Discuţii metodice despre predarea prin problematizare pe baza cărţii lui Eugen Rusu

De curând a revenit în preocupările mele lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară a Profesorului Eugen Rusu (Editura didactică şi pedagogică, 1978). În noiembrie 2015, fiind într-un context special, am şi scris o scurtă prezentare de carte despre aceasta; articolul poate fi găsit la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-eugen-rusu-problematizare-si-probleme-in-matematica-scolara/. Cartea este una dintre preferatele mele, eu personal având de mult preocupări în sensul “predării prin descoperire”, cum numeam eu acest tip de predare. Din primii ani de predare am simţit că aceasta este calea cea mai sănătoasă de a introduce o nouă temă de studiu în viaţa elevilor, că prin această modalitate îi pot conecta cel mai bine, atât emoţional cât şi intelectual, de noul subiect.

În toamna asta am început să o recitesc (după mai mult de zece ani) şi redescopăr cu bucurie gânduri şi idei la care am lucrat intens tot timpul la clasă, dar şi “idei noi”, aspecte ce nu le-am remarcat la precedentele lecturi. Însă, cel mai important este că observ interconectarea uluitoare a aspectelor găsite în această carte cu realitatea actuală din clasele mele (septembrie-octombrie 2023).

În prezentul eseu aş dori să discutăm câteva astfel de aspecte. De pildă, la pag.5, vorbind despre trecerea de la şcoala informativă la cea formativă, Eugen Rusu ne spune următoarele: Pentru a-şi îndeplini rolul de formare a omului, şcoala nu trebuie să pună pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, gata sistematizate; trebuie să-l stimuleze să gîndească şi să lucreze prin eforturi personale. Eforturi personale stimulate şi organizate prin problematizare: în loc de a da soluţii, a-l pune pe elev în situaţia de a le descoperi.

La pag.24 autorul reia ideea. Problematizare tocmai asta înseamnă: să nu avem în vedere numai rolul informativ, să nu ne mărginim la a furniza elevului nişte enunţuri şi nişte judecăţi gata aranjate. Să-l provocăm să le descopere. (…) Până le învaţă, toate chestiunile de matematică aplicată sînt probleme de cercetare, probleme euristice. (…) Elevul însă pînă stabileşte acele formule şi pînă ce transformă nişte activităţi în deprinderi, nu lucrează automat (…).

La pag. 28, autorul revine stăruind asupra exercitării regulate a gândirii creatoare, axată pe probleme în care raţionamentul nu este dat ci trebuie găsit, iar găsirea lui nu se face prin simpla aplicare a unor metode învăţate (…).

Cu alte cuvinte, noi nu ar trebui să le dăm elevilor din startul lecţiei un set de cunoştinţe sau reţete gata aranjate, căzute oarecum “din cer”, aidoma unor porunci din partea zeilor (profesorul jucând desigur rolul de “preot” al zeilor matematicii :). Dimpotrivă, noi ar trebui să-i îndrumăm pe elevi pe un drum de “descoperire” a noilor cunoştinţe, desigur în mod intuitiv pentru început, un drum de discuţie şi dezbatere, în acest fel elevii ajungând la o conectare mult mai intimă cu respectivele cunoştinţe, la o înţelegere reală însoţită de o convingere profundă a celor descoperite în final. Mai presus însă de învăţarea fiecărei lecţii, elevii învaţă astfel să gândească matematica, nu doar să reproducă nişte cunoştinţe sau să aplice orbeşte nişte reţete sau formule.

Pentru că în cazul matematicii negândite personal, ci pur şi simplu preluate (şi scrise în caiet) de la o prelegere simplă a profesorului de matematică sau dintr-o prezentare pe scurt dintr-o carte, ambele – atât cunoştinţele cât şi reţetele şi formulele – sunt de obicei neînţelese în profunzime Marea majoritate a elevilor nu au capacitatea de a prelua prin înţelegere cunoştinţele dintr-un text, fie acesta scris sau chiar şi vorbit (pentru că – da! – mulţi profesori predau de fapt în “texte vorbite”).

Aşadar, odată cu faptul că elevul învaţă să gândească matematica datorită activităţii de problematizare, prin extensie, ora de matematică îşi îndeplineşte totodată şi rolul cel mai înalt, anume să-l înveţe pe viitorul adult SĂ GÂNDEASCĂ! În acest sens Eugen Rusu ne dă din start un citat edificator: Mai degrabă un cap bine construit decît unul plin. Montagne (pag.3)

De abia după descoperirea respectivelor cunoştinţe profesorul trebuie să facă o rezumare a acestora (cel mai sănătos ar fi să o facă ora următoare, oarecum ca un fel de recapitulare). Odată făcută aceasta, elevii trebuie apoi îndrumaţi pe o cale de “automatizare” a aplicării respectivelor cunoştinţe, reţete, formule. Deci nu ar trebui să înlocuim “reţetarea” (practicată la ora actuală de majoritatea profesorilor), să o înlocuim cu “gândirea”, ci să le facem cu elevii pe amândouă, desigur în ordinea naturală: mai întâi cunoaşterea prin gândire, apoi generarea de deprinderi pe baza reţetelor deduse. Matematica este compusă din ambele aceste două faţete, atât gândirea brută, cât şi apoi aplicarea automată a unui reţetar de cunoştinţe.

În plus faţă de ce ne spune Profesorul Rusu, noi personal, în familie, am conştientizat toamna aceasta că există unii elevi – uneori chiar din cei buni la matematică – care înţeleg să se bazeze doar pe gândire şi refuză să facă şi al doilea pas, cel de exersare intensă pentru formarea automatismelor (poate din comoditate, din lene?).

În discuţia de faţă doresc să vă prezint cum aplic eu aceste idei – cu accent pe prima parte, neglijată la ora actuală – în predarea formulelor de arie ale principalelor figuri poligonale (triunghiuri şi patrulatere) în cadrul unei lecţii din toamna clasei a 7-a. Menţionez că lecţia respectivă o predau în acest mod încă din anul 2000!

*

Astfel, pentru a nu-l pune pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, ceea ce foarte multe cărţi sau profesori fac, dându-le formulele de arie în forma lor finală, gata “pre-gătite”, numai bune de aplicat, eu dezvolt împreună cu elevii un drum de cercetare pe parcursul căruia îi provoc cât mai mult să gândească şi le descopere singuri. Precizez că tot ce urmează se întâmplă într-o singură oră (mult mai relaxat în două ore, dar atunci neapărat legate, adică nu de pe o zi pe alta), deci neavertizat dinainte, astfel încât să eliminăm din start posibilitatea ca un elev să le cunoască de acasă şi desigur să “trântească” formula în faţa clasei, anulând astfel starea de “cercetare”, adică forţarea gândirii în căutarea soluţiei de către colegii săi. Dacă totuşi se întâmplă ca un elev să ştie o formulă, chiar şi aşa – redusă ca intensitate – faza de cercetare poate rămâne sub forma simplificată: Ok, şi cum putem demonstra această formulă? (poate cineva “a avut grijă” să-i arate aceste chestiuni “din timp”, sau poate chiar elevul respectiv a avut un puseu de curiozitate şi le-a căutat pe net; mizez pe ideea că nu le caută în timpul orei pe telefon – la noi telefoanele se strâng la începutul zilei şi stau într-o cutie).

După cum veţi vedea, pentru a veni în întâmpinarea nevoilor naturale ale predării prin problematizare, trebuie desigur să stabilim o altă ordine de parcurgere a elementelor din lecţie, decât cele ce se găsesc programă, în manuale sau în diferite auxiliare (de pildă mai întâi triunghiurile, apoi patrulaterele). Întotdeauna lucrurile au fost descoperite în altă ordine decât sunt acestea ulterior sistematizat prezentate în manuale, iar noi trebuie să ţinem cont de acest fapt atunci când îi îndrumăm pe elevi pe “un drum de cercetare”; cele două categorii pur şi simplu nu pot fi suprapuse în aceeaşi ordine.

