Un banc din tren

Un cioban și un profesor de matematică în tren. Ciobanul se uita pe geam. La un moment dat vede o turmă de oi şi exclamă:  68 , mică turmă!

Profesorul, nedumerit în sinea sa, se miră cum a putut ciobanul să numere oile aşa repede, din mers.

După ceva timp, altă turmă de oi… Ciobanul se uita pe geam și se întoarse la profesor: No asta da turmă! 257 de oi!

Profesorul nu mai rezistă:  Da’ cum reușești măi omule???

La care ciobanul răspunde:  Simplu! Numeri chicioarele, împarți la patru și scazi câinii.

Sătul de atâta …

Următoarea poză este culeasă de pe grupul de facebook Math & Beyond:

Să încercăm o lecturare şi o explicare a mesajului de pe acest tricou. Citit pe engleză mesajul sună cam aşa: Sunt prea plin (sătul) pentru cină pentru că …, iar apoi într-o engleză aproximativă: i  eight sum pi (radicalul din – 1, care este i, apoi opt, sumă, pi), înşiruire fără sens, dar care se pronunţă cam la fel cu: I eat some pie, care în traducere înseamnă: am mâncat nişte plăcintă (prăjitură etc.).

Apropos de mesaje despre matematică pe tricouri, prin 2019 am văzut la un coleg din Germania următorul mesaj pe piept: Matematica: eu ţi-o pot explica, dar nu o pot învăţa în locul tău (mult mai punctat pe meseria noastră).

Cât face (-2) banane înmulţit cu (-2) banane?

Grevă vine, grevă trece, tu să iei cât mai mulţi de zece (auzită la Rock FM), apropos de greva care era cât pe-aci să ne împiedice să intrăm în bine meritata vacanţă. Şi dacă tot suntem în vacanţă, să ne distrăm puţin şi în franceză (că tocmai fu ziua lor naţională). În filmuleţul de la adresa https://www.facebook.com/reel/819171845969890 domnul acesta simpatic încearcă să ne explice inexplicabilul, anume că dacă avem o datorie de 2 banane şi o înmulţim cu o altă datorie de 2 banane, iată că avem brusc 4 banane!

Despre excesul folosirii jargonului de specialitate (2)

Una din cele mai mari probleme ale şcolii româneşti, iar predarea matematicii este în elita acestui curent, o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă. Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Iată a doua parte a materialului strâns, cu precizarea că acesta creşte avântat chiar în timp ce lucrez.

Problema este una foarte veche în România. Eu o văd ca reprezentând situaţia “specialistului” care s-a întors de la studii, dintr-o “altă lume”, iar acum, aici, între oamenii de rând, îşi etalează “superioritatea” în fiecare moment prin folosirea unui limbaj din care cei din jur înţeleg un singur lucru: cât de deştept este acesta, deci cât sunt ei de proşti prin comparaţie. Este un fel de bullying intelectual subtil, dar eficient pe durată (“picătura chinezească”?). Unul dintre efectele clare este că şi alţii îşi vor dori să facă studii ca să ajungă “deştepţi” (ca să se poată şi ei “da deştepţi”), după care şi ei se întorc între oamenii de rând şi reiau ciclul.

Când am descris problema ca fiind una foarte veche în România nu am glumit defel: îmi pot închipui copiii de boieri sau din clasele superioare ce se întorceau după anii de studiu de la Viena sau Paris, cum vorbeau într-un limbaj în mare parte neînţeles de către cei rămaşi acasă. Fenomenul s-a păstrat şi în interiorul graniţelor ţării: ne imaginăm tânărul care “întră în pâine” după absolvirea studiilor şi care în domeniul său de specializare şi-a însuşit un limbaj specific, el putând comunica doar în acest limbaj. Problema este că deseori specialistul o face cu mare plăcere, simţind în timp ce vorbeşte admiraţia trezită în faţa celorlalţi.

Până în secolul XIX România nu a avut cu adevărat ştiinţe, deci evident că nu s-a confruntat nici cu nevoia generării termenilor de specialitate. Apoi, românii au preluat ştiinţele de la ceilalţi împreună cu termenii corespunzători, rareori termenii fiind înlocuiţi cu unii de producţie autohtonă. Fenomenul nu este unul tipic nouă; de pildă romanii au preluat aproape ad-literam din greacă foarte mulţi termeni de specialitate, aceştia fiind apoi trecuţi natural şi în alte limbi latine. Francezii au foarte mulţi termeni preluaţi din latină, care era pe vremuri limba activităţilor culte. Dimpotrivă, englezii sau nemţii, care s-au rupt de la o vreme de biserica catolică – total sau parţial – au dezvoltat încet o terminologie specifică, pe parcurs ce dezvoltau şi descopereau diferitele elemente de ştiinţă (desigur că au practicat şi împrumutul, dar mai ponderat). La noi însă – prin uriaşa dezvoltare a ştiinţelor din secolele XIX-XX – fenomenul a ajuns la cote inimaginabile, ducând la un comportament lingvistic năucitor.

Actualmente, acest limbaj împănat cu diverse cuvinte de specialitate a ajuns să penetreze multe din activităţile societăţii noastre. Dau aici două exemple întâlnite zilele acestea în traducerile televiziunilor de orientare mai ştiinţifică. Ţin minte că nu de mult, pe un canal din familia National Geographic, expresia “on the forest flor” a fost tradusă “pe litiera pădurii” (în legătură cu animalele ce trăiesc pe jos). Noroc că urmăresc şi sonor comentariul original, pentru că altfel n-aş fi înţeles despre ce este vorba (tradus mot-a-mot din engleză ar fi “pe podeaua pădurii”). De foarte curând, pe 30 iunie 2023, pe canalul Viasat History, într-o emisiune despre marea expoziţie itinerantă cuprinzând artefacte găsite în mormântul lui Tuthankamon, un reprezentant al firmei nemţeşti ce se ocupă cu transportul în siguranţă a acelor obiecte extrem de valoroase, explica despre procesul de mutare a acestora că  “das ist eine relativ lange Sache” (mot-a-mot tradusă: “asta este o treabă relativ lungă“); în traducerea de pe ecran a apărut că această activitate este “cronofagă“.

Am făcut această analiză a fenomenului, incluzând şi două exemple aleatorii despre felul cum fenomenul jargonului de specialitate penetrează viaţa noastră de zi cu zi, pentru a sublinia realitatea acestuia în toate domeniile în care ştiinţa se intersectează cu viaţa noastră. Elevii resimt desigur intens astfel de situaţii, matematica fiind una dintre materiile de vârf în acest sens. Mai ales în reforma începută prin 1978 în materia de liceu, o componentă de bază era reprezentată de exprimarea riguroasă, iar acest aspect a fost surprins magistral de realizatorii filmelor Liceenii prin porecla dată profesoarei de matematică: “Isoscel“. Un cuvânt extraterestru, pronunţat probabil cu multă emfază de profa de mate a dus la această poreclă (oare, careva din echipa de scenarişti chiar a avut în copilărie o astfel de situaţie?). Oricum, îmi pot închipui că situaţia din acele filme i-a mai liniştit pe mulţi profesori din avântul lor de a accentua prea teatral diverşii termeni de specialitate din lecţia de matematică (am descris cuvântul “isoscel” ca extraterestru, prin comparaţie de pildă cu “echilateral”, din care în româneşte mai înţelegi câte ceva).

Ideea pentru acest dublu eseu mi-a venit în urma lecturării unui articol din aprilie de pe republica.ro, scris de dl. Andrei Conţan, care începe cu o descriere nu tocmai măgulitoare a şcolii româneşti prin care am cam trecut cu toţii (chiar şi această parte ar merita o analiză temenică, dar las pe seama cititorilor treaba asta, subiectul respectiv îndepărtându-se prea mult de tema discuţiei noastre). Totuşi, destul de repede autorul vine cu un pasaj magistral ce ne duce direct în centrul subiectului limbajului împănat până la refuz cu cuvinte tehnice, în faţa cărora elevul nu are altă şansă de supravieţuire decât pura toceală, învăţatul pe de rost în formele sale cele mai brute şi extreme. Aşadar, iată citatul respectiv:

Am în minte că în clasa I am exersat la tablă propoziția „Ana are mere” cu presiunea de a mă ridica la nivelul așteptărilor bunicii, care profesa la aceeași școală generală.

Apoi, la finalul clasei a VIII-a, în lupta cu materiile ”de bază”, „Ana are mere” ar fi trebuit redat sub forma: „Ana este deținătoarea unui obiect sferic de natură fructiferă, clasificat ca specie pomiferă Malus, conform taxonomiei botanice, cu o compoziție chimică bogată în zaharuri, fibre și substanțe antioxidante, conform analizelor nutriționale efectuate.”

Iar la finalul clasei a XII-a, așteptările erau de a reproduce fidel texte de nivelul: „În lumina contemplației, se poate afirma că există o entitate numită Ana, iar această entitate posedă o manifestare fizică în formă de sferă comestibilă, cunoscută sub numele de măr. În esență, Ana și mărul sunt două aspecte diferite ale aceluiași fenomen, iar această dualitate poate fi percepută ca o iluzie a minții umane, care încearcă să distingă și să definească obiectele fizice din lumea materială. Prin urmare, există o legătură subtilă și interconectată între subiect și obiect, care poate fi explorată prin introspecție și contemplare profundă.”

Las aici o pauză de uimire şi de râs; puteţi reciti pasajul respectiv – Magistral! – pentru că descrie în mod fabulos şcoala românească (ad literam fabulos!, adică aidoma unei fabule). În plus, cel mai bine se înţelege o critică atunci când se vorbeşte despre alţii, nu despre persoanele de faţă, caz în care critica ar trezi impulsuri de apărare şi contraatac (în cazul de faţă critica fiind despre cei de limba română, nu despre noi, cei de matematică).

Cum putem schimba azi învățarea? se întreabă Andrei Conţan şi tot el începe să aducă şi anumite răspunsuri. Iată în continuare ideile selectate din acest articol, idei ce mi-au îndreptat atenţia înspre redactarea eseului de faţă (Gaspar Gyorgi a apărut ulterior cu explicaţiile sale):

Mă regăsesc acum, 20 de ani mai târziu, de partea cealaltă a „catedrei”, într-un mediu online sau hibrid, oferind cursuri de formare profesională viitorilor profesioniști în IT. Obiectivul e unul singur: ca participanții la lecție să înțeleagă în termeni simpli domeniul în care vor intra pentru a putea naviga cu mult curaj și curiozitate printre problemele de care se vor lovi. De 5 ani de zile de când lucrez sub această paradigmă (…) am observat schimbări remarcabile în rândul participanților:

Explicațiile simple sunt mult mai ușor de reținut și redat, şi îmbunătățesc astfel memoria.

Explicațiile simple i-au ajutat pe cursanți să se implice în activitățile de grup, iar informațiile devin identificabile și ușor de înțeles.

Explicațiile simple i-au ajutat pe cursanți la construirea încrederii de sine.

În IT, o abilitate tot mai rar întâlnită e ca angajații să fie capabili să explice o tehnologie sau un produs complex în termeni simpli, ușor de înțeles, nu pentru că managerul are nevoie să înțeleagă, ci ca dovadă că inginerul înțelege complet problema de care se lovește.

A cunoaște numele unui concept nu înseamnă că îl și înțeleg, (…) Prin simplitate în comunicarea noastră, am putut ajuta la înlăturarea barierelor și face conceptele tehnice mai accesibile unui public mai larg.

Pentru început, folosesc 3 idei de bază:

– În introducerea unui concept tehnic, evit utilizarea jargonului.

Evit termenii tehnici care ar putea fi nefamiliari. În schimb, mă concentrez pe utilizarea unui limbaj simplu, de zi cu zi, pe care oamenii îl pot înțelege cu ușurință. (…)

Simplific la maximum, inspirat de poveștile celebrului profesor Richard Feynman – „organizarea și simplificarea sunt critice” – repet procesul de simplificare până când obțin o poveste pe care o pot spune oricui ascultă.

Revin la tema de la începutul articolului: de prea multe ori, vrem mai degrabă să părem deștepți decât să învățăm. Aceasta este o oportunitate ratată de a învăța. Dacă ai o conversație cu cineva și acesta începe să folosească jargon pe care nu îl înțelegi, roagă-l să îți explice ca și cum ai avea 12 ani. Nu numai că îți vei supraalimenta propria învățare, dar o vei supraalimenta și pe a celorlalți. Chiar și pe a celui care îți vorbește.

Mai clar nu ştiu dacă se poate, sau altfel spus: “Congruent, adică egal prin suprapunere“! Recomand lecturarea întregului articol (îl găsiţi la adresa https://republica.ro/cand-folosim-cuvinte-pompoase-ratam-oportunitati-de-a-invata-cum-putem-facilita-invatarea-in-companii ) şi adăug aici alte câteva citate edificatoare:

Dăm din cap chiar și atunci când nu înțelegem despre ce vorbește cineva. Chiar și atunci când ne interesează tema. (…) În goana după recunoștință și validare, folosim cuvinte mari și complicate pentru a impresiona. Mesajul se pierde în traducere, întrebările clarificatoare nu sunt adresate de teama stigmatizării, (…) De prea multe ori, vrem mai degrabă să părem deștepți decât să învățăm ceva nou și folositor.

Vedem cum se regăseşte o idee şi la Gaspar Gyorgi şi la Andrei Conţan. Este vorba de observaţia că într-un domeniu de specialitate, absolventul specialist este prin natura specializării sale imersat într-un limbaj supraelevat, inaccesibil semenilor de rând, chiar celor cu care are apoi de interferat şi cărora trebuie să le aducă plusvaloarea studiilor sale. Practic, datorită limbajului dobândit, el este pus în situaţia de a nu-şi putea îndeplini în mod eficient menirea ce şi-a asumat-o prin studiile făcute. Iar dacă acest specialist nu are o doză bună de empatie, nu simte că vorbeşte “prea sus” în faţa celor din jur, de fapt nu simte că “vorbeşte cu pereţii”, atunci se ajunge în stări de felul celor descrise mai sus, anume că el ajunge cel mult doar să fie adulat de către “proştii” din jur, el nedevenind la rândui formator intelectual.

Plecând de la ultima frază exprimată putem deduce şi o altă consecinţă extrem de dăunătoare ce s-a dezvoltat în societatea noastră, anume faptul că cei din jur îşi vor forma această părere despre un specialist, anume că este un om “atât de deştept” încât “oamenii de rând” nici nu prea înţeleg ce spune. Astfel, din păcate, acesta ajunge să fie adulat de către “plebea” din jur, fiind deseori luat ca model comportamental. Şi “următorii” vor trage să-şi însuşească un astfel de jargon de specialitate, nu pentru a ajunge mari specialişti, ci doar pentru a fi şi ei adulaţi la rândul lor. Societatea noastră este înţesată de aşa-zişi “specialişti” care doar asta fac, să se împăuneze cu folosirea unui jargon de specialitate, cu citate înalte şi evocarea unor nume sonore (vă rog să observaţi ce veţi simţi în curând, atunci când voi veni cu un citat din Schopenhauer despre cum ar trebui să abordăm teorema lui Pitagora, ceva de genul: Uau, cel care vorbeşte de ăla “e deştept tare”, sau dimpotrivă, “se dă mare” în faţa noastră “aruncând” în jurul său cu astfel de nume pompoase).

Sunt clare şi absolut edificatoare ideile reluate mai sus. În mod special, ca o mică divagaţie, aş accentua puţin o idee interesantă din articolul mai sus evocat. Astfel, Andrei Conţan spune într-un anumit moment că: Explicațiile simple sunt mult mai ușor de reținut și redat. Și îmbunătățesc astfel memoria. Este evident că aici dânsul se referă la o învăţare raţională şi sănătoasă, nu la simpla toceală neînţeleasă. Când elevul se obişnuieşte doar să tocească, el se obişnuieşte automat ca să o facă pentru a o putea reda (la test sau la ascultarea din lecţia respectivă), dar tot automat se întâmplă şi fenomenul opus, anume că de fiecare dată el trebuie să uite rapid ce a învăţat înainte, pentru a face loc în memoria de scurtă durată elementelor din viitoarea lecţie. Este evident că astfel se antrenează doar memorarea papagalicească de scurtă durată, neglijându-se masiv memoria profindă şi logică. Dimpotrivă, în urma unor explicaţii simple, deci de înţeles şi uşor de redat, memoria logică se antrenează şi se îmbunătăţeşte. Ţin minte în acest sens nişte eleve de a 9-a “bune tocilare”, care nu reuşiseră să cuprindă într-o frază descriptivă cu sens următoarele trei elemente: 360o în jurul Ecuatorului; 24 de ore pentru o zi; 15o pentru un fus orar. Nefiind punctate la test, ele reproşau de zor că au stat până la 3 noaptea să înveţe, consumând mai multe cafele (la geografie s-a întâmplat asta). Păi, dacă nu gândeau, ce să le faci?

Dar să revenim spre final la matematica noastră. După cum spuneam şi în prima parte a eseului de faţă, calea de mijloc este probabil cea mai sănătoasă. Nici exagerarea folosirii jargonului de specialitate la clasă nu este în regulă, dar nici evitarea folosirii termenilor tehnici nu poate duce la ceva bun; elevii trebuie totuşi să le înveţe şi să le poată folosi până la urmă. De obicei totul se poate rezolva prin tact pedagogic.

Ţinând cont că Evaluarea Naţională în finalul clasei a 8-a este o examinare la nivel naţional (mulţi neavând parte de o predare strălucită sau de un deosebit tact pedagogic la clasă), EN fiind vitală şi decisivă pentru mase uriaşe de absolvenţi, este evident că autorii subiectelor ce se dau la această EN sunt foarte atenţi în exprimare. Astfel, putem observa o mare grijă pentru controlul jargonului de specialitate, prin evitarea oricăror derapaje ce ar putea fi ulterior reproşate de către mass-media, şi este foarte bine că se întâmplă aşa.

La fel de bine este şi faptul că în auxiliarele de pregătire a EN se pune accentul şi în sensul opus, pe încărcarea limbajului, pentru ca elevii să se înveţe şi să nu aibă surprize neplăcute la examen. Doar că această abordare este bună numai atunci când elevul se pregăteşte sub îndrumarea strictă a unui adult care se pricepe la aceste aspecte. Altfel, dacă n-are cine să-l iniţieze pe elev în folosirea limbajului extrem, acesta se sperie şi sigur nu mai învaţă, cel puţin partea respectivă. Dau aici un citat întâlnit în ultima perioadă pentru a fi clar înţeles la ce mă refer: Fie A şi B punctele de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei f cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar P mijlocul segmentului AB. Determinaţi lungimea segmentului OP. Nu vreau să susţin aici că acest text ar putea fi redactat mult mai scurt, dar observ că lungimea sa păstrând acel limbaj abstract timp de peste două rânduri îi face pe mulţi elevi să abandoneze ideea de a rezolva această cerinţă. Am şi alte exemple ce emană mult mai clar înverşinare în a-l prinde pe elev “în offside”. Ce părere aveţi de pildă despre exprimarea prismă dreaptă cu baza pătratul ABCD în loc de denumirea oficială de prismă patrulateră regulată? Mie îmi sună a îmbârligarea limbajului cu orice preţ.

Spuneam la început că materialul pentru acest eseu se adună în timp ce lucrez. Iată în final o idee sugestivă, care deşi nu are aparent nimic de-a face cu matematica, analizată mai profund se dovedeşte deosebit de potrivită aici. Citez în continuare din d-na Dr. Mihaela Bilic, medic nutriţionist care ţine emisiunea Frecvenţa gustului la Europa FM. În data de 23 iunie, într-o emisiune despre cum îi învăţăm pe copii să mănânce, dânsa spunea: Copilul trebuie să guste de mai multe ori dintr-un gust ca să se obişnuiască cu acesta. Este evident că acelaşi principiu se aplică şi la alte lucruri noi aduse în viaţa copilului, iar elementele de matematică, îndeosebi cele ce implică cuvinte noi, străine limbajului obişnuit al vârstei, şi mai ales la clasele mai mici, acestea trebuie introduse cu mult tact şi răbdare. CTG

P.S. În perioada când redactam acest eseu am participat la un curs Waldorf, unde am lucrat în grupe de lucru şi am audiat multe conferinţe (dar am şi ţinut un curs de desen geometric). Conferinţele au fost ţinute de diverşi docenţi din străinătate (Israel, Ungaria, Cehia, Germania, Franţa şi Maria Britanie). Am aici o observaţie din partea celor care au participat la grupul de lucru condus de docentul britanic, anume cât de mult au apreciat simplitatea felului său de adresare, de vorbire. Am remarcat şi eu modestia cu care dânsul vorbea, modul liniştit şi deloc pompos de adresare în conferinţa ţinută în plen (cu toţii erau reprezentanţi ai Cercului de la Haga, întrunirea internaţională a reprezentanţilor ţărilor în care funcţionează pedagogie Waldorf). Evitând tot timpul jargonul de specialitate specific pedagogiei Waldorf (da, avem şi noi aşa ceva, iar uneori este cvasi-inaccesibil), dânsul atrăgea automat auditoriul într-o stare de linişte, din care fiecare putea urmări clar ideile prezentate.

P.P.S. Din pură întâmplare sunt în posesia unui citat ce scoate în evidenţă starea opusă celor spuse în primul P.S., anume despre atitudinea de prezentare îngâmfată, fără intenţia de a te şi face înţeles de către cei pe care ţi-ai asumat să-i “luminezi”. Iată citatul (ce se referă, după cum am înţeles, mai mult la colaborarea de mentorare a unui coleg începător):

Ca să pot ajuta cu adevărat pe cineva, trebuie să înţeleg mai mult decât acesta – dar mai întâi trebuie ca eu să înţeleg ce a înţeles acesta. Dacă nu îmi reuşeşte asta, atunci ceea ce înţeleg, ceea ce ştiu eu în plus nu-i va fi de nici un folos.

Dacă ţin totuşi să dau relevanţă cunoaşterii şi inţelegerii mele suplimentare, atunci ţine doar de mândria şi de vanitatea mea, că nu vreau (că nu mă străduiesc) să-l ajut, ci că mai degrabă vreau să fiu admirat de către acesta (că mai degrabă ajung să-mi doresc să fiu admirat de către acesta).

Nu cunosc defel autoarea, dar dau totuşi sursa, aşa cum mi-a parvenit: Søren Kierkegaard, “Samlede Værker” (Opere alese), Kbh 1964, Vol. 18, Pag. 96-97.

Despre excesul folosirii jargonului de specialitate (1)

Una din cele mai mari probleme ale predării matematicii – şi nu numai – o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă (mult prea elevat, dar şi prea repede elevat). Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Noi trebuie să conştientizăm că nu sunt puţini aceştia care folosesc un limbaj “extraterestru” pentru vocabularului majorităţii elevilor, care au chiar ca una din liniile ghidante în meseria de profesor să vorbească în acest mod.

Analizând lucrurile la nivelul diferitelor trepte de şcolarizare, plecând de sus putem constata următoarele. La nivelul facultăţii de matematică reprezintă o normalitate folosirea unui limbaj tehnic cât mai elevat şi mai sofisticat. Acolo sunt matematicienii între ei şi se pot potenţa cât doresc în această direcţie (la fel în orice altă facultate cu limbajul specific ştiinţelor respective). Coborând în treapta a doua a liceului, la clasele cu bacalaureat la matematică, te poţi aştepta ca elevii să fi dobândit deja arta însuşirii rapide a unor noi termeni de specialitate; coborând însă mai mult, la primele clase de liceu, se simte că la acestea este nevoie de “puţin tact” în introducerea noilor termeni. Cât despre clasele gimnaziale, care oricum au în componenţă elevi de toate nivelele şi toate orientările intelectuale, aici folosirea inadecvată şi prea incisivă a unui jargon de specialitate devine profund dăunătoare, acţionând distructiv în direcţia tuturor celor care nu se întâmplă să fie “matematicieni pur sânge”. Această afirmaţie capătă un nivel de profunzime maximală în primele două clase gimnaziale, acolo unde avem combinaţia dintre elevi mici (care majoritatea n-au trecut încă în stadiul de gândire operaţională formală), pe de-o parte, şi profesori specialişti de matematică în locul blândei învăţătoare (profesorii venind cu impulsul puternic de a-i pune cât mai repede “pe linia” matematicii pe cei mici).

Aceste afirmaţii ajung la stadiul acut mai ales când ne referim la introducerea elementelor de geometrie în clasele 5-6, aceasta fiind o materie cu totul nouă (99,99%) faţă de ce cunoştea elevul până în acel moment. Mai ales dacă analizăm felul în care începem geometria, anume prin introducerea unei liste foarte lungi de elemente noi ce reprezintă însă doar structura figurilor geometrice, “partea atomică” a acestora, plină de cuvinte noi pentru copii, înţelegem cât de dramatică şi disperată este percepută situaţia de către majoritatea elevilor. Din punct de vedere psihologic, noi ar trebui să plecăm de la pătrate, triunghiuri şi cercuri, elementele cunoscute elevilor, pe care să le disecăm încet şi să ajungem la componentele acestora, la segmente şi unghiuri, şi la relaţiile dintre ele. Dar nu, noi începem de la componente – care nu au nici cea mai mică relevanţă pentru elevi – pentru că doar aşa ştim să predăm geometria, aşa se predă această materie din punct de vedere riguros ştiinţific. În acest proces însă, pentru cei mai mulţi geometria reprezintă materie care luni la rând aduce doar un şir aparent nesfârşit de cuvinte noi – fără nici cea mai mică relevanţă pentru elevul obişnuit, vocabularul de specialitate crescând mult peste orice nivel de suportabilitate normal. Cât despre clasele primare, aici nu văd mari pericole în acest sens, deoarece este puţin probabil ca învăţătoarele să alunece în astfel de extreme ale vocabularului de specialitate.

Ca în paranteza de mai sus, trebuie spus că aceasta este situaţia în cazul oricărei ştiinţe (geometria reprezentând totuşi vârful de lance), doar că matematica este una dintre cele ce apar imediat din clasa a 5-a, alături de biologie, geografie şi istorie. În plus însă, dintre acestea matematica este singura care-şi poate justifica atitudinea “agresivă” în implementarea unui limbaj prea încărcat cu motivaţia examenului din finalul gimnaziului.

În general, fiecare materie are nevoie de jargonul ei de specialitate pentru a se exprima, iar în consecinţă copiii sunt practic bombardaţi cu cuvinte noi ce se schimbă de la o oră la alta într-un ritm de multe ori prea rapid, mult prea rapid (evident că şi religia se integrează în acest trend, doar că acolo măcar nu-i stres, acolo toţi primesc 10 din oficiu). Efectul psihologic rezultant este desigur faptul că mulţi elevi au tendinţa de “a nu mai auzi” cele spuse de profesori la diferitele ore, nici vorbă de a mai şi încerca să înţeleagă ce spun aceştia (cu trimitere evidentă spre dezvoltare de analfabetism funcţional dacă obiceiul nu este întrerupt în timp util prin trecerea elevului în faza de înţelegere).

Apoi, trebuie vorbit aici şi de cantitatea de cuvinte noi introduse “pe unitate de timp”. Un coleg a reuşit în urmă cu cca. 20 de ani să contabilizeze la o clasă de a 9-a în ziua cea mai densă a săptămânii, cumulat la toate materiile 142 de itemi noi (din câte ţin minte). Ne putem imagina câţi dintre aceşti itemi fuseseră termeni noi de specialitate. Părerea, impresia că odată definit, un astfel de termen este clar înţeles şi însuşit de către elevi este pur şi simplu utopică, iar aşteptarea ca ei să înveţe acasă noţiunile respective şi să le poată folosi automat începând de ora următoare, asta este una din cauzele faptului că elevii nu învaţă să gândească ci înţeleg prin învăţare doar simpla toceală. Astfel, cuvântul nou nu intră într-un vocabular natural al elevului, ci rămâne suspendat undeva între necunoaştere şi o folosire artificială, dar de fapt neînţeleasă. Eu simt aici că putem vorbi de o folosire de faţadă a acestor cuvinte, un fel de mascaradă de obicei neînţeleasă, de genul “la orele astea vorbim cu astfel de cuvinte”.

Uneori apar referiri la acest fenomen al limbajului prea sofisticat şi în alte părţi decât în procesul de învăţământ din şcoală. De pildă, în emisiunea Antrenorul părinţilor din data de 4 iunie 2023, Gaspar Gyorgi îi explică Mirelei Retegan următoarele: G.G. … oameni care veneau şi-mi spuneau: “Gaspar, e un pic ciudat felul în care vorbeşti” – pentru că atunci vorbeam mult mai mult în jargon de specialitate decât o fac acum – “dar, dincolo de asta, ce ajunge la mine este ca spui ceva important şi aş vrea să mă ajuţi să înţeleg un pic mai bine, aşa că te rog vorbeşte pe limba omului obişnuit, încearcă să-mi explici în aşa fel încât să-mi fie un pic mai uşor de înţeles”. M.R. … eu asta fac aici, îl ajut pe Gaspar să vorbească pe limba omului obişnuit. G.G. … ăsta e paradoxul psihologiei în România, că în facultate eşti învăţat să-ţi însuşeşti un limbaj de specialitate, iar după aceea, pentru a te înţelege cu oamenii trebuie să renunţi la acel limbaj de specialitate (urmăriţi înregistrarea https://www.youtube.com/watch?v=a2hqWYlXmAE între minutele 37:20 – 38:00). Da! Fără comentarii!

Folosirea unui limbaj inaccesibil este clar una din cauzele eşecului şcolii actuale din România, a procentajului uriaş de elevi cu analfabetism funcţional în toate direcţiile. Accesibilizarea limbajului duce evident la accesibilizarea mesajului transmis, dar pentru asta profesorii trebuie să conştientizeze că “soluţia problemei” este la ei şi să nu mai dea simplu “vina” pe elevi.

Desigur că nici evitarea introducerii termenilor noi nu este o soluţie viabilă pe durată; cu greu ar mai putea avea loc evoluţia elevilor pe drumul învăţării matematicii (practic a oricărei ştiinţe) fără cuvintele ce-i compun limbajul specific. Ca în orice domeniu, nici aici nu este bine a trece dintr-o extremă în cealaltă. La fel ca oriunde şi aici calea de mijloc este de obicei cea mai sănătoasă.

Profesorul care stăpâneşte “arta predării matematicii” ştie cum să introducă în limbaj un nou cuvânt, o nouă expresie, astfel încât să nu “îi şocheze” pe elevi, să nu îi repulsioneze. Mai ales în clasele 5-6 este important ca profesorul de matematică să ia în calcul frica de matematică cu care vin elevii din ciclul primar şi să încerce să preîntâmpine adâncirea lor în această stare.

Mi-a fost dat să cunosc o astfel de atitudine grijulie la profesori din Germania, la care am observat de-a lungul timpului expresia “triunghiurile cutare şi cutare sunt congruente, adică egale prin suprapunere“. Observăm cum folosirea termenului nou, străin limbajului uzual al copilului, este însoţit imediat în exprimarea adultului de “o traducere” mai accesibilă elevilor (pe germană termenul “deckungsgleich” înseamnă mai exact “egal prin acoperire” fiind şi mai apropiat în limbajul uzual decât traducerea mea “egal prin suprapunere“). În spaţiul de cultură în limba germană ideea este atât de împământenită încât şi dacă dăm spre căutare cuvântul “deckungsgleich”, toate adresele oferite pe net, inclusiv wikipedia.org, dau automat în text ambele “kongruent (deckungsgleich …)“.

Personal nu cred totuşi că ar fi sănătos să înlocuim definitiv, adică pe durată cuvântul “congruente” cu expresia “congruente, adică egale prin suprapunere” după modelul nemţilor, dar am preluat ideea că la început să folosesc expresia combinată, până când simt că elevii s-au obişnuit cu cuvântul “congruent” în cadrul lecţiei despre metoda triunghiurilor congruente (adică pentru o vreme, oarecum pe parcursul clasei a 6-a, până când am percepţia clară că elevii şi-au însuşit noţiunea).

Desigur, asta funcţionează doar cu condiţia să fi făcut înaintea lecţiei respective – măcar printr-o “poveste” descriptivă – analiza situaţiei de “egalitate prin suprapunere” prin constatarea că foile cu triunghiurile construite de doi elevii puse una peste cealaltă pe geamul clasei vor arăta prin transparenţă suprapunerea perfectă a celor două triunghiuri (construite pe aceleaşi date, de pildă prin cazul de construcţie LUL; asta este de fapt ideea introducerii acestora mai întâi sub formă de “cazuri de construcţie”, ducând deci la triunghiuri “egale prin suprapunere” numite apoi “congruente”, iar doar ulterior drept “cazuri de congruenţă” în cadrul unei noi metode de demonstraţie).

Legat de “exerciţiul” aici evocat, precizez că eu nu am mai făcut acest exerciţiu concret la clasă de peste 20 de ani – este şi greu de făcut, deoarece elevii desenează de obicei în caiet; ca să-l pot face ar trebui să le cer construcţia pe coli de hârtie separate şi de obicei nu consider să-mi iau acest timp. Făcându-l concret, aş avea garanţia că toţi elevii au priceput, dar nu acesta este obiectivul meu aici; oricum elevii slabi ai clasei nu vor beneficia de idee pentru că ei oricum nu vor învăţa cu adevărat metoda triunghiurilor congruente la demonstraţii (sau, poate greşesc?). Pe de altă parte, elevul mediu, elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, acesta îşi pot imagina exerciţiul, cu condiţia măcar să ne luăm 2-3 minute să il povestim, iar de aici mai departe vor putea conecta cu “imaginea” imaginată în acest moment (iar asta întăreşte capacitatea de imaginare a elevilor, mai ales în aceste vremuri când ei sunt obişnuiţi să vadă totul pe ecrane).

În mod similar, în cazul cuvintelor “complementare” sau “suplementare”, eu folosesc pentru început, pentru o vreme, măcar în apariţiile izolate din clasa a 6-a expresia dublată că “cele două unghiuri au împreună 180o, adică sunt suplementare” sau “unghiurile B şi C sunt complementare, adică au împreună 90o” (măcar din când în când, cel puţin la apariţii noi, când nu le-am folosit de mult). Apoi, trec destul de repede la folosirea curată, spunând simplu “complementare” sau “suplementare”, Important este să le acord elevilor timpul să se obişnuiască cu noile cuvinte, fără ca să apară în ei senzaţia că nu înţeleg ce vorbesc (probabil, mai reiau ideea de dublare descriptivă a cuvântului şi la primele apariţii din clasa a 7-a, dar apoi gata). CTG

Trigonometria în vremea solstiţiului de vară

Zilele acestea (în 24, 06 2023), dl. profesor Florin Nechiţi ne-a prezentat pe Comunitatea profesorilor de matematică faptul că trigonometria are ceva de basm! Astfel, dânsul observă că:

Sînziana – SINUS,
Cosînziana – COSINUS.

Iată şi câteva comentarii la respectiv postare:
– Mai există şi tanziana şi cotanziana.
Şi mai trag şi cu arcul unele … Sunt violoniste?
– Periodice, unduitoare, dar mărginite la infinit …
– Mărginite, dar de neatins dacă nu eşti Făt-Frumos.
– Nu ştiu ce sunt, dar se unduiesc de te bagă’n boală …
O fi având legătură cu faptul că în febra BAC-ului pregătirea matematică din mintea unora se amestecă cu pregătirea la Română? (comentariile aparţin d-lor: Octavian Vajoi, Laurenţiu Daniel, Dumitrescu Costel şi Adrian Dranga, iar în final din nou Florin Nechiţi)

Prea devreme! – (5) Teme la interferenţa cu fizica

Elevii sunt confruntaţi deseori cu elemente de matematică nepotrivite pentru momentul predării, de obicei mult prea repede pentru capacităţile naturale de înţelegere şi pentru faza de dezvoltare a gândirii în care se află. Ca să fie clar că există multe astfel de situaţii, am decis să extind “trilogia” din primăvară cu încă două episoade despre elemente care “se înghesuie agresiv în faţă” în viaţa elevilor. Ca o curiozitate, ambele, atât elementele de trigonometrie cât şi subiectul prezentului eseu se desfăşoară într-o zonă comună de preocupare a matematicii numerelor cu matematica formelor (a aritmetico-algebrei cu geometria). Oare, unde au loc acest tip de activităţi pe creierul nostru, deci care parte a creierului este afectată de greşelile respective?

Ne vom uita acum la o categorie mai specială, anume la zona de interferenţă a matematicii cu  fizica, unde lucrurile sunt grăbite doar din ambiţii exterioare procesului de învăţământ matematic. Primul exemplu îl reprezintă teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, pusă acolo doar ca să o prezinte matematica prima, pentru că altfel o făceau de obicei olimpiştii de fizică prin toamna clasei a 7-a. Al doilea ar fi apariţia vectorilor în clasa a 9-a, care dau buzna peste starea aia de savurare a geometriei sintetică ce s-a instalat în clasa a 8-a (odată cu stabilizarea materiei de clasele 6-7 în procesul de pregătire a examenului de EN), vectorii întrerupând-o brutal cu un “alt fel de geometrie”, care nici măcar nu prea arată a geometrie. Aşadar, să pornim cu subiectele eseului de faţă, reunite sub ideea că, urmare a interferenţei cu fizica, matematica a decis să parcurgă anumite conţinuturi mai devreme, ceva cam prea devreme (că sigur nu ne-au obligat fizicienii să le facem mai devreme!).

(1) De mulţi ani copiii care alegeau să se pregătească pentru olimpiadă la fizică în clasa a 7-a învăţau cu profesorii respectivi “pe repede înainte” diferite cunoştinţe de geometrie, fără nici cea mai mică atenţie pentru rigurozitatea matematică (sau o făceau cu toată clasa?). Astfel, te trezeai că elevii respectivi ştiau brusc teorema lui Pitagora şi rapoartele trigonometrice (superficial, doar aplicativ), iar asta devenea deranjant în diferite momente ale procesului educativ matematic (elevii respectivi nu mai erau atenţi la lecţia respectivă de la matematică, că “doar o ştiu”, sau profesorii se bazau că o ştiu, pe când în mintea acestor elevi lucrurile nu erau clare, iar cei care nu participaseră la orele respective la fizică oricum rămâneau “pe de lângă”; ani la rând am putut observa astfel de fenomene). Asta fără să mai amintim şi de partea de orgoliu a profesorilor de matematică: cea mai importantă lecţie a geometriei ne era “subtilizată” fiind divulgată înainte într-un mod destul de neglijent. Iar asta acţiona înjositor la adresa noastră (se simţea ca şi cum cei de fizică ar da “spoil” la filmul matematic – în limba engleză cuvântul este folosit des ca şi cum ai strica o surpriză, divulgând secretul dinainte, de pildă povestind cuiva cum se va termina un film).

Dar, la ce le trebuia fizicienilor teorema lui Pitagora şi trigonometria aşa de repede? Bănuiesc că la situaţiile acelea cu compunerea de forţe, de pildă la studiul deplasării pe plan înclinat, forţe ce se compun sau se descompun pe nişte triunghiuri, de multe ori dreptunghice. Aici este vorba clar o necorelare crasă între programele celor două materii. Pe de-o parte aveam o întârziere agresivă a predării teoremei lui Pitagora datorită programei de matematică, existând ambiţia de a demonstra această teoremă doar prin teorema catetei, care la rândul ei avea acceptată doar demonstraţia prin asemănare (ce-i drept cea mai scurtă, dar şi cea mai ne-vizibilă pentru copilul de rând, dar şi bazată pe unul dintre cele mai grele şi inaccesibile capitole pentru elevul mediu – la asemănare m-am referit). Asta în condiţiile în care există şi o grămadă de demonstraţii pe bază de arii (spre deosebire de proporţionalitate şi asemănare, aria “se vede” ceva mai bine, în afara unor excepţii notabile desigur). Dar aici ne confruntăm din nou cu moştenirea ambiţiei celor care au trasat linia programei de la începutul anilor ’80, de a rupe teorema lui Pitagora de fenomenul ariilor şi nimeni nu a mai îndrăznit de atunci să reanalizeze situaţia. Pe de cealaltă parte avem necesitatea forţată din punct de vedere a materiei pentru olimpiada de fizică, de a putea folosi acele elemente practice de geometrie a triunghiului dreptunghic. Este evident că avem aici o luptă între orgolii la nivelul cel mai înalt (pe seama cui?). Apropos, astfel de fenomene de necorelare există desigur şi între alte materii, cum ar fi între cerinţele de cunoştinţe de gramatică la limbi străine, cunoştinţe care însă nu s-au parcurs încă la limba română.

Aceasta era situaţia în momentul când s-a organizat redactarea unei noi programe gimnaziale. Nu cunosc cum s-a ajuns la decizia respectivă, dar e clar că teorema lui Pitagora a ajuns să fie poziţionată total artificial în finalul clasei a 6-a (în plus exilată de-a dreptul într-un final de an şcolar, atunci când de fapt nu prea se mai face mare lucru! – ştim asta din alte ocazii). Am tratat acest subiect din punct de vedere al posibilităţilor de integrare a lecţiei în acel moment, pe baze de predare intuitivă într-o serie de postări, dând astfel posibilitatea unei prezentări decente în faţa elevilor (http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/, http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/).

Realitatea crudă este însă că profesorii nu au fost defel pregătiţi pentru această mutare, nici mental, nici practic, aceasta haotizând parcursul lecţiilor, chiar erodând astfel autoritatea profesorilor în procesul predării. Mai mult, profesorii nu au fost în stare nici măcar să tragă anumite foloase din această mutare intempestivă: nici acum nu găseşti clar o integrare a cunoştinţelor şi tehnicilor de lucru legate de teorema lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a. (Că, dacă tot este cunoscută, să şi fie folosită. Sau, o facem de fapt doar pentru cei de fizică? Dar măcar, atunci să o facem mai bine, nu la fel de superficial. Că, ei măcar o făceau doar colateral, pentru “vârfurile” lor; noi ar trebui să le-o cerem tuturor). Autorii de manuale nu au integrat-o, dar nici profesorii. Deloc&Defel! (ok, cu unele rare excepţii) Am întâlnit chiar situaţii în care profesorii “le-au interzis” elevilor să o folosească: “deşi o ştim, încercăm să facem o rezolvare fără teorema lui Pitagora“. De ce? DE CE?

Această stare de prohibiţie a apărut în mentalul profesorilor deoarece tot parcursul de probleme pentru clasa a 7-a era setat pe vechea programă fără folosirea teoremei lui Pitagora până în primăvară, când aceasta urma să fie predată (pe programa veche). Acum însă fiind disponibilă teorema lui Pitagora, totuşi nimeni nu s-a străduit să rearanjeze parcursul şi felul problemelor, de pildă la capitolul despre arii, acolo unde în sfârşit elevul mediu ar fi putut primi şi el o sarcină de lucru pe măsura sa (calcule de arii şi perimetre cu determinarea elementelor prin teorema lui Pitagora). Dar nu, se pare că strădaniile de integrare au fost minimale, de obicei inexistente, aşa încât singurul lucru reuşit clar a fost instalarea acestei stări generale de nefolosire decât în cazuri absolut excepţionale a teoremei lui Pitagora.

Pe de altă parte, datorită mişcărilor de materie prin noua programă, această teoremă (împreună cu prietenele ei premergătoare, teorema catetei şi teorema înălţimii) au ajuns şi mai târziu, în lecţiile profesorilor, deseori după vacanţa de Paşte. Cunosc o situaţie de la o şcoală cu pretenţii din Cluj, unde în a doua jumătate a lunii Mai încă nu a fost parcursă oficial, şi deci nici integrată în materia folosită la clasă (a apărut însă în forma specifică geometriei analitice la lecţia de prezentare a sistemului de coordonate carteziene prin calculul lungimii unui segment în funcţie de coordonatele punctelor, desigur că fără nici cea mai elementară preocupare că “de unde provine” minunea asta de formulă).

Astfel, această cea mai importantă teoremă a omenirii a ajuns să fie într-un fel de-a dreptul prohibită, pe parcursul marii părţi a clasei a 7-a. A fost ca o conspiraţie totală împotriva folosirii în orice fel a acestei teoreme. Nu zic că această “conspiraţie” a fost clar intenţionată, voită, dar asta s-a întâmplat şi desigur că nici folosirea denumirii nu este acceptată. Elevii slabi nu au siguranţă în aplicarea ei, doar pe baza puţinelor exerciţii din finalul clasei a 6-a (atunci când cine ştie cât de serios a fost făcută şi învăţată), pe când elevii buni nu au fost învăţaţi să o ia în serios. Curat minunat!!! Dacă mă gândesc bine, am impresia că acum elevii o ştiu cumva, însă doar într-o formă neglijent calculaţionistă, pe care probabil au dobândit-o de la fizică sau din foarte rarele ocazii când totuşi această teoremă “s-a întâmplat” şi în orele de matematică. Cu alte cuvinte, lucrurile arată ca şi cum matematica ar fi abandonat, măcar parţial, această teoremă în zona de autoritate a fizicii (e doar o părere personală neverificată, dar aşa pare să arate situaţia).

Acest fenomen se întâmplă şi datorită altuia, care s-a accentuat în ultimii ani. Teorema lui Pitagora este cuprinsă tot mai puţin în zona de interes a olimpiştilor, preocupările acestora evoluând clar în alte direcţii de materie (asta şi pentru că de zeci de ani teorema lui Pitagora apărea oricum după olimpiadele locale, chiar judeţene).

Pe de altă parte, mulţi profesori care “dau tonul” în societatea noastră nu sunt preocupaţi defel de matematica pentru cei slabi (se poate observa cât de puţine exemple elementare se găsesc la începutul lecţiilor în diferite manuale sau culegeri; toată preocuparea autorilor este îndreptată către zonele mai înalte ale aplicaţiilor). Ori, de vreme ce a fost prezentată deja pe scurt în clasa a 6-a, mulţi profesori consideră că au făcut destul pentru partea de aplicaţii elementare ale teoremei lui Pitagora.

Care este însă marele perdant al acestei situaţii? Păi, desigur abilitatea elevului mediu (80% din populaţia şcolară) de a se descurca – fără meditaţii – în calculul ariilor şi al perimetrelor în figurile de bază (romb, triunghi isoscel, trapez etc.). Capitolul de arii din toamna clasei a 7-a nu le-a integrat, fiind în continuare un capitol doar cu aplicaţii ale proprietăţilor ariilor (de pildă proprietatea de arie a medianei sau chiar generalizări ulterioare ale acesteia).

Rog onoraţii cititori să nu aştepte în acest moment o propunere salvatoare din partea mea. Nu că n-aş putea încerca aşa ceva, dar asta ar deschide discuţia mult prea larg pentru spaţiul unui eseu în direcţia coordonării materiei. Pot doar să spun că soluţia ar fi undeva între o poziţionare a teoremei lui Pitagora cât mai la începutul clasei a 7-a (demonstratbilă cu arii), coordonată cu o acţiune concentrată din partea autorităţilor pentru implementarea acesteia până în structura problemelor ce se fac de către profesori şi se propun de către autori, desigur cu integrarea clară şi a elevilor medii în procesul de predare şi de aplicaţii.

Permiţându-mi o glumă mai acidă, aş avea în final o singură dilemă: dacă a fost mutată teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a ca să fim siguri că o facem primii noi, matematicienii, de ce nu a fost adusă în finalul clasei a 6-a şi trigonometria? Pentru că elevii încă nu ştiu radicalii? Păi, se poate rezolva uşor şi asta! Adică – acum serios vorbind – mutându-se teorema lui Pitagora s-a rezolvat doar jumătate de problemă, pentru că cei de fizică oricum fac trigonometria înaintea noastră. Oare, de asta este prezentată trigonometria de către unii profesori aşa de “în scârbă”?

(2) Al doilea exemplu de haotizare a procesului educativ matematic la zona de interferenţă cu fizica, unul mult mai vechi, ar fi introducerea prea devreme a capitolului de geometrie vectorială în clasa a 9-a. Eu personal nu am fost nevoit să predau această temă în integralitatea sa, aşa încât pot vorbi doar “din tribună” (aşa cum şi la televizor vorbesc foarte mulţi “specialişti” despre fotbal). Totuşi, ca profesor din famile de profesori de matematică, dar şi ca preocupat intens de fenomenul predării sănătoase (de peste un sfert de secol), cred că pot prezenta câteva idei valabile. Asta în condiţiile în care discuţii pe acest subiect există oricum şi la nivelele cele mai înalte (mai ţineţi minte exprimarea părerii respective de către dl. Ministru Câmpeanu – început de 2022 – despre ne-importanţa vectorilor în clasa a 9-a; este evident că dânsul o preluase de undeva, de la unii mai specialişti decât el; parcă şi Dl. Prof. Radu Gologan se exprimase cândva în acest sens). Aşadar, să analizăm puţin când, cum şi oare de ce au ajuns vectorii la începutul liceului în locul geometriei sintetice.

Trebuie lămurit încă de la început un aspect foarte important, anume că vectorii reprezintă fără discuţie un subiect de origine fizică. Vectorii sunt în primul rând ai fizicii! Vectorii sunt forma în care oamenii au reuşit cel mai bine să reprezinte grafic (vizual) forţele împreună cu mărimile şi direcţiile acestora de acţiune. Orice includere a vectorilor între lecţiile de matematică trebuie pornită de la acest adevăr şi de la faptul că la început au fost observaţiile fizice. Doar apoi, cu timpul, teoreticienii matematicieni au stabilit o formă teoretică axiomatic definiţionistă de introducere a ideii de vector ca început pentru o teorie ce integrează multe proprietăţi ale vectorilor de natură matematică, sau care se dovedesc că au aplicabilităţi matematice, atât geometrice cât şi algebrice. Mie de exemplu îmi plac foarte mult suprapunerile de proprietăţi ale numerelor complexe cu vectorii, de pildă rotirea unui vector cu 90o prin înmulţirea numărului complex corespunzător cu i.

Teoria matematică a vectorilor a reprezentat un experiment şi o provocare extraordinară pentru matematicieni, de a aranja pe bazele rigurozităţii matematice un set uriaş de cunoştinţe acumulate pe această temă. La fel ca şi teoria extrem axiomatică a geometriei euclidiene, acest experiment al geometriei vectoriale şi-au avut originea în cercetarea de nivel universitar, dar aducerea lor în zona de liceu trebuie făcută cu mare precauţie. Orice exagerare, atât din punct de vedere al cantităţii, cât mai ales şi din punct de vedere al vârstei poate produce pagube inimaginabile în percepţia şi mentalul marii mase a elevilor. Astfel, în forma (în cantitatea) şi la vârsta (clasa a 9-a) în care a fost introdusă prin reforma din 1997, studiul geometriei vectoriale s-a dovedit total neproductivă, dăunătoare până “în măduva oaselor” la adresa celor mai mulţi elevi.

În geometria vectorială vedem că algebra – într-o formă ciudată, nouă – câştigă teren în detrimentul înţelegerii clare a fenomenului geometric. Reţete automate dar neînţelese, aplicate orbeşte, ajung să domine peisajul, astfel încât marea masă a elevilor învaţă materia doar ca un fel de dresaj intelectual, înspre rezolvarea unor modele de probleme. Formarea gândirii practice este redusă dramatic faţă de varianta de gândire dobândită pe baza studiului geometriei sintetice, iar explicaţia pentru acest fenomen este absolut elementară: geometria sintetică lucrează cu nişte “obiecte iniţiale” mult mai “vizibile” în lumea înconjurătoare, decât geometria vectorială. Segmentele, unghiurile, planele, apoi dreptunghiurile, cercurile, corpurile geometrice, toate acestea sunt mult mai “vizibile” decât vectorii, chiar şi studiaţi sub forma lor fizică de forţe, darămite sub forma abstractă matematică.

Rezultatul este îndepărtarea, de-a dreptul “repulsionarea” fără precedent a elevilor faţă de studiul matematicii, iar asta se întâmplă chiar de la începuturile matematicii de liceu. Asta simte toată lumea. Faptul că are de suferit formarea generală a gândirii, asta se vede mai greu, dar nu înseamnă că nu are loc. Cumva, până la urmă, toţi le învaţă mai mult sau mai puţin, dar urmările negative depăşesc clar eventualele beneficii teoretice sau câştiguri în sensul unor metode de rezolvare mai eficiente (incontestabile, dar puţine şi cu ce sacrificii enorme).

Apropos metode de rezolvare: ţin minte pe la începutul anilor ’90 un fel de Skanderbeg intelectual, o înverşunată competiţie între câţiva pasionaţi de matematică în sensul ambiţiei de a rezolva cât mai multe probleme de geometrie prin vectori. Da, aşa da, pentru pasionaţii de senzaţii tari în matematică, geometria vectorială era un teren competiţional deosebit de valoros. Dar de aici până la generalizarea exclusivă a metodelor specifice de lucru pentru toţi elevii, mult prea devreme, la începutul liceului, când gândirea specifică nu este încă formată şi antrenată ca atare, asta reprezintă o cale mult prea lungă. Astfel, privim la deja un sfert de secol de chinuială gratuită a gândirii elevilor pe baza unui experiment teoretic, ce-i drept foarte valoros din punct de vedere matematic, dar nu şi din punct de vedere pedagogic.

Putem scoate în evidenţă anumite aspecte interesante dacă alegem să privim şi precedentul experiment mult prea teoretic, cel al încercării introducerii geometriei axiomatice euclidiene în licee, prin manualele din 1978. În vremea acestora profesorii mai aveau cale de scăpare, măcar parţială din chingile teoretice, evadând în problemele clasice pentru formarea gândirii (experiment ce a durat cca. 20 de ani, lăsând în urmă o prelungire teoreticistă în geometria gimnazială, prelungire ce s-a atrofiat lent dar ciudat de atunci). Aici, în geometria vectorială, profesorii au slabe şi rare şanse de a mai evada cu elevii în gândirea geometriei sintetice.

Analizând comparativ poziţionarea şi natura geometriei vectoriale faţă de geometria sintetică, putem observa un aspect mai profund. La o analiză serioasă se poate observa cum începând din anii ’90 matematica şcolară a fost supusă tot mai mult unui proces de algebrizare. Rădăcinile acestui proces pot fi urmărite în programele şcolare până în anii ’70, dar prin reforma din 1997 fenomenul s-a accentuat puternic. Geometria vectorială este unul din locurile matematicii în care gândirea spaţială intens şcolită în geometria sintetică face clar un pas mare înapoi în detrimentul gândirii numeric-algebrice. În geometria sintetică din manualele claselor 9-10 din anii 1978-1997 geometria şi algebra ajungeau să se îmbine în diferite probleme aplicative, adevărate “simfonii matematice” (pe care le puteai compune doar dacă înţelegeai profund baza fiecărei componente). În geometria vectorială, dimpotrivă, se simte clar cum gândirea algebrică, pe bază de formule (aplicabile orbeşte), dă clar de-o parte gândirea spaţială geometrică. De obicei, aici fenomenul geometric se consideră deja cunoscut, fiind deci neglijat. Pe scurt, aş descrie astfel situaţia: pe când în geometria sintetică din anii ’80-’90 algebra venea în geometrie cu un rol de potenţare, în geometria vectorială algebra vine către geometrie dând-o afară din viaţa elevilor.

Acelaşi lucru îl face desigur şi geometria analitică ce apare tot mai repede, mai nou deja din clasa a 7-a. Simt aici un impuls similar cu cel al puiului de cuc: cunoaştem toţi cum se înmulţesc aceste păsări, anume că femela depune oul în cuibul altor păsări, acestea îl clocesc, iar după eclozarea puilor, puiul de cuc are impulsul de a-i împinge afară din cuib pe fraţii săi vitregi, beneficiind astfel de toată atenţia de îngrijire a părinţilor adoptivi. Cam aşa aş putea descrie şi fenomenul de algebrizare forţată a matematicii de liceu în şcoala românească a ultimului sfert de secol. Fenomenul este mult mai extins, un alt exemplu în acest sens fiind de pildă abandonarea cercului trigonometric în procesul de trecere de la trigonometria geometrică (pe bază de triunghi) din gimnaziu la trigonometria mult mai algebrică din liceu.

Dar să revenim: oare de unde a apărut impulsul introducerii geometriei vectoriale în clasa a 9-a? La această întrebare ar trebui să răspundă cei implicaţi atunci, în mişcările de materie ale reformei din 1997. Noi acum putem să ne dăm doar cu părerea. Eu personal suspectez un puseu puternic de orgoliu axiomatist-definiţionist din partea matematicienilor (a unor profesori universitari), puseu încărcat de un dispreţ teoreticist faţă de “fizicienii ăia” care nu sunt în stare să facă o ştiinţă pură, teoretică, ei fiind capabil doar să pornească de la concret, de la observaţii. Ceva de felul: “Ei nu sunt interesaţi să aşeze lucrurile pe baze teoretice abstracte, aşa că haideţi să vă arătăm noi cum se face!

Eu, în anii ’80 făcusem în clasa a 11-a ceva elemente cât de cât ordonate de geometrie vectorială, dar acestea plecau de la modelul compunerii forţelor (regula paralelogramului), nu de la un model abstract de adunare a vectorilor (regula triunghiului; aceasta apărea însă imediat după prima, generalizându-se apoi în regula poligonului). În aceste condiţii, la fel ca în cazul precedent al geometriei axiomatice euclidiene, trebuie că s-au sesizat anumiţi profesori universitari în legătură cu “amatorismul demersului”, implicându-se şi sesizându-se “din oficiu” ca să ne arate nouă, profesorilor din preuniversitar “cum se face treaba” serios.

Închei cu precizarea clară că acest eseu este redactat doar pe baza unor supoziţii, dar unele verificate clar prin lungi observaţii de-a lungul anilor. C.Titus Grigorovici

P.S. Dacă tot am analizat zone de interferenţă a matematicii cu fizica, aş dori însă să ne uităm puţin şi în clasa a 5-a unde programa din 2017 ne oferă o altă surpriză ciudată, aş spune total neplăcută. Concret: unde şi de ce au dispărut din programa de matematică unităţile de măsură pentru capacitate (litraj) şi pentru masă (aşa-zisa “greutate” după cum este numită în limbajul uzual, de zi cu zi)? Şi chiar aşa, o fi rău că au fost scoase? De ce? Pentru că – ar putea zice cineva – s-a mai descongestionat materia, sau? Să analizăm mai profund situaţia.

Cele două, capacitatea şi masa formau, împreună cu lungimea, o “triadă” de mărimi ale căror sisteme de unităţi şi sub/supraunităţi sunt construite pe acelaşi model intelectual, schimbarea unităţii într-alta mai mare sau mai mică făcându-se la toate trei după aceleaşi “pattern”-uri comportamentale ale numerelor (cu mica diferenţă a prelungirii sistemului de la masă până la tone). Astfel, elevii aveau posibilitatea să facă transferul de cunoştinţe şi de competenţe de la una la cealaltă, fixând astfel modelele de calcul mult mai bine. Iar modelele respective de calcul fac parte fără discuţie din matematică. Astfel, prin eliminarea acestora din programă a fost văduvită matematica, şi mai exact chiar partea cea mai practică a matematicii, pentru lipsa căreia materia noastră este constant criticată la nivelul societăţii.

Pe de altă parte, rămânând înţelegerea şi învăţarea modului de funcţionare a modelului doar pe baza unităţilor de măsură a lungimii, adică pe un singur exemplu fenomenologic, este evident că învăţarea elevilor va fi mai slabă, dar totodată va avea loc şi la mai puţini dintre aceştia. Orice învăţare pe un singur exemplu (unidirecţinală) este mai slabă decât o învăţare cu o oarecare diversitate în exemplele de aplicat (într-un evantai controlabil de direcţii); prin forţarea transferului de cunoştinţe se întăreşte şi înţelegerea şi învăţarea. Dimpotrivă, nefiind necesar un transfer de gândire, învăţarea este mai slabă.

Dar, de ce au fost scoase? Aici pot doar – din nou – să-mi dau cu părerea. Bănuiala mea este că unităţile de măsură pentru masă au fost scoase datorită pericolului real ca mulţi profesori de matematică să permită folosirea incorect ştiinţific a cuvântului greutate (din limbajul vulgar) în locul termenului teoretic corect de masă. Păi ce să-i faci dacă în limba română cuvântul masă de care vorbim aici se suprapune identic cu cuvântul masă folosit pentru obiectul acela pe care ne punem farfuriile să mâncăm sau caietele să scriem, sau pentru înruditul cuvânt folosit pentru activitatea de mâncat? (ai luat masa?)

De unde vine această suprapunere stupidă? Nu am studiat foarte mult, pentru că eu personal am o explicaţie simplă: cuvântul corespunzător pentru măsură în germană este Mass, cuvânt ce a fost preluat la noi ca masă. Nemţii însă nu au problema suprapunerii de la noi. În germană cuvântul pentru obiectul acela de mobilier, de obicei cu patru picioare este Tisch (pronunţat tiş). La ei e clar că Mass în general este o măsură a ceva. Ştiinţific a fost fixată pentru mărimea folosită şi în română, dar nemţii o mai folosesc şi pentru alte chestii. De pildă bavarezii o folosesc absolut natural pentru cănile acelea mari de un litru din care beau bere (de pildă la Oktoberfest). Ale noastre sunt puţin mai mici (de jumătate de litru) şi se numesc halbe. Ştiţi de ce? Simplu, cuvântul vine de la jumătate în germană: halb (a înjumătăţi: halbieren). Lăsând tonul glumeţ de-o parte, putem surprinde o nuanţă din plaja largă ce o are cuvântul în limba germană atunci când spunem “o masă de oameni”. Lăsând gluma de-o parte, să ştiţi însă că şi la nemţi există preocuparea de atenţionare legată de folosirea incorect teoretică a cuvântului Gewicht (greutate) în locul cuvântului Mass (masă).

Despre excluderea unităţilor de măsură pentru capacitate (denumită uneori “litraj”), aici nu am multe de comentat. Este evident că litrul ocupă un rol central în sistemul internaţional de unităţi de măsură (pe scurt, un litru de apă cântăreşte un kilogram), care este unul dintre domeniile clare, centrale ale fizicii elementare.

Atenţionez însă că şi aici sistemul de unităţi al capacităţii este conectat în mod evident din punct de vedere matematic cu sistemul de unităţi de măsură pentru volum, aşa încât excluderea primului din programă slăbeşte profund studiul matematic al fenomenului, văduvind elevul de o nouă situaţie unde să-şi exerseze şi să-şi dezvolte abilităţile şi competenţele corespunzătoare. Ce se întâmplă astfel în cazul tradiţionalelor probleme de felul următor? Un acvariu paralelipipedic cu dimensiunile de 40 cm pe 20 cm şi înalt de 30 cm este umplut până la o treime cu apă. Câţi litri de apă sunt necesari? Merită repetat aici faptul că această excludere ajunge să scoată din programa de matematică exact astfel de momente de care ar fi atât de mare nevoie pentru a oferi elevilor şi probleme cu aplicabilitate practică (cu sens), de lipsa cărora se plânge aşa de multă lume. Asta fără să mai discutăm de schizofrenia situaţiei ca întreg: deci la matematică elevul învaţă de pildă dm3, la fizică învaţă despre litru, dar unde învaţă să conecteze cele două?

Este evident că la matematică se pune accent pe anumite aspecte ale fenomenului, pe când la fizică acestea se tratează mai superficial, poate chiar defel uneori, atenţia profesorilor fiind concentrată în alte direcţii ale fenomenului. Astfel, am întâlnit elevi care – de pildă – nu cunoşteau dal, hl sau kl. O fi de vină pandemia sau o fi de vină “profa’ de fizică”? Chiar nu mă interesează. Permiţându-mi o scurtă deviaţie, aş întreba dacă, oare, aşa a început fenomenul şi în Austria, acolo unde elevii nu fac dam sau hm, dar fac km?

Există însă aici şi un alt aspect care influenţează tot mai puternic subiectul nostru în discuţie. Criza profesorilor de fizică este tot mai extinsă, aşa încât pentru orele de fizică se găsesc tot mai greu profesori responsabili şi “de calitate”. Astfel, fenomenul orelor ţinute “de mântuială” este mult mai răspândit la fizică decât la matematică (nu că la noi n-ar fi prezent). Oare, asta să fie cauza fenomenului sesizat în alineatul precedent?

Aşa, cum le făceau profesorii de matematică, uneori “pe fugă”, inclusiv cu gafele teoretice din punct de vedere al fizicii, totuşi includerea respectivelor lecţii şi în orele de matematică îşi aducea aportul clar pozitiv la învăţarea fenomenului în ansamblu. Nu mă pot abţine să observ cât suntem de aproape în discuţia de faţă de momentul când facultatea de matematică-fizică (inclusiv pregătirea profesorilor ca profesori de matematică şi fizică) s-a rupt în două (la Cluj prin anii ’60). Părinţii mei au absolvit ca profesori cu dublă specializare. Fratele tatălui meu a trebuit să aleagă în timpul facultăţii în care parte rămâne, el alegând fizica. În clasele gimnaziale, în finalul anilor ’70, eu am făcut fizica cu acelaşi profesor cu care făceam şi matematica.

Dar de ce au fost excluse cele două lecţii din programa de matematică. O altă explicaţie logică nu văd, decât că asta s-a întâmplat la presiunea fizicienilor. Poate n-a fost o presiune clară de a fi scoase, ci doar o cerinţă fermă de a rezolva situaţia folosirii termenilor de masă sau greutate. Nu ştiu, dar cred că nici nu mă interesează foarte mult detalii; eu văd doar rezultatul. Trebuie precizat aici, pentru cine nu ştie, că breasla profesorilor de fizică este mult mai avansată pe calea refacerii predării pe principii sănătos pedagogice, pe când matematicienii până la programa din 2017 au ţinut cu dinţii de principiile rigurozităţii ştiinţifice ale matematicii (sau de urmările acestora, aşa cum au fost acestea creionate la bazele reformei din 1980), neglijând masiv aspectele pedagogice (vârstă, prima cunoaştere etc.). Putem să ne imaginăm astfel că la momentul respectiv fizicienii au ştiut mult mai bine “ce vreau” şi au fost mult mai fermi “pe poziţie”. Da, şi astfel putem concluziona că în acest moment matematica “a pierdut” pur şi simplu materie valoroasă datorită fizicii.

Salariul cercetătorului şi aria cercului

Uitaţi ce banc circulă pe reţelele “sociale” taman în plină grevă în învăţământ:

*

Un cercetător, observând că are ceva probleme cu chiuveta din bucătărie, a fost nevoit să cheme un instalator. În următoarea zi, instalatorul a venit, a strâns câteva şuruburi, a înfiletat câteva chestii, apoi totul a funcţionat ca înainte. Cercetătorul a fost mulţumit. Totuşi, când instalatorul i-a dat nota de plată, acesta a fost şocat:

– Asta înseamnă o treime din salariul meu lunar!!!

Păna la urma, totusi a plătit, iar instalatorul i-a zis:

– Vă înteleg, să ştiti. De ce nu veniţi la firma noastră, să depuneți dosarul pentru o slujba de instalator? Veți câștiga de trei ori mai mult decât o faceţi acum. Dar nu uitaţi, când depuneţi dosarul, să le spuneţi că ați terminat doar 7 clase. Nu le plac oamenii educați.

Prin urmare, cercetătorul nostru și-a luat o slujba de instalator, iar viața lui a devenit mai ușoară din punct de vedere financiar. Tot ce trebuia sa facă era să străngă un şurub-două. Într-o zi, șeful companiei a hotărât că fiecare angajat trebuie să se ducă la seral, pentru a-şi termina și clasa a 8-a. Omul nostru a trebuit să meargă, evident.

S-a întâmplat ca primul curs să fie de matematică. Profesorul, vrând să vadă nivelul de cunoaștere al studenților, i-a întrebat formula ariei cercului. Cel pe care l-a numit a fost chiar cercetătorul. Ajungand la tablă, și-a dat seama ca a uitat formula, așa că a început să o deducă. A umplut tablele cu integrale, diferentiale etc.

La sfârşit, rezultatul pe care-l avea era “minus pi R pătrat”. Neconvenindu-i acel minus, s-a apucat iarăși de calcule, de la început. Nimic nu s-a schimbat, tot acelaşi rezultat… De fiecare dată a obţinut aceeași chestie.

S-a uitat puțin spre clasă speriat, moment în care a observat că toţi instalatorii ii şopteau:

– Schimbă mă limitele de integrare!

Prea devreme! – (4) Elemente de trigonometrie de liceu în gimnaziu

Elevul de gimnaziu este confruntat deseori cu elemente de matematică peste nivelul intelectului său, peste posibilităţile sale de asimilare sau peste capacităţile sale de înţelegere. M-am ocupat de acest subiect într-o serie de trei părţi în această primăvară, dar subiectul nu este defel epuizat. Există multe alte exemple în acest sens, de care nu am vorbit, aşa încât se pare că trebuie să continuăm şirul eseelor pe tema “prea devreme!”.

Cel mai rău este atunci când elevului – mai ales celui de gimnaziu, adică neselectat în urma examenului – atunci când elevului i se pun în faţă noţiuni sau cunoştinţe ce urmează a-i fi predate mult mai târziu şi pentru care nu are elementele de bază în a le înţelege (nici nu mai vorbesc de competenţele necesare). Vorbesc aici în general de situaţii când îi este predat ceva ce foloseşte o terminologie sau se referă la noţiuni ce vor veni de-abia în viitor. Am vorbit de un astfel de exemplu în situaţia dreptelor coplanare, noţiune folosită în clasa a 6-a la definirea situaţiei de paralelism, dar trebuie conştientizat că există multe astfel de situaţii. Aproape că putem spune că a devenit un modus-viendi din partea unor profesori de a-i confrunta pe elevi cât de des posibil cu elemente necunoscute din viitor.

Probabil cel mai flagrant exemplu din această categorie mi-a scăpat din atenţie atunci când am tratat subiectul acesta în primăvară. Este vorba despre folosirea unor elemente din trigonometria de liceu în cadrul orelor din clasa a 7-a. Multă vreme am crezut că acest fenomen apare doar în cazul profesorilor care predau şi la clase de liceu, iar din avânt aceştia nu mai reuşesc să facă distincţia dintre forma lecţiei minimaliste din clasa a 7-a şi cea generalistă din liceu. Se pare însă că apucătura respectivă este imitată, este preluată şi de către profesorii care predau în şcoli gimnaziale, după principiul că “şi ei pot”. Fără să mai discutăm de autorii de diferite cărţi, care la rândul lor diseminează apucătura respectivă.

Concret, este vorba pe scurt de două gafe punctuale. În primul rând este vorba de folosirea noţiunii de funcţie (functii trigonometrice; funcţia sinus etc.) într-un moment în care elevii nici măcar nu cunosc cuvântul funcţie, darămite să-l şi înţeleagă. Deşi vor face curând aşa ceva (dependenţe funcţionale), sau în clasa a 8-a (funcţia de gradul I), elevii vor înţelege cu adevărat ce-i aia o funcţie doar ceva mai târziu, adică în liceu (iar funcţiile trigonometrice sunt oricum o categorie de funcţii cu “apucături speciale”). În aceste condiţii, cum îşi permit diverşi colegi la clasă sau în lucrări scrise destinate elevului de a 7 să folosească aici cuvântul funcţie? Mega-stupid!!!

Dar cum ar trebui să le spunem acelor “chestii” ce se introduc aici (sub numele de sin, cos, tg, ctg)? Păi, simplu: acestea sunt nişte rapoarte în adevăratul şi cel mai curat sens al cuvântului. Da, acestea sunt nişte rapoarte, aşa că ar trebui să se folosească denumirea generală de RAPOARTE TRIGONOMETRICE.

În al doilea rând apare aici ca o a nouă gafă de proporţii epice impulsul de a le da elevilor în tabelul cu valori al rapoartelor trigonometrice şi valorile pentru 0o respectiv pentru 90o. Oare cât de inaccesibil este pentru colegii care fac aşa ceva următorul raţionament?

Rapoartele trigonometrice se definesc iniţial, adică în clasa a 7-a, pentru un unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic, folosindu-se în acest sens laturile acestui triunghi (de pildă, sinusul ca raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză). Termenii de catetă opusă sau catetă alăturată implică prin natura lor poziţionarea într-un unghi ascuţit al triunghiului dreptunghic. Ori, nu există nici măcar un triunghi dreptunghic care să aibă un unghi ascuţit de 0o sau de 90o. Exemplul acesta este edificator pentru atitudinea unor colegi faţă de nivelul elevilor cărora li se adresează şi faţă de ideea că aceştia ar trebui să-l şi înţeleagă întrucâtva.

Situaţia acestor două exemple scoate în evidenţă fără de tăgadă atitudinea multor colegi: datoria lor este să le turuie elevilor noua lecţie, fără nici cea mai mică preocupare ca aceştia să şi înţeleagă ceva. De aici încolo este problema individuală a elevilor, despre cum înţeleg ei acele elemente sau dacă le tocesc pur şi simplu, sau dacă le sunt explicate de către cineva. De vreme ce privesc astfel lecţia de matematică, aceşti colegi nu au deci nici cea mai mică reţinere în a include în lecţie elemente de neînţeles, ce urmează să apară în viaţa elevilor doar ulterior. Această “durere în cot” faţă de înţelegerea elevilor a ajuns reprezinte o caracteristică generală a unor coleg, un fel de blazon de atitudine prin care aceştia se susţin în faţa celorlalţi ca “profesori buni”, de excelenţă.

O componentă interesantă a situaţiei sesizate o reprezintă atitudinea autorităţilor locale. Am auzit uneori ca inspectorul de matematică să îi “dojenească” pe colegii care dau la teste elemente de materie care au fost eliminate din programă (de pildă, îmi vine în minte acum exemplul operaţiilor cu măsuri de unghiuri reprezentate prin grade minute şi secunde). Dar nu am auzit punerea în discuţie a situaţiei de faţă din trigonometrie. Asta poate pentru că întotdeauna se vorbeşte despre neincluderea în lucrările de control a elementelor din afara materiei. Cu alte cuvinte, nu este nici cea mai mică problemă dacă se fac la clasă elemente din afara materiei, este însă interzis ca acestea să fie incluse în evaluare.

OK, dar elevul când încearcă să înveţe lecţia, el nu ştie să elimine cunoştinţele despre valorile rapoartelor trigonometrice pentru 0o sau 90o. El nu ştie că la test nu va primi din acestea. Pe el doar îl încurcă masiv în strădaniile sale de a înţelege lecţia. În cazul unui elev care ar încerca singur să înţeleagă lecţia, acestea îl încurcă cu siguranţă.

Din păcate oricum sunt tot mai rari elevii care se încumetă la un astfel de demers, de a înţelege singuri lecţia. Cei mai mulţi apelează la ajutorul unui adult. Iar dacă adultul respectiv este un părinte care ţine minte doar varianta ultimă învăţată, cea din liceu, atunci oricum nu are cine să-i sesizeze elevului că aici aceste elemente trebuie pur şi simplu şterse din lecţie.

În aceste condiţii “se pierde cu totul în peisajul matematic” o a treia “mică gafă” pedagogică întâlnită într-un auxiliar care oferă (ca mai toate) şi un rezumat al lecţiei. Tabelul cu valorile rapoartelor trigonometrice pentru unghiurile uzuale (30o, 45o, 60o) este dat întotdeauna cu aceste valori sus, în capul tabelului, pe prima linie, iar cele patru rapoarte pe prima coloană, adică vertical. Am fost de-a dreptul “şocat” când am văzut acest tabel invers, cu valorile unghiurilor pe coloană şi rapoartele pe linie. Discutând acasă situaţia ne-am dat seama că forma tradiţională corespunde reprezentării grafice a funcţiilor trigonometrice din liceu unghiurile, ca arce în radiani, sunt pe axa absciselor, deci orizontal, pe când valoarea funcţiei pe axa ordonatelor, adică vertical. Ce observaţie faină!

Dar, haideţi să ne uităm puţin cum stau lucrurile în programa oficială. Pentru că uneori prostiile din materia care ajunge la elevi se bazează la origine pe anumite cuvinte scăpate din neatenţie în programă (vezi exemplul cu dreptele paralele). Deci, în programa oficială scrie astfel: Noţiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit. Aşadar, totul este foarte clar: nu apare cuvântul funcţie; cât despre unghiuri, se precizează clar că se referă la unghiuri ascuţite. Din păcate, în urma programei vin autorii de cărţi pentru elevi şi profesorii la clasă. Iar aceştia aduc cu ei haosul. Putem astfel întreba pamfletist, de când putem înlocui aici intervalul deschis (0o, 90o) cu intervalul închis [0o, 90o] în cazul unghiurilor ascuţite ale unui triunghi dreptunghic?

Singurul aspect ce ar putea fi adus ca reproş autorilor programei este faptul că au abordat o linie prea blândă, conciliantă, prin expresia Noţiuni de trigonometrie de fapt “lăsănd portiţa deschisă” ca fiecare să folosească denumirile pe care le doreşte. Astfel, dacă în sensul apariţiei în lecţii a unghiurilor de 0o respectiv 90o este clar un abuz faţă de ce scrie în programă, dimpotrivă în sensul folosirii denumirii de funcţii trigonometrice nici nu pot fi traşi profesorii respectivi la răspundere.

Dacă este să vorbim despre cum apar aceste elemente de trigonometrie în lecţii – la clasă sau în culegeri, se pare că este iarăşi vorba despre acea stare de “showing off”, de a te da mare că stăpâneşti materia şi terminologia hipercorect. Astfel, am întâlnit auxiliar în care autorii definesc rapoartele sin, cos etc., pe care apoi le numesc imediat funcţii trigonometrice. Aceşti autori doresc de fapt să-i satisfacă pe ceilalţi adulţi, de obicei profesori, fiindu-le frică de criticile acestora că nu au folosit teminologia cea mai înaltă şi riguroasă, neglijând total aspectul că elevii nu cunosc aceşti termeni şi că folosirea lor duce sigur la tot mai mari frici şi neînţelegeri din partea elevilor, îndepărtându-i pe tot mai mulţi de matematică.

Apropos, oare de ce trebuie să apară în diferite cărţi relaţii între rapoartele trigonometrice specifice mai degrabă materiei de liceu? De ce trebuie să ajungă la elevi relaţii de tipul sin2x + cos2x = 1 sau tgx = sinx / cosx? Refuz să dau aici cu presupusul.

Nu am luat la studiu toate manualele oficiale de clasa a 7-a, dar m-am întâlnit cu fenomenul sesizat într-un auxiliar, iar aste este suficient de dăunător în condiţiile în care tot mai mulţi profesori sunt nemulţumiţi de manuale, aşa încât le recomandă clar claselor folosirea auxilarului în loc de manual. Cu inspiraţie din acestea le predă profesorul lecţia la oră, sau – mai rău – din acestea sunt puşi elevii să-şi copieze lecţia, în timp ce profesorul mângâie telefonul, navigând cu mintea în alte părţi.

Putem pune desigur şi astfel problema: oare câţi colegi conştientizează că trigonometria gimnazială se petrece în triunghiul dreptunghic, pe când cea de liceu în cercul trigonometric? Ce-i acela, vor întreba unii. Şi chiar aşa, oare cum se face trecerea de la trigonometria cu unghiuri ascuţite la trigonometria cu unghiuri mai mari? Cum dispare triunghiul dreptunghic şi de unde apare cercul trigonometric? Şi încă o dată: ce-i acela cerc trigonometric? (că nimeni nu-l mai face)

Revenind la trigonometria gimnazială, care ar trebui să se întâmple în triunghiul dreptunghic (neapărat!), există un loc în care tot mai hotărât dispare din mintea multora necesitatea triunghiului dreptunghic. Este vorba de tot mai folosita formulă de arie a triunghiului oarecare în funcţie de două laturi şi de sinusul unghiului dintre ele. Cei mai mulţi o folosesc pentru eficienţa sa, dar am întâlnit şi colegi care spun că “ei nu se pricep să ducă linii ajutătoare” (adică să traseze o înălţime în triunghi), aşa că-i mai bună formula aia. Asta în contextul în care elevii tot mai mulţi sunt învăţaţi să aplice orbeşte reţete de rezolvare, în loc să fie învăţaţi să gândească, inclusiv cu elemente specifice geometriei (înălţimi etc.).

Legat de obsesia unor colegi profesori pentru această formulă, merită să amintesc aici că am întâlnit-o dată elevilor deja la lecţia despre aria triunghiului în cadrul capitolului de arii din toamna clasei a 7-a, deci cu câteva luni bune înainte de a fi învăţat sinusul (da, vorbesc de formula de arie a triunghiului cu două laturi şi sinusul dintre ele, care apare desigur adaptată şi la paralelogram sau romb). Închipuiţi-vă cât de schizofrenică poate fi situaţia dintr-o astfel de oră de matematică, cu profesorul/ profesoara turuind la tablă formule după formule, iar elevii copiind cum se pricep mai repede în caiete, fără a înţeleage mare lucru.

Apropos de situaţia obsesiei generale pentru respectiva formulă, iată un exemplu din aceste zile (săptămâna 15-21 Mai). Soţia mea a dat ca simulare la clasa a 12-a o variantă puţin modificată a subiectelor de BAC “pentru fotbalişti”, ce au fost date la începutul săptămânii (din sesiunea specială pentru diferiţi sportivi ce au concursuri internaţionale în perioada oficială pentru BAC). La punctul 6. de la Subiectul I se consideră un triunghi ABC dreptunghic în A, cu cateta AC = 6 cm şi tg C = √3. Se cere aria triunghiului care trebuie să fie 18√3. În mai multe lucrări, după ce au determinat a doua catetă AB, elevii au calculat aria triunghiului dreptunghic cu formula AB · AC · sinA / 2 în care apoi au înlocuit sin 90o = 1 (în loc de c1 · c2 / 2). Când întâlneşti o astfel de minune, în prima clipă ai un mic blocaj să înţelegi ce-a vrut elevul respectiv. După ce te dumireşti începe desigur faza de zâmbete şi de crucit (autocrucit!). Titus Sinus alias ctg (Constantin Titus Grigorovici)