Discuţii metodice despre predarea prin problematizare pe baza cărţii lui Eugen Rusu

De curând a revenit în preocupările mele lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară a Profesorului Eugen Rusu (Editura didactică şi pedagogică, 1978). În noiembrie 2015, fiind într-un context special, am şi scris o scurtă prezentare de carte despre aceasta; articolul poate fi găsit la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-eugen-rusu-problematizare-si-probleme-in-matematica-scolara/. Cartea este una dintre preferatele mele, eu personal având de mult preocupări în sensul “predării prin descoperire”, cum numeam eu acest tip de predare. Din primii ani de predare am simţit că aceasta este calea cea mai sănătoasă de a introduce o nouă temă de studiu în viaţa elevilor, că prin această modalitate îi pot conecta cel mai bine, atât emoţional cât şi intelectual, de noul subiect.

În toamna asta am început să o recitesc (după mai mult de zece ani) şi redescopăr cu bucurie gânduri şi idei la care am lucrat intens tot timpul la clasă, dar şi “idei noi”, aspecte ce nu le-am remarcat la precedentele lecturi. Însă, cel mai important este că observ interconectarea uluitoare a aspectelor găsite în această carte cu realitatea actuală din clasele mele (septembrie-octombrie 2023).

În prezentul eseu aş dori să discutăm câteva astfel de aspecte. De pildă, la pag.5, vorbind despre trecerea de la şcoala informativă la cea formativă, Eugen Rusu ne spune următoarele: Pentru a-şi îndeplini rolul de formare a omului, şcoala nu trebuie să pună pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, gata sistematizate; trebuie să-l stimuleze să gîndească şi să lucreze prin eforturi personale. Eforturi personale stimulate şi organizate prin problematizare: în loc de a da soluţii, a-l pune pe elev în situaţia de a le descoperi.

La pag.24 autorul reia ideea. Problematizare tocmai asta înseamnă: să nu avem în vedere numai rolul informativ, să nu ne mărginim la a furniza elevului nişte enunţuri şi nişte judecăţi gata aranjate. Să-l provocăm să le descopere. (…) Până le învaţă, toate chestiunile de matematică aplicată sînt probleme de cercetare, probleme euristice. (…) Elevul însă pînă stabileşte acele formule şi pînă ce transformă nişte activităţi în deprinderi, nu lucrează automat (…).

La pag. 28, autorul revine stăruind asupra exercitării regulate a gândirii creatoare, axată pe probleme în care raţionamentul nu este dat ci trebuie găsit, iar găsirea lui nu se face prin simpla aplicare a unor metode învăţate (…).

Cu alte cuvinte, noi nu ar trebui să le dăm elevilor din startul lecţiei un set de cunoştinţe sau reţete gata aranjate, căzute oarecum “din cer”, aidoma unor porunci din partea zeilor (profesorul jucând desigur rolul de “preot” al zeilor matematicii :). Dimpotrivă, noi ar trebui să-i îndrumăm pe elevi pe un drum de “descoperire” a noilor cunoştinţe, desigur în mod intuitiv pentru început, un drum de discuţie şi dezbatere, în acest fel elevii ajungând la o conectare mult mai intimă cu respectivele cunoştinţe, la o înţelegere reală însoţită de o convingere profundă a celor descoperite în final. Mai presus însă de învăţarea fiecărei lecţii, elevii învaţă astfel să gândească matematica, nu doar să reproducă nişte cunoştinţe sau să aplice orbeşte nişte reţete sau formule.

Pentru că în cazul matematicii negândite personal, ci pur şi simplu preluate (şi scrise în caiet) de la o prelegere simplă a profesorului de matematică sau dintr-o prezentare pe scurt dintr-o carte, ambele – atât cunoştinţele cât şi reţetele şi formulele – sunt de obicei neînţelese în profunzime Marea majoritate a elevilor nu au capacitatea de a prelua prin înţelegere cunoştinţele dintr-un text, fie acesta scris sau chiar şi vorbit (pentru că – da! – mulţi profesori predau de fapt în “texte vorbite”).

Aşadar, odată cu faptul că elevul învaţă să gândească matematica datorită activităţii de problematizare, prin extensie, ora de matematică îşi îndeplineşte totodată şi rolul cel mai înalt, anume să-l înveţe pe viitorul adult SĂ GÂNDEASCĂ! În acest sens Eugen Rusu ne dă din start un citat edificator: Mai degrabă un cap bine construit decît unul plin. Montagne (pag.3)

De abia după descoperirea respectivelor cunoştinţe profesorul trebuie să facă o rezumare a acestora (cel mai sănătos ar fi să o facă ora următoare, oarecum ca un fel de recapitulare). Odată făcută aceasta, elevii trebuie apoi îndrumaţi pe o cale de “automatizare” a aplicării respectivelor cunoştinţe, reţete, formule. Deci nu ar trebui să înlocuim “reţetarea” (practicată la ora actuală de majoritatea profesorilor), să o înlocuim cu “gândirea”, ci să le facem cu elevii pe amândouă, desigur în ordinea naturală: mai întâi cunoaşterea prin gândire, apoi generarea de deprinderi pe baza reţetelor deduse. Matematica este compusă din ambele aceste două faţete, atât gândirea brută, cât şi apoi aplicarea automată a unui reţetar de cunoştinţe.

În plus faţă de ce ne spune Profesorul Rusu, noi personal, în familie, am conştientizat toamna aceasta că există unii elevi – uneori chiar din cei buni la matematică – care înţeleg să se bazeze doar pe gândire şi refuză să facă şi al doilea pas, cel de exersare intensă pentru formarea automatismelor (poate din comoditate, din lene?).

În discuţia de faţă doresc să vă prezint cum aplic eu aceste idei – cu accent pe prima parte, neglijată la ora actuală – în predarea formulelor de arie ale principalelor figuri poligonale (triunghiuri şi patrulatere) în cadrul unei lecţii din toamna clasei a 7-a. Menţionez că lecţia respectivă o predau în acest mod încă din anul 2000!

*

Astfel, pentru a nu-l pune pe elev în postura unui simplu receptacol de cunoştinţe statice, ceea ce foarte multe cărţi sau profesori fac, dându-le formulele de arie în forma lor finală, gata “pre-gătite”, numai bune de aplicat, eu dezvolt împreună cu elevii un drum de cercetare pe parcursul căruia îi provoc cât mai mult să gândească şi să le descopere singuri. Precizez că tot ce urmează se întâmplă într-o singură oră (mult mai relaxat în două ore, dar atunci neapărat legate, adică nu de pe o zi pe alta), deci neavertizat dinainte, astfel încât să eliminăm din start posibilitatea ca un elev să le cunoască de acasă şi desigur să “trântească” formula în faţa clasei, anulând astfel starea de “cercetare”, adică forţarea gândirii în căutarea soluţiei de către colegii săi. Dacă totuşi se întâmplă ca un elev să ştie o formulă, chiar şi aşa – redusă ca intensitate – faza de cercetare poate rămâne sub forma simplificată: Ok, şi cum putem demonstra această formulă? (poate cineva “a avut grijă” să-i arate aceste chestiuni “din timp”, sau poate chiar elevul respectiv a avut un puseu de curiozitate şi le-a căutat pe net; mizez pe ideea că nu le caută în timpul orei pe telefon – la noi telefoanele se strâng la începutul zilei şi stau într-o cutie).

După cum veţi vedea, pentru a veni în întâmpinarea nevoilor naturale ale predării prin problematizare, trebuie desigur să stabilim o altă ordine de parcurgere a elementelor din lecţie, decât cele ce se găsesc programă, în manuale sau în diferite auxiliare (de pildă mai întâi triunghiurile, apoi patrulaterele). Întotdeauna lucrurile au fost descoperite în altă ordine decât sunt acestea ulterior sistematizat prezentate în manuale, iar noi trebuie să ţinem cont de acest fapt atunci când îi îndrumăm pe elevi pe “un drum de cercetare”; cele două categorii pur şi simplu nu pot fi suprapuse în aceeaşi ordine.

Lecţia porneşte cu reactualizarea celor două formule cunoscute din clasa a 5-a, inclusiv a principiilor pe care acestea se bazează (se şi poate pune un subtitlu de felul formulele de arii “iniţiale”; chiar şi acestea vin împreună cu raţionamentul de deducere). Această reactualizare o fac eu personal, ca să mă asigur că imprim lecţiei “o linie şi o viteză” de parcurgere corespunzătoare, la care apoi elevii se aliniază, intrând ulterior şi ei în mersul lecţiei, formând astfel un dialog de generare a celorlalte formule. Astfel, începem cu: 1) Dreptunghiul. La acesta pornesc prin prezentarea unui hol dreptunghiular în care se pune gresie şi în care încap 7 plăci pe lungime şi 4 plăci pe lăţime (în caiete elevii desenează un dreptunghi de 7 pe 4 pătrăţele). Din start elevii se implică cu rezultatul de 28 de pătrăţele, iar eu scriu liniştit totul pe tablă, consemnând mai întâi aria de 7·4 = 28, în timp ce oral spun că avem “patru rânduri de câte şapte plăci”. Apoi, dedesupt scriu generalizarea, adică formula A□ = L·l (lângă litera mare A de mână semnificând aria pun jos un dreptunghi pentru o fixare cât mai vizuală). Urmează 2) Pătratul. Faptul că acesta este al doilea se bazează clar pe observaţia că pătratul este un caz particular de dreptunghi. Totuşi, chiar dinainte de a cunoaşte oficial aria dreptunghiului în finalul clasei a 5-a, elevii au apucat să cunoască numerele pătrate, acolo unde eu le-am desenat aceste numere în structuri pătrate de punctuleţe, astfel încât să înţeleagă de ce la puterea a doua pronunţăm “la pătrat”. Cu alte cuvinte, formula de arie a pătratului se deduce atât ca un caz particular al formulei dreptunghiului, cât şi oarecum separat de la numerele pătrate. Din start am desenat un pătrat cu latura de 5 (elevii pe caiete un pătrat cu 5 pătrăţele pe latură), după care scriem atât în cazul particular, cât şi general, cu latura notată cu a, astfel: A▫ = a2 (lângă A mai jos un pătrăţel).

Urmează formulele noi pe care trebuie să le deducem împreună (eu chiar scriu un astfel de titlu intermediar de felul Formule deduse). Traseul de parcurgere al acestora este stabilit în funcţie de uşurinţa de deducere a acestora, într-un proces de creştere a dificultăţii intuitive vizuale. O caracteristică interesantă este faptul că, faţă de primele două figuri formate doar din laturi orizontale şi verticale, toate cele care urmează au şi laturi oblice (dar asta nu le-o spun copiilor; cel mult o putem observa în final). Astfel, drumul nostru continuă cu 3) Triunghiul dreptunghic. Aici eu desenez pe tablă un triunghi cu cateta orizontală de 7 şi cea verticală de 4 (este evidentă strădania de a-i ajuta pe cât mai mulţi să observe pasul ce trebuie făcut) şi îl colorez fin cu latul cretei, dându-i o “textură de carton”, pentru ca elevii “să simtă” cât mai bine forma acestei figuri, cât şi noţiunea de arie.

Fac aici o pauză în descrierea lecţiei. Încă din clasa a 5-a eu îi obişnuiesc pe elevi cu acest tip de predare, în care eu spun ce spun şi brusc mă opresc sub forma unei întrebări: “aici cum merge mai departe”. Ca urmare, în clasa a 7-a elevii sunt deja obişnuiţi şi primii se şi oferă să zică, ridicând mâna şi anunţându-mă vocal că “ştiu!”. Îi ţin puţin în aşteptare astfel încât să apuce şi alţii să se concentreze şi să vadă ce-i de făcut, apoi aleg un elev care să spună. Este clar că acesta este jumătate din dreptunghiul de mai sus. Eu completez figura cu încă un triunghi trasat cu linie întreruptă (de fapt doar catetele acestuia) ca să vedem toţi acest fapt, după care putem scrie şi forma din cazul particular (cu rezultatul 14), cât şi forma generală. Aici, înainte să scriu formula precizez că lungimea şi lăţimea de la dreptunghi îşi schimbă denumirile în cateta1 şi respectiv cateta2.

Următoarea figură aleasă în acest parcurs este: 4) Paralelogramul. Pe acesta îl desenez cu baza de 7 pătrăţele şi înălţimea de 4, dar decalată cu 2 pătrăţele “la dreapta” (şi îmi iau timp să le explic clar elevilor, astfel încât să aibă şi ei figuri clare în caiete). “Oare, aici cum procedăm?” (uneori nu spun nimic, ci mă întorc cu un gest sugestiv şi cu ochii mari către clasă). Poate aici este prea devreme, sau poate mişcarea necesară este încă surprinzătoare la acest moment, dar uneori totuşi cineva “vede” ce-i de făcut şi mă cheamă timid la bancă să-mi arate ce idee a avut. În final prezint eu oricum mişcarea la tablă: trebuie să “decupăm” triunghiul din stânga determinat de înălţime şi de latura oblică (cu cele două pătrăţele din bază) şi să-l alipim în partea dreaptă a paralelogramului, formând astfel un dreptunghi ca cel de mai sus, deci cu aria de 28 (aici, fie haşurez întregul paralelogram şi las “imaginaţia” elevilor “să-l vadă” transformat în dreptunghi, fie haşurez doar triunghiul mic şi “îl direcţionez” cu o săgeată în noua poziţie, trasată desigur cu linie întreruptă). Deducem de aici formula cu denumirile adeptate noi figuri: B·h (de obicei deducerea o fac eu la tablă, dar am convingerea că cei mai mulţi au înţeles, datorită feţelor luminoase şi pline de entuziasmul descoperirii).

Figura următoare este 5) Triunghiul oarecare. Aici entuziasmul creşte pentru că se întrevede repetarea mişcării de la triunghiul dreptunghic (cu greu îi mai pot opri pe cei care observă aceasta). Respectăm totuşi “protocolul lecţiei” şi trasăm cu linie întreruptă partea a doua a paralelogramului din care suprafaţa triunghiului nostru reprezintă doar jumătate. Aici nu se mai schimbă notaţiile, aşa că figura îmi este de obicei dictată de către un elev (eu trbuie să fiu doar atent la elevi şi să-l aleg pe unul care n-a răspuns până acum; se vede clar pe ochii lor cei care au înţeles şi ştiu ce urmează să scriem). Apropos de “protocolul” instituit de la început, de obicei la acest moment elevii abandonează ideea efectuării mai întâi a calculelor pe cazul particular şi doar apoi a formulei generale, dictând direct formula (iar eu nu-i opresc).

Deducerea următoarelor două este tot mai grea, dar ne putem totodată baza şi pe faptul că elevii au acumulat “oarece experienţă”. Aşadar, trecem la 6) Rombul. Aici construim mai întâi centralizat toată clasa un romb în “poziţia balerină”, adică în jurul crucii formată de o diagonală verticală (cea mai lungă) şi o diagonală orizontală (cea mai scurtă), trasate cu linie întreruptă şi înjumătăţindu-se una pe cealaltă (poate unii elevi au chiar nevoie să li se spună câte pătrăţele fiecare). Cel mai bine să şi haşurăm suprafaţa rombului finuţ. Apoi urmează căutarea formulei prin procedeul problematizării: “oare cum o fi aici?”. La această figură elevii pot deveni creativi pentru că au deaja experienţe în domeniu. Unii iau două triunghiuleţe din jumătatea de jos a rombului şi le alipesc lângă jumătatea de sus, generând un dreptunghi cu baza cât diagonala orizontală şi înălţimea cât jumătate din diagonala verticală. Alţii fac acelaşi lucru dar din stânga în dreapta. Mai şunt apoi şi cei care văd că rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi cu lăţimea orizontală şi lungimea verticală, care se formează prin adăugarea în exteriorul rombului a încă patru triunghiuri congruente cu cele patru sferturi ale rombului. Oricum o iei, toate duc până la urmă la aceeaşi formulă, deşi cei care au văzut ultima variantă se pare că reuşesc cel mai des – la vârsta asta, cu experienţă algebrică redusă – să verbalizeze clar formula: A◊ = d1·d2 /2, chiar dacă de fapt iniţial sub forma L·l /2 , aşa că trebuie din mers să-i rugăm să o dicteze cu elemente ale rombului, nu ale dreptunghiului. Desigur, oricând pot apărea şi alte explicaţii: anul acesta un elev a decupat jumătatea de jos a rombului şi a alipit-o alături de cea de sus, transformând suprafaţa într-un paralelogram (merge şi aşa; ce frumos!).

Finalul formuleleor mai dificile îl reprezintă 7) Trapezul. Deja este clar demersul, astfel că elevii se pot apuca de lucru imediat ce avem toţi câte o figură “bună” în caiet: un trapez “scalen” înalt de patru rânduri (pătrăţele) şi la care ambele laturi oblice să aibă mijlocul în câte un nod al grilei de pătrăţele de pe foaia de matematică ( eu recomand baza mare de 9 pătrăţele, latura oblică din stânga cu piciorul înălţimii la două pătrăţele înspre dreapta, ca la paralelogramul de mai sus, iar baza mică de trei pătrăţele; astfel latura oblică din dreapta are o înclinaţie de 45o, ambele laturi oblice având mijlocul într-un nod de pătrăţele). Pe o astfel de figură se pot observa trei deduceri diferite ale formulei de arie (pe care – repet – elevii nici nu o cunosc de fapt, ei “bâjbâind” în înturneric ca într-o adevărată cercetare!). O variantă este cea de a dubla aria similar cu procedeele de la dreptunghi sau paralalogram, dublare făcută printr-un al doilea trapez congruent cu primul, ataşat în partea dreaptă cu “capul în jos”, obţinând astfel un paralalogram cu baza cât cele două baze ale trapezului însumate. Celelalte două variante se obţin pe baza mijloacelor laturilor oblice şi a liniei mijlocii, prin procedeul decupării unor triunghiuri din suprafaţa trapezului şi alipirea lor într-o altă poziţie. De pildă, se poate face o astfel de mişcare de două ori, în stânga respectiv în dreapta figurii, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie; în mod similar se poate aplica doar o singură astfel de mişcare, transformând trapezul într-un paralelogram cu baza cât linia mijlocie. În unele clase apar doar două astfel de propuneri, în altele toate trei. Dacă apare doar una, atunci le mai prezint eu încă una pentru a le arăta clar ideea că întotdeauna pot apărea mai multe variante de gândire.

În funcţie dacă ne rămâne timp, dacă nu atunci sigur în ora următoare, în finalul lecţiei mai putem adăuga încă două formule destul de des folosite, pentru a avea un tablou complet pentru faza aceasta a cunoaşterii: 8) Rombul-(2). Această formulă apare atunci când desenăm un romb în poziţia tipică unui paralelogram. De vreme ce i-am obişnuit pe elevi să le sugerăm desene de o anumită formă prin numărarea pătrăţelelor, fără a da multe explicaţii putem şi aici să îi îndrumăm spre un romb cu latura de 5 pătrăţele în care noi am integrat cu ajutorul unei înălţimi “triunghiul egiptean” (cel cu catetele de 3 şi 4 şi ipotenuza de 5; dacă elevii “se prind” pe baza scurtelor experienţe pitagoreice din finalul clasei a 6-a, bine, dacă nu e bine şi aşa, treaba rămânând într-o stare de “magie” pe care ei eventual vor dori să o verifice prin măsurare a laturii oblice, tot de 2,5 cm (adică de 5 pătrăţele); astfel, există două romburi diferite care se pot construi aici; eu îl recomand pe cel mai ascuţit, cel cu înălţimea de 3 pătrăţele, care arată mai clar ca figura rombului din mintea copiilor). Aici elevii observă destul de uşor că trebuie să preia formula de la paralelogram; noi trebuie să le spunem că preferăm să schimbăm denumirea bazei în latură.

În final luăm şi 9) Pătratul-(2). Aici vom desena un pătrat în poziţia tipică pentru romb, adică pornind de la o cruce a diagonalelor trasate cu linie întreruptă, una verticală şi cealaltă orizontală, ambele înjumătăţite, dar desigur şi egale. Elevii vor observa şi aici foarte uşor “mişcarea”, singura provocare pentru cei buni fiind rescrierea în forma d2/2; pentru cei mai slabi provocarea va fi chiar să înţeleagă diferenţa dinte faptul că la romb apăreau 1 şi 2 scrise mai jos, ca indici, pe când la pătrat apare acel 2 lângă litera d, dar mai sus iar asta înseamnă la puterea a doua şi nu o prescurtare.

*

După cum am mai spus, pe lângă uriaşele avantaje în sensul înţelegerii şi a formării de gândire, acest tip de lecţie prezintă şi anumite pericole. Atât elevii slabi, cât şi mulţi elevi buni vor înţelege că de fiecare dată la calculul unei arii ei trebuie să aplice “procedura” văzută în timpul lecţiei, adică de pildă, la romb să-l înscrie într-un dreptunghi etc. Cei slabi la matematică vor înţelege că aceasta este o lecţie foarte grea şi complicată, dificil de aplicat în exerciţii, pentru că trebuie memorate toate acele “mişcări”. Dimpotrivă, cei cu o gândire bună se vor simţi “în zona lor de confort”, pierzând de fiecare dată timp valoros cu rededucerea formulei.

Cu alte cuvinte, atât pentru cei cu o gândire superficială cât şi dimpotrivă, pentru cei cu o minte ageră, dar leneşi, va trebui să facem şi următorul pas, anume să rezumăm lecţia respectivă doar în forma ei seacă, adică la fiecare figură studiată să le evidenţiem cele trei componente de bază: denumirea figuri + o figură tip simplă în care sunt trasate doar elementele ce apar în formulă + formula în sine, înrămată pentru atenţionare că aceasta trebuie ştiută pe de rost.

Fie în timpul lecţiei, fie la această recapitulare eu le dau uneori elevilor şi alte formule “colaterale”. Una dintre acestea ar putea fi 10) Triunghiul isoscel. Pe aceasta o fac ca un fel de “glumă matematică”, dar din motive clar justificate: de-a lungul timpului am avut ocazia să întâlnesc situaţii în care câte un elev s-a blocat la cunoscutele exerciţii de aplicat teorema lui Pitagora pentru calculul ariei unui triunghi isoscel, pentru că în lista cu formulele de arie nu se regăsea şi o formulă pentru această figură (avem pentru triunghiul oarecare, adică cel scalen, avem pentru triunghiul dreptunghic, dar pentru cel isoscel nu avem; vorbesc de prima fază de aplicare, pe triplete pitagoreice, când oricum nu le dau triunghiuri echilaterale).

Tot aici putem desigur să mai adăugăm şi 11) Triunghiul dreptunghic-(2), de fapt adaptarea de la triunghiul oarecare, atunci când triunghiul dreptunghic este desenat cu ipotenuza ca bază şi mai avem cunoscută şi înălţimea pe ipotenuză. Alteori elevii îmi cer şi 12) Deltoidul (la capitolul cu patrulatere eu parcurg şi această figură, chiar dacă nu este în programa oficială; deşi fără folosirea denumirii apar din când în când probleme cu deltoid în diferite culegeri).

Când şi cum trebuie făcută această rezumare, asta este în sine o mare problemă. Dacă s-a parcurs lecţia principală într-o singură oră, atunci nu cred că mai este timp şi pentru rezumare (vorbesc aici de o parcurgere cinstită la o clasă obişnuită, nu de o turuială în viteză în care profesorul întreabă şi tot el răspunde imediat, pentru o eficienţă temporală – asta sigur nu poate fi numită problematizare). În acest caz rezumarea cunoştinţelor poate fi făcută doar ora următoare, dar pentru asta trebuie să ne asumăm că fie le dăm ca temă aplicaţii la care unii nu vor înţelege că trebuie doar să aplice rezultatele (chiar dacă am înrămat fiecare formulă din prima lecţie), fie ne asumăm că la prima lecţie, cea cu deducerea formulelor, încă nu le dăm temă din aceasta (fie ne bazăm cu indiferenţă că de fapt cineva le clarifică lucrurile acasă).

Eu personal prefer această a doua variantă pentru că aşa mă asigur că toţi elevii au priceput cum se aplică această lecţie şi că de fapt este una din cele mai uşoare lecţii. O fişă bună cu o grămăjoară responsabilă de exerciţii de aplicat după rezumare va ajuta mult în acest sens. Pentru a nu cădea într-o banalitate extremă, aceste exerciţii ar trebui să apară amestecate faţă de ordinea din lecţie (“dificultatea” temei constând în sarcina de a alege de fiecare dată formula corespunzătoare); la fiecare formulă vor apărea cel puţin câte trei-patru din fiecare cu diverse aplicaţii numerice (de pildă, la cele cu fracţie şi câte una la care nu se simplifică în final).

*

Spuneam că forma predării prin problematizare prezintă pericolul că anumiţi elevi vor înţelege că astfel trebuie procedat în cadrul aplicaţiilor de la temă sau de la teste, aşa încât în finalul lecţiei parcursă prin problematizare trebuie să le dăm un rezumat al cunoştinţelor ce vor fi transformate în reţete, în formule direct de aplicat. Şi atenţionez că trebuie să le precizăm clar că acestea trebuie să le înveţe şi să le aplice ca atare.

Dacă nu facem acest pas, se pare că mulţi elevi de azi înţeleg în mod “docil” că trebuie să aplice de fiecare dată forma cunoscută în faza de problematizare, pentru că aşa au fost obişnuiţi de către cei dinaintea noastră. De pildă, ne putem aştepta ca învăţătoarea clasei să nu fi folosit o astfel de tehnică de dezvoltare a gândirii, ci să le fi prezentat întotdeauna cunoştinţele noi ca un simplu “cod de reguli”, ca nişte reţete despre care nu ne interesează de unde vin, ci doar cum le aplicăm (pentru că de fapt în asta constă matematica verificată prin teste). Într-un astfel de caz elevii vor percepe că şi aici trebuie să facă la fiecare problemă “ca la clasă”. În mod similar, la o clasă de a 9-a ne putem aştepta ca elevii respectivi să fi primit toată matematică din gimnaziu direct în formatul de reţetă, pentru a fi aplicată cât mai repede în exerciţii şi probleme (că doar asta se dă la examen).

Astfel, povestind dimineaţa la cafeluţă cu soţia mea, citindu-i ideile din cartea despre problematizare a lui Eugen Rusu şi povestindu-i despre întâmplarea cu anumiţi elevi care înscriau rombul într-un dreptunghi pentru a-i calcula aria, soţia mi-a spus că şi ea a observat un fenomen similar la formulele de calcul de gradul trei, unde anumiţi elevi nu le aplicau ca atare în exerciţiile date la test, adică nu le aplicau ca “formule de calcul prescurtat”, ci refăceau de fiecare dată calculul aşa cum fusese dedusă formula prima dată la clasă (prin problematizare), după principiul: decât să mai învăţ o formulă nouă mai bine nu! (pentru că oricum “toate se găsesc la ora actuală pe internet”, cum zic unii, adică “la un clic distanţă”); mai bine o deduc de fiecare dată, că îmi este uşor (aşa se manifestă lenea la elevii inteligenţi matematic).

Probabil că la vremea când Eugen Rusu scria acele rânduri, învăţarea formulelor ca atare era de la sine înţeleasă, dar acum trebuie să ne asigurăm că elevii primesc acest mesaj şi apoi să includem în predare şi faza de fixare a acestora prin aplicaţii elementare, şi astfel transformarea acestora în deprinderi, pe baza cărora elevul să lucreze automat. Constantin Titus Grigorovici

P.S. Căutând prin aparatul de fotografiat am găsit o poză cu tabla de la această lecţie din toamnă. Nu o consider neapărat o variantă perfectă, dar – împreună cu descrierea de mai sus – se poate forma o idee coerentă asupra predării prin problematizare la această lecţie (desigur că în poză nu apar toate acele momente de gândire şi de discuţie cu elevii, ci doar forma finală de pe tablă, ce se regăseşte şi în caietele elevilor).

Ataşez în continuare şi o variantă de tabel rezumativ cu formulele “curate”. Nici acesta nu este neapărat într-o formă perfectă, dar se poate înţelege despre ce am vorbit mai sus.

Legat de aceste poze trebuie să fac câteva precizări. În primul rând, este clar de ce formula triunghiului echilateral nu apare aici, ci vine mai târziu; la fel de pildă şi formula de arie a cercului sau alte formule cunoscute. Eu le şi spun elevilor că aceasta este doar o primă tranşă de formule, cele mai simple, şi că lista va continua.

O a doua idee este legată de linia mijlocie in trapez. Pe prima poză nu apare o demonstraţie la formula trapezului pe baza liniei mijloci, pentru că anul acesta am avut o parcurgere atipică, încercând să ajung rapid la anumite lecţii, dar neglijând altele (în toată starea de bulversare de pe urma grevei din vară). Astfel, atunci când am făcut lecţia cu arii, elevii încă nu cunoşteau linia mijlocie; am făcut-o ulterior, destul de repede, iar atunci am prezentat şi cum aceasta ajută la alte variante de deducere a formulei de arie a trapezului.

8 ani cu pentagonia.ro

Din punct de vedere Feng Shui cifra 8 este una deosebit de benefică. A se înţelege bine: 8 ani şi nu 8ani (adică nu legat, care seamănă a Bani, apropos de “vrăjile” din Feng Shui). Actualmente eu nu pot susţine că al 8-lea an de pentagonia.ro a fost unul clar benefic. Par să existe totuşi semne că da, însă nimic nu este sigur în lumea actuală. Oricum, formatul în care am început să lucrăm în 2015 se dovedeşte unul eficient. Cititorii pot accesa relativ uşor şi informaţii postate mai demult, dar care îşi păstrează prospeţimea şi actualitatea (ultimul exemplu a fost acum în vară în legătură cu un articol din toamna lui 2015).
Uneori sunt postări mai dese, alteori mai rare; uneori sunt postări superficiale, alteori îmi reuşesc articole mai profunde; unele postări sunt scurte, altele foarte lungi (anul acesta am avut din nou o cea mai lungă postare). Unele serii sunt atât de lungi şi de profunde încât ar putea reprezenta lejer baza pentru o lucrare mai vastă. Prin redactarea acestora, primul beneficiar sunt chiar eu, pentru că îmi lămuresc aspectele tratate, dar sunt convins că există şi cititori care reuşesc să intre profund în subiectul respectiv.
Din păcate evenimente legate de sănătate în familia lărgită ne ocupă timpul şi energia, aşa încât măcar pentru o vreme este de aşteptat o lipsă de activitate pe acest blog. Subiectele de tratat sunt multe şi stau ordonat “aşezate la rând”, dar din păcate vor mai trebui să aştepte. Dau un singur exemplu, care este în lucru de la începutul vacanţei de vară: după seria de articole reunite sub titlul “Prea devreme” urmează seria în oglindă sub titlul “Prea târziu”.
Există şi o veste foarte bună; nu-mi pot încă permite să v-o prezint, dar mă încumet să vorbesc de existenţa acesteia. Proiectul pentagonia.ro a apărut din dorinţa de a ajuta la însănătoşirea predării matematicii şcolare la nivel naţional (deja un gând mult prea ambiţios în sine). Sunt conştient însă că acest blog are o forţă limitată de influenţare, ceva de genul unui robinet care curge într-un lac de acumulare, adică 0,00?%. Totuşi, chiar şi aşa, persoana potrivită, de undeva din lumea largă, a găsit în vară un articol de la începuturile acestui blog, din toamna lui 2015, fapt ce pare să ducă spre pornirea unui proiect de o magnitudine mult mai mare. Pornirea acestui proiect îmi ocupă însă şi puţinele momente de timp ce mi-ar rămâne liber, aşa încât, măcar pentru o vreme postările pe blog vor trebui să se lase aşteptate.
Până la viitoare postări însă, puteţi “cotrobăi” prin arhiva acestui blog, după articole încă necitite sau care consideraţi că merită re-studiate şi aprofundate. Pentru că majoritatea rămân de actualitate şi la ani buni de la postare. Chiar şi eu am făcut la fel, în momentul când a apărut discuţia despre articolul de care am vorbit mai sus, pentru că sigur nu mai ştiam ce am scris atunci în 2015 (sunt totuşi 8 ani de atunci).
Mulţumesc cititorilor fideli care mă însoţesc pe acest drum şi nutresc speranţa că măcar din când în când reuşesc să le scot mintea din zona de confort de zi cu zi şi să-i influenţez înspre mai bine. Cu toate gândurile bune, prof. Titus Grigorovici

Durata percepută a zilelor săptămânii

Savuraţi fraţilor cât puteţi de mult vacanţa, pentru că după ce începe şcoala întrăm iar într-un model de percepţie temporală mai special. Astfel, în figura alăturată găsim faptul că durata percepută a zilelor săptămânii (în timpul serviciului, desigur) poate fi explicată foarte vizual cu ajutorul secţiunii de aur (pătratul roşu = luni etc.):

Alt banc din tren

A.S. (ante scriptum) Cineva şi-a pus în minte şi a redactat en-detail bancul acela vechi, cu hurducatu’ trenului. Hai să-l preluăm şi noi ca să fie disponibil pentru cei ce nu-l ştiu încă.

*

Gheo şi Ion mergeau cu trenul de la Cluj la Sibiu. Ion rupe tăcerea şi zice:

– Auzi, mă Gheo, tu ştii de ce ne hurducă trenu` aista?

– Nu ştiu. Tu ştii?

– Apă` hai să-ţi explic: trenu` aista are la început o locomotivă. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost.

– N-avem nici o treabă cu ea. Merje lin, fain de tăt. Mai departe, dupa locomotivă imediat este vagonu` cu poşta. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Da’ ne pasa nouă de vagonu’ cela?

– Nu ne pasă. După vagonul cu poşta este vagonul ăla pentru domni de la oraş, din ăia cu valize pătrate. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Spune mai departe.

– Nici de ăla nu ne pasă. După vagonul domnilor de la oraş este vagonul pentru pălmaşi, nevoiaşi aşa ca noi. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Spune mai departe. Avem vreo treabă cu el?

– Oleacă de răbdare. Vagonu` ăsta a’nost` are 2 osii: osia din faţă, cu care nu avem nici o treabă, şi osia din spate, asta pe care stă compartimentu` nost`. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Osia aiasta are vreo taina cu noi?

– Stai o ţâra. Osia are 2 roti: roata din stânga, care nu ne intereseaza, şi roata din dreapta, pe care stăm noi. Ştii?

– Ştiu dară, că nu sunt prost. Ce-i cu roata de sub noi?

– Roata aiasta are aria = PI x R pătrat. Cu PI si cu R nu avem nici o treabă, pe noi pătratu` cela ne hurducă aşe.

Un banc din tren

Un cioban și un profesor de matematică în tren. Ciobanul se uita pe geam. La un moment dat vede o turmă de oi şi exclamă:  68 , mică turmă!

Profesorul, nedumerit în sinea sa, se miră cum a putut ciobanul să numere oile aşa repede, din mers.

După ceva timp, altă turmă de oi… Ciobanul se uita pe geam și se întoarse la profesor: No asta da turmă! 257 de oi!

Profesorul nu mai rezistă:  Da’ cum reușești măi omule???

La care ciobanul răspunde:  Simplu! Numeri chicioarele, împarți la patru și scazi câinii.

Sătul de atâta …

Următoarea poză este culeasă de pe grupul de facebook Math & Beyond:

Să încercăm o lecturare şi o explicare a mesajului de pe acest tricou. Citit pe engleză mesajul sună cam aşa: Sunt prea plin (sătul) pentru cină pentru că …, iar apoi într-o engleză aproximativă: i  eight sum pi (radicalul din – 1, care este i, apoi opt, sumă, pi), înşiruire fără sens, dar care se pronunţă cam la fel cu: I eat some pie, care în traducere înseamnă: am mâncat nişte plăcintă (prăjitură etc.).

Apropos de mesaje despre matematică pe tricouri, prin 2019 am văzut la un coleg din Germania următorul mesaj pe piept: Matematica: eu ţi-o pot explica, dar nu o pot învăţa în locul tău (mult mai punctat pe meseria noastră).

Cât face (-2) banane înmulţit cu (-2) banane?

Grevă vine, grevă trece, tu să iei cât mai mulţi de zece (auzită la Rock FM), apropos de greva care era cât pe-aci să ne împiedice să intrăm în bine meritata vacanţă. Şi dacă tot suntem în vacanţă, să ne distrăm puţin şi în franceză (că tocmai fu ziua lor naţională). În filmuleţul de la adresa https://www.facebook.com/reel/819171845969890 domnul acesta simpatic încearcă să ne explice inexplicabilul, anume că dacă avem o datorie de 2 banane şi o înmulţim cu o altă datorie de 2 banane, iată că avem brusc 4 banane!

Despre excesul folosirii jargonului de specialitate (2)

Una din cele mai mari probleme ale şcolii româneşti, iar predarea matematicii este în elita acestui curent, o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă. Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Iată a doua parte a materialului strâns, cu precizarea că acesta creşte avântat chiar în timp ce lucrez.

Problema este una foarte veche în România. Eu o văd ca reprezentând situaţia “specialistului” care s-a întors de la studii, dintr-o “altă lume”, iar acum, aici, între oamenii de rând, îşi etalează “superioritatea” în fiecare moment prin folosirea unui limbaj din care cei din jur înţeleg un singur lucru: cât de deştept este acesta, deci cât sunt ei de proşti prin comparaţie. Este un fel de bullying intelectual subtil, dar eficient pe durată (“picătura chinezească”?). Unul dintre efectele clare este că şi alţii îşi vor dori să facă studii ca să ajungă “deştepţi” (ca să se poată şi ei “da deştepţi”), după care şi ei se întorc între oamenii de rând şi reiau ciclul.

Când am descris problema ca fiind una foarte veche în România nu am glumit defel: îmi pot închipui copiii de boieri sau din clasele superioare ce se întorceau după anii de studiu de la Viena sau Paris, cum vorbeau într-un limbaj în mare parte neînţeles de către cei rămaşi acasă. Fenomenul s-a păstrat şi în interiorul graniţelor ţării: ne imaginăm tânărul care “întră în pâine” după absolvirea studiilor şi care în domeniul său de specializare şi-a însuşit un limbaj specific, el putând comunica doar în acest limbaj. Problema este că deseori specialistul o face cu mare plăcere, simţind în timp ce vorbeşte admiraţia trezită în faţa celorlalţi.

Până în secolul XIX România nu a avut cu adevărat ştiinţe, deci evident că nu s-a confruntat nici cu nevoia generării termenilor de specialitate. Apoi, românii au preluat ştiinţele de la ceilalţi împreună cu termenii corespunzători, rareori termenii fiind înlocuiţi cu unii de producţie autohtonă. Fenomenul nu este unul tipic nouă; de pildă romanii au preluat aproape ad-literam din greacă foarte mulţi termeni de specialitate, aceştia fiind apoi trecuţi natural şi în alte limbi latine. Francezii au foarte mulţi termeni preluaţi din latină, care era pe vremuri limba activităţilor culte. Dimpotrivă, englezii sau nemţii, care s-au rupt de la o vreme de biserica catolică – total sau parţial – au dezvoltat încet o terminologie specifică, pe parcurs ce dezvoltau şi descopereau diferitele elemente de ştiinţă (desigur că au practicat şi împrumutul, dar mai ponderat). La noi însă – prin uriaşa dezvoltare a ştiinţelor din secolele XIX-XX – fenomenul a ajuns la cote inimaginabile, ducând la un comportament lingvistic năucitor.

Actualmente, acest limbaj împănat cu diverse cuvinte de specialitate a ajuns să penetreze multe din activităţile societăţii noastre. Dau aici două exemple întâlnite zilele acestea în traducerile televiziunilor de orientare mai ştiinţifică. Ţin minte că nu de mult, pe un canal din familia National Geographic, expresia “on the forest flor” a fost tradusă “pe litiera pădurii” (în legătură cu animalele ce trăiesc pe jos). Noroc că urmăresc şi sonor comentariul original, pentru că altfel n-aş fi înţeles despre ce este vorba (tradus mot-a-mot din engleză ar fi “pe podeaua pădurii”). De foarte curând, pe 30 iunie 2023, pe canalul Viasat History, într-o emisiune despre marea expoziţie itinerantă cuprinzând artefacte găsite în mormântul lui Tuthankamon, un reprezentant al firmei nemţeşti ce se ocupă cu transportul în siguranţă a acelor obiecte extrem de valoroase, explica despre procesul de mutare a acestora că  “das ist eine relativ lange Sache” (mot-a-mot tradusă: “asta este o treabă relativ lungă“); în traducerea de pe ecran a apărut că această activitate este “cronofagă“.

Am făcut această analiză a fenomenului, incluzând şi două exemple aleatorii despre felul cum fenomenul jargonului de specialitate penetrează viaţa noastră de zi cu zi, pentru a sublinia realitatea acestuia în toate domeniile în care ştiinţa se intersectează cu viaţa noastră. Elevii resimt desigur intens astfel de situaţii, matematica fiind una dintre materiile de vârf în acest sens. Mai ales în reforma începută prin 1978 în materia de liceu, o componentă de bază era reprezentată de exprimarea riguroasă, iar acest aspect a fost surprins magistral de realizatorii filmelor Liceenii prin porecla dată profesoarei de matematică: “Isoscel“. Un cuvânt extraterestru, pronunţat probabil cu multă emfază de profa de mate a dus la această poreclă (oare, careva din echipa de scenarişti chiar a avut în copilărie o astfel de situaţie?). Oricum, îmi pot închipui că situaţia din acele filme i-a mai liniştit pe mulţi profesori din avântul lor de a accentua prea teatral diverşii termeni de specialitate din lecţia de matematică (am descris cuvântul “isoscel” ca extraterestru, prin comparaţie de pildă cu “echilateral”, din care în româneşte mai înţelegi câte ceva).

Ideea pentru acest dublu eseu mi-a venit în urma lecturării unui articol din aprilie de pe republica.ro, scris de dl. Andrei Conţan, care începe cu o descriere nu tocmai măgulitoare a şcolii româneşti prin care am cam trecut cu toţii (chiar şi această parte ar merita o analiză temenică, dar las pe seama cititorilor treaba asta, subiectul respectiv îndepărtându-se prea mult de tema discuţiei noastre). Totuşi, destul de repede autorul vine cu un pasaj magistral ce ne duce direct în centrul subiectului limbajului împănat până la refuz cu cuvinte tehnice, în faţa cărora elevul nu are altă şansă de supravieţuire decât pura toceală, învăţatul pe de rost în formele sale cele mai brute şi extreme. Aşadar, iată citatul respectiv:

Am în minte că în clasa I am exersat la tablă propoziția „Ana are mere” cu presiunea de a mă ridica la nivelul așteptărilor bunicii, care profesa la aceeași școală generală.

Apoi, la finalul clasei a VIII-a, în lupta cu materiile ”de bază”, „Ana are mere” ar fi trebuit redat sub forma: „Ana este deținătoarea unui obiect sferic de natură fructiferă, clasificat ca specie pomiferă Malus, conform taxonomiei botanice, cu o compoziție chimică bogată în zaharuri, fibre și substanțe antioxidante, conform analizelor nutriționale efectuate.”

Iar la finalul clasei a XII-a, așteptările erau de a reproduce fidel texte de nivelul: „În lumina contemplației, se poate afirma că există o entitate numită Ana, iar această entitate posedă o manifestare fizică în formă de sferă comestibilă, cunoscută sub numele de măr. În esență, Ana și mărul sunt două aspecte diferite ale aceluiași fenomen, iar această dualitate poate fi percepută ca o iluzie a minții umane, care încearcă să distingă și să definească obiectele fizice din lumea materială. Prin urmare, există o legătură subtilă și interconectată între subiect și obiect, care poate fi explorată prin introspecție și contemplare profundă.”

Las aici o pauză de uimire şi de râs; puteţi reciti pasajul respectiv – Magistral! – pentru că descrie în mod fabulos şcoala românească (ad literam fabulos!, adică aidoma unei fabule). În plus, cel mai bine se înţelege o critică atunci când se vorbeşte despre alţii, nu despre persoanele de faţă, caz în care critica ar trezi impulsuri de apărare şi contraatac (în cazul de faţă critica fiind despre cei de limba română, nu despre noi, cei de matematică).

Cum putem schimba azi învățarea? se întreabă Andrei Conţan şi tot el începe să aducă şi anumite răspunsuri. Iată în continuare ideile selectate din acest articol, idei ce mi-au îndreptat atenţia înspre redactarea eseului de faţă (Gaspar Gyorgi a apărut ulterior cu explicaţiile sale):

Mă regăsesc acum, 20 de ani mai târziu, de partea cealaltă a „catedrei”, într-un mediu online sau hibrid, oferind cursuri de formare profesională viitorilor profesioniști în IT. Obiectivul e unul singur: ca participanții la lecție să înțeleagă în termeni simpli domeniul în care vor intra pentru a putea naviga cu mult curaj și curiozitate printre problemele de care se vor lovi. De 5 ani de zile de când lucrez sub această paradigmă (…) am observat schimbări remarcabile în rândul participanților:

– Explicațiile simple sunt mult mai ușor de reținut și redat, şi îmbunătățesc astfel memoria.

– Explicațiile simple i-au ajutat pe cursanți să se implice în activitățile de grup, iar informațiile devin identificabile și ușor de înțeles.

– Explicațiile simple i-au ajutat pe cursanți la construirea încrederii de sine.

În IT, o abilitate tot mai rar întâlnită e ca angajații să fie capabili să explice o tehnologie sau un produs complex în termeni simpli, ușor de înțeles, nu pentru că managerul are nevoie să înțeleagă, ci ca dovadă că inginerul înțelege complet problema de care se lovește.

A cunoaște numele unui concept nu înseamnă că îl și înțeleg, (…) Prin simplitate în comunicarea noastră, am putut ajuta la înlăturarea barierelor și face conceptele tehnice mai accesibile unui public mai larg.

Pentru început, folosesc 3 idei de bază:

– În introducerea unui concept tehnic, evit utilizarea jargonului.

– Evit termenii tehnici care ar putea fi nefamiliari. În schimb, mă concentrez pe utilizarea unui limbaj simplu, de zi cu zi, pe care oamenii îl pot înțelege cu ușurință. (…)

– Simplific la maximum, inspirat de poveștile celebrului profesor Richard Feynman – „organizarea și simplificarea sunt critice” – repet procesul de simplificare până când obțin o poveste pe care o pot spune oricui ascultă.

Revin la tema de la începutul articolului: de prea multe ori, vrem mai degrabă să părem deștepți decât să învățăm. Aceasta este o oportunitate ratată de a învăța. Dacă ai o conversație cu cineva și acesta începe să folosească jargon pe care nu îl înțelegi, roagă-l să îți explice ca și cum ai avea 12 ani. Nu numai că îți vei supraalimenta propria învățare, dar o vei supraalimenta și pe a celorlalți. Chiar și pe a celui care îți vorbește.

Mai clar nu ştiu dacă se poate, sau altfel spus: “Congruent, adică egal prin suprapunere“! Recomand lecturarea întregului articol (îl găsiţi la adresa https://republica.ro/cand-folosim-cuvinte-pompoase-ratam-oportunitati-de-a-invata-cum-putem-facilita-invatarea-in-companii ) şi adăug aici alte câteva citate edificatoare:

Dăm din cap chiar și atunci când nu înțelegem despre ce vorbește cineva. Chiar și atunci când ne interesează tema. (…) În goana după recunoștință și validare, folosim cuvinte mari și complicate pentru a impresiona. Mesajul se pierde în traducere, întrebările clarificatoare nu sunt adresate de teama stigmatizării, (…) De prea multe ori, vrem mai degrabă să părem deștepți decât să învățăm ceva nou și folositor.

Vedem cum se regăseşte o idee şi la Gaspar Gyorgi şi la Andrei Conţan. Este vorba de observaţia că într-un domeniu de specialitate, absolventul specialist este prin natura specializării sale imersat într-un limbaj supraelevat, inaccesibil semenilor de rând, chiar celor cu care are apoi de interferat şi cărora trebuie să le aducă plusvaloarea studiilor sale. Practic, datorită limbajului dobândit, el este pus în situaţia de a nu-şi putea îndeplini în mod eficient menirea ce şi-a asumat-o prin studiile făcute. Iar dacă acest specialist nu are o doză bună de empatie, nu simte că vorbeşte “prea sus” în faţa celor din jur, de fapt nu simte că “vorbeşte cu pereţii”, atunci se ajunge în stări de felul celor descrise mai sus, anume că el ajunge cel mult doar să fie adulat de către “proştii” din jur, el nedevenind la rândui formator intelectual.

Plecând de la ultima frază exprimată putem deduce şi o altă consecinţă extrem de dăunătoare ce s-a dezvoltat în societatea noastră, anume faptul că cei din jur îşi vor forma această părere despre un specialist, anume că este un om “atât de deştept” încât “oamenii de rând” nici nu prea înţeleg ce spune. Astfel, din păcate, acesta ajunge să fie adulat de către “plebea” din jur, fiind deseori luat ca model comportamental. Şi “următorii” vor trage să-şi însuşească un astfel de jargon de specialitate, nu pentru a ajunge mari specialişti, ci doar pentru a fi şi ei adulaţi la rândul lor. Societatea noastră este înţesată de aşa-zişi “specialişti” care doar asta fac, să se împăuneze cu folosirea unui jargon de specialitate, cu citate înalte şi evocarea unor nume sonore (vă rog să observaţi ce veţi simţi în curând, atunci când voi veni cu un citat din Schopenhauer despre cum ar trebui să abordăm teorema lui Pitagora, ceva de genul: Uau, cel care vorbeşte de ăla “e deştept tare”, sau dimpotrivă, “se dă mare” în faţa noastră “aruncând” în jurul său cu astfel de nume pompoase).

Sunt clare şi absolut edificatoare ideile reluate mai sus. În mod special, ca o mică divagaţie, aş accentua puţin o idee interesantă din articolul mai sus evocat. Astfel, Andrei Conţan spune într-un anumit moment că: Explicațiile simple sunt mult mai ușor de reținut și redat. Și îmbunătățesc astfel memoria. Este evident că aici dânsul se referă la o învăţare raţională şi sănătoasă, nu la simpla toceală neînţeleasă. Când elevul se obişnuieşte doar să tocească, el se obişnuieşte automat ca să o facă pentru a o putea reda (la test sau la ascultarea din lecţia respectivă), dar tot automat se întâmplă şi fenomenul opus, anume că de fiecare dată el trebuie să uite rapid ce a învăţat înainte, pentru a face loc în memoria de scurtă durată elementelor din viitoarea lecţie. Este evident că astfel se antrenează doar memorarea papagalicească de scurtă durată, neglijându-se masiv memoria profindă şi logică. Dimpotrivă, în urma unor explicaţii simple, deci de înţeles şi uşor de redat, memoria logică se antrenează şi se îmbunătăţeşte. Ţin minte în acest sens nişte eleve de a 9-a “bune tocilare”, care nu reuşiseră să cuprindă într-o frază descriptivă cu sens următoarele trei elemente: 360o în jurul Ecuatorului; 24 de ore pentru o zi; 15o pentru un fus orar. Nefiind punctate la test, ele reproşau de zor că au stat până la 3 noaptea să înveţe, consumând mai multe cafele (la geografie s-a întâmplat asta). Păi, dacă nu gândeau, ce să le faci?

Dar să revenim spre final la matematica noastră. După cum spuneam şi în prima parte a eseului de faţă, calea de mijloc este probabil cea mai sănătoasă. Nici exagerarea folosirii jargonului de specialitate la clasă nu este în regulă, dar nici evitarea folosirii termenilor tehnici nu poate duce la ceva bun; elevii trebuie totuşi să le înveţe şi să le poată folosi până la urmă. De obicei totul se poate rezolva prin tact pedagogic.

Ţinând cont că Evaluarea Naţională în finalul clasei a 8-a este o examinare la nivel naţional (mulţi neavând parte de o predare strălucită sau de un deosebit tact pedagogic la clasă), EN fiind vitală şi decisivă pentru mase uriaşe de absolvenţi, este evident că autorii subiectelor ce se dau la această EN sunt foarte atenţi în exprimare. Astfel, putem observa o mare grijă pentru controlul jargonului de specialitate, prin evitarea oricăror derapaje ce ar putea fi ulterior reproşate de către mass-media, şi este foarte bine că se întâmplă aşa.

La fel de bine este şi faptul că în auxiliarele de pregătire a EN se pune accentul şi în sensul opus, pe încărcarea limbajului, pentru ca elevii să se înveţe şi să nu aibă surprize neplăcute la examen. Doar că această abordare este bună numai atunci când elevul se pregăteşte sub îndrumarea strictă a unui adult care se pricepe la aceste aspecte. Altfel, dacă n-are cine să-l iniţieze pe elev în folosirea limbajului extrem, acesta se sperie şi sigur nu mai învaţă, cel puţin partea respectivă. Dau aici un citat întâlnit în ultima perioadă pentru a fi clar înţeles la ce mă refer: Fie A şi B punctele de intersecţie a reprezentării grafice a funcţiei f cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar P mijlocul segmentului AB. Determinaţi lungimea segmentului OP. Nu vreau să susţin aici că acest text ar putea fi redactat mult mai scurt, dar observ că lungimea sa păstrând acel limbaj abstract timp de peste două rânduri îi face pe mulţi elevi să abandoneze ideea de a rezolva această cerinţă. Am şi alte exemple ce emană mult mai clar înverşinare în a-l prinde pe elev “în offside”. Ce părere aveţi de pildă despre exprimarea prismă dreaptă cu baza pătratul ABCD în loc de denumirea oficială de prismă patrulateră regulată? Mie îmi sună a îmbârligarea limbajului cu orice preţ.

Spuneam la început că materialul pentru acest eseu se adună în timp ce lucrez. Iată în final o idee sugestivă, care deşi nu are aparent nimic de-a face cu matematica, analizată mai profund se dovedeşte deosebit de potrivită aici. Citez în continuare din d-na Dr. Mihaela Bilic, medic nutriţionist care ţine emisiunea Frecvenţa gustului la Europa FM. În data de 23 iunie, într-o emisiune despre cum îi învăţăm pe copii să mănânce, dânsa spunea: Copilul trebuie să guste de mai multe ori dintr-un gust ca să se obişnuiască cu acesta. Este evident că acelaşi principiu se aplică şi la alte lucruri noi aduse în viaţa copilului, iar elementele de matematică, îndeosebi cele ce implică cuvinte noi, străine limbajului obişnuit al vârstei, şi mai ales la clasele mai mici, acestea trebuie introduse cu mult tact şi răbdare. CTG

P.S. În perioada când redactam acest eseu am participat la un curs Waldorf, unde am lucrat în grupe de lucru şi am audiat multe conferinţe (dar am şi ţinut un curs de desen geometric). Conferinţele au fost ţinute de diverşi docenţi din străinătate (Israel, Ungaria, Cehia, Germania, Franţa şi Maria Britanie). Am aici o observaţie din partea celor care au participat la grupul de lucru condus de docentul britanic, anume cât de mult au apreciat simplitatea felului său de adresare, de vorbire. Am remarcat şi eu modestia cu care dânsul vorbea, modul liniştit şi deloc pompos de adresare în conferinţa ţinută în plen (cu toţii erau reprezentanţi ai Cercului de la Haga, întrunirea internaţională a reprezentanţilor ţărilor în care funcţionează pedagogie Waldorf). Evitând tot timpul jargonul de specialitate specific pedagogiei Waldorf (da, avem şi noi aşa ceva, iar uneori este cvasi-inaccesibil), dânsul atrăgea automat auditoriul într-o stare de linişte, din care fiecare putea urmări clar ideile prezentate.

P.P.S. Din pură întâmplare sunt în posesia unui citat ce scoate în evidenţă starea opusă celor spuse în primul P.S., anume despre atitudinea de prezentare îngâmfată, fără intenţia de a te şi face înţeles de către cei pe care ţi-ai asumat să-i “luminezi”. Iată citatul (ce se referă, după cum am înţeles, mai mult la colaborarea de mentorare a unui coleg începător):

Ca să pot ajuta cu adevărat pe cineva, trebuie să înţeleg mai mult decât acesta – dar mai întâi trebuie ca eu să înţeleg ce a înţeles acesta. Dacă nu îmi reuşeşte asta, atunci ceea ce înţeleg, ceea ce ştiu eu în plus nu-i va fi de nici un folos.

Dacă ţin totuşi să dau relevanţă cunoaşterii şi inţelegerii mele suplimentare, atunci ţine doar de mândria şi de vanitatea mea, că nu vreau (că nu mă străduiesc) să-l ajut, ci că mai degrabă vreau să fiu admirat de către acesta (că mai degrabă ajung să-mi doresc să fiu admirat de către acesta).

Nu cunosc defel autoarea, dar dau totuşi sursa, aşa cum mi-a parvenit: Søren Kierkegaard, “Samlede Værker” (Opere alese), Kbh 1964, Vol. 18, Pag. 96-97.

Despre excesul folosirii jargonului de specialitate (1)

Una din cele mai mari probleme ale predării matematicii – şi nu numai – o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă (mult prea elevat, dar şi prea repede elevat). Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Noi trebuie să conştientizăm că nu sunt puţini aceştia care folosesc un limbaj “extraterestru” pentru vocabularului majorităţii elevilor, care au chiar ca una din liniile ghidante în meseria de profesor să vorbească în acest mod.

Analizând lucrurile la nivelul diferitelor trepte de şcolarizare, plecând de sus putem constata următoarele. La nivelul facultăţii de matematică reprezintă o normalitate folosirea unui limbaj tehnic cât mai elevat şi mai sofisticat. Acolo sunt matematicienii între ei şi se pot potenţa cât doresc în această direcţie (la fel în orice altă facultate cu limbajul specific ştiinţelor respective). Coborând în treapta a doua a liceului, la clasele cu bacalaureat la matematică, te poţi aştepta ca elevii să fi dobândit deja arta însuşirii rapide a unor noi termeni de specialitate; coborând însă mai mult, la primele clase de liceu, se simte că la acestea este nevoie de “puţin tact” în introducerea noilor termeni. Cât despre clasele gimnaziale, care oricum au în componenţă elevi de toate nivelele şi toate orientările intelectuale, aici folosirea inadecvată şi prea incisivă a unui jargon de specialitate devine profund dăunătoare, acţionând distructiv în direcţia tuturor celor care nu se întâmplă să fie “matematicieni pur sânge”. Această afirmaţie capătă un nivel de profunzime maximală în primele două clase gimnaziale, acolo unde avem combinaţia dintre elevi mici (care majoritatea n-au trecut încă în stadiul de gândire operaţională formală), pe de-o parte, şi profesori specialişti de matematică în locul blândei învăţătoare (profesorii venind cu impulsul puternic de a-i pune cât mai repede “pe linia” matematicii pe cei mici).

Aceste afirmaţii ajung la stadiul acut mai ales când ne referim la introducerea elementelor de geometrie în clasele 5-6, aceasta fiind o materie cu totul nouă (99,99%) faţă de ce cunoştea elevul până în acel moment. Mai ales dacă analizăm felul în care începem geometria, anume prin introducerea unei liste foarte lungi de elemente noi ce reprezintă însă doar structura figurilor geometrice, “partea atomică” a acestora, plină de cuvinte noi pentru copii, înţelegem cât de dramatică şi disperată este percepută situaţia de către majoritatea elevilor. Din punct de vedere psihologic, noi ar trebui să plecăm de la pătrate, triunghiuri şi cercuri, elementele cunoscute elevilor, pe care să le disecăm încet şi să ajungem la componentele acestora, la segmente şi unghiuri, şi la relaţiile dintre ele. Dar nu, noi începem de la componente – care nu au nici cea mai mică relevanţă pentru elevi – pentru că doar aşa ştim să predăm geometria, aşa se predă această materie din punct de vedere riguros ştiinţific. În acest proces însă, pentru cei mai mulţi geometria reprezintă materie care luni la rând aduce doar un şir aparent nesfârşit de cuvinte noi – fără nici cea mai mică relevanţă pentru elevul obişnuit, vocabularul de specialitate crescând mult peste orice nivel de suportabilitate normal. Cât despre clasele primare, aici nu văd mari pericole în acest sens, deoarece este puţin probabil ca învăţătoarele să alunece în astfel de extreme ale vocabularului de specialitate.

Ca în paranteza de mai sus, trebuie spus că aceasta este situaţia în cazul oricărei ştiinţe (geometria reprezentând totuşi vârful de lance), doar că matematica este una dintre cele ce apar imediat din clasa a 5-a, alături de biologie, geografie şi istorie. În plus însă, dintre acestea matematica este singura care-şi poate justifica atitudinea “agresivă” în implementarea unui limbaj prea încărcat cu motivaţia examenului din finalul gimnaziului.

În general, fiecare materie are nevoie de jargonul ei de specialitate pentru a se exprima, iar în consecinţă copiii sunt practic bombardaţi cu cuvinte noi ce se schimbă de la o oră la alta într-un ritm de multe ori prea rapid, mult prea rapid (evident că şi religia se integrează în acest trend, doar că acolo măcar nu-i stres, acolo toţi primesc 10 din oficiu). Efectul psihologic rezultant este desigur faptul că mulţi elevi au tendinţa de “a nu mai auzi” cele spuse de profesori la diferitele ore, nici vorbă de a mai şi încerca să înţeleagă ce spun aceştia (cu trimitere evidentă spre dezvoltare de analfabetism funcţional dacă obiceiul nu este întrerupt în timp util prin trecerea elevului în faza de înţelegere).

Apoi, trebuie vorbit aici şi de cantitatea de cuvinte noi introduse “pe unitate de timp”. Un coleg a reuşit în urmă cu cca. 20 de ani să contabilizeze la o clasă de a 9-a în ziua cea mai densă a săptămânii, cumulat la toate materiile 142 de itemi noi (din câte ţin minte). Ne putem imagina câţi dintre aceşti itemi fuseseră termeni noi de specialitate. Părerea, impresia că odată definit, un astfel de termen este clar înţeles şi însuşit de către elevi este pur şi simplu utopică, iar aşteptarea ca ei să înveţe acasă noţiunile respective şi să le poată folosi automat începând de ora următoare, asta este una din cauzele faptului că elevii nu învaţă să gândească ci înţeleg prin învăţare doar simpla toceală. Astfel, cuvântul nou nu intră într-un vocabular natural al elevului, ci rămâne suspendat undeva între necunoaştere şi o folosire artificială, dar de fapt neînţeleasă. Eu simt aici că putem vorbi de o folosire de faţadă a acestor cuvinte, un fel de mascaradă de obicei neînţeleasă, de genul “la orele astea vorbim cu astfel de cuvinte”.

Uneori apar referiri la acest fenomen al limbajului prea sofisticat şi în alte părţi decât în procesul de învăţământ din şcoală. De pildă, în emisiunea Antrenorul părinţilor din data de 4 iunie 2023, Gaspar Gyorgi îi explică Mirelei Retegan următoarele: G.G. … oameni care veneau şi-mi spuneau: “Gaspar, e un pic ciudat felul în care vorbeşti” – pentru că atunci vorbeam mult mai mult în jargon de specialitate decât o fac acum – “dar, dincolo de asta, ce ajunge la mine este ca spui ceva important şi aş vrea să mă ajuţi să înţeleg un pic mai bine, aşa că te rog vorbeşte pe limba omului obişnuit, încearcă să-mi explici în aşa fel încât să-mi fie un pic mai uşor de înţeles”. M.R. … eu asta fac aici, îl ajut pe Gaspar să vorbească pe limba omului obişnuit. G.G. … ăsta e paradoxul psihologiei în România, că în facultate eşti învăţat să-ţi însuşeşti un limbaj de specialitate, iar după aceea, pentru a te înţelege cu oamenii trebuie să renunţi la acel limbaj de specialitate (urmăriţi înregistrarea https://www.youtube.com/watch?v=a2hqWYlXmAE între minutele 37:20 – 38:00). Da! Fără comentarii!

Folosirea unui limbaj inaccesibil este clar una din cauzele eşecului şcolii actuale din România, a procentajului uriaş de elevi cu analfabetism funcţional în toate direcţiile. Accesibilizarea limbajului duce evident la accesibilizarea mesajului transmis, dar pentru asta profesorii trebuie să conştientizeze că “soluţia problemei” este la ei şi să nu mai dea simplu “vina” pe elevi.

Desigur că nici evitarea introducerii termenilor noi nu este o soluţie viabilă pe durată; cu greu ar mai putea avea loc evoluţia elevilor pe drumul învăţării matematicii (practic a oricărei ştiinţe) fără cuvintele ce-i compun limbajul specific. Ca în orice domeniu, nici aici nu este bine a trece dintr-o extremă în cealaltă. La fel ca oriunde şi aici calea de mijloc este de obicei cea mai sănătoasă.

Profesorul care stăpâneşte “arta predării matematicii” ştie cum să introducă în limbaj un nou cuvânt, o nouă expresie, astfel încât să nu “îi şocheze” pe elevi, să nu îi repulsioneze. Mai ales în clasele 5-6 este important ca profesorul de matematică să ia în calcul frica de matematică cu care vin elevii din ciclul primar şi să încerce să preîntâmpine adâncirea lor în această stare.

Mi-a fost dat să cunosc o astfel de atitudine grijulie la profesori din Germania, la care am observat de-a lungul timpului expresia “triunghiurile cutare şi cutare sunt congruente, adică egale prin suprapunere“. Observăm cum folosirea termenului nou, străin limbajului uzual al copilului, este însoţit imediat în exprimarea adultului de “o traducere” mai accesibilă elevilor (pe germană termenul “deckungsgleich” înseamnă mai exact “egal prin acoperire” fiind şi mai apropiat în limbajul uzual decât traducerea mea “egal prin suprapunere“). În spaţiul de cultură în limba germană ideea este atât de împământenită încât şi dacă dăm spre căutare cuvântul “deckungsgleich”, toate adresele oferite pe net, inclusiv wikipedia.org, dau automat în text ambele “kongruent (deckungsgleich …)“.

Personal nu cred totuşi că ar fi sănătos să înlocuim definitiv, adică pe durată cuvântul “congruente” cu expresia “congruente, adică egale prin suprapunere” după modelul nemţilor, dar am preluat ideea că la început să folosesc expresia combinată, până când simt că elevii s-au obişnuit cu cuvântul “congruent” în cadrul lecţiei despre metoda triunghiurilor congruente (adică pentru o vreme, oarecum pe parcursul clasei a 6-a, până când am percepţia clară că elevii şi-au însuşit noţiunea).

Desigur, asta funcţionează doar cu condiţia să fi făcut înaintea lecţiei respective – măcar printr-o “poveste” descriptivă – analiza situaţiei de “egalitate prin suprapunere” prin constatarea că foile cu triunghiurile construite de doi elevii puse una peste cealaltă pe geamul clasei vor arăta prin transparenţă suprapunerea perfectă a celor două triunghiuri (construite pe aceleaşi date, de pildă prin cazul de construcţie LUL; asta este de fapt ideea introducerii acestora mai întâi sub formă de “cazuri de construcţie”, ducând deci la triunghiuri “egale prin suprapunere” numite apoi “congruente”, iar doar ulterior drept “cazuri de congruenţă” în cadrul unei noi metode de demonstraţie).

Legat de “exerciţiul” aici evocat, precizez că eu nu am mai făcut acest exerciţiu concret la clasă de peste 20 de ani – este şi greu de făcut, deoarece elevii desenează de obicei în caiet; ca să-l pot face ar trebui să le cer construcţia pe coli de hârtie separate şi de obicei nu consider să-mi iau acest timp. Făcându-l concret, aş avea garanţia că toţi elevii au priceput, dar nu acesta este obiectivul meu aici; oricum elevii slabi ai clasei nu vor beneficia de idee pentru că ei oricum nu vor învăţa cu adevărat metoda triunghiurilor congruente la demonstraţii (sau, poate greşesc?). Pe de altă parte, elevul mediu, elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, acesta îşi pot imagina exerciţiul, cu condiţia măcar să ne luăm 2-3 minute să il povestim, iar de aici mai departe vor putea conecta cu “imaginea” imaginată în acest moment (iar asta întăreşte capacitatea de imaginare a elevilor, mai ales în aceste vremuri când ei sunt obişnuiţi să vadă totul pe ecrane).

În mod similar, în cazul cuvintelor “complementare” sau “suplementare”, eu folosesc pentru început, pentru o vreme, măcar în apariţiile izolate din clasa a 6-a expresia dublată că “cele două unghiuri au împreună 180o, adică sunt suplementare” sau “unghiurile B şi C sunt complementare, adică au împreună 90o” (măcar din când în când, cel puţin la apariţii noi, când nu le-am folosit de mult). Apoi, trec destul de repede la folosirea curată, spunând simplu “complementare” sau “suplementare”, Important este să le acord elevilor timpul să se obişnuiască cu noile cuvinte, fără ca să apară în ei senzaţia că nu înţeleg ce vorbesc (probabil, mai reiau ideea de dublare descriptivă a cuvântului şi la primele apariţii din clasa a 7-a, dar apoi gata). CTG

Trigonometria în vremea solstiţiului de vară

Zilele acestea (în 24, 06 2023), dl. profesor Florin Nechiţi ne-a prezentat pe Comunitatea profesorilor de matematică faptul că trigonometria are ceva de basm! Astfel, dânsul observă că:

Sînziana – SINUS,
Cosînziana – COSINUS.

Iată şi câteva comentarii la respectiv postare:
– Mai există şi tanziana şi cotanziana.
– Şi mai trag şi cu arcul unele … Sunt violoniste?
– Periodice, unduitoare, dar mărginite la infinit …
– Mărginite, dar de neatins dacă nu eşti Făt-Frumos.
– Nu ştiu ce sunt, dar se unduiesc de te bagă’n boală …
O fi având legătură cu faptul că în febra BAC-ului pregătirea matematică din mintea unora se amestecă cu pregătirea la Română? (comentariile aparţin d-lor: Octavian Vajoi, Laurenţiu Daniel, Dumitrescu Costel şi Adrian Dranga, iar în final din nou Florin Nechiţi)