Iepuraşii lui Fibonacci

În grupul celor mai spectaculoase şi mai cunoscute probleme de matematică sunt aglomerate de fapt mai multe “vedete”, realizarea unei ierarhii stricte între acestea fiind practic imposibilă. Totuşi, chiar dacă pentru unii s-ar putea să nu reprezinte vârful unei astfel de selecţii, problema lui Fibonacci cu iepuraşii este sigur în “top 10” al celor mai frumoase probleme din toate timpurile, şi nu fac această afirmaţie doar din punct de vedere al multitudinii de aplicaţii a şirului numerelor lui Fibonacci. Problema în sine este frumoasă, deosebit de provicatoare pentru gândirea umană în general, dar şi în particular pentru persoana (elevul) care primeşte spre rezolvare problema fără a-i cunoaşte răspunsul şi algoritmul aritmetic de generare a numerelor. Dar nu numai atât, problema reprezintă o provocare serioasă chiar şi pentru profesorul de matematică, care cunoaşte atât răspunsul (şirul lui Fibonacci) cât şi forma relativă a problemei: cum se deduce însă din problema iepuraşilor proprietatea caracteristică de generare a şirului cu pricina?

Acestor întrebări trebuie neapărat să le mai adăugăm una de ordin pedagogic: în ce clasă ar fi potrivit să propunem această problemă elevilor? Şirul lui Fibonacci apare în liceu la clasele de real în studiul şirurilor. Oare nu ar trebui să apară şi la clasele de uman? Dar problema în sine cu iepuraşi nu apare niciunde. De ce? Ce are această problemă, de profesorii nu se gândesc să o facă? Nici profesorii individual, nici organizatorii de programe, dar nici autorii de manuale (nu am o pasiune deosebită de a colectoa toate manualele ce apar, dar oricum nu am ştiinţă să existe într-un manual oficial; dacă există îmi cer scuze). Revin la intrebare: în ce clasă ar fi potrivit de făcut această problemă?

Eu nu deţin neapărat un răspuns hotărât la această întrebare, dar ştiu sigur că a lăsa elevii să plece din şcoală fără să fi cunoscut această problemă este mare păcat. Un argument în favoarea acestei afirmaţii este faptul că numerele lui Fibonacci sunt unele dintre destul de puţinele situaţii matematice care au penetrat cultura universală, prezenţa acestora în renumitul roman Codul lui da Vinci fiind doar un exemplu în acest sens.

Problema apare în cartea Liber abacci a lui  Leonardo Pissaro, zis şi Fibonacci, în a doua ediţie a acesteia din 1204. Iată o cât de cât curată variantă a problemei: Într-o curte sunt aduşi o pereche de iepuraşi pui (un băieţel şi o fetiţă). Pui de iepuri se maturizează într-o lună. După maturizare încep să facă pui, sarcina durând o lună şi fiecare naştere aduce pe lume o pereche de pui (un băieţel şi o fetiţă). Aceştia se maturizează într-o lună şi după încă o lună de sarcină au şi ei pui (întotdeauna o pereche). Adulţii aduc pe lume după fiecare lună câte o pereche de pui. Câte perechi de iepuri vor fi după un an?

Câţiva ani la rând am prezentat această problemă la clase liceale de uman, folosind farmecul deosebit exercitat chiar şi asupra ne-matematicienilor. Astfel, probelma poate fi prezentată într-o formă liberă de orice constrângere de rigurozitate scriptică a unei lecţii matematice anume. Ţinând cont că elevii de la uman nu au o deosebită capacitate de imaginaţie şi înţelegere a unor situaţii, capacitate necesară pentru găsirea numerelor şi pentru sintetizarea modelului comportamental al acestor numere, am căutat o cale cât mai atractivă de a le aduce în faţă problema.

Concret, am strâns de-a lungul anilor un sac de iepuraşi din pluş, mai mari sau mai mici, cu care fac elevilor o prezentare simulată a situaţiei descrisă în problemă (elevilor trebuie să le atragem atenţia de câteva ori că vom prezenta situaţia cu un iepuraş, gândind însă că este vorba despre o pereche (!). Astfel, încep prin a le pune pe masă un iepuraş mic (1). În pasul al doilea, adică “după o lună” înlocuiesc acest iepuraş cu unul mare (din sacul cu iepuraşi de pluş de pe masă), adică tot (1). După “încă o lună” aceştia capătă pui, deci pe lângă iepuraşul mare mai scot şi unul mic pe masă (2). După “încă o lună” noii pui se maturizează (îl înlocuiesc pe cel mic cu unul mare), iar cei iniţiali mai au o pereche de pui (scot din nou un iepuraşi mic), având pe masă doi iepuri mari şi unul mic (3). Peste “încă o lună” înlocuiesc iepuraşul mic cu unul mare şi în paralel scot din sac doi iepuraşi mici, ca reprezentanţi ai celor două perechi de pui ai celor două perechi deja adulte, având astfel pe masă trei iepuri mari şi doi mici (5). În general reuşesc să merg încă doi-trei paşi, (8) şi (13), cel mult (21), într-o cascadă de iepuraşi care tot “ies din sac”, după care mă opresc în râsetele generale ale audienţei. Iată în acest sens o “poză de grup” de la una din ultimele “reprezentaţii” ale problemei.

Las câteva momente de râs general apoi, după liniştirea atmosferei, elevii primesc sarcina să încerce pe caiete o formă de contabilizare pe paşi a numărului de iepuraşi (şi aici trebuie repetat că scriem 1 şi înţelegem o pereche de iepuri). În funcţie de timpul alocat, în final încerc întotdeauna la tablă realizarea unei scheme care să arate în ce fel evoluează numărul iepuraşilor, iar la marginea acestei scheme scriem la fiecare nivel numărul corespunzător acestei etape. Este evident că nu putem merge foarte mulţi paşi pentru că diagrama creşte puternic, aşa că destul de repede elevii trebuie să facă transferul de concentrare de la diagramă la numerele alăturate şi să “observe” modelul comportamental aritmetic după care apar acestea. În final facem un tabel separat cu 13 poziţii (start + 12 luni), în care cuprindem numerele obţinute şi îl completăm până la capăt. Iată şi o variantă de diagramă găsită pe net ca sugestie de lucru (să nu vă tot arăt variantele pusă de mine pe tablă). Spre deosebire de alte imagini ce se găsesc pe net, aceasta scoate în evidenţă atăt ideea de pereche, cât şi prin linie continuă o anumită pereche de iepuri, respectiv prin linie întreruptă naşterea unei noi perechi.

După cum am mai scris, iarna aceasta am cunoscut cartea Drăcuşorul cifrelor în care problema apare într-o formă foarte accesibilă elevilor de gimnaziu. Şi în desenele din carte sunt prezentaţi iepuraşii dublaţi (deci ca pereche) astfel încât este rezolvată şi situaţia disonantă că numerele lui Fibinacci se referă la perechile de iepuri (nu câţi iepuri, ci câte perechi). Ca semn de apreciere faţă de elevul din clasa a VII-a care mi-a împrumutat cartea înainte de vacanţă, am prezentat clasei respective această problemă în prima oră după vacanţa de iarnă (şi a mers foarte bine, deci în această formă jucăuşă funcţionează foarte bine şi la gimnaziu).

Lecţia funcţionează însă foarte bine şi la adulţi ne-matematici. La inceputul lunii decembrie am prezentat-o într-o întâlnire a Consiliului profesoral, la partea pedagogică, iar colegii (învăţătoare şi profesori de toate materiile) au reacţionat la fel de pozitiv ca şi elevii. Mai mult, o colegă mi-a dăruit înainte de vacanţă un tricou pe care desenase o grămadă de iepuraşi şi numerele lui Fibonacci. Cu mulţumirile de rigoare vă prezint şi dvs. desenul de pe acel tricou. Titus şi iepuraşii

Math Around Us – o scurtă prezentare

De curând am aflat despre acest proiect Erasmus la care au colaborat opt şcoli din opt ţări: România, Italia, Polonia, Ungaria, Portugalia, Danemarca, Grecia şi Lituania. Proiectul a fost condus de către Colegiul Tehnic ANA ASLAN din Cluj şi s-a concretizat într-un “manual”, o colecţie de lucrări reunite în jurul întrebării “La ce îţi foloseşte Matematica?”. Manual a fost realizat de elevi cu aplicaţii practice în geografie, mediul înconjurător, informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică. Puteţi găsi prezentarea proiectului şi descărca acest manual la adresa:
La ce îţi foloseşte Matematica. Manual făcut de elevi cu aplicaţii practice în informatică, astronomie, biologie, arheologie, arte şi muzică – Edupedu

Interesantă pare justificarea proiectului de către autorii acestuia: elevii tind să nu agreeze matematica (un studiu Rosetta Zan de la Universitatea din Pisa, Italia) mai ales atunci când nu reuşesc să obţină rezultatele academice dorite şi o percep, de obicei, ca un subiect abstract, cu puţine aplicaţii în situaţiile reale … . Uau!!! Zău? Nu m-aş fi gândit la aşa ceva.

Glumeam, desigur. Da, aşa este văzută matematică de către toţi cei din afara ei. Asta pentru că aşa este prezentată matematică de către profesori: o disciplină autosuficientă şi încrezută. Ora de matematică este prezentată ca o succesiune de axiome, definiţii, demonstraţii, teoreme, formule date de către un profesor atotştiutor şi stăpân total al orei, elemente toretice seci care au apoi ca aplicaţii exerciţii şi probleme ce trebuie învăţate pentru că se vor da la lucrare, la teză şi în final la examen.

Teme care nu intră în această categorie nu se fac la clasă, chiar dacă ar avea avantajul că ar fi mai atractive pentru elevi. De pildă, câţi prezentăm la clasă problema originală cu înmulţirea iepuraşilor din lucrarea Liber Abbaci a lui Fibonacci? Sau câţi vorbim despre secţiunea de aur şi aplicaţiiile acesteia, inclusiv în poziţionarea buricului la oameni? Este în programă? Nu! Deci nu o facem. (Am dat o simplă linie de exemple, dar lista poate continua mult şi bine).

Dar şi teme de studiu obişnuite în lecţiile româneşti sunt neglijate în a fi prezentate în alte forme „mai atractive” elevului de rând. De pildă, numerele triunghiulare prezentate în foaia de lucru nr. 7 din Capitolul 7 – Matematica în arheologie, unde ne sunt prezentate ca vizualizări (reprezentări grafice) ale numerelor din mult mai cunoscuta lecţie despre Suma lui Gauss.

Dacă tot nu v-am convins, vă atrag atenţia că şi în prezentarea proiectului este scoasă în faţă întrebarea „La ce foloseşte matematica?”. Astfel, la adresa de mai sus citim în prezentare că tinerii au încercat să facă mai uşor de înţeles utilitatea acestei materii, aşa că au creat ceva nou. Au creat ceva nou în sensul unei abordări noi pentru ideea de manual (la noi sigur; eu nu mă pot exprima despre celelalte ţări). Spun asta pentru că multe din elementele prezentate nu sunt deloc noi. Sunt poate noi doar pentru persoanele obişnuite să lucreze doar şi numai matematica din manualele oficiale şi nimic altceva. Astfel, recomand cu căldură să aruncaţi o privire mai profundă peste acest material. Are multe lucruri frumoase.

Închei cu aşa-zisele rezultate ale proiectului: peste 50% dintre elevii angrenaţi în proiect au avut mai multă motivaţie pentru studiul matematicii; 21% au avut creşteri ale notelor la matematică de cel puţin 20%. Da, astfel de lucruri se pot întâmpla dacă îi atragem pe elevi într-o matematică mai deschisă, chiar dacă nu abordăm subiecte de examen. CTG

Drăcuşorul cifrelor – o prezentare de carte

De curând mi-a fost atrasă atenţia asupra acestei cărţi de către un elev venit nou la şcoala noastră în clasa a VII-a: Noi, când vom învăţa despre Numerele lui Fibonacci? I-am răspuns mirat că noi le-am prezentat pe scurt, ca un joc, în clasa a V-a, întrebându-l totodată de unde ştie el de aceste numere. Dintr-o carte despre matematică, o poveste. Mi-a adus cartea, am citit-o, iar acum încerc să vă stârnesc şi pe dvs. prin această scurtă prezentare.

Cartea se numeşte Drăcuşorul cifrelor şi este scrisă de către Hans Magnus Enzensberger (staţi liniştiţi, nici eu n-am mai auzit de el şi cu greu reuşesc să-i ţin minte numele mai mult de 10 minute), având ca subtitlu caracterizarea: O carte de pus sub perna celor care se tem de matematică. Cartea este apărută în 2015 la editura Pandora, colecţia Panda, parte a Grupului editorial TREI.

Povestea ne prezintă un băieţel pe nume Robert care visează în 12 nopţi un fel de curs de matematică, mai mult aritmetică, ce îi este prezentat de către un drăcuşor matematician. Acesta îi prezintă în vis diverse teme mai mult sau mai puţin superficiale din matematica elementară şi nu numai. Ca exemple, aş putea spicui teme ca scrierea în baza 10, puterea numerelor, rădăcina pătrată din clasele mici, dar şi Conjectura lui Goldbach, triunghiul lui Pascal sau exemple elementare de combinatorică. Toate temele sunt prezentate ludic (cum s-ar putea altfel?, suntem doar în visul unui băieţel cam de clasa a V-a), într-un limbaj deloc pretenţios şi într-o abordare accesibilă şi intuitivă, potrivită oricărui elev de gimnaziu. Ba mai mult, denumirile sunt de multe ori modificate faţă de terminologia oficială pentru a fi cât mai simpatice şi jucăuşe dar, nu vă temeţi, autorul prezintă la sfârşitul cărţii un dicţionar de traducere a denumirilor folosite. De pildă, aşa-numitele numere sărite reprezintă de fapt ridicarea la putere, mai exact şirul puterilor unui număr.

În ansamblul ei, cartea reprezintă o foarte reuşită încercare de a-l atrage pe elev într-o plimbare prin iniţierea în ideile de bază ale matematicii. Aceasta poate fi folosită cu succes ca recomandare de lectură în domeniul matematicii, fiind deosebit de potrivită mai ales primelor clase gimnaziale. Deşi conţine şi elemente de matematică liceeală, la o lectură mai sus de clasa a VII-a trebuie însă să ne bazăm pe dorinţa de colaborare a elevului cititor, deoarece tonul în care este scrisă cartea este totuşi mai potrivit claselor V-VI. Stilul este atât de ludic şi copilăresc încât există pericolul real ca părinţii să le-o cumpere copiilor chiar mai repede de intrarea în gimnaziu. Eu personal am rezerve în legătură cu astfel de încercări de a forţa înainte de vreme dezvoltarea copiilor, dar deja la sfârşitul clasei a V-a cartea poate fi recomandată ca lectură, fiind o mult mai potrivită preocupare de vacanţă decât tradiţionalele şi stupidele culegeri cu matematică “de vacanţă” produse la ora actuală de către diversele edituri. Oricum, mi-aş dori să mai existe şi alte astfel de cărţi de oferit elevilor de gimnaziu ca lectură suplimentară.

În acest context mi-am adus aminte de câteva vorbe spuse de regretatul Profesor Solomon Marcus în 2008 în cadrul unei emisiuni Garantat 100% găzduită de către Cătălin Ştefănescu: Matematica şcolară a pierdut naraţiunea. (…) Singura educaţie eficientă este aceea care se prevalează de joc, nu numai la copii, ci şi la adulţi. Învăţarea trebuie însoţită de o stare de plăcere. Aici şcoala eşuează.

În final câteva cuvinte despre autor. Hans Magnus Enzensberger nu este matematician, dar l-am găsit pe internet ca autor al unui eseu despre prăpastia ce se cască tot mai tare între matematică şi majoritatea oamenilor, eseu publicat în 1998 în Frankfurter Allgemeine Zeitung, cu un titlu dificil (Zugbrücke außer Betrieb ~ Pod retractabil scos din funcţiune), dar cu subtitlul destul de clar: Matematica dincolo de cultură – O privire din exterior.  Cam atât pentru acum, dar promit că voi mai reveni la această carte. CTG

Dodecaedrul lui Enrique

Până la urmă am ajuns să văd şi eu videoclipul melodiei Nos Fuimos Lejos interpretată de Descemer Bueno şi Enrique Iglesias, alături de diferiţi alţi artişti, printre care prezenţa lui Andra ne-a stârnit admiraţia. Dar nu despre aceşti artişti vă reţin atenţia, ci despre prezenţa geometriei în filmuleţ: corpul în care dansează băieţii ăştia este un dodecaedru regulat (chiar dacă este optic destul de deformat, fiind “filmat” de foarte aproape). Interesant! Acest corp este prezent peste tot, doar din programa de matematică este absent. Oare de ce? Enrique Dodecaedrias

La mulţi ani! 2019

Numărul 2019 este triplul numărului prim 673 (poate iese o problemă interesantă din chestia asta). Soţia mea s-a distrat la ornarea tortului de revelion, scriind pe lateralul tortului anul 2019, pe o parte în baza 10 şi pe cealaltă parte în baza 2. Pentru cei interesaţi de “refolosirea” unui calendar, vă precizez că 2019 repetă calendarele din 2002 şi din 2013 (pentru cei pasionaţi de articole “vintage”, să ştiţi că funcţionează şi calendarele din anii 1974, 1985 sau 1991).

Apropos calendare şi repetarea acestora, avem o povestioară interesantă de anul trecut. În toamnă am vizitat din nou renumitul târg de la Negreni care, pe lângă mulţii ofertanţi de artă populară şi altele necesare traiului de zi cu zi pentru viaţa adevărată la ţară, este probabil şi cel mai mare târg de vechituri din România (hectare întregi de vânzători, ce cu greu pot fi vizitaţi într-o zi). La ediţia din octombrie 2018 am găsit la un comerciant de vechituri o minge cu 12 petice pentagonale imprimate cu cele 12 luni ale unui an. Mingea dezumflată arată clar construcţia sa pe baza dodecaedrului regulat.

Întorcând-o pe toate feţele am avut însă surpriza să nu găsim însemnat anul pentru care era acest calendar (pentru a stabili când se va mai repeta). Singurul indiciu era data de 29 februarie, acesta direcţionându-ne spre un an bisect. Dar care an bisect să fie? Scurt după această întâmplare am vizitat nişte cunoscuţi, şi ştiind că au un băiat în clasa a VIII-a, am luat noua jucărie cu mine. I-am arătat-o şi i-am spus că urmează să studiez ce an bisect din ultima vreme s-ar potrivi acestui calendar. De pildă – i-am spus – trebuie să văd în ce an bisect data de 1 ianuarie a căzut într-o zi de joi, ca în acest calendar. La acest gând de problematizare profundă, băiatul respectiv mi-a dat cel mai surprinzător răspuns: păi, eu sunt născut pe 1 ianuarie, într-o zi de joi! Am rămas mască, şi aşa am aflat că acest calendar era din 2004 (după cum am mai discutat, calendarele din anii bisecţi se repetă doar o dată la 28 de ani aşa că următoarea variantă, cu încă 28 de ani în urmă, adică 1976 nu intră în discuţie pentru că pe atunci nu exista internetul cu renumitele sale adrese www, cum este cea de pe mingea noastră). Ulterior am verificat şi într-adevăr, aşa a fost. Acesta este anul în care s-a născut şi fiica noastră, iar calendarul se va repeta de abia în 2032! Mai avem ceva de aşteptat. CTG