Lecţia porneşte cu reactualizarea celor două formule cunoscute din clasa a 5-a, inclusiv a principiilor pe care acestea se bazează (se şi poate pune un subtitlu de felul formulele de arii “iniţiale”; chiar şi acestea vin împreună cu raţionamentul de deducere). Această reactualizare o fac eu personal, ca să mă asigur că imprim lecţiei “o linie şi o viteză” de parcurgere corespunzătoare, la care apoi elevii se aliniază, intrând ulterior şi ei în mersul lecţiei, formând astfel un dialog de generare a celorlalte formule. Astfel, începem cu: 1) Dreptunghiul. La acesta pornesc prin prezentarea unui hol dreptunghiular în care se pune gresie şi în care încap 7 plăci pe lungime şi 4 plăci pe lăţime (în caiete elevii desenează un dreptunghi de 7 pe 4 pătrăţele). Din start elevii se implică cu rezultatul de 28 de pătrăţele, iar eu scriu liniştit totul pe tablă, consemnând mai întâi aria de 7·4 = 28, în timp ce oral spun că avem “patru rânduri de câte şapte plăci”. Apoi, dedesupt scriu generalizarea, adică formula A□ = L·l (lângă litera mare A de mână semnificând aria pun jos un dreptunghi pentru o fixare cât mai vizuală). Urmează 2) Pătratul. Faptul că acesta este al doilea se bazează clar pe observaţia că pătratul este un caz particular de dreptunghi. Totuşi, chiar dinainte de a cunoaşte oficial aria dreptunghiului în finalul clasei a 5-a, elevii au apucat să cunoască numerele pătrate, acolo unde eu le-am desenat aceste numere în structuri pătrate de punctuleţe, astfel încât să înţeleagă de ce la puterea a doua pronunţăm “la pătrat”. Cu alte cuvinte, formula de arie a pătratului se deduce atât ca un caz particular al formulei dreptunghiului, cât şi oarecum separat de la numerele pătrate. Din start am desenat un pătrat cu latura de 5 (elevii pe caiete un pătrat cu 5 pătrăţele pe latură), după care scriem atât în cazul particular, cât şi general, cu latura notată cu a, astfel: A = a2 (lângă A mai jos un pătrăţel).

Urmează formulele noi pe care trebuie să le deducem împreună (eu chiar scriu un astfel de titlu intermediar de felul Formule deduse). Traseul de parcurgere al acestora este stabilit în funcţie de uşurinţa de deducere a acestora, într-un proces de creştere a dificultăţii intuitive vizuale. O caracteristică interesantă este faptul că, faţă de primele două figuri formate doar din laturi orizontale şi verticale, toate cele care urmează au şi laturi oblice (dar asta nu le-o spun copiilor; cel mult o putem observa în final). Astfel, drumul nostru continuă cu 3) Triunghiul dreptunghic. Aici eu desenez pe tablă un triunghi cu cateta orizontală de 7 şi cea verticală de 4 (este evidentă strădania de a-i ajuta pe cât mai mulţi să observe pasul ce trebuie făcut) şi îl colorez fin cu latul cretei, dându-i o “textură de carton”, pentru ca elevii “să simtă” cât mai bine forma acestei figuri, cât şi noţiunea de arie.

Fac aici o pauză în descrierea lecţiei. Încă din clasa a 5-a eu îi obişnuiesc pe elevi cu acest tip de predare, în care eu spun ce spun şi brusc mă opresc sub forma unei întrebări: “aici cum merge mai departe”. Ca urmare, în clasa a 7-a elevii sunt deja obişnuiţi şi primii se şi oferă să zică, ridicând mâna şi anunţându-mă vocal că “ştiu!”. Îi ţin puţin în aşteptare astfel încât să apuce şi alţii să se concentreze şi să vadă ce-i de făcut, apoi aleg un elev care să spună. Este clar că acesta este jumătate din dreptunghiul de mai sus. Eu completez figura cu încă un triunghi trasat cu linie întreruptă (de fapt doar catetele acestuia) ca să vedem toţi acest fapt, după care putem scrie şi forma din cazul particular (cu rezultatul 14), cât şi forma generală. Aici, înainte să scriu formula precizez că lungimea şi lăţimea de la dreptunghi îşi schimbă denumirile în cateta1 şi respectiv cateta2.

Următoarea figură aleasă în acest parcurs este: 4) Paralelogramul. Pe acesta îl desenez cu baza de 7 pătrăţele şi înălţimea de 4, dar decalată cu 2 pătrăţele “la dreapta” (şi îmi iau timp să le explic clar elevilor, astfel încât să aibă şi ei figuri clare în caiete). “Oare, aici cum procedăm?” (uneori nu spun nimic, ci mă întorc cu un gest sugestiv şi cu ochii mari către clasă). Poate aici este prea devreme, sau poate mişcarea necesară este încă surprinzătoare la acest moment, dar uneori totuşi cineva “vede” ce-i de făcut şi mă cheamă timid la bancă să-mi arate ce idee a avut. În final prezint eu oricum mişcarea la tablă: trebuie să “decupăm” triunghiul din stânga determinat de înălţime şi de latura oblică (cu cele două pătrăţele din bază) şi să-l alipim în partea dreaptă a paralelogramului, formând astfel un dreptunghi ca cel de mai sus, deci cu aria de 28 (aici, fie haşurez întregul paralelogram şi las “imaginaţia” elevilor “să-l vadă” transformat în dreptunghi, fie haşurez doar triunghiul mic şi “îl direcţionez” cu o săgeată în noua poziţie, trasată desigur cu linie întreruptă). Deducem de aici formula cu denumirile adeptate noi figuri: B·h (de obicei deducerea o fac eu la tablă, dar am convingerea că cei mai mulţi au înţeles, datorită feţelor luminoase şi pline de entuziasmul descoperirii).

Figura următoare este 5) Triunghiul oarecare. Aici entuziasmul creşte pentru că se întrevede repetarea mişcării de la triunghiul dreptunghic (cu greu îi mai pot opri pe cei care observă aceasta). Respectăm totuşi “protocolul lecţiei” şi trasăm cu linie întreruptă partea a doua a paralelogramului din care suprafaţa triunghiului nostru reprezintă doar jumătate. Aici nu se mai schimbă notaţiile, aşa că figura îmi este de obicei dictată de către un elev (eu trbuie să fiu doar atent la elevi şi să-l aleg pe unul care n-a răspuns până acum; se vede clar pe ochii lor cei care au înţeles şi ştiu ce urmează să scriem). Apropos de “protocolul” instituit de la început, de obicei la acest moment elevii abandonează ideea efectuării mai întâi a calculelor pe cazul particular şi doar apoi a formulei generale, dictând direct formula (iar eu nu-i opresc).

Deducerea următoarelor două este tot mai grea, dar ne putem totodată baza şi pe faptul că elevii au acumulat “oarece experienţă”. Aşadar, trecem la 6) Rombul. Aici construim mai întâi centralizat toată clasa un romb în “poziţia balerină”, adică în jurul crucii formată de o diagonală verticală (cea mai lungă) şi o diagonală orizontală (cea mai scurtă), trasate cu linie întreruptă şi înjumătăţindu-se una pe cealaltă (poate unii elevi au chiar nevoie să li se spună câte pătrăţele fiecare). Cel mai bine să şi haşurăm suprafaţa rombului finuţ. Apoi urmează căutarea formulei prin procedeul problematizării: “oare cum o fi aici?”. La această figură elevii pot deveni creativi pentru că au deaja experienţe în domeniu. Unii iau două triunghiuleţe din jumătatea de jos a rombului şi le alipesc lângă jumătatea de sus, generând un dreptunghi cu baza cât diagonala orizontală şi înălţimea cât jumătate din diagonala verticală. Alţii fac acelaşi lucru dar din stânga în dreapta. Mai şunt apoi şi cei care văd că rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi cu lăţimea orizontală şi lungimea verticală, care se formează prin adăugarea în exteriorul rombului a încă patru triunghiuri congruente cu cele patru sferturi ale rombului. Oricum o iei, toate duc până la urmă la aceeaşi formulă, deşi cei care au văzut ultima variantă se pare că reuşesc cel mai des – la vârsta asta, cu experienţă algebrică redusă – să verbalizeze clar formula: A = d1·d/2, chiar dacă de fapt iniţial sub forma L·l /2 , aşa că trebuie din mers să-i rugăm să o dicteze cu elemente ale rombului, nu ale dreptunghiului. Desigur, oricând pot apărea şi alte explicaţii: anul acesta un elev a decupat jumătatea de jos a rombului şi a alipit-o alături de cea de sus, transformând suprafaţa într-un paralelogram (merge şi aşa; ce frumos!).

