Matematica zarului (2)

În postarea precedentă am vorbit despre proprietatea de 7 a zarului, anume că la orice zar (corect construit) suma feţelor opuse este întotdeauna 7 (feţele opuse 1 + 6; 2 + 5 respectiv 3 + 4). Această proprietate, prezentă încă de la începuturile antice ale zarului, o folosesc în diverse situaţii, cum ar fi în cazul primei lecţii despre cub. Pentru postarea de faţă doresc să vă prezint aplicaţii ale acesteia în două probleme de matematică distractivă.

Prima este preluată din Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery, Ed.Dover Pub. 1956 (eu am un exemplar în limba germană, Matematische Zaubereien, Ed. DuMont, 2004, pag. 61). Este vorba de fapt de o scamatorie matematică cu trei zaruri, pe care o descriu în continuare.

Îi dau unui elev voluntar din clasă cele trei zaruri, rugându-l să urmeze întocmai instrucţiunile mele, în timp ce eu voi sta cu spatele către masa unde el execută cerinţele (ceilalţi elevi pot sta în jur pentru a vedea „spectacolul”). Odată întors îi cer elevului să efectueze o aruncare cu cele trei zaruri şi să adune cele trei numere obţinute (valorile de pe feţele de deasupra). Într-un al doilea pas îl rog pe elev să întoarcă la alegere unul din zaruri, astfel încât faţa de jos să ajungă deasupra, iar apoi să adune şi acest nou număr la suma iniţială (celelalte două zaruri rămân aşa cum au căzut la început). În al treilea pas elevul trebuie să ia zarul pe care l-a întors deja şi să-l mai arunce numai pe acesta încă o dată, iar numărul obţinut să-l adune la suma existentă pănă atunci. În tot timpul cât stau cu spatele elevul nu îmi spune nici unul din numerele cu care lucrează, şi nici suma finală.

Chiar şi aşa, în acest moment eu mă întorc şi fără să ştiu care din cele trei zaruri a fost cel întors de mai multe ori, spun totuşi suma finală calculată de elev în minte. Cum fac? Simplu: adun 7 la suma care o văd în acel moment pe masă. Problemuţa se iveşte de la sine: cum face profu’?, şi este foarte frumoasă pentru că oferă destul de repede o primă aplicaţie uşoară a folosirii literelor în calcul. Astfel, după încă una-două „reprezentaţii”, putem să ne gândim să demonstrăm scamatoria. Iată o variantă posibilă: notez cu x, y, z cele trei numere iniţiale, şi presupunem că elevul s-a hotărât să întoarcă zarul cu numărul y. Atunci suma totală va fi:

+ y + z + yopus + y’ = x + z + y’ + 7

Am notat cu yopus faţa opusă lui y, iar cu y’ numărul obţinut pe zarul ţinut pe zarul y la a doua aruncare. Ca tehnică de inducere în eroare – magicienii aşa fac – până fac suma x + z + y’ şi apoi adun 7, pot să atrag atenţia auditoriului că eu nu am de unde să ştiu care din cele trei zaruri a fost întors de două ori şi care sunt cele două zaruri care au rămas pe loc după prima aruncare.

A doua scamatorie, tot cu trei zaruri, este de fapt o variaţiune a problemei cu zece zaruri din postarea precedentă şi este preluată din Michael Holt, Math Puzzles and Games, Ed. Walker Pub. 1977 (eu am preluat-o din varianta în limba germană, Neue mathematische Rätsel, Ed. DuMont, 2005, pag. 83).

Daţi zarurile „elevului voluntar” cu recomandarea ca, în timp ce dvs. staţi cu spatele întors, el să aranjeze cum doreşte un turnuleţ din cele trei zaruri. În timp ce le aranjează, trebuie doar să adune toate feţele care nu se vor putea vedea în final din nici o parte (numerele de pe acestea). După ce a terminat, şi aceste feţe nu se mai pot vedea, dvs. vă întoarceţi şi puteţi foarte repede să-i spuneţi ce sumă a obţinut. Cum procedaţi? Pur şi simplu observaţi numărul arătat de zarul din vârf şi îl scădeţi din 21.

Titus Grigorovici

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
15 − 11 =