Category: Editoriale

În primăvară am fost atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, preluat de pe blogul CEAE. Scurt apoi am reuşit să postez o analiză a acestuia, în două părţi; dacă aţi ratat momentul, iată aici link-urile: http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-1/ şi respectiv http://pentagonia.ro/despre-alegerea-demonstratiei-teoremei-lui-pitagora-pe-ceae-edupedu-o-analiza-2/ .

Chiar dacă aparent, cel puţin pentru unii, părea că a fost un demers fără sens, gen “teoria chibritului”, de fapt în această analiză intenţionat am “despicat firul în patru” pe subiectul respectiv, studiind în detaliu fiecare gând exprimat acolo. O singură afirmaţie am refuzat să o discut la momentul respectiv, aşteptând confirmări şi eventuale lămuriri din partea autorilor. Da, şi bine am făcut, pentru că pe lângă confirmarea direcţiei generale pe care o intuiam, am primit şi lămuriri şi argumente suplimentare edificatoare. Dar despre ce este vorba?

Spre finalul părţii a doua a acelei analize, mă întrebam mai mult retoric, oare ce a vrut să spună autorul când explica astfel: Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

După cum am intuit, lămurirea acestui subiect ar deschide poarta spre o altă mare schimbare în predarea matematicii, o schimbare despre care încă nu m-am simţit până acum în stare a vorbi la un nivel acceptabil (am atins subiectul, mai exact m-am apropiat de acesta de câteva ori, însă doar punctual şi superficial, prin câteva exemple izolate, în cu totul alte contexte). Acum cred că a venit vremea să “iau şi acest taur de coarne”. Aşadar, să pornim!

*

Una din acuzele dese la adresa matematicii (ca materie şcolară, aşadar la adresa predării matematicii) este faptul că orele de matematică nu sunt atractive. Mulţi alătură această acuză unei alteia, anume că matematica este mult prea grea. Ca urmare, unii încearcă să vină cu strădania de corectare a primei acuze, printr-o formă de remediere în sensul celei de a doua, coborând nivelul matematicii într-o zonă de aplicaţii banale. Şi de unde le iau pe acestea? Păi, “din lumea reală”, având în acest sens două tipuri de impulsuri.

Pe de-o parte ar fi impulsul de a imita subiectele date la studiile PISA (acolo este însă verificată capacitatea de modelare, pe când în problemele imitative din zona gimnazială românească acestea oferă deja modelul). Pe de altă parte, mai există şi nemulţumirea că elevii nu ştiu aplica în viaţa de zi cu zi toată învăţătura matematică primită la şcoală “cu tolceriu” (adică turnată cu pâlnia în căpşoarele lor). Această deficienţă a fost exprimată într-un eseu foarte clar de către Dl. Sorin Borodi (în urmă cu câţiva ani). Aşadar – concluzionează unii – ar trebui să venim în întâmpinarea elevilor cu o linie de aplicaţii banale “din viaţa de zi cu zi”.

Aici însă, profesorii obişnuiţi cu matematica “înaltă” (adică prea grea şi prea riguroasă – vezi în acest sens principalii vectori de schimbare din timpul reformei uitate” din 1980), aceştia au mari dificultăţi în a simţi cât să coboare pentru a accesibiliza materia; de obicei coboară mult prea jos, până la un nivel banal, care şi acesta acţionează plictisitor asupra marii majorităţi a elevilor (alteori o fac într-un fel lipsit total de sens realist; amintesc astfel de tortul în formă de piramidă patrulateră regulată cu vârful în jos, din urmă cu câţiva ani; cum a putut gândi cineva aşa o chestie?).

Într-un astfel de demers am putea spune că matematica acceptă să coboară mult prea înjositor în lumea elevilor, în loc să-i atragă pe aceştia înspre lumea matematică, acolo unde ea – matematica – are cele mai frumoase lucruri de oferit. Practic, noi profesorii ne mulţumim să ne adresăm elevilor în demersul matematic doar pe cele două extreme posibile: fie prin intermediul matematicii seci, riguroase, de nivel prea înalt, cu care suntem obişnuiţi “de o viaţă” (adică din anii ’80 când a fost introdusă agresiv), fie “ne coborâm la nivelul lor”, înţelegând prin asta să îi plictisim cu evidenţe “fără sare şi piper”, cu elemente care nu pot trezi entuziasmul pentru activitatea matematicii (mă refer aici desigur la marea majoritate a elevilor de nivel mediu).

Tehnic, nici una, nici cealaltă dintre variante nu este sortită succesului dacă se omite un aspect important, despre care cei mai mulţi nici nu se gândesc. Către elevi matematica trebuie să vină cu elementele ei cele mai atractive, cele mai fascinante, cu cele mai frumoase aspecte cu care îi poate “vrăji” profesorul pe elevi în acel moment.

Revenind la cele două variante de abordare exprimate mai sus, trebuie să observăm aici un aspect absolut fascinant: ambele se adresează doar extremelor din Clopotul lui Gauss. Pe când predarea teoreticistă riguroasă şi de înalt nivel al aplicaţiilor este de înţeles doar de către cei mai buni elevi (singurii care se pot ridica la acest nivel), elementele de exemplificare banale pot aduce oarece satisfacţie doar elevilor foarte slabi (bucuroşi că în sfârşit înţeleg şi ei ceva). Şi iarăşi ajungem la Profesorul Hollinger: dar de elevul mijlociu când ne ocupăm? Cu alte cuvinte, cum ar trebui să arate predarea matematicii şcolare pentru elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss? (să-i aproximăm la cca 80% din populaţia şcolară generală)

Aici cred că se adresează “cerinţa” despre care vorbesc din articolul respectiv de la CEAE, ce ne apare acolo sub forma acelei acuze: Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Acum începem să intuim câte puţin sensul întrebărilor ce le-am sugerat atunci: Oare, ce conflict cognitiv trebuie generat? Este nevoie de un conflict cognitiv pentru a înţelege o demonstraţie? Este bine sau nu să apară un conflict gognitiv în acest moment al lecţiei?

*

Revenind la subiectul nostru, noţiunea de conflict cognitiv vine din zona de psihologie pedagogică. Vă las dvs., stimaţi cititori, bucuria de a căuta net-ul in lung şi în lat despre acest subiect (de pildă, profesorii de fizică il folosesc foarte mult). În eseul de faţă eu îmi permit să vă prezint gândurile mele personale, desigur cu accent pe predarea matematicii, aşa cum intuiesc eu acest subiect. Experienţele mele personale şi preocupările de atragere a elevilor obişnuiţi înspre matematică, cât şi multele cursuri cu docenţi din străinătate, dar şi bogata literatură studiată despre predarea matematicii, toate acestea îmi dau curajul să mă apuc de acest subiect, deşi tehnic nu l-am întâlnit niciunde până acum. Multe se adună însă “ca un buchet” în jurul acestei idei. Dau un singur exemplu aici: impresionant şi intrigant mi-a răspuns colegul Kjell Sammuelson din Suedia, în 2020 când i-am trimis poza cu lampa icosaedrică descoperită, rezumând extrem de bine chiar subiectul nostru de acum (vedeţi al doilea abajur din postarea http://pentagonia.ro/matematica-la-vreme-de-corona-virus-2-abajur-icosaedru-nou/ ; primul este destul de cunoscut în sistemul şcolar Waldorf)

Aşadar, permiteţi-mi să încep. Din câte exprimă pe scurt denumirea, conflictul cognitiv aduce o contradicţie între elementele ce-i sunt cunoscute cuiva într-un moment al procesului de cunoaştere. Dacă profesorul introduce o informaţie nouă, o metodă nouă pe baza unei contradicţii în înţelegere şi reuşeşte să-l implice pe elev în acţiunea de lămurire, atunci el de fapt stârneşte curiozitatea elevului. Acesta va ieşi din “văgăuna lui de indiferenţă”, motivat de o curiozitate pe care şi-o doreşte lămurită; situaţia problematică îi devine acum una personală şi se va implica, se va lupta să şi-o lămurească. Pus în faţa unui conflict cognitiv (practic predare prin problematizare!), cresc vertiginos şansele ca elevul să iasă din starea sa de indiferenţă, de “platitudine” emoţional-intelectuală, şi să se implice în desluşirea “misterului” apărut. Prezentând noile elemente ale unei lecţii printr-un conflict cognitiv, profesorul are şanse crescute să-i stimuleze pe elevi în a se implica în înţelegerea acesteia.

Dimpotrivă, lipsa unui conflict cognitiv în prezentarea unor itemi noi lasă elevul în acea stare cunoscută de neimplicare emoţională, de “participare plată” la lecţie, de plictiseală şi indiferenţă (“o nouă lecţie pe care profu’ o turuie, iar noi va trebui să o tocim; pentru moment singura mea datorie este cel mult să copiez lecţia”). Pe durată, acest tip de predare oboseşte (chiar adoarme la propriu), aduce ură faţă de materia respectivă şi, în predarea matematicii, în nici un caz nu produce dezvoltarea gândirii; dimpotrivă!

Probabil că nu se poate preda orice lecţie pe baza generării unui conflict cognitiv (acesta este un alt subiect de discuţie), dar asta nu este o scuză să nu folosim defel această abordare. Pigmentarea procesului de predare de câte ori este posibil cu momente generatoare de conflict cognitiv (chiar de diferite nivele, mai mari sau mai mici) înviorează puternic ora de matematică. Elevii încep să povestească plini de apreciere (în urma acelei ore), iar părinţii nu mai înţeleg nimic: brusc, matematica nu mai este acea materie “bau-bau”. Chiar şi elevii foarte slabi povestesc acasă în spectru pozitiv despre “profu’ ăsta de mate”, pentru că starea de entuziasm despre subiectele discutate se generalizează în clasă, fiind simţită de către toţi elevii, chiar şi de către cei slabi (care deseori totuşi nu pot participa direct la dezbatere).

Pe baza inserării în lecţii a unor momente de conflict cognitiv, predarea şi învăţarea matematicii capătă accente de roman, de film, devine pe alocuri chiar palpitantă; elevii se bucură când vine ora de mate. Ţin minte exprimarea unui copilaş de a 5-a prin primăvară, la fracţiile zecimale periodice: “eu nu mai suport, aşa-i de palpitant; vreau să aflu odată ce-i aici!”. Cred că atunci mi-a reuşit bine generarea şi gestionarea unui conflict cognitiv de succes (voi reveni în curând cu acest exemplu).

În matematică, o predare ce implică inserarea anumitor momente de conflict cognitiv generează o atitudine de o oarecare stare de secret; aparent, profesorul “nu joacă cu cărţile pe faţă”, cel puţin nu total. Or, este cunoscut că secretele stârnesc dorinţa de a le afla. La fel şi în predarea matematicii: într-o atitudine ceva mai enigmatică de predare a lecţiei, prezentarea materiei împachetată în ciudate secrete stârneşte dorinţa de cunoaştere a elevilor.

Părerea mea este că în matematică rareori ajungem cu adevărat la un nivel ce poate fi clasificat drept “conflict” cognitiv. Această expresie ar fi potrivită a se folosi atunci când apare cu adevărat un conflict, adică atunci când există două poziţii, două păreri sau două dorinţe opuse. Conflictul apare de obicei în ştiinţe, legat de diferitele explicaţii ce pot fi date unui anumit fenomen; da, acolo putem vorbi cu adevărat de un conflict.

În matematică, “conflictul cognitiv” nu poate apărea ca atare (ca un conflict între două puncte de vedere opuse) decât absolut excepţional. În matematică singurul conflict posibil este între matematician cercetător şi subiectul încă nelămurit, nedemonstrat, cu care acesta se ocupă. În mod similar, în predarea matematicii singura situaţie conflictuală poate fi evidenţiată între elevul care încă nu înţelege şi situaţia enigmatică ce îi este adusă de către profesor. Este greu însă să extrapolezi aici situaţia la un “conflict” între două persoane. Mai degrabă, în predarea matematicii eu aş folosi expresia “Dilemă cognitivă“. Din câte înţeleg eu, simt că ar fi vorba de obicei doar despre o dilemă cognitivă, pe care eu ca dascăl o aduc în faţa elevilor şi o folosesc ca să le stârnesc curiozitatea şi să le captez atenţia.

În acest context, ideea apare de pildă pe net astfel: Predarea matematicii … lansând elevilor o întrebare problemă provocatoare (“conflict cognitiv”), (numele lucrării şi autorii la adresa https://www.academia.edu/36969914/Lucrare_mate_Conversie ).

Aplicată pe durată, această tehnică stârneşte dorinţa de cunoaştere la elevi. Iar asta face parte clar din “Arta predării matematicii“. Zonele de materie în care îmi reuşeşte să aduc la fiecare lecţie măcar o dilemă cognitivă, ca profesor, pe acestea le consider cele mai reuşite; elevii participă cu tot avântul la generarea lecţiei şi “toată lumea e fericită”. Nu trebuie să fie de fiecare dată dileme foarte mari; pot fi elemente destul de banale, dar aduse cu dibăcie, fără a le da elevilor totul “mură-n gură” (în acest context, ca un exemplu extrem de banal, puteţi relua începutul articolului despre divizorii unui număr, din urmă cu aproape 5 ani, la adresa http://pentagonia.ro/divizorii-unui-numar-prezentarea-unei-ore-deschise/ ).

Tehnica este foarte simplă: trebuie doar să reuşeşti să stârneşti curiozitatea elevilor. Despre asta este vorba de fapt, despre un repertoriu cât mai vast (din partea profesorului) prin care să se stârnească curiozitatea elevilor (a cât mai multora, că la toată clasă oricum nu cred că se prea poate). Iar curiozitatea elevilor se stârneşte printr-o dilemă cognitivă accesibilă, care le captează atenţia (elevii trebuie să înţeleagă situaţia enigmatică, ca apoi să-şi dorească a o desluşi). Evident că o dilemă cognitivă prea profundă, prea grea, nu rezolvă obiectivul atragerii elevilor, fiind inaccesibilă majorităţii acestora. Dilema cognitivă trebuie să fie accesibilă majorităţii elevilor din blocul central al “Clopotului lui Gauss”. Rezum ideea: “dilemă cognitivă” (adică nu banală!), dar “accesibilă” (adică nu foarte grea!). E simplu! Sau?

În ianuarie 2018 m-am apropiat foarte mult de acest subiect în seria despre Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat (inserez aici link-ul primei părţi din acea serie http://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ , pe restul le găsiţi în arhivă). Din această primă parte reiau un pasaj interesant pentru subiectul nostru actual:

*

De curând am răsfoit din nou într-una din cărţile unui fost mare profesor metodist al anilor ’60-’70 şi am regăsit câteva citate deosebit de interesante în acest sens. În lucrarea sa  De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros, 1971), Eugen Rusu şi-a pus problema despre … mobilul psihologic care l-a împins pe Euclid spre rigurozitate. Dânsul dă imediat şi principalul răspuns: Această tendinţă spre riguros se naşte şi se accentuează din însăşi activitatea geometrică.

Important este să se pună problema de a căuta să descoperi lucruri noi, prin raţionament deductiv. Aceasta este destul ca, în cadrul acestei activităţi, să se pună de la sine, în mod din ce în ce mai acut, şi chestiunea rigurozităţii. Este interesant să ne oprim atenţia asupra acestui fenomen psihologic.

Cînd, pentru prima oară, ne simţim îndemnaţi să aflăm un adevăr nou, altfel decât prin experienţă directă, deci prin deducţie logică, aceasta nu se poate întîmpla pentru ceva care este “evident” prin intuiţie; aceasta se întîmplă cu o chestiune despre care simţurile nu ne dau informaţii precise şi sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experienţă senzorială. Atunci cu adevărat ne vom simţi îndemnaţi să o “deducem” din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu următoarea observaţie: faţă de obişnuita demonstraţie bazată pe proporţionalităţi din asemănare (prin teorema catetei), demonstraţiile prin arii transformă, apropie, dă perceperii teoremei lui Pitagora o clară notă de experienţă senzorială. Acest fapt susţine o primă abordare şi demonstrare a acestei teoreme prin arii.

*

Închei aici citatul din vechiul articol; se vede cum am atins atunci foarte fin aspectul ce ne preocupă acum. Să clarificăm fenomenul: nici nu are rost să încercăm să demonstrăm un aspect ce este evident pentru intuiţia elevului, dar nici nu are rost să venim în faţa elevilor cu dileme cognitive prea grele, pentru că acestea nu le vor fi defel accesibile. În procesul predării, noi trebuie să ţintim calea de mijloc, adică trebuie să venim în faţa clasei cu o dilemă cognitivă accesibilă. Nu are rost să le cerem să demonstrăm ceva evident pentru intuiţia lor, pentru că atunci nu avem o dilemă! Dar nici dacă venim cu o dilemă prea profundă “nu rezolvăm mare scofală”, pentru că majoritatea elevilor nu vor înţelege nimic.

Se pare că Teorema lui Pitagora reprezintă în acest context un exemplu magistral (şi aici bănuiesc eu motivaţia articolului CEAE). Demonstraţia tradiţională prin rapoarte, venind dinspre teorema catetei, este pentru marea majoritate a elevilor un soi de “hocus-pocus” inaccesibil gândirii lor (la acel moment marea majoritate a elevilor încă nu are o gândire “foarte dibace” din punct de vedere a “jongleriilor algebrice”, care aici sunt în plus redactate în limbaj geometric). Demonstraţia tradiţională a teoremei lui Pitagora prin rapoarte aduce în faţa elevilor o dilemă cognitivă inaccesibilă marii majorităţi a elevilor, ţintind astfel mult prea sus faţă de posibilităţile “elevului mijlociu”. Această abordare reprezintă practic o ocazie irosită de a atrage elevii către matematică, de a le construi gândire logică în ultimă instanţă.

Abordarea demonstrării dinspre arii accesibilizează procesul, venind dinspre o direcţie totuşi mai senzorială. Eugen Rusu avertiza că nu trebuie să demonstrăm proprietăţi evidente din punct de vedere senzorial, dar nici să tragem orice demonstraţie într-o zonă cât mai abstractă nu este normal. Repet: o cale de mijloc este cea mai sănătoasă. Teorema lui Pitagora reprezintă o dilemă cognitivă destul de abstractă, aceasta putând însă a fi accesibilizată prin prezentarea ei cu ajutorul ariilor, într-o formă mai senzorială pentru o primă demonstraţie. Cu alte cuvinte, demonstrarea prin arii aduce în faţa elevilor o dilemă cognitivă, însă una accesibilă majorităţii elevilor, abordându-i printr-o “clară notă de experienţă senzorială“.

Eu cred că la aceste aspecte s-au referit colegii de la CEAE în observaţia din articolul la care am făcut referire la început (articolul reluat imediat şi pe edupedu.ro). Practic, forma actuală de introducere a Teoremei lui Pitagora “sare de la o extremă la cealaltă”: la sfârşitul clasei a 6-a trebuie introdusă “şmecheria” fără nici cea mai mică justificare, doar ca o reţetă “picată din cer”, evitând astfel total dilema cognitivă, iar apoi în clasa a 7-a, de-abia în semestrul al doilea (sau cum îi va mai zice de-acum, prin module), cunoaşterea Teoremei lui Pitagora este condusă pe o cale demonstrativă bazată pe o dilemă cognitivă inaccesibilă majorităţii elevilor. După părerea mea, acesta este de fapt “reproşul” din articolul CEAE la adresa autorilor manualului respectiv: simţind că demonstraţia tradiţională este inaccesibilă majorităţii elevilor, în încercarea de a le arăta că “nu-i aşa de greu”, aceştia sar în extrema cealaltă şi “îi pun” pe cei doi copii (cele două personaje din manual) să arate rezolvarea pe care elevii ar trebui să o ştie de la sfârşitul clasei a 6-a (de fapt un algoritm, o reţetă de învăţat pe de rost). Asta spune însă de fapt ceva groaznic: “Voi, majoritatea elevilor, nici nu trebuie să participaţi la înţelegerea matematică; este suficient dacă ştiţi să aplicaţi calculul respectiv. Nu-i nevoie ca să gândiţi; ne mulţumim să vă dresăm să puteţi face automat o rezolvare”.

Dar de ce face Teorema lui Pitagora aşa cum face, asta oricum marea majoritate a elevilor tot nu vor înţelege, predarea celor mai mulţi profesori (inclusiv din manualul respectiv) ratând momentul cu “mare brio”. Şi, uite-aşa profesorimea mai ratează un moment în care ar putea să-i facă pe elevi să gândească, mulţumindu-se să-i dreseze doar să înveţe o nouă reţetă (necesară pentru a face faţă la teste, la examene sau la fizică).

*

Fac aici o paranteză la prezentul eseu şi vă povestesc puţin despre viaţa mea la acest moment în contextul încercării altruiste de a ajuta la repararea predării matematicii în România. Am ajuns să mă preocup înspre multe direcţii (cam multe), aşa încât acest aspect se reflectă şi în apariţia postărilor pe blog. Totuşi, vedeţi cum se leagă în mod curios, foarte interesant, subiecte din ultima perioadă (de pildă, preocuparea despre prefaţa culegerii lui Hollinger cu articolul CEAE despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora). Există şi un alt subiect mai vechi, despre care nu am scris în ultima vreme (pentru că pur şi simplu n-am apucat), deşi au apărut elemente noi în preocuparea mea: munca de înţelegere a fişelor de descoperire a matematicii generate de D-na Birte Vestergaard din Norvegia. La cursul seminarului de la Kassel de anul acesta m-am înscris pentru a participa exact la cursul de 5 întâlniri ţinute de dânsa (la restul am participat din decenţă faţă de cei care mi-au plătit cursul întreg). Permiteţi-mi să vă divulg deja una din noutăţile auzite acolo. Astfel, dânsa a început să ne vorbească despre un aşa-numit “Sudoku-effect“, înţelegând prin acesta acea stare atractivă de rezolvare a unor situaţii enigmatice pe care ” TU trebuie să le rezolvi”, care nu-ţi dau pace “până nu le dai de capăt”.

Cred că toţi cunoaşteţi acea stare (de-a dreptul obsesivă uneori) când nu poţi abandona un subiect până nu afli cum funcţionează; în această zonă ar trebui atraşi elevii în momentul demonstraţiei Teoremei lui Pitagora. Mai mult: la această cea mai cunoscută teoremă din toate timpurile, procesul poate fi repetat chiar de mai multe ori. Dilema cognitivă are “o energie” atât de mare încât procesul demonstrării poate fi reluat de mai multe ori, din diferite direcţii de materie (varianta dinspre Teorema catetei fiind doar una dintre acestea). Asta făcea de fapt “again and again” (din nou şi din nou) acea profesoară din America, d-na Marisha Plotnik punându-i pe elevi să descifreze alte şi alte demonstraţii ale Teoremei lui Pitagora.

Am dat “Sudoku-effect” pe Google, mi-a apărut instant (se pare că-i destul de cunoscută expresia) şi am ales din lista oferită “sudoku effects on brain” (efectul sudoku asupra creierului); iată prima informaţie apărută acolo: People who do puzzles have brain function equivalent to 10 years younger than their age, according to the study tests. On short-term memory tests, puzzle takers had brain function equivalent to eight years younger. (oamenii care se ocupă cu rezolvarea puzzle-urilor, în general a situaţiilor enigmatice, a jocurilor enigmatice, au funcţii ale creierului corespunzătoare unei vârste cu 10 ani mai tineri, conform studiilor. La testele de memorie pe termen scurt, “puzzel-iştii” au funcţiuni ale creierului echivalente unora cu 8 ani mai tineri) Mai pun totuşi încă una: Sudoku May Keep Your Brain Younger! Uaaau! (Sudoku îţi ţine creierul mai tânăr) Cu scuzele de rigoare evidenţiez aici dificultatea traducerii cuvântului “puzzle”, care include la americani orice tip de “joc enigmatic” (nu numai cele din multe piese mici de carton ce urmează a fi reasamblate într-o imagine, aşa cum este folosit în română), deci desigur şi jocurile numerice tip Sudoku, dar şi multe probleme matematice, mai ales cele clasificabile drept “matematică distractivă”. La problemele lui Martin Gardner este folosit de pildă constant termenul “puzzle”.

Aceste gânduri ne arată că practic “destinatarul” unei predări ce foloseşte acest Sudoku-effect, adică elevul “simte” chiar şi organic (deci pe creier) un nivel de stimulare extraordinar, însoţit probabil de generarea unor anumite neurochimicale, ce produc o stare de bucurie şi satisfacţie, întregul proces fiind astfel resimţit ca atractiv (Paul Olteanu ar explica mai bine asta). Revenind la matematica noastră, o predare ce foloseşte acest Sudoku-effect – generând un conflict cognitiv – va duce la o stare de atractivitate crescută faţă de matematică. Iar asta se va întâmpla la tot mai mulţi elevi, cu cât reuşeşte profesorul să atragă cât mai mulţi elevi în discuţia acestui conflict cognitiv. Aşadar, se pare că şi aici – în teoria Sudoku-effect – este implicată clar noţiunea de conflict cognitiv. Interesant! Închid paranteza.

*

Pricepând-o tot mai clar, observăm că această nouă cerinţă asupra predării – de a genera şi de a folosi un conflict cognitiv, o dilemă cognitivă în predare  – intră brutal în contradicţie, în opoziţie cu o altă cerinţă asupra predării matematicii, una apărută în lumea matematicii şcolare chiar prin reforma uitată din 1980, anume cerinţa predării cât mai riguroase, după modelul cursurilor universitare: super-detaliat, prevenind astfel orice discuţie divergentă despre o oarecare neclaritate sau nesiguranţă, totul însă într-o atitudine “plată”, fără nici cea mai mică emoţie, tinzând spre o stare de evidenţă absolută, care “să anestezieze” orice fel de comentariu de contestare a discursului şî a concluziilor.

Problema este că acest tip de predare este unul deosebit de egocentrist (profesorul este concentrat doar pe discursul său, care în forma ideală trebuie să fie “absolut”). Dar, acest tip de predare este şi deosebit de plictisitor, de-a dreptul “adormitor” pentru auditoriu (modelul profesorului universitar care vorbeşte “de unul singur” la tablă, din “înaltul” matematicii sale). În afara celor pasionaţi de subiectul respectiv (de obicei foarte puţini), oricine ascultă un astfel de discurs, o astfel de lecţie, ajunge să piardă destul de repede contactul cu cel care ţine prelegerea. Practicată pe durată în şcolile de masă, acest tip de predare duce la efectele despre care toată lumea vorbeşte acuzator legat matematica şcolară. Care este reacţia multor profesori, sesizând acest aspect? Aceştia încep să transforme lecţia de matematică într-un simplu pachet de reţete, pe care elevii nu e nevoie să le înţeleagă, ci doar să le stăpânească şi să le poată aplica corect. Uau! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest ultim aliniat.

Durerea cea mare este că mentalul multor profesori s-a transformat atât de mult, încât aceştia predau astfel ca elevii nu că nu e nevoie să înţeleagă dar, cel mai bine nici măcar nu trebuie să şi înţeleagă lecţia (nu ştiu dacă se simte diferenţa de nuanţă din ultimul rând): aparent, în cazul unor profesori pare că neînţelegerea elevilor este rezultatul unei atitudini intenţionate; “eu profesorul, nici nu vreau să înţelegi, fac chiar tot ce pot ca să nu înţelegi, prezentându-ţi lucrurile cât mai alambicat (ca să vezi tot timpul cât sunt eu de deştept şi cât eşti tu de …); eu doresc doar să te dresez să le poţi aplica automat, ca să le poţi reda la examen” (faptul că elevul trebuie să simtă zilnic cât îi este profesorul de superior, aceasta este o altă latură urâtă a stilului de predare universitar din România, ce a fost preluată cu mare entuziasm de unii profesori din licee, ajungând şi în clasele gimnaziale, fiind confundată în mentalul multor profesori preuniversitari cu ideea de “predare super-riguroasă”).

*

Să revenim în final încă o dată la subiectul nostru, anume la conflictul cognitiv (sau să-i spun mai degrabă “dilemă cognitivă”? Că parcă se potriveşte mai bine în contextul predării matematicii). Aş dori să evidenţiez câteva direcţii despre care n-am vorbit şi nici nu intenţionez să vorbersc cu această ocazie (le enumăr însă, oarecum ca temă pentru cititori).

Pentru profesorul care a auzit doar acum de acest termen, un subiect deosebit de interesant ar fi următorul: oare, care sunt lecţiile predispuse spre introducerea prin dilemă cognitivă sau la care se poate folosi acesta? Nu-mi propun acum o astfel de analiză, mare consumatoare de timp şi spaţiu. Până la o eventuală astfel de prezentare (?) las tema în suspans, cum am spus deja, eventual ca temă de reflexie la adresa cititorului doritor.

Următoarea temă ar fi de interes doar pentru cei ce ajung în postura de a scrie cărţi de matematică pentru elevi, în principal manuale. Oare cum se pot introduce în lecţiile din manuale pasaje pe bază de dileme cognitive? Trebuie să recunosc că mă preocup cu această întrebare de câţiva ani, dar încă nu am ajuns la un răspuns clar (o linie de reţete eficiente în acest sens). Deci, cum poţi purta “un dialog” cu cititorul?

Pentru cine doreşte să aprofundeze subiectul, ar fi de un real interes să afle cum se practică această abordare, a scoaterii în evidenţă a dilemei cognitive, în predarea altor materii. Cum se face la fizică; cum s-ar putea folosi la istorie ? etc. Ar fi de evidenţiat şi alte aspecte, dar mă opresc aici, încheind cu un citat din Albert Einstein, citat ce subliniază importanţa formării gândirii: Nu port toate aceste informaţii în memorie, de vreme ce sunt disponibile în cărţi. Valoarea unei bune educaţii nu constă în învăţarea multor informaţii, ci în antrenarea minţii să gândească. Iar pentru acest scop, folosirea în predare a conflictului cognitiv, mai exact la matematică a dilemelor cognitive, are o valoare deosebită. C. Titus Grigorovici

P.S. Cum am mai spus, poate că denumirea de “Conflict cognitiv” nu este cea mai reuşită eu sugerând denumirea de “Dilemă cognitivă” (poate există şi o altă denumire, mai edificatoare). Important este să întelegem când considerăm că apare aceasta: în eseul de faţă m-am referit la situaţii în care ne confruntăm cu elemente noi în viaţa noastră, despre care la început nu înţelegem cum se situează faţă de restul aspectelor, a celor deja cunoscute. De obicei în procesul de învăţare a matematicii, noţiunea de dilemă cognitivă descrie de fapt situaţia în care învăţăcelul se confruntă cu o informaţie nouă ce nu este încă în acord cu cele anterioare, organizate deja, până în acel moment, ca sistem coerent. Legat de acest moment cunosc un citat interesant din Rudolf Steiner, filozoful fondator al Şcolii Waldorf (este chiar citatul meu preferat). Iată pasajele la care mă refer:

Toate gândurile izolate sunt părţi ale unui mare întreg pe care-l numim lumea noastră de noţiuni. Dacă în conştienţă se iveşte un oarecare gând izolat, eu nu-mi găsesc odihna până când el nu este pus în acord cu restul gândirii mele. O asemenea noţiune separată, despărţită de restul lumii mele spirituale, îmi este cu totul insuportabilă. Căci eu am conştiinţa faptului că există o armonie lăuntric întemeiată a tuturor gândurilor, că lumea gândurilor este una unitară. De aceea, pentru noi orice asemenea separare este ceva nenatural, un neadevăr. Când am ajuns până acolo (ca gândul cel nou să fie pus în acord cu restul gândirii mele), că întreaga noastră lume de gânduri poartă caracterul unui acord lăuntric desăvârşit, atunci avem parte de acea mulţumire după care tinde spiritul nostru. Atunci ne simţim în posesia adevărului.(din Rudolf Steiner, Linii fundamentale ale unei teorii a cunoaşterii în concepţia goetheaniană despre lume, Ed. Triade, 1996. Pag. 35-36)

P.P.S. Dacă nu aţi creat deja o alergie la “manualele germane”, pe baza articolului iniţial CEAE despre alegerea demonstraţiei pentru Teorema lui Pitagora, vă prezint încă două astfel de articole (din 2019, respectiv 2021) în care se vede cum se pot introduce noţiuni noi de geometrie prin problematizare, adică pe baza unei dileme cognitive. Iată link-urile acestora: https://ceae.ro/cum-sa-i-ajuti-pe-copii-sa-gandeasca-nu-sa-toceasca-la-matematica-solutia-prezentata-de-un-manual-german-de-clasa-a-vi-a/ , respectiv https://ceae.ro/cand-predai-matematica-trebuie-sa-i-inveti-pe-copii-sa-gaseasca-solutii-la-probleme-noi-nu-sa-memoreze-proceduri/  Eu nu mă apuc de noi analize, ci vă las dvs., stimaţi cititori plăcerea şi provocarea de a aprofunda individual fiecare idee exprimată în acestea. Sunt două articole deosebit de valoroase, înţelegerea lor putând creşte vizibil “arta predării matematicii”.

Pentru că am făcut subtile referiri şi la alte materii, probabil cel mai bine se poate surprinde ideea de conflict cognitiv la fizică, atunci când confrunţi pentru început mintea elevului cu un experiment surprinzător, cu o situaţie uluitoare, intrigantă. Uimirea apărută instant la vederea acelui experiment acţionează ca un imbold natural, trezind dorinţa de a cerceta şi de a înţelege noul fenomen. Observaţi în acest sens următoarele filmuleţe (youtube-ul dă şi altele): https://www.youtube.com/watch?v=XAbEeE6eCZw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=yYWXyHgupjw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=JRPA5Wk5PTw&list=PLqFGYThhS_wjnTVE2wV6gXByOnUYLGeDR&index=7

Din păcate, mulţi înţeleg pe baza unor astfel de exemple că metoda conflictului cognitiv este potrivită doar fizicii (unde într-adevăr aceasta funcţionează “ca peştele în apă”), susţinând că în predarea matematicii această metodă nu-şi are locul. Nimic mai greşit! Conflictul cognitiv poate fi folosit cu succes, ca dilemă cognitivă, şi în predarea matematii preuniversitare, de obicei sub forma predării prin problematizare, în forme extreme chiar ca predare prin descoperire.

Dacă tot am ajuns să vorbesc şi despre fizică, îmi permit un gând personal. Ideea de conflict cognitiv poate fi desigur înţeleasă ca atare în momente istorice precum situaţia de explicare a fenomenului luminii: conflictul dintre teoria de undă şi teoria corpusculară (există şi alte conflicte nelămurite, unele chiar la bazele fizicii). Dar în procesul de predare a fizicii la clasă avem de obicei doar dileme cognitive, în urma prezentării unui experiment uimitor. Cel mult, în procesul de încercare de găsire a unei explicaţii pot apărea situaţii conflictuale între doi elevi, între două grupuri (poate chiar trei), care vin cu explicaţii diferite, iar apoi îşi susţin cu ardoare punctul de vedere. Cu alte cuvinte, cred că folosirea cuvântului “conflict” este de obicei exagerată, denumirea de “dilemă” cognitivă fiind de obicei mult mai potrivită.

De data asta chiar închei, dorind să aduc mulţumiri sincere d-lui Cristian Hatu de la CEAE, pentru sugestiile lămuritoare şi materialul trimis în acest sens (adresele din acest P.P.S.).

În această serie mi-am propus să scot în evidenţă faptul că la ora actuală “toată lumea” greşeşte în procesul educaţional, anume că degeaba scoatem constant la lumină greşelile altor participanţi, că tot nu se rezolvă mare lucru atâta vreme cât nu ne uităm “în propria ogradă”, atâta vreme cât nu ne facem autoanaliză şi nu începem un proces de autocorectare.

Până acum am vorbit despre elevi (dar mai ales despre părinţii acestora) şi despre profesori, în două mega-eseuri (cele mai lungi de până acum pe pentagonia.ro, fiecare câte 9 pagini). Eseul despre deficienţele activităţii profesorilor a reprezentat totodată pentru mine şi cel mai greu text de scris. M-am simţit extrem de dificil în această stare similară cu o bârfă, în care mi-am criticat pe faţă diferiţi colegi, dar simţeam totodată că trebuie să fac acest lucru pentru valoarea întregii serii: cineva trebuia să spună unor astfel de lucruri pe faţă, astfel încât să nu mai vorbim doar pe ocolite, în jurul subiectului (nici eu nu am reuşit să o fac foarte direct, dar m-am străduit; sper că Gigel să fi fost mulţumit!), sau să fim din când în când puşi în situaţia de a-i auzi pe alţii cum vorbesc în mod critic despre noi. Totodată, nutresc totuşi speranţa că diferiţi colegi care fac astfel de lucruri (sau altele despre care nici n-am vorbit) vor “cădea pe gânduri” şi vor intra într-un proces de autocorectare.

Acum ar trebui să ne uităm la următorul nivel principal al învăţământului şcolar matematic românesc, anume la nivelul autorităţilor naţionale responsabile de politica predării în şcoli a matematicii. Este foarte important să o facem, deoarece “Ei” sunt generatorii întregii “atmosfere” din sistemul şcolar, a tuturor condiţiilor în care profesorii şi elevii trebuie să îşi desfăşoare activitatea (poate nu neapărat “Ei” cei de acum, se prea poate să fie vorba mai degrabă de “Ei” cei de altădată, dar cei de acum sunt datori să facă corecturile necesare şi să îşi asume existenţa erorilor celorlalţi din trecut). Faptul că – mai ales în cazul matematicii şcolare – elevii şi profesorii sunt într-o permanentă “dispută”, într-un perpetuu conflict (de interese, de comportament, de activitate, unii împotriva celorlalţi, fiecare pentru sine, cu interese divergente, egocentriste), acest fapt se datorează în primul rând autorităţilor centrale care generează, conduc şi coordonează întreaga activitate a “jucătorilor de la nivelul de bază” (întotdeauna, la tot ce scriu există desigur şi excepţile corespunzătoare).

Pentru eficienţa şi fluenţa textului să convenim a numi toate autorităţile centrale cu mult mai simpla titulatură de “Ministerul”, înţelegând prin acesta toate persoanele şi toate structurile ce se ocupă de destinele matematicii şcolare româneşti în cadrul Ministerului Educaţiei (sau cum so mai fi numind de la un ministru la altul). În unele momente s-ar putea să fie implicată în discuţie şi Societatea de Ştiinţe Matematice din România (eu din copilărie o ştiu ca SSM, părinţii mei având legături puternice cu aceasta – fondaseră o subfilială SSM în Or. Victoria; sub tutela SSM au organizat într-un deceniu trei simpozioane naţionale pe tema Laboratorului de matematică, ultimul în 1987 la scurt timp după revolta muncitorilor din Braşov).

În această mare categorie nu intră şi inspectoratele şcolare judeţene, aceştia fiind doar responsabili cu implementarea politicilor educaţionale “venite de sus”. Rareori când inspectoratele şcolare reuşesc să genereze anumite “mişcări” locale de îmbunătăţire a situaţiei, care să nu fie direcţionate “de la centru”. Am avut un astfel de caz în urmă cu cca. 10 ani, când Inspectoratul şcolar judeţean Cluj a instituit un sistem de simulări a examenelor de final de ciclu (EN şi BAC), format din două ture de simulări, una în jur de 1 Dec,, iar cealaltă înainte de Paşte (sau după? nu mai ţin minte clar). Logica era următoarea: mai ales pentru elevii care tot amânau a se apuca serios de învăţat, prima tură de simulări acţiona ca un sistem de alarmare deosebit de eficient; măcar în vacanţa de iarnă aceştia se apucau de lucru. Iar învăţatul funcţiona foarte serios pe baza acestei “sperieturi”, astfel încât în primăvară avea loc “o adevărată simulare”, una în cunoştiinţă de cauză, una pentru care elevii chiar se pregătiseră serios (măcar începând din iarnă). Rezultatele erau desigur mai bune, începea să acţioneze încurajarea pozitivă, elevii vedeau că pot şi trăgeau mai tare ca să urce cât mai mult pentru examen. Rezultatele acelui an au fost spectaculoase, “Clujul” situânduse muuult deasupra celorlalte judeţe (ţin minte un grafic edificator din acel an). Şi ce a făcut în aceste condiţii Ministerul? Au spus că preia ideea la nivel naţional, dar o modifică niţeluş, aşa doar prin părţile esenţiale: s-a instituit simulare obligatorie la nivel naţional, însă doar într-o singură sesiune, poziţionată undeva între cele două din modelul clujean (imediat după 8 Martie). Este evident pentru oricine că mecanismul acestei noi forme nu mai acţiona la fel ca primul model gândit la Cluj, mai ales nu mai acţiona la fel de eficient. Care au fost rezultatele noului sistem? La nivel naţional au crescut desigur substanţial, dar la nivelul judeţului Cluj acestea au scăzut faţă de anul precedent (din câte ştiu eu, din câte am auzit).

Acest exemplu este unul minor la nivel general, dar absolut edificator pentru subiectul prezentului eseul în sine, anume despre nivelul hotărâtor al influenţei politicilor educaţionale centrale asupra activităţii celor de la baza sistemului de învăţământ, respectiv edificator în sensul evidenţierii posibilităţilor limitate a autorităţilor locale în a se implica într-o remediere a situaţiei învăţământului. Dar să revenim la autorităţile centrale. Pentru a înţelege “toate cele”, cât şi linia lor logică, a celor ce le voi avea de “reproşat” ministerului, ar trebui să facem o incursiune în istoria politicilor predării matematice în ultima jumătate de secol. În rândurile următoare voi încerca o variantă cât mai scurtă a unei astfel de prezentări.

*

În relativa dezgheţare de după 1965, cu moştenirea din anii postbelici, învăţământul şcolar românesc pornise pe o linie destul de sănătoasă. Nume ca Ivanca Olivotto, Eugen Rusu sau A. Hollinger (ca să enumăr doar câteva personalităţi de marcă) organizau refacerea învăţământului matematic românesc, având în vedere tot spectrul de nevoi, de la nevoile marii populaţii şcolare, la satisfacerea nevoilor şi posibilităţilor deosebite ale elitelor intelectuale. Matematica şcolară era de o calitate foarte bună; multe elemente studiate în timpul şcolii (generală sau liceu) le-am regăsit în aceeaşi formă şi în conferinţele sau cursurile la care am participat în ultimul sfert de secol cu docenţi din străinătate. Era o matematică deschisă la minte, ce folosea şi cultiva gândirea intuitivă, construcţiile geometrice, cu o preocupare pentru cei buni, totodată însă o matematică cu o linie umană, accesibilă pe scară largă cât mai multor elevi. Exemplul amintit mai sus, al părinţilor mei ce se ocupau intens de subiectul Laboratorului de matematică este edificator: dezvoltarea sistemului respectiv (se pare de inspiraţie americană) era susţinută intens de SSM, la simpozioanele evocate participând profesori cu preocupări în acest sens din toată ţara. Însuşi Preşedintele SSM din acei ani, Acad. Nicolae Teodorescu ne-a vizitat în acele vremuri (am amintiri cu dânsul, împreună cu părinţii mei, elev în clasa a 6-a fiind).

Finalul anilor ’70 aduceau însă schimbarea către un învăţământ şcolar matematic mai dur, orientat spre performanţă (am putea zice “cu orice preţ”), al cărui formă avea să rămână cvasi-neschimbată până în zilele noastre, ajungând astfel să fie “încarnată” în mentalul marii majorităţi profesorilor români. Să analizăm cât mai pe scurt această reformă, pe care eu am denumit-o “Reforma uitată din ’80” (de fapt de prin 1977 până prin 1982, urmată în continuare de impunerea forţată a noii linii de predare; voi explica ulterior această denumire).

Reformarea a pornit cu manualele noi din 1978 (?) pentru licee şi s-a încheiat oficial cu introducerea unor manuale noi în 1981 pentru gimnaziu, pe alocuri chiar mai dure decât cele de liceu. Modificările au fost structurate pe următorul “evantai” compus din vectori de schimbare: 1) o mult mai mare rigurozitate a teoriei matematice, atât în forma inclusă în manuale cât şi în forma orală; predarea axiomatică, cu definiţii şi teoreme riguros ordonate a ajuns la ordinea zilei, preocuparea oficială în acest sens lăsând de-o parte faptul că cei mai mulţi elevi nu mai înţelegeau mare lucru; 2) “coborârea” multor elemente sau lecţii întregi înspre clase mai mici, introducerea multor teme noi ducând desigur şi la o puternică “îndesare” a materiei (aceasta ajungând după acea reformă la o încărcare foarte greu de dus de către elevul de rând); 3) ridicarea puternică a ştachetei dificultăţii problemelor la toate nivelele de şcolarizare.

Nivelul exagerat al aplicării acestor trei vectori de schimbare era “justificat” după principiul de nimeni rostit ca atare, dar de toţi subînţeles că dacă există 2-3 elevi care înţeleg ceva anume şi îi fac faţă, atunci acel ceva se poate face cu toată clasa, totul în numele creşterii rezultatelor la examene şi concursuri. Alăturarea constantă a celor două tipuri de testări, “picurată” zilnic în mentalul public avea menirea să sublinieze preocuparea “conducerii de partid şi de stat”, a “tătucului” însuşi (Ceauşescu, adică) pentru binele fiecăruia.

Aceste direcţii de preocupare erau menite de fapt să crească rezultatele la olimpiadele şcolare, tinzând spre redobândirea statutului de putere mondială la Olimpiadele internaţionale de matematică. În acest sens matematica şcolară se alinia, alături de politica spre performanţă în sport, în preocupările obsesive ale lui Ceauşescu de dovedire a “superiorităţii noii societăţi multilateral dezvoltate şi de formare a omului nou” (în anii ’80 deveniserăm imuni la cât am auzit acest slogan). Conectând preocuparea pentru rezultate cât mai bune la examenele (cvasi-obligatorii) cu preocupare pentru olimpiade (care era totuşi doar pentru vârfuri), cel puţin la nivel declarativ, s-a obţinut identificarea omului de rând cu “rezultatele olimpicilor noştri”, generând astfel un nivel de mândrie naţională exagerată (construit meticulos în anii ’80 prin tot ce se publica sau se putea auzi la TV).

Revenind la predare, anii ’80 au reprezentat o perioadă în care profesorii au fost forţaţi să treacă la noul tip de predare, chiar dacă simţeau că nu e bine aşa. Ca reacţie la noua politică, deşi se schimbaseră manualele şi linia oficială de predare a diferitelor lecţii, profesorii continuau pe ascuns, din convingere, să predea aşa cum ştiau ei mai bine, în vechiile forme de predare. Nu aveau clare argumente pentru asta, dar aşa simţeau. Cărţile marelui metodist Eugen Rusu, care avertizase despre ce urma să vină din deceniul precedent erau “departe”  şi oricum nu le aveau toţi la îndemână (de la Psihologia activităţii matematice în 1969 şi până la Problematizare şi probleme în matematica şcolară în 1978 – ce titlu subversiv reuşit!). Culegerea cu probleme de geometrie a lui A. Hollinger (din 1982) era ce-i drept peste tot, o puteau folosi toţi, dar nici aceasta nu a putut împiedica şirul evenimentelor. Presaţi pe toate căile oficiale, la orice inspecţie, cu timpul majoritatea profesorilor “s-au tras pe brazdă”, acceptând noile forme de predare şi de lecţii. Rigurozitatea predării, parcurgerea integrală a materiei prea încărcate, cât şi ridicarea nivelului aplicaţiilor erau la ordinea zilei. Formarea gândirii prin problematizare şi folosirea intuiţiei elevilor erau de domeniul trecutului.

Cam aceasta era starea învăţământului şcolar matematic în România la momentul revoluţiei din dec. 1989. Însă, deşi iniţiatorul acestor profunde schimbări fusese eliminat, marea parte a societăţii ajunsese să fie convinsă de superioritatea sportului românesc, cât şi a matematicii şcolare româneşti. Toată lumea ajunsese să identifice mental rezultatele la olimpiadele şcolare până la internaţionale cu nivelul activităţii matematice zilnice din şcoli. Argumente scoţându-i în faţă pe “olimpicii noştri” se auzeau peste tot cu mare mândrie, împiedicând orice analiză realistă a situaţiei. Astfel, linia stabilită de Ceauşescu s-a păstrat în continuare cu mândrie şi avânt pe mare parte a anilor ’90.

Acela – în 1990 (cel mult 1991) – ar fi fost primul moment bun de analiză liberă şi corectare a modului de predare a matematicii în şcolile româneşti, dar nimeni nu privea atunci lucrurile prin prisma existenţei nevoii unor corecturi. Dimpotrivă, pe atunci toată lumea considera că “matematica noastră – Uau!” şi deci totul este foarte bine aşa (mai ţineţi minte desigur atmosfera din 1990 cu Mondialul de fotbal din Italia şi generaţia de aur la fotbal, sau nenumăratele medalii la toate celelalte sporturi şi competiţii). “Săracu’ Ceauşescu”, n-a mai apucat să le vadă şi să se bucure de ele.

Este profund regretabilă ratarea acelui moment, deoarece la vremea respectivă erau încă în activitate foarte mulţi profesori care predaseră în stilul vechi, cel mai puţin riguros, mai empatic şi care dezvolta şi inteligenţa intuitivă la elevi. Atunci s-ar fi putut obţine într-o reformă scurtă şi liniştită de doar 2-3 ani, o formă mai umană de predare a matematicii şcolare care să îmbine în mod armonios calităţile celor două forme de predare – cea din anii ’70 şi cea din anii ’80 (da, chiar şi cea nouă din anii ’80 avea calităţi, cum şi cea din anii ’70 avea deficienţe).

Actualmente nu prea mai există profesori în activitate care să stăpânească stilul de predare dinaintea reformei din 1980; din acest motiv i-am spus “Reforma uitată din 1980”; la ora actuală nici măcar nu prea mai găseşti oameni care să aibă cunoştinţă despre existenţa acelei reforme (în toamna lui 2015 am cunoscut un domn din conducerea SSM care a avut o tresărire plină de nostalgie: “Da, eu mai ţin minte de lucrurile astea de care vorbeşti tu!”). Cred că în timpul pandemiei s-au cam pensionat “ultimii mohicani” care mai prinseseră în activitatea lor ani de predare în forma veche. Acum putem vorbi mai degrabă de ultimii profesori care au mai prins ca elevi acel stil de predare şi la care s-ar putea activa conştient, în mod teoretic dar şi pe baza revitalizării unor amintiri din copilărie, a unor impulsuri de imitaţie a profesorului de matematică din timpul şcolii sau a liceului.

Asupra acestor aspecte am atras atenţia de mult, încă din primul an pentagonia.ro, de pildă în postarea din 2016: http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ , (sau altele două iniţiale, pe care le puteţi lectura separat în funcţie de timpul dvs.)

*

A urmat o tură nouă de manuale – aşa-zis eliberate de “dogmele” comunismului, dar de fapt mult mai puternic orientate exclusiv spre performanţă şi excelenţă (chiar pe linia impusă de Ceauşescu cu aproape 20 de ani în urmă). S-a întâmplat aşa pentru că toată lumea care “avea un cuvânt de spus” în vremea respectivă ajunsese să creadă în această linie (dar şi pentru că nimeni nu se mai gândea să pună această dogmă în discuţie).

Manualele respective neglijau însă masiv elevii de rând (“elevul mijlociu”, cum le spunea Hollinger). Acestea nu mai ofereau obişnuitul “set de exerciţii de bază” la fiecare lecţie, acele exerciţii prin care marea masă a elevilor pricepeau despre ce este vorba şi cum funcţiona lecţia respectivă la nivel practic, exerciţii prin care şi elevii mai puţin dotaţi îşi fixau mişcările tipice ale noii lecţii. Vorbesc despre acele exerciţii de care elevul de rând are nevoie să facă măcar zece bucăţi de un fel, apoi încă zece de felul următor etc. pentru a înţelege şi a-şi însuşi lecţia respectivă. În acele manuale mai găseai doar câte unu, cel mult două exerciţii dintr-un fel, după care se trecea direct la aplicaţii mai complexe, destinate elevilor de nivel bun şi foarte bun, menite doar a netezi calea spre nivelul competiţional, cel de excelenţă.

La vremea respectivă ţin minte un sfat “underground” de a duce la clasă fişe copiate cu seturi de exerciţii de bază din manualele ce tocmai fuseseră înlocuite, cele din anii ’80, în care încă eleviilor de rând li se acordase atenţia cuvenită (în anii comunişti nu şi-ar fi permis autorii respectivi să neglijeze marea masă a copiilor clasei muncitoare). Mi-a rămas în amintire exemplul unei pagini întregi de ecuaţii în formele cele mai simple pentru clasa a 6-a; mulţi ani la rând le-am tot dus la clasă, pentru că din manuale elevii nu puteau învăţa mişcările tipice rezolvării unei ecuaţii.

Părerea mea este că în acele manuale alternative “s-a descărcat” toată tradiţia şi experienţa acumulată prin Gazeta Matematică şi prin Olimpiadele şcolare. Reamintesc că vorbim aici de acei ani de “capitalism sălbatic” din anii ’90, în care totul se întâmpla în numele unei libertăţi încă neînţelese şi eronat aplicate de către marea majoritate a populaţiei (nu că acum situaţia ar fi mult mai bună). În manualele alternative din 1997 nici un colectiv de autori nu-şi mai permitea să nu dea toată atenţia doar aplicaţiilor complexe şi grele, nimeni nu-şi mai permitea să “irosească hârtie valoroasă” cu exerciţii de bază pentru elevul de rând. E ca şi cum România se umpluse brusc doar cu elevi olimpici, unu mai briliant decât celălalt. În realitate însă, fenomenul a avut caracteristici clare de genocid intelectual matematic la adresa marii populaţii a elevilor mediocri.

Chiar mai mult, în fuga lor plină de avânt după aplicaţii cât mai variate şi mai complexe înspre zona de matematică competiţională profesorii păstrau pentru temă seturile de probleme din manualul ales la clasă (majoritatea totuşi aplicaţii grele şi cât mai complicate, după cum se pricepuse fiecare echipă de autori), în timp ce la ore făceau probleme din manualele paralele. Chiar din partea inspectoratului am auzit cândva spre sfârşitul anilor ‘2000 exprimată această cerinţă ca pe o normalitate: “sper că toată lumea face aşa!”. O ţară întreagă se antrena doar pentru competiţiile matematice.

În plus, în licee a fost introdusă o nouă programă profund dezechilibrată între algebră şi geometrie, adică între nevoile celor două emisfere cerebrale (reforma din 1997). Acesta este însă un alt subiect, despre care am mai scris (de exemplu, despre ce părere are la ora actuală societatea faţă de introducerea vectorilor în clasa a 9-a în locul geometriei sintetice).

Faptul că linia pe care se mergea nu era bună, acest fapt a început să se vadă însă în curând; probabil că la “Minister” curgeau reclamaţiile, dar corecturile se făceau “ca nuca-n perete”, total anapoda. De pildă, deşi iniţial patrulaterele erau cuprinse în finalul clasei a 6-a (la fel ca înainte), manualele fiind astfel elaborate şi aprobate în 1997, foarte curând (1998-99?) patrulaterele au fost mutate la începutul clasei a 7-a, dovadă că începeau să apară reclamaţii la adresa matematicii (că ar fi prea grea). Exemplul mutării patrulaterelor este năucitor: timp de 20 de ani acestea au fost cuprinse în manualele de a 6-a, dar erau parcurse în clasa a 7-a (unde nu apăreau în manuale), pentru că alte manuale nu s-au mai aprobat. Repet: 20 de ani!!! Oricum, în ultimii 25 de ani au mai fost şi alte mutări (în sus sau în jos), arătând clar o stare debusolată de căutare bâjbâită pentru remedierea situaţiei.

Astfel, cândva la începutul anilor 2000 ar fi fost clar un nou moment de a supune forma învăţământului şcolar românesc matematic unei discuţii profunde. Din păcate societatea românească nu era încă pregătită spre o dezbatere realistă, iar în mintea conducătorilor de la toate nivelele domneau încă principiile performanţei şi excelenţei (din câte ştiu, cam atunci a început să fie folosită şi cuvântul “excelenţă”). Acestea împiedicau mintea marii majorităţi a profesorilor de matematică să vadă realist situaţia, nevoile reale ale elevilor, totul fiind privit doar prin prisma criteriilor impuse la sfârşitul anilor ’70 de reforma uitată (rigurozitate excesivă în predare, preocupare pentru aplicaţii cât mai complexe etc.). Iar dacă ceva nu mergea bine, “elevii erau de vină”!

Exemplul evocat mai sus, al mutării patrulaterelor din a 6-a în a 7-a este sugestiv în acest sens: patrulaterele în sine nu sunt grele, dar în schimb îi năuceşte pe elevi concentrarea preocupării pe demonstrarea tuturor proprietăţilor, atât directe, cât şi reciproce, totul prin metoda triunghiurilor congruente. Degeaba s-au scos patrulaterele, dacă s-au păstrat metodele de lucru grele, demonstraţiile inaccesibile minţii elevului de-a 6-a. Scoţându-se din a 6-a capitolul cu patrulatere şi, ca urmare multele aplicaţii din cadrul acestora, atât prin metoda triunghiurilor congruente, cât şi prin alte raţionamente folosite în demonstraţia geometrică, în mod neaşteptat a îngreunat de fapt materia, a făcut-o şi mai inaccesibilă. Profesorii se concentrează mai mult pe un număr mai restrâns de probleme, tabloul general al demonstraţiei geometrice fiind astfel mai neclar. Ce-i drept că fenomenul s-a cumulat cu un nivel tot mai scăzut de învăţare din partea elevilor, fenomen apărut brutal, dar neobservat cândva imediat după 2000. Părerea mea este că parcă şi elevii sunt tot mai proşti de la o perioadă la alta, asta în principal datorită utilizării pe scară tot mai largă (scăpată de sub control) a ecranelor în variatele lor forme; acest aspect ar trebui să-l discutăm la o analiză a influenţei societăţii asupra învăţării matematicii.

Un studiu mai intuitiv al studiului iniţial al patrulaterelor, urmat de marea diversitate de demonstraţii mai uşoare ce le urmează, cu aplicaţii atât în triunghiuri cât şi în patrulatere, oferind o mult mai acesibilă dar mai largă paletă de aplicaţii, o astfel de politică de predare ar fi mult mai potrivită. Depinde însă din ce punct de vedere priveşti lucrurile: autorităţile au privit întregul fenomen ca pe un curs oficial cvasi-universitar de geometrie euclidiană (rigurozitatea mai presus de toate: nu mergem mai departe până nu ştim bine triunghiul şi metoda triunghiurilor congruente!); marea majoritate a elevilor ar fi avut însă nevoie de metode mai umane, mai intuitive, cum ar fi predarea în spirală sau predarea prin problematizare. Un alt exemplu în acest sens îl reprezintă politica de predare şi poziţionarea temporală a studiului sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (am vorbit cu altă ocazie despre acest subiect şi doresc să o mai fac şi altădată, aşa încât nu mai zăbovesc acum pe această linie).

*

Încet dar sigur nemulţumirile la adresa liniei oficiale s-au acumulat în anii ce-au urmat (20 de ani de “bâjbâială antididactică”, din 1997 în 2017), aşa încât undeva acolo “la nivel înalt” s-a ajuns la recunoaşterea faptului că “lucrurile nu mai pot continua pe această linie” (se auzeau tot mai des în mass-media argumente raţionale, care de fapt contraziceau linia ce se stabilizase după reforma uitată din ’80). Din câte am putut vedea în rândurile noii programe gimnaziale din 2017, dar şi “printre rânduri”, la nivelul comisiei care a redactat această programă a existat clar conştientizarea şi recunoaşterea acestei realităţi. Amintesc, de pildă, cum am numărat la vremea respectivă de câte ori apărea noţiunea de “predare intuitivă” în rândurile acelei programe.

Din păcate, “Ministerul” (comisia ce trebuia să implementeze această nouă linie) a eşuat lamentabil în explicarea până la nivelul de bază a noilor principii. Ţin minte marea amărăciune trăită în momentul când am realizat că nici măcar inspectorii şcolari nu fuseseră lămuriţi şi convinşi de ce trebuia de fapt făcut (la consfătuirile cu profesorii din acea toamnă). Se pare că avusese loc un fel de tabără de lucru cu toţi inspectorii şcolari, în care “inspectorii din minister” ar fi trebuit să le transmită principiile noii linii. În acea tabără (săptămână de lucru?) inspectorilor şcolari li se tot repetase că “este o cu totul nouă linie“, fără însă a li se şi lămuri în profunzime care era această nouă linie. Puteam vedea clar ce fel de “atmosferă” fusese în acea tabără de lucru: probabil câţiva (puţini) cei care trebuiau să transmită noua linie, acolo la tribună, vorbind “în gol”, în mod tipic românesc, iar în sală auditoriul inspectorilor şcolari, care nu înţelegeau nimic (setaţi fiind desigur pe linia veche şi convinşi de aceasta), chiar încurajându-se între ei în această stare, precum nişte elevi care nu înţeleg lecţia, refugiindu-se în a face mişto de superiori, repetând expresii goale de un conţinut real (pentru că – nu? – “este o cu totul nouă linie”). Ca urmare, desigur, nici inspectorii şcolari nu au putut transmite la rândul lor profesorilor noua linie. Singur aspect clar ce l-au putut transmite a fost că “acolo sus” se cere o nouă linie de predare, despre care însă nu se pricepe mai nimic.

Faptul că această nouă reformă a fost o nereuşită (ca să nu-i spun “un eşec”), acest fapt a început desigur să se simtă destul de repede şi “acolo sus, la minister” (“destul de repede” la nivel “istoric”, adică după doi ani!). Rezultatul a fost o nouă “convocare la Centru” a tuturor inspectorilor şcolar de matematică, într-o nouă săptămână de lucru, de data asta şi împreună cu reprezentanţii SSM, prin care s-a încercat fixarea “în scris” a noilor principii, acum abordate dintr-o linie mai largă. Rezultatul acelei întâlniri a fost rezumat în “vestita” Scrisoare metodică din ianuarie 2019, despre care am relatat intens la vremea respectivă. Cu acea ocazie s-a mai făcut totuşi încă un pas mic în plus: Inspectoratele au fost puse să ceară şcolilor un “plan operaţional” în acel sens. Ce s-a întâmplat de fapt? A fost desemnat câte un inspector, la fel în şcoli, la nivelul catedrelor a fost stabilit câte un coleg “respnsabil” pentru “noua hârtie” ce trebuia realizată. Ţin minte că măcar încă o dată aceştia am fost obligaţi să raportăm la inspectorat paşi făcuţi în implementarea noii linii; inspectorii respectivi au trebuit probabil să centralizeze şi să raporteze mai sus; acolo cineva a centralizat rapoartele judeţene şi … (bla-bla-bla: “teoria formelor fără fond”, sau mai clasicul “trăiască birocraţia!”). Apoi lucrurile au decăzut în uitare (în toamna lui 2019 n-am mai auzit nimic de subiectul respectiv, nemai trebuind să facem un alt raport); în martie 2020 a apărut pandemia şi “asta a fost”.

În concluzie, putem spune că şi demersul acelei scrisorii metodice a cam fost unul “în van” (“în gol”, adică degeaba). Să analizăm puţin de ce s-a întâmpla astfel, de ce această “nouă reformă” pornită cu programa gimnazială din 2017 nu a reuşit să rezolve lucrurile. Merită să analizăm acest “scor nul” pentru că, cel puţin teoretic, cele două documente au spus destul de clar lucrurilor pe nume: 1) Nota de prezentare a Programei şcolare pentru matematica gimnazială 2017 cerea clar o predare mai intuitivă; 2) Scrisoarea metodică cerea o atenţie echilibrată între preocuparea pentru vârfuri şi preocuparea pentru elevii de rând (profesorilor li se cerea clar o preocupare echilibrată între atenţia pentru performanţă de excelenţă, adică pentru “olimpici”, respectiv pentru strădania spre învăţarea matematicii de către marea masă a elevilor, adică pentru “elevul mediu”, cel neglijat de politica educaţională în ultimul sfert de secol şi mai mult).

Din păcate însă, aceste două demersuri au fost din start făcute doar “cu jumătate de măsură”. Predare intuitivă a fost sugerată, cerută doar până la clasa a 6-a. Cât despre împărţirea atenţiei în raport 1:1 (“fifty-fifty”) ce se cerea acordată performanţei vârfurilor, cât şi marii mase a elevilor, aceasta era din start dezechilibrată ca procentaj al populaţiei şcolare, pentru că vorbim aici de cel mult 10% “olimpici” faţă de măcar 80% “elevul mediu” (vezi repartizarea conform “Clopotului lui Gauss”).

Dar nici măcar în această formă cele două cerinţe nu au fost îndeplinite. Profesorii nu ştiu ce-i aia “predare intuitivă”, nu le-a explicat nimeni. De unde să o scoată brusc? Eu, personal, cred că am înţeles “cu ce se mănâncă”, dar oare este corect ce gândesc? Nimeni nu ne-a explicat, nici în facultate, nici la următoarele cursuri ce le-am mai făcut. Cât despre atenţia echilibrată în cele două direcţii (performanţă, respectiv nivel de masă), profesorii ce se doresc “buni” au în continuare o reţetă imbatabilă: ei lucrează la nivelul vârfurilor clasei, iar cine nu face faţă “să-şi ia meditaţii în particular!”.

Aici suntem la ora actuală, cu lipsa programei corespunzătoare la licee, pentru generaţia ce a pornit prima clasa pregătitoare (folosită ca pretext pentru o schimbare mai profundă). Întârzierea cauzată de pandemie este absolut logică şi profund justificată, dar mai presus de asta, de fapt “Ministerul” nu rezolvă lucrurile într-un mod eficient. De ce? Pentru că de fapt nimeni nu-şi asumă să scrie “negru pe alb”, “cu subiect şi predicat” că de fapt trebuie modificată forma greşită de predare în care am fost împinşi cu peste 40 de ani în urmă. Nimeni nu spune clar ce trebuie schimbat, nimeni nu ne explică de ce este greşit aşa cum facem actualmente şi, mai ales, nimeni nu urmăreşte ca schimbarea “sugerată” în diferite documente să şi aibă loc cu adevărat. Stimaţi responsabili din “Minister”: în anii ’80 schimbarea a fost făcută cu forţa. Acum credeţi că schimbarea se poate face doar sugerând fin nişte aspecte? Nu vreau să zic că ar fi nevoie de un nou val de forţă pentru o nouă schimbare. Dar paşii făcuţi în ultimii cinci ani şi forma lor plăpândă sunt absolut insuficienţi.

Poate ar fi nevoie de o carte în care să fie prezentată noua formă de metodică şi didactică ce se cere; poate ar trebui reeditate în masă vechile cărţi (Eugen Rusu, George Polya); poate ar trebui organizate cursuri clare în acest sens (şi numai în acest sens, timp de mai mult timp). În câţiva ani tot trebuie să reuşească înţelegerea acestor câteva linii de către toţi profesorii (Reforma uitată a reuşit schimbarea în 10 ani; pentru mişcarea inversă ar trebui insistat măcar 5 ani, “zic şi Io, dau şi Io cu părerea”). Fac şi alţii astfel de schimbări şi nici acolo nu se petrec lucrurile uşor. Am în acest sens două exemple.

Profesorii de fizică din România au reuşit să întoarcă paradigma de predare impusă în reforma din ’80 (în succesiunea: predarea legităţii, urmată de exemple unde poate fi observată, unde “se aplică”), înapoi la cea mult mai sănătoasă dinainte de 1980 (elevul urmăreşte un experiment, îl analizează, iar apoi se cristalizează legitatea corespunzătoare). Am înţeles că prietenii de la CEAE au avut un rol determinant în acest proces de întoarcere la o predare mai naturală a fizicii, dar şi că schimbarea s-a reuşit la nivelul întregii mase a profesorilor de fizică. Bravo lor! Ei au încercat să atragă într-un astfel de proces şi “profesorimea” de matematică, au fost trimişi chiar delegaţi în străinătate să vadă cum merge treaba, dar odată întorşi înapoi reticienţa s-a făcut stăpână pe proces, după principiul “la matematică nu merg lucrurile aşa”. Eu am tot spus că matematica a fost vârful de lance al reformei din ’80 şi că la matematică schimbările au fost cele mai dure, aşa că este de aşteptat ca şi schimbarea înapoi să fie la fel de grea.

Colegii de la CEAE au exemple numeroase din străinătate unde au loc astfel de procese de schimbare a predării matematicii spre o formă mai naturală şi mai sănătoasă pentru marea masă a populaţiei şcolare, dar reticienţa mioritică “nu şi nu!”. Am şi eu un astfel de exemplu, de la colega din Norvegia despre care am tot vorbit. Acolo li s-a cerut tuturor profesorilor, la toate materiile să predea prin descoperire. Toată Norvegia trebuie să treacă la predarea prin descoperire. Desigur că profesorii sunt bulversaţi pentru că nu ştiu cum se face asta, dar toţi caută variante de lucru.

La ora actuală cel mai tare mă tem de aceste schimbări “în doru’ Lelii”, care nici nu schimbă cu adevărat lucrurile în direcţia bună, dar nici nu le lasă într-o formă coerentă. Fiecare face “ce-i trece prin cap”, înţelegând că trebuie să schimbe ceva, iar rezultatele sunt de multe ori cel puţin discutabile. Spun asta în momentul când Ministrul Educaţiei ne-a aruncat înspre o nouă reformă, de data asta a organizării anului şcolar, şi să vezi ce “indicaţii clare” vom primi despre cum să facem cu notele şi cu toate celelalte în viitoarele cinci module.

*

Nu aş dori să închei însă înainte de a mai pune în discuţie alte două mari greşeli ale “Ministerului” legat de activitatea matematică la clasă. Până aici m-am concentrat asupra principalelor aspecte de “întoarcere” a reformei uitate în zona mai intuitivă a matematicii şi de predare prin problematizare, dar şi în direcţia de aducere a problemelor într-o zonă mai accesibilă majorităţii elevilor, însă desigur că mai există şi alte aspecte ce ar putea completa o listă cu reproşuri. Unul dintre acestea ar fi eşecul de a trage preocuparea matematicii şcolare înspre o mai bună capacitate de “descurcare în viaţa de zi cu zi” a elevilor. Aceste este şi unul dintre aspectele ce apare deseori ca reproş la adresa matematicii şcolare româneşti, iar testări internaţionale precum Studiul PISA exact asta urmăresc: cum se descurcă elevul în zone din afara matematicii obişnuite, “după şcoală”. Ştim cu toţii de încercările de a se introduce probleme “tip PISA” în testări, mai ales în cele gimnaziale, dar acestea au fost deseori false, extrem de plăpânde şi deosebit de superficiale. Lumea pur şi simplu nu le înţelege rostul.

În altă ordine de idei, mai vreau să vorbesc aici neapărat şi despre relaţia “Ministerului” cu manualele şcolare şi cu devenirea acestora. Eu înţeleg foarte bine renunţarea la manualele unice şi ideea introducerii manualelor alternative paralele de la diferite edituri (în reforma din 1997, dar şi acum). Din păcate însă criteriile de aprobare şi avizare a manualelor nu duc la nişte rezultate sănătoase. Acest subiect va trebui analizat pendelete într-un eseu despre activitatea editurilor în sensul manualelor şi a auxiliarelor şcolare, dar acum doresc să privim puţin fenomenul prin prisma avizării unor manuale cu defecte.

Pentru a înţelege despre ce este vorba, ar trebui însă să analizăm care este rolul manualelor la nivel naţional. “Pe vremea mea” manualele conţineau materia de bază complet, clar, coerent şi bine explicat, cât şi aplicaţii corespunzătoare, astfel încât manualul putea fi folosit ca sursă de învăţare, cât şi ca sursă de teme la nivelul de bază, cu o creştere relativă a nivelului pentru elevii buni. Pentru muncă suplimentară se apela la culegeri. Eu nu ştiu să se fi schimbat “definiţia” manualelor şcolare în ultimul sfert de secol, aşa încât atunci când iau un manual în mână mă aştept tot la aşa ceva. Din păcate, orice “întâlnire” de-a mea cu un manual se lasă cu mari şi profunde decepţii. Îmi permit să dau aici câteva exemple.

În noua programă şcolară pentru clasele gimnaziale apare următoarea lecţie: Sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute; rezolvarea prin metoda substituţiei şi/sau prin metoda reducerii. Autorii acestei programe nu au explicat la fiecare pas de ce au scris astfel, dar pentru orice predare sănătoasă a acestei lecţii, asta este ordinea corectă. Predarea metodei reducerii la începutul lecţiei nu ajută elevul să înţeleagă fenomenul sistemului de ecuaţii, ci îi dă doar o metodă foarte rapidă de rezolvare. Copilul se obişnuieşte să vadă că-i iese soluţia, dar nu se obişnuieşte şi să înteleagă ce se întâmplă acolo. Ulterior nici nu va mai fi dispus să facă efortul să înţeleagă cealaltă metodă, a substituţiei. De ce a primit aprobarea un astfel de manual din partea “Ministerului”? Conducătorul echipei care au redactat manualele de geometrie pentru clasele 9-10 în finalul anilor ’70, D-na Mariana Răduţiu îmi spunea că au fost chemaţi la Minister, li s-a spus că au ieşit câştigători ai concursului, dar că mai au de făcut următoarele corecturi (şi au primit o listă). Acum de ce nu se poate proceda la fel? Şi acest exemplu nu este singurul; în manualele actuale sunt nenumărate gafe.

De un alt exemplu m-am lovit la începutul clasei a 8-a, în septembrie 2020, când le-am sugerat elevilor să descarce un anumit manual, până când vor veni manualele fizice (pe hârtie). Încercând să mă adaptez şi eu cum puteam situaţiei pandemice, le-am sugerat să studieze lecţia despre intervale (ce pericol putea să fie?). A urmat o mică avalanşă de întrebări: ce-i semnul ∞? Unii se descurcaseră cumva, iar acum râdeau de cei care încă nu aflaseră că acest semn reprezintă “infinit”. Problema este că în manualul respectiv nu este scris niciunde cuvântul “infinit”. Cum s-ar descurca un copil izolat, singur, undeva la ţară cu această situaţie? Dacă un astfel de manual este deja avizat (poate nici comisia de avizare nu a văzut o astfel de greşeală), atunci ar trebui ca “Ministerul” să ceară ultimativ să-l corecteze şi să refacă plăcile de tipărire. Şi totuşi, nu face nimeni o verificare serioasă, cu adevărat responsabilă, a acestor manuale, înainte de avizare. Doar criteriul preţului este relevant pentru autorităţi (aşa cum se vehiculează în mass-media)?

Mă opresc cu exemple din zona de teorie, dar doresc să mai evidenţiez o deficienţă majoră pe care “Ministerul” o girează prin aprobarea unui manual, anume faptul că în manualele actuale, la majoritatea lecţiilor nu sunt suficiente exerciţii simple, de bază, pentru fixarea noii lecţii. Am folosit exprimarea “în majoritatea lecţiilor” din decenţă, poate că o fi şi contraexemple, dar eu nu le-am întâlnit. Manualele sunt de fapt conştient deficitare în acest sens, fiind conştient redactate astfel încât elevii să fie nevoiţi să achiziţioneze şi auxiliarul corespunzător, de la aceeaşi editură. Editurile o şi spun “pe faţă”, promovându-şi astfel auxiliarele, unde desigur se regăsesc suficiente exerciţii accesibile pentru fixarea noţiunii. Vă rog frumos să nu-mi cereţi exemple concrete, dar pot spune că ultima dată “mi-a sărit muştarul” rău de tot analizând oferta de sisteme de ecuaţii din auxiliarul trimis spre ademenire de către o renumită editură (din acest motiv m-am mobilizat şi am realizat fişa de lucru pentru sisteme de ecuaţii publicată în primăvara lui 2020).

La toate defectele de lecţii din manualele oficiale, teoretice sau de natură metodico-didactică, în zona de exerciţii şi probleme sau de orice altă factură, “Ministerul” este coresponsabil alături de editurile respective. Însă cea mai mare vină a autorităţilor matematice – pe departe! – o reprezintă nelămurirea politicii de predare, respectiv tergiversarea schimbărilor pentru necesitatea cărora există suficiente argumente la toate nivelele. ONG-urile, mass-media, specialiştii avertizează despre această necesitate, despre starea deplorabilă a mari procente din populaţia de elevi (de pildă, studiul PISA cu verdictul de 40% analfabetism funcţional matematic), dar “Ministerul” amână şi amână “să ia taurul de coarne”, îngăduind astfel ca noi generaţii de elevi să o ia pe acestă cale.

Da, cu aceste rânduri închei prima serie de eseuri despre cine este de vină pentru starea actuală a şcolii româneşti, din punct de vedere a matematicii şcolare. Mă rezum pentru moment la această “trilogie” cu cele trei nivele de actori principali, elevi – profesori – autorităţi, pentru că există şi alte teme importante de analizat în acest moment (dar mai ales pentru că am nevoie să mai scriu şi ceva cu tentă pozitivă, să mă mai încarc puţin). Sper că voi putea reveni ulterior şi la alţi actori secundari ai învăţământului şcolar matematic. Până atunci, stimaţi colegi care aţi lecturat aceste rânduri, vă mulţumesc pentru răbdare şi înţelegere şi vă doresc forţă suficientă şi calm, mult calm, pentru a putea începe un proces de autoanaliză şi de autocorectare a greşelilor pe care le veţi conştientiza la dvs. Vă avertizez că nu-i uşor; eu mă chinui de zeci de ani în acest sens, şi pot confirma că de la o vreme încep să apară şi anumite “succese”, pentru început în paşi mici, apoi revelaţii tot mai profunde, iar cu timpul o lămurire edificatoare. Spor, vă doresc, Constantin Titus Grigorovici

P.S. Totuşi, nu pot încheia ştiind că am lăsat mulţi cititori încă “în ceaţă”. În strădania de preocupare cu acest subiect, eu am ajuns să văd următoarea imagine a predării matematicii. Să ne închipuim o axă ce are la o extremă (să zicem în dreapta) o cunoaştere total riguroasă din punct de vedere euclidian, cu un sistem axiomatic perfect, cu definiţii ideale şi un sistem de teoreme riguros pus la punct, în care orice informaţie se deduce perfect din precedentele. Aceasta este jumătatea de axă în care se cere să se demonstreze totul. În cealaltă jumătate, cea din stânga, lucrurile sunt privite tot mai relaxat, mai intuitiv. Cu cât ne îndepărtăm de centru, cu atât rigoarea ştiinţifică se pierde tot mai mult, abordarea devenind tot mai “inginerească” (se vede că …). Aceasta este însă abordarea necesară intrării în studiul unei teme; întotdeauna introducerea iniţială într-o nouă temă trebuie să fie abordată intuitiv, iar apoi lucrurile se cer trase într-o formă mai riguroasă (“noblesse mathematique oblige!”). Pe această axă intuiţie-rigurozitate predarea şcolară ar trebui să penduleze undeva în zona centrală: la introducerea temelor în clasele mai mici, mai la stânga, apoi, la reluarea acestor teme în clase mai mari, mai la dreapta; aşa funcţiona, de pildă predarea geometriei, cu o a doua reluare în liceu (“pe vremuri”). Din păcate, în “Reforma uitată” profesorii au fost forţaţi să-şi poziţioneze predarea din start mult prea la dreapta, în zona riguros teoretică. O reformă reparatorie nu ar trebui să aducă predarea prea la stânga, în zone prea intuitive (aşa cum mulţi au eronat impresia), ci ar trebui poziţionată înapoi într-o zonă centrală potrivită procesului pedagogic sănătos.

În mod similar ar trebui să ne imaginăm încă o axă, anume axa dificultăţii matematice, având într-o extremă preocuparea pentru concursuri, iar în cealaltă o banalitate bolnăvicioasă (cum găsim în unele culegeri din “vest”, cu pagini întregi de exerciţii similare, de aceeaşi formă). Şi aici ar trebui căutat echilibrul între cele două extreme (e evident că pentru fiecare elev zona de echilibru accesibil este poziţionată în alt loc, dar totuşi există anumite nivele medii).

Până acum am descris două axe, dar desigur că putem gândi astfel de axe şi în alte direcţii ale predării: cantitatea de lucru pe care se bazează învăţarea; gândirea vs. reţetarea paşilor matematici; axa geometrie-algebră, vizualizabilă organic cu cele două emisfere cerebrale (cu o preocupare dezechilibrată înspre algebră începând de la reforma din 1997: da, geometria vectorială este de fapt o formă algebrică); o ciudată axă a poziţionării unor teme de studiu prea repede faţă de dezvoltarea majorităţii, sau dimpotrivă prea târziu faţă de nevoile teoriei matematice (a se vedea cazul polinoamelor); se poate imagina şi o axă a implicării elevilor în procesul de învăţare a matematicii, da la o prelegere 100% din partea profesorului (de model universitar) cu o urmărire “plată” din partea elevului, către o predare prin problematizare şi până la predarea prin descoperire, în care profesorul doar întreabă iar elevii descoperă singuri toate elementele noi ale lecţiei etc. Se obţine astfel o structură n-dimensională a procesului de predare a matematicii, faţă de care şcoala românească era foarte sănătos poziţionată în anii ’70 undeva în zona centrală.

Reforma uitată din 1980 (de prea mult timp şi de mai toată lumea uitată) a dezechilibrat procesul de predare în mod profund (reforma din 1997 doar a ajutat la fixare şi a extremizat anumite aspecte), iar învăţământul românesc nu-şi va găsi o linişte durabilă până nu se va opera o repoziţionare conştientă într-o zonă mai sănătoasă pentru marea majoritate a populaţiei şcolare. Aceasta se va putea face însă doar în urma unui proces de conştientizare, cunoaştere şi recunoaştere a greşelilor trecutului. Desigur că în acest proces fiecare va dori să tragă noua poziţionare în zona ce îi convine, dar aici trebuie să intervină o obiectivizare a întregului proces, condusă ferm “de la centru” şi explicată clar întregii profesorimi (iar apoi urmărită cu hotărâre aplicarea pe suficient de mulţi ani încât lucrurile să se stabilizeze în mod sănătos). La vremea reformei uitate schimbarea s-a făcut în stil autoritar comunist, cu forţa. Acum, schimbarea pentru repoziţionare se poate face doar prin explicaţie raţională, “cu toate cărţile pe faţă”, şi cu multă persistenţă. Alături de SSM, specialiştii din diferite ONG-uri sau alte organizaţii implicate în zona pedagogică ar putea aduce un grad mare de plusvaloare şi obiectivizare. Un aspect este însă foarte clar: profesorii nu vor reuşi o repoziţionare sănătoasă “de unii singuri”; acest proces trebuie condus de către “Minister”.

Da, şi iarăşi am bătut recordul personal de cel mai lung articol: peste 11,5 pagini A4 (vorba aia, “Să dăm Cesarului ce-i a Cesarului!”). Mulţumesc tuturor cititorilor pentru răbdare.

Mi-am propus să scot în evidenţă în această serie faptul că la ora actuală “toată lumea” greşeşte, anume că degeaba scoatem constant la lumină greşelile altor participanţi în procesul educaţional, că nu se rezolvă mare lucru atâta vreme cât nu ne uităm “în propria ogradă”, atâta vreme cât nu ne facem autoanaliză şi nu începem un proces de autocorectare.

În prima parte am vorbit despre câteva aspecte negative în colaborarea părinţilor cu şcoala, anume unde aceştia interferează dăunător cu procesul de învăţare a matematicii. Am umplut peste 9 pagini (cea mai lungă postare de până acum), dar nici vorbă de pretenţia de a fi epuizat subiectul. În relaxarea ce apare după ce finalizez articolul, îmi mai apar din memorie şi alte exemple sau categorii. Nu are însă rost să mai continuăm; cred că orice persoană raţională a prins ideea şi va putea acţiona în consecinţă, fie că este părinte şi ar trebui să fie mai atent la faptele sale, fie că este profesor şi ar trebui să găsească energia şi tactul necesare pentru a ajunge la sufletul părinţilor şi a-i ghida spre cât mai bine.

În eseul precedent “l-am săpunit” bine de tot pe “Gigel”. Dar, cine este Gigel? Păi, Gigel este prototipul elevului care nu are de loc chef să înveţe, în general să-şi facă datoria, mai ales defel la matematică. Gigel copiază de câte ori are ocazia, fentează cum poate mai bine, dă răspunsuri “la plesneală”, fără să gândească, în general este foarte leneş în tot ce necesită matematica. Gigel întâmpină “probleme” mari la mate’,  având şi o scuză foarte serioasă în acest sens, anume că profesorul de la clasă este “total incorect”. În acest sens Gigel ştie să scoată în evidenţă – spre propria-i justificare – foarte multe defecte ale profesorului său de mate’ de la clasă, motive pentru care, prin cale de consecinţă, nici nu se poate învăţa. Aşadar, vina nu-i a lui; Profu’ este cel de vină! Realitatea este că Gigel împreună cu profesorul său îşi cam împart vina jumi-juma, “activitatea” lor desfăşurându-se într-o “simbioză negativă” năucitoare. În acest sens eseul de faţă poate fi privit şi ca “răzbunarea” lui Gigel.

Da, iar acum a venit vremea “să îndreptăm reflectoarele” atenţiei noastre spre activitatea profesorilor de matematică. Din start trebuie să precizez că eu “nu caut pricină” la colegii mei; toate exemplele despre care voi vorbi “au venit către mine” din afară cu diferite ocazii. Singurul lucru care are de-a face cu activitatea mea este faptul că – încet dar sigur – m-am îndepărtat în ultimii peste 25 de ani de obişnuinţele profesorimii, pornind de unul singur pe calea unei reforme a predării matematicii şcolare (astfel observând mult mai clar defectele din jurul meu). Iar în această cale, una din componentele importante a fost conştientizarea defectelor personale (de unul singur sau cu ajutorul altora), iar apoi corectarea acestora. Acest proces, care încă continuă (şi probabil va continua până la pensie) este unul de lungă durată, mare consumator de timp, dar şi de energie. Nu-i deloc plăcut să conştientizezi că într-un anumit moment ai greşit, că într-o anumită situaţie-tip greşeşti de obicei, dar altă cale spre corectură eu personal nu cunosc. Da, şi desigur, în urma unui astfel de proces îndelungat încep să văd şi mai tare greşeli ale colegilor. Şi cu cât mă străduiesc mai mult, cu atât am impresia că mă îndepărtez mai tare de ceilalţi colegi, respectiv de obiceiurile lor negative. Dar procesul are loc şi simetric: egocentrismul şi toate celelalte metehne ce se dezvoltă în societatea noastră îi îndepărtează tot mai mult pe colegi de o line decentă de comportament în această profesie.

Dar “vorba lungă – sărăcia omului”, haideţi “să apucăm taurul de coarne” şi să începem cu câteva exemple din ultimii ani, exemple ce ne-au ajuns la urechi şi despre care povestim acasă şi “ne crucim” (adică, contraexemple, despre cum n-ar trebui procedat). Pentru a da cât mai puţine indicii despre persoana în cauză, cum ar fi genul, voi folosi tot timpul denumirea de “profesor” sau “coleg” (sau “învăţător”, dacă este vorba de o situaţie din clasele primare). La cele mai multe exemple am în minte situaţii din Cluj, dar sunt câteva şi din afara Clujului; desigur că prin cele prezentate ar trebui să vedem situaţia ca pe un eşantion despre ce se întâmplă la nivel naţional.

1) Începem din nou cu un exemplu mai liniştit: mă gândesc aici la un profesor dreptaci (ca mai toţi) care scrie pe tablă stând constant în faţa a ceea ce a scris, aşa încât elevii nu pot vedea şi scrie ce este pe tablă, iar pe când ajunge să treacă mai la dreapta, din mare avânt muncitoresc şterge cu stânga, tocmai pe când elevii ar ajunge să şi copieze ceva de pe tablă. O fi acesta un exemplu “mai liniştit”, dar să ştiţi că pe durată poate produce multe pagube în procesul de învăţare a matematicii, mai ales dacă este cumulat cu alte defecte de predare.

Am precizat că vorbesc despre un coleg dreptaci, pentru că problema dispare cu totul la un profesor stângaci (gândiţi-vă un pic şi veţi înţelege de ce). Ca să compensez ca dreptaci, eu fac tot timpul un soi de dans în faţa clasei, scriind scurt şi trăgându-mă într-o parte, de obicei în stânga, dar merge şi în dreapta, pentru ca “mototolii” din clasă care nu ajung să scrie “la dictare”, să apuce şi ei să-şi completeze notiţele. Desigur că ar fi fost mult mai bine dacă ştiam să scriu şi cu mâna stângă. În 2015 am cunoscut un profesor din Tg. Mureş care, stângaci fiind, putea fi urmărit foarte uşor în discursul său în timp ce scria pe tablă, pentru că el nu stătea în faţa rândurilor pe care tocmai le scria. Nevastă-mea a avut în clasele 5-6 un profesor care ştia să scrie cu ambele mâini: au văzut asta când şi-a rupt mâna dreaptă, şi a venit la şcoală şi a ţinut lecţiile mai departe cu stânga, inclusiv desenarea perfectă a cercului fără compas.

2) Iată un alt exemplu, înrudit cu primul, din perioada de online: profesorul pornea laptop-ul pe catedră, dar stătea tot timpul în faţa camerei (între cameră şi tablă) astfel încât elevii din online nici nu vedeau ce scrie, dar nici nu prea auzeau clar pentru că profesorul stătea departe de microfonul laptopului, cu spatele în timp ce scria la tablă. Când se întorcea să vorbească cu clasa, spunând între timp altceva în discursul său, rămânea de obicei în acelaşi loc, astfel încât elevii din online tot nu-şi puteau completa notiţele. Asta se întâmpla desigur în perioadele unii dintre elevi erau în clasă, iar alţii acasă. Ca norocu’ că cei din clasă mai făceau poze tablei pentru cei de acasă.

Pe lângă faptul că de la început eu mi-am luat o cameră suplimentară, ce o poziţionam central faţă de tablă, am fost atent de la începutul perioadei de predare online unde şi cum să stau astfel încât elevii să vadă cât mai bine, atât ce este scris pe tablă cât şi pe mine cum explic.

3) Apropos pandemie şi urmările perioadelor lungi de online asupra predării unor colegi: dacă atunci s-a putut, de ce n-ar funcţiona şi acum aceleaşi metode! Ce să funcţioneze? De pildă să-i pui pe elevi să-şi copieze lecţia din carte! Da! De ce să te mai oboseşti să le-o predai, dacă merge şi aşa? E mult mai comod, ai timp “să mângâi” un telefon, să mai chat-uieşti, să mai citeşti un mesaj, două, poate să mai faci un comentariu pe facebook etc. Important este ca ulterior să nu uiţi să te plângi din greu cât de greu este şi cât de mic e salariu şi cum “nimica nu învaţă copii ăştia”. Oricum, merită “laude” colegul respectiv despre care vorbesc acum: a stabilit mai întâi că lecţiile din “culegere” (auxiliarul comandat de toată lumea) sunt mai bune, aşa încât elevii aveau la ei această carte şi din asta trebuiau să copieze lecţia. Şi într-adevăr avea dreptate, faţă de lecţia “de nota 4-5” din manualul oficial (acesta este un alt subiect; răbdare că vine în curând), “lecţia” din auxiliarul respectiv era clar de 6-7, deci “muuult” mai bună. D-apoi, ce să înţeleagă săracii elevi în astfel de condiţii?

Oricum, chiar şi când predau o lecţie, foarte mulţi colegi profesori o predau “plat”, fără nici cea mai mică implicare emoţională; rezultatul este că nici elevii nu se implică tare mult, în astfel de situaţii având impulsul doar de a copia de pe tablă, la fel cum ar face-o şi din carte (copiaţi totul ca să aveţi lecţia “completă” în caiet, pentru că atunci nimeni nu poate susţine că nu vi s-a predat lecţia respectivă; de aici încolo, dacă nu ştiţi este vina voastră, a elevilor, nu a mea a profesorului).

4) La precedentul exemplu era vorba despre ceva linii importante în triunghi, în clasa a 6-a. Am aflat de astfel de exemple – de nepredare – la tot felul de lecţii, la diferite nivele, dar se poate şi mai rău. Astfel, s-ar putea ca lumea să afle şi să-ţi meargă vestea că pierzi vremea (cum se şi vorbea despre colegul respectiv). Mult “mai bine” este să le dai acasă, ca temă, să copieze lecţia, iar tu să te ocupi ulterior la clasă doar de probleme. Eu bănuiam de mult că la liceele “de centru” din Cluj nu se predau anumite lecţii, că sunt lăsate pentru acasă (probabil cel mai bine să le facă “profu din privat”, că şi-aşa au toţi meditaţii). Anul acesta am aflat din nou de un astfel de exemplu: formulele de arii şi volume la corpurile din programa pentru examen. Elevii au primit să le copieze acasă – dar nu din manual, ci din nou din culegere (n-am înţeles de ce). Problema era că în auxiliarul respectiv formulele era trecute la începutul fiecărui calup de probleme despre un anumit corp, aşa încât elevii trebuiau să le adune din mai multe locuri, deci să facă o compilaţie din mai multe locuri, totul într-o singură lecţie în caiet, cuprinzând toate formulele. Problema mare era că în acel auxiliar erau trecute doar formulele, nu şi alăturat o figură cu corpul respectiv (autorii acestei culegeri s-au gândit că formulele au fost predate la clasă, sau oricum erau în manuale; astfel culegerea lor nu putea acţiona “ca o plasă de siguranţă eficientă” pentru nepredarea lecţiei de către profesor). Într-o atare situaţie copiii nu au nici cea mai mică şansă să înţeleagă ceva, acele formule fiind din start ceva neînţeles, obligatoriu de tocit.

5) Problemele nu sunt însă neapărat legate de situaţia specifică a lecţiilor din pandemie. Cunosc un exemplu despre un profesor care “are mămăligă în gură”: acesta vorbeşte foarte încet şi, deşi probabil că se străduieşte să predea cât de bine, elevii nu înţeleg nimic pentru că pur şi simplu nu-l aud (!). Dacă mai adăugăm şi un nivel foarte înalt de lecţii (aşa numitele lecţii “de excelenţă”, la care colegul respectiv “este la el acasă”), atunci înţelegem că acei elevi nu au nici cea mai mică şansă de a pricepe ceva.

În general, constatăm tot mai des la oameni un egocentrism feroce, cumulat cu lipsa totală de respect, de percepere a celorlalţi (mă refer în general, în societate). La clasă această atitudine duce de multe ori la o nerespectare generală a nevoilor elevilor de a-şi completa lecţia în caiet sau de a înţelege noile cunoştinţe predate. Astfel de colegi trăiesc “bine-mersi” cu impresia că dacă “lecţia a ieşit din ei” (le-a ieşit pe gură la propriu) atunci ei şi-au făcut datoria; ei nu se mai gândesc şi dacă “lecţia a ajuns la destinaţie”. Dacă copiii întâmpină dificultăţi, e vina lor!

Colegul despre care tocmai am vorbit îşi face lecţiile, dar degeaba, pentru că elevii nu-l prea aud. Cunosc însă un caz de profesor care lipseşte cu săptămânile (din diferite motive personale). Este evident că lecţiile de multe ori nu se fac defel, sau sunt făcute sumar, scurt, undeva în 5-10 minute la sfârşitul unei ore. Cu timpul părinţii nu mai suportă, aşa că încep să curgă reclamaţiile, direcţiunea sau inspectoratul îl mută, iar anul următor acelaşi om este în altă parte şi procedează la fel. În această categorie se încadrează prin extindere şi sitaţiile unor învăţătoare (de obicei tinere) care fac foarte puţină matematică (una făcea matematică doar prin semestrul al II-lea, câte ceva, nu tare mult, pentru că nu-i place).

Sunt sigur că există foarte mulţi profesori care se străduiesc şi îşi fac treaba, fiecare cum poate mai bine, dar nu despre ei este vorba în aceste mega-eseu, ci despre ceilalţi. Cât la sută reprezintă “ceilalţi”, cei cu deficienţe majore în activitatea lor, despre asta nu aş dori să mă exprim; nici nu am date concludente în acest sens. Aici analizez doar fenomenul, dorind să atrag atenţia asupra faptului că fiecare trebuie să intre într-un proces de autoanaliză şi chiar de autocorectare.

Este evident că aş putea continua la nesfârşit în acest registru. La deficienţele năucitoare întâlnite în general s-au adăugat desigur cele specifice pandemiei, care de multe ori doar a accentuat problemele. Un aspect interesant apare aici: în ultimul an, în urma pandemiei am văzut o reală acceptare a unor astfel de situaţii, ca şi cum acestea ar reprezenta o adevărată obiectivitate (noua “obiectivitate”). Totuşi mai trebuie să mă descarc de câteva gânduri care mă macină, despre situaţii urâte de care aflu.

Am auzit de cazuri în care elevii n-au învăţat nimic în anii de liceu cu colegul respectiv, iar despre această situaţie se plângeau toţi părinţii de la clasele acelui coleg. Toţi îşi acceptau soarta plătind meditaţii particulare. În situaţia pandemiei lucrurile au devenit extreme: în clasa a 9-a elevii încă n-au învăţat mare lucru pentru că “aşa-s ei leneşi după ce scapă de EN”. Prin a 10-a a venit pandemia, în a 11-a erau tot felul de explicaţii, iar anul acesta, în a 12-a toată lumea a constatat cu stupoare cruda realitate, anume că elevii nu ştiau nimic.

La polul opus sunt situaţii de colegi care ţin la clasă o ştachetă atât de ridicată încât elevii normali nu au nici cea mai mică şansă să ţină pasul cu lecţiile sau să ştie la teste, fiind constant ameninţaţi cu corigenţa până în ultima clipă înainte de vacanţa de vară. Halal metode de a păstra disciplina.

Atât în cazul când profesorul predă foarte slab, cât şi în cazul când profesorul de la clasă menţine un nivel mult prea ridicat (de excelenţă), copiii nu evoluează cum trebuie, iar de la o vreme părinţii simt asta. Singura soluţie pentru ei este să înceapă să dea meditaţii la greu; “meritele” în urma acestora le strânge desigur tot profesorul de la clasă, cel care n-a făcut mai nimic timp de patru ani, sau dimpotrivă a ţinut o ştachetă mult prea ridicată.

Fenomenul este de fapt “vechi de când lumea”. Cunosc exemplul unui inginer (!) care dădea meditaţii, despre care am aflat după ce “s-a pensionat” şi de la această activitate (un om pasionat de matematică, ce dădea în timpul liber ore particulare deosebit de eficiente). Toate rezultatele foarte bune de la Liceul de elită din localitate fuseseră de fapt meditaţii de-ale sale, deşi iniţial toată urbea se lupta să-i ajungă copilul la profesorul vedetă al zonei. Când inginerul s-a pensionat, n-au mai fost rezultate nici la clasele de vârf de la Colegiul respectiv.

În situaţiile cu şcoli unice într-o localitate, situaţiile pot ajunge în forme destul de urâte. Asta se întâmplă acolo unde câte un profesor reuşeşte să-şi constuiască o aură solidă de vedetă locală, de “profesor bun”, cerând la teste mult mai mult decât predă, desigur pe baza a ce face la orele particulare, asigurându-şi astfel şi venituri suplimentare. Din păcate, respectivii profesori nu simt conflictul logic din această situaţie: de obicei el este atât profesorul de la clasă, unde elevii nu înţeleg mare lucru şi tot el este şi “marele salvator”, profesorul bun de acasă, fără de care nu se poate. Despre oficialul “conflict de interese” nici nu mai are loc să vorbim aici. Pe de altă parte, comparaţia cu “baronii locali” politici este evidentă, ambele provenind din apucăturile perioadei fanariote ale trecutului nostru.

La ora actuală există masiv clase întregi, chiar şcoli întregi, la care meditaţiile sunt obligatorii cel puţin din clasa a 5-a. Cel mai ciudat este când asta se întâmplă chiar la şcoli private, la care părinţii oricum plătesc din greu taxele şcolare. Dar, să lăsăm meditaţiile şcolare de-o parte; la ora actuală toată lumea vorbeşte despre acestea; chiar şi fostul Ministru Daniel Funeriu le-a descris de curând ca o normalitate a societăţii noastre actuale.

Astfel de exemple flagrante – cum sunt cele prezentate mai sus – nici măcar nu mai lasă loc de discuţii despre metodica şi didactica în care ar trebui predate diferitele lecţii. În aceste situaţii nici măcar nu este vorba despre aşa ceva. La eseul precedent, cel despre elevi şi părinţi, după cele cinci exemple punctuale am încercat să prezint câteva catgorii de influenţări negative a procesului de învăţare (le-am spus atunci “modele educativ-comportamentale”). Aici, la profesori, este ciudat să pornesc un astfel de demers, deoarece asta fac tot timpul prin proiectul pentagonia.ro, doar că o fac cât mai rar la modul critic, în loc de critică directă preferând mai degrabă să arăt cum s-ar putea preda mai sănătos într-o anumită situaţie. Totuşi, aş vrea să prezint câteva categorii de defecte de predare ce-mi atrag regulat atenţia şi pe care le-am putut observa în jurul meu în ultimii anii (dinainte de pandemie, dar şi actuale). Aşadar, ar fi exemple din situaţii unde profesorul totuşi se străduieşte să predea lecţiile, dar o face într-un mod defectuos. Hai să le numim exemple generale de predare defectuoasă (prescurtat EGPD).

EGPD1 Prima categorie s-ar putea numi predarea egocentristă, profesorul fiind concentrat doar pe predarea lecţiei; este situaţia tipică în care profesorul vorbeşte singur în faţa clasei (cam vorbeşte “de unul singur”: chiar şi dacă mimează un dialog, respectivul profesor atunci când întreabă, tot el şi răspunde, totul într-un ritm uneori monoton, alteori poate prea rapid, oricum vorbind doar “el cu el”).

Chiar dacă în decursul lecţiei are loc un oarecare dialog între profesor şi elevi, acesta se desfăşoară de obicei doar cu elevii buni, pentru majoritatea clasei dialogul fiind la un nivel mult prea înalt, sau având loc într-o viteză mult prea mare. Nu că majoritatea elevilor tare “s-ar omorî” să urmărească acest dialog; unul din rezultatele acestui tip de predare estă chiar acesta, că cei mai mulţi elevi au abandonat de mult ideea de implicare, obişnuindu-se ca singura preocupare (în direcţia matematicii) la oră să fie copiatul lecţiei în caiet; ceva de genul dacă au reuşit să scrie totul, înseamnă că şi-au făcut datoria. Aceasta este de fapt şi poate cea mai grea consecinţă a acestui stil de predare, anume faptul că majoritatea elevilor nici nu mai au în minte ideea că ar putea fi activi la ora de matematică (activi şi pro-activi). Iar pasivitatea aceasta a lor le restrânge obiectivul activităţii la oră doar la a-şi completa notiţele. Restul urmează să se facă acasă (dacă se va face), iar acest “rest” constă doar în a învăţa pe de rost elementele lecţiei. Cei mai mulţi nu au forţa să înţeleagă singuri ulterior fenomenele, aşa încât învăţatul pe de rost rămâne cea mai bună soluţie disponibilă.

Deoarece n-a înţeles nimic la oră, copiatul temelor de la alt coleg este de obicei pasul următor (pe această linie urmează apoi copiatul la teste). Aici avem inclusiv situaţia când altcineva îi face tema de faţă cu el, iar copilul doar mimează în continuare că a înţeles, mimează o aparentă implicare într-un dialog din timpul rezolvării celuilalt. Copilul va proceda astfel şi “acasă” pentru că oricum s-a învăţat şi s-a antrenat masiv la şcoală să participe la un astfel de “aparent dialog” (să mimeze un astfel de aparent dialog) în faţa profesorului care este tare mulţumit în timp ce-şi turuie lecţia (copiii se pare că au mutre interesate şi se pare că înţeleg, dau din cap fin a “Da”, deci totul e ok iar eu pot să-i dau înainte cu lecţia mea!).

Revenind la profesori, de obicei aceşti colegi doar turuie lecţia învăţată de demult, putându-se observa lipsa cronică a strădaniei de adaptare la posibilităţile şi la nevoile majorităţii elevilor. Atenţia profesorului în direcţia elevilor se concentrează cel mult înspre cei 2-3 elevi buni la mate, aşa-numiţii “vârfurile clasei”, după principiul “dacă ei înţeleg, înseamnă că-i foarte bine cum predau”. Raţionamentul este tradus de la sine înţeles astfel: “de vreme ce elevii buni înţeleg, înseamnă că e vina celorlalţi că nu pricep nimic”, sau mult mai dura formă “nu-i vina mea că-s bătuţi în cap!”.

Din păcate de multe ori nici măcar cei buni nu pot duce pe durată acest stil de lecţii, doar că aceştia au acasă pe cineva care-i “dopează” cu matematică. În felul acesta, de multe ori lecţia de matematică ajunge să fie ca un fel de meci de tenis între doi adulţi – profesorul de la clasă, respectiv părintele de acasă (sau un profesor particular), ambi deosebit de ambiţioşi – elevul respectiv reprezentând oarecum mingea cu care are loc acest joc; ceilalţi elevi ai clasei pot fi imaginaţi în acest sens ca multe alte mingi ce stau pasive pe teren, fiecare pe unde s-a oprit (am cunoscut inclusiv situaţia când profesorul de la clasă n-ar participa la un astfel de meci, dar părintele mult prea ambiţios ridică singur ştacheta şi are pretenţii în consecinţă).

Uneori am impresia că mulţi colegi vorbesc ca şi cum în spatele clasei ar exista o cameră conectată tot timpul la biroul inspectorului de matematică. Astfel, fiecare se străduieşte să vorbească supercorect din punct de vedere teoretic, dar şi la nivel înalt din punct de vedere a performaţiei matematice. Această atitudine ne este “intrată în sânge” pe baza faptului că la orele deschise se oişnuia a-l corecta pe cel de la tablă (în discuţia de după). Şi eu am fost uneori agresat în acest fel şi de fiecare dată “mă cruceam” că găseau unii să comenteze, doar-doar se va înţelege cât de “superiori” sunt ei (eu m-am oferit de câteva ori să ţin lecţii deschise benevol, iar de fiecare dată lecţia conţinea elemente novatoare; totuşi am trăit şi situaţia că o persoană îngâmfată să vadă cine-ştie-ce chichiţă de care să se lege).

Vorbeam despre un nivel mult prea înalt pentru majoritatea elevilor. În acest sens merită să accentuez că mulţi profesori consideră că este sub demnitatea lor de “matematicieni” să coboare ştacheta dificultăţii teoretice, pentru a accesibiliza lecţiile (după cum am spus, nici elevii nu “se omoară” să fie mai atenţi, dar acesta este un alt subiect, despre care deja am vorbit). Mulţi profesori tineri nu au nici cea mai mică şansă de a ieşi din această stare, deoarece ei sunt a doua generaţie de profesori ce predau astfel: deja şi profesorii lor au predat aşa în anii ’90 şi începutul anilor ‘2000, iar tinerii colegi au în mintea lor doar acest model. Ei aşa ştiu şi doar aşa pot; orice altceva nu înţeleg.

EGPD2 Preocuparea epsilonică pentru formarea gândirii la elevi reprezintă o consecinţă firească a primei categorii de predare defectuoasă. Mă refer aici la concentrarea multor colegi doar asupra lecţiei lor, singurul pas înspre elevi fiind în direcţia cerinţei memorării informaţiilor şi a reţetelor de către aceştia, considerând că această cale este suficientă pentru obţinerea rezultatelor la examene. Cu alte cuvinte, vorbim de reducerea activităţii matematice a elevilor doar la jumătatea constând în reţete, neglijând total gândirea spontană. Se neglijează astfel unul din obiectivele educative universale ale matematicii, anume chiar formarea gândirii logice raţionale, ce ne învaţă şi ne antrenează capacitatea de analiză a unei situaţii noi şi deducerea paşilor de urmat pentru rezolvarea problemei şi atingerea scopului respectiv, nu numai în matematică, ci în în general în viaţa de zi cu zi, în situaţiile din viaţă ce trebuie rezolvate pentru a merge înainte.

Faptul că din partea profesorilor de matematică se simte o lipsa totală a preocupării pentru formarea gândirii la elevi, acest fapt îl poate percepe oricine, doar profesorii în cauză nu-l văd defel (majoritatea!). Ultima dată mi-a fost reclamat acest fapt în urmă cu câteva zile. Oricine este cât de cât detaşat faţă de sistemul şcolar oficial, dar suficient de implicat în ideea de matematică, poate vedea această realitate; doar profesorimea împreună cu tot aparatul ce o conduce nu sunt în stare să o perceapă, iar asta este o altă mare deficienţă a sistemului birocratic în care trăim, anume că nu se poate autodiagnostica în mod sănătos şi realist.

Dar cum s-ar forma gândirea logică la elevi? Acesta este un alt subiect, despre care nu mi-am propus să discut acum, însă simplul fapt că formarea gândirii în ansamblu nu se află printre obiectivele sistemului şcolar, asta spune multe despre situaţie. Cum gândesc colegii că apare gândirea logică la elevi, mai exact faptul că această întrebare nu se află printre preocupările profesorilor, aceasta reprezintă însă o mare durere (adică ar trebui să reprezinte o mare durere la nivel naţional, pentru cei care gândesc logic, ce-i drept o minoritate). Oare gândirea logică apare aşa, din întâmplare la copii? Poate că apare la unii în mod spontan (cum era micul Carl-Friedrich Gauss, atunci în clasa I, pe vremuri, spre finele secolului XVIII). Dar la cei mai mulţi copii gândirea logică apare condiţionat de ambienţa sa, fie prin imitaţie de la cei din jur (din familie, până la 7-9 ani, acolo unde acest tip de gândire există pentru a fi imitată) sau prin raţionare comună asupra unor subiecte, cu răbdare, prin formare de către învăţătoare (Câte se preocupă de asta? Că timp ar avea ceva mai mult decât profesorii!) sau de către profesori. Dar – vor răspunde toţi profesorii în cor – “Cine are timp pentru aşa ceva? Noi avem o programă de parcurs, noi avem probleme grele de rezolvat. Cine să aibă timp de formarea gândirii celor mici?”. Permiteţi-mi să abandonez acest subiect, aşa “în coadă de peşte”.

EGPD3 Neglijarea totală a construcţiilor geometrice exacte şi a legăturiilor acestora cu gândirea demonstraţiilor, cu fenomenul raţionării în geometrie, acesta este un al treilea exemplu despre care doresc să atrag atenţia (un exemplu ceva mai punctual, care la rândul său derivă desigur din precedentul exemplu discutat). Pentru cei care încă nu s-au interesat de subiect şi de profunzimea sa, este vorba practic de neglijarea formării şi întreţinerii conexiunilor între cele două emisfere cerebrale. Astfel, actualii elevi dresaţi doar în partea algebrică a matematicii nu sunt în ansamblu mai înteligenţi decât cei nematematicieni în activităţile practice; mai mult, punându-se accent doar pe partea de algoritm în toată şcoala, nici cei nematematicieni nu evoluează în sensul inteligenţelor practice. Per ansamblu, actualul tip de matematică (aflată pe val de zeci de ani, inclusiv pentru că aceasta se cere la examene) nu contribuie cu mare lucru la formarea unor oameni mai inteligenţi, de care să beneficieze ulterior societatea românească. Dar formarea inteligenţelor practice şi a conexiunilor acestora cu inteligenţele teoretice se află pe locul 1001 în lista preocupărilor matematicii şcolare din România. Însă şi formarea celorlalte inteligenţe suferă intens la orele de matematică, cum ar fi de pildă inteligenţa emoţională.

De peste zece ani aud de la diferiţi copii (ce au de a face şi cu alţi profesori) că desenul nu contează la geometrie (exactitatea acestuia, exemplul clasic fiind desenarea unui triunghi isoscel la orice problemă cu triunghiuri oarecare). Aceşti copii de fapt nu caută să înţeleagă o demonstraţie; pentru ei demonstraţia geometrică este doar o nouă “rezolvare stupidă” ce trebuie învăţată pe de rost “şi la ce ne mai trebuie desenul acela stupid?” Mulţi oricum nu văd legătura dintre desen şi demonstraţia scrisă alăturat. Trendul a ajuns să fie confirmat şi dinspre minister: în cadrul noii forme de teste pentru Evaluarea Naţională (valabilă din 2021) elevii nu mai trebuie să deseneze nimic (cel mult să traseze o linie, două, în plus pe o figură gata imprimată). Asta va încuraja şi mai mult profesorii să neglijeze la clasă realizarea corectă a figurilor geometrice, aducând pentru eficienţa de timp doar figuri gata imprimate la activitatea orei, cât şi a temei. Pseudo-abilitatea de a gândi geometria ce se cultivă astfel la elevi este similară cu “muzicalitatea” ce mi-am dezvoltat-o eu în ultimii 20 de ani ascultând foarte mult muzică de operă (Verdi, Puccini, Mozart, Donizetti, ştiţi, chestii din alea ca Nesun Dorma, Traviata, Nabucco etc.). Dar să nu mă pui să le şi cânt, că te iei de cap!

De fapt trendul este mult, mult mai vechi. Deja în urmă cu 10 ani fiul meu a avut la facultate (în cadrul Universităţii tehnice din Cluj), în anul I, în primul semestru un curs de construcţii geometrice cu rigla şi compasul, curs la care chiulea cu mare avânt. Luându-l la discuţii, ne-a adus nişte copii xerox după notiţele unui coleg: erau toate construcţiile şi tehnicile pe care noi le-am făcut în gimnaziu, în finalul anilor ’70. Fiul meu le cunoştea la rândul său, deoarece le făcuseră în cadrul liceului de Arte Plastice (unde a studiat clasele 5-12). Din păcate la alte şcoli profesorii neglijează cu totul acest domeniu (cred că deja din anii ’90), astfel încât profesorii de la facultate au fost nevoiţi să includă construcţiile geometrice la începutul facultăţii (având nevoie de ele în continuare).

Aceste trei categorii de predare defectuoasă mi-au atras mie atenţia în ultimii ani, deşi s-ar putea uşor găsi şi altele. Cred însă că prin acestea se poate obţine o imagine cât-de-cât coerentă asupra fenomenului predării defectuoase întâlnită la ora actuală la mulţi profesori. Totuşi aş aminti aici şi alte două acuze grave ce se pot aduce activităţii profesorilor.

În primul rând, aş dori să amintesc pe scurt situaţia foarte des întâlnită sesizată de dl. profesor Sorin Borodi din Dej cu referire la faptul că elevii nu sunt în stare să facă faţă unei situaţii cu baze clar matematice, dar din afara şcolii. Din câte ţin minte dânsul dădea exemplul unui copil de gimnaziu care nu reuşea să determine cantitatea de medicament de administrat pentru o anumita pisică în funcţie de greutatea acesteia (că doar n-o să spun “în funcţie de masa pisicii”). Ceva similar îmi spunea cu 18 ani în urmă un domn care venisă să-mi facă măsurătorile topografice la un tern proaspăt cumpărat: când terminau facultatea de profil, absolvenţii habar nu aveau despre ce trebuiau să facă practic. Acesta prefera să îi angajeze pe tineri din timpul facultăţii (măcar atunci nu veneau cu pretenţii salariale prea mari), iar el îi învăţa ce trebuie de fapt făcut.

Povestind despre acest articol, fiul nostru (30 ani) a plusat şi mai mult: de fapt foarte mulţi dintre absolvenţii sistemului şcolar obişnuit habar nu au ce vor să facă în continuare (am putea spune că sunt mai rău decât “dezorientaţi”), sunt incapabili să-şi ia viaţa în propriile mâini, aşteptând în continuare să vină cineva, “un adult” şi să le spună ce să facă mai departe (asta pentru că în toată viaţa lor cineva le spusese ce au de făcut, iar ei cel mult fuseseră nişte cuminţi executanţi). Oricum, sistemul nu-i îndrumase spre sinuasa preocupare de a-şi găsi calea potrivită, de a vedea la ce este bun. Sistemul le ceruse doar să tocească ca să ştie la test, apoi puteau să uite, chiar era recomandat să uite, pentru a face loc pentru următoarele toceli, iar drumul acesta culmina cu marea invăţare pentru examen, menită de a te înscrie la o nouă şcoală, acolo unde procesul se relua la un alt nivel ş.a.m.d. Astfel, când termină cu toate şcolile posibile, masterate şi alte doctorate, tânărul este eliberat din această ciudată “captivitate”, în care a trăit de când se ştie, trimis în viaţă să se descurce. Mulţi însă habar nu au ce să facă. Fiul meu a folosit expresia “copiii ăştia” iar când am întrebat “ce copii?”, răspunsul a fost edificator: “ăştia de vârsta mea” (adică de 20-30 ani). Da, avea dreptate, mulţi sunt la acel moment ca nişte copii neajutoraţi. Dar, a cui este vina? Întregul sistem de învăţământ duce spre aşa ceva şi nimeni nu face nimic în a sesiza măcar această situaţie la nivel naţional, darămite să încerce să o şi rezolve cumva, măcar parţial.

Spuneam în articolul iniţial (zero) că aş încadra la zona profesorilor şi inspectorii. Din păcate (sau din fericire?) trebuie să vă decepţionez aici. În aceste articole în care mi-am propus să scot în evidenţă deficienţele, adică să critic, nu am ce să spun foarte multe prin prisma inspectorilor de Cluj, despre a căror activitate mai ştiu câte ceva. Aş putea eventual să scormonesc oarece, poate aş găsi aspecte minore, dar care ar fi eficienţa? Cât despre inspectori la nivel naţional, ştiu şi mai puţine. Discuţia ar putea eventual degenera într-o direcţie regională (maramureşenii-s aşa, oltenii-s aşa etc.), fără relevanţă pentru subiectul nostru. Aşa că despre inspectori mai bine nimic (la fel şi despre directori). Rămâne să facă fiecare această analiză în mod particular, în funcţie de informaţiile deţinute personal.

Merită aici să fac totuşi referire la un reproş general despre care mai auzeam pe vremuri de la unii colegi profesori, care acţiona mai degrabă ca o scuză: ceva de genul “eu nu încerc forme noi de predare ca să nu am eventuale probleme la o inspecţie, că aş fi călcat pe lângă linia oficială”. Poate pe vremuri s-au mai întâmplat astfel de lucruri, dar eu de peste 10 ani n-am mai auzut de aşa ceva (poate se mai întâmplă, dar n-am auzit eu, mai ales că predau oricum într-o şcoală alternativă, unde numai cu aşa ceva ne ocupăm).

Deci să concluzionăm (“fără deci la începutul propoziţiei” se vor trezi unii să comenteze): ştiu că “mă arunc în gura lupului” cu acest articol (fiul meu a râs bine când a aflat de demers: “şi o să pui asta apoi pe facebook-ul profesorilor?” Da!), dar visez ca prin acesta să fi trezit în cât mai mulţi colegi impulsul de a-şi pune propria activitate sub semnul întrebării, de a se auto-analiza şi mai ales de a începe un proces de auto-corectare şi îmbunătăţire a predării. Nu vă mai uitaţi la defectele celorlalţi (în principal elevi şi Minister), găsind la aceştia scuze pentru propriile nereuşite. Încercaţi să găsiţi căi de îmbunătăţire în propria activitate, iar apoi, cu timpul, veţi vedea cum încep să apară şi rezultatele. Se pare că şi Jordan Peterson vorbeşte despre acest demers, de a nu mai găsi scuze în deficienţele celorlalţi, ci de a te concentra pe ce poţi tu să faci mai bine (îmi cer scuze că nu am să dau aici un link în acest sens).

Dar, de ce există astfel de deficienţe în predarea şi în comportamentul profesorilor de matematică? Sursele sunt multiple: de la cele de ordin istoric (“sistemul fanariot”, dar şi sistemul “comunist”), la cele de ordin politic al ultimilor 45 ani (general, dar şi matematic), până la deficienţele sistemice ale societăţii actuale. În articolele următoare voi ajunge şi la aceste aspecte. Înainte de încheiere aş dori să mai amintesc câteva idei găsite pe o fiţuică veche, notate la repezeală dintr-un interviu mai vechi cu d-na Cristina Tunegaru. Citez: De vină pentru calitatea slabă sunt profesorii (… o mare problemă sunt profesorii!). De multe ori profesorul nu răspunde pentru ce face în clasă…. Profesorii pun mai în faţă sarcinile birocratice, intră mai târziu la clasă etc. … Profesorul trebuie să-şi asume responsabilitatea pentru rezultatele slabe ale elevilor. (dintr-o emisiune la Europa FM, Piaţa Victoriei?)

În momentul audierii acelui articol eu am notat următoarea proprie replică: profesorilor li se cere prea mult (într-o paletă mult prea largă, de la elevi foarte buni la cei foarte slabi). Soţia mea a avut următoarea reacţie: mă enervează că suntem cercetaţi cu lupa de către alţii. De ce nu sunt cercetaţi şi politicienii (decidenţii în învăţământ)? Constantin Titus Grigorovici

Cu orice ocazie, mică sau mare, toată lumea se apucă de comentat şi de analizat, încercând să desluşească cine este de vină legat de “starea actuală a învăţământului românesc”, şi întotdeauna “ceilalţi” sunt de vină.  Dacă ne uităm la matematică putem constata acelaşi fenomen. În prezenta serie m-am hotărât să iau spre analiză toţi factorii implicaţi şi aş dori să încep cu principalele categorii: elevii; profesorii; autorităţile naţionale (cei care decid ce matematică facem în şcoli).

Personal, aş începe cu profesorii, dar logica îmi spune să “o iau de jos”, de la baza învăţământului, adică de la elevi. Un argument suplimentar în acest sens ar fi că astfel aş evita să vorbesc din start de grupul celor care formează blocul principal al cititorilor pentagonia.ro. Astfel – cel puţin pentru început – mă voi folosi de eficienţa metodei bazată pe vorba “persoanele de faţă se exclud”. Profesorii vor putea vedea că îi iau spre dură analiză şi pe alţii, şi poate vor înţelege din start că încerc să fiu obiectiv.

Elevii au însă întotdeauna o familie “în spatele lor”, de obicei familia fiind cauza celor mai multe “hibe” cu care ne confruntăm la ei (hibă: cusur, defect, deficienţă, imperfecţiune, insuficienţă, meteahnă, neajuns, păcat, slăbiciune, viciu; în cazurile în care nu există o familie în jurul copilului, persoanele care îngrijesc de acesta se dovedesc de obicei oricum mult mai responsabile). Familia este cauza celor mai multe hibe, fie ca sursă directă (de obicei total involuntară), fie datorită incapacităţii de prevenţie şi de protecţie împotriva aspectelor dăunătoare cu care îi agresează pe copii lumea şi societatea înconjurătoare. Aşadar, să pornesc cu abordarea subiectului elevilor.

Din start trebuie să precizez că extrem de rar mi-a fost dat să întălnesc cazuri la care să pot susţine că elevul “este de vină”; de fiecare dată când aveam probleme cu un elev, căutând cu atenţie şi după suficient timp, am ajuns să aflu (să aflăm împreună cu colegii) că “în spate” exista ca sursă originală părintele şi acţiunile sale. Am spus aici că extrem de rar mi-a fost dat să întălnesc elevi la care să pot susţine că sunt ei personal de vină; aceasta a fost o afirmaţie reţinută, dar de fapt nu am în minte nici măcar un astfel de exemplu. De fiecare dată, după suficiente căutări, am reuşit să găsesc sursa comportamentului negativ în familie. Cu alte cuvinte: după experienţa mea, copiii nu pot să fie de vină; ei şi comportamentul lor reprezintă întotdeauna rezultatul situaţiei din familie, în mod direct sau eventual indirect (atunci când familia îi permite minorului să fie influenţat de un anturaj nepotrivit).

Mass-media scoate în evidenţă în acest sens situaţii din următoarele categorii: copii “abandonaţi acasă” de către părinţi disperaţi plecaţi la lucru în străinătate; copii supuşi violenţei domestice; mame copii (fete rămase însărcinate la vârste mult prea mici); copii ajunşi sub influenţa diferitelor elemente negative (droguri, prostituţiţie etc.); copii abandonaţi cu totul de către părinţi, ajungând în diverse forme de instituţionalizare etc.

În eseul de faţă m-aş concentra asupra unor aspecte cu care mă confrunt eu personal, în jurul meu (Cluj-Napoca, în buricu’ târgului), scoţând în evidenţă gafe educative neforţate, uneori făcute chiar din convingere de către părinţi. Cel mai bine ne vom edifica aici pentru început prin prezentarea câtorva situaţii întâlnite (cu legătură directă sau indirectă spre matematică). Cu cât voi da mai multe exemple, cu atât ne va fi mai clar acest tablou în care de multe ori se naşte impresia că familia lucrează împotriva educaţiei profesorului. Aşadar să pornim cu câteva exemple concrete.

1) Începem cu unul mai liniştit: un elev primeşte o temă de 35 de pobleme cu calcul de expresii algebrice fără fracţii (renumitele exerciţii cu E(x) din testele de antrenament pentru EN 2020 în formatul vechi, Subiectul II, ex. 5). Pentru prima oră acesta poate prezenta primele 20 de exerciţii, unele făcute, altele greşite, altele neştiute. Pentru următoarea oră nu a făcut nimic pentru că “mama a zis să mă odihnesc”. Desigur că odihna însemna în acest caz stat pe jocuri de calculator. Halal odihnă a creierului şi halal pregătire pentru examen.

2) Un băieţel de clase primare (2-3) ajungea aproape zilnic în conflict cu colegi, de obicei conflictele degenerând violent, băiatul ajungând să se bată cu anumiţi colegi (ceilalţi colegi nu se băteau între ei). De fiecare dată învăţătoarea vedea că de fapt violenţa venea din acest băieţel şi, ca urmare purta dese discuţii cu mama copilului, cerându-i să nu-l mai lase la desene animate, de unde bănuia că acesta se impregna cu impulsuri agresiv-violente. Şi de fiecare dată mama îi garanta că acesta nu se uită aproape defel la desene animate, având program doar o oră pe săptămână (cândva sâmbăta la prânz). Ca director am auzit discuţia asta de multe ori, până când invăţătoarea a venit victorioasă: aflase la o discuţie extinsă că tatăl copilului se uita împreună cu acesta, ca “între bărbaţi”, la filmele violente ce se dădeau seara la televizor (cu Schwarzenegger, Stallone, Van Damme, Bruce Willis, Chuck Norris şi alţi minunaţi din acele vremuri). Da, desenele nu erau defel vinovate (deşi vestea a fost atât de şocantă încât nici nu am mai apucat să mă interesez la ce desene animate se uita acest copil). Nu are rost să vă mai precizez că acest băiat avea mari probleme la învăţătură, inclusiv la zona matematică.

3) Un alt băiat creştea doar cu mama sa. Aceasta, destul de tânără fiind, şi dorind a-şi reface viaţa cu un alt partener, îl neglija masiv, după principiul “sunt tânără, am şi eu viaţa mea!”. Ca urmare copilul petrecea tot timpul nesupravegheat în faţa ecranului (televizor, calculator, jocuri electronice, “deşteptofon”). Mutarea bunicului la ei a reprezentat un pas pozitiv, vizibil într-o relativă redresare, dar din păcate acesta a decedat după mai puţin de un an. Femeia îşi uita copilul cu zilele (la propriu), uneori chiar cu săptămânile, la diferiţi cunoscuţi care îl mai luau la ei (vorbesc foarte serios). Rezultatul a fost o stare profundă de dislexie, dar şi de discalculie. Nu aveai ce să faci cu el la matematică; NIMIC!

4) La un “banchet” de clasa a 8-a trei “mândre cucuiete” pe tocuri înalte şi cu rochii superelegante de seară, tăiate lateral pe toată lungimea piciorului, s-au îmbătat masiv. Nimic nu-i mai dezgustător decât o “ţoapă” îmbătată şi care se împleticeşte masiv în timp ce încearcă să danseze, căzând de pe tocurile acelea înalte. dezvelindu-şi picioarele până sus (mi-a rămas pe veci în memorie amintirea cu una din ele căzută pe jos printre cei care dansau; doar de vomitat am fost scutiţi). Eram într-un loc superizolat şi nu ar fi avut de unde cumpăra băutură. Am aflat repede unde s-au ascuns să bea, dar de unde avuseseră berea şi ce-au mai consumat acolo? Până la urmă am stabilit: cele trei mame le-o dăduseră “că acum sunteţi mari” şi le aduseseră direct cu băutura în geantă (despre una din cele trei mame ştiam şi că fuma împreună cu fiicele ei). Desigur că pentru rezultatele sub aşteptări la examene, tot noi profesorii am fost de vină.

5) Predând într-o şcoală alternativă, încerc să înţeleg faptul că unii elevi nu reuşesc să facă pasul spre învăţarea matematicii chiar din clasa a 5-a (mulţi acuză nivelul prea dur, prea riguros, prea ridicat al matematicii chiar din clasa a 5-a şi se ascund în spatele acestei realităţi, folosind-o ca scuză pentru neînvăţare). În plus ne trezim cu elevi transferaţi de la alte şcoli, elevi care nu ştiu nimic la matematică. Acestora încerc să le dau o “perioadă de graţie” în funcţie de particularul situaţiei. Totuşi, am şi eu limitele mele, şi chiar dacă este împotriva politicii tradiţionale a sistemului Waldorf, încep să folosesc corigenţa în clasa a 7-a, acolo unde este cazul. Într-o astfel de situaţie, de elev care nu făcea nimic, corigent deja pe primul semestru, mama acestuia a venit pe la jumătatea lunii mai cu următoarea argumentaţie (ca să-l trec degeaba): copilul urma să zboare cât de curând în SUA la tatăl acestuia şi probabil va rămâne acolo la şcoală; oricum, şi dacă se întoarce va fi undeva la sfârşitul lui septembrie şi “să nu rămână repetent”, aşa că cel mai bine să nici nu-l las corigent. În dezbaterea ce a urmat, în care eu susţineam că “nici vorbă!”, ea a scos argumentul suprem: nici ea n-a învăţat matematică defel şi uite ce “bine-mersi!” o duce. Într-adevăr, nici nu are rost să vă descriu cât de mare era BMW-ul ei cu prea multe X-uri (“cel mai tare din parcare” la propriu; cred că o anvelopă pentru acea maşină costa cât toate anvelopele pentru Ford-uleţul meu).

Trebuie să vă prezint pe scurt şi finalizarea situaţiei. Dacă tot avea atâţia bani, i-am recomandat o “doză şoc” de meditaţii (zilnic timp de o săptămână), în care “profesorul” găsit de ea “prin târg” să-l dreseze pe câteva probleme şi exerciţii elementare date de către mine. Precizez clar că am refuzat să mă ocup eu de copil (aşa cum a şi sugerat foarte abil); am refuzat chiar şi să le fac o recomandare a unui anumit profesor, ca nu cumva să pot fi acuzat ca aş avea şi cel mai mic interes personal. Până la urmă mama a găsit pe cineva, iar eu am avut o scurtă discuţie telefonică edificatoare cu acel profesor. Au avut loc de fapt doar 4 întâlniri, iar la testul super-uşor ce l-am dat elevul a reuşit chiar de nota 8. Ca urmare i-am dat media 6 pe sem. II şi copilul a putut zbura liniştit în America. Nici nu are rost să mai precizez că în toamnă era prezent din nou în clasa noastră. Însă în urma acelei lecţii, atât băiatul cât şi mama sa au înţeles “că se poate învăţa matematică şi că-i musai să o faci până la un anumit nivel minimal de bază!”. De fapt copilul nu avea nici cea mai mică vină; mama era cea care-l încuraja spre neînvăţare totală.

Totuşi, acestea sunt exemple punctuale, unele dintre ele cu implicare doar indirectă înspre neînvăţarea matematicii (putem continua şi cu altele, dar nu-i văd sensul). Aş dori să trecem însă la câteva situaţii des întâlnite de comportament general al părinţilor. Le voi numi modele educativ-comportamentale (trebuia să le spun cumva, să aduc diverşii factori de influenţă la un nume comun) şi voi folosi pentru enumerare prescurtarea MEC, ca o aluzie clară la una din denumirile Ministerului nostru, cu gândul conştient că influenţa părinţilor asupra procesului de învăţare este cel puţin la fel de importantă ca şi influenţa Ministerului de resort. Ordinea prezentării modelelor educativ-comportamentale, ordinea în care le voi scrie nu reprezintă neapărat şi o ordonare a importanţei acestora (onoraţi cititorii îşi pot stabili propria ordine). Totuşi, veţi vedea că există o logică a acestei ordini.

MEC1) Primul ar fi acela când părintele se exprimă acasă cu nonşalanţă că “nici el nu a fost bun la matematică“. Această afirmaţie spusă deschis în mediul familial – de faţă cu copilul – acţionează ca o dispensă: “da copile, nu-i nevoie să te oboseşti, ai tot dreptul să nu înveţi la matematică; eu voi fi aici pentru tine şi te voi apăra de ticălosul/ ticăloasa aia (de mate), nişte gunoaie care chinuie copiii cu prostiile alea!”, eventual cu extinderea “eu n-am învăţat matematica şi uite ce bine m-am ajuns!”. Confruntaţi cu note proaste, în cel mai bun caz aceşti părinţi vor apela la meditaţii, dar atmosfera generală rămâne. În astfel de situaţii, singura vină ce i-am putea-o imputa profesorului este acea de a nu fi depus strădanii suplimentare şi de a nu fi discutat îndelung cu părintele pentru a-l convinge de contrariul, dar orice persoană cu experienţă ştie că de fapt demersul este de obicei sortit eşecului: adultul din faţa ta are deja o poziţie de viaţă stabilă şi nu-i explici tu lui “cum stau lucrurile”. Eventual vei primi o replică de felul “doamnă, eu pentru banii care-i primeşti matale nici nu mă dau jos din pat!” (a trăit-o soţia mea).

Lărgind oarecum spectrul, putem observa desigur nivelul general de cultură al unei familii pe baza numărului de cărţi existent într-o casă, a cititului respectiv a necititului de cărţi, deşi acest criteriu nu este întotdeauna unul corect (nu întotdeauna, dar tot mai des, ca să parafrazez o reclamă nemţească la o bere fără alcool). Pe vremuri existau multe situaţii de elevi care ajungeau să exceleze la învăţătură deşi proveneau din familii cu un nivel limitat de cultură. La ora actuală asta se întâmplă însă tot mai rar, iar una din cauze ar fi că indiferent de nivelul cultural sau financiar al familiei, până la urmă toţi copiii ajung să aibă acces la influenţa ecranului (măcar televiziune cu multiple canale, cât şi smartphone). Dar despre acest subiect vorbim la categoria următoare, care este mult mai răspândită.

MEC2) Al doilea factor major, devenit la ora actuală un adevărat model educativ-comportamental al prezentei generaţii de părinţi, este “educarea cu ecranul”. Copiii ajung de mult prea mici în faţa ecranelor (TV, smartphone, calculatoare, existând chiar şi etc.-uri, de pildă ecranele din tetierele unor maşini). Toate acestea au influenţe puternice asupra evoluţiei copiilor; majoritatea părinţilor habar nu au despre mecanismele prin care folosirea diferitelor ecrane le distruge copilul. Am mai descris aceste aspecte şi mecanisme, dar încerc să o fac pe scurt încă o dată.

Ecranul, deoarece prezintă lucrurile direct în imagini nu antrenează capacitatea de imaginare a copilului (evit cuvântul “imaginaţie” deoarece mulţi înţeleg altceva prin imaginaţie). Cu cât acesta stă mai mult în faţa unui ecran, primind poveştile direct “arătate”, cu atâta el va citi tot mai puţin, procesul de a-şi imagina întâmplările descrise în text devenind tot mai dificil. Pentru un astfel de elev subiectul ascultat sau lecturat devine tot mai greu de imaginat, cititul unei cărţi ajungând să “îl doară”. Evident că peste ani un astfel de copil va avea dificultăţi reale în a-şi imagina situaţia descrisă într-o problemă de matematică.

Ecranul, prin succesiunea de imagini cu care “ne bombardează”, exercită a atracţie deosebit de puternică. Supunând un copil constant acestei forţe de atracţie, acesta nu mai ajunge să-şi exerseze atenţia conştientă într-o direcţie. Ulterior, la şcoală, deoarece subiectele şi ritmul prezentărilor nu au acelaşi nivel de atractivitate ca filmuleţele de pe ecran, elevul nu este antrenat să dea atenţie conştient şi constant unui discurs din partea unui dascăl. Deducem deci că folosirea în exces a ecranului cu scop distractiv slăbeşte capacitatea de atenţie a elevilor.

Deoarece folosirea ecranului cu filmuleţe este una pasivă, adică nu are loc un real dialog între aparat şi privitor, deducem că nici gândirea privitorului nu este şcolită de fapt. Chiar şî dacă privitorul dezvoltă gânduri iniţiale în urma unei idei sau întâmplări văzute pe ecran, el nu are de obicei posibilitatea de a întrerupe “filmul” şî a comenta pe baza gândurilor proprii (chiar şi dacă ar avea posibilitatea, probabil că tot nu ar face-o deaorece este demult obişnuit cu starea de pasivitate). Deducem că procesul de gândire, chiar şi dacă acesta apare în stare incipientă, de fapt nu duce la o gândire adevărată. Pe durată lungă, copilul utilizator de ecran comercial nu poate dezvolta o gândire stabilă sănătoasă. Am folosit expresia de ecran comercial incluzând în aceasta cam tot ce are interesul a te ţine captiv: toate televiziunile în afar de cele naţionale, care îşi au în menire a fi educative (de exemplu TVR la noi); tot ce circulă pe internet, jocurile pe calculator etc.

Ca să rezumăm, cu alte cuvinte, neformarea tripletei atenţie-imaginaţie-gândire absolut necesară în procesul matematic, neformarea acestora prin folosirea îndelungată a ecranului duce evident la un handicap major în procesul de învăţare a matematicii. Copilul nu se poate concentra asupra procesului de gândire din cadrul unei probleme, nu poate fi atent şi nu înţelege, nu îşi poate imagina mesajul scris al problemei sau mesajul vorbit al profesorului, care oricum foloseşte anumite noţiuni neobişnuite faţă de cele din viaţa de zi cu zi.

Dau aici un sub-exemplu cu care m-am confruntat în ultima vreme. Până la vârsta de 6-7 ani copilul învaţă exclusiv prin intermediul imitaţiei. De la impulsul uimitor de a se ridica în picioare, la vorbirea articulată şi până la modul de gândire şi raţionare, copilul preia totul prin imitaţie, avându-i pe cei din jur ca model (responsabili pentru acest mecanism sunt neuronii-oglindă, descoperiţi cu în anii din urmă). Ce nu-şi dau seama părinţii este faptul că forţele de imitaţie acţionează şi atunci când copilul stă prea mult în faţa ecranelor, urmărind un anumit tip de comportament. De pildă, putem privi modelul clasic Tom şi Jerry (“Da’ ce-are?! Da’ şi ăia-s răi?”). Acele filmuleţe aparent foarte simpatice reprezintă modelul tipic de agresiune constantă între “prieteni”. Impregnarea acestui model comportamental în sufletul băieţeilor (mai ales) duce ulterior la deja cunoscuta stare de bullying la adresa celorlalţi, agresarea constantă a celorlalţi ca formă obişnuită de socializare. Nu mi-am propus aici să explic şi felul cum această apucătură împiedică inclusiv învăţarea de pildă a matematicii (în timpul orei unii sunt mai atenţi la agresarea colegilor decât la urmărirea fenomenelor studiate).

În cazul în care într-o clasă există cazuri extreme de astfel de comportament, modelul de socializare se imprimă asupra tuturor şi, chiar dacă elevii sursă a acestui comportament sunt mutaţi din clasă, modelul agresiv de socializare înrădăcinat în acel colectiv merge mai departe. Mai mult, în cazul şcolii online am putut observa cum fenomenul s-a accentuat şi s-a stabilizat puternic, învăţarea matematicii fiind perturbată la cote nemai-întâlnite.

Revenind la folosirea ecranului, chiar mai mult, dacă copilul “este parcat” în faţa televizorului, la început pe desene animate, sau i se dă smartphone-ul oricând este nevoie “să stea liniştit” etc., urmările vor fi năucitoare, apariţia stării de ADHD în aceste condiţii fiind o garanţie. Din păcate, pe când boala respectivă este diagnosticată, cu greu se mai poate face ceva, iar tratamentul medicamentos sigur nu reuşeşte mare lucru înafară de accentuarea situaţiei din punct de vedere neurochimic. Vă daţi seama că astfel de copii nu au nici cea mai mică şansă la orele de matematică unde este nevoie de o concentrare şi o atenţie bună.

Am folosit la început denumirea de “educare cu ecranul”, dar de fapt părinţii nu-i lasă pe elevi la televizor cu gând educativ, ci de obicei, mai întâi îi pun şi se bucură că se uită, apoi îi lasă pentru că stau liniştiţi (nu-i mai bat la cap), iar pe când observă primele simptome, nici nu înţeleg ce se întâmplă, dar nici nu ştiu ce să facă. De fapt ar fi trebuit să folosesc expresia “antieducarea cu ecranul“. Eu păstrez totuşi expresia “educarea cu ecranul” în sensul că până la 6-7 ani educarea are loc doar ca învăţare prin imitaţie. În primii ani de viaţă educarea are loc sănătos doar alături de ceilalţi oameni – adică fizic, nu prin intermediul unor imagini – iar înlocuirea modelelor comportamentale ale celor din jur (adulţii din familie, fraţii mai mari, educatoare etc.) cu personajele din filmuleţe (nu doar din desenele animate) duce la nişte rezultate absolut nedorite ale “educaţiei”. Astfel, se obţine deseori un fel de caricaturizare a educaţiei, aşa cum filmuleţele – pe care copilul este lăsat să le imite – prezintă de fapt o caricaturizare a realităţii. Adică, în loc să stai tu lângă copil şi să-l “educi” lăsându-l să imite propriul tău fel de a fi, tu preferi să îl laşi “să absoarbă” modelele comportamentale de pe ecran.

După desenele animate de la vârstele mici, copilul intră cu timpul într-o vrie a nevoiei de senzaţie, către stimuli tot mai puternici, pe o “spirală a excitabilităţii”, având nevoie de senzaţii tot mai tari, făcând încet dar sigur pasul spre filmuleţe tot mai dure şi mai violente, spre jocurile de calculator (fetiţele spre platformele “de socializare”, în direcţia lăudăroşenie şi bârfă). YouTube-ul, TicTok-ul şi toate rudele acestora contribuie masiv la agravarea situaţiei prin rapiditatea celor prezentate şi prin posibiilitatea de creştere aproape incontrolabilă a senzaţiilor oferite. Nu rar copiii fac şi pasul către filmuleţele pentru adulţi.

De curând mi-a fost dat să cunosc un caz extrem de grav de copil distrus pe aceste baze (după afirmaţiile sale “Nu stau tot timpul pe jocuri de calculator; am doar 8 jocuri pe desctop-ul calculatorului personal”; îşi dădea şi el seama de gravitatea situaţiei şi încerca să glumească pe baza sa). Starea constantă de bullying la adresa oricui şi un ADHD profund îl împiedică de obicei pe acesta la învăţarea matematicii, deşi tehnic este un copil destul de inteligent.

Şi cine este de vină în astfel de situaţii? Este foarte greu să le explici asta părinţilor, să-i confrunţi cu realitatea faptului că ei, din prea multă dragoste, ei i-au cumpărat “toate-n lună şi în stele”, asigurându-i autodistrugerea garantată. În general, cu cât situaţia materială cu care este înconjurat copilul este mai opulentă, la început cu toate jucăriile posibile, dar apoi mai ales în zona device-urilor cu ecran, cu atât strădaniile sale spre învăţătură vor fi mai slabe, lipsindu-i motivaţia elementară spre mai bine.

Lucrurile se întâmplă similar şi în capătul celălalt al spectrului social. În cazul unor părinţi ce au plecat la lucru în străinătate, lăsându-şi copilul acasă, de pildă cu bunicii, apare un submodel educativ-comportamental interesant. Poate din dorinţa de a-şi arăta dragostea de la distanţă, poate din impulsul de a dovedi succesul financiar al plecării, dar oricum de obicei din dorinţa de a păstra şi un contact vizual, nu doar telefonic cu puiuţul, în majoritatea cazurilor copilul de acasă “primeşte”, adică este dotat destul de repede măcar cu un smartphone, dacă nu şi cu un laptop cu acces constant la internet. Bunicii sunt total nepregătiţi faţă de ce urmează, iar familia habar nu are ce mai face copilul cu timpul pe internet.

Generarea unei stări de dependenţă este cea mai des întâlnită situaţie după ce copilul este conectat cu ecran la internet. Unii părinţi observă asta şi apare ca reacţie limitarea timpului de petrecut conectat. Am dubii că şî funcţionează întotdeauna treaba asta. Un caz particular este trecerea copilului de a 8-a pe telefon mobil cu butoane până la examen; nu ştiu cât este de eficientă metoda, dar sigur este însoţită printre altele de înjosirea acestuia faţă de colegii săi.

MEC3) O a treia categorie de factori antieducativi (cu care mă confrunt eu uneori) ar fi chiar felul în care părinţii se implică în tot ce influenţează activitatea şcolară de învăţare. De multe ori părinţii (sau bunicii) îi învaţă pe elevi metode diferite decât ce le arăt eu la clasă. Uneori acestea pot fi folositoare, dar alteori acestea duc doar la perturbarea înţelegerii matematice a elevilor. Poate voi reveni la acest subiect când voi analiza activitatea profesorilor, pentru că de obicei aceste perturbări au ca sursă tot un profesor de matematică (particular sau rudă). Privind din punct de vedere al matematicii, pe mine personal mă deranjează mai puternic următoarele aspecte.

Primul ar fi “împingerea” elevilor spre învăţarea modelelor de rezolvare pe de rost (şi anumiţi profesori fac chestia asta). Rareori învăţarea rezolvărilor pe de rost are ceva pozitiv de-a face cu gândirea. Dacă-i dai unui astfel de elev o problemă puţin prea tare modificată faţă de cea “tocită” acasă l-ai “încuiat”, blocându-l definitiv. În plus, negândind, copilul nu este deseori capabil să aleagă cea mai uşoară cale de rezolvare sau demonstraţie pe o situaţie concretă. Am întâlnit cazuri când acesta alege o rezolvare foarte alambicată, doar pentru că aceasta a fost exersată masiv acasă (ca pregătire a unor posibile probleme de nivel foarte ridicat). În această categorie se încadrează şi învăţarea pe de rost a teoremelor sau a definiţiilor.

Un al doilea aspect ce mă deranjează îl reprezintă parcurgerea lecţiilor în avans. Eu lucrez foarte mult prin problematizare, încercând să generez şi să educ gândirea copiilor prin procesul de descoperire a elementelor lecţiei la clasă (descoperire însoţită). Or, un elev care vine cu lucrurile deja cunoscute are din start sabotată formarea gândirii la el însuşi, dar prin răspunsurile sale mult prea rapide sabotează procesul de gândire şi la colegii săi. Dacă eu nu intervin decisiv, pe lângă distrugerea procesului de gândire a celorlalţi mai are loc pe durată şi un fenomen de imitaţie în cascadă, acesta devenind modelul de urmat şi de către alţii (ca să aibă şi ei succes la oră). Mulţi profesori sunt desigur mulţumiţi de o astfel de situaţie, stimulând-o chiar, dar eu nu o gust deloc, pentru că învăţarea matematicii nu mai merge în direcţia pe care eu o consider sănătoasă.

Din păcate modelul respectiv are loc deseori chiar şi în formă organizat retribuită: mulţi meditatori particulari consideră că este absolut normal să parcurgă lecţiile în avans cu copilul, pentru că atunci apar destul de repede şi rezultatele bune la şcoală. Faptul că aceste rezultate apar pe o fundaţie instabilă, asta nu-i deranjează defel pe aceşti “colegi”: realizările copilului respectiv vor decădea imediat ce s-ar opri lecţiile antemergătoare. Un astfel de copil nu invaţă de fapt gândirea matematică, ci primeşte doar “povestit filmul” în avans, pe baza banilor plătiţi de părinţii săi. Aceşti colegi generează doar o dependenţă a elevilor de propria persoană, asigurându-şi în acest fel încasări constante.

Anul acesta am avut un astfel de caz într-o clasă: un copil care venea cu lecţiile deja ştiute “de acasă”, răspundea corect şi repede în dialogul de generare a lecţiei, “rupând gura târgului”, iar apoi folosea situaţia cu scop de bullying, ca înjosire a colegilor săi. Desigur că, acest comportament devenind repetitiv, l-am taxat în media finală.

Cred că mă opresc aici cu prezentarea acestor modele educativ-comportamentale ale părinţilor, fără însă a avea pretenţia epuizării subiectului. Cu acestea trei m-am confruntat eu până acum; prima mai rar, ultima din când în când, iar cea de-a doua aproape tot timpul. Desigur că onoraţii colegi cititori ar putea să găsească şi alte exemple în acest sens.

Analizând ordinea celor trei modele educativ-comportamentale prezentate mai sus vedem cum totuşi există o logică pentru această ordine. Prima categorie implică a poziţionare din partea părintelui conştient agresivă împotriva învăţării. A doua categorie este una în care poziţia părinţilor este una neutră, aceştia făcând rău învăţării inconştient prin modernizarea incontrolată a vieţii private cu ajutorul multelor ecrane. În exemplele din a treia categorie putem vedea chiar o implicare pozitivă a părinţilor în sprijinirea procesului de învăţare a matematicii, doar că aceştia greşesc fără să-şi dea seama şi perturbă de fapt învăţarea.

În textul de mai sus am prezentat aspecte din care reiese clar cum deficienţe ale comportamentuui elevilor au ca sursă clară familia copilului. Există însă şi un aspect negativ deosebit de răspândit la elevi, ce nu-şi are ca sursă familia (cel puţin nu ca sursă principală), iar o prezentare cinstită nu-l poate ocoli: este vorba de şcolirea furtului prin copiere în învăţământul românesc. Avem în primul rând categoria furtului sub formă de copiere a temelor, de copiere la lucrări de control şi teste, apoi mai târziu la examene. În aceste forme copilul se obişnuieşte cu preluarea necinstită a unor sarcini gate rezolvate de la alt coleg, fără a fi depus singur efortul de a le îndeplini. Părinţii ar putea fi acuzaţi doar în cazul temelor făcute de acasă de către ei sau de către altcineva decât copilul însuşi (uneori profesorii particulari preiau această sarcină). Despre copiatul la teste nici nu are rost să mai vorbim.

Dar de unde vin însă toate acestea? Care ar fi sursa faptului că în ţara noastră “se copiază la greu” oricând se iveşte o oportunitate? La astfel de întrebări nu pot răspunde cu exactitate, dar am oarece experienţe în combaterea acestui flagel. Părerea mea este că subiectul e de domeniul psihologilor; poate un specialist ca Paul Olteanu să fie în stare a desluşi suficient de clar acest subiect (dacă cumva încă n-a făcut-o). Subiectul are desigur şi o componentă istorică, în România meteahna respectivă evoluând încet dar sigur către statutul de flagel pe parcursul ultimei jumătăţi de secol. Eu pot însă povesti doar despre experienţele mele în acest sens în ultimii 25 de ani.

Pedagogia Waldorf “la ea acasă”, acolo unde nu este şcoală de stat, nu foloseşte notele (deloc!), pe tot parcursul celor 12 ani de şcoală. În România şcolile Waldorf trebuie să încheie semestrial medii (de pildă pentru a fi posibile transferurile), aşa încât trebuie să dea şi note. Noi profesorii încercăm în aceste condiţii “să împăcăm şi capra şi varza”. Concret, eu mă feresc să folosesc notele ca mijloace de impulsionare sau de pedeapsă (desigur că bursele şcolare nu ne ajută în acest sens). O atmosferă empatică şi constant obiectiv justificată îi face pe elevi să conştientizeze realitatea şi să pună mai presus de orice atitudinea de a fi cinstit. Poate ajută şi faptul că extrem de rar folosesc instrumentul corigenţei înaintea clasei a 7-a (iar atunci o fac explicând foarte clar motivaţia schimbării paradigmei). Nu ştiu clar ce să spun, dar realitatea este că mă confrunt cu fenomenul copiatului foarte rar, şi atunci doar în cazul unor elevi veniţi noi în şcoala noastră; fenomenul apare de obicei la elevi slabi veniţi în clasa a 8-a sau la “şmecheri” de a 9-a (există desigur şi excepţii interesante în acest sens). Pe de-o parte faptul că elevii văd că nu sunt pedepsiţi exagerat după o lucrare ratată, pe de altă parte o argumentare deosebit de riguroasă şi clară, dar fără de scăpare, pentru cei vinovaţi de o copiere (deci, nu o pedepsire!), aceste două atitudini hotărâte, dar pline de empatie, duc la faptul că elevii nu mai copiază.

Preventiv însă, nici nu prea le ofer ocazia. Fie că dau teste pe rânduri, astfel încât să nu încurajez copiatul simplu, fie că dau un singur test, dar atunci stau în poziţia “gardian” în faţa clasei, ca nici măcar să nu aibă gândul de a copia. Da, iar în cazul unui test pe un singur set de subiecte, la sfârşitul testului lucrările rămân pe bancă şi le strâng eu astfel încât să pot verifica ulterior dacă apar aspecte “dubioase” (ştiţi, elevii se mai mută între ei).

În contextul copiatului merită să amintesc o situaţie interesantă: o elevă de clasa a 10-a, care venise la liceul nostru (clasă de socio-uman) cu pretenţia că ea nu poate matematică, iar eu trebuie să o trec din oficiu, şi cu care mă luptam din clasa a 9-a ca să facă şi ea măcar de un nivel minimal. În decembrie 2019 a avut un test de nota 6, care mai avea şi încă un exerciţiu bine rezolvat de 1p, dar şters, sub care pusese o rezolvare greşită copiată de la o colegă. Gândul că a fost atât de aproape să ia chiar 7, coroborat cu conştientizarea prostiei de a fi copiat o rezolvare greşită, când ea de fapt făcuse singură corect, a dus la un plâns puternic, în care totuşi predomina bucuria faptului că văzuse că şi ea “poate”, că nu-i proastă. Cât despre mine, mai câştigasem lupta cu un copil.

Odată obiceiul “furtului” intelectual format, conştiinţa individului “nemai protestând” la furt, elevul începe să primească proiecte şi nu vede nici cea mai mică problemă în a prelua de undeva un text, susţinând că el este autorul. Aici am putea să găsim o oarecare vină părinţilor, la realizarea primelor “proiecte” în clasele mici, unde copilul habar nu are ce trebuie să facă, aşa că este ajutat cu generozitate de către părinţi, care îi arată “cum se face”. Din gimnaziu, dar mai ales în liceu vina este însă cu totul a profesorilor care nu-i educă pe elevi spre cinste (biblografie, prezentarea cinstită a textelor preluate etc.), dar şi al societăţii care le oferă cu generozitate astfel de oportuniţăţi (toată lumea cunoaşte posibilitatea selectării de proiecte “pentru nota 8”, ştiţi, “că atâta îmi trebuie ca să trec”). După antrenarea şi exersarea acestui gest în timpul şcolii, procesul culminează cu furtul constând în plagiat, întâlnit de la nivelele de bază şi până “sus” la lucrări de doctorat.

Povestind despre acest articol cu un părinte (care-şi adusese puiuţul la corigenţă), acesta a făcut următorul comentariu: Da, este interesant cum la începutul anilor ’90, student fiind, protestam pe stradă împotriva furtului din avuţia statului de către potentaţii vremii, dar nu vedeam nici cel mai mic conflict cu ideea că toţi copiam cum puteam de tare cu orice ocazie. Q.e.d. În acel moment istoric postrevoluţionar, alte ţări din fostul bloc comunist au încercat măcar un proces de resetare a societăţii, Noi? Dă-i înainte cu “olimpicii noştri” (la sport, la mate etc.). Subiectul fraudărilor, niciunde! (“ce-i aia?”). Constantin Titus Grigorovici

P.S. (încă un exemplu magistral) Subiectul ales este fără capăt şi nu doresc să-l dezbat cu exemple la nesfârşit. Totuşi, în contextul discuţiilor din mass-media despre vacanţe (când, cât şi unde?) mi-am adus aminte de un exemplu flagrant în care părinţii interferează puternic şi pe durată cu procesul de învăţământ. Este vorba despre fenomenul prin care familiile încurajează lipsa de la şcoală. Acestsa este un subiect vast în sine, acum dorind doar o scurtă atingere a sa. Eu observ acest fenomen în două momente speciale: la sfârşitul perioadelor de şcoală (adică înainte de vacanţă), dar şi oricând în timpul şcolii. Să le analizăm pe rând.

Părinţii sunt obişnuiţi din timpul şcolii lor că în ultima, chiar în ultimele zile înainte de vacanţă nu se mai făcea nimic (după încheierea mediilor, deci, care trebuie raportate la un moment dat de către profesori). Ca urmare, ei proiectează această idee şi asupra copiilor personali (nu că în zilele noastre tare mult s-ar lucra în şcoli până în ultima clipă: asta este însă o altă discuţie ce am putea-o avea la analiza activităţii profesorilor). Faptul că actualmente unii colegi profesori încheie mediile chiar din penultima săptămână ajută la extinderea periodei de “netrimis copilul la şcoală” în ultima săptămână. Acelaşî fenomen se întâmplă şi în cazul săptămânilor “Şcoala altfel”, care în multe şcoli este ultima înainte de vacanţa de Paşte: mulţi părinţi, mai ales din clasele primare îşi duc copiii înaintea acelei săptămâni la bunici sau în tabere private (sau îi ţin acasă, că “la şcoală nu se mai face nimic”). Fenomenul este vizibil de pildă în marile oraşe, când cu 1-2 săptămâni înaintea vacanţelor începe să se relaxeze traficul de dimineaţă, semn că părinţii celor mici nu-şi mai duc puiuţii la şcoală. Dreptul părinţilor de a motiva un anumit număr de absenţe încurajează fenomenul.

Legat de acest subiect, în puţinele ocazii în care am putut, m-am interesat cum are loc acest fenomen în “ţările civilizate” (Anglia, Franţa, Germania etc.): nu are loc defel! Se merge la şcoală până în ultima zi, până la ultima oră. Este clar că la noi sursa iniţială a fenomenului este în şcoală, dar la ora actuală familiile au preluat de mult iniţiativa în această direcţie.

Fenomenul a ajuns să funcţioneze însă şi în orice alt moment şcolar, prin faptul că părinţii îşi programează concedii în timpul şcolii, atunci când desigur preţurile de cazare sau de transport sunt mult mai mici. “Vacanţe” de 1-2 săptămâni în Malta,, în Grecia, la Paris, sau chiar şi numai la schi pe plaiuri mioritice, toate în timpul şcolii, au ajuns la ordinea zilei. De curând a făcut valuri prin mass-media noastră situaţia unei familii care era “în vacanţă bine-mersi” prin Germania şi pe care i-a luat poliţia la întrebări că de ce copiii nu sunt la şcoală (Die Polizei verificând instant că în România nu era vacanţă). Nici nu mai contează ce s-a întâmplat cu amenda uriaşă ce o risca familia respectivă. Faptul că aceste familii îşi învaţă de mici puiuţii că se poate lipsi de la datorie, asta desigur că cei mai mulţi nici măcar nu se gândesc.

Cu orice ocazie, mică sau mare, toată lumea se apucă de comentat şi de analizat, încercând să desluşească cine este de vină legat de “starea actuală a învăţământului românesc”.  Întotdeauna cei care scriu sau vorbesc “ştiu foarte bine”, arătând “cu degetul” spre diverse puncte problematice, dar întotdeauna, fără excepţie, fiecare arată spre greşelile altora. Pe scurt, întotdeauna ceilalţi sunt de vină! Nici măcar o dată nu am văzut un dascăl să iasă “la ramp㔺i să recunoască greşelile profesorimii, sau un părinte care să recunoască ce şi cât a greşit la copilul personal, sau un oficial care să-şi depună demisia, spunând “pe post” că a făcut-o “de cacao” (asta tare ne-ar place nouă, celorlalţi).

Totuşi, trebuie să recunosc: dacă mă gândesc bine, de fapt am un contraexemplu la afirmaţia din această megafrază de patru rânduri.  Da, în finalul lui 2019, într-o discuţie cu un părinte a doi copii, acesta mi-a recunoscut ad litteram (însă doar între patru ochi): “fuck, I screw it twice!” (refuz să traduc asta). Dar asta reprezintă probabil rarul contraexemplu care mai degrabă confirmă magnitudinea şi gradul de adevăr apropiat de 100% al afirmaţiei de mai sus. Această afirmaţie se poate rezuma pe scurt astfel: da, toată lumea “e de vină”, toţi greşesc, însă fiecare vede doar greşelile celorlalţi. Nu cred că ar avea sens să încep eu aici cu greşelile mele, dar în finalul acestei serii (care nu ştiu cât va dura; poate mă voi întinde pe toată vacanţa), în final sper să am forţa şi să pot face şi o analiză a greşelilor mele (măcar a câtorva); asta aşa ca un fel de exemplu de “bune practici” în subiectul de faţă, cu speranţa că poate încep şi alţii acest proces de autoanaliză.

Dar să revenim la subiectul nostru. Sigur că nu-mi propun aici o analiză a întregului învăţământ. Voi fi mulţumit dacă voi putea atinge situaţia măcar a tuturor actorilor principali sau din linia a doua, implicaţi în starea matematicii şcolare româneşti, domeniu în care cât-de-cât mă simt mai “acasă”.

Dacă ne gândim la starea matematicii şcolare româneşti, atunci observăm uşor că toţi “actorii” implicaţi se pot grupa în câteva mari categorii: o primă astfel de categorie ar fi elevii şi familiile lor; o alta ar fi profesorii şi autorităţile cu care profesorii interferează direct; o altă mare categorie ar reprezenta-o autorităţile superioare, cei care oarecum dau direcţia generală. Pe lângă aceste trei mari categorii, sigur că mai există şi altele, care nu pot fi ataşate eficient şi complet logic primelor: astfel, am putea trata influenţa editurilor şi a autorilor de manuale şi / sau de auxiliare; ar merita discutat despre şcolirea viitorilor profesori de matematică de către facultăţi, dar şi formarea continuă prin diferitele forme; e clar că trebuie să discutăm despre influenţa societăţii sau a noilor tehnologii asupra rezultatului procesului educativ etc. Cred că începeţi să prindeţi ideea: tema propusă spre analiză este una căreia cu greu i se poate întrevedea un final (sigur este doar începutul!). Nu am pretenţia unei analize exhaustive, dar îmi propun să ating cât mai mulţi dintre factorii ce influenţează starea jalnică la care s-a ajuns. Consider că aceasta este singura cale pentru a ieşi din actuala situaţie în care fiecare găseşte de cuviinţă doar să scoată în evidenţă “vinile” celorlalţi, muşamalizând prin omisiune propriile greşeli, respectiv, greşelile “taberei” din care face parte.

Trebuie să ieşim din această stare în care doar “ascundem sub preş” propriile mizerii. Noi trebuie să întoarcem sensul acestui “vector de învinovăţire” care arată actualmente întotdeauna înspre altul, înspre ceilalţi, astfel încât fiecare individ, respectiv fiecare categorie să ajungă a începe un proces de autoanaliză pe baze cât mai obiective, pentru a porni un proces de însănătoşire. Iar dacă politicul nu reuşeşte încă să o facă, asta e; va trebui să începem acest proces noi, ceilalţi, după principiul “fi tu schimbarea care vrei să o vezi în lume!”. Postarea de faţă se doreşte startul într-un astfel de demers de analiză (post-pandemică) a stării matematicii şcolare româneşti.

*

Da, şi – pe post de încălzire în acest proces de analiză – începutul aş dori să-l fac de la Paul Olteanu, care într-o discuţie cu Cătălin Striblea la Mind Architect powered by Europa fm a analizat vorba românească “adevărul e undeva la mijloc“. Puteţi asculta această discuţie de câteva minute la adresa https://www.youtube.com/watch?v=C1KVsBF2DWI . Nu o voi relua aici, ci doar voi povesti pe scurt despre afirmaţiile susţinute acolo. Astfel, Paul Olteanu evidenţază că felul în care un om vede o situaţie este dependent de punctul lui de vedere, de istoricul său experienţial, că practic fiecare este într-adevăr “cu adevărul său”. Ca urmare, într-o situaţie cu doi subiecţi (doi oameni, două grupări etc.) adevărul nu este “undeva la mijloc”. Nu, mai degrabă adevărul este în ambele capete, pentru că de fapt există “mai multe adevăruri” (am putea folosi şi expresia “adevăruri multiple”).

Ca matematician, pentru mine aceste afirmaţii au avut un dublu efect. În primul rând că – Da! – adevărul nu este “undeva la mijloc” (chiar în sensul de medie aritmetică, eventual ponderată pe diferite criterii). Eventual, am putea spune că “adevărul, ca rezultat al negocierii” între cele două persoane, fiecare cu adevărul său, acest “adevăr negociat” se situază undeva la mijloc între cele două “adevăruri individuale“.

Însă afirmaţia că “adevărul e undeva la mijloc” este doar de faţadă, fiind spusă cu unul din următoarele două scopuri posibile. Astfel, uneori acest lucru este susţinut de către unul din combatanti sau de către cineva colateral doar ca modalitate de detensionare a “conflictului de negociere” ce începe să escaladeze. Alteori vorba respectivă este aruncată de către unul din combatanţi cu scop strategic, anume de a destabiliza poziţia celuilalt în argumentaţia sa, pentru a opri avansarea logică a celuilalt combatant (ceva de genul: nu te mai lupta atât de înverşunat, că oricum sigur n-ai dreptate, oricum “e cunoscut că adevărul e undeva la mijloc, deci nu poate fi pe poziţia ta”). În acest context, “adevărul e undeva la mijloc” este o afirmaţie parţial corectă, poziţia “adevărului” nefiind una obiectivă – aşa cum ne-am aştepta din folosirea cuvântului “adevăr”. Mai degrabă stabilirea poziţiei adevărului este rezultatul unei negocieri, deseori a unei lupte, în care desigur cel mai puternic, poate cel mai abil, trage “adevărul” cât mai spre poziţia sa, chiar şi prin gesturi “murdare”, cum am descris aici.

În al doilea rând, vedem cum cuvântul “adevăr” este de fapt subiectivizat, acceptându-se pierderea obiectivităţii, pierderea acestei caracteristici esenţiale a noţiunii de “adevăr”. Da, Paul Olteanu ne spune de fapt că oamenii au tendinţa naturală să pervertească “adevărul”, poziţionându-l de la sine înţeles în propria persoană (numită deseori “buricul pământului”), mai general în zona propriului interes. O concluzie interesantă a acestei realităţi apare atunci când cineva spune că de fapt “nu există adevărul adevărat!”. O formă mai filozofic-umoristică era vorba unui prieten drag, care atunci când o discuţie nu ajungea repede la concluzie, spunea că “adevărul e că se fură” (pe când eram în facultate, în anii ’80, dar este la fel de valabilă şi acum).

Totuşi, faţă de teoria prezentată de către Paul Olteanu (pe care nu o contest defel), eu am mai făcut încă un pas în plus. Deci, dacă “adevărul” de care vorbim este oricum subiectiv, constând în aspectele ce “ne plac nouă”, aspectele ce ne convin sau care ni se potrivesc, atunci putem inversa logica şi – în loc de afirmaţia că ” adevărul este în ambele capete” – putem la fel de bine considera că “ambele capete greşesc” în punctul lor de vedere (cel puţin parţial).

Din păcate, lumea nu reuşeşte să facă acest pas logic complet. Cei mai mulţi fac doar o jumătate de raţionament, anume, gândind că: dacă reuşesc să dovedesc că “celălalt greşeşte”, atunci, prin cale de consecinţă “este clar” că eu am dreptate (într-o competiţie a punctelor de vedere fiind deci eu cel mai bun). Oamenii fac acest raţionament atât în acţiune (ca şi “combatant”, de pildă ca politician), cât şi pasiv (ca şi “spectator”, de pildă ca votant). Acesta este felul în care funcţionează “politica mioritică” şi nu doresc să intru aici într-o analiză a urmărilor acestui fel de a gândi asupra vieţii noastre.

Acesta este momentul logic ce duce spre starea actuală a societăţii româneşti (în general), respectiv a stării matematicii şcolare (în particular, şi acum revin la subiectul nostru): dacă reuşim să atragem atenţia asupra greşelilor celorlalţi “actori matematici”, atunci “noi” suntem protejaţi într-un proces de analiză a surselor situaţiei. Se pare că majoritatea gândesc astfel. La acest obicei m-am referit în introducerea acestui preambul.

Mai degrabă mă gândesc că am putea trage discuţia într-o formă de filozofie de tip asiatic: după cum am spus şi mai sus, odată ce facem o analiză în care vedem cum şi unde greşeşte fiecare, ar trebui să ajungem la gânduri de felul “fi tu schimbarea pe care vrei să o vezi în lume!”. Cu alte cuvinte, ar trebui să facem o analiză realistă a felului în care fiecare parte greşeşte, ca un prim pas spre o mult dorită vindecare pornită ca acţiune de autovindecare a fiecăruia.

Dar, atâta vreme cât ne rezumăm la a evidenţia ce şi unde greşesc cutare sau cutare, şi nu ajungem să discutăm şi despre greşelile noastre – personale sau de grup – atâta vreme cât procedăm aşa, trăim automat impresia că noi nu greşim, şi ca urmare nici nu avem ce să corectăm la poziţia noastră (o atitudine de tipul “noi întotdeauna suntem perfecţi!”). Înţelegeţi acum de ce este nevoie de o discuţie care să cuprindă toate grupurile ce influenţează starea matematicii şcolare din România. Numai aşa, ajungând să recunoască fiecare unde greşeşte, respectiv unde trebuie să-şi schimbe poziţia, atitudinea, acţiunile, numai aşa vom putea porni pe un drum reparatoriu.

Să rezum raţionamentul de până acum: plecând de la vorba că “adevărul este undeva la mijloc”, Paul Olteanu a susţinut că “adevărul este de fapt în ambele capete”. De aici, eu am mai făcut un pas şi am concluzionat că de fapt “şi unul şi celălalt greşesc”, şi că singura cale spre rezolvarea sănătoasă a situaţiei este dacă ambii trec printr-un proces de autoanaliză, îşi recunosc punctele slabe, greşelile, iar apoi fiecare trece la un proces de autocorectare, fără să se tot uite la “ghimpele din ochiul celuilalt”.

Lucrând la acest material mi-am dat seama că de fapt s-ar mai putea urca un pas la nivel filozofic, făcând încă un pas în plus: anume că dacă ne “ridicăm” mult, muuult mai sus şi, privind lucrurile de acolo de sus “din balon” (sau “din dronă”, dacă preferaţi), trebuie să acceptăm că tot ce am analizat compune “marele şi completul ADEVĂR“. Da, şi putem ajunge la acesta doar analizând şi luând în calcul, adică acceptând toate aspectele implicate. Cu alte cuvinte, ADEVĂRUL reprezintă totul şi nu doar părţile care ne convin personal, individual.

În această analiză ce se doreşte una reparatorie, trebuie să punem însă accent mai ales pe aspectele negative (că despre cele pozitive oricum ne lăudăm de decenii); trebuie să ne uităm mai ales la tot ce se greşeşte, pentru că doar prin corectarea, măcar restrângerea acestora, se poate porni un proces de refacere sănătoasă a situaţiei matematice preuniversitare. Pentru a putea corecta ceva, un obicei negativ, o apucătură greşită, trebuie mai întâi să-l recunoaştem, să-l scoatem “la lumină”. Atâta vreme cât negăm un anumit aspect, nici vorbă ca acesta să poată fi corectat. Am precizat acest aspect pentru că se găseşte întotdeauna “câte un deştept” care să susţină că eu scot în evidenţă doar părţile negative, că nu sunt “pozitiv”, că nu sunt măcar cel puţin echilibrat. De zeci de ani mă străduiesc să fiu echilibrat, şi ce am rezolvat? “Răul” se dezvoltă bine-merci la umbra atitudinii de “politically-correct”.

De aia trebuie să facem această analiză. De vreme ce nimeni nu se apucă de aşa ceva, m-am gândit să o fac eu, aşa cum m-oi pricepe, de la nivelul meu “de jos”, cu datele şi exemplele pe care le am la îndemână în poziţia mea de la catedră. Îmi doresc să nu o fac agresiv, dar este evident că voi călca pe multă lume “pe bombeu”; sau să spun mai bine “pe băşici”? (cred că ambele expresii surprind aspecte importante ale situaţiei). Sper însă să beneficiez de o minimă înţelegere, de o oarecare clemenţă, iar obictivul general propus să acţioneze ca o “circumstanţă atenuantă” în această încercare. Ca să rămân încă puţin în atmosfera emisiunilor de la Mind Architect powered by Europa fm din acesr sezon (ianuarie – iunie 2022) sper că “scopul să scuze mijloacele”. Cu alte cuvinte, îmi cer scuze a priori pentru toate ce le voi spune în această serie de analiză ce o pornesc aici.

Mai am de precizat un aspect legat de aceste gânduri. Toată teoria este prezentată de către Paul Olteanu în forma unui “segment” cu capetele în cele două “persoane” X şi Y care-şi dispută “adevărul”. Dar dacă mai apare o “persoană” pe o a treia poziţie Z, atunci avem un adevărat triunghi confruntaţional. Cum am spus la început, situaţia matematicii şcolare poate fi rezumată pe scurt la intreferenţa acţiunilor a trei mari grupuri, dar de fapt sunt mult mai mulţi “actori” care o influenţează. Cu alte cuvinte avem un adevărat poligon, inclusiv toate diagonalele acestuia. De vreme ce pornim de la premisa că în matematica noastră actuală şcolară, în fiecare vârf al acestui poligon se greşeşte, pentru a se proteja este evident de ce fiecare încearcă să scoată în evidenţă greşelile “celorlalte vârfuri”. O astfel de atitudine însă, nu ne ajută la o autoanaliză şi la pornirea unui proces de reparare.

*

Desigur că tot acest proces de analiză şi autoanaliză, în vederea unei reparări şi autoreparări, s-ar face cel mai civilizat în urma unui dialog, un dialog aşezat şi civilizat, dar experienţa ne arată că “nici vorbă de aşa ceva!”. Nici vorbă să vedem curând în societatea noastră a porni încet, chiar şi timid, dar totuşi cât-de-cât hotărât un proces de dialog. Mentalul societăţii noastre nu este setat pentru aşa ceva, iar pandemia doar a exacerbat această apucătură individualistă de genul “eu cu mine şi cu Titus am discutat aşezat şi îndelung şi toţi trei am fost de acord şi am stabilit că …” (cred că în izolarea din pandemie, toţi “am discutat în minte” foarte mult despre subiectele ce ne preocupă). La ora actuală, oamenii când vin cu o propunere, vin de fapt şi cu decizia luată, ei apărând cu propunerea lor setaţi totodată să se şi lupte la nevoie “până în pânzele albe” pentru aceasta, pentru ideea ce este deja de mult decisă. Iar la asta lumea se pricepe foarte bine.

Am vorbit de reparare şi autoreparare, dar – ţinând cont că societatea este un adevărat organism; la fel şi matematica şcolară – ar fi total justificat să vorbim de vindecare şi autovindecare, atât în cazul societăţii, cât şi respectiv în cazul matematicii şcolare româneşti. De fapt, la un moment dat, titlul acestei noi serii se conturase în mintea mea ca “Matematica şcolară într-o societate bolnavă“. Reluând o idee de mai sus, am putea spune că în societatea noastră obiceiul este de a evidenţia, chiar a exacerba aspectele pozitive ale propriei activităţi, pe cele negative “împingându-le sub preş”, pe cât se poate chiar negându-le. Eu voi încerca să scriu în următoarele articole despre diferite aspecte negative ce le-am putut  observa singur sau mi-au ajuns la ureche, dar desigur că şi onoraţii cititori vor putea venii cu propriile observaţii din jurul lor. Te cruceşti despre ce auzi şi despre ce vezi la cei din jur (pentru că propriile greşeli nu prea se văd, desigur), aşa încât acest titlu nici n-ar fi fost prea deplasat. Totuşi, nu l-am ales deoarece are o clară tentă agresivă (părând că am tras concluzia din start), şi numai asta nu-mi trebuia la un demers în care oricum voi scoate foarte multe aspecte negative în evidenţă. Am ales un titlu mai neutru şi vă rog: “ţineţi-mi pumnii” să iasă bine!  Constantin Titus Grigorovici

Începutul proiectului pentagonia avea loc în toamna anului 1997, când încercam să pun bazele unei reviste de matematică prin care să diseminez multele lucruri interesante găsite în cadrul primului an de activitate şi de şcolire în pedagogia Waldorf. Ideea a apărut în contextul în care de fapt multe lucruri găsite la aceste cursuri erau pentru noi doar regăsite (pentru mine şi soţia mea), adică erau elemente pe care amândoi le cunoşteam din timpul şcolii. Waldorf-ul reprezenta doar scânteia de pornire a acestui proiect; ideile din pedagogia Waldorf urmau să rămână a însoţi proiectul doar “din umbră”, ca o bază profundă de înţelegere, majoritatea intenţiilor bazându-se pe elemente din matematica şcolară românească dinainte de 1980, sau pe elemente găsite în străinătate, menite să completeze, să întregească o formă mai sănătoasă de matematică şcolară. Aceasta era intenţia. Pentru materializare trebuiau depăşite însă multe obstacole de toate felurile.

Simţind un pericol deosebit, specific societăţii “postcomuniste”, am primit un sprijin nesperat din partea D-nei Anca Olariu, fostă profesoară de matematică, colegă cu soţia mea la începutul anilor ’90 la Şcoala Nr. 11, actualul Liceu Eugen Pora din Cluj,  cu care întreţineam o prietenie caldă. Demersul dânsei a reprezentat scutul necesar pentru a avea asigurată liniştea pornirii proiectului nostru, unul total neobişnuit şi surprinzător în comunitatea matematică şcolară a acelor ani. Dânsa mi-a zis atunci: după cum te ştiu, vei ajunge să spui anumite lucruri, iar în acele momente va trebui să fi protejat. Da, şi planul de protecţie gândit de dânsa a funcţionat, Caietele de matematică P3NT4GON1A au existat timp de 5 ani; ulterior a apărut şi Concursul de matematică P3NT4GON1A, ce a avut şase ediţii. Pot liniştit spune că Anca Olariu a fost îngerul păzitor al naşterii acestui proiect.

Cel mai important aspect al ideii de P3NT4GON1A este faptul că în comunitatea matematică şcolară s-a deschis spre gândurile despre o matematică alternativă faţă de unica formă propovăduită prin intermediul manualelor oficiale, colegii putând vedea şi vieţui că există şi altceva dincolo de acestea. În 2015 proiectul P3NT4GON1A a putut reporni, de data asta pe internet, bazându-se pe încrederea construită şi dobândită în anii 1998-2002, pe aura de matematică pentru suflet ce însoţea acest nume.

Revenind în zilele noastre, mult prea repede a venit vestea plecării dintre noi a dragii noastre prietene Anca Olariu. Vestea a căzut ca un fulger şi doar munca intensă mă va putea linişti. Bucuria de viaţă ce ne-o dădea la orice întâlnire era de o valoare nemăsurabilă, plecarea ei dintre noi lăsând un gol imens. Deşi în urma pornirii proiectului nostru, întâlnirile comune au ajuns sporadice, doar gândul la draga de Anca Olariu ne dădea încredere şi siguranţă. Într-adevăr, chiar şi numai gândul scurt la ea mă încărca şi îmi dădea putere pentru a merge mai departe: Anca mi-a zis că pot!

De pildă, în toamna lui 2009 când am fost numit director la Liceul Waldorf, noua clădire fiind pregătită pentru a ajuta la refacerea acestei instituţii alternative de învăţământ ajunsă la un nivel minim de 78 de elevi, am sunat-o (de ce oare?) iar ea mi-a spus astfel: mă bucur foarte mult pentru tine; de-acum uşile ţi se vor deschide mult mai uşor în munca ta (de a aduce înnoire în şcoala românească). Dânsa ştia cât de mult muncisem în toate direcţiile pentru a genera apariţia acelei clădiri şi este uimitor cum, cu o aşa de scurtă afirmaţie a reuşit să-mi dea o atât de mare doză de încredere şi de nouă energie pentru acei ani.

Acum, odată plecată dintre noi, nu-mi rămâne decât să mă gândesc în continuare cu drag la ea, ştiind că de acolo, de sus, ea va veghea şi asupra demersului nostru, aici în această lume nebună. De fiecare dată când voi mai reuşi un pas în acest proiect (de a contribui spre o matematică şcolară mai sănătoasă în ţara noastră), o parte din recunoştinţa mea se va îndrepta şi înspre memoria sa. Odihneşte-te în pace, suflet drag Anca Olariu Vasian. CTG

La începutul acestui an şcolar am pornit un document pentru un articol (documentul arată 22 sept. 2021). Gestul, impulsul de preocupare pentru subiectul gândit au fost depăşite ca importanţă de alte gânduri şi articole, dar a ajuns să se materializeze în două postări interesante pornind de la prefaţa unei culegeri: http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ şi respectiv http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-2-fractiunile/ (martie-aprilie 2022). Apoi a venit peste noi un articol deosebit de important, ce “s-a cerut în faţă”, aşa încât analiza respectivului text – prefaţa lui Hollinger – a rămas neterminată. Pentru decenţa situaţiei, pentru valoarea textului, dar şi din respect faţă de ideea de lucru dus la un bun sfârşit, doresc prin prezenta postare să finalizez analiza respectivă.

În continuarea articolelor despre inspiraţia găsită în prefaţa ultimei lucrări semnată de Profesorul A. Hollinger (Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982), am decis să mă concentrez asupra analizei celor găsite acolo, aspecte ce capătă astfel o sonoritate de adevărat testament metodico-didactic despre felul cum ar trebui noi să predăm matematica în şcolile româneşti de masă. În acest sens mi-am permis să modific puţin titlul acestei a treia părţi (devreme ce oricum am întrerupt şirul datorită demonstraţiilor teoremei lui Pitagora).

Culegerea respectivă a fost una de geometrie, dar aspectele din această prefaţă pot fi studiate evident şi prin prisma aritmeticii sau a algebrei. Rândurile sale sunt redactate în trecut, cu adresare către problemele şi problematica orelor de geometrie, dar de fapt aspectele cuprinse în această prefaţă aduc argumente în favoarea perioadei metodico-didactice a anilor ’60 -’70 în general (deci şi aritmetico-algebrice). La momentul respectiv (~1980-81) Profesorul Hollinger cunoştea desigur încotro urma să se îndrepte politica metodico-didactică a matematicii şcolare începând din anii ’80, linia păstrăndu-se cu mare mândrie şi în anii ’90 (nimeni nu a luat-o spre analiză după eliminarea dictatorului ce o impusese).

Eu predau din 1990 şi destul de repede am început să studiez această culegere. Prefaţa respectivă îmi sună de fiecare dată proaspătă şi logică, mai ales începutul acesteia: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. În precedentele două părţi am studiat primul aliniat al acestei prefaţe (cca. 1 pag.), venind totodată cu ideea de cum pot acele rânduri să ne inspire la generarea de noi lecţii prin care să venim în întâmpinarea nevoilor elevilor. Prefaţa respectivă este însă mai lungă (are peste 3 pag.); merită să aruncăm o privire şi pe restul gândurilor exprimate acolo. Aşadar, să continuăm lectura acestor rânduri, cu următorul aliniat. Iată ce ne spune Profesorul Hollinger:

2. O altă idee a fost de a compune perechi sau chiar grupuri de probleme asemănătoare. La prima vedere ele par a fi repetiţii, poate chiar inutile. Ele sunt puse intenţionat, cu scopul următor: una din ele se rezolvă în clasă şi cealaltă sau celelalte se dau ca temă pentru acasă. Am motive să cred că elevul mijlociu va putea să-şi facă singur aceste teme, fără ajutorul părinţilor sau al meditatorilor. În felul acesta elevii învaţă treptat să facă demonstraţii în loc să înveţe soluţii, ei au succese iar succesul încurajează. În general, am căutat – şi sper că am reuşit în mare măsură – să propun probleme mai uşoare decât cele care se găsesc în lucrările similare.

În al doilea aliniat al citatului apare ideea de a confrunta elevul cu situaţii asemănătoare, similare, pentru ca acesta să poată face transferul unui aspect nou învăţat. Profesorul Hollinger susţine această idee prin faptul că una din probleme este prezentată la clasă, iar cealaltă/ celelalte sunt date apoi ca temă, elevul putând asfel să-şi facă mai uşor tema, fiind confruntat acasă cu aspecte deja cunoscute. Pe lângă acest fapt care este “la mintea cocoşului”, eu aş mai evidenţia unul: chiar şi ora următoare merită a elevul să fie confruntat cu aspecte deja cunoscute, cel puţin la începutul acestei a doua ore. Această metodă acţionează încurajator, elevul vede că ştie şi automat matematica îi devine atractivă: el recunoaşte situaţia, iar aceasta i se înfăţişează ca “un vechi prieten”.

Aţi putut vedea cum folosesc eu acest aspect în a doua parte a eseului precedent (postarea despre fracţiuni din 21.04.2022, în această serie), anume cum am făcut părţi similare de reprezentare grafică, atât la începutul lecţiei despre fracţiuni, cât şi apoi în ora următoare la începutul studiului despre fracţii (în varianta cu parcurgerea în două ore consecutive).

În altă ordine de idei, desigur că au fost doi-trei elevi care mi-au atras atenţia de la început că ei le cunosc deja aceste reprezentări din clasa a 4-a; le-am răspuns că sunt conştient de asta, dar totodată şi de faptul că probabil sunt colegi care încă nu le-au pătruns cum trebuie şi că face întotdeauna bine şi o mică recapitulare. Ce nu le-am spus elevilor nici măcar ulterior, a fost că astfel în diferite momente chiar şi cel mai slab elev din clasă înţelegea tot ce facem, iar asta se întâmpla pentru că la început am “luat-o încet”, adică reluând anumite informaţii.

Un alt aspect interesant, ce se poate citi printre rânduri în prefaţa lui Hollinger, este faptul că tema la matematică trebuie să conţină exerciţii de tipul celor predate la clasă. Din păcate, întâlnesc din când în când şi situaţii în care profesorii de matematică nu respectă deloc acest principiu elementar. În legătură cu acesta mai apare încă un alt aspect: cel puţin o parte din temă trebuie să fie la un nivel accesibil “elevului mijlociu”. Hollinger face referire la faptul că problemele sale sunt mai uşoare decât cele ce se găsesc în lucrări similare. Chiar şi acum, când mă gândesc la problemele de geometrie din culegerile lui Grigore Gheba, mă ia durerea de cap la cum le receptam atunci, în copilărie: la vremea respectivă îmi dădeau senzaţa că sunt prost; în memoria mea s-au păstrat cu o imagine de probleme monstruase (poate n-or fi fost toate aşa, dar aşa mi-au rămas mie în amintire). Pentru elevul de rând, culegerile lui Gheba erau bune prin partea de aritmetică şi algebră; dimpotrivă, geometria lui Gheba acţiona înfricoşător (în culegerile Gheba din familia noastră se vede foarte clar cum acestea sunt “muncite”, rufoase doar în prima parte, cea cu exerciţii de aritmetică şi algebră, dar puţin muncite în restul culegerii, cea mai mare parte, cea care conţinea acele probleme de geometrie; din colegerea mea a lucrat ulterior şi fratele meu; din culegerea soţiei au fost cu totul trei fraţi care au lucrat).

În al doilea aliniat din prefaţa amintită, Hollinger atinge şi una dintre problemele cele mai grave ale învăţământului matematic românesc, anume că la noi elevii au nevoie de ajutor pentru a-şi face temele de casă, în ultimă instanţă pentru a învăţa şi a înţelege matematica. Dacă cei din generaţia părinţilor noştri în anii ’60 intrau la facultatea de matematică fără ore suplimentare, la sfârşitul anilor ’70 “se cereau” deja meditaţiile pentru admitere la facultate, dar nimeni încă nu se gândea să dea meditaţii pentru admiterea la liceu (deşi se pare că prin luna Mai 1981, în final de a 8-a fiind, eu i-am dat câteva ore de matematică de recuperare unei colege care vroia să intre la clasele de liceu pedagogic în germană la Sibiu; am uitat complet, dar ea mi-a amintit de curând că pe baza orelor mele a intrat unde şi-a dorit), la ora actuală la clasele sau şcolile cu pretenţie meditaţiile la matematică încep de obicei din clasa a 5-a, în multe cazuri chiar din ciclul primar.

Revenind la aspecte de o fineţe mai profundă din acel al doilea aliniat (uimitor cât de multe lucruri a reuşit Hollinger să ne transmită în doar câteva rânduri!), reiau următoarele idei: În felul acesta elevii învaţă treptat să facă demonstraţii (adică să gândească o situaţie) în loc să înveţe soluţii (adică pe de rost), ei au succese iar succesul încurajează. Dintr-o frază avem aici două idei magnifice. În primul rând faptul că există două feluri de a învăţa matematica, gândită şi înţeleasă pe de-o parte, respectiv învăţată mot-a-mot, adică pe de rost ca soluţie întreagă. Din păcate, mulţi consideră că această a doua variantă înseamnă matematica: să înveţi soluţiile pe din afară. Mulţi părinţi care aşa au învăţat matematica îşi îndrumă copiii pe aceeaşi cale; mai groaznic este că există şi colegi profesori care fac asta, chiar şi la clasele cu matematică mai serioasă din liceele de top. N-aş dori să mă lansez aici într-o discuţie “in extenso” despre această temă, dar este evident că şi Hollinger consideră prima variantă ca fiind cea dominant bună.

În al doilea rând, dânsul atinge aici un aspect psihologic de o importanţă deosebită, faptul că dacă le permitem elevilor să aibă reuşite în procesul de învăţare a matematicii, atunci aceasta se va reflecta desigur benefic asupra dorinţei lor de a învăţa în continuare, de a merge pe acest drum al gândirii matematice, în loc să se mulţumească în a învăţa soluţii pe de rost (cum, din păcate, este cazul la ora actuală la mulţi copii). Ne putem uita aici la modul aproape penibil cum americanii îşi laudă învăţăceii la primii paşi, în orice domeniu, dar profesorul Hollinger ne-a spus-o de atunci că ar fi bine ca măcar într-un mod decent să-i lăsăm să aibă succese facile, pentru că asta îi încurajează să meargă mai departe pe drumul deloc uşor al matematicii. Ce-am făcut noi însă ca breaslă în acest sens?

Vă las pe dvs., stimaţi cititori, să vă gândiţi la felul cum introducem o temă nouă şi câtă răbdare avem în primii paşi şi în primele aplicaţii, atât la clasă cât şi la teme, astfel încât elevul mijlociu să ajungă să aibă şi să acumuleze succese în învăţarea matematicii, ţinând cont că acesta înţelege şi “prinde” lucrurile, noile cunoştinţe, mai greu, mai încet decât elevii de vârf. Gândiţi-vă dvs. la exemple care ne scot în evidenţă impulsul de-a dreptul malefic (am pute spune) al unor colegi, de a le îngreuna cât mai mult elevilor accesul în lecţiile de matematică. Faptul că profesorimea a trăit şi a lucrat, nu ani, ci decenii la rând în paradigma “tot ce contează mai mult sunt rezultatele în domeniul excelenţei”, acest fapt a dus pe durată la consecinţa că elevul mediu “e prost” (de vreme ce el nu pricepe dintr-o predare mai rapidă), chiar că el nu contează în economia orei de matematică, că la acesta nu funcţionează decât frica, duritatea şi oricum, neapărat orele suplimentare particulare (că el prinde mai greu şi are nevoie de explicaţii individuale). Ce spuneţi de nivelul abrutizant de greu al felului cum unii colegi găsesc de cuvinţă să bombardeze elevii cu subiecte deosebit de grele în numele unei “strădanii spre excelenţă” prost înţeleasă (de multe ori subiectele la lucrările scrise conţinând DOAR probleme deosebit de grele)? Emană din astfel de exemple o răutate viscerală, ce mă duce cu gândul la răutatea manifestată în “acţiunea specială” reprezentată de trezirea din hibernare a Marelui Urs de la răsărit asupra vecinilor noştri.

Alteori acest sistem este practicat din motive mult mai pământene: mai ales în localităţile mici, câte un profesor practică această linie şi se trezeşte să “ţină ştacheta sus” doar pentru a avea clienţi la meditaţii private, urcându-se pe “un piedestal” local, construindu-şi astfel o. Faptul că autorităţile locale nu vânează astfel de situaţii – în care unii colegi îşi construiesc o aură de “profesor bun” – asta ne arată de fapt cât este de îmbibată societatea românească cu impulsuri fanariote.

Acestea au fost comentariile la aspectele ce pot fi găsite în al doilea aliniat al prefaţei culegerii respective. După câte idei am putut extrage din acest scurt text (7 rânduri pe setarea de A4 scris cu 12, respectiv 10 rânduri pe setarea mai îngustă din culegere), acest aliniat este fără îndoială unul dintre cele mai dense şi valoroase texte de analiză a şcolii româneşti posibil de făcut. Primele două aliniate, luate împreună, ar putea reprezenta liniştit materialul pentru un curs de studiu a felului cum ar trebui predată matematica în mod just în şcoli (despre felul cum a ajuns să fie predată matematica actualmente în şcoli, în realitatea de zi cu zi, singurul adjectiv cinstit ar fi că modul actual de predare este injust!).

Celelalte aliniate ale acestei prefaţe sunt mult mai sărace în nestemate metodico-didactice, dar merită să aruncăm şi peste acestea o privire, chiar şi doar din simplul impuls de a epuiza acest valoros text, pe care – cum am mai spus – eu îl văd ca pe un adevărat testament metodico-didactic al marelui metodist, Profesorul Abraham Hollinger. Aşadar, să continuăm cu unele din următoarele aliniate, din care voi cita doar parţial pasajele ce mă interesează pentru a le analiza. Iată ce ne spune în mai departe Dl. Profesor:

3. Bineînţeles, nu m-am limitat la aceste probleme relativ uşoare. În lucrare se găsesc foarte multe probleme cunoscute, tradiţionale. La multe din ele m-am abătut de la forma uzuală: în loc de “să se demonstreze că …” am pus o întrebare sau am cerut să se compare două unghiuri sau două segmente. (…) prin aceasta, problemele devin ceva mai grele – elevul şiret va găsi uşor răspunsul – dar se stimulează mai mult gândirea elevilor. (…) În unele cazuri în care este vorba, în fond, de faptul că o anumită mărime este constantă, am cerut când este maximă sau minimă. (…)

Am întâlnit o idee similară şi la d-na Birte Vestergaard care spunea astfel: elevul “nematematician” se simte agresat de cerinţe de tipul “demonstrează că …”; mult mai paşnice sunt cerinţe de tipul “ce observi în situaţia …; poţi să explici de ce se întâmplă asta?”. Studiind problema în ultimul an, am observat că nu merge de fiecare dată, dar mă străduiesc în sensul de a găsi exprimări mai puţin agresive pentru cerinţele problemelor date. Hollinger nu da clar această nuanţă, ci exprimă gândurile mai mult în sensul unei cerinţe orientative, undeva “în zona” rezultatului gândit, dar lăsând elevului spaţiu pentru a descoperii el finalul parcursului demonstrativ. Practic, profesorul Hollinger ne sugerează ca măcar uneori să fim “mai vagi” în cerinţe, să-i lăsăm şi elevului paşi de descoperire. Aici gândurile se ating cu cele din titlul lucrării Descoperirea în matematică a lui George Pólya, întreaga respectivă carte fiind de fapt despre descoperirea rezolvării unei probleme.

De exemplu, în sensul celor spuse de Hollinger, eu de mulţi ani am modificat cerinţa unei probleme cunoscute: În triunghiul ABC oarecare (scalen, clar înclinat într-o parte) trasăm mediana AM. Care din vârfurile B şi C este mai apropiat de dreapta AM? Un alt exemplu deosebit de intrigant a apărut de curând în testul 5 de antrenament din 2022 (subiectul III, problema 5), unde se poate cere compararea segmentelor EF şi FD (chiar şi pe un desen construit superexact EF pare mai scurt, dar la calculul lungimii cele două se dovedesc congruente). Te poţi aştepta ca elevul să măsoare cu liniarul, dar şi aşa rezultatul dat de măsurătoare va părea că nu-i corect faţă de ce se vede cu ochiul liber.

Desigur că aţi putut observa cum am sărit elegant peste faptul că Hollinger precizează clar şi importanţa problemelor grele, pe care dânsul le numeşte probleme cunoscute, tradiţionale. Aici nu este nevoie să insist; profesorii din România sunt setaţi “de la natură” să dea elevilor cât mai multe probleme grele. Totuşi, eu văd şi aici o nuanţă ce ar trebui precizată.

Prin anii ’90 socrul meu a venit cu următoarea idee: ar trebui găsită o colecţie bine selectată de – să zicem – 100 de probleme de geometrie, pe care dacă elevul le-ar face serios, acesta să poată face apoi orice altă problemă. Eu personal am fugit multă vreme după acest deziderat, având uneori, după un sfert de secol de strădanii, impresia unei “Fata Morgana”. Alteori simt clar că reuşesc totuşi paşi clari în acest sens. La ora actuală m-am stabilizat pe poziţia că subiectul nu este deloc stabil; întrevăd însă posibilitatea unei ultime încercări în acest sens, undeva în viitor.

Trecând însă de această preocupare, este totuşi de remarcat faptul că sunt multe probleme edificatoare la orice nivel, iar faptul că mulţi profesori nu au preocupare în acest sens, nu le parcurg defel, dar au pretenţia ca elevii să le ştie, acest aspect este dureros. Eu personal o astfel de categorie de probleme aş aştepta să fie incluse în manualele de geometrie. Desigur că situaţia poate fi extrapolată şi la algebră. Dar, să continuăm cu analiza textului nostru:

4. Spre deosebire de alte lucrări similare, am introdus multe probleme de maxim şi minim. Experienţa arată că elevii simt o mare atracţie către acest fel de probleme. (…) Ca grad de dificultate problemele de maxim şi minim sunt foarte diferite: dacă unele din ele sînt uşoare (exemple: (…), altele sînt deosebit de grele (exemple: (…). Deosebit de interesantă îmi pare problema (…).

Legat de acest aliniat doresc să exprim doar două scurte idei. Prima ar fi că ar trebui să ne concentrăm mai mult asupra reacţiei elevilor la matematica noastră: Hollinger ne vorbeşte despre faptul că elevii simt o mare atracţie către acest fel de probleme. Mai exact: experienţa arată că …, adică cineva a fost atent de-a lungul timpului la reacţiile elevilor şi a observat că …. .

Un al doilea gând este că putem găsi şi în zona temelor “exclusiviste” atât probleme grele, cât şi probleme uşoare. Putem traduce afirmând că şi temele acestea pot oferi probleme cu un grad bun de accesibilitate elevilor de nivel mediu. Hollinger vorbeşte de probleme de minim sau maxim, dar pe mine ideea respectivă mă duce gândul acum la problemele de colinearitate şi concurenţă. Să analizăm puţin istoricul prezenţei acestora în matematica de după 1990, ca o scurtă paranteză.

La începutul anilor ’90 concurenţa şi colinearitatea era la mare preţ şi nivel înalt de olimpiadă (prietenii Menelaos & Co. dădeau fiori tuturor în afară de cei “aleşi de soartă”). Apoi, brusc au fost scoase din materie şi au ajuns în uitare, chiar proscrise am putea spune. De pildă, în 2005 când am scris culegerea de geometrie de-abia am îndrăznit să pun două exemple de colinearitate supersimple. Desigur că nici la examene, nici măcar în materialele de pregătire, n-ai mai văzut aşa ceva timp de un sfert de secol. Lucrurile au rămas astfel până când la testele de antrenament din 2020 (în timpul primului lockdown) au început să apară cerinţe de colinearitate în subiecte, însă doar în forme elementare (o aliniere de 180^o). Concurenţa din testul 5 de antrenament EN 2022 de zilele astea (subiectul III, problema 4) ridică însă din nou ştacheta. Părerea mea este că e OK aşa, atâta vreme cât fenomenul rămâne în parametrii controlabili. Copiii de nivel mediu merită să aibă contact şi cu teme exclusiviste, cu condiţia ca aplicaţiile acestora să fie păstrate la un nivel elementar. Să revenim însă la prefaţa lui Hollinger:

8. Socot că un mod util de a folosi aceste exerciţii la Cercul de matematică este următorul. Profesorul indică unui elev un grup de probleme apropiate pe care să le studieze singur din carte şi apoi să le expună în faţa colegilor. Exemple: a) Probleme de concurenţă sau colinearitate bazate pe simetria paralelogramului: (…) b) Cîteva probleme de minim rezolvate pe baza simetriei: (…); sau cîteva probleme de maxim: (…). c) Cîteva demonstraţii ale teoremei lui Pitagora: (…).

Aici doresc doar să observ similaritatea sfaturilor cu cele întâlnite şi la profesori din stăinătate, de pildă exemplul d-nei Marisha Plotnik din America despre care am vorbit în analiza despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora, dar şi la Birte Vestergaard din Norvegia. Trebuie însă să fim conştienţi că acest tip de activitate este mare consumator de timp. Hollinger vorbea despre Cercul de matematică; aşa da, pentru cine face aşa ceva, dar la orele regulate, la cât suntem noi de fugăriţi prin materie nu prea pot vedea cum să facem aşa ceva în mod regulat. Doar dacă este vorba de clasă cu copii buni şi de încredere. La o clasă cu copii de toate nivelele n-aş îndrăzni să generalizez o astfel de metodă. Dar, încă o dată, Hollinger vorbea despre cercul de matematică.

Cu aceste gânduri chiar am încheiat studiul meu. Există desigur posibilitatea ca la o analiză mai atentă să se găsească şi alte idei valoroase de scos în evidenţă din această prefaţă; eu nu vin aici cu pretenţia unei analize exhaustive. Sper însă să fi reuşit – prin analiza mea totuşi extinsă – să vă fi trezit curiozitatea pentru această culegere, dar şi pentru ideile exprimate acolo, chiar să vă fi dat de gândit asupra felului în care funcţionează (sau nu) matematica şcolară actualmente. Gândul că măcar unul dintre onoraţii cititori va prelua idei exprimate în această serie de postări, acest gând îmi dă speranţe. CTG

La începutul anului 2022 reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant; au făcut-o alţii probabil mult mai bine decât aş face-o eu. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă (pentru cine s-ar face că nu ştie), precizez deci că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a, luată ca atare, este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau la clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere (adică la televiziune), numărul variantei ce se va da; deci numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Haideţi să vedem însă care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca. 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum.

Unii s-au apucat de învăţat cinstit şi cum trebuie. Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru cele 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu partea de răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare sau demonstraţie. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100 de copiuţe, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru a-ţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Ca o paranteză fiind spus, faptul că prin această mişcare nu s-a rezolvat problema furtului la examene, ci doar s-a mutat la un alt nivel şi la o cu totul altă scară, acest fapt avea să fie recunoscut în următorii ani, astfel încât peste 5 ani aveau să se introducă camerele şi înregistrările pentru supravegherea examenelor. Nici acest mod de oprire a copiatului nu a funcţionat din prima, următorii ani aducând un proces de adaptare şi creştere a performanţei de supraveghere. La ora actuală, din punct de vedere a furtului la examene, lucrurile sunt cât de cât sub control. Dar să revenim la momentul celor 100 de variante.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvara lui 2007. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. În acest timp un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev, cât şi situaţia în faţa căreia eram puşi noi, profesorii de acest fel de raţionament.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a putut, pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze (numai Tudor Chirilă a copiat şi la mate şi la sport!).

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine (pentru şcoală). Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată astfel încât materia pentru teza unică era masiv redusă faţă de ce ar fi fost normal. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Pentru că, desigur, urmarea ar fi putut fi prevăzută de către orice minte raţională, chiar din toamnă, de la “negocierea” materiei pentru prima teză a anului.  Doi ani la rând capitolul despre cerc de la sfârşitul clasei a 7-a, dar şi corpurile rotunde din finalul clasei a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Şi ce se întâmpla în aceste condiţii? Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?), desigur nici lecţiile despre corpuri rotunde.

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era elevă, însă poate că perioada să coincidă cu vestitele ei meditaţii la matematică despre care s-a lăudat că le dădea. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii deosebit de importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi “s-a uitat în altă parte”.

În altă ordine de idei (ca o paranteză fie spus), înţelegeţi aici de ce am spus de curând că eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie), în contextul schimbărilor pentru anul şcolar 2022-2023.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel; tocmai fusesem numit director, iar situaţia respectivă mă speria extrem). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec de peste Prut, nedifuzabil la radio).

În noile condiţii, care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea pandemică a programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba (aplicându-se acelaşi principiu ca la Lb. Română, materia D-nei Ministru din acel moment). În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice (de ce a fost exclusă această temă de parcurs în noiembrie?).

D-na Ministru a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, subiect cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe această temă. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (2021-2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că şi fracţiile algebrice sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru aceste în felul cum am făcut-o pentru ariile şi volumele corpurilor. Însă cu elevii mei le-am parcurs scurt, prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, în acest sens ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă. Unii profesori doar se vor mira “tâmp” de aceste generaţii care “sunt mult mai slabe ca înainte de pandemie”, negândind că de fapt este vina sistemului (autorităţile care au pierdut subiectul pe drum + profesorii care n-au avut conştienţa că trebuie să acţioneze ca o plasă de siguranţă pentru sistemul de cunoştinţe şi de gândire a elevilor).

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, pentru a fi incluse în materia de examen măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru respectivul demers, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022.

În concluzie, despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului în şcoli. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. De pildă, nimeni nu pune în discuţie chinuirea elevilor prin forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bézout), ca actualmente polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC. Pentru mine aceste gânduri poartă o durere adâncă. Rămâne de văzut dacă se poate gândi un sistem de programă care să prevină pe viitor posibilitatea apariţiilor de astfel de situaţii (acest subiect însă cu altă ocazie). CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

Şi în contextul copiatului la examene avem experienţe interesante. La BAC de pildă, întrebat fiind fiiul nostru de ce s-a înscris la proba de psihologie, pentru că “noi suntem fiinţe raţionale”, nu suntem buni la tocit, răsunsul său a fost elocvent: lasă Mamă, că am calculat şi oricum voi fi în faţa sau în spatele Mariei, şi ea le ştie bine (adică ea are capacitatea de tocit; am schimbat desigur numele colegei). Da, şi aşa a fost. Apoi, anul următor s-au introdus camerele de supraveghere.

Domnii din Deşteptarea la Europa FM – Vlad Petreanu, George Zafiu şi Luca Pastia – au luat spre analiză – cândva, prin februarie – spusele D-lui Ministru despre materia mult prea încărcată, pe exemplul geometriei vectoriale, dar şi despre “reintroducerea trimestrelor”. Merită să-i ascultaţi pe podcast la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ . Căutaţi emisiunea din 16 februarie 2022, porniţi înregisrarea la minutul 8:30 şi ascultaţi câteva minute despre vectori, dar urmăriţi apoi emisiunea până la min. 23:00, ascultând şi pasajul despre trimestre vs. semestre.

Prima parte este despre vectori şi în general despre materii care nu le-au plăcut ascultătorilor când erau elevi. A doua parte (cam după minutul 16), conţine o “analiză” a situaţiei de după introducerea semestrelor şi “revenirea la trimestre”, care “e mai multe” (3 > 2). Emisiunea este din februarie, dinaintea deşteptării din hibernare a marelui urs (de când pregătisem şi postarea, în forma de atunci). Între timp am aflat că nu vom reveni de la 2 la 3, ci vom trece chiar la 5. Aha! Deci aşa vom creşte calitatea şcolii româneşti! Acum am înţeles! Da, da! Pentru că 5 > 3 > 2. Evident! g.e.d.

Ştiţi ce problemă m-a “chinuit” pe mine chiar din timpul şcolii, dar şi mai târziu: oare, de ce le spunea trimestre? Pentru că erau 3? Adică pentru că anul şcolar era împărţit în trei părţi (fapt susţinut de ideea de semestru, de la semi, adică jumătate)? Sau pentru că erau de cca. 3 luni (cel puţin primul)? Pentru că în economie anul calendaristic era împărţit în patru trimestre, fiecare de câte trei luni. Oare cum trebuie deci înţeles cuvântul trimestru?

Oricum – vorbesc serios acum, renunţând la tonul de pamflet – eu mă bucur de renunţarea la teze, pentru că mult circ şi zdroabă am avut de-a lungul anilor din cauza lor (nu numai în pandemie). Acesta este însă un alt subiect, pe care-l voi trata cu o altă ocazie. Acelaşi lucru mă gândesc să-l fac şi cu subiectul celor 5 “pentamestre” în care va fi împărţit anul şcolar de la toamnă (în linii mari sunt de acord şi cu această mişcare, dar să vedem concret cum se va întâmpla; îmi este frică de un gol de directive, ca apoi să vezi ce le va mai trece unora prin cap!). Titus Pentatonicus