Dialogul profesor – elev în rezolvarea unei probleme

Eugen Rusu şi Dilema cerşetorului

Dacă tot vorbirăm de curând despre cerşetori, cunoaşteţi Dilema cerşetorului, o problemă legată de mucurile de ţigară? Am auzit-o pe vremuri de la un prieten şi am publicat-o prima dată în caietul de matematică P3NT4GON1A nr 4 (mai 1999). Aceasta este una dintr-e cele mai frumoase probleme de matematică distractivă pe care le cunosc. Iar pe lângă partea de matematică distractivă, are şi un factor educativ foarte ridicat. Trebuie doar precizat – undeva, în timpul rezolvării problemei – că este vorba de mucuri de la ţigări fără filtru (elevii de-acum nu prea mai ştiu de-aşa ceva); iar aceasta creşte factorul de scârbire a elevilor faţă de fumat. Deci, iată problema:

Un cerşetor reuşeşte să facă o ţigară întregă din trei mucuri găsite aruncate pe stradă. Câte ţigări va fuma un cerşetor care a adunat zece mucuri?

Nu vă repeziţi să răspundeţi trei ţigări. Întrebarea este despre câte ţigări va fuma, nu despre câte va asambla din cele zece mucuri. Aici este prima capcană a acestei minunate probleme.

*

În acest moment, tocmai ne-am lovit de una din cele mai mari dileme ale publicării problemelor de matematică: Să dau răspunsul final, sau să vă las să savuraţi căutarea acestuia? Dacă vă dau răspunsul, atunci nu veţi parcurge minunatul drum de strădanie, plin de zbucium interior, care duce la descoperirea personală a soluţiei. Acest drum poate să dureze uneori chiar şi zile întregi, inclusiv nopţile dintre ele. În această căutare constă chiar farmecul principal al matematicii.

Când dau astfel de probleme elevilor, rezolvarea are loc într-un dialog. Elevul se gândeşte dar, în cazul în care nu găseşte soluţia corectă, eu îi mai pun o întrebare ajutătoare. Uneori, după întrebarea ajutătoare, îi las pe elevi din nou o zi-două. Apoi reluăm procesul. Aceasta se poate însă doar într-un dialog, chiar şi dacă dialogul este în scris, între două persoane aflate la distanţă. Dar trebuie să fie un dialog.

Pe vremuri, marii matematicieni se provocau astfel prin scrisori cu probleme sau rezolvări găsite personal. Cazul lui Fermat este arhicunoscut, dar şi Arhimede a practicat informarea prin scrisori asupra rezultatelor sale.

Autorii de cărţi cu matematică distractivă dau răspunsurile în partea a doua, la soluţii, mizând pe faptul că cititorul are voinţă şi nu se duce direct la răspuns. De fapt această metodă este folosită la majoritatea culegerilor de matematică. Actualmente, la unele culegeri partea de răspunsuri este atât de înghesuită încât căutarea soluţiei devine o adevărată provocare. Pe vremuri, Grigore Gheba punea răspunsurile chiar lângă exerciţiu, dar acolo provocarea era să nu greşeşti, nu cum se rezolvă, pentru că rezolvarea o ştiai teoretic de la clasă.

Martin Gardner, pe vremea când publica minunatele sale probleme în Scientific American, dădea soluţia de-abia în numărul următor, lăsând astfel cititorilor timp de o lună pentru căutarea soluţiei.

La publicarea unei cărţi, însă, acest dialog de care vorbim este imposibil. El poate fi eventual mimat de către autor prin cei doi paşi (punerea problemei, respectiv oferirea răspunsului), dar realitatea arată că cititorul fuge tot mai das direct la răspunsuri. În acest sens, Eugen Rusu în lucrarea Cum gîndim şi rezolvăm 200 de probleme (Ed. Albatros, 1972), pune chiar mai multe “filtre protectoare” în acest proces în care rezolvitorul este tentat să caute soluţia gratuit. Astfel, lucrarea sa are cinci părţi, concepute pentru a forţa rezolvitorul să caute el singur soluţia. Pentru a da un impuls unei astfel de preocupări, culegerea  nu are numai două părţi, ci patru:

1 ENUNŢURI,   2 CUM GÎNDIM,   3 IDEEA  şi   4 SOLUŢIA
Citește întreg articolul

Dobânda și cerșetorul

Într-o zi din anul şcolar trecut o elevă de clasa a VI-a m-a rugat la începutul orei, să facem o problemă din culegere, pentru că nu reuşiseră să-i dea de capăt onorabil acasă. O făcuseră împreună cu mama, dar ceva nu era clar. Aşa că am luat problema şi am dezbătut-o pe toate feţele, dând cu ajutorul celorlalţi elevi două-trei rezolvări şi găsind şi alte mici nestemate ascunse în aceasta (de pildă, verificarea cu puterile lui 11, care, până la puterea a 4-a au structura numerelor din triunghiul lui Pascal; ei cunoşteau acest triunghi aritmetic din clasa a V-a, primit sub forma unei probleme de matematică distractivă de tipul “scrieţi următorul rând”). Problema este despre dobânda compusă, numită în tremeni economici dobânda cu recapitalizare, lecţie care, tradusă din germană, poartă titlul de dobânda  dobânzii (Zinsenszins). Iată problema cu pricina:

Un cetăţean are la bancă suma de 1 000 000 lei. Anual primeşte dobânda de 10% cu recapitalizare. Ce sumă va avea după 5 ani? (citată din Artur Bălăucă, Cătălin Budeanu, Ana Apetrii, Aritmetică, Algebră, Geometrie clasa a VI-a, Editura Taida, 2014 problema 12, pag. 99)

După câteva săptămâni, citind o carte a unui autor de care sunt foarte interesat (a fost şi el profesor Waldorf), am dat peste o poveste care repeta problema noastră. Câteva săptămâni am purtat cartea în geantă, căutând un moment prielnic în care să întrerup şirul lecţiilor şi să le citesc pasajul respectiv.  Autorul se numeşte Michael Ende, iar povestea Lungul drum către Santa Cruz (în română cartea este apărută la Editura ALLFA, 2003) prezintă aventurile unui băiat de opt ani care, într-o zi, luându-se cu jucatul pe drumul spre şcoală, nu mai ajunge la ore, ci îşi crează propria aventură, constând în multe aventuri imaginate sau chiar reale. Michael Ende este mult mai cunoscut pentru cărţile Poveste fără de sfârşit (ecranizată ca Neverending story), Momo şi poveştile cu Jim Năsturel, prima tradusă şi în română. Iată, în continuare, pasajul cu pricina (pag. 42-45).

*

Într-un colţ stăteau îngrămădite mai multe sticle, unele încă în picioare, altele trântite şi gata să se rostogolească la primul bobârnac. Într-unele se mai aflau ceva resturi de vin roşu sau de bere, iar bătrânul se apucă să le dea pe gât la rând. În tot timpul ăsta, Hermann era cu ochii ţintă la el.
– Da’, de fapt, cum îţi zice? întrebă bătrânul.
– Pe mine mă cheamă Albert, da’ nu te obosi să bagi la cap aşa ceva. Fi’n’că mai toţi care mă ştiu nu-mi zic decât Einstein. N-ai decât să întrebi de Einstein, până şi pe poliţişti! Nu-i unu’ care să nu mă cunoască. Da’ ia zi, nu vrei şi tu un gât?

Hermann scutură îndărătnic din cap, în timp ce Einstein îl fixa din priviri prin sticlele ochelarilor.(…)

Einstein tuşi îndelung şî temenic.
– N-ai cumva o ţigăruşă pe la tine, frăţioare? Cârâi el.
Hermann scutură din cap.
– Ce, mai eşti şi nefumător pe deasupra? Se interesă Einstein. Adevăru-i că nici io nu fumez, da’ mai ales când dorm. Adică oi fi io nefumător, da’ numa-n somn. Ce-ţi ziceam adineauri? Totu-i relativ şi aşa-i şi omu’. Da’ ceva biştari ai la tine?
– Păi, doar banii mei de buzunar.

– Şi-s mulţi?
– Şase mărci, murmură Hermann.
– Las’ că-s buni şi ăştia, hotărî Einstein.
– Buni pentru ce? Întrebă Hermann.

Câteva clipe, Einstein îşi făcu oarece socoteli, după care explică:
– Vreau să spun că, adică, asta-i chiar o mică avuţie. Şi nini io n-aş rămâne mai prejos la o adică. Şi de fapt, ce tot spun eu numa’ de mine, când amândoi am putea s ne-mbogăţim. Rămâne numa’, bineînţeles, să vrei şi tu.
– Cum să ne îmbogăţim cu şase mărci? Se miră Hermann, cu glas tare. Asta numiţi dumneavoastră bogăţie? Adăugă el cu neîncredere.
– Vezi tu, şi asta-i tot relativ, spuse Einstein. Cu şase mărci faci rost de-o mulţime de parale. O mulţime, nu al’ceva, Hermann. E vorba de sute, poate chiar mii. (…) Ai auzit până acu’ de dobânzi, frăţioare?

Hermann dădu din cap, în semn că nu auzise. De auzit, mai auzise el cuvântul ăsta, ba chiar destul de des. Numai că de înţeles, nu înţelesese niciodată ce putea să însemne.

Einstein îşi văzu mai departe de vorba lui:
– Stai aşa, Hermann, că te fac io să pricepi imediat. Să ai dobânzi înseamnă că, odată având ceva bani la început, să nu mai trebuiască să mişti un deget. Banii se-nmulţesc de capu’ lor. Şi se fac tot mai mulţi şi tot mai mulţi. Ca să zic aşa, aproape din numic. Nu-i aşa că-ţi pare c-ar fi fo mişcare de scamator? Păi, cam asta şi e, numa’ că-i una din alea care chiar funcţionează. Ţi-aş arăta ioacum, numa’ că tocma’ ieri a trebuit să-mi cheltuiesc tot capitalu’. Şi, sincer să fiu, chiar fără o leţcaie la-nceput, nu merge deloc.
– Cum adică se-nmulţesc? Întrebă Hermann. Cum merge chestia asta?

Înainte de a răspunde, Einstein îşi săltă ochelarii de pe nas, proptindu-şi-i pe frunte.

– Ei, vezi tu, unui ageamiu i-ar fi fost greu să-ţi explice. Norocu’ tău că io chiar mi-s specialist în privinţa asta. Şi-o s-o fac cât mai simplu cu putinţă. Nu-ţi rămâne decât s-asculţi cu atenţie şi să bagi bine la cap. Care va să zică aşa! Să zicem că io-s o bancă oarecare şi tu eşti tu. Acu’, tu-mi dai mie, să zicem, o sută de mărci. Îi laşi p’ormă un an întreg la bancă, adică la mine. După anul ăla, io-ţi dau înapoi suta ta de mărci şi încă zece pe deasupra. Acu’ îmi dai tu mie o sută zece mărci. După înc-un an, primeşti înapoi de la mine, adică de la bancă,încă unşpe mărci, pen’ cămi-ai lăsat mai mulţi bani decât data trecută. Şi uite că, după doi ani de lăsat banii la mine, adică la bancă, tu te-ai făcut cu un plus de douăzecişi unu de mărci. Şi trebşoara asta merge tot aşa mai departe. Din an în an, banii s-adună tot mai mulţi, numa’ din statu’ în bancă. Cam asta-i povestea dobânzii şi a dobânzii la dobândă. Nu că-i grozavă chestia?
– Mda, făcu Hermann, numai că ia ceva timp.

Einstein dădu din nou din cap, în felul său firoscos.

– Cam ai dreptate, fârtate. Tocma’ că asta-i buba. Iar ca să nu mai fie, m-am făcut şi io călător în timp, aşa cum ţi-am mai zis.
– Ce v-aţi făcut? Întrebă Hermann rămas tablou.
– Călător în timp, repetă Einstein. Ce, n-ai mai auzit păn-acu’ de aşa ceva? Ah, păi asta-i o meserie mai modernă. Se cheamă aşa de la naşu’ meu, profesoru’ ăla vestit. (…)

*

Vă las pe dvs. să vă închipuiţi cum l-a păcălit Einstein pe Hermann să-i dea cele şase mărci, pe care apoi le-a băut liniştit. Sau, poate găsiţi cartea, mai bine, şi citiţi toată povestea.

Iniţial, această postare trebuia să se termine aici. Am deschis însă, apoi, o carte şi am găsit un gând care descrie minunat starea spre care ar trebui să năzuim noi, profesorii de matematică, pentru a ne apropia mai mult de elevi, pentru a fi mai mult pe mintea lor, pentru a veni mai mult în întâmpinarea aşteptărilor lor. Plecăm aici de la premiza că orice copil vine la început la şcoală cu dorinţa de a afla lucruri noi, cu o curiozitate nativă trează şi cu impulsul de a învăţa jucându-se şi ascultând poveşti; pur şi simplu vine cu bucurie la şcoală. Repulsia faţă de şcoală în general, şi faţă de matematică în particular, o capătă ulterior, datorită nouă, a dascălilor şi a “politicii noastre educaţionale”.

Un exemplu sugestiv în acest sens am găsit de curând în nişte manuale vechi, din anii ’80, din Germania (ca să nu dau exemple de la noi). Manualele de clasa a 7-a şi a 8-a (corespunzătoare vârstelor noastre de a 6-a şi a 7-a) sunt mai intuitive şi pline de imagini şi povestioare. Manualul următor, cel de a 9-a (a 8-a la noi), este mai serios, mai plin de calcule abstracte. Situaţia a fost automat sesizată şi taxată de un fost utilizator al acestui manual, care, la pagina cu titlul interior Mathematik heute (matematica azi) a făcut o săgeată către cuvântul Mathematik sub care a scris so eine Scheiße (asa un rahat!, doar că pe germană sună ceva mai dur).

Chiar şi ca profesori de matematică, obsedaţi de importanţa covârşitoare a materiei noastre de bază, “vitală pentru promovarea examenului”, ar trebui totuşi să ne apropiem măcar uneori de copilărie, să ne permitem să fim din când în când mai copilăroşi, mai jucăuşi. Astfel, i-ai câştigat definitiv pe copii dacă îţi permiţi uneori să le faci un joc matematic sau să le spui o poveste cu substrat matematic (ce să mai spunem de bancuri matematice!).

Cartea de care vorbesc îl are ca autor pe Martin Gardner, unul dintre cele mai mari nume în direcţia popularizării matematici, specializat mai ales în matematica distractivă, profesor la care vom mai reveni în perioada următoare. În prefaţa lucrării Mathematics, Magic and Mystery (1956, Dover Publications, New York), pe care o am în ediţia germană: Mathematische Zaubereien (2004, DuMont Verlag, Köln), Martin Gardner, cu referire la activităţile sale ştiinţifice diverse, recunoaşte: “Oricât mă străduiesc să mă comport de serios matematic, cumva tot rămâne prezent în mine băieţelul acela jucăuş” (din prefaţa ediţiei iniţiale în limba germană, pag. 13, citat cules de Alexander Adrion).

Ideea apare şi în romanul Unchiul Petros şi conjectura lui Goldbach, a lui Apostolos Doxiadis, la pag. 158-159: Întâlnirile noastre erau un antidot la monotonia tot mai mare a lumii reale. Contactul cu el (cu unchiul Petros) mă ajuta să păstrez trează în mine acea parte pe care cei mai mulţi oameni o pierd sau de care uită odată ajunşi adulţi – numiţi-o Visătorul sau Hoinarul sau, mai simplu, Copilul din noi.

