tipul “haide să-ţi arăt cum se face” şi să mergem mai departe. Pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi, ideea de a-i da elevului imediat o metodă rapidă şi eficient utilizabilă este desigur un gând deosebit de atractiv. Repet: pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi. Dimpotrivă, este evident că pentru cineva care are o coardă sensibilă pentru ideea de formare a gândirii la elevi, pentru un astfel de profesor este absolut normal să apară o stare de nedumerire.

Pe de altă parte, la aceste două metode elevii trebuie să lucreze ceva mai mult, pentru a fi siguri că tot ce urmează se poate aşeza pe un fundament solid. Din păcate însă, marea majoritate a autorilor de culegeri sau manuale nu îşi iau timp şi spaţiu pentru a cuprinde în zona respectivă de exerciţii suficiente exemple de bază, pentru a fi siguri că marea majoritate a elevilor au înţeles şi şi-au însuşit cele două metode. Astfel, de pildă, într-un manual actual am găsit o reprezentativitate extrem de slabă a exerciţiilor de bază, din punct de vedere al aspectelor exprimate aici: cumulat la ambele metode, în acest manual sunt cu totul 9-10 sisteme în forma elementară de bază, iar asta se referă la nivelul exerciţiilor la care ne aşteptăm ca toţi elevii să le stăpânească (aşa-numitele exerciţii“de nota 5-6”). În auxiliarul însoţitor al manualului la care m-am referit mai sus, exemplele simple sunt mai bine reprezentate: undeva până în 15 exemple la fiecare dintre cele două metode (dar acestea sunt evident accesibile doar în cazul achiziţionării).

La “capătul celălalt al şcolii”, adică în liceu, se află teoria superioară a sistemelor şi rezolvarea acestora în principal prin determinanţi în clasa a 11-a la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info. Între aceste două nivele evoluează gândirea rezolvării sistemelor de ecuaţii. Primul nivel prezintă câteva extensii posibile (cuprinse sau nu în programa oficială), extensii care însă stabilizează simţul pentru sisteme de ecuaţii.

Mai întâi există, chiar în clasa a 7-a, rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor învăţate (în funcţie de alambicitatea textului, punerea în ecuaţii a unuei probleme putând fi uneori deosebit de dificilă). Între acestea apar surprinzător câteva probleme de geometrie care generează în mod neaşteptat ecuaţii destul de uşoare.

O altă extensie posibilă o reprezintă sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute, care nu sunt deloc atât de “extraterestre” cum consideră unii. Pe când eram elev iubeam sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Ca profesor într-o şcoală cu o atitudine mai liberă, am făcut deseori astfel de sisteme în clasa a 8-a (o oră poţi găsi uşor ca profesor dacă înţelegi motivaţia). Avantajul lor uriaş este că folosesc de multe ori ambele metode de bază, ajutându-i astfel pe elevi să le înţeleagă cu adevărat şi în profunzime, în ce situaţie anume se potriveşte mai bine metoda substituţiei şi în ce situaţie mai bine metoda reducerii. Această argumentaţie ar fi suficientă pentru o astfel de oră. Dar, în plus, se poate întâmpla să apară sisteme de 3×3 chiar în probleme din procesul de pregătire a EN. Haideţi să vă dau un exemplu dintr-o culegere actuală (Ed. Paralela 45, EN VIII Consolidare, Gh. Iurea ş.a. 2019, pag. 101,Testul 15). Generatoarea conului este cu 4 cm mai mică decât triplul razei cercului de bază, iar înălţimea este cu 4 cm mai mare decât diametrul bazei. Apoi se cer dimensiunile conului.

O a treia extensie posibilă a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute o reprezintă conexiunea acestora cu funcţiile de gradul I studiate în clasa a 8-a. După cum am spus, multe probleme de la funcţii pot fi transformate în sisteme de ecuaţii prin transformarea f(x) = y şi scrierea ecuaţiei ataşate funcţiei. Desigur că aici stă pitită după tufiş rezolvarea sistemelor de ecuaţie prin metoda reprezentării grafice a dreptei soluţiilor. Stă pitită după tufiş, ruşinată pentru cât rău a făcut în minţile elevilor şî în matematica şcolară timp de 40 de ani (!).

Revenind la sistemele de 3×3, o altă argumentaţie în favoarea parcurgerii unei lecţii despre acestea chiar în gimnaziu este următoarea: dacă nu le facem prin aceste metode de gândire “bazic” din gimnaziu, elevii care ajung să le studieze prin determinanţi în liceu trag în mod natural concluzia că sistemele 3×3 se pot rezolva doar prin metodele învăţate în liceu. Din combinarea metodelor de bază “gimnaziale” rezultă apoi în clasa a 11-a metoda lui Gauss, ce reprezintă la rândul ei un preambul de nivel intuitiv pentru rezolvările prin determinanţi. Majoritatea profesorilor nu dau atenţie acestor conexiuni de transformare şi evoluţie a gândirii, păstrând parcă intenţionat fiecare metodă într-o zonă a cunoaşterii automate, fără nici măcar un pic de înţelegere (parcă ar preda după principiul “elevii trebuie să ştie să rezolve exerciţiile, nu să le şi înţeleagă”).

Dar unde să facem sisteme de 3×3 în gimnaziu, atâta vreme cât programa oficială nu le include? O variantă (de care m-am folosit în ultimii ani) este să le cuprindem într-o oră din începutul clasei a 8-a, la “recapitulare şi completări”. Le-am putea face şi ca un fapt divers în săptămâna “şcoala altfel”, în clasa a 7-a, dacă am parcurs sistemele 2×2 până atunci, sau în clasa a 8-a, aducând atunci şi exemple ca cel de mai sus (ştiu că nu seamănă a excursie, aşa cum bine mersi am transformat noi, românii, o idee interesantă de lucru într-o opurtunitate de a face mai puţină şcoală). Oricum, dacă vrem, atunci se găsesc soluţii de integrare. Şi, nu trebuie insistat tare mult: cam 5-6 exemple dintr-o culegere veche de-a lui Gheba, apoi încă 3-4 date ca temă şi gata. C.T.G.

P.S. În aceste vremuri de izolare la domiciliu, nutresc speranţa ca acest material să fie la fel de folositor şi în cazul în care nu ne vom întâlni pre repede din nou cu elevii noştri. Încerc să gândesc un format prin care să-i putem ghida pe parcursul acestei lecţii de la distanţă. Desigur, putem să le sugerăm să se uite în manuale, dar atunci s-a dus pe apa Sâmbetei toată predarea prin problematizare.

SistemeEcuatii-FisaLucru.pdf

Teleşcoala şi profesorii de matematică

Profesorii de matematică ce s-au oferit (?) sau au fost aleşi (?) de a susţine lecţiile din cadrul emisiunilor teleşcoala sunt într-o situaţie delicată: pe de o parte acţiunea poate reprezenta o platformă de lansare deosebită spre o recunoaştere mai largă în cariera didactică; pe de altă parte postura respectivă “în lumina reflectoarelor” este una deosebit de ingrată. De prima parte nu-mi fac griji, dar permiteţi-mi să explic la ce mă refer cu partea ingrată.

Filozofia impusă în anii ’80 de către autorităţile comuniste susţinea că întotdeauna este loc de mai bine. Era o metodă prin care oricine putea fi criticat, astfel încât nimeni să nu se simtă sigur în situaţia sa. Încet, dar sigur, după Revoluţie ideea a prins la tot mai mulţi concetăţeni, generalizându-se ca metodă democratică de dezbatere şi analiză.

Într-adevăr, dispoziţia de a critica pe cel de alături a prins foarte bine în societatea românească. Mulţi oameni se simt bine când îl critică pe celălalt, având astfel un sentiment de superioritate faţă de cel criticat. Astfel au apărut oameni care practică această “artă a criticatului” cu deosebită satisfacţie. Chiar a devenit un gest de “bon ton” în a-i contesta celuilalt afirmaţiile, de a-i arăta de fapt cum stau lucrurile, că tu te pricepi mai bine, după principiul “îţi spun eu cum stau lucrurile!”.

Ca urmare a acestei atitudini generalizate, orice apariţie într-o oră deschisă a unui profesor este deosebit de minuţios pregătită, pentru a reduce la maxim şansele de a oferi asistenţei posibilitatea de a te critica (iar asistenţa tradiţională matematică de-abia aşteaptă o astfel de ocazie!). Ne dăm seama în aceste condiţii ce este în sufletul unui profesor care apare într-o lecţie în faţa întregii ţări, postată apoi pe youtube astfel încât să-ţi poată oricine diseca vorbele.

Eu ştiu câte ceva despre acest subiect pentru că am avut în familie o astfelde experienţă: mama mea a ţinut o lecţie de Teleşcoala la sfârşitul anilor ’70, şi ţin minte ce zdroabă a fost atunci cu pregătirea fiecărui cuvânt din lecţia respectivă (cartea din care tatăl meu a conspectat la greu pentru a o ajuta pe mama să pregătească lecţia este acum la mine: nici nu o bag în seamă, dar atunci era la mare apreciere).

Revenind la lecţiile din aceste zile, cum spunea şi soţia mea: sigur nu-i poţi mulţumi pe toţi; sigur se vor trezi mulţi deştepţi care să-i critice pe colegii care s-au încumetat la aşa o acţiune “cu tente sinucigaşe”. Şi atunci ce faci ca profesor ce urmează să susţii o lecţie cu audienţă (redusă sau extinsă)? Ce poţi să faci pentru a preîntâmpina pe cât se poate apucăturile de a te critica din partea celorlalţi? Simplu! Îţi pregăteşti o lecţie cât mai completă din punct de vedere teoretic; o încarci cu toate detaliile ca să nu poată să se trezească “nuş-ce deştept” să te completeze sau să te critice. Apoi vin gândurile la adresa profesorilor obsedaţi de probleme “de nivel ridicat, pentru elevii buni şi foarte buni”. De ce? Pentru că aceştia – cei cel mult 10% din populaţia şcolară – au reprezentat preocuparea principală a şcolii matematice româneşti timp de 40 de ani.

Ştiindu-te astfel asigurat din cele două direcţii predilecte de unde poţi fi criticat, te apuci apoi să susţi lecţia stabilită. În acest moment apare ciudatul de la Cluj, care tot scrie pe pentagonia şi pune întrebarea încuietoare: Deci, pentru cine sunt făcute aceste lecţii? Că pentru majoritatea elevilor nu sunt croite, asta-i sigur. Aceştia pur şi simplu nu le vor înţelege. Sunt prea încărcate de elemente teoretice, într-un limbaj excesiv de riguros, iar ¾ din aplicaţii se adresează celor cel mult 10% din populaţia şcolară (George Pólya susţine că aceştia ar reprezenta de fapt doar 1%, dar noi ştim desigur mai bine, românii sunt mult mai deştepţi decât restul planetei, aşa că le spun în continuare 10% pentru a nu deranja lectura restului de articol). Părerea mea este că sunt eventual gândite pe gustul profesorilor, au multe aplicaţii pe nivelul elevilor de vârf, dar sigur nu sunt pentru marea parte a elevilor.

Acum, eu sunt într-o situaţie foarte neplăcută; mă simt ca o babă ce stă pe banca din faţa casei şi îi critică pe cei ce lucrează, mergând în sus sau în jos pe uliţă. În acest sens refuz să încep să dau exemple la ce mă refer când spun aceste lucruri, dar pot să spun măcar următoarele elemente. Tehnic, eu m-am rupt încet dar sigur de stilul de predare uzual în şcolile româneşti, pornind în urmă cu aproape un sfert de secol într-o reformă “de unul singur”, preluând din străinătate, dar şi din matematica românească dinainte de 1980, cât am putut de mult şi evoluând astfel într-o formă de predare plină de empatie şi respect faţă de elevi, atât cei buni cât şi cei slabi.

Singurele contacte pe care le-am mai avut cu forma de predare din şcolile tradiţionale este una “second hand” prin intermediul puţinelor lecţii ale elevilor din alte şcoli care mai vin să-mi ceară ajutorul. Fiind astfel personal atât de departe de elementele considerate a fi de dorit de către mentalitatea generală, este evidentă reacţia mea la vederea acestor ore televizate: cu greu am urmărit cap-coadă o astfel de lecţie; a doua am urmărit-o pe sărite, iar la treia două trei momente şi gata.

Cum zice o vorbă urâtă, “simţeam că dau în icter” din cauza elementelor din aceste ore, pentru că simţeam doar preocuparea pentru completitudinea exprimării de specialist şi neapărata prezenţă dominantă a exerciţiilor pentru elevii de 9-10. Îmi închipuiam ce înţeleg, mai degrabă cât de puţin înţeleg majoritatea elevilor, cei slabi şi cei mulţi din blocul central al clopotului lui Gauss, văzând asemenea etalare teoreticistă, la care atenţia îi lasă baltă după 5-6 cuvinte riguros aranjate, iar apoi văzând toate exemplele ciudate, fără etalarea nici măcar a unui exerciţiu de bază tipic în lecţie sau la temă.

Şi încă o dată întreb: pentru cine sunt aceste lecţii? Pentru că sigur nu sunt pentru elevii obişnuiţi. Poate sunt pentru autorităţi, că să nu putem spune că n-au făcut nimic. Nu ştiu cum să zic, dar simt că pentru majoritatea elevilor sunt inaccesibile.

Eu de mult am un fel de viziune, iar aceasta mi s-a confirmat din plin cu această ocazie. De mult eu aveam impresia că profesorii de matematică predau într-un mod extrem de riguros, ca şi cum în spatele clasei ar fi o cameră de luat vederi (cu microfon desigur) conectată constant la inspectorat, iar inspectorul de matematică n-are nimic mai bun de făcut decât să comute de la o şcoală la alta, de la un profesor la altul, verificându-l dacă se exprimă riguros. Pentru colegii care au ajuns să predea aceste lecţii de teleşcoală, pentru ei aceste sentimente s-au materializat la modul cel mai concret (ieşind din zona unei impresii poate subiective), iar în acest sens singura lor preocupare în aranjarea lecţiei este desigur de a ieşi “basma curată” din toată tărăşenia (cu atâtea perechi de ochi şi de urechi aţintite asupra ta, nici nu ai ce să gândeşti altceva).

Închei totuşi cu două exemple, iar ca să fiu “politically correct”, voi da un exemplu pozitiv şi unul negativ (da, am găsit în sensul celor spuse mai sus şi un exemplu pozitiv; cât despre cel negativ, din multitudinea de exemple de care m-aş putea lega, l-am ales pe cel care m-a indignat cel mai mult, anume pe cel care reprezintă după părerea mea cea mai gratuită răutate la adresa elevului de rând).

În sens pozitiv, mi-a sunat în urechi, pe când nu prea mai aveam răbdare, cum colega dicta calculele din teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Deci nu-i totul pierdut; lupta merită continuată: la postul naţional cineva a renunţat la cuvântul lungime, exprimând teorema lui Pitagora în cel mai simplu mod, corect dar totuşi neîncărcat.

Ca exemplu negativ, am descoperit cu durere, chiar cu indignare, următoarea situaţie: în loc de succesiunea naturală: x2 = 9 => x = ± 3, se alege tot mai des mult mai “preţioasa rezolvare” x2 = 9 => | x | =  => x = ± 3. Cum arată o astfel de rezolvare în lecţia televizată (lecţie despre care autorităţile susţin că este accesibilă tuturor elevilor din ţară, inclusiv celor care nu au acces la internet)? Păi, simplu, uite aşa: (2x + 1)2 – 9 = 0 <=> (2x + 1)2 = 9 => | 2x + 1 | =  => 2x + 1 = ± 3 etc. Clar, nu? Întrebaţi pe un copil din vecini, dar nu pe unul dintre aceia foarte buni, şi vedeţi ce vă spune. Tare aş vrea să aud justificarea unui “pedant” explicând la ce naiba ajută modulul acela în această situaţie

Oameni buni! Când veţi înţelege că un modul cu ceva necunoscută înăuntrul său îi sperie pe cel puţin 60-70% din elevii de gimnaziu? De ce să includem în rezolvare acel modul în compania unui radical, când se poate şi fără? Eu asta numesc o răutate gratuită la adresa elevilor, iar matematica predată în România este plină de astfel de exemple. Este clar că nu are nimeni curajul să interzică astfel de situaţii prin lege. Oare, când se va înţelege că datoria noastră este în primul rând să predăm o matematică cât mai accesibilă unei pături cât mai largi de populaţie şcolară? Abia după ce cei mulţi vor fi înţeles lecţia de bază, abia apoi putem veni cu tot felul de jiumbuşlucuri matematice.

Da! Aplic aici un principiu învăţat de la colegii din Germania care ne mai vizitează să vadă cum merge Waldorfu’ pe la noi: după o vizită la un dascăl la oră, nu-şi permit mai mult de două aspecte negative de evidenţiat şi asta doar dacă au reuşit să evidenţieze şi două aspecte pozitive. Eu mă opresc însă la 1 : 1. Şi totuşi, pentru cine sunt aceste lecţii? CTG

Matematica la vreme de corona virus (2) – Abajur icosaedru (NOU!!!)

(ca să-l mai parafrazăm puţin pe Gabriel Garcia Marquez) Ce mai facem noi, pe lângă materiale de lucru pentru elevii consemnaţi acasă? Noi aveam un proiect mai vechi cu un  abajur pentru balcon, care s-a materializat în aceste zile. Este vorba de un al doilea, pentru că primul fusese asamblat deja prin toamnă. Soţia îşi propusese de mult să facă unul nou în locul celui vechi care împlinise 20 de ani şi era tare obosit. Acest prim abajurul este unul deosebit de cunoscut în sistemul şcolilor Waldorf, unde este folosit ca lămpaş în perioada premergătoare sărbătorilor de iarnă (deci cu lumânare înăuntru).

Abajurul nostru are un diametru de cca. 40 cm şi este făcut dintr-un carton colorat cu o oarecare “transparenţă” la lumina becului. Acesta are forma unui dodecaedru (12 feţe) din care sunt lăsate două feţe  opuse goale (una sus pentru aerisire şi una jos pe care iese lumina spre masă). Cele zece feţe sunt făcute din cartoane pentagonale îndoite pe “liniile mijlocii” ce unesc mijloacele a două laturi consecutive. Două feţe alăturate se lipesc cu o “linie mijlocie” comună, iar partea întunecată a abajurului apare acolo unde se suprapun două pentagoane. Acolo unde rămâne un singur strat de carton se văd acele stele cu cinci colţuri, pentagramele. Atenţionez că aceste pentagrame nu sunt efectiv construite ci ele apar  acolo unde nu sunt două straturi de carton suprapuse. Găsiţi alte descrieri suplimentare la Revista Pentagonia 1998-2002, în copia pdf a caietului Nr. 3 dec. 1998, mai direct la adresa http://pentagonia.ro/wp-content/uploads/2015/10/Pentagonia3.pdf . Puteţi găsi şi pe net multe poze sau articole despre acesta dând la căutare “dodecahedron star lantern” (de obicei acestea sunt făcute din foste “picturi în acuarelă lichidă” la care s-a lucrat pe o hârtie de pictură mai groasă decât cea obişnuită; la acestea se pune înăuntru o lumânare pastilă)).

După acest prim abajur, problema noastră era că doream să facem şi unul în formă de icosaedru (20 feţe triunghiuri echilaterale), care însă să funcţioneze pe un principiu similar, anume la care să apară un “desen” pe feţele sale, un model generat de alternanţa dintre zone mai întunecate şi zone mai luminoase în funcţie de numărul de straturi de carton. Menţionez însă că pentru o astfel de sarcină nu aveam cunoscut de undeva un model de fabricaţie. Soţia mă tot întreba din când în când, oare cum să-l facem. Trebuia să găsesc o modalitate în care “geometria” să colaboreze într-um mod la fel de frumos ca şi la precedentul. Cândva, prin toamnă mi-a venit ideea (desigur, într-un somn scurt de după amiază, când iarăşi bătea soarele pe pat), anume să tăiem bucăţile pentru feţe în formă circulară (pardon, de disc), îndoite de-a lungul laturilor unui triunghi echilateral înscris. Problema este că în acest fel se suprapune complet cu două straturi fiecare faţă, dar apar şi câteva zone sub forma unor petale unde avem o suprapunere de trei straturi.

Ca urmare a trebuit să căutăm un carton mai subţire pentru a obţine o “transparenţă” plăcută chiar şi cu două straturi. Cu alte cuvinte, dacă primul abajur este cu raportul 1:2 de straturi, la al doilea avem raportul 2:3 la straturi, iar asta se vede: contrastul nu mai este atât de clar, ci este ceva mai “şters” (diferenţa de luminozitate este de 50% la primul şi de 33% la al doilea). Da, şi încet, cu timpul, de-a lungul iernii, printre multe altele, acest abajur a văzut “lumina zilei”, dar stătea abandonat din lipsă de timp, în aşteptarea unui sistem de prindere şi a unei lămpi interioare, pentru care pur şi simplu nu găseam liniştea şi timpul necesare (că pe aici nu găseşti prin magazine astfel de produse).

Vremea i-a venit odată cu consemnarea acasă, acest abajur văzând “lumina becului” într-o zi cu “zăpada mieilor”, şi cred că arată destul de frumos. Precizez că această poză este probabil o premieră mondială: eu l-am compus şi nu am habar să existe aşa ceva făcut înainte undeva în lumea asta largă. Să lămurim: fiecare petală este obţinută prin suprapunerea peste faţa respectivă a segmentelor de cerc (pardon, de disc) de la două feţe vecine, fiind astfel de trei straturi, ieşind astfel în evidenţă faţă de zonele înconjurătoare mai luminoase care sunt doar cu două straturi. Ziua, atunci când nu este aprins becul dinăuntru, aceste abajururi arată oarecum banal, ieşind în evidenţă doar prin forma frumoasă geometrică (chiar arată puţin deranjant pentru că pe fiecare faţă există şi porţiuni ale unor feţe laterale care sunt lipite pe exterior).

Mă bucur foarte mult că am reuşit să facem acest al doilea abajur, completând astfel perechea, pentru că cele două corpuri reprezintă o pereche specială în lumea geometriei (cunoscute oarecum peste tot în lume, mai puţin însă la noi). La noi, această situaţie a celor două corpuri pereche absolut speciale a fost evidenţiată totuşi într-un mod ciudat de către Buţu Gh., autorul copertei manualului de matematică de clasa a VIII-a din anul 1971, fără ca cele două corpuri să fie cuprinse însă în materia din interiorul manualului (partea de algebră: Constantin Ionescu-Bujor, Ivanca Olivotto, Ion Giurgiu; partea de geometrie: A. Hollinger, Corina Pârvulescu). Noi mai avem un manual cu acelaşi desen pe copertă, dar pe albastru, din 1974. Mariana şi Titus Grigorovici

P.S. Ca o scurtă observaţie de final, pe spatele acestor manuale este reprezentat şi cel de al treilea corp perfect neglijat de programa de geometrie din România, anume octaedrul regulat (care este perechea cubului, aşa cum cele două de mai sus sunt considerate o pereche); de cu nu este acest corp nici acum în materie, nu-mi pot explica altfel decât prin vechea poveste cu maimuţele; atât aria totală cât şi volumul octaedrului sunt la nivel elementar accesibile elevului mediu din România, lecţia fiind atât de uşoară încât poate fi dată elevilor să o compună singuri.