Teroarea matematicii

De cur├ónd s-a petrecut ├«n SUA o ├«nt├ómplare ciudat─â care spune multe despre cum este perceput─â matematica de c─âtre omul de r├ónd. ├Änt├ómplarea a fost relatat─â de c─âtre “Washington Post“, dar a fost preluat─â ulterior ┼či de alte surse pe net. Prezentarea de fa┼ú─â este dup─â ÔÇťDer SpiegelÔÇŁ.

Guido Menzio este profesor de economie la University of Pennsylvania, unde se ocup─â cu cercetarea fluctua┼úiilor cotelor de ┼čomaj ┼či a echilibrului pre┼úurilor pe pie┼úele de produse. Ecua┼úiile diferen┼úiale complicate fac parte din activitatea sa zilnic─â. Acestea i-au creat ├«ns─â mari probleme atunci c├ónd a vrut s─â zboare ├«ntr-o deplasare.

Scurt ├«nainte de decolare, fiind deja scufundat ├«n calculele sale, a fost rugat de c─âtre un ├«nso┼úitor de bord s─â-l urmeze. De ce? Vecina sa din avion, v─âz├óndu-i semnele ciudate a┼čternute pe h├órtie, le-a considerat ├«nsemn─âri ├«ntr-o limb─â str─âin─â ciudat─â, pe el v─âz├óndu-l drept un terorist.

Ini┼úial a declarat c─â se simte r─âu, dar dup─â ce avionul a fost ├«ntors la poart─â, pasagera respectiv─â a prezentat agen┼úilor de securitate suspiciunile sale fa┼ú─â de comportamentul ciudat al vecinului s─âu. Apoi a fost chemat ┼či Menzio ├«n aeroport ┼či chestionat: ÔÇ×mi-au spus c─â femeia era ├«ngrijorat─â, c─â a┼č putea fi un terorist, pentru c─â scriam semne ciudate ├«n carne┼úelul meu de noti┼úeÔÇŁ.

Dup─â l─âmurirea ne├«n┼úelegerii, avionul a decolat cu o bun─â ├«nt├órziere, Menzio la bord, dar fosta sa vecin─â nu, sus┼úin├ónd c─â totu┼či nu se simte bine ┼či aleg├ónd s─â a┼čtepte zborul urm─âtor.

La noi ├«n ┼čcoala rom├óneasc─â, prin analogie, ne-am putea pune ├«ntrebarea ÔÇ×c├ó┼úi profesori de matematic─â sunt considera┼úi adev─âra┼úi terori┼čti de c─âtre elevii lor?ÔÇŁ. Pentru c─â, din p─âcate, foarte mul┼úi consider─â c─â o doz─â bun─â de fric─â este singura cale spre a-i face pe elevi s─â ├«nve┼úe.

Terorisul Al-Gebra

Ordinea operaţiilor pe internet

Prin prim─âvar─â devenise viral─â, mai ales ├«n Japonia, urm─âtoarea ÔÇťproblem─âÔÇŁ, la care foarte mul┼úi d─âdeau un r─âspuns gre┼čit:

Ceea ce ├«n mod normal, noi, ca profesori am numi ÔÇťexerci┼úiuÔÇŁ, cert├óndu-i eventual pe elevii care l-au gre┼čit, acesta a devenit pe internet, ├«n zona adul┼úilor, o adev─ârat─â ÔÇťproblem─âÔÇŁ. Un studiu a ar─âtat c─â doar 60% din tinerii de peste 20 de ani au rezolvat-o corect, fa┼ú─â de un rezultatul de 90% al unui studiu similar din anii ÔÇś80.

Ce se ├«nt├ómpl─â? L─âs├óndu-i de-o parte pe cei care gre┼česc la ordinea opera┼úiilor ┼či efectueaz─â mai ├«nt├ói sc─âderea, cei mai mul┼úi ajung la un r─âspuns gre┼čit pentru c─â efectuez─â exerci┼úiul pe un calculator, chiar ┼či unul ÔÇť┼čtiin┼úificÔÇŁ, unde segmentul central al exerci┼úiului este tradus drept 3┬á:┬á1┬á:┬á3┬á=┬á1, ├«n loc de 3┬á:┬á1/3┬á=┬á9. O variant─â mai corect─â, f─âr─â folosirea frac┼úiilor, ar fi 3┬á:┬á(1┬á:┬á3), dar ┼či aceasta ridic─â anumite probleme pe diferite calculatoare. Astfel, dintre r─âspunsurile incorecte, cele mai dese erau 3, 7 sau 9.

Legat de ordinea opera┼úiilor,┬á chiar ┼či numai despre acest aspect se g─âsesc multe exemple pe internet. Iat─â unul simplu, ├«n forma sa ÔÇťameric─âneasc─âÔÇŁ, (av├ónd ata┼čat─â ┼či o poz─â a lui Einstein pentru impresia artistic─â): Only for genius??┬á 3┬áÔÇô┬á3┬áx┬á6┬á+┬á2┬á=┬á??

┬şDatele din aceast─â postare sunt preluate de la adresa https://www.yahoo.com/news/lot-people-having-trouble-math-161950574.html

Einstein, Zweistein ┼či cu Rammstein

Antrenorul Român al olimpicilor SUA la matematică

Prezenta postare este un comentariu la articolul Rom├ónul care antreneaz─â lotul interna╚Ťional al olimpicilor SUA la matematic─â: Folosesc ├«n preg─âtirea lor probleme rom├óne╚Öti din perioada interbelic─â (Raluca Ion, Republica).

Articolul este binevenit ┼či din prisma faptului c─â ├«n 2018 ┼úara noastr─â va g─âzdui din nou Olimpiada Interna┼úional─â de Matematic─â (chiar la Cluj!). S─â lu─âm c├óteva citate din acest articol (prezentate ├«nclinat):

La 49 de ani, R─âzvan Gelca este cel mai ├«n v├órst─â antrenor al lotului olimpic de matematic─â din SUA. Majoritatea colegilor s─âi antrenori i-au fost la un moment dat elevi ┼či a ├«mp─âr┼úit cu ei mo┼čtenirea pe care a adus-o din ┼úar─â: 120 de ani de Gazeta Matematic─â.

Pasiunea lui pentru concursurile de matematic─â a ├«nceput ├«n urm─â cu 35 de ani, la Timi┼čoara, ┼či a crescut cu ajutorul a trei profesori foarte buni: profesorul Ion C─âlug─âru, care ├«nc─â din clasa a VI-a le d─âdea elevilor s─âi s─â rezolve probleme din Gazeta Matematic─â, profesorul Titu Andreescu, care avea s─â devin─â liderul lotului olimpic american ┼či profesorul Gheorghe Eckstein, el ├«nsu┼či fost olimpic interna┼úional la matematic─â. ├Än anul 1985, c├ónd era ├«n clasa a XII-a, a c├ó┼čtigat medalia de aur la Olimpiada Interna┼úional─â de Matematic─â.

ÔÇ×Regimului ├«i convenea s─â arate c─â ├«n Rom├ónia se face matematic─â foarte bine, dar cred c─â meritul era al ┼čcolii de matematic─â ├«ns─â┼či, care ├«ncepuse s─â creasc─â ├«n direc┼úia asta a concursurilor de tip olimpiad─â ├«nc─â de dinainte de r─âzboi ┼či care a mers ascendent. Rom├ónia a avut o cultur─â de probleme de tip olimpiad─â foarte bogat─â, care se pot g─âsi ├«n anii ’20-’30. Eu ├«nc─â folosesc probleme din perioada interbelic─â, ├«n special de geometrie, pentru lotul american de matematic─â. Gazeta matematic─â are o istorie de peste 100 de ani ┼či, cumva, a dat tonul concursurilor ┼či a creat acest tip de problemeÔÇŁ, spune profesorul rom├ón.

Patru dintre cei 14 antrenori care au preg─âtit ├«n aceast─â var─â tinerii talenta┼úi la matematic─â sunt rom├óni. Nu este o surpriz─â, dac─â iei ├«n calcul faptul c─â prima edi┼úie a Olimpiadei Interna┼úionale de Matematic─â a avut loc ├«n 1959 ├«n Rom├ónia. Problemele rom├óne┼čti din Gazeta Matematic─â au devenit ├«n timp standardul pentru acest gen de concursuri. ÔÇ×Gazeta matematic─â a dat tonul concursurilor ┼či a creat acest tip de probleme, care sunt folosite ┼či ast─âzi. Paradoxul este c─â rom├ónii au ├«ncercat s─â imite ni┼čte reviste fran┼úuze┼čti ┼či belgiene, ca s─â aib─â propriile lor reviste. La sf├ór┼čitul secolului 19, un grup de matematicieni ┼či ingineri au ajuns la concluzia c─â ├«n Rom├ónia nu se ┼čtia mult─â matematic─â, era un de┼čert tehnic. Ideea lor era s─â ├«ncurajeze studiul individual, cu ajutorul unei reviste, ├«n care oamenii s─â g─âseasc─â probleme. ┼×i asta a func┼úionatÔÇŁ, este de p─ârere matematicianul.

Care este cea mai bun─â cale pentru a-i ├«nv─â┼úa pe copii matematica? ÔÇ×Matematica ar trebui predat─â ├«ntr-un mod intuitiv ┼či s─â fie aplicat─â unor lucruri concrete, familiare elevilor. Mai ales ├«n gimnaziu, ar trebui s─â se insiste pe probleme care pleac─â din via┼úa de zi cu zi, prin care at├ót p─ârin┼úii c├ót ┼či elevii s─â vad─â utilitatea matematiciiÔÇŁ, spune acesta.

Am preluat din articolul de pe Republica doar citatele ce ating situa┼úia matematicii ┼čcolare din Rom├ónia. S─â analiz─âm c├óteva dintre acestea. Pentru ├«n┼úelegerea liniei discursului, trebuie scos ├«n eviden┼ú─â faptul c─â dl. R─âzvan Gelca a absolvit liceul, ca ┼či subsemnatul, ├«n 1985. Deci a ├«nv─â┼úat ├«n clasele gimnaziale din manualele lui A. Hollinger ┼či Eugen Rusu, con┼úin├ónd o matematic─â profund naiv─â, destul de intuitiv─â ┼či cu dese conexiuni practice. Din Gazeta Matematic─â a ├«nceput s─â lucreze din clasa a VI-a (ca ┼či mine), ├«naintea reformei din 1980. ├Än liceu a ├«nv─â┼úat geometria din manualele echipei de la Cluj, condus─â de doamna Mariana R─âdu┼úiu (vezi detalii despre perioada respectiv─â ├«n postarea Reforma uitat─â (partea I)). ┼×i alte aspecte prezentate de c─âtre dl. R─âzvan Gelca ├«n acest interviu se suprapun cu prezent─ârile din respectivul articol (pozi┼úia regimului politic etc.).

C├ót despre sfatul din final, r─âspunsul la ├«ntrebarea despre cea mai bun─â cale pentru a-i ├«nv─â┼úa pe copii matematica?, comentariul poate fi doar unul singur: q.e.d.! O completare la acest r─âspuns, legat─â┬á de utilitatea matematicii, ar fi c─â ar trebui ajuns ├«n situa┼úia ca elevii ┼či p─ârin┼úii de gimnaziu s─â simt─â utilitatea matematicii, ┼či asta nu doar ├«n promovarea examenelor, ci ┼či ├«n procesul matematic ├«ns─â┼či, ├«n aspectele formatoare de g├óndire ale matematicii.

10 Aug. 2016

Prof. Titus Grigorovici

Mihai Maci – Schimbarea din interior a ├«nv─â┼ú─âm├óntului rom├ónesc este imposibil─â Analiza unui interviu acordat d-nei Codru┼úa Simina

Urm─âtoarele g├ónduri sunt preluate din interviul Codru┼úei Simina, publicat ├«n 24.05.2016, cu ocazia lans─ârii c─âr┼úii “Anatomia unei imposturi. O ┼čcoal─â incapabil─â s─â ├«nve┼úe”. Mihai Maci este lector la Departamentul de Rela┼úii Interna┼úionale al┬áUniversit─â┼úii Oradea. Citez ├«n continuare c├óteva g├ónduri din acest interviu: Mihai Maci: “Schimbarea din interior a ├«nv─â┼ú─âm├óntului rom├ónesc este imposibil─â”.

Ministerul ┼úine ├«n fr├óie ├«ntregul ├«nv─â┼ú─âm├ónt cu dou─â chingi. Una dintre ele este programa: niciun profesor nu poate inova fa┼ú─â de program─â; de ce? – pentru c─â orice inova┼úie fa┼ú─â de program─â ar fi sanc┼úionat─â de examene.

Examenele sunt na┼úionale ┼či sunt unice ┼či, ├«n m─âsura ├«n care profesorul nu face preg─âtirea pentru examene, elevii lui nu vor lua examenul ┼či, ca atare, el va fi sanc┼úionat.┬áVa fi sanc┼úionat de p─ârin┼úi,┬á┼či┬áabia dup─â aceea de ┼čcoal─â ┼či de Inspectorat.

A┬ádoua ching─â cu care ┼úine Ministerul ├«n fr├óu ├«ntregul sistem de ├«nv─â┼ú─âm├ónt este salarizarea. (ÔÇŽ) Ca atare, oamenii ├«n┼úeleg, oamenii ├«┼či dau seama de ceea ce fac, c─â nu este bine. (ÔÇŽ) posibilit─â┼úile de a schimba lucrurile din interiorul sistemului sunt cvasi-nule.┬áPo┼úi s─â aju┼úi un elev sau un student care este mai bun (ÔÇŽ) Dar, din interiorul sistemului – ┼či prin sistem ├«n┼úeleg ├«nv─â┼ú─âm├óntul institu┼úional, inclusiv cu componenta programelor lui -, schimbarea este imposibil─â la ora actual─â. (ÔÇŽ)

Ideile referitoare la un alt tip de ┼čcoal─â ar fi putut s─â prind─â foarte bine la jum─âtatea anilor ’90, ar fi putut crea un siaj ├«n urma c─âruia societatea rom├óneasc─â ar fi ar─âtat altfel ├«n ziua de azi.(ÔÇŽ) Merit─â citit acest articol, ├«n care sunt punctate ┼či analizate, chiar ┬ácriticate unele reminiscen┼úe osificate ale socialismului, r─âmase ├«n educa┼úie.

*

Despre faptul c─â ├«nv─â┼ú─âm├óntul rom├ónesc a ratat ocazia de a se debarasa de forma socialist─â de educa┼úie, la ├«nceputul anilor ÔÇÖ90, am mai scris. S-a ratat atunci o ocazie uria┼č─â, pe care, de pild─â, Ungaria a folosit-o din plin imediat dup─â Revolu┼úie. A┼č dori ├«ns─â s─â analizez un pic chingile cu care sistemul cu reminiscen┼úe osificate socialiste ne domin─â activitatea educa┼úional─â, mai exact pe prima dintre cele dou─â enumerate de Mihai Maci.

D├ónsul exprim─â ├«n acest interviu ideea c─â programa ├«i ├«mpiedic─â pe profesori s─â evolueze ├«n direc┼úia ├«mbun─ât─â┼úirii educa┼úiei pentru c─â vor fi sanc┼úiona┼úi la examenul de final de ciclu. S─â nuan┼ú─âm un pic. Eu cred c─â cele dou─â mari examene, cel de Evaluare na┼úional─â ┼či cel de Bacalaureat sunt ni┼čte capete de drum destul de fire┼čti, ├«n condi┼úiile actuale chiar cu efect benefic motivant (cine ar mai ├«nv─â┼úa f─âr─â examene la sf├ór┼čit de ciclu?). Consider suportabil─â pentru ├«nv─â┼ú─âtori ┼či elevi chiar ┼či verificarea de Evaluare na┼úional─â la sf├ór┼čitul ciclului primar, ├«n condi┼úiile informative actuale. O astfel de form─â de evaluare pe ciclu ar l─âsa ├«n principiu dasc─âlului responsabil libertatea de a c─âuta m─âcar c─âi educative mai eficiente ├«n cadrul unei programe generale de parcurs ├«n acel ciclu. ├Äns─â introducerea Evalu─ârii na┼úionale la jum─âtatea drumului (clasele 2 respectiv 6) ├«ngr─âde┼čte posibilitatea unor astfel de ini┼úiative c├ót de c├ót inovative prin rearanjarea materiei ├«n cadrul unui ciclu. ├Än acest sens, obligativitatea programelor pas cu pas este cea care exercit─â cea mai mare ├«ngr─âdire asupra dasc─âlului. Degeaba acesta intuie┼čte c─â elevii ar avea nevoie de un anume subiect, ├«n loc de cel din program─â, c├ónd el se simte tot timpul vulnerabil ├«n fa┼úa unor controale care i-ar cere instant planificarea; iar aceasta, planificarea, trebuie s─â fie conceput─â conform programei. Absurdul a ajuns la nivelul c─â, nici culegeri pentru elevi nu mai scrie nimeni, dec├ót ÔÇťconform programelor ├«n vigoareÔÇŁ. Aici trebuie c─âutate reminiscen┼úe osificate ale educa┼úiei socialiste.

Programa este obligatorie pentru c─â trebuie s─â permit─â, teoretic, oric─ârui elev bun la o materie participarea la olimpiadele ┼čcolare, simultan cu cei din alte ┼čcoli. Acest argument ┼úinea ├«n urm─â cu zece ani, dar acum interesul pentru olimpism a sc─âzut puternic ├«n societate. A┼ča c─â, dac─â ne g├óndim bine, Evalu─ârile na┼úionale pentru clasele 2 ┼či 6 reprezint─â momentan cea mai bun─â justificare – la nivelul tuturor elevilor – pentru obligativitatea parcurgerii programei oficiale ├«n r├ónd cu to┼úi. Deci, eu consider c─â programa, trebuie s─â fie considerat─â ├«ntr-adev─âr prima ching─â de manevrare a dasc─âlilor la nivelul preuniversitar, dar nu prin prisma examenelor de sf├ór┼čit de ciclu, ci mai ales prin obligativitatea ei pas cu pas ┼či verificarea ei c├ót mai des. Desigur c─â aici am tratat doar idea unor inova┼úii care s─â r─âm├ón─â ├«n ramele programei generale de ciclu cerut─â la examenul de final (8/12). ├Än cazul unor inova┼úii mai puternice problema devine ┼či mai grav─â.

Mihai Maci aminte┼čte ┼či p─ârin┼úii ├«n aceast─â ÔÇťconspira┼úie educa┼úional─âÔÇŁ de ├«ngr─âdire a dasc─âlilor, dar eu a┼č aduce ├«n discu┼úie inclusiv iner┼úia dasc─âlilor ├«ns─â┼či, care forma┼úi fiind ├«n acest sistem, reprezint─â chiar ei prima piedic─â ├«mpotriva propriei lor evolu┼úii. Eu predau din 1990 ┼či m─â lupt din 1995 s─â ├«mi ├«mbun─ât─â┼úesc stilul ┼či forma de predare, acord├óndu-mi foarte multe libert─â┼úi ├«n acest sens. Am evoluat mult, dar prea ├«ncet pentru c├ót mi-a┼č fi dorit, iar principalul obstacol ├«n aceast─â evolu┼úie nu a fost nici examenul de sf├ór┼čit de ciclu din fiecare an, nici chiar programa cu ciud─â┼úenile ei, nici p─ârin┼úii pe care a trebuit s─â-i ├«nfrunt, ci ├«n primul r├ónd paradigma deja implantat─â ├«n mine din liceu, din facultate ┼či din primii ani de predare. Iar cu aceast─â parte din mine a fost foarte greu de luptat. Ca s─â scurtez pledoaria, consider c─â metodica introdus─â la reforma din 1980 ┼či formarea dasc─âlilor ├«n spiritul ei ┼či dup─â revolu┼úie, aceasta reprezint─â o ching─â la fel de solid─â, dar diabolic ascuns─â, prin care ministerul ┼úine ├«n loc o posibil─â dezvoltare a ├«nv─â┼ú─âm├óntului rom├ónesc. Degeaba ar avea dasc─âlii salarii mai mari, dac─â nu ┼čtiu cum, nici m─âcar nu ┼čtiu c─â ei ar trebui s─â-┼či schimbe stilul de predare. ├Än cazul multora dintre noi nu este aplicabil─â nici m─âcar vorba lui Ghandi: Fi tu schimbarea care vrei s─â o vezi ├«n lume!.

Prof. C. Titus Grigorovici

100 de studen┼úi ÔÇô Matematic─â distractiv─â ├«n GM

Discut├ónd prin prim─âvar─â cu elevii de clasa a VIII-a, am concluzionat c─â matematica distractiv─â este atunci c├ónd ProfuÔÇÖ se distreaz─â de elevi, c─â ei nu ┼čtiu problema :-).

De cur├ónd petreceam o Duminic─â diminea┼ú─â ├«nsorit─â ├«n compania unei ce┼čti de cafea, lectur├ónd ni┼čte vechi caiete de Gazeta Matematic─â din 1966-1967 (de c├ónd am venit noi pe lume), c─âut├ónd probleme de folosit la clas─â. Vecinul ne tot b├óz├óia s─â-i d─âm probleme de matematic─â ÔÇťdin-alea faineÔÇŁ, iar noi ├«i tot propuneam c├óte o problem─â de matematic─â distractiv─â. C├ónd o termina, mai cerea, iar tot anturajul se distra de bucuria sa. ├Än aceste condi┼úii am g─âsit ├«n GM seria B, Nr.1 din 1967 urm─âtoarea problem─â dintr-un set cu titlul Probleme date la Olimpiada matematic─â din Anglia (problema 7916):

O sut─â de studen┼úi de ├«n─âl┼úimi diferite s├«nt aranja┼úi ├«ntr-un p─âtrat de 10 r├«nduri ┼či 10 coloane. ├Än fiecare r├ónd studentul cel mai ├«nalt este selectat, apoi studentul cel mai scund din cei selecta┼úi este marcat cu A. ├Än fiecare coloan─â este selectat studentul cel mai scund, apoi studentul cel mai ├«nalt dintre cei 10 studen┼úi selecta┼úi este marcat cu B. Dac─â A ┼či B s├«nt persoane diferite, g─âsi┼úi care dintre ele este mai ├«nalt─â ┼či de ce?

Ne-am tot g├óndit, el a reu┼čit o rezolvare ├«ntr-un caz particular, dar nimic mai mult. Apoi, rezolvarea mi-a venit ├«n minte ├«n vis, ├«n somnul binemeritat de dup─â-amiaz─â (vis cu un mic iz de co┼čmar, pentru c─â tot pierdeam num─âr─âtoarea coloanelor). C├ónd m-am trezit am a┼čterut rezolvarea pe h├órtie, cu desenul celor 100 de studen┼úi ca o tabl─â de ┼čah de 10×10, ┼či am realizat c├ót este de simpl─â problema noastr─â. Dar, de fapt, a┼ča sunt toate problemele de matematic─â distractiv─â: simple, dar cu rezolvarea bine ascuns─â.

Titus Grigorovici

Matematica naiv─â, exemple (2)

Dac─â ajungi ├«ntr-o capital─â mondial─â ca turist ÔÇô de pild─â Roma ÔÇô ai foarte multe de vizitat. Fie c─â ajungi la Roma pentru dou─â zile, fie c─â ajungi pentru o s─âpt─âm├ón─â, oricum ai aceea┼či problem─â: s─â stabile┼čti care sunt cele mai importante locuri de vizitat ├«n sejurul t─âu. Pentru alegerea respectiv─â apelezi la un ghid: sau mergi cu un grup organizat cu un ghid, sau cumperi un ghid scris, sau te ├«ndrum─â o cuno┼čtin┼ú─â. De la acesta ├«┼úi dore┼čti s─â fi ├«ndrumat ├«n ordinea importan┼úei ┼či vei fi sup─ârat dac─â ai fi fost plimbat de pild─â la nenum─ârate biserici, dar nu ai v─âzut Columna lui Traian.

Capitolul despre Cerc se aseam─ân─â foarte mult cu un astfel de ora┼č: sunt foarte multe de v─âzut, iar elevii trebuie ├«ndruma┼úi ├«n func┼úie de timpul alocat ┼či de nivelul clasei, astfel ├«nc├ót s─â vad─â ce este mai important ├«n condi┼úiile date. Din p─âcate ┼či aici programa gafeaz─â profund chinuind copiii cu o lec┼úie f─âr─â sens, r─âmas─â acolo din vremuri de demult, ca parte dintr-o construc┼úie de rigurozitate universitar─â ciudat─â. S─â analiz─âm situa┼úia.

Capitolul ├«ncepe cu lec┼úia introductiv─â despre defini┼úie, raz─â, diametru, coard─â, arc, semicerc etc. Lec┼úia a doua face leg─âtura ├«ntre m─âsura de unghiurilor la centru ┼či m─âsura arcelor de cerc. S─â analiz─âm lec┼úia a treia: Coarde ┼či arce ├«n cerc; diametru perpendicular pe o coard─â; arce cuprinse ├«ntre coarde paralele; coarde egal dep─ârtate de centru (lec┼úie pe care unii profesori o ┼či ├«ntind pe dou─â ore. Pentru ce este bun─â aceast─â lec┼úie? La ce ├«i folosesc aceste teoreme elevului? Analiz├ónd ÔÇťutilitateaÔÇŁ lor, ajungem la concluzia c─â acestea reprezint─â trei sferturi dintr-un drum ce ar trebui s─â demonstreze c─â tangenta la cerc este perpendicular─â pe raza dus─â ├«n punctul de contact. Aceast─â ultim─â teorem─â ├«ns─â nu se demonstreaz─â, a┼ča c─â teoremele din lec┼úia a treia nu ├«┼či au nici un rost. Elevii sunt chinui┼úi gratuit cu ni┼čte teoreme f─âr─â sens! Singurul aspect ce se op┼úine clar este ├«nver┼čunarea ┼či sc├órbirea ┼či mai profund─â a elevilor ├«mpotriva geometriei.

Dac─â ne ├«ntoarcem la ideea de matematic─â naiv─â, teoremele din lec┼úia a treia nu au pentru elevi niciun rost. ├Än primul r├ónd, c─â demonstreaz─â adev─âruri intuitiv evidente. Apoi, informa┼úiile respective nu se folosesc ├«n nici o problem─â: profesorii au dificult─â┼úi ├«n a g─âsi aplica┼úii la aceste teoreme! Singurul ra┼úionament ce se folose┼čte de aici este faptul c─â triunghiul determinat de dou─â raze ┼či o coard─â este isoscel. Dar pentru asta oricum nu ai nevoie de vreo teorem─â special─â.

Aici se ridic─â o mare ├«ntrebare: pentru ce parcurgem anumi┼úi itemi? De pild─â, de ce parcurgem o anumit─â teorem─â? ├Än principiu, pentru elevi aceast─â ├«ntrebare are dou─â-trei r─âspunsuri: fie pentru utilitatea sa (ca aplica┼úii ├«n probleme sau ├«n sus┼úinerea unei alte teoreme importante), fie pentru demonstra┼úia sa deosebit─â. Dac─â o teorem─â este foarte important─â prin prisma aplica┼úiilor, dar are o demonstra┼úie foarte grea, atunci teorema poate fi dat─â naiv, pe ├«ncredere, adic─â f─âr─â demonstra┼úie, elevii bucur├óndu-se ├«n schimb de aplica┼úii u┼čoare. Este cazul teoremei tangenta la cerc este perpendicular─â pe raza dus─â ├«n punctul de contact, care permite aplica┼úii u┼čoare cu teorema lui Pitagora, dar ┼či parcurgerea ├«n continuare a teoremei ÔÇťciocului de cioar─âÔÇŁ despre cele dou─â tangente de la un punct la un cerc. Teorema despre m─âsura unghiului ├«nscris ├«n cerc are ┼či o demonstra┼úie frumoas─â, dar ┼či aplica┼úii interesante.

Nu-i clar ce ├«n┼úelege onor Ministerul prin propuneri inovative de program─â, dar eu consider c─â astfel de criterii ar trebui s─â stea la baza alegerii lec┼úiilor ┼či a itemilor de parcurs. De exemplu, eu din prima lec┼úie de la cerc concluzionez c─â dou─â raze ├«mpreun─â cu coarda determinat─â de acestea formeaz─â un triunghi isoscel, dup─â care elevii ┼či primesc aplica┼úii de calcul cu teorema lui Pitagora ├«n triunghiul isoscel respectiv. ├Än lec┼úia a doua parcurg Cercul lui Thales (dou─â coarde cu un cap─ât comun iar celelalte dou─â capete diametral opuse sunt perpendiculare), demonstat─â cu triunghiuri isoscele, ┼či teorema cu tangenta la cerc este perpendicular─â pe raza dus─â ├«n punctul de contact, f─âr─â demonstra┼úie. Din acest moment am multe aplica┼úii, elevii g─âsind un sens ├«n lec┼úiile acestui capitol. Iat─â ┼či un exemplu de aplica┼úie ├«n sensul construc┼úiilor cu rigla ┼či compasul: folosind Cercul lui Thales se pot trasa ├«n─âl┼úimile ├«ntr-un triunghi dat, doar cu rigla ┼či compasul.

├Än ultimii ani am ├«ncheiat acest capitol cu dou─â teoreme duale, ├«n pereche, ce nu le parcurg pentru vreo aplica┼úie a lor, ci doar pentru frumuse┼úea demonstra┼úiei. Fiecare demonstra┼úie ├«n sine nu este deosebit─â. Privite ├«ns─â ├«mpreun─â, cele dou─â teoreme cu demonstra┼úii corespunz─âtoare trezesc ├«n rezolvitor acea stare mult dorit─â de uimire, caracterizat─â simplu printr-un mare ÔÇťUAU!ÔÇŁ. Este vorba despre proprietatea unghiurilor patrulaterelor ├«nscrise ├«n cerc (inscriptibile), respectiv proprietatea dual-omoloag─â a laturilor patrulaterelor circumscrise unui cerc (circumscriptibile). ├Än imaginea de mai jos pute┼úi vedea blocul principal al acestei lec┼úii

Num─ârul ¤Ç nu apare ├«n capitolul despre cerc, ci ├«ntr-un capitol artificial, imediat dup─â cerc. De ce ├«l cataloghez drept artificial? Pentru c─â acest capitol d─â mai mult─â aten┼úie celor trei poligoane regulate importante dec├ót drumului c─âtre num─ârul ¤Ç. Oricum, drumul respectiv nu este parcurs ├«n lec┼úii, chiar exist├ónd profesori care ÔÇťo l─âl─âieÔÇŁ ├«ntr-at─ât ├«nc├ót nici nu mai ajung la num─ârul ¤Ç ├«n clasa a VII-a.

Pentru ├«nceput, ├«n acest proces noi m─âsur─âm circumferin┼úa diferitor obiecte circulare ┼či calcul─âm raportul fa┼ú─â de diametrul cercului, ob┼úin├ónd diferite valori ├«ntre 3 ┼či 3,2 (la diferite oale este cel mai folositor un metru de croitorie). Ca exemplu mai special, ├«n curtea ┼čcolii noastre avem un teren circular de beton; v─â pute┼úi ├«nchipui ce distrac┼úie a fost ├«n ultimii ani ├«n cadrul S─âpt─âm├ónii ┼×coala Altfel, c├ónd am m─âsurat cu o sfoar─â ┼či cu mul┼úi elevi circumferin┼úa terenului.

La un nivel intelecual mai ├«nalt, dup─â ultima problem─â de la Examenul de Evaluare Na┼úional─â din iunie 2016, eu oricum m-am hot─âr├ót s─â parcurg ┼či octogonul regulat (cu unghiul la centru de 45o la fiecare felie-triunghi isoscel) c├ót ┼či dodecagonul regulat (cu unghiul la centru de 30o), studiind perimetrul ┼či aria, ┼či procesul ├«n care acestea se apropie de valorile cercului. Apropos, verifica┼úi c├ót de u┼čor se poate ar─âta c─â aria dodecagonului regulat ├«nscris ├«n cercul de raz─â r este exact 3r2, folosind pentru calcularea ariei fiec─ârei felii 1/12 doar teorema despre cateta opus─â unghiului de 30o. Pentru calcularea perimetrului poligonului regulat cu 12 laturi trebuie ├«ns─â muncit ├«ns─â ceva mai mult. Lucr├ónd cu aproxim─âri de trei zecimale, se ob┼úine ├«n final raportul perimetru/diametru de 3,10 (doar pentru elevii de 10).

O apropiere mai bun─â de valoarea lui ¤Ç am ob┼úinut, mult mai u┼čor ┼či pe mintea tuturor, printr-o alt─â abordare de tip Laboratorul de matematic─â. Astfel, elevii au desenat pe caietul de matematic─â, cu p─âtr─â┼úele de 0,52 = 0,25cm2, un cerc cu raza de 5cm (prin triunghiul egiptean, avem garan┼úia unei exactit─â┼úi deosebite ├«n c├óteva puncte de pe cerc). Elevii au trebuit s─â determine pur ┼či simplu aria discului prin aproxima┼úie, num─âr├ónd cm2, jum─ât─â┼úile ┼či sferturile, c├ót ┼či aproxim─âri ale resturilor p─âtr─â┼úelelor r─âmase. Rezultatul de 78┬á:┬á25┬á=┬á3,12 pentru raportul dintre aria cercului ┼či aria p─âtratului pe raz─â este unul foarte bun ┼či orice elev ├«l ├«n┼úelege. Vede┼úi aceast─â parte de lec┼úie cu matematic─â naiv─â ├«n urm─âtoarea imagine. Trecerea de la aceste rezultate (at├ót la perimetrul cercului c├ót ┼či la aria discului) la cunoscutul 3,14 se face pe ├«ncredere ┼či to┼úi elevii sunt bucuro┼či c─â au ├«n┼úeles despre ce este vorba.

1 august 2016

Prof. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă, Matematica naivă, exemple (1)

Matematica naiv─â, exemple (1)

Unori Ministerul Educa┼úiei nu mai ┼čtie ce s─â fac─â, a┼ča c─â ofer─â profesorilor ocazia s─â vin─â ei cu o propunere inovativ─â de program─â. Ce ├«nseamn─â aceasta ┼či ├«n ce direc┼úie trebuie o astfel de propunere s─â fie inovativ─â, asta nu este clar, de┼či, poate era mai bine dac─â ministerul ├«mpreun─â cu toate structurile sale de management a educa┼úiei d─âdeau ni┼čte linii ghidante. Noi, oamenii de r├ónd nu putem vr─âji ÔÇťla comand─âÔÇŁ idei care s─â fie cu adev─ârat novatoare, dar totodat─â ┼či verificate ├«n sensul eficien┼úei ├«n condi┼úiile din ┼úara noastr─â. Pe de alt─â parte, nu se ┼čtie nici odat─â ÔÇťde unde sare iepureleÔÇŁ, adic─â de unde apare o idee bun─â. Am prezentat ├«n eseul despre matematica naiv─â c├óteva idei despre acest nou concept de prezentare a cuno┼čtin┼úelor matematice ├«n func┼úie de posibilit─â┼úile ┼či nevoile v├órstelor elevilor, nu ├«n func┼úie de dorin┼úele fo┼čtilor diriguitori din Olimpul matematicii rom├óne┼čti. Totu┼či, conceptul este neclar ┼či prin faptul c─â ├«i lipsesc exemple de aplicare ├«n via┼úa de zi cu zi. Pentru aceasta voi ├«ncerca s─â prezint c├óteva situa┼úii din matematica gimnazial─â, acolo unde gradul de naivitate necesar este ├«nc─â mai mare.

S─â lu─âm un exemplu dublu pentru a clarifica lucrurile. Una din marile ÔÇťminuniÔÇŁ cu care matematica gimnazial─â s-a catadicsit la reforma din 1980 a fost demonstra┼úia prin metoda reducerii la absurd. Aceasta era ├«ns─â at├ót de inaccesibil─â elevilor ├«nc├ót nu a reu┼čit s─â penetreze nici m─âcar fondul de probleme pentru olimpiade. Totu┼či, era acceptat─â oficial ┼či p─âstrat─â ├«n materie datorit─â celor dou─â mari demonstra┼úii tradi┼úionale ce o foloseau: demonstrarea ira┼úionalit─â┼úii lui ┬ávenit─â de la marele Euclid ┼či demonstrarea congruen┼úei unghiurilor alterne interne venit─â din axiomatizarea radical─â a geometriei din jurul anului 1900 (am├óndou─â erau ├«n materia clasei a VI-a, dar capitolul despre r─âd─âcina p─âtrat─â a fost mutat la sf├ór┼čitul anilor ÔÇś90 ├«n clasa a VII-a). Aceste demonstra┼úii nu se mai fac de mult cu elevii la clas─â, dar abordarea ┼či ordonarea materiei ├«n func┼úie de ele este p─âstrat─â ┼či la ora actual─â, f─âr─â ca lumea s─â fie con┼čtient─â de acest fapt. S─â l─âmurim pe r├ónd cele dou─â situa┼úii.

Ordonarea materiei ├«n jurul temei TRIUNGHIUL era ├«n anii ÔÇś80 urm─âtoarea: triunghiuri ┼či construc┼úia lor; cazurile de congruen┼ú─â ale triunghiurilor; propriet─â┼úile triunghiurilor isoscele; drepte paralele; axioma paralelelor ┼či unghiuri formate de dou─â drepte paralele cu o secant─â; suma unghiurilor ├«n triunghi (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a, autori Ion Cuculescu, Constantin Ottescu, din cele dou─â exemplare ce le am pe-acas─â, cel din 1979 ┼či cel din 1988). Punctul central al acestei secven┼úe de lec┼úii era teorema de leg─âtur─â ├«ntre congruen┼úa unghiurilor alterne interne ┼či paralelismul dreptelor cu demonstrarea prin reducere la absurd, folosind congruen┼úa a dou─â triunghiuri. De-abia dup─â aceasta se putea demonstra ┼či suma unghiurilor ├«n triunghi.

Ordonarea materiei la ora actual─â este cam aceea┼či, ├«n afara de demonstrarea ciudatei teoreme care nu se mai face la clas─â de cca. 20 ani. Actualmente, leg─âtura ├«ntre dreptele paralele ┼či congruen┼úa unghiurilor alterne interne se face pe ├«ncredere, pentru c─â a┼ča zice profesorul. O a doua diferen┼ú─â fa┼ú─â de anii ÔÇÖ80 este c─â dep─ârtarea dintre prima lec┼úie despre triunghi ┼či momentul c├ónd se ├«nva┼ú─â suma unghiurilor a crescut ┼či mai mult, ├«ntre acestea parcurg├óndu-se ├«n prezent ┼či un capitol serios despre perpendicularitate.

Ce se ├«nt├ómpl─â ├«n aceste condi┼úii la clas─â, depinde de la un caz la altul. Din multele variante ├«n care elevii afl─â despre acea sum─â miraculoas─â de 180o, doresc s─â evoc una, de care am aflat anul ┼čcolar trecut. Profesorul de la clas─â parcurge materia conform programei; a┼ča, m─âcar elevii nu ┼čtiu despre ce-i vorba ┼či basta! Dar ├«n piesa de teatru a acelei ┼čcoli mai exista ┼či personajul numit profesorul de la op┼úional, care nu se sim┼úea deloc dator a respecta programa colegului. Astfel, elevii afl─â la op┼úional c─â suma unghiurilor ar fi de 180o, cu observa┼úia evident─â c─â profuÔÇÖ de la clas─â ├«nc─â nu poate/nu vrea s─â v-o divulge. Eu nu doresc ├«ntoarcerea la vremurile de rigurozitate extrem─â din anii ÔÇÖ80-ÔÇÖ90, dar nici o batjocur─â de felul acesta nu accept, la adresa g├óndirii logico-matematice pe care tocmai ne preg─âtim s─â le-o inducem elevilor.

O propunere inovativ─â simpl─â de aplicat de c─âtre orice profesor, pentru aceast─â parte de materie, ar fi studierea unghiurilor formate de dou─â paralele cu o secant─â ├«naintea lec┼úiei despre triunghi. Aceasta se poate face la fel ca ├«n formatul actual, adic─â deduc├ónd intuitiv congruen┼úa unghiurilor corespondente, alterne interne etc. Eu, de pild─â, folosesc aici o transla┼úie prin care justific congruen┼úa unghiurilor corespondente, iar apoi celelalte congruen┼úe se deduc u┼čor cu unghiuri opuse la v├órf. Aceast─â mutare ├«mi permite includerea ├«n prima lec┼úie despre triunghi a sumei unghiurilor, cu demonstra┼úie cu tot! Adic─â, din prima lec┼úie elevii ├«nva┼ú─â defini┼úia, elementele, perimetrul ┼či suma unghiurilor ├«n triunghi, av├ónd din start cea mai important─â proprietate a tringhiului. Nu mai insist c├ót de mult se simplific─â lec┼úiile ulterioare despre triunghi, dac─â avem de la ├«nceput suma unghiurilor. Eu predau ├«n acest format din anul ┼čcolar 1994-1995 ┼či pot doar s─â privesc cu durere cum sunt chinui┼úi majoritatea elevilor din celelalte ┼čcoli, ├«n formatul vechi. Ca o ultim─â observa┼úie la acest subiect, trebuie precizat c─â ordinea din aceast─â propunere este similar─â cu ordinea existent─â ├«n manualele din anii ÔÇÖ70 ale profesorului A. Hollinger.

Abordarea temei despre R─éD─éCINA P─éTRAT─é se f─âcea ├«n anii ÔÇś80 ├«n felul urm─âtor: r─âd─âcina p─âtrat─â dintr-un num─âr natural p─âtrat perfect; r─âd─âcina p─âtrat─â dintr-un num─âr ra┼úional nenegativ; r─âd─âcina p─âtrat─â cu aproxima┼úie de o unitate prin lips─â dintr-un num─âr ra┼úional nenegativ; numere ira┼úionale; extragerea r─âd─âcinii p─âtrate (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a din 1979, autori C. P. Popovici, I. C. Ligor). Primele lec┼úii prezentau c├óteva elemente introductive greu de ├«n┼úeles pentru elevul de r├ónd, dup─â care se trecea la demonstrarea ira┼úionalit─â┼úii lui ┬á(demonstra┼úia arhi-cunoscut─â prin reducere la absurd), iar ├«n final ap─ârea ┼či algoritmul de extragere a r─âd─âcinii p─âtrate. Exerci┼úiile r─âm├óneau ├«ns─â ├«n zona aritmetic─â de extragere exact─â sau aproximativ─â a r─âd─âcinii p─âtrate. Urma un capitol despre mul┼úimi elementare de numere, ├«n care se prezentau mul┼úimile de numere naturale, ├«ntregi, ra┼úionale respectiv reale. Acolo g─âsim c├óteva ├«ntreb─âri ├«n care copiii erau verifica┼úi dac─â ┼čtiu c─â ┼č.a. nu sunt ra┼úionale. At├ót! Tot restul clasei a VI-a elevii r─âm├óneau ├«n zona aritmetic─â a r─âd─âcinii p─âtrate pe care o exersau cu orice ocazie (mai urmau capitolele despre rapoarte ┼či propor┼úii, ┼či despre procente). De-abia ├«n clasa a VII-a elevii treceau la calcule cu numere ira┼úionale, calcule ce reprezint─â nivelul algebric al opera┼úiilor cu radicali.

Odat─â cu mutarea capitolului despre r─âd─âcina p─âtrat─â ├«n clasa a VII-a, mutare efecuat─â la finalul anilor ÔÇÖ90, cele dou─â p─âr┼úi ÔÇô cea aritmetic─â ┼či cea algebric─â ÔÇô au fost cumulate ├«ntr-un capitol, partea aritmetic─â pierz├óndu-┼či mare parte din perioada sa de aplica┼úie/dospire. Actualmente, elevii stau cca. o s─âpt─âm├ón─â ├«n starea aritmetic─â, dup─â care se trece la calculul algebric cu numere ira┼úionale.

Oare, este bine a┼ča? Ce ├«n┼úelege un elev, dac─â scrie ┬á(forma algebric─â) ┼či ce ├«n┼úelege el din forma aritmetic─â ? Forma aritmetic─â este una clar─â, practic─â, chiar dac─â nu este super-exact─â. Forma algebric─â este exact─â, dar de ne├«n┼úeles pentru mintea uman─â normal─â. Elevul ar avea nevoie de o perioad─â de acomodare cu noua opera┼úie, timp ├«n care s─â calculeze r─âd─âcina p─âtrat─â, ├«n func┼úie de natura sa (exact─â sau aproximativ─â), dup─â care, de-abia apoi s─â treac─â la calcule algebrice cu numere ira┼úionale. ├Än ┼ú─ârile din vestul Europei a┼ča se face.

Cât despre demonstraţia iraţionalităţii lui , unii profesori nu o mai prezintă (adică merg pe încredere), pe când alţii o fac la clasă, dar elevii în general nu o înţeleg. Părerea mea personală estă că aceasta reprezintă un item clar pentru materia de clasa a IX-a.

O propunere inovativ─â simpl─â de aplicat de c─âtre orice profesor, pentru aceast─â parte de materie, ar fi ├«mp─âr┼úirea temei ├«n dou─â p─âr┼úi distincte. De pild─â se poate r─âm├óne ├«n starea aritmetic─â ├«n semestrul I din clasa a VII-a, iar apoi se trece ├«n semestrul II la calculele ├«n forma algebric─â cu numere ira┼úionale. Desigur c─â s-ar putea reveni tot a┼ča de bine ┼či la forma veche, cu partea aritmetic─â ├«n clasa a VI-a, iar partea de tratare algebric─â de-abia ├«n clasa a VII-a.

Un aspect aparte al acestui subiect ├«l reprezint─â forma de aplicare a r─âd─âcinii p─âtrate ├«n cadrul calculului cu teorema lui Pitagora, ├«n cazul rezultatelor ne-exacte. Calculele de lungimi, perimetre ┼či arii reprezint─â partea practic─â a geometriei plane, iar la acestea sunt mult mai clare calculele aproximative ale r─âd─âcinii p─âtrate (adic─â forma aritmetic─â). Prin acestea elevul ├«┼či poate dezvolta o percepie natural─â ┼či un bun-sim┼ú al calculului (de exemplu, cam c├ót este de lung─â diagonala unui p─âtrat cu latura de un metru, dar ┼či multe alte exemple ÔÇťpracticeÔÇŁ). Trec├ónd abia ulterior ┼či la calcule cu exprimarea rezultatelor ├«n form─â exact─â ira┼úional─â, le permite elevilor realizarea unei ├«n┼úelegeri naturale a matematicii ┼či a conexiunilor dintre elementele acesteia.

De pild─â, eu ├«ncep materia clasei a VII-a cu un mega-capitol compus din trei p─âr┼úi distincte: 1) R─âd─âcina p─âtrat─â ┼či extragerea acesteia, cu rezultate naturale, respectiv cu rezultate aproximative; 2) Aria ┼či formulele de calcul pentru figurile de baz─â (triunghiuri ┼či patrulatere); 3) Teorema lui Pitagora (demonstrat─â prin arii) cu calcule pe dou─â nivele: la ├«nceput cu rezultate exacte, pe baza tripletelor pitagorice, iar apoi cu rezultate ne-exacte, calculate aproximativ. Aici ajungem s─â exers─âm cu sens extragerea aproximativ─â a r─âd─âcinii p─âtrate. De-abia ├«n semestrul II introduc no┼úiunea de num─âr ira┼úional, prezint scoaterea de sub radical, facem primele calcule algebrice cu numere ira┼úionale ┼či relu─âm probleme cu calcul de arii ┼či perimetre prin teorema lui Pitagora, dar unde d─âm rezultate ira┼úionale exacte.

Consider c─â aceste propuneri ar fi parte activ─â a unei forme de matematic─â naiv─â potrivit─â, adaptat─â v├órstei gimnaziale, prin care elevii s─â urce lini┼čtit, treptat c─âtre nivelele intelectuale necesare promov─ârii cu succes a examenului de Evaluare Na┼úional─â de la sf├ór┼čitul clasei a VIII-a.

18 iulie 2016

Prof.C. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă

Matematica naiv─â

De cur├ónd am avut o discu┼úie cu un profesor de la Chi┼čin─âu, de forma┼úie din partea mai artistic─â a spectrului educa┼úional. Tocmai ├«i ar─âtasem ultima mea ÔÇťoper─âÔÇŁ de la un curs de desen pe tabl─â la care participam, c├ónd d├ónsul se gr─âbi, ca ÔÇťspecialist ├«n ale arteiÔÇŁ, s─â-mi clasifice rezultatul drept pictur─â naiv─â. ├Än acel moment am avut o revela┼úie: da, cu acela┼či aer de superioritate cu care pictorii cul┼úi ├«i clasific─â pe ├«ncep─âtori drept pictori naivi, cu acela┼či aer de superioritate ne-au impus matematicienii universitari s─â facem ├«n liceu matematica a┼ča cum o g├óndesc ei, chiar mai mult, s─â facem ┼či ├«n gimnaziu o copie ieftin─â a matematicii riguroase g├óndit─â de ei ini┼úial pentru liceu. Cineva ├«ns─â, ar trebui s─â se lupte pentru dreptul elevilor la o matematic─â naiv─â, adaptat─â nivelului de percep┼úie ┼či de g├óndire al diferitelor v├órste ┼čcolare. Pentru c─â, este pe zi ce trece tot mai clar, matematica impus─â dup─â modelul g├óndirii liceale este greu digerabil─â pentru majoritatea elevilor de clasele V-VII. De-abia ├«n clasa a VIII-a, dup─â ├«mplinirea v├órstei de 14 ani, observ─âm c─â majoritatea elevilor ├«ncep s─â poat─â face conexiuni specifice matematicii serioase.

S─â ├«ncerc─âm s─â l─âmurim ce ar ├«nsemna aceast─â matematic─â naiv─â ┼či cu ce s-ar diferen┼úia aceasta de mult mai matura sa rud─â, cu care suntem obi┼čnui┼úi ┼či pe care o voi numi generic matematica riguroas─â. De fapt, aceast─â fraz─â este profund gre┼čit─â: nu exist─â dou─â tipuri de matematic─â, una naiv─â ┼či cealalt─â riguroas─â, a┼ča cum nu exist─â dou─â specii de oameni, unii adul┼úi ┼či al┼úii copii. Matematica naiv─â este pur ┼či simplu matematica adaptat─â v├órstelor copil─âriei. Aceasta nu se supune acelora┼či criterii de rigurozitate a g├óndirii ca ┼či matematica complet─â a ÔÇťoamenilor mariÔÇŁ, cum nici de la copii nu cerem s─â g├óndeasc─â precum adul┼úii. ├Än matematica naiv─â sunt dominante intui┼úia, imagina┼úia ┼či bucuria simpl─â de a g├óndi.

Matematica este la ├«nceput complet naiv─â, dar odat─â cu trecerea anilor aceasta devine tot mai serioas─â, mai riguroas─â, mai matur─â, ajung├ónd ├«n forma sa adult─â ├«n partea a doua a liceului (sec┼úiile reale) ┼či ├«n forma complet─â de-abia la facultatea de matematic─â. Matematica p├ón─â ├«n clasa a V-a trebuie s─â fie profund naiv─â, iar apoi gradul de naivitate s─â scad─â ├«ncet, treptat, p├ón─â spre finalul liceului. Jum─âtatea drumului ├«ntre cele dou─â extreme ar fi probabil undeva ├«n jurul v├órstei de 14 ani. Nerespectarea nivelului de naivitate necesar ├«n clasele gimnaziale ┼či for┼úarea elevilor la o rigurozitate peste nivelul de posibilitate al v├órstei ├«i duce pe mul┼úi elevi la repulsia fa┼ú─â de matematic─â ce poate fi constatat─â la ora actual─â la ace┼čtia.

Pe l├óng─â caracterul naiv al matematicii copil─âriei putem vorbi ┼či de caracterul naiv al matematicii adulte ├«n cazul ├«nceputului unei teorii matematice. ├Än antichitate doar Euclid a reu┼čit s─â ÔÇťscutureÔÇŁ par┼úial matematica de profunda naivitate ce o caracteriza. Matematica a r─âmas dominant naiv─â ┼či ├«n timpul Rena┼čterii. De-abia ├«n secolele XVIII-XIX matematicienii au ├«nceput s─â aib─â o preocupare clar─â de eliminare a naivit─â┼úii din teoriile matematice.

Revenind la ┼čcoal─â, mai exact ├«n liceu, chiar ┼či aici toate lec┼úiile ar trebui tratate cu un grad corespunz─âtor de naivitate. Manualele din anii ÔÇÖ60-ÔÇÖ70 o f─âceau ├«ntr-un mod foarte accesibil pentru elevi. Chiar ┼či Analiza matematic─â ar trebui tratat─â ├«n clasele de final de liceu cu un serios grad de naivitate, ├«n mod similar cum au generat-o de fapt cei doi p─ârin┼úi ai acesteia, Newton ┼či Leibnitz. Dac─â cei doi titani ai matematicii au avut voie s─â o genereze intuitiv, naiv, de┼či erau la v├órst─â adult─â matematic, atunci de ce elevul de 18 ani nu ar avea voie s─â o cunoasc─â ├«n mod similar? Cei ce studiaz─â cu adev─ârat cum au ap─ârut istoric diferitele no┼úiuni ┼či domenii matematice, ace┼čtia vor putea confirma c─â toate au ap─ârut ini┼úial ├«n min┼úile creatorilor lor ├«n forme na├»ve. Gradul de naivitate a sc─âzut apoi, odat─â cu publicarea, iar ulterior a fost eliminat ├«n diferite etape de c─âtre profesorii urma┼či care includeau aceste teme ├«n cursurile lor. De-abia ace┼čtia, profesorii universitari, au ├«nceput s─â elimine partea intuitiv─â naiv─â din matematic─â (cam de pe la 1900), absolutiz├ónd ÔÇťSf├ónta treime a matematicii, axioma-demonstra┼úia-teoremaÔÇŁ (citat din Apostolos Doxiadis, Unchiul Petros ┼či conjectura lui Goldbach, Ed. Humanitas, 2003, pag.112).

Acest aspect este sus┼úinut ┼či de c─âtre Eugen Rusu ├«n prefa┼úa lucr─ârii sale Psihologia activit─â┼úii matematice (Ed. ┼×tiin┼úific─â, 1969, pag. 8): ┼×i ├«n matematic─â (ÔÇŽ) de┼či este vorba de ┼čtiin┼úa c─âreia caracterul ÔÇťrigoareÔÇŁ ├«i apar┼úine prin excelen┼ú─â, apar teorii ├«n care no┼úiunile nu sunt bine definite ┼či demonstra┼úiile nu sunt perfect riguroase, ├«n special ├«n compara┼úie cu teoriile ulterioare care le perfec┼úioneaz─â (geometria preeuclidian─â fa┼ú─â de cea a lui Euclid, aceasta fa┼ú─â de axiomatic─â; analiza ÔÇťclasic─âÔÇŁ fa┼ú─â de cea modern─â etc.). Aceste teorii ÔÇťimperfecteÔÇŁ au avut un dublu rol, deosebit de important: pe de o parte au avut o mare eficien┼ú─â ├«n aplica┼úii, pe de alt─â parte au servit ca punct de plecare, ca baz─â ÔÇô omene┼čte, dac─â nu ┼či teoretic, necesar─â ÔÇô pentru eleborarea teoriilor riguroase.

Pentru ca un elev s─â ajung─â s─â savureze matematica riguroas─â, el trebuie s─â se fi bucurat mai ├«nt├ói ├«n copil─ârie de matematica naiv─â, s─â fi tr─âit mai ├«nt├ói satisfac┼úiile micilor victorii oferite de aceasta. Nu po┼úi a┼čtepta de la un copil naiv ÔÇ×s─â ├«ncaseze cu bucurieÔÇŁ duritatea matematicii riguroase ├«n gimnaziu, iar mai t├órziu s─â o iubeasc─â ├«n liceu. Nu o va iubi! Din contra, o va ur├«! De ce? Pentru c─â pur ┼či simplu i se adreseaz─â ├«ntr-o limb─â pe care elevul din clasele gimnaziale nu o ├«n┼úelege, iar pentru asta el are de suferit prin note. M─â refer desigur la majoritatea elevilor, cei din corpul central din Clopotul lui Gauss, nu la micii Einsteini care mai r─âsar din c├ónd ├«n c├ónd prin c├óte o clas─â. Situa┼úia este magistral prezentat─â de c─âtre Eugen Rusu ├«n primul capitol al lucr─ârii sale Psihologia activit─â┼úii matematice (citat integral, pag.11-13 ):

Ne-am adresat unui matematician ÔÇô autor al mai multor lucr─âri ┼čtiin┼úifice, originale, apreciate ÔÇô cu urm─âtoarea ├«ntrebare: Care este descoperirea dv. matematic─â cea mai impresionant─â? V─â rug─âm s─â descrie┼úi ├«n special aspectele ei psihologice. Red─âm mai jos, pe larg, r─âspunsul:

ÔÇ×Eram prin clasa a IV-a primar─â c├ónd un b─âiat mai mare a venit la mine s─â-mi arate ce ┼čtie el. Alege-┼úi un num─âr, mi-a spus. Nu mi-l ar─âta, scrie┼úi-l pe h├«rtie. ├Ä┼úi ├«mprumut─â Popescu ├«nc─â pe-at─ât. Socote┼čte c├«t face. ├Ä┼úi mai dau eu 126. Socote┼čte. ├Ä┼úi fur─â ho┼úii pe jum─âtate; vezi cu c├«t ai r─âmas. ├Äi dai lui Popescu ├«mprumutul ├«napoi. Calculeaz─â. Este c─â ┼úi-a r─âmas 63? spuse el triumf─âtor la sf├«r┼čit. Este, r─âspunsei uimit.

Mai hai o dat─â; ┼či ├«mi alesei acum un num─âr ÔÇťmai greuÔÇŁ, cu cifre multe ┼či cu zecimale. Dar el ghici ┼či de ast─â dat─â. Am repetat de nu ┼čtiu c├«te ori experienta. El nu-mi d─âdea mereu acela┼či num─âr; ├«l schimba la fiecare prob─â nou─â, dar de fiecare dat─â ghicea.

Caut s─â reconstitui retrospectiv. De ce aram at├ót de surprins ┼či de intrigat? Fondul obi┼čnuin┼úei mele matematice era altul: ┼čtiam c─â d├«ndu-mi-se ni┼čte numere pot s─â operez cu ele ÔÇô adun─âri, ├«nmul┼úiri etc. ÔÇô ┼či s─â ob┼úin un rezultat, c─â acest rezultat depinde de numerele cu care am lucrat, poate fi cunoscut numai c├«nd cunosc numerele cu care am operat. ┼×i acum, cineva ├«mi spunea rezultatul exact, de┼či nu cuno┼čtea ce num─âr ÔÇťmi-am alesÔÇŁ.

Eram, cum spuneam, foarte intrigat. M-am rugat mult de el s─â-mi spun─â cum face. S-a l─âsat greu. Am sacrificat to┼úi nasturii (galbeni, de metal, lucitori) pe care ├«i aveam ÔÇô era atunci la mod─â jocul cu nasturii la perete ÔÇô ca s─â-mi dezv─âluie taina. Mi-a spus-o ┼či era surprinz─âtor de simpl─â. Num─ârul pe care ├«l dai tu ÔÇô cum a fost mai sus, 126 ÔÇô ├«l ├«mpar┼úi la┬á2. At├«ta ├«i r─âm├«ne; asta-i tot.

Asta-i tot? ┼×i m-am apucat s─â experimentez. M-am dus ┼či eu la colegi de-ai mei, provoc├«ndu-i alege┼úi un num─âr ÔÇŽetc. ├Ämi fixam c├«t dau eu, ├«mp─âr┼úeam la 2, ┼či a┼čteptam ner─âbd─âtor s─â se termine calculul ca s─â tr├«ntesc rezultatul. ├Än adev─âr, metoda nu a dat, niciodat─â, gre┼č.

Avusese o mare satisfac┼úie ├«n a afla cum face. Dar ea nu era complet─â. O doz─â de mister r─âm─âsese ├«nc─â: o umbr─â de nelini┼čte ├«┼či f─âcu loc ┼či crescu mereu pe m─âsur─â ce m─â g├«ndeam la problem─â. ┼×tiam cum face; misterul p─ârea clarificat ┼či asta ├«mi d─âdea momentan satisfac┼úia cunoa┼čterii. Dar r─âm├«nea ceva misterios ┼či nelini┼čtitor: de ce oare? De ce orice num─âr ├«┼úi alegi, r─âm├«ne ├«ntotdeauna exact jum─âtate din ce ├«┼úi d─â el? De ce?

├Än mintea mea de-acum r─âm─âsese o fr├«ntur─â din Anatole France: ┬ź ceea ce nu-mi explic, m─â nelini┼čte┼čte┬╗. E aici o tr─âs─âtur─â caracteristic─â, profund uman─â. E a omului matur dar e, cum se vede, ┼či a copilului ├«n forma┼úie.

Nelini┼čtea, uimirea, curiozitatea ├«n leg─âtur─â cu problema de mai sus m-au st─âp├«nit mult─â vreme. Am ajuns ├«ntr-a patra de liceu (clasa a VIII-a, corespunz─âtoare ca v├órst─â cu actuala clas─â a VII-a; completare CTG). Problema st─âruia ├«n mine dar ├«n surdin─â, estompat─â, umbrit─â de alte preocup─âri mai actuale c─ârora trebuia s─â le fac fa┼ú─â. Aparent o uitasem. Dar ea ┼ú├«┼čni dintr-o dat─â la suprafa┼ú─â. ├Änv─â┼ú├«nd calculul algebric, ├«mi veni ├«n g├«nd ÔÇô nu mai pot reconstitui ├«n detaliu prin ce joc de asocia┼úii ÔÇô s─â tratez vechea problem─â prin algebr─â. Am notat cu x num─ârul ales ┼či cu a pe cel ÔÇô cunoscut ÔÇô care mi-l d─â el. Am transcris ┼čirul de opera┼úii

Sigur! Evident! O identitate simpl─â, ├«n care x se reduce. Misterul era clarificat. Complet ┼či definitiv clarificat. Ce sentiment am avut ├«n aceast─â etap─â? Desigur, ├«n primul moment, sentimentul care s-a concretizat ├«n semnele de exclamare de mai sus: Sigur! Evident! E clar! Sentimentul de satisfac┼úie pe care ┼úi-l d─â ├«n mod natural clarificarea unui mister, satisfac┼úie cu at├«t mai mare cu c├«t acest mister te-a urm─ârit ┼či te-a nelini┼čtit mai mult.

Dar, ├«n timp ce misterul ├«nsu┼či poate st─ârui un timp ├«ndelungat, satisfac┼úia clarific─ârii e pe c├«t de spontan─â ┼či ascu┼úit─â, tot pe-at├«t de pu┼úin durabil─â. Revii a doua zi asupra solu┼úiei. Nu mai spui: Sigur! Evident! Clar! ci spui, lini┼čtit: da, a┼ča este. Revii dup─â o s─âpt─âm├«n─â sau dup─â o lun─â ┼či spui: ├«n fond, e o banalitate. Te-ai ┬ź r─âcit┬╗. Cau┼úi s─â-┼úi aminte┼čti sentimentele pe care le-ai avut ├«nainte de a fi c├«┼čtigat solu┼úia; dar sentimentele se ┬ź memoreaz─â┬╗ ┼či se reconstituie mai greu. ┼×i ├«n fond nici nu vrei s─â le recuno┼čti: m-am fr─âm├«ntat ┼či m-am entuziasmat pentru o banalitate? ├Äncepi s─â regre┼úi c─âi, s─â le treci sub t─âcere, ba chiar s─â nu le recuno┼čti c─â au fost a┼ča cum au fost. Pu┼úin dac─â eram mai atent, ar fi trebuit s─â g─âsesc de la ├«nceput solu┼úia. Nu era nevoie s─â ajung la calculul algebric; puteam s─â lucrez cu numere, aritmetic, numai s─â las calculele neefectuate. Este adev─ârat c─â el ├«mi spunea la fiecare etap─â: socote┼čte, vezi c├«t face, provoc├«ndu-m─â oarecum s─â efectuez. Dar, cel pu┼úin dup─â ce am ┼čtiut metoda, puteam s─â m─â g├«ndesc s─â lucrez cu sume neefectuate.

At├«t r─âm├«ne din efervescen┼úa c─âut─ârilor; regretul c─â o banalitate ┼úi-a dat de g├«ndit, regretul c─â nu ai demascat-o de ├«ndat─â. E la fel ca ├«ntr-o iubire consumat─â. Aceasta-i femeia pe care am iubit-o? Pentru ea ├«mi b─âtea inima c├«nd ├«i vedeam, prin perdele, silueta? Pentru ea am pierdut o sesiune de examene? Aceasta e femeia pe care am iubit-o ┼či ea nu a meritat, ├«┼úi spui cu regret ┼či cu decep┼úie.

Dar nu ai dreptate (ce-o fi ├«nsemn├«nd, aici, dreptate?) nici cu problema rezolvat─â, nici cu dragostea ├«ncheiat─â. Sentimentele au rostul s─â creeze o tensiune, un impuls ┼či un motor al ac┼úiunii. C├«nd ┼či-au ├«ndeplinit rolul ┼či faptul este consumat, este normal ca ele s─â nu mai r─âm├«n─â acelea┼či ÔÇŽÔÇŁ

├Äncheiem aici citatul ├«n care Eugen Rusu prezint─â amintirea din copil─ârie a acestui matematician, r─âmas din p─âcate anonim. Merit─â ├«ns─â f─âcute c├óteva observa┼úii pe marginea evoc─ârii de mai sus. Este evident─â naivitatea foarte bine scoas─â ├«n eviden┼ú─â cu care a tr─âit respectivul copil problema cu pricina. Dac─â i s-ar fi dat ┼či explica┼úie de ce se ├«nt├ómpl─â a┼ča, probabil c─â tr─âirea ar fi fost mult mai pu┼úin intens─â ┼či persistent─â. Ridicarea voalului de mister de la ├«nceput ar fi redus din start probleme la o banalitate ce nu merita prea mult─â aten┼úie. A┼ča, problema s-a p─âstrat ├«n mintea sa p─ân─â c├ónd gradul de naivitate a sc─âzut, l─âs├ónd loc unei g├óndiri mai mature, cea algebric─â.

Evocarea lui Eugen Rusu prezint─â ├«n detaliu o mic─â victorie naiv─â ÔÇô de a g─âsii singur explica┼úia, demonstra┼úia problemei ÔÇô victorie pe care, ├«ns─â, matematicianul respectiv o evoc─â drept cea mai impresionant─â descoperire matematic─â a sa. Dup─â aceast─â ÔÇťmic─â victorieÔÇŁ, probabil ├«ntre multe altele, care i-au oferit suficiente satisfac┼úii ├«n matematica naiv─â, t─ân─ârul respectiv a ales cu bucurie calea spre matematica riguroas─â, chiar spre cea mai riguroas─â.

Dar mul┼úi adul┼úi r─âm├ón oricum la un grad de naivitate foarte sc─âzut ├«n ceea ce prive┼čte g├óndirea matematic─â. Trebuie ├«ns─â f─âcut─â clar diferen┼úa ├«ntre o persoan─â cu g├óndire matematic─â naiv─â, dar bun─â, ┼či o persoan─â cu fric─â de matematic─â, o persoan─â avariat─â matematic. Cu c├ót un elev a fost for┼úat mai de timpuriu s─â p─âr─âseasc─â matematica naiv─â, prezent├óndu-i-se o matematic─â prea ├«nalt─â pentru v├órsta sa, cu at├ót acesta a ajuns mai avariat matematic. Foarte mul┼úi adul┼úi au o rela┼úie foarte distant─â fa┼ú─â de matematic─â datorit─â for┼ú─ârii de c─âtre profesorul din primele clase gimnaziale ├«ntr-o matematic─â prea dep─ârtat─â de naivitatea ├«n care acesta se afla ├«nc─â la vremea respectiv─â. P─âcat! P─âcat pentru to┼úi cei pierdu┼úi pentru matematic─â datorit─â nerespect─ârii unui principiu cu caracter psiho-pedagogic evident.

30 iulie 2016

Prof. C. Titus Grigorovici

Apostolos Doxiadis ÔÇô Unchiul Petros ┼či Conjectura lui Goldbach

Ed. HUMANITAS, 2003

(├«n englez─â: Uncle Petros and GoldbachÔÇÖs Conjecture, 2000)

Despre unchiul Petros to┼úi membrii familiei, oameni de afaceri, vorbesc cu jen─â, pentru c─â este un ratat. ├Äntr-o zi ├«ns─â, unul dintre nepo┼úi descoper─â c─â via┼úa lui Petros con┼úine un secret minunat, care-l transform─â dintr-o dat─â din ÔÇťoaia neagr─âÔÇŁ a familiei ├«ntr-un adev─ârat erou tragic. Rela┼úia afectiv─â dintre nepot ┼či unchi devine posibil─â ÔÇŽ ┼či imposibil─â datorit─â unei faimoase ipoteze matematice, Conjectura lui Goldbach. Ea sun─â a┼ča: ÔÇťORICE NUM─éR PAR MAI MARE DEC├éT 2 ESTE SUM─é A DOU─é NUMERE PRIME.ÔÇŁ Nimeni nu a reu┼čit ├«nc─â s─â demonstreze adev─ârul acestei observa┼úii, at├ót de u┼čor verificabil prin ├«ncerc─âri succesive (chiar ┼či de c─âtre un elev care a absolvit clasa a V-a ┼či a ├«nv─â┼úat no┼úiunile de baz─â).

Un roman ├«n care matematica devine un personaj plin de surprize, un roman ├«n care numerele se ├«ncarc─â de o indescriptibil─â poezie. O poveste cu oameni fragili (impari) ┼či numere puternice (pare). O apologie a matematicianului. O istorie care leag─â destinul unui copil curios de cel al unui unchi excesiv de discret. (citate de pe coperta IV a volumului prezentat)

Da, exist─â ┼či un roman despre matematic─â, despre sentimentele matematicianului, care viseaz─â s─â descopere CEVA, ceva cu care s─â r─âm├ón─â ├«n memoria colectiv─â a acestei bresle. O carte despre dorin┼úa arz─âtoare a matematicianului de ÔÇťa c─âlca ├«n minteÔÇŁ pe undeva pe unde nu a mai fost nici o dat─â o alt─â minte omeneasc─â. Acele pete albe de pe nesf├ór┼čita hart─â a matematicii exercit─â asupra matematicienilor de v├órf o atrac┼úie incredibil─â, iar noi, matematicienii de r├ónd de la catedr─â putem sim┼úi prin aceast─â carte un iz din mireasma rezervat─â de obicei doar celor c├ó┼úiva ale┼či de soart─â.

Citiţi această carte; aceasta reprezintă o lectură obligatorie (poate de vacanţă) pentru orice iubitor de matematică. Desigur că redactorii au avut anumite dificultăţi cu scrierea matematică (de pildă micile gafe de la paginile 82-83), dar îi iertăm pentru că ne-au oferit cu acest scurt roman o mare bucurie.

Personal, de c├ónd am citit cartea ├«n urm─â cu c├ó┼úiva ani, le prezent─âm elevilor ├«ncep├ónd din clasa a V-a elemente de teoria numerelor figurate, dar ┼či Conjectura lui Goldbach, d├óndu-le ca tem─â s─â o verifice pe toate numerele pare p├ón─â la 50 (elevii care iubesc matematica ÔÇťau voieÔÇŁ s─â urce p├ón─â la 100). Acesta este un exerci┼úiu foarte bun de fixare a numerelor prime, chiar ├«n semestrul I din a V-a.

├Äncheiem prezentarea cu c├óteva citate dragi din Unchiul Petros, la care nelini┼čtea constant─â adusese cu ea ┼či insomnia, care se agrava ┼či din cauza consumului excesiv de cafea, combustibilul cu care func┼úioneaz─â matematicienii (pag.93). De fapt, profilul psihologic al adev─âratului matematician se apropie mai mult de cel al poetului sau al compozitorului, cu alte cuvinte de al celui preocupat de crearea Frumuse┼úii ├«n c─âutarea Armoniei ┼či a Perfec┼úiunii (pag.33). Matematica este ca un copac cu r─âd─âcini putenice (Axiomele), cu un trunchi solid (Demonstra┼úia riguroas─â) ┼či cu ramuri ├«n continu─â cre┼čtere pe care ├«nfloresc flori minunate (Teoremele). Cu alte cuvinte, este vorba de Sf├ónta Treime, Axiom─â-Demonstra┼úie-Teorem─â (pag.112). Trebuie s─â subliniez pentru nespeciali┼čti: c─âr┼úile de matematic─â nu pot fi ├«n mod obi┼čnuit gustate ca romanele, ├«n pat, ├«n cada de baie, cufundat ├«ntr-un fotoliu sau lungit pe o canapea. S─â le ÔÇťcite┼čtiÔÇŁ ├«nseamn─â s─â le ├«n┼úelegi, iar pentru asta ai nevoie de o suprafa┼ú─â tare, h├órtie, creion ┼či timp din bel┼čug (pag. 168). Din contr─â, romanul Unchiul Petros ├«l pute┼úi ├«ns─â citi oriunde, chiar ┼či la plaj─â. Lectur─â pl─âcut─â!

Prof. Mariana ┼či Titus Grigorovici