Pentagonia

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Vă invit să finalizăm depănarea amintirilor mele matematice de învăţăcel cu anii de facultate petrecuţi la Cluj, completate şi cu alte amintiri matematice din copilărie.

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

Facultatea

La examenul de admitere la facultatea clujeană am constatat în mod dureros că aveam nevoie de ochelari. Fusesem repartizat cam la jumătatea amfiteatrului unde s-a desfăşurat examenul, fiind astfel destul de departe de tablă. Până atunci, de prin clasa a VI-a ocupasem întotdeauna unul din locurile laterale din prima bancă (lângă uşă sau lângă geam, pentru a nu încurca colegii). Trebuie precizat că la vremea respectivă subiectele erau scrise de către profesor pe tablă, iar noi trebuia mai întăi să le copiem. Ei bine, la examenul de analiză matematică, la o funcţie, în loc de x² am copiat x^x, dându-mi peste cap toate calculele din acea problemă.

Primul lucru interesant legat de facultatea de matematică este faptul că ne-am găsit patru colegi ai căror părinţi fuseseră şi ei colegi ai acestei facultăţi, absolvenţi în 1965. La trei dintre cei patru chiar ambi părinţi fuseseră colegi în respectiva promoţie. Cu doi dintre colegii mei s-a format chiar o relaţie asemănătoare cu cea de rude: ne simţeam ca un fel de verişori, când ne întâlneam cu părinţii vre-unuia discutam de cei absenţi şi se transmiteau salutări; părinţii tocmai avuseră întâlnirea de 20 de ani de la terminarea faculţăţii. Şi acum suntem cu aceştia la fel de apropiaţi ca şi cu rudele adevărate.

Din timpul facultăţii nu am nici o amintire legată de subiectul prezentului eseu, demnă de a fi prezentată aici. Matematica din facultate nu semăna deloc cu ce văzusem eu şi nu prea m-a atras. Totuşi, au fost destule momente deosebite. De pildă, renumita formulă a lui Euler ce a apărut din senin într-un curs: e^iπ = –1 şi care nouă ne plăcea mai mult în forma e^iπ + 1 = 0, pentru că aşa conţinea într-adevăr toate numerele remarcabile din matematică. De curând am aflat dintr-o carte a Profesorului Ian Stewart că, din când în când se fac sondaje printre matematicieni despre care ar fi cea mai frumoasă formulă matematică – ne vine sau nu să credem, dar există şi aşa ceva, dânsul ne asigură că n-a inventat acest fapt – şi că de obicei câştigă renumita formulă a lui Euler (Professor Stewarts Mathematisches  Sammelsurium, Ed. Rewohlt T. Verlag, 2011, pag.230). În rest, din timpul facultăţii am rămas în suflet cu multe imagini model ale profesorilor, imagini care mi-au oferit o linie ghidantă sănătoasă în viaţă.

De-abia la sfârşitul facultăţii s-a petrecut din nou ceva cu adevărat deosebit: în timpul unei ore când nu se întâmpla nimic special (doar ceva analiză complexă cu legendarul Profesor Petru Mocanu), m-am gândit că n-am mai descoperit nimic de vreo şapte ani. Mama prezenta în continuare formula mea de arie a triunghiurilor în fiecare an, şi atâta vreme cât în liceu mai erau generaţii care ne cunoşteau, pe mine sau pe fratele meu, din când în când apărea în câte o demonstraţie la teză sau la o lucrare scrisă: „folosind teorema lui Titus …”. Mama era foarte mândră şi mă mai anunţa şi pe mine când se întâmpla aşa ceva. Din păcate nu am păstrat nici măcar una din acele probleme sau demonstraţii.

Dacă vroiam să mai descopăr ceva, aveam nevoie înainte de toate de o întrebare pe care n-a mai pus-o nimeni până atunci. În acea oră de mai, în cca. 10-15 minute am avut întrebarea; în două ore am găsit răspunsul; peste patru ani aveam o demonstraţie credibilă şi prezentam rezultatul la sesiunea de comunicări ştiinţifice pentru profesori Didactica Matematicii (exact în ziua în care soţia mea a venit acasă cu fiul nostru de la maternitate :-). Peste încă opt ani, în urma impulsului dat de către un alt fost profesor din facultate, reuşeam să găsesc continuarea într-un întreg complet. Toată teoria este prezentată în cele două articole în serie din Caietele Pentagonia Nr. 7 şi 8 – Reprezentarea conicelor în spaţiu complex (de găsit pe site-ul pentagonia.ro – Arta predării matematicii). Reuşisem să merg din nou cu mintea pe unde n-a mai „călcat” gând de om. Dar de data aceasta nu din întâmplare, în urma unor stimulări conjuncturale, ci din proprie inţiativă, iar apoi chiar la o cerere venită din exterior.

Viaţa de profesor şi reactivarea unor amintiri matematice

Deşi am terminat facultatea în 1989, datorită armatei de 6 luni am început să predau la clasă doar în primăvara lui 1990. Toate cele prezentate până aici sunt amintiri matematice ce nu s-au şters şi cu care am ajuns în viaţa de adult. Unele poate s-ar fi şters dacă nu aş fi ajuns profesor, aşa cum se întâmplă la cei mai mulţi oameni.

Mai există însă o categorie specială de amintiri matematice din timpul şcolii, anume cele care s-au şters, dar au fost reactivate, readuse din uitarea în care s-au scurs cu timpul, ele neînsemnând la momentul respectiv nimic special, nefiind legate de vre-o întâmplare deosebită, ci intrând în cursul natural al lecţiilor care se uită pentru că vin tot altele peste ele. În cazul meu astfel de amintiri, adică anumite cunoştinţe matematice, au fost reactivate prin însemnătatea lor în procesul de predare, observându-le necesitatea în educarea matematică a generaţiilor de elevi.

Probabil cel mai bun exemplu în acest sens îl reprezintă forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor. La triunghiuri această denumire înseamnă faptul că aria unui triunghi nu se modifică dacă vârful său este translatat paralel cu baza, adică dacă un vârf alunecă pe o dreaptă paralelă cu latura opusă, obţinându-se astfel un triunghi de altă formă faţă de cel iniţial, dar echivalent cu acesta. Aceaşi proprietate se regăseşte la paralelograme dacă translatăm o latură pe dreapta sa suport.

Cu aceste proprietăţi se pot rezolva anumite probleme într-un mod foarte elegant, realizănd cu figurile geometrice un proces de mişcare ce aminteşte de un balet deosebit şi care transformă figurile într-un mod foarte sculptural, amintind uneori de picturile lui Kandinski (cu puţină imaginaţie s-ar putea ajunge la compararea acestora cu stilul de mişcări de scenă dezvoltat de Michael Jackson). Pentru noi, soţia mea şi cu mine, ele reprezentau însă o normalitate şi le scoteam din recuzita de metode atunci când aveam nevoie de ele şi atât.

Aceste proprietăţi reprezintă însă un punct de mare interes în metodica predării matematicii în pedagogia Waldorf, prin faptul că ne oferă un proces în mişcare. Or, în pedagogia Waldorf se recunoaşte şi se respectă faptul că elevul înţelege şi învaţă mult mai bine matematica prin mişcare – atât mişcare exterioară, fizică, în clasele mici, cât şi mişcare interioară, imaginativă, în clasele mari. Cu forfecarea paralelogramelor se poate demonstra Teorema lui Pitagora, aceasta fiind demonstraţia folosită de obicei în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată însă şi cu forfecarea triunghiurilor, drumul fiind asemănător (o forfecare de triunghi, urmată de o rotaţie, iar apoi din nou o forfecare). Figura acestei demonstraţii o văd regulat pe coperta la Culegerea cu Teste grilă de matematică pentru Admiterea din 2013 de la Universitatea Tehnică din Cluj (Editura UTPRESS, o carte fără pic de geometrie sintetică, dar plină de geometrie analitică, matrici, funcţii, limite şi tot soiu’ de integrale de chinuit doritorii), deci mă gândesc că este privită ca o figură clasică a matematicii.

Din păcate însă, această figură nu se mai face în şcoli; în cursurile de pedagogie Waldorf am avut neplăcuta surpriză să văd că profesorii colegi mai tineri nu cunosc această demonstraţie, în general nu cunosc demonstraţiile în mişcare prin forfecare, deci nici problemele corespunzătoare. Doi dintre ei mi-au povestit cum, odată la un curs desfăşurat în străinătate, profesorul care ţinea cursul i-a încuiat pe toţi participanţii cerându-le să dea măcar două-trei demonstraţii la Teorema lui Pitagora. De ce n-am fost eu acolo să le povestesc despre pictura murală a lui tata din copilărie?

Aceste amintiri din copilărie mi-au fost readuse în actualitate de către profesorii docenţi la ale căror cursuri am participat ca profesor în şcoala Waldorf, în România respectivele lecţii fiind de mult uitate. Există însă şi amintiri din copilărie ce au revenit într-un mod misterios şi enigmatic, fără a fi ajutate de către cineva. De pildă, în 2000 am avut un moment de inspiraţie şi am organizat lecţia despre arii din clasa a VII-a într-un anumit fel. Peste câţiva ani am constatat cu surprindere că lecţia respectivă avea exact forma găsită de mine şi în manualul de clasa a V-a al profesorului Eugen Rusu, după care am învăţat eu în copilărie, regăsit “în lada de cărţi vechi” la părinţii mei.

Alt set de amintiri matematice din copilărie

O sumedenie din amintirile ce le am din perioada şcolară le-am regăsit şi la soţia mea, Mariana, fapt ce îmi dă convingerea că multă lume are astfel de amintiri, într-un mod similar. De pildă, atât eu din Victoria, cât şi ea din Cluj, ne amintim din copilărie cum stabileau vânzătoarele preţul, la Alimentara. Ne trimiteau mama fiecăruia să cumpărăm “200 g” de salam: vânzătoarea tăia o bucată aproximatovă din salamul cerut, îl punea pe o hârtie pe cântar, care arăta să zicem 220 g, iar vânzătoarea calcula imediat preţul în cap. Când eram copii eram uimiţi de rapiditatea de calcul a vânzătoarelor. Până acasă tot calculam şî de fiecare dată constatam că avusese dreptate. După ’90 am fost uimiţi cum breasla vânzătorilor a uitat încet această abilitate.

Amândoi avem din copilărie câte o culegere Gheba, a mea pe germană ,a ei pe română, care arată acum ciudat de asemănător: culegerile groase cam de 2 cm prezintă o distrugere pronunţată a primelor cca. 30 de pagini, a mea fiind folosită intens de doi fraţi, a ei şi mai distrusă fiind folosită de trei fraţi. În acest sens se vede că din culegerile Gheba se lucra intens doar partea de exerciţii de aritmetică şi de algebră; partea de geometrie nu se arată la nici una dintre culegeri prea folosită.

Evident că şi amintirile despre Gazeta Matematică sunt asemănătoare. Am lucrat amândoi după aceleaşi manuale, preţuim la fel de mult construcţiile geometrice cu rigla şi compasul etc.

Desigur că există şi multe amintiri diferite. Să începem cu profesorii. În clasele V-VI Mariana a făcut matematică cu o persoană legendară în Cluj, profesorul Dumitru Bota. Legat de acesta, pe lângă admiraţia cu care vorbea soţia mea despre el, există două amintiri speciale.

Profesori fiind, la o discuţie despre ce şi cum să facem cu elevii, soţia mea şi-a amintit că la Bota scria foarte mult la teme şi nu ne puteam închipui ce anume scria atâta. Aşa că l-a întrebat pe tatăl ei; iată şi răspunsul dat de socrul meu: trebuia să copieze fiecare lecţie de la clasă în caietul de teme şi de-abia apoi făcea şi tema propriuzisă.

O a doua amintire vine din clasa a VI-a, de la geometrie. Povesteşte soţia mea că Bota desena nişte cercuri impecabile cu mâna liberă, şi ei elevii erau de fiecare dată uimiţi. La un moment dat profesorul şi-a rupt mâna dreaptă, cu care scria. Când a venit la şcoală, cu mâna în ghips, a ţinut lecţia scriind cu mâna stângă pe tablă. Iar când a fost nevoie de un cerc, Bota pur şi simplu a trasat cu stânga un cerc aproape perfect, lăsându-i pe toţi cu gura căscată. Şi de la alte persoane am auzit poveşti pline de admiraţie despre acest profesor.

Din păcate în clasa a VII-a s-a schimbat profesorul, venind o doamnă despre care soţia mea nu are deloc amintiri plăcute. Se pare că nu stăpânea prea bine predarea, iar Mariana o tot corecta, aşa că prin a VIII-a a dat-o afară de la ore, cerându-i să nu mai vină la mate.

În clasa a VIII-a a mers la olimpiadă până la faza judeţeană, care era cea mai înaltă posibil în acele vremuri. Aici a greşit, uitând că cel mai mic multiplu al unui număr este zero, ratând astfel un exerciţiu, fapt pentru care nu a ieşit pe locul 1 pe judeţul Cluj.

În liceu a avut o altă legendă la mate, pe profesorul Ambrozie Lelijak. Sunt multe amintiri din aceşti ani de la orele de matematică. De pildă felul în care acesta dădea tezele sau cum îsi notau “dumele” sale în caiet atunci când făcea haz de vre-un coleg care nu învăţase; caietele tuturor colegilor erau pline la spate cu citate din Lelijak.

Amintiri din copilăria matematică a părinţilor

Discutând mult despre matematică şi cum ar trebui predată aceasta, ajung uneori şi părinţii noştri să-şi amintească scene din copilărie legată de acest subiect. De pildă mama mea şi-a amintit odată cum a lăudat-o directorul şcolii din sat. Acesta era soţul învăţătoarei şi îi plăcea să vină în asistenţe la ore. Cu astfel de ocazii a remarcat-o cât de bine ştia ea la problemele de aritmetică, chiar din acelea aduse de el, cele “mai tari” şi cum le făcea pur şi simplu fără să-i fi dat vreo explicaţie preliminară. Prin 2000, era şi mama deja pensionată, s-a întâlnit cu directorul din copilărie şi acesta şi-a amintit cum dădea ea cele mai neobişnuite rezolvări, cu care ajungea însă la răspunsul corect.

Acest aspect l-au sesizat ulterior la ea şi profesori de matematică din şcoală şi din liceu. Aceştia o îndrăgeau şi o ajutau cum se putea în acei ani cu colectivizare forţată, mama provenind dintr-o familie simplă de la ţară; de pildă, mi-a povestit că primea gratuit abonament la Gazeta Matematică. Peste ani, când a intrat la facultate, bunicul ei a vândut un viţel pentru a-i da bani să aibă la şcoală la Cluj.

Tata era dintr-o familie intelectuală, bunicul terminând două facultăţi: Ştiinţele naturii la Cernăuţi şi, în timpul războiului, Dreptul la Iaşi. Tata îşi aduce aminte de profesorul de matematică din liceu, dl. Lungu Nicolae, absolvent de facultate la Iasi, cum acesta le dădea la începutul orei câte trei probleme cu care “să-şi bată creierii”, până le verifica dânsul temele. Apoi, pe parcursul lecţiei noi, elevii observau cu uimire că problemele iniţiale se rezolvau uşor cu lucrurile nou învăţate şi mare le era bucuria despre cele descoperite. Asta da modalitate de predare prin problematizare dusă la extrem!

De la tata mai există o poveste cu final dureros. Prietenul său cel mai bun Cojocaru Dragos, cu care au fost colegi şi în facultate, s-a calificat în liceu, la prima Olimpiadă Naţională organizată la matematică, pe locul I din partea judeţului Suceava. După o vreme şi-au dat seama că a fost înlocuit şi Dragoş nu a mai fost convocat la faza finală. Peste ani, în 1984 eram împreună cu tata într-o tabără de matematică la Câmpulung Moldovenesc, tata fiind însoţitorul grupului de olimpici (rezerve) din judeţul Braşov. Cu această ocazie tatăl meu s-a interesat de la colegii organizatori suceveni despre profesorul lui din liceu şi a aflat că acesta este la cel mi bun liceu din Suceava, că este deosebit de apreciat, dar că – nimeni nu înţelege de ce – nu participă nici o dată la olimpiade.

Şi de la tatăl soţiei, inginerul Dodul Eugen (se pronunţă Dodu’) avem câteva amintiri depănate de-a lungul anilor. Născut în 1929 la Chişinău, a fost refugiat cu familia în timpul războiului la Bucureşti, unde până la urmă au şi rămas. La început, la şcoală nimeni nu-l înţelegea, având o pronunţie mult diferită faţă de ceilalţi colegi. Astfel, şi-a salvat onarea în faţa colegilor la orele de limba franceză, pe care o ştia de acasă, şi în matematică la care era foarte bun.

Anii au trecut şi în liceu ajunsese un fervent rezolvitor la Gazeta matematică. La sfârşitul şcolii ajunsese pe locul doi pe ţară la punctajul concursului rezolvitorilor din GM, primul fiind prietenul său. Ne putem închipui supărarea trăită atunci când colecţia sa de Gazete Matematice a fost atacată de carii, astfel încât valoroasele caiete au trebuit arse. Peste ani a găsit printr-un anticariat câteva gazete vechi din anii liceului: le-a legat pe toate opt exemplarele într-un mic volum în care se găsesc câteva semne în dreptul paginilor pe care este trecut numele său, din clasele VI-VII de liceu (Gazeta Matematică, Supliment de exerciţii, Anul XII-XIII, 1946).

La admiterea în facultate a ratat ultimul examen din trei prin neprezentare, datorită faptului că a stat toată noaptea şi a citit Anna Karenina. Nici nu s-a dus apoi să vadă rezultatul, convins fiind că nu a intrat, dar a aflat în toamnă de la un coleg al său că este student şi că profesorii îl trec regulat absent.

Mai târziu, inginer constructor fiind, peste tot pe unde umbla pe şantierele ţării, medita la matematică copii colegilor de servici. Când am cunoscut-o pe Mariana, tatăl ei avea săptămânal ore private cu 30 de elevi; atâţia erau că nu le putea ţine socoteala la toţi, aşa că îşi făcuse catalog unde nota cum îşi fac aceştia temele şi cum progresează.

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Vă invit să continuăm cu depănarea amintirilor mele matematice din anii de liceu, petrecuţi în Or. Victoria, la Liceul de chimie industrială (singurul existent le vremea respectivă în Victoria).

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

Anii de liceu

Liceul l-am început în anul 1981. Până atunci, în gimnaziu, ascultasem mai ales ABBA şi Boney M (ulterior am aflat că acestea erau preferatele Elenei Ceauşescu, de aia erau difuzate cu predilecţie), dar în clasa a VIII-a apăruse şi năucitorul The Wall de la Pink Floyd, în care Roger Waters povestea de Another Brick in the Wall. Atunci încă nu înţelegeam de ce we don’t need no education, we don’t need no thought control şi nici de ce Hey! Teachers! Leave them kids alone! Pentru noi şcoala era OK; o acceptam aşa cum era; nu ne puneam astfel de probleme.

După cum am spus, în liceu am avut-o ca profesoară de matematică pe mama mea. Iar tatăl meu – tot profesor de matematică – ne era diriginte (cu el făceam ceva ce azi s-ar numii curs opţional). Cred că sunt unicat în acest sens. Fratele meu a scăpat ceva mai uşor, avănd-o doar pe mama atât profesoară cât şi dirigintă.

La lucrarea de testare iniţială din clasa a noua am luat scurt un 4, după care a început liceul. Eram la o clasă de Mate-Fizică şi aveam câţiva colegi foarte buni la matematică.

Prea multe amintiri din clasa a IX-a demne de a fi evocate nu prea am. Ţin doar minte că îmi plăceau inecuaţiile care se rezolvau prin tabele de variaţie a semnelor. Cu cât era tabelul mai mare, cu mai multe etaje, cu atât era mai bine. Trăiam acolo o mare satisfacţie. Şi numerele complexe de la sfârşitul clasei a IX-a mi le amintesc cu păcere (aceasta însă poate şi datorită unor întâmplări ciudate din următorii ani).

La faza judeţeană a olimpiadei nu m-am calificat (eram la prima încercare după ciudăţenia din clasa a cincea), dar oricum am înţeles şi am făcut câte ceva din subiectele respective. În schimb am fost la sesiunea de comunicări ştiinţifice a elevilor. Tata mi-a dat ceva cărţi şi m-a pus să redactez o lucrare despre Secţiunea de Aur. Nici din această experienţă nu am amintiri speciale, dar, după cum veţi vedea în curând, urmările au fost spectaculoase. Cu această ocazie s-a deschis în mintea mea o ciudată poartă spre ceva ce s-ar putea numi simplu Cercetare şi Descoperire.

Pentru a înţelege cele ce vor veni trebuie să facem o pauză şi să ne amintim care era stuctura programei pentru clasele a noua şi a zecea în anii 80. La matematică aveam două manuale, unul de algebră şi unul de geometrie. Cel de geometrie relua materia din gimnaziu, desigur la un nivel superior şi mult mai riguros (axiomatic era cuvântul la modă atunci), cu completările de rigoare, la care se adăugau capitole de trigonometrie specifice vârstei. Cu alte cuvinte, ce nu prindeai în clasele mici la geometrie, apucai să înţelegi în liceu. Mai ales datorită acestui aspect mulţi îşi aduc aminte cu plăcere de geometria din şcoală. Clasa a noua era cu geometria plană, iar a zecea cu cea în spaţiu. În acest context a venit peste mine clasa a zecea, probabil cel mai frumos an din viaţa mea de şcoler.

Deşi toamna toată suflarea şcolară era pe ogoarele patriei la cules, mama găsea de obicei căi de a convinge autorităţile să o lase să facă ore cu clasele la care merita făcută mai multă carte. Într-o astfel de zi frumoasă de toamnă eram noi la şcoală şi făceam probleme cu proprietăţi ale unor segmente sau arii din trapeze oarecare. La un moment dat a venit o problemă care m-a speriat: trebuia demonstrat că paralela la baze dusă prin intersecţia diagonalelor este înjumătăţită de către aceasta (tot parcursul acelei ore este prezentat, aşa cum l-am trăit eu, în articolul Istoria unei decoperiri postat pe site-ul personal pentagonia.ro – Arta predării matematicii). Demonstrarea prin asemănarea triunghiurilor este foarte anevoioasă, dar mintea mea a observat anumite corelaţii ciudate între această problemă şi precedentele două (mai există o rezolvare accesibilă prin repoarte, pe cae eu însă “nu am văzut-o” în acea oră). Pe scurt, până ce s-a rezolvat problema la tablă, eu am demonstrat o nouă formulă pentru aria unui triunghi, după care folosind acest nou rezultat am demonstrat foarte uşor problema cerută. Vă închipuiţi cum am stat, ca pe ghimpi, până s-a terminat problema şi a sunat de ieşire, ca să-i pot arăta mamei noua mea rezolvare. Pe parcursul anului mi-am redactat cât m-am priceput de matur lucrarea, iar în primăvară m-am prezentat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice cu propria descoperire. Chiar dacă alţi colegi au luat premii (cu lucrări făcute/oferite de profesori la alte materii), tot menţiunea câştigată de mine a fost cea mai valoroasă. Eram în al nouălea cer! Umblasem cu gândul pentru câteva minute acolo unde nu mai fusese nici o minte de om!!!

Este de la sine înţeles că nimic din ce s-a mai întâmplat în acel an nu s-a putut ridica la nivelul acestei întâmplări, deşi per ansamblu despre materia de clasa a zecea am cele mai plăcute amintiri dintre toţi anii de liceu. Tot în clasa a zecea m-am calificat prima dată la faza judeţeană a olimpiadei de matematică. Mai departe n-am mers, dar am repetat figura în următorii doi ani.

Din clasa a unsprăzecea, amintirea care mi-a influenţat probabil cel mai mult parcursul de profesor este discuţia cu mama mea din după-amiaza zilei în care şi-a susţinut inspecţia pentru Gradul I. Tata era plecat din localitate, aşa că după inspecţie mama nu putea discuta decât cu mine despre ce se întâmplase. Iată povestea pe scurt.

Dintre cele patru ore, cea de-a treia era la clasa a IX-a unde urma să introducă numerele complexe. Eram spre sfârşitul anului şcolar 1983/1984 iar forma de introducere a numerelor complexe se schimbase dramatic cu câţiva ani în urmă (în forma veche se pornea de la notarea lui = i, adică i² = –1, pe când forma nouă pornea de la definirea numerelor complexe ca perechi ordonate cu anumite proprietăţi de operare). În primii ani după schimbare profesorii nu înţelegeau cum ar fi putut elevii pricepe numerele complexe din această nouă formă de predare, aşa că o ignorau şi predau aşa cum erau ei siguri că merge.

Neştiind ce persoană va veni în inspecţie, mama îşi pregătise ambele forme de lecţie, urmând să ia hotărârea înainte de ora respectivă. Văzând că inspectorul era un dur “cu ochelari de cal”, mama s-a hotărât pentru forma cea nouă, oficială – şi a fost felicitată pentru aceasta de către inspector. Seara, când mi-a povestit întâmplarea, mama zicea că, deşi lecţia a mers oficial bine, ea a simţit că elevii n-au înţeles nimic, dar nu-i nici o problemă, ora viitoare le va preda şi lecţia veche pentru a-i lămurii. Acesta a fost episodul nr.1 al unei poveşti care s-a întins surprinzător de mult.

În anii ‘90 eram deja profesor şi tare supărat pe „prostiile” din sistem. Într-o discuţie acasă – eram prin 1995 – am amintit ca argument întâmplarea din liceu cu introducerea numerelor complexe, la care mama mi-a replicat că ea n-a înţeles bine la început forma cea nouă, că între timp a priceput-o şi că aceasta este cea corectă (deja fusese aleasă printre profesorii metodişti şi mergea din când în când la rândul ei în inspecţii la profesori mai tineri). Eu am replicat că ea a înţeles lecţia în 10 ani, dar că elevii nu au atâţia ani la dispoziţie pentru a o pricepe, şi nu mult a lipsit să tragem o ceartă zdravănă, aşa ca între matematicieni înfocaţi.

Episodul nr.3 a venit la începutul anilor 2000 când Mama era deja pensionată, dar mai ajuta în particular diverşi elevi. Odată a redeschis ea vechiul subiect, mărturisindu-mi că eu am avut dreptate în vechea dispută. Elevii veneau cu lecţia despre numere complexe neînţeleasă de la şcoală, şi degeaba le-o explica încă o dată, că tot nu pricepeau nimic. Atunci le oferea forma veche a lecţiei, cea din anii ’70, iar aceştia înţelegeau imediat numerele complexe (q.e.d.).

Revenind la amintirile din timpul şcolii, trebuie menţionat că în clasa a XI-a am început să mă pregătesc regulat pentru admiterea la facultatea de matematică. Mergeam împreună cu un prieten o dată la trei luni la Timişoara la un profesor universitar – care a rămas pentru mine unul dintre modelele de viaţă – iar acesta ne verifica şi ne dădea teme pentru următoarele luni: cărţile cutare şi cutare etc. Prima temă a fost ciudată: pentru geometria plană nu trebuia să fac vreo culegere sau manual de liceu. Părinţii mei trebuiau să caute nişte noi manuale care aveau probleme mai grele decât cele oficiale de liceu. Deci pentru admiterea în facultatea de matematică, cele mai grele probleme de geometrie pe care să mă pregătesc eu erau în nişte manuale neoficiale. Întâmplarea ne arată cum, o parte din lumea matematică cerea tot mai mult, tot mai greu, pe când sistemul oficial comunist avea totuşi respect şi faţă de elevii medii.

Din clasa a XI-a doresc să mai amintesc doar reprezentarea grafică a funcţiilor. Pur şi simplu am iubit acest capitol.

Cred că tot în acest an au început şi la şcoală pregătirile ordonate pentru examene. Pentru asta aveam introdusă o oră suplimentară în care mama, pardon tovarăşa profesoară, ne prezenta rezumate ale fiecărei lecţii începând din clasa a IX-a, iar noi le treceam în aşa-numitul Carnet de formule. Acest carnet de formule profesionist, scris de mine dar redactat de profesor era al treilea carneţel de formule al meu; eu în decursul timpului îmi mai redactasem încă unul iniţial (cam mic), cât şi unul mai complet care îmi plăcea şi care era carneţelul meu de suflet. Când îmi aminteam o formulă, din acesta, cel creat de mine, vedeam imagini în minte. Aceste carnete de formule au jucat un rol foarte important în stabilizarea matematicii în mintea mea pentru examenele ce-au urmat (bac-ul şi admiterea la facultatea de matematică cu n candidaţi pe un loc). Toţi elevii din vremea respectivă beneficiam de astfel de carnete de formule la redactarea cărora lucram intens. A cumpăra actualmente unul gata făcut de către vreo editură nu are nici pe jumătate acelaşi efect ca redactarea unuia făcut cu trudă de mânuţa ta.

Recent, la o întâlnire de 20 de ani de la terminarea liceului, o fostă absolventă i-a povestit mamei mele următoarea întâmplare: era de mult în America când a aplicat pentru un job undeva în Caraibe (parcă era vorba chiar de Jamaica); pentru aceasta urma să dea un examen din matematică, iar ea avea acolo la dispoziţie doar carnetul cu formule (din care uitase desigur totul, dar îl avea cu ea în America!). Aşa că femeia s-a apucat în cele două săptămâni ce le avea la dispoziţie să parcurgă din nou toată matematica din acest carnet magic, şi desigur că şi-a luat examenul, fiind ea aleasă pentru jobul mult visat.

Tot din aceşti ani, bănuiesc că era vorba de clasele X-XI trebuie să mai povestesc ceva, care s-a dovedit a fi de o importanţă covârşitoare. Părinţii mei lucrau din anii ’70 la o activitate (ce s-ar numi astăzi extracurriculară) de după-amiază, anume Laboratorul de matematică. Până la mine adunaseră deja experienţă, mergeau la simpozioane prezentând lucrări ştiinţifice pe această temă şi organizaseră deja două simpozioane naţionale sub tutela SSM pe tema Laboratorului de matematică. Aşa că a venit şi rândul clasei mele, cei doritori desigur, să parcurgem seria de lucrări practice cu aplicaţii ale matematicii deja învăţate. Lucrarea care m-a impresionat cel mai mult a fost cea despre determinarea numărului π prin metoda Buffon, o metodă stohastică de tip Monte Carlo. Trebuia să aruncăm cu un chibrit (sau cu un ac) de 1000 de ori şi să notăm rezultatul; eu m-am gândit să eficientizez metoda, aşa că am aruncat împreună cu colegul meu, cu 10 chibrite de-odată şi asta doar de 100 de ori (unul arunca şi celălalt nota câte chibrite taie liniuţa). Nu ţin să vă povestesc cât de departe a fost rezultatul obţinut de noi faţă de 3,14, dar oricum lecţia a fost clară: când e vorba de probabilităţi, nu este bine să interferezi prea mult cu fenomenul pentru că lucrurile o iau razna (chibritele acelea se loveau între ele când le aruncam şi n-avea cum să iasă tare bine).

Pentru noi Laboratorul de matematică era parte din normalitatea vieţii. Acolo nu se dădeau note şi toţi elevii veneau cu bucurie, chiar şi cei mai slabi. Ulterior, ca adult am aflat de la părinţii mei cum au ajuns să fie hărţuiţi de către inspectorat pentru ce făceau: că de ce nu dau note, că de ce este o atmosferă atât de relaxată, că ce fac acolo de elevilor le place aşa de mult etc. Un singur lucru nu puteau: să-i ia la rost de ce munceau în plus, pentru că asta era chiar una din cerinţele vremii.

Chiar una dintre prezentările lor ştiinţifice a avut această temă: cum văd elevii activitatea şi de ce o apreciază. Astfel, am găsit printre materialele din acea perioadă primite de la tata un chestionar completat de către o elevă din clasa a XII-a din 1980 (ajunsă ulterior cadru universitar). Citez din acest chestionar: Nu sînt necesare note pt. că vin la laborator din plăcere şi cînd faci ceva din plăcere nu e nevoie de nici un stimulent, e suficientă mulţumirea sau nemulţumirea propriei cunoştinţe…Mult mai puţin efort decît îmi trebuie la materiile umaniste….

Consider că şi Laboratorul de matematică a contribuit puternic la formarea mea ca adult cu o gândire liberă şi ne-indoctrinabilă, gândire care m-a dus ulterior la Şcoala Waldorf. Aici am avut tot timpul conştienţa că eu am ceva în plus faţă de colegii mei, ceilalţi profesori, eu fiind singurul dascăl ce am beneficiat în copilărie de un dram de educaţie liberă desfăşurată ordonat şi oficial, dar totodată benevol.

Clasa a XII-a a continuat cu munca intensă inclusiv pregătirea bac-ului, muncă întreruptă de vizitele rare la Timişoara. În iarna acelui an am lucrat foarte mult ascultând albumul Thriller, acesta fixându-mi-se pe amintire ca un album de iarnă grea, cu foarte multă zăpadă.

Între timp eram câţiva colegi pasionaţi de rezolvarea cubului Rubik, îl rezolvam uşor dar nu puteam nicicum să coborâm sub pragul de 3 minute. În schimb reuşeam să rezolvăm şi alte astfel de jocuri cum ar fi tetraedrul regulat sau şarpele lui Rubik. Altele, cum ar fi Steaua lui Alexandru sau inelele lui Rubik rămâneau un mister. Cubului îi rezolvam în mod logic primele două rânduri, după care-l finalizam cu anumite reţete pe care le stăpâneam fără a le înţelege.

În bac, şi apoi la examenul de admitere am ajuns fără să-mi dau seama, şi uite-aşa m-am trezit student. Am fost amânat medical pentru armată, aşa că am mers direct în toamnă la facultate (aşa cum se face actualmente) cu colegele din anul respectiv, dar cu băieţii cu un an mai mare, care făcuseră între timp şi armata. Era anul 1985; de Crăciunul trecut George Michael tocmai lansase legendara Last Christmas; în primăvară Michael Jackson adunase spuma muzicii americane pentru We are the world, iar la noi în Europa pornea epoca Modern Talking. Acestea au fost subiectele mele preferate în facultate, dând pentru o vreme matematica la o parte.

(amintiri matematice din copilărie)

Iarna este anotimpul şezătorilor. Stând împreună cu cei dragi ne cuprinde nostalgia şi începem să depănăm amintiri. Într-o astfel de zi, iarna trecută, am început să “aştern pe hârtie” amintirile matematice din copilăria mea. Gândul a fost unul foarte clar: de a arăta care sunt sursele ideeilor susţinute cu atâta hotărâre în postările PENTAGONIA. Eseul se dorea un prim capitol, unul strict personal, intim, în preocuparea mai largă despre lămurirea situaţiei actuale a învăţământului matematic preuniversitar românesc, prin clarificarea rolului jucat de reforma impusă de Ceauşescu în finalul anilor ’70 şi începutul anilor ’80. Până la urmă materialul a crescut prea mare, aşa că a fost fragmentat şi doar o parte din acesta a fost publicată sub titlul de Reforma uitată. Acum, este iarăşi iarnă, şi privim în urmă la un an neobişnuit. Poate că acum este vremea să depănăm nişte amintiri din copilărie. Sper că le veţi savura, chiar dacă uneori sunt scrise stângaci, având convingerea că unele dintre ele sunt într-adevăr întâmplări remarcabile. Dar, mai presus de orice, pentru mine ca profesor, amintirile din copilărie, ale mele sau ale altora, reprezintă ferestre deschise spre sufletul şi mintea copiilor în general, faţă de care noi ca adulţi avem obligaţia să ne adaptăm şi să ne calibrăm nivelul predării.

Prof. Constantin Titus Grigorovici

*

M-am născut şi am crescut în Oraşul Victoria, la marginea judeţului Braşov, având zilnic o privire superbă asupra munţilor Făgăraş. Părinţii mei Grigorovici Maria şi Vasile au fost amândoi profesori de matematică la liceele din oraş. Tata a reuşit chiar performanţa de a preda în acelaşi liceu de la repartiţie, din prima zi de activitate, neîntrerupt până la pensionare. Mama nu a reuşit aceasta pentru simplul fapt că liceul la care era titulară a fost desfiinţat pentru vreo 15 ani. Mama era din Şimleul Silvaniei iar tata din Vatra Dornei, nimerind amândoi în celălat vârf al unui triunghi, parcă paraşutaţi printre străini în ţara Făgăraşului. Luaseră acolo repartiţie la teminarea facultăţii în 1965. Eu am apărut prin zonă în 1967, pe ecourile Beatles şi Phoenix, odată cu marile evenimente flower power din lumea largă.

Bunicul din partea tatălui avea un mic magnetofon cu care m-a înregistrat când eram copil mic. Astfel, din difuzor se aude întrebarea Ce vrei să te faci când o să fi mare? Şi apoi vine răspunsul dat de o voce dulce de copilaş: pofesol de mametatică!

În apartamentul din care am primele amintiri, zugravul – la cererea tatălui meu – a pictat pe un perete din holul de la intrare Teorema lui Pitagora! Da, aţi înţeles bine, eu am crescut văzând zilnic pe perete figura cu cele trei pătrate construite în exteriorul unui triunghi dreptunghic, alături de un palmier stilizat. Aşa gândise zugravul respectiv, teorema lui Pitagora alături de un palmier, pictate în holul d-lui profesor de matematică. Nu pot preciza când am înţeles această teoremă, cred că tot în clasa a VII-a, ca toţi copiii, dar desenul îl cunosc de când mă ştiu. Cu durere mă gândesc la generaţii întregi de elevi care nici nu mai ajung să cunoască această figură, una dintre cele mai cunoscute, dacă nu cea mai cunoscută figură geometrică. Între timp există şi profesori tineri care nu o cunosc. Ultima dată am văzut această figură la loc de cinste pe culegerea profesorului Gheba din 1996.

Când eram în clasa a VI-a părinţii mei s-au mutat în apartamentul vecin şi de-atunci până la plecarea la facultate am locuit la cea mai fabuloasă adresă posibilă: Or. Victoria, str. Victoriei, bloc 10, ap.10. Da, ciudată-i şi karma asta! Părinţii mei locuiesc şi acum în acest apartament.

Amintiri speciale legate de matematică, dar din afara şcolii, mai am şi din timpul gimnaziului: eram cu părinţii la mare şi tata tot desena şi colora forme ciudate pe foi de hârtie. Întrebând despre ce face am înţeles că era vorba despre o mare problemă – problema celor patru culori – pe care nimeni încă nu a rezolvat-o. Ulterior am regăsit-o ca student, iar ca profesor am aflat că a fost „rezolvată” cu un calculator; interesant că rezolvarea cea controversată s-a făcut cam în anii când îl vedeam eu pe tata colorând forme ciudate la plajă.

Clasele I – VIII

Cu multe amintiri de la orele de matematică din şcoală nu prea mă pot lăuda. Bănuiesc că eram un copil normal, făra un interes ieşit din comun pentru aceasta disciplină. Există totuşi câteva momente ce merită evocate, mai ales din prisma moralei acelor experienţe. Ca profesor încerc să mă privesc pe mine, cel din copilărie, pentru a-i înţelege pe elevii cu care am de-a face actualmente şi să trag învătăminte corespunzătoare despre ce şi cum trebuie predat.

Din clasele primare nu am nici o amintire legată de aritmetica. În general, din şcoala primară, de la ore, am foarte puţine amintiri. Pun această realitate pe seama faptului ca am urmat primii opt ani la clasă cu predare in limba germană, într-o clasă plină de saşi, eu necunoscând germana din familie. Primele ore de germană le-am avut de-abia pe la cinci ani, iar la şcoala am mers la şase ani. În familie nu vorbeam germană, decât cu bunicul meu cu care mă întălneam de câteva ori pe an. Bănuiesc deci că nu prea înţelegeam mare lucru, decât intuitiv, din tot ce se întâmpla în jurul meu. Am evocat acest pasaj prin prisma importanţei limbii germane în înţelegerea matematicii, aşa cum am trăit-o eu. În această limbă noţiunile sunt pur şi simplu mai clare decât în română. Aş da un singur exemplu în acest moment. Denumirea nemţească pentru bisectoare este Winkelhalbierende care, tradus mot-a-mot înseamnă înjumătăţitoarea de unghi. Micul neamţ nu are nevoie de definiţie pentru această noţiune. Trebuie doar să se confrunte o dată cu ea, să audă o dată cuvântul, şi o ştie. Oricând va reîntâlni într-o problemă cuvântul Winkelhalbierende, va şti despre ce este vorba. Este foarte simplu, chiar dacă sună complicat.

De fapt, prin structura sa, limba germană are multe elemente favorabile gândirii matematice. De pildă, soţia mea a remarcat de curând următorul exemplu, în care pur şi simplu se dă factor comun într-un text de prezentare a unui pateu de porc: unsere Wurstwaren sind allergen-, laktose- und glutenfrei, în loc de allergenfrei, laktosefrei und glutenfrei (cârnaţii noştri sunt liberi de alergeni, lactoză şi gluten). Consider că învăţarea matematicii în limba germană mi-a oferit o claritate mai mare în gândire faţă de nivelul pe care l-aş fi atins dacă aş fi mers la şcoală doar în limba română.

Prima amintire matematică clară din şcoală o am din clasa a cincea, când am mers (am fost trimis) la olimpiadă şi am plecat de acolo năucit, pentru că nu am ştiut nimic. Singurul aspect ce-l ţin minte din timpul lucrării este profunda stare de vinovăţie că nu pot face nimic; un fel de stare ca şi cum aş fi primit aruncată peste mine o găleată cu apă foarte rece, chiar cu bucăţele de gheaţă în ea şi nu înţelegeam ce s-a întâmplat, pentru ce sunt pedepsit. Nici o dată nu am înţeles de ce a trebuit să merg eu atunci la olimpiadă. Probabil pentru că părinţii mei erau profesori de matematică şi se vedea în mine un viitor matematician. A doua zi am aflat că am luat nota 4 şi iar nu am înţeles mare lucru: eu nu scrisesem mai nimic: de unde erau cele trei puncte? Ca adult, corectând la olimpiade, am aflat de unde şi cum se scot acele puncte fără bază în lucrare. Oricum părinţii mei au fost la înălţimea momentului. Nu ţin minte nici un fel de mustrare din partea lor. Dar nici pe la olimpiade nu m-am mai dus până în liceu, când am reuşit câteva calificări la faza judeţeană (dar nimic mai mult).

De-abia în clasa a şasea au luat părinţii măsuri. Cam atunci mi-a pus tatăl meu Gazeta Matematică în mână şi mi-a zis să încerc să fac probleme de acolo. Îmi verifica rezolvările şi îmi arăta cum să le redactez. Încet am început să trimit probleme la Gazeta Matematică şi aşa m-am mai deşteptat cât de cât. Cu mare amărăciune mă gândesc la copiii de azi care nu mai au această ocazie. După ’90 nivelul problemelor propuse în Gazeta Matematică a crescut aşa de mult, încât după o vreme au ajuns total inaccesibile elevului care nu merge la clasă de excelenţă.

Din clasa a şasea încep să am ceva amintiri. Mergeam pe 12 ani – în acei ani copiii mergeau la şcoală după ce împlineau 6 ani. În anii ’80 vârsta de mers la şcoală s-a mutat după 7 ani, existând chiar părinţi care-şi trimiteau copiii de-abia la 8 ani în clasa I.

Din acest an îmi amintesc de regula de trei compusă şi de algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate. Ambele le-am ştiut până la teză, după care le-am uitat. Regula de trei compusă nu am fost nevoit să o predau ca profesor, aşa că nici în ziua de azi nu ştiu clar cum era rezolvarea şi ce gândeam acolo. Ţin minte doar nişte săgeţi interesante, dar nu ştiu cum şi de ce le puneam acolo. Problemele respective le rezolv azi prin reducere la unitate – în rarele ocazii când mă mai întâlnesc cu aşa ceva.

Cu radicalii povestea este în schimb mult mai interesantă. Fără să cunosc algoritmul de extragere, pentru că l-am uitat, m-am descurcat mulţumitor până la terminarea facultăţii. Se pare că acesta era fenomenul general. În acest sens îmi aduc aminte de toamna lui ’89 când eram în armată la Bacău. Eram două plutoane de întârziaţi-amânaţi, cu facultatea terminată, mulţi ingineri, câţiva profesori şi câţiva medici, care pierdeam vremea prefăcându-ne că facem armata. Într-o zi a intrat peste noi un maistru militar, bine ameţit de dimineaţă, pus pe harţă şi doritor de a ne arăta cât îi suntem de inferiori. Şi pentru asta ne-a întrebat care mai ştim să calculăm radical din nu-ştiu-ce număr. Doar unul singur a ştiut, şi anume un profesor care apucase să predea un an înainte de a fi convocat la armată. Ştia pentru că apucase să predea lecţia la clasa a şasea. Din ’90 am mers şi eu la catedră. Ştiam toate lecţiile intuitiv. Doar la rădăcina pătrată a trebuit să mă uit timp de patru ani în manual pentru a-mi reaminti în fiecare an paşii; de-abia în al cincelea an am putut preda algoritmul de extragere fără să mă mai uit în manual. Consider că aceasta ridică semne serioase de întrebare asupra felului în care se predă lecţia respectivă în şcoli.

O amintire specială o am de la sfârşitul clasei a şasea. În vacanţa de vară eram cu părinţii la ţară, la bunicii din partea mamei. Tata a luat cu noi culegerea Gheba (aveam un exemplar în limba germană) din care mi-a dat să rezolv exerciţii cu toate operaţiile cu fracţii, cu paranteze şi cu fracţii supraetajate (mai târziu, ca profesor, le alintam cu drag drept  tancuri, vapoare, tir-uri etc.). În prima zi am primit de făcut trei exerciţii şi curănd eram gată cu ele şi mă pregăteam să ies la joacă cu verişorii mei şi cu ceilalţi copii de pe uliţă. Tata m-a întors din drum să-i arăt ce-am făcut. Şi nu i-a fost greu să vadă că rezultatele mele nu coincideau cu cele din carte. În culegerile profesorului Gheba exerciţiile de aritmetică şi cele de algebră aveau răspunsul scris lângă exerciţiu. Tata şi-a luat tacticos o carte, s-a aşezat la masă lângă mine şi m-a pus să le mai fac odată. Eram disperat! Toţi se jucau afară, numai eu eram blocat în casă cu exerciţiile acelea stupide. Aşa că am făcut cel mai natural lucru: am socotit o vreme reducând exerciţiul, până spre final, când am schimbat numerele astfel încât să iasă rezultatul din carte. La sfârşit Tata mi-a verificat mulţumit rezultatele, iar eu am avut voie să ies afară la joacă. Nici acum nu ştiu câte exerciţii am rezolvat atunci în acest fel, şi când am început să obţin într-adevăr rezultatele din carte. Interesant este însă că nu am avut nici o dată probleme la operarea cu fracţii. Oare când le-am înţeles cu adevărat? Nu îmi amintesc.

Am continuat să am rezultate mediocre şi în clasa a şaptea, rar urcând peste nota 8. Totuşi se pare că lecţiile le-am prins foarte bine. Am spus mai devreme că, la catedră am predat în general lecţiile fără să le pregătesc dinainte. Mult mai târziu, uitându-mă prin manuale vechi, de pe vremea când eram în gimnaziu, am observat că felul cum predau coincide în multe cazuri cu lecţiile primite în copilărie.

Există însă o amintire, probabil de la această vârstă, a unui prieten drag. Acesta a primit la clasă de găsit (cu rigla şi compasul) centrul unui cerc desenat anterior (de exemplu trasat cu ajutorul unui pahar). Gândirea profesorului merge de obicei spre o construcţie bazată pe alegerea a două coarde neparalele (eventual cu un capăt comun – deci două laturi ale unui triunghi înscris în cerc) şi construirea mediatoarelor acestor coarde. Centrul cercului este situat la intersecţia celor două mediatoare. Prietenul meu a plecat de la o singură coardă. Mediatoarea acesteia este axă de simetrie a cercului, deci diametru, iar centrul cercului se află la mijlocul său (toate acestea erau considerate pe vremea respectivă construcţii geometrice elementare). Profesoara nu a fost capabilă să accepte această rezolvare diferită de a sa, s-au luat la ceartă şi prietenul meu prea impulsiv era cât-pe-aci să se aleagă cu un 4 în catalog.

De-abia în clasa a opta am început să iau la lucrări regulat note peste 8. Probabil datorită faptului că din acest an au început părinţii mei să facă sistematic matematică cu mine. În acest sens au rămas în memoria familiei desele mele gafe lingvistice de începător (reamintesc că la şcoală învăţam în germană, dar cu părinţii mei lucram în română). Mama şi acum se distrează când îşi aduce aminte de linia mijlocică.

Am însă două-trei amintiri deosebite din ultimul an de gimnaziu. Nu ţin minte cum a fost la oră, dar ştiu că după teorema celor trei perpendiculare (T3⊥) am confecţionat acasă o machetă mică din sârmă la care planul era făcut dintr-o bucată de la o cutie de chibrituri. Tata s-a arătat entuziasmat iar macheta respectivă a ajuns în bradul de Crăciun (mulţi ani de atunci a avut locul ei rezervat în brad).

Ţin însă minte foarte bine ora în care s-a calculat la tablă aria laterală a conului (şi apoi curând cea a trunchiului de con). Felul în care s-a desfăşurat suprafaţa laterală a conului, iar apoi aceasta a fost tăiată în felii foarte subţiri, sectoare de cerc aproximate ca triunghiuri isoscele foarte înguste cu înălţimea cam de-aceaşi lungime cu laturile oblice, deci egale cu raza, acest proces m-a impresionat profund. Iar calculul algebric cu descrierea numărului oricât de mare de triunghiuri/sectoare prin folosirea … (puncte-puncte – lor) la sfârşitul sumei, cât şi factorul comun din timpul calculului au pus capacul. În acestă demonstraţie mi s-au legat brusc toate cele predate în cei patru ani de către profesorul meu, Dl. Willhelm Schotch (se pronunţă Şoci). Datorită acestei lecţii, după ce am ajuns la rândul meu profesor, am constatat că dânsul era modelul meu cel mai important. În orice lecţie încerc să-l imit, străduindu-mă să trezesc în elevi fascinaţia trăită de mine ca elev în acea oră. Faptul că în curând a venit şi aria laterală a trunchiului de con, demonstrată prin aceeaşi metodă, dar împărţind suprafaţa desfăşurată în foarte subţiri trapeze, m-a ajutat şi mai mult să ţin minte metoda. Da, tot jocul acela algebric cu sume nesfârşite de fracţii şi factori comuni se potrivea şi în cazul unor trapeze, creând asupra mea impresii de neşters.

Scurt după această lecţie au venit corpurile de rotaţie. Mulţi oameni îşi aduc aminte cu plăcere de problemele din această lecţie, care din păcate de ani buni nu mai este în programă. Este vorba de probleme de tipul un triunghi dreptunghic cu laturile date se roteşte pe rând în jurul fiecărei laturi. Calculaţi aria şi volumul corpurilor astfel formate. Fără a fi banale, aceste probleme oferă rezolvitorului ocazia de a-şi exersa aptitudini aritmetice şi matematice elementare uşor de asamblat într-o rezolvare completă. Cu alte cuvinte, aceste probleme atrag elevii obişnuiţi către matematică, oferindu-le astfel ocazia de a avea satisfacţie şi de pe urma matematicii.

La această lecţie existau în unele şcoli aparate cu un motor în care se fixau ca într-un mixer sau o maşină de găurit nişte tije de care erau ataşate figuri geometrice din tablă. Odată ce se roteau cu mare viteză, se putea vedea uşor corpul de rotaţie generat. Era astfel ajutată imaginaţia copiilor în înţelegerea acestor probleme. Profesorul nostru nu avea un astfel de aparat la şcoală, aşa că m-am oferit să aduc unul de la liceu, de la laboratorul de matematică al  părinţilor mei. Nu ştiu cât de mult i-a ajutat pe colegii mei, dar mie mi-a oferit o experienţă colaterală memorabilă.

Ştiind că aparatul este greu, am cerut să vină un coleg cu mine şi l-am ales pe colegul care era cel mai tare în clasă la matematică. Pe drum către liceu am început un joc. La rând alegeam o formulă de arie sau volum şi vedeam care o zice primul corect. Colegul respectiv le învăţase pe-de-rost, pe când eu m-i le deduceam fiecare în cap. Una din cinci le nimerea el mai repede corect. La celelalte zicea el înaintea mea, dar eu îi demonstram imediat de ce nu are dreptate şi care este formula corectă. Această mică lecţie de viaţă mi-a arătat că pot să mă bazez mult mai bine pe judecată decât pe memorie. Şi acum, ca profesor, nu le dau elevilor formulele, ci le cer să le deducă pe rând, iar eu doar le scriu pe tablă. Cei care intră în acest joc şi acceptă să gândească nu le vor mai uita nici odată. Există doar câteva formule care trebuie învăţate pe-de-rost pentru că nu pot fi deduse accesibil în minte (înălţimea în tetraedrul regulat sau volumul acestuia sunt greu de dedus în cap; la formulele sferei, eu le ofer elevilor pseudo-deduceri, care sunt însă accesibile în minte: Arhimede a arătat că aria sferei este de patru ori aria cercului etc.).

Legat de aparatul respectiv de rotit figuri, trebuie să precizez că aş fi putut să-mi fac de multe ori şi eu unul, ca profesor: dintr-un mixer vechi, sau pe baza unei maşini de găurit cu piesele de prins uşor în mandrină. Dar, NU! Eu am preferat să le povestesc elevilor de fiecare dată întâmplarea din copilărie şi să le prezint fenomenul corpurilor de rotaţie în imaginaţie. Consider că este mult mai bine să le folosim şi să le antrenăm elevilor cât mai des imaginaţia. Orice matematician care îşi analizează cum îi gândeşte mintea va recunoaşte importanţa deosebită a unei imaginaţii bine dezvoltate.

Cam acestea ar fi tot ce ţin minte din gimnaziu şi merită a fi evocat într-o discuţie despre matematică. Totuşi, ar mai fi două-trei momente ce ar trebui amintite.

Primul ar fi o întâlnire specială. Părinţii mei au organizat în aceşti ani un simpozion naţional de matematică. Cu ocazia respectivă l-am cunoscut pe Academicianul Nicolae Teodorescu, preşedintele din acea vreme a SSM (Societăţii de Ştiinţe Matematice din România). Mare lucru nu am înţeles atunci din acea întâlnire, dar mi-a oferit de-a lungul anilor un motiv de mândrie: avusesem în copilărie o întâlnire cu unul dintre marii matematicieni ai ţării.

A doua întâmplare deosebită nu este legată direct de matematică, dar merită totuşi amintită. Tata îşi pusese în minte să construiască în Victoria un observator astronomic, sub tutela unui alt academician, Profesorul Gheorghe Chiş de la Universitatea din Cluj. Totul mergea bine, se achiziţionase un telescop cu oglinda de 20 cm, pe inventarul liceului unde era tata titular, se lucra la amenajarea unui vechi turn de apă şi ultimele amintiri le am că lucrau cu un inginer la proiectarea roţii dinţate pe care urma să se rotească cupola observatorului. Apoi a picat vestea cea grea: Profesorul Chiş a murit neaşteptat. Din acel moment s-au năpustit “şacalii”: diferiţi indivizi suspuşi din oraş au început să cârcotească şi să reclame că din observator, cu ajutorul telescopului se va putea spiona în combinatul chimic unde erau obiective de nivel strategic. Aşa că foarte repede proiectul a fost îngropat şi nici o dată nu s-a mai repornit. Acel telescop nu a fost folosit nici o dată şi s-a distrus prin oxidare datorită neîntreţinerii.

Şi pe domnul academician Gheorghe Chiş îl ţin minte; l-am cunoscut când a fost în vizită acasă la părinţii mei. Peste ani am aflat că şi un verişor de-al bunicului meu este academician: Profesorul Radu Grigorovici.

Al treilea moment special demn de amintit ar fi următorul. Pe vremea respectivă exista o emisiune la televizor, Teleşcoala, ce era difuzată înainte-de-masa şi în care erau prezentate diferite lecţii. Concret câte o profesoară stătea la tablă şi explica lecţia în timp ce era filmată. Prin această emisiune ministerul se ocupa de perfecţionarea dascălilor. Totodată aici erau prezentate noile lecţii introduse în programă.

În cadrul reformei şcolare de la sfârşitul anilor 70 a fost introdusă, la început în liceu, noţiunea de congruenţă. Pentru exemplificarea pe Congruenţa triunghiurilor la teleşcoala a fost aleasă de către realizatorul TVR tocmai mama mea (domnul respectiv se rătăcise prin Victoria şi aşa s-au întâlnit). Ca urmare am ajuns să o văd şi pe mama la televizor! Atunci, în 1980, la televizor n-am înţeles mare lucru – noi în gimnaziu foloseam noţiunea de egalitate – dar am avut ocazia să revăd lecţia respectivă pe viu în liceu, cu mama ca profesoară de matematică la catedră.

Ca profesor m-am confruntat peste ani puternic cu acest subiect. Noi învăţasem geometria din gimnaziu în limbajul vechi: două segmente erau egale, lecţia respectivă se numea Cazurile de egalitate a triunghiurilor, unghiurile – cu acoperiş deasupra – nu aveau măsură, ci erau egale cu 45^o, iar despre axiome mare lucru nu ştiam. În schimb, majorităţii elevilor ne plăcea geometria! Când am reluat-o în liceu, în clasa a IX-a, nu am avut nici o problemă să trecem la scrierea nouă, mult mai riguroasă, cu congruenţă şi măsura unghiurilor. Cu axiomele însă, ţin minte că ne luptam şi ca profesori, pe vremea examenului de definitivat.

Când am ajuns profesor, elevii trebuiau să folosească direct scrierea riguroasă, iar eu având o empatie mai dezvoltată simţeam puternic chinul lor de-a înţelege de-odată o materie nouă şi un limbaj prea încărcat, despre care ştiam că este artificial încărcat.

Vorbeam în postarea precedentă despre cum putem noi, profesorii de rănd, să ne pregătim în vederea OIM Cluj 2018. Nu ne propunem să devenim promotori ai acestui eveniment de vârf la nivel mondial, dar merită să mai zăbovim un moment în direcţia matematicilor cele mai înalte, aşa cum ne putem permite, noi, cei care ne desfăşurăm activitatea la baza matematicii.

Conjectura lui Collatz este un astfel de punct matematic pe care-l putem înţelege toţi şi care – alături de alte probleme celebre, cum ar fi Conjectura lui Goldbach – pot fi prezentate elevilor, chiar începând din clasa a V-a.

Problema este prezentată într-un filmuleţ pe Youtube (vezi adresa de mai jos) sau în cartea prezentată în acest film (Jeffrey C. Lagarias: The Ultimate Challenge: The 3x + 1 Problem). Conjectura propune o problemă ce este foarte accesibilă în sensul înţelegerii; singura „ciudăţenie” este deocamdată lipsa demonstraţiei generale şi, deci, clasificarea acesteia drept teoremă. Spre deosebire de Conjectura lui Goldbach, aceasta este însă o problemă mai actuală, a vremurilor în care trăim (Lothar Collatz a trăit până în 1990; problema datează din 1937). Dar amândouă pot fi prezentate elevilor de clasa a V-a. Trebuie doar să fim în stare să lăsăm jos mantia de profesori atot-ştiutori pentru a le putea explica elevilor ce este aia o conjectură: este o problemă pe care încă nimeni nu a putut-o rezolva. Să vedem deci problema:

Alegând un număr natural oarecare n, construim începând cu acesta un şir, aplicând fiecărui ultim termen una din următoarele două reguli: dacă acesta este par, va genera un succesor prin înjumătăţire (n → n/2); dacă acesta este impar, va genera un succesor triplând şi adunănd 1 (n → 3n + 1). Prima impresie este că varianta a doua este mai puternică (triplare faţă de înjumătăţire), aşa că sunt şanse mai mari ca şirul să fie per ansamblu crescător. Totuşi constatarea pe exemple concrete este că întotdeauna şirul cade la 1 şi se blochează aici.

Să luăm un exemplu. Aplicănd cele două reguli, după cum ne dictează de fiecare dată ultimul termen, obţinem de pildă şirul: 15; 46; 23; 70; 35; 106; 53; 160; 80; 40; 20; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1. Din momentul în care şirul ajunge la 1, acesta întră într-un soi de perioadă: 1 → 4 → 2 → 1. Merită aici făcută o scurtă observaţie, pe care desigur că o veţi remarca: filmuleţul respectiv prezintă problema sub forma unei mici cercetări, fără a pune din start concluzia (că se ajunge oricum la 1). La fel ca la o predare prin problematizare extremă, în care elevul este atras să cerceteze singur ce se întâmplă, urmând să se convingă singur, filmul ne propune în prima fază doar să vedem ce se întâmplă; concluzia apare pe parcurs. Din acest punct de vedere, filmuleţul prezintă un exemplu briliant despre cum ar trebui să arate o oră de matematică accesibilă tuturor (mi-a plăcut expresia 16 este un număr foarte par).

Reiau un comentariu din film (pe la min. 3):  orice elev de clasa a IV-a se poate juca cu această problemă, se poate juca cu numere, încercând diferite starturi şi văzând ce se întâmplă. Ne este sugerată şi ideea realizării unui program pe calculator pentru a verifica viteza acestuia (aviz profesorilor de informatică, nu celor de TIC). Problema poate fi folosită la diferite nivele. De pildă, le putem cere elevilor de clasa a VIII-a să o redacteze sub formă de funcţie; această variantă ar fi de ajutor la înţelegerea “definiţiei” modulului, pe care totuşi unii elevi de o inteligenţă bună nu o pricep în primă instanţă (partea de scriere “cu ramuri”).

În continuare filmul ne prezintă scurţi paşi de aprofundare a înţelegerii problemei. De pildă: n = impar → 3n + 1 = par → (3n + 1)/2, sau faptul că un astfel de şir este „condamnat” la a ajunge la final în 1, dacă „calcă” pe o putere a lui 2, sau, în general, pe un număr ce a fost deja verificat. Matematicienii au verificat ce numere creează cele mai lungi astfel de şiruri, iar în filmuleţul respectiv este prezentat 63.728.127 ca generând un şir de 949 paşi pentru a ajunge la 1. S-au căutat posibile modele pentru explicarea comportamentului aparent aleator al acestor şiruri, dar pănă acum nimeni nu a reuşit să spargă enigma acestora.

Dacă am reuşit să vă trezim curiozitatea, puteţi viziona filmuleţul: UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture – Numberphile.

Echipa olimpienilor

Cum ne pregătim pentru marele eveniment al vieţii noastre, organizarea Olimpiadei Internaţionale de Matematică la Cluj în 2018? Noi, oamenii de rând nu prea avem multe de-a face cu OIM. Atmosfera de la acest concurs este atât de rarefiată, încât cei mai mulţi ne mulţumim să stăm jos, la poalele matematicii şi să ne uităm în sus la cei care au forţa să urce pe aceste vârfuri ameţitoare. Ca să încercăm totuşi să intrăm în atmosferă, putem de pildă urmări postările despre legendara întrebare 6 de la OIM 1988 din Australia.

*

Aţi auzit de legenda întrebării 6? Dacă nu aţi auzit merită să urmăriţi prezentarea care descrie situaţia acestei probleme ce a fost propusă spre rezolvare la OIM din 1988 desfăşurată în Australia. Înainte însă de a asculta despre legendara întrebare 6, la începutul filmuleţului vedem câteva imagini din timpul unor probe de OIM. Acum începem să înţelegem de ce e nevoie la acest concurs de o sală cum este Sala Polivalentă din Cluj. Pentru că da, am ajuns să trăim şi această minune: vom avea în 2018 Olimpiada Internaţională de Matematică la Cluj! Nu vreau să vorbesc despre patriotism local, despre posibilităţi de cazare destul de extinse din Cluj, ce s-au putut manifesta deja cu ocazia UNTOLD-urilor, dar este clar că, la deosebitele baze sportive construite în ultima vreme în Cluj, nu ne aşteptam ca prin matematică să ajungem mai întâi ca oraş să organizăm un eveniment de vârf la nivel mondial.

Cum ne pregătim pentru acest eveniment? Noi, oamenii de rând nu prea avem multe de-a face cu olimpiada internaţională de matematică. Atmosfera de la acest concurs este atât de rarefiată, încât cei mai mulţi ne mulţumim să stăm jos, la poalele matematicii şi să ne uităm în sus la cei care au forţa să urce pe aceste vârfuri ameţitoare. Ca să încercăm totuşi să intrăm în atmosferă, putem de pildă urmării postările despre legendara întrebare 6.

Pe scurt, povestea acesteia este următoarea: din 261 de participanţi, doar 11 au rezolvat-o perfect, unul rezolvând-o uluitor. Problema are un autor din Germania Federală, iar comisiei care s-a ocupat de subiecte le-a fost acordate şase ore pentru a o rezolva. Ciudat este că aceştia nu au reuşit să o rezolve, şi totuşi organizatorii au avut curajul să o propună în subiecte! Din toată povestea, nouă cel mai mult ne-a plăcut partea aceasta, în care se explică faptul că profesorii din comisia de subiecte n-au ştiut rezolva problema, dar totuşi au decis să o dea elevilor. Şi – uimire! – într-adevăr, au fost elevi care au reuşit să o rezolve. Problema – dată în ziua a doua de concurs – sună astfel:

6. Fie numerele naturale a şi b pentru care ab + 1 divide a²+ b². Arătaţi că este pătratul unui număr întreg. În textul original observăm că se foloseşte denumirea întreg pozitiv pentru număr natural.

Pe Youtube găsiţi povestea in extenso a întămplării respective, prezentată de Simon Pampena: The Legend of Question Six – Numberphile (Question 6 – Simon Pampena discusses the famous Question 6 from the 1988 International Mathematical Olympiad). Acesta şi recunoaşte la începutul filmuleţului Numberphile că i-a luat un an de zile să rezolve problema buclucaşă. În final puteţi urmări desigur şi partea a doua a filmării, în care este prezentată rezolvarea.

Echipa olimpienilor