Conferinţă Constanza Kaliks

5WM-1 din 5 oct. 2015

A ├«nv─â┼úa s─â g├ónde┼čti (La aptitud de pensar, Learning to think)

Cu această conferinţă pornim prezentările activităţilor de la primul Congres mondial al profesorilor de matematică Waldorf, codificat 5WM la Goetheanum, centrul de cultură de la Dornach, lângă Basel, Elveţia (5-9 oct. 2015).

La congres au participat 98 de dasc─âli din 32 de ┼ú─âri. Iat─â unele date: c├óte unul din Australia ┼či Noua Zeeland─â, dou─â doamne din Asia (Filipine, respectiv Japonia), trei colegi din Africa, c├óte un grup hot─âr├ót din America latin─â, respectiv America de nord; restul de 64% din Europa (incluz├ónd cultural aici ┼či participan┼úii din Israel); doar cca. 31% erau vorbitori de german─â.

D-na Constanza Kaliks pred─â la Seminarul didactic din S├úo Paulo, Brazilia ┼či este conduc─âtorul Sec┼úiunii pentru tineret de la Goetheanum. Conferin┼úa a fost ┼úinut─â ├«n spaniol─â, noi audiind-o ├«n traducere simultan─â (german─â, respectiv englez─â). V─â prezent─âm ├«n continuare ├«n scurte idei, dup─â noti┼úele noastre, prelegerea d-nei Kaliks ┼úinut─â la deschiderea congresului (ad─âug─ârile personale le-am notat cu CTG). R─âm├óne de datoria cititorului s─â-┼či completeze ├«n imagina┼úie multele pasaje de leg─âtur─â ├«ntre ideile prezentate. Trebuie doar s─â v-o ├«nchipui┼úi pe d-na Kaliks cu un discurs latin, deosebit de temperamental (pilotul german de Formula 1 Sebastian Vettel, ├«ntrebat cum este la echipa italian─â Ferrari, a r─âspuns: se vorbe┼čte foarte mult cu m├óinile!).

  • Caracteristica central─â a matematicii: curiozitatea, creativitatea, ÔÇťprin mine, prin g├óndirea meaÔÇŁ.
  • Cele dou─â coloane centrale ale pred─ârii matematicii rezid─â ├«n urm─âtoarele afirma┼úii:

I ÔÇô lucrurile acestea sunt de c├ónd lumea aici;

II ÔÇô hai s─â descoperim ce putem g─âsi aici (I can discover a world which is in my mind).

  • Ca urmare, exist─â dou─â c─âi extreme de predare:

I ÔÇô s─â predai ca ┼či cum lucrurile sunt cunoscute de mult;

II ÔÇô s─â predai astfel ├«nc├ót copilul s─â descopere formulele, cuno┼čtin┼úele din lec┼úie.

  • Predarea matematicii are ├«n fa┼úa ei trei mari provoc─âri:

1) Trecutul ┼či viitorul trebuie s─â se ├«nt├ólneasc─â ├«n noi, participan┼úii la ora de matematic─â; elevul trebuie s─â ├«nve┼úe lucruri vechi drept nout─â┼úi.

2) Arta pred─ârii matematicii;

3) Cantitatea absurdă de informaţie (în supradoză, dar superficială) la care s-a ajuns în ultimii 50 de ani.

  • 30 milioane de copii nu merg la ┼čcoal─â (date UNICEF de la sf├ór┼čitul lui sept. 2015).
  • Care este valoarea cunoa┼čterii? Informa┼úia nu se poate transforma ├«n inteligen┼ú─â; cunoa┼čterea (┼čtiin┼úa) se poate ├«ns─â transforma ├«n inteligen┼ú─â. Din p─âcate, suntem deseori tenta┼úi s─â vedem stocarea de informa┼úii drept inteligen┼ú─â (este una din liniile de distrugere a copiilor de mici: avem impresia c─â dac─â ┼čtiu multe, sunt ┼či inteligen┼úi; sindromul micului Einstein, cu prototipul Dexter, cunoscutul personaj de desene animate din anii ÔÇÖ90 ÔÇô ad─âugare CTG). Este o iluzie a crede c─â prin aglomerarea matematicii ├«n copil acesta va avea o mai bun─â leg─âtur─â cu lumea.
  • Prin matematic─â ├«nve┼úi s─â te descurci ├«n ÔÇťceva (nesenzorial)ÔÇŁ.
  • Cum a evoluat istoric perceperea cunoa┼čterii:

a) ├Än trecut omul g├óndea: ÔÇťeu sunt parte a ├«ntreguluiÔÇŁ (ÔÇť├«ntreg pe care nu-l ├«n┼úelegÔÇŁ, ├«n antichitate, respectiv ÔÇť├«ntreg pe care-l ├«n┼úelegÔÇŁ, ├«ncep├ónd din secolul XVI);

b) ├Än prezent omul g├ónde┼čte: ÔÇť├«ntregul este al meuÔÇŁ (de ex. ÔÇť├«ntreaga lume este a mea prin intermediul internetuluiÔÇŁ ÔÇô ad─âugare CTG). Cum influen┼úeaz─â aceasta predarea?

  • ┼×coala trebuie s─â ├«mbine echilibrat urm─âtoarele dou─â tipuri de activit─âti:

i) ÔÇô activit─â┼úi creatoare; ii) ÔÇô activit─â┼úi receptoare. Eu trebuie s─â fiu creator ┼či receptor ├«n acela┼či timp; s─â fiu dispus oric├ónd s─â ├«ncep a m─â juca din nou (Ich muss Sch├Âpfer und Empf├Ąnger gleichzeitig sein; immer neu anfangen zu spielen).

25 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Impresii din Elveţia

├Än s─âpt─âm├óna 5-9 oct.2015 am participat la Dornach l├óng─â Basel, ├«n Elve┼úia, la prima ├«nt├ólnire mondial─â a profesorilor de matematic─â din ┼čcolile Waldorf. Din acest voiaj am adus o mul┼úime de cadouri matematice cu care ne vom preocupa ├«n perioda urm─âtoare (poate tot anul). ├Änainte de a v─â prezenta la r├ónd conferin┼úele acestui congres, permite┼úi-mi s─â v─â ofer dou─â scurte impresii, cu implica┼úii matematice.

Prima mea surpriz─â ├«n Elve┼úia a fost moneda de ┬Ż Fr (de o jum─âtate de franc, pentru cine nu a ├«n┼úeles). Da, a┼úi v─âzut bine, pe aceast─â moned─â nu scrie 50 (Rappen se numesc subunit─â┼úile francului elve┼úian), ci scrie ┬Ż . Elve┼úienilor nu le este fric─â s─â scrie pe o moned─â foarte des folosit─â o frac┼úie! Asta arat─â c─â acestui popor nu ├«i este fric─â de matematic─â.

S─â analiz─âm cum st─âm noi fa┼ú─â de acest subiect. P─âi, un singur g├ónd ├«mi trece ├«n acest sens prin minte: felul ├«n care Banca Na┼úional─â a renun┼úat la moneda de 25 bani, respectiv bancnota de 25 lei (Banca Na┼úional─â sau ce decident o fi fost atunci, la ├«nceputul anilor ÔÇÖ90, dar ┼či la introducerea leului tare cu renun┼úarea la patru zerouri de la reforma din 2005). Sistemul nostru monetar este construit pe opera┼úia 2 ÔłÖ 5 = 10, care este una din cele mai simple opera┼úii (┼čti┼úi, majoritatea avem dou─â m├óini cu c├óte cinci degete:). Sistemul vechi, din anii lui Ceau┼čescu, era construit pe opera┼úia 4 ÔłÖ 25 = 100, care este o opera┼úie mai evoluat─â. Cea actual─â necesit─â capacit─â┼úi de calcul p├ón─â la 10, de nivel de gr─âdini┼ú─â, pe c├ónd la cea veche trebuia s─â te po┼úi descurca ├«n mare p├ón─â la 100. Calculul 25 ÔłÖ 4 = 100 reprezint─â o opera┼úie de puterea a doua (22 ÔłÖ 52 = 102), pe c├ónd actuala necesit─â doar o g├óndire banal─â. Varianta actual─â, cu valorile 1, 5, 10, 50, 100 etc. este practic─â pentru cei incul┼úi, dar nu permite dec├ót foarte greu o simpl─â opera┼úie de ├«mp─âr┼úire la patru (├«mp─âr┼úirea la patru este una din opera┼úiile de cultur─â elementar─â: oricine ┼čtie s─â ├«mpart─â un m─âr ├«n patru sferturi ÔÇô avem ┼či un cuv├ónt pentru a┼ča ceva, un sfert).
Care este unul dintre efectele vizibile a acestei schimb─âri a politicii monetare din Rom├ónia? De prin 1996 am ├«nceput s─â observ la elevi un fenomen deranjant: ace┼čtia nu mai ┼čtiu de pild─â de c├óte ori intr─â 23 ├«n 100; elevii au mari dificult─â┼úi la 3 x 25, dar mai ales la descompunerea lui 75 nu simt c─â se divide cu 3 ┼či ├«ncep descompunerea cu ├«mp─âr┼úirea la 5 (dar 75 : 5 = 15 se face mai greu dec├ót 75 : 3 = 25). Dup─â ÔÇÖ90 orice pu┼čti ┼čtia c─â 750 : 3 = 250; acum aceasta este pentru mul┼úi o situa┼úie foarte dificil─â (pe care eventual o fac cu calculatorul de pe telefon).
Da, concluzia este una singur─â, renun┼úarea la sistemul 25 ÔłÖ 4 a contribuit ┼či aceasta, pe l├óng─â multe altele, la cre┼čterea fricii omului de r├ónd fa┼ú─â de matematic─â.
Revenind la francii elve┼úieni, nu m-am putut ab┼úine s─â nu observ anul monedelor aflate ├«nc─â ├«n circula┼úie (┼či n-am stat tare mult s─â caut). Este chiar nevoie de o mic─â concentrare s─â calculezi ce v├órst─â are o moned─â din 1971. Uau! Asta da stabilitate a unei ┼ú─âri! A┼ča mai ├«n┼úeleg ┼či eu un articol g─âsit ├«n ziarul Schweitz am Sonntag din 11 oct. 2015: un interviu cu directorul Comisiei federale pentru energie a Elve┼úiei, Dl Walter Steinmann, ├«n care se vorbea despre planul de politic─â energetic─â a Elve┼úiei p├ón─â ├«n anul 2050 (iar─â┼či: Uau!). Da, o na┼úiune c─âreia nu-i este fric─â de frac┼úii, poate face planuri serioase pe 35 ani.
Este greu ├«n acest moment s─â nu facem iar compara┼úia cu situa┼úia de la noi ┼či cu actuala cre┼čtere promis─â de 15% a salariilor cadrelor didactice din dec. 2015. A┼úi observat desigur momentul (12 oct. 2015): cele dou─â cre┼čteri de 5% din cursul anului ├«mpreun─â cu aceasta de 15% nu dau ├«mpreun─â 25%, ci mai mult, peste 26%. C├ó┼úi au ├«n┼úeles ce s-a ├«nt├ómplat, care este fenomenul matematic conform c─âruia 10 + 15 nu d─â 25? Un renumit om de pres─â comenta c─â ┼či politicienii care n-au ├«n┼úeles sunt tot rezultatul acestei ┼čcoli. Dac─â de politicienii de la v├órf nu trebuie s─â ne facem griji s─â ├«n┼úeleag─â, poate noi, profesorii de matematic─â ar trebui s─â ne ocup─âm m─âcar ca dragii no┼čtri colegi ne-matematicieni s─â priceap─â ÔÇťce ┼či cumÔÇŁ, adic─â de ce 10% + 15% > 26%.

Titus Grigorovici 22 oct. 2015

Val de aluzii matematice în muzică vara asta!

Când Smiley ne explica cum că viaţa e o structură complexă, concavă sau convexă, atunci când cânta despre cai verzi pe pereţi, am ridicat desigur o sprânceană.
Vara aceasta ├«ns─â aluziile la matematic─â au devenit tot mai explicite: ├«nt├ói a ├«nceput s─â ne explice Shift ce spunea profuÔÇÖ de mate: Istrate, tu visezi, n-o s-ajungi departe! ├«n melodia despre avioane de h├órtie. Na┼čpa, profuÔÇÖ ─âla de mate!
Apoi a apărut Delia spunând că eu nu accept geometria în iubire! în controversata piesă Da, mamă. Ce-o fi vrând să zică? Sau doar dă bine să-ţi expui public opoziţia faţă de matematică?
Oricum, amândoi prezintă în punctul lor de vedere matematica drept opusă faţă de starea de visare. Oare ce-o mai urma? Cum vă simţiţi, ca profesori, la aceste aluzii?

Frac╚Ťiile la vechii egipteni

├Än vara lui 2010 l-am cunoscut la N├╝rnberg pe dl. Filip, un ├«nv─â┼ú─âtor de la ┼×coala Waldorf din acest ora┼č, pensionat de mult ┼či care avea multe pove┼čti interesante (printre altele a avut-o ├«n clasa a II-a ca elev─â pe feti┼úa Sandra Bulock!!!).
De la d├ónsul am primit o gr─âm─âjoar─â de c─âr┼úi vechi de matematic─â, care fusese o pasiune puternic─â a vie┼úii sale. ├Äntr-una din aceste lucr─âri, Ernst Bindel, Das Rechnen (Socotitul) din 1966, am g─âsit un capitol despre frac┼úiile la egiptenii antici. Autorul f─âcea referire la un articol mai vast Alt├Ągyptische Bruchrechnung (Calculul de frac┼úii la vechii egipteni), publicat ├«n revista Erziehungskunst Nr.11-1961 (Arta educa┼úiei). Cu timpul am fost atras de subiect ┼či am ├«nceput s─â lucrez la ├«n┼úelegerea acestei teme. Am g─âsit ┼či articolul cu pricina, dar am ├«nceput s─â g─âsesc referiri la acest subiect ┼či ├«n alte locuri, mai ales ├«n reportajul BBC FOUR The Story of Maths realizat de profesorul Marcus Du Sautoy ├«n 2008.
Preocup─ârile s-au accentuat ├«n anul ┼čcolar 2014/2015 c├ónd, ├«n mai multe etape, am generat urm─âtorul eseu pe tema frac┼úiilor ├«n Egiptul antic. Cu aceast─â lucrare am participat la Sesiunea de comunic─âri ┼čtiin┼úifice Didactica Matematicii 2015 de la Turda.

C.Titus Grigorovici

Frac╚Ťiile la egipteni.pdf

Pentagonul și pentagrama

Dintre figurile geometrice neglijate de programa ┼čcolar─â din Rom├ónia, pentagonul regulat este probabil cea mai important─â pentru cultura matematic─â universal─â. Pentagrama ┼či sec┼úiunea de aur completeaz─â aceast─â tem─â aproape nelimitat─â. Iat─â c├óteva aspecte ├«n aceast─â linie, cu care ne-m ocupat ├«n trecut:

Articole de metodic─â

├Än paginile caietelor de matematic─â PENTAGONIA am inclus diverse prezent─âri de metodic─â a pred─ârii unor lec┼úii din programa ┼čcolar─â. Iat─â o scurt─â list─â a acestora, pentru a le putea g─âsi mai u┼čor.

  • Apari┼úia numerelor complexe ÔÇô predarea prin ├«ntreb─âri – Pentagonia nr.2
  • Ecua┼úii de gradul I cu parametru – Pentagonia nr.3
  • Frac┼úiile zecimale ÔÇô predarea prin ├«ntreb─âriPentagonia nr.4
  • Extragerea radicalului, r─âd─âcina p─âtrat─â ┼či numerele ira┼úionale ├«n claseleVI-VIII – Pentagonia nr.6
  • Propor┼úionalitatea direct─â ┼či propor┼úionalitatea invers─â – Pentagonia nr.7
  • Predarea ariilor ├«n gimnaziu – Pentagonia nr.8
  • Linia mijlocie ├«n triunghi ÔÇô studiu de teorem─â direct─â ┼či reciprocele sale – Pentagonia nr.9

Alte prezent─âri metodico-didactice vor urma.

Corpurile platonice (perfecte)

Una dintre marile teme ale culturii omene┼čti ce lipsesc din programa ┼čcolar─â o reprezint─â setul celor cinci corpuri perfecte, cunoscute ├«n vest drept Corpuri Platonice. Dintre acestea doar cubul ┼či tetraedrul regulat apar la noi ├«n programa gimnazial─â, celelalte trei lipsind cu totul din con┼čtien┼úa general─â.
Cei doritori g─âsesc o prezentare scurt─â a acestora ┼či a unor conexiuni dintre ele ├«n paginile caietelor PENTAGONIA, astfel:

  • Introducere; I. Octaedrul; II. Tetraedrul, cubul ┼či octaedrul ├«nscrise unul ├«n cel─âlalt – Pentagonia nr.2
  • III. C├óte poliedre regulate exist─â?; IV. Dodecaedrul – Pentagonia nr.3
  • V. Platon, Kepler ┼či corpurile perfecte; VI. Icosaedrul – Pentagonia nr.4

Subiectul nu este nici pe departe epuizat, dar ofer─â doritorului o minim─â linie de plutire ├«n cultura general─â a omenirii, prezentabil─â ┼či accesibil─â la nivelul de clasa a VIII-a. ├Än acest sens merit─â amintit─â o ├«nt├ómplare cu un fost elev, care dup─â clasa a IX-a s-a mutat cu familia ├«n Statele Unite. Peste ani m-am trezit cu el la o serbare de final de an ┼čcolar: venise s─â m─â salute ┼či s─â-mi spun─â c─â ├«n anul I la facultatea de arhitectur─â la Seattle a fost singurul care a ┼čtiut de aceste corpuri, s─â le denumeasc─â ┼či s─â spun─â c├óte ceva despre ele (Salut Vlad!).
Pentru cei care ├«nc─â nu sunt convin┼či, studia┼úi un pic promo-urile folosite pe postul de muzic─â ZU TV p├ón─â la ├«nceputul verii 2015, s─â vede┼úi c├óte icosaedre aveau ei acolo (┼či pe care le-au v─âzut zilnic elevii).

Prezentare de carte

Cine nu ia o carte de matematică în mână pătruns de un sentiment de sacru, nu va găsi mare lucru în această carte. NOVALIS

├Än ultimele trei caiete PENTAGONIA, din 2001 ┼či 2002, am ├«nceput s─â prezent─âm c─âr┼úi de matematic─â. Nu este vorba despre culegeri de exerci┼úii ┼či probleme, ┼či nici despre manuale de matematic─â, ci despre c─âr┼úi care vorbesc despre matematic─â, despre istoricul acesteia ┼či despre cum ar trebui s─â ne apropiem ├«mpreun─â cu elevii de matematic─â.
Citindu-le, profesorul de matematic─â poate g─âsi inspira┼úie ├«n a-┼či structura lec┼úiile mai atractiv, fie cu mici detalii de o coloratur─â atractiv─â, fie ├«n general, ca atitudine de intrat la clas─â.

Lucrarea lui Simon Singh, Marea Teorem─â a lui Fermat, ajuns─â ├«ntre timp la edi┼úia a 3-a la Editura Humanitas, r─âm├óne ├«n continuare un posibil cap de afi┼č ├«n spectacolul acestor c─âr┼úi minunate (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.7 din martie 2001), reprezent├ónd o lectur─â obligatorie pentru orice profesor de matematic─â ce dore┼čte s─â-┼či extind─â cultura. ├Än Vest aceast─â carte a st├órnit un val ├«ntreg de lucr─âri de popularizare a matematicii. Este extrem de l─âudabil faptul c─â multe din acestea au fost publicate la Humanitas, devenind astfel accesibile cititorului rom├ón, dar despre acestea ├«ntr-o interven┼úie ulterioar─â.

├Än Caietul PENTAGONIA No.8 am prezentat mama ┼či tata tuturor c─âr┼úilor de popularizare a matematicii, cele dou─â lucr─âri ale lui Egmont Colerius, De la tabla ├«nmul┼úirii la integral─â, respectiv De la punct la a patra dimensiune, ap─ârute ├«n perioada interbelic─â ┼či traduse ├«n rom├óne┼čte ├«n 1967. ├Än leg─âtur─â cu aceast─â carte iat─â o istorioar─â interesant─â: profesorul Wolf Klein de la ┼×coala Waldorf din Klagenfurt, Austria, a contactat pe vremuri editura ce a publicat ini┼úial cartea ├«n german─â ┼či a ob┼úinut o reeditare pentru elevii s─âi. Cu acest exemplu ├«n fa┼ú─â, cred c─â merit─â s─â o citim ┼či noi. (De c─âutat prin anticariate sau biblioteci cu carte mai veche).

O lucrare ├«mi este foarte special apropiat─â de suflet: Paul J.Nahin, O poveste imaginar─â. Istoria num─ârului radical din ÔÇô1 a ap─ârut ├«n 2000 la editura Theta, Bucure┼čti (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.9 din sept.2002). Pentru profesorul de liceu aceasta reprezint─â o lectur─â obligatorie, mai ales din prisma cunoa┼čterii apari┼úiei acestor numere ┼či a ├«n┼úelegerii abera┼úiei didactice reprezentat─â de lec┼úiile de introducere a numerelor complexe ├«n forma actual─â, existent─â ├«n manuale de prin 1980. ├Än acest sens v─â recomand ┼či lecturarea articolului metodic Apari┼úia numerelor complexe; predarea no┼úiunii prin ├«ntreb─âri din Caietul PENTAGONIA No.2. ├Än 1998 o elev─â de-a 7-a la citit ┼či ne-a zis c─â a ├«n┼úeles tot. Oare, de ce din forma de predare din manuale nu ├«n┼úelege nimeni nimic?

Alte prezent─âri de carte vor urma.

Editorial Pentagonia

Pe l├óng─â prezentarea din primul num─âr, ├«n caietele Pentagonia g─âsi┼úi urm─âtoarele eseuri-editoriale despre situa┼úia pred─ârii matematicii ┼čcolare. ├Än fiecare din acestea g─âsi┼úi p─âreri exprimate mai timid sau mai hot─âr├ót despre ce merge, dar mai ales despre ce nu merge bine ├«n matematica de la clas─â. Citindu-le dup─â at├ó┼úia ani, c├ót sunt de valabile ├«n continuare, consider─âm c─â merit─â citite ┼či acum (unele integral, altele m─âcar par┼úial).

Prof. C.Titus Grigorovici