Prea devreme! ÔÇô (2) Formule generale p├ón─â la n

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematic─â peste nivelul s─âu de asimilare, peste capacit─â┼úile sale de ├«n┼úelegere. Uneori am impresia c─â acestea se ├«nt├ómpl─â din indeferen┼ú─â, alteori din dorin┼úa de a epata a unor profesori, pe baza unor g├ónduri de felul: De ce s─â le-o d─âm ├«n gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o ┼či ├«n┼úeleag─â c├ót mai mul┼úi? (cel pu┼úin ├«n cadrul lec┼úiei de introducere). De ce? Hai s─â le-o d─âm direct ├«n forma general─â, de matematic─â matur─â. Nu-i bai c─â cei mai mul┼úi nu vor mai ├«n┼úelege nimic. Important este c─â noi ar─ât─âm “lumii ├«ntregi” c─â st─âp├ónim forma cea mai ├«nalt─â din punct de vedere a exprim─ârii riguroase matematice... Alteori poate c─â se ├«nt├ómpl─â dintr-un fel de fric─â; frica de a nu primi observa┼úii din partea unor colegi, ceva de genul: “Cum, nu ┼čti forma general─â, cea de v├órf? Doar at├óta po┼úi?” (am vorbit de cur├ónd despre aceast─â mentalitate).

├Än aceast─â miniserie mi-am propus s─â abordez trei astfel de exemple ├«n care diferite elemente matematice sunt predate ├«n forme mult prea elevate pentru o prim─â abordare, respectiv pentru abordarea din clasele gimnaziale (c├ónd ÔÇô nota bene ÔÇô lec┼úiile se adreseaz─â tuturor elevilor, ace┼čtia nefiind ├«nc─â selecta┼úi de EN). ├Än articolul precedent am luat ca exemplu chiar o situa┼úie ├«n care este folosit un cuv├ónt ce se introduce oficial de-abia peste doi ani. Am analizat astfel situa┼úia interzis─â ├«n predarea matematicii c├ónd elevilor li se introduce o no┼úiune nou─â folosind o alt─â no┼úiune necunoscut─â, ├«nc─â neintrodus─â. Oare nu ar trebui s─â existe un DNA, o poli┼úie a matematicii. un fel de radar pentru profesorii care “circul─â cu mult prea mare vitez─â”, trec├ónd “de pe o band─â pe cealalt─â” ┼či “dep─â┼čind pe linie continu─â” prin lec┼úiile gimnaziale?

Care este rezultatul unor astfel de pred─âri? Elevii nu ├«n┼úeleg mai nimic (cel pu┼úin marea mas─â a elevilor), se streseaz─â (├«n toate formele ce se pot imagina, iar psihologii au defalcate ┼či studiate aici multe categorii), rezultatul evident fiind ├«ndep─ârtarea de matematic─â. ├Än func┼úie de posibilit─â┼úi, p─ârin┼úii reac┼úioneaz─â angaj├ónd un meditator. Cu c├ót aceste fapte se ├«nt├ómpl─â mai devreme ┼či mai puternic, cu at├ót medita┼úiile tind s─â porneasc─â ┼či ele mai devreme (cel pu┼úin ├«n Cluj nu mai este nimic special ca elevii s─â aib─â meditator din clasa a 5-a).

*

S─â abord─âm acum cel de-al doilea exemplu propus, anume folosirea scrierilor generale, acelea cu “…” (cu puncte-puncte) ┼či p├ón─â la n, desigur cu numere generale, adic─â cu litere ┼či indici. Ca s─â nu existe neclarit─â┼úi, am scris pe o foaie de h├órtie c├óteva exemple de astfel de scrieri, pasaje ce dau fiori unor clase ├«ntregi, bloc├ónd din start g├óndirea marii majorit─â┼úi a elevilor la primul contact cu acestea.

Sunt pline c─âr┼úile cu astfel de prezent─âri, dar am preferat s─â le scriu eu cu m├ónu┼úa mea. Nici pe calculator nu am vrut s─â le scriu, ca s─â nu ajungem la subiectul “datului mare” (dar e clar c─â acestea ar fi “numai bune” la un curs de reciclare a celor din v├órsta a III-a ├«n scrierea “ecua┼úiilor”). Nu le-am pus neap─ârat ├«n ordinea apari┼úiei lor conform programei. Este clar c─â “monstrul mon┼čtrilor” este formula ce dore┼čte s─â descrie transformarea frac┼úiilor zecimale periodice mixte ├«n frac┼úie ordinar─â, care mie mi-a ocupat un r├ónd ├«ntreg, aceasta ├«n┼úinz├óndu-se pe toat─â l─â┼úimea paginii A4. S─â ne g├óndim pu┼úin, oare cum arat─â aceasta ├«n caietul unui pu┼čti de final de a 5-a, care scrie pu┼úin mai mare, poate chiar mai l─âb─âr┼úat.

├Änainte de a intra ├«n discu┼úia acestor scrieri, merit─â s─â fac o observa┼úie filozofic─â. ├Än lucrarea sa Marele roman al matematicii, Micka├źl Launay, Ed. Trei, 2021, autorul vorbe┼čte la pag. 276 despre ini┼úiativa lui David Hilbert, la ├«nceputul sec. XX, ├«nspre o teorie general─â care s─â uneasc─â toate marile zone matematice, teorie care prezentat─â axiomatic s─â fereasc─â aceast─â ┼čtiin┼ú─â de cutremure de felul celei legate de axioma paralelelor la ├«nceputul sec. XIX. Este apoi dat ├«n aceast─â carte ┼či exemplul primilor matematicieni care au reu┼čit a┼ča o “m├óndr─â minune”, britanicii Alfred North Whitehead ┼či Bertrand Russell, care ├«ntre 1910 ┼či 1913 public─â o lucrare ├«n trei volume, denumit─â Principia Mathematica. Nu m─â pot ab┼úine ├«n acest sens, s─â nu v─âd scrierile reproduse mai sus ca “sfor┼ú─âri de generalizare” a unor m─ârun┼úi matematicieni care doresc ┼či ei s─â se ├«mp─âuneze drept ni┼čte demni urma┼či ai lui David Hilbert, ca ni┼čte mici continuatori ai acestuia. Da’ bine v-a┼úi trezit s-o face┼úi stimabililor, la elevi de-a 5-a ┼či a 6-a din ┼čcolile de mas─â? Dar s─â revenim pe plaiurile mioritice ┼či s─â studiem exemplele noastre de scriere generalizat─â.

Prima ├«ntrebare ce ├«mi trece prin minte este dac─â autorii care pun astfel de scrieri ├«n c─âr┼úile lor chiar se g├óndesc c─â elevii care le vor citi le vor ┼či ├«n┼úelege. Vorbesc aici de o adev─ârat─â ├«n┼úelegere la v├órstele gimnaziale, nu o simpl─â ├«nv─â┼úare pe de rost ┼či o posibil─â redare f─âr─â gre┼čeal─â, la o verificare. Totodat─â m─â g├óndesc desigur la o ├«n┼úelegere direct─â, nu la una c├ónd un adult (p─ârinte sau meditator) ├«i explic─â ulterior copilului c─â “ce ┼či cum” ├«n scrierea respectiv─â. P─ârerea mea este c─â cei mai mul┼úi astfel de autori nu au omene┼čte cum s─â g├óndeasc a┼ča ceva. Atunci, de ce o fac? Logica ar fi ceva de genul: pentru c─â a┼ča se obi┼čnuie┼čte ÔÇô un fel de mod─â ÔÇô ┼či oricum “de fric─â” s─â nu fie ataca┼úi c─â nu pun forma cea mai elevat─â, sau poate dintr-un fel de m├óndrie, de orgoliu profesional, pentru a ar─âta c─â o st─âp├ónesc. C├ót despre elevi ├«n sine: las’ c─â le explic─â cineva …

Faptul c─â nici autorii respectivi nu cred realist ├«n accesibilitatea acestor scrieri se vede de pild─â ├«ntr-una din renumitele culegeri cu teste pentru EN din clasa a 8-a, la partea de recapitulare a materiei de clasele 5-8, acolo unde autorii au pus transformarea frac┼úiilor zecimale ├«n frac┼úii ordinare, at├ót ├«n forma acestor scrieri generaliste, c├ót ┼či imediat al─âturat ├«n forma unor exemple numerice concrete (un fel de tabel). Gestul respectiv este foarte bun, ├«ns─â va avea efect doar dac─â elevii mai apuc─â s─â se ┼či uite al─âturi la exemplele concrete, adic─â nu r─âm├ón cumva doar cu spaima ┼či cu blocajul corespunz─âtor vizualiz─ârii formulelor generale. Toate acestea ar reprezenta g├ónduri legate de accesibilitatea respectivelor scrieri la nivelul elevilor de gimnaziu (a marii mase a elevilor, adic─â ├«nainte de marea selectare ├«n urma admiterii la liceu).

├Än mod similar, ├«ntr-o alt─â lucrare, redactat─â ca auxiliar ┼či destinat─â direct elevilor de a 5-a, f─âr─â nici cea mai mic─â explica┼úie, ├«n finalul pasajului de teorie a transform─ârilor respective, autorii au mai reluat o dat─â teoria pe exemple de lungimi particulare, dar scrise totu┼či generalist cu diferite litere (a, b, c, d) ┼či nu cu o liter─â cu indici. Dac─â le-ar fi dat pe acestea primele ┼či ├«nso┼úite de ni┼čte explica┼úii, c─â ce vor acele scrieri, atunci poate c─â unii elevi le-ar fi ├«n┼úeles; a┼ča ├«ns─â, m─â ├«ndoiesc c─â ├«n┼úelege careva acas─â f─âr─â “traducere” din partea unui adult sau m─âcar a unui frate mai mare.

Eu a┼č pune ├«ns─â ┼či urm─âtoarea ├«ntrebare: oare, unde este predarea intuitiv─â recomandat─â prin programa din 2017, cel pu┼úin pentru primele clase gimnaziale, ├«n predarea acestor no┼úiuni? Dar, mai ales, unde este mentalitatea de predare intuitiv─â din mintea autorilor, ├«n general a profesorilor? “Ce-i aia?“, ve┼úi ├«ntreba. Pentru c─â ÔÇô da ÔÇônimeni nu s-a ocupat s─â prezinte a┼ča ceva profesorilor. Doar s-a cerut prin noua program─â, recomand├óndu-se foarte civilizat s─â se foloseasc─â o predare mai intuitiv─â. Aici ├«mi permit o observa┼úie la adresa autorilor sugestiilor metodologice din deschiderea programei de gimnaziu 2017. ├Än lumea profesorilor de matematic─â din ┼čcolile rom├óne┼čti din aceast─â epoc─â post-comunist─â, oamenii nu reac┼úioneaz─â eficient dec├ót tot doar ├«n urma unor presiuni destul de dure din partea autorit─â┼úilor. Profesorii au fost obliga┼úi ├«n mod deosebit de dur s─â abandoneze predarea intuitiv─â ├«ncep├ónd orientativ din 1980, deci ca politic─â de stat pe parcursul a zece ani (p├ón─â ├«n 1989). ├Än anii ’90 predarea riguros teoretic─â era deja ├«np─âm├óntenit─â ├«n mentalul general, ├«n acei ani continu├óndu-se politica de predare riguroas─â, deoarece nimeni nu a pus-o ├«n discu┼úie. C├ót despre noii absolven┼úi de facult─â┼úi, to┼úi profesorii proaspe┼úi de matematic─â ie┼čeau oricum de pe b─âncile facult─â┼úilor f─âr─â nici cea mai mic─â urm─â de metod─â intuitiv─â ├«n predare (cei mai mul┼úi, ca s─â nu exagerez: eu am g─âsit c├ó┼úiva care st─âp├ónesc destul de bine predarea intuitiv─â). Acum, din marea majoritate, nimeni nu prea mai este dispus s─â fac─â pasul ├«napoi, mai ales c─â este vorba despre un pas “├«n necunoscut”: nimeni nu mai ┼čtie ce-i aia predare intuitiv─â. Dovada? Formulele de tipul scrierilor de mai sus.

Ce-i de f─âcut? Sunt absolut sigur c─â dac─â s-ar dori cu adev─ârat, s-ar putea face trecerea ┼či ├«napoi. Trebuie doar declarat─â un fel de “politic─â de stat” trecerea ├«napoi la folosirea intui┼úiei adev─ârate. Din p─âcate, nici voin┼ú─â nu se prea vede ├«n acest sens, nici o l─âmurire clar─â a breslei nu este “target-at─â” cu adev─ârat, dar nici m─âcar pentru cei ce ar dori s─â o fac─â pe cont propriu nu exist─â clar o baz─â bibliografic─â ├«n direc┼úia respectiv─â. Doar “s-a sugerat” ├«n Sugestiile metodologice prin repetarea aproape obsesiv─â a cuv├óntului intuitiv (de 20 ori, ├«n diferite forme). ┼×i, cine nu vrea, sau cine nu ├«n┼úelege ce-i aia, sau cine a uitat pur ┼či simplu, lu├óndu-se cu altele, sau cine a ├«n┼úeles-o total gre┼čit ideea asta cu folosirea intui┼úiei, adic─â pentru marea mas─â a profesorilor, ce se ├«nt├ómpl─â dac─â nu se conformeaz─â acestor sugestii? Nimic nu se ├«nt├ómpl─â, pentru c─â nu mai suntem ├«n comunism, ve┼úi r─âspunde. Stalin spunea despre sugestiile ┼či recomand─ârile primelor plane cincinale c─â sunt obligatorii; pe c├ónd a ajuns sistemul respectiv la noi, cel pu┼úin prin anii ’80, ┼čtim noi c├ót mai era de “obligatoriu” planul cincinal (aveam desigur experien┼ú─â de secole cu fentarea diferitelor imperii care ├«ncercau s─â “trag─â pielea de pe noi”; povestea cu apari┼úia cuv├óntului ┼čmecher din germanul Schmecker este absolut sugestiv─â ├«n acest sens). Cam a┼ča au fost preluate de c─âtre profesorii de matematic─â ┼či sugestiile metodologice din programa de gimnaziu din 2017. Pentru cine ├«nc─â nu crede ce tot zic eu aici, lua┼úi ca exemplu scrierile de mai sus.

Dar cum ar trebui predate acestea? Simplu: c├óteva exemple de diferite lungimi (cu 3, apoi cu 4 sau cu 5 termeni, adic─â nu cu n termeni) sunt suficiente pentru orice elev care vrea s─â ├«nve┼úe. Iar pentru cei care tot nu le ├«n┼úeleg sau nu vor s─â le ├«nve┼úe, pentru ace┼čtia fi┼úi siguri c─â formulele generale oricum nu vor schimba situa┼úia (eventual doar le vor confirma pozi┼úia). Ce este important e ca at├ót pe tabl─â, c├ót ┼či ├«n caietul elevilor aceste exemple cu rol de model s─â fie ├«nr─âmate ca orice formule (eu chiar scriu l├óng─â sau sub ele, sau deasupra lor cuv├óntul MODEL, cu majuscule). Asta ├«i atrage aten┼úia c─â acolo este ceva foarte important, este u┼čor de g─âsit ┼či ajut─â la ideea c─â trebuie ├«nv─â┼úat ca principiu, dar nu pe de rost!

Astfel de modele activeaz─â instant un tip de ├«n┼úelegere intuitiv─â a fenomenului. Elevul nu are nici cea mai mic─â problem─â s─â-┼či imagineze o nou─â situa┼úie similar─â, dar cu alte cifre ┼či cu alte lungimi ale fenomenului (c├ó┼úi termeni ├«n media aritmetic─â ponderat─â sau c├óte cifre ├«n perioada unei frac┼úii zecimale de transformat ├«n frac┼úie ordinar─â). Privind g├óndirea copilului ├«n acest moment, putem spune c─â intui┼úia este de fapt o g├óndire logic─â ├«ntr-o form─â primitiv─â, nedezvoltat─â, neevoluat─â la un nivel “maturizat” al g├óndului. G├óndirea elevului “se for┼úeaz─â” ├«n acele momente, dar este o for┼úare mult mai accesibil─â majorit─â┼úii, se for┼úeaz─â s─â cuprind─â noua realitate, s─â ├«n┼úeleag─â pe mintea lui “cum se face, care este regula aici”. Aceast─â for┼úare, cu doar pu┼úine explica┼úii, ├«i activeaz─â intui┼úia, gener├ónd ├«ncet dar sigur g├óndire.

Folosirea c├ót mai des a acestui tip de pa┼či activatori de g├ónduri logice pentru ├«n┼úelegerea unui fenomen, duce cu timpul la formarea unei g├óndiri observa┼úionale ra┼úionale solide, practic formeaz─â g├óndirea. Dimpotriv─â, formulele generale sigur nu formeaz─â g├óndire la v├órstele gimnaziale. Redarea unor astfel de formule ├«nv─â┼úate pe de rost este doar dovada unei capacit─â┼úi deosebite de a ├«nv─â┼úa pe de rost orice (respectiv altceva dec├ót un text care rimeaz─â, pentru c─â aia este din nou un alt tip de memorare). ├Än nici un caz ├«ns─â redarea unor astfel de formule generale nu este o dovad─â a ├«n┼úelegerii fenomenului ├«n gimnaziu, dar─âmite o dovad─â de g├óndire (├«n liceu, la clasele cu matematic─â mai serioas─â, acolo se prea poate s─â fie a┼ča; mai exact, ├«n liceu poate ap─ârea ├«n┼úelegera formulelor generale, dac─â ├«nainte, ├«n gimnaziu, a fost exersat─â ├«n┼úelegerea intuitiv─â pe baza exemplelor particulare). Teoretic, nu le-a┼č exclude astfel de situa┼úii ┼či ├«n gimnaziu, dar cred c─â sunt extrem de rare cazurile c├ónd un elev de la acest nivel poate s─â redea aceste formule generale ┼či le ┼či ├«n┼úelege cu adev─ârat.

Ca o parantez─â, nu vreau s─â iau aici ├«n considerare situa┼úii artificiale c├ónd cineva ar petrece suficient timp cu un copil sau cu o grup─â, cu o clas─â, pentru ├«n┼úelegerea sistemului redac┼úional al acestor formule generale, analiz├ónd totodat─â suficiente exemple astfel ├«nc├ót elevul/ elevii respectivi s─â ajung─â a ├«n┼úelege ┼či a st─âp├óni sistemul respectiv, totul pentru a-mi demonstra mie c─â nu am dreptate ├«n cele afirmate mai sus. Desigur c─â se poate face a┼ča ceva, dar cine petrece at├óta timp doar pentru ca elevii s─â priceap─â un sistem general de redactare a formulelor, sistem care le este total str─âin ┼či nu le trebuie nicunde. ┼×i, cam c├ót timp ar lua s─â-i aduci pe unii de-a 5-a, pe toat─â clasa, ┼č─â ┼čtie to┼úi cu adev─ârat astfel de scrieri, fie aceasta ┼či├«ntr-o clas─â bun─â, selectat─â? Probabil c─â doar olimpicii percuteaz─â eficient la aceste scrieri.

Revenind ├«n realitatea plauzibil─â a lec┼úiilor de zicu zi, copilul se uit─â la modelul respectiv ┼či face “la fel” ┼či la exerci┼úiile primite. F─âc├ónd suficiente din acestea apare automatismul, se produce fixarea ┼či elevul “le ┼čtie”. El nu va putea s─â-┼úi redea o formul─â general─â dar va ┼čti s─â rezolve exerci┼úii de acest fel (iar ├«n gimnaziu asta i se ┼či cere).

Foarte important c├ónd dai astfel de modele este s─â nu dai situa┼úii dubioase, practic dubl─âri de cifre (de pild─â cifra 3 la ├«ntregi, dar ┼či cifra 3 ├«ntre virgul─â ┼či perioad─â, la o frac┼úie zecimal─â mixt─â), sau dub─âri de cantit─â┼úi (de pild─â transformarea frac┼úiei 0,273(185), deci cu acela┼či num─âr de cifre ├«n perioad─â c├ót ┼či ├«ntre virgul─â ┼či perioad─â).

Unele situaţii pot fi prezentate fără dubii printr-un singur exemplu dat ca model; la altele dimpotrivă înţelegerea are nevoie de două, uneori chiar trei exemple diferite. Se prea poate să ne pară că astfel scriem ceva mai mult decât o singură formulă generală, dar din exemple concrete mult mai mulţi elevi înţeleg situaţia, decât dintr-o formulă generală.

O modalitate interesant─â la care putem apela pentru a veni ├«n ├«nt├ómpinarea ├«n┼úelegerii unui exempluÔÇômodel este folosirea culorilor (eventual a sublinierilor cu diferite forme sau linii). De pild─â, la modelul de prezentare a unei frac┼úii zecimale periodice mixte ├«n frac┼úie ordinar─â, eu subliniez de exemplu fiecare cifr─â dintre virgul─â ┼či perioad─â cu o mic─â “parantez─â” p─âtrat─â verde (s─â zicem) ┼či la fel sub zero-urile corespunz─âtoare de la numitor, iar fiecare cifr─â din perioad─â cu o “parantez─â” rotund─â ro┼čie (dac─â am) ┼či la fel la 9-urile corespunz─âtoare de la numitor. Desigur c─â aceste conven┼úii le p─âstrez la ├«ntregul pache┼úel de modele de transformare a frac┼úiilor zecimale ├«n frac┼úii periodice, asta pentru a da siguran┼ú─â ├«n┼úelegirii intuitive ├«n procesul de transformare a acesteia ├«n g├óndire, respectiv ├«n sintetizarea ├«n mintea copilului a unor reguli clare (pe care desigur c─â nu vreau s─â i le dau ├«n text, pentru c─â atunci avem o alt─â belea: elevii ├«ncep s─â ├«nve┼úe pe de rost texte, f─âr─â a ├«n┼úelege o iot─â din ce spun).

Astfel, de fiecare dat─â c├ónd prezint transformarea frac┼úiilor periodice ├«n frac┼úii ordinare prin modele, eu ├«ncep cu un exemplu de transformare a frac┼úiilor zecimale finite ├«n frac┼úie ordinar─â. Culoarea ┼či forma folosite aici le voi p─âstra apoi ┼či la frac┼úiile periodice mixte, la partea dintre virgul─â ┼či perioad─â. ├Än tabloul final elevii le pot vedea dintr-o privire care cu care se leag─â (de pild─â dou─â paranteze p─âtrate verzi sub cele dou─â cifre dintre virgul─â ┼či perioad─â, dar ┼či sub cele dou─â zero-uri de la numitor, apoi trei paranteze rotunde ro┼čii sub cele trei cifre din perioad─â, dar ┼či sub cele trei cifre de 9 de la numitor; la frac┼úia zecimal─â finit─â ap─âreau astfel ├«n primul exemplu doar paranteze verzi p─âtrate).

Revenind la alegerea exemplelor din care elevii s─â “deduc─â intuitiv” regula ┼či peste zile sau s─âpt─âm├óni, atunci c├ónd se uit─â ├«n urm─â ┼či g─âse┼čte modelul ├«nr─âmat, exist─â desigur pericolul apari┼úiei unor exemple care produc o sugerare intuitiv─â c─âtre o regul─â gre┼čit─â. De pild─â, la exemplul 1┬á:┬á3┬á=┬á0,(3) trebuie neap─ârat s─â d─âm imediat ┼či un exemplu de felul 5┬á:┬á3┬á=┬á1,(6), pentru a nu permite confuzii. Dup─â primul exemplu elevul ar putea fi tentat s─â considere c─â ├«mp─âr┼úitorul se pune ├«n perioad─â (mai nou, la aceast─â lec┼úie). Exemplul al doilea (cu ├«mp─âr┼úirea al─âturat─â) ne exclude o astfel de posibilitate de “├«n┼úelegere”, astfel ├«nc├ót, chiar dac─â este mai dificil, elevul va ├«n┼úelege sursa corect─â a modelului. De fapt, primul exemplu de aici este un foarte bun contraexemplu despre cum nu ar trebui s─â fie alese astfel de modele de rezolvare (am mai discutat pe larg despre alegerea acestor exemple).

├Än acest context, revenind la predarea intuitiv─â, noi trebuie s─â avem ├«n vedere c─â intui┼úia ├«n formele ei ini┼úiale de manifestare nu este neap─ârat o g├óndire logic─â foarte stabil corect─â. Impresiile intuitive ne pot ├«n┼čela, iar elevii din vremurile noastre sunt deosebit de vulnerabili la acest fenomen. Asta se ├«nt├ómpl─â ┼či pentru c─â nu mai au at├óta de mult─â r─âbdare (ca ├«n urm─â cu 20-30 de ani), folosirea ├«n mas─â a ecranelor de toate tipurile duc├ónd la un deficit de aten┼úie generalizat la marea mas─â a popula┼úiei ┼čcolare (iar cei doi ani de predare online numai nu au ajutat la pre├«nt├ómpinarea acestui fenomen).

A┼čadar, ca s─â ├«nchei ├«ntr-un mod f─âr─â echivoc, rezum acest eseu printr-un NU! foarte hot─âr├ót ├«mpotriva folosirii formulelor generale cu n termeni ├«n clasele gimnaziale, la introducerea ├«n lec┼úii; cel mult la recapitularea din a 8-a pentru EN, dar atunci neap─ârat ├«nso┼úite de exemple (├«n acest caz ├«ns─â cu exemplele date mai ├«nt├ói, ┼či doar apoi ├«n forma general─â). C. Titus Grigorovici

P.S. Un astfel de exemplu “la jum─âtatea drumului”, adic─â ├«ntr-o form─â semigeneralizat─â, am g─âsit ├«ntr-o carte veche de preg─âtire a admiterii ├«n licee. Este vorba de lucrarea MATEMATIC─é pentru candida┼úii la examenele de admitere ├«n licee, Ed. didactic─â ┼či pedagogic─â, din 1970, autori Maria Dinescu, Ivanca Olivotto, Rosa Gruia. Exemplul respectiv vroia s─â demonstreze de ce frac┼úiile periodice simple se transform─â ├«n frac┼úii ordinare cu partea din perioad─â la num─âr─âtor, iar la numitor at├ó┼úia de 9 c├óte cifre erau ├«n perioad─â. Este evident c─â la vremea respectiv─â autorii au considerat c─â ├«n clasa a 8-a elevii pot duce at├óta generalizare ┼či nu mai mult. Iat─â materialul respectiv de la pag. 38-39:

Pe exemplul de mai sus putem filozofa pu┼úin, observ├ónd cui i se adreseaz─â aceast─â lucrare, deci ┼či materialul reprodus aici, anume candida┼úilor la examenele de admitere ├«n licee, adic─â sigur nu marii mase a popula┼úiei ┼čcolare, fie ea ┼či doar de la ora┼če. Pe vremea respectiv─â examenul din finalul clasei a 8-a era benevol, nu general, deci ┼č├« preg─âtirea “a┼či┼čderea”! Trebuie precizat totodat─â c─â pe vremea aia elevii mergeau la ┼čcoal─â dup─â ├«mplinirea v├órstei de 6 ani ┼či ├«mplineau 14 ani ├«n clasa a 8-a. Am putea astfel asimila v├órsta respectiv─â cu cea a elevilor actualli de a 7-a.

Revenind la scrierea de mai sus, vedem c─â pasajul generalizat apare ├«n sensul demonstrativ (10n┬áÔÇô┬á1), nu ├«n sensul rezultatului (999…9), ┼či desigur doar dup─â c├óteva exemple concrete (nu cum se face acum ├«n sens prea elevat teoreticist, anume c─â se d─â mai ├«nt├ói teoria generalizat─â, iar apoi c├óteva exemple de ├«n┼úelegere). Dup─â pasajul reprodus aici, ├«n cartea respectiv─â urmeaz─â ca a doua regul─â ┼či deducerea pe exemple a variantelor cu frac┼úii zecimale periodice mixte, doar c─â la acestea autorii nu au mai prezentat ┼či o scriere general─â (!!!). Probabil c─â au considerat c─â acestea sunt clar prea grele, chiar ┼či pentru elevii de final de ciclu gimnazial. Las’ c─â “noi” le d─âm la ora actual─â chiar ┼či ├«n clasa a 5-a! Oare a fost f─âcut un studiu despre care eu ├«nc─â n-am aflat, un studiu, conform c─âruia din 1970 ┼či p├ón─â acum s─â fi evoluat puternic inteligen┼úa elevilor rom├óni??? ├Än sus, desigur!

Adapt├ónd cele de mai sus, la recapitularea din clasa a 8-a (sau poate ├«n a 7-a, atunci c├ónd ne ├«nt├ólnim cu o astfel de situa┼úie), eu folosesc o scriere par┼úial general─â, respectiv par┼úial particular─â, care am v─âzut c─â prinde bine la elevi (├«n finalul gimnaziului la cei mai mul┼úi). Astfel, consider─âm num─ârul N┬á=┬á0,(abc), care este apoi “prelucrat” pu┼úin, fiind ├«nmul┼úit cu 1000, ob┼úin├óndu-se astfel 1000┬áN┬á=┬áabc,(abc). V─â rog s─â pune┼úi dvs. bara de scriere zecimal─â deasupra, de┼či a┼úi v─âzut c─â ├«n lucrarea din 1970 nu apare. Sc─âz├ónd cele dou─â egalit─â┼úi ob┼úinem c─â 999┬áN┬á=┬áabc, de unde deducem c─â N┬á=┬á abc/999 (tot cu bar─â deasupra). Vede┼úi cu demonstr┼úia respectiv─â are o parte clar─â de “caz particular”, faptul c─â sunt exact trei cifre ├«n perioad─â, dar ┼či o parte de situa┼úie general─â, faptul c─â nu sunt date trei cifre concrete ├«n perioad─â, ci sunt date litere. Evit ├«ns─â s─â dau o liter─â repetat─â cu diferi┼úi indici.

Apropos de bara deasupra folosit─â ├«n Rom├ónia pentru scrierea zecimal─â generalizat─â, adic─â atunci c├ónd cifrele nu sunt date concret, numeric: este evident c─â la mul┼úi elevi aceasta poate produce mare bulversare, mai ales atunci c├ónd este folosit─â ├«n scrieri cu frac┼úii ordinare. Imagina┼úi-v─â copiii aceia care ├«ncearc─â s─â copieze frumos de pe tabl─â (de obicei elevi care au ┼či r─âmas pu┼úin ├«n urm─â, poate pentru c─â profesoara tocmai scria, ┼či deci nu se vedea la tabl─â), iar c├ónd se uit─â nici nu ├«n┼úeleg de ce ├«n scrierea respectiv─â apare linie ┼či deasupra, sau apar uneori chiar dou─â linii de frac┼úii. Folosit─â o astfel de scriere ├«n clasa a 5-a, al─âturi de folosirea literelor, cu indicii respectivi, ├«n care mai apare ┼či pasajul cu “puncte puncte”, aceasta duce la blocarea general─â ┼či sperierea definitiv─â a elevilor. F─âr─â discu┼úie!

P.P.S. Dac─â ave┼úi impresia c─â le-am spus “pe toate” atunci v─â ├«n┼čela┼úi. Am g─âsit ├«ntr-o culegere (nu spui care!) o astfel de generalizare la geometrie, concret la lec┼úia despre poligoane regulate din clasa a7-a, unde desigur am putea s─â discut─âm despre poligoane regulate cu 3; 4; …; n laturi. Este o culegere care la ├«nceputul fiec─ârei lec┼úie prezint─â pe scurt partea teoretic─â, f─âr─â demonstra┼úii, dar mai ales, la multe lec┼úii f─âr─â figura corenspunz─âtoare. Ei, dar la aceast─â lec┼úie autorii s-au g├óndit s─â dea totu┼či o figur─â, ├«ns─â numai una (ca s─â nu ocupe prea mult loc). A┼ča c─â au dat o figur─â general─â pentru un poligon regulat “cu n laturi”. Uau! Am tr─âit s─â o v─âd ┼či pe asta!

G├óndi┼úi-v─â ce poate ├«n┼úelege un elev de clasa a 7-a din aceast─â figur─â, un elev care n-a v─âzut ├«n via┼úa lui un poligon regulat cu mai multe laturi. Apropos scriere corecte, ve┼úi spune, lipsesc renumitele “…” (puncte puncte), care s─â transmit─â mesajul “┼či tot a┼ča mai departe, p├ón─â la”.

Ca s─â nu ├«nchei pe acest ton dur, ci s─â dau ┼či o solu┼úie, din experien┼úa mea ├«n acest sens, eu consider c─â elevii vor ├«n┼úelege u┼čor, intuitiv, ce-i acela un poligon regulat dac─â le vom da urm─âtoarele elemente. ├Än primul r├ónd, eu le scriu o list─â cu denumirile poligoanelor regulate, ├«ncep├ónd cu triunghiul echilateral ┼či cu p─âtratul, ┼či merg├ónd m─âcar p├ón─â la decagon ┼či dodecagon (explic├óndu-le desigur originea denumirilor ├«n numerele pe limba greac─â). ├Än condi┼úiile actuale aceast─â list─â ar putea ac┼úiona ca suficient─â ┼či de una singur─â, cu precizarea de tem─â s─â caute pe net imagini cu acestea.

├Än al doilea r├ónd, eu petrec cu ei timpul pentru a construi un octogon regulat. Acesta ├«mbin─â cel mai bine accesibilitatea cu ├«n┼úelegerea fenomenului general. ├Änaintea studiului ariei discului, mai fac de obicei ┼či construc┼úia unui dodecagon regulat (12 laturi) prin ├«mp─âr┼úirea cercului cu raportorul, pentru a-i calcula aria (3r2; se face cu cateta opus─â unghiului de 30o; ulterior, la dup─â lec┼úia de trigonometrie, se poate determina ca exerci┼úiu ┼či formula ariei octogonului regulat ├«n func┼úie de raz─â).

De fapt, nu pot spune dac─â este mai bine s─â le d─âm ├«nt├ói lista cu toate acele denumiri ciudate (pentagon, hexagon, heptagon, octogon etc.) ┼či doar apoi s─â desen─âm un octogon regulat, sau dimpotriv─â s─â desen─âm mai ├«nt├ói unul din acesta ca exemplu pentru ├«n┼úelegerea titlului ┼či, doar apoi lista cu denumirile respective. Din punct de vedere metodolocic, fiecare variant─â are aventajele ei. Oricum, sigur este c─â de-abia apoi, cel mai bine ├«n ora urm─âtoare, putem s─â pred─âm cazurile particulare studiate tradi┼úional ├«n Rom├ónia (cele cu formulele respective de arie, ├«n─âl┼úime, apotem─â etc. pentru triunghi echilateral, p─âtrat ┼či hexagon regulat). S─â filozof─âm pu┼úin pe seama acestora trei.

At├ót triunghiul echilateral, c├ót ┼či p─âtratul, au “o via┼ú─â” separat─â de ideea de poligon regulat. Ca s─â le ├«n┼úelegi apartenen┼úa lor la “familia” poligoanelor regulate trebuie s─â ├«n┼úelegi mai ├«nt├ói aceast─â familie pe ni┼čte cazuri mai apropiate de ideea general─â de “poligon regulat”. Hexagonul regulat se mai apropie pu┼úin de aceast─â idee general─â, dar acesta are proprietatea absolut special─â c─â este format din ┼čase triunghiuri echilaterale. Pentru a ├«n┼úelege faptul c─â aceasta este o proprietate absolut remarcabil─â, trebuie s─â avem viziunea de ansamblu, anume c─â poligonul regulat este compus din┬á mai multe triunghiuri ├«n general isoscele dispuse “roat─â ├«n jurul v├órfului” (┼či de obicei triunghiul isoscel este perceput ceva mai str├óns dec├ót cel echilateral). De-abia dup─â ├«n┼úelegerea m─âcar a unui caz cu mai multe laturi ┼či cu unghiurile la centru mai ascu┼úite, se poate merge la triunghiul echilateral (care se descompune ├«n trei triunghiuri isoscele obtuzunghice), apoi la p─âtrat (care se descompune ├«n patru triunghiuri isoscele dreptunghice), respectiv la hexagonul regulat (exagonul, cum ├«l denumesc unii colegi) care se descompune ├«n ┼čase triunghiuri ┼či care de data asta sunt chiar echilaterale, fiind isoscele cu unghiul la centru de 60o. Aici poate fi observat─â o mare bucurie la mul┼úi elevi obi┼čnui┼úi (“elevul mijlociu” al lui Hollinger).

├Än acest context, nu pot s─â nu observ la figura de mai sus c─â aceasta prezint─â de fapt o jum─âtate dintr-un hexagon regulat, ├«n care de fapt singurul triunghi isoscel desenat complet este un triunghi echilateral. Pe l├óng─â faptul c─â ┼či din acest motiv abordarea generalist─â respectiv─â nu poate conduce mintea copiilor spre realitatea c─â “un pologon regulat cu n laturi este compus din n triunghiuri isoscele“, eu m─â ├«ntreb dac─â autorii respectivi ┼čtiu ce-i acela un poligon regulat, altul dec├ót cele trei cazuri obligatorii prin program─â. Cred totu┼či c─â ┼čtiu, dar nu-i dau defel aten┼úie fenomenului. Dar atunci m─â ├«ntreb, de ce mai denumim lec┼úia respectiv─â “Poligoane regulate”? A┼ča, ca s─â ne d─âm mari cu ├«nc─â o no┼úiune ciudat─â, pe care elevii n-au cum s─â o ├«n┼úeleag─â? Doar a┼ča, ca s─â priceap─â c├ót sunt ei de pro┼čti ┼či c├ót suntem noi de de┼čtep┼úi?

Plec├ónd de la respectivele triunghiuri isoscele c─ârora le putem stabili unghiul din v├órf, cel de la centrul cercului, se pot desigur determina ┼či unghiurile poligonului regulat ├«n diferite cazuri particulare (sarcin─â accesibil─â ┼či totu┼či nebanal─â pentru “elevul mijlociu”), dar din p─âcate aceast─â parte a fost scoas─â din materie, deci profesorul este atacabil dac─â o parcurge ┼či o cere ca sarcin─â de lucru ┼či de evaluare (c─â pentru olimpici oricum nu se fac “banalit─â┼úi” de felul ─âsta). Astfel, pentru cei doritori, pentagonul (ca s─â apar─â ┼či acesta) sau decagonul ofer─â calcule banale, la fel ┼či nonagonul; octogonul face o ┼čmecherie ├«n care aparent elevii dau de frac┼úie zecimal─â ├«n procesul de calcul, dar ├«n final rezultatul este tot o m─âsur─â ├«ntreag─â. Aici ajunge s─â se activeze g├óndirea ├«ntr-un mod magistral, pe baza unui exemplu de dilem─â cognitiv─â foarte dr─âgu┼ú. Dar, cine mai face chestiuni din acestea?

Toate acestea ├«ns─â, nu sunt valabile pentru autorii auxiliarului din care am g─âsit figura de mai sus (nici excluderea din materie, nici studiul situa┼úiei pe cazuri concrete, altele dec├ót cele trei obligatorii din program─â). Ace┼čtia prezint─â al─âturi de figura respectiv─â ┼či formula general─â ├«n func┼úie de n pentru m─âsura unghiului unui poligon regulat cu n laturi. De ce? De aia! C─â pot!

Prea devreme! ÔÇô (1) Drepte coplanare la definirea paralelelor

Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematic─â peste nivelul s─âu de asimilare, peste capacit─â┼úile sale de ├«n┼úelegere. Procesul a ├«nceput ├«n urm─â cu decenii, la ├«nceput fiind luat ca reper ┼či ca justificare nivelul celor mai buni elevi. O alt─â cauz─â este faptul c─â au fost cobor├óte ├«n clasele gimnaziale lec┼úiile ├«n forma ├«n care acestea se parcurgeau la o a doua trecere, una mai elevat─â, doar ├«n liceu. La ora actual─â, ├«n multe c─âr┼úi ┼či la mul┼úi profesori avem o atitudine de felul: De ce s─â le-o d─âm ├«n gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o ┼či ├«n┼úeleag─â c├ót mai mul┼úi? Hai s─â le-o d─âm direct ├«n forma general─â, de matematic─â matur─â. Nu-i bai c─â cei mai mul┼úi nu vor mai ├«n┼úelege nimic. Important este c─â noi ar─ât─âm “lumii ├«ntregi” c─â st─âp├ónim forma cea mai ├«nalt─â din punct de vedere a exprim─ârii riguroase matematice. Pentru c─â exist─â desigur ├«ntordeauna riscul ca s─â ne apostrofeze careva de felul “cum, nu ┼čti forma general─â, cea de v├órf?” (de cur├ónd am vorbit despre aceste aspecte ur├óte ale interac┼úiunii din lumea profesorilor de matematic─â).

Desigur c─â fenomenul se petrece ┼či ├«n cadrul claselor gimnaziale, adic─â ├«ntre acestea, ca anumite elemente s─â fie predate ├«n clase mai mici, de┼či elevii nu au capacitatea sau cuno┼čtin┼úele necesare a le pricepe dec├ót mai t├órziu, dup─â ce au ├«nv─â┼úat elemente suplimentare. Profesorii, care ├«ns─â cunosc toat─â materia, au ├«n astfel de momente dificult─â┼úi reale de a nu “turna toat─â tema respectiv─â” peste elevi ├«n lec┼úia predat─â ├«ntr-o clas─â mic─â. ├Än aceast─â miniserie mi-am propus s─â abordez trei astfel de exemple ├«n care diferite elemente matematice sunt predate ├«n forme prea elevate pentru o prim─â abordare.

Care este rezultatul unor astfel de pred─âri? Elevii nu ├«n┼úeleg mai nimic (cel pu┼úin marea mas─â a elevilor), se streseaz─â (├«n toate formele ce se pot imagina, iar psihologii pot descrie multe) ┼či se ├«ndep─ârteaz─â de matematic─â. ├Än func┼úie de posibilit─â┼úi p─ârin┼úii reac┼úioneaz─â angaj├ónd un meditator. Mul┼úi dintre ace┼čtia, la r├óndul lor, fenteaz─â parcurg├ónd cu elevii lec┼úiile ├«n avans, ├«ntre patru ochi exist├ónd ┼čanse mai mari ca elevul s─â priceap─â totu┼či ceva, mai ales dac─â o faci ├«nainte de a fi intervenit sperietura de la clas─â.

O alt─â urmare este faptul c─â cei mai mul┼úi elevi reduc matematica la un set de reguli ┼či de texte ce trebuie pur ┼či simplu ├«nv─â┼úate pe de rost, g├óndirea fiind eliminat─â cu totul din discu┼úie (din procesul matematic). Dramatic este faptul c─â elevii nici m─âcar nu ├«n┼úeleg c─â ei nu g├óndesc. Astfel, ei ajung s─â confunde ├«n┼úelegerea adev─ârat─â, g├óndit─â, cu impresia c─â pot s─â redea ceva (total sau ├«ntr-o oarecare m─âsur─â): dac─â pot reda o situa┼úie ├«nseamn─â c─â au ├«n┼úeles. Asta nu este ├«ns─â de obicei adev─ârat: imediat ce schimbi pu┼úin (sau mai mult) modelul, vei vedea o bulversare general─â, manifest─ârile merg├ónd de la blocaj total p├ón─â la situa┼úii ├«n care vei primi rezolv─âri total anapoda (de pild─â, demonstra┼úie cu metoda triunghiurilor congruente la probleme unde nici m─âcar nu apar ├«n figur─â triunghiuri congruente).

*

S─â abord─âm deci primul exemplu propus, anume includerea cuv├óntului “coplanare” ├«n definirea dreptelor paralele din prima parte a clasei a 6-a (unii profesori se “pot trezi” s─â o dea chiar ┼či ├«n a 5-a): Dou─â drepte coplanare care nu au puncte comune se numesc paralele (sau orice alt─â variant─â pe care o prefera┼úi, de pild─â cu folosirea cuv├óntului “neintersectate” etc.).

S─â ne punem ├«n locul elevilor. ├Än fa┼úa lor se deschid dou─â c─âi: fie ├«n┼úeleg lucrurile ┼či atunci le pot reda, eventual cu cuvintele lor, dar oricum le pot desigur folosi la nevoie, fie nu le ├«n┼úeleg, iar atunci apare impulsul de a le ├«nv─â┼úa pe de rost (impuls personal sau la sugestia p─ârin┼úilor). Incluz├ónd ├«n aceast─â defini┼úie un cuv├ónt pe care elevii nu-l ├«n┼úeleg, asta duce la obturarea c─âii de ├«n┼úelegere a no┼úiunii, apare sperietura ┼či blocajul ┼či r─âm├óne ca solu┼úie disperat─â doar ├«nv─â┼úarea pe de rost. ├Än acest caz ├«ns─â, la cei mai mul┼úi elevi memoria nu poate duce pe durat─â st─âp├ónirea defini┼úiei, f─âr─â s─â mai discut─âm c─â nici m─âcar nu putem spera la apari┼úia cu timpul a ├«n┼úelegerii no┼úiunii, pentru c─â mentalul a fost blocat de sperietura ini┼úial─â.

A┼ča se ajunge la starea de toceal─â ├«mp─ânat─â cu multe spaime ├«n matematic─â. Rezultatul este c─â o no┼úiune elementar─â, destul de accesibil─â ├«n principiu, devine un “balaur” pe psihicul copilului. Apoi, cuv├óntul fiind relativ lung ┼či av├ónd deja ata┼čat─â sperietura, starea de fric─â se extinde ┼či la alte situa┼úii, de pild─â la no┼úiunea de drepte perpendiculare (tot un cuv├ónt lung ┼či ├«ncep├ónd cu litera p).

Desigur c─â, din punct de vedere al rigurozit─â┼úii exprim─ârii matematice, cuv├óntul “coplanare” nu poate fi omis, pentru c─â asta ar l─âsa “porti┼úa deschis─â” pentru posibilitatea ca “cineva” s─â ├«n┼úeleag─â ┼či posibilitatea acelei pozi┼úion─âri denumit─â ├«n clasa a 8-a drept “necoplanare”. S─â analiz─âm pu┼úin aspectele acestui moment.

P─âi, ├«n primul r├ónd, putem sus┼úine lini┼čtit c─â marea majoritate a elevilor nu vor “vedea” situa┼úia dreptelor necoplanare, mai ales dac─â profesorul deseneaz─â imediat m─âcar o reprezentare a dou─â drepte paralele (renumitul efect de “├«n figura al─âturat─â” care ├«i direc┼úioneaz─â elevului ├«n┼úelegerea). Totu┼či, exist─â ├«n continuare riscul ca un “mic Einstein” s─â “scoat─â porumbelul pe gur─â”, respectiv s─â ia profesorul la ├«ntreb─âri, c─â “┼či dac─â le pune a┼ča:…?” ar─ât├ónd sau suger├ónd cumva situa┼úia dreptelor necoplanare (de pild─â cu dou─â creioane ├«n aer).

Acest lucru se poate int├ómpla din dou─â cauze: fie acelui elev chiar “i-a mers mintea” singur, adic─â a v─âzut ├«n propria imagina┼úie pozi┼úia unor drepte necoplanare (neintersectate dar nici paralele), fie elevul are informa┼úia respectiv─â primit─â deja de undeva. ├Än primul r├ónd, eu consider ca extrem de rar─â prima situa┼úie, acea c├ónd elevul “vede singur” pozi┼úia respectiv─â (nu imposibil─â, dar foarte pu┼úin probabil─â).

Revenim a┼čadar la faptul c─â unii copii afl─â lucrurile mai devreme dec├ót din lec┼úia de la ┼čcoal─â. Am povestit despre situa┼úia c├ónd un meditator particular parcurge lec┼úiile ├«n avans (un fenomen foarte ur├ót, ce se ├«nt├ólne┼čte pe scar─â tot mai larg─â ├«n ora┼čele rom├óne┼čti). Desigur c─â sunt probabili ┼či p─ârin┼úi care au ajuns la concluzia c─â trebuie ei ├«nsu┼či s─â fac─â a┼ča ceva. Exist─â ┼či elevi care ajung la concluzia c─â e bine dac─â fac a┼ča ceva: au mult mai mult succes la ora urm─âtoare dac─â citesc ├«n avans lec┼úia din manual, iar cu timpul acest model le devine felul lor de a fi. Desigur c─â nimeni nu se g├ónde┼čte care este efectul unei astfel de ac┼úiuni asupra celorlal┼úi elevi sau asupra mersului lec┼úiei ├«n general.

Exist─â ┼či o alt─â cale prin care diverse cuno┼čtin┼úe pot ajunge ca informa┼úii la copii, anume prin diferite c─âr┼úi cump─ârate de c─âtre p─ârin┼úi sau diverse rude/ prieteni, date copiilor doar a┼ča, “s─â-i trezeasc─â curiozitatea”. Copiii le parcurg mai mult sau mai pu┼úin superficial, dar oricum r─âm├ón cu cuvinte sau cu imagini ┼či pe baza c─ârora intervin ├«n lec┼úii ulterioare (dac─â ├«┼či amintesc). Exist─â diverse astfel de c─âr┼úi, inclusiv unele cu o parcurgere destul de superficial─â, gen “enciclopedie ├«n imagini” traduse din alte limbi. Acestea alimenteaz─â ┼či ele respectivul fenomen de “care pe care”, fenomen de dat mare pe baza a care ┼čtie mai multe ┼či mai repede. Desigur c─â nici internetul nu poate fi exclus din aceast─â discu┼úie, de┼či nu i-a┼č acorda o pondere prea ridicat─â.

S─â revenim totu┼či la cuv├óntul nostru bucluca┼č. Cuv├óntul coplanar este un termen tehnic ce ┼úine de clasa a 8-a, respectiv de geometria ├«n spa┼úiu; acela┼či lucru este valabil ┼či ├«n leg─âtur─â cu cuv├óntul necoplanar. ├Än┼úelegerea cuv├óntului coplanar are loc atunci c├ónd este privit din afar─â (din afara unui plan), adic─â atunci c├ónd persoana care-l folose┼čte se pozi┼úioneaz─â “mai sus”, adic─â “la un nivel superior”, ├«n cazul acesta la nivel 3D, din care ne uit─âm la o parte a “lumii ├«n care suntem” ÔÇô asta putem s─â facem u┼čor ÔÇô ┼či ├«i analiz─âm “un obiect”, o zon─â etc.

Dimpotriv─â, ├«n clasa a 6-a copilul este mental “├«n plan”, adic─â ├«n geometria 2D, specific─â unei poze, a┼ča ├«nc├ót el nu este ├«n stare s─â fac─â acest “flip-flop”, aceast─â tumb─â imaginar─â, de a se ridica ├«n 3D (├«ntr-o “alt─â dimensiune”), pentru a analiza situa┼úia, iar apoi de a cobor├« din nou ├«n starea mental─â de 2D. Acest lucru este valabil mai ales dac─â nu se face nici cea mai mic─â preg─âtire ├«n acest sens.

Mai exist─â ├«ns─â ┼či un alt aspect ÔÇô deloc neglijabil, anume acela al autoperceperii profesorului de matematic─â. Noi, ca matematicieni, nu accept─âm s─â vorbim folosind aspecte false, neadev─âruri. A┼ča este fiin┼úa noastr─â de matematicieni. A┼ča suntem noi. Ca urmare, simpla eliminare a acestui cuv├ónt nu ar rezolva problema. Ne-ar “zg├ória pe creier” pe mul┼úi dintre noi. Poate c─â unul sau altul dintre profesori l-ar putea elimina din propria exprimare, din predare (doar a┼ča, pentru c─â a ├«n┼úeles ce perturbare produce acest cuv├ónt la nivelul majorit─â┼úii elevilor), dar sigur nu le po┼úi cere tuturor acest gest. La nivel na┼úional solu┼úia respectiv─â sigur nu este una viabil─â.

A┼čadar, ce-i de f─âcut? De obicei, atunci c├ónd ridic o problem─â ├«ncerc s─â vin ┼či cu o solu┼úie. ├Än spe┼úa de fa┼ú─â m─â tot b─âteau g├ónduri de genul: “pe vremea mea”, adic─â ├«nainte de 1980, ├«n manualele lui Hollinger adic─â, n-am avut a┼ča ceva. M─â mul┼úumeam cu at├óta: bodog─âneam ┼či gata. P─ân─â c├ónd mi-am f─âcut prin vacan┼úa de iarn─â timp ┼či am scos cutia cu manualele vechi din copil─ârie. Surpriza a fost destul de puternic─â: ┼či Hollinger prezenta situa┼úia corect ┼či complet, excluz├ónd ne├«n┼úelegerea, dar o f─âcea ├«ntr-un limbaj “pe mintea copilului”. Iat─â cum sun─â defini┼úia din manualele copil─âriei mele:

Defini┼úie: Dou─â drepte din acela┼či plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele (A. Hollinger, Geometrie, Manual pentru clasa a VI-a, Editura didactic─â ┼či pedagogic─â, 1977). Pentru ├«n┼úelegera ├«ntregului “tablou” redau ├«n continuare ├«n citat ┼či urm─âtorul r├ónd legat de acest subiect:

Pentru prescurtare, se folose┼čte semnul ; de exemplu: AB┬á┬áCD sau CD┬á┬áAB (fig. IV.1). ├Äntrerup citatul, preciz├ónd c─â aici, ├«n manual, urmeaz─â o figur─â cu dou─â drepte paralele (“orizontale”; eu a┼č fi pus ┼či unele “oblice”; ├«n lec┼úia de la tabl─â eu pun ├«ntotdeauna trei situa┼úii: o pereche de drepte “orizontale”, o pereche “verticale” ┼či una cu drepte “oblice” paralele). Reiau citarea din manualul lui Hollinger:

├Än defini┼úia dreptelor paralele trebuie spus c─â dreptele s├«nt ├«n acela┼či plan. Dreptele d ┼či d’ din figura IV.2 (dou─â muchii ale unui cub) n-au nici un punct comun, totu┼či ele nu s├«nt paralele, c─âci nu s├«nt ├«n acela┼či plan. (…)

├Äntrerup din nou citarea textului, f─âc├ónd o parantez─â logic─â, anume cu precizarea c─â ├«n continuare autorul se ocup─â ┼či de situa┼úia ciudat─â c├ónd unor elevi li se prezint─â dou─â drepte neparalele sub forma a dou─â segmente ce nu se ating iar unii elevi ar putea considera c─â aceste drepte nu se intersecteaz─â. Este foarte important ┼č─â punem elevilor aceast─â ├«ntrebare, pentru c─â din r─âspunsurile gre┼čite (c─â acestea ar fi paralele de vreme ce nu au nici un punct comun) vom putea vedea care elev nu a ajuns s─â ├«n┼úeleag─â cu adev─ârat fenomenul de dreapt─â, spre deosebire de cel de segment. Desenul nu i-a ie┼čit foarte bine lui Hollinger, ├«n figur─â p├ór├ónd c─â dreptele se intersecteaz─â evident. Cel mai bine se ├«n┼úelege fenomenul ├«n doi pa┼či: pentru ├«nceput desen─âm dou─â segmente ce nu se ating, dar ale c─âror drepte suport nu sunt paralele (pe vremea respectiv─â nu se prea vorbea de dreptele suport). ├Än acest prim pas punem ├«ntrebarea dac─â cele dou─â drepte sunt paralele. Apoi, dup─â un moment de g├óndire, eventual dup─â ce am auzit prin clas─â ┼či r─âspunsuri de felul c─â da, ar fi paralele, atunci, ├«ntr-un al doilea pas prelungim segmentele respective pentru a ar─âta c─â dreptele nu sunt ├«ns─â paralele (ca ├«n figura complet─â IV.3 din manual). O variant─â interesant─â ar fi ca punerea ├«ntreb─ârii s─â aib─â loc ├«n leg─âtur─â cu dou─â “drepte” desenate la marginea tablei, punctul lur de intersec┼úie fiind situat ├«n afara teblei. Hollinger mai d─â apoi ┼či un exemplu din spectrul iluziilor optice. Textul continu─â apoi cu Postulatul lui Euclid, cu analiza acestuia ┼či cu dou─â desene sugestive pentru l─âmurirea situa┼úiei. Pentru cei care doresc s─â vad─â ├«n detaliu aceste aspect ata┼čez cele dou─â pagini despre care am vorbit (pag. 62-63), decupate doar cu ce ne intereseaz─â aici):


Dar s─â revenim la cuvin┼úelul nostru. Deci, putem vorbi lini┼čtit de dou─â drepte “cuprinse ├«n acela┼či plan” (“situate ├«n acela┼či plan“, sau cum a zis Hollinger: “din acela┼či plan“), ├«n loc s─â folosim termenul mult mai riguros de “drepte coplanare”.

Oricum, ve┼úi spune, tot se face referire la ideea de “plan”, iar asta ar trebui l─âmurit─â ├«nainte. ┼×i da, ave┼úi dreptate, iar Hollinger a ┼či f─âcut-o, chiar la ├«nceputul manualului (care reprezenta totodat─â ┼či ├«nceputul geometriei, pe vremea respectiv─â ├«nceputul geometriei riguroase nef─âc├óndu-se ├«n clasa a 5-a). Astfel, la ├«nceputul manualului g─âsim urm─âtoarele preciz─âri, ├«n cadrul primei lec┼úii (1.1 Planul. Punctul. Linia) g─âsim:

Planul. 1) O suprafa┼ú─â dreapt─â ┼či neted─â, ca de exemplu t─âblia unei mese, tabla ┼č.a. reprezint─â un plan. Mai precis, fiecare din ele reprezint─â numai o parte din plan. Planul este nelimitat (nesf├«r┼čit). Vom asemui planul cu o foaie de h├«rtie sau de tabl─â foarte sub┼úire, nu se ┼úine seama de grosimea ei, dar rigid─â. Ea nu se poate ├«ncovoia, rupe sau g─âuri. (…)

Pe urm─âtoarea pagin─â g─âsim: 2. Punctul ┼či linia. C├«nd atingem u┼čor h├«rtia cu v├«rful creionului, pe h├«rtie apare un punct. C├«nd mi┼čc─âm creionul astfel ├«nc├«t v├«rful lui s─â alunece pe h├«rtie, apare o linie. Orice linie este format─â din puncte, a┼čezate unul l├«ng─â altul, f─âr─â goluri ├«ntre ele. (…) Punctul ┼či linia s├«nt figuri geometrice. Cu ajutorul lor se pot reprezenta obiectele din realitate, ele s├«nt modeleale acestor obiecte.

  1. Geometria plan─â. Unul sau mai multe linii sau puncte formeaz─â o figur─â geometric─â. C├«nd toat─â figura se g─âse┼čte ├«ntr-un plan, se spune c─â figura este plan─â. De exemplu, triunghiul, dreptunghiul, cercul ┼č.a., s├«nt figuri plane. ├Än cadrul acestei c─âr┼úi se expun propriet─â┼úile figurilor plane. Aceast─â parte a geometriei se nume┼čte geometrie plan─â.

4) Figuri geometrice, puncte ┼či linii se pot desena ┼či pe un cilindru (un burlan sau o cutie de conserve), sau pe o sfer─â sau pe o alt─â suprafa┼ú─â, (…). Studiul acestor figuri nu intr─â ├«n cadrul acestei c─âr┼úi. De asemenea, geometria se ocup─âcu studiul unor corpuri, cum ar fi paralelipipedul, cilindrul sfera ┼č.a. Aceast─â parte a geometriei se nume┼čte geometrie ├«n spa┼úiu. Pentru cei doritori de un studiu complet, ata┼čez aici ┼či paginile respective ├«n integralitatea acestei prime lec┼úii (din pag. 3-5, rearanjate aici electronic ├«n dou─â pagini):


Dup─â cele dou─â pagini introductive, de la ├«nceputul manualului, profesorul Hollinger putea lini┼čtit s─â foloseasc─â expresia “dou─â drepte din acela┼či plan”, f─âr─â a avea grija c─â ├«ncalc─â nevoia de rigurozitate natural─â a profesorilor de matematic─â, at├óta c├ót se manifest─â aceasta la nivelul matematicii gimnaziale, respect├ónd totodat─â ┼či posibilit─â┼úile de ├«n┼úelegere a elevilor din clasa a 6-a. Eu personal, oricum nu ┼úin minte s─â fi avut momente de ne├«n┼úelegere.

Revenind ├«n timpurile noastre, spre finalul acestui prim sfert al secolului XXI, eu cred c─â oricine poate la ├«nceputul geometriei, adic─â atunci, ├«n clasa a 5-a, s─â povesteasc─â ├«n felul acesta elevilor ÔÇô 5 minute, cel mult 10 ÔÇô despre plan, despre puncte sau linii, despre geometria plan─â ┼či despre geometria ├«n spa┼úiu, f─âr─â a intra ├«n detalii prea tehnice ┼či f─âr─â a apela, de pild─â la renumitele reprezent─âri grafice ale unui plan ├«n form─â de paralelogram etc. Doar o poveste care apeleaz─â la exemple banale din lumea cunoscut─â a copiilor (mie ├«mi place exemplul cu geamul) este suficient─â ca s─â l─âmureasc─â ideea, iar apoi se poate folosi termenul lini┼čtit.

Ca o observa┼úie colateral─â, merit─â men┼úionat c─â Hollinger vorbe┼čte ├«ntotdeauna despre “plan”, adic─â la singular, ┼či nu despre “plane”. El vorbe┼čte despre “plan” ┼či despre “linii sau puncte”. Asta trebuie ├«n┼úeleas─â legat de observa┼úia de la ├«nceput, cum se pozi┼úioneaz─â mental elevul ├«n 3D pentru a ├«n┼úelege ce-i acela un plan, f─âr─â ├«ns─â a avea ├«n vizor preocuparea de a lucra apoi cu mai multe plane (specific clasei a 8-a), ci doar de a ├«n┼úelege ┼či a descrie c├ót mai simplu “lumea” ├«n care se va petrece geometria plan─â.

Dac─â a┼úi studiat textul integral, a┼úi observat desigur c─â am omis o mare parte din text, de pild─â partea cu alunecarea planului pe el ├«nsu┼či. Nu o consider relevant─â, nici clar folositoare la ceva anume. Am pus ├«n copie prima lec┼úie integral, dar cred c─â se poate ┼či f─âr─â aceast─â parte, la fel ┼či f─âr─â partea despre fe┼úele planului etc.

├Än finalul acestui articol, probabil c─â mul┼úi dintre dvs. se vor pl├ónge de “un pic cam mult─â zdroab─â pentru un singur cuvin┼úel! (mai exact exagerat de mult─â!)”. Totu┼či, aici atingem un alt subiect foarte important, extrem de neglijat la ora actual─â pe scar─â larg─â, anume acela de introducere a unei no┼úiuni noi. La ora actual─â mul┼úi profesori v─âd ├«nceputul unei lec┼úii, respectiv partea de introducere a noilor no┼úiuni, drept o parte de mic─â importan┼ú─â, aproape neglijabil─â. Cea mai important─â parte o reprezint─â pentru mul┼úi partea de aplica┼úii, c├ót mai complicate dac─â se poate. Pe drumul c─âtre aceasta mul┼úi profesori doresc s─â parcurg─â c├ót mai repede faza de introducere, de definire a noilor no┼úiuni sau de predare a teoremelor. Apoi, se arunc─â cu mare av├ónt ├«n aplica┼úii c├ót mai “o-la-la!”. Astfel, cine mai are timp s─â piard─â minute valoroase din or─â pe l─âmurirea ideii de drepte coplanare? Pe bune?! Faptul c─â cei mai mul┼úi elevi nu ├«n┼úeleg mare lucru, acest fapt este din p─âcate pentru mul┼úi colegi profesori un aspect total neglijabil.

Nici feed-back-ul primit de c─âtre ace┼čti colegi nu le d─â de g├óndit: dac─â la urm─âtorul test mul┼úi copii nu ┼čtiu defini┼úia dreptelor paralele, atunci urmeaz─â o “ceart─â zdrav─ân─â”, iar la urm─âtorul test profesorul ┼čtie c─â dac─â le d─â din nou defini┼úia dreptelor paralele, iar “├«i va fi bubuit”. Rezultatul este ├«ntotdeauna unul ┼či acela┼či: to┼úi ajung s─â-┼či ia meditator particular ┼či uite a┼ča ajungem s─â avem “rezultate bune” cu clasa respectiv─â.

O component─â aparte a acestei situa┼úii sesizate aici o reprezint─â rolul ┼či forma defini┼úiilor, a┼ča cum acestea au ajuns s─â fie ├«n┼úelese ├«n mentalul profesorului de matematic─â din acest ├«nceput de secol XXI ├«n ┼čcoala rom├óneasc─â. Se apropie tot mai mult momentul c├ónd ├«mi voi face curajul, ├«ncerc├ónd s─â abordez ┼či tematica defini┼úiilor ├«n matematica ┼čcolar─â.

Apropos de introducerea no┼úiunilor, trebuie totu┼či s─â ne mai ├«ntoarcem la manualul lui Hollinger din anii ’70. D├ónsul a mai aplicat o tehnic─â interesant─â, care din p─âcate a cam fost abandonat─â odat─â cu reforma din 1980, astfel ├«nc├ót la ora actual─â profesorii n-o mai cunosc. Este vorba despre introducerea no┼úiunilor prin predarea ├«n spiral─â.

Astfel, ├«n manualul respectiv (cel din 1977) Profesorul Hollinger vorbe┼čte prima dat─â despre dreptele paralele la paginile 20-21 ├«n cadrul lec┼úiei 2.2. Rela┼úia de inciden┼ú─â, acolo unde apar pe scurt urm─âtoarele idei: Dreapta con┼úine o infinitate de puncte. (…) Printr-un punct se pot duce o infinitate de drepte. (…) Prin dou─â puncte se poate duce o singur─â dreapt─â. (…) Dou─â puncte determin─â o dreapt─â. (…) ├Än aceast─â succesiune se ajunge apoi la: Intersec┼úia a dou─â drepte con┼úine cel mult un punct. (…) Teoria respectiv─â se termin─â sec cu urm─âtoarea concluzie: Dou─â drepte s├«nt ori concurente, ori paralele. (…)


Am ata┼čat aici ├«n imagine acest ultim pasaj al lec┼úiei respective, din care se vede c─â nu se d─â nici cea mai mic─â aten┼úie ideii de coplanaritate, dar c─â Hollinger a pus deja de aici al─âturat cele dou─â pozi┼úii posibile ├«n care pot sta de fapt dou─â drepte ├«n geometria plan─â. Dup─â cum spuneam mai la ├«nceputul articolului, prezen┼úa acestor dou─â imagini anuleaz─â din start posibilitatea ca vreun elev “s─â vad─â” ├«n acest moment ┼či varianta dreptelor necoplanare.

Dac─â vrem s─â avem o abordare uman─â a introducerii no┼úiunilor, atunci nu ne vom arunca din prima ├«ntr-o defini┼úie (elevii nu au de obicei capacitatea de a ├«n┼úelege o no┼úiune din prima dup─â o defini┼úie), ci undeva mai ├«nainte vom intermedia contactul elevului cu acea no┼úiune ├«ntr-o form─â mai pu┼úin teoreticist─â, mai superficial─â. Hollinger a f─âcut-o aici ├«n cadrul unui proces de analiz─â filozofic─â “├«n mi┼čcare” intelectual─â, folosind intens imaginile al─âturate. Putem spune c─â oarecum elevii ajungeau s─â ├«nt├ólneasc─â pentru prima dat─â dreptele paralele ├«n mod informal, ├«n cadrul unui eveniment cu un cu totul alt subiect (pozi┼úii relative a punctelor ┼či dreptelor). Cunoa┼čterea adev─ârat─â urma s─â aib─â loc ulterior. Mai mult, ├«n paginile urm─âtoare nu ap─âreau aplica┼úii directe la dreptele paralele, doar c─â dup─â o vreme elevii ├«ncepeau totu┼či s─â se ├«nt├ólneasc─â cu acestea ├«n diferite ocazii, ├«ns─â dar at├ót. De-abia dup─â lec┼úia de la paginile 62-63 ├«ncep ┼či aplica┼úiile (unghiurile formate de dou─â paralele cu o secant─â etc.).

Ca un aspect colateral, desigur c─â a┼úi observat aici, “v-a s─ârit ├«n ochi”, modul de folosire “incorect─â” a scrierii din teoria mul┼úimilor pentru exprimarea intersec┼úiei a dou─â drepte ├«ntr-un punct. Ceva de genul: “da’ p├ón-aici!”. Adic─â, folosim elemente din scrierea tipic─â mul┼úimilor acolo unde acestea ne u┼čureaz─â scrierea (semnul de intersec┼úie ├«n locul cuv├óntului respectiv), dar nu absolutiz─âm, deci nu ├«ngreun─âm scrierea ├«n alt─â parte. Parc─â ├«l aud spun├ónd pe Hollinger c─â g├óndirea fenomenului geometric este oricum foarte grea, nu ne mai trebuie ┼či o ├«ngreunare suplimentar─â pe baza aplic─ârii radical-extremiste a scrierilor din teoria mul┼úimilor. Gen “p├ón-aici!”: Intersec┼úia a dou─â drepte este un punct ┼či nu o mul┼úime. “Basta!”

Pentru cei ce mi-au urm─ârit scrierile din ultima vreme, desigur c─â pute┼úi sesiza apropierea acestui articol de ideea de “umanizare a matematicii ┼čcolare” exprimat─â ├«n interviul cu Dl. Profesor Radu Gologan, reluat de cur├ónd de la ├«nceputul anului 2022. ├Än speran┼úa unor pa┼či ├«n acest sens, pe cur├ónd!┬á C. Titus Grigorovici

P.S. Apropos, “pe vremea mea”, acelea nu se numeau drepte “necoplanare”. Eu ┼úin minte destul de vag denumirea de drepte “str├ómbe ├«n v├ónt” (probabil, tradus─â de unii din german─â, unde se spune “windschief”; cred c─â am auzit aceast─â denumire ├«n liceu sub forma de “necoplanare sau str├ómbe ├«n v├ónt”). Arunc├ónd o privire ┼či ├«n manualul de geometrie de a 8-a din 1978, am g─âsit expresia de “drepte oarecare”, pe care ├«ns─â nu o consider deosebit de corect─â. Nici m─âcar clasicul desen pentru drepte necoplanare nu apare acolo, ci doar un paralelipiped ├«nso┼úit de referiri la anumite exemple de muchii, c├ót ┼či o imagine reprezent├ónd o cale ferat─â (cu trenul aferent) ce trece peste o ┼čosea (cu ma┼činile aferente), desenate ├«n tehnica imaginilor des ├«nt├ólnite in c─âr┼úile de la jum─âtatea secolului XX.

Oricum, celelalte dou─â pozi┼úii (paralele sau secante) erau ┼či ├«n manualul respectiv descrise ca “dou─â drepte din acela┼či plan“, ├«n nici un caz drept “coplanare”. Cuvintele tehnic riguroase de “coplanare” respectiv “necoplanare” genera┼úia mea le-am auzit doar ├«n clasa a 10-a, mai exact la o a doua trecere prin geometria plan─â. Este foarte important acest aspect: la o prim─â cunoa┼čtere, termenii noi erau introdu┼či intuitiv ┼či ├«ntr-un limbaj ne-tehnicizat excesiv, urm├ónd ca la o a doua trecere lucrurile s─â capete clare accente de rigurozitate matur─â teoretic.

P.P.S. C├ónd s─â declar articolul finalizat, inclusiv P.S.-ul de mai sus, mi-am dat seama c─â a┼č putea arunca o privire ┼či ├«n manualele anilor 80′ (autori Ion Cuculescu ┼či Constantin Ottescu). Citez ├«n continuare dintr-un manual din 1988 (├«l am ┼či pe cel ini┼úial din 1979, dar ┼či o variant─â din 1995, dinainte de marea schimbare din 1997). La pagina 3 manualul ├«ncepe astfel:

(…) Anul acesta vom ├«ncepe un studiu sistematic al geometriei. Vom studia o parte din geometria ├«n plan, deci vom studia propriet─â┼úi ale figurilor dintr-un plan dat, fixat. Aici merit─â deja intervenit: observa┼úi exprimarea mult prea preten┼úioas─â pentru copiii de gimnaziu mic (clasa a 6-a), exprimare de origine academic─â, ce presupune o privire matur─â, “de sus”, total nepotrivit─â copilului mic ce ia pentru prima dat─â contactul cu aceste cuvinte. De-abia apoi autorii ├«┼či aduc aminte s─â prezinte ce-i acela un plan (tot la pag.3):

Planul este o no┼úiune abstract─â, despre care ne facem o idee apropiat─â de cea exact─â privind, de exemplu, o foaie neted─â de h├órtie, o pagin─â de carte, ┼či ├«nchipuindu-ne c─â aceast─â foaie este prelungit─â la infinit ├«n toate p─âr┼úile. ├Än plus, aceast─â “foaie” nu are grosime. (…) Doar folosind cuv├óntul “abstract” ┼či autorii “i-au pierdut” din start pe mul┼úi copii. Privesc aici doar atitudinea, pentru c─â oricum copiii nu se apuc─â neap─ârat s─â citeasc─â manualul foarte riguros; mult mai des ace┼čtia r─âsfoiesc manualul ┼či se uit─â doar la “poze”. A┼čadar mesajul ridic─ârii “lungumii de und─â” al limbajului se adresa profesorilor, iar ace┼čtia desigur c─â le explicau elevilor ce ├«nseamn─â aceea o “no┼úiune abstract─â”. Sau nu? Interesant este c─â autorii erau total preocupa┼úi de prelungirea planului la infinit ├«n toate p─âr┼úile, c├ót ┼či de faptul c─â nu are grosime, neglij├ónd total faptul c─â trebuie s─â nu fie curb (cum deseori sunt paginile unei c─âr┼úi, sau ale unui caiet la ├«nceput). ├Än manualul din 1995 (care avea pe l├óng─â domnii de mai sus ├«nc─â doi autori: Stefan Kleitsch ┼či Lauren┼úiu N. Gaiu) g─âsim ├«ns─â urm─âtorul aliniat (pag.3):

Planul este o no┼úiune “abstract─â”, despre care ne facem o idee apropiat─â de cea exact─â privind, de exemplu, suprafa┼úa unei mese, placa de sticl─â de la fereastr─â, o foaie neted─â de h├órtie (caiet), o pagin─â de carte ┼či ├«nchipuindu-ne c─â toate acestea sunt prelungite la nesf├ór┼čit “├«n toate p─âr┼úiele”. ├Än plus, vom considera c─â el nu are grosime. Aha! Deci a revenit “masa” lui Hollinger, respectiv masa pe care lucreaz─â orice copil. Totodat─â, expresia “prelungit─â la infinit ” a fost ├«nlocuit─â cu mai vechea dar ┼či mai accesibila “ la nesf├ór┼čit “.

Dar s─â avans─âm cu aceast─â anchet─â suplimentar─â. ├Än manualul din 1988, la pagina 33┬á apar ┼či dreptele paralele. Lec┼úia ├«ncepe astfel: S─â consider─âm dou─â drepte diferite a ┼či b. Ele nu pot avea dou─â puncte diferite comune, deoarece am v─âzut c─â prin dou─â puncte trece o dreapt─â ┼či numai una. Uau! Deci pe-atunci nu existau drepte suprapuse! Interesant. Citim mai departe: Se poate ├«nt├«mpla ca dou─â drepte diferite date a ┼či b s─â aib─â un punct comun A. (… + figur─â) E poate ├«nt├«mpla ca dou─â drepte distincte s─â n-aib─â nici un punct comun.

Defini┼úie. Dou─â drepte diferite a ┼či b, care n-au nici un punct comun, se spune c─â s├«nt paralele. (… + figur─â) Interesant este c─â figura al─âturat─â defini┼úiei nu prezint─â dou─â drepte paralele, ci dou─â drepte clar neparalele, care ├«ns─â nu se intersecteaz─â ├«n zona figurii; aici nu exist─â un desen cu dou─â drepte paralele, ci doar se vorbe┼čte despre acestea; ciudat! Mult mai interesant e s─â observ─âm cum a evoluat situa┼úia ├«n manualul din 1995 (pag. 92):

(…) dac─â dou─â drepte au dou─â puncte comune, atunci ele au toate punctele comune ┼či se numesc drepte identice sau confundate; (… Aha!) Defini┼úie. Dou─â drepte distincte (diferite) a ┼či b con┼úinute ├«n acela┼či plan, care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele.

Deci, pe l├óng─â revenirea la “posibilitatea” ca dou─â drepte s─â fie suprapuse, vedem c─â a revenit ┼či condi┼úia ca dreptele paralele s─â fie “ con┼úinute ├«n acela┼či plan “. Oricum, ├«n 1995 sigur ├«nc─â nu erau descrise ca dou─â drepte “coplanare” ├«n clasa a 6-a.

├Änchei aici aceste ┼čapte pagini de zdroab─â pentru un singur cuv├ónt, dar unul folosit ├«n mod extrem de stupid, care terorizeaz─â masiv elevii, cu urm─âtoarea ├«ntrebare: “De ce ┼či de unde a ap─ârut acest cuv├ónt ├«n a 6-a?”. O surs─â a unui r─âspuns posibil ar putea consta ├«ntr-o interpretare prea riguroas─â, prea “av├óntat─â”, din partea autorilor de manuale sau auxiliare, a unor elemente din Programa oficial─â din 2017, unde g─âsim urm─âtoarele cuvinte. ├Än clasa a 5-a: Punct, dreapt─â, plan, semiplan, semidreapt─â, segment (descriere, reprezentare, nota┼úii). Apoi, ├«n clasa a 6-a: Drepte paralele (…, deci f─âr─â aluzie la plan), dar ┼či Drepte perpendiculare ├«n plan (…). What?