Matematica naivă, exemple (1)

Unori Ministerul Educaţiei nu mai ştie ce să facă, aşa că oferă profesorilor ocazia să vină ei cu o propunere inovativă de programă. Ce înseamnă aceasta şi în ce direcţie trebuie o astfel de propunere să fie inovativă, asta nu este clar, deşi, poate era mai bine dacă ministerul împreună cu toate structurile sale de management a educaţiei dădeau nişte linii ghidante. Noi, oamenii de rând nu putem vrăji “la comandă” idei care să fie cu adevărat novatoare, dar totodată şi verificate în sensul eficienţei în condiţiile din ţara noastră. Pe de altă parte, nu se ştie nici odată “de unde sare iepurele”, adică de unde apare o idee bună. Am prezentat în eseul despre matematica naivă câteva idei despre acest nou concept de prezentare a cunoştinţelor matematice în funcţie de posibilităţile şi nevoile vârstelor elevilor, nu în funcţie de dorinţele foştilor diriguitori din Olimpul matematicii româneşti. Totuşi, conceptul este neclar şi prin faptul că îi lipsesc exemple de aplicare în viaţa de zi cu zi. Pentru aceasta voi încerca să prezint câteva situaţii din matematica gimnazială, acolo unde gradul de naivitate necesar este încă mai mare.

Să luăm un exemplu dublu pentru a clarifica lucrurile. Una din marile “minuni” cu care matematica gimnazială s-a catadicsit la reforma din 1980 a fost demonstraţia prin metoda reducerii la absurd. Aceasta era însă atât de inaccesibilă elevilor încât nu a reuşit să penetreze nici măcar fondul de probleme pentru olimpiade. Totuşi, era acceptată oficial şi păstrată în materie datorită celor două mari demonstraţii tradiţionale ce o foloseau: demonstrarea iraţionalităţii lui  venită de la marele Euclid şi demonstrarea congruenţei unghiurilor alterne interne venită din axiomatizarea radicală a geometriei din jurul anului 1900 (amândouă erau în materia clasei a VI-a, dar capitolul despre rădăcina pătrată a fost mutat la sfârşitul anilor ‘90 în clasa a VII-a). Aceste demonstraţii nu se mai fac de mult cu elevii la clasă, dar abordarea şi ordonarea materiei în funcţie de ele este păstrată şi la ora actuală, fără ca lumea să fie conştientă de acest fapt. Să lămurim pe rând cele două situaţii.

Ordonarea materiei în jurul temei TRIUNGHIUL era în anii ‘80 următoarea: triunghiuri şi construcţia lor; cazurile de congruenţă ale triunghiurilor; proprietăţile triunghiurilor isoscele; drepte paralele; axioma paralelelor şi unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă; suma unghiurilor în triunghi (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a, autori Ion Cuculescu, Constantin Ottescu, din cele două exemplare ce le am pe-acasă, cel din 1979 şi cel din 1988). Punctul central al acestei secvenţe de lecţii era teorema de legătură între congruenţa unghiurilor alterne interne şi paralelismul dreptelor cu demonstrarea prin reducere la absurd, folosind congruenţa a două triunghiuri. De-abia după aceasta se putea demonstra şi suma unghiurilor în triunghi.

Ordonarea materiei la ora actuală este cam aceeaşi, în afara de demonstrarea ciudatei teoreme care nu se mai face la clasă de cca. 20 ani. Actualmente, legătura între dreptele paralele şi congruenţa unghiurilor alterne interne se face pe încredere, pentru că aşa zice profesorul. O a doua diferenţă faţă de anii ’80 este că depărtarea dintre prima lecţie despre triunghi şi momentul când se învaţă suma unghiurilor a crescut şi mai mult, între acestea parcurgându-se în prezent şi un capitol serios despre perpendicularitate.

Ce se întâmplă în aceste condiţii la clasă, depinde de la un caz la altul. Din multele variante în care elevii află despre acea sumă miraculoasă de 180o, doresc să evoc una, de care am aflat anul şcolar trecut. Profesorul de la clasă parcurge materia conform programei; aşa, măcar elevii nu ştiu despre ce-i vorba şi basta! Dar în piesa de teatru a acelei şcoli mai exista şi personajul numit profesorul de la opţional, care nu se simţea deloc dator a respecta programa colegului. Astfel, elevii află la opţional că suma unghiurilor ar fi de 180o, cu observaţia evidentă că profu’ de la clasă încă nu poate/nu vrea să v-o divulge. Eu nu doresc întoarcerea la vremurile de rigurozitate extremă din anii ’80-’90, dar nici o batjocură de felul acesta nu accept, la adresa gândirii logico-matematice pe care tocmai ne pregătim să le-o inducem elevilor.

O propunere inovativă simplă de aplicat de către orice profesor, pentru această parte de materie, ar fi studierea unghiurilor formate de două paralele cu o secantă înaintea lecţiei despre triunghi. Aceasta se poate face la fel ca în formatul actual, adică deducând intuitiv congruenţa unghiurilor corespondente, alterne interne etc. Eu, de pildă, folosesc aici o translaţie prin care justific congruenţa unghiurilor corespondente, iar apoi celelalte congruenţe se deduc uşor cu unghiuri opuse la vârf. Această mutare îmi permite includerea în prima lecţie despre triunghi a sumei unghiurilor, cu demonstraţie cu tot! Adică, din prima lecţie elevii învaţă definiţia, elementele, perimetrul şi suma unghiurilor în triunghi, având din start cea mai importantă proprietate a tringhiului. Nu mai insist cât de mult se simplifică lecţiile ulterioare despre triunghi, dacă avem de la început suma unghiurilor. Eu predau în acest format din anul şcolar 1994-1995 şi pot doar să privesc cu durere cum sunt chinuiţi majoritatea elevilor din celelalte şcoli, în formatul vechi. Ca o ultimă observaţie la acest subiect, trebuie precizat că ordinea din această propunere este similară cu ordinea existentă în manualele din anii ’70 ale profesorului A. Hollinger.

Abordarea temei despre RĂDĂCINA PĂTRATĂ se făcea în anii ‘80 în felul următor: rădăcina pătrată dintr-un număr natural pătrat perfect; rădăcina pătrată dintr-un număr raţional nenegativ; rădăcina pătrată cu aproximaţie de o unitate prin lipsă dintr-un număr raţional nenegativ; numere iraţionale; extragerea rădăcinii pătrate (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a din 1979, autori C. P. Popovici, I. C. Ligor). Primele lecţii prezentau câteva elemente introductive greu de înţeles pentru elevul de rând, după care se trecea la demonstrarea iraţionalităţii lui  (demonstraţia arhi-cunoscută prin reducere la absurd), iar în final apărea şi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Exerciţiile rămâneau însă în zona aritmetică de extragere exactă sau aproximativă a rădăcinii pătrate. Urma un capitol despre mulţimi elementare de numere, în care se prezentau mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale respectiv reale. Acolo găsim câteva întrebări în care copiii erau verificaţi dacă ştiu că ş.a. nu sunt raţionale. Atât! Tot restul clasei a VI-a elevii rămâneau în zona aritmetică a rădăcinii pătrate pe care o exersau cu orice ocazie (mai urmau capitolele despre rapoarte şi proporţii, şi despre procente). De-abia în clasa a VII-a elevii treceau la calcule cu numere iraţionale, calcule ce reprezintă nivelul algebric al operaţiilor cu radicali.

Odată cu mutarea capitolului despre rădăcina pătrată în clasa a VII-a, mutare efecuată la finalul anilor ’90, cele două părţi – cea aritmetică şi cea algebrică – au fost cumulate într-un capitol, partea aritmetică pierzându-şi mare parte din perioada sa de aplicaţie/dospire. Actualmente, elevii stau cca. o săptămână în starea aritmetică, după care se trece la calculul algebric cu numere iraţionale.

Oare, este bine aşa? Ce înţelege un elev, dacă scrie  (forma algebrică) şi ce înţelege el din forma aritmetică ? Forma aritmetică este una clară, practică, chiar dacă nu este super-exactă. Forma algebrică este exactă, dar de neînţeles pentru mintea umană normală. Elevul ar avea nevoie de o perioadă de acomodare cu noua operaţie, timp în care să calculeze rădăcina pătrată, în funcţie de natura sa (exactă sau aproximativă), după care, de-abia apoi să treacă la calcule algebrice cu numere iraţionale. În ţările din vestul Europei aşa se face.

Cât despre demonstraţia iraţionalităţii lui , unii profesori nu o mai prezintă (adică merg pe încredere), pe când alţii o fac la clasă, dar elevii în general nu o înţeleg. Părerea mea personală estă că aceasta reprezintă un item clar pentru materia de clasa a IX-a.

O propunere inovativă simplă de aplicat de către orice profesor, pentru această parte de materie, ar fi împărţirea temei în două părţi distincte. De pildă se poate rămâne în starea aritmetică în semestrul I din clasa a VII-a, iar apoi se trece în semestrul II la calculele în forma algebrică cu numere iraţionale. Desigur că s-ar putea reveni tot aşa de bine şi la forma veche, cu partea aritmetică în clasa a VI-a, iar partea de tratare algebrică de-abia în clasa a VII-a.

Un aspect aparte al acestui subiect îl reprezintă forma de aplicare a rădăcinii pătrate în cadrul calculului cu teorema lui Pitagora, în cazul rezultatelor ne-exacte. Calculele de lungimi, perimetre şi arii reprezintă partea practică a geometriei plane, iar la acestea sunt mult mai clare calculele aproximative ale rădăcinii pătrate (adică forma aritmetică). Prin acestea elevul îşi poate dezvolta o percepie naturală şi un bun-simţ al calculului (de exemplu, cam cât este de lungă diagonala unui pătrat cu latura de un metru, dar şi multe alte exemple “practice”). Trecând abia ulterior şi la calcule cu exprimarea rezultatelor în formă exactă iraţională, le permite elevilor realizarea unei înţelegeri naturale a matematicii şi a conexiunilor dintre elementele acesteia.

De pildă, eu încep materia clasei a VII-a cu un mega-capitol compus din trei părţi distincte: 1) Rădăcina pătrată şi extragerea acesteia, cu rezultate naturale, respectiv cu rezultate aproximative; 2) Aria şi formulele de calcul pentru figurile de bază (triunghiuri şi patrulatere); 3) Teorema lui Pitagora (demonstrată prin arii) cu calcule pe două nivele: la început cu rezultate exacte, pe baza tripletelor pitagorice, iar apoi cu rezultate ne-exacte, calculate aproximativ. Aici ajungem să exersăm cu sens extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate. De-abia în semestrul II introduc noţiunea de număr iraţional, prezint scoaterea de sub radical, facem primele calcule algebrice cu numere iraţionale şi reluăm probleme cu calcul de arii şi perimetre prin teorema lui Pitagora, dar unde dăm rezultate iraţionale exacte.

Consider că aceste propuneri ar fi parte activă a unei forme de matematică naivă potrivită, adaptată vârstei gimnaziale, prin care elevii să urce liniştit, treptat către nivelele intelectuale necesare promovării cu succes a examenului de Evaluare Naţională de la sfârşitul clasei a VIII-a.

18 iulie 2016

Prof.C. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă

Conferinţă Detlef Hardorp

Kassel-8 din 20 martie 2016

Matematica începe la pragul către lumea spirituală (Mathematik beginnt an der Schwelle zur geistigen Welt – Mathematics Begins at the Threshold of the Spiritual World)

În perioada 18 – 24 martie 2016 a avut loc la Kassel, în centrul Germaniei, al optulea curs de formare pentru profesorii de liceu din şcolile Waldorf. În fiecare an acest curs se concentrează asupra unei clase, anul acesta atenţia principală fiind îndreptată spre diferitele materii ale clasei a IX-a. Conferinţa celei de-a treia zi a fost despre matematică, fiind ţinută de către dl. Detlef Hardorp, german având şi cetăţenie americană, un personaj deosebit cu un PhD. la Princeton. În rândurile următoare voi încerca să prezint câteva idei din discursul foarte încărcat şi rapid al d-lui Hardorp.

Prelegerea a început cu o iluzie optică, o imagine iluzorie care ne convingea să vedem un triunghi, deşi pe ecran erau poiectate doar mai multe forme ce încadrau o zonă triunghiulară; astfel, eu privesc în lume şi există diferite feluri de a privi. Noi figurăm, ne imaginăm spaţiul (We figure the space): cu ochii “pipăim” mediul înconjurător. Jean Piaget vorbea de percepţia spaţială a copilului, care ar trebui să se fi dezvoltat până la 13 ani. Percepţia spaţială este una imaginară: noi “strălucim/radiem plasticitate” în spaţiu, pentru că voinţa intervine în vedere. Piaget amintea că înţelegerea nodurilor are loc pe la 13 ani.

Matematica nu există senzorial, ea este pur suprasenzorial. Astfel, Rudolf Steiner a explicat încă în 1920: Matematica este prima treaptă a privirii suprasenzoriale.

Numărul este un element ritmic. În cartea sa Omul care îşi confunda soţia cu o pălărie (în traducere în română la Ed. Humanitas, 2011), Oliver Sacks vorbeşte despre dereglarea simţului mişcării; cu simţurile proiectate în afară apare sentimentul matematic. Rudolf Steiner spunea că structurile matematice plutesc deasupra lumii senzoriale. Acestea se referă la elemente din lumea senzorială, dar nu sunt legate senzorial. Eu gândesc despre ceva senzorial, nu gândesc senzorial. Matematica este suprasenzorială, dar trebuie să ai un nivel dezvoltat de simţire pentru a putea gândi adevărul matematic.

Cel mai înalt caracter al matematicii este frumuseţea, care este dincolo de prag, şi care ne aduce sentimente de fericire. În matematică apare libertatea de a gândi; poţi creea lumi noi. La matematică trebuie să începi să gândeşti, chiar dacă gândeşti greşit; să gândeşti fără ruşine. Dacă dezvolţi ruşine, atunci ai încheiat-o cu matematica (de exemplu, învăţând doar calculul schematic). Oarecum, matematica aplicată doar ca un cumul de reţete este o adevărată otravă pentru gândire. De fapt, matematica nu poate fi explicată cu adevărat. Profesorii pot doar să le ofere elevilor oportunităţi de a avea trăiri de uimire, trăiri “AHA!”. În acest sens, curriculumul este foarte important, dar metodica şi didactica sunt mult mai importante. Arta de predare a profesorului constă în a lăsa activitatea elevului, mai ales în predarea matematicii. Altfel obţinem doar calcul schematizat, iar calculul schematizat neînţeles reprezintă otravă pentru gândire.

În continuare dl. Detlef Hardorp a explicat că avem nevoie de o pedagogie care lucrează cu intuiţia. Matematica creşte doar dacă procesul de gândire este voit. George Polya spunea că trebuie să ajungem cu elevii să facă gesturi plauzibile; de exemplu să construiască ei combinatorica (în româneşte avem pentru asta denumirea de problematizare, iar Eugen Rusu o denumea mai amplu matematica proces, spre deosebire de matematica rezultat reprezentând doar predarea de reţete – comentariu CTG). Frumuseţea la combinatorică este că aceasta poate fi dezvoltată/cucerită prin gândire pură (o formă total diferită de cea din manualele româneşti – comentariu CTG). Ţelul este ca fiecare elev să participe la procesul de gândire. Dacă le ceri elevilor să aplice formule, s-ar putea ca să nu ştie care formulă să o aplice. Trebuie neapărat ţinută trează gândirea, iar aceasta se poate face minunat la combinatorică.

În final, dl. Hardorp s-a referit şi la Gândirea dialogică a lui Peter Gallin (vezi postarea din oct. 2015 – comentariu CTG), predare în care acesta colectează feedback-ul gândirii elevilor, iar în urma acestora aste decis următorul pas. Astfel, curriculumul vine de la elevi! (cine voia proiecte inovative de predare? 🙂 – comentariu CTG). Astfel, Peter Gallin previne avarierea matematică a elevilor.

Producerea cunoştiinţelor matematice este mai uşoară decât reproducerea acestora, pentru că la receptare trebuie gestionate două puncte de vedere (al profesorului care predă şi al elevului care preia). Din acest motiv învăţarea trebuie începută cu producerea (un singur punct de vedere, cel al elevului care se străduieşte să producă – comentarii CTG). Calculul schematic poate fi folosit fără a dăuna doar dacă, în prealabil, schemele şi formulele au fost produse de către elev prin propria gândire.

1 iulie 2016

Titus Grigorovici

Introducerea numerelor negative

Separarea numerelor în pozitive şi negative reprezintă un pas mare în viaţa unui elev. Într-un manual vechi apărea denumirea de numere relative. De fapt, într-adevăr noi sunt doar numerele negative, cele pozitive sunt cunoscute de către elevi de mult, dar nu sub acest nume. Oricum, denumirea oficială de numere întregi este clar cea mai nepotrivită vârstei când se introduc, pentru că nu surprinde nimic din dualitatea nou apărută: de acum avem două numere de 5, cinci-ul pozitiv şi cinci-ul negativ. Una este să ai cinci lei în buzunar şi alta este să ai cinci lei datorie.

Nu mi-am propus pentru această postare să vin cu o formă inovativă completă de predare a acestui capitol (poate altă dată), ci doar să ofer doritorilor o fişă de lucru interesantă cu “problemuţe” nematematice pentru introducerea acestor numere, din fizică, geografie şi istorie, acolo unde apare dualitatea numerelor pozitive, respectiv negative.

Problemele sunt culese şi adaptate dintr-un manual austriac din 2010 pentru clasa a 7-a, de la începutul capitolului 1. (A. Die ganzen Zahlen, adică numerele întregi): Thorwartl Wolfram, Wagner Günther,Wagner Helga, Mathematik positiv!, 3. Klasse HS und AHS, apărut la editura G&G Verlag, Viena.

În continuare vă prezint problemele respective, sub titlul PROBLEME NEMATEMATICE CU NUMERE POZITIVE ŞI NEGATIVE, iar ataşat coala pdf pentru multiplicat elevilor ca temă.

  1. Câte de mare este diferenţa de temperatură dacă un avion decolează la a) +12oC; b) –8oC, şi urcă la o înălţime de zbor de 9700m, unde temperatura este de –51oC?
  2. Temperatura maximă de zi pe suprafaţa Lunii este de +127o În timpul nopţii, puţin înaintea răsăritului Soarelui, temperatura minimă ajunge la –173oC. Ce diferenţă de temperatură este pe Lună.
  3. Temperatura pe planeta Venus oscilează între maxim 40oC şi minim –170oC (ziua/noaptea). Cât de mare este diferenţa de temperatură pe Venus?
  4. Stabileşte semnul temperaturii de 22oC ştiind că este vorba despre a) un urs polar pe o banchiză; b) un urs brun mâncând miere dintr-un stup de albine.
  5. În atlasul geografic, la Groapa Marianelor este trecut numărul ▼11.038, iar la Muntele Everest ▲8.872. a) Ce înseamnă aceasta? b) Ce reprezintă în acest context punctul de referinţă 0 (zero)? c) Care este diferenţa de nivel dintre cele două puncte?
  6. Trasează o axă a timpului şi înseamnă pe aceasta următoarele evenimente istorice: construcţia piramidei lui Keops: cca 2500 î.Chr; fondarea Romei 753 î.Chr.; naşterea lui Christos; sfârşitul Imperiului Roman de Apus: 476 d.Chr. a) Cât timp a trecut de la întemeierea Romei prin Romulus şi Remus şi până la căderea Imperiului Roman de Apus? b) În ce an va putea Roma să serbeze al 3000-lea jubileu?
  7. Ötzi, omul descoperit într-un gheţar de pe muntele Similaun din Austria, are cca. 5200 de ani vechime. a) Cam în ce perioadă a trăit acesta? b) Care este mai vechi şi cu cât, Ötzi sau piramida lui Keops?
  8. Alexandru cel Mare (Macedon) a murit în 323 î.Chr la vârsta de 33 de ani. a) Când s-a născut? b) Ce vârstă avea când a pornit campania din Asia în anul 334 î.Chr.?
  9. Iulius Cesar s-a născut în anul 100 î.Chr. şi a fost asasinat în 44 î.Chr. Câţi ani a trăit Iulius Cesar?

Probleme Nr Negative Austria.pdf

Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (5)

Geometria sferei în sprijinul geografiei; Corpuri de rotaţie

După parcurgerea lecţiei despre sferă mi-am permis ora următoare un “20 minute” de studiu al unor elemente de geografie şi astronomie legate de geometria sferei. Elevii le cunosc teoretic, dar din păcate cunoştinţele de geometrie ale profesorilor de geografie nu acoperă întotdeauna toate fineţurile de gândire ale fenomenului, astfel încât de multe ori aceste cunoştinţe ajung să fie doar învăţate pe de rost, fără a fi şi înţelese. Şi în nici un caz profesorul de geografie nu va merge la clasă cu compasul şi cu raportorul pentru a face un desen cât mai corect pe tablă.

În a doua parte a orei am oferit elevilor nişte probleme cu corpuri de rotaţie. Acestea nu mai sunt în programă cam de un sfert de secol, dar eu consider că sunt foarte clare, conţinând o matematică vie, plină de gândire accesibilă elevilor de a VIII-a şi care chiar le aduce bucurie prin satisfacţia rezolvării, acestea nefiind prea banale. Măcar aceste trei probleme ar trebui să le parcurgă orice elev, dar se mai pot face şi altele. Pe tablă găsiţi doar problemele; rezolvările sunt la elevi în caiete :-).

Titus Grigorovici



Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (4)

Sfera şi bila

Lecţia despre sferă/bilă cu aria şi volumul acestora conţine demonstraţii legendare, ce pot oferi o mare satisfacţie elevilor buni de clasa a VIII-a. Nu mi-am propus pentru această postare să prezint în detaliu toată lecţia, dar mă gândesc să va descriu puţin cele două poveşti cu care pregătesc calcului volumului, respectiv al ariei, înainte de a vă lăsa să vedeţi lecţia de pe tablă.

Pentru volum – ciudat, dar se începe cu demonstrarea formulei volumului – se construieşte un corp interesant, un cilindru cu secţiunea axială pătrată, de aceeaşi rază cu sfera, din care se scot două conuride la cele două baze, conurile având vârful comun în “centrul” cilindrului. Eu le descriu elevilor acest corp, comparându-l cu o conservă de pateu căreia i-am scos ambele capace şi din care am extras cele două conuri de pateu cu un cuţit cu vârf. Ideea este de a arăta că volumul pateului rămas este egal cu volumul bilei, arătând aceasta prin faptul că la orice înălţime secţionăm cele două corpuri, ariile secţiunilor vor fi egale. Partea de calcul a demonstraţiei este simplă şi percutantă: nici nu-ţi dai seama bine cum ai pornit şi este deja gata.

Pentru demonstrarea formulei de arie le povestesc elevilor despre un vânzător de pepeni care are un pepene perfect sferic şi un cuţit cu care taie bucăţi de degustat. Cuţitul are lama de lungime exact cât raza pepenelui iar bucata oferită spre degustare, cu vârful exact în centru, are forma unei piramide cu baza de coajă (puţin bombată). Apoi ne imaginăm că acest vânzător de pepeni îşi propune să tot taie bicăţi pentru degustare cât mai înguste (pentru a evita baze bombate), deci cât mai multe, şi le aranjează pe masă, toate cu vârful în sus şi aşa mai departe. De aici încolo fiecare se poate descurca cu povestea şi cu trecerea acesteia în demonstraţie şi în calculul pentru obţinerea formulei.

După ce avem formulele fac câteva exerciţii mai mult orale de calcul a ariei şi a volumului unei semibile şi a unui sfert de bilă (merge uşor şi optimea de bilă). Spor la lecţie de pe tablă.

Titus Grigorovici



Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (3)

Conul circular drept

Sărim peste lecţia despre cilindrul circular drept, pentru că aceasta este una din cele mai simple lecţii de clasa a VIII-a. Plecând de la premiză că profesorul chiar se străduieşte, el va reuşi o lecţie foarte bună, elevii implicându-se şi putând ajuta cu adevărat. Toţi au văzut până acum conserve, chiar au desprins eticheta de pe o butelie de Cola, aşa că vor înţelege foarte bine aria laterală (eu chiar desenez desfăşurarea suprafeţei laterale sub formă de dreptunghi care “se mai ţine un pic de cilindrul desenat”). La volum, principiul “aria bazei înmulţit cu înălţimea” se poate discuta foarte bine pe baza pachetelor de biscuiţi rotunzi: Câtă cantitate este în pachet? Păi, cântăresc un biscuite şi număr câţi biscuiţi sunt în pachet.

Mai deosebită este lecţia următoare, despre conul circular drept. Volumul acestuia nu generează mari probleme; elevii înţeleg analogia cu volumul piramidei. Foarte interesantă este însă, şi merită lucrată cu răbdare, deducerea formulei pentru aria laterală a conului. Eu predau elevilor exact lecţia pe care am primit-o în clasa a VIII-a de la profesorul meu Wilhelm Schoch, lecţie ce m-a impresionat profund şi cu ajutorul căreia am putut oricând să-mi re-deduc formula în cap.

De fiecare dată când predau această lecţie cu împărţirea sectorului de cerc în foarte multe “triunghiuri tare înguste” nutresc speranţa că sădesc în mintea elevilor o sămânţă pentru o evoluţie frumoasă în liceu la calcului diferenţial şi integral.

O tehnică similară se foloseşte şi la găsirea formulei pentru aria laterală a trunchiului de con circular drept, doar că suprafaţa laterală desfăşurată (un sector de inel circular) se descompune într-o sumă de “trapeze” foarte înguste. Calculul merge similar şi, fiind la a doua întâlnire, le place foarte mult elevilor.

Iată în continuare pozele tablei de la lecţia despre conul circular drept.

Titus Grigorovici

Geometria italiană

Săptămânile trecute am avut în vizită o elevă de clasa a VI-a de la Roma, care a adus şi caietul de geometrie cu ea. Tare ne-am mai distrat cu acest caiet, care conţinea un amestec ciudat de geometrie “cu aer de” texte din melodiile lui Toto Cutugno şi Eros Ramazotti. Să vă prezentăm câteva exemple care ne-au plăcut mai mult.

Angoli speciali …Se ruotondo la semiretta compie un giro completo, sovrapponendosi a se stressa, forma un angolo giro. Dacă n-aţi înţeles, este o parte din lecţia despre unghiuri speciale, anume definiţia unui unghi în jurul unui punct (unghiul plin sau complet, cel de 360o).

Iată şi un pasaj unde se vorbeşte despre numărul de diagonale ale unui poligon: In un quadrilatero possiamo disegnare solo due diagonali, in un pentagono cinque, in un esagono sono nove. Il triangolo è l’unico poligono privo de diagonali. Clar, nu?

Trecând la lucruri mai serioase, am găsit şi o minunată demonstraţie pentru suma unghiurilor unui poligon (imaginile sunt refăcute după lecţia din caietul respectiv) folosită, culmea, pentru demonstrarea sumei unghiurilor în triunghi, ca un caz particular. Iată în continuare această demonstraţie:

Gli angoli del poligono sono sio interni che esterni, quesi ultimi sono determinati da una lato del poligono e dol prelungiamento del lato consecutivo:

Să explicăm raţionamentul: din prima imagine deducem că suma tuturor unghiurilor din figură este S = Si + Se = 5 ∙ 180o

Combinând cu informaţia din a doua imagine, deducem că: S = 5 ∙ 180o – 2 ∙ 180o, adică Si = (5 – 2) ∙ 180o

Deci, cum am spune noi, Si = (n – 2) ∙ 180o

 

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Ciao Roma! 4.04.2016

Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (2)

Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată

Lecţia despre trunchiul de piramidă triunghiulară regulată nu aduce nimic special faţă de precedenta. Singurul lucru ce merită menţionat în legătură cu înţelegerea formulelor de către elevi este faptul că la formulele unde apare aria bazei trebuie să gestioneze în mod algebric apariţia din cauza ariei triunghiului echilateral a lui  alături de formula de arie a pătratului. Amintesc ce am spus în precedenta postare din această serie: toate formulele în afară de volum au fost dictate de către elevi, generate din gândirea şi experienţa lor de până acum. La formula de volum a avut loc o discuţie de analiză a fenomenului, urmare a căreia un elev a dictat formula aproape exact; eu am mai corectat-o un pic sub titlul “Da, iar noi adulţii o scriem aşa:”.

Desenul în sine oferă ocazia unei recapitulări a figurii de la piramida triunghiulară regulată. O provocare în sine este figura hexagonului regulat “în spaţiu”, ce am realizat-o în această oră pe exemplul trunchiului de piramidă hexagonală regulată.

Este evident că această lecţie nu face parte din cele trei mari lecţii de final de a VIII-a, dar am decis să o prezint şi pe aceasta ca fiind în pereche cu precedenta.

Merită să menţionez aici (poate desprins din context) că eu nu am reuşit să învăţ nici odată formule pe de rost, dar le-am ştiut întotdeauna deducându-le de fiecare dată în minte. Consider în acest sens că este foarte important ca elevii cerebrali să primească aceste formule prin înţelegere şi nu predate de-a gata fără să vadă de unde sunt deduse. Iar formulele corpurilor geometrice sunt exemple magistrale pentru exersarea gândirii şi a conexiunilor între diferite informaţii.

Titus Grigorovici

Grupă de lucru – Florian Osswald & David Urieli (3)

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

La Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf, grupa de lucru condusă de domnii Florian Osswald şi David Urieli a avut în patra zi ultimele două întâlniri. Iată pe scurt ideile prezentate.

S-a pornit cu exemplul combinatoricii, unde la început nu ai nimic, ci doar gândeşti (desigur, nu se vorbea despre predarea din şcolile tradiţionale unde profesorul vine şi turuie lecţia, ci mai degrabă despre o predare exclusiv prin problematizare – precizare CTG). Florian Osswald a precizat că de opt ani nu a mai vorbit de corect şi greşit; opt ani de transformare a unei deformări. Ne sfătuia dânsul: uită-te doar la situaţie (la răspuns) şi întreabă-te unde poate duce aceasta (în procesul de cercetare pentru rezolvarea problemei, respectiv în procesul de învăţare a matematicii – completare CTG).

În acest moment s-a reluat problema din prima zi, cea cu perechile de dansatori. Diferiţii participanţi au oferit cele mai interesante soluţii pentru a obţine răspunsul de 6 perechi (cel mai mic dintre răspunsurile posibile).

Întâlnirea de după amiază a început cu o întrebare oarecum retorică: copiii învaţă pentru că le predăm noi, profesorii, sau învaţă cu toate că le predăm noi profesorii? Apoi a urmat o precizare clară: este mai bine pentru elevi să înveţe un proces decât o formulă gata făcută.

Fiind o grupă de lucru, eram tot mai des puşi la lucru. De exemplu am fost rugaţi să inventăm o poveste pentru rezolvarea unei ecuaţii de gradul doi. Cel mai aplaudat a fost colegul din Mexic, care a fabulat o poveste despre soare, pământ şi doi copaci care primesc lumina de la soare şi ne dau viaţă (soarele era termenul x2, copacii erau termenul bx iar energia ce ne-o dau era (b/2)2, cu acestea el rezolvând cumva ecuaţia.

Apoi, ne-am adus din nou aminte de Peter Gallin, care, timp de 15 ani nu şi-a pregătit elevii pentru teste şi examene, dar aceştia le luau, pentru că dânsul aduce bucurie în ore (prin predarea dialogică).

PS. Pe lângă conferinţele şi întâlnirile grupei de lucru prezentate de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf din octombrie 2015, merită în final să mai amintesc o activitate specială ce a avut loc în două zile (în 7 şi în 8 oct.). Este vorba de o PIAŢĂ (“market place”), însemnând prin aceasta două intervale orare stabilite în program, când orice participant a putut să prezinte ce doreşte (cu condiţia de a-şi găsi audienţi, dar asta se găsea pentru că toţi aveau lucruri interesante).
Merită să vă vorbesc pe scurt de prezentarea lui Louis Carlos, colegul cu imaginaţie debordantă din New Mexico (tare mi-a plăcut cum s-a prezentat în prima seară când ne-am întâlnit: Ola, yo soi Luis Carlos, maestro de matematico de Ciudad de Mexico). Dânsul ne-a prezentat cum foloseşte “domino-ul cubanez”, cu valori de la zero la 9, pentru diferite jocuri de recuperare în sprijinul elevilor cu discalculie, dar şi la învăţarea celor patru operaţii cu numere naturale la cei mici, sau chiar la fracţii, în reprezentarea acestora sau la calcule. Pe lângă astfel de obiective matematice, avea şi multe jocuri de ordonare în care elevii foloseau pietricelele doar ordonându-le după valori.

Ajuns acasă, am cercetat o vreme şi am aflat că de fapt acela este domino rusesc, cu valori până la 9, spre deosebire de domino-ul chinezesc care are valori până la şase. Pentru noi,  matematicienii, este interesant de aflat câte piese are fiecare astfel de domino. De pildă, domino-ul văzut de curând într-un târg de vechituri, cu valori până la 8, avea complet exact 45 de piese. Combinatorica pornind de la astfel de situaţii devine mult mai accesibilă.

12 mart. 2016

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Maimuțele și educația

PROPORŢIONALITATEA INVERSĂ
ŞI PARADIGMA SA

Cu multă vreme în urmă am primit un e-mail în care apărea următorul text, căruia nu-i cunosc provenienţa şi nici veridicitatea. Textul îmi pare însă realist, aşa că vi-l prezint în integralitatea sa:

MOTO: “E mult mai uşoară dezintegrarea unui atom decât a unei prejudecăţi”- Albert Einstein

CUM SE NAŞTE O PARADIGMĂ

Un grup de oameni de ştiinţă au pus într-o cuşcă cinci maimuţe şi în mijlocul cuştii o scară, iar deasupra scării o legătură de banane. Când o maimuţă se urca pe scară să ia banane, oamenii de ştiinţă aruncau câte o găleată cu apă rece pe celelalte, pe cele care rămâneau jos.

Dupa ceva timp, când o maimuţă încerca să urce scările, celelalte nu o lăsau să urce. După mai mult timp nici o maimuţă nu se mai suia pe scară, în ciuda tentaţiei bananelor.

Atunci, oamenii de ştiinţă au înlocuit o maimuţă. Primul lucru pe care l-a făcut aceasta a fost să se urce pe scară, dar a fost trasă înapoi de celelalte şi bătută. După câteva bătăi nici un membru al noului grup nu se mai urca pe scară.

A fost înlocuită o a doua maimuţă şi s-a întamplat acelaşi lucru. Prima maimuţă înlocuită a participat cu entuziasm la baterea novicelui.

Un al treilea individ a fost schimbat şi lucrurile s-au repetat. Al patrulea şi, în fine, al cincilea au fost schimbaţi.

În final, oamenii de ştiinţă au rămas cu cinci maimuţe care, deşi nu primiseră niciodata o baie cu apă rece, continuau să lovească maimuţele care încercau să ajungă la banane.

Dacă ar fi fost posibil ca maimuţele să fie întrebate de ce le băteau pe cele care încercau să se caţere pe scară, răspunsul ar fi fost: “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”

Este ceea ce se întâmplă în fiecare ţară în care oamenii nu vor să ştie de ce unele lucruri sunt aşa cum sunt!

*

Să analizăm acum situaţia definirii proporţionalităţilor, care se dă de obicei în felul următor:

Definiţia 1: Numerele x, y, z se numesc direct proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Definiţia 2: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Nu ştiu de ce nu am şters textul de mai sus din calculator (cel cu maimuţele) atunci când l-am primit, dar de fiecare dată când văd prin cărţi sau la diferiţi colegi definiţia proporţionalitătii inverse, îmi aduc aminte de acest exemplu. După părerea mea, definiţia a doua ar trebui să sune astfel:

Definiţia 2 bis: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c.

Oricine studiază fenomenul mai atent va vedea că această definiţie este corectă şi în plus este mult mai simplă. Atunci, de ce se dă elevilor complicaţiunea de mai sus? Fără să mai adaug şi situaţii stupide (destul de dese) când elevii primesc probleme de tipul: numerele x, y, z invers proporţionale cu numerele 1/2, 1/3, 1/5 etc.

În aceste cazuri ajungem la monstruozităţi de felul ,

în loc de mult mai blânda  ,

care duce chiar la    .

Deci, de ce se dă definiţia 2 elevilor? Eu văd doar o explicaţie. Este vorba de problemele de împărţire a unui număr în părţi proporţionale cu trei numere date. Aceste probleme, în cazul proporţionalităţii directe sunt destul de logice şi se rezolvau cu o teoremă bine cunoscută obţinută din lecţia despre proporţii derivate: .

La proporţionalitatea indirectă însă, nu există o teoremă corespunzătoare, de exemplu ceva de felul: x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c = (x + y + z) ∙ (a + b + c). Dar, nici un stress, problemiştii au forţat lucrurile şi au obţinut următoarea relaţie absolut corectă:    .

Atâta vreme cât se mai folosea această rezolvare, se justifica şi definiţia 2. Dar de câţiva ani colegii profesori au trecut cam toţi la o altă rezolvare pentru aceste probleme. Rezolvarea este asemănătoare la ambele tipuri de proporţionalitate şi se bazează pe folosirea lui k, foarte cunoscut de la raportul de asemănare. Din păcate însă, odată cu abandonarea rezolvărilor prin teorema arătată (atât în cazul PD cât şi în cazul PI), profesorii nu s-au gândit să abandoneze definiţia stupidă 2 şi să treacă la definiţia mult mai logică 2 bis. Dacă am întreba pe cineva de ce predă definiţia 2, s-ar putea să primim un răspuns de tipul “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”. Îmi cer sincer scuze pentru comparaţie, dar tot asta îmi trece prin cap, de fiecare dată când văd undeva sau la cineva definiţia 2.

*

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă mai optimistă. În primul rănd să concluzionăm. Eu le prezint elevilor următoarea variantă: la proporţionalitatea directă avem rapoarte egale, pe când la proporţionalitatea inversă avem produse egale.

M-am gândit foarte mult căutând un exemplu “practic” de împărţire a unui număr în părţi invers proporţionale cu mai multe numere şi iată ce am găsit:

Bunica aduce cadou o pungă cu 144 bombonele M&M celor trei nepoţi, cu cerinţa ca aceştia să le împartă între ei invers proporţional cu vârstele lor (logic, nu?). Stabiliţi câte bombonele primeşte fiecare nepot, ştiind că ei au vârstele de 18, 12 şi respectiv 9 ani. (cel de clasa a VI-a face rezolvarea, cel de liceu o verifică iar cel mic mănâncă cele mai multe bomboane)

Iată şi cum ar merge rezolvarea cu k. Notăm cu x, y, z numărul de bomboane primite de cei trei nepoţi, de vârste 18, 12 şi 9 ani. Proporţionalitatea inversă implică următorul şir de produse egale: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z ; să notăm aceste produse egale cu k, deci avem: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z = k. Din aceasta putem exprima fiecare cantitate necunoscută de bomboane în funcţie de k astfel: ,  şi .

Dar, ştiind că x + y + z = 144, rezultă că . După o scurtă muncă de rezolvare a acestei ecuaţii obţinem k = 576, iar apoi imediat: x = 32,  y = 48 şi z = 64 bombonele (cel mic trebuie să primească cele mai multe bombonele, pe când cel mai mare, cele mai puţine; logic, nu?).

Titus Grigorovici