Istoria unei descoperiri

În toamna anului 1982 eram în clasa a X-a. La o oră de matematică mama mea, care ne era profesoară, a adus la oră şi câteva probleme cu trapeze. După primele două probleme destul de accesibile a venit o a treia care ne-a lovit puternic. Un alt coleg a fost la tablă, aşa că am putut gândi liber. Deşi am relatat de nenumărate ori ce a urmat, acum este prima oară când “aştern pe hârtie” povestea acelei întâmplări memorabile.

Pe scurt, în următoarele minute am descoperit o nouă “formulă pentru aria triunghiului”, o reţetă necunoscută până în acel moment; nici un profesor nu o cunoştea şi aceasta nu se găseşte în nici o carte. În ora respectivă mintea mea a umblat pe unde nu a mai umblat nici o minte de om. Descoperisem “o mică pată albă” pe întinsa hartă a matematicii, iar aceasta nici măcar nu era la periferie, ci se afla în zona centrală, elementară a matematicii, zona pentru elevi.

Iată în continuare cele trei probleme şi evoluţia gândurilor mele din acea oră.

  • Fie trapezul oarecare ABCD cu AB || CD şi O punctul de intersecţie al diagonalelor. Demonstraţi că ΔAOD şi ΔBOC au aceaşi arie (sunt echivalente).
  • În trapezul oarecare ABCD alegem M mijlocul laturii oblice [AD]. Demonstraţi că AriaΔMBC = ½ ∙ AriaABCD.
  • Prin punctul O de intersecţie al diagonalelor unui trapez trasăm o paralelă la baze, aceasta intersectând laturile oblice în punctele E respectiv F. Demonstraţi că O este mijlocul segmentului [EF].

Imaginea prezentată este o scanare din culegerea De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, C. Titus Grigorovici, Mariana Grigorovici, publicată în 2006 la Humanitas Educaţional. În culegere am schimbat ordinea problemelor faţă de cea din ora respectivă.

După cum am spus, demonstraţiile primelor două probleme mi s-au părut accesibile; chiar am avut atunci o senzaţie de frumos în acele momente, probabil şi datorită faptului că reprezentau o îmbinare de geometrie şi algebră.

1) Având aceaşi bază şi înălţimile egale, ΔADC şi ΔBDC au aceeaşi arie. Din egalitatea celor două scădem porţiunea comună, aria ΔODC, obţinănd egalitatea ariilor ΔAOD şi ΔBOC. Nu am în amintire cum s-a scris rezolvarea pe tablă, dar ştiu cum am scris-o eu:

AriaΔADC = AriaΔBDC | – AriaΔODC
AriaΔADCAriaΔODC = AriaΔBDCAriaΔODC
AriaΔAOD = AriaΔBOC

2) Trasând linia mijlocie [MN] observăm că ΔBMN şi ΔCMN au aceeaşi arie, având baza comună şi înălţimile egale (cât jumătate din înălţimea trapezului). Obţinem astfel:

AriaΔMBC = AriaΔBMN + AriaΔCMN =

3) La a treia problemă lucrurile nu arătau deloc la fel de frumos, în primul rând pentru că rezolvarea previzibilă era cu asemănare de triunghiuri; era o rezolvare lungă şi istovitoare. Nu aveam nici un chef de aşa ceva; se prevedea o demonstraţie urâtă în comparaţie cu precedentele. Ei, şi atunci mintea mea a început să lucreze, observând anumite coincidenţe:

– triunghiurile echivalente din prima problemă apăreau şi aici;

– cele două triunghiuri echivalente stăteau ambele înclinate, într-un colţ; la fel şi triunghiul MBC din problema a doua (triunghiurile stau de obicei pe bază, nu înclinat);

– triunghiul MBC din a doua problemă are aria egală cu semiprodusul “orizontalei” prin M cu înălţimea totală a triunghiului, adică “diferenţa de nivel” între B şi C;

– cele două triunghiuri echivalente din prima problemă au aceeaşi înălţime totală, adică “diferenţa de nivel” între vârful de la baza mică şi cel de la baza mare a trapezului, iar cerinţa spune că “orizontalele” prin vârful intermediar ar trebui să fie egale;

– avem deci trei mărimi care se pare că depind una de cealaltă: aria unui astfel de “triunghi răsturnat”, apoi “înălţimea totală” a triunghiului, adică “diferenţa de nivel” între vârful situat cel mai jos şi vârful situat cel mai sus, iar pe post de bază “orizontala” prin punctul intermediar până la latura opusă.

Dacă reuşeam să demonstrez că aria unui triunghi ce este poziţionat înclinat, adică neavând baza aliniată pe “orizontala” figurii, aria unui astfel de triunghi respectă modelul tradiţional de baza ori înălţimea pe doi, atunci era rezolvată problema 3). De aici lucrurile au mers uşor: mi-am făcut o figură separată pentru “teorema” ce-o doream demonstrată, am descompus triunghiul mare în două pe baza “orizontalei”, m-am jucat puţin cu factorul comun şi VOILA!, gata era teorema mea.

Desigur, rezolvarea mea era mai scurtă şi datorită faptului că fentasem, folosind rezultatul primei probleme drept cunoscut. Oricum însă, terminasem cu câteva minute bune înaintea colegului de la tablă, care se chinuia împreună cu maică-mea printre rapoarte şi triunghiuri asemenea. Iar eu eram literalmente în al nouălea cer, având în plus şi o teoremă şmecheră în buzunar!

Este uşor de închipuit cum am stat “ca pe ace” ca să se termine demonstraţia stupidă de la tablă şi cu aceasta şi ora, ca să fug la mama – pardon, la Tovarăşa Profesoară – să-i prezint isprava mea.

O singură întrebare mai rămâne de lămurit: de ce a ales mama cele trei probleme în această succesiune? Prima şi a treia au cam aceeaşi figură; a doua se integrează şi ea cumva. Nu ştiu ce să zic, dar momentul a fost superb.

Titus Grigorovici

Împărţirea la zero în primar

Ia priviţi ce imagine minunată am găsit pe pereţii unei clase, la o învăţătoare de la o şcoală “de centru” din Cluj. Habar nu aţi avut voi, dragi profi de mate, cum se face împărţirea la zero!

TablaImpartirii

Ei, acuma ştiţi! Dacă n-ar fi de plâns, atunci ar fi de râs!!!

Se pare că cei de la editura cu pricina s-au prins de gafă: afişul existent actualmente în oferta lor nu mai conţine şi împărţirea la zero. Rămân doar gândurile despre cum s-a putut aşa ceva, de ce este nevoie ca elevii să înveţe pe dinafară tabla împărţirii (vezi citatul din Eugen Rusu cu ştiutul pe dinăuntru), cum de învăţătoarea respectivă nu şi-a dat seama de greşeală (şi cine ştie câte astfel de afişe or fi atârnând prin clasele patriei noastre) etc.

Gaşca cu poza

Compararea puterilor în clasa a V-a

Eseu în legătură cu tema
Gândirea aritmetică vs. gândirea algebrică

Un aspect deosebit al adaptării lecţiilor la posibilităţile intelectuale ale elevilor, mai exact la posibilităţile Elevului, luat ca elev mediu, ca eşantion reprezentativ al clasei – nu ca eşantion de vârfuri, cu care să ne lăudăm cu rezultate la olimpiade, un aspect al acestei adaptări este faptul că dacă nu o facem noi, atunci elevii “ne taxează”, găsind ei scurtături, de obicei greşite, în raţionament, “shortcut-uri” care scurt-circuitează strădaniile noastre de a le forma o gândire matematică corectă. Cu alte cuvinte, dacă nu adaptăm noi lecţia la nivelul lor – noi am face-o corect – atunci o fac ei, şi de cele mai multe ori ei o fac greşit, inventând reguli care sunt în general false.

De curând am găsit un exemplu flagrant în acest sens: un elev de clasa a V-a pe care l-am întrebat cum a făcut exerciţiul de la lucrare cu comparare de puteri (era desigur un exerciţiu cu două puteri care nu aveau nici aceeaşi bază, nici acelaşi exponent, aşa cum cere în programă; dar cele din programă sunt banale; pentru olimpici avem nevoie să sărim peste programă şi să folosim o formulă ce este trecută actualmente la începutul clasei a VI-a; s-ar putea imagina desigur şi o rezolvare fără formula respectivă, dar oricum nu respectă programa).

Răspunsul elevului a fost bulversant: exerciţiul acela a fost uşor: puterea cu baza mai mică şi exponentul mai mare, aia este mai mare! (am citat cuvânt cu cuvănt, pentru că l-am notat imediat pe o hârtiuţă).

Este evident că pe viitor voi avea mare grijă să aleg la aceste exerciţii – în clasa a VI-a – un număr egal de exemple pe ambele variante şi voi avea în plus grijă să-i şi atenţionez să nu inventeze vreo regulă de scurtătură. Pentru asta mi-am pregătit câte trei exemple din fiecare (cu câştigătorul cu baza mai mare, respectiv cu baza mai mică), pe care să le dau la clasă, ca să fiu sigur, independent de ce oferă autorii culegerii după care lucrăm la teme. Iată cele şase exemple:

1) Exemple la care este mai mare puterea cu bază mai mare:

233 < 322 pentru că 23 < 32 (8 < 9)

636 < 1524 pentru că 63 < 152 (216 < 225)

721 < 1914 pentru că 73 < 192 (343 < 361)

2) Exemple la care este mai mică puterea cu bază mai mare:

514 < 321 pentru că 52 < 33 (25 < 27)

515 < 235 pentru că 53 < 27 (125 < 128)

355 < 288 pentru că 35 < 28 (243 < 256)

Căutând un motiv pentru care elevul nostru a apelat la o astfel de “regulă” de scurtătură, îmi imaginez doar că mintea sa a încercat să gândească ce se întâmplă la exerciţiile de la clasă, dar gândirea sa nefiind trecută de la nivelul aritmetic la cel algebric, gândirea sa deci a avut impresia că “observă o regularitate”, iar atunci, în acel moment s-a simţit în posesia adevărului, reţinând ideea respectivă drept regulă.

Titus Grigorovici

Din perlele comentatorilor TV

Mai deunăzi urmăream la televizor un concurs de sărituri cu schiurile de la trambulină. Totul decurgea cum nu se poate mai bine, erau în manşa a doua a concursului, săritorii zburau tot mai mult, tensiunea creştea iar comentatorul se străduia să redea cât se putea de bine starea de spirit din jurul trambulinei. La un moment dat comentatorului nu i-a mai ajuns vocabularul normal şi a apelat la amintirile vagi ce le mai avea din copilărie: cutare săritor, ne aşteptăm să primească note bune de la juriu, pentru că a aterizat foarte bine, cu schiurile coplanare!

Era să mă apuce sughiţu’: oare cum ar fi să aterizeze un schior cu schiurile necoplanare? N-aş vrea să văd aşa ceva! Concurentului respectiv îi fugise piciorul drept un pic în exterior, iar comentatorul a vrut probabil să exprime că schiurile au fost la aterizare aproape paralele, cu un defect neglijabil. Ce a ieşit pe gură, ne arată însă ceaţa deasă ce se aşterne după ani şi ani asupra cuvintelor “turnate cu tolceriu” în mintea elevilor, fără ca aceştia să le înţeleagă cu adevărat. Pentru că un lucru este clar: ce ai înţeles cu adevărat nu se va putea întoarce niciodată greşit, sub forma unei astfel de perle.

La mulți ani! 2016

Ce dată credeţi că este prezentată în scrierea de mai jos?

(2□)Δ..3Δ∙(2□)□∙(3Δ)Δ

Nu vă speriaţi! Nu este nimic greşit în transcrierea textului pe aparatul dvs. M-am jucat doar un pic cu notaţiile, de obicei atât de uzuale în matematică.

Astfel, prin 5Δ am notat numărul triunghiular 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

În mod similar, am notat de data asta cu 5□ numărul pătrat 25 = 5 ∙ 5 = 52.

Vă las ca o scurtă temă de cercetare să aflaţi ce sunt acelea numere triunghiulare şi cum se reprezintă ele grafic, dar şi cum apar ele în materia obişnuită de clasa a V-a. Dacă vă străduiţi puţin veţi găsi că am trecut acolo nimic mai mult decât ultima zi din această vacanţă de iarnă.

Interesant că la toate clasele sa manifestat o mare nedumerire în legătură cu punctuleţele de jos. Ce înseamnă acestea? Era foarte interesant că nu se ocupau de ceea ce ştiu, ci tot întrebau despre aspectele neînţelese.

Oricum, rămân în urma primei zile de şcoală cu amintirea unor zâmbete entuziasmate din parte elevilor care au reuşit să traducă până la capăt, înţelegând astfel şi ce-i cu punctele acelea de jos.

Cei care au terminat mai repede au primit şi un bonus, anume să descifreze şi următoarea “minune”:

210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 = 2016

Cei extrem de harnici au primit “de descifrat” şi anul precedent, a cărui scriere este la fel de ciudată:

210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 2015

*

Prima zi de şcoală reprezintă întotdeauna o ciudăţenie. Pe de-o parte o urăşte toată lumea, aici fiind unul din puţinele momente când sunt de acord şi elevii şi profesorii. Pe de cealaltă parte, reîntâlnirea cu colegii şi prietenii reprezintă pentru mulţi un moment de bucurie.

Pentru a intra cât de repede în procesul matematic, dar a nu prezenta prin aceasta un şoc elevilor, eu obişnuiesc să le aduc în prima oră de matematică o problemă distractivă, o întrebare cu tâlc, care nu trebuie să aibă de-a face neapărat cu materia la zi sau cu cea parcursă înainte de vacanţă. Acestea au întotdeauna efectul de a afişa pe faţa elevilor o stare de bucurie amestecată cu uimire, stare pe care apoi o folosesc pentru a intra în matematică cu optimism (desigur, cât de bine merge de la un elev la altul). Anul acesta am adus întrebarea de mai sus, cu descifrarea căreia am petrecut câteva clipe interesante. Întrebarea este foarte bună şi potrivită deoarece:

  • este clar “de sezon”;
  • este din materia de sem.I de clasa a V-a, fiind astfel accesibilă oricărei clase;
  • nu o ştie nimeni, deoarece am generat-o în vacanţa asta, când am luat la analizat ce proprietăţi aritmetice o fi având numărul acestui nou an;
  • problemuţa de mai sus are un aer foarte ciudat, aceasta apărându-ne suspendată undeva între următoarele trei întrebări: 1) este vre-o problemă de afişare, gen o varintă prea nouă de Windows, pe care eu nu o am? 2) este o scriere ciudată dintr-un templu maiaş găsită de către Indiana Jones? 3) sau a apărut, dar n-am observat-o eu, în ultimul episod din Războiul Stelelor?

Oricum, La mulți ani! 2016

Titus Grigorovici

Vârstele lui Petra

Petra a împlinit de curând 14 ani, iar tatăl ei împlineşte şi el cât de repede 41 ani. Cele două vârste sunt numere răsturnate. Peste 11 ani, când Petra va împlini 25 ani, tatăl ei va avea 52 ani. Peste încă 11 ani Petra va avea apoi 36 ani iar tatăl ei 63, tot numere răsturnate şamd. Cele mai distractive sunt desigur situaţile extreme, 03 şi 30 ani, respectiv 69 şi 96 ani.

Mama Petrei a studiat situaţia şi spune că aceasta se întâmplă pentru că diferenţa de vârstă dintre cei doi este un număr multiplu de 9. Se poate verifica, iar apoi căuta o demonstraţie.

Oricum, un călduros La Mulţi Ani! Petrei şi familiei sale.

Cu drag, Titus, profu de mate

Conferinţă Constanza Kaliks, Florian Osswald şi Oliver Conradt

5WM-8 din 9 oct. 2015

Accente pentru viitor

Încheierea Congresului profesorilor de matematică Waldorf, de la Dornach, Elveţia, a avut loc în cadrul unei “conferinţe” de analiză şi concluzii condusă de către reprezentanţii celor trei secţiuni organizatoare de la Goetheanum: Constanza Kalics (secţiunea pentru tineret), Florian Osswald (unul din cei doi conducători ai secţiunii pedagogice) şi Oliver Conradt (secţiunea pentru matematică şi astronomie), cei trei vorbind alternativ. Vă prezentăm în continuare ideile principale pe care le-am notat la această încheiere.

Noi trebuie prin predarea noastră să le facem elevilor lumea în care trăiesc inteligibilă, adică să le-o prezentăm ca să o poată înţelege, să le-o “oferim” posibil de înţeles, deci înţelegerea lumii să le fie accesibilă (cerinţa chiar a fost repetată în trei feluri).

Pentru a atinge acest obiectiv profesorii de matematică din şcolile Waldorf se întâlnesc regulat şi dezbat problemele specifice.

De pildă, în America de Sud are loc la Buenos Aires câte o întâlnire în iulie şi februarie, la care vin profesori din toate liceele Waldorf (minimul de participanţi a fost de 18 persoane, maximul de cca. 100). Fiecare profesor îşi propune pentru ½ de an o temă de cercetare pe care apoi o prezintă colegilor.

În Germania au loc întâlniri regulate la care participă atât profesori de matematică, cât şi învăţători, fiind dezbătute şi multe teme de interes comun (la fel a fost şi la acest congres mondial, cu mulţi profesori, dar şi cu învăţători doritori de înţelegerea problematicii predării matematicii).

În Statele Unite au loc întâlniri regulate la Spring Valley cu un număr de 20-25 participanţi, profesori şi învăţători (trebuie precizat că în sistemul Waldorf învăţătorul conduce clasa până undeva la vârsta de 13-14 ani, problematica matematicii fiind deci mult mai stringentă pentru învăţători).

Cunosc din altă sursă că în Suedia au loc întâlniri similare de două ori pe an, pentru un weekend, ultima având loc în octombrie la Göteborg (adăugare CTG).

Pe de altă parte, matematica este neglijată în foarte multe ţări, de exemplu în Mexic. Peste tot în lume, atunci când matematicianul trage activitatea spre “munca în cap”, vine câte unul care vrea mai mult artistic (în şcolile Waldorf – comentariu CTG).

În ciclul primar, între învăţători trăieşte o mare frică de matematică (frică pe faţă sau frică ascunsă, mascată de o activă lăudăroşenie – comentariu CTG). De această frică, aproape repulsie, se poate scăpa doar printr-o strânsă colaborare cu profesorul de matematică; prin lucrul împreună şi proiecte comune se poate rezolva destul de bine “problema aritmetică”.

Printre alte diferite luări de cuvânt ale celor prezenţi, în acest moment am prezentat şi eu o situaţie specială. Ca profesor de matematică, am colaborat bine cu învăţătoarea fiicei mele, care a acceptat tot mai deschis sfaturile şi activităţile împreună; au fost în general discuţii sau participări comune la cursuri de predare a matematicii în pedagogia Waldorf, dar am ajuns până la nivelul de sfătuire deschisă, iar colaborarea a culminat cu preluarea unor ore de matematică spre finalul clasei a IV-a (cu asistare reciprocă, dar şi când dânsa trebuia să supravegheze la EN la clasa a II-a, eu am ţinut ore de matematică la clasa a IV-a). Anul următor colega mea chiar s-a plâns că-i lipseşte colaborarea din trecut. Am mai avut şi un alt caz de colaborare bună cu o învăţătoare, dar din păcate cu alte exemple de bună practică deschisă nu mă pot lăuda (comentariu CTG).

Congresul profesorilor de matematică Waldorf s-a încheiat cu invitaţia de participare la următoarea manifestare de acest gen, ce se intenţionează a fi organizată peste trei ani.

În continuare, după vacanţa de Crăciun, vom încerca să prezentăm şi celelalte activităţi de la acest congres.

12 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici