Matematica naivă

De curând am avut o discuţie cu un profesor de la Chişinău, de formaţie din partea mai artistică a spectrului educaţional. Tocmai îi arătasem ultima mea “operă” de la un curs de desen pe tablă la care participam, când dânsul se grăbi, ca “specialist în ale artei”, să-mi clasifice rezultatul drept pictură naivă. În acel moment am avut o revelaţie: da, cu acelaşi aer de superioritate cu care pictorii culţi îi clasifică pe începători drept pictori naivi, cu acelaşi aer de superioritate ne-au impus matematicienii universitari să facem în liceu matematica aşa cum o gândesc ei, chiar mai mult, să facem şi în gimnaziu o copie ieftină a matematicii riguroase gândită de ei iniţial pentru liceu. Cineva însă, ar trebui să se lupte pentru dreptul elevilor la o matematică naivă, adaptată nivelului de percepţie şi de gândire al diferitelor vârste şcolare. Pentru că, este pe zi ce trece tot mai clar, matematica impusă după modelul gândirii liceale este greu digerabilă pentru majoritatea elevilor de clasele V-VII. De-abia în clasa a VIII-a, după împlinirea vârstei de 14 ani, observăm că majoritatea elevilor încep să poată face conexiuni specifice matematicii serioase.

Să încercăm să lămurim ce ar însemna această matematică naivă şi cu ce s-ar diferenţia aceasta de mult mai matura sa rudă, cu care suntem obişnuiţi şi pe care o voi numi generic matematica riguroasă. De fapt, această frază este profund greşită: nu există două tipuri de matematică, una naivă şi cealaltă riguroasă, aşa cum nu există două specii de oameni, unii adulţi şi alţii copii. Matematica naivă este pur şi simplu matematica adaptată vârstelor copilăriei. Aceasta nu se supune aceloraşi criterii de rigurozitate a gândirii ca şi matematica completă a “oamenilor mari”, cum nici de la copii nu cerem să gândească precum adulţii. În matematica naivă sunt dominante intuiţia, imaginaţia şi bucuria simplă de a gândi.

Matematica este la început complet naivă, dar odată cu trecerea anilor aceasta devine tot mai serioasă, mai riguroasă, mai matură, ajungând în forma sa adultă în partea a doua a liceului (secţiile reale) şi în forma completă de-abia la facultatea de matematică. Matematica până în clasa a V-a trebuie să fie profund naivă, iar apoi gradul de naivitate să scadă încet, treptat, până spre finalul liceului. Jumătatea drumului între cele două extreme ar fi probabil undeva în jurul vârstei de 14 ani. Nerespectarea nivelului de naivitate necesar în clasele gimnaziale şi forţarea elevilor la o rigurozitate peste nivelul de posibilitate al vârstei îi duce pe mulţi elevi la repulsia faţă de matematică ce poate fi constatată la ora actuală la aceştia.

Pe lângă caracterul naiv al matematicii copilăriei putem vorbi şi de caracterul naiv al matematicii adulte în cazul începutului unei teorii matematice. În antichitate doar Euclid a reuşit să “scuture” parţial matematica de profunda naivitate ce o caracteriza. Matematica a rămas dominant naivă şi în timpul Renaşterii. De-abia în secolele XVIII-XIX matematicienii au început să aibă o preocupare clară de eliminare a naivităţii din teoriile matematice.

Revenind la şcoală, mai exact în liceu, chiar şi aici toate lecţiile ar trebui tratate cu un grad corespunzător de naivitate. Manualele din anii ’60-’70 o făceau într-un mod foarte accesibil pentru elevi. Chiar şi Analiza matematică ar trebui tratată în clasele de final de liceu cu un serios grad de naivitate, în mod similar cum au generat-o de fapt cei doi părinţi ai acesteia, Newton şi Leibnitz. Dacă cei doi titani ai matematicii au avut voie să o genereze intuitiv, naiv, deşi erau la vârstă adultă matematic, atunci de ce elevul de 18 ani nu ar avea voie să o cunoască în mod similar? Cei ce studiază cu adevărat cum au apărut istoric diferitele noţiuni şi domenii matematice, aceştia vor putea confirma că toate au apărut iniţial în minţile creatorilor lor în forme naïve. Gradul de naivitate a scăzut apoi, odată cu publicarea, iar ulterior a fost eliminat în diferite etape de către profesorii urmaşi care includeau aceste teme în cursurile lor. De-abia aceştia, profesorii universitari, au început să elimine partea intuitivă naivă din matematică (cam de pe la 1900), absolutizând “Sfânta treime a matematicii, axioma-demonstraţia-teorema” (citat din Apostolos Doxiadis, Unchiul Petros şi conjectura lui Goldbach, Ed. Humanitas, 2003, pag.112).

Acest aspect este susţinut şi de către Eugen Rusu în prefaţa lucrării sale Psihologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969, pag. 8): Şi în matematică (…) deşi este vorba de ştiinţa căreia caracterul “rigoare” îi aparţine prin excelenţă, apar teorii în care noţiunile nu sunt bine definite şi demonstraţiile nu sunt perfect riguroase, în special în comparaţie cu teoriile ulterioare care le perfecţionează (geometria preeuclidiană faţă de cea a lui Euclid, aceasta faţă de axiomatică; analiza “clasică” faţă de cea modernă etc.). Aceste teorii “imperfecte” au avut un dublu rol, deosebit de important: pe de o parte au avut o mare eficienţă în aplicaţii, pe de altă parte au servit ca punct de plecare, ca bază – omeneşte, dacă nu şi teoretic, necesară – pentru eleborarea teoriilor riguroase.

Pentru ca un elev să ajungă să savureze matematica riguroasă, el trebuie să se fi bucurat mai întâi în copilărie de matematica naivă, să fi trăit mai întâi satisfacţiile micilor victorii oferite de aceasta. Nu poţi aştepta de la un copil naiv „să încaseze cu bucurie” duritatea matematicii riguroase în gimnaziu, iar mai târziu să o iubească în liceu. Nu o va iubi! Din contra, o va urî! De ce? Pentru că pur şi simplu i se adresează într-o limbă pe care elevul din clasele gimnaziale nu o înţelege, iar pentru asta el are de suferit prin note. Mă refer desigur la majoritatea elevilor, cei din corpul central din Clopotul lui Gauss, nu la micii Einsteini care mai răsar din când în când prin câte o clasă. Situaţia este magistral prezentată de către Eugen Rusu în primul capitol al lucrării sale Psihologia activităţii matematice (citat integral, pag.11-13 ):

Ne-am adresat unui matematician – autor al mai multor lucrări ştiinţifice, originale, apreciate – cu următoarea întrebare: Care este descoperirea dv. matematică cea mai impresionantă? Vă rugăm să descrieţi în special aspectele ei psihologice. Redăm mai jos, pe larg, răspunsul:

„Eram prin clasa a IV-a primară când un băiat mai mare a venit la mine să-mi arate ce ştie el. Alege-ţi un număr, mi-a spus. Nu mi-l arăta, scrieţi-l pe hîrtie. Îţi împrumută Popescu încă pe-atăt. Socoteşte cît face. Îţi mai dau eu 126. Socoteşte. Îţi fură hoţii pe jumătate; vezi cu cît ai rămas. Îi dai lui Popescu împrumutul înapoi. Calculează. Este că ţi-a rămas 63? spuse el triumfător la sfîrşit. Este, răspunsei uimit.

Mai hai o dată; şi îmi alesei acum un număr “mai greu”, cu cifre multe şi cu zecimale. Dar el ghici şi de astă dată. Am repetat de nu ştiu cîte ori experienta. El nu-mi dădea mereu acelaşi număr; îl schimba la fiecare probă nouă, dar de fiecare dată ghicea.

Caut să reconstitui retrospectiv. De ce aram atât de surprins şi de intrigat? Fondul obişnuinţei mele matematice era altul: ştiam că dîndu-mi-se nişte numere pot să operez cu ele – adunări, înmulţiri etc. – şi să obţin un rezultat, că acest rezultat depinde de numerele cu care am lucrat, poate fi cunoscut numai cînd cunosc numerele cu care am operat. Şi acum, cineva îmi spunea rezultatul exact, deşi nu cunoştea ce număr “mi-am ales”.

Eram, cum spuneam, foarte intrigat. M-am rugat mult de el să-mi spună cum face. S-a lăsat greu. Am sacrificat toţi nasturii (galbeni, de metal, lucitori) pe care îi aveam – era atunci la modă jocul cu nasturii la perete – ca să-mi dezvăluie taina. Mi-a spus-o şi era surprinzător de simplă. Numărul pe care îl dai tu – cum a fost mai sus, 126 – îl împarţi la 2. Atîta îi rămîne; asta-i tot.

Asta-i tot? Şi m-am apucat să experimentez. M-am dus şi eu la colegi de-ai mei, provocîndu-i alegeţi un număr …etc. Îmi fixam cît dau eu, împărţeam la 2, şi aşteptam nerăbdător să se termine calculul ca să trîntesc rezultatul. În adevăr, metoda nu a dat, niciodată, greş.

Avusese o mare satisfacţie în a afla cum face. Dar ea nu era completă. O doză de mister rămăsese încă: o umbră de nelinişte îşi făcu loc şi crescu mereu pe măsură ce mă gîndeam la problemă. Ştiam cum face; misterul părea clarificat şi asta îmi dădea momentan satisfacţia cunoaşterii. Dar rămînea ceva misterios şi neliniştitor: de ce oare? De ce orice număr îţi alegi, rămîne întotdeauna exact jumătate din ce îţi dă el? De ce?

În mintea mea de-acum rămăsese o frîntură din Anatole France: « ceea ce nu-mi explic, mă nelinişteşte». E aici o trăsătură caracteristică, profund umană. E a omului matur dar e, cum se vede, şi a copilului în formaţie.

Neliniştea, uimirea, curiozitatea în legătură cu problema de mai sus m-au stăpînit multă vreme. Am ajuns într-a patra de liceu (clasa a VIII-a, corespunzătoare ca vârstă cu actuala clasă a VII-a; completare CTG). Problema stăruia în mine dar în surdină, estompată, umbrită de alte preocupări mai actuale cărora trebuia să le fac faţă. Aparent o uitasem. Dar ea ţîşni dintr-o dată la suprafaţă. Învăţînd calculul algebric, îmi veni în gînd – nu mai pot reconstitui în detaliu prin ce joc de asociaţii – să tratez vechea problemă prin algebră. Am notat cu x numărul ales şi cu a pe cel – cunoscut – care mi-l dă el. Am transcris şirul de operaţii

Sigur! Evident! O identitate simplă, în care x se reduce. Misterul era clarificat. Complet şi definitiv clarificat. Ce sentiment am avut în această etapă? Desigur, în primul moment, sentimentul care s-a concretizat în semnele de exclamare de mai sus: Sigur! Evident! E clar! Sentimentul de satisfacţie pe care ţi-l dă în mod natural clarificarea unui mister, satisfacţie cu atît mai mare cu cît acest mister te-a urmărit şi te-a neliniştit mai mult.

Dar, în timp ce misterul însuşi poate stărui un timp îndelungat, satisfacţia clarificării e pe cît de spontană şi ascuţită, tot pe-atît de puţin durabilă. Revii a doua zi asupra soluţiei. Nu mai spui: Sigur! Evident! Clar! ci spui, liniştit: da, aşa este. Revii după o săptămînă sau după o lună şi spui: în fond, e o banalitate. Te-ai « răcit». Cauţi să-ţi aminteşti sentimentele pe care le-ai avut înainte de a fi cîştigat soluţia; dar sentimentele se « memorează» şi se reconstituie mai greu. Şi în fond nici nu vrei să le recunoşti: m-am frămîntat şi m-am entuziasmat pentru o banalitate? Începi să regreţi căi, să le treci sub tăcere, ba chiar să nu le recunoşti că au fost aşa cum au fost. Puţin dacă eram mai atent, ar fi trebuit să găsesc de la început soluţia. Nu era nevoie să ajung la calculul algebric; puteam să lucrez cu numere, aritmetic, numai să las calculele neefectuate. Este adevărat că el îmi spunea la fiecare etapă: socoteşte, vezi cît face, provocîndu-mă oarecum să efectuez. Dar, cel puţin după ce am ştiut metoda, puteam să mă gîndesc să lucrez cu sume neefectuate.

Atît rămîne din efervescenţa căutărilor; regretul că o banalitate ţi-a dat de gîndit, regretul că nu ai demascat-o de îndată. E la fel ca într-o iubire consumată. Aceasta-i femeia pe care am iubit-o? Pentru ea îmi bătea inima cînd îi vedeam, prin perdele, silueta? Pentru ea am pierdut o sesiune de examene? Aceasta e femeia pe care am iubit-o şi ea nu a meritat, îţi spui cu regret şi cu decepţie.

Dar nu ai dreptate (ce-o fi însemnînd, aici, dreptate?) nici cu problema rezolvată, nici cu dragostea încheiată. Sentimentele au rostul să creeze o tensiune, un impuls şi un motor al acţiunii. Cînd şi-au îndeplinit rolul şi faptul este consumat, este normal ca ele să nu mai rămînă aceleaşi …”

Încheiem aici citatul în care Eugen Rusu prezintă amintirea din copilărie a acestui matematician, rămas din păcate anonim. Merită însă făcute câteva observaţii pe marginea evocării de mai sus. Este evidentă naivitatea foarte bine scoasă în evidenţă cu care a trăit respectivul copil problema cu pricina. Dacă i s-ar fi dat şi explicaţie de ce se întâmplă aşa, probabil că trăirea ar fi fost mult mai puţin intensă şi persistentă. Ridicarea voalului de mister de la început ar fi redus din start probleme la o banalitate ce nu merita prea multă atenţie. Aşa, problema s-a păstrat în mintea sa pănă când gradul de naivitate a scăzut, lăsând loc unei gândiri mai mature, cea algebrică.

Evocarea lui Eugen Rusu prezintă în detaliu o mică victorie naivă – de a găsii singur explicaţia, demonstraţia problemei – victorie pe care, însă, matematicianul respectiv o evocă drept cea mai impresionantă descoperire matematică a sa. După această “mică victorie”, probabil între multe altele, care i-au oferit suficiente satisfacţii în matematica naivă, tănărul respectiv a ales cu bucurie calea spre matematica riguroasă, chiar spre cea mai riguroasă.

Dar mulţi adulţi rămân oricum la un grad de naivitate foarte scăzut în ceea ce priveşte gândirea matematică. Trebuie însă făcută clar diferenţa între o persoană cu gândire matematică naivă, dar bună, şi o persoană cu frică de matematică, o persoană avariată matematic. Cu cât un elev a fost forţat mai de timpuriu să părăsească matematica naivă, prezentându-i-se o matematică prea înaltă pentru vârsta sa, cu atât acesta a ajuns mai avariat matematic. Foarte mulţi adulţi au o relaţie foarte distantă faţă de matematică datorită forţării de către profesorul din primele clase gimnaziale într-o matematică prea depărtată de naivitatea în care acesta se afla încă la vremea respectivă. Păcat! Păcat pentru toţi cei pierduţi pentru matematică datorită nerespectării unui principiu cu caracter psiho-pedagogic evident.

30 iulie 2016

Prof. C. Titus Grigorovici

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
16 + 13 =