Fracțiile la vechii egipteni

În vara lui 2010 l-am cunoscut la Nürnberg pe dl. Filip, un învăţător de la Şcoala Waldorf din acest oraş, pensionat de mult şi care avea multe poveşti interesante (printre altele a avut-o în clasa a II-a ca elevă pe fetiţa Sandra Bulock!!!).
De la dânsul am primit o grămăjoară de cărţi vechi de matematică, care fusese o pasiune puternică a vieţii sale. Într-una din aceste lucrări, Ernst Bindel, Das Rechnen (Socotitul) din 1966, am găsit un capitol despre fracţiile la egiptenii antici. Autorul făcea referire la un articol mai vast Altägyptische Bruchrechnung (Calculul de fracţii la vechii egipteni), publicat în revista Erziehungskunst Nr.11-1961 (Arta educaţiei). Cu timpul am fost atras de subiect şi am început să lucrez la înţelegerea acestei teme. Am găsit şi articolul cu pricina, dar am început să găsesc referiri la acest subiect şi în alte locuri, mai ales în reportajul BBC FOUR The Story of Maths realizat de profesorul Marcus Du Sautoy în 2008.
Preocupările s-au accentuat în anul şcolar 2014/2015 când, în mai multe etape, am generat următorul eseu pe tema fracţiilor în Egiptul antic. Cu această lucrare am participat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice Didactica Matematicii 2015 de la Turda.

C.Titus Grigorovici

Fracțiile la egipteni.pdf

Pentagonul și pentagrama

Dintre figurile geometrice neglijate de programa şcolară din România, pentagonul regulat este probabil cea mai importantă pentru cultura matematică universală. Pentagrama şi secţiunea de aur completează această temă aproape nelimitată. Iată câteva aspecte în această linie, cu care ne-m ocupat în trecut:

Articole de metodică

În paginile caietelor de matematică PENTAGONIA am inclus diverse prezentări de metodică a predării unor lecţii din programa şcolară. Iată o scurtă listă a acestora, pentru a le putea găsi mai uşor.

  • Apariţia numerelor complexe – predarea prin întrebări – Pentagonia nr.2
  • Ecuaţii de gradul I cu parametru – Pentagonia nr.3
  • Fracţiile zecimale – predarea prin întrebăriPentagonia nr.4
  • Extragerea radicalului, rădăcina pătrată şi numerele iraţionale în claseleVI-VIII – Pentagonia nr.6
  • Proporţionalitatea directă şi proporţionalitatea inversă – Pentagonia nr.7
  • Predarea ariilor în gimnaziu – Pentagonia nr.8
  • Linia mijlocie în triunghi – studiu de teoremă directă şi reciprocele sale – Pentagonia nr.9

Alte prezentări metodico-didactice vor urma.

Corpurile platonice (perfecte)

Una dintre marile teme ale culturii omeneşti ce lipsesc din programa şcolară o reprezintă setul celor cinci corpuri perfecte, cunoscute în vest drept Corpuri Platonice. Dintre acestea doar cubul şi tetraedrul regulat apar la noi în programa gimnazială, celelalte trei lipsind cu totul din conştienţa generală.
Cei doritori găsesc o prezentare scurtă a acestora şi a unor conexiuni dintre ele în paginile caietelor PENTAGONIA, astfel:

  • Introducere; I. Octaedrul; II. Tetraedrul, cubul şi octaedrul înscrise unul în celălalt – Pentagonia nr.2
  • III. Câte poliedre regulate există?; IV. Dodecaedrul – Pentagonia nr.3
  • V. Platon, Kepler şi corpurile perfecte; VI. Icosaedrul – Pentagonia nr.4

Subiectul nu este nici pe departe epuizat, dar oferă doritorului o minimă linie de plutire în cultura generală a omenirii, prezentabilă şi accesibilă la nivelul de clasa a VIII-a. În acest sens merită amintită o întâmplare cu un fost elev, care după clasa a IX-a s-a mutat cu familia în Statele Unite. Peste ani m-am trezit cu el la o serbare de final de an şcolar: venise să mă salute şi să-mi spună că în anul I la facultatea de arhitectură la Seattle a fost singurul care a ştiut de aceste corpuri, să le denumească şi să spună câte ceva despre ele (Salut Vlad!).
Pentru cei care încă nu sunt convinşi, studiaţi un pic promo-urile folosite pe postul de muzică ZU TV până la începutul verii 2015, să vedeţi câte icosaedre aveau ei acolo (şi pe care le-au văzut zilnic elevii).

Prezentare de carte

Cine nu ia o carte de matematică în mână pătruns de un sentiment de sacru, nu va găsi mare lucru în această carte. NOVALIS

În ultimele trei caiete PENTAGONIA, din 2001 şi 2002, am început să prezentăm cărţi de matematică. Nu este vorba despre culegeri de exerciţii şi probleme, şi nici despre manuale de matematică, ci despre cărţi care vorbesc despre matematică, despre istoricul acesteia şi despre cum ar trebui să ne apropiem împreună cu elevii de matematică.
Citindu-le, profesorul de matematică poate găsi inspiraţie în a-şi structura lecţiile mai atractiv, fie cu mici detalii de o coloratură atractivă, fie în general, ca atitudine de intrat la clasă.

Lucrarea lui Simon Singh, Marea Teoremă a lui Fermat, ajunsă între timp la ediţia a 3-a la Editura Humanitas, rămâne în continuare un posibil cap de afiş în spectacolul acestor cărţi minunate (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.7 din martie 2001), reprezentând o lectură obligatorie pentru orice profesor de matematică ce doreşte să-şi extindă cultura. În Vest această carte a stârnit un val întreg de lucrări de popularizare a matematicii. Este extrem de lăudabil faptul că multe din acestea au fost publicate la Humanitas, devenind astfel accesibile cititorului român, dar despre acestea într-o intervenţie ulterioară.

În Caietul PENTAGONIA No.8 am prezentat mama şi tata tuturor cărţilor de popularizare a matematicii, cele două lucrări ale lui Egmont Colerius, De la tabla înmulţirii la integrală, respectiv De la punct la a patra dimensiune, apărute în perioada interbelică şi traduse în româneşte în 1967. În legătură cu această carte iată o istorioară interesantă: profesorul Wolf Klein de la Şcoala Waldorf din Klagenfurt, Austria, a contactat pe vremuri editura ce a publicat iniţial cartea în germană şi a obţinut o reeditare pentru elevii săi. Cu acest exemplu în faţă, cred că merită să o citim şi noi. (De căutat prin anticariate sau biblioteci cu carte mai veche).

O lucrare îmi este foarte special apropiată de suflet: Paul J.Nahin, O poveste imaginară. Istoria numărului radical din –1 a apărut în 2000 la editura Theta, Bucureşti (vezi prezentarea din Caietul PENTAGONIA No.9 din sept.2002). Pentru profesorul de liceu aceasta reprezintă o lectură obligatorie, mai ales din prisma cunoaşterii apariţiei acestor numere şi a înţelegerii aberaţiei didactice reprezentată de lecţiile de introducere a numerelor complexe în forma actuală, existentă în manuale de prin 1980. În acest sens vă recomand şi lecturarea articolului metodic Apariţia numerelor complexe; predarea noţiunii prin întrebări din Caietul PENTAGONIA No.2. În 1998 o elevă de-a 7-a la citit şi ne-a zis că a înţeles tot. Oare, de ce din forma de predare din manuale nu înţelege nimeni nimic?

Alte prezentări de carte vor urma.

Editorial Pentagonia

Pe lângă prezentarea din primul număr, în caietele Pentagonia găsiţi următoarele eseuri-editoriale despre situaţia predării matematicii şcolare. În fiecare din acestea găsiţi păreri exprimate mai timid sau mai hotărât despre ce merge, dar mai ales despre ce nu merge bine în matematica de la clasă. Citindu-le după atâţia ani, cât sunt de valabile în continuare, considerăm că merită citite şi acum (unele integral, altele măcar parţial).

Prof. C.Titus Grigorovici

Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf

Zilele acestea are loc în Elveţia, la Dornach lângă Basel, primul congres mondial al profesorilor de matematică din şcolile Waldorf (5-9 oct. 2015).

Manifestarea, de o magnitudine nemaiîntâlnită, este cu totul dedicată artei predării matematicii la toate vârstele şcolare (primar, gimnaziu şi liceu).

Puteţi studia temele propuse spre dezbatere în plen, cât şi pe grupe de lucru, la adresa http://www.paedagogik-goetheanum.ch sau accesând direct http://www.mas.goetheanum.org/Welt-Mathematiklehrertagung.7762.0.html?&L=1.

Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe
Introducerea operației de putere la numerele naturale

Una din întrebările esenţiale, dar despre care mai nimeni nu-şi face multe gânduri, este următoarea: unde este trecerea de la aritmetică la algebră?

În eseul prezentat m-am preocupat de întrebarea: ce este gândirea aritmetică şi ce este gândirea algebrică, şi cum se diferenţiază una de cealaltă?

Am studiat această întrebare pe două plane: întâi la nivelul teoretic din punct de vedere al dezvoltării copiilor, apoi la un nivel concret, cu susţinere mai mult psihologică, pe baza exemplului introducerii operaţiei de putere şi a proprietăţilor operaţiilor cu puteri.

Eseul de faţă sublinează – printre rânduri – motivul pentru care preocuparea mea de bază o reprezintă actualmente predarea matematicii în ciclul gimnazial: este perioada în care pe rând elevii trec de la stadiului operaţional concret la stadiu operaţional formal; primii fac această trecere uşor odată cu trecerea în clasa a V-a, dar mulţi elevi o fac de-abia în anii următori, la trecerea în clasa a VI-a sau chiar în a VII-a. Din păcate însă acest aspect a fost neglijat puternic din anii ‘80 încoace.

Am încheiat această expunere de gânduri cu o scurtă fişă de lucru pentru însuşirea şi stabilizarea operaţiei de putere nou învăţate prin exerciţii de ordinea operaţiilor numerelor naturale (prezentată din motive practice în două exemplare). Spor la lucru!

Gândirea aritmetică VS Gândirea algebrică.pdf

Conferință Dr. H. Paschen

Vara asta, la terminarea anului şcolar, pe 10 iunie 2015, la Facultatea de Psihologie şi Ştiinţe ale Educaţiei din cadrul Universităţii Babeş-Bolyai din Cluj, am avut bucuria să-l audiez pe dl. Prof. univ. dr. habil. Harm Paschen de la Universitatea Bielefeld din Germania, cu o prezentare despre:

Importanţa pedagogică a conceptelor de cunoaştere non-discursive: empatia, intuiţia, spiritualitatea, tactul (Die Pädagogische Bedeutung der Konzepte von non-diskursiven Erkenntnis: Empathie, Intuition, Spiritualität, Takt).

Daţi-mi voie să vă prezint câteva idei din această conferinţă deosebit de interesantă.

  • încă din 1942 Susanne Langer vorbea despre faptul că muzica, arta în general, este o ştiinţă despre sentimente şi emoţii;
  • empatia nu este încă inclusă în pedagogie ca ştiinţă; eşti admis la facultate pe baza testării disciplinei respective, fără a fi verificat dacă ai tactul necesar pentru a acţiona pe viitor în faţa elevilor; un studiu în Germania arată că undeva între 35% şi 50% dintre profesori nu au empatia necesară exercitării acestei meserii;
  • tactul este direct înrudit cu empatia şi reprezintă calitatea modului în care interacţionezi cu ceilalţi (Herbarth, 1930?); empatia şi tactul merg mână în mână, determinând calitatea actului pedagogic;
  • prin “flow” se înţelege fenomenul in care oamenii ajung să fie ca uniţi cu un lucru (de ex. felul in care ne unim cu calculatorul şi nu ne mai putem desprinde de acesta); există o predare în care să apară “flow”, o predare care să-i capteze cu totul pe elevi?
  • prin “val” se înţelege procesul prin care pedagogul nu este cel care face ceva, ci cel care are “un val” şi îi ia şi pe elevi “cu valul”; nici această metodă nu este una discursivă;
  • intuiţia reprezintă experienţă încă neconştientizată; pedagogii au de-a face cu creiere, lucrul cel mai complicat din univers;
  • spiritualitatea (în general aceasta nu trebuie confundată cu spiritualitatea credinţei): în dezvoltaria matematicii aceasta a devenit tot mai spirituală, cu cât s-a desprins mai mult de slujirea lumii exterioare;
  • alte exemple de prezentări non-discursive: imaginile, muzica;

Acestea au fost câteva idei pe care am apucat să le notez din această conferinţă. Au fost şi multe exemple presărate în diferite momente. La “val” de pildă a fost un exemplu cu nişte elevi din internat care căutau noaptea, sub pătură, cu lanterna, soluţia problemei profesorului de mate la o problemă foarte palpitant pusă

C. Titus Grigorovici