Teroarea matematicii

De curând s-a petrecut în SUA o întâmplare ciudată care spune multe despre cum este percepută matematica de către omul de rând. Întâmplarea a fost relatată de către “Washington Post“, dar a fost preluată ulterior şi de alte surse pe net. Prezentarea de faţă este după “Der Spiegel”.

Guido Menzio este profesor de economie la University of Pennsylvania, unde se ocupă cu cercetarea fluctuaţiilor cotelor de şomaj şi a echilibrului preţurilor pe pieţele de produse. Ecuaţiile diferenţiale complicate fac parte din activitatea sa zilnică. Acestea i-au creat însă mari probleme atunci când a vrut să zboare într-o deplasare.

Scurt înainte de decolare, fiind deja scufundat în calculele sale, a fost rugat de către un însoţitor de bord să-l urmeze. De ce? Vecina sa din avion, văzându-i semnele ciudate aşternute pe hârtie, le-a considerat însemnări într-o limbă străină ciudată, pe el văzându-l drept un terorist.

Iniţial a declarat că se simte rău, dar după ce avionul a fost întors la poartă, pasagera respectivă a prezentat agenţilor de securitate suspiciunile sale faţă de comportamentul ciudat al vecinului său. Apoi a fost chemat şi Menzio în aeroport şi chestionat: „mi-au spus că femeia era îngrijorată, că aş putea fi un terorist, pentru că scriam semne ciudate în carneţelul meu de notiţe”.

După lămurirea neînţelegerii, avionul a decolat cu o bună întârziere, Menzio la bord, dar fosta sa vecină nu, susţinând că totuşi nu se simte bine şi alegând să aştepte zborul următor.

La noi în şcoala românească, prin analogie, ne-am putea pune întrebarea „câţi profesori de matematică sunt consideraţi adevăraţi terorişti de către elevii lor?”. Pentru că, din păcate, foarte mulţi consideră că o doză bună de frică este singura cale spre a-i face pe elevi să înveţe.

Terorisul Al-Gebra

Ordinea operaţiilor pe internet

Prin primăvară devenise virală, mai ales în Japonia, următoarea “problemă”, la care foarte mulţi dădeau un răspuns greşit:

Ceea ce în mod normal, noi, ca profesori am numi “exerciţiu”, certându-i eventual pe elevii care l-au greşit, acesta a devenit pe internet, în zona adulţilor, o adevărată “problemă”. Un studiu a arătat că doar 60% din tinerii de peste 20 de ani au rezolvat-o corect, faţă de un rezultatul de 90% al unui studiu similar din anii ‘80.

Ce se întâmplă? Lăsându-i de-o parte pe cei care greşesc la ordinea operaţiilor şi efectuează mai întâi scăderea, cei mai mulţi ajung la un răspuns greşit pentru că efectueză exerciţiul pe un calculator, chiar şi unul “ştiinţific”, unde segmentul central al exerciţiului este tradus drept 3 : 1 : 3 = 1, în loc de 3 : 1/3 = 9. O variantă mai corectă, fără folosirea fracţiilor, ar fi 3 : (1 : 3), dar şi aceasta ridică anumite probleme pe diferite calculatoare. Astfel, dintre răspunsurile incorecte, cele mai dese erau 3, 7 sau 9.

Legat de ordinea operaţiilor,  chiar şi numai despre acest aspect se găsesc multe exemple pe internet. Iată unul simplu, în forma sa “americănească”, (având ataşată şi o poză a lui Einstein pentru impresia artistică): Only for genius??  3 – 3 x 6 + 2 = ??

­Datele din această postare sunt preluate de la adresa https://www.yahoo.com/news/lot-people-having-trouble-math-161950574.html

Einstein, Zweistein şi cu Rammstein

Antrenorul Român al olimpicilor SUA la matematică

Prezenta postare este un comentariu la articolul Românul care antrenează lotul internațional al olimpicilor SUA la matematică: Folosesc în pregătirea lor probleme românești din perioada interbelică (Raluca Ion, Republica).

Articolul este binevenit şi din prisma faptului că în 2018 ţara noastră va găzdui din nou Olimpiada Internaţională de Matematică (chiar la Cluj!). Să luăm câteva citate din acest articol (prezentate înclinat):

La 49 de ani, Răzvan Gelca este cel mai în vârstă antrenor al lotului olimpic de matematică din SUA. Majoritatea colegilor săi antrenori i-au fost la un moment dat elevi şi a împărţit cu ei moştenirea pe care a adus-o din ţară: 120 de ani de Gazeta Matematică.

Pasiunea lui pentru concursurile de matematică a început în urmă cu 35 de ani, la Timişoara, şi a crescut cu ajutorul a trei profesori foarte buni: profesorul Ion Călugăru, care încă din clasa a VI-a le dădea elevilor săi să rezolve probleme din Gazeta Matematică, profesorul Titu Andreescu, care avea să devină liderul lotului olimpic american şi profesorul Gheorghe Eckstein, el însuşi fost olimpic internaţional la matematică. În anul 1985, când era în clasa a XII-a, a câştigat medalia de aur la Olimpiada Internaţională de Matematică.

„Regimului îi convenea să arate că în România se face matematică foarte bine, dar cred că meritul era al şcolii de matematică însăşi, care începuse să crească în direcţia asta a concursurilor de tip olimpiadă încă de dinainte de război şi care a mers ascendent. România a avut o cultură de probleme de tip olimpiadă foarte bogată, care se pot găsi în anii ’20-’30. Eu încă folosesc probleme din perioada interbelică, în special de geometrie, pentru lotul american de matematică. Gazeta matematică are o istorie de peste 100 de ani şi, cumva, a dat tonul concursurilor şi a creat acest tip de probleme”, spune profesorul român.

Patru dintre cei 14 antrenori care au pregătit în această vară tinerii talentaţi la matematică sunt români. Nu este o surpriză, dacă iei în calcul faptul că prima ediţie a Olimpiadei Internaţionale de Matematică a avut loc în 1959 în România. Problemele româneşti din Gazeta Matematică au devenit în timp standardul pentru acest gen de concursuri. „Gazeta matematică a dat tonul concursurilor şi a creat acest tip de probleme, care sunt folosite şi astăzi. Paradoxul este că românii au încercat să imite nişte reviste franţuzeşti şi belgiene, ca să aibă propriile lor reviste. La sfârşitul secolului 19, un grup de matematicieni şi ingineri au ajuns la concluzia că în România nu se ştia multă matematică, era un deşert tehnic. Ideea lor era să încurajeze studiul individual, cu ajutorul unei reviste, în care oamenii să găsească probleme. Şi asta a funcţionat”, este de părere matematicianul.

Care este cea mai bună cale pentru a-i învăţa pe copii matematica? „Matematica ar trebui predată într-un mod intuitiv şi să fie aplicată unor lucruri concrete, familiare elevilor. Mai ales în gimnaziu, ar trebui să se insiste pe probleme care pleacă din viaţa de zi cu zi, prin care atât părinţii cât şi elevii să vadă utilitatea matematicii”, spune acesta.

Am preluat din articolul de pe Republica doar citatele ce ating situaţia matematicii şcolare din România. Să analizăm câteva dintre acestea. Pentru înţelegerea liniei discursului, trebuie scos în evidenţă faptul că dl. Răzvan Gelca a absolvit liceul, ca şi subsemnatul, în 1985. Deci a învăţat în clasele gimnaziale din manualele lui A. Hollinger şi Eugen Rusu, conţinând o matematică profund naivă, destul de intuitivă şi cu dese conexiuni practice. Din Gazeta Matematică a început să lucreze din clasa a VI-a (ca şi mine), înaintea reformei din 1980. În liceu a învăţat geometria din manualele echipei de la Cluj, condusă de doamna Mariana Răduţiu (vezi detalii despre perioada respectivă în postarea Reforma uitată (partea I)). Şi alte aspecte prezentate de către dl. Răzvan Gelca în acest interviu se suprapun cu prezentările din respectivul articol (poziţia regimului politic etc.).

Cât despre sfatul din final, răspunsul la întrebarea despre cea mai bună cale pentru a-i învăţa pe copii matematica?, comentariul poate fi doar unul singur: q.e.d.! O completare la acest răspuns, legată  de utilitatea matematicii, ar fi că ar trebui ajuns în situaţia ca elevii şi părinţii de gimnaziu să simtă utilitatea matematicii, şi asta nu doar în promovarea examenelor, ci şi în procesul matematic însăşi, în aspectele formatoare de gândire ale matematicii.

10 Aug. 2016

Prof. Titus Grigorovici

Mihai Maci – Schimbarea din interior a învăţământului românesc este imposibilă Analiza unui interviu acordat d-nei Codruţa Simina

Următoarele gânduri sunt preluate din interviul Codruţei Simina, publicat în 24.05.2016, cu ocazia lansării cărţii “Anatomia unei imposturi. O şcoală incapabilă să înveţe”. Mihai Maci este lector la Departamentul de Relaţii Internaţionale al Universităţii Oradea. Citez în continuare câteva gânduri din acest interviu: Mihai Maci: “Schimbarea din interior a învăţământului românesc este imposibilă”.

Ministerul ţine în frâie întregul învăţământ cu două chingi. Una dintre ele este programa: niciun profesor nu poate inova faţă de programă; de ce? – pentru că orice inovaţie faţă de programă ar fi sancţionată de examene.

Examenele sunt naţionale şi sunt unice şi, în măsura în care profesorul nu face pregătirea pentru examene, elevii lui nu vor lua examenul şi, ca atare, el va fi sancţionat. Va fi sancţionat de părinţi, şi abia după aceea de şcoală şi de Inspectorat.

A doua chingă cu care ţine Ministerul în frâu întregul sistem de învăţământ este salarizarea. (…) Ca atare, oamenii înţeleg, oamenii îşi dau seama de ceea ce fac, că nu este bine. (…) posibilităţile de a schimba lucrurile din interiorul sistemului sunt cvasi-nule. Poţi să ajuţi un elev sau un student care este mai bun (…) Dar, din interiorul sistemului – şi prin sistem înţeleg învăţământul instituţional, inclusiv cu componenta programelor lui -, schimbarea este imposibilă la ora actuală. (…)

Ideile referitoare la un alt tip de şcoală ar fi putut să prindă foarte bine la jumătatea anilor ’90, ar fi putut crea un siaj în urma căruia societatea românească ar fi arătat altfel în ziua de azi.(…) Merită citit acest articol, în care sunt punctate şi analizate, chiar  criticate unele reminiscenţe osificate ale socialismului, rămase în educaţie.

*

Despre faptul că învăţământul românesc a ratat ocazia de a se debarasa de forma socialistă de educaţie, la începutul anilor ’90, am mai scris. S-a ratat atunci o ocazie uriaşă, pe care, de pildă, Ungaria a folosit-o din plin imediat după Revoluţie. Aş dori însă să analizez un pic chingile cu care sistemul cu reminiscenţe osificate socialiste ne domină activitatea educaţională, mai exact pe prima dintre cele două enumerate de Mihai Maci.

Dânsul exprimă în acest interviu ideea că programa îi împiedică pe profesori să evolueze în direcţia îmbunătăţirii educaţiei pentru că vor fi sancţionaţi la examenul de final de ciclu. Să nuanţăm un pic. Eu cred că cele două mari examene, cel de Evaluare naţională şi cel de Bacalaureat sunt nişte capete de drum destul de fireşti, în condiţiile actuale chiar cu efect benefic motivant (cine ar mai învăţa fără examene la sfârşit de ciclu?). Consider suportabilă pentru învăţători şi elevi chiar şi verificarea de Evaluare naţională la sfârşitul ciclului primar, în condiţiile informative actuale. O astfel de formă de evaluare pe ciclu ar lăsa în principiu dascălului responsabil libertatea de a căuta măcar căi educative mai eficiente în cadrul unei programe generale de parcurs în acel ciclu. Însă introducerea Evaluării naţionale la jumătatea drumului (clasele 2 respectiv 6) îngrădeşte posibilitatea unor astfel de iniţiative cât de cât inovative prin rearanjarea materiei în cadrul unui ciclu. În acest sens, obligativitatea programelor pas cu pas este cea care exercită cea mai mare îngrădire asupra dascălului. Degeaba acesta intuieşte că elevii ar avea nevoie de un anume subiect, în loc de cel din programă, când el se simte tot timpul vulnerabil în faţa unor controale care i-ar cere instant planificarea; iar aceasta, planificarea, trebuie să fie concepută conform programei. Absurdul a ajuns la nivelul că, nici culegeri pentru elevi nu mai scrie nimeni, decât “conform programelor în vigoare”. Aici trebuie căutate reminiscenţe osificate ale educaţiei socialiste.

Programa este obligatorie pentru că trebuie să permită, teoretic, oricărui elev bun la o materie participarea la olimpiadele şcolare, simultan cu cei din alte şcoli. Acest argument ţinea în urmă cu zece ani, dar acum interesul pentru olimpism a scăzut puternic în societate. Aşa că, dacă ne gândim bine, Evaluările naţionale pentru clasele 2 şi 6 reprezintă momentan cea mai bună justificare – la nivelul tuturor elevilor – pentru obligativitatea parcurgerii programei oficiale în rând cu toţi. Deci, eu consider că programa, trebuie să fie considerată într-adevăr prima chingă de manevrare a dascălilor la nivelul preuniversitar, dar nu prin prisma examenelor de sfârşit de ciclu, ci mai ales prin obligativitatea ei pas cu pas şi verificarea ei cât mai des. Desigur că aici am tratat doar idea unor inovaţii care să rămână în ramele programei generale de ciclu cerută la examenul de final (8/12). În cazul unor inovaţii mai puternice problema devine şi mai gravă.

Mihai Maci aminteşte şi părinţii în această “conspiraţie educaţională” de îngrădire a dascălilor, dar eu aş aduce în discuţie inclusiv inerţia dascălilor însăşi, care formaţi fiind în acest sistem, reprezintă chiar ei prima piedică împotriva propriei lor evoluţii. Eu predau din 1990 şi mă lupt din 1995 să îmi îmbunătăţesc stilul şi forma de predare, acordându-mi foarte multe libertăţi în acest sens. Am evoluat mult, dar prea încet pentru cât mi-aş fi dorit, iar principalul obstacol în această evoluţie nu a fost nici examenul de sfârşit de ciclu din fiecare an, nici chiar programa cu ciudăţenile ei, nici părinţii pe care a trebuit să-i înfrunt, ci în primul rând paradigma deja implantată în mine din liceu, din facultate şi din primii ani de predare. Iar cu această parte din mine a fost foarte greu de luptat. Ca să scurtez pledoaria, consider că metodica introdusă la reforma din 1980 şi formarea dascălilor în spiritul ei şi după revoluţie, aceasta reprezintă o chingă la fel de solidă, dar diabolic ascunsă, prin care ministerul ţine în loc o posibilă dezvoltare a învăţământului românesc. Degeaba ar avea dascălii salarii mai mari, dacă nu ştiu cum, nici măcar nu ştiu că ei ar trebui să-şi schimbe stilul de predare. În cazul multora dintre noi nu este aplicabilă nici măcar vorba lui Ghandi: Fi tu schimbarea care vrei să o vezi în lume!.

Prof. C. Titus Grigorovici

100 de studenţi – Matematică distractivă în GM

Discutând prin primăvară cu elevii de clasa a VIII-a, am concluzionat că matematica distractivă este atunci când Profu’ se distrează de elevi, că ei nu ştiu problema :-).

De curând petreceam o Duminică dimineaţă însorită în compania unei ceşti de cafea, lecturând nişte vechi caiete de Gazeta Matematică din 1966-1967 (de când am venit noi pe lume), căutând probleme de folosit la clasă. Vecinul ne tot bâzâia să-i dăm probleme de matematică “din-alea faine”, iar noi îi tot propuneam câte o problemă de matematică distractivă. Când o termina, mai cerea, iar tot anturajul se distra de bucuria sa. În aceste condiţii am găsit în GM seria B, Nr.1 din 1967 următoarea problemă dintr-un set cu titlul Probleme date la Olimpiada matematică din Anglia (problema 7916):

O sută de studenţi de înălţimi diferite sînt aranjaţi într-un pătrat de 10 rînduri şi 10 coloane. În fiecare rând studentul cel mai înalt este selectat, apoi studentul cel mai scund din cei selectaţi este marcat cu A. În fiecare coloană este selectat studentul cel mai scund, apoi studentul cel mai înalt dintre cei 10 studenţi selectaţi este marcat cu B. Dacă A şi B sînt persoane diferite, găsiţi care dintre ele este mai înaltă şi de ce?

Ne-am tot gândit, el a reuşit o rezolvare într-un caz particular, dar nimic mai mult. Apoi, rezolvarea mi-a venit în minte în vis, în somnul binemeritat de după-amiază (vis cu un mic iz de coşmar, pentru că tot pierdeam numărătoarea coloanelor). Când m-am trezit am aşterut rezolvarea pe hârtie, cu desenul celor 100 de studenţi ca o tablă de şah de 10×10, şi am realizat cât este de simplă problema noastră. Dar, de fapt, aşa sunt toate problemele de matematică distractivă: simple, dar cu rezolvarea bine ascunsă.

Titus Grigorovici

Matematica naivă, exemple (2)

Dacă ajungi într-o capitală mondială ca turist – de pildă Roma – ai foarte multe de vizitat. Fie că ajungi la Roma pentru două zile, fie că ajungi pentru o săptămână, oricum ai aceeaşi problemă: să stabileşti care sunt cele mai importante locuri de vizitat în sejurul tău. Pentru alegerea respectivă apelezi la un ghid: sau mergi cu un grup organizat cu un ghid, sau cumperi un ghid scris, sau te îndrumă o cunoştinţă. De la acesta îţi doreşti să fi îndrumat în ordinea importanţei şi vei fi supărat dacă ai fi fost plimbat de pildă la nenumărate biserici, dar nu ai văzut Columna lui Traian.

Capitolul despre Cerc se aseamănă foarte mult cu un astfel de oraş: sunt foarte multe de văzut, iar elevii trebuie îndrumaţi în funcţie de timpul alocat şi de nivelul clasei, astfel încât să vadă ce este mai important în condiţiile date. Din păcate şi aici programa gafează profund chinuind copiii cu o lecţie fără sens, rămasă acolo din vremuri de demult, ca parte dintr-o construcţie de rigurozitate universitară ciudată. Să analizăm situaţia.

Capitolul începe cu lecţia introductivă despre definiţie, rază, diametru, coardă, arc, semicerc etc. Lecţia a doua face legătura între măsura de unghiurilor la centru şi măsura arcelor de cerc. Să analizăm lecţia a treia: Coarde şi arce în cerc; diametru perpendicular pe o coardă; arce cuprinse între coarde paralele; coarde egal depărtate de centru (lecţie pe care unii profesori o şi întind pe două ore. Pentru ce este bună această lecţie? La ce îi folosesc aceste teoreme elevului? Analizând “utilitatea” lor, ajungem la concluzia că acestea reprezintă trei sferturi dintr-un drum ce ar trebui să demonstreze că tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. Această ultimă teoremă însă nu se demonstrează, aşa că teoremele din lecţia a treia nu îşi au nici un rost. Elevii sunt chinuiţi gratuit cu nişte teoreme fără sens! Singurul aspect ce se opţine clar este înverşunarea şi scârbirea şi mai profundă a elevilor împotriva geometriei.

Dacă ne întoarcem la ideea de matematică naivă, teoremele din lecţia a treia nu au pentru elevi niciun rost. În primul rând, că demonstrează adevăruri intuitiv evidente. Apoi, informaţiile respective nu se folosesc în nici o problemă: profesorii au dificultăţi în a găsi aplicaţii la aceste teoreme! Singurul raţionament ce se foloseşte de aici este faptul că triunghiul determinat de două raze şi o coardă este isoscel. Dar pentru asta oricum nu ai nevoie de vreo teoremă specială.

Aici se ridică o mare întrebare: pentru ce parcurgem anumiţi itemi? De pildă, de ce parcurgem o anumită teoremă? În principiu, pentru elevi această întrebare are două-trei răspunsuri: fie pentru utilitatea sa (ca aplicaţii în probleme sau în susţinerea unei alte teoreme importante), fie pentru demonstraţia sa deosebită. Dacă o teoremă este foarte importantă prin prisma aplicaţiilor, dar are o demonstraţie foarte grea, atunci teorema poate fi dată naiv, pe încredere, adică fără demonstraţie, elevii bucurându-se în schimb de aplicaţii uşoare. Este cazul teoremei tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact, care permite aplicaţii uşoare cu teorema lui Pitagora, dar şi parcurgerea în continuare a teoremei “ciocului de cioară” despre cele două tangente de la un punct la un cerc. Teorema despre măsura unghiului înscris în cerc are şi o demonstraţie frumoasă, dar şi aplicaţii interesante.

Nu-i clar ce înţelege onor Ministerul prin propuneri inovative de programă, dar eu consider că astfel de criterii ar trebui să stea la baza alegerii lecţiilor şi a itemilor de parcurs. De exemplu, eu din prima lecţie de la cerc concluzionez că două raze împreună cu coarda determinată de acestea formează un triunghi isoscel, după care elevii şi primesc aplicaţii de calcul cu teorema lui Pitagora în triunghiul isoscel respectiv. În lecţia a doua parcurg Cercul lui Thales (două coarde cu un capăt comun iar celelalte două capete diametral opuse sunt perpendiculare), demonstată cu triunghiuri isoscele, şi teorema cu tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact, fără demonstraţie. Din acest moment am multe aplicaţii, elevii găsind un sens în lecţiile acestui capitol. Iată şi un exemplu de aplicaţie în sensul construcţiilor cu rigla şi compasul: folosind Cercul lui Thales se pot trasa înălţimile într-un triunghi dat, doar cu rigla şi compasul.

În ultimii ani am încheiat acest capitol cu două teoreme duale, în pereche, ce nu le parcurg pentru vreo aplicaţie a lor, ci doar pentru frumuseţea demonstraţiei. Fiecare demonstraţie în sine nu este deosebită. Privite însă împreună, cele două teoreme cu demonstraţii corespunzătoare trezesc în rezolvitor acea stare mult dorită de uimire, caracterizată simplu printr-un mare “UAU!”. Este vorba despre proprietatea unghiurilor patrulaterelor înscrise în cerc (inscriptibile), respectiv proprietatea dual-omoloagă a laturilor patrulaterelor circumscrise unui cerc (circumscriptibile). În imaginea de mai jos puteţi vedea blocul principal al acestei lecţii

Numărul π nu apare în capitolul despre cerc, ci într-un capitol artificial, imediat după cerc. De ce îl cataloghez drept artificial? Pentru că acest capitol dă mai multă atenţie celor trei poligoane regulate importante decât drumului către numărul π. Oricum, drumul respectiv nu este parcurs în lecţii, chiar existând profesori care “o lălăie” într-atăt încât nici nu mai ajung la numărul π în clasa a VII-a.

Pentru început, în acest proces noi măsurăm circumferinţa diferitor obiecte circulare şi calculăm raportul faţă de diametrul cercului, obţinând diferite valori între 3 şi 3,2 (la diferite oale este cel mai folositor un metru de croitorie). Ca exemplu mai special, în curtea şcolii noastre avem un teren circular de beton; vă puteţi închipui ce distracţie a fost în ultimii ani în cadrul Săptămânii Şcoala Altfel, când am măsurat cu o sfoară şi cu mulţi elevi circumferinţa terenului.

La un nivel intelecual mai înalt, după ultima problemă de la Examenul de Evaluare Naţională din iunie 2016, eu oricum m-am hotărât să parcurg şi octogonul regulat (cu unghiul la centru de 45o la fiecare felie-triunghi isoscel) cât şi dodecagonul regulat (cu unghiul la centru de 30o), studiind perimetrul şi aria, şi procesul în care acestea se apropie de valorile cercului. Apropos, verificaţi cât de uşor se poate arăta că aria dodecagonului regulat înscris în cercul de rază r este exact 3r2, folosind pentru calcularea ariei fiecărei felii 1/12 doar teorema despre cateta opusă unghiului de 30o. Pentru calcularea perimetrului poligonului regulat cu 12 laturi trebuie însă muncit însă ceva mai mult. Lucrând cu aproximări de trei zecimale, se obţine în final raportul perimetru/diametru de 3,10 (doar pentru elevii de 10).

O apropiere mai bună de valoarea lui π am obţinut, mult mai uşor şi pe mintea tuturor, printr-o altă abordare de tip Laboratorul de matematică. Astfel, elevii au desenat pe caietul de matematică, cu pătrăţele de 0,52 = 0,25cm2, un cerc cu raza de 5cm (prin triunghiul egiptean, avem garanţia unei exactităţi deosebite în câteva puncte de pe cerc). Elevii au trebuit să determine pur şi simplu aria discului prin aproximaţie, numărând cm2, jumătăţile şi sferturile, cât şi aproximări ale resturilor pătrăţelelor rămase. Rezultatul de 78 : 25 = 3,12 pentru raportul dintre aria cercului şi aria pătratului pe rază este unul foarte bun şi orice elev îl înţelege. Vedeţi această parte de lecţie cu matematică naivă în următoarea imagine. Trecerea de la aceste rezultate (atât la perimetrul cercului cât şi la aria discului) la cunoscutul 3,14 se face pe încredere şi toţi elevii sunt bucuroşi că au înţeles despre ce este vorba.

1 august 2016

Prof. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă, Matematica naivă, exemple (1)

Matematica naivă, exemple (1)

Unori Ministerul Educaţiei nu mai ştie ce să facă, aşa că oferă profesorilor ocazia să vină ei cu o propunere inovativă de programă. Ce înseamnă aceasta şi în ce direcţie trebuie o astfel de propunere să fie inovativă, asta nu este clar, deşi, poate era mai bine dacă ministerul împreună cu toate structurile sale de management a educaţiei dădeau nişte linii ghidante. Noi, oamenii de rând nu putem vrăji “la comandă” idei care să fie cu adevărat novatoare, dar totodată şi verificate în sensul eficienţei în condiţiile din ţara noastră. Pe de altă parte, nu se ştie nici odată “de unde sare iepurele”, adică de unde apare o idee bună. Am prezentat în eseul despre matematica naivă câteva idei despre acest nou concept de prezentare a cunoştinţelor matematice în funcţie de posibilităţile şi nevoile vârstelor elevilor, nu în funcţie de dorinţele foştilor diriguitori din Olimpul matematicii româneşti. Totuşi, conceptul este neclar şi prin faptul că îi lipsesc exemple de aplicare în viaţa de zi cu zi. Pentru aceasta voi încerca să prezint câteva situaţii din matematica gimnazială, acolo unde gradul de naivitate necesar este încă mai mare.

Să luăm un exemplu dublu pentru a clarifica lucrurile. Una din marile “minuni” cu care matematica gimnazială s-a catadicsit la reforma din 1980 a fost demonstraţia prin metoda reducerii la absurd. Aceasta era însă atât de inaccesibilă elevilor încât nu a reuşit să penetreze nici măcar fondul de probleme pentru olimpiade. Totuşi, era acceptată oficial şi păstrată în materie datorită celor două mari demonstraţii tradiţionale ce o foloseau: demonstrarea iraţionalităţii lui  venită de la marele Euclid şi demonstrarea congruenţei unghiurilor alterne interne venită din axiomatizarea radicală a geometriei din jurul anului 1900 (amândouă erau în materia clasei a VI-a, dar capitolul despre rădăcina pătrată a fost mutat la sfârşitul anilor ‘90 în clasa a VII-a). Aceste demonstraţii nu se mai fac de mult cu elevii la clasă, dar abordarea şi ordonarea materiei în funcţie de ele este păstrată şi la ora actuală, fără ca lumea să fie conştientă de acest fapt. Să lămurim pe rând cele două situaţii.

Ordonarea materiei în jurul temei TRIUNGHIUL era în anii ‘80 următoarea: triunghiuri şi construcţia lor; cazurile de congruenţă ale triunghiurilor; proprietăţile triunghiurilor isoscele; drepte paralele; axioma paralelelor şi unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă; suma unghiurilor în triunghi (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a, autori Ion Cuculescu, Constantin Ottescu, din cele două exemplare ce le am pe-acasă, cel din 1979 şi cel din 1988). Punctul central al acestei secvenţe de lecţii era teorema de legătură între congruenţa unghiurilor alterne interne şi paralelismul dreptelor cu demonstrarea prin reducere la absurd, folosind congruenţa a două triunghiuri. De-abia după aceasta se putea demonstra şi suma unghiurilor în triunghi.

Ordonarea materiei la ora actuală este cam aceeaşi, în afara de demonstrarea ciudatei teoreme care nu se mai face la clasă de cca. 20 ani. Actualmente, legătura între dreptele paralele şi congruenţa unghiurilor alterne interne se face pe încredere, pentru că aşa zice profesorul. O a doua diferenţă faţă de anii ’80 este că depărtarea dintre prima lecţie despre triunghi şi momentul când se învaţă suma unghiurilor a crescut şi mai mult, între acestea parcurgându-se în prezent şi un capitol serios despre perpendicularitate.

Ce se întâmplă în aceste condiţii la clasă, depinde de la un caz la altul. Din multele variante în care elevii află despre acea sumă miraculoasă de 180o, doresc să evoc una, de care am aflat anul şcolar trecut. Profesorul de la clasă parcurge materia conform programei; aşa, măcar elevii nu ştiu despre ce-i vorba şi basta! Dar în piesa de teatru a acelei şcoli mai exista şi personajul numit profesorul de la opţional, care nu se simţea deloc dator a respecta programa colegului. Astfel, elevii află la opţional că suma unghiurilor ar fi de 180o, cu observaţia evidentă că profu’ de la clasă încă nu poate/nu vrea să v-o divulge. Eu nu doresc întoarcerea la vremurile de rigurozitate extremă din anii ’80-’90, dar nici o batjocură de felul acesta nu accept, la adresa gândirii logico-matematice pe care tocmai ne pregătim să le-o inducem elevilor.

O propunere inovativă simplă de aplicat de către orice profesor, pentru această parte de materie, ar fi studierea unghiurilor formate de două paralele cu o secantă înaintea lecţiei despre triunghi. Aceasta se poate face la fel ca în formatul actual, adică deducând intuitiv congruenţa unghiurilor corespondente, alterne interne etc. Eu, de pildă, folosesc aici o translaţie prin care justific congruenţa unghiurilor corespondente, iar apoi celelalte congruenţe se deduc uşor cu unghiuri opuse la vârf. Această mutare îmi permite includerea în prima lecţie despre triunghi a sumei unghiurilor, cu demonstraţie cu tot! Adică, din prima lecţie elevii învaţă definiţia, elementele, perimetrul şi suma unghiurilor în triunghi, având din start cea mai importantă proprietate a tringhiului. Nu mai insist cât de mult se simplifică lecţiile ulterioare despre triunghi, dacă avem de la început suma unghiurilor. Eu predau în acest format din anul şcolar 1994-1995 şi pot doar să privesc cu durere cum sunt chinuiţi majoritatea elevilor din celelalte şcoli, în formatul vechi. Ca o ultimă observaţie la acest subiect, trebuie precizat că ordinea din această propunere este similară cu ordinea existentă în manualele din anii ’70 ale profesorului A. Hollinger.

Abordarea temei despre RĂDĂCINA PĂTRATĂ se făcea în anii ‘80 în felul următor: rădăcina pătrată dintr-un număr natural pătrat perfect; rădăcina pătrată dintr-un număr raţional nenegativ; rădăcina pătrată cu aproximaţie de o unitate prin lipsă dintr-un număr raţional nenegativ; numere iraţionale; extragerea rădăcinii pătrate (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a din 1979, autori C. P. Popovici, I. C. Ligor). Primele lecţii prezentau câteva elemente introductive greu de înţeles pentru elevul de rând, după care se trecea la demonstrarea iraţionalităţii lui  (demonstraţia arhi-cunoscută prin reducere la absurd), iar în final apărea şi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Exerciţiile rămâneau însă în zona aritmetică de extragere exactă sau aproximativă a rădăcinii pătrate. Urma un capitol despre mulţimi elementare de numere, în care se prezentau mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale respectiv reale. Acolo găsim câteva întrebări în care copiii erau verificaţi dacă ştiu că ş.a. nu sunt raţionale. Atât! Tot restul clasei a VI-a elevii rămâneau în zona aritmetică a rădăcinii pătrate pe care o exersau cu orice ocazie (mai urmau capitolele despre rapoarte şi proporţii, şi despre procente). De-abia în clasa a VII-a elevii treceau la calcule cu numere iraţionale, calcule ce reprezintă nivelul algebric al operaţiilor cu radicali.

Odată cu mutarea capitolului despre rădăcina pătrată în clasa a VII-a, mutare efecuată la finalul anilor ’90, cele două părţi – cea aritmetică şi cea algebrică – au fost cumulate într-un capitol, partea aritmetică pierzându-şi mare parte din perioada sa de aplicaţie/dospire. Actualmente, elevii stau cca. o săptămână în starea aritmetică, după care se trece la calculul algebric cu numere iraţionale.

Oare, este bine aşa? Ce înţelege un elev, dacă scrie  (forma algebrică) şi ce înţelege el din forma aritmetică ? Forma aritmetică este una clară, practică, chiar dacă nu este super-exactă. Forma algebrică este exactă, dar de neînţeles pentru mintea umană normală. Elevul ar avea nevoie de o perioadă de acomodare cu noua operaţie, timp în care să calculeze rădăcina pătrată, în funcţie de natura sa (exactă sau aproximativă), după care, de-abia apoi să treacă la calcule algebrice cu numere iraţionale. În ţările din vestul Europei aşa se face.

Cât despre demonstraţia iraţionalităţii lui , unii profesori nu o mai prezintă (adică merg pe încredere), pe când alţii o fac la clasă, dar elevii în general nu o înţeleg. Părerea mea personală estă că aceasta reprezintă un item clar pentru materia de clasa a IX-a.

O propunere inovativă simplă de aplicat de către orice profesor, pentru această parte de materie, ar fi împărţirea temei în două părţi distincte. De pildă se poate rămâne în starea aritmetică în semestrul I din clasa a VII-a, iar apoi se trece în semestrul II la calculele în forma algebrică cu numere iraţionale. Desigur că s-ar putea reveni tot aşa de bine şi la forma veche, cu partea aritmetică în clasa a VI-a, iar partea de tratare algebrică de-abia în clasa a VII-a.

Un aspect aparte al acestui subiect îl reprezintă forma de aplicare a rădăcinii pătrate în cadrul calculului cu teorema lui Pitagora, în cazul rezultatelor ne-exacte. Calculele de lungimi, perimetre şi arii reprezintă partea practică a geometriei plane, iar la acestea sunt mult mai clare calculele aproximative ale rădăcinii pătrate (adică forma aritmetică). Prin acestea elevul îşi poate dezvolta o percepie naturală şi un bun-simţ al calculului (de exemplu, cam cât este de lungă diagonala unui pătrat cu latura de un metru, dar şi multe alte exemple “practice”). Trecând abia ulterior şi la calcule cu exprimarea rezultatelor în formă exactă iraţională, le permite elevilor realizarea unei înţelegeri naturale a matematicii şi a conexiunilor dintre elementele acesteia.

De pildă, eu încep materia clasei a VII-a cu un mega-capitol compus din trei părţi distincte: 1) Rădăcina pătrată şi extragerea acesteia, cu rezultate naturale, respectiv cu rezultate aproximative; 2) Aria şi formulele de calcul pentru figurile de bază (triunghiuri şi patrulatere); 3) Teorema lui Pitagora (demonstrată prin arii) cu calcule pe două nivele: la început cu rezultate exacte, pe baza tripletelor pitagorice, iar apoi cu rezultate ne-exacte, calculate aproximativ. Aici ajungem să exersăm cu sens extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate. De-abia în semestrul II introduc noţiunea de număr iraţional, prezint scoaterea de sub radical, facem primele calcule algebrice cu numere iraţionale şi reluăm probleme cu calcul de arii şi perimetre prin teorema lui Pitagora, dar unde dăm rezultate iraţionale exacte.

Consider că aceste propuneri ar fi parte activă a unei forme de matematică naivă potrivită, adaptată vârstei gimnaziale, prin care elevii să urce liniştit, treptat către nivelele intelectuale necesare promovării cu succes a examenului de Evaluare Naţională de la sfârşitul clasei a VIII-a.

18 iulie 2016

Prof.C. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă

Matematica naivă

De curând am avut o discuţie cu un profesor de la Chişinău, de formaţie din partea mai artistică a spectrului educaţional. Tocmai îi arătasem ultima mea “operă” de la un curs de desen pe tablă la care participam, când dânsul se grăbi, ca “specialist în ale artei”, să-mi clasifice rezultatul drept pictură naivă. În acel moment am avut o revelaţie: da, cu acelaşi aer de superioritate cu care pictorii culţi îi clasifică pe începători drept pictori naivi, cu acelaşi aer de superioritate ne-au impus matematicienii universitari să facem în liceu matematica aşa cum o gândesc ei, chiar mai mult, să facem şi în gimnaziu o copie ieftină a matematicii riguroase gândită de ei iniţial pentru liceu. Cineva însă, ar trebui să se lupte pentru dreptul elevilor la o matematică naivă, adaptată nivelului de percepţie şi de gândire al diferitelor vârste şcolare. Pentru că, este pe zi ce trece tot mai clar, matematica impusă după modelul gândirii liceale este greu digerabilă pentru majoritatea elevilor de clasele V-VII. De-abia în clasa a VIII-a, după împlinirea vârstei de 14 ani, observăm că majoritatea elevilor încep să poată face conexiuni specifice matematicii serioase.

Să încercăm să lămurim ce ar însemna această matematică naivă şi cu ce s-ar diferenţia aceasta de mult mai matura sa rudă, cu care suntem obişnuiţi şi pe care o voi numi generic matematica riguroasă. De fapt, această frază este profund greşită: nu există două tipuri de matematică, una naivă şi cealaltă riguroasă, aşa cum nu există două specii de oameni, unii adulţi şi alţii copii. Matematica naivă este pur şi simplu matematica adaptată vârstelor copilăriei. Aceasta nu se supune aceloraşi criterii de rigurozitate a gândirii ca şi matematica completă a “oamenilor mari”, cum nici de la copii nu cerem să gândească precum adulţii. În matematica naivă sunt dominante intuiţia, imaginaţia şi bucuria simplă de a gândi.

Matematica este la început complet naivă, dar odată cu trecerea anilor aceasta devine tot mai serioasă, mai riguroasă, mai matură, ajungând în forma sa adultă în partea a doua a liceului (secţiile reale) şi în forma completă de-abia la facultatea de matematică. Matematica până în clasa a V-a trebuie să fie profund naivă, iar apoi gradul de naivitate să scadă încet, treptat, până spre finalul liceului. Jumătatea drumului între cele două extreme ar fi probabil undeva în jurul vârstei de 14 ani. Nerespectarea nivelului de naivitate necesar în clasele gimnaziale şi forţarea elevilor la o rigurozitate peste nivelul de posibilitate al vârstei îi duce pe mulţi elevi la repulsia faţă de matematică ce poate fi constatată la ora actuală la aceştia.

Pe lângă caracterul naiv al matematicii copilăriei putem vorbi şi de caracterul naiv al matematicii adulte în cazul începutului unei teorii matematice. În antichitate doar Euclid a reuşit să “scuture” parţial matematica de profunda naivitate ce o caracteriza. Matematica a rămas dominant naivă şi în timpul Renaşterii. De-abia în secolele XVIII-XIX matematicienii au început să aibă o preocupare clară de eliminare a naivităţii din teoriile matematice.

Revenind la şcoală, mai exact în liceu, chiar şi aici toate lecţiile ar trebui tratate cu un grad corespunzător de naivitate. Manualele din anii ’60-’70 o făceau într-un mod foarte accesibil pentru elevi. Chiar şi Analiza matematică ar trebui tratată în clasele de final de liceu cu un serios grad de naivitate, în mod similar cum au generat-o de fapt cei doi părinţi ai acesteia, Newton şi Leibnitz. Dacă cei doi titani ai matematicii au avut voie să o genereze intuitiv, naiv, deşi erau la vârstă adultă matematic, atunci de ce elevul de 18 ani nu ar avea voie să o cunoască în mod similar? Cei ce studiază cu adevărat cum au apărut istoric diferitele noţiuni şi domenii matematice, aceştia vor putea confirma că toate au apărut iniţial în minţile creatorilor lor în forme naïve. Gradul de naivitate a scăzut apoi, odată cu publicarea, iar ulterior a fost eliminat în diferite etape de către profesorii urmaşi care includeau aceste teme în cursurile lor. De-abia aceştia, profesorii universitari, au început să elimine partea intuitivă naivă din matematică (cam de pe la 1900), absolutizând “Sfânta treime a matematicii, axioma-demonstraţia-teorema” (citat din Apostolos Doxiadis, Unchiul Petros şi conjectura lui Goldbach, Ed. Humanitas, 2003, pag.112).

Acest aspect este susţinut şi de către Eugen Rusu în prefaţa lucrării sale Psihologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969, pag. 8): Şi în matematică (…) deşi este vorba de ştiinţa căreia caracterul “rigoare” îi aparţine prin excelenţă, apar teorii în care noţiunile nu sunt bine definite şi demonstraţiile nu sunt perfect riguroase, în special în comparaţie cu teoriile ulterioare care le perfecţionează (geometria preeuclidiană faţă de cea a lui Euclid, aceasta faţă de axiomatică; analiza “clasică” faţă de cea modernă etc.). Aceste teorii “imperfecte” au avut un dublu rol, deosebit de important: pe de o parte au avut o mare eficienţă în aplicaţii, pe de altă parte au servit ca punct de plecare, ca bază – omeneşte, dacă nu şi teoretic, necesară – pentru eleborarea teoriilor riguroase.

Pentru ca un elev să ajungă să savureze matematica riguroasă, el trebuie să se fi bucurat mai întâi în copilărie de matematica naivă, să fi trăit mai întâi satisfacţiile micilor victorii oferite de aceasta. Nu poţi aştepta de la un copil naiv „să încaseze cu bucurie” duritatea matematicii riguroase în gimnaziu, iar mai târziu să o iubească în liceu. Nu o va iubi! Din contra, o va urî! De ce? Pentru că pur şi simplu i se adresează într-o limbă pe care elevul din clasele gimnaziale nu o înţelege, iar pentru asta el are de suferit prin note. Mă refer desigur la majoritatea elevilor, cei din corpul central din Clopotul lui Gauss, nu la micii Einsteini care mai răsar din când în când prin câte o clasă. Situaţia este magistral prezentată de către Eugen Rusu în primul capitol al lucrării sale Psihologia activităţii matematice (citat integral, pag.11-13 ):

Ne-am adresat unui matematician – autor al mai multor lucrări ştiinţifice, originale, apreciate – cu următoarea întrebare: Care este descoperirea dv. matematică cea mai impresionantă? Vă rugăm să descrieţi în special aspectele ei psihologice. Redăm mai jos, pe larg, răspunsul:

„Eram prin clasa a IV-a primară când un băiat mai mare a venit la mine să-mi arate ce ştie el. Alege-ţi un număr, mi-a spus. Nu mi-l arăta, scrieţi-l pe hîrtie. Îţi împrumută Popescu încă pe-atăt. Socoteşte cît face. Îţi mai dau eu 126. Socoteşte. Îţi fură hoţii pe jumătate; vezi cu cît ai rămas. Îi dai lui Popescu împrumutul înapoi. Calculează. Este că ţi-a rămas 63? spuse el triumfător la sfîrşit. Este, răspunsei uimit.

Mai hai o dată; şi îmi alesei acum un număr “mai greu”, cu cifre multe şi cu zecimale. Dar el ghici şi de astă dată. Am repetat de nu ştiu cîte ori experienta. El nu-mi dădea mereu acelaşi număr; îl schimba la fiecare probă nouă, dar de fiecare dată ghicea.

Caut să reconstitui retrospectiv. De ce aram atât de surprins şi de intrigat? Fondul obişnuinţei mele matematice era altul: ştiam că dîndu-mi-se nişte numere pot să operez cu ele – adunări, înmulţiri etc. – şi să obţin un rezultat, că acest rezultat depinde de numerele cu care am lucrat, poate fi cunoscut numai cînd cunosc numerele cu care am operat. Şi acum, cineva îmi spunea rezultatul exact, deşi nu cunoştea ce număr “mi-am ales”.

Eram, cum spuneam, foarte intrigat. M-am rugat mult de el să-mi spună cum face. S-a lăsat greu. Am sacrificat toţi nasturii (galbeni, de metal, lucitori) pe care îi aveam – era atunci la modă jocul cu nasturii la perete – ca să-mi dezvăluie taina. Mi-a spus-o şi era surprinzător de simplă. Numărul pe care îl dai tu – cum a fost mai sus, 126 – îl împarţi la 2. Atîta îi rămîne; asta-i tot.

Asta-i tot? Şi m-am apucat să experimentez. M-am dus şi eu la colegi de-ai mei, provocîndu-i alegeţi un număr …etc. Îmi fixam cît dau eu, împărţeam la 2, şi aşteptam nerăbdător să se termine calculul ca să trîntesc rezultatul. În adevăr, metoda nu a dat, niciodată, greş.

Avusese o mare satisfacţie în a afla cum face. Dar ea nu era completă. O doză de mister rămăsese încă: o umbră de nelinişte îşi făcu loc şi crescu mereu pe măsură ce mă gîndeam la problemă. Ştiam cum face; misterul părea clarificat şi asta îmi dădea momentan satisfacţia cunoaşterii. Dar rămînea ceva misterios şi neliniştitor: de ce oare? De ce orice număr îţi alegi, rămîne întotdeauna exact jumătate din ce îţi dă el? De ce?

În mintea mea de-acum rămăsese o frîntură din Anatole France: « ceea ce nu-mi explic, mă nelinişteşte». E aici o trăsătură caracteristică, profund umană. E a omului matur dar e, cum se vede, şi a copilului în formaţie.

Neliniştea, uimirea, curiozitatea în legătură cu problema de mai sus m-au stăpînit multă vreme. Am ajuns într-a patra de liceu (clasa a VIII-a, corespunzătoare ca vârstă cu actuala clasă a VII-a; completare CTG). Problema stăruia în mine dar în surdină, estompată, umbrită de alte preocupări mai actuale cărora trebuia să le fac faţă. Aparent o uitasem. Dar ea ţîşni dintr-o dată la suprafaţă. Învăţînd calculul algebric, îmi veni în gînd – nu mai pot reconstitui în detaliu prin ce joc de asociaţii – să tratez vechea problemă prin algebră. Am notat cu x numărul ales şi cu a pe cel – cunoscut – care mi-l dă el. Am transcris şirul de operaţii

Sigur! Evident! O identitate simplă, în care x se reduce. Misterul era clarificat. Complet şi definitiv clarificat. Ce sentiment am avut în această etapă? Desigur, în primul moment, sentimentul care s-a concretizat în semnele de exclamare de mai sus: Sigur! Evident! E clar! Sentimentul de satisfacţie pe care ţi-l dă în mod natural clarificarea unui mister, satisfacţie cu atît mai mare cu cît acest mister te-a urmărit şi te-a neliniştit mai mult.

Dar, în timp ce misterul însuşi poate stărui un timp îndelungat, satisfacţia clarificării e pe cît de spontană şi ascuţită, tot pe-atît de puţin durabilă. Revii a doua zi asupra soluţiei. Nu mai spui: Sigur! Evident! Clar! ci spui, liniştit: da, aşa este. Revii după o săptămînă sau după o lună şi spui: în fond, e o banalitate. Te-ai « răcit». Cauţi să-ţi aminteşti sentimentele pe care le-ai avut înainte de a fi cîştigat soluţia; dar sentimentele se « memorează» şi se reconstituie mai greu. Şi în fond nici nu vrei să le recunoşti: m-am frămîntat şi m-am entuziasmat pentru o banalitate? Începi să regreţi căi, să le treci sub tăcere, ba chiar să nu le recunoşti că au fost aşa cum au fost. Puţin dacă eram mai atent, ar fi trebuit să găsesc de la început soluţia. Nu era nevoie să ajung la calculul algebric; puteam să lucrez cu numere, aritmetic, numai să las calculele neefectuate. Este adevărat că el îmi spunea la fiecare etapă: socoteşte, vezi cît face, provocîndu-mă oarecum să efectuez. Dar, cel puţin după ce am ştiut metoda, puteam să mă gîndesc să lucrez cu sume neefectuate.

Atît rămîne din efervescenţa căutărilor; regretul că o banalitate ţi-a dat de gîndit, regretul că nu ai demascat-o de îndată. E la fel ca într-o iubire consumată. Aceasta-i femeia pe care am iubit-o? Pentru ea îmi bătea inima cînd îi vedeam, prin perdele, silueta? Pentru ea am pierdut o sesiune de examene? Aceasta e femeia pe care am iubit-o şi ea nu a meritat, îţi spui cu regret şi cu decepţie.

Dar nu ai dreptate (ce-o fi însemnînd, aici, dreptate?) nici cu problema rezolvată, nici cu dragostea încheiată. Sentimentele au rostul să creeze o tensiune, un impuls şi un motor al acţiunii. Cînd şi-au îndeplinit rolul şi faptul este consumat, este normal ca ele să nu mai rămînă aceleaşi …”

Încheiem aici citatul în care Eugen Rusu prezintă amintirea din copilărie a acestui matematician, rămas din păcate anonim. Merită însă făcute câteva observaţii pe marginea evocării de mai sus. Este evidentă naivitatea foarte bine scoasă în evidenţă cu care a trăit respectivul copil problema cu pricina. Dacă i s-ar fi dat şi explicaţie de ce se întâmplă aşa, probabil că trăirea ar fi fost mult mai puţin intensă şi persistentă. Ridicarea voalului de mister de la început ar fi redus din start probleme la o banalitate ce nu merita prea multă atenţie. Aşa, problema s-a păstrat în mintea sa pănă când gradul de naivitate a scăzut, lăsând loc unei gândiri mai mature, cea algebrică.

Evocarea lui Eugen Rusu prezintă în detaliu o mică victorie naivă – de a găsii singur explicaţia, demonstraţia problemei – victorie pe care, însă, matematicianul respectiv o evocă drept cea mai impresionantă descoperire matematică a sa. După această “mică victorie”, probabil între multe altele, care i-au oferit suficiente satisfacţii în matematica naivă, tănărul respectiv a ales cu bucurie calea spre matematica riguroasă, chiar spre cea mai riguroasă.

Dar mulţi adulţi rămân oricum la un grad de naivitate foarte scăzut în ceea ce priveşte gândirea matematică. Trebuie însă făcută clar diferenţa între o persoană cu gândire matematică naivă, dar bună, şi o persoană cu frică de matematică, o persoană avariată matematic. Cu cât un elev a fost forţat mai de timpuriu să părăsească matematica naivă, prezentându-i-se o matematică prea înaltă pentru vârsta sa, cu atât acesta a ajuns mai avariat matematic. Foarte mulţi adulţi au o relaţie foarte distantă faţă de matematică datorită forţării de către profesorul din primele clase gimnaziale într-o matematică prea depărtată de naivitatea în care acesta se afla încă la vremea respectivă. Păcat! Păcat pentru toţi cei pierduţi pentru matematică datorită nerespectării unui principiu cu caracter psiho-pedagogic evident.

30 iulie 2016

Prof. C. Titus Grigorovici

Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach

Ed. HUMANITAS, 2003

(în engleză: Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture, 2000)

Despre unchiul Petros toţi membrii familiei, oameni de afaceri, vorbesc cu jenă, pentru că este un ratat. Într-o zi însă, unul dintre nepoţi descoperă că viaţa lui Petros conţine un secret minunat, care-l transformă dintr-o dată din “oaia neagră” a familiei într-un adevărat erou tragic. Relaţia afectivă dintre nepot şi unchi devine posibilă … şi imposibilă datorită unei faimoase ipoteze matematice, Conjectura lui Goldbach. Ea sună aşa: “ORICE NUMĂR PAR MAI MARE DECÂT 2 ESTE SUMĂ A DOUĂ NUMERE PRIME.” Nimeni nu a reuşit încă să demonstreze adevărul acestei observaţii, atât de uşor verificabil prin încercări succesive (chiar şi de către un elev care a absolvit clasa a V-a şi a învăţat noţiunile de bază).

Un roman în care matematica devine un personaj plin de surprize, un roman în care numerele se încarcă de o indescriptibilă poezie. O poveste cu oameni fragili (impari) şi numere puternice (pare). O apologie a matematicianului. O istorie care leagă destinul unui copil curios de cel al unui unchi excesiv de discret. (citate de pe coperta IV a volumului prezentat)

Da, există şi un roman despre matematică, despre sentimentele matematicianului, care visează să descopere CEVA, ceva cu care să rămână în memoria colectivă a acestei bresle. O carte despre dorinţa arzătoare a matematicianului de “a călca în minte” pe undeva pe unde nu a mai fost nici o dată o altă minte omenească. Acele pete albe de pe nesfârşita hartă a matematicii exercită asupra matematicienilor de vârf o atracţie incredibilă, iar noi, matematicienii de rând de la catedră putem simţi prin această carte un iz din mireasma rezervată de obicei doar celor câţiva aleşi de soartă.

Citiţi această carte; aceasta reprezintă o lectură obligatorie (poate de vacanţă) pentru orice iubitor de matematică. Desigur că redactorii au avut anumite dificultăţi cu scrierea matematică (de pildă micile gafe de la paginile 82-83), dar îi iertăm pentru că ne-au oferit cu acest scurt roman o mare bucurie.

Personal, de când am citit cartea în urmă cu câţiva ani, le prezentăm elevilor începând din clasa a V-a elemente de teoria numerelor figurate, dar şi Conjectura lui Goldbach, dându-le ca temă să o verifice pe toate numerele pare până la 50 (elevii care iubesc matematica “au voie” să urce până la 100). Acesta este un exerciţiu foarte bun de fixare a numerelor prime, chiar în semestrul I din a V-a.

Încheiem prezentarea cu câteva citate dragi din Unchiul Petros, la care neliniştea constantă adusese cu ea şi insomnia, care se agrava şi din cauza consumului excesiv de cafea, combustibilul cu care funcţionează matematicienii (pag.93). De fapt, profilul psihologic al adevăratului matematician se apropie mai mult de cel al poetului sau al compozitorului, cu alte cuvinte de al celui preocupat de crearea Frumuseţii în căutarea Armoniei şi a Perfecţiunii (pag.33). Matematica este ca un copac cu rădăcini putenice (Axiomele), cu un trunchi solid (Demonstraţia riguroasă) şi cu ramuri în continuă creştere pe care înfloresc flori minunate (Teoremele). Cu alte cuvinte, este vorba de Sfânta Treime, Axiomă-Demonstraţie-Teoremă (pag.112). Trebuie să subliniez pentru nespecialişti: cărţile de matematică nu pot fi în mod obişnuit gustate ca romanele, în pat, în cada de baie, cufundat într-un fotoliu sau lungit pe o canapea. Să le “citeşti” înseamnă să le înţelegi, iar pentru asta ai nevoie de o suprafaţă tare, hârtie, creion şi timp din belşug (pag. 168). Din contră, romanul Unchiul Petros îl puteţi însă citi oriunde, chiar şi la plajă. Lectură plăcută!

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici