Conferinţă Stephan Sigler

5WM-2 din 6 oct. 2015

Aspecte despre planul de învăţământ (Aspekte zum Lehrplan)

A doua conferinţă de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, lângă Basel, în Elveţia a fost susţinută de dl. Stephan Sigler de la Şcoala Waldorf din Frankfurt. Acesta predă şi la Seminarul de profesori Waldorf de la Kassel. Pe lângă un succint istoric al planului de învăţământ în matematica şcolilor Waldorf, dânsul a prezentat câteva aspecte de larg interes, pe care vi le redăm în continuare pe scurt, după notiţele noastre (cu un mic comentariu personal CTG).

  • Orice face profesorul la clasă ar trebui să reiasă din misteriile momentului întâlnirii cu elevii.
  • La începutul secolului XIX în Germania, Elementele lui Euclid era a doua carte după Biblie.
  • Geometria are o puternică legătură cu simţurile, cu văzul, cu echilibrul şi cu mişcarea, pe când algebra nu are nici o legătură cu simţurile. Uneori ne apare ca o simplă manipulare de înlănţuiri de simboluri.
  • Propunerile din 1905 ale lui Felix Klein pentru reforma predării matematicii (Meraner Reformvorschläge):
    1. Adaptarea la evoluţia spiritual-intelectuală naturală a elevilor;
    2. Conectarea la capacităţile de imaginare şi înţelegere a elevilor; studierea fenomenelor ce pot fi cuprinse şi înţelese de către elevi.
    3. Formarea unui curriculum în spirală.
    4. Orientarea materiei studiate după aplicabilitate în exteriorul matematicii (matematică financiară, practică topografică, dezvoltarea gândirii logice etc.).
    5. Şcolirea gândirii funcţionale, de exemplu prin fuziunea geometriei cu algebra (din păcate la noi această fuziune este făcută mult prea repede, fără a mai fi aşteptată şi permisă “coacerea geometriei” la începutul liceului – adăugare CTG).
  • Prezentarea unor noţiuni vii este dificilă în matematică; prin prezentarea noţiunilor în definiţii acestea nu mai pot evolua, nu mai sunt vii. Cum ar arăta o predare vie? Trebuie să lăsăm empirismul să fie prezent în orele noastre (caracterizare vs. definiţie).
  • De pildă, teorema lui Pitagora ar trebui prezentată iar şi iar, dar din diferite puncte de vedere: o dată prin arii şi forfecări (translaţii), altă dată prin asemănări, apoi din nou cu arii, dar de data asta cu formule de calcul prescurtat, iarăşi mai târziu cu teoria numerelor naturale etc. Aşa apare tendinţa de a lărgi o temă învăţată într-un mod viu. Predarea matematicii trebuie să aducă mai mult decât doar multe cunoştinţe.
  • Imaginaţia poate fi trăită cel mai uşor în matematică (dintre toate domeniile cunoaşterii). De exemplu la înţelegerea numerelor negative.
  • Kronecker: numerele naturale au fost create de către Dumnezeu; la numerele negative a trebuit să intervenim noi.
  • Prezentarea a fost încheiată cu un citat din Rudolf Steiner: Adevărurile matematice reprezintă prima hrană adevărată pentru spirit pe care o primeşte omul (Die mathematischen Wahrheiten sind die erste wahre geistige Nahrung die der Mensch kriegt).

30 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Conferinţă Constanza Kaliks

5WM-1 din 5 oct. 2015

A învăţa să gândeşti (La aptitud de pensar, Learning to think)

Cu această conferinţă pornim prezentările activităţilor de la primul Congres mondial al profesorilor de matematică Waldorf, codificat 5WM la Goetheanum, centrul de cultură de la Dornach, lângă Basel, Elveţia (5-9 oct. 2015).

La congres au participat 98 de dascăli din 32 de ţări. Iată unele date: câte unul din Australia şi Noua Zeelandă, două doamne din Asia (Filipine, respectiv Japonia), trei colegi din Africa, câte un grup hotărât din America latină, respectiv America de nord; restul de 64% din Europa (incluzând cultural aici şi participanţii din Israel); doar cca. 31% erau vorbitori de germană.

D-na Constanza Kaliks predă la Seminarul didactic din São Paulo, Brazilia şi este conducătorul Secţiunii pentru tineret de la Goetheanum. Conferinţa a fost ţinută în spaniolă, noi audiind-o în traducere simultană (germană, respectiv engleză). Vă prezentăm în continuare în scurte idei, după notiţele noastre, prelegerea d-nei Kaliks ţinută la deschiderea congresului (adăugările personale le-am notat cu CTG). Rămâne de datoria cititorului să-şi completeze în imaginaţie multele pasaje de legătură între ideile prezentate. Trebuie doar să v-o închipuiţi pe d-na Kaliks cu un discurs latin, deosebit de temperamental (pilotul german de Formula 1 Sebastian Vettel, întrebat cum este la echipa italiană Ferrari, a răspuns: se vorbeşte foarte mult cu mâinile!).

  • Caracteristica centrală a matematicii: curiozitatea, creativitatea, “prin mine, prin gândirea mea”.
  • Cele două coloane centrale ale predării matematicii rezidă în următoarele afirmaţii:

I – lucrurile acestea sunt de când lumea aici;

II – hai să descoperim ce putem găsi aici (I can discover a world which is in my mind).

  • Ca urmare, există două căi extreme de predare:

I – să predai ca şi cum lucrurile sunt cunoscute de mult;

II – să predai astfel încât copilul să descopere formulele, cunoştinţele din lecţie.

  • Predarea matematicii are în faţa ei trei mari provocări:

1) Trecutul şi viitorul trebuie să se întâlnească în noi, participanţii la ora de matematică; elevul trebuie să înveţe lucruri vechi drept noutăţi.

2) Arta predării matematicii;

3) Cantitatea absurdă de informaţie (în supradoză, dar superficială) la care s-a ajuns în ultimii 50 de ani.

  • 30 milioane de copii nu merg la şcoală (date UNICEF de la sfârşitul lui sept. 2015).
  • Care este valoarea cunoaşterii? Informaţia nu se poate transforma în inteligenţă; cunoaşterea (ştiinţa) se poate însă transforma în inteligenţă. Din păcate, suntem deseori tentaţi să vedem stocarea de informaţii drept inteligenţă (este una din liniile de distrugere a copiilor de mici: avem impresia că dacă ştiu multe, sunt şi inteligenţi; sindromul micului Einstein, cu prototipul Dexter, cunoscutul personaj de desene animate din anii ’90 – adăugare CTG). Este o iluzie a crede că prin aglomerarea matematicii în copil acesta va avea o mai bună legătură cu lumea.
  • Prin matematică înveţi să te descurci în “ceva (nesenzorial)”.
  • Cum a evoluat istoric perceperea cunoaşterii:

a) În trecut omul gândea: “eu sunt parte a întregului” (“întreg pe care nu-l înţeleg”, în antichitate, respectiv “întreg pe care-l înţeleg”, începând din secolul XVI);

b) În prezent omul gândeşte: “întregul este al meu” (de ex. “întreaga lume este a mea prin intermediul internetului” – adăugare CTG). Cum influenţează aceasta predarea?

  • Şcoala trebuie să îmbine echilibrat următoarele două tipuri de activităti:

i) – activităţi creatoare; ii) – activităţi receptoare. Eu trebuie să fiu creator şi receptor în acelaşi timp; să fiu dispus oricând să încep a mă juca din nou (Ich muss Schöpfer und Empfänger gleichzeitig sein; immer neu anfangen zu spielen).

25 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Impresii din Elveţia

În săptămâna 5-9 oct.2015 am participat la Dornach lângă Basel, în Elveţia, la prima întâlnire mondială a profesorilor de matematică din şcolile Waldorf. Din acest voiaj am adus o mulţime de cadouri matematice cu care ne vom preocupa în perioda următoare (poate tot anul). Înainte de a vă prezenta la rând conferinţele acestui congres, permiteţi-mi să vă ofer două scurte impresii, cu implicaţii matematice.

Prima mea surpriză în Elveţia a fost moneda de ½ Fr (de o jumătate de franc, pentru cine nu a înţeles). Da, aţi văzut bine, pe această monedă nu scrie 50 (Rappen se numesc subunităţile francului elveţian), ci scrie ½ . Elveţienilor nu le este frică să scrie pe o monedă foarte des folosită o fracţie! Asta arată că acestui popor nu îi este frică de matematică.

Să analizăm cum stăm noi faţă de acest subiect. Păi, un singur gând îmi trece în acest sens prin minte: felul în care Banca Naţională a renunţat la moneda de 25 bani, respectiv bancnota de 25 lei (Banca Naţională sau ce decident o fi fost atunci, la începutul anilor ’90, dar şi la introducerea leului tare cu renunţarea la patru zerouri de la reforma din 2005). Sistemul nostru monetar este construit pe operaţia 2 ∙ 5 = 10, care este una din cele mai simple operaţii (ştiţi, majoritatea avem două mâini cu câte cinci degete:). Sistemul vechi, din anii lui Ceauşescu, era construit pe operaţia 4 ∙ 25 = 100, care este o operaţie mai evoluată. Cea actuală necesită capacităţi de calcul până la 10, de nivel de grădiniţă, pe când la cea veche trebuia să te poţi descurca în mare până la 100. Calculul 25 ∙ 4 = 100 reprezintă o operaţie de puterea a doua (22 ∙ 52 = 102), pe când actuala necesită doar o gândire banală. Varianta actuală, cu valorile 1, 5, 10, 50, 100 etc. este practică pentru cei inculţi, dar nu permite decât foarte greu o simplă operaţie de împărţire la patru (împărţirea la patru este una din operaţiile de cultură elementară: oricine ştie să împartă un măr în patru sferturi – avem şi un cuvânt pentru aşa ceva, un sfert).
Care este unul dintre efectele vizibile a acestei schimbări a politicii monetare din România? De prin 1996 am început să observ la elevi un fenomen deranjant: aceştia nu mai ştiu de pildă de câte ori intră 23 în 100; elevii au mari dificultăţi la 3 x 25, dar mai ales la descompunerea lui 75 nu simt că se divide cu 3 şi încep descompunerea cu împărţirea la 5 (dar 75 : 5 = 15 se face mai greu decât 75 : 3 = 25). După ’90 orice puşti ştia că 750 : 3 = 250; acum aceasta este pentru mulţi o situaţie foarte dificilă (pe care eventual o fac cu calculatorul de pe telefon).
Da, concluzia este una singură, renunţarea la sistemul 25 ∙ 4 a contribuit şi aceasta, pe lângă multe altele, la creşterea fricii omului de rând faţă de matematică.
Revenind la francii elveţieni, nu m-am putut abţine să nu observ anul monedelor aflate încă în circulaţie (şi n-am stat tare mult să caut). Este chiar nevoie de o mică concentrare să calculezi ce vârstă are o monedă din 1971. Uau! Asta da stabilitate a unei ţări! Aşa mai înţeleg şi eu un articol găsit în ziarul Schweitz am Sonntag din 11 oct. 2015: un interviu cu directorul Comisiei federale pentru energie a Elveţiei, Dl Walter Steinmann, în care se vorbea despre planul de politică energetică a Elveţiei până în anul 2050 (iarăşi: Uau!). Da, o naţiune căreia nu-i este frică de fracţii, poate face planuri serioase pe 35 ani.
Este greu în acest moment să nu facem iar comparaţia cu situaţia de la noi şi cu actuala creştere promisă de 15% a salariilor cadrelor didactice din dec. 2015. Aţi observat desigur momentul (12 oct. 2015): cele două creşteri de 5% din cursul anului împreună cu aceasta de 15% nu dau împreună 25%, ci mai mult, peste 26%. Câţi au înţeles ce s-a întâmplat, care este fenomenul matematic conform căruia 10 + 15 nu dă 25? Un renumit om de presă comenta că şi politicienii care n-au înţeles sunt tot rezultatul acestei şcoli. Dacă de politicienii de la vârf nu trebuie să ne facem griji să înţeleagă, poate noi, profesorii de matematică ar trebui să ne ocupăm măcar ca dragii noştri colegi ne-matematicieni să priceapă “ce şi cum”, adică de ce 10% + 15% > 26%.

Titus Grigorovici 22 oct. 2015

Val de aluzii matematice în muzică vara asta!

Când Smiley ne explica cum că viaţa e o structură complexă, concavă sau convexă, atunci când cânta despre cai verzi pe pereţi, am ridicat desigur o sprânceană.
Vara aceasta însă aluziile la matematică au devenit tot mai explicite: întâi a început să ne explice Shift ce spunea profu’ de mate: Istrate, tu visezi, n-o s-ajungi departe! în melodia despre avioane de hârtie. Naşpa, profu’ ăla de mate!
Apoi a apărut Delia spunând că eu nu accept geometria în iubire! în controversata piesă Da, mamă. Ce-o fi vrând să zică? Sau doar dă bine să-ţi expui public opoziţia faţă de matematică?
Oricum, amândoi prezintă în punctul lor de vedere matematica drept opusă faţă de starea de visare. Oare ce-o mai urma? Cum vă simţiţi, ca profesori, la aceste aluzii?

Fracțiile la vechii egipteni

În vara lui 2010 l-am cunoscut la Nürnberg pe dl. Filip, un învăţător de la Şcoala Waldorf din acest oraş, pensionat de mult şi care avea multe poveşti interesante (printre altele a avut-o în clasa a II-a ca elevă pe fetiţa Sandra Bulock!!!).
De la dânsul am primit o grămăjoară de cărţi vechi de matematică, care fusese o pasiune puternică a vieţii sale. Într-una din aceste lucrări, Ernst Bindel, Das Rechnen (Socotitul) din 1966, am găsit un capitol despre fracţiile la egiptenii antici. Autorul făcea referire la un articol mai vast Altägyptische Bruchrechnung (Calculul de fracţii la vechii egipteni), publicat în revista Erziehungskunst Nr.11-1961 (Arta educaţiei). Cu timpul am fost atras de subiect şi am început să lucrez la înţelegerea acestei teme. Am găsit şi articolul cu pricina, dar am început să găsesc referiri la acest subiect şi în alte locuri, mai ales în reportajul BBC FOUR The Story of Maths realizat de profesorul Marcus Du Sautoy în 2008.
Preocupările s-au accentuat în anul şcolar 2014/2015 când, în mai multe etape, am generat următorul eseu pe tema fracţiilor în Egiptul antic. Cu această lucrare am participat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice Didactica Matematicii 2015 de la Turda.

C.Titus Grigorovici

Fracțiile la egipteni.pdf

Pentagonul și pentagrama

Dintre figurile geometrice neglijate de programa şcolară din România, pentagonul regulat este probabil cea mai importantă pentru cultura matematică universală. Pentagrama şi secţiunea de aur completează această temă aproape nelimitată. Iată câteva aspecte în această linie, cu care ne-m ocupat în trecut:

Articole de metodică

În paginile caietelor de matematică PENTAGONIA am inclus diverse prezentări de metodică a predării unor lecţii din programa şcolară. Iată o scurtă listă a acestora, pentru a le putea găsi mai uşor.

  • Apariţia numerelor complexe – predarea prin întrebări – Pentagonia nr.2
  • Ecuaţii de gradul I cu parametru – Pentagonia nr.3
  • Fracţiile zecimale – predarea prin întrebăriPentagonia nr.4
  • Extragerea radicalului, rădăcina pătrată şi numerele iraţionale în claseleVI-VIII – Pentagonia nr.6
  • Proporţionalitatea directă şi proporţionalitatea inversă – Pentagonia nr.7
  • Predarea ariilor în gimnaziu – Pentagonia nr.8
  • Linia mijlocie în triunghi – studiu de teoremă directă şi reciprocele sale – Pentagonia nr.9

Alte prezentări metodico-didactice vor urma.

Corpurile platonice (perfecte)

Una dintre marile teme ale culturii omeneşti ce lipsesc din programa şcolară o reprezintă setul celor cinci corpuri perfecte, cunoscute în vest drept Corpuri Platonice. Dintre acestea doar cubul şi tetraedrul regulat apar la noi în programa gimnazială, celelalte trei lipsind cu totul din conştienţa generală.
Cei doritori găsesc o prezentare scurtă a acestora şi a unor conexiuni dintre ele în paginile caietelor PENTAGONIA, astfel:

  • Introducere; I. Octaedrul; II. Tetraedrul, cubul şi octaedrul înscrise unul în celălalt – Pentagonia nr.2
  • III. Câte poliedre regulate există?; IV. Dodecaedrul – Pentagonia nr.3
  • V. Platon, Kepler şi corpurile perfecte; VI. Icosaedrul – Pentagonia nr.4

Subiectul nu este nici pe departe epuizat, dar oferă doritorului o minimă linie de plutire în cultura generală a omenirii, prezentabilă şi accesibilă la nivelul de clasa a VIII-a. În acest sens merită amintită o întâmplare cu un fost elev, care după clasa a IX-a s-a mutat cu familia în Statele Unite. Peste ani m-am trezit cu el la o serbare de final de an şcolar: venise să mă salute şi să-mi spună că în anul I la facultatea de arhitectură la Seattle a fost singurul care a ştiut de aceste corpuri, să le denumească şi să spună câte ceva despre ele (Salut Vlad!).
Pentru cei care încă nu sunt convinşi, studiaţi un pic promo-urile folosite pe postul de muzică ZU TV până la începutul verii 2015, să vedeţi câte icosaedre aveau ei acolo (şi pe care le-au văzut zilnic elevii).

Prezentare de carte

Cine nu ia o carte de matematică în mână pătruns de un sentiment de sacru, nu va găsi mare lucru în această carte. NOVALIS

În ultimele trei caiete PENTAGONIA, din 2001 şi 2002, am început să prezentăm cărţi de matematică. Nu este vorba despre culegeri de exerciţii şi probleme, şi nici despre manuale de matematică, ci despre cărţi care vorbesc despre matematică, despre istoricul acesteia şi despre cum ar trebui să ne apropiem împreună cu elevii de matematică.
Citindu-le, profesorul de matematică poate găsi inspiraţie în a-şi structura lecţiile mai atractiv, fie cu mici detalii de o coloratură atractivă, fie în general, ca atitudine de intrat la clasă.

Lucrarea lui Simon Singh, Marea Teoremă a lui Fermat, ajunsă între timp la ediţia a 3-a la Editura Humanitas, rămâne în continuare un posibil cap de afiş în spectacolul acestor cărţi minunate (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.7 din martie 2001), reprezentând o lectură obligatorie pentru orice profesor de matematică ce doreşte să-şi extindă cultura. În Vest această carte a stârnit un val întreg de lucrări de popularizare a matematicii. Este extrem de lăudabil faptul că multe din acestea au fost publicate la Humanitas, devenind astfel accesibile cititorului român, dar despre acestea într-o intervenţie ulterioară.

În Caietul PENTAGONIA No.8 am prezentat mama şi tata tuturor cărţilor de popularizare a matematicii, cele două lucrări ale lui Egmont Colerius, De la tabla înmulţirii la integrală, respectiv De la punct la a patra dimensiune, apărute în perioada interbelică şi traduse în româneşte în 1967. În legătură cu această carte iată o istorioară interesantă: profesorul Wolf Klein de la Şcoala Waldorf din Klagenfurt, Austria, a contactat pe vremuri editura ce a publicat iniţial cartea în germană şi a obţinut o reeditare pentru elevii săi. Cu acest exemplu în faţă, cred că merită să o citim şi noi. (De căutat prin anticariate sau biblioteci cu carte mai veche).

O lucrare îmi este foarte special apropiată de suflet: Paul J.Nahin, O poveste imaginară. Istoria numărului radical din –1 a apărut în 2000 la editura Theta, Bucureşti (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.9 din sept.2002). Pentru profesorul de liceu aceasta reprezintă o lectură obligatorie, mai ales din prisma cunoaşterii apariţiei acestor numere şi a înţelegerii aberaţiei didactice reprezentată de lecţiile de introducere a numerelor complexe în forma actuală, existentă în manuale de prin 1980. În acest sens vă recomand şi lecturarea articolului metodic Apariţia numerelor complexe; predarea noţiunii prin întrebări din Caietul PENTAGONIA No.2. În 1998 o elevă de-a 7-a la citit şi ne-a zis că a înţeles tot. Oare, de ce din forma de predare din manuale nu înţelege nimeni nimic?

Alte prezentări de carte vor urma.

Editorial Pentagonia

Pe lângă prezentarea din primul număr, în caietele Pentagonia găsiţi următoarele eseuri-editoriale despre situaţia predării matematicii şcolare. În fiecare din acestea găsiţi păreri exprimate mai timid sau mai hotărât despre ce merge, dar mai ales despre ce nu merge bine în matematica de la clasă. Citindu-le după atâţia ani, cât sunt de valabile în continuare, considerăm că merită citite şi acum (unele integral, altele măcar parţial).

Prof. C.Titus Grigorovici