Nu ne învaţă niciunde la cursurile de metodică dar, ca profesori, trebuie să păstrăm viu copilul din noi. Prin aceasta ne rămâne deschisă cea mai importantă poartă spre sufletul elevilor noştri.

Titus Grigorovici

Cândva, spre sfârşitul vacanţei de vară, Aug. 2016

Oana Moraru – Mașina de creat slugi

Analiza unei postări pe REPUBLICA, din 18 Iunie 2016  

Situaţia şcolii româneşti este analizată pe toate feţele cu orice ocazie şi toată lumea îşi dă cu părerea. Unii o fac chiar foarte bine şi au curajul să spună lucrurilor pe nume. Doamna Oana Moraru este o astfel de persoană şi în articolul său din 18 iunie postat pe site-ul REPUBLICA a spus chiar multe lucruri deosebite. Îmi permit să reiau anumite pasaje din acest articol şi să le comentez. Motivul principal nu îl reprezintă comentariile mele, ci faptul că aceste gânduri exprimate de Oana Moraru ar trebui să ajungă în cât mai multe colţuri ale conştienţei publice; şi dacă va fi doar o persoană în plus căreia să-i fi atras atenţia asupra acestui articol, şi tot a meritat efortul.

Am ales pentru aceasta cinci alineate din articolul original, pe care le redau înclinat. Comentariile mele sunt intercalate drept.

*

Trei sferturi şi mai bine din potenţialul de inteligenţă al României e pierdut din primii ani de şcoală. Principalul vinovat este cultura noastră discriminatorie şi aparent concurenţiala. De aici, profesori mediocri şi practici distructive. Copiii care nu ţin pasul sunt dispreţuiţi sau învinovăţiţi. Nu există programe recuperatorii şi personal auxiliar relevant în şcoli; şi chiar dacă ar exista, ar fi subminate de credinţa noastră limitată că lumea se împarte între proşti şi deştepţi. România nu şi-a diversificat încă modelele de reuşită şi lucrul acesta merge mână în mână perfect cu o economie disfuncțională, care nu are nevoie de paliere diferite de expertiză sau deprinderi profesionale. Nu mai avem şcoli profesionale; pentru că meseriile nu mai sunt respectate, nici tinerii care ar putea să le practice nu ies cu frunţile sus din trenul şcolirii atunci când ar fi momentul s-o facă.
Această formă extremă, dar cu totul realistă, prezentată de Oana Moraru este rezultatul politicii de 30 de ani pentru rezultate la olimpiade şi concursuri. Un învăţământ în care preocuparea principală a autorităţilor (timp de un sfert de secol!!!) a fost să se dueleze care are mai mulţi şi mai buni olimpici, ajungând să neglijeze toţi elevii care nu contau în această cursă, un astfel de învăţământ nu avea unde să ajungă decât în situaţia descrisă mai sus. Suntem nemulţumiţi, de pildă, de felul cum joacă Naţionala noastră de fotbal, parcă în adins pregătită pentru eşec; îi admirăm pe nemţi cu Manschaft-ul lor colorat, cât sunt de profesionişti, toţi nemţi neaoşi (mai ales Mesut Özil, Mario Gomez şi Jérôme Boateng), dar nu realizăm că aceştia sunt rezultatul unui sistem şcolar care nu-i înjoseşte pe copii. Da, acest sistem de total respect pentru om şi pentru muncă reuşeşte să producă deja la prima, a doua generaţie oameni de cea mai bună calitate.
Pe de altă parte, dincolo de problemele sociale, avem mulţi copii care eşuează pentru că programele şi evaluările sunt alcătuite supradimensionat, peste puterile medii ale vârstelor şcolare. Copiii români învaţă, foarte de mici, gustul neputinţei şi al ratării. Avem un sistem şcolar gândit parcă anume să trezească, de timpuriu, mari complexe de inferioritate şi sentimentul că nimeni nu e suficient de bun.

Nu cred că cineva a fost atât de diabolic încât să pună la cale intenţionat aşa ceva. Cred mai degrabă că situaţia este urmarea schimbărilor de programă agresive din cadrul reformei uitate din 1980, atunci când noile programe au fost croite în special pentru vârfuri, având ca obiectiv final obţinerea unor olimpici mai performanţi la nivel internaţional, pentru a hrăni astfel orgoliul nemărginit al lui Ceauşescu. Totuşi, studiind manualele din anii ’80 se vede că încă exista un respect solid faţă de elevul ne-olimpic, adică faţă de marea masă a elevilor care nu sunt de elită, dar care urmează să devină marea masă a societăţii. De neînţeles este faptul că nimeni nu a realizat după Revoluţie ce se întâmplă, astfel încât la reforma din 1997 chiar s-a plusat în direcţia elitismului, manualele alternative de matematică devenind mult mai încărcate de probleme grele, exerciţiile uşoare dispărând aproape de tot. Astfel, marea masă a elevilor au început să adune frustrare. Iar diferitele decizii “reparatorii” punctuale nu au putut schimba nimic din impresia generală.

Nu facem lucrurile încet, simplu şi sistematic, nu punem întâi bazele, ca mai apoi, odată cu vârsta, să diversificăm şi să adâncim. Programele şcolare şi pedagogiile de la clasă nu respectă principii de bază ale învăţării: de la simplu, la complex, de la concret, la abstract. Lucrurile sunt grăbite, aglomerate, juxtapuse haotic, cu presiune emoţională, împovărare şi silă. Nu reuşim să cultivăm suficiente momente de triumf; ţinem, cu orice preţ, să le arătăm copiilor noştri că sunt insuficienţi, iar cartea se face pe burtă, târâş, cu transpiraţie şi greaţă tradiţională. 

Fără comentari! Totuşi aş pune o întrebare: cine ar trebui să vină cu o schimbare de paradigmă care să rezolve toate cele prezentate aici de Oana Moraru? Profesorii de rând prin “propuneri inovative de programă”? Desigur, această întrebare este retorică, dar experinţa din primăvara lui 2016 ne arată că structurile de conducere a învăţământului românesc ori nu sunt capabile, ori nu vor să taie acest nod gordian.

Sigur că elevii români fac matematică pe pâine-cu doi ani înaintea colegilor din alte ţări. Nu există postac naţionalist care să nu fi folosit fraza asta obsesiv, în apărarea şcolii româneşti. Asta ne aduce aşa mândrie naţională, că uităm complet dacă este oportun – de pildă – să-i învăţam pe cei de 7-8 ani deja ecuaţii sau sisteme de ecuaţii. În condiţiile în care mulţi nu înţeleg fenomene simple din lumea vie. Învăţătorii trec la predarea metodelor algebrice cu mult înainte de aşezarea logică a conceptelor numerice în capul celor mici. Știu copii de clasă a III-a care fac pe bandă probleme prin metoda grafică – una care presupune reprezentarea numerelor prin segmente – dar o fac mimetic, fără nici cele mai necesare salturi întru abstractizarea relaţiei număr/segment. Foarte multă matematică de care, poate, mulţi sunteţi mândri se bagă pe gât copiilor, ca reflex mecanic. Mulţi o execută, puţini o înţeleg. Acelaşi lucru se întâmplă şi la celelalte discipline.

Aceasta este probabil cauza principală pentru care, undeva în gimnaziu, mulţi urăsc deja matematica, mare parte dintre elevi au dificultăţi la învăţat, iar oricum, ca adulţi vor avea o gândire care numai decizii logice şi obiective nu va putea lua.

Conţinuturi prezentate sec şi anost, evaluări cu pretenţii elitiste, asmuţirea copiilor unul împotriva celuilalt, în falsă concurenţă – toate duc la abandon şcolar – dacă nu unul fizic, cel puţin unul emoţional. Avem în şcoli mulţi copii dezangajaţi, absenţi sufleteşte de la propria creştere, pentru care şcoala e aproape un viol.

Da, aşa este, şi cu greu mă abţin să nu subliniez cele de mai sus. Orice persoană cu un nivel de empatie sănătos simte asta. Doar că mulţi profesori, pentru autoprotecţia lor emoţională, s-au călit şi nu mai bagă în seamă suferinţa zilnică a elevilor, iar această stare de lucruri a devenit o normalitate. Unii însă o simt şi se străduiesc, fiecare după puterile şi imaginaţia sa, să le facă elevilor viaţa mai frumoasă, mai uşoară,, mai suportabilă. Nu-i normal să vi zilnic la şcoală urând ceeace faci! Aşa se învaţă românii să nu iubească munca. Două întrebări se nasc aici. Dascălii care încearcă să schimbe ceva se lovesc deseori de “zidul urii” din partea elevilor şi a colegilor, generat de întregul sistem. Cum pot cere unii ziarişti ca profesorii individuali să “ia lupta pe cont propriu”? Da, sună frumos, nişte izolaţi “Ioana d’Arc”, dar cât timp rezişti ca om într-o astfel de luptă? Până la urmă tot abandonezi. Apoi, vine a doua întrebare: profesorii au în fişa postului sarcina de a reforma sistemul? Profesorii au fost lăsaţi până acum să reformeze sistemul? Un sistem agresiv care oricum îi obligă zilnic să meargă în direcţia sa? Profesorii sunt şcoliţi pentru aşa ceva? Ca să nu mai întreb şi de remuneraţie. Pentru că o astfel de activitate înseamnă muncă multă; muncă mult peste capacităţile profesorului de rând, care mai are şi viaţă particulară, familie etc.

Oricum, mulţumesc din suflet Oanei Moraru pentru exprimarea în scris a acestor gânduri; o excelentă radiografie a învăţământului actual în cadrul societăţii prezente.

Găsiţi întregul articol aici. Recomand cu această ocazie şi articolul dânsei: Cum am ajuns un profesor prost, dar bun! din 23 Nov. 2015. Iată un scurt citat din acest articol: Privirile lor – ale elevilor – şi intenţiile mele sunt două lumi în ciocnire ridicolă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Teroarea matematicii

De curând s-a petrecut în SUA o întâmplare ciudată care spune multe despre cum este percepută matematica de către omul de rând. Întâmplarea a fost relatată de către “Washington Post“, dar a fost preluată ulterior şi de alte surse pe net. Prezentarea de faţă este după “Der Spiegel”.

Guido Menzio este profesor de economie la University of Pennsylvania, unde se ocupă cu cercetarea fluctuaţiilor cotelor de şomaj şi a echilibrului preţurilor pe pieţele de produse. Ecuaţiile diferenţiale complicate fac parte din activitatea sa zilnică. Acestea i-au creat însă mari probleme atunci când a vrut să zboare într-o deplasare.

Scurt înainte de decolare, fiind deja scufundat în calculele sale, a fost rugat de către un însoţitor de bord să-l urmeze. De ce? Vecina sa din avion, văzându-i semnele ciudate aşternute pe hârtie, le-a considerat însemnări într-o limbă străină ciudată, pe el văzându-l drept un terorist.

Iniţial a declarat că se simte rău, dar după ce avionul a fost întors la poartă, pasagera respectivă a prezentat agenţilor de securitate suspiciunile sale faţă de comportamentul ciudat al vecinului său. Apoi a fost chemat şi Menzio în aeroport şi chestionat: „mi-au spus că femeia era îngrijorată, că aş putea fi un terorist, pentru că scriam semne ciudate în carneţelul meu de notiţe”.

După lămurirea neînţelegerii, avionul a decolat cu o bună întârziere, Menzio la bord, dar fosta sa vecină nu, susţinând că totuşi nu se simte bine şi alegând să aştepte zborul următor.

La noi în şcoala românească, prin analogie, ne-am putea pune întrebarea „câţi profesori de matematică sunt consideraţi adevăraţi terorişti de către elevii lor?”. Pentru că, din păcate, foarte mulţi consideră că o doză bună de frică este singura cale spre a-i face pe elevi să înveţe.

Terorisul Al-Gebra

Ordinea operaţiilor pe internet

Prin primăvară devenise virală, mai ales în Japonia, următoarea “problemă”, la care foarte mulţi dădeau un răspuns greşit:

Ceea ce în mod normal, noi, ca profesori am numi “exerciţiu”, certându-i eventual pe elevii care l-au greşit, acesta a devenit pe internet, în zona adulţilor, o adevărată “problemă”. Un studiu a arătat că doar 60% din tinerii de peste 20 de ani au rezolvat-o corect, faţă de un rezultatul de 90% al unui studiu similar din anii ‘80.

Ce se întâmplă? Lăsându-i de-o parte pe cei care greşesc la ordinea operaţiilor şi efectuează mai întâi scăderea, cei mai mulţi ajung la un răspuns greşit pentru că efectueză exerciţiul pe un calculator, chiar şi unul “ştiinţific”, unde segmentul central al exerciţiului este tradus drept 3 : 1 : 3 = 1, în loc de 3 : 1/3 = 9. O variantă mai corectă, fără folosirea fracţiilor, ar fi 3 : (1 : 3), dar şi aceasta ridică anumite probleme pe diferite calculatoare. Astfel, dintre răspunsurile incorecte, cele mai dese erau 3, 7 sau 9.

Legat de ordinea operaţiilor,  chiar şi numai despre acest aspect se găsesc multe exemple pe internet. Iată unul simplu, în forma sa “americănească”, (având ataşată şi o poză a lui Einstein pentru impresia artistică): Only for genius??  3 – 3 x 6 + 2 = ??

­Datele din această postare sunt preluate de la adresa https://www.yahoo.com/news/lot-people-having-trouble-math-161950574.html

Einstein, Zweistein şi cu Rammstein

Antrenorul Român al olimpicilor SUA la matematică

Prezenta postare este un comentariu la articolul Românul care antrenează lotul internațional al olimpicilor SUA la matematică: Folosesc în pregătirea lor probleme românești din perioada interbelică (Raluca Ion, Republica).

Articolul este binevenit şi din prisma faptului că în 2018 ţara noastră va găzdui din nou Olimpiada Internaţională de Matematică (chiar la Cluj!). Să luăm câteva citate din acest articol (prezentate înclinat):

La 49 de ani, Răzvan Gelca este cel mai în vârstă antrenor al lotului olimpic de matematică din SUA. Majoritatea colegilor săi antrenori i-au fost la un moment dat elevi şi a împărţit cu ei moştenirea pe care a adus-o din ţară: 120 de ani de Gazeta Matematică.

Pasiunea lui pentru concursurile de matematică a început în urmă cu 35 de ani, la Timişoara, şi a crescut cu ajutorul a trei profesori foarte buni: profesorul Ion Călugăru, care încă din clasa a VI-a le dădea elevilor săi să rezolve probleme din Gazeta Matematică, profesorul Titu Andreescu, care avea să devină liderul lotului olimpic american şi profesorul Gheorghe Eckstein, el însuşi fost olimpic internaţional la matematică. În anul 1985, când era în clasa a XII-a, a câştigat medalia de aur la Olimpiada Internaţională de Matematică.

„Regimului îi convenea să arate că în România se face matematică foarte bine, dar cred că meritul era al şcolii de matematică însăşi, care începuse să crească în direcţia asta a concursurilor de tip olimpiadă încă de dinainte de război şi care a mers ascendent. România a avut o cultură de probleme de tip olimpiadă foarte bogată, care se pot găsi în anii ’20-’30. Eu încă folosesc probleme din perioada interbelică, în special de geometrie, pentru lotul american de matematică. Gazeta matematică are o istorie de peste 100 de ani şi, cumva, a dat tonul concursurilor şi a creat acest tip de probleme”, spune profesorul român.

Patru dintre cei 14 antrenori care au pregătit în această vară tinerii talentaţi la matematică sunt români. Nu este o surpriză, dacă iei în calcul faptul că prima ediţie a Olimpiadei Internaţionale de Matematică a avut loc în 1959 în România. Problemele româneşti din Gazeta Matematică au devenit în timp standardul pentru acest gen de concursuri. „Gazeta matematică a dat tonul concursurilor şi a creat acest tip de probleme, care sunt folosite şi astăzi. Paradoxul este că românii au încercat să imite nişte reviste franţuzeşti şi belgiene, ca să aibă propriile lor reviste. La sfârşitul secolului 19, un grup de matematicieni şi ingineri au ajuns la concluzia că în România nu se ştia multă matematică, era un deşert tehnic. Ideea lor era să încurajeze studiul individual, cu ajutorul unei reviste, în care oamenii să găsească probleme. Şi asta a funcţionat”, este de părere matematicianul.

Care este cea mai bună cale pentru a-i învăţa pe copii matematica? „Matematica ar trebui predată într-un mod intuitiv şi să fie aplicată unor lucruri concrete, familiare elevilor. Mai ales în gimnaziu, ar trebui să se insiste pe probleme care pleacă din viaţa de zi cu zi, prin care atât părinţii cât şi elevii să vadă utilitatea matematicii”, spune acesta.

Am preluat din articolul de pe Republica doar citatele ce ating situaţia matematicii şcolare din România. Să analizăm câteva dintre acestea. Pentru înţelegerea liniei discursului, trebuie scos în evidenţă faptul că dl. Răzvan Gelca a absolvit liceul, ca şi subsemnatul, în 1985. Deci a învăţat în clasele gimnaziale din manualele lui A. Hollinger şi Eugen Rusu, conţinând o matematică profund naivă, destul de intuitivă şi cu dese conexiuni practice. Din Gazeta Matematică a început să lucreze din clasa a VI-a (ca şi mine), înaintea reformei din 1980. În liceu a învăţat geometria din manualele echipei de la Cluj, condusă de doamna Mariana Răduţiu (vezi detalii despre perioada respectivă în postarea Reforma uitată (partea I)). Şi alte aspecte prezentate de către dl. Răzvan Gelca în acest interviu se suprapun cu prezentările din respectivul articol (poziţia regimului politic etc.).

Cât despre sfatul din final, răspunsul la întrebarea despre cea mai bună cale pentru a-i învăţa pe copii matematica?, comentariul poate fi doar unul singur: q.e.d.! O completare la acest răspuns, legată  de utilitatea matematicii, ar fi că ar trebui ajuns în situaţia ca elevii şi părinţii de gimnaziu să simtă utilitatea matematicii, şi asta nu doar în promovarea examenelor, ci şi în procesul matematic însăşi, în aspectele formatoare de gândire ale matematicii.

10 Aug. 2016

Prof. Titus Grigorovici

Mihai Maci – Schimbarea din interior a învăţământului românesc este imposibilă Analiza unui interviu acordat d-nei Codruţa Simina

Următoarele gânduri sunt preluate din interviul Codruţei Simina, publicat în 24.05.2016, cu ocazia lansării cărţii “Anatomia unei imposturi. O şcoală incapabilă să înveţe”. Mihai Maci este lector la Departamentul de Relaţii Internaţionale al Universităţii Oradea. Citez în continuare câteva gânduri din acest interviu: Mihai Maci: “Schimbarea din interior a învăţământului românesc este imposibilă”.

Ministerul ţine în frâie întregul învăţământ cu două chingi. Una dintre ele este programa: niciun profesor nu poate inova faţă de programă; de ce? – pentru că orice inovaţie faţă de programă ar fi sancţionată de examene.

Examenele sunt naţionale şi sunt unice şi, în măsura în care profesorul nu face pregătirea pentru examene, elevii lui nu vor lua examenul şi, ca atare, el va fi sancţionat. Va fi sancţionat de părinţi, şi abia după aceea de şcoală şi de Inspectorat.

A doua chingă cu care ţine Ministerul în frâu întregul sistem de învăţământ este salarizarea. (…) Ca atare, oamenii înţeleg, oamenii îşi dau seama de ceea ce fac, că nu este bine. (…) posibilităţile de a schimba lucrurile din interiorul sistemului sunt cvasi-nule. Poţi să ajuţi un elev sau un student care este mai bun (…) Dar, din interiorul sistemului – şi prin sistem înţeleg învăţământul instituţional, inclusiv cu componenta programelor lui -, schimbarea este imposibilă la ora actuală. (…)

Ideile referitoare la un alt tip de şcoală ar fi putut să prindă foarte bine la jumătatea anilor ’90, ar fi putut crea un siaj în urma căruia societatea românească ar fi arătat altfel în ziua de azi.(…) Merită citit acest articol, în care sunt punctate şi analizate, chiar  criticate unele reminiscenţe osificate ale socialismului, rămase în educaţie.

*

Despre faptul că învăţământul românesc a ratat ocazia de a se debarasa de forma socialistă de educaţie, la începutul anilor ’90, am mai scris. S-a ratat atunci o ocazie uriaşă, pe care, de pildă, Ungaria a folosit-o din plin imediat după Revoluţie. Aş dori însă să analizez un pic chingile cu care sistemul cu reminiscenţe osificate socialiste ne domină activitatea educaţională, mai exact pe prima dintre cele două enumerate de Mihai Maci.

Dânsul exprimă în acest interviu ideea că programa îi împiedică pe profesori să evolueze în direcţia îmbunătăţirii educaţiei pentru că vor fi sancţionaţi la examenul de final de ciclu. Să nuanţăm un pic. Eu cred că cele două mari examene, cel de Evaluare naţională şi cel de Bacalaureat sunt nişte capete de drum destul de fireşti, în condiţiile actuale chiar cu efect benefic motivant (cine ar mai învăţa fără examene la sfârşit de ciclu?). Consider suportabilă pentru învăţători şi elevi chiar şi verificarea de Evaluare naţională la sfârşitul ciclului primar, în condiţiile informative actuale. O astfel de formă de evaluare pe ciclu ar lăsa în principiu dascălului responsabil libertatea de a căuta măcar căi educative mai eficiente în cadrul unei programe generale de parcurs în acel ciclu. Însă introducerea Evaluării naţionale la jumătatea drumului (clasele 2 respectiv 6) îngrădeşte posibilitatea unor astfel de iniţiative cât de cât inovative prin rearanjarea materiei în cadrul unui ciclu. În acest sens, obligativitatea programelor pas cu pas este cea care exercită cea mai mare îngrădire asupra dascălului. Degeaba acesta intuieşte că elevii ar avea nevoie de un anume subiect, în loc de cel din programă, când el se simte tot timpul vulnerabil în faţa unor controale care i-ar cere instant planificarea; iar aceasta, planificarea, trebuie să fie concepută conform programei. Absurdul a ajuns la nivelul că, nici culegeri pentru elevi nu mai scrie nimeni, decât “conform programelor în vigoare”. Aici trebuie căutate reminiscenţe osificate ale educaţiei socialiste.

Programa este obligatorie pentru că trebuie să permită, teoretic, oricărui elev bun la o materie participarea la olimpiadele şcolare, simultan cu cei din alte şcoli. Acest argument ţinea în urmă cu zece ani, dar acum interesul pentru olimpism a scăzut puternic în societate. Aşa că, dacă ne gândim bine, Evaluările naţionale pentru clasele 2 şi 6 reprezintă momentan cea mai bună justificare – la nivelul tuturor elevilor – pentru obligativitatea parcurgerii programei oficiale în rând cu toţi. Deci, eu consider că programa, trebuie să fie considerată într-adevăr prima chingă de manevrare a dascălilor la nivelul preuniversitar, dar nu prin prisma examenelor de sfârşit de ciclu, ci mai ales prin obligativitatea ei pas cu pas şi verificarea ei cât mai des. Desigur că aici am tratat doar idea unor inovaţii care să rămână în ramele programei generale de ciclu cerută la examenul de final (8/12). În cazul unor inovaţii mai puternice problema devine şi mai gravă.

Mihai Maci aminteşte şi părinţii în această “conspiraţie educaţională” de îngrădire a dascălilor, dar eu aş aduce în discuţie inclusiv inerţia dascălilor însăşi, care formaţi fiind în acest sistem, reprezintă chiar ei prima piedică împotriva propriei lor evoluţii. Eu predau din 1990 şi mă lupt din 1995 să îmi îmbunătăţesc stilul şi forma de predare, acordându-mi foarte multe libertăţi în acest sens. Am evoluat mult, dar prea încet pentru cât mi-aş fi dorit, iar principalul obstacol în această evoluţie nu a fost nici examenul de sfârşit de ciclu din fiecare an, nici chiar programa cu ciudăţenile ei, nici părinţii pe care a trebuit să-i înfrunt, ci în primul rând paradigma deja implantată în mine din liceu, din facultate şi din primii ani de predare. Iar cu această parte din mine a fost foarte greu de luptat. Ca să scurtez pledoaria, consider că metodica introdusă la reforma din 1980 şi formarea dascălilor în spiritul ei şi după revoluţie, aceasta reprezintă o chingă la fel de solidă, dar diabolic ascunsă, prin care ministerul ţine în loc o posibilă dezvoltare a învăţământului românesc. Degeaba ar avea dascălii salarii mai mari, dacă nu ştiu cum, nici măcar nu ştiu că ei ar trebui să-şi schimbe stilul de predare. În cazul multora dintre noi nu este aplicabilă nici măcar vorba lui Ghandi: Fi tu schimbarea care vrei să o vezi în lume!.

Prof. C. Titus Grigorovici

100 de studenţi – Matematică distractivă în GM

Discutând prin primăvară cu elevii de clasa a VIII-a, am concluzionat că matematica distractivă este atunci când Profu’ se distrează de elevi, că ei nu ştiu problema :-).

De curând petreceam o Duminică dimineaţă însorită în compania unei ceşti de cafea, lecturând nişte vechi caiete de Gazeta Matematică din 1966-1967 (de când am venit noi pe lume), căutând probleme de folosit la clasă. Vecinul ne tot bâzâia să-i dăm probleme de matematică “din-alea faine”, iar noi îi tot propuneam câte o problemă de matematică distractivă. Când o termina, mai cerea, iar tot anturajul se distra de bucuria sa. În aceste condiţii am găsit în GM seria B, Nr.1 din 1967 următoarea problemă dintr-un set cu titlul Probleme date la Olimpiada matematică din Anglia (problema 7916):

O sută de studenţi de înălţimi diferite sînt aranjaţi într-un pătrat de 10 rînduri şi 10 coloane. În fiecare rând studentul cel mai înalt este selectat, apoi studentul cel mai scund din cei selectaţi este marcat cu A. În fiecare coloană este selectat studentul cel mai scund, apoi studentul cel mai înalt dintre cei 10 studenţi selectaţi este marcat cu B. Dacă A şi B sînt persoane diferite, găsiţi care dintre ele este mai înaltă şi de ce?

Ne-am tot gândit, el a reuşit o rezolvare într-un caz particular, dar nimic mai mult. Apoi, rezolvarea mi-a venit în minte în vis, în somnul binemeritat de după-amiază (vis cu un mic iz de coşmar, pentru că tot pierdeam numărătoarea coloanelor). Când m-am trezit am aşterut rezolvarea pe hârtie, cu desenul celor 100 de studenţi ca o tablă de şah de 10×10, şi am realizat cât este de simplă problema noastră. Dar, de fapt, aşa sunt toate problemele de matematică distractivă: simple, dar cu rezolvarea bine ascunsă.

Titus Grigorovici

Matematica naivă, exemple (2)

Dacă ajungi într-o capitală mondială ca turist – de pildă Roma – ai foarte multe de vizitat. Fie că ajungi la Roma pentru două zile, fie că ajungi pentru o săptămână, oricum ai aceeaşi problemă: să stabileşti care sunt cele mai importante locuri de vizitat în sejurul tău. Pentru alegerea respectivă apelezi la un ghid: sau mergi cu un grup organizat cu un ghid, sau cumperi un ghid scris, sau te îndrumă o cunoştinţă. De la acesta îţi doreşti să fi îndrumat în ordinea importanţei şi vei fi supărat dacă ai fi fost plimbat de pildă la nenumărate biserici, dar nu ai văzut Columna lui Traian.

Capitolul despre Cerc se aseamănă foarte mult cu un astfel de oraş: sunt foarte multe de văzut, iar elevii trebuie îndrumaţi în funcţie de timpul alocat şi de nivelul clasei, astfel încât să vadă ce este mai important în condiţiile date. Din păcate şi aici programa gafează profund chinuind copiii cu o lecţie fără sens, rămasă acolo din vremuri de demult, ca parte dintr-o construcţie de rigurozitate universitară ciudată. Să analizăm situaţia.

Capitolul începe cu lecţia introductivă despre definiţie, rază, diametru, coardă, arc, semicerc etc. Lecţia a doua face legătura între măsura de unghiurilor la centru şi măsura arcelor de cerc. Să analizăm lecţia a treia: Coarde şi arce în cerc; diametru perpendicular pe o coardă; arce cuprinse între coarde paralele; coarde egal depărtate de centru (lecţie pe care unii profesori o şi întind pe două ore. Pentru ce este bună această lecţie? La ce îi folosesc aceste teoreme elevului? Analizând “utilitatea” lor, ajungem la concluzia că acestea reprezintă trei sferturi dintr-un drum ce ar trebui să demonstreze că tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. Această ultimă teoremă însă nu se demonstrează, aşa că teoremele din lecţia a treia nu îşi au nici un rost. Elevii sunt chinuiţi gratuit cu nişte teoreme fără sens! Singurul aspect ce se opţine clar este înverşunarea şi scârbirea şi mai profundă a elevilor împotriva geometriei.

Dacă ne întoarcem la ideea de matematică naivă, teoremele din lecţia a treia nu au pentru elevi niciun rost. În primul rând, că demonstrează adevăruri intuitiv evidente. Apoi, informaţiile respective nu se folosesc în nici o problemă: profesorii au dificultăţi în a găsi aplicaţii la aceste teoreme! Singurul raţionament ce se foloseşte de aici este faptul că triunghiul determinat de două raze şi o coardă este isoscel. Dar pentru asta oricum nu ai nevoie de vreo teoremă specială.

Aici se ridică o mare întrebare: pentru ce parcurgem anumiţi itemi? De pildă, de ce parcurgem o anumită teoremă? În principiu, pentru elevi această întrebare are două-trei răspunsuri: fie pentru utilitatea sa (ca aplicaţii în probleme sau în susţinerea unei alte teoreme importante), fie pentru demonstraţia sa deosebită. Dacă o teoremă este foarte importantă prin prisma aplicaţiilor, dar are o demonstraţie foarte grea, atunci teorema poate fi dată naiv, pe încredere, adică fără demonstraţie, elevii bucurându-se în schimb de aplicaţii uşoare. Este cazul teoremei tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact, care permite aplicaţii uşoare cu teorema lui Pitagora, dar şi parcurgerea în continuare a teoremei “ciocului de cioară” despre cele două tangente de la un punct la un cerc. Teorema despre măsura unghiului înscris în cerc are şi o demonstraţie frumoasă, dar şi aplicaţii interesante.

Nu-i clar ce înţelege onor Ministerul prin propuneri inovative de programă, dar eu consider că astfel de criterii ar trebui să stea la baza alegerii lecţiilor şi a itemilor de parcurs. De exemplu, eu din prima lecţie de la cerc concluzionez că două raze împreună cu coarda determinată de acestea formează un triunghi isoscel, după care elevii şi primesc aplicaţii de calcul cu teorema lui Pitagora în triunghiul isoscel respectiv. În lecţia a doua parcurg Cercul lui Thales (două coarde cu un capăt comun iar celelalte două capete diametral opuse sunt perpendiculare), demonstată cu triunghiuri isoscele, şi teorema cu tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact, fără demonstraţie. Din acest moment am multe aplicaţii, elevii găsind un sens în lecţiile acestui capitol. Iată şi un exemplu de aplicaţie în sensul construcţiilor cu rigla şi compasul: folosind Cercul lui Thales se pot trasa înălţimile într-un triunghi dat, doar cu rigla şi compasul.

În ultimii ani am încheiat acest capitol cu două teoreme duale, în pereche, ce nu le parcurg pentru vreo aplicaţie a lor, ci doar pentru frumuseţea demonstraţiei. Fiecare demonstraţie în sine nu este deosebită. Privite însă împreună, cele două teoreme cu demonstraţii corespunzătoare trezesc în rezolvitor acea stare mult dorită de uimire, caracterizată simplu printr-un mare “UAU!”. Este vorba despre proprietatea unghiurilor patrulaterelor înscrise în cerc (inscriptibile), respectiv proprietatea dual-omoloagă a laturilor patrulaterelor circumscrise unui cerc (circumscriptibile). În imaginea de mai jos puteţi vedea blocul principal al acestei lecţii

Numărul π nu apare în capitolul despre cerc, ci într-un capitol artificial, imediat după cerc. De ce îl cataloghez drept artificial? Pentru că acest capitol dă mai multă atenţie celor trei poligoane regulate importante decât drumului către numărul π. Oricum, drumul respectiv nu este parcurs în lecţii, chiar existând profesori care “o lălăie” într-atăt încât nici nu mai ajung la numărul π în clasa a VII-a.

Pentru început, în acest proces noi măsurăm circumferinţa diferitor obiecte circulare şi calculăm raportul faţă de diametrul cercului, obţinând diferite valori între 3 şi 3,2 (la diferite oale este cel mai folositor un metru de croitorie). Ca exemplu mai special, în curtea şcolii noastre avem un teren circular de beton; vă puteţi închipui ce distracţie a fost în ultimii ani în cadrul Săptămânii Şcoala Altfel, când am măsurat cu o sfoară şi cu mulţi elevi circumferinţa terenului.

La un nivel intelecual mai înalt, după ultima problemă de la Examenul de Evaluare Naţională din iunie 2016, eu oricum m-am hotărât să parcurg şi octogonul regulat (cu unghiul la centru de 45o la fiecare felie-triunghi isoscel) cât şi dodecagonul regulat (cu unghiul la centru de 30o), studiind perimetrul şi aria, şi procesul în care acestea se apropie de valorile cercului. Apropos, verificaţi cât de uşor se poate arăta că aria dodecagonului regulat înscris în cercul de rază r este exact 3r2, folosind pentru calcularea ariei fiecărei felii 1/12 doar teorema despre cateta opusă unghiului de 30o. Pentru calcularea perimetrului poligonului regulat cu 12 laturi trebuie însă muncit însă ceva mai mult. Lucrând cu aproximări de trei zecimale, se obţine în final raportul perimetru/diametru de 3,10 (doar pentru elevii de 10).

O apropiere mai bună de valoarea lui π am obţinut, mult mai uşor şi pe mintea tuturor, printr-o altă abordare de tip Laboratorul de matematică. Astfel, elevii au desenat pe caietul de matematică, cu pătrăţele de 0,52 = 0,25cm2, un cerc cu raza de 5cm (prin triunghiul egiptean, avem garanţia unei exactităţi deosebite în câteva puncte de pe cerc). Elevii au trebuit să determine pur şi simplu aria discului prin aproximaţie, numărând cm2, jumătăţile şi sferturile, cât şi aproximări ale resturilor pătrăţelelor rămase. Rezultatul de 78 : 25 = 3,12 pentru raportul dintre aria cercului şi aria pătratului pe rază este unul foarte bun şi orice elev îl înţelege. Vedeţi această parte de lecţie cu matematică naivă în următoarea imagine. Trecerea de la aceste rezultate (atât la perimetrul cercului cât şi la aria discului) la cunoscutul 3,14 se face pe încredere şi toţi elevii sunt bucuroşi că au înţeles despre ce este vorba.

1 august 2016

Prof. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă, Matematica naivă, exemple (1)

Matematica naivă, exemple (1)

Unori Ministerul Educaţiei nu mai ştie ce să facă, aşa că oferă profesorilor ocazia să vină ei cu o propunere inovativă de programă. Ce înseamnă aceasta şi în ce direcţie trebuie o astfel de propunere să fie inovativă, asta nu este clar, deşi, poate era mai bine dacă ministerul împreună cu toate structurile sale de management a educaţiei dădeau nişte linii ghidante. Noi, oamenii de rând nu putem vrăji “la comandă” idei care să fie cu adevărat novatoare, dar totodată şi verificate în sensul eficienţei în condiţiile din ţara noastră. Pe de altă parte, nu se ştie nici odată “de unde sare iepurele”, adică de unde apare o idee bună. Am prezentat în eseul despre matematica naivă câteva idei despre acest nou concept de prezentare a cunoştinţelor matematice în funcţie de posibilităţile şi nevoile vârstelor elevilor, nu în funcţie de dorinţele foştilor diriguitori din Olimpul matematicii româneşti. Totuşi, conceptul este neclar şi prin faptul că îi lipsesc exemple de aplicare în viaţa de zi cu zi. Pentru aceasta voi încerca să prezint câteva situaţii din matematica gimnazială, acolo unde gradul de naivitate necesar este încă mai mare.

Să luăm un exemplu dublu pentru a clarifica lucrurile. Una din marile “minuni” cu care matematica gimnazială s-a catadicsit la reforma din 1980 a fost demonstraţia prin metoda reducerii la absurd. Aceasta era însă atât de inaccesibilă elevilor încât nu a reuşit să penetreze nici măcar fondul de probleme pentru olimpiade. Totuşi, era acceptată oficial şi păstrată în materie datorită celor două mari demonstraţii tradiţionale ce o foloseau: demonstrarea iraţionalităţii lui  venită de la marele Euclid şi demonstrarea congruenţei unghiurilor alterne interne venită din axiomatizarea radicală a geometriei din jurul anului 1900 (amândouă erau în materia clasei a VI-a, dar capitolul despre rădăcina pătrată a fost mutat la sfârşitul anilor ‘90 în clasa a VII-a). Aceste demonstraţii nu se mai fac de mult cu elevii la clasă, dar abordarea şi ordonarea materiei în funcţie de ele este păstrată şi la ora actuală, fără ca lumea să fie conştientă de acest fapt. Să lămurim pe rând cele două situaţii.

Ordonarea materiei în jurul temei TRIUNGHIUL era în anii ‘80 următoarea: triunghiuri şi construcţia lor; cazurile de congruenţă ale triunghiurilor; proprietăţile triunghiurilor isoscele; drepte paralele; axioma paralelelor şi unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă; suma unghiurilor în triunghi (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a, autori Ion Cuculescu, Constantin Ottescu, din cele două exemplare ce le am pe-acasă, cel din 1979 şi cel din 1988). Punctul central al acestei secvenţe de lecţii era teorema de legătură între congruenţa unghiurilor alterne interne şi paralelismul dreptelor cu demonstrarea prin reducere la absurd, folosind congruenţa a două triunghiuri. De-abia după aceasta se putea demonstra şi suma unghiurilor în triunghi.

Ordonarea materiei la ora actuală este cam aceeaşi, în afara de demonstrarea ciudatei teoreme care nu se mai face la clasă de cca. 20 ani. Actualmente, legătura între dreptele paralele şi congruenţa unghiurilor alterne interne se face pe încredere, pentru că aşa zice profesorul. O a doua diferenţă faţă de anii ’80 este că depărtarea dintre prima lecţie despre triunghi şi momentul când se învaţă suma unghiurilor a crescut şi mai mult, între acestea parcurgându-se în prezent şi un capitol serios despre perpendicularitate.

Ce se întâmplă în aceste condiţii la clasă, depinde de la un caz la altul. Din multele variante în care elevii află despre acea sumă miraculoasă de 180o, doresc să evoc una, de care am aflat anul şcolar trecut. Profesorul de la clasă parcurge materia conform programei; aşa, măcar elevii nu ştiu despre ce-i vorba şi basta! Dar în piesa de teatru a acelei şcoli mai exista şi personajul numit profesorul de la opţional, care nu se simţea deloc dator a respecta programa colegului. Astfel, elevii află la opţional că suma unghiurilor ar fi de 180o, cu observaţia evidentă că profu’ de la clasă încă nu poate/nu vrea să v-o divulge. Eu nu doresc întoarcerea la vremurile de rigurozitate extremă din anii ’80-’90, dar nici o batjocură de felul acesta nu accept, la adresa gândirii logico-matematice pe care tocmai ne pregătim să le-o inducem elevilor.

O propunere inovativă simplă de aplicat de către orice profesor, pentru această parte de materie, ar fi studierea unghiurilor formate de două paralele cu o secantă înaintea lecţiei despre triunghi. Aceasta se poate face la fel ca în formatul actual, adică deducând intuitiv congruenţa unghiurilor corespondente, alterne interne etc. Eu, de pildă, folosesc aici o translaţie prin care justific congruenţa unghiurilor corespondente, iar apoi celelalte congruenţe se deduc uşor cu unghiuri opuse la vârf. Această mutare îmi permite includerea în prima lecţie despre triunghi a sumei unghiurilor, cu demonstraţie cu tot! Adică, din prima lecţie elevii învaţă definiţia, elementele, perimetrul şi suma unghiurilor în triunghi, având din start cea mai importantă proprietate a tringhiului. Nu mai insist cât de mult se simplifică lecţiile ulterioare despre triunghi, dacă avem de la început suma unghiurilor. Eu predau în acest format din anul şcolar 1994-1995 şi pot doar să privesc cu durere cum sunt chinuiţi majoritatea elevilor din celelalte şcoli, în formatul vechi. Ca o ultimă observaţie la acest subiect, trebuie precizat că ordinea din această propunere este similară cu ordinea existentă în manualele din anii ’70 ale profesorului A. Hollinger.

Abordarea temei despre RĂDĂCINA PĂTRATĂ se făcea în anii ‘80 în felul următor: rădăcina pătrată dintr-un număr natural pătrat perfect; rădăcina pătrată dintr-un număr raţional nenegativ; rădăcina pătrată cu aproximaţie de o unitate prin lipsă dintr-un număr raţional nenegativ; numere iraţionale; extragerea rădăcinii pătrate (citat din cuprinsul manualului de clasa a VI-a din 1979, autori C. P. Popovici, I. C. Ligor). Primele lecţii prezentau câteva elemente introductive greu de înţeles pentru elevul de rând, după care se trecea la demonstrarea iraţionalităţii lui  (demonstraţia arhi-cunoscută prin reducere la absurd), iar în final apărea şi algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Exerciţiile rămâneau însă în zona aritmetică de extragere exactă sau aproximativă a rădăcinii pătrate. Urma un capitol despre mulţimi elementare de numere, în care se prezentau mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale respectiv reale. Acolo găsim câteva întrebări în care copiii erau verificaţi dacă ştiu că ş.a. nu sunt raţionale. Atât! Tot restul clasei a VI-a elevii rămâneau în zona aritmetică a rădăcinii pătrate pe care o exersau cu orice ocazie (mai urmau capitolele despre rapoarte şi proporţii, şi despre procente). De-abia în clasa a VII-a elevii treceau la calcule cu numere iraţionale, calcule ce reprezintă nivelul algebric al operaţiilor cu radicali.

Odată cu mutarea capitolului despre rădăcina pătrată în clasa a VII-a, mutare efecuată la finalul anilor ’90, cele două părţi – cea aritmetică şi cea algebrică – au fost cumulate într-un capitol, partea aritmetică pierzându-şi mare parte din perioada sa de aplicaţie/dospire. Actualmente, elevii stau cca. o săptămână în starea aritmetică, după care se trece la calculul algebric cu numere iraţionale.

Oare, este bine aşa? Ce înţelege un elev, dacă scrie  (forma algebrică) şi ce înţelege el din forma aritmetică ? Forma aritmetică este una clară, practică, chiar dacă nu este super-exactă. Forma algebrică este exactă, dar de neînţeles pentru mintea umană normală. Elevul ar avea nevoie de o perioadă de acomodare cu noua operaţie, timp în care să calculeze rădăcina pătrată, în funcţie de natura sa (exactă sau aproximativă), după care, de-abia apoi să treacă la calcule algebrice cu numere iraţionale. În ţările din vestul Europei aşa se face.

Cât despre demonstraţia iraţionalităţii lui , unii profesori nu o mai prezintă (adică merg pe încredere), pe când alţii o fac la clasă, dar elevii în general nu o înţeleg. Părerea mea personală estă că aceasta reprezintă un item clar pentru materia de clasa a IX-a.

O propunere inovativă simplă de aplicat de către orice profesor, pentru această parte de materie, ar fi împărţirea temei în două părţi distincte. De pildă se poate rămâne în starea aritmetică în semestrul I din clasa a VII-a, iar apoi se trece în semestrul II la calculele în forma algebrică cu numere iraţionale. Desigur că s-ar putea reveni tot aşa de bine şi la forma veche, cu partea aritmetică în clasa a VI-a, iar partea de tratare algebrică de-abia în clasa a VII-a.

Un aspect aparte al acestui subiect îl reprezintă forma de aplicare a rădăcinii pătrate în cadrul calculului cu teorema lui Pitagora, în cazul rezultatelor ne-exacte. Calculele de lungimi, perimetre şi arii reprezintă partea practică a geometriei plane, iar la acestea sunt mult mai clare calculele aproximative ale rădăcinii pătrate (adică forma aritmetică). Prin acestea elevul îşi poate dezvolta o percepie naturală şi un bun-simţ al calculului (de exemplu, cam cât este de lungă diagonala unui pătrat cu latura de un metru, dar şi multe alte exemple “practice”). Trecând abia ulterior şi la calcule cu exprimarea rezultatelor în formă exactă iraţională, le permite elevilor realizarea unei înţelegeri naturale a matematicii şi a conexiunilor dintre elementele acesteia.

De pildă, eu încep materia clasei a VII-a cu un mega-capitol compus din trei părţi distincte: 1) Rădăcina pătrată şi extragerea acesteia, cu rezultate naturale, respectiv cu rezultate aproximative; 2) Aria şi formulele de calcul pentru figurile de bază (triunghiuri şi patrulatere); 3) Teorema lui Pitagora (demonstrată prin arii) cu calcule pe două nivele: la început cu rezultate exacte, pe baza tripletelor pitagorice, iar apoi cu rezultate ne-exacte, calculate aproximativ. Aici ajungem să exersăm cu sens extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate. De-abia în semestrul II introduc noţiunea de număr iraţional, prezint scoaterea de sub radical, facem primele calcule algebrice cu numere iraţionale şi reluăm probleme cu calcul de arii şi perimetre prin teorema lui Pitagora, dar unde dăm rezultate iraţionale exacte.

Consider că aceste propuneri ar fi parte activă a unei forme de matematică naivă potrivită, adaptată vârstei gimnaziale, prin care elevii să urce liniştit, treptat către nivelele intelectuale necesare promovării cu succes a examenului de Evaluare Naţională de la sfârşitul clasei a VIII-a.

18 iulie 2016

Prof.C. Titus Grigorovici

Vezi și: Matematica naivă