Opening Mathematics – Deschiderea matematicii

Matematica îi confruntă pe dascăli cu o întrebare centrală: explicăm matematica – sau îi încurajăm pe elevi să gândească singuri şi să creeze pe această cale  reprezentări proprii, din care se generează  matematica?

Prin explicare dascălul încearcă să transmită elevilor concepte şi metode pre-gătite, adică anterior generate şi dezvoltate. Această abordare a predării matematicii este de obicei folosită ca strategie, pentru a asigura asimilarea de cunoştinţe şi abilităţi la elevi, care sunt considerate ca obligatorii pentru participarea la etape de şcolire ulterioare.

A-i încuraja pe elevi să gândească singuri, le întăreşte însă capacitatea productivă a acestora în a se angaja în propriile tentative de explorare a necunoscutului, cu inerentele căi înfundate sau erori întâlnite, acest drum reprezentând “compost” pentru apariţia şi creşterea ideilor fertile, care cu timpul pot străluci clar în spaţiul imaginativ interior, cristalizând în structuri matematice.

Realitatea structurilor matematice poate fi vieţuită doar prin producerea interioară. “A produce este mai simplu decât a percepe (a primi, a prelua, a pricepe o reţetă?), pentru că a prelua şi a pricepe implică întotdeauna două puncte de vedere, pe când în a produce este nevoie doar de un singur punct de vedere – propriul punct de vedere, cel puţin pentru început. Din acest motiv învăţăceii ar trebui să poată începe cu a produce gânduri”.  Producerea este mai eficientă în dezvoltarea unei înţelegeri matematice reale decât receptarea şi, în plus, eliberează spiritul. (Citat din Peter Gallin, 2011, Matematica ca ştiinţă spirituală. Prevenirea dialogică (prin dialog) a avarierii matematice, Online: www.gallin.ch/Gallin_MathAlsGeistesw.pdf).

Matematica este văzută ca o ştiinţă demonstrativă. Dar acesta este doar unul dintre aspectele ei. Matematica terminată, în forma ei finalizată (*), apare ca pur demonstrativă, constând doar din demonstraţii. Dar matematica în devenire, în faza sa de producere, se aseamănă cu orice alt fel de cunoaştere umană, în faza de generare. O teoremă matematică trebuie mai întâi ghicită, înainte de a fi demonstrată; trebuie să intuieşti o demonstraţie înainte să o efectuezi până în detaliu. Trebuie să combini observaţii şi să urmăreşti analogii; trebuie să încerci din nou şi din nou. Rezultatul muncii creative a matematicianului este raţionamentul demonstrativ, este o demonstraţie; dar demonstraţia este descoperită prin raţionament plausibil, prin ghicit. Dacă învăţatul matematicii ar trebui să reflecte într-o oarecare măsură inventarea acesteia, atunci trebuie să fie lăsat loc şi pentru ghicit (**), pentru deducţia plauzibilă.” (George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile, Princeton 1954***).

Este bine cunoscut că Rudolf Steiner a propus ca matematica să fie abordată de la întreg la părţi (de pildă 12 = ?), în loc de a porni de la părţi, care apoi să fie asamblate într-un întreg (de pildă 5 + 7 = ?, ca abordare tradiţională şi încă actualmente foarte utilizată). Luând întregul ca punct de plecare, întrebările sau problemele matematice se transformă în întrebări deschise. În loc de a-şi propune să-l direcţioneze pe elev spre un anume răspuns, această abordare crează o deschidere către multe răspunsuri şi rezolvări posibile. Didactica modernă a predării matematicii susţine că folosirea întrebărilor deschise este mult mai revigorantă decât a da elevilor întrebări închise cu doar un răspuns corect. Întrebările deschise stimulează “jucatul” cu o problemă şi conduc pe drumul speculativ-meditativ al gândirii în procesul ei de cercetare inventivă, spre răspunsuri ce pot fi comparate şi discutate.

Opening Mathematics doreşte să încurajeze pedagogi Waldorf din toată lumea, a acorda mai multă încredere elevilor prin punerea de probleme deschise. Pentru mai multe resurse accesaţi site-ul opening-mathematics.net. Vă încurajăm să participaţi şi să vă împărtăşiţi propriile experienţe cu întrebări deschise din întregul Curriculum de matematică al şcolilor Waldorf (clasele 1 – 12/13).

Împărtăşind îi puteţi ajuta, inspira, chiar încuraja şi pe alţii în autodezvoltarea predării. Prin schimbul de experienţe se poate creea o imagine cuprinzătoare despre practica şi înţelegerea educaţiei matematice în şcolile Steiner/ Waldorf. Experienţele şi reflecţiile primite vor fi colectate şi analizate, apoi postate în vederea studiului posibilităţilor existente şi  aprofundării înţelegerii acestora de către profesori.

Întregul text de mai sus, cât şi imaginea respectivă, sunt preluate din pliantul de prezentare Opening Mathematics din cadrul campaniei WALDORF 100 – LEARN TO CHANGE THE WORLD, o companie de celebrare a unui centenar de la înfiinţarea primei şcoli Waldorf în toamna lui 1919 la Stuttgart în Germania. Mai multe puteţi afla la adresa waldorf100@opening-mathematics.net. Traducerea materialului reprezintă un amestec optimizat între pliantul în limba germană şi pliantul în limba engleză. Mulţumesc pe această cale d-lui Detlef Hardorp (matematician şi fost profesor de matematică în şcoală Waldorf), de la care am primit aceste pliante, cât şi permisiunea explicită de traducere. Alături de dânsul, ceilalţi colegi care conduc echipa de evaluare a propunerilor sunt Aziza Mayo şi Daniel Jaeger. Traducerea de mai sus reprezintă primele două pagini ale pliantului. A treia pagină cuprinde o serie de 7 întrebări ce trebuie urmărite de către persoana ce propune, echipa de lucru, cât şi adresa unde se pot trimite propunerile (de găsit la adresa de mai sus). Este evident că materialul de faţă are în vedere toţi dascălii care predau matematica, atât învăţătorii cât şi profesorii de matematică.

Note explicative la traducere: (*) – în lucrările sale prof. Eugen Rusu vorbea despre “matematica rezultat”, adică matematica organizată în formă de curs gata de predat, în opoziţie cu “matematica proces”; (**) – este vorba despre ghicitul intuitiv, bănuit, sesizat, nu ghicitul la întâmplare (original engleză: guessing; germană: Erraten). (***) Lucrarea lui George Pólya, Matematica şi raţionamentele plauzibile este publicată şi în română la Editura ştiinţifică, 1962. Pasajul de mai sus este preluat din prefaţa volumului I, volum ce poartă subtitlul Inducţia şi analogia în matematică (volumul II poartă subtitlul Scheme de interferenţe plauzibile). Citatul de mai sus din această carte este tradus de mine. Pentru cei care doresc să-l aprofundeze, ofer acest citat şi în varianta din cartea în româneşte (traducător Radu Theodorescu), împreună cu o parte din aliniatul premergător (pag.8):

Este unanim cunoscut că matematica ne oferă o minunată ocazie de a învăţa modul de raţionament demonstrativ, dar afirm, de asemenea, că în programele analitice obişnuite ale instituţiilor de învăţămînt nu există un obiect care să ne ofere un prilej tot atît de bun pentru a învăţa raţionamentul plauzibil. Mă adresez tuturor celor care studiază matematica, pe cea elementară sau pe cea superioară, şi care sînt intersaţi să şi-o însuşească, şi le spun: Desigur, vom învăţa să demonstrăm, dar vom învăţa, totodată, să intuim, să ghicim. (…)

Matematica este considerată ca o ştiinţă demonstrativă. Aceasta este însă numai una dintre laturile ei. Matematica expusă într-o formă închegată se prezintă ca o ştiinţă pur demonstrativă, constînd numai din demonstraţii. Însă în procesul de formare, matematica seamănă cu toate celelalte cunoştinţe umane aflate şi ele în acest proces. Trebuie să intuiţi o teoremă matematică înainte de a o demonstra; trebuie să intuiţi ideea demonstraţiei, înainte de a o efectua în toate detaliile ei. Trebuie să combinaţi observaţii şi să urmăriţi analogii; trebuie să încercaţi şi iarăşi să încercaţi. Rezultatul muncii de creaţie a matematicianului este un raţionament demonstrativ, o demonstraţie; însă demonstraţia se dezvăluie cu ajutorul unui raţionament plauzibil, cu ajutorul unei ipoteze. Dacă predarea matematicii reflectă, în vreun grad, modul în care se creează matematica, atunci ea trebuie să facă loc ipotezei, inferenţei plauzibile.

Titus Grigorovici, Liceul Waldorf Cluj

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *