Articole de metodică

În paginile caietelor de matematică PENTAGONIA am inclus diverse prezentări de metodică a predării unor lecţii din programa şcolară. Iată o scurtă listă a acestora, pentru a le putea găsi mai uşor.

  • Apariţia numerelor complexe – predarea prin întrebări – Pentagonia nr.2
  • Ecuaţii de gradul I cu parametru – Pentagonia nr.3
  • Fracţiile zecimale – predarea prin întrebăriPentagonia nr.4
  • Extragerea radicalului, rădăcina pătrată şi numerele iraţionale în claseleVI-VIII – Pentagonia nr.6
  • Proporţionalitatea directă şi proporţionalitatea inversă – Pentagonia nr.7
  • Predarea ariilor în gimnaziu – Pentagonia nr.8
  • Linia mijlocie în triunghi – studiu de teoremă directă şi reciprocele sale – Pentagonia nr.9

Alte prezentări metodico-didactice vor urma.

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Corpurile platonice (perfecte)

Una dintre marile teme ale culturii omeneşti ce lipsesc din programa şcolară o reprezintă setul celor cinci corpuri perfecte, cunoscute în vest drept Corpuri Platonice. Dintre acestea doar cubul şi tetraedrul regulat apar la noi în programa gimnazială, celelalte trei lipsind cu totul din conştienţa generală.
Cei doritori găsesc o prezentare scurtă a acestora şi a unor conexiuni dintre ele în paginile caietelor PENTAGONIA, astfel:

  • Introducere; I. Octaedrul; II. Tetraedrul, cubul şi octaedrul înscrise unul în celălalt – Pentagonia nr.2
  • III. Câte poliedre regulate există?; IV. Dodecaedrul – Pentagonia nr.3
  • V. Platon, Kepler şi corpurile perfecte; VI. Icosaedrul – Pentagonia nr.4

Subiectul nu este nici pe departe epuizat, dar oferă doritorului o minimă linie de plutire în cultura generală a omenirii, prezentabilă şi accesibilă la nivelul de clasa a VIII-a. În acest sens merită amintită o întâmplare cu un fost elev, care după clasa a IX-a s-a mutat cu familia în Statele Unite. Peste ani m-am trezit cu el la o serbare de final de an şcolar: venise să mă salute şi să-mi spună că în anul I la facultatea de arhitectură la Seattle a fost singurul care a ştiut de aceste corpuri, să le denumească şi să spună câte ceva despre ele (Salut Vlad!).
Pentru cei care încă nu sunt convinşi, studiaţi un pic promo-urile folosite pe postul de muzică ZU TV până la începutul verii 2015, să vedeţi câte icosaedre aveau ei acolo (şi pe care le-au văzut zilnic elevii).

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Prezentare de carte

Cine nu ia o carte de matematică în mână pătruns de un sentiment de sacru, nu va găsi mare lucru în această carte. NOVALIS

În ultimele trei caiete PENTAGONIA, din 2001 şi 2002, am început să prezentăm cărţi de matematică. Nu este vorba despre culegeri de exerciţii şi probleme, şi nici despre manuale de matematică, ci despre cărţi care vorbesc despre matematică, despre istoricul acesteia şi despre cum ar trebui să ne apropiem împreună cu elevii de matematică.
Citindu-le, profesorul de matematică poate găsi inspiraţie în a-şi structura lecţiile mai atractiv, fie cu mici detalii de o coloratură atractivă, fie în general, ca atitudine de intrat la clasă.

Lucrarea lui Simon Singh, Marea Teoremă a lui Fermat, ajunsă între timp la ediţia a 3-a la Editura Humanitas, rămâne în continuare un posibil cap de afiş în spectacolul acestor cărţi minunate (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.7 din martie 2001), reprezentând o lectură obligatorie pentru orice profesor de matematică ce doreşte să-şi extindă cultura. În Vest această carte a stârnit un val întreg de lucrări de popularizare a matematicii. Este extrem de lăudabil faptul că multe din acestea au fost publicate la Humanitas, devenind astfel accesibile cititorului român, dar despre acestea într-o intervenţie ulterioară.

În Caietul PENTAGONIA No.8 am prezentat mama şi tata tuturor cărţilor de popularizare a matematicii, cele două lucrări ale lui Egmont Colerius, De la tabla înmulţirii la integrală, respectiv De la punct la a patra dimensiune, apărute în perioada interbelică şi traduse în româneşte în 1967. În legătură cu această carte iată o istorioară interesantă: profesorul Wolf Klein de la Şcoala Waldorf din Klagenfurt, Austria, a contactat pe vremuri editura ce a publicat iniţial cartea în germană şi a obţinut o reeditare pentru elevii săi. Cu acest exemplu în faţă, cred că merită să o citim şi noi. (De căutat prin anticariate sau biblioteci cu carte mai veche).

O lucrare îmi este foarte special apropiată de suflet: Paul J.Nahin, O poveste imaginară. Istoria numărului radical din –1 a apărut în 2000 la editura Theta, Bucureşti (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.9 din sept.2002). Pentru profesorul de liceu aceasta reprezintă o lectură obligatorie, mai ales din prisma cunoaşterii apariţiei acestor numere şi a înţelegerii aberaţiei didactice reprezentată de lecţiile de introducere a numerelor complexe în forma actuală, existentă în manuale de prin 1980. În acest sens vă recomand şi lecturarea articolului metodic Apariţia numerelor complexe; predarea noţiunii prin întrebări din Caietul PENTAGONIA No.2. În 1998 o elevă de-a 7-a la citit şi ne-a zis că a înţeles tot. Oare, de ce din forma de predare din manuale nu înţelege nimeni nimic?

Alte prezentări de carte vor urma.

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Editorial Pentagonia

Pe lângă prezentarea din primul număr, în caietele Pentagonia găsiţi următoarele eseuri-editoriale despre situaţia predării matematicii şcolare. În fiecare din acestea găsiţi păreri exprimate mai timid sau mai hotărât despre ce merge, dar mai ales despre ce nu merge bine în matematica de la clasă. Citindu-le după atâţia ani, cât sunt de valabile în continuare, considerăm că merită citite şi acum (unele integral, altele măcar parţial).

Prof. C.Titus Grigorovici

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf

Zilele acestea are loc în Elveţia, la Dornach lângă Basel, primul congres mondial al profesorilor de matematică din şcolile Waldorf (5-9 oct. 2015).

Manifestarea, de o magnitudine nemaiîntâlnită, este cu totul dedicată artei predării matematicii la toate vârstele şcolare (primar, gimnaziu şi liceu).

Puteţi studia temele propuse spre dezbatere în plen, cât şi pe grupe de lucru, la adresa http://www.paedagogik-goetheanum.ch sau accesând direct http://www.mas.goetheanum.org/Welt-Mathematiklehrertagung.7762.0.html?&L=1.

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe
Introducerea operației de putere la numerele naturale

Una din întrebările esenţiale, dar despre care mai nimeni nu-şi face multe gânduri, este următoarea: unde este trecerea de la aritmetică la algebră?

În eseul prezentat m-am preocupat de întrebarea: ce este gândirea aritmetică şi ce este gândirea algebrică, şi cum se diferenţiază una de cealaltă?

Am studiat această întrebare pe două plane: întâi la nivelul teoretic din punct de vedere al dezvoltării copiilor, apoi la un nivel concret, cu susţinere mai mult psihologică, pe baza exemplului introducerii operaţiei de putere şi a proprietăţilor operaţiilor cu puteri.

Eseul de faţă sublinează – printre rânduri – motivul pentru care preocuparea mea de bază o reprezintă actualmente predarea matematicii în ciclul gimnazial: este perioada în care pe rând elevii trec de la stadiului operaţional concret la stadiu operaţional formal; primii fac această trecere uşor odată cu trecerea în clasa a V-a, dar mulţi elevi o fac de-abia în anii următori, la trecerea în clasa a VI-a sau chiar în a VII-a. Din păcate însă acest aspect a fost neglijat puternic din anii ‘80 încoace.

Am încheiat această expunere de gânduri cu o scurtă fişă de lucru pentru însuşirea şi stabilizarea operaţiei de putere nou învăţate prin exerciţii de ordinea operaţiilor numerelor naturale (prezentată din motive practice în două exemplare). Spor la lucru!

Gândirea aritmetică VS Gândirea algebrică.pdf

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Conferință Dr. H. Paschen

Vara asta, la terminarea anului şcolar, pe 10 iunie 2015, la Facultatea de Psihologie şi Ştiinţe ale Educaţiei din cadrul Universităţii Babeş-Bolyai din Cluj, am avut bucuria să-l audiez pe dl. Prof. univ. dr. habil. Harm Paschen de la Universitatea Bielefeld din Germania, cu o prezentare despre:

Importanţa pedagogică a conceptelor de cunoaştere non-discursive: empatia, intuiţia, spiritualitatea, tactul (Die Pädagogische Bedeutung der Konzepte von non-diskursiven Erkenntnis: Empathie, Intuition, Spiritualität, Takt).

Daţi-mi voie să vă prezint câteva idei din această conferinţă deosebit de interesantă.

  • încă din 1942 Susanne Langer vorbea despre faptul că muzica, arta în general, este o ştiinţă despre sentimente şi emoţii;
  • empatia nu este încă inclusă în pedagogie ca ştiinţă; eşti admis la facultate pe baza testării disciplinei respective, fără a fi verificat dacă ai tactul necesar pentru a acţiona pe viitor în faţa elevilor; un studiu în Germania arată că undeva între 35% şi 50% dintre profesori nu au empatia necesară exercitării acestei meserii;
  • tactul este direct înrudit cu empatia şi reprezintă calitatea modului în care interacţionezi cu ceilalţi (Herbarth, 1930?); empatia şi tactul merg mână în mână, determinând calitatea actului pedagogic;
  • prin “flow” se înţelege fenomenul in care oamenii ajung să fie ca uniţi cu un lucru (de ex. felul in care ne unim cu calculatorul şi nu ne mai putem desprinde de acesta); există o predare în care să apară “flow”, o predare care să-i capteze cu totul pe elevi?
  • prin “val” se înţelege procesul prin care pedagogul nu este cel care face ceva, ci cel care are “un val” şi îi ia şi pe elevi “cu valul”; nici această metodă nu este una discursivă;
  • intuiţia reprezintă experienţă încă neconştientizată; pedagogii au de-a face cu creiere, lucrul cel mai complicat din univers;
  • spiritualitatea (în general aceasta nu trebuie confundată cu spiritualitatea credinţei): în dezvoltaria matematicii aceasta a devenit tot mai spirituală, cu cât s-a desprins mai mult de slujirea lumii exterioare;
  • alte exemple de prezentări non-discursive: imaginile, muzica;

Acestea au fost câteva idei pe care am apucat să le notez din această conferinţă. Au fost şi multe exemple presărate în diferite momente. La “val” de pildă a fost un exemplu cu nişte elevi din internat care căutau noaptea, sub pătură, cu lanterna, soluţia problemei profesorului de mate la o problemă foarte palpitant pusă

C. Titus Grigorovici

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Șirul lui Fibonacci în gimnaziu

Suntem obişnuiţi cu prezenţa şirului lui Fibonacci în liceu şi idea introducerii cunoştinţelor despre acesta în gimnaziu pare surprinzătoare. Să analizăm un pic subiectul şi veţi vedea că lucrurile sunt chiar accesibile.

În clasa a V-a le-am dat elevilor câteva numere, să zicem până la 8, şi le-am cerut să-l găsească pe următorul, fără a le da vreun indiciu despre cum este construit şirul.

1      1      2      3      5      8      …

Dacă nu apare numărul următor corect din câteva încercări, îl scriu eu pe următorul:

1      1      2      3      5      8      13    …

Apoi le cer din nou să continue ei. Până la urmă tot se prinde vreun elev din clasă despre ce-i vorba şi care-i şmecheria. Pasul următor este să le cer să completeze şirul până la al douăzecelea termen şi să studieze ce se întâmplă (apar câteva mici surprize).

Un alt exerciţiu, eventual ca temă, este construirea de şiruri de tip Fibonacci. Pentru acestea alegem două numere iniţiale oarecare, de pildă 4 şi 5, din care construim mai departe următorii termeni după regula din şirul lui Fibonacci (fiecare termen ca sumă al celor doi precedenţi).

Până aici nimic special, până de curând, când am luat la răsfoit o carte de Feng Shui (The complete idiot’s guide Feng Shui, de Elizabeth Moran, Joseph Yu, Val Biktashev, apărută la Ed. Curtea Veche), şi am găsit referiri la şirul lui Fibonacci (pare-se adunate din Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, de Trudi Hammel Garland, apărută la Dale Seymour Publications, 1987).

Şi iată ce proprietate am găsit aici:

Suma oricăror zece numere succesive din şirul lui Fibonacci este un număr divizibil cu 11, iar rezultatul împărţirii acestei sume la 11 este tot un număr din şirul lui Fibonacci, mai exact al patrulea de la coadă din seria celor zece alese.

De exemplu: 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 = 979, iar 979 : 11 = 89.

Acesta este deja un exerciţiu de fluidizare a calculului mult mai interesant pentru clasele mici (ca temă, fiecare elev are de verificat trei exemple până ora viitoare).

La elevii mai mari însă, putem trece de la faza de verificare a câtorva cazuri, la faza de demonstrare a generalităţii acestei proprietăţi. Deci, să încercăm o demonstraţie!

Nici n-am apucat să caut o demonstraţie într-o carte sau pe vreun site, că mi-a trecut prin minte o demonstraţie (în timp ce conduceam prin oraş!). Când am ajuns la destinaţie, mai întâi am verificat demonstraţia pe un bon de benzină, şi SURPRIZĂ!, a funcţionat.

Vă propun să căutaţi şi voi această demonstraţie, plecând de la idea că proprietatea prezentată – de divizibilitate la 11 – ar putea fi valabilă pentru orice şir de tip Fibonacci. Deci, plecăm de la două numere oarecare şi mai construim încă opt numere de tip Fibonacci, apoi facem suma lor şi … gata, v-am spus destul!

  1. Vă propun să hotărâţi apoi din ce clasă se poate da ca temă de lucru această demonstraţie. Eu zic că în clasa a VII-a (a şaptea!) merge deja lejer.

C.Titus Grigorovici

14 aug. 2015

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Arta predării matematicii

Prin artă înţelegem nu doar marea artă reprezentată de marile nume, cum ar fi Grigorescu sau Celibidache. Prin artă înţelegem şi mica artă reprezentată de anonimii – muzician sau olar – care ne încântă la colţul străzii sau în bazare; mă gândesc la croitorul care a cusut o rochie superbă sau la fierarul care a făcut elemente frumoase pentru o poartă, sau la sticlarul care a conceput o sticlă frumoasă din care ne vom încânta cu un vin deosebit; meşteşugarii cei mulţi, lăutarii sau artizanii populari în ceramica de la Horezu sau în porţile maramureşene, lista putând continua la nesfârşit. Aceşti meşteşugari reprezintă baza piramidei în vârful căreia au ajuns Porumbescu sau Brâncuşi. Mica artă poate fi denumită şi arta de zi cu zi. Cu marea artă te întâlneşti rar, dar cu mica artă te întâlneşti des.

Orice meserie îşi are artiştii săi, cei care o practică atât de bine încât rezultatul muncii lor să devină o încântare. Chiar şi predarea matematicii poate fi practicată ca o artă, făcută să încânte, iar beneficiarul acestei încântări va fi elevul. Predarea la ora de matematică trebuie să aducă bucurie elevilor: cât mai des şi cât mai multor elevi!

Se nasc aici două mari întrebări: De ce să facem astfel?, şi Cum să facem astfel?. În cazul ambelor întrebări se pot da multe răspunsuri şi oricine poate să-şi dea drumul imaginaţiei.

La prima întrebare aş încerca un răspuns cu implicaţii naţionale. Cu cât lecţia de matematică este mai atractivă pentru cât mai mulţi elevi, cu atât mai eficientă va fi această materie în formarea gândirii ordonate, logice. Cu cât mai multă matematică ajunge la sufletul copiilor, cu atât mai clar matematica îşi poate îndeplini rolul său formator de bază, anume formarea capacităţii de a lua decizii corecte, lipsite de subiectivitate. Matematica este una dintre cele mai obiective discipline de studiu în şcoală, şi ea este probabil principalul formator de obiectivitate în mintea elevilor. Or, la poporul nostru, şi latin şi balcanic totodată, deci plin de subiectivităţi în toate cele, este foarte important ca matematica să ajungă cât mai des şi la cât mai mulţi elevi în suflet, pentru a mai echilibra balanţa dintre obiectivitate şi subiectivitate.

Este un fenomen uimitor aici: aducând mai mult sentiment pozitiv (adică ceva subiectiv) în ora de matematică, elevii se apropie mai mult de această disciplină şi dobândesc în final capacitatea unor decizii mai obiective. Dimpotrivă, predarea mult prea riguroasă, de inspiraţie a prelegerilor universitare, deci foarte obiectivă, este accesibilă foarte puţinor elevi, restul nebeneficiind de caracterul formator al matematicii şi trăind mai tot timpul paralel cu aceasta. Care este rezultatul a zeci de ani de astfel de predare, mult prea seacă, a matematicii? În jurul nostru, la toate nivelele, putem observa generaţii întregi de adulţi la care singurul mod de decizie este cel subiectiv; generaţii întregi care nu pot lua şi nu pot accepta decizii obiective; generaţii care nu reuşesc să discearnă datele obiective ale unei situaţii, de părerile şi impresiile lor subiective. Cât de sănătoasă este o astfel de politică şcolară matematică, trebuie alţii să decidă; eu doar observ.

Despre cea de-a doua întrebare, Cum?, revenind la arta predării matematicii şi la profesorul de la clasă, acesta trebuie să fie pe deplin conştient de menirea sa, atât pentru viitorul elevului, cât şi pentru viitorul naţiunii. Deci, ce educăm? Educăm elevi buni, sau educăm oameni pregătiţi sănătos pentru viaţă? Eu înclin spre cea de-a doua variantă (care în mod ciudat o include şi pe prima).

Dar cum se face asta? Nu cred că se pot da reţete clare. Putem încerca doar să dăm cât mai multe exemple de bună practică (cât de abuzată este această expresie, oricum foarte subiectivă!), exemple care pe noi ne-au ajutat să trezim lumina în ochii elevilor la ora de matematică, după cum exclama un elev în urmă cu ceva ani, în astfel de momente: MINUNE DUMNEZEIASCĂ!

Prof. C.Titus Grigorovici, aug.2015

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone