Matematica zarului (1)

De obicei, când ne gândim la acest subiect, ca profesori de matematică, ne vin în minte în primul rând probabilităţile. Acest aspect este subliniat foarte bine în limba germană, unde zarul se numeşte Würfel (se poate traduce ca “aruncăreaţă”); încă ceva interesant, anume nemţii folosesc acelaşi cuvânt şi pentru cub. Apropos, ştiaţi de unde provine cuvântul zar? Din arabă, unde cuvântul se pronunţă la fel: zhar (complet: Al-zhar). Evident că de aici vine şi cuvântul hazard (cu trimitere la probabilitate), dar pentru seria pornită cu această ocazie doresc să tratăm şi alte aspecte ale zarului, decât doar cele legate “abilităţile zarului de a oferii numere la întâmplare”.

Zarurile sunt cunoscute în forma actuală din Antichitate. De pildă, în ruinele oraşului minier Berenice Pancrisia din Egiptul antic s-a găsit un zar de bronz având exact structura celor de azi (din Enzo Bernardini, Atlas de arheologie – Marile descoperiri ale civilizaţiilor antichităţii, Ed.Aquila, 2006, pag. 63), numerele de pe feţe fiind reprezentate cu punctuleţe (mici găurele), exact aşa cum le ştim actualmente.

Proprietatea de bază a aranjării numerelor pe feţele zarului este, pe cât de surprinzătoare, pe atât de logică: la orice zar construit corect suma feţelor opuse este întotdeauna 7. Simplu, clar, deşi puţină lume are cunoştinţă de această proprietate.

Elevilor le-o putem oferii ca atare, sec, sau putem face din apariţia ei o mare bucurie. De pildă, eu o folosesc pentru a înlătura “spaima” din ochii copiilor de clasa a IV-a, ţinând o lectie distractivă, atunci când merg prima dată în vizită la ei ca să ne cunoaştem. Astfel, iau un zar şi merg pe rând pe la toţi elevii, ţinând zarul între două degete, aşezat pe masă, cu întrebarea: ce număr este pe faţa de jos? Ei ghicesc, iar apoi eu ridic zarul infirmând, mai rar confirmând, răspunsul. Desigur că zarul este învârtit în mod spectaculos, chiar ostentativ, la trecerea de la un elev la următorul. După câţiva elevi mă opresc şi mă adresez clasei frontal: oare ce şmecherie o fi aici? Apoi, mai continui de la un elev la celălalt. Şi iarăşi acţionez frontal. Totul până când un elev are o idee ajutătoare. Dacă apare o idee bună, ajut şi eu în elucidarea enigmei, dar ideea iniţială trebuie să vină de la elev. Eventual, scot din pungă mai multe zaruri adunate de-a lungul timpului (multe zaruri frumos colorate le am din magazine second-hand, achiziţionate la preţuri derizorii), şi le dau câte un zar la fiecare bancă să le analizeze. Ultima dată am găsit regula până la parcurgerea a jumătate de clasă. Apoi, în starea de bucurie a descoperirii acestei reguli noi, am mai făcut exersări cu alţi elevi pentru a stârnii satisfacţia elevilor.

Pasul următor de gândire l-am făcut apoi cu o problemă la care am verificat capacitatea de a aplica cunoştinţele nou învăţate: Construim un turn din zece zaruri, despre care ştim că numărul arătat de ultima faţă de sus este trei. Căt este suma tuturor feţelor orizontale ale celor zece zaruri, care nu pot fi văzute (chiar dacă ne-am învârti în jurul turnului)? (Aceasta este o problemă foarte veche, din categoria matematică distractivă; se pare că cea mai recentă apariţie a acesteia este în lucrarea lui Armand Martinov, Matematica…o plăcere, Ed. Sigma, 2003, pag.18)

Ultima oară chiar am construit un astfel de turn din zece zaruri, dar nu i-am lăsat pe elevi să vină să se învârtă în jurul acestuia, pur şi simplu pentru a nu-l dărâma în înghesuiala posibilă. De fapt, cu această problemă dată ca temă am şi încheiat ora. Este greu de descris bucuria elevilor a doua zi de dimineaţă, când veneau la mine să mă anunţe cum au rezolvat ei problema. Desigur că nu au scăpat aşa de uşor: la următoarea oră, cei care au avut răspuns corect au trebuit să explice clar în faţa colegilor cum au gândit (aici ies la iveală şi cazurile când n-au gândit elevii, ci părinţii).

Titus Grigorovici

 

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
17 + 24 =