Consultarea naţională a proiectului pentru programa şcolară de matematică la clasele de gimaziu

Au apărut proiectele de programe pentru clasele V-VIII. Proiectul pentru programa de matematică poate fi găsit la adresa http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Matematica.pdf

În anunţul MEN şi IŞE se precizează că procesul de consultare se adresează cadrelor didactice, inspectorilor școlari si altor categorii de specialiști care ar putea oferi un feedback relevant cu privire la proiectele de programe școlare pentru clasele V-VIII. Pentru a colecta opiniile, comentariile si propunerile dvs., vă rugam să parcurgeți pașii următori:

  • Pasul 1. Descărcați programa școlară;
  • Pasul 2. După parcurgerea programei in integralitatea acesteia, accesați chestionarul de consultare;
  • Pasul 3. Completați chestionarul alegând variantele de răspuns care se potrivesc cel mai bine opiniei dvs. și oferiți, dacă este cazul, propunerile si observațiile dumneavoastră în spațiile dedicate întrebărilor deschise.

Chestionarul conține întrebări punctuale cu privire la elementele constitutive ale programei: competențe generale, competențe specifice, exemple de activități de învățare, conținuturi, sugestii metodologice. De aceea, lectura atentă a proiectului de programă școlară este esențială pentru a oferi un feedback relevant care să conducă în mod direct la îmbunătățirea proiectelor de programă școlară.

Consultarea se va derula in perioada 27 ianuarie-13 februarie 2017. Vă mulțumim pentru interes și pentru participarea dvs. la procesul de consultare!

Chestionarul on- line se găseşte la adresa https://www.surveymonkey.com/r/programe_gimnaziu

Ca urmare, stimaţi colegi, vă propunem „o mică vacanţă”, adică haideţi să studiem în această vacanţă intersemestrială propunerile respective. La o primă privire aruncată peste acestea am văzut lucruri foarte interesante.

Spor la lucru!

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Minus cu minus fac plus

Sper că toată lumea a înţeles că minus cu minus fac plus, mai ales că, începând de azi vară, Carla’s Dreams ne tot explică cum stă treaba în melodia Imperfect. Am crede că lucrurile sunt clare, dar nu-i chiar aşa.

Prin toamnă, aveam pe tablă la clasa a VII-a o ecuaţie în care a apărut –8 –5. Elevii îmi dictau spontan când o nouă elevă a decis +13, grăbită să dea ea prima răspunsul. M-am întors mirat şi am întrebat “+?”. Iar ea, încercând totodată să înfrunte şi colegii care protestau, mi-a răspuns: “Da, păi nu minus cu minus fac plus?”. I-am dat singura replică posibilă: “Ba da! Dar numai la Carla’s Dreams”. Săraca fată, s-a blocat.

Apoi am început să-i lămuresc situaţia, pentru a nu o lăsă în ceaţă. Era evident că venise cu lucrurile neclare, aşa că am început să-i explic cu calm şi cu blândeţe că se spune minus ori minus fac plus. Asta pentru a scoate în evidenţă că la adunare/scădere nu se aplică această regulă, ci doar la înmulţire şi la împărţire. I-am povestit puţin despre 8 lei datorie şi încă 5 lei datorie, şi a fost de acord cu mine că dă o datorie de 13 lei.

Acel cuvânt “cu” îi derutează pe mulţi elevi, sugerându-le o aplicare pe adunare, mai ales că regula în această formă este atât de cunoscută (şi părinţii lor tot aşa o cunosc). Ajută, desigur, la această derută şi modul superalambicat de explicare a adunării numerelor întregi. Asta după ce noile numere au fost introduse cât mai corect ştiinţific, fără pic de intuiţie, elevii percepându-le ca foarte grele. Eu întotdeauna le atrag atenţia elevilor în clasa a VI-a asupra acelui cuvinţel şi asupra pericolului ce ne paşte prin folosirea sa greşită.

Problema este una larg răspândită, expresia minus cu minus fac plus fiind folosită în mai toate limbile, făcând parte din elementele de matematică ce au penetrat fondul de cultură generală: din păcate fără a fi şi înţeleasă întotdeauna. Uitaţi ce scria Paul J. Nahin în lucrarea O poveste imaginară; Istoria numărului radical din –1, Ed. Theta, 2000, la pag. 6, în 1.2 Atitudini negative faţă de numerele negative:

… suspiciunea faţă de numerele negative pare atât de stranie astăzi oamenilor de ştiinţă şi inginerilor numai pentru că aceştia au uitat frământările prin care au trecut în şcoala primară. De fapt, oameni inteligenţi dar fără pregătire tehnică continuă să trăiască aceste frământări chiar şi în anii de maturitate, după cum o atestă următorul cuplet, atribuit de obicei poetului W.H. Auden (Wistan Hugh Auden, 1907-1975):

Că minus ori minus face plus

O vom lua de bună: asta e!

Motivul n-ar fi prea complicat

Deci n-are rost să discutăm de ce.

Aşa că, mare atenţie la Carla’s Dreams şi la reţetele sale despre defect plus defect. Şi, vă rog din suflet, aveţi grijă cum predaţi înmulţirea numerelor întregi.

Anna’s Dreams

Numerele prime (3): Aspecte metodico-didactice ale predării

În partea a doua a acestei serii am prezentat o formă diferită de introducere a numerelor prime în clasa a V-a, faţă de ceea ce se practică la ora actuală.. Forma de predare riguroasă, cu care suntem obişnuiţi majoritatea profesorilor, ne cere să dăm o definiţie unică, pe baza căreia apoi să deducem eventual alte aspecte ale obiectului matematic studiat, într-un sistem de observaţii şi teoreme. Aşa suntem învăţaţi şi obişnuiţi toţi profesorii (noblesse oblige!), şi cu greu acceptăm o altă cale de abordare a lucrurilor. Merită aşadar, să privim cu mai multă atenţie asupra gândurilor ce au stat în spatele unei abordări atăt de profund diferite, ca cea din postarea precedentă, pentru a nu lăsa cititorul într-o profundă stare de nedumerire.

Principiul de bază urmărit prin această abordare, este acela că orice noţiune nouă trebuie adusă la cunoştinţă elevilor prin cât mai multe abordări diferite, nu doar printr-una, surprinzând astfel într-o formă naturală exact ce se întâmplă atunci când vedem un obiect nou, nemaiîntâlnit: îl luăm în mână şi îl întoarcem “pe toate feţele”, analizându-l cu atenţie şi descoperindu-i încet diferite detalii. Acest principiu este total opus principiului doct folosit în prezentarea riguroasă, de sorginte academică, a noţiunilor matematice prin intermediul definiţiei (a unei unice şi a-tot-dominatoare definiţii). Mai ales la clasele mici consider că  principiul predării prin unice şi seci definiţii este total nepotrivit, această cale reprezentând una din sursele eşecului în învăţarea matematicii la mulţi elevi. Apropierea de o noţiune esenţială, cum sunt numerele prime, cu calm, paşnic, azi dintr-o parte, mâine din altă parte, săptămâna viitoare iarăşi dintr-o altă parte, le poate oferi şi elevilor normali şansa de a pricepe până la urmă ce vrea noua noţiune.

La proaspătul elev de clasa a V-a, în semestrul I, această apropiere de numerele prime trebuie făcută cu blăndeţe, aproape ca într-o poveste. Dacă eu nu am reuşit să prezint destul de convingător această nuanţă a predării, permiteţi-mi să îl chem în ajutor pe marele Euler, prezentându-vă felul cum acesta se apropia de subiectul numerelor prime. În finalul lui 2016 am achiziţionat dintr-un anticariat virtual o mică comoară, cartea Vollständige Anleitung zur Algebra von Leonhard Euler  (Introducere completă în/către Algebră de Leonhard Euler). Permiteţi-mi să vă traduc în acest sens câteva pasaje din Capitolul 4 al primei părţi a acestei cărţi (pag. 25-27):

  1. Am observat, că un produs este compus din două sau mai multe numere care se înmulţesc între ele, acestea numindu-se factori. …
  2. Dacă analizăm toate numerele, în ce măsură acestea se pot obţine prin înmulţire a două sau mai multe numere, atunci vom constata destul de repede că unele nici nu se pot obţine prin înmulţire, şi astfel nu au deloc factori; altele însă se pot scrie înmulţit cu două sau mai multe numere, ca urmare având doi sau mai mulţi factori.

Astfel, 4 dă căt 2∙2, mai departe 6 dă cât 2∙3, apoi 8 dă căt 2∙2∙2 …

  1. Dimpotrivă, numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc. nu se lasă descompuse în acelaşi fel în factori, doar dacă nu l-am lua în ajutor şi pe 1, astfel încât de exemplu pe 2 să-l reprezentăm ca 1∙2. Dar, datorită faptului că un număr înmulţit cu 1 nu se modifică, atunci pe 1 nici nu-l putem privi ca factor.

Toate aceste numere care nu se pot descompune în factori, ca 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc., se numesc numere simple sau numere prime; toate numerele rămase însă, cele care se pot reprezenta cu factori, adică 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 etc., se numesc numere compuse. …

  1. Numerele compuse însă, cele care se lasă prezentate prin factori, izvoresc toate din numerele prime de mai sus, astfel încât toţi factorii sunt numere prime. Pentru că dacă un factor nu ar fi număr prim, ci un număr compus, atunci acesta s-ar putea la rândul său descompune în doi sau mai mulţi factori numere prime. Deci, dacă numărul 30 se reprezintă prin 5∙6, iar 6 nu este număr prim, ci 2∙3, aşadar 30 se poate reprezenta prin 5∙2∙3 sau prin 2∙3∙5, toţi factorii fiind numere prime. …(urmează câteva exemple de descompunere, inclusiv descompunerea lui 360, extrăgând din acesta câte un factor de 2, apoi câte un factor de 3 etc., ceva de genul 360 = 2∙180, iar 180 = 2∙90 ş.a.m.d.)

Ca urmare, numărul 360 se descompune în factori simpli ca: 2∙2∙2∙3∙3∙5, care numere, toate înmulţite dau ca rezultat 360.

  1. Vedem din acestea că numerele prime nu se pot împărţi prin alte numere, pe când numerele compuse cel mai des se pot descompune în factorii lor simpli, căutând toate numerele simple prin care acestea se lasă împărţite. …

Da, aşa vorbea marele Euler despre numerele prime, de parcă totul ar făcea parte dintr-o poveste minunată, în care numerele prime sunt unele din multele personaje. Am convingerea, că această poveste este mult mai potrivită elevilor de clasa a V-a, decât formele practicate actualmente, adaptate după diverse variante de cursuri universitare. Acest prim principiu enunţat mai sus ar putea fi prezentat scurt şi sec şi în felul următor: caracterizare, nu definire!

Un alt principiu foarte important, urmărit în predarea prezentată, este cel enunţat de către un prieten, Zan Redzic, profesor din Germania, sub titlul de Spieldrang = impulsul de a te juca; dorinţa de joc. Într-adevăr, elevii au un impuls nestăvilit de a se juca, de a transforma cu bucurie orice activitate în joc. Astfel, după cum aţi putut observa, prima apariţie a numerelor prime am făcut-o adus-o exact printr-un “joc”. Chiar şi numai pronunţarea cuvântului “joc” detensionează foarte mult starea sufletească a unor elevi mai fricoşi în ceea ce priveşte matematica.

Astfel, de la o vreme, chiar “vânarea” numerelor prime devine un joc în sine, cu fiecare oră de matematică lărgindu-se experienţa elevilor în localizarea unor noi numere prime. Desigur că elevii trebuie ajutaţi în această vânătoare; de pildă, într-una din orele următoare Ciurului lui Eratostene le aduc elevilor o coală de hârtie în formatul A5 având pe o parte toate numerele prime până la 2500, iar pe cealaltă un tabel cu cei mai mici divizori ai unor numere până la 1500 (fotocopiată din Ioan Şt. Muşat, C. Ionescu Ţiu, Exerciţii şi probleme de matematică pentru concursul de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, 1971, Biblioteca S.S.M. din R.S.R., pag. 15,16; vezi anexa la prezentul eseu; imprimaţi pe format A4 pe ambele părţi şi tăiaţi în două A5). Cu ajutorul acestora elevii pot vâna mult mai “profesionist” numere prime dincolo de limita învăţării intuitive (până pe la 30-40), dincolo de limita probei împărţirii în cap (cam până la 100) şi dincolo de limita propriului Ciur al lui Eratostene (numerele prime până pe la 250). Iar dacă un număr nu este pe lista cu numere prime, elevul poate înţelege cum se face descompunerea acestuia, în cazul când nu se împarte exact cu 2, 5, sau 3. Descompunerea unor astfel de numere devine aici un joc în sine.

Un nou joc, care nu ţine aparent de numerele prime, este scrierea primilor termeni din şirurile de puteri cunoscute, ale lui 2 (până la 212), lui 3 (până la 310), lui 4 (până la 46), lui 5 (până la 58) sau ale lui 10 (foarte distractiv, merge până la 1010). După ce s-au obişnuit cu acestea, le putem prezenta elevilor două tipuri de numere cu totul speciale, ce au reprezentat momente majore în evoluţia matematicii: Numerele lui Mersenne şi Numerele lui Fermat, care au reprezentat în viziunea autorilor tentative de găsit a unor reguli ce ar genera numere prime. Pentru noi, fiecare din aceste şiruri reprezintă un joc în care elevii pot urmări dacă anumite numere sunt sau nu numere prime.

Numerele lui Mersenne (Călugărul Marin Mersenne, 1588-1648), calculate cu formula Mn = 2n – 1, reprezintă o primă încercare de găsire a unei reţete pentru obţinerea de numere prime. Încercarea nu a fost una de mare succes, dar aceasta reprezintă o poveste interesantă şi baza pentru un mic joc în care elevii să verifice care sunt numere prime şi care nu sunt. Totodată elevii au reuşit să observe şi alte legităţi legate de ultima cifră, legităţi ce sunt conectate cu cele mult mai cunoscute legate de evoluţia ultimei cifre la şirurile puterilor. Despre Mersenne le povestesc elevilor că a reprezentat unul din primele nuclee ştiinţifice ale vremii, întreţinând o corespondenţă activă cu mai-marii vremii: Descartes, Galilei, Pascal etc. grupul din jurul său reprezentând nucleul pe urma căruia s-a înfiinţat Academia franceză. Cu elevii am verificat primele 12 numere ale lui Mersenne, pentru n de la 1 la 12. Astfel se numere prime doar pentru n = 2, 3, 5, 7; Următorul prim se obţine pentru n = 13 şi verificarea acestuia reprezintă deja o sarcină doar pentru elevii pasionaţi de matematică (temă neobligatorie). Numărul 8191, cunoscut ca “primul lui Mersenne”, poate fi sursa unor preocupări interesante pentru elevii buni de clasa a V-a (vezi Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach, Ed. HUMANITAS, 2003, pag. 125). Las cititorului bucuria de a găsi şi alte surse despre aceste numere fascinante.

Numerele lui Fermat (Pierre de Fermat, 1607-1665) au reprezentat o încercare mult mai reuşită de a găsi o reţetă pentru obţinerea unor numere prime. Faptul că 257 este prim se constată din tabel; verificarea lui 65537 (numărul lui Fermat pentru n = 4) este însă un exerciţiu puternic şi pentru elevii buni la matematică. Povestea interesantă însă, de-abia acum începe: următorul număr Fermat, pentru n = 5, este 4.294.967.297, iar despre acesta s-a presupus că este tot număr prim. Marele Fermat trebuie că avusese dreptate. De-abia în 1732, Leonhard Euler a arătat că 4.294.967.297 = 641 ∙ 6.700.417 şi deci că nu este prim, spulberând astfel marele mit al numerelor prime ale lui Fermat. În era computerelor, în 1966, s-a arătat că următoarele 38 de numere Fermat sunt toate compuse. Aceasta rămâne însă o foarte frumoasă poveste de spus la ora de matematică.

Dacă tot vorbirăm de jocuri cu numere prime, în ultimii doi ani am exersat cu elevii o formă interesantă de găsire a tuturor divizorilor unui număr natural, bazată pe descompunerea acestuia în factori primi. Astfel, am aranjat divizorii într-un fel de tabel organizat pe nivele după numărul de factori primi care sunt asamblaţi pentru a obţine divizorii. Cu metoda respectivă se pot găsi cu mare siguranţă toţi divizorii, pe baza faptului că tabelul respectiv în formă de frunză are formă simetrică, nivelele simetrice faţă de extremităţi având un număr egal de divizori. Poza următoare a tablei din ora respectivă arată două cazuri mai simple, D12 şi D72, din care puteţi deduce “regulile acestui joc”. Vă propun în continuare să vă distraţi cu găsirea tuturor divizorilor unui număr ceva mai mare, numărul 3000, care are descompunerea în şapte factori de trei feluri, tabelul pe opt nivele oferind în mod ordonat toţi cei 32 de divizori.

Merită făcută aici o scurtă comparaţie legată de accesibilitatea în ceea ce priveşte posibilitatea de înţelegere de către elevi a acestei abordări vizavi de tot mai frecventata formulă care ne dă direct numărul divizorilor unui număr. De pildă 3000 = 31∙23∙53 are un număr de (1+1)∙(3+1)∙(3+1) = 2∙4∙4 = 32 divizori. Aceasta se aplică foarte repede, dar elevul nu înţelege nimic, efectul fiind acela de cutie neagră. Dimpotrivă, la găsirea tuturor divizorilor prin metoda prezentată mai sus cu tabelul în formă de frunză, se lucrează foarte mult, dar elevii înţeleg fiecare pas şi pricep despre ce-i vorba; doar capacitatea lor limitată de atenţie şi de concentrare le poate sta în cale în înţelegerea fenomenului. Oare, după care din cele două elevii – mai ales cei buni – şi gândirea lor matematică rămân mai câştigaţi?

În prezentarea apariţiei numerelor prime am atins – doar tangenţial – un principiu important, anume acela de a studia un subiect începând cu metode primitive, şi ajungând în final la metoda generală, mai elaborată din punct de vedere teoretic. Concret, am abordat descompunerea numerelor naturale în factori primi într-o formă lejeră, intuitivă, liberă, bazată doar pe amintiri din tabla înmulţirii. De-abia apoi (în cazul de faţă, doar ora următoare) am dedus din aceasta metoda descompunerii în factori primi cu linia verticală, prin împărţiri succesive la numerele prime 2 şi 5, apoi 3, 7 sau 11. Pentru a ajunge la ideea de împărţire, după prima oră a trebuit să supun discuţiei în plenul clasei următoarea dublă întrebare: ce operaţie este când în “săculeţul” cu factori primi ai unui număr mai pun un nou factor, respectiv ce operaţie aritmetică are loc atunci când “scot din săculeţ” un factor? De-abia după conştientizarea faptului că extragerea unui factor înseamnă de fapt împărţirea numărului cu acel factor, de-abia după aceasta am putut transforma în câţiva paşi prima metodă de descompunere în metoda cunoscută de toată lumea. În toate orele următoare am folosit însă alternativ, după cum se potrivea mai bine, prima sau a doua dintre metode.

Acest ultim principiu prezentat este însă foarte înrudit – aproape pănă la confundare – cu un altul, anume acela de a începe învăţarea unei teme de la cazuri particulare, rezolvabile în minte, şi a evolua, ajungând cât mai târziu la cazuri dificile, rezolvabile doar prin metode scrise, mai exact prin algoritmi. De pildă, numărul 81 se poate descompune mintal prin prima metodă foarte simplu, descompunând în faza intermediară 81 în 9∙9, iar apoi fiecare 9 în 3∙3, obţinând deci 81 = 3∙3∙3∙3. Este evident că această descompunere este mult mai uşoară decât cea bazată pe împărţirea 81:3 = 27. De-abia la a doua metodă de descompunere a apărut şi artificiul de calcul de împărţire la 2∙5 în cazul descompunerii numerelor cu zero la ultima cifră.

Ca o paranteză fie spus, la exerciţiile de descompunere a numerelor în factori primi, la exemplele tot mai complicate, se potriveşte de minune a aduce în discuţie ideea de putere a numerelor naturale, la început ca o simplă metodă de scurtare a scrierii. Anul acesta, când mă pregăteam ca ora viitoare să supun discuţiei ideea unei scrieri mai scurte, doi elevi au sărit în sus, că asta trebuie să fie operaţia de putere! (o văzuseră la un verişor sau un frate mai mare).

Există şi un principiu mai rar folosit, care însă ajută foarte mult la studiul unor situaţii numerice. Este vorba de încercarea de a arăta conexiunile numerice prin anumite conexiuni sau ordonări grafice. Probabil, cel mai cunoscut exemplu este acela când calculăm o Sumă Gauss fără formulă, adunănd primul termen cu ultimul, al doilea cu penultimul ş.a.m.d., conectând perechile de termeni adunaţi pe hârtie cu câte o linie curbă. Evidenţierea grafică a unor conexiuni poate contribui la formarea unei viziuni mai clare asupra sistemului de relaţii între elementele studiate (citat relativ din George Polya, Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag 178, pr. 6.20). Evidenţierea grafică a unor astfel de conexiuni între elementele studiate poate ajuta foarte mult la înţelegerea şi clarificarea conexiunilor dintre numerele participante în momentul respectiv. Aceste încercări de evidenţiere a conexiunilor apar în două locuri în lecţiile prezentate. În primul rând s-a văzut la descompunerea numerelor în factori, unde am prezentat descompunerea în forma unui graf pe care elevii îl denumesc după libera inspiraţie (brăduleţ, triunghi sau piramidă, reţea de rădăcini etc.) Un al doilea loc de amintit a fost forma în care se pot organiza divizorii unui număr, după numărul factorilor primi ce intră în componenţa fiecărui divizor. Acele tabele în formă de frunză oferă elevilor o structură ce reprezintă de fapt o schelă de susţinere a gândurilor necesare pentru atingerea obiectivului propus.

Să analizăm în final şi un alt aspect, mai special, despre prezentarea la clasă a acestui material. Poate v-aţi întrebat de ce nu am folosit deloc expresii şi scriere specifice teoriei mulţimilor. Puteam desigur să le folosesc, dar nu a fost neapărat nevoie. Mai precis, am vrut să arat că se poate studia liniştit această temă fără limbajul mulţimilor, care la început doar îi încurcă pe elevi. Scrierea în limbajul mulţimilor a fost introdusă în clasele gimnaziale de-abia odată cu reforma din 1980, contribuind din plin la îngreunarea materiei şi la percepţia generală că matematica este o materie grea ce nu prea se poate înţelege, fiind scrisă într-un mod mult prea ştiinţific, inteligibil doar pentru “micii Einsteini”. Trebuie să înţelegem, însă, că limbajul mulţimilor nu a fost folosit nici la nivel înalt decât în ultima parte a secolului XX. De pildă, în lucrarea Ce ştim şi ce nu ştim despre numerele prime a profesorului Waclaw Sierpinski (Ed. Ştiinţifică, 1966), acesta se descurcă de minune fără a folosi nici măcar o dată elemente de scriere din limbajul mulţimilor (lucrarea este tradusă după Waclaw Sierpinski, A selection of problems in the theory of numbers, Pergamon Press, Oxford ∙ London ∙ New York ∙ Paris, 1964).

Aici este ascuns un alt principiu didactic deseori neglijat în predarea matematicii, anume faptul că orice lucru nou trebuie oferit elevilor într-o ambianţă familiară cunoscută, pe un fundament deja stabilizat pe o lungă perioadă de timp, adică într-un limbaj bine cunoscut şi stăpânit de toţi elevii. A introduce noţiuni noi folosind totodată un limbaj de tip nou (introdus la repezeală cu câteva ore în urmă) este o gafă de proporţii, ce se repetă în multe alte puncte ale predării matematicii, această metodă fiind impusă în predarea din România de-abia odată cu Reforma uitată din 1980 (reforma, din păcate, de mult uitată de către majoritatea profesorilor).

6 Ian. 2017

Titus Grigorovici

Predarea matematicii ca artă

Chiar dacă folosim deseori expresia Arta predării matematicii, oare ne este clar despre ce vorbim, oare ce înţeleg alţi profesori din aceasta? De curând am găsit în revista NATIONAL GEOGRAPHIC TRAVELER (Vol. 21, Iulie-August 2014, pag. 64-74) un articol deosebit despre artiştii artizani din Italia: Made in Italy, articol în care sunt prezentaţi meşteşugari din Murano, Napoli, Milano şi alte astfel de locuri minunate.

Găsim în acest articol citate remarcabile despre principiile care-i însufleţesc pe aceştia: Made în Italy înseamnă produse făcute cu suflet (pag. 64). De exemplu, la Bologna găsim … atelierul Peron & Peron, care produce manual, cu grijă, pantofi pe comandă – cam o mie de perechi pe an, …”Pasiunea pentru meşteşug e în AND-ul nostru”, spune Simone Peron. “Vizităm clientul acasă, încercăm să-l cunoaştem, să-i observăm stilul vestimentar, mobila. Trebuie să fim atât buni artizani, cât şi buni psihologi.” În mod similar se vorbeşte şi despre pălărierul Gianni Gatto, mai exact sculptor de pălării din Florenţa, în prezentarea  Nu doar o pălărie, ci artă de purtat în cap:… Ajută şi faptul că Gatto ţine cont de persoana pentru care crează fiecare pălărie. “Pălăria singură e incompletă”, spune el. “Omul o întregeşte, purtând-o într-un fel anume, dându-i suflet şi personalitate.”(pag. 73)

În mod similar profesorul de matematică trebuie să fie un artist al predării: să îmbine atenţia pentru client – elevul, fiecare elev – cu atenţia pentru gândirea matematică – gândirea adaptată fiecărei vârste şcolare. Predarea trebuie făcută cu suflet; pasiunea pentru meşteşug, pentru meşteşugul predării matematicii, trebuie să fie în ADN-ul nostru. Trebuie să fim atât buni matematicieni, cât şi buni psihologi. Profesorul de matematică trebuie să fie sculptor de gândire. Nu doar matematică ci gândire vie de purtat şi folosit o viaţă. Ajută faptul că profesorul ţine cont de persoana (elevul) pentru care crează sau alege fiecare problemă. O problemă singură e incompletă. Elevul o întregeşte, primind-o într-un fel anume, dându-i suflet şi personalitate, prin felul cum reacţionează la aceasta, cum o rezolvă, ce gânduri generază când îi caută soluţia.

Leonardo da Matematici

Numerele prime (2): Introducerea acestora

Numerele prime reprezintă atomii, părţile componente din care sunt create multiplicativ toate celelalte numere. A reduce aceste minuni matematice la o simplă şi unică definiţie este tot ce poate fi făcut mai rău minţii tinere şi proaspete a elevului de clasa a V-a. Acesta, doritor de a afla cât mai multe lucruri frumoase de la profesorul de matematică, este “lovit” cu o definiţie unilaterală, ce surprinde doar o singură faţetă a acestor nestemate matematice. În urma unei astfel de predări, cei mai mulţi nu ajung să le înţeleagă, se sperie de ele şi de orice apariţie a acestora, ca de nişte ciudate bestii cu care cel mai bine să nu ai de-a face; le asimilează deseori numerelor impare şi se blochează când le vorbeşti de 2 ca număr prim par sau de 9 sau de 15 ca numere impare neprime. Abordarea cunoaşterii intuitive din cât mai multe situaţii poate ajuta mult în prevenirea “ceţii ce se pune pe creierul” multor elevi în ceea ce priveşte numerele prime.

De mulţi ani încerc să găsesc diferite căi de a mă apropia de noţiunea de număr prim într-un mod cât mai natural, potrivit elevului de gimnaziu aflat în proces, undeva între gândirea aritmetică a ciclului primar şi gândirea matematică avansată ce va să vină cu înaintarea în vârstă. La clasa a V-a de anul acesta am reuşit încă un pas important în acest demers, găsind în sfârşit o explicaţie plauzibilă pentru denumirea acestor numere, lămurind astfel care este legătura între numerele prime şi cuvântul “primul”. Cu elevii de anul acesta am reuşit nu mai puţin de şase-şapte abordări mai mult sau mai puţin diferite a noţiunii de număr prim. Iată-le în continuare pe acestea în ordinea în care au apărut în lecţii, dar şi altele ce vor apărea la discuţii ulterioare.

Pasul 1) Prima apariţie a numerelor prime a fost în cadrul unui “joc”, în care ne-am propus să descompunem multiplicativ diverse numere. Abordarea a fost una profund intuitivă, fără nici o cât de mică tentativă de teoretizare prealabilă: pur şi simplu, le-am arătat elevilor câteva exemple, pe marginea cărora am discutat principalele aspecte ale “jocului”: că numărul 1 nu participă pentru că atunci jocul nu s-ar mai termina, că pot exista diferite căi de a descompune un număr, dar că întotdeauna se ajunge la aceeaşi formă finală, descompunerile putând varia doar comutativ, că există numere la care descompunerea este mai stufoasă, mai bogată, dar şi numere mai sărace, iar aceasta nu depinde de mărimea numărului (ce ciudat!); în sfârşit, am constatat că există numere care nu se pot descompune multiplicativ. În acest moment au apărut aproape deodată primele două descrieri ale ideii de număr prim. Numerele din finalul oricărei descompuneri se numesc numere prime; ele sunt un fel de piese de bază din care sunt compuse multiplicativ toate celelalte numere, ca într-un ciudat joc Lego. Astfel, există piese mai mici, de 2, 3 sau 5 unităţi, sau piese mai mari de 7 sau 11 unităţi sau mai multe. Pe de altă parte, numerele prime apar la startul unor “partide”, acele numere la care avem surpriza să constatăm că nu le putem descompune în cadrul acestui “joc”. Da, există şi numere prime mai mari, cum ar fi 13, 17 sau 19. Aici apare prima oară o întrebare ciudată: “mai există şi alte astfel de numere, mai mari?”. După cât mai multe exemple rezolvate în clasă, ca temă, elevii au avut să descompună intuitiv şi restul numerelor până la 100 (cât mai multe; unii le-au descompus pe toate care se puteau, alţii au urcat doar către 50). La recapitularea de la începutul următoarei ore am concluzionat că există două tipuri de numere: numerele prime şi numerele compuse; numerele compuse sunt acelea care se pot descompune în produs, pe când numerele prime nu se pot descompune.

După acest prim contact cu numerele prime am încercat şi o primă listă de contabilizare a acestora, listă care, în funcţie de elev, arăta cam aşa: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc. Aspectul comutativităţii înmulţirii numerelor naturale a apărut aici din belşug, şi reprezintă unul din gândurile de unde mi-a venit ideea de a aduna piesele componente ale fiecărui număr descompus într-un săculeţ (adică numerele prime), săculeţ în care acestea se amestecă, necontând la produsul final ordinea în care se reînmulţesc. Lecţiile şi-au urmat apoi cursul către introducerea formei oficiale a descompunerii numerelor naturale, binecunoscuta descompunere “cu bară”. Cuprinse doar pe baza celor înţelese intuitiv la prima lecţie despre descompunerea numerelor naturale, numerele prime au apărut în fiecare din lecţiile următoare, prin simpla folosire tot mai frecventă, chiar dacă noţiunea nu era încă lămurită complet din punct de vedere oficial. De pildă, cu timpul s-a ajuns fără nici un stres la folosirea naturală a expresiei “descompunerea în produs de puteri de factori primi”.

Pasul 1’) Un mic pas înainte, care ţine totuşi de aspectul de descompunere în produs a unui număr, l-am făcut atunci când am încercat un alt “joc”. Astfel, ne-am propus să reprezentăm diferite numere naturale cu punctuleţe în formă dreptunghiulară. Aceste reprezentări pot fi făcute cu punctuleţe aliniate pe hârtie sau cu punctuleţe materiale ordonate pe masă (monede de un ban, boabe de cafea sau de fasole). Ideea apare exploatată din belşug în romanul lui Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach (Ed. HUMANITAS, 2003) Astfel, la pagina 120, numerele compuse sunt prezentate în formă dreptunghiulară de rânduri şi coloane. De exemplu, numărul 35 are o singură reprezentare posibilă, de 5 rânduri şi 7 coloane, care poate fi însă comutată în 7 rânduri şi 5 coloane (comutativitatea reprezentată vizual). Numărul 24 are trei reprezentări total diferite: 4 ∙ 6, 3 ∙ 8 şi 2 ∙ 12. La unele numere reprezentarea în formă dreptunghiulară apare în forma unui pătrat. Astfel, la numărul 16 avem reprezentarea dreptunghiulară 2 ∙ 8 şi reprezentarea pătrată 4 ∙ 4. Întorcându-ne la tema noastră, observăm că numerele prime nu pot fi reprezentate sub formă de dreptunghiuri complete. În romanul lui Apostolos Doxiadis, Unchiul Petros le reprezenta sub forma unor şiruri de punctuleţe de un rând.

Pasul 2) O nouă apropiere de numerele prime am avut odată cu studierea unor şiruri elementare de numere. Elevii din şcolile Waldorf folosesc din ciclul primar expresii de genul şirul lui 3, cu sensul de şirul multiplilor lui 3, înţelegând prin acestea rezultatele tablei înmulţirii. Aşadar, fără mari complicaţii teoretice, doar intuitiv, am putut enumera câteva şiruri de multipli (multipli = un număr de mai multe ori, clar), pornind de la numărul însuşi. Este foarte important să ne înfrânăm aici să “recităm” lecţia teoretică şi riguros completă (impuls dominant la majoritatea profesorilor), pentru că numărul zero, prezentat de obicei ca primul multiplu, doar încurcă aici lucrurile. Oricum, demersul în această formă este profund corect din punct de vedere istoric: numărul zero a apărut mult mai târziu decât numerele prime. Ca urmare, pe tablă am scris ceva de genul:

M2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
M3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
M4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
M5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
M6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
M7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, …
M8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
M9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …

Observăm că numerele 4, 6, 8, 9 etc. apar în diverse şiruri de multipli, pe diferite poziţii. Dimpotrivă, numerele 2, 3, 5, 7 etc. apar în aceste şiruri doar pe prima poziţie; de aia ele se numesc numere prime. Într-adevăr, acestea se numesc numere prime pentru că apar în şirurile de multipli doar pe prima poziţie! Cu această ocazie am aflat deci, de ce se numesc aşa. În alte limbi, cum ar fi germana, nu pot fi făcute astfel de conexiuni; cu atât mai păcat este să ratăm o ocazie ce ne-o oferă “pe tavă” limba noastră.

Această mişcare a fost posibilă pentru că am înlocuit în limbajul folosit noţiunea de multiplu în sens riguros teoretic cu noţiunea de multiplu în sens istoric. Mai putem face un pas în acest proces şi să analizăm cum stau lucrurile dacă apelăm şi la noţiunea de multiplu în sens lingvistic: multiplii unui număr reprezintă numărul luat de mai multe ori (multiplu = de mai multe ori); multiplul unui număr subînţelege că acel număr este la plural, nu la singular, adică nu este luat doar o singură dată. Aceasta este de fapt cea mai naturală formă de a vorbi despre multipli.

De aici apare Ciurul lui Eratostene, o lecţie foarte practică, din păcate de mult abandonată de învăţământul nostru vitezoman, ce nu-şi mai găseşte timp pentru astfel de fleacuri. În Ciurul lui Eratostene exact asta se întâmplă: încercuim primul număr după 1, adică pe 2 (pe 1 de mult l-am exclus din aceste jocuri, deci copiii n-au nici o problemă în a începe de la 2) şi apoi tăiem toţi multiplii lui 2 – toţi multipli în sens lingvistic; acum primul număr rămas netăiat este 3; îl încercuim pe 3 şi tăiem apoi toţi multiplii săi – toţi multiplii în sens lingvistic, şi aşa mai departe cu următoarele numere prime.. Astfel, în Ciurul lui Eratostene apare o altă faţetă a multiplei personalităţi a numerelor prime, anume că numerele prime reprezintă numerele rămase în Ciurul lui Eratostene după ce tăiem toţi multiplii (toţi multiplii în sens lingvistic).

Acest aspect iese foarte bine în evidenţă dacă faceţi Ciurul lui Eratostene până la 250 (ştiu, nu-i uşor). După lunga muncă de rutină de încercuit un număr prim şi tăiat toţi multiplii săi, până la 11 şi multiplii săi, care sunt încă uşor de găsit, la 13 apare întrebarea dacă mai sunt multipli de-ai săi încă netăiaţi. Aici îi confrunt pe elevi cu o întrebare ajutătoare: “care a fost primul număr tăiat la şirul lui 5? Sau la şirul lui 7?”. După o scurtă dezbatere elevii observă că este vorba de pătratul numărului prim la care tocmai lucram. Când l-am încercuit pe 5 ca prim, mulţi din multiplii săi erau deja tăiaţi de la şirul lui 2 sau de la şirul lui 3. Primul care nu era tăiat şi l-am tăiat proaspăt era 25. La fel, primul multiplu tăiat doar la şirul lui 7 a fost 49. O verificare scurtă şi la 11 ne convinge: la şirul multiplilor lui 13 nu mai trebuie să verificăm, primul ce încă n-a fost eliminat este 169. În continuare mai găsim de tăiat doi multipli de-ai lui 13, pe 13 ∙ 17 = 221 şi pe 13 ∙ 19 = 247. Acum trecem la următorul număr prim, la 17. Care este primul multiplu al lui 17 ce încă nu este eliminat din Ciurul lui Eratostene? Clar, este 172 = 289, dar care este deja în afara limitei ce ne-am propus-o. Înseamnă că toate numerele rămase încă netăiate sunt numere prime (observaţie valabilă în lista numerelor până la 250). Acum se înţelege desigur că dacă vrei să faci la clasă Ciurul lui Eratostene cu copiii, fiecare în caietul lui, îţi ocupă din plin o oră.

Câteva precizări metodice merită făcute, legat de această lecţie. Eu m-am străduit să scriu cât mai mic, pentru ca să-mi încapă 25 de rânduri pe înălţimea de 1,10 m a tablei. Elevii trebuiau să înceapă o pagină nouă, pe lângă titlul – care pe tablă era alături – având întreaga pagină la dispoziţie. Oricum, trebuie atenţionaţi să copieze tabelul exact ca pe tablă, pentru a avea o ordine în care să se descurce (unii totuşi tot nu reuşesc). Pentru o ordine cât mai clară, eu îl scriu pe 1 la început, iar apoi îl şterg când începem munca la ciur. Desigur că, după completarea tabelului, luăm o scurtă pauză în care le povestesc ce este acela un ciur pentru sortat pietrişul pe diferite mărimi.

Apoi, aşa cum se vede şi în poza de final a tablei, la primele “site” ale ciurului folosesc la fiecare câte o culoare diferită; de-abia de la 13 nu mai schimb culoarea cretei pentru restul numerelor prime găsite. Ora următoare aruncăm o privire înapoi în care scriem întâi lista numerelor prime cel puţin până la 100 (anul acesta elevii au vrut să mergem mult mai mult), ordonate de data asta pe coloane: prima coloană cele de o cifră, a doua coloană cele între 10 şi 20 (câte patru pe fiecare coloană), apoi cele două dintre 20 şi 30 (două numere prime), pe a patra coloană cele între 30 şi 40, apoi cele între 40 şi 50 (trei numere prime) ş.a.m.d. Apoi facem o analiză cu tot ce-am observat. De pildă că într-o decadă pot fi cel mult patru numere prime (la primele două coloane, dar şi mai târziu, de exemplu între 190 şi 200), dar şi că există decade fără numere prime ( am avut una între 200 şi 210).

Ca o curiozitate le povestesc şi despre numerele prime gemene (numere prime despărţite doar de numărul par dintre ele), despre felul în care acestea sunt scrise, de pildă 26∙3±1 pentru 191 şi 193, dar şi scurt, superficial, despre faptul că numerele prime gemene foarte mari, încă necunoscute pentru restul lumii, sunt folosite la codificarea mesajelor secrete pe internet.

Pasul 3) O nouă sesiune de întâlniri cu numerele prime apare desigur atinci când începem să discutăm despre divizorii unui număr. Aici, în sfârşit, lucrurile ajung “în ape cunoscute” pentru majoritatea părinţilor, care au trebuit să îndure cu stoicism o materie necunoscută lor, materie care nu prea semăna cu definiţia ce o ţineau ei minte din liceu. Aici discutăm despre divizori propri şi divizori impropri şi putem spune în sfârşit că numerele prime sunt acele numere care se divid doar la unu şi la el însuşi, sau, cu alte cuvinte, că numerele prime sunt numerele care au doar divizori impropri. Spre deosebire de acestea, numerele compuse au întotdeauna şi cel puţin încă un divizor propriu în plus. Merită aici să vă prezint o definiţie găsită într-o veche carte germană (G. Ulrich, Arithmetik und Algebra, 1940): numărul prim este un număr care nu este divizibil prin nici un alt număr (în afară de 1). Această descriere elimină foarte abil divizorul numărul însuşi, prin forma exprimării (nu este divizibil prin nici un alt număr).

Artificiul de exprimare îmi aduce aminte de felul cum poţi ridica la pătrat un număr cu un calculator de buzunar. De pildă, pentru 172 trebuie să apăsăm 17 x = şi obţinem instant 289, pentru că gândirea calculatorului înmulţeşte număr iniţal cu numărul de pe ecran, odată ce ai apăsat semnul egal.

Înainte de a încheia acest eseu “filozofic” despre numerele prime, îmi permit două ultime reveniri scurte la subiectul multiplilor unui număr (acestea au fost doar parţial prezentate elevilor). În primul rând, ne aducem aminte că la divizorii unui număr natural avem întotdeauna, sigur cel puţin doi divizori*, anume numărul 1 ca divizor universal, şi numărul însuşi, cele două numere purtând numele de divizori impropri; ceilalţi divizori se numesc divizori propri. În mod analog putem privi lucrurile şi la multiplii unui număr: orice număr îl are pe 0 (zero) ca multiplu universal şi pe numărul însuşi ca multiplu, cei doi multipli putând fi denumiţi în mod similar multipli impropri. Ceilalţi multipli, pe care i-am caracterizat mai devreme ca “plurali”, vor putea fi numiţi în mod similar drept multipli propri. Astfel (după ce am eliminat cei “doi ciudaţi”, 0 şi 1) numerele prime sunt numerele rămase după excluderea tuturor multiplilor propri din lista numerelor naturale. (* în afara cazului numărului 1, care are doar un divizor; aici găsim încă o explicaţie pentru care numărul 1 nu este considerat prim: numerele prime sunt acele numere care au exact doi divizori)

A doua revenire legată de multiplii se referă la expresia folosită de multiplu în sens lingvistic (fără zero şi numărul însuşi, adică multiplu drept un “plural”) spre deosebire de multiplu în sens riguros teoretic (varianta folosită actualmente şi şcoli) sau varianta intermediară de multiplu în sens istoric (doar fără zero, care nu era cunoscut în antichitate). Am discutat cu un expert lingvist, care mi-a sugerat termenul de multiplu în sensul uzanţei generale, folosit de toată lumea, pentru multiplul plural (adică fără 0 şi 1), respectiv multiplu în sens restrâns, folosit doar de către matematicieni (pentru toţi multiplii în sens ştiinţific). Acest punct de vedere se aseamănă cu situaţia greutăţii (termen folosit în sens larg de către toată lumea), respectiv a masei (termenul ştiinţific corect pentru mărimea măsurată în kg, dar folosit în cerc restrâns, doar în lumea ştiinţifică a fizicii şi a domenilor conexe).

28 Dec. 2016

Titus Grigorovici

Numerele prime (1): Gemenii calculatori

Pe cât sunt considerate de cunoscute, pe atât sunt totuşi percepute ca profund enigmatice. Dar, orice-ar fi, când le aud pronunţat numele, în sufletul lor oamenii “iau poziţie de drepţi”, atenţia fiecăruia se acutizează, încearcă eventual să-şi aducă aminte definiţia învăţată în şcoală şi o mică spaimă se face simţită în sufletul unora: “dacă voi fi întrebat ceva despre ele, ceva ce nu ştiu?”. Numerele prime, prin simpla lor prezenţă, sunt nişte entităţi matematice ce impun respect. Cu atât mai mult, nu ne aşteptăm ca numerele prime să apară în preocupările unor persoane autiste.

Pentru noi, profesori la şcolile obişnuite se întâmplă mai rar, dar uneor totuşi se întâmplă, să avem în clasă câte un elev autist. O colegă a avut pe vremuri un elev autist în şcoala unde predam; nu l-am cunoscut direct decât la o supraveghere pentru simularea examenului de Capacitate. Acest elev desena foarte frumos, desene pline de detalii. La acea simulare, în loc de rezolvări la matematică, acesta a desenat o foarte frumoasă vază cu flori, plină de detalii filigranate. Am păstrat acel desen în amintirea elevului respectiv. A fost cea mai specială lucrare primită vreodată de la un elev.

Uneori elevii autişti pot reprezenta pentru profesorul norocos o fereastră deosebită spre “gândirea matematică”. Am scris gândirea matematică cu ghilimele pentru că în aceste cazuri este vorba despre o gândire ieşită din tiparele obişnuite. Iar această situaţie ne poate învăţa să respectăm şi alte modele de gândire, decât cele pe care le întâlnim şi le predăm în activitatea de zi cu zi.

Atunci când au abilităţi matematice neobişnuite, aceste persoane uimesc pe cei din jur cu înclinaţii într-o direcţie îngustă a matematicii, pe care însă o pot pătrunde în profunzimi de neimaginat pentru omul de rând. Un astfel de caz, cu o memorie uriaşă şi o abilitate incredibilă de numărare, este evocat în filmul Rain Man din 1988, în care Dustin Hoffman, joacă rolul unui personaj autist. La un moment dat acesta “vede” aproape dintr-o privire 246 de scobitori vărsate pe jos de o chelnăriţă, care tocmai încercase să deschidă o cutiuţă nouă, sigilată din fabrică . Fratele său, jucat de Tom Cruise, întreabă: “Câte erau în cutie?”, iar chelneriţa, citind de pe ambalaj, îi răspunde “250”. “Destul de aproape!” se miră acesta, dar chelneriţa îi replică “mai sunt patru în cutie”. Puteţi găsi scena pe YouTube dând spre căutare Rain Man 246.

Povestea ce urmează este preluată din lucrarea lui Oliver Sacks – Omul care îşi confunda soţia cu o pălărie, apărută în 2011 la Editura Humanitas. Autorul este medic şi profesor de neurologie şi psihiatrie la Centrul medical al Universităţii Columbia, iar lucrarea prezintă diferite cazuri din experienţa sa îndelungată. Povestea cu numărul 23 din această carte are titlul simplu Gemenii şi este cuprinsă între paginile 229-251. Iată în continuare spicuiri din acest articol.

Când i-am întâlnit pentru prima oară pe gemenii John şi Michael, în anul 1966, într-un spital de stat, ei erau deja bine cunoscuţi. Apăruseră la radio şi la televiziune şi făcuseră obiectul unor relatări amănunţite, ştiinţifice şi populare. … îşi croiseră drum în literatura ştiinţifico-fantastică, uşor “literaturizaţi”…

Gemenii, care aveau vârsta de douăzeci şi şase de ani, trăiseră în instituţii specializate, fiind diagnosticaţi ca autişti,…. Cele mai multe relatări …erau legate de … folosirea unui algoritm calendaristic inconştient prin care puteau să spună imediat în ce zi a săptămânii cădea o dată din trecutul sau din viitorul îndepărtat. …

Nu se poate obţine într-adevăr nici un indiciu despre ce se află în profunzime decât dacă lăsăm deoparte testele asupra gemenilor … e nevoie să ne apropiem de gemeni, să-i observăm cu înţelegere şi calm, fără prejudecăţi, cu deschidere fenomenologică şi tact, urmărindu-i cum trăiesc, gândesc şi interacţionează în linişte, ducându-şi spontan vieţile lor neobişnuite….

Sunt mici de statură, … cu o miopie degenerativă avansată, necesitând ochelari cu lentile atât de groase încât ochii lor par deformaţi, ca ai unor profesori caricatural de mici …. Iar această impresie e întărită imediat ce li se pune vreo întrebare sau li se oferă prilejul să înceapă în mod spontan “numărul” obişnuit, ca nişte marionete. …(la diferite spectacole sau la televiziune)

În aceste condiţii, prestaţiile lor au devenit monotone. Gemenii zic: “Spuneţi o dată, oricare din ultimii sau din următorii patruzeci de mii de ani.” Li se dă o dată şi, aproape imediat, ei spun în ce zi a săptămânii cade. “Încă o dată!” strigă ei, şi jocul se repetă. Pot spune şi ziua în care cade Paştele în acest interval de 80 000 de ani. …

…Dacă sunt întrebaţi cum pot reţine atât de multe în minţile lor – un număr format de trei sute de cifre … – ei răspund simplu: “Le vedem.” … Prima mea observaţie legată de aptitudinile “naturale” şi de metoda “naturală” a gemenilor s-a născut într-un mod …spontan … mai curând comic.

De pe masa lor a căzut o cutie de chibrituri care şi-a vărsat conţinutul pe jos: “111” au strigat amândoi simultan; apoi, în şoaptă, John a zis: “37”. Michael a repetat numărul, John l-a mai spus o dată şi s-a oprit. Am numărat chibriturile – mi-a luat ceva timp – şi erau 111. “Cum aţi putut număra chibriturile aşa repede?” am întrebat. “N-am numărat”, au zis ei. “Am văzut că erau 111.”…

“Dar de ce aţi şoptit 37 şi aţi repetat acest număr de trei ori?” i-am întrebat pe gemeni. Au răspuns într-un glas: “37, 37, 37, 111.”

Acest lucru m-a uimit şi mai tare …Că vedeau 111 – “o-sută-unsprăzecitatea” – instantaneu era ceva ieşit din comun, …Dar ei ajunseseră la “divizorii” numărului 111 fără să aibă vreo metodă, fără măcar să “ştie” (pe cale obişnuită) ce înseamnă divizorii. …acum, în mod spontan, împărţiseră un număr divizibil în trei părţi egale.

Întrerup şirul citatelor din Oliver Sacks cu observaţia că în ultima frază un număr divizibil ar trebui citit cu sens de  un număr decompozabil, un număr care se poate descompune ca produs de alte două numere (diferite de 1, desigur). Dar poate fraza se citeşte şi mai corect astfel: ei împărţiseră aditiv, în trei părţi egale un număr ce era divizibil în trei părţi egale (citiţi divizibil nu cu sens matematic – împărţibil exact, ci în sens latin – despărţibil; probabil că acesta este şi sensul original al cuvântului din matematică).

“Cum aţi calculat?” am întrebat cam repezit. Mi-au explicat, atăt cât puteau ei de bine, în termeni sărăcăcioşi, insuficienţi … că nu “calculaseră”, ci “văzuseră” într-o străfulgerare. John a făcut un gest cu degetul mare şi alte două degete întinse, care părea să sugereze că tăiaseră spontan numărul în trei părţi egale, printr-un fel de “fisiune” numerică spontană. Păreau uimiţi de uimirea mea, de parcă eu aş fi fost într-un anume sens orb; …

M-am gândit la această problemă, dar fără mult succes. Apoi am uitat de ea. Am uitat până când s-a petrecut, cu totul întâmplător, a doua scenă spontană, o scenă magică.

De data asta erau aşesaţi împreună într-un colţ, zâmbind secretos, misterios, un zâmbet pe care nu-l mai văzusem până atunci, trăind o plăcere stranie şi o stare de pace. M-am furişat pe nesimţite, ca să nu-i deranjez. Păreau prinşi într-un dialog neobişnuit, pur numeric. John spunea un număr – un număr de şase cifre. Michael recepţiona numărul, încuvinţa din cap, zâmbea şi părea că-l savurează. Apoi, la rândul lui, spunea un alt număr de şase cifre, iar acum John era cel care-l recepţiona şi se bucura din plin de el. La prima vedere, semănau cu doi degustători de vinuri, împărtăşind bucheturi rare, aprecieri rare. Am rămas nemişcat, nevăzut de ei, hipnotizat, uluit.

Ce anume făceau? Ce naiba se petrecea? Nu pricepeam nimic. Era poate un fel de joc, dar avea o gravitate şi o intensitate, un fel de intensitate senină, meditativă şi aproape sacră, pe care n-o mai văzusem niciodată într-un joc obişnuit, şi pe care n-o mai observasem la aceşti gemeni, de regulă agitaţi şi zăpăciţi. M-am mulţumit să notez numerele pe care le rosteau – numere care de bună seamă le procurau atâta plăcere, şi pe care le “contemplau”, le savurau şi le împărtăşeau.

Aveau oare numerele vreo semnificaţie, mă întrebam în drum spre casă, aveau ele vreo semnificaţie “reală” ori universală, sau doar o semnificaţie excentrică, personală, ca secretele şi “limbajul” stupid pe care-l inventează uneori fraţii şi surorile pentru ei înşişi? … John şi Michael nici măcar nu foloseau cuvinte sau jumătăţi de cuvinte – pur şi simplu îşi pasau numere de la unul la altul. …

Ajuns acasă, am scos tabele cu puteri, divizori, logaritmi şi numere prime – amintiri şi relicve dintr-o perioadă stranie a copilăriei mele, când “vedeam” şi eu numere, eram pasionat de ele. Aveam deja o presimţire, iar acum se confirma. Toate numerele, numerele de şase cifre, pe care le schimbaseră gemenii între ei, erau numere prime – adică numere care nu erau divizibile cu alte numere întregi decât cu ele însele sau cu unu. Văzuseră sau avuseseră ei oare o carte ca a mea, ori erau în stare să “vadă” numere prime, pe o cale de neînchipuit, cam în acelaşi fel în care văzuseră “o-sută-unsprăzecitatea”? …

În ziua următoare m-am întors la spital luând cu mine preţioasa carte cu numere prime. I-am găsit din nou închişi în comunitatea lor numerică, dar de data aceasta m-am alăturat şi eu, în tăcere. La început au fost surprinşi, dar, văzând că nu-i întrerup, şi-au reluat “jocul” cu numere prime din şase cifre. După câteva minute, m-am hotărât să intru în joc şi am lansat un număr de opt cifre. S-au întors amândoi spre mine, au tăcut brusc, uimiţi, părând că se concentrează intens. A urmat o pauză lungă – cea mai lungă pe care o observasem până atunci la ei, trebuie să fi durat o jumătate de minut sau mai mult – apoi, dintr-o dată, simultan, au început amândoi să zâmbească.

Văzuseră brusc, după un proces intern de verificare imposibil de închipuit, că numărul meu de opt cifre era număr prim, iar asta era de bună seamă pentru ei o mare bucurie: în primul rând, pentru că adusesem o nouă jucărie minunată, un număr prim de un ordin pe care nu-l mai întâlniseră până atunci; în al doilea rând, pentru că era limpede că eu înţelesesem ce făceau, îmi plăcea, îi admiram şi puteam intra şi eu în joc.

S-au dat uşor în lături, făcându-mi loc şi mie, un nou tovarăş de joacă, al treilea în lumea lor. Apoi John, care prelua mereu iniţiativa, s-a gândit un timp foarte îndelungat – trebuie să fi fost cel puţin cinci minute, deşi nu îndrăzneam să fac nici o mişcare şi abia respiram – şi a scos la iveală un număr de nouă cifre; iar după un timp comparabil, gemenul său Michael a răspuns cu unul similar. Apoi eu, după ce mă uitasem pe furiş în cartea mea, mi-am adus, trişând, propria contribuţie: un număr prim de zece cifre pe care îl găsisem în carte.

S-a lăsat din nou, pentru şi mai mult timp, o linişte uimită; apoi John, după o contemplare lăuntrică formidabilă, a scos la iveală un număr de douăsprezece cifre. Nu aveam cum să-l verific şi nu puteam să-i răspund: în cartea mea … nu erau numere prime cu mai mult de zece cifre. Dar Michael era la înălţime, deşi îi trebuiseră cinci minute, iar peste o oră gemenii schimbau între ei numere prime de douăzeci de cifre, cel puţin aşa cred, întrucât nu aveam nici un mijloc de verificare. De altfel, în 1966 nici nu era un lucru simplu dacă nu aveai la dispoziţie un calculator sofisticat. Chiar şi aşa ar fi fost greu, fiindcă, fie că foloseşti ciurul lui Eratostene, fie că foloseşti orice alt algoritm, nu există o metodă simplă pentru calculul numerelor prime. Nu există nici o metodă simplă pentru determinarea numerelor prime de acest ordin – şi totuşi gemenii o făceau.

Articolul se încheie cu diverse analize filozofice ale cazului, dintre care spicuiesc doar câteva rânduri: …numerele nu sunt pentru ei doar un obiect de cult, ci şi prieteni – poate singurii prieteni pe care i-au cunoscut în vieţile lor izolate, autiste. E un sentiment destul de răspândit printre cei înzestraţi pentru numere …

Matematicianul Wim Klein a exprimat foarte clar acest lucru: “Numerele sunt oarcum prietenii mei. 3844 nu înseamnă acelaşi lucru pentru tine, nu-i aşa? Pentru tine este doar un trei, un opt, un patru şi un patru. Dar eu spun: Salut , 62 ridicat la pătrat!”

Cred că gemenii, aparent atât de izolaţi, trăiesc într-o lume plină de prieteni, au milioane, miliarde de numere cărora le spun “Salut!” şi care, sunt sigur, le răspund la salut. Dar nici unul dintre numere nu e arbitrar …, nu se ajunge la el prin vreuna din metodele obişnuite, de fapt nu se ajunge prin nici o metodă, după câte îmi dau seama. La fel ca îngerii, par să aibă acces la o cunoaştere directă. Ei văd direct un univers şi un paradis de numere.

Primul dintre gemeni

La Mulţi Ani! 2017

După un an cu multe extreme – atât pozitive cât şi negative – să-i urăm Bun Venit! noului an 2017. Ce putem spune matematic despre acest număr? Nimic special, în afară de faptul remarcabil că 2017 este NUMĂR PRIM!

Ca urmare, în cinstea acestui An Nou 2017, am pregătit o serie specială despre numere prime. Prima parte a fost începută în precedenta vacanţă de iarnă, aşa că era şi timpul să fie finalizată. Următoarele două părţi sunt redactate în aceste zile, în urma orelor de la noua clasa a V-a din şcoala noastră. Părţi din acest material au început să apară ordonat în predare încă din dec. 2011 la clasa a V-a de atunci (elevii respectivi sunt între timp în clasa a X-a), evoluând tot mai mult la clasele ce au urmat. Cu salutări calde din partea noastră, dar şi din partea elevilor, vă urăm la cât mai multe lecturi plăcute în noul an!

Băştinaşii Pentagonezi

P.S. Pentru cei care doriţi şi o altă privire, mai realistă, asupra noului an în învăţământ, vă recomand articolul d-nei Oana Moraru Ministrul Sărăciei și Ministrul Impotenței noastre intelectuale, postat în 28 dec. pe Republica (în urma ultimelor alegeri, acesta poate fi privit şi ca un ecou al Reformei de toamnă 2016).

Amintiri din copilărie – Partea a III-a

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Vă invit să finalizăm depănarea amintirilor mele matematice de învăţăcel cu anii de facultate petrecuţi la Cluj, completate şi cu alte amintiri matematice din copilărie.

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

Facultatea

La examenul de admitere la facultatea clujeană am constatat în mod dureros că aveam nevoie de ochelari. Fusesem repartizat cam la jumătatea amfiteatrului unde s-a desfăşurat examenul, fiind astfel destul de departe de tablă. Până atunci, de prin clasa a VI-a ocupasem întotdeauna unul din locurile laterale din prima bancă (lângă uşă sau lângă geam, pentru a nu încurca colegii). Trebuie precizat că la vremea respectivă subiectele erau scrise de către profesor pe tablă, iar noi trebuia mai întăi să le copiem. Ei bine, la examenul de analiză matematică, la o funcţie, în loc de x2 am copiat xx, dându-mi peste cap toate calculele din acea problemă.

Primul lucru interesant legat de facultatea de matematică este faptul că ne-am găsit patru colegi ai căror părinţi fuseseră şi ei colegi ai acestei facultăţi, absolvenţi în 1965. La trei dintre cei patru chiar ambi părinţi fuseseră colegi în respectiva promoţie. Cu doi dintre colegii mei s-a format chiar o relaţie asemănătoare cu cea de rude: ne simţeam ca un fel de verişori, când ne întâlneam cu părinţii vre-unuia discutam de cei absenţi şi se transmiteau salutări; părinţii tocmai avuseră întâlnirea de 20 de ani de la terminarea faculţăţii. Şi acum suntem cu aceştia la fel de apropiaţi ca şi cu rudele adevărate.

Din timpul facultăţii nu am nici o amintire legată de subiectul prezentului eseu, demnă de a fi prezentată aici. Matematica din facultate nu semăna deloc cu ce văzusem eu şi nu prea m-a atras. Totuşi, au fost destule momente deosebite. De pildă, renumita formulă a lui Euler ce a apărut din senin într-un curs: e = –1 şi care nouă ne plăcea mai mult în forma e + 1 = 0, pentru că aşa conţinea într-adevăr toate numerele remarcabile din matematică. De curând am aflat dintr-o carte a Profesorului Ian Stewart că, din când în când se fac sondaje printre matematicieni despre care ar fi cea mai frumoasă formulă matematică – ne vine sau nu să credem, dar există şi aşa ceva, dânsul ne asigură că n-a inventat acest fapt – şi că de obicei câştigă renumita formulă a lui Euler (Professor Stewarts Mathematisches  Sammelsurium, Ed. Rewohlt T. Verlag, 2011, pag.230). În rest, din timpul facultăţii am rămas în suflet cu multe imagini model ale profesorilor, imagini care mi-au oferit o linie ghidantă sănătoasă în viaţă.

De-abia la sfârşitul facultăţii s-a petrecut din nou ceva cu adevărat deosebit: în timpul unei ore când nu se întâmpla nimic special (doar ceva analiză complexă cu legendarul Profesor Petru Mocanu), m-am gândit că n-am mai descoperit nimic de vreo şapte ani. Mama prezenta în continuare formula mea de arie a triunghiurilor în fiecare an, şi atâta vreme cât în liceu mai erau generaţii care ne cunoşteau, pe mine sau pe fratele meu, din când în când apărea în câte o demonstraţie la teză sau la o lucrare scrisă: „folosind teorema lui Titus …”. Mama era foarte mândră şi mă mai anunţa şi pe mine când se întâmpla aşa ceva. Din păcate nu am păstrat nici măcar una din acele probleme sau demonstraţii.

Dacă vroiam să mai descopăr ceva, aveam nevoie înainte de toate de o întrebare pe care n-a mai pus-o nimeni până atunci. În acea oră de mai, în cca. 10-15 minute am avut întrebarea; în două ore am găsit răspunsul; peste patru ani aveam o demonstraţie credibilă şi prezentam rezultatul la sesiunea de comunicări ştiinţifice pentru profesori Didactica Matematicii (exact în ziua în care soţia mea a venit acasă cu fiul nostru de la maternitate :-). Peste încă opt ani, în urma impulsului dat de către un alt fost profesor din facultate, reuşeam să găsesc continuarea într-un întreg complet. Toată teoria este prezentată în cele două articole în serie din Caietele Pentagonia Nr. 7 şi 8 – Reprezentarea conicelor în spaţiu complex (de găsit pe site-ul pentagonia.roArta predării matematicii). Reuşisem să merg din nou cu mintea pe unde n-a mai „călcat” gând de om. Dar de data aceasta nu din întâmplare, în urma unor stimulări conjuncturale, ci din proprie inţiativă, iar apoi chiar la o cerere venită din exterior.

Viaţa de profesor şi reactivarea unor amintiri matematice

Deşi am terminat facultatea în 1989, datorită armatei de 6 luni am început să predau la clasă doar în primăvara lui 1990. Toate cele prezentate până aici sunt amintiri matematice ce nu s-au şters şi cu care am ajuns în viaţa de adult. Unele poate s-ar fi şters dacă nu aş fi ajuns profesor, aşa cum se întâmplă la cei mai mulţi oameni.

Mai există însă o categorie specială de amintiri matematice din timpul şcolii, anume cele care s-au şters, dar au fost reactivate, readuse din uitarea în care s-au scurs cu timpul, ele neînsemnând la momentul respectiv nimic special, nefiind legate de vre-o întâmplare deosebită, ci intrând în cursul natural al lecţiilor care se uită pentru că vin tot altele peste ele. În cazul meu astfel de amintiri, adică anumite cunoştinţe matematice, au fost reactivate prin însemnătatea lor în procesul de predare, observându-le necesitatea în educarea matematică a generaţiilor de elevi.

Probabil cel mai bun exemplu în acest sens îl reprezintă forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor. La triunghiuri această denumire înseamnă faptul că aria unui triunghi nu se modifică dacă vârful său este translatat paralel cu baza, adică dacă un vârf alunecă pe o dreaptă paralelă cu latura opusă, obţinându-se astfel un triunghi de altă formă faţă de cel iniţial, dar echivalent cu acesta. Aceaşi proprietate se regăseşte la paralelograme dacă translatăm o latură pe dreapta sa suport.

Cu aceste proprietăţi se pot rezolva anumite probleme într-un mod foarte elegant, realizănd cu figurile geometrice un proces de mişcare ce aminteşte de un balet deosebit şi care transformă figurile într-un mod foarte sculptural, amintind uneori de picturile lui Kandinski (cu puţină imaginaţie s-ar putea ajunge la compararea acestora cu stilul de mişcări de scenă dezvoltat de Michael Jackson). Pentru noi, soţia mea şi cu mine, ele reprezentau însă o normalitate şi le scoteam din recuzita de metode atunci când aveam nevoie de ele şi atât.

Aceste proprietăţi reprezintă însă un punct de mare interes în metodica predării matematicii în pedagogia Waldorf, prin faptul că ne oferă un proces în mişcare. Or, în pedagogia Waldorf se recunoaşte şi se respectă faptul că elevul înţelege şi învaţă mult mai bine matematica prin mişcare – atât mişcare exterioară, fizică, în clasele mici, cât şi mişcare interioară, imaginativă, în clasele mari. Cu forfecarea paralelogramelor se poate demonstra Teorema lui Pitagora, aceasta fiind demonstraţia folosită de obicei în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată însă şi cu forfecarea triunghiurilor, drumul fiind asemănător (o forfecare de triunghi, urmată de o rotaţie, iar apoi din nou o forfecare). Figura acestei demonstraţii o văd regulat pe coperta la Culegerea cu Teste grilă de matematică pentru Admiterea din 2013 de la Universitatea Tehnică din Cluj (Editura UTPRESS, o carte fără pic de geometrie sintetică, dar plină de geometrie analitică, matrici, funcţii, limite şi tot soiu’ de integrale de chinuit doritorii), deci mă gândesc că este privită ca o figură clasică a matematicii.

Din păcate însă, această figură nu se mai face în şcoli; în cursurile de pedagogie Waldorf am avut neplăcuta surpriză să văd că profesorii colegi mai tineri nu cunosc această demonstraţie, în general nu cunosc demonstraţiile în mişcare prin forfecare, deci nici problemele corespunzătoare. Doi dintre ei mi-au povestit cum, odată la un curs desfăşurat în străinătate, profesorul care ţinea cursul i-a încuiat pe toţi participanţii cerându-le să dea măcar două-trei demonstraţii la Teorema lui Pitagora. De ce n-am fost eu acolo să le povestesc despre pictura murală a lui tata din copilărie?

Aceste amintiri din copilărie mi-au fost readuse în actualitate de către profesorii docenţi la ale căror cursuri am participat ca profesor în şcoala Waldorf, în România respectivele lecţii fiind de mult uitate. Există însă şi amintiri din copilărie ce au revenit într-un mod misterios şi enigmatic, fără a fi ajutate de către cineva. De pildă, în 2000 am avut un moment de inspiraţie şi am organizat lecţia despre arii din clasa a VII-a într-un anumit fel. Peste câţiva ani am constatat cu surprindere că lecţia respectivă avea exact forma găsită de mine şi în manualul de clasa a V-a al profesorului Eugen Rusu, după care am învăţat eu în copilărie, regăsit “în lada de cărţi vechi” la părinţii mei.

Alt set de amintiri matematice din copilărie

O sumedenie din amintirile ce le am din perioada şcolară le-am regăsit şi la soţia mea, Mariana, fapt ce îmi dă convingerea că multă lume are astfel de amintiri, într-un mod similar. De pildă, atât eu din Victoria, cât şi ea din Cluj, ne amintim din copilărie cum stabileau vânzătoarele preţul, la Alimentara. Ne trimiteau mama fiecăruia să cumpărăm “200 g” de salam: vânzătoarea tăia o bucată aproximatovă din salamul cerut, îl punea pe o hârtie pe cântar, care arăta să zicem 220 g, iar vânzătoarea calcula imediat preţul în cap. Când eram copii eram uimiţi de rapiditatea de calcul a vânzătoarelor. Până acasă tot calculam şî de fiecare dată constatam că avusese dreptate. După ’90 am fost uimiţi cum breasla vânzătorilor a uitat încet această abilitate.

Amândoi avem din copilărie câte o culegere Gheba, a mea pe germană ,a ei pe română, care arată acum ciudat de asemănător: culegerile groase cam de 2 cm prezintă o distrugere pronunţată a primelor cca. 30 de pagini, a mea fiind folosită intens de doi fraţi, a ei şi mai distrusă fiind folosită de trei fraţi. În acest sens se vede că din culegerile Gheba se lucra intens doar partea de exerciţii de aritmetică şi de algebră; partea de geometrie nu se arată la nici una dintre culegeri prea folosită.

Evident că şi amintirile despre Gazeta Matematică sunt asemănătoare. Am lucrat amândoi după aceleaşi manuale, preţuim la fel de mult construcţiile geometrice cu rigla şi compasul etc.

Desigur că există şi multe amintiri diferite. Să începem cu profesorii. În clasele V-VI Mariana a făcut matematică cu o persoană legendară în Cluj, profesorul Dumitru Bota. Legat de acesta, pe lângă admiraţia cu care vorbea soţia mea despre el, există două amintiri speciale.

Profesori fiind, la o discuţie despre ce şi cum să facem cu elevii, soţia mea şi-a amintit că la Bota scria foarte mult la teme şi nu ne puteam închipui ce anume scria atâta. Aşa că l-a întrebat pe tatăl ei; iată şi răspunsul dat de socrul meu: trebuia să copieze fiecare lecţie de la clasă în caietul de teme şi de-abia apoi făcea şi tema propriuzisă.

O a doua amintire vine din clasa a VI-a, de la geometrie. Povesteşte soţia mea că Bota desena nişte cercuri impecabile cu mâna liberă, şi ei elevii erau de fiecare dată uimiţi. La un moment dat profesorul şi-a rupt mâna dreaptă, cu care scria. Când a venit la şcoală, cu mâna în ghips, a ţinut lecţia scriind cu mâna stângă pe tablă. Iar când a fost nevoie de un cerc, Bota pur şi simplu a trasat cu stânga un cerc aproape perfect, lăsându-i pe toţi cu gura căscată. Şi de la alte persoane am auzit poveşti pline de admiraţie despre acest profesor.

Din păcate în clasa a VII-a s-a schimbat profesorul, venind o doamnă despre care soţia mea nu are deloc amintiri plăcute. Se pare că nu stăpânea prea bine predarea, iar Mariana o tot corecta, aşa că prin a VIII-a a dat-o afară de la ore, cerându-i să nu mai vină la mate.

În clasa a VIII-a a mers la olimpiadă până la faza judeţeană, care era cea mai înaltă posibil în acele vremuri. Aici a greşit, uitând că cel mai mic multiplu al unui număr este zero, ratând astfel un exerciţiu, fapt pentru care nu a ieşit pe locul 1 pe judeţul Cluj.

În liceu a avut o altă legendă la mate, pe profesorul Ambrozie Lelijak. Sunt multe amintiri din aceşti ani de la orele de matematică. De pildă felul în care acesta dădea tezele sau cum îsi notau “dumele” sale în caiet atunci când făcea haz de vre-un coleg care nu învăţase; caietele tuturor colegilor erau pline la spate cu citate din Lelijak.

Amintiri din copilăria matematică a părinţilor

Discutând mult despre matematică şi cum ar trebui predată aceasta, ajung uneori şi părinţii noştri să-şi amintească scene din copilărie legată de acest subiect. De pildă mama mea şi-a amintit odată cum a lăudat-o directorul şcolii din sat. Acesta era soţul învăţătoarei şi îi plăcea să vină în asistenţe la ore. Cu astfel de ocazii a remarcat-o cât de bine ştia ea la problemele de aritmetică, chiar din acelea aduse de el, cele “mai tari” şi cum le făcea pur şi simplu fără să-i fi dat vreo explicaţie preliminară. Prin 2000, era şi mama deja pensionată, s-a întâlnit cu directorul din copilărie şi acesta şi-a amintit cum dădea ea cele mai neobişnuite rezolvări, cu care ajungea însă la răspunsul corect.

Acest aspect l-au sesizat ulterior la ea şi profesori de matematică din şcoală şi din liceu. Aceştia o îndrăgeau şi o ajutau cum se putea în acei ani cu colectivizare forţată, mama provenind dintr-o familie simplă de la ţară; de pildă, mi-a povestit că primea gratuit abonament la Gazeta Matematică. Peste ani, când a intrat la facultate, bunicul ei a vândut un viţel pentru a-i da bani să aibă la şcoală la Cluj.

Tata era dintr-o familie intelectuală, bunicul terminând două facultăţi: Ştiinţele naturii la Cernăuţi şi, în timpul războiului, Dreptul la Iaşi. Tata îşi aduce aminte de profesorul de matematică din liceu, dl. Lungu Nicolae, absolvent de facultate la Iasi, cum acesta le dădea la începutul orei câte trei probleme cu care “să-şi bată creierii”, până le verifica dânsul temele. Apoi, pe parcursul lecţiei noi, elevii observau cu uimire că problemele iniţiale se rezolvau uşor cu lucrurile nou învăţate şi mare le era bucuria despre cele descoperite. Asta da modalitate de predare prin problematizare dusă la extrem!

De la tata mai există o poveste cu final dureros. Prietenul său cel mai bun Cojocaru Dragos, cu care au fost colegi şi în facultate, s-a calificat în liceu, la prima Olimpiadă Naţională organizată la matematică, pe locul I din partea judeţului Suceava. După o vreme şi-au dat seama că a fost înlocuit şi Dragoş nu a mai fost convocat la faza finală. Peste ani, în 1984 eram împreună cu tata într-o tabără de matematică la Câmpulung Moldovenesc, tata fiind însoţitorul grupului de olimpici (rezerve) din judeţul Braşov. Cu această ocazie tatăl meu s-a interesat de la colegii organizatori suceveni despre profesorul lui din liceu şi a aflat că acesta este la cel mi bun liceu din Suceava, că este deosebit de apreciat, dar că – nimeni nu înţelege de ce – nu participă nici o dată la olimpiade.

Şi de la tatăl soţiei, inginerul Dodul Eugen (se pronunţă Dodu’) avem câteva amintiri depănate de-a lungul anilor. Născut în 1929 la Chişinău, a fost refugiat cu familia în timpul războiului la Bucureşti, unde până la urmă au şi rămas. La început, la şcoală nimeni nu-l înţelegea, având o pronunţie mult diferită faţă de ceilalţi colegi. Astfel, şi-a salvat onarea în faţa colegilor la orele de limba franceză, pe care o ştia de acasă, şi în matematică la care era foarte bun.

Anii au trecut şi în liceu ajunsese un fervent rezolvitor la Gazeta matematică. La sfârşitul şcolii ajunsese pe locul doi pe ţară la punctajul concursului rezolvitorilor din GM, primul fiind prietenul său. Ne putem închipui supărarea trăită atunci când colecţia sa de Gazete Matematice a fost atacată de carii, astfel încât valoroasele caiete au trebuit arse. Peste ani a găsit printr-un anticariat câteva gazete vechi din anii liceului: le-a legat pe toate opt exemplarele într-un mic volum în care se găsesc câteva semne în dreptul paginilor pe care este trecut numele său, din clasele VI-VII de liceu (Gazeta Matematică, Supliment de exerciţii, Anul XII-XIII, 1946).

La admiterea în facultate a ratat ultimul examen din trei prin neprezentare, datorită faptului că a stat toată noaptea şi a citit Anna Karenina. Nici nu s-a dus apoi să vadă rezultatul, convins fiind că nu a intrat, dar a aflat în toamnă de la un coleg al său că este student şi că profesorii îl trec regulat absent.

Mai târziu, inginer constructor fiind, peste tot pe unde umbla pe şantierele ţării, medita la matematică copii colegilor de servici. Când am cunoscut-o pe Mariana, tatăl ei avea săptămânal ore private cu 30 de elevi; atâţia erau că nu le putea ţine socoteala la toţi, aşa că îşi făcuse catalog unde nota cum îşi fac aceştia temele şi cum progresează.

Amintiri din copilărie – Partea a II-a

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Vă invit să continuăm cu depănarea amintirilor mele matematice din anii de liceu, petrecuţi în Or. Victoria, la Liceul de chimie industrială (singurul existent le vremea respectivă în Victoria).

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

Anii de liceu

Liceul l-am început în anul 1981. Până atunci, în gimnaziu, ascultasem mai ales ABBA şi Boney M (ulterior am aflat că acestea erau preferatele Elenei Ceauşescu, de aia erau difuzate cu predilecţie), dar în clasa a VIII-a apăruse şi năucitorul The Wall de la Pink Floyd, în care Roger Waters povestea de Another Brick in the Wall. Atunci încă nu înţelegeam de ce we don’t need no education, we don’t need no thought control şi nici de ce Hey! Teachers! Leave them kids alone! Pentru noi şcoala era OK; o acceptam aşa cum era; nu ne puneam astfel de probleme.

După cum am spus, în liceu am avut-o ca profesoară de matematică pe mama mea. Iar tatăl meu – tot profesor de matematică – ne era diriginte (cu el făceam ceva ce azi s-ar numii curs opţional). Cred că sunt unicat în acest sens. Fratele meu a scăpat ceva mai uşor, avănd-o doar pe mama atât profesoară cât şi dirigintă.

La lucrarea de testare iniţială din clasa a noua am luat scurt un 4, după care a început liceul. Eram la o clasă de Mate-Fizică şi aveam câţiva colegi foarte buni la matematică.

Prea multe amintiri din clasa a IX-a demne de a fi evocate nu prea am. Ţin doar minte că îmi plăceau inecuaţiile care se rezolvau prin tabele de variaţie a semnelor. Cu cât era tabelul mai mare, cu mai multe etaje, cu atât era mai bine. Trăiam acolo o mare satisfacţie. Şi numerele complexe de la sfârşitul clasei a IX-a mi le amintesc cu păcere (aceasta însă poate şi datorită unor întâmplări ciudate din următorii ani).

La faza judeţeană a olimpiadei nu m-am calificat (eram la prima încercare după ciudăţenia din clasa a cincea), dar oricum am înţeles şi am făcut câte ceva din subiectele respective. În schimb am fost la sesiunea de comunicări ştiinţifice a elevilor. Tata mi-a dat ceva cărţi şi m-a pus să redactez o lucrare despre Secţiunea de Aur. Nici din această experienţă nu am amintiri speciale, dar, după cum veţi vedea în curând, urmările au fost spectaculoase. Cu această ocazie s-a deschis în mintea mea o ciudată poartă spre ceva ce s-ar putea numi simplu Cercetare şi Descoperire.

Pentru a înţelege cele ce vor veni trebuie să facem o pauză şi să ne amintim care era stuctura programei pentru clasele a noua şi a zecea în anii 80. La matematică aveam două manuale, unul de algebră şi unul de geometrie. Cel de geometrie relua materia din gimnaziu, desigur la un nivel superior şi mult mai riguros (axiomatic era cuvântul la modă atunci), cu completările de rigoare, la care se adăugau capitole de trigonometrie specifice vârstei. Cu alte cuvinte, ce nu prindeai în clasele mici la geometrie, apucai să înţelegi în liceu. Mai ales datorită acestui aspect mulţi îşi aduc aminte cu plăcere de geometria din şcoală. Clasa a noua era cu geometria plană, iar a zecea cu cea în spaţiu. În acest context a venit peste mine clasa a zecea, probabil cel mai frumos an din viaţa mea de şcoler.

Deşi toamna toată suflarea şcolară era pe ogoarele patriei la cules, mama găsea de obicei căi de a convinge autorităţile să o lase să facă ore cu clasele la care merita făcută mai multă carte. Într-o astfel de zi frumoasă de toamnă eram noi la şcoală şi făceam probleme cu proprietăţi ale unor segmente sau arii din trapeze oarecare. La un moment dat a venit o problemă care m-a speriat: trebuia demonstrat că paralela la baze dusă prin intersecţia diagonalelor este înjumătăţită de către aceasta (tot parcursul acelei ore este prezentat, aşa cum l-am trăit eu, în articolul Istoria unei decoperiri postat pe site-ul personal pentagonia.roArta predării matematicii). Demonstrarea prin asemănarea triunghiurilor este foarte anevoioasă, dar mintea mea a observat anumite corelaţii ciudate între această problemă şi precedentele două (mai există o rezolvare accesibilă prin repoarte, pe cae eu însă “nu am văzut-o” în acea oră). Pe scurt, până ce s-a rezolvat problema la tablă, eu am demonstrat o nouă formulă pentru aria unui triunghi, după care folosind acest nou rezultat am demonstrat foarte uşor problema cerută. Vă închipuiţi cum am stat, ca pe ghimpi, până s-a terminat problema şi a sunat de ieşire, ca să-i pot arăta mamei noua mea rezolvare. Pe parcursul anului mi-am redactat cât m-am priceput de matur lucrarea, iar în primăvară m-am prezentat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice cu propria descoperire. Chiar dacă alţi colegi au luat premii (cu lucrări făcute/oferite de profesori la alte materii), tot menţiunea câştigată de mine a fost cea mai valoroasă. Eram în al nouălea cer! Umblasem cu gândul pentru câteva minute acolo unde nu mai fusese nici o minte de om!!!

Este de la sine înţeles că nimic din ce s-a mai întâmplat în acel an nu s-a putut ridica la nivelul acestei întâmplări, deşi per ansamblu despre materia de clasa a zecea am cele mai plăcute amintiri dintre toţi anii de liceu. Tot în clasa a zecea m-am calificat prima dată la faza judeţeană a olimpiadei de matematică. Mai departe n-am mers, dar am repetat figura în următorii doi ani.

Din clasa a unsprăzecea, amintirea care mi-a influenţat probabil cel mai mult parcursul de profesor este discuţia cu mama mea din după-amiaza zilei în care şi-a susţinut inspecţia pentru Gradul I. Tata era plecat din localitate, aşa că după inspecţie mama nu putea discuta decât cu mine despre ce se întâmplase. Iată povestea pe scurt.

Dintre cele patru ore, cea de-a treia era la clasa a IX-a unde urma să introducă numerele complexe. Eram spre sfârşitul anului şcolar 1983/1984 iar forma de introducere a numerelor complexe se schimbase dramatic cu câţiva ani în urmă (în forma veche se pornea de la notarea lui = i, adică i2 = –1, pe când forma nouă pornea de la definirea numerelor complexe ca perechi ordonate cu anumite proprietăţi de operare). În primii ani după schimbare profesorii nu înţelegeau cum ar fi putut elevii pricepe numerele complexe din această nouă formă de predare, aşa că o ignorau şi predau aşa cum erau ei siguri că merge.

Neştiind ce persoană va veni în inspecţie, mama îşi pregătise ambele forme de lecţie, urmând să ia hotărârea înainte de ora respectivă. Văzând că inspectorul era un dur “cu ochelari de cal”, mama s-a hotărât pentru forma cea nouă, oficială – şi a fost felicitată pentru aceasta de către inspector. Seara, când mi-a povestit întâmplarea, mama zicea că, deşi lecţia a mers oficial bine, ea a simţit că elevii n-au înţeles nimic, dar nu-i nici o problemă, ora viitoare le va preda şi lecţia veche pentru a-i lămurii. Acesta a fost episodul nr.1 al unei poveşti care s-a întins surprinzător de mult.

În anii ‘90 eram deja profesor şi tare supărat pe „prostiile” din sistem. Într-o discuţie acasă – eram prin 1995 – am amintit ca argument întâmplarea din liceu cu introducerea numerelor complexe, la care mama mi-a replicat că ea n-a înţeles bine la început forma cea nouă, că între timp a priceput-o şi că aceasta este cea corectă (deja fusese aleasă printre profesorii metodişti şi mergea din când în când la rândul ei în inspecţii la profesori mai tineri). Eu am replicat că ea a înţeles lecţia în 10 ani, dar că elevii nu au atâţia ani la dispoziţie pentru a o pricepe, şi nu mult a lipsit să tragem o ceartă zdravănă, aşa ca între matematicieni înfocaţi.

Episodul nr.3 a venit la începutul anilor 2000 când Mama era deja pensionată, dar mai ajuta în particular diverşi elevi. Odată a redeschis ea vechiul subiect, mărturisindu-mi că eu am avut dreptate în vechea dispută. Elevii veneau cu lecţia despre numere complexe neînţeleasă de la şcoală, şi degeaba le-o explica încă o dată, că tot nu pricepeau nimic. Atunci le oferea forma veche a lecţiei, cea din anii ’70, iar aceştia înţelegeau imediat numerele complexe (q.e.d.).

Revenind la amintirile din timpul şcolii, trebuie menţionat că în clasa a XI-a am început să mă pregătesc regulat pentru admiterea la facultatea de matematică. Mergeam împreună cu un prieten o dată la trei luni la Timişoara la un profesor universitar – care a rămas pentru mine unul dintre modelele de viaţă – iar acesta ne verifica şi ne dădea teme pentru următoarele luni: cărţile cutare şi cutare etc. Prima temă a fost ciudată: pentru geometria plană nu trebuia să fac vreo culegere sau manual de liceu. Părinţii mei trebuiau să caute nişte noi manuale care aveau probleme mai grele decât cele oficiale de liceu. Deci pentru admiterea în facultatea de matematică, cele mai grele probleme de geometrie pe care să mă pregătesc eu erau în nişte manuale neoficiale. Întâmplarea ne arată cum, o parte din lumea matematică cerea tot mai mult, tot mai greu, pe când sistemul oficial comunist avea totuşi respect şi faţă de elevii medii.

Din clasa a XI-a doresc să mai amintesc doar reprezentarea grafică a funcţiilor. Pur şi simplu am iubit acest capitol.

Cred că tot în acest an au început şi la şcoală pregătirile ordonate pentru examene. Pentru asta aveam introdusă o oră suplimentară în care mama, pardon tovarăşa profesoară, ne prezenta rezumate ale fiecărei lecţii începând din clasa a IX-a, iar noi le treceam în aşa-numitul Carnet de formule. Acest carnet de formule profesionist, scris de mine dar redactat de profesor era al treilea carneţel de formule al meu; eu în decursul timpului îmi mai redactasem încă unul iniţial (cam mic), cât şi unul mai complet care îmi plăcea şi care era carneţelul meu de suflet. Când îmi aminteam o formulă, din acesta, cel creat de mine, vedeam imagini în minte. Aceste carnete de formule au jucat un rol foarte important în stabilizarea matematicii în mintea mea pentru examenele ce-au urmat (bac-ul şi admiterea la facultatea de matematică cu n candidaţi pe un loc). Toţi elevii din vremea respectivă beneficiam de astfel de carnete de formule la redactarea cărora lucram intens. A cumpăra actualmente unul gata făcut de către vreo editură nu are nici pe jumătate acelaşi efect ca redactarea unuia făcut cu trudă de mânuţa ta.

Recent, la o întâlnire de 20 de ani de la terminarea liceului, o fostă absolventă i-a povestit mamei mele următoarea întâmplare: era de mult în America când a aplicat pentru un job undeva în Caraibe (parcă era vorba chiar de Jamaica); pentru aceasta urma să dea un examen din matematică, iar ea avea acolo la dispoziţie doar carnetul cu formule (din care uitase desigur totul, dar îl avea cu ea în America!). Aşa că femeia s-a apucat în cele două săptămâni ce le avea la dispoziţie să parcurgă din nou toată matematica din acest carnet magic, şi desigur că şi-a luat examenul, fiind ea aleasă pentru jobul mult visat.

Tot din aceşti ani, bănuiesc că era vorba de clasele X-XI trebuie să mai povestesc ceva, care s-a dovedit a fi de o importanţă covârşitoare. Părinţii mei lucrau din anii ’70 la o activitate (ce s-ar numi astăzi extracurriculară) de după-amiază, anume Laboratorul de matematică. Până la mine adunaseră deja experienţă, mergeau la simpozioane prezentând lucrări ştiinţifice pe această temă şi organizaseră deja două simpozioane naţionale sub tutela SSM pe tema Laboratorului de matematică. Aşa că a venit şi rândul clasei mele, cei doritori desigur, să parcurgem seria de lucrări practice cu aplicaţii ale matematicii deja învăţate. Lucrarea care m-a impresionat cel mai mult a fost cea despre determinarea numărului π prin metoda Buffon, o metodă stohastică de tip Monte Carlo. Trebuia să aruncăm cu un chibrit (sau cu un ac) de 1000 de ori şi să notăm rezultatul; eu m-am gândit să eficientizez metoda, aşa că am aruncat împreună cu colegul meu, cu 10 chibrite de-odată şi asta doar de 100 de ori (unul arunca şi celălalt nota câte chibrite taie liniuţa). Nu ţin să vă povestesc cât de departe a fost rezultatul obţinut de noi faţă de 3,14, dar oricum lecţia a fost clară: când e vorba de probabilităţi, nu este bine să interferezi prea mult cu fenomenul pentru că lucrurile o iau razna (chibritele acelea se loveau între ele când le aruncam şi n-avea cum să iasă tare bine).

Pentru noi Laboratorul de matematică era parte din normalitatea vieţii. Acolo nu se dădeau note şi toţi elevii veneau cu bucurie, chiar şi cei mai slabi. Ulterior, ca adult am aflat de la părinţii mei cum au ajuns să fie hărţuiţi de către inspectorat pentru ce făceau: că de ce nu dau note, că de ce este o atmosferă atât de relaxată, că ce fac acolo de elevilor le place aşa de mult etc. Un singur lucru nu puteau: să-i ia la rost de ce munceau în plus, pentru că asta era chiar una din cerinţele vremii.

Chiar una dintre prezentările lor ştiinţifice a avut această temă: cum văd elevii activitatea şi de ce o apreciază. Astfel, am găsit printre materialele din acea perioadă primite de la tata un chestionar completat de către o elevă din clasa a XII-a din 1980 (ajunsă ulterior cadru universitar). Citez din acest chestionar: Nu sînt necesare note pt. că vin la laborator din plăcere şi cînd faci ceva din plăcere nu e nevoie de nici un stimulent, e suficientă mulţumirea sau nemulţumirea propriei cunoştinţe…Mult mai puţin efort decît îmi trebuie la materiile umaniste….

Consider că şi Laboratorul de matematică a contribuit puternic la formarea mea ca adult cu o gândire liberă şi ne-indoctrinabilă, gândire care m-a dus ulterior la Şcoala Waldorf. Aici am avut tot timpul conştienţa că eu am ceva în plus faţă de colegii mei, ceilalţi profesori, eu fiind singurul dascăl ce am beneficiat în copilărie de un dram de educaţie liberă desfăşurată ordonat şi oficial, dar totodată benevol.

Clasa a XII-a a continuat cu munca intensă inclusiv pregătirea bac-ului, muncă întreruptă de vizitele rare la Timişoara. În iarna acelui an am lucrat foarte mult ascultând albumul Thriller, acesta fixându-mi-se pe amintire ca un album de iarnă grea, cu foarte multă zăpadă.

Între timp eram câţiva colegi pasionaţi de rezolvarea cubului Rubik, îl rezolvam uşor dar nu puteam nicicum să coborâm sub pragul de 3 minute. În schimb reuşeam să rezolvăm şi alte astfel de jocuri cum ar fi tetraedrul regulat sau şarpele lui Rubik. Altele, cum ar fi Steaua lui Alexandru sau inelele lui Rubik rămâneau un mister. Cubului îi rezolvam în mod logic primele două rânduri, după care-l finalizam cu anumite reţete pe care le stăpâneam fără a le înţelege.

În bac, şi apoi la examenul de admitere am ajuns fără să-mi dau seama, şi uite-aşa m-am trezit student. Am fost amânat medical pentru armată, aşa că am mers direct în toamnă la facultate (aşa cum se face actualmente) cu colegele din anul respectiv, dar cu băieţii cu un an mai mare, care făcuseră între timp şi armata. Era anul 1985; de Crăciunul trecut George Michael tocmai lansase legendara Last Christmas; în primăvară Michael Jackson adunase spuma muzicii americane pentru We are the world, iar la noi în Europa pornea epoca Modern Talking. Acestea au fost subiectele mele preferate în facultate, dând pentru o vreme matematica la o parte.

Amintiri din copilărie – Partea I

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Într-o astfel de zi, iarna trecută, am început să “aştern pe hârtie” amintirile matematice din copilăria mea. Gândul a fost unul foarte clar: de a arăta care sunt sursele ideeilor susţinute cu atâta hotărâre în postările PENTAGONIA. Eseul se dorea un prim capitol, unul strict personal, intim, în preocuparea mai largă despre lămurirea situaţiei actuale a învăţământului matematic preuniversitar românesc, prin clarificarea rolului jucat de reforma impusă de Ceauşescu în finalul anilor ’70 şi începutul anilor ’80. Până la urmă materialul a crescut prea mare, aşa că a fost fragmentat şi doar o parte din acesta a fost publicată sub titlul de Reforma uitată. Acum, este iarăşi iarnă, şi privim în urmă la un an neobişnuit. Poate că acum este vremea să depănăm nişte amintiri din copilărie. Sper că le veţi savura, chiar dacă uneori sunt scrise stângaci, având convingerea că unele dintre ele sunt într-adevăr întâmplări remarcabile. Dar, mai presus de orice, pentru mine ca profesor, amintirile din copilărie, ale mele sau ale altora, reprezintă ferestre deschise spre sufletul şi mintea copiilor în general, faţă de care noi ca adulţi avem obligaţia să ne adaptăm şi să ne calibrăm nivelul predării.

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

M-am născut şi am crescut în Oraşul Victoria, la marginea judeţului Braşov, având zilnic o privire superbă asupra munţilor Făgăraş. Părinţii mei Grigorovici Maria şi Vasile au fost amândoi profesori de matematică la liceele din oraş. Tata a reuşit chiar performanţa de a preda în acelaşi liceu de la repartiţie, din prima zi de activitate, neîntrerupt până la pensionare. Mama nu a reuşit aceasta pentru simplul fapt că liceul la care era titulară a fost desfiinţat pentru vreo 15 ani. Mama era din Şimleul Silvaniei iar tata din Vatra Dornei, nimerind amândoi în celălat vârf al unui triunghi, parcă paraşutaţi printre străini în ţara Făgăraşului. Luaseră acolo repartiţie la teminarea facultăţii în 1965. Eu am apărut prin zonă în 1967, pe ecourile Beatles şi Phoenix, odată cu marile evenimente flower power din lumea largă.

Bunicul din partea tatălui avea un mic magnetofon cu care m-a înregistrat când eram copil mic. Astfel, din difuzor se aude întrebarea Ce vrei să te faci când o să fi mare? Şi apoi vine răspunsul dat de o voce dulce de copilaş: pofesol de mametatică!

În apartamentul din care am primele amintiri, zugravul – la cererea tatălui meu – a pictat pe un perete din holul de la intrare Teorema lui Pitagora! Da, aţi înţeles bine, eu am crescut văzând zilnic pe perete figura cu cele trei pătrate construite în exteriorul unui triunghi dreptunghic, alături de un palmier stilizat. Aşa gândise zugravul respectiv, teorema lui Pitagora alături de un palmier, pictate în holul d-lui profesor de matematică. Nu pot preciza când am înţeles această teoremă, cred că tot în clasa a VII-a, ca toţi copiii, dar desenul îl cunosc de când mă ştiu. Cu durere mă gândesc la generaţii întregi de elevi care nici nu mai ajung să cunoască această figură, una dintre cele mai cunoscute, dacă nu cea mai cunoscută figură geometrică. Între timp există şi profesori tineri care nu o cunosc. Ultima dată am văzut această figură la loc de cinste pe culegerea profesorului Gheba din 1996.

Când eram în clasa a VI-a părinţii mei s-au mutat în apartamentul vecin şi de-atunci până la plecarea la facultate am locuit la cea mai fabuloasă adresă posibilă: Or. Victoria, str. Victoriei, bloc 10, ap.10. Da, ciudată-i şi karma asta! Părinţii mei locuiesc şi acum în acest apartament.

Amintiri speciale legate de matematică, dar din afara şcolii, mai am şi din timpul gimnaziului: eram cu părinţii la mare şi tata tot desena şi colora forme ciudate pe foi de hârtie. Întrebând despre ce face am înţeles că era vorba despre o mare problemă – problema celor patru culori – pe care nimeni încă nu a rezolvat-o. Ulterior am regăsit-o ca student, iar ca profesor am aflat că a fost „rezolvată” cu un calculator; interesant că rezolvarea cea controversată s-a făcut cam în anii când îl vedeam eu pe tata colorând forme ciudate la plajă.

Clasele I – VIII

Cu multe amintiri de la orele de matematică din şcoală nu prea mă pot lăuda. Bănuiesc că eram un copil normal, făra un interes ieşit din comun pentru aceasta disciplină. Există totuşi câteva momente ce merită evocate, mai ales din prisma moralei acelor experienţe. Ca profesor încerc să mă privesc pe mine, cel din copilărie, pentru a-i înţelege pe elevii cu care am de-a face actualmente şi să trag învătăminte corespunzătoare despre ce şi cum trebuie predat.

Din clasele primare nu am nici o amintire legată de aritmetica. În general, din şcoala primară, de la ore, am foarte puţine amintiri. Pun această realitate pe seama faptului ca am urmat primii opt ani la clasă cu predare in limba germană, într-o clasă plină de saşi, eu necunoscând germana din familie. Primele ore de germană le-am avut de-abia pe la cinci ani, iar la şcoala am mers la şase ani. În familie nu vorbeam germană, decât cu bunicul meu cu care mă întălneam de câteva ori pe an. Bănuiesc deci că nu prea înţelegeam mare lucru, decât intuitiv, din tot ce se întâmpla în jurul meu. Am evocat acest pasaj prin prisma importanţei limbii germane în înţelegerea matematicii, aşa cum am trăit-o eu. În această limbă noţiunile sunt pur şi simplu mai clare decât în română. Aş da un singur exemplu în acest moment. Denumirea nemţească pentru bisectoare este Winkelhalbierende care, tradus mot-a-mot înseamnă înjumătăţitoarea de unghi. Micul neamţ nu are nevoie de definiţie pentru această noţiune. Trebuie doar să se confrunte o dată cu ea, să audă o dată cuvântul, şi o ştie. Oricând va reîntâlni într-o problemă cuvântul Winkelhalbierende, va şti despre ce este vorba. Este foarte simplu, chiar dacă sună complicat.

De fapt, prin structura sa, limba germană are multe elemente favorabile gândirii matematice. De pildă, soţia mea a remarcat de curând următorul exemplu, în care pur şi simplu se dă factor comun într-un text de prezentare a unui pateu de porc: unsere Wurstwaren sind allergen-, laktose- und glutenfrei, în loc de allergenfrei, laktosefrei und glutenfrei (cârnaţii noştri sunt liberi de alergeni, lactoză şi gluten). Consider că învăţarea matematicii în limba germană mi-a oferit o claritate mai mare în gândire faţă de nivelul pe care l-aş fi atins dacă aş fi mers la şcoală doar în limba română.

Prima amintire matematică clară din şcoală o am din clasa a cincea, când am mers (am fost trimis) la olimpiadă şi am plecat de acolo năucit, pentru că nu am ştiut nimic. Singurul aspect ce-l ţin minte din timpul lucrării este profunda stare de vinovăţie că nu pot face nimic; un fel de stare ca şi cum aş fi primit aruncată peste mine o găleată cu apă foarte rece, chiar cu bucăţele de gheaţă în ea şi nu înţelegeam ce s-a întâmplat, pentru ce sunt pedepsit. Nici o dată nu am înţeles de ce a trebuit să merg eu atunci la olimpiadă. Probabil pentru că părinţii mei erau profesori de matematică şi se vedea în mine un viitor matematician. A doua zi am aflat că am luat nota 4 şi iar nu am înţeles mare lucru: eu nu scrisesem mai nimic: de unde erau cele trei puncte? Ca adult, corectând la olimpiade, am aflat de unde şi cum se scot acele puncte fără bază în lucrare. Oricum părinţii mei au fost la înălţimea momentului. Nu ţin minte nici un fel de mustrare din partea lor. Dar nici pe la olimpiade nu m-am mai dus până în liceu, când am reuşit câteva calificări la faza judeţeană (dar nimic mai mult).

De-abia în clasa a şasea au luat părinţii măsuri. Cam atunci mi-a pus tatăl meu Gazeta Matematică în mână şi mi-a zis să încerc să fac probleme de acolo. Îmi verifica rezolvările şi îmi arăta cum să le redactez. Încet am început să trimit probleme la Gazeta Matematică şi aşa m-am mai deşteptat cât de cât. Cu mare amărăciune mă gândesc la copiii de azi care nu mai au această ocazie. După ’90 nivelul problemelor propuse în Gazeta Matematică a crescut aşa de mult, încât după o vreme au ajuns total inaccesibile elevului care nu merge la clasă de excelenţă.

Din clasa a şasea încep să am ceva amintiri. Mergeam pe 12 ani – în acei ani copiii mergeau la şcoală după ce împlineau 6 ani. În anii ’80 vârsta de mers la şcoală s-a mutat după 7 ani, existând chiar părinţi care-şi trimiteau copiii de-abia la 8 ani în clasa I.

Din acest an îmi amintesc de regula de trei compusă şi de algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Ambele le-am ştiut până la teză, după care le-am uitat. Regula de trei compusă nu am fost nevoit să o predau ca profesor, aşa că nici în ziua de azi nu ştiu clar cum era rezolvarea şi ce gândeam acolo. Ţin minte doar nişte săgeţi interesante, dar nu ştiu cum şi de ce le puneam acolo. Problemele respective le rezolv azi prin reducere la unitate – în rarele ocazii când mă mai întâlnesc cu aşa ceva.

Cu radicalii povestea este în schimb mult mai interesantă. Fără să cunosc algoritmul de extragere, pentru că l-am uitat, m-am descurcat mulţumitor până la terminarea facultăţii. Se pare că acesta era fenomenul general. În acest sens îmi aduc aminte de toamna lui ’89 când eram în armată la Bacău. Eram două plutoane de întârziaţi-amânaţi, cu facultatea terminată, mulţi ingineri, câţiva profesori şi câţiva medici, care pierdeam vremea prefăcându-ne că facem armata. Într-o zi a intrat peste noi un maistru militar, bine ameţit de dimineaţă, pus pe harţă şi doritor de a ne arăta cât îi suntem de inferiori. Şi pentru asta ne-a întrebat care mai ştim să calculăm radical din nu-ştiu-ce număr. Doar unul singur a ştiut, şi anume un profesor care apucase să predea un an înainte de a fi convocat la armată. Ştia pentru că apucase să predea lecţia la clasa a şasea. Din ’90 am mers şi eu la catedră. Ştiam toate lecţiile intuitiv. Doar la rădăcina pătrată a trebuit să mă uit timp de patru ani în manual pentru a-mi reaminti în fiecare an paşii; de-abia în al cincelea an am putut preda algoritmul de extragere fără să mă mai uit în manual. Consider că aceasta ridică semne serioase de întrebare asupra felului în care se predă lecţia respectivă în şcoli.

O amintire specială o am de la sfârşitul clasei a şasea. În vacanţa de vară eram cu părinţii la ţară, la bunicii din partea mamei. Tata a luat cu noi culegerea Gheba (aveam un exemplar în limba germană) din care mi-a dat să rezolv exerciţii cu toate operaţiile cu fracţii, cu paranteze şi cu fracţii supraetajate (mai târziu, ca profesor, le alintam cu drag drept  tancuri, vapoare, tir-uri etc.). În prima zi am primit de făcut trei exerciţii şi curănd eram gată cu ele şi mă pregăteam să ies la joacă cu verişorii mei şi cu ceilalţi copii de pe uliţă. Tata m-a întors din drum să-i arăt ce-am făcut. Şi nu i-a fost greu să vadă că rezultatele mele nu coincideau cu cele din carte. În culegerile profesorului Gheba exerciţiile de aritmetică şi cele de algebră aveau răspunsul scris lângă exerciţiu. Tata şi-a luat tacticos o carte, s-a aşezat la masă lângă mine şi m-a pus să le mai fac odată. Eram disperat! Toţi se jucau afară, numai eu eram blocat în casă cu exerciţiile acelea stupide. Aşa că am făcut cel mai natural lucru: am socotit o vreme reducând exerciţiul, până spre final, când am schimbat numerele astfel încât să iasă rezultatul din carte. La sfârşit Tata mi-a verificat mulţumit rezultatele, iar eu am avut voie să ies afară la joacă. Nici acum nu ştiu câte exerciţii am rezolvat atunci în acest fel, şi când am început să obţin într-adevăr rezultatele din carte. Interesant este însă că nu am avut nici o dată probleme la operarea cu fracţii. Oare când le-am înţeles cu adevărat? Nu îmi amintesc.

Am continuat să am rezultate mediocre şi în clasa a şaptea, rar urcând peste nota 8. Totuşi se pare că lecţiile le-am prins foarte bine. Am spus mai devreme că, la catedră am predat în general lecţiile fără să le pregătesc dinainte. Mult mai târziu, uitându-mă prin manuale vechi, de pe vremea când eram în gimnaziu, am observat că felul cum predau coincide în multe cazuri cu lecţiile primite în copilărie.

Există însă o amintire, probabil de la această vârstă, a unui prieten drag. Acesta a primit la clasă de găsit (cu rigla şi compasul) centrul unui cerc desenat anterior (de exemplu trasat cu ajutorul unui pahar). Gândirea profesorului merge de obicei spre o construcţie bazată pe alegerea a două coarde neparalele (eventual cu un capăt comun – deci două laturi ale unui triunghi înscris în cerc) şi construirea mediatoarelor acestor coarde. Centrul cercului este situat la intersecţia celor două mediatoare. Prietenul meu a plecat de la o singură coardă. Mediatoarea acesteia este axă de simetrie a cercului, deci diametru, iar centrul cercului se află la mijlocul său (toate acestea erau considerate pe vremea respectivă construcţii geometrice elementare). Profesoara nu a fost capabilă să accepte această rezolvare diferită de a sa, s-au luat la ceartă şi prietenul meu prea impulsiv era cât-pe-aci să se aleagă cu un 4 în catalog.

De-abia în clasa a opta am început să iau la lucrări regulat note peste 8. Probabil datorită faptului că din acest an au început părinţii mei să facă sistematic matematică cu mine. În acest sens au rămas în memoria familiei desele mele gafe lingvistice de începător (reamintesc că la şcoală învăţam în germană, dar cu părinţii mei lucram în română). Mama şi acum se distrează când îşi aduce aminte de linia mijlocică.

Am însă două-trei amintiri deosebite din ultimul an de gimnaziu. Nu ţin minte cum a fost la oră, dar ştiu că după teorema celor trei perpendiculare (T3⊥) am confecţionat acasă o machetă mică din sârmă la care planul era făcut dintr-o bucată de la o cutie de chibrituri. Tata s-a arătat entuziasmat iar macheta respectivă a ajuns în bradul de Crăciun (mulţi ani de atunci a avut locul ei rezervat în brad).

Ţin însă minte foarte bine ora în care s-a calculat la tablă aria laterală a conului (şi apoi curând cea a trunchiului de con). Felul în care s-a desfăşurat suprafaţa laterală a conului, iar apoi aceasta a fost tăiată în felii foarte subţiri, sectoare de cerc aproximate ca triunghiuri isoscele foarte înguste cu înălţimea cam de-aceaşi lungime cu laturile oblice, deci egale cu raza, acest proces m-a impresionat profund. Iar calculul algebric cu descrierea numărului oricât de mare de triunghiuri/sectoare prin folosirea … (puncte-puncte – lor) la sfârşitul sumei, cât şi factorul comun din timpul calculului au pus capacul. În acestă demonstraţie mi s-au legat brusc toate cele predate în cei patru ani de către profesorul meu, Dl. Willhelm Schotch (se pronunţă Şoci). Datorită acestei lecţii, după ce am ajuns la rândul meu profesor, am constatat că dânsul era modelul meu cel mai important. În orice lecţie încerc să-l imit, străduindu-mă să trezesc în elevi fascinaţia trăită de mine ca elev în acea oră. Faptul că în curând a venit şi aria laterală a trunchiului de con, demonstrată prin aceeaşi metodă, dar împărţind suprafaţa desfăşurată în foarte subţiri trapeze, m-a ajutat şi mai mult să ţin minte metoda. Da, tot jocul acela algebric cu sume nesfârşite de fracţii şi factori comuni se potrivea şi în cazul unor trapeze, creând asupra mea impresii de neşters.

Scurt după această lecţie au venit corpurile de rotaţie. Mulţi oameni îşi aduc aminte cu plăcere de problemele din această lecţie, care din păcate de ani buni nu mai este în programă. Este vorba de probleme de tipul un triunghi dreptunghic cu laturile date se roteşte pe rând în jurul fiecărei laturi. Calculaţi aria şi volumul corpurilor astfel formate. Fără a fi banale, aceste probleme oferă rezolvitorului ocazia de a-şi exersa aptitudini aritmetice şi matematice elementare uşor de asamblat într-o rezolvare completă. Cu alte cuvinte, aceste probleme atrag elevii obişnuiţi către matematică, oferindu-le astfel ocazia de a avea satisfacţie şi de pe urma matematicii.

La această lecţie existau în unele şcoli aparate cu un motor în care se fixau ca într-un mixer sau o maşină de găurit nişte tije de care erau ataşate figuri geometrice din tablă. Odată ce se roteau cu mare viteză, se putea vedea uşor corpul de rotaţie generat. Era astfel ajutată imaginaţia copiilor în înţelegerea acestor probleme. Profesorul nostru nu avea un astfel de aparat la şcoală, aşa că m-am oferit să aduc unul de la liceu, de la laboratorul de matematică al  părinţilor mei. Nu ştiu cât de mult i-a ajutat pe colegii mei, dar mie mi-a oferit o experienţă colaterală memorabilă.

Ştiind că aparatul este greu, am cerut să vină un coleg cu mine şi l-am ales pe colegul care era cel mai tare în clasă la matematică. Pe drum către liceu am început un joc. La rând alegeam o formulă de arie sau volum şi vedeam care o zice primul corect. Colegul respectiv le învăţase pe-de-rost, pe când eu m-i le deduceam fiecare în cap. Una din cinci le nimerea el mai repede corect. La celelalte zicea el înaintea mea, dar eu îi demonstram imediat de ce nu are dreptate şi care este formula corectă. Această mică lecţie de viaţă mi-a arătat că pot să mă bazez mult mai bine pe judecată decât pe memorie. Şi acum, ca profesor, nu le dau elevilor formulele, ci le cer să le deducă pe rând, iar eu doar le scriu pe tablă. Cei care intră în acest joc şi acceptă să gândească nu le vor mai uita nici odată. Există doar câteva formule care trebuie învăţate pe-de-rost pentru că nu pot fi deduse accesibil în minte (înălţimea în tetraedrul regulat sau volumul acestuia sunt greu de dedus în cap; la formulele sferei, eu le ofer elevilor pseudo-deduceri, care sunt însă accesibile în minte: Arhimede a arătat că aria sferei este de patru ori aria cercului etc.).

Legat de aparatul respectiv de rotit figuri, trebuie să precizez că aş fi putut să-mi fac de multe ori şi eu unul, ca profesor: dintr-un mixer vechi, sau pe baza unei maşini de găurit cu piesele de prins uşor în mandrină. Dar, NU! Eu am preferat să le povestesc elevilor de fiecare dată întâmplarea din copilărie şi să le prezint fenomenul corpurilor de rotaţie în imaginaţie. Consider că este mult mai bine să le folosim şi să le antrenăm elevilor cât mai des imaginaţia. Orice matematician care îşi analizează cum îi gândeşte mintea va recunoaşte importanţa deosebită a unei imaginaţii bine dezvoltate.

Cam acestea ar fi tot ce ţin minte din gimnaziu şi merită a fi evocat într-o discuţie despre matematică. Totuşi, ar mai fi două-trei momente ce ar trebui amintite.

Primul ar fi o întâlnire specială. Părinţii mei au organizat în aceşti ani un simpozion naţional de matematică. Cu ocazia respectivă l-am cunoscut pe Academicianul Nicolae Teodorescu, preşedintele din acea vreme a SSM (Societăţii de Ştiinţe Matematice din România). Mare lucru nu am înţeles atunci din acea întâlnire, dar mi-a oferit de-a lungul anilor un motiv de mândrie: avusesem în copilărie o întâlnire cu unul dintre marii matematicieni ai ţării.

A doua întâmplare deosebită nu este legată direct de matematică, dar merită totuşi amintită. Tata îşi pusese în minte să construiască în Victoria un observator astronomic, sub tutela unui alt academician, Profesorul Gheorghe Chiş de la Universitatea din Cluj. Totul mergea bine, se achiziţionase un telescop cu oglinda de 20 cm, pe inventarul liceului unde era tata titular, se lucra la amenajarea unui vechi turn de apă şi ultimele amintiri le am că lucrau cu un inginer la proiectarea roţii dinţate pe care urma să se rotească cupola observatorului. Apoi a picat vestea cea grea: Profesorul Chiş a murit neaşteptat. Din acel moment s-au năpustit “şacalii”: diferiţi indivizi suspuşi din oraş au început să cârcotească şi să reclame că din observator, cu ajutorul telescopului se va putea spiona în combinatul chimic unde erau obiective de nivel strategic. Aşa că foarte repede proiectul a fost îngropat şi nici o dată nu s-a mai repornit. Acel telescop nu a fost folosit nici o dată şi s-a distrus prin oxidare datorită neîntreţinerii.

Şi pe domnul academician Gheorghe Chiş îl ţin minte; l-am cunoscut când a fost în vizită acasă la părinţii mei. Peste ani am aflat că şi un verişor de-al bunicului meu este academician: Profesorul Radu Grigorovici.

Al treilea moment special demn de amintit ar fi următorul. Pe vremea respectivă exista o emisiune la televizor, Teleşcoala, ce era difuzată înainte-de-masa şi în care erau prezentate diferite lecţii. Concret câte o profesoară stătea la tablă şi explica lecţia în timp ce era filmată. Prin această emisiune ministerul se ocupa de perfecţionarea dascălilor. Totodată aici erau prezentate noile lecţii introduse în programă.

În cadrul reformei şcolare de la sfârşitul anilor 70 a fost introdusă, la început în liceu, noţiunea de congruenţă. Pentru exemplificarea pe Congruenţa triunghiurilor la teleşcoala a fost aleasă de către realizatorul TVR tocmai mama mea (domnul respectiv se rătăcise prin Victoria şi aşa s-au întâlnit). Ca urmare am ajuns să o văd şi pe mama la televizor! Atunci, în 1980, la televizor n-am înţeles mare lucru – noi în gimnaziu foloseam noţiunea de egalitate – dar am avut ocazia să revăd lecţia respectivă pe viu în liceu, cu mama ca profesoară de matematică la catedră.

Ca profesor m-am confruntat peste ani puternic cu acest subiect. Noi învăţasem geometria din gimnaziu în limbajul vechi: două segmente erau egale, lecţia respectivă se numea Cazurile de egalitate a triunghiurilor, unghiurile – cu acoperiş deasupra – nu aveau măsură, ci erau egale cu 45o, iar despre axiome mare lucru nu ştiam. În schimb, majorităţii elevilor ne plăcea geometria! Când am reluat-o în liceu, în clasa a IX-a, nu am avut nici o problemă să trecem la scrierea nouă, mult mai riguroasă, cu congruenţă şi măsura unghiurilor. Cu axiomele însă, ţin minte că ne luptam şi ca profesori, pe vremea examenului de definitivat.

Când am ajuns profesor, elevii trebuiau să folosească direct scrierea riguroasă, iar eu având o empatie mai dezvoltată simţeam puternic chinul lor de-a înţelege de-odată o materie nouă şi un limbaj prea încărcat, despre care ştiam că este artificial încărcat.