Finalul formuleleor mai dificile îl reprezintă 7) Trapezul. Deja este clar demersul, astfel că elevii se pot apuca de lucru imediat ce avem toţi câte o figură “bună” în caiet: un trapez “scalen” înalt de patru rânduri (pătrăţele) şi la care ambele laturi oblice să aibă mijlocul în câte un nod al grilei de pătrăţele de pe foaia de matematică ( eu recomand baza mare de 9 pătrăţele, latura oblică din stânga cu piciorul înălţimii la două pătrăţele înspre dreapta, ca la paralelogramul de mai sus, iar baza mică de trei pătrăţele; astfel latura oblică din dreapta are o înclinaţie de 45o, ambele laturi oblice având mijlocul într-un nod de pătrăţele). Pe o astfel de figură se pot observa trei deduceri diferite ale formulei de arie (pe care – repet – elevii nici nu o cunosc de fapt, ei “bâjbâind” în înturneric ca într-o adevărată cercetare!). O variantă este cea de a dubla aria similar cu procedeele de la dreptunghi sau paralalogram, dublare făcută printr-un al doilea trapez congruent cu primul, ataşat în partea dreaptă cu “capul în jos”, obţinând astfel un paralalogram cu baza cât cele două baze ale trapezului însumate. Celelalte două variante se obţin pe baza mijloacelor laturilor oblice şi a liniei mijlocii, prin procedeul decupării unor triunghiuri din suprafaţa trapezului şi alipirea lor într-o altă poziţie. De pildă, se poate face o astfel de mişcare de două ori, în stânga respectiv în dreapta figurii, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie; în mod similar se poate aplica doar o singură astfel de mişcare, transformând trapezul într-un paralelogram cu baza cât linia mijlocie. În unele clase apar doar două astfel de propuneri, în altele toate trei. Dacă apare doar una, atunci le mai prezint eu încă una pentru a le arăta clar ideea că întotdeauna pot apărea mai multe variante de gândire.

În funcţie dacă ne rămâne timp, dacă nu atunci sigur în ora următoare, în finalul lecţiei mai putem adăuga încă două formule destul de des folosite, pentru a avea un tablou complet pentru faza aceasta a cunoaşterii: 8) Rombul-(2). Această formulă apare atunci când desenăm un romb în poziţia tipică unui paralelogram. De vreme ce i-am obişnuit pe elevi să le sugerăm desene de o anumită formă prin numărarea pătrăţelelor, fără a da multe explicaţii putem şi aici să îi îndrumăm spre un romb cu latura de 5 pătrăţele în care noi am integrat cu ajutorul unei înălţimi “triunghiul egiptean” (cel cu catetele de 3 şi 4 şi ipotenuza de 5; dacă elevii “se prind” pe baza scurtelor experienţe pitagoreice din finalul clasei a 6-a, bine, dacă nu e bine şi aşa, treaba rămânând într-o stare de “magie” pe care ei eventual vor dori să o verifice prin măsurare a laturii oblice, tot de 2,5 cm (adică de 5 pătrăţele); astfel, există două romburi diferite care se pot construi aici; eu îl recomand pe cel mai ascuţit, cel cu înălţimea de 3 pătrăţele, care arată mai clar ca figura rombului din mintea copiilor). Aici elevii observă destul de uşor că trebuie să preia formula de la paralelogram; noi trebuie să le spunem că preferăm să schimbăm denumirea bazei în latură.

În final luăm şi 9) Pătratul-(2). Aici vom desena un pătrat în poziţia tipică pentru romb, adică pornind de la o cruce a diagonalelor trasate cu linie întreruptă, una verticală şi cealaltă orizontală, ambele înjumătăţite, dar desigur şi egale. Elevii vor observa şi aici foarte uşor “mişcarea”, singura provocare pentru cei buni fiind rescrierea în forma d2/2; pentru cei mai slabi provocarea va fi chiar să înţeleagă diferenţa dinte faptul că la romb apăreau 1 şi 2 scrise mai jos, ca indici, pe când la pătrat apare acel 2 lângă litera d, dar mai sus iar asta înseamnă la puterea a doua şi nu o prescurtare.

*

După cum am mai spus, pe lângă uriaşele avantaje în sensul înţelegerii şi a formării de gândire, acest tip de lecţie prezintă şi anumite pericole. Atât elevii slabi, cât şi mulţi elevi buni vor înţelege că de fiecare dată la calculul unei arii ei trebuie să aplice “procedura” văzută în timpul lecţiei, adică de pildă, la romb să-l înscrie într-un dreptunghi etc. Cei slabi la matematică vor înţelege că aceasta este o lecţie foarte grea şi complicată, dificil de aplicat în exerciţii, pentru că trebuie memorate toate acele “mişcări”. Dimpotrivă, cei cu o gândire bună se vor simţi “în zona lor de confort”, pierzând de fiecare dată timp valoros cu rededucerea formulei.

Cu alte cuvinte, atât pentru cei cu o gândire superficială cât şi dimpotrivă, pentru cei cu o minte ageră, dar leneşi, va trebui să facem şi următorul pas, anume să rezumăm lecţia respectivă doar în forma ei seacă, adică la fiecare figură studiată să le evidenţiem cele trei componente de bază: denumirea figuri + o figură tip simplă în care sunt trasate doar elementele ce apar în formulă + formula în sine, înrămată pentru atenţionare că aceasta trebuie ştiută pe de rost.

Fie în timpul lecţiei, fie la această recapitulare eu le dau uneori elevilor şi alte formule “colaterale”. Una dintre acestea ar putea fi 10) Triunghiul isoscel. Pe aceasta o fac ca un fel de “glumă matematică”, dar din motive clar justificate: de-a lungul timpului am avut ocazia să întâlnesc situaţii în care câte un elev s-a blocat la cunoscutele exerciţii de aplicat teorema lui Pitagora pentru calculul ariei unui triunghi isoscel, pentru că în lista cu formulele de arie nu se regăsea şi o formulă pentru această figură (avem pentru triunghiul oarecare, adică cel scalen, avem pentru triunghiul dreptunghic, dar pentru cel isoscel nu avem; vorbesc de prima fază de aplicare, pe triplete pitagoreice, când oricum nu le dau triunghiuri echilaterale).

Tot aici putem desigur să mai adăugăm şi 11) Triunghiul dreptunghic-(2), de fapt adaptarea de la triunghiul oarecare, atunci când triunghiul dreptunghic este desenat cu ipotenuza ca bază şi mai avem cunoscută şi înălţimea pe ipotenuză. Alteori elevii îmi cer şi 12) Deltoidul (la capitolul cu patrulatere eu parcurg şi această figură, chiar dacă nu este în programa oficială; deşi fără folosirea denumirii apar din când în când probleme cu deltoid în diferite culegeri).

Când şi cum trebuie făcută această rezumare, asta este în sine o mare problemă. Dacă s-a parcurs lecţia principală într-o singură oră, atunci nu cred că mai este timp şi pentru rezumare (vorbesc aici de o parcurgere cinstită la o clasă obişnuită, nu de o turuială în viteză în care profesorul întreabă şi tot el răspunde imediat, pentru o eficienţă temporală – asta sigur nu poate fi numită problematizare). În acest caz rezumarea cunoştinţelor poate fi făcută doar ora următoare, dar pentru asta trebuie să ne asumăm că fie le dăm ca temă aplicaţii la care unii nu vor înţelege că trebuie doar să aplice rezultatele (chiar dacă am înrămat fiecare formulă din prima lecţie), fie ne asumăm că la prima lecţie, cea cu deducerea formulelor, încă nu le dăm temă din aceasta (fie ne bazăm cu indiferenţă că de fapt cineva le clarifică lucrurile acasă).

Eu personal prefer această a doua variantă pentru că aşa mă asigur că toţi elevii au priceput cum se aplică această lecţie şi că de fapt este una din cele mai uşoare lecţii. O fişă bună cu o grămăjoară responsabilă de exerciţii de aplicat după rezumare va ajuta mult în acest sens. Pentru a nu cădea într-o banalitate extremă, aceste exerciţii ar trebui să apară amestecate faţă de ordinea din lecţie (“dificultatea” temei constând în sarcina de a alege de fiecare dată formula corespunzătoare); la fiecare formulă vor apărea cel puţin câte trei-patru din fiecare cu diverse aplicaţii numerice (de pildă, la cele cu fracţie şi câte una la care nu se simplifică în final).

*

Spuneam că forma predării prin problematizare prezintă pericolul că anumiţi elevi vor înţelege că astfel trebuie procedat în cadrul aplicaţiilor de la temă sau de la teste, aşa încât în finalul lecţiei parcursă prin problematizare trebuie să le dăm un rezumat al cunoştinţelor ce vor fi transformate în reţete, în formule direct de aplicat. Şi atenţionez că trebuie să le precizăm clar că acestea trebuie să le înveţe şi să le aplice ca atare.

Dacă nu facem acest pas, se pare că mulţi elevi de azi înţeleg în mod “docil” că trebuie să aplice de fiecare dată forma cunoscută în faza de problematizare, pentru că aşa au fost obişnuiţi de către cei dinaintea noastră. De pildă, ne putem aştepta ca învăţătoarea clasei să nu fi folosit o astfel de tehnică de dezvoltare a gândirii, ci să le fi prezentat întotdeauna cunoştinţele noi ca un simplu “cod de reguli”, ca nişte reţete despre care nu ne interesează de unde vin, ci doar cum le aplicăm (pentru că de fapt în asta constă matematica verificată prin teste). Într-un astfel de caz elevii vor percepe că şi aici trebuie să facă la fiecare problemă “ca la clasă”. În mod similar, la o clasă de a 9-a ne putem aştepta ca elevii respectivi să fi primit toată matematică din gimnaziu direct în formatul de reţetă, pentru a fi aplicată cât mai repede în exerciţii şi probleme (că doar asta se dă la examen).

Astfel, povestind dimineaţa la cafeluţă cu soţia mea, citindu-i ideile din cartea despre problematizare a lui Eugen Rusu şi povestindu-i despre întâmplarea cu anumiţi elevi care înscriau rombul într-un dreptunghi pentru a-i calcula aria, soţia mi-a spus că şi ea a observat un fenomen similar la formulele de calcul de gradul trei, unde anumiţi elevi nu le aplicau ca atare în exerciţiile date la test, adică nu le aplicau ca “formule de calcul prescurtat”, ci refăceau de fiecare dată calculul aşa cum fusese dedusă formula prima dată la clasă (prin problematizare), după principiul: decât să mai învăţ o formulă nouă mai bine nu! (pentru că oricum “toate se găsesc la ora actuală pe internet”, cum zic unii, adică “la un clic distanţă”); mai bine o deduc de fiecare dată, că îmi este uşor (aşa se manifestă lenea la elevii inteligenţi matematic).

Probabil că la vremea când Eugen Rusu scria acele rânduri, învăţarea formulelor ca atare era de la sine înţeleasă, dar acum trebuie să ne asigurăm că elevii primesc acest mesaj şi apoi să includem în predare şi faza de fixare a acestora prin aplicaţii elementare, şi astfel transformarea acestora în deprinderi, pe baza cărora elevul să lucreze automat. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Căutând prin aparatul de fotografiat am găsit o poză cu tabla de la această lecţie din toamnă. Nu o consider neapărat o variantă perfectă, dar – împreună cu descrierea de mai sus – se poate forma o idee coerentă asupra predării prin problematizare la această lecţie (desigur că în poză nu apar toate acele momente de gândire şi de discuţie cu elevii, ci doar forma finală de pe tablă, ce se regăseşte şi în caietele elevilor).

Ataşez în continuare şi o variantă de tabel rezumativ cu formulele “curate”. Nici acesta nu este neapărat într-o formă perfectă, dar se poate înţelege despre ce am vorbit mai sus.

Legat de aceste poze trebuie să fac câteva precizări. În primul rând, este clar de ce formula triunghiului echilateral nu apare aici, ci vine mai târziu; la fel de pildă şi formula de arie a cercului sau alte formule cunoscute. Eu le şi spun elevilor că aceasta este doar o primă tranşă de formule, cele mai simple, şi că lista va continua.

O a doua idee este legată de linia mijlocie in trapez. Pe prima poză nu apare o demonstraţie la formula trapezului pe baza liniei mijloci, pentru că anul acesta am avut o parcurgere atipică, încercând să ajung rapid la anumite lecţii, dar neglijând altele (în toată starea de bulversare de pe urma grevei din vară). Astfel, atunci când am făcut lecţia cu arii, elevii încă nu cunoşteau linia mijlocie; am făcut-o ulterior, destul de repede, iar atunci am prezentat şi cum aceasta ajută la alte variante de deducere a formulei de arie a trapezului.